UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA. DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
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Diseño y construcción de un Electroimán Sánchez, Daniel. Los conocimientos obtenidos en el transcurso de la — Los Resumen carrera de Ingeniería Eléctrica en cuanto a campos electromagnéticos, se afianzan y se ponen en práctica en proyectos como el diseño y construcción de un electroimán óptimo. costos — costos Palabr as Clave
de inversión, optimización.
I. I NTRODUCCIÓN El desarrollo de proyectos de diseño y construcción son uso de los temas más comunes en la vida laboral en muchas disciplinas por lo tanto con este trabajo se busca optimizar los costos que genera construir un electroimán .
A
II. OBJETIVOS Diseñar un electroimán optimizado capaz de levantar una masa de 10 kg. Construir un electroimán capaz de levantar la masa de 10 kg. III. PROCEDIMIENTO Y A NÁLISIS DE RESULTADOS
A. Enunciado
El proyecto consta de diseñar y construir un electroimán capaz de levantar una masa de 10 kg a una distancia de 2 mm, optimizando los costos del conductor (cobre), costos del núcleo (hierro) y los costos de consumo de energía eléctrica. B. Desarrollo del ejercicio ejercicio 1) Cálculos técnicos
Primero se determina el área por la cual atraviesa el flujo magnético y luego se calcula la fuerza magnética así:
= ∙∙ : ⃗ = 2 ∙ ∙ : :: : = 2 ∙ ∙ = 2 ∙∙∙ ∙
Donde: : Gap o espacio entre el electroimán y la masa [m] Dimensiones del electroimán (Ver Fig. 1) [m] Dimensiones
Donde: Fuerza Fuerza magnética [N] Densidad de campo magnético [T] Densidad Área Área transversal [m2] Permeabilidad magnética del aire [N/A2] Permeabilidad
Por lo tanto la densidad de campo magnético es:
Aplicando la ley de Amperè para determinar la corriente necesaria para garantizar la fuerza magnética:
∮ ∙ = = ∙ ∙ 2 ∙∙ = ∙ ∙ ∙ = 2∙∙ = 2 ∙ 2∙ ∙∙ ∙ ∙ = 2 ∙ √ 2 ∙∙∙⁄⁄ ∙∙ ⁄⁄ ∙ 2 ∙ √ 2 ∙ ⁄ ∙ ⁄ = ∙∙ ⁄ ∙ ⁄ ⃗ ==∙∙⃗ :: = 2 ∙ √ 2∙∙∙⁄∙∙⁄∙⁄⁄
Despejando la corriente:
Sabiendo que:
(Ley de Newton)
Donde: Masa Masa [kg] Aceleración de la gravedad en La Tierra Aceleración
Se obtiene que:
Fig. 1. Diseño del electroimán (medidas).
Para el diseño mostrado en la Fig. 1, se determina cual debe ser la fuerza necesaria para levantar la masa de 10 kg.
Antes de calcular la energía es necesario, realizar algunos cálculos dimensionales como longitud media, áreas y volúmenes.
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:
Donde: Energía eléctrica De esta manera, se puede calcular el costo total para luego realizar la optimización de cada uno de los costos.
