"Año de la consolidación del Mar de Grau" Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Facultad de Ciencias Administrativas E.A.P E.A. P. de Administración Administ ración
Eercicios de a!licación Curso: erramientas !ara la toma de
decisiones Proesor: #icente Armas$ Ed%ar &nte%rantes: o Es!ino #idal$ Milus'a o Es!ino(a Alvarado$ Grecia o Goicoc)ea Castillo$ Mari*y o +amire( ,r*e%o(o$ Eder -ance #ilca -ury o -ance
/0 12
Este trabajo está dedicado a cada uno de nuestros padres, quienes nos acompañan a lo largo de nuestra carrera con su apoyo, y que siempre están prestos a ayudarnos.
Contenido INTRODUCCIÓN ...................................................................................................4 ........................................................... ........................................ ...................................... ..................5 5 MARCO TEÓRICO.......................................
A.
PROGRAMACIÓN LINEAL ........................................................................5
B.
MODE MO DELO LOS S DET DETER ERMI MINÍ NÍST STIC ICOS OS Y EST ESTOCÁ OCÁSTIC STICOS OS...................................12
C.
PRO PROGRAMA RAMACI CIÓ ÓN LINEA INEAL L EN SOLV OLVER....................................................13
EJERCICIOS PRÁCTICOS...................................................................................24 ........................................................... ........................................ ............................................ ........................ 24 CAPÍTULO 7.......................................
PROBLEMA 1..................................................................................................24 PROBLEMA 2..................................................................................................26 PROBLEMA 3..................................................................................................28 PROBLEMA 4..................................................................................................30 PROBLEMA 5..................................................................................................33 PROBLEMA 6..................................................................................................36 PROBLEMA 7..................................................................................................36 PROBLEMA ..................................................................................................36 PROBLEMA !..................................................................................................37 PROBLEMA 1"................................................................................................37 PROBLEMA 11................................................................................................37 PROBLEMA 12................................................................................................37 PROBLEMA 13................................................................................................37 PROBLEMA 14................................................................................................38 PROBLEMA 15................................................................................................39 PROBLEMA 17................................................................................................39 PROBLEMA 1................................................................................................39 PROBLEMA 1!................................................................................................39 PROBLEMA 2"................................................................................................40 PROBLEMA 21................................................................................................40 PROBLEMA 22................................................................................................40 PROBLEMA 23................................................................................................41 PROBLEMA 24................................................................................................44 PROBLEMA 25................................................................................................47
PROBLEMA 26................................................................................................47 PROBLEMA 31................................................................................................47 PROBLEMA 33................................................................................................47 PROBLEMA 34................................................................................................47 PROBLEMA 35................................................................................................49 PROBLEMA 44................................................................................................50 CAPÍTULO ....................................................................................................... 50 PROBLEMA 1..................................................................................................50 PROBLEMA 5..................................................................................................53 PROBLEMA 6..................................................................................................53 CAPÍTULO !....................................................................................................... 54 PROBLEMA 1..................................................................................................54 PROBLEMA 6..................................................................................................54 CONCLUSIONES................................................................................................57 RECOMENDACIONES.........................................................................................58 BIBLIOGRA#ÍA ...................................................................................................59
INTRODUCCIÓN La Programación Lineal es una pequeña parte de una teoría matemática que se ha consolidado en el siglo XX con el nombre de ptimi!ación. En general, se trata de un conjunto de t"cnicas matemáticas que intentan obtener el mayor pro#echo posible de sistemas económicos, sociales, tecnológicos, etc$ cuyo %uncionamiento se puede describir matemáticamente de modo adecuado. &na terminología establecida desde los primeros tiempos de la ptimi!ación, denominaba a la solución óptima un programa de acción a poner en práctica$ de ahí que la b'squeda de un tal programa de acción utili!ando m"todos matemáticos se llamase Programación (atemática. )eg'n las características de las %unciones del problema y de las #ariables se tienen di%erentes tipos de problemas de Programación (atemática. )i todas las %unciones del problema, objeti#o y restricciones son lineales, se tiene un problema de Programación Lineal. El algoritmo (icroso%t E*cel )ol#er es una poderosa herramienta para la optimi!ación y asignación e%iciente de recursos escasos +materia prima, tierra, trabajo, capital, capacidad gerencial, etc, así que es una herramienta muy importante para poder resol#er este tipo de problemas. -icha herramienta permite al ngeniero conocer el mejor uso de sus escasos recursos de tal manera que se cumplan las metas deseadas, tales como la ma*imi!ación de los bene%icios, o la minimi!ación de los costos. /erramienta )ol#er)ol#er es una herramienta para resol#er y optimi!ar ecuaciones mediante el uso de m"todos num"ricos. En este trabajo #amos a desarrollar tanto teoría como práctica, para así poder entender mejor este m"todo que #amos a aprender y lle#arlo a la #ida real para que como administradores podamos obtener mejores bene%icios en nuestras empresas.
MARCO TEÓRICO A. PROGRAMACIÓN LINEAL La Programación Lineal corresponde a un algoritmo a tra#"s del cual se resuel#en situaciones reales en las que se pretende identi%icar y resol#er di%icultades para aumentar la producti#idad respecto a los recursos +principalmente los limitados y costosos, aumentando así los bene%icios. El objeti#o primordial de la Programación Lineal es optimi!ar, es decir, ma*imi!ar o minimi!ar %unciones lineales en #arias #ariables reales con restricciones lineales +sistemas de inecuaciones lineales, optimi!ando una %unción objeti#o tambi"n lineal. Los resultados y el proceso de optimi!ación se con#ierten en un respaldo cuantitati#o de las decisiones %rente a las situaciones planteadas. -ecisiones en las que sería importante tener en cuenta di#ersos criterios administrati#os como0 Los hechos La e*periencia La intuición La autoridad • • • •
$. P%&'()*$*)+ *), -&*),& *) '%&%$-$/(0 ,()$, Para que un modelo de PL sea #álido, debe cumplir las propiedades siguientes0 •
•
Proporcionalidad.1)igni%ica que la contribución al #alor de la %unción objeti#o y el consumo o requerimiento de los recursos utili!ados, son proporcionales al #alor de cada #ariable de decisión. 2sí el t"rmino 3X4 es proporcional, porque contribuye al #alor de la %unción 5 con 3, 6, 47, etc. para los #alores 4, 7, 8, etc., respecti#amente, de X4. )e puede obser#ar el aumento constante y proporcional de 3 con%orme crece el #alor de X4. En contraste, el t"rmino no lineal 3X47, contribuye con 3, 49, 89, etc., para los mismos #alores 4, 7, 8, etc., respecti#amente, de la #ariable X4$ 2quí se obser#a que el aumento en la contribución no es constante y por lo tanto no hay proporcionalidad. 2diti#idad.1 )igni%ica que se puede #alorar la %unción objeti#o 5, así como tambi"n los recursos utili!ados, sumando las contribuciones de cada uno de los t"rminos que inter#ienen en la %unción 5 y en las restricciones.
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•
•
-i#isibilidad.1 )igni%ica que las #ariables de decisión son continuas y por lo tanto son aceptados #alores no enteros para ellas. La hipótesis de di#isibilidad más la restricción de no negati#idad, signi%ica que las #ariables de decisión pueden tener cualquier #alor que sea positi#o o por lo menos igual a cero. :ertidumbre.1 )igni%ica que los parámetros o constantes son estimados con certe!a, o sea, no inter#iene una %unción de probabilidad para obtenerlos El modelo de programación lineal es un caso especial de la programación matemática, pues debe cumplir que, tanto la %unción objeti#o como todas las %unciones de restricción, sean lineales.
