Facultad de ingeniería Sede La Serena
Los siete sistemas cristalinos
Nombre: Catalina Bravo Sección: 2 Asignatura: Cristalografía y termodinámica de procesos minerales Docente: Eugenio Cordero Fecha de entrega: 11 de abril de 2016 1
INDICE
Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . Pág.3
Objetivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .Pág. 4
Metodología. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Pag.5
Sistemas cristalinos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..Pág.6
Tabla resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pág.46
Conclusión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Pág.47
Bibliografía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . Pág. 48
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RESUMEN Existen dos tipos de disposición de los átomos en estado sólido: ordenada o cristalina y de desordenada o amorfa. La distribución atómica de los sólidos cristalinos pueden describirse como una red de líneas llamada red cristalina. La red cristalina o celda unitaria es la región del espacio determinada por sus respectivos angulos α, β , γ y sus lados a,b y c. Con la repetición de esta se obtiene todo un sólido. Existen siete sistemas cristalinos distintos basados en la longitud de las aristas y los angulos de la celda unidad. Existen un total de 14 celdas unitarias distintas basadas en las distribuciones internas de los átomos. Estos sistemas permiten identificar la estructura tanto externa como interna al analizar su simetría, ejes, características, planos, etc. Los ejes cristalográficos son líneas imaginarias que nos permiten interpretar la estructura interna del mineral para identificar a que sistema pertenecen o como están ubicadas cada una de sus caras, los podemos identificar con ayuda de los vértices, aristas y caras. Los ejes tienen longitud diferente y son oblicuos entre sí. También encontramos el plano imaginario, el cual divide un cristal en dos mitades, cada una de las cuales es la imagen especular de la otra. Gracias a estos métodos podemos identificar, analizar y conocer los diversos tipos de minerales con sus propias celdas o estructuras internas. Lo que vemos o conocemos por fuera no siempre nos indica como son por dentro.
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OBJETIVOS
El principal objetivo de este informe es analizar, comprender y estudiar los diversos
sistemas cristalinos, las 14 redes de Bravais.
Estudiar los sistemas internos de cada celda, ya sea hallando su simetría, su plano, sus ejes internos, etc. Para ayudarnos a comprender su estructura interna, ya que a simple vista solo vemos la estructura externa, pero no somos capaces de observar lo que hay en el interior de cada red.
Comprobar si podemos encontrar con todos los elementos que tenemos la estructura interna de las redes y por ende descubrir a que sistema pertenecen.
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METODOLOGIA Para reconocer e identificar los distintos sistemas cristalinos lo primero que realizamos en clases fue: 1) Realizamos todas las figuras de las formas de los cristales, para reconocer y analizar sus diversas estructuras externas. 2) Identificamos los ejes de simetría con los respectivos planos de cada uno.
3) Realizamos las 14 redes de Bravais, identificando sus angulos y lados. 4) En la finalización de este tema obtuve mas conocimientos debido a la realización de un informe y adquiri nuevos conocimientos en base al informe y al ramo.
5) Esta experiencia fue gratificante y enriquecedora, ya que me sirvió para conocer mas sobre el tema que no conocia.
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SISTEMAS CRISTALINOS Sólido es un cuerpo que, a diferencia de los líquidos y los gases, presenta forma propia y opone resistencia a ser dividido, ya que sus partículas de encuentran unidas por unas fuerzas de atracción grandes de modo que ocupan posiciones casi fijas.
El sólido amorfo átomos ó moléculas pueden estar enlazados con bastante fuerza entre si, pero poseen poca regularidad ó periodicidad geométrica en la forma en que los átomos están dispuestos ó acomodados en el espacio, y se pueden considerar como líquidos sobreenfriados. Materiales con una viscosidad superior a 10 12N/m2 se le llama vidrio.
Los sólidos cristalinos están compuestos por átomos cuya estructura está ordenados de manera regular formando redes cristalinas, cuya configuración regular puede alcanzar distancias muy grandes.
Fig.1 Modelo atómico ordenado de un cristal
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Fig.2 Modelo atómico amorfo de un vidrio
Materia mineral
Con ordenamiento interno
Sin ordenamiento interno
Sin manifestación
Con manifestación
externa poliédrica (limitado por caras planas o polígonos)
externa poliédrica
Materia cristalina
Materia amorfa
Cristal
En el ordenamiento interno podemos encontrar:
Materia cristalina: es aquella que tiene sus átomos, iones o moléculas ordenados en el espacio, formando estructuras tridimensionales regulares, pero que no ha dispuesto de
espacio, tiempo y reposo para desarrollar forma externa poliédrica. Cristal: sólido que presenta un patrón de difracción no difuso y bien definido, además presentan un aspecto externo poliédrico formado por caras planas. Este aspecto externo es la expresión del ordenamiento interno de sus partículas integrantes . Han dispuesto de
espacio, tiempo y reposo. Debido a esto la única diferencia entre ambos es su aspecto externo.
La estructura cristalina es la forma sólida de cómo se ordenan y empaquetan los átomos, moléculas, o iones. Estos son empaquetados de manera ordenada y con patrones de repetición que se extienden en las tres dimensiones del espacio. El estado cristalino de la 7
materia es el de mayor orden, es decir, donde las correlaciones internas son mayores. Esto se refleja en sus propiedades antrópicas y discontinuas. Suelen aparecer como entidades puras, homogéneas y con formas geométricas definidas (hábito) cuando están bien formados. No obstante, su morfología externa no es suficiente para evaluar la denominada cristalinidad de un material.
