1. Objetivos. •
Validar la ecuación de descarga por orificios.
•
Encontrar los coeficientes de descarga, de contracción de los equipos usados en laboratorio.
velocidad
y
2. Marco Teórico. El término fluido incluye a toda sustancia capaz de fluir, y se aplica tanto a gases como a líquidos, puesto que todos los fluidos obedecen al movimiento en base a las leyes de Newton. Cuando practicamos una abertura en un deposito que contiene un fluido, la velocidad de salida del mismo se incrementa con la profundidad a la cual se realiza el orificio, y en base también al nivel en el que se encuentra el líquido, puesto que la fuerza no equilibrada que afecta al movimiento es debida a la gravedad. Puesto que se destruye la presión de la pared existente en el punto donde se encuentra la abertura y la presión del líquido interior la empuja directamente hacia el orificio, entonces el nivel del líquido desciende una altura h en un tiempo t, luego que ha escapado un cierto volumen de líquido del recipiente. En cuanto a términos energéticos la variación de energía es el mismo, como si la capa superior del líquido hubiera descendido una altura h, por lo que al final del trayecto adquiere una cierta energía cinética, dada por:
m g h=
1 m v2 2
Convirtiéndose por lo tanto en:
v =( 2gh
)
1 2
En otras palabras, la velocidad de flujo a cualquier profundidad h es equivalente a la velocidad que se adquiere por la caída libre desde la misma altura. Esta relación fue tratada por Torricelli.
H Fig. 1
v
1
Realizando un análisis del siguiente gráfico podemos apreciar, que si trabajamos con la ecuación de Bernoulli, se puede determinar la velocidad de flujo, así como también el caudal de descarga ideal. De (Fig.1) ………… (1)
v12 P1 v2 P + + H1 = 2 + 2 + H2 2g γ 2g γ ecuación
En la anterior las presiones en 1 y 2 son iguales (P at) y suponiendo que en A la velocidad es despreciable (nula), la ecuación se reduce a:
v22 Entonces, H= ; 2 g El caudal
v2 =
2 g h …………
(2)
que escurre a través del orificio de área ……
Q o = Ao v2 = Ao
A o será:
…………………(3)
2gh
Tanto el área de salida del liquido A0, como la velocidad de salida v2 y el caudal Q0 son valores ideales, ya que en la practica son menores por diferentes causas, como la contracción de las líneas de corriente, las perdidas de energía por fricción, etc. COEFICIENTE DE CONTRACCIÓN Se acostumbra designar por coeficiente de contracción, a la relación entre el área de la sección contraída y el área de la sección del orificio: A ……………………(4)
Cc =
A0
El valor medio practico de Cc es 0,62, teóricamente el valor de Cc mide como Pi / (Pi + 2), para orificios largos abiertos en paredes delgadas.