. A',(/$/(&)+ '(/$+ *) ,$ '%&%$-$/(0 ,()$, 2parentemente, las estructuras de organi!ación complejas propias de la sociedad moderna han reconocido interesantes problemas de optimi!ación tales como la manera más e%iciente de manejar la economía de un país o tambi"n la me!cla de ingredientes de un %ertili!ante para satis%acer las especi%icaciones agrícolas a costo mínimo. 2mbos problemas utili!an el modelo de programación lineal +PL, para optimi!ar una %unción lineal condicionada a restricciones lineales, que es sencillo en su estructura matemática, pero poderoso por su gran adaptación a una amplia #ariedad de problemas. La programación lineal es una t"cnica matemática de resolución de problemas, su desarrollo representa una ayuda a los administradores para tomar decisiones en la asignación de recursos. 2 continuación aparecen algunas aplicaciones típicas de la PL0 •
•
•
&n %abricante desea desarrollar un programa de asignación en producción y una política de in#entario que satis%agan la demanda de #entas de periodos %uturos. 2sí se podría cumplir la demanda conmínimo costo total de producción y de in#entario. &n analista %inanciero debe seleccionar una cartera de in#ersiones a partir de una di#ersidad de alternati#as en acciones y bonos. )e debe establecer la cartera que ma*imice el rendimiento sobre la in#ersión asignada. &n administrador de mercadotecnia desea determinar la mejor manera de asignar un presupuesto de publicidad como radio, tele#isión, periódicos y re#istas. 2l gerente le
gustarí gustaría a determi determinar nar la combinac combinación ión de medios medios que ma*imi ma*imice ce la e%ecti e%ecti#id #idad ad de la publicidad. •
&na empresa tiene almacenes en #arias. ubicaciones en todo el país. Para un conjunto de demandas de sus productos por parte de sus clientes, la empresa desearía determinar cuánto debe asignar en embarques a cada uno de los almacenes y a cada cliente, de manera que los costos totales de transporte resulten mínimos.
Esta Estass apli aplicac cacio iones nes repre represe sent ntan an unas unas cuan cuanta tass situ situac acio iones nes en las las que que se ha utili! utili!ado ado con "*ito "*ito la program programaci ación ón lineal lineal,, pero ilustran ilustran su potenc potencial ial en la soluci solución ón de problemas. &n estudio detallado re#ela las características comunes de ellas. En el ejemplo 4, el %abricante desea minimi!ar costos$ en el 7, el analista %inanciero desea ma*imi!ar el rendimiento sobre la in#ersión$ en el 8, el gerente de mercadotecnia desea ma*imi!ar la e%ecti#idad de la publicidad, y en el ejemplo 3, la empresa desea minimi!ar los costos totales de transporte. En todos los problemas de programación lineal, el objeti#o es el má*imo o bien el mínimo de alguna cantidad en la acción de asignar recursos. Los Los prob proble lema mass de prog progra rama maci ción ón line lineal al se cara caract cter eri! i!an an,, adem además ás,, por por las las condiciones impuestas o restricciones de recursos, que limitan el grado en que se puede cumplir alg'n objeti#o. En el ejemplo 4, el %abricante está limitado por restricciones que requieren que la demanda de producto quede satis%echa y por restricciones respecto a la capacidad de producción. El problema de la cartera del analista %inanciero está limitado por la cantidad total de %ondos de in#ersión disponibles y las cantidades má*imas que se pueden in#ertir en cada acción o bono. La decisión en la selección de medios del gerente de mercadotecnia mercadotecnia,, está restringida restringida por un presupuesto de publicidad publicidad %ijo y por la disponibili disponibilidad dad de los #arios medios. En el problema de transportación, el programa de embarques de costo míni mínimo mo está está rest restri ring ngid ido o al sumi sumini nist stro ro de prod product uctos os disp dispon onib ible less en cada cada alma almac"n c"n.. La di#ersidad de condiciones mencionadas, es parte de lo que puede esperar aquel que decida en%ren en%renta tarr un probl problem ema, a, pues pues las las restr restric icci cione oness son otra otra caract caracterí eríst stic ica a gene genera rall en todo todo problema de programación lineal.
/. C0-& %)+&,)% %)+&,)% '%&,)-$ '%&,)-$ -)*($) -)*($) '%&% '%&%$-$/(0 $-$/(0 ,()$,8 ,()$,8 El primer paso para la resolución de un problema de programación lineal consiste en la identi%icación de los elementos básicos de un modelo matemático, estos son0 ;unción bjeti#o
El siguiente paso consiste en la determinación de los mismos, para lo cual proponemos seguir la siguiente metodología0
4. La %unc %unció ión n obj objet eti# i#o o La %unción objeti#o tiene una estrecha relación con la pregunta general que se desea responder. )í en un modelo resultasen distintas preguntas, la %unción objeti#o se relacionaría con la pregunta del ni#el superior, es decir, la pregunta %undamental. 2sí por ejemplo, si en una situación se desean minimi!ar los costos, es muy probable que la pregunta de mayor ni#el sea la que se relacione con aumentar la utilidad en lugar de un interrogante que busque hallar la manera de disminuir los costos.
7. Las #ari #ariabl ables es de dec decis isio ion n )imilar a la relación que e*iste entre objeti#os especí%icos y objeti#o general se comportan las #ariables de decisión respecto a la %unción objeti#o, puesto que estas se identi%ican partiendo de una serie de preguntas deri#adas de la pregunta %undamental. Las #ariables de decisión son en teoría %actores controlables del sistema que se está modelando, y como tal, estas pueden tomar di#ersos #alores posibles, de los cuales se precisa conocer su #alor óptimo, que contribuya con la consecución del objeti#o de la %unción general del problema.
8. Las Las restr restric icci cion ones es :uando hablamos de las restricciones en un problema de programación lineal, nos re%erimos a todo aquello que limita la libertad de los #alores que pueden tomar las #ariables de decisión. La mejor manera de hallarlas consiste en pensar en un caso hipot"tico en el que decidi"ramos darle un #alor in%inito a nuestras #ariables de decisión, por ejemplo, >qu" pasaría si en un problema que precisa ma*imi!ar sus utilidades en un sistema de producción de cal!ado decidi"ramos producir una cantidad in%inita de !apatos? )eguramente ahora nos surgirían m'ltiples interrogantes, como por ejemplo0 • • • • •
>:on cuánta materia prima cuento para producirlos? >:on cuánta mano de obra cuento para %abricarlos? >Pueden las instalaciones de mi empresa albergar tal cantidad de producto? >Podría mi %uer!a de mercadeo #ender todos los !apatos? >Puedo %inanciar tal empresa?
Pues bueno, entonces habríamos descubierto que nuestro sistema presenta una serie de limitantes, tanto %ísicas, como de conte*to, de tal manera que los #alores que en un momento dado podrían tomar nuestras #ariables de decisión se encuentran condicionados por una serie de restricciones.
*. E9)-',& E9)-',& *) %)+&,/(0 %)+&,/(0 *) '%&,)'%&,)-$ $ *) '%&%$-$/(0 '%&%$-$/(0 ,()$, El problema La %ábrica de /ilados y @ejidos A)2L252=A requiere %abricar dos tejidos de calidad di%erente @ y @B$ se dispone de CDD g de hilo a, 8DD g de hilo b y 4D6 g de hilo c. Para
obtener un metro de @ diariamente se necesitan 47C gr de a, 4CD gr de b y F7 gr de c$ para producir un metro de @B por día se necesitan 7DD gr de a, 4DD gr de b y 7F gr de c. El @ se #ende a G3DDD el metro y el @B se #ende a GCDDD el metro. )i se debe obtener el má*imo bene%icio, >cuántos metros de @ y @B se deben %abricar? El problema se recomienda leer en más de una ocasión para %acilitar el reconocimiento de las #ariables, además es muy recomendable la elaboración de tablas o matrices que %aciliten una mayor comprensión del mismo. •
P2) 40 A;=(&L2= EL P=HLE(2A Para reali!ar este paso partimos de la pregunta central del problema. >:uántos metros de @ y @B se deben %abricar? I la %ormulación es0 J-eterminar la cantidad de metros diarios de tejido tipo @ y @B a %abricar teniendo en cuenta el óptimo bene%icio respecto a la utilidadK.
