Instructivos de Laboratorio

2011 INSTRUCTIVOS DE LABORATORIO MATEMÁTICA BÁSICA 1 SECCIÓN “C”

EDGAR ALBERTO BOLAÑOS RIOS CUNOC - USAC PROPIEDAD INTELECTUAL: BR. EDGAR ALBERTO BOLAÑOS RIOS

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MATEMÁTICA BÁSICA Instructivos de Laboratorio

Edgar Alberto Bolaños Rios

CUNOC - USAC DIVISIÓN DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA

PROPIEDAD INTELECTUAL: BR. EDGAR ALBERTO BOLAÑOS RIOS

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MATEMÁTICA BÁSICA Instructivos de Laboratorio

Edgar Alberto Bolaños Rios

CUNOC - USAC DIVISIÓN DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA


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PRESENTACIÓN El instructivo de laboratorio de matemática básica 1 ha sido concebido como un material de apoyo a la labor docente, entendiendo que un aprendizaje significativo se obtiene cuando el alumno construye conocimientos, modificando y profundizando las conceptualizaciones, a veces erróneas, que inicialmente poseía. Este es un proceso activo que no basta la sola lectura de un texto. Se requiere fundamentalmente razonar y aplicar los conocimientos y situaciones diversas que permitan la transferencia de los aprendizajes. Cada tema se presenta entregando una breve síntesis del contenido y ofreciendo luego varias instancias de aplicación o ejercitación para el estudiante. Las secciones ejercicios y problemas ofrecen ejemplos desarrollados que el estudiante puede utilizar como modelo para las actividades que a continuación se le solicitan. Las secciones de lectura ayudarán a complementar complementar el aprendizaje del estudiante. Los experimentos merecen un comentario aparte. La matemática es una ciencia empírica pero ante todo debe ser experimental. Todas sus teorías y teoremas son el resultado de análisis. Interesa que el estudiante se familiarice con estos procedimientos para comprender la naturaleza del conocimiento científico. Al mismo tiempo, las actividades experimentales contribuyen a la comprensión de los conceptos, leyes y procedimientos de las ciencias. Es preciso destacar que este material de estudio no pretende ser autosuficiente. El apoyo del docente resulta insustituible para oriental el estudio y resolver dudas de los estudiantes no previstas en el texto.


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En este documento no se encontrarán detalladas exposiciones de los contenidos sino breves prestaciones de conceptos y leyes al inicio de cada tema, actividades experimentales, ejercicios y problemas a resolver, lecturas. Las secciones de ejercicios y problemas estarán precedidos por ejercicios resueltos que servirán de ayuda al estudiante. La matemática no consiste en memorizar informaciones sino en ejercitar la capacidad predictiva del conocimiento científico.

El conocimiento

científico se construye interrogando a la naturaleza del problema, observando, midiendo y luego describiendo con ayuda de las matemáticas los casos que se nos presentan. De este modo se invita al estudiante a realizar, en pequeño, las actividades que realiza un científico: investigar y poderse familiarizarse con algunos conceptos y leyes de la matemática.


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¿CÓMO TRABAJAR ESTE INSTRUCTIVO? La interacción de los alumnos con este instructivo podrá ser en clase o en casa; algunas veces se darán en equipo con algunos compañeros. Para cada una de las unidades del programa de matemática básica I se tienen actividades de tres tipos ya mencionados en la presentación. A continuación se describe, brevemente, la manera en que el estudiante participara en cada uno de estas actividades.

Lecturas: Se sugiere leer con atención en su libro de texto, resaltando que partes merecen mayor relevancia en función del tema tratado. Una vez terminada la lectura del texto, se podrá realizar un control de lectura.

Actividades

experimentales:

Semanalmente

se

presentan una guía para cada trabajo experimental. Ahí se introduce al tema al alumno y se le guía en lo relativo a las actividades a realizar. Oportunamente se van planteando algunas interrogantes y se va danto los espacios para que contesten en base al desarrollo de la actividad experimental para finalmente llegar a conclusiones.

Resolución de ejercicios y problemas: Luego de una breve introducción al tema. Incluye los modelos

matemáticos

correspondientes,

se

presentan algunos ejercicios resueltos y al finan los ejercicios

y

problemas

a

resolver.

Es

recomendable que repasen atentamente el


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proceso de resolución, seguido de los ejemplos ya resultaos y apliquen en los que se resuelvan. Algunas veces aparecerán algunos problemas cuyo enunciado se presenta en negrita. Estos problemas presentan un grado de dificultad mayor.


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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE DIVISIÓN DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA GENERAL Código: 169 Catedrático: Bachiller. Edgar Alberto Bolaños Rios Salón de laboratorio: Aula 5 Categoría: Obligatorio Supervisor de área: Ing. Humberto Hernández Segundo semestre 2011 Horario: Martes de 15:40 a 17:20 y Jueves de 14:30 a 16:10 Aula virtual: https://sites.google.com/site/laboratoriomatematicabasica1c/ Blog: http://www.laboratoriomatematica1c.blogspot.com/ Correo electrónico: [email protected] 1. Descripción: El laboratorio está dirigido para fortalecer, aprender, formar y desarrollar los conceptos básicos, las definiciones matemáticas y los procedimientos aprendidos en clase que permitan al estudiante adquirir la base para introducirse a cabalidad los cursos de cálculo. Su contenido comprende desde el concepto de función y su posterior utilización en las ecuaciones e inecuaciones como una aplicación de las igualdades y desigualdades; así como los temas de geometría, trigonometría y geometría analítica como herramientas para la resolución de problemas. 2. Objetivos del laboratorio: Al aprobar el laboratorio el estudiante podrá: a. Comprender los conceptos y procedimientos básicos previos a los cursos de cálculo. b. Utilizar y aplicar los conceptos y procedimientos adquiridos en la formulación y solución de problemas elementales previos al cálculo. c. Formar, construir e investigar modelos matemático-funcionales del fenómeno y procesos reales o ideales elementales de la ingeniería. |PÁGINA 7


3. Contenido y calendarización del laboratorio: En base a lo estudiando en el curso de matemática básica 1, de acuerdo al cronograma de actividades. 4. Metodología: Clase expositiva-participativa, tareas, hojas de trabajo en grupo para resolver dentro y fuera del aula, investigación bibliográfica, proyectos de aplicación, resolución de dudas, resolución de problemas propuestos, trabajos de investigación de temas específicos, talleres de uso de programas algebraicos computacionales para solución de problemas, pruebas verbales, pruebas objetivas y realimentación. realimentación. 5. Evaluación: El proceso de evaluación será continuo y sumativo acumulativo. Se verificará la participación del estudiante en las actividades propuestas. 6. Acreditación: Hojas de trabajo Tareas, investigaciones y exámenes cortos Proyectos de aplicaciones aplicaciones Examen Final TOTAL

08 puntos 05 puntos 04 puntos 03 puntos 20 puntos

3. Contenido y calendarización del laboratorio: En base a lo estudiando en el curso de matemática básica 1, de acuerdo al cronograma de actividades. 4. Metodología: Clase expositiva-participativa, tareas, hojas de trabajo en grupo para resolver dentro y fuera del aula, investigación bibliográfica, proyectos de aplicación, resolución de dudas, resolución de problemas propuestos, trabajos de investigación de temas específicos, talleres de uso de programas algebraicos computacionales para solución de problemas, pruebas verbales, pruebas objetivas y realimentación. realimentación. 5. Evaluación: El proceso de evaluación será continuo y sumativo acumulativo. Se verificará la participación del estudiante en las actividades propuestas. 6. Acreditación: Hojas de trabajo Tareas, investigaciones y exámenes cortos Proyectos de aplicaciones aplicaciones Examen Final TOTAL

08 puntos 05 puntos 04 puntos 03 puntos 20 puntos

Es obligatoria la asistencia puntual del estudiante a las actividades de acreditación, así como la identificación del estudiante, previa presentación de su carné universitario y entrega de fotocopia de carné universitario. El curso se aprueba con una nota mínima de 12.2 puntos, el estudiante debe tener 80% de asistencia, así como una zona mínima de 6.2 puntos.

