Cuadernillo de ejercicios Métodos de Decisión 5º ADE y 6º Derecho+ADE
Curso 2010/11
Departamento de Estadística de Investigación Operativa II (Métodos de Decisión) Facultad de Ciencias Económicas Universidad Complutense de Madrid
1. Se suponen cuatro dados d 1 , d 2 , d 3 y d 4 , cuyas caras han sido numeradas. Los números asignados a cada cara para los dados han resultado ser: d 1 : 0 0 4 4 4 4 d 2 : 3 3 3 3 3 3 d 3 : 2 2 2 2 7 7 d 4 : 1 1 1 5 5 5 Si se acepta que: a. un dado d i “gana” a otro d j si al lanzarlos, el número obtenido con d i es mayor que el obtenido por d por d j .
2.
3.
4.
5.
6.
b. un dado que “gana más a menudo que pierde” NO ES PEOR QUE un dado que pierde más a menudo que gana. ¿Puede concluirse que esta relación binaria define un preorden completo en el conjunto de los dados?. Respecto de tres vendedores sometidos a control por parte de una empresa, se dispone de la información siguiente: -el primero consigue 40 contratos en el 60 % de los clientes que visita, y 10 con el resto. -el segundo consigue siempre 30 contratos. -el tercero consigue 20 contratos en el 70 % de los clientes que visita y 60 en el resto. Si la empresa considera que ”un vendedor es mejor que otro” cuando el número de contratos que consigue es superior a los del otro con mayor frecuencia que inferior”, ¿Puede la empresa a la vista de estos datos y de tal criterio elegir entre los tres vendedores a uno de ellos como el mejor?. Probar que si sobre el conjunto w i se ha definido una relación binaria de preferencia-indiferencia ã, w i ã w j Ê w i Rw Rw j en la forma: “el elemento w j no es preferido a w i " , tal que dicha relación es de de preorden completo, sobre dicho conjunto queda definida una escala de preferencia. (Suponer i 1,2,3,4) Si w i es un conjunto en el que se ha definido una relación binaria de preferencia-indiferencia tal que constituye un preorden completo, establecer si toda función real e isótona u, definida sobre es o no una función de utilidad. Si w i es un conjunto en el que se ha definido una relación binaria de preferencia-indiferencia, tal que constituye un preorden, y u es una función real definida sobre que es representación fiel, demostrar que el preorden es completo. Se considera la lotería bi-etápica L 0,2; L 0,2; L 1 , 0,5; L 0,5; L 2 ; 0,3; L 0,3; L 3 en la que:
L 1
L 2
L 3
0, 1 0, 5 0, 2 0, 2 e1
e2
e3
e4
0, 3 0, 2 0, 4 0, 1 e1
e2
e3
e4
0, 2 0, 6 0, 1 0, 1 e1
e2
e3
e4
Determinar la probabilidad de cada uno de los “premios” e 1 , e 2 , e 3 y e 4 en la lotería L. 7. Se considera la lotería L
0, 2 0, 4 0, 1 0, 17 17 0, 13 13 e1
e2
e3
e4
e5
y se supone que: e1 e5 e2
0, 6 e 1
0, 4 e 5
e3
0, 4 e 1
0, 6 e 5
e4
0, 2 e 1
0, 8 e 5
Transformar la lotería L en otra equivalente con sólo dos premios, e 1 y e 5 . 8. Se consideran las loterías siguientes: L 1
L 2
L 3
0, 1 0, 3 0, 2 0, 15 0, 25 e1
e2
e3
e4
e5
0, 2 0, 2 0, 3 0, 2 0, 1 e1
e2
e3
e4
e5
0,3 0,05 0,35 0,15 0,15 e1
e2
e3
e4
e5
y se supone que las preferencias manifestadas por un individuo son en la forma siguiente: e2
0, 8 0, 2 e1
0,7 0,3
e3
e5
e1
0, 3 0, 7
e4
e5
e1
e5
e1 e5
¿Cual de las tres loterías preferirá dicha persona? 9. Un hombre de negocios quiere decidir si emprender o no uno de dos contratos o ninguno. Dichos contratos proporcionan las opciones siguientes: Contrato A
Contrato B
Beneficios Probabilidades
Beneficios Probabilidades
100.000
0,2
40.000
0,3
50.000
0,4
10.000
0,4
0
0,3
-10.000
0,3
-30.000
0,1
Si sus preferencias respecto de los distintos resultados las expresa de la forma siguiente: 50.000
0,8 100.000
,
0, 2 30.000
40.000
0,7 100.000
,
0, 3 30.000
10.000
0,5 100.000
,
0, 5 30.000
0
0,3 100. 000
10.000
,
0, 7 30.000
0, 2 100.000
,
0, 8 30.000
¿Emprenderá alguno de los contratos?. En caso afirmativo ¿cuál de ellos?. 10. Un inversor proyecta colocar 10.000 euros en una operación A o en otra B. El rendimiento de la inversión A depende de la situación del mercado financiero en cada momento, de forma que si existe ALZA dicho rendimiento es del 10 % y si existe BAJA es del -5 %. El rendimiento de la operación B es siempre del 5 %. El decisor estima que la probabilidad de que el mercado se encuentre en ALZA es del 0,7, y posee la siguiente función de utilidad sobre resultados monetarios:
Resultados -1.000 -500 0 Utilidades
0
0,2
500 600
0,4 0,6
700 800 1.000
0,68 0,8
0,9
1
Establecer: a. ¿Qué inversión realizará? b. ¿Qué cantidad monetaria cierta le sería indiferente a otra opción de inversión definida como: L
A
B
0, 5 0, 5
?
c. ¿Qué probabilidad habría de asignar a la situación de ALZA para que resultara elegida la inversión B? d. Si el decisor considerase que la utilidad del dinero es proporcional a la cantidad, ¿cuál sería su decisión?. 11. Supuesto que un decisor ajustándose a la racionalidad que se sigue de la axiomática de Luce y Raiffa ha deducido la siguiente función de utilidad sobre los resultados monetarios:
Resultados -150.000 -50.000 0 Utilidades
-3
-2,5
75.000 100.000 180.000
-1 0
1
2
discutir la veracidad de las siguientes afirmaciones: A
B
50. 000
0
0, 6
0, 4
0, 18
150.000 100.000
0, 2
180.000 150.000
0, 8
0, 82
180.000 150.000 0, 64
0, 36
12. Es claro para Vd. que todo individuo preferirá con certeza la alternativa “vida” a la alternativa “muerte”. Sin embargo, un individuo aficionado al alpinismo, muestra preferencia por una lotería “vida y muerte” frente a la vida misma, esto es, a NO escalar. Indique respecto a qué axioma de la axiomática de LUCE y RAIFFA tal comportamiento es inconsistente. 13. Parece que Vd. aceptará la ordenación que se propone a continuación: A B C , siendo dichas alternativas las siguientes: A: poseer 1.000 u.m. B: poseer 0,001 u.m. C: morir Indique respecto de qué axioma Vd. mostraría inconsistencia-irracionalidad, si se le planteara una situación de este tipo. 14. Si u es una función real definida sobre el conjunto de loterías L tal que u es una función de utilidad-derivada de la axiomática de Luce y Raiffa, comprobar que la función u aub donde a y b son dos constantes cualesquiera, con a 0, es también función de utilidad sobre dicho conjunto de loterías. 15. Se considera el conjunto de sucesos E e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 . Se supone que un individuo expresa sus preferencias acerca de dichos sucesos en la forma e1 e5
e2
0, 8 0, 2 e1
e5
e3
e4
0, 6 0, 4 e1
e5
0, 2 0, 8 e1
e5
Determinar la función de utilidad de dicho individuo, definida sobre el conjunto E, tal que: u 1 ue 1 4 u 5 ue 5 16 16. Supuesto que un decisor, ajustándose a la racionalidad que se sigue de la axiomática de Luce y Raiffa, ha definido la siguiente función de utilidad sobre los resultados monetarios posibles de las distintas alternativas: Resultados: x i
-250 -100 0 150 225 500
Utilidades: u x i -2
-1
0 1
2
3
discutir la veracidad de la afirmación A 1 A 2 tal que: A 1
0, 3
0, 7
, A2
100 225
0, 6
0, 4
250 500
Si se plantea la opción entre las siguientes alternativas: A 1
0, 5
0, 5
, A2
100 225
0, 3
0, 7
100 150
Decidir razonadamente cuál elegiría. 17. A) Discutir razonadamente si la función u x 2 3 x 4 4 x 1 ( x en millones de euros). puede o no ser la función de utilidad del dinero para un individuo. B) Supuesto que u x 2 3 x 4 sea función de utilidad x 1,5;2 , cuál sería la decisión entre una operación financiera A, de la que pueden obtenerse los resultados 0 con probabilidad 0,3 y 1,5 millones con probabilidad 0,7 y otra B cuyo resultado es 1,2 millones. 18. Si un decisor ha asignado las siguiente utilidades de acuerdo con la axiomática de Luce y Raiffa Resultados w j -150.000 -50.000 0 75.000 100.000 150.000 180.000 Utilidades u j
2
3
4
5
6
7
8
determinar la utilidad, que según la función u, corresponde a las loterías: A
50. 000 75. 000
0, 2
B
0, 8
0
100.000
0, 6
0, 4
19. Un decisor ha definido su función de utilidad del dinero de la siguiente forma: u x x 2 2 1 donde x representa miles de unidades monetarias. Establecer: a. Para qué valores de x dicha función es de utilidad. b. Razonadamente la actitud del decisor frente al riesgo. c. Siendo
l 1
0, 2
0, 8
1. 000
0
, l 2
Determinar: i. El equivalente cierto de L.
