II SEGUNDO SEMESTREIntegral Definida UISEK - 2010 Sept 2011

Tema : Integral Definida

Para el estudio de la integral definida debemos considerar la existencia de una función positiva y continua en un intervalo cerrado cerrado [ a , b ]. Recordemos que una partición de un intervalo cerrado [ a , b ] genera n subintervalos de la forma :

[ x 0 , x 1 ] ,[ x 1 , x 2 ] ,[ x 2 , x 3 ], . ... .. .. ... .. . . ... [ x n − 1, x n ] de n es entero positivo y los extremos satisfacen las desigualdades:

a = x 0 < x 1 < x 2 <.................. < x n − 1 < x n = b , donde cada subintervalos tiene longitud ∆ x i = x i − x i − 1 .

[ a , b ]. Al mayor valor que toma

Sea P [ a,b ] una partición de

∆ x 1 ,∀ i, i = 1 , n se le llamara la norma de la partición y se denotara por

∆

∆

∆

∆

x1 x2 x3 x4 6 7 86 4 7 4 8 678 678

a= x 0

Profesor: Hernán Carrasco Monge

x1

x2

x3

x4

∆

xn 678

x n−1

xn = b

|| P ||.

Definición Sea f una función definida en un intervalo cerrado [ a , b ] y sea p una partición de [ a , b ]. Una suma de Riemann de f para P es cualesquier n

expresión de la forma : S ( f ; P ) =

∑ f ( ξi ) ∆ x i

, donde ξ i es algún valor del

i=1

intervalo

x i −1 , x i para I = 1, 2 ,3...n.

Definición Sea f una función definida en un intervalo cerrado [ a , b ] y L un n

número real , tal que Lim

p →0

∑ f (ξ

i

) ∆ xi = L , entonces L se llama el limite de la

i

suma de Riemann.

Definición Sea f una función definida en un intervalo cerrado [ a , b ]. La integral b

defi defini nida da de f desd desde e a hast hasta a b deno denota tada da por por

∫

f ( x ) d x , está dada por :

a b

n

∑ f( ξ ∫ f ( x)dx = Lim → a

p

0

i

)∆ xi

i

Siempre que él limite exista.


2

Notación : b

∫

f ( x)dx

a

Limite Superior

Limite Inferior

Integrando

Variable de integración

Propiedades b

a.-

Si a > b ⇒

∫

a

f (x)dx = -

a

∫

f ( x ) d x , si existen las integrales.

b a

b.-

Si f ( a ) existe, entonces

∫

f ( x)dx= 0

a

Teorema Si f es continua en [ a , b ] , entonces es integrable en [ a , b ]

Propiedades de la Integral Definida b

1.-

∫

b

k f ( x)d x= k

a

∫

f( x)d x

a

b

2.-

∫

dx= b− a

a


3

3.-

b

b

b

a

a

a

∫ (f ( x )+g( x))dx = ∫ f ( x)dx+ ∫ g ( x )dx

Teorema Si a < c < b y f es integrable tanto en [ a , c ] como en [ c , b ], entonces f es función integrable en [ a , b ] y b

c

∫

f ( x) dx=

a

∫

b

f ( x)dx+

a

∫

f ( x)dx

c

Teorema Si f es integrable en [ a , b ] y si f ( x ) ≥ 0 para todo x que pertenece al b

intervalo [ a , b ], entonces

∫

f ( x)≥ 0.

a

Teorema Si f es integrable en [ a , b ] y si f ( x ) ≥ g ( x ) para todo todo x que pertenece al b

intervalo [ a , b ], entonces

∫ a

b

f ( x) ≥

∫

g( x ) .

a

Demostración : Sea h ( x ) = g ( x ) – f ( x ) , la cual es una función que satisface la condición h ( x ) >0 para todo x en [ a , b ], en consecuencia por teorema anterior b

se tiene que

∫ h ( x) ≥ 0 ⇒ a


4

b

b

b

b

∫ h ( x ) d x = ∫ (g( x ) − f ( x ) ) d x = ∫ g ( x ) d x − ∫ f ( x ) d x a

a

a

a

b

b

∫ g( x )

Luego podemos concluir que

>0

dx >

a

∫ f (x) d x a

Teorema Si f es una función continua en el intervalo [ a , b ], alcanza en él un valor máximo absoluto M y un valor mínimo absoluto m. Entonces : b

m(b − a )≤

∫

f ( x) dx≤ M( b − a )

a

Demostración m ≤f(x)≤M m ∆ xi ≤ f ( x ) ∆ xi ≤ M ∆ xi n

n

∑ m ∆x i ≤ ∑ f ( x i ) ∆x i i=1

i=1 n

m

∑

n

≤

∑ M ∆x i i =1

n

∆x i ≤

i=1

∑

n

f ( x i ) ∆x i ≤ M

i=1

∑

∆x i

i=1

n

m (b− a) ≤

∑

f ( x i ) ∆x i ≤ M ( b − a )

i=1

m ( b − a ) ≤ lim

n→∞

n

∑= f ( x

i

) ∆ xi ≤ M ( b − a )

i 1

b

n

m ( b − a ) ≤ lim

∑= f ( x

n→∞ i 1


i

) ∆ xi =

∫ f ( x )dx ≤M(b−a) a

5

b

m (b− a) ≤

∫

f ( x ) d x ≤M ( b − a )

a

Por lo tanto, existe un valor c ∈] a , b [ tal que: b

∫ f(x)dx f(c) =

a

b−a

Lo cual genera el Teorema del Valor medio para integrales. integrales.

Teorema ( del valor Medio ) Si la función f ( x ) es continua en el intervalo [ a , b ], existe en éste intervalo un punto c tal que satisface :

b

∫ f ( x )dx f (c) =

a

a
b−a

Ejemplo : a.-

7 Demuestre que : ≤ 2

4

∫ 1

( x 3 − 6 x 2 + 9 x + 1) d x ≤

35 2

2

Solución : f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x + 1 ⇒ f ′ ( x ) = 3 x 2 − 12 x + 9

f ′ ( x)= 0 ⇒


3 x 2 − 12 x + 9 = 3 ( x − 3 ) ( x − 1) = 0

6

luego los valores críticos son x = 3 segunda derivada : f ′′ ( x ) = 6 x − 12

⇒

y

x = 1. Calcularemos la

f ′′ ( 1) = − 6 < 0 , ∴ f ( 1 ) = 5 es un

valor máximo de la función, análogamente se verifica que f ′′ ( 3 ) = 1 > 0 ,

en

consecuencia f ( 3 ) = 1, es un mínimo mínimo . Es decir M = 5 y m = 1, luego obtenemos la relación:

1 1(4)≤ 2

4

∫ 1

( x 3 − 6 x 2 + 9 x + 1) d x ≤ 5 ( 4 -

1 ) 2

2

7 4 35 ≤ ∫ ( x 3 −6 x 2 + 9 x +1 ) dx ≤ 2 1 2 2

n2

b.-

Calcular el límite límite de la sucesión:

an =

1

∫n

2

2

( 1+ e − x ) d x

n

Solución : 2

Sea f ( x ) = 1 + e − x función continua, para todo x en los reales, aplicando el T.V.M. tenemos :

n2

an =

∫ n

1 1 −x 2 2 ξ2 ( 1 e ) d x ( n n ) ( 1 e ) + − + n2 n2

Donde n < ξ < n 2 , luego si n → ∞

⇒

ξ → ∞ , en consecuencia

n 2 −n −ξ 2 = + Lim a n = Lim Lim ( 1 e ) = 1( 1 + 0 ) = 1 ξ →∞ n →∞ n→ ∞ n2 n2

Lim a n = 1 n→∞


⇒ Lim n→ ∞

∫ n

2 1 ( 1+ e −n ) d x = 1. 2 n

7

Teorema ( Fundamental del Cálculo ) Si la función f ( x ) es continua en el intervalo [ a , b ]. Si F es una anti derivada de f, entonces :

b

∫

b

f(x)dx=F (x) a = F(b)−F( a)

a

Ejemplo : 1

a.-

Calcular

∫

e x dx

0

Solución : 1

∫

e x dx= ex

0

1 0

= e−1 π 2

b.-

Calcular

∫

Cos ( x ) d x

0

Solución : π 2

∫

Cos ( x ) d x = Sen ( x )

0

π

2 = 1 0

2

c.-

Calcular

∫

x−1 d x

−1


8

Solución 2

∫

1

x−1 dx=

−1 2

∫ −1

∫

2

( 1 − x ) d x + ∫ ( x − 1) d x

−1

1

1 2 5 x2 x2 +( − x) = x−1 dx= ( x− ) −1 1 2 2 2

-1

1

2

Ejercicio Calcular los limites de las siguientes sumas:

a.-

 1 2 3 n − 1 Lim  2 + 2 + 2 + .......... .. + 2  n→∞ n n n   n

b.-

  n n n n + + + + Lim  2 .......... ..  2 2 2 n→∞ n2 +32 n2 +n2  n +1 n + 2

Solución Caso 1 : como ∆x =

1 i ⇒ ξi = n n 1

0

 1 2 3 n − 1 Lim  2 + 2 + 2 + .......... .. + 2  n →∞ n n n   n

= Lim ∑

 1 2 3 n − 1 Lim  2 + 2 + 2 + .......... .. + 2  n→∞ n n n   n

= Lim ∑ ( i ∆x ) ∆x

n −1

= Lim ∑ f ( ξi ) ∆x = n→∞

i =1


1

∫ 0

x2 x dx = 2

n −1

n→∞

n −1

n→∞

1

= 0

i =1

1I nn

i =1

1 2

9

 1 2 3 n − 1 1 luego Lim  2 + 2 + 2 + .......... .. + 2  = n →∞ n n n  2  n

Caso 2: n   n n n n n Lim  2 .......... .. = Lim + + + + ∑  2 2 2 2 2 2 2 n→∞ n→∞ n 2 + n2  i =1 n + i  n +1 n + 2 n + 3

n

Lim ∑ n→∞

i =1

n 1  n 2   2 2  = Lim ∑ n →∞ n  n + i  i =1

como ∆x =

1 i ⇒ ξi = n n

      1 1   n   i  2   1 +      n  

f (ξi )=

1 1+ ξ 2 i

luego

  n n n n Lim  2 .......... .. + 2 + + +  = 2 2 2 2 2 2 n →∞ n 1 n 2 n 3 n n + + + +  

1

∫ 0

dx = arctg ( x ) 1+ x 2

1

= 0

π 4

Definición Sea f ( x ) una función continua , se llama integral indefinida de f a x

la función φ ( x ) =

∫

f ( u ) du.

a

Propiedades a.-

Si f ( x ) es una función continua en [ a , b ], la función φ ( x )

es continua si a es un punto cualquiera del intervalo.

b.-

Si f ( x ) > 0 entonces la función φ ( x ) es creciente.


