CURSO INGENIERIA SISMORESISTENTE I Modelos Dinámicos.-Principio de D’al D’ alam ambe bert. rt.- Si Sist stem emas as de un gr grad adoo de de Libe Li bert rtad ad..- Ec Ecua uaci ción ón de Equ Equil ilib ibri rio o Diná Di námi mico co..- Vi Vibr brac ació iónn Libr Libre e no Amortiguada. Ing. Ing. Omar Omartt Tell Telloo Mal Malpa part rtid ida a
Modelos Dinámicos
En problemas de ingeniería no siempre es posible obtener soluciones matemáticas rigurosas. Cuando los problemas implican propiedades de los lo s materiales, distribución de carga y condiciones de contorno complejas, es necesario introducir simplificaciones o idealizaciones para reducir el problema a una solución matemática matemáti ca que sea capaz de dar resultados aceptables desde el punto de vista vi sta de la seguridad y la economía. El nexo entre el sistema físico y la posible solución matemática se obtiene con el “modelo matemático”. Esta es la designación simbólica del sistema idealizado idealiza do de sustitución que incluye todas las simplificaciones impuestas al problema físico.
Ingeniería Sismo Resistente I
Ing. Omart Tello Malpartida
Características del Problema Dinámico.
Características del problema Dinámico
Presenta una sucesión de soluciones – los desplazamientos y esfuerzos dependen del tiempo.
Las fuerzas de inercia son parte del sistema de cargas.
Se presentan fuerzas de amortiguamiento – el amortiguamiento genera que el movimiento se disipe.
Características del Problema Estático.
Las cargas no dependen del tiempo.
La magnitud de la carga es independiente de el mecanismo de respuesta.
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Dinámico vs. Estático
Dinámico. El resultado de los desplazamiento esta asociado con la aceleración el cual es producto de la fuerza de inercia opuesta al movimiento.
Estático. La respuesta estructural es función de la aplicación de las cargas y es independiente del tiempo. Ingeniería Sismo Resistente I
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El Principio de D’alembert
&& F = M .u
I Un sistema puede ser puesto en equilibrio dinámico agregándole a las fuerzas externas una fuerza ficticia, comúnmente conocida como fuerza de inercia.
La fuerza de inercia es igual a la masa multiplicada por la aceleración y debe estar siempre dirigida en dirección contraria al movimiento.
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Grados de Libertad
En dinámica estructural, el numero de coordenadas independientes necesario para especificar la configuración o posición de un sistema en cualquier instante del tiempo se conoce como el numero de grados de libertad. Toda estructura continua tiene un numero infinito de grados de grados de libertad. Sin embargo, el proceso de selección o idealización de un modelo matemático apropiado permite reducir los grados de libertad a un numero discreto y en algunos casos a uno solo.
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Estructuras de un gdl p (t) F (t) y
a)
y y F (t)
b)
Estructuras que pueden ser modeladas con un grado de libertad c) Ingeniería Sismo Resistente I
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Modelo de un gdl Donde: Las estructuras vistas anteriormente pueden ser representadas por el siguiente modelo matemático:
y k c
m
F (t)
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Un elemento masa “m”, que representa la masa o propiedad de inercia de la estructura. Un elemento resorte “k”, que representa las fuerzas internas del sistema y la capacidad de la estructura a almacenar energía potencial. Un elemento de amortiguación “c”, que representa las características friccionantes y las perdidas de energía de la estructura. La fuerza de excitación F (t) , que representa las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema estructural, la fuerza F (t) se escribe de esta forma para indicar que es función del tiempo Ing. Omart Tello Malpartida
Resortes en paralelo y en serie a) En paralelo
b) En serie
y
y
k 1
k 2
k 1
k 2 P
P
k e = k 1 + k 2
y1 = P / k 1
y2 = P / k 2
y = y1 +y2 1 / k e = 1 / k 1 + 1 / k 2
k e = Σ k i
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1 / k e = Σ 1 /k i
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Ecuación de Equilibrio Dinámico Sistema de un grado de libertad u F(t)
Donde :
m
F(t) = Fuerza que varia con
el tiempo k k c
c u
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= Constante total de los resortes de los elementos resistentes = Coeficiente de amortiguamiento = Desplazamiento lateral
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Ecuación de Equilibrio Dinámico Sistema de un grado de libertad u F(t)
m
F I
.
= Fuerza de amortiguamiento de sentido contrario al movimiento.
=
c. u
F s
= Fuerza elástica de resorte o fuerza recuperadora, de sentido contrario al movimiento.
=
k. u
c
..
..
m. u
F D k
F I + F D + F s = F (t)
= Fuerza de inercia de = sentido contrario al movimiento.
.
m. u + c. u + k. u = F (t) Ingeniería Sismo Resistente I
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Ecuación de Equilibrio Dinámico Para el caso de excitación sísmica, la única carga externa tiene la forma de un movimiento aplicado al nivel del suelo, u g (t) ,entonces la aceleración total de la masa “m” es:
Sistema de un grado de libertad u t u
m
.. .. .. u t = u + u g .. .. .. F I = m. u t = m.( u + u g )
k c
F I + F D + F s = 0
..
..
.
m.(u + u g ) + c. u + k. u = 0 u g
F eff (t) = Fuerza efectiva resultante
del movimiento del suelo Ingeniería Sismo Resistente I
..
.
..
.
..
m.u + c. u + k. u = - m.u g m.u + c. u + k. u = F eff (t) Ing. Omart Tello Malpartida
Vibración libre, sin amortiguamiento F eff (t) = 0
c=0
; Movimiento periódico
..
m.u + k. u = 0
..
u + (k/m). u = 0
Haciendo : ..
ω 2 = k / m
u + ω 2 .u = 0
Ecuación diferencial lineal de 2do orden homogénea ;
ω = Frecuencia circular del sistema Solución : u = A. cos ω t + B. sen ω t . u = -A. ω .sen ω t + B. ω. cos ω t Calculo de constantes de integración A y B Para condiciones iniciales :
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Para t = 0 Para t = 0
u o = A . u o = B.
ω
A = u o . B = u o / ω
Vibración libre, sin amortiguamiento Reemplazando : u = A. cos ω t + B. sen ω t . u = -u o . cos ω t + (u o / ω) . sen ω t Donde : u o = Desplazamiento inicial . u o = Velocidad inicial u
T . u o
C
u o t
Vibración libre, sin amortiguamiento Del grafico anterior : ω = Frecuencia Circular o Natural del Sistema. (rad/seg)
=
√ k/m
T =
Periodo de vibración del Sistema, tiempo necesario para efectuar un ciclo completo de vibración. (seg)
=
2. π / ω
f =
frecuencia de vibración, numero de vibraciones en la unidad del tiempo. (ciclos/seg , hertz)
=
1 / T
C =
Amplitud, desplazamiento máximo con respecto ala posición media.
=
√ (u o ) 2 + (u o / ω ) 2
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.
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Ejemplo:
Determine la Ecuación de movimiento.
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Ejemplo: Determine la frecuencia natural del sistema mostrado en la figura, que consiste en una carga de 100kg aplicado en una viga en voladizo a través de un resorte k 2. La viga tiene un espesor t = 0.5 cm. , un ancho b = 5cm, un modulo de elasticidad E = 2.1x106 kg/cm2 y una longitud L = 50 cm. La constante k2 = 2kg/cm.
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Ejemplo:
Determine la Ecuación de movimiento.
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Ejemplo:
Propiedades:
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Ejemplo:
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Ejemplo: Masa:
Frecuencia Natural
Periodo del Sistema
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