Matematica Finanziaria Indicatori temporali
Prof.ssa Maria Sole Staffa a.a 2007-2008
Definizioni
La forma forma “temp “tempora orale” le” di un’ope un’operaz razion ionee finanz finanziar iaria ia assum assumee talvol talvolta ta un’imp un’import ortanz anzaa rileva rilevante nte risultando collegata la variabilità della struttura per scadenza alla variabilità del prezzo. Consideriamo un flusso finanziario di entrate A=( a1 a! a" #$an% t=( t1 t! t" #$tn% c&e ' possibile acuistare in t=) al costo di a ). L’indicatore temporale sintetico pi* immediato ' la +cadenza t n (maturit,%. +i definisce anc&e -ita -ita a +cadenza +cadenza o -ita -ita esidua (time to maturit,% la durata t n/t. Consideriamo un progetto A di investimento con i seguenti flussi0 A=(/1))$)) 2$)) 2$)) 2$))1)2$))% 2$))1)2$))% t=( ) 1 ! " 3% 4l 54 di tale investimento ' 54(A%=26. La maturit, e la vita residua dell’investimento dell’investimento A ' 3. La -ita a +cadenza misura semplicemente la vita residua dell’investimento$ senza tener conto di uali sono i flussi associati a ciascuna scadenza. +e ponderiamo ogni scadenza con il flusso c&e in tale epoca si verifica otteniamo la scadenza media aritmetica0 n
∑ ( t − t ) ⋅ a s
t
=
s
s =1
n
∑a
(3/2.1%
s
s =1
La scadenza media aritmetica del progetto A ' 2 + ! ⋅ 2 + " ⋅ 2 + 3 ⋅ 1)2 t a = = "$72 (anni% 2 + 2 + 2 + 1)2 . La scadenza media aritmetica$ per8$ non tiene conto dei tassi di interesse$ dunue del diverso valore di un flusso in funzione di uando esso si verifica. +e ponderiamo ciascuna scadenza con il valore attuale dei flussi (calcolato in base al 54% otteniamo la durata media finanziaria o duration0 n
∑ ( t − t ) ⋅ a s
D( A)
=
s
⋅ (1 + i ) −
s
s =1
n
∑a
s
⋅ (1 + i )
− s
(3/2.!%
s =1
9ella (3/2.!% si ' posto posto 54=i. 4l denominatore della (3/2.!% (3/2.!% ' il valore attuale dei flussi flussi futuri calcolato in base al 54$ dunue$ dunue$ ' proprio il “prezzo” dell’investimento. :er costruzione la duration ' la media aritmetica ponderata delle scadenze$ calcolata usando come pesi il valore attuale dei flussi. La duration del progetto A '0
D ( A)
=
2 + !⋅ 2 ! 1$)2 1$)2
+ "⋅ 1))
2 1$)2
"
+ 3⋅
1)2 1$)2 3
= "$7!"!2 (anni%
La duration ' una misura della risc&iosità risc&iosità del progetto0 progetto0 pi* elevata elevata ' la duration$ duration$ maggiore maggiore ' la risc&iosità associata al progetto in esame. ;a come limite superiore la maturit, D( A) ∈ ( ) n] $ e
coincide con essa solo per progetti con una sola entrata (tipo operazioni finanziarie semplici%$ infatti0 n −1
∑ ( t − t ) ⋅ a ⋅ (1 + i ) s
D( A) =
− s
s
+ ( t n − t ) ⋅ a n ⋅ (1 + i )
−n
s = )
n −1
∑ a ⋅ (1 + i )
− s
s
+ a n ⋅ (1 + i )
(3/2."%
−n
s =)
+e il progetto &a un’unica entrata all’epoca n$ la (3/2."% diviene0 ( t − t ) ⋅ a ⋅ (1 + i ) − D( A) = = ( t − t ) − a ⋅ (1 + i ) A uesto punto della trattazione$ senza perdere generalità ipotizziamo c&e t=) e t s=s. La duration di una rendita a rata costante ' n
n
n
n
n
n
n
D( A)
=
∑ R ⋅ s ⋅ (1 + i ) s =1
n
∑ R ⋅ (1 + i)
n
− s
=
− s
s =1
∑ s ⋅ (1 + i)
− s
s =1
n
∑ (1 + i )
− s
=
( Ia )
n i
a
(3/2.3%
ni
s =1
La risc&iosità di una rendita a rata costante$ come ' evidente dalla (3/2.3%$ ' invariante rispetto all’ammontare delle rate. La duration ' funzione decrescente dei flussi intermedi 1 e del tasso con cui viene calcolata viceversa ' funzione crescente della durata dell’operazione finanziaria analizzata0 ∂ D •
∂n ∂ D
•
∂a s ∂ D
•
∂i
> )0
pi* ' alta la maturit, e pi* risc&ioso risulta il progetto
≤ )0
maggiori sono i flussi intermedi del progetto e meno risc&ioso risulta il progetto !
<)0
maggiore ' il tasso i utilizzato e minore ' la risc&iosità del progetto ".
Il Rischio di tasso
La duration rappresenta “l’epoca ottima di smobilizzo”$ ovvero l’epoca in cui$ disinvestendo$ si ottiene con certezza il rendimento preventivamente associato all’investimento$ a prescindere dalle condizioni effettive del mercato.
1
4nfatti$ pi* sono elevati i flussi intermedi e meno risulta risc&ioso l’investimento. 5ale considerazione$ se applicata ad un investimento in titoli obbligazionari a cedola fissa$ prende il nome di “effetto cedola”. ! :er la (3/2.3% ' evidente c&e la derivata della duration di una rendita a rata costante ' pari a zero0 dunue in tal caso la risc&iosità del progetto ' invariante rispetto all’ammontare delle rate. " +e si utilizzano i tassi di mercato per calcolare la duration allora &a senso finanziario pensare ad una variazione degli stessi. +e invece utilizziamo il 54 per calcolare la durata media finanziaria non &a senso finanziario pensare a variazioni del 54 senza variazioni delle altre grandezze (il prezzo in particolare%. 3 4n particolare$ se i tassi di mercato aumentano il valore attuale dei flussi futuri diminuisce. 2
4n particolare$ se i tassi diminuiscono il montante diminuisce.
