CAPÍTULO 6 FLUJO EN CAUCES NO PRISMÁTICOS
Preguntas 1. Explique las bases en que se apoya el diseño de un aforador Parshall y las ventajas que ofrece con relación a un vertedor instalado con el mismo fin. 2. Explique la importancia de las alcantarillas en las vías terrestres. 3. ¿Qué pecularidad presenta el criterio de Patochka por el diseño hidráulico de alcantarillas? 4. Si la pendiente longitudinal de una alcantarilla es menor que la crítica. ¿Qué tipo de remisión es indispensable hacer en el diseño y por qué? 5. ¿Las alcantarillas deben trabajar preferentemente bajo presión o a superficie libre? Justifique su respuesta Problema 6.1 2. El canal de la figura es de sección rectangular, 1 2 B1 = B1
10.00 m
B2 V1 =
3.00 m/s
h1 =
4.00 m
hf1-2 =
0.00 m
2 1
h1
S0 =
0.0000
S0
Si en la sección " 2 " el tirante es crítico, calcule: a ) El ancho del canal en la sección 2 " B2 " b ) ¿Puede haber en este caso otro tirante " h1' " para la misma energía específica?. Si es así, calcúlelo.
a) Planteo de la solución: Ecuaciones : (1)
qmáx = 1.705 ( E3 )1/2
(2)
qmáx = Q / B2
(3)
Q = A1 V1
Incógnitas : qmáx , E Q , B2 A1
Página 1
(4)
A1 = B1 h1
(5)
E = h1 + V12 / 2g ( 5 ecuaciones y 5 incógnitas )
Solución: Ecuaciones :
Resultados :
(4)
A1 = B1 h1
A1 =
(3)
Q = A1 V1
Q =
(5)
E = h1 + V12 / 2g
(1)
qmáx = 1.705 ( E3 )1/2
(2)
qmáx = Q / B2
E = qmáx = B2 =
2 40.00 m 3 120.00 m /s
4.46 m 3 16.05 m /s/m 7.48 m
b) Planteo de la solución Ecuaciones :
Incógnitas :
(1)
E = h1' + ( q1 / h1' )2 / 2g
(2)
q1 = Q / B1
h1' , q1
( 2 ecuaciones y 2 incógnitas ) Solución: Ecuaciones :
Resultados :
(2)
q1 = Q / B1
(1)
E = h1' + ( q1 / h1' )2 / 2g
q1 = 0.0000000
h1 ' =
3 12.00 m /s/m
1.60 m
Problema 6.2 Con los datos de la siguiente figura, determine el tirante en la sección 2 ( Canal rectangular )
1 2
B1 = B2 =
10.00 m
h1 =
1.00 m
hf1-2 =
0.00 m
h1
Dz
S0
Q=
3 100.00 m /s
Dz =
0.80 m
1 2 Planteo de la solución: Ecuaciones :
Incógnitas :
Comentarios :
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(1)
Dz + E1 = h2 + ( q2 / h2 )2 / 2g
(2)
E1 = h1 + V12 / 2g
V1
(3)
Q = A1 V1
A1
(4)
A1 = h1 B1
(5)
q2 = Q / B2
(6)
hc = ( q2 / g )1/3
E1 , h2 , q2
hf1-2 = 0
hc ( 6 ecuaciones y 6 incógnitas )
q = q1 = q2
Solución: Ecuaciones : (6)
Resultados :
hc = ( q2 / g )1/3
hc =
2.17 m
h1 < hc, por lo tanto la sección 1 está en la zona supercrítica, razón por la cual el nivel del agua se deprime en la sección 2 , ya que qmáx 1 < qmáx 2 , E1 < E2 y el gasto unitario es constante q = q1 = q2 (4)
A1 = h1 B1
(3)
Q = A1 V1 2
(2)
E1 = h1 + V1 / 2g
(5)
q2 = Q / B2
(1)
Dz + E1 = h2 + ( q2 / h2 ) / 2g 2
0
A1 =
2 10.00 m
V1 =
10.00 m/s
E1 = q2 =
6.10 m 3 10.00 m /s/m
h2 =
0.924 m
Problema 6.3 En el siguiente canal rectangular, las secciones 1 y 2 , están lo suficientemente cercanas por lo que se puede despreciar el desnivel que existe entre sus plantillas. 1
2
h1 S01
B1 =
10.00 m
