UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
FÍSICA II (MB224)
INFORME II RESONANCIA MECÁNICA
INTEGRANTES
: INOÑAN CRUZADO OSCAR 20162018G
SECCIÓN
:D
PROFESOR
: PACHAS SALHUANA JOSÉ TEODORO
FECHA DE REALIZACIÓN: 08 DE SEPTIEMBRE DE 2016
FECHA DE ENTREGA
: 15 DE SEPTIEMBRE DE 2016
PRÓLOGO En el siguiente informe de ensayo de laboratorio vamos a analizar el movimiento oscilatorio de una masa sujeta a un resorte en distintas situaciones, específicamente en el movimiento armónico simple y movimiento armónico amortiguado. Se dará una explicación de los conceptos de los tres movimientos y se procederá a realizar los ensayos. Para el movimiento armónico simple usaremos una masa colgando de un resorte y para el movimiento amortiguado, una masa colgada de un resorte y sumergida en un tubo con agua Esperamos este informe sea de su agrado y lo ayude a complementar sus conocimientos teóricos sobre el tema.
Contenido I.
OBJETIVOS. ......................................................................................................... 1
II.
FUNDAMENTO TEÓRICO. ................................................................................... 1
III. REPRESENTACIÓN ESQUEMÁTICA. ..................................................................5 6 IV. HOJA DE DATOS. .................................................................................................
V. CÁLCULOS Y RESULTADOS. ..............................................................................7 VI. CONCLUSIONES. ............................................................................................... 11 VII. RECOMENDACIONES. ....................................................................................... 11 VIII. BIBLIOGRAFÍA. ................................................................................................... 12
I.
OBJETIVOS.
Estudiar el movimiento oscilatorio de una masa sujeta a un cierto resorte en diferentes situaciones (movimiento armónico simple, movimiento armónico amortiguado).
II.
FUNDAMENTO TEÓRICO.
Para una mejor realización de este experimento se hará una breve exposición de definiciones y conceptos con relación al movimiento armónico simple y al movimiento armónico amortiguado. La exposición será sólo cualitativa, debiendo el alumno complementarlo con ayuda de los textos correspondientes. En cada uno de estos dos tipos de movimiento se presenta un dibujo donde se muestra el sistema en reposo, el sistema en una posición de movimiento, el diagrama de fuerzas que actúan sobre la masa, la ecuación diferencial del movimiento y la ecuación correspondiente representación gráfica.
̇ ̈
con su
En cuanto a la notación utilizada se representará y respectivamente a la primera y segunda derivada de aceleración). Esto es:
con respecto al tiempo (velocidad y
̇ y ̈
1. Movimiento Armónico Simple. El movimiento armónico simple (M.A.S.), también denominado movimiento vibratorio armónico simple (M.V.A.S.), es un movimiento periódico, y vibratorio en ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posición, y que queda descrito en función del tiempo por una función senoidal (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un M.A.S. En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, como es el caso de un cuerpo colgado de un resorte (figura 1), la partícula que realiza un M.A.S. oscila alejándose y acercándose de un punto situado en el centro de su trayectoria (su 1
Figura 1 Cuerpo suspendido de un resorte. En la figura se muestran tres imágenes, la primera (de izda. a dcha.) se trata de un resorte antes de colgarle un cuerpo. La segunda del mismo muelle con un cuerpo unido a uno de sus extremos. En este caso la posición de equilibrio con respecto a la imagen anterior cambia. Por último, la tercera muestra el resorte y el cuerpo anterior desplazados de su posición de equilibrio.
posición de equilibrio), de tal manera que su posición en función del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia éste.
donde, es una constante positiva y , es la elongación. El signo negativo indica que en todo momento la fuerza que actúa sobre la partícula está dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es, en dirección contraria a su elongación (la "atrae" hacia la posición de equilibrio). Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial Siendo ecuación
, la masa del cuerpo en desplazamiento. Se obtiene la siguiente
̈ 0 2
La solución de la ecuación diferencial. Puede escribirse en la forma:
cos ∅ donde:
∅
es la elongación o desplazamiento respecto al punto de equilibrio. es la amplitud del movimiento angular (elongación máxima). es la frecuencia angular.
es el tiempo es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en
el instante
0
de la partícula que oscila.
