Hidraulika zadaci

HIDRAULIKA 1

 

vebe

Proraqun normalne normalne i kritiqne kritiqne dubine  dubine 

Zadatak 3.1

Beskonaqno dugaqkim kanalom trapeznog popreqnog preseka, protiqe Q  = 5α m3 /s vode. Maningov Maningov koeficije koeficijent nt za oblogu oblogu kanala je n  = 0.016 m−1/3 s. Odredi Odrediti ti normalnu i kritiqnu dubinu za sluqaj da je nagib dna kanala I D1  = 0.001 i I D2  = 0.01.

Q ∞ 

1 : 2   2  

  2   1 :  2

b

∞ 

=

β  m

Skiciranje Skiciranje linije linije nivoa 

Zadatak 3.2

Na skici skici je prikaz prikazan an kanal kanal koji koji se sasto sastoji ji od dve deonic deonice e razliq razliqit itih ih nagiba nagiba.. −1/3 Maningov koeficijent je isti za obe deonice i iznosi n = 0.018 m Skicirati i s. Skicirat oblik linije nivoa i oznaqiti smer proraquna za sluqaj da su nagibi deonica dna kanala: 1. I D1  = 2. I D1  =

α

20

%, I D2 =

β 

%;

3

β 

α

3

20

%, I D2  =

%.

  2   1 :  2

1 : 2   2  

α/2.5 m

Q

b =  β  m I D1 I D2

1

β /2 m

HIDRAULIKA 1

 

 Domai 3

vebe

Linija nivoa 

Kanalom trapeznog popreqnog preseka, koji spaja dva jezera, teqe u ustaljenom reimu 2.2α + 1.8β  m3 /s. Kota nivoa vode u nizvodnom jezeru je K 2  = 100.00+0.5β  m. Koeficijent lokalnog gubitka energije na ulazu u kanal je ξ ul = 0.3. Maningov koeficijent hrapavosti za kanal ima vrednost n  = 0.014 m−1/3 s.

   5   1.   :   1

K 1

2 m

Q ξ ul = 0.3

n = 0.014 m3/s I 1 I 2

K 2

L1 100.0

L2

1

2

I 1 = 2% L1  = 250 m I 2 = 0.1% L2  = 1500 m

I 1 = 0.1% L1  = 1500 m I 2 = 2% L2  = 250 m

Nacrtati u razmeri liniju nivoa i liniju energije. Sraqunati kotu vode u uzvodnom jezeru (K 1 = ?).

1

HIDRAULIKA 1

 

vebe

Objaxnjenja zadataka Zadatak 3.1 Geometrijske karakteristike trapeznog popreqnog preseka: Xirina vodenog ogledala:

(1)

B (h) =  b + 2 m h

B h

Povrxina popreqnog preseka:

1 : m 

1 : m

A(h)





(2)

1 + m2

(3)

A(h) =  h b + m h Okvaxeni obim:

b

O(h) =  b + 2 h

O (h)

 

Hidrauliqki radijus:

Oznake u jednaqinama

R(h) =

A(h) O(h)

(4)

Proraqun normalne dubine:

Normalna dubina (oznaka je hN ) je dubina koja se javlja pri jednolikom teqenju. Ova dubina se moe izraqunati pomou Xezi–Maningove jednaqine 1 : Q  =

1 n

2/3

 A N  R N 

 

(5)

I D ,

pri qemu su: AN  = A(hN ) i RN  = R(hN ). Moe se pokazati da se rexenje ove jednaqine ne moe izraqunati analitiqki qak ni u sluqaju najjednostavnijih oblika popreqnog preseka. Rexenje ovog problema emo traiti primenom Njutnove metode: AN,i ON.i

= b hN,i  + m h2N,i

  − 

nQ √  I 

D

F  (hN ) =

−

2 3

2/3

(8)

5 (b + 2 m hN,i )ON.i 2

AN.i

− 2 AN.i

√ 1 + m

2

5/3

ON.i

− F F ((hhN,iN )) |hN,i − hN,i | × 100

= hN,i

ε =

(7)

AN,i RN,i

2/3

hN,i+1

1 + m2

= b + 2 hN,i

F (hN,i ) =

(6)



+1

hN,i +1

   

veoma qesto se u litetraturi koristi naziv:   Xezijeva jednaqina po Maningu

1

(9) (10)

Ceo postupak se moe sprovesti tabelarno (vidi tabelu 1).

