Veleučilište Veleuči lište u Varaždinu
Studij graditeljstva
Pro Pr of. dr . sc. dr.h.c. Mladen Kranjčec, dipl. inž.
P r edavanj nja a iz T emeljlja a H i dr auli ulikke D r ugi di o (Autorizirana skripta)
aždin, 1989.-1994., 2007.-2014. V ar aždin,
1
2
Grčki alfabet
3
Gdje je što 1.
Bernoullijeva jednadžba za elementarnu strujnu cijev (ESC) idealnog nestlačivog fluida - jednodimenzionalni
slučaj……………………………………………… .………….………
2. Izvod Bernoullijeve jednadžbe jednadžbe za ESC
na temelju zakona o očuvanju mehaničke energije …………………………...….….. 2.1 2 .1 Najčešći zapisi Bernoullijeve jednadžbe u hidraulici hidraulici …………………….……………. 2.2 2 .2 Gra fička interpretacija Bernoullijeve interpretacija Bernoullijeve jednadžbe za
ESC idealnog nestlačivog fluida …………………………………….……….…..………
2.3 2 .3 Primjeri konstruiranja piezometarske linije
u slučaju idealnog nestlačivog fluida fluida…………..…………………………….………….
3.. 3
Viskoznost fluida i zakoni unutarnjeg trenja……………………………...……………
3.1 Newtonovski fluidi………………………………………………………………………. 3.2 3 .2 Nenewtonovski fluidi fluidi ……………………………………………………………………. 3.3 Tiksotropni i reopektički flui di…………………………………………………………. tlaku. Riješeni primjeri ………… 3.4 Ovisnost viskoznost tekućina o temperaturi i o tlaku. Riješeni …………. 3.5 Mjerenje kinematičke viskoznosti………………………………………………… .……. 3.6 Englerov stupanj viskoznosti…………………………………………………………….
4. Bernoullijeva jednadžba jednadžba (jednadžba (jednadžba energije) energije)
za ESC realnog fluida ……………………………………………………….……… .….…. 4.1 Grafička interpretacija Bernoullijeve jednadžbe (jednadžbe energije) za ESC realnog nestlačivog nestlačivog flu ida……………………………………..………………….
4.2 Grafička interpretacija Bernoullijeve jednadžbe (jednadžbe energije)
za složeniji slučaj tečenja realnog nestlačivog nestlačivog fluida………………… fluida…………………………. ……….
5.. 5
Bernoullijeva jednadžba jednadžba (jednadžba (jednadžba energije ) za ukupni tok realnog nestlačivog fluida. Coriolisov koeficijent ……………………..
6.
Daljnje proširenje proširenje Bernoullijeve jednadžbe jednadžbe ( jednadžbe energije energije ) za ESC realnog realnog nestlačivog fluida ……..……………..………
7.
Dovođenje energije energije toku centrifugalnom centrifugalnom crpkom. Riješeni primjeri …………… …………….
I 4
8.
Račun Coriolisovog Coriolisovog koeficijenta za slučaj laminarnog laminarnog strujanja strujanja u cijevi ….…… 8.1 Račun Coriolisovog koeficijenta za slučaj turbulentnog strujanja kroz naglo proširenje…………………………………………….
9.
Neki primjeri praktične primjene primjene Bernoullijeve Bernoullijeve jednadžbe ………………… ....…….
9.1 9.2
Mjerenje protoka Venturijevim vodomjerom (venturimetrom)…………………..…… Mjerenje protoka standardiziranom sapnicom i standardiziranim zaslonom………………………………………………………….. .
10.
Primjena Bernoulijeve jednadžbe jednadžbe u slučajevima slučajevima stacionarnog stacionarnog
11.
Laminarni i turbulentni turbulentni režim tečenja…………………………………………………… 11.1 Reynoldsov broj………………………………………………………………… ..…
bezvrtložnog tečenja idealnogi realnog bezvrtložnog tečenja nestlačivog fluida. Riješeni primjeri ………………………………………………….…. ………………………………………………….….
vrijednosti Reynoldsovog broja 11.1.1 Kritične vrijednosti
za tokove proizvoljnog oblika živog presjeka …………………………………. .
12.
Osnovna jednadžba jedn olikog tečenja realnog fluida. Linijski gubitci specifične mehaničke energije pri jednolikom tečenju realnog fluida. Darcy-Weisbachova formula………………………………… .………….……..………..
13.
Izraz za iznos srednje brzine v s i volumni protok Qv
pri jednolikom stacionarnom stacionarnom tečenju (Chezyeva (Chezyeva formula) .........……………… ......
14.
Osnovne karakteristike laminarnog režima tečenja newtonovskog fluida u cilindričnoj cijevi ………………………..……………….. 14.1 Parabolična (paraboloidna) (paraboloidna) raspodjela iznosa brzina pri laminarnom
14.2
15.
režimu strujanja newtonovskog fluida u cijevi…………………………..…………….. Raspodjela tangencijalnih naprezanja naprezanja u omočenom presjeku vodoravne cijevi kružnog presjeka u slučaju laminarnog strujanja newtonovskog fluida. Riješeni primjeri primjeri ……………… ………………...
Gubitak specifične energije pri jednolikom laminarnom tečenju newtonovskog fluida. Hagen -Poiseuilleov zakon Riješeni primjeri ..…………………………………………………………………… ..…………………………………………………………………… ..……..
II 5
16.
Turbulentni režim tečenja. Pulzacija brzin e. Srednja mjesna ili vremenska srednja vrijednosti brzine
u turbulentnom režimu tečenja ……………………………………………………..…….. 16.1 Mehanizam turbulentnog jednolikog tečenja fluida u cije vima (Prandtlova shema, 1904.) ……………… .…………….
17.
Hrapavost stijenki……………………………………………………………………….…..
18.
Još o dva osnovna osnovna izraza izraza za izračunavanje gubitka specifične energije…………………………………..……………..……………..
19.
Utjecaj različitih čimbenika na veličinu koeficijenta otpora λ tlakom………………………………………………………... pri tečenju fluida u cijevi pod tlakom………………………………………………………..
20 2 0.
Izrazi za izračunavan izračunavanje je koeficijenta hidrauličkog hidrauličkog otpora otpora λ u laminarnom i turbulentnom režimu tečenja u cijevima.……………….…………. 20.1 20 .1 Colebrook-Whiteova formula …………………………………………...……….…. 20.2 20 .2 Moodyev dijagram – grafičko grafičko rješenje Colebrook -Whiteove jednadžbe . Riješeni primjeri primjeri ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… .....
21 2 1.
unavanje Chezyjevog koeficijenta. Izrazi za izrač unavanje Manningov izraz. Riješeni izraz. Riješeni primjeri ……………………………………..………………. ……………………………………..………………. .
22 2 2.
Mjesni (lokalni) gubitci specifične mehaničke mehaničke energije ……………………………. .. 22.1 22 .1 Gubitak specifične energije (pad tlaka) zbog
22.2 22 .2
naglog proširenja poprečnog presjeka toka ……………………………………..… . Gubitak specifične energije (pad tlaka) zbog izlaska fluida iz cijevi u spremnik velikih razmjera ……………………………… .…………………………
22.3 22 .3 Gubitak specifične energije zbog
naglog suženja poprečnog presjeka toka …………………………………………… 22.4 22 .4 Gubitak specifične energije na difuzoru…………….…………………………….. .. 22.5 22 .5 Gubitak specifične energije na konfuzoru……………..………………………..….. 22.6 22 .6 Gubici specifične energije pri ulasku tekućine iz spremnika u cijev…………………………………………… 22.7 22 .7 Gubici specifične energije u oštrom koljenu cijevi ………………………………… 22.8 22 .8 Gubici specifične energije u lučnom dijelu cijevi …………………………….….…. 22.9 22 .9 Gubici specifične ene rgije pri strujanju tekućine kroz ventile……………….…….. 22.10 22 .10 Gubitak specifične energije pri energije pri strujanju tekućine kroz pipac ………………….….
III
6
22.11 Gubici specifične energije na zasunu………………………………………………. 22.12 Gubici specifične energije na dijafragmi …………………………………………. 22.13 Gubici specifične energije na usisnom košu ……………………………………….
23.
Zbrajanje l inearnih i lokalnih gubitaka specifične
24.
Eksperimentalno određivanje koeficijenata linearnih i lokalnih otpora ……….
25.
Turbulentni tok u cijevima. Riješeni primjeri ……………………………………....…
26.
Preg led literature korištene pri koncipiranju predavanja
energije toka realne tekućine…………………………………………………………
te koja je bila izvor riješenih primjera i ideja za nove ……………………………….
IV
7
8
1. Bernoullijeva
1
jednadžba za
elementarnu strujnu cijev (E SC) idealnog nestlačivog fluida - jednodimenzionalni slučaj U mirnom, homogenom i nestlačivom fluidu iznos tlaka p u promatranom elementu fluida koji se nalazi u homogenom polju sile teže ili u homogenom polju inercijskih sila, ovisi o dubini h uranjanja elementa kao i o iznosu tlaka p0 na njegovoj površini. Veličine h i p povezane su E ulerovom osnovnom jednadžbom hidrostatike , p g
h const .
Međutim, u fluidu koji s e giba, tlak p u elementu fluida u nekoj točki strujnog polja, osim o h i p0 ovisi još i o i znosu v brzine promatranog elemenata fluida u toj točki. Uzajamnu ovisnost , tlaka p , položaja h i iznosa brzine v
1
Daniel Bernoulli (1700 – 1782), švicarski matematičar i fizičar . 9
elementa fluida u strujnom polju u kojem, u najvećem broju za tehniku važnih slučajeva, vlada polje sile teže G m g jakosti g ( g Nkg 1 ms2 ), matematički
izražava Bernoullijeva jednadžba. Iz ove činjenice proizlazi njezina izuzetna važnost u mehanici fluida. Neosporno, u mehanici fluida i hidraulici, Bernoulijeva jednadžba jedna je od na jčešće primjenjivanih , no isto tako, nažalost, i jedna od najčešće nepravilno primjenjivanih jednadžbi. (Vidi: http://www.aerodynamiclift.com/ , http://www.scienceeducationreview.com/open_access/eastwell-bernoulli.pdf ).
Vidi: Yuerge Zierep , Seite 44!
U ovom poglavlju cilj nam je izvesti Bernoullijevu jednadžbu polazeći pritom od temeljnog zakona dinamike, to jest, od I I . Newtonovog zakona. Promatrat ćemo jednodimenzionalno 2 , stacionarno i bezvrtložno 3 tečenje idealnog nestlačivog fluida stalne gustoće i temperature T u inercijskom referentnom sustavu. U stacionarnom režimu tečen ja primjenjivi su pojam strujnice i apstraktni pojam elementarne strujne cijevi (ESC) ili strujnog vlakna. 2
Rasprava tečenje fluida u jednodimenzionalnoj aproksimaciji daleko je jednost avnija od one u slučajevima dvo- ili trodimenzionalnog tečenja. Rezultati rasprave tečenja u jednoj
dimenziji od velike su važnosti u teoriji strujanja i na ovoj razini mi ćemo se njome zadovoljiti. 3
Strujanje fluida je bezvrtložno (potencijalno) ukoliko nema vrtnje ele menata fluida oko njihovog centra mase (težišta). 10
U jednoj od proizvoljno zakrivljenih ESC u mislima ćemo izdvojiti beskonač no kratki valjkasti element fluida duljine ds i beskonačno male površine presjeka dS (crtež 1). Uočeni element giba se u homogenom polju sile teže G . Položaj elementa fluida na strujnici određen je lučnom koordinatom s to jest , dužinom s luka strujnice mjerenom od proizvoljno odabranog ishodišta O pa do elementa fluida. Udaljenost, geodetska visina, promatranih točaka , odnosno presjeka ESC strujnice od proizvoljno odabrane vodoravne referentne ravnine h 0 neka je h. Smatrat ćemo da se iznos tlaka p mijenja samo duž ESC.
T ijekom beskonačno kratkog vremenskog intervala dt gibanje elementa fluida može se smatrati pravocrtnim, tangencijalnim na središnju strujnicu (crtež 1).
Budući da je valjkasti element fluida beskonačno kratak, površine njegova oba presjeka su jednake s točnošću do na beskonačno malu veličinu drugog reda.
Crtež 1. Naš promatrani element fluida djeluje tlačna sila od oko lnog fluida i sil a teža s hvatištem u težištu T elementa.
G
Iz sličnosti pravokutnih trokuta na crtežu 1. slijedi da je algebarski negativna projekcija G s sile teže G na središnju strujnicu duž koje se element fluida giba,
jednaka, h ds s ds G s G
,
11
G s G
h 4 , s
(1)
[kao pozitivan, na strujnici je odabran smjer gibanja elemenata fluida pa je
algebarska vrijednost projekcije G s sile teže G na pravac tangencijalan na strujnicu - negativna]. Budući da je G mg dV g dS ds g ( dV volumen elementa), to jednadžbu (1) pišemo u obliku,
h dSds g h G s G . s s
(1')
Nadalje, pored sile teže G tu je i tlačna sila kojom okolni fluid tlači plašt i osnovice promatranog elementa fluida. Dok je, zbog simetrije, rezultantna tlačna sila na plašt promatranog elementa jednaka nuli, dotle je projekcija zbroja tlačnih sila koje djeluju na, osnovice, poprečne presjeke dS , jednaka,
P pdS ( p
p p ds)dS dS ds , s s
(2)
gdje je pdS algebarski pozitivna projekcija tlačne sile koja djeluje na „stražnji“ (s obzirom na smjer gibanja elementa!) poprečni presjek, a p ( p dp)dS ( p ds)dS algebarski negativna projekcija tlačne sile koja s
djeluje na „prednji“ poprečni presjek. Sada algebarsku vrijednost projekcije rezultantne sile koja , tangencijalno na strujnicu, djeluje na element fluida pišemo [(1')+(2)],
p ρ g h ds . s s
F P GS dS
(3)
P osmičnih sila tangencijalnih na oplošje elementa fluida , to jest, sila trenja
nema, budući da, kao što je već napomenuto, promatramo slučaj idealnog fluida. Masa dm promatranog elementa fluida jednaka je,
dm dV dSds .
4
(4)
Veličina h u jednadžbi (1) je geodetska visina promatrane točke strujnice. Geodetska visina mjeri se od proizvoljno odabrane vodoravne referentne ravnine na kojoj se dogovorno uzima da je h 0 . 12
Da bi bili u stanju napisati jednadžbu gibanja promatranog elementa tekućine , preostaje nam još izračunati algebarsku vrijednost projekcije ubrzanja elementa 5 na tangentu u točki središnje strujnice u kojoj se, u promatranom trenutku, nalazi element fluida.
Pretpostavimo na trenutak da je tečenje fluida nestacionarno. To, kao što već znamo, znači sljedeće: a.) vektor brzine v , gustoća i tlak p koji vlada u elementu fluida u promatranoj točki strujnice u nekom trenutku t različiti su od elementa do elementa , od točke do točke strujnice 6 [to jest, u istom trenutku t različiti su za različite vrijednosti lučne koordinate s(t ) ]; b.) u svakoj točki strujnice, veličine v , i p , mijenjaju se tijekom vremena t , to jest,
v v s(t ), t .
(5) 7
Prema tome za, ubrzanje elementa fluida iz (5) slijedi ,
5
…tj., na prava nosilac vektora ubrzanja a (crtež 1)… 6 Iz kinematike nam je poznato da vektor brzine materijalne točke (u ovom slučaju elementa fluida) leži na tangenti na putanju (strujnicu) u točki putanje (strujnice) u kojoj se materijalna točka (element fluida) trenutno nalazi. 7
Bio režim tečenja fluida stacionaran ili ne , u danom trenutku t vektori brzine v elemenata fluida različit i su u različitim točkama strujnog polja ( u različitim točkama strujnice), odnosno, na različitim presjecima jedne te iste ESC, to jest, za različite vrijednosti lučne koordinate s(t ) elementa (crtež 1) . Međutim, dok je u stacionarnom režimu tečenja (r ežim tečenja u kojem je vektor v brzine elemenata fluida u svakoj točki strujnog polja konstantan tijekom vremena, ne mijenja se), u nestacionarnom je režimu tečenja , u svakoj proizvoljno odabrano j točki strujnog polja [za bilo koju vrijednost koordinate s (t ) ] vektor brzine v različit od trenutka do trenutka, to jest, on „vibrira“. Očito, u nestacionarnom režimu tečenja , vektor v je složena funkcija lučne koordinate s(t ) elementa fluida i trenutka promatranja t : v v s(t ), t . To znači da je u jednodimenzionalnom slučaju algebarska vrijednost dv projekcije potpunog dif erencijala d v vektora
brzine
dv
na
pravac
gibanja
elementa
fluida
jednaka,
v v s(t ), t s(t ), t v s(t ), t s(t ) s(t ), t dt a s(t ), t dt ds dt dt dt (1) . A pošto je dv t s t s t t v ( t )
(2) , to je, kao što se vidi usporedbom (1) i (2) , algebarska vrijednost a s(t ), t projekcije vektora ubrzanja a s(t ), t na pravac gibanja elementa fluida jednaka,
a s(t ), t
dv( s, t ) dt
v s(t ), t v s(t ), t . v(t ) s t
(3)
Prvi pribrojnik u (3) naziva se lokalnim , a drugi - konvektivnim ubrzanjem. U slučaju stacionarnog režima tečenja , to jest, kad se vektor
v
brzine toka, tlak
p i gustoća u bilo kojoj točki strujnog polja (strujnice,
ESC) ne mijenjaju tijekom vremena, lokalno ubrzanje jednako je nuli i elementi fluida imaju samo
konvektivno ubrzanje.
13
a s(t ), t
v s(t ), t v s(t ), t v( s, t ) . t s
(6)
Kako smo, međutim, odlučili promatrati stacionarni režim strujanja , to je
v s(t ), t 0 , tako da je projekcija tangencijalnog ubrzanja elementa fluida na t tangentu na strujnicu jednaka, v( s) v 2 ( s) . a( s, t ) v s s 2
(7)
A kako je prema II. Newtonovom zakonu,
F P G s ma( s, t ) ,
(8)
to nakon uvrštenja (3), (4) i (7) u (8) dobivamo, 2 v p h dS ds ρ g dS ds s 2 , s s
što integriranjem duž ESC od presjeka i do presjeka 2 daje, 2 h v 2 p g ds ds , s s s 2 1 1 2
p2 p1 g h2 h1 v22 v12 0 , 2
2
p1 gh1
v1 2
2
p2 gh2
v2 2
.
(9)
Promatra li se presjek 2 kao varijabla , tada (9) poprima oblik,
Drugi pribrojnik u (3), konvekti vno ubrzanje , posljedica je prostornih promjena strujnog polja. Bez obzira na to radi li se o stacionarnom ili nestacionarnom režimu strujanj a, konvektivno ubrzanje različito je od točke do
točke strujnog polja, to jest, mijenja se prolaskom promatranog elementa fluida točkama strujnice (strujnog polja) s različitim vektorima brzina (na primjer, tečenjem kroz cijev čiji se dijametar postepeno povećava ili se smanjuje).
14
p gh
v 2
Е
2
8
(10)
,
gdje je Е konstanta integracije jednaka u svim točkama (presjecima) promatrane ESC i koja, općenito, može imati različite vrijednosti od jedne do druge ESC, odnosno strujnice. Iako se, dakle, duž ESC (duž strujnice) idealne
tekućine iznos svakog od tri člana p , gh ,
2 v
2
mijenja, u slučaju stacionarnog
tečenja njihov zbroj ostaje stalan, konstantan duž ESC (duž strujnice); zbroj tlakova (10) u nekoj točki (na nekom presjeku) strujne cijevi jedak je zbroju tlakova u nekoj drugoj točki (na nekom drugom presjeku) iste strujnice. U slučaju stacionarnog tečenja idealne tekućine jednadžba (10) vrijedi za bilo koja dva elementa fluida u istoj ESC kao i za jedan te isti element fluida u dvije razne
točke ESC (strujnice). Jednadžba (10) je Bernoullijeva jednadžba za slučaj stacionarnog strujanja idealnog fluida, koja, kao što se vidi , uspostavlja već spomenutu vezu između iznosa v brzine v , tlaka p u elementu fluida i njegovog položaja h u strujnom polju. Iako svaki od tri člana u Bernoullijevoj jednadžbi (10) ima dimenziju 9 10 tlaka , odnosno energije jednog kubičnog metra fluida , jednadžba (10) ipak nije, primarno, zakon o očuvanju mehaničke energije već, budući da je izvedena u okvirima jednodimenzionalnog modela, formalno, predstavlja rješenje, integral, jednadžbe gibanja (8).
Kao i u hidrostatici, s tatički tlak p u Bernoullijevoj jednadžbi (10) može biti ili apsolutni tlak , u skladu s Pascalovim principom, jednak zbroju atmosferskog tlaka p a i tlaka p0 koji tl ači slobodnu površinu fluida, to jest ,
p pa p0 ,
(11)
ili pak, kao što je to u tehničkoj mehanici fluida i hidraulici mahom slučaj , manometarski tlak p m jednak razlici apsolutnog tlaka p i atmosferskog tlaka
p a , tj., jednak tlaku p0 , p pa p0 pa p0 . 8 9
10
(12)
Indeksi 1 i 2 odnose se na dvije različite točke stru jnice odnosno dva razmaknuta poprečna presjeka ESC. Tlak
p nosi naziv – statič ki tlak, gh je tlak zbog te ž ine tekućine, dok je
Pa
N 2
N m 2
Nm 3
J 3
.
Omjer
J 3
v 2
2
dinamički tlak. 3
predstavlja specifičnu (svedenu na 1 m ) gustoću
m m m m m m mehaničke (kinetičke + potencijalne + tlačne) energije fluida ili kraće – specifičnu energiju fluida.
15
Pazi promijeni naziv u Gdje je što!
2. I zvod Bernoullijeve jednadžbe ESC na temelju zakona o očuvanju mehaničke energije U ovom poglavlju Bernoullijevu ćemo jednadžbu izvest polazeći od ograničenja koja će njezin izvod učiniti jasnijim i tako, nadamo se, na minimum svesti mogućnost njezine krive primjene i interpretacije.
Crtež 1 Kao i u prethodnom poglavlju, promatramo stacionarni tok idealne tekućine. dm v 2 dm ima kinetičku Svaki element ESC mase i potencijalnu energiju 2
dm gh , gdje je h geodetska visina elementa s obzirom na proizvoljno odabranu referentnu razinu h = 0. Prema tome, ukoliko presjekom 1 ESC tijekom beskonačno kratkog vremenskog intervala dt protekne element čija je masa dm , i za koji je zbroj kinetičke i potencijalne energije je jednak
v 2 dm gh , 2 1
(1)
tada je brzina toka zbroja kinetičke i potencijalne kroz presjek 1 jednaka, 2 dm v
gh . dt 2 1
(2)
Analogno, brzina toka zbroja kinetičke i potencijalne kroz presjek 2 jednaka je,
16
2 dm v
gh , dt 2 2
(2')
Iz (2) i (2') slijedi da je brzina kojom se mijen ja kinetička i potencijalna energija fluida između presjeka 1 i 2 , jednaka,
v2 dm gh , gh dt 2 1 2 dt 2
2 dm v
(3)
pri čemu je , dm dt
Qv Qm ,
(4)
maseni protok. Budući da nema toka fluida kroz plašt ESC kao ni nastajanja fluida u njoj, to su iznosi od Qm na presjecima 1 i 2 su jednaki. U odsutnosti trenja, tj., u sluč aju idealnog fluida, promjena energije fluida između presjeka 1 i 2 može doći samo od rada A tlačnih sila na tim presjecima. Brzina rada, tj. snaga P
dA dt
ovih sila na pojedinom presjeku jednaka je
umnošku iznosa pS tlačne sile na presjeku i brzine v gibanja elemenata fluida na tom presjeku, P
dA
dt
pSv . Prema tome, ukupni rad
tlačnih sila na
presjecima 1 i 2 u jedinici vremena je,
dA dt
p1S 1v1 p2 S 2 v2 .
(5)
(Snaga P na presjeku 2 je algebarski negativna budući da su na tom presjeku smjer brzine elemenata fluida i smjer djelovanja tlačne sile suprotni .) Kako je brzin a rada tlačnih sila (5) jednaka brzini (3) kojom se između presjeka 1 i 2 mijenja ukupna mehanička energija (kinetička + potencijalna) toka, slijedi,
p1 S 1v1 p2 S 2 v2
Dijeljenjem (6) sa
dm dt
2 dm v
2 dm v gh gh . dt 2 2 dt 2 1
(6)
v1S 1 v2 S 2 dobiva se,
17
v v 2 gh gh , 1 2 2 2 2 1 p1
2
p2
to jest, p v 2 p v 2 gh gh . 2 1 2 2
(7)
U slučaju nestlačivog fluida je duž strujne cijevi stalna, konstantna, veličina, tako da je konačno, p gh
v 2 2
E const . , duž strujne cijevi.
(8)
Jednadžba (7) je Bernoullijeva jednadžba za E SC s kojom smo se već susreli u prethodnom poglavlju. Stegne li se ESC, u mislima, na, recimo, središnju strujnicu ESC, tada slijedi Bernoullijeva jednadžba za strujnicu,
p gh
v 2 2
const . , duž promatrane strujnice.
(9)
Činjenica da smo Bernoullijevu jednadžbu jednom izveli pola zeći od I I . Newtonovog zakona , a potom na temelju zakona o održanju mehaničke energije, ne treba čuditi. Samo se treba sjetiti da zakon o održanju mehaničke energije počiva na linijskom integralu I I . Newtonovog zakona duž ESC.
2.1 Najčešći zapisi Bernoullijeve jednadžbe u hidraulici U računima u hidraulici Bernoullijeva jednadžba najčešće se primjenjuje napisana na slijedeća dva načina:
a.)
Prvi je, takozvani visinski oblik ,
18
p g
h
v2 2 g
E '
E g
const .
(1)
'
gdje je E hidrodinamička visina. SI mjerna jedinica svakog pribrojnika u Bernoullijevoj jednadžbi (1) je metar (m). Međutim, nije teško uvidjeti da je SI jedinica svakog pribrojnika isto tako i J
, to jest svaki pribrojnik predstavlja iznos određene vrste mehaničke energije
N
u džulima ( J ) kojom raspolaže masa fluida teška 1N . Naime, pošto vrijedi da je 1m
N J
, to je, recimo, član h u (1) jednak potencijalnoj energiji položaja
N N
(potencijalne energije u polju sile teže) mase fluida teške 1N izraženoj u metrima ili u J . U slučaju vode, radi se o potencijalnoj energiji približno N
jednog decilitra vode, a kod drugih fluida, ovisno o njihovoj gustoći većoj ili manjoj od gustoće vode, o volumenu manjem ili većem od jednog decilitra. Jasno je da se istim jedinicama ( m ili J N ) mjere i preostali pribrojnici u (1). U nomenkaturi na hrvatskom jeziku, č lan h u (1) naziva se geodetska visina, 11 12 geometrijski tlak ili specifična potencijalna energija položaja .
Crtež 1 I član
p g
različito se naziva: piezometarska visina tlaka, piezometarski tlak,
specifična potencijalna energija tlaka ili specifična tlačna energija13.
11 12
13
U anglosaksonskoj literaturi: elevation head. Ovdje atribut – specifična - ukazuje na to da se radi o energiji svedenoj upravo na 1N
težine fluida! U anglosaksonskoj literaturi: pressure head. 19
Treći član
v2 2 g
nosi nazive brzinska visina, visina brzine, brzinski tlak ili
specifična kinetička energija14. Dakle, s obzirom na terminološko šarenilo, Bernoullijevu jednadžbu za idealni fluid 15 , kao zakon o očuvanju ukupne specifične mehaničke energije (to jest, zakon očuvanja zbroja specifične tlačne , specifične potencijalne i specifične kinetičke energije ) zatvorenog mehaničkog sustava kojeg čini masa fluida težine
(u homogenom polju Zemljine sile teže) jednake 1 N, moguće je riječima iskazati na tri načina: - Zbroj tri visine, geodetske visine (h), piezometarske visine tlaka (p/ρg) i 2 brzinske visine (v /2g) (jednak E ' = E/ρg) je stalan, tj. ne mijenja se, od presjeka do presjeka ESC, odnosno, od točke do točke promatrane
strujnice. - Zbroj geometrijskog tlaka (h), piezometarskog tlaka (p/ρg) i brzinskog 2 tlaka (v /2g) (jednak E ' = E/ρg) je stalan, tj. ne mijenja se od presjeka do presjeka ESC, odnosno, od točke do točke promatrane strujnice. - Zbroj specifične potencijalne energije položaja (h), specifične 2 potencijalne energije tlaka (p/ρg) i specifične kinetičke energije (v /2g) jednak E' = E/ρ g, je stalan, tj. ne mijenja se od presjeka do presjeka ESC, odnosno, od točke do točke promatrane strujnice.
b.) Drugi najčešći oblik pisanja Bernoullijeve jednadžbe je, p
gh
v2 2
E ' ' = Е/
= const.,
(2)
u kojem su, p
16 - tlačna energija jednog kilograma mase tekućine jednaka vanjskom
radu izvršenom nad jednim kilogramom tekućine pri njegovom prevođenju iz stanja odsutnosti svakog tlaka u stanje u kojem u tekućini vlada statički tlak p, 14 15 16
U anglosaksonskoj literaturi: velocity head. Idealni fluid ne postoji. Radi se o, kao na primjer, u slu č aju vode, dopustivoj idealizaciji.
Ova, kao i ostale energije u ovom zapisu Bernoullijeve jednadžbe također imaju atribut p Pa Nm 2 Nm J 1 Jkg specifičnih energija. . (Uglatu zagradu čitaj: 3 3 kg kg kgm kgm 20
gh - potencijalna energija jednog kilograma mase tekućine , v2 2
- kinetička energija jednog kilograma mase tekućine.
2.2
Grafička interpretacija Bernoullijeve jednadžbe za ESC idealnog nestlačivog fluida
Pođimo od Bernoullijeve jednadžbe za ESC idealne nestlačive tekućine u stacionarnom režimu tečenja u zapisu p g gdje je E '
E g
h
v2 2 g
E ' ,
(1)
stalna, konstantna, vrijednost specifične energije u džulima po
jednom njutnu težine tekućine (J/N) za danu, promatranu ESC, odnosno, jednu od strujnica koje ju čine. Pretpostavimo da je u promatranoj ESC (koja pripada nekom toku čiji je presjek konačnih dimenzija) volumni protok jednak dqV dS v , gdje je dS površina presjeka ESC. Tada je brzinska visina u bilo kojem promatranom poprečnom presjeku ESC jednaka, (poznato: dqV )
pri čemu je
2
1 dqV , 2 g 2 g dS v2
(2)
v iznos srednje brzine toka na promatranom presjeku.
v2 p 1 jedinica od p kroz jednaka je…). Dakle, gh Jkg ; tlačna energija 2 fluida svedena na kilogram mase fluida. 21
Ukoliko su za odabranu ESC pored volumnog protoka dqV poznati još i ukupna specifična energija E' te geodetska visina h težišta promatranog presjeka ESC s obzirom na proizvoljno odabranu referentnu razinu u kojoj je h 0 , tada iz p Bernoullijeve jednadžbe za piezometarsku visinu tlaka na promatranom g presjeku slijedi, (poznato: E , ' h , dqV )
2
1 dqV E 'h . g 2 g ds p
U slučaju kada su poznati E , ' h i piezometarska visina tlaka Bernoullijeve jednadžbe izračunati brzinsku visinu p (poznato: E , ' h , ) g
v2 2 g
visinu
2
2 g
p g
p
, moguće je iz
g
,
2 g
E 'h
Sada je, računajući piezometarsku visinu tlaka v
v2
(3)
p g
.
(4)
prema izrazu (3), a brzinsku
prema (4), moguće na jednom crtežu prikazat i promjene svih triju
p v 2 visina h, g , 2 g duž ESC. Takav grafičk i prikaz naziva se grafikonom Bernoullijeve jednadžbe (u ovom slučaju) za idealni nestlačivi fluid (crtež 1). Grafič ki prikaz nastaje tako da se vertikalno iznad svakog presjeka ESC (iznad svake toč ke sredi š nje strujnice) , kao dužine, nanose izrač unate vrijednosti p v2 zbroja piezomatarske visine tlaka i brzinske visine (crte ž 1). U slučaju 2 g g idealnog nestlačivog fluida linija koja spaja krajeve zbrojeva
p g
h
v2 2 g
iznad
svakog presjeka ESC je pravac paralelan s horizontalnom referentnom ravninom h = 0 , koji je od nje udaljen („nalazi se na visini“) E '
E g
. Ovaj se
pravac naziva linijom ukupnog tlaka ili linijom ukupne specifične energije E '
E g
fluida (u anglosaksonskoj literaturi: energy line, total head)
22
Zbroj
p g
h specifične tlačne energije
p g
J i specifične potencijalne N
J , čini ukupnu specifičnu potencijalnu energiju N
energije u polju sile teže h
fluida.
Crvena linija na crtežu (1), koja na r aznim presjecima duž ESC spaja točke na „visini“ h
p
17
g
, naziva se piezometarska linija18.
Crtež
1. Uočite da je udaljenost razina tekućine u Pitotovim cijevima na presjecima 1 i 2 (cijevi čiji je ulazni presjek okrenut u smjeru suprotnom od toka) od referentne ravnine h 0 jednaka ukupnoj specifičnoj energiji E ' tekućine izraženoj u J / N . Isto vrijedi i za
presjek 3 na kojem Pitotova cijev nije prikazana. Piezometarska linija prati razinu tekućine u piezometrima. Pozitivni gradijent piezometarske linije ukazuje na porast statičkog tlaka p sa smanjenjem srednje brzine duž prikazanog toka
17
Zbroj h
p g
energije tlaka
specifične potencijalne energije položaja h i specifične potencijalne p
, čini ukupnu specifičnu potencijalnu energiju tekućine (u g
anglosaksonskoj literaturi: piezometric head). 18
Radi li se o toku u realnoj cijevi krutih stjenki, a ne o otoku kroz ESC u mislima izdvojenoj iz ukupnog toka tekućine, tada se kraće vertikalne cijevi na crtežu 1 (čija je površina presjeka mala u usporedbi s presjekom cijevi na koju su ove pričvršćene) , nazivaju piezometarske cijevi ili kraće – piezometri. Piezometarska cijev je najjednostavniji uređaj za mjerenje manometarskog tlaka. Piezometarska linija spaja razine tekućine u piezometarskim cijevima. 23
Crtež 1' . Uočite povećanje specifične kinetičke i smanjenje specifične tlačne energije p ri prelasku tekućine iz cijevi većeg u cijev manjeg poprečnog presjeka. Između dva koljena cijevi, zbog povećanja geodetskih visina presjeka, dolazi do povećanja specifične potencijalne i smanjenja specifične tlačne energije, dok zbog neprom jenljivosti presjeka
cijevi specifična kinetička energija ostaje stalna
Piezometarska linija predočava kako se ukupna specifična potencijalna energija h
p
fluida mijenja duž ESC 19. Promjena ove energije na jedinicu
g duljine (1m) ESC naziva se piezometarski nagib (crtež 1). Piezometarski nagib na presjeku udaljenom L od mjesta gdje l = 0 jednak je derivaciji specifične p potencijalne energije fluida h po udaljenosti l , g
d h i p , L tg
p
g
dl
l L
,
(5)
dok je srednji piezometarski nagib i p ,l između presjeka 1 i 2 ESC koji su
međusobno udaljeni l , jednak (crtež 1) ,
19
Na crte ž u 1 vidi se da je na presjeku 3 ukupna specifi č na potencijalna energija fluida najveća, budući da je ovdje specifična kinetička energija najmanja (najmanja srednja brzina toka fluida!). 24
i p , s
p1 p h1 2 h2 g g l
Ovisno o konfiguraciji toka, piezometarski nagib pozitivna i li algebarski negativna veličina.
.
(6) i p može biti
algebarski
2.3 Primjeri konstruiranja piezometarske linije u slučaju idealnog nestlačivog fluida Kroz cijev prikazanu na crtežu 3 voda teče od točke A prema točki B, pri čemu je volumni protok jednak Q V = 0,4 m 3 s-1 , a piezometarska visina tlaka u točki A iznosi 7 m. Smatrajući vodu idealnim nestlačivim fluidom, tj., pretpostavljajući da između točaka A i B središnje strujnice nema gubitaka mehaničke energije, te da je strujanje stacionarno,
a.) nacrtajte piezometarsku liniju i liniju ukupnog tlaka (ukupne specifične energije); b.) Koliki je manometarski tlak u točki A?
c.)
Kolika je ukupna energija E ' toka u J/m 3 za središnju strujnicu
(središnju ESC)?
25
Crtež 3 a.)
Poznavanje volumnog protoka QV omogućava izračunavanje brzinskih visina
v2 2 g
nad bilo kojom točkom središnje strujnice koja prolazi
njenim točkama A i B. Srednje brzine uniformnog toka u točkama A i B cijevi su, v A
QV S A
QV
d A2
4QV d A2
4 0,4 m 3 s 1 (0,3) 2 m 2
5,66 ms 1 .
(1)
4
4 0, 4 m3 s1 Q 4Q 1 1 , 42 ms 2 2 v B . 2 2 d S B d B 0, 6 m π B 4 Q
Sada je brzinska visina
v A2 2 g
nad točkom A jednaka (crtež 4),
1 2 5 , 66 ms 1, 6 m v , 2 2g 2 9, 81 ms 2 A
dok je brzinska visina
v B2 2 g
(2)
(3)
nad točkom B jednaka,
1 2 1 , 42 ms 0, 1 m , v 2g 2 9, 81 ms 2 2 B
(4)
26
Crtež 4 Rezultat (3) i crtež (3) pokazuju da je ukupna specifična energija vode u točki A jednaka 10m 7m 1.6m 18.6m 18.8 JN 1 .
Potrebno je još odrediti piezometarsku visinu tlaka
p B g
u točki B strujnice.
Budući da smo pretpostavili da je voda idealni fluid, to tečenjem između točaka A i B središnje strujnice nema gubitaka mehaničke energije vode, tako da u točki B vrijedi (vidi crtež 3), p B g
15m 0.1m 18.6 m ,
odakle je, pb g
Dakle, krajnje točke ordinata
p
3.5 m .
v2
g 2 g
u točkama A i B leže na liniji ukupne
energije E ' čije su sve točke na istoj visini iznad referentne linije D-D na kojoj je h 0 (crtež 4), p A v A2 E ' h A 10 m 7 m 1.6 m 18.6 m . A: g 2 g B:
E ' h B
p B
vB2
g 2 g
15 m 3.5 m 0.1 m 18.6 m .
27
b.)
p A (7 m) g 7 m 103 kgm3 9.81 ms 2 6.87 104 Pa 0.68 atm .
c.) Ukupna specifična energija E ' vode u J/N u točki A središnje ESC, odnosno, središnje strujnice, iznosi E' = 18.6 J/N . Iznos G sile teže na jedan kilogram mase vode (jednu litru vode) približno je jednak 10 N. Silom iznosa 1 N polje sile teže djelovati će na masu od 0.1 kg vode, tj., na jedan decilitar vode. Dakle, E ' 18.6 JN 1 18.6
J dcl
18.6
J 10 4 m 3
1.86 105 Jm 3 .
Primjer Na crtežu 5 prikazan je spremnik velikih dimenzija s ispusnom cijevi promjenljivog presjeka. Dijametar mlaza na izlazu iz cijevi je D3 0.5 cm . Zanemaru jući sve linijske i mjesne gubitke 20 nacrtajte piezometarsku liniju i izračunajte volumni protok QV kroz cijev za hipotetski slučaj stacionarnog toka idealne nestlačive tekućine. K oeficijent kontrakcije mlaza na izlazu iz cijevi je k 0.75 , tj., D4 kD3 21.
20 21
Vidi napomenu 15!
Vidi poglavlje … 28
Crtež 5 (Napomena! Piezometarska linija nije nacrtana u realnom mjerilu! ) Na površini tekućine u spremniku kao i na presjeku D4 izlaznog mlaza, tj., u točkama O i A strujnice vl ada atmosferski tlak pa , tako da je manometarski tlak u tim to čkama jednak nuli. Pretpostavit ćemo da je brzina spuštanja razine tekućine u spremniku zbog njegovih velikih dimenzija zanemarivo mala, tako da je u početnoj točki O strujn ice vO 0 . To znači da je ukupna specifična energija E ' tekućine ili hidrodinamička visina u točki O jednaka E ' = 0 + 0 + H = 0.5 m.
Napišemo li Bernoulijevu jednadžbu za točke O i A strujnice, H 0 0 0 0
v42
, 2 g
(1)
za iznos v 4 brzine istjecanja idealne tekućine iz posude slijedi poznati Torricellijev teorem , v4 2 gH 19.62ms 2 0.5m 3.13 ms 1 .
(2)
U skladu s jednadžbom kontinuiteta , iznos v1 srednje brzine tečenja tekućine u dijelu izlazne cijevi poprečnog presjeka S 1 jednak je, v1
S 4 S 1
v4
D42 2
D1
v4
k 2 D32 2
D1
v4
(0.75) 2 (0.5) 2 104 m 2 3.132 ms 1 4
10 m
2
0.44 ms 1 ,
29
a piezometarska linija niže je od linije ukupne specifične energije E ' za v12 2 g
(0.44 ms 1 ) 2 9.81ms
-1
9.9 103 m 0.01 JN 1 ,
(crtež 5). To jest, specifična energija tlaka i specifična kinetička energija (visina tlaka) stalne su duž cijevi poprečnog presjeka S 1 i iznose približno -1 (džula po njutnu težine tekućine), odnosno približno 0.49 JN -1 0.01 JN [specifična potencijalna energija duž cijevi presjeka S1 jednaka je nuli (h = 0!)]. Iznos v 2 brzine t ekućine u dijelu izlazne cijevi poprečnog presjeka S 2 jednak je, v2
D12 2
D2
v1
10 4 m 2 2 10 m 2
4
2
0.44ms 1 0.11ms 1 ,
dok je duž ovog dijela cijevi, zbog manje brzine toka tekućine, piezometarska linija udaljena manje od linije ukup ne specifične energije E ' (specifična kinetička energija je manja !), v22 2 g
(0.11ms 1 ) 2 2 9.81ms
2
0.62 10 3 m.
I duž cijevi poprečnog presjeka S 2 specifična energija tlaka je stalna i iznosi približno 0.4938 J N -1. Stalna je i specifična kinetička energija (visina tlaka) približno jednaka 0.0062 JN -1. Duž dijela izlazne cijevi koji se monotono suzuje s dijametra D2 na dijametar 22 D3 (kontraktor), iznos brzine toka nelinearno raste na mnogo veću vrijednost na izlazu iz cijevi,
22
Nađite matematički zapis zakonitosti po kojoj se mijenja iznos brzine toka tekućine između
presjeka D2 i D3!
30
v3
D42 2
D3
v4
k 2 D32 2
D3
v4 k 2 v 2 (0.75) 2 3.13ms 1 1.76ms 1 .
Isto tako nelinearno se spušta i piezometarska linija, tako da je njezina točka koja odgovara presjeku D3 od linije ukupne specifične energije E ' = H = 0.5 m udaljena, v32 2 g
(1.76ms 1 ) 2 9.81ms
2
0.09m .
Konačno, na razini h = 0 , gdje je manometarski tlak p4 jednak nuli, tj., gdje je ukupna specifična energija tekućine
h
p
jednaka nuli, ordinata g piezometarske linije (mjerena od linije h =0) poprima vrijednost jednaku nuli; piezometarski tlak p 4 jednak je nuli; sva specifična energija tekućine E ' prešla je u visinu brzine
v42 2 g
H = E ' 0.5m 0.5 JN 1 ; sva specifična potencijalna
energija idealne nestlačive tekućine prešla je u specifičnu kinetičku energiju. Primjer Smatrajući vodu idealnom nestlačivom tekućinom nacrtajte piezometarsku 3 -3 liniju za stacionarni tok vode (ρ = 10 kgm ) kroz cijev promjenljivog dijametra koja spaja dva spremnika, napajajući (lijevi) spremnik i prijamni (desni) spremnik (crtež 1a.). Poznato je da je h 0.38 m , p01 3 kPa , p02 pvak 2 kPa , d 50 mm
i D 80
mm .
Da bi mogli nacrtati traženu piezometarsku liniju, nužno je poznavanje iznosa srednje brzine toka vode bar u jednom dijelu cijevi koja spaja spremnike. zračunajmo ga! I
Pretpostavit ćemo da je strujanje stacionarno. Za početnu točku uočene strujnice odabrat ćemo točku 1 na slobodnoj površini vode u napajajućem spremniku [crtež 1a.)]. U prijamnom spremniku odabrati ćemo točku 2 strujnice na izlazu iz cijevi. Za točke 1 i 2 strujnice Bernoullijevu jednadžbu pišemo u obliku, h1
p1 g
v12 2 g
h2
p2 g
v 22
,
2 g
(1)
31
Crtež 1a.)
Crtež 1b.)
pri čemu, potpuno proizvoljno, za ravninu h = 0, uzimamo ravninu OO koja se
podudara s slobodnom površinom vode u prijamnom spremniku [crtež 1b.)]. Prema tome, u (1) [crtež 1.a)] je h1 h , p1 p01 , v1 0 (iznos brzine ispuštanja razine vode u napajajućem spremniku zanemarivo je mali), h2 hS 2 , p2 p02 ghS 2 , v2 v D (iznos srednje brzine toka u cijevi čiji je dijametra jednak D , tj., u točki 2). Uvrštenje ovih vrijednosti u (1) za traženi iznos v D brzine strujanja vode u točki 2, daje, 32
h
p01 g
0 hS 2
p02 ghS 2 g
2 vD
,
2 g
(2)
p01 p02 (3 2) 103 Pa 2 4.18 ms 1 . 2 9.81ms 0.38m 3 v D 2 g h 3 2 g 10 kgm 9.81ms
Sada, primjenjujući jednadžbu kontinuiteta, računamo iznos brzine toka u cijevi promjera d , 2
2
D 0.08m 1 vd v D 4.18 ms 1 10.70 ms . d 0.05m
(3)
Budući da vodu smatramo idealnom tekućinom, to tečenjem duž cijev i ne dolazi do smanjenja njezine ukupne specifične mehaničke energije. Prema tome, linija ukupne energije toka je vodoravna crvena linija E ' na crtežu 1b.), paralelna s linijom OO i od nje udaljena za H [crtež 1b.)], pri čemu je H jednak specifičnoj energi ji fl uida izračunatoj u točki 1, to jest , H h
p01 g
0.38m
Duž dijela cijevi stalnog dijametra
3 103 Pa 103 kgm 3 9.81ms 2
0.686 m .
(4)
D piezometarska linija udaljena je od linije
ukupne energije za iznos brzinske visine [crtež 1b. )], 2 v D
2 g
4.18ms12
2 9.81 ms 2
dok je duž dijela cijevi stalnog dijametra
d
0.89 m ,
(5)
ova udaljenost jednaka [crtež 1b.)],
33
2 vd
2 g
2 10.70ms 1 5.84 m .
(6)
2 9.81 ms 2
Na temelju podataka (5) i (6) u stanju smo nacrtati piezometarsku liniju δ - δ
duž cijevi promjenljivog poprečnog presjeka. Na crtežu 1b.) piezometarska linija P istaknuta je zelenom bojom. Duž dijela cijevi čiji se dijametar od vrijednosti d monotono povećava na vrijednost D , piezometarska linija je odsječak pravca pozitivnoga nagiba sve do točke «loma» koja je od linije ukupne energije udaljena 0.89 m . Uočite da za proizvoljno odabranu točku α na osi cijevi promjera D vrijedi [crtež 1b.)] , 2 v D
p
2 g g
tj., zbroj brzinske visine
2 v D
(h ) H ,
, piezometarske visine tlaka
2 g
p g
i geodetske visine
hidrodinamičkoj visini H. Isto tako, za proizvoljno odabranu točku β na osi cijevi promjera d, h jednak je
v D2
p
2 g g
(h ) H ,
tj., ukupna specifična energija vode tečenjem duž cijevi je očuvana. Također uočite da je piezometarska visina tlaka u točki β algebarskih negativna , što znači da je tlak p manji od atmosferskoga tlaka. Primjer za samostalni rad Nacrtajte piezometarsku liniju za stacionarni tok vode kroz cijev promjenjivog presjeka (crtež 1) u uvjetima kada h1 = 3 m, h 2 = 3.1 m, hK = 3.3 m, Δh = 0.4 m, p01 = (pm1 ) = 5 kPa, p02 = (pm2 ) = 2 kPa, d = 40 mm, D = 50 mm. Vodu smatrajte idealnom nestlačivom tekućinom.
34
Crtež 1 Primjer Kroz cijevi sa suženjem u sredini voda teče iz lijevog u desni spremnik (crtež 1). Spremnici su velikih razmjera, otvoreni su prema atmosferi i razine vodnih lica u njima održavaju se stalnima. Odredite iznos brzine toka i apsolutni tlak u uskom dijelu cijevi. Poznate veličine su H = 1.8 m, h = 4.5 m, d 1 = 80 mm, d 2 = 50 mm. Nacrtajte piezometarsku liniju.
Crtež 1.) Da bi mogli konstruirati piezometarsku liniju potrebno je, prije svega,
izračunati iznose srednjih brzina toka u svakoj od cijevi različitih presjeka. Pretpostavit ćemo da je voda idealna nestlačiva tekućina, a njezino strujanje stacionarno. Budući da su spremnici velikih razmjera, zanemariti ćemo brzine spuštanja odnosno, podizanja njihovih razina. Iz mnoštva strujnica, odnosno ESC, izdvojit ćemo onu prikazanu na crtežu 2a.). Za razinu h = 0 odabrat ćemo ravninu koja prolazi vodoravno kroz os simetrije cijevi okomito na ravninu crteža. U tom slučaju ukupna energija toka, to jest, hidrodinamička visin a 1 ' 2 ' jednaka je E h . Naime, u toči 1 (crtež 2) E pm h v1 . 2 0 0
Napisana za točke 1 i 1' Bernoullijeva jednadžba glasi, 35
0h0
g (h H ) g
0
v12
,
(1)
2 g
odakle za iznos v1 srednje brzine strujanja na izlazu iz cijevi promjera d 1 , tj., na ulazu u desni, prijamni, spremnik, slijedi,
Crtež 2a.) v1 2 gH 2 9.81ms 2 1.8m 5.943 ms 1 . (Torriccelijev teorem!)
Primjena jednadžbe neprekinutosti, kontinuiteta, na presjeke d 1 i iznos srednje brzine strujanja vode u cijevi čiji je promjer d 2 , daje, 2
(2) d 2 cijevi, za
2
2 d 1 d 1 5 v1 2 gH 5.943 ms 1 16.5 ms 1 . v 2 3 d 2 d 2
(3)
Sada, kad su nam poznati iznosi v1 i v 2 srednjih brzina toka u sekcijama cijevi s dijametrima d 1 i d 2 , u stanju smo izračunati visine brzina u tim sekcijama, v12 2 g v 22 2 g
2 5.943 ms 1 1.800
2 9.81 ms 2
16.5
ms 1
2 9.81 ms
2
2
m ,
(4)
13.865 m .
(5)
36
Crtež 2b.) Pošto vrijedi , E '
to je visina
p2 2 g
v22 2 g
0
manometarskog tlaka
p2
,
g
p2 u cijevi dijametra d 2 negativna i
jednaka, p2 g
E '
v22 2 g
4.5m 13.865m 9.4 m ,
dok je sam manometarski tlak p2 jednak, p2 9.4m g 9.4 103 kgm3 9.81ms 2 92214 Pa ,
Što znači da je a psolutni tlak p2 jednak je, p2 p2 m pa 91980 Pa 101325 Pa 9345 Pa ,
(6)
to jest p2 mnogo je niži od atmosferskog (k avitacija!).
Sada možemo nacrtati piezometrasku liniju [ zelena izlomljena linija na crtežu 2b.)].
Na dijelovima gdje piezometarska linija leži iznad osi cijevi, manometarski tlak u tekućini viši je od atmosferskog, dok je na dijelovima gdje piezometarska linija leži ispod osi cijevi, manometarski tl ak u tekućini niži od atmosferskog .
37
Manometarski tlak u cijevi promjera d 2 mogli smo izračunati i primijenivši
Bernoullijevu jednadžbu. Pišemo Bernoullijevu jednadžbu za točke 1 i C strujnice [crtež 2b.)], 0h0
p2m g
0
v22
,
2 g
(5)
odakle za manometarski tlak p2m u cijevi dijametra d 2 , slijedi, p2 m
p2 m
v22 16.52 m2 s 2 3 2 2 3 , gh 10 kgm 9.81ms 9.81ms 4.5m 2 2 91980 Pa ,
dok je apsolutni tlak p2 jednak, p2 p2 m pa 91980 Pa 101325 Pa 9345 Pa ,
(6)
38
3. Viskoznost fluida i zakoni
23
unutarnjeg trenja 24
( elektrostatičkih dipol -dipolnih) sila koje djeluju između molekula, realni fluidi odlikuju se velikom pok retljivošću
Zbog relativno slabih Van der Waalsovih
23
Preuzeto s Interneta!
Profesor John Mainstone snimljen 1990. godine tijekom padanja osme kapi.
