Mecánicaa de Fluidos Mecánic Fluidos MSc. Ing. Eduardo Paredes Paredes Beltrán
Introducción Mecánica de Fluidos
Introducción Mecánica de Fluidos
Mecánicaa de fluidos Mecánic fluidos Es la rama de la Mecánica que estudia el Comportamiento de los Fluidos (Gases y Líquidos), ya sea que estos se encuentren en reposo o movimiento. Es una mezcla de conceptos teóricos y prácticos originados por p or el trabajo de ingenieros hidráulicos con un carácter empírico, y por otro lado del trabajo de matemáticos, que abordaban el problema desde un enfoque analítico.
Fluidez Eslacaracterísticafundamentaldelosfluidos.
Un fluido cambia de forma de manera continua cuando está sometido a un esfuerzo cortante, por muy pequeño que sea éste, es decir, decir, un fluido flui do no es capaz de soportar un esfuerzo cortante sin moverse durante ningún intervalo de tiempo. Unos líquidos se moverán más lentamente que otros, pero ante un esfuerzo cortante se moverán moverán siempre. La medida de la facilidad con que se mueve está dada por la viscosidad relacionada con la acción de fuerzas de rozamiento rozamiento
Por el contrario, en un sólido se produce un cambio fijo γ para
cada valor de la fuerza cortante aplicada. En ciertos sólidos, se presentan ambos comportamientos, cuando la tensión aplicada sobrepasa cierto umbral, el sólido puede plastificarse, es decir, continua deformándose, hasta la rotura.
Mientras que para un sólido bajo una fuerza cortante constante se alcanza un ángulodedeformacióndeterminado y constante, en un fluido debemos hablar de una velocidaddedeformación constante o no, ya que la deformación se produce de forma continua. Dentro de los fluidos, la principal diferencia entre líquidos y gases se da entre las distintas compresibilidades de los mismos.
Fluido “Estodasustanciaqueenpresenciadeunagenteexterno cambiacontinuamentelaposiciónrelativadesusmoléculas,sin ofrecergranresistenciaaldesplazamientoentreellas,aun cuandoésteseamuygrande”
Son cuerpos cuyas moléculas tienen entre si poca o ninguna coherencia y se adaptan a la forma de los recipientes que los contienen, estos fluidos se dividen en fluidos líquidos, los cuales son prácticamente incompresibles y fluidos gaseosos, los cuales son altamente compresibles.
Propiedades de los fluidos líquidos y gaseosos Unidad 1
Esfuerzo tangencial Es la fuerza interna que desarrolla un cuerpo como respuesta a una fuerza cortante y que es tangencial a la superficie sobre la que actúa.
Viscosidad Los fluidos poseen resistencia a la velocidad de deformación cuando se someten a un esfuerzo tangencial, lo cual explica su fluidez. Esta resistencia se llama VISCOSIDAD, la cual no sigue las mismas leyes de los sólidos, es decir, los esfuerzos tangenciales no dependen de las deformaciones, sino de la rapidez con las que éstas se producen.
Características de los fluidos De acuerdo al aspecto físico que tiene en la naturaleza, la materia se puede clasificar en los estados: Sólido Líquido Gaseoso
Estados de la Materia Las partículas están unidas por fuerzas de atracción muy grandes, por lo que se mantienen fijas en su lugar Las partículas están unidas, pero las fuerzas de atracción son más débiles de modo que las partículas se mueven y chocan entre sí, vibrando y deslizándose unas sobre otras. En los gases, las fuerzas de atracción son casi inexistentes, por lo que las partículas están muy separadas y se mueven rápidamente y en cualquier dirección
Clasificación de los Fluidos El esfuerzo tangencial es directamente proporcional a la rapidez de deformación angular, a partir de los valores ceros iniciales. Porejemplo:agua,aire,algunosaceites minerales.
La variación entre el esfuerzo tangencial y la rapidez de deformación angular no es lineal, pues depende del tiempo de exposición al esfuerzo (agitación) y la magnitud del mismo. Porejemplo:betún,compuestosde celulosa,colas,jabones,alquitrán,etc.
Fluidos Bingham Presentan un comportamiento que corresponde a los sólidos, en tanto el esfuerzo no alcanza un cierto valor inicial, pues a partir de ese se comportan como fluidos Por ejemplo: mezclas empleadas en la inyección de suelos, limos, arcillas. Newtonianos NoNewtonianos Bingham
∝ ≠ = → ó ; < →
Clasificación de los fluidos Otra clasificación se basa en la COMPRESIBILIDAD, de acuerdo a la que los fluidos pueden dividirse en: Líquidos: Volumen constante. Existe superficie libre. Incompresible. Gas: Volumen indefinido. Compresible
El Fluido como Medio Continuo El análisis riguroso del comportamiento de un fluido debería considerar la acción individual de cada molécula; sin embargo en la ingeniería el interés radica en el conocimiento de CONDICIONES MEDIAS de velocidad, presión, temperatura, densidad, etc. Por esta razón en lugar de estudiar por separado la conglomeración real de moléculas, se supone que el flujo es un MEDIO CONTINUO, es decir una distribución continua de materia sin espacios vacíos.
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) Es el sistema de unidades más utilizado para aspectos científicos. Las magnitudes mecánicas fundamentales son: Longitud: metro (m.) Masa: kilogramo (kg.) Tiempo: segundo (s.) Fuerza: newton (N) = (1 kg.m/s2) Trabajo: julio (J) = (1 N.m) Presión: pascal (P) = (1N/m2) Temperatura: grados Celsius (C) Temperatura absoluta: grados Kelvin (K)
SISTEMA TÉCNICO DE UNIDADES Más conocido como el British Engineering System Las magnitudes mecánicas fundamentales son: Longitud: metro (m.) Masa: unidad técnica de masa (UTM) Tiempo: segundo (s.) Fuerza: kilopondio o kilogramo peso (kp) = (1 UTM.m/s2)
Propiedades Físicas de los Fluidos La magnitud de la temperatura se puede relacionar con la actividad molecular que resulta de la transferencia de calor. La forma de medir temperaturas se da términos de expansión volumétrica de ciertos líquidos, comúnmente el Mercurio. La escala de Celsius o de grados centígrados es la más conocida, la cual se estableció de modo que el punto de congelación del agua corresponda al 0 ⁰ C y el de ebullición en condiciones estándar a los 100 ⁰ C.
Peso Específico γ (gamma) El peso específico γ de un fluido representa el peso del fluido
por su unidad de volumen. Las dimensiones del peso específico son
−3 , esto es: = = 3 = 3
Estaeslaecuaciónparaelcálculodelpesoespecíficoenfluidos líquidos.
Peso Específico del Agua A PRESIÓN ATMOSFÉRICA para las Temperaturas más Comunes 0⁰ C 10⁰ C 20⁰ C 30⁰ C 40⁰ C 50⁰ C
/3 9.81 /3 9.79 /3 9.79 /3 9.73 /3 9.69 /3 9.81
En los líquidos puede considerarse constante para variaciones ordinarias de presión. Para el caso del agua, su peso específico para las temperaturas más comunes es 3 o 9.81 de 1000 3.
