Hidraulica de Tuberias y Canales - Arturo Rocha

HIDRAULICA DE TUBERIAS Y CANALES

i

ii

Arturo Rocha Felices

HIDRAULICA DE TUBERIAS Y CANALES

iii

CONTENIDO

Presentación

v

Prólogo

vii

Palabras Preliminares del Autor

ix

Indice de Figuras

xvi

Indice de Tablas

xxi

Lista de Símbolos Principales

CAPITULO

I

xxiii

INTRODUCCION 1.1

Objetivo del libro

1

1.2

Esquema del contenido general

1

1.3

Diferencias entre canales y tuberías

3

1.4

Tipos de flujo

4

1.5

Teorema de Bernoulli. Ecuación de la energía

7

1.6

Propiedades geométricas de la sección transversal

9

1.7

Efecto de la viscosidad

11

1.8

Efecto de la gravedad

15

1.9

Concepto de distribución de velocidades

15

1.10

Coeficiente de Coriolis

21

1.11

Coeficiente de Boussinesq

23

1.12

Discusión de los valores de

1.13

Relación entre los coeficientes

α

y

β

α

y

24

1.14

β Otros estudios sobre los coeficientes α

1.15

Comparación del escurrimiento en una tubería y un canal

Problemas propuestos

25 y

β

27 32 38

xi

CAPITULO

II

MOVIMIENTO UNIFORME 2.1

El movimiento uniforme en canales y tuberías

43

2.2

Relación entre el corte y la inclinación

46

2.3

Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad media para un canal muy ancho con movimiento laminar

2.4

Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad media para una tubería con movimiento laminar

2.5

69

Ecuación general de distribución de velocidades para el movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente rugoso

2.8

Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en 75

2.9

Obtención de la ecuación de Chezy

76

2.10

Concepto de rugosidad. Conductos hidráulicamente lisos e hidráulicamente rugosos

79

Transformación de las ecuaciones de Karman - Prandtl

82


III

72

conductos rugosos

2.11

CAPITULO

62

Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en conductos lisos

2.7

55

Ecuación general de distribución de velocidades para el movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente liso

2.6

52

87

LA RESISTENCIA DE SUPERFICIE EN EL MOVIMIENTO UNIFORME 3.1

Ecuación de Darcy

3.2

Significado del coeficiente

3.3

Tuberías hidráulicamente lisas

3.4

Tuberías hidráulicamente rugosas. Transición. Gráfico de

91

f

de Darcy ( en tuberías circulares)

95

Nikuradse 3.5

Introducción del coeficiente

98

f

de Darcy en las ecuaciones de

distribución de velocidades 3.6

3.8

xii

101

Transición entre contornos lisos y rugosos. Fórmula de Colebrook - White

3.7

94

103

Dimensionamiento de conductos. Conceptos fundamentales. Errores

104

Tuberías de sección no circular

109

3.9

Ley exponencial de distribución de velocidades

111

3.10

Concepto de capa límite

121

3.11

Espesor de la capa límite

123

3.12

Desarrollo de la capa límite

125

3.13

La separación. Expansión de un conducto

126


CAPITULO

IV

DISEÑO DE TUBERIAS 4.1

Concepto de pérdida de carga. Línea de energía y línea piezométrica

135

4.2

Abaco de Moody. Tuberías comerciales. Cálculo

138

4.3

Pérdidas de carga locales (flujo turbulento)

150

4.4

Sobre la consideración de las pérdidas de carga locales

163

4.5

Pérdidas de carga locales (flujo laminar)

166

4.6

Sistemas hidráulicos equivalentes

168

4.7

Tuberías en serie

170

4.8

Tubería sobre la línea de gradiente. Sifón. Cavitación

174

4.9

Tubería con boquilla convergente final

177

4.10

Máquinas hidráulicas. Suministro por bombeo

180


CAPITULO

V

130

186

DISEÑO DE CONDUCCIONES Y REDES 5.1

Tuberías en paralelo

193

5.2

El problema de los tres reservorios

199

5.3

Bombeo de un reservorio a otros dos

205

5.4

Tuberías con dos o más ramales de descarga independiente

210

5.5

Conducto que da servicio (filtrante)

211

5.6

Cambio de la rugosidad con el tiempo

215

5.7

Fórmula de Hazen y Williams

218

5.8

Diseño de una conducción

223

5.9

Diámetro más económico

228

5.10

Redes de tuberías. Método de Hardy Cross

229


237

Problemas complementarios

249

xiii

CAPITULO

VI

CALCULO DE CANALES 6.1

Condiciones normales

257

6.2

Fórmulas antiguas

260

6.3

Fórmula de Manning

265

6.4

Discusión de los valores del coeficiente de rugosidad

n

a

emplearse en la fórmula de Manning

271

6.5

Determinación de la sección transversal

272

6.6

Sección de máxima eficiencia hidráulica (M. E. H.)

281

6.7

Concepto de borde libre

288

6.8

Cálculo de canales de sección compuesta

292

6.9

Escurrimiento en tubo parcialmente lleno

296 317


CAPITULO

VII

ENERGIA ESPECIFICA Y MOMENTA 7.1

Energía específica

323

7.2

Energía específica a gasto constante

325

7.3

Sección rectangular

335

7.4

Sección parabólica

347

7.5

Sección triangular

350

7.6

Sección trapecial

353

7.7

Sección circular y otras secciones

361

7.8

Flujo crítico normal. Pendiente crítica

365

7.9

Pendiente crítica mínima (pendiente límite,

7.10

Transiciones

7.11

Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la

xiv

VIII

369 371

energía específica

377

7.12

Fuerza Específica (Momenta)

378

7.13

Salto hidráulico

382

7.14

Descarga por una compuerta de fondo

387


CAPITULO

SL )

389

MOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO 8.1

Introducción

395

8.2

Definiciones fundamentales

399

8.3

Ecuación general del movimiento gradualmente variado

401

8.4

Discusión de la ecuación del eje hidráulico

407

8.5

Análisis de los seis casos del movimiento gradualmente variado

409

8.6

Cambios de pendiente (perfiles de continuidad)

418

8.7

Curva de remanso

423


CAPITULO

IX

451

VERTEDEROS 9.1

Objeto de los vertederos. Tipos

455

9.2

Vertederos rectangulares. Fórmula teórica de descarga

466

9.3

Fórmula de Francis

469

9.4

Otras fórmulas para vertederos rectangulares

471

9.5

Vertederos triangulares

478

9.6

Vertederos trapeciales. Vertedero tipo Cipolletti

483

9.7

Condiciones para la instalación y operación de vertederos

485

9.8

Vertederos en pared gruesa (o de cresta ancha)

487

9.9

Vertederos laterales

490

9.10

Errores en el cálculo del gasto como consecuencia de un error en la medición de la carga

492

9.11

Vaciamiento de un depósito por un vertedero

493

9.12

Vertedero sumergido

497


502

Tablas Generales

507

Referencias Bibliográficas

513

xv

INDICE DE FIGURAS

Figura 1.1

Diferencia entre canales y tuberías

3

Figura 1.2

Esquema de un piezómetro

4

Figura 1.3

Tipos de flujo

5

Figura 1.4

Movimientos variados

6

Figura 1.5

Teorema de Bernoulli

8

Figura 1.6

Parámetros de la sección transversal de un canal

10

Figura 1.7

Radio hidráulico en un canal muy ancho

10

Figura 1.8a

Viscosidad cinemática en función de la temperatura para varios fluidos

Figura 1.8b

Viscosidad dinámica en función de la temperatura para diferentes gases y líquidos

Figura 1.8c

13

14

Viscosidad dinámica en función de la temperatura para varios tipos de aceite

14

Figura 1.9

Distribución de velocidades en un canal

16

Figura 1.10

Distribución de velocidades en una tubería

17

Figura 1.11

Distribución de velocidades en una tubería con flujo turbulento

17

Figura 1.12

Distribución de velocidades en una tubería con flujo laminar

18

Figura 1.13

Distribución de velocidades en una tubería (fluido ideal)

18

Figura 1.14

Isotacas en un canal de sección trapecial

19

Figura 1.15

Distribución de velocidades en diferentes secciones transversales

19

Figura 1.16

Distribución de velocidades en un codo

20

Figura 1.17

Distribución de velocidades en contornos lisos y rugosos

20

Figura 1.18

Esquema de definición para las ecuaciones de Strauss

28

Figura 1.19

Ecuación de la energía

33

Figura 1.20

Distribución vertical de velocidades (mediciones)

35

xvi

Figura 2.1

Movimiento uniforme en un canal

44

Figura 2.2

Movimiento uniforme en una tubería

45

Figura 2.3

Esfuerzo de corte en un canal muy ancho

46

Figura 2.4

Esfuerzo de corte en un canal de cualquier sección transversal

48

Figura 2.5

Esfuerzo de corte en una tubería

49

Figura 2.6

Distribución del esfuerzo de corte (a) en un canal y (b) en una tubería

51

Figura 2.7

Distribución de velocidades en un canal con movimiento laminar

53

Figura 2.8

Subcapa laminar

65

Figura 2.9

Relación entre parámetros adimensionales para el cálculo de la distribución de velocidades

67

Figura 2.10

Flujo a través de un anillo

71

Figura 2.11

Distribución de velocidades en un contorno rugoso

73

Figura 2.12

Coeficiente

78

Figura 2.13

Aspereza del contorno

80

Figura 2.14

Rugosidad artificial de Nikuradse

80

Figura 3.1

Equilibrio de fuerzas en una tubería

91

Figura 3.2

Coeficiente f de Darcy en tuberías lisas

98

Figura 3.3

Coeficiente f de Darcy en tuberías rugosas

99

Figura 3.4

Gráfico de Nikuradse

100

Figura 3.5

Flujo paralelo

122

Figura 3.6

Generación de una capa límite

122

Figura 3.7

Definición del espesor de la capa límite

123

Figura 3.8

Espesor de la capa límite

124

Figura 3.9

Capa límite laminar y turbulenta

126

Figura 3.10

Variación del gradiente de presiones

127

Figura 3.11

Fenómeno de la separación

127

Figura 3.12

Desarrollo de la capa límite en una expansión

128

Figura 3.13

Aparición de contracorrientes

128

Figura 4.1

Ecuación de la energía en una tubería

135

Figura 4.2

Abaco de Moody

140

C de Chezy

xvii

Figura 4.3

Pérdida de carga local

150

Figura 4.4

Gráfico de Gibson (ensanchamiento gradual)

155

Figura 4.5

Contracción brusca

157

Figura 4.6

Tuberías en serie (dos tramos)

170

Figura 4.7

Tuberías en serie (tres tramos)

171

Figura 4.8

Esquema de un sifón

175

Figura 4.9

Tubería con boquilla convergente final

178

Figura 4.10

Presencia de una bomba

180

Figura 4.11

Esquema genérico de un suministro por bombeo

181

Figura 5.1

Sistema de tuberías en paralelo

193

Figura 5.2

Línea piezométrica en un sistema en paralelo

194

Figura 5.3

Varias tuberías en paralelo

194

Figura 5.4

Tubería ramificada

196

Figura 5.5

Tres reservorios

199

Figura 5.6

Tres reservorios (caso particular)

200

Figura 5.7

Cuatro reservorios

202

Figura 5.8

Bombeo de un reservorio a otros dos

206

Figura 5.9

Tuberías con ramales de descarga independiente

210

Figura 5.10

Conducto que da servicio

211

Figura 5.11

Cálculo de un conducto filtrante

214

Figura 5.12

Diseño de una conducción

223

Figura 5.13

Determinación del diámetro en una conducción

224

Figura 5.14

Línea piezométrica para la línea de conducción del ejemplo 5.8

227

Figura 5.15

Esquema típico de una red de tuberías

230

Figura 6.1

Comparación de varias secciones transversales que se caracterizan por tener todas un radio hidráulico de 1 m

274

Figura 6.2

Curvas para determinar el tirante normal (Ven Te Chow)

278

Figura 6.3

Borde libre recomendado por el Bureau of Reclamation

290

Figura 6.4

Tabla orientativa para el cálculo del borde libre en canales

291

Figura 6.5

Cálculo de un tubo parcialmente lleno

297

Figura 6.6

Características geométricas en una sección circular

301

xviii

Figura 6.7

Elementos hidráulicos proporcionales en una sección circular

302

Figura 7.1

Interpretación gráfica de la Energía Específica

324

Figura 7.2

Gráfico de la Energía Específica a gasto constante

326

Figura 7.2a

Variación de la energía específica y el tirante

334

Figura 7.3

Distribución de la Energía Específica en un canal rectangular

336

Figura 7.4

Diagrama adimensional de la Energía Específica en canal rectangular

339

Figura 7.5

Curva de descarga para Energía Específica constante

342

Figura 7.6

Gráfico para el ejemplo 7.3

344

Figura 7.7

Distribución de la Energía Específica en un canal parabólico

348

Figura 7.8

Distribución de la Energía Específica en un canal triangular

351

Figura 7.9

Cálculo del tirante crítico (Ven Te Chow)

358

Figura 7.10

Gráfico para el cálculo de secciones críticas

363

Figura 7.11

Grada positiva en un río

373

Figura 7.12

Grada negativa en un río

373

Figura 7.13

Grada positiva en un torrente

374

Figura 7.14

Grada negativa en un torrente

374

Figura 7.15

Valor máximo de la grada positiva

375

Figura 7.16

Curva Energía Específica - Tirante para diferentes caudales

375

Figura 7.17

Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la Energía Específica

Figura 7.18

378

Gráfica para la deducción de la ecuación de la Fuerza Específica

378

Figura 7.19

Fuerza Específica

380

Figura 7.20

Salto hidráulico

382

Figura 8.1

Distribución de presiones en diferentes tipos de flujo

396

Figura 8.2

Presión en un punto de la corriente

397

Figura 8.3

Corriente peraltada y corriente deprimida

399

Figura 8.4

Ríos y torrentes

400

Figura 8.5

Pendientes suaves y fuertes

400

Figura 8.6

Movimiento gradualmente variado

402 xix

y = yc

Figura 8.7

Intersección del eje hidráulico con

Figura 8.8

Esquema para el cálculo de la curva de remanso

Figura 8.9

Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante

ymax determinado por la condición de entrega al lago. Figura 8.10

408 426

427

Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante

ymin determinado por la grada.

427

Figura 9.1

Descarga sobre un vertedero rectangular en pared delgada

456

Figura 9.2

Red de corriente característica de una napa vertiente libre ( P >>> H )

457

Figura 9.3

Se aprecia tres casos de napa deprimida

459

Figura 9.4

Detalle de las características geométricas de la napa vertiente en un vertedero en pared delgada, convenientemente aireada. Esta figura es un detalle de la Figura 9.1

460

Figura 9.5

Vertederos en pared gruesa, según dibujo de Balloffet

461

Figura 9.6

Diferentes formas de vertederos

463

Figura 9.7

Vertedero con paramento inclinado (a y b) y vertedero entrante (c)

464

Figura 9.8

Vertedero que forma un ángulo con la dirección de la corriente

464

Figura 9.9

Otros tipos de vertederos

465

Figura 9.10

Esquema para la deducción de la fórmula de descarga en un vertedero rectangular

466 473

Figura 9.11

Gráfico para la determinación de

Figura 9.12

Coeficiente de descarga en un vertedero trapecial

474

Figura 9.13

Coeficientes de descarga en vertederos triangulares

481

Figura 9.14

Vertedero tipo Cipolletti

485

Figura 9.15

Valores orientativos de las mínimas distancias a tenerse en

KL

cuenta para instalar un vertedero rectangular con contracciones.

486

Figura 9.16

Perfil característico de un vertedero en pared gruesa

488

Figura 9.17

Vertedero lateral

491

Figura 9.18

Vaciamiento de un depósito por medio de un vertedero

493

Figura 9.19

Esquema típico de un vertedero sumergido

497

Figura 9.20

Flujo ondulado que puede presentarse aguas abajo de

xx

un vertedero sumergido

498

INDICE DE TABLAS

α

y

β (Kolupaila)

25

Tabla 1.1

Valores aproximados de

Tabla 1.2

Factores adimensionales para las ecuaciones de Strauss

30

Tabla 2.1

Valores de la rugosidad absoluta

74

Tabla 4.1

Valores de f para el agua

144

Tabla 4.2

Coeficientes de Weisbach para contracciones bruscas

158

Tabla 4.3

Pérdidas de carga locales

160

Tabla 5.1

Intensidad de aumento de la rugosidad

216

Tabla 5.2

Coeficientes de Hazen y Williams

219

Tabla 5.3

Cálculos del ejemplo 5.9

236

Tabla 6.1

Valores de la rugosidad absoluta

Tabla 6.2

Valores del coeficiente

k

k

n de Kutter que generalmente se

usa en los diseños Tabla 6.3


262

m de rugosidad a usarse en la

fórmula de Kutter para pendientes mayores que 0,0005 Tabla 6.4


263

G de rugosidad a utilizarse en la

fórmula de Bazin Tabla 6.5

259

264

Tabla de Cowan para determinar la influencia de diversos factores sobre el coeficiente

n

273

Tabla 6.6

Secciones circulares parcialmente llenas

304

Tabla 6.7

Propiedades hidrálicas de conductos circulares

309

Tabla 6.8

Propiedades hidráulicas de conductos en herradura

311

Tabla 6.9

Sección trapecial de máxima eficiencia hidráulica

313

Tabla 6.10

Secciones de máxima eficiencia hidráulica

315

Tabla 6.11

Elementos geométricos de diversas secciones

316

Tabla 7.1

Ejemplo 7.3 ( q = 1 m3/s/m)

345

xxi

Tabla 7.2

Secciones críticas ( E = yc + Vc2 2 g )

Tabla 8.1

Resumen de la discusión de los seis casos del movimiento

360

gradualmente variado

416

Tabla 8.2

Función de flujo variado para pendientes positivas y negativas

436

Tabla 9.1

Coordenadas características de una napa vertiente libre

458

Tabla 9.2

Coeficientes en vertederos triangulares

481

Tabla 9.3

Coeficientes en vertederos de cresta ancha

490

Tabla 9.4

Ejemplo 9.2

496

Tabla 9.5

Valores de

499

xxii

N para usarse en la fórmula 9-41

LISTA DE SIMBOLOS PRINCIPALES

A

Area de la sección transversal

AS

Area de la sección transversal de salida

a

Rugosidad absoluta

a

Altura de una grada

B

Ancho de fondo

b

Ancho

b

Longitud de la cresta de un vertedero

b.l.

Borde libre

C

Coeficiente de Chezy

CH

Coeficiente de Hazen y Williams

c

Coeficiente de descarga en vertederos

cc

Coeficiente de contracción

cv

Coeficiente de velocidad

D

Diámetro de la tubería

d

Tirante hidráulico

E

Energía

e

Constante de los logaritmos neperianos

F

Número de Froude

Ff

Fuerza debida a la fricción

f

Coeficiente de Darcy

G

Coeficiente de rugosidad de Bazin

H

Carga de agua

H

Energía total con respecto a un plano de referencia

H bomba

Energía suministrada por una bomba

HS

Altura de succión

Hi

Altura de impulsión

hf

Pérdida de carga o energía

xxiii

hi

Altura del salto hidráulico

hloc

Pérdida de carga local

hroz

Pérdida de carga por rozamiento

hvort

Pérdida de carga por la formación de vórtices

hV

Energía de velocidad o cinética

K

Coeficiente de pérdida de carga

K

Factor de capacidad

Kn

Factor de capacidad para condiciones normales

k

Rugosidad absoluta

k0

Rugosidad inicial (al ponerse en servicio el conducto)

kt

Rugosidad después de transcurrido el tiempo

L

Longitud de un vertedero

Le

Longitud equivalente

L. E.

Línea de energía

L. P.

Línea piezométrica o de gradiente hidráulica

M

Exponente hidráulico para el cálculo de las condiciones críticas

m

Relación de máxima eficiencia hidráulica

m

Coeficiente de rugosidad para la fórmula de Kutter

N

Exponente hidráulico para el cálculo del movimiento uniforme

N

Coeficiente de reducción de carga en un vertedero sumergido

n

Coeficiente de Kutter

n

Parámetro característico de la curva de distribución de velocidades

P

Umbral de un vertedero

P

Perímetro

P

Fuerza hidrostática

p

Presión

pv

Presión absoluta de vaporización

Pot

Potencia

Q Qn

Caudal o gasto

xxiv

Gasto para un flujo normal

t

Qc

Gasto crítico

q

Caudal o gasto específico

R

Radio hidráulico

Re

Número de Reynolds

r , ro

Radio de la tubería

S

Pendiente

S

Pendiente media

Sc

Pendiente crítica

SE

Pendiente de la línea de energía

SL

Pendiente límite

SW

Pendiente de la superficie libre

S0

Pendiente del fondo

T

Ancho superficial

T

Temperatura

V

Velocidad media

Vc

Velocidad crítica

Vh

Velocidad a la distancia

Vmax

Velocidad máxima

V* W

Velocidad de corte

w y y

Velocidad de caida de una partícula

yc yn

Tirante crítico Tirante normal

y

Profundidad del centro de gravedad

Z Zc

Factor de sección

z

Elevación con respecto a un plano de referencia

h del contorno

Peso

Tirante Eje de coordenadas

Factor de sección para flujo crítico

xxv

α

Coeficiente de Coriolis

α1

Velocidad de aumento de la rugosidad

β

Coeficiente de Boussinesq

δ

Espesor de la subcapa laminar

δL

Espesor de la capa límite laminar

δT

Espesor de la capa límite turbulenta

κ

Constante de Karman

ρ

Densidad del fluido

γ

Peso específico

η

Eficiencia de la bomba

µ

Viscosidad dinámica o absoluta

ν

Viscosidad cinemática

τ τ0

Esfuerzo de corte

τh

Esfuerzo de corte a la distancia

τ0

Esfuerzo medio de corte sobre el fondo

θ

Angulo

∆E

Variación de energía

∆p

Diferencia de presiones

xxvi

Esfuerzo de corte sobre el fondo o el contorno

h del contorno

xxvii

Capítulo I

Introducción

CAPITULO

I

INTRODUCCION

1.1 Objetivo del libro El objetivo de este libro es proporcionar al lector los conocimientos fundamentales de Hidráulica y Mecánica de los Fluidos que se requieren para el diseño de tuberías y canales y para otras aplicaciones de Hidráulica General. En este libro se presenta el modo de predecir el escurrimiento y los fenómenos de corriente para ciertas condiciones dadas. De otro lado, se ofrece también los conocimientos básicos para el estudio posterior de Hidráulica Fluvial, Irrigación, Drenaje, Abastecimientos de Agua, Hidroelectricidad, etc. El desarrollo de los temas se apoya en conceptos básicos de Mecánica de Fluidos adquiridos anteriormente en los siguientes temas: Hidrostática, Cinemática de los Fluidos, Ecuaciones de Euler, Navier-Stokes y Bernoulli, Semejanza Hidráulica y Análisis Dimensional. En la Hidráulica de tuberías y canales trabajaremos con fluidos reales como agua, aceite o petróleo. Al tener estos fluidos viscosidad habrá que admitir la existencia de tensiones tangenciales en el interior de la masa fluida y tendremos que apartarnos de la Hidrodinámica clásica.