U foajeu Fizičkog odjela Sveučilišta Queensland u Brisbaneu, Australija, prvi profesor fizike na ovom sveučilištu Thomas Parnell , postavio je, u nastavne svrhe, 1927. godine eksperiment koji zorno demonstrira veliki iznos viskoznosti bitumena, jednog derivata katrana. Zagrijani bitumen nalit je u stakleni lijevak čiji je vrh prethodno bio zataljen. Tri su godine bile potrebne kako bi se bitumen slegao u li jevku. 1930. godine, vrh lijevka je odrezan i bitumen je prepušten slobodnom istjecanju, a započeto je i s bilježenjem datuma kapan ja pojedinih kapi (vidi tablicu). Bitumen u lijevku nije održavan u nekim posebnim uvjetima, tako da je njegovo istjecanje va riralo s normalnim promjena temperature s godišnjim dobima. Podaci iz tablice omogućili su i zračunati da je viskoznost bitumena oko 100 milijuna puta veća od viskoznosti vode. Profesor John Mainstone i profesor Thomas Parnell (posthumno) zajedno su, 2005. godine, za ovaj eksperiment nagrađeni I gNobelovom nagradom za fiziku [ I g-Nobelove nagr ade (engleski: ignoble – nizak, besmislen, podao) nagrade su koje se, njih deset za razna područja, svakog listopada od 1991. godine dodjeljuju za dostignuća koja u prvi mah nasmijavaju ljude, a zatim ih potiču na razmišljanje. Ovu nagradu ustanovio je humoristički znanstvenu časopis Annals of I mprobable Research (AIR) , a laureatima nagradu na svečanosti u kazalištu Sanders sveučilišta Harvard predaje grupa u kojoj su i stvarni dobitnici Nobelove nagrade]. Eksperiment profesora Parnella bilježi i Guinnessova knjiga rekorda kao eksperiment s najdužim trajanjem. Godina 1930. 1938. (prosinac)
1947. (veljača) 1954. (travanj) 1962. (svibanj) 1970. (kolovoz) 1979. (travanj) 1988. (srpanj) 2000. (28. studenoga)
Događaj Odrezan je vrh staklenog lijevka Pala prva kap Pala druga kap
Pala treća kap Pala četvrta kap Pala peta kap
Pala šesta kap Pala sedma kap Pala osma kap
39
pojedinih molekula jednih u odnosu na druge, a time i pojedinih elemenata fluida. Djelovanje ovih sila manifestira se samo pri gibanju fluida, kao posmično naprezanje pri gibanju jednog sloja fluida u odnosu na drugi. Ovo svojstvo realnih fluida naziva se viskoznost . Viskoznost karakterizira stupanj žitkosti fluida. Pored lako pokretljivih fluida (voda, alko holi,…) postoje i veo ma viskozni fluidi (glicerin, strojna ulja, katran, …).
Još davne 1687. godine u svojim Philosphiae Naturalis Principia Mathematica, I saac Newton pretpostavio je (njegova je pretpostavka kasnije bila potvrđena brojnim eksperimentima 25 ), da je iznos posmičnog naprezanja F 26 (crtež 1) koje se pojavljuje između dva (trenje! ) na jedinicu površine ,
S
susjedna sloja fluida, neovisno o tlaku pod kojim se fluid nalazi, moguće kvantitativno opisati izrazom,
24
J ohannes Dideri k van der Waals (1837 -1923) , nizozemski fizičar, nobelovac (1910. )
25
Charles-Augustin de Coulomb (1737 – 1806) prvi je eksperimentalno potvrdio ispravnost Newtonove formule
dv dy
.
26
- iznos posmi č nog naprezanja kojim sporiji sloj djeluje na br ž i (tj., sila trenja F djeluje na br ž i sloj paralelno s promatranim slojevima u suprotnom smjeru od gibanja oba sloja, crte ž 1 i 2 ) i, u skladu s III. Newtonovim zakonom, br ž i sloj na sporiji (sila trenja
F ' F djeluje na sporiji sloj u smjeru gibanja oba sloja ). 40
Crtež 1 Sloj B fluida giba se brzinom čiji je iznos za dv veći od iznosa v brzine kojom ' se giba sloj A. F je sila kojom brži sloj B, „kroz“ uočenu graničnu površinu S , djeluje na sporiji sloj A. U skladu s I I I . N ewtonovim zakonom , sporiji sloj A djeluje na brži sloj B silom F F ' . Gradijent brzine dv dy , to jest, veličina koja pokazuje kao brzo, u smjeru osi
Y, raste iznos brzine slojeva, jednak je kvocijentu porasta dv iznosa brzine i razmaka dy . Dovršiti
što je dy!
F S
dv dy
,
N m2
Pa
(1)
dv
- gradijent brzine u smjeru okomitom na pravac toka fluida, a dy - koeficijent proporcionalnosti poznat kao koeficijent unutarnjeg trenja ili , ovisna o vrsti fluida i f izičkim uvjetima (temperatura, dinamička viskoznost tlak) u kojima se fluid nalazi. u kojem su
Dinamička viskoznost idealnog fluida jednaka je nuli.
3.1 Newtonovski fluidi Realni fluidi dijele se u dvije grupe: na newtonovske i nenewtonowske fluide. Fluidi koji zadovoljavaju zakonitost (1) (voda, zrak, nafta,…) i za koje je (uz nepromijenjene vanjske uvjete, tlak, temperaturu,…) dinamič ka viskoznost konstantna veličina neovisna o gradijentu brzine, nazivaju se newtonovskim fluidima. D inamička viskoznost newtonovskih fluida ne ovisi o tom e što se događa s fluidom, teče li, miješa li se ili se prelijeva iz posude u posudu. Viskoznost newtonovskih fluida mijenja se samo s promjenom vanjskih uvjeta, to jest s promjenom temperature ili tlaka. Kod newtonovskih fluida iznos 41
posmičnog naprezanja brzine
dv dy
linearno se povećava s porastom iznosa gradijenta
(crtež 3 ).
Svi fluidi kojima se bavi hidraulika newtonovski su fluidi.
Crtež 3 Iz izraza (1) slijedi
dy dv
,
(2)
to jest, iznos dinamičke viskoznosti jednak je iznosu posmičnog napona kada je gradijent
dy dv
brzine jednak 1 sekunda. (dva sloja vertikalno udaljena 1 -1
m gibaju se brzinama čiji se iznosi razlikuju za 1 ms ). Mjerna jedinica koeficijenta dinamičke viskoznosti je,
dy Nm 2 m s kg Pa s . dv
U starijoj literaturi može se naići na
poaz
m
m s
kao mjernu jedinicu koeficijenta
, pri čemu je
1 poaz 1 g cm s . Koliko poaza iznosi jedna Pas?
42
1 Pas
N m
2
s
kg m 2
m s
2
kg m s
10 3 g 10 cm s 2
10
g cm s
10 poaz .
1 po az
Iz praktičnih razloga u hidraulici se često koristi i veličina zvana kinematički koeficijent viskoznosti , odnosno kinematička viskoznost 27 ,
μ
.
(3)
ρ
Mjerna jedinica koeficijenta kinematičke viskoznosti je, kg m Pa s s 2m m2 . 3 3
kgm
kgm
s
3.2 Nenewtonovski fluidi Nenewtonovskima, anomalnima, nazivaju se fluidi koji ne zadovoljavaju Newtonovu jednadžbu (1). Kod nenewtonovskih pseudoplast ič nih fluida28 (crtež 3 ) iz nos posmičnog naprezanja τ smanjuje se s porastom gradijenta brzine
dv dy
i opisan je Ostwald-deWaeleovim izrazom, n
dv K , dy
n 1
,
(4)
u kojem je K indeks konzistencije , K Pa s n .
Dilatantima se nazivaju nenewtonovski fluidi kojima je svojstveno povećanje iznosa posmičnog naprezanja τ s porastom
dv dy
i opisan je Ostwald-
deWaeleovim izrazom, n
dv K , n 1 . dy
27
(5)
Naziv, ”kinematička viskoznost”, nema nek i dublji fizikalni smisao. Ovaj naziv predložen je 2 iz prostog razloga što je jedinica od m „slična“ jedinici iznosa brzine m . s
28
s
maziva, krv, majoneza, ketchup ,…
43
Viskoznost nenewtnovskih pseudoplast ič nih fluida i dilatanata ne ovisi o proteklom vremenu tečenja. Mulj otpadnih voda, b ušači fluidi, uljane boje, sapuni, paste za zube,… primjeri su Binghamski plastičnih ili idealno plastičnih fluida. Ovi se fluidi ponašaju
poput krutih tijela sve dok posmično naprezanje iznosom ne dosegne početnu granicu naprezanja 0 . Za 0 Binghamski plastični fluida ponaša se kao newtonovskai fluid (crtež 3 ), a je opisan izrazom, dv . dy
0 0
(6)
3.3 Tiksotropni i reopektički fluidi Viskoznost pseudoplastičnih fluida, dilatanata i Binghamskik fluida ne mijenja se s protokom vremena tečenja. Međutim, kod tiksotropnih fluida [neke gline ( klizišta! ), tinta za printere, brzosušeće boje, sinovijalna tekućina u čovjeka, …) viskoznost je sve manja kako vrijeme tečenja biva duljim. Obrnuta je situacija kod tako zvanih reopektičkih fluida (na primjer, suspenzija gipsa) čija viskoznost raste s proteklim vremenom.
3.4 Ovisnost viskoznost tekućina o temperaturi i o tlaku. Riješeni primjeri Kao što pokazuje eksperiment, dinamička ( kinematička ) viskoznosti tekućina smanjuje se s povišenjem temperature. Kod tekućina ova ovisnost različita je za različite tekućine i opisana je općim izrazom, B
(T ) Ae T ,
(7)
u kojem je T apsolutna temperatura, a A i B su konstante za dani fluid. Primjerice, za vodu, (T )
1.78 106 1 0.0337 T 0.000221 T
.
(8)
S porastom tlaka viskoznost tekućine obično se, zanemarivo malo, povećava. Iznimka je voda kod koje se viskoznost smanjuje do temperature od 32 C.
44
Općenito, pri tlakovima koji se susreću u praksi (do 200 at), ova se ovisnost viskoznosti vode o tlaku može zanemariti . Viskoznost plinova smanjuje se s povišenjem tlaka , a povećava s povišenjem temperature. Primjer 2
Na planparalelnu ploču, površine S = 5 m i zanemarive debljine, paralelno s osi X djeluje stalna sila iznosa F = 150 N. Vrijednosti dinamičkih viskoznosti ulja iznad i ispod ploče odnose se 1 : 3. Dinamička viskoznost ulja iznad ploče je μ = 0.10 Nsm-2. Odredite iznos v brzine v kojom se giba ploča?
Crtež 1 Stalnost brzine F u vremenu znači d a je ova u, skladu s I. Newtonovim zakonom dinamike, uravnotežena zbrojem sila F i F 3 (crtež 1), tj.
F F F 3 0 ,
(1)
pri čemu je F sila kojom ulje dinamičke viskoznosti , a F 3 sila kojom ulje dinamičke viskoznosti 3 , djeluje na ploču. U (1) sile viskoznog trenja dane su Newtonovim zakonom viskoznog trenja, te stoga pišemo,
F F F 3 S
dv dy
S 3
dv dy
,
(2)
odakle, nakon uvrštenja brojčanih vrijednosti, za iznos v brzine v gibanja ploče
dobivamo, v v 2 2 , 5 m 0 . 3 Nsm 5.103 m 5 103 m 150 N v (100 N 300 N ) , 150 N 5 m2 0.1 Nsm 2
v 0.375 ms1 .
45
Primjer Sloj newtonovskog fluida debljine d ispunjava prostor između šipke polumjera r i koncentričnog klizača unutarnjeg polumjera R (crtež 1). Kada na klizač paralelno sa šipkom djeluje sila stalnog iznosa 788 N on postiže brzinu iznosa v = 2 ms-1. Koliki će biti iznos brzine koju će dosti ć i klizač djeluje li se na njega silom iznosa 1400 N? U oba slučaja temperatura klizača, fluida i šipke je ista.
Crtež
Newtonovu formulu
F S
v
, d
napisat ćemo u obliku F v
u kojem je veličina
S d
d
konstantna za promatrani slučaj, tako da vrijedi,
F 1 F 2 v1
S
const . ,
v2
, v2 v1
F 2 F 1
2ms 1
1400 N 788 N
3.55 ms1 .
Primjer Sloj vode teče niz mirnu nagnutu čvrstu površinu (crtež...). Profil iznosa
brzina po slojevima dan je izrazom, 2 y y 2 2 , v0 3 ms1 , h 0.1 m . v( y ) v0 h h
Odredite iznos i smjer posmičnog naprezanja koje voda izaziva na čvrstoj površi ni.
46
Crtež … Za nestlačivi i izotropni newtonovski fluid, iznos viskoznog posmično g
naprezanja dat je Newtonovom jednadžbom ( y )
dv( y ) dy
.
(1)
2 y y 2 dv( y ) Deriviranjem v( y ) v0 2 po y , za gradijent iznosa brzine slojeva dy h h dobivamo, dv( y ) 2 2 y v0 2 , dy h h
odakle je iznos gradijenta na površini ploče jednak, dv( y ) dy
y 0
2v0 h
,
(2)
pa je iznos, u smjeru toka orijentiranog, posmičnog naprezanja kojim voda djeluje na čvrstu površinu, jednak, ( y 0)
dv( y ) dy
y 0
2 v0 h
2 1 103 Pa s 3ms 1 0.1m
6 10 2 Nm 2 .
Primjer
Crtež… 47
Na crtežu …. prikazano je laminarno tečenje glicerina 1.45 103 Pa s ) po površini mirne učvršćene ploče. Ovisnost iznosa brzine slojeva za y h dana
je izrazom,
v ( y )
v0
3 y 2h
1 y
3
2 h
u kojem vo 4 cms1 . Ako je poznato da posmično naprezanje τ iznosi -2 τ = 20 Nm , kolika je debljina h sloja glicerina?
Prema Newtonovoj jednadžbi posmično naprezan je na granici staklo-glicerin je, ( y, h)
dv( y, h) dy
.
(1)
Potražimo gradijent iznosa brzine derivirajući po koordinati y danu nam 3 y 1 y 3 ovisnost v( y, h) v0 . Račun daje, 2 h 2 h 2 3 dv( y, h) 3 y v0 . dy 2h 2h h
(2)
Uvrštavajući u (2) y = 0 , za iznos gradijenta brzine na površini ploče dobivamo, dv( y, h) dy
y 0
3v0 2h
.
(3)
Nakon uvrštenja (3) u (1), dobivamo, ( y 0)
dv( y, h) dy
3v0 2h
,
odakle je debljina h sloja glicerina,
3 v0 3 1.5 Pa s 4 10 2 ms h 2 ( y 0) 2 20 N
1
4.5 103 m .
Primjer Tekućina teče kroz vodoravnu cijev promjera d = 200 mm pri čemu je volumni
protok QV = 30 ls-1. Razlika piezometarskih visina na sekciji cijevi duljine L = 50 m je h12 = 0.2 m. Uz pretpostavku laminarnog režima toka odredite iznos kinematičkog koeficijenta viskoznosti tekućine.
48
Polazimo od Darcy-Weisbachove jednadžbe za slučaj laminarnog tečenja, h12
64 L vs2 Re d 2 g
.
(1)
Kako je Re v s
v s d
,
(2)
,
(3)
4QV
d 2
to nakon uvrštenja (2) i (3) u (1) dobivamo, h12
64 L v s d 2 2 g
64 L 1 4QV
,
d 2 2 g d 2
odakle za iznos kinematičkog koeficijenta tekućine slijedi,
h12d 4 g 128 LQV
... 5.14 105 m2 s 1 .
(4)
3.5 Mjerenje kinematičke viskoznosti K inematičke viskoznosti određuje se eksperimentalno. Jedan od načina je 29 primjena Ostwaldovog kapilarnog viskozimetra.
Znajući kinematičku viskoznost za standardnu tekućinu (primjerice, vodu), te mjereći vrijeme t protjecanja volumena V standardne tekućine i vremena t' protjecanja istog volumena ispitivane tekućine sadržanog između ravnina a-a i b-b u lijevom kraku viskozimetra (crtež 86, fotografija 87),
29
Wilhelm Ostwald (1853 – 1932), ruski kemičar i filozof.
49
Crtež 86
Fotografija 87
kinematička viskoznosti ' ispitivane tekućine dan je izrazom, '
t '
.
t U praksi se koristi i viskozimetri različitih tipova. Primjerice, torzijski (rotacijski) viskozometri , čiji se princip mjerenja temelji na mjerenju kuta zakretanja i kutne brzine cilindra obješenog na čeličnoj žici i potopljenog u rotirajuću posudu sa tekućinom koja se ispituje (fotografija...) Iznosi koeficijenta dina mičke viskoznosti za neke plinove i tekućine dani su u Tablici ...
Fotografija.. . Viskozimetar s koaksijalnim cilindrima Fotografija ... Torzijski viskozimetar za mjerenje iznosa do 105 Pas
50
3.6 E nglerov stupanj viskoznosti U Ve likoj Britaniji uobičajeno se u hidraulici kao mjera kinematičke viskoznosti 30 koristi tako zvani E nglerov stupanj °E viskoznosti tekućine, koji se određuje istoimenim E nglerovim viskozimetrom. E nglerov viskozimetar je cilindrična 3 posuda volumena V = 200 cm sa otvorom za otjecanje ispitivane tekućine.
E nglerov stupanj viskoznosti određuje se prema izrazu,
Crtež 88
Fotografija 89
E
t
,
gdje su t i τ (τ = 20 s) vremena istjecanja jednake količine ispitivane tekućine 3 o (200 cm ) i čiste destilirane vode kod iste temperature (obično kod 20 C , a o o ponekad i kod 50 C ili 100 C).Kinematička viskoznost υ i viskoznost izražena u E nglerovim stupnjevima °E povezane su Ubbelohdeovom empirijskom relacijom,
7,31 E
6,31
6 2 1 10 m s . E
30
Carl Oswald Viktor E ngler (1842-1925 ), istaknuti njemački kemičar, profesor sveučilišta u Halleu. Viskozimetar osmislio u svezi s istraživanjem nafte
51
Tablica ... Vrijednosti dinamičkih viskoznosti nekih plinova i tekućina
Plinovi
Koeficijent dinamičke viskoznost (Pas)
zrak dušik kisik vodik helij argon ugljični dioksid ugljični monoksid sumporni dioksid amonijak
18.3 10 17.8 . 10. 20.2 10 8.8 . 10. 19 10 . 22 10 14.8 . 10. 17.2 10 12.54 . 10. 9.8 10
.
-
Tekućine voda kava krv (kod 37 C)
.
-
0.894 10 (20 C) 10 . 10-3 . 4 -15 10
52
kloroform etanol metanol benzen glicerin aceton sumporna kiselina dušična kiselina tekući kisik tekući dušik (77 0K) živa maslinovo ulje med tekuće staklo tekuća čokolada kečap maslac od kikirikija
.
-
.
-
0.58 10 1.8 . 10. 5.44 10 6.4 . 101.5 3.1. 102.42 . 10 . 1.2 10 1.92 . 10. 0.158 10 1.58 10 80 -100 . 1010 10 do 10 3 45 do 130 50 do 100 oko 250
4. Bernoullijeva jednadžba (jednadžba energije) za
E SC realnog fluida 31
Suoč eni s činjenicom da sve fluide karakterizira viskoznost, napustit ćemo pretpostavku o idealnom fluidu i početi promatrati tečenje realnih, viskoznih , fluida , to jest tekućina (fluida) u kojima se pri tečenju, između slojeva, javljaju posmična naprezanja. Dok je u hipotetskom slučaju idealnog fluida specifična energija E'' = E'/ρ očuvana , ostaje stalna duž ESC, dotle se pri gibanju realnog, viskoznog, fluida, kao rezultat algebarski negativnog rada koji nad tekućinom vrše sile otpora uzrokovane unutarnjim trenjem, ova energija duž ESC smanjuje. Algebarski negativni rad ovih sila izaziva prijelaz dijela specifične energije fluida u toplinu. Prirodno je stoga za očekivati da jednadžba energije realne tekućine (fluida) , to jest Bernoullijeva jednadžba mora doživjeti promjene u svom matematičkom zapisu budući da treba uzeti u obzir spomenuti 31
Bernoullijeva jednadžba za ESC realne tekućine , u tehničkoj mehanici fluida, naziva se i jednadžbom energije realne tekućine. 53
gubitak energije, kao i mogućnost dovođenja mehaničke energije u tok izvana,
sa svrhom nadoknađivanja gubitaka ili čak povećanja specifične mehaničke energije tekućine. Zbog viskoznog trenja, pri tečenju realnog fluida kroz ESC, njegova ukupna specifična energija E 1 na presjeku 1 uvijek će za neki iznos e12 biti veća od specifične energije E 2 na presjeku 2, tj.,
Crtež 1. E ' '1 ( J / kg ) E ' '2 ( J / kg ) , E ' '1 J / kg e12 E ' '2 ( J / kg ) ,
tako da Bernoullijeva jednadžba, odnosno, jednadžba energije za ESC (srujnicu) realnog fluida poprima oblik, gh1
p1
v1
2
2
gh2
p2
v2
2
2
e12 .
(1)
Specifična energija e12 jednaka je iznosu ukupne specifične mehaničke energije u J kg koja je tijekom strujanja tekućine izmeđ u presjeka 1 i 2 , zbog unutarnjeg
trenja između njenih slojeva različitih iznosa brzine, prešla u toplinu. Kada se Bernoullijevu jednadžbu za realni fluid primjenjuje u obliku p1 g
h1
v1
2
2 g
h12
p2 g
h2
v2
2
, 2 g
tada je veza između gubitka energije fluida h12 u J/N i gubitka energije e12 u J/kg dana izrazom,
54
h12 J / N
e12 ( J / kg ) g ( ms2 )
.
Naime, dijeljenjem jednadžbe (1) s g , slijedi, gh1
p1
h1
p1
g
v1
2
gh2
2 v1
2
2 g
h2
p2
p2 g
v2
2
e12 / : g ,
2
v2
2
2 g
e12
,
g
h12
h12
e12 g
J .
J N
kg . N kg
4.1 Grafička interpretacija 32 Bernoullijeve jednadžbe (jednadžbe energije) za ESC realnog nestlačivog fluida Budući da u slučaju realne tekućine ukupna specifična energija E ' tekućine (ukupna visina tlaka) duž ESC nije očuvana, stalna (konstantna), već se smanjuje u smjeru toka, to se grafički prikaz Bernoullijeve jednadžbe (jednadžbe energije) za ESC realne tekućine razlikuje od grafičkog prikaza ,
32
Crtež je izvor i duša svake predodžbe i korijen svake nauke… Michelangelo Buonarroti Michelangelo Buonarroti (1475-1564)
Michelangelo Buonarroti, Mojsije
55
Crtež 1. Crtkana linija A: linija ukupne specifične energije ili linija ukupnog tlaka za ESC idealne tekućine; linija B: linija ukupne specifične energije ili linija ukupnog tlaka za ESC realne tekućine; linija C: piezometarska linija. Razine tekućine u Pitotovim cijevima prate liniju ukupne energije A.
dijagrama, Bernoullijeve jednadžbe za idealnu tekućinu. Prije sve ga, razlika je u tome što je u slučaju realne tekuć ine linija ovisnosti ukupne specifične energije E ' predočena padajućom krivuljom duž ESC (crtež 1 , plava krivulja B).
56
4.2 Graf ička interpretacija Bernoullijeve jednadžbe (jednadžbe energije) za jedan složeniji slučaj tečenja realnog nestlačivog fluida (crtež 2) 33.
Crtež 2
Promotrimo sada konkretni primjer iz inženjerske prakse.
Realni fluid, voda, istječe iz, prema atmosferi otvorenog spremnika, kroz vodoravnu cijev promjera D . Zbog velike površine S poprečnog presjeka spremnika (ili zbog održavanja razine tekućine u spremniku stalnom), brzina toka tekućine na slobodnoj površini tekućine u spremniku praktički je jednaka nuli.
33
O takozvanim mjesnim, lokalnim, gubitcima specifične energije biti će riječi kasnije . 57
Crtež 2' Specifična potencijalna energija položaja h1 realne tekućine u točkama ESC na površini spremnika ujedno je jednaka ukupnoj specifičnoj energiji E ' tekućine u tim točkama (vodoravna crvena linija na površini tekućine u spremniku, crtež 2'). Na ulazu u vodoravnu cijev dolazi do smanjenja specifične energije tekućine (mjesni otpor!). Tečenjem kroz cijev ukupna specifična energija E ' realne tekućine, u ovisnosti o L ( L - udaljenost promatranog presjeka cijevi od spremnika) linearno se smanjuje prema Darcy-Weisbachovom izrazu 2 L vs 34 h L D 2 g
(padajuća crvena linija 2 na crtežu 2'). Na bilo koje m presjeku
ESC u cijevi, visina tekućine u Pitotovoj cijevi (4) jednaka je zbroju specifične p v s2 35 tekućine potencijalne energije tlaka i specifične kinetičke energije g 2 g na tom presjeku ESC . Piezometarska linija (zelena linija 1 na crtežu 2') paralelna je s linijom ukupne specifične energije, no leži niže za iznos specifične
34
Detaljno o Darcy-Weisbachovom izrazu biti će riječi kasnije. Za sada recimo samo to da Darcy-Weisbachova formula vrijedi samo u jednolikom stacionarnom režimu strujanja nestlačivog fluida. Darcy-Weisbachov faktor ili koeficijent trenja ovisi o karakteru toka (laminarni, prelazni ili t urbulentntni režim tečenja Reynoldsov broj ) te o hrapavosti cijevi (ili kanala) i, kao što će kasnije biti pokazano, izračunava se pomoću niza teorijskih i empirijskih formula i dijagrama (na primjer, Poiseuilleova , Blasiusova i Colebrookeova formula odnosno Moodyev dij agrama ). 35
Za značenje od α vidi sljedeće poglavlje. 58
v s2
. Linije 1 i 2 poklapaju se u točki 3 budući da je na 2 g ulaznom presjeku cijevi v s 0 . Visina tekućine u piezometru 5 jednaka je iznosu kinetičke energije
je tlaka specifične potencijalne energi
p g
na tom presjeku ESC.
5. Bernoullijeva jednadžba ( jednadžba energije ) za ukupni tok realnog nestlačivog fluida). Coriolisov koeficijent. U prethodna dva poglavlja bavili smo se Bernoullijevom jednadžbom za elementarno strujno vlakno ,odnosno, za ESC realne tekućine. M eđutim, tokovi fluida kojima se bavi hidraulika imaju konačne dimenzije ,
konačne, a ne beskonačno male presjeke i u velikoj većini slučajeva ograničeni su krutom stjenkom. Shvaćanje tokova konačnih dimenzija kao snopa , već smo uveli ranije. Površina S i bilo kojeg elementarnih strujnih cijevi, ESC presjeka ukupnog strujnog toka jednaka je zbroju površina presjeka dS i pojedinih ESC na tom pres jeku (crtež 1 ).
Crt ež 1
Bernoullijeva jednadžba ili jednadžba energije za tok realne tekućine konačnog poprečnog presjeka slijedi intuitivnim proširenjem Bernoullijeve 59
jednadžbe za jednu ESC na snop ESC koje zajedno čine promatrani tok. Iznos vektora v brzine elemenata fluida u različitim točkama presjeka S toka je različit , budući da su različiti iznosi vektori brzina toka na presjecima pojedinih E SC koje zajedno čine promatrani tok konačnih dimenzi ja.
Pođimo od Bernoullijeve jednadžbe za jednu ESC realne nestlačive tekućine u obliku, gh1
p1
2
v1
2
gh2
p2
v2
2
2
e12 .
J kg
(1)
Množenjem obiju strana jednadžbe (1) s ρ·dqV , gdje je dq V volumni protok kroz uočenu ESC, te zatim sumiranjem po svima ESC, to jest, integriranjem po površinama S 1 i S 2 dva proizvoljno odabrana presjeka strujnog toka, dobiva se,
dqV
v12
S 1
dqV
S 2
v22 2
ρdqV ( gh1
2
S 1
ρdqV ( gh2 S2
p2 ρ
p1 ρ
)
) ρdqV e12 . S 2
J kg
(2)
Raspravimo posebno fizikalni smisao svakog člana u jednadžbi (2).
Izrazi (fluid je nestlačiv!),
dqV
v12
S 1
dqV
S 2
2
v22 2
v1 dqV , 2 2
(3)
S 1
v2 dqV , 2 2
(4)
S 2
36 predstavljaju protoke kinetičke energije u J s , tj., iznose kinetičkih energija mase tekućine koja u jedinici vremena (jednoj sekundi) protje če kroz presjeke 1 i 2 toka . U izrazima (3) i (4), kao što smo već podsjetili, iznosi v1 i v2 brzina različiti su u r azličitim točkama proizvoljno odabranih presjeka S 1 i S 2 ukupnog toka.
36
dqV
v2 2
dqm v
2
kg m2 J , 2 . s s s
60
Za praktične ciljeve , protoke kinetičke energije (3 ) i (4) udobnije je izražavati kao protoke kinetičkih energija izračunatih na temelju srednje brzine toka v s . To, praktički, znači da se stvarni protok Qk 1 kinetičke energije, na primjer, kroz presjek 1 toka [jednadžba (3)], Qk 1
v1 dqV , 2 2
(5)
S 1
zamjenjuje fiktivnim protokom kinetičke energije Qk ' 1 koji je dan izrazom,
Qk 1 '
2
v s21 v s1 dS 1
S 1
dqV
ρv s31 2
dS
ρvs31 S 1
1
2
S 1
2 v s1 QV
2
,
(6)
a koji iz (5) slijedi zamjenom stvarne raspodjele iznosa v1 brzina strujanja po presjeku toka, uniformnom, tj., sa u svakoj točki presjeka toka po iznosu stalnom, srednjom brzinom v s1 . Međutim, protok Qk ' 1 dan izrazom (6) uvijek je manji od stvarnog protoka Qk 1 izraženog s (3), odnosno (5).
Qk 1 2
2 v1 dqV 1
S 1
> Qk ' 1
ρ
v 2
2 s1
vs dS1 1
S1
ρv s31 2
dS 1
S 1
ρvs31 S1 2
ρvs21 QV
v s22 QV
2
(7),
(5 )
odnosno,
Qk 2
2
v S 2
2
dqV > Q k 2 '
ρ
v
2 S2
2 s2
vs dS2 2
ρv s32 2
ds
2
S 2
ρvs32 S 2 2
2
. (8)
Budući da zamjena stvarne raspodjele iznosa brzina strujanja po presjeku toka , s jednolikom, uniformnom (po iznosu v s1 stalnom), srednjom brzinom v s1 , dovodi do pogrešnih, manjih od stvarnih, iznosa protoka kinetičke
energije u promatranom toku , potrebno je iznose protoka Qk ' 1 i Qk ' 2 dane desnim stranama nejednadžbi (7) i (8) pomnožiti s nekim korekcijskim faktorima 1, 2 kako bi ovi bili jednaki stvarnim iznosima protoka Qk 1 i Qk 2 .
61
Qk 1,2 1,2 Q ' k 1,2 .
(9)
37 38 Faktori 1, 2 poznati kao Coriolisov ili Boussinesqov koeficijent . Očito,
Coriolisov koeficijent ili koeficijent kinetičke energije jednak je omjeru stvarnog protoka kinetičke energije Qk i protoka Qk ' kinetičke energije izračunatog zamjenom stvarne raspodjele iznosa brzina strujanja po presjeku toka uniformnom, stalnom, srednjom brzinom iznosa v s ,
2
S
2
v 2dqV v s3S
v v dS 2 2
S
2
v s3S
1 v
3
dS 1 .
S S v s
(10)
Coriolisov koeficijent uglavnom se određuje eksperimentalno. Njegov iznos ovisi o stupnju neravnomjernosti raspodjele brzina u poprečnom presjeku toka. U proračunima u praksi koeficijent često se uzima jednakim 1 što je ekvivalentno pretpostavci da su iznosi brzina toka u svakoj E SC jednaki iznosu srednje brzine cijelog toka.
37
38
Gustave Gaspard de Coriolis (1792- 1843), francuski fizičar.
J oseph Valentin Boussinesq ( čitaj: Businek ), (1842-1929), francuski matematičar i fizičar.
62
U sljedećem poglavlju pokazati ćemo da u slučaju laminarnog režima strujanja u cilindrično j cijevi α = 2 , dok je za turbulentni režim39 α = 1,05 - 1,1. Promotrimo sada članove
dq
V
S
( gh
p
) u izrazu (2).
Iako su iznosi brzina gibanja elemenata fluida različiti u različitim točkama presjeka S toka, pretpostavit ćemo da su na promatranom presjeku strujnice ravne i međusobno paralel ne. Uz tu pretpostavku nema komponenti vektora ubrzanja okomitih na strujnice te se može smatrati da na presjeku S postoji hidrostatička distribucija tlaka koja se podvrgava osnovnoj jednadžbi hidrostatike , to jest , veličina gh+p/ρ 40 može se uzeti konstantnom u svim
točkama presjeka toka i pisati,
ρdqV gh
S
p
p p ρ gh dq ρ gh QV . V ρ ρ S ρ
(11)
const .
Izraz (11) predstavlja protok J / s ukupne potencijalne energije kroz presjek 41 S toka .
Treći član na desnoj strani jednadžbe (2) predstavlja iznos ukupnog rada sila trenja, tj., ukupni gubitak specifične energije između promatranih presjeka 1 i 2 cijelog toka. T ečenjem fluida između presjeka 1 i presjeka 2 jedne ESC u toplinu 39
O turbulentnom režimu strujanja detaljno će biti riječi kasnije.
Crtež … Ovisnost Raspodjela hidrostatičkog tlaka s dubinom h. 40
Izraz gh p C ' nije ništa drugo već dobro nam poznata opća jednadžba hidrostatike za
mirni fluid u polju sile teže, p h C (crtež …). g
41
Protok zbroja specif ične potencijalne energija fluida u polju sile teže i specifične kinetičke energije
kg m m 3 J m 3 s 2 m s s .
63
je prešla s pecifična energija iznosa e12 . Smatrajući (e12 )S srednjom vrijednošću rada sila otpora između presjeka S 1 i S 2 ukupnog toka , posljedn ji član na desnoj strani jednadžbe (2) član može se napisati u obliku,
dqV e12 (e12 ) S dqV S
42
ρ(e12 ) SQV .
(11)
S
Tako Bernoullijeve jednadžba (2) poprima konačni oblik, v s21
2
vs p1 p ρQv gh1 ρQv α2 ρQv gh2 2 ρQV e12 S , ρQv α1 2 ρ 2 ρ 2
odakle nakon dijeljenja s Qv slijed,
gh1
p1
1v s21 2
gh2
p2
2 v s22 2
e12 s .
(12)
U (12) h1 i h2 su visine proizvoljno odabranih točaka na poprečnom presjecim a 1 i 2 toka, p1 i p2 - manometraski tlakovi u tim točkama, v1 i v2 - srednje brzine toka na presjecima 1 i 2, a e12 s iznos specifične energije toka, koja je
tečenjem fluida između presjeka 1 i 2, zbog viskoznosti fluida i trenja o stijenke koje ograničavaju tok, prešla u toplinu. Uočite da u Bernoullijevoj jednadžbi (12) za ukupni tok, u članovima koji se odnose na specifičnu kinetičku energiju fluida, sada pored iznosa srednjih brzina toka vS na promatranim presjecima S 1 i S 2 ukupog toka figuriraju
korekcijski faktori, Coriolisovi koeficijenti. U tlačnim c jevovodima i otvorenim kanalima vrijednosti Coriolisovog koeficijenta leže u intervalu od 1.05 do 1.10. U nekim slučajevima tečenja fluida koeficijent može imati znatno veće vrijednosti. Na primjer, kao što će biti pokazano u odjeljku …., u slučaju laminarnog režima strujanja u cijevi, 2 .
42
Ovdje je S površina bilo kojeg poprečnog presjeka između uočenih presjeka S 1 i S 2.
64
6. Daljnje proširenje Bernoullijeve jednadžbe ( jednadžbe energije ) za E SC realnog nestlačivog fluida Kao što je to već spomenuto, Bernoullijevu jednadžbu (jednadžbu energije) moguće modificirati, „proširiti“, tako da ona dobro opisuje slučajeve u kojima osim gubitaka specifične energije fluida zbog trenja dolazi i do dovođenja energije u ESC kao i odvođenja, “izvlačenja”, ekstrakcije, energije iz ESC. U tom slučaju za presjeke 1 i 2 E SC vrijedi,
tako da Bernoullijeva jednadžba za slučaj stacionarnog tečenja realnog nestlačivog fluida poprima oblik, p1 v12 gh1 2
p2 v22 e A e E gh2 e12 2 dovedena ekstrahirana trenje ( viskoznost )
e A e12 e E
J
43
,
.
kg
Kao mjera za linijski gubitak ukupne specifične energije zbog trenja , to jest, gubitak specifične energije fluida tečenjem između uočenih presjeka 1 i 2 sveden na jedinicu duljine, uvodi se hidraulički nagib ,
ih
43
de12 dl
g
dh12 dl
.
S ciljem familijariziranja čitatelja s dva u hidraulici najčešće rabljena zapisa Bernoullijeve jednadžbe, čas rabimo jedan, a čas drugi zapis. 65
Srednja vrijednost hidrauličkog nagiba [pada linije ukupne specifične energije na jedinicu duljine (1m) u smjeru tečenja] između presjeka 1 i 2 , dana je izrazom,
p1 v12 p2 v22 h1 h2 g 2 g g 2 g e12 ihs l 12
.
l 12
U slučaju jednolikog tečenja, kada v12 v 22 const , . piezometarski nagib i p jednak je hidrauličkom nagibu
ih .
7 . Dovođenje energije toku centrifugalnom crpkom. Riješeni prim jeri U inženjerskoj hidrauličkoj praksi mehanizam lokalnog unošenja specifične energije u tok fluida ostvaruje se pomoću centrifugalne crpke. Slučaj lokalnog povećanja specifične energije toka realne tekućine , radom centrifugalne crpke serijski priključ ene u tok fluida, prikazan je n a crtežu 4 44.
44
Na razini fluida u spremniku linija ukupne energije i piezometarska linija se poklapaju budući da je ovdje
manometarski tlak jednak nuli, a iznos brzine spuštanja razine fluida također se može smatrati jednakim nuli. Zbo g lokalnog gubitka specifične energije fluida na izlazu iz spremnika (na ulazu u vodoravnu cijev većeg presjeka , vidi poglavlje…) primjećuje se pad linije ukupne energije kao u pad piezometarske linije zbog povećanja brzine toka flu ida pri ulasku u cijev. T ečenjem od ulaza u cijev do centrifugalne crpke, zbog viskoznosti fluida i hrapavosti cijevi, dio specifične energije fluida prelazi u toplinu, tj., ukupna specifična 2 energija fluida postepeno se smanjuje, linija ukupne energije se spušta. Za isti iznos v1 , između bilo koja dva
2 g
presjeka šire cijevi, spušta se i piezometarska linija, budući da je c ijev stalnog presjeka te je iznos srednje brzine v1 toka stalan. Djelovanje centrifugalne crpk e, tj. dovođenje mehaničke energije toku izaziva skok linije ukupne specifične energije fluida za H . Međutim, skok piezometarske linije je manji, budući da je izlazna c ijev iz centrifugalne crpke manjeg presjeka, što u skladu s jednadžbom kontinuiteta znači već i iznos srednje brzine v 2 toka fluida i samim time veći iznos visine brzine
v 22 . Zbog postojanja trenja u izlaznoj cijevi iz centrifugalne 2 g
crpk e, primjećuje se postepeni pad obje krivulje pri čemu razlika njihovih o rdinata na svakom presjeku cijevi 2 ostaje stalna i jednaka v2 . Uočite, a to je vrlo značajno , d a rad centrifugalne crpkee povećava specifičnu 2 g
energiju fluida povećavajući dominantno visinu tlaka, odnosno tlačnu energiju , tj., p 2 >> p1 . g
g
66
Centrifugalna crpka povećava ukupnu specifičnu energiju tekućine tako da povećava njezinu tlačnu energiju; rad A crpke nad tekućinom gustoće ρ jednak je povećanju ΔE P njezine tlačne ener gije,
A E P .
A E P J
H povećanje tlačne energije E P u džulima po jednom newtonu težine tekućine izazvano radom crpke. Tada će rad A crpke koji je „prešao“ u povećanju tlačne energije mase m V tekućine volumena V i težine
Neka je
jednake mg newtona , biti jednak,
A E P mg H V g H .
(1)
Ukoliko je crpka energiju A E P tekućini predala tijekom vremenskog intervala t , tada je srednja idealna snaga P i crpke jednaka, P i
A Vg H V ... QV ... QV H , P W , t t t
(2)
Crtež 4 gdje je QV volumni protok.
67
Zbog gubitka energije pri radu crpke (zbog prelaska mehaničke energije trenjem u toplinu), srednja idealna snaga P i dio je stvarne srednja (efektivne) snage P
koju crpka prima od okoline (električne mreže), to jest, P i P , 0 1 ,
(3)
gdje je stupanj korisnog djelovanja pumpe. Iz (1) i (2) stvarna snaga crpke jednaka je
P
P i
QV H
.
(4)
Povećanje ukupne specifične energije (ukupnog tlaka) toka za H J/N , (ili povećanje ukupne specifične energije toka za gΔH po kilogramu mase, H J/kg ) jednako je, H
P
45
gQV
.
(5)
Kada su ΔH , Qv i η poznati, iz jednadžbe (1) moguće je izračunati potrebnu idealnu snagu P pumpe. Povećanje ΔH specifične energije tekućine crpkom naziva se i „visinom dizanja“ crpke.
Bernoullijeva jednad žba za tok sa serijski uključenom crpkom mora uzeti u obzir i povećanje specifične energije za ΔH , tako da se ona zapisuje u obliku, p1 ρ g
h1
v12 2g
H
p2 ρg
h2
v22 2g
.
(6)
U slučaju turbine u strujnom toku (slučaj ekstrakcije energije),
ΔH t < 0. Jedan takav slučaj prikazan je na crtežu 5. Uočljiv je nagli pad linije ukupne energije 1 i piezometarske linije 2 za H t na turbini zbo g odvođenja, ekstrakcije, specifične energije iz toka. Kod 3, postepeno povećanje presjeka cijevi dovodi do pretvaranja specifične kinetičke energije u specifičnu tlačnu energiju, srednja brzina toka se smanjuje, a time se smanjuje i h L ; linije 1 i 2
približuju se i identične su na slobodnoj površini tekućine u nižem spremniku. 45
Veličina H nosi i naziv izlazna tlačna visina . 68
Srednja stvarna snaga N t turbine jednaka je, N t t N t ,i t g QV H t ,
pri čemu su N t ,i i djelovanja turbine.
t
P W ,
(7)
srednja idealna snaga turbine i stupanj korisnog
Prema namjeni turbine mogu biti visoko tlačne ( H t i do 500 m) i visoko 3 -1
protočne ( QV i do 500 m s ).
Crtež 5 Primjer Voda se crpi volumnim protokom iznosa Qv 0.1 m3s 1 kroz cjevovod čiji je dio prikazan na crtežu 1. Zanemarujući gubitke energije odredite snagu pumpe ako je njezina efikasnost η = 90% ?. Tlakovi na presjecima 1 i 2 su p1 20 kNm2 i p2 195 kNm2 .
69
Crtež 1 Pišemo proširenu jednadžbu energije za pres jeke 1 i 2 cjevovoda, p1 g
h1
v12 s 2 g
H
p2 g
h2
v22 s
, 2 g
(1)
u kojoj je specifična energija što ju svake sekunde u tok unosi crpka. Iz (1) za H slijedi, H
p2 p1 g
h2 h1
195 20kNm2 103 kgm 3 9.81ms 2
8Qv2 1
1 4 4 g D1 D2
1.5m 1m
80.1m3 s
1 2
1 1 4 9.81ms 2 0.1m 0.5m 4
17.839m 0.5m 6.6284m 24.97m .
Snagu crpke izračunat ćemo iz izraza, H
P i gQv
P gQv
,
(4)
u kojem H h A , P
gQv hA
103 kgm3 9.81ms 2 0.1m3 s 1 24.967m 0.9
27.21 kW .
Primijetite da energija što ju crpka unosi u tok „ide“ u povećanje tlačne energije, to jest, povećanje tlaka u fluidu u toku nakon crpke.
70
Primjer Specifična energija ekstrahirana na turbini 2-3 iznosi 60 m (crtež 2 ). Tlak u točki 1 je 5 bara. Ukoliko je gubitak s pecifične energije između točaka 3 i 4
cjevovoda jednak
2.0
v s2,
o.6
2 g
metara, a između
1
i
2, 3.0
v s2,
o.3
2 g
metara,
odredite: a.) volumni protok Qv vode, b.) tlačnu energiju u točki 3 cjevovoda. c.) Nacrtajte (kvantitativno) liniju ukupne specifične energije.
Crtež 2 5 10 Pa v02.3 (J/N) toka a.) Očito, specifič na energija 75m 3 3 2 2 10 kgm 9 . 81 ms 2 9 . 81 ms vode u točki 1, veća je od specifič ne energije 45m (J/N) toka u točki 4 ( 45 m ), tako da voda cjevovodom teče od spremnika 1 prema spremniku 4.
Da bi mogli odrediti iznos volumnog protoka QV nužno je poznavati iznos srednje brzine toka u jednoj od cijevi poznatog promjera. S tim ciljem na umu, pišemo proširenu jednadžbu energije za dio cjevovoda od točke 1 do točke 4 , 2 2 5 10 Pa v v0.3 v0.6 60m 0 45m ( 0) . (1) 3 3.0 2.0 75m 3 2 10 kgm 9.81ms 2 g 2 g 2 g to . 4 to . 1 linijski gub itak od 1 do 2 linijski gub itak od 3 do 4 3
2 0.3
č
č
Prema jednadžbi očuvanja mase (jednadžbi kontinuiteta) je, 2
2
0.6 0.3 v0.6 v0.3 , 2 2
71
v02.6
odakle,
Uvrštenje (2) u (1) za
v02.3 2 g
1 16
v02.3 .
(2)
daje, v02.3 2 g
9.87 m ,
odnosno, v0.3 14.0 ms1 ,
tako da za iznos volumnog protoka QV slijedi 2
0.3m 1 3 1 QV 14 ms 0.99 m s . 2
b.) Da bi odredili tlačnu energiju
p3 g
u točki 3 cjevovoda, pišemo jednadžbu
energije za dio cjevovoda od točke 3 do točke 4 , uzimajući pritom za referentnu razinu ravninu koja okomito na ravninu crtnje, vodoravno, prolazi točkom 3. Dakle, p3 p3 g
g 1
0
0
16
v02.6 2 g
2.0
9.87 m 2.0
v02.6 2 g 1 16
0 15 ( 0) ,
9.87 m 0 15 ( 0) ,
odakle je traženi iznos specifične tlačne energije u točki 3 cjevovoda jednak p3 g
15.6 m .
Naravno, primjena jednadžbe energije na dio cjevovoda između
točaka 1 i 3 , daje jednaki rezultat.
c.) Kvantitativno crtanje linije ukupne specifične energije zahtijeva poznavanje njezinog iznosa u točkama 1 , 2 , 3 i 4.
U točki 1 ukupna specifična energija vode jednaka je, 5 103 Pa 51m 75m 9.87m 135.87m . 75 m 9 . 87 m E 1 3 3 2 10 kgm 9.81ms toč . 1
U točki 2 ,
72
Crtež 2' E 2 135.87m 3.0
v02.3 2 g
m 135.87m 3.0 9.87m 106.3m ,
u točki 3 , E 3 106.3m 60m 46.3m ,
te konačno u točki 4 , E 4 46.3m 2.0
v02.6 2 g
46.3
1 v02.3 16 g
46.3 1.3m 45m .
Kvantitativno, linija ukupne specifične energije prikazana je na crtežu 2'.
Primjer
Crtež 1 Ulje relativne gustoće
r 0.761 teče iz spremnika A u spremnik E, kako je
to prikazano crtežom 1. Gubitci specifične energije mogu se procijeniti kako
73
slijedi:
h AB 0.6
vs2,0.3 2 g
je promjer jednak
, pri čemu je v s2,0.3 iznos srednje brzine toka u cijevi BC čiji
d 0.3 m ; h BC 9
vs2,0.3
;
hCD 0.4
2 g
vs2,0.15 2 g
;
h DE 9
vs2,0.15 2 g
. Odredite:
a.) Volumni protok Q , v b.) tlak u točki C, c.) snagu toka s obzirom na razinu h = 0 vodoravnu ravninu koja prolazi točkom E.
a.) Pišemo proširenu jednadžbu energije ( Bernoulijevu
jednadžbu za realnu
tekućinu) odabirući pritom za razinu h = 0 vodoravnu ravninu koja prolazi točkom E, 2 2 2 v s2,0.3 v s , 0.3 v s , 0.15 v s , 0.15 0.4 0 ( 0) 0 , 9 9 0 ( 0) 12m 0.6 2 g 2 g 2 g 2 g A AB BC DE CD
(1)
ili, 12m 9.6
v s2,0.3 2 g
m 9.4
vs2,0.15 2 g
m.
(2)
Kako za površine presjeka cijevi vrijedi, 2
2
0.3m 0.15m 4 4S 0.15 , S 0.3 2 4 2 4
(3)
to je u skladu s zakonom o očuvanju mase (jednadžbom kontin uiteta), S s ,0.3 v s ,0.3 S 0.15 vs,0.15 , v s , 0.3
S 0.15 S 0.3
v s ,0.15
v s2, 0.3
1 16
1 4
v s , 0.15 ,
v s2, 0.15 .
(4)
Nakon uvrštenja (4) u (2) slijedi, 2
12m
9.6 v s ,0.15 16 2 g
v s ,0.15
m 9.4
(12m) g 5
v s2,0.15 2 g
m5
vs2,0.15 g
4.85 ms1 ,
, (5)
74
tako da je traženi iznos volumnog protoka
Qv jednak,
2
0.15m Qv S 0.15 v s ,0.15 4.85 ms 1 0.0857m3 s 1 . 2
b.) Da bi odredili iznos manometarskog tlaka u točki C, proširenu jednadžbu
energije pišemo za točku A kao početnu i točku C kao krajnju točku str ujne 46 cijevi (strujnice) , pri čemu za razinu h = 0 odabiremo vodoravnu ravninu koja prolazi točkom A, 0 ( 0) 0 (0.6 9)
v s2,0.3 2 g
pC g
0.6m
v s2,0.3 2 g
.
(6)
Prema (4) i (5) je, v s2,0.3 2 g
2 1 v s , 0.15
16 2 g
1 16
1.199 m 0.075 m ,
Uvrštenjem vrijednosti (7) u jednadžbu (6) za pC g
10.6
vs2,0.3 2 g
pC g
(7)
slijedi,
0.6m 10.6 0.075m 0.6m 1.395m ,
tako da je manometarski tlak u točki C jednak, pC r H 2O g ( 1.395) 10414 Pa .
Kao što se iz rezultata vidi, u točki C ulje teče pri tlaku koji je za 10414 Pa niži od atmosferskog tlaka.
c.) Snaga toka u točki C (izabere li se za razinu h = 0 vodoravna ravnina k oja
prolazi točkom E),
3 3 3 3 1 P C gQV H C ) r H 2O gQV H C 0.76110 kgm 9.81ms 0.0857m s (1.395m 0.075m 12.6m)
P C 7.22 kW .
46
Naravno, jednad ž bu energije mogli smo, s jednakim rezultatom, primijeniti na to č ku C kao poč etnu i E kao krajnju to č ku. 75
8. Račun Coriolisovog koeficijenta za slučaj laminarnog strujanja u cijevi Laminarno strujanje (neturbulentno gibanje) fluida karakterizira gibanje fluida u obliku sustava međusobno paralelnih slojeva čiji su iznosi brzina u odnosu na inercijski referentni sustav, različiti. Atribut – laminaran – opisuje jedno od tri
načina ponašanja slojeva fluida uz čvrstu stjenku (druga dva su prelazni i 47 turbulentni režim strujanja). Pri laminarnom strujanju čestice fluida gibaju se duž uređenih putanja koje se ne presijecaju. Račun pokazuje (a pokus to potvrđuje) da je u slučaju laminarnog strujanja sijalnog šupljeg cilindra tekućine ovisnost iznosa brzine gibanja tankog koak 48
polumjera r opisana izrazom , v( r )
p1 p 2 4 L
R r , 2
2
(1)
u kojem je p1 - p2 - razlika statičkih tlakova na presjecima 1 i 2 između kojih je gibanje fluida laminarno , L – međusobna udaljenost presjeka 1 i 2, μ - dinamička viskoznost fluida, a R - polumjer cilindrične cijevi
47
Detaljnije o laminarnom i turbulentnom strujanju fluida biti će riječi kasnije. U prelaznom
režimu strujanja glatki “slojeviti” tok biva narušen s pojavom miješanja čestica između slojeva. U turbulentnom režimu strujanja, čestice susjednih slojeva fluida intenzivno se miješa ju. 48
Ovaj izraz izveden je u jednom od kasnijih odjeljaka. 76
Crtež 1. Iz (1) slijedi da po iznosi najveću brzinu strujanja iznosa vma x
p1 p2
R 2
4 L imaju elementi fluida u ESC, u strujnoj nit i, koja leži na osi cijevi i za koju je r = 0. Da bi prema izrazu (9) iz prethodnog poglavlja, 3
1 v α dS , S v s
izračunali Coriolis-Boussinesq-ov koeficijent za laminarni režim strujanja, najprije trebamo odrediti iznos srednje brzine v s strujanja. Ako je QV volumni protok kroz promatranu cijev, a S površina njezinog poprečnog presjeka, tada je iznos srednje brzine laminarnog toka jednak,
r
dr
dS 2r dr
v s
Qv S
1 S
v(r )dS
p1 p2 1 4μL
R
R R π 2
2
r 2 2r dr
0
R R 2 4 p1 p2 2π 2 p p R R 3 1 2 2 R rdr r dr R 0 2LR2μ 2 4 4μL R2 π 0 R 4 p p2 2 vmax v s 1 R . 4
8 L
2
77
Budući da je Coriolis-B oussinesq-ov koeficijent dan izrazom, 1 v
α
3
dS ,
S S v s
3
v(r ) moramo naći veličinu . Ona je jednaka, v s v(r ) v s
2 R r 2
R2
,
3
v(r ) 8 R r , 6 R v s 3
2
2
2
tako da za Coriolisov koeficijent u slučaju laminarnog režima tečenja slijedi, R 2 - r 2 α
1
8
R 2 π R6
R
( R
2
r ) 2rπdr 2 3
0
8 R8
R
(R
2
r ) 2rdr 2 3
0
u
du - 2rdr r 0, u R 2 r R, u 0
R R 8 3 8 u4 8 R8 = 8 u du 8 8 2 , R 0 R 4 R 4 0 2
2
kao što je to već nagoviješteno u prethodnom poglavlju.