Fig.3 estructura cristalina Las propiedades de un medio cristalino son:
Periodicidad: el medio cristalino es un medio periódico. La distancia según la cual las unidades estructurales se repiten paralela e idénticamente a lo largo de una dirección dada se denomina traslación. Éstas definen la denominada red cristalina, constituida por una serie de puntos (nudos) separados entre sí por las citadas traslaciones.
Simetría: propiedad que al hacer cualquier transformación a un objeto se mantiene su posición.
Homogeneidad: En una red cristalina la distribución de nudos alrededor de uno de ellos es la misma, independientemente del nudo que tomemos como referencia.
Anisotropía: La red de nudos constituyente del estado cristalino es anisótropa en cuanto a las distancias entre nudos, es decir, ésta depende de la dirección según la cual se mide.
Red cristalina: Un cristal ideal está compuesto de átomos, moléculas o iones acomodados en una red cristalina (retículo), definido por los vectores fundamentales a b c, tal que el arreglo atómico es el mismo visto en el punto r, como desde otro punto cualquiera , r n 8
Fig.4 Ejemplo en dos dimensiones (a,b)
El conjunto de puntos rn definen una red cristalina, es decir, una red se puede definir como un arreglo periódico regular de puntos en el espacio definidos por r n, siendo de esta forma una red una abstracción matemática. El estado cristalino viene caracterizado fundamentalmente por la distribución de los átomos, moléculas o iones según un esquema regular y periódico que dibuja una red estructural tridimensional. Para una apropiada asimilación de lo que significa el orden interno cristalino, se ha de comenzar por la visualización y definición, a través de vectores traslación, del orden interno monodimensional. Así pues, antes de considerar las tres dimensiones del espacio comenzaremos por considerar la ordenación en el plano, es decir, la formación de redes planas.
Fila de nudos reticular (monodimensional): Representa puntos espaciados a lo largo de una línea.
Una dimensión se trata de una fila de “nudos” obte nida por aplicación sucesiva de una traslación definida.
Fig.5 fila de nudos
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SIMETRIA Todos los minerales presentan una simetría definida por la disposición de sus caras, lo que permite agruparlos en diferentes clases. Las diferentes operaciones que pueden realizarse sobre un cristal con el resultado de hacerlo coincidir con la posición inicial se conoce con el nombre de operaciones de simetría. Las operaciones de simetría fundamentales son las siguientes: 1) Rotación alrededor de un eje 2) Reflexión sobre un plano 3) Rotación alrededor de un eje combinado con inversión (inversión rotatoria). La inversión alrededor de un solo centro es considerada por algunos como otra operación de simetría. Dado que es equivalente al eje monario de inversión rotatoria, no lo consideraremos como operación, aunque por conveniencia se emplee el término centro.
Plano de simetría: un plano de simetría es un plano imaginario que divide un cristal en dos mitades, cada una de las cuales es la imagen especular de la otra. La parte sombreada de la figura 6 ilustra la naturaleza y posición de dicho plano de simetría. A cada cara, arista o vértice de un lado del plano corresponde una cara, arista o vértice en una posición similar al otro lado del plano de simetría. Eje de simetría: el eje de simetría es una línea imaginaria a través del cristal, alrededor del cual puede hacerse girar el cristal y repetir este su aspecto dos o más veces durante una revolución completa. En la figura 7 la línea CC´ es un eje de simetría, pues el cristal, cuando gira sobre él tendrá, después de una revolución de 180°, el mismo aspecto que al principio; o, en otras palabras, las caras, aristas y ángulos sólidos similares aparecieran en el lugar de los planos, aristas y ángulos solidos correspondientes a la posición srcinal.
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Fig.6 Plano de simetría
Fig.7 Eje de simetría
El punto A´ ocuparía la posición srcinal de A, B´, la de B, etc. Dado que, en apariencia, el cristal se repite dos veces durante una revolución completa, a este eje se le denomina binario. Además de los ejes de simetría binarios (orden 2), existen el ternario (orden 3 o trigonal), el cuaternario (orden 4 o tetragonal) y el senario (orden 6 o hexagonal). La naturaleza de los cristales es tal, que no pueden existir otros ejes de simetría que los de orden 2, 3, 4 y 6 mencionados.
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CENTRO DE SIMETRIA Se dice que un cristal tiene centro de simetría cuando al hacer pasar una línea imaginaria desde un punto cualquiera de su superficie a través del centro se halla sobre dicha línea y a una distancia igual, más allá del centro, otro punto similar al primero. Esta operación se le conoce con el nombre de inversión. De este modo el cristal en la figura 8 tiene un centro de simetría, ya que el punto A se repite en e punto A´sobre la línea que pasa desde A a través del centro, C, del cristal; las distancias AC y A´C son iguales. Caras paralelas y similares en lados opuestos del cristal indican un centro de simetría.
Fig.8 centro de simetría
Eje de inversión rotatoria: este elemento de simetría compuesto combina una rotación alrededor de un eje con inversión sobre un centro. Ambas operaciones deben completarse antes de que se obtenga la nueva posición. Si la única simetría que posee un cristal correspondiente en un eje monario (de orden 1) de inversión. Existen también ejes de inversión de orden 2,3,4 y 6. Consideremos un mecanismo de un eje de inversión. En la 12
peracion de un eje cuaternario aparecerán cuatro puntos idénticos, cada uno a los 90° de giro, todos en la parte superior o todos en la parte inferior del cristal. En la operación de ejes cuaternarios de inversión, por el contrario, se hallaran también cuatro puntos idénticos, pero dos estarán el la parte superior y dos en la parte del cristal. La operación de tal eje implica cuatro rotaciones de 90°, cada una de ellas seguida por una inversión. De este modo, si el primer punto esta en la parte superior del cristal, el segundo esta en el inferior, el tercero en la superior y el cuatro nuevamente en la inferior. La figura 9 representa un cristal con un eje cuaternario de inversión. Otro elemento de simetría compuesta combina la rotación alrededor de un eje con la reflexión sobre un plano, y se denomina reflexión rotatoria. Con dicha operación se puede obtener la misma simetría que con la inversión rotatoria.
