Agroskin-Hidraulika

(10-4)

T u je produkt koeficijenta brzine

(10-5)

Jednadžbe (10-3) i (10-4) određuju istjecanje kroz otvor u tankoj stijenci, ako su poznati koeficijenti brzine i protoke.

a« »J H + "2 7

U hidrotehničkoj praksi najčešće je: Po = P = P..U takvom slučaju je: u _ w

W„ = H,

naziva se aktivni tlak, a gubici energije prikazuju se u obliku:

ako se veličina u poređenju s veličinom H može 2g zanemariti, tj. ako se aktivni tlak uzima jednak du­ bini vode H iznad težišta otvora. U daljnjem tekstu H će se zvati tlak, a H0 = H +

U tom slučaju je:

mogu zanemariti,

će se zvati

tlak korigiran za brzinu dotjecanja t>0. U promatranom slučaju brzina dotjecanja v0 može se odrediti po formuli:

U promatranom slučaju je:

U takvim slučajevima otvor se zove mali otvor. Njegova dimenzija po visini mora da bude manja od 0,1

H.

£ = 0,64 H- 0,60. 10-2. VRIJEDNOSTI KOEFICIJENTA SUŽENJA (KONTRAKCIJE)

■

\ Suženje ili kontrakcija mlaza određuje se zakriv­ ljenošću trajektorija njezinih krajnjih strujnica. Pro­ motrimo trajektorije gibanja čestica tekućine uz stijenke posude. U početku se čestice tekućine gibaju paralelno sa stijenkom, a zatim, opisujući neku krivu liniju, usmjeravaju se prema otvoru. Ako je otvor relativno daleko od stijenki i dna, onda će zakrivlje­ nosti trajektorija i suženja mlaza biti najveća. Takvo suženje mlaza zove se potpuno. Ako je otvor smješten blizu stijenki ili dna, onda se zakrivljenost trajektorija čestica blizu tih stijenki smanjuje i u poređenju sa potpunim suženjem sma­ njuje se i suženje mlaza na odgovarajućoj strani. Takvo suženje (kontrakcija) zove se nepotpuno. 1. Potpuno suženje (kontrakcija) nastaje onda kad udaljenost od svake strane konture otvora do usmjeravajućih stijenki posude (rezervoara) nije ma­ nja od trostruke poprečne dimenzije otvora. Prema si. 10-2, potpuno suženje bit će pri: /, > 3 a, /s > 3 b. 2. Nepotpuno suženje nastaje kad je položaj ot­ vora bliži usmjeravajućim stijenkama. Pri tome se pretpostavlja da je isključena mogućnost pojave vira iznad otvora.

( 10- 6)

£ C « C ,.. gdje je koeficijent gubitaka pri istjecanju iz otvora u tankoj stijenci.

gdje je
K 2 fH 0. odnosno:

Prvi faktor na desnoj strani se zove koeficijent brzine i u općem obliku on je: 1 |ŠQ + ¿i £

92

‘ 2« H-

( 10- 2)

Iz te relacije slijedi:

Za brzinu istjecanja iz otvora u tankoj stijenci definitivno se dobiva ovaj izraz: v =
Q!

(10-3)

p to |/2 g H

(10-7)

Pri tome otvorima manjih dimenzija odgovaraju veće vrijednosti koeficijenta suženja (kontrakcije) i obrnuto. Osim toga, za svaki otvor se koeficijent suženja smanjuje s povećanjem tlaka (povećanjem broja Re). Koeficijent kontrakcije r. za nezatvoreno i nepot­ puno suženje bit će veći nego pri zatvorenom i pot­ punom suženju. No uslijed neodređenosti vrijednosti koeficijenta suženja efekt nezatvorenosti i nepotpu­ nosti suženja uzima se u račun obično pomoću nekog povećanja koeficijenta protoke.

10-3. NEKI EKSPERIM ENTALNI PODACI O K O EFI­ CIJENTIMA P R I VELIKIM VRIJEDNOSTIMA BROJA Re

Koeficijent protoke p. Od svih parametara koji ulaze u formulu (10-4), taj je najpristupačniji za neposredno određivanje. Izmjerom stvarne protoke Q pri određenom tlaku H , postupkom vaganja težine ili mjerenja volumena, može se odrediti koeficijent protoke u po formuli: B ==

Q m f2 g H ,

Ako otvor naliježe na jednu od usmjeravajućih rav­ nina (stijenke ili dna), onda će odgovarajuće tra­ jektorije biti pravolinijske i mlaz na dijelu perimetra otvora kojim naliježe na usmjeravajuću površinu neće dobiti suženje. U vezi s tim razlikujemo ova suženja (kontrakcije): a) zatvoreno, kada mlaz po čitavom perimetru otvora dobiva suženje, b) nezatvoreno, kada dio perimetra otvora ne­ posredno naliježe na jednu ili više usmjeravajućih stijenki; stupanj »nezatvorenosti« suženja može se

( 10- 8)

Takvih eksperimenata obavljeno je veoma mnogo. Rezultati su pokazali da se koeficijent protoke p može mijenjati u dovoljno širokim granicama, no za male oštrobridne otvore (u tankoj stijenci), pri za­ tvorenom potpunom suženju, može se uzimati kao srednju vrijednost (za velike vrijednosti broja Re): p = 0 ,6 2 -r 0,60.

Brzina tekućine u suženom presjeku je, dakle: v — —= = l'a+ Ž T i

okarakterizirati odnosom dijela perimetra bez suženja, prema čitavom perimetru otvora. Najbolje su proučene vrijednosti koeficijenta su­ ženja zatvorenog potpunog suženja mlaza, pri istje­ canju kroz kružne i kvadratićne otvore u tankoj sti­ jenci (oštrobridni otvori). Srednja vrijednost koefi­ cijenta zatvorenog potpunog suženja u praktičkim proračunima (pri velikim vrijednostima broja Re) uzima se:

(10-9)

Ako je potrebna veća točnost, valja se služiti specijalnim tablicama eksperimentalnih podataka, koje se nalaze u hidrauličkim priručnicima. Manjim otvo­ rima i gotovo kao po pravilu, manjim tlakovima, tj. manjim vrijednostima broja Re, odgovaraju veće vrijednosti koeficijenta p. Izuzetak su samo veoma mali tlakovi (Re < 20001, koji nemaju nikakve važ­ nosti u hidrotehničkoj praksi. Kod nezatvorenog suženja koeficijent protoke p „ x bit će veći nego koeficijent protoke p kod zatvorenog suženja. Zavisnost između tih' koeficijenata izražava se empiričkom formulom: =

+ kj ) ’

( !°-i°) 93

gdje su: p opseg otvora, ii opseg onog dijela konture otvora na kojem nema suženja, k koeficijent koji je jednak 0,13 za kružne otvore i 0,15 za pravokutne otvore. Kod zatvorenog ali nepotpunog suženja, koeficijent protoke /r„,p bit će također veći od koeficijenta p za zatvoreno i potpupo suženje. Zavisnost između tih koeficijenata može se izraziti empiričkom formulom: I + ° ,6 4 ^ ) ] ,

(10-10')

gdje su a> i £? površina otvora i površina stijenke u kojoj je napravljen otvor. Sve dok se ne prikupe točniji podaci, u praktičkim proračunima može se služiti ovim vrijednostima za koeficijent protoke1\ 1. Otvori srednjih veličina sa suženjem mlaza po čitavom perimetru (zatvoreno suženje), bez utjecaja usmjeravajućih stijenki (potpuno suženje): ¡j. = 0,65. 2. Veliki otvori sa nepotpunim suženjem sa sviju strana (zatvorenim suženjem): ^ = 0,70. 3. Otvori u dnu (tj. otvori kod kojih nema suženja uz dno), sa znatnim utjecajem bočnog suženja: fx = - 0,65 - 0,70). 4. Otvori u dnu s umjerenim utjecajem bočnog suženja: fi = 0,70...0.75. 5. Otvori u dnu sa zaobljenim bočnim pristupima (prilagođenim strujnicama): n = 0,80...0,85.

se odmjeravaju od presjeka kontrakcije c-c, a ordinate y od horizontalne tangente na trajektoriju težišta u kontrahiranom presjeku b-b. Ako je u presjeku kontrakcije brzina v (i pri tome je horizontalna), onda su po zakonu mehanike:

mora da bude bez vrtloga (bez rotacije) i mora se ispunjavati uvjet:

x = vt

u svim točkama prostora koji zauzima tekućina. Izuzetak moia da bude područje gibanja u grani­ čnom sloju oko stijenki rezervoara, jer zbog lijepljenja čestica tekućine na stijenke tamo se uglavnom razvi­ jaju sile trenja zbog kojih i nastaju gubici tlaka pri istjecanju. No utjecaj tih sila na gubitke nije velik, čime se i objašnjava velika vrijednost koeficijenta 7?. Ako u rezervoar dolazi tekućina koja je već saturirana vrtlozima, onda ćc uvjet:

(10-12)

i J = y«A

(10-13)

gdje su: t vrijeme gibanja čestice od presjeka c-c do presjeka b-b; g ubrzanje sile teže. Eliminiranjem vremena i dobiva se:

p uz - “ - + •=—= konst. y 2g Nakon uvrštenja tog izraza za v u (10-11) dobiva se: v

_

x

W fW ,,~ 2 y y W 0

(10-14)

Pomoću odgovarajućih mjerenja i proračuna utvr­ đeno je da je pri istjecanju kroz oštrobridne otvore (kod velikih vrijednosti broja Re) srednja vrijednost koeficijenta brzine:

K oeficijent brzine 7:. Ovaj koeficijent se može odrediti eksperimentalno na dva načina. Po prvom načinu se zahtijeva mjerenje površine suženog pre­ sjeka
Q 1-2 gH„

v

( 10- 11)

\2 g ~ K

Drugi način se osniva na mjerenju trajektorije mlaza iza suženog presjeka u vertikalnoj stijenci pri istjecanju kroz otvor. Pomoću pribora na si. 10-3 mjere se apscise x i ordinate,* težišta mlaza; apscise x1 11 N. N. Pavlovskij, Hidraulički priručnik, 1937.

94

p u~ « + — + 7 - - konst. y ¿g

biti ispunjen u svim točkama prostora (osim graničnog sloja), zauzetog tekućinom samo pri zavojnom gi­ banju, kada je: tu. ux

U teorijskoj hidromehanici se dokazuje da ako u početku vremena u nekom dijelu neviskozne i nestišljive tekućine, koja se giba pod djelovanjem potencijalnih sila, nije bilo gibanja sa vrtlozima (ro­ tacijom), onda ga neće biti za čitavo vrijeme gibanja. U promatranom slučaju istjecanje nastaje iz stanja mirovanja pod djelovanjem sila teže koje, kao što je poznato, imaju potencijal II = g z + C. Zbog toga, dakle, gibanje tekućine u rezervoaru i u samom mlazu

a, v2g '

h2

Nakon uvrštenja ovih gubitaka u osnovnu jed­ nadžbu, nalazimo:

odakle je brzina istjecanja: 1

I 2 g z,

l'u. + i,... gdje je z razlika kota razina vode s obje strane otvora. Kao i prije, izraz: 1

V= : ° i

+

(10-16) C ,.,.

naziva se koeficijent brzine.

Pri takvom gibanju s povećanjem brzine u po­ većava se i kutna brzina at. Zahvaljujući tome, zavojno gibanje u rezervoaru pri dotjecanju tekućine k otvoru ne prigušuje se, već se intenzivira i može stvoriti mlaz s rotacijom. Pri istjecanju kroz otvor pod izvjesnim okolnostima dolazi do pojave tako­ zvanih zračnih lijevaka. Takvi lijevci nastaju onda, kada dubina vode iznad otvora postaje približno manja od tri promjera.

10-5. ISTJECANJE KROZ PO TOPLJENE OTVORE

Potopljenim se zove otvor koji se nalazi ispod razine donje vode, tako da mlaz istjecanja ne pada u zračnu sredinu, već ostaje ispod površine vode (si. 10-4). Zanemarujući brzine u presjecima A -A ' i B-B' i pretpostavljajući da je tlak u tim presjecima jednak atmosferskom tlaku, može se napisati Bernoullijeva jednadžba za te presjeke s referentnom ravninom kroz težište otvora. Ona će glasiti: S, = 2.j +

10-4. PRIM JEDBE O KARAKTERU ISTJECANJA

<0, _ uu u.

2. gubitak na proširenje mlaza od kontrahiranog presjeka do presjeka u rezervoaru; taj gubitak, u vezi sa (6-7), može se uzeti kao:

hir = 2. + X Ć ~ , 2g

odnosno:

Gubici tlaka na putu između gore navedenih pre­ sjeka, koje treba uzeti u obzir, jesu: 1. gubitak analogan onome pri istjecanju kroz oštrobridni otvor u atmosferu:

Površina kontrahiranog poprečnog presjeka mlaza označuje se, kao i ranije: tor — ifll. Odatle je protoka kroz potopljeni otvor: O = c dobiva se: Q = p u t \>2g~z.

(10-17)

Mnogobrojna istraživanja su pokazala da se koe­ ficijent protoke p za potopljeni otvor gotovo ne raz­ likuje od takvog koeficijenta za nepotopljeni otvor. Prema tome sve što je rečeno za koeficijent protoke, ostaje i za koeficijent p za potopljeni otvor. Razlika između formule (10-15) za potopljeni otvor i formule (10-4J za istjecanje u zračnu sredinu samo je u tome što u formuli za potopljeni otvor umjesto tlačne visine H dolazi z , razlika kota između nivoa tekućina na obje strane otvora. 95

10-6. ISTJECANJE KROZ KRATKE CIJEVI. NASADAK

Promotrimo kako će tekućina istjecati kroz otvor, ako mu se doda usmjeravajuća kraća cijev, s oštrobridnim ulazom. Ako se takva usmjeravajuća cijev napravi od prozirnog materijala, opaža se (si. 10-5) nastajanje »mrtve zone«, koja ie na slici ucrtana. To je zona u kojoj ne postoji dodir između površine mlaza i stijenke cijevi. Zbog zakrivljenosti trajektorija na ulazu u cijev mlaz ne ispunjuje sav presjek cijevi blizu ulaza, nego na nekoj udaljenosti od njega. Zrak u »mrtvoj« zoni se zahvaća mlazom koji ga unosi sa sobom, a u toj zoni nastaje manji tlak. Ako se pak istjecanje dešava u sredini s atmosferskim tlakom, može nastati i vakuum, što ovisi o brzini istjecanja (tj. o tlačnoj visini).

Prema tome je:

Kod cijevi kraćih od 55 promjera koeficijent /t će se povećavati, a kod duljih će se smanjivati.

E Z — Zi.f + Zpr + Crfpri čemu sve koeficijente treba izraziti u odnosu na izlaznu brzinu. Koeficijent gubitaka pri istjecanju kroz oštro­ bridni otvor (otvor u tanjoj stijenki) u odnosu na brzinu u suženom presjeku c-c jednak je 0,06 (v. 10-13). Uzimajući odnos brzina — = — — e = 0,64 ve

OJ

i izražavajući Ct.*. u odnosu na izlaznu brzinu iz cijevi, moramo uzeti:

Istraživanja pokazuju da će maksimalna vrijed­ nost koeficijenta protoke pt biti kod cijevi duljine: / = (3 do 4) d. Takva kratka cijev zove se nasadak. Na brzinu istjecanja i protoku znatno utječe oblik ulaznog ruba. Na primjer, izrada postepenog zaoblje­ nja na ulazu može potpuno odstraniti suženje mlaza i prouzrokovati povećanje brzine i protoke.

= 0,06 • 0,64“2 - 0,15. Otpor kod proširenja mlaza mora se uzeti po formuli (6-10), što daje:

10-7.

VANJSKI VALJKASTI NASADAK

Vanjski valjkasti nasadak (si. 10-5) je prava valj­ kasta cijev duljine (3 do 4) d, koja se dodaje otvoru istog promjera s vanjske strane posude. Koeficijent nasatka s oštrim ulaznim rubovima prema eksperimentalnim podacima (uz velike vri­ jednosti broja Re) iznosi:

Prema tome: T f = 0,15 + 0,32 + ~ = 0,5 + a a

ft... = Pt... — 0,82, *>

Sumarni koeficijent (0,15 + 0,32) = 0,5, koji pri­ kazuje gubitke tlaka na istjecanje kroz otvor u stijenki i na unutarnje proširenje mlaza, zove se koeficijent gubitaka kod ulaza u cijev (£„,). Uvrštenjem tako određenih koeficijenata u (10-18) dobiva se izraz za brzinu: Postojanje smanjenog tlaka u području suženog presjeka mlaza mora dovesti do povećanja brzine gibanja tekućine u tom području, u poredenju s brzinom istjecanja kroz oštrobridni otvor. No sama cijev uzrokuje i neke gubitke energije zbog trenja uzduž cijevi i zbog proširenja mlaza u njoj, što dje­ luje suprotno i uzrokuje neko smanjenje brzine u gibanju tekućine. Dalje će biti dokazano da je kod kratkih cijevi »podsisavanje« tekućine, koje nastaje zbog smanjenja tlaka unutar cijevi, od većeg utjecaja na povećanje protoke nego što su suprotni utjecaji dopunskih ot­ pora cijevi, a kao konačni rezultat nastaje povećanje protoke pri upotrebi kraće cijevi. Ako duljina cijevi nije mala, onda povoljno dje­ lovanje, »podsisavanje«, ne kompenzira dopunske gu­ bitke pa protoka kroz takvu cijev postaje manja od protoke pri slobodnom istjecanju kroz oštrobridni otvor. Bernoullijcva jednadžba za granični presjek (vodno lice) u posudi i za izlazni presjek b-b uz kratke cijevi (si. 10-5) i uz a = 1 daje: H0 = (l + r C ) £ . . . 2g

96

V =

1 / ----------!---------- . \ 2 g H

f

„

=

što je veoma blizu rezultatima formule (10-19). Unutar nasatka postoji područje sa smanjenim tlakom (ako se istjecanje vrši u atmosferu, onda je tamo vakuum). Najmanji tlak se postiže u suženom (kontrahiranom) presjeku. Promotrit ćemo istjecanje u atmosferu i naći izraz za vakuum u suženom presjeku c-c. Ako se tlak u njemu označi sa pc, onda se u vezi sa si. 10-5 dobiva:

i+c., + 4

'¿ + *7

=

£ tp =


vz

( 'o - '9)

=

10 000 - 300 = 9,7 m, Toočn-

P.l

€-

i >h, = z,

e2

2g

a granična veličina tlačne visine za vanjski valjkasti nasadak ne smije biti veća od

2g

( 10- 20)

Kako će se odrediti kod koje će duljine cijevi koe­ ficijent protoke imati istu vrijednost pt = 0,62, koju ima pri istjecanju kroz isti otvor, ali bez cijevi? Uzimajući približno X = 0,02, može se pomoću formule (10-19) utvrditi da će pt = tp = 0,62 biti pri odnosu:

P., ~ Pt 7

(10-21)

Zamjenom brzinske tlačne visine sa
• -

4

“ - ’) H»' 0°-22)

Tako se vidi da je kod stalnih parametara
Tako se vidi da će i kraj pojave dopunskih gubi­ taka protoka kroz cijev duljine oko 55 njezinih pro­ mjera biti onakva, kakva je kod istjecanja kroz oštro­ bridni otvor (otvor u tanjoj stijenci) bez te cijevi.

A...« = P -" — ~

= 0,74 ff r

00-23)

A g r o s k in : H id r a u lik a

13 m.

Kada je god tlak za nasadak blizu 13 m, prijeti pojava kavitacije i odgovarajućeg smanjenja koefici­ jenta protoke pt, te poremećenja kontinuiteta gibanja. Pri daljnjem povećanju tlaka nastat će otkidanje mlaza od unutarnjih stijenki nasatka. Otkidanje mlaza od stijenki može nastati i onda kada zrak može ući u nasadak, na primjer kroz neke otvore ili pukotine u stijenkama nasatka. Postavljajući Bernoullijevu jednadžbu za presjeke A -A ' i B-B' s ravninom referencije O-O' (si. 10-7) i uzimajući da je brzina na donjoj strani otvora blizu nuli, može se (analogno rečenom u § 10-5) odrediti brzina istjecanja kroz potopljeni nasadak: v = < p\2gz0,

(10-24)

gdje je: 1

* Indeksi «.«. označuju cilindrični nasadak7

9,7 6,74 '

H,

dobiva se:

U promatranom slučaju istjecanje iz kraće cijevi ide punim njezinim presjekom (koeficijent vanjskog sužen ja je t — 1), što znači da će koeficijent protoke biti jednak koeficijentu brzine, tj.: pt

Potražimo razloge koji uzrokuju takvo smanjenje efekta rada nasatka. Vakuum u suženom presjeku nasatka, kako je već bilo dokazano, može doseći ve­ ličinu od 74% tlačne visine ispred nasatka. Granična veličina vakuuma omeđena je vrijednošću mogućeg najmanjeg tlaka u suženom (kontrahiranom) presjeku, koji je jednak tlaku isparavanja p,. Tlak isparavanja ovisi o vrsti tekućine i o njezinoj temperaturi. Za vodu, na urimjer, na temperaturi i = 20°C je p, = = 300 kp/m2 = 0,03 kp/cm! = 0,03 at = 2940 N/m2. Zbog toga, da bi se osigurao rad nasatka, ne treba da granična veličina vakuuma bude veća od

Budući da je:

r = l / ------ *— 7 •

I

SI. 10-6

T g + h‘"

7

V

gdje je koeficijent brzine:

(10-18)

U ovom slučaju postoje ovi otpori gibanja: 1. otpor otvora u stijenki posude, 2. otpor zbog proširenja odjednom mlaza u kratkoj cijevi, 3. otpor trenja po duljini cijevi.

Iskustvo pokazuje da u nekim slučajevima nastaje otkidanje mlaza tekućine, potpuno ili djelomično, od unutarnjih stijenki nasatka, te odgovarajuće smanjenje koeficijenta protoke pt, a zajedno s tim i propusne sposobnosti nasatka. Na si. 10-6 prikazan je takav slučaj. Tada nasadak radi kao oštrobridni otvor, tj. sa koeficijentom protoke pt = 0,62 — 0,60 (a ne sa pt = 0,82).

| 'a 4 -

Cl...

= 0,82 +

f„

97

i:

gdje se koeficijent gubitaka kod istjecanja kroz nasadak C„. određuje po formuli: C.„ = 0,505 + 0,303 sin a + 0,226 sin5 a.

Veličina vakuuma u suženom presjeku nasatka bit će: h „ ,= 0,74 z, (10-25)

Veličine koeficijenata protoke n za različite nagibe navedene su u tablici 10-1.

Eksperimenti pokazuju da koeficijenti

TABLICA 10-1

° .

.

i . .--.r

4'

4

40*

50°

60°

0,80 I 0,78

0,76

0,75

0,73

0,72

0,82

B

Kako se vidi, koeficijent protoke ¡s kod kosih vanj­ skih nasadaka umanjuje se s povećanjem kuta nagiba.

¡\

i

30°

~

ft

]

0* j 10* | 20“

________ j _ ____ (T

o i_______

1 1 1 1

B’ SI. 10-7

10-8.

UNUTARNJI VALJKASTI NASADAK

Ako se valjkasti nasadak uvuče unutar rezervoara, zove se unutarnji nasadak (si. 10-9 a). Ako je pri tome / < 3 d, (gdje je / duljina, a d promjer nasatka),

Jednadžba (10-25) se dobiva iz (10-21) zamjenom

*

p

9

#

0 3°I0' 5*26' T 52' 10*20' 12°04'

0,829 0,895 0,924 0,930 0,938 0,942

0,829 0,894 0,919 0,932 0,951 0,955

J3°24' 14°38' 19°28' 23*00' 40*20' 48*50'

0,946 0,941 0,924 0,914 0,870 0,847

Difuzorni nasad. Shema takvih nasadaka prika­ zana je na si. 10-12. Vakuum u suženom presjeku difuzornog nasatka je veći nego u vanjskom valjka­ stom nasatku; on je to veći, što je veći kut konusa. S druge strane, difuzorni oblik nasatka pogoduje otkidanju mlaza od stijenki nasatka. Zbog toga kut konusa 0 mora da bude dovoljno malen, a maksimalna tlačna visina je još više ograničena negoli kod vanjskog valjkastog nasatka, jer samo tako nasadak može raditi punim presjekom.

0,963 0,966 0,970 0,974 0,980 0,984

Iz podataka u tablici 10-2 se vidi da s porastom kuta konusa 0 od 0° do 48° 50' koeficijent brzine f neprekidno raste od 0,829 do 0,984. Porast koeficijenta q> s povećanjem kuta konusa objašnjava se- uglavnom smanjenjem gubitka na pro­ širenje mlaza poslije njegova suženja (kontrakcije), Podrobnija analiza, koja se ovdje ne navodi, pokazuje da pri veličini kuta konusa 0 = 13° do 14° gubici na proširenje posve nestaju, jer se kontrahirani presjek

veličine He = H + sa z„ + z2 (v. si. 10-5 i 10-7) u1 ^& i veličine -r— sa
SI. 10-11

Gubitak energije veći je kod difuzornog, nego kod valjkastog nasatka. Veličine koeficijenata /I i

SI. 10-9

SI. 10-10

onda će mlaz istjecati kroz nasadak (si. 10-9a) ne dodirujući njegove stijenke. U takvom su slučaju istjecanja (uz velik broj Re) vrijednosti koeficijenata:

po veličini približuje izlaznom presjeku. Uz daljnje povećanje kuta konusa nasadak počinje raditi kao otvor u tankoj stijenci (oštrobridni otvor), što pogo­ duje daljnjem porastu koeficijenta. Okolnost da pri veličini kuta konusa 0 = 13° koeficijent protoke n postaje maksimalan objašnjava se dopunskim suženjem mlaza kod izlaza iz nasatka, što nastaje pri povećanju kuta 0 preko 13\ Zbog toga nastaje smanjenje koeficijenta protoke, bez ob­ zira na porast koeficijenta brzine. Dopunsko suženje mlaza kod izlaza iz konačnog nasatka uslijed koničnosti njegove unutarnje plohe nedostatak je takvih nasadaka. Taj nedostatak je odstranjen u takozvanim »konoidalnim nasacima«, koji se izrađuju u obliku mlaza što izlazi iz otvora. Izlazni odsjek takvih nasadaka valjkasta je oblika, a ulazni odsjek, je kompliciranija krivolinijska ploha (si. 10-11). Veličine koeficijenata brzine i protoke
a odatle slijedi jednadžba (10-25). Vakuum se može pojaviti samo ako je 0,74 z0 > z,

¡i = 0,51,

f = 0,06,

e = 0,53

Kod l > i d nasadak u pravilu radi punim pre­ sjekom (si. 10-9b). Za puni unutarnji nasadak koeficijenti su: fx =

10-9.

Ako je vanjski valjkasti nasadak postavljen u ko­ som položaju (si. 10-8), onda se koeficijent protoke može odrediti po formuli:1 1

98

0,71,

£

=

1,0,

e

—

1.

NEVALJKASTI NASACI

Konfuzami nasad. Ako se nasatku da oblik usje­ čenog konusa (stožca), koji svojom bazom stoji na otvoru, a vrh je smješten izvan rezervoara (si. 10-10), nastaje koničan nasadak, koji se upotrebljava u turbinskim sapnicama, vatrogasnim uređajima, hidromonitorima i si.

