ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES FÍ SICA II
Fuente:
www.
Altavista. com
Asesorí a conceptual: William Hernán Jiménez Salgar, Ingeniero Civil y Especialista en Evaluación y
Desarrollo de pro yectos Asesorí a
pedagógica, metodológica, técnica, ilustración y diseño: Clara Esperanza Pedraza Go yeneche Licenciada en Psicopedagogí a y Magí ster en Administración y Supervisión Educativa.
de este módulo, ni su tratamiento inf ormático, ni la transmisión de ninguna f orma o por cualquier medio, ya sea electrónico, por copiado, por registro u otros métodos sin el permiso previo y por escrito de los titulares de. Escuela de Ingenieros Militares. No está permitida la reproducción total o parcial
er e e h e s e v e e I n e i er o e g n c c e D e o s r e se r a do o s s . E s sc u a d e o s M i ta a r s. r c r a l a i e r s i l l i i t r e s ho s u l ng e n v d Elaborado por la Corporación Educativa para la Investigación, la Formación y el Desarrollo Personal. CIDEP.
Bogotá, D.C., Ma yo
de 2002.
TABLA DE CONTENIDO Pág. VI VII VIII XI XIII XV
PRESENTACIÓN PROPÓSITO OBJETIVOS METODOLOGÍA RECOMENDACIONES PRUEBA INICIAL 1.
LEY DE COULOMB INTRODUCCIÓN OBJETIVOS CONDUCTA DE ENTRADA 1.1 VARGA ELÉCTRICA 1.1.1 Cuantificación, Invarianza 1.1.2 Conservación de la Carga 1.1.3 Conductores y Aisladores 1.1.4 Carga por Inducción 1.1.5 Ley de Coulomb 1.2 ELEMPLOS Y EJERCICIOS DE APLICACIÓN EVALUACIÓN FINAL
1 1 1 2 4 4 6 6 7 8 11 16
2.
CAMPO ELÉCTRICO INTRODUCCIÓN OBJETIVOS CONDUCTA DE ENTRADA 2.1 EL CAMPO ELÉCTRICO 2.2 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DISCRETAS Y CONTINUAS DE DE CARGA 2.3 LÍNEAS DE CAMPO ELÉCTRICO ELÉCTRICO EVALUACIÓN FINAL
18 18 18 19 20 23 25 30
3. POTENCIAL INTRODUCCIÓN OBJETIVOS CONDUCTA DE ENTRADA 3.1 POTENCIALELÉCTRICO Y DIFERENCIA DE POTENCIAL
32 32 32 33 39
3.2 RELACIONES ENTRE POTENCIAL ELECTRICO Y CAMPO ELECTRICO
37
III
3.3 EJERCICIO DE APLICACIÓN EVALUACIÓN FINAL
39 44
4.
CORRIENTE Y RESISTENCIA INTRODUCCIÓN OBJETIVOS CONDUCTA DE ENTRADA 4.1 CORRIENTE ELECTRICA 4.1.1 Movimiento de Carga Eléctrica 4.1.2 Dirección de la Corriente Eléctrica 4.1.3 Fuerza Eléctrica 4.2 RESISTENCIA Y LEY DE OHM 4.3 RESISTENCIA Y SUPERCONDUCTIVIDAD 4.4 MODELO DE COMUNICACIÓN ELÉCTRICA EVALUACIÓN FINAL
45 45 45 46 47 47 49 50 52 55 61 67
5.
CIRCUITO DE CORRIENTE CONTINUA INTRODUCCIÓN OBJETIVOS CONDUCTA DE ENTRADA 5.1 RESISTENCIA EN SERIE Y EN PARALELO 5.2 REGLAS DE KIRCHHOFF: SOLUCION DE CIRCUITO POR NODOS O MALLAS 5.3 CIRCUITO CON RESISTENCIA Y CONDENSADORES: CIRCUITOS RC 5.3.1 Carga de un Capacitor 5.3.2 Descarga de un Capacitor 5.4 INSTRUMENTOS ELÉCTRICOS: AMPERÍMETRO, VOLTÍMETRO, GALVANÓMETRO PUENTE DE WHEATSTONE Y POTENCIOMETRO 5.5 EJERCICIO DE APLICACIÓN EVALUACIÓN FINAL
68 68 68 69 71
6.
94 94 94 95 97
ELECTROMECANICAY ELECTRICIDAD INTRODUCCIÓN OBJETIVOS CONDUCTA DE ENTRADA 6.1 DIELÉCTRICO
IV
73 77 77 79 80 85 93
6.2 6.3 6.4 6.5
CONDENSADORES CON UN DIELÉCTRICO DRESCRIPCIÓN ATÓMICA DE LOS DIELECTRICOS PROPIEDADES DE LOS DIELECTRICOS EJERCICIOS DE APLICACIÓN EVALUACIÓN FINAL
97 99 101 102 106
7.
CAPACIDAD INTRODUCCIÓN OBJETIVOS CONDUCTA DE ENTRADA DEFINICIÓN DE CAPACIDAD CAPACIDADES DE DIFERENTES GEOMETRÍAS COMBINACIÓN DE CONDENSADORES ENERGÍA ALMACENADA EN UN CONDENSADOR EJERCICIOS DE APLICACIÓN EVALUACIÓN FINAL
107 107 107 108 109 110 112 113 118
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 8
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8
CAMPO MAGNÉTICO INTRODUCCIÓN OBJETIVOS CONDUCTA DE ENTRADA DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE UN CAMPO MAGNÉTICO FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UN CONDUCTOR QUE LLEVA CORRIENTE MOMENTO SOBRE UNA ESPIRA DE CORRIENTE EN UN CAMPO MAGNÉTICO MOVIMIENTO DE PARTICULAS CARGADAS DE CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS ESPECTRÓMETRO DE MASAS ACELERADORES DE PARTÍCULAS EFECTO MAY EJERCICIOS DE APLICACIÓN EVALUACIÓN FINAL
9. GALVANOMETROS INTRODUCCIÓN OBJETIVOS CONDUCTA DE ENTRADA 9.1 CAMPOS MAGNÉTICOS DILUIDO A UNA CORRIENTE FEM
V
119 119 119 102 121 122 123 125 127 127 128 129 133
134 134 134 135
9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9
INDUCIDA INDUCTANCIA AUTOINDUCTANCIA CIUCUITO RL ENERGÍA EN UN CAMPO MAGNÉTICO INDUCTANCIA MUTUA OSCILACIONES EN UN CIRCUITO LC CIRCUITO RLC EJERCICIOS DE APLICACIÓN EVALUACIÓN FINAL
136 138 139 139 140 140 141 142 143 146
10. TERMOMAGNÉTISMO INTRODUCCIÓN OBJETIVOS CONDUCTA DE ENTRADA 10.1 CORRIENTES ALTERNAS 10.2 FUNETES DE AC 1.03 CIRCUITOS RL, RC, RLC 10.4 POTENCIA DE UN CIRCUITO DE AC 10.5 RESONANCIA EN UN CIRCUITO RLC 10.6 ECUACIONES DE MAXWELL 10.7 EJERCICIOS DE APLICACIÓN EVALUACIÓN FINAL
147 147 147 148 150 151 153 154 154 155 156 160
PRUEBA FINAL
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PATRÓN DE RESPUESTAS
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PRESENTACIÓN La asignatura de FÍSICA II esta considerada como el inicio de la aplicación de los desarrollos matemáticos elaborados en los cursos previos de cálculo, para explicar los fenómenos naturales como el desplazamiento, la velocidad de las partículas, las fuerzas externas que actúan sobre ellas, la interacción entre cuerpos y la influencia de los planetas en nuestro propio planeta Tierra. Todos y cada uno de
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ellos se pueden explicar acertadamente desde la óptica de las leyes fundamentales de la física. De esta manera, el estudiante abordará su entorno inmediato desde el punto de las ciencias básicas y la experimentación de los fenómenos naturales, mediante la observación permanente y la aplicación del método científico. Todo lo anterior le permite al estudiante tener una percepción diferente del medio ambiente que le rodea, constituyéndose en un permanente laboratorio desde la observación hasta la aplicación aplicación directa de los conocimientos de esta asignatura.
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PROPÓSITO En esta oportunidad usted adelantará el estudio de los temas relacionados con los fenómenos eléctricos, magnéticos y su relación con el entorno inmediato que lo rodea. Una vez finalizado su curso tendrá la capacidad de identificar los tipos de corrientes utilizadas en el desarrollo de la actividad ingenieríl así como los componentes de los circuitos mas empleados en todo tipo de dispositivo eléctrico y electromecánico.
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OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Desarrollar las habilidades de análisis en la interpretación y desarrollo de situaciones relacionadas con los fenómenos electromecánicos, eléctricos, de circuitos y las posibles combinaciones para un mejor aprovechamiento de este recurso energético.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS POR SESIÓN Sesión 1 ¾Reconocer
los avances alcanzados en el estudio de los fenómenos físicos de la electrostática y las cargas eléctricas a partir de la Ley de Coulomb.
¾Identificar
las propiedades de las cargas eléctricas.
Sesión 2 ¾Identificar
los campos eléctricos asociados a los cuerpos que se encuentran en la naturaleza. ¾ Analizar los conceptos de campo eléctrico en un cuerpo aislado o en varios cuerpos cercanos y su interacción entre ellos.
Sesión 3 ¾Emplear
el concepto de potencial en el estudio del campo eléctrico y definir potencial eléctrico a partir del criterio de la conservación de la energía.
¾Establecer
la relación entre campo eléctrico y potencial eléctrico.
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Sesión 4 ¾Demostrar
por definición y ejemplo la de corriente eléctrica y fuerza electromotriz.
¾Escribir
y aplicar la Ley de Ohm a la solución de problemas que incluyan resistencia eléctrica.
¾Definir
la Resistividad de un material y resolver problemas de aplicación.
¾Definir
el coeficiente de la temperatura de la resistencia y calcular el cambio en resistencia que ocurre con un cambio de temperatura.
Sesión 5 ¾Reconocer
los avances alcanzados en el estudio de los fenómenos físicos de la electrostática y las cargas eléctricas a partir de la Ley de Coulomb ¾Identificar las propiedades de las cargas eléctricas.
Sesión 6 ¾Identificar
el comportamiento de la corriente eléctrica a través de circuitos simples en serie y en paralelo. ¾ Adquirir la destreza para el análisis de circuitos de corriente continua mediante el empleo de las reglas de Kirchhoff. ¾Identificar algunos instrumentos empleados en la medición de corriente eléctrica.
Sesión 7 ¾Identificar
las propiedades de un condensador para almacenar carga. ¾Definir las características geométricas de un condensador y su relación con la cantidad de carga almacenada. ¾Identificar las posibilidades de combinación de los condensadores.
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Sesión 8 ¾Identificar
las propiedades de un campo magnético y sus aplicaciones más frecuentes. ¾ Analizar el uso del campo magnético en diversas aplicaciones.
Sesión 9 ¾Completar
el estudio sobre el electromagnetismo y sus aplicaciones. ¾Identificar las aplicaciones prácticas de la inducción magnética.
Sesión 10 ¾Identificar
las propiedades de los circuitos de corriente alterna. ¾Verificar el comportamiento de los circuitos de corriente alterna a la luz de las expresiones deducidas para los circuitos de corriente continua.
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METODOLOGÍA La metodología para el desarrollo de cada sesión del módulo es activa, participativa y autónoma permitiéndole:
• Desarrollar cada sesión programada, siguiendo su propio
ritmo de aprendizaje, dentro de las normas de auto disciplina que se imponga para manejar el tiempo.
• Organizar personalmente el programa de aprendizaje, eligiendo y programando el tiempo de acuerdo con la disponibilidad, motivación, interés y grado de dificultad para comprender el contenido, aunque sin incumplir el tiempo programado para los encuentros tutoriales.
• Auto regular y conocer el progreso por medio de la evaluación (conducta de
salida y prueba final) que realiza, a medida que avanza en el desarrollo de cada sesión y al finalizar el módulo.
Le corresponde estudiar cada sesión de manera continua, con gran sentido de responsabilidad y sin abandonar la tarea frente a la primera dificultad. Los descansos en el estudio del módulo se planifican de acuerdo con las técnicas que la Escuela de Ingenieros Militares le sugiera, si se detiene porque sencillamente así lo desea, comprobará más tarde que su esfuerzo para retomar el hilo del material deberá ser grande. Las diferentes sesiones de cada módulo presentan ejercicios, que le corresponde realizar. Estos ejercicios cumplen la función de reforzar el aprendizaje, a la vez le permiten autoevaluarse. Los criterios de evaluación para la aprobación de cada módulo son básicamente tres: 1. La auto evaluación: lo cual implica dar el concepto sobre su dedicación esfuerzo y compromiso en la adquisición de los conocimientos expuestos en cada una de las sesiones que corresponden al módulo; las experiencias, y el desarrollo de habilidades, destrezas, comportamientos y competencias, le permitirán un buen desempeño académico y profesional a la vez una mejor comprensión de la sociedad que lo rodea.
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2. La coevaluación contempla la anterior. La realizan los estudiantes entre si mutuamente, para determinar los avances, debilidades, dificultades y fortalezas relativas al proceso del aprendizaje. 3. La heteroevaluación, hace referencia a la reflexión del colectivo de docentes (tutores) y el grupo de estudiantes sobre los procesos vividos en la relación enseñanza – aprendizaje.
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RECOMENDACIONES Tenga en cuenta: 1. Leer toda la información. 2. Cada vez que encuentre la mascota, el capitán Esing, reconocerá: +La prueba inicial.
+La prueba final.
3. Responder a las preguntas tanto de la prueba inicial y final como de la conducta de entrada y salida. Igualmente, desarrollar cada uno de los ejercicios prácticos por sesión, para así resolver con éxito las dudas que se le presente en su campo profesional. 4. Seguir la metodología y el sistema de evaluación durante todo el proceso de su formación. 5. El mejoramiento de su calidad de vida depende en forma directa del compromiso con todo lo que realice. 6. Observar detenidamente cada una de las imágenes. 7. No decaer ante la primera dificultad.
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RECUERDE: APRENDER NO ES MEMORIZAR MECÁNICAMENTE; APRENDER ES INTERPRETAR, ARGUMENTAR Y PROPONER. ¡ÉXITOS!
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PRUEBA INICIAL
1. Una persona ve pasar un rayo cerca de un avión que vuela a cierta distancia. La persona escucha el trueno 5 seg después de ver el rayo y vuelve a ver el avión exactamente encima de ella 10 seg después de haber escuchado el trueno. Si la rapidez del sonido es de 1100 ft/seg, (a) determine la distancia a la que se encuentra el avión respecto de la persona en el instante en que cae el rayo. (Desprecie el tiempo que tarda la luz en ir del rayo al ojo de la persona) (b) Suponiendo que el avión vuela con una rapidez constante hacia la persona, calcule su velocidad. (c) Investigue y obtenga el dato de la rapidez de la luz en el aire y compárela con la obtenida en (a). 2. Un mago intenta sacar un mantel de mesa de debajo de un vaso de 200 g. El vaso está localizado a 30 cm de la orilla de la mesa. Si existe una pequeña fuerza de rozamiento de 0.1 N ejercida sobre el vaso por el mantel y el mantel se hala con una aceleración constante de 3.0 m/s², ¿a qué distancia se moverá el vaso en la superficie de la mesa antes de que el mantel esté totalmente fuera de él? (El mantel se mueve más de 30 cm antes de salirse completamente de abajo del vaso) 3. Un mecánico empuja un automóvil de 2500 kg a partir del reposo hasta alcanzar una rapidez v haciendo un trabajo de 5000 J en el proceso. Durante este tiempo, el auto se desplaza 25 m. Despreciando la fricción entre el auto y el piso, (a) ¿cuál es la rapidez final, v , del automóvil? (b) ¿Cuál es la fuerza horizontal ejercida sobre el automóvil?
4. El vector de posición de una partícula de 5 kg de masa es r = (2t²i + 3 j ) m, en donde t está en seg. Determine le momento angular y el momento de una fuerza que actúa sobre la partícula alrededor del origen.
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5. Una tabla de espuma de estireno tiene un espesor de 10 cm y una densidad de 300 kg/m³ ¿Cuál es el área de la tabla si flota justo al ras del agua cuando un nadador de 75 kg está arriba de la tabla?
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SESIÓN 1 LEY DE COULOMB INTRODUCCIÓN En la naturaleza frecuentemente encontramos manifestaciones de las fuerzas que la gobiernan tales como, la de la atracción gravitacional, la cual permite que los cuerpos sobre la superficie de la Tierra permanezcan en ella y que los planetas del sistema solar continúen su movimiento de rotación alrededor del Sol. De igual forma las de atracción entre los cuerpos, la presión de los fluidos y de los gases, las fuerzas generadas por la gravedad en los cuerpos y en general aquellas externas a los cuerpos y sistemas de cuerpos estudiados. Teniendo en cuenta que .....(mostrar la importancia del tema para la ingeniería de vías y aeropistas) en esta sesión profundizaremos en todo lo relacionado con las fuerzas internas asociadas a las partículas y la relación con las fuerzas internas de otras partículas cercanas. Estas fuerzas “eléctricas” o “cargas eléctricas” fueron estudiadas ampliamente por el ingeniero militar francés Charles Coulomb (1736 1806).
OBJETIVOS ¾Reconocer
los avances alcanzados en el estudio de los fenómenos físicos de la electrostática y las cargas eléctricas a partir de la Ley de Coulomb ¾Identificar las propiedades de las cargas eléctricas.
CONDUCTA DE ENTRADA Resuelva los siguientes problemas: 1. Un bloque de masa m 2 que está sobre una superficie horizontal y áspera, se conecta a una segunda masa m 1 por medio de una cuerda ligera que pasa por una polea ligera y sin fricción, como se muestra en la figura. Se aplica una fuerza de magnitud F a la masa m 2 como se indica. El coeficiente de rozamiento cinético entre m 2 \ODVXSHUILFLHHQ'HWHUPLQDUODDFHOHUDFLón de las masas y la tensión de la cuerda.
2. Una pelota de masa 0.5 kg se ata al final de una cuerda cuya longitud es 1.5 m. La pelota gira en un círculo horizontal como se muestra en la figura. Si la cuerda puede resistir una tensión máxima de 50 N, ¿cuál es la rapidez máxima que puede tener la pelota antes de que la cuerda se rompa?
2
3. Tres esferas uniformes de masas 2 kg, 4 kg y 6 kg se colocan en las esquinas de un triángulo rectángulo, como se indica en la figura, en la cual, las coordenadas están en metros. Calcúlese la fuerza gravitacional resultante sobre la masa de 4 kg, suponiendo que las esferas se encuentran aisladas del resto del universo.
4. Calcular la masa del Sol usando el hecho de que el periodo de la Tierra es 3.156 × 107 seg y su distancia al Sol es 1.496 × 1011 m.
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1. LEY DE COULOMB. 1.1 CARGA ELÉCTRICA. La carga eléctrica es la fuerza asociada a las partículas que componen un cuerpo. Una de las evidencias de esta fuerza se presenta en los imanes o elementos imantados, así como al frotar una peinilla sobre nuestro cabello y acercarla a trocitos de papel picado, se observa que muchos de ellos se adhieren a la peinilla y algunos otros se mantendrán en el peine por algunos instantes. Cuando los materiales que observamos se comportan de manera similar al ejemplo descrito, se dice que están electrizados o que se han cargado eléctricamente. Experimentos de cargas eléctricas sobre personas se pueden observar de una manera divertida y didáctica, en el centro interactivo de Maloka en la ciudad de Bogotá.
1.1.1 CUANTIFICACIÓN, INVARIANZA. Una vez identificada la carga eléctrica sobre los cuerpos y sobre las partículas que los componen, se realizaron algunos experimentos descubriendo que existen dos tipos de cargas eléctricas, a las cuales Benjamín Franklin (1706 – 1790) denominó positiva y negativa. Mediante una práctica sencilla se puede evidenciar la existencia de estos dos tipos de carga: Considérese que se frota una barra dura de caucho contra una piel y a continuación se suspende de un hilo no metálico, como se muestra en la figura. .Cuando una barra de vidrio frotada con una tela de seda se acerca a la barra de
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Caucho, ésta será atraída a la barra de vidrio. Por otro lado si dos barras de caucho cargadas (o también dos barras de vidrio cargadas) se aproximan una a la otra, la fuerza entre ellas será de repulsión. Con la observación de este ensayo se demuestra que el caucho y el vidrio se encuentran en dos estados de electrificación diferentes. Tomando como base estas observaciones, se puede concluir que cargas iguales se repelen y cargas diferentes se atraen. Usando la convención sugerida por Franklin, la carga eléctrica de la barra de vidrio se llama positiva y la carga de la barra de caucho se llama negativa. Por lo tanto, generalizando las observaciones, cualquier cuerpo es atraído por una barra de caucho cargada (o repelida por una barra de vidrio cargada) debe tener una carga positiva. De manera inversa, cualquier cuerpo cargado que es repelido por una barra de caucho cargada (o atraída por una barra de vidrio cargada) debe tener carga negativa. Para el año de 1909, Robert Millikan (1886 – 1953) demostró que la carga eléctrica siempre se presenta como algún múltiplo entero de alguna unidad fundamental de carga e . En términos modernos, se dice que la carga q está cuantizada. Esto significa, que la carga eléctrica existe como paquetes discretos. De donde, podemos escribir q = Ne , de donde N es algún entero. Otros experimentos llevados a cabo durante el mismo periodo, demostraron que el electrón tiene una carga de –e y que el protón una carga igual y opuesta de +e . De otro lado, se demostró también que algunas partículas elementales, como el neutrón, no tienen carga. Un átomo neutro debe contener el mismo número de protones que de electrones.
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1.1.2 CONSERVACIÓN DE LA CARGA. Durante el proceso de observación adelantado por Franklin en su modelo de la electricidad, se observó que la carga eléctrica siempre se conserva, esto es, cuando se frota un cuerpo contra otro, no se crea carga en el proceso. El estado de electrificación se debe a la transferencia de carga de un cuerpo a otro. Por lo tanto, un cuerpo gana determinada cantidad de carga negativa, mientras que el otro gana la misma cantidad de carga positiva. Por los estudios desarrollados sobre la estructura molecular y atómica, se sabe que son los electrones negativamente cargados los que se transfieren del vidrio a la seda en el proceso de frotamiento. Del mismo modo, cuando se frota el caucho contra la piel, se transfieren electrones de la piel al caucho, dando a éste una carga neta negativa y a aquella una carga positiva. Esto es consecuente con el hecho de que la materia neutra no cargada contiene tantas cargas positivas (protones en el núcleo) como cargas negativas (electrones). Mediante los experimentos realizados por Coulomb en la balanza de torsión desarrollada por él mismo, se concluye que las carga eléctrica tiene las siguientes propiedades: a. Existen dos clases de cargas en la naturaleza, con la propiedad de que cargas diferentes se atraen y cargas iguales se repelen. b. La fuerza entre cargas varía con el inverso del cuadrado de la distancia que las separa. c. La carga se conserva. d. La carga está cuantizada.
1.1.3 CONDUCTORES Y AISLADORES. Para continuar con un estudio más cercano de las cargas eléctricas, es conveniente clasificar las sustancias de la naturaleza en términos de su capacidad para conducir la carga eléctrica. Así como existen elementos que facilitan conducir la carga eléctrica a través de ellos otros, en cambio, resisten su conducción. En términos generales los conductores son los materiales en los cuales las cargas eléctricas se mueven con bastante libertad, en tanto que los aisladores son los que no transportan la carga con facilidad. Ejemplos de conductores tenemos el cobre, el aluminio y la plata. Cuando estos materiales se cargan en alguna pequeña región, rápidamente la carga se distribuye por toda la superficie del conductor. En contraste, materiales como el
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vidrio, caucho y la porcelana están dentro de la categoría de aisladores. Cuando estos materiales son cargados por frotamiento, sólo el área que se frota se carga y ésta se desplaza hacia otras regiones del material. Si se sostiene una barra de cobre con la mano y se frota con un trozo de lana o de piel, la barra no atrae a ningún pedazo de papel. Esto podría sugerir que no se puede cargar un metal. Por otro lado, si se sostiene la barra de cobre con un mango de caucho y después se frota, la barra permanecerá cargada y atraerá el trozo de papel. Esto se explica, al observar, que en el primer caso, la carga eléctrica producida por frotamiento pasa con facilidad del cobre a nuestra mano y finalmente, hacia la tierra. En el segundo caso, el mango aislador de caucho, evita el flujo de la carga hacia la tierra. Existe una tercera clase de materiales denominados los semiconductores y sus propiedades eléctricas se encuentran entre las correspondientes a los aislantes y los conductores. El silicio y el germanio son ejemplos bien conocidos de semiconductores que se utilizan con frecuencia en la fabricación de una variedad de dispositivos electrónicos. Las propiedades eléctricas de los semiconductores pueden cambiarse en varios órdenes de magnitud, agregando cantidades controladas de átomos extraños a los materiales.
1.1.4 CARGA POR INDUCCIÓN. Cuando un conductor se conecta a tierra por medio de un alambre conductor o de un tubo de cobre, se dice que está aterrizado. La tierra puede considerarse como un sumidero infinito hacia los cuales los electrones pueden emigrar con facilidad. Con esto en mente, se puede comprender cómo cargar un conductor por un proceso conocido como inducción. Para comprender mejor el concepto de inducción, considere que una barra de caucho cargada negativamente se acerca a una esfera conductora neutra (no cargada) aislada de la tierra. Es decir, no existe trayectoria conductora hacia la tierra(Figura No. (a)). La región de la esfera más cercana a la barra cargada negativamente obtendrá un exceso de cargas positivas, mientras que la región de la esfera más lejana de la barra obtendrá un exceso de carga negativa, (es decir, los electrones en la parte de la esfera cercana a la barra emigrarán al lado opuesto de la esfera) (Figura No. (b)). Si el mismo experimento se realiza con un alambre conductor conectado a tierra algunos electrones serán repelidos hacia la tierra. Si el alambre a tierra se quita, la esfera conductora contendrá un exceso de carga positiva inducida (Figura No. (c)). Finalmente, cuando se retira la barra de caucho de la vecindad de la esfera, la carga positiva inducida permanece en la esfera no aterrizada (Figura No. (d)). Nótese que la carga remanente en la esfera
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está distribuida uniformemente en la superficie de la esfera debido a la presencia de las fuerzas repulsivas entre cargas semejantes.
En el proceso, la barra de caucho no pierde su carga negativa. En conclusión, se puede observar que para cargar un elemento por inducción, no se requiere contacto con el cuerpo inductor de la carga. Esto contrasta, con la carga producida a un objeto mediante la frotación, es decir, por conducción, la cual si requiere de contacto entre los dos objetos.
1.1.5 LEY DE COULOMB. Para el año de 1785, Coulomb estableció la ley fundamental de la fuerza eléctrica entre dos partículas cargadas estacionarias. Los experimentos muestran que la fuerza eléctrica tiene las siguientes propiedades: a. La fuerza es inversamente proporcional al inverso del cuadrado de la distancia de separación r entre las dos partículas, medida a lo largo de la línea recta que las une.