•
P2) 70 -E@E=(2= L2) <2=2HLE) -E -E:)M Hasándonos en la %ormulación del problema nuestras #ariables de decisión son0 X@0 :antidad de metros diarios de tejido tipo @ a %abricar X@B0 :antidad de metros diarios de tejido tipo @B a %abricar
•
P2) 80 -E@E=(2= L2) =E)@=::E) -EL P=HLE(2 En este paso determinamos las %unciones que limitan el problema, estas están dadas por capacidad, disponibilidad, proporción, no negati#idad entre otras. -e disponibilidad de materia prima0 D,47CX@ N D,7DDX@B O CDD /ilo JaK D,4CDX@ N D,4DDX@B O 8DD /ilo JbK D,DF7X@ N D,D7FX@B O 4D6 /ilo JcK -e no negati#idad X@,X@B Q D
•
P2) 30 -E@E=(2= L2 ;&:M HRE@<
En este paso es de #ital importancia establecer el conte*to operati#o del problema para de esta %orma determinar si es de (a*imi!ación o (inimi!ación. En este caso abordamos el conte*to de bene%icio por ende lo ideal es (a*imi!ar. ;unción bjeti#o 5(2X 3DDDX@ N CDDDX@B •
P2) C0 =E)L
B. MODELOS DETERMINÍSTICOS Y ESTOCÁSTICOS $. M&*),& *))%-(+(/& &n (odelo determinístico es un modelo matemático donde las mismas entradas producirán in#ariablemente las mismas salidas, no contemplándose la e*istencia del a!ar ni el principio de incertidumbre. Está estrechamente relacionado con la creación de entornos simulados a tra#"s de simuladores para el estudio de situaciones hipot"ticas, o para crear
sistemas
de
gestión
que
permitan
disminuir
la
incertidumbre.
La inclusión de mayor complejidad en las relaciones con una cantidad mayor de #ariables y elementos ajenos al modelo determinístico hará posible que "ste se apro*ime a un modelo probabilístico o de en%oque estocástico. Por ejemplo, la plani%icación de una línea de producción, en cualquier proceso industrial, es posible reali!arla con la implementación de un sistema de gestión de procesos que incluya un modelo determinístico en el cual est"n cuanti%icadas las materias primas, la mano de obra, los tiempos de producción y los productos %inales asociados a cada proceso.
. M&*),&+ )+&/:+(/&+ &n modelo es estocástico cuando al menos una #ariable del mismo es tomada como un dato al a!ar y las relaciones entre #ariables se toman por medio de %unciones probabilísticas. )ir#en por lo general para reali!ar grandes series de muestreos, quitan mucho tiempo en el computador son muy utili!ados en in#estigaciones cientí%icas. Para lograr modelar correctamente un proceso estocástico es necesario comprender numerosos conceptos de probabilidad y estadística. -entro del conjunto de procesos estocásticos se encuentran, por ejemplo, el tiempo de %uncionamiento de una máquina entre a#ería y a#ería, su tiempo de reparación y el tiempo que necesita un operador humano para reali!ar una determinada operación.
C. PROGRAMACIÓN LINEAL EN SOLVER )ol#er es una herramienta que %orma parte de una serie de comandos a #eces denominados de Aanálisis I siA. :on )ol#er, puede buscarse el #alor óptimo para una %órmula de celda, denominada celda objeti#o, en una hoja de cálculo. )ol#er %unciona en un grupo de celdas que est"n relacionadas, directa o indirectamente, con la %órmula de la celda objeti#o. )ol#er ajusta los #alores en las celdas cambiantes que se especi%iquen, denominadas celdas ajustables, para generar el resultado especi%icado en la %órmula de la celda objeti#o. Pueden aplicarse restricciones para restringir los #alores que puede utili!ar )ol#er en el modelo y las restricciones pueden hacer re%erencia a otras celdas a las que a%ecte la %órmula de la celda objeti#o, lo cual lo constituyen en una herramienta adecuada para solucionar problemas de programación lineal, y programación lineal entera.
$. A,&%(-&+ ; -<&*&+ (,(=$*&+ '&% +&,)%
La herramienta (icroso%t E*cel )ol#er utili!a el código de optimi!ación no lineal +W=W7 desarrollado por la &ni#ersidad Leon Lasdon de 2ustin +@e*as y la &ni#ersidad 2llan Saren +:le#eland. Los problemas lineales y enteros utili!an el ("todo )imple* con límites en las #ariables y el m"todo de rami%icación y límite +m"todo de branch and bound, implantado por Rohn Satson y -an ;ylstra de ;rontline )ystems, nc. El m"todo de branch and bound corresponde al mismo m"todo utili!ado por SinV)H para la solución de problemas de programación lineal entera yo que utilicen #ariables binarias.
. C0-& >$(,($% ), /&-',)-)& +&,)% *) )?/),8 2quí se encuentra la e*plicación acerca de cómo habilitar este complemento para las #ersiones de (icroso%t E*cel 7DDF +i!quierda y 7D4D +derecha. ("todo para (icroso%t E*cel 7DDF0 El primer paso consiste en dirigirse al botón de A%%iceA, y seleccionar la opción Apciones de E*celA0
("todo para (icroso%t E*cel 7D4D0 El primer paso consiste en dirigirse a la pestaña A2rchi#oA, dirigirse a la opción A2yudaA y seleccionar la opción ApcionesA0
Luego, se abrirá una #entana emergente de Apciones de E*celA, en ella #amos a la opción A:omplementosA +ubicada en la barra lateral i!quierda. Ia en complementos, nos dirigimos a la opción A2dministrar0 :omplementos de E*celA y damos clic en botón A=A0
A:omplementosA +ubicada en la barra lateral i!quierda. Ia en complementos, nos dirigimos a la opción A2dministrar0 :omplementos de E*celA y damos clic en botón A=A0
Luego se abrirá una pequeña #entana emergente, en ella se podrán obser#ar #arios complementos junto con una casilla de #eri%icación cada uno. 2cti#amos la casilla de #eri%icación de )ol#er y damos clic en A2ceptarA0
Luego, se abrirá una #entana emergente de Apciones de E*celA, en ella #amos a la opción
Luego se abrirá una pequeña #entana emergente, en ella se podrán obser#ar #arios complementos junto con una casilla de #eri%icación cada uno. 2cti#amos la casilla de #eri%icación de )ol#er y damos clic en A2ceptarA0
Investigación Operativa I
Programación Lineal
&na #e! se ha habilitado el complemento, para ambas #ersiones, )ol#er se ubicará en la pestaña de A-atosA.
/. S&,/(0 *) '%&,)-$ *) '%&%$-$/(0 ,()$, /& +&,)% 2l igual que para cualquier otro m"todo de resolución, el primer paso para resol#er un problema de programación lineal +PL consiste en el modelamiento matemático, y es en esta %ase en la que el pro%esional de ngeniería ndustrial debe desarrollar su mayor habilidad y destre!a. Los pasos para resol#er un problema de PL se encuentran en el módulo de programación lineal. )in embargo, dada la inter%a! de E*cel, el modelamiento se hace más simple, siempre y cuando nos caractericemos por organi!ar muy bien la in%ormación. •
El P=HLE(2 &n herrero con 6D g. de acero y 47D g. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere #ender, respecti#amente a 7D.DDD y 4C.DDD pesos cada una para sacar el má*imo bene%icio. Para la de paseo empleará 4 g. -e acero y 8 g. de aluminio, y para la de montaña 7 g. de ambos metales. >:uántas bicicletas de paseo y de montaña deberá %abricar para ma*imi!ar las utilidades?