SI. 10-12

onda će se za koeficijent ¡t dobiti velike vrijednosti. Ako se, dakle, na otvor u takvoj stijenci postavi di­ fuzorni nasadak, protoka se povećava u velikoj mjeri — nasadak siše »tekućinu«. 99

Difuzorni nasaci se upotrebljavaju kada je po­ željno postići veliku propusnu sposobnost pri relatovno malim izlaznim brzinama. Difuzorni nasaci ko­ riste se kadagod je neophodno potrebno imati veći vakuum (sisaljke, hidroelevatori si.). Aspiratori djevi hidraulićkih turbina također su difuzorni nasaci.

10-10. PREGLED PR O PU SN E SPOSOBNOSTI ENER­ GETSKIH POKAZATELJA OTVORA I NASADAKA

U prethodnim paragrafima dane su srednje velićine koefirijenata protoke i brzine za otvore i nasatke razlićitih tipova, uz velike vrijednosti broja Re. Usporedimo sekundne protoke tekućine kroz te uređaje i kinetićku energiju. Protoka i brzina bit će: Q = ¡i to \j2g H„ i v = tp ¡'2g Hv Kinetićka energija sekundne protoke bit će mo« _ r Q » ' _ y / ' “>l/ 2 ~2 2g 2J

|

' 9

w _ *

— y/tHt [ 2 g H„.

(10-26)

Prema tome, uz jednake tlačne visine H„ i povr­ šine to propusna sposobnost i kinetićka energija bit će ovisni o veličini koefidjenta pi, odnosno o veličini ¡i tp'. Sravnjivanje razlićitih tipova nasadaka s otvo­ rom u tankoj stijenci u pogledu tih svojstava navedeno je u tablici 10-3. TABLICA 10-3

N«ii*

9

!•

Otvor u tankoj stijenci (ojtrobridni otvor) Vanjski valjaksti nasadak Konačni konfuzomi nasadak sa 0 —13° Konoidalni nasadak Konični difuzorni nasadak1)

0,97 0,82 0,97 0,97 0,45

0,62 0,82 0,95 0,97 0,45

0,583 0,551 0,894 0,913 0,091

Navedene veličine odnose se na izlazni presjek difuzornog našatka.

Iz tablice se vidi da najveća brzina istjecanja na­ staje pri oštrobridnom otvoru, koničnom konfuzornom nasatku i konoidatnom nasatku. Maksimalna protoka postiže se difuzornim i konoidalnim nasacima. Mlaz tekućine kroz konoidalni nasadak ima maksimal­ nu kinetičku energiju. Difuzorni nasaci daju minimalne veličine brzine i kinetičke energije kod izlaza mlaza iz nasatka. Iako u smislu propusne sposobnosti vanjski valj­ kasti nasadak nadmašuje oštrobridni otvor, kinetička energija njegova mlaza nešto je manja od energije mlaza kroz oštrobridni otvor.

10-11.

POGLAVLJE 11 t

KOEFICIJENT PRO TO K E SISTEMA

Pri proračunu istjecanja kroz cijevi koje su dulje od nasatka, već se ne mogu koristiti numeričke vri­ jednosti za koeficijente tp i ft, koje su ranije navedene, jer u ovisnosti o duljini cijevi ti koeficijenti mogu imati svaku manju vrijednost. Pri istjecanju kroz cijevi koje rade punim presje­ kom kontrakcija mlaza na izlazu ne postoji (e = 1), pa je prema tome koeficijent protoke pt jednak koe­ ficijentu brzine tp. Zbog toga formula za koeficijent protoke pt ima isti oblik kao formula (10-2), koja je izvedena za koeficijent tp, naime: 1 gdje 27 f uključuje u sebi sve koeficijente gubitaka, a medu njima i koeficijent

Ta formula se može proširiti i na sistem cijevi s različitim presjecima, ali je potrebno sve koeficijente gubitaka određivati za brzinsku visinu, koja odgovara brzini istjecanja iz izlaznog otvora cijevi. Koeficijenti se proračunavaju po formuli (6-12). Koeficijent pro­ toke u takvim slučajevima zove se koeficijent protoke za sistem (>„„.). Kada se istjecanje vrši kroz potopljen otvor u mirnu tekućinu, ili u tekućinu koja se giba brzinom znatno manjom od brzine istjecanja, treba se služiti istom formulom, smatrajući u tom slučaju o koe­ ficijentom gubitaka na izlazu u mirnu tekućinu.

ISTJECANJE KROZ OTVORE POD PROMJENLJIVIM TLAKOM

Istjecanje iz rezervoara pod promjenljivim tlakom nastaje onda, kada se razina vode u rezervoaru snizuje zbog istjecanja, ili kada se istjecanje vrši kroz potopljen otvor u prostor s vodom, u kojem se razina vode mijenja, tj. obično se visina vodnog lica povećava. U prvom i drugom slučaju u svakom se trenutku ak­ tivni tlak i protoka mijenjaju, pa je prema tome te­ čenje nestadonarno. Nestadonamo tečenje detaljnije se promatra u posebnom poglavlju. U idućim para­ grafima daju se rješenja takvih nestadonamih tečenja pri istjecanju kroz otvore. Takva rješenja se mogu dobiti s tačnošću koja će zadovoljavati praktičkim svrhama, polazeći od jednadžbi za stadonamo tečenje. Svi slučajevi koji se promatraju karakteristični su po tome što se promjena razine vode u vremenu zbiva relativno lagano.

11-1.

ISTJECANJE PR I PROMJENLJIVOJ TLAČNOJ VISINI I STALNOJ DOTOCI

Kroz otvor površine to iz posude istječe tekućina, a istovremeno u posudu dolazi stalna količina teku­ ćine Q„ (si. 11-1). Pretpostavlja se da je brzina dotjecanja v0 mala, pa se veličina a v\!2g može zane­ mariti. Da bi kroz otvor to u jedinici vremena istje­ cala ista količina tekućine Q„ bilo bi potrebno da u posudi iznad otvora tlačna visina bude H„ pri kojoj je: Q. = /*«*• I 2gH „,

raste do H„ protoka će postati jednaka dotod, a gi­ banje tekućine postat će stađonarno, sa stalnom pro­ tokom Q = Q„. b) H, > H , i stvarna protoka je Q > Q„ zbog čega će se razina tekudne u posudi postepeno sni­ žavati, sve dok se tlačna visina ne smanji od vdičine H, na veličinu H ., nakon čega će gibanje postati stado­ namo sa Q = Qđ. Kod H , = H a nivo tekućine u posudi postaje stalan. Treba odrediti vrijeme u toku kojega će se tlačna visina u rezervoaru promijeniti od H, na H,. U tu svrhu najprije treba razmotriti istjecanje pod tlakom H u neizmjerno malom intervalu vremena dr, u kojem se može prijmijeniti jednadžba za stađonarno gibanje. Za vrijeme dl u posudu pridolazi količina tekućine Q. dr. Za isto vrijeme kroz otvor protječe količina AV — ft to y i g H ■At, a volumen tekućine u posudi se mijenja za veličinu: («2. — ftto \ 2 g H ) A t

(11-1)

a iz toga slijedi: Ha =

g:

2 g f t - to*

.

‘ta SI. 11-2

Ako je u zadanom trenutku tlačna visina u rezer­ voaru H, * H0, onda mogu nastati ove alternative:

Zbog promjene volumena nivo tekućine u posudi a) H, < H . i stvarna protoka kroz otvor Q jeu toku istog intervala vremena dr također se mijenja manja od Q,; volumen tekućine u posudi se poste­ za neizmjerno malu visinu AH (koja može biti po­ peno povećava, tlačna visina se povećava i kad po­ zitivna i negativna).

100

101

Ako se sa 12 označi površina poprečnog presjeka posude, odnosno rezervoara u visini H, onda mora postojati jednakost: 12dtf = (g„ - p t o \ 2 g H ) d t , iz koje, uzimajući u obzir (11-1), slijedi: dt =

Q P ai \2 g

dJ/ \'TT. — | 77 ’

(11-2')

Jednadžba (11-4) omogućuje određivanje vre­ mena u toku kojeg se visina razine u posudi mijenja od H i na H,_. U tom istom vremenu tekućina dotječe u posudu u količini Q„, kojoj odgovara tlačna visina Ha. Ta jednadžba je ispravna i za spuštanje i za dizanje razine tekućine u posudi.

dt

dr =

° V

HJ _

( 11- 2)

.

M<°V2g

1

12dtf

p
\‘H

(11-5)

1 —

Jednadžba (11-2) se može napisati u obliku: 2 Q \'H a

y iy 1 -3 ,

ftw \2 g gdje je

d ( Ž ) “ 2>'d*

Iz gornje jednadžbe nalazi se vrijeme i, u toku kojega se tlačna visina u rezervoaru mijenja od H, na H t : x y%.] /P " H. t

2VH .

Q

u> y 2 g

M

ydy i

(11-3)

ül yi . V t H.

Podintegralni izraz u (11-3), osim promjenljive y, sadrži još u općem slučaju i promjenljive veličine P i 12, kao funkcije visine H. Ako istječe tekućina male viskoznosti (na primjer voda), koeficijent p za vrijeme istjecanja mijenja se veoma malo, pa se može uzeti da je konstantna ve­ ličina. Promjenljivost koeficijenata p tekućine veće viskoznosti, ne može se zanemarivati, no takvi slu­ čajevi se ovdje ne promatraju. U daljnjem izlaganju promotrit će se dva slučaja: s posudom u obliku prizme i valjkastom posudom sa horizontalnom osi (ležeća posuda). Prvi slučaj. 12 = konst i u jednadžbi (11-3) ta se veličina stavlja izvan integrala. Tako se dobiva:

212 y H . y%

gdje je

= }

Nakon provedbe integriranja:

pa>Y2g

(IIH , - VH t + m i-V H A

^ 102

'

U općem izrazu je:

\>H. - ] / W

(11-4)

Volumen vode V uz stalan tlak H„ istječe u vre­ menu: ( 11- 6)

gdje je:

Q = Lx.

T = 2 t, 11-2. ISTJECANJE IZ PRIZMATiCKE PO SUDE POD PROMJENLJIVIM TLAKOM U ATMOSFERU ILI POD STALNIM TLAKOM PO D PROMJENLJIVI DONJI NIVO

Na si. 11-3 a prikazano je istjecanje iz posude bez dotoke u nju, pri čemu voda istječe u atmosferu. Aktivni tlak u vremenu istjecanja neprekidno se sma­ njuje, zbog čega se i protoka i brzina također smanjuju. Na si. 11-3 b prikazano je istjecanje iz posude A, sa stalnom razinom vode, u posudu B. Ovdje je ak­ tivni tlak razlika razina u obje posude i on će se po­ stepeno smanjivati zbog dizanja razine u drugoj po­ sudi. I prvi i drugi slučaj (si. 11-3) može se promatrati kao istjecanje pod promjenljivim tlakom i bez dotoke, pa se prema tome ta dva slučaja mogu promatrati kao specijalni slučaj istjecanja, što je prikazano jednad­ žbom (11-4) uz Q„ = 0.

212 /i;7r (\H x- \iH Z ¡i ■ y 2 g

T _ 2 Q \'H , H
( 11- 8)

poprečnog presjeka 12«, kroz cijev površine poprečnog presjeka tu. Razina tekućine u A , dakle, opada, a u £ raste, zbog čega se aktivni tlak u početku H i po­ stepeno smanjuje i postaje jednak nuli u trenutku izravnavanja razina, kad istjecanje prestaje. Za neizmjerno malo vrijeme dr, pod djelovanjem tlaka H, kroz izlazni presjek spojne cijevi co iz rezer­ voara A istječe u rezervoar B količina tekućine:

Izraz za 12 treba uvrstiti u jednadžbu (11-5), pa se dobiva: _ 2 L \jH { 2 r - H ) -d H _ n • dH.

(2 r - H)‘n 3

Promatraju se dva rezervoara (si. 11-4). U nekom trenutku su razine tekućine u njima C-D, odnosno C‘-D‘. Iz rezervoara A , površine poprečnog pre­ sjeka 12!, tekućina istječe u rezervoar B, površine

Iz formule (11-7) se dobiva formula za određi­ vanje vremena pražnjenja posude (si. ll-3a) ili vre­ mena za izjednačenje razina u posudama (si. 11-3 b), ako se stavi H t = 0:

12 = 2 L \/H (2 r — H ) = f{ H ).

2L pa>2g

11-3. ISTJECANJE PR I OBJEMA PROMJENLJIVIM RAZINAMA

(11-7)

pa je prema tome:

2L _ ^ \ 2 r - H po>Y2g

tj. pražnjenje prizmatične posude slobodnim istje­ canjem troje dva puta duže od vremena istjecanja iste količine iz posude pod stalnim tlakom. Tu se razumije stalni tlak H„ koji postoji na početku istjecanja. Pri slobodnom istjecanju taj je tlak u početku H , i zatim opada do nule. Pretpostavlja se da za vrijeme praž­ njenja nema dotoke u posudu.

Vrijeme promjene tlaka od / /, do Ht može se dobiti iz jednadžbe (11-4), stavljajući u nju //„ = 0:

x = 2 |/r> - { H - r)* = 2 |/> /(2 r - H),

=

t = ------ (11-10) fs
D = 2r.

Na si. 11-2 se vidi da je:

Integriranje gornjeg izraza u granicama od Hi — = 2 r do Hz = 0, pri dH = — d (3r — H), daje: o 2L i | \ 2 r - H ■d ( 2 r - H) = H\'2g 2r

/ i * =

212

Prije integriranja potrebno je promjenljivu Q iz­ raziti u obliku funkcije od H. U nekom trenutku je nivo tekućine u posudi na visini H iznad otvora (si. 11-2). Očigledno je da je slobodna površina tekućine u tome trenutku četverokut stalne duljine L i pro­ mjenljive širine x, koja se u početku povećava do x = 2 r, a zatim se pri daljnjem snižavanju razine, sma­ njuje do nule.

\

p ta \2 g

4 Z, O | D 3 pt to 2 g

Drugi slučaj. 12 je promjenljiva veličina, ovisna o tlačnoj visini. Polazeći od jednadžbe (11-2), razmotrit će se slučaj kada je Qa = 0 pa prema tome je i H , = 0. Tada je:

odnosno:

odnosno:

ti

d V = p .t„ ■oo V 2 g H ■dr,

SI. 11-3 To isto se može i ovako napisati: J =

(I1-9) p t a fa g H ,

¡iu > yig H i

gdje su V = 12 volumen tekućine koja istječe iz rezervoara u vremenu T, 12 površina presjeka rezer­ voara B (si. 11-3 b), p oj j/2 g H x protoka pod tlakom H,.

(11-11)

gdje je p koeficijent protoke sistema u kojem su uzeti u obzir svi gubici pri tečenju kroz cijev. Pri tome će se u posudi A razina sniziti za da,, a u posudi B ona će narasti za da«. Promjena razina tekućina u posudama smanjuje aktivni tlak za veli­ činu: dH = da, — da„ (11-12) pri čemu između da, i da, postoji zavisnost: - 12, da, = 12, da, = dV.

(11-13) 103

Izjednačenjem (11-11) sa (11-13) dobiva se:

Odatle je:

us \ 2 g H ■dr = — 13, dz,

di = —

I

da, |/H

P.„, o> I'2 g

(11-14)

Izraz za dzi iz (11-16) treba uvrstiti u jednadžbu (11-15), pa se tako dobiva: ________Si, S i , _____ f dH

Integriranjem gornje jednadžbe nalazi se vrijeme r, u kojem se tlačna visina mijenja od H , na //,:

(Si 1 + si,) at Y 2 g

J

H,

\'H

odnosno: _ I =

. ______________ !_____ =

f

d S |.

(11-15)

Hi Pri provedbi integriranja u općem slučaju treba fi, i da, izraziti u obliku funkcija od visine H. Kod prizmatičkih rezervoara je površina poprečnog pre­ sjeka Si = konst, pa ostaje da se izrazi samo dz1 u ovisnosti o H. Q Iz jednadžbe (11-13) slijedi da je da, = — da,, a uvrštenjem tog izraza u (11-12) dobiva se: Sii 4- Q, Si, da„ dH = da, -I- — da, =

2 0 , Si, S i^+ S i,

|/F , - |/W , ii,u t( 0 \'2g

(11-17) P O G L A V L J E

Ako se u jednadžbi (11-17) uzme H , = 0, dobiva se vrijeme potrebno za izjednačavanje razina tekućina u rezervoarima: 2 0 , 0 , ]/H,

HIDRAULIČKI MLAZOVI

(Si, + Si,) h „„ a> \/ 2g 2 Si,

Q ,H , (11-18)

Sii

Si,

fiot \'2g H ,

Ako je jedan od rezervoara veoma velik u poredenju s drugim, jednadžba (11-17) prelazi u jed­ nadžbu (11-7).

Tok tekućine konačnih dimenzija, koji nije ogra­ ničen stijenkama, a giba se u istoj ili kojoj drugoj tekućini, zove se mlaz tekućine. Razlikujemo mlazove tekućina i mlazove plina. U ovisnosti o okolnostima gibanja, mlazovi mogu biti potopljeni i nepotopljeni. a) Mlaz je potopljen ako se giba u kontinuumu iste tekućine ili u prostoru koji je ispunjen vodom. b) Mlaz tekućine je nepotopljen ako se giba u prostoru koji je ispunjen plinom. U potopljene mlazove spadaju mlazovi zraka kada se gibaju u zračnom prostoru ili u prostoru koji je ispunjen vodom. Ovamo spadaju i vodni mlazovi (hi­ draulički) koji izlaze u masu vode, a primjenjuju se u mlaznim aparatima za dizanje nanosa u koritima i si. U nepotopljene mlazove spadaju hidraulički mla­ zovi koji istječu u zračni prostor: vatrogasni, hidromonitomi, kišni, mlazovi vodoskoka i dr. Teorijski i eksperimentalno najbolje su istraženi potopljeni mlazovi. Nepotopljeni mlazovi se inten­ zivno istražuju, u novije vrijeme uglavnom u vezi s razvojem hidromehanizacije, zalijevanja umjetnom kišom i si.

12-1.

čestice, zbog nepostojanja krutih granica koje bi ga­ sile pulzaciono gibanje, zapadaju izvan granica mlaza. Tamo one dolaze u dodir s nepokretnom tekućinom i uvlače je u gibanje zajedno s mlazom. No umjesto čestica koje se izbacuju iz mlaza, u njega ulaze čestice koje su zahvaćene iz okoline. One donekle koče gra­ nične slojeve mlaza. Sloj u kojem se događa miješanje osnovne mase mlaza i okolne nepokretne sredine zove se turbulentni sloj. Turbulentni granični sloj mlaza uzrokuje, dakle, lako kočenje čestica mlaza i uvlačenje u mlaz čestica iz okolne tekućine. S vanjske strane granični sloj mlaza dodiruje ne­ pokretnu tekućinu, s unutarnje strane na nekoj du­ bini dodiruje jezgru mlaza, koja ima stalnu brzinu (u svim točkama njezina presjeka). S porastom debljine graničnog sloja jezgra mlaza postaje tanja. Na nekoj udaljenosti od ulaza mlaza jezgra nestaje i sav mlaz se obuhvata graničnim slo­ jem (si. 12-1).

POTOPLJENI MLAZOVI

Opažanja pokazuju da se mlaz nakon utjecanja u homogenu tekućinu postepeno širi i na nekoj uda­ ljenosti posve raspršuje u njoj. Raspršivanje mlaza uvjetovano je djelovanjem turbulentnog miješanja između mlaza i okolne tekućine. Viskoznost je razlog nastajanju virova na granici između mlaza i nepokretne tekućine. Ti virovi koče gibanje mlaza i pomažu povećanju njegove mase, uvlačeći u gibanje tekućinu izvan mlaza. U turbulentnim mlazovima, slično kao u turbulentnim toko­ vima, poprečno miješanje čestica tekućine nastaje pod djelovanjem pulzacione komponente brzine. Takve 104

12

i

Presjek mlaza u kojem nestaje jezgra (nestaje po­ dručje sa stalnom srednjom brzinom) zove se prije­ lazno, a odsjek mlaza između njegova početnog i prije­ laznog presjeka zove se početni odsjek. U području 105

iza toga presjeka brzina mlaza u njegovoj osi se sma­ njuje uzduž mlaza. Odsjek iza početnog zove se osnovni odsjek. Vrh O konusa koji omeđuje mlaz zove se pol. Pol kružnog mlaza uvijek je ispred počet­ nog presjeka mlaza. Treba razmotriti kako se mijenja brzina u osi osnovnog odsjeka mlaza. A. J. Milovič je prvi utvrdio na temelju svojih eksperimenata sa plinskim mla­ zovima da se brzina u osi osnovnog odsjeka kod osno-simetričnog mlaza mijenja uzduž osi po hiperboli­ čkom zakonu1': u,

konst

u0 d0

R

« ' /0 © ' ( i ) ? - —

( 12- 1)

gdje su «, brzina u osi u presjeku koji je udaljen od početnog za /; u0 brzina u početnom presjeku, tj. kod izlaza iz nasatka; d0 promjer mlaza u početnom presjeku; q>= 6 je eksperimentalna konstanta.

Iz formule (12-1) slijedi da je pri y = 6 brzina u osi u presjeku sa / = 6 d„ još jednaka izlaznoj brzini u„. Prema Miloviču je, dakle, duljina početnog od­ sjeka mlaza /„ = 6 d„. Do relacije analogne relaciji (12-1) može se doći i ovim putem: Eksperimenti pokazuju da je tlak u svakom poprečnom presjeku mlaza praktički stalan i jednak tlaku u okolnom prostoru. U vezi s time pro­ jekcija impulsa svih površinskih sila (ako se sile tre­ nja zanemare) koje djeluju na neki dio mlaza bit će jednaka nuli, zbog čega mora biti jednak nuli prirast količine gibanja u mlazu. Prema tome, sekundna ko­ ličina gibanja u svakom presjeku mlaza bit će kon­ stantna veličina, tj.: m

tj. bezdimenzionalna brzina u/u, u nekoj točki ovisi samo o bezdimenzionalnoj koordinati y/x, u kojoj je sa x označena udaljenost od pola mlaza (si. 12.2) do promatranog presjeka, a u* je brana u osi u tom presjeku. Ako se podintegralni izraz u (12-2) prikaže u bezdimenzionalnim koordinatama, dobiva se:

k

j" u dm — 2 n j (> ■u- y dy = konst ; (12-2)

dm je masa koja protječe u 1 sekundi kroz elementarnu površinu presjeka mlaza; u je brzina u promatranoj točki presjeka mlaza s radijusom y ; e je gustoća tekućine. Obrade mnogobrojnih eksperimentalnih podataka različitih autora pokazuju da je:

Novi integral mora također biti konstantna veli­ čina, a iz toga slijedi da mora biti: u\ x2 = konst, tj.: konst

(12-3)

Dobiven je hiperbolički zakon promjene brzine uzduž osnovnog odsjeka mlaza, koji je našao A. J. Milovič. Jednadžba (12-3) razlikuje se od jednadžbe (12-1) po tome što je u njoj x udaljenost od pola do proma­ tranog presjeka mlaza, a u formuli (12-1) je l uda­ ljenost između početnog i promatranog presjeka mlaza. G. N. Abramović1' u svojim teorijskim istraživa­ njima potopljenog plinskog mlaza također dolazi do hiperboličkog zakona promjene brzine (12-3) u po-, drućju osnovnog odsjeka mlaza. On je dobio za br­ zinu u osi: 0,96 «1 al “o + 0,29 O jd , odnosno: 0,48 ^0 ^0 lt _ (12-4) l ' a + 0,145 ^ Ovdje je a eksperimentalna konstanta koja ovisi o strukturi mlaza u početnom presjeku. Abramović uzi­ ma na temelju eksperimentalnih istraživanja za zrak a = 0,07 — 0,08. Sve druge oznake u formuli (12-4) imaju ista značenja kao u formuli Miloviča. Na početnom odsjeku sve do prijelaznog presjeka, brzina u osi jednaka je brzini istjecanja, tj. u, = u„. Duljila početnog odsjeka, kako to slijedi u (12-4), uz a = 0,07, jednaka je /„ = 4,8 da. Uspoređenje formula (12-4) i (12-1) pokazuje da se one razlikuju u vrijednostima = 6, tj. ima stalnu vrijednost, dok je u Abramovićevoj for­ muli

_________ 048_________

Navedene jednadžbe Miloviča i Abramoviča iz­ vedene su na temelju istraživanja mlazova zraka koji su istjecali u bezgraničan zračni prostor. V. M. Konovalov1' je istraživao mlazove vode koji su istjecali iz sapnice u prostor sa vodom u stanju mirovanja. Računajući s time da se masa mlaza mijenja uzduž njegove duljine na račun usisavanja u mlaz tekućine iz okolnog prostora, prof. Konovalov pri­ mjenjuje na mlaz opću jednadžbu gibanja potoka s promjenljivom masom. Uzimajući zatim konstantan tlak u mlazu i zanemarujući obične sile trenja, on dolazi do već poznate relacije da je sekundna količina gibanja u svakom presjeku mlaza iste veličine. Dalje V. M. Konovalov izvodi iz jednadžbe dinamičke ravnoteže (koju sastavlja uzimajući u obzir otpor trenja) i iz jednadžbe za stalnost količine gibanja izraz za srednju brzinu u presjeku mlaza na udaljenosti / od nasatka: m ( 12- 6) v, I ' 1+ m y U gornjoj jednadžbi su a, i i>„ srednje brzine u odgo­ varajućim presjecima mlaza, a m je konstanta koja se određuje eksperimentalno; Konovalov je dobio m = 2.90. Uspoređujući formule (12-6) i (12-1) vidimo da su u biti identične, a razlikuju se samo u izrazima za
106

U G. N. Abramović, Turbulentni slobodni mlazovi tekučina i plinova, 1948.

kinetička energija u počet­

R — 0,208 A (/ -I- n Ra),

(12-10)

2,90

A = -------------- , » = 17,3 - 13,3 — . 1l v ^a 1 + 2,55 1/ — > v a

U gornjim izrazima: vr je srednja brzina potoka, v„ je srednja brzina istjecanja, u0 je brzina u osi u početnom presjeku, koji se može uzeti jednak (0,85 + 0,90) v0, R„ je radijus mlaza u početnom presjeku, l je udaljenost od početnog do zadanog presjeka mlaza.

2,90

1 + 2,90

20^0,05 + 0,145 0,145

12-2. NEPOTOPLJENI MLAZOVI, VISINA I DALJINA DOMETA MLAZA

(12-7)

0,05 -1- 0,145 Uspoređivanjem formula (12-7) i (12-5) dolazimo do zaključka da se za potopljene mlazove (plina i vode) mogu upotrijebiti jedne te iste jednadžbe, a razlika je samo u vrijednostima eksperimentalnih konstanta koje u njih ulaze. Zbog potpunosti navesti će se i druge relacije koje je G. N. Abramović dobio za potopljene mlazove. Promjer mlaza u presjeku na udaljenosti / od nasatka određuje se (uz a = 0,07) ovom telacijom: d = 0,475 / + da.

= E'

0,295

Promatra se mlaz vode koji istječe kroz kružni otvor u atmosferu. Takvi mlazovi upotrebljavaju se, na primjer, pri gašenju požara, obavljanju zemljo­ radnja hidrauličkim postupkom, pri zalijevanju um­ jetnom kišom, izradi vodoskoka i dr.