1.2 Esquema del contenido general Este libro consta de nueve capítulos cuyo contenido sintético es el siguiente Capítulo I: Introducción. Objetivos. Tipos de flujo. Efecto de la gravedad y de la viscosidad. Concepto de distribución de velocidades. Coeficientes de Coriolis y Boussinesq. Comparación entre tuberías y canales.

1

Hidráulica de tuberías y canales

Arturo Rocha

Capítulo II. Movimiento uniforme. Ecuaciones de distribución de velocidades para el flujo laminar y turbulento. Conceptos de rugosidad, contorno liso y subcapa laminar. Fórmulas de la velocidad media. Ecuación de Chezy. Capítulo III. La resistencia en el movimiento uniforme. Ecuación de Darcy, Ecuación de Blasius. Ecuaciones de resistencia de Karman-Prandtl. Gráfico de Nikuradse. Ley exponencial de distribución de velocidades. Errores. Concepto de capa límite. El fenómeno de separación. Capítulo IV. Diseño de tuberías. Abaco de Moody. Cálculo de la pérdida de carga, diámetro y gasto. Cambio de la rugosidad con el tiempo. Pérdidas de cargas locales. Tubería equivalente, Tubería en serie. Sifón. Bombeo. Capítulo V. Diseño de conducciones y redes. Tuberías en paralelo. Fórmula de Hazen y Williams. Problema de los tres reservorios. Conducto que da servicio. Otros sistemas indeterminados. Redes. Método de Hardy Cross. Capítulo VI. Cálculo de canales. Flujo normal. Fórmulas de Ganguillet-Kutter, Bazin y Manning. Discusión del coeficiente

n . Cálculo de la sección de un canal. Sección de máxima eficiencia hidráulica. Conceptos de borde libre. Rugosidad compuesta. Sección circular parcialmente llena. Capítulo VII. Energía específica y Momenta. Significado de la energía específica. Régimen crítico: ríos y torrentes. Cálculo de velocidad crítica. Ecuación de la cantidad de movimiento. Concepto de momenta. Salto hidráulico. Su uso como disipador de energía. Capítulo VIII. Movimiento gradualmente variado. Hipótesis general para su estudio. Ecuación del eje hidráulico. Pendiente suave y pendiente fuerte. Discusión de la ecuación del eje hidráulico y presentación de los seis casos del movimiento gradualmente variado. Cálculo de la curva de remanso. Capítulo IX. Vertederos. Su objeto y uso. Tipos. Su objeto y uso. Tipos. Fórmula General. Vertederos rectangulares, triangulares y trapeciales. Vertedero de cresta ancha. Vertedero Sumergido.

2

Capítulo I

Introducción

1.3 Diferencias entre canales y tuberías Son varias las diferencias que pueden establecerse entre el flujo en un canal y en una tubería. El canal tiene una superficie libre que está en contacto con la atmósfera. En la tubería el líquido está confinado. Es un conducto cerrado. Hay presión ejercida por el fluido sobre el contorno. (Figura 1.1). La diferencia entre un canal y una tubería no está, pues, en la forma de la sección transversal, sino en el comportamiento hidráulico. Superficie libre

TUBERIA

CANAL

Figura 1.1 Diferencia entre canales y tuberías En las tuberías la presión ejercida por el fluido en cada punto está representada gráficamente por la altura que alcanza el líquido en un pequeño tubo (piezómetro) conectado a la tubería, tal como puede verse en la Figura 1.2 en la que p es la presión y γ es el peso específico del fluido. La altura que alcanza el fluido en el piezómetro, referida a un plano horizontal, se denomina cota piezométrica.

Cota piezométri ca = z

h=z+ h=

p γ

p γ

(1-1)

(1-2)

En los canales por lo general el flujo es agua, en cambio en las tuberías puede tratarse de cualquier fluido (líquido o gaseoso). El flujo en un conducto cerrado, que pueda tener la forma de una tubería, no es necesariamente un escurrimiento a presión. Tal sería el caso de un túnel o un conducto de desagüe en el que, por estar parcialmente lleno, haya una superficie libre (Figura 1.15c). Al haber contacto con la atmósfera, a través de la superficie libre, el conducto es hidráulicamente un canal.

3


Arturo Rocha

Piezómetro

h

Plano de referencia

z

Figura 1.2 Esquema de un piezómetro

En lo que respecta a tuberías la forma más común es la circular, pero no es la única. Hay tuberías de diferentes formas: sección cuadrada, rectangular, etc. Otra de las diferencias entre ambos conductos está en la calidad de paredes; es decir en el grado de rugosidad del contorno. Las tuberías suelen ser de acero, hierro fundido, asbesto cemento, policloruro de vinilo, polietileno o poliester reforzado con fibra de vidrio, materiales cuyos grados de aspereza no son muy diferentes. En cambio los canales pueden tener superficies lisas como las anteriores o muy rugosas como aquellos con revestimiento de albañilería de piedra. En general se puede decir que los problemas en canales son más complejos que los problemas en tuberías. En una tubería dada la sección transversal es rígida y determinada. Un aumento en el gasto conlleva un aumento en la velocidad. En cambio en un canal hay una superficie libre. Un aumento en el gasto representa una variación en la sección. La sección de una tubería es en la mayor parte de los casos circular. Un canal puede ser de ordinario rectangular, trapecial, semicircular o de forma cualquiera. A pesar de las diferencias que han sido expuestas entre tuberías y canales es posible estudiar en conjunto su funcionamiento hidráulico.

1.4 Tipos de flujo Se denomina movimiento permanente a aquél que, en una sección determinada, no presenta variaciones de sus características hidráulicas con respecto al tiempo. Es decir, que en una

4

Capítulo I

Introducción

sección dada el gasto, presión, velocidad, etc. permanecen constantes a lo largo del tiempo. Se dice que durante dicho intervalo el movimiento es permanente. El movimiento permanente es fácil de comprender, pero difícil de encontrar en la naturaleza. Si observamos un río durante varias horas, quizá tengamos la impresión que su caudal no cambia, pero en realidad hora a hora, minuto a minuto se están produciendo variaciones -aumentos o disminuciones- en el gasto y por lo tanto en la velocidad y en todas las características hidráulicas. Hay impermanencia. Podemos encontrar movimiento permanente en la descarga de una tubería que se alimenta de un estanque cuyo nivel permanece constante (Figura 1.3). Nivel de la superficie libre

Q Figura 1.3 Tipos de flujo

Se denomina movimiento impermanente a aquel que, en una sección determinada, presenta variaciones de sus características hidráulicas a lo largo del tiempo. Así por ejemplo, si observamos la descarga de una tubería, como la de la Figura 1.3, en la que ahora suponemos que el nivel de la superficie libre es variable (un nivel descendente correspondería a un caso real) se tendría que el gasto, presión, velocidad, etc. en una sección cualquiera de la tubería también serán variables con respecto al tiempo: se dice entonces que el flujo no es permanente. Es impermanente. Es variable. Hay otros casos de movimiento no permanente que podrían presentarse. Por ejemplo, en una tubería en la que bruscamente cerramos una válvula situada en su extremo se producirá una onda de sobrepresión que se propaga hacia aguas arriba. En una sección cualquiera habrá impermanencia porque las condiciones hidráulicas son variables con el tiempo. Este fenómeno de sobreelevación súbita de la presión se denomina golpe de ariete. Se dice que un tramo de canal o tubería tiene movimiento uniforme cuando las características hidráulicas son las mismas -es decir, son constantes- para cualquier sección de dicho

5


Arturo Rocha

tramo. Así por ejemplo, una tubería de sección transversal constante que se alimenta de un estanque en el que el nivel se mantiene invariable, se dice que tiene movimiento uniforme porque en todas las secciones transversales son constantes la presión, velocidad, área, etc. El movimiento es variado cuando en un tramo cambia la sección transversal, velocidad, presión o cualquier otra característica hidráulica. Si la variación se produce en una pequeña longitud se dice que el movimiento es rápidamente variado. Ejemplo típico sería la presencia de una grada en un canal. Sobre la grada hay fuerte curvatura de las líneas de corriente y rápida variación de la velocidad: es un movimiento rápidamente variado, M. R. V. (Ver Figura 1.4). Se llama movimiento gradualmente variado a aquel en el que la variación de las características hidráulicas se produce suavemente, lentamente a lo largo de una gran longitud. De acá su nombre de gradual. Si tenemos un canal con movimiento uniforme en el que hay una grada o caída habrá una cierta extensión en la que se desarrolla un movimiento que es una especie de transición o empalme entre el movimiento uniforme, que hay en el canal fuera de la zona de influencia de la grada, y el movimiento rápidamente variado que, como se señaló anteriormente, se produce sobre la grada. Ese tramo de transición o empalme es un movimiento gradualmente variado M. G. V. (Figura 1.4)

M. uniforme

M. G. V.

M. R. V.

y

Figura 1.4 Movimientos variados

En el ejemplo de la Figura 1.4, el movimiento deja de ser uniforme cuando hay un cambio en el tirante y , por pequeño que sea este cambio. A partir de ese cambio el movimiento es gradualmente variado. No se puede establecer con precisión la sección en la cual un movimiento deja de ser gradualmente variado para convertirse en rápidamente variado (M. R. V.).

6

Capítulo I

Introducción

Hay muchos movimientos que estrictamente considerados son impermanentes o variados, pero que desde el punto de vista del ingeniero, interesado en la solución de un problema práctico y real, se pueden considerar como permanentes y uniformes. El movimiento rápidamente variado se estudiará para algunos casos específicos. Nuestro estudio incidirá preferentemente en el movimiento permanente y uniforme. Es éste el más frecuente en los problemas de ingeniería. Resumiendo los conceptos anteriores señalamos que la no uniformidad es la variación del régimen de corriente con respecto al espacio y que la variabilidad es el cambio del régimen de corriente con respecto al tiempo. Debe tenerse presente que en cualquier caso en el que se hable de cambio de velocidad, éste puede ser tanto en magnitud como en dirección. En los ejemplos anteriores caudal o gasto Q significa el volumen de fluido que pasa en la unidad de tiempo por una sección determinada. Sus dimensiones son L3 T-1. Cuando se calcula el gasto por unidad de ancho se llama gasto específico. Sus dimensiones son L2 T-1. Para los fluidos compresibles la ley de conservación de la materia exige que la cantidad de fluido que pasa por cada sección en la unidad de tiempo sea constante

ρ AV = constante siendo ρ la densidad del fluido, A el área de la sección transversal y V la velocidad media de la corriente. En el flujo incompresible la densidad es constante y la ecuación de continuidad es

A1V1 = A2V2 = Q = constante

(1-3)

A la relación entre el gasto y el área de una sección se le denomina velocidad media

V=

Q A

(1-4)

1.5 Teorema de Bernoulli. Ecuación de la energía La forma más conocida del teorema de Bernoulli es

V2 p + + z = constante 2g γ

(1-5)

7


Arturo Rocha

La suma de los tres términos es constante a lo largo de una línea de corriente en un movimiento permanente e irrotacional (para un fluido ideal). Cada uno de los tres términos tiene las dimensiones de una energía por unidad de peso del fluido.

V12 2g

V22 2g

p1 !

p2

Línea de corriente

!

E

z2

z1 Plano de referencia

1

2 Figura 1.5 Teorema de Bernoulli

Al primer término

V 2 2 g , se le conoce con el nombre de energía de velocidad o energía

cinética y representa la altura desde la que debe caer libremente un cuerpo, que parte del reposo, para adquirir la velocidad V . Los otros dos términos son la altura de presión y la elevación. Su suma representa la energía potencial y constituye la cota piezométrica. El teorema de Bernoulli significa que para una línea de corriente la suma de la energía cinética y la potencial es constante. En una tubería o en un canal cada línea de corriente tiene un valor propio para la suma de Bernoulli. Su representación gráfica a lo largo de una línea de corriente es la siguiente En un fluido ideal, (es decir sin viscosidad), la energía E en 1 es igual a la energía en 2. Para un fluido real habría una pérdida de energía entre 1 y 2. En realidad no es energía perdida, sino transformada en calor debido a la fricción. La ecuación de la energía para un fluido real es entonces 2

2

V1 p V p + 1 + z1 = 2 + 2 + z 2 + h f 1− 2 2g γ 2g γ 8

(1-6)

Capítulo I

Introducción

o bien,

E1 = E2 + h f

1− 2

(1-7)

V es la velocidad de la corriente, p la presión, z la elevación con respecto a un plano horizontal de referencia (los subíndices 1 y 2 corresponden a cada una de las dos secciones consideradas), γ es el peso específico del fluido, g la aceleración de la gravedad.

E es la energía total, h f

1− 2

es la disipación (pérdida) de energía entre las secciones 1 y 2.

En un flujo paralelo se tendrá que la energía potencial (presión más elevación) es constante para toda la sección transversal. La diferencia de energía entre una línea de corriente y otra se debe a la variación de la velocidad. En un flujo paralelo la distribución de presiones es hidrostática.

1.6 Propiedades geométricas de la sección transversal Hemos señalado que hidráulicamente se denomina canal al contorno en el que el escurrimiento tiene una superficie libre en contacto con la atmósfera. Los canales pueden ser fundamentalmente de dos tipos: naturales y artificiales. Los canales naturales son los ríos, torrentes, arroyos, etc. Tienen sección transversal irregular y variable y su estudio corresponde a la hidráulica fluvial. El fondo esta constituido por partículas sólidas en movimiento (arenas, limos, piedras, etc), y se le denomina lecho móvil. Ver Figura 1.15d. Los canales artificiales son construidos por el hombre. Tienen sección transversal regular. Si su alineamiento es recto se denomina canal prismático. Las tuberías son conductos a presión que pueden tener cualquier sección transversal. Radio hidráulico ( R ). Es la relación que existe entre el área transversal y el perímetro mojado de un conducto hidráulico.

R=

A P

(1-8)

D 4

(1-9)

Para una tubería de sección circular se tiene

R=

9


Arturo Rocha

es decir, que el radio hidráulico es la cuarta parte del diámetro, lo que puede obtenerse fácilmente a partir de la definición general de la ecuación 1-8. En un canal se debe tener en cuenta que sólo interviene el perímetro mojado, tal como se muestra en la Figura 1.6

T

y

A

P

(Perímetro mojado)

Figura 1.6 Parámetros de la sección transversal de un canal

Tirante hidráulico ( d ) Es la relación que existe en un canal entre el área de la sección A y el ancho superficial T .

d=

A T

(1-10)

Tirante ( y ) Es la distancia vertical del punto más bajo del fondo del canal hasta la superficie libre. Radio hidráulico en un canal muy ancho Cuando el ancho b de un canal o río es mucho mayor que el tirante, se dice que es un canal muy ancho. Esto permite hacer un cálculo más rápido y fácil del radio hidráulico.

A = by y b Figura 1.7 Radio hidráulico en un canal muy ancho

10

P = b + 2y R=

by y = b + 2 y 1+ 2 y b

Capítulo I En un canal muy ancho

Introducción

y es muy pequeño y se puede considerar b R= y

(1-12)

Es decir, que en un canal muy ancho el radio hidráulico es igual al tirante.

1.7 Efecto de la viscosidad El efecto de la mayor o menor viscosidad del fluido sobre las condiciones del escurrimiento se expresa por el parámetro adimensional denominado número de Reynolds. El número de Reynolds ( Re ) tiene por expresión

Re =

VL ν

(1-13)

siendo

V : velocidad media del escurrimiento L : longitud característica ν : viscosidad cinemática que es igual a la relación que existe entre la viscosidad dinámica o absoluta ( µ ) y la densidad del fluido ( ρ ) En una tubería se considera generalmente como longitud característica el diámetro de la tubería

Re =

VD ν

Algunos autores, especialmente europeos, consideran como longitud característica el radio hidráulico

Re =

VR ν

y otros consideran como longitud característica el radio r de la tubería. En los canales se considera el radio hidráulico para la definición del número de Reynolds. La elección de la longitud característica es, pues, un asunto convencional. Cuando se menciona el número de Reynolds debe señalarse la forma en la que queda definido, o sea que se debe señalar cual es la longitud característica.

11


Arturo Rocha

El número de Reynolds representa la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas. Se dice que el flujo es laminar cuando las fuerzas viscosas son más fuertes que las de inercia. Caso contrario el flujo se denomina turbulento. El número de Reynolds que separa los escurrimientos laminares de los turbulentos se llama crítico y para una tubería cuyo número de Reynolds se define según el diámetro tiene un valor aproximado de 2 300. Si tuviéramos una tubería con flujo turbulento en la que paulatinamente se va disminuyendo la velocidad llegará un momento en el que el flujo se hace laminar. Esto ocurre con un número de Reynolds de 2 300. Si tuviéramos el caso inverso, una tubería con flujo laminar en la que progresivamente se va aumentando la velocidad, llegará un momento en el que el flujo se haga turbulento. Para este caso no hay un límite definido; puede ocurrir para un número de Reynolds de 5 000, 10 000, o más, dependiendo de la naturaleza de las perturbaciones exteriores. En un canal el número de Reynolds crítico está alrededor de 600, que corresponde aproximadamente a la cuarta parte del señalado para las tuberías. La explicación está en la ecuación 1-9. El flujo laminar se presenta con más frecuencia en los fluidos muy viscosos (aceite, petróleo). En el agua (que tiene pequeña viscosidad) es poco frecuente, salvo en el flujo a través de medios porosos. El movimiento turbulento es el más frecuente en los problemas de ingeniería. La viscosidad absoluta

µ o coeficiente de viscosidad dinámica, mide la relación entre un

esfuerzo y una velocidad de deformación. Sus dimensiones son ML-1 T-1 en el sistema absoluto y FL-2 T en el sistema gravitacional. En el sistema M. F. S. se mide en kg.s/m 2. En el sistema C. G. S. (absoluto) se mide en gr-masa, centímetros y segundos. La unidad es el poise

1 poise = La viscosidad cinemática

1 gr − masa cm − s

ν es la relación entre la viscosidad absoluta µ y la densidad

ρ . Sus dimensiones son L2 T-1. Su unidad es el stoke 1 stoke = 1 cm 2 s En la Figura 1.8, se muestra para diferentes fluidos la variación de la viscosidad con la temperatura. Las Figuras 1.8a, 1.8b y 1.8c han sido tomados del libro de Rouse, Hidráulica, Editorial Dossat.

