Valparaíso, 02 de diciembre de 2014
Ecuación de segundo grado
Asignatura: ‐
Formación General II
Profesora: ‐
Francisco Pradenas Venegas
Alumna: ‐
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Katty Bustos Barbaniera
Índice Portada…..…………………………………….……………………………………………………………1 Índice………………………………………………………………………………….……………………2 Introducción………………………………………………………………………..……………………3 - 5 Objetivos...………………………………………………………………………….………………………5 Marco Teórico.…………………….………………………………………………..………..…………6 - 8 Conclusión……………..…………………………………..……………...…………………….…..…..8 - 9 Bibliografía….………………………………………………………………………………………….…..9
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Introducción En el mundo hay una amplia variedad de idiomas, tales como el castellano, inglés y portugués. También hay hay lenguajes propios de los oficios que se realizan; por ejemplo, una pauta de música para un músico. El lenguaje algebraico el lenguaje del Álgebra y ésta es una rama de la matemática que estudia el concepto concepto de cantidad considerándolo del modo más general posible. El concepto de Álgebra es mucho más amplio que el de aritmética, ya que en ésta las cantidades se representan por números, los que expresan valores determinados, mientras que en el Álgebra las cantidades se representan por medio de letras, lo que permite lograr una generalización. Hoy en día, el uso del lenguaje algebraico es imprescindible, puesto que la mayoría de las actividades del hombre, ya sean científicas, económicas o tecnológicas, requieren de él.
Son universales y seguramente te resultan muy familiares. El lenguaje algebraico nos permite expresar, mediante números, letras y operaciones, una información dada. Ejemplos: a cm
El área (A) del rectángulo está dada por: 2
b cm
A = a • b cm
Al utilizar el lenguaje algebraico, normalmente no escribimos los signos de multiplicación ( • , X) o división (÷ , :) en las expresiones.
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Una Ecuación es una igualdad con una o más cantidades desconocidas llamadas incógnitas. Resolver una ecuación es encontrar el valor de la o las incógnitas que hacen verdadera la igualdad. Una ecuación puede ser representada por una balanza que se encuentra en equilibrio.
Lo que está en el platillo de la izquierda pesa lo mismo que el platillo de la derecha: x+4 = 8+4. Existen ecuaciones de distintos grados; y éstas se determinan a través del mayor exponente encontrado en su incógnita. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita. La ecuación de Primer Grado, tiene el mayor exponente uno (1) en su incógnita. Ejemplo: 4
3 x 5 7 2 x
La ecuación de Segundo Grado, tiene el mayor exponente dos (2) en su incógnita. Ejemplo: 6 x 2 9 5 x
2
La ecuación de Tercer Grado, tiene el mayor exponente tres (3) en su incógnita. Ejemplo:
4 x 2 8 x 3 7
En adelante, utilizaremos el lenguaje Algebraico para explicar el desarrollo de una Ecuación de Segundo Grado, a través de la Fórmula General. 2
Una ecuación 6 x 2 9 5 x se puede ordenar de la siguiente forma:
5 x 2 6 x 7 0 La ecuación de segundo grado y su solución tiene origen antiguo. Se conocieron algoritmos para resolverla en Babilonia y Egipto. En Grecia fue desarrollada por el matemático Diofanto de Alejandría. La solución de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum.
Objetivos Determinar los resultados de una ecuación de 2º grado a través de la Fórmula General.
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Marco Teórico Una ecuación de Segundo Grado o ecuación Cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. La ecuación cuadrática se expresa de la siguiente forma: Ax
2
Bx C 0 .
Donde “A” es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, “B” el coeficiente lineal o de primer grado y “C” es el término independiente.