•
EL (-EL (2@E(Y@:
B(/(/,)$ *) '$+)& @? B(/(/,)$ *) -&$$ @; D(+'&((,(*$*
A/)%& 4 Zg 7 Zg 6D Zg
A,-((& 8 Zg 7 Zg 47D Zg
P%)/(& *) V)$ G 7D.DDD G 4C.DDD
-eclaración de #ariables0 * :antidad de bicicletas de paseo a producir y :antidad de bicicletas de montaña a producir =estricciones de capacidad 2luminio0 * N 7y O 6D 2cero0 8* N 7y O 47D ;unción bjeti#o 5ma* 7DDDD* N 4CDDDy
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Investigación Operativa I
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Programación Lineal
W=E)2- L) -2@) 2 EX:EL @al como se mencionó, la importancia de una correcta organi!ación de la in%ormación es #ital, proponemos la siguiente plantilla para ingresar los datos de nuestro problema0
El siguiente paso corresponde a registrar la in%ormación en la plantilla, de acuerdo a los datos que tenemos en el problema0
El siguiente paso consiste en %ormular la plantilla, para ello debemos considerar >qu" pasaría si cambiaran las #ariables de decisión?... Pues, en caso tal de que las #ariables su%rieran cambios se alteraría la contribución total, y el in#entario de recursos. Por ello, debemos %ormular en consecuencia0
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Investigación Operativa I
Programación Lineal
2hora que ya tenemos nuestra plantilla %ormulada, el siguiente paso consiste en utili!ar )ol#er para resol#er el modelo, para ello, #amos a la pestaña -atos +En cualquier #ersión de %%ice, y seleccionamos el complemento )ol#er0
&na #e! iniciemos )ol#er se abrirá una #entana emergente llamada AParámetros de )ol#erA, en ella como primera medida seleccionaremos nuestra celda objeti#o +:ontribución @otal y seleccionaremos el criterio (a*imi!ar0
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Investigación Operativa I
Programación Lineal
El siguiente paso, es indicarle a )ol#er que debe alcan!ar el má*imo #alor para la celda objeti#o mediante la #ariación de las siguientes celdas +:ambiando las celdas, es decir, le indicaremos cuales son las #ariables de decisión0
El siguiente paso consiste en asignarle las restricciones a las que el modelo está sujeto, las cuales son restricciones de disponibilidad de recursos0
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Programación Lineal
Lo que nos muestra la imagen anterior es la %orma de indicarle la restricción a )ol#er, para que el in#entario usado sea menor o igual al in#entario disponible. -e igual %orma debe hacerse para el recurso de 2luminio.
La siguiente restricción es la de no negati#idad, es decir, que las #ariables de decisión no puedan tomar #alores menores que cero.
)i quisi"ramos resol#er el modelo tal cual como está pudi"semos hacerlo, y obtendríamos qui!á una respuesta que distaría de su aplicación práctica, dado que es probable que la respuesta nos de #ariables continuas, y en la práctica #ender D,9 bicicletas es un poco complicado. Por tal ra!ón, agregaremos una restricción que hace que el ejercicio se resuel#a mediante programación lineal entera, indicando que las #ariables de decisión deban ser enteras0
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Programación Lineal
/echo esto, damos clic en 2ceptar y en =esol#er... Podemos obser#ar como las #ariables de decisión, las restricciones +in#entario usado y la contribución total +celda objeti#o han tomado #alores, estos son los #alores óptimos seg'n el modelo %ormulado. 2hora nos aparecerá un cuadro de diálogo que nos preguntará si deseamos utili!ar la solución de )ol#er y unos in%ormes que debemos seleccionar para obtener una tabla resumen de la respuesta y un análisis de sensibilidad que se insertarán como hojas al archi#o de E*cel0
El in%orme de sensibilidad arrojado por )ol#er es mucho más básico que el que nos puede proporcionar SinV)H, sin embargo destacamos la in%ormación re%erente al A(ultiplicador de LagrangeA que corresponde al A)hadoU Price de SinV)HA conocido como el precio sombra, es decir, el cambio marginal de la %unción objeti#o cuando el #alor del lado derecho de la restricción aumenta en una unidad, en este caso, por cada Zg de 2cero adicional que dispongamos, la %unción objeti#o aumentaría en G 47CD.
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EJERCICIOS PRÁCTICOS CAPÍTULO 7 PROBLEMA 1 D) ,$+ %),$/(&)+ -$)-:(/$+ +(())+ /:,)+ '&*%$ )/&%$%+) ) -&*),& *) '%&%$-$/(&)+ ,()$,)+ ; /:,)+ &8 P$%$ ,$+ %),$/(&)+ ) +& ($/)'$,)+ '$%$ ,&+ '%&%$-$+ ,()$,)+ )?',() ,$+ /$+$+.
$. 1A F 2B 7" E+$ ()/$/(0 & *)+($,*$* +( ')*) )/&%$%+) ) -&*),& *) '%&%$-$/(0 ,)$ ;$ ) /-',) /& ,&+ %)(+(&+ *) /&$% /& *&+ $%($,)+ ; ) +)$ $ ()/$/(0. . 2A H 2B 5" N& +) )/)%$ ) -&*),& *) '%&%$-$/(0 ,()$, ;$ ) &,($&%($-)) *)) +)% ()/$/(&)+ ; & )/$/(&)+. /. 1A H 2B2 1" N& +) )/)%$ ) -&*),& *) '%&%$-$/(0 ,()$, ;$ ) &,($&%($-)) *)) +)% $ ()/$/(0 ,()$, )+ *)/(% ), B $, /$*%$*& & *))%$ )+$%. *. 32 A F 2B 15 E+$ ()/$/(0 & *)+($,*$* +( ')*) )/&%$%+) ) -&*),& *) '%&%$-$/(0 ,)$ ;$ ) /-',) /& ,&+ %)(+(&+ *) /&$% /& *&+ $%($,)+ ; ) +)$ $ ()/$/(0.
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). 1A F 1B 6 N& +) )/)%$ ) -&*),& *) '%&%$-$/(0 ,()$, ;$ ) &,($&%($-)) *)) +)% ()/$/(&)+ ; & )/$/(&)+. K. 2A F 5B F 1AB 25 N& +) )/)%$ ) -&*),& *) '%&%$-$/(0 ,()$, ;$ ) &,($&%($-)) *)) +)% $ ()/$/(0 ,()$, )+ *)/(% ), AB $, & *))%$ )+$%.
PROBLEMA 2 E/)%) ,$+ %),$/(&)+ ) +$(+K$/) ,$+ %)+%(//(&)+ +(())+ $. 4A F 2B 16 P$%$ M:? A F B DESPEJANDO 4A F 2B 16 B 16 H 4A2 REEMPLAANDO A" B A4
B"
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24
Investigación Operativa I
Programación Lineal
Vértices
● (0, 8) ● (4, 0) ● (0, 0)
Líneas
4 x + 2 y = 16 x = 0
Valor de objetivo 8 Maximum
4 x + 2 y = 16 y = 0
4
x = 0
0
y = 0
. 4A F 2B 16 P$%$ M A F B DESPEJANDO 4A F 2B 16 B 16 H 4A2 REEMPLAANDO A" B A4
B"
Osal!o Pa"l #iva!eneira
P$gina%
25
Investigación Operativa I
Vértices
● (0, 8) ● (4, 0)
Programación Lineal
Líneas 4 x + 2 y = 16 x = 0
4 x + 2 y = 16 y = 0
Valor de objetivos
8 4 Minimum
/. 4A F 2B 16 E+ $ ($,*$* )+ *)/(% & ')*) +)% %)+),$ -)*($) ,$ >)%%$-()$ *) '%&%$-$/(0 ,()$, ,,$-$*$ +&,)%.