8.1 Račun Coriolisovog koeficijenta za slučaj turbulentnog strujanja kroz naglo proširenje Promotr imo strujanje realnog fluida u cijevi prikazanoj na crtežu. Strujanje fluida u cijevi čiji je promjer D1 (presjek 1 ) je turbulentno49 , a stvarni profil brzine je takav da se relativno malo razlikuje od profila u kojemu je brzina konstantna i jednaka v s1 duž čitavog presjeka
49
Vidi poglavlje 11. 78
Crtež 67 Stoga je α ≈ 1. Naime, 3
3
v S 1 1 v s1 dS dS 1 . 1 1 S 1 S v s1 S 1 v s1 S 1 1
1
Međutim, u presjeku 2 situacija je drugačija; rad sa srednjom brzinom v s 2
v s1
4 izračunatom iz jednadžbe kontinuiteta unosi bitno odstupanje iznosa protoka specifične kinetičke energije od njegovog stvarnog iznosa. Naime, pri naglom
širenju cijevi, tok vode širi se postepeno kao rezultat miješanja središnjeg mlaza i okolnih vrtloga, tako da je stvarni profil brzine strujanja na presjeku 2 onaj prikazan punom linijom. Aproksimira li se ovaj stvarni profil sa profilom prikazanim izlomljenom linijom 1-2 , 2-3 , 3-4 , 4-5 i 5-6 , tada izraz za Coriolisov koeficijent α na presjeku 2 daje, 3
3 3 v 1 v 1 v s1 1 s1 dS α dS dS 2 D 2 2 D2 π v s1 S 1 S2 s vs 2 v 2 2 π S s 2 4 S 4 4 2
1
2
1
2
D 4 3 D π 1 2 4 1 64 1 64 16 . D2 π 4 2 D2 2
2
Udaljavanjem od presjeka 2 profil brzine se izravnava i sve više poprima profil brzine pri laminarnom strujanju, a α postaje približno jednak 1 kao na prvom profilu.
79
9. Neki primjeri praktične primjene Bernoullijeve jednadžbe
9.1 Mjerenje protoka Venturijevim vodomjerom (venturimetrom ) Najjednostavniji način mjerenja volumnog protoka QV tekućine pri malim brzinama je onaj u kojem tekućina u promatranom toku istječe u posudu točno poznatog volumena, a vrijeme t punjenja posude mjeri se zapornom urom. U tom slučaju volumni protok QV dan je jednostavnim izrazom QV
V , t
u kojem je V volumen posude, a t vrijeme njezinog punjenja. Ukoliko su iznosi brzina strujanja ispitivanih tokova velike, u praksi se protoci, volumni QV i maseni Qm mjere posebnim instrumentima od kojih je jedan Venturijev vodomjer 50.
50
Giovanni Battista Venturi (1746 – 1822), talijanski prirodoslovac. 80
Crtež 1.Venturijeva cijev
Crtež 2. Venturijev vodomjer shematski
Prednost Venturijevog vodomjera pred drugim uređajima je jednostavnost konstrukcije i otsutnost u njemu bilo kakvih pomičnih mehaničkih dijelova.
Venturijevi vodomjeri mogu biti horizontalni i vertikalni (crteži 1 i 2). Naša daljnja rasprava odnositi će se na horizontalni Venturijev vodomjer .
Pođimo od oblika Bernoullijeve jednadžbe za stacionarni tok idealne nestlačive tekućine u kojem se svaki član mjeri u J/kg , a referentnu ravninu h = 0 polo žimo kroz središnju strujnicu okomito na ravninu crteža 3,
Crtež 3 p1 ρ g
v12 2g
p2 ρg
v22 2g
(1)
Budući da je razlika piezometarskih visina na presjecima 1 i 2 jednaka h ,
81
p1
p2
g g
h,
(2)
to iz (1) i (2)slijedi,
v2 v1 2
h
2
2 g
.
(3)
Kako je u s kladu s jednadžbom kontinuiteta,
S1 v1 S2 v2 ,
(4)
to iz izraza (3) i (4) za srednju brzinu v 2 toka na presjeku 2 dobivamo, v2
2 gh
s 1 2 s1
2
,
dok je volumni protok jednak,
QV v2 S2 S2
2gh
.
2
(5)
S 2 S 1 Zbog neizbježnih gubitaka energije između promatranih presjeka S 1 i S , izraz 2 (5) za volumni protok Qv neće dati stvarnu vrijednost protoka. Ova činjenica uzima se u obzir uvođenjem korekcijskog faktora m u izraz (5), tj., 1
QV mS 2
2gh
S 2 S 1
2
.
(6)
1
Za svaki vodomjer korekcijski faktor m određuje se eksperimentalnim putem
(baždarenjem) pri različitim brzinama fluida. U praksi koristi se izraz,
QV c h , u kojem se koeficijent c , c ms2
2 g
s 1 1 s2
2
82
naziva konstantom vodomjera koja za svaki pojedini vodomjer ima točno
određenu vrijednost. Često se razlika statičkih tlakova u presjecima 1 i 2 mjeri diferencijalnim manometrom (obično živinim , crtež 4).
Crtež 4 Kako je u tom slučaju, p1 p2 gh1 ρ ž ρ ,
pri čemu je ρ ž gustoća žive, to je volumni protok QV jednak,
1 c h . 1 1 S 2 1 S 1
2 g Qv mS 2
ž
(7)
Umjesto izračuna protoka prema izrazu (7), protok tekućine često se određuje
na temelju baždarene krivulje dobivene eksperimentom. Primjer takve krivulje ovisnosti volumnog protoka Qv (ls 1 ) o h u mm žive, dan je na crtežu 5 .
83
Crtež 5
9.2 Mjerenje protoka standardiziranom sapnicom i standardiziranim zaslonom Drugi široko rasprostranjeni uređaji za mjerenje protoka su standardizirana sapnica i standardizirani zaslon. Standardi zirani zaslon obično je oblika plosnatog prstena koji se stavlja između prirubnica cjevovoda (crtež 6.). Unutarnji rubovi prstena su ili zaobljeni ili pod kutom od 45˚. Protok se određuje na temelju razlike razina u cijevima piezometara prema izrazu analognom za Venturijev vodomjer,
Crtež 6
84
Q= c h
pri čemu se koeficijent c određuje eksper imentom za svaki tip dijafragmi posebno. Za mjerenje protoka u prirodnim tokovima (rijekama) i otvorenim kanalima koristi se hidrometrijsko krilo. Da bi se odredio iznos Qv protoka postupa se na
sljedeći način.
Crtež 7 . Živi presjek toka crta se u mjerilu i dijeli na niz elementarnih presjeka (ΔF)1 , (ΔF)2 ,... (ΔF)n (crtež 7 ). Hidrometrijskim krilom mjere se iznosi brzina v1 , v2 , ..., vn toka u težištima c1 , c2 , ... cn svakog elementarnog presjeka. Elementarni volumni protoci kroz te presjeke jednaki su, q1 = v1(ΔF)1 , q2 = v2(ΔF)2 , ... , q n= vn(ΔF)n , dok je ukupni volumni protok Qv jednak je, n
Qv= qi v1(ΔF)1 + v2(ΔF)2 + ... + v n(ΔF)n . i 1
85
Sifon 51
Sifon je uređaj koji omogućava crpljenje fluida iz spremnika bez primjene crpke. Kao što prikazuje crtež 1, najjednostavniji sifon je komad gumene cijevi čiji je jedan kraj cijevi uronjen je u fluid do dubine d, dok je drugi kraj postavljen H
ispod razine slobodne površine fluida u spremniku. Kao što iskustvo pokazuje, nakon uranjanja cijevi na pisani način, ništa se ne događa. Međutim, nakon isisavanja zraka kroz slobodni kraj cijevi kako bi se uspostavio tok, ovaj se nastavlja.
Crtež 1 51
Za sifon je karakteristično da se izdiže iznad linije ukupne energije (LUE). U velikoj većini slučajeva cijevi su smještene daleko ispod LUE, tako da je fluid u njima pozitivan i mnogo veći od atmosferskog. Nalazi li se, međutim, dio cijevi iznad LUE, čak iako se izlazni otvor sifona nalazi ispod razine slobodne površine, tok se u sifonu neće uspostaviti jer je tlak u dijelu cijevi iznad LUE negativan, to jest, manji od atmosferskog. Da bi se uspostavio tok u sifonu, potrebno je iz cijevi isisati zrak, stvoriti vakuum (tlak zraka manji od atmosferskog).
Kad je to ostvareno, atmosferski tlak na slobodnoj površini fluida potisnut će fluid u smjeru manjeg tlaka i tok će se uspostaviti. 86
Rad sifona raspravit ćemo uz pretpostavku stacionarnog strujanja idealnog fluida. Uočit ćemo strujnicu koja započinje u točki A na slobodnoj površini fluida u spremniku velikih razmjera. Primijenimo li jednadžbu energije (Bernoullijevu jednadžbu) između točke A na slobodnoj površini fluida i točke D na izlazu iz sifona, zanemarujući iznos brzine strujanja u točki A (iznos brzine spuštanja razine fluida je zanemariv), nakon izbora slobodne površine za referentnu ravninu h = 0 , imamo, pa g
00
pa g
H
v2
,
(1)
2 g
odakle za iznos brzine istjecanja iz sifona slijedi, v 2 gH .
(2)
Da bi istražili utjecaj položaja cijevi na protok Q kroz sifon, Bernoullijevu jednadžbu napisat ćemo za točke C i D strujnice stavljajući u nju apsolutne vrijednosti tlakova, pC g
h
2 vC
2 g
p D g
H
v D2 2 g
.
(3)
Kako su iznosi vC i v D srednjih brzina strujanja u točkama C i D međusobno jednaki, te budući da je p D pa , gdje je pa atmosferski tlak, to za apsolutni tlak pC u C dobivamo, pC pa g (h H ) ,
(4)
odakle zaključujemo da je tlak u točki C niži od atmosferskog . Odlučimo li povećati protok tako da uz konstantni iznos od h povećavamo H, tlak u točki C smanjivat će se sve do tlaka para p p fluida na danoj temperaturi što će dovest i do isparavanja fluida i pojave mjehurića pare fluida u točki C i imati za posljedicu prekid toka fluida kroz sifon. Najveći protok bit će za pc pv , to jest za najveću vrijednost od H jednaku, H C
pa pv g
h.
Iz (5) zaključujemo da će protok kroz sifon biti najveći kada je
(5) h 0.
Uvrštenje
(5) u (2), za iznos brzine istjecanja iz sifona daje,
87
pa pv
h , g
v 2 g
(6)
tako da je protok jednak, pa pv
h , g
Q S 2 g
(7)
gdje je S površina presjeka sifona. Za h 0 slijedi, v 2
pa pv
,
(8)
i Q S 2
pa pv
.
(9)
Primjer Vrh sifona nalazi se 1m iznad, a njegov izlaz 7m ispod razine slobodne površine vode u spremniku velikih razmjera (crtež 1 ). V oda iz sifona slobodno istječe u atmosferu. Odredite a.) iznos srednje brzine istjecanja vode te b.) iznos apsolutnog tlaka u vršnoj točki B sifona.
Crtež 1
Crtež 2
Strujanje ćemo smatrati stacionarnim, što znači da pretpostavljamo da se elementi fluida gibaju duž strujnica (crtež 2). Budući da se radi o spremniku velikih razmjera, slobodna površina fluida sporo se spušta, tako da je dopustivo 88
zanemariti iznos brzine toka u točki A strujnice, to jest, v A 0 . Kako su manometarski tlakovi u točkama A i C strujnice jednaki su nuli, p A pB 0 , to Bernoulijeva jednadžba napisana za točke A i C strujnice, ima oblik, 0 0 0 0 7m
v2
,
2 g
odakle je iznos v srednje brzine istjecanja vode iz sifona, v 2 9.81ms 2 7m 11.72ms 1 .
Da bi odredili tlak u točki B strujnice, napisat ćemo Bernoullijevu jednadžbu za točke A i B uvrštavajući u Bernoullijevu jednadžbu apsolutne vrijednosti tlakova, pa g
00
pb g
2m
v2 2 g
.
Dakle, apsolutni tlak pb u vršnoj točki B sifona je, p B pa 2m g
v 2 (11.72ms1 ) 2 11.7 kPa , pa 2m g 105 Pa 103 kgm3 2m 9.81ms 2 2 2 2
v 2
dok je manometarski tlak jednak p B 88.3 kPa .
Primjer Spremnik za vodu velikih razmjera prazni se pomoću sifona promjera d = 500 mm. Odredite a.) najveću visinu hB njegovog vrha B tako da pri protoku QV = 2.15 m 3 s-1 apsolutni tlak u vrhu sifona neće pasti ispod
pap = 20 kP, b.) geodetsku visinu hc njegovog kraja. Atmosferski tlak je pa = 1 bar. Sve gubitke energije zanemarite. Srednja brzina toka u sifonu je, v s
QV S
4QV 2
d
4 2.15m3 s 2
1
(0.5m)
10.95ms 1 ,
dok je specifična kinetička energija toka jednaka, v s2 2 g
(10.95ms 1 ) 2 2 9.81ms
2
J 6.11m . kg
U točkama A i C strujnice (crtež 1) manometarski tlakovi je jednaki su nuli.
89
Jednadžba energije, to jest Bernoullijeva jednadžba, napisana za točke A i B strujnice, glasi, 80 103 Pa 000 3 h B 6.11m , 10 kgm 3 9.81ms 2
Crtež 1 odakle za traženu visinu h B slijedi, h B 8.15m 6.11m 2.04m .
Uzme li se za ravninu h = 0 vodoravna ravnina koja prolazi točkom C, tada jednadžba energije napisana za točke A i C glasi, 0 hc 0 0 0 6.11m ,
to jest, hc 6.11m ,
Odnosno, razina izlaza iz sifona mora se nalaziti 6.11 m ispod razine vode u spremniku.
Primjer Iz spremnika velikih razmjera voda se crpi pomoću sifona čiji se promjer od
d 1 = 30 mm, na kraju smanjuje na promjer sapnice d 2 = 20 mm. Sapnica na izlazu iz sifona nalazi se 2.5 m ispod razine vode u spremniku (crtež 1). Uz pretpostavku da nema gubitaka energije, kod atmosferskog tlaka od 101 kPa, odredite a.) srednju brzinu na izlazu iz sapnice, b.) volumni protok, c.) najveću visinu h sifona ako apsolutni tlak na središnjoj strujnici u najvišoj točki B ne smije pasti ispod 50 kPa. 90
Crtež 1
Crtež 2
a.) Bernoullijeva jednadžba napisana za točke A i C strujnice (crtež 2)glasi, 0 0 0 0 2.5m
v22
,
2 g
odakle je iznos v2 srednje brzine strujanja iz sapnice jednak, 2 9.81ms 2 2.5m 7ms 1 .
v2 QV S 2v2
b.)
d 22 4
v2
0.02m2 4
7m 2.2 ls 1 .
2
d 2 v1 v2 2 7ms 1 3.11ms 1 . S 1 3 d 1 v2 S 2
c.)
2
Sada pišemo Bernoullijevu jednadžbe za točke A i B strujnice (crtež 2) , 000
p B g
h
v12
,
2 g
i za traženu najveću visinu h dobivamo, 51103 Pa 3.11ms 1 h 3 5.199m 0.493m 4.71m. g 2 g 10 kgm 3 9.81ms 2 2 9.81ms 2
pB
v12
2
91
Crtež
fona promjera Iz jednog u drugi spremnik voda se pretače pomoći si d = 150 mm i s λ = 0.033. Ulaz u sifon opremljen je usisnim košem sa zapornim ventilom (ξ uk = 6). D uljina sifona je L = 10 m, usisnog dijela koljena L 1 = 4.5 m, razmak između slobodnih površina u spremnicima h = 1.54 m, polumjer zakrivljenosti koljena sifona R = 260 mm, dok je kut što ga zatvaraju 0 ulazni i izlazni dio sifona α = 80 . K oliki je volumni protok QV ?
Bernoullijeva jednadžba za točke A i C glasi (crtež ), v 2 L v2 0 h A 0 uk k iz 0 hC , 2 g d 2 g
pri čemu su
uk -
koeficijent otpora usisnog koša, a
(1)
u - koeficijent otpora koljena
sifona. Za iznos srednje brzine toka u sifonu iz (1) slijedi, v
2 gh L 1 uk k iz d
.
(2)
Iznos uk koeficijenta otpora koljena izračunat ćemo prema Weisbachovom izrazu, 3.5 3.5 d 0.15m 800 k 0.131 0.16 0 0.131 0.16 0 0.137 . R 90 0 . 26 m 90
92
Uvrštenjem brojčanih vrijednosti u(2), za iznos srednje brzine dobivamo, 2 9.81ms 2 1.54m v 10m 1 6 0.137 0.033 0.26m
30.215 8.41
1.9 ms 1 ,
dok je traženi iznos volumnog protoka jednak, QV
d 2 4
v
0.15m 2 4
1.9ms 1 0.0336 m3s 1 .
93
10. Primjena Bernoulijeve jednadžbe u
slučajevima stacionarnog bezvrtložnog tečenja idealnog i realnog nestlačivog fluida. Riješeni primjeri
Crtež 1 Primjer
Koliki je protok idealne tekućine gustoće ρ = 10 3 kgm-3 kroz cijev prikazanu na crtežu? Kolika je visina h1 stupca tekućine u piezometru (vertikalna cijev)? Površina presjeka spremnika mnogo je veća od površina presjeka cijevi. Poznato je: d 1 = 1.6 cm, d 2 = 3.6 cm. h0 = 1 m, α = 1.06.
Crtež 2
S ciljem da izračunamo iznos v2 srednje brzine toka u cijevi promjera d 2 , napisat ćemo Bernoullijevu jednadžbu od presjeka 0 do presjeka 2,
1
p0 g
h0
v0 2 g
p2 g
0
v22 2 g
.
(1)
Kako je v0 0 , baš kao što su nuli jednaki i manometarski tlakovi p1 i p2 na presjecima 1 i 2, to za iznos v2 brzine toka u cijevi promjera d 2 te volumni protok QV , slijedi, 2 gh0
v2 QV S 2v2
d 22 4
2 9.81ms2 1m
1.06
,
3.6 10 m 4.3ms 2
2
2 2
v
4.3 ms1 1
4
4.38 ls1 .
Da bi odredili visinu h1 stupca tekućine u piezometru, Bernoullijevu jednadžbu treba napisati od presjeka 0 do presjeka 1, pa g
h0 0
pa gh1 g
0
v12 2 g
.
(2)
U skladu s jednadžbom kontinuiteta je, d 12 v1
2
v1
d 22 v2 ,
d 2 d 1
4 2
v2
,
tako da (2) daje, h0
h1
v12
2 g ,
odakle je visina h1 jednaka, 4
d 2 2 v2 h1 h0 2 g d 1 4 1.06 1.6 1 2 h1 1m 4 . 3 ms 2 9.81ms 1 3.6 , h1 1m 0.039m ,
h1 0.961 m .
2
Primjer Cijev AB promjera 40 mm duga je 5m. Promjer cijevi BC je 30 mm, dok joj je duljina 3 m. Kroz cijev ABC teče voda volumnim protokom od 1.75 ls -1. Ako je kod A izmjeren manometarski tlak p A = 250 kPa, a gubitak zbog hrapavosti cijevi tečenjem od A do C iznosi 1.4 m, koliki je tlak kod C? Gubitke specifične energije na koljenu i zbog proširenja cijevi, zanemarite. Kao u prethodnom primjeru, da bi odredili iznos
srednje brzine toka kod C, Bernoullijevu jednadžbu pišemo za presjeke A i C, p A g
0
v A2 2 g
1.4m
pC g
5m
2 vC
2 g
,
odakle je, pC
Crtež
p A
g g
1
v
2 g
2 A
vC 2 6.4m .
(1)
Primijenjujući jednadžbu kontinuiteta pišemo, d v A 2 d 1
2
vC ,
2 A
v
d 2 d 1
4 2 C
v ,
vC
4QV d 22
,
2 C
v
16QV 2 d 24 2
,
čime (2) prelazi u, d 2
16Q 2 pC p A 1 4 V 2 (6.4m) g , 2 d 2 d 2 4
(2)
što za manometarski tlak kod C daje, pC 250 10 Pa 3
103 kgm3 2
0.03 4 161.75 103 m3 s 1 (6.4m) 9.81 103 Nkg 1 , 1 4 2 0.04 0.03m
pC 250 103 Pa 6.582 103 Pa 62.784 103 Pa , pC 180.6 kPa .
3
Primjer
Crtež 1
Smatrajući obje tekućine idealnima i nestlačivima (voda i ulje gustoće ρ0 = 0.86. 10 3 kgm-3 ), odredite maseni protok Qm kojim, u trenutku otvaranja pipca istječe voda iz spremniku prikazanog na crtežu. Spremnik je kružnog poprečnog presjeka polumjera 1 m i otvoren je prema atmosferi . Tok je stacionaran. Pišemo Bernoullijevu jednadžbu za točke 1 i 2 strujnice (crtež 1), p1 g
1.2m
v v12 2 g
p2 g
0
v22 2 g
.
(1)
Manometarski tlakovi u točkama 1 i 2 jednaki su, p1
0 g 0.9m ,
p2 0 .
(2)
Budući da je protok na poprečnom presjeku spremnika jednak protoku na ispustu, to u skladu s jednadžbom kontinuiteta vrijedi jednakost, 2 1
v
d 2 d 1
4
v22
(3)
Uvrštenje (2) i (3) u (1) daje, 0 g 0.9m v g 1.2m
v22 2
d 4 1 2 , d 1
(4)
odakle za iznos brzine istjecanja vode iz spremnika slijedi,
4
v2
2 g 0 0.9m v 1.2m
d 4 v 1 2 d 1
.
(5)
Maseni protok u trenutku otvaranja pipca jednak je, Qm
vQv v S 2v2 v
Qm
10
3
kgm
3
d 22 4
4 10 m 2
4
2
2 g 0 0.9m v 1.2m
,
d 4 v 1 2 d 1
7.820 kgs .
2 9.81ms 2 0.86 103 kgm3 0.9m 103 kgm3 1.2m
0.04m 2m
103 kgm3 1
4
1
Primjer
Crtež 1 Na stolu leži zatvorena posuda do visine h1 = 0.9 m napunjena vodom. Tlak zraka iznad površine vode u posudi četiri puta je veći od atmosferskog . Visina posude je H = 1.3 m. I zlazni ventil nalazi se na visini h 2 = 0.45 m. a.) Odredite iznos srednje brzine stacionarnog toka vode u trenutku kada se pipac otvori. b.) K oliki je iznos srednje brzine toka vode u trenutku kada se razina vode u posudi spusti na h1 /2. (N apomena: u sladu s Boyle-Mariotovim zakonom vrijedi: p1V 1 = p 2V 2 ).
5
a.) Napiše li se Bernoullijeva jednadžba za točke 1 i 2 strujnice (crtež 1) te uvaži da su manometarski tlakovi p1 i p2 jednaki, p1 3 pa , p2 0 ,
dolazi se do jednadžbe oblika 6 pa
2 g h1 h2 v22 ,
iz koje, za iznos brzine u trenutku otvaranja pipca, slijedi,
v2
6 pa
2 g (h1 h2 )
6 1.01105 pa 3
3
10 kgm
2 9.81ms 2 0.9m 0.45m 24.8 ms 1 .
b.) v2
8 pa H h1 H h2
2 p2
g (h1 2h2 ) .
Primjer
Podmornica miruje na dubini h = 100 m ispod površine mora. Koliki je iznos srednje brzine kojom voda teče u podmornicu kroz mali kružni otvor O nastao na oplati? Koliki volumen vode će prodrijeti u podmornicu tijekom jednog sata ako je dijametar nastalog otvora u oplati d = 2 cm. Tlak zraka u podmornici je atmosferski. Promjenu tlaka u podmornici zanemarite, a za gustoću morske vode uzmite ρm = 10 3 kgm-3. Uočimo točke 1 i 2 strujnice prikazane na crtežu. U točki 1, gdje strujnica praktički započinje, dovoljno udaljenoj od otvora O na oplati podmornice, vlada manometarski tlak jednak p1 gh , dok je iznos
Crtež 1 brzine toka vode u toj točki praktički jednak nuli,
v1 0 .
U točki 2 strujnice, u
utrobi podmornice, voda se nalazi pod atmosferskim tlakom pa , tako da je p1 0 , a iznos brzine toka ovdje je v2 . Budući da se radi o strujnici na razini h
=0 (tako smo odabrali razinu h = 0), to Bernoullijeva jednadžba napisana za točke 1 i 2 glasi,
6
gh 0
v 2 ( 0) 2 g
0 0(h 0)
v2
,
2 g
tj., iznos v brzine utjecanja vode u podmornicu jednak je, v 2 gh 44,3ms1 . Volumen V vode koja će tijekom jednog sata prodrijeti u podmornicu kroz otvor poprečnog presjeka S jednak je,
d V Q t Svt 2 d V 2
2
v t ,
2
t 2 gh ,
V (10 2 m) 2 3,6 103 s 2 9,81ms 2 102 m ,
104 3,6 103 2 981 m3 , 50 m3 .
Primjer
Na manometru smještenom unutar mirnog valjka (vidi crtež!), na manometarskoj cijevi čitamo visinu stupca žive ( Hg 13.58 103 kgm3 ) h = 4 cm. Odredite srednju brzinu toka struje vode u kojoj valjak miruje.
Crtež 1
Crtež 1
7
Napišemo li Bernoulijevu jednadžbu za slučaj idealnog fluida za točke 1 i 2 strujnice koja iščezava na ulazu u manometarsku cijev, p1 H 2O g
0
v12 2 g
p1 Hg gh H 2O g
0 0 ,
za iznos srednje brzine toka slijedi, v1
2 Hg gh H 2O
2 13.58 103 kgm3 9.81ms 2 0.04m
3
10 kgm
3
3.26ms 1
Crtež 1
Površina poprečnog presjeka lijevog spremnika za vodu na crtežu 1 je S1 = 0.25 m 2 , desnog, S 2 = 2.25.10-2 m 2 , a otvora između spremnika, S 3 = 2.5 .10-3 m 2. Spremnici su otvoreni prema atmosferi. G ustoća vode je ρ = 998 kgm-3 . Smatrajući vodu idealnom tekućinom, odredite a.) iznos masenog protoka Qm kroz S 3 u trenutku kada visine h1 , h 2 , i h 3 iznose, h1 = 1.6 m, h 2 = 0.5 m i h 3 = 1.1m, b.) iznose v 1 i v 3 brzina gibanja razina u spremnicima u istom trenutku. Napisana za točke 1 i 2 strujnice (presjeke 1 i 2 ESC) na crtežu 1, Bernoullijeva jednadžba glasi, p1 g
h1
v12
p2
2 g g
h2
v22 2 g
.
(1)
Kako je , p1
pa p2 pa g h3 h2 ,
8
v1
S 2 S 1
v2 ,
to Bernoullijeva jednadžba (1) prelazi u, 2
S 3 pa g h3 h2 v22 h1 v2 h2 , g 2 g S 1 g 2 g pa
1
odakle za iznos v2 srednje brzine slijedi,
S 2 1 3 , h1 h3 2 g S 1 2 g h1 h3 . v2 2 S 1 3 S 1 v22
(2)
Sada smo u stanju izr ačunati maseni protok Qm kroz otvor površine S 3 , Qm Qm
V QV V S 3v2 , V S 3
2 g h1 h3
S 1 3 S 1
2
998kgm
3
3
2.5 10 m
2
2 9.81ms 2 1.6 1.1m
2.5 103 m2 1 2 0.25m
7.83
kgs 1 .
Iznos v1 brzine spuštanja razine u lijevom spremniku u promatranom trenutku j e, v1
S 3 S 1
v2
S 3 S 1
2 g h1 h3
S 3 S 1
2
1
2.5 103 m 2 0.25m
2 9.81ms 2 1.6 1.1m 3
2.5 10 m 2 0.25m
2
1
2
3.13 102
ms 1 .
Dok je iznos v3 brzine spuštanja razine u desnom spremniku, v3
S 3 S 2
v2
S 3 S 1
2 g h1 h3
S 1 3 S 1
2
2.5 103 m 2 2
2.25 10 m
2
2 9.81ms 2 1.6 1.1m
2.5 103 m2 1 2 0 . 25 m
0.348 102
ms 1 .
9
3.) Segmentna brana otvorena je toliko da je dubina donje vode y 2 = 0.7 m (vidi crtež!). Odredite dubinu y 1 gornje vode pri protoku Q v = 4.24 m 3 na metar dužni širine brane. Gubitke energije zanemarite. Naputak: dubinu y 1 gornje vode odredite metodom pokušaja. Račun započnite s y 1 = 2m.
Crtež Primjer 10
Kr oz uređaj prikazan na crtežu struji zrak (ρ z = 1.223 kgm-3 ). Kod dovoljno velikog iznosa protok a, tlak u suženju postaje dovoljno nizak da dolazi do usisavanja vode u vodoravnu cijev. Odredite iznos volumnog protoka Qv pri kojem će doći do usisavanja vod e u cijev te manometarski tlak na presjeku (1). Vodu smatrajte idealnim nestlačivim fluidom. Bernoullijeva jed nadžba za presjeke 2 i 3, p2 z
h2
v22 2 g
pri čemu za manometarske tlakove
p3
h3
z
v32
,
(1)
2 g
p2 i p3 vrijedi, p2
V h i p3 0 , dok je
zbog vodoravnosti cijevi, h2 h3 , tako da (1) prelazi u
V h z
v22 2 g
v32 2 g
.
(2)
Kako iznose od v2 i v3 veže jednadžba kontinuiteta,
v2
S 3 S 2
v3
d 32 d 22
v3 ,
(3)
to iz (2) za iznos od v3 slijedi,
v3
2 V gh
d z 3 1 d 2 4
2 103 kgm3 9.81ms 2 0.3m
5 1 2 . 5 4
17.91 ms 1 .
1.223kg m 3
Volumni protok zraka nužan da bi upravo došlo do usi savanja vode u cijev je, QV S 3v3
d 32 4
v3
(0.05m) 2 17.91ms 1 4
0.0351 m3 s 1 .
Da bi odredili manometarski tlak p1 na presjeku 1, napisat ćemo Bernoullijevu
jednadžbu za presjeke 1 i 3, p1 z
Budući da
h2
h3 ,
h1
v12 2 g
p3 z
h3
v32 2 g
.
(4)
v1 v3 , slijedi da je manometarski tlak p1 jednak, p1 p 3
0.
Primjer 11
Venturijeve cijevi ugrađene na zrakoplovima isisavaju zrak iz žiroskopskih uređaja, samim time primoravajući ih na vrtnju.
C rtež 1
Odredite razrjeđenje u uskom dijelu Venturijeve cijevi ako je D/d = 2 , a iznos brzine kojom zrakoplov leti je v 0 = 100 ms-1. Na visini H = 6500 m, na kojoj leti zrakoplov, gustoća zraka jednaka je ρ zraka = 0,624 kgm-3. Zrak smatrajte idealnim nestlačivim plinom, strujanje stacionarnim, a svaki otpor zanemarite. Položi li se, zbog jednostavnosti računa , referentna ravnina h 0 tako da u njoj leži središnja strujnica, tada Bernoullijeva jednadžba napisa na za točke A i B u kojima strujnica siječe presjeke 1 i 2 glasi, p1 g
0
v12
p2
2 g g
0
v22
, 2 g
(1)
pri čemu je p1 atmosferski tlak u točki 1 strujnice . Iz (1) za razliku tlakova p1 p2 slijedi, p1 p2
2
(v22 v12 ) .
(2)
Budući da je v1 = v0 , pri čemu je v0 brzina strujanja zraka na presjeku 1-1 jednaka je brzini gibanja aviona s obzirom na zrak ( Venturijeva cijev prikazana crtežom, zajedno s avionom, giba se u lijevo!), to je u skladu s jednadžbom kontinuiteta,
v0 D 2
v2 d 2
D v2 v0 d
2
.
(3)
Uvrštenjem jednadžbe (3) u (1), za traženo razrjeđenje slijedi, 12
2 D 4 p1 – p2 = v0 4 1 , 2 d p1 p2
0.642kgm 3 (10 2 ms 1 ) 2 2
(4)
4 1 9.36 103 Pa .
Primjer Odredite iznos srednje brzine toka vode u cijevi, ukoliko je živin manometar spojen sa Pitotovom cijevi (crtež 78.), koja pokazuje da je h = 600 mm.
Smatrajući vodu idealnim nestlačivim fluidom, a tečenje stacionarnim, 1 Bernoullijeva jednadžba napisana za presjeke 1 i 2 glasi , p1 g
0
v12
p2
2 g g
0 0.
(1)
Crtež 78 Budući da se razlika tlakova p2 p1 mjeri pomoću živinog diferencijalnog manometra, to je, (2) p2 p1 ž g h . Iz izraza (1) i (2) za iznos srednje brzine toka u cijevi slijedi,
1
Za razinu h = 0 uzeta je ravnina koja je okomita na ravninu crte ž a i trag joj je os simetrije vodoravnog dijela Pitotove cijevi (u kojoj nema toka vode, tj., v2 0 ). 13
g h ž
v
2 ρ ž ρ g h ρ
v2 2
2 13, 6 1 103 kg m3 9, 81 ms2 0, 6 m 10 3 kgm3
-1
= 12,18 ms .
Primjer
Aerodinamička cijev ima otvoreni radni dio čiji je promjer d = 400 mm. Manometar (radna tekućina je alkohol relativne gustoće ρ A = 0,8) spojen je sa širokim dijelom cijevi promjera D = 1 m. Odredite brzinu zraka u radnom dijelu cijevi kada je h = 150 mm. Gustoća zraka je ρ z = 1,29 kg m-3. Zrak smatrajte nestlačivim a tok stacionarnim.
Crtež 79 Uzme li se za referentnu ravninu h = 0 vodoravna ravnina koja prolazi duž osi simetrije cijevi okomito na ravninu crteža, Bernoullijeva jed nadžba napisana za točke središnje strujnice u kojima se ova siječe s okomitim presjecima 1 -1 i 2-2 glasi, p1 ρ z g
0
v12 2g
pa ρ z g
0
v22
, 2g
(1)
gdje su v1 i v2 iznosi srednjih brzina toka zraka na presjecima 1-1 i 2-2 , a pa atmosferski tlak (tlak u struji zraka u radnom dijelu cijevi je atmosferski). Iz izraza (1) slijedi,
14
p1 pa z g
v22 2g
v12 2g
.
(2)
Pretpostavi li se nestišljivost zraka ( ρ=const. ) kao i stacionarnost strujanja zraka, iz jednadžbe kontinuiteta, S 1v1=S 2v2 ,
(3)
u kojoj su S 1 i S 2 površine presjeka 1-1 i 2-2 , uvodeći u nju promjere kružnih presjeka 1-1 i 2-2 , slijedi, d 2 v1 2 v2 (4) D
Uvrštenjem (4) u izraz (2) te budući da je p1 – pa = ρ A gh , za brzinu strujanja zraka u presjeku 2-2 , tj., u radnom dijelu cijevi, slijedi,
v2
v2
2 g A hD 4 z D 4
, A
d 4
AR
,
H 2O
2 9 , 81 ms 2 0, 8 103 kg m3 0, 15 m 1 m2 1, 29 kg m3 1 0, 15
4
m2
43, 2 ms1 .
Primjer Kada je ventil slavine zatvoren manometar pokazuje p1 = 2.8 at (crtež 1). Nakon otvaranja ventila pokazivanje manometra se smanjuje na p 2 = 0.6 at (crtež 2). K oliki je volumni protok vode ako je unutarnji promjer cijevi jednak D = 12 mm?
15
Crtež 1
Crtež 2
Smatrajući vodu nestlačivom idealnom tekućinom, a njezin tok stacionarnim, p rimjenjujući Bernoullijevu jednadžbu na točke 1 i 2 na crtežu 2 istaknute vodoravne strujnice te zanemarujući pritom strujanje u točki 1, pišemo, p1 g
00
p2 g
0
v2
,
(1)
2 g
odakle je iznos v srednje brzine toka kroz slavinu jednak, v
2 p1 p2
,
(2)
dok za volumni protok Qv slijedi, Qv
Sv
d 2 2 p1 p2 4
(12) 2 106 m 2 2 2.2 9.80665 104 Pa 4
3
10 kgm
3
2.35 ls 1 .
Primjer Pod pravim kutom zakrivljena cijev uronjena je u tok vode na n ačin prikazan crtežom. Iznos brzine toka je v 2.5 ms1 . Na gornjem zatvorenom kraju cijevi napravljen je otvor male površine. Otvor se nalazi na visini h0 12cm . Koju visinu h dosiže mlaz vode iz otvora?
Crtež 1
Crtež 2
Bernoullijeva jednadžba napisana za točke 1 i 2 strujnice na crtežu 2, daje (radimo s ukupnim, apsolutnim, tlakom u točkama 1 i 2 strujnice) , 16
pa g 0
v 2 2
pa g ( H h0 )
v22 2
,
odakle je visina h jednaka,
Primjer U svrhu mjerenja volumnog protoka benzina kroz cijev dijametra D = 1,4 cm, u cijev je dijametra serijski ugražena sapnica d = 9 mm i prik ljučeni su piezometri (crtež 80 ). Odredite volumni protok benzina QV u ls-1 , kada je razlika razina benzina u piezometrima jednaka H = 1,5 m. Odredite H pri istom iznosu protoka za slučaj vode.
Crtež 80. Poslužiti ćemo se već poznatim nam izrazom za protok idealnog nestlačivog fluida što ga u stacionarnom režimu tečenja mjeri venturimetar, QV S 2v2
S 2
2 gH
S 1 2 S 1
2
d 2 4
2 gH d 4 1 4 D
9 10 m 3
4
2
2 9.81ms 2 1.5m
9 10 3 m 1 3 14 10 m
4
0.379
ls 1 .
Crtež 1
17
Primjer
Odredite maksimalnu dopuštenu visinu sisanja H s (crtež 1) pri kojoj ne dolazi d o pojave kavitacije na suženju 2 cijevi. Razina kod 1 ostaje stalna. Poznato je: pa = 960 hPa, pk = 2337 Pa,
d 1 d 2
-1
2 , v 1 = 4.3 ms
i ξ = 2.7, s obzirom na
iznos srednje brzine v 1. Odabere li se, potpuno proizvoljno, za referentnu razinu h = 0 razina vode u spremniku, tada Bernoullijeva jednadžba za presjeke 1 i 2 glasi,
pa v12 pk v22 0 0 k H S g 2 g g 2 g .
(1)
Izrazi li se iznos v2 preko v1 , 2
v d 12 1
v2 d 22 ,
d v2 1 v1 d 2
,
tada iz (1) za H s slijedi, H S
pk
pa
H S
g pa
pk
g
d 1 2 g 2 g d 2 v12
v12
d 4 1 2 g d 2
4
,
v12
96,0 2,337 103 Pa H S 103 kg m 3 9,81m s 2
,
4,3m s 1 2,7 2 9,81m s 2
H 9,649m 6,314m 3,35m .
2
4
,
18
Crtež 1 Primjer Spremnik s vodom velikih razmjera spojen je na paralelne ploče promjera D 1 = 0.6m razmaknute h = 2 mm (crtež 1). Odredite volumni protok i manometarski tlak na presjeku 2. A tmosferski tlak iznosi 101 kPa.
Ctež 2
Ctež 3
Pišemo Bernoullijevu jednadžbu za prsjeke 0-0, 1 kako bismo izračunali iznos brzine toka na presjeku 1 , tj. u točkama površine S 1 (crtež.. ), 0h0 00
v12
,
v1
(1)
2 g
odakle za v1 slijedi (Torricellijev teorem!), v1 2 gh
Traženi volumni protok QV S 1v1
2 9.81ms2 1m 4.429 ms1 .
QV iznosi,
D 2 10 2 m 2 9.81ms 2 1m 0.0167 m3 s 1 . 2 1 h v1 D1 h 2 gh 0.6m 2
Primijenom jednadžbe kontinuiteta računamo iznos 2 (u točkama površine S 2, crtež... ), S 1v1 v2
S 1 S 2
v1
D1 h D2 h
v1
D1 D2
v1
v 2 brzine toka na presjeku
S 2v2 ,
0.6m 0.3m
4.429ms1 8.859 ms1 .
Sada pišemo Bernoullijevu jednadžbu za presjeke 0-0, 2 kako bi odredili manometarski tlak na presjeku 2,
19
p0 m g
h
v02 2 g
p 2 m 2 g
0
v 22 2 g
,
(2)
gdje su p0m i p2 m manometarski tlakovi pri čemu je p0 m 0 i v0 0 . Dakle, (2) poprima oblik, 0h0
p2 m g
v 22
,
2 g
odakle za manometarski tlak p2m slijedi, p2 m
v22 103 kgm3 3 2 3 gh 10 kgm 9.81ms 1m 8.859ms1 2 2 2 9.81 kPa 39.241 kPa 29.431 kPa ,
to jest, apsolutni tlak p2 niži je od atmosferskog tlaka ( 101 kPa ) za 29.431 kPa i iznosi p2 p2 m pa 29431 kPa 101 kPa 71.569 kPa .
Uočite da između presejeka 2 i 1 voda teče iz područja nižeg ka višem tlaku! Ova se pojava , iako u njoj nema ničeg paradoksalnog, naziva hidrodinamičkim paradoksom.
Crtež Primjer Voda (ρv = 10 3 kgm-3 ) istječe u atmosferu radijalno između dvije kružne ploče promjera d 2 = 2000 mm razmaknute δ = 2 cm (vidi crtež!). Dovodna cijev je promjera d 1 = 100 mm. U točki 1 udaljenoj z = 1.2 m od ravnine ploča vlada tlak p1 = -0.2 bar. Uz pretpostavku stacionarnog strujanja idealnog fluida odredite volumni protok Qv i manometarski tlak pB u točki B udaljenoj b = 700 mm od središta ploča.
20
Napiše li se Bernoullijeva jednadžba za presjeke 1 i 2 (za referetnu ravninu h 0 biramo vodoravnu ravninu koja prolazi presjekom 1), p1 g
0
v12 2 g
0 z
v2 2 g
,
te primijeni jednadžba kontinuiteta v1
S 2 S 1
v2
d 12 d 22
v 2 ,
S 1
d 2
, S 2 d 2 ,
4
kako bi se iznos v1 brzine toka na presjeku 1 izrazio preko iznosa v 2 brzine toka na presjeku 2, slijedi,
4d 2 2 z v 1 , 2 g d 14 g 2 p1 gz v2 , 4d 2 2 1 d 14 p1
1
2 2
odnosno, QV
d 2
2 p1 gz
2 20000 11772 Nm 2
(2m 0.02m)
4d 2 2 1 4 d 1
3
10 kgm
3
4 2m 0.02m2 1 4 ( 0 . 1 m )
QV 0.06273 m3 s 1 .
u točki B potrebno je napisati
Da bi se odredio manometarski tlak p B Bernoulijevi jednadžbu za presjeke 1 i B, p1 g
0
v12
p B
2 g g
z
v B2
,
2 g
i, primijenivši jednadžbu kontinuiteta, iznos od
(1)
v B u (1) treba izraziti preko
iznosa od v1 , v B
S 1 S B
v1
d 12 8b
v1
d 12 8b
v1 .
tada dalje slijedi,
d 14 z 1 , 2 g g 2 g 8b p B
p1
v12
21
p B
p1 gz
d 14 . 1 2 8 b
v12 2
Kako je, v1
4QV
,
d 12
to je manometarski tlak p B u točki B jednak, 16QV 2 d 14 p B p1 gz 1 2 2 d 14 2 8b
103 kgm3 16 0.06273m3 s 1
p B
2 104 Pa 103 kgm3 9.81ms 1 1.2m
p B
2 104 Pa 1.1772 104 Pa 3.1624 104 Pa
p B
130 Pa
2
(0.1m) 4 2
2
0.1m4 1 2 8 0 . 7 m 0 . 02 m
Crtež… Primjer Spremnik velike površine poprečnog presjeka otvoren je prema atmosferi (crtež 1). Odredite visinu H tako da u suženom dijelu cijevi nastupi kavitacija pri tlaku pk = 2.39 kPa. Atmosferski tlak iznosi pa = 100 kPa. p ρg
h
v 2 2g
E const.
Napisana za presjeke 0-0, 1-1 Bernoullijeva jednadžba glasi,
22
p a ρg
1.8 m h
0 2g
p k ρg
h
v12 ρg
Za referentnu ravninu, u kojoj je h = 0, mogli smo potpuno ravnopravno odabrati razinu presjeka 1-1. v12 2g v1
p a p k ρg
1.8 m ,
p p k 2g a ρg
1.8 m 100 2.39 103 Pa 2 15.261 ms 1 . 2 9.81 ms 1 . 8 m 3 3 2 0.988 10 kgm 9.81ms
U skladu s jednadžbom kontinuiteta S2 v 2 2 d1 S1 v1 v2 v1 S2 d 2 2 0.05 m 15.261 ms 1 6.783 ms-1 0.075 m S1 v1
v2
Napisana za presjeke 1-1, 2-2 Bernoullijeva jednadžba glasi, p k ρg
H
p a p k ρg
H v 22
v12 2g
v12 2g
p a ρg
0
v 22 2g
1 p a p k
g
ρ
v 22
2 v12 2 ,
100 2.39 103 Nm2 6.7832 15.2612 m 2 s 2 H 2 9.81 ms 2 0.988 103 kgm 3 , 1
1 9.81 ms
98.796 m s 2
2
2
93.446 m 2 s 2
,
H 0.542 m .
Pisanjem Bernoullijeve jednadžbe za presjeke 0 -0, 2-2 račun je točniji budući da
je iznos od H dan samo preko izmosa v2 brzine v2 , p a ρg
H 1,8 m 0
p a ρg
0
(6.783ms -2 ) 2 2g
,
23
H
(6.728ms -2 ) 2 2 9.81ms -2
1,8 m ,
H 0,545 m .
Primjer 9.) Kroz nagnutu cijev teče voda. Razlika geodetskih visina težišta presjeka na početku i na kraja cijevi iznosi 10 m, dok je razlika tlakova na ovim mjestima iznosi 2 at [1 at (tehnička atmosfera) = 9.8 · 10 4 Pa]. Odredite gubitak specifične energije e12 između ovih presjeka ako se zna da je brzina protjecanja vode na ulazu u cijev 8 ms-1 , a na izlazu iz cijevi 10 ms-1.
Primjena Bernoullijeve jednadžbe na ulazni i izlazni presjek promatrane cijevi daje, p1 ρ
gh1
v12 2
p2 ρ
gh2
v22 2
e12 .
Odavde slijedi, e12
2 9, 8 104 Pa 103 kgm3 = 20 9, 81
p1 p2 ρ
g h1 h2
9, 81 ms 2
J kg
10 9, 81
v12
2
8 10 m
J kg
18
v22
2
J
102 2
m2 s 2
kg kg
276, 3 Jkg - 1 .
kg
Primjer
Protokom zraka kroz cijev upravlja se stožastim čepom (crtež 1). Zrak napušta rub stošca u sloju jednolike debljine 0.02 m. Iznos pr otoka kroz cijev zraka 0.5 m 3 s-1 . Zanemarivši učinke izazvane viskoznošću zraka odredite iznos manometarskog tlaka zraka u cijevi.
24
Napiše li se jednadžba za
Bernoullijeva presjeke 1 i 2,
Crtež 1
p1 g
h1
v12
p2
2 g g
h2
v22 2 g
,
i u njoj uvaži da je manometarski tl ak na presjeku 2 jednak nuli,
p2 0 , te
h1 h2 , kao i da je, v1
Q S 1
0.5 m3 s
1
0.23m2
12.0
ms
1 ,
v2
Q S 2
Q 2r h
0.5 m s 3
1
2 0.2m 0.02m
19.9
1 ms ,
4
tada za manometarski tlak zraka u cijevi slijedi, p1
1
1
2
2
v22 v12 1.23 kgm3 19.92 12.02 m2 s 2 155 Pa.
Crtež
25
Centrifugalna crpka C ( 0.95 ) na crtežu , snagom od 1.2 kW unosi energiju u tok vode pri volumnom protoku od 17 ls-1. Odredite gubitak specif ične energije pri tečenju od slobodne površine vode u spremniku velike površine popreč nog presjeka pa do vrha mlaza fontane (gdje je iznos brzine jednak nuli). P išemo proširenu Bernoulijevu jednadžbu za točke prikazana na crtežu! ), p1 g
h1
v12 2 g
p2
hC h12
g
h2
1 i 2 strujnice (nije v22 2 g
.
(1)
Manometarski tlakovi i iznosi brzina toka u 1 i 2 jednaki su nuli, p1 0 , p2 0 ,
v1 0 ,
v2 0 , a
pošto je
hC
P
, to je traženi gubitak specifične
QV
mehaničke energije jednak, hC h1 h12 , P 0.95 1.2 103 Js 1 h12 h1 h12 3 2.44m 7.3m QV 10 kgm3 9.81ms 1 17 10 3 m3 s 1 h12 6.84m 2.44m 7.3m h12 1.976 m . h12
Dio gubitaka h12 odvio se u crpki, a dio trenjem mlaza o okolni zrak.
Primjer Centrifugalna crpka P prikazana na crte žu usmjerava vodeni mlaz tako da ovaj doseže maksimalni domet. Mlaz se može aproksimirati putanjom materijalne čestice kja se giba bez trenja. Ukupni gubitci u sustavu iznose h = 6 m . Razina vode u spremniku održava se stalnom. Koliku snagu crpka čiji je koeficijent iskorištenja jednak 0.96 „uzima“ iz električne mreže?
26
Crtež
Bernoullijeva jednadžba za presjeke 1- mirna razine vode u spremniku i 2- izlaz iz sapnice, glasi, 0 15m 0 H 6.5m 0 1m
v02 2 g
.
(1)
U (1) H je energija što ju crpka svake sekunde predaje svakoj masi fluida čija je težina jednaka 1N , dok je v0 iznos brzine vode na izlazu iz sapnice površine poprečnog presjeka jednakog S . Iz kinematike nam je poznato da je domet kosog hica maksimalan kada 450 (sin 2 450
1
) , kao i da je pritom maksimalna visina hica 2
hmax dana
izrazom, hmax
v02
sin 2 . 2 g
(2)
Pošto je H
P
,
(3)
gQV
gdje je P snaga koju crpka „uzima“ iz mreže, a QV volumni je protok jednak QV Sv0
D12 2
v0
(4)
to nakon uvrštenja (2), (3) i (4) u (5) slijedi, 7.5m
2 P gD12 gh
2hmax ,
odakle za traženi iznos snage crpke dobivamo, 27
P
gD12 2h 7.5m gh 2
103 kgm3 9.81ms 2 (0.05m) 2 2 25m 7.5m 9.81ms 1 25m 2 0.96
8.5 kW .
Primjer
Promjer cijevi koja spaja vodospreme prikazane na crtežu 1 jednak je D= 20 cm. Kota razine vode u donjoj vodospremi je h1 = 1320 metara nadmorske visine, dok je razina vode u gornjoj vodospremi h 2 = 1821 metar iznad razine mora. Odredite najmanju snagu centrifugalne pumpe P koja će osigurati da voda kroz cijev teče srednjom brzinom iznosa v = 1.8 ms-1. Koeficijent iskorištenja pumpe je η = 0.85.
Crtež 1 Prim jenjujući jednadžbu energije (Bernoullijevu jednadžbu) na razine vode u vodospremama , pišemo, p1 g
h1
v12 2 g
H p
p1 g
h2
v22 2 g
.
(1)
Kako je,
H p
P gQv
, i Qv
D 2 4
v s ,
to (1) poprima oblik, pa g
h1
v12
4 P
2 g D 2 gv s
pa g
h2
v22 2 g
.
(2)
28
Manometarski tlakovi p1 i p 2 na razinama vode u vodospremama jednaki su
nuli. Što se tiče iznosa v1 brzine spuštanja razine u donjoj vodospremi, odnosno, iznosa v2 brzine podizanja razine vode u gornjoj vodospremi, oni su praktički jednaki nuli, tj., v1 0 , v2 0 . Prema tome, jednadžba (2) pojednostavnjuje se na, h1
4 P D 2 gv s
h2 ,
odakle za traženi iznos P snage pumpe slijedi, P
h2
h1 4
D 2 gv s
501m 4 0.85
0.2m 2 10 3 kgm 3 9.81ms 2 1.8ms 1
327kW
Primjer Centrifugalna pumpa crpi vodu volumnom protokom Q v = 30 ls-1. Odredite snagu pumpe ako je njezin koeficijent iskorištenja 80 %. Gubitke energije zbog trenja zanemarite.
Razinu h = 0 najprikladnije je odabrati kako je to prikazano na crtežu 1. Zatim treba napisati jednadžbu energije (Bernoullijevu jednadžbu) za presjeke 1 i 2 cijevi,
29
p1 v g
0
v12
P
2 g v gQv
p2 v g
H
v12
,
(1)
2 g
u kojoj je v gustoća vode.
Iz jednadžbe (1) dalje slijedi,
Crtež 1
p1 p2 g
P gQv
H
v22
v12
2 g
.
(2)
0 , jer je u sklad u s jedn ad žbo mkontinuiteta v1 v 2 .
Crtež 2 Potrebno je odrediti razliku tlakova p1 p2 . Osnovna jednadžba hidrostatike napisana za točke (elemente) žive i (crtež 2), glasi, 30
p ž g
h2
pb ž g
h4 .
(3)
Pošto je, p1 v gh1 , p p2 v gh3 ,
(4)
p
(5)
to jednadžba (3) poprima oblik, p1 v gh1 ž g
h2
p2 v gh3 ž g
h4 ,
odakle se za traženu razliku tlakova dobiva, p2 p1 v g h1 h3 ž g h2 h4 gh ž v .
h
(6)
h
Uvrštenje (6) u (2) za snagu P centrifugalne centrifugalne pumpe daje, h ž v v
P
v gQv
P v gQV
H ,
h ž v 103 kgm3 9.81ms 2 0.03m3 s 1 1.5 101 m 13.6 1 103 kgm3 , 3.45m H 0.8 103 kgm3 v
P 573.9 kW .
Primjer 14.) Crpka je smještena 3 metra iznad razine vode u vo vodo dospr spre emi (crtež 1). Na usisnoj strani crpke (točka 2 na crtežu 2 ) mano nom metar ski tla lakk jed je dna nakk je -22 -220 0 To Torr r a. Pro Pr omje jerr usisne cije cijevvi je j e 30 cm. Do D ovodna cijije ev pr omje jerr a 35 cm završava vertikalno usmjerenom mlaznicom promjera jednakog 10 cm sve čija se usta nalaze 4.5 m iznad razine vode u vodospremi. Zanemarujući sve gubii tke ene gub nerr gi gije je odr edi te, a.) i zno znoss vo volumno lumnogg pr oto tokka, b.) idealnu snagu pumpe, c.) visinu iznad razine vode u vodospremi koju će doseći mlaz.