/
/
Peso Específico γ (GASES) En el caso de gases, los pesos específicos varían de acuerdo a la presión absoluta y a la temperatura, se puede calcular mediante la “ecuación del estado de los gases”:
=× Según las leyes de Charles y Boyle × = Por lo tanto, el peso específico en el caso de gases es igual a: 1 =
Pesos Específicos de algunos Gases y Constantes R Aire Amoniaco Anhídrido Carbónico Metano Nitrógeno Oxigeno Anhídrido Sulfúrico
1.2047
ൗ 0.7177 ൗ 1.8359 ൗ 0.6664 ൗ 1.1631 ൗ 1.3297 ൗ 2.7154 ൗ
/ ° 49.2 / ° 19.2 / ° 53.0 / ° 30.3 / ° 26.6 / ° 13.0 / ° 29.3
Densidad ρ (rho) Representa la masa de fluido contenida en una unidad de volumen y se la representa con la letra griega ρ (rho)
= 3
La densidad y el peso específico están estrechamente relacionadas entre sí de acuerdo a:
× =
La densidad también se representa en Unidades Técnicas de Masa (UTM) sobre el Volumen del Fluido:
× = × ; = = =
Para el agua en el sistema técnico, la densidad es igual a peso específico sobre la aceleración (gravedad):
1000 ൗ3 = 102 3 9.81 ൗ
℃ es
Para el agua en el sistema internacional, la densidad a 4 igual a:
1000 3
Densidad Relativa δ (delta) Representa el número adimensional producto de la relación del peso del fluido, con el volumen igual de una sustancia que se toma como referencia. Es otra forma de cuantificar la densidad o el peso específico de un líquido, rigiéndonos a los valores correspondientes al agua y aire en el caso de líquidos y gases.
En el caso de líquidos, se toma como referencia el agua a 4⁰C.
= = ( )
En el caso de los gases, se toma en cuenta como referencia el aire libre de CO2 e Hidrogeno a 0⁰C y 1 atm de presión.
= = ( )
Mercurio
13.57
Agua
0.999 ≈ 1.0
Disolvente Comercial
0.721
Tetracloruro de Carbono
1.595
Aceite Lubricante Medio
0.896
Aceite a Prueba de Polvo
0.910
Fuel Oil Medio
0.857
Fuel Oil Pesado
0.912
Gasolina
0.729
La densidad relativa es adimensional y es igual para todos los sistemas de unidades
Viscosidad μ (mi) La viscosidad de un fluido es aquella propiedad que determina la cantidad de resistencia opuesta a las fuerzas cortantes que actúan sobre un fluido, en otras palabras, la viscosidad es la medida de resistencia a fluir como resultado de la interacción y cohesión de las moléculas del fluido.
En los fluidos líquidos, la viscosidad disminuye al aumentar la temperatura. Esta no se ve afectada apreciablemente por efectos de la presión. En los fluidos gaseosos, la viscosidad aumenta al aumentar la temperatura, de la misma manera, esta no se ve afectada por la presión.
Según Newton el esfuerzo tangencial que se produce entre las dos láminas separadas por una distancia dy, que se desplazan con velocidades y corresponde a la viscosidad dinámica o absoluta:
+ =
De acuerdo a esta ley, el esfuerzo tangencial es proporcional al gradiente transversal de velocidades . La constante de proporcionalidad representa la propiedad física definida como LA VISCOSIDAD DINÁMICA O ABSOLUTA DEL FLUIDO. Los fluidos NEWTONIANOS se comportan de acuerdo a la ley:
(/)
“El esfuerzo cortante es directamente proporcional a la velocidad de deformación”
= −− [−]
Para el Sistema Internacional:
= 1 = 1 × Para el Sistema Técnico: × = 1 = 98.0665 s
Viscosidad Cinemática Si a la viscosidad dinámica se la divide para la densidad del fluido, obtenernos la viscosidad cinemática:
= =
×ൗ × ൗ൘
=
Tensión Superficial
Tensión Superficial Cuando las moléculas de un fluido se encuentran al interior del mismo, la suma de sus fuerzas son nulas debido a la suma de fuerzas atractivas en todas las direcciones, sin embargo, cuando dichas moléculas se encuentran en la superficies de líquido, sufren fuerzas de cohesión que las mantienen unidas. De aquí que sea necesario consumir cierto trabajo para mover las moléculas hacia la superficie venciendo la resistencia de estas fuerzas.
Tensión Superficial de un líquido (sigma)
σ
Eseltrabajoquedeberealizarseparallevarmoléculasen númerosuficientedesdeelinteriordellíquidohastalasuperficie paracrearunanuevaunidaddesuperficie( J/m 2 o kp/m ).
Este trabajo es igual a la fuerza tangencial de contracción que actúa sobre una línea hipotética de longitud unidad situada en la superficie (kp/m), y
∆ = ∆ = 2
Capilaridad
Capilaridad La elevación o descenso de un líquido en un tubo capilar (o en otros casos como en medios porosos) se produce por la tensión superficial, la cual depende la cohesión del líquido y de la adhesión del líquido a las paredes del tubo. Los líquidos ascienden en tubos que mojan (adhesión > cohesión) y descienden en tubos a los que no mojan (cohesión > adhesión). La capilaridad tiene importancia en tubos de diámetros menores de 10 mm., y es despreciable para tubos mayores de 12 mm.
El ascenso (o descenso) por capilaridad en un tubo viene dado aproximadamente por la formula
ℎ =
Si el tubo está limpio, es 0⁰ para el agua y 140⁰ para el mercurio.
Modulo Volumétrico Volumétrico de Elasticidad (E) Expresa la compresibilidad de un fluido y se entiende como la relación de la variación de presión a la variación de volumen por unidad de volumen:
= ൗ
Como el aumento de presión da lugar a una disminución de la variación de volumen por unidad de volumen, volumen, a E se le antepone un signo negativo. Sus unidades son las de la presión, Pa o kp/cm2
Condiciones Isotérmicas Para una temperatura constante, la ley de los gases ideales conduce a:
También
× = × = =
=
Condiciones Adiabáticas Adiabáticas e Isentrópicas Si no hay intercambio intercambio de calor entre el gas y su contenedor, contenedor, las ecuaciones para condiciones isotérmicas se sustituyen por:
× = ×
También
y = = − ൗ
= = → =
Perturbaciones en la Presión Cualquier perturbación en la presión de un fluido se propaga en forma de ondas. Estas ondas se mueven a una velocidad igual a la de propagación del sonido a través del fluido. La velocidad de propagación, o celeridad, viene dada por
= ൗ
Para los gases, la velocidad del sonido es
= ൗ = × ×
EJERCICIOS EN CLASE 1. Si conocemos que 4.8 m3 de un fluido tienen una masa de 5843 kg; calcular su peso específico, su densidad y su densidad relativa. 2. La presión absoluta de un gas a 38⁰C es de 4.8 kp/cm 2 y su constante de gas es de 52.5 m/⁰K. Determinar su peso específico y su densidad.
3. Para un gas a 40⁰C cuya presión absoluta es de 3.5 kp/cm 2 y su volumen específico es de 0.65 m3/kp, calcular su constante de gas y su densidad 4. Hallar la viscosidad cinemática de un líquido cuya viscosidad absoluta es de 15.14 poises y su densidad relativa es de 0.964, dar el resultado en m 2/s. 5. a) Determinar la variación de volumen de 1 m3 de agua a 27⁰C al aumentar la presión en 21 kp/cm2 b) A partir de los siguientes datos experimentales determinar el módulo de elasticidad volumétrico del agua a 35 kp/cm2 el
Mecánica de Fluidos MSc Ing. Eduardo Paredes Beltrán
ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS La estática de los fluidos estudia las condiciones de equilibrio de fluidos en reposo, y cuando se trata solo de líquidos, se denomina Hidrostática. Desde aquí se harán los análisis en condiciones de equilibrio para líquidos (fluidos incompresibles)
Presión Se refiere a los efectos de una fuerza que actúa distribuida sobre una superficie. Esta fuerza puede ejercerla un sólido, un líquido o un gas. Frecuentemente, la fuerza causante de una presión es simplemente el peso de un cuerpo o un material. Es una magnitud muy importante en los problemas de mecánica de fluidos y de hidráulica.
Presión de un Fluido La presión ejercida por un fluido varia directamente con la profundidad. De aquí, que la presión en el fondo de una presa sea considerablemente mayor que en las zonas cercanas a la coronación de la misma, y la presión que actúa sobre los submarinos es enorme en las grandes profundidades del océano. Es por esta razón, que es muy importante tener en cuenta estos efectos al momento de diseñar la estructura de una presa o de un submarino.
La presión de un fluido p, se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y actúa normalmente a cualquier superficie plana. En el mismo plano horizontal, el valor de la presión en un líquido es igual en cualquier punto. Las medidas de presión se realizan con los manómetros, que pueden ser de diversas formas.