B2 =
6.00 m
h1 =
4.00 m
h2 =
3.00 m
h2
n= B1
0.016
B2
Shf1-z =
0.00
Calcule la pendiente del canal S1 antes de la reducción, cuando el régimen era uniforme con el tirante h1. Planteo de la solución: Ecuaciones :
Incógnitas :
Comentarios :
Página 3
(1)
Q = ( A1 / n ) R12/3 S11/2
Si : q < 10°
Q , A1 , R1 , S1
S S0
(2)
A1 = h1 B1
(3)
P1 = B1 + 2 h1
(4)
R1 = A1 / P1
(5)
h1 + ( Q / A1 )2 / 2g = h2 + ( Q / A2 )2 / 2g
(6)
A2 = h2 B2
P1 Shf1-2 = 0
A2
( 6 ecuaciones y 6 incógnitas ) Solución: Ecuaciones :
Resultados :
(2)
A1 = h1 B1
A1 =
2 40.00 m
(3)
P1 = B1 + 2 h1
P1 =
18.00 m
(4)
R1 = A1 / P1
R1 =
(6)
A2 = h2 B2
A2 =
2.22 m 2 18.00 m
(5)
h1 + ( Q / A1 )2 / 2g = h2 + ( Q / A2 )2 / 2g
(1)
Q = ( A1 / n ) R12/3 S11/2
0
Q = S1 =
3 89.28 m /s
0.00044
Ahora se procederá a revisar que la pendiente hidraúlica " S1 " sea efectivamente igual a la pendiente longitudinal del canal en dicha sección " S01 " q =
sen q = S1 Debido a que q < 10° se puede decir que
S1 = S01
0.025 °
S01 = 0.00044
Problema 6.4 Una alcantarilla tipo Blaisdell tiene las siguientes características : Q =
3 4.00 m /s
D =
S0 =
1.15 m
0.0360
Diga si trabaja con toma sumergida o no. Solución: El valor máximo de de la carga "H" en la toma, si está libre es : Hmáx = 1.25 D
Hmáx =
1.44 m
Qmáx =
3 2.42 m /s
El gasto máximo para una toma no ahogada es: Qmáx = 1.443 S00.05 D H1.5
Nota: La fórmula anterior es válida en el rango 0.8 < H / D < 1.25 Comparando los gastos, se puede observar que: Q=
3 4.00 m /s > Qmáx , por lo tanto :
Se tiene una toma sumergida
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Problema 6.4 Una alcantarilla tiene las siguientes características : Q = S0 =
3 5.00 m /s 0.04
D =
1.00 m
Diga si puede trabajar con toma sumergida o no, independientemente del tipo de estructura que sea Solución: Si es tipo Blaisdell, para S0 = 0.04 , el valor máximo de H, para toma sumergida es: Hmáx = 1.25 D
Hmáx =
1.25 m
Con este valor y la fórmula para el rango: 0.8 < H / D < 1.25 , se tendrá un gasto : Qmáx = 1.443 S00.05 D H1.5
Qmáx =
3 1.72 m /s
que es el gasto máximo posible sin que la toma esté ahogada; Como Q = 5 m 3/s es mayor que el gasto calculado, se deduce que: La toma está sumergida. Según Patochka, para una toma común, si no está ahogada: Hmáx = 1.2 D Qmáx = 1.52 D
Hmáx = 2.5
Qmáx =
1.20 m 3 1.52 m /s
Y para toma cónica Hmáx = 1.4 D Qmáx = 2.17 D
Hmáx = 2.5
Ambos gastos son menores de 5 m 3/s , por lo que :
Qmáx =
1.40 m 3 2.17 m /s
Se tiene una toma sumergida
Problema 6.6 Unas alcantarillas con toma común, deben trabajar a superficie libre y su toma no debe estar ahogada 3 D = 0.90 m Q = 1.65 m /s Determine : a) El número mínimo de estructuras " z " b) Calcule el gasto total que descargan las "z" estructuras si la carga es H =
0.88 m
a) Solución: Según la fórmula de Patochka, el gasto máximo para toma común no ahogada es: Qmáx = 1.52 D2.5 Por lo que el número mínimo de alcantarillas es:
Qmáx = z=
3 1.17 m /s
1.41
Página 5
zmín = El gasto por unidad es :
Q' = Q / z
2 unidades 3 0.83 m /s
Q' =
b) Solución: La fórmula general para determinar el gasto en tomas comunes es : Q' = 2.96 Cc D2.5 ( a - b )1/2 Si
a=H/D
a=
b=
0.98 ; por lo tanto :
0.54 ( tabla 6.2 )
donde el coeficiente de contracción Cc esta dado por la expresión : Cc = [ (cos-1 (1 - 2 b ) ) / 180 ] - [ (1 - 2 b ) 2 / p ] tan [ cos-1 ( 1 - 2b ) ] Cc =
0.55
1/2
Q' =
3 0.83 m /s
Y el gasto total buscado es:
Q=
3 1.66 m /s
Q' = 2.96 Cc D
2.5
(a-b)
Problema 6.7 Se desea instalar alcantarillas de sección circular que trabajen a superficie libre con los siguientes datos: 3 Q= 4.50 m /s D= 0.80 m h= 0.00 m (descarga) Toma común y So > Sc Calcule el número "z" mínimo de estructuras y la carga "H". Acepte un error menor del 10 % Solución: a = 1.20
Para toma común no sumergida, se tiene como valor máximo: máximo se calcula con la expresión: (1) (2)
Qmáx = 1.52 D2.5 z = Q / Qmáx
(3)
Q' = Q / z
, y el gasto
3 0.87 m /s
Qmáx = z= z=
5.17 6 alcantarillas 3 0.75 m /s
Q' =
Debido al redondeo que se utiliza en el número de alcantarillas, el valor de la carga disminuye, y el nuevo valor de la carga se calcula disminuyendo el valor de a Si a = 1.10
b= Cc = error =
0.59 0.61
(Tabla 6.2)
0.94 %
g = 1 - 2b = Q' =
-0.18 3 0.743 m /s
( < 10% ) , por tanto: H=
0.88 m
Problema 6.8
Página 6
Unas alcantarillas con toma común, deben trabajar a superficie libre y su toma no debe estar ahogada. D =
0.80 m
Q =
3 1.35 m /s
Determine : a) El número mínimo de estructuras " z " b) La carga en la toma " H " (acepte un error máximo de 5% en el cálculo del gasto). Solución: Según la fórmula de Patochka : Qmáx = 1.52 D2.5
Qmáx =
Por lo que el número mínimo de alcantarillas es: es decir:
z= z=
3 0.87 m /s
1.55 unidades 2 unidades
Y el gasto por unidad es : Q' = Q / z
Q' =
3 0.68 m /s
La fórmula general para determinar el gasto en este caso es : Q' = 2.96 Cc D2.5 ( a - b )1/2
donde el coeficiente de contracción Cc esta dado por la expresión :
donde el coeficiente de contracción Cc esta dado por la expresión : Cc = [ (cos-1 (1 - 2 b ) ) / 180 ] - [ (1 - 2 b ) 2 / p ] tan [ cos-1 ( 1 - 2b ) ] Utilizando la tabla 6.2 para el cálculo de alcantarillas de sección circular con toma no ahogada según el criterio de Patochka, tanteamos con los siguientes valores de a y b para determinar las condiciones solicitadas: a 1.16 1.10 1.05 0.99
b 0.61 0.59 0.56 0.54
Cc 0.64 0.61 0.58 0.55
Q 0.80 0.74 0.68 0.63
Dado que a = H / D
Este es el valor del gasto que buscamos. Por lo tanto, con este valor de a, obtenemos el valor de la carga " H " H =
0.84 m
Problema 6.9 Se desea proyectar alcantarillas (cuyos datos se indican), en que: S0 > Sc , y que trabajarán a superficie libre en toda su estructura con tomas no ahogadas tipo común. DA
z = A
DA =
13 unidades 0.44 m
Página 7