7. Bibliografía: 7.1. Precálculo; James Stewart, Lothan Redlin, Saleem Watson. 5ta Edición, Editorial Thomson. 7.2. Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica, Earl W. Swokowski y Jeffery, 11 Ed. Editorial Thomson 7.3. Algebra y Trigonometría, Zill y Dejar. 2da. Edición actualizada, editorial McGraw Hill. |PÁGINA 8


UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE DIVISIÓN DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LABORATORIO MATEMÁTICA BÁSICA 1 “C”

Semana: Del 25 al 29 de Julio

PROGRAMA SEMANAL Descripción General: El laboratorio está dirigido para fortalecer, aprender, formar y desarrollar los conceptos básicos, las definiciones matemáticas y los procedimientos que permitan al estudiante adquirir la base para introducirse a los contenidos y a las aplicaciones. Objetivos del laboratorio: a. Comprender los conceptos y procedimientos básicos acerca expresiones algebraicas, productos y cocientes notables y descomposición descomposición factorial. b. Utilizar y aplicar los conceptos y procedimientos procedimientos adquiridos en la formulación de problemas. c. Formar, construir e investigar modelos matemático-funcionales matemático-funcionales del fenómeno y procesos reales o ideales elementales de la ingeniería relacionados con algebra, modelamiento con ecuaciones. Contenido semanal

Algebra Expresiones algebraicas

Actividad del Docente Actividad del alumno 1. Clase expositiva / Resolución 1. Solución de hojas de trabajo # de problemas / Aclaración 1 y 2. Y resolución de ejercicios de dudas. y problemas asignados en Clase y casa. (Tarea # 1 y # 2) 2. Asignación de ejercicios


Semana: Del 25 al 29 de Julio

PROGRAMA SEMANAL Descripción General: El laboratorio está dirigido para fortalecer, aprender, formar y desarrollar los conceptos básicos, las definiciones matemáticas y los procedimientos que permitan al estudiante adquirir la base para introducirse a los contenidos y a las aplicaciones. Objetivos del laboratorio: a. Comprender los conceptos y procedimientos básicos acerca expresiones algebraicas, productos y cocientes notables y descomposición descomposición factorial. b. Utilizar y aplicar los conceptos y procedimientos procedimientos adquiridos en la formulación de problemas. c. Formar, construir e investigar modelos matemático-funcionales matemático-funcionales del fenómeno y procesos reales o ideales elementales de la ingeniería relacionados con algebra, modelamiento con ecuaciones. Contenido semanal

Actividad del Docente Actividad del alumno 1. Clase expositiva / Resolución 1. Solución de hojas de trabajo # de problemas / Aclaración 1 y 2. Y resolución de ejercicios de dudas. y problemas asignados en Clase y casa. (Tarea # 1 y # 2) 2. Asignación de ejercicios (Hoja de trabajo # 1, 2; 2. Resolución de problemas tareas # 1 y 2.) asignados en clase.

Algebra Expresiones algebraicas Productos Notables Cocientes Notables

3. Revisión de hojas de trabajo # 1 y 2; tareas #1 y 2.

Factorización Caso I, II, III, IV

4. Control y verificación de asistencia; acreditación /asignación de calificación en cuadro y registro.

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE LAB. MATEMÁTICA BÁSICA 1 SECCIÓN “C” FECHA DE ENTREGA: 26/07/2011

HOJA DE TRABAJO # 1 PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

Productos Notables Efectuar:

2.

Efectuar :

3.

Resolver:

(a x

4.

Efectuar:

( x

(7 x 11) 2 (4 ax 1) 2 2b x 1 )(2b x

1

y

2)( x

4. Fortalecer su conocimiento con auto aprendizaje. 5. Asistencia regular al proceso enseñanza-aprendizaje. |PÁGINA 9


1.

3. Investigaciones Investigaciones (asignadas)

y

1

2)

a

x 1

)


HOJA DE TRABAJO # 1 PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

Productos Notables 1.

Efectuar:

2.

Efectuar :

3.

Resolver:

(a x

4.

Efectuar:

( x

y

5.

Desarrollar:

(a

6.

Efectuar:

(7 x 11) 2 (4 ax 1) 2 2b x 1 )(2b x

1

( n3

2)( x

y

1

a

x 1

)

2)

2)3

3)( n3

6)

Cocientes Notables 1.

Hallar por simple inspección:

2.

Dividir 8a 3

3.

4.

Desarrollar

Desarrollar:

1

36m2

49 n 2 x 4

6 m 7nx 2

entre 2a 1

x 4

y4

x

y

x 6

y6

x 2

y2


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TAREA # 1 PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

Productos Notables 1.

Resolver:

2.

Efectuar: (2m 9)(2m 9)

3.

Efectuar:

4.

Desarrollar:

5.

Efectuar: (a 1)( a 1)( a 2)( a 2)

(a x

b

( x 2

x 1 2

)

5 x 6)( x 2

5 x 6)

(2 x 3 y) 3

Cocientes Notables 1.


2.


3.

Dividir 125 343 x15 entre 5 7 x5

4.

5.

Desarrollar

Desarrollar:

a

5

x 2 1 x 1 2

(a

x)

9

(a

x) 3

243

a 3 18

b

3

b

a

a

18 3


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HOJA DE TRABAJO # 2 FACTORIZACIÓN (1RA PARTE)

1.

Factorar: 8m2 12mn

2.

Factorar: 12m2n 24m3n2 36m4n3 48m5n4

3.

Factorar: ( x

4.

Factorar:

5.

Factorar: 49m6 70am3n2 25a 2n4

6.

Factorar: 16 x

7.

Factorar: 256a12 289b4m10

8.

Factorar:

y)(n 1) 3( n 1)

2 x 2 y

6

2 xz 2

3

2x y

x 6

4a

49

121

y2 z 2

2

xy3

y 4

16

10


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TAREA # 2 FACTORIZACION (1RA PARTE)

1.

Descomponer en dos factores:

2.

Descomponer en dos factores: 25 x7 10 x5 15x3 5x2

3.

Factorar: a(n 1)

4.

Factorar: 2am 2an 2a m n 1

5.

Factorar: 9b2 30a2b 25a4

6.

Factorar:

4(1 a) 2

7.

Factorar:

36(m

8.

Factorar: 100m2 n4

93a 3 x 2 y 62 a 2 x3 y 2 124 a2 x

b(n 1) n 1

4(1 a)( b 1)

n) 2 121( m

( b 1) 2

n) 2

169 y 6


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Semana: Del 01 al 05 de Agosto

PROGRAMA SEMANAL Descripción General: El laboratorio está dirigido para fortalecer, aprender, formar y desarrollar los conceptos básicos, las definiciones matemáticas y los procedimientos que permitan al estudiante adquirir la base para introducirse a los contenidos de la geometría aprendiendo las aplicaciones de la clasificación, medición y operaciones de ángulos. Objetivos del laboratorio: a. Comprender los conceptos y procedimientos básicos acerca expresiones algebraicas, productos y cocientes notables y descomposición factorial; identificar los diferentes sistemas para la medición de ángulos. b. Utilizar y aplicar los conceptos y procedimientos adquiridos en la formulación de problemas de geometría. c. Formar, construir e investigar modelos matemático-funcionales del fenómeno y procesos reales o ideales elementales de la ingeniería relacionados con algebra y geometría. Contenido semanal

Actividad del Docente

1. Clase expositiva y resolución de problemas. Aclaración de Algebra Factorización dudas. Caso V, VI, VII, VIII, VI, X 2. Asignación de ejercicios (Hoja de trabajo # 3, 4; tareas # 3 y 4.) Geometría Entes geométricos fundamentales 3. Revisión de hojas de trabajo Ángulos # 3 y 4; tareas #3 y 4. Tipos de ángulos 4. Control y verificación de Ángulos suplementarios, asistencia; acreditación complementarios /asignación de calificación en cuadro y registro.


HOJA DE TRABAJO # 3 FACTORIZACIÓN (2DA PARTE)

Factorar:

2.

Factorar: x 2

3.

Factorar:

5 x 2 13x 6

4.

Factorar:

a3

a4

a2

1

7 x 10

3a 2

1. Solución de hojas de trabajo # 3 y 4. 2. Resolución de ejercicios y problemas asignados en Clase y casa. (Tarea # 3 y # 4) 3. Investigaciones (asignadas) 4. Resolución de problemas asignados en clase. 5. Asistencia regular al proceso enseñanza-aprendizaje. 6. Fortalecer su conocimiento con auto aprendizaje.

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1.

Actividad del alumno

3a 1


HOJA DE TRABAJO # 3 FACTORIZACIÓN (2DA PARTE)

1.

Factorar:

2.

Factorar: x 2

3.

Factorar:

5 x 2 13x 6

4.

Factorar:

a3

5.

Factorar:

1 a3

6.

Factorar:

a

7.

Factorar:

c2

8.

Factorar:

a

a4

5

3

a2

1

7 x 10

3a 2

3a 1

1

5c 24

1


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TAREA # 3 FACTORIZACIÓN

En grupos de 5 integrantes realizar los ejercicios de la miscelánea 106 del álgebra de Baldor sobre los 10 casos de factorización de 5 en 5, CADA INTEGRANTE REALIZARÁ LOS EJERCICIOS QUE LE CORRESPONDEN de la siguiente manera:

INTEGRANTE 1 2 3 4 5

EJERCICIOS 1, 6, 11, 16, 21….131 2, 7, 12, 17, 22….132 3, 8, 13, 18, 23….133 4, 9, 14, 19, 24…134 5, 10, 15, 20, 25…130


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CARNÉ

NOMBRE

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE LAB. MATEMÁTI CA BÁSICA 1 SECCIÓN “C” FECHA DE ENTREGA: 04/08/2011

HOJA DE TRABAJO # 4 Obtener los ángulos complementario, suplementario y coterminales positivos y negativos de α según la medida de amplitud de los ángulos tomados desde los diferentes niveles del módulo G además indicar el tipo de ángulo: NIVEL DISTANCIA

ÁNGULO EN DEGRADIANES

ÁNGULO EN RADIANES

COMPLEMENTARIO

SUPLEMENTARIO

COTERMINAL POSITIVO

COTERMINAL NEGATIVO

NIVEL 3 – 2 m

R

NIVEL 3 – 4 m

P

G U O :

NIVEL 3 – 6 m

“

NIVEL 2 – 2 m

”

NIVEL 2 – 4 m NIVEL 2 – 6 m NIVEL 1 – 2 m NIVEL 1 – 4m NIVEL 1 – 6 m

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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE LAB. MATEMÁTICA BÁSICA 1 SECCIÓN “C” FECHA DE ENTREGA: 09 08 2011

TAREA # 4 Obtener los ángulos complementario, suplementario y coterminales de α que tiene una amplitud de además indicar el nombre de cada ángulo en base al documento “ángulos” . DEJAR CONSTANCIA DE SU PROCEDIMIENTO PARA QUE SU RESPUESTA TENGA VALOR.

