HIDRAULICA DE CANALES FUNDAMENTOS Y EJERCICIOS.pdf

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CHIAPAS FACULTAD DE INGENIERÍA CAMPUS I TESIS Hidráulica a superficie libre: Fundamentos y ejercicios QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE

INGENIERO CIVIL PRESENTADO POR LUIS FERNANDO HERNÁNDEZ CARRILLO

DIRECTOR

Tuxtla Gutiérrez, Chiapas

MAYO 2016

I

I

ÍNDICE GENERAL

ÍNDICE GENERAL ----------------------------------------------------------------------------------II

Cap.

Pág.

INTRODUCCIÓN---------------------------------------------------------------------------------1 1.1. Importancia de las leyes del movimiento en la hidráulica------------------------------1 1.2. La hidráulica de canales a superficie libre------------------------------------------------2 1.2.1. Aplicaciones prácticas de la geometría de un canal------------------------------6 2. ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA HIDRÁULICA---------------------------13 2.1. Ecuación de conservación de la masa----------------------------------------------------13 2.1.1. Versión cinética---------------------------------------------------------------------14 2.1.2. Versión volumétrica----------------------------------------------------------------15 2.2. Ecuación de conservación de la energía-------------------------------------------------17 2.2.1. Ecuación de Bernoulli--------------------------------------------------------------18 2.2.2. Ecuación de la energía--------------------------------------------------------------20 2.2.3. Energía específica y régimen crítico----------------------------------------------21 2.2.3.1. Energía específica del flujo rectilíneo-------------------------------------21 2.2.3.2. Régimen crítico curva Y vsE-----------------------------------------------25

1.

2.2.3.3. Régimen crítico--------------------------------------------------------------27 2.2.3.4. Condición para la energía específica constante (Curva Q vs y)-------34 2.3. Ecuación de impulso y cantidad de movimiento---------------------------------------36 2.4. Aplicaciones prácticas de las ecuaciones fundamentales de la hidráulica---------38 3. ECUACIÓN DEL RESALTOHIDRÁULICO-----------------------------------------------45 3.1. Fuerza hidrostática--------------------------------------------------------------------------45 3.2. Fuerza dinámica-----------------------------------------------------------------------------48 3.2.1. Cantidad de movimiento------------------------------------------------------------50 3.3. Aplicaciones prácticas de la ecuación del resalto hidráulico-------------------------56 4. ECUACIÓNES SEMIEMPÍRICAS FUNDAMENTALES DE LA HIDRÁULICA DE CANALES PARA FLUJO UNIFORME------------------------68 4.1. Ecuación de Chezy-------------------------------------------------------------------------68 4.2. Ecuación de Robert Manning-------------------------------------------------------------70 4.3. Aplicaciones prácticas de las ecuaciones de la hidráulica de Canales para flujo uniforme----------------------------------------------------------------76 5. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO-----------------------------------------------------92 5.1. Ecuación de la energía para el flujo gradualmente variado--------------------------92 5.2. Solución de problemas de flujo gradualmente variado-------------------------------96 II

Cap.

Pág.

5.2.1. Método estándar por pasos---------------------------------------------------------96 5.2.2. Método estándar directo-----------------------------------------------------------102 5.3. Aplicaciones prácticas del flujo gradualmente variado------------------------------105 Conclusión---------------------------------------------------------------------------------------127 Referencias.--------------------------------------------------------------------------------------128

PRESENTACIÓN Este libro está realizado pensando en todos esos estudiantes que llevan las ciencias de la ingeniería a todos lados y que tienen un especial amor o respeto hacia el agua, también para quien disfrute de las leyes de la física y sus aplicaciones más sorprendentes, dado que no es un libro muy ostentoso su riqueza cultural y matemática es incomparable.

III

En esta bibliografía se encontrará con datos y anécdotas sobre la física y la hidráulica que muy pocos conocen provocando un pequeño viaje a mundos olvidados y que sin duda alguna despertará en los amantes de este tipo de literatura un hambre por conocer más de estos temas, realizada para la correcta comprensión de la hidráulica de canales a superficie libre este libro cuenta con un lenguaje fluido y conciso, en este documento se le da al lector o estudiante de ingeniería la posibilidad de ver y comprender la hidráulica de canales desde el punto de vista de la física clásica o física de Newton al fundamentarse de ella y auxiliándose de las leyes matemáticas, demostrando así varias de sus ecuaciones  provocando que el lector se identifique con este tan importante líquido para toda la humanidad. Este libro está diseñado para que el lector se enamore del agua, para que le tome un cariño especial; como aquel niño que por primera vez conoce la inmensidad el mar o descansa en el remanso de un río y se maravilla de tan increíble elemento; así este libro requiere que usted se maraville en cada una de sus páginas y le impulse a continuar nadando en el gran mar de conocimientos que es la hidráulica. Ing. Luis Fernando Hernández Carrillo

IV

CAPITULO 1 INTRODUCCIÓN 1.1. Importancia de las leyes del movimiento en la hidráulica Las leyes del movimiento son la base de la física clásica, con ellas se dan solución a todos los fenómenos ocurridos por acción de fuerzas externas y gravitacionales hacia los objetos. Por este motivo los estudios de las leyes del movimiento son esenciales en el estudio de la hidráulica pues este consiste en el estudio de las acciones y fenómenos ocurridos en el agua  por acción de su fuerza y su gravedad. Muchas ecuaciones de la hidráulica tienen su fundamento en las leyes del movimiento, pero llevó mucho tiempo encontrarlas. Fueron varios los científicos los que invirtieron mucho de su tiempo para poder demostrar algún fenómeno que se le haya presentado ya sea por casualidad o para dar solución a algún  problema, todos ellos resueltos con varias horas de observación, experimentación y estableciendo modelos matemáticos. Ecuaciones como el de la ley de la conservación de la masa del monje Benedetto Castelli es uno de los varios ejemplos de científicos que buscaron dar solución a un problema basando sus estudios en las leyes de Newton. La primera ley del movimiento señala que todo cuerpo mantiene su estado de reposo o una misma trayectoria a menos que se le aplique una fuerza exterior la cual modifique esta, esta ley conocida como la ley de la inercia toma en cuenta la tendencia de un cuerpo a detenerse  por la fricción de su superficie o la acción de una fuerza que detenga su movimiento. Se  puede imaginar en este escenario la idea de un río el cual al principio por tener una  pendiente grande lleva una velocidad muy acelerada, pero aguas abajo donde la pendiente es menor y a causa de la fricción de su superficie esta reduzca su velocidad. La segunda ley del movimiento o la ley de la fuerza, indica que todo cambio de movimiento sobre un cuerpo es proporcional a la fuerza aplicada sobre este. En hidráulica se puede utilizar esta ley para predecir la fuerza que tendrá un cuerpo de agua sí se conocen su masa y su aceleración el cual se puede aplicar en el caso de las presas hidroeléctricas al  producir energía eléctrica a partir de la energía potencial del agua, al hacer girar una turbina la cual produce energía eléctrica por medio de la fuerza que contiene el agua al caer de una considerable altura. La tercera ley del movimiento o la ley de la acción y la reacción, establece que para toda acción sobre un cuerpo ocurre una reacción igual, pero en sentido contrario. En ingeniería

1

la teoría y práctica de esta ley es utilizada en el diseño de canales y cortinas en una presa, ya que si no se diseñaran estos últimos para sostener una fuerza de empuje equivalente a la cantidad de agua que sostendrán; entonces podría fallar, así que se diseñan con una fuerza superior a esta. Como estos hay muchos más ejemplos en los cuales se aplican las leyes más importantes  para la ingeniería y la hidráulica, con forme se avance en la bibliografía se encontrarán más aplicaciones para la mejor comprensión de los temas tratados.

1.2. La hidráulica de canales a superficie libre El estudio de la hidráulica de canales se ha vuelto de vital importancia para la solución de  problemas relacionados con el almacenamiento, uso y transportación del agua, volviéndose esta una materia obligada en el estudio de la ingeniería en nuestro país; ya que en ella se destacan los comportamientos y características del agua volviéndose un manual para la verdadera comprensión de este líquido tan importante en el país.

Un canal es un cauce por el cual circula agua y se encuentra descubierto a la atmósfera, estos se pueden clasificar de dos maneras de acuerdo a su origen, como naturales o artificiales. Un canal natural como ejemplo un río o arroyo; es aquel en el cual su formación no tuvo que ver el ser humano y transporta el agua proveniente de la lluvia desde lo más alto de una montaña hasta el mar, un lago u otro afluente, se encuentra impulsada  por solamente la fuerza de gravedad. Dependiendo de la altura y pendiente de esta, el canal natural tendrá meandros o transporte de sedimentos; por esto último y lo irregular del terreno natural se establece que un canal de este tipo siempre tendrá una sección transversal irregular.

Por otro lado, un canal artificial es aquella estructura construida por el hombre con el fin de transportar agua, ya sea para abastecer una población, para riego de cultivo o como medio de transporte, esta tiene una geometría definida y sí mantiene una pendiente y geometría constante entre determinados puntos se dice que es prismática. Los canales artificiales se  pueden clasificar a su vez de acuerdo a su geometría, siendo los más utilizados en todo el mundo dos de ellos; el de sección trapezoidal y el de sección rectangular, de esta manera de acuerdo a su sección cada uno tendrá diferentes propiedades geométricas. 2

T

y

1 k  b

Figura 2. Elementos geométricos de un canal con sección trapezoidal

Perímetro mojado: Es la línea que rodea el canal y que está en contacto con el agua y la sección. Se calcula para un trapezoide de la siguiente forma. P = b+ 2 1+k2y  

(1)

Área hidráulica: Es el área ocupada por el agua dentro del canal. A =  b+ ky  y  

(2)

Ancho mayor: Es el ancho superior del canal en el cual mantiene una superficie libre. T = b + 2ky  

Dónde: y= Tirante hidráulico (m). T= Ancho mayor de superficie libre (m).  b= Ancho menor de superficie (m). k= Talud, indica la inclinación de las paredes del canal. P= Perímetro mojado (m). A= Área hidráulica (m2). 3

(3)

y

 b Figura 3. Elementos geométricos de un canal con sección rectangular Perímetro mojado:

P = b+ 2y  

Área hidráulica:

(4)

A = by  

(5)

Dónde: P= Perímetro mojado (m). A= Área hidráulica (m2). y= Tirante hidráulico (m).  b= Base del canal (m). Otro tipo de sección muy utilizado en el país es el de sección circular muy característico su uso como en tuberías de drenaje y alcantarillado, tiene las siguientes características. T

D y



Figura 4. Elementos geométricos de un canal con sección circular 4

Tirante: Angulo:

0

y D

 

θ = 2Cos-1 1-2

Área hidráulica:

A=

Perímetro mojado:

P=

Radio hidráulico:

Ancho de la superficie libre (T):

1 

Rh =

πD 2 4 πDθ 360

(6) T

 

D

 

 

1  sen2θ  1- 2θ  D   4 

(7)

(8) (9) (10)

T =  Senθ  D

(11)

T = 2 y  D - y

(12)

Como ya se mencionó antes se pueden encontrar muchos más tipos de secciones, pero esta  bibliografía se enfocará en la rectangular y trapecial por ser las más comunes en todo el mundo y por la facilidad de su análisis.

5

1.4.1 Aplicaciones prácticas de la geometría de un canal Ejemplo 1 Calcular las propiedades geométricas de un canal trapezoidal con las dimensiones siguientes: 9m

3m

1 1 6m

Solución Datos

Fórmulas

Substitución

y = 3m

P = b +2 1+k2y

P = 6 + 2 1 +1

T=9m

A =  b+ ky  y

P=6+2

2

 3

 2 3

 b = 6m

P =14.48m

k =1

A = 6 +  1 3

     3



A = 27m 2

Ejemplo 2 Calcular las propiedades geométricas de un canal rectangular con las siguientes dimensiones. Datos y= 3m  b= 4m

Formulas

Solución

Pm = b + 2 y

Pm = 4 + 2(3) = 10m

Ah = b y

Ah = 4(3) = 12m

3m

2

4m

6

Ejemplo 3 Calcular las propiedades geométricas de un canal rectangular con las siguientes dimensiones. Datos

Solución

y=6 m

Pm = b + 2y

y=6 m

Pm = 6 + 2(6)

 b=6 m

Pm = 1 8m 8m

 b=6 m

A h = by A h = 6(6) 6(6) A h = 36m 36m 2

Ejemplo 4 Calcular las propiedades geométricas de un canal trapezoidal con las siguientes características. Datos

Solución

y=6 m  b=6 m k=2

Pm = b + 2 1 + k 2 y

y=6 m

2

Pm = 6 + 2 1+ 1 +  2 6

 b=6 m

Pm = 32.7 32.76m 6m

A h = b + ky ky  y A h = 6 + 2  6   6 A h = 108m 2

7

k=2

Ejemplo 5 Calcule las propiedades geométricas e hidráulicas de una tubería que llevará un tirante y=0.20m y un diámetro D= 0.30m

D=0.30 m y=0.20 m

Solución T = 2 y  D - y

Ancho de la superficie

T = 2 0.20 0.20  0.300.30- 0.20 0.20

libre (T)

T = 0.2828m

P=

Perímetro mojado: P =

T   D  0.2828  Ángulo: θ = 2Cos-1 1-2  0.30  

θ = 2Cos -1  1-2

θ = 304.5851o

πDθ 360 π  0.30 0.30   304. 304.58 5851 51

360 P = 0.7974m

Sen2θ  11 D 4 2θ  1  Sen2 109.47   Rh =  1  0.30 4  2 109.47   Rh =

Radio hidráulico:

1

Rh = 0.075m

Área:

A= A=

πD2 4

π  0.30 0.30

2

4 2

A = 0.07 0.070 07m

8

Ejemplo 6 Calcular las propiedades geométricas e hidráulicas para una tubería de drenaje pluvial con un diámetro de 1.5 m que transportará un tirante de 1.15m.

D= 1.50 m

y= 1.15 m

Solución T = 2 y D - y

Ancho de la superficie

T = 2 1.15 1.15 1.50 1.50 -1.15 -1.15 

libre (T)

T = 1.2688m 1.2688m

P=

Perímetro mojado: P =

T   D  1.2688  Ángulo: θ = 2Cos-1 1 - 2  1.50  

θ = 2Cos -1  1 - 2

θ = 267.5349o

πDθ 360 π 1.50 1.50  267. 267.53 5349 49  360

Sen2θ  11 D 4 2θ  267.5349   1  Sen2  267.5349 Rh =  1 1.50 4  2  267.5349   Rh =

Radio hidráulico:

P = 3.50m

1

Rh = 0.3749m

Área:

A= A=

πD2 4

π 1.50 

2

4

A =1.767 = 1.7671m 1m

2

9

Ejemplo 7 Calcular las propiedades geométricas e hidráulicas de un canal de sección rectangular si este tiene un área de 3 m2 y una base de 1.20 m.

Datos

Solución

A= 3 m2

A = by

 b= 1.20 m

y=

y=? P=?

y=

P = 2y + b

 

A

P = 2 2.5 +1.2

 b 3

P = 6.20m

1.20 y = 2.5m

Ejemplo 8 Calcular las propiedades geométricas e hidráulicas de un canal de sección trapezoidal si este tiene un área de 5 m2, una base de 1.5 m y k= 2. Datos

Solución

A= 5 m2

A =  b + ky  y

 b= 1.5 m

5 = 1.5 + 2  y   y

y =1.25m

5= 1.5+2y y

5 = 1.5 + 2 1.25  1.25

k=2

Para y=1.25m

y=?

Ahora iteramos dando

P=?

valores al tirante (y) hasta

5 =5 P = b +2 1+k2 y

encontrar el que satisfaga

P =1.5+ 2 1+  2  1.25

la ecuación.

P = 7.0902

10

2

Ejemplo 9 Calcular las propiedades geométricas e hidráulicas de una tubería circular si este tiene una T=0.72 m y un diámetro de 1 m. Datos

Solución

T=0.72 m D= 1 m

A=

T  θ = 2Cos 1-2  D  0.72   θ = 2Cos -1 1-2  1  

πD2 4

π 1

P=

-1

2

Ángulo=?

A=

y=?

A = 0.7854m

4 2

P=

πDθ 360 π 1 232.2077 

360 P = 2.0264m

θ = 232.2077 o

P=? Área=?

Ahora con la fórmula de T iteramos hasta encontrar el valor del tirante que satisfaga la ecuación.



T = 2 y D- y





0.72 = 2 y 1-y



Para y=0.847 m



0.72 = 2 0.847 1 - 0.847



0.72 = 0.7199  0.72m

Ejemplo 10 Calcula las propiedades geométricas e hidráulicas de una tubería con diámetro de 0.50 m y un tirante de 0.35 m. Solución T = 2 y  D - y T = 2 0.35  0.50- 0.35 T = 0.4582m

A= A=

πD2

Rh =

4

π  0.50

2

Rh =

4 2

A = 0.1963m

11

1

Sen2θ 

4

2θ

1-

1

 1-

4 

D 

Sen2 113.58   2 113.58 

Rh = 0.1246m

 0.50 

T   D  0.4582   θ = 2Cos -1  1-2  0.50  

θ = 2Cos -1  1-2

θ = 292.775o

P= P=

πDθ 360 π 0.50  292.775

360 P = 1.2775m

12

CAPÍTULO 2 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA HIDRÁULICA

2.1. Ecuación de conservación de la masa Son llamadas ecuaciones fundamentales a todas las que por su relación o configuración en su estructura es posible obtener otros datos para resolver un problema sólo con despejar o sustituir algún dato. Las ecuaciones fundamentales de la hidráulica como su nombre lo dicen son las más importantes ya que de ellas se desprenden otras ecuaciones y es posible dar solución a problemas a los que explícitamente no contamos con más información. Antes de comenzar con el estudio de la hidráulica se debe de tener muy claro la amplia relación de las leyes de la mecánica de Newton con el estudio de esta ciencia pues desde el  punto de vista de la mecánica clásica el agua es considerada como una masa en movimiento influenciada por la fuerza de gravedad y con masa constante regida por la ley de conservación de la masa.

