Aplicaciones de la ecuación de segundo grado

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José A. Jiménez Nieto

APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

1. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Recordemos que una ecuación de segundo grado con una incógnita es toda ecuación que se puede transformar en otra equivalente del tipo: ax 2 + bx + c = 0, siendo el número a ≠ 0

Las soluciones de una ecuación de segundo grado son los valores de x que al sustituirlos en el primer miembro verifican la ecuación.

•

Si en la ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c = 0 alguno de los coeficientes b o c es cero, se dice que es una ecuación incompleta. Estas ecuaciones se resuelven directamente. 2

a) Si b = c = 0, la ecuación es de la forma ax

=

x. 0. Se resuelve despejando la incógnita x.

2 b) Si b = 0, la ecuación es de la forma ax + c = 0. Se resuelve despejando la incógnita x. x. 2 c) Si c = 0, la ecuación es de la forma ax factores.

Ejemplo.

bx = 0. Se resuelve sacando factor común e igualando a cero los

Resolvamos las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas. a) 3 x2 = 0 Se divide por 3:

=0 x = ±

x

Se extrae la raíz cuadrada: b) 2 x2 − 8 = 0 Se suma 8: Se divide por 2:

2

0

⇒ x = 0

2 x2 = 8 x2 = 4 x = ± 4

Se extrae la raíz cuadrada: c) 3 x2 − 12 x = 0 Se extrae 3 x como factor: Se igualan a 0 ambos factores:

•

+

⇒ x = 2, x = −2

x( x − 4) = 0 3 x( 3 x = 0 ⇒ x = 0 x − 4 = 0 ⇒ x = 4

2 Cuando todos los coeficientes son distintos de cero, la ecuación de segundo grado ax + bx + c = 0 es completa. Para resolverla hacemos uso de la siguiente expresión:

x =

b2

−b±

− 4ac

2a

2

La expresión ∆ = b − 4ac que aparece en la raíz se llama discriminante, y su valor nos permite saber el número de soluciones de la ecuación. a)

Si ∆ > 0 la ecuación tiene dos soluciones distintas.

b)

Si ∆ = 0 la ecuación tiene una única solución (solución doble).

c)

Si ∆ < 0 la ecuación no tiene solución.

Matemáticas 4o ESO (Opción B)

Aplicaciones de la ecuación de segundo grado

•

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Resolvamos las siguientes ecuaciones de segundo grado completas.

Ejemplo.

a) x2 − 8 x + 12 = 0

x =

8 ± (−8) 2

− 4 ⋅1⋅12

2 ⋅1

=

8 ± 64 − 48 2

=

8 ± 16 2

=

8± 4 2

 x = 6 ⇒ 1  x2 = 2

2 b) x + 10 x + 25 = 0

x =

− 10 ±

10 2

c) 2 x2 + 4 x + 4 = 0

x =

−4±

− 4 ⋅1 ⋅ 25

=

2 ⋅1

42

− 4⋅2⋅4

2⋅2

=

− 10 ±

100 − 100 2

−4±

16 − 32 4

=

=

− 10 ±

0

2

− 4 ± − 16 4

⇒

=

− 10 ± 0 2

⇒ x1 = x2 = −5

no tiene solución

EJERCICIOS 1. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas. a) x2 − 9 = 0 b) 5 x2 + x = 0 c) 4 − 25 x2 = 0 e) 3 x2 − 4 = 28 + x2 f) 3 x2 = 2 x g) 4( x2 − 1) = 12 2. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado. a) 2 x2 + 5 x = 5 + 3 x − x2 b) x2 − 6 x + 9 = 0 d) − x2 + 4 x − 7 = 0 e) 2 x( x + 3) = 3( x − 19)

d) 8 x2 + 16 x = 0 h) − x2 + 9 x = 0

c) 2 x(3 x − 4) − (1 − 3 x)(1 + x) = −2 f) (2 x − 4)2 = 2 x( x − 2) + 48

3. Determina para qué valores de m la ecuación 2 x2 + 5 x − m = 0: a) Tiene dos soluciones distintas. b) Tiene una solución. c) No tiene solución. 4. Determina para qué valores de b la ecuación x2 + bx + 25 = 0: a) Tiene dos soluciones distintas. b) Tiene una solución. c) No tiene solución.