10

c.-

Si f ( x ) < 0 entonces la función φ ( x ) es decr ecreci eciente. nte.

d.-

Si f ( x ) = 0 entonces la función φ ( x ) es constante x

e.-

∫

φ(x)=

φ′ ( x ) = f ( x )

f ( u ) du ⇒

a

Ejemplo :  x Calcular Lim  x2 x →0  1 e − 

a.-

   

x

∫

2

e t dt

0

Solución : x

 x   Lim  x2  x →0  1−e 

x

x

∫e

t2

dt = Lim x →0

0

este limite tiene la forma x

x Lim x →0

∫

x →0

∫

e dt

0

1−e x

2

0 , luego aplicaremos regla de L´Hopital : 0

1−e x

−2 x e x

x →0

2 e x +2 x 2 e x 2

2

− 4 x 2 e x −2 e x

2

e t dt + x e x

2

0

= Lim

2

 x   Lim  x2  x →0  1−e 

b.-

0

x t2

2

Lim

∫

2

e t dt

2

2

−( 1 + x 2 ) = Lim = −1 x →0 1+ 2 x2

x

∫

2

e t dt = - 1.

0

Usando la definición la función logaritmo natural, para todo x

x > 0 dada por : Ln ( x ) =

∫

1


1 d t . Determine el valor de t 11

Ln ( Lim ( 1 + n→∞

x n ) ). n

Solución : Ln ( Lim ( 1 + n →∞

x n x ) ) = Lim ( L n ( 1 + ) n ) n →∞ n n = Lim ( n L n ( 1 + n→∞

1+

∫

= Lim ( n n→∞

= Lim ( n n→∞

1 < ξ < 1+

x n

1

x ) ) n

1 d t ) aplicando T.V. M. t

x x 1 f ( ξ ) ) = Lim ( n ) n →∞ n n ξ

x 1 1 1 ⇒ 1> > ∴ si n→∞ ⇒ → 1 x n ξ ξ 1+ n

Lim ( x n→∞

1

ξ

) = x Lim (

Ln ( Lim ( 1 + n→∞

n →∞

1

ξ

) =x

x n ) ) .= x. n

Teorema de Cambio de Variable Si la función u = g ( x ) tiene derivada continua en el intervalo [ a, b ] y f tiene una primitiva en el recorrido de g, entonces : g( b )

b

∫ f ( g ( x )) g( x ) d x = ∫ f ( u ) d u ′

a


g( a )

12

Ejemplo 4

Calcular

1

∫

x + 1)3

x (

1

dx

Solución Sea u 2 = x entonces 2 u d u = d x

4

∫

1

2

1 x(

x+ 1)3

dx =

∫ 1

2

= 2∫ 1

=

2u u( u +1)

3

x

u

1

1

4

2

du

du

( u +1)

3

2

− ( u + 1 ) −2 1 =

5 36

Definición : Sea f ( x ) > 0

∀ x , x ∈ Dom f , entonces el área acotada por la

curva de la función, las rectas x = a; x = b y el eje x está dada por la integral definida:

Y=f(x)

b

A = ∫ f ( x )dx

A

a

a Profesor: Hernán Carrasco Monge

b 13

Ejemplo: y = x 2 , x = 1 , x =2 y

Calcular el área de la figura acotada por las curvas: el eje x.

Solución:

y 2

A=

∫x

2

1

A=

x3 dx = 3

2

1

7 u. de a. 3

x 1

2

Ejemplo: Calcular el área de una circunferencia cuya ecuación es x 2 + y 2 = a 2 .

Solución: y=

( 0, a ) a

2

−x

2

, luego calcularemos

el área total por : a

A=4

∫

f ( x )dx

(a,0)

0 a

A=4

∫

a2 −x2 dx

0

para calcular está integral consideraremos la sustitución trigonométrica : x = a sen ( t ), luego d x = a co s ( t ) d t y


t = arcsen (

x ) a

14

x

t

0

0

a

π 2 π

a

A= 4

2

∫

a2 − x2 dx = 4∫

0

0

a 2 − a 2 sen 2 ( t ) a cos ( t ) d t

π

π

2

2

= 4∫

1 − sen 2 ( t ) a 2 cos ( t ) d t = 4 ∫ a 2 cos 2 ( t ) d t

0

0 π

A =4a2 (

t 2

2

π

+

0

sen ( 2 t ) 4

2

) = a 2π

luego A = a 2 π

0

Observaciones: a.-

Si la función es negativa en un intervalo [ a , b ] entonces el

área limitada por su gráfica, las rectas rectas x = a , x= b y el eje x , está dada por la relación: y

Y =g ( x )

g(x)=-f(x)

b

A=

∫ g ( x )dx

x

a

Y =f ( x )


15

Ejemplo: a.-

Calcular el área de la figura limitada por el eje x , las

rectas x = -1 -1 , x = 1 y la curva y = x 3 .

Solución: Como las dos áreas son simétricas Podemos calcular el área total por 1

A=2

∫ 0

x4 3 x dx= 2 4

1

= 0

-1

1 2

1

Definición El área limitada entre las gráficas y = f ( x ) , y = g ( x ) y las rectas x = a y x = b, está dada por: b

A=

∫ ( f ( x) − g ( x)) dx a

Ejemplo Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y = x 2 − 1 ; y = x.


16

Solución y = x2 −1 y = x.

a = -.0618 ; b = 1.618 b

A=

∫( x−( x

2

− 1) d x

a

b

x2 2

A =

a

b

x3 − 3

b

+x

= a

a

1.574

Ejercicio Calcular el área limitada por la gráfica de la función

y = x 3 − x2 − 6 x

y el eje x.

Solución y = x 3 − x2 − 6 x = x ( x - 3 ) ( x + 2 ) 0

A1=

∫ (x

3

− x 2 − 6 x) dx

0

0

−2

x4 A1 = ( 4

x3 − 3 −2

0

−3 x −2

) =

2

−2

16 3

3

A2 = −

∫ (x

3

− x2 − 6 x) dx

0


17

x4 A2 = -( 4 At =

3

x3 − 3 0

3

3

−3 x

=

2 0

0

63 4

luego se tiene que el área total es :

79 unidades de área 3

Ejercicio Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y 2 = 1−

y 2 = 1− x e

1 x 4

Solución 1

A= 2

∫ [ 4( 1− y

2

) − ( 1− y 2 ) ] dy

0

 A = 6 y 

1 0

y3 − 3

1

0

 1   = 6 1 −  + 3  

A = 4 u. de a.

Ejercicio : Calcular el área encerrada por la astroide : 3

x = 2 Cos ( θ )

donde θ ∈ [ 0 , 2π ]

3

y = 2 Sin ( θ )


18

Solución : 0

∫π 2 Sin

At = 4

3

( θ ) 6 Cos 2 ( θ ) ( − Sin ( θ ) ) d θ

2

π

2

∫ Sin ( θ ) Cos ( θ ) d θ

A t = 48

4

2

0

Fórmula de reducción: − Sen n −1 ( x ) Cosm + 1 ( x ) n−1 Cos m ( x ) Sin n − 2 ( x ) d x + ∫ Cos ( x ) Sin ( n ) d x = ∫ m+n m+n m

n

  Sen3 ( x ) Cos 3 ( x ) A t = 48 −  6     Sen ( x ) Cos3 ( x ) A t = 24 −  4  

  x At = 6   2 

π

π

2

1 2 + ∫ 4

0

0

π

π

2

1 2 + ∫ 2

0

0

  2 2 Cos ( x ) Sin ( x ) d x   

  2 Cos ( x ) d x   

 Sin ( 2 x ) 2  3 + = π  4 2 0 0   π

π

2


19

Coordenadas Polares: En el sistema de coordenadas polares un punto P

puede ser

ubicado por medio de un haz de circunferencias concéntricas, donde el centro o, es llamado polo.

( R,θ)

Polo

Eje polar

Tomemos una recta que pase por el polo, a la cual llamaremos eje polar, Luego un punto en el sistema de coordenadas polares que determinado por su radio polar R y su ángulo polar θ: P ( R , θ ).

Observación : Un punto P ( R , θ ), puede ser representado por θ o por 2 K π θ , donde k es un número entero.

Conversión de Coordenadas Polares a Coordenadas Rectangulares. Para establecer la representación de un punto dado en coordenadas polares, en un sistema de coordenadas rectangulares, debemos hacer coincidir el polo del sistema polar con el origen del sistema rectangular, como así mismo el eje polar con el eje x. Profesor: Hernán Carrasco Monge

20

P ( R, θ )

Eje polar θ

polo

Luego

origen

X = R Cos ( θ )

Eje X

Y = R Sen (θ ) en consecuencia las

e

coordenadas polares del punto P son ( R Cos (θ ) , R Sen ( θ)). En forma análoga podemos transfornar un punto dado en coordenadas cartesianas a coordenadas polares:

x = R Cos ( θ ) 2 ⇒ x + y y = R Sen (θ ) 

2

= R 2 , luego

R = x2 + y 2   y Arc tg ( ) θ =  x

Observaciones a.-

Si el ángulo θ >

0, entonces este se mide en el sentido

contrario al movimiento de los punteros del reloj. (2, π ) 4

π

4 Eje Polar


21

b.-

Si el ángulo θ < 0, entonces este se mide en el sentido del movimiento de los punteros del reloj.

− π4

Eje Polar ( 2 , −π ) 4

Ejemplos Representar en el sistema de coordenadas polares los puntos:

π

a.-

( − 2,

)

b.-

( − 2, −

d.-

( − 2, π )

e.-

( 2, π )

4

π 4

) c.-

( 2,0 ) ( − 2,0 )

f.-

Soluciones (2 , π )

( -2 , −π ) 4

4

π

(2, ( -2 , π ) 4

π

4

−π )

( 2 , 0) ( 2 , −π ) 4

Definición Una ecuación cartesiana puede representarse por: R = f ( θ ), donde θ es el parámetro de la función. Profesor: Hernán Carrasco Monge

22

Ejemplo a.-

Para obtener la ecuación en coordenadas polares de una recta cuya ecuación es y = x, basta reemplazar x = R Cos ( θ) e y = R Sen (θ ) en dicha ecuación y resolver resolver la ecuación trigonométrica. Y = x ⇒ Sen ( θ) = Cos(θ), luego tg (θ) = 1 , en consecuencia la ecuación polar de esta recta es θ =

π 4

Toda recta que pasa por el origen tiene por ecuación polar

θ = α b.-

Analizaremos que ocurre con las ecuaciones polares circunferencias trasladadas sobre los ejes de coordenadas:

de

Caso 1.a.-

Consideremos una circunferencia con centro en ( b , 0 ) y radio R = b.

(x − b ) 2 + y 2 = b 2 x2 +y2 = 2xb R 2 = 2 b R Cos ( θ ) R


= 2 b Cos ( θ )

23

b.-

Consideremos una circunferencia con centro en ( -b , 0 ) y radio R = b.