Fig.9 Eje cuaternario de inversión
Notación de simetría: el eje, el plano de inversión y el centro se conocen con el nombre de elemento de simetría. El eje de rotación viene indicado por A n, el eje de inversión giratoria por P; el centro por C. De esta forma la simetría de un cristal con un centro, cuatro ejes binarios, un eje cuaternario y cinco planos, se escribiría: C, 4A2, 1A4 , 5P. 13
La notación es una de las muchas que han sido propuestas por los cristalografías, pero se expone porque es la más generalizada y fácil para comprender. No obstante, los símbolos que han sido aceptados internacionalmente se conocen con el nombre de Hermann-Mauguin. Se describirán a continuación, pues su uso es constante en todos los trabajos modernos de cristalografía. A primera vista, puede parecer que los símbolos Hermann-Mauguin son innecesarios. No obstante, con ellos se puede, no solamente expresar la simetría externa (simetría puntual) sino también la simetría interna del cristal, mucho mas complicada (simetría espacial). A continuación se da una descripción general de los símbolos HermannMauguin: 1) Los ejes de simetría se denotan por números, y los ejes de inversión por números con un trazo en la parte superior, por ejemplo 6, 4, 3. Los planos de simetría se indican con la letra m. un eje de simetría con un plano normal se representa además por un quebrado, como por ejemplo 2/m, 4/m. 2) En los sistemas hexagonal, tetragonal, cubico y monoclínico, la primera parte del símbolo se refiere al eje de simetría principal, como el 4 en el símbolo. 3) En el sistema cubico, la segunda y tercera parte del símbolo se refiere a los elementos de simetría ternaria y binaria, respectivamente. El elemento binario puede ser un eje, como en el caso de la clase 432, o un plano, como en el caso de la clase 43m, o la combinación de un eje y un plano como en la clase 4/m32/m. 4) En el sistema tetragonal, los símbolos segundo y tercero se refieren a los elementos de simetrías axial y diagonal. Por ejemplo, en el de clase 42m, el 2 se refiere al al eje binario que coincide con el eje cristalográfico a; la m se refiere a un plano de simetría en la posición de 45°. 5) En el sistema hexagonal, los símbolos segundos y tercero s refieren a los elementos de simetría axial y alterna. Asi, en la clase 6m2, existen planos de simetría verticales que comprenden los tres ejes cristalográficos, y ejes binarios que estan a 30° de aquellos. 6) En el sistema rómbico, los símbolos se refieren a los elementos de simetría por el orden de a,b,c. Por ejemplo en la clase mm2, los ejes a y b estan sobre planos de simetría verticales y el eje c es un eje binario. Este orden es mucho mas útil para denominar grupos espaciales que clases cristalinas. 14
Clases de simetría: las combinaciones posibles de los elementos de simetría que se acabamos de describir, dan srcen a treinta y dos clases cristalina distintas (grupos puntuales). Ha sido demostrado por consideraciones teóricas, que éstas son todas las clases posibles de simetría de un cristal. Estas treinta y dos clases pueden ser agrupadas en seis sistemas, teniendo en cuenta la gran relación existente entre la simetría de ciertas clases. La mayor parte de los minerales corrientes cristalizan en 10 ó 12 de las 32 clases cristalinas posibles, y de este modo éstas son de mayor importancia para el mineralogista. En el cuadro que figura la página aparece la lista de todas las clases cristalinas con sus elementos de simetría. Se indican con negritas las 15 clases mas importantes para el mineralogista, y que son las que se describen con detalle en las páginas siguientes. Se han propuesto nombres muy diferentes para designar cada una de estas clases cristalinas. Los usados en este cuadro fueron propuestos por Groth y derivan del nombre de la forma general en cada clase cristalina, es decir, la fomra cuyas caras cortan a los ejes cristalográficos a distancias diferentes entre sí. Sistema cristalino Cúbico
Clase cristalina
Simetría
Símbolos de
Hexaquisoctaédrica. . . . . . . . . . . .
C, 3A4, 4A3, 6A2, 9P
Hermann-Mauguin 4/m32/m
Icositetraédrica pentagonal. . . . . . .
3A4, 4A3, 6A2
432
Hexaquistetraédrica. . . . . . . . . . . . 3A2, 4A3, 6P Diploédrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C, 3A2, 4A3, 3P
43m 2/m3
Tetartoídica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3A2, 4A3
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Hexagonal
Bipiramidal dihexagonal. . . . . . . . C, 1A6, 6A2, 7P
6/m2/m2/m
División
Trapezoédrica hexagonal. . . . . . . . .
622
hexagonal
Piramidal dihexagonal. . . . . . . . . . 1A6, 6P
6mm
Bipiramidal ditrigonal. . . . . . . . . . .
6m2
1A6, 6A2 1A3, 3A2, 4P
Bipiramidal hexagonal. . . . . . . . . . C, 1A6, 1P
6/m
Piramidal hexagonal. . . . . . . . . . . .
1A6
6
Bipiramidal trigonal. . . . . . . . . . . .
1A3, 1P
6
15
Hexagonal
Escalenoédrica hexagonal. . . . . . .