9el progetto A preso come esempio$ calcoliamo il valore di smobilizzo all’epoca t=" (<% del progetto A$ in tre ipotesi di mercato0 tassi di mercato invariati (26% tassi di mercato in aumento (>6% tassi di mercato in diminuzione (36%. Calcoliamo il montante (o valore di reimpiego$ ?t% dei flussi dell’investimento A all’epoca t=" nel caso di tassi fissi al 260 M " ( 26 )
= a1 ⋅ (1 + i ) ! + a ! ⋅ (1 + i ) + a" = 2 ⋅ 1$)2 ! + 2 ⋅ 1$)2 + 2 = 12$>1
4l valore attuale (o valore di realizzo$ -t% del flusso all’epoca t=3 '$ sempre nel caso di tassi fissi al 260 1 V " ( 26 ) = a 3 ⋅ = 1)2 ⋅ 1 = 1)) 1+ i 1$)2 icalcoliamo i due valori nel caso di tassi in aumento (i1=>6%0 ! M " ( >6) = a1 ⋅ (1 + i ) + a ! ⋅ (1 + i ) + a" = 2 ⋅ 1$)> ! + 2 ⋅ 1$)> + 2 = 12$@! V "
( >6)
1
= a3 ⋅
= 1)2 ⋅
1+ i
1 1$)>
= @@$)>
e nel caso di tassi in diminuzione (i!=36%0 ! M " ( 36 ) = a1 ⋅ (1 + i ) + a ! ⋅ (1 + i ) + a" = 2 ⋅ 1$)3 ! + 2 ⋅ 1$)3 + 2 = 12$>1 V "
( 36)
= a3 ⋅
1 1+ i
= 1)2 ⋅
1 1$)3
= 1))$@>
= 112$7> W " ( >6 ) = 113$@7 W " ( 36 ) = 11>$27 W " ( 26 )
4l rendimento (calcolato come ;: su base annua% effettivamente ottenuto dall’investimento originario$ nelle tre ipotesi sui tassi di mercato '0 ;:annuo(26%=26 ;:annuo(>6%=3$7>6 ;:annuo(36%=2$!36 +e smobilizzo l’investimento ad un’epoca t< prevale l’effetto realizzo sull’effetto reimpiego$ dunue si ottiene un ;: su base annua maggiore se i tassi diminuiscono. +e si calcola invece il valore di smobilizzo all’epoca t=3 (<% del progetto A attraverso il montante dei flussi dell’investimento A all’epoca t=3 (poic&B siamo all’epoca t=n maturit,/ non esiste l’effetto realizzo$ non avendo l’investimento alcun flusso futuro%$ nelle tre ipotesi sui tassi di mercato otteniamo n
M 3 ( 26 )
= ∑ a ⋅ (1 + i )
n − s
= 2 ⋅ 1$)2 " + 2 ⋅ 1$)2 ! + 2 ⋅ 1$)2 + 1)2 = 1!1$22
n − s
= 2 ⋅ 1$)> " + 2 ⋅ 1$)> ! + 2 ⋅ 1$)> + 1)2 = 1!1$D7
s
s =1
V 3 ( 26 )
=) n
M 3 ( >6 )
= ∑ a ⋅ (1 + i ) s
s =1
V 3 ( >6 )
=) n
M 3 ( 36 ) V 3 ( 36 )
= ∑ a ⋅ (1 + i )
n − s
s
= 2 ⋅ 1$)3 " + 2 ⋅ 1$)3 ! + 2 ⋅ 1$)3 + 1)2 = 1!1$!"
s =1
=)
4l rendimento associato all’investimento A$ nell’ipotesi di mantenere fino a scadenza l’investimento ' HPRannuo(26%=26 HPRannuo(>6%=2$)76 HPRannuo(36%=3$@"6 +e smobilizzo l’investimento ad un’epoca t D prevale l’effetto reimpiego sull’effetto realizzo$ infatti si ottiene un rendimento eE post maggiore nell’ipotesi di aumento dei tassi di interesse sul mercato. 4nfine calcoliamo il valore di smobilizzo all’epoca t ="$7! (=<% del progetto A0 il montante dei flussi dell’investimento A all’epoca t ="$7! e il valore all’epoca t del flusso futuro$ nelle tre ipotesi sui tassi di mercato0 M "$ 7! ( 26 )
V "$7! ( 26 )
s
s
s =1
1
(1 + i )
3 − "$ 7!
1)2
=
"
1$)2 )$ !D
= 1)"$2@
= ∑ a ⋅ (1 + i ) "$ 7! − = 2 ⋅ 1$)> !$ 7! + 2 ⋅ 1$)>1$ 7! + 2 ⋅ 1$)> )$7! = 1>$>)" s
s
s =1
= a3 ⋅
M "$ 7! ( 36 )
V "$7! ( 36 )
= ∑ a ⋅ (1 + i ) "$ 7! − = 2 ⋅ 1$)2 !$7! + 2 ⋅ 1$)21$7! + 2 ⋅ 1$)2 )$ 7! = 1>$"!@
= a3 ⋅
M "$ 7! ( >6 )
V "$ 7! ( >6 )
"
1
(1 + i ) 3−"$ 7!
1)2
=
"
1$)> )$ !D
= 1)"$"!
= ∑ a ⋅ (1 + i ) "$ 7!− = 2 ⋅ 1$)3 !$ 7! + 2 ⋅ 1$)31$ 7! + 2 ⋅ 1$)3 )$ 7! = 1>$)27 s
s
s =1
= a3 ⋅
1
(1 + i )
3 − "$ 7!
=
1)2 1$)3 )$ !D
= 1)"$D7
( 26) = 11@$@! W " $ 7! ( >6 ) = 11@$@! W " $ 7! ( 36 ) = 11@$@! W " $ 7!
4l tasso interno di rendimento associato all’investimento A$ nell’ipotesi di mantenere fino all’epoca t =< l’investimento ' HPRannuo(26%=26 HPRannuo(>6%=26 HPRannuo(36%=26
+i riporta infine un foglio eEcel con tutti i calcoli sopra illustrati importi -€ tempi
100,00 € 0
5,00 € 1
5,00 € 2
5,00 €
105,00 !
"alori att#ali #nitari "alori att#ali sin&ole rate "alori att#ali sin&ole rate pesati 'ir(
0,$5280$52 0,$0702$!78 0,8%87% 0,822702!7
!,7%1$0!7%2 !,551!7$2 !,1$187$$ 8%,875$$
!,7%1$0!7%2 $,0702$!785 12,$575%! !5,550$
5,00)
scadenza
!
scadenza media aritmetica
,75
scadenza media
,7%850%5
d#ration
,722!80
t
*alore in t *alore in t *alore in t *alore in t della cedola in della cedola in della cedola della cedola 1 2 in in !
"alore di smo+ilizzo reimpie&o in t(
5)
!
€
5,7$ €
5,51 €
5,25 €
105,00
€
121,55 €
1%,55 €
105,00
5,00)
%) !)
! !
€ €
5,$% € 5,%2 €
5,%2 € 5,!1 €
5,0 € 5,20 €
105,00 105,00
€ €
121,87 € 121,2 €
1%,87 € 1%,2 €
105,00 105,00
5,07) !,$)
5)
€
5,51 €
5,25 €
5,00 €
100,00
€
115,7% €
10,7% €
105,00
5,00)
%) !)
€ €
5,%2 € 5,!1 €
5,0 € 5,20 €
5,00 € 5,00 €
$$,0% 100,
%$€ €
11!,$7 € 11%,57 €
10,$2 € 10,%1 €
10!,0% 105,
%$!,7%) 5,2!)
5) ,722!802$ €
5,71 €
5,!! €
5,18 €
10,5$
€
11$,$2 €
1%, €
10,5$
5,00)
%) ,722!802$ € !) ,722!802$ €
5,8% € 5,5% €
5,5 € 5,5 €
5,22 € 5,1! €
10,2 10,87
€ €
11$,$2 € 11$,$2 €
1%,%0 € 1%,0% €
10,2 10,87
5,00) 5,00)
realizzo
P
+e smobilizzo l’investimento ad un’epoca t=< i due effetti si bilanciano perfettamente$ infatti si ottiene un rendimento eE post sempre maggiore o uguale al tasso inizialmente previsto a prescindere dalle condizioni di mercato.