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b. La fuerza es proporcional al producto de las cargas q 1 y q 2 de las dos partículas. c. La fuerza es atractiva si las cargas son de signos opuestos, y repulsiva si las cargas tienen el mismo signo. A partir de estas observaciones podemos expresar la fuerza eléctrica entre dos cargas como: F = k
q1 q2 r 2
Donde k es una constante conocida como constante de Coulomb. En sus experimentos y ensayos, Coulomb pudo demostrar que el exponente de r era 2, con sólo un pequeño porcentaje de incertidumbre. Los experimentos modernos han demostrado que el exponente es 2 con una precisión de algunas partes en 109 . La constante k en la ecuación anterior, tiene un valor que depende de la elección de las unidades. La unidad de carga en el SI de unidades es el coulomb ( C ). El coulomb se define en términos de la unidad de corriente llamad ampere ( A ), donde la corriente es igual a la rapidez del flujo de carga. Si por ejemplo, la corriente en un alambre es de 1 A, la cantidad de carga que fluye en un determinado punto del alambre es 1 seg en 1 C. La constante k en el SI de unidades tiene un valor de: k = 8.9875 × 109 N .m 2 / C 2
Para simplificar los cálculos, se usará el valor aproximado k ≈ 9.0 × 109 N .m 2 / C 2
La constante k también se puede escribir: k =
1 4π ∈0
HQGRQGHODFRQVWDQWH /0 se conoce como la permitividad del espacio libre y tiene
un valor de
∈0 = 8.8542 × 10−12 C 2 / N .m 2
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La unidad más pequeña de carga conocida en la naturaleza es la que tiene un electrón o un protón. La carga de un electrón o de un protón tiene una magnitud de e
= 1.60219 × 10−19 C
Por lo tanto, 1C de carga es igual a la carga de 6.3 × 1018 electrones (esto es, 1/ e ). Se puede comparar esto con el número de electrones libres que se encuentran en 1 cm³ de cobre, que es del orden de 1023 . Nótese que 1 C es una cantidad importante de carga. En experimentos electrostáticos típicos, en los cuales se carga una barra de caucho o de vidrio por frotamiento, la carga neta que se obtiene es del orden de 10−6 C & (Q RWUDV SDODEUDV Vólo una pequeña fracción de la carga total disponible se transfiere entre el material de la barra y el material con que se frota.
Carga y masa del electrón, protón, neutrón Partícula Carga (C ) Masa (kg) − 19 Electrón e 9.1095 × 10 −31 − 1.6021917 × 10 Protón p 1.67261 × 10 −27 + 1.6021917 × 10 −19 Neutrón n 0 1.67261 × 10 −27 Tabla No. Cundo se aplica la ley de Coulomb, debe recordarse que la fuerza es una cantidad vectorial y debe tratarse como tal. Además nótese que la ley de Coulomb sólo se aplica a cargas puntuales o partículas . La fuerza eléctrica q 2 debida a q1, escrita como F 21, puede ser expresada en forma vectorial como: F 21
= K
q1 q 2 r 2
ˆ r
Entonces la fuerza eléctrica sobre q1 debida a q2, la cual se representa por F 12 , se puede expresar en forma vectorial como F 12
= k
q1 q 2 2
r
ˆ12 r
En donde ^r es un vector unitario dirigido de q1 a q 2 como se muestra en la figura No. .Debido a que la ley de Coulomb obedece la tercera ley de Newton, la fuerza eléctrica sobre q2 debida a q1 es igual en magnitud a la fuerza sobre q 1 debida a q2 y en sentido opuesto, es decir, F 21 = - F 12 . Finalmente, en la ecuación anterior, si q1 y q2 son del mismo signo, su producto es positivo y la fuerza es de
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repulsión. Por otro lado, si son de signos opuestos, su producto será negativo y la fuerza es atractiva.
Cuando están presentes más de dos cargas, la fuerza entre cualquier par de ellas se obtiene de la ecuación vista anteriormente, por lo tanto, la fuerza resultante sobre cualquiera de ellas es igual al vector suma de las fuerzas debidas a las diversas cargas por separado. Este principio de superposición aplicado alas fuerzas electrostáticas es un hecho experimentado, esto es: F 1
= F 12 + F 13 + F 14
1.2 EJEMPLOS Y EJERCICIOS DE APLICACIÓN. a. Considere tres cargas puntuales ubicadas en los vértices de un triángulo, como se observa en la figura, donde q 1 = q3&T2 = - &&10 −6 C ), y a = 0.1m. Determine la fuerza resultante sobre q 3.
Solución Primero obsérvese la dirección de cada una de las fuerzas sobre q 3 debidas a q1 y q2. La fuerza q3 debida a q2 es de atracción ya que q 3 y q2 tienen signos opuestos.
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La fuerza sobre q3 debida a q1 es de repulsión, dado que las dos son positivas. Se calcula la magnitud de las fuerzas sobre q 3. La magnitud de la fuerza sobre q 3 debida a q2 está dada por q3 q 2
F 32
= k
F 32
2 ( 5 × 10 −6 C )(2 × 10 −6 C ) 9 N .m = 9.0 × 10 C 2 (0.1m )2
a2
F 32 = 9.0 N Nótese que siendo q3 y q 2 de signos opuestos, F32 es hacia la izquierda, como se muestra en la figura. La fuerza total F3, sobre q3 es la suma vectorial de F31 + F32. La magnitud de la fuerza sobre q 3 debido a q1 está dada por: F 31
= k
q3 q1 ( 2a ) 2
2 −6 C )(5 × 10 −6 C ) 9 N .m (5 × 10 F 31 = 9.0 × 10 2 C 2 2(0.1m )
12
F31= 11 N. La fuerza F31 es repulsiva y hace un ángulo de 45º con el eje x , por lo tanto, las componentes x y y de F 31 son iguales, con magnitud dada por F 31cos 45º = 7.9 N. La fuerza F32 está en la dirección negativa de la x . De donde las componentes x y y de la fuerza resultante sobre q 3 están dadas por: F x F y
= F 31 x + F 32 = 7.9 N − 9.0 N = −1.1 N = F 31 y = 7.9 N
También se puede expresar la fuerza resultante sobre q 3 en la forma de vectores unitarios como: F 3
= (− 1.1i + 7.9 j )N .
b. El electrón y el protón de un átomo de hidrógeno están separados en promedio por una distancia aproximada de 5.3 × 10 −11 m . Calcule la magnitud de la fuerza eléctrica y de la fuerza gravitacional entre las dos partículas.
Solución Teniendo en cuenta la ley de Coulomb, podemos determinar que la fuerza de atracción eléctrica tiene una magnitud de: e
2
F e
= k
F e
= 8.2 × 10 −8 N
r 2
N .m 2 (1.6 × 10 −19 C )
2
= 9.0 × 10
9
C 2
(5.3 × 10 −
11
m)
2
Usando la ley de gravitación universal de Newton y los datos de los electrones y protones suministrados por la tabla del numeral f, encontramos que la fuerza gravitacional tiene una magnitud de: F g
F g
=G
me m p r 2
= 6.7 × 10
−11 N .m
kg 2
2
9.11 × 10 − kg )(1.67 × 10 − ( × (5.3 × 10 − m) 31
27
11
13
2
kg )
F g
= 3.6 × 10 −47 N
La razón F e / F g ≈ 3 × 10 39 , por lo tanto, la fuerza gravitacional entre partículas atómicas cargadas es despreciables comparada con la fuerza eléctrica entre ellas. c. Una pequeña moneda, por ser eléctricamente neutra, contiene cantidades iguales de carga positiva y negativa. ¿Cuál es la magnitud de estar cargas iguales?
Solución La carga q está dada por NZe , en donde N es el número de átomos en la moneda y Ze es la magnitud de las cargas positiva y negativa de cada átomo. El número N de átomos en la moneda, suponiendo para simplificar que esté hecha de cobre, es de N Am / M , en donde N A es la constante de Avogadro. La masa m de la moneda es de 3.11g y la masa M de 1 mol de cobre (conocido comúnmente como masa molar ) es de 63.5 g. Hallamos en número de átomos: N =
N A m M
(6.02 × 10 =
23
átomos / mol )(3.11 g )
63.5 g / mol
N = 2.92 × 10 22 átomos
Cada átomo neutro tiene una carga negativa de magnitud Ze asociada a sus electrones y una carga positiva de la misma magnitud asociada a su núcleo. Aquí e es la magnitud de la carga sobre el electrón, la cual es de 1.60 × 10 −19 C , y Z es el número atómico del elemento en cuestión. Para el cobre Z es 29. La magnitud total de la carga negativa o positiva en la moneda es entonces de;
= NZe q = (2.95 × 10 22 )(29 )(1.60 × 10 −19 C ) q = 1.37 × 10 5 C q
Ésta es una carga demasiado grande. Como comparación, la carga que podríamos obtener frotando una varilla de plástico es quizás de 10 −9 C , valor menor en factor de unos 1014 . Otra comparación: a una carga de 1.37 × 10 5 C le tomaría unas 38 horas fluir por el filamento de un foco eléctrico de 100 W, 120 V. Existe una gran cantidad de carga eléctrica en la materia ordinaria.
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d. El núcleo de un átomo de hierro tiene un radio de unos 4 × 10 −15 m y contiene 26 protones. ¿Qué fuerza electrostática de repulsión actúa entre dos protones en tal núcleo si están separados por una distancia de una radio?
Solución. De la ecuación que enuncia la ley de Coulomb tenemos: F =
1
q p q p
4π ∈0
r 2
8.99 × 10 N .m / C )(1.60 × 10 − ( = (4 × 10 − m) 9
2
2
15
19
C )
2
2
F = 14 N .
Esta enorme fuerza, de mas de 3 lb y que actúa sobre un solo protón, debe ser más que equilibrada por la fuerza nuclear de atracción que une el núcleo entre si. Esta fuerza, cuyo alcance es tan corto que sus efectos no pueden percibirse mucho más allá del núcleo, se conoce como “fuerza nuclear fuerte”, nombre que resulta muy apropiado.
15
EVALUACIÓN FINAL A continuación se presentan una serie de problemas en los cuales aplicará los conceptos desarrollados a lo largo de la sesión. Para profundizar en los temas expuestos, remítase a los textos que se relacionan al final de la sesión. 1. Si frota enérgicamente una moneda entre los dedos no logrará que resulte carga por fricción. Explique por qué. 2. Una varilla cargada atrae partículas de polvo de corcho seco, las cuales, después de tocar la varilla, a menudo se alejan de ella violentamente. Explique. 3. En la figura que acompaña el problema se muestra dos cargas q1 y q2, separadas por una distancia fija d . (a) Encuentre el valor de la fuerza eléctrica que actúa sobre q 1. Suponga que q1 = q2 &\ d = 1.52 m. (b) Una tercera carga q3 & VH LQWURGXFH \ VH FRORFD FRPR VH PXHVWUD HQ OD figura. Calcule la intensidad de la fuerza eléctrica q 1 ahora.
'RVFDUJDVSRVLWLYDVGH&FDGDXQD\XQDFDUJDQHJDWLYDGH - &
están fijas en los vértices de un triángulo equilátero de 13.0 cm de lado. Cálculo la fuerza eléctrica sobre la carga negativa. 5. Dos esferas conductoras idénticas, que tienen cargas de signo opuesto, se atraen entre sí con una fuerza de 0.108 N cuando están separadas por 50.0 cm. Las esferas se conectan súbitamente con un alambre conductor delgado, que luego se retira y después las esferas se repelen entre sí con una fuerza de 0.0360 N. ¿Cuáles eran las cargas iniciales de las esferas?
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6. Un electrón está en el vacío cerca de la superficie de la Tierra. ¿En dónde estaría situado un segundo electrón de modo que la fuerza neta sobre el primer electrón, debido al otro electrón y a la gravedad, sea cero? 7. Calcule el número de coulomb de carga positiva en un vaso de agua. Suponga que el volumen del agua es de 250 cm³. 1
1. Textos y problemas tomados y adaptados de HALLIDAY, David. RESNICK, Robert. KRANE, Kenneth. Física Vol.2. SERWAY, Raymond. Física Tomo II.
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SESIÓN 2 CAMPO ELÉCTRICO INTRODUCCIÓN En el caso específico de las cargas eléctricas, estas generan un espacio alrededor del cuerpo cargado eléctricamente, un sector cercano a la superficie externa del cuerpo, en el cual se perciben los efectos de esta carga eléctrica, muy similar a los efectos estudiados en estática de fluidos debida a la presión del mismo sobre una superficie sumergida. Otro ejemplo, más palpable, de este tipo de fuerzas cercanas al cuerpo en estudio, es la fuerza de la gravedad, la cual es prácticamente constante en alturas cercanas a la superficie de la Tierra y varía disminuyendo a medida que se aleja de la superficie terrestre. En mayor o menor medida esto le sucede a las cargas eléctricas generando un campo eléctrico, el cual es el tema de estudio de la presente Sesión.
OBJETIVOS ¾Identificar
los campos eléctricos asociados a los cuerpos que se encuentran en la naturaleza. ¾ Analizar los conceptos de campo eléctrico en un cuerpo aislado o en varios cuerpos cercanos y su interacción entre ellos.
CONDUCTA DE ENTRADA Para un adecuado desempeño en el estudio de esta sesión el estudiante debe tener claros los conceptos de carga eléctrica, conductores, aisladores y ley de Coulomb. 1. Una carga puntual de + 3.12 × 10 −6 C está a una distancia de 12.3 cm de una segunda carga puntual de − 1.48 × 10 −6 C . Calcule la magnitud de la fuerza para cada carga. 2. Tres partículas se encuentran en una línea recta y están separadas por una distancia d como se muestra en la figura. Las cargas q 1 y q 2 se mantienen fija. La carga q 3 , la cual se puede moverse libremente, está en equilibrio bajo la acción de las fuerzas eléctricas. Halle q 1 en términos de q 2 .
3. Cierta carga Q va a dividirse en dos partes (Q – q ) y q . ¿Cuál es la relación de Q a q si las dos partes, separadas por una distancia dada, han de tener una repulsión Coulomb máxima? 4. (a) ¿Qué cantidades iguales de carga positiva tendría que ponerse sobre la Tierra y sobre la Luna para neutralizar su atracción gravitatoria? ¿Necesita usted conocer la distancia a la Luna para resolver este problema? ¿Por qué o por qué no? (b)¿Cuántas toneladas métricas de hidrógeno se necesitan para suministrar la carga positiva calculada en la pregunta (a)? La masa molar del hidrógeno es de 1.008 g/mol.
SOLUCION CONDUCTA DE ENTRADA 1. 2.74 N sobre la carga. 2. q1 = -4q2 3. q =Q/2 4. (a) 57.1 TC; no. (b) 598 toneladas métricas.
20
2. CAMPO ELÉCTRICO. 2.1 EL CAMPO ELÉCTRICO Para tener una aproximación al concepto de campo eléctrico, se puede pensar en términos de la fuerza de la gravedad y el campo gravitatorio que ella genera. Se sabe que cerca de la superficie de la Tierra y para puntos no demasiado alejados, es un campo uniforme, queriendo decir que la gravedad g es la misma, tanto en dirección como en magnitud, para todos los puntos. Es claro, que la fuerza ejercida entre los cuerpos sujetos al campo gravitatorio depende de la masa m de cada uno de ellos. Esta relación entre las masas de los cuerpos y el campo de fuerza que las rodea puede representarse como: ‘masa <FDPSR<PDVD en donde cada masa interactúa no directamente con la otra sino más bien con el campo gravitatorio establecido por la otra. Esto es, la primera masa establece un campo que tiene cierto valor en cada punto es el espacio; la segunda masa interactúa entonces con el campo en esa ubicación en particular. El campo desempeña el papel de intermediario entre los dos cuerpos. En el caso de la relación de la segunda masa con la primera, es totalmente recíproco. La breve descripción anterior del campo gravitatorio, puede emplearse para describir el comportamiento del campo eléctrico. La ley de Coulomb para fuerza entre cargas permite pensar en términos de la acción a distancia, representado como: ‘carga <FDUJD Introduciendo de nuevo el concepto de campo como intermediario entre las cargas, podemos representar a la interacción como: ‘ carga <FDPSR<FDUJD Esto es, la primera carga establece un campo eléctrico , y la segund carga interactúa con el campo eléctrico de la primera carga. El problema se presenta cuando se pretende determinar la interacción entre las cargas, el cual se puede analizar como dos problemas independientes: (a) determinar, por medición o por cálculo, el campo eléctrico establecido por la primera carga en cada punto en el espacio, y (b) calcular la fuerza que el campo ejerce sobre la segunda carga situada en un punto en particualar en el espacio. 21
En analogía con el campo gravitacional, el campo eléctrico E asociado a un cierto conjunto de cargas en términos de la fuerza ejercida sobre una carga de prueba positiva q o en un punto particual, esto es:
E = F / q o La dirección del vector E es la misma que la dirección de F, porque q o es un escalar positivo. Dimensionalmente, el campo eláctrico es la fuerz por unidad de carga, y su unidad en el SI es el newton/coulomb (N/C), si bien es más frecuente, expresarla en la unidad equivalente de volt/metro (V/m). Tanto el campo gravitatorio como el eléctrico pueden expresarse como una fuerza dividida entre una propiedad (masa o carga) del cuerpo de prueba.
En la figura anterior, la carga q 1 establece un campo eléctrico en el espacio que la rodea, sugerido por el sombreado en la figura. El campo actúa entonces sobre la carga q 2 , dando por resultado la fuerza F2. A partir de la perspectiva de q 1, podríamos también aseverar que q 2 establece un campo eléctrico y que la fuerza F1 sobre q 1 es el resultado de su interacción con el campo de q 2. Las fuerzas son, por supuesto, iguales y opuestas ( F1 = - F2), aun cuando los dos campos eléctricos deban ser muy diferentes (como lo indica la diferencia de sombreado entre las figuras) si las cargas son diferentes. 22
Para aplicar la ecuación de E como procedimiento operativo para medir el campo eléctrico, debemos aplicar la misma precaución que al usar una masa de prueba para medir el campo gravitacional: la carga de prueba deberá ser lo suficientemente pequeña como para no perturbar la distribución de las cargas cuyos campos eléctricos estamos tratando de medir. Esto es, escribiendo la ecuación en términos de cálculo diferencial tenemos: F E = lim q0 →0 q 0
si sabemos que este límite en realidad no puede llegar a 0 porque la carga de prueba nunca puede ser más pequeña que la carga elemental e . Por supuesto, si calculamos el campo eléctrico debido a un conjunto especificado de cargas en las posiciones fijas, ni la magnitud ni el signo de q o afectan el resultado.
Algunos campos eléctricos Localización Campo eléctrico (N/C) En la superficie de un núcleo de 3 × 10 21 uranio Dentro de un átomo de hidrógeno, en 5 × 1011 la órbita del electrón La descarga eléctrica que ocurre en 5 × 10 6 el aire En el cilindro cargado de una 10 5 fotocopiadora El acelerador de haz de electrones 10 5 de un aparato de televisión Cerca de un peine de plástico 10 3 cargado En la parte más baja de la atmósfera 10 2 Dentro del alambre de cobre de 10 −2 circuitos domésticos Para determinar el valor del campo debido a un grupo de cargas puntuales, primero se calcula el vector de campo eléctrico en el punto P en forma individual para cada carga utilizando la ecuación E = k
q 2
r
r ˆ
en donde r ˆ es un vector unitario
dirigido de q a q o . Si q es negativa, el campo está dirigido hacia ella, esto es racialmente hacia la carga. En otras palabras, el campo eléctrico total debido a un 23
grupo de cargas es igual al vector resultante de la suma de los campos eléctricos de todas las cargas. Este principio de superposición de los campos eléctricos se deduce directamente de la propiedad de superposición de las fuerzas eléctricas. Por lo general el campo eléctrico de un grupo de cargas (excluyendo la carga de prueba q o) puede
∑ r q r ˆ en donde r i es la distancia de la i -enésima carga q i ,
expresarse como E = k
i 2 i
i
al punto P (la ubicación de la carga de prueba) y r i es un vector unitario dirigido desde q i hasta P.
2.2 DISTRIBUCIONES DISCRETAS Y CONTINUAS DE CARGA Con frecuencia las cargas que interesan ser estudiadas, están muy próximas entre sí en comparación con las distancias a los puntos que se consideran. En situaciones de este tipo, puede considerarse el sistema de cargas como si fuera continuo . Es decir, si se supone que el sistema de cargas muy próximas es equivalente a una carga total continuamente distribuida a través de un volumen o sobre una superficie. Para evaluar el campo de una distribución continua de carga se aplica el procedimiento que a continuación se describe: (a) se divide la distribución de carga en pequeños elementos, cada uno de los cuales contiene una pequeña FDUJD ûT FRPR VH REVHUYD HQ OD ILJXUD E VH DSOLFD OD OH\ GH &RXOomb para calcular el campo eléctrico debido a uno de estos elementos en el punto P, (c) se evalúa el campo total en P debido a la distribución de carga sumando las contribuciones de todos los elementos de carga (esto es, aplicando el principio de superposición).
El campo eléctrico en P debido a un elemento de carga ûTHVWá dado por: 24
∆ E = k
∆q ˆ
r
r 2
Donde r es la distancia desde el elemento diferencial al punto P y r ˆ es el vector unitario dirigido desde el elemento de carga hacia P. El campo eléctrico total en P debido a todos los elementos en la distribución de carga está aproximadamente dado por
∆qi ˆ
∑ r
E ≈ k
2
i
r i
i
En donde el índice i se refiere al i -enésimo elemento en la distribución. Si la separación entre los elementos de la distribución de carga es pequeña comparada con la distribución a P, como una aproximación puede considerarse que la distribución de carga es continua. Por lo tanto, el campo total en P es el límite de ûTÆ 0 el cual está dado por: E = k lím
∆qi →0
∆qi
∑ r
2
i
r ˆi
dq
= k ∫
r 2
r ˆ
En donde la integral es una operación vectorial y debe realizarse con cuidado. Asociado al concepto de distribución de carga, es necesario tener presente las siguientes definiciones: Si una carga Q está uniformemente distribuida en un volumen V, la carga por unidad de volumen ! está definido por: ρ ≡
Q V
en donde ! tiene unidades de C/m³. Si una carga Q está uniformemente distribuida sobre una superficie de área A, la GHQVLGDGGHFDUJDVXSHUILFLDO está definida por: σ ≡
Q A
En donde tiene unidades de C/m². 25
Si una carga Q está uniformemente distribuida a lo largo de una línea de longitud , la GHQVLGDGGHFDUJDOLQHDO se define como: λ ≡
Q
en donde tiene unidades de C/m. Si una carga no está uniformemente distribuida sobre un volumen, superficie o línea, se tendrá que expresar las densidades de carga como: ρ =
dQ dV
σ =
dQ
λ =
dA
dQ d
de donde dQ es la cantidad de carga en un elemento pequeño de volumen, superficie o longitud.
2.3 LÍNEAS DE CAMPO ELÉCTRICO Una herramienta de ayuda para visualizar los patrones de campo eléctrico en trazar líneas en la misma dirección que el vector de campo eléctrico en varios puntos. Estas líneas se conocen como líneas de campo eléctrico y están relacionadas en el campo eléctrico en alguna región del espacio de la siguiente manera: 1. El vector campo eléctrico E es tangente a la línea de campo eléctrico en cada punto. 2. El número de líneas por unidad de área que pasan por una superficie perpendicular a las líneas de campo es proporcional a la magnitud del campo eléctrico en esa región. En consecuencia, E es grande cuando las líneas están muy próximas entre sí y es pequeño cuando están separadas.
26
En la representación bidimensional sólo se muestran las líneas del campo que están en el plano que contiene a la carga. Las líneas están dirigidas radialmente hacia fuera de la carga en todas direcciones como espinas de un erizo. Si la carga de prueba es positiva, al ser colocada en este campo, sería repelida por la carga q , por lo que las líneas están radialmente dirigidas hacia fuera desde la carga positiva. En forma similar, las líneas de campo eléctrico de una carga negativa puntual están dirigidas hacia la carga. En cualquiera de los dos casos las líneas siguen la dirección radial y se prolongan al infinito. Se observa en la figura, que las líneas se acercan más cuando están más cerca de la carga, lo cual indica que la intensidad del campo se incrementa al acercarse la carga. Las reglas para trazar las líneas de campo eléctrico de cualquier distribución de carga son las siguientes: 1. Las líneas deben partir de cargas positivas y terminar en las cargas negativas, o bien en el infinito en el caso de un exceso de carga. 2. El número de líneas que partan de la carga positiva o lleguen a la negativa es proporcional a la magnitud de la carga. 3. Dos líneas de campo no pueden cruzarse. 4. Ejercicios de aplicación. 1. Determine la fuerza eléctrica sobre un protón colocado en un campo eléctrico de 2 × 10 4 N/C, dirigido a lo largo del eje positivo de las x . Solución. Como la carga del protón es:
+ e = +1.6 × 10 −19 C 27
La fuerza eléctrica sobre éste es: F = eE = (1.6 × 10 −19 C )(2 × 10 4 iN / C ) F = 3.2 × 10 −15i N
donde i es un vector unitario en la dirección positiva del eje x. El peso del protón se calcula como mg = (1.67 × 10 −27 kg )(9.8m / s 2 ) = 1.6 × 10 −26 N . Como puede observarse, la magnitud de la fuerza gravitacional es despreciable comparada con la eléctrica. 2. Una carga dada q 1 & HVWá colocada en el origen del sistema de coordenadas que se muestra. Una segunda carga q 2 = - &HVWá colocada sobre el eje x a 0.30 m del origen. Determine el campo eléctrico en un punto P con coordenadas (0, 0.4) m.
Solución. Primero encontremos las magnitudes de los campos eléctricos debidos a cada una de las cargas. El campo eléctrico E1 GHELGR D OD FDUJD GH & \ HO FDPSR eléctrico E2 debido a la carga de – &HQHOSXQWR 3VHPXHVWUDQ HQODILJXUD anterior. Sus magnitudes están dadas por: −6 2 C ) 9 N .m (7 × 10 E 1 = k 2 = 9.0 × 10 2 r 1 C 2 (0.4m ) E 1 = 3.94 × 10 5 N / C
q1
28
q2
= (9.0 × 10
E 2
= k
E 2
= 1.8 × 10 5 N / C
r 22
− ) (5 × 10 C ) 6
9
2
2
N .m / C
(0.5m )2
El vector E1 sólo tiene componente en y . El vector E2 tiene componente en x dada por E2 cRV 3/5 E2 y una componente y negativa dada por - E2VHQ - 4/5 E2. Por lo tanto, los vectores se pueden expresar como:
= 3.94 × 10 5 jN / C E 2 = (1.1 × 10 5 i − 1.4 × 10 5 j ) N / C E 1
El campo resultante E en P es la superposición de E1 y E2: E = E 1
+ E 2 = (1.1 × 10 5 j ) N / C
De este resultado, podemos encontrar que E tiene una magnitud de 2.7 × 10 5 N / C y hace un ángulo NGHº con el eje positivo de las x. 3. Un anillo de radio a tiene una carga positiva uniforme por unidad de longitud, con una carga total Q. Calcule el campo eléctrico a lo largo del eje del anillo, en un punto que esté a una distancia x del centro del anillo. Solución. La magnitud del campo eléctrico en P GHELGRDOVHJPHQWRGHFDUJD ûTHV
∆ E = k
∆q r 2
Esta campo tiene componente x GDGDSRU û(x û(FRV DORODUJRGHOHMHGHO DQLOOR\XQDFRPSRQHQWH û( O , perpendicular a dicho eje. Pero como ser ve en la figura, el campo resultante en P debe estar a lo largo del eje x ya que las componentes perpendiculares al sumarlas darán como resultado cero.