También conocida como “Ecuación de continuidad” o “Ecuación de Castelli” en honor a al monje benedictino y físico Benedetto Castelli (Brescia, Italia1577- Roma, 9 de abril, 1643) quien fuera contemporáneo de Galileo Galilei y quien estableció de manera empírica; mediante la observación y experimentación lo que hoy conocemos como la Ecuación de continuidad. Cuenta una anécdota que, en el año 1598, Roma sufrió una inundación con el desbordamiento del río Tiber; como tales inundaciones se habían venido presentando con cierta frecuencia, se consideró conveniente aumentar el cauce del río. Había que determinar con ese objeto cuanta era el agua que realmente había escurrido (Enzo, Levi, El agua según la ciencia, 1989, ed.Conacyt-Ediciones Castell mexicana, Morelos, México). El arquitecto Giovanni Fontanna (1546- 1614) intentó medir el escurrimiento real, pero no podía hacerlo en el mismo cause porque este había sido insuficiente. Decidió entonces calcular el gasto sumando los aportes en el tramo superior y en todos los afluentes. El resultado fue 500 cañas cuadradas medida de aproximadamente de poco más de 2 metros. El río contaba con aproximadamente un tercio de esa medida por lo que Fontanna decidió construir dos cauces con esas 500 cañas. Sin embargo, toda el agua cupo en un puente de 150 cañas a lo que Fontanna concluyó que el agua debió haberse comprimido.

13

Esta conclusión no convenció al padre Benedetto Castelli “no entiendo como  el agua sea como el algodón o la lana, materiales que pueden comprimirse o apretarse” también dice Castelli “Habiendo cabido toda la avenida debajo del puente sería suficiente un solo cauce con la misma capacidad de dicho puente, siempre que el agua escurriera con la misma velocidad que alcanzó debajo de él en ocasión de la inundación” (Enzo, Levi, El agua según la ciencia, 1989, ed.Conacyt-Ediciones Castell mexicana, Morelos, México). Esta ecuación establece que la proporción entre la cantidad de agua que escurre por un río cuando este tiene cierta altura de agua y la que escurre en el mismo río cuando tiene otra altura, está en razón compuesta de la velocidad con la velocidad y de la altura con la altura. A continuación, la demostración de la ecuación de conservación de la masa o ecuación de Castelli.

2.1.1 Versión cinética Sea, un caudal de sección cualquiera, a la cual pasa cierta cantidad de masa en un determinado tiempo.

Figura 5. Sea un caudal de sección cualquiera Se toma una diferencial de superficie

ds :

Figura 6. Profundidad ds de un caudal cualquiera Tiene asociado un vector v , asociado a una superficie diferencial ds se tiene: *=

˙

v .d s  

*= vector de velocidad asociado a una diferencial de superficie ds 14

(13)

Se integra ˙

*=

v .d s ˙

*= v

(14)

ds

Se acomodan términos y denominando ˙

Entonces

= vs 

(15)

Q = vA  

(16)

Ecuación de conservación de la masa en su versión cinética Dónde: .

v  =Velocidad puntual (m/s) ds

 = Diferencial de superficie (m2)

Q= Caudal (m3/s) A= Área hidráulica de la sección (m2) t= Tiempo (s) v =Velocidad

promedio (m/s)

2.1.2 Versión volumétrica Sea un caudal de sección cualquiera, a la cual pasa cierta cantidad de masa en un determinado tiempo

Figura 7. Sea un caudal cualquiera 15

Se toma una diferencial de superficie ds:

ds

Figura 8. Profundidad ds de un caudal cualquiera Tiene asociado un vector v , asociado a una superficie diferencial ds se tiene: *= Integrando

˙

v .d s  

(17)

˙

*=

v .ds

(18)

Acomodando términos y denominando ˙

= vs 

(19)

Q = vA  

(20)

Entonces Ecuación de conservación de la masa en su versión cinética

Si Entonces

Por lo tanto

V=

Q=

d t

d

A

(22)

V

(23)

t

Q=

(21)

t

que es la Ecuación de conservación de la masa en su versión volumétrica

16

Dónde: .

v  =Velocidad puntual (m/s) ds

 = Diferencial de superficie (m2)

V = volumen (m3)

Q= Caudal (m3/s) A= Área hidráulica de la sección (m2) t= Tiempo (s) d = Distancia (m) v=

Velocidad promedio (m/s)

2.2 Ecuación de conservación de la energía Al igual que la masa la energía se conserva, en la ley de conservación de la energía se establece que la energía no se crea ni se destruye sólo se transforma, esta ley también llamada ley de Lomonósov- Lavoisier descubiertas de manera independiente por Mijaíl Lomonósov en 1745 y Antoine Lavoisier en 1785 respectivamente es perfectamente aplicable tanto a canales abiertos como cerrados. El primero en realizar estudios con fluidos para demostrar este argumento fue Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y establece que un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido en cambio en un conducto abierto como un canal y tomando en cuenta el rozamiento este presentará pérdidas mínimas por el efecto de evaporación por rozamiento al liberar energía en forma de calor sin embargo al final de su recorrido la sumatoria de la energía recorrida al final más la energía perdida deberá ser la misma a la energía al principio del recorrido demostrando de esta forma la ley de conservación de la energía. En la hidráulica se pueden encontrar muchos tipos de energía, pero para uso de este tema se tomará en cuenta dos de ellas la energía cinética y la  potencial del agua.

17

2.2.1 Ecuación de Bernoulli Se supone la rasante de un canal cualquiera con longitud d (de cota 1 a cota 2) con una  pendiente θ  respecto a un nivel horizontal, como se muestra en la figura 8 donde en la cota 1 desde la horizontal hasta la rasante del canal tenemos un punto z del otro lado de igual 1

forma se tiene un

z 2  ,a

continuación se tiene un tirante

con una energía cinética

v12 2g

y1  y

un tirante

y 2  de

igual manera,

 desde el punto más alto del tirante hasta la línea de energía, del

otro lado de la misma forma se tiene a

v 22 2g

, se considera que desde el primer punto de

estudio el canal tiene una pérdida 0 por lo que no se considera en la figura pero en una distancia recorrida d ya es considerable esta se expresa con h f  , la ecuación de la energía establece que la misma cantidad de energía que se tiene a partir del punto 1 es la que se tendrá al finalizar el punto 2 equilibrándose esta en cualquiera de los datos de este punto. La energía cinética es la siguiente: La ecuación de la energía cinética Ec =

1 2

mv 2  

(24)

2

Simplificando

Ec =

mv

 

2

(25)

Se sabe que la fórmula de la densidad es: ρ=

m V

 

(26)

Despejando la masa en (26) se tiene m =  ρV

 

(27)

Sustituyendo (27) en (25) queda Ec = ρV

18

v

2

2

 

(28)

Si se sabe que la fórmula del peso específico es γ = ρg  

(29)

Se despeja la densidad de la fórmula anterior (28) y se obtiene ρ=

γ

g

 

(30)

Se sustituye la fórmula (30) en la (28) y queda Ec =

γ g

V

v

2

2

 

(31)

Si se considera una masa y un volumen unitario la fórmula resulta Ec =

v2 2g

 

(32)

Que es la fórmula de la energía cinética Dónde: γ = Peso específico (N/m3) ρ=

Densidad (kg/m3)

V = volumen (m3) v

=velocidad (m2/s)

P.H.C. E1

E2

Figura 9. Representación de un canal con la línea de energía 19

E1 = E 2  

E1 = z1 + y1 +

(33) v12 2g

E2 = z 2 + y2 +

 

v22 2g

(34)

 

(35)

Ec. de Bernorulli z1 + y1 +

v12 2g

= z2 + y2 +

v22 2g

 

(36)

Ec. de la energía z1 + y1 +

v12 2g

= z 2 + y2 +

v 22 2g

+

h f1-2  

 

(37)

Ecuación de la energía. donde: z 1 y z 2  =es y1  y y 2 =

la vertical del canal desde la horizontal hasta el primer punto de esta (m)

es el tirante en cada sección del canal (m)

v12  y v 22 = es la velocidad de la energía cinética (m/s) g = la fuerza de gravedad (m/ s 2  ) h f  =es

la pérdida de energía por efecto del calor

2.2.2. Ecuación de la energía La energía es definida en física como la disposición de un cuerpo para realizar un trabajo, en hidráulica el agua tiene esa disposición a partir de los diversos componentes de energía. La ecuación de la energía está conformada por la ley de Lomonósov- Lavoisier descubiertas de manera independiente por Mijaíl Lomonósov en 1745 y Antoine Lavoisier en 1785 y que cuenta con diferentes elementos que la constituyen como: 20

E = Energía, capacidad de un cuerpo de realizar un trabajo z

= Es la carga de elevación (m)

y  = Es el tirante en cada sección del canal (m) v2 2g

= Es la energía cinética del agua

h f  =es

la pérdida de energía por efecto de la fricción

Esta ecuación tiene sus restricciones en fluidos como los siguientes:  





Sólo es válida para fluidos incomprensibles Entre las dos secciones de interés no puede haber dispositivos mecánicos como  bombas, motores de fluido o turbinas.  No puede haber pérdida de energía por la fricción o turbulencia que generen válvulas y accesorios en el sistema de flujo.  No puede existir transferencia de calor hacia el sistema o fuera de este.

 NOTA: Es casi imposible que se puedan cumplir todas estas restricciones en campo. (Meca ́nica de fluidos, Robert L Mott; Javier Enr  ́quez Brito; Javier Leo ́n Ca ́rdenas, 2006, Prentice-Hall: Pearson Educacio ́n, México, D.F.). Las aplicaciones de las leyes de la energía se han dado desde la antigüedad, se pueden observar en el uso de molinos hidráulicos para diversos fines o en el diseño de canales para transporte; entre otros ejemplos, hoy en día el uso más importante de esta ley es la generación de energía hidroeléctrica. El conocimiento de la ecuación de la energía permite aparte de aprovechar esa energía, también a controlarla, por ejemplo, en un canal con una  pendiente fuerte, poder diseñar algún obstáculo o mecanismo para disipar o reducir esa energía para evitar cualquier problema.

2.2.3. Energía específica y régimen crítico 2.2.3.1. Energía específica del flujo rectilíneo Partiendo desde la definición de que la energía total de cualquier sistema está dada por la energía potencial más la energía cinética aplicado a cualquier masa en reposo con inercia cero o en movimiento rectilíneo uniforme. En el caso del agua al ser un elemento másico dado que está conformado por una masa, esta contiene los dos elementos, la energía 21

 potencial y la cinética, los cuales se puede apreciar en su ecuación para la energía total que 2

es Et = zt + yt +

v1

2g

+

h ft

, cuando la pendiente y el tirante en un canal son constantes  

es factible usar esta ecuación pero al angostarse un canal y cambiar su tirante la ecuación también cambia y se utilizaría en este caso la ecuación de la energía específica para conocer el régimen hidráulico del canal, de esta manera la ecuación se aplicará a cambios bruscos de una sección, estas pueden ser una ampliación brusca, una reducción brusca, un incremento brusco del fondo o un decremento brusco del fondo de la sección de un canal como se ejemplifica en las siguientes figuras.

Figura 10. Ampliación brusca de un canal

Figura 11. Reducción brusca de un canal

Figura 12. Incremento brusco del fondo de un canal

Figura 13. Decremento brusco del fondo de un canal 22

Al ocurrir un cambio en la sección como en las anteriores ejemplificadas se debe responder qué ocurre con su tirante y cómo varía este. Por lo tanto, al cambiar el tirante cambia la ecuación de conservación de la energía, esta ecuación es la ecuación de energía específica. Retomando la ecuación de la energía que es igual a: z1 + y1 +

v12 2g

= z 2 + y2 +

v 22 2g

+

h f1-2

sí se desprecian las pérdidas y el nivel de referencia, nos queda el tirante y la velocidad, entonces se establece que la energía específica por definición hidráulica es la suma del tirante de un canal más la carga de su velocidad al cuadrado (energía cinética).

EE = yt +

v2 2g

 

La ecuación de la energía específica es EE = y +

(38)

v

2

2g

 ;( Ec. 38), si se quiere expresar esta

misma ecuación para la condición de energía específica para gasto constante se expresa esta misma ecuación de la siguiente forma EE = y +

Q

2 2

2gA

  ;(Ec. 38’) sustituyendo como se

 puede observar la velocidad al cuadrado por su igualdad que es gasto al cuadrado sobre el área cuadrada. Para el caso de pendientes grandes la energía específica es:

E E = ycosθ +

v

2

2g

 

(39)

Y para el caso de la ecuación de la energía para pendientes grandes de igual forma se tiene:

z1 + y1 cosθ +

v12 2g

= z 2 + y 2cosθ +

23

v 22 2g

+

h f1-2  

 

(40)

 

L.E. Partícula de agua

P.H.C. E1

E2

Figura 14. Diagrama del comportamiento de una partícula de agua en un canal con pendiente grande

En la energía del flujo rectilíneo en un canal, si se toma al tiempo como criterio es considerado que el flujo es permanente siempre y cuando la velocidad promedio de una sección sea la misma, en el caso de que la velocidad cambie en determinada parte de la sección el flujo se considera flujo no permanente. Los casos más comunes donde se presentan los flujos no permanentes es en los ríos, dado sus secciones irregulares, en el otro caso los canales prismáticos son considerados de flujo  permanente. Si se quitan el tiempo como criterio de clasificación y se toma al espacio, se considera que un flujo es uniforme cuando la velocidad entre dos secciones es la misma, de lo contrario; si la velocidad entre estas dos secciones cambia se dice que el flujo es variado y a su vez no  permanente. Este fenómeno se puede observar por una variación en la sección de un canal o  por la presencia de una estructura y se utiliza en los canales para acelerar o desacelerar la velocidad que lleva el agua en un canal sobre todo en los canales de riego o en los sistemas de agua potable. Otra clasificación de los canales que se puede encontrar es de acuerdo con el efecto de su viscosidad o el número de Reynolds ( R  ) y su clasificación puede ser por el flujo laminar o turbulento, así como también por flujo de transición estas tres clasificaciones están regidas de la siguiente manera: e

24

R e =

vR h

 

(41)

Dónde:  Re

= Número de Reynolds (adimensional)

v = velocidad  (m2/s)  Rh

= Radio hidráulico (m)

= viscosidad cinemática del agua (m/s2)

Para canales se establece la clasificación de acuerdo a las siguientes relaciones Se dice que es un flujo laminar cuando Re 500 R 12500  y un flujo turbulento R 12500 . e

500 ,

un flujo de transición

e

De estas clasificaciones en el agua el más común que se puede observar es el flujo turbulento ya que para tener un flujo laminar, la lámina del agua para esta clasificación sería demasiado delgada; algo casi imposible de obtener.

2.2.3.2. Régimen crítico curva Y vs E Si se sabe que la ecuación de la energía específica es EE = y +

v

2

2g

, entonces se puede dar

cuenta que esta representa a la ecuación matemática correspondiente a una parábola abierta hacia la derecha y si es una parábola esta debe tener un vértice y este tiene una tangente, o lo que es lo mismo esta tiene una pendiente, esto significa que la ecuación es derivable, entonces es posible decir que

dE dy

=

d dy

y+

v

2

2g

,esta ecuación se deriva respecto al tirante

 porque si el flujo cambia entonces cambia el tirante como se ve en la gráfica de la figura 15. Se puede observar en la gráfica que el vértice representa el punto crítico de la parábola donde la energía es la mínima y respecto al tirante nos arroja un tirante crítico. Al observar de manera de arriba hacia abajo se puede observar como la gráfica al reducir su tirante también reduce su energía hasta llegar al punto crítico en donde la energía es mínima y el tirante crítico ( y c ); considerando en todo momento un caudal constante ( Q ), al continuar el descenso se puede ver como se continúa reduciendo el tirante, pero por el contrario la energía aumenta. 25

Es posible estar seguro que al tener un punto crítico de este sólo existirá un punto de energía asociado a un sólo tirante, pero si se desplaza un delta E ( ΔE ), para los demás  puntos se obtiene una sola energía asociada a dos tirantes y1 y y2 los cuales son alternos  para la energía mínima ( E ) y un caudal constante ( Qcte ). min

y  (m)

tangente

Régimen subcrítico <1

y2

Régimen crítico =1

Tirantes alternos

yc y1

E min

Régimen supercrítico  >1 ΔE

E   (m)

Figura 15. Gráfica de la curva y vs E

Otro elemento que es posible observar en la gráfica es que a partir del punto crítico de manera ascendente a descendente se tiene dos diferentes velocidades una con más fuerza y la otra más débil y estas a su vez están asociadas a diferentes tirantes pero que pueden contener una misma energía, los elementos que son encontrados arriba del punto crítico se conocen como régimen subcrítico, los que se encuentran sobre el punto crítico como régimen crítico y los que se encuentran debajo de este se conocen como régimen supercrítico y son determinados de acuerdo a su tirante crítico. La siguiente ecuación conocida como el número de Froude fue acuñada por el profesor  berlinés Moritz Weber y es un parámetro para determinar de qué régimen es un canal, esta depende de la relación de la velocidad del canal respecto a las fuerzas gravitacionales y el tirante del mismo. La naturaleza del movimiento de un canal depende de si el número de Froude es mayor, menor o igual a la unidad. Se determinará su tipo de régimen dependiendo las condiciones que esta cumpla.   