División
Trapezoédrica trigonal. . . . . . . . . . 1A3, 3A2
32
Romboédrica
Piramidal ditrigonal. . . . . . . . . . . . 1A2, 3P
3m
Romboédrica. . . . . . . . . . . . . . . . . .
C, 1A3
3
Piramidal trigonal. . . . . . . . . . . . . .
1A3
3
Tetragonal
Rómbico
Monoclínico
Triclínico
C, 1A3, 3A3, 3P
32/m
Bipiramidal ditetragonal. . . . . . . . C, 1A4, 4A2,5P
4/m2/m2/m
Trapezoédrica tetragonal. . . . . . . . .
1A4, 4A2
422
Piramidal ditetragonal. . . . . . . . . . . Escalenoédrica tetragonal. . . . . . .
1A4, 4P 3E2, 2P
4mm 42m
Bipiramidal tetragonal. . . . . . . . . .
C,1A4, 1P
4/m
Piramidal tetragonal. . . . . . . . . . . .
1A4
4
Biesfenoídica tetragonal. . . . . . . .
1AP1
4
Bipiramidal rómbica. . . . . . . . . . .
C, 3A2, 3P
2/m2/m2/m
Biesfenoídica rómbica. . . . . . . . .
3A2
222
Piramidal rómbica. . . . . . . . . . . .
1A2, 2P
mm2
Prismática. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C, 1A2, 1P
2/m
Esfenoídica. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1A2
2
Domática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1P
m
Pinacoidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C
1
Pedial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sin simetría
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NOTACION CRISTALOGRAFICA Ejes cristalográficos: al describir cristales resuelta muy conveniente tomar, siguiendo los métodos de geometría analítica, como líneas de referencia ciertas líneas que pasen por el centro del cristal ideal. A esas líneas imaginarias se las conoce con el nombre de ejes cristalográficos y se toman paralelas a las aristas de intersección de las caras principales del cristal. Además, la posición de los ejes cristalográficos viene fijada por la simetría de los cristales, ya que en muchos de ellos son precisamente los ejes de simetría, o bien son normales a los planos de simetría existentes en el cristal. Todos los cristales con excepción de los que pertenecen al sistema hexagonal, se refieren a tres ejes cristalográficos. En el caso general (sistema triclínico), los ejes tienen longitud diferente y son oblicuos entre sí; más para simplificar en la descripción de su orientación convencional, consideraremos la figura 10. Aquí los ejes son mutuamente perpendiculares y cuando se coloquen en su posición correcta quedan orientados como sigue: Un eje, al que llamaremos a, es horizontal y está en posición frontal-lateral; otro eje, al que llamaremos b, es horizontal también y su posición es de derecha a izquierda; el tercer eje, llamado c, es vertical. Los extremos de cada eje se designan con el signo + ó - : el extremo frontal de a, el extremo derecho de b y el extremo superior de c, son positivos; los extremos opuestos, son negativos.
Fig.10 Ejes cristalográficos rómbicos 17
Sistemas cristalinos: algunas de las treinta y dos clases cristalinas arriba citadas tienen características simétricas comunes, lo cual permite su agrupación en grandes grupos, denominados sistemas cristalinos. A continuación se citan los seis sistemas con los ejes cristalográficos y la simetría característica de cada uno.
Sistema cubico: todos los cristales del sistema cubico tienen cuatro ejes de simetría ternarios y los ejes cristalográficos son perpendiculares entre sí y de igual longitud.
Sistema hexagonal: todos los cristales del sistema hexagonal tienen un eje de simetría ternario o senario. Se toman cuatro ejes cristalográficos; tres ejes horizontales, iguales entre sí, que se cortan en ángulos de 120°, siendo el cuarto de longitud diferente a aquellos y perpendicular al plano de los otros tres.
Sistema tetragonal: los cristales del sistema tetragonal se caracterizan por tener un solo eje cuaternario. Los cristales se refieren a tres ejes perpendiculares entre sí, siendo de igual longitud los dos horizontales, pero el eje vertical es de longitud diferente de los otros dos.
Sistema rómbico: los cristales de simetría rómbico tienen tres elementos de simetría binaria, es decir, planos de simetría o ejes binarios. Se toman como referencia tres ejes perpendiculares entre sí, todos ellos de diferente longitud.
Sistema monoclínico: los cristales del sistema monoclínico se caracterizan por poseer un eje binario o un plano de simetría, o la combinación de un eje binario y un plano. Los cristales se refieren a tres ejes desiguales, dos de los cuales se cortan según un ángulo oblicuo y el tercero es perpendicular al plano de los otros dos.
Sistema triclínico: los cristales en el sistema triclínico tienen un eje monario como única simetría. Éste puede ser un eje giratorio sencillo o un eje monario de inversión. Los cristales se refieren a tres ejes desiguales, todos ellos de intersección oblicua entre sí.
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Relación axial: en todos los sistemas critalinos, con la excepción del cubico, existen ejes cristalográficos de longitud diferente entre sí. Si fuese posible aislar una celda unidad y medir cuidadosamente las dimensiones de las aristas paralelas a los ejes cristalográficos estaríamos en situación de hallar inmediatamente las relaciones existentes entre la longitud de cada arista.
Fig.11 celda unidad del azufre
Las relaciones axiales fueron calculadas muchos años antes que los rayos X hicieran posible determinar las dimensiones absolutas de la celda unidad. Midiendo los ángulos interfaciales en el cristal, y mediante ciertos cálculos, es posible llegar a las relaciones axiales que expresen las longitudes relativas de los ejes cristalográficos.