=
∑a
⋅ (1 + i )
s
H − s
n
+
s =1
s
⋅ (1 + i )
−( H − s )
=
s = H +1
n
=
∑a
∑a
⋅ (1 + i )
s
H − s
=
(3/2.2%
s =1
n
H
= (1 + i ) ⋅
∑a
s
⋅ (1 + i )
− s
s =1
deriviamo la (3/2.2% rispetto ad (1Fi%0 dW ( i ) = H ⋅ (1 + i ) H
di
H −1
n
n
⋅ ∑ a ⋅ (1 + i ) + (1 + i ) ⋅ ∑ − s ⋅ a ⋅ ( 1 + i) − −1 = − s
H
s
s
s
s =1
s =1
(3/2.>% = (1 + i ) −1 ⋅ H ⋅ ∑ a ⋅ (1 + i ) − − ∑ s ⋅ a ⋅ ( 1 + i ) − =1 =1 Cerc&iamo un punto stazionario (uindi$ per la condizione necessaria$ un valore di ; c&e renda la (3/2.>% pari a zero%0 n
n
H
s
s
s
s
s
s
dW H ( i )
=)
d ( i )
H −1
(1 + i )
⋅ H ⋅ ∑ a ⋅ (1 + i) − − ∑ s ⋅ a ⋅ (1 + i) − =1 =1 n
n
s
s
s
n
H ⋅
∑a
s
s =1
s
=)
n
⋅ (1 + i ) = ∑ s ⋅ a ⋅ (1 + i ) − − s
s
s
s =1
n
∑ s ⋅ a
⋅ (1 + i ) −
s
s
H =
s
s
s =1
= D
n
∑a
s
⋅ (1 + i )
− s
s =1
+e calcoliamo il valore del progetto all’epoca ;=< otteniamo un valore invariante rispetto a variazioni dei tassi di interesse. La duration come indicatore per scelta tra progetti
La duration pu8 essere utilizzata come criterio di selezione tra progetti > alternativi e confrontabili$ soprattutto in situazioni di redditività degli stessi c&e non riesce ad ordinare i progetti stessi 7. +i considerino i seguenti tre progetti t ) 1 ! " 3 2
progetto A /1.)))$)) 2)$)) 2)$)) 2)$)) 2)$)) 1.)2)$))
progetto G /1.)))$)) !")$@7 !")$@7 !")$@7 !")$@7 !")$@7
progetto C /1.)))$)) / / / / 1.!7>$!D
2$))6
2$))6
2$))6
54
Le tre alternative &anno lo stesso esborso iniziale$ la stessa durata e lo stesso 54. Come si pu8 procedere alla sceltaH +e si tiene conto della struttura dei tassi c&e si presentano sul mercato$ ' possibile dare un ordine di preferibilità tra essi. 4potizziamo una struttura di mercato piatta al 26$ e calcoliamo il saldo finale delle tre alternative. t ) 1 ! " 3 2
>
saldi progetto A 2)$)) 1)!$2) 127$>" !12$21 1.!7>$!D
saldi progetto G !")$@7 37"$2) 7!D$12 @@2$2" 1.!7>$!D
saldi progetto C
1.!7>$!D
Ci riferiamo ancora a progetti di investimento. La duration '$ infatti$ un indicatore c&e tiene conto della struttura finanziaria dei tassi di interesse.
7
5utte le tre alternative &anno lo stesso saldo finale0 dunue in ipotesi di struttura piatta i tre investimenti sembrano indifferenti. 4l risultato per8 cambia nel momento in cui si ipotizza una struttura dei tassi crescente (o decrescente%. +i supponga c&e sul mercato si osservano i seguenti tassi a pronti0 i()$1%=26 i(1$!%=2$26 i(!$"%=>6 i("$3%=>$26 i(3$2%=76 Calcoliamo i saldi finali delle tre alternative ai tassi di mercato t
saldi progetto A
saldi progetto G
saldi progetto C
) 1
2)$))
!")$@7
/
!
1)!$72
373$>2
/
"
12D$@!
7"3$11
/
3
!1@$!3
1.)1!$D)
/
2
1.!D3$2@
1."13$>7
1.!7>$!D
2$136
2$>!6
2$))6
;: (annuo%
4n caso di tassi di mercato crescenti$ ' preferibile investire nell’alternativa G$ c&e presenta un saldo finale maggiore ed un &olding period return su base periodale maggiore. +e i successivi tassi a pronti sono decrescenti$ invece$ ' preferibile scegliere l’alternativa con i flussi intermedi pi* bassi. +iano in vigore sul mercato i seguenti tassi a pronti0 i()$1%=26 i(1$!%=3$26 i(!$"%=36 i("$3%="$26 i(3$2%="6 Calcoliamo i saldi finali delle tre alternative ai tassi di mercato. t ) 1 ! " 3 2
saldi progetto A
saldi progetto G
saldi progetto C
2)$)) 1)!$!2 12>$"3 !11$D1 1.!>D$17
!")$@7 37!$"3 7!!$!1 @7D$3> 1.!"D$7@
/ / / / 1.!7>$!D
;: (annuo%
3$D76
3$"D6
2$))6
4n ipotesi di tassi decrescenti risulta preferibile l’alternativa C$ c&e garantisce il saldo finale e l’&olding period return su base periodale maggiore. Cosa distingue i tre progettiH :ur avendo lo stesso esborso iniziale$ la stessa durata e lo stesso 54$ i tre progetti &anno una differente allocazione temporale dei flussi0 l’alternativa C &a un unico ritorno all’epoca t =2$ mentre le altre due &anno flussi intermedi$ in particolare l’alternativa G &a flussi costanti nel tempo. 5ale profonda
diversità nella struttura temporale dei flussi ' evidenziata dalla duration$ c&e permette di ordinare i tre progetti in funzione della loro risc&iosità e in funzione delle aspettative sull’andamento dei tassi di mercato. La duration dei tre progetti '0 <(A%=3$232@2 (anni% <(G%=!$@)!2! (anni% <(C%=2 (anni% Abbiamo già definito la duration come epoca ottima di smobilizzo$ epoca uindi in cui l’investimento risulta immunizzato dal risc&io di variazione dei tassi di interesse dunue$ un progetto con duration pi* elevata implica un’epoca ottima di smobilizzo pi* “lontana” nel tempo$ e uindi meno conveniente se i tassi di mercato sono crescenti. -iceversa ' preferibile un progetto con duration elevata se i tassi di mercato sono decrescenti$ un tale investimento infatti viene mantenuto pi* a lungo in portafoglio$ beneficiando di tassi maggiori rispetti a uelli di mercato D. Interpretazione della duration come volatilità
Consideriamo ancora un flusso finanziario di entrate A=( a1 a! a" #$an% t=( t1 t! t" #$tn% con ai=) c&e ' possibile acuistare in t=) al costo di a ). 4l valore in t=) del flusso ' dato da V ()$ a % =
n
∑ s =1
n
a s
⋅ (1 + i ) −t = ∑ a s ⋅ e − t
δ s
s
s =1
a seconda se consideriamo la capitalizzazione composta annualmente o uella continua. 4l prezzo ' c&iaramente una funzione del flusso di rate (sia dellIimporto c&e del numero dei singoli cas& floJ e delle loro scadenze temporali% e del tasso utilizzato. icordiamone le proprietà analitic&e n
>) V (δ % > ) V (i %
V ()%
= ∑ x
lim V (i % = )
k
s =1 n
V ()%
= ∑ x
i →∞
lim V (δ % = )
δ → ∞
k
s =1
n
V I (i %
= −∑ s =1
n
V I (δ %
t s a s
= ∑ t s a s ⋅ e s =1
⋅ (1 + i ) −t −1 s
V I I (i % =
n
+ ∑ t s ( t s − 1) a s ⋅ (1 + i ) −t −! s
s =1
−δ t s
V I I (δ % =
n
∑ t a s =1
! s
s
⋅ e − t
δ s
:er un operatore$ una volta acuistato un titolo$ il risc&io ' c&e varino i tassi dei titoli simili di nuova emissione. 4nfatti il prezzo di unIattività finanziaria si muove a causa del mutare del livello dei rendimenti. 4n caso di rialzo dei tassi il titolo si deprezza$ dato c&e il suo rendimento si deve uniformare a uello dei titoli di nuova emissione. 4n caso di ribasso dei tassi succede lIesatto opposto. Kondamentale$ uindi$ ai fini della valutazione della convenienza dellIacuisto di un titolo ' la valutazione tramite un indice sintetico dellIampiezza delle oscillazioni di prezzo c&e ci si pu8 aspettare in seguito a variazioni dei rendimenti. :er studiare tale caratteristica da un punto di vista D
5ale discorso vale per i progetti di investimento. +e consideriamo progetti di finanziamento il ragionamento ' del tutto speculare a uanto illustrato.