(x + b ) 2 + y 2 = b 2 x2 + y2 = −2xb R 2 = − 2 b R Cos ( θ ) R

= − 2 b Cos ( θ )

donde 0 ≤ θ ≤ π

Caso 2.a.-

Consideremos una circunferencia con centro en ( 0 , a ) y radio R = a. x 2 +( y −a)2 = a2

x2 +y2 = 2ya R 2 = 2 a R Sen ( θ )

R = 2 a Sen ( θ ) donde 0 ≤ θ ≤ π


24

b.-

Consideremos una circunferencia con centro en ( 0 , -a ) y radio R = a. x2 +( y+a)2 = a2

x2 + y2 = −2ya R 2 = − 2 a R Sen ( θ )

R

= − 2 a Sen ( θ )

donde 0 ≤ θ ≤ π

c.-

La Cardioide es una curva cuya ecuación polar es: R = 1 – Cos ( θ ) donde 0 ≤ θ ≤ 2 π Esta gráfica se puede obtener dando valores al parámetro θ entre o y 2 π . Pero también se puede utilizar el Software Maplee, de la siguiente manera:

Formato General para representar una curva en coordenadas polares plot([r(t),t,t=valor plot([r(t) ,t,t=valor inicial..valor final ], coords=polar); Parámetros:

r(t) t

: Ecuación polar : ángulo de rotación

coords=polar

:


Especifica que la representación debe ser en un sistema de coordenadas polares.

25

a.-

Si consideramos la ecuación polar de la cardioide: entonces:

Plot ( [ 1 – Cos ( θ ) , θ, θ=0..2*Pi ], coords = polar );





R = 1 ± Cos ( θ ) ,

plot ( [ 1 + Cos ( θ ) , θ, θ=0..2*Pi ], coords = pola r );

c.-

Una curva interesante es la definida por la ecuación polar R = 2 sin 3 ( t / 3 ) la cuál podemos representar por:  

plot ( [ 2*( Sen ( θ/3 ))^3 , θ , θ = 0 .. 3*Pi ] , coords = polar );


26

d.-

Las Ecuaciones

R = a sin ( n θ ) , R = cos ( n θ ) , con n

mayor o igual que dos 2, generan rosas de 2n pétalos si n es un número par y positivo y rosas de n pétalos si n es un número impar y positivo. 

plot ( [ 2*( Sen ( 3* θ ))^3 , θ , θ = 0 .. 2*Pi ] , coords = polar );

R = 2 sen ( 3 θ )



plot ( [ 2*( Sen ( 2* θ ))^3 , θ , θ = 0 .. 2*Pi ] , coords = polar );

R = 2 sen ( 2 θ )

Área en coordenadas Polares Si R = f ( θ ) representa una curva en coordenadas polares, donde α < θ < β, entonces el área acotada por la curva y los correspondientes ángulos polares está dada por la relación:

θ= β 1 A= 2

A

β

∫α [ f ( θ ) ]


2

dθ

θ=α

27

Ejemplo:

Calcular el área de la curva R = eθ , donde θ = 0 , θ = π

Solución: R = eθ

π

A=

∫ [e

π

∫e

θ 2

] dθ =

0

Ejemplo:

0

2θ

e 2θ dθ = 2

π

= 0

1 ( e 2 π − 1) 2

Calcular el área limitada por la curva R = 4 sen ( 3 θ ) .

Solución:

Sen ( 3 θ ) = 0 ⇒ θ = 0 ∨ θ =

π 6

, luego:

π

1 A1 = 2

6

∫ 0

π

1 16 sen ( 3 θ ) d θ = 2 2

π

A1 =

8 u [ 3 2


2 0

π

−

sen ( 2 u ) 4

2 0

]=

2

∫

16 sen

2

( u ) du

0

2π ⇒ A t = 6 A1 = 4 π 3

28

Longitud de Arco: Sea

f = [ a , b ] ⊆ ℜ → ℜ , una función continua y derivable en Dom f y

P [ a , b ] una una part partic ició ión n de [ a , b ] , la poli poligo gona nall que que un punt punto o Pi : ( x i , f ( x i ) ) con el punto PI −1 : ( x i −1 , f ( x i −1 ) ) la denotaremos por L i .

Pi Li Pi − 1

a

Luego d ( Pi − 1 , Pi ) = d ( Pi − 1 , Pi ) =

b

( x i − x i − 1 ) 2 + ( f ( x i ) − f ( x i −1 ) ) 2 1 +

( f ( xi ) − f ( x i − 1 ) ) ( x i − x i − 1 )2

2

( x i − xi − 1 )

pero por Teorema del Valor Medio para funciones, tenemos que:

f ′ ( ξi ) = Li =


f ( x i ) − f ( xi − 1 ) x i − xi − 1

, donde

x i −1 < ξ i < x i

1 + [ f ′ ( ξi ) ] 2 ∆ x i

29

n

∑=

Li =

n

∑=

1 + [ f ′ ( ξi ) ] 2 ∆ x i

i 1

i 1

1 + [ f ′ ( ξi ) ] 2 es

como la función f es continua , entonces

una función

continua, luego si aplicamos limite cuando n tiende a infinito, tenemos que:

n

Lim ∑ Li = Lim n →∞

n →∞

i =1

n

∑=

1 + [ f ′ ( ξi ) ] 2 ∆ x i , luego la longitud de arco,

i 1

está dada por la relación

b

L [ a,b ]

∫

1 + [ f ′ ( x ) ]2 d x

a

Ejemplo: Sea f ( x ) = Ln ( x ), calcular la longitud del arco de curva , desde x=

3,

hasta x =

5.

Solución

5

L=

∫ 3 5

L=

∫ 3

2

 1  1 +   dx  x  x2 + 1 dx x

Calcularemos la integral:

∫

x2 + 1 dx= x

∫

x2 + 1 x

x2 + 1

dx=

∫x

dx x2 + 1

+

∫

x x2 + 1

dx

Sea x = tg ( θ ) entonces d x = sec2 ( θ ) d θ , luego: Profesor: Hernán Carrasco Monge

30

Caso 1: dx

∫x

x2 + 1

sec 2 ( θ ) d θ

=

∫ tg ( θ )

=

∫

tg 2 ( θ ) + 1

sec ( θ ) d θ ∫ tg ( θ )

=

cos ec ( θ ) d θ

= Ln ( cosec (θ ) - cotg (θ ) )

 = Ln   

x 2 +1 1  − x x 

Caso 2: x

∫

x2 + 1

dx =

2

donde u = x + 1

5

L=

∫ 3

1 2 y

∫

1 du = u

x 2 +1

du= 2xdx

 x2 + 1 d x = Ln   x 

L = 1 + ln (

u =

x 2 +1 1  − x x 

5

+

x

2

+1

5 3

3

1 1 1 3 ) − Ln ( ) = 1+ Ln ( ) 2 2 2 3

Ejemplo: Hallar la longitud de curva definida por: x

y=

∫

e 2 t − 1 d t , donde a ≤ x ≤ b

0

Solución 1 + [ y ′ ]2 = 1 + [ Profesor: Hernán Carrasco Monge

e 2 x − 1 ] 2 = e2 x ⇒

1 + [ y′ ] 2 = e x 31

b

Lς =

∫

e x d x = eb − e a

a

Observación Si la curva está dada por las ecuaciones paramétricas: x = φ( t ) y = ϕ( t )

  ⇒ a ≤ t ≤ b , luego la longitud de arco está expresada  b

por L ς =

∫

[ φ′ ( t ) ]2 + [ ϕ′ ( t ) ]2

dt

a

Ejemplo: Hallar la longitud del arco de la envolvente del círculo : X = a ( Cos ( t ) + t Sen ( t ) ) Y = a ( Sen ( t ) – t Cos ( t ) ) desde t =0 a t = T.

Solución: X′ ( t ) = a ( − Sen ( t ) + Sen ( t ) + t Cos ( t ) ) X ′ ( t ) = a t Cos ( t )

⇒ [ X ′ ( t ) ] 2 = a 2 t 2 Cos 2 ( t )

( 1)

Y′ ( t ) = a ( Cos ( t ) − Cos ( t ) + t Sen ( t ) ) Y ′ ( t ) = a t Sen ( t )

⇒ [ Y ′ ( t ) ] 2 = a 2 t 2 Sen 2 ( t )

(2)

Luego de ( 1 ) y ( 2 ) tenemos que : [ [ X′ ( t ) ] 2 + [ Y′ ( t ) ] 2 = a 2 t 2 ⇒ T

Lς =

∫

at dt =

0

[ X′ ( t ) ] 2 + [ Y′ ( t ) ] 2

= at

a 2 T 2

Ejemplo: Hallar la longitud de la circunferencia cuyas ecuaciones paramétricas son: x = a Cos ( t ) Profesor: Hernán Carrasco Monge

e

y = a Sen ( t ) , donde 0 ≤ t ≤ 2 π. 32

Solución: x′ ( t ) = − a Sen ( t ) y′ ( t ) = a Cos ( t )

luego

[ x′ ( t ) ] 2 = a 2 Sen 2 ( t )

⇒

[ y′ ( t ) ] 2 = a 2 Cos 2 ( t )

⇒

[ x′ ( t ) ] 2 + [ y′ ( t ) ] 2

= a Sen ( t ) + a Cos ( t )

2π

Lς =

∫a

dt = 2 πa.

0

Ejemplo: Hallar la longitud de arco de la cicloide: x = 2 ( t - Sen ( t ) )

e

y = 2 ( 1 – Cos ( t )),

Solución: Para obtener la gráfica de la cicloide, usaremos la siguiente instrucción para el Maplee: 

plot ( [ 2* ( t - sin(t)) , 2* ( 1 - cos(t)), t=0..2*Pi ] ) ;

x′ = 2 ( 1 − Cos( t ) ) ⇒ [ x′ ] 2 = 4 ( 1 − 2 Cos ( t ) + Cos 2 ( t ) ) y′ = 2 Sin ( t ) ⇒ [ y′ ] 2 = 4 Sin 2 ( t ) ) , luego se tiene que:


33

[ x′ ] 2 + [ y′ ] 2 =

4 ( 2 − 2 Cos ( t ) ) = 2

[ x′ ] 2 + [ y′ ] 2 = 2

2

Sin 2

2

2π

Lς =

∫

[ x′ ] + [ y′ ] d x = 2 2

0

2

2

∫

Sin

2

0

t Lς = − 8 Cos ( ) 2

1 − Cos ( t )

t t = 4 Sin 2 2

2π 2

2

t dt = 4 2

2 π

t

∫ Sin 2 d t 0

2π

= 16 0

Observación . Si la curva está dada en coordenadas polares, es decir tiene la forma R = f ( θ ), donde x = R Cos (θ ) e y = R Sin (θ ), luego podemos encontrar las correspondientes derivadas: x = f ( θ ) Cos ( θ ) ⇒ x′ ( θ ) = f ′ ( θ ) Cos ( θ ) − f ( θ ) Sin ( θ ) y = f ( θ ) Sin ( θ ) ⇒ y′ ( θ ) = f ′ ( θ ) Sin ( θ ) + f ( θ ) Cos ( θ ) [ x′ ( θ ) ] 2 = [ f ′ ( θ ) ] 2 Cos 2 ( θ ) − 2 f ′ ( θ ) f ( θ ) Sin ( θ ) Cos ( θ ) + [ f ( θ ) ] 2 Sin 2 ( θ )

[ y′ ( θ ) ] 2 = [ f ′ ( θ ) ] 2 Cos 2 ( θ ) + 2 f ′ ( θ ) f ( θ ) Sin ( θ ) Cos ( θ ) + [ f ( θ ) ] 2 Sin 2 ( θ )