se
Tratándose de agua y orificios circulares, la sección contraída se encuentra a una distancia de la pared interna del orificio, aproximadamente igual a la mitad del diámetro del orificio. COEFICIENTE DE VELOCIDAD Cada partícula al atravesar la sección contraída, tendría velocidad idéntica al de la caída libre, desde la superficie libre del depósito, en la realidad sin embargo la velocidad no es la verdadera, por eso se introduce un coeficiente de corrección, o coeficiente de reducción de velocidad:
Cv =
v v2
………………(5)
COEFICIENTE DE DESCARGA
2
Se define como la relación del caudal de descarga real y el que se obtendría si el agua saliera con velocidad V b y sin reducción del área de salida del líquido, es decir, caudal ideal:
Cd =
Qr V A = = Cc ⋅Cv Q V2 A2
……………(6)
h dy H A0 v2 Fig. 2 En consecuencia para obtener orificio se puede utilizar: …
el
caudal
real
que
fluye
a
través
del
………………(7)
Qr = Cd A0 V2 =C d A0 2 gh
De acuerdo a la Fig. 2 la altura de carga h varia en el tiempo, debido a que la sección del recipiente es pequeña en un intervalo dt, el pequeño volumen evacuado es Q dt;
Qr = −
dV dt
………………(8)
Qr d t= − dV = −A ,d h
y en ese mismo intervalo de tiempo la altura de caída igualando estas relaciones tenemos: Integrado, y despejando el coeficiente t
t= ∫
0
h − Ad 1 dt = Cd A0 2 g H h
∫ dh
t=
disminuye en dh,
de descargas tenemos:
(
1
1
)
2 A1 H 2 − h 2 Cd A0 2 g
…………………(9)
Eliminando la variable t, obtenemos:
Cd =
(
2 A1 t A0 2 g
H
)
−H 3
…………………(10)
Por otra parte, si efectuamos un análisis cinemático, es decir, estudiaremos las características del movimiento de las partículas de fluido una vez que abandona el recipiente se tiene
S = vt Entonces
1 y = gt 2 2
v= s
t=
g 2y
s t v
=
2y g
………………(11)
Por lo tanto podemos determinar con buena aproximación la velocidad real de salida por el orificio en función de las distancias s e y, las cuales se pueden medir fácilmente (alcance altura a partir del orificio). Reemplazando sucesivamente velocidad, tenemos:
Cv =
v v2
en
=
la
s 4 yH
ecuación
(5)
del
coeficiente
………………(12)
Una vez conocidos Cd y Cv, se puede determinar el coeficiente contracción Cc de la siguiente forma:
C Cc = d Cv
de
de
………………(13)
3. Materiales y equipos.
•
• • • •
Recipiente con agua (tubo) con orificio circular sostenido verticalmente por un pedestal (el tubo debe contar con una manguerilla transportadora que nos permita visualizar el nivel del líquido). Regla graduada y cinta para marcar. Cronómetro. Tiza para marcar. Plomada.
4
4. Presentación de resultados. 4.1. Registro de datos. Tabla de Datos Altura de descarga: Diámetro del tubo: Diámetro del orificio:
H= 100 (cm) D= 5.2 (cm) d= 0.2 (cm)
Coeficiente de descarga Cd Nº de mediciones 1 Variable independiente altura h[cm] 90 Variable dependiente tiempo t[s] 12,94 Coeficiente de velocidad Cv
2
3
4
5
6
80
70
60
50
40
39,33
60
83,48
107,85
137,32
4
5
6
Y= 44 (cm) Nº de mediciones Variable independiente altura H[cm] Variable dependiente desplazamiento s[cm]
1
2 90
80
70
60
50
40
127
122
110,5
102
88,5
18,5
4.2. Cálculos. 1. Coeficiente de descarga • Calcule las relaciones zi =
•
3
H − hi
n
hi(m)
para llevar a la forma lineal. Zi
1
0.90
0.0780
2
0.80
0.1633
3
0.70
0.2584
4
0.60
0.3675
5
0.50
0.5000
6
0.40
0.6838
Regresión lineal de la forma y = a + bx
ó
tr = x0 + kz
n
Zi
ti
ti Z i
Z i2
ti2
1
12.94
1,9874
0,0061
649,2304
2
0,0780 0,1633
39.33
8,6222
0,0267
2787,8400
3
0,2584
60.00
21,5118
0,0668
6930,5625
4
0,3675
83.48
43,2107
0,1351
13825,0564
5
0,5000
107.85
80,6550
0,2500
26020,9161
6
0,6838
137.32
143,4749
0,4676
44024,4324
∑
2,051
650,24
299,4620
0,9522
94238,0378
5
tr
∑ z ∑t − ∑ z ∑t z = n∑ z − ( ∑ z ) 2 i
i
i
i i
2
2 i
i
i
2 i
b=
n ∑ zi t i − ∑ z i ∑ t i n∑ zi2 − ( ∑ zi )
i
∑ z ∑t − ∑ z ∑t z a= n∑ z − ( ∑ z ) 2 i
+
i i
2
×z
= 3.2767
i
n ∑ zi t i − ∑ zi ∑ t i n∑ zi2 − ( ∑ zi )
2
2
= 307 .4498
Coeficiente de correlación
r=
[n ∑ z •
n∑ ti zi − ∑ zi ∑ ti 2 i
][
− ( ∑ zi ) ⋅ n∑ ti2 − ( ∑ ti ) 2
2
]
= 0.9992
Graficar los pares de puntos t vs. z con los valores de tiempo y alturas determinados experimentalmente, la recta ajustada a dichas valores y el t vs. z ideal (CD =1) n Zi ti 1
0,0780
12.94
2
0,1633
39.33
3
0,2584
60.00
4
0,3675
83.48
5
0,5000
107.85
6
0,6838
137.32
250 200 150 100 50 0 0,0000 0,1000 0,2000 0,3000 0,4000 0,5000 0,6000 0,7000 0,8000
6
•
De
la
ecuación:
CD =
2A , k a 2g
donde k es la
pendiente de la recta ajustada, hallar CD.