PROBLEMA 3 T%$/) $ %:K(/$ +)'$%$*$ *) /$*$ $ *) ,$+ %)+%(//(&)+ +(())+ *&*) -)+%) ,$+ %)/$+ *) %)+%(//(0 ; ,$+ +&,/(&)+ ) +$(+K$/) $. 3A F 2B 1 P$%$ M:? A F B DESPEJANDO 3A F 2B 1 B 1 H 3A2
Osal!o Pa"l #iva!eneira
P$gina%
26
Investigación Operativa I
Programación Lineal
REEMPLAANDO A" B A6
B"
Vértices
● (0, 9) ● (6, 0) ● (0, 0)
Líneas 3 x + 2 y = 18 x = 0
Valor de Objetivo Maximum
3 x + 2 y = 18 y = 0
6
x = 0
0
y = 0
. 12A F B 4" P$%$ M:? A F B DESPEJANDO 3A F 2B 1 B 1 H 3A2 REEMPLAANDO A" B A6
B"
Osal!o Pa"l #iva!eneira
P$gina%
27
Investigación Operativa I
Vértices
● (0, 60) ● (40, 0)
Programación Lineal
Valor de Objetivo
Líneas 12 x + 8 y = 480 x = 0
60
12 x + 8 y = 480
40 Minimum
y = 0
/. 5A F 1"B 2"" E+ $ ($,*$* )+ *)/(% & ')*) +)% %)+),$ -)*($) ,$ >)%%$-()$ *) '%&%$-$/(0 ,()$, ,,$-$*$ +&,)%.
PROBLEMA 4 T%$/) $ %:K(/$ +)'$%$*$ *) /$*$ $ *) ,$+ %)+%(//(&)+ +(())+ *&*) -)+%) ,$+ %)/$+ *) %)+%(//(0 ; ,$+ +&,/(&)+ ) +$(+K$/) $. 3A4B6" P$%$ M:? A F B DESPEJANDO
Osal!o Pa"l #iva!eneira
P$gina%
28
Investigación Operativa I
Programación Lineal
3A 4B 6" B 3A4 H 6"4 B 3A4 H 15 REEMPLAANDO A 2" B"
Vértice
Rectas tras vértice Valor del objetivo 3 x ! 4 y = 60 20 ● (20, 0) y = 0 ***Rei!n viable no atada "" #o $a% &na sol&ci!n !'tia***
. 6AF5B6" P$%$ M:? A F B DESPEJANDO 6A F 5B 6" B 6A5 F 6"5 B 6A5 F 12 REEMPLAANDO A" B 12 A" B"
Osal!o Pa"l #iva!eneira
P$gina%
29
Investigación Operativa I
Programación Lineal
Vértice
Rectas tras vértice Valor del objetivo !6 x + " y = 60 12 ● (0, 2) x = 0 x = 0 0 ● (0, 0) y = 0 ***Rei!n viable no atada "" #o $a% &na sol&ci!n !'tia***
/. 5A2B" P$%$ M:? A F B DESPEJANDO 5A 2B " B 5A2 REEMPLAANDO A" B"
Osal!o Pa"l #iva!eneira
P$gina%
30
Investigación Operativa I
Programación Lineal
Vértice
Rectas tras vértice Valor del objetivo " x ! 2 y = 0 0 ● (0, 0) x = 0 ***Rei!n viable no atada "" #o $a% &na sol&ci!n !'tia***
PROBLEMA 5 T%$/) $ %:K(/$ +)'$%$*$ *) /$*$ $ *) ,$+ %)+%(//(&)+ +(())+ *&*) -)+%) ,$+ %)/$+ *) %)+%(//(0 ; ,$+ +&,/(&)+ ) +$(+K$/) $. A".25 @AFB P$%$ M:? A F B DESPEJANDO A ".25A F ".25B B ".75A ".25 B 3A REEMPLAANDO A" B"
Osal!o Pa"l #iva!eneira
P$gina%
31
Investigación Operativa I
Programación Lineal
Vértice
Rectas tras vértice Valor del objetivo 0#$" x ! 0#2" y = 0 0 ● (0, 0) x = 0 ***Rei!n viable no atada "" #o $a% &na sol&ci!n !'tia***
. A".1" @AFB P$%$ M:? A F B DESPEJANDO A ".1"A F ".1"B B ".!"A ".1" B !A REEMPLAANDO A" B"
Osal!o Pa"l #iva!eneira
P$gina%
32
Investigación Operativa I
Programación Lineal
Vértice
Rectas tras vértice Valor del objetivo 0# x ! 0#1 y = 0 0 ● (0, 0) x = 0 ***Rei!n viable no atada "" #o $a% &na sol&ci!n !'tia***
/. A".5" @AFB P$%$ M:? A F B DESPEJANDO A ".5"A F ".5"B B ".5"A ".5" BA REEMPLAANDO A" B"
Osal!o Pa"l #iva!eneira
P$gina%
33
Investigación Operativa I
Programación Lineal
Vértice
Rectas tras vértice Valor del objetivo 0#" x ! 0#" y = 0 0 ● (0, 0) x = 0 ***Rei!n viable no atada "" #o $a% &na sol&ci!n !'tia***
PROBLEMA 6 T%)+ K/(&)+ &9)(& '$%$ '%&,)-$+ *) '%&%$-$/(0 ,()$, +& 7A F 1"B 6A F 4B ; 4A F 7B. M)+%) ,$ %:K(/$ *) /$*$ $ '$%$ ,&+ $,&%)+ *) ,$ K/(0 &9)(& ($,)+ $ 42".
PROBLEMA 7 I*)(K() ,$ %)(0 K$/(,) '$%$ ), /&9& *) %)+%(//(&)+ +(()) ".5A F ".25B 3" 1A F 5B 25" ".25A F ".5B 5" A B "
PROBLEMA PROBLEMA !
Osal!o Pa"l #iva!eneira
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34
Investigación Operativa I
Programación Lineal
PROBLEMA 1"
PROBLEMA 11 11. #es"elva el programa lineal sig"iente me!iante el proce!imiento !e sol"ción gr$&ca% 'a( 5)*5+ s.a. 1 ),100 1+, 80 2 )* 4+, 400 )- +0
#3rtice A 40$ 506
7 40$ 06
Osal!o Pa"l #iva!eneira
+ectas tras v3rtice +,80 (/0 (/0 y / 0
#alor del o*etivo 400
400
P$gina%
35
Investigación Operativa I
C 4100$ 06
8 4100$ 906
E 40$ 506
Programación Lineal
2 / 100 y = 0
500
x +2y / 200
750
x = 100
m$(ima
x +2y / 200 y / 80
600
PROBLEMA 12 onsi!ere el prolema !e programación lineal sig"iente% 'a( 3(*3 s.a. 2 (*4 ,12 6 (* 4 ,24 (- 0 a. nc"entre la sol"ción óptima me!iante el proce!imiento !e sol"ción gr$&ca . i la "nción oetivo se camia a 2)*6+- c"$l ser$ la sol"ción óptima
#3rtice
+ectas tras v3rtice
A 40$ <6
;>0
Osal!o Pa"l #iva!eneira
#alor del o*etivo Ma;
Ma; /A= 27
15
?