0, 6
0, 4
1.000 3.000
,L
0, 9 0, 1 l 1
l 2
ii. La decisión que se adoptará entre L y una cantidad cierta C . 20. Si se ha definido u x 15 x x 3 , x 0, 2 , donde x viene expresado en miles de unidades. a. ¿Qué error se comete si se utiliza en lugar de u x, la aproximación media-varianza para cada alternativa?. b. Dadas las alternativas:
A 1
0, 3
0, 7
0
2. 000
, A2
0, 5
0, 5
500 1.500
, A3
0, 5
0, 5
0
1. 000
y la función de utilidad anterior, establecer: i. La comparación de dichas alternativas según criterio de “eficiencia”. ii. La ordenación de las mismas por la aproximación media-varianza. 21. Un decisor define su función de utilidad del dinero mediante u x 16 x x 2 donde x representa unidades monetarias. Establecer: a. Para qué valores de x puede afirmarse que u es función de utilidad. b. La actitud del decisor ante el riesgo. c. Si se le ofrecen a este decisor dos loterías: l 1
0, 5 0, 5 5
, l 2
3
0, 5 0, 5 3
7
¿Son ambas eficientes?. Determinar la prima de riesgo de l 1 . 22. Una persona se plantea la posibilidad de participar en un negocio como socio capitalista o trabajador. La aportación inicial es de tres millones de euros. Con la primera modalidad puede obtener unos beneficios de tres millones de euros o nada, ambos con la misma probabilidad; con la segunda opción puede obtener uno o dos millones de euros, con probabilidades 0,4 y 0,6 respectivamente. Si la función de utilidad del dinero de dicha persona es: 3 u x 16 x x ( x en millones de euros) 3 Determinar: a. Para qué valores de x dicha función es de utilidad. b. La actitud frente al riesgo. c. La opción óptima según el criterio de la máxima utilidad esperada. d. ¿Sería necesariamente la misma si aplicara el criterio de la utilidad media-varianza? e. ¿Cuál es la forma más eficiente de participar en el negocio?. 23. Un decisor pretende emplear la axiomática de Luce y Raiffa para evaluar un conjunto de alternativas. Para ello tiene duda entre emplear una de las dos siguientes funciones X
50 25
0
50 100
0
30
v x 10
8
u x
0, 7 0, 3 0, 5
0
100 1
a. Señalar de forma razonada, desarrollando los conceptos matemáticos que estime oportunos, cuál de las dos debería utilizar. b. Dada la siguiente lotería, determinar cuál debería ser el valor de p:
50 ß
p
1p
100
50
c. ¿Con qué axioma de Luce y Raiffa está relacionado el resultado anterior?
d. Obtener la prima de riesgo de la lotería anterior, interpretar su significado y deducir razonadamente la actitud del decisor frente al riesgo. e. ¿Cuál es el error que se cometería al utilizar la aproximación media-varianza en la determinación de la utilidad de la lotería anterior? 24. Un decisor se enfrenta al siguiente problema, definido por la matriz:
E 1 E 2 A 1 10 12 A 2 5
15
Si se supone que los resultados son favorables al decisor, discutir de manera razonada, para qué valores de p P E 1 , probabilidad del estado de la naturaleza E 1 , resultaría elegida la alternativa A 2 , de acuerdo con el criterio de valor monetario esperado. En el caso anterior, y en ausencia de conocimiento de p, establecer la decisión correspondiente según los criterios de Hurwicz y Savage. 25. Una empresa valora en millones de euros los resultados que espera obtener al finalizar el ejercicio corriente según opte por uno de cuatro posibles tipos de inversión en función de cuatro posibles situaciones de la coyuntura económica. Dichos resultados, clasificados según el tipo de inversión que se elija, son: A 1 : 20 20
0
10
A 2 : 10 10 10 10 A 3 :
0
40
0
0
A 4 : 10 30
0
0
Determinar el tipo de inversión que será elegida si se dispone de información que permita suponer que las situaciones previstas, para la evolución de la coyuntura van a darse con probabilidades 0,20; 0,15; 0,25; 0,40; respectivamente. Establecer, en este caso, si resultaría conveniente a la empresa tratar de mejorar su información estadística, y si realmente llegará a mejorarla, supuesto que el coste de tal mejora fuese de seis millones de euros. 26. El coste para una empresa distribuidora de un determinado artículo es de 200 euros/unidad, siendo el ingreso por venta de 300 euros/u, de forma que las unidades adquiridas por la empresa han de ser abonadas al proveedor tanto si las vende como si no. La demanda diaria puede ser de 150 u, 200 u, o 250 u. Se dispone de información acerca de las ventas realizadas por una empresa análoga en días anteriores, siendo ésta: nº de unidades vendidas 150 200 250 nº de días
32
112 16
A la vista de esta información, ¿qué decisión tomará la empresa respecto del nº de unidades a adquirir diariamente?.¿Cuál será el límite del coste correspondiente a la información adicional que facilitará, cada día, el número exacto de unidades que se van a demandar?. 27. Una empresa distribuye dos artículos, cuyas cantidades respectivas representamos por x 1 y x 2 . Los precios de venta semanales de dichos artículos P 1 , P 2 son aleatorios de acuerdo con la siguiente distribución de probabilidad:
P 1 , P 2 P P 1
1 : 3 2 : 4 4 : 3 r : P 2
s 1/5
2/5
2/5
Si las alternativas posibles para la empresa son, en millones de unidades X 1 0; 4 , X 2 4; 2 y X 3 3; 3, determinar: a. El conjunto de resultados posibles evaluados para cada alternativa, y la distribución de
probabilidad asociada a los mismos. b. La decisión óptima. c. Si una empresa dedicada a estudios de mercado ofreciera su asesoramiento acerca de los niveles de precios alcanzables cada semana, por un precio de 487.000 euros. ¿Aceptará la empresa dicho asesoramiento?. d. Si el criterio de decisión fuera “elegir aquella decisión que otorgue mayor probabilidad a ingresos superiores a 20 millones”, analizar la dominación estocástica entre las alternativas, y establecer la decisión óptima. 28. GANGA, S.A. es una empresa que se dedica a la comercialización de bienes de consumo destinados a las tiendas de “TODO A 0,60”. Esta empresa quiere ampliar su cifra de negocio entrando en un nuevo mercado. Por este motivo, realiza un estudio sobre la demanda de su producto en cuatro zonas distintas, I, II, III y IV, estimando una demanda en cada zona de 11.000, 12.000, 15.500 y 17.000 unidades respectivamente. Para poder abastecer el nuevo mercado debe contar con un nuevo almacén; actualmente se alquilan tres, que tienen, cada uno, una capacidad de 11.000, 15.000 y 17.000 unidades. La estruct ura de costes mensuales (en miles de euros) que la empresa ha estimado para cada posible situación, queda recogida en la siguiente tabla: Almacén
11.000 15.000 17.000
mercado I
10
15
20
II
10
17.5
15
III
15
16
19
IV
30
35
18
