GLOSARIO DE MATEMÁTICAS Abcisa: En un sistema cartesiano o de coordenadas cartesianas, nombre dado a la primera coordenada de un punto, asociada con el eje X.
Acutángulo: Triángulo cuyos tres ángulos son agudos.
Adición: Nombre matemático dado a la suma.
Adyacentes: Al referirnos a ángulos, son aquellos que comparten un lado y el vértice.
Agudo: Al referirnos a los ángulos, éstos son los que miden menos de 90 grados.
Altura: segmento perpendicular al lado de un triángulo t riángulo cuyos extremos son un punto del lado y el vértice opuesto al mismo
Ángulo central: Es el ángulo cuyo vértice es el centro de una circunferencia.
Ángulos complementarios: Son aquellos cuya suma es 90 grados.
Ángulo inscripto: ángulo cuyo vértice pertenece pertenece a una circunferencia y cuyos lados son cuerdas de la misma.
Ángulo llano: ángulo cuya medida es 180 grados.
Ángulo obtuso: ángulo cuya medida es mayor a 90 grados.
Ángulo recto: ángulo cuya medida es 90 grados.
Ángulos suplementarios: son aquellos cuya suma es 180 grados.
Arco: en geometría es una parte de una circunferencia.
Área: Es una cantidad que expresa el tamaño de una superficie bidimensional, usualmente una región limitada por una curva cerrada
Asíntota: Es una línea recta que se aproxima continuamente a otra función o curva; es decir que la distancia entre las dos tiende a cero, a medida que se extienden indefinidamente.
Axiomas: En la matemática, proposiciones o postulados fundamentales, no sometidas a prueba o demostración, sino que que consideradas como verdades evidentes; por tanto se utilizan utilizan como fundamento fundamento o base para deducir e inferir otras teorías dependientes.
Azimut: Es una medida angular en un sistema de coordenadas esféricas. El vector con origen en un observador hacia un punto de interés se proyecta perpendicularmente a un plano de referencia; el ángulo entre el vector proyectado y un vector de referencia en el plano de referencia se llama azimut.
Baricentro: Punto intersección de las tres medianas de un triángulo
Base: En una potencia, es el número que se multiplica por sí mismo, tantas veces como lo señale el exponente.
Bernoulli Daniel: Matemático Suizo-Alemán particularmente recordado por sus trabajos en matemática aplicada a la mecánica, en especial a la mecánica de fluidos, y por su trabajo fundamental en probabilidad y estadística, El trabajo de Bernoulli todavía se estudia en profundidad en la mayoría de las escuelas científicas del mundo
Bisectriz: Recta que divide al ángulo, en dos de igual amplitud. de manera más m ás formal es el lugar geométrico de los puntos del plano que que equidistan de los lados de un ángulo.
Ángulos suplementarios: son aquellos cuya suma es 180 grados.
Arco: en geometría es una parte de una circunferencia.
Área: Es una cantidad que expresa el tamaño de una superficie bidimensional, usualmente una región limitada por una curva cerrada
Asíntota: Es una línea recta que se aproxima continuamente a otra función o curva; es decir que la distancia entre las dos tiende a cero, a medida que se extienden indefinidamente.
Axiomas: En la matemática, proposiciones o postulados fundamentales, no sometidas a prueba o demostración, sino que que consideradas como verdades evidentes; por tanto se utilizan utilizan como fundamento fundamento o base para deducir e inferir otras teorías dependientes.
Azimut: Es una medida angular en un sistema de coordenadas esféricas. El vector con origen en un observador hacia un punto de interés se proyecta perpendicularmente a un plano de referencia; el ángulo entre el vector proyectado y un vector de referencia en el plano de referencia se llama azimut.
Baricentro: Punto intersección de las tres medianas de un triángulo
Base: En una potencia, es el número que se multiplica por sí mismo, tantas veces como lo señale el exponente.
Bernoulli Daniel: Matemático Suizo-Alemán particularmente recordado por sus trabajos en matemática aplicada a la mecánica, en especial a la mecánica de fluidos, y por su trabajo fundamental en probabilidad y estadística, El trabajo de Bernoulli todavía se estudia en profundidad en la mayoría de las escuelas científicas del mundo
Bisectriz: Recta que divide al ángulo, en dos de igual amplitud. de manera más m ás formal es el lugar geométrico de los puntos del plano que que equidistan de los lados de un ángulo.
Binario: Un sistema de numeración que utiliza sólo dos símbolos, usualmente el 0 y el 1.
Biyectiva: En lo relativo a funciones, función que es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
Bolzano Bernard: Matemático Italiano que formuló entre otros el Teorema que lleva su nombre, también conocido como el Teorema del Valor Intermedio que estipula estipula que si una función es continua en un intervalo cerrado y acotado y en los extremos del mismo ésta toma valores con signos opuestos, entonces existe al menos una raíz de la función en el intervalo.
C
Cateto: en geometría, es cualquiera de los dos lados menores de un triángulo rectángulo los que conforman el ángulo recto
Cicloide: Es el camino trazado por un punto de una rueda mientras m ientras esta gira sin deslizarse sobre una superficie plana. La parametrización estándar es x=a(t-sen(t)), y=a(1-cos(t)) donde a es el radio de la rueda
Círculo: Figura geométrica plana determinada por una circunferencia, esto es; la región del plano interior a una circunferencia, también se puede definir como la sección cónica determinada por la intersección de un cono y un plano perpendicular a su eje.
Circuncentro: Punto intersección de las mediatrices de los lados de un triángulo.
Circunferencia:Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de un punto fijo O llamado centro de la circunferencia, dicha distancia recibe el nombre de radio.
Cociente: Nombre matemático dado a la división, también se le llama al resultado de la misma.
Coeficiente: constante (número) que multiplica multiplica a una variable v ariable en una expresión algebraica por ejemplo.
Colineares: Son puntos que pertencen a la misma recta.
Combinación: Llamaremos combinaciones combinaciones de m elementos tomados de a n (m>=n) a todos los conjuntos de n elementos que pueden formarse eligiendo éstos entre los m. El orden no es importante, ésto es dos combinaciones son diferentes, si tienen al menos un elemento distinto.
Complejos Conjugados: Dos números complejos son conjugados cuando tienen igual parte real y opuesta la parte imaginaria.
Congruencia: En geometría igualdad.
Cono: Llamaremos cono circular, al conjunto de puntos de los segmentos que unen un punto V (llamado vértice) con los de un círculo situado en un plano que no contiene a V, llamado base.
Constante: valor que no cambia.
Coordenadas Cartesianas: Sistema en el cuál los puntos del plano se identifican por un par ordenado de números, llamados coordenadas; los mismos representan las distancias del punto a ciertas rectas llamadas ejes perpendiculares entre sí.
Coplanares: Puntos o figuras que pertenecen a un mismo plano.
Corolario: Un caso especial de un teorema general que merece ser tratado de forma separada. por Ejemplo, el Teorema de Pitágoras es un corolario de la ley de los cosenos.
Cosecante: función trigonométrica inversa del seno
Coseno función trigonométrica que se define como cateto adyacente sobre hipotenusa, la función coseno es una función periódica con período 2\pi
Cotangente: función trigonométrica inversa a la tangente.
Cubo: figura sólida formada por 6 caras cuadradas.
Cuerda: Segmento que une dos puntos de una circunferencia.
D
Denominador: Número inferior en una fracción.
Diagonal: Segmento de recta que une vértices no consecutivos de un polígono.
Diámetro: La mayor de las cuerdas de una circunferencia.
Diferencia: Resultado de la sustracción de dos o más números.
Dígitos: Son los 10 símbolos 0,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 con los cuales formamos todos los números. Ésta cantidad es la que determina que la base con la cuál trabajamos sea 10.
Distancia: Es una descripción numérica de qué tan apartadas se encuentran ciertos objetos, en matemática es una función que se comporta de acuerdo con un conjunto de reglas r eglas específicas, estableciendo estableciendo una forma concreta de determinar el significado de cercanía o lejanía en ciertos espacios.
Dividendo: Es el nombre matemático del primer término de la división o cociente.
Divisor: Es el nombre matemático del segundo término de la división o cociente.
E
Ecuación: Expresión algebraica igualada a un número u otra expresión.
Ecuación Diofántica: Es cualquier ecuación algebraica, generalmente de varias variables, planteada sobre el conjunto de los números enteros \mathbb{Z} o los números naturales \mathbb{N}, es decir, se trata de ecuaciones cuyas soluciones son números enteros.
Ecuación Homogénea: Ecuación igualada a cero
Ecuaciones Equivalentes: Dos ecuaciones cuyas soluciones son las mismas.
Ecuaciones hemisimétricas: hemisimétricas: Son ecuaciones en las cuales los términos equidistantes de los extremos tienen el mismo valor absoluto, pero signos opuestos.
Ecuaciones Simétricas: Son aquellas ecuaciones en las cuales los términos equidistantes de los extremos tienen el mismo valor absoluto y signo.
Ejes Cartesianos: Son dos rectas orientadas perpendiculares que forman un plano orientado y permiten una cómoda representación de puntos en el mismo. Ahora ¿Qué son rectas orientadas? or ientadas? Son rectas en las que se determinó un sentido positivo, o sea que se eligió un sentido (usualmente a la derecha) y se dijo que cuanto más a la derecha nos ubicamos más crece la variable. ¿Por qué los ejes son perpendiculares? perpendiculares?
Porque el trabajo con casi cualquier elemento matemático se ve simplificado de forma gigantesca si los ejes están a 90º ya que el trabajo con ángulos rectos es mucho más simple, no se engañen, se puede crear un
par de ejes no perpendiculares y se puede representar cualquier función en ellos, pero algunos cálculos incluirían sen y cos del ángulo entre los ejes, que nos traerían errores por redondeo, sin contar con el trabajo extra por la elección caprichosa.
Enteros: Conjunto de números que formado por los números negativos, positivos y el cero.
Elipse: Conjunto de los puntos del plano cuya suma de las distancias a dos puntos fijos, es una constante.
Escaleno: Triángulo cuyos lados y ángulos son de distintas medidas, (no son congruentes).
Espacio: Conjunto de infinitos puntos, constituido por infinitos planos.
Espacio Muestral: En probabilidad, el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento
Esfera: Conjunto de puntos del espacio que equidistan de un punto fijo llamado centro.
Evento: En probabilidad Un evento del espacio muestral es un grupo de resultados (contenidos en este) cuyos miembros tienen una característica en común.
Eventos dependientes: Son eventos en los cuales la ocurrencia de el segundo está condicionado a la ocurrencia del primero
Eventos independientes: Son eentos en los cuales la ocurrencia de el segundo no está condicionada a la ocurrencia del primero.
Expresión algebraica: Combinación finita de símbolos, bien formada según las reglas aplicadas al contexto.
Equilátero: Triángulo cuyos lados y ángulos son de igual medida.
Exponente: Número en una potencia que indica la cantidad de veces que se debe multiplicar la base por sí misma. F
Factores: Nombre dado a los términos de la multiplicación.
Factorial: Operación que consta de multiplicar el número en cuestión por to dos los naturales menores que él, hasta llegar a 1.
Foco. En geometría, el foco de una curva es uno o varios puntos singulares, respecto de los cuales se mantienen constantes determinadas distancias relacionadas con los puntos de dicha curva.
Fórmula: Es una ecuación que representa una regla o un hecho.
Fracción: representación de un número, que consta de un valor llamado entero llamado numerador (representado en la parte superior) y otro natural llamado denominador (representado en la inferior).
Fracción aparente o entera: fracción que representa cualquier número perteneciente al conjunto de los enteros
Fracción compuesta: fracción cuyo numerador o denominador (o los dos) contiene a su vez fracciones
Fracción decimal: el denominador es una potencia de diez
Fracción egipcia: sistema de representación de las fracciones en el Antiguo Egipto en el que cada fracción se expresa como suma de fracciones unitarias.
Fracción heterogénea: fracciones que tienen diferentes denominadores
Fracción homogénea: fracciones que tienen el mismo denominador
Fracción impropia: fracción en donde el numerador es mayor que el denominador
Fracción inversa: fracción obtenida a partir de otra dada, en la que se han invertido el numerador y el denominador
Fracción irreducible: fracción en la que el numerador y el denominador son primos entre sí, y, por tanto, no puede ser simplificada
Fracción propia: fracción en que el denominador es mayor que el numerador
Fracción reducible: fracción en la que el numerador y el denominador no son primos entre sí y puede ser simplificada
Fracción unitaria: es una fracción común de numerador 1.
Fracciones Equivalentes: Son fracciones cuya reducción es el mismo número. o también se le dice que tiene el mismo valor que otra dada
Frecuencia: Número de veces que un ítem en particular aparece en un conjunto de datos.
Frecuencia Relativa: Resultado de dividir la frecuencia por la cantidad total de datos.
Función: Relación de equivalencia que hace corresponder a cada elemento del dominio un único elemento del codominio.
G
Grado: Unidad de medida de ángulos.
H
Hipotenusa: Lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo.
Homotecia: es una trasformación geométrica que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor.
I
Incentro: Es el punto intersección de las tres bicectrices interiores de un triángulo.
Inducción Completa: Método Exhaustivo de prueba en matemáticas, usualmente usado para demostrar que una afirmación se cumple para todo el conjunto de los números naturales
Inecuación: Expresión algebraica, en la cual se muestra que dos cantidades no son iguales.
Infinito: Cantidad sin límite, la misma puede ser numerable o no numerable.
Inscripto: (ver ángulo inscripto), para figuras planas, polígono cuyos vértices pertenecen a la figura y cuyos lados no cortan a los lados la figura que lo contiene.
Interpolación: Método de calcular valores que se encuentran entre dos valores conocidos.
Inyectiva: Una función es inyectiva si a cada elemento del dominio le corresponde una imagen distinta en el codominio, o sea si dos imágenes distintas siempre tienen preimágenes también distintas.
Irracional: Número que no puede representarse como cociente de un entero y un natural, como ser pi o raiz de 2.
Isometrías: Movimientos en el plano que conserva las distancias.
Isósceles: Triángulo con dos ángulos y dos lados de igual medida.
M
Media: En estadística es una medida de tendencia central, en general la media o promedio es el resultado que se obtiene al dividir la suma de varias cantidades por el número de sumandos.
Mediana: En estadística la mediana es el valor para el cual, al ordenar los datos de forma creciente quedan la mitad de los valores de un lado y la otra mitad de el otro lado de dicho valor, en geometría segmento que une el vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto a dicho vértice.
Mediatriz: Recta perpendicular a un segmento que lo divide en dos partes congruentes, se utiliza por ejemplo para encontrar el punto medio de un segmento.
Moda: En estadística es el dato que se repite más en una colección, o sea el que tiene mayor frecuencia.
Múltiplo: El múltiplo de un número A, es otro número que se obiene de multiplicar a A por cualquier natural.
Mutuamente excluyentes: Dos eventos son mutuamente excluyentes, en probabilidad, cuando la ocurrencia de uno hace imposible la ocurrencia del otro.