ÁNGULO 65° 2

3

56° 20´ 5´´ 3

5

COMPLEMENTARIO

SUPLEMENTARIO

COTERMINAL POSITIVO

COTERMINAL NEGATIVO

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE LAB. MATEMÁTICA BÁSICA 1 SECCIÓN “C” FECHA DE ENTREGA: 09 08 2011

TAREA # 4 Obtener los ángulos complementario, suplementario y coterminales de α que tiene una amplitud de además indicar el nombre de cada ángulo en base al documento “ángulos” . DEJAR CONSTANCIA DE SU PROCEDIMIENTO PARA QUE SU RESPUESTA TENGA VALOR.

ÁNGULO

COMPLEMENTARIO

SUPLEMENTARIO

COTERMINAL POSITIVO

COTERMINAL NEGATIVO

65° 2

3

56° 20´ 5´´ 3

5

-244°

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PROGRAMA SEMANAL Descripción General: El laboratorio está dirigido para fortalecer, aprender, formar y desarrollar los conceptos básicos, las definiciones matemáticas y los procedimientos que permitan al estudiante adquirir la base para introducirse a los contenidos de la geometría aprendiendo la aplicaciones de los entes fundamentales, cuadriláteros, triángulos, circunferencia y polígonos. Objetivos del laboratorio: a. Comprender los conceptos y procedimientos básicos acerca de áreas y volúmenes. b. Utilizar y aplicar los conceptos y procedimientos adquiridos en la formulación de problemas de geometría. c. Formar, construir e investigar modelos matemático-funcionales del fenómeno y procesos reales o ideales elementales de la ingeniería relacionados con la geometría. Contenido semanal Geometría Cuadriláteros Conceptos básicos Cálculo de áreas y perímetro Triángulos

1. 2. 3. 4.

Actividad del Docente Actividad del alumno Resolución de problemas. Aclaración de dudas. 1. Solución de hojas de trabajo # Clase expositiva utilizando 5 y 6. Sketchpad. 2. Resolución de ejercicios y Asignación de ejercicios problemas asignados en Clase



PROGRAMA SEMANAL Descripción General: El laboratorio está dirigido para fortalecer, aprender, formar y desarrollar los conceptos básicos, las definiciones matemáticas y los procedimientos que permitan al estudiante adquirir la base para introducirse a los contenidos de la geometría aprendiendo la aplicaciones de los entes fundamentales, cuadriláteros, triángulos, circunferencia y polígonos. Objetivos del laboratorio: a. Comprender los conceptos y procedimientos básicos acerca de áreas y volúmenes. b. Utilizar y aplicar los conceptos y procedimientos adquiridos en la formulación de problemas de geometría. c. Formar, construir e investigar modelos matemático-funcionales del fenómeno y procesos reales o ideales elementales de la ingeniería relacionados con la geometría. Contenido semanal Geometría Cuadriláteros Conceptos básicos Cálculo de áreas y perímetro Triángulos Tipos de triángulos según sus lados y ángulos. Calculo de áreas y perímetro. Circunferencia Cálculo de áreas y perímetro. Polígonos Cálculo de áreas y perímetro. Áreas superficiales y volúmenes de: Prisma, esfera, cilindro, cono, otros.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Actividad del Docente Resolución de problemas. Aclaración de dudas. Clase expositiva utilizando Sketchpad. Asignación de ejercicios (Hoja de trabajo # 5 y 6; tarea # 5.) Revisión de hojas de trabajo # 5 y 6; tarea # 5. Control y verificación de asistencia; acreditación/asignación de calificación en cuadro y registro.



HOJA DE TRABAJO # 5 1.

Hallar el perímetro y el área del triángulo equilátero

2.

Hallar el perímetro y el área del pentágono regular :

Actividad del alumno 1. Solución de hojas de trabajo # 5 y 6. 2. Resolución de ejercicios y problemas asignados en Clase y casa. (Tarea # 5) 3. Resolución de problemas asignados en clase. 4. Investigaciones (asignadas) 5. Fortalecer su conocimiento con auto aprendizaje. 6. Asistencia regular al proceso enseñanza-aprendizaje. |PÁGINA 19


HOJA DE TRABAJO # 5 1.

Hallar el perímetro y el área del triángulo equilátero

2.

Hallar el perímetro y el área del pentágono regular :

3.

Calcular el número de árboles que se pueden plantar en un campo como el de la figura, de 32 m de largo y 30 m de ancho, si cada árbol necesita para desarrollarse 4 m 2.

4.

En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm de arista. ¿A qué altura llegará el agua cuando se derritan?

5.

Calcular el volumen de los siguientes cuerpos


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TAREA # 5

1. La figura No. 1 representa un marco de un cuadro cuadrado que se pagó a

B

A

Q.12.8 el cm2 siendo CD=20 cms y AB=30 cms. ¿Cuánto costó el marco?

C

2. Hallar el área de un hexágono inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio. 3. Para

diseño de un parque del condominio “El Mirador” se tiene el siguiente diseño. En el cual consta de área verde y 2 fuentes. Calcular: a) el

área verde en términos de “a”. b) el número de 2

m a=25 m 4. Como parte de los proyectos de un municipio de su ciudad le encargan a usted como futuro ingeniero que diseñe el nuevo parque en la ciudad, el diseño básico consta 90mts de lado. En el parque hay cuatro canteros circulares de 6 mts. de radio; dos canteros iguales en forma de trapecio cuyas bases son 20 y 12 mts. y su altura 10 mts., y en el centro un estanque en forma de rombo cuyas diagonales miden 70 y 15 mts. respectivamente. El resto es paseo cementado. 2

¿Cuántos mts de paseo cementado hay? 5. Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular de aristas básicas 24 y 14 cm, y de arista lateral 13 cm.

6. Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide hexagonal de 16 cm de arista básica y 28 cm de arista lateral. 7. La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica, de diámetro 50 m.

Si restaurarla tiene un coste de 300 € el m 2, ¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración?


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D


Hoja de trabajo # 6 1. Teniendo como base una mesa de concreto de la parte frontal del módulo de ingeniería determinar: a. El perímetro por medición y utilizando la fórmula P 2 r , es igual el resultado, si no a que se debe la variación? b. Si se desean cambiarles el color, cual es el número de m2 a cubrir. c. Calcular el volumen total de la mesa. d. Determinar cuántos kg se utilizaron de cada elemento si se utilizo una mezcla básica (1:2:3) 2. De la tapa de la entrada de la cisterna determinar: a. La cantidad de lámina que se utilizó b. Cuál sería su volumen si fuera totalmente de cemento c. Si estaría hecha de lámina y llantilla cual sería la cantidad de los mismos a utilizar. 3. Medir 10 mts lineales en el suelo, luego calcular el perímetro del envase de doble litro y rodar el mismo hasta que se cubra la distancia contando el número de vueltas que este realice.

10 m

4. Calcular en número de m2 de piso que se utilizó en la construcción de la plaza de ingeniería. 5. Sabiendo el volumen del recipiente de doble litro determinar: a. La cantidad de vasos necesarios para poder llenarlo b. El numero de jeringas necesarias para llenarlo c. Comprobar todo lo anterior de manera práctica.


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6. A usted como ingeniero lo contrata una heladería con el fin de calcular el número de helados que se pueden hacer con una cubeta (5 galones). En el mes de agosto se decidió lanzar al mercado el “Choco Wafle triple”, si cada helado lleva 3 bolas de helado del mismo sabor y cada bola de helado tiene un diámetro de 2 pulgadas, calcular: a. El numero de helados que se pueden vender. b. Si el precio de cada helado es de Q. 12.50. ¿Qué ingreso se obtiene, si se vende todos los helados?


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Semana:

Del 15 al 19 de Agosto

PROGRAMA SEMANAL Descripción General: El laboratorio está dirigido para fortalecer, aprender, formar y desarrollar los conceptos básicos, las definiciones matemáticas y los procedimientos que permitan al estudiante adquirir la base para introducirse a los contenidos y las aplicaciones de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Objetivos del laboratorio: a. Comprender los conceptos y procedimientos básicos acerca de ecuaciones de primer y segundo grado así como sistemas. b. Utilizar y aplicar los conceptos y procedimientos adquiridos en la formulación de problemas por ecuaciones. c. Formar, construir e investigar modelos matemático-funcionales del fenómeno y procesos reales o ideales elementales de la ingeniería relacionados modelamiento con ecuaciones. Contenido semanal


1. Clase expositiva y resolución de problemas por medio de THE MANAGEMENT SCIENTIST. 2. Aclaración de dudas. Sistemas de ecuaciones lineales con dos 3. Asignación de ejercicios (Hoja y tres variables. de trabajo # 7 y 8; tarea # 6.) 4. Revisión de hojas de trabajo # 7 y 8; tarea # 6. Modelado mediante ecuaciones de 5. Control y verificación de primer, segundo grado y sistemas de asistencia; ecuaciones lineales. acreditación/asignación de calificación en cuadro y registro.