matematico ci si serve della derivata della funzione prezzo presa rispetto a variazioni del tasso di rendimento. n dV ( ∂ ) − ∂⋅s
= −∑ s ⋅ R s ⋅ e
d ∂
s =1
c&e esprime la sensibilità del prezzo a variazioni infinitesime di tasso.
dV ( ∂ ) d ∂ V ( ∂ )
− ∑ s ⋅ R ⋅ e
n
− ∂⋅ s
s
=
∑ s ⋅ R
s =1
=−
V ( ∂ )
⋅ e −∂ ⋅
s
s
s =1
= − D ) ( ∂ ) R
n
∑ R
s
⋅e
− ∂ ⋅ s
s =1
Come si vede il valore c&e si ottiene ' proprio la
n
n
s
s
s
s
s
n
dV ( i ) di V ( i )
s
=−
1 1+ i
∑ s ⋅ R ⋅ (1 + i)
n
− s
s
⋅
s =1
V ( i )
=−
1 1+ i
∑ s ⋅ R ⋅ (1 + i)
− s
s
⋅
s =1
n
∑ R ⋅ (1 + i )
− s
=−
1 1+ i
⋅ D( i ) = vol
s
s =1
Come si vede in uesto caso non sussiste lIuguaglianza perfetta tra
La linearizzazione della funzione prezzo
MI importante soffermarsi sul tipo di approssimazione utilizzata uando si stima la variazione del prezzo del titolo tramite la volatilità. La funzione V ( i ) &a un andamento come il seguente0 +timare la variazione del prezzo uando si passa da un tasso i ad uno ie = i + ∆i come D ( i ) proporzionale allIampiezza dello s&ift ∆i ed al coefficiente di volatilità − significa misurare 1+ i
la variazione sulla retta tangente e non direttamente sulla funzione. uesto deriva direttamente Andamento della funzione V(i)
( V
TIR
dallIaver limitato lIapprossimazione al primo termine della serie di 5a,lor. LIerrore c&e si commette dipende dalla curva disegnata dallIandamento del valore del titolo al variare del tasso. uesto ' ben visibile dal grafico seguente0 Funzione V( i) e Retta Tangente
V ( i )
V ( i
+ ∆i )
V ( i ) −
D( i ) 1+ i
⋅ V ( i ) ⋅ ∆i i
ie
= i + ∆i
+i nota come allontanandosi dal punto di tangenza la ualità dellIapprossimazione si va degradando ed i valori stimati attraverso la retta tangente si allontanano troppo dal valore effettivo. uindi per dei ∆i rilevanti non ' pi* sufficiente la sola duration$ ma bisogna aggiungere un ulteriore fattore con il uale tenere conto del grado di curvatura$ ovvero della convessità dello strumento. Come ultima osservazione si pu8 notare c&e la variazione di prezzo per un movimento del tasso di attualizzazione stimata con la sola Duration fornisce dei valori simmetrici. Cio' se i tassi scendono di un dato ∆i il prezzo cresce nella stessa misura in cui scenderebbe in caso di aumento di tassi pari allo stesso ∆i . MI naturale c&e si registri un tale comportamento dato c&e la stima ' fatta sulla retta tangente. ?a un tale situazione non si riscontra nei mercati reali$ dove la reazione dei titoli a variazioni dei tassi non ' simmetrica. 9ormalmente sono pi* sensibili a diminuzioni c&e a rialzi di tassi. Anc&e uesto aspetto deriva dalla convessità$ per cui si rende necessario andare a studiare la derivata seconda del prezzo rispetto al tasso di rendimento.
La Conveit!
Lo studio della derivata seconda della funzione valore presa rispetto a variazioni di tasso di interesse permette di tenere conto degli aspetti relativi alla convessità della funzione stessa. 9el continuo si ottiene0 ! n d V ( ∂ ) ! −∂⋅ s d ∂ !
= ∑ s ⋅ R s ⋅ e s =1
M similmente a uanto fatto in precedenza si divide per n
d V ( ∂ ) !
d ∂
!
V ( ∂ )
=
∑ s
( ) per ottenere0
V ∂
n
!
⋅ R ⋅ e
−∂⋅ s
s
s =1
=
V ( ∂ )
∑ s
!
⋅ R ⋅ e −∂⋅
s
s
s =1
n
∑ R
s
= D ! ( ∂ ) ⋅ e − ∂⋅
s
s =1
4l coefficiente ottenuto ' la cosiddetta Duration di secondo ordine calcolabile come la media uadratica al uadrato ponderata delle scadenze (cosN come la Duration ' la media semplice ponderata delle scadenze%. 9el continuo coincide esattamente con la convexity (cosN come nel continuo la duration coincide con la volatilità%. Mssendo ottenuta come derivata seconda esprime il cambiamento della derivata prima ( Duration) per un dato movimento del tasso. icordando c&e la Duration corrisponde al coefficiente angolare della retta tangente alla curva ' c&iaro c&e la convexity permette di studiare la curvatura della funzione valore. Analogamente a uanto visto in precedenza si pu8 estendere lIapprossimazione al secondo elemento della serie di 5a,lor utilizzando la Duration di secondo ordine. ! ! ∆δ ! dV ( ∂ ) d V ( ∂ ) ∆δ ! V ( δ + ∆δ ) ≅ V ( δ ) + ⋅ ∆δ + ⋅ = V ( δ ) − D ( δ ) ⋅ V ( δ ) ⋅ ∆δ + D ( δ ) ⋅ V ( δ ) ⋅ ! !P !P d ∂ d ∂ ispetto a prima si ' semplicemente aggiunto un ulteriore termine corrispondente ad unIapprossimazione tramite una parabola. La variazione percentuale del prezzo ' ora funzione non solo della duration ma anc&e di un secondo termine$ positivo nella maggior parte dei casi$ e molto piccolo uando viene effettivamente calcolato c&e serve a tener conto della curvatura0 ! V ( δ + ∆δ ) − V ( ∂ ) δ ∆ ! ≅ − D ( δ ) ⋅ ∆δ + D ( δ ) ⋅ V ( ∂ ) !P uesto termine di aggiustamento$ essendo nella uasi totalità dei casi sempre positivo$ corregge la variazione del prezzo$ aumentandone la dimensione in caso di rialzo e attenuandola in caso di ribasso. AllIaumentare della onvexity$ uindi$ aumenta la variazione positiva del valore del titolo al diminuire del tasso e si attenua la variazione negativa al crescere del tasso. 9el discreto il discorso ' leggermente diverso. :rendendo la derivata seconda0 ! 1 d V ( i ) = ∑ s ⋅ ( s + 1) ⋅ R ⋅ (1 + i ) −( + !) = ⋅ ( s + s ! ) ⋅ R ⋅ (1 + i ) − ! ! ∑ di (1 + i ) =1 =1 e dividendo per V ( i ) si ottiene0 n
n
s
s
s
s
s
s
()
!
di
!
()
V i
∑ ( + )⋅ n
d V i
=
s
1
(1 + i )
!
⋅
s =1
s
!
R s
()
V i
∑ ( s + s )⋅ R ⋅ (1 + i ) n
⋅ (1 + i )−
s
− s
!
=
s
1
(1 + i )
!
⋅
s =1
n
∑ R ⋅ (1 + i )
− s
=
1
(1 + i )
!