Si la probabilidad de alquilar el primer almacén es del 30 %, de conseguir el segundo del 40 % y el tercero del 30 %, establecer: a. ¿Cuál será su decisión óptima respecto al nuevo mercado en el que desarrollará su actividad si el objetivo que persigue es minimizar los costes? b. ¿Cuál será su decisión si además no acepta varianzas en los resultados superiores a 8.000 euros? 29. En una extensión de cultivo de ocho hectáreas se desea plantar dos tipos de cultivos. Por condiciones técnicas para el segundo cultivo se ha de dejar sin plantar tantas hectáreas como las sembradas y el primer cultivo necesita triple número de horas de trabajo diario que el segundo, disponiéndose tan sólo de un total de nueve horas de trabajo al día. Los precios de venta de los cultivos por extensión plantada, son variables aleatorias con las siguientes distribuciones de probabilidad: P 1 ß N 10,2 y P 2 ß N 15,1. a. Calcule la extensión que se debe plantar de cada cultivo para que el beneficio esperado sea máximo. b. Compruebe que, para resultados superiores a 50, la regla de decisión utilizada en el apartado anterior verifica el criterio de dominación estocástica. 30. Una compañía de transportes debe decidir entre reparar la flota de vehículos con una cierta periodicidad a lo largo de un año, o renovar ésta al comienzo del mismo. Los costes que se obtienen en el primer supuesto dependen de que el número de vehículos a reparar sea elevado, medio o bajo, siendo dichos costes de 15, 12 y 10 miles de euros respectivamente. Si se renuevan los vehículos al comienzo del año se espera un coste de 12 miles de euros. a. ¿Qué decisión adoptará la compañía de transportes? b. ¿Son susceptibles de comparación las distintas soluciones en caso de existir más de una?.
31. La proporción de unidades defectuosas de un lote de 1.000 unidades de un determinado artículo puede situarse en uno de estos cuatro niveles: 1 %, 5 %, 10 %, 20 %. La empresa destinataria del lote incurrirá en un coste: i) de 100 euros por unidad, en el supuesto de aceptarlo, como consecuencia de la identificación y reparación de las unidades defectuosas que resulten del lote. ii) de 200.000 euros en el supuesto de rechazarlo como consecuencia de los gastos que origina la devolución del lote, si y sólo si la verdadera proporción de unidades defectuosas es del 5 % o menos. A la vista de lo anterior, la empresa citada a. ¿aceptará o rechazará el lote? b. ¿Son susceptibles de comparación las distintas soluciones posibles si es que hay más de una?. 32. Una empresa proyecta lanzar un nuevo producto al mercado, pretendiendo establecer el precio de éste teniendo en cuenta que en el periodo en que sea lanzado, el precio de otro producto análogo, lanzado por una empresa competidora puede ser “alto” (20 euros), “medio” (15 euros), “bajo” (12 euros), para lo cual efectúa una estimación de la demanda que conseguiría captar en cada uno de los supuestos, según sea su precio y el fijado por la competencia, llegando a estos resultados (número de unidades demandadas)
Alto
Medio Bajo
700
600
300
Medio 900
800
500
Precio Alto Bajo
1.500 1.200
1.000
Supuesto que el coste unitario del producto sea de 10 euros, determinar: a. los resultados que se podrían obtener en cada situación. b. la decisión de la empresa en cuanto al precio de lanzamiento del producto. 33. Un proyecto de pavimentación de una carretera se puede realizar en cuatro, tres o cinco meses, habiéndose establecido definitivamente la fecha de comienzo del mismo. Si la pavimentación se realiza en cuatro meses, el coste básico del proyecto será de 80.000 u.m. disminuyendo en 20.000 u.m. o aumentando en 40.000 u.m. según que la duración del proyecto se extienda a 5 meses o se reduzca a 3 meses respectivamente. Sin embargo, los gastos de transporte (se consideran incluidos en el coste básico) se pueden reducir en 10.000 u.m., si la carretera se pavimenta en tres meses en lugar de cuatro, incurriendo en un coste adicional de transporte de 25.000 u.m. si el periodo de la obra se extiende a 5 meses. Puesto que el proyecto se tiene que realizar durante un periodo de más tiempo, hay que considerar el gasto adicional debido a las condiciones meteorológicas, que pueden ser de lluvia ligera, lluvia fuerte o lluvia y viento. Los costes por dichas condiciones están dados en la tabla siguiente: 3 meses 4 meses 5 meses Lluvia débil
10.000
15.000
5.000
Lluvia fuerte
10.000
40.000
60.000
Viento y lluvia 15.000
55.000
65.000
A la vista de los datos anteriores establecer: a. La duración preferible para el proyecto b. ¿Son susceptibles de comparación las distintas soluciones posibles si es que hay más de una?. 34. Un distribuidor de cierto tipo de artículos debe realizar sus pedidos a un fabricante con un determinado plazo de anticipación. Las ventas que se efectúen dependen de circunstancias
no controlables por el distribuidor, circunstancias que pueden ser de tres diferentes tipos (A, B, C, respectivamente). El distribuidor considera que su actuación podría desenvolverse conforme a alguna de las siguientes alternativas: a. No realizar nuevos aprovisionamientos, comercializando exclusivamente un stock disponible. b. Solicitar 1.000 nuevas unidades. c. Solicitar 3.000 nuevas unidades. d. Solicitar 10.000 nuevas unidades. Los resultados que espera obtener, expresados en miles de unidades monetarias, se recogen en la tabla: A
B
C
a -50
0
80
b -10 30
35
c
60 45 -30
d
80 40 -45
Establecer qué decisión adoptará el distribuidor respecto del número de unidades que ha de solicitar. 35. Una empresa proyecta lanzar un producto en un mercado en el que la demanda es de carácter aleatorio, pudiendo los distribuidores agruparse en cinco bloques, en función del volumen que cada uno de ellos solicita. Esos volúmenes pueden ser, respectivamente, de mil, dos mil, tres mil, cuatro mil o cinco mil unidades al mes, ajustándose la producción de la empresa a las previsiones de fluctuación de la demanda. La empresa conoce que: 1º. El diseño del producto entraña un coste de 100.000. 2º. El coste variable por unidad producida es 200. 3º. Los excedentes de producción pueden ser colocados en un segundo mercado, a un precio igual a la cuarta parte del que se fije para el primer mercado. 4º. El precio que va a señalar para la colocación del producto es, por unidad, 400. 5º. Por su experiencia de situaciones similares, acaecidas en circunstancias anteriores, la empresa se otorga a sí misma una posibilidad de fracasar con el lanzamiento del producto del 40 %. ¿Que decisión deberá adoptarse?. 36. Con objeto de establecer la conveniencia de ampliar su red de ventas, una empresa estima los resultados que se seguirían de tal decisión, habida cuenta del posible incremento de clientes. Incremento de clientes:
10% 25% 40%
Resultados (miles euros): -10
10
25
a. ¿Qué decisión adoptará la empresa? b. Si se estimarán las probabilidades de los distintos niveles de incremento de clientes en: P E 1 0, 5 P E 2 0,35 P E 3 0,15 ¿Cuál será la decisión elegida?. c. Una empresa dedicada al estudio de mercados ofrece a la empresa anterior información sobre sus posibilidades de captación de nuevos clientes. Si las únicas informaciones posibles son: X 1 : información consistentes en que el mercado es poco favorable. X 2 : información consistentes en que el mercado es muy favorable. y se estiman las probabilidades siguientes:
P X 1 / E 1 0, 9 P X 2 / E 2 0, 6 P X 1 / E 3 0, 2 establecer: i. ¿Qué decisión adoptará la empresa? ii. ¿Qué valor otorga a la regla de decisión que se sigue del análisis pre-aposteriori de dicha información? 37. Una empresa pretende decidir si almacenar o no un nuevo producto. La decisión depende de la reacción de los potenciales consumidores del producto. Si se estiman los siguientes resultados monetarios (en miles de euros): % de consumidores que aceptan el producto ( ) 1
0, 1
2
0, 2
3
0, 3
4
0, 4
5
A 1 -10
-2
12
22
40
A 2 -4
6
12
16
16
A 3 0
0
0
0
0
0, 5
donde A 1 : almacenar 100 unidades, A 2 : almacenar 50 unidades y A 3 : no almacenar. Discutir: a. ¿Qué decisión deberá adoptar la empresa, si no utiliza otra información? b. ¿Qué decisión adoptará si estima que las probabilidades de las distintas situaciones re ferentes a la captación de demanda son: P 1 0, 2 P 2 0, 3 P 3 0, 3 P 4 0, 1 P 5 0, 1 c. En el caso en que decida consultar a 4 clientes potenciales, elegidos aleatoriamente, acerca de si demandarán o no el producto, i. ¿cuál será la regla de decisión que se sigue del análisis pre-aposteriori de dicha información?. ii. ¿cuál sera el coste al que estaría limitada la adquisición de dicha información?. 38. Una empresa dedicada a la compra de televisores usados, para su reparación y venta posterior, sabe que, según su experiencia en los lotes adquiridos, el porcentaje de unidades que necesitan reparación puede ser del 5 % o del 10 %. La empresa opera habitualmente con dos proveedores que cargan distintos costes de transporte a la mercancía. Los resultados netos (en miles de euros) que la empresa espera alcanzar, dependen del porcentaje real de piezas defectuosas en el lote y de los costes, y estima que son los siguientes: % defectuosas 5%
10 %
proveedor A
20
-10
proveedor B
2
2
Establecer: a. la decisión de la empresa, en el caso de que no disponga de más información. b. la decisión, si estima que la probabilidad de que el porcentaje de piezas defectuosas sea del 5 % es de 0,4. c. la decisión, desde el punto de vista económico, si la empresa pudiese solicitar una muestra del lote e inspeccionarla, sabiendo que, -el coste de la muestra es de 0,2 miles. -si el lote contiene un 5 % de unidades defectuosas, la probabilidad de que en la muestra aparezcan como máximo el 6 % de piezas defectuosas es de 0,6; y si el lote contiene el 10 % de defectuosas, la probabilidad anterior es de 0,4. d. valorar la información muestral desde el punto de vista de su eficiencia.
39. A una empresa se le ofrece la posibilidad de adquirir un lote de cinco camiones como parte del excedente del equipo que elimina otra empresa. Al no poseer información exacta acerca del estado en que se encuentran dichos camiones, en el supuesto de contemplar la alternativa consistente en la adquisición del lote, habrá de enfrentarse a la incertidumbre que le provoque el número de camiones que necesitarán reparación antes de su puesta en funcionamiento. La experiencia de situaciones análogas anteriores le permite cuantificar la incertidumbre a la que se enfrenta, a través de las probabilidades “a priori”, recogidas en el cuadro siguiente junto al conjunto de las consecuencias económicas que se seguirían de tal decisión:
Probabilidades “a priori”
0, 35 0, 15 0, 10 0, 05 0, 10 0, 25
Nº de camiones que necesitan reparación 0
1
2
3
4
5
A 1 : ADQUIRIR LOTE
10
6
2
0
2
5
A 2 : NO ADQUIRIR EL LOTE
0
0
0
0
0
0
donde los resultados vienen expresados en miles de euros. Elaborar: a. la regla de decisión que se sigue del análisis “pre-aposteriori” en el supuesto de que se opte por inspeccionar 3 camiones, sabiendo que el coste de inspeccionar cada camión es 100€. b. el resultado esperado como consecuencia de la aplicación de tal regla de decisión. c. el valor otorgado a la información consistente en que, inspeccionados 3 camiones, dos de ellos necesiten reparación. d. el valor otorgado a la información que pueda proporcionar la inspección de tres camiones, tanto desde la perspectiva que se sigue del análisis coste-beneficio, cuanto de la que se sigue del análisis de la eficiencia de dicha información. 40. La empresa EXPORTCARDEL, S.A. tiene la posibilidad de hacer una operación en el extranjero, que le reportaría un beneficio de 10.000.000 u.m.. La operación está sometida a distintos avatares: por una parte, la probabilidad de que el cliente no pague es del 20 %; lo cual produciría una pérdida de 10.000.000 u.m.. Por otra parte, la probabilidad de que varíe el tipo de cambio es del 40 %; este hecho reduciría el beneficio un 20 %. Para paliar, en lo posible, estos problemas, la empresa se dirige a INFORMERC, S.L. empresa especializada en información sobre mercados, que le ofrece informarle sobre el cliente en cuestión por un precio de 4.000.000 u.m.. Si el cliente es buen pagador, INFORMERC, S.L. acertará el 90 % de las veces. Si el cliente es mal pagador INFORMERC, S.L. acertará en un 95 % de las veces. Teniendo en cuenta la situación descrita, establecer la regla de decisión para la empresa EXPORTCARDEL, S.A. 41. Una empresa dedicada a la compra-venta de aparatos electrónicos discute la posibilidad de adquirir un lote de 1.000 unidades por un millón de euros. El Servicio de Estudios facilita la siguiente información: por experiencia anterior, presume que en el lote pueden aparecer un 5 %, un 10 % o un 15% de unidades defectuosas, cuya reparación supondría un coste de 500 euros por unidad. puede considerarse que las probabilidades correspondientes a dichos niveles de unidades defectuosas son 0,4, 0,4 y 0,2 respecti vamente. el precio de venta que dichos artículos alcanzarán en el mercado es de 1050 euros por unidad. Discutir: a. la decisión que adoptará la empresa a la vista de dicha información.