31
Crtež 1
Crtež 2
Bernoullijeva jednadžba na točke 1 i 2, 2, (crtež 2), slijedi, a.) Primijeni li se Bernoullijeva 000
0.22m g Hg v g
3m
v s2,30
,
2 g
odakle je iznos srednje brzine toka v s ,30 u cijevi promjera 30 cm jednak, v s ,30
0.492m 2 g 3.107 ms 1 ,
tako da volumni protok QV iznosi, Qv
b.)
2 d 30
4
v s ,.30
2 d 30
4
0.492m 2 g
0.3m2 4
0.492m 2 9.81 ms 2
U skladu s jednadžbom kontinuiteta, iznos
0.2196
m 3 s 1
219
ls 1 .
v3 srednje brzine toka na
ustima mlaznice jednak je, 2
v3
2
d d v s ,30 30 30 d 10 d 10
2
0.3m 0.492m 2 g 0.1m
0.492m 2 9.81ms 2
27.96
ms 1 .
Pišući sada Bernoullijevu Bernoullijevu jednadžbu za točke 1 i 3 toka, 0 0 0 H p
27.96ms , 0 4.5m 1 2
2 9.81ms 2
za iznos specifične energije što ju crpka svake sekunde unosi u tok dobivamo vrijednost, 32
27.96ms 4.5m
1 2
H p
2 9.81ms
44.35
2
JN 1 ,
dok je traženi iznos idealne snage P crpke jednak, P gQv H p i
103 kgm3 9.81ms2 0.2196m3 s 1 44.35 JN 1 95.54
kW .
c.) Visinu h koju će doseći mlaz izračunat ćemo polazeći od zakona o očuvanju mehaničke energije 2. To jest, u trenutku kada je neki nek i od elemenata dm vode dosegao maksimalnu visinu, njegova potencijalna energija dmgh jednaka
je kinetičkoj energiji energiji
dm
v32 2
koju je promatrani element imao na ustima mlaznice, dm gh dm
v32 2
,
odakle za h slijedi, h
v32 2 g
27.96
ms 1
2
2 9.81 ms 2
39.84
m.
Primjer 10.) C ilindričn ilindrični zatvoreni spremnik dijametra 1 m s cijevi spojen je s malom ci lindričnom lindričnom posudom dijametra 0,2 m, tako da je razina vode u njoj 16 m iznad razine vode u spremniku (crtež 82). U spremniku se održava konstantni tlak od 4 at, a vakuum metar pokazuje da je u trenutku prr omatr anja tla p lakk razrijeđenog zraka u posudi 0,5 at. Odredite volumni protok vod vo de u cij ci j evi u tom tom trenut trenutkku, ako gu gub bi ta takk vi visi sine ne u sustavu sustavu iz i zno nosi si h12 = 14 m.
2
Jednaki rezultat dobili bi promatrajući gibanje elemenata vode kao slu č aj aj vertikalnog hica! 33
Crtež 82. Pišemo jednadžbu en e nergije (tj. Bernoullijevu jednadžbu za realnu tekućinu) za presjeke S 1 i S 2 na kojima su iznosi srednjih brzina spušt anja anja odnosno podizanja razina jednaki v1 i v2 , p1 ρ g
h1
p1
v12 2g
v12
p2 ρg
p2
h2 v22
g 2 g g 2 g
v22 2 g
h12 ,
H h12 ,
(1) (2)
odakle je, 1
v 2 g
2
2
v12
p1
p2
g g
H h12 .
kontinuiteta je, U skladu s jednadžbom kontinuiteta QV = S 1v1 = S 2v2 , Q Q v1 v , v2 v S 2 S 1 tako da (3) poprima oblik,
(3)
(4)
Qv2 1
1 2 12 S S g p1 p2 H h12 , 2 g 2 1
odakle je,
34
Qv
p p2 2 g 1 H h12 g 4 2 4 2 d 2 d 2 2 1 h
v2 2 g
…
h0 .
Primjer 2 13.) Centrifugalna crpka C p kgm kg m-3 i z p crpi naftu gustoće 9·10 otv tvo or enog u za zatv tvor ore eni spr spre emni nikk. R azi zina na naf nafte u zatv zatvo or enom spr spre emni nikku je je H = 15 m iznad r azi zine ne naf nafte u otvo otvorr enom spr spre emni nikku. U za zatv tvo or enom spremniku održava se stalni tlak od 1,5 at.
Odredite snagu P ce centr ntrii fug uga alne cr crp pke ta takko da ova cr crp pi 40 lita li tarr a nafte u sekund se kundii uz ko koe efificije cijent nt ko korr i sn sno og dje jelo lovvanja cr pke je jed dna nakk = 0,8. Ukupni gubii tak vi gub vi sine h12 u cijevima koje spajaju centrifugalnu crpku sa spremnicima je 5 m (5 J /N ).
Crtež 81.a)
Crtež 81.b)
Pođemo li od jednadžbe energije ( Bernoullijeve Bernoullijeve jednadžbe za realnu tekućinu ) napisane u obliku u kojem se svaki član mjeri u J/kg , uz pretpostavku da su iznosi brzina spuštanja odnosno podizanja razina u spremnicima zanemarivo mali, slijedi [crte ž 81a)]: E 1''
0 0 0 ec e12
p
gH 0 .
(1)
Dijeljene jednadžbe (1) s g daje,
35
ec g
e12
hc h12
g
p g
H 3 ,
(2)
odakle za hc slijedi,
hc
p g
H h12
1, 5 9, 81 104 Pa 9 10 10 kgm 2
3
9, 81 ms
2
15 m 5 m 36, 6
m.
Pošto je 4 , hc
P η ρ gQV
,
to je, .
P
hcρgQV η
36 , 6 m 9 102 kgm3 9, 81 ms2 4 102 m3 s1 0, 8 .
=
36 , 6 9 10 10 2 9, 81 4 0, 8
W
16 , 186
kW .
Duljina cijevi BC (vidi crtež!) cr tež!) je L = 60 m, a pr omj er D = 30 cm cm.. Da D ar cyWeisbachov koeficijent iznosi λ = 0.021, a H = 36 m. Ulaz u cijev je oštar, a gubitak specifične energije na izlazu izlazu iz turbine T može se zanemariti. A.) A .) A ko je pr otok u cije cij evi QV 0.225 m3s 1 , kolik kolika a je specifična enerija vode na ulaz ulazu u u tur urb bi nu? B.) Kolika je snaga turbine ako je je njezin koeficijent iskorištenja iskorištenja η = 75%?
3
4
e12 Js 2 kg m m s 2 Sjetimo se da je g m kg s 2 m kg m . P t
m
A ghc ,
m P η QV , hc . t ρ gQV 36
Ako je protok u cijevi B C promjera D = 30 cm jednak QV 0.225 m3s 1 , H = 36 m, a h L 2.4 m , kolika je specifična energija vode na ulazu u turbinu? Kolika je snaga turbine ako je njezin koeficijent iskorištenja η = 75%?
37
11. Laminarni i
turbulentni režim tečenja.
Crtež 1
Fotografija 1.a)
Fotografija 1.b)
Prvi, u vremenskom razdoblju od 1840-tih do 1880-tih godina, karakter (oblik, režim) tečenja fluida, proučavaju Nijemac Gotthilf Hagen (1797-1884) i Rus Dmitrij Ivanovič Mendeljejev. Na temelju provedenih istraživanja dolaze do
sljedećih zaključaka:
38
5 - strujanje fluida može imati vlaknasti ili potpuno neuređeni karakter ;
-
kod vlaknastog tečenja putanje elemenata fluida paralelne su sa jenkama toka konačnog poprečnog presjeka; st - kada vlaknasti režim tečenja biva narušen, elementi
fluida gibaju se po zamršenim putanjama.
Dmitrij Ivanovič Mendeljejev (1834 – 1907)
Tijekom 1883. godine, p roučavajući eksperimentalno detaljno karakter, režim , gibanja elemenata tekućine u cijevi , irski je fizičar Osborne Reynolds , ustanovio da se zakoni kojima se tečenje podvrgava pri malim iznosima
brzina tečenja i zakoni kojima se tečenje podčinjava kod velikih brzina, međusobno razlikuju kvalitativno i kvantitativno.
Bez obzira na njihovu izvanrednu jednostavnost, brižljivo i sustavno provedeni Reynoldsovi eksperimenti potvrdili su, prije svega, gore spomenute spoznaje o postojanju dva režima tečenja, ustanovljena početkom 19. stoljeća . Eksperimentalni uređaj kojim se tijekom 1883. godine služio Reynolds, shematski je pr ikazan na crtežu 1, dok je njegova laboratorijska izvedba dana na fotografiji 1.a) P ri dnu većeg staklenog valjkastog spremnika napunjenog vodom pričvršćena je vodoravna staklena ispusna cijev promjera d . Protokom, odnosno, iznosom 4Qv v srednje brzine toka vode kroz ispusnu cijev, mog uće je upravljati d 2 pomoću ventila na njezinom kr aju. U svrhu vizualizacije gibanja elemenata u toku vode u ispusnoj cijevi, u tok se uvodi tekućina obojena, primjerice, 6 kalijevim-permanganatom (KMnO4 ) ili anilinom (C 6 H . Obojena se tekućina 7 N) pomoću cijevi malog promjera (oko 1 mm i manjeg), iz manjeg spremnika
postavljenog nad većim, kontrolirano, pomoću ventila, injektira u sredinu „zvonolikih“ usta vodoravne cijevi. Pri malim iznosima protoka Qv , to jest, malim iznosima brzina toka, cijelom duljinom vodoravne cijevi uspostavlja se ravno, stabilno , jasno izraženo, obojeno elementarno strujno vlakno koje se ne miješa s ostatkom vode u cijevi [fotografija 1.b), sasvim gore; fotografija 2a.)]. Ista situacija postoji uspostavi li se u ispusnoj cijevi i nekoliko obojenih strujnih vlakana. Takvo gibanje tekućine pri kojem se elementi fluida u cijevi gibaju duž 5
Pogledajte video film na web-adresi: You Tube: http://www.youtube.com/watch?v=nl75BGg9qdA&feature=related
6
Gustoća otopine anilina praktički je jednaka gustoći vode u većem spremniku. 39
elementarnih strujnih vlakana paralelnih sa stjenkom cijevi, koja se međusobno ne miješaju, naziva se laminarnim režimom strujanja 7 . Jer, naime, struje
tekućine na različitim udaljenostima od osi cijevi gibaju se brzinama različitih iznosa, pri čemu najveću brzinu ima strujno vlakno protegnuto duž osi cijevi. Uz stjenku cijevi iznos brzine gibanja elemenata fluida jednak je nuli. To zna či da se laminarno strujanje u cijevi može vizualizirati kako je to prikazano na crtežu 3.: t ekućina se giba tvoreći sustav tankih koncentričnih šupljih cilindara, slojeva, od kojih onaj uz stjenku cijevi miruje, dok se oni sve manjeg promjera gibaju brzinama sve većeg iznosa. Svaki od šupljih cilindara čine međusobno paralelna strujna vlakna u kojima je brzina gibanja elemenata fluida stalna.
Miješanje elemenata fluida iz različitih slojeva, tankih šupljih koncentričnih cilindara, je neznatno ili ga uopće nema.
Fotografija 2: a.) crvenkasto- smeđe obojeno elementarno strujno vlakno pri
laminarnom strujanju, b.) fluktuacije i djelomično kidanje obojenog strujnog vlakna, c.) neuređeno gibanje obojene tekućine u turbulentnom
režimu tečenja.
Crtež 3
7
Latinski: lamina – pločica, sloj. Termin – laminaran - rabi se, iako se, ne radi o slojevima već o strujnim vla knima, nitima. 40
Za laminarno strujanje karakteristično je također i to da se elementi gibaju strogo „jedan za drugim“ i tada kada na svom putu nailaze na krutu prepreku (crtež 4 ).
Crtež 4
Laminarno strujanje može biti stacionarno i nestacionarno. S povećanjem iznosa srednje brzine toka vode u vodoravnoj cijevi, obojeno strujno vlakno počinje „vibrirati“, poprimajući tijekom vremena potpuno proizvoljne oblike, mjestimično se prekidajući - vodeno vlakno postaje nestabilno [fotografija 1b.), sredina; crtež 3, fotografija 2b.)].
Konačno, pri dovoljno velikom iznosu srednje brzine toka (ostvarenog otvaranjem ventila) obojeno strujno vlakno naglo se raspada i miješa s mas om vode u cijevi
Fotografija 3: Humphrey DeForest Bogart (1899-1957),
američki filmski i kazališni glumac. Laminarni (u nižem
Fotografija 4: Laminarni i turbulentni tok u sudoperu
dijelu) i turbulentni
(u višem dijelu) tok dima cigarete.
41
jednolično ju bojeći [fotografija 1.b), dolje; fotografija 2c.)]. Ovaj d rugi režim strujanja koji se pojavljuje pri već im iznosima brzina, različitim za različite fluide, naziva se turbulentni 8 režim strujanja. U ovom režimu strujanja tekućine nema uoč ljive pravilnosti gibanja elemenata fluida. Elementi se međusobno miješaju i gibaju po geometrijski nepravilnim putanjama čiji se oblik s vremenom mijenja. Ipak, bez obzira na prividnu
nesređenost gibanja i turbulentni režim tečenja karakteriziraju stanovite zakonitosti i pravilnosti o kojima će detaljnije biti riječi kasnije. Provede li se Reynoldsov pokus obrnutim redoslijedom, to jest, ukoliko se ventil
vodoravne cijevi počne postepeno zatvarati, opisani režimi strujanja pojavljuju se obrnutim redom.
11.1 Reynoldsov broj
9
Kao što će uskoro biti pokazano, iznos gubitka specif ične energije tekućine tečenjem između dva presjeka toka ovisi o tome da li je tečenje laminarno ili turbulentno. Prema tome , očito, potreban nam je kriterij predviđanja, ustanovljavanja, tipa tečenja bez izravnog promatranja toka koje je i onako u neprozirnim cijevima nemoguće. Nizom eksperimenata Reynolds je 1883. godine ustanovio da karakter režima
tečenja tekućine u cijevima kružnog poprečnog presjeka određuju slijedeće fizikalne veličine: v s - iznos srednje brzina gibanja tekućine, d - promjer cijevi, ρ - gustoća tekućine, μ - dinamička viskoznost fluida .
8
Latinski: turbulentus – nemiran, promjenjiv.
9
Osborne Reynolds (1842 – 1912), irski fizičar . 42
Za karakterizaciju, predviđanje, režima strujanja u cijevima kružnog poprečnog presjeka, Reynolds je uveo bezdimenzionalnu veličinu Re , u njegovu čast nazvanu Reynoldsov broj 10 , 10
Osamdesetih godina 19. Stoljeća , zaključci izvedeni iz rezultata istraživanja otpora (gubitka specifične energije) u cijevima, našli su se u slijepoj ulici. Na ime, r ezultati istraživanja njemačkog istraživača G.H .L. H agena i francuskog liječnik J .L.M . Poiseuillea ukazivali su na to da gubitci specifične energije rastu linearno s povećanjem iznosa srednje brzine , dok su, istovremeno, rezultati istraživanja francuskog inženjera H. Darcy-a svjedočili o tome da gubitci rastu s kvadratom iznosa srednje brzine toka. Ovo proturječje, njegova neraz riješenost, bilo je razlogom privremenog zastoja u inženjerskoj praksi… Istraživanja koja je još 1855. godine proveo Hagen pokazala su da se promjena karaktera gibanja fluida u cijevi, tj., prijelaz iz stacionarnog, laminarnog, režima strujanja u turbulentni režim, dešava dosegnu li se određeni uvjeti. Rezultati kasnijih detaljnih istraživanja fenomena prijelaza stacionarnog, laminarnog režima tečenja u turbulentni, istraživanja što ih je Reynolds objavio 1884. i 18 85. godine, imali su dalekosežne pozitivne posljedice po napredak mehanike fluida. Naravno, kao istinski znanstvenik Reynolds ne ostaje na razini konstatacije. Reyn olds pretpostavlja da povećanje iznosa srednje brzine toka dovodi do pojave smetnji koje ga destabiliziraju. Odluči li se smatrati stabilnošću toka njegova sposobnost „zatomljivanja“, „gušenja“ u njemu nastalih smetnji, tada se prijelaz u turbulentni režim strujanja može smatrati nestankom, prestankom, iščezavanjem stabilnosti. Pritom, od dvije kategorije sila koje djeluju na elemente fluida, viskoznih sila, sila trenja F tr i tlačnih („inercijskih“) sila F in , djelovanje sile trenja ima stabilizirajući učinak , dok tlačna, inercijska sila, ima tendenciju destabiliziranje toka flui da. Očito, omjer iznosa ovih sila predstavlja kriterij, mjeru, (ne)stabilnosti toka, tj.,
mjera (ne) stabi ln osti
inercijske sile viskozne sile
.
(1)
Tako, držeći se Reynoldsovog rezoniranja, dolazimo do kvantitativnog izraza mjere stabilnosti. Iznos „inercijske “, tlačne sile, u skladu s II. Newtonovim zakonom dinamike, jednak je F in ma . Kako je masa m elementa fluida produkt gustoće
i volumena (dužina l na treću potenciju!) to je m l . Srednje ubrzanje a 3
v
v t
, tako da F in
l 3v t
. Pošto je
l srednja brzina, slijedi, t F in
Prema Newtonovoj formuli F tr
dv dy
l 2v 2 .
(2)
S , razmišljajući analogno kao i kod F in , dobivamo, v F tr l 2 l
vl ,
(3)
tako da bez dimenzionalna veličina koja karakterizira (ne)stabilnost toka poprima oblik,
F in
vl
Re
vl
F tr
.
(4)
,
(5)
Ovaj omjer, dobio je naziv Reynoldsov broj ,
pri čemu je v iznos karakteristične brzine toka, a l njegova karakteristična dimenzija. Sam Reynolds ovako slikovito tumači ovaj omjer:
43
Re
v s d
(55)
.
Budući da je μ/ρ= , to jest, kinematička viskoznost , to se Reynoldsov broj (55) može se napisati i u obliku, Re
v s d
.
(56)
Za dani promjer d cijevi, tokovi s velikim iznosima srednje brzine v s ili s malim iznosima dinamičke viskoznosti imati će velike vrijednosti Reynoldsovog broja i težiti će ka turbulentnom režimu tečenja. Tokovi, pak, s malim iznosim v s ili s velikim iznosima imati će male vrijednosti Reynoldsovog broja i tečenje će težiti ka laminar nom režimu. Prijelazu laminarnog režima gibanja tekućine u turbulentni i obratno, odgovaraju kritične vrijednosti Reynoldsovog broja: donji Redk i gornji Re gk
kritični Reynoldsov broj, kojima odgovaraju iznosi gornje i donje kritične brzine, v dk , v gk . Ukoliko je,
Re < Redk – moguć samo laminarni režim; Re > Re gk – moguć samo turbulentni režim; Redk < Re < Re gk – nestabilna stanja toka. „Fluid možemo zamisliti kao četu vojnika, a stacionarno, laminarno, strujanje kao njezino regularno, disciplinirano, gibanje. Iznosu srednje brzine toka fluida odgovara iznos brzine gibanja čete. Viskoznosti odgovara disciplina, a gustoći – naoružanje. Što je četa brojnija, čim se brže ona giba, čim je teže njezino naoružanje to se ona ranije raspada.“ Za cijevi kružnog presjeka karakteristična dimenzija l je njezin promjer d , dok je iznos v karakteristične brzine toka iznos njegove srednje brine toka. Po šavši od toga te uzevši da je
Re
vl
.
, Reynoldsov broj (5) poprima oblik,
(6)
Jednim od najvažnijih rezultata Reynoldsovih istraživanja je taj što do prijelaza stacionarnog, laminarnog, režima strujanja u turbulentni dolazi pri, gotovo, jednoj te istoj numeričkoj vrijednosti Reynoldsovog broja Re nazvanoj donjom kritičnom
vrijednošću Redk čiji je iznos, bez da se poduzmi posebne mjere za stabilizaciju toka, za cijevi kružnog poprečnog presjeka, približno jednak Redk 2300 . Poduzimanjem posebnih mjera u svrhu stabilizacije toka, prijelaz u turbulentni
režim moguće je znatno „zavući“, tj., do prijelaza u turbulentni režim tečenja dolazi kod znatno većih vrijednosti Re od
Redk 2300 .
44
Da bi se, dakle, odredila, predvidjela, vrsta režima tečenja , potrebno je prema izrazima (55) i (56), za svaki promatrani slučaj odrediti Reynoldsov broj i
usporediti ga s njegovim kritičnim vrijednostima.
U inženjerskoj praksi za donju kritičnu vrijednost Reynoldsovog broja Redk prihvaćena je vrijednost Redk = 2000 (ili 2320) 11. Na taj se način smatra da je pri Re < 2320 režim gibanja tekućine laminaran , dok se za vrijednosti R e veće od gornje kritične vrijednosti jednake Re gk = 4000 režim tečenja može smatrati turbulentnim. Za vrijednosti Re iz intervala (R edk < Re < Re gk ) karakter gibanja fluida nije moguće predvidjeti. Tečenje se odvija u zoni nestabilnih stanja te ga se najčešće isključuje iz razmatranja, čime se postiže veća sigurnosti proračuna.
Turbulentni režim je nestacionarni režim tečenja.
Crtež 4
Da bi, primjerice, strujanje vode [ (T 550 C ) 0.55 103 Pas , crtež 4)] u kućnom sustavu centralnog grijanja kroz cijevi promjera d = 1.5 cm bilo 11
V. Saph i E .H . Schoder (1903.) mjerili su gubitke specifič ne energije vode u petnaestak cijevi promjera od 2.77 do 53.1 mm u intervalu Reynoldsovog broja od 1.4 103 do 104 103 . Pokusi V. Sapha i E .H . Schodera pokazali su da donja kriti č na vrijednost Reynoldsovog broja iznosi oko Redk = 2000, kao i da prelazno podru č je le ž i izmeđ u vrijednosti Reynoldsovog broja R e = 2000 i Re = 3000 . Kasnija, točnija, mjerenja za Redk i Re gk dala su gore navedene vrijednosti. 45
laminarno, maksimalni iznos srednje brzina strujanja v s , ma x ne smije prelaziti vrijednost v s , ma x
Re d
2000 0.55 10 3 Nsm 2 103 kgm3 1.5 10 2 m
ms 1 ,
0.073
što je mnogo manje od stvarnih brzina, tako da je strujanja vode u centralnom grijanju uglavnom turbulentno. Primjer
Padalinska voda s parkirališta odvodi se kroz cijev promjera d = 90 cm. Da li je tok u cijevi laminaran ili turbulentan? Odgovor potkrije pite odgovarajućim računom. postavite li da će tok biti turbulentan, tada mora biti Re 4000, a iznos Pret pripadne minimalne srednje brzine toka jednak je, v s
Re d
4000 1 106 m 2 s 1 0.9 m
4.4 103 ms 1 .
Po svoj prilici, u stvarnosti, iznos srednje brzine toka u cijevi bit će veći od
izračunate vrijednosti tako da će tok doista biti turbulentan
11.1.1 Kritične vrijednosti Reynoldsovog broja Redk za tokove proizvoljnog oblika živog presjeka Kritične vrijednosti Reynoldsovog broja Redk za tokove proizvoljnog oblika živog presjeka slijede iz izraza (56). Imajući, naime, na umu da je u slučaju d
cijevi kružnog presjeka hidraulički polumjer 12 jednak R = , zamijenit ćemo u 4
12
Kao što nam je već poznato, za cijev kružnog poprečnog presjeka hidraulički polumjer (radijus) R jednak je omjeru površine živog presjeka S toka i omočenog oboda (perimetra) O:
R
S O
r 2 2r
r 2
d 4
d 4 R .
46
izrazu (56) d sa 4 R i time dobiti izraz za Reynoldsov broj izražen preko hidrauličkog radijusa, dakle izraz koji ne ovisi o obliku živog presjeka toka ,
Re
vs 4 R ,
(57)
odakle,
Re 4
Sada iznos
Re 4
2300 4
v s R
.
(58)
575 predstavlja donju kritičnu vrijednost , tako
da je za
v s R
< 575 režim gibanja tekućine u toku proizvoljnog oblika živog presjeka laminaran, a za
v s R
> 575 režim gibanja tekućine je turbulentan.
U inženjerskoj praksi, u velikoj većini slučajeva (kao što su gibanje vode u cijevima, kanalima, rijekama,...) radi se o turbulentnom režimu tečenja. Laminarni režim susreće se znatno rjeđe [pri gibanju vrlo viskoznih tekućina u cijevima, npr. ponekad u naftovodima, pri gibanju tekućine u vrlo uskim cijevima (kapilarama) 13 , a također i pri gibanju podzemnih voda i slično.). Primjer
Odredite režim gibanja zraka i vode pri temperaturi od 293 K kroz cijev promjera d = 2 cm, ukoliko je iznos srednje brzine protjecanja v = 20 ms-1. Dinamički koeficijent viskoznosti zraka na danoj temperaturi je μ = 1.8·10-5 Pas, a kinematički koeficijent viskoznosti vode H O = 10-6 m 2 s-1 . Relativna gustoća zraka je ρ Z = 1,293·10-3. 2
Za zrak:
13
Primjerice, tečenje krvi u čilama čovjeka je laminarno. Do pojave turbulentnog režima tečenja u žilama dolazi na mjestima grananja arterija, gdje uslijed toga dolazi do depozicije aterosklerotskog plaka. 47
r
z H 2O
Rez
,
z d v z
r H O d v 2
z
=
1,293 10 3 103 kg m3 2 10 2 m 20 ms1 1,8 10 1,293 2 20 1,8
Vidimo da je R ez > 2000 turbulentno.
5
Pas
103 2,87 104 .
pa zaključujemo da je strujanje zraka
Za vodu: Re, H
2O
vd
20ms 1 2 102 m 106 m2 s 1
4 105 .
Kao što se vidi, u danim uvjetima i za vodu Reynold sov broj Re, H O = 45000 veći je od donje kritične vrijednosti R edk = 2000 , tako da je i režim strujanja 2
vode u promatranoj cijevi turbulentan.
48
12. Osnovna jednadžba jednolikog
tečenja realnog fluida
14
Linijski gubitci specifične mehaničke energije pri jednolikom tečenju realnog fluida. Darcy-Weisbachova formula U ovom poglavlju cilj nam je izvesti opći izraz za iznos linijskih gubitaka specifične energije u slučaju jednolikog 15 laminarnog ili turbulentnog toka realne tekućine proizvoljnog oblika živog presjeka (bilo u cijevi bilo u otvorenom kanalu, koritu), nagnutog pod kutom prema horizontu. Promatrajmo, dakle, jednoliki stacionarni tok realne tekućine u cijevi nagnutoj pod kutom α prema horizontu (crtež 90). Budući da je gibanje fluida jednoliko, iznos S površine živog presjeka stalan je duž čitavog toka. Iz istog razloga iznosi brzina elemenata fluida u korespondentnim točkama različitih presjeka su jednaki su. Neka omočeni obod toka iznosi O. Os X pravokutnog Kartezijevog
koordinatnog sustava položit ćemo tako da se ova podudara s osi toka (crtež 90). Uočimo dio toka , masu fluida između dva proizvoljno odabrana presjeka 11 i 2-2 koji su međusobno udaljeni L.
14 15
Gubitci specifične energije zbog trenja izmeđ u dva proizvoljno odabrana presjeka ESC. Pod sjetimo se: u slučaju jednolikog tečenja živi presjeci po duljini toka su nepromijenjeni kao i iznosi srednjih brzina toka v s . Jednoliko gibanje tekućine moguće je samo kada u strujnom toku nema mjesnih (lokalnih) otpora (vidi poglavlj e…). U tom slučaju postoje samo, tako zvani, linijski gubitci specifične energije ( tlaka).
49
Crtež 90. Tečenjem fluida od presjeka 1 do presjeka 2, zbog vanjskog viskoznog trenja s čvrstim stjenkom cijevi (koritom rijeke ) koja ograničava tok, specifična (tlačna!16 ) energija fluida smanjila se za h12 džula po jednom njutnu težine flui da, odnosno za gh12 džula po kubičnom metru fluida.
Napišimo jednadžbu gibanja (II. Newtonov zakon dinamike) za promatrani dio toka, tj., za masu teku ćine između presjeka 1-1 i 2-2. U tu svrhu najprije uočimo sve sile koje djeluju na promatranu masu. Na masu tekućine između presjeka 1-1 i 2-2 djeluju s osi X paralelne tlačne sile
17
F 1 i F 2 , zatim sila teža G te sila vanjskog viskoznog trenja (posmič nog naprezanja) T 0 između fluida i čvrste stjenke cijevi koja ga ograničava i čiji algebarski negativni rad smanjuje ukupnu specifičnu energiju tekućine . Naime, sila vanjskog viskoznog trenja T 0 djeluje na „plašt“ uočene mase tekućine u smjeru suprotnom od gibanja toka tekućine. Budući da je gibanje toka jednoliko (bez ubrzanja), to na uočenu masu fluida ne djeluju inercijske sile. Pošto se centar mase C.M. uočene mase tekućine giba jednoliko, to znači
16
Smanjenje specifične potencijalne energije (jednako algebarski negativnom radu sile posmičnog naprezanja koja djeluje na promatranu masu fluida između presjek a 1-1 i 2-2) manje je od gubitka h12 specifične energije zbog viskoznog trenja. Specifična kinetička energija ostaje nepromijenjena budući je cijev stalnog poprečnog presjeka .
17
F 1 p1S , F 2
p2 S ,
gdje su p1 i p 2 tlakovi u težištima površina presjeka S . 50
da je prema I I . N ewtonovom zakonu zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na uočenu masu tekućine jednak nuli, to jest ,
F 1 F 2
G T 0 0 .
(1)
(Pored sile T 0 koja se pojavljuje na plaštu uočene mase tekućine, postoje i sile nutarnjeg
viskoznog trenja. Sila viskoznog trenja pojavljuje se između strujnih niti: na strujne niti koje se gibaju većim iznosima brzine, sila viskoznog trenja ima smjer suprotan smjeru gibanja tekućine u njima, dok je u strujnoj niti s manjim iznosom strujanja fluida ova sila orijentirana u smjeru toka. Ove sile jednakog su iznosa, tako da se suma sila između svih strujnih niti toka može smatrati jednakom nuli, T 0 .)
Iznos T 0 sile posmičnog naprezanja T 0 koja se pojavljuje na „plaštu“ uočene mase tekućine , jednak je umnošku iznosa 0 (u Nm-2 ) posmičnog naprezanja 18 0 zbog visko znog trenja i površine O L u kojoj se dodiruju tekućina i stjenka koja ograničava tok , tj., T 0 0 O L .
Projiciramo li sve sile u (1) na os X , slijedi,
p1S p2 S gSL sin 0 O L 0 .
18
(2)
Vektor posmično g naprezanja 0 jednak je omjeru ukupne sile T 0 posmičnog naprezanja,
(trenja) i iznosa O L površine u kojoj se između presjeka 1-1 i 2-2 dodiruju tekučina i stjenka: 0 T 0 / O L . Iznos 0 od 0 jednak je iznosu sile trenja na jedinicu omočene površine (Nm-2 ) stjenke kojom je tok o graničen.
51
[Sila P n normalne reakcije (elastična sila!), kojom stjenke koje okruž uju tok djeluju na plašt uočene mase toka (crtež 90), okomita je na os X tako da je njezina projekcija na os X jednaka je nuli] . Pošto je α « , to je, sin tg
h1 h2 L
,
izraz (2) prelazi u, h1 h2
( p1 p2 )S gSL
L
0O L 0 .19
(3) S
Imajući na umu da je hidraulički radijus R toka jednak R , to izrazu (3) O
možemo dati oblik , p1 g
h1
p2 g
h2
0 L
, gR
(4)
identičan onom koji poprima jednadžba energije, ( Bernoullijeva jed nadžba za realnu tekućinu) u slučaju kada je v1 = v 2 (što kod nas i je st slučaj, budući da je strujanje jednoliko!), p1 g
h1
p2 g
h2 h12 ,
(5)
Usporedbom (4) i (5) slijedi traženi izraz za linijski gubitak specifične energije između presjeka 1 i 2 u slučaju jednolikog stacionarnog strujanja realne tekućine ,
h12
0 L
.
(6)
gR
Prema (6) gubitak specifične energije h12 izravno je proporcionalan iznosu 0 posmičnog naprezanja 0 na dodirnoj površini stjenka cijevi-tekućina i razmaknutosti L presjeka između kojih se gubitak traži, a obrnuto je proporcionalan hidrauličkom radijusu R .
Iz (6), za srednji hidraulički nagib (hidraulički gradijent) toka slijedi, 19
Izraz (3) moguće je pomnožiti nekim iznosom pomak a x uočenih presjeka 1 -1, 2-2, duž osi X. Time izraz (3) predstavlja zbroj mehaničkih radova vanjskih sila nad uočenim dijelom toka. Budući da se uočeni dio toka giba jednoliko , ukupni rad ovih sila jednak je nuli.
52
i
h12 L
0
, R
(7)
odakle je,
0
R i .
(8)
Osnovna jednadžba jednolikog stacionarnog tečenja
J ednadžba (8) poznata je kao osnovna jednadžba jednolikog stacionarnog tečenja. Ona veže iznos posmičnog naprezanja 0 na dodirnoj površini stjenka–
fluid s hidraulički nagibom i h12 L . Za poznate vrijednosti od R , γ te i h12 L , moguće je iz (8) izračunati 0 . I staknimo još jednom da jednadžbe (6) i (8) jednako vrijede u slučaju laminarnog kao i u slučaju tur bulentnog strujanja.
Međutim, u inženjerskoj praksi najčešće je cilj unaprijed izračunati, procijeniti, pad tlaka h12 između dva presjeka jednolikog toka, a da se pritom ne zna vrijednost od 0 , čije je poznavanje nužno kako bi se primijenila jednadžba (6) .
Pazi! Ne fali li tu nešto? Voda kinematičke viskoznosti ν = 10-6 m 2 s-1 teče kroz cijev srednjeg promjera -1 d = 20 cm, s nagibom i = 0.0128, srednjom brzinom iznosa v s = 1.4 ms . Odredite: a.) posmično naprezanje 0 na razdjelnoj površini voda-stjenka cijevi, b.) iznos Darcy-Weisbachovog koeficijenta, c.) apsolutnu hrapavost 20.
20
Primijenite Swamee-J ain-ovu formulu! 53
a.) b.)
0
d
0.2 m
4
4
R i i 103 kgm3 9.81 ms2
8 gRi v s2
2 gdi v s2
2 9.81ms 1 0.2m 0.0128
1.4ms
1 2
0.0128 6.3 Pa .
0.026 .
c.) Prema Swamee-J ain-ovoj formuli, Swamee, P., Jain, A., Explicit equations for pipe-ow problems. Journal of the Hydraulics Division (ASCE), 102 (5), 1976, pp. 657-664.
0.25
5.74 log 3.7d Re0.9
pošto
Re
2
1.325
5.74 ln 3.7d Re0.9
v s d 1.4ms 1 0.2m
106 m 2 s 1
2
, 5 103 Re 108 , 106
d
102 .
280000 ,
0.026
0.25
log 3.7d
2
,
0.25
log 3.7 0.2
,
2
log1.3514 3.1 , 0.00059 ,
odnosno, d
Izračunata vrijednost za ( 106
d
d
0.003 .
potvrđuje primjenjivost Swamee-J ain-ove formule
102 ) u ovom slučaju.
Turbulentni tok vode odvija se u cijevi promjera d = 20 cm volumnim protokom od Qv = 250 m 3h-1 i pri hidrauličkom g radijentu jednakom i = 4%. K inematička viskoznosti vode je ν = 10-6 m 2 s-1. Odredite, a.) Darcy-Weisbachov koeficijent, 21 b.) relativnu i ekvivalentnu (apsolutnu?) hrapavost , 21
Primijenite Swamee-J ain-ovu formulu! 54
c.) posmično naprezanje
0
na razdjelnoj površini voda-stjenka cijevi.
a.) Iznos srednje brzina toka, v s
4Qv
2
d
4 250 m3
0.2 m 3600 s 2
2.21 ms 1 .
L vs2 h Iz Darcy-Weisbachove formule h12 slijedi 12 d 2 g L
2idg v s2
2 0.04 0.2m 9.81ms 2 2 2.21ms 1
i
1 v s2 d 2 g
tako da
0.0321 .
b.) Reynoldsov broj, Re
v s d
2.21ms 1 0.2m 106 m 2 s 1
442000 .
Za izračunavanje relativne i ekvivalentne hrapavost i poslužit ćemo se Swamee Jain-ovom formulom
0.25
5.74 log 3.7d Re0.9 3.7d
log
3.7 d
log
0.25 0.0321 d
0.25
2
iz koje slijedi,
5.74 Re0.9
,
5.74
4420000.9
2.791 ,
0.006 ,
odnosno, d 0.006 0.2 m 0.006 0.0012 m .
c.)
0
d
0.2 m
4
4
R i i 103 kgm3 9.81 ms2
0.04 19.62 Pa .
55
dimenzijske analize, teorije sličnosti i eksperimenta dolazi se do rezultata prema kojem je iznos posmičnog naprezanja 0 uz stjenku koja ograničava promatrani tok, jednak, Kombinacijom 22
0
2 v s , 8
(9)
pri čemu je empirijski 23 faktor nazvan hidraulički koeficijent trenja ili Darcy-Weisbachov koeficijent trenja. Izjednačavanjem (8) i (9), 2 v s 8
gR
h12 L
,
dolazimo do izraza za linijski gubitak specifične energije ,
h12
2 L v s
,
8 R g
(10)
koji u slučaju cijevi kružnog presjeka i promjera d , za koju je hidraulički radijus R jednak R S O d 4 , poprima oblik, u literaturi poznat kao Darcy-Weisbachova formula,
22
Na primjer, V.A. Bolj š akov i drugi, Spravoč nih po Gidravlike,……. , S.D. Stan č ev: Hidravlika, Tehnika, Sofija, 1974., str. 147. 23 Empirijski - dobiven pokusom, nije izveden iz teorije. 56
2
L v s h12 d 2 g .
24
(11)
Darcy-Weisbachova formula Pitanje određivanja Darcy-Weisbachovog empirijskog faktora trenja kasnije predmet naših detaljnih rasprava.
bit će
Za praktične potrebe priklad no je u Darcy-Weisbachovu formulu uključiti volumni protok Qv
Sv s tako da (11) poprima oblik, h12
8 LQv2 2 5
g d
LQv2
12.103 d 5
.
(12)
13. I zraz za iznos srednje brzine
v
s
i volumni protok Qv pri jednolikom tečenju (Chezyeva formula) 25 Iz izraza (10), za iznos srednje brzine v s pri jednolikom tečenj e slijedi ,
v s
8 Rg
i .
(1)
Uvede li se oznaka,
C
24
25
8 g ,
(2)
Jednadžba (11) ekvivalentna je H agen-Poisseuille-ovoj jednadžbi u slučaju laminarnog režima tečenja [ vidi poglavlje: Gubitak specifične energije (pad tlaka) pri jednolikom laminarnom tečenju newtonovske tekućine u horizontalnoj cilindričnoj cijevi . Hagen – Poiseuille-ov zakon ]. h12
L vs2
d 8Rgi , R , v s2 8 Rgi v s . 8 R g 2
57
slijedi dobro poznata, u praksi široko rasprostranjena Chezyeva formula26 za izračunavanje iznosa srednje brzine v s toka ili volumnog protoka Qv u otvorenim vodotocima, posebice kanalima, v s
C R i .
(3)
Chezyeva formula Dok je empirijski hidraulički koeficijent trenja
bezdimenzionalna veličina,
1
dotle se Chezy ev koeficijent C mjeri u C m 2 s 1 [jednadžba (2)].
Iz Chezy -eve formule (3) [ memento : i
h12 ! ] slijedi izraz za iznos h12 linijskog L
gubitka specifične energije ( pada tlaka) u kojem se, pored ostalih fizikalnih veličina, pojavljuje i Chezy ev koeficijent C, 26
Antoine de Chézy (1718-1798 ), jedan iz grupe briljantnih francuskih inženjera u 18. stoljeću proizašlih iz škole École des Ponts et Chaussées (Škola za mostove i ceste). Svoja je istraživanja Chézy proveo u svezi s izgradnjom kanala diljem Francuske, posebice 1764. u svezi s zahtjevnim projektom Burgonjskog kanala (Canal de Bourgogne) koji spaja bazene Seine i Rhone. Kao osoba, Chézy je bio izuzetno skroman, čak stidljiv. Iako je djelovao kao desna ruka slavnog graditelja mostova J ean-Rodolphe Perronnet- a čiji je
Most Sloge (Pont de la Concorde) u Parizu Chezy dovršio 1795 ., njegov genij prekasno je prepoznat: t ek u posljednjoj godini svog života postavljen je za ravnatelja École des Ponts et Chaussées.
58
h12
vs2
L . C R 2
(4)
Prema (3) volumni protok Qv jednak je,
Qv
v s S SC R i ,
(5)
i prema (5) moguće ga je izračunati tek ukoliko je pored hidrauličkog radijusa R i hidrauličkog nagiba i poznat i Chezy ev koeficijent C za dani tok. REZIME : ukoliko su za dani tok, pored ostalog, poznati hidraulički koeficijent trenja i/ili Chezy ev koeficijent C, linijski gubitak h12 specifične energije između dva proizvoljno odabrana presjeka 1 i 2 toka moguće je izračunti prema izrazima, 2
L v s h12 , d 2 g h12
vs2
L , C 2 R
Pitanju određivanja hidrauličkog koeficijent trenja i pitanju određivanja, izračunavanja, Chezy evog koeficijenta C , posebno za laminarni i posebno za turbulentni režim tečenja, posvećeno je nekoliko slijedećih poglavlja. No, recimo već ovdje ono najbitnije, a to je da teorijskih izvoda izraza za ove koeficijente – nema. Izuzev u slučaju laminarnog tečenja , koeficijeti i C određuju se eksperimentalno . Doduše, rezultati dimenzijske analize u slučaju Darcy-Weissbachovog koeficijenta pokazuju da ovaj ovisi o Reynoldsovom broju Re i relativnoj hrapavosti ε (vidi poglavlje …).
59
14. Gubici specifične energije
u laminarnom režimu tečenja 14.0 Osnovne karakteristike
laminarnog režima tečenja 27 newtonovskog fluida u cilindričnoj cijevi
Ovdje nam je namjera raspraviti osnovne značajke i zakonitosti laminarnog režima tečenja u vodoravnoj cijevi kružnog poprečnog presjeka. Laminarno tečenje je uređeni oblik strujanja fluida pri kojem ne dolazi do prelaženja elemenata fluida iz sloja u sloj (iz jednog u drugo strujno vlakno. vlakno . Vektori brzina elemenata fluida paralelni su s osi toka, nemaju komponente brzina okomite na os tečenja . Budući da se gibanje fluida odvija u slojevima, to između slojeva s različitim iznosima brzina dolazi do pojave sila unutarnjeg (viskoznog) trenja, tj., posmičnih naprezanja. Gibanje tekućine podvrgava se
N ewt wto onov novo om za zakonu vi visk sko ozno znogg tr tre enj nja a. U stvarnosti, masa tekućine koja ulazi u cijev, nužno mora proći određenu udaljenost od ulaznog presjeka cijevi prije nego što se u njoj uspostavi
parabolična (paraboloidna) raspodjela brzina karakteristična za laminarni režim tečenja. Promotrimo pobliže proces nastajanja laminarnog režima u cijevi kružnog presjeka.
27
Njutnovskima se nazivaju tekućine kod kojih je iznos posmičnog naprezanja
na
razdjelonoj plohi dva sloja, koji se jedan u odnosu na drugi gibaju brzinama različitih iznosa, dan Newtonovom formulom dv . dy
60
Pretpostavimo da iz rezervoara reze rvoara velikih dimenzija tekućina utječe u cijev pri čiji su rubovi „usta“ dobro zaobljeni, tako da je brzina tekućine u svim točkama
ulaznog poprečnog presjeka gotovo jednaka, uniformna, s izuzetkom vrlo tankog graničnog sloja uz stjenke, u kojem zbog privlačnih sila između molekula tekućine i molekula stjenke iznos brzine tečenja naglo pada na nulu. Dakle, na ulazu u cijev cijev profil brzina, s velikom točnošću, može se prikazati pravcem okomitim na pravac toka (crtež 91.1).
Crtež 91 šuplji cilindri) susjedni graničnom Udaljavanjem od ulaznog presjeka, slojevi ( sloju uz stjenku cijevi, zbog trenja, bivaju usporavani, debljina ovog sloja s sloju manjim brzinama postepeno se povećava, a brzina tečenja u njemu sve više se smanjuje.
Istovremeno, središnji dio toka koji još još nije zahvaćen trenjem giba se kao cjelina pri čemu su brzine svih slojeva jednake, no većeg su iznosa od onih na ulaznom presjeku cijevi, budući da protok Q tekućine mora ostati nepromijenjen. Dakle, usporavanje tekućine u graničnom u graničnom sloju izaziva povećanje brzine u jezgri (crtež 91.2). roces smanjenja brzine tečenja uz stjenke cijevi i povećanja brzine u jezgri P roces odvija se sve dok granični sloj ne zahvati cijeli presjek toka i jezgra ne bude „ svedena na nulu“ , a raspodjela brzine ne poprimi paraboličnu (paraboloidnu) formu tipičnu za laminarni režim tečenja (crteži 91. 3 i 4 , vidi slijedeće poglavlje). Duljina ulaznog dijela cijevi duž kojeg dolazi do formiranja parabolične Schii ll lle er ovom izrazu, raspodjele brzina izračunava se prema Sch L 0.029 Re d ,
(1)
61
Anatomija gibanja tekućine ynoldsov sov br br oj , a d promjer u kojem je Re R eynold d promjer cijevi. Anatomija u laminarnom režimu shematski je prikazana na crtežu 9228: iznos brzine strujanja graničnog sloja neposredno uz stjenku cijevi jednaka je nuli, dok se brzinom maksimalnog iznosa giba fluid u ESC koja se podudara s osi cijevi.
Crtež 92
(paraboloidna) raspodjela 14.1 Parabolična (paraboloidna) i zno nosa sa br zi na pr i la lam mi na narr no nom m režimu strujanja ne new wtono novsk vsko og flui luid da u cij ci j evi
28
Predodžbi o karakteru gibanja koak sijalnih šupljih cilindara f luida pri laminarnom režimu strujanja fluida u cijevi može pripomoći i slučaj produživanja antene na prenosivom tranzistorskom radio prijemniku.
62
Promatrajmo već uspostavljeni je jed dno nolik liki i laminarni tok tekućine u dugačkoj cijevi kružnog poprečnog presjeka radijusa R0 i s konstantnim gradijentom tlaka duž cijevi (crtež i 92 i 93). Takav se tok naziva Hagen-Poiseuilleov tok . ućinu koja se giba u cijevi, u mislima, razdijelimo na beskonačno veliki broj Tek ućinu tankih koaksijalnih šupljih cilindara fluida pri čemu se svaki od njih giba brzinom različitog iznosa. Zbog električnih sila između molekula tekućine i molekula stjenke cijevi, iznos brzine gibanja tankog šupljeg cilindra tekućine radijusa (praktički) jednakog R0 , koji je u neposrednom dodiru sa stjenkom jed dna nakk je nu nuli li . Iznosi brzina gibanja tankih koaksijalnih šupljih cilindara cijevi, je sve manjeg promjera povećavaju se do maksimalne vrijednosti vrijednosti duž osi cijevi. cijevi. uplji! ) Izdvojimo, u mislima, u cijevi radijusa R0 koaksijalni cilindar (ne š uplji! tekućine radijusa r i duljine L. Hidraulički radijus Rr ovog koaksijalnog cililind ci ndrr a j edna nakk je j e polo lovini vini nj nje egovo vogg ra r adi jusa r 29.
Crtež 93 U skladu s Newtonovim zakonom viskoznog trenja , iznos (r ) ( pozitivan broj!) sile trenja (posmično g naprezanja) na jedinicu površine oplošja promatranog cilindra polumjera polumjera r , , jednak je, (r )
dv dr
r
.
(1)
S druge strane, prema osnovnoj jednadžbi jednolikog tečenja , , iznos 0 posmičnog naprezanja na površini koaksijalnog koaksijalnog cilindra radijusa r jednak je,
Rr i
r i. 2
(2)
Izjednačavanje (1) i (2 ) daje,
dv dr
r
r i , 2
odakle je, dv 29
Rr
S O
2
r 2r
1 2
30
irdr .
(3)
r . 2
63
Integriranjem (3), v ( R0 ) 0
dv
v ( r )
R0
2
i rdr , r
za radijalnu ovisnost v(r ) iznosa vektora brzine toka na bilo kojem presjeku
cijevi u laminarnom režimu tečenja u cijevi kružnog poprečnog presjeka, slijedi, v(r )
4
i( R02
2
r )
4
iR02 (1
r 2 R
31 ) . 2
(4)
Crtež 93.a) Paraboloid nastao vrtnjom Crtež 93. ) )
parabole na crtežu crtežu 93. ) ) oko osi simetrije vodoravne cijevi
pa arab rabo ole čija se os simetrije podudara s osi simetrije Izraz (4) je jednadžba p cijevi. Vrtnjom parabole (4) oko osi toka (cijevi) nastaje rotacijski paraboloid
na čijoj površini završavaju vrhovi vektora brzina u različitim točkama kružnog poprečnog presjeka cijevi. Iznos vektora v ektora brzine toka maksimalan je za r 0 , tj., na osi cijevi (crtež 93) i jednak je,
30
31
1 p1 p2
rdr . U slučaju koaksijalnog cilinda infinitezimalne duljine dL = dx , L 1 dp diferencijal brzine dan je izrazom dv rdr . 2 dx p p2 2 sustavu r, v(r), skicirajte parabolu R0 r 2 . U Pravokutnom koordinatnom sustavu v(r ) 1
dv
2
v(r )
4 L p1 p2 4 L
R
2 0
r 2 .
64
vmax
v(r 0)
4
iR02
0 R0 2
32
.
(5)
14.2 R asp spo odj ela ta tang nge enci ncijj alni lnih h na nap pr ezanj nja au
omočenom presjeku vodoravne cijevi kružnog presjeka u slučaju laminarnog laminarnog strujanja newtonovskog fluida Iz osnovne jednadžbe jednolikog tečenja ,
r (r ) Rr i i , 2 ( Rr
r
2
2 Rr r r , 2r 2
(2')
, crtež 94) - hidraulički radijus koaksijalnog šupljeg cilindra radijusa r ,
slijedi da iznos posmičnog naprezanja između šupljih, fizikalno beskonačno 33 tankih koaksijalnih cilindara fluida, linearno raste od vrijednosti jednake nuli u središtu cijevi [ r = 0 , (r 0) 0 ], do maksimalne vrijednosti 0 uz stjenku cijevi, jednake 0
( R0 )
i 2
R0 .
(7)
32
U sljedećem poglavlju bit će pokazano da je iznos srednje brzine toka v s jednak polovini v iznosa maksimalne brzine vmax , tj., v s= max . 2 33 Ovo je istinito samo za njutnovske tekućine.
65
Crtež 94 Zbog (7), (2') poprima oblik,
(r )
0 R0
r .
(8)
) [odnosno ovisnost (8)] grafički je prikazana na crtežu 94. Linearna ovisnost (2' Dakle , dok se pri laminarnom tečenju u cilindričnoj cijevi iznos brzine sustava šupljih, beskonačno tankih koaksijalnih cilindara fluida , duž poprečnog presjeka u ovisnosti o r , mijenja parabolički, dotle iznos posmičnog naprezanja (r ) na plaštevima linearno raste s porastom r . Iz vmax
v(r 0)
4
iR02
0 R0 2
0
2v s , za iznos 0 slijedi, 4 v s R0
8 v s d
,
(9)
gdje je d = 2R0 promjer cijevi.
U vodoravnoj cijevi rezultanta tlačnih sila (crtež 94) koja djeluje na, u mislima u toku izdvojeni valjak (kontrolni volumen!), uravnotežena je silom trenja,
66
p R02 2 R0 L 0 , p R0 0 . 2 L
(10)
Primjer
Newtonovski fluid, čija je apsolutna viskoznost jednaka 1.45 103 Pa , teče stacionarno u cijevi čiji j e unutarnji polumjera R0 = 0.1 m (vidi crtež! ). Raspodjela iznosa brzina elemenata fluida po presjeku cijevi dobro je opisana r 2 izrazom v(r ) vmax 1 u kojem je r udaljenost os osi simetrije cijevi, a R0 vmax 0.66 ms1 . Izračunajte iznos T tangencijalne sile T kojom fluid djeluje
na dio cijevi duljine L = 3.7 m.
Iznos T tangencijalne sile T kojom fluid djeluje na dio cijevi duljine L
izračunat ćemo polazeći od izraza (9) množeći ga s unutarnjom površinom cijevi S 2 R0 L , T 2 R0 L 0
2 R0 L
4 vmax 2 R0
4 L vmax 4 3.7m 1.45 103 Pa 0.66ms1 0.0445N ,
ili, T 2 R0 L r R0
2 R0 L
dv(r ) dr
r R0
2v r 2 R0 L max2 r R 4 L vmax 0.0445 N . R0 0
67
15. Gubitak specifične energije pri jednolikom laminarnom tečenju newtonovskog fluida. H agen - Poiseuilleov zakon. Riješeni primjeri 6.4.3
Reibungsdruckverlust
im
Rohr nicht kreisförmigen Querschnitts, Peter von Boeck, str. 132 „ne kuži stvar“! Sram ga bilo!
Znajući zakonitost v(r )
4
i ( R02
r 2 ) raspodjele brzina u poprečnom presjeku
toka pri laminarnom režimu tečenja u horizontalnoj cilindričnoj cijevi, moguće je bez većih teškoća izvesti teorijski izraz za gubitak specifične energij e izazvan trenjem, tečenjem fluida između dva živa presjeka međusobno udaljena L između kojih vlada razlika tlaka jednaka p1 p2 p .