⋅ D ! (i ) = onv.
s
s =1
Come si vede in uesto caso non vi ' perfetta coincidenza fra Duration di secondo ordine e onvexity. Gisogna infatti dividere per il coefficiente (1 + i ) . ?a$ soprattutto$ ' importante notare la differenza nel numeratore rispetto al caso continuo. ?entre nel continuo la
n
∑ ( s + s ) ⋅ R ⋅ (1 + i ) !
n
− s
∑ s ⋅ R ⋅ (1 + i )
s
D ! ( i ) =
s
s =1
=
n
∑ R ⋅ (1 + i )
− s
− s
s =1 n
∑ R ⋅ (1 + i )
s
− s
s
s =1 ! !
n
∑ s
!
⋅ R s ⋅ (1 + i )
− s
= D( i ) + M ! ( s )
+ s =1 n
!
∑ R ⋅ (1 + i )
− s
s
s =1
s =1
dove con M ( s ) si ' indicata la media uadratica al uadrato delle scadenze s ponderata. Mstendendo lIapprossimazione al secondo termine della serie di 5a,lor si ottiene0 dV ( i ) d !V ( i ) ∆i ! D( i ) D ! ( i ) ∆i ! ⋅ ∆i + ⋅ = V ( i ) − ⋅ V ( i ) ⋅ ∆i + ⋅ V ( i ) ⋅ V ( i + ∆i ) ≅ V ( i ) + di !P 1+ i !P di ! (1 + i ) ! C&e pu8 anc&e essere riscritta pi* c&iaramente come0 ∆i ! V ( i + ∆i ) ≅ V ( i ) + Volatility ⋅ V ( i ) ⋅ ∆i + onvexity ⋅ V ( i ) ⋅ !P
La variazione percentuale del prezzo ' proporzionale a0 V ( i + ∆i ) − V ( i ) ∆i ! ≅ Volatility ⋅ ∆i + onvexity ⋅ V ( i )
!P
4l grafico seguente mostra la differenza fra unIapprossimazione lineare ed una con la parabola0 Appross imazione con una Retta o con una Parabola
V ( i )
"unto di tangenz a
"ara#ola
V ( i + ∆i )
$unz ione V(i)
i
ie
= i + ∆i
Retta
+i vede c&e per degli s!ift ∆i molto piccoli la differenza fra le due stime non ' sensibile e ci si pu8 limitare al primo termine della serie di 5a,lor. :er degli s!ift pi* ampi$ invece$ se si vuole mantenere unIapprossimazione accettabile si deve aggiungere il termine corrispondente alla onvexity. :er uanto detto in precedenza ' c&iaro c&e la ovexity sia una caratteristica molto ricercata per i titoli. Qli operatori di mercato si possono porre come obiettivo$ a parità di Duration$ la massimizzazione della onvexity$ per godere del vantaggio di smorzare i ribassi dei prezzi in seguito ad un rialzo del tasso e di accentuarne i rialzi in seguito ad un ribasso del tasso di riferimento. uanto mostrato non deve trarre in inganno circa gli usi c&e si fanno sul mercato dei due coefficienti noti come Duration e onvexity. uesti vengono utilizzati come indicatori del risc&io di un titolo$ proprio per la loro capacità di riflettere in un indice sintetico la sensibilità del prezzo del titolo stesso a variazioni di tasso. +ono indicatori sintetici facilmente confrontabili c&e gli investitori devono tenere in forte considerazione per valutare la convenienza allIacuisto di uno piuttosto c&e di un altro titolo. 4n uesto senso rappresentano un criterio di scelta fra investimenti alternativi.
9ella pratica non vengono invece utilizzati per stimare numericamente la variazione del prezzo di un titolo in seguito ad una variazione di tassi attesa. uesto perc&B$ molto pi* semplicemente$ si pu8 ottenere tale variazione in termini esatti (non come una approssimazione% misurandola sulla funzione valore stessa V ( i ) della uale conosciamo lIalgoritmo di calcolo preciso. Kar vedere come tali indici possano servire per approssimare tramite una serie di 5a,lor il valore di un titolo '$ per8$ comunue importante per mostrare uali sono gli aspetti c&e li portano a considerare come indicatori di risc&io. -ediamo un caso pratico con due progetti0 tempi
pro&etto
pro&etto /
0
-€
1.000,00
-€
1.000,00
1 2 !
€ € € €
1.%0,!$
€ € € €
82,51 !7,87 5%8,% 208,%8
tir
8,0000)
8,0000)
Calcoliamo il nuovo prezzo dei due titoli descritti nella$ stimati attraverso la (3/2.11%$ in ipotesi di tassi in aumento ( i1=1)6% e in ipotesi di tassi in diminuzione ( i1" =>6%. V ( i1 ) A )
=−
R
=− V ) # ( i1 )
R
D A
V ) A ( i ) ⋅ ( i1
1+ i !$3)3
=− =−
1$)D D #
− i) + V )A ( i) =
⋅ 1.))) ⋅ ( )$1 − )$)D) + 1.))) = @22$3D
V ) # ( i ) ⋅ ( i1
1+ i 3 1$)D
− i) + V )# ( i) =
⋅ 1.))) ⋅ ( )$1 − )$)D) + 1.))) = @!2$@"
+e invece ricalcoliamo il prezzo dei due titoli scontando i flussi futuri al tasso i1$ si ottiene0 V )A ( i1 ) = @27 $)2 V )# ( i1 ) = @!@ $!" Qli errori commessi (rispettivamente pari a 1$27 per il progetto A e "$"1 per il progetto G% sono dovuti proprio alla sostituzione della curva con la retta tangente Analogamente$ se ipotizziamo tassi in diminuzione$ i prezzi stimati sono0 V ( i A )
) =−
I R 1
=− V ( i # )
D A
) =−
I R 1
1$)D D #
1+ i 3 1$)D
− i ) + V )A ( i ) =
I
1+ i !$3)3
=−
e uelli effettivi0
V ) A ( i ) ⋅ ( i1
⋅ 1.))) ⋅ ( )$)> − )$)D) + 1.))) = 1.)33$2!
V ) ( i ) ⋅ ( i1 #
I
− i ) + V )# ( i ) =
⋅ 1.))) ⋅ ( )$)> − )$)D) + 1.))) = 1.)73$)7 V )A ( i1I )
= 1.)3>$1@
V )# (i1I ) = 1.)77$>3
L’errore commesso '$ rispettivamente$ pari a 1$>7 per il progetto A e pari a "$2> per il progetto G.
La conveEit, dei due titoli ' CE(A%= D$)@!3@"@32 CE(G%= 17$13>7>@D2 Calcoliamo i nuovi prezzi in ipotesi di aumento dei tassi di interesse. V ) A ( i1 )
R
V ) # ( i1 )
R
=− =−
D 1+ i D 1+ i
⋅ V ) A ( i ) ⋅ ( i1 − i ) + ⋅ V ) # ( i ) ⋅ ( i1 − i ) +
1 ! 1 !
x ⋅ V ) A ( i ) ⋅ ( i1
− i) ! + V )A ( i) = @27$1)
x ⋅ V ) # ( i ) ⋅ ( i1
− i) ! + V )# ( i) = @!@$">
L’errore commesso ' notevolmente pi* piccolo del caso precedente0 per il progetto A ' )$)2$ per il progetto G ' )$1!. Calcoliamo i nuovi prezzi in ipotesi di diminuzione dei tassi di interesse0 R ! D ⋅ V ) A ( i ) ⋅ (i1I − i ) + 1 x ⋅ V ) A ( i ) ⋅ (i1I − i ) + V )A ( i ) = V ) A ( i1I ) = − 1+ i ! = − !$3)3 ⋅ 1.))) ⋅ ( )$)> − )$)D) + 1 ⋅ D$)D! ⋅ 1.))) ⋅ ( )$)> − )$)D) ! + 1.))) = 1$)D
!