Fundamentos Ecuaciones de primer y segundo grado

Actividad del alumno 1. Solución de hojas de trabajo # 7 y 8. 2. Resolución de ejercicios y problemas asignados en Clase y casa. (Tarea # 6) 3. Resolución de problemas asignados en clase. 4. Investigación: Modelado matemático. 5. Fortalecer su conocimiento con auto aprendizaje. 6. Asistencia regular al proceso enseñanza-aprendizaje.


UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE LAB. MATEMÁTICA BÁSICA 1 SECCIÓN “C” FECHA DE ENTREGA : 16/08/2011

HOJA DE TRABAJO # 7 1. Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado: a) 4 x 7 9x 13 b)

c)

4 x 1

2 x 1

2 x 8

35 x

2

1

6x

2. Determina las soluciones reales de las ecuaciones de segundo grado

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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE LAB. MATEMÁTICA BÁSICA 1 SECCIÓN “C” FECHA DE ENTREGA : 16/08/2011

HOJA DE TRABAJO # 7 1. Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado: a) 4 x 7 9x 13 b)

c)

4

2

x 1

35

x 1

2 x 8

x

2

1

6x

2. Determina las soluciones reales de las ecuaciones de segundo grado a)

1

2 x ( x 3)( x

2 4)

x 3

4 x

4

b) 3 x 2 6 x 5 0

3. Utilice el discriminante para determinar el número de soluciones reales de la ecuación x2 6 x 1 0 . No resuelva la ecuación.

4. Un cartel tiene impresa un área rectangular de 100 por 140 centímetros, enmarcada con una banda de ancho constante. El perímetro del cartel de 1 ½ veces el del área impresa. ¿Cuál es el ancho de la banda, y cuáles son las dimensiones del cartel?


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HOJA DE TRABAJO # 8 1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de igualación, sustitución y reducción.

A.

B.

x

y 11

x

y

2 x x 2 y

3

y

6 2

2. Cierto número de personas alquiló un autobús para una excursión. Si fueron 10 personas más, cada una habría pagado Q. 5,000 menos, y si fueran 6 personas menos, cada una habría pagado Q. 5,000 más. ¿Cuántas personas iban en la excursión y cuanto pagó cada una?

3. La suma de tres números es 160. Un curto de la suma del mayor y el mediano equivale al menor disminuido en 20, y si a ½ de la diferencia entre el mayor y el menor se le suma el número del medio, el resultado es 57. Hallar los números.


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Tarea # 6 1. La esfera, el cilindro y el cono que se muestran, tiene el mismo radio r y el volumen V. Exprese las alturas del cilindro y del cono en función de r. (Utilice las fórmulas de geometría.) r r

H2 h r

2. Un fabricante de refrescos produce uno de naranja que es anunciado como de “sabor natural” aunque sólo contiene 5% de jugo. Una nueva reglamentación gubernamental estipula que para que una bebida se anuncie como natural deberá contener por lo menos 10% de jugo de fruta. ¿Cuánto jugo de naranja debe agregar el fabricante a 900 galones de refresco de naranja, para cumplir con la nueva reglamentación? 3. Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba a una rapidez inicial de v 0 pies/segundo alcanzará una altura de h pies después de t segundos. Aquí h y t están relacionados mediante la fórmula h

16t 2

v0 t

(Esta fórmula se obtiene en los cursos elementales de física, y depende del hecho de que carca de la superficie de la tierra la aceleración debida a la gravedad es constante. No se considera el efecto de la resistencia del aire. ) Suponga que una bala se dispara verticalmente hacia arriba, con una rapidez inicial de 800 pies/segundo. a) ¿En qué tiempo estará de regreso en la tierra? b) ¿Cuánto tarda en llegar a una altura de 6,400 pies? c) ¿Qué tiempo le toma alcanzar una altura de 2 millas? ¿A qué altura máxima llega la bala? PROPIEDAD INTELECTUAL: BR. EDGAR ALBERTO BOLAÑOS RIOS

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4. Se debe fabricar una caja con base cuadrada y sin tapa a partir de un trozo cuadrado de cartón, contando cuadrados de 4 pulgadas en cada una de las esquinas y doblando los costados como se ve en la figura. La caja debe tener 100 pulgadas cúbicas. ¿Cuál es el tamaño de la pieza de cartón necesaria? 4 in


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PROGRAMA SEMANAL Descripción General: El laboratorio está dirigido para fortalecer, aprender, formar y desarrollar los conceptos básicos, las definiciones matemáticas y los procedimientos que permitan al estudiante adquirir la base para introducirse a los contenidos de cálculo aplicando los conceptos de desigualdades, plano coordenado cartesiano el concepto de recta y de modelos de variación . Objetivos del laboratorio: a. Comprender los conceptos y procedimientos básicos acerca de las desigualdades, plano cartesiano, recta y modelos de variación. b. Utilizar, aplicar los conceptos y procedimientos adquiridos en la formulación de problemas de modelos de variación. c. Formar, construir e investigar modelos matemático-funcionales del fenómeno y procesos reales o ideales elementales de la ingeniería relacionados con desigualdades y conceptos de recta. Contenido semanal Fundamentos Desigualdades .

Plano coordenado Cartesiano Rectas Modelos de variación


Actividad del alumno

1. Resolución de problemas / Aclaración de dudas / Clase expositiva 2. Asignación de ejercicios (Hoja de trabajo # 9 y 10; tarea # 7.) 3. Revisión de hojas de trabajo # 9 y 10; tarea # 7. 4. Control y verificación de asistencia; acreditación/asignación de calificación en registro.

1. Solución de hojas de trabajo # 9 y 10. 2. Resolución de ejercicios y problemas asignados en Clase y casa. (Tarea # 7) 3. Resolución de problemas asignados en clase. 4. Fortalecer su conocimiento con auto aprendizaje. 5. Asistencia regular al proceso enseñanza-aprendizaje. |PÁGINA 29



HOJA DE TRABAJO # 9 1. Resuelva las desigualdades siguientes y exprese las soluciones en términos de intervalos. a. 3 x 5 10 b.

3

c.

( x

1 2

x 4

2) 2

0

x( x 2)


HOJA DE TRABAJO # 9 1. Resuelva las desigualdades siguientes y exprese las soluciones en términos de intervalos. a. 3 x 5 10 b.

3

c.

( x

1 2

x 4

2) 2

0

x( x 2)

d. x 5 3

2. De acuerdo con la Ley de Hooke, la fuerza F (en libras) que se requiere para esturar un resorte x en pulgadas más de su longitud natura está dado por F=4.5x. Si 10 F 18 , ¿cuál es el intervalo correspondiente de x?

3. Use la relación

C

5 9

( F 32)

para determinar en la escala Fahrenheit

que corresponde a 20 C 30 .


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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE

LAB. MATEMÁTICA BÁSICA 1 SECCIÓN “C” FECHA DE ENTREGA: 30/08/2011

TAREA # 7

1. Resuelva las desigualdades siguientes y exprese las soluciones en términos de intervalos. a. 5 x 6 11 b. (3 x 1)(2 x 4) (6 x 2)( x 5) c. d.

3

7 x

1

2 ( x 1)

( x 1)( x

2

2)

0

2. La relación entre las escalas de temperatura Fahrenheit y Celsius está dada por

C

5 9

( F 32) .

Si

60

F 80 ,

exprese el intervalo

correspondiente de C en términos de una desigualdad. 3. Se estima que el costo anual de conducir un nuevo Destini está dado por la fórmula C 0.35m 2,200 donde m representa las millas conducidas por año y C el costo en dólares. Jane ha comprado uno de estos autos y decide gastar anualmente entre Q.6, 400 y Q.7, 100 ¿Cuál es el rango en millas que podrá recorrer? 4. Mediante el cálculo se puede demostrar que si una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial de 16 pies/segundo desde la parte superior de un edificio de 128 pies de alto, entonces su altura h sobre el piso después de t segundos será de h 128 16t 16t 2 ¿Durante qué intervalo de tiempo estará la pelota por lo menos 32 pies por arriba del nivel del suelo?

5. La fuerza gravitacional F es ejercida por la tierra sobre un cuerpo con una masa de 100 kg está dada por la ecuación F

4,000,000 d 2

donde d es la distancia (en km)

desde el cuerpo al centro de la tierra, y la fuerza F se mide en newton (N) ¿Para qué intervalo de distancia la fuerza gravitacional estará entre 0.0004 N y 0.01 N?


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HOJA DE TRABAJO # 10 1. Determina la pendiente de la recta que pasa por P y Q. e. P(2, 4), Q(4,12) f. P( 1, 3), Q(1, 6) g. P(2, 2), Q(0, 0)

2. Grafique las rectas que pasan por (0,0) y tienen pendiente 1, 0, ½, 2 y -1

3. Obtenga la ecuación de la recta que pasa por (1,-6); paralela a la recta x+2y=6

4. Obtenga la ecuación que pasa (-2,-11); perpendicular a la recta que pasa por (1,1) y (5,-1).

5. Demuestre que A (1,1), B (3,3) y C (-9,8) son los vértices de un triángulo rectángulo.


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Semana: Del 29 de Agosto al 2 de Septiembre

PROGRAMA SEMANAL Descripción General: El laboratorio está dirigido para fortalecer, aprender, formar y desarrollar los conceptos básicos, las definiciones matemáticas y los procedimientos que permitan al estudiante adquirir la base para introducirse a los contenidos de cálculo aplicando los conceptos de funciones, tanto gráficas, transformación y tipos de funciones. Objetivos del laboratorio: a. Comprender los conceptos y procedimientos básicos de funciones algebraicas b. Utilizar, aplicar los conceptos y procedimientos adquiridos en la formulación de problemas de modelos c. Formar, construir e investigar modelos matemático-funcionales del fenómeno y procesos reales o ideales elementales de la ingeniería relacionados con funciones. Contenido semanal Funciones Definición de función

1. 2. 3.