Sopnico

Kompckim pio

Ro’probijtni dio ftasprleni dio

SI. J 2-3

(12-8)

Kinetička energija u presjecima osnovnog od­ sjeka mlaza, tj. u presjecima na udaljenosti l > 4,8 d„ (uz a — 0,07), jest:

Istraživanja i vizuelna opažanja pokazuju da u nepotopljenim vodnim mlazovima treba razlikovati tri strukturna dijela mlaza (si. 12-3): kompaktni, razdrobljeni i raspršeni dio.

(12-9)

‘ 0,07 -L + 0,145 a ---------- 7 . . . A. J. Milovič, Hidrodinamičke osnove plinskog rata, 1918.

= — Q^

gdje je:

(12-5)

(0 ,0 7 + 0,0 8 )+ 0 ,1 4 5 ^

gdje je

nom presjeku mlaza. Istraživanjem potopljenih mlazova i pitanjima primjene teorije mlaza na rješenje niza zadataka iz prakse u području hidrotehnike bavili su se također E. A. Zamarin, N. I. Teperin, V. J. Čičasov, N. N. Kremenecky i dr. Njihova istraživanja su potvdivala zakonitost izraženu jednadžbom (12-1), koju je našao Milovič. V. M. Konovolov, V. I. Čičasov, a zatim N. N. Kremeneckij bavili su se također istraživa­ njem hidrauličkih mlazova koji istječu iz nasatka u tekućine. V. I. Čičasov11 je ustanovio da kada se smjer mlaza podudara sa smjerom toka, onda uda­ ljenost na kojoj mlaz praktički nestaje (raspršuje se) iznosi / = 300 da. Udaljenost / se mjeri od nasatka. N. N. Kremeneckij1' daje ovu relaciju za odre­ đivanje radijusa mlaza R:

*>V. M. Makkavejev i V. M. Konovalov, Hidraulika, 1940.

V. J. Čičasov, Istraživanje energetske sposobnosti po­ topljenog mlaza (disertacija, arhiv VNIIG i M), 1949. *> N. N. Kremeneckij, Raspršivanje turbulentnih poto­ pljenih mlazova u potoku (disertacija, arhiv NIIVH), 1952.

107

T A B U C A 12-1 Viaina mlaza Hv m Veličina koeficijenta

fi

7

0 ,8 4 0

1 1

9,5

12

14.5

17.2

20

22.9

24,5

26.1

30.5

0 ,8 4 0

0 ,8 3 5

0 ,8 2 5

0 ,8 1 5

0 ,8 0 5

0 ,7 9 0

0 ,7 8 5

0 ,7 6 0

0 ,7 2 5

gdje je -y neka bezdimenzionalna stalna veličina.

Pokusi S. P. Kozakova i M. A. Markina11 sa kišnim mlazovima pokazali su da je gibanje mlaza na izlazu iz prskala i po trajektoriji leta valovito-oscilatomo. U kompaktnom dijelu se održava kontinuitet toka, mlaz je valjkasta ili njemu bliza oblika, u razdrobljenom dijelu mlaza kontinuitet toka se ne održava, mlaz se kida na krupne dijelove i širi se. Raspršeni dio mlaza sastoji se od odvojenih kap­ ljica, koje se raspršavaju. Mlaz se kida pod djelovanjem sile teže, otpora zraka i unutarnjih sila, koje nastaju zbog turbulentnosti mlaza i valovito-oscilatmog gibanja tekućine u njesnu. U nekom stadiju raspadanja mlaza pojavit će se, kao dopunske sile koje pogoduju raspršivanju mlaza u kapljice, još i sile površinske napetosti. Na mlazove koji se koriste pri tehničkim radovima, u svakom posebnom slučaju postavljaju se različiti zahtjevi. Na primjer, kod zemljanih radova hidrauli­ čkim postupkom potreban je mlaz s razvijenim kom­ paktnim dijelom (hidromonitomi mlaz); za gašenje požara potreban je mlaz sa dovoljnim radijusom dometa i jakom udarnom silom, za zalijevanje kišom potreban je raspršen mlaz sa minimalnim razdrob­ ljenim i kompaktnim dijelovima.

Iz te relacije slijedi da je duljina početnog odsjeka: / = 145 d„

Pri praktičkoj upotrebi mlaza važno je znati da­ ljinu dometa i visinu mlaza, pa će se zbog toga te veličine za neke oblike mlazova ovdje razmotriti. Vatrogasni mlazovi. Razlikuju se vertikalni i kosi vatrogasni mlazovi (si. 12-4). Neka iz prskala istječe voda u obliku vertikalnog mlaza. Visina takvog mlaza Ha bit će manja od tlačne visine H, pod čijim djelovanjem mlaz istječe iz prskala, jer dio tlaka (energije tekućine) bit će utro­ šen na savladavanje otpora zraka.

( 12- 11)

gdje su u„ i d, brzina i promjer u početnom presjeku mlaza. u S. P. Kozakov, M. A. Markin Ispitivanje i hidro­ energetici proračun kišnih aparata i strojeva »Mehanizacija i elektrifikacija socijalističke poljoprivrede«, 1953., No. 4. *' N. P. Gavirin, Istraživanje rada hidromonitora (di­ sertacija, arhiv, MGMI), 1939.

108

*= 2

i

c — — I.

Pokusi pokazuju da koeficijent ovisi o visini mlaza H r. Vrijednosti koeficijenta /?, koje se upo­ trebljavaju u praksi, navedene su u tabl. 12-1. Kosi mlazovi (si. 12-4; teorijski su malo proučeni. Do sada još nije nađena analitička jednadžba za trajektoriju mlaza, zbog slabog poznavanja zakona otpora što nastaju pri gibanju nepotopljena mlaza Trajejtorije pak, koje se dobivaju iz promatranja gibanja, ne uzimajući u račun sile otpora, ne podu­ daraju sa stvarnim trajektorijama.

(12-15)

Zatim iz (12-14) slijedi; AH = k

H,, d

u=_ 2

g’

odnosno: H - H, = k

a

H.

Za posljednje jednadžbe je: H

H

= 1+

l+ ^

a

(12-16) ’

gdje je: k v- = T Prema eksperimentalnim podacima ** veličina y za vodene mlazeve može se odrediti po formuli: y

=

_ = .

0,00025 d + 1000 d*'

(12-17)

Promjer d treba uzeti u metrima.

Pokus pokazuje da pri postepenom mijenjanju nagiba mlaza koji istječe iz prskala (si. 12-5), kraj njegova kompaktnog dijela opisuje trajektoriju abc, a razdrobljeni i raspršeni dijelovi mlaza pri tome prekrivaju površinu u granicama linija abc i a'b'c. Linija abc se malo razlikuje od luka kružnice sa radijusom jednakim H„. Nema analitičkih izraza za jednadžbe graničnih krivulja, pa se zbog toga valja oslanjati na eksperimentalne podatke. Za ilustraciju se daje grafički prikaz kosih mlazova (si. 12-6), koji

N. P. Gavirin*' zaključuje na temelju svojih pokusa sa hidromonitomim mlazovima, da početna brzina mlaza «« praktički ostaje nepromjenljiva na nekoj duljini mlaza, koju se može nazvati početnim odsje­ kom. Prema podacima Gavirina, relacija (12-1) koju je našao A. J. Milovič vrijedi za vodene nepotopljene mlazove, pri čemu se za koeficijent q> može uzeti približno vrijednost tp = 145. Prema tome brzina u osi vodnog mlaza koji se giba u zraku, u području njegovog kompaktnog dijela bit će jednaka;

Indekse potencija y i x odredit će se iz jednakosti dimenzija brojnika i nazivnika lijevog dijela gornje jednadžbe. Tako se dobiva:

(12-11)

Da bi se stvorio razvijen kompaktan dio mlaza, potrebno je smanjiti turbulentnost i onemogućiti zavojni oblik gibanja na izlazu mlaza iz prskala, pri­ mjenom različitih ispravljača koji se montiraju na prskalo. Da se smanji kompaktan dio mlaza koriste se obrnuto, raspršivači različite konstrukcije.

145 u0 d„ I

funkcionalna relacija (12-12) može se prikazati u obliku: AH = /H ,\ (12-14) vx g * 2 \ d / ’

izlgze iz rešetke (raspršivača) sa d — I -j-", uz tlak O u prskalu H — 28,1 m.

Veličina izgubljenog tlaka bit će:

Na si. 12-6 se vidi da udaljenost od prskala do granične krivulje raspršenog mlaza a'c raste sa sma­ njenjem kuta priklona trajektorije. Udaljenost od prskala do granične krivulje kompaktnog dijela mlaza nc ovisi o kutu priklona trajektorije.

AH = H - H , i može biti prikazana u obliku funkcije: &H = f ( d ,g , H r,đ ).

(12-12)

U gornjoj formuli:

U praktičkim proračunima se služimo ovim pra­ vilima :

v g d

a) Udaljenost od prskala do granične krivulje kom­ paktnih dijelova mlaza uzima se, kako je već bilo ukazano, jednaka visini vertikalnog kompaktnog dijela mlaza, tj.:

je brzina na izlazu iz prskala, je ubrzanje sile teže, je promjer prskala.

Visina kompaktnog dijela mlaza bit će manja od H„. Ona se određuje po formuli:

Između brzine i visine postoji odnos:

^kom = ^kom(12-13) Treba se poslužiti /7-teoremom, uzimajući za osnovne i nezavisne veličine v i g. U ovom slučaju

(12*19)

0 2 -is) *> Eksperimenti su vezani sa formulom (12-16). Visinu H u toj formuli treba smatrati kao tlačnu visinu neposredno ispred prskala.

b) Udaljenost od prskala do granične krivulje raspršenog dijela mlaza uzima se jednaka Rr =
Veličina koeficijenta (¡’i navedene su u tablici 12-2.

U gornjoj formuli su: l

TABLICA 12-2 e.

0

IS1

30’

45“

60“

15“

90**

Vi

1,40

1,30

1,20

1 ,12

1,07

1,03

1,00

Hidromoniiorni mlazovi. Za približno određi­ vanje daljine dometa hidromonitomog mlaza može poslužiti empirička formula N. P. Gavirina: / = 0,415 | a d 0 H-,

(12-20)

u kojoj su: / a

daljina dometa u metrima, kut priklona mlaza prema horizontu, u stupnje­ vima, d„ promjer prskala, u milimetrima, H tlak na izlazu iz prskala u metrima. Formula (12-20) upotrebljava je za a — 5° —32°, da = 5-b50 mm, i H = 30-1-80 m.

domet koji se mjeri u horizontalnoj ravnini, u metrima, tlak kod izlaznog presjeka prskala, u metrima, promjer prskala, u metrima.

H d0

Formula je upotrebljiva kod H/da > 1000. Ro­ tacija aparata smanjuje domet kišnog mlaza na 10 do 15%.

12-3.

Najprije će se promotriti jednostavniji simetrični udar, pri kojem reaktivna sila R pada u os N-N. Najjednostavniji simetrični udar je normalni udar u ploču na si. 12-8. Ploča je normalna na os udara, pa prema tome je cos a, = cos a, = 0, cos /3 = —1 i : R = m0ti„

Najveća daljina dometa mlaza je kod a = 45° i H — 10 m, te kod a = 34° i H = 35 m- Teorijski maksimalna daljina se dobiva kod a = 45°.

(12-23)

Prema tome je reaktivna sila, normalna na oj udara ploče, jednaka količini gibanja udarajuče se­ kundu?. mase tekućine mlaza*K Sila P udara po veličini jednaka je reakciji R, ali je suprotna po smjeru i ona je:

DINAMIČKA SVOJSTVA MLAZA

Ovdje će se promatrati dinamička svojstva mlaza koji istječe iz otvora ili prskala, a prije svega udar takva mlaza o nepokretnu čvrstu pregradu, koja se nalazi na udaljenosti manjoj od duljine kompaktnog dijela mlaza. Na si. 12-7 prikazan je udar mlaza o pregradu takva oblika da tekućina nakon udara otječe po površini pregrade u dva toka. U neposrednoj blizini pregrade mlaz je gotovo valjkasta oblika, s osi N -N , koja će se zvati os udara. Prijenos tlaka na tijela nastaje na području rastjecanja mlaza.

P = m0v0 = X t o 0 vi, g

(12-24)

gdje je oi0 živi presjek mlaza koji udara. Iskustvo pokazuje da je stvarna veličina sile P nešto manja od teorijske: P = (0,92 -r 0,96) y a i 07ij.

(12-25)

Sila udara mlaza može se povećati ako se stvori takav oblik površine u koju se udara, da cos a u (12-22) postane negativan.

U tehnici zalijevanja umjetnom kišom upotreb­ ljavaju se kratkomlazni aparati, koji izbacuju razdro­ bljen mlaz i dalekomlazni aparati, koji izbacuju mlaz sa razvijenim kompaktnim dijelom. Za drobljenje mlaza koji izlazi iz prskala kratkomlaznog aparata, upotrebljavaju se raspršivači različitih konstrukcija, čiji se opis, kao i opis raspršenih mlazova, ovdje ne daje1'.

Kišni mlaz mora biti takav da pod zadanim okol­ nostima njegov domet bude najveći, a kapljice na koje se on drobi moraju po veličini biti što sličnije kapljicama prirodne kiše. Osim toga, raspodjela kiše po površini, koja se zalijeva $ određene točke, mora biti jednolika, odnosno jednakomjerna. Do sada još nije dobiven takav mlaz, no pokusima se ustanovilo da je najveći domet mlaza nastaje pri kutu njegova priklona prema horizontu a = 32°, a najjednoličnija kiša pri zalijevanju dalekometnim aparatom postiže se rotacijom mlaza oko vertikalne osi. Za takav slučaj je F. I. Pikalov (1902—1961) na temelju eksperimenata dobio1>formulu za određivanje dometa mlaza: / = 0,42 H + 1000 d0

(12-21)

110

w = v.3 — u.

(12-29)

je — cu0 v0, uz relativnu brzinu dolaska w —v0 — u. S Ta će sila u promatranom slučaju b iti: p= Neka m,va, m,», i m,vt budu količine gibanja sekundnih masa tekućine u graničnim presjecima O-O, I-1 i 11-11, na si. 12-7. Pod sekundnom masom razumijeva se masa protoke Q u promatranim pre­ sjecima. Nejednolikost raspodjele brzina po presje­ cima se zanemaruje (a' = l). Vektori dviju posljednjih količina gibanja (s indeksima 1 i 2) zatvaraju s osi N -N kutove ai i a, (si. 12-7). Nepokretna ploha, prisiljavajući mlaz da se ot­ kloni, djeluje na mlaz nekom silom R, koja u općem slučajulpatvara neki kut fl s osi N -N . Pri određivanju veličine i smjera sile R treba se poslužiti teoremom o primjeni količine gibanja u projekcijama na os N -N i na os normalnu na os N -N . Primjenjujući taj teorem u projekcijama na os N -N (pri čemu se vlastita težina zanemaruje), dobiva se ova jednakost:

Na si. 12-9 prikazane su krivolinijske plohe kod

ni, ti, cos a, + m, u, cos u, — m0 vQ= R cos /?.

U toj jednadžbi sadržane su tri nepoznanice: m., R i ft (jer je m, = m„ — m,).

v (ti# - u)

(12-30)

g

kojih je a >

. Za takve plohe, u vezi s formulom 2 1 (12-22) (uz m, ti, = m, ti, = - j m, ti„), dobiva se: R = m0va — 2 m ,v , cos a,

(12-26)

R = m„ ti0 (1 — cos a).

(12-26')

odnosno:

U specijalnom slučaju, kada je a — rt (si. 12-10), reakcija postaje maksimalna i jednaka: R = m, u, + 2 mi v = 2 m„ v„.

(12-27)

Istu veličinu u tom slučaju ima i tlak mlaza: P = 2 m, ti0 = 2 e to, tij.

( 12- 22) 11 V. o raspršivačima: A. N. Zotikova, Centrifugalni raspršivači vodnih mlazova (disertacija, arhiv VNIIGiM), 1948. *1 F. I. Pikalov, Hidraulika dalekometnog kišnog apa­ rata, Kišno zalijevanje, t. H. V. N. IIG i M, 1940.

Brzina mlaza u odnosu na plohu u tom je slučaju:

Da bi se mogla promatrati sva masa tekućine u gibanju promatra se sistem lopatica hidrauličkog kola, koje u redoslijedu dolaze pod udar mlaza, i neka te lopatice budu ravne. Sita udara mlaza o lopatice u takvom slučaju određuje se količinom gibanja ukupne mase tekućine koja dolazi na sistem lopatica i jednaka

KiSni mlazovi. Zalijevanje poljoprivrednih kultura provodi se raspršivanjem mlaza u kapljice, koje pa­ daju u obliku kiše.

Kod dalekometnih aparata upotrebljavaju se, kao što je već spomenuto, ispravljači u svrhu očuvanja mlaza od drobljenja neposredno po izlazu iz prskala.

Prigodom iskorištavanja vodne energije potrebno je da mlaz djeluje na plohu koja se može gibati Promotrimo najjednostavniji slučaj (si. 12-11) kada. se ploha giba pod djelovanjem mlaza brzinom u. Ta brzina ima zajednički smjer s brzinom mlaza v0.

SI. 12-10

(12-28)

Obično se lopatice radnog kola kod turbina na slo­ bodni mlaz izrađuju prema tipu na si. 12-10. *> Treba strogo razlikovati pojam količine gibanja od pojma sekundne količine gibanja. Sekundna količina gibanja ima dimenzije sile (op. prev.).

i budući da djeluje na lopatice koje se gibaju brzinom u, ona će dati snagu (efekt): N = P ■u = — co0 1’„ (l ’o — «) “• g

(12-31) 111

Maksimalna veličina snage odredit će se iz re­ lacije :

dolazi se do zaključka da je u promatranom slučaju: y £„„■

iz koje slijedi: « = 4-*V

02-32)

Prema tome, maksimalni mehanički rad će se dobili pri gibanju lopatica brzinom koja je jednaka polovini brzine toka vode koji udara u lopatice. U takvom slu­ čaju maksimalna snaga izražava se formulom: N ..v. = ^ i M v a t ) .

(12-33)

(12-35)

Drukčije se to može izraziti ovako: pomoću kola s ravnim lopaticama može se iskoristili samo polovina kinetičke energije toka koji udara u lopatice. Ako se umjesto ravnih lopatica postave krivolinijske sa kutom a (si. 12-9), onda će se sila tlaka izraziti formulom (12-26), uz zamjenu v0 relativnom brzinom w = t>0 — u, tj.: P = — a>o v0 (t>„ — u) (1 — cos a). (12-36) g

PO (i LAVLJE 13

\

Snaga ili efekt rada će b iti: N = Pu = @
PRORAČUN CIJEVNIH VODOVA PRI STACIONARNOM (USTALJENOM) TLAČNOM GIBANJU TEKUĆINE

I tu će maksimalna snaga biti kod u = -i- o0 i ona je: ga'ot’i - (1 -

v r' o) =

1 — cos a ----- r ---- . (12-38)

Uzimajući u obzir da je kinetička energija sekundne protoke Q: cr _ e^o V l ^hin 2 5

(12-34)

Ako se upotrijebe lopatice s kutom a = 180° (si. 12-10), što se praktički i radi kod suvremenih aktivnih turbina, onda sila pritiska na takve lopatice postaje dva puta veća negoli kod ravnih lopatica, a maksimalna snaga postaje jednaka kinetičkoj energiji sekundne protoke: N..>. = (12-39) U takvom sistemu lopatica kinetička energija po­ toka koji udara na lopatice iskorištava se u punoj mjeri.

U ovom poglavlju će se razmatrati gibanje te­ kućine u punim cijevnim vodovima u kojima vlada neki konstantni tlak H = konst. Zahvaljujući stal­ nosti tlaka, gibanje tekućine je ustaljeno. U vrijeme pogona cijevnog voda sa potpuno ispunjenim po­ prečnim presjekom, poremećenjem uvjeta gibanja, npr. zatvaranjem zasuna, ne mijenja se omočeni presjek protoke, koji je strogo ograničen stjenkama cijevi, već se mijenja raspodjela tlaka uzduž cijevnog voda. Zbog toga se promatrano gibanje tekućine i zove tlačno gibanje.

vo iz cijevi i na linijske gubitke u cijevi pri brzini v suglasno sa (6-27), tj.: „ _ »5 , h »Ž , »’“ l H - T g + h‘ = 2-g + c m gdje je

= —.

Ako su znatnije duljine cijevnog voda i male vrikl jednosti k, može se veličinu — nakon uspoređenja sa -pas i zanemariti. U* K k* Tada se pri —

i

13-1. OSNOVNE JEDNADŽBE ZA PRORAČUN JED­ NOSTAVNOG CIJEVNOG VODA

H = A, = Jednostavnim cijevnim vodom naziva se vod koji nema odvojaka, a sastavljen je u jednostavnom slučaju od cijevi jednakog poprečnog presjeka, kroz koje se vodi neka konstantna količina tekućine Q — const. Takva protoka, koja se ne mijenja do kraja proma­ tranog dijela cijevnog voda, naziva se tranzitna protoka QrPri tlačnom gibanju tekućine cjevni je vod pot­ puno ispunjen u presjeku co =

■ ( -----1— ) \2 g ^ C 'R j

može uzeti: t>* / Č ^R '"

(13-2)

■d.1 = const., uz

stalnu srednju brzinu v (jednoliko gibanje), koja se određuje po formuli Chćzyja prema (6-26): v = C fR l.

(13-1)

Izraz (13-2) vrijedi i uz pretpostavku da se čitav tlak H troši na svladavanje otpora u cijevi. Ovaj za­ ključak vrijedi i za shemu na si. 13-2.

C se određuje pomoću izloženoga u poglavlju 9. Razmotrit će se cijevni vodovi čiji su lokalni gubić tlaka toliko mali u odnosu na linijske gubitke tlaka cijevnog voda, da ih se može zanemariti1'. U takvom slučaju (si. 13-1) čitav raspoloživi tlak H mora se utrošiti na formiranje izlazne brzine

U tom slučaju je I =

(13-3)

Razmatrana protoka iznosi: Q = a> C yM

(13-4)

Ako se označi veličina: 11 Pri proračunu vodovoda lokalni gubici se uzimaju u obzir nekim postotkom linijskih gubitaka.

112

g

A groskln: H idraulika

< o C ] /R ^ K ,

(13-5) ■1 1 3 ,

može se pri jednolikom gibanju tekućine poslužiti jednadžbom (13-4) u ovom obliku: Q = K |/7 .

(13-6)

U toj jednadžbi je nagib 1 bez dimenzija i K mora biti izražen u dimenziji protoke. Kao što se vidi iz (13.6), veličina K = to C y R prikazuje protoku u koritu realnog presjeka pri je­ diničnom hidrauličkom nagibu. Taj K se naziva ka­ rakteristika odnosno modul protoke. Ako se u formuli (13-6) zamijeni I sa ////, dobiva se: H = Q- ■

(13-7)

K «'

Veličinu — pri Q = 1 jednaka je brojčano tlaku potrebnom za svladavanje otpora u cijevnom vodu11 protoke = 1.

U nastavku će se razmatrati kada se može zane­ mariti temperatura vode i uzeti koeficijent kinematičke viskoznosti za r = 10°C, sa v = 1,31 mm'/s. Tada se dobiva (u metrima) iz (13-8) za početak kvadratičnog područja: 0,00002824 m1' Am

C _v

(13-9)

U tablici (13-1) su prikazane srednje vrijednosti v, čijim povišenjem područje otpora postaje kva­ dratično. Tablica je sastavljena na osnovi formula (13-8) i (9-35) za ove tipove vodovodnih cijevi: a) za nove čelične cijevi (k = 4,50 ili zl = 0,45 mm), b) za nove lijevano željezne cijevi (k = 4,46 ili A = 0 ,5 0 mm), c) za »normalne« cijevi1' (k = 4,04 A = 1,35 mm

a) Određivanje protoke Q uz zadane dimenzije cijevi, tlaka H i dužine cijevnog voda /, b) određivanje neophodno potrebnog tlaka H da se dobije protoka Q u cijevi zadane duljine 1 i dijametra d, c) određivanje potrebnog dijametra cijevi d da se formira protoka Q, uz dužinu cijevnog voda l i tlak H. Da bi se riješili postavljeni zadaci neophodno je poznavanje značenja Chćzyjeva koeficijenta C, koji se nalazi u jednadžbi karakteristike protjecanja {13-5). Kako je već prije prikazano, proračun koeficijenta u osnovi ovisi o području otpora (glatko, prijelazno, kvadratično). Prema tome, najprije treba utvrditi područja otpora.

U 9-9 prikazani su granični uvjeti za razna područja otpora. Uvjeti za kraj prijelaznog područja ili početka kvadratičnog područja izlaze iz (9-25). T o su: v d _ 191d = 21,6 C ~ ~ jžT T đ gdje je [C] = m"'s/s. l) U kvadratičnom području otpora.

114

d 1 '

(13-8)

K tv = 0,392 (60,92 + 17,72 log d) • d 2 i

izlazi da je ~ = 0 r ! = 0 . (s oznakom 0 , = - i ) . 4». \ 0 \) (Ove vrijednosti su prikazane u tablici II a). Vrijednosti 0 , (a dosljedno tome i 0 ,) mogu se izračunati i analitički. Budući da je 0 2 =

, može se iskoristiti pri-

bližna formula N. Z. Frenkelja:11.

gdje je N neki broj.

K = 0,392(68,36 + 17,72 log d) •

0, =

-(■ ♦ i)’1* -

1+

Brzina v m/s nakon koje nastaje kvadratićni otpor

2,8 3,2 3,5 3,7 3,8 Nove lijevane 2,5 2,8 3,1 3,3 3,4 •Normalne« 0,8 0,9 1,0 1,1 U

Nove Čelične

K„, = 0,392 (69,07 + 17,72 log d) ■d" gdje je d u metrima, a K kv u rrp/s. S ovim formulama se mogu brže izračunati vri­ jednosti protočnih karakteristika K„, za razne dijametre cijevi pri zadanim parametrima glatkosti k za kvadratično područje. U tablici II b prikazane su vrijednosti K t „ po (13-11). Stvarne vrijednosti protočnih karakteristika odnosno modula protoke će biti K = 0 , AT,. Na osnovi formula i tablica prikazat će se formula (13-7) na ovaj način:

3,9 4,0 4,2 4,4 3,5 3,6 3,8 4,0 1,2 1,2 1,3 1,3

gdje novi broj Ai = N ■^

M

(13-10)

13-3. HIDRAULIČKI PRORAČUN JEDNOSTAVNIH CIJEVNIH VODOVA

Multiplikator brzine u (13-5) treba izračunati zavisno od područja otpora. U daljnjem razlaganju će se mulitlikator brzine u kvadratičnom području označiti sa C,.„, dok će se oznaka C zadržati za područje po volji, te djelo­ mično za prijelazno područje. označit će se

mora da bude kon­

sa 0 ,: \ Veličina koetcijenta 0 , može se odrediti poku­ som zavodređeni tip cijevi. Takvi pokusi su provedeni u većoj množini u naučno istraživačkom institutu VODGEO (F. A. Ševeljev!>). Pokusi su pokazali da koeficijent 0 , za cijevi bilo kojeg tipa zavisi uglavnom samo od srednje brzine v (ako je r = const.). l> Metalne vodovodne cijevi, koje su bile niz godina u normalnoj eksploataciji, koje imaju već izvjesnu inkrustaciju na stijenkama, zovu se «normalne« cijevi. Ova inkrustadja obično uklanja razliku u hrapavosti između čeličnih i lije­ vanih željeznih cijevi. *) F. A. Seveljev: Istraživanje osnovnih hidrauličkih za­ konitosti turbulentnih tečenja u cijevima— Moskva, 1953.