12

Capítulo I

Introducción

-3

10

0

o

o

8 6

100

50

o

Fuel Oil (p.e. = 0,97)

Glicerina

6

Fuel Oil (p.e. = 0,94)

4

4

Helio

SAE 30

2

2 Hidrógeno

-4

10

6

6

Petróleo crudo (p.e. = 0,93)

4

-4

10 8

SAE 10

8

4

Metano

∀

2

Amoníaco

2

-5

10 8

Anhidrido carbónico

8

6

6 4

-6

4

Salmuera (20% NaCl) Kerosene

2

10

Benceno


2

Alcohol etílico

-6

10 8

8 Agua

6 4

Gasolina (p.e. = 0,68)

6 4

Tetracloruro de carbono 2

2 Mercurio

-7

10

2

Aire y oxígeno

-5

10

m s

-3

10 8

-7

0

o

o

50

100

o

10

T ºC

Figura 1.8a Viscosidad cinemática en función de la temperatura para varios fluidos (p.e. es el peso específico relativo)

13

50

0

o

100

Salmuera (20% NaCl)

o

5 4

SAE 10

Kerosene

2

Mercurio


# m

#

2

-5

-5

8

10 8

6

6

4

4 Helio

Aire

m2

4

2

2

0

Amoníaco

50

o

100

10 8

6

6 4

2 -6

Metano (Gas natural) o

2

10

-3

10 8

8

T ºC

6 5

o

0

50

o

100

o

Figura 1.8c Viscosidad dinámica en función de la temperatura para varios tipos de aceite

6 5

T ºC

Arturo Rocha

Figura 1.8b Viscosidad dinámica en función de la temperatura para diferentes gases y líquidos



-3

10 8 6 5

-2

8

SAE 30

-6

Fuel - Oil (p.e. = 0,94)

4

2

10

SAE 30

-2

Anhidrido carbónico

o

6

4

10

Oxígeno

2

6 5

10 8

4

10

Hidrógeno

5 4

Fuel - Oil (p.e. = 0,97)

kg - s

8

o

-1

8

kg - s 2

100

Glicerina

-1

6

Gasolina (p.e. = 0,68)

2

o

10

6

Benceno

4

50

2

-4

10 8

Tetracloruro de carbono

6

0

2

Alcohol etílico

Agua

8

o

5 4

2

-4

10


14 o

5 4

Capítulo I

Introducción

1.8 Efecto de la gravedad El efecto de la mayor o menor influencia de las fuerzas gravitacionales sobre las condiciones del escurrimiento se expresa por el parámetro adimensional denominado número de Froude. El número de Froude ( F ) tiene por expresión

F=

V gL

(1-14)

siendo

V : velocidad media g : aceleración de la gravedad L : longitud característica El número de Froude se utiliza en canales y generalmente se considera como longitud característica el tirante hidráulico

d Por lo tanto F=

V gd

(1-15)

Siempre que el escurrimiento se produzca con superficie libre, es decir que alguna zona de la corriente no esta delimitada por el contorno, habrá influencia de la gravedad sobre todo el escurrimiento. El número de Froude representa la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas gravitacionales. Los valores altos del número de Froude corresponden a pequeña influencia de la gravedad. Los autores franceses llaman a este parámetro adimensional número de Reech-Froude.

1.9 Concepto de distribución de velocidades En los canales y en las tuberías el flujo es esencialmente tridimensional. Para cada punto de la corriente, el vector velocidad tiene componentes en las tres direcciones. Para analizar la variación de velocidades en la sección tendremos en cuenta la forma de la sección transversal, pues la naturaleza y características geométricas del contorno definen básicamente la curva de distribución de velocidades.

15


Arturo Rocha

En las tuberías el caso más simple corresponde a la sección circular. La influencia del contorno es simétrica y perfectamente definida. En los canales el caso más simple corresponde a un canal de ancho infinito. Sólo hay influencia del fondo. Empezaremos por analizar este último caso. El flujo es bidimensional. En cada punto de la sección hay una velocidad particular ( Vh ). La velocidad es máxima en la superficie. En el fondo la velocidad es mínima. El esquema característico de la distribución de velocidades es el siguiente

Vh y h

Figura 1.9 Distribución de velocidades en un canal

Denominamos

Vh a la velocidad que existe a la distancia h del contorno (en este caso

del fondo). La curva que expresa la relación entre

Vh y h se llama curva de distribución

de velocidades. En los siguientes capítulos estableceremos su ecuación. En un canal de ancho infinito la velocidad máxima está en la superficie. Pero en un canal rectangular angosto hay fuerte influencia de los lados y la velocidad máxima aparece debajo de la superficie. Mientras más angosto es el canal mayor es la influencia de los lados y la velocidad máxima está más profunda con respecto a la superficie. Valores usuales para ubicar la velocidad máxima son los comprendidos entre 0,95 y y 0,75 y . Ver Figura 1.15b. En una tubería la velocidad es máxima en el eje y mínima en el contorno, tal como se muestra en el esquema de la Figura 1.10. Para

h = D 2 se obtiene la velocidad máxima.

Se observa que los ejemplos de las Figuras 1.9 y 1.10 tienen algo en común: la velocidad es cero en el contorno. Esto se debe a que hemos considerado fluidos reales (con viscosidad).

16

Capítulo I

Introducción

D h=

D 2

Figura 1.10 Distribución de velocidades en una tubería

La distribución de velocidades depende, entre otros factores, del grado de turbulencia. Otros factores determinantes son el grado de aspereza (rugosidad) del contorno y el alineamiento del canal. Para números de Reynolds elevados se dice que existe turbulencia plenamente desarrollada y la distribución de velocidades tiende a hacerse uniforme, salvo en la zona próxima al contorno donde los esfuerzos viscosos y el gradiente de velocidades son muy grandes. Así por ejemplo, en una tubería cuyo número de Reynolds fuera del orden de 1 ó 2 millones podría tenerse la siguiente distribución de velocidades

D

Figura 1.11 Distribución de velocidades en una tubería con flujo turbulento

En cambio, en un escurrimiento laminar el gradiente de velocidades es muy grande en toda la sección transversal y se tendrá una curva de distribución de velocidades de tipo parabólico (ver Figura 1.12). Para un fluido ideal, sin viscosidad, cuyo número de Reynolds sea infinito, la distribución de velocidades sería uniforme (Ver Figura 1.13). Para números de Reynolds muy altos, como el de la Figura 1.11, la distribución de velocidades de un fluido real puede calcularse sin cometer mayor error, como si fuera un fluido ideal salvo en la zona próxima a las paredes.

17


Arturo Rocha

D

Figura 1.12 Distribución de velocidades en una tubería con flujo laminar

D

Figura 1.13 Distribución de velocidades en una tubería (fluido ideal)

Debe tenerse presente que a partir de un cierto valor del número de Reynolds se obtiene turbulencia plenamente desarrollada. Un aumento en el número de Reynolds no conlleva un aumento del grado de turbulencia. En la Figura 1.9 se presentó la distribución vertical de velocidades en un canal muy ancho. Este es un caso particular. Tratándose de canales el caso más frecuente es el de las secciones trapeciales o rectangulares, en las que no puede dejarse de considerar la influencia de las paredes, en las que la velocidad debe también ser nula. Se tendrá entonces una distribución transversal de velocidades. Para ilustrar la distribución de velocidades en la sección transversal se indica en el esquema de la Figura 1.14 la sección de un canal en el que se ha dibujado las curvas que unen los puntos de igual velocidad (isotacas). Esta velocidad se ha relacionado con la velocidad media. Así la curva que tiene el número 2 significa que todos sus puntos tienen una velocidad que es el doble de la velocidad media. En la Figura 1.15 se presentan con carácter ilustrativo las distribuciones de velocidad típicas para diferentes secciones transversales. El alineamiento del conducto y la simetría de la sección también son factores determinantes de la curva de distribución de velocidades.

18

Capítulo I

Introducción

2,0 1,5 1,0 0,5

Figura 1.14 Isotacas en un canal de sección trapecial

0 2, 5 1,

2,5

0 1, ,5 0

2,0 1,5

(a) Canal circular poco profundo

1,0 0,5

(b) Canal rectangular angosto

2,5 2,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5

(c) Canal circular parcialmente lleno

1,5 1,0 0,5

(d) Canal natural (río)

Figura 1.15 Distribución de velocidades en diferentes secciones transversales

19


Arturo Rocha

La asimetría de la sección transversal produce corrientes secundarias, que se llaman así por no seguir la dirección general de la corriente. Si el movimiento principal es a lo largo del conducto, entonces la corriente secundaria producida por una curvatura del alineamiento se desarrolla en un plano normal y representa una circulación que al superponerse al flujo principal da lugar a un movimiento espiral o "en tornillo". Analicemos el caso que corresponde al cambio de dirección (codo) en una tubería. La resistencia viscosa reduce la velocidad en el contorno dando como resultado que allí la energía sea menor que en las capas adyacentes. Debido a la fuerte caída de presión que se produce en el contorno exterior hay un flujo secundario que se dirige hacia el exterior y que debe ser compensado por otro que se dirija hacia el interior.

A

A SECCION A - A

Figura 1.16 Distribución de velocidades en un codo

La aspereza (rugosidad) de las paredes y su influencia sobre la distribución de velocidades será analizada en el capítulo siguiente. Damos una idea de su significado a través de la Figura 1.17 en la cual se presentan para una misma tubería dos distribuciones de velocidad, según que el contorno sea liso o rugoso.

Liso Rugoso

D

Figura 1.17 Distribución de velocidades en contornos lisos y rugosos

20

Capítulo I

Introducción

A partir de la ecuación de distribución de velocidades se calcula el gasto

Q = ∫ Vh dA

(1-16)

1.10 Coeficiente de Coriolis El teorema de Bernoulli fue establecido para una línea de corriente. La ecuación 1-5 establece que la suma de Bernoulli es constante a lo largo de una línea de corriente. Esto significa que cada línea de corriente tiene un valor propio para la suma de Bernoulli. Para cada línea de corriente, en una sección determinada, el valor de la velocidad es y la energía cinética correspondiente es

Vh

2

Vh 2 g . Pero, al ingeniero no le interesa trabajar

con líneas de corriente aisladas, sino con la totalidad del escurrimiento. Consideremos un flujo paralelo. En el flujo paralelo hay una distribución hidrostática de presiones y por lo tanto la suma

p + z , o sea la cota piezométrica, es idéntica para todas γ

las líneas de corriente y la variación que hay entre la suma de Bernoulli para las diferentes líneas de corriente se debe al gradiente de velocidades. Para extender el teorema de Bernoulli a toda la sección transversal, habría que tomar el promedio de los valores de

2

Vh 2 g . Como esto es difícil de hacer en la práctica, pues se

tendría que considerar un número infinito, o muy grande, de filetes, se busca una equivalencia, o una aproximación, mediante el cálculo de la energía que corresponde a la velocidad media. Evidentemente que esto no es exacto, por cuanto no es lo mismo el promedio de los cuadrados, que el cuadrado del promedio. De acá que el valor de la energía para toda la sección transversal, obtenido con la velocidad media, debe corregirse por medio de un coeficiente que generalmente se designa con la letra α y que recibe el nombre de coeficiente de Coriolis ó coeficiente de energía. Para calcular el valor de

α

pensemos en un tubo de corriente cuya velocidad es

Vh , que tiene una sección transversal dA y por el que pasa un fluido cuyo peso específico es γ .

La energía en general se expresa por

γ QH

Ahora bien, para dicho tubo de corriente se puede aplicar la ecuación de continuidad 1-3

dQ = Vh dA

21


Arturo Rocha

y el valor de la energía cinética es 2

V H= h 2g para el tubo de corriente la energía resulta

2

V γVh dA h 2g dQ H que equivale a

ρ 3 Vh dA 2 y la energía de toda la sección transversal se obtiene integrando la expresión anterior

ρ 3 Vh dA ∫ 2 Si hiciéramos un cálculo aproximado de la energía de toda la sección, considerando la velocidad media se tendría

ρ 3 V A 2 para que este valor aproximado sea igual al correcto debe multiplicarse por un factor o

α

coeficiente de corrección al que se denomina

α

ρ 3 ρ 3 V A = ∫ Vh dA 2 2

de donde,

V α=∫

h

3

dA

V 3A

(1-17)

que es la expresión del coeficiente de energía o de Coriolis. Obsérvese que α representa la relación que existe, para una sección dada, entre la energía real y la que se obtendría considerando una distribución uniforme de velocidades.

22

Capítulo I

Introducción

Para canales prismáticos se tiene usualmente

1,03 < α < 1,36

(1-18)

1.11 Coeficiente de Boussinesq El cálculo de la cantidad de movimiento (momentum) de una corriente también se ve afectado por la distribución de velocidades. El valor de la cantidad de movimiento obtenido para toda la sección transversal a partir de la velocidad media, debe corregirse por medio de un coeficiente que generalmente se designa con la letra β y que recibe el nombre de coeficiente de Boussinesq o coeficiente de la cantidad de movimiento.

β pensemos en un tubo de corriente cuya velocidad es Vh que tiene una sección transversal dA y por el que pasa un fluido cuyo peso específico es γ . Sabemos que en general la cantidad de movimiento se expresa por ρ QV Para calcular el valor de

y para el tubo de corriente es

ρVh dA 2

La cantidad de movimiento de toda la sección transversal se obtendrá por integración de la ecuación anterior

ρ ∫ Vh dA 2

Si hiciéramos un cálculo aproximado de la cantidad de movimiento total a partir de la velocidad media se tendría

ρV 2 A para que este valor aproximado sea igual al verdadero debe multiplicarse por un factor o

β

coeficiente de corrección al que se denomina

βρV 2 A = ρ ∫ Vh dA luego,

V β=∫

2

h 2

dA

V A

(1-19)

23


Arturo Rocha

que es la expresión del coeficiente de cantidad de movimiento o de Boussinesq. El producto

βρ QV representa el caudal o flujo de la cantidad de movimiento en una

sección dada. Para canales prismáticos se tiene usualmente

1,01 < β < 1,12

(1-20)

1.12 Discusión de los valores de α y β De acuerdo a lo expuesto anteriormente el coeficiente α se usará en los cálculos en los que intervenga la energía y el coeficiente β en los cálculos en los que intervenga la cantidad de movimiento. Así por ejemplo, si extendemos la ecuación de la energía a toda la sección transversal considerando como velocidad la velocidad media se obtiene 2

α1

2

V1 p V p + 1 + z1 = α 2 2 + 2 + z2 + h f 1− 2 2g γ 2g γ

(1-21)

Cada sección transversal en función de su distribución de velocidades tiene un valor de α . Es evidente que el uso de los coeficientes

α y β depende de la exactitud con la que se

estén haciendo los cálculos. Ambos son siempre mayores que la unidad. En muchos casos se justifica, considerar

α = β =1

(1-22)

Obsérvese que para la Figura 1.13 se cumple exactamente esta condición. A medida que el grado de turbulencia es mayor, o sea para números de Reynolds altos, la distribución de velocidades se hace más uniforme y es más cierta la suposición α =

β =1.

En lo sucesivo y salvo que se indique lo contrario se considerará la ecuación 1-22.

α > β puesto que en la expresión de α Vh V interviene al cubo β y en la expresión de interviene al cuadrado.

Siempre se tendrá que

En el flujo laminar, dado el fuerte gradiente de velocidades, los valores de

α

y

grandes. Se demuestra fácilmente que en una tubería con escurrimiento laminar

24

β son

Capítulo I

Introducción

α =2

β=

4 3

(1-23)

Para un canal muy ancho con fondo rugoso, se han obtenido las siguientes expresiones para los valores de α y β

α = 1 + 3ε 2 − 2ε 3

(1-24)

β = 1+ ε 2

(1-25)

siendo

ε= expresión en la que

Vmax −1 V

(1-26)

Vmax es el valor de la velocidad máxima.

Como hemos señalado anteriormente los valores de

α y β dependen del tipo de curva

de distribución de velocidades, específicamente de la relación que existe entre la velocidad máxima y la media tal como se expresa en las ecuaciones 1-24, 1-25 y 1-26. Según estudios hechos por Kolupaila se pueden considerar los siguientes valores aproximados de α y β TABLA 1.1 VALORES APROXIMADOS DE α Y

β (KOLUPAILA)

α Tipo de cauce

Min.

Prom.

β Max.

Min.

Prom.

Max.

Canales y acueductos

1,10

1,15

1,20

1,03

1,05

1,07

Ríos y torrentes

1,15

1,30

1,50

1,05

1,10

1,17

Ríos con áreas de inundación

1,50

1,75

2,00

1,17

1,25

1,33

1.13 Relación entre los coeficientes α y β Considerando que la velocidad puntual

Vh correspondiente a la distancia h del contorno,

se puede expresar en función de la velocidad media de la siguiente manera

25


Arturo Rocha

Vh = V + ∆V siendo

(1-27)

∆V el exceso o defecto de la velocidad puntual sobre la media. Debe cumplirse

que

∫ ∆VdA = 0

(1-28)

Para que esta última expresión sea evidente, consideremos que

Q = ∫ Vh dA Si reemplazamos el valor de la velocidad puntual se obtiene

Q = ∫ (V + ∆V ) dA Q = VA + ∫ ∆VdA de donde se concluye que la integral es nula. Para calcular el valor de

α

evaluaremos la integral 3

1  Vh    dA A∫ V  que es la ecuación 1-17. 3

3

3

1  Vh  1  V + ∆V  1  ∆V   dA = ∫ 1 +   dA = ∫   dA ∫ A V  A  V  A  V  2 3 1   ∆V   ∆V   ∆V   α = ∫ 1 + 3  + 3 +   dA A   V   V   V  

2

α =1+

3  ∆V  3  ∆V  dA + ∫   ∫ A  V  A  V

3

1  ∆V   dA + ∫   dA A  V  

Ahora vamos a analizar el segundo miembro. La primera integral no puede ser nula y es siempre positiva. La segunda integral es siempre nula en virtud de la ecuación 1-28. La tercera integral es generalmente muy pequeña y se desprecia, pues las diferencias con

26

Capítulo I

Introducción

respecto a la velocidad media están al cubo y tienden a compensarse entre los valores positivos y negativos. Luego 2

3  ∆V  α =1+ ∫   dA A  V  Para calcular el valor

(1-29)

β hacemos un desarrollo similar y evaluamos la integral que se

obtiene de la ecuación 1-19 2

2

1  Vh  2  ∆V  1  ∆V   dA  dA + ∫    dA = 1 + ∫  ∫ A V  A  V  A  V  La primera integral del segundo miembro es evidentemente nula. Luego, 2

β =1+

1  ∆V   dA  A∫ V 

(1-30)

Eliminando la integral común a las ecuaciones 1-29 y 1-30 se obtiene la relación entre y

α

β

α − 1 = 3(β − 1)

(1-31)

Expresión que evidentemente es aproximada.

1.14 Otros estudios sobre los coeficientes α y β Strauss estudió el efecto de la forma de la sección transversal sobre los coeficientes

α

y

β . Consideró que la distribución vertical de velocidades se expresa por una ecuación del tipo

Vh = kh expresión en la que

1 n

(1-32)

k y n son parámetros característicos de la curva. h es la distancia

al contorno. Esta ecuación expresa todas las distribuciones posibles de velocidad para valores de

n comprendidos entre 1 e infinito, de modo que para cualquier distribución

27


Arturo Rocha

real de velocidades se puede encontrar un valor apropiado de ninguna influencia sobre los valores de

n . El valor de k no tiene

α y β.

Combinando la ecuación 1-32 con un desarrollo basado en la consideración de tres factores adimensionales descriptivos de la forma de la sección transversal Strauss obtuvo las ecuaciones genéricas de α y β (ecuaciones 1-33 y 1-34) Los factores adimensionales son

ξ=

H1 H

η=

B B1

ω=

B2 B1

definidos de acuerdo al esquema de la Figura 1.18, que muestra la mitad de una sección transversal cualquiera de un canal. Obsérvese que se incluye la posibilidad de que el talud esta formado por dos pendientes diferentes.

H1 H B B1 B2 Figura 1.18 Esquema de definición para las ecuaciones de Strauss

Según la sección transversal se determinan los valores de

ξ , η y ω con ayuda de la

Tabla 1.2. Las conclusiones a las que llega Strauss son las siguientes

α

1.

y β son independientes del tamaño de la sección. Su valor es una función exclusiva de la distribución de velocidades.

2.

α y β están influenciados además de la distribución de velocidades, por la relación η entre el ancho en el fondo B y el ancho superficial B1 .

28

Para canales triangulares y rectangulares los valores de

Para canales trapeciales los valores de

Capítulo I

(2n

2

α=

2n +3 2n+3 n +3   n+3   3 3ξ 3 + 3n + 1 1 − ξ n + ω  ξ n − ξ n  + η 1 − − 2ξ − + ξ n  1 + η − ξ − 2ηξ + ωξ + ηξ 2 − ωξ 2 n n     

)

(

2 n +1 2 n +1 n +1   nn+1    ξ 1 n n  n    + ω ξ −ξ + − − − + 4n 2n + 9n + 9 1 − ξ 1 2 η ξ ξ    n n      4

(

)

2

)

2

3

Ecuación (1-33)

(2n β=

2

2n+ 2 2n+ 2 2n+ 2  n+ 2    2 2ξ 2 + 3n + 1 1 − ξ n + ω  ξ n − ξ n  + η 1 + − 2ξ − + ξ n  1 + η − ξ − 2ηξ + ωξ + ηξ 2 − ωξ 2 n n     

)

(

2 n +1 2 n +1 n +1   nn+1    ξ 1 n n  n    η ξ ξ + ω ξ −ξ + + − − + 2n 2n + 6n + 4 1 − ξ 1 2    n n      2

(

2

)

2

29

Introducción

Ecuación (1-34)

)


Arturo Rocha

TABLA 1.2 FACTORES ADIMENSIONALES PARA LAS ECUACIONES DE STRAUSS

Factores adimensionales SECCION

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

30

FORMA

Rectángulo

H 1 = 0 ; B1 = B2

; B = B1

Triángulo

H 1 = 0 ; B = 0 ; B1 = B2 Trapecio

H 1 = 0 ; B1 = B2 ; B < B1 Trapecio + Rectángulo

H1 < H

; B < B1 ; B1 = B2

Trapecio + Trapecio

H1 < H

; B = B1 ; B2 > B1

Triángulo + Rectángulo

H1 < H

; B = 0 ; B1 = B2

Triángulo + Trapecio

H1 < H

; B = 0 ; B1 < B2

Trapecio + Trapecio

H1 < H

; B < B1 ; B1 < B2

Semicírculo (sustituye al semioctógano)

ξ = η = tg 22º 30' ; B1 = B2 Semicírculo + Rectángulo

ξ > tgθ ; η = tgθ ; B1 = B2

∃

ξ=

H1 H

η=

B B1

ω=

B2 B1

0

1

1

0

0

1

0

0 <η <1

1

0 <ξ <1

0 <η <1

1

0 <ξ <1

1

0 <ξ <1

0

1

0 <ξ <1

0

ω >1

0 <ξ <1

0 <η <1

ω >1

0,4142

0,4142

1

0,414 < ξ < 1

0,4142

0,4142

ω >1

Capítulo I 3.