La presión viene expresada por una fuerza dividida por una superficie. En general:
Medida comúnmente en kp/m2, kp/cm2 o Pa (N/m2) dependiendo de las unidades de fuerza y área. Cuando la fuerza F está distribuida uniformemente sobre la superficie tenemos:
Presión en un punto
; lim → Á
∑ sin
× 2
∑ cos × 2
Con sin y → 0
∴
tiene el mismo valor en todas las direcciones en un fluido en reposo. Pero para fluidos en movimiento aparecen fuerzas cortantes por lo que ≠ ≠ . En este caso la presión aparece como un promedio de las 3 componentes de presión:
+ + 3
Diferencia de Presiones La diferencia de presiones entre dos puntos a distintos niveles en un líquido viene dada por: (ℎ ℎ) donde y ℎ ℎ
Si el punto está en la superficie libre del líquido y h es positiva hacia abajo, la ecuación anterior se trasforma en:
ℎ
Diferencia de presión en un fluido en reposo La ley de variación de la presión, para fluidos incompresibles, se escribe como:
×ℎ Donde (ℎ ) es la distancia
vertical medida hacia abajo desde la superficie libre.
Carga o altura de presión La altura de presión h representa la altura de un fluido homogéneo que produzca la presión dada:
ℎ
Vacío y presión atmosférica El termino vacío se utiliza para indicar que en un espacio la presión es menor que la atmosférica, se mide como el valor de presión por debajo de la presión atmosférica. Por otro lado, se entiende por presión atmosférica a la presión reinante en nuestro alrededor. Esta varia ligeramente con las condiciones atmosféricas meteorológicas y decrece con la altitud. Al nivel del mar la presión atmosférica es de 1,033 kp/cm2, 101,3 kPA, 760 mm de Hg o 1 atmosfera. Estos valores son conocidos como presión atmosférica normal.
Presión absoluta y manométrica Las presiones se dan por lo general como presión absoluta o como presión manométrica. Las medidas de presión absoluta se refieren a la presión cero (mínima alcanzable), es decir, al vacío absoluto (valor cero de referencia). Por otro lado, las presiones manométricas están referidas a la presión atmosférica. Para diferenciar cuando una presión es manométrica o absoluta se añade detrás la medida (man) o (ab). Si no figura nada luego de la medida, esta se entiende como presión manométrica.
Escalas de medición de Presión Presiónabsoluta:Valor real - vacío completo. Presiónmanométrica:Valor real - Presión atmosférica local. é + é
Unidades de Presión , ,, Presión atmosférica:
1 1033 760 101,3 kPA
Dispositivos para medir la presión MANÓMETROS SIMPLES: BARÓMETROS Y TUBOS PIEZOMÉTRICOS.
Barómetros Son instrumentos para medir la presión atmosférica. Está constituido por un tubo transparente de longitud de 760 mm hundido verticalmente por un extremo en un recipiente abierto, que contiene mercurio. El tubo tiene cerrado su extremo superior y abierto en el inferior, por el cual se introduce el mercurio por el interior del tubo. A nivel del mar, el mercurio asciende por el tubo hasta una altura aproximada de 760 mm. La presión que produce el ascenso del mercurio por el interior del tubo es la presión atmosférica; y por supuesto, la altura alcanzada por el mercurio varia con la presión atmosférica reinante.
Si la presión atmosférica es de 1,033 kp/cm2, se puede calcular la altura real alcanzada por el mercurio:
1,033 × 10 ൗ ℎ 0,760 760 13,6 × 10 ൗ
El nivel alcanzado por el mercurio cambia con las variaciones de la presión atmosférica; la lectura directa del nivel de mercurio proporciona la presión atmosférica como altura de presión (de mercurio) y, si se desea, puede convertirse a unidades de presión mediante la ecuación
×ℎ
Piezómetros El tubo piezométrico o manómetro es, como su nombre indica, un tubo en el que, estando conectado por uno de los lados a un recipiente en el cual se encuentra un fluido. El nivel se eleva hasta una altura equivalente a la presión del fluido en el punto de conexión u orificio piezométrico, es decir hasta el nivel de carga del mismo.
Dispositivos para medir la presión MANÓMETROS DIFERENCIALES:
Manómetros Son dispositivos para la medida de presiones en los fluidos. Están constituidos por uno o varios tubos doblados con uno o más líquidos de densidades relativas diferentes.
En su funcionamiento se aplica por lo general, una presión conocida (ej. atmosférica) por uno de los extremos, mientras que la presión desconocida actúa por el otro extremo. También, existen otros manómetros para conocer la diferencia entre dos fluidos, conocidos como manómetros diferenciales. Para determinar la presión en un recipiente (o en un conducto) se trasforman las alturas de los líquidos del manómetro a presiones mediante la ecuación:
×ℎ
Ejercicios en clase: 1. Determinar la presión en kp/cm2 sobre una superficie sumergida a 6 m de profundidad en una masa de agua. 2. Determinar la presión a una profundidad de 9,00 m en un aceite de densidad relativa de 0,750. 3. Encontrar la presión absoluta en kp/cm2 del primer ejercicio, si la lectura barométrica es de 75,6 cm de mercurio (densidad relativa 13.57). 4. A que profundidad de un aceite, de densidad relativa 0,750, se producirá una presión de 2,80 kp/cm 2? A cual si el líquido es agua?
Ejercicios de aplicación
Determinarlapresiónenelfondodeundepositoquecontiene glicerinabajopresión,talcomosemuestraenlafigura Presión en el fondo:
50 kPa
50 +
50 + γ × ℎ Glicerina
2m
50 + 1.262 × 9.81/ × 2 74.76
× ℎ → ?× ℎ ℎ 742 742 .. 13.57
→ 13.57 9.81 Τ
13.5 13.577 × 9.8 .811 Τ 133.12 Τ 132.85 Τ × 0. 0.74 742 2 .
× ℎ → ? ?× ℎ
Datos: ℎ 103 103 .. 1.262
→ 1.262 9.81 Τ
1.2 1.2662 × 9. 9.881 Τ 12.36 Τ Glicerina
103cm. A
12.36 Τ ×1.03 . . . Τ
Datos: 0.72 2.36
El líquido A ascenderá al mismo nivel del líquido del tanque, por lo . . tanto la altura del piezómetro A será . El líquido B ascenderá hasta el mismo nivel del líquido B, esto es 0.30 m., más una altura adicional ℎ , debido a una sobrepresión sobrepresión , ejercida por el líquido A: A
B
× ℎ 0.7 0.722 × 9. 9.779 Τ × 1. 1.7 7 12 12
Elev. 2.0 m.
ℎ ÷ 12 ÷ 2. 2.336 × 9.8 .811 Τ 0.5 0.522 Liquido A (dr=0.72)
Elev. 0.3 m. Liquido B
ℎ 0. 0.30 + 0.52 . La presión en el fondo será igual a la suma de las presiones de los líquidos presentes en el tanque: (0.7 (0.722 × 9. 9.81 81 Τ ) × 1.70 + 2.36 × 9.81 Τ × 0.30 → . .
Debemos determinar la presión que actúa en la base del pistón A. Como la presión en los puntos a y b debido a que se encuentran en el mismo nivel, tenemos: → + → + × ℎ
40
4.000 4.000 4.000 4.000 0,750
Τ → 0. 0.75 7500 × 99 9988 Τ 748 Τ F
7. 7.48 48 × 10− Τ
A B
5m. a
b
4.0000 4.00 ×ℎ 7.48 × 10− Τ × 50 500 0 4.000 0.626 Τ
Considerando que la presión es la resultante de la fuerza aplicada sobre el área, tenemos: × 0.626 Τ × 40 . .
Como B y C se encuentran en el mismo nivel y están dentro del fluido de mercurio, podemos igualar las presiones en estos dos puntos.