— za nove čelične c ije v i............. Ai = 40 — za nove lijevane željezne cijevi • M = 95 — za nove »normalne cijevi« • • • Ai = 30 Vrijednosti 0 , i 0 „ izračunate po (13-10), prak­ tički su gotovo bliske podacima F. A. Seveljeva (ta­ blica II a) dobivenim pokusima. Za normalne cijevi može se uzeti (za vodu):

(13-12)

Jednadžba (13-12) se zbog jednostavnosti upo­ trebe može prikazati i ovako:

stantan za odabranu vrstu cijevi i koeficijent visko­ znosti.

0 , = 0,99 tA*.

Q¿¿ KL

/i = 0,

Obrada pokusnih podataka prema F. A. Ševeljevu i drugima daje ove brojeve za Ai (za v u m/s):

Odnos multiplikatora brzine

(13-11)

za čelične cijevi

Q = K \ 1 = 0 , Kt. yI,

SO I 100 I 200 I 300 I 400 ( 500 j 600 ¡ 1 000| 1400

C = 0 , C... 13-2. GRANICE PODRUČJA OTPORA P R I GIBANJU VODE U METALNIM CIJEVIMA

za normalne cijevi;

Promjer cijevi mm

omogućuju

rješavanje niza zadataka pri proračunu cijevnog voda konstantnog dijametra, po čitavoj dužini voda. Osnovno u tom slučaju može biti:

1,

Uz zadane veličine r i A ova formula poprima oblik:

TA B LIC A 13-1

Odnosi Q = K \ I i H = Q- - ~

Uzevši u obzir da je

Za gore spomenutu vrst metalnih cijevi, (13-11) dobiva se ovaj oblik:

za nove lijevane željezne cijevi:

Zbog loga se veličina~a zove specifični otpor cijevnog voda.

U tablici Ila prikazane su vrijednosti &i = f(v) za osnovne tipove cijevi, prema podacima F. A. Seveljeva.

H = 0 1Q’L

1- ^ ,

(13-13)

gdje je L duljina cijevnog voda u km, Q treba da bude izraženo u istim mjerama kao K„v 1000 Vrijednosti — — su prikazane u tablici II b.

P rim jeri: Treba odrediti protoku kroz cijevni vod prika­ zan na si. 13-1 ako je visinska kota točke A jednaka 10 m, a točke B 12 m. Cijevi su od lijevanog željeza, rabljene (nor­ malne).

(13-10')

Sada će se razmotriti izrazi za protočnu karakte­ ristiku (13-5). Kod kružnih cijevi izraz za protočnu karakteristiku u kvadratičnom području može se do­ biti iz formule (u m):

Pad se dobiva: / = t ~ =

° + J ? . p 1Z = 0,005.

Uz zadani dijametar d — 200 mm, dobiva se prema tablici II b (na kraju knjige) vrijednost protočne karakteristike za kvadratično područje: K tv * 340,8 l/s.

K t „=

o

[(C, - 10,67) + 17,72 logđ] d™ (13-11')

Protoku u cijevnom vodu u pretpostavljenom kvadrati­ čnom području (O, =* 1) nalazimo po formuli (13-12):

Ova se formula dobiva iz (13-5), ako se uzme) da je:

= K tv y i « 340,8 VOfiOS = 24,1 l/s. Brzina koja odgovara ovoj protoci jest:


i suglasno sa (9-33): *“

C = CX + 17,72 log R = (Cj - 10,67) + 17,72 log d. N. Z. Frenkelj: Osnove hidrauličkih proračuna, Gostoptehizdat, 1951.

= 7>7 dm/s ~ °’8 m7s-

Služeći se tablicom Ila dobivamo vrijednost popravnog koeficijenta Qt = 0,97, pa izlazi konačna protoka: Q = ©i

« 0,97 -24,1 - 23,4 l/s.

115

2) Treba odrediti potrebni tlak da se cijevnim vodom iz prijalnjeg primjera dobije Q * 501/s. Brzina će u tom slućaju biti:


50 dm*/s 3,14 dm*

1,6 m/s,

pri kojoj je, kako se vidi iz tablica II a, osigurano kvadratično područje otpora (©t = 0 , = 1). Tada se, uz pomoć formule (13-13), ako se uzme L ** 1 km

I 000 rCjf,

čitavim cijevnim vodom proći će količina Q i potrošit će se tlak: H = hi + h t + ht ........... h , = Zh. Budući da je količina Q u izrazima za h, kon­ stantna za sve dijelove cijevnog voda, može se pisati (za kvadratično područje): H = Q2 - r A .

i --■■■-■ = 0,00861 1/s (suglasno tablici II b), dobiva defini-

Jednadžbe (13-15) i (13-16) daju zajedno n + 1 jednadžbu, što omogućuje određivanja n + 1 ne­ poznanica, među kojima su: tlak H, koji se po­ trošio protjecanjem kroz paralelne cijevi i n odijelje­ nih količina protoke u svakoj liniji. Pri rješavanju paralelnih vodova treba izraziti protoke odijeljenih linija sa protokom jedne linije, na primjer prve.

(13-14)

tivno tlak H = e , Q' L ~rsr = 1,50' ■ 1 • 0,00861 = 21,5 m.

Protoka Čitavog sistema jest: 80 1/5 = 0 , + Q1 + Q

1

= 3 ,7 2 -0 ,.

Konačno izlazi:

H - Q*U ■ -* r

Prije zaključka ovog paragrafa treba podvući slijedeće važne opaske, potrebne za praktički rad:

npr. po prvoj liniji sa /, = 500 m izlazi:

Gubici tlaka na jedinicu duljine cijevnog voda su :

H ab = 21,5* • 0,5 • 0,03985 = 9,2 m. Ova ista vrijednost sc dobiva i iz podataka po ostalim lini­ jama. Upotreba kvadratičnog područja jc opravdana u ovom slučaju, u što se možemo uvjeriti sravnjivanjem brzina po bilo kojoj liniji upotrebom podataka iz tablice 13-1.

ili, uvrstivši vrijednost Kk. po (13-11), u obliku: SI. 13-2

K k, — B •
Služeći se $a (13-15), dobivamo: Na taj način je pri tranzitno.j protoci kroz serijski spojen cijevni vod neophodno potrebni tlak jednak umnošku kvadrata protoke i sume jedinilnih otpora svih dijelova cijevnog voda.

Odavde slijedi da gubici tlaka kod stanovite pro­ toke Q nekim cijevnim vodom veoma ovise o dijametru cijevi. Relativno mala promjena dijametra cijevnog voda izaziva veoma velike promjene u tlaku. Tako npr. umanjenje promjera cijevi za 10 puta izaziva povećanje gubitka tlaka za IO5 = 100.000 puta. Umanjenje promjera za 2 puta izaziva povećanje gubitka na tlaku više od V = 32 puta itd., to jest:

[ d i/

13-5.

PARALELNO SPOJEN CIJEVNI VOD

Među točkama A i B cijevnih vodova, sa kotama piezometarskih linija u tim točkama H a i H z, pro­ lazi nekoliko linija cijevi koje formiraju tzv. paralelni spoj (si. 13-3). Točke A i B su zajedničke za svaki smjer spoj­ nice i zbog toga je gibanje po kojemgod smjeru pod istim uvjetima tlaka u početnoj i konačnoj točki:

13-4. CIJEVNI VOD SASTAVLJEN OD SERIJSKI SA­ STAVLJENIH CIJEVI RAZNIH DIJAMETARA

Pretpostavimo da je cijevni vod sastavljen od sistema cijevi različitih duljina i dijametara (si. 13-2), kojim teče konstantna količina Q (tranzit).

13-6. CIJEVNI VODOVI SA STALNOM PROTOKOM

O t^ M /T a 1 / 1,

(13-17)

U kvadratičnom području otpora je K = K k„ a pomoću tablice II protoka Q, se izražava neposredno preko protoke Q,. U prijelaznom području otpora, da bi se mogla upotrijebiti tablica II, valja transformirati (13-17) uvrštenjem: 7Ć, — 0,(o

i

— 0,(i) ^*»(i)

Tada se dobiva:

Qi

‘ X ,.„,

] /li V i, •

(13-18)

Prema (13-10) za normalne cijevi može se uzeti 0 , = 0,99 • pa izlazi:

H ab = H a - H „ ali uz različne padove, koji su jednaki: , _ H a - H b _ H ab li

h '

i mjesto (13-18) dobiva se:

Protoku u točkama A i B cijevnog voda u svakoj liniji može se prikazati kao:

Ta protoka Q prolazi svim dijelovima cijevnog

\d ,)

11, ■

(13-19)

.

Da bi količina Q prošla kroz koji god dio cijevnog voda, treba potrošiti neki dio tlaka;

h' = Q , ‘ ibt ’ gdje indeks i = 1, 2, 3 . . . n, označuje broj dijelova cijevnog voda. 116

1,525 Qv

Gubitak tlaka između čvornih točaka A i B može sc od­ rediti po bilo kojoj liniji iz jednadžbe:

*1,

voda, od kojih svaki ima svoj jedinični otpor

500 I 000

= 21,5 1/s. Qt = 25,7 1/s Q, = 32,8 1/s.

I AAA

htnd.i

Protoka u trećoj cijevi iznosi:

Za n takvih spojnih linija može se napisati n jednadžbi. Osim toga se može napisati da je suma protoka Q, po spojnim linijama jednaka zajedničkoj protoci Q u točki A , tj.: q

=

q,

+ e« + • • • + e „ = -£ &

um ć

)

P rim je r: Količina Q =s 801/s. protječe kroz 3 paralelno spojene djevi. Duljina i dijametri su prema si. 13-3. Treba izračunati Qlf Qt) Q, po odijeljenim linijama, te gubitak tlaka H ab medu čvomim točkama. Cijevi su normalne. Izraze li se protoke u odijeljenim đjevima sa protokom Qt u jednoj od djevi po jednadžbi (13-17), dobiva sc u kvadrančnom području za protoku u drugoj djevi:

Ö,

U prethodnim razmatranjima i rješavanjima za­ dataka, potrošnja iz cijevnog voda obavljala se kon­ centrirano na kraju jednog ili drugoga dijela cijevnog voda. Po čitavom dijelu cijevnog voda između dviju točaka konzuma prolazi neka konstantna količina. U takvim slučajevima se govori da po dijelu cijevnog voda prolazi tranzit, a sama protoka naziva se tran­ zitna. Svi gornji zaključci i formule za cijevne vodove odnose se na tranzitne protoke. Za razliku od tranzitnih protoka, potrošnja se može dogoditi po duljini cijevnog voda. U jedno­ stavnom slučaju na svakoj jedinici duljine pojedine dionice protoka se postepeno smanjuje u srednjem

Protoka Qp, podijeljena sukcesivno uzduž trase, tvori tzv. stalnu distribuciju. Vidljivo je da se u općem slučaju protoka Q u cijevnom vodu može sastojati od tranzitne protoke Q t i protoke Qv, koja se sukcesivno raspodjeljuje po duljini trase. Da bi se ustanovio analitički izraz gubitka tlaka na takvom dijelu trase, razmotrit*! ¿e se okolnosti gibanja tekućine u nekom presjeku M odabranom na povoljnoj udaljenosti * od početka voda (si. 13-4); na početku je opća protoKa Q = QT + Qp. U odabranom presjeku M protoka QT će biti manja od početne za količinu protoke koja je već podijeljena po dužini x, tj.: Q« = Q t + Q„ -

■*•

Strože rjrienic vidi npr.: G. A. Petrov — Gibanje uz promijenjenu protoku duž trase. Strojssdat, 1951.

117

Kako je na bilo kojem mjestu cijevnog voda prema (13-6) hidraulički pad jednak:

dobiva za praktičku upotrebu umjesto formule (13-20) ovo: H =

/ =

= 9 , ■- ^ 1 .

(13-22)

K, Ova je formula prikladna za proizvoljan tip di­ stribucije protoke: tranzitni s konstantnom distri­ bucijom i za mješovitu protoku.

to i za element dx u presjeku M vrijedi:

_— r — *q7 7l; —

* 1/ —

K« 13-7. PRORAČUN DO VODNOG (SISAĆEG) CIJEVNOG VODA CENTRIFUGALNE CRPKE

*

Sisaći cjevni vod je obično kratka cijev, od mjesta zahvata vode u izvorištu do crpne stanice (si. 13-5). Po tom cijevnom vodu crpka »prisisava« tekućinu uslijed pojave razrijeđenja (vakuuma). U sisaćoj cijevi centrifugalne crpke gibanje te­ kućine je stacionarno (u sisaćoj cijevi klipne crpke gibanje nije stacionarno). U vezi s proračunom sisaćeg cijevnog voda po­ trebno je primjetiti ovo:

¿____ _ jr

r/ltt'H l f l l l l TT U I l '» «. SI. 13-4

Jednadžba pada tlaka uzduž elementa dx je oblika: dH = /d * =

-

P

(Qr + Qry K*

(fir + 2 r ) * + z- ^ 5 ■«•] d*>

Integracijom ove jedradžbe u granicama od 0 do / i uzevši orijentaciono K = const. dobiva se:

(Qr + Qp¥ _

H =

*5

*

Q,(Qt + Q,) /T * «

,

* t-

/* • AT* i konačno: H - ^ f e l + Q rQ ' + y Q l } .

1) Temeljnom veličinom hidrauličkog preraču­ navanja sisaćeg cijevnog voda centrifugalne crpke smatra se dopuštena maksimalna veličina vakuuma, pri kojem nema pojave kavitacije u crpki. Maksimalna dopuštena veličina vakuuma obično se prikazuje u kavitacionoj karakteristici crpke. Ta veličina ovisi o konstruktivnim svojstvima crpke, te vrsti i temperaturi tekućine koja se crpi. Radi osiguranja normalnog rada crpke neophodno je da proračunska veličina vakuuma bude manja ili jed­ naka dopuštenoj. (Ovdje se neće razmatrati sisaća linija klipne crpke. Zahvaljujući neustaljenu giba­ nju tekućine u klipnoj crpki, njezin proračun se raz­ likuje od proračuna za centrifugalne crpke. U klipnoj crpki o veličini sisanja odlučuju, osim elemenata sisaćeg cijevnog voda, i broj dvostrukog hoda kli­ pova, te inercija čitave mase tekućine u sisaćem cijevnom vodu.)

Na osnovi usporedbe sa (13-7) iz ovoga se vidi da je pri konstantnoj distribuciji protoke potreban tri ru ta manji raspoloživi tlak nego pri tranzitnoj protoci*’. Razmatrajući opću jednadžbu (13.20) vidimo daje:

Qr • Q ,

+ y & « (C , + 0.55

Q,Y-

Tada se uvođenjem pojma računske protoke:

QrU- = Qr +

0,55 Q ,

*) Ako su oba područja otpora kvadratična.

118

Na osnovi ovih vrijednosti određuje se i piomjer sisaćeg cijevnog voda crpke određena kapaciteta. Sada se može odrediti dopuštena visina uređaja crpke (Z„) (si. 13-5) iznad površine tekućine u vod­ nom bazenu. Ako se napiše Bemoullijeva jednadžba za presjeke a-a i 6-6 s obzirom na ravninu a-a, uzevši da je brzina na površini bazena t>, = 0, dobiva se relacija:

koju posjeduje svaki kilogram tekućine koji dotječe k crpki. Proračun tlačnog cijevnog voda, tj. određivanje neophodno potrebnog dijametra cijevi, pojavljuje se kao zadatak sa mnogo rješenja, jer se potrebna količina tekućine može propustiti kroz cijevi raznih promjera, ako je crpkom osiguran odgovarajući tlak.

0 + — + 0 = : ili

P.t — Pe, + 2g + r h 2 ,gLijeva strana jednadžbe prikazuje višak atmo­ sferskog tlaka p .t iznad tlaka p „ p. u fazonskom komadu na ulazu u crpku i zove se vakuum ili vakuumetrijska visina sisanja:

Pat

Ptrp. __ fo SI. 13-6

Uzevši ovu oznaku, dobiva se: Ü L -X fü L * 2 g f 2g

(13-23)

Ovdje je v„ = brzina na ulaznom fazonu crpke o2 (u presjeku 6-6), a X C označuje sve gubitke 2g specifične energije u usisnom cijevnom vodu. Kao što se dopuštena veličina 6vik. daje tvorni­ čkom karakteristikom crpke, tako se i jednadžbom (13-23) određuje dopuštena visina uređaja crpke iznad površine bazena i naziva se geometrijska visina crpenja.

(13- 20)

Jednadžba u iznimnom slučaju, kad postoji samo potrošnja uzduž trase (QT — 0), poprima oblik:

& +

Obično se brzine u sisaćem cijevnom vodu kreću ovako” : 0,8 m/s. < v, < 1,25 m/s.

Crpni uređaj, koji je vezan s otkrivenim rezervoa­ rom, mora da proizvodi rad za dizanje količine kapa­ citeta crpke na geometrijsku visinu z (geometrijska visina tlaka), si. 13-6. Osim toga, mora da svlada otpore gibanja u sisaćem i tlačnom cijevnom vodu, koji su karakterizirani veličinom h„. Snaga crpne stanice je prema razmatranoj shemi ekvivalent za dizanje tekućine na visinu: H = z + h„. Ako se tekućina transportira u rezervoar u kojem je tlak pt veći od p, na površini sisanja i ako je brzinu t>2 na visini tlačenja bilo nemoguće zanemariti, onda je:

13-8. PRORAČUNAVANJE TLAČNOG CIJEVNOG VODA CENTRIFUGALNE CRPKE

2.) S obzirom na malu duljinu takvih cijevnih vodova lokalni gubici igraju upadljivu ulogu u općem gubitku energije, pa su zbog toga neprihvatljive for­ mule koje tretiraju samo linijske gubitke, već treba uzimati u obzir sve postojeće gubitke. Kako su gubici specifične energije (pri turbulentnom strujanju) proporcionalni brzini u potenciji 1,75 do 2,0, potrebno je da bi se izbjegli veći gubici, da brzine u sisaćoj cijevi crpke ne budu velike.

Metode proračuna zajedničkog rada crpke i cijev­ nog voda proučavaju se opširno u poglavlju o crpkama. Ovdje će se taj problem dotaći samo zato, da bi se na jednostavniji način mogao prikazati utjecaj eko­ nomike na izbor dijametra cijevnog voda. Sisaćom i tlačnom cijevi, zahvaljujući tlaku koji proizvodi crpka, tekućina dolazi u tlačni rezervoar i dalje se iz njega distribuira gravitacijom po razdjelnoj mreži. Tlakom crpke naziva se specifična energija koju radni organi crpke predaju svakom kilogramu te­ kućine što protječe crpkom, dopunjujući onu energiju ” Brzina v, može biti i drugačijih vrijednosti. Važno je samo to da vakuummetrijska visina sisanja, koja se stvara pri pogonu crpke, ne premali dopuštenu mjeru, određenu garan­ cijom tvornice.

V

Í+

A

2 g'

Ako se kapacitet crpke izražava u njutnima u sekundi, visina tlaka crpke H u metrima, a korisni učinak motora se označi sa rjm, onda će snaga crpke biti izražena sa: N =

. u J/s ili vatima *?crp. Vm

(13-24)

ili:

N = - —Z O J L ----- u kW (kilovatima)

1 000 tj„„. r?„

Dio snage N , =

y Q £>

------u kW utrošit će se

1000rj„p 17,.

na dizanje tekućine na geometrijsku visinu z, koja je određena ra; likom nivoa vode na izvorištu op119

skrbe vodom i nivoa tlačnog rezervoara. Taj dio, očevidno, nije ovisan o dimenzijama cijevi crpnog uređaja.

Ekonomski najpovoljniji dijametar dobiva se iz uvjeta

S, + P S , = minimum Drugi dio snage N , — ~ ~ — u kW utro1000j/cr^ i to sukcesivnim aproksimacijama. šit če se na svladavanje otpora u sisaćem i tlačnom Zadaju se dijametri cijevi i za svaki se dijametar cijevnom vodu i taj dio če biti veći ili manji, u odredi suma troškova S t + ■ S t, pa se odabire ovisnosti o promjeni dijametra cijevi. najmanja suma. Povećavanjem dijametra cijevi gubici tlaka zbog Da bi se mogao prethodno odrediti ekonomski trenja veoma se smanjuju; što je veći promjer cijevi, najpovoljniji dijametar može poslužiti direktno for­ to se manja snaga N , troši na svladavanje otpora. S povećavanjem dijametra povećavaju se jedno­ mula (13-33) koja se niže navodi, a predložena je na osnovi nekih hipoteza. kratna ulaganja kapitala u izgradnju cijevnog voda i s tim u vezi godišnji kamati na amortizaciju uloženog Za okrugle cijevi je: kapitala. Na taj način je vidljivo da se proračun tlačnog cijevnog voda mora svesti na pronalaženje takvog ekonomički najpovoljnijeg dijametra, pri kojem će opći godišnji kamati za utrošenu energiju i za amor­ tizaciju uloženog kapitala biti najmanji. Problem se dakle, svodi, ha traženje minimuma gdje uz [g] = dm/s* i [d] = dm karakteristika K izraza: izlazi u 1/s. 5 = S, + ß ■ S„ (13-26) Zanemarivši promjenu X kod promjene dijametra gdje su: cijevi, dobiva se: S t - godišnja cijena energije utrošene na svladavanje otpora u cijevnom vodu na 1 pog. m, K ~ const • đ*-1. - suma uloženog kapitala za izgradnju 1 pog. m. Ako se protočna karakteristika cijevi promjera cijevnog voda, koja zavisi od dijametra, 1 dm označi sa 1/s., dobiva se: ß - dio godišnje otplate troškova kapitala.

1

_ yQI'lm i 000 rj

Si.

(13-27)

gdje je t) = »)ctp. rjm, tj. sumarni korisni učinak. Ol Ako se postavi u (13-27) da je / = © ,• — i ako se uzme da je za vodu y = 10 N/l izlazi: 0,01 t s ,Q ? 6 t -------- ZTPi ------> V ^k.

K s = 2 872 d‘ (I/sj! (uz izraženo d u dm). Tada se umjesto (13-29) uz 6 X = I dobiva:

Sada se odredi težina duž. metra cijevi sa deblji­ nom stijenke « dm. Volumen metala će biti V = = n d e • 10-»ma i uz spec. težinu y„kN /m l, težina cijevi u kilonjutonima iznosit će:

Ako se označi umnožak 0,01 ts , Q* 1— - - — — J V

Razmatrajući samo kvadratično područje i uzev­ ši prema tablici II b vrijednost za K — 2 874 (1/s)*, dobiva se:

s ^ i 4 f d d~

gdje su dimenzije Q i K u 1/s.

(13-28) G=

dobiva se: (13-29) Drugi član od (13-26) izražava se jednostavno ovako: P — P s, G, (13-30)

y„

10** n d e kN.

(13-31)

Uz pretpostavku da debljina stijenki cijevi od­ govara formuli Mariotta (2-50), tj. e = - i — >umjesto 2a (13-31) se dobiva: G = y „ 1 0 -n £ đ « ,

gdje su: G težina 1 duž. m. cijevi tlačne linije, s, cijena jedinice težine cijevi zadanog dijametra. 120

G_d* 2 — 25 ili G = 0,08 d1, kN,

gdje je G u kN, a d u dm.

Iz formule (13-30) slijedi: p S , = 8 10-l Pst d* = B d ‘,

iz čega izlazi da je težina cijevi približno proporcio­ nalna kvadratu dijametra.

jelova mreže, potrošnja svakog priključka na po­ četku i na kraju i tzv. raspoloživi tlakovi na kraju svakog priključka. Veličina potrebnog tlaka ovisi o objektu koji treba opskrbiti zadanim priključkom i utvrđena je odgovarajućim propisima i drugim teh­ ničkim normama. Zadatak je neodređen kad nije poznat tlak. Me­ đutim, ekonomski razlozi dopuštaju da se iz više varijanata odabere najsvrsishodnija. Slučajno se može dogoditi da na izbor varijante utječu i specijalni razlozi.

gdje je 5 = 8 - 10-s

(13-32)

a r, cijena 1 kN cijevi. Na kraju se dobiva: SI. 13-7

S ~ S , + P S , = ~ d ~ * + Bd> i nalazi se uvjete minimuma: 3 Z ~ ~ m ' d', + 2 B D d ° ° Odavle se, uzevši u obzir (13-28) i (13-32), dobiva:

Proračun postaje veoma jednostavan ako se za bazu odredi (iz ekonomskih razloga) veličina speci­ fičnih protoka ili brzina. Taj problem još nije de­ taljno razrađen za razne kombinacije pogona vodo­ voda. Srednji podaci preporučljivih specifičnih pro­ toka i brzina vide se u tablici 13-2.

d, mm

ili: mm.

SI. 13-8

TA B LIC A 13-2

d = 100y0,0001 • l / ^ - % S, mm ' V *t P d = n ] /th Q , I t j s, p

Cijena energije 5, na godinu dobije se, ako se sa r označi broj sad godišnjeg pogona uređaja, a sa i, cijena 1 kWh: p

Budući da je pog. metar željeznih lijevanih cijevi sa d — 500 mm = 5 dm težak oko 2 kN, izlazi:

(13-33)

13-9. OSNOVE PRORAČUNA RAZDJELNIH VODO­ VODNIH MREŽA

50

75

100

125

150

200

250

300

350

Preporučljiva granična 0,75 0,75 0,76 0,82 0,85 0,95 1,02 1,05 1 ,1 0 brzina m/s Preporučljiva 10 15 30 50 102 106 granična 6 1,5 3,3 protoka I/s d, mm

400

450

500

600

700

*00

»00

1000 I I 00

Razdjelne vodovodne mreže izrađuju se: a) lepezaste, koje se sastoje od glavnih linija, magi­ strala, i postranih ogranaka (si. 13-7); b) zatvorene ili prstenaste, u obliku zatvorena sistema vodovodnih linija, koje ulaze i izlaze iz općih točaka-čvorova.

Preporučljiva granična 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,53 1,55 brzina m/s Preporučljiva granična 145 190 245 365 520 705 920 1200 1475 protoka 1/s

U proračunu razdjelnih mreža može nastati dvoje: 1) proračun nove mreže, u kojoj nema ptirodnog tlaka (kota horizonta vode u tlačnom rezervoaru), 2) proračun razdjelnih mreža, uzimajući u obzir postojeći tlak, što se dešava tamo gdje je već iz­ građen rezervoar ili gdje novu Uniju treba pri­ ključiti na postojeći vodovod.