Para canales de sección combinada (doble trapecio, trapecio más rectángulo, etc), los valores de α y β dependen de la forma de la sección expresada a través de los parámetros

4.

Introducción

ξ , η y ω y de la distribución de velocidades en función de n .

De las secciones estudiadas se encuentra que los menores valores de α se presentan para secciones rectangulares y los mayores para la sección triangular.

5.

Teniendo en cuenta que en canales la distribución de velocidades es tal que puede describirse con la ecuación 1-32, para valores de que los valores de

6.

α

n comprendidos entre 2 y 4, se tiene

están comprendidos entre 1,12 y 1,50.

Valores experimentales para

α

obtenidos en el río Danubio llegan a 1,34 y en canales

con pequeña pendiente a 1,85. Papasov y Botcheva estudiaron los valores de

α

y

β en ríos de Bulgaria de fondo móvil

y determinaron sus valores para diversas descargas y pendientes. Aunque el estudio de los lechos móviles corresponde a la Hidráulica Fluvial, damos una breve noticia sobre estas investigaciones. Los autores llegan a la conclusión que las deformaciones del fondo al alterar la distribución de velocidades modifican los valores usuales de α y β . Después de estudiar tres ríos búlgaros llegan a

V  α = 1 + 0,056 max   V 

4 , 97

V  β = 1 + 0,047 max   V 

4 ,82

Ferrer y Fuentes estudiaron la variación del coeficiente

β de Boussinesq en un canal de

gasto variable realizando experiencias en un canal de laboratorio en la Universidad de Chile. Llegaron a la conclusión que para este caso

β = 1+ 0,29

expresión en la que

yc b

yc es el tirante crítico para el gasto total y b es el ancho del canal.

31


Arturo Rocha

1.15 Comparación del escurrimiento en una tubería y un canal Como una ilustración de la extensión del teorema de Bernoulli a toda la corriente, se presenta comparativamente en la Figura 1.19 el escurrimiento en una tubería y un canal. Se ha considerado que h f es la energía perdida en el tramo considerado, con lo que en realidad estamos usando la ecuación de la energía. El teorema de Bernoulli sólo es aplicable para un fluido ideal. Se ha considerado que el coeficiente de Coriolis es 1. En la Figura 1.19, L. E. significa línea de energía y L. P. línea piezométrica o de gradiente hidráulica. Ejemplo 1.1 Calcular el radio hidráulico y el tirante hidráulico para un canal de sección trapecial cuyo ancho en la base es de 3 m. El tirante es de 0,80 m y el talud 0,5. (El talud es la inclinación de los lados). Solución.

T

1

y = 0,80 m 0,5

b=3m

Ancho superficial

T = 3,00 + 2 × 0,40 = 3,80 m

Perímetro mojado

P = 3,00 + 2 × 0,894 = 4,79 m

Area

A = 2,72 m2

Radio hidráulico

R = A P = 2,72 4,79 = 0,57 m

Tirante hidráulico

d = A T = 2,72 3,80 = 0,72 m

Ejemplo 1.2 Obtener los coeficientes α y β para un canal rectangular muy ancho, aceptando una distribución vertical de velocidades dada por la siguiente ecuación 1

Vh = kh n k es una constante, h es la distancia al contorno (ecuación 1-32).

32

Capítulo I

Introducción

(a) Tubería L. E.

V1 2 2g

hf

V22 2g

L. P.

p1 ! p2 ! z1

z2

Plano de referencia

1

2

(b) Canal L. E.

hf

2 1

V 2g p = y !

L. P.

V22 2g p=0

y1 y2 Plano de referencia

z1

z2

Ecuación de la energía: 2

2

p1 V p V + z1 + 1 = 2 + z2 + 2 + h f γ 2g γ 2g Figura 1.19 Ecuación de la energía

33


Arturo Rocha

Solución. Si aceptamos un ancho unitario se tendrá para el gasto específico la expresión dq = Vh dh

reemplazando la velocidad, 1

dq = kh n dh

El gasto es q = ∫ Vh dh y

1

q = k ∫ h n dh 0

La velocidad media se obtiene dividiendo el gasto entre el área, 1

y

n q k ∫ h dh V= = 0 y y

Reemplazando en la ecuación 1-17

∫ Vh dh

y

3

α=

V 3A

α=

     

=

0

3

1   n  k ∫0 h dh    y y     y

1 3 +1 3 1  +1−3  +1  + 2 n yn n  3  1  1 + 1  n 

De donde,

α=

(1 + n ) n (3 + n )

β=

(1 + n ) n(2 + n )

3

2

Haciendo un desarrollo similar se obtiene 2

34

3

k 3 ∫ h n dh

Capítulo I

Introducción

Ejemplo 1.3 La distribución vertical de velocidades en un canal muy ancho es la siguiente

h (m)

Vh (m/s)

0,05

1,06

0,10

1,24

0,30

1,52

0,50

1,65

0,70

1,73

0,90

1,80

El tirante es y = 0,95 m. Calcular a) b) c) d) e) f) g)

el gasto específico q la velocidad media V gráficamente la distancia h del fondo a la que la velocidad es igual a la velocidad media. el coeficiente α de Coriolis el coeficiente β de Boussinesq los valores de α y β aplicando las ecuaciones 1-24 y 1-25 y comparar con los resultados anteriores. el número de Reynolds ( T = 18 °C)

Solución. En primer lugar dibujaremos en un papel milimetrado la curva de distribución de velocidades h (m) 0,15 0,20 0,20 0,20 0,125 0,075

1,80

1,73

1,65

0,95 m

1,52

1,24 1,06

V (m/s)

Figura 1.20 Distribución vertical de velocidades (medición)

35


Arturo Rocha

El gasto se obtiene aplicando la siguiente expresión h= y

q = ∑ Vh ∆h h =0

En el momento de dibujar la curva es necesario extrapolar ligeramente los valores recordando dos conceptos fundamentales: en un canal muy ancho la velocidad máxima esta en la superficie y la velocidad mínima siempre está en el fondo. Dividimos luego la vertical en 6 partes, para cada una de las cuales suponemos un valor constante de la velocidad. Mientras mayor sea el número de partes, mayor será la exactitud; pero a su vez para que tenga sentido real la división en un número elevado de partes debe haber datos numerosos. Las partes no tienen que ser necesariamente iguales. a)

Según la figura

q = 1,06 × 0,075 + 1,24 × 0,125 + 1,52 × 0,20 + 1,65 × 0,20 + 1,73 × 0,20 + 1,80 × 0,15 q = 1,48 m3/s/m q q 1,48 = = = 1,56 m/s A y 0,95

b)

V=

c)

De la Figura 1.20 se obtiene h = 0,35 m

d)

Para calcular α hacemos el siguiente cuadro

Vh

Vh3

A

Vh3 . A

1,06

1,19

0,075

0,089

1,24

1,91

0,125

0,238

1,52

3,51

0,200

0,702

1,65

4,49

0,200

0,898

1,73

5,18

0,200

1,036

1,80

5,83

0,150

0,875

∑V

3 h

α=

36

3,838 = 1,06 1,56 3 × 0,95

A = 3,838

α = 1,06

Capítulo I e)

Introducción

Para el cálculo de

β hacemos un cuadro similar

Vh

Vh2

A

Vh2 . A

1,06

1,12

0,075

0,084

1,24

1,54

0,125

0,192

1,52

2,31

0,200

0,462

1,65

2,72

0,200

0,545

1,73

2,99

0,200

0,599

1,80

3,24

0,150

0,486

∑V

2 h

β=

f)

2,368 = 1,024 1,56 2 × 0,95

A = 2,368

β = 1,02

para la aplicación de las fórmulas aproximadas, empezaremos por calcular el valor de ε para lo que obtenemos del gráfico que, aproximadamente, la velocidad máxima es 1,80 m/s.

ε=

Vmax 1,80 −1 = − 1 = 0,15 1,56 V

ε = 0,15

ε 2 = 0,0225 ε 3 = 0,003375 α = 1 + 3ε 2 − 2ε 3 = 1,061

α = 1,06

β = 1 + ε 2 = 1,0225

α = 1,02

g) T = 18 ºC; ν = 10 −6 m2/s

Re =

VR 1,56 × 0,95 = = 1,482 × 10 6 ν 10 −6

37


Arturo Rocha

PROBLEMAS PROPUESTOS (Capítulo I)

1.

Demostrar a partir de la Figura 1.18 que el gasto teórico en un canal se puede expresar por

Q = A2

2 g (∆y − h f ) A  1 −  2   A1 

2

A1 y A2 representan las áreas de las secciones transversales respectivas. La diferencia de cotas piezométricas es ∆y . La pérdida de energía entre 1 y 2 es h f . En donde

β si α = 1,2

2.

Calcular el valor de

3.

Demostrar que suponiendo una distribución lineal de velocidades en un canal se obtiene

α 4.

=2

β = 4/3

Demostrar que en una tubería de diámetro D con régimen laminar, cuya ecuación de distribución de velocidades es

Vh = siendo

gS  Dh h 2   −  ν  4 4

h la distancia al contorno, ν la viscosidad cinemática del fluido y S la pendiente de

la línea de energía; se cumple que

α 5.

=2

β = 4/3

Demostrar que en una tubería cuyo radio es r y cuya distribución de velocidades es 1

 h 7 Vh = 1,23V   r se cumple que

38

α

= 1,07. Hallar el valor de

β .

Capítulo I 6.

Introducción

Genéricamente la distribución de velocidades en una tubería de radio r se expresa por 1

 h n Vh = Vmax   r A medida que aumenta el número de Reynolds aumentan los valores de los valores de α ? 7.

n . ¿Qué ocurrirá con

Un líquido fluye entre paredes paralelas. La ley de distribución de velocidades es

 h Vh = Vmax 1 −   d La separación entre las placas es 2 d . La velocidad Calcular los valores de

α

y

n

V está medida a la distancia h del eje.

β

8.

Resolver el problema anterior para una tubería con la misma ley de distribución de velocidades.

9.

En una tubería de radio

ro , por la que circula aceite, la distribución de velocidades es  r2  Vh = Vmax 1 − 2   ro 

r es la distancia del eje a la que la velocidad es Vh Hallar los valores de

α

y

β

10. En una tubería AB fluye aceite. El diámetro se contrae gradualmente de 0,45 m en A a 0,30 m en B. En B se bifurca. La tubería BC tiene 0,15 m de diámetro y la tubería BD 0,25 m de diámetro. C y D descargan a la atmósfera. La velocidad media en A es 1,80 m/s y la velocidad media en D es 3,60 m/s. Calcular el gasto en C y D y las velocidades en B y C. 11. En una tubería de 6" de diámetro fluye aceite de densidad relativa 0,8. La viscosidad es 1 poise. El gasto es de 200 l/s. Calcular el número de Reynolds. 12. Describir como varía el coeficiente de Coriolis con el número de Reynolds. 13. Una tubería horizontal AB de 0,40 m de diámetro conduce 300 l/s de agua ( T = 20°C). La presión en el punto A es de 5 Kg/cm2 y en el punto B es de 3,5 Kg/cm2. La longitud de la tubería es de 850 m. Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular el número de Reynolds.

39


Arturo Rocha

14. Una tubería horizontal de 8" de diámetro y 500 m de largo conduce 100 l/s de aceite de viscosidad 1 poise y peso específico relativo 0,8. La presión en el punto inicial es de 4 Kg/cm2 y en el punto final de 3 Kg/cm2. Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular el número de Reynolds. 15. Una tubería AB de 0,80 m de diámetro conduce 1 m3/s de agua. La elevación del punto inicial A es 25,8 m y su presión es de 5 Kg/cm2. La elevación del punto final B es 20,2 m y su presión es de 2 Kg/cm2. La longitud de la tubería es de 1 Km. La temperatura es de 20 °C. Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular la presión de la tubería en el punto medio de la distancia AB. 16. Una tubería tiene en su primer tramo 6" de diámetro y una velocidad de 3 m/s. El segundo tramo tiene 8" de diámetro.

6"

8"

Calcular el gasto y la velocidad en el segundo tramo. 17. Demostrar que en un estanque la energía por unidad de masa es constante para cualquier punto. 18. Calcular para el ejemplo 1.3 cuál es la celeridad de una pequeña onda superficial que se forme en el canal. ¿Podrá esta onda remontar la corriente?. Calcular el número de Froude e interpretar los resultados (La celeridad ó velocidad relativa es

gy ). D1

19. Un tubo cónico vertical tiene entre sus extremos 1 y 2 una pérdida de carga h f ,

1

igual a

h f = 0,25

(V1 − V2 )2 2g

8m

V1 es la velocidad en el punto 1, es igual a 6 m/s. La velocidad en el punto 2 es 2 m/s. La longitud del tubo es de 8 m. La presión en el punto 2 equivale a 10 m de agua. Calcular la presión en Kg/cm2 en el punto 1.

2 D2

20. Se tiene una línea de conducción cuya sección inicial tiene un diámetro de 8" y una presión de 2 Kg/cm2. La sección final tiene un diámetro de 6", una presión de 1 Kg/cm2 y está 1,20 m por encima de la sección inicial. Calcular la pérdida de energía h f , entre ambas secciones. El fluido es petróleo crudo de peso específico relativo 0,93 y la temperatura es de 25°C.

40

Capítulo I

Introducción 12 cm

21. Una tubería vertical de sección variable conduce agua. El diámetro en la parte superior es de 12 cm y en la parte inferior de 6 cm. La longitud es de 10 m. Cuando el gasto es de 80 l/s la diferencia de presión entre los manómetros instalados en las secciones 1 y 2 es de 2,5 Kg/cm 2 . Determinar cual es el gasto que debería pasar en esta tubería para que la diferencia de presiones entre 1 y 2 sea cero.

2

10 m

1

Considerar que la perdida de carga h f

6 cm

entre 1 y 2 es proporcional a la velocidad.

22. Las Figuras 1.10, 1.11, 1.12 y 1.13 presentan diferentes distribuciones de velocidad. Ordenarlas según valores crecientes del coeficiente de Boussinesq. 23. Hacer un esquema que muestre la distribución vertical de velocidades en el eje del canal cuya sección se muestra en la Figura 1.14. 24. Demostrar que para un canal triangular cuya distribución de velocidades está dada por la ecuación 1-32 se cumple que

α=

calcular el valor de

α

para

(2n2 + 3n + 1)3 4n 4 (2n 2 + 9n + 9)

n = 2. Comparar con las ecuaciones de Strauss.

25. Calcular el gasto en el sistema mostrado en la figura. El diámetro de la tubería es de 4". Las pérdidas de energía en el sistema equivalen a

4V 2 2 g .

H = 10 m

41


Arturo Rocha

26. Una tubería se estrecha de 12" en la sección 1 a 6" en la sección 2. La diferencia de presión entre ambas secciones equivale a 20 cm de mercurio. La pérdida de energía entre 1 y 2 es de

0,15V12 2 g . Calcular el gasto. ¿Cuál sería el gasto si se desprecian las pérdidas de carga? 27. La sección transversal de una tubería circular se ha dividido en 10 áreas iguales por medio de círculos concéntricos. Se ha medido las velocidades medias en cada área, empezando por la velocidad en el centro. Los resultados en m/s son: 1,71; 1,70; 1,68; 1,64; 1,58; 1,49; 1,38; 1,23; 1,02; 0,77. Calcular los valores de α y β . Si el diámetro fuese de 0,80 m calcular el caudal.

42

Χαπτυλο ΙΙ

Μοϖιµιεντο Υνιφορµε

CAPITULO

ΙΙ

MOVIMIENTO UNIFORME

2.1 El movimiento uniforme en canales y tuberías El movimiento uniforme es el que se presenta más frecuentemente tanto en los cálculos de tuberías como en los de canales. En el capítulo anterior hemos señalado que cada punto de la corriente tiene su propia velocidad. Esto significa que existe una distribución de velocidades en la sección transversal. En este capítulo se establecerán las ecuaciones de distribución de velocidades y se obtendrá por integración las expresiones correspondientes a la velocidad media. En un canal con movimiento uniforme la profundidad ψ , el área Α , la velocidad media

ς

y el gasto Θ son constantes en todas las secciones y la línea de energía, la superficie libre y el fondo son líneas paralelas, de modo que sus pendientes son iguales (Figura 2.1)

Σ Ε = ΣΩ = Σ 0 = Σ

(2-1)

Σ Ε es la pendiente de la línea de energía ΣΩ es la pendiente de la superficie libre Σ 0 es la pendiente del fondo Una de las condiciones para que se desarrolle un movimiento uniforme en un canal es que la pendiente no sea excesivamente grande.

43

Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ

Αρτυρο Ροχηα

En la práctica es muy difícil encontrar un movimiento que sea estrictamente uniforme. En muchos casos el flujo en canales y ríos se considera, desde el punto de vista del ingeniero, como uniforme.

ΣΕ

ς2 2γ

Σω

ψ Σο

Figura 2.1 Movimiento uniforme en un canal

Si la pendiente de un canal es muy fuerte aparecen ondulaciones superficiales y el movimiento deja de ser uniforme. En algunos casos las altas velocidades dan lugar a que el agua atrape y arrastre partículas de aire, que constituyen el aire incorporado y que alteran la uniformidad del escurrimiento. En una tubería con movimiento uniforme el área, la velocidad y gasto son constantes en todas las secciones y la línea de energía es paralela a la línea piezométrica (obsérvese que estas líneas no son paralelas al eje de la tubería) (Figura 2.1). A la línea piezométrica

ΣΩ . θ es el π ángulo formado por el eje de la tubería y el plano horizontal de referencia, es la presión, γ el peso específico del fluido, ζ la elevación con respecto al plano horizontal de referencia. Ε es la energía total. Los subíndices se refieren a cada una de las dos secciones. se le denomina también línea de gradiente hidráulica y se designa como

En una tubería se denomina

Σ Ε , pendiente de la línea de energía, a la relación entre la

diferencia de energía entre dos secciones y la distancia entre las mismas, medida a lo largo de la tubería.

ΣΕ =

44

Ε1 − Ε2 η φ 1− 2 = Λ Λ

(2-2)



ς12 2γ

ΣΕ = Σ Σω

ηφ ς22 2γ

π1 ! Ε1

π2 !

1 Λ

1-2

2

ζ1

Ε2 ∀

ζ2

Plano de referencia

1

2

Figura 2.2 Movimiento uniforme en una tubería

En el movimiento uniforme, por ser la velocidad constante, se considera como diferencia de energía la correspondiente a la diferencia entre las cotas piezométricas. La línea de energía y la línea piezométrica son paralelas.

Σ Ε = ΣΩ = Σ

 π1  π   + ζ1  −  2 + ζ2  γ  γ  Σ= Λ

(2-3)

El fluido en movimiento ejerce fricción sobre el contorno. Para la obtención de las ecuaciones de distribución de velocidades se buscará, en primer lugar, establecer una relación entre el esfuerzo de corte y la inclinación de la línea de energía. Luego, una relación entre la velocidad y el esfuerzo de corte, para obtener finalmente, eliminando el corte, una función que relacione la velocidad con la inclinación de la línea de energía. En este desarrollo se sigue el método presentado por el Profesor Thijsse, en Delft (Holanda). Todo el desarrollo de este capítulo se refiere al movimiento permanente y uniforme. En este capítulo se considera que el coeficiente

α de Coriolis es igual a 1.

45



2.2 Relación entre el corte y la inclinación a) Canal muy ancho En la Figura 2.3 se representa el perfil longitudinal de un canal muy ancho con movimiento uniforme.

ΣΕ

Σω

ς2 2γ

Φ ∃η η

Σο

ψ ∀

#s Figura 2.3 Esfuerzo de corte en un canal muy ancho

Recordemos que en el movimiento uniforme las tres pendientes son iguales y se designan con la letra

Σ (ecuación 2-1). Φ es la componente del peso, de la parte achurada, en la

dirección del escurrimiento,

η es la distancia variable entre el fondo y la parte inferior de

la porción achurada, cuya longitud es

∆σ .

Como es un canal muy ancho consideramos el escurrimiento por unidad de ancho (medido perpendicularmente al plano del dibujo). Para el elemento fluido achurado se tiene que su volumen es

( ψ − η ) ∆σ y su peso es

ρ γ ( ψ − η)∆σ El producto de la densidad específico 46

γ.