= 1.)3>$13 V ) # ( i1I )
R
=− =−
D 1+ i 3 1$)D
⋅ V ) # ( i ) ⋅ ( i1I − i ) +
1 !
x ⋅ V ) # ( i ) ⋅ ( i1I
− i ) + V )# ( i ) = !
1
⋅ 1.))) ⋅ ( )$)> − )$)D) + ⋅ 17$137 ⋅ 1.))) ⋅ ( )$)> − )$)D) ! + 1.))) = !
= 1.)77$2) Anc&e in caso di ribasso dei tassi di interesse il prezzo stimato attraverso la (3/2.13% ' molto vicino al prezzo effettivo (l’errore commesso per il titolo A ' di )$)2$ mentre uello commesso per il titolo G ' pari a )$1"%.
La conveit! come indicatore strategico
La (3/2.1!% pu8 essere riscritta anc&e come n
∑(
s + s
x
=
!
)⋅a
s
⋅ (1 + i ) − s
s =1
=
n
!
(1 + i ) ⋅
∑
a s
⋅ (1 + i )
− s
s =1 n
=
∑
1
(1 + i )
!
s ⋅ a s
⋅ s =1
⋅ (1 + i )
− s
n
+
∑
s
!
⋅ a s ⋅ (1 + i ) − s
s =1
n
∑
a s
==
⋅ (1 + i ) − s
1
(1 + i ) !
⋅ [ D + M ! ]
s =1
Svvero la conveEit, ' data dalla somma della duration (definibile come momento primo delle scadenze$ ponderato con i valori attuali dei flussi% e del momento secondo M !/ ponderato sempre con i valori attuali dei flussi. :osto D ! = D + M ! $ dove D! prende il nome di duration del secondo ordine$ la (3/2.1!% diviene semplicemente
=
1
⋅ D !
(3/2.12% (1 + i ) La conveEit, pu8 essere utilizzata anc&e per risolvere problemi di carattere strategico (scelta tra alternative di investimento%. La conveEit,$ per8$ essendo un indicatore variazionale del 44 ordine$ pu8 essere utilizzata solo a parità di duration (ricordiamo c&e comunue i progetti devono essere confrontabili% e a parità di 54. x
!
+i considerino i seguenti investimenti in titoli0 a=(/1.)))$)) 7)$)) 7)$)) 1.)7)$))% ta=( ) 1 ! "% b=(/1.)))$)) @2$)) 1>$!) 1.1))$))% t b=( ) 1 ! "% Mntrambi con uguale esborso iniziale$ stessa maturit, ( n="%$ stesso $IR (76%$ uguale duration (!$D)D anni% e stessa volatilità (!$>!3%. +cegliere tra le due alternative in base alla conveEit,. Calcoliamo le conveEit, di ciascuna alternativa0 ! ⋅ 7)$)) ⋅ 1$)7 −1
+ ! ⋅ " ⋅ 7)$)) ⋅ 1$)7 −! + " ⋅ 3 ⋅ 1.)7)$)) ⋅ 1$)7 −" x ( A ) = = @$2D@33 1$)7 ! ⋅ 1.))) $)) ! ⋅ @2$)) ⋅ 1$)7 −1 + ! ⋅ " ⋅ 1>$ !) ⋅ 1$)7 −! + " ⋅ 3 ⋅ 1.1)) $)) ⋅ 1$)7 −" x ( # ) = = @$>!> 1$)7 ! ⋅ 1.))) $))
Ona conveEit, maggiore risulta preferibile$ in uanto gli investimenti con derivata 44 maggiore “smorzano” le variazioni in ribasso dei prezzi ed “accentuano” uelle in rialzo. Calcoliamo infatti cosa avviene al valore attuale dei due investimenti in ipotesi di diminuzione ( i1=26% e di aumento (i1’=@6% dei tassi di interesse. A
V )
#
V )
( 26)
=
( 26)
=
7)$))
+
1$)2 @2$))
7)$)) 1$)2
+
1$)2
!
1.)7)$)) 1$)2
1>$!) 1$)2
+
+
!
1.1))$)) 1$)2
= 1.)23$3>
"
"
= 1.)22$"@
T preferibile investire nell’alternativa G$ c&e assicura un apprezzamento maggiore del valore attuale in caso di diminuzione dei tassi di interesse (uindi conviene il titolo con conveEit, maggiore%. A
V )
#
V )
( @6 )
=
( @6 )
=
7)$))
+
1$)@ @2$)) 1$)@
7)$)) 1$)@
+
!
1>$!) 1$)@
!
+
1.)7)$)) 1$)@
+
"
1.1))$)) 1$)@
"
= @3@$"7
= @2)$1@
Anc&e in ipotesi di aumento dei tassi ' preferibile investire nell’alternativa G$ c&e assicura un minor deprezzamento del valore attuale (di nuovo ' preferito il titolo con conveEit, maggiore%. uindi se dobbiamo scegliere tra alternative di investimento c&e presentano stesso valore attuale$ stesso 54 e stessa duration si pu8 analizzare la conveEit,0 si sceglie sempre il titolo con conveEit, maggiore$ ovvero il titolo con derivata seconda maggiore.
% G ( = % A ( -
G A 54
La duration di portafoglio
Consideriamo un ipotetico mercato composto dai seguenti titoli$ tutti con valore nominale di rimborso pari a 1))0 • 5itolo A0 Gt: con tasso cedolare i A=1)6$ durata 1) anni$ cedole annue e prezzo : A=13"$2! • 5itolo G0 Gt: con tasso cedolare i G=D6$ durata 2 anni$ cedole annue e prezzo : G=11!$@@ • 5itolo C0 Gt: con tasso cedolare iC=7$26$ durata 7 anni$ cedole annue e prezzo : C=11"$!1 • 5itolo <0 UCG durata 1) anni e prezzo : <=2D$23 Costruiamo un portafoglio composto dai uattro titoli e calcoliamone il rendimento e la duration. Calcoliamo il 54 @ e la duration di ciascun titolo$ utilizzando il foglio eEcel rappresentato in Kigura 10 1 2 ! 5 % 7 8 $ 10 11 12 1 1! 15 1% 17 18
/
5itolo A0 5itolo G0 5itolo C0 5itolo <0 t ) 1 ! " 3 2 > 7 D @ 1) 54
:A= :A= :A= :A=
/
KA(t% 13"$2! 1)$)) 1)$)) 1)$)) 1)$)) 1)$)) 1)$)) 1)$)) 1)$)) 1)$)) 11)$)) 3$26
13"$2! 11!$@@ 11"$!1 2D$23
/
KG(t% 11!$@@ D$)) D$)) D$)) D$)) 1)D$))
26
iA= 1)6 iG= D6 iC= 7$26 i<= /
/
KC(t% 11"$!1 7$2) 7$2) 7$2) 7$2) 7$2) 7$2) 1)7$2)
2$!6
F
nA= nG= nC= n<=
3
1) 2 7 1)
K<(t% / 2D$23 ) ) ) ) ) ) ) ) ) 1))$)) 2$2)16
Kigura 1 :er calcolare la duration$ si ' utilizzato la seguente procedura. iferiamoci al titolo A$ e andiamo a calcolare la duration del titolo nella cella G1@. icordando c&e il numeratore della duration ' dato dalla somma dei prodotti del valore attuale dei flussi per le epoc&e cui tali flussi sono riferiti$ possiamo considerare tale prodotto come il prodotto tra vettori$ notoriamente dato dalla somma dei prodotti delle singole componenti inoltre$ in eEcel$ ' possibile calcolare il valore attuale di un flusso utilizzando la formula “van(tasso di attualizzazione intervallo dati%”$ in cui il tasso di attualizzazione ' il 54 precedentemente calcolato. 4l denominatore della duration ' il prezzo pagato per acuistare il titolo.