Para régimen subcrítico el número de Froude debe ser menor a la unidad Fr<1 Para régimen crítico el número de Froude debe ser igual a la unidad Fr=1 Para régimen supercrítico el número de Froude debe ser mayor a la unidad Fr>1

26

 Número de Froude es igual a: v

Fr =

gy

 

(42)

Dónde: F r= Número de Froude (adimensional) v

= velocidad del canal (m2/s)

g =fuerza de la gravedad (m/s2) y = tirante del canal (m)

2.2.3.3. Régimen crítico La energía específica es definida de forma taxativa como la suma del nivel de agua más la carga de velocidad y esta ecuación se obtiene de la ecuación de la energía que al eliminar las pérdidas y la cota de referencia surge una ecuación de segundo grado, que al graficarlo sobre un plano cartesiano con el eje de la ordenada referido al tirante y al de las abscisas a la energía, se obtiene una parábola; y al colocarle una secante en el plano a 45° respecto al origen, colocando el nivel de agua referido al eje, se obtiene una gráfica como la de la figura 16 en la cual se puede observar que las asíntotas de la parábola se extienden hacia el infinito y nunca tocan a la secante, esto matemáticamente indica que se encuentra una derivada ahí y esto indica que hay una pendiente; de haberlo entonces también se tiene una tangente y el punto de tangencia será justo en la derivada que corresponde al vértice de la  parábola, si esto se ubica en el plano se tendrá una energía mínima asociado a un tirante el cual se llamará tirante crítico. Si se desplaza un ΔE se dará cuenta que se encuentran dos tirantes alternos asociados y 2 , esto significa que para una misma energía puede haber dos tirantes asociados.

y1 y

Entonces para obtener la ecuación del punto crítico primero se debe tomar la ecuación graficada que es la ecuación de la energía. E=y+

v2 2g

27

 

(43)

y(m)

tangente

Régimen subcrítico <1 y2

Régimen crítico =1 Tirantes alternos

yc

Régimen supercrítico  >1

y1

E   (m)

E min ΔE

Figura 16. Gráfica de la curva y vs E del régimen crítico

Se sustituye la velocidad al cuadrado por su igualdad del gasto cuadrado con respecto del área cuadrada de la siguiente forma: E=y+

Q2

(38’)

2gA 2

A esta ecuación se le aplica una derivada respecto al tirante, porque el tirante es el que cambia en nuestra gráfica dE dy

=

dy dy

d

+

Q2

dy 2gA2

 

(44)

De la derivada queda, el tirante. Como la unidad, el gasto y la gravedad son constantes entonces que no se derivan. dE dy

= 1+

Q2 d 1 2g dy A2

 

(45)

A continuación se auxilia de la gráfica del régimen crítico y se coloca un canal de sección rectangular representando los diferentes niveles de tirante que contiene el canal, de este canal se toma un área que se sabe está asociada a un tirante y este a su vez está asociado a una energía total pero como se está derivando se toma una pequeña diferencial de área así como una diferencial de altura mismo asociado a la base del canal en este caso un canal 28

rectangular de base B , entonces se puede decir que la diferencial de área ( dA ) será igual a la base ( B ) por la diferencial de altura ( dy ). dA = Bdy  

(46)

En el caso de querer encontrar una ecuación para una sección de canal diferente a la rectangular entonces se sustituye su correspondiente área hidráulica en donde en este ejemplo se substituye el área hidráulica del canal rectangular. y  (m) Tangente Qcte

dA

y2

T= B

dy y2 yc y1

yc y1

E

ΔE E min

Figura 17. Gráfica del régimen crítico respecto a la sección de un canal

La igualdad de la ecuación 46 se sustituye en (45) y se deriva, queda de la siguiente forma d

1 2

dy B y

Ahora se deriva

d

1

dy y2

2

=

1 d

1

2

B dy y 2

 

(47)

 y se obtiene 0

d dy

=

d d y 2   1 − 1   y 2  dy dy 2

y  2

29

 

(48)

Al derivar la ecuación anterior se tiene d

=

dy

−1( 2y ) 

(49)

 

(50)

y

4

Y al simplificar se tiene -2 y3

El resultado obtenido en la ecuación 50 se substituye en (47) y queda de la siguiente forma dE dy

2

= 1+

dE dy

Q

2

2gB

= 1-

2

-

 

3

y

2Q2 2gB2 y3

 

(51)

(52)

Al simplificar la ecuación desaparecen los números dos, se sustituye la base y el tirante cuadrado por el área cuadrada y queda de la siguiente forma dE

= 1-

dy

Q2 gA 2 y

 

(53)

Si se substituye la igualdad del gasto sobre el área al cuadrado queda la velocidad al cuadrado en la ecuación de la siguiente forma dE dy

=-

v

2

gy

+1  

(54)

Escrita de otra forma dE dy

= 1-

v2 gy

 

(55)

Sí la ecuación anterior es la derivada de la energía, entonces significa que la energía como tal no es cero, es mínima. Esto significa que la derivada de energía es s0 =

y2 - y1 E 2 - E1

30

=

0 0

=0 

(56)

Al ser su derivada cero está marcando una función ilegal, entonces para usos matemáticos se establece un límite y se tiene s0

y  lim

E2

E

E 1

0 

(57)

Esto se da porque justo ahí la función es crítica. Entonces se tiene que en el límite 0 = 1-

v2 2g

 

(58)

Al derivar la ecuación anterior se obtiene el número de froude que establece: < 1 subcrítico v

Fr =

gy

=1 crítico

(59)

>1 supercrítico   

Para régimen subcrítico el número de Froude debe ser menor a la unidad Fr<1 Para régimen crítico el número de Froude debe ser igual a la unidad Fr=1 Para régimen supercrítico el número de Froude debe ser mayor a la unidad Fr>1

Al auxiliarse de la gráfica se observa que si el tirante de un canal y 2 es mayor al tirante crítico ( y c ) entonces el flujo del canal es subcrítico. De la misma forma si el tirante y  es menor que el tirante crítico ( y c ) entonces se está hablando de un flujo supercrítico, esto  para todo canal de sección rectangular. 1

Para conocer la ecuación del tirante crítico en canales rectangulares se parte de la ecuación 59 que es la ecuación para el flujo en régimen crítico v

Fr =

gy

 

(59)

De esta manera al ser el flujo crítico igual a 1 se hace esta igualación en la ecuación 59 de la siguiente forma v gy

= 1 

31

(60)

Ahora se despeja la velocidad gy c  

v=

(61)

Se tiene una velocidad al cuadrado al despejar la gravedad por el tirante crítico 2

vc = g yc  

(62)

Como interesa encontrar el tirante crítico entonces este se despeja de la ecuación 62. 2

yc =

vc g

 

(63)

Ahora se substituye la velocidad por su igualdad que es el caudal sobre el área los dos al cuadrado por que la velocidad estaba al cuadrado y se tiene Q2 2 A yc =   g

(64)

Acomodando términos se obtiene yc =

Q2 gA 2

 

(65)

Por definición, el gasto unitario ( q ) es la cantidad de agua que pasa por unidad de ancho de un canal, como lo expresa la siguiente ecuación q=

Q  b

 

(66)

Entonces se puede substituir la ecuación (66) en la ecuación (65) Q2 2 y c =  b 2   gA

Al recordar la igualdad de A 2 es  b

2

y 2  esta

(67)

se puede substituir en la ecuación 67.

Q2 2  b yc = 2 2   gb y

32

(68)

Al reducir términos queda q

yc =

2

gy

 

2

(69)

Esto se puede escribir de la siguiente forma yc =

q c2 gyc2

 

(70)

Como se está buscando un tirante crítico se despeja la 3 c

y =

qc2 g

y c de

la ecuación 70.

 

(71)

Por último, se despeja el exponente del tirante para tener una raíz cúbica, de esta manera se deduce una ecuación para determinar el tirante crítico de un canal de sección rectangular. yc =

3

q2 g

 

De esta manera se puede establecer que el tirante crítico  pase por el canal.

(72) y c sólo

depende del caudal que

De esto se puede agregar que el número de Froude es válido para cualquier tipo de canal  pues este depende d epende de la l a velocidad y el tirante de este, no así la l a ecuación e cuación del tirante crítico  pues este se dedujo con las propiedades geométricas de un canal ca nal de sección rectangular en caso de buscar una ecuación para el tirante crítico de una sección diferente se deduce desde el principio, pero con las propiedades geométricas correspondientes para la sección deseada.

2.2.3.4. Condición para la energía específica constante (curva q-y, Q-y) Para hablar de la condición de energía específica es inevitable auxiliarse de un plano cartesiano, así que se toma como y referencia el de la figura 18, en el cual se puede observar en el eje de la ordenada el tirante ( y ) y al de la abscisa a el caudal ( Q, q ), así como la energía constante ( E ) para esta tema. Como se puede dar cuenta la función cambia por completo al cambiar las variables. cte

33

Subcrítico Crítico

E cte

Supercrítico

Q ,q

Figura 18. Gráfica de la condición para la energía específica constante Como se sabe la ecuación (38’) es la expresión de la energía donde el tirante y la energía son variables y el caudal es constante. E = y+

Q

2

(38’)

2

2gA

Se despeja la variable de la energía cinética para el gasto y se iguala a la energía menos el tirante Q2 2gA2

= E - y  

(73)

Como se quiere conocer el caudal entonces se despeja Q2 = E - y 2g 2gA2  

(74)

Como la ecuación anterior está asociada a un canal rectangular es válido decir que al área cuadrada ( A 2 ) es igual a su base ( B ) por su tirante ( y ) al cuadrado respectivamente. Todo sobre raíz cuadrada Q=

E - y 2gB y 2

2

 

(75)

Entonces se establecen las siguientes relaciones con ayuda de la ecuación (74) y la gráfica

34

Relaciones

E-y-Q

Si se tiene un tirante con valor a cero implica que el gasto será igual a cero, esto se puede demostrar en la ecuación ya que no arroja ningún valor incluso al observar la gráfica se  puede notar que no tiene ningún valor. Sí

y=0Q=0

De la misma manera sí el tirante toma el valor de la energía o un valor máximo implica que el gasto también valdrá cero. Esto se puede observar gráficamente y por medio de la ecuación. Sí

E= yQ=0

Por otro lado, sí el tirante llega a ser el tirante del canal sobre dos entonces el gasto será máximo. Sí

y=

y 2

Q = Q max

Esto significa que cuando se tenga la energía específica constante se tendrá el caudal

y

máximo en el tirante sobre dos     , en este caso los tirantes que estén por debajo del 2 tirante sobre dos o debajo del caudal máximo serán supercrítico y los que estén por encima de este serán tirantes subcríticos.

2.3. Ecuación de impulso y cantidad de movimiento El impulso se considera como el cambio de velocidad de una partícula respecto a una distancia y un tiempo determinado, este se encuentra regido por la segunda ley de Newton ya que este depende de la fuerza con la que es impulsada, así también depende de la masa de la partícula. En cuestiones de hidráulica el impulso puede servir para conocer la fuerza con que se impulsa un río o un canal y a partir de este conocimiento diseñar el canal o incluso diseñar las pilas de un puente para que este no falle por socavación producido por este fenómeno.

35

Para obtener la ecuación del impulso primero se debe auxiliar de una ecuación fundamental de la física como la ecuación de la fuerza y a partir de esta encontrar una ecuación para la hidráulica que obedezca esta ley. Se trabaja con la ecuación de la fuerza. F = ma  

(76)

Se sabe que la densidad del agua es ρ=

Por lo tanto

m V

 

m =  ρV

Por otro lado tiene

a=

v t

(77)  

(78)

 

(79)

Ahora se substituye (78) y (79) en (76) y se tiene F = ρV

v t

 

Ahora es bien sabido que la ecuación del caudal es tiene

V = Qt  este

(80) Q=

V t

, si se despeja el volumen se

se sustituye en la ecuación (80) y se obtiene v F = ρQt   t

(81)

Se eliminan las unidades de tiempo ( t ), y la ecuación queda de la siguiente forma F = ρQv  

(82)

Se sabe que la densidad es igual al peso específico sobre la aceleración de la gravedad ρ=

γ

g

Esto se substituye en la ecuación 82 y se tiene

36

 

(83)

F=

γ g

Qv  

(84)

Esto es la ecuación del impulso en una sección arbitraria. Ahora la ecuación del impulso respecto a dos secciones de un canal F = ρQ v2 - v1 1-2  

(85)

F =   ρ2 Q2 v 2 - ρ 1Q1v1  

(86)

o escrito de otra manera

Ecuación del impulso respecto a dos secciones

dónde: F = La fuerza o el impulso ( N ) ρ =La

densidad del agua ( kg/m3 )

Q =El caudal ( m3 /s ) v

=La velocidad de la partícula en ese canal ( m/s ) = peso específico del agua ( N/m3 )

g = gravedad ( m/s 2 )

37

2.4 Aplicaciones prácticas de las ecuaciones fundamentales de la hidráulica. Este subcapítulo está integrado para poner en práctica lo aprendido en la sección teórica del capítulo anterior.

Ejemplo 1 Calcular el caudal de un canal de sección trapezoidal con una base de 6 m, un tirante de 3 m, k= 1 y una velocidad de 3 m/s Datos

Solución

 b= 6 m

A =  b + ky  y

y= 3 m

A =  6 +1  3   3

k= 1

A = 27m 2

v= 3 m/s

Q = Av

Q=?

Q = 27  3  Q = 81

m3 s

Ejemplo 2 Calcular el caudal de un canal de sección rectangular con base de 4 m, tirante de 3 m y velocidad constante de 2 m/s. Datos

Solución

 b= 4 m

A = by

y= 3 m

A = 4  3

v= 2 m/s Q=?

A = 12m 2 Q = vA Q = 2 12 Q = 24

m s

38

Ejemplo 3 Calcular el caudal que puede transportar una tubería de 0.30 m de diámetro a una velocidad de 0.45 m/s. Datos A=

D= 0.30 m v=0.45 m/s

A=

Q=?

πD2

Q = vA

4

π  0.30

Q = 0.450.0707 

2

Q = 0.0318

4

m3

2

A = 0.0707m

s

Ejemplo 4 Calcular el caudal que puede transportar una tubería de 0.15 m de diámetro a una velocidad de 0.20 m/s. Datos A=

D= 0.15 m v= 0.20 m/s

A=

Q=?

Q = vA

πD2

Q = 0.20  0.0177 

4

π  0.15

2

Q = 0.00354

4

m3 s

2

A = 0.0177m

Ejemplo 5 Calcular el caudal que pasa en un canal que tiene un ancho de 2m, un tirante de 1m y la aceleración del flujo es unitario; suponiendo que el canal es rectangular. Datos Solución

y= 1m Ah = 2 1

 b= 2m a=1 m/s2

Ah = 2m

y=1m

2

 b=2m Sí se supone que la aceleración del flujo es unitaria entonces la velocidad también lo será;  porque para obtener una aceleración de uno se debe multiplicar por el mismo número v =1

m s

39

Q = vA Q = 1 2  3

Q= 2

m s

Ejemplo 6 Calcule la energía del canal rectangular con una velocidad de 45 m/s y con las siguientes características. Datos

Solución

y=3 E = y+

 b=5 v=45 m/s

v2

y=3

2g 2

 45 E = 3+ 2 9.81

 b=5 m

E = 106.21m

Ejemplo 7 El canal de la figura es de sección rectangular de ancho constante y tiene un gasto unitario (q) de 3m3/s/m determine h2 si las pérdidas y la pendiente son cero. Datos q=3 m3/s/m h1=3 m

h

1

2

S0=0 h1=3m

Δ z = 0.26m

h2 

f 

=0

40

 z 

Solución v12

0

z1 + y1 + 3+

= z2 + y2 +

2g

v12 2  9.81

R1 = yc =

v 22 2g

3

g

3

=

 3

h

f

 

Si se considera la misma energía cinética

v 22

= 0.26 + y 2 + q2

+

0

3+

2

 3.08 

2

= 0.26 + y2 + 19.62 19.62 3+ 0.48 = 0.26 + y 2 + 0.48

2  9.81

2

9.81

 3.08

= 0.972m

3 - 0.26 = y 2 y2 = 2.74m

v = gy v = 9.81 0.972 v = 3.088

m s

Ejemplo 8 En un canal rectangular se tienen mediciones en las secciones 1 y 2. Si los datos son los indicados, calcule el gasto. PERFIL

Datos h1=3.80 m

B=b=12.5 m

 z 1= 5 m

h2=1.25 m h1=3.8 m

h f 1-2 =0 m

h2=1.25 m

Δz1 = 5m

Solución

Para usar la fórmula de la continuidad es necesario saber la velocidad del canal B=12.5 m

 por esa razón despejamos la velocidad de la fórmula

h1v1 = h 2v 2  y

la sustituimos en  b=12.5 m

la energía cinética de la siguiente fórmula z1 + h1 +

v

2

2g

= z2 + h 2 +

v

Sección

2

2g

+ h f1-2 , como se muestra a continuación:  

41

h1v1 = h 2v 2  

v2 =

z1 + h1 + v12

2 1

v

v12 2g

h1v1 h2

(1)

 

= h2 +

(2) v 22

2g

+ hf  

(3)

 

v 22

= h 2 - z - h1 + h f    2g 2g

(4)

v12 - v22 = 2g h 2 - z - h 1 + h f    

(5)

vh  - 1 1   h2  2

2 1

v -

2

= 2g  h 2 - z - h1 + h f   

 

2

v1h 1 2

h2

= 2g  h 2 - z - h1 + hf   

 

 h12  2 1- 2  v1 = 2g  h 2 - z - h1 + hf       h2  v12 =

2g  h 2 - z - h 1 + h f   2

1-

h1

 

(9)

1

2        

2  9.811.25- 5- 3.8+ 0

  3.8 2  1-    1.25    

42

(8)

2

1-2

v1 = 4.24

(7)

h2

   2g  h 2 - z - h 1 + h f  v1 =    h 2   1-  1      h2     

v1 =

(6)

m s

(10)

 

(11)

Ahora que tenemos la velocidad podemos calcular el caudal con la fórmula de la continuidad. A=h1(b) A=3.8(12.5) A=47.50 m2

Q=vA Q=4.24(47.50) Q=201.4 m3/s

Ejemplo 9 Sí en un canal se tienen los siguientes datos a qué tipo de régimen corresponden. Datos S0=0.020

B=b=6 m

h0=1.20 m

n=0.014

Solución A=1.2(6)

A=7.2 m2 Pm=2h0+b Pm=2(1.2)+6

Pm=8.4 m

Rh = Rh =

Ah Pm 7.2

8.4 Rh = 0.857m

 A  23 12    Rh S0   n   q= B

2 1  7.2  3 2 0.857 0.020      0.014     q=

6

m q =10.9347 s

3

m

43

1

 q 3   g  2

hc = 

hc =

3

10.9347  9.81

h c = 2.30m

2

h0=1.20 m< hc= 2.30 m

Por ser h0
Ejemplo 10 Calcule la pérdida total de energía entre las secciones 1 y 2 para el canal rectangular de la figura. Datos h1

A2=5 m2

h1=3 m

v1=3 m/s

A=30 m2

S0=0.78

 1 =1.12

h2=0.50 m



2

  = 1.22

S0

L=25 m

h2 L

Solución A1v1 = A 2v 2 θ = arctan(S0 )