29
Es decir, la componente perpendicular de un elemento que está en el lado opuesto 1 del anillo. Como r = ( x 2 + a 2 ) 2 \FRVx/r , se encuentra que:
∆q x ∆ E x = ∆ E cos θ k 2 = r
r
kx 3
( x + a ) 2
2
∆q 2
En este caso, todos los segmentos del anillo tienen una misma contribución para el campo en el punto P, dado que todos equidistan de este punto. Por lo tanto, puede sumarse con facilidad sobre todos los segmentos con el fin de obtener en campo total en P: E x
=∑
kx 3
( x + a ) 2
2
∆q = 2
kx 3
( x + a ) 2
2
Q 2
Este resultado muestra que el campo es cero para x = 0.
30
EVALUACIÓN FINAL A continuación se presentan una serie de problemas en los cuales el estudiante aplicará los conceptos desarrollados a lo largo de la sesión. Para profundizar en los temas expuestos, se recomienda remitirse a los textos que se mencionan al final de la sesión. 1. Una carga puntual de -5.2 & se localiza en el origen de las coordenadas x-y. Determine el campo eléctrico a) sobre el eje de las x en x = 3 m , b) sobre el eje y en y = -4m., c) en un punto con coordenadas x = 2m, y = 2m. 2. Dos cargas puntuales iguales en magnitud de 2.0 & se localizan sobre el eje x de las coordenadas cartesianas. Una está en x = 1.0m, y la otra en x = -1.0m. a) Determine el campo eléctrico sobre el eje y en y = 0.5m. b) Calcule la fuerza eléctrica sobre una tercera carga de -0.3 &, colocada sobre el eje y en y = 0.5m. 3. Tres cargas puntuales idénticas (q = - &) se localizan a lo largo de un círculo de 2m de radio en ángulos de 30º, 150º y 270º como se muestra en la figura. ¿Cuál es el campo eléctrico resultante en el centro del círculo?
4. Una distribución continua de carga se encuentra a lo largo del eje x extendiéndose desde x = +x 0 hasta el infinito positivo. La línea posee una GHQVLGDG GH FDUJD XQLIRUPH ¿Cuál es la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el origen? 31
5. Un anillo cargado uniformemente de radio 10 cm tiene una carga total de 75 &. Determine el campo eléctrico sobre el eje del anillo a (a) 1 cm, (b) 5 cm, (c) 30 cm y (d) 100 cm del centro del anillo. 6. Una esfera de 4 cm de radio tiene una carga neta de +39 &. (a) Si la carga está uniformemente distribuida sobre el volumen de la esfera, ¿cuál es la densidad de carga volumétrica? (b) Si la carga está uniformemente distribuida sobre la superficie de la esfera, ¿cuál es la densidad superficial de la carga? 2
2
Textos y problemas tomados y adaptados de HALLIDAY, David. RESNICK, Robert. KRANE, Kenneth. Física Vol.2. SERWAY, Raymond. Física Tomo II.
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SESIÓN 3 POTENCIAL INTRODUCCIÓN En el estudio adelantado de la sesión 7 del módulo de Física 1, se introdujo el concepto de potencia, el cual hace relación a las fuerzas conservativas debidas a la gravedad y a la fuerza elástica de un resorte. Empleando la ley de la conservación de la energía, con frecuencia puede evitarse tener que trabajar directamente con las fuerzas analizadas mediante las leyes de Newton, para resolver problemas mecánicos. En esta sesión, se aplicará este mismo concepto al estudio de la electricidad y a la fuerza electrostática dada por la ley de Coulomb, la cual, es considerada como fuerza conservativa, permitiendo describir de manera conveniente los fenómenos electrostáticos en términos de una energía potencial eléctrica. Esta idea permite definir una cantidad escalar a la que se le llamará potencial eléctrico. Dado que el potencial es una función escalar de la posición, este criterio permite de manera sencilla describir los fenómenos electrostáticos que se presentan en el estudio del campo eléctrico.
OBJETIVOS ¾Emplear
el concepto de potencial en el estudio del campo eléctrico y definir potencial eléctrico a partir del criterio de la conservación de la energía.
¾Establecer
la relación entre campo eléctrico y potencial eléctrico.
CONDUCTA DE ENTRADA Para el adecuado desarrollo de esta sesión, debe tener claros los conceptos de carga eléctrica y campo eléctrico. Resuelva los problemas planteados a continuación: 1. Suponga que 1 g de hidrógeno se separa en electrones y protones. Suponga también que los protones son colocados en el Polo Norte de la Tierra y los electrones en el Polo Sur. ¿Cuál es la fuerza de compresión resultante sobre la Tierra? 2. Dos protones en una molécula están separados por una distancia de 3.8 × 10−10 m. Determine la fuerza electrostática ejercida por uno de los protones sobre el otro. 3. Cuatro cargas puntuales idénticas (q = +10 &VHFRORFDQVREUHODVHVTXLQDV de un rectángulo como se muestra en la figura. Las dimensiones del rectángulo son L = 60 cm y W = 15 cm. Calcule la magnitud y dirección de la fuerza neta electrostática ejercida sobre la carga de la esquina inferior izquierda del rectángulo por las otras tres cargas.
34
4. Tres cargas positivas iguales q están en las equinas de un triángulo equilátero de lado a como se muestra en la figura. (a) ¿En qué punto (diferente de HQHO plano de las cargas el campo eléctrico es cero? (b) ¿Cuál es la magnitud y dirección del campo eléctrico en el punto P debido a las dos cargas de la base del triángulo?
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3. POTENCIAL. 3.1 POTENCIAL ELÉCTRICO Y DIFERENCIA DE POTENCIAL. De acuerdo con el estudio adelantado de la Ley de Coulomb, la fuerza electrostática es una fuerza conservativa, por lo tanto, es posible definir una función de energía potencial asociada a la fuerza electrostática. En el caso de colocarse una carga de prueba q o en un campo eléctrico E, la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba es q oE, expresión esta que representa la suma vectorial de las fuerzas ejercidas sobre q o por las diversas fuerzas que producen el campo E. Se deduce de esta manera que la fuerza q oE, es una fuerza conservativa, ya que cada una de las fuerzas gobernadas por la ley de Coulomb es conservativa. De lo anterior, se puede definir que el trabajo realizado por la fuerza eléctrica qoE sobre la carga de prueba, en un desplazamiento infinitesimal ds, está dado por: dW = F • ds
= qo E ⋅ ds
Por definición, el trabajo efectuado por una fuerza conservativa es igual al valor negativo del cambio en la energía potencial dU; por consiguiente, se deduce que: dU = − q0 E ⋅ ds
Para un desplazamiento finito de la carga de prueba entre los puntos A y B, el cambio de la energía potencial está dado por: B
∆U = U B − U A = −q0 ∫ A E ⋅ ds La integral de la ecuación anterior se considera a lo largo de la trayectoria por la cual se mueve qo desde A a B y se llama integral de línea o integral de trayectoria. Como la fuerza q oE es conservativa, esta integral no depende de la trayectoria tomada entre A y B (el estudiante recordara que esta es una de las condiciones para que una fuerza sea conservativa). La diferencia de potencial entre los puntos A y B, V B – V A, se define como el cambio de energía potencial dividido entre la carga de prueba q o:
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V B
− V A =
U B
− U A qo
B
= − ∫ A E ⋅ ds
Es importante no confundir el concepto de diferencia de potencial con el de energía potencial analizado en la sesión de trabajo y energía del módulo de Física 1. La diferencia de potencial es proporcional a la energía potencial relacionado por medio de la expresión û8 To û9 &RPR OD HQHUJía potencial es un escalar, también el potencial eléctrico es un escalar. Obsérvese que el cambio de energía potencial de la carga es el valor negativo del trabajo realizado por la fuerza eléctrica, de donde se deduce que: La diferencia de potencial V B – V A, es igual al trabajo por unidad de carga que debe realizar un agente externo para mover la carga de prueba de A hasta B, sin que cambie la energía cinética. La ecuación definida para VB – V A, sólo tiene significado para diferencias de potencias en V. Con frecuencia se toma la función potencial como igual a cero en algún punto conveniente, usualmente se toma el potencial cero en el infinito (es decir, un punto infinitamente lejos de las cargas que producen el campo eléctrico). Con esta selección, se puede decir que el potencial de un punto arbitrario es igual al trabajo requerido por unidad de carga para llevar desde el infinito hasta ese punto una carga de prueba positiva. De esta forma, en la ecuación que define la diferencia de potencial, V A se toma igual a cero en el infinito, entonces el potencial en cualquier punto P está dado por: V p
P
= − ∫ ∞ E ⋅ ds
En realidad, VP representa la diferencia de potencial entre el punto P y un punto en el infinito. Como la diferencia de potencial es una medida de la energía por unidad de carga, las unidades del potencial en el SI (sistema internacional de mediadas) son los joules por coulomb, la cual se define como una unidad llamada volt (V): 1 V A-& De lo anterior se desprende que se debe realizar 1 J de trabajo para llevar una carga de 1C a través de una diferencia de potencial de 1 V. La diferencia de potencial también tiene unidades de campo eléctrico multiplicadas por unidades de
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distancia. Desde este punto de vista, se deduce que las unidades de campo eléctrico en el SI también pueden expresarse como volt por metro: 1N/C=1V/m Una unidad de energía utilizada muy comúnmente en física atómica y nuclear es el electrón-volt, la cual se define como la energía que un electrón (o protón) gana al moverse a través de una diferencia de potencial igual a 1 V, dado que 1 V = 1 J/C y como la carga fundamental es igual a 1.6 x 10−19 C, se deduce que un electrón volt (eV) está relacionado con el joule a través de: 1eV = 1.6 × 10−19 C ⋅ V = 1.6 × 10−19 J
3.2 RELACIÓN ENTRE POTENCIAL ELECTRICO Y CAMPO ELÉCTRICO. De acuerdo con lo visto en el numeral anterior, la diferencia de potencial es independiente de la trayectoria entre los puntos, es decir, el trabajo en llevar una carga de prueba desde el punto A hasta el punto B es el mismo a lo largo de todas las trayectorias. Esto confirma que un campo eléctrico uniforme y estático es conservativo. Para analizar la relación entre campo eléctrico y potencial eléctrico, inicialmente se considera un campo eléctrico uniforme dirigido a lo largo del eje x como se muestra en la figura.
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Se puede calcular la diferencia de potencial entre dos puntos A y B, separados por una distancia d, mediada paralela a las líneas del campo. Aplicando la ecuación de diferencia de potencial a esta situación, se obtiene: V B
B
B
B
− V A = ∆V = − ∫ A E ⋅ ds = − ∫ A E cos 0º ds = − ∫ A E ⋅ ds
Dado que E es constante, se puede sacar del símbolo de la integral, dando como resultado: B
∆V = − E ∫ A ds = − Ed El signo menos resulta del hecho de que el punto B está en un potencial más bajo que el punto A, es decir V B < V A.. Ahora se supone, que la carga de prueba q o se mueve de A hacia B, el cambio en la energía potencial se determina mediante la ecuación:
∆U = qo ∆V = −qo Ed De este resultado se observa que si q oHVSRVLWLYD û8HVQHJDWLYD(VWRVLJQLILFD que una carga positiva perderá energía potencial eléctrica cuando se mueva en la dirección del campo eléctrico. Es análogo a cuando una masa pierde energía potencial gravitacional al perder altura debido a la gravedad. Si la carga de prueba se abandona desde el reposo en este campo eléctrico, experimentará una fuerza eléctrica qoE en la dirección de E, por lo tanto, es acelerada hacia la derecha ganando energía cinética. Así, la energía cinética ganada es igual a la energía potencial perdida (principio de la conservación de la energía). Por otro lado, si la carga de prueba qo HVQHJDWLYDHQWRQFHV û8HVSRVLWLYD\ODVLWXDFL ón se invierte. Una carga negativa gana energía eléctrica cuando se mueve en la dirección del campo eléctrico. Si una carga negativa se abandona en reposo en un campo E, la dirección de la aceleración es opuesta al campo eléctrico (se sabe que cuando una partícula cargada se acelera, ésta pierde energía al radiar ondas electromagnéticas). Ahora se considera el caso más general de una partícula que se mueve entre dos puntos cualesquiera en un campo eléctrico uniforme dirigido a lo largo del eje x como se observa en la figura
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Si d representa el vector desplazamiento entre el punto A y el punto B la ecuación de la diferencia de potencial es: B
B
∆V = − ∫ A E ⋅ ds = − E ⋅ ∫ A ds = − E ⋅ d en donde nuevamente se está sacando E de la integral ya que es una constante. Sin embargo, el cambio en la energía potencia de la carga es: û8To û9-
qo E . d
Finalmente, los resultados muestran que todos los puntos en un plano perpendicular al campo eléctrico uniforme están al mismo potencial. Esto puede verse en la figura anterior, en la cual la diferencia de potencial V B – V A es igual a la diferencia de potencial V C – V A, por lo tanto, V B = VC. El nombre de superficie equipotencial se da a cualquier superficie que contiene una distribución continua de puntos que tienen el mismo potencial. No se realiza trabajo al mover una carga de prueba entre dos puntos de una sXSHUILFLHHTXLSRWHQFLDOSXHVWRTXH û8To û9/DVVXSHUILFLHVHTXLSRWHQFLDOHV de un campo eléctrico uniforme constan de una familia de planos perpendiculares al campo.
3.3 EJERCICIOS DE APLICACIÓN. a. Una batería de 12 V se conecta entre dos placas paralelas como se muestra en la figura. La separación entre las placas es de 0.3 cm y el campo eléctrico se supone uniforme (esta suposición es razonable si la
40
separación de las placas es pequeña comparada con el tamaño de las placas y sí, además, no se consideran puntos cercanos a los bordes de las placas). Determine el campo eléctrico entre las placas.
¾Solución
. El campo eléctrico está dirigido desde la placa positiva hacia la placa negativa. Se ve que la placa positiva (la de la derecha) está a un potencial mayor que la placa negativa. Nótese que la diferencia de potencial entre la placa B y A es igual a la diferencia de potencial entre las terminales de la batería. Esto puede entenderse ya que todos los puntos sobre un conductor en equilibrio están al mismo potencial y por lo tanto no existe ninguna diferencia de potencial entre la terminal de la batería y cualquier porción de la placa a la que esté conectada. Por lo tanto, la magnitud del campo eléctrico entre las placas es E =
V B
− V A d
=
12V −2
0.3 × 10 m
= 4.0 × 103V / m
Esta configuración es conocida como capacitor de placas paralelas. b. Se libera un portón desde el reposo en un campo eléctrico uniforme de 8x104V / m dirigido a lo lardo del eje x positivo. El protón se desplaza a 0.5 m en la dirección de E. (a) Determine el cambio de potencial eléctrico entre los puntos A y B. (b) Determine el cambio en la energía potencial del protón para este desplazamiento.
41
¾Solución.
Utilizando las ecuaciones vistas se obtienen los siguientes resultados: d
v
d
∆V = V B − V A = − ∫ E ⋅ ds = − ∫ 0 Edx = − E ∫ 0 dx = − Ed = − 8 x104 (0.5m ) − 4 × 104V m Entonces, el potencial eléctrico de un protón decrece cuando se mueve de A a B
∆U = q0∆V = e∆V = (1.6 × 10−19 C )(− 4 × 104V ) = −6.4 × 10−15 J Si el signo negativo significa que la energía potencial de un protón decrece cuando se mueve en la dirección de E. Esto es correcto ya que conforme el protón acelera en la dirección E, gana energía cinética y al mismo tiempo pierde energía potencial (la energía total se conserva). Determine la velocidad del protón después de haber tenido un desplazamiento de 0.5m. Si no existen fuerzas que actúen sobre el protón, aparte de la fuerza eléctrica conservativa, se puede aplicar el principio de conservación de energía mecánica en la forma ∆ K + ∆U = 0 ; es decir, el decrecimiento en la energía potencial debe ser acompañado por un incremento igual en la energía cinética. Ya que la masa del protón tiene un valor de m p = 1.67 × 10−27 kg , se obtiene, 1 ∆ K + ∆U = m p v 2 −0 − 6.4 × 10−15 J = 0 2 −15 2(6.4 × 10 ) J v2 = = 7.66 × 1012 m 2 / s 2 − 27 1.67 × 10 kg v = 277 × 106 m / s
42
Si un electrón fuera acelerado en las mismas circunstancias, su velocidad tendería a la velocidad de la luz y el problema tendría que ser tratado por la mecánica relativista. 3. Encuentre el potencial eléctrico en un punto P localizado sobre el eje de un anillo uniformemente cargado de radio a y carga total Q. El plano del anillo se elige perpendicular al eje x.
¾Solución.
Considere que el punto P está a una distancia x del centro del anillo, como se muestra en la figura. El elemento de carga dq está a una distancia igual a x 2 + a 2 del punto P. Por lo tanto, se puede expresar V como dq
∫ r = k ∫ x
V = k
dq 2
+ a2
En este caso, cada elemento dq está a la misma distancia del punto P. Por lo que el término x 2 + a 2 puede sacarse de la integral y V se reduce a V =
k x 2
+ a2
∫
dq
=
kQ x 2 + a 2
En esta expresión V sólo varía con x. Esto no es de extrañarse ya que los cálculos son válidos para puntos sobre el eje x, donde y y z son cero. De la simetría de la situación, se ve que a lo largo del eje x, E sólo puede tener componente en x. Por lo tanto, podemos utilizar la expresión E x = - dV/dx, para el cálculo del campo eléctrico en el punto P.
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dV
E x
=−
E x
= −kQ(−1/ 2)( x 2 + a 2 )
E x
=
dx
= −kQ
d dx
( x
2
+a
2
− 32
)
−
1 2
( 2 x )
kQx 3
( x + a ) 2
2
2
Nótese que para Ex = 0 para x = 0 en el centro del anillo.
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EVALUACIÓN FINAL 1. Se tiene que superficies esféricas concéntricas alrededor de una carga puntual es su centro son superficies equipotenciales. Por otro lado, la intersección de estas superficies con un plano a través de su centro común son líneas equipotenciales. ¿Cuánto trabajo se realiza para mover una carga q una distancia s a lo largo de un arco de una equipotencial de forma circular y de radio R? 2. (a) Calcule la rapidez de un protón que se acelera desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 120 V. (b) Calcule la rapidez de un electrón que se acelera a través de la misma diferencia de potencial. 3. Un deuterón (un núcleo que consta de un protón y un neutrón) se acelera a través de una línea de diferencia de potencial de 2.7 kV. (a) ¿Calcule la cantidad de energía que ganó? (b) ¿Cuál es la velocidad si partió desde el reposo? 4. ¿Cuánto trabajo se realiza (por una batería, generador u otra fuente de energía eléctrica) en mover un número de Avogadro de electrones desde el punto inicial donde el potencial eléctrico es de 9 V hasta el punto donde el potencial es de -5 V?( El potencial en cada caso es medido respecto de un punto de referencia común). 5. El campo eléctrico entre dos placas paralelas separadas una distancia de 1.8 cm tiene un valor uniforme de 2.4 x 10−4 N N // C . Encuentre la diferencia de potencial entre las dos placas. ¿Cuánta energía cinética puede ganarse por un deuterón al ser acelerado desde la placa positiva a la negativa? 6. Un protón se mueve en la región de un campo eléctrico uniforme. El protón experimenta un incremento en energía cinética de 5 x 10−18 J después de realizar un desplazamiento de 2 cm en la dirección paralela al campo. ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico? 3
Textos y problemas problemas tomados y adaptados de HALLIDAY, David. RESNICK, Robert. KRANE, Kenneth. Física Vol.2. SERWAY, Raymond. Física Tomo II. 3 3
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SESIÓN 4 CORRIENTE Y RESISTENCIA INTRODUCCIÓN En esta sesión se estudiarán los fenómenos eléctricos asociados a cargas en movimiento. El término corriente eléctrica o corriente, únicamente, se emplea para describir la rapidez de flujo de la carga por alguna región del espacio previamente establecida. La mayor parte de las aplicaciones prácticas de la electricidad se refieren a corrientes eléctricas, por ejemplo, la batería de una lámpara o linterna, suministra corriente al filamento de la bombilla cuando el interruptor se coloca en posición de encendido. Una gran variedad de aparatos empleados diariamente en las casas funcionan con corriente alterna, de esto se desprende el nombre genérico de electrodomésticos. Escribir un parrafito cortico en el que se hable de la utilidad de conocer el tema en la ingeniería de vías y aeropistas.
OBJETIVOS ¾Demostrar
por definición y ejemplo la COMPRENSIÓN? HACE REFERENCIA A CONCEPTO? SI ES ASÍ ES MEJOR DEJAR LA PALABRA CONCEPTO. CONCEPTO. de corriente eléctrica y fuerza electromotriz.
¾Escribir
y aplicar la Ley de Ohm a la solución de problemas que incluyan resistencia eléctrica.
¾Definir ¾Definir
la Resistividad de un material y resolver problemas de aplicación.
el coeficiente de la temperatura de la resistencia y calcular el cambio en resistencia que ocurre con un cambio de temperatura.
CONDUCTA DE ENTRADA 1. Dos láminas grandes metálicas paralelas que transportan cargas iguales y opuestas están separadas 0.05 m. El campo eléctrico entre ellas es aproximadamente uniforme y tiene una magnitud de 600 N/C ¿Cuál es la diferencia del potencial entre las láminas? ¿Cuál de ellas está a mayor potencial? 2. Una carga eléctrica total de 4 x 10−9 C está uniformemente distribuida sobre la superficie de una esfera de 0.20 m de radio. Si el potencial es nulo en un punto en el infinito, ¿cuál es el valor del potencial (a) en un punto sobre la superficie de la esfera y (b) en un punto en el interior de la esfera a 0.1 m de su centro? 3. Dos cargas puntuales q 1 = +40 x 10−9 C y q 2 = -30 x 10−9 C están separadas por una distancia de 10 cm. El punto A es el punto medio entre ambas. El punto B está a 8 cm de q 1 a 6 cm de q 2. Halle (a) el potencial en el punto A, (b) el potencial en el punto B (c) el trabajo necesario para transportar una carga de 25 x 10−9 C desde B hasta A. 4. Demuestre que 1 N/C = 1 V/m. 5. Si se establece una diferencia de potencial de 2000 V entre dos placas paralelas en el aire. Si el aire se hace conductor cuando el campo eléctrico excede de 3 x 106 N/C. ¿Cuál es la separación mínima de las placas?
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4. CORRIENTE Y RESISTENCIA. 4.1 CORRIENTE ELÉCTRICA. 4.1.1 MOVIMIENTO DE CARGAS ELÉCTRICAS El estudio de las cargas en movimiento se inicia considerando la descarga de un capacitor. La diferencia de potencial V entre las dos placas del capacitor de la figura No. 4.1(a), se indica por medio del electroscopio. La carga total Q en cualquiera de las dos placas se obtiene de Q = CV. Donde C es la capacitancia. Si se proporciona una trayectoria, los electrones de una de las placas se desplazarán hacia la otra, de manera que la carga neta decrece y ocasiona una caída de potencial. Por tanto, una caída de potencial, como lo indica el abatimiento de la laminilla del electroscopio, significa que se ha transmitido la carga. Cualquier conductor empleado para conectar las placas de un capacitor hará que éste se descargue. Sin embargo, la velocidad de descarga varía considerablemente con el tamaño, forma, material y temperatura del conductor.
Fig.No. 4.1 (a) Un
Capacitor cargado es una fuente de corriente. (b) Sí las placas del capacitor se unen mediante un alambre grueso y corto, el capacitor se descargará instantáneamente. (c)Un alambre delgado y largo permite que la descarga sea gradual
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Fig. No. 4.2 .La corriente se origina por el movimiento de los electrones y es una medida de la cantidad de carga que pasa por un punto dado en la unidad de tiempo.
Si se conecta un alambre corto y grueso entre las dos placas del capacitor, como se muestra en la figura No. 4.1(b), la laminilla del electroscopio caerá instantáneamente, lo que indica una transferencia de carga muy rápida. Esta corriente, que existe durante un intervalo de tiempo muy breve, se llama corriente transitoria. Si se reemplaza el alambre corto y grueso por uno largo y delgado del mismo material, se observará que la laminilla del electroscopio caerá gradualmente. A esta oposición al flujo de carga eléctrica o electricidad se le llama resistencia eléctrica, la cual indica que la rapidez del flujo de carga por el conductor varía. Esta rapidez se llama corriente eléctrica. La corriente eléctrica I es la rapidez del flujo de carga que pasa por un punto dado P en un conductor eléctrico. (Véase figura No 4.2. ).
I = Q/t La unidad de corriente eléctrica es el ampere. 1 ampere (A) representa un flujo de carga con una rapidez de 1 coulomb por segundo, que pasa por cualquier punto.
1A = 1 C/1 S En el ejemplo de la descarga del capacitor, la corriente se origina en el movimiento de electrones, como se observa en la figura No. 4.1(c), Las cargas positivas en el 50
alambre están fuertemente ligadas y no pueden moverse. El campo eléctrico creado en el interior del alambre se debe a la diferencia de potencial entre las placas y ocasiona que los electrones libres en el alambre experimenten un impulso hacia la placa positiva. Los electrones son, en repetidas ocasiones, frenados, acelerados y sufren deflexiones, debido a un proceso que tiene que ver con impurezas y el movimiento térmico de los átomos. En consecuencia, el movimiento de los electrones no es acelerado sino un arrastre o proceso de difusión. La velocidad media de arrastre de los electrones es típica del orden de 4 m/h. Esta velocidad con la que se mueve la carga, que es una distancia por unidad de tiempo, no debe ser difundida con la corriente, que es la cantidad de carga por unidad de tiempo. Es útil la analogía del agua que fluye por una tubería para comprender el flujo de corriente. La rapidez del flujo de agua (gasto) en galones por minuto, es análoga a la rapidez del flujo de carga en coulombs por segundo. Para una corriente de 1A, 6.25x1018 electrones, 1C, pasan por un punto dado cada segundo. En la misma forma que la sección transversal y la longitud del tubo afectan el flujo de agua, la sección transversal y la longitud del conductor afectan el flujo de electrones.