b. la decisión, en el caso en que no se conocieran las probabilidades El Servicio de Estudios de esta empresa, puede contratar asesoramiento sobre la situación planteada de forma que, en el caso de que el lote contenga un 5 % de unidades defectuosas, la probabilidad de que se le recomiende la adquisición del mismo es de 0,8; si el lote contiene un 10 % de unidades defectuosas dicha probabilidad es de 0,6 y si el lote contiene un 15 % de unidades defectuosas la probabilidad citada es del 0,3. Establecer: c. la regla de decisión. d. el valor otorgado a dicha regla de decisión. 42. Una compañía dedicada a la prospección petrolífera tiene la posibilidad de perforar en dos lugares distintos. En el primer lugar la prospección tendrá un coste de 100 millones en el caso de que el terreno no falle. Si se optara por perforar en el segundo lugar el coste de la perforación sería de 60 millones, bajo el supuesto también de que el terreno no falle. En el caso de que hubiera problemas con el terreno el coste sería de 150 millones en el primer lugar y de 180 millones en el segundo lugar. La probabilidad de que falle el terreno es de un 10 % en ambos lugares. La empresa puede solicitar, con un coste de medio millón de euros, un informe del comportamiento del terreno a perforar. El informe que la empresa consultora emitirá tras el estudio geológico puede ser positivo o negativo. Si el terreno no va a fallar se ha estimado que el informe será positivo el 95 % de las veces y si va a fallar el terreno el informe sería negativo el 90 % de las veces. A la vista de lo anteriormente expuesto, determinar si la compañía petrolífera solicitará o no el informe a la empresa consultora y en caso de que lo solicite la regla de decisión asociada al problema. 43. A comienzo de un ejercicio económico, una sociedad financiera proyecta realizar una inversión adquiriendo títulos en Bolsa, a cuyos efectos puede adquirir dos tipos diferentes de títulos A y B. El Servicio de Estudios de la Sociedad, estima los precios de cotización que dichos títulos pueden haber alcanzado al finalizar el ejercicio, según que el mercado se encuentre en situación de ALZA, ESTABILIDAD o BAJA, y en base a ellos, los resultados posibles que se recogen en la tabla siguiente:
ALZA
BAJA
ESTABILIDAD
TITULOS “A” 600.000 -200.000 200.000 TITULOS “B” 200.000 0
-200.000
Las tres situaciones en que puede encontrarse el mercado se consideran igualmente probables. Con el fin de reducir la incertidumbre acerca de las distintas situaciones del mercado financiero, la Sociedad plantea a posibilidad de acudir a una empresa analista de mercados bursátiles, que le ofrece informar si el mercado se encontrará en situación de BAJA o no. Dicho informe no es infalible, de tal manera que se estiman las siguientes probabilidades: P (informe: “baja”/mercado en alza) 0,05 P (informe: “baja”/mercado estable) 0,25 P (informe: “baja”/mercado en baja) 0,90 Determinar si la Sociedad financiera solicitará o no el informe a la empresa consultora, y en caso afirmativo, la regla de decisión asociada. ¿Qué valor otorgaría la Sociedad a dicha regla de decisión?. 44. Una empresa tiene la oportunidad de comprar tres máquinas usadas. Los resultados económicos, valorados en unidades monetarias, dependen del nº de máquinas que necesiten reparación, habiéndose evaluado éstos en 10.000, 6.000, 0 y -5.000 si hay que reparar: ninguna, una, dos o tres máquinas respectivamente. Las probabilidades “a priori” asignadas a dichos sucesos son: 0,1, 0,4, 0,3 y 0,2 respectivamente. Con un coste de 100 u.m. la
empresa puede revisar una máquina. A la vista de la información anterior: a. establecer la regla de decisión asociada al problema. b. el valor otorgado a dicha regla de decisión. 45. Una empresa estudia la posibilidad de lanzar un nuevo producto de carácter estacional al mercado (A), pudiendo obtener unos resultados de 8; 1; 1, 5 ó 6 millones de euros dependiendo del porcentaje de personas que adquieran el producto. Conforme a su experiencia de situaciones análogas acaecidas anteriormente, estima que dichos porcentajes pueden ser del 1%, 5%, 10% ó 15% con probabilidades 0, 2; 0, 2; 0, 1 y 0, 5 respectivamente. La empresa puede recibir información acerca del porcentaje de personas dispuestas a demandar el producto mediante uno de los siguientes procedimientos: 1) Realizando una encuesta entre los potenciales consumidores ( X ), con un coste de 200.000 euros. Los resultados de la encuesta pueden indicar que la proporción de personas dispuestas a adquirir el producto se sitúa entre el 10% y el 20% ( X 1 ), entre el 10% y el 5% ( X 2 ) ó es inferior al 5% ( X 3 ). 2) Utilizando un panel de consumidores (Y ) cuyo coste sería 70. 000 euros. Los resultados pueden indicar que el nuevo producto sería demandado por más de un 30% (Y 1 ), por una proporción comprendida ente el 20% y el 30% (Y 2 ), por una proporción comprendida entre el 10% y el 20% (Y 3 ) ó por menos del 10% (Y 4 ). Las verosimilitudes para las distintas concreciones de X e Y son conocidas, y a partir de ellas se han obtenido las probabilidades “a posteriori”, los resultados esperados “a posteriori” y las entropías condicionadas (en base el número e) que se indican en las siguientes tablas: X i E A/ X i P X i H E / X i
Y i
E A/Y i
P Y i H E /Y i
X 1
154 31
0,31
0,61452
Y 1
210,5 37
0,37
0,24775
X 2
66 42
0,42
1,2132
Y 2
36,5 23
0,23
1,2408
X 3
85
0,27
1,1799
Y 3
137,5 245
0,245
1,111
Y 4
982,5 155
0,155 0,62677
27
Contestar razonadamente a las siguientes cuestiones: a. ¿Cuál es la alternativa óptima “a priori”?. b. Determinar e interpretar la entropía “a priori” (tomando logaritmos neperianos). c. Determinar el resultado esperado de la encuesta. d. ¿Realizará la empresa la encuesta?. En caso afirmativo, ¿qué regla de decisión seguirá?. e. ¿Cuál sería el valor de la información X 1 ? f. ¿Utilizará el panel?. En caso afirmativo, ¿qué regla de decisión adoptará?. g. Si, a la vista de los resultados del panel, y en todas sus concreciones, el encargado de tomar la decisión eligiese siempre la alternativa A ¿Cuál sería en este caso el valor otorgado a dicha regla de decisión?¿Qué le indicaría esto al encargado de tomar la decisión?. h. ¿Cuál de las dos informaciones le resulta más rentable? i. ¿Cuál de las dos informaciones es más eficiente? 46. Una empresa discute la posibilidad de adquirir un lote de 1.000 piezas por un precio total de
30.000 euros, para su venta posterior de la que se obtendría un ingreso de 50.000 euros. La empresa ignora el porcentaje de piezas defectuosas del lote, cuya reparación, necesaria antes de la venta, supondría un coste de 30 euros por unidad. Supuesto que como criterio de evaluación se considere el beneficio asociado a la decisión, habida cuenta de los distintos costes a los que debe enfrentarse, establecer: a. los resultados asociados a las decisiones posibles y la distribución de probabilidad de los mismos. b. la decisión óptima en ausencia de otra información, así como el resultado esperado. c. la distribución de probabilidad de los resultados determinados anteriormente, supuesto que se dispusiera de la información obtenida de la inspección de n piezas elegidas aleatoriamente. d. la decisión óptima a posteriori de la decisión anterior, para los distintos resultados posibles de la misma, el valor otorgado a cada una de dichas informaciones, y el valor otorgado a la información, cualquiera que sea su concreción. e. aplicación al caso en que se inspeccionen 30 piezas resultando 23 de ellas defectuosas. 47. Plantear el juego siguiente a través de la matriz de pagos, y discutir si existe equilibrio puro: “Dos jugadores participan en el juego de “LOS DEDOS” en la forma siguiente: Cada jugador adelanta uno o dos dedos y además conjetura los que va a adelantar el otro. Si sólo uno de ellos acierta, gana una cantidad igual a la suma de los dedos adelantados por ambos. Si aciertan los dos o ninguno se considera empate, lo que no supone ganancia para ninguno”. 48. Si la matriz 2 3 4 6 1
1
representa la matriz de pagos de un juego bipersonal de suma cero, establecer: a. si existe o no solución al juego. ¿se trata de una solución pura? b. el valor del juego 49. Si la matriz 6 5
2
8 4 1 2 4
3
representa la matriz de pagos de un juego bipersonal de suma cero, establecer la estrategia óptima para ambos jugadores y el valor del juego. ¿Cuál es la máxima pérdida que el jugador B estaría dispuesto a soportar? 50. Si la matriz 4 2 5 1
3 1
2 3 1
representa la matriz de pagos de un juego bipersonal de suma cero, a. establecer la estrategia óptima para ambos jugadores y el valor del juego. b. ¿Qué sucedería si ambos juegan según la estrategia mixta 1 , 1 , 0 ? 2 2 51. Resolver el juego bipersonal de suma nula, dado por la matriz:
4 0 3 3 1 5
y discutir si una solución posible óptima para el jugador B sería la elección de sus alternativas conforme a la siguiente estrategia mixta q 0,35;0,65. 52. Dos empresas A y B que comercializan dos marcas de un mismo producto, en un mercado en el que la demanda es estable, se plantean la posibilidad de hacer una campaña publicitaria en radio, televisión, prensa, etc. La empresa A tiene cuatro posibles programas de publicidad distintos y B tiene tres. Dependiendo del ingenio e intensidad de la campaña, cada empresa puede captar una proporción del mercado de la otra. Si se estima que la proporción de mercado captado o perdido por A es: B 1
B2
B3
A 1 0, 3
0
0, 5
A 2 0, 5 0, 3 0, 1 A 3
0, 2
0, 4
0, 1
A 4
0
0, 1
0, 4
Establecer razonadamente: a. Las características del juego. b. ¿Es razonable que B elija B 1 porque es donde puede captar una mayor proporción de clientes de A? c. ¿Cuáles son las estrategias óptimas para ambas empresas y el valor del juego?. d. Si A decide jugar de acuerdo con la distribución de probabilidad P 1 , 0, 1 , 0 y B 2 2 3 2 jugase con Q , 0, , establecer de forma razonada cuáles serían las 5 5 consecuencias. 53. El vigilante de un recluso tiene cuatro posibilidades distintas de efectuar la vigilancia cada día. El recluso tiene tres posibles formas de intentar escaparse. En función de lo que haga uno y otro se han estimado las probabilidades, conocidas por ambos, de que el recluso NO escape: B 1
B2
B3
A 1 0, 1 0, 8 0, 9 A 2 0
0, 5 0, 3
A 3 0, 4 0, 4 0, 8 A 4 0, 9 0, 2 0, 6 a. Definir los elementos del problema de decisión y establecer sus características. b. ¿Sería razonable que el recluso escogiese B 1 porque es la que maximiza su probabilidad de escapar? c. ¿Cuáles son las estrategias óptimas de ambos? Establecer el principio de racionalidad que permite determinarlas. d. Si el recluso (jugador B) adopta la estrategia Q 3 , 4 , 0 y el vigilante (jugador A) 7 7 1 1 decide elegir según P 0, , , 0 , ¿cuál será la probabilidad, en términos medios, 2 2 de que el recluso no escape?. Interprete el resultado obtenido. e. Construir razonadamente el programa lineal que permite resolver el juego para el jugador A estableciendo todos los supuestos en los que se basa dicha construcción.