N
Normal: En geometría perpendicular, en estadística función de distribución de variable continua que con más frecuencia aparece en los fenómenos reales, también llamada distribución de Gauss.
numerador: número que aparece en la parte superior de una fracción.
número absoluto: número que representa una cantidad. puede ser entero, decimal, fraccionario.
número Compuesto: Es un número que no es primo.
número impar: Son los números naturales que no son pares.
número Mixto: Es una notación por la cual se escribe un número como un entero y una fracción.
número Natural: Todos los números usados para contar, en matemática es el menor conjunto inductivo.
número negativo: Todos aquellos números menores que 0.
número par: Número natural múltiplo de 2.
número Primo: Número que sólo es divisible entre sí mismo y el 1.
número Racional: Número Racional es cualquier número que se pueda expresar como el cociente a/b de dos enteros, o de un natural y un entero.
números Reales: Conjunto resultante de la unión de los racionales con los irracionales.
número relativo: Son aquellos números que para determinarse necesitan además de la cantidad el signo, incluyen enteros pero también racionales y decimales. O
Obtusángulo: Triángulo que posee un ángulo obtuso.
Octágono: Polígono de 8 lados.
Ordenada: en un sistema cartesiano o de coordenadas cartesianas, nombre dado a la segunda coordenada de un punto, normalmente asociada al eje Y.
Origen: El punto (0,0) en un plano coordenado, intersección de los ejes x e y.
Ortocentro: Punto intersección de las alturas de los 3 lados de un triángulo.
P
Paralelas: Dos rectas coplanares que no poseen ningún punto en común, también se dice que tienen la misma dirección o la misma pendiente.
Paralelogramo: Cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos dos a dos.
Pentágono: Polígono de 5 lados.
Perímetro: la suma de las medidas de los lados de un polígono.
Permutación: Dado un conjunto N de n elementos llamaremos permutaciones de n elementos a todo conjunto que podemos formar cambiando el orden a los elementos de n.
Perpendiculares: (rectas) En geometría, rectas que forman 4 ángulos rectos entre sí.
Pi: número que representa la relación entre la medida del radio de una circunferencia con respecto a su perímetro.
Poliedro: Sólido tridimensional cuyas caras son polígonos.
Polígono: es una figura geométrica formada por segmentos consecutivos no alineados, llamados lados.
Polígono regular: es un polígono cuyos lados son congruentes al igual que sus ángulos.
Polinomio mónico: Es aquel en el cuál el coeficiente del término de mayor grado es 1.
Potencia: Operación que indica que debe multiplicarse repetidas veces un valor llamado base, la cantidad de veces que se repite la multiplicación la determina el valor llamado exponente.
Primos: Se dice que dos números son primos entre sí, cuando su único divisor común es el 1.
Probabilidad: La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un conjunto de resultados al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.
Producto: Nombre matemático dado a la multiplicación, también se llama así al resultado de la operación.
Pirámide: Cuerpo tridimensional que tiene como base un polígono y cuyas caras son triángulos con un vértice en común
Pitágoras: Matemático griego, fundador de la escuela pitagórica, conocido ampliamente por sus estudios en geometría y matemática, uno de sus principales postulados establece una forma de calcular la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo a partir de la medida de sus lados. R
Radio: Distancia desde el centro de un círculo a un punto de la circunferencia, también se le llama al segmento que resulta de unir dichos puntos, la medida del radio es la mitad del diámetro.
Raíz de un polinomio: Se llama raíz de un polinomio a aquellos valores de la variable para los cuales el valor numérico del polinomio es cero.
Rango: En estadística la diferencia entre el mayor y el menor valor en un conjunto de datos.
Reciprocidad: Correspondencia mutua entre una entidad y otra (aplicada usualmente a números o expresiones)
Rectángulo: Cuadrilátero con 4 ángulos rectos, en triángulos aquél que tiene un ángulo recto.
Resta: diferencia.
Rombo: Paralelogramo con los cuatro lados congruentes.
Rotación: Movimiento en el plano perteneciente al conjunto de las isometrías, en el cual existe un punto fijo y un ángulo de rotación.
S
Sobreyectiva: Una función es sobreyectiva si cada elemento del codominio tiene preimagen en el dominio, de esa función.
Solución: Valor que toma una variable haciendo una ecuación verdadera.
Suplementarios: (ver ángulos suplementarios)
T
Traslación: Movimiento del conjunto de las isometrías que no tiene puntos fijos, ella tr aslada los puntos del plano según un vector dado.
Triángulo: Es un polígono plano de tres lados.
Triángulos
Que tanto sabes de triángulos
Los triángulos son polígonos de tres lados y tres ángulos, esto es; son figuras planas de tres lados. ¿Pero que son exactamente esto que llamamos lados? Bueno afirmaremos que los lados son segmentos de recta, es más los extremos de dichos segmentos serán llamados vértices de nuestro polígono. Trataremos de
conservar el hecho de que tanto las rectas, como semirrectas segmentos y ángulos son conceptos fundamentales cuya definición no se dará, pues serán tratados de igual forma que los axiomas; para ello supondremos que el lector ya conoce dichos elementos.
Regresando a los triángulos, vamos a reconocer innumerable cantidad de formas y tamaños para dichas figuras, pero vamos a reconocer también que todas ellas poseen características en común y a partir de ellas vamos a trabajar.
Clasificación de Triángulos según sus lados
Como dijimos anteriormente los triángulos poseen 3 lados, todos ellos además; ¿A qué nos referimos entonces al hablar de clasificación? Pues bien, los triángulos pueden ser agrupados observando ciertas características en cuanto a la medida de sus lados, o sea; un triángulo puede tener todos sus lados de igual medida, o dos de igual medida y uno de distinto largo, o bien los tres lados de distinta medida, y no cabe otra posibilidad, todos los triángulos quedarán en una de éstas 3 categorías. A ello nos referimos con clasificación según sus lados, ahora pasemos a los nombres de las mismas.
EQUILÁTEROS: Son los triángulos cuyos lados tienen todos la misma medida; otra característica importante de los mismos es que sus ángulos también miden lo mismo.
ISÓSCELES: Triángulos que tienen dos lados de igual medida, son además isoángulos, o sea; también tienen 2 ángulos que miden lo mismo, de hecho éstos son los ángulos correspondientes a los lados de igual medida.
ESCALENOS: Nos referimos ahora a la tercera opción, los triángulos cuyos lados tienen distinta medida, y por tanto sus ángulos también son de distinta amplitud.
¿Es ésta la única clasificación que existe en los triángulos? Pues no; existe una segunda clasificación que los agrupa según sus ángulos, y a ella vamos.
Clasificación de Triángulos según sus Ángulos
Según sus ángulos los triángulos pueden ser clasificados como: Acutángulos, rectángulos y obtusángulos. Para ello quizás sea bueno recordar a qué nos referimos. Los ángulos se separan en agudos, rectos y obtusos, entre otros (también existen los ángulos llanos y completos, de 180º y 360º respectivamente) junto con otras clasificaciones que seguramente se podrán llegar a encontrar. Lo importante para nosotros radica en éstos 3 tipos de ángulos que llevan a nuestra clasificación. Pero ¿Cómo distinguimos dichos ángulos? Los ángulos agudos son aquellos cuya amplitud es menor a 90º, mientras que si un ángulo mide exactamente 90º se llama ángulo recto, para el caso de que un ángulo supere los 90º estamos en presencia de un ángulo obtuso. Pero volvamos a los triángulos, ¿Cómo los clasificamos entonces? Bien, decimos que un triángulo es:
ACUTÁNGULO: Si tiene los 3 ángulos Agudos.
RECTÁNGULO: Si posee un ángulo Recto.
OBTUSÁNGULO: Si tiene un ángulo Obtuso
Pues bien, éstas son las 2 clasificaciones que vamos a tomar en cuanto a triángulos, cabe aclarar que son independientes una de otra, o sea podemos tener triángulos que se clasifiquen de una forma según sus lados y de cualquier otra según sus ángulos, a que me refiero: Pues bien, tomemos por ejemplo el caso de un triángulo isósceles, el mismo puede ser acutángulo (si sus 3 ángulos son agudos) rectángulo (si tiene un ángulo recto, y por tanto los otros 2 de 45 grados) o bien ser obtusángulo (con un ángulo obtuso). Las clasificaciones son entonces, independientes una de otra.
Propiedades importantes de los triángulos
Pues una de las principales propiedades de todo triángulo, y hecho fundamental que nos permitirá llegar a muchas conclusiones dice que: "La suma de los ángulos internos de un triángulo es siempre igual a 180º" o un ángulo llano. Ésta propiedad nos permite trabajar con triángulos llegando a interesantes conclusiones; si bien existen demostraciones sobre ésta propiedad, yo prefiero realizar con mis alumnos un sencillo ejercicio que nos permite visualizar éste hecho de forma inequívoca, tangible e irrefutable, sin pasar a tediosos cálculos y demostraciones.
Tómese para ello un trozo de cartulina y recorten un triángulo de cualquier forma y tamaño, realmente no importa nada de ésto, (siempre es recomendable que se tome un caso lo más general posible ya que si el triángulo es equilátero, alguien puede concluir que la propiedad se limita a éste caso en particular) Dibujen luego con un lápiz marcando los ángulos del triángulo, resaltando cuáles son, (éste paso no tiene que ver con el ejercicio en sí, pero facilita mucho el proceder más adelante) Una vez hecho ésto recorten el triángulo de forma que obtengan los 3 ángulos, y péguenlos uno al lado del otro, de manera que los vértices de los 3 coincidan y que los lados estén pegados uno al otro. ¿Que Obtenemos? Un ángulo llano, sin importar qué triángulo hallamos tomado.
Cómo es posible que mi explicación deje dudas, o simplemente por el hecho de que una imagen vale más que mil palabras, dejo un video ilustrativo que nos indica el proceder.
Propiedades de los Triángulos
Hemos formulado entonces una de las principales propiedades de los triángulos. Pero ¿Porqué es importante? Bien, vamos a trabajar con esta propiedad para identificar algunos hechos.
Triángulo Equilátero.
En un triángulo equilátero, los lados y ángulos son congruentes, o sea de la misma medida; y aunque eso no parezca de mayor importancia, vamos a notar que puede sernos de mucha utilidad. Veamos, si los ángulos del triángulo deben medir lo mismo, y la suma de los tres debe ser exactamente igual a 180°, esto implica que cada ángulo debe medir 180/3 o sea 60°, sin importar la medida de los lados!. Concluimos entonces que los triángulos equiláteros tienen tres ángulos de 60 grados cada uno.
Triángulo Isósceles.
Bueno, los triángulos isósceles no tienen una propiedad tan completa, en cambio sabemos que tienen 2 ángulos de igual medida y uno de distinta medida, que podemos concluir entonces; pues si se nos diera como dato la medida de uno de los ángulos, estaríamos en condiciones de establecer la medida de los otros dos, sin mayor complicación. Veamos como:
Vamos a suponer que el ángulo que nos dan como dato es uno de los congruentes, pues bien sabemos que el otro mide lo mismo, y sabemos que la suma de los 3 es 180 así que solamente debemos sumar los ángulos conocidos y restarle el resultado a 180 para conocer los 3 ángulos. Un ejemplo:
El ángulo A es de 40° y es congruente con B, pues entonces B=40° Si sumamos los dos el total es 80° que al restar a 180 obtenemos como resultado 100° que es la medida de C A+B+C=180°
Supongamos ahora que el ángulo que nos dan es el distinto, no será problema, pues si restamos 180 menos el dato obtenemos un número que sabemos que es el correspondiente a la suma de los dos ángulos iguales, así que procedemos a dividir este resultado entre 2 para obtener la medida de los ángulos congruentes. Ejemplo:
El ángulo B=70° siendo A y C congruentes. Entonces 180 - 70 = 110 con lo cual sabemos que A+C=110 pero además A=C por tanto 110/2=55 con lo cual A=C=55°
Pueden notar que no hay otro caso posible, ni otra solución distinta, o sea podemos saber la medida de todos los ángulos con saber la medida de uno de ellos.
Triángulo Escaleno.
Aquí el tema es un poco distinto, al ser los tres ángulos de distinta medida las conclusiones no son tan fáciles, aquí vamos a necesitar al menos la medida de 2 ángulos para poder encontrar el tercero, podemos igualmente usar esta propiedad que en varias situaciones puede ser muy útil como irán viendo en la medida que trabajen con triángulos.
Puntos y Rectas Notables de un Triángulo
A la hora de estudiar geometría y trabajar con triángulos, no podemos pasar por alto la posibilidad de realizar ciertos trazados y encontrar algunas propiedades notables. Bisectriz de un ángulo.
La bisectriz se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados de un ángulo, y si bien ésta es una definición muy elegante, nos va a resultar más útil saber que es la recta que divide a un ángulo en 2 de igual medida. Éste es el procedimiento para el trazado de la Bisectriz: Dado que un triángulo posee tres ángulos, podemos entonces trazar 3 bisectrices, lo curioso es que las 3 bisectrices concurren en un punto, o sea; las tres bisectrices determinan un único punto que se llama Incentro, éste punto que es siempre interior al triángulo, tiene la propiedad de ser el centro de la circunferencia inscripta al triángulo (la misma es tangente a los lados del triángulo).
Mediatriz de un segmento
La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos de un segmento, en particular nos será útil saber que es la recta perpendicular por el punto medio del segmento y ya que los lados de un triángulo son segmentos, podemos trazar tres mediatrices.
Éste es el procedimiento para el trazado de la Mediatriz:
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Propiedades de los Triángulos Puntos y Rectas Notables Todas las páginas Página 3 de 3 Puntos y Rectas Notables de un Triángulo
A la hora de estudiar geometría y trabajar con triángulos, no podemos pasar por alto la posibilidad de realizar ciertos trazados y encontrar algunas propiedades notables. Bisectriz de un ángulo.
La bisectriz se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados de un ángulo, y si bien ésta es una definición muy elegante, nos va a resultar más útil saber que es la recta que divide a un ángulo en 2 de igual medida. Éste es el procedimiento para el trazado de la Bisectriz:
Dado que un triángulo posee tres ángulos, podemos entonces trazar 3 bisectrices, lo curioso es que las 3 bisectrices concurren en un punto, o sea; las tres bisectrices determinan un único punto que se llama Incentro, éste punto que es siempre interior al triángulo, tiene la propiedad de ser el centro de la circunferencia inscripta al triángulo (la misma es tangente a los lados del triángulo).
Mediatriz de un segmento
La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos de un segmento, en particular nos será útil saber que es la recta perpendicular por el punto medio del segmento y ya que los lados de un triángulo son segmentos, podemos trazar tres mediatrices.
Éste es el procedimiento para el trazado de la Mediatriz:
Ya no será tan raro reconocer que las 3 mediatrices concurran en un punto, el mismo se llama Circuncentro, y es el centro de la circunferencia Circunscripta, o sea la circunferencia que contiene a los vértices del triángulo.
Medianas.