2. PROPIEDADES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO 2.1. Suma y producto de las soluciones: relaciones de Cardano 2

Dada la ecuación de segundo grado ax

+

bx + c = 0 con soluciones x 1

=

−b+

b2 2a

− 4ac

y x 2

=

−b−

b2

− 4ac

2a

operando con ellas obtenemos las siguientes relaciones con los coeficientes:

x1 + x 2

x1 ⋅ x2

=

= =

−b +

b2 2a

−b+

b2 2a

b2

− 4ac

4a

=

b2

−b−

b2


− 4ac

2a

− 4ac − b − ⋅

− (b 2 − 4ac) 2

+

b2

− 4ac

2a

− b 2 + 4ac 4a

2

=

=

− 2b 2a

 −b + =  4ac 4a

2

=

=

−b a

b2

− 4ac   ⋅  −b −   4a 2

b2

− 4ac   (−b) 2 −    = 

b2

4a 2

2

− 4ac    =

c a


•

2

,

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Relaciones de Cardano

Las soluciones x 1 y x 2 de la ecuación de segundo grado ax 2 nes:

•

=

0 verifican las siguientes relacio-

=

−b

a

El producto de las dos soluciones es igual al término independiente dividido por el coeficiente de x2. P = x 1 ⋅ x 2

Ejemplo.

bx + c

La suma de las dos soluciones es igual al coeficiente de x, cambiado de signo, dividido por el coeficiente de x2. S = x 1 + x 2

•

+

=

c a

2 La ecuación resuelta anteriormente x − 8 x + 12 = 0 tiene por soluciones x1 ciones existentes entre dichas soluciones y los coeficientes de la ecuación.

= 2 y x2 = 6. Observa las rela-

S = x1 + x2 = 2 + 6 = 8 = −b/a = 8/1 P = x1 ⋅ x2 = 2 ⋅ 6 = 12 = c/a = 12/1

2.2. La ecuación a partir de sus soluciones Las anteriores relaciones nos permiten hallar la ecuación de segundo grado conocidas sus soluciones x1 y x2. Para ello, si la ecuación buscada es ax2 resulta:

+ bx + c = 0, y siendo a ≠ 0, dividimos por a los términos de la ecuación y b c x 2 + x + a a

Por las anteriores relaciones resulta:

−b a c a

=0

b

= x1 + x2 = S ⇒ = − S a

= x1 ⋅ x2 = P

Por tanto, la ecuación buscada es x2 − Sx + P = 0. 2 La ecuación de segundo grado de soluciones x 1 y x 2 se puede expresar de la forma x − Sx + P = 0, siendo S = x 1 + x 2 y P = x 1 ⋅ x 2.

Ejemplo.

Halla la ecuación de segundo grado que tiene por soluciones x1 = 3 y x2 = −5. Por las relaciones de Cardano tenemos que: S = x1 + x2 = 3 − 5 = −2

⇒ −S = 2

P = x1 ⋅ x2 = 3 ⋅ (−5) = −15 La ecuación buscada es de la forma x

2

− Sx + P = 0, por tanto, dicha ecuación es x2 + 2 x − 15 = 0

EJERCICIOS 5. Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones: a) x1 = −2, x2 = 5 b) x1 = −3, x2 = 0 c) x1 = 1/3, x2 = −1/4

d) x1 = 3/2, x2 = −3/2

2 6. Halla el valor de los coeficientes b y c en la ecuación de segundo grado 7 x + bx + c = 0 sabiendo que sus soluciones son x1 = 5 y x2 = −6.



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7. Halla el valor del coeficiente b en la ecuación 5 x2 bién la otra solución.

+ bx + 6 = 0 sabiendo que una de sus soluciones es 1. Halla tam-

8. Halla el valor del coeficiente b en la ecuación x2 + bx + 9 = 0 sabiendo que tiene una solución doble. 9. Halla las soluciones y el valor de c en la ecuación x2 − 8 x + c = 0 para que la diferencia entre sus soluciones sea 10.

3. APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO 3.1. Factorización de un trinomio de segundo grado Para factorizar un trinomio de segundo grado P ( x ) = ax 2 + bx + c, se resuelve la ecuación de segundo grado asociada ax2 + bx + c = 0 y se obtienen sus raíces x1 y x2. Dicho trinomio queda factorizado de la forma P ( x ) = a( x − x 1)( x − x 2). Ejemplo.

Expresa el trinomio 6 x2 + 7 x − 5 como producto de factores. Resolviendo la ecuación asociada 6 x

2

+ 7 x − 5 = 0 obtenemos que las raíces son x1 = 1/2 y x2 = −5/3.

De esta forma, 6 x2 + 7 x − 5 = 6( x − 1/2)( x + 5/3) = (2 x − 1)(3 x + 5).

3.2. Resolución de ecuaciones por factorización La expresión ( x − 1)( x + 2)( x − 4) = 0 es una ecuación de tercer grado. Una ecuación escrita de este modo, ya factorizada, se puede resolver aplicando técnicas conocidas:

 x − 1 = 0 ⇒ x = 1  ( x − 1)( x + 2)( x − 4) = 0 ⇔  x + 2 = 0 ⇒ x = −2  x − 4 = 0 ⇒ x = 4  Las soluciones de la anterior ecuación son x = 1, x = −2 y x = 4. En general, si en una ecuación de cualquier grado, escrita de la forma P ( x ) = 0, el polinomio P ( x) se puede descomponer en factores de primer y segundo grado, entonces basta igualar a cero cada uno de los factores y resolver las ecuaciones de primer y segundo grado resultantes. Ejemplo.

Resolvamos la ecuación de cuarto grado x4 − 3 x3 − 13 x2 + 9 x + 30 = 0. Hallemos, en primer lugar, la descomposición factorial del polinomio P( x) = x4 − 3 x3 − 13 x2 + 9 x + 30. Como sabemos, para hallar sus raíces probamos con las posibles raíces enteras, que son los divisores del término independiente 30: ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15 y ±30. Aplicando Ruffini obtenemos la correspondiente descomposición: 1

−3

−13

9

30

10

6

−30

1

−2 −5

−3

15

0

5

0

−15

0

−3

0

−2 5 1



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El polinomio P( x) se factoriza como P( x) = ( x + 2)( x − 5)( x2 − 3), por lo que la ecuación queda:

( x + 2)( x − 5)( x

2

 x + 2 = 0 ⇒ x = −2  − 3) = 0 ⇔  x − 5 = 0 ⇒ x = 5  2 3 0 2  x − = ⇒ x = 3 ⇒ x =

Las soluciones de dicha ecuación son x = −2, x = 5, x

=

3 y x

=−

3 y x = − 3

3.

EJERCICIOS 10. Expresa los siguientes trinomios de segundo grado como producto de factores. a) x2 + 2 x − 3 b) 4 x2 − 9 x + 2 c) 20 x2 − 19 x + 3 d) 2 x2 − 8 x + 8 e) 9 x2 − 12 x + 4 f) 15 x2 + 34 x + 15 11. Resuelve las siguientes ecuaciones. 3 2 4 3 a) x + 2 x − x − 2 = 0 b) x − 6 x + 30 x = 25 c) 2 x3 + 3 x2 − 4 x − 1 = 0 d) x4 − 16 x2 + 15 = 2 x − 2 x3

3.3. Ecuaciones bicuadradas Una ecuación bicuadrada es una ecuación de cuarto grado que carece de términos de grado impar. Su forma general es: 4 2 ax + bx + c = 0 Estas ecuaciones se pueden escribir así:

ax

4

+ bx2 + c = 0 ⇔

2 2

a( x )

+ b( x2) + c = 0.

2 De este modo, para resolverlas se hace la sustitución o cambio de variable z = x , pasando así a una ecuación de se2 gundo grado az + bz + c = 0.

Una vez hallado el valor de z , se deshace el cambio de variable y se calcula x: x = ± z . Ejemplo.