a=
πd 2 π ( 0.2 ) 2 = = 0.0314 [cm 2 ] = 3.14 ×10 −6 [m 2 ] 4 4
A=
πD 2 π ( 5.2 ) 2 = = 21 .2372 [cm 2 ] = 2.1237 ×10 −3 [ m 2 ] 4 4
g = 9.775
k = b = 307 .4498 Reemplazando los datos en la ecuación:
2( 2.1237 ×10 −3 ) CD = = 0.9950 ( 307 .4498 ) (3.14 ×10 −6 ) 2( 9.775 )
2. Coeficiente de velocidad •
Llevando a la ecuación en forma lineal
y = a + bx Donde:
ó H * = a + bS H * = H i ; a=0; b=
n
1
H (m)
1,00
H*
1,0000
1 2 v L 2C
;
S = si 3
4
5
6
0.85
0.70
0.55
0.40
0.25
0.9220
0.8367
0.7416
0.6324
0.5000
n 1
s (m) 1,25
H* 1,0000
2
1,14
0.9220
3
1,04
0.8367
4
0,93
0.7416
5
0,78
0.6324
6
0,58
0.5000
∑ s ∑ H − ∑ s ∑ H * s + n∑ s H * − ∑ s ∑ H * × s H* = n∑ s − ( ∑ s ) n∑ s − ( ∑ s ) 2 i
i
i
2 i
i i
2
i
i
i
2 i
i
i
2
i
7
∑s ∑H − ∑s ∑H * a= n∑ s − ( ∑ s ) 2 i
i
i
i
2
2 i
= 0.0494
i
n∑ si H *i − ∑ si ∑ H *i
b=
si
n∑ s − ( ∑ si ) 2 i
2
= 0.7579
Coeficiente de correlación
r=
n∑ H *i si − si∑∑ H *i
[ n∑ s − ( ∑ s ) ] ⋅ [ n∑ H * − ( ∑ H * ) ] 2 2 2 2 i i i i
•
= 0.9 9 8 7
Trazamos la grafica con los H * vs. S valores de altura y desplazamiento determinados experimentalmente, la recta ajustada a * dichos valores y el ideal (CV =1)
H vs. S
1,2 1 0,8 H* 0,6 0,4 0,2 0 0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
s
8
•
1
De la ecuación b =
, donde b es la pendiente de la recta
2Cv ⋅ L
ajustada, hallar Cv.
L= Y= 44 (cm)= 0.44 (m)
b = 0.7579
Cv =
1 2b ⋅ L
Reemplazando los datos en la ecuación:
Cv =
1
2( 0.7579 ) ⋅ 0.44
= 0.9950
3. Coeficiente de contracción •
Cc =
Con la ecuación Contracción.