Las medianas son segmentos cuyos extremos son los vértices del triángulo y el punto medio del lado opuesto del triángulo, nuevamente concurren y el punto en cuestión se llama Baricentro, el Baricentro es el centro de masa del triángulo y tiene la propiedad de encontrarse a 2/3 de los vértices del triángulo tomando la medida sobre la mediana. Esto es, el Baricentro está al doble de distancia del vértice que del centro de el lado opuesto, en la mediana. El punto medio de los lados del triángulo, vale aclarar, se determina mediante el trazado de la mediatriz de los lados.
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Triángulos - Puntos y Rectas Notables Indice del artículo Triángulos Propiedades de los Triángulos Puntos y Rectas Notables
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A la hora de estudiar geometría y trabajar con triángulos, no podemos pasar por alto la posibilidad de realizar ciertos trazados y encontrar algunas propiedades notables. Bisectriz de un ángulo.
La bisectriz se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados de un ángulo, y si bien ésta es una definición muy elegante, nos va a resultar más útil saber que es la recta que divide a un ángulo en 2 de igual medida. Éste es el procedimiento para el trazado de la Bisectriz:
Dado que un triángulo posee tres ángulos, podemos entonces trazar 3 bisectrices, lo curioso es que las 3 bisectrices concurren en un punto, o sea; las tres bisectrices determinan un único punto que se llama Incentro, éste punto que es siempre interior al triángulo, tiene la propiedad de ser el centro de la circunferencia inscripta al triángulo (la misma es tangente a los lados del triángulo).
Mediatriz de un segmento
La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos de un segmento, en particular nos será útil saber que es la recta perpendicular por el punto medio del segmento y ya que los lados de un triángulo son segmentos, podemos trazar tres mediatrices.
Éste es el procedimiento para el trazado de la Mediatriz:
Ya no será tan raro reconocer que las 3 mediatrices concurran en un punto, el mismo se llama Circuncentro, y es el centro de la circunferencia Circunscripta, o sea la circunferencia que contiene a los vértices del triángulo.
Medianas.
Las medianas son segmentos cuyos extremos son los vértices del triángulo y el punto medio del lado opuesto del triángulo, nuevamente concurren y el punto en cuestión se llama Baricentro, el Baricentro es el centro de masa del triángulo y tiene la propiedad de encontrarse a 2/3 de los vértices del triángulo tomando la medida sobre la mediana. Esto es, el Baricentro está al doble de distancia del vértice que del centro de el lado opuesto, en la mediana. El punto medio de los lados del triángulo, vale aclarar, se determina mediante el trazado de la mediatriz de los lados.
Alturas
Las alturas son segmentos perpendiculares a los lados del triángulo que contienen al vértice opuesto, las mismas concurren en el Ortocentro que es el último punto notable que veremos.
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A la hora de estudiar geometría y trabajar con triángulos, no podemos pasar por alto la posibilidad de realizar ciertos trazados y encontrar algunas propiedades notables. Bisectriz de un ángulo.
La bisectriz se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados de un ángulo, y si bien ésta es una definición muy elegante, nos va a resultar más útil saber que es la recta que divide a un ángulo en 2 de igual medida. Éste es el procedimiento para el trazado t razado de la Bisectriz:
Dado que un triángulo posee tres t res ángulos, podemos entonces trazar 3 bisectrices, lo curioso es que las 3 bisectrices concurren en un punto, o sea; las tres bisectrices determinan un único punto que se llama
Incentro, éste punto que es siempre interior al triángulo, tiene la propiedad de ser el centro de la circunferencia inscripta al triángulo (la misma es tangente a los lados del triángulo).
Mediatriz de un segmento
La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos de un segmento, en particular nos será útil saber que es la recta perpendicular perpendicular por el punto medio del segmento y ya que los lados de un triángulo son segmentos, podemos trazar tres mediatrices.
Éste es el procedimiento para el trazado t razado de la Mediatriz:
Ya no será tan t an raro reconocer que las 3 mediatrices concurran en un punto, el mismo se llama Circuncentro, y es el centro de la circunferencia Circunscripta, o sea la circunferencia que contiene a los vértices del triángulo.
Medianas.
Las medianas son segmentos cuyos extremos son los vértices del triángulo y el punto medio del lado opuesto del triángulo, nuevamente concurren y el punto en cuestión se llama Baricentro, el Baricentro es el centro de masa del triángulo t riángulo y tiene la propiedad de encontrarse a 2/3 2 /3 de los vértices del triángulo tomando la medida sobre la mediana. Esto es, el Baricentro está al doble de distancia del vértice que del centro de el lado opuesto, en la mediana. El punto medio de los lados del triángulo, vale aclarar, se determina mediante el trazado de la mediatriz de los lados.
Alturas
Las alturas son segmentos perpendiculares a los lados del triángulo que contienen al vértice opuesto, las mismas concurren en el Ortocentro que es el último punto notable que veremos.
Algunas propiedades del Ortocentro son las siguientes:
El Ortocentro de un triángulo obtusángulo obtusángulo es exterior al triángulo El Ortocentro de un triángulo rectángulo es el vértice correspondiente al ángulo recto El Ortocentro de un triángulo acutángulo es interior al triángulo
V
Variable: letra usada en una expresión algebraica para representar un número no conocido.
Vértice: Es el punto de intersección entre dos lados consecutivos de un polígono.
Volumen: medida de capacidad en el espacio.
Introducción al Conjunto Natural
Los números naturales, son básicamente aquellos que utilizamos para contar. Nuestro sistema de numeración es el decimal (pues usamos los dígitos del 0 al 9). pero esto es una elección arbitraria que nada tiene que ver con los fundamentos de la matemática.
Es así por ejemplo que las computadoras operan con lenguaje binario (al menos hasta algunos años atrás) hoy se manejan con sistemas numéricos de base 16, podemos nombrar el sistema ternario, el octal y existen además muchos otros sistemas numéricos de los cuales pasaremos a detallar algunos a continuación. Los sistemas de numeración
Nombrábamos anteriormente el sistema numérico binario, el mismo utiliza ceros y unos únicamente, y es perfectamente posible realizar cualquier operación usando este sistema. Un muy simple ejemplo sería sumar 10 + 11 cuyo resultado en el sistema binario es 101.
Otros sistemas numéricos también utilizados en la actualidad consisten en el sistema duodecimal (se atribuye sus orígenes a la cantidad de falanges de los dedos sin contar el pulgar) hasta la fecha conservamos este sistema numérico cuando nos referimos a docenas, e incluso en los países de habla inglesa se mantienen vestigios (1 pie = 12 pulgadas o un chelín = 12 peniques).
El sistema sexagesimal (base 60) utilizamos para medir el tiempo, en fin lejos de abarcar todos los posibles sistemas numéricos existentes o siquiera aquellos de los que aún se utilizan partes nos limitamos a estos ejemplos con pequeñas reseñas, veremos si es aceptado, podríamos profundizar e incluso nombrar algunos otros que ustedes mismos también pueden investigar.
Otro detalle a tener en cuenta es que estos sistemas numéricos antes nombrados, es que son posicionales, (una misma cifra cambiará de valor dependiendo de su posición) pero existieron otros que no tenían esta característica, por ejemplo los números romanos, en los que los símbolos no cambiaban de valor según su posición.
Algunos ejemplos de números romanos son el I, V, X, L, C, M, que representan el uno, cinco, diez, cincuenta, cien y mil respectivamente, este sistema se volvió obsoleto por la gran dificultad que ofrecía para operaciones con números relativamente altos, por ejemplo imagine multiplicar 489 por 760 en números romanos.
Lo cierto es que el sistema decimal de numeración está extendido actualmente y con él trabajaremos en gral.
Las operaciones
Los números naturales tienen definidas 2 operaciones sin restricciones, estas son la adición y el producto (suma y multiplicación respectivamente) podemos luego trabajar con la sustracción y el cociente pero con restricciones, es así que para poder realizar una sustracción en el conjunto de los números naturales el primer número llamado minuendo debe ser mayor o igual al segundo (sustraendo), pues en caso contrario la operación no tiene resultado Natural.
Similarmente el cociente tiene algunas particularidades introduciendo el concepto de división entera y división exacta. (la primera posee resto no nulo)
Para aprender a operar con los naturales es preciso manejar las "tablas" de multiplicación, las mismas ya sean como un cuadro (vista inferior) o como una lista, nos facilitarán ampliamente el trabajo. 1
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Más adelante continuaremos extendiendo los temas y trabajaremos ejercicios y problemas. Algo mas formal
En Matemáticas, existen dos convenciones para el conjunto de los números naturales: es o bien el conjunto de los enteros positivos { 1 , 2 , 3 , ... } de acuerdo a la definición tradicional; o el conjunto de los enteros no negativos { 0, 1, 2, 3, ... } de acuerdo con la definición cuya aparición data del siglo XIX; Los Números Naturales tienen dos grandes propósitos: contar("si hay 6 monedas en la mesa") y ordenar ("es la tercera ciudad en importancia"). Estos usos se relacionan a las nociones lingüísticas de cardinal y ordinal, respectivamente. Las propiedades de los números naturales relacionadas con la divisibilidad, tales como la distribución de los números primos, se estudian en la "teoría de los números". Los problemas concernientes al conteo y el orden, tales como orden de subconjuntos, se estudian en combinatoria.
Historia de los números naturales y el status del cero. Los números naturales tuvieron sus orígenes en las palabras usadas para contar cosas, comenzando con el número 1. El primer avance importante en la abstracción fue el uso de numeración para representar cantidades, esto permitió que se desarrollaran sistemas para registrar grandes cantidades. Los antiguos Egipcios desarrollaron un poderoso sistema de numeración con distintos jeroglíficos para el 1 y el 10 y todas las potencias de 10 hasta el millón. Los Babilonios tenían un sistema posicional basado esencialmente en las posiciones de los números 1 y 10.
Un avance mucho más tardío en la abstracción fue el desarrollo de la idea del 0 como un número con su propio cardinal. El dígito cero había sido usado en notaciones posicionales en épocas tan tempranas como el 700 AC por los Babilonios, pero ellos lo omitían cuando éste ocupaba el último lugar en los números. Los Olmecas y los Mayas usaron el 0 como número aparte en el siglo 100 AC pero su uso no se extendió mas allá de Mesoamérica. El concepto usado en tiempos modernos se originó con el matemático Indio Brahmagupta en el 628. Sin embargo los calculistas medievales (como las personas ocupadas en determinar la fecha de la pascua), comenzando con Dionysius Exiguus en el 525, usaron el 0 como número sin usar el sistema romano para escribirlo, en vez de ello usaban nullus, el término en Latín para "nada". El primero estudio sistemático de los números como entidades abstractas se les acredita a los filósofos Griegos Pitágoras y Arquímedes, Nótese que para muchos matemáticos griegos el 1 no era considerado como un número, así que para éstos el 2 era el menor número. Muchas definiciones en teoría de conjuntos naturales se desarrollaron en el siglo XIX. Con esas definiciones se consideraba conveniente incluir el 0 (correspondiente al cardinal del conjunto vacío) como número natural. Incluir el 0 es ahora una convención normal entre estudiosos de la lógica y la teoría de conjuntos así como en las ciencias de la computación. Los matemáticos usan N o \mathbb{N} para referirse al conjunto de los números naturales. Este conjunto se llama infinito numerable, (infinito pero contable) por definición . Esto también se expresa diciendo que el cardinal del conjunto es aleph sub cero (\aleph_0). Para no ser ambiguos con la teoría acerca de si el cero pertenece al conjunto o no se agrega un sub 0 o un *
\mathbb{N}_0 = \{ 0, 1, 2, \ldots \}; \quad \mathbb{N}^* = \mathbb{N}_1 = \{ 1, 2, \ldots \}.
Propiedades Algebraicas
La adición (suma) y el producto (multiplicación) de números naturales poseen varias propiedades algebraicas. Clausura en la adición y producto, para cualquier par de naturales a y b, tanto a + b como a x b son números naturales. Asociatividad: para toda terna a, b, c, se cumple que a + (b + c) = (a + b) + c y a x (b x c) = (a x b) x c Conmutatividad: para todos los naturales a y b, se cumple que a + b = b + a , a x b = b x a
Existencia de neutro: para cada natural a se tiene que a + 0 = a y a x 1 = a Propiedad distributiva de la multiplicación con la adición de naturales a, b, y c tenemos que a × (b + c) = (a × b) + (a × c) Absorción: Si a y b son números naturales y se tiene que a x b = 0 entonces o bien a = 0 o b = 0.
Propiedades.
Uno puede definir recursivamente la adición de números naturales estableciendo a + 0 = a y a + S(b) = S(a + b) para todo a y b. Aquí S debe leerse como "siguiente". Esto convierte a los números naturales (N, +) en un monoide conmutativo, con elemento neutro 0, es entonces llamado monoide libre con un generador. Este monoide satisface la propiedad concelativa y puede ser incluido en un grupo. El grupo más pequeño que contiene a los naturales es el conjunto de los Enteros. Si definimos a 1 como S(0), entonces b + 1 = b + S(0) = S(b + 0) a ≤ b= S(b). que es b + 1 o simplemente el
siguiente de b. Análogamente a la adición se puede definir el producto x tal que a × 0 = 0 y a × S(b) = (a × b) + a. Esto convierte a (N*, ×) en un monoide libre conmutativo con elemento neutro 1; un a ≤ b, then a + c ≤ b + c and ac ≤ bcconjunto gen erador para este monoide es el conjunto de los números primos. La adición y el
producto son compatibles, como se demuestra en la ley distributiva a × (b + c) = (a × b) + (a × c). Esas propiedades del producto y de la adición hacen de los naturales una instancia de un semianillo conmutativo. Los semianillos son una generalización algebraica de los números naturales donde el prducto no es necesariamente conmutativo. La falta de inversos aditivos, lo que es equivalente al hecho de que N no es cerrado bajo la sustracción, significa que N no es un anillo, en vez de esto es un semianillo.
Más adelante se define un "orden total" en los números naturales, escribiendo que a ≤ b si y sólo si existe
otro número natural c tal que a + c = b. Este orden en los naturales es compatible con la idea de las operaciones aritméticas en el sentido de lo siguiente: su a, b y c son números naturales y a ≤ b, entonces a + c ≤ b + c y ac ≤ bc. Una propiedad importante de los números naturales es que son "bien ordenados": todo
conjunto no vacío de números naturales tiene primer elemento, el rango entre conjuntos bien ordenados se expresa con un ordinal, para los naturales éste se simboliza por "ω".
Mientras no siempre es posible dividir un natural entre otro obteniendo así otro natural como resultado, el procedimiento de dividir con resto existe como sustituto, para cualquier par de números naturales a y b con b ≠ 0, podemos hallar q y r únicos tal que a = bq + r and r < b.
El número q es llamado cociente y r es el resto de la división entre a y b, estos valores quedan unívocamente determinados.
Axiomática de Peano
Los axiomas de Peano dan una teoría formal de los números Naturales. Estos son:
Existe un número natural 1 Todo número natural a tiene un siguiente, llamado S(a). Intuitivamente S(a) = a + 1 No existe natural cuyo siguiente sea 1 Dados 2 naturales distintos, éstos tienen siguientes también distintos si a ≠ b, entonces S(a) ≠ S(b).