13.57
D
3.80 m 3.60 m
A
+ + + × ℎ− + × ℎ− Τ → 13.57 × 998 Τ 13.542,86 Τ + 998 Τ × 0.60 0 + 13.542,86 Τ × 0.80
Agua
B
C
3.00 m
13.542,86 Τ × 0.80 998 Τ × 0.60 10.235,49 Τ . Τ
Τ → 13.57 × 9.81 Τ 133.42 Τ
30 0.82 13.57
Τ → 0.82 × 9.81 Τ 8.0442 Τ
Elev.6m. Elev.5m.
30 + 8.04 Τ × 3.0 + 9.81 Τ × 3.0 133.42 Τ ×
Presióndelaire=30kPa
83.56 133.42 Τ × Aceitedr=0.82
Elev.2m.
83.56 133.42 Τ
Mercuriodr=13.57 Agua Elev.0m.
.
Τ → 0.750 × 9.79 Τ 7.34 Τ
0,750
1,40 137.30
Τ → 13.57 × 9.79 Τ 132.85 Τ
A
+ × ℎ− + × ℎ− 137.30 + 7.34 Τ × 0.825 + ℎ 132.85 Τ × ℎ
0.825 m.
137.30 + 6.06 + 7.34 Τ × ℎ 132.85 Τ × ℎ
D
143.36 + 7.34 Τ × ℎ 132.85 Τ × ℎ 143.36 ℎ × 132.85 Τ 7.34 Τ
h
ℎ
B
C
143.36 125.51 Τ
.
Τ → 1.60 × 9.79 Τ 15.67 Τ
10.89
+ × ℎ 10.89 + 15.67 Τ × 3.2 2.743 3,429 m
Aire G
3.73 , 3.73
3,2 m
0
−
A E
F
3,048 m
3.73 0 × 3.429 3.048 3.73 0 × × 0.381
C 2,743 m
D
3.73 9.79 Τ × 0.381
Liquido B
.
Datos: 0.18 Τ
A
El. 20 m
E
G
F
Aire
H
El. 15 m h Dr=0.700 El. 12 m
L K
N M
Q
Agua
El. 8 m Dr=1.600 El. 6 m
h1 C
D
El. 4 m
R
Debido a que el peso específico del aire es (aproximadamente) 1,28 y este resulta ser muy pequeño comparado con el de los demás fluidos, la presión en la elevación de 15 m puede considerarse igual a -0.18 kp/cm 2, sin que se obtengan resultados erróneos en los cálculos. kp/m3,
Suponiendo una elevación en el plano K-L:
+ ℎ 0 0.18 × 10 Τ + 0,700 × 998 Τ × ℎ 0 ℎ 2.57. , 15 2.57 12.43 . a:
La presión en el plano de elevación 12 m. es igual al punto M y será igual
+ =. 0.700 × 998 Τ 15 12 0.18 ൗ + 10 0.03 Τ × ℎ− 0.03 × 10 Τ ℎ− 0.30 998 Τ
La presión en el plano de elevación 8 m. es igual al punto R y será igual a:
+
300 Τ + 998 Τ 12 8 4292 Τ × ℎ− 4292 Τ ℎ− 2.69 =. 1.6×998 Τ
, 8 + 2.69 10.69 . + − 4292 Τ + 998 Τ 8 4 × ℎ 8284 Τ ℎ 13542.86 Τ . .
E C
0.60 m
D
agua
z
A
B
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Magnitud y dirección de las fuerzas ejercidas por los fluidos sobre las paredes de los recipientes que los contienen Unidad 2.
Fuerzas hidrostáticas sobre superficies
Introducción Con el fin de diseñar estructuras hidráulicas, se necesita calcular las fuerzas ejercidas por los fluidos. Las fuerzas hidrostáticas presentan tres características: Módulo Dirección Sentido Además, es necesario conocer la localización de la fuerza.
Fuerza ejercida por un líquido sobre un área Θ h hcp
O
A
dp
y
p
ycp C.P. B
d y
Y1
d x
x
X
La línea AB representa un área plana sobre la que actúa el fluido, que forma un ángulo con la horizontal y sobre la cual la presión es uniforme.
Asumiendo que esta área continua de forma indefinida debajo de la superficie, podemos decir que todas sus partículas están situadas a la misma distancia h por debajo de la superficie del libre del líquido. Por lo tanto, la fuerza que actúa sobre esta área es igual al producto de la presión p por el área dA o bien:
= = ℎ Considerando que ℎ = sin y son constantes tenemos: = නℎ = න sin = sin න Por estática tenemos que = y como ℎ = sin = × ℎ ×
Por lo tanto, la fuerza ejercida por un líquido sobre un área es igual al producto del peso específico del líquido por la profundidad del centro de gravedad de la superficie y por el área de la misma, esto es:
Donde:
= × ℎ ×
= → = ℎ = =
Como se puede observar, el producto del peso específico por la profundidad del centro de gravedad es igual a la presión en el centro de gravedad del área.
Línea de acción de la fuerza Es el plano o línea de acción donde se localiza la fuerza. Para esto, debemos tomar momentos como en estática. El eje OX es la intersección del plano que contiene la superficie con la superficie libre del agua. Todas las distancias y se miden a partir de este eje, y la distancia a la fuerza resultante se presenta por y CP, que mide la distancia al centro de presión. Como la suma de los momentos de todas las fuerzas respecto del eje OX es igual a la suma de la fuerza resultante, se tiene:
න × = ×
Como sabemos que:
= ℎ = sin y = sin Entonces tenemos: sin න = sin Como, es el momento de inercia del área plana respecto del eje OX: = Aplicando el teorema de Steiner:
+ = × = × +
La línea de acción de la fuerza pasa por el centro de presión, que se localiza mediante la fórmula:
= × +
Donde:
= = ( =
Como se observa del gráfico, la posición del centro de presión esta siempre por debajo del centro de gravedad ya que el momento de inercia del centro de gravedad es en la gran mayoría de casos positivo.
Las distancias se miden a lo largo del plano y a partir de un eje determinado por la intersección del plano que contiene la superficie y de la superficie libre del líquido.
Momentos de inercia Centroide
Centroide
d
h/2 h h/2
h
h d/2
h/3 b
b
= ℎ = ℎ
= ℎ2 = ℎ
= 4 ℎ =
O1
O2 3m
4m
C
A 6m 6m
D
B 45⁰
= × ℎ × = 9,79 Τ × 4 + 3 × 3 × 6 = Esta fuerza actúa sobre el centro de presión, que está a una distancia del eje O1 y es igual a: ℎ = × + = 12× + 3 × 6 = 4 + 3 12× 3 × 6 + 4 + 3
= × ℎ × 2 1 = 9,79 Τ × 3 + 3 ×sin45°×6 × 2 ×4×6 = Esta fuerza actúa sobre el centro de presión, a una distancia del eje O2 y es igual a: ℎ = × + = 36× + 4×6 5, 8 3 36 = + sin45° 1 5,83Τ sin45° × 2 ×4×6
O
E
3.60 m
C
A
1.80 m B
D
=×ℎ× F = 998 Τ × 3.60 + 0.90 × 1.80 × 2.40 = . ℎ = × + = 12× + 2.4 × (1.8) = 3.60 + 0.90 12× 1.80 × 2.40 + 3.60 + 0.90
= ×ℎ × =× = 998 Τ × 3.60 + 1.80 × 6 × 2.40 = .
G
Aire
IWS 1.50 m O
5.40 m
Agua A
Aceite
1.80 m
Calculamos la fuerza resultante en cada uno de los lados de la compuerta y su ubicación. Iniciamos por el lado derecho:
= × ℎ × = (0.75× 998 Τ)× 0.90 × 1.80×1.20 = . ℎ = × + = 12× + 1.2×(1.8) = 0.90 × 121.2×1.8 + 0.90 = . Como se puede observar, en este caso la distancia en la que actúa la fuerza coincide con el centro de gravedad, esto es, = , esto se explica observando el diagrama de presiones para el aceite, que va desde 0 desde el punto A hasta el valor de presión generado por los 1.80 metros de aceite en B.