P$gina%
36
Investigación Operativa I
; =/y > 2 7 40$ 06
C 4$ 06
8 4<$ 1.96
;>0 y>0 <; = /y > 1/ y>0 ; =/y > 2 <; =/y > 1/
Programación Lineal
M@;ima 0
0
5
1/
19
1<.9 m@;ima
c. "$ntos p"ntos e(tremos a "$les son los valores !e x y en ca!a p"nto e(tremo olo e(iste "n p"nto e(terno- el c"al se !enomina P"nto : tiene como coor!ena!as ;3< 1.5= en c"al signi&ca% l valor !e >% 3 l valor !e ?% 1.5
PROBLEMA 13 C&+(*)%) ), '%&%$-$ ,()$, +(()) M$? 1 A F 2 B +.$. 1A5 1B 4 2 A F 2 B 12 A B " $. $,,$% ,$ +&,/(0 0'(-$
Osal!o Pa"l #iva!eneira
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37
Investigación Operativa I
Programación Lineal
R'$ En la solución óptima, re%erida a una ma*imi!ación tenemos 4D como #alor %inal de la %unción objeti#o, siendo 27 y H3
PROBLEMA 14 P$% I/. )+ '))& K$%(/$) *) )('& ; -$)%($, *) &,K. E, *(+%((*&% *) P$% /%)) ) )?(+) -)%/$*& $& '$%$ $ &,+$ *) &,K *) '%)/(& -&*)%$*& ,,$-$*$ -&*),& )+:*$% /&-& '$%$ $ &,+$ *) &,K *) '%)/(& $,& ,,$-$*$ -&*),& *) ,9&. E, *(+%((*&% ()) $$ /&K($=$ ) ), -)%/$*& ) +( P$% ')*) K$%(/$% ,$+ &,+$+ $ '%)/(& /&-')((& /&-'%$%: &*$+ ,$+ &,+$+ ) P$% K$%() *%$) ,&+ %)+ -)+)+ +(())+. U $:,(+(+ *)$,,$*& *) ,&+ %))%(-()&+ *) -$K$/%$ *(& /&-& %)+,$*& ,$ $,$ +(()) ,$ /$, -)+%$ ,&+ %))%(-()&+ *) ()-'& *) '%&*//(0 '$%$ ,$+ /$%& &')%$/(&)+ *) -$K$/%$ %))%(*$+ ; ,$ )+(-$/(0 ) >(=& ), *)'$%$-)& *) /&$(,(*$* *) ,$ /&%(/(0 $ ,$+ (,(*$*)+ '&% &,+$
Osal!o Pa"l #iva!eneira
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38
Investigación Operativa I
Programación Lineal
E, *(%)/&% *) -$K$/%$ )+(-$ ) +) *(+'&*%: *) 63" >&%$+ *) /&%) ; )(*& 6"" >&%$+ *) /&+%$ 7" >&%$+ *) $/$$*& ; 135 >&%$+ *) (+')//(0 ; )-'$) '$%$ ,$ '%&*//(0 *) ,$+ &,+$+ *) &,K *%$) ,&+ %)+ -)+)+ +(())+. $. S( ,$ )-'%)+$ ()%) -$?(-(=$% ,$ /&%(/(0 &$, $ ,$+ (,(*$*)+ /:$+ &,+$+ *) /$*$ -&*),& *)) K$%(/$%8 . < /&%(/(0 $ ,$+ (,(*$*)+ ')*) &))% P$% /& )+$+ /$(*$*)+ *) '%&*//(08 /. C:$+ >&%$+ *) ()-'& *) '%&*//(0 +) '%&%$-$%: '$%$ /$*$ &')%$/(08 *. C:, )+ ), ()-'& *) >&,%$ ) /$*$ &')%$/(08
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
PROBLEMA 1! *, y[ D a. Escriba este problema en %orma estándar. b. =esuel#a el problema utili!ando el procedimiento de solución grá%ica. c. >:uáles son los #alores de las tres #ariables de holgura en la solución óptima? )olución0 ;ormulación del modelo0
Osal!o Pa"l #iva!eneira
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39
Investigación Operativa I
\
Programación Lineal
-e%inición de #ariables
X #ariable de decisión I #ariable de decisión \
;unción bjeti#o
(a* 5 8* N 3y \
=estricciones
14*N7y]6 4*N7y]47 7*N4y]49 \
o negati#idad
*, y[ D
Osal!o Pa"l #iva!eneira
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40
Investigación Operativa I
Programación Lineal
b. =esuel#a el problema utili!ando el procedimiento de solución grá%ica.
R)/$+ %$+ <%(/)
V<%(/) A @" 4 B @" " C @ " D @6.67 2.67 E @2 5
;" ? F2; ?" y "
2?F ; 16 x = 0
V$,&% *), &9)(& M$? 3?F4; 16 " 24
x +2y 12 2x +y = 16 -x +2y = 8 x +2y 12
3".6! -:?(-$ 26
PROBLEMA 2"
Osal!o Pa"l #iva!eneira
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41
Investigación Operativa I
Programación Lineal
7D. Para el programa lineal (a* 8 *N 7 y ).a. *Ny[3 8 *N3y]73 * [7 *1y]D *, y[D a. Escriba este problema en %orma estándar. b. =esuel#a el problema. c. >:uáles son los #alores de las #ariables de holgura y de e*cedente en la solución óptima? )olución0 ;ormulación del modelo0 \
-e%inición de #ariables
X #ariable de decisión I #ariable de decisión \
;unción bjeti#o
(a* 5 8* N 7y \
=estricciones
1 *Ny[3 8 *N3y]73 * [7 *1y]D *, y[D \
o negati#idad
Osal!o Pa"l #iva!eneira
P$gina%
42
Investigación Operativa I
Programación Lineal
*, y[ D
V%rti&e ,2- 4#".
'e&tas tras v%rti&e
Valor del objetivo Max() 3x+2*
x= 2 3x + 4* = 24
24 m/xima
x+* = 4 ,2- 2.
x= 2
10
x+y =0
,3#43- 3#43.
x+* =0 3x + 4* = 24
Osal!o Pa"l #iva!eneira
1$#1"
P$gina%
43
Investigación Operativa I Programación Lineal
PROBLEMA 21 C&+(*)%) ), '%&%$-$ ,()$, +(()) M$? 2 A F3 B +.. 5 AF5 B4"" R)+%(//(0 1 1AF1 B1" R)+%(//(0 2 1 AF3 B!" R)+%(//(0 3 A B" L$ K(%$ 7.23 -)+%$ $ %:K( /$ *) ,$+ %)/$+ *) %)+%(//(0. $. C&,&) -)%& @1 2 & 3 $, ,$*& *) /$*$ %)/$ *) %)+%(//(0 '$%$ (*)(K(/$% $ C:, %)+%(//(0 %)'%)+)$. . S&-%)) ,$ %)(0 K$/(,) *) ,$ %:K(/$.
@omson.
Osal!o Pa"l #iva!eneira P$gina% 44
Investigación Operativa I Programación Lineal
R)/$+ %$+ <%(/)
V<%(/) A @2 4.5 B @2 2 C @3.43 3.43
? 2 3? F 4; 24 ?F; 4 ? 2 x+y " ?F; " 3? F 4; 24
PROBLEMA 22 M:? 5A F 4U +.$ 12A F 6U 2"4"" !A F 15U 25""" 6A F 6U 12""" A U "
@omson.