Si 1 cumple una propiedad y ésta es cumplida por los siguientes de todos los naturales que la cumplen, entonces la propiedad se cumple para todos los números naturales. (este postulado asegura la validez de la inducción completa.)
Fracciones
La idea general en el trabajo con fracciones involucra una serie de conocimientos que van desde la necesidad de conocer los elementos que la componen, que representa una fracción, que es una fracción mixta, fracción unitaria, fracción impropia, fracción reducible, fracción irreducible, fracción homogénea, fracción heterogénea, fracción entera o aparente, fracción compuesta, fracciones equivalentes, como se simplifican las fracciones, como se reducen, los procedimientos para calcular el común denominador, como se opera con fracciones, conversión de fracciones a decimales.
Las palabras enlazan a la definición según nuestro glosario matemático, puedes allí encontrar muchos más términos si los necesitas.
Que es una fracción
En matemáticas, una fracción, o número fraccionario, o quebrado es la expresión de una cantidad dividida entre otra; es decir que representa un cociente (división) no efectuado de números. De esta definición podemos observar un detalle importante, una fracción nunca puede tener el denominador 0.
Elementos que Componen una Fracción
El número que ocupa la parte superior en una fracción se llama NUMERADOR y el número que ocupa la parte inferior se llama DENOMINADOR, como dijimos antes una fracción representa una división, el numerador se divide entre el denominador, de esta forma es necesario que el denominador sea distinto de cero (pues no se puede dividir entre cero en matemática).
\frac{NUMERADOR}{DENOMINADOR}
Que Representa una fracción
Pues lo ya dicho, representa una división, podemos decir también que representa cantidades que no están completas, o que las describe por sus partes, me refiero a que un medio es una fracción, que describe la mitad de algo.
Cómo se Simplifican las fracciones
Veamos, para simplificar una fracción, primero necesitamos que sea reducible, sino la fracción ya está simplificada, o sea que reducir y simplificar son muy parecidos, la diferencia es que al simplificar obtenermos la mínima fracción equivalente.
Pero ¿Qué es simplificar? Es encontrar la menor fracción equivalente.
¿Cómo lo logramos? Debemos dividir tanto el numerador como el denominador por la misma cantidad
¿Qué cantidad? La respuesta adecuada es el máximo común divisor o sea un número que divida tanto al numerador como al denominador, si encontramos el MCD lo podemos hacer en un solo paso, sino podríamos realizarlo en varios pasos encontrando los divisores comunes.
Por ejemplo
\frac{120}{50}
Los divisores de 120 son
d(120)={2,4,6,8,10,12,20,24,40,120} d(50)={2,10,25,50}
En ambas listas se repiten el 2 y el 10, pero el mayor de los 2 es el 10 por lo que la fracción se puede reducir dividiendo el numerador entre 10 y el denominador entre 10 para obtener \frac{12}{5} que es una fracción irreducible.
OPERACIONES CON FRACCIONES, SUMA Y RESTA
¿Cuáles son los procedimientos para calcular el denominador Común?
Existen varios procedimientos, usualmente trabajo 2 en clase: 1.- Encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores y luego escribir las fracciones equivalentes que poseen esos denominadores.
2.- Multiplicar los denominadores entre sí, luego escribir las fracciones equivalentes con sus nuevos denominadores.
Pero ¿Porqué calculamos el denominador común? simple, porque no pueden sumarse ni restarse fracciones que no sean homogéneas.
Luego de que las fracciones fr acciones sean homogéneas se procede a sumar (o restar) los numeradores, el resultado es el numerador de la fracción final que además es homogénea a las otras otr as (o sea que también tiene el mismo denominador).
PRODUCTO
Para multiplicar fracciones, únicamente debemos multilpicar los numeradores entre sí y los denominadores entre sí: \frac{2}{5}\times \frac{3}{8}=\frac{6}{40}
COCIENTE
Dividir dos fracciones se puede realizar como el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda y viceversa (producto cruzado) o se multiplica la primera por la inversa de la segunda. Ej.
\frac{7}{4}\div \frac{3}{6}= \frac{7}{4}\times \frac{6}{3}=\frac{42}{12}
CONVERSIÓN DE FRACCIONES A DECIMALES
Esto se realiza dividiendo el numerador entre el denominador, nuestro resultado es la expresión decimal de la fracción.
Las Fracciones Egipcias
Fracciones Unitarias
Cuando los antiguos Egipcios dividían la tierra, por ejemplo por una herencia, utilizaban lo que ahora se ha dado en llamar fracciones unitarias {1\over 2}, {1 \over 7},{1\over 22} etc.
Para ello las fracciones como 3 \over 4 no se pensaban como 3 sobre 4 sino como {1\over 2}+{1 \over 4} por ejemplo, así que una persona que fuera dueña de las 3/4 partes de un terreno en realidad tenía la mitad más la cuarta parte.
El detalle es que ellos siempre usaban la máxima fracción posible antes de sumar el faltante por lo que no existían operaciones del tipo {1\over 4}+{1\over 4}+{1\over 4} o {1\over 5}+{1\over 6}+{1\over 6}.
Ahora algunas fracciones son simples de expresar de esa forma y otras son más complejas {6\over 5} ={1\over 2}+{1\over 3} mientras que {3\over 16} ={1\over 8}+{1\over 16} Un problema
Un lindo grupo de fracciones para ser expresadas como fracciones Egipcias son aquellas cuyo numerador es 2 prueba escribir {2\over 3},{2\over 5}+{2\over 11}
Luego seguramente has podido encontrar un patrón que te permita fácilmente expresar {2 \over 107}
Solución al problema del 28/6 Números Perfectos
La respuesta es: 2026 es el número no perfecto; vayamos al porqué
Como decíamos en la letra del problema, un número perfecto deberá ser igual a la suma de sus divisores (incluido el 1) de allí que al probar cada número de la lista tengamos que los divisores de: Leer más...
solucion fracciones unitarias Soluciones a Fracciones Egipcias
{2\over 3}= {1\over 2}+{1\over 6}
{2\over 5}= {1\over 3}+{1\over 15}
{2\over 11}= {1\over 6}+{1\over 66}
La técnica la veremos usando la primera fracción, ella consiste en: Hallar la mayor fr acción unitaria menor que {2\over 3} en este caso {1\over 2} ahora para determinar la porción que falta debes restar las fracciones {2\over 3}- {1\over 2}={4\over 6}-{3\over 6}={1\over 6}
Ahora observemos el algoritmo:
Suma uno al denominador original y luego divídelo entre 2, para así obtener el denominador de la primera fracción unitaria.
Multiplica este número por el denominador de la fracción original para obtener el segundo denominador, y listo!
Probemos con nuestra fracción {2\over 107}
107+1=108 ,
108 : 2 = 54,
54x107 = 5778 por lo tanto
{2\over 107}={1\over 54}+{1\over 5778} Teorema de Pitágoras
Como siempre la introducción de un tema como el Teorema de Pitágoras es delicado, vale decir que procederemos situándonos en el contexto histórico y hablaremos un poco del personaje, para luego
formular la hipótesis y dejar un video con una demostración sumamente interesante por ser accesible y clara.
Pitágoras
Hablamos de un matemático y filósofo griego nacido en la isla de Samos, en el 582 antes de Cristo, vale decir que los personajes históricos conocidos de la época eran personas instruídas en var ias artes, con conocimientos muy generales de muchas ciencias como astronomía, música, literatura, etc. Nuestro personaje ha pasado a la historia por sus aportes a la matemática y geometría, que si bien casi todo el mundo reduce al trabajo en triángulos, en realidad fue mucho más variado que el estudio de esas figuras.
Entre los aportes más conocidos de los llamados Pitagóricos están:
Una prueba del teorema de Pitágoras. Si bien no descubrieron este teorema (ya era conocido y aplicado en la India y Babilonia desde hacía mucho tiempo), fueron los primeros en encontrar una demostración formal al teorema. También demostraron el inverso del teorema (si los lados de un triángulo cumplen con la premisa, entonces el triángulo es rectángulo). Ternas pitagóricas. Una terna pitagórica es una trío de números enteros (a, b, c) tales que a² + b² = c². Aunque los babilonios ya sabían cómo generar tales ternas en ciertos casos, los estudiantes de la escuela pitagórica extendieron el estudio del tema encontrando resultados como cualquier entero impar es miembro de una terna pitagórica primitiva. Sin embargo, la solución completa del problema se atribuye a Fibonacci en el siglo XIII quien encontró la forma de generar todas las ternas pitagóricas posibles
Sólidos regulares. Los pitagóricos descubrieron el dodecaedro y demostraron que únicamente existen 5 poliedros regulares.
Números perfectos. Estudiaron los números perfectos, es decir aquellos números que son iguales a la suma de sus divisores propios (por ejemplo 6=1+2+3). Encontraron una fórmula para obtener ciertos números perfectos pares.
Números amigables. Un par de números son amigables si cada uno es igual a la suma de los divisores propios del otro. Jámblico atribuye a Pitágoras haber descubierto el par amigable (220, 284).
Números irracionales. El descubrimiento de que la diagonal de un cuadrado de lado 1 no puede expresarse como un cociente de números enteros marca el descubrimiento de los números irracionales.
Medias. Los pitagóricos estudiaron la relación entre las medias aritmética, geométrica y armónica de dos números y obtuvieron la relación \frac{2ab}{a+b}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}.
Números figurados. Un número es figurado (triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etc.) si tal número de guijarros se pueden acomodar formando el polígono correspondiente con lados 1,2,3, etc.
El teorema de Pitágoras
el teorema establece que:
dado un triángulo rectángulo (que tiene un ángulo recto o de 90º) la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
a^2= b^2 + c^2
La demostración del teorema de Pitágoras es clara y entendible a mi parecer, con la ventaja del video para poder verla tantas veces como crean conveniente, 6 minutos que no tienen desperdicio..
Los Números Enteros
El conjunto de los Números Enteros se forman a partir de los enteros positivos, el cero y los enteros negativos (hay quien refiere a los naturales y no a los enteros positivos, aceptaremos que los conjuntos son isomorfos {o sea que tienen la misma forma}), podríamos describirlos como un subconjunto de los números Reales que pueden ser escritos sin parte decimal o fraccionaria o sea {... -2 ,-1, 0, 1, 2, ...} Este conjunto usualmente se representa mediante la letra \mathbb{Z} que proviene del término Zahlen (alemán para números) y forman (con la adición como operación) el menor grupo que contiene al monoide aditivo de los números naturales; e igual que éstos forman un conjunto infinito numerable.
Propiedades Algebraicas de los Enteros
Como los números naturales, \mathbb{Z} es cerrado bajo las operaciones de adición y producto, esto es la suma y producto de dos enteros es un entero. Sin embargo con la inclusión de los números negativos y el cero (a diferencia de los naturales) los enteros también son cerrados bajo la sustracción. \mathbb{Z} no es cerrado bajo la división, ya que el cociente de dos enteros no siempre es entero.
Adición
Multiplicación
Clausura
a + b es entero
a × b es entero
Asociatividad
a + (b + c) = (a + b) + c
a × (b × c) = (a × b) × c
Conmutatividad:
a + b= b +a
a × b= b ×a
Existencia de elemento neutro:
a+0=a
a×1=a
Existencia de opuesto:
a + (−a) = 0
usualmente no existe inverso
Propiedad distributiva:
a × (b + c) = (a × b) + (a × c) y (a + b) × c = (a × c) + (b × c)
Propiedad de absorción:
If a × b = 0, entonces a = 0 o b = 0 (o ambos)
En el lenguaje del algebra abstracta, las propiedades antes citadas para la adición nos dicen que \mathbb{Z} es un grupo abeliano bajo esta operación. Es más, todas las afirmaciones anteriores (excepto la última) permiten afirmar que los enteros son un anillo conmutativos con unidad bajo la adición y el producto. Con el agregado de la última propiedad se puede afirmar que \mathbb{Z} es un dominio integral y de hecho motiva este tipo de estructura. La falta de inverso en el producto, lo que es equivalente a afirmar que \mathbb{Z} no es cerrado para el cociente, indica que \mathbb{Z} no es un campo. De hecho el menor campo que contiene a los enteros es el campo de los números racionales. Aunque la división ordinaria no está definida en \mathbb{Z}, el conjunto posee una importante propiedad llamada algoritmo de la división, esto es; dados 2 enteros a y b (con b distinto de 0) existen únicos enteros q y r tales que a=bxq +r con 0 ≤ r < | b | donde | b | significa el valor absoluto de b. El entero q es llamado
cociente y r resto de la división. Esto es la base para el algoritmo de Euclides para calcular máximo comùn divisores.
Propiedades de Orden de los Números Enteros
\mathbb{Z} es un conjunto totalmente ordenado sin límite superior o inferior. El orden de \mathbb{Z} está dado por ... -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 ... Un entero es positivo si es mayor que cero y negativo si es menor que cero, el cero no es positivo ni negativo. El orden de los enteros es compatible con las operaciones algebraicas de la siguiente manera 1.- si a < b y c < d entonces a + c < b + d 2.- si a < b y 0 < c entonces ac < bc de los que se deduce que Z con el orden definido es un anillo ordenado
Construcción de los números Enteros
El conjunto de los números enteros puede ser formalmente construido como las clases de equivalencia de pares ordenados de números naturales (a, b) La intuición marca que (a, b) referirá al resultado de restar a b, por supuesto que esta definición obliga a que los enteros representados por 1-2 y 4-5 sean el mismo número, para confirmar esto definiremos una relación ~ sobre estos pares con las siguientes características (a, b) ~ (c, d) si a + d = b + c La adición y el producto de enteros pueden definirse como equivalentes a las vistas en el conjunto de los números naturales, notando [(a, b)] a los representantes de la clase de quivalencia que mantiene a (a, b) como miembro, se tiene que: [(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)] [(a, b)] . [(c, d)] = [(a.c +b.d, a.d + b.c)] el inverso aditivo de un entero se obtiene cambiando el orden del par - [(a, b)] = [(b , a)] de manera que la sustracción se puede definir como la adición del inverso aditivo: [(a, b)] - [(c, d)] = [(a + d, b + c)]
el orden de enteros estaría dado por [(a, b)] < [(c, d)] si y solo si a + d < b + c Se puede verificar fácilmente que estas definiciones funcionan independientemente del par representativo de la clase de equivalencia que usemos. Cada clase de equivalencia tiene un único miembro de la forma (n, 0) o (0, n) o ambos. El mismo puede usarse como representante de la clase de equivalencia correspondiente teniendo en primer caso representado al entero n y en segundo caso a -n, de esta forma recuperamos una notación mas amigable para representar a los enteros (haciendo corresponder a los naturales con los enteros positivos) lo que resulta en una notación mas familiar.