Para el lado izquierdo, es conveniente transformar la presión ejercida por el aire, en presión equivalente en metros de agua:
Τ 0.15×10 ℎ = − = − 998 Τ = −1.50
Esta altura negativa equivale al descenso del nivel de agua que representa el efecto del aire sobre el agua. Esta nueva superficie de agua imaginaria (IWS=Imaginary Water Surface) es útil para resolver el ejercicio aplicando directamente las ecuaciones revisadas.
= ×ℎ × = (998 Τ)× 2.1m+0.90 × 1.80×1.20 = . ℎ = × + = 12× + 1.2×(1.8) = 2.10m+0.9012× 1.2×1.8 + 2.10m+0.90
c)
Para determinar la fuerza que debe aplicarse en el punto B, igualamos los momentos en la compuerta respecto de A: A
= 0 1455.9× 1.20 + ×1.8 = (6467.07×0.99) 29 × = 4656.1.8 = .
0.99 m 1.20 m
6467.07 kp 1455.09 kp
F B
A IWS
0.6 m O
3 m.
Aceite dr=0.80
B
1.8 m.
Agua
La fuerza que actúa sobre la pared ABC es la resultante de las fuerzas que generan el aceite y el agua
= + = 0.80 × 998 Τ × 1.5 × 3 × 1.2 = . ℎ = × + = 12× + 1.2 × (3) = 1.5 × 121.2 × 3 + 1.5
Para calcular la fuerza que actúa sobre la cara BC debe considerarse la acción del líquido superior
= ℎ = × ℎ = 0.80 × 3.00 = 2.40 = 998 Τ × (2.4 + 0.9)× 1.8 × 1.2 = . ℎ = × + = 12× + 1.2 × (1.8) = 3.3 × 1.122 ×1.8 + 3.3
La fuerza resultante es la suma de las dos fuerzas calculadas que actúa en el centro de presión que corresponde al área total.
= + = 4311.36 + 7113.37 = .
El momento de esta resultante es igual a la suma de los momentos de las dos fuerzas resultantes.
= + 11424.73× = 4311.36× 2.00 + 7113.37 × 3.98 4311. 3 6× 2. 0 0 +7113.37 ×3. 9 8 = 11424.73
A
8m
60⁰
B
C 3m
Fuerza ejercida por un líquido sobre una superficie curva La componente horizontal de la fuerza hidrostática sobre una superficie curva es igual a la fuerza normal sobre la proyección vertical de la superficie. La componente pasa por el centro de presión de la proyección vertical. La componente vertical de la fuerza hidrostática sobre una superficie curva es igual al peso del líquido situado sobre el área, real o imaginaria. La fuerza pasa por el centro de gravedad del volumen.
A
C Ejedegiro
6m y
FH
x B
FV
= = × ℎ × = 9.79 Τ × 3 × 6 × 1 = ℎ = × + = 12× + 1 ×(6) = 3 × 121 × 6 + 3 =
= 1 = × × = 9.79 Τ × 1 × × × 4 =
Esta fuerza pasa por el centro de gravedad del volumen del líquido. Para un cuadrante de un circulo su centro de gravedad está situado a:
4 4 6 = 3 × = 3 × = .
E
Aceite dr=0.800
D
C
O A 1m
B
La reacción en A es la resultante de la componente horizontal de la fuerza que el líquido ejerce sobre el cilindro, o bien:
= × ℎ × = 0.80 × 998 Τ × 1 × 2 × 1.5 = . ℎ ℎ. , : = .ℎ
La reacción en B es igual a la suma del peso del cilindro y la componente vertical neta de la fuerza debido a la acción del líquido. La acción del líquido sobre la superficie curvada CDB se compone de la fuerza sobre la parte CD, dirigida hacia abajo, y la fuerza sobre DB, dirigida hacia arriba. La componente vertical neta es la suma de las dos fuerzas:
= = 0.80 ×998 Τ × 1.50 × + = = 0.80 × 998 Τ × 1.50 ×
Se observa que el cuadrado DOCE menos el área DEC es igual al cuadrante del circulo DOC y la componente vertical neta será:
= 0.80 ×998 Τ × 1.50 × + 1 = 0.80 ×998 Τ × 1.50 × 2 × × 1 = . = 0 − − = 0 = 2500 − 1881.18 = .
Tensión circunferencial o tangencial La tensión circunferencial o tangencial se origina en las paredes de un cilindro sometido a presión interna. Para cilindros de pared delgada
< 0,1 : × × = → =
Las unidades empleadas, por lo general serán kp/cm 2 o Pa.
Tensión longitudinal en cilindros de pared delgada La tensión longitudinal en un cilindro de pared delgada cerrado por los extremos es igual a la mitad de la tensión circunferencial.
× = ( )× ( ) = () ×120) × (1.20Τ2) Τ (0. 8 22×9. 7 9 = (0.006) = 96568.56
× = Τ 1.72 × ( 1.20 2) 124 = () = 0.0083 = .
Fuerzas Hidrostáticas en las Presas Las grandes fuerzas hidrostáticas que actúan sobre las presas tienden a producir en las mismas: Un deslizamiento horizontal a lo largo de su base; y, Un vuelco alrededor de la arista de aguas abajo (que se conoce como pie de base) de la base.
Otro factor que puede afectar la estabilización de la presa es la fuerza hidrostática de levantamiento (o ascensional) que actúa sobre la base de la presa, producida por el agua filtrada bajo la misma. La estabilidad de una presa se comprueba determinado: El coeficiente de seguridad contra el deslizamiento, El coeficiente de seguridad contra el vuelco; y, La presión sobre la base de la presa
Presión sobre la base de una Presa El coeficiente de seguridad contra el deslizamiento se determina por el cociente de la resistencia al deslizamiento por la fuerza de deslizamiento.
El coeficiente de seguridad contra el vuelco se calcula por el cociente del momento resistente por el par de vuelco total. Todos los momentos se toman con relación al pie de la presa. La ecuación de presión sobre la base de la presa da la distribución de presiones a través de la base de la presa y la resultante actúa dentro del tercio medio de la misma:
Donde:
= ± ±
= = = = = =
2m
7m
2
6m 1
4m
= × ℎ × = 9.79 Τ × 3 × 6 × 1 = . 4+2 = 1 × 2 × 7 × 23.5 Τ = 493.5 = (0.48)× 493.5 .
1 + 2 = = 33 +(329 ×3.00) = . = 164.5 ×1.176.22 ×2 = = 164.5 +329 +176.22 = σ 164. 5 × 1. 3 3 + (329 × 3. 0 0) − 176. 2 2 × 2 = = = . 493.5
Mecánica de Fluidos MSC. ING. EDUARDO PAREDES BELTRÁN
MOVIMIENTO DE MASAS FLUIDAS CON ACELERACIÓN UNIFORME UNIDAD 3
Fuerza de flotación Las fuerzas de flotación que un fluido ejerce sobre un cuerpo total o parcialmente sumergido se conoce como FUERZA DE FLOTACIÓN, esta fuerza actúa siempre verticalmente hacia arriba ya que no pueden existir componentes horizontales sobre un cuerpo sumergido debido a que su proyección vertical es cero.
Principio de Arquímedes Mediante este principio podemos determinar volúmenes de cuerpos irregulares, midiendo la perdida aparente de peso cuando el sólido está totalmente sumergido en un líquido de densidad relativa conocida. También podemos determinar las densidades relativas de líquidos por lectura de la profundidad a la que se hunde un hidrómetro. Otras aplicaciones están relacionadas con los problemas generales de flotación o diseños de estructuras navales.
Principio de Empuje y Flotación Fue descubierto por Arquímedes hace alrededor 2.200 años y puede enunciarse como sigue: ◦
“Un cuerpo flotante o sumergido en un fluido sufre un empuje hacia arriba producido por una fuerza igual al peso del fluido desalojado”
Esta fuerza se conoce como EMPUJE. De esto, podemos decir que un cuerpo flotante desplaza una cantidad de fluido igual a su peso.