ρ por la aceleración γ de la gravedad es igual al peso



La componente del peso en la dirección del escurrimiento es

ρ γ ( ψ − η)∆σ σενθ Como el ángulo

θ , formado por el fondo y un plano horizontal de referencia, es pequeño

se considera que

σενθ = Σ luego, ρ γ ( ψ − η)∆σ Σ

En el movimiento uniforme no hay aceleración. La distribución de presiones es hidrostática. Las fuerzas debidas a la presión se compensan y la componente del peso en la dirección del escurrimiento debe ser equilibrada por el corte total, que es el producto del esfuerzo unitario de corte

τ η por el área en que actúa τ η ∆σ = ρ γ ( ψ − η)Σ∆σ

De donde, la relación entre el corte y la inclinación es

τ η = γ ( ψ − η) Σ El esfuerzo de corte sobre el fondo se obtiene para

(2-4)

η =0

το = γ ψ Σ

(2-5)

Como en un canal muy ancho el tirante es igual al radio hidráulico

το = γ Ρ Σ

(2-6)

Se llega así a la conclusión que el esfuerzo de corte sobre el fondo es igual al producto del peso específico del fluido, por el radio hidráulico y por la pendiente (de la línea de energía). b) Canal de cualquier sección transversal El caso anterior es hipotético pues corresponde a un canal de ancho infinito. En la práctica los canales son rectangulares, trapeciales, circulares, etc. Todas estas formas diversas se esquematizan en la Figura 2.4. Se muestra en la figura dos secciones de un canal, ubicadas a una distancia

∆σ . Para las

mismas condiciones anteriores se tiene que la componente del peso de la masa fluida, en la dirección del escurrimiento es

ρ γ Α Σ ∆σ

47



ρ es la densidad del fluido, γ la aceleración de la gravedad, Α la sección transversal,

Σ la pendiente.

#s Α

∃ο Π Figura 2.4 Esfuerzo de corte en un canal de cualquier sección transversal

Esta fuerza debe ser equilibrada por el corte total (en este caso el esfuerzo de corte sobre el fondo no es constante), que tiene por expresión

 Π τ δΠ ∆σ  ∫ 0  Π es el perímetro mojado, τ 0 es el esfuerzo de corte sobre el fondo. o bien, aproximadamente

Πτ 0 ∆σ Igualando la componente del peso y el corte total se obtiene

τ0 = ρ γ

Α Σ Π

o bien,

τ 0 = γ ΡΣ

(2-7)

Observamos que las ecuaciones 2-6 y 2-7 son iguales. Esto significa que el esfuerzo medio de corte sobre el fondo en un canal es igual al producto del peso específico del fluido, por el radio hidráulico y por la inclinación de la línea de energía.

48



c) Tubería de sección circular

ΣΕ

Σω

ς2 2γ

π1 !

π2 !

∀ η

π1 π2

η

∆

#s

Figura 2.5 Esfuerzo de corte en una tubería

En la Figura 2.5 se muestra un corte longitudinal en una tubería de sección circular de diámetro ∆ . Consideremos el cilindro coaxial mostrado en la figura. la tubería con la horizontal.

! es el ángulo que forma el eje de

La fuerza debida al corte (fricción) es igual a la fuerza debida a la diferencia de presiones. La fuerza debida al corte es

∆  τ η 2π  − η ∆σ 2  expresión en la que

τ η es el esfuerzo de corte a la distancia η del contorno (en este caso,

de la pared de la tubería). La fuerza debida a la diferencia de presiones y al peso es 2

2

∆  ∆  ( π1 − π2 )π  − η  + γ π  − η  ∀σ σεν! 2  2  49



operando, 2

  π π ∆ γπ  − η   1 − 2 + ∆σ σεν!  γ  γ 2  pero,

∀σ σεν! = ζ1 − ζ2 luego,

 ∆ γπ  − η   2

2

 π1   π2   + ζ1  −  + ζ 2   γ   γ

teniendo en cuenta que,

π  π   1 + ζ1  −  2 + ζ 2  = ∆σ Σ γ  γ  se obtiene para la fuerza debida a la diferencia de presiones y al peso 2

∆  γπ  − η  ∆σ Σ 2  que debe ser igual a la fuerza de corte, 2

∆  ∆  τ η 2π  − η ∆σ = γπ  − η  ∆σ Σ 2  2  de donde, la relación entre el corte y la inclinación es

∆ η τ η = γ  − Σ  4 2 El esfuerzo de corte sobre el fondo se obtiene para

το = γ pero la expresión

η=0

∆ Σ 4

∆ 4 representa el radio hidráulico de la tubería circular. Luego,

τ ο = γ ΡΣ 50

(2-8)

(2-9)



Para una tubería de cualquier sección transversal se obtiene mediante consideraciones análogas

τ 0 = γ ΡΣ En resumen, tanto para canales como para tuberías el corte medio sobre el fondo es

τ 0 = γ ΡΣ

(2-10)

Obsérvese que esta ecuación es válida tanto para el flujo laminar como para el turbulento. Examinemos brevemente la distribución transversal del esfuerzo de corte. La distribución del esfuerzo de corte en un canal es lineal: máximo en el fondo y nulo en la superficie. En una tubería el esfuerzo de corte es máximo en las paredes y nulo en el centro y corresponde a la ecuación 2-11 en la que ρ es el radio de la tubería.

∃η η

∃ο (a)

∃ο

∆

∃η η ∃ο (b)

Figura 2.6 Distribución del esfuerzo de corte (a) en un canal y (b) en una tubería

51



La ecuación de distribución de corte es

 η τ η = τ ο 1 −   ρ

(2-11)

que se obtiene combinando las expresiones 2-8 y 2-9. Se observa que si

η = ρ = ∆ 2 (eje de la tubería), entonces τ η = 0. Si η = 0 se tiene que

τ η = τ 0 (contorno).

2.3 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad media para un canal muy ancho con movimiento laminar En un canal como el presentado en la Figura 2.7 se tiene que a una distancia

η del

contorno existe un valor de la velocidad ( ςη ) y un valor del corte ( τ η ). La relación entre

ςη y τ η depende de que el flujo sea laminar o turbulento. Para el flujo laminar la relación entre el esfuerzo de corte y la velocidad es muy conocida y corresponde a la definición de viscosidad.

τη = µ

δςη δη

(2-12)

Combinando esta ecuación con la 2-4,

dividiendo por

γ ( ψ − η) Σ = µ

δςη δη

γ ( ψ − η) Σ = ν

δςη δη

ρ,

separando variables,

δςη =

γΣ (ψ − η )δη ν

e integrando, se obtiene

ςη =

52

γΣ ν

 η2   ψη − + Κ 2  



Expresión en la que línea de energía,

ν

ςη es la velocidad a la distancia η del fondo, Σ es la pendiente de la es la viscosidad cinemática, ψ es el tirante,

Κ

es una constante de

integración. El valor de la constante de integración se obtiene para la condición que la velocidad es nula en el contorno ( η = 0 ;

ςη = 0 ; Κ = 0 ), luego,

ςη =

γΣ  η2   ψη −  ν  2 

(2-13)

que es la ecuación de distribución de velocidades en un canal muy ancho con flujo laminar. Es una curva parabólica.

ςµαξ Parábola

ψ

ςη

δη

δθ

η

Figura 2.7 Distribución de velocidades en un canal con movimiento laminar

La velocidad máxima corresponde a la superficie ( η = ψ )

ςµαξ =

γΣ 2 ψ 2ν

(2-14)

La velocidad media se puede obtener a partir del gasto, calculado por integración de la ecuación de distribución de velocidades. Sin embargo, como la curva de distribución es parabólica se puede obtener la velocidad media por simple aplicación de las propiedades geométricas de la parábola. Según la Figura 2.7

2 θ = ςµαξ ψ 3

53



Puesto que el área de la parábola es igual a los 2/3 del rectángulo circunscrito. θ es el gasto específico (por unidad de ancho). Pero también se tiene que,

θ = ςψ Luego,

2 ς = ςµαξ 3 ς=

2 γΣ 2 ψ 3 2ν

ς=

γΣψ 2 3ν

(2-15)

Que es la fórmula para el cálculo de la velocidad media en un canal con flujo laminar y que evidentemente equivale a

ς=

γΣΡ 2 3ν

(2-15)

Obsérvese que en el movimiento laminar la velocidad es proporcional a la primera potencia de la pendiente. En la Figura 2.7 se observa que la velocidad superficial corresponde a la condición

δςη =0 δη Evidentemente que también puede hacerse el cálculo por integración.

θ=∫

η= ψ η =0

ςη δη

calculado θ se obtiene por división entre el área ψ , el valor de la velocidad media, que es el de la ecuación 2-15.

54



2.4 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad media para una tubería con movimiento laminar Combinado las ecuaciones 2-8 y 2-12 se obtiene

µ

δςη ∆ η = γ  − Σ δη  4 2

de donde, luego de separar variables e integrar, se llega a

ςη =

γΣ  ∆η η 2   −  + Κ 4 ν  4

El valor de la constante de integración se obtiene para las condiciones del contorno ( η = 0 ;

ςη = 0 ; Κ = 0 ). Luego, ςη =

γΣ  ∆η η 2   −  ν  4 4

(2-16)

que es la ecuación de distribución de velocidades para una tubería con movimiento laminar. La velocidad máxima se presenta en el eje y corresponde a

ςµαξ =

γΣ ∆ 2 ν 16

η=∆ 4 (2-17)

La velocidad media puede obtenerse por integración de la ecuación 2-16, pero en este caso aplicamos la propiedad geométrica que dice que el volumen de un paraboloide es la mitad del cilindro circunscrito. Luego,

1 ς = ςµαξ 2 En una tubería con flujo laminar la velocidad media es igual a la mitad de la velocidad máxima; es decir,

ς=

γΣ ∆ 2 ν 32

(2-18)

55



que es la conocida ecuación de Hagen - Poiseuille. Si expresamos esta ecuación en función del radio hidráulico, tenemos

ς=

γΣ 2 Ρ 2ν

(2-19)

expresión que es muy parecida a la ecuación 2-15, que fue establecida para un canal. En un caso el denominador es 2 y en otro 3. Podríamos concluir que cualquier otra sección transversal intermedia entre los dos casos extremos estudiados (canal muy ancho y tubería circular) debe tener en el denominador un valor comprendido entre 2 y 3.

ς=

γΣΡ 2 (2 á 3)ν

La velocidad media también podría haberse obtenido por la integración de la ecuación 2-16

Θ=∫

η=∆ / 2 η =0

∆  ςη 2π  − η  δη 2 

de donde,

Θ=

γπ ∆ 4 Σ 128ν

y,

ς=

Θ Θ = Α π ∆2 / 4

obteniéndose el valor de la ecuación 2-18 Mediante sencillas transformaciones de la ecuación 2-18 se obtiene que la diferencia de cotas piezométricas separadas por la longitud Λ a lo largo de la tubería es

32 µ ςΛ γ ∆2

(2-19a)

Ejemplo 2.1 Se bombea petróleo crudo en una tubería horizontal de 6 cm de diámetro. El gasto es de 25 litros por minuto. Se ha verificado que entre dos manómetros colocados en la tubería a una distancia de 1 000 m hay una diferencia de presión de 0,103 Kg/cm2 . Calcular la viscosidad del petróleo. Determinar aproximadamente y con ayuda de la Figura 1.8 cual sería la variación en el gasto si la temperatura disminuye a 0 ºC. Considerar que la diferencia de presiones permanece constante.

56



Solución. Por ser una tubería horizontal en la que supondremos un régimen laminar,

π1 − π2 =

32µ ςΛ ∆2

(2-19a)

π1 y π2 son las presiones en las dos secciones de la tubería. π1 − π2 = 0,103 kg/cm2

=

1030 kg/m2

Θ = 25 l/min

=

0,000417 m3/s

Α=

π ∆2 4

=

0,00283 m2

ς=

Θ Α

=

0,147 m/s

Luego, 1 030 =

32 ∝ × 0 ,147 × 1 000 36 × 10 −4

De donde,

µ = 7,9 x 10-4 kg-s/m2 Ahora debemos verificar el número de Reynolds para comprobar que el flujo es laminar. La viscosidad dinámica que hemos obtenido corresponde, según la Figura 1.8, a un petróleo crudo cuya densidad relativa es 0,86. Luego, ν = 9 x 10-6 m2/s

Re =

ς∆ 0,147 × 0,06 = = 980 ν 9 × 10 −6

El flujo es, pues, efectivamente laminar y corresponde a una temperatura de 20 ºC (aprox.) Si la temperatura disminuye a 0 ºC, entonces

µ = 1,6 x 10-3 kg-s/m2 Aplicando nuevamente la ecuación 2-19a 1 030 =

32 × 1,6 × 10 −3 × ς × 1 000 36 × 10 −4

Se obtiene, ς = 0,0724 m/s

que es la nueva velocidad media al disminuir la temperatura (y aumentar la viscosidad).

57



El nuevo gasto es

Θ = 12,3 l/min La reducción es de 12,7 l/min, que representa el 50,8 % Ejemplo 2.2 Demostrar que en un canal con flujo laminar se puede calcular la velocidad media promediando las velocidades a 0,2 y 0,8 del tirante. Solución. Partimos de la ecuación 2-13, que nos da la distribución de velocidades en un canal con flujo laminar ςη =

γΣ ν

 η2   ψη −  2  

Luego aplicamos esta ecuación a los dos tirantes mencionados 0,8 ψ

ς0 , 8 =

γΣ  0,64 ψ 2  0,8 ψ 2 − 2 ν 

0,2 ψ

ς0, 2 = 0,18

 γΣ 2 ψ  = 0,48 ν 

γΣ 2 ψ ν

γΣ 2 ψ , expresión que es prácticamente igual a la ecuación ν 2-15 que nos da la velocidad media en un canal con flujo laminar El promedio de estos dos valores es 0,33

ς=

γΣ 2 ψ 3ν

Ejemplo 2.3 Se bombea aceite a razón de 14 l/s en una tubería de 10 cm de diámetro. La densidad relativa del aceite es 0,92 y la viscosidad es 0,01 kg-s/m2. ¿Cuál será la diferencia entre las lecturas de los manómetros de los puntos A y B mostrados en la figura?. ¿Cuál es la velocidad máxima que se presenta en la tubería? A

3m 30 0m

58

B



Solución. Supongamos que el flujo es laminar (ecuación 2-19) ς =

γΣΡ 2 2ν

Para aplicar esta ecuación tenemos los siguientes datos

ς=

Θ = 1,78 m/s Α

ν = 1,07 x 10-4 m2/s

Luego,

Re =

ς∆ = 1 664 ν

con lo que se confirma que el flujo es laminar. Despejamos ahora la pendiente Σ Σ=

2µ ς = 0,0619 γ Ρ2

o bien, ηφ Λ

= 0,0619

η φ = 0,0619 x 300 = 18,57 m

La diferencia de cotas piezométricas es, pues, de 18,57 m. Como la diferencia de elevaciones es de 3 m se concluye que la diferencia de presiones debe equivaler a 15,57 m Luego,

∆π = 920 x 15,57 x 10-4 = 1,43 kg/cm2 La velocidad máxima, según la ecuación 2-17, es ςµαξ =

γΣ ∆ 2 ν 16

ςµαξ = 3,55 m/s

Valor que efectivamente corresponde al doble de la velocidad media (como debe ser en el régimen laminar). Ejemplo 2.4 Demostrar que en una tubería circular con flujo laminar se cumple que,

δ  δςη  1 δπ = ρ ρ δρ  δρ  µ δξ expresión en la que ςη es la velocidad a la distancia ρ del eje ξ , µ es la viscosidad dinámica y δπ es el gradiente de presiones. δξ 59



Luego, integrando la expresión anterior, demostrar que si se desarrolla un flujo laminar en el espacio comprendido entre dos tuberías concéntricas de radios ρ1 y ρ2 , entonces la velocidad máxima se presenta al radio ρ ρ = ρ1

α2 −1 2 ln α

α=

ρ2 ρ1

Solución. Consideremos un elemento anular de espesor δρ , ubicado al radio ρ y cuya velocidad es ςη . Consideremos también, longitudinalmente, una distancia ∆ξ , en cuyos extremos hay presiones π1 y π2 cuya diferencia es ∆π . Se cumple así que,

δπ δξ

∆π = ∆ξ

ρ1

ρ2

ρ2

ρ1 ρ1

ρ

ρ2

δρ

#ξ La fuerza debida a la diferencia de presiones es igual al área del anillo por la diferencia de presiones

2π ρδρ ∆ξ

δπ δξ

La fuerza de corte sobre el anillo es igual a su área por el esfuerzo de corte 2π ρ∆ξ τ η

o bien,

2π ρ∆ξµ

δςη δρ

Como el flujo es laminar se ha introducido la ec. 2-12. La variación de la fuerza de corte con el radio ρ es

2π ∆ξµ 60

δ  δςη   ρ δρ  δρ 

(1)



y la fuerza total sobre el anillo se obtiene multiplicando esta expresión por δρ

2πµ ∆ξ

δ  δςη  ρ δρ δρ  δρ 

(2)

Las ecuaciones 1 y 2 deben ser iguales

δπ δ  δς  = 2πµ ∆ξ  ρ η δρ δξ δρ  δρ 

2π ρδρ∆ξ

de donde,

δ  δςη  1 δπ = ρ ρ δρ  δρ  µ δξ Integrando dos veces la ecuación obtenida se encuentra la velocidad ςη

ρ

δςη ρ 2 δπ = +Α δρ 2µ δξ

δςη ρ δπ Α = + δρ 2 µ δξ ρ

ςη =

ρ 2 δπ + Α ln ρ + Β 4µ δξ

Por condición de contorno se obtiene dos ecuaciones Si ρ = ρ1 , entonces

ςη = 0

Si ρ = ρ2 , entonces

ςη = 0

Α ln ρ1 + Β = −

ρ12 δπ 4 µ δξ

Α ln ρ2 + Β = −

ρ22 δπ 4µ δξ

de donde,

Α(ln ρ2 − ln ρ1 ) = Α=

La velocidad es máxima cuando

ρ12 − ρ22 δπ 4µ δξ

ρ12 − ρ22 δπ 1 4 µ δξ ln ρ2 ρ1

δςη =0 δρ

61


Αρτυρο Ροχηα δςη ρ δπ Α = + =0 δρ 2 µ δξ ρ ρ 2 δπ ρ12 − ρ22 δπ 1 + =0 2 µ δξ 4 µ δξ ln ρ2 ρ1

ρ2 =

ρ12 2

 ρ22  1  2 − 1  ρ1  ln ρ2 ρ1

obteniéndose finalmente ρ = ρ1

α2 −1 2 ln α

siendo α =

ρ2 ρ1

2.5 Ecuación general de distribución de velocidades para el movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente liso El desarrollo que se presenta a continuación corresponde al expuesto por el profesor Thijsse, en Delft. La determinación de la distribución de velocidades en el flujo laminar se hace, como lo hemos visto, recurriendo únicamente a consideraciones teóricas. Para hallar las ecuaciones correspondientes en el movimiento turbulento habrá que recurrir además a información experimental. Así pues, las ecuaciones de distribución de velocidades en el flujo turbulento se calculan en base a estudios teóricos y experimentales de algunos investigadores hidráulicos, entre los que los más importantes son Prandtl, von Karman y Nikuradse. Para obtener la ecuación de distribución de velocidades debemos establecer previamente una relación entre el corte y la velocidad. Partiendo de la expresión de Reynolds, que nos da la tensión tangencial adicional presente en el flujo turbulento y que es

τ η = ρ υ 'ς ' υ ' y ς ' son las fluctuaciones de la velocidad en un punto (flujo bidimensional), ρ es la densidad del fluido. Prandtl introduce una longitud característica Λ , a la que llama longitud de mezcla. Esta longitud representa la distancia media que tiene que recorrer una partícula para transferir o

62



perder su exceso de cantidad de movimiento. Este concepto de longitud de mezcla es análogo al de recorrido libre medio de la teoría cinética de los gases. Prandtl consideró que

υ ' es proporcional a

δςη δη

o o o

υ' = Λ

δςη δη

ς ' es proporcional a

δςη δη

o o o

ς '= Λ

δςη δη

y por lo tanto,

 δς  τ η = ρ Λ2  η   δη 

2

(2-20)

expresión para el flujo turbulento, que consideramos correspondiente a la ecuación 2-12, que es para el flujo laminar. De la ecuación 2-20 obtenemos

δς τη =Λ η δη ρ

(2-21)

Examinaremos a continuación lo que ocurre en un canal y en una tubería. a) Canal muy ancho Debemos establecer para este caso una relación entre Λ y la profundidad. La condición es que la longitud de mezcla debe ser cero tanto en el fondo como en la superficie. Esto puede expresarse por medio de 1

 η 2 Λ = κ η1 −  ψ 

(2-22)

κ es la constante de Karman, para la que aceptamos el valor de 0,4 (sin sólidos en suspensión). Reemplazando este valor de la longitud de mezcla en la ecuación 2-21, obtenemos

τη =κ ρ

1

 η  2 δςη η1 −  ψ  δη  63

Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ sustituyendo ahora el valor de


τ η según la ecuación 2-4

γ ( ψ − η) Σ =κ ρ

1

 η  2 δςη η1 −  ψ  δη 

simplificando,

γψΣ = κ η

δςη δη

separando variables,

γψΣ δη κ η

δςη =

(2-23)

Hemos llegado a esta ecuación a partir de una definición de la longitud de mezcla, dada por la ecuación 2-22. Hay otras definiciones para la longitud de mezcla, que buscan también una concordancia entre los resultados teóricos y las mediciones observadas. Sin embargo acá nos limitamos a presentar la teoría de Karman – Prandtl. La expresión

γψΣ que es igual a

τ0 recibe el nombre de velocidad de corte, ρ

ς* =

τ0 = γψΣ ρ

(2-24)

Luego reemplazando en 2-23

δςη =

ς* δη κ η

integrando

ςη =

ς∗ ln η + Κ κ

Evidentemente que esta ecuación no es válida hasta el fondo porque allí para

(2-25)

η=0,

ln 0 = −∞ , lo que es inadmisible. Aceptaremos que la ecuación 2-25 sólo es válida hasta una cierta distancia muy próxima al fondo. Consideremos entonces que la constante de integración, cuyo valor estamos tratando de hallar, tiene la forma

64



Κ =−

ς* ln η0 κ

η0 representa la distancia del fondo a la cual, según la ecuación 2-25, la velocidad es cero. Reemplazando en la ecuación 2-25 el valor propuesto para la constante de integración se obtiene

ςη =

ς* η ln κ η0

(2-26)

La imposibilidad de llevar hasta el contorno la validez de la ecuación 2-25 nos hace pensar que algo ocurre cerca de las paredes. Se supuso y esta es la esencia de la teoría de Prandtl, que para el caso de un fondo liso se desarrolla cerca al fondo una delgada capa en la que el flujo es laminar. Es decir, que la distribución de velocidades en esta subcapa es diferente a la que estamos aceptando para el resto de la sección. En el capitulo III presentamos con más detalle el concepto de capa límite y la aparición dentro de ella de una subcapa laminar. El espesor de esta subcapa laminar se designa con la letra

δ

Ecuación 2-26

Ecuación 2-27

% Fondo liso

ηο

Figura 2.8 Subcapa laminar

Vamos a admitir que dentro de esta subcapa laminar el esfuerzo de corte es constante e igual al esfuerzo de corte sobre el fondo ( τ η

= τ 0 , para η ≤ δ ).