68
Crtež 95
Crtež 96
Izdvojimo u, mislima, u laminarnom toku fluida u cijevi čiji je p olumjer R0 , beskonačno tanki šuplji valjak fluida polumjera r i beskonačno tanke debljine dr stjenke (crteži 95 i 96). Svaki koncentrični, fizikalno beskonačno tanki šuplji valjak, klizi izmeđ u dva susjedna valjka paralelno s vodoravnom osi simetrije cijevi. Površina presjeka stjenke šupljeg valjka fluida (površina prstena) jednaka je dS 2r dr . Elementarni volumni protok dqV tekućine koji se
ostvaruje gibanjem ovog beskonačno tankog šupljeg valjka fluida jednak je, dq V
v(r)dS
4
i( R02 r 2 ) 2r dr ,
dok je volumni protok QV kroz cijelu površinu S presjeka cijevi jednak,
QV dqV S
R0
i ( R02 r 2 )2rdr ... 4 0
r 2 u ... ; kada r 0 , u R02 , dok je za r R0 , u 0 , tako da je dalje, du 2rdr R02
u 2 QV i ( udu) i 4 2 4 2 R0
QV
1 8
0
iR04
128
id 4 ,
, 2 0
0
R
(d=2R0 ),
(1)
Srednja brzina v s za cijeli presjek S promatranog laminarnog toka jednaka je,
69
v s
QV S
QV
2
d π 4
1 32
id 2
1 8
iR02 .
(2)
………………………………………………………………………………… Kako je u laminarnom režimu tečenja vma x v(r 0)
4
iR02 , to, iz (2), za, iznos v s srednje brzine
u laminarnom režimu tečenja, slijedi već poznati nam rezultat,
v s
1 8
iR02
vmax 2
(3)
.
………………………………………………………………………………………………………………………
Budući da je hidraulički nagib i u (2) jednak i
h12 L
34
, to jednadžba (2 ) za
gubitak h12 specif ične energije fluida između dva okomita živa presjeka toka razmaknuta L , u laminarnom režimu tečenjem u vodoravnoj cijevi daje, h12
8v s L gR02
8 v s2 L gQ , V
(4)
ili zbog R0 d / 2 , (d – promjer cijevi!),
h12
32 L 2
gd
vs
128 L 4
gd
QV .35
Hagen-Poiseuilleov zakon 34
(5)
h12 je razmak izmeđ u razina fluida u piezometrima razmaknutim L (crte ž 94). Fluid u
piezometrima je onaj isti koji teče kroz cijev. 35
Izraz (5) poznat je kao H agen-Poiseuilleov zakon za stacionarno laminarno tečenje u cilindrično j cijevi s konstantnim gradijentom tlaka. Ovu je zakonitost eksperimental no ustanovio njemački inženjer G.H.L. Hagen 1839. godine, potpuno nezavisno od njega 1838. godine to je uspjelo francuskom liječniku i fizičar u J .L .M. Poiseuille-u ( baveći se proučavanjem hidrauličkog otpora u kapilarama, a u svezi s proučavanjem krvotoka u čovjeka) koji je, međutim, otkriće ove zakonitosti, u matematičkom zapisu u obliku, Qv
R04 p
,
8 L
objavio tek 1840., a potom i 1846. godine Osobita značajka ove jednadžbe je ta što ova zakonitost ne uključuje em pirijske koeficijente bilo koje vrste, dočim fizičkih svojstava kao što su koeficijent dinamičke viskoznosti i gustoća fluida.
H agen-Poiseuilleov zakon pokazuje da u laminarnom režimu tečenja gubitak specifične energije fluida proporcionalan iznosu srednje toka, ovisi o vrsti fluida ( ), obrnuto je proporcionalan površini poprečnog presjeka cijevi i, što je najvažnije, ne ovisi o hrapavosti cijevi, dakle, ni o vrsti materijala cijevi.
70
Iz izraza (5) vidi se da je u laminarnom režimu tečenja linearni gubitak
specifične energije izravno proporcionalan iznosu srednje brzine toka, odnosno, iznosu volumnog protoka QV (crtež 13). h12
Crtež 13
Gotthilf H einrich L udwig H agen
J ean Lui s Marie Poiseuille
(1797-1884)
(1797-1869)
Ispravnost H agen-Poiseuilleovog zakona potvrđen a je mnogobrojnim eksperimentima. H agen-Poiseuilleov
zakon izravno potvrđuje dvije temeljne pretpostavke: a.) uz samu stjenku cijevi brzina fluida jednaka je nuli; b.) Newtonovu hipotezu, tj., Newtonov zakon viskoznog trenja dv . 0 dr
Ova zakonitost često se koristi u svrhu eksperimentalno g određivanja dinamičkog koeficijenta viskoznosti . 4
2
Naime, iz p 128 LQV slijedi ( p1 p2 )d ( p1 p2 )d . Budući da je za svaki laminarni volumni protok 4 d
128QV L
32v s L
Q u vodoravnoj cilindričnoj cijevi promjera d moguće mjeriti pad statičkog tlaka p1 p2 između dva živa presjeka udaljena L , to su sve veličine u posljednjoj jednadžbi poznate , što omogućava izračunavanje dinamičkog k oeficijenta viskoznosti . U teorijskoj mehanici f luida pokazuje se da H agen-Poiseuilleov zakon predstavlja jedno od egzaktnih rješenja Navier – Stokesovih jednadžbi za strujno polje nestlačivog fluida i konstantne dinamičke viskoznosti .
Analogi ja s električnim krugom (Ohmov zakon: I U ) R
Shvati li se pad tlaka p kao razlika električnog potencijala, napon U , volumni protok Qv kao jakost struje I , 4 a 8 L kao električni otpor R , tada izraz Q R0 p formalno poprima oblik Ohmovog zakona I U . v 4 R 8 L R0
71
Prema (5), pad tlaka p između dva živa presjeka razmaknuta L , u Pa, laminarnom režimu tečenja jednak je,
p p1 p2 h12 g to jest, kao i
h12
32vs L 2
d
... (d 2 R0 )...
8 L QV 4 0
R
128 L 4
d
QV ,
u
(6)
povećava se proporcionalno iznosu volumnog protoka
QV
(crtež 13). Pomnoži li se i podijeli izraz (5) s
2v s
36
, za h12 slijedi,
Crtež 14
36
Na temelju velikog broja pokusa i iskustva steč enog na pari š kom vodovodu , francuski
in ž enjer Henry Darcy36 zaključ io je da je gubitak
h12
specifič ne energije u cijevima
u
turbulentnom re ž imu teč enja (vidi slijedeće poglavlje!) proporcionalan kvadratu volumnog protoka
QV , odnosno, visini brzine h12
vs2 2 g
(crte ž 14).
72
h12
32 L gd 2
v s
2v s 2v s
64 L v s2
64 L vs2
v s d d 2 g Re d 2 g
.
(6')
37 Uvede li se za Darcy-Weisbachov bezdimenzionalni koeficijent hidrauličkog 64 38 otpora oznaka , dobiva se Darcy-Weisbachov izraz za gubitak Re
37
38
J ulius Weisbach (1806 –1871), njemački matematičar i fizičar. Nacrta li se log-log dijagram u kojem se na os ordinata nanose vrijednosti 102 , a na os apscisa vrijednosti Reynoldsovog broja Re , tada je prema (7), za Re 2300 , ovisnost
64 Re
linearna (crtež 97).
73
specifične energije (pad tlaka) u JN -1 pr i laminarnom režimu strujanja između dva živa presjeka koja su u vodoravnoj cilindričnoj cijevi međusobno udaljena L , h12
L vs2
, d 2 g
64 Re
,
(7)
.
(7')
3
odnosno u Pa (J/m ) ,
L v s2
p12 gh12 d
2
Crtež 97
74
Izraz (7) pokazuje da je za laminarni režim tečenja dane tekućine ( ) u cijevi dijametra d karakteristično to da je linearni gubitak specifične energije (pad tlaka) izravno proporcionalan dinamičkoj viskoznosti fluida 64 64 ( Re ) i iznosu v srednje brzine toka , a ne ovisi o hrapavosti v d s
s
stjenki, dakle o materijalu stjenki cijevi . U slučaju poznatog volumnog protoka h12
64 L v s d 2 2 g
Qv gubitak h12 jednak je
Qv L 128 gd 4
40.74
Qv L gd 4
.
(8)
Za h12 h1 h2 , pri čemu su h1 i h2 piezometarske visine na presjecima 1 i 2 cjevovoda, propusnost, tj., volumni protok Qv kroz cjevovovod u laminarnom
režimu tečenja dan je izrazom, Qv
0.0245 gd 4 L
h1 h2 .
(9)
Prema (6), hidraulički pad ili hidraulički nagib pri laminarnom režimu tečenja je, i
32 vs
g d 2
.
(10)
Pogledajte video film na adresi: YouTube http://www.youtube.com/watch?v=oJa4IExZWV4&NR=1
Primjer
Tekućina teče kroz vodoravnu cijev promjera d = 200 mm pri čemu je volumni protok Qv = 30 ls-1. Razlika piezometarskih visina na sekciji cijevi duljine L = 50 m je Δh = 0.2 m. Uz pretpostavku laminarnog režima tečenja odredite iznos kinematičkog koeficijenta viskoznosti ν tekućine. Budući da se radi o laminarnom režimu tečenja, to vrijedi,
75
64
Re
.
A pošto je, Re
tekućine jednak,
v s d 64
v s d , to je traženi iznos kinematičkog koeficijenta viskoznosti ν
.
Dakle, da bi odredili iznos od nužno je prethodno odrediti iznos srednje brzine toka v s i iznos Darcy-Weisbachovog koeficijenta hidrauličkog otpora . Srednja brzina v s toka u cjevovodu je, v s
4Qv
d 2
4 0.03m3 s 1 (0.2m) 2
0.96
ms 1 .
Prema Darcy-Weisbachov -oj formuli, h12
L vs2
d 2 g
,
koeficijent hidrauličkog otpora jednak je,
2 gd h12 2 s
Lv
2 9.81 ms 2 (0.2 m) 2 50 m 0.96 ms
1
0.017 .
tako da je traženi iznos kinematičkog koeficijenta viskoznosti ν tekućine jednak,
v s d 64
0.07 0.96 ms 1 0.2 m 64
5.14 10 6 m2 s 1 ,
što odgovara viskoznosti nekog od mineralnih ulja. Primjer
Kinematička viskoznost fluida gustoće ρ eksperimentalno se određuje mjerenjem gubitka specifične energije (pada tlaka ) h 12 u laminarnom režimu tečenja pri nekom volumnom protoku Q u cijevi unutarnjeg promjera d i duljine L (crtež 1). Kolika je dinamička viskoznost tekućine ako je poznato da je d = 10 mm, L = 5 m, ρ = 760 kgm -3 , Qv = 2 cm 3 s-1 , a h12 = 5 cm? 76
Crtež 1
U laminarnom režimu tečenja, prema Hagen-Poiseuilleovoj formuli, gubitak specifične energije jednak je, h12
32 L v gd 2
s
.
Budući da je srednja brzina toka jednaka h12
h12
(1)
v s
4Qv d 2
, to (1) poprima oblik
128 LQ , odakle za slijedi, v
4
gd
gd 4 h12 128 LQv
9.81ms2 102 m 5 102 m 128 5m 2 10 6 m3 s 1 4
9.81 5 10 4 ms 2 1280
1.2 105 m2 s 1 .
Provjerit ćemo da li je u danim uvjetima režim tečenja doista bio laminaran. U tu svrhu izračunat ćemo vrijednost Reynoldsovog broja, Re
v s d
4Q v
d
4 2 106 m3 s 1
1.2 10 5 m 2 s 1 10 2 m
80
1.2
21.2 .
Očito, pošto je vrijednost Reynoldsovog broja Re 21.2 mnogo manja od donje kritične vrijednosti Rekr 2000 , to je režim tečenja doista laminaran i primjena H agen-Poiseuilleove formule za izračunavanja vrijednosti na temelju eksperimentalnih rezultata je ispravna.
77
Primjer U klipu promjera D = 0.1 m i visine h = 0.15 m probušeno je 4 kanalića promjera d = 2 mm paralelnih s njegovom visinom. Klip bez trenja klizi duž valjkaste posude napunjene uljem , pri čemu nema protjecanja ulja između klipa i stjenke posude. Odredite iznos sile F kojom treba djelovati na klip okomito dolje da bi se ovaj gibao brzinom iznosa v = 5 . 10-4 ms-1. Pretpostavite da je tok ulja kroz kanaliće klipa laminaran, kao i da je iznos dinamičke viskoznosti ulja μ = 0.2 Pas.
Crtež 1 Iz H agen-Poiseuilleovog zakona za gubitak specifične energije u slučaju
laminarnog tečenja fluida kroz cijev kružnog poprečnog presjeka, h12
32 Lvs gd 2
,
(1)
za razliku p pu pa tlaka u ulju pu i atmosferskog tlaka p a , tj., za razliku tlakova između donje i gornje površine klipa, slijedi39 ,
p gh12
39
32 Lvs d 2
32 0.2 Pas 0.15m 5 10 4 ms 1 (2 103 m) 2
120 Pa .
(2)
Uočite da razlika p tlakova ne ovisi o broju kanalića. 78
Dakle, da bi se klip gibao brzinom zadanog iznosa, nužno je na donjoj bazi klipa ostvariti tlak za p 120 Pa veći od atmosferskog. Iznos za to potrebne sile je, 0.1m2 4 2 103 m2 D 2 4d 2 F p S p 120 Pa 4 4
0.941 N .
Primjer
Vodoravna cijev stalnog poprečnog presjeka promjera d = 5 cm upotrijebljena je za mjerenje viskoznosti nerafiniranog ulja specifične težine = 0.93 . 104 Nm 3 . Tijekom mjerenja, između dva živ a presjeka razmaknuta L = 6 m zabilježena je stalna razlika tlakova jednaka p = 1.76 . 104 Pa. I z cijevi ulje je otjecalo u posudu u kojoj se tijekom t = 3 min našlo m = 550 kg ulja. Kolika je bila dinamička viskoznost ulja? Qv
R04 p 8 L
Primjer
LFE (Laminar Flow Element) je instrument za mjerenje volumnog protoka Q v plinova i tekućina koji teku pod tlakom. Radni dio LFE predstavlja sustav međusobno paralelnih cjevčica, kapilara (vidi crtež e lijevo i dolje!), serijski priključenih u tok fluida, u kojima je režim toka laminaran (tj., Reynoldsov broj manji je od 2000). Razlika tlakova p između krajeva kapilara linearno ovisi o srednjoj brzini v s laminarnog toka. Na fotografiji gore vidi se radni dio LFE (cijev!) i pripadni mjerni instrument.
79
LF E upotrijebljen je za mjerenje iznosa volumnog protoka Qv zraka gustoće 1.2 kgm3 i dinamičke viskoznosti 1.8 10 5 Pas kroz cijev k ružnog presjeka promjera D = 10 cm (vidi crtež!). Koliki je volumni protok Qv zraka kroz cijev ako se između krajeva LFE, čija je duljina L = 5 cm, mjeri razlika tlakova jednaka p 20 Pa . Promjer pojedine cjevčice je d = 3 mm. Poprečni presjek LFE u dobroj aproksimaciji jednak je poprečnom presjeku D cijevi. Prema H agen-Poiseuilleovom zakonu gubitak specifične energije h12 , odnosno pad tlaka p , između krajeva cjevčice, kapilare, duljine L , u slučaju stacionarnog laminarno g tečenja fluida dinamičke viskoznosti , gustoće , u cijevi kružnog presjeka unutarnjeg promjera d , srednjom brzinom iznosa v s , jednak je, 32v s L p , h12 (1) 2 g gd odakle za iznos v s srednje brzine laminarnog toka plina u svakoj od cjevčica slijedi, v s
d 2 p
,
(2)
32 L
što znači da je u promatranom slučaju volumni protok zraka kroz L F E (dakle kroz cijev unutarnje promjera jednakog D ) jednak, Qv
Sv s
D 2 d 2 p 4
32 L
0.1m2 4
3 103 2 m2 20 Pa 5
32 1.8 10 Pas 5 10
2
m
0.0491
m3s 1.
80
Uz turbulentni režim tečenje gledaj file Zadaci iz hidraulike, 30. svibnja 2013. na memory key-u DENGER
81
16. Turbulentni režim tečenja. Pulzacija brzine. Srednja mjesna ili vremenska srednja vrijednosti brzine u turbulentnom režimu tečenja Turbulentno gi banje fluida najčešći je režim tečenja u cijevima i
otvorenim tokovima. U turbulentnom toku pojedini element fluida giba se po vrlo zamršenoj zakrivljenoj putanji, trajektoriji, koja se razlikuje od putanje susjednih
elemenata, pri čemu se element ne pomiče samo u duž osi toka , već sudjeluje i u
neuređenom
transverzalnom gibanju.
Z bog nemogućnosti da se konzistentnom i zaokruženom teorijom obuhvati raznolikost i složenost pojave , svi do danas uloženi napori da se kvantitativno opisivanje turbulentnog režima tečenja , gibanja pojedinog elementa fluida, provede metodama matematičke analize završili su neuspjehom . Stoga, u proučavanju turbulentnog režima tečenja , suvremena mehanika fluida i hidraulika idu drugim putem. Njihov je cilj ustanoviti samo neke opće
karakteristike turbulentnog režima tečenja na temelju svestranog i temeljitog eksperimentalnog istraživanja uz istovremeno oslanjanje i na teorijske rezultate. Takav pristup, i zmeđu ostalog, pokazuje da u, na prvi pogled, neuređenom turbulentnom režimu tečenja postoje potpuno određene zakonitosti koje, ne samo da objašnjava ju mehanizam samog gibanja fluida, 82
već za praktične ciljeve daju zadovoljavajuću kvantitativnu procjenu pojedinih pojava. Promatrajmo tok tekućine u
turbulentnom režimu tečenja. Bez obzira na to što svaki element promatranog toka „učestvuje“ u longitudinalnom i transverzalnom gibanju, on se na kraju krajeva pomi če u smjeru glavnog toka. Crtež 98. U različitim vremenskim trenucima točkom T prostora prolaze različiti elementi A i B fluida koji u točki T imaju različ ite brzine v a i vb .
Kroz neku uočenu točku T prostora s koordinatama x , y , z, različit im u vremenskim
trenucima prolaze razni elementi tekućine (crtež 98), pri čemu se iznosi brzinâ svakog od tih elemenata u točki T međusobno razlikuju po pravcu no siocu, iznosu i po smjeru. strujanje.
Očito, turbulentno gibanje fluida je nestacionarno
Vektor brzine v elementa fluida u trenutku t u točki T prostora naziva se trenutna brzina. Na crtežu 98 prikazani su vektori va i vb brzina dva različita elementa fluida A i B koji u različitim vremenskim trenucima t 1 i t 2 prolaze istom točkom T prostora.
Crtež 99 Trenutna brzina v elementa fluida u točki T ima u pravokutnom Kartezijevom sustavu ima tri uzajamno okomite komponente: komponentu v x paralelnu s
83
pravcem toka, horizontalnu komponentu v y i vertikalnu komponentu v z (crtež
99). Algebarske vrijednosti
v x , v y
i
v z projekcija ovih komponenata na
odgovarajuće osi, kao i iznos v v x2 v y2 v z 2 trenutne brzine mijenjaju se 40
tijekom vremena. Jedna takva eksperimentom dobivena vremenska ovisnost algebarske vrijednosti projekcije v x komponente v x trenutne brzine v na os x poznata kao grafikon pulzacija brzine, prikazana je na crtežu 100. Kao što se sa crteža vidi, vrijednost v x neprekinuto pulzira oko neke konstantne vrijednosti. Naravno, analogni grafikoni pulzacije dobivaju se i za transverzalne komponente v y i v z trenutne brzine. Zbog pulzacije svih triju komponenti v x , v y
i v z dolazi do intenzivne razmjene elemenata fluida među slojevima, to jest , do miješanja slojeva , pojave posmičnih napona i stoga do gubitka specifične energije fluida.
Crtež 100. Vremenska ovisnost v x komponente mjesne brzine (Tong i Warhaft, 1995.). Uoči te da su na osi apscisa nanesene desetinke sekunde, kao i to da iznos od v x pulzira oko srednje vrijednosti
približno jednake 3.3 ms-1.
40
Crtež 101 Najjednostavnija eksper imentalna metoda praćenja pulzacije komponente v x trenutne brzine v u proizvoljno
odabranoj točki T živog presjeka turbulentnog toka j e promatranje titranja visine h stupca tekućine u Pitotovoj cijevi (crtež 101) . U istu svrhu moguće je primijeniti i hidrometrijsko krilo (vidi poglavlje … tamo gore!).
84
Budući da trenutna brzina elemenata fluida u promatranoj točki nije konstantna u vremenu, uvodi se pojam srednje mjesne brzine ili vremenske srednje vrijednosti brzine. Srednja mjesna brzina je zamišljena, fiktivna, brzina stalnog, konstantnog, iznosa kojom bi se tijekom nekog vremena elementi tekućine morali gibati kroz promatrani beskonačno mali presjek dS toka, da bi volumen protekle tekućine bio jednak volumenu protekle tekućine u istom vremenskom intervalu, no sa stvarnom, vremenski promjenjivom , pulzirajućom brzinom.
Da bi pojasnili i matematički opisali pojam srednje (po vremenu) mjesne brzine promatrajmo turbulentni tok čija je površina presjeka jednaka S (crtež 102). Neka je v x projekcija mjesne brzine v na elementarnom presjeku dS na os X u trenutku t . Volumen dV tek ućine koji će tijekom beskonačno kratkog vremenskog intervala dt proteći kroz elementarni presjek dS jednak je dV dS v x (t ) dt , dok će tijekom nekog konačnog vremenskog intervala T taj
T
volumen biti jednak V v x ( t ) dSdt . Dijeljenjem V sa T dobivamo elementarni
0
volumni protok dqv kroz elementarni presjek dS ,
Crtež 102 T
dqv
V T
dS v x (t )dt 0 . T
(1)
Izražen preko konstantne vrijednosti srednje (po vremenu) mjesne brzine v xs,T , elementarni volumni protok dqv jednak je, dqv
v xs,T dS .
(2)
85
Izjednačenjem (1) i (2) za srednju (po vremenu) mjesnu brzinu slijedi izraz, T
v
x
v xs ,T
(t )dt
0
T
.
(3)
……………………………………………………………………………………………… Iznos srednje (po vremenu) mjesne brzine moguće je odrediti i grafički na temelju mjrenjem dobivenog T
v (t )dt u brojniku izraza (3) jednak površini
grafikona pulzacije. Treba uočiti da je integral
x
o
(zeleno obojena površina na crtežu 103) u metrima, koja je omeđena
krivuljom pulzacije v x (t ) , vremenskom osi i ordinatama podignutim u početnom (t 0) i krajnjem trenutku promatranja
(t T ) . .
Crtež 103 Zamijeni li se (obojena) površina ispod krivulje pulzacije v x (t ) pravokutnikom čija je osnovica
dugačka T, a visina takva da su obojena površina i površina pravokutnika jednake, tada je visina tog pravokutnika jednaka iznosu srednje vremenske vrijednosti brzine
v xs .
Jasno je da srednju mjesnu brzinu treba strogo lučiti od srednje brzine za cijeli presjek toka , tj. brzine usrednjene po živom presjeku S toka,
v s
1
v(S )dS ,
S S
uz uvjet očuvanja volimnog protoka. 86
……………………………………………………………………………………………… Eksperiment pokazuje da, bez obzira na prividno kaotično mijenjanje mjesne T
trenutne brzine v (t ) , iznos srednje (po vremenu) projekcije v xs
v
x
(t )dt
0
T mjesne brzine v (t ) na os X, tijekom dovoljno dugog vremenskog intervala T
(obično se uzima T 5 s ), predstavlja konstantnu vrijednost [vodoravni pravci na crtežima (100) i (103)] . I znosi srednjih (po vremenu), „transverzalnih“, „radijalnih“, projekcij a v ys vrs i v zs vrs mjesnih brzina jednaki su nuli (crtež 104) , T
v ys
vrs
T
v y (t )dt 0
T
0 ,
v zs
vrs
v z (t )dt 0
T
0.
(4)
Crtež 104
sad prezentirane činjenice omogućuju nam u slučaju turbulentnog toka , umjesto nestacionarnog strujnog polja trenutnih mjesnih brzina v , promatrati stacionarno polje po vremenu usrednjenih mjesnih brzina v x 41. To znači da je po svojoj prirodi nestacionarni turbulentni tok moguće, formalno, promatrati kao stacionarni tok . Analizirajući turbulentno Do
tečenje tekućine rabit ćemo i pojam elementarne strujne cijevi (ESC) imajući neprekidno na umu po vremenu, usrednjene mjesne brzine v x . Vremenska
41
Ovaj model između godina 1895. i 1897. predložili su Osborne Reynolds i J oseph Valentin Boussinesq.
87
srednja brzina v s po živom presjeku turbulentnog toka, predstavlja, zapravo, usrednjenje po živom vremenski srednjih brzina v x u raznim točkama živog presjeka.
U sl ijedećem poglavlju bit će prezentirana još jedna fundamentalna značajka turbulentnog toka.
16.1 Mehanizam turbulentnog
jednolikog tečenja fluida u cijevima (Prandtlova 42 shema, 1904.) Kao što je već rečeno, u tur bulentnom režimu tečenja u kojem elementi tekućine imaju i transverzalne komponente brzine, dolazi do neprekidne razmjene elemenata tekućine između susjednih slojeva, tj., do miješanja tekućine te tako
pojave dodatnog trenja između elemenata fluida koje je, kao što se pokazuje, nekoliko desetaka puta veće od onog u slučaju laminarnog strujanja.
Međutim, uz stjenke koje omeđuju tok postoje naročiti uvjeti gibanja tekućine. Prije svega, zbog privlačnih sila između molekula stjenke i molekula fluida, iznos brzine gibanja elemenata fluida neposredno uz stjenku cijevi jednak je nuli. Nadalje, postojanje krutih stjenki onemog ućava transverzalno gibanje tekućine te stoga uz stjenku cijevi ne dolazi do miješanja tekućine, tako da se elementi fluida gibaju duž slabo valovitih putanja, gotovo paralelnih sa
42
Ludwig Prandtl (1875-1953) njemački znanstvenik, pionir aerodinamike (Prandtlova cijev), dvadesetih godina dvadesetog stoljeća razvio matematičke osnove subsonične aerodinamike. Otkrio postojanje graničnih slojeva pri strujanju tekućina. Po njemu je nazvan Prandtlov broj.
88
stjenkama. Ove eksperimentalne činjenice osnova su tako zvane Prandtlove sheme gibanja tekućine u turbulentnom režimu.
Crtež 104. Prandtlov granični sloj debljine ; 1 - viskozni podsloj tečenje laminarno, pri čemu je
dv x dy
debljine
v u kojem je
const . ; 2 - prelazni sloj; 3 – jezgra, turbulentni režim
tečenja koji zbog dv x 0 praktički odgovara gibanju idealne tekućine dy
Zbog viskoznosti tekućine , uz stjenke dolazi do formiranja tankog graničnog sloja (crtež 104). Postojanje ovog, tako zvanog, graničnog sloja , eksperimentalno je potvrđeno suptilnim i točnim mjerenjima. Debljina 43 ovog 43
Za R e < 100000 , debljina laminarnog graničnog sloja u cijevi kružnog presjeka može se 0 ,875
odrediti prema empirijskom izrazu, δ 62, 8 d R e
, u kojem je d promjer cijevi.
89
sloja vrlo je mala i obično je reda veličine dijelova milimetra . Iznos vremenske srednje mjesne brzine v x na granici sloja i turbulentne jezgre (označena s 3 na
crtežu 104) jednak je 0.99 v x
, pri čemu je v x
ma x
ma x
vremenska srednja mjesna
brzina toka u sredini cijevi.
Granični sloj čine dva podsloja: 1.)
viskozni podsloj s laminarnim režimom tečenja debljine v
31d Re
(označen s 1 na crtežu 104 ) u kojem se gibanje tekućine pretežno podvrgava zakonito stima laminarnog režima tečenja, 2.) prelazni sloj (postepeni prijelaz iz laminarnog u tu rbulentni režim tečenja (označen s d na crtežu 104).
U turbulentnoj jezgri (crtež 104, područje 3 toka), intenzivno miješanje i pulzacija iz nosa mjesnih vremenski srednjih brzina elemenata tekućine dovodi, praktički, do izjednačavanja iznosa vremenskih srednjih mjesnih brzina duž poprečnog presjeka toka (crtež 105, krivulja 1 ); raspodjela iznosa vremenskih srednjih brzina po živom presjeku toka slabo se mijenja u usporedbi s laminarnim režimom tečenja (crtež 105, krivulja 2 ) , raspodjela brzina približava se jednolikoj [gradijent
dv x
(tj., brzina kojom se mijenja iznos brzine s dy promjenom koordinate y okomite na pravac toka) , približno je jednak nuli dv x 0 ] što znači da gibanje tekućine u jezgri praktički ne ovisi o vis koznosti dy
tako da se može smatrati da ono praktički odgovara gibanju idealne tekućine . Pokusi su pokazali da omjer iznosa v s srednje brzine toka v s i iznosa
maksimalne brzine vma x leži u intervalu 0.75
v s vmax
0.92 . Iznos omjera
povećava se s porastom, Reynoldsovog broja ( Re
vma x v s vmax
v s d ) i ovisi o hrapavosti
stjenki cijevi.
U svezi s debljinom Prandtlovog sloja napisati gotovu formulu, a primjere uzeti s diska Za skripta od 5. VI I
2013, Izlučeno, S diska KNJIGE, i tako dalje…
90
Crtež 105. Raspodjela vremenskih srednjih brz ina u cijevi kružnog presjeka: 1.) profil brzina u turbulentnom režimu tečenja, 2 .) profil brzina u laminarnom
režimu tečenja
U laminarnom režimu tečenja specifična energija tekućine prelazi u toplinsku kao posljedica algebarski negativnog rada sila unutrašnjeg trenja između slojeva koji se gibaju različitim brzinama. Međutim, pri turbulentnom režimu, uz gore navedene karakteristike laminarnog tečenja, znatna energija dodatno se ''troši'' pri procesu miješanja elemenata fluida koje uzrokuje pojavu dodatnih tangencijalnih naprezanja u tekućini. Za posmično naprezanje koje uzrokuju sile 44 viskoznog trenja pri turbulentnom režimu tečenja , teorija daje , 1 2
2
dv l 2 , dy dy dv
u kojem su ρ - gustoća tekućine, a l - tzv. dužina puta miješanja.
44
Vidi: Prof. Atil Bulu. 91
17. H rapavost stjenki Krute stjenke koje ograničavaju tok tekućine uvijek su u izvjesnoj mjeri hrapave.
Eksperiment pokazuje da hrapavost unutarnje površine cijevi utječe na raspodjelu brzina u živom presjeku toka fluida, kao i na linearne gubitke specifične energija (na pad tlaka). H rapavost stjenke čine po veličini i po obliku razne, po dimenzijama ponekad i najneznatnije iz bočine i neravnine na stjenkama. Dimenzije izbočina i neravnina ovise o materijalu od kojeg su stjenke napravljene i o njihovoj obradi. Z bog pojave hrđe, korozije, taloženja i slično, tijekom vremena, prvobitna hrapavost se mijenja, povećava.
Veličina koja kvantitativno karakterizira hrapavost cijevi je tako zvana apsolutna hrapavost k koja predstavlja srednju visinu izbočina i valovitosti stijenke izraženu u milimetrima (crtež 10.1).
92
Crtež 10. 1- apsolutna hrapavost
k, tj., srednja visina k izbočina na unutarnjoj površini stjenke; 2 - debljina graničnog sloja veća je od apsolutne hrapavosti k tako da izbočine ne prodiru u turbulentnu jezgru; hrapavost je „potopljena“ u garničnom sloju, 3- debljina graničnog sloja manja je od apsolutne hrapavosti k tako da izbočine prodiru u turbulentnu jezgru.
Neke vrijednosti k za cijevi kružnog presjeka mogu se naći u odgovarajućim tablicama, kao što je na primjer tablica 2.
Tablica 2. Vrijednosti apsolutnih hrapavosti k za cijevi Cijevi Staklo
Čiste bešavne cijevi, mjedene, bakarne i olovne cijevi Nove bešavne čelične cijevi Asfaltom premazane cijevi od ljevanog željeza Galvanizirane željezne cijevi Glatke betonske cijevi
Čelične cijevi s neznatnom korozijom Nove cijevi od lijevanog željeza Stare drvene cijevi
Stare čelične cijevi Betonske cijevi
k [mm] 0.003 0,01 0,05 - 0,15 0.122 0.152 0.183 0,2 - 0,3 0,3 0.61 0,5 - 2,0 0.3 – 3
93
E kvivalentna hrapavost Kako, u realnim, komercijalnim cijevima, visina neravnina nije jednolika kao, primjerice kod umjetno ohrapavljenih Nikuradzeovih cijevi (vidi poglavlje: Utjecaj različitih faktora na veličinu koeficijenta otpora λ ), to je uvoden pojam
ekvivalentne hrapavosti k 1 . E kvivalentna hrapavost k 1 predstavlja takvu fiktivnu jednoliku veličinu izbočina koja uzrokuje (pri računima daje) isti gubitak specifične energije kao i stvarna nejednolika hrapavost. E kvivalentnu hrapavost k 1 valja strogo lučiti od srednje hrapavosti k.
U našim daljnjim raspravama u svezi s hrapavošću površina cijevi i kanala imati ćemo na umu da radimo s ekvivalentnom hrapavošću.
Hrapavost cijevi i gubici specifične energije, Hidraulič ki glatke i hrappave cijevi. Relativna hrapavost Ukoliko je debljina graničnog sloja δ veća od hrapavosti k ili k 1 , izbočine i jenke bit će potpuno potopljeni u graničnom sloju, turbulentni dio valovitost st toka (jezgra) neće dolaziti u neposredni dod ir sa stjenkom tako da gubici specifične energije neće ovisiti o njezinoj hrapavosti , već će biti uvjetovani svojstvima same tekućine (gustoćom ρ i dinamičkom viskoznošću μ koje ulaze u Reynoldsov broj Re , crtež 10.2).
U slučaju kada je visina izbočina ta kva da one nadvisuju debljinu graničnog sloja , tj. kada je k , k 1 , (crtež 10.3.), izbočine sti jenki zadiru u turbulentno područje te tako nastaju vrtlozi, mjesta intenzivnog prelaska mehaničke energije fluida u toplinu (crtež 106).
Crtež 106 U hidraulici se razlikuju, 94
Hidraulički glatke površine kada k, k 1 < δ , Hidraulički hrapave površine kada k, k 1 > δ. Gornja podjela je uvjetna. N aime, budući da debljina pograničnog laminarnog sloja sa povećanjem Reynoldsovog broja ( δ 62, 8 d R e 0 ,875 ) postaje sve manja i neravnine površine stjenke počinju zadirati u turbulentnu
zonu, očito je da se jedna te ista stjenka cijevi zavisno o iznosu Reynoldsovog broja može različito ponašati : u jednom slučaju kao glatka , a u drugom kao hrapava. Prema tome hrapavosti k i k 1 ne karakteriziraju u potpunosti utjecaj sti jenki na gibanje tekućine, te se stoga uvodi pojam relativne hrapavosti , k
e
,
d
k 1
,
d 45
gdje je d dijametar cijevi (ili dubina otvorenog toka) . Ponekad se koristi i pojam relativne glatkosti ' ,
d k
e'
,
d k 1
.
Primjer U eksperimentalnom prepumpavanju vode po horizontalnom vodovodu, dijametra d = 0,1 m i duljine L = 500 m, pri razlici tlakova na krajnjim presjecima jednakoj p1 - p 2 = 0,75 at postignut je volumni protok QV = 10,5 ls1. Odredite iznos ekvivalentne hrapavosti k 1 promatranog vodovoda.
Koeficijent hidrauličkog otpora λ izračunati ćemo iz Darcy-Weisbachovog izraza, λ
45
Uočite da relativne hrapavosti d
Re v s
k d
2g h12 d . L v 2
i e
k 1 d
ovise o Reynoldovom broju budu ći da je
.
95
Da bi se odredio λ , prethodno tr eba odrediti gubitak specifične energije h12 i srednju brzinu v , h12
v
Q S
p1 p2
γ
4Q 2
d π
0,75 9, 81 104 Pa 9, 81 ms
2
10
3
kgm
4 10, 5 103 m3 s 1 2
π 0,1 m2
3
7 , 5 m ,
13.376
ls 1 .
Sada se za λ dobiva, λ
2 9, 81 ms
2
7 , 5 m 0,1 m
2
500 m 1, 34 m s
0.0164 .
2
U promatrano slučaju Reynolds-ov broj jednak je, Re
v s d
1.34ms 1 0.1m 0.01 10 4 m2 s 1
134000.
(4)
Očito, režim tečenja u cijevi je turbulentan. Na temelju poznatih vrijednosti za i Re iz Moody -evog dijagrama proizlazi da je cijev hidraulički glatka u turbulentnom režimu tečenja ; izbočine, neravnine na stjenci cijevi potopljene su u graničnom sloju. No, mi ćemo uzeti da je gubitak specifične energije dominantno izazvan hrapavošću cijevi i vrijednost relativne hrapav osti izračunati prema Prandtl – Nikuradse-ovom izrazu, 1 λ
1,14 2log ε 2.0 log
3.7 ,
ili formuli B. L. Shifr insona ,
0.11 , 0.25
ili pak po Nikuradse-ovoj formuli ,
1 1
(1,74 2 log )
2
.
96
Prema prvoj formuli je 0.00049 , prema drugoj 0.00046 , dok je prema
trećoj, log
1
1 1.74 2 1
1 1.74 0.0164 2 0.0164
3.39 ,
2454.71 , 0.00041.
Segovia, vodovod, akvadukt , izgrađen za vladavine rimskog cara Trajana, ko jim je voda u vodotoranj za pročišč avanje u Segoviu dotjecala iz rijeke Frio udaljene od grada oko 17 kilometara. Upotrijebljeno je 24000 granitnih blokova. Gradnja je provedena bez upotrebe betona ili žbuke.
18. Još o dva osnovna izraza za
izračunavanj e gubitka specifične energije
U današnje vrijeme, u inženjerskoj praksi, najčešće se rabe dva osnovna izraza za izračunavanje gubitaka specifične energije (pada tlaka). Prvi od njih ispravno je koristi pri proračunima u otvorenim kanalima , dok se drugi primjenjuje isključivo pri proračunima u slučaju tečenja pod tlakom , dakle u cijevima. Proučavajući gubitak tlaka (specifične energije) u režimu jednolikog stacionarnog tečenja s vremenski stalnom srednjom brzinom v s , za gubitak h12 tlaka uslijed trenja tečenjem između dva presjeka 1 i 2 toka razmaknuta L , došli smo do izraza, h12
L
,
R
(1)
97
u kojem je R hidraulički radijus promatranog tok a, a, a τ posmično naprezanje na jedinicu
površine. Ant nto oi ne Chezy (Šezi) predlaže Na temelju obilja eksperimentalnih rezultata , 1775. godine, A
sljedeću relaciju, relaciju,
1 2
C
v s2
,
(1')
Nm 2 kgms2 m 2 kgm3 ms 2 kgm2 s 2 m , u kojoj je C Chezyjev koeficijent koeficijent proporcionalnosti, a v srednja brzina toka. Time izraz (1) za gubitak tlaka poprima poprima oblik „kvadratične „kvadratične formule“ formule“ 46 ,
h12
vs2 L
.
2
C R
(2)
gubii taka tla laka ka (u Izraz (2) je, u uvodu spomenuti izraz, kojeg je ispravno koristi za proračun gub turbule tur bulentno ntnom m toku) toku) u otvoreni otvorenim m kanalima. kanalima.
Budući da je h12 /L = i ( i - hidraulički nagib ili hidraulički gradijent), to iz izraza (2) slijedi C he hezy zyjj eva f ormula za iznos brzine pri uniformnom uniformnom tečenju, u otvorenim kanalima , v s
C Ri ,
(3)
te C hez protoka QV u istim uvjetima hezyj yje eva f ormula za iznos volumnog protoka
QV
CS Ri ,
(3')
gdje je S živi presjek presjek toka.
Chezyjeve formule mogu se koristiti za određivanje iznosa srednje brzine v toka, odnosno volumnog protoka Qv ne samo u otvorenim tokovima već i u cijevima. Treba istaknuti da su posljednji izrazi primjenjivi samo u kvadratičnom području [tj. kada je ispunjen izraz (1')]. Vrijednosti koeficijenta C određuju se iz empirijskih formula koje su dobivene eksperimentima s otvorenim kanalima i cijevima. Kvadrat koeficijenta C ima ima dimenziju drugog korijena iz akceleracije,
C
v R i
L T 1 L
1
2
=
L
,
T 2
46
Na ziv “kvadratična” “kvadratična”,, formula (1) [kao i formula (6)] dobile su zbog činjenice da se u njima pojavljuje kvadrat srednje brzine. 98
gdje je T bilo koja koja mjerna jedinica za vrijeme, a L bilo koja mjerna jedinica za dužinu.
Međutim, za praktične primjene prikladnije je da je empirijski koeficijent C zamijenjen izrazom, bezd be zdii me menzi nzionalan onalan , pa je stoga koeficijent C zamijenjen 8 g
C
λ
,
(4)
gdje je λ bezdimenzionalna veličina nazvana koeficijent hidrauličkog otpora ili Darcy -
Weisbachov koeficijent. Ova zamjena omogućava da se izraz (1) za gubitak h12 napiše u obliku,
h12
L vs2
,
(5)
Ri ,
(6)
8 g S Ri .
(7)
4 R 2 g
a Chezyjeve formule (3) i (3') u oblicima,
v s
QV
8 g
Izraz (5) drugi je od dva izraza spomenuta u uvodu. Ovaj se izraz primjenjuje isključivo pri
po od tla tlako kom m izračunavanjima gubitka specifične energije (pada tlaka) pri gibanju tekućine p 47 kroz cijevi proizvoljnog oblika , pri čemu tekućina može teći ili samo dijelom ili cijelim presjekom cijevi. Budući da je za cijevi kružnog presjeka 4R = d , to se iz (5) dobiva poznata Darcy -Weisbachov a „kvadratična formula“ formula za izračunavanje pada tlaka pri jednolikom tečenju pod pod tlakom u cilindričnim cijevima ,
h12
L v 2
λ
d 2 g
,
(8)
Treba primijetiti da su i zrazi zrazi (2) i (8), (koji se principijelno uopće ne razlikuju – i jedan i
drugi gubitak tlaka izražavaju proporcionalno kvadratu srednje brzine), nastali u vremenu u kojem su se, izuzevši posmično naprezanje τ na τ na jedinicu površine uz stjenke koje ograničavaju tok, zanemarivali različiti čimbenici koji, kao što su to kasnija istraživanja pokazala, bitno utječu na iznos energetskih gubitaka u promatranom toku. Osnovni čimbenici koji se nisu uvažavali pri izvodu „pojednostavljenih“ izraza izraza (2) i (8) bili su,
-
- režim tečenja - viskoznost fluida - vrsta materijala i stanje površine stijenki oblik i iznos presjeka toka.
47
Hidraulič ki ki radijus R u nazivniku izraza (5) ne ovisi o obriku popre č nog nog presjeka cijevi! 99
Crtež 1
ynoldss ) pokazala da je Chezyjeva pretpostavka Nadalje, kasnija su istraživanja ( R eynold 1 2 v s2 C
istinita samo u slučaju turbulentnog režima tečenja sa dovoljno velikim
ynoldsove e krivulje na crtežu 1). iznosima Reynoldsovog broja (dio CD R eynoldsov U prelaznom području , tj. u području između laminarnog i turbulentnog režima tečenja v sn , pri čemu 1
crtežu 1), dok u laminarnom režimu tečenja veličina ovisi linearno o iznosu srednje brzine v s ,
v s (linearni dio AB ynoldsove e krivulje na crtežu 1.) dio AB R eynoldsov
Usprkos svojih nedostataka, izrazi (2) i (8) zadržali su svoj analitički oblik u kojem se oni danas koriste podjednako i za laminarni i za turbulentni režim tečenja, a njihova korektnost, u smislu uvažavanja gore nabrojenih faktora utjecaja i odstupanja od ovisnosti u obliku kvadratne parabole, ostvarena je tako da su koeficijenti λ i C eksperimentalno dovedeni u vezu sa spomenutim faktorima, odnosno u indirek tnu vezu sa srednjom brzinom strujanja v.
100
T-element cjevovoda
čija je apsolutna hrapavost k manja od 8 107 m
19. Utjecaj različitih čimbenika
prr i na veličinu koeficijenta otpora λ p tečenj nju u flui f luid da u cij ci j evi pod tla lakkom ao što je već rečeno, u hidrauličkoj praksi za izračunavanje linijskih gubitaka K ao specifične energije (« gubitka po duljini») u laminarnom i turbulentnom režimu tečenja u cijevima i u otvorenim kanalima, rabe se slijedeća dva izraza, h12
L v 2
λ
d 2 g
(1)
i
h12
v2 L C 2R
. (2)
U izrazu (1) je Darcy-Weisbachov koeficijent hidrauličkog otpora, dok je u hezye yevv ko k oefi ci cijj ent . izrazu (2) C C hez Ovo poglavlje posvećeno je čimbenicima kao što su a.) režim tečenja, b.) dinamička viskoznost fluida ( ), ), c.) vrsta materijala od kojeg su stjenke
napravljene kao i stanje njihove površine ( tj., tj., relativna hrapavosti relativna ekvivalentna hrapavost e
k e
k i d
), d.) opseg, oblik i iznos presjeka toka
d
(tj., R e ), koji utječu na iznos Darcy-Weisbachovog koeficijenta trenja λ .
101
Odmah valja istaknuti da ovisnost Darcy-Weisbachovog koeficijenta otpora λ o relativnoj ε = k/d, odnosno ekvivalentnoj relativnoj hrapavosti εe = k/d cijevi te o iznosu R eyno ynoldso ldsovo vogg br bro oj a R e nije moguće je dobiti (isključivo)
teorijskim putem, već samo sinergijom teorije i mukotrpnih i dugotrajnih eksperimenata. Stoga je instruktivno upoznati se s metodologijom pokusa koje Jo oha hann nn N ik ikura urad dse s ciljem proučavanja utjecaja je 1933. godine proveo J ynoldsovo vogg broja na linijske gubitke matematički izražene hrapavosti cijevi i R eynoldso 48 i kroz koeficijent trenja λ .
Za potrebe vrlo pomno i detaljno provođenih pokusa Nikuradse je pripravio 49 cijevi kružnog presjeka koje su bile umjetno ohrapavljene lijepljenjem na unutarnju površinu cijevi zrnaca pijeska poznatog srednjeg promjera k , , pri čemu je k u pokusima k odabiran tako da je relativna hrapavosti ε upotrijebljenih cijevi bila u intervalu od približno 103 do 0.3 . U tako ohrapavljenim cijevima poznate duljine L L i poznate apsolutne k i relativne hrapavosti ε , mjeren je gubitak specifične energije (pad tlaka) h12 pri različitim iznosima volumnog protoka Qv
broja
Re
v s d d
Sv s ,
ynoldsovo vogg odnosno, pri iznosima R eynoldso
u intervalu od 500 (laminarni režim tečenja) do 106 (turbulentni
režim tečenja). Koeficijent hidrauličkog otpora λ izračunavan je prema izrazu 2 gd h12 Darcy-Weisbachov izraz 1). ( Darcy-Weisbachov 1). Potom su na os apscisa u 2 Lv s
pravokutnom Kartezijevom koordinatnom sustavu nanošene vrijednosti log(100 ) , a na os ordinata pripadne vrijednosti dekadskog logaritma R eynoldso ynoldsovo vogg br oj a R e. 50 Rezultati Nikuradseovih eksperimenata prikazani su na crtežu 104 . koji pokazuje da je da je cijeli, eksperimentom obuhvaćeni raspon vrijednosti
R eynoldso ynoldsovo vogg broja, moguće je podijeliti u 5 područja.
48
Prva istraživ anja turbulentnog toka pod tlakom u hrapavim cijevima potiču od francuskog inženjera Henry Philibert Gaspard Darcya (1803-1858 (1803-1858). ). Darcy je straživanja provodio na 21 cijevi koje su bile izrađene od različitih materijala (lijevano željezo, lijevano željezo
premazano slojem bitumena, opeka i staklo). Duljina svih cijevi, izuzev staklenih, bila je 100 cm, dok je njihov promjer bio u intervalu od 1.2 do 50 cm. Na temelju dobivenih eksperimentalnih rezultata Darcy je zaključio da pri protjecanju tekućine kroz cij ev pored
promjera važnu važnu ulogu igra i hrapavost unutarnje unutarnje stjenke cijevi. cijevi. Pomoću laka. 50 Zbog svog oblika, grafič ki ki prikaz Nikuradseovih rezultata mjerenja, ponekad se u literaturi 49
slikovoto naziva Nikuradseovom harfom.
102
Laminarno, područje:
Područje 1 laminarnog režima tečenja, Re<2300 , log Re<3,34 , u kojem sve eksperimentalne točke, bez obzira na hrapavost cijevi , leže na pravcu I . Koeficijent hidrauličkog otpora λ ne ovisi o ynoldsovom vom broju , tj., iznosu relativne hrapavosti već isključivo o R eynoldso lam
f (Re1 ) i dan je Poiseuilleovim teorijskim izrazom λ
64
.
Re eovisnost koeficijenta hidrauličkog otpora λ o relativnoj hrapavosti ε cijevi N eovisnost (područje „glatkih cijevi“u laminarnom režimu tečenja) u ovom intervalu malih ynoldso ldsovo vogg br oja objašnjava se time što su izbočine "potopljene" vrijednosti R eyno
Crtež 104 Pazi! „Dići“ e u Re!!! u granični laminarni sloj, tj. , , k << δ , te hrapavost ne narušava laminarnost tečenja; nema razlike između hrapavih i glatkih cijevi. Specifična energija tekućine smanjuje se samo zbog trenja između slojeva izazvanog međumolekularnim silama.
103
Prijelazno, nestabilno, područje.
Ovo područje 2 (područje
između pravaca I i I I na Nikuradseovom dijagramu) odgovara skokovitom prijelazu iz laminarnog u turbulentni režimu tečenja i obr atno , tj. , području u kojem, 2320 < Re < 4000, 3,3 < log Re < 3,6,
i gdje koeficijent hidrauličkog otpora λ brzo raste sa povećanjem Reynoldsovog broja; kako se iznos Re povećava , tako je debljina δ g raničnog laminarnog sloja sve manja. Kao i u slučaju laminarnog režima tečenja R e ostaje jednak za različite iznose relativne hrapavosti , tj., neovisan o ε. Područje 2 je 51 područje " glatkih" cijevi u turbulentnom režimu tečenja . Zbog svoje nestabilnosti, ovo područje nije od praktične vrijednosti i pri proračunima ga valja izbjegavati.
Područje turbulentnog režima tečenja . U ovom području na Nikuredseovom grafikonu postoji porodica krivulja od kojih svaka odgovara različitim relativnim hrapavostima . „Početci“ krivulja leže na prav cu I I . Turbulentno područje moguće je podijeliti na tri podpodručja: - Područje glatkog otpora (hidraulički glatke cijevi), označeno s 3 na Nikuradseovom dijagramu, - Područje dokvadratičnog otpora , označeno s 4 na Nikuradseovom dijagramu, - Područje kv adratičnog otpora 52 (hidraulički hrapave cijevi), označeno s 5 na Nikuradseovom dijagramu.
3 - područje glatkog otpora ( hidraulički glatke cijevi )
53
u Nikuradseovom dijagramu prikazano je, za razne iznose Re i relativne hrapavosti , 51
52
53
“Glatkih”, zbog toga što u ovom intervalu Reynoldsovog broja koeficijent otpora ne ovisi o relativnoj hrapavosti cijevi. O području “kvadratičnog otpora”, govori se iz razloga što u tom području koeficijent otpora ne ovisi o iznosu Reynoldsovog broja , već o kvadratu srednje brzine v s toka ( gotovo vodoravne linije u području 5 ). U ovom području, glatkost treba shvatiti uvjetno. Naime, kod malih vrijednosti Reynoldsovog broja cijev se može smat rati glatkom, dok se ista cijev pri većim iznosima Reynoldsovog broja može ponašati kao hrapava. Rečeno, vidljivo je iz Nikuradseovog grafikona na kojem se od Blasiusovog pravca, s povećanjem R e , odvajaju krivulje 104
Blasiusovim pravcem "hidraulički glatkih" cijevi (pravac I I na dijagramu). U tom području koeficijent hidrauličkog otpora λ ne ovisi o relativnoj hrapavosti 0.25 ) . Apsolutna hrapavost k , već samo o Reynoldsovom broju , gl f (Re unutarnje površine cijevi ne pruža otpor gibanju fluida u turbulentnoj jezgri budući da je hrapavost još uvijek „ potopljena, s krivena“ u laminarnom sloju . Gubitci specifične energije fluida u ovom područ ju mogu se opisati izrazom h12
Av1s .75 .
4 - područje dokvadratičnog otpora u Nikuradseovom dijagramu smješteno je između pravaca I I i I I I . Čini ga porodica krivulja od kojih svaka odgovara drugom iznosu relativne hrapavosti . Odstupanje krivulja od Blasiusovog pravca nastupa to ranije što je relativna hrapavost veća. Kod cijevi sa malom relativnom hrapavošću , koeficijent hidrauličkog otpora λ linearno raste sa smanjenjem Re i dostiže neku konstantnu vrijednost za log Re 3.6 . Koeficijent otpora λ istovremeno ovisi o i R eynoldsovom broju , f (Re, ) . Ovakva ovisnost λ o Re tumači se smanjenjem graničnog laminarnog sloja (zbog pulzacija brzine u graničnom sloju i izvan njega) sa porastom Re do te mjere da je k ≈ δ . Gubitci specifične energije fluida h12 u ovom području dani su izrazom h12 Av1s .75 .
5 -
područje kvadratičnog otpora, područje "potpuno hrapavih" cijevi, u Nikuradseovom dijagramu smješteno je sasvim desno od pravca I I I . Krivulje, od kojih svaka odgovara drugoj vrijednosti , praktički su paralelne međusobno i s osi apscisa. U ovom području λ ne ovisi o Re , već isključivo samo o : f ( ) . Apsolutna hrapavost k u ovom području znatno premašuje δ; hrapavost k iz graničnog laminarnog sloja „ulazi“ u turbulentnu jezgru, dok se laminarni sloj uz stjenku cijevi narušava, praktički nestaje, budući da izbočine hrapavosti dovode do odvajanja tekućine od stjenki i stvaranja virova. Gubitci h12 specifične energije fluida u ovom području dani su izrazom h12 Bvs2 , tj., h12 raste s kvadratom srednje brzine toka v s .