CC =
CD Cv
determinamos el coeficiente de
CD 0.9950 = =1 DV 0.9950
Validación de la hipótesis Se emplea el estadístico student
∑ ( a + b × z ) − t i
str =
n−2
z
sa = str tcal =
2
ri
∑z n∑ z − ( ∑ z ) a − 0 ( −0.65 ) − 0 2 i
2
2 i
z
=
sa
< a t tabla
= 0,587244798 = 0.383 6 −2 = 0.383
i
0.310
0,5683 = 0.310 6(0,5683)-2.5428
= 2.097 Luego se comprueba que t calculado
t(n-2,α∕2)
De linealidad
tcalc =
r*
( n − 2) 1 − r2
=
0.99*
( 6 − 2)
1 − 0.992
= 14.03
Se comprueba que es mayor a t calculado t(n-2,α∕2) se valida la relación lineal Discusión del experimento.
9
1) ¿El orifico empleado en laboratorio es de pared delgada o gruesa? De acuerdo a los datos que se nos brindan se puede suponer que pertenecen a un orificio de pared delgada. 2) Indique que idealizaciones se asumieron en el experimento Se desprecio la resistencia del aire, la viscosidad del líquido, la velocidad horizontal del chorro en cualquier punto de su trayectoria permanece constante.
3)
¿Qué sensores sugiere emplear para obtener medidas del coeficiente de contracción? Se podría emplear un medidor de caudal electromagnético de inserción Flomat que utiliza como principio de medida la ley de Faraday. 4) ¿Se puede asumir que la velocidad de salida del chorro del líquido es directamente proporcional a nivel del líquido? Si, ya que este nivel influye en la contracción del líquido.
5)
¿Qué modificaciones realizaría en el equipo del laboratorio para maximizar el coeficiente de contracción?, ¿Qué modificaciones para maximizar el coeficiente de velocidad? Debido a la falta de manipulación de los materiales de laboratorio no se podría dar una sugerencia. 6) La figura 7 del texto representa los resultados en función del número de Reynolds, comparé el rango obtenido en el laboratorio que muestra esta figura y comente. Muestra una tendencia a un flujo laminar, debido a la falta de la viscosidad no podemos hacer una comparación. 7) Explique por que se recomienda que la altura mínima de descarga sea mayor a 0,1 m. Por que conforme aumenta la altura se necesita una mayor velocidad para obtener un mayor alcance, es así que en una de las alturas mayores a 0,1 m. el coeficiente de descarga llegará a ser constante.
8)
Refiriéndonos a la figura 7 del texto ¿ Por qué cree que el coeficiente de velocidad se acerca a 1 cuando el número de Reynolds se incrementa Como se observa en el gráfico el coeficiente de descarga tiene un comportamiento mas real mientras el flujo es mas turbulento, si este coeficiente de velocidad sería constante en 1 indicaría que el flujo es perfectamente ideal y eso es falso. 9) Realice una interpretación textual a cerca de la figura 8. La figura 8 indica que mientras menos sea la altura de descarga no se puede determinar un valor constante del coeficiente de descarga, por ello se toman alturas mayores a 0,1 m. donde a partir de 0,4 m. el coeficiente de descarga adquiere un valor constante. 10) Compare el resultado obtenido en laboratorio con las condiciones que muestra la figura 8, comente. Los coeficientes de descarga son independientes a diferentes alturas de carga. 5. Conclusiones.
10
•
Los datos obtenidos llegan a ser lo condicionado, no sobrepasan aproximan a las condiciones idealización de la corriente de fluido, el pulse cronométrico con
satisfactorios ya que cumplen con la unidad, estos resultados se ideales, puede deberse a la aire que desvía la dirección del anticipación o retardo, etc.
•
En conclusión se llego a realizar los objetivos planteados, se pudo validar la ecuación de descarga por orificios, y se hallo satisfactoriamente los coeficientes de descarga, de velocidad y contracción de los equipos de laboratorio, pero vale resaltar que la manipulación de estos equipos no fueron realizados personalmente. 6. Bibliografía.
•
Ing. Febo Flore
“Guía de Experimentos de Física Básica II”
11