U tom se slučaju proračun mreže svodi na veoma jednostavnu operaciju odabiranja dijametara cijevi pojedinih dijelova magistrale uz zadanu protoku vode na tom dijelu. č im su dijametri pojedinih vodova odabrani, može se odrediti gubitak energije očekivane na sva­ kom dijelu cijevnog voda prema 13-7:

Lepezasta mreža. Što se magistralna linija mreže više udaljava od vodovodnog rezervoara, transpor­ tira kohčinu vode koja se umanjuje kod svakog priključka sa strane. Magistralnu Uniju treba, logično, promatrati kao cijevni vod koji se sastoji od zasebnih, serijski spo­ jenih dijelova, s različitom potrošnjom Q, na poje­ dinom priključku duljine /,. Pri proračunu mreže bez zadanog tlaka projek­ tantu su poznate geodetske udaljenosti, duljine di­

a i cijeli neophodni tlak H, kao suma gubitka tlaka po čitavoj dužini magistrale, uključivši slobodni tlak h,, na kraju: H = Z h , + A., =

+ h„. *1 Pri proračunu magistrale koja je uključena u postojeću mrežu s određenim tlakom na početku 121

projektirane linije, ranije navedeni razlozi se nemogu primijeniti. U tom slučaju projektant raspolaže na početku magistrale s određenim tlakom H, pa je povezan s nekim srednjim padom ukupne linije

P rim je r 1. Treba proračunati đijametre nove, lepe­ zaste mreže suglasno s podacima prema si. 13-9, uz uvjet iskorištenja slobodnog tlaka (/»,» ž 5 m) na kraju svih pri­ ključnih linija. Cijevi su normalne, od lijevanog željeza. Brojevi u troku­ tima označuju priključke cijevnog voda.

TABLICA 13-5 Podaci o standardnim promjerima

1 000 Odtjecči

km

K* ~

Q l/i

Q*

N tjbl. manji

_ t OOP/ , , l 000 K* '

©/

St,

■

A -B B-C C-D D-E

Na svakom dijelu magistrale za prolaz zadane protoke pri padu /,, potrebne su djevi s protočnom karakteristikom koja je određena relacijom:

d

Odsjek

L

km

Qrût 11s

V

mm

m/s

A-B

0 ,5

65

30 0

0 ,9 2

1,04

0 ,0 0 1 0 0

2 ,2 0

B-C

0 ,6

50

250

1,02

1,03

0 ,0 0 2 6 3

4 ,0 6

C-D

0 ,3

15

150

0 ,8 5

1,05

0 ,0 3 9 8 5

2 ,8 2

hi m

A

Kote piezom. m 25 ,8 7

B

23 ,6 7

C D D-E

5

0 ,4

100

0 ,6 4

1,09

0 ,3 5 7 9 5

V.

0 ,0 0 0 9 2

0 ,0 0 1 0 0

300

2 ,2 0

0 ,0 0 0 4 3

35 0

2500

0 ,0 0 1 5 6

0 ,0 0 2 6 3

250

4 ,0 6

0 ,0 0 1 0 0

30 0

1,62

0 ,3

15

225

0 ,0 1 7 3

0 ,0 3 9 8 3

150

2 ,8 2

0,0 0 8 6 1

200

0 ,6 6

0 ,4

5

25

0 ,1 5 5 6

0 ,3 4 7 9 5

100

3 ,7 9

0 ,1 0 5 4 3

125

1,25

K*

po tablici protočnih karak­

5C =

U skladu sa postojećim padom određuju se protočne karakteristike djevi po pojedinim dijelovima magistrale u zavisnosti o protokama vode na tim dijelovima, po formuli: Qj ... 1000

‘

Zatim treba odabrati iz tablice protočnih karakteristika cijevi najbliže veće i manje vrijednosti K i izračunati gubitke tlaka na svakom dijelu cijevi za obje vrijednosti K iz tablice. Računa se po shemi tablice 13-5. Na svakom dijelu ma­ gistrale postoji mogućnost odabiranja jedne od dviju vrijed­ nosti đijametra d, i d„ a pri tome se zna da će gubici energije na odsječku biti jednaki izračunatim veličinama K , odnosno

h\ .

16,79

Da bi se izabrala bolja varijanta, sastavljaju se sve moguće kombinacije razilićitih dijametara.

13,00

TABLICA 13-4

Grane

Kote piezom. linije Q

V»

A'MO-*

Ai Poče­ tak

Kraj

d mm

30 0

5

2 3 ,6 7

15

8 ,6 7

0 ,0 2 8 9

0 ,8 6 5

70 0

10

23,61

15

8 ,6 7

0 ,0 1 2 4

8 ,0 6 5

125

250

15

19,67

14

5,61

0 ,0 2 2 4 1 0 ,0 4 4

150

600

10

16,79

12

4 ,7 9

150

8

B-F B-K C-M D-N

l, m

g

122

H a = 25,87 - 10 = 15,9 m. Proračun mreže je proveden po ovoj shemi (tablica 13-4).

O

Praktička provedba proračuna s obzirom na po­ stojeće uvjete razmatrat će se kasnije na konkretnim primjerima. Pri završetku proračuna magistralne linije (ne­ zavisno od gornja dva slučaja) bit će poznati ne samo tlak u početnoj točki magistralne linije, već i gubici tlaka na svakoj priključnoj liniji. Na mjestima odvajanja bočnih linija od magistrale (točke B , C, K na si. 13-7) bit će tlak jednak početnom đaku H p^ , s odbitkom sume gubitaka na tlaku pri­ ključnih vodova, koji predhodi zadanom račvanju. U proračunu odvojaka koji izlaze iz neke točke magistrale pitanje se svodi, prema tome, na određi­ vanje đijametra cijevi uz zadanu dužinu odvojaka /, protoke Q i tlaka u početku odvojka na magi­ strali, te slobodnog tlaka htl na kraju odvojka.

Kolona sa vrijednostima visine piczomctrijskc linije do­ bivena je proračunom tako da u konačnoj fazi E treba da bude jednaka 8 + 5 * 1 3 m (sa slobodnim tlakom h„t = 5 m), a ostale kote rastu za veličinu izgubljenog tlaka u narednom di­ jelu. Tlak u početnoj točki A ili, drugim riječima, neophodna visina u instalaciji, jest:

14,285

100

'S

P ro m je ri na o d sjecim a m m

I i

A-B

B-C

C-D

D-E

A-B

B-C

C-D

D-E

350 300 350 350 350 300 300 300 300 300 350 350 350 300 350 300

300 300 250 300 300 250 300 300 250 250 250 250 300 300 250 250

200 200 200 150 200 200 150 200 150 200 150 200 150 150 150 150

125 125 125 125 100 125 125 100 125 100 125 100 100 100 100 100

M i

2,20 1,01 1,01 1,01 2,20 2,20 2,20 2,20 2,20 1,01 1,01 1,01 2,20 1,01 2,20

1,62 1,62 4,06 1,62 1,62 4,06 1,62 1,62 4,06 4,06 4,06 4,06 1,62 1,62 4,06 4,06

0,66 0,66 0,66 2,82 0,66 0,66 2,82 0,66 2,82 0,66 2,82 0,66 2,82 2,82 2,82 2,82

1,25 1,25 1,25 1,25 3,79 1,25 1,25 3,79 1,25 3,79 1,25 3,79 3,79 3,79 3,79 3,79

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

18 ,9 9 -

1 ,62

=*

zB = 20 1 7 ,3 7

1,01 = 18 ,9 9 m ,

m; z D *

17,37 -

2 ,8 2

- I4,55m

Rezervni tlak na kraju magistrale E dobiva se ovako: htl « 1 4 ,5 5 -

1,25 -

8 = 5,3 m > 5 m ,

što odgovara zadatku.

1 0 0 0 /,,

* ? - 7 - 11 ~ W ------- Qf

Ako se broj pojedinih odsjećaka označi sa n, onda će mo­ gući broj svih kombinadja biti 2", jer na svakom odsječku postoji izbor između dviju vrijednosti đijametra. Za proma­ trani zadatak može se sastaviti kombinacija prikazana u tab­ lici 13-6. Razmatrajući sve varijante po sumi gubitaka, vidi se da su prihvatljive one pod rednim brojem I, 2, 3, 4, a sve ostale otpadaju, jer zahtijevaju tlak veći od raspoloživog (7 m). Iz navedene četiri varijante koje sa mogu prihvatiti po Ehiy na prvom je mjestu s obzirom na iskorištenje tlaka va­ rijanta broj 4, koja se i prihvaća. U skladu sa varijantom br. 4 provodit će se proračun bočnih ogranaka po istoj shemi kao i u prošlom zadatku. Kote piezometrijske linije u čvornim točkama bit će: sA * 20 m ;

' " “ T - n o o “ 0-00389-

TABLICA IJ-6

/, = minimum.

1,01

4225

19,61

3 ,7 9

*;■

50

P rim je r 2. Proračunati treba đijametre lepezaste vo­ dovodne mreže sa podacima u primjeru 1, uz dopunske uvjete da u početnoj točki mreže postoji rezervoar sa površinom vode na koti 20 m. Na duljini Čitavog vodovoda A E od 27 m 1800 m postoji mogućnost iskorištenja tlaka H * 20 - 13 * 7 m, što daje srednji pad:

Toč­ ke

dt

65

teristika djevi*). Prema tome će faktične vrijednosti gubitka tlaka na organrima biti manje od vrijednosti u 6. stupcu, a raspoloživi tlak na koncu ogranka bit će veći od 5 m.

TABLICA 13-3

K*

0 ,5

Veličine 4 u posljednjem stupcu u suglasnosti su sa

Treba odrediu kakve će protoke biti u pojedinim dije­ lovima cijevnog voda; zbog jednostavnosti proračunava se od kraja vodova. Prema protokama iz tablice 13-3, za granične protoke odrede se dijametri cijevi pojedinih priključnih dije­ lova; određuju se gubici tlaka u sekundarnim vodovima, i tlakovi na mjestu priključaka. Proračun se obavlja po shemi prikazanoj u tablici 13-3.

4,

0 ,6

bližim većim vrijednostima -

Svakoj pronađenoj vrijednosti protočne karak­ teristike odgovara i određeni dijametar djevi na sva­ kom dijelu magistrale. No pored tvorničkih standard­ nih dijametara djevi, može se dogoditi da ne postoje takvi dijametri koji bi odgovarali računskoj vrijed­ nosti K t. Tada se može uzeti djev s većim d, (K, > > K,) ili manjim dijametrom d, (K, < K,). Ako se na svim dijelovima magistralne linije uzme djevi sa K t < K„ dobiva se najmanja potrošnja me­ tala djevi, no zadani tlak H — h„ neće biti dovoljan za gubitke energije u djevnom vodu. Ako se na svim dijelovima odaberu djevi sa K i > K„ postojeći tlak H — h„ bit će potpuno do­ voljan, ali će na svim dijelovima pruge biti dija­ metri cijevi sa rezervom, pa će utrošak metala biti nepotrebno velik. Očigledno je da se praktičko rješenje problema mora svesti na određivanje đijametra cijevi na jednom dijelu s K , > K„ a na drugom sa K t < K„ tako da opći rezultat dade varijantu u kojoj će biti maksimalno iskorišten raspoloživi tlak i minimalni utrošak metala za djevi. Može se smatrati da je količina metala za djevi približno propordonalna produktu kvadrata đijametra djevi sa njezinom duljinom (d! /) i tada projektiranje treba provesti tako da zadovolji dva uvjeta:

Najbl. veći 1 000

G u b ic i tlak a m

2. ht 4,54 5,73 6,98 6,70 7,08 8,07 7,89 8,27 10,33 10,71 9,14 9,52 9,24 10,43 11,68 12,87

11 Ovdje se uzima K =■ K ,„ budući da u samom proračunu po bližem većem dijametru postoji dovoljna rezerva.

Z atvorena ili p rste n asta m reža (si. 13-8). Takva mreža predočena je u planu mnogokutnicima (prsteni), po čijim opsezima se u ovom ili drugom pravcu mogu dobavljati ovakve ili onakve protoke (u smjeru naprijed ili u suprotnom). U praksi prstenaste mreže imaju veću primjenu jer omogućuju, ako je potrebno, isključenje pojedinih odsjećaka (zbog popravaka ili drugih radova), a da se pri tome ne poremeti dobava vode u ostaloj mreži. Proračun prstenaste mreže razmatra se za pro­ jektiranje nove mreže, kada su poznate duljine od­ sjećaka, protoke vode i smjerovi gibanja. Posljednji se određuju za veću jednolikost opterećenja priklju­ čenih linija, za proračun potreba rajona u kojem se nalaze linije itd. Bit proračuna prstenaste mreže uz spomenute uvjete sastoji se u ovome: 1) Označivši smjer protoke na raznim linijama, treba odabrati prsten cijevnog voda od rezervoara s istim smjerom gibanja (do mjesta suprotne protoke), promatrajući ga kao magistralnu liniju lepezastog cijevnog voda i provoditi proračun prema gornjim postupcima. Pri tome će se dobiti kote piezometarske linije u čvornim točkama. 2) Ostali prstenovi bit će (nakon proračuna iza­ brane magistrale) linije vodova sa nekim tlakovima na kraju, duljinama i protokama, čiji proračun neće uzrokovati velikih pot¿koća. Pri tome treba obratiti pažnju na to da se piezometrijske linije ptstenova moraju na mjestima suprotnih smjerova gibanja u kojojgod točki presijecati, tj. voda treba da dotječe na čvornu točku iz raznih strana sa (približno) jednakim rezervnim tlakom. 123

13-10. KOMPENZACIONI REZERVOARI U MREŽI

Svaka vodovodna mreža se proračunava, kako je to navedeno, na neku srednju sekundnu potrošnju. Međutim, faktična potrošnja se razlikuje od pred­ viđene, povećavajući se u pojedinim razdobljima dana do maksimuma i smanjujući se do minimuma u drugim razdobljima dana. Za izravnanje potrošnje upotrebljavaju se kompenzacioni rezervoari. She­ matski se zadatak kompenzacionog rezervoara može okarakterizirati ovako: u sam minimalne potrošnje suvišak vode teče iz mreže u kompenzacioni rezer­ voar, koji u periodu maksimalne potrošnje sa svoje strane daje vodu natrag u mrežu. Nije ovdje zadatak da se detaljno proračunava kompenzacioni rezervoar u mreži, jer se i to obra­ đuje u specijalnim tečajevima opskrbe vodom, nego samo suština problema.

U točki C sva potrošnja đotječe iz A. Brojčana vrijednost protoke kod koje je rezervoar B neutrali­ ziran, određuje se na osnovi izloženog ovako:

Kod svake protoke Qc > Q't gubici tlaka na odsječku bit će manji od HA — H B. Rezervni tlak u točki C bit će H . > H B i piezometarska linija će zauzeti položaj A C ,B , između ACoB i AC'B. Vidljivo je da će rezervoar A u tom slučaju na­ pajati ne samo točku C, već i rezervoar B, tj.: Qa = Qc + Q bAnalogno kod protoke Q > Qc, piezometrijska linija dobiva položaj ACtB, iz kojega je vidljivo da se dotok u točku C događa kako sa strane C tako i sa strane B. Točka C se napaja iz oba rezervoara ovako:

öc -

a. + q .

= k,

+

+ K, Moguće uzimanje vode iz točke C dostići će svoj maksimum ako se iskoristi sav tlak obaju rezervoara u odnosu na mjesta oduzimanja, što će se dogoditi pri slobodnom istjecanju iz točke C u atmosferu.

Rezervoari A i B (si. 13-10) spojeni su cijevnim vodom, iz kojega se u tački C oduzima voda u količini 2 « koja vremenski varira. Kad nema potrošnje iz C (tj. kod Q = 0) voda iz rezervoara A pod tlakom H — H A — puni rezervoar B, a gibanje vode je karakterizirano piezometarskom linijom A C Ji. Pridolaženje vode u rezervoar B iz A iznosi količinski:

Čim nastane oduzimanje u točki C, prema veličini potrošnje Q, rastu gubici tlaka na odsječku A C i smanjuje se tlak u C, a piezometrijska linija se spušta niže. Pri nekoj potrošnji (označena je sa 2D suma gubitaka tlaka na odsječcima A do C poprimit će veličinu H A — H„, točka C ' će doći na istu kotu, s površinom vode u rezervoaru B (linija A C 'B ) i naravno, zbog pomanjkanja rezervnog tlaka prestat će gibanje vode po dijelu CB. Pri potrošnji u točki C količine Q = Q rezervoar B uopće ne sudjeluje u funkcioniranju mreže: niti dobiva vodu iz mreže niti daje vodu u mrežu. 124

Maksimalna protoka će biti okarakterizirana od­ ređenom piezometarskom linijom A C B i funkcionira­ njem dijela A C pod tlakom H „ a odsječka BC pod tlakom H„. Pri tome će biti: e c , .. ., = K . ) / ^ + K , ] / 5

(13-36)

Podjela protoka prikazana je grafički na si. 13-11.

Na osi apsdsa je nanešena vrijednost Qc, a na osi ordinata vrijednosti koje se odnose ili na Qc ili na QJl. Linija O N, povučena iz ishodišta koordi­ nata, pod kutom 45°, bit će, očigledno, linija 2c, jer je u svakoj točki ordinata jednaka apscisi. Krivulja QA je prikazana kao funkcija protoke 2cRazlike ordinata obiju linija daju izravnu vrijednost

2„. Točka presecanja obiju krivulja (vrijednost nula) odgovara protoci Q'r. Razlike ordinata desno od presječišta pokazuju protoku u točki C iz rezervoara B, a one lijevo pro­ toku u rezervoar B. Pri izradi dijagrama treba izračunati vrijednost Qa za nekoliko vrijednosti Qc.

POGLAVLJE 14

NESTACIONARNO GIBANJE TEKUĆINE U CIJEVIMA t A. HIDRAULIČKI UDAR KAO NESTACIONARNO GIBANJE ELASTIČNE TEKUĆINE U ELASTIČNIM CIJEVIMA

U -t.

POSTAVLJANJE PROBLEM A

Nestacionarno gibanje tekućine, kako je to već rečeno, zove se gibanje u kojem u zadanoj točki pro­ stora, ispunjenog tekućinom, brzine ne ovise samo o koordinatama x , y i z točke prostora, već i o vremenu r, tj. brzine su funkcije četiriju neovisnih promjenljivih: x, y, z, i r. Slično kao kod stacionarnog gibanja, postoji nestacionarno gibanje pod tlakom i bez tlaka (slobodno), jednodimenzionalno i dvodimenzionalno, tj. linearno i ravninsko i, na kraju, prostorno gibanje (trodimen­ zionalno), koje se češće susreće u radu hidrotehničkih građevina. Kao primjer nestacionamog jednodimenzionalnog gibanja pod tlakom može poslužiti gibanje udarnog

vala u dovodnoj cijevi hidrocentrale prilikom regu­ liranja rada turbina, njihovog puštanja i zaustavljanja, te oscilatoma gibanja tekućine u sistemu tlačni tunel (rov) — vodna komora (si. 14-1). Gibanje valova u dovodnim i odvodnim kanalima hidrocentrala pri­ likom reguliranja turbina može poslužiti kao primjer 126,

ravnog nestacionamog gibanja bez tlaka. I na kraju, gibanje tih istih valova u krivinama kanala prikazuje nestacionamo prostorno gibanje. Nestacionarno gibanje tekućine u tlačnim siste­ mima koji puta zahtijeva uzimanje u obzir elastičnih svojstava kako tekućine, tako i stijenki cijevi. Poznato je da svaku veću promjenu protoke u tlačnoj cijevi (prilikom naglog zatvaranja ili naglog zaustavljanja turbine, crpke) prati niz uzastopnih po­ većanja i smanjenja tlaka unutar tekućine, što djeluje na stijenke cijevi u obliku udara. Takva pojava, (koja ponekad uzrokuje lomove) zove se hidraulički udar, a može se opaziti neposredno po muklom zvuku i stresanju cijevi. Pojava hidrauličkog udara blaža je u kratkim cijevima, ublažuje se polaganim reguliranjem turbina i napravom vodne komore, (odnosno vodostama) ko­ ja akumulira tekućinu u slučaju smanjenja protoke u tlačnim cijevima hidrocentrale i obrnuto, daje iz­ vjesnu količinu vode u te tlačne cijevi prilikom povećanja protoke u njima. Stepen djelovanja elastičnih sila jasno prikazuje tipična shema hidrogradevina na si. 14-1. Dovodni tunel A B , koji polazi neposredno od vodospreme, prelazi u tlačnu cijev (jednu ili nekoliko njih), koja vodi vodu na turbine. Veći dio tlaka koji nastaje zbog razlike nivoa u vodospremi i odvodnom kanalu hidro­ centrale, odbivši gubitke u tunelu i cijevnom vodu, iskorišćuje se za pogon turbina. Kod duljih takvih tlačnih sistema na mjestu prijelaza od tunela na ci­ jevni vod obično se ugrađuje vodna komora.

tlaka tjesno su povezane s elastičnim svojstvima te­ kućine i materijala cijevi. U tunelu je slika nešto drukčija, tamo su najzna­ čajnije oscilacije mase vode u tunelu i vodnoj ko­ mori. Pri smanjenju ili povećanju protoke kroz tur­ binu gibanje vode u samom tunelu mijenja sc la­ ganije negoli u tlačnim cjevovodima, jer pri smanjenju protoke višak iz tunela ide u vodnu komoru, a pri povećanju te protoke manjak u tlačnom cijevnom vodu se nadoknađuje iz vodne komore. Na taj način se ublažuje oštrina promjene "režima u ju n elu , iako se ne odstranjuje utjecaj hidrauličkog udara u tlačnom vodu na tunel i vodnu komoru: tunel se ponaša (s hidrauličkog stanovišta) kao dio, a vodna komora kao ogranak sastavljenog cijevnog voda. Pojava oscilacija mase vode s obzirom na trajanje dominantna je, pa se s praktičkog stanovišta mogu utjecaj elastičnosti te­ kućine i materijala stijenki tunela i vodne komore zanemariti.

NAGLO ZATVARANJE ZATVARAČA

Ograničimo se na jednostavni tlačni vod okrugla presjeka (si. 14-2), duljine L, koji izlazi iz rezervoara A i na kraju ima zatvarač (zasun, regulator turbine i si.). U točki O ispred zatvarača smjestimo početak odmjeravanja udaljenosti 5 uzduž osi voda u smjeru prema rezervoaru, tj. od točke O prema točki M . Neka su dimenzije vodospreme tako velike da razina vode u njoj praktički ostaje stalna i nezavisna od promjene protoke u vodu. D je oznaka za unutarnji promjer cijevnog voda, e je debljina stijenki, a E je modul elastičnosti materijala cijevi. Veličine e i E smatramo stalnim na čitavoj duljini L.

Pojava hidrauličkog udara karakterizirana je ve­ likim brzinama rasprostiranja udarnog vala i velikim tlakom koji nastaje s tom pojavom; periodi oscilacija tlaka iznose dijelove sekunde, zbog čega se djelovanja sila trenja u tako malim intervalima vremena praktički mogu zanemariti. Pri nestacionarnom gibanju u tu­ nelu i vodnoj komori, kada se pojave odvijaju mnogo sporije, utjecaj sila trenja se ne može zanemariti bez štete po točnost. Razradu teorije tako komplicirane fizičke pojave kao što je hidraulički udar, nauka duguje N. E. Žukovskom. U njegovom radu *0 hidrauličkom udaru u vodovodnim cijevima«, koji je izašao 1899. godine, prvi put su bile postavljene diferencijalne jednadžbe za hidraulički udar i dan njihov opći integral, na temelju čega je podrobno proanalizirana fizička slika pojave, razmotreno rasprostiranje udarnih valova u cijevima koje se granaju i njihov odraz u slijepim ograncima, a nađena je i metoda za određivanje mak­ simalnog tlaka koji nastaje pri naglom zatvaranju zatvarača. U istom radu daje se temeljita eksperi­ mentalna provjera teorijskih rezultata i na kraju je razmotreno niz drugih za praksu važnih pitanja. Zbog svoje nenadmašene širine u postavljanju problema taj rad je bio jak poticaj za daljnja istra­ živanja nestacionamih režima". U narednom izlaganju ograničit ćemo se samo na elementarno izlaganje jednostavnijih pitanja iz teorije nestacionamih režima, orijentirajući se na uvjete rada hidrocentrala: određivanje maksimalnih vrijednosti tlaka koji nastaje u jednostavnim tlačnim cijevnim vodovima, određivanje maksimalnih ampli­ tuda oscilacija vode u najjednostavnijim vodnim ko­ morama, ostavljajući po strani pitanje stabilnosti oscilacija i sile trenja pri proračunima hidrauličkog udara kod hidrocentrala s veoma dugim cijevnim vodovima.

Promjena protoke u prikazanom sistemu različito će djelovati na pojedine dijelove toga sistema. U tlačnom cijevnom vodu te promjene šire se gotovo trenutno i prate ih znatne promjene tlaka u tekućini. I brzina rasprostiranja i promjena veličine

14-2.

u Pregled razvoja teorije nestadonarnih režima, vidi N. A. Kartvelišvili: O razvoju teorije nestadoniranih režima hidrocentrala. Izvjestija VN1IG, imena B. E. Vedeneeva, t. 48, 1952.

Smatramo da je srednja brzina f 0 u vodu prije njegova zatvaranja takva da se brzinska visina zbog njene male veličine može zanemariti. Zanemarujući gubitke tlaka može se uzeti da se pijezometrijska visina podudara sa horizontalom hidrostatskog tlaka M A, Da bismo pojednostavnili daljnja razmatranja pret­ postavimo u početku da su stijenke cijevi potpuno neelastične, te promotrimo trenutni udar u cijevnom vodu protjecajne površine to. Kad bi voda bila potpuno nestišljiva, onda bi se pri naglom zatvaranju zasuna zaustavila u istom trenutku sva voda u tlačnoj cijevi, a njezina količina gibanja odjednom bi postala jednaka nuli, uzrokujući golem porast tlaka po čitavoj duljini cijevnog voda. U stvarnosti pojava će se odvijati drukčije zbog stišljivosti tekućine. U neizmjerno malom razmaku vremena A t nakon naglog zatvaranja zaustavit će se do zasuna najbliži sloj mn (si. 14-3) neizmjerno male debljine As. Masa tekućine qv>A s volumena tu As toga sloja u toku vremena At stisnut će se od djelovanja susjednih slojeva, a u slobodni dio tog volumena (nastao od stlačivanja tekućine) ući će brzinom vo tekućina još nezaustavljenih slojeva. Ako se sa po označi tlak u točki Q prije zatvaranja zasuna, a sa p , + Ap tlak koji nastaje nakon naglog zatvaranja, onda se pomoću teorema o promjeni količine gibanja može odrediti povećanje tlaka Ap. Ako, dakle, na presjek mm djeluje tlak p0 + Ap, a na presjek nn tlak J>0, onda će projekcija impulsa vanjskih sila u toku vremena At na os cijevnog voda 127

biti Ap (o At, a tome odgovarajuća promjena količine gibanja zaustavljenog sloja tekućine bit će — gaiAsv,,. Odavde, nakon kraćenja sa u>, nalazimo da je: Ap At =

q v0As.

početni volumen i tlak, ali će biti u stanju gibanja u smjeru od zasuna prema vodospremi. Ponavljajući sve što je rečeno za prvi interval vremena, dolazimo do zaključka da se u trenutku nakon vremena t„ =

Označujući kvocijent lim ~ sa c, dobivamo forai-o •dt mulu N. E. Žukovskog (1898 god.); Ap = g cv„, odnosno — = — V g

c za veličinu koja može doseći vrijednost Ap = q c va*K Pad tlaka bit će praćen zaustavljanjem gibanja.