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Parámetros: las caras del cristal se definen mediante su intersección en los ejes cristalográficos. Así, al describir una cara de un cristal es necesario determinar si es paralela a dos ejes y corta al tercero, o si es paralela a un eje y corta a los otros dos, o bien, si corta a los tres. Además debe determinarse a que distancia relativa corta la cara a los diferentes ejes.
Fig.12 Bipirámide de azufre
Fig.13 Azufre
Para la cara de un cristal que corte los ejes cristalográficos a estas distancias relativas (tomándolas como distancias unidad), las intersecciones deberían darse como: uno sobre a, uno sobre b, y uno sobre c, sea 1a, 1b,1c (véase fig.12). Una cara que corte los dos ejes horizontales a distancia proporcionales a las longitudes unidad, tendrá por parámetros 1a, 1b, 2c. Hay que tener presente que estos parámetros son estrictamente relativos en sus valores y no indican ninguna longitud real. Para ilustrar esto mejor aún, consideraremos la figura 13, que representa un cristal de azufre. Las formas que presenta son dos pirámides de diferente pendiente, pero cada una corta los ejes del cristal, una vez prolongados convenientemente. La pirámide inferior corta los dos ejes horizontales a distancias que son proporcionales a sus longitudes unitarias. Los parámetros de la cara de esta pirámide que corta los extremos positivos de los tres 20
ejes cristalográficos son: 1a, 1b y 1c. La pirámide superior corta los ejes horizontales tal como muestran las líneas de puntos, también a distancias que, mayores que en la bipirámide inferior, son aún proporcionales a las longitudes unitarias. Sin embargo, corta el eje vertical a una distancia que, considerada en relación con su intersección con los ejes horizontales, es proporcional en la mitad de la longitud unitaria de c. Los parámetros de una cara serían por lo tanto, 1a, 1b, 1/2c. De esto se deduce que los parámetros 1a, 1b, en los ejemplos representados, no tienen las mismas distancias reales, sino que expresan solamente valores relativos. Los parámetros de una cara no determinan en modo alguno, su tamaño, ya que una cara puede ser desplazada paralelamente a ella misma a cualquier distancia, sin variar los valores relativos de sus intersecciones con los ejes cristalográficos.
Índices: han sido desarrollados diversos métodos para expresar la intersección de cualquier cara de cristal sobre los ejes del mismo. La empleada más universalmente es la del sistema de índices de Miller, aunque no sea sencilla para un principiante, se adapta por sí misma a los cálculos cristalográficos y, por consiguiente, tiene una extensa gama de aplicación; por lo que consideraremos utilísimo introducirla aquí. Los índices de Miller de una cara consisten en una serie de números enteros que se han derivado de los parámetros por inversión y reducción de los quebrados resultantes. Los índices de una cara se dan siempre en tal orden que los tres números (cuatro sistemas hexagonales) se refieren a los ejes a, b y c, respectivamente, y por lo tanto se omiten las letras que indican los diferentes ejes. Igual que los parámetros, los índices expresan una relación, pero a efectos de brevedad, también se omite el signo de relación. La cara de la bipirámide que aparece en la figura 13, que tenia 1a, 1b, 1c por parámetros , tendrá
como índices (111). La cara de la figura 14 tiene 1a, 1b ∞ c como parámetros, e invirtiendo, 1/1, 1/1, 1/∞, de donde el índice es (110). Caras q ue tengan respectivamente los parámetros 1a, 1b, ½ c y 1a, 1b, 2c, tendrían como ecuación 1/1, 1/1, 2/1 y 1/1, 1/1, 1 /2. De este modo, procediendo a la reducción de las fracciones, resultará, respectivamente, (112) y (221).
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Hasta aquí hemos considerado solamente aquellas caras que intersectan los extremos positivos de los ejes cristalográficos.
Fig. 14 Prisma y bipirámide
Fig.15 Bipirámide
Hasta aquí hemos considerado solamente aquellas caras que intersectan los extremos positivos de los ejes cristalográficos. Para denotar si corta el extremo negativo de un eje, se pone una línea sobre el número o letra correspondiente, tal como se ilustra en la figura 15. Cuando empezó el estudio de los cristales se descubrió que, para una cara cualquiera, los índices deben expresarse siempre por números enteros. Las relaciones entre ellos podrían
ser 1:2, 2:1, 2:3, 1:∞, etc., pero nunca 1:√2, etc. Esto se conoce con el nombre de racionalidad de los índices.
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Habito del cristal: por hábito del cristal se entiende la forma o combinación de formas comunes y características en las cuales cristaliza un mineral. Incluye también la forma general y las irregularidades de crecimiento, si tales irregularidades son de aparición corriente.
Fig. 16 Cubo
Fig. 17 Cubo deformado
Fig. 18 Octaédro
Fig.20 Dodecaédro
Fig.19 Octaédro deformado
Fig. 21 Dodecaédro deformado
La galena, por ejemplo, tiene un hábito cúbico; la magnetita, octaédrico, y la malaquita, fibroso. Esto quiere decir, que aunque estos minerales se encuentren en cristales que puedan mostrar otras formas, tales hallazgos resultan escasos, y su hábito es cristalizar hemos indicado. Se conoce muy poco acerca de los factores que determinan el hábito;
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pero el tipo de disolución, el régimen de crecimiento del cristal, la temperatura y la presión desempeñan un importante papel. Los cristales pueden crecer más rápidamente en un sentido que en otro; en otros casos pueden interferir cristales ya formados impidiendo un crecimiento simétrico. Tales cristales se dice que están deformados. Por lo corriente, la deformación no es tan grande que pueda impedir imaginar inmediatamente como debería ser el cristal idealmente desarrollado, determinando así su simetría. Es de notar que la simetría real de un cristal no depende del tamaño ni la forma de sus caras, sino más bien de las propiedades físicas de sus caras y de la disposición de sus ángulos interfaciales.