La ecuación de segundo grado se clasifica de la siguiente manera: Incompleta pura: Ax
2
Incompleta mixta: Ax Completa: Ax
2
C 0 2
Bx 0
Bx C 0
La fórmula general se aplica empleando los coeficientes de la ecuación cuadrática completa: Ax
2
Bx C 0
En los casos de las ecuaciones incompleta pura o incompleta mixta, los términos faltantes tienen un valor cero (0). Para una ecuación Incompleta pura del tipo Ax
2
C 0 ; para la fórmula general, el término Bx es
igual a cero, donde el cero corresponde a B, reemplazando el cero donde aparezca B en la fórmula General. Así mismo, para una ecuación Incompleta mixta del tipo Ax
2
Bx 0 ; para la fórmula general, el
término C es igual a cero, reemplazando el cero donde aparezca C en la fórmula General. La fórmula general es:
x
B B 2 4AC
X1 y X2 6
2A
, donde esta fórmula genera dos valores para x:
Para resolver una ecuación de segundo grado por fórmula general, debemos llevarla a la forma: Ax
2
Bx C 0 identificando las letras A, B y C, que se sustituyen en la fórmula.
Ejemplo: Resolver por Fórmula General: x
2
3 x 4 2 x 2 x
La ecuación se iguala a cero (0), obteniendo: 3 x
2
4x 4 0
Hemos pasado los términos del segundo miembro hacia el otro lado de tal manera que las x 2 queden positivas. Los coeficientes son: A 3 B
C
4
x
Los sustituimos en la fórmula general:
Multiplicando dentro de la Raíz:
Sumando dentro de la Raíz:
Calculando la Raíz:
x
x
x
4
4 (4) 2 4(3)(-4)
2(3)
4 16 48
6
4 64
6
4 8
6
La primera solución es:
x1
La segunda solución es:
x 2
48
6
4 8
6
4 2 6 3
12 2 6
Reemplazando las soluciones en la ecuación 3 x x1
7
2 3
2
4 x 4 0 , para comprobar la igualdad:
x 2
2
2
2 2 3 4 4 0 3 3
3 2 2 4 2 4 0
4 2 3 4 4 0 9 3
34 4 2 4 0
4 8 40 3 3
12 8 4 0
12 40 3
12 12 0
44 0
0 0
0 0 Se comprueba el equilibrio de la ecuación, ya que en ambos lados de la igualdad el valor es el mismo, aun cuando se aplicó en el reemplazo de la ecuación, dos valores distintos para “x”; que fueron los dos valores que entregó el desarrollo de la ecuación a través de la Fórmula General.
Conclusión Aunque algunos crean que la matemática es una técnica de resolución de problemas complejos que no sirven para nada, excepto para los propios matemáticos, y que hay que aprender matemática por el simple hecho de que es una exigencia en el currículum escolar, y que nadie nos explica con claridad su importancia, excepto que, según una vez nos dijo el profesor, sirve para determinar el movimiento de los planetas, o algo tiene que ver con unos objetos pequeñísimos llamadas "partículas elementales", o que sirve para construir grandes edificios por los ingenieros, pero entonces como yo no voy a nada de eso, no creo que me sirva de mucho. La respuesta es compleja, pero la complejidad proviene del propio emisor que transmitirá el conocimiento. Si un profesor no tiene a mano las respuestas a las preguntas anteriores, o no es lo 8
suficientemente práctico para comunicar el lenguaje matemático, es altamente probable que las fórmulas de la resolución de una ecuación de segundo grado, o la suma de fracciones, o la clasificación en fracciones propias o impropias caigan en el vació por ser carentes de significado entre los alumnos. Es por esto que se decidió presentar un informe con el detalle paso a paso, respecto a un tipo de ecuación que se enfrenta normalmente en los quehaceres de estudiantiles y profesionales; esperando que sea un buen aporte a quienes tenga acceso a esta información.
Bibliografía 1.
http://www.sectormatematica.cl/contenidos/resec2gc.htm
2.
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_segundo_grado
3.
https://docs.google.com/presentation/d/1AVI-
iiHjIR3NM31sDTxwe516c4auThat1gMY6YFDQcw/edit#slide=id.p7 4.
http://www.guiasdeapoyo.net/guias/terc_mat_c/guia%20la%20ecuacion%20de%20segundo%20
grado.pdf
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