Cardinalidad de los Enteros
La cardinalidad del conjunto de los números enteros es igual a \aleph_0 (aleph-null). Lo que se puede demostrar construyendo una biyección entre los enteros y los naturales
Si N = {0, 1, 2, ...}
considere la función:
f(x) = \begin{cases} 2|x|, & \mbox{if } x < 0 \\ 0, & \mbox{if } x = 0 \\ 2x-1, & \mbox{if } x > 0. \end{cases}
{ ... (-4,8) (-3,6) (-2,4) (-1,2) (0,0) (1,1) (2,3) (3,5) ... }
Si N = {1,2,3,...} entonces considere la función:
g(x) = \begin{cases} 2|x|, & \mbox{if } x < 0 \\ 2x+1, & \mbox{if } x \ge 0. \end{cases}
{ ... (-4,8) (-3,6) (-2,4) (-1,2) (0,1) (1,3) (2,5) (3,7) ... }
Si se restringe el dominio a los enteros, entonces la función hace corresponder uno y sólo un natural a cada entero que se define y por definición de igualdad cardinal ambos conjuntos deberán tener igual cardinal (cantidad de elementos). Número Racional
En matemática un Número Racional es cualquier número que se pueda expresar como el cociente a/b de dos enteros, con el denominador b distinto de cero. Dado que b puede ser igual a 1, cada entero puede considerarse como un número racional. El conjunto de todos los números racionales se denota usualmente con una \mathbb{Q}, que proviene de la palabra Inglesa "quotient".
La expresión decimal de un número racional es de la forma
r=\sum_{i=0}^\infty \frac{a_i}{10^i}
ésta siempre terminará en una cantidad finita de dígitos o repetirá una secuencia infinita, o sea cualquier número decimal con representación finita o siguiendo un patrón representa a un número racional. Esta afirmación es cierta no sólo al trabajar en base 10, sino en cualquier base entera que podamos trabajar.
Los Números Racionales pueden ser definidos formalmente como las clases de equivalencia del conjunto ZxN / ~, donde el producto cartesiano ZxN es el conjunto de todos los pares ordenados (m,n) donde m es un entero y n es un número natural (recordemos que 0 no es natural), y ~ es la relación de quivalencia definida según (m1,n1) ~ (m2,n2) si y sólo si m1n2 − m2n1 = 0.
En álgebra abstracta, los números racionales junto con las operaciones de adición y producto, forman un cuerpo. En análisis matemático, los números racionales forman un subconjunto denso de los números reales. Los números Reales pueden ser construidos a partir de los números racionales por comletitud, usando series de Cauchy o Entornos de Dedekind.
El cero dividido cualquier natural es igual a cero, por lo cual cero es un número racional (aunque la división entre 0 no esté definida).
Aritmética de los Racionales
Dos números racionales a/b y c/d son iguales si y sólo si
Dos números racionales se suman de la siguiente manera
\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}.
ad=bc.
El producto consiste en:
\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.
Los opuestos e inversos en los racionales consisten en
- \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} \quad\mbox{and}\quad \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a} \mbox{ if } a \neq 0.
Por último el cociente de racionales está dado por
\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}.
Algunas Propiedades del Conjunto de los Números Racionales
El conjunto racional \mathbb{Q} junto con la adición y el producto forman un campo. Este conjunto es infinito numerable, (dado que el conjunto de los reales es infinito no numerable, podemos afirmar que casi todos los reales son irracionales) en relación a la medida de Lebesgue el conjunto de los números racionales tiene medida 0. El conjunto de los números racionales es densamente ordenado, esto es dados dos racionales siempre podremos encontrar infinitos racionales contenidos entre ellos. Es más cualquier
conjunto ordenado numerable y denso que no tenga primer o último elemento, se dice que es isomorfo con el conjunto de los racionales (tiene la misma forma)
Número Real Introducción a los Números Reales
________Si bien existen varios métodos para introducir a los números Reales, tomaremos dos que consideramos fundamentales.
El primero, es el dado por el proceso histórico; esto es, la introducción de los números naturales y sus operaciones junto con los procesos que fueron dando lugar a la construcción de los distintos conjuntos (Enteros, Racionales, etc) explorando y dando solución a las limitaciones formales y de operatoria que se iban sucediendo. Según esta concepción entonces, las limitaciones en la sustracción en el conjunto de los naturales dieron lugar a la definición del conjunto de los Enteros, y a su vez las limitaciones en el cociente de enteros llevó a la necesidad de los números Racionales, un paso menos intuitivo es el dado para lograr la definición y/o necesidad de los números reales. Los griegos, en la antigüedad se ocupaban de resolver problemas matemáticos y estudiar las propiedades de los números, gracias a ellos es que nosotros llegamos a conocer su importancia y a desarrollar las actuales teorías numéricas .
Es así que se atribuye a los griegos, por sus estudios en geometría; el planteo de la necesidad de ampliar los conjuntos conocidos hasta el momento, si bien ellos nunca llegaron a una construcción formal de los Reales, notaron por ejemplo que la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos tenían medida 1, no correspondía con ningún número conocido (no se podía representar como cociente de un entero y un natural) o la relación dada entre la medida del radio de un círculo y la medida de su circunferencia (pi) tampoco corresponde a un número Racional.
De allí la necesidad de definir un nuevo conjunto de números llamados "irracionales" (por no pertenecer al conjunto de los racionales) que podríamos sin ser formalistas, definir como aquellos que no pueden ser representados como cociente de un Entero y un Natural. (recuérdese que ésta era la def. de los Racionales).
Más adelante y mediante trabajos que no vale la pena profundizar en éste momento, se llegó a la conclusión que los irracionales superan ampliamente en cantidad a los números racionales. Sin embargo lo
que nos convoca en éste momento es el conjunto que obtenemos como unión de los racionales y los irracionales llamado Conjunto de los Números Reales. Éstos se notarán mediante el símbolo \mathbb R y tienen definidas las operaciones hasta ahora vistas (adición, sustracción, cociente y producto) sin restricciones (excepto por el cociente entre 0 que no está definido) y algunas otras que se trabajarán.
La segunda teoría, que data del siglo XIX, es la que detalla una construcción basada en 10 axiomas, y todas las propiedades de los números Reales están entre ellos o se deducen a partir de los mismos.
Ésta es una construcción formal; basada entonces en axiomas, en la que tendremos en cuenta que mientras no se exprese otra cosa, cualquier letra minúscula representa a un número Real. Los axiomas se agrupan en 3 grupos, los axiomas de cuerpo, axiomas de orden y del extremo superior (llamado también axioma de completitud o de continuidad). Axiomas de Cuerpo de los Números Reales
Junto con el conjunto de números reales se supone la existencia de dos operaciones llamadas adición y producto, tales que a cada par de reales a y b les corresponde un número real que queda únivocamente determinado por ellos.
AXIOMA 1 Propiedad Conmutativa x + y = y + x, x.y = y.x
AXIOMA 2 Propiedad Asociativa x + (y + z) = (x + y) + z , x(y.z) = (x.y)z
AXIOMA 3 Propiedad Distributiva x(y + z) = x.y + x.z
AXIOMA 4 Existencia de elementos Neutros: Existen dos números reales distintos, que se indican por 0 y 1, tales que para cada número real x se tiene: x + 0 = 0 + x = x y 1.x = x.1 = x.
AXIOMA 5 Existencia de Negativos. Para cada número real x existe un número real y tal que x + y = y + x = 0
AXIOMA 6 Existencia del Recíproco: Para cada número real x<> 0 existe un número real y tal que x.y = y.x = 1
De lo anterior podemos deducir las leyes usuales del Álgebra básica, en esta ocasión representadas como teoremas.
Teoremas
1.. Ley de Simplificación de la Adición: Si a + b = a + c entonces b=c (a partir de lo cual podemos probar la unicidad del 0)
2.. Posibilidad de la Sustracción: Dados a y b existe uno y sólo un x tal que a + x = b. El mismo se nota por b a. En particular 0 - a se nota -a y se denomina opuesto de a.
3.. b - a = b + (-a)
4.. -(-a) = a
5.. a(b - c) = a.b - a.c
6.. 0.a = a.0 = 0
7.. Ley de simplificación del producto. Si a.b= a.c y a<>0 entonces b=c (también podemos demostrar que el 1 es único con esta premisa)
8.. Posibilidad de la División. Dados a y b con a <> 0, existe uno y sólo un x tal que a-x = b. La x se designa por b/a y es llamada cociente de b y a. En particular 1/a se nota también a^-1 y se llama recíproco de a.
9.. Si a <> 0 entonces b/a = b. a-¹
10.. Si a<> 0 entonces (a-¹)-¹ = a
11.. Si a.b = 0 entonces o a = 0 o bien b = 0.
12.. (-a).b = -(a.b) y (-a).(-b) = a.b
13.. (a/b) + (c/d) = (a.d + bc)/(b.d) si b y d <> 0
14.. (a/b)(c/d) = (a.c)/(b.d) si b y d <> 0
15.. (a/b)/(c/d) = (a.d)/(b.c) si b , d y c <> 0
Axiomas de Orden de los Números Reales
Este grupo de axiomas establece un orden entre los números reales. Según este orden se puede decidir si un real es mayor o menor que otro. Nuevamente veremos aquí la necesidad de trabajar con conceptos que no vamos a probar, por ser conceptos primitivos, en este caso el de positivo.
Suponemos que existe cierto subconjunto R+ incluido en R, llamado conjunto de los reales positivos que satisfacen 3 axiomas de orden
AXIOMA 7 Si x e y pertenecen a R+, lo mismo ocurre con x + y y x.y
AXIOMA 8 Para todo real x <> 0, o bien x pertenece R+ o -x pertenece a R+, pero no ambos
AXIOMA 9
0 no pertenece a R+
A partir de ésto se puede definir los símbolos <, > ,≤y ≥ llamados respectivamente menor que, mayor que,
menor o igual y mayor o igual de la siguiente manera x < y significa que y - x es positivo y>x significa que x
Introducción a La Estadística
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La Estadística es el estudio de los fenómenos aleatorios. Una definición por demás simple, aunque los procedimientos necesarios para alcanzar éste objetivo no comparten necesariamente tal característica.
Para desarrollar este trabajo se necesita obtener y procesar datos experimentales para por medio de ellos sacar conclusiones. A este proceso se le conoce como inferencia estadística, en éste contexto consideramos la inferencia como un razonamiento inductivo (generalización) ya que nuestro trabajo va de lo particular a lo general.
Como paso fundamental es necesario entender el concepto de población y muestra, la población es la colección de toda posible información que caracteriza a un fenómeno, como verán para la estadística el concepto de población tiene un significado mucho más amplio del que se le da en el lenguaje común; de esta manera consideramos una población a un conjunto finito (aunque puede ser muy grande) de datos acerca de algo de nuestro interés.
Por otro lado una muestra es un subconjunto representativo seleccionado de una población. Nuestro principal interés recae en el concepto de muestra representativa; una buena muestra debe reflejar las características esenciales de la población de la cuál se tomó. Parte importante de la estadística es asegurar que cada observación de la población tenga la misma oportunidad de estar incluida en la muestra. Tales procesos llamados muestreos, permiten llegar a una muestra aleatoria, ésta se usará para calcular ciertos valores de la muestra llamadas estadísticas y a partir de las estadísticas se realizan inferencias acerca de ciertas características de la población que se denominan parámetros.
Como es notorio vemos presentes en nuestra exposición inicial una cantidad importante de conceptos, que deberán conocerse bien; para luego llegar a aplicarlos a situaciones complejas.
Cualquier proceso de inferencia, trae aparejado la posibilidad de errores, nunca se podrá suponer algo con una seguridad del cien porciento, sin embargo el proceso utiliza como herramienta para calcular su grado de confiabilidad la probabilidad, o sea que en cada proceso de inferencia se calcula la probabilidad de que la misma sea correcta.
Representación Gráfica
.En Estadística
Para poder visualizar los datos relevados y sacar algunas conclusiones primarias, podemos utilizar las gráficas como una herramienta útil, para ello aclaremos algunos conceptos. Para identificar los patrones en un conjunto de datos es necesario agrupar las observaciones en un número relativamente pequeño de clases que no se superpongan entre sí, de forma que no haya datos superpuestos. El número de observaciones de una clase recibe el nombre de frecuencia de la clase, mientras que el cociente de la frecuencia con respecto a las observaciones totales se llama frecuencia relativa. Al graficar la frecuencia relativa contra sus respectivos intervalos en forma de rectángulos obtenemos el llamado histograma de frecuencias relativas o distribución de frecuencia relativa. El número de clases que se usará dependerá de la cantidad de datos con los que trabajemos, para una pequeña cantidad de observaciones podemos usar unas 5 clases, para valores muy importantes podemos usar hasta 12 o a lo sumo 15 clases, igualmente cada caso debe estudiarse de forma independiente, ya que si mantenemos grandes agrupaciones de datos en una única clase podemos estar afectando nuestra lectura de los posibles resultados.
Podríamos detenernos en detalles como las longitudes de las clases (generalmente serán iguales salvo que los datos lo ameriten) o la forma más adecuadoa de establecer los límites de cada clase (para no t ener observaciones que puedan caer en 2 clases a la vez) pero eso alargaría demasiado nuestro tema y confiamos en el uso de la razón o el estudio exhaustivo cuando el caso lo necesite.
Medidas Numéricas
Además de las gráficas, muchas veces se utilizan algunas medidas que nos aportarán datos importantes para ampliar nuestra lectura de las observaciones. Existen 2 medidas de interés para cualquier conjunto de datos, donde se ubica el centro y la variación de los datos. La tendencia central como se la conoce es la disposición par agruparse alrededor de algún o algunos datos en particular, la variabilidad es la dispersión de los mismos datos. Existen principalmente 3 medidas de tendencia central la moda, la mediana y la media.
La moda de un conjunto es el valor que se repite con mayor frecuencia en el conjunto. La mediana es el valor para el cual, al ordenar los datos de forma creciente quedan la mitad de los valores de un lado y la otra mitad de el otro lado de dicho valor. La media es el promedio aritmético. Vale aclarar que en lo anterior nos referimos a los llamados datos no agrupados; esto es, todavía no se han agrupado las observaciones en clases. Los problemas mas frecuentes que conllevan estos datos son: La moda: puede ser que en una cantidad pequeña de datos no haya repetidos, o incluso que varios se repitan la misma cantidad de veces. La mediana: requiere que los datos estén ordenados, lo que lleva trabajo en muestras grandes (en especial sin la ayuda de ordenadores) La media:por sus características puede ser seriamente afectado por observaciones remotas.
Todos estos valores tienen su forma especial de calcularse cuando los datos están agrupados, o sea
Media: \overline x = \frac{x_1f_1 + x_2 f_2 + x_3 f_3 +.....+x_n f_n}{N} o f_i}{N}
\sum^n_{i=1} \frac{x_i
siendo x_i punto medio de la clase y f_i es la frecuencia de esa clase, N es la suma de las frecuencias totales.
Mediana: L + c(\frac{j}{f_m}) siendo L limite inferior de la clase donde se encuentra la mediana y f_m la frecuencia de esa clase, c la longitud de esa clase y j el número de observaciones de esta clase, necesarias para completar n/2.
Es por todo esto que en general no se encuentran solas en el estudio de muestras sobre poblaciones sino acompañadas de otras medidas.
La varianza s² de las observaciones es el promedio del cuadrado de las distancias entre cada observación y la media del conjunto de observaciones.