(14-1)

Nakon vremena — zaustavit će se posljednji sloj oj As

u cijevi u točki Ai, a sva tekućina bit će u tre­ nutnom mirovanju i stisnuta. No takvo stanje ne može biti stabilno, jer prema polaznoj pretpostavci razina vode u vodospremi ne ovisi o pojavama u cjevovodu i prema tome će tlak na m'm (si. 14-4) očuvati veličinu koja odgovara stalnom tlaku u točki Ai, tj. on će biti pL, dok će na suprotnoj strani n'n' elementa As djelovati tlak pL -f Ap. Pod djelovanjem razlike tlakova sloj m'ri na kraju intervala vremena At, koji slijedi iza vremena

mena r , = 128

sva masa tekućine u cijevi dobiva

tlakom udara na udaljenosti s od početka točke O. Ako je t0 < t < 2 t0, onda će pijezometrijska linija na istom odsječku C ,0 , biti niža od A i,0, za veličinu koja može doseći vrijednost — = — . 7 g

C

Period oscilacija vodene mase pri hidrauličkom udaru jednak je dvostrukom trajanju faze udara u tački O: TQ= 2 T0.

SI. 14-5

Analogno povećanju tlaka, njegovo smanjenje će se rasprostirati u smjeru od zatvarača prema vodospremi 3 3L i u trenutku nakon vremena — r„ = — (od trenutka 2 c zatvaranja) stići će do vodospreme. Budući da tre­ nutno mirovanje ukupne tekućine u cijevi u razri­ jeđenu stanju (sa smanjenjim tlakom) nije stabil­ no, ponovo će u točki Ai nastati brzina t>„ u smjeru od Ai prema O, uz odgovarajući tlak pL. U trenutku 4L 2 r0 = — sva će tekućina biti u prvotnom stanju. Opisani uzastopni niz faza gibanja vode u cjevo­ vodu shematski je prikazan na si. 14-5. Vidimo da je pojava hidrauličkog udara u tlačnom cijevnom vodu tijesno povezana s pojavom oscilacija mase teku­ ćine, koje su manje negoli oscilacije u tunelu, jer su dimenzije tunela mnogo veće od dimenzija voda.

Dijagram tlaka za svaki presjek na udaljenosti d od zasuna prikazan je na si. 14-7. budući da udar u takvom presjeku nastaje kasnije, a završava ranije nego

SI. 14-8

kod zatvarača za vrijeme — , trajanje udara, kako se c Na kraju treba naglasiti da bit opisanih pojava osta­ je ista i onda kada se uzme u obzir elastičnost cijevi. Razlika će biti samo u tome što će pri porastu tlaka debljina sloja As biti manja zbog radijalnog rastezanja cijevi, uslijed čega će i brzina rasprostiranja udarnog vala c = ^

biti također manja. Proces će se zbivati

kao da je voda zamijenjena nekom drugom, elasti­ čnijom tekućinom. Dijagrami tlakova koje je dobio N. E. Zukovskij proučavajući hidrauličke udare u cijevnim vodovima Aleksijevskog vodotornja u Moskvi, potpuno su po­ tvrdili kako formulu, tako i sve što je naprijed rečeno, vidi na slici, neće biti t„

2L . 2(L -s) — i već t, = —^

2s = t0 — —, no ipak period oscilacija tekućine T, ostaje isti kao u točki O, tj. jednak je Tt = 2 t, = T,. Veličina razlike tlaka Ap također ostaje ista kao u točki O. Na si. 14-8 prikazan je dijagram brzine: kod samog zatvarača brzina je uvijek jednaka nuli (uz uvjet da se tekućina ne otkida od zasuna), no u nekom presjeku s (kojim pripada prikazani dijagram) naizmjence će nastajati faze brzina + v, i faze nultih brzina 11 i brzina —1>0. U početku tlačnog voda u točki Ai brzina

~ , dobiva brzinu v„ jednaku po veličini, ali suprotnu početnoj brzini, tj. taj će se sloj početi gibati u smjeru vodospreme, a ne u smjeru zasuna. Istovremeno će višak tlaka Ap na presjeku n'n' nestati. Pad tlaka će se rasprostirati brzinom c u obliku vala sniženja tlaka (val gašenja), a u vodu se stvara novo stanje s početnim tlakom i brzinom v„ tako da nakon vre­

Na si. 14-6 prikazan je dijagram tlaka u točki O. Kako se vidi, on se sastavlja od odsječaka koji su pa­ ralelni osi vremena i od nje su udaljeni ili za pa + Ap, ili za pc — Ap. Alterniranje tih tlakova nastaje nakon 2L intervala vremena — Vrijeme koje je jednako po­ lovini perioda oscilacija zove se trajanje faze udara kod zatvarača ili jednostavno faza i označuje se 2L To = ----.

je brzina rasprostiranja vala po­

većanja tlaka (brzina udarnog vala). Veličina c je to veća, što je veća debljina sloja As, koji se zaustavlja u toku intervala vremena At, drukčije rečeno, što je manja stišljivost tekućine.

M ,C, vodoravno na visini koja odgovara tlaku prije udara, a nakon toga ide također vodoravno, ali na visini za — = većoj od M ,O lt što odgovara y g 2L vremenu t < —p , kada je tekućina u cjevovodu pod

r 0 = 2 r0 + i ^ .

tlak na zatvarač mora sniziti

U toku daljnjeg neizmjerno malog intervala vre­ mena At zaustavit će se drugi priležeći sloj debljine As, u kojem će tlak također porasti, zatim će se zaustaviti drugom priležeći treći sloj itd. Tako će se postepeno rasprostirati u obliku vala uzduž cijevi, a u smjeru suprotnom tečenju vode, povećanje tlaka koje je nastalo neposredno kod zasuna u trenutku njegova zatvaranja. Veličina c =

A vidimo i to da je period T„ oscilacija u cijev­ nom vodu:

je sve do trenutka ~ jednaka t>„ nakon toga preskokom SI. 14-6

prelazi na — »0 i takva ostaje u toku t, = Pad tlaka stvarno je ograničen time da apsolutni tlak u tekućini ne smije doseći veličinu tlaka isparivanja. U pro­ tivnom će nastati odvajanje tekućine od zasuna i pojava će se zbivati u drukčijim fizičkim okolnostima.

itd.

Na si. 14-9 prikazana je raspodjela tlaka uzduž cijevi; piezometrijska linija u početku ide odsječkom u Nulta faza odgovara povećanim ili smanjenim tlakovima.

g

Agroskln: Hidraulika

razumije se, uz uvjet da se gubici zbog trenja po duljini voda mogu zanemariti (kako se to obično čini kod kraćih vodova hidroelektrana, u kojima takvi gubici ne prelaze nekoliko postotaka hidrostatičkog tlaka). 129

14-3. BRZINA RASPROSTIRANJA UDARNOG VALA U VODU KRUŽNOG PRESJEKA S ELASTIČNIM STIJENKAMA

Ap Pomoću (14-1) može se izraziti; v , = ——. Iz

A^ ‘ C

iz čega proizlazi iz fizike poznata brzina rasprostiranja zvuka u vodi, ako se uvrsti K =* 20,3 • l03N/m2 i g = 1 000 kg/m3:

ranijih izlaganja je poznato da je lim -r- = c. S A«*+A

Promatra se odsjek cijevnog voda duljine As — c. At, u kojem se tekućina zaustavila u vremenu djelo­ vanja udara At, a tlak se povećao prema (14-1) za;

ovim zamjenama, prijelazom na limes iz (14-6) na­ staje jednadžba;

Ap = g c »o-

dp _ dp ^ dro, g c' K to ,’

Izvan granica odsjeka As tokom intervala vremena A t gibanje tekućine ostalo je neporemećeno; u pro­ matrani odsjek cijevi za vrijeme As dodamo će ući volumen tekućine:

iz koje slijedi da je brzina rasprostiranja udarnog vala: (14-7)

A V = to ,v ,A t,

(14-2)

gdje su coa i to površina poprečnog presjeka cijevi i brzina strujanja prije udara. Taj dodatni volumen tekućine, ulazeći u odsjek cijevi A t, zapremit će dodatne prostore koji su nastali u promatranom odsjeku: a) od stlačivanja tekućine koja se nalazila u odsjeku cijevi As prije udara i b) od rastezanja (proširenja) same cijevi u grani­ cama istog odsjeka. Promatramo te dodatne volumene. Pomoću formule (1-3) utvrđujemo da će se vo­ lumen tekućine to, As zbog porasta tlaka za Ap sma­ njiti (stlaćiti) za veličinu: A V , = t J,
Dalje se može izraziti: d(i)0 _ d (n r«) _ 2 dr «u, st r* r’ a uzimajući u obzir da je relativno produljenje — = ^ (gdje je R modul elastičnosti materijala r E cijevi), dobiva se:

Prema (2-50), uz debljinu stijenki cijevi e: a

što se može izraziti kao:

ako se koeficijent volumne dilatacije nakom mu veličinom

JC

(14-4)

pD 2e

(14-8)

. D . do = -X—Ap, 2. e

zamijeni jed­

gdje je K modul volumne

elastičnosti tekućine. Dodatni volumen, koji nastaje zbog povećanja po­ prečnog presjeka cijevi na odsjeku A s, bit će: A V t = A to,A s,

(14-5)

pa je u vezi s time: dco0 _ dp to, E

D e

(14-9)

Uvrštenjem (14-9) u (14-7) dobiva se definitivan izraz za brzinu udarnog vala;11

gdje je Ato, povećanje površine presjeka cijevi (zbog elastičnosti materijala njezinih stijenki) uslijed po­ rasta tlaka na otsjeku As. Tako nastaje očigledna jednakost:

(14-10)

K

odakle slijedi; At Ap , Ato, V‘ A i ~ ^ + HJT' 130

(14-6)

TABLICA 14-1

K E

Materij«)

B kp/m

E N/m'

Iz sravnjenja formula (14-10) i (14-11) slijedi zaključak: kod neelastičnih cijevi brzina rasprostiranja udarnog vala jednaka je brzini ca rasprostiranja zvuka u neograničenom mediju', kod elastičnih cijevi ona je manja od c. Za vodu može se formula (14-10) napisati u ovom obliku: 1425 m c (14-12) s K E

Na si. 14-10 je dijagram ovisnosti brzine c o K. D veličini — • — . Vidi se da su brzine širenja elastičnih

Iz (14-10) slijedi da je utjecaj elastičnosti cijevi ekvivalentan povećanju elastičnosti tekućine u odnosu

poremećenja u cijevnom vodu veoma velike u poredenju s brzinama, koje se obično susreću u hidraulici.

voda Čelik lijevane cijevi betonske cijevi drvene cijevi olovne cijevi

1,00 0,01 0,02 0,1 0,2

0,4-10

2,07 • 10* 20,3 10 * 2 ■ J0 1* 19,6 10 ** 1 • 10 ‘* 9,81 10 ** 2 • 10 * 19,6 10 * 1 ■ 10 * 9,81 10 * 5 . 10*-2 • 10 » 49‘10,-20-10*

Veličina: K ,=

K

(14-13)

,+ f § zove se reduciram modul elastičnosti tekućine, a formula (14-10) se može napisati u obliku analognom formuli (14-11): c

(14-14)

Kod djevi nekružnog presjeka, ovalnog, pravokutnog i tome slično, promjena površine a> presjeka pri hidrauličkom udaru nastaje uglavnom zbog izgiba konture poprečnog presjeka djevi. G. 1. Dvuhšerstov1’ je pokazao da se veličina redudranog modula elastičnosti K %, a prema tome i veličina c i Ap, u tom slučaju znatno smanjuju. Posmatrano s tog stanovišta, na veličinu hidrauličkog udara ima važan utjecaj neznatna spljoštenost okruglih djevi. Ako se sa a i b označe veličine poluosi presjeka (veće i manje) spljoštene djevi, ttda se spljoitenost određuje veličinom nje­ nog ekscentridteta:

e —a ~ * Prema tome se može ustanoviti slijedeće: 1) Ako je eksccntridtct djevi znatno manji od odnosa on ne utječe bitno na brzinu rasprosiuranja udarnog vala c, pa prema tome i na velićinu porasta ili pada tlaka Ap.

Za apsolutno krutu cijev (E = oo) se dobiva:

to ,v ,A t = a>,As ^ + Ato, As, A

m s '

Tako se, na primjer, kod čeličnog voda promjera D --- 1 m, debljine stijenki e = 0,02 m, dobiva se: K D _ 0,01 • 1 E ' e 0,02

c = 1 160

—. s

Kod drvenih cijevi istog promjera D i iste de­ bljine e je c = 430 m/s, što ukazuje na znatan utjecaj elastičnosti stijenki cijevnog voda.

14-4.

POSTEPENO ZATVARANJE ZATVARAČA

debljine djevi prema njezinom najvećem polumjeru, onda

A V = AV, + A V „ odnosno:

20,3 • 10» = 1 425 I 000

f-

deo,__ dt7

(14-3)

A V ^ o t'A s ^ ,

¿0

U tablici 14-1 su navedene veličine £ i - ~ za E vodu i za materijale cijevi koji se najčešće susreću.

2) Ako je ekscentridtet djevi veći od — ili je istog reda veličine, onda će brzina c, a prema tome i Ap, biti znatno

(14-11)

>) Detaljnije se možemo upoznati s nestadonarnim gi­ banjem tekućine u djevima, a i s postupdma koji uzimaju u obzir debljinu stijenki, nehomogenost materijala i konstrukdju ajevovoda, u slijedećim radovima: M. A. Mostkov, Hidraulički udar u hidroelektranama, 1938; A. A. Surin, Hidraulički udar u djevnim vodovima i borba protiv njega; F. A. ćamij, Nestadonarno gibanje realne tekućine u djevima, 1961.

manji. Tako, na primjer, e « * * 0,1 brzina rasprositranja udarnog vala c i porast,tlaka Ap uz druge iste uvjete smanjuju se za 17,5% u poređenju sa veličinama c i Ap za djev kružnog presjeka. l>G. J. DvuhSerstov, Hidraulički udar u djevima nekru­ žnog presjeka u potoku tekućine između elastičnih stijenki, »Naučni zapisi Moskovskog državnog univerziteta imena M. V. Lomonosova., av. 122, Mehanika t. II, 1948.

Ograničujemo se, kao i prije, na promatranje zaustavljanja gibanja tekućina u tlačnom vodu, no takvog zaustavljanja koje se zbiva postepeno u toku malog, ali ipak konačnog intervala vremena T„ koji je jednak trajanju manevra sa zatvaračem (ovdje vremenu njegova potpunog zatvaranja). Postepeno zatvaranje zasuna u toku vremena T, može se zamisliti kao niz trenutnih smanjenja brzine za Av„ koja uzrokuju odgovarajući niz trenutnih porasta tlaka Apt = g c A v,; ovi se sumiraju i daju 1L pri T, < — porast tlaka u svakom vremenu t < Tt od početka zatvaranja. 131

Neka se promjena brzine v zbiva po nekom zakonu vremena, tako da je: v, = v (i), koji zakon se određuje konstruktivnim svojstvima hidrauličkih strojeva i zatvarača. Pri tome je za r = 0, v, — v0 (gdje je ve brzina u tlačnom vodu prije početka zatvaranja), a za r = T, (pri potpunom zatvaranju) je v, = vT, = 0. Tada če se povećanje tlaka Ap, = p, — p„ u nekom presjeku voda u t > T, odrediti relacijom: 4

= f ' ( » • — »<)•

(14-15)

Ako je T, > — izraz za Ap. neće biti tako jedc nostavan pa je tada najbolje poslužiti se grafičkom konstrukcijom1*. N a si. 14-11 je konstrukcija za presjek kod za­ tvarača (s = 0). Na osi apscisa odmjerava se vrijeme t, a na osi ordinata odmjeravaju se odgovarajuća po­ većanja tlakova Ap, = p, — p„ kod zatvarača. Na di­ jagramu je prikazan niz grafičkih konstrukcija za funkciju Ap, = e e (», - v,),

tlačnog voda, odrazuje se od njega u r = — i vraća se

Primjenom toga pravila određen je dijagram OBCDEF (si. 14-11), koji prikazuje promjenu tlaka na zatvarač za vrijeme njegova zatvaranja i poslije toga. Da se konstruira dijagram hidrauličkog udara u nekom presjeku (s) tlačnog voda, potrebno je po­ maknuti po osi t lijeve granice traka nadesno za

2L . . u t = — - u presjek kod zasuna u obliku vala smanjenja

veličinu -j-, a desne granice traka za istu veličinu

tlaka, a zatim počinje »prigušivati« tlak, koji se dotada odvijao po zakonu krivulje O B A A ,. Smanjenje tlaka zbivat će se po krivulji 0,-4,, koja ponavlja krivulju OBA, pomaknutu po osi t u tačku Oi na udaljenost 2L t = — = r 0 od ishodišta koordinata. c 2L Val pada tlaka nastaje kod zatvarača u t = —— =

nalijevo. Površina dijagrama sastavit će se pri tome od 2(L -s) traka širine (a ne l i } , između kojih će

Za t > — pojava postaje kompliciranija. Kako c je već poznato, val porasta tlaka počinje kod zatva­ rača u t = 0, pa se širi u smjeru ulaznog presjeka

= t„. Nakon daljnjeg vremena t — r„, tj. nakon 2 r 0 = 4L = — od početka pojave, val pada tlaka počinje se prigušivati valom porasta tlaka, koji nastaje iz njega i ponaša se po zakonu krivulje OtA it koja kao i 0 ,A , ponavlja krivulju OBA, pomaknutu u točku O, na 4L udaljenost t = — = 2 T„ od ishodišta koordinata. Analogan proces prigušivanja ponovit će se i sa posljednjim valom itd. Pri tome će neprigušeni dijelovi uzastopnih valova tlaka kod zasuna biti prikazani vertikalnim odsječcima između svakog para susjednih krivulja OBA i 0 ,A „ između 0 ,A , i 0 ,A t , između OtA , i 0 ,A , itd. Između tih krivulja zaključene su trake površina, koje su na si. 14-11 označene sa ( + ) ili ( —) prema fazi neprigušenog dijela vala. Koristeći gore opisanu pomoćnu konstrukciju, od­ redit ćemo za primjer veličinu porasta tlaka kod za­ suna u trenutku 3 r , < i4 < 4 r 0. Odabranom tre­ nutku t, odgovara točka R na osi apscisa, a na krivu­ ljama niz točaka R„ R „ R„ R , s ordinatama: R R , = g c (u, — t>4), R R , = e c (ti, — v,), R R , = g c (u0 - v,),

R R , = g c ( v o — u,)-

Na tlak kod zasuna u tome trenutku utječu četiri vala čiji neprigušeni dijelovi daju: u početku u obliku krivulje OBAA„ koja prolazi ishodištem koordinata i za t = T, se pretvara u pra­ vac paralelan osi t, a zatim se ponavlja u obliku krivulja 0,A „ 0,A „ 0 ,A , itd., koje oponašaju prvu krivulju nakon vremenskih intervala jednakih traja­ nju faze: 2L T- = —

1) porast tlaka R ,R , = g c (u, — z>4), 2) pad tlaka R ,R t — g c ( v , — «,), R ,R —

c (u0 — v,),

Zbrajanjem se dobiva tražena promjena tlaka na zasun u trenutku r4: Ap, — p, — po — R*Rj — R,R, -b RsR, — R,R.

2 Z. Za t < —- promjena tlaka Ap, = p, — p , kod zatvarača određena je neposredno krivuljom, pa će biti: Ap, = g c (iv, - v,)• *> CO NTI, Condotte forzate (Corso đi costruziooe idrauliche), Roma, 1922.

132

Na taj način, ako se svakoj traci između krivulja pripiše predznak (+ ) ili ( —) prema pamosti ili nepamosti njezina rednog broja, onda pri određivanja veličine promjene tlaka Ap na zatvarali u nekom tre­ nutku t treba uzeti algebarski zbroj odsječaka koji se dobiju na vertikali iz odgovarajuće točke i na osi apscisa, pri prolazu u vertikale kroz pozitivne i ne­ gativne trake.

14-5. PO SEB NI SLUČAJEVI MANEVRA SA ZATVARA­ ČEM

nastati zone širine — bez predznaka ( + ) ili ( —),

Promatra se ponašanje krivulje g c (v0 — v,) u nekim posebnim slučajevima manevara sa zatvaračem.

jer se u njima veličina Ap, neće mijenjati, što slijedi iz analogije sa zaključcima izvedenim prilikom kon­ strukcije dijagrama udara u po volji odabranom pre­ sjeku pri naglom zatvaranju zasuna (v. si. 14-7). Postupak konstrukcije prikazane na si. 14-11, te sam dijagram udara nameće ove zaključke:

1. Naglo zaustavljanje gibanja pri naglom zatva­ ranju zatvarača. Grafička konstrukcija već je dana na si. 14-6, a može se dobiti iz dijagrama na si. 14-11 jednostavnim ispravljanjem traka 0 A A ,0 „ 0 ,A ,A ,0 ,. Povećanje tlaka bit će jednako ApaM = g c r „ i ovisi (preko veličine c) o elastičnim svojstvima sistema.

1. Porast ili pad tlaka pri hidrauličkom udaru ne ovisi o početnom tlaku p„. 2. Samo kod t <

2L

— r0, tj. kako se kaže: u

fazi izravnog udara, dijagram promjene tlaka Ap podudara se s krivuljom g c (v , — v,). 3. Počevši od trenutka t — T, (nakon potpunog zatvaranja zasuna) dijagram poprima periodički ka­ rakter sa periodom jednakim dvostrukom trajanju faze T0 = 2 r 0.

2. Trenutno smanjenje brzine u početnom presjeku od vrijednosti vo do v, > 0 djelomičnim naglim za­ tvaranjem zatvarača. Dijagram promjene tlaka Ap u ovom slučaju bit će analogan dijagramu na si. 14-6, pri čemu će porast i pad tlaka naizmjence sli2L jediti kroz intervale — , ali će se njihova veličina smanjiti do vrijednosti g c jv0 — v,).

4. Porast tlaka dosiže maksimum negdje u in­ tervalu T, ili na njegovu kraju. Za i > T, porast može dosjeći tu veličinu, ali je ni u kojem slučaju ne može premašiti. 5. Dijagram promjene tlaka Ap, u općem slučaju 2L ima diskontinuitete (u tangenti) u točkama — , 4 L ... vl „ t c — l , H,------ . . . . Diskontinuiteti u poc c sljednjim točkama ne bi se pojavili samo tada, kada bi krivulja g c (t>0 — o j imala horizontalne tangente za i = 0 i za i = T,. Budući da je takva mogućnost isključena, ekstremne vrijednosti mogu nastati samo

u trenutcima— , — . . . , te u T„ T, + — , T, +

3) porast tlaka R ,R , = g c (v , — v,), 4) pad tlaka

gdje su F i F , neke funkcije, koje se određuju prema početnom stanju gibanja tekućine i rubnim uvjetima na krajevima cjevovoda. Polazeći od navedenih rezultata, možemo doći do gore izloženog grafičkog rježenia. Primjećujemo da je sam N. E. Žukovskij dao grafičko rješenje u nešto drukćijem obliku. Pobliže se možemo upoznati s različitim grafičkim Tjtšcnjima u radovima N. E. Žukovskog, A. A. Surina, i J. J. Kukolcvskog, koji su spomenuti ranije u tekstu i u primjedbama.

C

Zadovoljavajući se ovdje samo grafičkim rješenjem pro­ blema, primjećujemo da njegovo analitičko rješenje dovodi do ovog sistema diferencijalnih jednadžbi N. E. Žukovskog: dp

/Bv

(K*

(14-16)

Bp Bi

i u toku vremena

dt>\

Bs

3. Postepeno smanjenje brzine (u početnom pre2L sjeku) do nule tokom vremena T, < — . Zatvaranje c se obavlja, dakle, u toku intervala vremena koji je manji od trajanja faze. Porast tlaka na zatvarač do­ stiže svoj maksimum na kraju intervala vremena T, i prema formuli (14-15) je ApaM = g c v 0, tj. kao kod naglog zatvaranja; dakle u ovom slučaju porast tlaka ne ovisi o T,. Takva vrijednost porasta tlaka 2L Ap održat će se u toku vremena — — T, na zatvaraču

•Ž

Integriranje tih jednadžbi daje:

v ** F (s — c t) — F, (i + c 0* Ap » p - p9 = ç c [vt - F (i - c i) - Ft (r + c i)],

2 {L -s) — T, u svakom presjeku c

s apscisom (s). Ako je T, < -— , onda u presjecima blizu vodoc spreme (rezervoara) porast tlaka neće doseći veličinu gcv0, jer će se odraženi val u tom dijelu voda poja­ viti prije negoli tamo stigne val maksimalnog tlaka, koji odgovara trenutku potpunog zatvaranja. 133

Pri T, = 0 tlak će biti svuda isti. Na si. 14-12. 2 L prikazan je dijagram kada je T, < — . 4. Postepeno smanjenje brzine (u poletnom pre2L sjeku) do nule u toku intervala vremena T, > — . U ovom slučaju porast tlaka neće doseći nigdje, pa čak ni kod samog zatvarača, vrijednost g c Uzmimo za primjer smanjenje brzine po line­ arnom zakonu:

ili:

ili: =

(14-18)

Povećanje tlaka ostat će takvo do kraja prve faze. 5. Udar pri zatvaranju po linearnom zakonu vre­ mena. U realnim manevarskim uvjetima umjesto zakona promjene brzine po vremenu V , — v (t) daje se zakon zatvaranja ili otvaranja zatvarača: 0 = 0 (1),

»1 = vo gdje je O, površina protjecajnog profila zatvarača, koja se mijenja u ovisnosti o vremenu. Kao tipični primjeri mogu se uzeti tlačni cjevovodi hidroelektrana, u kojima turbine imaju automatske regulatore, ovisne o pro­ mjeni opterećenja generatora. U ovisnosti o kon­ strukciji regulatora površina profila regulirajućeg organa turbine manje ili više neprekidno se mijenja po nekom zakonu. Najbliži stvarnosti je linearni zakon promjene otva­ ranja ili zatvaranja regulatomog organa:

Na si. 14-13 prikazan je dijagram promjene tlaka 4L d p , za T , ** 2 t0 = — , koji je konstruiran izloc ženim grafičkim postupkom. Lako je razabrati da će porast tlaka na zatvarač d p doseći maksimalnu vri­ jednost na kraju prve faze, tj. u trenutak i = t„ =

= 1-T '

“ "»i1 - M ) -

ie

Taj će maksimum, d p mM prema formuli (14-15) biti jednak: 4

^

.

0

4

-

1

7

čemu priblilno odgovara ovaj zakon promjene brzine v, prilikom zatvaranja:

to Oa

površina živog presjeka cjevovoda, površina propusnog presjeka za­ tvarača prije početka manevra (za 1 — 0), protjecajni koeficijent regulatomog organa.

tj. on će biti jednak nekom dijelu ^jednakom — =

6 11

04-17')

Kako se vidi, ni prva ni druga veličina (tj.d p „ „ 1 ne ovise o elastičnoj karakteristici sistema, tj. ne ovise o c. Formula (14-17) je poznata pod nazivom formula Mišo (Michaut). Ona je direktna posljedica formule Žukovskog. U nekom presjeku s apsdsom (j) maksimalni porast tlaka iznosit će samo jedan dio ^jednak

vri­

jednosti dpmkk„ koja se dobiva iz naprijed navedenih formula, tj.: a . i _2 g (7. s) v, ** Pmik»{*> p > 134

gT, što je u pravilu uvijek ispunjeno u hidrauličkim postro­ jenjima u kojima se obično ne dopušta povišenje tlaka preko (0.14-0,25). p c.

se provodi po formuli N. E. Žukovskog (14-1) za naglo zatvaranje: d p .« , = Qcv,.