Gráficas de funciones

4.

Funciones Crecientes y decrecientes 5. Transformación de funciones 6. Funciones cuadráticas

Actividad del Docente Resolución de problemas. Aclaración de dudas. Clase expositiva por medio se Sketchpad. Asignación de ejercicios (Hoja de trabajo #11 y 12; tarea # 8.) Revisión de hojas de trabajo # 11 y 12; tarea # 8. Control y verificación de asistencia; acreditación/asignación de calificación en registro.


Actividad del alumno 1. Fortalecer su conocimiento con auto aprendizaje. 2. Solución de hojas de trabajo # 11 y 12. 3. Resolución de ejercicios y problemas asignados en Clase y casa. (Tarea # 8) 4. Asistencia regular al proceso enseñanza-aprendizaje. 5. Resolución de problemas asignados en clase. Investigación (asignadas).

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HOJA DE TRABAJO # 11 1. Exprese una ecuación que exprese el enunciado. a) R varía directamente con t . b) A es proporcional al cuadrado de t e inversamente proporcional al cubo de x . c) P varía inversamente con T . 2. Exprese el enunciado como una fórmula. Utilice la información dada para determinar la constante de proporcionalidad. a) y es directamente proporcional con x . Si x 4, entonces y 72 . b) M es inversamente proporcional al cuadrado de r . Si r 6, entonces W 10



HOJA DE TRABAJO # 11 1. Exprese una ecuación que exprese el enunciado. a) R varía directamente con t . b) A es proporcional al cuadrado de t e inversamente proporcional al cubo de x . c) P varía inversamente con T . 2. Exprese el enunciado como una fórmula. Utilice la información dada para determinar la constante de proporcionalidad. a) y es directamente proporcional con x . Si x 4, entonces y 72 . b) M es inversamente proporcional al cuadrado de r . Si r 6, entonces W 10. 3. La resistencia eléctrica de un alambre varía directamente con la longitud del alambre e inversamente con el cuadrado de su diámetro. Si un alambre de 4323 pies de largo y 4 milímetros de diámetro tiene una resistencia de 1.24 ohm, encuentre la longitud de un alambre del mismo material cuya resistencia es de 1.44 ohm y cuyo diámetro es 3 milímetros. 4. La tercera ley de Kepler sobre el movimiento planetario dice que el cuadrado del periodo T de un planeta (tiempo que toma el planeta en efectuar una revolución completa alrededor del Sol), es directamente proporcional al cubo de la distancia promedio d al Sol. a) Exprese la tercera ley de Kepler como una ecuación. b) Determine la constante de proporcionalidad utilizando el hecho que para nuestro planeta el periodo es de aproximadamente 365 días y la distancia promedio es de 93 millones de millas. c) Neptuno está a aproximadamente 2.79 109 millas del Sol. Determine su periodo.


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TAREA # 8

1. Determine las ecuaciones de las rectas l1 , l2 , l3 y l4 que se muestra en la figura. 2. Un fabricante de pequeños aparatos domésticos encuentra que si produce x hornos con tostador en un mes, su costo de producción está dado por la ecuación y 6 x 300 (y en dólares). a. Trace la gráfica de esta ecuación b. ¿Que representa la pendiente y la intersección en y de esta gráfica? 3. El nivel del mar, la presión del agua es la misma que la del aire por encima del agua, 15 lb/pulg 2. Por debajo de la superficie, la presión aumenta en 4.34 lb/pulg2 por cada 10 pies de profundidad. a. Obtenga una ecuación para la relación entre presión y profundidad por debajo de la superficie del océano. b. ¿a qué profundidad es la presión igual a 100 lb/pulg 2? 4. La presión P de una muestra de gas es directamente proporcional a la temperatura T e inversamente proporcional a su volumen V . a. Escriba una ecuación que exprese lo ante3rio si 100 L de gas ejercen una presión de 33.2 kPa a una temperatura de 400K (temperatura absoluta medida en la escala Kelvin). b. Si la temperatura se incrementa a 500 K y se reduce el volumen a 80 L, ¿Cuál es la presión del gas? 5. En el estudio de cuerpos elásticos, la tensión es directamente proporcional a la distensión. Para un alambre de longitud L y área transversal A que se estira en una cantidad e por medio de una fuerza aplicada F , la tensión se define como F A y la distensión está dada por e L . Halle una fórmula que exprese e en términos de las otras variables. PROPIEDAD INTELECTUAL: BR. EDGAR ALBERTO BOLAÑOS RIOS

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HOJA DE TRABAJO # 12 1. Si

, obtenga

,

2. Trazar la gráfica de f si y encontrar el dominio y el contra dominio de f . Determinar los intervalos en los que f es creciente o decreciente.

3. Suponga que se da la gráfica de f. Describa cómo se puede obtener la gráfica de cada una de las siguientes funciones a partir de la de f. a. b. c. d. e. f. g. h.

4. En los siguientes ejercicios determinar si f es par, impar o ninguna de éstas. a. b. c.

5. Grafique con Sketchpad las funciones en una misma pantalla utilizando el rectángulo de visualización [-4,4]. ¿Cómo está relacionada cada gráfica con la del inciso a? a. b. c. d.


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Semana: Del 5 al 9 de Septiembre

PROGRAMA SEMANAL Descripción General: El laboratorio está dirigido para fortalecer, aprender, formar y desarrollar los conceptos básicos, las definiciones matemáticas y los procedimientos que permitan al estudiante adquirir la base para introducirse a los contenidos de cálculo aplicando los conceptos de modelado, combinación y gráfica de funciones. Objetivos del laboratorio: a. Comprender los conceptos y procedimientos básicos del modelado con funciones. b. Utilizar, aplicar los conceptos y procedimientos adquiridos en la formulación de problemas de modelos c. Formar, construir e investigar modelos matemático-funcionales del fenómeno y procesos reales o ideales elementales de la ingeniería relacionados con funciones. Contenido semanal 1.

Funciones Modelado con funciones

2. 3. 4.

Combinación de funciones Funciones uno a uno y sus inversos

5.

Funciones polinomiales y racionales Funciones polinomiales y sus gráficas

6.

Actividad del Docente Clase expositiva utilizando Sketchpad. Resolución de problemas. Aclaración de dudas. Asignación de ejercicios (Hoja de trabajo # 13, 14; tarea # 9.) Revisión de hojas de trabajo # 13 y 14; tarea #9. Control y verificación de asistencia; acreditación /asignación de calificación en cuadro y registro.


1. 2. 3. 4. 5. 6.

Actividad del alumno Asistencia regular al proceso enseñanza-aprendizaje. Solución de hojas de trabajo # 13 y 14. Resolución de ejercicios y problemas asignados en Clase y casa. (Tarea # 9) Resolución de problemas asignados en clase. Investigaciones (asignadas) Fortalecer su conocimiento con auto aprendizaje.

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HOJA DE TRABAJO # 13 1. Trace la gráfica de la parábola dada y determine las coordenadas de su vértice y de sus intersecciones. a. y 2 x 2 6 x 8 b. y 4 x2

2. Si se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad de 40 pies/s, su altura (en pies) después de t segundos está dada por y 40t 16t 2 ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota?


HOJA DE TRABAJO # 13 1. Trace la gráfica de la parábola dada y determine las coordenadas de su vértice y de sus intersecciones. a. y 2 x 2 6 x 8 b. y 4 x2

2. Si se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad de 40 pies/s, su altura (en pies) después de t segundos está dada por y 40t 16t 2 ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota?

3. El número de manzanas que produce cada árbol en una huerta depende de la densidad de árboles plantados. Si se plantan n árboles de un acre de tierra, entonces cada árbol produce 900- 9n manzanas. Así que de número de manzanas producidas por acre es A(n) n(900 9n) . ¿Cuántos árboles se deben plantar por acre a fin de obtener la producción máxima de manzanas?

4. Se tiene previsto que una caja abierta con una base cuadrada tenga un volumen de 12 pies3. a. Halle el volumen que modela el área superficial de la caja b. Encuentre las dimensiones que reducen al mínimo la cantidad de material empleado.

Bono: Un triángulo rectángulo tiene un cateto dos veces más grande que el otro. Encuentra una función que modele su perímetro P en términos de la longitud x del cateto más corto.


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TAREA # 9 1. Encuentre cada uno de los valores en la función a, b y h son números reales.

donde

a) b) c) d) e) f)

2. Trace la gráfica de la función partiendo de la correspondiente a una función estándar y aplicando transformaciones.

3. Se da la gráfica de f . Traca la de cada una de las funciones siguientes: a. b. c. d. e. f. 4. a. Obtenga la gráfica de trazando los puntos. b. Utilice la gráfica de f para trazar la de cada unas de las siguientes funciones I. II. 5. Para las siguientes funciones cuadráticas. Exprese la función de la forma estándar, trace su gráfica, y determine su valor máximo o mínimo. a. f ( x) 2 x x 2 b. f ( x) 2x 2 8 x 11 c. f ( x) x 2 8 x 8 d.

f ( x)

1 2

x

2 x 62


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6. La efectividad de un comercial en televisión depende de cuántas veces lo ve un espectador. Después de algunos experimentos, una agencia de publicidad determinó que si la efectividad E se mide en una escala del 0 al 10, entonces

E (n)

2 3

1

n

90

n

2

donde

n

es el número

de veces que un espectador ve un cierto comercia. Para que éste tenga una efectividad máxima. ¿Cuántas veces deberá verlo un espectador?