65



En el flujo laminar el corte es

τη = µ reemplazando

δςη δη

τ η = τ 0 y separando variables, δςη τ 0 τ 0 ρ ς*2 = = = µ µ ρ ν δη

integrando,

ςη =

ς*2 η+ Κ ν

La condición de velocidad nula en el fondo determina que

Κ =0

Luego

ςη =

ς*2 η para 0 ≤ η ≤ δ ν

(2-27)

Tenemos ahora dos ecuaciones de distribución de velocidades: la 2-26, que es para el flujo turbulento y la 2-27 que es para el flujo laminar que se desarrolla cerca al fondo en una capa cuyo espesor, muy delgado, es

δ

, y se designa con el nombre se subcapa laminar.

En este caso particular y por ser muy delgada la capa, la consecuencia de haber considerado que dentro de ella el corte es constante es que la distribución de velocidades es lineal y no parabólica (como correspondería a un movimiento laminar). Ver Figura 2.8. Evidentemente que para

η = δ ambas ecuaciones deben coincidir ςδ =

ς*2 δ ν

(flujo laminar)

ςδ =

ς* δ ln κ η0

(flujo turbulento)

igualando estos dos valores se obtiene

ς*2 ς δ δ = * ln ν κ η0 Para determinar el valor de

66

δ

(2-27a)

se realizó una combinación de consideraciones teóricas y



experimentales a partir de la aceptación que la distribución de velocidades en un conducto liso es una relación entre dos parámetros adimensionales

ςη ς*

ς∗ η #

;

tal como se ha visto en la ecuación 2-27 para el flujo dentro de la subcapa laminar. Si llevamos estos valores a un gráfico semilogarítmico representado para el flujo laminar los valores de la ecuación 2-27 y para el flujo turbulento valores experimentalmente medidos se tiene 100 000

10 000

UL EN

TO

ςη ς*

TU

RB

1 000

100

LA M

IN

AR

10

0 0

5

10

11,6

15

20

25

30

35

ς* η ϖ

Figura 2.9 Relación entre parámetros adimensionales para el cálculo de la distribución de velocidades

Obviamente la intersección de las dos curvas marca el límite de aplicación de cada una de ellas y resulta ser 11,6; luego

ς* η = 11,6 ν a ese valor de

η se le denomina δ . Luego ς*δ = 11,6 ν

(2-28) 67



Reemplazando este valor en el primer miembro de la ecuación 2-27a

ς*2 11,6ν ς* δ = ln ν ς* κ η0 ln

δ = 11,6κ η0

El valor de κ , constante de Karman es de 0,4

ln

δ = 4 ,64 η0

η0 =

δ 104

(2-29)

si reemplazamos este valor en la ecuación 2-26 se obtiene

ςη =

ς* 104η ln κ δ

(2-30)

que es la ecuación de distribución de velocidades en un contorno hidráulicamente liso. Posteriormente señalaremos cuando se dice que un contorno es hidráulicamente liso. Para la distribución de velocidades en una tubería se obtendrá una expresión idéntica, como se demuestra a continuación. b) Tubería En este caso la longitud de mezcla tiene por expresión

 2η  Λ = κ η1 −  ∆ 

1 2

(2-31)

reemplazando este valor y el de la distribución del esfuerzo de corte en una tubería, ecuación 2-8, en la ecuación 2-21, se obtiene luego de algunas sustituciones una ecuación correspondiente a la 2-23, con lo que el desarrollo continúa igual. La ecuación 2-30 es, pues, de carácter general para un conducto, canal o tubería, cuyas paredes sean hidráulicamente lisas, demostrándose así que la distribución de velocidades en el flujo turbulento es logarítmica.

68



Se observa que la ecuación 2-30 corresponde a una relación entre dos parámetros adimensionales.

ςη ς*

η ∃

;

que guarda correspondencia con lo expuesto anteriormente, por cuanto,

η ς η  =ϕ  *  δ  ν 

2.6 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en conductos lisos En general los contornos pueden ser lisos o rugosos. El contorno hidráulicamente liso es aquel que permite el desarrollo de una subcapa laminar. a) Canal muy ancho Por integración de la ecuación 2-30 obtenemos el gasto específico para un canal muy ancho. Luego, dividiendo el gasto entre el área obtendremos la velocidad media.

θ=∫

συπερφιχιε χοντορνο

ςη δη

Los límites de la integral los fijamos de acuerdo a la extensión de la validez de la ecuación de

ςη . Es decir, para el flujo turbulento despreciamos la pequeñísima porción que

corresponde al flujo laminar.

θ=∫

[

η= ψ η =δ

ς* 104η δη ln κ δ

ς θ = * ∫ ln104 δη + ∫ ln η δη − ∫ ln δ δη κ θ=

]

ψ

δ

ψ ς* [ln104 η + η ln η − η − ln δ η]δ κ

Reemplazamos los límites

69



η= ψ η =δ Se obtiene

θ=

ς*  ψ ln104( ψ − δ ) − ( ψ − δ ) + ψ ln   κ  δ

Consideramos ahora que,

ψ −δ  → ψ θ=

θ=

ς* κ

ψ  ψ ln 104 − 1 + ln  δ 

ς* 104 ψ ς* 38,3 ψ = ψ ln ψ ln εδ κ κ δ

ς=

θ ς* 38,3 ψ = ln δ ψ κ

ς=

ς* 38,3 ψ ln κ δ

que es la ecuación que nos da la velocidad media en un canal muy ancho con fondo hidráulicamente liso y que evidentemente equivale a

ς=

ς* 38,3Ρ ln κ δ

(2-32)

En el desarrollo que nos ha permitido llegar a esta expresión se ha hecho, entre otras, la simplificación de suponer ψ − δ = ψ , lo que, naturalmente, no es rigurosamente exacto. De otro lado debemos recordar que al fijar los límites de integración hemos despreciado el flujo a través de la subcapa laminar. b) Tubería El gasto es

Θ=∫ 70

∆  ςη 2π  − η δη χοντορνο 2  χεντρο



el gasto total se obtiene por integración a partir del flujo a través de un pequeño anillo de espesor

∆  δη , cuya distancia al contorno es η . El perímetro es 2π  − η  y el área 2  ∆  − η δη . 2 

elemental correspondiente es 2π 

δη

ρ

∆ −η 2

∆

η Figura 2.10 Flujo a través de un anillo

Θ=∫

η=∆ / 2 η =δ

Θ = 2π

Como límites de la integral fijamos laminar) y

∆  ς 104η δη 2π  − η  * ln δ 2 κ

ς* ∆ / 2  ∆  104η δη  − η  ln ∫ δ κ δ 2 

η = δ (despreciando así el flujo a través de la subcapa

η = ∆ / 2 (eje de la tubería). Obsérvese que se ha determinado los límites de

integración en función del campo de validez de la fórmula (flujo turbulento). ∆

104η 104η  2 ς ∆ Θ = 2π *  ∫ ln δη − ∫ η ln δη κ 2 δ δ δ la primera integral ya ha sido evaluada, luego,

∆

ς ∆ ∆ ∆ ∆ 2 Θ = 2π *  η ln104 + η ln η − η − lnδ η − ∫ η ln104 δη − ∫ η ln η δη + ∫ η lnδ δη 2 2 2 κ 2 δ

71



desarrollando y simplificando convenientemente obtenemos

ς*  ∆ 2 104 ∆  Θ = 2π  ln 3 / 2  κ  8 2ε δ  ς=

104 ∆ Θ Θ ς = = * ln 3 / 2 2 Α π ∆ / 4 κ 2ε δ

sustituyendo ∆ = 4 Ρ

ς=

ς* 46,4 Ρ ln κ δ

(2-33)

que es la ecuación que nos da la velocidad media de una tubería hidráulicamente lisa. Obsérvese que las ecuaciones 2-32 y 2-33 son muy similares. Representan un concepto fundamental, la relación entre dos parámetros adimensionales.

ς Ρ =ϕ   ς* δ  Lo mismo ocurre con la ecuación de distribución de velocidades (2-30)

ςη η =ϕ   ς* δ  En ambos casos la función es logarítmica por ser un flujo turbulento.

2.7 Ecuación general de distribución de velocidades para el movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente rugoso En un contorno hidráulicamente rugoso las asperezas del fondo, o sea las protuberancias de su superficie, son tan grandes comparativamente con δ que no permiten el desarrollo de una subcapa laminar. Vamos a partir de la ecuación 2-26 cuya validez es genérica e independiente de la naturaleza del fondo (liso o rugoso)

ςη =

ς* η ln κ η0

Exagerando el tamaño de las asperezas del fondo tendríamos

72



Ecuación 2-26

%

Figura 2.11 Distribución de velocidades en un contorno rugoso

Se observa en la Figura 2.11 que no es posible que se desarrolle la subcapa laminar. El estudio experimental del comportamiento de las tuberías rugosas fue hecho por Nikuradse, quien utilizó en realidad rugosidad artificial y homogénea. Trabajó con tuberías en cuya superficie interior colocó una capa de arena de diámetro uniforme κ . Repitiendo las experiencias para diversos diámetros y valores de κ llegó a la conclusión que la validez de la ecuación 2-26 puede extenderse hasta

η0 = siendo

κ 30

(2-34)

κ el tamaño absoluto promedio de las irregularidades (asperezas) del fondo y que

tiene un valor particular para cada material. A veces se usa la mitad de este valor como representativo, entonces

κ = 2α Reemplazando el valor de

o o o

η0 =

α 15

(2-35)

ηο en la ecuación genérica de distribución de velocidades (2-26)

se obtiene

ςη =

ς* 30η ln κ κ

(2-36)

que es la ecuación de distribución de velocidades en un contorno rugoso (tubería o canal). Las ecuaciones 2-30 y 2-36 son las ecuaciones de la distribución de velocidad de KarmanPrandtl. En la Tabla 2.1 se presentan los tamaños de la rugosidad absoluta para diversos materiales.

73


Αρτυρο Ροχηα TABLA 2.1

VALORES DE LA RUGOSIDAD ABSOLUTA

κ κ (m)

MATERIAL Tubos muy lisos sin costura (vidrio, cobre, acero

-6

nuevo con superficie pintada, plástico, etc.)

1,5 x 10

Fierro forjado

4,5 x 10

-5

-5

5 x 10

Acero rolado nuevo Acero laminado, nuevo

-5

-4

4 x 10

– 10 -4

Fierro fundido, nuevo

2,5 x 10

Fierro galvanizado

1,5 x 10

Fierro fundido, asfaltado

1,2 x 10

Fierro fundido oxidado Acero remachado

-4 -4

-3

-3

1 x 10

– 1,5 x 10

-4

-3

0,9 x 10

– 0,9 x 10 -5

Asbesto cemento, nuevo

2,5 x 10

Concreto centrifugado nuevo

1,6 x 10

-4

-5

Concreto muy bien terminado, a mano

10

-5

Concreto liso

2,5 x 10 -4

Concreto bien acabado, usado

2 x 10

Concreto sin acabado especial

10

-3

-3

– 3 x 10 -2

Concreto rugoso Duelas de madera

-4

– 3 x 10 10

-4

1,8x10

-4

– 9 x 10

Los valores anteriores se refieren a conductos nuevos o usados, según el caso. Por su propia naturaleza son valores aproximados. Su determinación se ha hecho por métodos indirectos. En las tuberías es importante la influencia de las uniones o empalmes. En el concreto el acabado puede ser de naturaleza muy variada y a veces ocurren valores mayores o menores a los presentados en la Tabla 2.1. La variación de estos valores con el tiempo puede ser muy grande.

74



2.8 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en conductos rugosos a) Canal muy ancho Obtenemos el gasto específico por integración.

θ=∫

συπερφιχιε φονδο

ςη δη

considerando como distribución de velocidad la ecuación 2-36 y reemplazando se obtiene

θ=

θ=

ς* η = ψ 30η ln δη κ ∫ η = η0 κ

[

ς* ln 30∫ δη + ∫ ln ηδη − ln κ ∫ δη κ

θ=

]

ψ

η0

ψ ς* [η ln 30 + η ln η − η − η ln κ ]η0 κ

   ς ψ η  θ = ∗ ln 30( ψ − η0 ) − ln κ ( ψ − η 0 ) + ψ ln − η0 ln 0  ε #∀! ε κ   → 0  pero,

ψ − η0 → 0 θ=

ς=

ς*  ψ  ς ψ 30 ψ ψ ln 30 − ψ ln κ + ψ ln  = * ln  κ  ε κ εκ

θ ς* 30 ψ = ln ψ κ εκ

 →

ς=

ς* 11 ψ ln κ κ

que evidentemente equivale a

ς=

ς* 11Ρ ln κ κ

(2-37)

que es la ecuación que nos da la velocidad media en un canal muy ancho de fondo hidráulicamente rugoso.

75



b) Tubería Se procede como en los casos anteriores. El gasto, de acuerdo a la Figura 2.10, es

Θ=∫ Reemplazando el valor de

χεντρο χοντορνο

∆  ςη 2π  − η δη 2 

ςη según la ecuación 2-36,

Θ=∫

∆ 2 η0

ς* 30η ln 2π κ κ

∆   − η δη 2 

integrando y simplificando se obtiene

ς=

ς* 13,4 Ρ ln κ κ

(2-38)

que es la ecuación de la velocidad media en una tubería de fondo hidráulicamente rugoso.

2.9 Obtención de la ecuación de Chezy Hasta el momento hemos obtenido dos fórmulas para el cálculo de la velocidad media en conductos lisos: una para canales (2-32) y otra para tuberías (2-33).

ς=

ς* 38,3Ρ ln κ δ

(canales)

ς=

ς* 46,4 Ρ ln κ δ

(tuberías)

Conductos lisos

La ecuación 2-32, que fue establecida para un canal muy ancho, se ha expresado en función del radio hidráulico, puesto que para ese caso el radio hidráulico es igual al tirante. Se observa que ambas ecuaciones son muy parecidas. Difieren sólo en el valor numérico del coeficiente de

Ρδ.

Con el objeto de obtener una fórmula aproximada que comprenda tanto a tuberías como a canales tomamos el promedio aproximado de los coeficientes y se obtiene

76



ς=

ς* 42 Ρ ln κ δ

(2-39)

Esta es la fórmula aproximada para la velocidad media en cualquier conducto liso (canal muy ancho, tubería o cualquier otra sección intermedia). Para la solución de problemas prácticos usaremos la ecuación 2-39; para demostraciones las ecuaciones 2-32 y 2-33. Para los conductos rugosos también hemos obtenido dos fórmulas: una para canales (2-37) y otra para tuberías (2-38)

Conductos rugosos

ς=

ς* 11Ρ ln κ κ

(canales)

ς=

ς* 13,4 Ρ ln κ κ

(tuberías)

Ambas ecuaciones son también muy parecidas y pueden reemplazarse por otra que considere el promedio aproximado de los coeficientes de

ς=

ς* 12 Ρ ln κ κ

Ρκ (2-40)

Esta es la fórmula aproximada para la velocidad media en cualquier conducto rugoso (canal muy ancho, tubería o cualquier otra sección intermedia). Un conducto puede tener paredes hidráulicamente lisas o hidráulicamente rugosas. En el segundo caso se entiende que el tamaño de la rugosidad absoluta y de las características del escurrimiento no permiten que se desarrolle una subcapa laminar. En cambio en el primer caso, conductos lisos, si existe una subcapa laminar y la velocidad es función de su espesor. Eventualmente pueden presentarse casos intermedios o de transición. Con fines prácticos estableceremos una fórmula que involucre ambos casos, combinando las ecuaciones 2-39 y 2-40. Obsérvese que no se trata de una operación algebraica, sino de una adaptación

ς=

6Ρ ς* ln κ κ +δ 2 7

(2-41)

77



Ρ % 2

5

10

20

50

100

200

500

1 000

2 000

5 000 10 000

C=

90 10 000

S NO S R O O IS NT . L O C IDR H

C = 85

5 000

C = 80

2 000

C = 75

1 000

C = 70

500

C = 65

C = 60

200

C = 55

Ρ κ

100

C = 50 50

C = 45

S S NO S O R O O NT RUG O C R. D HI

C = 40 C = 35

C = 30

C=

20 10 5

25 2

Re

5x

2x

Re

5x

2x

Re

5x

2x

Re

5x

6

0 =1

5

10

5

10

5

4

0 =1

4

10

4

10

3

3

0 =1

10

3

10

0 =1

2

10

Ρ

=

Radio hidráulico

κ

=

rugosidad (según Tabla 2.1)

δ

=

espesor de la subcapa laminar (ec. 2.28)

Re

=

ςΡ (referido al radio hidráulico) ν

(Este diagrama ha sido tomado de las Lecciones de Clase del Profesor Thijsse, de Delft, Holanda)

Figura 2.12 Coeficiente

78

Χ de Chezy



Si el valor κ de la rugosidad no tiene significación, entonces la fórmula 2-41 se convierte en la de los conductos lisos; caso contrario si δ no tiene significación entonces es la ecuación de los conductos rugosos. Haremos ahora algunos reemplazos en esta ecuación para darle otra forma

ς=

γΡΣ γ 6Ρ 6Ρ = ln 10 log ln κ δ κ δ κ κ + + 2 7 2 7

ς = γ × 2,5 × 2,3 log

6Ρ κ δ + 2 7

ΡΣ

ΡΣ

Pero

γ × 2,5 × 2,3 = 18 Luego,

ς = 18 log

6Ρ κ δ + 2 7

ΡΣ

ς = Χ ΡΣ

(2-41a)

(2-42)

que es la ecuación de Chezy, en la que

Χ = 18 log

6Ρ κ δ + 2 7

(2-43)

Χ es el coeficiente de Chezy. Sus dimensiones son L1/2 T-1.. Sus unidades son m1/2/s puesto que corresponde a

γ.

Para facilitar el cálculo y verificar los resultados se usa la Figura 2.12.

2.10 Concepto de rugosidad. Conductos hidráulicamente lisos e hidráulicamente rugosos Cada contorno tiene su propia aspereza o rugosidad que depende del material de que esta hecho y de su estado de conservación. Así por ejemplo, una tubería de concreto es más rugosa que una de acero. Un canal de tierra es más rugoso que un canal de concreto.

79



Si pudiéramos ver con una luna de aumento el contorno de una tubería o de un canal, veríamos algo así como lo mostrado en la figura siguiente

Figura 2.13 Aspereza del contorno

Las asperezas tienen diferente forma y tamaño. Dan lugar a la aparición de pequeñas corrientes secundarias (vorticosas). Estas asperezas producen una modificación en las condiciones del escurrimiento. Con el objeto de estudiar la influencia de la rugosidad, Nikuradse hizo experiencias en tuberías con rugosidad artificial. Para ello cubrió las paredes con granos de arena de diámetro uniforme.

κ = 2α

Figura 2.14 Rugosidad artificial de Nikuradse

Se designa por

κ el diámetro y por α el radio de los granos.

Al valor de κ (o al de α ) se le llama rugosidad absoluta. La influencia de la rugosidad en el escurrimiento depende del tamaño del conducto, es decir del radio de la tubería, tirante o cualquier otra medida característica. Se denomina rugosidad relativa a cualquiera de las relaciones siguientes

α κ ∆ ∆

80

;

α κ , Ρ Ρ

;

α κ , ρ ρ

;

α κ , η η

(2-44)



o sus inversas, Determinar cual es la rugosidad absoluta de un conducto dado es un problema difícil. Existen tablas, gráficos y descripciones, pero en última instancia el factor principal es la experiencia del ingeniero diseñador. De otro lado, debe tenerse en cuenta, como lo estudiaremos luego en detalle, que la rugosidad cambia con el tiempo. Las experiencias que realizó Nikuradse y que fueron publicadas en 1933 son para el siguiente rango de rugosidades relativas

30 <

∆ < 1 014 κ

Un conducto en el que la rugosidad relativa es de 30 se caracteriza porque es muy grande la influencia de la rugosidad en el escurrimiento. Como resultado de la combinación de las características del escurrimiento (velocidad, viscosidad, etc.) y del tamaño, forma y espaciamiento de la rugosidad puede ser que se desarrolle o no, una subcapa laminar. La posibilidad de existencia de la subcapa laminar es lo que define la naturaleza de las paredes. Dicho en otras palabras, la naturaleza de las paredes depende del tamaño relativo de

κ yδ.