Resuelve la ecuación bicuadrada x4 − 13 x2 + 36 = 0. Hacemos el cambio de variable z = x2, y obtenemos la ecuación de segundo grado z 2 procedemos a resolver:

− 13 z + 36 = 0, que

 2  x = 9 ⇒ x = ± 13 ± (−13) 2 − 4 ⋅1 ⋅ 36 13 ± 169 − 144 13 ± 25 13 ± 5 2 z = x = = = = ⇒  2 ⋅1 2 2 2  x 2 = 4 ⇒ x = ±   Por tanto, las soluciones de la ecuación x4 − 13 x2 + 36 = 0 son x = 3, x = −3, x = 2 y x = −2. Ejemplo.

 x = 3 ⇒  x = −3  x = 2 4⇒  x = −2

9

4 2 Para resolver la ecuación x − 4 x = 0 observa que podemos factorizar sacando factor común, con lo que queda x2( x2 − 4) = 0, que resolvemos:

 x 2 = 0 ⇒ x = 0  x 2 ( x 2 − 4) = 0 ⇒  2 2  x − 4 = 0 ⇒ x = 4 ⇒ x = ± 

4

 x = 2 ⇒  x = −2

Las soluciones son entonces x = 0, x = 2 y x = −2.



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El método anterior de cambio de variable se puede aplicar a otras muchas ecuaciones, llamadas bicúbicas, bicuartas, …

Ejemplo.

Para resolver la ecuación bicúbica x6 + 7 x3 − 8 = 0, hacemos el cambio de variable z = x3, y pasamos así a 2 la ecuación de segundo grado z + 7 z − 8 = 0. Una vez resuelta, se deshace el cambio de variable y hallamos el valor de x.

z = x

3

=

−7±

49 + 32 2

=

−7±

81

2

=

−7±9 2

 x 3 = 1 ⇒ x = 3 1 = 1 ⇒ 3  x = −8 ⇒ x = 3 − 8 = −2

Las soluciones de esta ecuación son x = 1 y x = −2.

EJERCICIOS 12. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas. a) x4 − 34 x2 + 225 = 0 b) x4 = 81 d) x4 − 16 x2 = 0 e) ( x2 − 5)( x2 − 3) = −1

c) x4 − 5 x2 − 36 = 0 f) ( x2 − 9)2 = 49

13. Resuelve, mediante un cambio de variable oportuno, las siguientes ecuaciones. 6 3 8 4 10 5 a) x − 19 x − 216 = 0 b) x − 97 x + 1.296 = 0 c) x + 31 x − 32 = 0

3.4. Ecuaciones irracionales Ecuaciones irracionales son aquellas en las que la incógnita figura dentro de un radical.

Resolvamos las siguientes ecuaciones irracionales.

•

3

x + 5

=2

Elevamos al cubo los dos miembros de la ecuación:

3

3

= 23

x + 5 = 8, de donde x = 3

Operamos:

•

( x + 5 )

x + 2 + 2 x + 2

=1

Se aísla un radical en un miembro: Elevamos al cuadrado los dos miembros:

x + 2

= 1−

2x + 2

( x + 2 ) = (1 − 2

2x + 2

)

2

x + 2 = 1 − 2 2 x + 2 + 2 x + 2 ⇔ x + 2 = 3 − 2 2 x + 2 + 2 x Como aún existe otro radical, repetimos el proceso anterior : Operamos:

Aislamos el radical:

2 2 x + 2

= x +1

Elevamos al cuadrado ambos miembros:

(2

)

Operamos: Simplificando resulta la ecuación de segundo grado: Resolvemos dicha ecuación: Comprobamos estos valores en la ecuación inicial:

Atención:

2

= (x + 1)2 4( 2 x + 2) = x 2 + 2 x + 1 ⇔ 8 x + 8 = x 2 + 2 x + 1 x2 − 6 x − 7 = 0 x1 = 7, x2 = −1 x1 = 7 → 7 + 2 + 2 ⋅ 7 + 2 = 9 + 16 = 3 + 4 = 7 ≠ 1 x2 = −1 → − 1 + 2 + 2 ⋅ (−1) + 2 = 1 + 0 = 1 + 0 = 1 2 x + 2

Al resolver una ecuación irracional pueden aparecer soluciones no válidas que se introducen al elevar al cuadrado, como sucede en el ejemplo anterior. La raíz x1= 7 no es válida, por tanto, la única solución válida es x2 = −1. Recuerda entonces que siempre debes comprobar las soluciones obtenidas.