7. Un rectángulo está inscrito en un semicírculo de radio 10, como se ve en la figura. Encuentre una función que modele el área A del rectángulo en términos de su altura h. 8. Determine dos números positivos cuya suma es 100 y la suma de sus cuadrados es mínima. 9. Un granjero tiene 2,400 pies de cerca y desea cercar un campo rectangular que está a lo largo de un río recto. No necesita cerca a lo largo del río. ¿Cuáles son las dimensiones del campo que tiene el área más grande? (Ver figura 1)

10.Una ventana Normada tiene la forma de un rectángulo rematado con un semicírculo, como se ve en la figura. Se construirá una ventana normada con un perímetro de 30 pies. a. Encuentre una función que modele el área de la ventana b. Determine las dimensiones que admite la mayor cantidad de luz.

Bono: Encontrar el dominio y el contra dominio de f . Determinar los intervalos en los que f es creciente o decreciente y trazar la gráfica de f si: 2 x 3 f ( x )

x2

1 PROPIEDAD INTELECTUAL: BR. EDGAR ALBERTO BOLAÑOS RIOS

si x

0

x

2

si x

2

si 0

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HOJA DE TRABAJO # 14 1. Obtenga las funciones a. b. c.

y

2. Determine

,

,

,

, , y sus dominios

y y

,

,

y

y su dominio .

3. Determine si la función es uno a uno a. b.

c. 4. Obtenga la función inversa de f

5. Use la propiedad de las funciones inversas para demostrar que f y g son inversas entre sí.

6. Trace las gráficas de las funciones polinomiales (a mano y con Sketchpad): 1. 2.


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PROGRAMA SEMANAL Descripción General: El laboratorio está dirigido para fortalecer, aprender, formar y desarrollar los conceptos básicos, las definiciones matemáticas y los procedimientos que permitan al estudiante adquirir la base para introducirse a los contenidos de cálculo aplicando los conceptos funciones polinomiales y racionales. Objetivos del laboratorio: a. Comprender los conceptos y procedimientos básicos de funciones polinomiales y racionales. b. Utilizar, aplicar los conceptos y procedimientos adquiridos mediante los métodos de obtención de raíces. c. Formar, construir e investigar modelos matemático-funcionales del fenómeno y procesos reales o ideales elementales de la ingeniería relacionados con funciones. Contenido semanal

Actividad del Docente 1. 2. 3. 4.

Resolución de problemas. Aclaración de dudas. Clase expositiva Asignación de ejercicios (Hoja de trabajo # 15 y 16) 5. Revisión de hojas de trabajo # 15 y 16. 6. Control y verificación de asistencia; acreditación/asignación de calificación en cuadro y registro.

Funciones polinomiales y racionales División de polinomios Ceros reales de polinomios

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Actividad del alumno Solución de hojas de trabajo # 15 y 16. Resolución de ejercicios y problemas asignados en Clase y casa. Resolución de problemas asignados en clase. Investigación: Números complejos. Fortalecer su conocimiento con auto aprendizaje. Asistencia regular al proceso enseñanza-aprendizaje.

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HOJA DE TRABAJO # 15 1. Se dan dos polinomios P y D. Use la división sintética y la división larga para dividir P(x) entre D(x), y exprese P en la forma a) b)

, ,

2. Encontrar el cociente y el residuo usando la división larga y la división sintética. a) b)



HOJA DE TRABAJO # 15 1. Se dan dos polinomios P y D. Use la división sintética y la división larga para dividir P(x) entre D(x), y exprese P en la forma a) b)

, ,

2. Encontrar el cociente y el residuo usando la división larga y la división sintética. a) b) 3. Use la división sintética y el teorema del residuo para valuar P(c). a) , b) , 4. Encuentre un polinomio de grado 4 que tenga coeficientes enteros y ceros 1, -1,2 y ½. 5. Encuentre un polinomio de grado 3 cuya gráfica se muestra 6. Liste los posibles ceros racionales dados por el teorema de ceros racionales (No compruebe cuales sen realidad son ceros). a) b) 7. Encuentre los ceros racionales del polinomio a) b)

Bono: ¿División imposible? Suponga que se le pidió resolver los dos problemas siguientes en una prueba: a) Encuentre el residuo cuando se divide entre . b) ¿x-1 es un factor de ? Recomendación: Utilice los teoremas vistos en clase. PROPIEDAD INTELECTUAL: BR. EDGAR ALBERTO BOLAÑOS RIOS

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HOJA DE TRABAJO # 16 1. Hallar toda la información posible acerca de la naturaleza de las raíces de las ecuaciones dadas, por medio de la regla de Descartes. a. 2 x 4 x 2 2 x 3 0 2. Hallar las raíces racionales de la ecuación 3 x3 11x 2 2 x 4 0 3. Usando el método de interpolación lineal y método de Horner hallar la raíz indicada de la ecuación dada la correcta con una cifra decimal. x3 6 x 2 13x 13 0 3 x 4 4. Llevar a cabo la operación entre complejos escribir el resultado de la forma a bi a.

(3 2i) ( 5

b.

(26 39i)

c.

1 3

i)

(2 3i)

36 2

9

5. Encuentre los ceros de P, reales y complejos. Factorizar por completo el polinomio. a. P( x) x 4 4 x 2

6. Encuentre un polinomio con coeficientes enteros que satisfaga las condiciones dadas. a. Q tiene grado 3 y ceros 1 i y 3


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PROGRAMA SEMANAL Descripción General: El laboratorio está dirigido para fortalecer, aprender, formar y desarrollar los conceptos básicos, las definiciones matemáticas y los procedimientos que permitan al estudiante adquirir la base para introducirse a los contenidos de cálculo aplicando los conceptos funciones polinomiales, racionales, exponenciales y logarítmicas. Objetivos del laboratorio: a. Comprender los conceptos y procedimientos básicos de funciones. b. Formar, construir e investigar modelos matemático-funcionales del fenómeno y procesos reales o ideales elementales de la ingeniería relacionados con funciones. c. Utilizar, aplicar los conceptos y procedimientos adquiridos mediante los métodos de obtención de ceros complejos. Contenido semanal Funciones polinomiales y racionales Números Complejos

Actividad del Docente Actividad del alumno Resolución de problemas. 1. Fortalecer su conocimiento con Aclaración de dudas. auto aprendizaje. Clase expositiva 2. Asistencia regular al proceso Asignación de ejercicios enseñanza-aprendizaje. (Hoja de trabajo # 17 y 18; 3. Solución de hojas de trabajo # tarea # 10 y 11.) 17 y 18. 5. Revisión de hojas de trabajo 4. Resolución de ejercicios y # 17 y 18; tarea # 10. problemas asignados en Clase 6. Control y verificación de y casa. (Tarea # 10 y 11) asistencia; 5. Resolución de problemas acreditación/asignación de asignados en clase. calificación en cuadro y 6. Investigación: Números registro. complejos.

1. 2. 3. teorema 4.

Ceros complejos y el fundamental del álgebra. Funciones racionales

Funciones exponenciales y logarítmicas Funciones exponenciales Funciones logarítmicas

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HOJA DE TRABAJO # 17 1. Encuentre las intersecciones y asíntotas verticales, horizontales y oblicuas; luego bosqueje una gráfica de la función racional. Use un dispositivo para comprobar la respuesta. a.

f ( x )

b.

f ( x)

c.

f ( x)

3 x 3 x 2 3x

4

x 2 x 6 3 x 6 x 2

2x 8

2. Encuentra la asíntota oblicua y traza la gráfica de

f ( x )

x 2

5x 3

4



HOJA DE TRABAJO # 17 1. Encuentre las intersecciones y asíntotas verticales, horizontales y oblicuas; luego bosqueje una gráfica de la función racional. Use un dispositivo para comprobar la respuesta. a.

f ( x )

b.

f ( x)

c.

f ( x)

3 x 3 x 2 3x

4

x 2 x 6 3 x 6 x 2

2x 8

2. Encuentra la asíntota oblicua y traza la gráfica de

f ( x )

x 2

5x

4

x 3

3. Use una calculadora para evaluar la función f ( x) 4 x en los valores indicados. Redondee su respuesta a tres decimales. f

f (0.5)

2

f 1

f ( )

4. Encuentre la función exponencial a. b.

3

f ( x)

a

x

cuya gráfica se muestra

Bono Si

f

x

10

, muestre que

f ( x

h) h


f ( x)

x

10

10

h

1

h

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LAB. MATEMÁTICA BÁSICA 1 SECCIÓN “C” FECHA DE ENTREGA: 11 10 2011

TAREA # 10 1. Hallar toda la información posible acerca de la naturaleza de las raíces de las ecuaciones dadas, por medio de la regla de Descartes. 2 x 4

x

2

2x 3

0

2. Las dimensiones de una caja rectangular son 6 cm, 8 cm y 12 cm. Si cada una de estas dimensiones se disminuye en la misma cantidad, el volumen disminuye en 441 cm. Calcular esta cantidad. 3. Usando el método de interpolación lineal y método de Horner hallar la raíz indicada de la ecuación dada la correcta con una cifra decimal. x 3