A1v1

v2 =

θ = arctan(0.78) θ = 37.95o

v2 =

A2 30  3

v2 = 1 8

L  S0  +h 1Cosθ +

α1v12 2g

= h 2Cosθ +

25  0.78 +3Cos37.95 + o

1.12  3

α 2 v 22 2g

5 m s

+ h f1-2

2

2  9.81

= 0.50Cos37.95+

19.5+ 2.3656+ 0.5138- 0.3943- 20.1468 =

h

 f  12

 

h

 f  12

 1.84m

44

1.22 18  2  9.81

2

  h f  

1 2

CAPÍTULO 3 ECUACIÓN DEL RESALTO HIDRÁULICO

3.1 Fuerza hidrostática En el capítulo anterior se estableció las características del agua y la definición de un canal, así como las diferentes clasificaciones de este, ya sea por su origen o por su geometría; se conoció también su clasificación por cantidad de masa o por cantidad de agua por unidad de tiempo, entre otros tipos de clasificaciones, así como también las ecuaciones fundamentales; como la ecuación de Castelli o la ecuación de la energía, ecuaciones las cuales se desprenden de las ecuaciones básicas del movimiento. Así también se observó la ecuación de la energía específica donde se comentó que el agua es una masa que se mueve; esta puede estar en reposo la cual contiene energía potencial y al usarse de una correcta manera puede producir energía eléctrica como es el caso de las centrales hidroeléctricas, así como puede estar en reposo el agua puede estar en movimiento también produciendo energía cinética, esta ecuación nos permite clasificar el agua de acuerdo a su flujo. En este capítulo se estudiará el flujo rápidamente variado, este es ejemplificado comúnmente de la siguiente manera; considérese un canal cualquiera en un tramo corto x, el flujo es interrumpido bruscamente y cambia su energía, a este cambio brusco de energía se le llama flujo rápidamente variado y se puede dar en un canal por medio del cambio repentino de pendiente en una sección del canal o en su defecto en el cambio repentino de las dimensiones de un canal comúnmente la reducción brusca de una sección. En el flujo rápidamente variado se puede dar un fenómeno llamado resalto hidráulico o salto de Bidone en honor al ingeniero Giorgio Bidone (Casalnoceto, 19 de enero de 1781 Turín, 25 de agosto de 1839) quien fue el primero en estudiar este fenómeno en 1818, y es comúnmente definido como el fenómeno localizado que se produce normalmente en distancias cortas respecto a una longitud total en donde se producen cambios de regímenes hidráulicos de supercríticos a subcríticos. Las aplicaciones de este fenómeno son muy diversas sobre todo en la industria, la cual se recurre al salto hidráulico para realizar mezclas de sustancias; en el campo de la ingeniería civil se provoca este fenómeno para reducir la carga de energía de un canal para que al liberarla esta salga con una carga de energía mucho menor que con la que entró esto con la 45

finalidad de que la energía del agua no destruya el concreto, lo mismo ocurre en una presa aquí la energía del agua es producida por la altura en que se encuentra solamente que aquí se le conoce como caída hidráulica y se contrarresta con un concreto armado más resistente y en ocasiones colocando rocas para romper la energía que lleva el agua y disminuir esta.

Figura 19. Representación de un resalto hidráulico

En la figura 19 se puede observar una representación de un resalto hidráulico donde se  puede apreciar que las flechas indican que aguas arriba la velocidad del agua está muy acelerada y al pasar por el resalto hidráulico se observa que las flechas indican que el agua se desplaza con menos energía. Suponga un canal cerrado de sección rectangular en estado de reposo como se observa en la figura 20.

Q

Figura 20. Sistema de fuerzas actuantes Observando la figura se puede visualizar como sobre la compuerta actúan dos fuerzas “F” sobre esta y que están en equilibrio, a esto se le llama fuerza hidrostática. Las fuerzas hidrostáticas que actúan en el canal de la figura son determinadas por: F = mg  

P=

F A

46

 

(87) (88)

Despejando F de (88): F=PA 

(89)

Sustituyendo (87) en (88): P=

mg

 

(90)

 

(91)

A m

Sí

ρ=

Entonces

m = ρV  

(92)

Pero se sabe que:

γ = ρg  

(93)

Despejando

ρ

ρ=

Sustituyendo (92) en (90):

P=

V

γ g

 

(94)

ρVg A

 

(95)

Sustituyendo (94) en (95): γ P=

g

Vg A

=

γV A

=

γAh A

Por lo tanto:

P =  γh

Sustituyendo (96) en (89)

F =  γhA  

= γh

 

Dónde: F= Fuerza actuante en el centro de gravedad de la sección empujada. h= Tirante de agua. A= Sección empujada.

47

(96) (97)

Por lo tanto, la ecuación 97 se puede escribir como: F = γhZG  

(98)

Las fuerzas actuantes en la figura son:

 F1 = γ1h1ZG  

(99)

1

 F2 = -  γ 2 h 2 ZG    2

(100)

3.2 Fuerza dinámica

Q

Figura 21. Sistema de fuerzas actuantes en un canal con las compuertas abiertas Sí en un instante “t” se abre la compuerta de la figura, el agua circula con una energía cinética de 1 a 2, generando una fuerza “F” debido a la cantidad de movimiento, cuya expresión general se deduce a continuación. De la ecuación (86) se puede reescribir F=ma  

(101)

 

(102)

F =  ρVa

Sí Y:

a=

v t

 

V = Qt  

48

(103) (104)

Entonces: F=

γ

v

Qt

g

t

Se eliminan las unidades de tiempo F=

γ g

Qv  

(105)

La fuerza total generada entre 1 y 2 es: γ

F1-2 =

F1-2 =

g

γ2 g

Q  v2 - v1   

Q2 v2 -

γ1 g

(106)

Q1 v1  

(107)

El sistema de fuerzas resultante es considerado la hidrostática y la cantidad de movimiento: γ1ZG1A 1 - γ2 ZG2 A 2 =

γ2 g

Q2 v2 -

γ1 g

Q1v 1  

(108)

Dónde: γ=

Peso específico del agua

ZG =Centro

de gravedad de la sección

A= Área o Superficie de empuje g= Fuerza de gravedad Q= Caudal v=

Velocidad promedio del flujo

Dividiendo entre γ  a (107) ZG A1 - ZG A2 = 49

Q2 v2 Q1 v1   g g

(109)

Sí

v=

Q A

 entonces:

ZG1 A1 - ZG2 A 2 =

Q22

Q12

, acomodando términos gA 2 gA1

La ecuación general del resalto hidráulico ZG1 A1 +

Q12 gA1

= ZG 2 A2 +

Q22 gA 2

 

(110)

La ecuación del resalto hidráulico, expresa las fuerzas hidrostáticas y las fuerzas de cantidad de movimiento de la cota 1 y la cota 2.

3.2.1 Cantidad de movimiento Se supone la ecuación del resalto hidráulico (110) para un canal rectangular por dos razones: 1. Para provocar un resalto hidráulico estable. 2. Por facilidad de cálculo. De la misma manera se supone también que es un flujo permanente y flujo uniforme  por facilidad de cálculo.

E

h= y

B

Figura 22. Canal de sección cuadrada con empuje E Donde E es el empuje hidrostático para una sección rectangular, entonces: ZG =

Y

h 2

 

A = Bh   50

(111) (112)

Sustituyendo (108) y (109) en (107): h1 2

2

Q1

B1h1 +

gA1

2

h1 2

h2

=

2

2

B2h 2 +

2

Q1

B1 +

2

gA1

gA2

 

(113)

2

h2

=

Q2

Q2

B2 +

2

 

gA2

(114)

Que se puede escribir como h12 2 h12 2

2

v1 B12 h12

B1 +

gB1h1

h 22

=

2

2

B1 +

v1 B1h1 g

h 22

=

2

2

B2 +

v2 B22 h 22 gB2 h 2

 

(115)

 

(116)

2

v2 B2 h 2

B2 +

g

Como se tiene una constante B se divide toda la ecuación entre esta constante. h12 2

2

+

v1 h1 g

h 22

=

2

2

+

v2h 2 g

 

(117)

Se acomodan términos h12 2

-

h 22 2

2

=

v2h 2 g

2

-

v1 h1 g

 

(118)

Se factorizan las ecuaciones 1

h 2

2 1

- h 22  =

1

2 1

- h22  +

1 g



2

2



(119)



(120)

v2 h 2 - v1 h1  

Se despeja y se iguala a cero

h 2

1 g



2

2

h1 v1 - h2 v 2 = 0  

Considerando el q (Gasto unitario) q=

Q B

q=

vBh B

51

 q = vh

Se despeja la velocidad (v) q

v=

h

 

(121)

Sustituyendo (122) en (121) 1 2





h12 - h12 +

1

q12

g

h12

 h1

- h2

q 22 

=0 

h 22 

(122)

Reduciendo términos 1 2

1  q1

2

h

2 1

-h

2 2

q 22 

 = 0 

(123)

1   - =0  g  h1 h 2 

(124)

+ g h 

-

1

h2 

Se factoriza el término de q y se tiene: 1

h 2

2 1

-h

2 2

+

q2  1

Se multiplica por dos la ecuación para eliminar el un medio.



2

2



h1 - h 2 +

2q 2  1

1   -  = 0  g  h1 h 2 

(125)

La ecuación (125) se puede reescribir como:

h

1

- h2

 h

1



+ h2 -

2q 2  h1 - h 2 

= 0 



g  h1h 2 

(126)

Dividiendo entre  h1 - h 2  : h1 + h 2 -

Multiplicando por

2q 2 

1   =0  g  h1h 2 

(127)

h2:

2 2

h + h1h 2 -

2q 2  h 2 

52



 = 0 

g  h1h 2 

(128)

Acomodando términos 2 2

h + h1h 2 -

2q 2  1 

=0 



g  h1 

(129)

Otra manera de escribir esta ecuación es: 2

2 2

h + h1h 2 -

2q

gh1

= 0 

(130)

Una forma de solucionar esta ecuación es utilizando la fórmula general para la resolución de ecuaciones de segundo grado: Sí

Ax 2 + Bx + C = 0

x=

Para

Para

h1 =tirante

h 2 =tirante

-b ± b 2 -4ac 2a

alterno 1 h1 =

h2  -1+ 1+ 8fr22      2 

(131)

h2 =

h1  -1+ 1+ 8fr12       2

(132)

alterno 2

El salto hidráulico se puede clasificar por sus tirantes según sea el tirante h 2  (después del ' salto); menor, igual o mayor al tirante fijo aguas abajo h 2 según sea en los siguientes casos: ' Caso 1. Sí h 2  h 2 ; salto ahogado

La energía en la sección 2 es menor que en la sección 2' ; luego, el empuje es mayor hacia la izquierda y se “ahoga” la zona del salto. Este salto es el más estable.

53

h1

h '2

h2

Figura 23. Salto hidráulico ahogado

' Caso 2. Sí h 2 = h 2 ; salto claro

Ambas secciones tienen la misma energía y existe un equilibrio total. Este salto es el más eficiente debido a que en el resalto hidráulico se busca provocar una gran disipación de energía.

h '2

h2 h1

Figura 24. Salto hidráulico claro

54

' Caso 3. Sí h 2  h 2 ; salto corrido

La energía de la sección 2 es mayor que la de la sección 2´. Sucede lo opuesto al  primer caso, el salto se corre y sigue un perfil ondulado perdiendo energía hasta ' alcanzar el nivel correspondiente al tirante h 2 . Este tipo de salto es poco eficiente y muy inestable, por lo que debe evitarse siempre.

h1

h '2

h2

Figura 25. Salto hidráulico corrido (ondulado)

A continuación, las principales fórmulas empíricas para el cálculo del resalto hidráulico en canales rectangulares. Smetana

L = 6  h 2 -h 1   

(133)

Safranez

  L = 5. 5.9h 9h1fr  1

(134)

L = 8.3h1  fr -1  

(135)

Einwachter Wóycicki Chertusov



h2 



h1 

L =  h2 - h1   B - 0. 0.05



 



L =10. =10.3h1 fr1 -1

55

0.81

 

(136) (137)

3.3 Aplicaciones prácticas de la ecuación del resalto hidráulico En esta sección pondremos en práctica con unos sencillos ejemplos las aplicaciones  prácticas de la ecuación del resalto hidráulico.

Ejemplo 1 Considere un canal rectangular cuyo ancho B= 6m, en dicho canal se presenta un resalto hidráulico y uno de sus tirantes es igual a 0.40 m; por el canal pasan 50 mil litros/seg. Calcular el tirante conjugado, las pérdidas de energías  E =

h

f 1-2

y las longitudes del

resalto hidráulico.

Datos Q= 50 mil litros/seg y2=?

y1 = 0.40m y= 0.40

B= 6 m B=6 m Solución A=bh

h2 =

A=6(0.4)=2.40 m2

h2 =

Q=vA v=

Q A

Fr =

h1 

-1 + 1 + 8F 8Fr12  

2  0.4  2





-1 + 1+ 1 + 8 10.51

h2= 5.75 m =

50 2.40

v gy

=

= 20.83

m s

20.83

 

9.81 0.4

ΔE = = 10.51

h

1-2

=

 h 2 - h1  4h1h 2 3

 5.75-0.4   h1-2 = 4  5.7 5.75 5  0.4 

h

1-2

56

=16. =16.64m

3

2

 

Longitudes del resalto hidráulico L = 6  h 2 - h1 

Smetana=

Satranez=

L = 6(5 6(5.75 .75 - 0.4) 0.4) = 32.1 32.10m 0m L = 5.9h .9h1Fr  Fr 1 L = 5.9( 5.9(0. 0.4) 4)(1 (10. 0.51 51)) = 24.8 24.80m 0m

Einwachter=

L = 8.3h 8.3h1 (Fr (Fr -1) L = 8.3(0 8.3(0.4) .4)10.51-1 10.51-1 = 31.57 31.57m m



 h2    h1    Wóyciki=   5.75   = 28.25m L =  5.75 - 0. 0.4  6 - 0. 0.05    0.4    L =  h 2 - h1   B - 0. 0.05 

Chertusov=





L =10. =10.3h1 Fr1 -1

 

0.81

0.81

L =10.3 =10.3 0.4 10.51-1 .51-1

= 25.54 .54m

Como conclusión del ejercicio se puede decir que es válida cualquier fórmula, sin embargo es preferible al usar todas estas fórmulas sacar al final un promedio de todas las longitudes  por seguridad y economía.

Ejemplo 2 Con base en la siguiente figura calcule H y z para que se presente un salto hidráulico claro al pie del cimacio indicado en la figura. L=B=b=22 m h1=0.8 m h2=4.2 m CD=2.10

H h2 z h1

57

P.H.C.

Solución 1   h1   2 2 h 2 =   1+ 8Fr1  -1  2  

h2 2 1+ 8Fr1 h1





1 2

Fr =

v gy

v = Fr gy

-1

v = 4.05 9.81 0.8

2 h2 2 +1= 1+8Fr  1 h1





1 2

v = 11.35

m s

2 2

   h2  2  h + 1 = 1 + 8Fr1   1   2 

A1 = bh1 A1 = 22  0.8  A1 =17.6m 2

2

   h2  2  h +1 -1 = 8Fr1   1   2  2

   h2   h +1 -1  1   2  = Fr 1 8

2

   4.2   0.8 +1 -1     2 Fr1 = 8

Fr1 = 4.05

Q = A1v1 Q = 17.6 11.35 Q = 199.76

Q = C D LH

m3 s

3 2

 Q  H= 3   CD L 

2

 199.76  H= 3     2.10 22  

2

H = 2.65m

z + H = h1 + z = h1 +

v12 2g

v12 2g

-H 2

11.35 z = 0.80 + 2 9.81 z = 4.71m 58

- 2.65

Ejemplo 3 Con los datos proporcionados en la siguiente figura, calcule la cota A. Datos Cota B=100 m.s.n.m. Cota A

CD=2.00

H

z=6 m

z

hB=2.50 m Cota B

hB=hc P.H.C.

hB

S0=0 S0>Sc

Solución 1

 q 3 hc =   g 2

h 3c =

Cota A= Cota B+z+H

3

q = CDH 2

 q  H= 3   CD 

q2 g

q = gh 3c

Cota A= 100+6+3.37

2

 12.38  H=    2 

Cota A=109.37 m.s.n.m. 2

3

q = 9.81 2.5 m3 q = 12.38 s

3

H = 3.37m

m

Ejemplo 4 En un canal rectangular, de ancho constante en toda la longitud de la estructura, determine qué tipo de salto se presenta aguas abajo del cimacio

Datos 2

v0

2g

= 0m

m q=4 s

h B = 3m

3

H hB

m H = 5.50m 59

Solución q   h H = h1 +  1 

2

q = vh

2g

4   h 5.50 = h1 +  1 

v1 =

2

h1 4

v1 =

2 9.81

4   h 5.50 = h1 +  1 

q

0.40 m v1 =10 s

2

19.62

v1

Fr =

h1 = 1 m

4   1 5.50 =1+  

 gh1  2

2

Fr =

19.62 5.50  1.81

10 9.81 0.40 

Fr = 5.05

h1 = 0.50m

 4   0.50   5.50 = 0.50 + 

1

2

 h1   2  1+8Fr1  -1 2 2  0.40   h2 =  1+ 8 5.05 -1     2   h2 = 



19.62

5.50  3.76



h 2 = 2.66m

h1 = 0.40m

 4   0.40   5.50 = 0.40 + 

2

Como h2< hB se presenta un salto hidráulico ahogado.

19.62 5.50  5.4968  5.50

60

Ejemplo 5 En la figura se presenta un salto hidráulico claro. Si se cuenta con los siguientes datos: Datos CD= 2.12 H=4.80 m H

h2= 7.50 m Δh f 0-1 = 0

h2

z

S0=0 P.H.C.