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Si incorporamos la tercera dimensión del espacio se obtienen las redes tridimensionales
Red unitaria, celda unitaria : La celda unitaria es una región de la red definida por medio de los tres vectores de translación a - b - c y por los ángulos entre ellos (α- β- γ) por lo que queda definido por un paralelogramo (no divisible en otro menor) que al ser repetido indefinidamente en sus tres dimensiones a través de sus vectores forman a todo un cristal (una red) como se puede apreciar en la siguiente figura.
Fig.22 Celda unitaria
Vectores unitarios: El conjunto de vectores de translación linealmente independientes a b c, que se pueden usar para definir una red unitaria, la cual contiene todos los elementos de simetría de la red. Se definen conociendo el valor de los ángulos de simetría que forman entre ellos y sus vectores.
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En una red cristalina existe una porción del espacio cristalino, denominado celda unidad, el cual repetido por traslación y adosado desde un punto reticular a otro engendra toda la red cristalina (retículo). De esta manera, conociendo la disposición exacta de los átomos dentro de la celdilla unidad, conocemos la disposición atómica de todo el cristal.
Fig.23 Redes cristalinas
Repetición de una celda unidad cúbica: cubo (a), octaedro (b) o dodecaedro (c).
Fig. 24 Repetición de una celda unitaria El hábito de la celda unidad no tiene porqué definir el hábito de un cristal
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Celda unitaria primitiva: Una celda unitaria se dice que es primitiva cuando contiene únicamente nudos en cada vértice de la celda. Igualmente, a los vectores de esta celda se le denominan vectores bases primitivos. Sólo existen 7 posibles celdas unidades primitivas en la Naturaleza, que son las que definen los 7 sistemas cristalinos que existen. Aunque algunos sistemas pueden tener más de una variedad de su propia celda unitaria además de la primitiva.
Fig.25 7 sistemas cristalinos
En la Naturaleza sólo existen 7 posibles celdas unidades primitivas, que son las que definen los 7 sistemas cristalinos que existen, pero algunos sistemas cristalinos pueden tener variaciones de la celda unitaria primitiva de manera que podemos encontrarnos 14 posibles celdas unidades
REDES DE BRAVAIS.
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REDES DE BRAVAIS Basados en consideraciones geométricas existen 14 formas de acomodar puntos en las redes cristalinas, conocidas como redes de Bravais. Estas redes se pueden agrupar en 7 sistemas cristalinos en función de la relación directa de la magnitud de los vectores, a, b, c y de los
ángulos entre ellos, α, β, γ. A la celda unidad más sencilla (sólo elementos en los vértices) se le denomina primitiva (P). Pueden, según los grupos, existir otro tipo de celdas:
Centrada en el interior (I),
Centrada en 2 caras o centrada en las bases (C),
Centrada en todas las caras (F).
Estas son las 14 redes de Bravais de las cuáles 7 son primitivas (P) que definen los siete sistemas cristalinos y las otras 7 se denominan múltiples (C F, I).
Fig.26 14 Redes de BRAVAIS 28
SISTEMA CÚBICO Existen tres variedades principales, entre otras, de este tipo de cristal:
Cúbico simple
Cúbico centrado (CCC)
Cúbico centrado en las caras (CFC)
α =β = γ
= 90º
Grupos puntuales: 23 – m3 – 43m – 432 – m3m
Ejes cristalográficos: los cristales de todas las clases del sistema regular se refieren a tres ejes de igual longitud y normales entre sí. Dado que los ejes son idénticos, resultan intercambiables, y a todos ellos se les designa con la letra a. Cuando están debidamente orientados, un eje, el a, es horizontal y va de derecha a izquierda, y el a, es vertical.
Símbolos de las formas: aunque el símbolo de una cara cualquiera de una forma cristalina puede emplearse como símbolo de esta forma, siempre que sea posible se usa la que tiene h, k,l todos positivos. En formas que tienen dos o más caras con h, k, l positivos, este criterio es ambiguo. En tales casos se utiliza el criterio h < k < l. Por ejemplo la forma con símbolo (123) comprende también caras con símbolos (132), (213), (231), (312) y (321). De acuerdo con nuestro criterio, {123} debe tomarse como el símbolo de la forma, puesto que h
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Fig.27 Ejes cristalográficos cúbicos Al dar las coordenadas angulares de la forma es costumbre dar solo las de una de las caras de la forma; las demás pueden determinarse conociendo la simetría. La cara que se elige
para ello es la que tiene los valores menores de Ƥ y ρ. Esta es precisamente la cara para la cual h < k < l.
Características del sistema cubico Las características sobresalientes de los cristales cúbicos que ayudan a su reconocimiento pueden sintetizarse como sigue: Los cristales no deformados son equidimensionales en tres dimensiones normales entre sí. Estas tres direcciones en los cristales hexaquisoctaédrica son ejes de simetría cuaternaria; en las otras dos clases son ejes de simetría binaria. Los cuatro ejes de simetría ternaria comunes a todas las clases del sistema cúbico. Corrientemente los cristales presentan caras que son cuadrados o triángulos equiláteros, o estas figuras con vértices truncados. Están caracterizados por el gran número de caras similares; el menor número de cualquier forma de la clase hexaquisoctaédrica es de seis. Cada forma, por si sola, formaría un sólido y es, de este modo, una forma cerrada.