3x 2

x 5

0

2

x

3

4. Llevar a cabo la operación entre complejos escribir el resultado de la forma a bi a. (2 5i) (3 4i) b. (5 3i)(1 i) c. 36 2

9

5. Hallar las soluciones de la ecuación y expresarlas en la forma a bi a. x2 9 0 b. 2 x 2 2 x 1 0 6. Encuentre los ceros de P, reales y complejos. Factorizar por completo el polinomio. b. P( x) x 3 x 2 9 x 9 c. P( x) 4 x 4 4 x 3 5 x 2 4 x 1 7. Encuentre un polinomio con coeficientes enteros que satisfaga las condiciones dadas. U tiene grado 5, ceros

1 2

, 1 y i ,

coeficiente principal 4; el cero -1 tiene

multiplicidad de 2. PROPIEDAD INTELECTUAL: BR. EDGAR ALBERTO BOLAÑOS RIOS

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8. Después de inyectar cierto medicamento en un paciente, se supervisa la concentración c de droga en la sangre. En el momento t (en minutos desde el momento de la inyección), la concentración (en mg/l) está dada por

a. Trace la gráfica de la concentración de la medicina b. ¿Qué ocurre finalmente con la concentración de la medicina en la sangre? 9. El número de bacterias en un cultivo está dado por la fórmula Donde t se mide en horas. a. ¿Cuál es la tasa relativa de crecimiento de una población de bacterias? Exprese su respuesta en porcentaje. b. ¿Cuál es la población inicial de cultivo (en t=0)? c. ¿Cuántas bacterias contendrá el cultivo al tiempo t=5? 10.Una muestra de 15 gramos de yodo radiactivo se desintegra de forma tal que la masa que queda después de t días está dada por , donde m(t) se mide en gramos, ¿Después de cuantos días sólo quedarán 5 gramos?


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HOJA DE TRABAJO # 18 1. Bosqueje la gráfica de la función construyendo una tabla de valores. Use una calculadora si es necesario. a. f ( x) 2 x b. f x 2e 0.5x 2. Exprese la ecuación en forma exponencial o logarítmica según sea el caso. a. log5 25 2 b. ln( x 1) 2 c. 103 1000 0.5 x d. e

t

3. Determine la solución de la ecuación exponencial o logarítmica según sea el caso. a. 3e x 10 b. 23 x 34 c. log 3 (2 x) 3 d. 2 log x log 2 log(3x 4) 4. Un cultivo inicia con 8,600 habitantes. Después de 1 hora, el conteo alcanza 10,000. a. Determine la fórmula n(t) para el número de bacterias después de t horas. b. Determine el número de bacterias después de 2 horas. c. ¿Después de cuanta hora se duplicará el número de bacterias?


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TAREA # 11 1. Un barril de 50 galones se llena por completo con agua pura. A continuación se bombea hacia el barril e agua salada con una concentración de 0.3 lb/gal, y la mezcla resultante sale a la misma tasa. La cantidad de sal en el barril en el tiempo t se determina mediante. Q(t ) 15(1 e 0.04t ) a. b. c. d.

¿Cuánta sal está en el barril después de 5 min? ¿Cuánta sal está en el barril después de 10 min? Dibuje una gráfica de la función Q(t) Use la gráfica del inciso c) para determinar el valor al que se aproxima la cantidad de sal en el barril cuando t se vuelve grande. ¿Esto es lo que esperaría?

2. Cierta cepa de bacterias se divide cada 3 horas. Si una colonia comienza con 50 bacterias, entonces en tiempo t (en horas) requerido para que la colonia crezca a N bacterias se expresa como t 3

log( N / 50) log2

Calcule el tiempo requerido para que la colonia crezca a un millón de bacteria. 3. Use las leyes de los logaritmos para desarrollar o combinar la expresión, según el caso. a) b) c)

log2

x( x

2

1)

2

1

x

log 5 ( AB 2 )

ln(a b) ln(a b) 2ln c 1

d) 3

log(2 x 1)

1 2

log( x 4) log( x 4

x 2 1)

4. Una muestra de 15 gramos de yodo radioactivo se desintegra de forma tal que la masa que queda después de t días está dada por m(t )

15e0.087t t ,

donde m(t) se mide en gramos. ¿Después de cuántos días sólo quedarán 5 gramos? PROPIEDAD INTELECTUAL: BR. EDGAR ALBERTO BOLAÑOS RIOS

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5. La ley del enfriamiento de Newton se utiliza en investigaciones de homicidios para determinar el tiempo de la muerte. La temperatura normal del cuerpo es de 98.6 oF e inmediatamente después de la muerte empieza a enfriarse. Se ha determinado experimentalmente que la constante en la ley de enfriamiento de Newton es aproximadamente k=0.1947. Si la temperatura del entorno es de 60 oF. si la temperatura del entorno es de 60 oF y la del cuerpo es ahora de 72 oF ¿hace cuanto que fue la muerte?


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Semana: Del 03 al 21 de Octubre

PROGRAMA QUINCENAL Descripción General: El laboratorio está dirigido para fortalecer, aprender, formar y desarrollar los conceptos básicos, las definiciones matemáticas y los procedimientos que permitan al estudiante adquirir la base para introducirse a los contenidos de cálculo aplicando los conceptos de geometría analítica. Objetivos del laboratorio: a. Comprender los conceptos y procedimientos básicos circunferencia, parábolas, elipses, hipérbolas. b. Formar, construir e investigar modelos matemático-funcionales del fenómeno y procesos reales o ideales elementales de la ingeniería relacionados geometría analítica. c. Utilizar, aplicar los conceptos y procedimientos adquiridos mediante los métodos de obtención de modelos. Contenido semanal

Actividad del Docente 1. Clase expositiva utilizando Sketchpad.

Geometría Analítica

2. Resolución de problemas.

Circunferencia

3. Aclaración de dudas.

Parábolas

4. Asignación de ejercicios (Hoja de trabajo # 21, 22;)

Geometría Analítica

Elipses

5. Revisión de hojas de trabajo # 19 y 20; tarea #11.

Hipérbolas Cónicas desplazadas

6. Control y verificación de asistencia; acreditación /asignación de calificación en cuadro y registro.

Actividad del alumno 1. Asistencia regular al proceso enseñanzaaprendizaje. 2. Solución de hojas de trabajo # 21 y 22. 3. Resolución de ejercicios y problemas asignados en Clase y casa. 4. Resolución de problemas asignados clase.

en

5. Investigaciones (asignadas) 6. Fortalecer su conocimiento con auto aprendizaje.



HOJA DE TRABAJO # 19 1. Encuentre una ecuación de la circunferencia que cumpla con las siguientes condiciones, además grafique la ecuación: a) Centro (2,-1); radio 3 b) Los extremos de su diámetro son P(-1,1) y Q(5,9) c) La circunferencia está en el primer cuadrante y es tangente tanto al eje x como al eje y; radio 5. 2. Demuestre que la ecuación representa una circunferencia y determine el centro y radio. a) x 2 y 2 4x 10 y 13 0

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HOJA DE TRABAJO # 19 1. Encuentre una ecuación de la circunferencia que cumpla con las siguientes condiciones, además grafique la ecuación: a) Centro (2,-1); radio 3 b) Los extremos de su diámetro son P(-1,1) y Q(5,9) c) La circunferencia está en el primer cuadrante y es tangente tanto al eje x como al eje y; radio 5. 2. Demuestre que la ecuación representa una circunferencia y determine el centro y radio. a) x 2 y 2 4x 10 y 13 0 b) 2 x 2 3 y 2 3x 0 3. Encuentre el foco, la directriz y el diámetro focal de la parábola y bosqueje la gráfica a) y 2 4 x b) 8 x 2 12 y 0 4. Encuentre una ecuación para la parábola que tiene su vértice en el origen y satisface las condiciones dadas. a) Foco F(0,2) b) Abre hacia arriba con foco a 5 unidades del vértice. 5. Un reflector está diseñado de manera que la sección trasversal que pasa por su eje es una parábola con foco en la cuente de luz. Si el reflector mide 3 pies de ancho en la abertura y 1 pie de profundidad, localice el foco.

Bono: Hallar la ecuación de la circunferencia del centro (-2,3), que sea tangente a la recta 20x-21y-42=0


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TAREA # 12 1. En un puente colgante, la forma de los cables de suspensión es parabólica. Los pilones y horcas (Torres de apoyo están separados 800 metros de distancia y el punto más bajo de los cables portadores está a 200 m por debajo del extremo superior de los pilones. Deduzca la ecuación de la parte parabólica de los cables, colocando el origen del sistema de coordenada en el vértice. NOTA: Eta ecuación se usará para determinar la longitud del cable necesario para construir el puente. 2. ¿Bajo qué condiciones de los coeficientes a, b, y c la ecuación x

2

y

2

ax by

c

c

representa un círculo ? Una vez satisfecha dicha

condición, determine el centro y el radio del círculo. [Sugerencia: Complete los cuadrados] 3. El frontón de una puerta se construye con la forma de la mitad superior de una elipse. El frontón tiene 20 pulgadas de alto en su punto máximo de altura y 80 pulgadas de ancho en su base. Calcule la altura del frontón a 25 pulgadas del centro de la base. 4. En la figura, las estaciones LORAN en A y B están apartadas 500 millas y la nave en P recibe la señal de la estación A 2640 microsegundos antes de que reciba la señal de B. a. Si se supone que las señales de radio viajan a 980 pies/ microsegundo, encuentre d(P,A) – d(P,B). b. Encuentre una ecuación para la rama de la hipérbola indicada en rojo en la figura. (Use millas como unidad de distancia) c. Si A está al norte de B y si PO está al este de A ¿Qué tan lejos está P de A?