Cuando es posible que esta subcapa laminar exista se dice que las paredes son hidráulicamente lisas; caso contrario son hidráulicamente rugosas. El valor de la rugosidad absoluta se determina por medio de la Tabla 2.1 en la que aparece para cada material el valor de la rugosidad absoluta. Debe entenderse que por la propia naturaleza de la rugosidad y por la necesaria aproximación con la que se hacen los cálculos estos valores no pueden ser rigurosamente exactos. Se dice que un conducto es hidráulicamente liso (ecuación 2-39) cuando

κ ≤ 0,4δ Lo que equivale aproximadamente a

ς* κ ≤5 ν Se dice que un conducto es hidráulicamente rugoso (ecuación 2-40) cuando

κ ≥ 6δ

81



lo que equivale aproximadamente a

ς* κ ≥ 70 ν Para valores intermedios

5<

ς* κ < 70 ν

(2-45)

se dice que el contorno es una transición entre liso y rugoso y se aplica la ecuación 2-41.

2.11 Transformación de las ecuaciones de Karman - Prandtl La ecuación 2-30 que da la distribución de velocidades en un contorno hidráulicamente liso puede transformarse de la manera siguiente

ςη = Combinando con 2-28,

ς* 104η ln κ δ

ς* δ = 11,6 se obtiene ν ςη =

ς* 8,97ς* η ln κ ν

Luego

ςη 2,3 ς η 2,3 = log * + log 8,97 ς* κ ν κ de donde,

ςη ς η = 5,75 log * + 5,5 ς* ν

(2-46)

expresión equivalente a la 2-30. Reemplazo similar puede hacerse para la ecuación 2-32, que nos da la velocidad media en un canal muy ancho de fondo hidráulicamente liso

ς=

82

ς* 38,3 ψ ln κ δ



ς=

ς* 3,3ς* ψ ln κ ν

ς ς ψ = 5,75 log * + 3 ς* ν

(2-47)

expresión equivalente a la 2-32. Si de la ecuación 2-46 restamos la 2-47 obtendremos para cada punto, es decir, para cada valor de

η , la diferencia entre la velocidad a esa distancia del fondo y la velocidad media ςη − ς η = 5,75 log + 2,5 ς* ψ

(2-48)

Con la idea de obtener una expresión análoga para el caso de canales rugosos hacemos un desarrollo similar. La ecuación 2-36 que da la distribución de velocidades en un contorno rugoso se transforma en

ςη η = 5,75 log + 8,5 ς* κ

(2-49)

y la que corresponde a la velocidad media (2-37) se trasforma en

ς ψ = 5,75 log + 6 ς* κ

(2-50)

efectuando la resta de estas dos expresiones se obtiene

ςη − ς η = 5,75 log + 2,5 ς* ψ expresión que es igual a la 2-48. Luego, aceptaremos que en un canal sea liso o rugoso se cumple que

ςη − ς η = 5,75 log + 2,5 ς* ψ

(2-51)

o bien,

ςη − ς η = 5,75 log + 2,5 ς* Ρ

(2-52)

83



Para las tuberías se puede hacer un desarrollo similar. La ecuación 2-33 se reemplaza, mediante sencillas transformaciones, por su equivalente

ς ς Ρ = 5,75 log * + 3,5 ν ς*

(2-53)

Si restamos esta ecuación de la 2-46 se obtiene,

ςη − ς η = 5,75 log + 2 ς* Ρ

(2-54)

Si la tubería fuera rugosa, se trasformaría la ecuación 2-38 en

ς Ρ = 5,75 log + 6,5 ς* κ

(2-55)

ςη − ς η = 5,75 log + 2 ς* Ρ

(2-56)

que restada de la 2-49 nos da

obtenemos así las expresiones 2-54 y 2-56 que son iguales. Se puede entonces aceptar que en una tubería el exceso de velocidad en un punto con respecto a la velocidad media referida a la velocidad de corte, es

ςη − ς η = 5,75 log + 2 ς* Ρ

(2-57)

Ejemplo 2.5 En una tubería circular de acero ( κ =10-4 m) de 0,60 m de diámetro fluye aceite (peso específico relativo 0,8). La viscosidad del aceite es de 1 poise. La elevación del punto inicial es 20,2 m y la presión en dicho punto es de 5 kg/cm2. La elevación del punto final es de 22,10 m y la presión es de 2 kg/cm2. La longitud de la tubería es 1 000 m Calcular a) si la tubería es hidráulicamente lisa o rugosa b) el espesor de la subcapa laminar c) el coeficiente de Chezy d) la velocidad media e) el gasto Solución. La altura de presión en el punto inicial es

50 000 kg/m 2 = 6,25 m 800 kg/m 3 84



La cota piezométrica en dicho punto es 62,5 + 20,2 = 82,7 m. Similarmente, la cota piezométrica en el punto final es 47,1 m. Luego calculamos la pendiente según la ecuación 2-3 Σ=

ηφ Λ

=

82,7 − 47,1 = 3,56 × 10 −2 1 000

que es la pendiente de la línea piezométrica. Por ser movimiento uniforme es igual a la de la línea de energía. Calculamos ahora la velocidad de corte (2-24) ς* = γΡΣ =

9,8 × 0,15 × 3,56 × 10 −2 = 0,229 m/s

Consideremos, ς* = 0,23 m/s a)

Para saber si las paredes se comportan como hidráulicamente lisas o rugosas aplicamos la ecuación 2-45,

ς* κ 0,23 × 10 −4 = = 0,184 < 5 ν 1,25 × 10 − 4 Luego las paredes se comportan como hidráulicamente lisas. b)

Espesor de la subcapa laminar (2-28).

δ = c)

11,6ν = 0,0063 m ς*

Coeficiente de Chezy (2-43). Como las paredes son hidráulicamente lisas no interviene la rugosidad,

Χ = 18 log

d)

42 Ρ = 54 m1/2 /s δ

Velocidad media (2-42) ς = Χ ΡΣ = 54 0,15 × 3,56 × 10 −2 = 3,95 m/s

e)

Gasto Θ = Ας =

π ∆2 × 3,95 = 1,12 m 3 /s 4

85



Para resolver este ejercicio se partió de la suposición de que el flujo es turbulento. Luego de calcular la velocidad media verificamos que Re > 2 300 ( Re = 18 960 ). A modo de verificación usamos el diagrama de la Figura 2.12. Para usar este diagrama recuérdese que el número de Reynolds debe referirse al radio hidráulico Ρ . 0 ,15 Ρ = = 24 ∃ 0 ,0063

Ρ 0,15 = = 1 500 κ 10 −4 Re =

ςΡ 18 960 = = 4 740 = 4 ,7 × 103 # 4

Χ = 54 m1/2 /s Se observa que todos los valores coinciden en un punto. Para el cálculo de Χ hemos empleado la ecuación 2-39, que es válida para conductos lisos, sean tuberías o canales. Podría haberse hecho el cálculo con la ecuación 2-33, que es exclusivamente para tuberías lisas. El resultado habría sido prácticamente el mismo.

86



PROBLEMAS PROPUESTOS (Capítulo II)

1.

En un conducto circular de 0,75 m de diámetro, de acero ( κ = 0,001 m), fluye aceite cuya viscosidad es de 1 poise. Su peso específico relativo es de 0,8. Las características de la tubería se muestran en el esquema adjunto. Calcular el gasto. ¿Cuál es la naturaleza de las paredes?. 3 kg / cm

2

2 kg / cm 2

A 1 000 m

B

8m 6m

2.

Demostrar que el coeficiente

Χ de Chezy se puede expresar para conductos hidráulicamente

lisos, mediante la siguiente ecuación implícita

Χ = 18 log µ Calcular el valor de

Re Χ

µ para canales y tuberías. Calcular también un valor promedio para

ambos conductos. 3.

A partir de la ecuación de distribución de velocidades en un canal de fondo rugoso deducir las expresiones siguientes

α = 1 + 3ε 2 − 2ε 3

β =1+ ε 2 siendo

ε=

ςµαξ −1 ς

87



α es el coeficiente de Coriolis, β es el coeficiente de Boussinesq, ςµαξ es la velocidad máxima y ς es la velocidad media. 4.

Se tiene una tubería de 0,40 m de diámetro por la que circula agua. Su viscosidad es de 1 centipoise. La longitud de la tubería es de 600 m. Se inicia en el punto A, en el que la presión es 5 kg/cm2 y termina en el punto B, cuya presión es de 3 kg/cm2 y cuya elevación es de 5 m superior a la del punto inicial. Considerar κ = 0,0001 m. Calcular a) si la tubería es hidráulicamente lisa o rugosa b) el coeficiente de Chezy c) el gasto d) la pérdida de energía entre A y B

5.

Demostrar que el promedio de las velocidades a 0,2 y 0,8 del tirante en un canal muy ancho con flujo turbulento es igual a la velocidad a 0,6 del tirante (midiendo el tirante a partir de la superficie).

6.

Calcular cuál es el error que se comete al considerar que la velocidad a 0,6 del tirante (medido a partir de la superficie) es igual a la velocidad media, para un canal con flujo turbulento y paredes rugosas.

7.

Demostrar que si

ε=

ςµαξ −1 ς

entonces en un canal

ε = 2,5

ς* 7,83 = ς Χ

8.

Una tubería de concreto liso, de 0,80 m de diámetro conduce agua con una velocidad de 4 m/s. La viscosidad es de 1,2x10-6 m2/s. Calcular el coeficiente Χ de Chezy. Definir la calidad de la paredes. Calcular la pendiente de la línea piezométrica.

9.

Demostrar que en una tubería con turbulencia plenamente desarrollada se cumple que

ςµαξ − ς = 3,73 ς* 10. Calcular el valor de

ςµαξ − ς ς* para un canal con turbulencia plenamente desarrollada.

88



11. Calcular para un flujo turbulento a que distancia del contorno la velocidad es igual a la velocidad media: a) en un canal, b) en una tubería. Demostrar que a esa distancia es independiente de que el contorno sea liso o rugoso (comparar con el ejemplo 1.3 del capítulo I). 12. Un canal de concreto ( κ = 4x10-4 m) se usa para transportar agua. El ancho en el fondo es de 4 m y el ancho superficial es de 12 m. El tirante es de 3 m. La pendiente del fondo es 0,2 m por 100. Considerando que la viscosidad cinemática del agua es 1,4x10-6 m2/s, a) decir si las paredes son lisas o rugosas, b) calcular el gasto, c) calcular el esfuerzo de corte medio sobre el fondo. 13. Una tubería de sección circular de 0,80 m de diámetro conduce agua que ocupa la mitad de su sección transversal. La viscosidad del agua es 1,2x10-6 m2/s. ¿Qué inclinación debe dársele para que se establezca un flujo uniforme con una velocidad media de 0,80 m/s?. La rugosidad es de κ = 10-4 m. Si después resultara que la rugosidad es en realidad 10 veces mayor, cuál sería la reducción del gasto, conservando la pendiente? ¿Qué porcentaje representa esta disminución?. 14. Se sabe que en una tubería con flujo laminar la velocidad máxima es el doble de la velocidad media. Verificar que esto se cumple para el ejemplo 2.1 de este capítulo. 15. La tubería AB de 300 m de largo y 0,80 m de diámetro lleva agua que tiene una viscosidad de 1,2x10-6 m2/s. La tubería tiene una rugosidad uniforme κ = 4x10-4 m. La presión en el punto A debe ser de 4 Kg/cm2 y en el punto B de 3,8 Kg/cm2. ¿Cuál es la máxima diferencia de elevación que puede existir entre A y B para que la tubería se comporte como hidráulicamente lisa? ¿Cuál sería la velocidad en este caso?. 16. En un río muy ancho, cuyo fondo se supone constituido por partículas de diámetro uniforme κ , el tirante es de 2 m. El gasto por unidad de ancho es de 4 m3/s/m. Se ha medido la velocidad superficial encontrándose que su valor es de 2,50 m/s. Calcular la rugosidad absoluta κ y la velocidad de corte. 17. Se tiene una tubería de 1,60 m de diámetro que conduce aire. Por medio de un tubo de Pitot se ha medido la velocidad en el eje y en un punto ubicado a la distancia ∆ / 4 del contorno. Los valores leídos son 5,0 y 4,2 m/s. Hallar la velocidad media y el gasto. 18. Demostrar que en una tubería de radio ρ se cumple que

ςη − ς η = 5,75 log + 3,73 ς* ρ 19. Demostrar que la condición para que un contorno se comporte como hidráulicamente liso se puede expresar por

κ<

5Χν γς 89



20. En una tubería la distribución de velocidades esta dada por 1

 η ξ ςη = ςµαξ   ρ

Demostrar que si por medio de un tubo de Pitot se mide la velocidad a la distancia 0,25 ρ del contorno, se obtiene la velocidad media correcta con un error de 0,5% para valores de

ξ

comprendidos entre 4 y 10. 21. Calcular a que radio debe colocarse un tubo de Pitot en una tubería para obtener con una sola lectura la velocidad media, a) si el flujo es laminar. b) si el flujo es turbulento. 22. Demostrar que

Χ = 18 log

12 κ Χ + Ρ Re

23. ¿Qué valor habría que usar en lugar de 18, en la expresión anterior, para usar la fórmula en el sistema inglés? 24. Calcular en el ejemplo 2.3 a que distancia del contorno la velocidad es igual a la velocidad media. Dibujar la distribución de velocidades.

90

Λα ρεσιστενχια δε συπερφιχιε εν ελ µοϖιµιεντο υνιφορµε

Χαπτυλο ΙΙΙ

ΙΙΙ

CAPITULO

LA RESISTENCIA DE SUPERFICIE EN EL MOVIMIENTO UNIFORME

3.1 Ecuación de Darcy Consideremos el flujo en un cilindro de longitud Λ . Las fuerzas que actúan son la diferencia de presiones, la fricción y el peso del fluido. Entre estas fuerzas debe haber equilibrio.

Λ π1

∀ο

π2 ζ1 Plano de referencia

!

ζ2

Figura 3.1 Equilibrio de fuerzas en una tubería

La suma de la fuerza debida a la diferencia de presiones y la componente del peso es igual a la resistencia que ofrece el contorno

( π1 − π2 ) Α + γ Λ sen θ Α = τ 0 ΠΛ

(3-1) 91



Α es la sección transversal, Π el perímetro y τ 0 el corte medio sobre el contorno. Consideremos que el flujo es turbulento. Tomando en cuenta las ecuaciones 2-10 y 2-42 se tiene, (ec. 2-10)

τ 0 = γ ΡΣ τ0 =

o o o

(ec. 2-42)

γ 2 ς Χ2

ς = Χ ΡΣ

si dividimos ambos miembros de la ecuación 3-1 por

γ Α y se reemplaza el valor obtenido

para τ 0 se obtiene

π1 − π2 ς Π + Λ sen θ = 2 Λ Χ Α γ de donde,

π  π  ς2 Π  1 + ζ1  −  2 + ζ 2  = 2 Λ γ  γ  Χ Α luego,

ηφ = Λ

ς2 4 Χ2 ∆

Multiplicando y dividiendo por 2 γ el segundo miembro se llega a la expresión de la pérdida de carga

Λ ς 2 8γ ηφ = ∆ 2γ Χ 2 Denominaremos φ , coeficiente de Darcy a la relación entre 8 γ y el cuadrado de

φ =

8γ Χ2

Χ (3-2)

Sustituyendo,

ηφ = φ

92

Λ ς2 ∆ 2γ

(3-3)



que es la ecuación de Darcy. También se le conoce con el nombre de Darcy - Weisbach. En algunos textos el coeficiente φ de Darcy se designa con la letra

λ.

La ecuación de Darcy es en esencia igual a la ecuación de Chezy. Esto puede demostrarse utilizando los conceptos hasta ahora expuestos y haciendo simples transformaciones algebraicas. La ecuación de Darcy permite calcular la pérdida de carga η φ que se presenta en un tramo de tubería de longitud Λ , diámetro ∆ y velocidad media ς . El desarrollo anterior ha sido hecho para un movimiento turbulento. Para el flujo laminar se puede hacer un desarrollo análogo utilizando la velocidad media que corresponde a la ecuación de Poiseuille (flujo laminar, ec. 2-19), en lugar de la ecuación de Chezy. (ec. 2-10)

τ 0 = γ ΡΣ o o o

(ec. 2-19)

ς=

γ ΣΡ

2ςµ Ρ

o o o

τ0 =

2ςµ Ρ

γ ΣΡ 2 2µ

Reemplazando en la ecuación 3-1 el valor obtenido para τ 0 ,

( π1 − π2 ) Α + γ Λ sen θ Α = 2ςµ ΠΛ Ρ

dividiendo ambos miembros por

γ Α y luego multiplicando y dividiendo el segundo miembro

por ς ,

ηφ = 2

ηφ = 2

Π ς µ Λ Α γ Ρ

Λ ς2 µ Ρ ρ γ Ρς

Sustituyendo el radio hidráulico y haciendo algunas operaciones,

ηφ =

64 Λ ς 2 Re ∆ 2 γ

93



o bien,

ηφ = φ

Λ ς2 ∆ 2γ

que es la ecuación de Darcy, en la que consideramos que para el flujo laminar,

φ =

64 Re

(3-4)

el número de Reynolds esta referido al diámetro.

3.2 Significado del coeficiente φ de Darcy (en tuberías circulares) En lo que respecta al flujo laminar, φ es simplemente una función del número de Reynolds. En el flujo turbulento, que estudiaremos a continuación, el significado de φ es más complejo. En general es función tanto del número de Reynolds como de la rugosidad relativa.

κ  φ = ϕ  Re,  ∆ 

(3-5)

La rugosidad relativa es la relación entre la rugosidad absoluta y el diámetro de la tubería (ec. 2-44). La rugosidad absoluta depende de la calidad de las paredes expresada por a)

Altura media de las irregularidades de la superficie

b)

Variación de la altura con respecto a la media

c)

Forma de las irregularidades del contorno

d)

Separación entre irregularidades adyacentes

Dada la compleja naturaleza de la rugosidad absoluta y su difícil representación es que Nikuradse usó rugosidad artificial de diámetro uniforme. Es útil el concepto de rugosidad equivalente

κ . Según este concepto, κ es una longitud que

mide el grado de rugosidad y tal que para dos conductos diferentes tiene valores proporcionales a los diámetros de los mismos cuando para valores iguales al número de Reynolds los valores correspondientes de φ son los mismos para ambos conductos.

94



Si bien es cierto que en el flujo turbulento, φ es, en el caso más general, función tanto del número de Reynolds como de la rugosidad relativa, también lo es que puede ser función de sólo uno de ellos. En una tubería hidráulicamente lisa se desarrolla una subcapa laminar, cuyo espesor es bastante mayor que la rugosidad. De acá que las irregularidades del contorno quedan dentro de la subcapa laminar y por lo tanto no tienen significado para el cálculo de φ . En una tubería lisa,

φ = ϕ (Re) En cambio en una tubería hidráulicamente rugosa los valores de

(3-6)

κ son tan grandes con

respecto al espesor que tendría la subcapa laminar,que ésta no puede desarrollarse. Entonces,

κ φ =ϕ  ∆

(3-7)

Para la transición entre contornos lisos y rugosos es aplicable una ecuación como la 3-5.

3.3 Tuberías hidráulicamente lisas Blasius estudió experimentalmente el comportamiento de las tuberías lisas estableciendo que,

φ =

0,316 Re

1 4

(3-8)

Esta ecuación de Blasius es válida para números de Reynolds (referidos al diámetro) menores que 105, (aproximadamente). Para números de Reynolds mayores, que correspondan a turbulencia plenamente desarrollada, el valor de φ se obtiene analíticamente de acuerdo al desarrollo siguiente. Partimos de la ecuación 2-33,

ς=

ς* 46,4 Ρ ln κ δ

95

Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ luego sustituimos el valor de


δ (ec. 2-28) δ=

11,6ν ς∗

y reemplazamos el radio hidráulico por el diámetro, obteniendo

ς= Necesitamos ahora una relación entre

ς∗ ς∗ ∆ ln κ ν

(3-9)

ς∗ y φ . Para ello combinamos las siguientes

ecuaciones, ya conocidas

ς∗ = γΡΣ ς = Χ ΡΣ Dividiendo,

γ ς∗ = ς Χ

(3-10)

De otro lado, a partir de la ecuación 3-2 obtenemos,

Χ=

8γ φ

(3-11)

ς∗ = ς

φ 8

(3-12)

De las dos últimas se llega a

Reemplazando este último valor en la ecuación 3-9,

ς φ ∆ 1 1 = ln φ 8κ 8ν efectuando operaciones y haciendo algunas sustituciones,

1 = 2,03 log(Re φ ) − 0,92 φ

96

(3-13)



y ajustando los coeficientes con valores experimentales obtenidos por Nikuradse se llega finalmente a

1 = 2 log(Re φ ) − 0,8 φ

(3-14)

ecuación que tiene gran importancia, pues, es una relación analítica entre φ y el número de Reynolds. Tiene el inconveniente de ser implícita. Nikuradse estableció también la siguiente relación empírica,

φ = 0 ,0032 +

0 ,221 Re 0 ,237

(3-15)

en la que el número de Reynolds está referido al diámetro y que da prácticamente los mismos resultados que la ecuación 3-14 para números de Reynolds comprendidos entre 105 y 107. Se puede citar también la fórmula de Konakov que da el valor de φ en el flujo turbulento,

φ =

1 (1,81 log Re −1,5)2

(3-16)

que es aplicable para números de Reynolds mayores que 2 300 y hasta de varios millones (con respecto al diámetro). Comparando, por ejemplo, las expresiones 3-4 y 3-8 se observa que en el flujo laminar, φ depende linealmente de la viscosidad, en cambio en el flujo turbulento depende de la potencia un cuarto de la viscosidad. Es conveniente llevar a un solo gráfico las ecuaciones 3-4, 3-8 y 3-14, usando papel logarítmico. Obviamente la primera ecuación corresponderá a una línea recta. Este gráfico muestra la relación completa entre el coeficiente φ de Darcy y el número de Reynolds para tuberías lisas. Abarca el flujo laminar, el flujo turbulento (Blasius y Nikuradse) y la transición entre ambos escurrimientos.