54. Dos grandes cadenas de supermercados, A y B, van a abrir, en las mismas fechas, un nuevo supermercado en un centro comercial de una ciudad donde el número de clientes potenciales es de 100.000. El reparto del número de clientes potenciales entre las dos cadenas depende de la estrategia que cada una de las firmas adopte en cuanto a campañas de publicidad y productos en oferta. En función de la estrategia seguida por cada empresa, el número de clientes potenciales que se adjudica a la cadena A, en miles, es el siguiente
B 1 B 2 B 3 A 1 40 20 60 A 2 30 40 70 A 3 60 10 80 a. ¿Cuáles son las características de este juego? b. ¿Cuál es el número mínimo de clientes que aceptará tener A?¿Y B? c. ¿Cuál es la estrategia óptima de A y B? A la vista de este resultado, ¿se puede afirmar que A y B esperan repartirse por igual el número de clientes potenciales? d. ¿Qué ocurrirá si B decide adoptar una estrategia diferente a la óptima? e. Determine, razonadamente, el programa lineal para el jugador A. 55. Dada la siguiente matriz
B 1
B2
B3
A 1 1, 1 1, 1 2, 0 A 2
1, 3
2, 2 1, 1
A 3 2,2 0, 1 2, 1 a. Caracterizar el juego propuesto. b. Comprobar si existe equilibrio de Nash. 56. A veinte kilómetros de una gran ciudad se acaba de construir una importante zona residencial. De momento, no existe ningún transporte público que comunique la zona residencial, ni ésta con la ciudad; pero hay dos empresas de transporte que se están planteando la posibilidad de cubrirlo. Si sólo una de las dos empresas pone la red de autobuses obtendrá unos beneficios de 100 millones de euros, pero si ambas la montan cada una de ellas tendrá una pérdida de 50 millones de euros. Si las dos empresas deben decidir simultáneamente si van o no a dar servicio a la nueva zona: a. Plantear el juego correspondiente y establecer sus características. b. Analizar los equilibrios de Nash existentes. 57. Dos individuos que han cometido un cierto crimen son detenidos con sólo leves indicios de culpabilidad. Se les aísla en celdas independientes, planteando a cada uno de ellos la posibilidad de que delate al otro. Si sólo uno de ellos colabora con la justicia, el que lo hace es absuelto como recompensa y puesto en libertad, mientras que el otro es condenado a doce años de cárcel. Si, por el contrario, los dos se delatan mutuamente, se obtienen pruebas que permiten condenar duramente (5 años) a ambos. Finalmente, si ninguno de los dos colabora con la justicia, ambos son condenados a penas menores (1 año) fundamentadas en los pocos indicios que la policía ha conseguido obtener. ¿Cuál es la decisión óptima a que debe optar cada uno de ellos supuesto un comportamiento racional acorde con la teoría de juegos? 58. Una pareja ha quedado para un día determinado y tiene que concretar dónde van a encontrarse y lo que van a hacer cuando llegue ese día. Ya anticipan cuáles son las posibilidades: ir al fútbol o de compras. Si hacen lo primero, se reúnen en el campo de fútbol a la hora del comienzo del partido, por el contrario, si deciden hacer lo segundo, quedan, como siempre, en la puerta de ciertos grandes almacenes después de comer. No
tienen teléfono, por lo que han de concretar ahora la cita. Las preferencias de cada uno sobre las posibles alternativas están claras: la chica prefiere ir al fútbol antes que de compras, el chico, lo contrario. En cualquier caso, siempre preferirían hacer juntos cualquiera de las dos posibilidades que salir por separado. Los pagos son como sigue Chico C
F
Chica C
2,3 0,0
F
1,1 3,2
donde C y F representan las estrategias “ir de compras” o “ir al fútbol”. ¿Cuál es la decisión óptima a que debe optar cada uno de ellos supuesto un comportamiento racional acorde con la teoría de juegos? 59. Considérese el juego bipersonal resumido por la siguiente tabla de pagos: R
S
T
A
3,0 2,2 1,1
B
4,4 0,3 2,2
C
1,3 1,0 0,2
¿Que estrategias del juego sobreviven a la eliminación iterativa de estrategias dominadas? Calcúlense los equilibrios de Nash, tanto en estrategias puras como mixtas. 60. Resolver el juego bipersonal de suma nula definido por la matriz de pagos: 1 3 3
2
0
3
2
1
0
determinando el valor del juego. ¿Puede afirmarse que el pago esperado por el jugador B si elige la estrategia mixta Q 1/10;38/60; 16/60 y el jugador A elige la alternativa A 3 , será menor que 4? 61. Un viajante debe realizar un trayecto en cuatro etapas, recorriendo distintas ciudades (nume radas en el gráfico de 1 a 10) siendo las posibles rutas las señaladas en el gráfico. Se conocen los costes de trayectos parciales entre dos ciudades, que aparecen en el gráfico entre paréntesis sobre cada ruta. Determinar la ruta total de coste mínimo. 2
(7)
5 (4)
(2)
1
(1)
(6)
(4)
(3) 3
(4) (2) (4)
6
8 (3)
(6) (3)
10 (4)
(3)
(4) (1) 4
(5)
(3)
(3)
9
7
62. Un individuo dispone de 2 millones de euros para realizar un inversión en una campaña publicitaria a fin de promocionar un nuevo artículo en cuatro regiones económicas (A, B, C y D), y estima los posibles volúmenes de ventas en cada una de ellas, que se conseguirían
según la cantidad invertida, en la forma siguiente: Región Cantidad invertida A
B
C
D
0 0
0
0
0
1 28 25 15 20 2 45 41 25 33 Determinar la política óptima de inversión, aplicando la metodología de Programación Dinámica. NOTA: Se supone que la inversión total puede repartirse sólo en cantidades iguales a 1 millón de euros y que las cifras de ventas vienen dadas en miles de unidades. 63. Para aprobar una asignatura un estudiante necesita superar tres pruebas y dispone únicamente de dos semanas para prepararlas. Dicho estudiante ha estimado la probabilidad de superar cada prueba dependiendo del número de semanas que dedique a la preparación de las mismas, siendo éstas las que aparecen en la siguiente tabla: Probabilidad de aprobar Pruebas 1ª
2ª
3ª
nº semanas 0
0,6
0,4 0,2
1
0,8
0,6 0,5
2
0,85 0,8 0,7
Si el estudiante no prepara ninguna prueba (dedica 0 semanas a cada una de ellas) la probabilidad de aprobar la asignatura sería: 0, 6 0, 4 0, 2 0,048. Determine a través de la metodología de la programación dinámica cómo asignaría el estu diante su tiempo a cada una de las pruebas para que la probabilidad de aprobar la asignatura sea máxima. Defina todos los elementos que necesite para la resolución del problema. 64. La carga de un camión se distribuye con el propósito de maximizar el ingreso total. Se consideran 3 posibles elementos a transportar. Sabiendo que el camión sólo puede transportar 2.000 Kg. y debe ir totalmente lleno y además que es necesario transportar al menos un elemento del tipo 3, ¿qué elementos debe transportar? Elementos
1
Peso (en Kg.)