Asimismo, un cuerpo flotante desplaza el volumen de fluido suficiente para equilibrar exactamente su propio peso. El punto de aplicación de la fuerza de empuje ascensional se llama CENTRO DE EMPUJE y está localizado en el centro de gravedad del volumen de fluido desplazado. Si queremos saber si un cuerpo flota es necesario conocer su peso específico, que es igual a su peso dividido por su volumen.
Si el peso es mayor que el empuje el cuerpo se hunde, es decir el peso del cuerpo es mayor que el del líquido. Si el peso es igual al empuje, el cuerpo no se hunde ni emerge. El peso es igual al del líquido. Si el peso es menor que el empuje, el cuerpo flota. El peso del cuerpo es menor que del líquido.
50N
90N
Datos: •
•
FB
= 90 = 50
σ = 0 90 50 = 0 = 40 = 40 = 9790 Τ × = . = = = .
5kg
W FB Datos: •
= 5
σ = 0 5.0 = 0 = +5.0 = = 998 Τ × (0.2 × 0.2 × 0.4) = 15.968 = 15.968 + 5.0 = . = = .. = .
h
1 2
Dr=0.821 Dr=0.780 Datos: •
= 0.0216
: ℎ = 0.0216 = 0.821×9790Τ × = 2.687×10− ( ℎ) : ℎ = 0.0216 = 0.780 ×9790Τ × + ℎ − 0.0216 = 0.780× 9790 Τ × 2.687×10− + × 2.8 ×10 ℎ 4 2.828×10− 2.687×10− = 6.157× 10− ℎ 0.141×10− = 6.157× 10− ℎ ℎ = 0.0229 = .
= 0.651×9.79 Τ × 1.50 × 0.08 + 110 Τ × = 9.79 Τ × 1.20 × 0.08 + 0.0612 + 110 Τ × = 9.79 Τ × 7.68 ×10− + × = 0.0751 + 9.79 Τ × Τ 0. 0 612 + 110 = 0.651 = 0.0 8× 0.0 8× 1.5 0 100.21 Τ × = 0.0139 = 110 0.0139 = . = 100. 21 Τ = 110 Τ × = 110 Τ ×0.000138 = 15.26 = 1.5561
Datos: • • •
W V V1
FB
Datos: • •
= 7.25 = 13.57
= 0 = 0 = ( ) 7.25×9790 Τ × = 13.57× 9790Τ × = 7.25 = 0.534 13.57 = 0.534 = 1 0.534 = .
Datos: • •
= 350 = 7.6 × 3 × 3.7
= 350 = 9.79 Τ × 7.6 × 3 × ℎ ℎ = 9.79 Τ350 7.6 × 3 = .
= 350 + = 9.79 Τ × 7.6 ×3 ×3.7 = 825.88 350 = .
ESTABILIDAD EN CUERPOS SUMERGIDOS De acuerdo con el principio de Arquímedes, para que un cuerpo sumergido en un líquido este en equilibrio, la fuerza de empuje Fb y el peso W han de ser iguales en magnitudes y además han de aplicarse en el mismo punto. En tal caso la fuerza resultante es cero y también lo es el momento, con lo cual se dan condiciones de equilibrio. Fb=W.
ESTABILIDAD LINEAL Se pone de manifiesto cuando desplazamos el cuerpo verticalmente hacia arriba. Este desplazamiento provoca una disminución del volumen del fluido desplazado cambiando la magnitud de la fuerza de flotación correspondiente.
ESTABILIDAD ROTACIONAL Este tipo de estabilidad se pone de manifiesto cuando un cuerpo sufre un desplazamiento angular. En este caso, el centro de flotación y fuerza de gravedad no permanecen sobre la misma línea vertical, por lo que la fuerza de flotación y el peso no son colineales provocando la aparición de un par de fuerzas restauradoras (o adrizantes). El efecto que tiene dicho par de fuerzas sobre la posición del cuerpo determina el tipo de equilibrio del sistema.
La fuerza de flotación es igual a la componente vertical de fuerzas que actúan sobre el cuerpo sumergido. Esta fuerza resultante dirigida hacia arriba es igual al peso del líquido desplazado por el sólido: Donde
= ∀
∀ es el volumen efectivo.
Para determinar la línea de acción de la fuerza de flotación se toman momentos con respecto a un eje y se igualan al momento resultante:
ത
1 ത ∫ ∀ = ∀ → = ∀ ∫ ∀
Donde es la coordenada del centro de gravedad del volumen desplazado. La fuerza de flotación actúa a través del centro de gravedad del volumen desplazado y este punto se llama Centro de flotación.
EQUILIBRIO DE CUERPO FLOTANTES El equilibrio de un cuerpo flotante se clasifica en tres tipos:
ESTABLE Una fuerza activa o externa genera una inclinación lateral, pero cuando aquella cesa, el cuerpo vuelve a su posición original. Este tipo de equilibrio lo tienen los cuerpos de centro de gravedad bajo.
INESTABLE La fuerza actuante origina el volteo brusco del cuerpo o zozobra. El cuerpo obtiene luego de esto una posición más o menos estable. Este equilibrio lo tienen los cuerpos que tienen centro de gravedad alto.
INDIFERENTE La fuerza actuante origina un movimiento de rotación continuo del cuerpo, cuya velocidad es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza y dura mientras exista la fuerza. Este tipo de equilibrio lo tienen aquellos cuerpos con distribución de masa uniforme y el centro de flotación y centro de gravedad se ubican siempre en la misma vertical.
AN LISIS DE EQUILIBRIO DE UN CUERPO FLOTANTE SIMÉTRICO CON RESPECTO AL EJE LONGITUDINAL Posición de Equilibrio
Cuando aplicamos una fuerza externa ocasional existe una inclinación de un ángulo y el centro de gravedad se desplaza hasta la posición Se originan las fuerzas y El empuje total actúa en su nueva posición
′
’
El momento de la fuerza resultante con respecto a igual al par que producen las fuerzas y :
=
es
Para el volumen infinitesimal se genera un momento de desequilibrio:
= tan
El momento de la fuerza B con respecto a O es:
= tan ඵ = tan
Para predecir el comportamiento del cuerpo flotante es importante conocer la posición del punto m que es la intersección de la línea de acción de la fuerza de flotación B que pasa por el punto con el eje y el cuerpo.
′
El punto m se denomina metacentro y la altura metacéntrica se nota con h y corresponde a la distancia entre los puntos G y m . El equilibrio es estable si el metacentro se ubica por arriba del centro de gravedad y es inestable si el metacentro se ubica por debajo del centro de gravedad
0)
(ℎ < 0)
(ℎ >
DETERMINACIÓN DE UBICACIÓN DEL METACENTRO La determinación de si el CG esta por debajo o sobre el metacentro (y por tanto, la estabilidad o la inestabilidad, respectivamente), puede realizarse numéricamente utilizando la siguiente ecuación para calcular la distancia desde el CB (centro de empuje) al metacentr metacentro: o:
Donde:
=
= =momento de inercia de una sección horizontal del cuerpo tomada en la superficie del fluido cuando el cuerpo flotante esta sin cabeceo. =
◦ ◦
◦
TRASLACIÓN DE MASAS FLUIDAS Existen situaciones donde los fluidos pueden estar sometidos a aceleración constante, constante, es decir sin movimiento relativo entre sus partículas, como cuando están expuestos a movimientos de rotación y traslación. En general no existe movimiento entre el fluido y el recipiente que lo contiene. Teniendo en cuenta que estos pueden experimentar movimientos horizontales y verticales.
MOVIMIENTO HORIZONTAL En este caso la superficie libre del líquido adopta una posición inclinada y plana, cuya pendiente está determinada por la relación entre la aceleración del recipiente y la aceleración de la gravedad
ó tan =
MOVIMIENTO VERTICAL En este caso hay variaciones dentro del volumen del líquido de tal forma que la presión en cualquier punto del líquido se determina considerando el producto de la presión hidrostática y la relación entre la aceleración del recipiente y la gravedad, sumada o restada de una unidad dependiendo si la aceleración aumenta o disminuye.