Šest godina k asnije Nikuradseovi pokusi višestruko su potvrđeni nizom eksperimenata sa cijevima raznih jednolikih hrapavosti . Naime, 1938. godine, Rus A.P. Zegžda eksperimentalno je potvrdio da Nikuradseovi rezultati dobiveni za cijevi kružnog presjeka vrijede i za otvorene tokove (žljebove). korespondentne sve manjim iznosima , koje postepeno prelaze u pravce paralelne s osi apscisa, tj., za dani , iznos od λ postaje neovisan o R e.
105
Podsjetimo se da su Nikuradseovi pokusi provedeni su na cijevima sa umjetnom jednolikom hrapavosti . Međutim, dugo vremena ostalo je upitno u kojoj će mjeri Nikuradseovi zaključci dobiveni na cijevima sa umjetnom homogenom hrapavosti biti vjerodostojni u primjeni običnih industrijskih cijevi s prirodnom, nejednolikom i neravnomjernom hrapavosti, koje se rabe u hidrauličkoj praksi. Najopsežnija istraživanja s cijevima promjenljive hrapavosti 54 sličnoj onoj kod
cijevi koje se rabe u inženjerskoj praksi, proveli su 1937. i 1938. godine Colebrook i White. Što se hrapavost više udaljavala od jednolike kao u Nikuradseovim eksperimentima , to je svaka eksperimentalna krivulja uprelaznom području „glatkih cijevi u turbulentnom režimu tečenja“ 55 imala sve manju i manju „udolinu“, dok je samo prelazno područje postajalo sve šire (crtež 105). Konačno, u eksperimentima sa široko razmaknutim zrnima najvećeg dijametra „udoline“ nije bilo . 1938. godine Colebrook je preispitao rezultate dobivene eksperimentiranjem sa komercijalnim cijevima različite hrapavosti – na galvaniziranim cijevima , na katranom premazanim cijevima od lijevanog željeza te cijevima od kovanog željeza. Ovi eksperimentalni rezultati prikaz ani na crtežu 105. Vidi se da kod nejednoliko hrapavih komercijalnih cijevi „udoline“ nema kao i da je prelazno područje veoma široko. Ovaj niz eksperimenata na industrijskim cijevima, koji su potvrdili sve osnovne
Nikuradseove zaključke , završen je oko 1948. godine nizom eksperimenata ruskih znanstvenika, posebice G. A. Murina , čiji su rezultati bili sukl adni onima
Crtež 105
54
Različitima kombinacijama zrna promjera 0,035 cm i 0.35 cm formirano je šest različitih tipova hrapavost. Za neke je eksperimente ohrapavljena čitava površina cijevi, dok je za druge dio površine ostavljen glatkim.
55
Područje 2 na crtežu 104.
106
Colebrooka i White-a.
20. Izrazi za izračunavanje
koeficijenta hidrauličkog otpora λ u laminarnom i turbulentnom režimu tečenja i cijevima U svrhu izračunavanja Darcy-Weisbachovog koeficijenta otpora λ u turbulentnom režimu tečenja predlo žen je veliki broj „formula“, izraza. Predložene formule dobivene su ili potpuno empirijski, na temelju eksperimentalnih rezultata ili na temelju dimenzijske analize. Ovdje ćemo navesti poluempirijske - dovoljno teorijski osnovane i eksperimentalno provjerene - izraze za izračunavanje koeficijenta hidrauličkog otpora λ koji su predloženi od raznih autora -istraživača diljem svijeta za razne intervale vrijednosti Reynoldsovog broja.
Za laminarni režim tečenja (područje 1 na Nikuradseovom dijagramu): Poiseuilleov izraz λ 64 (" glatka cijev" ) Re
Primjenjuje se pri laminarnom režimu tečenja u cijevima kružnog presjeka, λ
64
, Re Re
ρvd μ
vd <2300 , ν
107
i
odgovara
pravcu
I na
Poiseuilleovog izraza λ
64 Re
Nikuradseovom grafikonu.
Primjenljivost
potvrđena je mnogobrojnim pokusima sa
različitim tekućinama i cijevima različitih dijame tara. Tablica 2. V rijednosti koeficijenta λ u slučaj u laminarnog režima strujanja
108
Prelazno, nestabilno podr učje 2 na Nikuradseovom dijagramu) Interval Reynoldsovog broja između pravaca I i I I u području 2 (2320 < R e < 4000) odgovara prelaznom režimu strujanja (prelazna zona) u kojoj se cijev ponaša kao glatka 56 , a koeficijent otpora zbog trenja računa se prema izrazu,
0.0025 3 Re .
Kao što je već prije istaknuto, pri hidrauličkim proračunima, ovo područje nestabilnog režima tečenja treba izbjegavati.
Područje turbulentnog režima tečenja - područje glatkog otpora ( područje 3 na Nikuradseovom dijagramu). Blasiusov 57 izraz (1913. g.) Na osnovi Blasiusovog izraza,
0,3165 4
Re
0,3165 Re0.25
,
izračunati iznosi koeficijenta hidrauličkog otpora λ s relativnom točnošću od 5% odgovaraju stvarnim, eksperimentalnim, vrijednostima za slučaj glatkih cijevi u turbulentnom režimu tečenja ( Blasiusov pravac I I na Nikuradseovom grafikonu), tj., za male vrijednosti relativne hrapavosti ε i za male vrijednosti
59!Pazi!
56
Vidi fusnotu 4
57
Paul Richard H einrich Blasius (1883- 1970), njemački inženjer, bavio se dinamikom fluida. Bio je jedan od prvih studenata Ludwiga Prandtla. Do po njemu nazvane formule, Blasius je došao koristeći se rezultatima V. Sapha i E .H . Schodera iz 1903. godine.
109
Re (2300 < Re < 100000). Za Re > 70000 ( log Re 4.845 izraz postaje netočan i u usporedbi s eksperimentom daje premale vrijednosti za λ . Blasiusov izraz široko se primjenjuje pri proračunima cjevovoda za viskozne tekućine (naftovodi) gdje velika viskoznost uzrokuje relativno male iznose R e vd R , se povećava, R se smanjuje . e
Tablica 3. Vrijednosti koeficijenta λ izračunate prema Blasiusovom izrazu.
58
U ovom području rabi se također i Konakovljeva formula ,
1
1.8 log Re 1.52
,
koja daje dosta dobre vrijednosti za λ za vrijednosti Reynoldsovog broja i od 6 2300 čak do 10 .
58
Pjotr Kuzmič Konakov
P.K. Konakov, "A new equation for the friction coefficient for smooth tubes (Eine neue Formel für den Reibungskoeffizienten glatter Rohre )", Report of the academic society for science of the UDSSR, 51, 503-506 (1946, 1954). .
110
Za turbulentno strujanje u hidraulički glatkim cijevima vrijedi i Prandtlvon K armanov 59 izraz
1
2 log
2.51
, Re
koji se može primijeniti bez ograničenja s obzirom na iznos Reynoldsovog broja , naravno, sve dok je d ebljina graničnog sloja veća od visine neravnina st ijenki cijevi. Slaba strana ovog izraza je to što vrijednost koeficijenta otpora ne daje u eksplicitnom obliku tako da se λ mora odrediti metodom pokušaja i poreške, tj., metodom it eracije.
59
Theodor von K arman (1881 – 1963) , Mađar, od 1936. državljanin SAD -a, prvi student Ludwiga Prandtla , dao veliki doprinos razvoju teorijske aerodinamike i dinamike fluida. Stekavši svjetsku reputaciju , 1930. postaje direktor Guggenheimovog Aeronautičkog Laboratorija na glasovitom privatnom sveučilištu Californi a I nstitute of Technology (poznatom i pod imenom Caltech ), gdje odgoja generacije inženjera i teoretičara u području aerodinamike i mehanike fluida. Osniva Institut za aeronautičke znanosti (Institute of Aeronautical Sciences), konzultant je gospodarstva i američke vlade. Iako je, u počet ku, Akademija znanosti na to gledala s podsmjehom, von Karman je 1940. demonstrirao mogućnost konstruiranja stabilnog raketnog motora na kruto gorivo. 1941. godine osniva Aerojet General Corporation , prvog proizvođača raketnih motora u SAD-u, a 1944. na Caltech-u i J et Propulsion Laboratory, kao privatni odjel Nacionalnog ureda za aeronautiku i svemir (National Aeronautics and Space Administration ). Njegovo ime nosi niz laboratorija na Caltech-u kao i na Ar nold E ngineeri ng Development Center of the U.S. Air F orce u gradu Tullahoma (oko 20000 stanovnika) u državi Tennessee. 1963. predsjednik John F. Kennedy dodijelio mu je prvu Nacionalnu medalju za znanost.
111
Izrazi (formule) za izračunavanja Darcy -Weisbachovog koeficijenta trenja λ u prijelaznom području 4 I ZRAZ (F ORMULA)
AUTOR
1 6 3 k 10 0.0055 1 20000 e d Re
L.F . Moody (1944)
0.1 1.46
1
k e d
100 4
A.D. Altšulj (1952)
Re
0.25 4 . 3 1 2 k e k e Re log 3 . 715 d d
2
D. Citrini (1962)
5.1286 k 2.0 log e 0.9 3 . 7 d Re
D.H .I . Barr (1975)
k 9.35 1.14 2.0 log e d Re
R.W. Jeppson (1976)
1
1
1.325
ln
2
5.74 k e 0.9 3.7d Re
0.25?
k e 1.11 6.9 1.80 log 3 . 7 d Re
1
P.K . Swamee, A.K . J ain (1976) (Swamee, P.K .; Jain, A .K . (1976). " E xplicit equations for pipe-flow problems" . Journal of the H ydraulics Division (ASCE ) 102 (5): 657 – 664)
S.E . Halland (1983)
112
Prandtl – Nikuradse-ov izraz ( " potpuno hrapave cijevi" , područje 5 na crtežu 104)
U području 5 , tj, u području „potpuno hrapavih cijevi“ , na koeficijent otpora utječe samo hrapavost , pa su krivulje koje prikazuju ovisnost ( ) vodoravne. U ovo području najtočnije vrijednosti za koeficijent daje Prandtl – Nikuradse-ov izraz , 1 λ
1,14 2log ε 2.0 log
3.7 ,
iako se u novije vrijeme u praksi najčešće koristi formula B. L . Shifrinsona , 0.11
0.25
.
20.1 Colebrook-Whiteova formula
60
Jedan od pokušaja ove vrste, tj. , pokušaja pronalaženja univerzalnog izraza koji će opisivati ponašanje λ u cijelom području turbulentnog režima tečenja u cjevovodima, formule koja bi „ pokrivala“područja glatkih i hra pavih cijevi te
60
White, C.M., Colebrook, C.F . (1937), Fluid friction in roughened pipes, Proc. Roy. Soc. A., 161, pp. 367-381.
Colebrook C.F . (1939) “Turbulent flow in pipes with particular reference to the transition region between the smooth and rough pipe laws”, J . I nst. Ci vil E ngineers, London, Vol. 11, pp. 133-156.
Moody, L.F . (1944) “Friction Factors for Pipe Flow” Transactions of the ASME , Vol. 66(8), pp. 671 – 684. Moody, L.F . (1947) - An approximate formula for pipe friction factors, Mech. Engng., New York, 69, pp. 1005-1006. Moody, L.F . (1947), An approximate formula for pipe friction factors , Mech. Engng., New York, 69, pp. 1005-1006. Swamee, P.K ., J ain A.K . (1976) “Explicit equations for pipe - flow problems” J ournal of the H ydraulics Division (A SCE ) , Vol. 102 (5), pp. 657 – 664. H aaland, S.E . (1983) “Simple and Explicit Formulas for the Fri ction Factor in Turbulent Flow”, Journal of Fluids E ngineeri ng, Vol. 103 (5), pp. 89 – 90.
113
prijelazno podr učje s glatkih na hrapave cijevi predstavlja, u današnje vrijeme, opće prihvaćena Colebrook -White- ova formula (1939. godine),
2.51 . 2 log 3.71 Re
1
(1)
Uočite da je koeficijent otpora uključen u obje strane jednadžbe, tako da se i ova jednadžba po mora rješavati metodom iteracije (vidi primjer...u poglavlju...). Kod velikih vrijednosti Re može se zanemariti drugi član u zagradi, te ostaje samo utjecaj hrapavosti, dok je kod glatkih cijevi utjecaj
ε
malen, pa
se, obratno, može zanemariti prvi član. Relativna pogreška pri određivanju prema Colebrook-Whiteovoj formuli iznosi oko
15% .
Colebrook-Whiteovu formulu moguće j e napisati i u eksplicitnom obliku Swamee – Jain formula, 1976.)61, (
0.25
5.74 log 3.7 Re0.9 106
10
2
2
1.325
5.74 ln 3.7 Re0.9
2
,
(2)
, 5000 Re 108 ,
pri čemu je relativna pogreška izračunate vrijednosti u danom intervalu relativne hrapavosti i Reynoldsovog broja Re oko 1%. Još jedan vrlo točan eksplicit ni oblik Colebrook -Whiteove formule je relativno jednostavna S. E . H aalandova formula (1983.),
1
1.8 log
10 9 6.9 , ili Re 3.7
0.308642 10 9 6 . 9 log 3.7 Re
2
, (3)
koja daje oko 2% različite rezultate od Colebrook -White-ove formule. Tu je i D.H.I. Barr-ova formula62 , 61
Kalkulator za izračunavanje Darcy -Weisbachovog koeficijenta otpora prema Colebrookeovoj jednadžbi oblika (2) za poznate vrijednosti relativne hrapavosti i Reynoldsovog broja Re, možete naći na web adresi http://personalpages.manchester.ac.uk/staff/david.d.apsley/hydraulics/cw.htm
114
1
5.1286 4 log 0.89 3.71 Re
2
.
(4)
Nije jasno zašto se, u prijelaznom području , Swamee – Jain formula, S.E . H aalandova formula i D.H.I. Barr-ova formula ne koriste češće u praksi budući da one zaobilaze iterativni postupak koji zahtjeva Colebrook -White-ova formula.
62
Barr, D.H.I., “Solutions of the Colebrook -White function for resistance to uniform turbulent flow”, Proc. Inst. Civil Eng. 71, 1981, pp. 529-535.
115
N eki stari izrazi još samo od povijesnog značenja Područje primjene
Autor
I zraz
Lis
0.0072 0.6104 Re0,35
K arman Nikuradse K onakov
0.0032 0.221 Re 1
0, 237
1,8 log Re 1,5
Glatke cijevi za Re < 460 000
Glatke cijevi
Glatke cijevi za
100 000 < R e < 107
Glatke cijevi H rapave cijevi (jednolika hrapavost).
H rapave cijevi
U izrazu u drugom stupcu a , b i c su
brojčani koeficijenti čije su vrijednosti slijedeće:
1
Nikuradse
(a b log Re
c log
Nikuradse
1
za Re 7,1 20,1 ; ' a = -0,8; b = 2; c = 0; Re 20,1 40 ; ' a = 0,33; b = 1,13; c = 0,87 Re 40 79,9 ; ' a = 2,14; b = 0; c = 2; Re 79,9 382,4 ; ' a = 3,25; b = - 0,588; c = 2,588 Re 382,4 ; ' a = 1,74; b = 0; c = 2
Potpuno hrapave cijevi
1 1 (1,74 2 log ) 2
Potpuno hrapave cijevi
Shifri nson
0,093 0,25
Potpuno hrapave cijevi
Jakimov
0,15 0,333
Potpuno hrapave cijevi
Tablica 4. Još neki zrazi za izračunavanje koeficijenta λ u turbulentnom režimu strujanja
116
20.2 Moodyev dijagram – grafičko rješenje Colebrook-Whiteove jednadžbe
Godine 1942., američki inženjer H unter R ose provjerio je točnost Colebrook Whiteove formule 2.51 , 2 log 3 . 71 R e
1
i izradio prvi grafikon ovisnosti koeficijenta hidrauličkog otpora o Re i . Međutim, vjerojatno, glavni razlog prihvaćanja Colebrook -Whiteove formule kao najraširenije za izračunavanje koeficijenta otpora u slučaju kompletno turbulentnog režima bio je rad L. F . Moodya iz 1944. 63 godine u kojem on daje dijagram koji predstavlja grafičko rješenje Colebrook -Whiteove formule. U Moodyjevom dijagramu iznosi od λ dati su kao funkcija relativne hrapavosti ε=k/d i Reynoldsovog broja Re , tj., f , Re ; na osi apscisa, u logaritamskom mjerilu, nanesene vrijednosti Reynoldsovog broja, a na osi ordinata, također u logaritamskom mjerilu, vrijednosti od . Dijagram se sastoji od brojnih krivulja od kojih svaka odgovara nekoj konstantnoj vrijednosti relativne hrapavosti .
Moodyev dijagram vrijedi za cijevi koje su kružnog i općeg oblika poprečnog presjeka , kao i za tečenje u otvorenim kanalima. Popularnost Moodyevog dijagrama bila je osobito velika u pred kompjutorskoj eri kada je iterativno rješavanje Colebrook -Whiteove formule predstavljalo jedini, no, dugotrajni i zamorni postupak. U današnje vrijeme Friction Factor Calculator -i nalaze se na Internetskim stranicama. I Moodyev dijagram kao i Colebrook-Whiteova formula točan je s relativnom po greškom od oko 15%.
63
… u kojem Moody, Colebrooka i Whitea spominje tek uzgred… 117
d
ε
k
: t s o v a p a r h a n v i t a l e r
d v ν ρ
e R : j o r b v o s d l o n y e R
λ t n e j i c i f e o k v o h c a b s i e W - y c r a D
118
Iako je Moodyjevim dijagramom određivanje λ olakšano, određivanje
koeficijenta hidrauličkog otpora λ ipak se često provodi direktnom primjenom gore navedenih i nekih drugih izraza koji ovdje nisu spomenuti, za koje postoje i
odgovarajući kalkulatori. Na primjer, Darcy-Weisbach E quations and F ormulas Calculator, Fluid Mechanics – Hydraulics, može se naći na web adresi: http://www.ajdesigner.com/phpdarcyweisbach/pipe_darcy_weisbach_equation_ pipe_diameter.php.
119
Na kraju ovog odjeljka potrebno je posebno istaknuti da je točno izračunavanje L v 2 koeficijenta otpora u Darcy -Weisbachovom izrazu h12 za d 2 g izračunavanje gubitka specifične energije, pada tlaka, u turbulentnom re žimu tečenja, izuzetno važno i valja mu posvetiti veliku pažnju. Naime, duljina L cjevovoda u današnje vrijeme vrlo je velika (naftovodi i plinovodi dugi su i po
nekoliko tisuća kilometara). Naravno, od velike je važnosti i poznavanje koeficijenata lokalnih otpora (o kojima će uskoro biti riječi), budući da neki od njih (primjerice koeficijent otpora ventila) mogu imati velike brojčane iznose.
REZIME Postupak određivanja gubitka tlaka (specifične energije), u slučaju potpuno razvijenog turbulentnog režima shematski se može prikazati na sljedeći način: 1. određivanje srednje brzine toka primjenom jednadžbe kontinuiteta; 2. određivanje Reynoldsovog broja Re kako bi se potvrdilo da je režim strujanja tekućine potpuno turbulentan; 3. određivanje apsolutne hrapavosti k cijevi na temelju odgovarajućih tablica;
4. izračunavanje relativne hrapavosti ε = k/d cijevi na temelju apsolutne hrapavosti i promjera cijevi;
5. određivanje koeficijenta hidrauličkog otpora λ na temelju poznatih iznosa za ε i Re primjenom odgovarajućih izraza ili pomoću Moodyjevog dijagrama;
6. izračunavanje gubitka specifične energije (pada tlaka) uvrštavanjem λ u Darcy -Weisbachovu jednadžbu L v 2 h12 d 2 g
120
u slučaju izračunavanja gubitaka tlaka (specifične energije) u cjevovodima, odnosno koeficijenta C u jednadžbu, h12
v2 L C2R
,
u slučaju izračunavanja gubitaka u otvorenim tokovima, kanalima.
Primjer
Ulje gustoće = 0.876 gcm-3 i dinamičke viskoznosti = 1.2 cP teče hidraulički glatkom cijevi unutarnjeg promjera d = 7 cm volumnim protokom -1 Qv = 20.1 ls . Koliki je pad tlaka na jedinicu dužine toka? Rezultat izrazite u Pam-1. Iznos srednje brzine toka u cijevi jednak je, v s
Qv S
4 S
,
d 2
tako da Reynoldsov broj za promatrani tok iznosi, Re
Re
v s d
4 dQv d 2
4 Q d
4 0.876 10 3 kgm 3 0.0201 m 3 s 1 0.012 Nsm 2 7 10 2 m
26689.
yev dijagram vidimo da izračunati iznos za Re pada u područje Uvidom u Mood hidraulički glatke cijevi. Za Darcy-Weisbachov faktor trenja iz dijagrama čitamo približnu vrijednost 0.024 . Iz Darcy-Weisbachove jednadžbe 2
L v s h , d 2 g
121
gdje je L dužina cijevi, za gubitak tlaka na jedinicu dužine cijevi
h l
2
v s
d 2 g
16Qv2 4
2
2d g
0.024
16 0.0201m 3 s 1
2 2 7 10 2 m
5
h L
slijedi,
2
9.81ms 2
0.477 Pam 1 ( Nm 4 ) .
Tablica 5. Koeficijent hrapavosti n B stijenki kanala
I ZBRI SATI TABLI CU?
122
21. Izrazi za izračunavanje Chezyjevog koeficijenta. Manningov izraz. Riješeni primjeri Jedan u nizu uspješnih rezultata uloženih napora da se pronađe što jednostavniji empirijski izraz za izračunavanje Chezyevog koeficijenta C je 64 izraz Irca Roberta Manninga iz 1890.,
C
1
1
R 6 , 1 m n
1 3
s 1 ,
u kojem je R hidraulički radijus, a n bezdimenzionalni Manningov koeficijent hrapavosti. Manningov izraz karakterizira jednostavnost i praktičnost zbog velikog broja kategorija hrapavosti.
koristi se prvenstveno pri proračunavanju gubitka specifične Manningov zraz i energije u kanalima i zemljanim koritima manjih dimenzija, ali i u cjevovodima. Za obične vodovodne cijevi u normalnom stanju uzima se da je n = 0,0125. Pritom je gubitak specifične energije, pad tlaka, moguće izračunati po formuli koja se bez teškoća izvodi na temelju prethodno dobivenih izraza (h12
i
, v s C Ri ) , L
h12
64
vs n
2
2 / 3 L . R
Robert Manning (1816-1897)
123
Koeficijenti hrapavosti n po Maningu dani su u tablici 7., a mogu se naći i u
odgovarajućoj literaturi. Postoje i tablice sa finijom gradacijom iznosa koeficijenta n (vidi Tablicu 7).
Tablica 7. Vrijednosti koeficijenata hrapavosti n u Maningovom izrazu
Vrsta stijene i stanje površine
n
1/n
Izuzetno glatke površine.
0,009
111,1
Vrlo temeljito blanjane daske.
0,010
100,0
Najfinija cementna žbuka. Čiste (nove) ci jevi – keramičke, čelične, željezne, dobro položene. Dobro blanjane daske.
0,011
90,9
0,012
83,3
0,013
76,9
0,014
71,4
0,015
66,7
0,017
58,8
0,018
55,6
0,020
50,0
prekriveni slojem mulja (u normalnom stanju). Kanali u gustoj glini. Kanali u laporu, šlj unku, zemlji prekriveni nekompaktnim slojem mulja. Veliki zemljani kanali u dobrom stanju. Dobar suhi zid. Veliki zemljani kanali u osrednjem i mali kanali
0,0225
44,4
u dobrom stanju održavanja. Rijeke u vrlo povoljnim uvjetima (čisto i ravno korito sa s lobodnim tokom, bez odrona i
0,025
40,0
0,0275
36,4
0,030
33,3
0,035
28,6
0,040
25,0
Neblanjane daske, dobro spojene. Vodovodne cijevi u normalnim
okolnostima. Vrlo čiste odvodne cijevi. Vrlo dobro betoniranje. Stijena od letava, šindra u naj boljim uvjetima, dobra stijena od cigle, odvodne cijevi u normalnim okolnostima; malo onečišćene vodovodne cijevi.
‘’Prljave’’ cijevi – vodovodne i odvodne Stijena od cigle srednje kvalitete; obloga od tesanog kamena. Vrlo prljave drenažne cijevi. Cerada. Dobra stijena od lomljenog kamena; stara stijena od cigle; grubo betoniranje; izuzetno glatka stijena.
Kanali obloženi debelim stabilnim slojem mulja; kanali u gustim laporastim i pješčanim tlima, obloženi sl ojem mulja (u dobrom stanju).
Zadovoljavajuća stijena od lomljenog kamena, kaldrma od kamena. Kanali u laporu, gustom šljunku, nabitoj zemlji,
vododerina.
Zemljani kanali: veliki u stanju ispod prosječnog održavanja, mali kanali u uvjetima osrednjeg održavanja. Zemljani kanali u relativno lošim uvjetima, značajno zarasli u travu, s mjestimičnim odronima i slično. Rijeke u povoljnim uvjetima tečenja. Kanali u vrlo lošem stanju (s nepravilnim profilom, s mnogo kamenja, vodenog bilja i slično). Rijeke u relativno povoljnim uvjetima, no s manjom količinom kamenja i vodenog bilja. Kanali u izuzetno lošem stanju (znatan broj vododerina i odrona, zarasli u trsku, gusto korijenje, krupno kamenje duž korita i slično). Rijeke u lošim uvjetima tečenja, povećanje broja kamenja i vodenog bilja u koritu, krivudavo korito s
124
vododerinama i pješčanim sprudovima, itd.
Za određivanje Chezyjevog koeficijenta pri izračunavanju gubitka specifične energije (pada tlaka) pri tečenju u „potpuno hrapavim“ cijevima i u otvorenim vodotocima, još i danas često se rabi Bazinov 65 izraz iz 1897. godine, C
87 ,
1
R
u kojem je R hidraulički radijus, a γ koeficijent hrapavosti korita. Nedostatak ovog izraza je mali broj kategorija hrapavosti, svega 6 (tablica 6.)
Tablica 6. Iznosi koeficijenata hrapavosti γ u Bazeinovom izrazu Grupa I II
III
Vrsta stijenki
γ
Vrlo glatke stjenke (glatka cementna žbuka,
0,06 blanjane daske,...) Glatke stjenke (betonske cijevi, cijevi od lijevanog željeza, vrlo dobra betonska obloga, 0,16 obloga od opeke, neotesane daske,...) Hrapave stjenke (srednje dobra betonska obloga, dobri tarac od lomljenog kamena i 0,46
slično. ) IV
V
65
Prijelazna grupa (vrlo grubo izravnanje betonom, grubi tarac od lomljenog kamena,
tarac od oblutaka, dobro održavane stjenke u zbijenom tlu, stjenke usječene u stijeni,...) Zemljane stjenke u običnom stanju (i obložene, ali zarasle)
0,85
1,30
H enri Bazin (1829 - 1917)
125
VI
Zemljana korita koja pružaju velik otpor (slabo održavane, vrlo zarasle stjenke sa krupnim 1,75 šljunkom na dnu)
Pored empirijske Bazinove i Manningove formule u uporabi za izračunavanje Chezyevog koeficijenta C je i K utterova formula (1869.) ,
C
2.3
0.001555 i
23 1 Re n
1
n 0.00155 i
.
Neke vrijednosti za n u Kutterovoj i Manningovoj formuli te za γ u Bazinovoj formuli Vrsta otvorenog kanala
n
γ
Glatki cementni sloj, dobro
0.010
0.11
Blanjana debla, kanal od drvenih
0.012
0.20
Dobro ocakljene odvodne cijevi, dobra betonska cijev, glatki metalni
0.013
0.29
0.015
0.40
0.023
1.54
0.027
2.36
0.040
3.50
0.030
3.00
izblanjana drvena građa, debla dužica, premazano lijevano željezo, kanali, neobrađena debla
Keramičke odvodne cijevi srednje kvalitete, cijevi od lijevanog
željeza, osrednji cementni sloj Ravni, dobro održavani, zemljani kanali Nezamuljeni zemljani kanali,
osrednje održavani Kanali usječeni u stijeni Rijeke u dobrom stanju
Potražimo vezu između Darcy-Weisbachovog koeficijenta hidrauličkog otpora λ i Manningovog koeficijenta hrapavosti n u slučaju cijevi kružnog presjeka: C
8 g 8 g
1
1
R 6 / 2 , n
1
1
2 R 3 , n
126
8 gn2 1
R 3
d ; R , 4
2 n 8 g n 4 3 1 124,6 1 , d3 d 3 1
2
1
Ovo je Manningov izraz za određivanje koeficijenta hidrauličkog otpora λ , gdje je n koeficijent hrapavosti, a d promjer cijevi. U slučaju vodovodnih cijevi n = 0.012.
Chezyjev izraz za srednju brzinu toka u otvorenom kanalu na temelju Manningovog izraza poprima oblik, v C R i
1 n
1
1 1
R R i 6
2 2
1 n
2 1
R3i2 .
dok je volumni protok Q V jednak 1 23 12 QV S R i . n
Pazi! Provjeri je li su svi primjeri u svezi s naslovom!
1♣
Primjer
Kroz čeličnu cijev promjera d = 200 mm struji benzol srednjom brzinom iznosa v = 3 ms-1 , relativne gustoće r 0,917, pri temperaturi od T = 288 K. Izračunajte pad tlaka p na dužini od L = 30 m ove cijevi, ako je njezina apsolutna hrapavost k = 0,0456 mm, a kinetička viskoznost benzola -7 = 8 .5·10 m 2 s-1. Za izračunavanje Darcy-Weisbachovog koeficijenta primijenite Colebrook-Whiteovu formulu
2.51 . 2 log 3 . 71 R e
1
Reynoldsov broj daje podatak o režimu tečenja benzola, R e z
dv
dv
0,2 m 3 ms 1 8,5 107 m2 s 1
705882 .
Budući da je Re = 705882 > 2320, strujanje benzola je turbulentno. Relativna hrapavost cijevi je,
127
k d
4,56 10 5 m 0,2 m
2,28 10 . 4
Zahvaljujući velikom iznosu Reynoldsovog broja , dopustivo je zanemariti drugi član u zagradi Colebrook-Whiteove formule , tako da približno vrijedi, 1
2log
, 3,71
odakle je,
0,0141 . Iz Moodyjevog dijagrama za λ se dobiva λ ≈ 0,016.
Odlučimo li se za iznos λ dobiven iz Moodyjevog dijagrama, pad statičkog tlaka duž L = 30 m cijevi iznosi, p gh12
0,016
L v 2
d 2g
L v 2
g d
2
,
30 m 32 m2 s 2 0,917 103 kgm3 0,2 m
2
r
H O , 2
9903,6 Pa .
2♣
Primjer
Odredite gubitak specifične energije u čeličnoj cijevi duljine 600 m, promjera 300 mm i apsolutne hrapavosti k = 3 mm pri volumnom protoku iznosa 124 ls-1. Temperatura vode je 20 0C.
128
3♣
Primjer
Nafta gustoće ρ = 8,5·10 2 kgm-3 i dinamičke viskoznosti μ = 7·10 -3 Pas struji horizontalnom čeličnom cijevi apsolutne hrapavosti k = 4 ,6·10-5 m i promjera d = 5 cm volumnim protokom od QV = 6.67 ls-1 . Odredite gubitak specifične energije h12 zbog trenja duž dijela cijevi dužine L = 200 m. 1.) Srednja brzina strujanja nafte kroz cijev, vS
QV S
4QV d 2
4 0.00667m 3 s 1 0.05 m 2 2
3.4ms 1 .
2.) Vrijednost Reynoldsovog broj R e za ovaj slučaj tečenja je , Re
v d
8,5 102 kgm3 3,4 ms 1 5 102 m 7 103 Nm2 s
20643 .
Budući da je R e > 2000 (ili 2320), režim strujanja nafte u promatranoj cijevi je turbulentan. 3.) Relativna hrapavost cijevi je,
k d
4,6 105 m 5 10
2
m
9,2 104 .
129
4.) U točki sjecišta ordinate podignute u točki apscise Moodyjevog dijagrama kojoj odgovara logR e 4,315, s krivuljom f R e , 0, 0009 (zamišljena krivulja između krivulje kojoj
odgovara ε = 0,0008 i krivulje za ε= 0,001), čitamo λ ≈ 0,03. Približno isti rezultat dobiva se primjenom Lisovog izraza (tablica 4.). 5.) Konačno,
prema Darcy -Weisbachovom izrazu gubitak specifične energije nafte u J/N zbog hrapavosti cijevi, tečenjem između dva presjeka udaljena L = 200 m, je,
h12
L v 2
d 2 g
0.03
200m
(3.4ms 1 ) 2
5 10 2 m 2 9.81ms 2
70.7m ,
dok je pad tlaka između ta dva presjeka jednak, gh12 8,5 102 kgm3 9,81 ms2 70.7m 5.9 105 Pa 5.9 bar .
4♣
Primjer
Mjerenjima na vertikalnoj sekciji galvanizirane željezne cijevi unutarnjeg promjera 2.5 cm, pri temperaturi od 20 0C dobiveni su slijedeći podatci: na nekom presjeku cijevi izmjeren je tlak p1 = 690 kPa, dok je na drugom, 6 metara niže, tlak bio p 2 = 520 kPa. Volumni protok iznosio je 11.2 m 3h-1.
130
Procijenite apsolutnu hrapavost cijevi. K inematička viskoznost vode pri te temperaturi mjerenja je 1.01 . 10-6 m 2 s-1.
Primjer Pokusom je ustanovljeno da je u cijevi duljine L = 500 m i promjera d = 10 1 cm moguće uspostaviti volumni protok vode jednak Qv 10.5 ls ukoliko je razlika p1 p2 tlakova između krajeva cijevi jednaka p1 p2 0.75 at . Kinematička viskoznost vode jednaka je 0.01 cm2 s1 . Kolika je relativna hrapavost cijevi?
131
Primjer
Kroz čeličnu cijev promjera d = 160 mm i dužine l = 2 km teče sirova nafta gustoće ρ = 9·10 2 kgm-3 s masenim protokom Qm = 72 t·h -1 . Izračunajte gubitak specifične energije duž cijevi ukoliko je kinetička viskoznost sirove nafte ljeti ν = 3,55·10-5 m 2 s-1 , a zimi ν = 10,92·10-5 m 2 s-1. Prvo ćemo na temelju iznosa Reynoldsovog broja odrediti režime strujanja nafte u zimskom i u ljetnom periodu.
Reynoldsov broj za promatrano strujanje tijekom zime je, R e, z
v S
Qm S
4Qm 2
d
dv
dv
,
z
4 72 103 kg 9 10 kgm 2
4 0,72
3
3, 6 10 s 0,16
m 2
9 3,6 0,16 s
R e, z
3
10,92 10 m s 2
2
2
,
m
1,105 ms1 .
1,105 ms1 0,16 m 5
1
1619 .
Vidimo da je vrijednost Reynoldsovog broja manja od donje kritične vrijednosti Redk 2000 , Re= 1604 < 2000, što govori u prilog tome da je tij ekom zime režim tečenja nafte kroz cijev laminaran.
Reynoldsov broj za promatrano strujanje tijekom ljeta je, R e,lj
R e,lj
dv , lj
1,105 ms1 0,16 m 3,55 105 m2 s 1
4980 ,
odakle zaključujemo kako je u ljeti je strujanje nafte turbulentno, budući da je R e = 4980 > 4000.
132
Budući da je u zimskim uvjetima strujanje laminarno , koeficijent hidrauličkog trenja Z u Darcy -Weisbachovom izrazu odredit ćemo iz Poiseuilleovog izraza, z
64 R e z
64 1604
0,0395 0,04 ,
tako da će prema Darcy -Weisbachovoj relaciji gubitak tlaka u zimi biti jednak, L v 2
h 12 z
d 2g
0,04
2 103 m 0,16 m
1 2
1,105 ms
J 31,1 m . N
2 9,81 ms 2
Približno jednaki rezultat dobije se pođe li se od Hagen -Poiseuille-ove jednadžbe (vidi poglavlje…). Budući da je režim strujanja u ljeti turbulentan s vrijednošću Reynoldsovog broja R e = 4980, što je za turbulentni režim tečenja relativno mala vrijednost, λ ćemo izračunati koristeći Blasiusov izraz za ''glatku cijev'', koji se tradicionalno koristi za slučaj viskoznih tekućina, tj. pri proračunima u naftovodima. Dakle,
0,3165 4
Re, lj
0,3165 4
4980
0,0377 .
Ukoliko za izračunavanje koeficijenta trenja primijenimo Langeovu formulu koja se u tu svrhu standardno koristi pri strujanju sirove nafte, za vrijednost dobivamo vrijednost, 0.02 1.7
1 R
0.02 1.7
1 4980
0.044 .
Prema Darcy -Weisbachovom izrazu, 2
L v 0.0377 d 2 g 0,16m
h 12
lj
lj
2
1 2 10 m 1,105 ms 3
2 9, 81 ms 2
J 29,33 m N
Vidimo da su u ovom slučaju gubici specifične energije, usprkos tur bulentnom režimu tečenja, tijekom ljeta nešto manji od gubitaka tijekom zime.
133
Primjer Odredite pad tlaka za vodu koja iznosom srednje brzine jednakim v s = 5·10-2 ms-1 teče kroz cijev promjera d = 2 cm i dužine L = 5 m. Voda teče pri sobnoj temperaturi od 293 K pri kojoj je dinamička viskoznost vode 0,01 din·s·cm -2.
Ustanovimo najprije režim tečenja vode. R e, z
dv
. ........................................................................................................................... kgm 103 g 102 cm 5 gcm 5 1 N 2 10 10 din 2 2 s s s 0,01
din s
0,01 105 Ns 4
103 Pas
cm2 10 m2 ........................................................................................................................... Re
103 kgm3 2 102 m 5 102 ms 1 103
103 2 5 104 103
1000 .
Dakle, R e=1000 < 2000, što znači da je strujanje vode laminarno, tako da se λ može odrediti iz Poisseuileovog izraza, z
64 R e z
64 1000
0.064 .
Sada je pad tlaka, L vS 2 p gh12 g , d 2 g
p 0.064
5 10
5m 2 10
2
2
2
ms1
2
10
3
kgm 3
20 Pa .
Primjer
Tijekom Δt = 1s kroz poprečni presjek cijevi proteče V = 0.5 l vode. Dinamička viskoznost vode u danim uvjetima jednaka je μv = 1 mPas, dok je kritična vrijednost Reynoldsovog broja Re = 3000. Odredite promjer d cijevi tako da režim toka bude laminarni. Volumni protok kroz cijev jednak je,
134
Qv
V
t
d 2
Sv s
4
v s ,
(1)
odakle je iznos v s srednje brzine toka vode kroz cijev,
v s
4V 2
d
t
Uvrštenje (2) u izraz za Reynoldsov broj
.
(2)
Re
v s d
, za traženi dijametar
d
cijevi kako bi režim tečenja u njoj bio laminaran, daje
d
4 V Re t
4 103 kgm 3 5 10 4 m 3 10 3 Pa 3 103 1 s
2 3
0.21
m.
(3)
Primjer
Tekućina teče kroz vodoravnu cijev promjera d = 200 mm pri čemu je volumni protok Qv = 30 ls-1. Razlika piezometarskih visina na sekciji cijevi duljine L = 50 m je h12 = 0.2 m. Uz pretpostavku laminarnog tečenja odredite iznos kinematičkog koeficijenta viskoznosti tekućine. Polazimo od Darcy-Weissbachove jednadžbe za slučaj laminarnog tečenja, h12
64 L vs2 Re d 2 g
.
(1)
Pošto, v s
4Qv
(2)
,
(3)
d 2
i Re
v s d
to uvrštenje (2) i (3) u (1) daje, h12
64 L v s2 v s d d 2 g
64 L 4QV 2
2
2d g d
128 LQV d 4 g
,
135
odakle za kinematičku viskoznost tekućine slijedi,
h12d 4 g 128QV L
15.14 105 m2s 1 .
...
Primjer
Ulje gustoće = 0.876 gcm-3 i dinamičke viskoznosti = 1.2 cPas teče hidraulički glatkom cijevi unutarnjeg promjera d = 7 cm volumnim protokom -1 Qv = 20.1 ls . Koliki je pad tlaka na jedinicu dužine toka? Rezultat izrazite u Pam-1. Iznos srednje brzine toka u cijevi jednak je,
v s
Qv S
4 S
,
d 2
tako da Reynoldsov broj za promatrani tok iznosi, Re
Re
v s d
4 dQv d 2
4 Q d
4 0.876 10 3 kgm 3 0.0201 m 3 s 1 0.012 Nsm 2 7 10 2 m
26689.
Uvidom u Moodyev dijagram zaključujemo da izračunati iznos za Re pada u područje hidraulički glatke cijevi. Za Darcy -Weisbachov faktor trenja iz dijagrama čitamo približnu vrijednost 0.024 . Iz Darcy-Weisbachove jednadžbe , 2
L v s , h d 2 g
gdje je L dužina cijevi, za gubitak tlaka na jedinicu dužine cijevi
h l
2
v s
d 2 g
16Qv2 2d 5 2 g
0.024
16 0.0201m 3 s 1
2 2 7 10 2 m
2
5 9.81ms 2
h L
slijedi ,
0.477 Pam 1 ( Nm 4 )
136
Primjer
Odredite pad tlaka u novoj cijevi od lijevanog ž eljeza (k = 0. 244 mm) dužine 305 m i unutarnjeg dijametra 305 mm kada njome teče: a) voda (1.13·10-6 m 2 s-1 ) brzinom 1525 mms 1 ; b) ulje za loženje (4.4·10-2 cm 2 s-1 ) istom brzinom. k
a)
R e
d
0 ,244 mm 305 mm
v d 1.525 0.305
1.13 106
8 104 . 411615 . (turbulentno strujanje)
Iz Moodyjevog dijagrama, za ε = 8 ·10
-4
i Re = 411615 , čitamo: λ ≈ 0,02.
Pad tlaka je, dakle,
2
L v 2 305m 1.525ms 1 ha 0,02 d 2 g 0.305m 2 9.81ms 2
b)
R e
k d
0.244 mm 305 mm
1,525 0.305 4,4 10 6
J 2.37 m .
N
8 104 .
105710 . (turbulentno strujanje)
-4 Iz Moodyjevog dijagrama, za ε = 8 ·10 i Re = 411615 , čitamo: λ ≈ 0,025.
Traženi pad tlaka je,
L v 2 305m 1.525ms 1 hb 0,025 d 2 g 0.305m 2 g
2
J 2.96 m .
N
Primjer
Odredite razliku tlakova između krajeva čelične cijevi (k = 0.045 mm ) promjera d = 500 mm i duljine L = 5 km kroz koju voda teče vol umnim protokom iznosi QV = 0.85 m 3 s-1. Darcy-Weisbachov koeficijent izračunajte prema Jain-ovoj jednadžbi,
137
k 21.25 1.14 2 log 0.90 . d Re
1
Kolika je snaga pumpe? Iz računat ćemo redom iznose veličina nužnih za izračunavanje DarcyWeisbachovog koeficijenta prema Jain-ovoj jednadžbi. Dakle, v s
4QV 2
d
Re
4 0.85m3 s 1
0.5m 2
4.33
ms 1 ,
v s d 103 kgm3 4.33ms 1 0.5m
k d
1 1
0.894 10 kgm s
4.5 105 m 0.5m
3
2.42 106 ,
9 10 5 m .
Računamo Darcy-Weisbachovog koeficijent λ:
k 21.25 21.25 5 1.14 2 log 0.90 1.14 2 log9 10 , d Re 2.42 106 0.9
1 3
21.25 5 5 1 1 . 14 2 log 9 10 3 . 82 10 , 1.14 2 log 9 105 0.9 5.4 2 . 42 10
1.14 2log12.82 log105 1.14 21.108 5 1.14 7.78 8.92 ,
1 8.92
,
0.0126 .
Gubitak h12 specifične energije tečenjem duž 5 km cijevi iznosi
2
L vs2 5 103 m 4.33ms 1 0,0126 h12 d 2 g 0.5m 2 9.81ms 2
120.40
m,
dok je razlika tlakova između krajeva cijevi,
138
p gh12 103 kgm3 9.81ms 2 120.40m 1.181106 Pa . Uz pretpostavku potpunog iskorištenja rada pumpe ( 1 ), snaga pumpe jednaka je, P h12QV g 120.40m 0.85m3 s 1 103 kgm3 9.81ms 2
1004
kW .
Primjer Mjerenjima na vodovodu dobiveni su slijedeći podatci: pa = 300.00 kPa, pb = 310.326 kPa, ha = 10.00 m, hb = 9.20 m, d a = 200 mm, d b = 300 mm.
Gubitak specifične energije između presjeka a i b iznosi 0.4 m. Koliki je bio volumni protok za vrijeme mjerenja? Napisana za presjeke a i b Bernoullijeva jednadžba glasi, pa g
ha
va2 2 g
hab
pb g
hb
Primjenjujući jednadžbu kontinuiteta izrazit ćemo 2 a
v
Uvrstivši (2) u (1) za iznos
d b2 2 d a
vb2 2 g
.
(1)
va preko vb ,
4
vb2 .
(2)
vb brzine toka na presjeku b dobivamo,
4 pa pb 2 d b2 2 g ha hb hab vb 1 2 ,, g d a
vb
pa pb ha hb hab g ... 0.126m3 s 1 . 4 d b2 1 2 d a
2 g
139
140
22. Mjesni (lokalni) gubici
specifične mehaničke energije Pored linijskih gubitaka specifične mehaničke energije (u J/N ili J/kg ) zbog tr enja duž toka , pri turbulentnom tečenju realnih fluida, pojavljuju se i tako zvani mjesni ili lokalni gubici , koji su kod tekućina iznosom manji od linearnih i obično
ne čine više od 10 do 20% ukupnog gubit ka specifične energije.
Međutim, u slučaju tečenja plinova , na primjer u ventilacijskim sustavima, mjesni gubici znaju višestruko nadmašiti iznose gubitaka izazvane trenjem. Mjesni gubitci mogu se zanemariti u slučajevima kada oni čine 5% ili manje od linijskih gubitaka uslijed trenja duž cijevi.
Crtež 105
1
Uzrok lokalnim gubicima specifične energije je pojava sekundarnih, vrtložnih, tokova u raznim konstrukcijskim, fazonskim, dijelovima (koljena, suženja, proširenja, T – elementi, zasuni, ventili,...) čije je ugrađivanje nužno pri konstrukciji i eksploataciji cjevovoda i ventilacijskih sustava.
Tako je koljeno A na crtežu 105 nužno da bi s e promijenio smjer cjevovoda, T – element B služi grananju cjevovoda, dok se zasunom C ostvaruje regulacija volumnog protoka Qv .
Zbog zamršenosti procesa koji se odvijaju na određenom mjestu, izračunavanje mjesnih, lokalnih, gubitaka specifične energije , teorijskim putem, predstavlja nepremostivu teškoću i provedivo je u vrlo malom broju slučajeva, kao što je, na primjer, slučaj naglog proširenja toka.
Stoga se u velikoj većini slučajeva mjesni, lokalni, gubitci tlaka određuju eksperimentalno. U praktičnim proračunima mjesni gubici specifične energije u turbulentnom režimu tečenja izračunavaju se prema Weisbachovom izrazu, h M M
v s2,1 2 g
' M
vs2, 2
,
2 g
tekućine ispred i iza lokalnog otpora , ξ M , ξ ' M - bezdimenzionalni koeficijenti mjesnog (lokalnog) otpora čiji se iznos u većini slučajeva određuje eksperimentalno 1 , a g - jakost polja sile teže , u kojem su
v s ,1 , v s , 2 - iznosi srednjih brzina
-1
-2
tj., g = 9,81 Nkg (ms ).
Ovdje ćemo spomenut i samo neke tipične i najčešće lokalne otpore, te njihove koeficijente otpora. Preostale slu čajeve moguće je naći u odgovarajuć oj literaturi (navesti ju…).
1
Koeficijent mjesnog otpora M ovisi o geometriji konstrukcijskog elementa koji dovodi do g ubitaka, a ponekad i o iznosu brzine toka. Točnost s kojom je poznata vrijednost koeficijenta lokalnog otpora, u najboljem slučaju , je oko 5%.
2
22.1 Gubitak specifične energije
zbog naglog proširenja poprečnog presjeka toka Promotrimo slučaj mjesnog otpora koji ima oblik nagl og proširenja , tj., poprečni presjek toka naglo se povećava s S 1 na S 2 (crtež 106.). Zbog inercije, elementi tekućine koji su prošli kroz presjek 1-1 cjevovoda, imaju, tendenciju i dalje gibati se duž istog pravca nekom srednjom brzinom v1 . Međutim, oni su u tome onemogućavani elementima
tekućine ispred sebe čije su brzine manjeg iznosa izazvanog naglim
povećanjem površine presjeka toka. Brži elementi nalijeću na tako sporije, dobiva jući transverzalne komponente brzine,
Crtež 106
što uzrokuje proširenje toka. Na
presjeku 2-2 , od presjeka 1-1 2 udaljenom 8 – 12 Dh , gdje je Dh hidraulički promjer r , tok tekućine zauzima ci jeli presjek cijevi (crtež 106). Tako tok između presjeka 1-1 i 2-2 čini mlaz odvojen od ostatka fluida. N a početku cijevi većeg poprečnog presjeka , u ''kutovima'', dolazi do formiranja ''mrtvog'' prostora A ispunjenog tekućinom
2
Hidraulički promjer definiran je izrazom Dh
4 S O
u kojem su S - živi pre sjek toka, a
O - omočeni obod ili omočeni perimetar.
3
Fotografija … koja ne sudjeluje u osnovnom translatornom gibanju duž osi cijevi. Zbog trenja na granici između glavnog toka (u kojem se elementi gibaju translatorno) i mrtve zone dolazi do vrtložnog tečenja koje se „smiruje“ s približavanjem ka stjenci (fotografija ..). Upravo ovi sekundarni tokovi u prostoru A, ovo vrtložno gibanje, uz rok je mjesnog gubitka specifične energije , tj., njezinog prelaska u toplinu. Kao što je već spomenuto , zbog zamršenosti procesa koji se odvijaju u fluidu, t eorijsko izračunavanje mjesnih gubitaka specifične energije, predstavlja, općenito, matematički nesvladivu teškoću. Ipak, naglo povećanje dijametra toka jedan je od malobrojnih slučajeva u kojima je koeficijent pr oš . mjesnog gubitka
) moguće dobiti teorijski s a, za praktične svrhe, zadovoljavajućom (u J/N ili J/kg točnošću. Bez pret enzija da se upuštamo u njegovo teorijsko izvođenje, reći ćemo samo da račun za koeficijent pro š . mjesnog gubitka tlaka, uz pretpostavku jednolike (uniformne) raspodjele brzina na presjeku 1-1 i Reynoldsovog broja većeg od 10000 , Re >104 , daje analitički izraz,
Crtež 107
4
h proš proš .,1
v12
,
(1)
2 g 2
2 2 S 1 d 12 v2 3 1 , 1 proš .,1 1 2 S 2 d 2 v1
(2)
u kojem su S 1 - površina presjeka toka, cijevi, d 1 - promjer cijevi i v1 - iznos brzine strujanja prije proširenja , a S 2 , d 2 i v2 iznosi istih veličina u proširenom
toku (crtež 107). Izrazi (1) i (2) daju za pro š .,1 vrijednosti koje se dobro slažu s eksperimentom
u užem dijelu cijevi , prije naglog proširenja, ne prelazi vrijednost od v1 1.2 ms1 . Naime, kao što je već spomenuto, eksperiment pokazuje da koeficijent otpora pro š .1 , osim što ovisi o ukoliko iznos v1 srednje brzine v1 toka
omjeru dijametara d 1 i d 2 cijevi, ovisi i o iznosu v1 srednje brzine v1 . Vrijednosti koeficijenta otpora pro š .,1 potrebne za izračunavanje gubitka
specifične mehaničke energije prema izrazu (1) za različite vrijednosti omjer a d 2 / d 1 i različite iznose srednje brzine v dane su u tablici A. Tako se za 1
d 2 d 1 2.0
1
v1 1.2 ms ,
i
pro š .1 0.56 , dok
prema tablici A, za
pro š .1 dobiva
vrijednost
račun prema jednadžbi (2), „neosjetljivoj“ na iznose srednje
brzine v1 , daje,
Tablica A.
U prvom stupcu tablice dane su vrijednosti omjera d 2 d 1 , a ne omjera d 1 / d 2 u
jednadžbi (2)! 3
Jednadžba kontinuiteta: S 1d 12 S 2d 22 ; d 2 - promjer šireg, a d 1 užeg dijela cijevi…
5
2
2
d 12 1 2 pr oš .,1 1 2 1 0.5625 , d 2 2
praktički jednaku vrijednosti onoj u tablici A. Međutim, za dani omjer d 2 / d 1 i za veće iznose srednjih brzina v1 , razlika stvarnih vrijednosti za pro š .1 danih u tablici A i onih izračunatih prema izrazu (2) , raste.
toka u proširenju , tj., u cijevi većeg dijametra, tada izrazi (1) i (2) poprimaju oblik Ukoliko se gubitak tlaka izražava preko iznosa v2 brzine v2
h proš proš .,2
v 22
,
(3)
2 g
2
pr oš .,2
2 2 d 22 S 2 v 1 1 2 1 1 . d S 1 v2 1
4
(4)
22.2 Gubitak specifične energije na mjestu ulaska cijevi u spremnik velikih razmjera
Crtež 108 Na crtežu 108 prikazan je posebni slučaj naglog proširenja toka tj., izlaz toka fluida iz cijevi u spremnik velikih razmjera (primjerice, u bazen). Očito, u tom slučaju
S 1 S 2
0 , tako da iz izraza (2) pro š . iz 1 , pa je h proš .
v12 2 g
(odnosno,
Izraz (4) nije primjenljiv na sluč aj gubitka specifič ne energije zbog izlaska fluida iz cijevi u spremnik velikih razmjera!