La varianza es una medida razonable de la variabilidad aunque también puede sufrir grandes cambios por la existencia de valores extremos. La raíz cuadrada positiva de la varianza se conoce como desviación estándar s. La desviación media D.M. Es el promedio de los valores absolutos de las diferencias entre cada observación y la media de las observaciones. El recorrido R de las observaciones es la diferencia entre el valor más grande y el más pequeño.
Teoría de Conjuntos
La Teoría de conjuntos, es una importante rama de las matemáticas creada por el matemático alemán Georg Cantor, su estudio e importancia es fundamental en el estudio de la matemática, pilar fundamental del tema funciones entre otroste
Un conjunto es una colección de objetos distintos y no ordenados, (que podemos llamar elementos) y es considerado un objeto en sí mismo. Los conjuntos son considerados uno de los conceptos matemáticos más fundamentales. Aunque en realidad no el término no fue inventado hasta finales del siglo XIX, la teoría de conjuntos es parte ineludible en la matemática de hoy y puede ser usada como base para casi cualquier concepto matemático actual. Una de las herramientas principales para enseñar conjuntos son los diagramas de Venn más que nada por su utilidad visual.
Se atribuye a Georg Cantor la invención de la teoría de conjuntos, y dió la anterior definición al comienzo de su libro Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. Los elementos o miembros de un conjunto pueden ser números, personas, letras del alfabeto, otros conjuntos, etc. Los conjuntos son notados por convención con letras mayúsculas y podemos afirmar que dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si contienen precisamente los mismos elementos. Como se discutirá, la definición anterior resulta inadecuada para las matemáticas formales; en vez de eso la noción de conjunto se toma como un concepto primitivo no definido en la teoría axiomática de conjuntos, y sus propiedades son definidas por los axiomas de Zermelo-Fraenkel. Las propiedades básicas de los conjuntos son que tienen elementos, y que 2 conjuntos con iguales si y sólo si tienen los mismos elementos.
Describiendo Conjuntos
Existen dos formas de describir un conjunto o especificar sus elementos. La primera es por comprensión, usando una regla o descripción que los defina: A es el conjunto cuyos elementos son los primeros cuatro números positivos. B es el conjunto de los colores de la bandera Francesa.
La segunda por extensión, esto es una lista de cada uno de los elementos. Una definición por extensión aparecerá rodeando con llaves los elementos del conjunto. C = { 4, 2, 1, 3 } D = {azul, blanco, rojo} Algunos detalles importantes son: cada elemento de un conjunto debe ser único, no puede haber dos idénticos y el orden de los mismos es irrelevante (a diferencia de las sucesiones o series) porque la definición por extensión sólo refiere al hecho de que cada elemento listado pertenece al conjunto. Para conjuntos con muchos elementos, esta notación puede ser abreviada usando puntos suspensivos ... Por ejemplo el conjunto de los primeros mil positivos sería { 1, 2, 3,..., 1000} donde los paréntesis indican que la lista continúa siguiendo el patrón obvio. También se usan puntos suspensivos cuando el conjunto tiene infinitos elementos lo que sería para el conjunto de números pares {2, 4, 6, 8, ...}. La notación con llaves también es usada para los conjuntos definidos por comprensión, en éste caso las llaves significan el conjunto de "todos..." aunque su desarrollo es un poco mas complejo. Por ejemplo el conjunto F de los 20 menores naturales son F= {n ∈ N/ 0 < n < 21} En esta notación la barra / significa "tal que" (también se usa ":"). Cualquiera de las dos formas se pueden usar indistintamente; por ejemplo en los casos anteriores A=C y B=D.
Pertenencia
La relación clave entre conjuntos es la pertenencia, (cuando un conjunto es elemento de otro). Si a pertenece a B, se indica A ∈ B, mientras que si C no pertenece a B entonces C ∉ B. Por ejemplo en los conjuntos anteriores podemos decir que: 4 ∈ A pero 39 ∉ F.
Subconjuntos
Si todo elemento del conjunto A es también elemento del conjunto B, se dice que A es subconjunto de B y se nota A ⊆ B (también se dice que a está contenido en B). De forma equivalente podríamos decir que B ⊇ A o que B contiene a A. La relación entre conjuntos definida de ésta forma se llama inclusión. Si A es subconjunto de B pero no es igual se llama a A subconjunto propio de B (A ⊂ B). Ejemplo: El conjunto de todos los hombres es subconjunto propio del conjunto de las personas. { 1 , 3 } ⊂ {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}
Otro conjunto importante en la teoría de conjuntos es el conjunto vacío ∅ (conjunto sin elementos) una propiedad importante del mismo es que el conjunto vacío es subconjunto de todos los conjuntos. También es importante detallar que cualquier conjunto es subconjunto de sí mismo, esta propiedad resulta muy útil para demostrar que 2 conjuntos son iguales. A = B si y solo si A ⊆ B y B ⊆ A.
Conjunto de Partes
El conjunto de partes de un conjunto S es el conjunto de todos los subconjuntos de S. Esto incluye los subconjuntos formados por todos los miembros de S y el conjunto vacío. Si un conjunto finito S tiene
cardinal n, entonces su conjunto de partes tiene cardinal 2n. La notación usada para el conjunto de partes es P(S). Si un conjunto S es infinito (numerable o no numerable) entonces su conjunto de partes siempre es no numerable. Es más, si S es un conjunto, entonces jamás se puede establecer una biyección entre S y P(S). O en otras palabras P(S) es siempre estrictamente mayor que S.
Como ejemplo el conjunto de partes de {1, 2, 3} es {{1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, ∅}. La cardinalidad del conjunto original es 3, y la del conjunto de partes es 2³= 8.
Cardinalidad
La cardinalidad |S| de un conjunto es "el número de elementos de S". Por ejemplo, como la bandera de Francia tiene tres colores, |B|= 3. Existe un conjunto único que no contiene elementos y cuyo cardinal es 0, éste es llamado conjunto vacío (o conjunto nulo) y se nota por el símbolo ∅. Por ejemplo el conjunto de todos los cuadrados de 3 lados es vacío. Aunque parezca trivial la existencia de este conjunto es fundamental para la teoría axiomática de conjuntos. Algunos conjuntos tienen cardinalidad infinita. El conjunto de los números naturales por ejemplo, es más algunos cardinales infinitos son mayores que otros. Por ejemplo, el conjunto de los números reales tiene un cardinal mayor que el conjunto de los números naturales. Sin embargo se puede demostrar que la cantidad de puntos en una línea recta tiene el mismo cardinal que cualquier segmento de ella, o que el plano, o que cualquier espacio euclidiano de dimensiones finitas.
Conjuntos Especiales
Existen algunos conjuntos que tienen gran importancia matemática y que se nombran tan regularmente en la teoría de conjuntos que tienen nombres especiales y se adoptaron convenciones especiales para referirse a ellos. Alguno de ellos son:
P que es el conjunto de los números primos
N conjunto de los números Naturales Z conjunto de los números Enteros. Q conjunto de los números Racionales R conjunto de los números Reales. C conjunto de los números Complejos
Cualquiera de los anteriores tiene infinitos elementos, y cada uno de ellos puede considerarse como un subconjunto de los siguientes en la lista.
Operaciones Básicas
Existen algunas operaciones Básicas que permiten construir conjuntos nuevos a partir de otros dados. Unión de Conjuntos
La unión de 2 conjuntos A y B se nota como A ∪ B y es el conjunto de todos los elementos de A y B. Ejemplo {1, 2} ∪ {rojo, blanco} ={1, 2, rojo, blanco}. Algunas propiedades básicas de la unión:
* A ∪ B = B ∪ A. * A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
* A ⊆ (A ∪ B). * A ∪ A = A. * A ∪ ∅ = A. * A ⊆ B if si y solo si A ∪ B = B.
Intersección de Conjuntos
Se diría que es el nuevo conjunto determinado por los elementos que los dos elementos primitivos tienen en común. La intersección de A y B, notado como A ∩ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecena a A y a B. Si tenemos que A ∩ B = ∅ entonces se dice que A y B son disjuntos.
Ejemplos
* {1, 2} ∩ {rojo, blanco} = ∅. * {1, 2, verde} ∩ {rojo, blanco, verde} = {verde}. * {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}
Algunas propiedades básicas de las intersecciones:
* A ∩ B = B ∩ A. * A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
* A ∩ B ⊆ A. * A ∩ A = A. * A ∩ ∅ = ∅.
* A ⊆ B if si y solo si A ∩ B = A.
Complemento de un Conjunto
El complemento relativo de B y A (también llamado diferencia teórica de A y B), notada como A\B o (A - B) es el conjunto de todos los elementos que son miembros de A pero no de B. En algunos casos todos los conjuntos a trabajar serán subconjuntos de un conjunto particular llamado conjunto universal U. En esos casos U\A es llamado el complemento absoluto y simplemente complemento de A y se nota A'
Ejemplos {1, 2} \ {1, 2} = ∅. {1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.
Algunas propiedades básicas del complemento * A \ B ≠ B \ A. * A ∪ A′ = U. * A ∩ A′ = ∅. * (A′)′ = A.
* A \ A = ∅. * U′ = ∅ and ∅′ = U.
* A \ B = A ∩ B′.
Una extensión del complemento es la diferencia simétrica, definida para conjuntos A y B
A Δ B = (A \ B) U (B \ A). Un ejemplo de diferencia simétrica de {7,8,9,10} y {9,10,11,12} es el conjunto
{7,8,11,12}.
Producto Cartesiano de Conjuntos
Un nuevo conjunto puede ser construido mediante la asociación de cada elemento de un conjunto con los elementos de otro. El produclto cartesiano de A y B, notado como A x B es el conjunto de todos los pares ordenados (a,b) tal que a es elemento de A y b es elemento de B. Ejemplo: {1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}. Algunas propiedades básicas del producto cartesiano son: * A × ∅ = ∅. * A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C). * (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).
Si A y B son conjuntos infinitos.
* | A × B | = | B × A | = | A | × | B |.
Aplicaciones
La teoría de conjuntos es vista como la cimentación desde donde deriva la matemática. Por ejemplo, estructuras en álgebra abstracta, tales como grupos, campos y anillos, son conjuntos cerrados sobre una o más operaciones.
Una de las aplicaciones de la teoría de conjuntos es ca construcción de relaciones. Una relación entre un dominio A y un codominio B es un subconjunto del producto cartesiano de A x B. Dado este concepto, rápidamente se puede ver que el conjunto F de todos los pares ordenados (x, x²) donde x es real, es bastante familiar. Tiene como dominio el conjunto R y como codominio al mismo R, porque el conjunto de los cuadrados es subconjunto del conjunto de los reales. Si colocamos esto en notación funcional, la relación se convierte en f(x)= x². La razón de que estas dos notaciones sean equivalentes es que para cualquier valor real dado donde la función está definida su correspondiente par ordenado (x,x²) es miembro de F.
La teoría Axiomática
La necesidad de la teoría axiomática radica en las limitaciones que existen en la definición de conjunto y en la existencia de algunas "paradojas" amplamente trabajadas por algunos de los más importantes matemáticos. La paradoja de Russel Muestra que el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos no existe. La paradoja de Cantor Muestra que el conjunto de todos los conjuntos no puede existir.
Principales Fundamentos de Algebra
El álgebra es una de las ramas de las matemáticas que estudia los conjuntos las relaciones y las estructuras que los vinculan, usualmente se trabaja con variables en vez de números y se focaliza la importancia en las relaciones y las estructuras algebraicas. Las estructuras en sí son conjuntos de elementos con ciertas propiedades operacionales, o sea un conjunto con operaciones definidas y las propiedades que dichas operaciones poseen.
Las operaciones mantienen algunas leyes de composición interna y el conjunto se define no vacío.
A nivel secundario, el tema es menos formal, y el álgebra se convierte en el estudio de estructuras como expresiones algebraicas, monomios, ecuaciones y sistemas de ecuaciones (lineales), y las propiedades de las operaciones conocidas en los conjuntos numéricos, adición, sustracción, cociente, producto, radicación y potencia.
El paso al trabajo con letras es el que parece configurar el mayor problema en los estudiantes, las incógnitas no son del todo intuitivas y las operaciones entre cosas que no sean números parecen fantasías. Siempre además es recurrente el problema de la traducción del lenguaje común al matemático, la adquisición de tales capacidades son las que permiten la formulación de reglas generales que dan forma a la construcción de la matemática.
Debemos tener claras las propiedades de las operaciones en los conjuntos de números y fomentar el desarrollo de la capacidad de abstracción necesaria para trabajar en álgebra a este nivel. Ecuaciones
Una ecuación es una afirmación matemática que establece la igualdad de dos expresiones. Las ecuaciones consisten entonces de expresiones que deben ser iguales en ambos lados de una igualdad como por ejemplo en:
5x +3 = 1
Uno de los usos de las ecuaciones es en identidades matemáticas, afirmaciones que son verdaderas independientemente de los valores de las variables contenidas en ellas. Por ejemplo para cualquier valor dado de x es cierto que :
x (x-1) = x^2-x\,.
aquí bastará únicamente aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma para obtener la segunda expresión a partir de la primera.
Otras formas de Ecuaciones
Sin embargo las ecuaciones pueden pueden ser correctas también para ciertos valores de la variable, en este caso se pueden resolver; esto es, encontrar los valores que satisfacen la igualdad. Por ejemplo considérese lo siguiente:
x^2-x = 0\,.
Ésta ecuación es verdadera para dos valores de la variable x, éstas son las soluciones de la ecuación. Para este caso , las soluciones son x=0 y X=1.
¿Cómo se obtuvieron? en primer lugar se utilizó la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma, vale aclarar que a veces se conoce a este procedimiento extraer el factor común, esencialmente, en realidad utilizamos la propiedad antedicha dado que como en éste capítulo mismo establecemos la igualdad equipara las expresiones a ambos lados y por tanto se establece una reciprocidad, obtendremos entonces:
x(x-1)=0
desde allí se dividió la expresión en 2 partes, dado que el producto de 2 valores sólo puede ser igual a cero, si uno de ellos lo es o bien ambos.
x=0  \lor  (x - 1) = 0
Con las expresiones anteriores pasamos a aplicar las propiedades de las ecuaciones.
x-1+1 = 0+1
x=1
Muchos matemáticos reservan el término ecuación exclusivamente para las expresiones de la segunda forma, para referirse a una igualdad que no es una identidad. La diferencia entre estos dos conceptos puede ser sutil; por ejemplo:
(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1\,
es una identidad, mientras que:
(x + 1)^2 = 2x^2 + x + 1\,
es una ecuación con soluciones x = 0 y x = 1. Determinar si una expresión supone ser una identidad o una ecuación es un tema usualmente del contexto. En algunos casos, se distingue mediante el uso de el singo (=) para las ecuaciones y el símbolo (\equiv) para las identidades.
Las letras al comienzo del alfabeto como a, b, c usualmente determinan constantes en el contexto que estamos manejando, mientras que las letras al final del alfabeto, como x, y, z se reservan para las variables, una convención iniciada por Descartes.
Propiedades de Las Ecuaciones
Si una ecuación se reconoce como verdadera, las siguientes operaciones pueden ser usadas de manera que se obtenga una ecuación equivalente.