[ x′ ( θ ) ] 2 + [ y′ ( θ ) ] 2 = [ f ′ ( θ ) ] 2 + [ f ( θ ) ] 2

[ x′ ( θ ) ] 2 + [ y′ ( θ ) ] 2 =


[ f′ ( θ ) ] 2 + [ f ( θ ) ] 2

34

β

Lς =

β

∫α

[ x′ ( θ ) ] + [ y′ ( θ ) ] 2

2

d θ=

∫α

[ f′ ( θ ) ] 2 + [ f ( θ ) ] 2 d θ

β

Lς =

∫α

[ f′ ( θ ) ] 2 + [ f ( θ ) ] 2 d θ

Ejemplo: Calcular la longitud de arco de la cardioide R = 2 ( 1 – Cos ( θ ))

Solución: 

plot ( [ 2* ( 1 - cos( t ) ), t=0..2*Pi ], coords=polar ) ;

2π

Lς =

∫

4 ( 1 − cos ( θ ) ) 2 + 4 sen 2 ( θ ) d θ

0 2π

Lς = 2

∫

1 − 2 cos ( θ ) + cos2 ( θ ) + sen 2 ( θ ) d θ

0 2π

Lς = 2

∫

2 − 2 cos ( θ ) d θ

0


35

2π

2∫

Lς = 2

1 − cos ( θ ) d θ

0 2π

Lς = 4

∫ 0

 θ  θ sin   d θ = 8 ( − cos ( 2 )  2 

2π 0

)

L ς = 16

Ejemplo:  θ  Calcular la longitud de arco de la curva R = 2 sen 3    3 

Solución: 

plot ( [

2* ( sin( t / 3 ) ^ 3 ), t = 0 .. 3*Pi ],

coords=polar ) ;

3π

Lς =

∫ 0


 θ   θ   θ  4 sen 4   cos 2   + 4 sen 6    3   3   3 

dθ

36

3π

Lς =

 θ   θ   θ  4 sen 4   ( cos 2   + sen 2   ) d θ  3   3   3 

∫ 0

3π

Lς =

 θ  4 sen 4    3 

∫ 0

3π

Lς =

 θ  2 sen 2   d θ  3 

∫ 0

π

Lς = 6

dθ

∫ 0

u sen u d u = 6 [ 2

π

2

0

sen ( 2 u ) − 4

π

] 0

Lς = 3 π


37

Guía N°1 Integral Definida 1.-

Demuestre que: a

a

2a

0

0

a

∫ f ( x ) d x = ∫ f ( a − x )dx = ∫ f ( x − a )dx

a.-

b

∫

b.-

a

2.-

1 f ( x )dx = k

kb

∫

f(

ka

Partiendo de la definición, calcular las siguientes integrales: 1

a.-

∫a

b

x

dx

b.-

0

c.-

∫ cos ( x ) d x a

b

∫

 b  Ind: Hacer ξi = a q i i = 0,1, 0,1,2,. 2,... ..(n (n-1 -1)) y q =    a 

x dx

a

3.-

x )d x k

1

n

Demuestre que: 1

a.-

1<

∫

2

ex d x < e

0 π

b.4.-

π

2

2

<

∫ 0

1+

π 1 sen2 x d x < 2 2

3 2

Demuestre ( sin calcular las integrales) que: 1 2

a.-

 1 + x    d x = 0 cos ( x ) Ln ∫1 1 x −   − 2


38

1 2

∫e

b.-

−

1 2

cos ( x )

d x = 2 ∫ e cos ( x ) d x

1 2

0

a

c.-

∫− sen ( x ) f ( cos ( x ) ) d x = 0 a

5.-

Dada la función:

 1− x  f(x) =  0  ( 2 − x )2 

0 ≤ x ≤1 1< x ≤ 2 2< x≤3

x

Probar que la función F( x ) =

∫

f ( t ) d t , es continua en [ 0 , 3 ] .

0

6.-

Calcular los limites de las siguientes sumas: a.b.c.-

7.-

3 n − 1   1 2 Lim  2 + 2 + 2 + ............. + 2  n→∞ n n   n n  n n n n   + + + Lim  2 2 + 2 .......... ... 2 n→∞ n2 + 3 2 n2 + n2   n + 1 n + 2 Lim n→∞

1 n

 1  1+ +  n 

2 + ................ + n

1+

n   n 

Demostrar que la siguiente integral está acotada como se indica:

2 < 3 8.-

1+

1

∫ 0

1 2 + x − x2

dx <

1 2

utilizar la identidad, para demostrar que para a > o, tenemos: 1 a3 a5 (a− + )≤ 3 5 1+ a 6


a

∫ 0

dx a3 a5 ≤ a− + 3 5 1+ x 2

39

b

9.-

Sea f una función continua en [ a , b ] .

Si

∫

f ( x )dx =0.

De Demostrar que

a

f ( c ) = 0 por lo menos para un c en [ a , b ] . 10.-

Encontrar el Lim an si: n→∞

3n

a.-

an =

1  sen ( 2 x )    dx 2 n  x + 1 

∫ n

1+

b.-

an =

1 n

∫ 1

 x     x +1 d x  

x

11.-

Dado que Ln ( x ) =

du ∫1 u : a.-

Demuestre que Ln ( e ) = 1

b.-

Calcular Lim

c.12.-

x →0

1  1 + x   ln  x  1 − x 

Demostrar que :

n   x   Ln Lim  1 +   = x  n →∞  n    

Encontrar una función f, tal que: x

∫

t f ( t ) d t = sen ( x ) − x cos ( x ) −

c

1 2 x , x≠0 2 x +1

13.-

Demostrar que si f ′′ ( x ) > 0 , ∀ x y g ( x ) = g′′ ( x ) no cambia de signo.

14.-

∫ ( x − t ) f ( t ) d t , entonces x

Dada una función g continua tal que: a.-

g(1)=5


40

1

b.-

∫ g( t ) d t = 2 0

c.-

1 f(x)= 2

x

∫ (x−t)

2

g( t ) dt

0 x

a.-

Demuestre que f ′ ( x ) = x ∫ g ( t ) d t − 0

b.-

∫

t g( t ) d t

0

Determinar f ′′ ( 1 ) y f ′′ ( 1) π

15.-

x

Demostrar que ∀ x , x > 0 si F ( x ) =

∫ x

sen ( t ) d t , entonces x2 t

x F′ ( x ) + 2 x F ( x ) + sen ( x ) = 0 . 3

16.-

2

Calcular aplicando Regla de L´Hopital, los siguientes limites:

a.-

Lim x →0

x

x 1 − ex

∫

2

2

et d t

0

x

∫ ( arctg ( t ) ) b.-

Lim

0

x2 + 1

x →∞

2

dt

x2

∫ (x

c.17.-

Lim x →0

2

+ e − sen ( t ) ) d t

0

Ln ( 1+ x 2 ) − x 2 sen ( x )

Hallar los valores extremos ( máximos y/o mínimos), si existen de:

x

a.-

F( x ) =

∫e

−

t2 2

( 1 − t2 ) d t

1

b.-

F(x)=


∫

t2 − 5 t + 4 dt 2 + et 41

18.-

Encontrar

la

dy dx

derivada

de

las

funciones

representadas

paramétricamente por: t

a.-

x (t)=

Ln ( z ) dz Z

∫ 2

Ln ( t )

,

x (t)=

∫ arcsen ( z ) d z

e


2

z

dz

5

t

sen ( t )

b.-

∫e

y(t)=

,

y(t)=

∫ n

sen ( z 2 ) dz z

42

Guía 2 Aplicaciones de la Integral Definida

1.-

Hallar el área de la figura limitada por las curvas y 2 = 9 x , y = 3 x

2.-

Hallar el área de la figura limitada por la hipérbola equilátera x y = a 2 y las rectas x = a , x = 2 a.

3.-

Hallar el área de la figura limitada por la curva y = 4 − x 2 y el eje x.

4.-

2 3

2 3

Hallar el área de la figura limitada por la hipocicloide x + y = a e el eje x.

x

5.-

2 3

x

− a Hallar el área de la figura limitada por la catenaria y = ( e a + e a ) , los 2 ejes ox y oy, y la recta x = a.

6.-

Hallar el área de la figura limitada por un arco de la cicloide:  x = a ( t − sen ( t ) )   y = a (1− cos ( t ) ) y el eje de las abscisas.

7.-

Hallar el área de la figura limitada por las parábolas y 2 = 2 p x , x 2 = 2 p y .

8.-

Hallar el área de la figura limitada por la hipocicloide :

 x = a cos 3 ( t )  3  y = a sen ( t )


t ∈ [ 0 , 2 π]

43

9.-

10.-

Hallar el área de la figura limitada por:

a.-

 y = x3  2  y = 2x−x

b.-

 y = − x 3 + 4 x 2 −3 x  3 2  y = x − 3 x +2x

c.-

 y = 3x − x2  2 3  y = 3x − x


b.-

11.-

 y = − x +2  2  y = ( x − 1)  y= x 


 y = x2   y= 2  x 2 +1

12.-

Hallar el área de la figura limitada por la cardioide: R = 2 ( 1 – cos ( θ ) )

0 < θ < 2 π.

13.-

Hallar el área de la figura limitada por el eje polar y la primera vuelta de la espiral de Arquímedes R = a θ.

14.-

Hallar el área de una hoja del grafo polar R = | 4 cos ( θ ) |


44

15.-

Hallar el área comprendida en el interior del círculo R = cos ( θ ) y por fuera de la cardioide R = 1 – cos ( θ ).

16.-

Hallar el área de intersección de las regiones limitadas por las curvas:

17.-

a.-

 R = 2 a cos ( θ )   R = 2 a sen ( θ )

b.-

  

R = a ( 1+ cos ( θ ) ) R = 2 a sen ( θ )

Hallar el área de la figura limitada por la curva R = 2 a cos ( 3 θ ) y

que está fuera del círculo R = a. 18.-

Determinar C de modo que ambas áreas achuradas sean iguales.

y

f(x)=2x–3 x3 c

x a


45

y

Demuestre que el área encerrada por la hipérbola x 2 − y 2 = a 2 , el eje x y una recta que une el origen con el punto ( x , y ) de la curva es: x+ a Ln ( 2 2

A=

20.-

x −a a 2

2

)

(x,y)

x (a,0)

Demuestre que el área de: a.-

Una circunferencia con centro en el origen y radio r es A = π r 2 .

b.-

Una elipse con centro en ( 0, 0 ) y eje focal el eje x, cuya ecuación es x2 y2 + = 1 está dada por A = π a b. a2 b2

21.-

Demuestre que las áreas de las regiones encerradas por la curva y = e − x sen ( x ) y el eje x, entre raíces consecutivas forman una progresión geométrica.

22.-

Un estudio indica que dentro de x meses la población de cierta ciudad aumentará a la razón de 5 + 3x 2 / 3 personas por mes. ¿Cuándo crecerá la población en los próximos 8 meses?.