4
6
e12
v s2 2
). Bez obzira na oblik i način izvedbe izlaznog ruba cijevi (crtež 109), pri
izlasku tekućine iz cijevi u spremnik velikih razmjera gubi se (prelazi u toplinu)
praktički sva specifična kinetička energija.
Crtež 109
Slučaj naglog proširenja cijevi u ravnini Ukoliko do naglog proširenja cijevi dolazi u ravnini (crtež 110) gubitak tlaka (specifične energije) to je manji što je veći omjer B H . Koeficijent pro š .ra v. mjesnog gubitka tlaka u tom slučaju jednak je, 2
pro š .rav.
pri čemu korekcijski faktor
S k 1 1 , S 2
k 1 ovisi o omjeru B H (vidi
grafikon na crtežu
110!)
Crtež 110.
7
22.3 Gubitak specifične energije
zbog naglog suženja poprečnog presjeka toka
Na crtežu 108 prikazan je slučaj naglog, oštrog, suženja cijevi u smjeru strujanja fluida. I u ovom slučaju granične strujnice ne prate stjenku cijevi već se odvajaju od nje (crtež 109). Tok ne prati konturu cijevi već se postepeno sužava da bi se dalje od naglog suženja postepeno širio, a granične strujnice opet se priljubljuju, sada, uz stjenku cijevi manjeg promjera. I u širokom i u užem dijelu cijevi, izvan toka tekućine, dolazi do
Crtež 108
Crtež 109 formiranja zona vrtloga gdje dolazi do gubitka specifične mehaničke energije tekućine , tj., njezinog prelaska u toplinu. Sužavanje strujnog toka je to izraženije što je veći omjer d 1 / d 2 promjera cijevi, a p ovećava se i prostor zone vrtloga tako da su gubitci energije veći. Gubitak specifične energije zbog naglog suženja turbulentnog strujnog toka ovisi o omjeru površina presjeka uskog i širokog toka (omjeru promjera uskog i širokog dijela cijevi). Ukoliko se gubitak tlaka izražava preko iznosa v 2 brzine v2 toka u suž enju , dakle iza mjesnog otpora, koeficijent mjesnog otpora suž . može se izračunati prema izrazu I.E. Idjeljčika 5 ,
5
8
d 22 S 2 1 0.51 v1 . 0 . 5 suž . 0.5 1 v d 2 S 1 2 1
(5)
Tablica B
Kao i u slučaju naglog proširenja, pokusi pokazuju da koeficijent mjesnog otpora suž , . osim o omjeru dijametara d 1 i d 2 cijevi, ovisi i o iznosu srednje brzine v2 toka u suženju. Vrijednosti koeficijenta su ž . za različite vrijednosti omjera d 1 / d 2 i različite iznose srednje brzine v2 dane su u tablici B. Tako za d 1 d 2 2.0
i v1 1.2ms1 , prema tablici B vrijednosti koeficijenta suž . je
suž . 0.37 ,
dok račun prema jednadžbi (5), „neosjetljivoj“ na iznose srednje
brzine v2 , daje,
9
1 2 d 12 suž . 0.51 2 0.51 0.375 . d 2 2
22.4 Gubitak specifične energije na konusnom difuzoru6
Koeficijent D lokalnog gubitka specifične energije u konusom difuzoru, tj., u konusnoj sekciji cjevovoda (crtež 109), za v = v2 izračunava se ili prema izrazu,
Crtež 109. Difuzor, shematski
Crtež 110. Difuzor kao sekcija cjevovoda 2
d S D k 2 1 k 2 1 , S 1 d 1 2
2
(1)
u kojem koeficijent k ovisi o kutu (vrijednosti koeficijenta k za razne kutove dane su u tablici 9 ili se rabi formula, 6
U cjevovodima, difuzor i konfuzor, uglavnom, služe kao spojni elementi cijevi različitih promjera.
10
Tablica 9
( 0 ) 2.5 7.5 10 15 20
k D 0.18 0.13 0.17 0.27 0.42
( 0 ) 25 30 40 50
k D 0.5 0.7 1 1.1
( 0 ) 60 70 80 90
( 0 ) 100 120 160 180
k D 1.18 1.15 1.12 1.1
k D 1.06 1.05 1.02 1
2
n2 1 n 1 D sin , n 2 n 8sin 2
(2)
u kojoj je λ Darcy-Weisbachov koeficijent kojim su u obzir uzeti gubitci tlaka S po dužini difuzora, a n 2 je stupanj širenja difuzora. S 1
Optimalni kut raširenja koničnog difuzora je θ = 8 0. Kod većih vrijednosti kuta proširenja (kuta konusnosti) difuzora dolazi odo odvajanja toka od unutarnjih sti jenki difuzora što dovodi do vrijednosti koeficijenta ξ D koje su veće u usporedbi s vrijednostima izračunatim prema izrazima (1) i (2). Stoga u intervalu vrijednosti 80 < θ < 25 0 koeficijent otpora ξ D treba računati prema izrazu 2
S D 1 1 sin . S 2
(3)
0 Za > 25 , ξ D se može odrediti kao i slučaju naglog proširenja toka.
22.5 Gubitak specifične energije na konfuzoru Koeficijent otpora ξ K u izrazu
h K kon
v22s 2 g
za izračunavanje gubitka
h K
,
specifične energije
na konfuzoru (u kojem je v s iznos srednje brzine Crtež 110 toka na izlazu iz konfuzora ) moguće je odrediti prema formuli,
11
n2 1 , kon n 2 8sin 2
u kojoj je n
S 1 S 2
( n < 1 !) stupanj sužavanja konfuzora.
Primjer Cijev promjera d 1 = 300 mm jednoliko se, duž 10 m, suzuje na promjer 3 -1 d 2 = 150 mm (crtež 1). Volumni protok u cijevi je Qv = 0.15 m s . Odredite gubitak specifične energije na konfuzoru ako je λ = 0.01.
Crtež 1
Gubitak specifične energije fluida računamo prem a izrazu
kon
8 sin
n 2 1 , n2
2
u kojem je n
S 1 S 2
d 12
,
d 22
d 11 n 2 d 2 2
4
.
Sa crteža se vidi da je sin
2
d 1 d 2
2
2 L
tg
.
Dakle,
kon
8 sin
n2 1 n2
2
d 4 0.01 10m 1 . 1 1 1 0.1563 4d 1 d 2 d 2 4 0.15m 16 L
Kako je, v22 s
16Qv2 4 2
2
d
,
to je traženi gubitak specifične energije na konfuzoru jednak, h K kon
v22 s 2 g
kon
4 2
d g
8 0.15m3 s 1
2
8Qv2 2
0.1563
2
0.15m 9.81ms 4
2
0.574 m ( JN 1 ) .
12
22.6 Gubici specifične energije
pri ulasku tekućine iz spremnika u cijev Slično gubitku specifične energije do kojeg dolazi pri naglom suženju poprečnog presjeka cijevi, gubitci energije nastaju i pri ulas ku tekućine u odvodnu cijev iz spremnika velikih razmjera.
, a time i gubitak specifične energije h (J/N), Iznos koeficijenta mjesnog otpora ξ odnosno e (J/kg), ovise o kutu δ što ga zatvaraju os simetrije cijevi i ravnina dna rezervoara, te o tome kako je izveden, odnosno koliko je zaobljen ulazni rub cijevi.
Crtež 111 U slučajevima kada je cijev na rezervoar pričvršćena pod pravim kutom, a ulazni rub u izvedbi varira od oštr og prema sve zaobljenijem, iznosi koeficijenta mjesnog otpora ξ kr eću se ovisno o omjeru r/d u granicam a danim u tablici na crtežu 111
Sa crteža 111. vidi se da za oštar ulazni rub cijevi koja je na bočnu stjenku rezervoara pričvršćena okomito ( δ = 0 ), koeficijent otpora jednak je ξ = 0,5 ,
13
dok se u slučaju zaobljenog ulaznog ruba za srednju vrijednost ξ može uzeti da je ξ sr = 0,08. Ukoliko je izlazna cijev tekućine iz spremnika upuštena u rezervoar, tj., ukoliko je ulaz u cjevovod izveden na način prikazan na crtežu 112, koeficijent otpora jednak je ξ = 0,7 8 – 0.8.
ul 0,5 0,303sin 0,226sin2
Crtež 112
Crtež 113
Kada je cijev na stjenku spremnika tako ugrađena da os simetrije cijevi i
ravnina dna spremnika čine kut jednak δ (crtež 113), koeficijent otpora ξ može se izračunati po formuli, 0,505 0,303sin 0,226sin2 .
22.7 Gubici specifične energije
u oštrom koljenu cijevi
oštrom koljenu cijevi dolazi do formiranja vrtložne zone (crtež 115) u kojoj dolazi do prelaska mehaničke energije tekućine u toplinsku. Gubitak specifične energije je to veći što je veći Zbog naglog skretanja strujnog toka, u
kut skretanja toka s prvobitnog pravca strujanja. Eksperimentalne vrijednosti koeficijenta K za glatko i hrapavo koljeno za neke vrijednosti kuta dane su u tablici ... . Vrijednosti za K u ovoj tablici mogu se smatrati zadovoljavajućima za cijevi čiji promjer d ne prelazi 50 cm.
14
Crtež 115 Tablica …
K
glatke hrapave
5 0.016 0.024
10 0.034 0.044
15 0.042 0.062
22.5 0.066 0.154
30 0.130 0.165
45 0.236 0.320
60 0.471 0.684
90 1.129 1.265
Literatura bilježi i druge vrijednosti koeficijenta K otpora koljena, koje se znatno razlikuju od onih u tablici.... Eksperimenti su, naime, pokazali da koeficijent K smanjuje s povećanjem promjera d cijevi. Tako se, primjerice, u slučaju cijevi promjera d 30 cm za izračunavanje koeficijenta K preporuča Weisbachova formula, K 0.946 sin 2 2.047 sin 4 2 2
22.8 Gubici specifične energije
u lučnom dijelu cijevi
Za izračunavanje koeficijenta lokalnog otpora ξ k u lučnom dijelu cijevi (krivini), najraširenija je Weisbachova formula,
Crtež 116
3.5 d k 0.131 0.16 0 , R 90
(84)
u kojoj je d promjer, a R radijus zakrivljenosti cijevi, dok je δ kut prikazan na crtežu 116. U slučaju blagih zakriv ljenosti koeficijent G.N. Abramovičevoj formuli,
ξ k
k 0,73 a b
može se odrediti i po (85)
15
u kojoj su su a , odnosno b korekcijski faktori koji su u obliku funkcionalnih ovisnosti
R a f , d
b f ( ) ,
prikazani na grafikonu na crtežima 117 i 118.
Crtež 117 Tako, na primjer, za R/d = 6 i δ = 90º , na temelju grafikona i Abramovičeve formule , za ξ k dobiva se približno,
k 0.73 0.115 1.03 0.0865 ,
Crtež 118 Osim po formulama (84) i (85), ξ k se može odrediti i prema formuli
k 90 a 90 0.02 0.001 100
3
Rd a ,
(85')
u kojoj je a koeficijent ovisan o kutu zakreta. Vrijednosti koeficijenta a za
neke kutove date su u Tablici… . Tablica…
16
δ a δ a
0
20 0.40 0 90 1.00
0
30 0.55 0 100 1.05
0
40 0.65 0 120 1.13
0
50 0.75 0 140 1.20
0
60 0.83 0 160 1.27
0
70 0.88 0 180 1.33
0
80 0.95
Iznosi ξ k izračunati prema izrazima (84) i (85) odnose se na glatke cijevi. Koeficijenti otpora ξ k za hrapave cijevi veći su od onih kod glatkih cijevi 2.1 do
2.3 puta. Naravno, lokalni gubitak tlaka računa se prema formuli v 2 J , hk k 2 g N u kojoj je v iznos srednje brzine toka u lučnom dijelu cijevi.
Mnogo više detalja o vrijednostima koeficijenta ξ k za različito izvedena koljena , mogu se naći u odgovarajućim priručnicima ( I.E. Idjeljčik, Aljtšulj,…)
22.9 Gubici specifične energije
pri strujanju tekućine kroz ventile Ventili su sastavni dio svakog cjevovoda. Uloga im je upravljanje iznosom
protoka kroz cjevovod. Već prema konstrukciji i namjeni mogu biti ravni zaporni, jednosmjerni, zasunski, leptirasti, odbojni ... .
Crtež 119 . R avni zaporni ventil. Sastoji se od pokretnog diska na osovini i fiksnog prstenastog postolja
V 10 L d 340 ,
smještenog u približno sferno kućište s dvije komore. Ova vrsta ventila rabi se kada je
potrebno često otvaranje
17
i zatvaranje ventila u cjevovodu pod visokim tlakom.
Tablica potpuno otvoren ¼ zatvoren ½ zavoren ¾ zatvoren
V
Le/d
0.19 1.15 5.60 24.00
13 35 160 900
Crte ž 121. Zasunski ventil
Crtež 122. Leptirasti ventil
18
Crtež 123. Odbojni ventil
Gubitak tlaka, tj., specifične energije hV (J/kg, J/N) zbog strujanja tekućine kroz ventil računa se prema izrazu, v 2 J , hV v 2 g N
(1)
u kojem je v iznos srednje brzine strujanja tekućine u cijevi u zoni potpuno formiranog turbulentnog režima strujanja. Koeficijent otpora ξ V ventila uobičajeno je izražavati u obliku, L V e V . d
(2)
u kojem je d dijametar cijevi u koju je ventil ugra đ en, a Le se naziva ekvivalentnom duljinom koja je jednaka duljini ravne cijevi promjera jednakog L promjeru ventila i č iji je otpor (cijevi!) jednak otporu ventila 7 . Veli č ina e d uzima se konstantnom za određ eni tip ventila. V je koeficijent otpora cijevi u koju je ventil ugrađ en uzet u područ ju potpuno razvijenog turbulentnog toka
7
Izjednači li se izraz za lokalni gubitak tlaka na ventilu hV
V
v2 2 g
s gubitkom tlaka
h Le V
Le v 2 d 2 g
duž neke cijevi duljine Le i promjera d jednakog promjeru ventila, za koeficijent otpora V ventila slijedi izraz (2),
V
v2 2 g
V
Le v 2
,
d 2 g
V V
Le d
.
19
gdje V ne ovisi o Reynoldsovom broju već samo o relativnoj hrapavosti . Na
L L primjer, za potpuno otvoreni ravni zaporni ventil e 340 . Vrijednosti e d d i V za zasunski ventil dane su u tablici ...(gore!). Za sve vrste ventila vrijednosti
Le i V određ uju se eksperimentalno i mogu se naći d
odgovarajućim priruč nicima.
22.10 Gubitak specifične energije pri strujanju
tekućine kroz pipac
Pipac (shematski i u konstrukcijskom presjeku), odnosno leptirasti ventil (samo u presjeku) prikazani su na crtežima 120 i 121. Gubitak na mjesnim (lokalnim) otporima ove vrste izračunava se na temelju izraza
h M P , L
v2
, 2 g
u kojem je v srednja brzina strujanja
tekućine u cijevi čiji je mjesni otpor dio, a ξ P,L su koeficijenti mjesnog otpora za pipac, odnosno leptirasti ventil. Koeficijenti ξ P,L određuju se eksperimentalno i ovise o kutu zaokreta α (crtež 121.). Iznosi koeficijenata ξ P,L za leptirasti ventil , odnosno pipac u Crtež 120.
ovisnosti o kutu zaokreta, dani su u tablici 10.
Crtež 121.
20
Tablica 10. Iznosi koeficijenata ξ P,L za leptirasti ventil, odnosno pipac u ovisnosti o kutu zakreta
22.11 Gubici specifične energije na zasunu Uloga
zasuna
u
cjevovodu
višestruka:
regulacija
zaustavljanje
protoka
je
tlaka, u
svrhu Gubitak
ispuštanja zraka… specifične energije na zasunu računa se prema izrazu, h M z
Crtež 122.
v2
, 2 g
(86)
gdje je v srednja brzina strujanja tekućine u cijevi, a ξ z koeficijent otpora ovisan o omjeru površine poprečnog presjeka cijevi S i smanjenog presjeka cijevi S 0 zbog spuštanja zasuna na visinu h (crtež 122, tablice 11 i 12). Tablica 11. Iznosi koeficijenata otpora Z za zasun
d h / d
0
1/8
2/8
3/8
4/8
5/8
6/8
7/8
S S 0
1
0.948
0.856
0.740
0.609
0.466
0.315
0.159
z
0
0.07
0.26
0.81
2.06
5.52
17.0
97.8
Tablica 12. Vrijednosti koeficijenta otpora ξ Z za zasune
21
Stupanj otvorenosti h/d
13/72
7/36
5/24
1/4
1/3
3/8
Promjer cijevi d<0.5 m Promjer cijevi d>0.5 m
43
35
28
17
7,9
5,5
41
35
31
23
12
8,6
Stupanj otvorenosti h/d
5/12
11/24
1/2
7/12
2/3
1
Promjer cijevi d<0.5 m Promjer cijevi d>0.5 m
4,0
2,9
2,0
1,1
0,87
0,5
6,3
4,6
3,3
0,77
0,05
1,5
22.12 Gubici specifične energije na dijafragmi
Crtež Dijafragma predstavlja disk s otvorom postavljen okomito na tok fluida u cijevi (crtež ). Uloga joj je mjerenje volumnog protoka QV . Koeficijent otpora dijafragme D u cijevi stalne površine S1 kružnog poprečnog presjeka i s okruglim koncentričnim otvorom površine S0 , ovisi o omjeru površinâ S0 i S. Pri protjecanju kroz otvor dijafragme tok se sužava do površine S0 otvora, dok iza otvora dolazi do formiranja prijelaznog toka koji se dalje suzuje, da bi se
ovaj, zatim, raširio do dimenzija presjeka cijevi. Dolazi do odvajanja toka od stijenke cijevi uz stvaranje vrtložne zone između toka i stijenke. Granica između vrtložne zone i prijelaznog toka je nestabilna, pulzirajuća. Na površini prijelaznog toka neprekidno dolazi do izmjene elemenata fluida između toka i vrtložne zone. Stvaranje i nestanak virova dovodi do intenzivne pulzacije brzine toka i do prijelaza dijela meganičke energije u toplinu.
22
Neke vrijednosti koeficijenta otpora dijafragme D oštrog ruba u cijevi kružnog presjeka, kada su ispunjeni uvjeti l d 1 0.015 , Re v0 d 1 105 , dani su u
tablici…. S 0 S
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
D
245
51.5
18.2
8.25
4
2
0.97
0.41
0.13
0
22.13 Gubici specifične energije na usisnom košu
Usisni koš bez ventila (crtež 123) ugrađuje se na ulazu u cjevovod uređaja za crpljenje. Usisni koš služi za sprečavanje ulaza većih stranih tijela u usisni cjevovod i konstruiran je tako da su otpori strujanju svedeni na minimum.
Gubici specifične energije zbog prisutnosti usisnog koša u cjevovodu izračunavaju se na temelju standardnog izraza oblika kao izraz (86), s time da koeficijent otpora ξ z tr eba zamijeniti koeficijentom otpora za usisni koš ξ UK , koji ovisi o konstrukciji koša i promjeru cijevi. Koeficijent ξ UK za usisni koš bez ventila može se izračunati prema izrazu,
Crtež 123
Usisni koš bez ventila
Usisni koš s ventilom 2
S UK (od 0.675 do 1.575) , S s
gdje je S površina presjeka cijevi, a
mrežice usisnog koša.
S S ukupna površina presjeka otvora
Usisni koš sa zapornim ventilom , za razliku od usisnog koša bez ventila, onemogućuje povratak strujnog toka u potisnom pravcu sa ciljem 23
onemogućavanja ulaska krupnih stranih tijela u cjevovod. Obli k koša je uvijek takav da su hidraulički otpori veoma mali. Iznosi koeficijenta ξ UK za usisni koš sa zapornim ventilom u ovisnosti o promjeru cijevi d UK u metrima, dani su u tablici 12. Tablica 12. Iznosi koeficijenta otpora ξ UK za usisni koš sa zapornim ventilom u ovisnosti o promjeru d UK d UK
0,01 0,07 0,10 0,15 0,20 0,30 0,50 0,75
(m)
ξ UK 12
8,5
7
6
5,2
3,7
2,5
1,6
23. Zbrajanje linearnih i
lokalnih gubitaka specifične energije toka realne tekućine Ukoliko pojedinačni lokalni gubici međusobno udaljeni (ovisno o vrsti lokalnog otpora) 20 do 50 promjera cijevi , utjecaja jednog lokalnog otpora na drugi praktički nema. To znači da se ukupni gubitak specifične energije toka s velikom točnošću može odrediti kao aritmetička suma pojedinačnih linearnih i lokalnih gubitaka. Ukoliko se cjevovod sastoji od n sekcija čije su dužine L1 , L2 , ... Ln , a promjeri d 1 , d 2 , ...d n te od m lokalnih otpora, ukupni gubitak h specifične energije tada je, 12
n
m
i 1
i 1
J , N
h12 h Li hMi
e12
h12 J , g kg
pri čemu je,
24
L1 v12
Ln vn2 , h Li 1 2 ... n d1 2 g d2 2g dn 2g i 1 n
L2 v22
a m
h i 1
Mi
1
v12 2 g
2
v22 2g
... m
vm2
, 2 g
gdje su λ1 , λ1 , ... λn , Darcy-Weisbachovi koeficijenti linijskih otpora, ξ 1 , ξ 2 , ... ξ n , koeficijenti lokalnih otpora, a v1 , v2 , ...vn , srednje brzine toka u presjecima iza
mjesta lokalnih otpora ili u cijevima čiji su oni dio.
24. Eksperimentalno određivanje koeficijenata linearnih i lokalnih otpora
Crtež 124. U svrhu eksperimentalnog određivanja Darcy-Weisbachovog koeficijenta λ linijskog (hidrauličkog) otpora i koeficijenta lokalnog otpora ξ, može poslužiti uređaj shematski prikazan na crtežu 124. Uređaj se sastoji od centr ifugalne crpke (A), tlačnog cjevovoda (B), tlačnog spremnika (C) sa cjevovodom (D) za održavanje konstantnog nivoa u tlačnom spremniku (C), cjevovoda (E) pomoću kojeg se od ređuje koeficijent λ, spremnika (F) i usisne linije (G). Tijekom provođenja eksperimenta tekućina se crpkom (A) crpi u tlačni spremnik, odakle kroz cjevovod (E) dolazi u spremnik (F), odakle se opet crpi
25
crpkom (A). Na taj se način tijekom odvijanja eksperimenta osigurava kontinuirana cirkulacija tekućine u sustavu. Volumni protoka QV kroz cijev E za koju se određuje koeficijent λ, mjeri se
pomoću Venturijevog vodomjera (H). Linearni gubici tlaka, tj. specifične energije između presjeka a i b cijevi E određuju se pomoću diferencijalnog živinog manometra (K) 8. Pritom valja imati na umu da dužina L ispitivanog dijela cjevovoda između dva presjeka mora biti dovoljno velika, budući da pri maloj dužini L razlika nivoa u U -cijevi živinog diferencijalnog manometra može biti neznatna. Za horizontalni cjevovod konstantnog promjera d, linear ni gubitak specifične energije hab između dva presjeka a i b međusobno udaljena L na kojima je
diferencijalni manometar, kao što nam je poznato, dan je izrazom: h L , ab Kako je,
pa pb 1
.
pa pb ž 1 h ,
to je, h L , ab h
z
1
1
,
tako da iz Darcy-Weisbachovog izraza za linearni gubitak specifične energije hab između dva presjeka a i b slijedi,
8
Uslučajevima u kojima je potrebno izmjeriti razliku tlakova fluida u dvijema posudama , koristi se diferencijalni manometar (vidi crtež!). Očito p A 1h1 pB 1h2 ž h , odakle je
p A pB 1 h2 h1 ž h , tako da je p A pB ž 1 h h
26
ab
2 gh L , ab d Lv 2
.
Srednja brzina v toka određuje se na temelju Venturijevim vodomjerom izmjerenog iznosa volumnog protoka QV , v
Q d 2
.
4
Mjerenja volumnog protoka QV i gubitka specifične energije h L,12 ponavljaju se nekoliko puta pri različitim iznosima srednje brzine v toka u ispitivanom cjevovodu. Na temelju izračunatih iznosa λ i Reynoldsovog broja Re crta se krivulja ovisnosti koeficijenta λ o Re .
U svrhu određivanja koeficijenta lokalnog otpora ξ M najprije se određuje gubitak specifične energije (pad tlaka ) između dva presjeka cjevovoda pri nekoj brzini toka bez lokalnog otpora, a potom se pri istoj brzini toka određuje gubitak specifične energije kada je u dio cjevovoda između istih presjeka uključen ispitivani lokalni otpor. Lokalni gubitak specifične energije h L tada je očito jednak razlici gubitaka u posljednjem i prethodnom slučaju, a koeficijent lokalnog otpora može se sada odrediti iz izraza, M
2 gh L v
2
.
27
25. Turbulentni tok u cijevima.
Riješeni primjeri
Primjer
Cjevovodom dijametra d = 100 mm teče voda volumnim protokom Qv = 8 ls-1 (vidi crtež!). Između dva presjeka 11 i 22 cjevovoda međusobno razmaknuta L = 50 m, manometar na živu pokazuje razliku visina razina žive u U -cijevi jednaku h = 52 mm. Relativna gustoća žive jednaka je ρr = 13.6. Odredite Darcy-Weisbachov koeficijent trenja λ za dani sekciju cjevovoda.
Crtež 1 Zbog h1 h2 i v1 v2 , iz Bernoul lijeve jednadžbe napisane za presjeke 1 i 2, p1 g
h1
v s21 2 g
h12
p 2 g
h2
v s22 2 g
slijedi, h12
p1 p2 g
gh ž g
h ž
.
(1)
2
L v Kako je prema Darcy-Weisbachovoj formuli h12 s , to iz (1) slijedi, d 2 g
28
Pošto je
v s
QV S
4QV
2 ghd ž Lv s2
.
(2)
, to (2) poprima oblik,
d 2
2 ghd 5 2 ž 16 LQV 2
9.81ms 2 0.052m 10 5 m 5 2 13.6 1 0.0248 . 1 8 50m (0.008m 3 s 1 ) 2
Primjer
Voda teče ravnom 300 m dugom cijevi kružnog poprečnog presjeka i unutarnjeg promjera d = 25 mm. Apsolutna hrapavost cijevi je k = 0.1 mm. -1 Gustoća vode je ρv = 998 kgm-3 , srednja brzina toka je v s = 2 ms , dok kinematička viskoznost iznosi 1.10-6 m 2 s-1 . Izračunajte gubitak specifične mehaničke energije u cijevi tako da Darcy- Weisbachov koeficijent otpora λ odredite a.) iterativnim postupkom iz Colebrookove formule, b.) očitavanjem iz Moodyevog dijagrama. Da bi primijenili Colebrokeovu formulu najprije ćemo odrediti iznos Reynoldsovog broja, Re
Re
vs d μ
vs d υ
2 ms1 0.025 m 106 m2 s 1
,
50000.
Vidimo da je tok turbulentan. Sada ćemo iteracijskim postupkom iz Colebrookove formule odrediti Darcy-Weisbachov koeficijent otpora , 2
k 2.51 λ 2 log 0.269 . d Re λ
(1)
Budući da je iznos Reynoldsovog broja dovoljno je velik, to se, u prvoj iteraciji, prvi pribrojnik u zagradi u Colebrookovoj formuli (1) može zanemariti, što rezultira u približnoj vrijednosti od jednakoj, 10 4 λ 2 log 0.269 0.025
2
,
29
λ 0.02837
.
štavajući λ = 0.02837 u prvi nazivnik na desnoj strani formule (1) za Sada uvr točniju vrijednost λ slijedi, 2.51 10 4 λ 2 log 0.269 4 0.025 5 10 0.02837
2
,
λ 2 log 2.98039 10 4 10.76 10 4
2 ,
0,03052 .
Primijeni li se iterativni postupak još jednom, za λ se dobiva, 2.51 4 λ 2 log 10.76 10 4 5 10 0.03052
2
,
2
2 log 2.8735 10 4 10.76 10 4 0.03045
,
.
Kako još jedno ponavljanje iterativnog postupka za λ daje jednaku vrijednost, to definitivno prihvaćamo da je λ = 0.03045. a.) Gubitak specifične mehaničke energije tečenjem vode duž dane cijevi za vrijednost λ određenu iterativnom postupkom jednak je, h12 λ
L v s2
d 2g
0.03045
300 m
22 m 2s 2
0.025 m 2 9.81 ms
2
74.5 m (JN-1 ).
b.) Pošto je relativna hrapavost cijevi jednaka, ε
k d
0.0001 0.025
4 10 3 ,
a poznata nam je i vrijednosti Reynoldsovog broja, to iz Moodyevog dijagrama, za λ čitamo vrijednost λ 0.031 , dok je gubitak specifične energije jednak,
30
h12 λ
2 L vs
d 2g
0.031
300 m
22 m2s 2
0.025 m 2 9.81 ms
2
76.1 m (JN-1 ).
Primjer U cijevi manjeg promjera (komercijalna, nova, čelična cijev, k = 0.045 mm) srednja brzina toka iznosi v 1s = 6.65 ms-1 (crtež 1). Os simetrije dulje cijevi nalazi se 2 metra ispod razine vode u drugom spremniku. Odredite:
31
Crtež 1 a.) Darcy-Weisbachov koeficijent trenja Re
v1 s d 1
u kraćoj cijevi, jednak je,
103 kgm3 6.65ms1 0.15m 3
2
0.894 10 Nsm
1.12 106 .
log Re 6.0492 .
Relativna hrapavost kraće cijevi,
k d
0.045mm 150mm
0.0003.
Na temelju log Re 6.0492 i 0.0003 iz Moodyevog dijagrama za Darcy-Weisbachov koeficijent trenja slijedi približna vrijednost 0.016.
b.) Gubitak specifične energije na ventilu
Prema jednadžbi kontinuiteta, za iznos srednje brzine toka u cijevi većeg dijametra slijedi, v2 v1
S 1 S 2
v1
d 12 d 22
1
6.65ms
(150 103 m)2 3
(300 10 m)
2
1.66 ms1 .
Sada za pad tlaka na ventilu slijedi, h
v22 2 g
3.5
(1.66ms1 ) 2 2 9.81ms 2
0.492 J .
32
Primjer Cijev promjera 180 mm (λ = 0.032) i duljine 150 m završava mlaznicom čiji je kružni izlazni presjek u atmosferi i nalazi se 80 metra niže od razine vodnog lica u spremniku. Promjer izlaznog presjeka je 60 mm. Koeficijent mjesnog otpora na ulazu u cijev je ξ u = 0.9 , a na mlaznici ξ m = 0.055. Koliki je protok kroz cijev? Koliki je tlak na ulazu u mlaznicu (točka B)? Primjer Dubina vode u spremniku s vodom otvorenom prema atmosferi prikazanom na crtežu je H = 30 m. Presjek izlazne cijevi 2 u atmosferu nalazi se na visini h = 3 m iznad razine dna spremnika. Promjeri cijevi 1 i 2 su d 1 = 24 cm i d = 48 cm, dok su im duljine 2 L 1 = 1500 m i L 2 = 2400 m. K oeficijent lokalnog gubitka specifične energije na ulazu u cijev 1 je 1 0.50 . Darcy-Weisbachov Crtež 1 koeficijent otpora jednak je za obje cijevi i iznosi 0.02 . K oliki je maseni protok Qm ?
Crtež 2
33
Budući da je maseni protok jednak
Qm
d 22 4
vs 2 ,
očito, nužno je odrediti iznos
srednje brzine toka v s 2 u cijevi 2. U tu svrhu polazimo od Bernoullijeve jednadžbe. Napisana za presjek O spremnika i izlazni presjek 2 iz cijevi (crtež
2) jednadžba energije (Bernoullijeva jednadžba) glasi, v02
p0
2 g g
H h 02
v22
p2
2 g g
h ,
(1)
odnosno, 0 0 30m h02 27m
v22 2 g
v22 2 g
0 3m ,
h02 .
(2)
Ukupni gubitak specifične energije h jednak je zbroju dva linijska gubitka tečenjem kroz cijevi 1 i 2 te dva mjesna gubitka, mjesnog gubitka na ulazu u cijev 1 i mjesnog gubitka na naglom proširenju, 02
v s21
2 2 L1 v s21 v s22 L2 vs22 d h02 1 pro š . , pro š . 12 1 . 2 g d 1 2 g 2 g d 1 2 g d 2
(3)
U (3) , brzine v s1 i v s 2 su srednje brzine toka u cijevima 1 i 2. Uvrste li se u
(3) brojčane vrijednosti dobiva se, h02 0.5
v s21 2 9.81ms 2
0.02
1.5 103 m 0.24m
2
v s21 2 9.81ms 2
d 22 v s22 2.4 103 m vs22 2 1 0.02 2 0.48m 2 9.81ms 2 d 1 2 9.81ms
h02 0.0255 s 2 m1 v s21 6.371 s 2 m1 v s21 0.46 s 2 m1 v s22 5.09 s 2 m1 v s22 .
(4)
Budući da je u skladu s jednadžbom o održanju mase, 2
d v s1 v s 2 2 4v s 2 , d 1
v s21 16v s22 ,
(5)
to jednadžba (4) prelazi u, h02 0.408 s 2m1 v s22 101.94 s 2m1 v s22 0.46 s 2m1 v s22 5.09 s 2m1v s22 ,
34
h02 107.9 s 2 m1 v s22 .
(6)
Uvrštenje (6) u (2) daje, 27m 0.0509 s 2 m1 v s22 107.9 s 2 m1 v s22 107.95 s 2m1 v s22 ,
odakle je, v s 2
27m 2
107.9 s m
1
0.5 ms1 ,
Dok je maseni protok Qm jednak, Qm
d 22 4
3
v s 2 10 kgm 3
0.48m2 4
0.5ms1 90.5 kgs1.
Primjer
Spremnik s cjevovodom služi za punjenje vozila za snabdijevanje vodom na gradilištu (crtež 1 ). Razina vode u spremniku održava se stalnom. Rub na ulazu u cjevovod je oštar. Koeficijent otpora za cijev promjera d 1 = 15 cm i duljine l1 = 16 m jednak je λ15 = 0.0195, dok za cijev promjera d 2 = 10 cm i duljine l 2 = 45 m iznosi λ10 = 0.0245. Kad je ventil potpuno otvoren ξ V = 0.15. Oba koljena izvedena su pomoću Crtež 1 armirane gumene cijevi [ξ K (900 ) = 1.5]. Uzima jući u obzir sve gubitke te pretpostavivši da ne dolazi do suženja mlaza, odredite iznos srednje brzine toka vode na izlazu iz cjevovoda. Bernoullijeva jednadžba napisana za razinu vode u spremniku i za izlazni presjek cjevovoda glasi, v s2,15 l 1 vs2,10 v s2,10 l 2 15 ul K 10 suž V K 0 0 , 0 h1 0 2 g d 1 2 g 2 g d 2
odakle je,
35
v s2,15 l 1 v s2,10 l 2 15 ul K 10 suž V K 1 . h1 2 g d 1 2 g d 2
(1)
U skladu s jednadžbom neprekinutosti je, 2
v s ,15
d 2 v s ,10 0.444 v s ,10 , d 1
tako da (1) možemo pisati, 4
v s2,10 d 2 v s2,10 l 2 l 1 15 ul K 10 suž V K 1 , h1 2 g d 1 d 1 2 g d 2 4 v s2,10 d 2 l l 15 1 ul K 10 2 suž V K 1 , h1 2 g d 1 d 1 d 2
pri čemu je
suž ,
(2)
izračunat preko iznosa
v s ,10 srednje brzine iza naglog
suženja ,
jednak, 2 2 d 22 suž . 0.5 1 2 0.5 1 0.28 . 3 d 1
(3)
Iz (2), za iznos srednje brzine toka vode na izlazu iz cjevovoda slijedi, v s ,10
v s ,10
2 gh1
d 2 d 2
4
l 1 l 15 ul K 10 2 suž V K 1 d 2 d 1
,
2 9.81ms 2 20.5m
1 16m 46m 0.5 1.5 0.0245 0.28 0.15 1.5 1 0.0195 0.15m 0.10m 1.5 4
5.18 ms 1 .
36
Primjer
U točki C dijela cjevovoda prikazanog na crtežu poznati su tlak (48.7 m) i visina energetske linije (49 m). Odredite promjer d 1 cjevovoda te nacrtajte liniju ukupne energije i piezometarski liniju za dio cjevovoda od A do G. Poznate su sl jedeće veličine: ξ ul = 0.5, k = 2.5 mm, L 1 = 100 m, L 2 = 300 m, . -6 2 -1 L 3 = 400 m, d 2 = 350 mm, d 3 = 450 mm, ν =1.01 10 m s .
Crtež 1 Najprije ćemo izračunati iznos srednje brzine toka u cijevi promjera d 1. Kako? Uočite da nam je poznata visina brzine
v12 2 g
za tok kroz cijev promjera d 1 koja
iznosi 0.3 m (točka C cijevi promjera d 1 ). Dakle, v12 2 g
49m 48.7 0.3m ,
(1)
Odakle za iznos od v1 slijedi, v1 2 9.81ms 1 0.3m 2.426 ms 1 .
Sa crteža 1 vidi se da gubitak specifične energije tečenjem duž cijevi promjera d 1 iznosi h L = 4.3 m. Ovaj gubitak zbroj je mjesnog gubitka speci fične energije 1
na ulazu u cijev i linijskog gubitka zbog hrapavosti cijevi promjera d 1 , to jest,
37
v12 L ul 1 1 . 1 h L1 ul 2 g d 1 2 g 2 g d 1 v12
L1 v12
(2)
Da bi iz jednadžbe (2) odredili promjer d 1 potrebno je naj prije izrač unati iznos Darcy-Weisbachovog koeficijenta otpora . Izračunavanje provest ćemo metodom pokušaja i pogreške. 1
1
U prvom koraku pretpostavit ćemo da d 1 = 200 mm. Na temelju ove vrijednosti za d 1 izračunat ćemo približne vrijednosti relativne hrapavosti i Reynoldsovog broja Re ,
2.5 mm 200 mm
0.0125 ,
Re
v1d 1
2.426ms 1 0.2m 6
2 1
1.0110 m s
i iz Moodyevog dijagrama očitati približnu vrijednost za jednadžbe (2) izračunavamo približnu vrijednost od d 1 , 2 4.3m 9.81ms 1
2.426ms
1 2
100m 0.5 0.041 , d 1
4.804 105
1 , 1 0.041 . Sada iz
d 1 296 mm .
38
U sljedećem koraku, na temelju
d 1 289 mm
računamo točnije vrijednosti od i
9
Re ,
2.5 mm 296 mm
0.00845 , Re
v1d 1
2.426ms 1 0.296m 6
2 1
1.0110 m s
7.11105 ,
te iz Moodyevog dijagrama čitamo točniju vrijednost za 1 : 1 0.0355 . Iz jednadžbe (2) računamo točniju vrijednost od d 1 , 2 4.3m 9.81ms 1
2.426ms
1 2
100m 0.5 0.0355 , d 1
d 1 256 mm .
Nastavljamo iterativni proces,…
2.5 mm
0.00977 , Re
256 mm
2 4.3m 9.81ms 1
2.426ms
1 2
2.5 mm 273 mm
1
2.426ms
1 2
264 mm
0.00947 ,
2 4.3m 9.81ms 1
2.426ms
1 2
2.5 mm 267 mm
2.426ms
1 2
2.426ms 1 0.256m 6
6.149 105 , 1 0.0378 ,
2 1
1.0110 m s
100m 0.5 0.0378 , d 1 v1d 1
Re
v1d 1
6
2 1
1.0110 m s
2.426ms 1 0.264m 6
2 1
1.0110 m s
2 1
1.0110 m s
100m , 0.5 0.037 d 1
6.341105 , 1 0.037 ,
d 1 267 mm .
2.426ms 1 0.267m 6
6.557 105 , 1 0.0365 ,
d 1 264 mm .
100m 0.5 0.037 , d 1 v1d 1
d 1 273 mm .
2.426ms 1 0.273m
100m 0.5 0.0365 , d 1
0.00936 Re
2 4.3m 9.81ms 1
0.009158 , Re
2 4.3m 9.81ms
2.5 mm
v1d 1
6.413105
1 0.037
d 1 267 mm .
Kao što vidimo, za dijametar d 1 možemo prihvatiti vrijednost d 1 = 267 mm, a za koeficijent 1 vrijednost 1 0.037 .
9
Iznos v1 srednje brzine se ne mijenja. On je određen zadanom vrijednošću visine brzine u točki C (0.3m!).
39
Dalje, primjenjujući jednadžbu kontinuiteta, računamo iznos u cijevi dijametra d 2 = 350 mm da bi izračunali gubitak energije na naglom proširenju kod CD ,
v2 srednje brzine
h pro š .CD
specifične
2
d 12 0.267m 1 1 v2 2 v1 2.426 ms 1.412 ms . 0.35m d 2
Gubitak h pro š .CD specifične energije računamo prema Weisbachovom izrazu h pro š .CD
pro š .CD
v22
,
(3)
2 g
u kojem 2
2
v1 2.426ms1 pro š .CD 1 1 0.516 , 1 v 1 . 412 ms 2
(4)
tako da je h pro š .CD pro š .CD
v22 2 g
0.516
1.4142
0.0524 m .
2 9.81ms 2
Linijski gubitak specifične energije tečenjem duž cijevi duljine L 2 (od D do E) iznosi, h L2 1
300m 1.412 ms 1
2
L2 v22 d 2 2 g
0.037
0.35m 2 9.81ms 2
3.223 m .
Zašto ista vrijednost od lambda? Računaj novu iz Re i epsilon! Visina brzine, odnosno, kinetička energija svake mase fluida teške 1 N, duž cijevi promjera d 2 iznosi, v22 2 g
1.412 ms
1 2
2 9.81ms 2
0.1 m .
Iznos v3 srednje brzine u cijevi dijametra d 2 = 450 mm jednak je, d 22 0.35m 1 1 v3 2 v2 1.414 ms 0.854 ms . 0.45m d 3 2
Dalje računamo gubitak
h pro š . EF specifične
energije na naglom proširenju kod
EF , 2
2
v2 1.412ms1 pro š . EF 1 1 0.450 1 v 0 . 854 ms 3
40
h pro š . EF pro š . EF
v32 2 g
0.450
0.8542
0.0167 m ,
2 9.81ms 2
i linijski gubitak specifične energije tečenjem duž cijevi duljine L 3 (od F do G), h L3 1
L3 v32 d 3 2 g
400m 0.854ms1
2
0.037
0.35m 2 9.81ms 2
1.572 m .
Visina brzine duž cijevi promjera d 3 iznosi, v32 2 g
0.854 ms
1 2
2 9.81ms 2
0.037 m .
Sada smo u stanju nacrtati liniju ukupne specifične mehaničke energije i piezometarsku liniju duž dijela cjevovoda od A do C (crtež 1, omjer pojedinih prikazanih dužina nije realan!). Cijev promjera d = 10cm ( 0.033 ) i dulji ne L = 33m spaja dva spremnika čije se razine (vode) razlikuju za Δz = 3.6m (vidi crtež!). Ulaz i cijev je oštar. Odredite vol umni protok, kada su posljednja L' = 3 m cijevi zamijenjena konusnim difuzorom s 100 .
41
42
Primjer Kroz cijev stalnog dijametra d = 200 mm i apsolutne hrapavosti k = 0.03 mm voda temperature 15 0C teče između dva spremnika u kojima se razine održavaju stalnima i koje su razmaknute H = 50 m (crtež ). Pored ulaznog mjesnog gubitka, ventil izaziva gubitak specifične energije od
10
v s2
. Koristeći
2 g
Moodyev dijagram odredite maseni protok Qm .
Crtež 1 Budući da je maseni pr otok
Qm jednak
Qm Qv v s S v s
d 2 4 ,
(1)
to se račun, očito, svodi na određivanje iznosa srednje brzine toka v s . U tu svrhu napisat ćemo proširenu Bernoullijevu jednadžbu za razine vodenih lica u spremnicima A i B, tj. za točke 1 i 2, v2 v2 v2 v2 L 0 H 0 0,5 s 10 s s 1 s 0 2 g 2 g d 2 g 2 g ,
(2)
iz koje za v s slijedi, v s
2 gH . L 11,5 d
(3)
43
U jednadžbi (3) λ je Darcy-Weisbachov koeficijent za čije nam izračunavanje 2,51 k 2 log 3,7d Re nije od
1
Colebrook-Whiteova empirijska formula
k
d koristi budući da, iako nam je poznata vrijednost relativn e hrapavosti , nismo u stanju izračunati vrijednost Reynoldsovog broja Re budući da
neznamo iznos od v s .
Što učiniti? Poznato je da maksimalni dopušteni iznosi v srednjih brzina i cijevima ovise o vrsti materijala od kojih su izrađene. Tako je, primjerice, za PVC cijevi taj je max
iznos jednak vmax 5,0
m s ,
a za čelične
vmax 7,0
m s . Prema pravilima struke
srednja brzina toka u cjevovodima ne bi trebala prelaziti nekoliko metara u sekundi. Pretpostavimo da je iznos srednje brzine toka u cijevi koja spaja v s 2ms 1 . Izračunamo li na temelju ove spremnike A i B jednak pretpostavljene vrijednosti za v s pripadnu vrijednost Reynoldsovog broja Re , v d 2ms 1 0.2m s 3.54 105 , Re 6 2 1 1.13 10 m s
i relativna hrapavost,
k d
0.03 10 3 m 0,2m
0.00015,
tada iz Moodyevog dijagrama čitamo približnu vrijednost za 1 ,
Uvrštavanjem
0.016. 1
1 0.016
u (3) računamo bolju procjenu za iznos v s srednje
brzine, 2 9.81ms 2 50m v 1.544ms 1. s1 0,016 5000m 11.5m 0.2m
Na temelju izračunate vrijednosti v računamo točniju vrijednost Re , s1
Re
1,544ms 1 0,2m 6
2 1
1,3 10 m s
32,73 105.
44
Sada polazeći od Re= 32.73 105 i još točniju vrijednost za λ ,
0.00015
iz Moodyevog dijagrama očitamo
0.017, 2
a iz jednadžbe (3) računamo točniju vrijedno st za iznos srednje brzine toka, 2 9.81ms 2 50m v 1.519ms 1. s 2 0,017 5000m 11.5m 0.2m
Zbog sve manjih promjena iznosa srednje brzine (odnosno Reynoldsovog broja), daljnji koraci u iteracijskom postupku rezultiraju u promjenama λ koje se ne mogu točno očitati iz Moodyevog dijagrama. Stoga za λ usvajamo vrijednost 0,017, 2
A za iznos srednje brzine toka v s ,
v 1,519ms 1. s
Dakle, tražena vrijednost masenog protoka jednaka je, Q v m s
d 2 4
(0.2m) 2 3 3 1 10 kgm 1.519ms 47.72kgm1 . 4
Primjer
Jedan od načina povećanja protoka u jednostavnom gravi tacijskom cjevovodu (crtež 1) je ugradnja centrifugalne crpke. Izračunajte snagu centrifugalne crpke koja će u prikazanom cjevovodu osigurati volumni protok jednak Qv = 50 ls-1 , ako je H = 40 m, L = 5 km, d = 200 mm i k = 0.03 mm. Temperatura vode je t = 20 0C. K oliki je protok prije ugradnje crpke?
45
Crtež 1 A.) Pišemo Bernoullijevu jednadžbu za vodna lica u spremnicima A i B (točke 1 i 2), v2 v2 v2 L 0 H 0 H 0,5 s s 1 s 0 0 0, c 2 g d 2 g 2 g
(1)
odakle za izlaznu tlačnu visinu H c pumpe slijedi, 2 v2 L v s s H 1,5 H . c 2 g d 2 g
(2)
Darcy-Weisbachov koeficijent λ odredit ćemo iz Moodyevog dijagrama nakon što izračunamo srednju brzinu toka v s , Reynoldsov broj i relativnu hrapavost cijevi ε , Q 4Q 4 0.050m3 s 1 v v v 1.592ms 1, s S d 2 (0.2m) 2 v d 103 kgm 3 1.592ms 1 0.2m 317358, Re s 3 1.003 10 Pas
k d
0.03 10 3 m 0.2m
0.00015.
Iz Moodyevog dijagrama čitamo vrijednost , 0.016.
46
Uvrštenje vrijednosti za λ u izraz (2), za visinu H C daje, (1.592ms 1 ) 2
5 103 m (1.592ms 1 ) 2
H 1.5 0,016 c 2 9.81ms 2 0.2m 2 9.81ms 2 0.191m 51.671m 40m 11.86 m,
40m,
odnosno za snagu koju crpka predaje toku vode u cijevi, P gQ H 9.81103 Nkg 1 0.05m3 s 1 11.86m 5.82 kW . c v c
Naravno, snaga P
c, m
što ju crpka „uzima“ iz električne mreže uvijek je veća od
P , tj., c P c, P c, m
budući da je koeficijent iskorištenja η crpke uvijek manji od 1, η <1. B.) Bernoullijeva jednadžba (1) za točke 1 i 2 prije ugradnje crpke glasi, 0 H 0 0,5
v s' 2 2 g
L v s' 2
d 2 g
1
vs' 2 2 g
0 0 0,
odakle za iznos srednje brzine toka v s slijedi , 2 gH 2 9.81ms 2 40m v 1.398 ms 1 , 3 L 5 10 m 1.5 1.5 0.016 d 0.2m '2 s
dok je protok Qv' , iznosom manji od protoka Qv 50 ls 1 nakon ugradnje crpke, jednak, Q v ' v
'2 s
d 2 4
1
1.389ms
(0.2m) 2 4
43.9 ls 1.
47
Primjer Dugi ravni vodoravni cjevovod promjera d = 350 mm i apsolutne hrapavosti k = 0.03 mm, konstruiran je u svrhu transporta sirove nafte gustoće ρ = 860 kgm-3 i dinamičke viskoznosti μ = o.oo64 Pas, od naftnog polja do rafinerije, volumnim protokom Qv = 7000 m 3dan-1. U cjevovod su serijski, na pravilnim razmacima, ugrađene tlačne crpke od kojih svaka izaziva povećanje specifične tlačne energije od 20 m. Na kojim razmacima su ugrađene centrifugalne crpke? Kolika je snaga svake od njih ako η = 0.96 ? Linijski gubitak duž cjevovoda, h L λ
2 L vs
d 2g .
(1)
Iz, Q v v sS v s
d2π 4
(2)
slijedi, vs
4Q v d2π .
(3)
Uvrštenje (3) u (1) daje, h L λ
L 1 16 Q v d 2g d 4 π 2
2
λ
L 8 Qv d5π2
g
2
,
odakle za razmak L između dva presjeka tečenjem između kojih, masa nafte teška 1N , zbog trenja o stjenke cijevi „izgubi“ (u toplini prijeđe) 20 J , slijedi, L
h L d 5 π 2g 8 λQ v
2
.
(4)
Da bi izračunali razmak L potr ebno je još odrediti koeficijent otpora λ. Pošto je, Qv
7000 m 3 86400 s
0,081 m 3s 1
,
to je, Re
ρv s d μ
4 860 kgm 3 0,081 m 3 s 1 39600 μ d 2 π μd π 0,0064 Pas 0,35 m π . 4 ρd Q v
4 ρQ v
Relativna hrapavost je, ε
k d
0,03 10 3 m 0,35 m
8,57 10 5
.
48
Na temelju izračunatih vrijednosti za Re i ε iz M oodyevog dijagrama čitamo vrijednost za λ, λ 0,025 ,
tako da za L slijedi, L
h Ld5 π2g 8 λQ v
2
20 m 0,35 m π 2 9,81 ms 2 5
8 0,025 0,081 m s
3 1 2
7750 m .
Snaga svake crpke je, P
1
ρgQ v h L
1 0.96
860 kgm 3 9.81 ms 2 0.081 m 3s 1 20 m 14.24 kW.
Primjer
Crtež 1 Pri stacionarnom protjecanju idealnog fluida volumnom protokom Qv 80 ls 1 kroz cijev promjera D 200 mm izmjerene su piezometarske kote kako je to prikazano na crtežu 1. Izračunajte: a.) Darcy-Weisbachov koeficijent trenja i b.) koeficijent z mjesnog otpora u cijev ugrađenog zasuna.
Znajući volumni pr otok kroz cijev, za srednju brzinu toka
v s fluida
dobivamo,
49
v s
Qv S
Qv
4 2
D
0.08 m 3 s 1
4
0.2m
2
2.55 ms 1 .
(1)
Gubitak h L specifične energije fluida tečenjem duž prve sekcije cijevi 1
duljine L1 30 m jednak je, h L 1m
1 J
(crtež 1), tako da možemo pisati,
N L1 v s2 , h L D 2 g
1
(2)
1
dakle je Darcy-Weisbachov koeficijent trenja jednak,
2 gDh L
1
L1v s2
2 9.81ms
2
0.2m 1 JN 1
30m (2.55ms 1 ) 2
Tečenjem duž druge sekcije cijevi duljine
0.020 .
(3)
L2 L1 30 m gubitak h L
specifične
12
energije fluida osim zbog hrapavosti cijevi izazvan je i lokalnim otporom -
zasunom, (crtež 1), tako da je ukupni gubitak specifične energije tečenjem fluida duž ove sekcije jednak, h L
2
v s2 L2 v s2 , D 2 g 2 g
(4)
30 m (2.55ms 1 ) 2 0.33m 85m 83.7m 0.02 0.2m 2 9.81ms 2 1.3m 0.99 m 0.33m ,
dakle za koeficijent mjesnog otpora slijedi, 0.93 .
Primjer Odredite iznos brzine istjecanja vode iz spremnika velikih razmjera pri H = 12 m, kroz cjevovod sastav ljen od dvije cijevi čije su duljine l 1 = 35m i l 2 = 20 m, a promjeri d 1 = 5 cm i d 2 = 10 cm ( crtež 1). Dulja cijev je hidraulički glatka, a toku kroz nju odgovara Reynoldsov broj R e = 10 5. Cijev većeg promjera , za koju je Darcy-Weisbachov koeficijent jednak 2 0.023 , uključuje zasun čiji je koeficijent otpora jednak z 2.09 . K oeficijent mjesnog otpora zbog ulaska
50
vode iz spremnika u cijev je ul 0.04 . Za vrijednosti Coriolisovog koefi cijenta uzmite 1. Objasnite tok piezometarske linije.