1.- Cualquier cantidad puede ser sumada a ambos lados de la igualdad 2.- Cualquier cantidad podrá ser restada a ambos lados de la igualdad 3.- Cualquier cantidad podrá ser multiplicada a ambos lados 4.- Cualquier cantidad (no nula) podrá dividirse a ambos lados. 5.- En general cualquier función puede ser aplicada a ambos lados de la igualdad. (Sin embargo se deberán tomar precauciones para no encontrarse con soluciones extrañas a nuestra ecuación)
Las propiedades de 1 a 4 implican que la igualdad es una relación de congruencia de un campo. El sistema numérico mejor conocido que permite todas las anteriores operaciones, es el conjunto de los números reales, (que es un ejemplo de un campo). Sin embargo si la ecuación se basara en números naturales (por ejemplo) alguna de éstas operaciones (como la división o sustracción) pueden resultar inválidas, dado que los negativos o las fracciones no estarían definidas para nuestra ecuación.
Si se aplica una función no inyectiva a ambos lados de la igualdad de una ecuación verdadera, la ecuación resultante será todavía verdadera, pero puede resultar de menor utilidad. Formalmente, uno obtiene una implicación, no una equivalencia, por lo que el conjunto solución se verá afectado (será mayor).
De hecho las anteriores propiedades son las que utilizamos para resolver una ecuación, formalmente vamos obteniendo equivalentes a la expresión original, hasta el punto en que se obtiene una solución "evidente".
vayamos a algunos ejemplos:
2x-1=5
la misma se transformará la ecuación usando las propiedades, de manera que;
2x - 1 + 1=5 + 1
2x = 6
\frac{2x}{2}= \frac{6}{2}
x=3
que es la solución evidente.
vamos a trabajar con las ecuaciones, ya no con tanto detalle, dejando para el lector el trabajo de identificar las propiedades usadas:
1.- 10x -3 = 6 \to 10x = 9 \to x= \frac{9}{10}
2.- 5x - 2 = 14 \to 5x = 16 \to x=\frac{16}{5}
3.- 3x + 9 = 6x - 4 \to 6x-3x = 4 + 9 \to 3x = 13 \to x=\frac{13}{3}
4.- 12 + 3x = 0 \to 3x = -12 \to x=-4
5.- 19x - 4 = 4 + 30x \to 11x=0 \to x=0
Algunos detalles; hemos trabajado con ecuaciones reales (o sea con solución real) de otra manera, si nos encontráramos trabajando en el conjunto de los números enteros por ej. las ecuaciones anteriores no tendrían solución (o no tendrían solución entera para ser más exactos). Siempre será importante que se conozca el conjunto sobre el que se está trabajando. En gral en nuestro trabajo acordaremos que se tratará con el conjunto de los números reales a menos que se explicite lo contrario.
Recopilación de Fórmulas Interesantes
Ecuaciones
Ecuación de 1º grado
ax+b=0
Ecuaciones de 2º grado siendo a b y c los coeficientes de la ecuación.
ax^2+bx+c=0
ax^2+c=0
ax^2 +bx = 0
Ecuaciones bicuadradas:
ax^4 + bx^2 + c = 0 Ecuaciones Simétricas:
de grado par:
ax^4+bx^3 +cx^2 +bx + a = 0
dividimos la ecuación entre x²
ax^2 + bx + c + \frac{b}{x} + \frac{a}{x^2}
extraemos factor común:
a(x^2 +\frac{1}{x^2}) + b(x+\frac{1}{x}) + c = 0
realizamos luego un cambio de Variable:
z= (x + \frac{1}{x})
az^2 + bz + c = 0
Solucionamos ahora la ecuación en z y deshacemos el cambio de variables.
de grado impar:
Estas ecuaciones aceptan la raíz -1, con ella y utilizando el método de Ruffini obtendremos una ecuación simétrica de grado par que se resuelve como en el caso anterior. Ecuaciones Hemisimétricas:
Las ecuaciones hemisimétricas son de tipo particular, hablamos de ecuaciones cuyos coeficientes son opuestos; esto es; tienen igual valor absoluto, pero signo diferente.
Observemos un ejemplo:
5x^4 - 3x^3 + 2x^2 + 3x - 5 = 0 los coeficientes de la ecuación, mantienen una simetría, tal como en el caso de las ecuaciones simétricas, pero el signo de los términos simétricos es opuesto. la resolución de este tipo de ecuaciones es simple, para ello debemos conocer el método de resolución de ecuaciones simétricas y el método de Ruffini. Para resolver ecuaciones hemisimétricas:
de grado impar:
Debemos saber que estas ecuaciones aceptan la raíz 1, con ella y utilizando el método de Ruffini obtendremos una ecuación simétrica de grado par que se resuelve con un cambio de variable.
de grado par:
Dichas ecuaciones aceptan la raíz 1 y -1 , con ellas con el método de Ruffini obtendremos una ecuación simétrica de grado par que se resuelve como tal.
Relación entre Coeficientes y Raíces
Ecuación de segundo grado (se recuerda que α, β y γ son las raíces de las ecuaciones)
\alpha + \beta = \frac{-b}{a}
\alpha x \beta = \frac{c}{a}
Polinomios
En general para un polinomio de grado n P(x)=
a_1x^1 + a_2x^2 + a_3x^3 + ..... + a_nx^n
descomposición factorial
P(x)= a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)...
Cuestiones prácticas para los cálculos de raíces de polinomios:
Si la suma de los coeficientes de un polinomio es igual a 0 entonces el polinomio acepta la raíz 1.
Si la suma de los coeficientes de los términos de grado par es igual a la suma de los coeficientes de grado impar entonces el polinomio acepta raíz -1, vale aclarar que el término independiente se considera de grado par.
Si un polinomio carece de término independiente entonces acepta raíz 0.
Si P(α)=0 entonces α es raíz de P(x)
P(x) es divisible entre (x- α) entonces α es raíz de P(x).
Teorema de la raiz Racional:
Si un polinomio de coeficientes reales admite una raíz entera, ésta debe ser un divisor del término independiente.
Teorema:
Si un polinomio de coeficientes reales acepta una raíz compleja, entonces también acepta como raíz su conjugada.
Raíces Comunes
Si α es raíz común de dos polinomios A(x) y B(x), es también raíz de una combinación lineal de ellos.
Si α es raíz común de A(x) y B(x), entonces es también raíz del resto de la división entre los polinomios.
Ley del Resto:
El resto que resulta de dividir un polinomio entre un binomio de la forma x-α es igual al valor numérico que adopta el polinomio cuando x=α.
Sistemas de Ecuaciones
En matemáticas un sistema de ecuaciones lineales (o sistema lineal) es una colección de ecuaciones lineales que involucran al mismo conjunto de variables. Por ejemplo
\left{ \begin{array} 3x+2y= 7 \\ 5x - y=3 \end{array}
Es un sistema de 2 ecuaciones con las variables x e y. La solución a un sistema lineal es la asignación de números a la variable, de forma tal que todas las ecuaciones queden simultáneamente satisfechas. Una solución al sistema anterior es
x=1\hspace{15} y=2
El conjunto de todas las soluciones posibles a un sistema se llama conjunto solución. Los sistemas lineales pueden comportarse de 3 maneras posibles:
1.- El sistema tiene una única solución (sistema compatible determinado)
2.- El sistema tiene infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado) 3.- El sistema no tiene solución (sistema incompatible)
Resolución de
Sistemas de Ecuaciones
Existen 3 métodos para resolver sistemas de ecuaciones, éstos son: por reducción, por sustitución y método gráfico. Podríamos utilizar el método de escalerización de Gauss-Jordan, pero es material para otro capítulo. En general, para la resolución de sistemas de hasta 4 ecuaciones, los anteriores serán suficientes.
Método por reducción:
Tomemos el ejemplo anterior para resolver nuestro sistema y así obtener el valor de la variable x, procederemos como se detalla a continuación:
\left{ \begin{array} 3x+2y= 7 \\ 5x - y=3 \end{array}
\left{ \begin{array} 3x+2y= 7 (x5)\\ 5x - y=3 (x3) \end{array}
\left{ \begin{array} 15x+10y= 35 \\ 15x - 3y=9 \end{array}
\left{ \begin{array} 15x+10y= 35 \\ 15x - 3y=9 \\ \overline{ \hspace{40} 13y = 26} \end{array}
ahora debemos obtener el valor de la variable y
13y=26 \Rightarrow y= \frac{26}{13} \Rightarrow y=2
luego procedemos de igual forma para obtener el valor de x
Con ésto hemos resuelto nuestro sistema, ya que hemos obtenido los valores de las variables para los cuales las ecuaciones se pueden resolver de manera satisfactoria.
En las siguientes páginas estudiaremos otros métodos que podemos utilizar para resolver un sistema, siempre que el mismo no contenga más de 4 ecuaciones, y paso a explicar, los métodos que se trabajan a nivel secundario, no se ven limitados en cuanto a su utilidad, sino en cuanto a su efectividad, me refiero a que Uds podrán resolver un sistema de ecuaciones lineales con los métodos aquí propuestos, pero en algunos casos, resultará mucho más práctico el uso de otros, que por su complejidad se incluirán en un artículo aparte.
Resolución
de Sistemas de Ecuaciones
Método por sustitución
El mismo ejemplo del comienzo nos permitirá utilizar el nuevo método, en este caso vamos a despejar una incógnita en una ecuación para luego sustituir el valor en la otra (podemos usar cualquier ecuación y cualquier incógnita):
\left{ \begin{array} 3x+2y= 7 \\ 5x - y=3 \end{array}
despejamos el valor de y de la segunda ecuación.
y=-3 + 5x
ahora sustituyamos el valor obtenido en la primera ecuación.
3x+2(-3+5x) = 7
aplicaremos ahora propiedad distributiva:
3x - 6 +10x = 7
y operando tenemos
13x = 13
a partir de aquí utilizaremos las técnicas aprendidas para solucionar una ecuación simple hasta tener
x = \frac{13}{13}
x=1
la operación será repetida luego para el valor de y, se procederá con la sustitución en la primera ecuación y mediante las operaciones ya trabajadas llegaremos al resultado deseado.
Resolución
de Sistemas de Ecuaciones
Método Gráfico
El método gráfico es el de menor aplicación de los 3, el motivo es que sólo podremos usarlo para sistemas de 2 ecuaciones y los valores de las soluciones deberán ser enteros para obtener un resultado utilizable.
Nuestro sistema se basa en el hecho de que las ecuaciones lineales, representan una recta (como su nombre lo indica) nuestra ventaja es que al graficar esas rectas en un par de ejes coordenados podemos identificar la solución de forma visual, ya que no es otra cosa que el punto de intersección de las 2 rectas.
El valor de x será la abcisa del punto intersección, y el valor de la variable y será la ordenada del mismo punto, quedando así identificados los valores de las variables. Nuestras desventajas como verán, es que si el punto a determinar no tiene coordenadas enteras, o nuestro trazado no es perfecto, tendremos errores en los cálculos o impresiciones que los otros métodos no incluyen.
Resolución
de Sistemas de Ecuaciones _
_ Regla de Cramer o método de los determinantes
Usada para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales:
Un pequeño repaso, como sabemos la regla de Cramer es un método para resolver Ecuaciones Lineales, el mismo plantea que:
x_j=\frac{\det(A_j)}{\det(A)}
En la práctica sustituimos el vector de soluciones por el vector de la incógnita que queremos despejar, así en el sistema
\left\{\begin{array}{rcl}2x-3y=-6\\x+2y=11\end{array}
Primero hallaremos la matriz A y su determinante
A=\begin{pmatrix}2&-3\\1&2\end{pmatrix}
\det(A)=\left|\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right|
\left|\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right|=4-(-3)=7
luego cambiamos la primera columna por el vector de resultados y calculamos
\left|\begin{matrix}-6&-3\\11&2\end{matrix}\right|=-12-(-33)=21
aplicando entonces nuestra regla x=\frac{\det(A_x)}{\det(A)} o sea
x=\frac{\det(A_x)}{\det(A)}=\frac{21}{7}=3
luego procedemos igual para y
y=\frac{\det(A_y)}{\det(A)}
\left|\begin{matrix}2&-6\\1&11\end{matrix}\right|=22-(-6)=28
y=\frac{\det(A_y)}{\det(A)}=\frac{28}{7}=4
Soluciones:
x=3\hspace{9px}y=4 Resolución de
Sistemas de Ecuaciones
Método de escalerización de Gauss Jordan
Si bien el método anterior resulta cómodo y fácil de usar una vez que se conoce cómo se calculan los determinantes de una matriz, es complicado de usar para matrices de cierto tamaño, de hecho ya para matrices de 4x4 el proceso se hace largo y tedioso.
Para este tipo de problemas podremos usar el método de escalerización de Gauss-Jordan. El mismo plantea que podemos operar con las filas o columnas de una matriz (las diagonales también pero no vienen al caso) es mas, podemos operar con combinaciones lineales de filas de una matriz y si lo hacemos de forma correcta, mantenemos nuestro resultado, veamos la m atriz:
\left\{\begin{array}{rcl}-3x+4y-3z=4\\6x-2y+5z=0\\9x-5y+3z=7\end{array}
Procederemos a operar con las filas de la matriz, obedeciendo una serie de reglas simples: 1.- Podemos multiplicar o dividir una fila por un número, pero siempre afectaremos a todos los coeficientes de la fila (incluso el resultado) 2.- Podemos restar o sumar 2 filas, operando miembro a miembro (vamos a utilizar esto para eliminar coeficientes)
Terminaremos cuando hallamos obtenido o una matriz triangular (con 0 debajo de la diagonal principal) o incluso una matriz diagonal (este es el procedimiento completo, pero como es más largo procederemos con un híbrido).
Retomemos nuestro sistema
\left\{\begin{array}{rcl}-3x+4y-3z=4\\6x-2y+5z=0\\9x-5y+3z=7\end{array}
Pasémoslo a forma matricial
\left(\begin{array}{ccc|c}-3 &+4&-3&4\\6&-2&+5&0\\9&5&+3&7\end{array}\right)
Tomaremos ahora la primera fila y la multiplicaremos por 2 para obtener:
-6x+8y-6z=8 que usaremos para sumarla a la segunda fila para eliminar la x
\begin{array}-6x+8y-6z=8\\6x-2y+5z=0\\ \hline 0+6y-1z=8\end{array}
resultado que colocamos en la segunda columna:
\left(\begin{array}{ccc|c}-3 &+4&-3&4\\0&+6&-1&8\\9&5&+3&7\end{array}\right)
Ahora procederemos a multiplicar la primera columna por 3 y sumarla a la tercera (eliminamos la x también de esa fila)
\begin{array}-9x+12y-9z=12\\9x-5y+3z=7\\ \hline 0+7y-6z=19\end{array} logrando
\left(\begin{array}{ccc|c}-3 &+4&-3&4\\0&+6&-1&8\\0&+7&6&19\end{array}\right)
vemos que ya tenemos 2 ceros en la primera columna, sólo resta eliminar un valor más y tendremos nuestra matriz triangular, para ello tomaremos la segunda fila multimplicada por -7 y la tercera por +6
\begin{array}0-42y+7z=-56\\0+42y-36z=114\\ \hline 0+0y-29z=58\end{array}
resultado que tomará el lugar de la tercera fila en la matriz
\left(\begin{array}{ccc|c}-3 &+4&-3&4\\0&+6&-1&8\\0&+0&29&58\end{array}\right)
Bueno ahora el proceso es simple, de la última fila despejamos z para obtener que es iguala 2 procedemos a sustituir nuestro resultado en la ecuación anterior y despejando obtenemos y, luego con el mismo método y las 2 incógnitas ya calculadas obtenemos x.