Osal!o Pa"l #iva!eneira P$gina% 45
V$,&% *), &9)(& M$? 3?F2; 24 -$?(-$ 1" 17.15
Investigación Operativa I Programación Lineal
R'$ En la solución óptima, re%erida a una ma*imi!ación tenemos ^3DD como #alor %inal de la %unción objeti#o, siendo 243DD y 9DD3
PROBLEMA 23 E-$++; M&&%/;/,)+ @EM K$%(/$ *&+ -&&/(/,)$+ ,()%$+ *(+)$*$+ '$%$ -$)9& K:/(, ; +)%&. E, -&*),& ER(*)% ()) -&&% )& ; ')%K(, $9& ) K$/(,($ ), )(,(%(&. E, -&*),& L$*;S'&% )+ ,()%$-)) -$;&% (,(=$ -&&% -:+ %$*(/(&$, ; +) *(+)0 )+')/($,-)) '$%$ ,$+ -9)%)+ -&&/(/,(+$+. E-$++; K:%(/$ ,&+ -&&%)+ '$%$ $-&+ -&*),&+ ) + ',$$ *) D)+ M&()+ I&$. C$*$ -&&% *) ER(*)% %)()%) 6 >&%$+ *) ()-'& *) -$K$/%$ ; /$*$ -&&% L$*;S'&% %)()%) 3 >&%$+. L$ ',$$ *) D)+ M&()+ ()) 21"" >&%$+ *) ()-'& *) -$K$/%$ *(+'&(,)+ '$%$ ), +(()) ')%(&*& *) '%&*//(0. E, '%&))*&% *) /$*%&+ *) -&&/(/,)$ *) ,$ )-'%)+$ ')*) +-((+%$% &*&+ ,&+ /$*%&+ '$%$ ,$ ER(*)% ) +&,(/() ,$ )-'%)+$. @omson.
Osal!o Pa"l #iva!eneira P$gina% 46
Investigación Operativa I Programación Lineal
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ÓN DE LAS VARIABLES DE DECISIÓN (otocicleta E51=ider (otocicleta Lady1)port SEGUNDO PASO IDENTI#ICACIÓN DE LA #UNCIÓN OBJETIVO btener el má*imo bene%icio. (á*0 (otocicleta E51=ider _ 73DD N (otocicleta Lady1)port _ 46DD TERCER PASO IDENTI#ICACIÓN DE LAS RESTRICCIONES -isponibilidad de horas de manu%actura /oras de manu%actura de E51=ider_9 N /oras de manu%actura de Lady1 )port_8 ] 74DD horas -isponibilidad de horas de ensamblaje /oras de ensamblaje de E51=ider_7 N /oras de ensamblaje de Lady1 )port_7,C ] 4DDD horas -isponibilidad de cuadros de Lady1)port :uadros Lady1)port ] 76D
RESUMIENDO @omson.
Osal!o Pa"l #iva!eneira P$gina% 47
Investigación Operativa I Programación Lineal
(á*0 (otocicleta E51=ider _ 73DD N (otocicleta Lady1)port _ 46DD /oras de manu%actura de E51=ider_9 N /oras de manu%actura de Lady1)port_8 ] 74DD horas /oras de ensamblaje de E51=ider_7 N /oras de ensamblaje de Lady1)port_7,C ] 4DDD horas :uadros Lady1)port ] 76D (á*imo bene%icio (á*5 (otocicleta E51=ider X (otocicleta Lady1)port I
M:? 24"" F 1""Y S9)& $ 6 F 3Y 21"" 2 F 25Y 1""" 2" " Y " . R)+),$ ), '%&,)-$ %:K(/$-)). C:, )+ ,$ +&,/(0 0'(-$8 Vértice
● (20, 200) ● (280, 40) ● (0, 400) ● (280, 0) ● (0, 0)
@omson.
Osal!o Pa"l #iva!eneira P$gina% 48
Rectas tras vértice 6 x + 3 y = 2100 2 x + 2#" y = 1000 6 x + 3 y = 2100 x = 280 2 x + 2#" y = 1000 x = 0 x = 280 y = 0 x = 0 y = 0
Valor del objetivo 60000 M/ximo
24000 $20000 6$2000 0
Investigación Operativa I Programación Lineal
/. C:,)+ %)+%(//(&)+ +& /&K($)+8 Vértice
● (20, 200) ● (280, 40) ● (0, 400) ● (280, 0) ● (0, 0)
Rectas tras vértice 6 x + 3 y = 2100 2 x + 2#" y = 1000 6 x + 3 y = 2100 x = 280 2 x + 2#" y = 1000 x = 0 x = 280 y = 0 x = 0 y = 0
Valor del objetivo 60000 M/ximo
24000 $20000 6$2000 0
PROBLEMA 24 ),+& S'&%( E('-) I/. K$%(/$ *&+ ('&+ *(K)%))+ *) $)+ *) )(+&, -&*),& %),$% ; -&*),& '$%$ /$/>)%. L$ )-'%)+$ *(+'&) *) !"" >&%$+ *) ()-'& *) '%&*//(0 ) + *)'$%$-)& *) /&%) ; /&K)//(0 3"" >&%$+ ) + *)'$%$-)& *) $/$$*&+ ; 1"" >&%$+ ) + *)'$%$-)& *) )-'$) ; )&. L&+ %))%(-()&+ *) ()-'& *) '%&*//(0 ; ,$ /&%(/(0 $ ,$+ (,(*$*)+ '&% $) +) '%&'&%/(&$ ) ,$ $,$ +(())
@omson.
Osal!o Pa"l #iva!eneira P$gina% 49
Investigación Operativa I Programación Lineal
S'&()*& ) ,$ )-'%)+$ )+: ()%)+$*$ ) -$?(-(=$% ,$ /&%(/(0 &$, $ ,$+ (,(*$*)+ %)+'&*$ ,& +(()) $. C:, )+ ), -&*),& *) '%&%$-$/(0 ,()$, '$%$ )+) '%&,)-$8
PRIMER PASO IDENTI#ICACIÓN DE LAS VARIABLES DE DECISIÓN 'mero de guantes modelo regular 'mero de guantes modelo para catcher
SEGUNDO PASO IDENTI#ICACIÓN DE LA #UNCIÓN OBJETIVO (a*imi!ar las utilidades obtenidas por la producción de los guantes (in0 o de guantes modelo regular _C N o de guantes modelo para catcher _6
TERCER PASO IDENTI#ICACIÓN DE LAS RESTRICCIONES :orte y con%ección0 o de guantes modelo regular _4 N o de guantes modelo para catcher _4.C ] ^DD
•
2cabado0 o de guantes modelo regular _D.C N o de guantes modelo para catcher _D.88 ] 8DD
•
Empaque y en#ío o de guantes modelo regular _D.47C N o de guantes modelo para catcher _D.7C ] 4DD
RESUMIENDO @omson.
Osal!o Pa"l #iva!eneira P$gina% 50
Investigación Operativa I Programación Lineal
(in0 o de guantes modelo regular _C N o de guantes modelo para catcher _6 o de guantes modelo regular _4 N o de guantes modelo para catcher _4.C ] ^DD o de guantes modelo regular _D.C N o de guantes modelo para catcher _D.88 ] 8DD o de guantes modelo regular _D.47C N o de guantes modelo para catcher _D.7C ] 4DD (ínimo costo (ín5 o de guantes modelo regular X o de guantes modelo para catcher I
M 5 F Y S9)& $ F 1.5Y !"" ".5 F ".33Y 3"" ".125 F ".25Y 1"" " Y " . E/)%) ,$ +&,/(0 0'(-$. C:&+ $)+ *) /$*$ -&*),& *)) K$%(/$% ),+&8
@omson.
Osal!o Pa"l #iva!eneira P$gina% 51
Investigación Operativa I Programación Lineal
R'$ En la solución óptima, re%erida a una minimi!ación. tenemos 8FD7 como #alor %inal de la %unción objeti#o, siendo XCD4 y I43^
/. < /&%(/(0 &$, $ ,$+ (,(*$*)+ ')*) &))% ),+& /& ,$+ /$(*$*)+ *) '%&*//(0 *$*$+8 elson obtendrá 8FD7como utilidades totales *. C:$+ >&%$+ *) ()-'& *) '%&*//(0 +) '%&%$-$%: ) /$*$ *)'$%$-)&8 )e programarán F7Choras en el departamento de corte y con%ección, 8DD horas en el departamento de acabado y 4DD horas en el departamento de empaque y en#ío. ). C:, )+ ), ()-'& *) >&,%$ ) /$*$ *)'$%$-)&8 :orte y con%ección04FC 2cabado0 D Empaque y en#ío0 D
PROBLEMA 25 @omson.