Además:
2 Combinando estas ecuaciones
21
Teniendo en cuanta que es una constante, deducimos que la frecuencia depende de la masa “m”.
Para dos masas suspendidas del mismo resorte se obtiene:
En el trabajo de laboratorio se hace una corrección a esta ecuación incrementando al valor de cada masa, un tercio de la masa del resorte.
3
2.
Movimiento Armónico Amortiguado.
Si la masa del sistema anterior se mueve venciendo algún tipo de rozamiento, como en la figura 1, el movimiento se dice que es amortiguado. Un tipo especial
Figura 2 a) La masa se mueve dentro de un fluido viscoso que amortigua el movimiento. b) Variación con el tiempo de la elongación de un oscilador amortiguado.
>0
de movimiento amortiguado es aquel donde se tiene una fuerza de fricción ( )
̇ < 2√ 2 ̈ ̇ − cos
directamente proporcional a la velocidad ( ) pero en sentido opuesto; es decir
. El coeficiente
recibe el nombre de “factor de amortiguación”,
Cuando b es relativamente pequeño (
) se tiene un movimiento
oscilatorio de amplitud decreciente y cuya frecuencia angular
;
4
.
está dada por:
III.
REPRESENTACIÓN ESQUEMÁTICA.
Figura 3 a) El objeto sumergido en un tubo que contiene agua, realiza un movimiento armónico amortiguado. b) El objeto colgado de un resorte, realiza un movimiento armónico simple.
5
IV.
HOJA DE DATOS.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
N° de veces de 10 oscilaciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
de 10 oscilaciones
MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO Orden de oscilaciones 1ra 2da 3ra 4ta 5ta 6ta 7ma 8va 9na 10ma
Primer ensayo
Segundo ensayo
6
Tercer ensayo
V.
CÁLCULOS Y RESULTADOS.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 1. Procedemos a hallar la constante de elasticidad del resorte de la figura 3b usando los datos de la tabla 2.
9.81 , tal que
l
l
y
es la aceleración de la gravedad.
108.4897 106.1567 82.705 75.1748 73.139 65.4779 ∑ +. +. .+.+.+. 85.19 ,
,
,
,
,
El valor de la contante de elasticidad del resorte ( aritmético de los
) será el promedio
:
2. Ahora con los datos de la tabla 1, hallamos la frecuencia promedio para cada masa
Masa
1.058 1.045 1.529 1.525 2.008 2.047 1.446 1.459 1.899 1.959 1.313 1,343 Compararemos , , , , , ,
Tabla 4
486.6
0.5815
508.6
0.598
741.9
0.719
996.2
0.824
con
:
% 1.167% % 0.273% % 1.958% % 0.905% % 3.162% % 2.236% 7
−
1.71969 1.67224 1.39082
1.21359
3. Adicionando a cada masa un tercio de la masa el resorte, volvemos a
++ 1.058 131 1.045 % 1.454% 3 1.529 131 1.525 % 2.575% 3 2.008 131 2.047 % 1.542% 3 1.446 131 1.459 % 1.138% 3 1.899 131 1.959 % 0.089% 3 1.313 131 1,343 % 1.060% 3
comparar las razones del paso 2, esto es
con
:
, , , , , ,
4. Calcule la frecuencia para cada masa utilizando la ecuación compare el resultado con las frecuencias obtenidas en el paso 2.