Ejercicio de Aplicación. ¿ Cuántos electrones pasan por un punto en 5 segundos, si en un conductor se mantiene una corriente constante de 8 A?. ¾SOLUCIÓN:
De la ecuación I = Q/t
Q = It = (8A) (5s) = (8C/s) (5s) = 40C = (40C) (6.25x1018 electrones/C) = 2.50x1020 electrones
4.1.2 DIRECCIÓN DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA. La dirección de una corriente convencional siempre es la misma que aquella, en la que se moverían las cargas positivas, aun si la corriente realmente consiste en un flujo de electrones. Tanto el flujo de electrones como la corriente convencional de un alambre conductor metálico, se pueden ver en la figura No. 4.3. L línea en zig-zag se usa para indicar la resistencia eléctrica R. Obsérvese que el flujo de corriente convencional fluye de la placa positiva del capacitor y neutraliza la carga negativa 51
en otra placa. La corriente convencional tiene la misma dirección que el campo eléctrico E que produce la corriente.
Fig.No. 4.3. En un conductor metálico, la dirección de la corriente convencional se da en sentido opuesto al flujo de electrones.
4.1.3 FUERZA ELECTROMOTRIZ. Las corrientes estudiadas en los apartados anteriores se llaman corrientes transitorias, porque su existencia es únicamente por corto tiempo. Una vez que el capacitor se haya descargado por completo, no habrá una diferencia de potencial que provoque el flujo de carga adicional. Si existiera algún medio disponible para que pudiera estar cargado continuamente el capacitor, se lograría mantener una corriente continua. Esto requeriría estar suministrando electrones, en forma constante, a la placa negativa para reemplazar aquellos que salen de ella. O sea, debe suministrarse energía para sustituir su pérdida por la carga del circuito externo; de esta manera se mantendría la diferencia de potencial entre las placas, de tal modo que permaneciera un flujo continuo de carga. Un dispositivo con la capacidad de mantener una diferencia de potencial entre dos puntos, se llama fuente de fuerza electromotriz ( fem). Las fuentes más familiares de fem son los acumuladores y los generadores; los acumuladores convierten la energía química en energía eléctrica y los generadores transforman energía mecánica en energía eléctrica. Una fuente de fuerza electromotriz (fem) es un dispositivo que convierte energía química, mecánica u otras formas de energía, en la energía eléctrica necesaria para mantener un flujo continuo de carga eléctrica. En un circuito eléctrico, la fuente de fem suele representarse mediante el símbolo E. La función de una fuente de fem en un circuito eléctrico es similar a la función de una bomba de agua para mantener el flujo continuo de agua a través del sistema de tubería. En la figura No. 4.4 a), la bomba de agua debe realizar trabajo 52
sobre cada unidad de volumen de agua necesario, para reemplazar la pérdida de energía por cada unidad de carga que pase a través de ésta, a fin de elevarla a un potencial mayor. Este trabajo debe suministrarse con rapidez igual a la rapidez con la cual se pierde la energía al fluir por el circuito.
Fig. No. 4.4. Para
explicar la función de una fuente de fem en un circuito eléctrico, puede utilizarse la analogía mecánica de la bomba de agua. .
Por conveniencia se ha supuesto que la corriente consiste en un flujo de carga positiva, aunque en la mayor parte de los casos son electrones cuya carga es negativa. Por tanto, la carga pierde energía cuando pasa por el resistor desde un alto potencial a un bajo potencial. En la analogía hidráulica el agua pasa desde la presión alta a la baja. Cuando la válvula se cierra, existe una presión pero no hay flujo de agua. En forma análoga, cuando el interruptor eléctrico está abierto, hay voltaje pero no corriente. Puesto que la fem es trabajo por unidad de carga, se expresa con la misma unidad que la diferencia de potencial, o sea, el joule por coulomb, o volt. Una fuente de fem de 1 volt realizará 1 joule de trabajo sobre cada coulomb de carga que pasa por ella. Por ejemplo un acumulador (batería) de 12 V realiza un trabajo de 12 J sobre cada coulomb de carga transferida desde el borne de bajo potencial (terminal negativa) al borne de alto potencial (terminal positiva). Suele dibujarse una flecha (↑) próxima al símbolo E de la fem para indicar la dirección en que la fuente actúa tan solo para provocar movimiento de carga positiva por el circuito externo. La corriente convencional tiene una dirección de la terminal (+) del acumulador a la terminal (-) del mismo, y la carga positiva fluye por la corriente a través de la resistencia externa perdiendo energía potencial.
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En sesiones posteriores, los diagramas de circuitos semejantes a los mostrados en la figura No. 4.4 b), se usarán con frecuencia para describir sistemas eléctricos. Muchos de los símbolos que serán empleados se definen en la figura No.4.5.
Fig. No. 4.5. Símbolos
Convencionales que Se emplean en los Diagramas de circuitos eléctricos
4.2 RESISTENCIA Y LEY DE OHM. La resistencia (R) es definida como la oposición al flujo de carga eléctrica. Aunque la mayor parte de los metales son buenos conductores de electricidad, todos ofrecen alguna oposición al flujo de carga eléctrica que pasa a través de ellos. Esta resistencia eléctrica es estable para muchos materiales específicos de tamaño, forma y temperatura conocidos; es independiente de la fem aplicada y de la corriente que pasa a través de ella. Los efectos de la resistencia al limitar el flujo de carga, fueron primero estudiados cuantitativamente por George Simon Ohm, en 1826; quien descubrió que para un resistor dado a determinada temperatura, la corriente es directamente proporcional al voltaje aplicado. Al igual que la velocidad del flujo de agua entre dos puntos, depende de la diferencia de altura entre ellos la rapidez del flujo de carga eléctrica entre dos puntos, depende de la diferencia potencial entre ellos. Esta proporcionalidad suele establecerse como Ley de Ohm. La corriente producida en cierto conductor es directamente proporcional a la diferencia entre sus puntos extremos.
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La corriente I que se mide para determinado voltaje V, es por ende una indicación de la resistencia. Matemáticamente, la resistencia R de un conductor dado, puede calcularse de:
R = V/I
V=IR
Cuando mayor sea la resistencia R, menor será la corriente I para un voltaje V dado. La unidad de medida de la resistencia es la de Ohm, y el símbolo con que se denota es la letra griega mayúscula omega ( Ω). En la ecuación se ve que una resistencia de 1 ohm permitirá una corriente de 1 ampere, cuando se aplica entre sus terminales una diferencia de potencial de 1 volt.
Ejercicio de Aplicación. La diferencia de potencial entre las terminales de un calentador eléctrico es de 80 V cuando la corriente es de 6 A. ¿ Cuál será la corriente si el voltaje se incrementa a 120 V?. ¾SOLUCIÓN
Conforme a la Ley de Ohm, la resistencia del devanado del calentador es R = V/I = 80V/6A = 13.3 Ω Por ende, si el voltaje se incrementa a 120 V, la nueva corriente será I = V/R = 120V/13.3 Ω = 9 A Aquí se ha despreciado cualquier cambio en la resistencia, debido a un aumento en la temperatura del devanado del calentador. Cuatro dispositivos se usan comúnmente en el laboratorio, para estudiar la Ley de Ohm: batería, voltímetro, amperímetro y reóstato. Como sus nombres indican, el voltímetro y el amperímetro son dispositivos para medir voltaje y corriente. El reóstato es simplemente un resistor variable. Un contacto deslizable cambia el número de espiras de resistencia por la cual puede fluir la carga. En la figura No. 4.6 se muestran estos dispositivos de laboratorio.
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Se deberá estudiar el diagrama del circuito de la figura No. 4.6 a), y justificar las conexiones eléctricas indicadas en la figura No. 4.6 b). Nótese que el voltímetro se conecta en paralelo con la batería, en tanto que el amperímetro se conecta en serie. En general, las terminales positivas son de color rojo y las negativas son negras, con base en el código de colores.
Fig. No. 4.6. a) Diagrama de un circuito para el estudio de la Ley de Ohm;
b) Diagrama ilustrativo que demuestra como se conectan los diversos elementos de un circuito en el laboratorio
Ejercicio de Aplicación. Los aparatos que se muestran en la figura No. 4.6 se emplean para estudiar la Ley de Ohm en el laboratorio. El voltaje V se determina de la fuente de fem y permanece constante a 6 V. ¿Cuál es la resistencia cuando el reóstato se ajusta de modo que la corriente que indica es de 0.4 A? b) Si el valor de la resistencia se duplica, ¿Cuál será la corriente resultante? ¾SOLUCIÓN
a) De la Ley de Ohm R = V/I = 6V/0,4 A = 15 Ω b)Al duplicar la resistencia a 30 Ω resultará una corriente expresada por: I = 6 V/30 Ω = 0.2 A Adviértase que al duplicar la resistencia en el circuito, la corriente se reduce a la mitad
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4.3 RESISTIVIDAD Y SUPERCONDUCTIVIDAD. De la misma forma que la capacitancia es independiente del voltaje y de la capacidad de la carga, la resistencia de un conductor es independiente de la corriente y del voltaje, tanto la capacitancia como la resistencia son propiedades inherentes de un conductor. La resistencia de un alambre de área de sección transversal uniforme, como el mostrado en la figura No. 4.7, se determina a partir de los cuatro factores siguientes: 1. 2. 3. 4.
Tipo de material. Longitud. Área de la sección transversal. Temperatura.
Ohm, el físico que descubrió la Ley que lleva su nombre, también comprobó que la resistencia de un conductor a cierta temperatura, es directamente proporcional a su longitud e inversamente proporcional a su área de sección transversal, y depende del material del cual está hecho. A determinada temperatura, la resistencia de cierto conductor puede calcularse a partir de: R = !/$ (4.1) L = longitud A = área.
Fig. No. 4.7. La
Resistencia de un alambre depende del tipo de material, longitud, área de la sección transversal y de la temperatura del alambre.
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La constante proporcionalidad resistividad, expresado por:
es una propiedad del material llamado
=
RA/L
(4.2)
La Resistividad varía marcadamente para diferentes materiales y también se ve afectada por cambios en la temperatura. Cuando R se expresa en ohms, A en metros cuadrados y L en metros, la unidad de resistividad es, el ohm-metro ( Ω m): (Ω)(m2)/(m) = Ωm En la tabla 4.1 se da una lista de las resistividades de varios metales comunes.
Tabla 4.1
Resistividades de varios materiales a 20 °C Resistividad .m
Aluminio Cobre Oro Hierro Nicromo Tungsteno Plata
2.8 x-810 1.72 x 10-8 2.2 x 10-8 9.5 x 10-8 100 x 10-8 5.5 x 10-8 1.63 x 10-8
. milc/ft 17.0 10.4 13.0 57.0 600 33.2 9.6
Ejercicio de Aplicación. ¿Cuál es la resistencia de un alambre de cobre de 20 m de longitud y 0.8 mm de diámetro?.
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¾SOLUCIÓN.
Primero se obtiene el área de sección transversal del alambre en m2. $ '2 /4 =
[-4m) = 5.03x10-7 m2
ρ del cobre: 1.72x10-8Ω.m La Resistividad del cobre es de 1.72 x 10 -8Ω-m. (4.1) tenemos:
Si se sustituye en la ecuación
R = ρ L/A = (1.72x10-8Ωm) (20 m) = 0.684Ω 5.03x10-7m2
En muchas aplicaciones de ingeniería, la resistividad se expresa en unidades híbridas. La longitud se mide en pie y el área en mils circulares (milc). 1 mil circular (milc) se define como el área de sección transversal de un alambre de 1 mil (0.001 in) de diámetro. A fin de calcular el área de un alambre en mil circulares, primero se convierte su diámetro a mils. Ya que 1 mils es (0.001 pulgadas), un diámetro puede convertirse de pulgadas a mils simplemente desplazándose el punto decimal tres lugares a la derecha. Por ejemplo, 0.128 in = 128.0 milc El área de un alambre en mils cuadrados se determina mediante: $ '²/4 mils cuadrados
Sin embargo, por definición un alambre que tiene un diámetro de 1 mil tiene un área de 1 milc (un mil circular). De aquí que: PLOF PLOVFXDGUDGRV
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Si se comparan las ecuaciones, puede advertirse que el área en mils circulares es igual al cuadrado del diámetro en mils. En símbolos: A mils = (Dmils)2 Si el área de un alambre se expresa en mils circulares y su longitud en pies, la unidad de resistividad a partir de la ecuación (4.2) es:
ρ= R A/ L → Ω Milc/ft En la tabla 4.1 también se da una lista de las resistividades de los materiales en el sistema de unidades mil-pie.
Ejercicio de Aplicación. ¿Cuál es la longitud que debe tener un alambre de aluminio de 0.025 pulgadas de diámetro para construir un resistor de 12Ω?. ¾SOLUCIÓN
El diámetro es de 25 mils y de la ecuación (A12) se determina el área: A milsc = (D mils)2 = (25 mils)2 = 625 milsc De la ecuación (4.2), la longitud necesaria es: /5$! 12Ω) (625 milsc)/ 17 Ω milsc/ft = 441 ft
La Resistividad ρ se tomó de la tabla 4.1. COEFICIENTE DE TEMPERATURA DE RESISTENCIA
Para la mayor parte de los conductores metálicos, la resistencia tiende a incrementarse mientras la temperatura aumenta. Al incrementarse el movimiento atómico y molecular en el conductor, se obstaculiza el flujo de carga. El incremento en la resistencia para la mayor parte de los metales, es aproximadamente lineal cuando se compara con los cambios en temperatura; los experimentos han demostrado que el incremento en la resistencia R es proporcional a la resistencia inicial Ro y al cambio el la temperatura t. 60
Puede escribirse: û5
δ5R ûW
La constante es una característica del material y se le conoce como coeficiente de la temperatura de la resistencia. La ecuación puede obtenerse al resolver la ecuación (A13):
δ û55R ûW
(A14)
El coeficiente de temperatura de la resistencia es el cambio en la resistencia por unidad de resistencia por cada grado que cambia en la temperatura. Puesto que las unidades R y Ro son las mismas, la unidad del coeficiente grados inversos o recíprocos (1/°C).
son
Ejercicio de Aplicación. Un alambre de hierro tiene un resistencia de 200 Ω a 20 °C. ¿Cuál será su resistencia a 80 °C, si el coeficiente de temperatura de la resistencia es de 0.006/°C?. ¾SOLUCIÓN.
û5
δ5R ûW
= (0.006/°C) (200Ω) (80°C – 20°C) = 72Ω Así, pues la resistencia a 80°C es: 55R û5 Ω + 72Ω = 272Ω
El incremento de resistencia de un conductor a causa de la temperatura es lo suficientemente grande como para que pueda ser medida fácilmente. Este hecho se emplea en los termómetros de resistencia para medir las temperaturas con bastante exactitud. Debido al alto punto de fusión de algunos metales, es posible utilizar termómetros de resistencia para medir temperaturas extremadamente altas.
61
Superconductores. En la actualidad existe una clase de metales y compuestos cuya resistencia virtualmente va hasta cero al llegar a cierta temperatura, T c, llamada temperatura crítica. A éstos materiales se les conoce como superconductores.
Figura No. 4.8
Cuando la temperatura es Tc o menor, la resistividad cae súbitamente hasta cero. El fenómeno fue descubierto en 1911 por el físico alemán H. Kamerlingh-Onnes cuando trabajaba con el mercurio, el cual es superconductor por debajo de los 4.2 K (grados kelvin). Recientes mediciones han demostrado que la resistividad de un superconductor por debajo de la Tc son menores que 4 × 10−25 Ω .m, lo cual es unas 1017 veces más pequeña que la resistividad del cobre y puede ser considerada como cero en la práctica Hoy en día existen miles de superconductores conocidos. Muchos comunes como el aluminio, estaño, plomo, zinc e indio son algunos superconductores. En la tabla 4.2 se listan las temperaturas críticas de algunos superconductores. El valor de T c es sensible a la composición química, a la presión y a la estructura cristalina. Es interesante hacer notar que el cobre, la plata y el oro, los cuales son excelentes conductores, no muestran superconductividad.
62
Tabla 4.2 Temperaturas críticas para varios superconductores Material Nb3Ge Nb3Sn Nb Pb Hg Sn
Tc (K) 23.3 18.05 9.46 7.18 4.15 3.72 Al
Zn
1.19 0.88
Una aplicación de la superconductividad ha sido la construcción de imanes superconductores en los cuales la intensidad del campo magnético es diez veces mayor que la correspondiente a los mejores electroimanes normales. Dichos imanes se consideran como un mecanismo para almacenar energía. La idea de utilizar superconductores en líneas de potencia para la transmisión de energía eléctrica con excelente rendimiento ha sido recientemente considerada. Se han construido dispositivos electrónicos modernos que constan de dos películas delgadas superconductoras, separadas por un aislante delgado. Estos dispositivos se utilizan en los magnetómetros (artefacto para medir un campo eléctrico) y en varios aparatos de microondas.
4.4
MODELO DE CONDUCCIÓN ELÉCTRICA.4
Este modelo es el modelo clásico de la conducción eléctrica en metales. Se aplica sobre el modelo la ley de Ohm y muestra que la resistividad puede ser relacionada con el movimiento de los electrones en el metal. Se considera un conductor como un arreglo regular de átomos que contiene electrones libres, algunas veces llamados electrones de conducción. Estos electrones se mueven libremente a través del conductor y en un número aproximadamente igual al número de átomos. En ausencia de un campo eléctrico, los electrones se mueven en direcciones aleatorias a través del conductor con una
4
SERWAY, Raymond. Física Tomo II. Capítulo 27 Corriente y Resistencia, página 767
63
velocidad promedio del orden de 106 m/s. Estas velocidades se pueden calcular en forma apropiada sólo si se utiliza la descripción de la mecánica cuántica. La situación es similar al movimiento de las moléculas de un gas confinado en un envase. Algunos científicos, se refieren a los electrones de conducción en un metal como un gas de electrones. Los electrones de conducción no son totalmente libres ya que están confinados al interior del conductor y sufren frecuentes colisiones con el arreglo de átomos. Estas colisiones son el mecanismo predominante para la resistencia de un metal a temperaturas normales. Observe que no existe corriente a través de un conductor en ausencia de un campo eléctrico ya que la velocidad promedio de los electrones libres es cero. Es decir, en promedio, la misma cantidad de electrones se mueve en una dirección y en la dirección opuesta, de tal manera que el flujo neto de carga es cero. La situación se modifica cuando un campo eléctrico se aplica al metal. Además del movimiento aleatorio térmico descrito anteriormente, los electrones libres derivan lentamente en la dirección opuesta al campo eléctrico, con una velocidad de deriva v d , la cual es mucho más pequeña (del orden de 10−4 m/s) que la velocidad promedia entre colisiones (del orden de 106 m/s). La figura No. 4.9 se presenta una descripción del movimiento de los electrones libres en un conductor. En ausencia de un campo eléctrico, no existe desplazamiento neto después de varias colisiones. Un campo eléctrico E modifica el movimiento aleatorio y ocasiona que los electrones deriven en dirección opuesta del campo E . La ligera curvatura de las trayectorias es el resultado de la aceleración de los electrones entre colisiones, causada por el campo aplicado. Un sistema mecánico análogo a esta situación es una bola rodando hacia debajo de un plano inclinado a través de un arreglo de clavos espaciados en el plano. La bola representa un electrón de conducción, los clavos los defectos en el arreglo del cristal y la componente de la fuerza de gravedad a lo largo del plano representa a la fuerza eléctrica e E.
64
Figura No. 4.9
En el modelo, se supone que el exceso de energía adquirido por los electrones, en el campo eléctrico, se pierde en el conductor en el proceso de las colisiones. La energía dada a los átomos en las colisiones aumenta la energía vibracional, ocasionando que el conductor se caliente. El modelo también supone que el movimiento de un electrón antes de la colisión es independiente de su movimiento después de la colisión. Una vez presentado el marco conceptual se puede obtener una expresión para la velocidad de deriva. Cuando una partícula móvil cargada de masa m y carga q está sujeta a un campo eléctrico E , experimenta una fuerza q E. Como F = ma , se concluye que la aceleración de la partícula está dada por: a
=
qE m
Esta aceleración, que sólo actúa un corto tiempo entre las colisiones, permite al electrón que adquiera una pequeña velocidad de deriva. Si t es el tiempo que transcurre entre colisiones y v o es la velocidad inicial, entonces la velocidad del electrón después de un tiempo t está dada por v
= v0 + at = v0 +
65
qE m
t
Tomando el valor promedio de v sobre todos los posibles valores de tiempos t y todos los valores de v o . Si las velocidades iniciales se supone que están distribuidas aleatoriamente en el espacio, se observa que el valor promedio de v o es cero. El término (q N/ m)t es la velocidad añadida por el campo en el extremo de su viaje entre los átomos. Si el electrón comienza con velocidad cero, el valor Õ, en donde Õ es el tiempo promedio del segundo término de la ecuación es (q E /m) promedio entre las colisiones. Como la velocidad promedio es igual a la velocidad de la deriva, se tiene: Velocidad de deriva
vd
=
qE
τ
m
De donde la magnitud de la densidad de la corriente está dada por: J = nqvd
=
nq 2 E m
τ
Comparando esta expresión con la ley de Ohm, J = Ô E , se obtienen las siguientes expresiones para la conductividad y la resistividad: Conductividad
σ =
Resistividad
ρ =
nq 2τ m 1
σ
=
m nq 2τ
El tiempo promedio entre colisiones está relacionado con la distancia promedio entre colisiones Z (recorrido medio libre) y la velocidad térmica promedio v a través de la expresión: τ =
v
De acuerdo con éste modelo clásico, la conductividad y la resistividad no dependen del campo eléctrico. Este hecho es característico de los conductores que obedecen a la ley de Ohm. El modelo muestra que la conductividad puede calcularse si se conocen la densidad de los portadores de carga, su carga, su masa y el tiempo promedio entre colisiones.
66
Ejercicios de Aplicación. 1. Un alambre de cobre de área de sección transversal de 3 x 10−6 m² lleva una corriente de 10 A. Encuéntrese la velocidad de deriva de los electrones en el alambre. La densidad del cobre es 8.95 g/cm³. ¾SOLUCIÓN
Teniendo en cuenta la tabla periódica de los elementos, se encuentra que el peso atómico del cobre es de 63.5 g/mol. Recuerde que un mol de cualquier sustancia contiene 6.02 x 1023 átomos, lo que se conoce como el número de Avogadro. Conociendo la densidad del cobre es posible calcular el volumen ocupado por 63.5 g de cobre: V =
m
ρ
=
63.5 g 8.95 g / cm
3
= 7.09cm3
Si suponemos que cada átomo de cobre contribuye con un electrón libre en el material (para n el cual representa el número de portadores de carga por unidad de volumen) se tiene, n
=
6.02 × 1023 electrones 7.09cm3
= 8.48 × 1022 electrones / cm3 3 22 electrones 6 cm n = 8.48 × 10 10 3 cm3 m n
n
= 8.48 × 1028 electrones / m3
De acuerdo con la expresión
I
∆Q = nqvd A la cual representa la corriente en el conductor a una velocidad ∆t
promedio de los portadores de carga de v d , siendo A en número de Avogadro, se tiene:
67
I
=
vd
= 2.46 × 10− 4 m / s
nqA
=
10C / s
vd
(8.48 × 10
28
m − 3 / m3 )(1.6 × 10−19 C )(3 × 10− 6 m 2 )
2. Empleando los datos y resultados del ejercicio de aplicación (1) y el moleo clásico del electrón de conducción, estímese el tiempo promedio entre colisiones para electrones en cobre a 20ºC. ¾SOLUCIÓN.
Con la ecuación ρ =
1
σ
=
m 2
nq τ
se tiene que τ =
m 2
nq ρ
HQGRQGH ! 1.7 × 19−8 Ω.m
para el cobre y la densidad de portadores de carga n = 8.48 × 1028 electrones/m³ para el alambre descrito en el ejercicio anterior, se sustituyen estos valores dentro de la ecuación τ =
m nq 2 ρ
obteniendo:
(9.11× 10− kg ) m − )(1.6 × 10− C ) (1.7 × 10− Ω.m) 31
τ =
(8.48 × 10
28
3
19
2
8
τ = 2.5 × 10−14 s
Ahora suponga que la velocidad térmica media para los electrones es el cobre es 1.6 × 106 m / s y usando los resultados anteriores, calcule el recorrido medio libre para los electrones en el cobre.
= vτ = (1.6 × 106 m / s )(2.5 × 10−14 s ) −8 = 4.0 × 10 m
La cual es equivalente a 40 nm (comparada con los espacios atómicos que son del orden de 0.2 nm). Por lo tanto, aun cuando el tiempo entre colisiones es muy corto, los electrones viajan alrededor de 200 distancias atómicas antes de chocar con un átomo.
68
EVALUACIÓN FINAL A continuación se presentan una serie de problemas a través de los cuales aplicará los conceptos desarrollados a lo largo de esta sesión. Para profundizar en los temas expuestos, se recomienda remitirse a los textos relacionados al final de la sesión. 1. ¿Cuántos electrones pasan cada segundo por un punto en un alambre por el que circulan 20 A?. 2. ¿Cuánto tiempo es necesario para transportar una carga de 40 C más allá del punto referido en la pregunta (1)?. 3. Encuéntrese la corriente en amperes, si 690 C de carga circulan por un alambre en dos minutos. 4. ¿Cuál es la fem necesaria para que circulen 60 mA a través de una resistencia de 20 Ω?. Si esta fem es aplicada a una resistencia de 300 Ω, ¿Cuál sería la corriente?. 5. Un horno de corriente directa de 120 V suministra 2.4 kW a un generador eléctrico. ¿Cuál es la corriente suministrada? ¿Cuál es la resistencia encontrada? 6. ¿Cuál es la resistencia de un alambre de hierro de 200 ft de longitud y un diámetro de 0.002 in a 20 grados centígrados? 7. Determine la resistencia de 40 m de alambre de cobre de 0.8 mm de diámetro a 20 grados centígrados? 8. La resistencia de un alambre de cobre es 4 Ω a 20 grados centígrados. ¿Cuál es la resistencia de 80 grados centígrados? ( /& 9. Si la resistencia de un conductor es de 100 Ω a 60 grados centígrados. ¿Cuál es su coeficiente de temperatura de la resistencia? 4 ______________________________ Textos y problemas tomados y adaptados de HALLIDAY, David. RESNICK, Robert. KRANE, Kenneth. Física Vol.2. SERWAY, Raymond. Física Tomo II.1
69
SESIÓN 5 CIRCUITO DE CORRIENTE CONTINUA INTRODUCCIÓN Dentro del estudio del comportamiento de la corriente eléctrica se analizarán algunos circuitos simples cuyos elementos de instalación incluyen baterías, resistencias y condensadores en varias combinaciones. Para representar gráficamente estos circuitos se empelará la convención expuesta en la sesión anterior. Una de las herramientas empleadas en el análisis de estos circuitos son las reglas de Kirchhoff las cuales obedecen las leyes de la conservación de la energía y de la carga. Los conceptos aquí expuestos le permitirán al ingeniero comprender el comportamiento de circuitos más complejos a los cuales se enfrentará durante el ejercicio profensional bien sea diseñando o construyendo vías y aeropistas.