Calcular:

h1

L Tanque

a) El desnivel z.  b) La longitud del tanque amortiguador L Tanque. c) Las pérdidas de energía ocasionadas por el salto hidráulico Δhf 1-2 Solución a) q = CDH

3 2

q = 2.12(4.80) m3 q = 22.29 s m q = v2h 2 v2 = v2 =

q h2 22.29

7.50 m v 2 = 2.97 s

Fr = 3 2

Fr =

q = v1h 1

v2

v1 =

gy2 2.97

v1 =

9.81 7.50 

1   h2   2 2 h1 =  1+ 8Fr -1   2    2  



h1 22.29

1.53 v1 =14.57

Fr = 0.35

2  7.50   h1 =   1+ 8  0.35    2  

q

z + H = h1 + 1



2

 -1 

z = h1 +

v12 2g

v12 2g

-H 2

14.57  z = 1.53 + 2 9.81

h1 = 1.53m

z = 7.55m

61

- 4.80

 b) L Tanque= 6  h2 - h1  L Tanque=

6(7.50 -1.53)

L Tanque= 35.82 m c) z1 + h1 + h1 +

v12 2g

v12 2g

= z2 + h 2 +

= h2 +

v 22 2g

2

14.57  1.53 + 2  9.81

v 22 2g

+ Δh f1-2

 z1 = z 2 = 0

+ Δh f 1-2 2

 2.97  = 7.50 + + Δh f  2  9.81

1-2

12.35 = 7.95 + Δh f 1-2

Δh f 1-2 =12.35- 7.95 Δh f 1-2 = 4.40m

También se puede utilizar para el cálculo de las pérdidas de energía en un salto claro la siguiente fórmula: Δh f 1-2 =

 h 2 - h1 

3

4h1h 2 3

Δh f 1-2

 7.5-1.53 = 4 1.53 7.50

Δh f 1-2 = 4.63m

Ejemplo 6 ' Calcule h 2 si el salto hidráulico tiene un ahogamiento del 15%.

Datos H0= 2.50 m

a= 0.50 m H0

 = 0.85

B=b= 5 m 62

a

h1

h’2 (fija)

Coeficiente Cc de la tabla obtenida por Yukorsky

a/H0 < 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.65 0.75

Cc 0.611 0.620 0.625 0.630 0.645 0.660 0.675 0.705

Solución a H0

=

0.50 2.50

= 0.20

, por lo tanto Cc= 0.620

Fr = Fr =

h1 = aCc h1 = 0.50(0.620)

v1 gy1 5.58 9.81 0.31

Fr = 3.2

h1 = 0.31m h2 =

1

q = Cca  2g  H 0 - h1   2 q =  0.620 0.85 0.50  2  9.81  2.50 - 0.31

1 2

m q = 1.73 s

v1 =

1+ 8Fr  2 2 1



0.31  2

h '2 = 1.15h 2

q

h '2 = 1.15 1.256 

h1

h '2 = 1.44m

1.73 0.31

v1 = 5.58

m s

63

1 2

 

-1

1+ 8  3.2  

h 2 = 1.256m

m

v1 =

h2 =

h1 

2



1 2



-1



Ejemplo 7 En la figura se indica el perfil de un canal rectangular que descarga transversalmente a un río, siendo: Datos 3

m q =6 s

m h1 = 0.50m

h2

h1

Calcule h2 y h f 1-2  si se presenta un salto hidráulico claro. Dimensione el tanque amortiguador. v1 = v1 =

q

Δh f 1-2 =

h1 6

3

4h1h 2 3

Δh f 1-2

0.50 m v1 = 1 2 s

Fr1 =

 h 2 - h1 

 3.59 - 0.50  = 4  0.50  3.59

Δh f 1-2 = 4.11m

v1 gy1 12

Fr1 =

9.81(0.50)

Fr1 = 5.42

Longitud del tanque amortiguador Smetana L = 6(h 2 - h1 ) L = 6(3.59 - 0.50)

h1

L = 18.54m

 -1+ 1+ 8Fr12    2  0.50  2 h2 = 1+ 8  5.42  -1  2 

Safranez

h 2 = 3.59m

L = 5.9(0.50)(5.42)

h2 =

L = 5.9h1Fr 1 L =16m

64

Einwachter L = 8.3h1  Fr1 -1 L = 8.3(0.50)  5.42 -1 L = 18.34m

Chertusov





L = 10.3h1 Fr1 -1





0.81

0.81

L = 10.3 0.50  5.42-1 L = 17.16m

Ejemplo 8 Dado el siguiente canal donde B=b=10 m y Q= 100 m3/s, se desea confinar el salto hidráulico de manera que fuera del tanque amortiguador la velocidad en el canal no sobrepase la velocidad límite Vmax=0.8 m/s, el escalón que se presenta mide h2/6. Calcule el tirante h1 considerando que el salto es claro (suponga h f 2-0 = 0 ). Datos B= b= 10 m Q= 100 m3/s h2

Vmax=0.8 m/s Δz =

h

h2

h1

6

f 2-0

Q

h0

Δz =

=0

Solución A = hb

Q = vA A= A=

Q

h2 =

v2 100

h2 =

0.8

A = 125m

2

Fr2 =

A  b 125

10 h 2 = 12.5m

Fr2 =

v2 gy2 0.8 9.81(12.5)

Fr2 = 0.07

65

h1 =

12.5 

-1+ 1+ 8  0.07 

2  h1 = 0.12m

2

 

h2 6

Ejemplo 9 ¿Qué tipo de salto se presenta en el siguiente canal rectangular? Datos

q=30 m3/s/m

q= 30 m3/s/m

A

hA=1.6 m

hA=1.6 m

z=16 m

h’2=13 m

h’2= 13 m

z=16 m

h2= ?

Solución h2 =

q = vh v= v=

1.6 



-1+ 1+ 8  4.73

2 h 2 = 9.93m

q h 30

2

 

Como h2= 9.93 m < h’2=13 m el resalto hidráulico es ahogado.

1.6

v = 18.75

Fr = Fr =

m s

v gy 18.75 9.81(1.6)

Fr = 4.73

Ejemplo 10 En un canal rectangular se presenta un salto con ahogamiento del 12%, CD= 2.12. Cota B= 100 m. Calcule la cota A.

66

Solución Sí H=hA=10 m 3

q = CD H 2 3

h2  2 -1+ 1+ 8Fr2    2  10  2 h1 = -1+ 1 +8  0.68    2  h1 =

q = 2.1210  2

h1 = 5.84m

m3 q = 67.04 s

CotaA = CotaB + h1

m

CotaA = 100 + 5.84 CotaA =105.84

v2 = v2 =

q h2 67.04

10 m v 2 = 6.7 s

Fr2 = Fr2 =

v2 gy 2 6.7 9.8110 

Fr2 = 0.68

67

CAPÍTULO 4 ECUACIONES SEMIEMPÍRICAS FUNDAMENTALES DE LA HIDRÁULICA DE CANALES PARA FLUJO UNIFORME

4.1 Ecuación de Chézy Para que un flujo sea considerado flujo uniforme este debe cumplir con ciertas condiciones las cuales según la hipótesis del flujo uniforme son las siguientes. Sus pendientes deben ser iguales

S0 = Sa = Se

Dónde: S0  =

pendiente del canal

Sa =

pendiente del agua

Se =

pendiente de la energía

Lo que significa que la pendiente del canal, de la línea del nivel del agua y de la línea de energía debe ser la misma en cada una de ellas. La pendiente S  se puede determinar con la siguiente expresión y a partir de allí determinar las demás pendientes requeridas. 0

S0 =

Δh L

 

L Figura 26. Condición de pendiente para el flujo uniforme en un canal

68

(138)

Además de la condición anterior hay ciertos requisitos que se deben cumplir para que el flujo sea llamado uniforme como los siguientes. 







 



Prismático. El canal deberá mantener siempre una misma geometría pues al cambiar esta entonces cambiará su velocidad o gasto y el flujo dejará de ser uniforme. y = y = y = . ..y . Para que el flujo sea uniforme el canal deberá mantener en todo momento y a lo largo del canal un mismo tirante. Q1 = Q 2 = Q 3 = ...Q n . Deberá mantener un mismo gasto en toda la sección. 1

2

3

n

v1 = v 2 = v3 = ...v n .

Para que un flujo sea uniforme este deberá mantener una misma velocidad en todo el canal. Permanente. Irrotacional. Esto es cuando las partículas del fluido tienden a deslizarse sin rotar entre ellas. Este caso se da cuando el flujo es laminar sin embargo se supone que el flujo es irrotacional por facilidad del cálculo. Las líneas de flujo son paralelas (no divergentes) (no convergentes).

Otro de los factores a considerar en un canal es la fricción que este tendrá, un canal puede ser rugoso o liso de acuerdo al tipo de acabado que tenga; se dice que es rugoso cuando es un canal de tierra en el que pueden presentarse partículas vegetales y que por lo tanto puede haber un alto índice de filtración en el suelo y arrastre de partículas. Por otro lado, los canales de concreto o mampostería según su acabado pueden ser lisos o rugosos sin embargo para efectos prácticos estos se consideran como un canal liso por su bajo  porcentaje de infiltración y arrastre de partículas. Antoine de Chézy (1 de septiembre de 1718, Châlons-en-Champagne-  4 de octubre de 1798, París) fue un ingeniero que en 1768 siendo escogido como colaborador de JeanRodolphe Perronet dedujo la fórmula de Chézy que permite calcular la velocidad media de una corriente en flujo uniforme conociendo la pendiente y el radio hidráulico. Se sabe que la fórmula de Chézy para la velocidad en flujo uniforme es: v  S0 Rh  

(139)

Se sabe que la fórmula para la determinación del radio hidráulico es

Rh =

Ah Pm

  esta

fórmula se substituye en Rh y se tiene. Ah

v  S0

Pm

69

 

(140)

Se agrega el coeficiente de Chézy (C) para el cálculo de velocidad en canales abiertos como coeficiente de resistencia. v = C S0 Rh  

(141)

Para el cálculo del coeficiente de Chézy (C) como coeficiente de resistencia hay varias versiones, se toma la fórmula de Ganguillet y Kutter (1877) en el sistema métrico por ser la más exacta para el estudio de este tema. 23 + C=

1 n

0.00155

+

S0

 0.00155  1 + n 2 3 +  S0  

 

(142)

Rh

Donde: Rh = Radio hidráulico S0 =

Pendiente del canal

C= coeficiente de resistencia de Chézy n= Factor de rugosidad. El factor de rugosidad (n) depende del material con que este hecho el canal ya sea tierra, concreto, mampostería, etc.

4.2 Ecuación de Robert Manning La ecuación de Manning- Strickler fue acuñada por el ingeniero Robert Manning (18161897) y el ingeniero Albert Strickler (1887-1963) de manera independiente, es una ecuación empírica que se utiliza para estimar la velocidad media de un líquido que fluye sobre un conducto. Q = vA  

Q=

A

v=

n 1 n

(16)

2

Rh 3 S0  

(143)

2

Rh 3 S0   70

(144)

Donde: v= Velocidad media de la sección transversal n= Rugosidad de Manning (Esfuerzo cortante) Rh= Radio hidráulico S0 = Pendiente de la sección

Considérese la figura 24 como un canal trapezoidal en la que  posible no partir de la ecuación de continuidad ( Q = vA ).

m1 = m2 ,

para este tema es

ds

Figura 27. Canal con sección trapezoidal y diferencial de superficie ds

Sea un canal natural, un trapezoidal o de cualquier otra forma; sin importar el material del que esté construido para fines matemáticos se partirá de la idea de que se estudia un canal trapezoidal. A este canal se le toma una diferencial de superficie y a esta muestra se le da el nombre de diferencial de superficie ds. ds

Figura 28. Diferencial de superficie del canal de estudio A esta superficie no importa que tan pequeña sea, está asociada a un vector al que se le dará 

el nombre de vector v  y esta superficie vectorial matemáticamente es igual a: 

= vx ds  

71

(145)

Y este a su vez se expresa:  x, y,z =

d dx

v

i

+ vj + vz   

(146)

que es la partícula que se encuentra en el canal. De esta forma la velocidad es la tasa de cambio de sus vectores asociados i, j y z como se muestra a continuación.

 x,y,z =

dvi dx

+

dv j dy

+

dv z dz

 

(147)

Que es lo que realmente ocurre en el canal, esta partícula se desplaza en tres direcciones. Como se muestra más claramente en la figura 26.

Figura 29. Representación de los vectores de una partícula de agua en un canal

Figura 30. Acercamiento de la partícula de vectores en el canal

Para el estudio de este se toma el vector en la dirección en x (vector v i ). Para que esta teoría sea válida se debe considerar un flujo uniforme, esta propiedad se define como la cantidad de masa; que se refiere a la cantidad de masa que pasa en ese diferencial que se define como el vector por la diferencial ds. Pero si se quiere saber cuánta masa pasa en esa sección se suman todos los vectores de superficie que es el área de toda la sección que es la 72

masa total, la cual se llamará caudal (Q) y está determinada por la integral de la velocidad

v x  por la diferencial de superficie ds.

v

x

 ds  

(148)

Que es igual a la ecuación de la continuidad Q  vx A  

(149)

Pero para flujo uniforme como no hay una ecuación de la continuidad que tome en cuenta una velocidad en una pendiente que da de la siguiente forma.

Ecuación de la conservación de masa para Chézy es Q = C Rh S0 A  

(150)

Donde: Q= Caudal (m3/s) C= Coeficiente de resistencia de Chézy Rh= Radio hidráulico S0 = Pendiente del canal

A= Área de la sección (m2)

En la versión de Manning se tiene Q=

1

 Rh  n

2 3

Q= Caudal (m3/s) n= Coeficiente de Resistencia de Manning Rh= Radio hidráulico S0 = Pendiente del canal

73

S0 A  

(151)

A= Área de la sección (m2) Que son las ecuaciones de conservación de masa aplicada a flujo uniforme. En los canales a superficie libre naturales y artificiales se da el caso de que su rugosidad entendida esta como la “n” de manning; Q=

A n

2

Rh 3 S0  

(152)

2

n=

ARh 3 S0 Q

 

(153)

 puede ser distinta en una sección determinada. Por ejemplo, en un río:

Tierra Pasto

Piedras

(Bolcos) Figura 31. Canal natural con diferentes características del fondo

En un canal de riego de sección trapezoidal:

Mampostería

Mampostería

Concreto

Figura 32. Canal artificial con diferentes coeficientes de resistencia

74

En otro caso

Mampostería

Mampostería

(Gavión)

(Gavión) Concreto

Figura 33. Canal de sección compuesta con dos coeficientes de resistencia

Por esa razón, Horton y Hans Albert Einstein, propusieron una “n” equivalente ( n e ) para los diferentes tipos de rugosidad que pueda contener el canal. La ecuación Horton- Einstein 2

1.5 3    Pn  i i ne =     P  

P n ne =  

1.5 1 1

(154) 2

+ P2 n

1.5 2

+ P3 n

1.5 3

+ ... + Pn n

P

Donde: n; son los diferentes factores de resistencia en el canal. P es el perímetro mojado.

75

1.5 n

3    

(155)

4.3 Aplicaciones prácticas de las ecuaciones de la hidráulica de canales para flujo uniforme En esta sección se resolverán ejercicios relacionados con los temas vistos en este capítulo.

Ejemplo 1 En un canal de sección rectangular se presentan las siguientes condiciones, determine: a) Tipo de régimen.  b) La pendiente del canal para que el régimen sea crítico con el mismo gasto. Datos h0= 0.30 m

B=10 m

Q=90 m3/s

n=0.012

Solución a) 1

q= q=

 q 3  g 2

Q

hc = 

B 90

1

 9  3 hc =   9.81   2

10 3

q =9

h0=0.30 m< hc=2.02 m por lo tanto el régimen del

m s

h c = 2.02m

Solución b) S0=Sc Pc=b+ 2hc Pc=10+ 2(2.02)

Rhc =

2

20.2

14.04 Rhc = 1.4387m

q = vch c

Ac=10(2.02) Ac=20.2 m2

vc =

= Sc2

 1  Rh 3 n c   2    v  c  Sc =    1  32    n  Rh c         4.455   Sc = 2 1      0.012  1.4387  3   

q hc 9 2.02

vc = 4.455

1

vc

Pc

Rhc =

vc =

2 1 1  3 v c =   Rh c Sc 2 n

Ac

Pc= 14.04 m

Ac=bhc

canal es supercrítico.

m

Sc = 0.00176

s 76

2

Ejemplo 2 Un canal con régimen uniforme y sección con máxima eficiencia tiene los siguientes datos: Datos k=1.50

 b= 4 m

n=0.014

S0= 0.009

Determine si su régimen es subcrítico o supercrítico. Solución Verificar si

θ <10o

θ = arctan(S0 ) θ = arctan(0.009) θ = 0.5156o 0.5156 < 10 ,  S0 o

h0 =

o

S

 b

 

1

 

2  m 2 +1 2 - m h0 =

4 1   2 2 2  1.5 +1 -1.5  

h 0 = 6.606m

A = bh 0 + mh

Rh =

2 0

A = 4  6.606 +1.5  6.606 A = 91.88m

2

Rh =

P 91.88

27.82 Rh = 3.026m

2



A



2

Pm = b + 2h 0 m +1

1 2

S = Senθ 1

Pm = 4 + 2  6.606  1.5  + 1 2 2





S = Sen(0.5156) S = 0.009

Pm = 27.82m

2 1 A  Q =   Rh 3 S2 n  91.88  3.3026 23 0.009 12 Q=     0.014  

Q = 1381.2171

77

m3 s

B = b + 2mh 0 B = 4 + 2 1.5  6.606 B = 23.818m A3 B Q2 g

= =

Como

 91.88

3

= 32,565.4939

23.818

1381.2171 9.81 A

3

B

<

Q

2

= 194, 471.0171

2

g

el régimen es supercrítico.

Ejemplo 3 Con la información disponible, ¿qué características debe tener S02  para que pueda calcularse hA? Datos n=0.016

h01= 5 m

 b=12 m

S01= 0.0004

h01

hA S01

k=2

S02

Solución Para que hA pueda calcularse se debe garantizar que la sección A sea una sección crítica, esto es posible sólo sí: S01< Sc< S02. Conocidas las características del régimen establecido a la izquierda de la sección A, puede calcularse el gasto de la siguiente forma.