H S0
A =
1.40 m
H =
0.96 m
D
Calcule el " Qmáx total " que pueden desalojar Solución: H=A-DA
Por ser tomas no ahogadas tipo común; a tomará el valor máximo posible para el gasto máximo ( a = 1.20 ) a=H/D
D =
0.80 m
El gasto máximo está dado por la siguiente fórmula: Qmáx = 1.52 D2.5
Qmáx =
Qmáx total = Qmáx z
Qmáx total =
3 0.87 m /s 3 11.31 m /s
Problema 6.10 Se propone desalojar el gasto indicado usando alcantarillas con toma cónica tipo Andreyev. Los datos son los siguientes: Q= z=
3 11.00 m /s 6 unidades
D= h=
1.00 m 0.00 m ( descarga )
Hmáx =
1.10 m
Determine si la propuesta es aceptable Planteo de la solución: Ecuaciones: (1)
Incógnitas:
Q' = 3.30 Cc ( a - b )1/2 D2.5
Q', Cc, a b se obtiene de la tabla 6.4
(2) (3)
a=H/D Cc = [(cos-1 ( 1 - 2b )) / 180] - [( 1 - 2b )2 / p] tan [cos-1 ( 1 - 2b )]
(4)
Qmáx = z Q'
Qmáx ( 4 ecuaciones y 4 incógnitas )
Solución: Ecuaciones: (2)
a=H/D
(3)
Cc = [(cos-1 ( 1 - 2b )) / 180] - [( 1 - 2b )2 / p] tan [cos-1 ( 1 - 2b )]
Resultados: a= b= Cc =
1.10 0.68 0.72
Por lo que: (1)
Q' = 3.30 Cc ( a - b )1/2 D2.5
Q' =
3 1.55 m /s
Página 8
(4)
Qmáx = z Q'
Qmáx =
Como este gasto es menor que el deseado:
3 9.29 m /s
No es posible desalojar Q = 11 m3/s
Problema 6. 11 Se van a proyectar varias alcantarillas de igual diámetro para desalojar el gasto indicado bajo las siguientes condiciones: Calcule el diámetro " D " de cada estructura, y la altura " A " del terraplén. Toma cónica a superficie libre Estructura y descarga a superficie libre.
A
bordo libre = z = Q =
D
0.80 m 9 alcantarillas 3 28.50 m /s
Solución: El gasto que conduce cada alcantarilla " Q' " es : Q' = Q / z
Q' =
3 3.17 m /s
Por ser toma cónica, la expresión para el gasto máximo es : Qmáx = 2.17 D 2.5
( suponiendo Q' = Qmáx )
D =
1.16 m
El valor de " a " máximo para toma libre es en este caso:
a =
1.40
Dado que a = H / D
H =
1.63 m
A = H + bordo libre
A =
2.43 m
Problema 6.12 Alcantarillas con toma cónica, trabajando con toma y descarga no ahogada y a superficie libre D=
0.80 m
3 5.50 m /s
Qtot =
Determine el número mínimo "z" de estructuras y la carga real en la toma "H" una vez funcionando todas las alcantarillas proyectadas Planteo de la solución: Ecuaciones:
Incógnitas:
(1)
Qmáx = 2.17 D 2.5
(2)
z = Qtot / Qmáx
(3)
Q' = Qtot / z
Qmáx z Q'
( 3 ecuaciones y 3 incógnitas ) Solución: Página 9
Ecuaciones:
Resultados:
(1) (2)
Qmáx = 2.17 D 2.5 z = Qtot / Qmáx
(3)
Q' = Qtot / z
Qmáx =
3 1.242 m /s
z= z= Q' =
4.4 5 unidades 3 1.10 m /s
Dedibo al redondeo que se utiliza en el número de alcantarillas, la carga disminuye y el nuevo valor de H se calcula por medio de tanteos variando el valor de a Para a =
b=
1.26 ;
Q' =
Cc =
0.82 ;
0.88
3
1.100 m /s H=
1.008 m
Problema 6. 13 Calcule el gasto " Q " para una alcantarilla con toma común y descarga libre si : D =
1.00 m
H =
1.05 m
a =
1.05 < 1.20 , toma libre
Solución: a=H/D