500 750 250
Beneficio Unitario (euros)
2
50
3
100
25
Resolver el problema planteado utilizando la metodología de Programación Dinámica especificando todos lo elementos que aparezcan. 65. La carga de un camión se distribuye con el propósito de maximizar el ingreso total. Se consideran 5 posibles materiales a transportar y se necesita como mucho una unidad de cada uno de ellos. La compañía de transportes gana 5.000 euros por elemento transportado más una bonificación por cada uno de ellos. Sabiendo que el camión puede transportar como máximo 2.000 Kg., ¿qué materiales debe transportar? Materiales Peso (en Kg.) Bonificación (en miles de euros)
1
2
3
4
5
1.000 110 700 800 500 7
8
11
10
7
Resolver el problema planteado utilizando la metodología de Programación Dinámica especificando todos lo elementos que aparezcan. 66. Obtener max z 1 z 2 z 3 , siendo z 1 z 2 z 3 6, y supuesto que cada variable z es una variable continua no negativa. 67. Obtener max z 21 z 22 z 23 , siendo z 1 z 2 z 3 4 y z i 0. 68. Obtener max z 21 z 22 z 23 , siendo z 1 z 2 z 3 8 y z i 0. 69. Una empresa papelera fabrica dos tipos de pasta de celulosa: pulpa de celulosa obtenida por medios mecánicos y pulpa de celulosa obtenida por medios químicos. Las capacidades máximas de producción se estiman en 300 y 200 Tm./día para cada uno de los dos tipos de pasta de celulosa. Cada tm. de pasta producida necesita un trabajador y la empresa dispone de 400 trabajadores. El margen bruto (ingresos menos costes variables) por tm. de pasta obtenida por medios mecánicos se estima en 1000 u.m y en 3000 u.m la obtenida por medios químicos. Los costes de la papelera se estiman en 300.000 u.m/día. La empresa desearía, al menos, cubrir costes fijos. Las preferencias de la empresa se concretan en la maximización del margen bruto (objetivo económico) y en la minimización del daño generado en el río en el que la papelera vierte sus residuos (objetivo ambiental). Este objetivo medioambiental se traduce en minimizar la demanda biológica de oxígeno. Se estima que los residuos producidos por cada tm. de pasta obtenida por medios mecánicos y por medios químicos generan unas demandas biológicas de oxígeno en las aguas del río de 1 y 2 unidades. a. Plantee matemáticamente el problema describiendo los elementos del mismo. b. ¿Existe un problema de decisión?. Justifique la respuesta. c. Representar gráficamente el espacio de alternativas o variables de decisión y el espacio de objetivos. d. Dicutir si el punto f 1 600.000, f 2 400 es factible y si es solución eficiente, siendo f 1 el margen bruto y f 2 la demanda biológica de oxígeno. e. Discutir gráficamente el conjunto de soluciones eficientes. Expresar analíticamente un programa matemático que permita encontrar soluciones eficientes. f. Si en la empresa se considera doblemente importante la demanda biológica que el margen bruto, plantear el problema que determine la solución compromiso L Ý explicando en qué consiste tal método. g. Si la empresa considera aceptable un margen bruto de 600.000 y una demanda de oxígeno de 450, establezca el problema al que se enfrenta. Modelice sabiendo que se consideran igualmente importantes sus objetivos. ¿Cómo variaría el problema si para no tener una sanción económica la empresa se ve obligada a no superar una demanda de oxígeno de 300? 70. Una compañía de transporte urgente tiene establecidas sus tarifas en función del tiempo de entrega deseado del producto; para las entregas en 12 horas se establece un precio de 4000 u.m. por bulto, para las de 24 h. uno de 3000 u.m. por bulto y para las de 48 h. 2000 u.m. por bulto. Además, el servicio de 12h admite hasta 40 Kg. de peso por paquete, el de 24h hasta 20 Kg. y el de 48h hasta 15 kg. Cada camión tiene espacio para un máximo de 80 bultos, con un límite de carga de 2400 kg. Por cada bulto del servicio 12h el camión gasta 3 litros de combustible, 2 litros por cada bulto del servicio de 24h y 1 litro por cada bulto del servicio 48h. El depósito del camión admite hasta 1400 litros. ¿Cuántos bultos de cada tipo de servicio debería admitir la empresa, por camión, para conseguir el máximo ingreso con el mínimo peso total y el mínimo gasto total de combustible? Aplíquense los métodos de las restricciones y de las ponderaciones en la resolución del problema. 71. Una empresa que busca diversificar sus líneas de negocio se propone invertir un máximo de
un millón de euros en una nueva actividad. El director comercial propone los siguientes proyectos: Proyecto 1 (P1) Proyecto 2 (P2) Proyecto 3 (P3) El comité de dirección considera que puede participar en varios de los proyectos presentados de forma que la rentabilidad de su inversión sea máxima al tiempo que el riesgo asumido sea mínimo. El departamento financiero de la empresa presenta en la siguiente tabla la rentabilidad estimada para cada proyecto así como una valoración del riesgo asociado a cada proyecto Rentabilidad Estimada Nivel de riesgo por u.m. P1
14%
0,6
P2
20%
1
P3
13%
0,7
El capital necesario para iniciar cada proyecto es de 300.000, 200.000 y 50.000 euros respectivamente. El director gerente no quiere que la empresa asuma riesgos que superen el 85% de la inversión total. a. Plantee el problema de decisión. b. Genere puntos eficientes mediante el método de las restricciones. c. Genere puntos eficientes mediante el método de las ponderaciones. 72. Una empresa, que produce componentes de tecnología solar, está considerando la posibilidad de fabricar en serie 2 tipos de células solares para la conversión de energía: un módulo celular (Producto 1) para aplicarlo a los satélites meteorológicos y un chip celular (Producto 2) para usarlo en las calculadoras solares. Desafortunadamente, el proceso de producción causa contaminantes en la atmósfera. Para evitar posibles enfermedades en la población se desearía minimizar las emisiones de contaminación. Además también le gustaría maximizar el beneficios. En la siguiente tabla se recogen los imputs y los precios de venta de cada uno de los productos. PROD. 1 PROD.2 Disponibilidades Unidades de galenio requeridas
1
5
72
Tiempo de la máquina (horas)
0,5
0,25
8
Tiempo de montaje(hombres/hora)
0,2
0,2
4
Coste de los materiales (u.m)
0,25
0,75
Coste de la mano de obra (u.m)
2,75
1,25
Precio de venta por unidad (u.m)
4
5
Contaminación emitida(unidades)
3
2
a. Plantear el problema multiobjetivo, definiendo todos los elementos del mismo. b. ¿Existe una solución que minimice la contaminación y maximice el beneficio? c. ¿Es una solución factible producir 12 unidades del primer producto y 8 del segundo? ¿es eficiente? d. Represente gráficamente la frontera eficiente en el conjunto de oportunidades de elección y en el espacio de objetivos. e. Determine la matriz de pagos. ¿Cuál es el punto ideal? f. Obtenga el conjunto eficiente por los métodos de las restricciones y de las