78

2 A1 = bh 01 + mh 01

A1 = 12  5 + 2  5

Rh =

2

A1 =110m 2

A1 Pm1

Rh =

Pm = b + 2h 01  m +1 2

110

34.36 Rh = 3.2014m

1 2

1

Pm1 = 12 + 2  5    2  +1 2





2

1

A  2 Q =  1  Rh13S01 n  110  3.20 23 0.0004 12 Q =      0.016 

1 2

Pm1 = 34.36m

3

Q = 298.58

m s

A continuación, se calcula el tirante crítico utilizando la fórmula de Agroskin. q= q=

Q  b 298.58

σ=

12

σ=

h cr  =

h cr  =

3

debe ser menor que 1 para que la fórmula sea

válida

2 3.98

La ecuación es válida

 σ 2  + 0.105σ  h cr    3  2   0.66 h ct =  1+ 0.105  0.66   3.98 3   h ct =  1-

g

9.81 h cr  = 3.9813m

σ

0.6633 < 1

q2

 24.8817 

 b

12 σ = 0.6633

m3 q = 24.8817 s m

3

mhcr 

2

h ct = 3.2863m

Comprobación En la sección crítica, debe cumplirse la condición general: A

3

B

=

79

Q

2

g

Q

3

2

g

= 9,093.08   y con el valor calculado de hct  se obtiene

A

B

= 9,033.14   que implica un

error de 0.66% , por lo que se da por bueno el valor obtenido con la fórmula de Agroskin y no hay necesidad de hacer ajuste. Ahora se procede a calcular la pendiente crítica Sc:  A c  Rh 32 S12  c c  n 

2

Ac = bh c1 +mhc1 Ac = 12  3.29 + 2  3.29

Q=

2

Ac = 61.13m



2

2



Pc = b + 2hc1 m +1

1 2 1

Pc = 12 + 2  3.2863  2 +1 2 2





Pc = 26.6968m

Rhc = Rhc =

1

Q

2

= Sc2

 A c  Rh 3  n  c   2     Q   Sc =   A c  23    n  Rh c        298.58   Sc = 2 61.13    2.29  3    0.016   

Ac Pc 61.13

26.6968 Rhc = 2.2898m

2

Sc = 0.0020

Ejemplo 4 Con los datos proporcionados y con base de la figura, calcule el rango en que deben estar S01 y S02 para que sea posible determinar el gasto en el canal. Explique su razonamiento. Datos h01=2.5 m

n=0.016

hA=1.8 m

h01 S01

B=b=10 m

hA

Solución

S02

Si hA fuera igual a hc, el gasto Q se calcularía de la siguiente forma.

Perfil 80

A c = bhc

1

 q 3  g 2

A c = 10 1.80

hc =  3 c

h =

A c =18m 2

q2 g

3 c

gh = q

Q = Acv c

2

Q = 18(4.2021)

q = gh 3c

Q = 75.6378

q = 9.811.8  m3 q = 7.5638 s m

m3

3

s

Este gasto es correcto, si se cumple la condición: S01 < Sc

< S02

1

Pc = b + 2h c  m + 1 2 2

1

Pc =10+ 2 1.80   0 +1 2 2

q = h c vc vc = vc =

q

Pc =13.6m

hc 7.5638

Rh c =

1.80

v c = 4.2021

m s

Rh c =

Ac Pc 18

13.6 Rhc = 1.3235m 2

vn Sc =  c 2   3  Rh  2  4.2021 0.016     Sc =  2   3 1.3235     S c

 0.0031

Por lo tanto S01< 0.0031< S02 Subcrítica/Crítica/Supercrítica

81

Ejemplo 5 Para el siguiente canal trapecial; calcule el caudal. Datos  b=4 m

hA=1.25 m

m=1.5

S01=0.0004

n=0.014

S02=0.06

S01 h p

Solución

S02

A = bh + mh 2

Bc = b + 2mh

A = 4 1.25 +1.5 1.25 

2

Bc = 4 + 2 1.51.25 

A = 7.3437m 2

Rh = Rh =

Bc = 7.75m 3

A

Ac

 p

Bc

gAc 1

Bc

g

Q=

4 + 2 1.25 1.5 + 1 2



2

=Q

3

7.3437

Rh = 0.8632m

2

3

A  b + 2h  m 2 +1 2

Rh =

=

Q



1 2

Q=

gAc Bc

9.81 7.3437  7.75 3

Q = 22.29

m s

2

1

A  Q =  c  Rh c3 Sc2  n      Q   Sc = 2   Ac  3    n  Rhc    

82

2

3

    22.29  Sc =  2   7.3437   0.8632  3    0.014  

2

Sc = 0.0022

Como

S01 < Sc < S02  la

ecuación sí es crítica y el gasto es el ya calculado.

Ejemplo 6 Calcular el tirante (y) sí tiene las siguientes características y contesta: ¿Qué ocurre? Datos  b= 1m

y=?

v= 3 m/s n= 0.0015

 b=1 m

S0= 0.001/ 0.01/ 0.1 v=

1 n

v 1 S0 n

2

2

v

Rh 3 S0

1

2

n

= Rh 3

3

1 S0 n

 Ah  3   Pm 

=

y=1 m 2

2

v

  S0

Para un S0= 0.001

 by  3   b+2y 

=

 1     0.015  

 1 y   3 =  1 + 2 y    0.001   2

3   1+2y 

1.42 = 

y

83

2

 1 3 1.42 =   1+2 1    1.42  0.48

Para una S0=0.01

Para una S0= 0.001

y= 0.7 m 2

y=-0.71 m

 1 y   3 =   1  0.01  1 + 2  y     0.015     3

2

 -1.42  3 1.42 =   1+2 -1.42     1.42 =1.42

2

 y 3 0.45 =    1+2y 

2

 0.7  3 0.45 =   1+2 0.7     0.45  0.44 y=0.76 m 2

 0.76  3 0.45 =   1+2 0.76     0.45 = 0.45

Para una S0=0.1 y= 0.1 m

  3   1    0.015  

y=0.04 m

 2   1 y   3 =      1+2y  0.1   2

2

 0.04  3 0.14 =   2+2 0.04     0.14  0.11 y=0.06 m

 y 3   1+2y 

0.14 = 

2

2

 0.1  3 0.14 =   1+2 0.1    0.14  0.23

 0.06  3 0.14 =   1+2 0.06     0.14 = 0.14

Para un canal con forma trapezoidal Datos  b= 1 m z= 1

y=?

n= 0.015

k=1

v= 3 m/s

 b=1

S0=0.001/0.01/0.1 84

y= 4.5 m

Para una S0=0.001

2

2

v

1   n

 4.5 +  4.5  3 1.42 =   1+ 2.83 4.5  1.42  1.48

 b  h  + k  h   3 =  2 S0   b + 2 1+ k y 

2

2

  1 h  +1 h  2 3 =  1  2     0.001  1+ 2h 1 +1   0.015 





2

3  1  2  

2

 h + h2  3 1.42 =    1+ 2.83h 

y= 4.2 m 2

 4.2+ 4.2   3 1.42 =   1+ 2.83 4.2   2

1.42 = 1.42

Para una S0=0.01 y= 0.48 m

2

v

1   n

 b  h  + k  h   3 =  2 S0   b + 2 1+ k y  2

2

  1 h  +1 h  2 3 =  1  2     0.01  1+ 2h 1 +1   0.015 



 h+h

   1+ 2.83h  2



 0.48 +  0.482  3 0.45 =   1+ 2.83 0.48 

2

3  1  2  

0.45 = 0.45

Para una S0=0.1

2 3

0.45 = 

v

1  n   

y= 0.45 m  0.45+ 0.45   1+ 2.83 0.45     2

 b  h  + k  h   =  2  b + 2 1+ k y  2

S0



2 3

  2  1 h  + 1 h   3 = 1   1  0.1  2 2   1+ 2h 1 +1  0.015          

2 3

0.45 = 

0.45  0.43

 h +h    1+ 2.83h  2

0.14 =  85

2 3

2 3

Para una S0=0.1

y= 0.06 m

y= 0.1 m

2

 0.06 +  0.06  3 0.14 =   1+ 2.83 0.06     2

2

 0.14+ 0.14  3 0.14 =   1+ 2.83 0.14     0.14  0.19 2

0.14 = 0.14

Debido a la pendiente en el primer análisis del canal rectangular se puede observar que resulta un tirante negativo esto indica que no es posible que en un canal con esta pendiente  pueda correr agua; lo cual en el canal trapezoidal sí es posible incluso nos muestra que su tirante máximo está en el canal con esa pendiente.

Ejemplo 7 Para el siguiente ejercicio calcule el gasto para los diferentes coeficientes de manning y describa que observa en los resultados. y= 3 m  b= 10 m y=3m

z= 2

k=2

S0= 0.002

 b=10 m

Rh =

Ah =  b + ky  y Ah = 10 + 2  3  3

2  48  2.05  3  0.002    0.014 

Q=

48

23.44 Rh = 2.05m

Pm = b + 2 1 + k2 y Pm = 10 + 2

Pm

Rh =

Ah = 48m 2

Para n=0.014

Ah

 1+  2   3 2

Q=

Ah n

Q = 247.31

Rh

s

Para n=0.015

2 3

m3

S0 2  48  Q=   2.05  3  0.002  0.015  

Pm = 23.44m

Q = 230.82

86

m3 s

Para n=0.016 2  48  2.05  3  0.002   0.016  

Q=

Q = 216.4

m3 s

Para n=0.018

Para n=0.020

2  48  Q=   2.05  3  0.002  0.018  

Q = 192.35

m3

Q = 173.12

s

Para n=0.019

2  48  3 Q= 2.05    0.002    0.017 

2  48  3 Q= 2.05    0.002    0.018 

Q = 203.67

s

Q = 192.35

m3 s

Para n=0.021

Para n=0.017

m3

2  48  2.05  3  0.002   0.020  

Q=

m3

2  48  3 2.05    0.002    0.021 

Q=

3

Q = 164.87

m

s

s

Conforme aumenta el coeficiente de resistencia se reduce el gasto esto explica por qué un canal de concreto impermeable tiene más gasto que uno hecho de tierra.

Ejemplo 8 Sea un canal de sección trapecial, construido en tierra, por el cual se quiere transportar un gasto Q= 200 m3/s. Determine el ancho de la plantilla b y el tirante normal h0 sí

h=

 b 2

Datos S0=0.0004 m= 2

h

n= 0.020

1

Q= 200 m3/s

2  b=2h

Solución Q= Qn S

1 n

2

Rh 3 S0 A 2

= ARh 3

87

2

 200  0.020 0.0004

Como

y=

 b 2

  b + ky  y  3 = b + k y  y    b + 2 1+ k 2 y 

 sustituimos en la ecuación 2

  2y + k y y  3 200 =  2y + k y y   2  2y + 2 1 + k y  2

 2y2 +ky2  3    200 =  2y2 + ky2    2y + 2 1 + k 2 y      1

200 =  2y + ky 2

2

 4 y4 + k 2 y 4  3   2  4y + 4 1+ k 2  y2  1

 4y4 + k 2 y 4  3  200 =  2y + ky   2  4y +  4y + 4y2 k 2     3 4y4 + k 2 y 4     200 =  2y2 + ky2     3 4y2 + 4y + 4y2 k 2     3 4y4 +  2 2 y4   200 =  2y2 +  2  y2    3 4y2 + 4y + 4y2  22     3 8y 4  2 200 = 4y   2 3  20y +4y  2

2

Para y=4.89 m 4   3 8 4.89    200 = 4  4.89 2  3 20  4.89  + 4  4.89    2

200=200.35

El tirante normal y0=4.89 m y la base b=2(4.89) = 9.78 m.

88

Ejemplo 9 Un canal de sección rectangular con revestimiento de concreto de acabado normal tiene sección de máxima eficiencia y debe transportar un gasto Q= 20 m3/s con un tirante normal h0= 2 m. a) Calcule la pendiente S0 necesaria para obtener las condiciones que se enuncian.  b) Sí S0= 0.001, ¿cuál es el nuevo gasto?. c) Calcule el gasto con la pendiente que se obtuvo en el inciso a) y con un ancho de  plantilla b= 6 m. Datos Q= 20 m3/s h0= 2 m n= 0.014 Solución Se analizará un canal rectangular de máxima eficiencia, la fórmula de los canales rectangulares de máxima eficiencia es la siguiente:  b=2h  por lo tanto, sí b=2h entonces b=2(2) =4, entonces la base del canal es de 4 m. a) Rh =

A = bh A = 4  2 A = 8m

2

Rh =

A Q=

P 8

n

 Rh 

2 3

S0 A 2

A 20

    Q S0 =   2  1  Rh  3 A  n  2     20 S0 =   2  1 1 3  8    0.014 

8

S0 = 0.0012

8 Rh =1m

P = 2h + b P = 2  2 + 4

Q = vA

P = 8m

v= v=

1

Q

v = 2.5

m s

89

 b) Sí S0= 0.001 ¿Cuál es el nuevo gasto? Q= Q=

1 n

2

 Rh  3

S0 A 2

1

1 3

0.014

Q = 17.86

0.001  8 

m3 s

c) Sí S0=0.0012 y b= 6 m; ¿cuál es el gasto? A = 6  2 A = 12m

2

P = 2  2 + 6 P = 10m

Rh =

12

10 Rh = 1.2m

Q=

1 0.014

2

1.2 3

0.0012 12 

3

Q = 33.55

m s

Ejemplo 10 Se desea transportar un gasto Q=300 m3/s por un canal de sección trapecial, construido en tierra (n=0.020); con una designación de talud m=2.5 y S0=0.00008. Determine el tirante h0, si el ancho de la plantilla es b= 40 m. Datos Q= 300 m3/s

S0=0.00008

n=0.020

 b= 40 m

k= 2.5

90

Solución Q=

1 n

 Rh 

2 3

S0 A

   b + ky  y   300 = 0.00008  by + ky 2  0.020  b + 2 1+ k 2 y         by + ky 2    0.0089   by + ky 2  300 = 50  b + 2 1+ k 2 y      1

Substituyendo b= 40 m y k= 2.5

  2   40y + 2.5y 2 300 = 50    0.0089  40y + 2.5y  2  40 + 2 1+  2.5 y     40y + 2.5y2  300 = 50   0.0089  40y + 2.5y2    40 + 5.385y 





Para h0= 4 m.  40 4 +2.5  4 2  2   0.0089  40  4  + 2.5 4   300 = 50     40+5.385 4     300  289.25

Para h0= 4.1 m  40  4.1 + 2.5  4.1 2  2 300 = 50    0.0089  40  4.1 + 2.5  4.1     40+ 5.385  4.1    300  304.38

Para h0= 4.07 m  40 4.07  + 2.5  4.07 2  2 300 = 50    0.0089  40  4.07  + 2.5 4.07      40 + 5.385  4.07     300 = 299.88  300

Por lo tanto, el tirante normal es h0= 4.07 m 91

CAPÍTULO 5 FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

5.1 Ecuación de la energía para el flujo gradualmente variado El flujo gradualmente variado es aquel cuyos tirantes cambian gradualmente en la dirección x del flujo. Se produce cuando se obstruye un río provocando un flujo retardado (remanso). Pero también se produce cuando el flujo normal de un río encuentra una caída hidráulica generando un flujo acelerado (curva de desagüe). La ecuación que rige el flujo gradualmente variado resulta de analizar la ecuación de la energía (energía total) en un tramo de canal; derivando cada uno de sus elementos se puede deducir la ecuación de flujo gradualmente variado. Considérese lo siguiente.

E1 = E 2  

(156)

Partiendo de la ecuación de conservación de la energía. z1 + y1 +

v12 2g

= z 2 + y2 +

v 22 2g

+

h

f1-2

  

Figura 34. Diagrama de conservación de la energía en un canal

92

(157)

Se toma la ecuación de la energía en su forma reducida. E = z+y+

v2

 

2g

(158)

Considerando la siguiente relación. E =H 

(159)

Entonces. H = z + y+

v2 2g

 

(160)

h

Figura 35. Relación de las diferentes alturas de los tirantes a lo largo de la longitud de un canal

Se deriva la ecuación (160) dH dx

=

dz dx

+

dy dx

+

d  v2 

Donde dH dx dz dx

dy dx

= -Sf 

= -S0

= Sa

Pendiente de la línea de energía Pendiente del terreno Pendiente del nivel del tirante del canal

93



 

dx  2g 

(161)

dy dx





= f Sa ,S0 ,Sf  ,Fr   

(162)

La energía cinética es substituida por su versión volumétrica. d  v2 

d  Q2 

dx  2g 

dx  2gA 2 

=





 

(163)

Entonces esta se deriva Sí

Q = Cte

0 2 d 2 2gA Q -Q 2gA    dx dx =   2 2 2gA   2

d

2

(164)

Considerando el área de un canal rectangular por facilidad de cálculo.