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Ejemplo de minerales
Algunos de los minerales que cristalinas en el sistema son los siguientes:
Galena, pirita, halita, blenda, Pirocloro, Piropo (mineral), Plata, Polucita, Maghemita, Magnesioferrita, Magnetita, Majorita, Manganosita, Camacita, Carrolita, Clausthalita, Clorargirita, Coloradoíta, Cromita, Cuprita, Danalita, Domeikita, etc.
Galena
Pirita
Blenda
Halita
Camacita
Carrolita
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SISTEMA TETRAGONAL Existen dos variedades principales de este tipo de cristal:
Tetragonal simple
Tetragonal centrado a=b≠c α = β = γ= 90º
Grupos puntuales: 4 – 4m – 4/m – 4mm – 422 – 42m – 4/mmm Ejes cristalográficos: los ejes del sistema tetragonal son 3 y forman angulos rectos entre si. Los dos ejes horizontales a, son iguales en longitud, y por consiguiente intercambiables, pero el eje vertical c, es de diferente tamaño, característico para cada mineral tetragonal. La figura 28 representa los ejes cristalográficos del mineral tetragonal zircón, donde c es menor que a. La figura 29 representa, los ejes cristalográficos del mineral anatasa, donde c es mayor que a. la longitud de los ejes horizontales se toma como unidad, y la relación del eje vertical se expresa en términos de la horizontalidad.
Fig. 28 y 29 Ejes cristalográficos del sistema tetragonal
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Características del sistema tetragonal Tiene dos ejes situados en el plano horizontal iguales, el tercero es vertical y corto o largo.
Ejemplos de minerales
Algunos de los minerales que cristalizan en el sistema
Anatasa, Apofilita. Argutita, Asisita, Babeffita, Bandylita, Baotita, Braggita, Braunita, Briartita, Cahnita, Calcopirita, Carletonita, Casiterita, Cuadratita, Leucita, Litargirio, Luzonita
Apofilita
Calcopirita
Braunita
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SISTEMA HEXAGONAL
a=b≠c α = β =90º; γ = 120°
Grupos puntuales: 6 – 6 – 6/m – 6mm – 622 – 62m – 6/mmm Ejes cristalográficos: tanto las formas de la división hexagonal como las de la división romboédrica se refieren a cuatro ejes cristalográficos, tal como propuso Bravais.
Fig.30 y 31 Ejes cristalinos hexagonales
Tres de estos, los ejes a, descansan en el plano horizontal y son de igual longitud, con ángulos de 120° entre los extremos positivos; el cuarto eje, c, es vertical. La longitud de los ejes horizontales 34
se toma como unidad; y el eje vertical, que es de distinta longitud en cada uno de los minerales hexagonales,
se expresa en función de aquella. Así, para el berilio, el eje vertical, designado
por c, tiene una longitud que, en relación con la longitud de los ejes horizontales. Es de c= 0,499. Cuando queda orientado debidamente el cristal, uno de los ejes cristalográficos horizontales va de derecha a izquierda y los otros dos forman ángulos de 30° a ambos lados de una línea perpendicular a él. En la figura 30 como los ejes horizontales son intercambiables entre sí, normalmente se les designa con a 1, a2, a3. Téngase en cuenta que el extremo positivo de a 1, hacia atrás y a la izquierda. La figura 31 nos muestra 4 ejes en proyección clinográfica. Al dar el índice de cualquier cara de un cristal hexagonal. Deben darse cuatro números (el símbolo de Bravais), puesto que hay cuatro ejes. Los números que expresan los recíprocos de las intersecciones de una cara sobre los tres ejes horizontales se dan por el siguiente orden a1, a2, y a3 y el número que expresan el reciproco de la intersección con el eje vertical, se da al final. El símbolo general de la forma de Bravais es {hkil} con h < k. El tercer dígito del índice es siempre igual a la suma de los dos primeros con signo cambiado, o, dicho de otro modo, h + k + i = 0.
Características del sistema hexagonal Contiene cuatro ejes de referencia, tres iguales en longitud y en el plano horizontal, el cuatro eje es vertical.
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Ejemplos de minerales
Algunos de los minerales que cristalizan en el sistema son: Cuarzo, Bazzita, Benitoíta, Bentorita, Berborita, Berilo, Beudantita, Plumbopaladinita, Portlandita, Povondraíta, Proustita, Taaffeíta, Taumasita, Tetradimita, Tincalconita, Grafito, Troilita, Vanadinita, Vaterita.
Grafito
Taaffeíta
Proustita
Berilo
Erionita 36
SISTEMA RÓMBICO Existen cuatro variedades principales de este tipo de cristal:
Ortorrómbico simple
ortorrómbico centrado
ortorrómbico con bases centradas
ortorrómbico con caras centradas
Grupos puntuales: 222 – mm2 – mmm Ejes cristalográficos: en el sistema rómbico existe tres ejes cristalográficos de longitudes distintas y normales entre sí. La longitud relativa de los ejes, o la relación axial, deben determinarse en cada uno de los minerales rómbicos.
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En la orientación de un cristal rómbico, ha sido adoptada por los cristalógrafos la convención c < a < b. No obstante, antiguamente esta convención no era ni mucho menos observada y era costumbre referirse a la orientación dada en la literatura. Por lo tanto, cualquiera de los tres ejes podría ser escogido como el eje vertical, o eje c. El más largo de los otros dos se tomaba entonces como el eje b, y el mas corto como el eje a. En el pasado la elección del eje vertical c, se basó en el habito del cristal.