Osal!o Pa"l #iva!eneira P$gina% 52
Investigación Operativa I Programación Lineal
PROBLEMA 26 PROBLEMA 31 PROBLEMA 33 PROBLEMA 34 C&+(*)%) ), '%&%$-$ ,()$, +(()) M( 2 A F 2 B +.$. 1 A F 3 B 12 3 A F 1 B 13 1A1B3 A B " $. $,,$% ,$ +&,/(0 0'(-$
@omson.
Osal!o Pa"l #iva!eneira P$gina% 53
Investigación Operativa I Programación Lineal
R'$ En la solución óptima, re%erida a una minimi!ación tenemos 48.7 como #alor %inal de la %unción objeti#o, siendo 28.7 y H8.3
PROBLEMA 35 P$%$ ), '%&%$-$ ,()$, M( 6 AF4 B +.$. 2 A F1 B 12 1 A F 1 B 1" 1B4 A B " $. E+/%($ ), '%&,)-$ ) K&%-$ )+:*$%. M( 6 ?F4 ; +.$. 2 ? F ; 12 ? F ; 1" ; 4 ?" ;" . R)+),$ ), '%&,)-$ -)*($) ), '%&/)*(-()& *) +&,/(0 %:K(/$. Vértice
● (6, 4) ● (0, 0) @omson.
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Rectas tras vértice x + y = 10 y = 4 x + y = 10 y = 0
Valor del objetivo "2 Mímino
60
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PROBLEMA 44 C&+(*)%) ), '%&%$-$ ,()$, +(()) M(
1A F 1B
+.$ 5A F 3B 15 3A F 5B 15 AB " $. C:, )+ ,$ +&,/(0 0'(-$ '$%$ )+) '%&,)-$8 . S'&$ ) ,$ K/(0 &9)(& /$-($ $ 1A F 2B. E/)%) ,$ )$ +&,/(0 0'(-$. CAPÍTULO
PROBLEMA 1 C&+(*)%) ), '%&%$-$ ,()$, +(()) M$? 3 A F 2 B @omson.
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+.$. 1 A F 1 B 1" 3 A F 1 B 24 1 A F 2 B 16 A B " $. U(,(/) ), '%&/)*(-()& *) +&,/(0 %:K(/$ '$%$ )/&%$% ,$ +&,/(0 0'(-$. Vértice
● (+, ) ● (4, 6) ● (8, 0) ● (0, 8) ● (0, 0)
Rectas tras vértice x + y = 10 3 x + y = 24 x + y = 10 x + 2 y = 16 3 x + y = 24 y = 0 x + 2 y = 16 x = 0 x = 0 y = 0
Valor del objetivo 2$ M/ximo
24 24 16 0
. S'&$ ) ), /&)K(/()) *) ,$ K/(0 &9)(& '$%$ A /$-($ *) 3 $ 5. C$-($ ,$ +&,/(0 0'(-$8 U(,(/) ), '%&/)*(-()& *) +&,/(0 %:K(/$ '$%$ )/&%$% ,$ )$ +&,/(0 0'(-$. @omson.
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Ma; C. U. Product o Producc ión Vértice
● (+, ) ● (4, 6) ● (8, 0) ● (0, 8) ● (0, 0)
1 5 (
2
7
3
Rectas tras vértice x + y = 10 3 x + y = 24 x + y = 10 x + 2 y = 16 3 x + y = 24 y = 0 x + 2 y = 16 x = 0 x = 0 y = 0
Valor del objetivo 41 M/ximo
32 40 16 0
/. S'&$ ) ), /&)K(/()) *) ,$ K/(0 &9)(& '$%$ A ')%-$)/) ) 3 ')%& ), /&)K(/()) *) ,$ K/(0 &9)(& '$%$ B /$-($ *) 2 $ 4. L$ +&,/(0 0'(-$ /$-($8 U(,(/) ), '%&/)*(-()& *) +&,/(0 %:K(/$ '$%$ )/&%$% ,$ )$ +&,/(0 0'(-$. Ma; C. U. @omson.
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<2 3
4
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Product o Producc ión Vértice
● (+, ) ● (4, 6) ● (8, 0) ● (0, 8) ● (0, 0)
(
4
6
Rectas tras vértice x + y = 10 3 x + y = 24 x + y = 10 x + 2 y = 16 3 x + y = 24 y = 0 x + 2 y = 16 x = 0 x = 0 y = 0
PROBLEMA 5 PROBLEMA 6
@omson.
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Valor del objetivo
33 36 M/ximo 24 32 0
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CAPÍTULO !
PROBLEMA 1
PROBLEMA 6 G. = $* S&+ I/. K$%(/$ *&+ '%&*/&+ ) +) +$ ) ,$ (*+%($ *), )('& ')+$*&. L&+ *&+ '%&*/&+ %)()%) &')%$/(&)+ *) -$K$/%$ ) *&+ *)'$%$-)&+. L$+ /(K%$+ +(())+ +& ), ()-'& *) '%&*//(0 @) >&%$+ ; ,$+ (,(*$*)+ $ ,$ /&%(/(0 '$%$ ,&+ *&+ '%&*/&+
P$%$ ), ')%(&*& *) '%&*//(0 +(()) = ()) *(+'&(,)+ &$, *) !"" >&%$+ *) -$& *) &%$ ) ')*) $+($%+) $ /$,()%$ *) ,&+ *&+ *)'$%$-)&+. E/)%) ), ',$ *) '%&*//(0 ; ,$ $+($/(0 *) -$& *) &%$ @>&%$+ $+($*$+ ) /$*$ *)'$%$-)& ) -$?(-(=$%: ,$ /&%(/(0 &$, $ ,$+ (,(*$*)+.
PRIMER PASO IDENTI#ICACIÓN DE LAS VARIABLES DE DECISIÓN 'mero de Productos 4 'mero de Productos 7
SEGUNDO PASO IDENTI#ICACIÓN DE LA #UNCIÓN OBJETIVO (a*imi!ar las utilidades obtenidas por la producción de productos (a*0 o de productos 4 _7C N o de productos 7 _7D
TERCER PASO IDENTI#ICACIÓN DE LAS RESTRICCIONES @omson.
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/oras de mano de obra0 o de productos 4 _43 N o de productos 7 _77 ] ^DD
•
-epartamento 20 o de productos 4 _9 N o de productos 7 _6 ] ^DD
•
-epartamento H0 o de productos 4 _47 N o de productos 7 _4D ] ^DD
RESUMIENDO (a*0 o de productos 4 _7C N o de productos 7 _7D o de productos 4 _43 N o de productos 7 _77 ] ^DD o de productos 4 _9 N o de productos 7 _6 ] ^DD o de productos 4 _47 N o de productos 7 _4D ] ^DD (á*imo costo (á*5 o de productos 4 X o de productos 7 I
M:? 25 F 2"Y S9)& $ 14 F 22Y !"" 6 F Y !"" 12 F 1"Y !"" " Y "
@omson.
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R'$ En la solución óptima, re%erida a una ma*imi!ación, tenemos 49DF como #alor %inal de la %unción objeti#o, siendo X93 y HD
@omson.
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CONCLUSIONES La %acilidad que nos brindan las herramientas de tecnologías permite en poco tiempo e%ectuar comparaciones que nos permitan la correcta elección de un modelo que describa los datos en problemas de ingeniería, así como nos proporciona elementos de juicio su%icientes para la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre. :oncluimos que la herramienta )ol#er resulta de mucha #entaja ya que nos %acilitan el cálculo de lo desarrollado, para de esta manera obtener los datos num"ricos con %acilidad y dediquemos nuestro inter"s en la interpretación de la misma para una adecuada toma de decisiones.
@omson.
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RECOMENDACIONES Para el uso del )L
@omson.
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