:er il calcolo del 54 si ' utilizzata la nota formula “tir.cost”.
Consideriamo ora un portafoglio composto da una unità di ciascun titolo0 come possiamo calcolare il rendimento e la duration di tale portafoglioH +icuramente il rendimento del portafoglio deve essere un rendimento “medio”$ tale c&e$ sostituito ai singoli rendimenti rende invariante il valore attuale del portafoglio0 dunue la media c&e andremo a calcolare ' un media funzionale c&e utilizza la funzione del valore attuale. On primo approccio per calcolare tale valore ' uello di considerare il portafoglio come un unico titolo (meta titolo% c&e &a prezzo pari alla somma dei prezzi e cas& floJs dati dalla somma dei cas& floJs di ciascun titolo per ogni scadenza omogenea. Costruito tale titolo si procede al calcolo del rendimento e della duration del portafoglio inteso come meta titolo. 4l tasso interno di rendimento del meta titolo ' pari al 3$@>@>6 e la sua duration ' < ?5=>$3@77"1 1). 1 2 ! 5 % 7 8 $ 10 11 12 1 1! 15 1% 17 18 1$ 20
/
5itolo A0 5itolo G0 5itolo C0 5itolo <0
:A= :A= :A= :A= 1
α
t ) 1 ! " 3 2 > 7 D @ 1) 54
/
13"$2! 11!$@@ 11"$!1 2D$23
iA= 1)6 iG= D6 iC= 7$26 i<= / 1 1 1 KA(t% KG(t% KC(t% K<(t% 13"$2! / 11!$@@ / 11"$!1 / 2D$23 1)$)) D$)) 7$2) / 1)$)) D$)) 7$2) / 1)$)) D$)) 7$2) / 1)$)) D$)) 7$2) / 1)$)) 1)D$)) 7$2) / 1)$)) 7$2) / 1)$)) 1)7$2) / 1)$)) / 1)$)) / 11)$)) 1))$)) 3$2))6 2$)))6 2$!))6 2$2)16 7$"1@3 3$"27)3 2$7D1" 1)
F
3
nA= nG= nC= n<=
1) 2 7 1)
?5 / 3!D$!> !2$2) !2$2) !2$2) !2$2) 1!2$2) 17$2) 117$2) 1)$)) 1)$)) !1)$)) 3$@>@>6 >$3@77"1
Kigura ! 5ale metodologia di calcolo diviene difficilmente gestibile nel momento in cui si vuole lavorare con portafogli composti da titoli con maturit, molto elevate (!) o ") anni% e con flussi in entrata (uscita% con cadenza giornaliera 11. +i deve dunue ricorrere ad un procedimento di calcolo c&e tenga conto dei singoli titoli in portafoglio e delle loro caratteristic&e$ sia in termini di prezzo c&e in termini di durata. La duration media del portafoglio ' pari alla media aritmetica ponderata delle duration dei singoli titoli$ in cui i pesi sono dati dai prezzi dei titoli stessi. :er il nostro portafoglio dunue possiamo scrivere0
1)
Come si nota entrambi i valori sono interni all’intervallo dei dati di partenza (54 minimo 3$26 / 54 massimo 2$2)16 / 54 medio 3$@>@>6 $3@77"1%$ proprio perc&B si tratta di un valore medio. 11 +e si considera un portafoglio con un titolo trentennale$ il numero di dati da considerare (flussi giornalieri%$ per il solo titolo sarebbe pari a 1).@2)P
n
∑ D ⋅ P i
D P
=
i
i =1
n
=
D A ⋅ P A
∑ P
+ D ⋅ P + D ⋅ P + D ⋅ P = >$3@7>2D + + + P P P P #
#
A
#
D
D
D
i
i =1
:er il calcolo del rendimento medio si deve effettuare una doppia ponderazione$ per tener conto sia dei diversi prezzi di acuisto dei titoli sia delle diverse durate (espresse dalla durata media finanziaria%1!0 n
∑ $IR ⋅ P ⋅ D i
$IR % =
i
i
i =1
= 3$@>">6
n
∑ P ⋅ D i
i
i =1
Come si pu8 osservare i valori ottenuti calcolando le medie ponderate dei tassi interni di rendimento e delle duration sono molto simili a uelli ottenuti con la costruzione del meta titolo 5ale risultato ' dovuto alla perfetta euiripartizione dei titoli nel nostro portafoglio (composto$ come visto da una unità di ciascun titolo%. 1 2 ! 5 % 7 8 $ 10 11 12 1 1! 15 1% 17 18 1$ 20
/
5itolo A0 5itolo G0 5itolo C0 5itolo <0
:A= :A= :A= :A= 1
α
t ) 1 ! " 3 2 > 7 D @ 1) 54
/
13"$2! 11!$@@ 11"$!1 2D$23
iA= 1)6 iG= D6 iC= 7$26 i<= / 1 1 1 KA(t% KG(t% KC(t% K<(t% 13"$2! / 11!$@@ / 11"$!1 / 2D$23 1)$)) D$)) 7$2) / 1)$)) D$)) 7$2) / 1)$)) D$)) 7$2) / 1)$)) D$)) 7$2) / 1)$)) 1)D$)) 7$2) / 1)$)) 7$2) / 1)$)) 1)7$2) / 1)$)) / 1)$)) / 11)$)) 1))$)) 3$2))6 2$)))6 2$!))6 2$2)16 7$"1@3 3$"27)3 2$7D1" 1)
F
3
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1) 2 7 1) :tf
3$@>">6 >$3@7>2D
Consideriamo ora gli stessi titoli$ ma costruiamo il portafoglio con le seguenti uantità ciascun titolo0 αA = 2 αG = " αC = ! α< = 3 1!
+i veda la Mrror0 eference source not found.