Vemos en la tabla 6.2 para el cálculo de alcantarillas de sección circular con toma no ahogada según el criterio de Patochka, que para el valor de a proporcionado, corresponde un valor de : b =
0.56
Cc =
0.58
Calculamos ahora el coeficiente de contracción: Cc = [ (cos-1 (1 - 2 b ) ) / 180 ] - [ (1 - 2 b ) 2 / p ] tan [ cos-1 ( 1 - 2 b ) ] Aplicando ahora la fórmula general para tomas comunes, que es : Q' = 2.96 Cc D2.5 ( a - b )1/2
Se obtiene :
Q =
3 1.19 m /s
Problema 6. 14 Se desea desalojar el gasto total indicado con alcantarillas cónicas tipo Andreyev, las tomas, las estructuras y las descargas deben estar totalmente libres: Q=
3 14.00 m /s
h=
0.00 m
D=
1.25 m
a ) ¿Que condición debe cumplir la pendiente longitudinal de la alcantarilla para que se garantice que no habrá salto hidráulico? b) Determine el número "z" mínimo de estructuras c) La carga real "H" en las tomas aceptando un error máximo del 10%
a) Solución:
Página 10
Para garantizar que no habrá salto hidráulico S0 debe ser mayor que Sc
b) Planteo de la solución: Ecuaciones:
Incógnitas:
(1)
Qmáx = 2.17 D2.5
(2)
z = Q / Qmáx
Qmáx z
( 2 ecuaciones y 2 incógnitas ) Solución: Ecuaciones:
Resultados:
Qmáx = 2.17 D2.5 z = Q / Qmáx
(1) (2)
Qmáx = z= z=
3 3.79 m /s
3.69 4 unidades
c) Solución: Q' = Q / z
Q' =
3 3.50 m /s
Q' = 3.3 Cc ( a - b )1/2 D 2.5 Si a = H / D ; b = h1 / D y x = 1 - 2 b ; Cc = angcos ( x ) / 180 - ( x )2 / p tan ( angcos ( x ) ), por lo que: Si
a=
Luego: Si
1.36 ;
Luego:
0.91
x=
-0.82
Cc =
0.96
3
gastos =( Ya es aceptable… ) 3.69 m /s; Relación de1.06
Q' =
a=
b=
1.30 ;
b=
0.86
x=
-0.72
Cc =
0.91
3
gastos =( Correcto ) 3.50 m /s; Relación de1.00
Q' = H = a D;
H=
1.63 m
Problema 6. 15 Calcule el gasto " Q " que pasa por una alcantarilla considerando toma común. Sus datos son : D = H =
0.80 m 1.30 m
S0 = n =
0.016 0.014
Los valores del tirante " h " y de la velocidad aguas abajo de la descarga " Vd " , son : h=
0.45 m
Vd =
0.00 m/s
Justifique su procedimiento. Solución:
Página 11
a=H/D
a =
1.63
Por ser a > 1.2 se presenta el caso de toma ahogada. La condición para que la descarga de la estructura no esté ahogada, es : h < D + ( Vd / g ) ( V - Vd ) Y en este caso, por ser h < D, la descarga es libre. Suponiendo una alcantarilla con toma ahogada, trabajando a superficie libre y con descarga libre. Su gasto estará dado por la expresión: Q = 1.85 D2.5 (a - 0.60)1/2
Q =
3 1.07 m /s
Para comprobar la hipótesis calcularemos el gasto máximo que tendría la alcantarilla si trabajara como canal a tubo lleno Qmáx = ( A / n ) Rmáx2/3 S01/2
( Rmáx = D / 4 )
Qmáx =
3 1.55 m /s
Qmáx > 1.07 Esto significa que sí trabaja a superficie libre, por lo que la hipótesis es correcta. A la misma conclusión podemos llegar calculando la pendiente hidráulica mínima para que la estructura trabaje como canal, esto es: S0 mín = 10.29 ( Q n )2 D-16/3
S0 mín =
0.0076
< S0 = 0.016
Página 12