1



(11)

HIDRAULIKA 1

 

vebe

Tabela 1:   Odreivanje vrednosti normalne dubine primenom Njutnove metode  Q  =  . . . m3 /s, n  =  . . . m−1/3 s, I D =  . . .

i

hN,i

α(hN,i )

β (hN,i )

F (hN,i )

F  (hN,i )

hN,i +1

ε

[m]

[%]

[m] 0 1 Proraqun kritiqne dubine:

Kritiqna dubina je dubina za koju je minimalna vrednost specifiqne energije 2 . To je dubina u odnosu na koju se teqenje moe podeliti na mirno i silovito (burno). Uslov koji mora biti zadovoljen da bi se ostvarila kritiqna dubina je da je Frudov broj 3  jednak  jedinici: Q2 B (hkr ) =1 F r (hkr ) = g (A(hkr ))3

 

(12)

Moe se pokazati da se rexenje ove jednaqine mora traiti priblino. Postupak koji e biti primenjen je metod proste zamene: 1

hkr,i+1  =

  3

b + m hkr,i

Q2 (b + 2 m hkr,i ) g

 

(13)

Postupak sprovesti tablearno: Tabela 2:   Odreivanje vrednosti kritiqnene dubine primenom metode proste zamene  Q  =  . . . m3 /s

i

hkr,i

hkr,i+1

ε

[m]

[m]

[%]

0 1 Zadatak 3.2

Rexavanje ovog zadatka se zapoqinje odreivanjem normalne i kritiqne dubine za obe deonice kanala. Nakon toga se na skici kanala ucrtaju obe dubine i u zavisnosti od  graniqnih uslova odredi oblik linija nivoa. Detalji odreivanja tipa linije nivoa e biti prezentovani na qasu.

2

Ova energija se jox naziva i energija u odnosu na dno kanala i jednaka je: e = h+

3

v2 2g

Frudov broj predstavlja odnos izmeu inercijalnih sila i sile teine

2

HIDRAULIKA 1

 

vebe

 Domai 3 - 1. deo

Zadatak se rexava primenom znanja steqenog u prethodna dva zadatka. Pri radu koristiti sledee smernice: 1. Odrediti normalnu i kritiqnu dubinu za obe deonice kanala, 2. Skicirati liniju nivoa, obeleiti tipove linija koji se javljaju i obeleiti smer proraquna. NAPOMENA:   Svaka tabela mora imati naslov i upisane odgovarajue podatke iznad 

tabele (kao u objaxnjenjima).

3

HIDRAULIKA 1

 

vebe

Objaxnjenja zadataka  Domai 3 - 2. deo Proraqun linije nivoa:

Na predavanjima je pokazano kako se, primenom dinamiqke jednaqine, moe doi do diferencijalne jednaqine kojom se opisuje linija nivoa u otvorenim tokovima: dh I D − I E  = , dx 1 − F r

(1)

gde su: x–nezavisna promenljiva(rastojanje du kanala, h–Zavisna promenljiva (dubina), I D –nagib dna kanala, I E –nagib linije energije, F r –Frudov broj. Pri njenom izvoenju je pretpostavljeno da se gubitak energije moe sraqunati pomou Xezi–Maningove jednaqine: Q  =

1 n

AR

2/3

 

I E 

I E  =

⇒



nQ A R2/3



2

,

(2)

a Frudov broj je definisan izrazom: Q2 B F r  = g A3

(3)

Analizom qlanova sa desne strane znaka jednakosti u jednaqini (1), moe se videti da sve veliqine zavise od dubine h, pa je pogodno izvrxiti zamenu zavisne i nezavisne promenljive. Na ovaj naqin se dolazi do jednaqine oblika: dx 1 − F r = =  f (h). I D − I E  dh

(4)

Ovako formulisanu jednaqinu rexavamo razdvajanjem promenljivih: dx  =  f (h)dh,

(5)

a potom vrximo integraciju izmeu preseka i i i + 1: i+1

 

dx  =

i

xi+1 − xi  =

i+1

 

f (h)dh

 

f (h)dh

 

f (h)dh

(6)

i i+1

(7)

i i+1

∆xi,i+1  =

(8)

i

Integral sa desne strane znaka jednakosti nije mogue rexiti analitiqki, pa emo primeniti priblian postupak za njegovo izraqunavanje. U zadatku e biti primenjen Ojlerov metod  II  reda. Na slici 1 je dat prikaz Ojlerove metode I i II   reda. Primenom Ojlerove metode II  reda na jednaqinu (8), dolazimo do jednaqine: ∆xi,i+1  =

f (hi ) + f (hi+1 )

2

1

∆hi,i+1  =  f i,i+1 ∆hi,i+1

(9)

HIDRAULIKA 1

 

 

i+1

 

vebe

i+1

f (h)dh

≈

f (hi) ∆hi,i+1

i

f (h)dh

≈

f (hi) +  f (hi+1)