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EJERCICIOS 14. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales. a)

5

2 x − 14 − 2 = 0

b) x − 25 − x 2

=1

c) 6 x

x 2

−

− 5x = 0

4 − 2 x

d)

= 2−

x+2

3.5. Sistemas de ecuaciones no lineales Un sistema no lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un sistema formado por dos ecuaciones en el que al menos una ecuación no es de primer grado. La resolución de estos sistemas suele hacerse por el método de sustitución, a no ser que se crea conveniente utilizar otras estrategias para sistemas particulares.

Ejemplo.

Sistema formado por una ecuación de primer grado y una ecuación de segundo grado: Se despeja la variable y en la primera ecuación: x + y = 4

⇔ y = 4 − x

 x + y = 4  2 2  x + y = 40

[I]

Sustituimos la expresión obtenida en la segunda ecuación, resultando una ecuación de segundo grado:

x 2 + (4 − x ) 2

= 40 ⇔ x 2 + 16 − 8 x + x 2 = 40 ⇔ 2 x 2 − 8 x − 24 = 0 ⇔ x 2 − 4 x − 12 = 0 x = −2 y x = 6

Se resuelve dicha ecuación, cuyas soluciones son:

Estos valores de x sustituidos en [I] nos dan las soluciones del sistema: para x = −2 tenemos que y = 6 para x = 6 tenemos que y = −2 Las soluciones del sistema son los pares de valores

Ejemplo.

 x1 = −2  y = 6  1

Sistema formado por dos ecuaciones segundo grado:

y

 x2 = 6  y = −2  2

 x 2 + y 2 = 61   xy = 30

Se despeja la variable y en la segunda ecuación: xy = 30 ⇔ y

=

30

[I] x Sustituimos la expresión obtenida en la primera ecuación, resultando una ecuación bicuadrada: 2

 30  = 61 ⇔ x 2 + 900 = 61 ⇔ x 4 + 900 = 61 x 2 ⇔ x 4 − 61x 2 + 900 = 0 x +   x 2  x  Hacemos z = x2 y resolvemos la ecuación z 2 − 61z + 900 = 0, cuyas soluciones son z = 36 y z = 25, con lo que deshaciendo el cambio obtenemos x = 6, x = −6, x = 5 y x = −5. 2

Estos valores de x sustituidos en [I] nos dan las soluciones del sistema: para x = 6 tenemos que y = 5 para x = −6 tenemos que y = −5 para x = 5 tenemos que y = 6 para x = −5 tenemos que y = −6 Las soluciones del sistema son los pares de valores


 x1 = 6  y = 5  1

,

 x2 = −6  y = −5  2

,

 x3 = 5  y = 6  3

y

 x4 = −5  y = −6  4


•

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EJERCICIOS 15. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales. a)

 x + y = 5  2  x − xy = −3

b)

 x + y = 8  2 2  x + y + xy = 52

c)

 x 2 + y 2 = 25   xy = 12

d)

 x − y = 105   x + y = 15

e)

 x 2 − y 2 = −8 x  2 2  x + y = 10

Resolución de problemas mediante ecuaciones y sistemas 16. Encuentra dos números reales tales que su suma sea 10 y multiplicado el uno por el otro también se obtenga 10. 17. Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro. 18. Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida en centímetros tres números pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados. Plantea de nuevo este mismo ejercicio suponiendo ahora que los lados tienen por medida tres números impares consecutivos. 19. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm y la suma de los catetos 14 cm. Halla el valor de los catetos. 20. De un mismo lugar salen dos personas, una en dirección norte y otra en dirección este. La primera camina a 6 km/h y la segunda a 8 km/h. ¿Qué tiempo tardarán en estar a 5 kilómetros de distancia una de otra? 21. Juan quiere hacer el marco de un cuadro con un listón de madera de 40 cm sin que le sobre ni le falte nada. El cuadro ha de tener forma rectangular con una superficie de 96 cm 2. ¿Qué longitud deben tener los trozos que ha de cortar? 22. Una habitación rectangular tiene una superficie de 28 m 2 y su perímetro una longitud de 22 m. Halla las dimensiones de la habitación. 23. La diagonal de un rectángulo mide 26 cm y el perímetro 68 cm. Halla los lados del rectángulo. 24. Calcula las dimensiones de un rectángulo conociendo su diagonal, 17 m, y su superficie, 120 m 2.