OBJETIVOS ¾Identificar
el comportamiento de la corriente eléctrica a través de circuitos simples en serie y en paralelo. ¾ Adquirir la destreza para el análisis de circuitos de corriente continua mediante el empleo de las reglas de Kirchhoff. ¾Identificar algunos instrumentos empleados en la medición de corriente eléctrica.
CONDUCTA DE ENTRADA Para el adecuado desarrollo de la presente sesión el estudiante deberá tener claros los conceptos estudiados y analizados en sesiones anteriores correspondientes a potencial eléctrico y corriente eléctrica. A continuación se presentan algunos interrogantes que al resolverlos, le permitirán afianzar los conocimientos adquiridos hasta el momento. 1. Dos cargas de + 10 −9 C cada una, están separadas 8 cm en el aire. Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza ejercida por estas cargas sobre una tercera de +5 x 10 −11 C que se encuentra a 5 cm de cada una de las dos primeras de las cargas. 2. Una carga puntual negativa de magnitud q está sobre el eje y en el punto y = +a, y se encuentra una carga positiva de la misma magnitud en y = -a . Una tercera carga positiva de la misma magnitud que las anteriores se encuentra en algún punto del eje x . (a) ¿Cuál es la magnitud y dirección de la fuerza ejercida sobre la tercera carga cuando está en el origen? (b) ¿Cuándo su coordenada es x ? (c) Dibuje una gráfica de la fuerza sobre la tercera carga en función de x , para valores de x comprendidos entre +4 a y – 4 a . 3. Un objeto pequeño, tiene una carga de − 5 × 10 −9 C , experimentando una fuerza hacia debajo de 20 x 10 −9 N cuando se coloca en determinado punto de un campo eléctrico. (a) ¿Cuál es el campo en dicho punto? (b) ¿Cuáles serían la magnitud y dirección de la fuerza ejercida sobre el electrón situado en tal punto? 4. En el espacio comprendido entre dos láminas planas y paralelas, cargadas con cargas opuestas, existe un campo eléctrico uniforme. Se abandona en reposo un electrón sobre la lámina cargada negativamente y golpea la superficie de la lámina opuesta, situada a 2 cm de distancia de la primera, al cabo de 1.5 x 10 −8 seg . Calcule (a) el campo eléctrico, (b) la velocidad del electrón cuando golpea la segunda lámina. 5. Un tipo sencillo de tubo de vacío conocido como diodo consiste esencialmente en dos electrodos situados dentro de un recipiente al vacío. Uno de los electrodos, el cátodo , se mantiene a temperatura alta y su superficie emite electrones. Entre el cátodo y el otro electrodo, llamado ánodo , se mantiene una diferencia de potencial de algunos cientos de volts con el ánodo en el potencial más alto. Imagínese que en cierto diodo el potencial del ánodo V a es de 250 V mayor que el V c del cátodo y 72
que se emite un electrón desde este último sin velocidad inicial. ¿Cuál es su velocidad cuando llega al ánodo?
5. CIRCUITO DE CORRIENTE CONTINUA. 5.1
RESISTENCIA EN SERIE Y EN PARALELO.
En la sesión anterior se describió la resistencia y su relación con la ley de Ohm, pero en términos generales la mayor parte de los circuitos eléctricos no consisten simplemente en una sola fuente de voltaje y una sola resistencia externa. Generalmente están compuestos por cierto número de fuentes, resistencias y otros componentes como capacitares, motores, ES MEJOR MENCIONAR OTROS Y TERMINAR CON LA FRASE “ENTRE OTROS”, Y NO CON E.T.C.etc ., interconectados de forma más o menos compleja. El término genérico para este tipo de disposición de circuito se el de red . A continuación se verán los tipos más sencillos de redes.
Figura 5.1
73
En la figura 5.1 se ilustran cuatro formas distintas de conectar tres resistores de resistencias R 1, R 2 y R 3 entre los puntos a y b. En la parte (a), los resistores ofrecen un solo recorrido entre los puntos y se dice que están conectados en serie entre estos puntos. De igual forma, un número cualquiera de elementos del circuito como resistores, pilas, motores, etc., que como en (a) ofrecen recorrido único entre los puntos, se dice que están en serie entre los puntos. La corriente es la misma en cada elemento. CAMBIE LA REDACCIÓN, ESTA EN ROJO PARA QUE LEA Y SI LE HE CAMBIADO EL SENTIDO TÉCNICO DE LO QUE QUIERE EXPRESAR NO LA TENGA EN CUENTA.
Los resistores de la figura 5.1 (b) se dice que están en paralelo entre los puntos a y b. Cada resistor ofrece un recorrido opcional entre los puntos y un número cualquiera de elementos del circuito conectados en forma similar se dice que están conectados en paralelo. La diferencia de potencial es la misma en cada elemento. En la figura 5.1 (c) los resistores R 2 y R 3 están conectados en paralelo y su combinación está en serie con el resistor R 1. En la figura 5.1 (d) R 2 y R 3 están en serie y su combinación está en paralelo con R 1. Siempre puede encontrarse un solo resistor que pueda reemplazar a una combinación de resistores en un circuito dado sin alterar la diferencia de potencial entre los terminales de la combinación y la corriente del resto del circuito. La resistencia de éste único resistor se denomina equivalente de la combinación. Si cualquiera de las redes de la figura 5.1 se reemplaza por su resistencia equivalente R , podría escribirse: V ab
= IR
o
R =
V ab I
,
de donde V ab es la diferencia de potencial entre los terminales a y b de la red e I la corriente en el punto a o b . Por consiguiente, el método para calcular una resistencia equivalente es suponer una diferencia de potencial V ab /I . Las conexiones simples en serie y en paralelo son muy frecuentes, de modo que merece la pena deducir las fórmulas para estos casos especiales de resistencias en serie y en paralelo. Si los resistores están en serie, como en la figura 5.1 (a) la corriente de cada uno debe ser la misma e igual a la red I . Por consiguiente,
74
V ax V ab V ab I
= IR1 , V xy = IR 2 , V yb = IR3 , = V ax + V xy + V yb = I ( R1 + R 2 + R3 ), = R1 + R 2 + R3 .
Pero V ab I es por definición la resistencia equivalente R . En consecuencia, R = R1 + R 2
+ R3 .
La resistencia equivalente de un número cualquiera de resistores en serie es igual a la suma de sus resistencia individuales. Si los resistores están en paralelo, como en la figura 5.1 (b), la diferencia de potencial entre los terminales de cada uno ha de ser la misma e igual a V ab . Si se representa las corrientes en cada uno por I 1, I 2 , I 3, respectivamente, I 1
=
V ab R1
,
I 2
=
V ab R 2
,
I 3
=
V ab R3
.
Como la caída de potencial en cada resistencia debe ser la misma y de acuerdo con la ley de Ohm, se tiene, I = I 1 + I 2
+ I 3 =
V ab R1
+
V ab R 2
+
V ab R3
=
V R
De donde se obtiene el valor de la resistencia equivalente para las tres resistencias conectadas en paralelo. En lo anterior, se observa que la resistencia equivalente de dos o más resistencias conectadas en paralelo siempre es menor que la más pequeña de las resistencias del grupo. Los circuitos en el hogar están conectados y cableados de forma que los bombillos, los electrodomésticos y cualquier otro equipo están conectados en paralelo, como en la figura 5.1 (b). De esta forma, cada dispositivo opera independientemente de los otros, así que si uno está apagado, los otros pueden estar encendidos. Es importante el hecho de que todos operan con el mismo voltaje. 75
5.2
REGLAS DE KIRCHHOFF: SOLUCIÓN DE CIRCUITOS POR NODOS O MALLAS.
En el apartado anterior se analizó un circuito utilizando la ley de Ohm y las reglas de combinaciones de resistencias en serie y en paralelo. Para circuitos más complejos se emplea de forma sistemática los principios desarrollados por Gustav Robert Kirchhoff (1824 – 1887), para lo cual se define nodo de una red al punto en el cual se unen tres o más conductores, así mismo, malla es cualquier trayecto conductor cerrado. Las reglas de Kirchhoff comprenden los siguientes postulados:
Regla de los nodos La suma de las corrientes que entran en una unión o nodo debe ser igual a la suma de las corrientes que salen de la unión o nodo.
Regla de las mallas La suma algebraica de los cambios de potencial a través de todos los elementos alrededor de cualquier trayectoria cerrada en el circuito debe ser cero. La primera regla se establece de la conservación de la carga, es decir, la cantidad de corriente que entra en un nodo dado del circuito debe salir de el, ya que la carga no puede perderse en ese punto. Si se aplica esta regla al nodo que se observa en la figura 5.2 (a) se obtiene: I 1 = I 2 + I 3 La figura 5.2 (b) representa una analogía mecánica de esta situación, en la que fluye el agua y no hay fugas. El caudal que sale del tubo es igual al caudal que sale por las dos ramas de derivación.
76
Regla de los nodos Figura 5.2
La segunda regla se deduce de la conservación de la energía, es decir, cualquier carga que se mueva en torno a cualquier circuito cerrado (sale de un punto y llega al mismo punto) debe ganar tanta energía como la que pierde. Su energía puede decrecer en forma de caída de potencial –IR , a través de una resistencia o bien como resultado de tener una carga en dirección inversa por intermedio de una fuente de fem. En una aplicación práctica de este caso, la energía eléctrica se convierte en energía química al cargar una batería; de manera similar, la energía eléctrica puede convertirse en energía mecánica al hacer funcionar un motor. Al aplicar la segunda regla, deben observarse las siguientes indicaciones:
77
a. Si se recorre la resistencia en la dirección de la corriente, el cambio en el potencial a través de la resistencia es –IR . Figura 5.3 (a). b. Si la resistencia se recorre en la dirección opuesta a la corriente, el cambio en el potencial a través de la resistencia es +IR . Figura 5.3 (b). c. Si una fuente de fem se recorre en la dirección de la fem (de la terminal – a ODHOFDPELRHQHOSRWHQFLDOHV )LJXUDF
d. Si una fuente de fem se recorre en la dirección opuesta a la fem (de la terminal + a la -), el cambio en el potencial es – )LJXUDG
Figura 5.3
Existen limitaciones sobre el número de veces que pueden utilizarse la regla de nodos y mallas. La regla de nodos puede emplearse siempre que sea necesario pero considerando que, al escribir la ecuación, se incluyan una corriente que no haya sido utilizada previamente en alguna ecuación de la regla de nodos. En general, el número de veces que puede ser utilizada la regla de nodos es uno menos que el número de uniones (nodos) que tenga el circuito. La regla de malla puede ser utilizada siempre que sea necesario en tanto que un nuevo elemento de circuito (resistencia o batería) o una nueva corriente aparezca en cada nueva ecuación. En términos generales, el número de ecuaciones independientes que se necesiten debe ser al menos igual al número de incógnitas para tener una solución al problema de un circuito particular. En muchas oportunidades circuitos complejos con varias mallas y uniones generan un gran número de ecuaciones linealmente independientes que corresponden a un gran número de incógnitas. Tales situaciones deben ser 78
manejadas formalmente utilizando álgebra de matrices. Se pueden diseñar programas de computador o en hoja electrónica para determinar los valores de las incógnitas. Para este tipo de problemas, se le aconseja al estudiante repasar los aspectos correspondientes del álgebra lineal y realizar dichas prácticas en Excel, Lotus u otro programa similar. En el análisis de problemas se supone que el circuito ha alcanzado condiciones de estado estacionario, es decir, las corrientes en las diversas ramas son constantes. Si un capacitor se incluye como elemento en una de las ramas, actúa como circuito abierto, es decir, la corriente en la rama que contiene el capacitor será cero en condiciones de estado estacionario. para la solución de problemas en este campo tenga en cuenta las siguientes estrategias: a. Primero dibuje el diagrama del circuito y asigne nombres y símbolos a todas las cantidades conocidas y desconocidas. Debe asignar una dirección a la corriente en cada parte del circuito. No debe preocuparse que no asigne correctamente la dirección de la corriente; el resultado tendrá signo negativo, pero la magnitud será la correcta. Aun cuando la asignación de la corriente sea arbitraria, debe respetarse rigurosamente la dirección asignada cuando se apliquen las reglas de Kirchhoff. b. Aplique la regla de los nodos a todas las uniones del circuito en las cuales se obtengan relaciones entre varias corrientes. c. Aplique la segunda regla de Kirchhoff a tantas mallas en el circuito como sea necesario para determinar las incógnitas. Al aplicar esta regla, deben identificarse correctamente los cambios de potencial de cada elemento al recorrer la malla (ya sea en sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario). Para la asignación de los signos se sugiere seguir las reglas resumidas en la figura 5.3. d. Debe resolver las ecuaciones simultáneamente para las cantidades desconocidas. Se sugiere ser cuidadoso en los desarrollos algebraicos y verificar que las respuestas numéricas sean congruentes.
5.3
CIRCUITOS CON RESISTENCIAS Y CONDENSADORES: CIRCUITOS RC.
En el desarrollo del estudio adelantado hasta ahora, se han considerado circuitos con corriente constante, o sea los llamados circuitos de estado estacionario. En este apartado se analizarán circuitos que contienen condensadores, en los cuales 79
la corriente puede variar con el tiempo. Cuando una diferencia de potencial se aplica por primera vez a un capacitor, la rapidez con que se carga depende de su capacitancia y de la resistencia del circuito.
5.3.1 CARGA DE UN CAPACITOR. Considere el circuito en serie de la figura 5.4. Suponga que el capacitor está inicialmente descargado. No existe corriente cuando el interruptor S está abierto (figura 5.4 b). Si el interruptor se cierra al t = 0, la carga comenzará a fluir, produciendo una corriente en el circuito y el capacitor comenzará a cargarse. (figura 5.4 c). Obsérvese que durante el proceso de carga, las cargas no saltan a través de la resistencia, el interruptor y la batería hasta que el capacitor está totalmente cargado. El valor de la carga máxima depende de la fem de la batería. Una vez que se alcanza la carga máxima, la corriente en el circuito es cero.
Figura 5.4
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito después de que el interruptor es cerrado se tiene:
80
ε − IR −
q C
=0
en donde IR es la caída de potencial a través de la resistencia y q/C es la caída de potencial a través del capacitor. Obsérvese que q e I son valores instantáneos de la carga y de la corriente, respectivamente, cuando el capacitor está siendo cargado. Se puede emplear la ecuación anterior para determinar la corriente inicial en el circuito y la máxima carga en el capacitor. Al t = 0, cuando el interruptor es cerrado, la carga en el capacitor es cero y la corriente inicial del circuito I o es máxima e igual a I 0
=
ε R
(para corriente t = 0)
Para este tiempo, la caída de potencial es íntegramente a través de la resistencia. Después, cuando el capacitor está cargado a su máxima carga Q , las cargas cesan de fluir y la carga en el circuito es cero y la caída de potencial es enteramente a través del capacitor. Sustituyendo I = 0 en la ecuación se obtiene la siguiente expresión para Q Q = CE (carga máxima) Para determinar una expresión analítica para la dependencia del tiempo de carga y la corriente, mediante procesos de integración y derivación tenemos: I (t ) = I 0 e
− t RC
=
ε R
e
− t RC
(corriente contra tiempo)
Para definir la expresión de carga contra tiempo para un capacitor que está siendo cargado tenemos: q (t ) = CE 1 − e
− t RC
= Q 1 − e − t RC
donde e es la base de los logaritmos naturales, I 0 = # es la corriente inicial, Q = &HVODPáxima carga del capacitor. El trabajo realizado por la batería durante el proceso de carga es " . Después de que el capacitor está totalmente cargado, la energía almacenada en
81
el capacitor es batería.
5.3.2
1 2
Qε =
1 2
C ε 2 ,
la cual es justo la mitad del trabajo realizado por la
DESCARGA DE UN CAPACITOR.
Considérese el circuito de la figura 5.5, que consta de un capacitor con una carga inicial Q , una resistencia y un interruptor. Cundo el interruptor está abierto, existe una diferencia de potencial Q/C a través del capacitor y una diferencia de potencial
Figura 5.5
cero a través de la resistencia ya que I = 0. Si el interruptor se cierra en el tiempo t = 0, el capacitor comienza a descargarse a través de la resistencia. En algún tiempo durante la descarga, la corriente del circuito es I y la carga en el capacitor es q (figura 5.5 b). De la segunda ley de Kirchhoff, se ve que la caída de potencial a través de la resistencia IR , debe ser igual a la diferencia de potencial a través del capacitor q/C : IR = q/C Sin embargo, la corriente en el circuito debe ser igual a la rapidez de decrecimiento de la carga en el capacitor. Es decir I = -dq/dt y asi se puede deducir la expresión de carga contra tiempo para un capacitor que se descarga: q (t ) = Qe
−
t RC
82
5.4 INSTRUMENTOS ELÉCTRICOS: AMPERÍMETRO, VOLTÍMETRO, GALVANÓMETRO, PUENTE DE WHEATSTONE Y POTENCIÓMETRO. a. Amperímetro. La corriente es una de las más importantes cantidades que uno debe medir en un circuito eléctrico. El dispositivo que mide la corriente se llama amperímetro. La corriente debe ser medida al pasar directamente en el amperímetro, así que éste debe estar en serie con la corriente que se va a medir, como lo muestra la figura 5.6. Cuando se utiliza un amperímetro para medir corriente directa, debe asegurarse que la corriente entre por la terminal positiva del instrumento y salga por la terminal negativa. Lo ideal, es que un amperímetro tuviera resistencia cero para no alterar la corriente que va a medirse. Esta condición se cumple siempre y cuando la resistencia del amperímetro sea mucho menor que las resistencias del circuito al cual va a medirse la corriente.
Figura 5.6
b. Voltímetro. Es el dispositivo que mide las diferencias de potencial en un circuito. La diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera en un circuito puede medirse simplemente colocando las terminales del voltímetro en estos dos puntos sin interrumpir el circuito, como se muestre en la figura 5.7. Es indispensable verificar la polaridad del instrumento, la terminal positiva del voltímetro debe estar conectada en el extremo de la resistencia de mayor potencial y la terminal negativa al extremo de la resistencia de menor potencial. Un voltímetro ideal tiene resistencia infinita, así no hay corriente pasando a través de él. En la práctica esta
83
condición no se cumple, se pueden hacer correcciones si se conoce la resistencia del voltímetro.
Figura 5.7
c. Galvanómetro. Es el principal componente utilizado en la construcción de los amperímetros y los voltímetros. Consta de una bobina de alambre montada de tal forma que está libre para rotar sobre un pivote en un campo magnético proporcionado por un imán permanente. La operación básica del galvanómetro hace uso del hecho de que un momento de una fuerza actúa sobre una espira con corriente en presencia de un campo magnético. El momento de una fuerza experimentada por la bobina es proporcional a la corriente que circula por ella. Esto significa que a mayor corriente, el momento de una fuerza será mayor y la bobina tenderá a rotar más hasta que el resorte detenga su rotación, por lo tanto, la cantidad reflectada es proporcional a la corriente y en ese momento se toma la lectura. Cuando un galvanómetro se utiliza como amperímetro, una resistencia R p se conecta en paralelo con el galvanómetro. Cuando un galvanómetro se utiliza como voltímetro, una resistencia Rs se conecta en serie con el galvanómetro.
84
Figura 5.8
d. Puente de Wheatstone. Es posible medir con exactitud resistencias desconocidas utilizando un dispositivo llamado puente de Wheatstone (Figura 5.9). El circuito consta de una resistencia desconocida Rx, tres resistencias, R 1, R2 y R3 (donde R1 es una resistencia calibrada variable), un galvanómetro y una fuente de fem.
Figura 5.9
La resistencia conocida R 1 se varía hasta que la lectura en el galvanómetro sea cero, es decir, hasta que no exista corriente de a a b . En estas condiciones se dice que el puente está balanceado. Como el potencial en el punto a debe ser igual al potencial en el punto b , estando balanceado el puente, la diferencia de potencial a través de R1 debe ser igual a la diferencia de potencial a través de R 2. Del mismo modo, la diferencia de potencial a través de R 3 debe ser igual a la diferencia de potencial a través de R x. De estas consideraciones, se observa que: 85
(1)
I 1R 1 = I 2 R2
(2)
I 1R 3 = I 2 Rx
Dividiendo una expresión entre la otra y despejando R x se tiene: R x
=
R2 R3 R1
Como R1, R2 y R3 son cantidades conocidas Rx puede ser calculada fácilmente. Cuando se desea medir resistencias muy grandes el método del puente de Wheaststone se dificulta por razones técnicas. Los recientes avances tecnológicos permiten estas mediciones mediante dispositivos de estado sólido como el transmisor de efecto de campo o instrumentos electrónicos recientemente diseñados.
86
e. Potenciómetro. Un potenciómetro es un circuito que se utiliza para medir una fem desconocida, x, comparándola con una fem conocida. En la figura 5.10 se muestran los componentes esenciales del potenciómetro.
Figura 5.10
El punto d representa un contacto deslizable utilizado para variar la resistencia (y por lo tanto, la diferencia de potencial) entre los puntos a y d . En una versión común de potenciómetro, llamado potenciómetro de alambre deslizable, la resistencia variable es un alambre con un contacto puntual d en alguna posición del alambre. Las otras componentes requeridas en este circuito son un galvanómetro, una fuente de poder con una fem o, una batería de referencia estándar y una fem desconocida x.
Con las direcciones de corriente que se ven en la figura 5.10, aplicando la primera regla de Kirchhoff, se observa que la corriente a través de la resistencia R x es I – Ix, donde I es la corriente en la rama inferior (a través de la batería de fem o) e Ix es la corriente de la rama superior. Aplicando la segunda regla de Kirchhoff aplicada a la malla abcd se obtiene:
- x + (I – Ix) Rx = 0 87
donde Rx es la resistencia entre los puntos a y b . El contacto deslizable en d se ajusta ahora hasta que la lectura en el galvanómetro sea cero, lo cual indica que el circuito se encuentra balanceado. En estas condiciones, la corriente del y en la celda desconocida es cero (I x = 0) y la diferencia de potencial ente a y d igual al fem x, desconocida. x
. = IRx
La celda de la fem desconocida se reemplaza por una celda estándar de fem conocida s y se repite el procedimiento anterior, esto es, se mueve el contacto en d hasta que el balance sea obtenido. Si R s es la resistencia entre a y d cuando se alcanza el balance, se tiene: s
´= IRs
donde se asume que I permanece igual. Combinando estas dos últimas expresiones se tiene: ε x
=
R x R s
ε s
Este resultado muestra que la fem desconocida puede ser determinada conociendo la fem de la celda estándar y la razón de las dos resistencias.
5.5 EJERCICIOS DE APLICACIÓN. a.
Cuatro resistencias se conectan como se muestra en la figura 5.11. (a) Encuentre la resistencia equivalente entre a y c . (b) ¿Cuál es la corriente en cada resistencia si una diferencia de potencial de 42 V se mantiene entre a y b ?
88
Figura 5.11 ¾Solución.
(a) El circuito puede ser reducido por pasos como se muestra en la figura 5.11, las UHVLVWHQFLDVGH \ HVWán en serie por lo tanto, la resistencia equivalente entre a y b HV /DVUHVLVWHQFLDVGH \HVWán en paralelo, aplicando la ecuación
1 R
=
1 R1
+
1 R2
se obtiene que la resistencia equivalente entre b y c es de 2
3RUORWDQWRODUHVLVWHQFLDHTXLYDOHQWHHQWUH a y c HVGH
(b) La corriente I HQODVUHVLVWHQFLDVGH \ HVODPLVPD\DTXHHVW án en serie. Utilizando la ley de Ohm y el resultado de la parte (a) se obtiene: I =
V ac R
=
42V 14Ω
=3A
Cuando la corriente llega a la unión en b , se divide y parte de la corriente pasa a través de la resistencia de 6 I 1) \SDUWHSDVDSRUODUHVLVWHQFLDGH I 2 ). Como la diferencia de potencial a través de estas resistencias, V bc , es la misma (por lo que se encuentran conectadas en paralelo), se deduce que 6I 1 = 3I2 o bien I2 = 2I1. Utilizando este resultado y el hecho de que I 1 + I2 = 3 A, se encuentra que I 1 = 1 A e I 2 = 2 A. Se hubiera sugerido esto desde el inicio del desarrollo al observar que la corriente a través de la resistencia de 3 WLHQHTXHVHUHOGREOHGHODFRUULHQWHD 89
través del sistema de 6 HQYLVWDGHVXVUHVLVWHQFLDVUHODWLYDV\GHOKHFKRGHTXH el mismo voltaje se aplica en cada una de ellas. Como comprobación, observe que Vbc = 6I 1 = 3 I 2 = 6V y V ab = 12 I = 36 V; por lo que V ac = V ab + V bc = 42 V, como es de esperarse.
b.
Tres resistencias están conectadas en paralelo como en la figura 5.12. Una diferencia de potencial de 18 V se mantiene entre los puntos a y b (a) Encuentre la corriente en cada resistencia. (b) Calcule la potencia disipada en cada resistencia y la potencia total disipada por las resistencias. (c) Calcule la resistencia equivalente de las tres resistencias y de este resultado determine la potencia total disipada.
Figura 5.12 ¾Solución.
(a) Las resistencias están en paralelo y la diferencia de potencial a través de cada una es de 18 V. Aplicando V = IR para cada resistencia se obtiene: I 1
=
I 2
=
V R1 V R2
=
18V
=
18V
3Ω
6Ω
= 6 A = 3 A
90
I 3
=
V R3
18V
=
= 2 A
9Ω
(b) Aplicando P = I²R para cada una de las resistencias se obtiene: 3Ω :
P 1 = I 12 R1
= (6 A)2 (3Ω ) = 108W
6Ω :
P 2
= I 22 R2 = (3 A)2 (6Ω ) = 54W
9Ω :
P 3
= I 32 R3 = (2 A)2 (9Ω ) = 36W
Esto demuestra que la resistencia más pequeña disipa la mayor potencia ya que lleva la mayor corriente (observe que también puede emplear P = V²/R para calcular la potencia disipada por cada resistencia). Sumando las tres cantidades obtenidas dan una potencia total de 196 W. (c) Empleando la ecuación 1 R
c.
1 R
=
1 R1
+
1 R2
1
1
1
3
6
9
= + +
;
para las tres resistencias:
R
=
18 11
Ω
El circuito de una malla contiene dos resistencias y dos fuentes de fem como se muestra en la figura 5.13. Las resistencias internas de las baterías se han despreciado. (a) Determine la corriente del circuito. (b) ¿Cuál es la potencia perdida en cada resistencia?
Figura 5.13
91
¾Solución.