−
y
Tabla 5
21 [−] 2.3764
2.2994 1.6804
1.3826
−
%
1.71969
0.27634657
1.67224
0.27274941
1.39082
0.17232802
1.21359
0.12224071 5. ¿Cómo reconocería si el movimiento de una masa que oscila, cumple un movimiento armónico? Si una masa oscilando cumple un movimiento armónico, su frecuencia debería permanecer constante. Y para que sea un movimiento armónico simple su amplitud también debería mantenerse constante. Estas condiciones son necesarias para decir que estamos hablando de un movimiento armónico. 8
6. ¿Qué tan próximo es el movimiento estudiado aquí, a un movimiento armónico simple? El porcentaje de diferencia promedio entre el movimiento estudiado y un movimiento armónico simple ideal, es de 21.09%, esto debido a que en un MAS ideal no se toma en cuenta la resistencia del aire o la masa del resorte, además de los errores de medición cometidos en el laboratorio. 7. Haga una gráfica del período al cuadrado versus la masa. Utilice los resultados del paso 2. Obtendremos la ecuación de la gráfica por el método de mínimos cuadrados, para obtener una ecuación de la forma
0 1
4 = = = = =
Reemplazando con los valores de la tabla 4
1.89168325 4 2733.3 1406.34667 2733.3 2038283.57 0.0173 0. 0 007 0 1
De aquí obtenemos
Reemplazamos en Gráfica 1
y obtenemos la siguiente gráfica
Se presenta en color azul la gráfica y la ecuación de masa (m) vs periodo al cuadrado (T2)
0.8 ] s [ )
0.7
0.678976
2
2
0.6
T (
0.516961
o 0.5 d a r d 0.4 a u c l 0.3 a o d 0.2 o i r e P
T2 = 0.0007m + 0.0173
0.357604 0.33814225
0.1 0 0
200
400
600
Masa (m)[g]
9
800
1000
1200
MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO 1. Con los datos obtenidos en el experimento calculamos resorte de la figura 3a.
8 1 0.02159. 0,04 5.2729 ̅
constante del
2. Grafique la curva amplitud ( ) vs tiempo y luego determine la frecuencia angular (
) del movimiento amortiguado de la masa “ ”.
Debemos encontrar una ecuación de la forma:
̅ ln ln() ln ln ln ln ln
Tomando logaritmo neperiano a ambos miembros:
Para hallar y usaremos el método de los mínimos cuadrados:
ln 10ln = = [ln ] l n = = =
Reemplazando con los datos de la tabla 3
8.69842 10ln 36.63 23.7188 36.63ln 170.76906 ln 1.685 0.2225 5.39245 ̅
Resolviendo el sistema de ecuaciones
Reemplazando los valores de gráfica de la gráfica 2
y en la ecuación
10
, obtenemos la
Gráfico 2
Se presenta en color rojo la gráfica tiempo ( t ) versus amplitud (A) y su respectiva ecuación.
6 5
4.73
) A4 ( d u t i 3 l p m2 A
4.02
A = 5.3925e-0.223t
3.53 3 2.53
2.13
1.87
1.6
1.42
1
1.3
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
Tiempo (t)
3. La frecuencia angular del sistema es:
2 0.2666 9.4342
VI.
CONCLUSIONES.
1. Aunque es imposible obtener un movimiento armónico simple perfecto, ciertos movimientos se pueden aproximar a este modelo. 2. A mayor masa el porcentaje de error entre el modelo ideal y el experimental disminuye. 3. La frecuencia no depende de la amplitud, siempre y cuando esta no sea muy grande para el sistema. 4. La amplitud de un movimiento armónico amortiguado, varía con respecto al tiempo de la forma
̅ < 0 ,
.
5. En los cálculos, al aumentar a la masa un tercio de la masa del resorte el porcentaje de error disminuye.
VII.
RECOMENDACIONES.
1. Para tener más exactitud en los datos, a menor masa considerar un menor número de oscilaciones para calcular el periodo.
11
2. Usar un sensor o una cámara de video para calcular como varía la amplitud en el movimiento armónico amortiguado, ya que la velocidad a la que se mueve no permite registrar visualmente los valores de las amplitudes. 3. Ajustar los gráficos por el método de los mínimos cuadrados. BIBLIOGRAFÍA.
Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Ingeniería. (2009). Manual de Laboratorio de Física General - UNI. (FCUNI, Ed.) Lima. Sears, F., Zemansky, M. W., Young, H., & Freedman, R. (2013). Universitaria (Décimo tercera ed., Vol. I). México: PEARSON.
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Física