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Soluciones a los ejercicios propuestos 1. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas. 2 2 2 a) x − 9 = 0 b) 5 x + x = 0 c) 4 − 25 x = 0 e) 3 x2 − 4 = 28 + x2 f) 3 x2 = 2 x g) 4( x2 − 1) = 12 a) x = 3, x = −3 b) x = 0, x = −1/5 c) x = 2/5, x = −2/5 e) x = 4, x = −4 f) x = 0, x = 2/3 g) x = 2, x = −2 2. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado. a) 2 x2 + 5 x = 5 + 3 x − x2 b) x2 − 6 x + 9 = 0 d) − x2 + 4 x − 7 = 0 e) 2 x( x + 3) = 3( x − 19) a) x =−5/3, x = 1 b) x = 3, raíz doble d) No tiene solución e) No tiene solución

d) 8 x + 16 x = 0 h) − x2 + 9 x = 0 d) x = 0, x = −2 h) x = 0, x = 9 2

c) 2 x(3 x − 4) − (1 − 3 x)(1 + x) = −2 f) (2 x − 4)2 = 2 x( x − 2) + 48 c) x = 1/3, raíz doble f) x = −2, x = 8

3. Determina para qué valores de m la ecuación 2 x2 + 5 x − m = 0: m > −25/8 a) Tiene dos soluciones distintas. m = −25/8 b) Tiene una solución. m < −25/8 c) No tiene solución. 4. Determina para qué valores de b la ecuación x2 + bx + 25 = 0: b < −10 y b > 10 a) Tiene dos soluciones distintas. b = −10 y b = 10 b) Tiene una solución. −10 < b < 10 c) No tiene solución. 5. Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones: a) x1 = −2, x2 = 5 b) x1 = −3, x2 = 0 c) x1 = 1/3, x2 = −1/4 2 2 2 a) x − 3 x − 10 = 0 b) x + 3 x = 0 c) 12 x − x − 1 = 0

d) x1 = 3/2, x2 = −3/2 2 d) 4 x − 9 = 0

6. Halla el valor de los coeficientes b y c en la ecuación de segundo grado 7 x2 + bx + c = 0 sabiendo que sus soluciones son x1 = 5 y x2 = −6. b = 7, c = −210 7. Halla el valor del coeficiente b en la ecuación 5 x2 bién la otra solución. b = −11, x 2 = 6/5

+ bx + 6 = 0 sabiendo que una de sus soluciones es 1. Halla tam-

8. Halla el valor del coeficiente b en la ecuación x2 + bx + 9 = 0 sabiendo que tiene una solución doble. b = 6 ó b = −6 9. Halla las soluciones y el valor de c en la ecuación x2 − 8 x + c = 0 para que la diferencia entre sus soluciones sea 10. x 1 = −1, x 2 = 9, c = −9 10. Expresa los siguientes trinomios de segundo grado como producto de factores. a) x2 + 2 x − 3 = ( x − 1)( x + 3) b) 4 x2 − 9 x + 2 = ( x − 2)(4 x − 1) c) 20 x2 − 19 x + 3 = (4 x − 3)(5 x − 1) 2 2 2 2 d) 2 x − 8 x + 8 = 2( x − 2) e) 9 x − 12 x + 4 = (3 x − 2) f) 15 x2 + 34 x + 15 = (3 x + 5)(5 x + 3) 11. Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x3 + 2 x2 − x − 2 = 0 c) 2 x3 + 3 x2 − 4 x − 1 = 0

b) x4 − 6 x3 + 30 x = 25 d) x4 − 16 x2 + 15 = 2 x − 2 x3 b) x = 1, x = 5, x =

a) x = 1, x = −1, x = −2 c) x = 1, x =

−5+

17

4

, x =

−5−

4

17

d) x = 1, x = −1, x = 3, x = −5

12. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas. a) x4 − 34 x2 + 225 = 0 b) x4 = 81 d) x4 − 16 x2 = 0 e) ( x2 − 5)( x2 − 3) = −1 a) x = 3, x = −3, x = 5, x = −5 b) x = 3, x = −3 d) x = 0, x = 4, x = −4