Fig.32 Eje cristalográfico del sistema rómbico
Características del sistema rómbico Tiene tres ejes perpendiculares entre sí, de diferentes longitudes. Ejemplos de minerales
Los minerales que cristalizan en el sistema son:
Adelita (mineral), Aguilarita, Aikinita, Alejandrita, Andalucita, Andorita, Anglesita, Anhidrita, Antlerita, Antofilita, Aragonito, Argirodita, Goethita, Goslarita, Groutita, Guanajuatita, Hemimorfita, Hiperstena.
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Alejandria
Andorita
Aragonito
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SISTEMA MONOCLINICO
Monoclínico simple
Monoclínico centrado
Grupo puntual: 2 – m – 2/m Ejes cristalográficos: en el sistema monoclínico aparecen tres ejes cristalográficos de longitudes desiguales. Los ejes a y b, y b y c, son normales entre sí, pero el a y el x forman un ángulo oblicuo. La longitud relativa de los ejes y el ángulo entre los ejes a y c varían para cada mineral monoclínico y deben ser determinados después de hacer tomado las medidas apropiadas.
Fig.33 Eje cristalográfico del sistema monoclínico
Características del sistema monoclínico
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Tiene 3 ejes desiguales, dos en el plano vertical, que se cortan en angulos oblicuos, el tercer eje perpendicular al plano de los otros dos.
Ejemplos de minerales
Algunos de los minerales que cristalizan en el sistema son los siguientes:
Acrocordita, Actinolita, Acuminita, Admontita, Aerinita, Afwillita, Akaganeíta, Alacranita Alactita, Alamosita, Allanita, Alluaudita, Aluminita, Andorita, Andyrobertsita, Annabergita Ardaíta, Arfvedsonita, Arsenopirita, Arthurita, Artinita
Actinolita
Acrocordita
Esperita
SISTEMA TRICLINICO 41
Grupo puntual:
1, 1
Ejes cristalográficos: en el sistema triclínico hay tres ejes cristalográficos de longitud diferente, que forman angulos oblicuos entre sí. Las tres reglas que el estudiante elemental debe seguir en la orientación de un cristal triclínico, para determinar la posición de los ejes cristalográficos son :1) la zona más desarrollada se toma como la vertical, 2) el pinacoide básico debe inclinarse hacia la derecha, 3) en la zona vertical se deben seleccionar dos formas: una como el primer pinacoide , la otra como el segundo.
Fig. 34 Cruz axial triclinica
Características del sistema triclínico Tiene sus tres ejes desiguales que se cortan oblicuamente, no tiene ejes ni planos de simetría, solo centro.
Ejemplo de minerales 42
Minerales que cristalizan en el sistema
Hilgardita, Inesita, Jennita, Kurnakovita, Labradorita, Laueíta, Leightonita, Lengenbachita, Leucofanita, Lopezita, Martinita, Messelita, Microclina, Agrellita, Aheylita, Albita, Alstonita, Alunógeno, Amarantita, Amazonita, Ambligonita, Analcima, Anapaíta, Andesina Anortita Astrofillita, Axinita.
Albita
Amazonita
Inesita
SISTEMA TRIGONAL 43
a=b=c
α= β = γ ≠ 90º
Grupo puntual: 3 – 3 – 3m – 32 – 3m Características del sistema trigonal Tiene tres ejes perpendiculares entre si de igual tamaño y sus tres angulos iguales.
Ejemplos de minerales
Minerales que cristalizan en el sistema
Acetamida, Ajoíta, Alunita, Ankerita, Antarticita, Bararita, Belendorffita, Benstonita, Berborita, Berlinita, Beudantita, Brucita, Buergerit, Calcedonia, Calcita, Carlinit, Cerita, Cinabrio, Cincowoodwardita, Circonolita, Cobaltocalcita, Corindón, Cronstedita, Dioptasa, Dolomita, Dravita.
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Ejemplo de minerales
Alunita
Ónix
Calcita
Buergerita
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TABLA RESUMEN Comparación de simetría de los sistemas cristalinos
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CONCLUSION
Existe 7 sistemas cristalinos en la naturaleza con sus respectivas celdas llamadas
“redes de Bravais”.
Los sistemas que existen son: cubico, tetragonal, hexagonal, rómbico, triclínico, monoclínico y trigonal. Hay cuatro tipos básicos de celda: simple, centrada en el cuerpo, centrada en las caras, centrada en la base.
Todos los sistemas contienen su grupo puntual y los minerales que cristalizan en el.
La simetría de los minerales es muy importante, ya que al hacer cualquier transformación a un objeto se mantiene en su posición como si nunca lo hubieses movido.
Los sistemas cristalinos son átomos, moléculas o iones, que se repiten periódicamente en las tres direcciones del espacio, ocupando posiciones definidas. Como consecuencia de la distribución anterior, poseen forma geométrica exterior definida.
Se identificaron los grupos puntuales de cada sistema gracias a los elementos de simetría, a los planos, ejes, etc., así logre identificar con mayor facilidad a que sistema pertenece cada red unitaria.
La mayor parte de los minerales corrientes cristalizan en 10 ó 12 de las 32 clases cristalinas posibles, y de este modo éstas son de mayor importancia para el mineralogista.
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BIBLIOGRAFIA Para realizar el informe me ayude de las siguientes páginas web:
https://books.google.cl/books/about/Manual_de_mineralog%C3%ADa.html?id=4z8 EMkxqfe4C
http://geologiavenezolana.blogspot.cl/2010/08/manual-de-mineralogia-de-j-danavol-1-y.html
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