αi
per
4 risultati ottenuti sono illustrati nella tabella sotto riportata0 la differenza tra i risultati ottenuti con i due metodi di calcolo ' pi* rilevante$ in uanto influiscono in maniera pi* incisiva sul calcolo le differenze fra i titoli inseriti in portafoglio. 1 2 ! 5 % 7 8 $ 10 11 12 1 1! 15 1% 17 18 1$ 20
/
5itolo A0 5itolo G0 5itolo C0 5itolo <0
:A= :A= :A= :A= 2
α
t ) 1 ! " 3 2 > 7 D @ 1) 54
/
iA= 1)6 iG= D6 iC= 7$26 i<= / " ! 3 KA(t% KG(t% KC(t% K<(t% 13"$2! / 11!$@@ / 11"$!1 / 2D$23 1)$)) D$)) 7$2) / 1)$)) D$)) 7$2) / 1)$)) D$)) 7$2) / 1)$)) D$)) 7$2) / 1)$)) 1)D$)) 7$2) / 1)$)) 7$2) / 1)$)) 1)7$2) / 1)$)) / 1)$)) / 11)$)) 1))$)) 3$2))6 2$)))6 2$!))6 2$2)16 7$"1@3 3$"27)3 2$7D1" 1)
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1) 2 7 1) :tf
3$DD216 >$D317""
Msercizi 1. On investimento prevede un esborso iniziale di 1).))). ed un ritorno dopo 3 anni di 1".1)7$@>)1. ual ' il rendimento effettivo annuo di tale investimentoH (76% M la durationH (3% M la conveEit,H (17$3>DD%. !. On’obbligazione$ di valore nominale pari a 1).)))$ viene acuistata oggi alla pari e rimborsata alla pari tra 3 anni. 5ale obbligazione prevede il pagamento di cedole annue al tasso del 76 nominale annuo. !3"!% e la conveEit, (12$!@"""%. ". On investimento prevede un esborso iniziale di 1).))). e due ritorni biennali di >.111$!!. >%. 3. uale si sceglierà tra gli investimenti descritti negli esercizi >. 7. e D. nel caso in cui si preveda un aumento dei tassi di mercatoH (D.% :erc&BH (si veda l’esempio 2.2% M nel caso in cui si preveda una diminuzione dei tassi di mercatoH (>.%. 2. L’investimento A prevede un esborso iniziale di 1.)))$ e ritorni annuali posticipati rispettivamente pari a 7) il primo anno$ 7) il secondo anno e 1.)7) il terzo anno l’investimento # prevede un esborso iniziale di 1.)))$ e dei ritorni annuali posticipati$ rispettivamente pari a @2 il primo anno$ 1>$! il secondo anno e 1.1)) il terzo anno. Calcolare duration (< A=!>)% dei due impieg&i e
far vedere c&e si sceglierà sempre l’investimento con conveEit, pi* alta sia nell’ipotesi c&e il tasso di mercato diminuisca (ad esempio al 26% c&e nell’ipotesi di aumento del tasso (ad esempio al @6%. >. +i consideri un investimento di !)).))) c&e prevede i seguenti ritorni0 2).))) all’epoca t = 1 anno @).))) all’epoca t = ! anni @).))) all’epoca t = 3 anni :otendo disporre soltanto di D).))) si deve ricorrere ad un finanziamento c&e si pu8 ottenere in due forme0 a% ?ediante un prestito da restituire con le seguenti modalità0 prima rata fra un anno di 1).))) il rimanente debito verrà ammortizzato in tre anni con rate semestrali posticipate e uote capitali costanti al tasso Y(!%=26. b% ?ediante l’emissione di un’obbligazione scadente dopo tre anni$ con cedole al tasso Y(1%=26$ rimborso unico alla scadenza e premio di rimborso pari allo )$26 del valore nominale. Costruire il cas&/floJ dell’investimento$ nel caso in cui si scelga l’alternativa a% e nel caso in cui si scelga l’alternativa b%. 4n t=) si osserva la seguente struttura dei tassi a pronti 4 i()$1%="6 i()$!%=!$76 i()$"%=!$D6 i()$3%="6 +upponendo c&e le eventuali eccedenze c&e si rendano via via disponibili si possano reinvestire ai tassi di mercato$ uale modalità di finanziamento ' preferibile in base al criterio del saldo finaleH (a.% ual ' l’ !oldin& %eriod return su base annua. delle due alternativeH (alt. a%0 2$!!3!6 alt. b%0 3$">!>6%. 7. On individuo vuole effettuare un investimento (progetto A% c&e prevede un costo iniziale di !2.@@1$!1 e ricavi$ alla fine di ogni anno$ pari a ".>12$! >.)@3$1@ 13.2!7$>3 e 7.7D!$>7. )) attua un progetto integrativo G$ facendosi prestare da una Ganca il capitale mancante. 4l prestito viene concesso al tasso del 2$26 effettivo annuo d’interesse con l’accordo di applicare il tasso di mercato$ se si verifica una variazione di almeno un punto percentuale. 4l rimborso del prestito ' effettuato in uattro rate annue posticipate costanti in costanza di tasso. 4potizzando c&e i futuri tassi a pronti vigenti sul mercato risulteranno uguali a uelli c&e si ricavano$ in ipotesi di mercato perfetto deterministico$ dalla seguente struttura dei tassi osservata sul mercato in t = )0 i()$1% = 26 i()$!% = 2$26 i()$"% = 2$@6 i()$3% = 7$16$ determinare0 a. i futuri tassi a pronti (i(1$!%=>$))!6 i(!$"%=>$7)26 i("$3%=1)$7D!6% b. l’importo delle rate ( 1= !.@>3$22 != !.@>3$22 "= ".)13$@7 3= ".1")$1D% c. il saldo finale a tassi di mercato ( !1.@!1$"1% d. l’!oldin& %eriod return su base annua dell’intera operazione.(D$D776% Appendice% &tudio della Duration
-ogliamo esplicitare la duration nel caso di particolari tipi di titoli obbligazionari 5itoli a Cedola 9ulla0 la duration ' uguale alla vita a scadenza (<= n%
5itoli a Cedola Kissa0 la duration ' diversa dalla maturit, (< n% 5itoli con ate Costanti0 la duration ' funzione solo del numero delle rate e non del loro importo.
4nfatti0 n
∑ s ⋅ a
⋅ (1 + i ) −
s
s
s =1
=
D( A)
(A. )%
n
∑a
⋅ (1 + i ) −
s
s
s =1
:er i titoli a cedola nulla la (A.1% diviene0 D ( A)
⋅ (1 + i ) − =n ⋅ (1 + i ) −
n ⋅ an
=
n
n
an
M per uelli con rate costanti0 n
a⋅ D ( A )
∑ s ⋅ (1 + i )
− s
s =1
=
n
a⋅
∑ (1 + i )
=
− s
( Ia ) a
ni
=
ni
s =1
a
= =
ni
− nv
i⋅a
1 1− v
1− vn
n
= 1− v
ni
−
nv
− nv
n
⋅
i
i
1− vn
=
n
1− vn
S$ in modo del tutto euivalente$ in termini di tasso i0 D ( A)
=
1+ i i
−
n
(1 + i ) − 1 n
= Dc
(A. )%
n→
+∞
D c
=
1 + i 1 + i n = − i n i n → +∞ (1 + i % − 1 lim
ovvero &a un asintoto orizzontale di euazione
y
duration di una rendita perpetua (si veda la figura 1"%.
= 1 + i $ c&e finanziariamente rappresenta la i
Consideriamo un titolo a cedola fissa e analizziamolo come un portafoglio composto da una zero coupon bond con maturit, pari a uello del titolo in esame e valore nominale $ e una rendita temporanea n periodi unitari di rata costante e pari al flusso cedolare. c
Calcoliamo la duration del titolo con cedole fisse0 n
D ( A )
=
∑ s ⋅ c ⋅ (1 + i )
− s
+ n ⋅ ⋅ (1 + i ) −
n
s =1
n
∑ c ⋅ (1 + i )
= − s
+ ⋅ (1 + i ) −
n
(A. )%
s =1
=
n o i t a r u D
c ⋅ ( Ia ) n i c⋅a
ni
+ n ⋅ ⋅ (1 + i ) − + ⋅ (1 + i ) −
n
n
25
20
i'(
15
i'*+(
10
5
i',- 0 0
10
20
0
!0
50
%0
70
80
$0
100
110 tempo
Kigura "0 duration di una rendita a rata costante in funzione del tasso :oniamo0 P ( ) ) = c ⋅ a
ni
+ ⋅ (1 + i )
−n
c
= P
( ) ) + ⋅ v ( ) n )
uindi la (A."% diviene0 D ( A)
=
c ( Ia ) n i P c ( ) ) ⋅ P c ( ) ) P ( ) )
c = D c ⋅ P ( ) ) P ( ) )
+ n ⋅ ⋅ v ( )$ n ) = P ( ) )
+ n ⋅ ⋅ v( )$ n ) P ( ) )
(A. )%
La (A.3% evidenzia c&e la duration di un coupon bond ' data dalla media ponderata della duration D del flusso cedolare e della duration n dello zero coupon bond con pesi pari ai valori attuali normalizzati del flusso cedolare e dello zero coupon bond. c
+i pu8 dimostrare c&e$ dati due titoli aventi la stessa maturit,$ la relativa duration ' tanto minore uanto maggiore ' il tasso cedolare. Ci8 euivale a dire c&e tra due obbligazioni aventi tassi nominali diversi$ uella con cedole di importo maggiore cio' con un maggiore tasso nominale ' a %i /reve termine.
Duration
D ' n
sotto la %ari
(1 F i% W i alla %ari so%ra la %ari
Vita a scaden0a