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Bono: Si k>0, la siguiente ecuación representa una elipse: x

2

k

y

2

4 k

1

Demuestre que todas las elipses representadas por esta ecuación tiene los mismos focos, independientemente del valor de k.


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HOJA DE TRABAJO # 20 1. Determine los vértices, focos y excentricidad de cada elipse. Calcule las longitudes de los ejes mayor y menos y trace la gráfica. d) e)

x 2

y2

25

9

20 x 2

1

4 y2

5

2. Deduzca una ecuación de cada elipse cuya gráfica se muestra a continuación

3. Deduzca la ecuación de la elipse que cumpla con las siguientes condiciones. a) Focos en ( 4,0) , vértices en ( 5,0) b) Longitud del eje mayor 6, longitud del eje menor 4, focos en el eje x. 4. Determine los focos, vértices y asíntotas de cada hipérbola y trace su gráfica. a) b)

x 2

y2

4

16

25 y 2

1

9x2

225

5. Deduzca la ecuación de la hipérbola que cumpla con las siguientes condiciones. a) Focos en ( 5,0) , vértices en ( 3,0) b) Vértices en (0, 6) y ecuaciones de asíntotas

y

1 3

x

Bono: Se envuelve una botella cilíndrica con una hoja de papel, y a continuación se traza un círculo en el papel, con el compás, cuando este e desenrolla y esta plano ¿la forma que representa es un elipse? No necesita demostrar su respuesta, pero puede hacer el experimento y ver el trazo que se obtiene. PROPIEDAD INTELECTUAL: BR. EDGAR ALBERTO BOLAÑOS RIOS

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Semana: Del 24 al 28 de Octubre

PROGRAMA SEMANAL Descripción General: El laboratorio está dirigido para fortalecer, aprender, formar y desarrollar los conceptos básicos, las definiciones matemáticas y los procedimientos que permitan al estudiante adquirir la base para introducirse a los contenidos de cálculo aplicando los conceptos de trigonometría. Objetivos del laboratorio: a. Comprender los conceptos y procedimientos básicos de funciones trigonométricas y trigonometría analítica. b. Formar, construir e investigar modelos matemático-funcionales del fenómeno y procesos reales o ideales elementales de la ingeniería con el contenido programático. c. Utilizar, aplicar los conceptos y procedimientos adquiridos mediante los métodos de obtención de modelos. Contenido semanal Actividad del Docente Funciones Trigonométricas Funciones trigonométrica de números 1. Clase expositiva y resolución reales. de problemas. Gráficas trigonométricas 2. Aclaración de dudas. Más gráficas trigonométricas. 3. Asignación de ejercicios (Hoja de trabajo # 21 y 22) 4. Revisión de hojas de trabajo Trigonometría Analítica Identidades trigonométricas # 19 y 20; Fórmulas de adición y sustracción 5. Control y verificación de Fórmulas del ángulo doble, mitad de asistencia; Ángulo, y producto a suma. acreditación/asignación de Funciones trigonométricas inversas calificación en cuadro y Ecuaciones trigonométricas registro.

Actividad del alumno 1. Solución de hojas de trabajo # 21 y 22. 2. Resolución de ejercicios y problemas asignados en Clase y casa. 3. Resolución de problemas asignados en clase. 4. Investigación: Modelado matemático. 5. Fortalecer su conocimiento con auto aprendizaje. 6. Asistencia regular al proceso enseñanza-aprendizaje.




HOJA DE TRABAJO # 21 1. Trace la gráfica a. y 2 sin x b. y 3sin x 2. Determine el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas (si están definidas), en el número real dado t. t sen t cos tan t csc t sec cot t t t 0 0 1 Indefinidos

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HOJA DE TRABAJO # 21 1. Trace la gráfica a. y 2 sin x b. y 3sin x 2. Determine el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas (si están definidas), en el número real dado t. t sen t cos tan t csc t sec cot t t t 0 0 1 Indefinidos 0

indefinidos

3. Determine la amplitud, periodos y corrimiento de fase de la función y trace la gráfica de un periodo completo. a. y 3sin x b. y c. y

1 cos x 3 3tan x

Bono: Se muestra la gráfica de un periodo de una función de la forma y a sin k ( x b) o bien y a cos k ( x b) . Determine la función.


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HOJA DE TRABAJO # 22 4. Demuestre que el punto

P

3 4 , 5 5

está en el círculo unitario.

5. Obtenga el punto terminal P(x,y) en el círculo unitario determinado por el valor de

2

t

3

6. Obtenga el número de referencia para cada valor de t y el punto terminal determinado por t. a)

t

b)

t

3 4 11 3

7. Compruebe la identidad sin A 1 cos A

cot A

csc A

8. Compruebe la identidad: (tan x cot x)

4

4

4

csc x sec x


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EXAMEN FINAL DE LABORATORIO NOMBRE: ______________________________________________CARNÉ:_____________ Instrucciones: A continuación se le presentan ciertos problemas los cuales deberá resolver de forma clara y ordenada, dejando constancia de su procedimiento para que su respuesta tenga valor. 1. Hallar las raíces del siguiente polinomio 2. Grafique:

, encontrando asíntotas verticales, horizontales,

oblicuas, ceros, indique cual es el dominio y contra dominio de la función, si la función es par o impar. Valuar en la función , , , 3. Resuelva las ecuaciones dadas. a) b)

4

2

35

x 1

x 1

x2 1

2 c) 3 x 6 x 5 0

4. Use la relación

C

5 9

( F 32)

para determinar en la escala Fahrenheit que

corresponde a 20 C 30 .

5. Grafique la función y cot x

Bono: Una muestra de 15 gramos de yodo radiactivo se desintegra de forma tal que la masa que queda después de t días está dada por , donde m(t) se mide en gramos, ¿Después de cuantos días, minutos y segundos sólo quedarán 5 gramos? PROPIEDAD INTELECTUAL: BR. EDGAR ALBERTO BOLAÑOS RIOS

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GUÍA PROYECTO FINAL LABORATORIO MATEMÁTICA BÁSICA 1

Descripción del proyecto: Un grupo de 5 estudiantes (máximo) debe identificar una obra de ingeniería en donde se apliquen los conceptos de geometría analítica (parábola, hipérbola, elipse o, circunferencia), la obra de ingeniería puede ser: un puente, un edificio, un estadio, barco o, producto siempre en relación con la carrera de ingeniería civil, mecánica o industrial. El proyecto constará de 2 partes: 1. Informe escrito (trabajo formal): a. Introducción b. Objetivos c. Nombre de la obra ingenieril d. Breve descripción de la obra e. Identificación y descripción de la figura de geometría analítica. f. Modelado de la función g. Conclusiones h. Bibliografía 2. Maqueta de la obra de ingeniería

Objetivos: d. Comprender los conceptos y procedimientos básicos de la geometría analítica. e. Utilizar y aplicar los conceptos y procedimientos adquiridos en la formulación y solución de problemas elementales. f. Formar, construir e investigar modelos matemático-funcionales del fenómeno y procesos reales o ideales elementales de la ingeniería. Evaluación: De acuerdo a la programación de laboratorio este proyecto representa un 20% del mismo (4 puntos netos). Fecha única de entrega: Martes, 8 de noviembre de 2011 PROPIEDAD INTELECTUAL: BR. EDGAR ALBERTO BOLAÑOS RIOS

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EJEMPLO (BREVE): Nombre de la obra ingenieril: Oficina principal de Aldar. Breve descripción de la obra: Las nuevas oficinas centrales de ALDAR constituyen el primer edificio esférico en Oriente Próximo y han sido construidas para satisfacer a la exigente elite empresarial internacional. El futurista exterior de cristal y aluminio, el parking subterráneo, la gestión de accesos controlados y los suelos y paredes de mármol aseguran que este edificio se ajusta al Golfo Pérsico del siglo XXI, constituyendo unas oficinas de primer nivel.

“El producto de Combisafe utilizado demostró ser simple y versátil. Fácil de instalar debido a las fijaciones de acero específicas, la presencia de redes de seguridad y anti cascotes, permitieron continuar los trabajos por debajo en la estructura, con plena confianza.” Hechos del proyecto Terminación: 2009 Altura: 110 metros Área total: 61,900m² Propietario: ALDAR Contratista principal: ALDAR Laing O’Rourke Productos: Bandeja con red de seguridad, Sargento de estructuras metálicas, Redes de seguridad para las cubiertas

Identificación del la figura de geometría analítica. Circunferencia. ….. PROPIEDAD INTELECTUAL: BR. EDGAR ALBERTO BOLAÑOS RIOS

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….. {Descripción de la figura} …..

Modelado de la función .

Maqueta:

Otros ejemplos:

Hipérbola.

Parábola


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Instructivos de Laboratorio

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