23.-

Un objeto se mueve de manera que que su velocidad después de t minutos es 2 5 + 2t + 3t metros por minuto ¿Qué distancia recorrerá el objeto durante el segundo minuto?

24.-

El valor de reventa de cierta maquinaria industrial decrece durante un periodo de 10 años a una razón razón que cambia con el tiempo. Cuando la la maquinaria tiene x años, la razón a la que cambia su valor es 220( x − 10) dólares por año. ¿En cuánto se deprecia la maquinaria durante el segundo año?


46

25.-

Los promotores de una feria de distrito distrito estiman que que si las puertas se abren a la 9:00 a.m., t horas después los visitantes entran a la feria a una razón 3

2

de − 4(t + 2 ) + 54(t + 2 ) personas por hora. ¿Cuántas personas entrarán a la feria entre las 10:00 a.m. y el mediodía? 26.-

En cierta fábrica, el costo marginal es 6(q − 5) 2 dólares por unidad cuando el nivel de producción es q unidades. ¿En cuánto aumentará el costo total total de fabricación si el nivel de producción se incrementa de 10 a 13 unidades?

27.-

Cierto pozo petrolífero petrolífero que produce 400 barriles de crudo crudo al mes se se secará en 2 años. En la actualidad el precio de petróleo petróleo crudo es US$ 18 por barril y se espera que aumente a una razón constante de 3 centavos mensuales por barril. Si el petróleo se vende tan pronto como se extrae del suelo, ¿cuál será el ingreso futuro total obtenido del pozo?

28.-

Se estima que dentro de t días la cosecha de un agricultor aumentará a la razón de 0.3t 2 + 0.6t + 1 arrobas por día. ¿En cuánto aumentará el valor de la cosecha durante los próximos 5 días si el precio de mercado permanece fijo en US$3 por arroba?

29.-

Se estima que la demanda de petróleo crece exponencialmente a una razón de 10% anual. Si en la actualidad la demanda de petróleo es 30,000 millones de barriles por año, ¿cuánto petróleo se consumirá durante los próximos 10 años?

30.-

Se calcula que la demanda del producto de un fabricante crece exponencialmente a una razón de 2% anual. Si la demanda actual es 5,000 unidades por año y el precio permanece fijo en US$400 por unidad, ¿qué ingresos recibirá el fabricante por la venta del producto en los próximos 2 años?

31.-

Después de t horas en el trabajo, un obrero de una fábrica puede producir 100te −0.5t unidades por hora. ¿Cuántas unidades produce un trabajador entre las 10:00 a.m. y el mediodía, si llega al trabajo a las 8:00 a.m.?


47

32.-

Suponer que dentro de x años un plan de inversión generará utilidades a la razón de R1 ( x) = 100 + x 2 dólares por año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón de R2 ( x) = 220 + 2 x dólares por año.

33.-

a.-

¿Durante cuántos años será más rentable el segundo plan?

b.-

¿Cuánto será el exceso de utilidad si se invierte en el segundo plan, en lugar del primero, durante el período indicado en el literal a)?

c.-

Interpretar el exceso de utilidad del literal b) representado por el área entre dos curvas.

Supóngase que dentro de x años un plan de inversión generará utilidades a la razón de R1 ( x) = 60e 0.12 x dólares por año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón de

R1 ( x) = 60e

0.12 x

dólares por año, mientras que

un segundo plan lo hará a la razón de R2 ( x) = 160e 0.08 x dólares por año. a.-

¿Durante cuántos años será más rentable el segundo plan?

b.-

¿Cuánto exceso de utilidad se obtendrá si se invierte en el segundo plan, en lugar del primero, durante el periodo señalado en el literal a)?

c.-

Interpretar el exceso de utilidad del literal b) representado por el área entre dos curvas.

34.-

Una máquina industrial de x años genera ingresos a la razón de R( x) = 6,025 − 10 x

2

dólares por año y origina costos que se acumulan

a la razón de C ( x) = 4,000 + 15 x 2 dólares por año. a.-

¿Durante cuántos años es rentable el uso de la maquinaria?

b.

¿Cuánta ganancia neta genera la maquinaria durante el período indicado en el literal a)?


48

c.35.-

Interpretar las ganacias netas del literal b) representadas por el área entre dos curvas.

Supóngase que cuando tiene x años, una maquinaria industrial genera ingresos a la razón de R( x) = 6,025 − 8 x 2 dólares por año y origina costos que se acumulan a la razón de C ( x) = 4,681 + 13x 2 dólares por año.

36.-

a.-

¿Durante cuántos años es rentable el uso de la maquinaria?

b.-

¿Cuánta ganancia neta genera la maquinaria durante el periodo señalado en el literal a)?

c.-

Interpretar las ganancias netas halladas en el literal a) representadas por el área entre dos curvas.

Después de t horas en el trabajo, un obrero de fábrica produce Q1 (t ) = 60 − 2(t − 1) 2 unidades por hora, mientras que un segundo obrero produce Q2 (t ) = 50 − 5t unidades por hora. a.Si ambos llegan al trabajo a las 8 a.m., hacia mediodía ¿cuántas unidades más habrá producido el primer trabajador en relación con el segundo? b.-

Interpretar la respuesta del literal a) representada por el área entre dos curvas.

37.-

Se estima que dentro de t semanas las contribuciones a una campaña de beneficencia se recibirán a la razón de R(t ) = 5,000e −0.2t dólares por semana, y se espera que los gastos se acumulen a la razón constante de US$676 por semana a.-

Durante cuántas semanas será rentable la campaña de recaudación de fondos?


49

b.-

¿Cuánta ganancia neta genera la campaña durante el periodo señalado en el literal a)?

c.-

Interpretar las ganancias netas del literal b) representadas por el área entre dos curvas.

38.-

Se estima que dentro de t semanas las contribuciones a una obra de beneficencia se recibirán a la razón de R(t ) = 6,537e −0.3t dólares por semana, y se espera que los gastos se acumulen a la razón constante de US$593 por semana. a.-

¿Durante

cuántas

semanas

será

rentable

la

campaña

de

recaudación de fondos? b.-

¿Cuánta ganancia neta genera la campaña durante el periodo hallado en el literal a)?

c.-

Interpretar las ganancias netas del literal a) representadas por el área entre dos curvas.


50

39.-

Hallar la longitud de la circunferencia x 2 + y 2 = r 2 2 3

2 3

x + y =a

40.-

Hallar la longitud de la hipocicliode

41.-

Hallar la longitud de un arco de la cicloide:

2 3

 x = a ( t − sen ( t ) )   y = a (1− cos ( t ) ) 42.-

Hallar la longitud de arco de la curva y = Ln ( x ) entre los limites x = 3 , x = 8

43.-

Hallar la longitud de arco de la curva

   44.-

R =

a cos ( θ )

R = a sen ( θ )

θ ∈[ 0 , 2 π ]

Hallar la longitud de arco de la curva: a.-

y3 = x2

b.-

  

x = t 2 +2t+3 y = t2 −2t+2

c.-

  

x = a ( 2 cos ( θ ) − cos ( 2 t ) )


desde ( -1 , 1 ) a ( 2

2 ,2)

t ∈[ 0 ,1 ]

y = a ( 2 sen ( θ ) − sen ( 2 t ) )

θ ∈[ 0 , 2 π ] y a > 0

51

Aplicaciones de la Integral Definida a la Empresa E mpresa Sea p = D (x) una función de demanda que relaciona el precio unitario de p de un artículo con la cantidad x demandada por éste.

P P =D (X )

x X : unidades P: $ por unidad

Cantidad total que los consumidores están dispuesto a gastar

q0

A(q0 ) =

∫ D( x ) dx 0


52

Problema 1.En un estudio de 1989 para el comité de desarrollo económico de un país en desarrollo, los economistas del gobierno y los expertos en energía concluyeron que si se implantaba la ley para la conservación de la energía en 1990, el consumo nacional de petróleo del país durante los siguientes cinco años aumentaría de acuerdo con el modelo:

R( t ) = 20 e 0.05t donde, t se mide en años 1 t = 0 corresponde al año 1990 y R (t) en millones millones de barriles por año, sin embargo, si el gobierno no imponía medidas de conservación de la energía la tasa esperada de aumento del consumo de petróleo sería dada por R1 ( t ) = 20 e 0.08 t millones de barriles por año. Con estos modelos, determinar la cantidad de petróleo que se ahorraría de 1990 a 1995 de haberse implantado la ley.

Solución S=

∫

5 0

[ R1 ( t ) − R ( t ) ] d t = 9.3

∴ 9.3 millones de barriles se habrían ahorrado R1 ( x )

Y R(t)

5 Profesor: Hernán Carrasco Monge

t 53

Problema 2.Suponer que dentro de x años un plan de inversión generará utilidades a la razón 2 de R1 (x) = 100 + x dólares por año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón de R2 (x) = 220 + 2x dólares por año. a. b.

¿Durante cuántos años será más rentable el segundo Plan? ¿Cuántos será el exceso de utilidad si se invierte en el segundo plan, en lugar del primero, durante el período indicado en a.

Solución: R1 ( x )

R2 ( x )

12

a.-

X

R 1 ( x ) = R 2 ( x ) entonces: x 2 + 100 = 220 + 2 x x 2 − 2 x − 120 = 0 x = 12 Luego 12 años el segundo plan es más rentable que el primero. 12

b.-

A =

∫ [R

2

( x ) − R1( x ) ] d x

0


54

12

A =

∫ [ 120 + 2 x − x ] d x 2

0

A = 1008 dólares es la ganancia neta durante el período de 12 años

Problema 3.Después de t horas en el trabajo, un obrero de fábrica produce Q1( t ) = 60 – 2 ( t -1) 2 unidades por hora, mientras que un segundo obrero produce Q2 ( t ) = 50-5 t unidades por hora. a. b.

Si ambos llegan al trabajo a las 8 a.m., hacia el mediodía ¿cuántas unidades más habrá producido el primer trabajador en relación con el segundo? Interpretar el resultado y graficar las curvas.

Solución unidades Q1( t )

Q2( t )

4 4

A =

∫ [Q

1

horas

(x) − Q2 (x) ] d x

0 4

A =

∫ [ −2 t

2

+9t+8 ] d x

0

A = 61,3 unidades


55

Problema 4.Considere la función

D( p ) =

300 ( 0.1 q + 1 ) 2

la función de demanda de los

consumidores a.

Hallar la cantidad total de dinero que los consumidores están dispuesto a gastar para obtener q0 = 5 unidades del artículo.

b.Trazar la curva de demanda e interpretar el área que representa la disposición a gastar de los consumidores en el literal ( a ).

Solución

5

A =

∫ 0

300 d q = 1000 ( 0 .1 q + 1 ) 2

Luego podemos concluir que los consumidores están dispuesto a gastar US$ 1000 por los 5 artículos.