Figura 36. Canal de sección rectangular

Se sustituye el área de una sección rectangular en la ecuación resultante de la derivada de la ecuación (164) y se deriva despreciando las constantes de la gravedad y la base del canal ya que lo que se requiere es saber la tasa de cambio del tirante. Q2 =

d 2gb 2 y 2   dy dx   4g 2 b 4 y 4 dx

94

(165)

De esta forma se obtiene. =

Q22gb 22y dy

 

4g 2 b4 y4 dx

(166)

Se eliminan términos semejantes. =-

Q 24gb 2y dy

 

(167)

 

(168)

4g 2 b 4 y 4 dx

Queda de la siguiente forma la ecuación. =-

Q2

dy

gb 2 y3 dx

Se sustituye el caudal por su igualdad; velocidad por el área de la sección y se eliminan términos semejantes. 2

=-

2

2

v b y dy 2

3

gb y

dx

 

(169)

Queda de la siguiente forma la ecuación. 2

=-

v dy gy dx

 

(170)

Si se estudia la ecuación se puede observar el número de Froude y este se sustituye. = -Fr 2

 dy dx

 

(171)

Sustituyendo (171) en (161) y la ecuación queda de la siguiente forma. -Sf = -S0 +

dy dx

2

- Fr  

dy dx

 

(172)

Se despeja la pendiente del terreno y se deriva la ecuación. S0 - Sf  =

dydx - dydxFr 2

95

dx 2

 

(173)

Se factoriza el resultado y se reducen términos. S0 - Sf  =



 

(174)

1- Fr      dx

(175)

2

dydx 1- Fr  2

dx

Queda de la siguiente forma la ecuación. dy

S0 - Sf  =

2

Se despeja la ecuación y se tiene, la ecuación fundamental del flujo gradualmente variado. dy

S0 - Sf 

=

dx

1- Fr 2 

 

(176)

5.2 Solución de problemas de flujo gradualmente variado 5.2.1 Método estándar por pasos 1. Calcular el tirante normal del canal ( y n ). a)

A

Q=

n

Rh

2

3

S0

 

(177)

 b) Calcular el tirante crítico y la pendiente crítica yc =

Q

3

g

  Canal z = 0  

(178)

  Canal z  0  

(179)

3

2

g

q2

=

Ac T

2

 Qn  c    Sc =  2 3  Ac Rh c 

(180)

2. Clasificar el tipo de perfil e identificar: a) Tipo de perfil según la magnitud de plantilla ( S0 ) respecto a la pendiente crítica ( Sc  ).  b) Determinar la zona en la que se localiza el perfil según: El tirante crítico ( y c ) y el tirante normal ( y n ). 96

c) Determinar la variación del tirante en el sentido del flujo con: dy dx

=

S0 - Sf  1- Fr 2 

 

(181)

d) Determinar el sentido del cálculo según el régimen hidráulico y a partir de la sección de inicio de cálculo. 3. Determinar el perfil del paso número 2 paréntesis c) de la superficie libre del agua a  partir de un Δx  de la sección donde se ubica el tirante crítico ( y c ) con: yi = yi+1 -



Δ x S0 - Sf 



1-Fr 2

 

Donde: yi+1 = Tirante de la sección i +1  (m) yi =Tirante en la sección i (m) Fr =

Fri +Fr i+1 2

; Número de Froude

S0 = Pendiente de plantilla Sf  =

Sfi + Sf i+1

2 Δx =Longitud entre las secciones i e i+1

Línea de energía

Figura 37. Secciones consideradas en el cálculo 97

(182)

Subpasos necesarios para resolver el paso 2 paréntesis c): a) Con el tirante y 9 calcular el Fr f 9  y la pendiente de fricción Sf   que corresponde a la sección i+1(9) de análisis.  b) Proponer Δy   según las características del perfil del inciso anterior y deducir el tirante y8p  donde será igual a y8p = Δy+yi+1  correspondiente a la sección i. c) Calcular el número de Froude F8p  y la pendiente de fricción Sf 9  que corresponde a la sección i (8). d) Calcular el

Fr  y

Sf   entre las dos secciones.

e) Obtener el tirante y8c según la ecuación

y8c = y9 -

Δx(S0 -Sf ) 2

 

(183)

1-Fr 

f) Comparar los tirantes y8p y y8c , si son diferentes pasar al inciso g) y repetir los incisos, si son iguales pasar al inciso h). g) Proponer el tirante calculado y 8c  como un nuevo tirante propuesto y8p y repetir los incisos del c) al f). h) El tirante y8c  es el tirante en la sección 8 y se puede pasar al siguiente intervalo de análisis, en el cual se conocen las características de la sección i+1 que corresponde al tirante y 8  de la sección anterior y se desconoce el tirante y 7  de la sección i. i) Repetir los incisos del a) al h). 4. Dibujar a escala en el mismo plano a)  b) c) d) e)

La plantilla del canal en color negro. El tirante crítico en color café. El tirante normal en color rojo. El perfil de la superficie libre medido en color azul. El perfil de la superficie libre calculado en color verde.

98

A continuación, algunos comentarios acerca de las clasificaciones de los perfiles de flujo gradualmente variado.

Tipo M. El perfil M1 es muy común. La presencia de estructuras de control, como vertedores y compuertas, u otros accidentes naturales como estrechamientos y curvas, sobreelevan la superficie del agua en un canal o río y se produce un perfil del tipo M1, donde es asintótico al perfil en flujo uniforme. El perfil M2 ocurre cuando el tirante disminuye, por ejemplo, antes de un cambio de pendiente subcrítica a supercrítica, de un estrechamiento de la sección o en la proximidad de una caída. El perfil M3 se encuentra aguas debajo de un cambio de pendiente de supercrítica a subcrítica, o después de la descarga de una compuerta y su longitud está regida por las condiciones de aguas abajo.

Tipo S. El perfil S1 se produce antes de una estructura de control, como una presa o una compuerta, situada en un canal de gran pendiente. Principia después de un salto hidráulico y termina en la obstrucción. El perfil S2 es generalmente muy corto y es común en la entrada de un canal de gran pendiente o después de un cambio de pendiente subcrítica a supercrítica. El perfil S3 se produce aguas debajo de una compuerta en un canal de gran  pendiente, o aguas debajo de su intersección con otro de menor pendiente.

Tipo C. Como los tirantes normal y crítico coinciden, hay sólo dos perfiles. Estos son aproximadamente horizontales y la inestabilidad propia del estado crítico se manifiesta en la forma de una ondulación superficial apreciable.

Tipo H. El tirante normal es infinito y se forman sólo los perfiles H2 y H3. El perfil H2 se  produce después de que un canal de pendiente subcrítica cambia a horizontal. El perfil H3 ocurre después de una compuerta o de un cambio de pendiente supercrítica a horizontal.

Tipo A. La pendiente negativa de un canal es poco común. El tirante normal no existe y los  perfiles que se forman tienen las mismas tendencias que los H2 y H3. Los perfiles A2 y A3 son extremadamente cortos.

99

El flujo variado puede formarse con uno o más de los tipos de perfil que se han expuesto y resulta conveniente familiarizarse con su clasificación.

Pendiente positiva: S0 > 0 Perfiles en la zona 1

Perfiles en la zona 2

Perfiles en la zona 3

y > y n ; S0 > Sf 

2 yn  y  yc ;S0  Sf ; Fr 1  

y < y n ; S0 < Sf 

yc  y  yn ;S0  Sf ; Fr 1  

y < yc ;Fr >1

2

dy dx   o   c    i    t    í   r   c    b   u    S

=

+ +

Cálculo =+

-

=

+

yn

dy dx

=

+ +

=-

dy dx

y

yn = y c

dx    i    t     í

=

+ +

yn yc

-

y

Cálculo

=0

yn = y c

=

= +

yn y c

dy dx

yn = y c

y

=

x

-

=+

y

x

x

dy

dx

y

yc

dy

x

=+

  :

Cálculo

Cálculo

x

Cálculo

   i    t     í

dy dx

y

yn y c

2

2

y > yc ;Fr <1

dy

=+

Cálculo y

yn

dx

=

+ -

dy =-

dx

yn

y

-

=+

y

x

Figura 38. Clasificación de los perfiles de flujo gradualmente variado con pendiente positiva

100

-

yc

yc

x

Cálculo

=

x

Pendiente horizontal

Perfiles en la zona 1

yn = y c Perfiles en la zona 2

Perfiles en la zona 3

y > y n ; S0 > Sf 

yn  y  yc ;S0  Sf ; Fr 1  

y < y n ; S0 < Sf 

y > yc ;Fr2 <1

2 yc  y  yn ;S0  Sf ; Fr 1  

y < yc ;Fr 2 >1

S0 = 0

dy dx

2

dy

no existe

dx



=

+

dy

=-

Cálculo



Cálculo



=

dx

-

=+

 Ninguno

yn

yn

yc

yc

y

yn y c

x

y

x

x

Figura 39. Clasificación de los perfiles de flujo gradualmente variado con pendiente horizontal

Pendiente negativa

S0 < 0

Perfiles en la zona 1

Perfiles en la zona 2

Perfiles en la zona 3

y > y n ; S0 > Sf 

yn  y  yc ;S0  Sf ; Fr 1  

y < yn ; S0 < Sf 

y > yc ;Fr2 <1

2 yc  y  yn ;S0  Sf ; Fr 1  

y < yc ;Fr 2 >1

dy dx

2

Cálculo

 no existe

yc

dy dx

x

yc

y

x dy dx

=

+

yc

=-

Figura 40. Clasificación de los perfiles de flujo gradualmente variado con pendiente negativa

101

=

y

-

=+

x

5.2.2. Método estándar directo. Este método se puede aplicar a canales prismáticos, aquí se divide el canal en tramos cortos y se realizan los cálculos para cada sección comenzando por una sección conocida (esta  puede ser la sección de control). Si el flujo es subcrítico los cálculos se inician desde aguas abajo y hacia aguas arriba y si es supercrítico se inicia de aguas arriba continuando hacia aguas abajo. Se toma un tramo corto del canal, como se observa en la siguiente figura, se cumple con la siguiente expresión: S0Δx + y1 + α

α1

v

v12 2g

= y2 + α

v 22 2g

+ Sf Δx    

he h f = Sf  Δx

Línea de energía

2

(184)

2g

Superficie del agua

α2

y1

h1

v

2

2g

y2

Fondo del canal

S0 Δx

h2 z1

z2

Δx

Línea horizontal de referencia Figura 41. Tramo del canal para la deducción del método estándar directo

Se define la energía específica (E) como: E = y+α

102

v

2

2g

 

(185)

Reemplazando (183) en (184) y despejando Δx : Δx =

E1 - E 2 S0 - Sf 

 

(186)

La pendiente de la línea de energía en una sección se calcula con la fórmula de Manning: Sf  =

n 2 v2 Rh

4

n 2q2

=

10

3

y

 

(187)

3

Y la pendiente de la línea de energía en un tramo se obtiene como: Sf  =

Sf1 + Sf 2 2

 

(188)

Procedimiento de cálculo 1. Conocidos Q, b, y y en la sección de control, se determina la velocidad (v), la cabeza de velocidad (

v2 2g

) y la energía específica ( E = y + α

v

2

2g

).

2. Se determina la pendiente de la línea de energía ( Sf  ) según la ecuación (187). 3. Se acepta una profundidad según el perfil de flujo que se presenta; se obtienen los valores de E y Sf  para la sección con esta profundidad. 4. Se calcula ΔE = E 2 - E1 , entre estas dos secciones y Sf   con la ecuación (188); con estos resultados se encuentra Δx de acuerdo a la ecuación (186). De esta manera se conoce la localización de la sección a lo largo del canal. 5. Se vuelve al paso 3.

El HEC recomienda el siguiente criterio para obtener la pendiente promedio entre dos secciones:

1. Si el tipo de perfil es subcrítico (M1, S1) y su pendiente de fricción en la sección actual si es mayor que la pendiente de fricción en la sección anterior se utilizará un promedio aritmético determinado por la ecuación: Sf m =

Sf1 + Sf 2 2 103

 

(189)

2. Si el tipo de perfil es subcrítico (M2) y su pendiente de fricción en la sección actual no es mayor que la pendiente de fricción en la sección anterior se utilizará un promedio armónico determinado por la ecuación: Sf m =

2Sf1 Sf 2 Sf1 + Sf 2

 

(190)

3. Si el tipo de perfil es supercrítico (S2) y su pendiente de fricción en la sección actual si es mayor que la pendiente de fricción en la sección anterior se utilizará un promedio aritmético determinado por la ecuación: Sf m =

Sf1 + Sf 2 2

 

(191)

4. Si el tipo de perfil es supercrítico (M3, S3) y su pendiente de fricción en la sección actual no es mayor que la pendiente de fricción en la sección anterior se utilizará un promedio geométrico determinado por la ecuación: Sfm = Sf1Sf 2

104

 

(192)

5.3 Aplicaciones prácticas del flujo gradualmente variado En este apartado realizaremos ejemplos donde pondremos en práctica lo aprendido en el capítulo estudiado.

Ejemplo 1 Un canal tiene las siguientes características: Q= 6 l/s = 0.006 m3/s

S0=0.001

n=0.009

b= 0.09

Realice el análisis de su perfil si el canal tiene una longitud de 3 m y un Δx = 0.50m por el método estándar por pasos (Suponga el canal de análisis como el de sus prácticas). Q= Q S0 Q S0

A n =

=

2

Rh 3 S0 A n

2

Rh 3 2

by 

by  3





n  b + 2y  2

0.006 0.001

=

0.09  y   0.09  y   3





0.009  0.09 + 2  y   2

0.1897 =

0.09  y   0.09  y   3





0.009  0.09 + 2  y  

A partir de aquí se le comienzan a dar valores al tirante (y) hasta encontrar el que cumpla con las condiciones establecidas. h= 0.17499 m

0.1897 =

0.09  0.17499  0.09  0.17499 0.009

2

3    0.09 + 2  0.17499 

0.1897 = 0.18967  0.1897

Se calculan las propiedades geométricas del canal con los datos obtenidos. A=bh

P = b + 2h

A=0.09(0.17499)

P = 0.09+ 2  0.17499

A=0.0157 m2

Rh = Rh =

A P 0.0157

0.44 Rh = 0.0357m

P = 0.44m

105

Q = Av v= v=

Fr =

Q A 0.006

Fr =

0.0157

v = 0.3822

v

q=

gy 0.3822

q=

9.81 0.17499 

Fr = 0.2917

m

Q  b 0.006 0.09

m3 q = 0.0667 s m

s

Ahora se calcula el tirante crítico y todas sus propiedades críticas. yc =

yc =

3

q2 A c = by c

g 3

 0.0667 

A c = 0.09  0.0768

2

A c = 0.0069m

9.81 yc = 0.0768m Rhc = Rhc =

Ac Pc 0.0069

0.2436 Rhc = 0.0283m

  Q n  c Sc =  2   3  AcRh c 

2

Pc = b + 2y c Pc = 0.09+ 2  0.0768 Pc = 0.2436m

vc = gh c

Qc = Ac vc

vc = 9.81  0.0768

Qc = 0.0069  0.868 

vc = 0.868

m

Qc = 0.006

s

2

   0.006 0.009   Sc = 2   3 0.0069 0.0283     

2

Sc = 0.0061

Los resultados obtenidos hasta el momento son: h0=0.17499> hc=0.0768 que indica un canal de perfil subcrítico S0=0.001
106

m3 s

Fr=0.2917 Fr 2=(0.2917)2 Fr 2=0.0851 Se calcula la pendiente de energía. Δh L

Sf  =

, donde: 2

 Qn   L Δh =  2    ARh 3  2  0.006 0.009     Δh =  3 2    0.0157  0.0357 3  Δh = 0.00302m Sf  =

0.00302

3 Sf  = 0.001007

Ahora se calcula, dy dx dy dx dy dx

= =

S0 -Sf  2

1- Fr   0.001- 0.001007 1- 0.0851 -6

= -7.65x10

El cual nos indica

dy dx

=

+

= -,

junto a los datos obtenidos y auxiliándonos del recuadro de

la figura 35. Asi pues tenemos un perfil subcrítico del tipo M2 el cual al revisar el cuadro nos indica que debemos hacer el análisis del perfil desde aguas abajo hacia aguas arriba. Entonces se tiene

y i+1 = y9 = 0.17499m

107

Se propone

y i = y8 = 0.174 + 0.001 = 0.175 m Ahora en base al tirante propuesto se hacen los cálculos geométricos del canal, así como los cálculos respectivos al flujo del canal. Área m2 0.0158

Perímetro m 0.442

Con los datos obtenidos se calcula Fr = Fr =

Fri +Fr i+1

Radio H. m 0.0357 Fr y

Sf  =

2

Fr = 0.2903

 No. Froude 0.2889

Pendiente energía 0.001009

Sf   respectivamente.

Sf  =

2 0.2889 + 0.2917

Velocidad m/s 0.3797

Sfi + Sf i+1 2 0.001009 + 0.001007 2

Sf  = 0.001008

2

Fr = 0.0843

Ahora con los datos obtenidos usando la fórmula 182 se puede encontrar el valor real del tirante. yi = yi+1 -



Δ x S0 - Sf 



2

1-Fr 

yi = 0.17499 -

0.500.001- 0.001008  1- 0.0843

yi = 0.174

Como el propuesto es diferente al encontrado 0.175 m entonces proponemos el valor que nos arrojó todo el procedimiento anterior y se repite toda la operación hasta que el valor  propuesto sea el mismo arrojado por la serie de operaciones. Así un cálculo tan extenso como este se puede programar en una hoja de cálculo una vez dominado a lápiz y papel; para que sea más sencilla su operación. Por la precisión y rapidez de una hoja de cálculo se procedió a calcular los datos en ella. 108

Y los valores nos quedan de la siguiente forma.

Tirante yi+1  y9 0.17499 y8 0.174988 y7 0.174986 y6 0.174984 y5 0.174982 y4 0.17498

Tirante yprop

Tirante yi

Diferencia

No. De Pendiente Sf  Froude

0.175 0.174988

0.174988 0.174988

1.2 E-5 0

0.290748 0.290778

0.000996 0.0009966

0.174986

0.174986

0

0.200783

0.0009966

0.174984

0.174984

0

0.290788

0.00099666

0.174982

0.174982

0

0.290793

0.000997

0.17498

0.17498

0

0.290798

0.000997

0.174978

0.174978

0

0.290803

0.000997

Gráfica del perfil del canal

109

Ejemplo 2 Un canal tiene las siguientes características: Q= 6 l/s = 0.006 m3/s

S0=0.001

n=0.009

b= 0.09

Realice el análisis de su perfil si el canal tiene una longitud de 3 m y un Δx = 0.50m por el método estándar directo (Suponga el canal de análisis como el de sus prácticas). Solución Con este método, así como en el anterior debemos conocer el tirante de la sección de control así que utilizamos el mismo método para encontrarlo, en esta ocasión se presentará la forma resumida del método.

   n  b + 2y  S0 0.09  y   0.09  y   0.006 =   0.009  0.09 + 2  y   0.001 Q

=

by  by

2 3

0.1897 =

0.09  0.17499   0.09 0.17499  0.009

2

3   0.09+ 2 0.17499    

0.1897 = 0.18967  0.1897

El tirante es igual a 0.17499 m Ahora se determina la velocidad con los datos que ya se tienen A = bh A = 0.090.17499  A = 0.01575m 2

v=

 0.38095 = 2g 2  9.81 v2

2g

Q A 0.006

2

= 0.007397m

E = y+α

0.01575

v = 0.38095

2  v  específica  E = y + α  2g  

v2

Q = vA v=

Se calcula la cabeza de  2 velocidad  v   y la energía  2g 

v2 2g

m

E = 0.17499 + 0.007397

s

E = 0.18239m 110

A continuación, se calcula la pendiente de la línea de energía (Sf ) según la ecuación (186). n 2 v2

Sf  =

4

, como se puede observar hacen falta algunos datos; estos se calculan sin ningún

Rh 3

 problema. P = 2h + b P = 2  0.17499  + 0.09 P = 0.43998m

Rh = Rh =

A P 0.01575

0.43998 Rh = 0.03580m

Sf  =

n 2 v2 Rh

4 3 2

Sf  =

 0.009   0.38095  0.03580

2

4 3

Sf  = 0.000996

Una vez obtenida la pendiente de energía de la sección de control se propone un tirante de la sección que se requiere analizar y se calculan sus valores de energía (E) y la pendiente de energía (Sf ), para esto es necesario hacer los cálculos geométricos y del flujo para tener todos los datos disponibles, para este ejercicio se utilizarán los datos obtenidos del ejercicio anterior para comprobar que el ejercicio está correcto. Para exactitud de cálculo y  practicidad, el cálculo de los diferentes datos se hizo mediante una hoja de cálculo por el método directo. y

y8 y7 y6 y5 y4 y3

TIRANTE

0.174988 0.174986 0.174984 0.174982 0.17498 0.174978

ÁREA

0.0157489 0.0157487 0.0157486 0.0157484 0.0157482 0.015748

PERÍMETRO

0.439976 0.439972 0.439968 0.439964 0.43996 0.439956

111

Rh

0.035795 0.0357949 0.0357948 0.0357947 0.0357946 0.0357945

VELOCIDAD

0.3809785 0.3809829 0.3809872 0.3809916 0.3809959 0.3810003

CABEZA DE VELOCIDAD

0.007397789 0.007397958 0.007398127 0.007398296 0.007398466 0.007398635

y

ENERGÍA

Sf DE ENERGÍA

Sf PROMEDIO

y8 y7 y6 y5 y4 y3

0.1823858 0.182384 0.1823821 0.1823803 0.1823785 0.1823766

0.000996606 0.000996632 0.000996658 0.000996684 0.00099671 0.000996736

0.00099659 0.000996606 0.000996619 0.000996632 0.000996645 0.000996658

D. LONGITUD DELTA DE ENERGÍA (m)

1.83E-06 3.66E-06 5.49E-06 7.32E-06 9.15E-06 1.10E-05

0.5374 1.0789 1.62E+00 2.1745 2.7286 3.287

Como se puede observar proponiendo cada tirante del ejemplo anterior nos arroja un delta de longitud ( Δx ) parecido al delta de longitud considerado en el ejemplo anterior para el análisis de cada tirante; esto desfasado por unos centímetros el cual corresponde directamente al número de decimales tomadas tanto en el tirante como en los cálculos realizados.