(a) Dado que no existen nodos en un circuito de una malla, la corriente es la misma en todos los elementos. Suponga que la corriente está en la dirección de las manecillas del reloj, como se muestra en la figura 5.13. Recorriendo el circuito es este sentido, comenzando en el punto a , se observa que a Æ b representa un aumento de potencial de + 1 de b Æ c representa una disminución de potencial de –IR 1, de c Æ d representa una disminución de potencial – 2 y de d Æ a representa una caída de potencial de –IR 2. Aplicando la segunda regla de Kirchhoff, despejando I y empleando los datos del problema se tiene:
I =
ε 1 − ε 2 R1 + R2
=
6V − 12V 8Ω + 10Ω
=−
1 3
A
El signo negativo indica que la dirección de la corriente es opuesta a la dirección que se supuso, o en contra de las manecillas del reloj.
2
(b)
8 1 P 1 = I R1 = A (8Ω ) = W 9 3 2
2
P 2
= I R2 2
1 10 = A (10Ω ) = W 9 3
Por lo tanto la potencia total perdida es P 1 + P 2 = 2 W. Observe que la batería de 12 V entrega una potencia I 2 = 4 W. La mitad de su potencia se libera en las resistencias externas. La otra mitad se libera en la batería de 6 V, la cual está siendo cargada por la batería de 12 V. Si se hubieran incluido las resistencias internas de las baterías, alguna potencia sería disipada como calor en las baterías y entonces sería menor la potencia entregada a la batería de 6 V.
d.
El circuito de mallas múltiples mostrado en la figura 5.14 contiene tres resistencias, tres baterías y un capacitor. (a) Determine las corrientes desconocidas, en condiciones de estado estacionario. (b) ¿Cuál es la carga del capacitor? 92
¾Solución.
(a) Se observa que el capacitor representa un circuito abierto y por lo tanto no circula corriente a lo largo de la trayectoria ghab en condiciones de estado estacionario. Por lo que, I gf = I1. Bautizando las corrientes como se indica en la figura 5.14 y aplicando la primera regla de Kirchhoff al nodo c , se obtiene: (1)
I 1 + I 2 = I 3
Aplicando la segunda regla de Kirchhoff a la malla defcd y cfgbc se obtiene: (2) Malla defcd :
4V – (3)I2 –,3 = 0
(3) Malla cfgbc:
8V –,1,2 = 0
De (1) se ve que I 1 = I3 – I2, y sustituyendo en (3) se tiene: (4)
8V –,3,2 = 0
Restando (4) de (2) se elimina I 3 y se encuentra que: I2 = - 4/11 A = -0.364 A Como I2 es negativa, se concluye que I2 va de c a f a través de la resistencia de 8WLOL]DQGRHVWHYDORUGH, 2 en (3) y en (1) se obtienen los siguientes valores para I1 e I3
93
Figura 5.14
I1 = 1.38 A
I3 = 1.02 A
En condiciones de equilibrio, el capacitor representa un circuito abierto y no existe corriente en la malla ghab . (b) Se puede aplicar la segunda regla de Kirchhoff a la malla abgha (o cualquier malla que contenga al capacitor) para determinar la diferencia de potencial V c a través del capacitor: - 8 V + Vc – 3 V = 0 Vc = 11.0 V Como Q = CVc, se encuentra que la carga en el capacitor es igual a: Q = (6)9 &
e.
Considere el capacitor C descargándose a través de la resistencia R como se muestra en la figura 5.15 (a) Después de cuantas constantes de tiempo 94
la carga en el capacitor será la cuarta parte de su valor inicial? (b) La energía almacenada es el capacitor decrece con el tiempo cuando se está descargando. ¿Después de cuántas constantes de tiempo la energía almacenada se reduciría la cuarta parte de su valor inicial?
Figura 5.15 Después de que el interruptor se cierra, una corriente no estable circula por el circuito en la dirección que se muestra y la carga del capacitor decrece exponencialmente con el tiempo.
¾Solución.
(a) La carga en el capacitor varía con el tiempo de acuerdo con la siguiente −
t
ecuación q(t ) = Qe donde Q es la carga inicial del capacitor. Para determinar el tiempo que tomaría la carga en caer hasta una cuarta parte de su valor inicial, se sustituye q(t) = Q/4 en esta expresión y se despeja t: RC
1 4 1 4
Q
= Qe
=e
− t RC
− t RC
Tomando logaritmos a ambos lados de la igualdad, se tiene: - ln 4 = - t / RC t = RC ln 4 = 1.39 RC
95
(b) Mediante las ecuaciones
dI I
=−
1 RC
dt y q (t )
= Qe− t RC se puede expresar la
energía almacenada en el capacitor en cualquier tiempo como: U =
q2 2C
=
Q2 2C
e − 2t RC
= U 0e− 2t RC
de donde Uo es la energía inicial almacenada en el capacitor. Como en el numeral (a) ahora considere U = Uo / 4 y despeje t : 1 4 1 4
U 0
= U 0e − 2t RC
= e− 2t RC
Nuevamente, tomando logaritmos a ambos lados y despejando t se tiene: `t = ½ RC ln 4 = 0.693 RC
96
EVALUACIÓN FINAL 1. Dos elementos de circuitos cuyas resistencias son R 1 y R2 se conectan en paralelo a través de una batería de 6 V y un interruptor. La resistencia interna de la batería es de 5 51\52D ¿Cuál es el voltaje a través de R 1 cuando el interruptor está cerrado? (b) ¿Cuál es la corriente en cada resistencia? 7UHVUHVLVWHQFLDV\VHFRQHFWDQHQSDUDOHOR/DFRUULHQWHWRWDOD
través de este conjunto es de 5 A. (a) ¿Cuál es la caída de voltaje a través del conjunto? (b) ¿Cuál es la corriente en cada resistencia? 3. Considere un circuito RC en el cual el capacitor está siendo cargado por una batería conectada en el circuito. En cinco constantes de tipo, ¿qué porcentaje de la carga final esta en el capacitor?
Figura 5.16
97
SESIÓN 6 ELECTROQUIMICA Y ELECTRICIDAD INTRODUCCIÓN En esta oportunidad se estudiaran las propiedades de los dieléctricos, material aislante que separa las placas de los conductores. Estas propiedades se encuentran estrechamente ligadas a las características químicas de los átomos que los componen. Dependiendo de estas características, la capacidad o capacitancia del condensador permite que se le emplee en gran variedad de circuitos eléctricos como en los receptores de radio para sintonizar frecuencias, como filtros en las fuentes de poder o para eliminar la chispa en los sistemas de ignición de los vehículos.
OBJETIVOS ¾Identificar
los materiales de los cuales están compuestos los dieléctricos. ¾Describir las propiedades físicas y químicas de los dieléctricos y su relación con el empleo de los condensadores en los circuitos.
CONDUCTA DE ENTRADA Para el adecuado desarrollo de la presente sesión el estudiante deberá tener claros los conceptos estudiados y analizados en sesiones anteriores correspondientes a corriente y resistencia, a demás de lo relacionado con circuitos de corriente continua. A continuación se presentan algunos interrogantes que le permitirán afianzar los conocimientos adquiridos hasta el momento. 1. Un cubo macizo de plata tiene 84.0 g de masa. ¿Cuál es su resistencia entre caras opuestas? 2. La diferencia de potencial entre los terminales de una batería es de 8.5 V cuando circula corriente de 3 A por ella, desde el terminal negativo al positivo. Cuando la corriente es de 2 A en dirección inversa, la diferencia de potencial es de 11 V. (a) ¿Cuál es la resistencia interna de la batería? (b) ¿Cuál es la fem de la batería? 3. En el circuito de la figura 6.1 halle (a) la corriente de cada rama y (b) la diferencia de potencial V ab .
Problema No.3 Figura No. 6.1
4. Una bombilla de “60 W, 120 V” y otra de “40 W, 120 V” están conectadas en serie a una línea de 120 V. ¿Qué potencia se consume en cada bombilla? Suponga que la resistencia de los filamentos no varía con la corriente? 6HQHFHVLWDXQUHVLVWRUGH:SHURVólo se dispone de varios de 1000 :D¿Cómo podría obtenerse la resistencia y la potencia nominal requeridas
combinando las unidades disponibles? (b) ¿Qué potencia se disiparía en cada resistor? 100
6. ELECTROQUIMICA Y ELECTRICIDAD. 6.1 DIELÉCTRICOS Un dieléctrico es un material no conductor, como el caucho, vidrio o el papel. Cuando un dieléctrico se introduce entre las placas de un condensador, la capacitancia del mismo aumenta. Si el dieléctrico llena por completo el espacio entre las placas, la capacitancia aumenta en un factor adimensional k , llamado constante dieléctrica.
Constantes dieléctricas y resistencias dieléctricas de varios materiales a temperatura ambiente MATERIAL
Constante dieléctrica k
Vacío
1.00000 Aire (seco)
Baquelita Cuarzo fundido Vidrio pirex Poliestireno Teflón Caucho neopreno Nylon Papel Estroncito titanio
1.00059 4.9 3.78 5.6 2.56 2.1 6.7 3.4 3.7 233 Agua
Aceite de silicón
Resistencia dieléctrica (V/m) 3 × 106 24 × 106 8 × 106 14 × 106 24 × 106 60 × 106 12 × 106 14 × 106 16 × 106 8 × 106
80
--
2.5
15 × 10
6
Tabla 6.1 Fuente: Serway, Reymond. Física Tomo II. Pág. 737. Tercera Edición. Edit. McGraw-Hill
6.2 CONDENSADORES CON UN DIELÉCTRICO Para el estudio de los efectos de un dieléctrico en un condensador considere un condensador de placas paralelas de carga Qo y capacitancia Co en ausencia de un dieléctrico. La diferencia de potencial medida con un voltímetro es V o = Qo / Co. 101
(Figura 6.1) Nótese que el circuito del condensador está abierto, es decir, las placas del condensador no están conectadas a una batería y la carga no puede fluir a través del voltímetro ideal. No existe ninguna trayectoria por la cual la carga pueda fluir y alterar la carga sobre el condensador.
Figura 6.2 Cuando el dieléctrico se introduce entre l as placas de un condensador cargado, la carga en las placas permanece sin cambio, pero la diferencia de potencial registrada por un voltímetro electrostático se reduce desde V o hasta V = Vo / k , por lo tanto la capacitancia se incrementa en el proceso por el factor k .
Si un dieléctrico se introduce entre las placas como el la figura 6.2 se encuentra que la lectura del voltímetro disminuye por un factor k hasta un valor V, donde V = Vo / k Siendo V < Vo, se observa que k > 1. Como la carga Q o en el condensador no cambia, se concluye que la capacitancia debe cambiar de valor C =
Qo V
=
Q0 V o k
= k
C = kC 0
Q0 V 0
(6.1)
Para la cual C0 es la capacitancia en ausencia de dieléctrico. Es decir, la capacitancia aumentada por un factor k cuando un dieléctrico llena completamente la región entre sus placas. Para un condensador de placas paralelas, donde 102
C o
= ε o A / d , la capacitancia cuando el condensador está lleno con un dieléctrico
puede expresarse como C = k
ε o A d
(6.2)
De las ecuaciones 6.1 y 6.2 se puede apreciar que la capacitancia puede ser muy grande cuando la distancia entre las placas d disminuya. En la práctica los valores de d están limitados por la descarga eléctrica que podría ocurrir a través del medio dieléctrico que separa a las placas. Para cualquier separación d , el máximo voltaje que puede ser aplicado al condensador sin que cause una descarga depende de la resistencia dieléctrica (máxima intensidad de campo eléctrico) del dieléctrico, la cual para el aire se igual a 3 x 106V / m . Si la intensidad del campo en el medio excede la resistencia dieléctrica, las propiedades aislantes se romperán y el medio será el conductor. La mayoría de materiales aislantes tienen una resistencia dieléctrica y una constante dieléctrica muy grande comparada con el aire, como lo indica la tabla 6.1.
6.3 DESCRIPCIÓN ATÓMICA DE LOS DIELÉCTRICOS En el numeral anterior se dedujo que la diferencia de potencial entre las placas de un condensador se reducía en un factor k cuando el dieléctrico se introducía ente ellas. Como la diferencia de potencial entre las placas es igual al producto del campo eléctrico por la separación d , el campo eléctrico también es reducido por un factor k . Entonces, si E o es el campo eléctrico sin dieléctrico, el campo en presencia del dieléctrico es E = E o / k Esta relación se comprende al notar que el dieléctrico puede ser polarizado, lo que a nivel atómico indica, que las cargas negativas y positivas se separan ligeramente. Si las moléculas del dieléctrico poseen un momento bipolar permanente en ausencia de campo eléctrico, se llaman moléculas polares (como por ejemplo el agua). Los dipolos están aleatoriamente orientados en ausencia de campo eléctrico como se muestra en la figura 6.3 (a).
103
Figura 6.3 Moléculas polares
Cuando un campo eléctrico externo se aplica, un torque se ejerce sobre los dipolos, ocasionando que estos se alineen parcialmente con el campo, como en la figura 6.3 (b). El grado de alineamiento depende de la temperatura y de la magnitud del campo aplicado. En general, aumenta el alineamiento con la disminución de la temperatura y con un aumento en la intensidad del campo eléctrico. La alineación parcial de dipolos produce un campo eléctrico interno que se opone al campo eléctrico externo, de donde se ocasiona una reducción en el campo original. Si las moléculas del dieléctrico no tienen momento bipolar permanente, se llaman moléculas no polares. En este caso, un campo eléctrico externo produce la separación de las cargas y los mementos bipolares resultantes se dice que son inducidos. Estos momentos bipolares inducidos tienden a alinearse como el campo externo, ocasionando una reducción en el campo eléctrico interno. Una vez desarrollado la descripción del momento bipolar, considere una plancha de material dieléctrico en un campo uniforme E o como en la figura 6.4 (a) La porción positiva de la molécula se desplaza ligeramente en la dirección del campo eléctrico y la negativa se desplaza en la dirección opuesta. Por lo tanto, el campo eléctrico aplicado polariza al dieléctrico. El efecto neto sobre el dieléctrico es la formación de una densidad de carga superficial positiva inducida i sobre la cara derecha y una densidad de carga negativa en la cara izquierda, como se muestra en la figura 6.4 (b). Esta densidad de carga superficial en el dieléctrico da como resultado un campo eléctrico interno E i, el cual se opone al campo eléctrico externo Eo. Por lo tanto, el campo eléctrico neto E en el dieléctrico tiene una magnitud dada por E = Eo – Ei.
104
Figura 6.4 Momentos dipolares en presencia de un campo eléctrico
6.4 PROPIEDADES DE LOS DIELÉCTRICOS Las propiedades de los dieléctricos empleados en los diversos condensadores se describen en la tabla 6.1 y algunas de sus ventajas se pueden resumir de la siguiente manera: ¾Un
dieléctrico aumenta la capacidad de un condensador. ¾El dieléctrico aumenta el voltaje de operación de un condensador. ¾El dieléctrico proporciona una estructura mecánica de soporte entre las placas conductoras. La mayor parte de los condensadores comerciales se fabrican con dos hojas metálicas con placas de papel impregnadas de parafina, la cual sirve como material dieléctrico. Se colocan alternadas las hojas metálicas y dieléctricas enrollándolas para darles forma de cilindro. Cualquier material dieléctrico sometido a un campo eléctrico suficientemente intenso se hace conductor, un fenómeno conocido como rotura dieléctrica. El principio de la conducción asociado con la ionización acumulativa de las moléculas del material, es a menudo bastante repentino y puede estar caracterizado por descargas de chispa o de arco. Cuando un capacitor es sometido a un voltaje excesivo, puede formarse un arco en una capa del dieléctrico que quema o funde el orificio en él, lo que permite el contacto de las placas metálicas, ocasionando un cortocircuito que inutiliza permanentemente el dispositivo como capacitor. El campo eléctrico máximo que puede resistir un material sin que se produzca rotura se denomina rigidez dieléctrica. Como las impurezas del material, pequeñas irregularidades en los electrodos metálicos y otros factores de difícil control 105
afectan notablemente a al rotura dieléctrica, sólo se pueden dar cifras aproximadas de rigideces dieléctricas. Para aire seco es aproximadamente 0.8 x 106V / m
6. 5 EJERCICIOS DE APLICACIÓN APLICACIÓN 1. Un condensador de placas paralelas de dimensiones 2 cm x 3 cm. Las placas están separadas por papel de 1 mm de espesor el cual actúa como dieléctrico. (a) Encuentre la capacitancia del dispositivo. (b) ¿Cuál es la máxima carga que se puede colocar en el condensador? Solución. (a) De la tabla 6.1 k = 3.7 para el papel, se tiene: C = k
ε o A d
2 −4 2 −12 C 6 × 10 m = 3.7 8.85 × 10 = 19.6 × 10−12 F = 19.6 pF −3 2 N .m 1 × 10 m
(b) En la tabla 6.1 se encuentra que la resistencia dieléctrica del papel es de 16 x 106V / m . Dado que el espesor del papel es de 1 mm, el máximo voltaje que puede ser aplicado antes de que la ruptura ocurra es: V máx
V = E máxd = 16 × 106 (1 × 10−3 m) = 16 × 103V m
Por lo tanto, la máxima carga está dada por: Qmáx
= CV máx = (19.6 × 10−12 F )(16 × 103V ) = 0.31µ C
2. La molécula de agua tiene un momento dipolar de 6.3 x 10−30 C .m . Una muestra contiene 10 21 moléculas, cuyos momentos dipolares están todos orientados en la dirección del campo eléctrico de 2.5 x 105 N N // C ¿Cuánto trabajo se requiere para rotar los dipolos desde esta orientación ( º) a una en la cual todos los PRPHQWRVVHDQSHUSHQGLFXODUHVDOFDPSR º)?
106
Solución. El trabajo requerido para rotar una molécula 90º es igual a la diferencia de energía potencial entre la orientación a 90º y la orientación a 0º. Utilizando las ecuaciones de energía potencial de un dipolo eléctrico en un campo eléctrico externo U = - S(FRV W = U90 – Uo = (− pE cos 90º ) − ( pe cos 0º ) = pE pE = (6.3 × 10−30 C .m )(2.5 × 105 N / C ) = 1.6 × 10−24 J
Como existen 10 21 moléculas en la muestra, el trabajo total requerido está dado por: Wtotal = (1021 )(1.6 × 10−24 J ) = 1.6 × 10−3 J
3. El área de las placas paralela de la figura 6.5 es de 2000 cm² y tiene una separación de 1 cm. La diferencia de potencial inicial entre ellas V o es de 3000 V y disminuye hasta 1000 V cuando se inserta una lámina de dieléctrico entre las mismas. Calcule (a) la capacitancia inicial C o, (b) la crac Q de cada placa, (c) la capacitancia C después de insertar el dieléctrico, (d) la constante dieléctrica k , (e) la permintividad GH GHO O GL GLHO HOéctrico, (f) la carga inducida Q i en cada cara del dieléctrico, (g) el campo eléctrico inicial E o entre las placas y (h) el campo eléctrico E después de insertar el dieléctrico. Solución. (a)
= ε 0
C o
A
= 8.85 × 10 d
−12
2 × 10−1 m 2
C N .m
2
−2
10 m
= 17.7 × 10−11 F = 177 pF
(b) Q
= C 0V 0 = (17.7 × 10−11 F )(3 × 103V ) = 53.1 × 10−8 C
(c) C =
(d)
Q V
=
53.1 × 10−8 C 3
10 V
= 53.1 × 1011 F = 531 pF
107
k =
C
=
C 0
53.1 × 10−11 F 17.7 × 10−11 F
=3
La constante también puede hallarse mediante la ecuación:
´k = V0 / V = 3000 V / 1000 V = 3 (e ) ε = k ε 0
= (3)(8.85 × 10
C 2
−12
N .m 2
= 26.6 × 10
−12
C 2 N .m 2
(f) Qi
= Aσ i
σ − σ i
Qi
σ
=
k
Q
= Aσ
σ i
1 = σ 1 − k
1
1
k
3
= Q1 − = (53.1 × 10−8 C )1 − = 35.4 × 10−8 C
(g) E 0
=
V 0 d
=
3000V −2
10 m
= 3 × 105V / m.
(h) E =
V d
=
1000V −2
10 m
= 1 × 105
V m
.
De otro lado se puede calcular también como: σ E = ε
=
Q Aε
=
53.1 × 10−8 C
(2 × 10
−1
m
2
)(26.6 × 10
−12
2
C / N .m
108
2
)
= 1 × 105V / m.
EVALUACION FINAL A continuación se presentan una serie de problemas en los cuales el estudiante aplicará los conceptos desarrollados a lo largo de la sesión. Para profundizar en los temas expuestos, se recomienda remitirse a los textos que se mencionan al final de la sesión. 1. Un condensador de placas paralelas tienen un área de 0.64 cm. Cuando las placas están en vacío, la capacitancia del dispositivo es de 49 pF. (a) Calcule el valor de la capacitancia si el espacio entre las placas se llena con nylon. (b) ¿Cuál es la máxima diferencia de potencial que puede ser aplicada a las placas sin causar la ruptura eléctrica o descarga? 2. Un condensador con aire entre sus placas es cargado a 120 V para luego desconectarse de la batería. Cuando una pieza de vidrio se coloca entre sus placas, el voltaje a través de sus placas cae hasta 20 V. ¿Cuál es la constante dieléctrica del vidrio. (Suponga que el vidrio llena el espacio entre las placas). 3. Un condensador de placas paralelas puede ser cargado hasta 3 C antes de que la ruptura ocurra en las placas. ¿Cuál es la máxima carga que pueden tener las placas si el espacio entre ellas se llena con (a) vidrio de k = 5 y (b) polietileno de k = 2.3? 4. Una lámina de papel de 0.1 mm de espesor se introduce entre las placas de un condensador de 340 pF relleno de aire, con una separación entre sus placas de 0.4 mm. Calcule la nueva capacitancia. 6
6
Textos y problemas tomados y adaptados de HALLIDAY, David. RESNICK, Robert. KRANE, Kenneth. Física Vol.2. SERWAY, Raymond. Física Tomo II. SEARS, Francis. ZEMANSKY, Mark. YOUNG, Hugo. Física Universitaria.
109
SESIÓN 7 CAPACIDAD INTRODUCCIÓN En esta sesión se estudiara la capacidad de los condensadores para almacenar carga. Estos dispositivos se emplean comúnmente en todo tipo de circuitos. Los condensadores constan de dos conductores que poseen cargas iguales pero de signo opuesto siendo su diferencia de carga entre ellos nula.
OBJETIVOS ¾Identificar
las propiedades de un condensador para almacenar carga. ¾Definir las características geométricas de un condensador y su relación con la cantidad de carga almacenada. ¾Identificar las posibilidades de combinación de los condensadores.
CONDUCTA DE ENTRADA Para el adecuado desarrollo de la presente sesión el estudiante deberá tener claros los conceptos estudiados y analizados en sesiones anteriores correspondientes a corriente, resistencia, electricidad y electroquímica. A continuación se presentan algunos interrogantes que le permitirán afianzar los conocimientos adquiridos hasta el momento. 1. ¿Cuál es la magnitud de un campo eléctrico en el que la magnitud de la fuerza sobre el electrón es igual al peso de éste? 2. ¿Cuál es la máxima diferencia de potencial por la que puede acelerarse un electrón si su energía cinética no ha de exceder del 1% de la energía en reposo? ¿Cuál es la velocidad de dicho electrón, expresada como una fracción de la velocidad de la luz c ? 3. Tres resistencias de 10 \ VHFRQHFWDQHQSDUDOHOR/DFRUULHQWH total a través de este conjunto es de 5 A. (a) ¿Cuál es la caída de voltaje a través del conjunto? (b) ¿Cuál es la corriente en cada resistencia? 4. Diseñe un amperímetro dc multirrango que sea capaz de tener deflexiones a escala completa para las siguientes divisiones de voltaje; (a) 20 V, (b) 50 V y (c) 100 V. Suponga un medidor móvil con resistencia interna de 60 \TXHGDXQD deflexión a escala completa para una corriente de 1 mA. 5. El puente de Wheatstone se balancea cuando R 1 5 2 \53 = 30 &DOFXOHHOYDORUGH5 x.
112
7. CAPACIDAD. 7.1 DEFINICIÓN DE CAPACITANCIA Dos conductores cualquiera separados por un aislador se dice que forman un capacitor. En la mayoría de los casos los conductores suelen tener cargas de igual magnitud y signo opuesto, de modo que la carga neta entre los conductores es proporcional a la magnitud de esta carga y por tanto la diferencia de potencial V ab entre los conductores es también proporcional a la magnitud de la carga Q . Se define capacitancia C de un capacitor como la relación entre la magnitud de la carga Q de uno cualquiera de los conductores y la diferencia de potencial V ab entre ellos: C ≡
Q V ab
De esta definición se deduce que la unidad de capacitancia es el coulomb por volt (C/V). Una capacitancia de un coulomb por un voltio se denomina faradio (F) en honor de Michael Faraday. Un capacitor se representa por el símbolo
Cuando se dice que el capacitor tiene una carga Q , significa que la carga del conductor de mayor potencial es Q y la del menor potencial, -Q (suponiendo que Q es una cantidad positiva). Esta interpretación ha de tenerse en cuanta para la solución de problemas.
113
7.2 CAPACITARES EN DIFERENTES GEOMETRÍAS El cálculo de la capacitancia de un par de conductores cargados depende en la mayoría de los casos de la geometría del condensador. A continuación se presentan los casos más representativos.
Capacitancia y geometría Geometría Esfera cargada aislada de radio R Condensador de placas paralelas de área A y separación de placas d Condensador cilíndrico de longitud Z\ radios interior y exterior a y b respectivamente
Capacitancia C = 4/ 0R &/0 A/d C =
b a
2k ln
Condensador esférico con radios interior y exterior a y b respectivamente
C =
ab k (b − a )
Tabla 7.1 Fuente: Serway, Reymond. Física Tomo II. Tercera Edi ción. McGraw-Hill. Pág. 745.
7.3 COMBINACIÓN DE CONDENSADORES En la figura 7.1, se han conectado dos capacitares en serie, entre los puntos a y b , que mantienen una diferencia de potencial constante V ab . Inicialmente ambos capacitares están descargados. En esta conexión, los dos capacitares tiene siempre la misma carga Q . Podría plantearse la cuestión de que la placa inferior de C1 y la superior de C 2 tuvieran cargas diferentes que las otras placas, pero en ese caso la carga neta de cada capacitor no seria nula y el campo eléctrico resultante en el conductor de unión de los capacitares ocasionaría un flujo de corriente que circularía hasta reducir a cero la carga total de cada uno. Por consiguiente en una conexión en serie la magnitud de la carga de todas las placas es la misma.
114
Figura 7.1
De la figura 7.1 se deduce: Q
≡ V 1 =
´V ab
1 1 ≡ V = V 1 + V 2 = Q + C 1 C 2
V Q
=
1 C 1
+
V cb
C 1
≡ V 2 =
Q
V ac
C 2
1 C 2
La capacitancia equivalente C de la combinación en serie se define como la de un solo capacitor de carga Q igual a la de la combinación, cuando la diferencia de potencial V es igual, dicho capacitor está ilustrado en la figura 7.1 (b). Q
= CV ,
1
=
C
1 C 1
+
V Q
=
1 C
1 C 2
Para un número cualquiera de capacitares en serie: 1 C
=
1 C 1
+
1 C 2
+
1 C 3 115
+ ...