ó p=ℎ 1±
ROTACIÓN DE MASAS EN RECIPIENTES ABIERTOS La forma de la superficie de un líquido que gira con el recipiente que lo contiene adopta la forma de un paraboloide de revolución. Que cualquier plano vertical que pase por el eje de revolución corta la superficie según la parábola. Dicha ecuación está dada por:
Donde: ◦ ◦
y = 2 x
x,y son coordenadas es la velocidad angular constante (/)
ROTACIÓN DE MASAS EN RECIPIENTES CERRADOS Como en el caso de las bomba y turbinas, la rotación de una masa de fluido, o en caso que gire el recipiente que lo contiene, se genera un incremento en la presión entre un punto situado en el eje y uno a una distancia X del eje en el mismo plano horizontal; y está dada por:
p = 2 x
Y el aumento de la altura de presión será: = y = La velocidad lineal será:
v=x
MSC ING . EDUARDO PAREDES BELTRÁN
Aplicación de los principios fundamentales del flujo de fluidos UNIDAD 4
Fundamentos del flujo de fluidos Una vez revisados los fluidos en reposo, para los cuales la única propiedad significativa es el peso del fluido, es necesario revisar el caso de fluidos en movimiento, en los cuales es necesario revisar conceptos adicionales. El flujo de fluidos es complejo y no siempre puede ser estudiado de forma exacta mediante análisis matemáticos debido a que al contrario de los sólidos, las partículas de un fluido en movimiento pueden tener diferentes velocidades y estar sujetas a distintas aceleraciones.
Principios de flujo de fluidos a) El principio de conservación de la masa, a partir del cual se establece la ecuación de continuidad; b) El principio de la energía cinética, a partir del cual se deducen ciertas ecuaciones aplicables al flujo; y, c) El principio de la cantidad de movimiento, a partir del cual se deducen ecuaciones para calcular las fuerzas dinámicas ejercidas por los fluidos en movimiento.
Flujo de Fluidos El flujo puede ser: ◦ Permanente o no permanente; ◦ Uniforme o no uniforme; ◦ Laminar o turbulento; ◦ Unidimensional, bidimensional o tridimensional; y, ◦ Rotacional o irrotacional.
Fluido Unidimensional, Bidimensional y Tridimensional El flujo también puede considerarse: ◦ Tridimensional ◦ Bidimensional ◦ Unidimensional
Fluido Unidimensional El fluido unidimensional de un fluido incompresible tiene lugar cuando el modulo, dirección y sentido de la velocidad en todos los puntos son idénticos. Sin embargo, esta suposición solo se valida cuando se acepta como única dimensión la línea de corriente central del flujo, y se consideran como despreciables las variaciones de velocidad y aceleración en dirección normal de dicha línea de corriente.
En estos casos, se consideran los valores promedio de velocidad, presión y elevación, despreciando valores menores. Por ejemplo, en tuberías curvas el flujo se analiza mediante principios de flujo unidimensional a pesar de que la geometría es tridimensional y la velocidad varia en las secciones rectas de la tubería.
Fluidos Bidimensionales Tienen lugar cuando las partículas fluidas se mueven en planos paralelos de forma que la configuración de las líneas de corriente son idénticas en cada plano
Otros tipos de Fluidos Flujo ROTACIONAL , cuando las partículas se deforman debido al movimiento.
Flujo IRROTACIONAL , cuando se obtienen fluidos ideales (sin tensiones cortantes ni movimientos rotacionales alrededor de su centro de gravedad)
Flujo Permanente Es un tipo de clasificación con respecto al TIEMPO. Tiene lugar cuando, en un punto cualquiera, la velocidad de las partículas es la misma (constante respecto del tiempo) =0 Esta condición sin embargo, puede variar respecto del espacio. Esto significa que si las características varían de un instante a otro, se tiene un flujo NO PERMANENTE.
La mayoría de problemas técnicos prácticos implican condiciones permanentes de flujo. Por ejemplo: el transporte de líquidos bajo condiciones constantes de altura de carga o el vaciado de depósitos por orificios bajo altura de carga, ilustran flujos permanentes, los cuales pueden ser uniformes o no uniformes.
Flujo Uniforme Se da cuando las características del flujo son idénticas en cualquier PUNTO. Tiene lugar cuando el modulo, la dirección y el sentido de la velocidad no varían, es decir: =0 Esto implica que las otras magnitudes (velocidad, presión, etc.) no varían en el espacio. En líquidos bajo presión a través de tuberías de diámetro constante y gran longitud es uniforme tanto si el régimen es permanente como si no es permanente.
Líneas de Corriente Son curvas imaginarias dibujadas a través de un flujo en movimiento que indican la dirección en los diversos puntos del fluido. La tangente en un punto representa la dirección de la velocidad de dicho punto. Las tangentes a las líneas de corriente representan la línea media de la velocidad. Como la componente de la velocidad normal a la línea de corriente es nula, no existe flujo perpendicular a la línea de corriente.
Tubos de Corriente Está constituido por una región parcial del fluido delimitada por una familia de líneas de corriente que lo confinan. La velocidad en el punto medio de una sección puede considerarse como la velocidad media en dicha sección. El concepto de tubo de corriente se utiliza para deducir la ecuación de continuidad en el caso de flujos incompresibles en régimen permanente y unidimensional.
Gasto o Caudal Es el flujo de volumen a través de una superficie.
Ecuación de la Continuidad Es una consecuencia del principio de la conservación de la masa. “La cantidad neta de masa que atraviesa la superficie de frontera del volumen de control en la unidad de tiempo más la rapidez de variación de la masa contenida en el volumen de control tiene que ser igual a cero”
La masa fluida que en la unidad de tiempo entra en un volumen especifico fijo, debe ser igual a la masa que sale.
Para un flujo permanente, la masa fluida que atraviesa cualquier sección de una corriente, por unidad de tiempo, es constante: × × = × × = × × = × × ( ) Para fluidos incompresibles y para todos los casos prácticos en los que el peso específico es constante, la ecuación se trasforma en: = × = × = Donde A y V son respectivamente, el área y la velocidad media
Para un fluido permanente incompresible bidimensional es: × = × = Donde las magnitudes representan las áreas normales a los respectivos vectores velocidad.
Porunatuberíade30cmdediámetrocirculan1800l/minde agua,reduciéndosedespuéseldiámetrodelatuberíaa15cm. Calcularlasvelocidadesmediasenambastuberías. = 0.030 Τ =
=
=
=
0.030 Τ 1 × × (0.30 ) 4 0.030 Τ 1 × × (0.15 ) 4
= 0.42 /
= 1.70 /
Silavelocidadenunatuberíade30cmesde0.50m/s.Cuál serálavelocidadenelchorrode7.5cmdediámetroquesale porunaboquillaunidaalextremodelatubería? = × = . × . = Como las áreas son proporcionales al cuadrado de los diámetros:
0.30
× 0.50
= 0.075
. = 8.0 /
× .
Atravésdeunatuberíade15cmdediámetrocirculaaireaunapresión manométricade2.10kp/cm 2 yunatemperaturade38⁰C.Silapresión barométricaesde1.03kp/cm 2 ylavelocidadde3.20m/s.Cuáleselcaudalen pesoqueestáfluyendo? =
=
. Τ +. Τ × (.Τ°)(+)°
= 3.43 /
= × = × = × ×
= 3.43
1
4
×
× × 0.15
= 0.194 /
× 3.20/
Ejercicios en clase a) Por la sección A de una tubería de 7.5 cm de diámetro circula anhídrido carbónico a una velocidad de 4.50 m/s. La presión en A es de 2.10 kp/cm2 y la temperatura es de 21⁰C. Aguas abajo, en el punto B la presión es de 1.40 kp/cm2 y la temperatura es de 32⁰C. Para una lectura barométrica de 1.030 kp/cm2, calcular la velocidad en B. b) Que diámetro mínimo de tubería será necesario para transportar 2.22 N/s de aire a una velocidad máxima de 5.64 m/s? La temperatura del aire es de 30⁰C y la presión absoluta de 230 kPa.