B. OSCILACIJE TEK UĆINE U SISTEM U DOVODNI T U N E L — VODNA KOMORA KAO NESTACIONARNO GIBANJE NEELASTIČNE TEKUĆINE U NEELASTIČNOM CJEVNOM VODU

Iz prethodnog je već poznato da pojavu hidrauli­ čkog udara uvijek prate oscilacije tekućine u vodu. Ako je vod dug, oscilacije dobivaju golem zamah, koji postaje opasan za strojarnicu i ljude što u njoj rade. Doagadato se da su na crpnim stanicama zbog hidrauličkog udara, koji je nastajao pri trenutnom zaustavljanju crpki, pucale ventilne kutije na vo­ dovima i voda je brzo ispunjavala crpnu strojarnicu i odatle se izlijevala u halu za pogonske strojeve1». U promatranom slučaju takve oscilacije nastaju u sistemu tlačni (dovodni) tunel — vodna komora (v. si. 14-1). Zbog dominantnog značenja tih oscilacija zanemaruju se djelovanja elastičnih sila kako u samoj tekućini, tako i u stijenkama voda (tunela).

Opći izraz za gubitke tada će biti: 4 - r t v* =

v! l i

R\ -

(L , z t s g D \ - J L ( l + d\ 2g 2 -4 ) C s r ( î + ~2 D) ‘

Ako se označi: (14-19) onda će član koji prikazuje sve gubitke energije b iti: ti* U C’ R'

gdje su p , -f dp, tlak kod zatvarača,

ft

>W , =

2L Za T, < — , kao i u općem slučaju, proračun < 2,2 //„,

14-6. OSCILACIJE VODE U SISTEMU TLAČNI TUNEL — VODNA KOMORA

- r )

)

odecvAko se jednadžba (14-17) reducira na visinu stupca tekućine, ona će poprimiti ovaj oblik:

2 Lv,

Rješenje problema može se i u ovom slučaju dobiti pomoću prikazanog grafičkog postupka. U praktičkim slučajevima, pri relativno malim vrijednostima — — = gdje je H 0 tlačna visina Po e Ht kod zatvarača prije početka reguliranja, maksimalna veličina udarnog tlaka može se određivati (pri T, > 2L > -— ) jednostavno po formulama (14-17) i (14-17'). c Ove formule se mogu upotrijebiti ne samo kod malih vrijednosti ^ ž sO ! —

Po

S**o

Istraživanje procesa nestadonamog gibanja bilo bi znamo jednostavnije kad bi se mogao zanemariti utjecaj sila trenja, što nije uvijek moguće. Istraživanje se ograničuje na slučaj shematski prikazan na si. 14-14 i već opisan: A -B je tlačni tunel duljine L , poprečna presjeka to, koji počinje kod vodospreme C i završava kod ulaza u vodnu komoru BD, poprečnog presjeka O. Visina vode u vodo­ spremi je konstantna. Od vodne komore ide tlačni djevovod FG, u kojem se protoka regulira zatvaračem G.

sjeka (to = konst), za koje je v, — v , i

Član te jednadžbe, koji prikazuje gubitak energije po duljini voda, uzima se isti kao kod stadonamog gibanja, tj.:

takvom slučaju jednadžba nestacionamog gibanja (5-22) poprima oblik:

h, =

koje se pojavljuju u visoko-

_ t>* L' L do y ~ C ?R + ' d t’

v«L C* R ’

y \ jo w j€ u iju

4t

manje od 2,2 puta, tj. ako je: 2 gLv, < 2,2 pQ, T,

= 0. U

(14-20)

gdje je:

tlačnim hidrauličkim postrojenjima, već i onda kada udarni tlak - - I j —‘ premašuje tlak prije zatvaranja

U daljnjem će se promatrati vodotoci stalnog pre­

Poslužimo se jednadžbom nestacionamog gibanja (5-22).

lu is a m iu

u ip u ra

bitku h, dodati veličinu Z £ —

p u irc u u u

jc

gu-

koja prikazuje lo-

kalne gubitke tlaka. Opis potpune slike takve pojave može se naći u citiranoj knjizi A. A. Surina.

Istražuje se promjena protoke i osdladje razine vode u vodnoj komori zbog određene promjene pro­ toke u tlačnom vodu FG. Istraživanje se provodi uz ove pretpostavke: 135

a) Visina vodne komore je u poredenju sa dulji­bit će usporeno, ako je suprotna smjera. Pri ne­ gativnoj razlici gibanje će biti usporeno ako je u nom tunela L veoma mala, tako da se inercioni tlak smjeru od vodospreme prema vodnoj komori i obr­ mase tekućine u vodnoj komori može zanemariti nuto, bit će ubrzano pri suprotnom gibanju. u poredenju s takvim tlakom u tunelu. Zbog istog razloga zanemaruje se hidraulički otpor u vodnoj Tako, na primjer, kod razine u vodnoj komori N komori. i gubitka tlaka zbog trenja DM , koji je veći od ra­ b) Gubici zbog trenja po duljini tunela u svakom spoloživog đaka (y = z, — z), gibanje u tunelu u smjeru vodne komore bilo bi usporeno, zbog čega trenutku vremena izražavaju se pomoću srednje brzine bi nastao inercioni tlak: v>L' v, tako da se oni mogu izraziti kao C *R ' L dv MN = Ako se indeks »nula« odnosi na vrijednosti u g dr’ okolnostima stacionarnog toka, koji se određuje koji bi tada bio negativnim. položajem EE' piezometrijske linije i geometrijskom visinom zi slobodne površine u vodospremi, onda Jednadžba (14-22) sadrži dvije promjenljive ve­ će razlika razina u vodospremi i vodnoj komori biti: ličine, y i v, iz toga slijedi da za rješenje problema treba imati još jednu jednadžbu. Neka se sa O označi površina horizontalnog po­ (14-21) y, = O R ’ prečnog presjeka vodne komore, koja se u općem slučaju mijenja u ovisnosti o y i neka je protoka u Svaka promjena protoke u tlačnom cijevnom vodu tlačnom vodu Q stanovita funkcija vremena: uzrokuje otklon od stacionarnog toka najprije u tlač­ nom vodu, a zatim u vodnoj komori i tunelu. Raz­ Q r = Q r «• lika razina slobodnih površina u vodnoj komori i U takvom slučaju za neki neizmjerno mali in­ vodospremi u nekom trenutku vremena bit će y = terval vremena dr mora postojati uvjet neprekidnosti = z, — z t . Ona neće biti jednaka zbroju gubitaka (kontinuiteta) gibanja: tlaka između vodne komore i vodospreme, već će po jednadžbi nestacionamog gibanja (14-20) iznositi: Qt dt + Q d y = Q T dt, (14-23)

_ Ld»

IV

y ~ T d^Č V R ’ gdje predznak minus ( —) odgovara suprotnom gi­ banju vode u tunelu, tj. od vodne komore prema vodospremi. Dalje se dobiva da je: t>’ V 1 do _ y ± Č * *R g ' dr L

(14-22)

prema vodnoj komori bit će ubrzano i obrnuto, * U posebnom, slučaju, ako se uvrsti ** Cvi + Coi 3:5 1,5

0,025, tada je

¿ ' * £ + 60Z)«:L( i + 60-£). Kod dulji h vodova ^ kada je

< 1% j može se uzeti

V ==L, tj. netreba uzimati u obzir lokalne gubitke.

136

Budući da je Q, — oiv, tada je:

dr ~ Q

gdje predznak minus (—) odgovara gibanju u tunelu u smjeru k vodnoj komori, a predznak plus (+ ) odgovara suprotnom gibanju, od vodne komore k vodospremi. Brojnik na desnoj strani gornjeg izraza prikazuje u promatranom trenutku razliku između gubitka tlaka na putu od vodospreme prema vodnoj komori z, — z = y (si. 14-14) i gubitka tlaka za svladavanje otpora u tunelu pri odgovarajućoj brzini v. Pri podv ziuvnoj razlici je > 0, tj. gibanje od vodospreme

i uzme približno X

koji pokazuje da se volumen QTdt, koji u vremenu dr prolazi dačnim vodom, sastoji od volumena Q, dr, koji u istom vremenu prolazi tunelom, i volumena O dy, što nastaje od sniženja razine vode u vodnoj komori.

" , fi

(14-24)

Sistem diferencijalnih jednadžbi (14-22) i (14-24) mora dati analitičko rješenje problema oscilacija vode u sistemu tunel — vodna komora, ali nakon elimi­ niranja brzine v dobiva se diferencijalna jednadžba drugog reda s obzirom na y , koja se u općem slučaju ne rješava u kvadraturama, zbog čega se problemi takvog roda rješavaju približno grafičkim ili numeri­ čkim (u konačnim diferencijama) postupcima. Do analitičkog rješenja u konačnom obliku, koje je dovoljno točno za većinu praktičkih slučajeva, može se doći samo uz specijalne pretpostavke o zakonu promjene protoke QT u tlačnom vodu. Najvažniji su slučajevi: a) potpuno obustavljanje protoke QT u tlačnom vodu (potpuno zatvaranje voda) i b) prijelaz od stanja s protokom Q'T na stanje s protokom Q"T. Neposredna opažanja pokazuju da se stanje u sistemu tunel — vodna komora u novim okolnostima (stanje mirovanja ili stacionarnog gibanja) stabilizira nakon niza prigušenih oscilacija razine u vodnoj komori i brzine u tunelu. T e se oscilacije, za razliku od prije promatranih elastičnih oscilacija, zbivaju veoma lagano. Isključenje nastaje samo ondje gdje su tuneli veoma kratki. Zbog toga se svaka promjena

protoke QT u tlačnom vodu može smatrati trenutnom u poredenju s promjenama protoke u tunelu. Obično je dovoljno ustanoviti samo veličinu mak­ simalnog porasta i pada razine u vodnoj komori. Pri tome se dimenzije poprečnog presjeka vodne komore odabiru tako da i u najnepovoljnijem slučaju maksimalna i minimalna kota razine u vodnoj komori ne izlaze izvan zadanih granica, tj. da oscilacije razine u vodnoj komori ostanu u određenim visinskim gra­ nicama. Najnepovoljniji slučajevi jesu naglo potpuno za­ tvaranje i naglo otvaranje regulatomog uređaja tur­ bine, tj. naglo nastajanje maksimalne protoke. I za jedno i za drugo može se pretpostaviti da se zbiva u toku jednog trenutka, pretpostavljajući pri tome da se protoka iz vodne komore u tlačni vod ili odjednom smanjuje do nule (QT — 0), ili obrnuto, odjednom povećava od nule do QT. Istraživanje se ograničuje na prvi slučaj (QT = 0), koji nastaje pri naglom zatvaranju zatvarača G (si. 14-14), uz pretpostavku da je do naglog zatvaranja sistem radio u okolnostima stacionarnog gibanja. Drukčije rečeno, prije naglog zatvaranja: a) protoka tlačnog voda jednaka je protoci u tunelu, Qt = Q,\ b) horizont (razina) u vodnoj komori je stabilan (y = >>„), a vodna komora ne daje vodu u tlačni vod i ne prima vodu iz tunela; c) brzina strujanja u tunelu je stalna:

Prethodno provedimo analizu jednadžbe (14-26), zanemarjujući gubitke. Iako to nije slučaj potpuno realnog značenja, ipak analiza otkriva neke karakteri­ stike svojstvene svakom sistemu sastavljenom od tunela i vodne komore.

14-7. RJEŠENJE JEDNADŽBE (14-26), NE UZIMAJUĆI U OBZIR GUBITKE

Ako se pretpostavi da se nestacionarno gibanje tekućine događa bez gubitka tlaka, onda je M = 0 i jednadžba gibanja (14-26) postaje: . ^ + N ! ji = 0.

Dobivena jednadžba je diferencijalna jednadžba harmoničkog oscilatornog gibanja s periodom: r =

N

v ^ ^ i ( dy \ o f-\d t)

I tu g

.

y = A sin (N t + a).

(14-31)

V0W Q ■

(14-32)

U vezi sa (14-31) dobiva se: y a = A sin a

(14-33)

y,.c = A N cos a = - - q -.

(14-34)

Odatle slijedi:

Dalje se pretpostavlja da je vodna komora cilin­ dričnog presjeka (sa O = konst). Poslije deriviranja

tg a =

y»Q_N v„co

(14-35)

(14-25) po vremenu i i uvrštenja izraza - - i i i u dt (14-22) dobiva se jednadžba:

(14-36)

N-O^

m

M==Z

+ N ’ y = 0,

(14-26)

Pomoću (14-27) dobiva se: (14-37)

g to ~QL*

(14-27)

a 01

(14-28)

g & R'

(14-30)

Pri određivanju A i a treba sastaviti dvije jednad­ žbe, koristeći početne uvjete da je za t = 0, y = y a i (u vezi sa (14-25)):

4v dt (14-25)

=

Opći integral jednadžbe (14-29) jest:

y ,. , Nakon brzog zatvaranja protoka je Qr = 0, pa zbog toga jednadžba (14-24) poprima oblik:

(14-29)

pa umjesto (14-31) možemo napisati:

Jednadžba (14-26) omogućuje određivanje osiclacija u sistemu tunel—vodna komora.

y = ]/yJ + - j g r • sin

‘ + “)• (14-38)

Iz (14-38) slijedi da će maksimalna promjena razine u vodnoj komori s obzirom na razinu vodo137

spreme, ili drukčije rečeno, amplituda oscilacija u vodnoj komori, biti jednaka: 1 1 i J'aak« |

1 / 5 , VÎ <0 L J/^O "i“

(14-39)

odnosno: İ3V...I = \ h l + y'u >

(14-40)

gdje je: = t '” l / ö

' y

(14-41)

Iz jednadžbe (14-25) se dobiva: ü

dy

Period se povećava s povećanmjem odnosa —, tj. kraj stalnog presjeka tunela povećava se s povećanjem vodoravnog presjeka vodne komore. Obrnuto, porast ili pad razine u vodnoj komori ovisi o početnoj koti razine y , i o brzini t>0, te se smanjuje s povećanjem presjeka vodne komore. Odatle slijedi da svako povećanje presjeka vodne komore, uz jednake ostale okolnosti dovodi do smanjenja am­ plitude oscilacija i povećanja njihova perioda. Oči­ gledno je da bi (uz zanemarivanje gubitaka u vre­ menu nestacionamog gibanja) vodna komora morala biti visine ne manje od 2 da bi se razmak oscilacija mogao smjestiti u nju. Kvalitativno će rezultati ostati isti ako se gubici uzmu u obzir, jer će oni stvoriti samo postepeno prigušivanje oscilacija.

što s obzirom na (14-38) daje: v = —

’ N cos (Nt + a),

Mogu se neposredno iskoristiti jednadžbe (14-22) i (14-25), koje se mogu napisati u obliku:

a uzevši u obzir (14-27) i (14-28) dobivamo: v — — j/M * + nj • eos ( N t.-|- a).

14-8. OPĆE RJEŠENJE PRI NAGLOM ZATVARANJU. (GUBITAK TLAKA SE UZIMA U OBZIR)

do L ' T r ^ + S T R 1"

(14-42)

O dy v <0 dr

Maksimalna vrijednost brzine dobije se iz (14-42) za cos (N r + a) = + 1, naime:

i*».«i = |/ 4 í r + <

04-43)

Odatle slijedi da se i brzina u tunelu i razina vode u vodnoj komori mijenjaju u vremenu po zako­ nu sinusoide i to : brzina u granicama 4- | v„.k, | i | va»kal» a razina između 4j i — j vmaksi* tome oscilacije brzine zakašnjavaju u fazi u poređcnju s oscilacijama razine za 90°, odnosno (u vremenu) za r n 1¡ Q L T = 7 / 7 ' J-

Ispred člana ^ ^ • o* uzima se predznak minus ( —) ako se tekućina u tunelu giba prema vodnoj komori, a u protivnom predznak plus (+ ). Ako se prva gornja jednadžba podijeli sa drugom, dobiva se nakon jednostavnih transformacija: L

<0

do* _

L'

T ğ ’ ~Q " d y + e r k '

a) v1 — z, V a 2g _ „ b) + L ' o> ' C‘ R p

= *,

dz 4- P z + K y = 0. dy

Maksimalna razina se postiže u trenutku kada brzina postaje jednaka nuli. Promjena y je prikazana na si. 14-15. Analizirajući izraze (14-30) i (14-40) treba pri­ mijetiti da period t ovisi samo o geometrijskoj ka­ rakteristici sistema tunel—vodna komora, a ne o početnoj razini y , i brzini v„ prije manevriranja. 138

2 = e-je« [ c - I K y ««» • dy].

* = »* = - -p d p y - 1 +

Veličine P i K su konstante, pa se mogu staviti ispred integrala, a nakon toga se dobiva:

Dalje treba uvrstiti za brzinu izraz V =

z = e-'‘>[C - K j y
(14-47)

Dalje se razmatra dobiveno rješenje u primjeni na specijalne slučajeve važnog praktičnog značenja.

Pri naglom (trenutnom) zatvaranju zasuna te­ kućina će se po inerciji neko vrijeme gibati u tunelu i puniti vodnu komoru. Razina tekućine u vodnoj komori će se dizati, a brzina u tunelu opadati. Mak­ simalno uzdignuće razine vode u vodnoj komori prema hidrostatičkoj razini1' (y — — A) bit će postignuto onda, kada brzina tečenja u tunelu postane » = 0. No takvo stanje ravnoteže može trajati samo trenutak. Zahvaljujući tome da je razina u vodnoj komori postala viša od hidrostatičke razine, mora početi gi­ banje tekućine u tunelu u obrnutom smjeru, tj. od vodne komore prema vodospremi. Takvo će gibanje prouzrokovati sniženje razine u vodnoj komori, što će trajati sve dotle dok brzina obratnog gibanja u tunelu ne postane jednakom nuli (v = 0). Pri proračunu vodne komore važno je poznavati maksimalni porast i iza njega idući maksimalni pad razine vode u vodnoj komori, koji će se ovdje pro­ matrati svaki za sebe1'.

(14-45)

To je linearna diferencijalna jednadžba prvog reda’ Treba naglasiti da se uvedene oznake P i K mogu prikazati pomoću (14-21) i (14-41) u ovim oblicima:

i v = v0

ti

(14-46)

P ri - 1 +

odnosno: ^(».+01 - I — PA = 0. Nakon uvrštenja za P izraza iz (14-46) dobiva se jednadžba: e

lyjy.+a) *2m =

2 yo¿

ti ’

koja nakon logaritmiranja i nekih jednostavnih tran­ sformacija glasi:

(14-48) Posljednja jednadžba sadrži dvije nepoznanice u /\ y obliku relacija: — i — . Ako se jedna relacija una.Vo y m prijed zada odnosno odabere, druga se može od­ rediti iz te jednadžbe. Zbog pojednostavnjenja tehnike računanja može se jednadžba (14-48) prikazati u drukčijem obliku. Uvodimo oznaku: 2

(14-49)


a jednadžbu (14-48) pišemo u ovom obliku:

Iz toga slijedi da je konstanta integriranja: ^ = l /- 4 - [ < T + ln ( l -<*)] = 0 i M y*t 1 á C=

p _ T y>. t i _ t 2 -v» P - + 1Z - J S - + t i ’

O= - ^

S obzirom na (14-46), drugi uvjet će biti: a, = oj, odnosno z„ = — ^ K.

Q dy r , 0> at

--------- --

pa će se jasno vidjeti da se jednadžba ne može rije­ šiti u kvadiaturama. Već je primijećeno da će pri maksimalnoj vrijed­ nosti porasta (dizanja) razine u vodnoj komori (y = = — d) brzina u tunelu biti v = 0. Gornja jednadžba mora se zadovoljavati i za taj slučaj, pa uvrstivši te ekstremne vrijednosti u nju, dobivamo:

14-9. MAKSIMALNI PORAST I PAD RAZINE U VOD­ NOJ KOMORI PRI NAGLOM ZATVARANJU

y= y„

ednadžba (14-44) poprima jednostavniji oblik:

Opće rješenje (14-47) nakon uvrštenja u njega dobivene vrijednosti za C poprima ovaj oblik:

Opće rješenje linearne jednadžbe (14-45) jest:

Maksimalni porast razine. U ovom je slučaju pri rješenju jednadžbe (14-47) potrebno prije svega od­ rediti vrijednost konstante integracije C polazeći od početnih uvjeta gibanja. U promatranom slučaju početni uvjeti u trenutku zatvaranja (i = 0) biti će:

Uvođenjem oznaka:

0 ^

Veličine y c i i>0 pripadaju stacionarnom gibanju prije zatvaranja zasuna.

11 Napominje se da je za y pozitivan smjer nadolje od hi­ drostatičke razine. *’ Vidi I. I. Agroskin, Hidraulički proračun vodnih ko­ mora, »Hidrotehnika i melioracija*, 1950., br. 6 .

(M-50)

Iz jednadžbe (14--49) i jednadžbe (14-50) slijedi: A

a

1


0,(
(14-51)

139

Iz (14-50) i (14-51) se vidi da su nepoznanice — A y“ i — neke funkcije jedne te iste pomoćne veličine a. yo Zadavanjem numeričkih vrijednosti za a (0 < a < 1) pomoću (14-50) može se, dakle, odrediti odgovarajuća numerička vrijednost za — , a pomoću (14-51) vri­

se pomoću dijagrama sa si. 14-16 određuje odgova­ rajuća veličina —, pomoću koje se na kraju određuje y* tražena veličina. U drugom slučaju se zadaje veličina dopustivog porasta razine A, a traži se površina poprečnog pre­ sjeka vodne komore Si. Rješenje zadatka se svodi

odnosno:

-[■ « (S si-’e r ž -

na računanje veličine — i određivanje pomoću dija­ jednost za — i tako se može ustanoviti neposredna grama odgovarajuće veličine — . Nakon toga je lako zavisnost između veličina — i — . Takva zavisnost y „ y„ prikazana je na si. 14-16 u obliku krivulje u koordiA . y. natnom sustavu — i — . .Vo

odrediti vrijednost y M, a pomoću druge formule (14-52) određuje se tražena veličina Si. Kada se ne zahtijeva velika točnost, mogu se mak­ simalni porast razine A i površina presjeka vodne komore Si odrediti pomoću ovih približnih formula:

Iz (14-54) se vidi da relativni pad razine u vodnoj S v# komori — ovisi samo o karakteristici sistema — i o y„ y« A prethodnom relativnom porastu — . y
i —■

može se, dakle, odrediti tražena veličina — . Nurne-

. 2 A =Xv “ j J .

} ‘o

ričke vrijednosti — također su prikazane na si. 14-16 (14-53) Q= — A + T y,

a) odrediti maksimalni porast A (dizanje) ra­ zine vode u vodnoj komori sa zadanom površinom poprečnog psresjeka Q = konst, koji nastaje nakon brzog zatvaranja zasuna, drukčije rečeno, kontrolirati ponašanje zadanog sistema nakon isključenja opte­ rećenja na turbinama; b) odrediti površinu vodoravnog presjeka vodne komore Si, kod koje maksimalni porast (dizanje) razine nakon potpunog zatvaranja protoke u sistemu ne bi premašio neku unaprijed zadanu veličinu A. U prvom slučaju su poznati svi elementi sistema, pa prema tome i njegova karakteristika y u , koja je vezana s elementima sistema jednadžbom (14-41);

6' = y„ + 0 ,1 2 5 ^, (14-55)

Razmotreni su slučajevi koji nastaju pri naglom zatvaranju zasuna, kada protoka u tlačnom vodu po­ staje Qt = 0, a jednadžba (14-27) poprima oblik (14-28). Pri daljnjem istraživanju oscilacija razine u vod­ noj komori bilo bi potrebno proučiti suprotan slučaj, naglo (trenutno) uključivanje turbina u tad uz po­ četne uvjete statičkog stanja sistema. To nije od manjeg praktičkog interesa, jer se napajanje turbina u prvom trenutku nakon uključenja zbiva uglavnom

(14-56)

koja je praktički dovoljno točna za relaciju: y„ < 0J y ir Na taj način, pri stalnoj razini u vodospremi, vi­ sina vodne komore (predspostavljala se da je vertikalna) ne smije biti manja od A + i '. Ulazni (u vodnu komoru) presjek tunela mora da bude uvijek ispod razine vode, zbog čega razina mora da ima mini­ malnu kotu takovu, da bude ispunjena nejedna­ kost; «i - *».. > <5'-

1 + P A )e -^.

Tada će jednadžba (14-47), uz završne uvjet y = 6 i v = 0, poprimiti ovaj oblik:

1+ P A ' (14-52)

g \. y » l ' Prema tome, rješenje zadatka u prvom slučaju svodi se na određivanje y u pomoću prve formule (14-52), zatim se određuje veličina— , a nakon toga 140

â = y u - 2 y„.

1 - ps

1/ ojL y u = »o J 'O g odnosno:

Iz fizičkog smisla pojave izlazi da sniženje razine počinje nakon maksimalnog dizanja (porasta), tj. pri y = — A, kada je u tunelu brzina + v = 0. Opadanje razine će prestati pri y = i i — v — 0. Pri tome, razumije se, treba pamtiti da se u jednad­ žbi (14-44) u tom slučaju kod srednjeg člana mora uzeti predznak plus (+ ), jer će u vremenu opadanja razine u vodnoj komori tečenje u tunelu biti usmje­ reno od vodne komore prema vodospremi. Kako i pri proračunu maksimalnog porasta razine, pomoću jednadžbe (14-47) određuje se vrijednost konstante C uz početne uvjete (y — — A i z„ = = v; = 0): C=

= /(g ).

Za približne proračune može se uzeti:

Maksimalni pad razine. Pri određivanju maksimal­ nog pada (sniženja) razine y = d, koji nastaje u prvom periodu oscilacija nakon zatvaranja zasuna, treba riješiti istu jednadžbu (14-47), ali uz druge početne i završne uvjete.

Veza između — i — omogućuje rješavanje dvaju y°y» tipova zadataka uz zadane dimenzije tunela. Može se:

krivuljom £

na račun volumena vode akumulirane u vodnoj komori. Važno je pri tome ne samo izbjeći pražnjenje vodne komore i na taj način ne dopustiti ulaz zraku u tlačni vod, već i to da i u najkritičnijem slučaju manevriranja sa zatvaračem ulaz tunela u vodnu komoru ostane potopljen u vodi. Takav slučaj nastaje pri brzom uključivanju linije na normalno opterećenje (ili na maksimalno opte­ rećenje, ako za to postoje odgovarajući razlozi). Pri tome je potrebno, kao u prethodnom slučaju, zajednički riješiti jednadžbe (14-26) i (14-27). Maksi­ malni pad razine d' odredio bi se tada uz početne uvjete y = 0 i v = 0 i uz završne uvjete y = &' i v = 0. I ovdje konačni režim u sistemu tunel—vodna komora nastaje nakon niza prigušenih oscilacija, za vrijeme kojih u pravilu dolazi do pada razine u vodnoj komori za veličinu veću od y t . Pomoću proračuna sličnih prethodnim, koji se ovdje ispuštaju, utvrđeno je da se u ovom slučaju maksimalni pad razine u odnosu na hidrostatičku razinu određuje približnom formulom;

Uvrštavajući ovamo iz (14-46) izraz P = 2y* y ’„ ’ nakon logaritmiranja dobivamo: i -

2 y ,6

yjt - ^ - " ( r i + č ) = ln y>4 1 -f- 2 * i i ' yİ 141

Jednadžba (15-5) je opća diferencijalna jednadžba stacionarnog, lagano promjenljivog, nejednolikog stru­ janja u otvorenom koritu.