En el caso de dos capacitares conectados en paralelo la diferencia de potencial V ab )' es la misma para ambos y las cargas Q 1 y Q 2 no necesariamente iguales son:
= C 1V Q2 = C 2V Q = Q1 + Q2 = V (C 1 + C 2 ) Q1 Q V
= C 1 + C 2
Para cualquier número de capacitares en paralelo: C = C 1 + C 2 + C 3 + … La capacitancia equivalente es la suma de las capacitancias individuales.
7.4 ENERGÍA ALMACENADA EN UN CONDENSADOR Se requiere trabajo para cargar un condensador, dado que el proceso de carga consiste en transferir carga desde un conductor que está a un potencial menor hasta otro conductor que está a un potencial mayor. El trabajo realizado al cargar un condensador hasta una carga Q es igual a la energía potencial electrostática U almacenada en el condensador, donde: U =
Q2 2C
=
1 2
QV = 2 CV 2 1
Este resultado se aplica a cualquier condensador sin importar su geometría. Observe que la energía almacenada aumenta al aumentar C así como al aumentar la diferencia de potencial. En la práctica, existe un límite máximo de energía o carga que puede ser almacenada, esto se debe esencialmente a que una descarga eléctrica podría ocurrir entre las placas del condensador para un valor grande de V. Por esta razón, los condensadores se etiquetan usualmente con el máximo voltaje de operación.
116
7.5 EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Un condensador de placas paralelas tiene un área A = 2 cm² y una separación entre placas d = 1 mm. Encuentre su capacitancia. Solución. De la tabla 7.1 se tiene: 2 −4 2 −12 C 2 × 10 m −12 C = ε 0 = 8.85 × 10 1 . 77 10 F = 1.77 pF = × 2 −3 d N .m 1 × 10 m
A
2. Un conductor cilíndrico de radio a y carga + Q está concéntrico con un gran cascarón cilíndrico de radio b y carga – Q. Encuentre la capacitancia del condensador cilíndrico si su longitud es Z
Figura 7.2
Solución. Si se supone que ZHVJUDQGHFRPSDUDGDFRQ a y b los efectos en los extremos son despreciables. En este caso, el campo es perpendicular al eje de los cilindros y está confinado a la región entre ellos como se observa en la figura. Primero debe calcularse la diferencia de potencial entre los cilindros, la cual en general se expresa como: V b
b
b
b
− V a = − ∫ a E .ds = − ∫ a E r dr = −2k λ ∫ a
dr r
117
b = −2k λ ln a
Mediante la ley de Gauss se puede comprobar que el campo eléctrico de un cilindro de carga por unidad de longitud Ì está dado por 2k Ì /r. Utilizando el hecho de que Ì = Q/ZVHREWLHQH C =
Q
=
V
Q 2kQ
b
ln
=
a
b
2k ln
a
V es la magnitud de la diferencia de potencial dada por 2k Ì ln(b/a), una cantidad positiva. Es decir V = V a – Vb es positiva ya que el cilindro interior está a un potencial mayor. 3. Un condensador esférico consta de un cascarón esférico de radio b y carga – Q que está concéntrico con una esfera conductora más pequeña de radio a y carga + Q. Determine su capacitancia. Solución El campo en el exterior de una carga simétricamente esférica es radial y dada por kQ/r 2 . En este caso, esto corresponde al campo eléctrico entre las esferas. La diferencia de potencial entre las esferas está dada por:
V b
b
b
− V a = − ∫ a E r dr = −kQ ∫ a
dr r 2
b
1 1 1 = kQ = kQ − r a b a
La magnitud de la diferencia de potencial está dada por: V = V a C =
− V b = kQ
Q
=
V
(b − a ) ab
ab k (b − a )
4. Las placas de un capacitor de placas paralelas están separadas 5 mm y tienen 2 m² de área. Las placas están en el vacío. Se aplica al capacitor un diferencia de potencial de 10000 V. Calcúlese (a) la capacitancia, (b) la carga en cada placa y (c) el campo eléctrico en el espacio entre ellas. Solución. (a) C = ε 0
A d
( 8.85 × 10− =
12
C 2 / N .m 2 )(2m 2 ) −3
5 × 10 m
= 3.54 × 10 118
−9
C 2 N .m
= 3.54 × 10− 9 F = 0.00354µ F
(b) La carga del capacitor es Q
= CV ab = (3.54 × 10−9 C / V )(104V ) = 3.54 × 10−5 C
(c) El campo eléctrico es: E =
σ ε 0
=
Q
ε 0 A
=
3.54 × 10−5 C
(8.85 × 10
2
−12 C
)(2m ) N .m 2
= 20 × 105 N / C
2
5. En las figuras 7.3 y 7.4 sean C 1 )&2 )9ab = 18V. Determinar la capacitancia equivalente del sistema en serie y del sistema en paralelo. Solución. La capacitancia equivalente de la combinación en serie de la figura 7.3 está dada por: 1 C
=
1 6 µ F
+
1 3µ F
,
C = 2 µ F
119
Figura 7.3
Figura 7.4
La carga Q para los capacitores en serie equivale a: Q
= CV = (2µ F )(18V ) = 36µ C .
Las diferencias de potencial están dadas por: V ac
= V 1 =
V cb
= V 2 =
Q C 1 Q C 2
= =
36µ C 6 µ F 36µ C 3µ F
= 6V = 12V 120
La diferencia de potencial mayor corresponde al capacitor menor. La capacitancia equivalente de la combinación en paralelo de la figura 7.4 es C = C 1 + C 2
= 9µ F .
Las cargas Q1 y Q2 son:
= C 1V = (6µ F )(18V ) = 108µ C Q2 = C 2V = (3µ F )(18V ) = 54µ C Q1
121
EVALUACIÓN FINAL A continuación se presentan una serie de problemas en los cuales el estudiante aplicará los conceptos desarrollados a lo largo de la sesión. Para profundizar en los temas expuestos, se recomienda remitirse a los textos que se mencionan al final de la sesión. 1. Un capacitor de aire está constituido por dos placas paralelas separadas 0.5 mm. La maJQLWXGGHODFDUJDHVFDGDSODFDHV &FXDQGRODGLIHUHQFLDGH potencial es 200 V. (a) ¿Cuál es la capacitancia? (b) ¿Cuál es el área de cada placa? (c) ¿Qué voltaje máximo puede aplicarse sin producir rotura dieléctrica? (d) Cuando la carga es de 0.0 &¿cuál es la energía total almacenada? 6HFRQHFWDQHQVHULHGRVFDSDFLWRUHVXQRGH )\RWURGH)DXQDOínea de
suministro de 1200 V. (a) Halle la carga y el voltaje de cada capacitor. (b) Los capacitores cargados se desconectan de la red y entre sí y se vuelven a conectar con los terminales del mismo signo unidos. Halle la carga final y el voltaje de cada uno. 3. Un capacitor de aire de placas paralelas está construido con dos placas de 0.2 m², separadas 1 cm. Se conectan a una batería de 50 voltios. Calcule; (a) la capacitancia, (b) la carga sobre cada placa, (c) el campo eléctrico entre las palcas y (d) la energía almacenada en el capacitor. Si se desconecta la batería y a continuación se separan las placas hasta 2 cm, ¿cuáles respuestas para (a), (b), (c) y (d). 4. Dos placas conductoras de carga opuesta con la misma cantidad numérica de carga por unidad de área, están separadas por un dieléctrico de 5 mm de espesor, de constante dieléctrica 3. El campo eléctrico resultante en el dieléctrico es 106 V . Calcule; (a) la carga por unidad de área en la placa conductora y (b) la m carga por unidad de área sobre las superficies del dieléctrico. 7
Textos y problemas tomados y adaptados de HALLIDAY, David. RESNICK, Robert. KRANE, Kenneth. Física Vol.2. SERWAY, Raymond. Física Tomo II. SEARS, Francis. ZEMANSKY, Mark. YOUNG, Hugo. Física Universitaria 7
122
SESIÓN 8 CAMPO MAGNÉTICO INTRODUCCIÓN Todos hemos podido experimentar en un momento dado de nuestra vida las fuerzas magnéticas que producen los imanes sobre cuerpos cercanos. Los imanes permanentes que están hechos por lo general de sustancias que contienen hierro, atraen o repelen a otros imanes. Este fenómeno fue conocido por los antiguos griegos al descubrir ciertas piedras a las que llamaron magnetita que atraían piezas de hierro. La relación entre el magnetismo y la electricidad fue descubierta en 1819 cuando, en la demostración de una clase, el científico danés Hans Oersted encontró que la corriente eléctrica que circula por una alambre desvía la aguja de una brújula cercana. En esta sesión se desarrollarán los conceptos relacionados con las fuerzas electromagnéticas y sus aplicaciones.
OBJETIVOS ¾Identificar
las propiedades de un campo magnético y sus aplicaciones más frecuentes. ¾ Analizar el uso del campo magnético en diversas aplicaciones.
CONDUCTA DE ENTRADA
Para el adecuado desarrollo de la presente sesión el estudiante deberá tener claros los conceptos estudiados y analizados en sesiones anteriores correspondientes a potencial eléctrico y campo eléctrico. A continuación se presentan algunos interrogantes que le permitirán afianzar los conocimientos adquiridos hasta el momento. 1. Un objeto pequeño, que tiene una carga de -5 x 10−9 N cuando se coloca en determinado punto de un campo eléctrico. (a) ¿Cuál es el campo en dicho punto? (b)¿Cuáles serían la magnitud y dirección de la fuerza ejercida sobre un electrón situado en el punto. 2. En el espacio comprendido entre dos láminas planas y paralelas, cargadas con cargas opuestas, existe un campo eléctrico sobre la lámina cargada negativamente y golpea la superficie de la lámina opuesta, situada a 2 cm de distancia de la primera, al cabo de 1.5 x 10−8 seg . Calcule; (a) el campo eléctrico y (b) la velocidad del electrón cuando golpea la segunda lámina. 3. Se lanza un electrón dentro de un campo eléctrico uniforme de 5000 N/C, dirigido verticalmente hacia arriba. La velocidad inicial del electrón es 107 m / s y forma un ángulo de 30º por encima de la horizontal. (a) Calcule la altura máxima que alcanza el electrón sobre su altura inicial. (b)¿Qué distancia horizontal recorrerá el electrón antes de volver a su altura inicial? (c) Dibuje la trayectoria del electrón.
124
8. CAMPO MAGNETICO. 8.1 DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE UN CAMPO MAGNÉTICO El campo eléctrico E en un punto en el espacio se ha definido como la fuerza por unidad de carga que actúa sobre una carga de prueba colocada en ese punto. Similarmente, el campo gravitacional g en un punto dado del espacio es la fuerza de gravedad por unidad de mas que actúa sobre una masa de prueba. En el caso del vector de campo magnético B (por algunos otros autores llamado inducción magnética o densidad de flujo magnético) en un punto dado del espacio en términos de la magnitud de la fuerza que sería ejercido por el objeto de prueba apropiado. El objeto de prueba es una partícula cargada que se mueve con velocidad v . Se supone que no existen efectos sobre la partícula de prueba de los campos eléctricos y gravitacionales en la región de la carga. Con sucesivas observaciones se establecieron las siguientes propiedades de la fuerza magnética sobre una carga moviéndose en un campo magnético B . 1. La fuerza magnética es proporcional a la carga q y la velocidad v de la partícula. 2. La magnitud y dirección de la fuerza magnética depende de la velocidad de la partícula y de la magnitud y dirección del campo eléctrico. 3. Cuando una partícula se mueve en dirección paralela al vector campo magnético, la fuerza magnética F sobre la carga es cero. 4. Cuando una fuerza hace ángulo FRQ HO FDPSR PDJQético, la fuerza magnética actúa en una dirección perpendicular tanto a v como a B , es decir F es perpendicular al plano formado por v y B. 5. La fuerza magnética sobre una carga positiva tiene sentido opuesto a la fuerza que actúa sobre una carga negativa que se mueva en la misma dirección. 6. Si el vector velocidad hace un ángulo FRQ HO FDPSR PDJQético, la magnitud de la fuerza magnética es proporcional al sen La fuerza magnética sobre una partícula cargada moviéndose en un campo magnético tiene la forma:
F = qv x B Del álgebra vectorial tenemos que:
125
)TY%VHQ
La unidad en el SI de B es el weber por metro cuadrado (Wb/m²), también llamado tesla (T).
Figura 8.1
Existen varias diferencias importantes entre las fuerzas eléctricas y magnéticas: 1. La fuerza eléctrica siempre está en la dirección del campo eléctrico, mientras que la fuerza magnética es perpendicular al campo magnético. 2. La fuerza eléctrica actúa sobre una partícula cargada independientemente de la velocidad de la partícula, mientras que la fuerza magnética actúa sólo cuando las partículas cargadas se encuentran en movimiento. 3. La fuerza eléctrica realiza trabajo al desplazar una partícula cargada, mientras que la fuerza magnética asociada a un campo magnético estacionario no realiza trabajo cuando una partícula se desplaza.
8.2 FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UN CONDUCTOR QUE LLEVA CORRIENTE Suna fuerza se ejerce sobre una partícula cargada cuando se mueve a través de un campo magnético, no debe sorprender que un alambre que lleva corriente también experimente una fuerza cuando se coloca en un campo magnético. Esto se sigue del hecho de que la corriente representa una colección de varias partículas cargadas en movimiento; por lo tanto, la fuerza resultante sobre el
126
alambre se debe a la suma de las fuerzas individuales sobre las partículas cargadas.
Figura 8.2
La fuerza magnética total sobre un alambre de longitud ZHV F = (qvd × B )nA
La fuerza magnética sobre cualquier segmento de de un alambre de forma arbitraria esta dada por: dF = Ids × B b
∫
F = I ds × B a
La fuerza magnética total sobre cualquier espira cerrada de corriente en un campo magnético externo uniforme es cero.
8.3 MOMENTO SOBRE UNA ESPIRA DE CORRIENTE EN UN CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME Considere una espira rectangular que lleva corriente I en presencia de un campo magnético uniforme en el plano de la espira, como en la figura 8.3. Las fuerzas sobre los lados de longitud a son cero ya que estos alambres son paralelos al campo; por lo tanto, ds x B = 0 para estos lados. Sin embargo la magnitud de las fuerzas sobre los lados de longitud b, esta dada por: 127
F 1
= F 2 = IbB
La dirección de F1, la fuerza sobre el lado izquierdo de la espira, es hacia afuera del papel y la de F2, la fuerza sobre el lado derecho de la espira, es hacia dentro del papel. Si se supone que la espira pivotea alrededor de O en dirección de las manecillas del reloj, la magnitud del momento producido, Õ máx es: τ máx
a
a
a
a
2
2
2
2
= F 1 + F 2 = ( IbB ) + ( IbB ) = IabB
donde el brazo de la palanca con respecto a O es a/2 . Dado que el área de la espira es A = ab, el momento puede ser expresado como Õ
=
IAB
Espiral rectangular en un campo magnético uniforme Figura 8.3
En la eventualidad en la cual el campo magnético uniforme hace un ángulo FRQ respecto a una línea perpendicular el plano de la espira, el momento neto respecto a O tiene una magnitud dada por:
128
τ máx
= F 1
a
a a a senθ + F 2 senθ = ( IbB )( senθ ) + ( IbB )( senθ ) 2 2 2 2 Õ ,$%VHQ
= IabBsenθ
=
Una expresión vectorial conveniente para el momento es la siguiente relación del producto vectorial ´
=
I
A x B
El producto IA es definido como el momento magnético GHODHVSLUD ´,$ Las unidades en el SI del momento magnético son ampere – metro² (A . m²). Empleando la ecuación anterior ´
x B
8.4 MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS CARGADAS DE CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS Como se comentó anteriormente, la fuerza magnética que actúa sobre una partícula cargada que se mueve en un campo magnético es siempre perpendicular a la velocidad de la partícula. De lo anterior se desprende que: El trabajo realizado por la fuerza magnética es cero ya que el desplazamiento de la carga es siempre perpendicular a la fuerza magnética. Por lo tanto, un campo magnético estático cambia la dirección de la velocidad pero no afecta la rapidez cinética de la partícula cargada.
129
Figura 8.4
La figura muestra que cuando la velocidad de una partícula cargada es perpendicular a un campo magnético uniforme, la partícula se mueve en una trayectoria circular cuyo plano es perpendicular a B , el cual está dirigido hacia dentro de la página (representado por la cruces azules que son la cola del vector). La fuerza magnética, F, sobre la carga siempre está dirigida hacia el centro del círculo. De la segunda ley de Newton se tiene: F = qvB
mv 2
=
r
El radio de la órbita circula es: r =
mv qB
De igual manera la frecuencia angular de rotación de la partícula está dada por: ω =
v r
=
qB m
El periodo de este movimiento (tiempo para una revolución) es igual a la circunferencia del círculo dividido entre la rapidez de la partícula: T =
2π r v
=
2π
ω
=
2π m qB
La frecuencia angular Ú en algunas ocasiones recibe el nombre de frecuencia de ciclotrón ya que las partículas cargadas circulan a esta frecuencia en un acelerador llamado ciclotrón. 130
En algunas oportunidades, se considera que la partícula se moverá con una velocidad v en presencia de ambos campos, el eléctrico E y el magnético B . Por ello, la partícula experimentará dos fuerzas, una fuerza eléctrica q E y una fuerza magnética qv x B , por lo que la fuerza total sobre la partícula estará dada por:
F = q E + qv x B Fuerza que se conoce como la fuerza de Lorentz.
8.5 ESPECTRÓMETRO DE MASAS El espectrómetro de masas es un instrumento que separa los iones atómicos y moleculares de acuerdo con su relación carga-masa. En una versión conocida como espectrómetro de masas de Bainbridge, el haz de iones primero pasa a través de un selector de velocidades y después entra a un campo magnético uniforme B 0 dirigido hacia dentro del papel (figura 8.5). Cuando entra al campo magnético B 0 los iones se mueven en semicírculos de radio r antes de chocar con una placa fotográfica en P. La razón m/q se puede expresar como: m q
=
rB0 v
=
rB0 B E
Figura 8.5
8.6 ACELERADORES DE PARTÍCULAS Uno de los equipos más empleado es el ciclotrón, inventado en 1934 por E. O. Lawrence y M.S. Livingston, es una máquina que puede acelerar partículas 131
cargadas a muy altas velocidades. Ambas, la fuerzas eléctrica y la fuerza magnética, juegan un papel muy importante en la operación del ciclotrón. Las partículas energéticas que salen del ciclotrón se usan para bombardear otros núcleos, este bombardeo produce reacciones nucleares que interesan a los investigadores. Varios hospitales utilizan ciclotrones para producir sustancias radiactivas que pueden emplearse para el diagnóstico o el tratamiento de algunas enfermedades. La operación con el ciclotrón se basa en el hecho de que el tiempo que tarda una revolución es independiente de la magnitud de la velocidad o el radio del ion. Puede obtenerse la energía cinética máxima del ion al salir del ciclotrón, en términos del radio R: K = 2 mv 1
2
=
q 2 B 2 R 2 2m
Cuando la energía de los iones se hace mayor que 20 MeV, aproximadamente, entran en juego los efectos relativistas.
8.7
EFECTO MAY
En 1879 Edwin Hall descubrió que cuando un conductor que lleva corriente se coloca en un campo magnético, se genera un voltaje en la dirección perpendicular tanto de la corriente como al campo magnético. Esta observación conocida como efecto Hall, proviene de la desviación de los portadores de la carga hacia uno de los lados del conductor como resultado de la fuerza magnética experimentada por los portadores de carga. Un análisis apropiado de los datos experimentales suministra información referente al signo de los portadores de carga y a su densidad. El efecto también da lugar a una técnica para medir los campos magnéticos.
132
Efecto Hall Figura 8.6
En la figura 8.6 (a) se puede observar que cuando los portadores de carga son negativos, el extremo superior será negativamente cargado y c está en un potencial más bajo que a . En la figura 8.6 (b) cuando los portadores de cargas son positivos, el extremo superior será cargado positivamente y c estará en un potencial mayor que a. En ambos casos, los portadores de carga dejarán de ser desviados cuando los extremos estén totalmente cargados, es decir, cuando exista un balance entre la fuerza electrostática que sufren las cargas con la fuerza magnética que las desvía. Con el fin de obtener una expresión para el voltaje de Hall se tiene: qvd B E H
= qE H
= vd B
Si d es el ancho del conductor, el voltaje Hall V H medido por el potenciómetro, es igual a EHd , V H
= E H d = vd Bd
vd
=
V H
=
I nqA IBd nqA
=
IB nqt
La cantidad 1/nq se conoce como coeficiente Hall R H.
8.8 EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Un protón se mueve con una rapidez de 8 x 106 m / s a lo largo del eje x . Entra en una región donde existe un campo de 2.5 T de magnitud, dirigido de tal forma que hace un ángulo de 60º con el eje de las x y está en el plano xy . Calcule la fuerza magnética y la aceleración inicial del protón.
133
Figura 8.7
Solución F = qvBSenθ F = (1.6 × 10−19 C )(8 × 106 m / s )(2.5T )( sen60º ) F = 2.77 × 10−12 N
Como v x B está en la dirección z positiva y ya que la carga es positiva, la fuerza F está en la dirección z positiva. Dado que la masa del portón es 1.67x 10−27 kg , su aceleración inicial es: a
=
F m
=
2.77 × 10−12 N 1.67 × 10
− 27
kg
= 1.66 × 1015 m / s 2
en la dirección positiva de z. 2. Una bobina rectangular de dimensiones 5.40 cm x 8.50 cm consta de 25 vueltas de alambre. La bobina lleva una corriente de 15 mA. (a)Calcule la magnitud del momento magnético de la bobina. (b) Suponga que un campo magnético de magnitud 0.350 T se aplica paralelo al plano de la espira. ¿Cuál es la magnitud del momento que actúa sobre la espira? Solución.
134
(a) La magnitud del momento magnético de una espira está dado por la ecuación ,$, donde A es el área de la espira. En este caso A = (0.0540 m)(0.0850) = 4.59x 10−3 m 2 . Como la bobina tiene 25 vueltas y se supone que todas tienen la misma área A, se tiene: µ bobina µ bobina
= NIA = (2.5)(15 × 10−3 A)(4.59 × 10−3 m 2 ) = 1.72 × 10− 3 A.m 2 = 1.72 × 10− 3 J / T
(b) El momento está dado por [ %, GRQGH HO YHFWRU HV GLULJLGR perpendicularmente al plano de la espira. En este caso, B es perpendicular a bobina: τ = µ bobina B = (1.72 × 10−3 J / T )(0.350T ) = 6.02 × 10−4 J
3. Un protón se está moviendo en una órbita circular de radio 14 cm en un campo magnético uniforme de magnitud 0.35 T dirigido perpendicularmente a la velocidad del protón. Encuéntrese la rapidez del protón en la órbita. Solución. v
=
qBr m
1.60 × 10− ( =
19
C )(0.35T )(14 × 10−2 m )
1.67 × 10
− 27
kg
= 4.69 × 106 m / s
4. Calcule la energía cinética máxima de los protones en un ciclotrón de radio 0.50 m en un campo magnético 0.35 T. Solución. K =
q 2 B 2 R 2 2m
1.6 × 10− C ) (0.35T ) (0.50m ) ( = = 2.34 × 10− − 2(1.67 × 10 kg ) 19
2
2
2
J = 1.46MeV
13
27
La energía cinética adquirida por los protones equivale a la que ganarían si fueran acelerados a través de una diferencia de potencial de 1.46 MV. 5. Una tira rectangular de cobre que mide 1.5 cm de ancho y 0.1 cm de espesor lleva una corriente de 5 A. Se aplica un campo magnético de 1.2 T, perpendicular a la tira, como se muestra en la figura 8.6. Determine el voltaje Hall resultante.
Solución. 135
Si se supone que existe un electrón por átomo disponible para la conducción, entonces puede tomarse n = 8.48 x 1028 electrones/m³. Sustituyendo este valor y los datos que se dan tenemos: V H
=
V H
=
IB nqt (5 A)(1.2T )
(8.48 × 10
28
m
−3
)(1.6 × 10−
19
C )(0.1 × 10− 2 m)
= 0.442µ V
De donde se puede ver que el voltaje Hall es bastante pequeño en los buenos conductores. Observe que para este cálculo no es necesario el ancho de la muestra.
136
EVALUACIÓN FINAL A continuación se presentan una serie de problemas en los cuales el estudiante aplicará los conceptos desarrollados a lo largo de la sesión. Para profundizar en los temas expuestos, se recomienda remitirse a los textos que se mencionan al final de la sesión. 1. Una partícula de 0.5 g de masa transporta una carga de 2.5 x 10−8 C . Se comunica a la partícula una velocidad horizontal inicial de 6 x 104 m / s ¿Cuál es la magnitud y dirección del menor campo magnético que mantendrá el movimiento de la partícula horizontal? 2. Un electrón se mueve en una trayectoria circular de 1.2 cm de radio perpendicular a un campo magnético uniforme. La velocidad del electrón es 106 m / s ¿Cuál es el flujo magnético total rodeado por la orbita? 3. Cual es el torque máximo sobre una bobina rectangular de 5 x 12 cm, de 600 vueltas cuando transporta una corriente de 10−5 A en un campo magnético uniforme de magnitud 0.1 T? 4. Una espira circular de cable de 8 cm de diámetro tiene 12 vueltas y transporta una corriente de 5 A. La espira está en una región donde hay un campo magnético de 0.6 T. (a) ¿Cuál es el torque máximo sobre la espira? (b) ¿En qué posición el torque sería la mitad que en el apartado (a)? 5. Suponga que un protón y un electrón, cada uno con energía cinética de 200 eV, entran en un campo magnético uniforme de intensidad 0.01 T en una dirección perpendicular al campo. ¿Cuáles son los radios de las trayectorias circulares que seguirían estas dos partículas? 6. Una sección de un conductor de 0.4 cm de espesor se utiliza como espécimen en la medida del efecto Hall. Si un voltaje Hall de 35 9 es medido para una corriente de 21 A en un campo magnético de 1.8 T, calcule el coeficiente Hall para el conductor.8
8
Textos y problemas tomados y adaptados de HALLIDAY, David. RESNICK, Robert. KRANE, Kenneth. Física Vol.2. SERWAY, Raymond. Física Tomo II. SEARS, Francis. ZEMANSKY, Mark. YOUNG, Hugo. Física Universitaria
137
SESIÓN 9 GALVANOMETROS INTRODUCCIÓN Los análisis y estudios desarrollados hasta el momento han estado relacionados con campos eléctricos debidos a cargas estacionarias y a campos magnéticos producidos por cargas en movimiento. En esta oportunidad, se estudiarán los resultados encontrados en los experimentos realizados por Michael Faraday en Inglaterra y Joseph Henry en Estados Unidos, en los cuales, se demostró que una corriente eléctrica podría ser inducida en un circuito por un campo magnético variable. Los resultados se recogen en la ley de inducción de Faraday, la cual dice, que la magnitud de la fem inducida en un circuito es igual a la razón de cambio del flujo magnético a través del circuito. También se presentará el concepto de inductancia y sus aplicaciones.