Soluciones:
\left\{\begin{array}{rcl}x=2\\y=1\\z=-2\end{array}
Operaciones con monomios
Suma de Monomios
Sólo podemos sumar monomios semejantes .
La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.
axn + bx n = ( a + b) x n
2x² y³ z + 3x² y³ z = 5x² y³z
Si los monomios no son semejantes se obtiene un polinomio.
2x² y³ + 3x²y³ z³ = 2x² y³ + 3x²y³ z³
Producto de un número por un monomio
El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número.
5 · 2x² y³z = 10x² y³ z
Producto de monomios
El producto de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando entre sí las partes literales teniendo en cuenta las propiedades de las potencias.
axn · bx m = ( a · b)x n +m
5x²y³z · 2y²z² = 10 x² y⁵ z³
Cociente de monomios
El cociente de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo entre sí las partes literales teniendo en cuenta las propiedades de las potencias
axn : bxm = ( a : b)xn−m
Potencia de un monomio
Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de éste, al exponente de la potencia.
( axn) m = a m · x n·m
( 2x³ )³ = 2³ ( x³ )³ = 8x⁹
( -3x² )³ = (- 3)³ (x²)³ = −27x⁶
Vectores
Concepto de vector:
Un vector es un elemento matemático definido por tres características: módulo dirección sentido El módulo es el tamaño del vector, esta cantidad es un valor siempre positiva. La dirección está dada por la recta que contiene al mismo. El sentido viene dado por la punta de la flecha. (esto es porque un vector se representa como una flecha)
La diferencia entre dirección y sentido puede explicarse usando el ejemplo de una calle. En nuestras ciudades podemos observar calles sobre las que circulan vehículos, estas calles pueden tener un sentido único de manejo o ser de doble sentido. La calle entonces marca una dirección y la flecha que señala la circulación nos indica el sentido en el cuál debemos manejar.
Algunas veces sobre todo en la física también se habla de punto de aplicación, un concepto que para ellos es importante, dado que es otra cosa a tener en cuenta cuando se trabaja con vectores. Sin embargo en matemática no siempre importa ya que los cálculos que realizamos, son independientes de este factor.
Un vector puede "desarmarse" (por usar un término) en componentes.
Las componentes de un vector tienen la misma dirección y sentido de los ejes cartesianos y son usados para poder simplificar algo del trabajo con los vectores.
Veamos un ejemplo: Un vector tiene punto inicial (1,5) y punto final (8,3) calcule su módulo.
Usamos un par de ejes Cartesianos para representar dichos puntos. Vale recordar cómo se representan puntos en este sistema. Luego podemos trazar un vector cuyo origen sea el punto inicial y termine en el punto final. Una vez hecho esto se puede observar mediante la grilla un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el vector que estamos determinando. Para calcular el módulo podemos entonces usar tanto el teorema de Pitágoras o trigonometría.
Pitágoras
El teorema de pitágoras que señala que la hipotenusa al cuadrado de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos a² = b² + c² puede usarse dado que mediante la observación determinamos que los catetos de nuestro triángulo miden 8 y 2 unidades respectivamente.entonces
a² = 7² + 2² = 49 + 4 a² = 53 a = \sqrt(53) = 7.28
Algo un poco más general
Con la ayuda de la representación gráfica de nuestro vector, podemos notar que el cálculo anterior en el cual obtuvimos la medida de los lados del triángulo la base del mismo se halló restando la coordenada x del punto final menos la del punto inicial, de manera similar restamos las coordenadas de y de los puntos para obtener el otro cateto del triángulo (vale aclarar que no se realiza en el mismo orden la operación, sino que al número mayor se le resta el menor) Lo anterior se explica dado que estamos calculando distancias y las mismas son siempre positivas.
x --> 8 - 1 = 7 y --> 5 - 3 = 2
Así que de forma más general podemos calcular el módulo del vector sin siquiera representarlo gráficamente, simplemente operamos con las coordenadas de los puntos que lo determinan.
Análisis Combinatorio
La teoría combinatoria toma sus conceptos fundamentales a partir de la teoría de conjuntos y se forma como un estudio sistemático orientado a contar sucesos, o combinaciones de los mismos. Debemos entonces tener claros dichos conceptos e ideas y formular algunas más que funcionarán como base para la construcción de nuestro conocimiento.
Para poder continuar con nuestro procedimiento se considera necesario introducir el concepto de factorial, el factorial de n notado por n! es el producto de todos los enteros positivos menores o iguales a él, en otras palabras multiplicaremos los números desde 1 hasta n y el resultado será el factorial de n. Vale aclarar que el factorial de 0 es 1. Ésto se explica más adelante para el caso de los arreglos, pues la lógica es similar. Esta idea surge a partir de uno de los primeros conceptos que trabajaremos, que es el de permutación.
Dado un conjunto N de n elementos llamaremos permutaciones de n elementos a todo conjunto que podemos formar cambiando el orden a los elementos de n. Éste valor se calcula como el factorial de n (n!).
5! =5.4.3.2.1
Arreglo u Orden. (también se le conoce como Variaciones)
Llamaremos arreglo u orden n a todo conjunto ordenado de n elementos.
Observemos que, de acuerdo con esta definición, dos arreglos son iguales cuando tienen los mismos elementos, en el mismo orden y ésto no es menor, pues estamos diciendo que 2 subconjuntos que poseen los mismos elementos en distinto orden, representan arreglos distintos. Tomemos ahora un conjunto M de m elementos. Los arreglos de orden n (con n menor o igual a m) que pueden formarse con los elementos de M se llamarán arreglos de m elementos tomados de n, en otras palabras formaremos subconjuntos ordenados de n elementos a partir de los m que posee nuestro conjunto inicial, a éste número es al que nos referimos cuando hablamos de arreglos.
El número de estos arreglos, que no depende del conjunto que se tome sino de los valores de m y n, se indica como A^m_n o en algunos textos A_m, n. Deberemos ahora realizar algunas especificaciones que nos permitirán calcular este valor.
Arreglos de Orden 0
El único arreglo de orden 0 es el conjunto vacío, por lo tanto A^m_0 = 1, para darle más significado a esto debemos recordar que el conjunto vacío es subconjunto de todos los conjuntos, por tanto podemos formalmente (aunque no resulte tan evidente) hablar de un subconjunto aunque no posee elementos existe y por tanto hay que contarlo como arreglo.
Arreglos de orden n>0
Puede formarse a partir de los de orden anterior (que es lo que se llama un método por recurrencia). Para demostrarlo, supongamos que se han formado los arreglos de orden n-1, a partir de éstos formaremos los arreglos de orden n, para ello completamos cada arreglo de orden n-1, agregándole como último, cada uno de los elementos del conjunto M, sin repetir ninguno y que son m -(n-1)=m-n+1 Si presentamos como ejemplo m=4, M={a,b,c,d} y n=3, los Arreglos de orden 2 serán:
(agregando el tercer elemento) ________m-n+1 ab
abc
abd
ac
acb
acd
ad
adb
adc
ba
bac
bad
bc
bca
bcd
bd
bda
bdc
ca
cab
cad
cb
cba
cbd
cd
cda
cdb
da
dab
dac
db
dba
dbc
dc
dca
dcb
tenemos así una fórmula por recurrencia, de Esta manera podemos trabajar con una notación más compacta ayudándonos de la notación factorial
A^4_3 = \frac{4!}{(4-3)!}
La fórmula se cumple también para n=0 y n=1.
Combinaciones
Llamaremos combinaciones de m elementos tomados de a n (m>=n) a todos los conjuntos de n elementos que pueden formarse eligiendo éstos entre los m.
Esto es los subconjuntos de n elementos sacados de los m posibles. Como estos conjuntos no son ordenados, dos combinaciones son distintas si difieren en al menos un elemento, es útil aclarar que las combinaciones por este mismo hecho son menos que los arreglos. El número de las combinaciones se indica por C^m_n o (^0_n) y se calcula como C^m_n = \frac{m!}{(mn)!n!} , lo cual nos indica que las combinaciones son los arreglos sobre las permutaciones (recordemos que en las combinaciones el orden no es tomado en cuenta)
C^m_n = \frac{A^m_n }{P_n}
Combinaciones Complementarias
Cada combinación de n elementos deja fuera m-n elementos, con los que puede formarse otra combinación llamada complementaria de la primera. El número de combinaciones complementarias es igual al número de combinaciones de orden n.
C^m_{m-n} = C^m_n
Formula de Stieffel
C^m_n + C^m_{n-1} = C^{m+1}_n
La anterior se puede demostrar usando las correspondientes fórmulas.
\frac{m!}{(m-n)!n!} + \frac{m!}{(m-(n-1))!(n-1)!}
\frac{m!}{(m-n)!n!} + \frac{m!}{(m-n+1)! (n-1)!}
\frac{m!(m-n+1)! (n-1)! + m!(m-n)!n!}{(m-n)!n!(m-n+1)! (n-1)!}
operando:
\frac{m!(m-n+1)!(n-1)!(n+(m-n+1))}{(m-n)!n!(m-n+1)!(n-1)!}
al hallar común denominador podemos reducir:
\frac{m!(m-n)!(n-1)!(n+m-n+1)}{(m-n)!n!(m-n+1)!(n-1)!}
de lo que nos queda
\frac{m!(m+1)}{n!(m-n+1)!}
que es de por sí:
\frac{(m+1)!}{n!(m+1-n)!}
C^{m+1}_n
con lo cual queda demostrado.
Probabilidad
En los comienzos la probabilidad se desarrolló como una herramienta para ganar en los juegos de azar, como forma de obtener una ventaja frente a los oponentes, ya sea al adivinar el resultado de tirar una moneda al aire, o el número que saldrá en un par de dados al arrojarlos. Éste último ejemplo es útil para comenzar con nuestro trabajo hasta convencerlos de la utilidad de la herramienta hoy traemos. Los resultados de nuestro experimento son 36, los mismos además son mutuamente excluyentes (dado que no pueden darse 2 resultados distintos en la misma tirada). Podemos intentar avanzar aún más en nuestro estudio y proponernos "adelantar" los posibles resultados; si tomamos el número que se obtiene de sumar los resultados de los 2 dados, obtendremos valores desde el 2 al 12 valores que podemos registrar en una tabla, y es más sabemos que el 2 solamente ocurrirá cuando los 2 dados muestren 1 como resultado, ésto además sólo ocurre 1 vez en nuestra tabla lo que nos lleva a la conclusión de que la proporción de ocurrencias del resultado 2 es 1/36 (es importante que se entienda que esto no significa que si uno arroja 36 veces un par de dados, obtendrá solamente un 2 como resultado, más bien, ésto significa que si repetimos nuestro experimento una cantidad grande de veces, la proporción del resultado 2 será muy próxima a 1/36. De lo anterior podemos esbozar una definición.
Si un experimento sujeto al azar, resulta de n formas igualmente probables y mutuamente excluyentes, y si de estos resultados tienen un atributo A, la probabilidad de A es la proporción de a con respecto a n.
P(A)= \frac{a}{n}
Esta fórmula conocida como fórmula de Laplace establece que si tenemos una serie de casos que consideramos favorables, la probabilidad de éxito se considera como casos favorables sobre los casos posibles.
Desarrollo Axiomático de la Probabilidad
Primero, antes de comenzar con los axiomas de la probabilidad deberemos definir espacio muestral: El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento recibe el nombre de Espacio Muestral. El conjunto de los posibles resultados puede ser finito, infinito numerable o infinito no numerable. Para cada uno de los anteriores casos podemos decir que:
Se dice que un espacio muestral es discreto si su resultado se puede poner en correspondencia uno a uno con el conjunto de los enteros positivos.
Se dice que un espacio muestral es continuo si sus resultados consisten en un intervalo de números reales.
Otra definición importante es la de Evento: Un evento del espacio muestral es un grupo de resultados (contenidos en este) cuyos miembros tienen una característica en común. Vale aclarar que al evento que no contiene ningún resultado del espacio muestral se le llama evento nulo o vacío. También es importante destacar que el trabajo con probabilidad está íntimamente relacionado con el trabajo con conjuntos, de ésta forma se hablará de unión de eventos o intersección de los mismos.
El evento formado por todos los posibles resultados de A o B o ambos, se llama unión de A y B y se denota por A \cup B
El evento formado por todos los resultados comunes tanto a A como a B se llama intersección y se denota por A \cap B
Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos si no tienen resultados en común; o sea si A \cap B = \emptyset
El complemento de un evento E con respecto al espacio muestral S, es aquel que contiene a todos los resultados de S que no se encuentran en E, y se denota por E^c o \overline E
Definición Axiomática
de Probabilidad
(Axiomas de Kolmogorov)
Sea S cualquier espacio muestral y E cualquier evento de éste. Se llamará función de probabilidad sobre el espacio muestral S a P(E) si satisface los siguientes axiomas:
1.- P(E)\geq 0
2.- P(S)=1
3.- P(E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup ....) = \sum P(E_i)
Propiedades de Sumatoria
Las propiedades de la sumatoria permiten realizar cálculos, en muchos casos la sumatoria se asocia con problemas de Inducción completa, pero en realidad existe por sí misma. Las series de números son una aplicación importante de la sumatoria, el estudio de seres matemáticas lleva a un tratamiento complejo del tema.
Las propiedades no serán demostradas en este caso para evitar largos desarrollos, si Uds desean demostraciones pueden solicitarlas en el foro que con gusto las dejaremos.
El desarrollo de una sumatoria consiste en usar el término general sustituyendo la variable por el índice correspondiente, y luego calcular el resultado, va un ejemplo
\displaystyle\sum_{i=1}^8 (2k) =
desarrollamos
\displaystyle\sum_{i=1}^8 (2k) = 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) + 2(5) + 2(6) + 2(7) + 2(8) =Â
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 72
Propiedades Generales
1) \displaystyle\sum_{i=0}^n (k + j) = \displaystyle\sum_{i=0}^n (k) + \displaystyle\sum_{i=0}^n (j)
2) \displaystyle\sum_{i=0}^n (ak) = a\displaystyle\sum_{i=0}^n (k)
3) \displaystyle\sum_{i=0}^n (a) = an siendo a un número
4) \displaystyle\sum_{i=0}^n k = \displaystyle\sum_{i=0}^h k + \displaystyle\sum_{i=h+1}^n k Sumas parciales
5) \displaystyle\sum_{i=1}^n (k_i - k_{i-1}) = k_n - k_0
Es un buen ejercicio para el que lo desee, demostrar estas propiedades en base a las propiedades conocidas de la suma,de hecho estas propiedades se dejan como ejercicios en la sección correspondiente