Ejemplo 3 Un canal tiene las siguientes características: B=b= 5 m

n= 0.012

S0= 0.0160

Si en una de sus secciones se miden los siguientes valores: h= 3.25 m

v= 10 m/s

Determine: a) Si el régimen es o no uniforme.  b) En el caso de que el régimen no sea uniforme, realice el análisis del perfil a ambos lados del tirante h y dibújelo. Solución A=bh A= 5(3.25)

Rh =

P = b+ 2h P = 5+ 2(3.25)

Rh =

P =11.5m

A P 16.25

11.5 Rh = 1.41m

A= 16.25 m2

112

2

1

1 v =   Rh 3S 2 n

Q=vA Q=10(16.25) Q=162.5

    v   S= 2 1    Rh  3       n  

m3 s

2

    10   S 2 1   1.41 3       0.012  

 b) Como S0 > S > Sc  y h 0 < h < h c; Fr > 1 y

Y4

y3

y2

y1

dh dx

S= 0.0091

2

Como S0= 0.016  S= 0.0091, el régimen no es uniforme.

< 0; h  baja

y

a la derecha.

y 1’

y2’

y3’

PERFIL DEL CANAL

y tirante de control 3.25m TIRANTES AGUAS ARRIBA TIRANTES AGUAS ABAJO TIRANTE ALTURA y DISTANCIA TIRANTE ALTURA Y DISTANCIA y1 3.26 3.05m y1' 3.24 3.13m y2 3.27 6.03m y2' 3.23 6.33m y3 3.28 8.94m y3' 3.22 9.61m y4 3.29 11.78m y4' 3.21 12.97m

113

y4’

Ejemplo 4 Para el siguiente canal: Q= 50 m3/s

B=b= 8 m

hA= 1.65 m

n= 0.020

S0= 0.0000

a) Analice el perfil a partir del tirante h A y dibújelo, explicando su resultado y acotando lo necesario.  b) Calcule la posición de un tirante: hB= 1.72 m, y colóquelo en el perfil que dibujó. Solución a) Sí

dy dx

=

 S0 -S 2

1- Fr  

 como S0= 0 siempre será negativo el numerador (S0-S<0)

Ahora se calcula el tirante crítico para compararlo con hA. 1

q= q=

 q 3  g 2

Q

Sí hA=1.65 m > hc=1.585 mla sección

hc = 

B 50

A está en la zona subcrítica, que implica

1

  6.25 2  3 hc =    9.81 

8 3

m q = 6.25 s

Fr<1; por lo tanto:

h c = 1.585m

dh dx

m

=

S - S = -   < 0 1-Fr   +   0

2

Por esa razón, el nivel del agua disminuye a la derecha, aumentando Fr que se acerca a 1;  por otro lado a la izquierda el nivel del agua sube hasta S= 0, y se tiene una superficie horizontal, por lo cual el perfil tiene la siguiente forma

y5

y4

y3

yB

y2

B Perfil del canal 114

y1

L

yA y1’

A

y2’

yA tirante de control 1.65m TIRANTES AGUAS ARRIBA TIRANTES AGUAS ABAJO TIRANTE ALTURA y DISTANCIA TIRANTE ALTURA Y DISTANCIA y1 1.5m 0.66m y1' 1.55m 0.51m y2 1.7m 1.7m y2' 1.60m 0.73m y3 1.75m 4.38m y4 1.78m 6.45m y5 1.8m 8.02m yB 1.72m 2.66m

 b) A B = bh B A B = 8 1.72 A B = 13.76m2

vA =

PB = 11.44m Ai = bhi

50

13.20 m vA = 3.79 s

PB = 2h + b PB = 2 1.72  +8

 3.79 0.020    SiA =  2    1.17  3 

Rh B = Rh B =

2

SiA = 0.0046

A

S=

P 13.76

S  =

11.44 Rh B = 1.20m

SiB + SiB 2 0.0041+ 0.0046 2

S = 0.0044

Ai = 8 1.65 A A = 13.20m2 PA = 2 1.65 +8 PA = 11.3m Q = vA vB = vB =

Q A 50

13.76 m v B = 3.63 s

Rh A =

 v 2A - v 2B    h A - h B +  2g    L=

13.20

11.30 Rh A = 1.17m

S - S  0

 vn Si =   23  Rh

   

2

  3.63 0.020    SiB =  2    1.20  3 

2

SiB = 0.0041

115

   3.792 -  3.632   1.65-1.72+   2 9.81       L=  0-0.0044 L = 2.66m

Ejemplo 5 En una sección de un canal se tiene el tirante: h1= 3 m. Los demás datos son: B=b= 4.50 m

n=0.014

h0=1.50 m

S0= 0.09

a) Realice el análisis completo del perfil y dibújelo.  b) Calcule la distancia a una sección donde el tirante sea h2= 2.86m e indique su localización en el dibujo.

Solución Como la diferencia entre los tirantes es 4.9%, se calculará en un solo paso. q=

 bh0

Rh =  b + h 0 Rh =

4.5 1.50  4.50 + 2 1.50

Rh = 0.90m 2

A  Q =  0  Rh 3 S02  n  2 1  6.75  3  0.09 2 Q= 0.9     0.014  3

Q = 134.81

m s

q=

2

Q

 Qn   S=  2    ARh 3  134.81 0.014    S=  2   3 6.75 0.9    

 b 134.81 4.50

m3 q = 29.96 s m

S = 0.08997

1

hc =

hc =

q  3

2

Q = vA

g 3

 29.96

9.81 h c = 4.51m

v= 2

v=

Q A 134.81 6.75

v =19.97

Fr = Fr =

s

v gy 19.97 9.811.50 

Fr = 5.20

116

m

Como hc >h1 >h 0, S< S y Fr> 1; se concluye que

dh dx

< 0,

por lo que el perfil baja hacia la

izquierda.

y4

y3

y2

y1

h1

y1’

y2’

h2

y4’

PERFIL DEL CANAL

h1 tirante de control 3m TIRANTES AGUAS ARRIBA TIRANTES AGUAS ABAJO TIRANTE ALTURA y DISTANCIA TIRANTE ALTURA Y DISTANCIA y1 3.2m 5.39m y1' 2.95m 1.63m y2 3.4m 9.31m y2' 2.9m 3.40m y3 3.6m 12.12 h2 2.86m 4.92m y4 3.8m 14.08 y4' 2.8m 7.39m

 b) v1 = v1 =

q h1 29.96

2.86 m v1 = 9.99 s

v2 = v2 =

q

vm =

h2 29.96

vm =

2.86

v2 = 10.47

m s

117

 v1 + v2  2

 9.99 +10.47 

vm =10.23

2 m s

E1 = h1 +

2

  vm n   S= 2     Rh m 3  2 10.23 0.014    S= 2   3 1.27    

 h1 + h 2    2   3+2.86  hm =    2  hm = 

2 1

v

2g 2

 9.99  E1 = 3+ 2 9.81

h m = 2.93m

E1 = 8.08m 2

10.47  E 2 = 2.86+ 2 9.81

Rh m = Rh m =

E 2 = 8.45m

S = 0.0149

 bh m  b + 2h m 4.50  2.93 

ΔL =

4.50+2 2.93 

Rhm = 1.27m

ΔL =

 E 2 - E1  S0 -S

 8.45-8.08  0.09-0.0149

ΔL = 4.92m

Ejemplo 6 Con los datos de la siguiente figura, calcule la pendiente del canal S0 Datos B= b= 20 m h1= 0.30 m

c

c

h2= 0.31 m L= 12 m hc= 0.70 m

h2

h1

n= 0.016

S0  L

118

Solución

q   g 2

1 3

m q= 1.83 s

hc = 

q = gh

3

m

3 c

q = 9.81 0.70 

3

La relación entre tirantes es:

h2 h1

=

0.31 0.30

= 1.03  (<5%); como la diferencia es menor del 5%,

se efectuará el cálculo en un solo paso. v2 =

q = v1h1 v1 = v1 =

q h1

v2 =

1.83

q h2 1.83

vm =

0.31

v2 = 5.90

0.30 m v1 = 6.1 s

vm =

m s

 v1 + v 2 

 h1 + h 2    2   0.30 + 0.31  hm =   2   hm = 

2  6.1+5.9 

vm = 6

2 m

h m = 0.305m

s

2

A m = h mb

Pm = b + 2h m

A m = 0.305  20

Pm = 20 + 2 0.305 

A m = 6.1m 2

Pm = 20.61m

Rh m = Rh m =

Am Pm 6.1

20.61 Rhm = 0.296m

v n S= m2   3  Rh  2  6 0.016    S=  2     0.296 3  S = 0.04675

 h 2 - h1 +  v  2g  L=

2 2

2 1

-v

  

S0 - S

S0

 h 2 - h 1 +  v22 - v12     2g   = +S

S0

 0.31- 0.30 +  5.90 2 - 6.10 2       2 9.81   12

S0 = 0.0366

L

119

Ejemplo 7 Un canal tiene las siguientes características: Q= 273.4 m3/s, B=b= 48 m, n= 0.016, S0= 0.000121 Por medio del análisis de la ecuación dinámica del flujo gradualmente variado, identifique los siguientes perfiles: a) .

Q= Q S0

h=4.5 m S0

Q S0

A n =

=

2

Rh 3 S0 A n

2

Rh 3

by 



2

by  3



n  b + 2y 

Ahora se itera hasta encontrar el valor del tirante h0.

273.4 0.000121

=

 

     0.016  48+ 2  y 

48 y  48 y

2 3

Para h0= 3.77 m 2

24,854.5454 =

48  3.77  48  3.77  3





0.016  48+ 2  3.77  

24,854.5454  24.856.9066

Ahora se hacen los cálculos geométricos y del flujo con el nuevo tirante, así como el tirante crítico. El tirante normal (h0) es 3.77 m q= q=

Q  b 273.4

m3 q = 5.6958 s m

48

120

yc =

yc =

3

q2 g

 5.6958 3

2

Ac = bh c

Pc = b + 2h c

Ac = 481.4898

Pc = 48+ 2 1.4898

Rhc = Rhc =

Pc = 50.9796m

2

Ac = 71.5104m

 Qn    Ac Rhc    273.4 0.016    Sc =  2    71.51041.4027  3  Sc = 0.00238

Fr =

Q = vA v= v=

Q Fr =

A 273.4

71.5104

v gy 1.5108 9.81 3.77 

Fr = 0.2484

180.96

v = 1.5108

Pc

50.9796 Rhc = 1.4027m

9.81 yc = 1.4898m

Sc = 

Ac

m

Fr 2 = 0.0617

s

Por lo que: h = 4.5 > h0 = 3.77 > hc = 1.4898 , luego Sc = 0.00238 > S0 = 0.000121 ; Fr<1 (zona subcrítica) de la ecuación dinámica

dy dx



   ,el perfil será el perfil en la zona 1 del 

tipo M1.

 b)

Como Sc= 0.00238> S0=0.000121, hc= 1.49 m< h= 3 m< h0= 3.77m y

h=3 m

Fr<1 (zona subcrítica). De la ecuación S0

Dinámica

dy dx



   , el perfil está 

Ubicado en la zona 2 y es del tipo M2

121

c) h= 0.4 m< hc= 1.49 m< h0= 3.77m, Sc=0.00238> S0=0.000121 y Fr>1 (zona supercrítica); por lo tanto, en la ecuación dinámica h= 0.4 m

dy dx



  , 

 por lo tanto, el perfil corresponde a la S0

zona 3 del perfil M3.

Ejemplo 8 Sea un canal de sección trapecial donde:  b= 5 m

S0= 0.1759

Q= 10.60 m3/s

n= 0.015

k= m= 1

Calcule la longitud de L desde h= 0.95hc  hasta 1.05h0, utilizando el método de los incrementos finitos. Solución q=

h q=

Q  b 10.60 5

m3 q = 2.12 s

S0

m

L

1

q 3 hc =   g 2

hc =

 2.12  3

2

9.81 h c = 0.7709m

122

Calculo del tirante h= 0.95hc= 0.73236 m Cálculo del tirante normal 2

Q S0

=

yb + ky

10.60 0.1759

2

n

=

 yb + ky  3   2 b + 2 1+ k y   2

y  5  +1 y  0.015

2

 y  5  +1  y     2  5 + 2 1+1  y   2

2 3

A continuación, se itera hasta encontrar el valor del tirante (y) que satisfaga con la división del gasto entre la raíz de la pendiente. h0= 0.21356 m 10.60 0.1759

=

  

0.21356 5 +1 0.21356 0.015



2

 0.21356 5  +1 0.21356    5+ 2 1+12  0.21356 

2

  

2 3

25.2739  25.2736

1.05h0=1.05 (0.21356) 1.05h0=0.22 m Al hacer el cálculo colocando como el tirante de control h=0.73236 y realizarlo por el método estándar directo en una hoja de cálculo, buscando el tirante h= 0.22 nos arroja una longitud L= 36.98 m respecto a la sección de control.

Ejemplo 9 En un canal muy largo se establece un flujo permanente. El canal termina en caída libre. En una cierta sección del canal, alejada de sus extremos, se coloca una compuerta, tal como se aprecia en la figura. Se debe determinar los diferentes perfiles de la superficie libre considerando dos situaciones diferentes en el canal: a) flujo subcrítica; b) flujo supercrítico.

123

yn

a) Flujo subcrítico RESALTO

yn M3 yc y

Torrente deprimido en pendiente suave yn> yc> y

M1

c

y

yn

Río peraltado en pendiente suave y>yn>yc 124

 b) Flujo supercrítico

S3

yc

yn

Torrente deprimido en pendiente fuerte yc> yn> y

S1 y

yc

yn

Río peraltado en pendiente fuerte y>yc>yn

Ejemplo 10 Se tiene un canal trapecial de concreto (n= 0.014). La pendiente es 0.001. El ancho en el fondo es de 1.5 m. El talud es de 45°. El caudal es de 10 m3/s. En cierta sección el tirante corresponde al movimiento gradualmente variado es de 3 m. Calcular el tirante en una sección ubicada 40 m aguas debajo de la sección mencionada.

125

Solución Se realizó el ejercicio en una hoja de cálculo programando lo correspondiente al método directo y después se iteró con varios valores del tirante hasta encontrar la distancia correspondiente. Sección de control GASTO S0 10 0.001 Rh VEL.

MANNING BASE 0.014 1.5 CAB. V. ENER.

y1 3 n2

1.35199 0.0740

0.0279662

1.96E-4 0.5487

3.028

M 1 VEL2

ÁREA 13.5 3

Rh 4

1.495

PERÍMETRO 9.98529 Sf 7.19E-5

Después de probar con varios tirantes Para un tirante y 2=-40m = 3.038362m  de altura Con el mismo gasto (Q) por la ley de la continuidad, mismo coeficiente de rugosidad (n) y misma pendiente normal (S0) en un canal trapezoidal prismático. ÁREA

P.

Rh

VEL.

13.7891 10.0938 1.3661 0.7252 ΔxLongitud Sf ΔE S

CAB.V E. 0.0268

3.0652 1.96E-4

f 

6.8E-5

6.99E-5 -0.037

-40m

Por lo tanto, el tirante buscado es 3.038362 m de altura.

126

n2

V2 0.5259

Rh

4 3

1.5158

Conclusión Este proyecto fue realizado con el objetivo de brindar al alumno un material en el cual se  pueda apoyar y complementar su formación hacía esta materia; con información puntual y completa, así como con ejercicios reales y que hacen reflexionar a los alumnos acerca de la comprensión del tema. Este material está basado de obras de la hidráulica muy importantes como El agua según la ciencia de Enzo Levi o Hidráulica de canales de Gilberto Sotelo, así como de apuntes de clases en el cual se brinda material a los alumnos que no encontrarán en ninguna otra obra, como las deducciones de algunas de las fórmulas más importantes de la hidráulica y como se mencionó al ser parte de los apuntes de clases esta obra se apoya del plan de estudios de la carrera, el cual hace que el alumno siga un mismo camino con el maestro y esta obra. En conclusión, el estudio de la hidráulica desde sus fundamentos es muy importante pues conocer el origen de sus fórmulas y conceptos a partir de leyes matemáticas y de la física ayudará al alumno a comprender de mejor forma el tema, así entonces dejar un material con tanta importancia para los alumnos y con tantas herramientas como lo son ejercicios de formación, orígenes de conceptos y fundamentos de las fórmulas es muy importante como retribución a todo lo aprendido.

127