OBJETIVOS ¾Completar
el estudio sobre el electromagnetismo y sus aplicaciones. ¾Identificar las aplicaciones prácticas de la inducción magnética.
CONDUCTA DE ENTRADA Para el adecuado desarrollo de la presente sesión el estudiante deberá tener claros los conceptos estudiados y analizados en sesiones anteriores correspondientes a campo magnético. A continuación se presentan algunos interrogantes que le permitirán afianzar los conocimientos adquiridos hasta el momento. 1. Considere un electrón que se encuentra próximo al ecuador magnético. ¿En qué dirección se reflectaría si su velocidad está dirigida hacia; (a) abajo, (b) el norte, (c) el oeste, (d) el sur? 2. Una partícula alfa, esto es un núcleo del átomo de helio, se mueve hacia el norte con una velocidad de 3.8 x 105 m / s en una región donde el campo magnético es de 1.9 T y está apuntando horizontalmente hacia el este. ¿Cuál es la magnitud y al dirección de la fuerza magnética sobre la partícula alfa? 3. Un alambre cuya masa por unidad de longitud es 0.5 gr/cm lleva una corriente de 2 A horizontalmente hacia el sur. ¿Cuál es la dirección y la magnitud del campo necesario para levantar verticalmente hacia arriba este alambre? 4. ¿Qué campo magnético sería requerido para restringir un electrón cuya energía es de 725 eV a una trayectoria circular de 0.5 m de radio? 5. Un ion con una sola carga positiva tiene una masa de 3.2 x 10−26 kg . Después de ser acelerado a través de una diferencia de potencial de 833 V, el ion entra a un campo magnético de 0.92 T a lo largo de una dirección perpendicular a la dirección del campo. Calcule el radio de la trayectoria del ion en el campo.
140
9. GALVANOMETROS. 9.1 CAMPO MAGNÉTICO DILUIDO A UNA CORRIENTE FEM INDUCIDA En la actualidad la producción industrial y la generación, distribución y utilización a gran escala de la energía eléctrica no sería económicamente factible si las únicas fuentes de fem fuera la naturaleza. Con el inicio de los estudios de Faraday y Henry que condujeron a la electrotécnica, se descubrieron los principios de la fem inducida magnéticamente y los métodos por los que la energía mecánica se convierte directamente en energía cinética. Si se analiza la figura 9.1 se ilustra el conductor de longitud l en un campo magnético uniforme perpendicular al plano del gráfico y en dirección opuesta al estudiante. Si se pone el conductor en movimiento hacia la derecha, con una velocidad v perpendicular a su propia longitud y al campo magnético, una partícula cargada q del interior experimenta una fuerza F igual a q v x B dirigida a lo largo del conductor.
Figura 9.1
La dirección de fuerza sobre una carga positiva es de b a a en la figura 9.1, mientras que la fuerza sobre la carga negativa es de a a b . Como esta fuerza es de origen no electrostático, se designa por Fn: F n
= qv × B
La situación del conductor es la misma que si estuviera en un campo eléctrico igual a v x B dirigido de b a a . Se define el campo no electrostático equivalente E n como la fuerza no electrostática por unidad de carga:
141
E n = v x B Las cargas libres en el conductor se mueven en la dirección de la fuerza que actúa sobre ellas, hasta que la acumulación de un exceso de cargas en los extremos del conductor establece un campo electrostático E e tal que la fuerza resultante sobre cada carga del interior del conductor es nula. Las cargas están en equilibrio. El extremo superior del conductor adquiere un exceso de carga positiva y el extremo inferior un exceso de carga negativa. Suponga ahora que el conductor móvil desliza sobre otro conductor estacionario en forma de U, como se muestra en la figura 9.2. No hay fuerza magnética sobre las cargas que están dentro del conductor estacionario, pero como está en el campo electrostático que envuelve al conductor móvil, se establecerá una corriente en su interior; la dirección de esta corriente (definida, según la norma, como la dirección del movimiento de las cargas positivas) es en dirección contraria a la de las agujas del reloj, o de b hacia a .
Figura 9.2
Como resultado de esta corriente, el exceso de cargas en los extremos del conductor móvil se reduce, el campo electrostático dentro del conductor móvil se debilita y las fuerzas magnéticas producen un nuevo desplazamiento de los electrones libres dentro del conductor de a a b . Mientras se mantenga el movimiento del conductor hay, por tanto, una corriente continua en dirección contraria a la de las agujas del reloj. El conductor móvil se comporta como una fuente de fuerza electromotriz y se dice que se ha inducido dentro de él una fuerza electromotriz cinética. La magnitud de la fem puede calcularse como se indica; cuando una carga q se mueve de b a a recorriendo una distancia l , el trabajo realizado por la fuerza F es:
142
W = Fl = v B ql La fem ã es el trabajo por unidad de carga, por tanto: ε =
W q
= vBl
Si la velocidad del conductor forma un ángulo por vsen · y la fem inducida se convierte en ã =
·
con el campo, hay que sustituir v
v VHQ-%l
La fuerza electromotriz ã puede definirse de forma más general como la integral de la línea de campo no electrostático: ε =
a
∫ b
E n .dl =
a
∫ v × B.dl b
La fem asociada con el conductor móvil de la figura 9.2 es análoga a la de una batería con el terminal positivo en a y el negativo en b . La dirección del campo no electrostático es en ambos de b a a , y cuando se conecta el dispositivo a un conductor exterior, la dirección de la corriente es el circuito exterior es de a a b . La fuerza electromotriz no es una cantidad vectorial, pero la cantidad definida como ã puede ser positiva o negativa, dependiendo de la dirección de E n. Si v se expresa en m/s, B en T y l en metros, ã se expresa en joules por coulomb o por volt.
9.2 INDUCTANCIA La inductancia de cualquier bobina, como un solenoide (un solenoide es un alambre devanado en forma de hélice) , se obtiene de la expresión: L
=
N φ m I
GRQGH Nm es el flujo magnético a través de la bobina y N es el número total de
vueltas. La inductancia de un dispositivo depende de su geometría. Por ejemplo, la inductancia de un solenoide (con núcleo de aire), está dado por:
143
L
=
µ 0 N 2 A
donde N es el número de vueltas, A es el área de la sección transversal y HVOD longitud del solenoide.
9.3 AUTOINDUCTANCIA Cuando la corriente de una bobina varía con el tiempo, se induce una fem en la bobina según la ley de Faraday. La fem autoinducida se define por la expresión: ε = − L
dI dt
en donde L es la inductancia de la bobina. La inductancia es una medida de la oposición que presenta un dispositivo a los cambios de la corriente. La unidad de la inductancia es el sistema internacional SI es el henry (H), donde 1 H = 1 V . s/A.
9.4 CIRCUITO RL. Si una resistencia y un inductor se conectan en serie a una batería de fem ã como se muestra en la figura 9.3 y el interruptor en el circuito se cierra en t = 0, la corriente en el circuito varía en el tiempo según la expresión: I (t )
ε − t = 1 − e τ R
en donde Õ = L/R es la constante de tiempo del circuito RL. Es decir, la corriente aumenta hasta un valor de equilibrio ã / R después de un tiempo que es largo comparado con Õ
Un circuito en serie RL. A medida que la corriente se incrementa hacia su valor máximo, el inductor genera un fem que se opone al incremento de la corriente. Figura 9.3
144
Si se elimina la batería del circuito RL y este contempla dos interruptores S 1 y S2, estando abierto el primero y cerrado el segundo, la corriente decae exponencialmente con el tiempo según la expresión: I (t )
=
ε R
(e
− t τ
)
En donde ã / R es la corriente inicial del circuito.
9.5 ENERGÍA EN UN CAMPO MAGNÉTICO La energía almacenada en el campo magnético de un inductor que lleva una corriente I está dada por: U m
= 12 LI 2
Este resultado se obtiene aplicando el principio de conservación de la energía al circuito RL. La energía por unidad de volumen (o la densidad de energía) en un punto donde el campo magnético es B, se obtiene con: um
=
B 2 2 µ 0
Esto es, la densidad de energía es proporcional al cuadrado del campo magnético en el punto en cuestión.
9.6 INDUCTANCIA MUTUA Si dos bobinas están cerca una de otra, una corriente variable en una de las bobinas puede inducir una fem en la otra. Si dI 1 / dt es la razón de cambio de la corriente en la primera bobina, la fem inducida es la segunda está dada por: ε 2
= − M
dI 1 dt
donde M es una constante llamada inductancia mutua de una bobina respecto de otra. Si N21 es el flujo magnético a través de la bobina 2 debido a la corriente I 1 de la bobina 1 y N 2 es el número de vueltas de la bobina 2, entonces la inductancia mutua de la bobina 2 se obtiene con la siguiente expresión:
145
M 21
=
N 2φ 21 I 1
9.7 OSCILACIONES EN EN UN CIRCUITO LC En un circuito LC con resistencia cero, la carga en el condensador y la corriente en el circuito varían en el tiempo según la expresión: Q
= Qm cos(ω t + δ )
I =
dQ dt
= −ω Qm sen(ω t + δ )
en donde Qm es la carga máxima en el condensador, es la frecuencia angular de oscilación, dada por ω =
5
es la constante de fase y
Ú
1 LC
Circuito simple LC Figura 9.4
La energía de un circuito LC es una transferencia continua entre la energía almacenada en el condensador (C) y la energía almacenada en el inductor (L). La energía total de un circuito LC para cualquier tiempo t t se se obtiene con: U = U C + U L
=
Qm2 2C
cos ω t + 2
LI m2 2
2 sen ω t
donde I m es la corriente máxima en el circuito. En t = 0, toda la energía está almacenada en el campo eléctrico del condensador U =
Qm2
2C
. Eventualmente,
toda la energía se transfiere al inductor U = LI m2 / 2 . Sin embargo, la energía total permanece constante, ya que se desprecia las pérdidas de energía en un circuito ideal LC.
146
9.8 CIRCUITOS RLC Se estudiará a continuación un circuito más real, el cual consta de un inductor, un condensador y una resistencia conectados en serie como se muestra en la figura 9.5. Suponga que el condensador tiene una carga inicial Q m antes de cerrar el interruptor. Una vez que éste se cierra, se establece un corriente, la energía total almacenada es: U = U C + U L
=
Q2 2C
+ 12 LI 2
Esto es, la energía almacenada en el condensador es Q²/2C y la energía almacenada en el inductor es ½ LI².
Figura 9.5
La energía total ya no es constante, como en el circuito LC, debido a la presencia de la resistencia, el cual disipa energía en forma de calor. Como la razón de energía disipada a través de la resistencia I²R I²R se se tiene: dU dt
= − I 2 R
donde el signo negativo significa que U decrece con el tiempo. L
d 2Q 2
dt
+ R
dQ dt
+
Q C
=0
La carga y la corriente en un circuito RLC presenta un comportamiento armónico amortiguado para valores pequeños de R.
147
9.9 EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Sea la longitud l de la figura 9.10 igual a 0.1 m, la velocidad 0.1 m/s, la UHVLVWHQFLDGHOFLUFXLWR \%7&DOFXOHODSRWHQFLDQHFHVDULDSDUDPRYHU
el circuito.
Figura 9.10
Solución. La fem ã es: ã =
v B v Bl l = = 0.01 V
La corriente que circula en el circuito es: I =
ε R
=
0.01V 1T
= 1 A
Debido a esta corriente, se ejerce una fuerza F sobre el circuito en dirección opuesta a su movimiento, e igual a: F = IBl = (1 A)(1T )(0.1m) F = 0.1 N
La potencia necesaria para mover el circuito contra esta fuerza es: P = Fv
= (0.1 N )(0.1m / s) = 0.01W
148
El producto ã I es: ε I = (0.01V )(1 A) = 0.01W
Así, la conversión de energía por unidad de tiempo, mecánica, Fv, suministrada por el sistema.
ã
I, es igual a la potencia
2. Calcule la inductancia de un solenoide devanado uniformemente con N espiras y longitud HVPXy grande comparada con el radio y que el núcleo del solenoide es de aire. Solución. En este caso, puede considerarse que el campo dentro del solenoide es uniforme y se puede calcular con:
= µ 0 nI = µ 0
B
N I
donde n es el número de vueltas por unidad de longitud, N/ (OIOXMRDWUDYpVGH cada vuelta se obtiene de: φ m
= BA = µ 0
NA
I
en donde A es el área de la sección transversal del solenoide. Para este caso tenemos que: L
=
N φ m I
=
µ 0 N 2 A
Esto muestra que L depende de los factores geométricos y es proporcional al cuadrado del número de vueltas. Como N = n HOUHVXOWDGRVHSXHGHH[SUHVDUGH la forma: L
= µ 0
(n )2
A = µ 0 n 2 A
= µ 0 n 2
donde A HVHOYROXPHQGHOVROHQRLGH 3. (a) Calcule la inductancia de un solenoide que tiene 300 vueltas si la longitud del solenoide es de 25 cm y el área de la sección transversal es de 4 cm² (b) Calcule la fem autoinducida en el solenoide descrito si la corriente que circula por la inductancia decrece a razón de 50 A/seg. 149
Solución. (a) Para este caso se tiene: L
=
µ 0 N 2 A
= (4π × 10
−7
Wb / A.m )
(300) 2 ( 4 × 10−4 m 2 ) −2
25 × 10 m
= 1.81 × 10− 4Wb / A = 0.181mH
(b) Dado que dI/dt = 50 A/seg, se obtiene:
ε = − L
dI dt
= −(1.81 × 10− 4 H )(− 50 A / s ) = 9.05mV
4. El circuito de la figura 9.11 consta de un inductor de 30 mH, una resistencia de \ XQD EDWHU ía de 12 V. El interruptor se cierra en t = 0. (a) Encuentre la constante de tiempo del circuito. (b) Calcule la corriente en el circuito en t = 2 ms.
Figura 9.11
Solución. (a) La constante de tiempo está dada por: τ =
L R
=
30 × 10−3 H 6Ω
= 5.00ms
(b) Para la corriente en función del tiempo tenemos: I =
ε
− t 12V (1 − e − 0.4 ) = 0.659 A 1 − e τ = 6Ω R
150
EVALUACIÓN FINAL A continuación se presentan una serie de problemas en los cuales el estudiante aplicará los conceptos desarrollados a lo largo de la sesión. Para profundizar en los temas expuestos, se recomienda remitirse a los textos que se mencionan al final de la sesión. 1. Por un inductor de 2-H circula una corriente de 0.5 A. Cuando se abre el interruptor del circuito, la corriente cesa en 0.01s. ¿Cuál es la fem inducida que aparece en el inductor durante este intervalo de tiempo? 2. Una corriente de 40 mA circula por un solenoide uniformemente devanado, con núcleo de aire y con 450 vueltas, un diámetro de 15 mm y 12 cm de longitud. Calcule (a) el campo magnético en el interior del solenoide, (b) el flujo magnético a través de cada espira y (c) la inductancia del solenoide. (d)¿Cuáles de estas cantidades dependen de la corriente? 8QFLUFXLWR5/HQGRQGH/+\5 VHFRQHFWDDXQDEDWHU ía con ã = 22 V
en un tiempo t = 0 (a)¿Qué energía se almacena en el inductor cuando la corriente es el circuito es de 0.5 A? (b)¿Con qué rapidez se almacena energía en el inductor cuando I = 1 A?(c)Qué potencia suministra la batería al circuito cuando I = 0.5 A? 4. Un condensador de 1.0-)VHFDUJDFRQXQDIXHQWHGHSRGHUGFGH -V. El capacitor, totalmente cargado, ahora se descarga a través de un inductor de 10mH. Encuentre la corriente máxima que se genera en las oscilaciones resultantes.9
9
Textos y problemas tomados y adaptados de HALLIDAY, David. RESNICK, Robert. KRANE, Kenneth. Física Vol.2. SERWAY, Raymond. Física Tomo II. SEARS, Francis. ZEMANSKY, Mark. YOUNG, Hugo. Física Universitaria
151
PRUEBA FINAL
7UHVFDUJDVSXQWXDOHVGHPDJQLWXGHV & -&\&VHFRORFDQHQODV
equinas de un triángulo cuyos lados son de 9 cm de longitud cada uno. Calcule el potencial eléctrico en el centro del triángulo. 2. Calcule el trabajo que se debe realizar para cargar un cascarón esférico de radio R con una carga total Q. 3. Una placa de un condensador de placas paralelas (con área A = 100 cm²) está aterrizada. La placa no aterrizada tiene una carga Q. Cuando la placa no aterrizada se desplaza 5 cm alejándose de la placa aterrizada, la diferencia de potencial entre las placas aumenta 200 V. Determine la magnitud de la carga Q. 8QFRQGHQVDGRUGH )FDUJDGRD9\XQFRQGHQVDGRUGH )FDUJDGRD
600V se conectan uno con el otro con la placa positiva de cada uno conectada a la placa negativa del otro. (a)¿Cuál es el valor final de la carga que reside en cada condensador? (b) ¿Cuál es la diferencia de potencial a través de cada condensador después de que han sido conectados? 5. Cuando dos condensadores están conectados en paralelo su capacitancia HTXLYDOHQWH HV ) 6L ORV PLVPRV FRQGHQVDGRUHV VH FRQHFWDQ HQ VHULH OD
capacitancia es un cuarto de la capacitancia de uno de los condensadores. Determine las dos capacitancias. 6. Suponga que una fuente de voltaje produce 140 V por un momento. Suponiendo que la resistencia de un foco de 120V, 100 W, no cambia, ¿en qué porcentaje aumentaría su potencia? 7. (a) Una masa de 115 g de aluminio se conforma de un cilindro recto cuyo diámetro es igual a su altura. Calcule la resistencia entre las caras superior e inferior del cilindro a 20ºC (b) Calcule la resistencia entre caras opuestas si la misma masa de aluminio se conformara en un cubo.
153
PATRÓN DE RESPUESTAS
PRUEBA INICIAL Lea cuidadosamente cada uno de los problemas y registre la solución: 1. (a) 5500 ft.
(b) 367 ft/s
2. 6.00 cm. 3. (a) 2.00 m/s
(b) 200 N.
4. (-60 tk) kg.m²/s, (-60 k) N.m. 5. 1.07 m²
SESIÓN 1 SOLUCIONES CONDUCTA DE ENTRADA SESION 1 1. a =
F (cosθ + µ senθ ) − g (m1 + µ m2 )
2. vmáx =
m2 T máx r m
=
+ m1
(50 N )(1.5m) 0.5kg
.
= 12.2m / s.
3. La magnitud de esta fuerza es 11.6 × 10−11 N , la cual hace un ángulo de 149º con el eje positivo de las x . 4. = 1.99 × 1030 kg . Puede observar el estudiante que el Sol tiene 333.000 veces más masa que la Tierra. RESPUESTAS EVALUACIÓN SESIÓN 1 1. Discuta sus conceptos con sus compañeros de curso. 154
2. 3. 4. 5. 6. 7.
Aclare su posición al respecto con sus compañeros de curso. a) 1.77 N b) 3.07 N. 24.5 N a lo largo del ángulo bisector. &\ &GHVLJQRRSXHVWR
5.08 m abajo del electrón. 13.4 MC
SESIÓN 2 SOLUCIÓN CONDUCTA DE ENTRADA SESIÓN 2 1. 2.74 N sobre la carga. 2. q1 = -4q2 3. q =Q/2 4. a. 57.1 TC; no. b. 598 toneladas métricas
SOLUCIÓN EVALUACIÓN FINAL SESIÓN 2 1. (a) (-5.20 x 10³ N/C) i
(b) (2.93 x 10³ N/C) j
2. (a) (1.29 x 104 N/C) j
(b) (-3.87 x 10−2 N) j
(c) 5.83 x 10³ N/C a 225º.
3. 0
k λ
4. − 0 i x 0 5. (a) (6.65 x 106 N/C)i
(b) (2.42 x 107 N/C)i
(c) (6.40 x 106 N/C)i
(d) (6.65 x 105 N/C)i 6. (a) 0.145 C/m³ SESIÓN 3
(b) 1.94 x 10−3 C/m²
SOLUCIONES CONDUCTA DE ENTRADA SESIÓN 1. 5.14 x 10³ N. 2. 1.60 x 10−9 N repeliéndose una a la otra.
155
3. 40.9 N a 263º.
3kq 4. (a) en el centro (b) 2 j a
RESPUESTAS EVALUACIÓN FINAL SESIÓN 3 1. 0. 2. (a) 152 km/seg.
(b) 6.50 × 106 m / seg
3. (a) 2.7 keV
(b) 509 km/seg
4. 1.35 MJ 5. 432 V, 432 eV. 6. 1.56 x 10³ N/C.
SESIÓN 4 RESPUESTAS CANDUCTA DE ENTRADA SESIÓN 4 1. 30 V
La placa positiva.
2. (a) 180 V
(b) 180 V
3. (a) 1798 V
(b) Cero
(c) 4.49 x 10−5 J
5. 0.667 mm. RESPUESTAS EVALUACIÓN FINAL SESIÓN 4 1. 1.25 x 1020 electrones 2. 2 segundos 3. 5.75 A
156
4. 1200 V, 4 A 5. 20 A,
6Ω
6. 2.850Ω 7. 1.37Ω 8. 4.96Ω 9. 0.004/°C
SESIÓN 5 RESPUESTAS CONDUCTA DE ENTRADA SESIÓN 5 1. (a) 50 pF (b) 2.80 x 10−3 m² (c) 400 V
(d) 1.0 x 10−6 J
D &9 &9 E &9 &9
3. (a) 35.4 pF (b) 1.77 nC (c) 5000 V/m (d) 4.42 x 10−8 J 17.7 pF 1.77nC 5000 V/m 8.84 x 10−8 J 4. (a) 26.6C/m²
(b) 0.708 × 10−5 C / m 2
1. 2.16 × 10 −7 N 2. (a) q 2 / 2πε o a 2 , verticalmente hacia arriba. (b) q 2 a / 2πε o (a 2 + x 2 ) 3 / 2 3. (a) 4.0 N/C hacia arriba. 4. (a) 1010 N/C
(b) 6.4 x 10 −19 N hacia abajo. (b) 2670 km/s
157
5. 9.4 x 10 6 m/seg.
RESPUESTAS EVALUACIÓN FINAL SESIÓN 5 1. (a) 5.32 V
(b) 40.3 mA, 95.1 mA
2. (a) 27.3 V
(b) 2.73 A, 1.37 A, 0.91 A
3. 14.3 W, 28.5 W, 1.33 W, 4.00 W.
SESIÓN 6 SOLUCION CONDUCTA DE ENTRADA SESIÓN 6 1. 0.735 x 10 −6 Ω (b) 10 V
D
3. (a) 0.8 A, 0.2 A, 0.6 A (b) 30 V 4. 9.6 W en la lámpara de 60 W; 14.4 W en de 40 W. 5. (a) Dos en serie, conectados en paralelo con otras dos en serie. (b) ½ W si la potencia total es 2 W.
RESPUESTAS DE EVALUACIÓN FINAL SESIÓN 6 1. 16.7 pF, 1.62 kV 2. 6.00 3. (a) 70 C
(b) 55.2 C
4. 416 pF.
SESIÓN 7 RESPUESTAS CONDUCTA DE ENTRADA SESIÓN 7 1. 5.58 x 10−11 N / C
158
2. (a) 5114 V
(b) 0.140c
3. (a) 27.3 V
(b) 2.73 A, 1.37 A, 0.91 A
4. R = 0.521 VXSRQLHQGRTXHORVUHVLVWRUHVHVW án en serie con el galvanómetro.
RESPUESTAS EVALUACION FINAL SESIÓN 7 1. (a) 50 pF (b) 2.80 x 10−3 m² (c) 400 V
(d) 1.0 x 10−6 J
2. (a) 800 &9 &9 E &9 &9
3. (a) 35.4 pF (b) 1.77 nC (c) 5000 V/m (d) 4.42 x 10−8 J 17.7 pF 1.77nC 5000 V/m 8.84 x 10−8 J 4. (a) 26.6C/m²
(b) 0.708 × 10−5 C / m 2
SESIÓN 8 RESPUESTAS CONDUCTA DE ENTRADA SESIÓN 8 1. (a) 4.0 N/C hacia arriba (b) 6.4 x 10−19 N hacia abajo. 2. (a) 1010 N/C
(b) 2670 km/seg
3. (a) 1.80 x 104 N / C , en la dirección negativa del eje de las x . (b) 7.99 x 10³ N/C, en la dirección positiva del eje de las x . (c) 3.34 x 10³ N/C, 70º por encima del eje negativo del eje de las x . (d) 6.36 x 10³ N/C, en la dirección negativa del eje de las x .
SOLUCIONES EVALUACIÓN FINAL SESIÓN 8 1. 3.27 T, perpendicular a la dirección de v . 2. 2.15 x 10−7Wb 159
3. 3.6 x 10−6 N .m 4. (a) 0.181 N . m (b) Cuando la normal a la espira forma un ángulo de 30º con el campo. 5. 20.4 cm y 4.77 mm. 6. 3.70 x 10−9 m3 / C
SESIÓN 9 SOLUCIONES CONDUCTA DE ENTRADA SESIÓN 9 1. (a) Oeste (b) Cero deflexión. (c) Hacia arriba. (d) Hacia abajo. 2. 2.31 x 10−13 N 3. 0.245 T oeste. 4. 182 T 5. 1.98 cm
RESPUESTAS EVALUACIÓN FINAL SESIÓN 9 1. 100 v. 2. (a) 187
(b) 33.3 nWb
F +
3. (a) 500 mJ
(b) 17.0 W
(c) 11.0 W
(d) campo y flujo.
4. (a) 400 mA
SEIÓN 10 RESPUESTAS CONDUCTA DE ENTRADA SESIÓN 10 1. (-0.168t + 0.112)V
160
D )
(b) 8.00 ms
3. (a) 6.03 J
(b) 0.529 J
(c) 6.59 J
4. 2.34 × 10−18 N . 5. Cero. 6. 594 A Este.
RESPUESTAS EVALUACIÓN FINAL SESIÓN 10 1. 14.6 Hz. 2. 76.8 mH 3. 100 mH 4. (a) 16.0 (b) -12.0 . 5. (− 2.87 j + 5.75k )× 109 m / s 2 6. 7.03 H 7. 2.77 nC D (b) 1.59 k (c) 1.52 k
(d) 138 mA (e) -84.3º
RESPUESTAS DE LA PRUEBA FINAL DEL MÓDULO 1. 14.6 Hz. 2. 76.8 mH 3. 100 mH D (b) -
5. (− 2.87 j + 5.75k )× 109 m / s 2 6. 7.03 H 161