Red de Corriente Se dibujan para representar la configuración del flujo en casos de flujos bidimensionales y tridimensionales. Está formada por: ◦ Una familia de líneas de corriente espaciadas de tal forma que el caudal Q es el mismo entre dos pares de líneas, y ◦ Otra familia de curvas ortogonales a las líneas, y espaciadas de tal forma que la separación entre ellas es igual a la separación entre líneas adyacentes.
Para describir completamente un flujo, se requiere un número infinito de líneas de corriente. No obstante, el número de líneas empleadas es el mínimo para obtener la precisión deseada.
Energía y Altura de Carga La energía se define como la capacidad para realizar un trabajo. El trabajo resulta al aplicar una fuerza a lo largo de cierto recorrido y por lo general, se define como el producto de una fuerza por la longitud en la dirección de la aplicación. La energía y el trabajo se expresan en las mismas unidades, es decir, en kpm o julio Nm (J). Los fluidos en movimiento poseen energía. En los problemas de flujo de fluidos, la energía aparece en tres formas distintas: ◦ Potencial, ◦ Cinética, y, ◦ Energía de presión.
Considerando un fluido en el conducto que se muestra en la figura, el elemento está situado a una distancia z sobre una cota, o línea de nivel, o de referencia, y tiene una velocidad V y una presión p. La energía potencial PE se refiere a la energía que posee el elemento de fluido debida a su elevación respecto de la cota de referencia. Esta energía viene determinada cuantitativamente por el producto del peso W del elemento por la distancia vertical de este a la cota de referencia z. Por tanto: = ×
La energía cinética KE se refiere a la energía que posee el elemento fluido debido a su velocidad. Esta energía viene determinada cuantitativamente cuantitativ amente por el producto de la masa m del elemento por el cuadrado cuadr ado de su velocidad velocidad V divid dividido ido por dos. Así: =
× 2
La masa masa m puede ser ser destituid destituida a por W/g W/g con lo que se tiene: =
× 2
La energía de presión FE , llamada algunas veces energía de flujo, fluj o, es la cantidad de trabajo que se requiere para para forzar forzar al fluido a moverse contra contra la presión. Esta energía se puede calcular determinando el trabajo necesario para mover el elemento a una distancia d . La fuerza que realiza el trabajo es igual al producto de la presión p presión p por el área de la sección recta A recta A del elemento. De aquí: = × ×
El termino Ad termino Ad es es el volumen del d el elemento, que puede reemplazarse por el peso sobre el peso específico. Por tanto: =
×
La ENERGÍA TOT suma de PE, KE y FE, es decir: TOTAL AL E es la suma = ×
× 2
×
La observación de las dimensiones físicas de cada uno de estos términos térmi nos revelan revelan que se pueden pueden expresar expresar en kpm o Nm. En la practica, es conveniente manejar la energía como carga, es decir, como cantidad de energía por unidad de peso fluido. Técnicamente, las unidades de carga carga o altura de carga carga son kpm/kp o Nm/N, por lo que matemáticamen matemáticamente te la unidad será m.
La ecuación anterior se puede modificar al expresar la energía total como altura de carga H, H , dividiendo todos los términos de la ecuación por el peso del fluido fl uido W. W. Se obtiene: =
2
El termino z se llama cota topográfica, V 2 /2g se conoce como altura de velocidad y p/ γ γ como altura de presión. Como ya se ha indicado, cada termino de esta ecuación viene expresado en unidades de longitud, es decir decir,, en m.
Ecuación de la Energía Se obtiene al aplicar el principio de conservación de la energía. La energía que posee un fluido en movimiento está integrada por la energía interna y las energías debidas a la presión, a la velocidad y a su posición en el espacio. En la dirección del flujo, el principio de la energía se traduce en la siguiente ecuación, al hacer balance de la misma: Energía en la sección 1 + Energía añadida - Energía perdida - Energía extraída = Energía en la sección 2
Esta ecuación, en los flujos permanente de fluidos incompresibles, con variaciones en su energía interna despreciables, se reduce a:
2
− − =
2
Esta ecuación se conoce como el Teorema de Bernoulli . La unidad que se utiliza es el metro y prácticamente TODOS los problemas de flujos de fluidos se resuelven con esta ecuación.
Aplicación del Teorema de Bernoulli 1. Dibujar un esquema del sistema. 2. Aplicar la ecuación de Bernoulli en la dirección del flujo. Seleccionar la cota de referencia. 3. Calcular la energía aguas arriba en la sección 1. 4. Anadir en metros de fluido, toda energía adicionada al fluido mediante cualquier dispositivo mecánico tal como bombas.
5. Restar cualquier energía perdida durante el flujo. 6. Restar cualquier energía extraída mediante dispositivos mecánicos tal como turbinas. 7. Igualar la anterior suma algebraica a la suma de las alturas de presión, de velocidad y topográfica o elevación en la sección 2. 8. Si las dos alturas de velocidad son desconocidas, relacionarlas mediante la ecuación de continuidad.
Línea de Energía o de Alturas Totales La línea de alturas totales es la representación gráfica de la energía de cada sección. Para cada sección representativa puede representarse, respecto de un plano de referencia, la energía total (como valor lineal en metros de fluido) y la línea obtenida de esta forma es de gran ayuda en muchos problemas de flujos. La línea de energías totales tiene una pendiente decreciente en el sentido del flujo, excepto en las secciones donde se añade energía mediante dispositivos mecánicos.
Línea de Alturas Piezométricas La línea de alturas piezométricas está situada debajo de la línea de alturas totales en una cantidad igual a la altura de velocidad en la sección correspondiente. Las dos líneas son paralelas para todos los tramos en que las secciones rectas tienen la misma área. La ordenada entre el eje de la corriente y la línea de alturas piezométricas es igual a la altura de presión en la sección en cuestión.
Potencia La potencia se calcula multiplicando el caudal en peso o gasto kp/s, N/s por la energía H en kpm/kp o Nm/m. Así resulta la ecuación: = × × = Τ = × × /75 = Τ × Τ × Τ = Τ
Atravésdeunatuberíade15cmdediámetroestáfluyendoaceitededensidad relativa0.750aunapresiónde103kPa.Silaenergíatotalrespectodeunplano dereferenciasituado2.40mpordebajodelatuberíaesde17.9kNm/kN, determinarelcaudaldelaceite. = 17.9 × Τ = =
103 0.750 × 9.81 Τ
2
2.40
(17.9 − 14.03 − 2.40) × (2 × 9.81 Τ ) =
28.85 Τ
= 5.43 / = × = × 0.075
× 5.43 /
= . Τ
Unaturbinaproduce450kWcuandoelcaudaldeaguaa travésdelamismaesde0.609m3/s.Suponiendoun rendimientodel87por100.Quealturaactúasobrelaturbina? = × = × × × 450 = 9.81 Τ × 0.609 Τ × × 0.87 =
450 9.81 Τ × 0.609 Τ × 0.87 = 86.58
Enlafiguraestáncirculando0.370m3/sdeaguadeAhaciaB, existiendoenAunaalturadepresiónde6.6m.Suponiendoqueno existenperdidasdeenergíaentreAyB,determinarlaalturadepresión enB.Dibujarlalíneadealturastotales. Aplicando la ecuación de Bernoulli se tiene: − − = 2 2
2
0 − 0 − 0 =
=
=
=
=
0.370 Τ × (0.15)
2
= 5.24 /
0.370 Τ × (0.30)
= 1.31 /
(5.24/) (1.31/) 6.6 3.0 = 7.5 2 × 9.81 Τ 2 × 9.81 Τ
= 6.6 1.4 3.0 − 0.09 − 7.5 = 3.41