56

Definición El excedente de los consumidores, es la diferencia entre lo que los consumidores estarían dispuesto a pagar por x unidades del artículo y lo que en realidad pagarían x

EC = ∫ D ( x ) d x − p x 0

p : precio unitario de mercado x : es la cantidad vendida

P=D(X)

p

x Cantidad total que los consumidores estarían dispuestos a gastar

P=D(X)

P=D(X)

p

x

x Gasto real de los consumidores

Excedente de los =

consumidores

Problema 5 Suponga que la función de demanda de los consumidores de cierto artículo es p = 100 − x 2 dólares por unidad. Halle el excedente de los consumidores si el artículo se vende a un precio p = US$64 por unidad.


57

Solución: p = D ( x ) si p = 64 nos determina el número de unidades que se compraran a ese precio. 2

64 = 100-x

x2 = 36

X

P precio Y = 100 – x2

100

64

EC =

6

6

∫ 0 ( 100 − x

2

X unidades

) d x − ( 6 ) ( 64 ) = 144

∴ US$ 144

Definición El excedente de los productores está dada por : E.P. = p x −

x

∫ 0 S ( x) dx

S ( x ) función de oferta precio unitario en el mercado p : x :

cantidad ofrecida


58

Problema 6.El proveedor de las secadoras de pelo portátil pondrá a la venta x cientos de unidades cuando el precio unitario al mayoreo sea p = 36 + 1.8 x dólares determine el excedente de los productores si el precio de mercado al mayoreo se establece como $9 por unidad.

Solución: D (x) =

36 + 1.8 x

función de demanda

p : $9 por unidad.

∴ 9=

⇒ 81 = 36 + 1.8 x luego x = 25

36 + 1.8 x

E.P = (25) (9) -

25

∫0

36 + 1.8 x dx = $35,19

Problema 7.La función de oferta para los discos compactos está dada por p = 0.01 x 2 − 0.1 x + 3 y la función de demanda es p = 0.01 x 2 − 0.2 x + 8 donde p es el precio unitario al mayoreo en dólares y x representa la cantidad que pondrá a disposición disposición del mercado al proveedor, medida en unidades de millar. Determine el excedente de los productores si el precio de mercado al mayoreo es

igual al precio de equilibrio.

Solución: p = D ( x ) = −0.01 x 2 − 0.2 x + 8 Profesor: Hernán Carrasco Monge

función de demanda 59

p = S ( x ) = 0.01 x 2 + 0.1 x + 3

función de oferta

0.01 x 2 + 0.1 x + 3 = − 0.01 x 2 − 0.2 x + 8

Excedente

0.02 x 2 + 0.3 x − 5 = 0 x = 10 ⇒ p = 5 x = 10 8artículos

al

Productor

p = 5 dólares por artículo EP. = ( 10 ) ( 5 ) 3

∫ ( 0.01 x

2

+ 0.1 x + 3 ) d x

EP. = 11,66 dólares x

Problema 8

La función de demanda de cierta marca de bicicletas de 10 velocidades está dada por: p = D ( x ) = −0.001 x 2 + 250 donde p es el precio unitario en dólares y x es la cantidad demandada, en unidades de millar. La función de oferta para estas bicicletas está dada por: p = S ( x ) = 0.0006 x 2 + 0.02 x + 100 donde p representa el precio unitario en dólares y x el número de bicicletas que el proveedor pondrá en el mercado en unidades de millar. Determinar el excedente de los consumidores, si el precio de mercado de una bicicleta se igual al precio del equilibrio. p

S ( x ) : Oferta Oferta

160 D ( x ) : Demanda

x 300


60

1.

D (x) = S (x) ⇒ 0.0006 x2 + 0.02 x+100 = -0.001 x2 +250 0.0016 x2 +0.02 x – 150 = 0 16 x2 + 200x – 1500000 = 0 2 2 x + 25 x – 187500 = 0 (2x + 625) (x – 300) = 0

∴ x = 300 2.

punto de equilibrio

El precio unitario, cuando x = 300 es : p = D (300 ) = − 0.001(300 )2 + 250 p = 160 EC = ∫

300 0

D ( x ) d x − ( 160 ) ( 300 )

EC = US$ 18.000

Definición: La utilidad neta generada por cierta maquinaria industrial durante un determinado período de tiempo es la diferencia entre el ingreso total generado por maquinaria R1 (t) y el costo total de operación y mantención de ésta C´(t); esto es, para un período entre t = 0 y t = u años, la utilidad se interpreta como el área entre las dos curvas. m

∴ U ( t ) = ∫ 0 [ R´( t ) − c´( t ) ] d t

Problema 9.Suponga que cuando tiene t años, una maquinaria industrial genera ingresos a razón de R´( t ) = 6.025 − 10 t 2 dólares por año y origina costos que se acumulan a razón de c´(t) = 4000+ 15 t2 por año. a. b.

¿Durante cuántos años es rentable el uso de la maquinaria? ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquinaria durante el período del literal (a).


61

Solución: D C′ ( t )

R′ ( t )

9

6.025 − 10 t

2

Año

= 4000 + 15 t 2

25 t 2 = 2025 t 2 = 81 ⇒ t = 9 años la maquinaria es rentable. 9

U( t ) =

∫ ( − 25 t

2

+ 2025 ) d t = 12.150

0

Luego la utilidad netas en los nueve años es de US$ 12.150 dólares

Definición: El valor futuro total o acumulado, después de t años, de un flujo de ingresos de R ( t ) dólares por año, que ganan intereses a razón de r por año compuesta en forma continua, está dada por: A = e rt


∫

T 0

R ( t ) e −rt d t

62

Problema 10.En Fecha reciente Crystal Car Wash compró una máquina automática para el lavado de autos que se espera que genere $40.000de ingreso por año, dentro de t años, durante los próximos cinco años. Si los ingresos se reinvierten en una empresa que genera intereses a razón de 12% por año compuesto en forma continua, determinar el valor total acumulado de este flujo de ingreso al cabo de cinco años.

Solución: R (t) = 40.000 R = 12% ⇒ r = 0.12 t=5

A=e

0.12.5

5

∫0 40.000 e

−0.12 t

5

A = e . 40.000 ∫ e 0. 6

dt −0.12 t

dt

0

A ≈ 274.039,60 ∴ El valor acumulado es $274.040 aproximadamente

Problema 11.La señora Gordon adquirió una franquicia de 15 años de una tienda de artículos de cómputo, la cual espera que genere ingresos a razón de R (t) = 400.000 dólares por años. Si la tasa de interés prevaleciente es de 10% por año compuesta en forma continua, ¿Cuál es el valor presente de la franquicia? R ( t ) = 40.000

∴A = e

0.1.15

15

∫0

−0.1t

40.000 e 15

∫0

R = 0.1

A = 46. 4.733,69

t = 15

A = 3.610.375.873

dt

−0.1t

e

dt

A = 3.610.375,88 dólares


63

Problema 12.Encuentre el monto de una anualidad si se pagan $ 250 al mes por ella durante un período de 20 años, a un interés del 8% anual compuesto en forma continua.

Solución: R (t) = 250 • 12 = 3000

T = 20 r = 0.08 R (t) = 3000

A = e 0.08.20 3000

∫

20 − 0.08 t e dt 0

A = $148.239

CURVAS DE LORENTZ Un método utilizado por los economistas para estudiar la distribución del ingreso en una sociedad se basa en la curva de Lorentz. Para describir esta curva, sea f (x) la proporción del ingreso total recibido por el 100% más pobre de la población para 0 ≤ x ≤ 1 con esta terminología f (0.3) = 0.1 establece que el 30% más bajo de las personas que tiene un ingreso recibe el 10% del ingreso total. Propiedades de p: 1. 2. 3. 4.

Dom f = [0,1] Re c f = [0,1] f (0) = 0 ∧ f (1) = 1 f ( x ) ≤ x ∀ x, x ∈ [0,1]

5.

f ( x) ↑

Cuanto más se acerque la curva de Lorentz a la recta y = x, la distribución distribución del ingreso será más equitativa. Esto nos permite determinar el coeficiente de desigualdad o índice de Gini, de una curva de Lorentz.

∴

L=2

1

∫ 0 [ x − f ( x ) ]d x


64

L se determina como la razón limitada por y = x y la la curva de Lorentz y el área del ∆ formado bajo y = x. L=

A1 A1 = = 2 A1 1 A2 2

L =2

1

∫ 0 [x − f ( x )] dx

Problema 13 La distribución del ingreso en cierto país es descrita por la función f(x) = a. b.

14 2 1 x + x 15 15

Trace la curva de Lorentz por la función Calcule f (0.3) y f (0.7) e interprete los resultados.

Solución: 1

F (0.3) = 0.104 ⇒ 30% de la población de más bajos ingresos recibe el 104% del

ingreso total. y=x

F (0.7) = 0.504

∴El 70% de la población con más bajos ingresos recibe el 50.4% del ingreso total. 1


65

Problema 14 En un estudio realizado por el comité de desarrollo económico de cierto país, se determinó que la curva de Lorentz para la distribución del ingreso de los profesores universitario queda descrita mediante la función. f(x) =

13 2 1 x + x 14 14

y la de los abogados mediante la función g ( x) = a. b.

g 4 2 x + x 11 11

Calcule el coeficiente de desigualdad de cada curva de Lorentz. ¿Cuál profesión tiene una distribución más equitativa?

Solución Caso 1:

Coeficiente de desigualdad de los Profesores L = 2

=2

1



1

 13

13

∫ 0 x − 14 x ∫ 0 − 14 x

2

+

2

−

1 x 14

13 14

 dx 

 x d x 

= 0.154

Caso 2:

Coeficiente de desigualdad de los abogados L2 = 2

∫0 [

x − f ( x ) ]d x

9 4 2   x x x dx − − ∫ 0  11 11  1  9 9  = 2 ∫ 0 − x 4 + x  d x 11   11

L2 = 2 L2

1


1

66

L2 = 0.245 , L1 < L2 ∴ en el país, los ingresos de los profesores universitarios se distribuyen más uniforme que los ingresos de los abogados.

Problema 15 En un estudio realizado por el comité de Desarrollo Económico de cierto país, se determinó que la curva de Lorentz para la distribución del ingreso de los corredores de bolsa queda descrita mediante la función f ( x )=

11 2 1 x + x 12 12

y la de los profesores de bachillerato mediante la función g( x ) = a. b. c.

5 2 1 x + x 6 6

Calcular el coeficiente de desigualdad de cada curva de Lorentz. ¿Cuál profesión tiene una distribución del ingreso más equitativa?

Solución Caso 1: L1 = 2

=2

11 2 1   x − ∫ 0  12 x − 12 x  d x 1

1

∫0

11 2  11  12 x − 12 x 

 dx 

= 0.152


67

Caso 2: L1 = 2

=2

5 2 1   − x ∫ 0  6 x − 6 x  d x 1

5 2 ∫ 0  6 x − 6x 1

 dx 

= 0,278 Luego cómo, L1 < L2 se puede concluir que en el país, los ingresos de los profesores de Bachillerato se distribuyen más uniforme que los ingresos de los corredores de la bolsa.


68

Taller : Aplicaciones de la Integral Definida De finida a la Empresa En cada problema , usted deberá realizar un análisis de los resultados y explicar los efectos de los resultados obtenidos. 1.-

( Curva de Lorentz) La distribución del ingreso de cierto país está descrita 19 2 1 por la curva de Lorentz Y = x + x , en donde x es la proporción 20 20 de captadores de ingresos e Y es la proporción del ingreso total recibida. a.-

¿ Qué proporción recibe el 20% de la gente más pobre ?.

b.-

Determine el coeficiente de desigualdad de la curva de Lorentz.