Crtež 1 Napisat ćemo jednadžbu energ ije (Bernoullijevu jednadžbu ) za presjeke 1-1 i 2-2, na površini vode u spremniku i za presjek na kraju cijevi većeg promjera. Za referentnu ravninu na kojoj je h = 0 odabrati ćemo ravninu čiji je trag u ravnini papira os simetrije cjevovoda. Dakle, je dnadžba energije u ovom slučaju poprima oblik, [ Memento:
u
slučaju
vodoravne
cijevi
p1 g
0 H 0 0 0
v22 2 g
ul
h1
v12 2 g
jednadžba
p2 g
1
energije
za
realnu
tekućinu
glasi
h2 h12 .]
l 1 v12 d 1 2 g
proš .
v22 2 g
2
l 2 v22 d 2 2 g
z
v 22 2 g
. (1)
Pošto je u skladu s jednadžbom kontinuiteta, v1 v 2
S 2 S 1
v2
d 22 d 12
,
(2)
to (1) poprima oblik,
v22 d 24 l 1 d 24 l 2 H 1 ul 4 1 proš . 2 z , 4 2 g d 1 d 1 d 2 d 1
51
odakle je iznos brzine v2 jednak,
2 gH
v2
d 24 l 1 d 24 l 2 1 ul 1 proš . 2 z 4 4 d 1 d 1 d 2 d 1
.
(3)
hidraulički glatka , to iz Moodyevog dijagrama za Darcy5 Weisbachov koeficijent otpora uz Re = 10 slijedi 1 0.0175 . Budući da je
Kako je dulja cijev
2
koeficijent dan izrazom proš .
d 22 2 1 , u našem slučaju je, d 1
2
pr oš .
Konačno, iz (3) iznos
2
0.1m 2 d 22 2 1 1 9 . d 0 . 05 m 1
v 2 brzine istjecanja vode iz spremnika, prema (3) je,
52
2 9.81ms 2 11m , 35m 20m 4 4 2 9 0.023 2.09 1 0.04 2 0.0175 0.05m 0.1m
v2
v2
v2
215.82 m2 s 2
,
1 0.64 196 9 4.6 2.09 215.82 m2 s 2 213.33
v2 1.00ms1 .
Primjer Voda istječe u atmosferu po kratkom vodoravnom vodovodu u koji je ugrađen ventil s koeficijentom otpora 4 . Promjeri dijelova vodovoda jednaki su d 1 = 50 i d 2 = 70 mm. Visina H = 16m. Odredite protok vode kroz cijev uzimajući u obzir samo mjesne gubitke specifične energije. Skicirajte liniju ukupne specifične energije i piezometarsku liniju.
Crtež
53
54
Primjer Cjevovod promjera d = 25 mm služi za transport vode koja se izlijeva u atmosferu (vidi crtež!). Manometar na početku cjevovoda pokazuje tlak pm = 5 bar. Cjevovod se sastoji od tri u seriju vezane cijevi čije su duljine l1 = 15 m, l 2 = 4 m, l 3 = 6 m. Darcy-Weisbachov koefi cijent za sve cijevi jednak je λ = 0.0 5, a koeficijenti mjesnih otpora (koljena) jednaki su ξ M = 0.5. Odredite maseni protok vode kroz cjevovod.
Primjer Bazen zapremine V 7.5m3 puni se vodom ( 998 kgm3 ) pomoću cijevi unutarnjeg promjera d 2 cm , dulji ne L 50 m i Darcy-Weisbachovim koeficijentom jednakim 0.03 . Cijev je na jednom mjestu savijena što predstavlja mjesni otpor čiji je koeficijent jednak 15 . Visinska razlika između izlaza iz i ulaza cijev je H 1 m . Manometarski tlak na ulazu u cijev je p1 pm 417
kPa .
Koliko je vremena potrebno da se bazen napuni?
55
Za točke 1 i 2 (na relativno malim presjecima 1 i 2 cijevi) pišemo jednadžbu energije, h1
p1
v12
g 2 g
h2
p2 g
v22 2 g
h12 ,
(1)
gdje je h12 specifična potencijalna energija vode po njutnu težine vode (približno po 1dl volumena vode) koja je tečenjem od 1 do 2, uslijed viskoznog trenja, hrapavosti cijevi i lokalnog otpora na savijenom dijelu cijevi,
prešla u toplinsku energiju. Budući da je cijev stalnog presjeka to vrijedi jednakost, v1 v2 v s ,
(2)
tako da jednadžba energije (1) poprima jednostavniji oblik, p1 g
H h12 .
(3)
U promatranom slučaju gubitak h12 specifične energije jednak je zbroju gubitka specifične energije uslijed hrapavosti cijevi i lokalnog otpora, tj., imajući na umu jednadžbu (3), h12
L v s2 vs2 p1 H d 2 g 2 g 2 g v s2 L p 1 H , 2 g d 2 g
(4)
odakle je iznos v s srednje brzine toka vode u cijevi jednak,
Crtež 1
56
5 4 . 17 10 Pa p1 2 1 m 2 9.81 ms H 2 g 3 2 g 998 kgm 9.81 ms 3.05 ms 1 . v s L 50 m 15 0.03
d
0.02 m
Umnožak volumnog protoka
Qv i
traženog vremena t punjenja bazena jednak je
njegovom volumenu V , Qv t Sv st
d 2 4
v s t V ,
(5)
odakle za vrijeme t punjenja bazena slijedi, t
4V d 2 v s
4 7.5m3
0.02m2 3.05ms1
7827.3 s 2.174 h.
Primjer Odredite iznos v 2 srednje brzine istjecanja vode iz vatrogasne štrcaljke s promjerom otvora sapnice d 1 = 10 mm koja je nadjenuta na cijev promjera d 2 = 20 mm i duljine L = 20 m [crtež 1a)]. Manometarski tlak zraka u tlačnom spremniku je pm = 1.5 bar, H = 6 m. U obzir uzmite mjesne otpore na ulazu u cijev ( 1 0.5 ), ventilu ( 2 3.5 ), cijevi ( 0.03 ) i sapnici ( 3 0.1 ).
Crtež 1a.)
57
Crtež 1b.) P retpostavi li se da je iznos brzine strujanja vode u točki 1 strujnice jednak nuli, tada jednadžba energije za dio strujnice između točaka 1 i 2 [crtež 1b.)] ima oblik, p m v12 v22 L 1 2 3 0 0 , (1) H 0 g 2 g d 1 2 g
pri čemu je v1 iznos brzine strujanja u cijevi. Izrazi li se v1 primijenivši jed nadžbu kontinuiteta preko iznosa v 2 brzine strujanja vode u mlazu izvan sapnice [crtež 1b.), točka 2], 4
v12
d 2 v 22 , d 1
(2)
tada (1) prelazi u, 4
2 v 22 d 2 L v2 1 2 3 , H g 2 g d 1 d 1 2 g
p m
4 v22 d 2 L . 2 g , 1 1 2 3 / H g 2 g d 1 d 1
p m
odakle, nakon uvrštenja brojčanih vrijednosti za iznos istjecanja vode iz vatrogasne štrcaljke , slijedi,
v2 srednje brzine
58
p 2 m gH
v2
d 2 d 1
4
1
1.5 10 5 Pa 2 9.81ms 2 6m 103 kgm 3
L 1 2 3 d 1
4
20m 1 1 0.5 3.5 0.1 0.03 2 2 10 2 m
11.55 ms 1 .
Primjer Po cijevi promjera d 1 = 50 mm voda iz spremnika istječe u atmosferu (crtež 1). Pored cilindra promjera d 2 = 100 mm, cijev uključuje dva koljena i ventil (ξ 5 = 4). Uzimajući u obzir lokalni gubitak pri ulazu u cijev (δ/d = 0.008, b/d = 0.5), gubitke u koljenima (R/d = 1), na naglom proširenju i suženju (oštri rubovi! ) te ventilu, odredite volumni protok Qv kada H = 1.5 m.
2 2 2 2 d 22 v 2 v2 v 2 d v v v2 1 0 H 0 0.88 0.31 0.16 2 1 2 0.51 2 4 0 0 , 2 g d 2 2 g 2 g d 1 2 g 5 2 g 1 2 g 2 3 4 2 1 2 1 2 v2 H 1 0.88 2 0.47 1 0.51 4 , 2 g 2 2
H
v2
Qv
4
v
d 12 4
1 0.88 0.94 0.5625 0.375 4 7.7575 ,
2 g
v
d 12
v2
2 g
2 gH
,
7.7575
2 gH 7.7575
2 5 10 2 m
4
2 9.81ms2 1.5m 7.7575
3.82 103 m3s 1 .
59
Crtež 1
Crtež 2 Primjer Koliki je volumni protok u sustavu prikazanom na crtežu? Oba su spremnika velikih razmjera. Cijev je čelična s k = 0.0001 mm i promjera je d = 20 cm. Koeficijent mjesnog otpora na ulazu u cijev je ξ u = 0.4, dok za oba koljena jednak i iznosi ξ k = 0.8. Obje vodospreme velikih su razmjera.
60
v s2 vs2 L p 2 60 m λ ξ u ξ iz 2ξ k 0 ρg ρg 2g 2g d 2g v12
p1
p 2 ρg 30 m
Koeficijent otpora λ odredit ćemo iz Colebrookove formule za velike vrijednosti R eynoldso ynoldsovo vogg broja, 104 k 0,0167 2 log 2 log 3.7 0.2 λ 3.7 d 0.0167.
1
v 210m 0.4 1 2 0.8 30m s 60 m 0.0167 -1 2 9.81ms 0.2m 2g 2
vs
,
vs2
vs2 17.535 3 1 21.535 30 m 2 9.81ms -2 2g ,
v s2 vs
2g 30 m 21,535
2 9,81ms -2 30m 21,535
,
,
0,523 ms1 ,
Qv
d2π 4
0,2
2
vs
4
π
0,523 ms1 16,43 ls 1.
Primjer Promjer cjevovoda dužine L = 14 m je d = 2.5 cm, dok je hrapavost jednaka k = 0.2 mm. Koeficijenti mjesnih otpora jednaki su: koljeno ξ K K = 0.3, ventil ξ v nja a br zi zina na to tokka v = 4.5. Sr ednj -1 je v s = 2 ms , a tlak što ga pokazuje prr vi mano p nom metar , p1 = 3 bar. o Kinematička viskoznost vode (pri 10 C) je υ = 1.3.10-6 m 2 s-1. Koliki tlak p 2 po p oka kazzuje mano nom metar na kr kra aju cje jevvovoda? ( Na Nap pomena na:: D ar cy-We -Weii sb sba acho hovv koeficijent λ izračunajte iz približne Colebrookove formule za velike vrii j edno vr nost stii R eyno ynold ldso sovo vogg br oj a! )
61
v s2
v s2 L v s2 p 2 0 λ 6 ξ k ξ v h2 ρg 2g 2g d 2g ρg
p1
v s2 L h 2 λ 6 ξ k ξ v ρg ρg 2g d
p 2
p1
ε
Re
vsd ν
k d
? λ 2 104 m
8 103
2
2.5 10 m 2ms 2ms -1 2.5 102 m 6
(1)
2 1
1.3 10 m s
3.85 104
Prema Colebrookovoj formuli za slučaj velikih iznosa Reynoldsovog broja en prvi član i zagradi) za približ nu (zanemar en nu vrijednost Darcy-Weisbachovog koeficijenta trenja λ , slijedi, 8 103 5.33257 2 log 2 log 3.71 λ 3.71 0.03517 λ ε
1
Usporedbe radi, eksplicitna Swamee-Jainova formula za λ daje oko 6% veću vrijednost, λ SJ
0.25
8 103 5,74 log 4 3.7 3.85 10 0.9
2
0.25
log 2.16216 10
3
4.28546 104
2
λ 0,0374 .
Iz Moodyevog dijagrama očitavamo vrijednost vrijednost , λ M 0,037.
Kako su računi prema pre ma formulama točniji od očitanja s dijagrama , odlučit ćemo se za vrijednost od λ jednaku 0,0352 λ .
Sada smo, polazeći od Ber noullij noullijeve jednadžbe (1) u stanju izračunati tlak što ga pokazuje manometar na kraju cjevovoda, ρv s2 L ρgh 2 p 2 p1 ρgh λ 6 ξ k ξ v 2 d
62
3
p 2 3 10 Pa 10 kgm 9.81ms 8m 5
3
-2
103 kgm3 2ms-1 2
2
14m 6 0.3 4.5 0.0352 2.5 102 m
p 2 30 104 Pa 7.848 104 Pa 2 103 19.712 6 0.3 4.5 Pa Pa
30 104 Pa 7.848 104 Pa 5.2024 104 Pa p 2 1.695 bar bar .
Primjer
Crtež naftovo vod da dulj duljii ne 20 km km, maseni masenim m pr pro oto tokkom Čeličnom cijevi (d 2 = 800 mm) nafto -1 -3 Qm = 620 620 kgs kg s , transportira se nafta gustoće ρ = 900 kgm . U svr svrhu hu mj mj er enj nja a 2 koeficijenta otpora ξ /2g) 2g) mj er i se tla tlakk na na dva pr esj sje eka ξ u u jednadžbi h12 = ξ (v / 1, jednak d 1 = 600 m, naftovoda (vidi crtež!). Promjer cijevi na mjestu 1, nakon nako n vr vr lo kr atkog di di fuzo uzorr a, pr pr elaz lazii u pr pr omj er d 2.
Koliki je gubitak specifične specifične energije između između presjeka 1 i 2? Odre Odr edi te koefi ci cijj ent otp otpor ora a ξ z za a ci je jevv pr omje jerr a d 800 mm. mm. 2 = 800
-
p A g
v A2
0
h12
h12
g 1
p A p B
g 4Qv
v A v B
1
2 g
p B
2 1
d
H
v
2 A
2 g
v B2 2 g
v B2 H
4Qv d 12
4Qm 2
d 2
h12
1
p A p B
g
1 d 4 d 4 H 2 g 2 2 1 2 1
16 Qm2 1
63
h12
8 620 25 3 10 9.81 2 0.9 10 3 0.9 10 3 9.81 1
1
5
2
1 1 0.6 4 0.84
2
1 1 0.6 4 0.84
h12 249.18m 0.03921 5.274 274m 200 200m h12 49.39m h12 h12
v B2 2 g
2 h12 d 24 g
8Qm2 516 .3
p A g
0
h12
v B
1
2 g
0.9 10
3 2
h12
p B g 1
g
d 12
2 gh12
v B2
p A p B
4Qv
v A
H
v
2 A
2 g
2 d 24 2 16 Qm2
49.39 0.8 2 9.81 2 8 620 4
v B2 2 g
v B2 H
4Qv d 12
4Qm d 22
h12 h12
v A2
2 gh12
1
p A p B
g
1 d 4 d 4 H 2 g 2 2 1 2 1
16 Qm2 1
8 620 25 3 10 2 3 9.81 0.9 10 3 0.9 10 9.81 1
5
1
h12 249.18m 0.03921 5.274 274m 200 200m h12 49.39m h12 h12
v B2 2 g
2 h12 d 24 g
8Qm2 516 .3
2 gh12 v B2
2 gh12
0.9 10
3 2
2 d 24 2 16 Qm2
49.39 0.8 2 9.81 2 8 620 4
64
Primjer
Iz tlačnog spremnika (p = 1.2 bar) velikih razmjera, po vrlo kratkoj cijevi sastavljenoj od tri dijela različitih promjera, voda teče u spremnik, također velikih razmjera, koji je otvoren prema atmosferi [crtež 1a.)]. Koliki je volumni pro p rottok Qv ako j e H 1 = 1 m, H 2 2 = 3 m, dok su površine presjeka pojedinih sekcij se kcija a ci je jevvi je jed dna nake ke S 1 = 1.5S 3 , S 2 = 2S 2S 3 i S 3 = 0.002 m 2. U obzir uzmite samo lokalne gubitke specifične energije, tj. gubitke na ulazu u cijev, naglom sprr emnik. suženju i proširenju te ulazu u drugi sp
Crtež 1a.)
Crtež 1b.)
65
Mjesne gubitke specifične energije na izlazu iz tlačnog spremnika i na naglom proširenju izraziti ćemo preko iznosa v1 brzine v1 strujanja u prvoj sekciji sek ciji cijevi, a mjesne gubitke na naglom suženju cijevi preko iznosa v3 brzine v3 strujanja u sekciji cijevi najmanjeg najmanjeg poprečnog presjeka S 3 ,
p1 g
H 1 0 1
v12 2 g
2
v12 2 g
3
v32 2 g
4
v32 2 g
gH 2 g
0
v32 2 g
.
(1)
Iznos v1 brzine v1 u jednadžbi (1) izrazit ćemo preko iznosa v3 brzine v3
strujanja u točki 2 strujnice, tj. preko iznosa brzine strujanja na izlazu iz cijevi površine presjeka S 3 odnosno na ulazu u drugi spremnik, v1
S 3 S 1
v3 ,
(2)
tako da ćemo (1) dalje pisati, v32 S 3
2
2
2
S 1 v32 S 3 S 3 v32 v32 v32 , (3) H 1 0.58 S 1 S 2 g S 0.51 S 2 g 1 2 g H 2 2 g g 2 g 2 1 1 2 4 1 p1
Tablica...
2
3
2 2 2 v32 1 1.5 1 1 , H 1 H 2 1 0 . 58 1 0 . 5 1 1 g 2 g 1 . 5 2 1 . 5 2
p1
p1 g
H 1 H 2
v32
1 0.257 0.027 0.25 1 ,
2 g
1.2 10 5 Pa 103 kgm 3 9.81ms 2
1m 3m 2.5356
10.2324 m 2.5356
v3
2 g 10.2324 m 2.5356
v32
v32
,
2 g
,
2 g
8.898 ms 1 ,
Qv S 3v3 2 10 3 m 2 8.898 ms 1 17.8 10 3 m 3 s 1 .
66
Primjer
Vodoravni čelični cjevovod spaja dva spremnika u kojima su kote razina vode jednake. Volumni protok kroz cjevovod je QV = 400 l/min. Dimenzije cjevovoda dane su na crtežu 125. Apsolutna hrapavost cijevi je k = 4,6·10-5m. Pored centrifugalne crpke cjevovod uključuje četiri koljena radijusa zakrivljenost R = 3d 2 i dva ventila V 1 i V 2 (crteži 126 i 127). Izlaz iz spremnika u cjevovod izveden je kako je to prikazano na crtežu, pri čemu je koeficijent lokalnog otpora u 0.78 . Izračunajte snagu kojom centrifugalna pumpa osigurava dani protok cjevovodu. K oeficijent kinemat ičke viskoznosti vode iznosi ν = 1·10-6m 2 s-1 . U svrhu određivanja Darcy-Weisbachovih koeficijenata upotrijebite priloženi Moodyjev dijagram. Koeficijent iskorištenja centrifugalne crpke je η = 0,9.
Crtež 125
Ventil V 1
Ventil V 2 (nepovratni ventil)
Crtež 126
Crtež 127
Polazimo od jednadžbe
energije ( Bernoullijeve jednadžbe za realnu tekućinu ) koju pišemo za točke 1 i 2 cjevovoda,
67
p1 g
h1
v12 2 g
h12 H pu mpa
p2 g
h2
v22
. 2 g
(1)
U (1) h12 predstavlja zbroj svih linijskih h L i mjesnih h M gubitaka tlaka p gh12 , odnosno specifične energije u J/N izazvanih tečenjem između točaka 1 i 2 cjevovoda,
h12 h L hM hulaz h100 m hsuženje hV 1 hV 2 h250 m 4hkoljeno hizlaz .
(2)
dok je H pu mpa energija u J/N unesena u tok centrifugalnom pumpom. Za razinu h 0 odabrati ćemo ravninu kojoj leži cjevovod. Prema tome u (1) je h1 h2 . Budući da su kote razina vode u spremnicima jednake i ovi su, osim toga, otvoreni prema atmosferi, to su manometarski tlakovi na razini h 0 jednaki: p1 p2 . U skladu s jednadžbom kontinuiteta je v1 = v2 . Dakle (1) s pojednostavnjuje na
H pumpa h12 .
(3)
tj., u jednolikom režimu tečenja lokalno povećanje specifične energije tekućine izazvano centrifugalnom pumpom jednako je sumi linearnih i lokalnih gubitaka
duž cjevovoda. Da bi izračunali ukupni gubitak specifične energije h potrebno je znati iznose 12
srednjih brzina toka u pojedinim sekcijama cjevovoda. Iznosi srednjih brzina protoka u sekcijama cjevovoda sa promjerima d 1 = 10 cm i d 2 = 4 cm jednaki su, v10
QV S
4QV 2
d 1
4 0.4m 3 60 s (10 ) m 1 2
2
0.85ms 1 ,
68
d
ε
: t s o v a p a r h a n v i t a l e r
k
d v ν ρ
e R : j o r b v o s d l o n y e R
λ t n e j i c i f e o k v o h c a b s i e W - y c r a D
v4
QV S
4QV 2
d 2
4 0.4m3 60 s (2 10 ) m 2
2
2
5.31 ms 1 .
Da bi se iz Moodyjevog dijagrama odredili Darcy -Weisbachovi koeficijenti λ , potrebno je izračunati i Reynoldsove brojeve Re te relativne hrapavosti ε , pojedinačno za svaku sekciju cjevovoda,
69
R e, 10
R e, 4
v10d1
v4 d2
10 4
0,85 ms 1 0,1 m 106 m2 s 1
85000 ,
5,31 ms 1 4 102 m 106 m2 s 1 4,6 105 m 0,1 m 4,6 105 m 0,04 m
212400 ,
0,00046 , 0,00115 .
Na temelju izračunatih iznosa Re i ε , za λ10 i λ4 na Moodyjevom dijagramu očitavaju se sljedeće približne vrijednosti: λ10 ≈ 0.021, λ4 ≈ 0.019. Računajući redom pojedine linearne i lokalne gubitke, dobiva se, hulaz u
v102 2 g
2
0,78 0,85 m2 s 2 2 9,81 ms 2
J 0,029 m 0.282 Jkg 1 . N 2
L1 v102 0,021 100 m 0,85 ms1 J 1 7 . 7 Jkg . h100 m 10 0,77 m 2 0,1 m 2 9,81 ms N d1 2 g 2
4 10 2 2 m 5,31 ms 1 2 d2 v4 v4 h suženje 2 0,5 1 d 2 2g 0,5 1 2 2g 2 9,81 ms 0 ,1 m 1 2
2
2
2
0,35 1,44 m 0,50 m J / N 4,93 Jkg 1 5,312 m2 s 2 10 14,4 m J / N 141,3 J / kg hV 1 V 1 2 2 g 2 9,81 ms v42
Napomena: za ξ V1 pogledati u poglavlje: Gubit ci specifične energije zbog strujanja tekućine kroz ventile. 2
hV 2 V 2
v4
2 g
2,5
5,31 ms1
2
2 9,81 ms 2
3,6 m .
70
1 2
L2 v42 0,019 250 m 5,31 ms h250 m 4 4 102 m 2 9,81 ms 2 d2 2 g
170,7 m .
4hkoljeno : Prema izrazu G. N. Abramoviča: k 0,73 ab
Budući da je R/d 2 = 3, prema dijagramu (pogledati : Gubici u lučnom dijelu cijevi) a=0,16, b=1, te je: k 0,73 0,16 0,12 .
Budući da se radi o relativno glatkoj cijevi, dobiveni rezultat nije potrebno množiti faktorom iz intervala vrijednosti od 2,1 do 2,3; dakle: 4hkoljeno 4 k
hizlaz
v42 2 g
0, 48 1, 44 m 0,69 m ( J / N ) .
5,312 m 2 s 2 i 1,0 1, 44 m (J / N ) 14,1 J / kg . 2 2 g 2 9,81 ms v42
Konačno, ukupni gubitak specifične energije je, h12 h L hM H 192,1 m ,
dok je tražena snaga centrifugalne crpke, H gQ 192,1 m 103 kgm3 9,81 ms2 6,6 103 p 13,96 kW .
0,9
Primjer Centrifugalna crpka C potiskuje vodu u spremnik 2 (c rtež 1). Kolikom snagom crpka prenosi energiju na tok vode? Poznato je: Qm = 10 kgs-1 , p1 = 3 bar, -1 p 2 = 4.8 bar, z = 47 m, v 1 = 4 ms-1 , v 2 = 6 ms , L = 200 m (duljina cijevi od crpke do spremnika 2), d = 50 mm, λ = 0.03, ρ = 1 t m-3.
71
Crtež 1 Iz jednadžbe energije napisane za presjeke 1 i 2, p1
g
0
v12 2 g
h12 H
p2
g
z
v22
,
2 g
u kojoj su linijski gubitak h12 specifične energije i tlačna visina crpke H jednaki L v22 , h12 d 2 g H
P gQV
,
slijedi, H
odakle je, pošto
P gQV
p2 p1 g
L v22 v22 v12 , z d 2 g 2 g
Qm QV , snaga kojom crpka prenosi energiju na tok vode,
jednaka, p2 p1 L v12 v22 v12 , P Qm zg d 2 2 2 4.8 3 105 Nm2 200m 6ms 1 62 42 2 2 2 47m 9.81ms 0.03 P 10kgs m s 28.11 kW . 3 3 10 kgm 0.05m 2 2
1
Primjer Odredite najmanji iznos snage pumpe P tako da crpka volumnim protokom QV 0.07 m 3 s 1 crpi vodu iz nižeg u viši spremnik.
72
Crtež 1 Iznos srednje brzine toka i vodoravnoj cijevi jednaka je, QV 4 0.07 m3 s 1 v s1 2.228 ms 1 , 2 S 1 0.2m
dok je u nagnutoj cijevi njezin iznos jednak, QV 4 0.07m3 s 1 3.961 ms1 . v s 2 2 S 1 0.15m
Primjena jednadžbe energije (Bernullijeve jednadžbe) na tok s početkom u točki A i krajem u točki B, daje10 , 3m 0.5
v s21 2 g
0.018
3 102 m v s21 0.2m
2 g
H 0.02
5 102 m v s22 0.15m
vs22
2 g 2 g
38m ,
H 38m 3m 0.253 0.5 27.00m 0.8 1 66.6 , H 96.099 m .
Najmanji iznos snage crpke potreban da crpka volumnim , jednak je, QV 0.07 m 3 s 1 crpi vodu iz nižeg u viši spremnik
protokom
P QV gH 0.07m3 s 1 103 kgm3 9.81ms2 96.099m 65.99 kW .
Primjer 10
Razina h = 0 odabrana je tako da prolazi osi simetrije vodoravne cijevi okomito na ravninu crte ž a!
73
Tri cijevi jednake duljine L = 1 km, promjera d = 0.4 m i DarcyWeisbachovog (DW) koeficijenta λ = 0.012 spojene su paralelno. Koliki mora biti promjer D cijevi duljine L i DW koeficijenta λ da bi ukupni volumni protok QV i razlika tlakova p između njezinih krajeva bili jednaki onima kao u slučaju tri paralelno spojene cijevi.
Polazimo od Darcy-Weisbachovog izraza, L v s21 L 16QV 21 8 LQV 21 5 2 , h12 d 2 g d 2 gd 4 2 gd
(1)
iz kojeg za volumni protok QV 1 kroz svaku od tri cijevi slijedi, QV 1
gh12d 5 2 8 L
.
(2)
Ukupni volumni protok QV kroz sve tri cijevi, pri jednakoj razlici tlaka p između njihovih krajeva, jednak je, QV 3QV 1 3
gh12d 5 2 8 L
.
(3)
Volumni protok dan izrazom (3) mora biti jednak volumnom protoku u cijevi traženog, nepoznatog, promjera d 1 , tj., 3QV 1 3
Iz (4) za traženi promjer
gh12d 5 2 8 L
gh12d 15 2 8 L
.
(4)
d 1 cijevi slijedi,
d 15 9d 5 ,
tj.
d 1 1.5518d 1 .5518 0.4m 0.6207m .
74
Primjer D va spremnika za vodu, čija je razlika visina slobodnih površina jednaka H = 180 m, spoja cijev duljine L = 64 km i promjera d = 600 mm. Darcy-Weisbachov koeficijent otpora upotrijebljene cijevi jednak je λ = 0.015. Odredite iznos volumnog protoka QV u cijevi. Da bi se volumni protok povećao 50%, na način prikazan crtežom 1, usporedo s prvobitnom, položena je druga cijev jednakog promjera. Odredite potrebnu duljinu L 1 druge cijevi.
Crtež 1 Najprije ćemo odred iti volumni protok kroz cijev ABC. U tu svrhu potrebno nam je znati iznos v s srednje brzine toka u cijevi. Stoga za presjeke 1 i 2 toka pišemo jednadžbu energije (Bernoullijevu jednadžbu)11 , 1
0 H 0 0.5
v s21 2 g
L v s21
vs21
d 2 g 2 g
0 0 0 ,
(1)
tj., 6.4 104 m 1601.5 2 0.5 0.015 1 180m v , 2 2 s1 2 9.81ms 0.60m 19 . 62 ms v s21
v 2 s1
(2)
19.62ms 2 180m 1601.5
,
v s1 1.485 ms1 .
Za volumni protok QV kroz cijev ABC dobivamo vrijednost, 11
Razina h = 0 podudara se s razinom vode u donjem spremniku!
75
QV S v s1
d 2 4
v s1
0.6m2 4
1.485ms1 0.42 m3 s 1 .
Budući da je nakon polaganja druge cijevi volumni protok jednak QV 1 1.5QV 0.63 m3 s 1 , to je iznos v sAB srednje brzine toka u dijelu AB cijevi
jednak, v sAB
6 QV 2
d
6 0.42m3 s 1
0.6m 2
U točku A cjevovoda volumni protok
2.228 ms1 .
QV 1 1.5QV 0.63 m3 s 1 dijeli se na dva
jednaka dijela tako da su iznosi srednjih brzina toka u cijevima BC i BD jednaki, 3 QV 3 0.42m3 s 1 1.114 ms1 . v sAC v sCD 2 2 d 0.6m
Iz jednadžbe energije (2) vidi se da su mjesni gubitci specifične energije zanemarivo mali spram linijskog gubitka te ih se, stoga, u daljnjem računanj u može zanemariti, tako da, jednako za dijelove ABC i ABD cjevovoda, jednadžba energije (u brojčanom obliku) glasi, 180m 0.015
x
2.228ms
1 2
0.60m 2 9.81 ms 2
(6.4 104 m x m) 1.114ms1
2
0.015
0.60m
2 9.81 ms 2
,
odakle za x slijedi, 180m 0.006325 x 101 .2020 m 0.001581 x , 78.8m 0 .004744 x , x 16610.5 m .
Dakle, da bi se postigao volumni protok jednak QV 1 1.5QV 0.63 m3 s 1 , potrebno je, na način prikazan na crtežu 1, položiti istovrsnu cijev duljine L1 jednake, L1 L x 64000 m 16610.5 m 47389 m .
Primjer Dva spremnika za vodu povezana su s tri cijevi kako je to prikazano na crtežu 1. Ako je H = 11 m, a za cijevi 1, 2, i 3 je, L 1 = 70 m, d 1 = 50 mm, λ1 = 0.114,
76
L 2 = 80 m, d 2 = 120 mm, λ 2 = 0.088, L 3 = 110 m, d 3 = 100 mm, λ 3 = 0.114, odredite volumne protoke kroz svaku od cijevi.
Crtež N ajprije ćemo iznose srednjih brzina toka u pojedinim cijevima izraziti preko pripadnih volumnih protoka, v1
QV 1
v2
QV 2 QV 2 88.419 QV 2 , S 2 (0.06m)2
v3
QV 3 QV 3 127.324 QV 3 . S 2 (0.05m)2
S 1
QV 1 (0.025m) 2
509.296 QV 1 ,
Budući da su gubitci specifične mehaničke energije tečenjem u cijevima 1 i 2 jednaki, h1 h2 , pišemo, 1
L1 v12
2
d 1 2 g
70m 509.296 Qv1
L2 v22
2
0.114
0.05m
2 g
,
d 2 2 g
80m 88.419 QV 2
2
0.088
š to daje vezu iz među iznosa volumnih protoka
0.12m
2 g
,
QV 1 i QV 2 ,
QV 1 0.105 QV 2 .
(1)
Na temelju zakona o održanju mase i (1),, QV 3 QV 1 QV 2 1.105 QV 2 .
(2)
Odabere li se za referentnu ravninu h 0 ravnina u kojoj leži razina vod e u nižem spremniku, tada Bernoul li jeva jednadžba napisana između razina spremnika ima oblik,
77
0 H 0 h1 h3 0 0 0 ,
h2
odakle dobivamo vezu između volumnih protoka QV 2 i QV 3 , H 2
L2 v22 d 2 2 g
3
80m 88.419 QV 2
L3 v32
,
d 3 2 g
2
11m 0.088
0.12m
2 g
110m 127.324 QV 3
2
0.114
0.1m
2 g
.
(3)
Uvrsti li se u (2) u (3), za iznos volumnog protoka QV 2 slijedi, 80m 88.419 QV 2
2
11m 0.088
0.12m
2 g
110m 127.324 1.105QV 2
2
0.114
0.1m
2 g
,
QV 2 0.00856 m3 s 1 .
Iz (1) za QV 1 slijedi, QV 1 0.105 QV 2 0.105 0.00856 m3 s 1 9 104 m3 s 1 ,
dok je iz (2) iznos protoka QV 3 jednak, QV 3 1.105 QV 2 1.105 0.00856 m3 s 1 9.46 103 m3 s 1 .
Primjer Voda, protokom iznosa QV 25m3 s 1 , teče kroz turbine hidrocentrale. Koeficijent iskorištenja postrojenja je 0.82 . Koeficijentom obuhvaćeni su i gubitci specifične energije između presjeka BB i CC (vidi crtež 1). Cijev je potpuno hrapava sa k 1mm . K oeficijenti mjesnih gubitaka su: u 0.5 (ulaz) i k 0.2 (koljeno). I znosi brzina toka ispred cjevovoda i na presjeku CC su zanemarivo male. Izračunajte snagu koju postrojenje predaje okolini.
78
Crtež 1 Specifična energija H ekstrahirana na turbini iz toka vode jednaka je razlici specifičnih energija E ' B i E 'C na presjecima B i C toka, H E ' B E 'C . Da bi odredili specifičnu energiju E ' B u točki B napisati ćemo jednadžbu energije ( Bernoullijevu jednadžbu) za točk e A i B strujnog toka,
h A
pmA g
v A2 2 g
v 2 L E ' B u 2 k d . 2 g d
E ' B h AB
(1)
Budući da se točka A nalazi u atmosferskom zraku, to je manometarski tlak ovdje jednak nuli, pmA 0 . Pretpostavi li se velika dimenzija spremnika, to se s velikom točnošću može uzeti da je v A 0 . Dakle, (1) se pojednostavnjuje na h A E ' B h AB
v 2 L E ' B u 2 k d . 2 g d
(2)
Kako se radi o apsolutno hrapavoj cijevi, Darcy-Weisbachov koeficijent hidrauličkog otpora d izračunati ćemo iz Shifrinsonove formule,
0.11
0.25
. Kako je, v
4Qv 2
D
4 25m 3 s 1 (2.2) m 2
2
6.58ms 1 ,
i
k D
10 3 m 2.2m
4.55 10 4 ,
79
to iz (2) za specifičnu energiju E ' B slijedi, v 2 0.25 L E ' B h A u 2 k 0.11 , 2 g d 1 2
(6.56ms ) 180m E ' B 231m 0.5 2 0.2 0.11 (4.54 10 4 )0.25 226m. , 2 2 9.81ms 2.2m
Ukupna specifična energija vode u točki C jednaka je , E 'C hC
pmC g
vC 2 2 g
hC ,
(3)
pošto su u točki C manometarski tlak pmC i brzina toka vC jednaki nuli. Na turbini ekstrahirana specifična ener gija H jednaka je, H E ' B E 'C 226m 175.2m 50.8m .
Uz koeficijent iskorištenja postrojenja 0.82 , snaga koju postrojenje predaje okolini je,
P gQV H 0.82 103 kgm3 9.81ms 2 25m3 s 1 50.8m 10.22 MW.
80
♣
Primjer
Crtež 128
Benzin čiji je koeficijent kinematičke viskoznosti jednak ν = 4·10 -7 m 2 s-1 , crpi se u spremnik kroz čeličnu cijev promjera d = 10 cm, dužine L = 300 m, apsolutne hrapavosti k = 0,000046, pri čemu j e volumni protok QV = 1000 l/min (crtež 128.). Zanemarivši lokalne gubitke, odredite pretlak na izlazu iz crpke nužan za održavanje spomenutog protoka. Gustoća benzina je ρ = 0,9 ·10 3 kgm-3. Polaz eći od jednadžbe energije ( Bernoullijeve jednadžbe za realnu tekućinu), h1
p1 g
v12 2g
H h2
p2 g
v22
2 g
,
h12
uzevši razinu izlazne cijevi iz pumpe za razinu u kojoj je h 0 , pišemo, 0
pa g
0 H 20m
H 20 m
v22 2 g
pa g
v22
2 g
L v22
L v22
,
d 2 g
,
d 2 g
Na temelju jednadžbe kontinuiteta je, v2
QV F
4 16,6 103 m3s 1 1 2
10
m2
2,12 ms 1 ,
81
tako da Reynoldsov broj iznosi, Re
v2 d
2,12 ms 1 0,1 m 4 107 m2 s 1
530516 ,
što ukazuje na to da je režim strujanja turbulentan. Pošto je relativna hra pavost cijevi,
k d
0,000046 m 0,18
0,00046 ,
to je na temelju izračunatih iznosa za Re i ε, prema Moodyjevom dijagramu Darcy -Weisbachov koeficijent jednak λ ≈ 0,0175, a gubitak specifične energije zbog trenja iznosi h12
L v 2
d 2g
0,0175
300 m 2,122 m2 s 2
J 12,0 m . 2 0,1 m 2 9,81 ms N
Dakle,
H 20 m 0,23 m 12,0 m 32,23 m ( J / N ) 316,2 J / kg , dok je pretlak na izlazu iz centrifugalne crpke jednak,
p gH 0,9 103 kgm3 9,81 ms 2 32, 23 m 2,85 bar .
Grananje cjevovoda Grananje cjevovoda jedan je od problema koji se, na primjer, pojavljuju, zbog potrebe za promjenom njegove rute. Primjerice, grananje u sustavu gradskog
vodovoda, osigurava korištenje (uključivanje) nekoliko crpilišta u vrijeme maksimalne dnevne potrošnje ili pak mogućnost obavljanja popravka na mjestu oštećenja cjevovoda izdvajanjem oštećenog dijela cijevi bez prekidanja snabdijevanja vodom i slično. Jednostavni slučaj razdvajanja cjevovoda prikazan je na crtežu 129, gdje tok između točaka 1 i 2 prolazi dvjema cijevima A i B. Uz pretpostavku stacionarnosti toka i nestlačivosti tekućine, protoci u točkama 1 i 2 jednaki su, a jednaki su padovi tlakova (gubici specifične energije) duž svake od grana također budući da obje grane imaju zajedničko spojište. Jednakost padova tlaka
82
duž obje grane posljedica je u skladu s jednadžbom kontinuiteta uspost avljenih odgovarajućih brzina toka u svakoj od promatranih dviju cijevi.
Crtež 129. Dakle, L A vA2
h1 A 2 A
d A 2 g
B
LB vB2
h1B 2 ,
dB 2g
Q Q A Q B ,
(87)
(88)
ili, d 2 4
v
d A2 4
v A
d B2 4
v B ,
(89)
pri čemu se jednadžbe (87) i (88), odnosno (89), mogu simultano riješiti kako bi se našle brzine protoka u obje gran e, a što je ujedno jedan od tipičnih problema u hidraulici.
Primjer Kroz cjevovod dulj ine 300 m i promjera 0,3 m protječe voda volumnim protokom Q = 104 m 3min-1 (crt ež 130). Promatrani cjevovod grana se u cjevovod promjera 20 cm, koji se s glavnim cjevovodom spaja nakon 700 m. Pretpostavivši da je Darcy-Weisbachov koeficijent hidrauličkog otpora jednak za svaki od dva cjevovoda i iznosi λ = 0,025, izračun ajte volumne protoke u svakom dijelu cjevovoda između točaka 1 i 2.
83
Crtež 130. z jednadžbe kontinuiteta (89) slijedi, I 3 1 0 .167 s 0.0707 m2 v A 0.0314 m 2 vB m
Q
d A2
d B2
4
4
,
(90)
dok jednadžba (89) u ovom slučaju daje 4,46 s 2m 1 2 v A vB 3,50 vB2 2 1 1,274 s m
(91)
v A 1,871 vB
(92)
2
tj.,
Supstitucijom (92) u jednadžbu (90), za iznos od v B dobiva se,
v B 1,02 ms 1 , tako da je volumni protok Q B kroz cjevovod B jednak, Q B S B v B
d B2 4
0.2 m 1.02 ms 2
v B
1
4
0.0320 m3 s 1 1923 l min 1 ,
dok je Q A kroz cjevovod A iznosi, Q A Q Q B 0.167 m3 s 1 0.032 m3 s 1 0.135 m3 s 1 8100 l min 1 .
84
Primjer Odredite volumne protoke QV kroz cijevi 1 i 3 cjevovoda prikazanog na crtežu 1. Karakteristike cjevovoda su: L1 10 m , L2 2 m , L3 18 m , d 0.1 m , D 0.15 m , u 0.5 , k 0.15 , k 0.15 , r 0.2 . Izračunajte sve linijske i lokalne otpore te skicirajte liniju ukupne energije i piezometarsku liniju.
Crtež 1 Napisati ćemo jednadžbu energije ( Bernoullijevu jednadžbu) za točke A i B strujnog toka. Pritom je svejedno promatramo li tok - A, gornja cijev 1, 2, 3, B ili tok - A, donja cijev 1, 2, 3, B. Dakle, L v L L' v h B 1 u d 1 k d 2 B r d 3 (1) h A g 2 g g 2 g 2 g d d 2 g d pmA
2
v A
pmB
2
v B
2
2
Budući da se točke A i B nalaze u atmosferskom zraku, to su manometarski tlakovi ovdje jednaki nuli, pmA 0 i pmB 0 . Pretpostave li se velike dimenzije spremnika, to se s velikom točnošću može uzeti da je v A 0 . Valja, također,
85
imati v1
na
d 2
umu
da
u
skladu
s
jednadžbom
kontinuiteta
vrijedi,
D 2 , tj., v B 4 2 4 1
Crtež 2
v1
1 D
2
v B 1.125v B .
(2)
2 d
Sa crteža 2 vidi se da je L'2 L22 (1.5m) 2 . Prema tome, (1) se pojednostavnjuje na, v B2 D h A h B 2 g 4 g d v B2
4
L L L' v u d 1 k d 2 B r d 3 . (3) d d 2 g d 2
Uvrštavanjem brojčanih vr ijednosti u (3) slijedi, 4
1 v B2 D 10 0.024 2 vB2 18 2 0.15 8.5m 2.5m 2 (1.5) ) (0.5 0.024 0.2 0.022 , 2 g 2 g 4 d 0.1 0.1 2 g 0.15 v B2
86
odakle za iznos srednje brzine toka v B u cijevi 3 slijedi v B 3.732 ms 1 . Iz jednadžbe kontinuiteta (2) za iznose srednje brzine toka v1 u cijevima 2 i 3 dobivamo v1 1.125 v B 4.2 ms 1 . Poznate vrijednosti iznosa srednjih brzina v B i v1 sada nam omogućavaju Q izračunati volumne protoke Q1 Q2 3 kroz cijevi 1, 2, i 3 cjevovoda, 2 Q B Q3 vB S vB
D 2 4
4.2ms
Q1 Q2
Q3 2
1
(0.15m)2 4
74 ls 1 ,
37 ls 1 ,
kao i izračunavanje svih linijskih i mjesnih otpora u svrhu crtanja kvantitativne linije ukupne energije i piezometarske linije (crtež 2).
Primjeri za samostalni rad 1 .) Odredite gubitak specifične energije vode koja teče horizontalno kroz cijev od lijevanog željeza relativne hrapavosti iznosi = 0,00026, dužine 150 m i promjera d = 10 cm, pri čemu volumni protok iznosi QV = 1700 l min-1.
2.) Kroz čeličnu cijev relativne hrapavosti = 0,000046, promjera d = 200 mm teče nafta gustoće ρ = 0,86·10 3 kg m-3 čiji je koeficijent dinamičke viskoznosti μ = 1,85·10-3 Pas. K oliki je volumni protok ako gubitak visine tlaka ne iznosi više od 20 m na 100 m dužine cijevi? [R : QV = 0,22 m 3 s-1 ]. Nije li ovaj primjer !isti“ kao onaj gore (str. 280.)?
3.) Volumni protok QV vode kroz glavnu granu cijevne petlje prikazane crtežom 131 je QV = 5·10 3 l min-1. D arcy-Weisbachov koeficijent hidrauličkog
87
otpora za sve grane cijevne petlje je λ = 0,025. Odredite volumne protoke kroz svaku od grana. [R : Q A = 4666 l min-1 , QB = 334 l min-1 ].
Crtež 131
h12 A
L A v A2 d A 2 g
h12 B
L A v B2 d A 2 g
h12 A h12 B L A d A
v A2
L B d B
v B2
(1)
Q Q A Q B Q
d A2
Iz (1):
4
v A
d B2 4
v B v A
v B
L A d B L B d A
(2)
(3)
88
(3) u (2):
Q
v A
4Q
d A2 d B2 Q A
d A2 4
v A
v A 2 d A d B2 L A d B 4 L B d A L A d B
L B d A Qd A2 d A2 d B2
L A d B
5000l 60 s
Qd A2
L B d A
0.083m 3 s 1 0.25m
2
Q A
4.666 m 3 s 1
805 0.1 2 2 0 . 25 0 . 1 1610 0.25 Q B Q Q A 5m 3 s 1 4.666 m 3 s 1 0.333m 3 s 1
Crtež 132
Nije li to isto kao gore? 4.) Pri protjecanju fluida kroz cijev promjera D 200mm izmjerene su piezometarske kote kako je to prikazano na crtežu 132. Izračunajte: a.) Darcy-Weisbachov koeficijent trenja i tangencijalno naprezanje između stijenki cijevi fluida; 89
b.) Koefi cijent z mjesnog otpora u cijev ugrađenog zatvarača. [R : 1 p 86m 85m
l v 2
D 2 g
2 p 85m 83.7m
l v 2
D 2 g
0.02 ,
z
v2 2 g
z 0.9 ].
90
26. Pregled literature korištene pri koncipiranju predavanja te ona koja je bila izvor riješenih primjera I.E. Idelchik, M.O. Steiberg, Greta R. Malyavskaya, Oleg G. Martynenko: H andbook of H ydraulic resistance, 3rd Edition, JAICO Publishing House, 2008.
Y.A. Çengel, J.M. Cimbala: F luid Mechanics , McGraw-Hill, International edition, 2006. R.L. Mott: Applied F luid Mechanics , Pearson, Prentice Hall, 2006. R.W. Fox, A.T. McDonald, P.J. Pritchard: I ntroduction to Fluid Mechanics , John Wiley &Sons, Inc., 2004. J.F. Douglas, J.M. Gasiorek, J.A. Swaffield, L.B. Jack: F luid Mechanics , Pearson, Prentice Hall, 2005. F.M. White: F luid Mechanics , McGraw-Hill International editions,1989. J.A. Sullivan: F undamentals of F luid Mechanics , Reston, Virginia, 1978. R.V. Giles, J.B. Evett, C. Liu: F luid Mechanics and H ydraulics , Schaum’s outlines, McGraw-Hill. R.A. Granger: Fluid Mechanics,Dover Publicationc, Inc., New York, 1995. E. Fried, I.E. Idelchik: F low resistance, a design guide for engineers , Hemisphere Publishing Corporation, New York,1989. J.H. Ginsberg, J. Genin: Statics , John Wiley&Sons, New York, 1977.
91
W.F. Hughes, J.A. Brighton : F luid Dynamics , Schaum's Ouline series, McGraw Hill Book Company, 1967. L. Maurice et al.: F luid Mechanics for I ngenieurs , Prentice Hall, Inc., 1960. Genick Bar-Meir: Basic F luid Mechanics, 2729 West Jarvis Ave, Chicago, IL 60645-1335, email: barmeir@ gmail.com R.E. Featherstone, C. Nalluri: Ci vil E ngineering H ydraulics , Third edition, Blackwell Ltd, Science, 1995. C.P. Kothandaraman, R. Rudramoorthy: F luid Mechanics and Machinery , New Age International (P) Limited, Publishers, 2007. G. Hauke: An I ntroduction to F luid Mechanics and Transport Phenomena , Springer, 2008. Edward J. Shaughnessy, Jr., Ira M. Katz, James P. Schaffer: F luidMechanics , Oxford Univesity Press, New York Oxford, 2005.
I ntroduction to
James W. Murdock: F undamental F luid Mechanics for the Practicing E ngi neer , Marcel Deeker, Columbus, Ohio, 1993. Joseph Katz: I ntroductory F luid Mechanics , Cambridge University Press, 2010. Carl Schaschke: F luid Mechanics, Worked E xamples for E ngineers , IchemE, Redwood Books, Trowbridge, 2000. Herbert Oertel: I ntroduction to F luid Mechanics, F undamentals and Application ,
Universitätsverlag Karlsruhe, 2001. Philip J. Pritchard, John C. Leylegian: Fox and McDonald’s Mechanics, E ight E dition , John Wiley & Sons, Inc., 2011.
Introductio n to F luid
Zoeb Husain, Zulkify Abdulah, Zainal Alimuddin: Basic Fluid mechanics and H ydraulic Machines , BS Publications, 2008. Merle C. Potter, David C. Viggert, Bassem H. Ramadan: Mechanics of F luids , Fourth Edition, Cengage Learning, 2012. Merle Potter, David C. Wiggert: F luid Mechanics , Schaums Outlines, 2008. C.T. Crowe, D.F. Elger, Barbara C. Williams, John A. Robertson: E ngineering F luid Mechanics, Ni nth E dition, John Wiley&Sons, 2009. William S. Janna: I ntroduction to Fluid Mechanics, Fourth Edition, CRC Press, Taylor&Francis Group, Boca Raton London New York, 2010. Melwyn Kay: Practical H ydraulics , Taylor&Francis Group, London and New York, 2008.
92
R.J. Garde: F luid Mechanics Through Pr oblems , John Wiley&Sons, 1990. The F luid Mechanics and Dynamics Problem Solver , Staff of Research and Education Association, dr. M. Fogiel, Director, Research and Education Association 505 Eight Avenue, New York 10018, 1986. A.Osman Akan: Open Channel H ydraulics , Elsevier, 2006. Terry W. Sturm: Open Channel H ydraulics , McGraw Hill, 2001. Ven Te Chow: Open-Channel H ydraulics, Kogakusha Company, Ltd, Tokyo, 1959. Hillel Rubin, Joseph Atkinson, E nvir onmental flui d Mechanics , Marcel Dekker Inc, New York Basel, 2001. John J. Bloomer: Practical F luid Mechanics forE ngineering applications , Mechanical Engineering, A Series of Textbooks and Reference Textbooks, The Ohio State University, Columbus, Ohio, Marcel Dekker Inc, New York Basel, 2000. Andrew Chadwick, John Morffet, Martin Bortwick: H ydraulics in C ivil and E nvironmental E ngineering, Solution M anual , Fourth edition, Spn Press, Taylor&Francis Group, London and New York, 2004. O. Reynolds: On the experimental investigation of the circumstances which determine
whether the motion of water shall be direct or sinuous, and the law of resistance in parallel channels. In: Phil. Trans. Roy. Soc. 1883. (174), p. 935-982. J. Fenton: A F ir st Course in Hydraulics , 2007 http://www.google.hr/search?hl=hr&q=J.+Fenton%3A+A+First+Course+in+Hydraulics&b tnG=Tra%C5%BEi&meta= P.G. Kiseljev: Spravočnik po gidravličeskim rasčotam , Energiya, Moskva, 1972.
I.E. Idjeljčik: Spravočnik po gidravličeskim soprotivleniyam , Moskva, Mašinostrojenije, 1975. Willi H. Hager: Wastewater H ydraulics, Theory and Practice , Second Edition, Springer Verlag, 2010. Hubert Chanson:E nvironmental H ydraulics of Open Channels F low , Elsevier, 2004.
V.A. Boljšakov i drugie, S pravočnik po gidravlike , Kijev, Višča škola, 1984. D.A. Butaev i drugi : Zadačnik po gidravlike dlja mašinostroiteljnih vuzov , Gosudarstvenoje
energetičeskoje izdateljstvo, Moskva Ljeningrad, 1960. E.Z. Rabinovič : Gidravlika , Gosudarstvenoje izdateljstvo tehniko-teoretičeskoj literaturi, Moskva, 1956. I.L. Povh: Tehničeskaya gidromehanika , Mašinostrojenije, Ljeningrad, 1969.
93
K.K. Fjodyarovskij, Ya.I. Vojitkunskij, Yu.I. Fadjejev: Gidromehanik a, Sudostrojenije, Ljeningrad, 1968.
Primjeri gidravličesk i h rasčotov , pod redakcijei A.I Bogomolova, Moskva, Transport, 1977. E. Käppeli: Aufgabensamlung zur Fluidmechanik, Teil 2 , Verlag Harri Deutsch, 1996. B.B. Njekrasov: Sbornik zadač po gidravlike , Oborongiz, 1947. B.B. Njekrasov: Moskva, 1989.
Zadačnik po gidravlike, gidromašinam i gidroprivodu , Visšaja škola,
V.N. Metreveli: Sbornik 2008.
zadač po kursu gidravliki, s rešenijami , Visšaja škola, Moskva,
V.V. Vakina: Mašino-stroiteljnaja gidravlika, primjeri rasčotov , Višča škola, Kiev, 1987.
N.A. Pališk in: Gidravlika i seljsko-hozyaistvenoje vodosnabzhenije , Agropromizdat, Moskva, 1990. I.I. Agroskin i drugi: Hidraulika , Tehnička knjiga, Zagreb.
S. Čantrak i drugi: Rešeni zadaci iz mehanike fluida sa izvodima iz teorije , Građevinska knjiga, Beograd, 1985. V.M. Saljnikov: Statika i kinematika fluida , Građevinska knjiga, Beograd, 1989.
94
95