= + + í = ∙ + ∙ + ∙ : $ $ : ℎ ∙ ∙ , = 1820 √ ∙ 2∙730 ∙ ∙+30 + 3 ∙∙( 1∙ )∙ Donde:
La función de costos es:
Fig. 2. Determinación de la longitud media (Vista inferior)
La longitud media del cobre se calcula así:
= 2 ++22 = 10+ = 4 +6 = 10
Teniendo en cuenta la Fig. 1, el área y volumen del hueco será:
== ∙3 ∙ = 3= 3 ∙10 = 30 ∙ = ∙ = 30 == 6 +∙4∙23 ++2 + + = ∙424∙ 26 = ∙183 ∙ = ∙ = 18 ∙ = ∙ = ∙ = 3 ∙ 10 = 3 ∙ 10 : ∙ ∙ = ∙ = ⁄ ⁄ = 2 ∙ √ 2∙∙ ∙⁄ ∙∙⁄ ∙ (3 ∙ 10)∙ 365 í4 ∙∙ 243 ℎ = 20√ 2 ∙7303∙ ∙∙( 1∙ ) Ahora calculando la masa de cobre, se tiene que: Donde: : densidad del material El volumen de hierro es:
Entonces la masa de hierro es:
Para poder calcular la resistencia del material y luego las pérdidas, se procede así:
Donde: Resistividad eléctrica del material
Las pérdidas de energía en el conductor de cobre son:
Haciendo uso del método de optimización de multiplicadores de Lagrange, se tiene que: Las variables a optimizar son a y N. Siendo:
= ∙ = ∙ = 20√ 2 ∙7303∙ ∙ ∙
Entonces la función de costos se puede escribir así,
1 ∙ )∙ = 18 ∙ +30 ∙ +( = 18 + 30 + ( ∙1)∙ = 318 + 30 + ( 1∙ )∙ = 0 = ( 1∙ )∙ = 0 318 + 30 + ( 1∙ )∙ = ( 1∙ )∙ 318318 + 30+ 30 = ( 1 1) = Derivando:
Por lo tanto igualando:
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318 +30 = 318 +30 = 318 +30 = 1 = 1 318 + 30 Despejando se tiene que:
Finalmente esta es la condición para la cual se optimizan los costos del electroimán:
= 1 183 + 5
2) Cálculos económicos
Determinando las constantes K usadas para facilitar el método de Multiplicadores de Lagrange, se tiene que el precio del cobre por kilogramo es de aproximadamente los $20.000, mientras que el precio del hierro por kilogramo es de $15.000. Por lo tanto, con los datos de densidades volumétricas se tiene que:
= 7.874 = 8.960 = = ∙1,7=1×10 10−∙Ω1 0 = 100 = ∙ = 7.874 []∙15.000 $ = 118,11×10 $ = ∙ = 8.960[]∙20.000 $ = 179,2 ×10 $ ∙ ∙ =14600√ 20√ 22∙1∙730003 ∙∙ − ∙ 1,71×108 Ω $ 2×10 = ∙ 400ℎ 3 ∙4 ×10− = 7,49×10 Ω ∙ ∙ ∙ ℎ$ Además que:
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De esta manera, la función de costos será:
= 7,50198 ×10 $∙ + ( 1∙ ) ∙ 7,49 × 10 Ω ∙ ∙ ∙ ℎ$ Y para N=1000 vueltas se tiene que:
= 1 183 + 5
7,49×10 = 12001200 1 183 ∙118, 11×10 + 5 ∙179, 2×10 = 8,32 mm = 18 + 30 + ( 1∙ )∙ ∙ = ×1018 ∙1−18, +11×10 + 30∙ 1 79, 2 ×10 8, 3 2 1 ( )∙ 7 , 4 9 − 8, 3 2×10 ∙ 1000 ×10 = $ 4.428,82 Por lo tanto, el costo total del electroimán optimizado es:
Sin embargo, como para poder construir el electroimán optimizado se necesitarían las medidas calculadas, entonces se debe adecuar para usar lo que ofrece el mercado. Por esta razón, se usó un electroimán con las siguientes medidas:
= 1,4
excepto para el espesor que es de 3,2 cm como se puede observar en las Fig. 3 y 4. Para el electroimán no optimizado, su costo total fue de aproximadamente $25.000.
Fig. 3. Electroimán construido (Vista lateral-superior)
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Fig. 4. Electroimán construido (Vista Inferior)
CONCLUSIONES El uso de métodos de optimización permite la disminución de costos y de tamaño de un equipo o elemento que se desee construir. A pesar de que es difícil encontrar un núcleo a la medida óptima, se pueden usar núcleos estandarizados o que son comerciales para luego adecuar el diseño a las necesidades. La optimización de los costos, asumiendo costos constantes, depende únicamente de las dimensiones del electroimán y el número de vueltas del conductor de cobre. El electroimán construido a pesar de no estar optimizado, funciona correctamente y levanta los 10 kg con el gap de 2 mm.
R EFERENCIAS [1] Elementos de electromagnetismo. Matthew N. O. Sadiku. Tercera edición. 2003.
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