5 , x = − 5

e) x = 2, x = −2

c) x4 − 5 x2 − 36 = 0 f) ( x2 − 9)2 = 49 c) x = 3, x = −3 f) x = 4, x = −4, x =

2 , x = − 2


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13. Resuelve, mediante un cambio de variable oportuno, las siguientes ecuaciones. a) x6 − 19 x3 − 216 = 0 b) x8 − 97 x4 + 1.296 = 0 c) x10 + 31 x5 − 32 = 0 a) x = 3, x = −2 b) x = 2, x = −2, x = 3, x = −3 c) x = 1, x = −2 14. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales. a)

5

2 x − 14 − 2 = 0

b) x − 25 − x 2

a) x = 23

=1

c) 6 x

b) x = 4

−

x 2

− 5x = 0

c) x = 0, x = 41

d)

4 − 2 x

= 2−

x+2

d) x = 2

15. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales. a)

 x + y = 5  2  x − xy = −3

b)

 x + y = 8  2 2  x + y + xy = 52

c)

 x 2 + y 2 = 25   xy = 12

d)

 x − y = 105   x + y = 15

e)

 x 2 − y 2 = −8 x  2 2  x + y = 10

a) x 1 = 1, y1 = 4 ; x 2 = 3/2, y2 = 7/2 b) x 1 = 2, y1 = 6 ; x 2 = 6, y2 = 2 c) x 1 = 3, y1 = 4 ; x 2 = −3, y2 = −4 ; x 3 = 4, y3 = 3 ; x 4 = −4, y4 = −3 d) x = 121, y = 16 e) x 1 = 1, y1 = 3 ; x 2 = 1, y2 = −3

16. Encuentra dos números reales tales que su suma sea 10 y multiplicado el uno por el otro también se obtenga 10. Los números buscados son 5 + 15 y 5 − 15 .

17. Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro. Pedro tiene 21 años. 18. Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida en centímetros tres números pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados. Plantea de nuevo este mismo ejercicio suponiendo ahora que los lados tienen por medida tres números impares consecutivos. Los lados del triángulo miden, respectivamente, 6, 8 y 10 centímetros. En el otro caso, no existe ningún triángulo rectángulo cuyos lados midan tres números impares consecutivos. 19. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm y la suma de los catetos 14 cm. Halla el valor de los catetos. Los catetos miden, respectivamente, 6 y 8 centímetros. 20. De un mismo lugar salen dos personas, una en dirección norte y otra en dirección este. La primera camina a 6 km/h y la segunda a 8 km/h. ¿Qué tiempo tardarán en estar a 5 kil ómetros de distancia una de otra? Al cabo de ½ hora (30 minutos) estarán a 5 km de distancia. 21. Juan quiere hacer el marco de un cuadro con un listón de madera de 40 cm sin que le sobre ni le falte nada. El cuadro ha de tener forma rectangular con una superficie de 96 cm 2. ¿Qué longitud deben tener los trozos que ha de cortar? Ha de cortar trozos de 8 y 12 centímetros, respectivamente. 22. Una habitación rectangular tiene una superficie de 28 m 2 y su perímetro una longitud de 22 m. Halla las dimensiones de la habitación. La habitación tiene por lados 4 y 7 metros, respectivamente. 23. La diagonal de un rectángulo mide 26 cm y el perímetro 68 cm. Halla los lados del rectángulo. Los lados del rectángulo miden , respectivamente, 10 y 24 centímetros. 24. Calcula las dimensiones de un rectángulo conociendo su diagonal, 17 m, y su superficie, 120 m 2. Las dimensiones del rectángulo son 8 y 15 metros, respectivamente.



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Aplicaciones de la ecuación de segundo grado

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