2.-

( Curva de Aprendizaje ) Después de pintar los primeros 40 automóviles, un establecimiento de pintado de automóviles estima que la curva de aprendizaje es de la forma f ( x ) = 10 x − 0,25 . Encuentre el número total de horas-hombre que se requierirán a fin de pintar 60 automóviles.

3.-

( Curva de Aprendizaje ) Sonido X & Y produce radiorreceptores en su línea de ensamblado. Se sabe que los primeros 100 aparatos (1 unidad ) les lleva un total de 150 horas – hombre y por cada unidad adicional de 100 aparatos, se requirió menos tiempo de acuerdo con ls curva de aprendizaje f ( x ) = 150 x − 0,2 , en donde f ( x ) es el número de horas – hombre requeridas a fin de ensamblar la unidad número ( x + 1 ). ¿ Cuántas horashombre se requerirán con objeto de ensamblar 5 unidades ( esto es, 500 radiorreceptores) después de que se han ensamblado las primeras 5 unidades?.

4.-

( Curva de Aprendizaje ) Electrónica Morales

produce calculadoras electrónicas en su línea de ensamblado. Las primeras 50 calculadoras demandan 70 horas, y por cada unidad adicional de 70 calculadoras, se requiere menos tiempo de acuerdo con ls curva de aprendizaje f ( x ) = 70 x −0,32 ,. ¿ Cuánto tiempo demandará el ensamblado de 500 calculadoras después de que se han ensamblado las primeras 200 calculadoras?.


69

5.-

( Curva de Aprendizaje ) Suponiendo que existe una mejora del 20% cada vez que la producción se duplica ( por ejemplo la sexta unidad requiere 80% del tiempo consumido por la tercera unidad, la vigésima unidad requiere 80% del tiempo demandado por la décima, etc ) determine el valor de la constante b para la curva de aprendizaje f (x ) = a x . b

6.-

( Maximización de la Utilidad ) Las tasas de ingreso y costo en una operación de perforación petrolera están dados por: 1

1

y C′ ( t ) = 2 + 3 t 2 respectivamente, en donde el R′ ( t ) = 14 − t 2 tiempo t se mide en años y R y C en millones de dólares. ¿ Cuánto deberá prolongarse la perforación a fin de obtener utilidades máximas?. ¿ Cuál es esta utilidad máxima?.

7.-

( Maximización de la Utilidad ) El costo y el ingreso de cierta operación minera están dados por: 1

1

R′ ( t ) = 10 − t y C′ ( t ) = 2 + 2 t respectivamente, en donde el tiempo t se mide en años y R y C en millones de dólares. Determine por cuánto deberá continuarse la operación con objeto de obtener una utilidad máxima. 3

3

Cuánto deberá prolongarse la perforación a fin de obtener utilidades máximas ?. ¿ Cuál es el monto de la utilidad máxima, suponiendo que los costos fijos de operación inicial son de $ 3 millones?.

8.-

( Maximización de la Utilidad ) En una operación de extracción de petróleo las tasas de ingresos y costos son R′ ( t ) = 20 − t y C′ ( t ) = 4 respectivamente, en donde el tiempo t se mide en años y R y C en millones de dólares. Encuentre el número de años que tiene que funcionar la operación para asegurar una utilidad total máxima.


70

Calcule el valor presente de la utilidad total suponiendo una tasa nominal de descuento de 10%. 9.-

10.-

11-

( Excedentes del Consumidor y Productor ) Determine el Excedente del Consumidor y del Productor en el caso de un producto para las siguientes funciones de demanda y de oferta: a.b.c.d.-

p= D ( x ) = p= D ( x ) = p= D ( x ) = p= D ( x ) =

15 – 2 x p= S ( p ) = 3 + x 17 – 0,5 x p= S ( p ) = 5 + 0,3 x 2 1200 -1,5 x p= S ( p ) = 200 + x 2 120 – x p= S ( p ) = 32 + 3 x 280 e.p= D ( x ) = p= S ( p ) = 20 + 2.5 x x+2 370 f.p= D ( x ) = p= S ( p ) = 3.8 + 0.2 x x + 6 ( Decisión de Inversión ) Una compañía puede reducir sus gastos laborales automatizando su planta. Sin embargo la automatización de la planta requiere mantenimiento sustancaila extra, el cual se incrementa con el tiempo. El ahorro anual después de t años está dado por 1 S ′ ( t ) = 120 − 4 t − t 2 ( millones de dólares por año ). 2 a.-

Calcule el ahorro total sobre los 8 primeros años. ¿ Cuántos años debe conservarse el equipo automatizado antes de que los ahorros totales empiecen a decrecer?.

b.-

¿ Cuál es el valor máximo de los ahorros totales?.

( Decisión de Inversión ) Una compañía está considerando la compra de una nueva maquinaria con un costo de $ 5000. Se estima que la máquina ahorrará dinero a la compañía a una tasa de 160 ( 5 + t ) dólares anuales en un tiempo t después de la adquisición. ¿ Se pagará la máquina a sí misma durante los próximos 5 años?

12-

( Decisión de Inversión ) Para tomar la desición correcta en el ejercicio ejercicio anterior , la compañía debe calcular el valor presente de sus ahorros futuros y compararlos con el costo de la máquina.


71

a.-

Calcule el valor presente de los ahorros en los primeros 5 años después de la adquisición de la máquina, suponiemdo una tasa de interés nominal del 8%.

b.-

¿ Se pagará la máquina a sí misma ahora en este periodo de 5 años?

13.- ( Estrategia de desarrollo ) Una compañía minera puede escoger entre dos estrategias para explorar sus recursos. La proimera implica un costo de $ 25 millones y producirá una utilidad neta de $ 10 millones anuales en los próximos 20 años. La segunda representa un costo inicial de $ 60 millones y producirá una utilidad neta de $ 20 millones anuales por un periodo de 10 años. Calcule el valor presente de estas dos estrategias suponiendo una tasa de descuento nominal de 10%, ¿Cuál es la estrategia mejor ? 14.-

( Estrategia de desarrollo ) Repita el ejercicio anterior cuando la tasa de utilidad para la primera estrategia es P′ ( t ) = ( 20 − t ) millones de dólares y la t millones de dólares. Suponga los mismos costos y tasa de descuentos iniciales.

15.-

( Ahorro de maquinaria y costos ) Una compañía adquirió una máquina nueva a un costo de $ 19.000. Estima que esta máquina ahorrará dinero . Estiman que esta máquina ahorrorá dinero a la compañía a razón de 1000 ( 5 + t ) dólares por año en un tiempo t años después de su adquisición. Sin embargo, el costo de operación de la máquina en ese tiempo será 2 1500 + 135 t dólares anuales. Calcule el ahorro neto total de la compañía durante durante los primeros t años.

de la compañía

Pruebe que después de 5 años estos ahorros netos han sobrepasado el precio de adquisición. Determine el número de años que la compañía deberá quedarse con la máquina y el ahorro neto total durante ese tiempo.


72

16.-

( Crecimiento del Capital )

Si A ( t ) es el capital de una empresa en d A el instante t ∈ I ( t ) es la tasa de inversión, se sigue que = I. d t

Determine el incremento en el capital entre t = 4 y t = 9 si la tasa de interés está dada por I ( t ) = 4 + t ( en miles de dólares por año)

17.-

( Crecimiento del Capital ) Durante el periodo 0 ≤ t ≤ T, un capital es invertido continuamente en una empresa a una tasa I ( t ) . Si la inversión crece continuamente a una tasa de interés nominal R, entonces el capital invertido en un tiempo t habrá R crecido en valor por el factor e r ( T − t ) al final del periodo ( r = ). Por 100 tanto, el valor final de la inversión es igual a T

A(T) =

∫ I( t ) e

r(T−t )

dt

0

Calcule el valor final si r = 0,1 y T = 10 en los siguientes casos: a.b.c.-

I ( t ) = I, constante

 2I I( t ) =  0  0 I( t ) =   2I

si 0 ≤ t ≤ 5 si 5 ≤ t ≤ 10 si 0 ≤ t ≤ 5 si 5 ≤ t ≤ 10

¿ Cuál de estas tres estrategias en los cosos a), b) y c) da el valor final máximo? ¿ Por qué ?.


73

18.-

( Rentabilidad Financiera ) En una empresa en que los bienes de capital se consideran fijos, sea P ( x )el valor en dólares de la producción cuando x horas-hombre de mano de obra se emplean por semana. La derivada P′ ( x ) se denomina la productividad marginal de la mano de obra. Si w es la tasa de salarios ( en dólares por hota-hombre), la función de utilidad está dada por P ( x ) – w x . Luego, pruebe que la utilidad está dada por: x0

∫

[ P′ ( x ) − P′ ( x 0 ) ] d x

0

e interprete esto como un área apropiada. Esta cantidad se conoce como la rentabilidad finaciera de los bienes de capital dados. Encuentre la rentabilidad financiera si la productividad marginal está dada −

1 2

por P′ ( x ) = 120 ( x + 400 ) , en donde la tasa de salarios es ( a ) $ 3 por hora; ( b ) $4 por hora ; ( c ) $5 por hora.

20-

( Excedente de los consumidor). consumidor). La función de demanda de cierta cinta para máquina de escribir está dada por p = −0.01x 2 − 0.1x + 6 donde p es el precio unitario en dólares y x es la cantidad demandada cada semana, en unidades de millar. millar. Determine el excedente de los consumidores si el precio de mercado se establece como $4 por cinta.

20.-

( Excedente de los consumidor ). La función de demanda de cierta marca de discos compactos está dada por p = −0.01x 2 − 0.2x + 8 donde p es el precio unitario al mayoreo en dólares y x es la cantidad demandada cada semana, en unidades de millar. millar. Determine el excedente de los consumidores si el precio de mercado al mayoreo se establece como $5 por disco.


74

21.-

( Excedente de los consumidor ). Se sabe que la cantidad demandada de cierta marca de secadora de pelo portátil es de x cientos de unidades por semana, y que el precio unitario correspondiente, al mayoreo, es p = 225 − 5x dólares. Determine el excedente de los consumidores si el precio precio de mercado al mayoreo se establece como $10 por unidad.

22.-

( Excedente de productor ). El proveedor de las secadoras de pelo mencionadas pondrá a la venta x cientos de unidades cuando el precio unitario al mayoreo sea p = 36 + 1.8 x dólares. Determine el excedente de los productores si el precio de mercado al mayoreo se establece como $9 por unidad.

23.-

( Excedente de productor ).

La función de oferta para los discos compactos del ejercicio 2 está dada por p = 0.01x 2 + 0.1x + 3 donde p es el precio unitario al mayoreo en dólares y x representa la cantidad que pondrá a disposición del mercado el proveedor, medida en unidades de millar. Determine el excedente de los productores si el precio de marcado al mayoreo es igual al precio de equilibrio.