Derivacija je: d z _ dh d l ~ dT a

Pri određivanju derivacije po / člana

-

treba uzeti u obzir da je površina živog presjeka funkcija dviju promjenljivih: dubine vodotoka h i neke veličine b, koja karakterizira poprečne dimenzije korita (na primjer u koritu trapeznog presjeka to je srednja širina živog presjeka). Tako će biti: d / a \ _ di \2 g (u'j

POGLAVLIE 15

a Q* /Sto dh e tu* ( 3h dl

15-2.

PARAM ETAR KINETIČNOSTI

ci 0" B Promatra se veličina------■, koja stoji u nazivniku gto jednadžbe (15-5). Ona se može prikazati ovako: a Q 1B gto3

Sr­ Sb

Razlomak

OSNOVE STACIONARNOG STRUJANJA U OTVORENIM KORITIMA

U poglavlju 13. se razmatralo strujanje pod tlakom u zatvorenom koritu. U takvom je slučaju površina živog presjeka jednaka geometrijskoj površini pre­ sjeka korita. Lokalni otpor u takvom koritu, na pri­ mjer zasuna, dijafragme i si., ne prouzrokuje promjenu živog presjeka u čitavom koritu, koje je ograničeno krutim zatvorenim profilom. Utjecaj takvih otpora u punom zatvorenom koritu manifestira se promjenom tlaka po duljini voda. U ovom poglavlju razmatra se stacionarno strujanje u otvorenim koritima, uključujući i tečenje u zatvo­ renom koritu koje je samo djeločmino ispunjeno te­ kućinom. Strujanje u otvorenom koritu karakterizi­ rano je time što su sve točke slobodne površine vo­ dotoka pod istim tlakom sredine (atmosfere). Svaka promjena gibanja u takvom koritu, na pri­ mjer zbog neke pregrade, proširenja ili suženja korita, promjene pada njegova dna i si. neizostavno povlači sa sobom promjenu živog presjeka, a prema tome i promjenu koordinata slobodne površine vodotoka. U daljnjem izlaganju promatrat će se samo takvo stacionarno strujanje u otvorenim koritima, pri kojem je zakrivljenost pojedinih elementarnih strujnica te­ kućine (linija toka) veoma mala, a brzine čestica su gotovo normalne na živi presjek, koji se uzima ravnim. Uz takvo ograničenje mogu se zanemariti komponente brzine u ravnini živog presjeka pri izvođenju jed­ nadžbi gibanja tekućine i može se pretpostaviti da se tlak u živom presjeku raspodjeljuje po hidrostatičkom zakonu (v. 5-2). Gibanje tekućine koje zadovoljava takve uvjete zove se lagano promjenljivo, a događa se u koritima čije se dimenzije i oblik mijenjaju u maloj mjeri uzduž trase voda.

is-l. DIFERENCIJALNA JEDNADŽBA STACIONAR­ NOG LAGANO PROMJENLJIVOG STRUJANJA

Razmatra se uzdužni profil pravolinijskog. vodo­ toka po liniji najvećih dubina, si. 15-1. Pretpostavlja se da se geometrijske dimenzije korita mijenjaju lagano i da je sam vodotok u lagano promjenljivom strujanju.

to

Q

= sin & pad dna korita; = tlak na slobodnoj površini; — najveća dubina vodotoka u promatranom živom presjeku, koja je različita za razli­ čite presjeke; = površina živog presjeka, koja je različita za različite presjeke zbog promjene h i dimenzija korita; = stalna protoka stacionarnog vodotoka;

v — — = srednja brzina u živom presjeku vodotoka,

I

koja se mijenja u ovisnosti o živom pre­ sjeku; — hidraulički pad. Ovdje će se iskoristiti jednadžbe (5-19);

a Q * B _ ^ a v*l2 g g
Hidraulički pad se može izraziti iz jednadžbe 6-28 kao: i ...

6» a P C 'R '

(15 3)

što je dopušteno za lagano promjenljivo strujanje. Uvrštenjem nađenih derivacija i izraza za hidra­ ulički pad u (15-1) dobiva se ova jednadžba; dh dl

a Q 1 /Sto g
*

dh dJ

02 dh da> d6\ d i + Sb d l) + to1 C‘ R

Gornji razlomak prikazuje odnos specifične ki­ netičke energije a v'12 g prema specifičnoj potencijal­ noj energiji, koja je uzeta s obzirom na srednju dubinu h„, te prema tome karakterizira energetsku strukturu vodotoka. Zbog toga će se u daljnjem izlaganju bezdimenzionalna veličina — =-— — zvati parametar kig to* g h„ tičnosti vodotoka. Zbog kratkoće oznaćavat će se parametar kinetićnosti sa 77„ tj.: a Q* 5 g^P ^

i

a

Qt

l1

a C1 R Sto d i \ gto Sb d l ) a Q’ Sto gto * Sh

t

Na si. 15-2 se vidi da prirastu dubine dh odgovara prirast površine živog presjeka B dh (koji je na slici zacrtan). Prema tome je B d h — - ^ - - dh, odno­ sno:

gdje je B širina vodnog lica živog presjeka (širina presjeka na slobodnoj površini). Nakon toga jednadžba (15-4) poprima ovaj oblik: dh dj

a = /i + (Z. — /) i.

prikazuje srednju dubinu živog pre-

B

Tako se dobiva:

a odatle je:

Treba odrediti derivacije po / od svakog člana u zagradama. Koordinata a neke točke B na slobodnoj površini i na udaljenosti / od po volji odabranog po­ četka A -A , koja se odmjerava od horizontalne ravnine kroz točku C na dnu vodotoka i na udaljenosti L od A -A , može se izraziti ovom formulom, si. 15-1:

to ~B'

sjeka:

Uvode se ove oznake: i p„ h

avi B _ 2 gto 2g

'

Q* / , CD*CPR \

a CP R Sto di^ gto Sb d l)

ri? L o i . i g to1

^ ■1 '

_a v* ‘ ~gK /

(15-6)

Bezdimenzionalna veličina —¡, u kojoj je / neka g‘ za vodotok karakteristična linearna veličina (v. (6-15)), zove se Froudeov broj (Fr) i on je, kao i Reynoldsov broj, jedan od kriterija sličnosti. Na taj način izlazi da je parametar kinetičnosti jedan od oblika Froudeova broja, u kojem kao karakteristična linearna veličina nastupa srednja dubina vodotoka. U takvom obliku Froudeov broj prikazuje stepen kinetičnosti vodotoka i može se nazvati parametar kinetičnosti.

15-3.

OSNOVNI O B U C I STACIONARNOG STRU­ JANJA U OTVORENOM KORITU

Jednadžba (15-5) prikazuje zakon promjene du­ bine vodotoka uzduž njegova korita sa veoma lagano promjenljivim oblikom i dimenzijama. Prije svega treba razmotriti specijalno stacionarno strujanje u prizmatičkom koritu, tj. kada su dimenzije i oblik korita stalni po čitavoj duljini vodotoka. Tada 143

je

15-4. SPECIFIČNA ENERGIJA I NJEZINE PROMJENE UZDUŽ VODOTOKA. SPECIFIČN A ENERGIJA PRESJEKA

= 0 i jednadžba (15-5) se znatno pojedno­

stavnjuje, poprimajući specijalni oblik: QQr dh '~ a i '- O R _ ' “ K~d/~, a Q* B ~ T ^ T T k ’ ga*5 gdje je K = to C\IR. Dalje se razmatra slučaj kada se stacionarno struja­ nje u prizmatičkom koritu zbiva pri stalnoj dubini A, u svim živim presjecima. Pri tome će površine a* u svim živim presjecima i brzina strujanja kroz njih u biti stalne uzuž vodotoka, a strujanje u njemu bit će jednoliko. Dubim vodotoka koja odgovara jednolikom stru­ janju u njemu zove se normalna dubina /*„. U specijalnom slučaju, kada je ~ — 0, jednadžba poprima oblik: O2 1 ~ o /-0 R ~

i ,,, Prije prijelaza na daljnje poručavanje naprijed na­ vedenih jednadžbi treba se zaustaviti na analizi toka s energetskog stanovišta. Mehanička energija mase tekućine koja protječe u jedinici vremem kroz promatrani živi presjek vodotoka, reduciram m jedinicu težine i određena s obzirom na neku horizontalnu ravninu, zove se specifična ener­ gija vodotoka. Ona se označuje sa E. Specifična energija vodotoka E za sve žive pre­ sjeke vodotoka mora se određivati s obzirom na jednu te istu horizontalnu ravninu. Ona se izražava tro­ članom: E — z + P_ , V 2g '

Pojam specifična energija presjeka je pogodan za objašnjenje fizičke biti niza pitanja iz područja sta­ cionarnog gibanja tekućine u otvorenim koritima. Specifična energija vodotoka E u nizvodnim pre­ sjecima mora se uvijek smanjivati, tj. mora biti:

specifična energija presjeka opada.

jer stacionarno strujanje nastaje na račun smanjenja te energije. Specifična energija presjeka £o u svakom se pre­ sjeku određuje s obzirom na svoju horizontalnu rav­ ninu, pa zbog toga karakter njezine promjene uzduž vodotoka zahtijeva posebno objašnjenje. Prema si. 15-1 je = i(L — i). Iz same definicije slijedi da je: E« = £ - z „ = £ - / ( £ - / ) .

Kod vodotoka sa slobodnom površinom neće se uzimati u obzir atmosferski tlak, koji je isti za sve presjeke, a u izrazu za E član p će označivati manometarski tlak.

iz čega slijedi:

Iz toga se dalje dobiva: d£» d l'

Q — to C \’R i = K y i ,

1,

dE« d/"

Q = « *C |/i?i

K.


i _ ( £ ’ \K j i -n „

(15-8)

gdje je:

z + — — z + h' = z 0 + h, V gdje je h najveća dubina u živom presjeku. 3. Stacionarno nejednoliko strujanje u ne- Specifična energija vodotoka može se pri tome prizmatičkim koritima (ne uzimajući u obzir atmosferski tlak) izraziti u obliku: 0* ( aC *R d i) '

"

g<»

r = T 7;

Sb

d l)

,,cm

’U

E = z0 + h +

J

Treba obratiti posebnu pažnju na jednu osobitost jednadžbi (15-8) i (15-9). Pri vrijednosti parametara kinetičnosti jednakoj jedinici, tj. kad je

. — = 1, nazivnik tih jedS
Promatra se ovisnost specifične energije presjeka: E° = h H

2g

o dubini vodotoka u živom presjeku. U ovisnosti o uvjetima strujanja (pad, hrapavost) jedna te ista protoka Q može protjecati kroz proma­ trani presjek korita različitim brzinama, pa prema tome i pri različitim dubinama. S promjenom dubine i brzine mijenjat će se i potencijalni dio specifične energije presjeka (E“„, = = li) i njezin kinetički dio / ¡.o — Q- ■ °° i £ “ -* o o . Povećanje dubine uzrokuje povećanje E°m i smanjenje E°,„. Ako h -> o o , onda EJ01 -*• o o , £¡¡,„->0 i ponovno E” -*• oo. Na taj način postaje jasno da se. u grafičkom prikazu promjene specifične energije presjeka u ovi­ snosti o promjenama dubina £ “ = / (h) mora dobiti neka krivulja sa dvije grane koje idu u beskonačnost.

—— = 0, odnosno £° = kosnt., dl

Pri lagano promjenljivom gibanju hidrodinamički tlak se raspoređuje po hidrostatičkom zakonu, pa će zbog toga za svaku točku Ai živog piesjeka (si. 15-3) biti:

V*

dh dl

— i K = to C | R. [İ

Iz posljednje jednadžbe se vidi da je pri jednoli­ kom strujanju (AT = K„)

(15-7)

2. Stacionarno nejednoliko strujanje u pri­ zma tičkim koritima

oj

(15-11)

gdje je:

Jednoliko strujanje

dh _

dE . d/ + 1 “ _ 1 ‘

ili je prema (15-3) :

a to je već poznata jednadžba (6-28), jer ovdje je / = ». Na taj način, pri detaljnom proučavanju stacio­ narnog strujanja u otvorenom koritu, mogu se izdvo­ jiti ovi osnovni slučajevi:

Na kraju treba primijetiti da za horizontalne od­ sječke kanala (i — 0) ili za odsječke s obrnutim padom (i < 0) jednadžba (15-11) daje samo negativne vri. dE° jednosti ili drukčije rečeno, na takvim odsjcčcima

2g

U daljnjim istraživanjima će se specifična energija određivati s obzirom na ravninu koja prolazi kroz najnižu točku živog presjeka (z0 = 0). Specifična energija u nekom živom presjeku, određem s obzirom na horizontalnu ravninu kroz m jnižu točku presjeka, zove se specifična energija presjeka i označuje sa E°, tj.: E« = h + ~ = /* + — Q* co-‘. 2g 2g

(15-10)

dok pri nejednolikom gibanju tekućine (AT AT„) specifična energija presjeka može i lasti i opadati nizvodno uzduž toka, u ovisnosti o veličini razlomka K JK . Fizički smisao gornje konstatacije opisuje sc dalje. Pri jednolikom gibanju tekućine tad sila teže je određen veličinom i na izvjesnom odsječku toka i potpunoma se troši na svladavanje hidrauličkih ot­ pora. U svakom presjeku promatranog vodotoka ve­ ličina specifične energije presjeka ostaje nepromije­ njena. Ako je srednja brzina vodotoka manja od srednje brzine jednolikog toka, onda za svladavanje sma­ njenih hidrauličkih otpora nije potreban ukupan rad sile teže, pa će zbog toga u nizvodnim presjecima nastati neko povećanje specifične energije presjeka. Obrnuto, ako je srednja brzina vodotoka veća od brzine jednolikog strujaja, onda će se na svladavanje otpora trošiti više energije nego što je daje rad sile teže pri padu i na promatranom odsječku, a potrebna dopunska energija će se uzimati od specifične energije presjeka, zbog čega će specifična energija svakog nizvodnog presjeka biti manja od specifične energije susjednog uzvodnog presjeka. A grosktn: H id raulika

Na si. 15-4 za korito, koje je također tamo pri­ kazano, dubine h su odmjerene po osi ordinata, a po osi apsrisa su odmjerene odgovarajuće veličine spe­ cifične energije presjeka a i njezinih komponenata. Potencijalni dio specifične energije presjeka E"lo, = — h prikazan je pravcem — raspolovnicom kuta iz­ među koordinatnih osi. Kinetički dio specifične ener­ gije presjeka prikazuje se nekom krivuljom (točkastom) drugog reda. 145T

Promjena specifične energije presjeka prikazana je krivuljom, koja za asimptote ima os apscise i raspolovnicu kuta (pravac E°w ), te minimalnu veličinu UJ,,. za neku vrijednost dubine vodotoka htr.

ima minimum kod veličine Ii = ht „ koja zadovoljava jednakost: ° Q ',_ « i t

Dubina vodotoka pri kojoj specifična energija pre­ sjeka za zadanu protoku postaje minimalna zove se kritična dubina i označuje sa k„. Iz promatranja krivulje specifične energije presjeka primjećuje se da njezina gonga grana prikazuje porast energije E° za h > htr, dok njezina donja grana, koja odgovara vrijednostima h < hM prikazuje smanjenje energije E" s porastom dubine vodotoka. U vezi s tim treba razlikovati ova stanja otvorenih vodotoka: a) silovit tok, pri kojem su dubine manje od kritič­ ne dubine (h< h,r); porast specifične energije presjeka takvog toka nastaje zbog povećanja njegova kinetičkog dijela energije, uz istodobno smanjenje njegova po­ tencijalnog dijela; b) m ira n tok, pri kojem su dubine veće od kritične dubine (h > htr) ; povećanje specifične energije pre­ sjeka takvog toka nastaje zbog povećanja njegova potencijalnog dijela, uz istodobno smanjenje njegova kinetičkog dijela energije; c) k ritičan tok, pri kojem je dubina vodotoka jed­ naka kritičnoj dubini (h — hir). Određivanje stanja toka, na taj način, ide putem uspoređenja dubina vodotoka sa veličinom kritične dubine, koja odgovara promatranom vodotoku. Dalje se prelazi na proračun kritične dubine.

1S-6.

.. , a«’ , . a Q3 . E" = h -I- — = h + ■ to 2g 2g postaje minimalna veličina. U tu svrhu treba naći prvu derivaciju gornje funkcije: d£" "dh

d_ tjjl

a Q2 da> goi3 dh

da) ili, uzimajući u obzir da je ^ = B:

(15-12) ’

a Q»B = i - n k. i» ’

Uzimajući u obzir da je druga derivacija proma­ trane funkcije pozitivna, izvodi se zaključak da £° 146)

gdje je b širina korita i q specifična protoka (na jedinicu širine korita). U takvom slučaju jednadžba (15-12) poprima novi oblik:

^2*. irr ~ 1Odatle slijedi da je (kod a = 1): = \ 'g K kr.

”>hk.p pa se prema tome kritična dubina u vodotocima s pravokutnim presjecima određuje formulom:

**'“ I^T'

Pri tome, što se više razlikuje h od htT, to se više razlikuje parametar kinetičnosti od jedinice i to je veći stepen silovitosti ili mirnoće toka. Jednadžba (15-12) zadovoljava samo za /i = hkr, pa prema tome se kritićna dubina može određivati iz te jednadžbe. K orito općenita oblika. Kritićna dubina za ko­ rito općenita oblika nalazi se iterativnim rješavanjem jednadžbe (15-12) ili se konstruira krivulja specifične energije presjeka, pa se pomoću nje određuje htT.

T rapezno korito. Za proračun kritičnih dubina u trapeznim koritima predlaže se slijedeći analitički postupak11: Za trapez vrijedi: površina to = b h + m h1, a širina vodnog lica je 11 -■ b !- 2 m /:, gdje je 6 Širina dna trapeznog korita, a m koeficijent pokosa (m = = ctg0).

_ Zt (1 T “p -----5----- --I' 1 + 2 aT Iz izraza za z T i z r se vidi da je: "k . ft

= — , odnosno lik. =

zp

razlomak — — y . U tablici III dane su vrijednosti zr z t i — = k prema jednadžbi (15-17). zp

I,l_j_l2= = 16,15 ms 9,81

- 8 h + A*

Zp Jednadžba za kritičnu dubinu (15-12) za trapezni presjek poprima oblik:

Primjedbe

li

0,2

8 ,4

1,64

4,41

0,52

0,4

8 ,8

3,36

37,93

4, 3 i

0,6

9,2

5,16

137,39

14,93

0,8

9,6

7,04

348,91

36,35

al Bt,

o j2 2 = (bhtr + mh\ , f g b~+ 2 m htr 16 , 1 5

- S T T ’ (IS ( l + 2 ^ )

Uvodi se oznaka za bezdimenzionalnu veličinu: m ht .

a>3 Zatim se crta graf -=■ = / (A) sa si. 15-5 i pomoću a £> odgovarajuća veličina hkr — 0,62 m.

(15-18)

zr Razlomak — može se s dovoljnom točnošću izzp raziti u ovisnosti o z,. kao:

TAB LIC A 15-1 s + ih

hk. r ~

Veličina razlomka — može se odrediti ovako:

Za niz veličina dubine numeričke vrijednosti izraza
a -

(15-17)

Po zadanoj, odnosno odabranoj veličini z r, od­ ređuje se pomoću (15-17) veličina z pt a prema tome i

Jednadžba (15-12) poprima ovaj oblik:

h

(15-16)

|’ l + 2 z T

Ako se kao kod trapeznog oblika označi m hk J b = = tsr, onda se gornja jednadžba može napisati u ovom obliku:

(l5~l3)

Primjer'. Treba odrediti kritičnu dubinu za 0 = 1 2 m’/s u trapeznom koritu sa 4 = 8 m i Q = 45° (si. 15-4). Ovdje je b širina dna trapeznog korita.

m

g ( l + 2r)

b

pri kritičnom toku je IIk — I, pri mirnom toku je IIk < I, pri silovitom toku je IIt > 1.

«£?• g

Nakon toga umjesto jednadžbe ( 15-15) nastaje ova jednadžba:

(15-12’)

Usput treba primijetiti da iz (15-12) slijedi još jedan jednostavni kriterij za procjenu stanja toka, naime:

njega se za određenu veličinu dE" ~dh

Uvodi se u razmatranje veličina kritične dubine u pravokutnom presjeku s istom protokom Q i istom širinom dna kao u promatranom trapeznom presjeku. Veličina takve kritične dubine hk. p prema jednadžbi (15-13) bit će:

odnosno u vezi sa (15-6) kod:

PRORAČUN KRITIČNE DUBINE

Određivanje kritične dubine potrebno je ne samo za ocjenu stanja toka, već i za niz hidrauličkih pro­ računa koji će se promatrati. Iz same definicije kritične dubine slijedi da je kod nje specifična energija presjeka minimalna, pa prema tome pri određivanju kritične dubine treba naći onu dubinu, za koju:

B

P ravokutno korito. Za vodtoke pravokutna pre­ sjeka (općenito za ravne probleme) uvodi se veliči­ na i oznaka:

= 16,15 nalazi

Ista veličina za hkr može se odrediti i pomoću kri­ vulje za specifičnu energiju presjeka, ako se ona kon­ struira za promatrani zadatak (si. 15-4).

pa time jednadžba (15-14) postaje: a

mJ _ [zT- (I + z T)p gb‘ ~ 1 + 2 zT

(15-15)

Ako se taj izraz za — uvrsti u formulu (15-18), ■°P dobiva se formula za proračun kritične dubine u tra­ peznom koritu: / , t T = ( ‘ ~ T + 0)105 * i)

(15-19)

Napominje se da je ovdje hk . p kritična dubina za pravokutno korito, koje ima istu širinu dna i kao trapezno korito i z n = m hk p U prethodnim proračunima može se ispustiti član 0,105 zp u jednadžbi (15-19). A. I. Kostin, polazeći od formule (15-16), nakon niza transformacija i uvođenja srednjih vrijednosti, dobio je formulu: V ,

I. I. Agroksin, Proračun kritičnih dubina u trapeznim kanalima, •Hidrotehnika i melioracije« 1952, No. 9.

= 1 - 4* + 0,105 a1. i

1,3m

(15-19’) l,3 ± m 147

Nakon svega izlazi da se pri određivanju kritične dubine u trapeznom korim može poslužiti a) formulom: • 6t .p

h uzimajući veličine k

K ružni kanali. Živi presjek takvih kanala je seg­ ment kruga radijusa r i sa centralnim kutom f. T u se dobiva: 1 " tr = y (f » ~ sin
k • hk.p>

¡z tablice III;

1 — cos

Btr = 2 sin

f

V ,

b) neposredno približnim formulama (15-19)

2

ili ^ r = 2 „ „ ^ = / ( , ,) .

(15-19').

T rokutna korita. Za kanale s trokutnim presje­ kom i koeficijentom pokosa m jest:

Za određeni oblik i određeno stanje korita može normalna dubina, kod koje protječe zadana protoka, biti različita, u ovisnosti o padu. Očigledno je da se kod nekog pada može dobiti normalna dubina, jednaka kritičnoj. Pad kod kojeg je normalna dubina jednaka kritičnoj dubini zove se k ritič n i p a d (i,.). Pri jednolikom tečenju s kritičnim padom moraju se istovremeno zadovoljiti jednadžbe (15-7; i (15-12), ij. mora biti ispunjeno: a Q- _ culT Q= C„, | 'R kr ■ik. ~ r ~~ i h .

Rješenjem tih jednadžbi dobiva se: Gk r

Ako je stvarni pad vodotoka (>) manji od kritičnog pada ikr, onda je normalna dubina veća od kritićne dubine i tok je miran. Obrnuto, pri i > ikr normalna dubina vodotoka je manja od kritične dubine i tok je silovit (buran).

U vezi s jednadžbom (15-12) se dobiva: oQ ! =

. F(

) = / / M ( , 5-22«)

8 1/ 2 |T — cos f t

pa jednadžba (15-12) poprima oblik:

\ r J

odnosno: W = 0,5 2 m htr

g

— sin
1 — cos
= / '( - f ) .

( , 5 -2 o )

Zadavanjem veličine razlomka

05-22)

može se odrediti

veličina kuta
] / 1 h k,

sin i i = 1/ , 4 r 2 r iz (15-22) odrediti odgovarajuća veličina izraza tako vrijednosti — i prikazati tablicom IV i dijagramom sa si. 15-16. S oznakom q =

izraz - - j/ ~

j može se

prikazati u obliku: P arabolična korita. Za kanale paraboličnog presjeka s parametrom parabole p dobiva se:

2

ojkr — ^ Bk, hkr,

___

Bkr — |. 8 p h kr,

gdje je (At.,), kritična dubina za korito pravokutna presjeka, širine r. Tablica IV je sastavljena u ko­

te umjesto jednadžbe (15-12) nastaje: « ff g

4

jer je 148

4

21 = 0,455 p 0,455.

ordinatama

i — .

15-7.

KRITIČNI PAD

_ 64 .4 ~Bt , 2 1 P h‘r

Tako se za parabolična korita uz g = 9,81 m/s2 i a = dobiva:

K =

1 l/gg* = (**■,).■ r f g r

(15-21)

Kritična dubina, kako se to iz naprijed izloženog vidi, ovisi samo o geometrijskom obliku vodotoka i protoci, ali ne ovisi o padu i stanju oplošja korita. Međutim pri jednolikom tečenju, dubina koja se ustaljuje u koritu (takozvana normalna dubina) ovisi baš o padu i stanju korita. 149

Treba naglasiti da se hidraulički najpovoljniji profil kanala može projektirati samo onda ako ne postoje nikakva ograničenja u izboru parametara o kojima ovisi površina to. Ako je jedan od geometrijskih parametara kanala, na primjer dubina, zadan, što se veoma često događa u hidromeliorativnoj praksi, onda već nema varijiranja za druge parametre. Ostali parametri kanala se tada jednoznačno određuju iz jednadžbe za protoku. Očigledno je da će se tada dobiti: R < Konkretni postupci nalaženja parametara hidraulikči najpovoljnijeg profila razmatrat će se u daljnjem izlaganju.

POGLAVLJE 16

JEDNOLIKO STRUJANJE U OTVORENIM KORITIMA 16-2. 16-1. O PĆ I OPIS. HIDRAULIČKI NAJPOVOLJNIJI PROFIL

Jednoliko strujanje u otvorenom koritu može na­ stati samo uz određene uvjete, naime: 1. kod stalne protoke Q = kosnt.; 2. kod stalnog živog presjeka to = konst.; 3. kod stalnog hidrauličkog pada 7, koji je jednak u takvom slučaju padu dna korita (i); 4. kod iste hrapavosti omočene površine korita uzduž vodotoka (« = konst. ili k = konst.); 5. ako ne postoje lokalni otpori. Nabrojeni uvjeti postoje uglavnom u umjetno izgrađenim vodotocima — kanalima. U vezi s tim u ovom poglavlju razmatraju se u prvom redu hidraulički proračuni umjetnih vodotoka. Osnovna jednadžba za proračun jednolikog struja­ nja bila je napisana u obliku (15-7) kao: Q =
Tako, na primjer, kod trapeza je tu = f (b, h, m), kod parabole s parametrom p je co = f(p ,h ), kod segmenta s centralnim kutom