2

∆hi,i+1

i

f (h)

f (h)

hi

hi+1

hi+1

hi

h

∆hi,i+1

h

∆hi,i+1

Ojerov metod  I   reda

Ojerov metod  II   reda

Slika 1: Priblino odreivanje vrednosti integrala

Primena jednaqine (9) je prikazana na slici 2. Zadavanjem razlike dubina, dobijamo rastojanje izmeu preseka 1 . Potrebno je obratiti panju da se integracija, a samim tim i obeleavanje preseka, vrxi u smeru proraquna. Da bi se dobili korektni rezultati, vrednost razlike ∆hi,i+1   se unosi kao negativan broj ako se dubine u smeru proraquna smanjuju i obratno. Ako je vrednost razlike ∆hi,i+1  pravilno zadata, rastojanje izmeu preseka  ∆ xi,i+1  e biti negativno ako je smer proraquna suprotan smeru x–ose i obratno. ∆h2,3

Q h3

∆h2,3

h2

>0

<0

h2 1

3 ∆x2,3  < 0 2

2

∆x2,3

x

h3 >0 3

x

1

Slika 2: Objaxnjenje proraquna linije nivoa Ceo proraqun sprovesti tabelarno. Hidrauliqki skok:

Hidrauliqki skok je pojava koja se javlja pri prelasku iz burnog u miran reim teqenja. Xematizovani hidrauliqki skok je predstavljen na slici 3. Dubine h1 i h2  se nazivaju spregnute dubine 2 . Qesto nam je poznata jedna dubina od ove dve, a problem je odrediti njoj spregnutu. Ovaj problem se rexava primenom dinamiqke jednaqine koja se, nakon sreivanja, moe napisati u obliku: Q2 Q2 Φ(h) =  S (h) + =  h T  A (h) + , g A(h) g A(h) 1

 

(10)

Na slici 2 je prikazan postupak za preseke ”2” i ”3”. Alternativno objaxnjenje ovog postupka je da se zadaju dubine, a proraqunom se dobijaju preseci u kojima se date dubine javljaju. 2 Primeuje se da su ove dve dubine takve da je dubina h1  u burnom, a h2   u mirnom reimu teqenja.

2

HIDRAULIKA 1

 

vebe

gde je: Φ–funkcija hidrauliqkog skoka, S (h)– statiqki moment (moment I  reda), hT – rastojanje od slobodne povrxine do teixta preseka 3 (vidi sliku 3).

B Q h1 1

hkr I D

h

h2

hT 

T  b

= 0 2

Slika 3: Prikaz xeme hidrauliqkog skoka Uslov koji mora biti ostvaren da bi se ostvario hidrauliqki skok je da je: Φ(h1 ) = Φ(h2 )

 

(11)

Odreivanje poloaja hidrauliqkog skoka:

Proraqunom e biti pokazano da se na odreenim deonicama kanala javlja prelaz iz burnog u miran reim teqenja. Da bismo odredili poloaj hidrauliqkog skoka, potrebno je za zadati popreqni presek formirati funkciju skoka (najjednostavnije je nacrtati njen grafik). Nakon toga, na deonici na kojoj oqekujemo pojavu h. skoka, za jednu liniju nivoa (bilo koju) formiramo liniju spregnutih dubina. U preseku linije spregnutih dubina i linije nivoa za koja pripada istom reimu teqenja kao i linija spregnutih dubina, nalazi se h. skok. Ovaj postupak se moe videti na slici 4. Linija spregnutih dubina Linija spregnutih dubina Poloaj hidrauliqkog skoka

Poloaj hidrauliqkog skoka

Slika 4: Odreivanje poloaja hidrauliqkog skoka Budui da je duina h. skoka mala u poreenju sa duinom kanala, h. skok se crta kao da je vertikalan. Odreivanje kote nivoa u gornjem jezeru:

Nivo u gornjem jezeru emo odrediti primenom Bernulijeve jednaqine za preseke u jezeru i na ulazu u kanal. Na ovaj naqin dobijamo: K J  +

V  J 2 V  2 V  2 =  Z ul  + hul + ul + ξ ul ul 2g 2g 2g

        Πul

0

≈

3

Za trapezni popreqni presek je:

hT  =

h 2b + B

3 b+B

3

 

(12)

HIDRAULIKA 1

 

vebe

Kao konaqan izraz, dobijamo:  V  ul2 K J  =  Z ul  + hul + (1 + ξ ul ) 2g

 

(13)

K J  ΠU L

Z U L

hU L

UL J 

Slika 5: Odreivanje nivoa u gornjem jezeru Smernice za rexavanje zadatka: 1. Proraqunati svaku liniju nivoa sa skice (vidi 1. dela domaeg zadatka), 2. Nacrtati funkciju skoka, 3. Nacrtati u razmeri na papiru A3 formata razmatranu deonicu kanala kao i sve izraqunate linije nivoa, 4. Na deonici gde postoji mogunost pojave hidrauliqkog skoka nacrtati liniju spredgnutih dubina i odrediti poloaj skoka.

4