24.-

( Excedente de los consumidor y del productor ). La gerencia de la compañía de neumáticos Titán ha determinado que la cantidad demandada x de sus neumáticos Super Titán cada semana se relaciona con el precio unitario p mediante la relación. p = 144 − x 2 donde p se mide en dólares y x en unidades de millar. Titán colocará en el mercado x unidades de los neumáticos si el precio unitario es


75

p = 48 +

dólares.

1 2 x 2

Determine el excedente de los consumidores y el de los

productores cuando el precio unitario de mercado es igual al precio de equilibrio.

25.-

( Excedente de los consumidor y de los productor ) . La cantidad demandada x (en unidades de centenas) de las cámaras miniatura Mikado cada semana se relaciona con el precio unitario p (en dólares) como

p = −0.0x 2 + 80 por otro lado, la cantidad x (en unidades de centenas) que el proveedor está dispuesto a poner a la venta se relaciona con el precio unitario p (en dólares) de la forma p = 0.1x 2 + x + 40 si el precio de mercado se establece como el precio de equilibrio, determine el excedente de los consumidores y el de los productores.

26.-

( Valor presente de una inversión ). Suponga que se espera que una inversión genere ingreso a razón de R ( t ) = 200 000 dólares por año durante los próximos próximos cinco años.

Encuentre el valor

presente de esta inversión si la tasa de interés prevaleciente es de 8% por año compuesta en forma continua.

27.-

( Franquicias ). La señora Gordon adquirió una franquicia de 15 años de una tienda de artículos de cómputo, la cual espera que genere ingresos a razón de

R (t) = 400 000


76

dólares por año. Si la tasa de interés prevaleciente es de 10% por año compuesta en forma continua, ¿cuál es el valor presente de la franquicia?

28.-

( Curvas de Lorentz ). La distribución del ingreso en cierto país es descrita por la función f ( x) = a. b.

29.-

15 2 1 x + x 16 16

Trace la curva de Lorentz para esta función Calcule f (0.4) y f (0.9) e interprete los resultados.

( Curvas de Lorentz ). En un estudio realizado por el Comité de Desarrollo Económico de cierto país, se determinó que la curva de Lorentz para la distribución del ingreso de los profesores universitarios queda descrita mediante la función. f (x) =

13 2 1 x + x 14 14

y la de los abogados mediante la función g (x) = a b. 30.

9 4 2 x + x 11 11

Calcule el coeficiente de desigualdad de cada curva de Lorentz. ¿Cuál profesión tiene una distribución del ingreso más equitativa?

( Curvas de Lorentz ) La distribución del ingreso en cierto país es descrita por la función f ( x) = a. b.

14 2 1 x + x 15 15

Trace la curva de Lorentz para esta función Calcule f (0.3) y f (0.7) e interprete los resultados

( Curvas de Lorentz ). En un estudio realizado por el Comité de Desarrollo Económico de cierto país, se determinó que la curva de Lorentz para la Profesor: Hernán Carrasco Monge 77

31.-.

distribución del ingreso de los corredores de bolsa queda descrita mediante la función

f (x) =

11 2 1 x + x 12 12

y la de los profesores de bachillerato mediante la función g (x) = a. b.

5 2 1 x + x 6 6

Calcule el coeficiente de desigualdad de cada curva de Lorentz ¿Cuál profesión tiene una distribución del ingreso más equitativa?

31.-

La compañía Nacional de Seguros de Vida Franklin adquirió una nueva computadora por $200,000. Si la la tasa con que cambia el valor de reventa de la computadora está dada por la función V´ ( t ) = 3800 ( t − 10)

donde t es el lapso transcurrido desde la fecha de compra y V´(t) se mide en dólares por año, encuentre una expresión V(t) para el valor de reventa de la computadora después de t años.

¿Cuánto cuesta la máquina

después de seis años? 32.-

El departamento de mercadotecnia de la corporación Vistavisión pronostica que las ventas de su nueva línea de televisores con sistema de proyección aumentará a razón de 3000 − 2000e −0.04 t

0 ≤ t ≤ 24

unidades por mes una vez vez introducidos al mercado. expresión para la cantidad total de televisores televisores Profesor: Hernán Carrasco Monge

Encuentre una

que Vistavisión espera 78

vender a t meses de su introducción introducción al mercado.

¿Cuántas unidades

espera vender Vistavisión durante el primer año?

33.-

Debido al creciente costo de la gasolina, el jefe de la Dirección de Transito de cierta ciudad estima que el número de viajeros que utilizan el sistema de transporte subterráneo aumentará a razón de 3000 (1 + 0.4t )−1 / 2

0 ≤ t ≤ 36

por mes, a t meses del presente. presente. Si 100 000 pasajeros viajan actualmente en el sistema, encuentre una expresión para el total de viajeros del subterráneo dentro de t meses. ¿Cuántos pasajeros lo utilizarán dentro de seis meses? 34

La gerencia de una división de Ditton Industries ha determinado que la función de costo marginal diario asociada con la producción de máquinas para la fabricación de palomitas de maíz está dada por C´( x ) = 0.00003 x 2 − 0.03 x + 10 donde C´(x) se mide en dólares por unidad y x denota las unidades fabricadas. La gerencia también ha determinado que los gastos fijos diarios relacionados con la producción de estas máquinas ascienden a $600. Halle los gastos totales de Ditton relacionados con la producción de las primeras 500 máquinas de este tipo.

35.

En 1980, el mundo produjo 3.5 mil millones de toneladas métricas métricas de carbón. Si la producción se incrementó a razón de 3.5 e0.04t mil millones de toneladas métricas métricas por año en el año t (t=0 corresponde corresponde a 1980), ¿cuál es la cantidad de carbón producida a nivel mundial entre 1980 y el final de 1985?

36.-

Con las técnicas de producción actuales, se espera que la producción de petróleo estimada en cierto pozo dentro de t años sea


79

R1( t ) = 100 e0.05 t

miles de barriles por año; sin embargo, con una nueva técnica de producción, se estima que la tasa de producción de petróleo de dicho pozo dentro de t años sea R2 (t ) = 100 e0.08 t miles de barriles barriles por año. Determine la cantidad adicional de petróleo que se produciría durante los próximos 10 años si se adopta la nueva técnica. 37.-

La función de demanda de cierta marca de videocasetes está dada por p = −0.01x 2 − 0.2x + 23 donde p es el precio unitario en dólares y x es la cantidad demandada por semana, medida en unidades de millar. Determine el excedente de los consumidores si el precio unitario al mayoreo es de $8.

38.-

La cantidad demandada x (en unidades de centena) de las tiendas de campaña Sportsman 5 x 7, por semana, se relaciona con el precio unitario p (en dólares) mediante la ecuación p = 0.1 x 2 + x + 40 La cantidad x (en unidades de millar) que el proveedor está dispuesto a poner a la venta se relaciona con el precio unitario mediante la ecuación

p = 0.1 x 2 + 2x + 20 Si se establece que el precio de mercado sea el precio de equilibrio, encuentre los excedentes de los consumidores y de los productores. 39.-

El señor Cunningham Cunningham planea planea depositar depositar $4000 $4000 por año en su cuenta de ahorro para el retiro retiro Keogh. Keogh. Si el interés interés se compone compone en forma continua


80

con una tasa de 8% por año. ¿cuánto dinero tendrá en su cuenta después de 20 años?

40.-

La señorita Parker vendió vendió su casa casa firmando un un contrato, donde el comprador le paga un enganche de $9000 y se compromete a realizar pagos mensuales de $925 cada mes durante 30 años. Si la tasa de interés prevalecientes prevalecientes es de 12% por años compuesta en forma continua, ¿cuál es el valor presente del precio de adquisición de la casa?

41.-

La señora Carlson adquirió una franquicia de 10 años para un gimnasio y espera que le genere ingresos a razón de P(t) = 80 000 dólares por año. año. Si la tasa tasa de interés interés prevaleciente prevaleciente es de 10% por año compuesta en forma continua ¿cuál es el valor presente de la franquicia?

42.-

La distribución del ingreso en cierto país es descrita mediante la función f ( x) = a. b. c.

Trace la curva de Lorentz para esta función Calcule f(0.0) y f(0.6) e interprete los resultados Calcule el coeficiente de desigualdad desigualdad de esta curva de Lorentz.

43.-

44.-

17 2 1 x + x 18 18

Se espera que la población de cierta ciudad, actualmente con 80 000 habitantes, crezca de manera exponencial en los próximos cinco años, con una constante constante de crecimiento crecimiento igual a 0.05. Si las predicciones son correctas, ¿cuál será la población promedio de la ciudad durante los próximos cinco años?

Un fabricante fabricant e

estima que cuando se producen x unidades, éstas se 1 venderán a un precio p, p = (75 − x ) . Si se conoce que el costo marginal 3


81

1 x + 3 , y se conoce además que le 4 costo de producir producir ocho unidades es de 35 dólares, dólares, ¿cuánto es la utilidad cuando se producen y venden 10 unidades?

de producir x unidades está dado por

2x 50 − , y el 5 x2 costo total de producir 10 unidades es 225, ¿cuál es la función de costos?

45.-

Si la función marginal de costo costo de producir cierto artículo es

46.-

Suponga que dentro de t años un plan de inversión generará utilidades a 2 razón de R (t) = 100 + t dólares al año, mientras que en un segundo plan lo hará a razón de R (t) = 220 +2t dólares al año. a. b.

47.-

Suponga que que cuando tiene tiene t años, una maquinaria maquinaria industrial industrial genera genera 2 ingresos a razón de R (t) = 6.025 –10t dólares por año y origina costos que se acumulan a razón de C (t) = 4.000 +15t 2 dólares por año. a. b.

48.-

¿Durante cuántos años es rentable el uso de la maquinaria? maquinaria? ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquinaria durante el período del literal a)?

Suponga que cuando tiene t años, cierta maquinaria industrial 2 genera ingresos a razón de R (t) = 6.025 –8t dólares por año y origina 2 costos que se acumulan a razón de C (t) = 4.681 +13t dólares por año. c. d.

49.-

¿Durante cuántos años es rentable el uso de la maquinaria? maquinaria? ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquinaria durante el período del literal a)?

¿Durante cuántos años es rentable el uso de la maquinaria? maquinaria? ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquinaria durante su período de rentabilidad?

Para las funciones funcione s de demanda f (x) de los consumidores en los problemas siguientes: a. b. i.

Trace la curva de demanda e interprete como un área la disposición disposición a gastas de los consumidores del literal b) Halle la cantidad total de dinero que los consumidores consumidores están dispuestos a gastar para obtener x unidades del artículo. f ( x ) = 2 (64 − x 2 ) dólares por unidad; x = 6 unidades


82

ii.

50.-

f ( x ) = 2 (25 − x 2 ) dólares por unidad; x = 4 unidades

Para cada una de las las funciones de demanda de los dos problemas problemas anteriores, calcule el excedente de los consumidores si el artículo se vende a un precio p respectivamente de: a. b.

p = 56 p = 27


83

II SEGUNDO SEMESTREIntegral Definida UISEK - 2010 Sept 2011

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