ponderaciones. g. Si la empresa quiere elegir entre las soluciones eficientes la más próxima al ideal, plantee el problema a resolver sabiendo que: - Para medir la proximidad al ideal utiliza la métrica L 2 . - Prefiere aproximarse al ideal de contaminación el doble que al de beneficio. h. Determine gráficamente el conjunto compromiso con las métricas lineal y de Tchebycheff si ambos objetivos son igualmente importantes para la empresa. 73. La empresa SUPERMOTOR se plantea la estructuración de un programa de producción en base a los dos tipos de productos que fabrica y que denominaremos T 1 y T 2 . Dicha empresa considera relevante conseguir el mayor beneficio posible con la producción y venta de los productos y (por razones de imagen pública) conseguir reducir al mínimo la polución del medio ambiente derivada de los diferentes procesos productivos. Además, la empresa debe respetar algunas limitaciones o condiciones importantes relacionadas con las dos materias primas más importantes que utiliza, que denominaremos A y B. De la primera, dispone de 1200 uds. y de la segunda de 600 uds. Además, y con el fin de mantener un cierto nivel de actividad, se considera que la producción total ha de superar las 300 uds. de producto. Se ofrece la siguiente información en el cuadro: T 1
T 2
Beneficios unitarios
4
2
Polución/uds. de producto
3
2
Consumo unitario de materia prima A
2
3
Consumo unitario de materia prima B
3
1
Establecer los elementos del problema Modelar el programa de producción de la empresa. ¿Hay un problema de decisión?. Representación gráfica del conjunto factible y del conjunto de objetivos. Encontrar el conjunto de soluciones eficientes en el espacio de objetivos (discutir gráficamente) y plantear un programa matemático que permita encontrar soluciones eficientes extremas. e. Construir la matriz de pagos f. Supuesto que al centro decisor le interese encontrar aquella solución eficiente más cercana a la solución ideal, utilizando la métrica L1, ¿cuál sería el programa a resolver?. g. Desde el Parlamento Europeo se aconseja a las empresas que cuiden el medio ambiente y se establecen menciones de calidad para aquellas empresas que tengan unas buenas prácticas. Para poder acudir a esas menciones de calidad la empresa no debería contaminar más de 700 u. Plantee el programa matemático correspondiente a esta situación. h. Resuelva gráficamente el problema del apartado (g). Sugerencia: apóyese en la representación gráfica del apartado (d). 74. Una nueva agencia publicitaria con 10 empleados ha conseguido un contrato para promover un nuevo producto. Puede contratar anuncios en radio y televisión. La siguiente tabla proporciona los datos acerca del número de personas a las que llega según el tipo de soporte empleado, además del coste y la fuerza laboral empleada. a. b. c. d.
Por cada minuto de anuncio Radio
TV
Audiencia (millones de personas)
5
8
Coste (miles de u.m.)
8
24
Empleados asignados
1
2
El contrato prohibe a la agencia emplear más de 6 minutos de radio. La empresa desea saber cuántos minutos de radio y televisión debe utilizar para conseguir la mayor audiencia posible con el menor coste. a. Plantee el problema, definiendo todos sus elementos; b. ¿Existe una solución óptima? ¿Por qué? c. Existe alguna solución factible que no sea eficiente? d. Determine la matriz de pagos, y los puntos ideal y anti-ideal; e. Plantee el problema por el método de las restricciones, sin resolverlo; f. Obtenga la solución compromiso con la métrica L 1 , si para la agencia 1 2 ; g. Si la empresa considera deseable que los anuncios de radio y televisión lleguen al menos a 45 millones de personas y establece un presupuesto meta de 100.000 u.m., y considera además que la audiencia es el doble de importante que el coste, plantee el problema correspondiente, sin resolverlo; h. Si la solución al problema planteado en el apartado anterior es x 1 5 minutos; x 2 2,5 minutos; p 1 5 millones de personas y el resto de variables son cero, ¿es esta solución satisfactoria? ¿es eficiente? ¿es factible? ¿constituye una solución racional? 75. Una empresa produce dos componentes diferentes, que llamaremos A y B. Cada unidad de A consume 5 unidades de materia prima, necesita 2 horas de procesado y 3 de acabado, mientras que cada unidad de B consume 4 unidades de materia prima, necesita 3 horas de procesado y 2 de acabado. Los recursos disponibles son: 100 unidades de materia prima, 48 horas de procesado y 48 horas de acabado. Los beneficios que aportan a la empresa por unidad son de 1 euro para A y 3 euros para B. a. Si que la empresa desea maximizar el beneficio y la producción total, plantee el problema multiobjetivo asociado. b. Determine los óptimos individuales, la matriz de pagos y la región eficiente para este problema. c. La empresa desea en primer lugar que la producción total no sea inferior a 10 unidades, en segundo lugar que los beneficios de la empresa no sean inferiores a 12 euros y por último que no se produzcan más de 6 unidades del producto A. Plantee el modelo apropiado y obtenga, si es posible, soluciones al mismo. 76. Una tienda especializada en sistemas de seguridad monta dos tipos de sistemas de alarma para domicilios, sistemas de alarma de tipo X y sistemas de alarma de tipo Y (en adelante, cuando no se especifique, con SA nos referiremos a sistemas de alarma de cualquiera de los dos tipos). Los sistemas de alarma de tipo X (en adelante SAX) dejan un beneficio de 200 u.m., y necesitan la jornada de trabajo de dos empleados para montarlos en un día, y la jornada de trabajo de un técnico de seguridad. Los sistemas de alarma de tipo Y (en adelante SAY) dejan un beneficio de 125 u.m. y necesitan la jornada de un empleado para su montaje y tres técnicos de seguridad pueden supervisar dos SAY por día. Sabemos que no pueden instalarse más de diez SA al día y tampoco menos de siete SA al día, y que como mínimo instalarse tres SAX y dos SAY a diario. Así mismo, deben instalarse cada día como mínimo el doble de SAX que de SAY. Sabiendo que se desean maximizar los beneficios y minimizar el número de empleados y técnicos de seguridad, a. Plantee el problema, definiendo todos sus elementos;
¿Existe una solución óptima? ¿Por qué? Represente gráficamente el espacio de variables y el espacio de objetivos Determine la matriz de pagos, y los puntos ideal y anti-ideal; Plantee el problema por el método de las ponderaciones y obtenga con solver soluciones para distintos valores de las ponderaciones. f. Plantee el problema por el método de las restricciones y obtenga con solver soluciones para distintos valores de los parámetros. g. Obtenga la solución compromiso con la métrica L 1 si todos los objetivos son igualmente importantes. ¿Qué sucedería si el beneficio es tres veces más importante que tanto el número de días de los trabajadores como del de los técnicos? 77. Se quiere elegir el trazado de un tramo de autopista entre tres posibles (A, B y C) que se evalúan con base en el coste de ejecución, el impacto ambiental y el tiempo de ejecución. El decisor considera que el coste es dos veces más importante que el impacto ambiental y cinco veces más importante que el tiempo de ejecución. Además el impacto ambiental es tres veces más importante que el tiempo de ejecución. Desde el punto de vista del coste, el decisor considera que prefiere: seis veces el trazado A al trazado B, tres veces el trazado A al trazado C y dos veces el C al B. Desde el punto de vista del impacto ambiental, el decisor considera que prefiere: nueve veces el trazado B al A, dos veces el B al C y 5 veces el trazado C al A. Desde el punto de vista del tiempo de ejecución, el decisor considera que prefiere: dos veces el trazado B al A, cuatro veces el C al A y 2 veces el trazado C al B. b. c. d. e.