97

Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ φ


0,20

φ=

64 Re

0,10 0,08 0,06 0,04 Laminar

Turbulento

1 φ

0,02

0,316

φ=

1

2 300

0,01 10

2

10

3

= 2 log Re φ #∃%&∋

Re 4 10

4

10

5

10

6

10

7

Re =

ς∆ ϖ

Figura 3.2 Coeficiente φ de Darcy en tuberías lisas

3.4 Tuberías hidráulicamente rugosas. Transición. Gráfico de Nikuradse Como hemos señalado antes, en las tuberías hidráulicamente rugosas no puede desarrollarse una subcapa laminar. El valor de la velocidad y el coeficiente de Darcy dependen exclusivamente de la rugosidad relativa. El valor de φ se obtiene analíticamente de acuerdo al desarrollo siguiente. Partimos de la ecuación 2-38,

ς=

ς 13,4∆ ς∗ 13,4 ∆ ς = ∗ ln ln κ κ κ κ

e introducimos la ecuación 3-12,

ς∗ = ς

φ 8

de donde

1 3,35∆ = 2,03 log κ φ 98

(3-17)



Ajustando los coeficientes de acuerdo a los resultados experimentales de Nikuradse

1 3,71∆ = 2 log κ φ

(3-18)

Se observa, pues, que ahora φ es función exclusiva de la rugosidad relativa. Es independiente del número de Reynolds. Si quisiéramos hacer un gráfico similar o compatible con el de la Figura 3.2 tendríamos que considerar una familia de rectas paralelas al eje horizontal. Para cada valor de obtiene el de φ (ó de

φ

∆ κ , según el gráfico) 30,

0,06 0,05

61,2

0,04

120,

0,03

252, 504, 1014,

0,02

0,01 10

κ ∆ se

4

10

5

10

6

Re =

∆ κ

ς∆ ϖ

Figura 3.3 Coeficiente φ de Darcy en tuberías rugosas

Como hemos visto, Nikuradse estudió experimentalmente el comportamiento de las tuberías lisas y rugosas introduciendo algunos ligeros ajustes en los coeficientes de las expresiones analíticas. Pero también estudió experimentalmente la fase que corresponde a la transición entre paredes lisas y rugosas. El gráfico de Nikuradse representa en conjunto el comportamiento de las tuberías lisas, rugosas y a la transición entre ambos. Aparece en la Figura 3.4, que es una síntesis de las Figuras 3.2 y 3.3. Debe tenerse presente que el gráfico de Nikuradse corresponde a tuberías de rugosidad artificial (ver apartado 2.10 y Figuras 2.13 y 2.14).

99



φ

∆ κ

0,063

30

0,050 61,2 0,040 120

0,032

252

0,025

504

0,020

1 014

0,016 10

3

10

4

10

5

10

6

Re =

ς∆ ϖ

Figura 3.4 Gráfico de Nikuradse Analizando el gráfico de Nikuradse se encuentra lo siguiente a)

En el régimen laminar ( Re

≤ 2 300), la rugosidad de las paredes no tiene ninguna

influencia sobre la resistencia. b)

Una tubería con un valor determinado de la rugosidad relativa, se comporta como hidráulicamente lisa hasta un valor correspondiente del número de Reynolds. Se observa en el gráfico que a medida que la tubería es relativamente más lisa se requiere un número de Reynolds mayor para que la tubería se aparte de la curva que corresponde a las tuberías lisas.

c)

Al aumentar el número de Reynolds y/o la rugosidad, aparece una zona en la que el coeficiente φ es función tanto del número de Reynolds como de la rugosidad relativa. Es la transición.

d)

Para valores altos del número de Reynolds el coeficiente φ es función exclusiva de la rugosidad relativa.

Si se pretendiera aplicar el diagrama de Nikuradse a tuberías comerciales, cuya rugosidad no es artificial sino natural y tiene las características de la Figura 2.13, entonces en la zona de transición se encontrarían fuertes diferencias. Para tuberías comerciales se utilizará el diagrama de Moody (capítulo IV). 100



3.5 Introducción del coeficiente φ de Darcy en las ecuaciones de distribución de velocidades En el capítulo II establecimos la ecuación 2-57

ςη − ς η = 5,75 log + 2 ς∗ Ρ Expresión en la que

ςη : velocidad a la distancia η del contorno

ς : velocidad media ς∗ : velocidad de Corte Ρ : radio hidráulico La ecuación 2-57 nos muestra que en una tubería la diferencia entre la velocidad puntual y la media depende de la distancia al contorno. Es independiente de que el contorno sea hidráulicamente liso o rugoso. Vamos a introducir la ecuación 3-12 en la ecuación 2-57

ς∗ = ς

φ 8

obteniendo así

ςη = ς

η   φ  2,03 log + 0,71 + 1 Ρ  

Si se reemplaza 2,03 por 2,15 y 0,71 por 0,783 para ajustar con los resultados experimentales, se obtiene

ςη = ς

η   φ  2,15 log + 0,783  + 1 Ρ  

(3-19)

De acá se puede obtener la relación entre la velocidad máxima y la velocidad media. La velocidad máxima, que se desarrolla en el eje, corresponde a

ςµαξ = 1,43 ς

φ +1

η = 2Ρ . Luego, (3-20)

La expresión 3-19 es muy útil para la obtención del coeficiente φ de Darcy y de la velocidad

101



media a partir del conocimiento de la distribución de velocidades. Si en una tubería se miden los valores puntuales de la velocidad a diferentes distancias del centro, se obtiene experimentalmente, para un caso particular, la ley de distribución de velocidades. Esto puede hacerse por medio de un tubo de Pitot. Tal es el caso del problema 27 del capítulo I. A partir de los valores obtenidos para

ςη en función de η es posible calcular φ y ς por

medio de la ecuación 3-19. Si los valores medidos hubieran sido obtenidos con gran precisión y alta confiabilidad, bastaría con tomar dos de ellos y obtener dos ecuaciones con dos incógnitas y resolver el sistema, hallando así φ y ς . Sin embargo toda medición implica un error. Es preferible obtener φ y

ς a partir de todos los valores medidos, haciendo un gráfico en papel semilogarítmico. ςη

η λογ ρ La expresión 3-19 puede escribirse de la siguiente manera

ςη = 2,15 ς ψ

µ

φ log

η + 1,43 ς ρ

ξ

φ +ς

β

que representa una línea recta cuya ecuación es de la forma

ψ = µξ + β Siendo,

µ = 2,15 ς

102

φ



β = 1,43 ς Los valores de

φ +ς

µ y β se obtienen del gráfico. Resolviendo las dos ecuaciones se consigue

los valores de φ y

ς.

La ecuación 3-19 ha sido trasformada de modo de referirla al radio de la tubería.

3.6 Transición entre contornos lisos y rugosos. Fórmula de Colebrook - White Hemos señalado y discutido ampliamente el concepto relativo a la naturaleza del contorno. Desde el punto de vista hidráulico no podemos decir que un determinado contorno es en sí liso o rugoso. Depende también de las características del escurrimiento. Un contorno puede comportarse como liso frente a un flujo, pero como rugoso frente a otro flujo. Todo depende de la relación entre el tamaño de la rugosidad y el espesor de la subcapa laminar que podría desarrollarse. Esto fue expuesto en el capítulo II, apartado 2.10. En el gráfico de Nikuradse, Figura 3.4, se ve claramente que las tuberías más lisas requieren de un número de Reynolds mayor para apartarse de la ecuación general de las tuberías lisas. Podríamos, pues, decir que las tuberías dejan de comportarse como lisas para el mismo valor de la relación de

κδ.

En las tuberías de rugosidad natural (no homogénea, diferente de la que usó Nikuradse), el fenómeno de la transición es diferente. Esto se debe a que en una superficie con rugosidad natural las irregularidades del fondo son de diferente tamaño. Basta la presencia de algunas protuberancias mayores que la media para alterar la subcapa laminar. Los valores de φ en la zona de transición entre tuberías lisas y rugosas se obtienen por medio de la fórmula de Colebrook y White. Sabemos que en

Tuberías rugosas

(ec. 3-18)

1 3,71∆ = 2 log κ φ

Tuberías lisas

(ec. 3-14)

Re φ 1 = 2 log 2,51 φ

Combinando ambas expresiones se obtiene la ecuación de Colebrook y White.

103


 κ  2,51 1 = −2 log  ∆ + φ  3,71 Re φ 


    

(3-21)

Esta ecuación es prácticamente igual a la 2-41a del capítulo II.

3.7 Dimensionamiento de conductos. Conceptos fundamentales. Errores Hasta ahora hemos estudiado todas las variables involucradas en el escurrimiento en tuberías y su estudio nos permitirá, en el capítulo siguiente, presentar las modalidades de dimensionamiento. Conviene ahora recapitular y ordenar algunos conceptos fundamentales. Como consecuencia de la fricción, que a su vez se debe a la viscosidad, se desarrolla en un contorno liso una subcapa laminar. Esto determina un consumo de energía, una disipación de energía. Esto es lo que denominamos una pérdida de carga. Si las paredes no son lisas, sino rugosas, no se forma la subcapa laminar, pero hay pérdida de energía por rozamiento y formación de vórtices en el contorno. Además hay pérdida de carga (de energía) por frotamiento interno entre los filetes fluidos, la misma que depende del grado de turbulencia. Con el objeto de dimensionar un conducto, debemos disponer de una ley de pérdida de carga. Bruschin, de la Escuela Politécnica de Lausanne, Suiza, ha hecho reflexiones muy interesantes sobre este problema, señalando que una ley de pérdida de carga debe ser una ley “de comportamiento”, vale decir, una ley de tipo descriptivo. Así, pues, la ley de Darcy lo que hace es relacionar un parámetro característico del escurrimiento -la velocidad media- con la pérdida de energía tomando en cuenta la calidad de las paredes y las constantes características del fluido: densidad y viscosidad. Señala Bruschin que las condiciones que debe reunir una ley de pérdida de carga son las siguientes

104


Χαπτυλο ΙΙΙ a)

Base racional, compatible con los principios generales de la Mecánica de Fluidos

b)

Explicación clara del fenómeno de disipación de energía

c)

Caracterización e intervención de los parámetros principales descriptivos del fenómeno

d)

Verificación experimental. Sus parámetros deben ser susceptibles de medida

e)

Facilidad de uso en los problemas de ingeniería

La fórmula general de Colebrook y White satisface todas estas condiciones. Haciendo ligeras transformaciones en la ecuación 3-21 se obtiene

ς = −2 8 γ

 κ  2,51ν + ΡΣ log   14,8 Ρ 4 8 γ Ρ ΡΣ 

expresión que es prácticamente igual a la que obtuvimos en el capítulo II,

ς = 18 log

6Ρ κ δ + 2 7

 →

ΡΣ

ς = Χ ΡΣ

y que es mucho más simple. En ambas

ς : velocidad media de escurrimiento Ρ : radio hidráulico Σ : pendiente de la línea de energía

κ δ ν

:

rugosidad absoluta

:

espesor de la subcapa laminar

:

viscosidad cinemática

Χ : coeficiente de Chezy Si en la última ecuación sustituimos,

Χ=

8γ φ

se obtiene

ς=

8γ φ

ΡΣ

que es prácticamente la ecuación de Chezy, o la de Darcy.

105



Por lo general el cálculo de una tubería tiene un objetivo preciso: determinar cuál es el diámetro requerido para transportar un cierto gasto bajo condiciones dadas (pérdida de carga admisible, rugosidad, viscosidad, etc.) Haremos algunos cálculos para apreciar cuantitativamente la influencia relativa de los diversos factores. Analizaremos la influencia que tiene sobre el gasto una variación en el diámetro y una variación en la pendiente (de la línea de energía) para tuberías lisas y rugosas. Tuberías lisas La fórmula de Colebrook y White para paredes lisas es

π ∆2 2,51ν Θ = −2 2 γ ∆Σ log 4 2 γ ∆ ∆Σ de acá se obtiene que la relación entre una variación en el gasto y una variación en el diámetro es

 δΘ  0,65 = 2,5 − 2,51ν Θ  log  2 γ ∆ ∆Σ 

  δ∆   ∆  

Similarmente la relación entre una variación en el gasto y una variación en la pendiente es

 δΘ  0,217 = 0,5 − 2,51ν Θ  log  2 γ ∆ ∆Σ 

  δΣ   Σ  

Tuberías rugosas La fórmula de Colebrook y White para paredes rugosas es

Θ = −2

106

π ∆2 κ 2 γ ∆Σ log 4 3,71∆



Haciendo cálculos similares a los anteriores, se obtiene que,

  δΘ  0,43  δ∆ = 2,5 + 3,71∆  ∆ Θ   log κ   y,

δΘ δΣ = 0,5 Θ Σ Con el objeto de apreciar el significado físico de las cuatro fórmulas obtenidas, conviene aplicar valores numéricos, correspondientes a casos usuales. Por ejemplo diámetros comprendidos entre 0,3 m y 1 m, pendientes entre 0,1 % y 10 % y agua a 10 °C de temperatura. Como las cuatro fórmulas obtenidas corresponden a los casos extremos de calidad de paredes (lisas y rugosas), es evidente que para la transición se tendrá valores intermedios. Se obtiene finalmente que,

y

δΘ δ∆ ≈ 2,5 Θ ∆

(1)

δΘ δΣ ≈ 0,5 Θ Σ

(2)

Estas ecuaciones nos dan la variación que se produce en el gasto, como consecuencia de una variación en el diámetro ó de una variación en la pendiente (los coeficientes son valores medios, para condiciones usuales y cualquier naturaleza de paredes). Para el cálculo de la influencia de la rugosidad, partimos de

1 κ = −2 log 3,71∆ φ de donde,

 −1  δ  φ 2  δφ = −2  1  − φ φ 2 107



y con respecto a la rugosidad relativa,

κ δ  0,43 δφ ∆ = −2   κ κ φ log ∆ 3,71∆ A partir de la ecuación de Chezy (expresando

ς=

Χ en función de φ )

8γ ΡΣ φ

se obtiene

1 δφ δς =− 2 φ ς importante relación que nos muestra la variación de la velocidad en función de las variaciones del coeficiente φ de Darcy. Combinado las dos últimas expresiones, se obtiene

κ δ  δς 0,43 ∆ =   κ ς  κ  log  ∆  3,71∆  Para valores usuales de la rugosidad relativa, comprendidos entre 10-2 y 10-5 m se encuentra que,

κ δ  δς ∆ = (−0,0775 α − 0,174)   κ ς ∆ o bien,

κ δ  1   ∆ δς 1 ≈ − a  12  κ ς 6 ∆

108

(3)



Este desarrollo ha sido hecho para tuberías hidráulicamente rugosas. Para la transición, la influencia de la rugosidad es mucho menor. Teniendo a la vista las ecuaciones 1, 2 y 3, se podría concluir, a manera de ejemplo, que -

Una variación del 10 % en el diámetro produce una variación del 25 % en el gasto.

-

Una variación del 10 % en la pendiente produce una variación del 5 % en el gasto.

-

Una variación del 10 % en la rugosidad absoluta produce una variación del 1 % en el gasto.

Combinado (1) y (2), se obtiene

δΣ δ∆ = −5 Σ ∆ lo que significa, por ejemplo, que una disminución del 10 % en el diámetro representaría un aumento del 50 % en la pérdida de carga.

3.8 Tuberías de sección no circular En el capítulo II hemos estudiado las ecuaciones de distribución de velocidades y la velocidad media, para dos tipos de conductos que corresponden a casos extremos: canal de ancho infinito y sección circular. En la primera parte de este capítulo hemos hecho la aplicación correspondiente al caso de tuberías circulares. Obtuvimos ecuaciones del coeficiente φ de Darcy en función del diámetro. Sin embargo, en algunos casos, se presentan tuberías (conductos a presión) de sección diferente a la circular, como por ejemplo cuadradas, rectangulares, ovales, etc. Si tomamos como ejemplo una sección rectangular vemos que el esfuerzo de corte no es constante en todo el contorno. Allí donde el gradiente de velocidades es muy grande el corte será mayor al valor medio. También debe tenerse presente que en secciones diferentes de las circulares es fácil que aparezcan corrientes secundarias transversales. Evidentemente que nuestra ecuación fundamental para la determinación del coeficiente φ de Darcy (3-5)

109


Αρτυρο Ροχηα  

φ = ϕ  Re,  

κ   ∆ 

tendría que ser ampliada de modo de incluir también el factor “forma de sección”

κ   φ = ϕ  Re, , φορµα  ∆   Sin embargo, los errores que se pueden cometer en la determinación de la rugosidad tienen una influencia mayor que la que resulta de ignorar el factor forma. Aceptaremos que en tuberías no circulares la pérdida de carga puede calcularse con la fórmula de Darcy. Para esto se debe introducir dentro de la formula el concepto de radio hidráulico, tal como se hizo en la deducción de la fórmula (apartado 2.12). El radio hidráulico de una sección circular es

∆ / 4 . De acá que la ecuación de Darcy se

transforma en

ηφ = φ

Λ ς2 4Ρ 2γ

Para el cálculo de φ se seguirá el mismo procedimiento que en las tuberías circulares, considerando

Re =

ς 4Ρ ν

κ κ = ∆ 4Ρ

Por extensión se aplican los ábacos y fórmulas de las tuberías circulares, siempre que las secciones no se aparten demasiado de la forma circular. En la primera parte de este capítulo se obtuvo la ecuación de φ en tuberías lisas (ecuación 3-13), partiendo de la ecuación 2-33. Si quisiéramos obtener una expresión análoga a la 3-13, pero para un canal muy ancho, habría que partir de la ecuación 2-32 y se llegaría a

1 ς Ρ = 2,03 log ∗ + 1,05 ν φ

110



3.9 Ley exponencial de distribución de velocidades A partir de la ecuación de Blasius (3-8), Prandtl estableció una expresión para la distribución de velocidades, que por su forma exponencial es muy útil y conviene conocer. La deducción de Prandtl se basa en las siguientes suposiciones -

La distribución de velocidades en las proximidades del contorno no depende del diámetro de la tubería.

-

La distribución de velocidades en las proximidades del contorno está determinada por la viscosidad, la densidad y el corte sobre el contorno.

-

Las curvas de distribución de velocidades permanecen similares al variarse la velocidad. Esto significa, por ejemplo, que si la velocidad media se triplica, entonces la velocidad máxima también se triplica y las velocidades en todos los puntos varían en una misma proporción.

-

La velocidad a la distancia

η del contorno se describe según la siguiente expresión η ςη = ςµαξ   ρ

Siendo

ξ

(3-22)

ξ la potencia cuyo valor debe determinarse; ρ es el radio de la tubería.

Partiremos de la conocida expresión (2-7) que nos da el corte

τ 0 = γ ΡΣ que al combinarse con la ecuación de Chezy (2-42) nos da

τ0 =

γ 2 ς Χ2

(3-23)

De otro lado, según Blasius (3-8)

φ =

0,316 Re

Reemplazando la ecuación 3-2, φ =

1 4

8γ , y reemplazando el número de Reynolds de la Χ2

ecuación de Blasius

111


Αρτυρο Ροχηα 1

Χ = 2

1

8 γς 4 ∆ 4 1

0,316ν 4 Reemplazando este valor en la ecuación 3-23 1 4

ρ ν 0,316 74 − 14 ς ∆ τ0 = 8 Luego sustituimos el radio ρ en lugar del diámetro ∆ y se tiene, 1 4

ρ ν 0,316 74 − 14 − 14 ς 2 ρ τ0 = 8 Consideremos que la velocidad máxima es proporcional a la velocidad media

ςµαξ = Κς Sustituyendo en 3-22

η ςη = Κς   ρ

ξ

De donde,

ς=

ςη η Κ  ρ

ξ

ahora reemplazamos este valor de la velocidad media en la ecuación última obtenida para τ 0 ,

τ0 =

0,316 ρ ν 8κ

7 4

1 4

7 4 η

ς η

−

7 ξ 4

ρ

7 1 − ξ− 4 4

2

−

1 4

Para que τ 0 sea independiente del radio de la tubería se requiere que el exponente del radio sea nulo. Luego,

112



7 1 ξ− =0 4 4

ξ=

 →

1 7

Por lo tanto la distribución exponencial de velocidades es, en una tubería 1

 η 7 ς η = ς µαξ   ρ

(3-24)

Esta ecuación tiene, además de las hipótesis que se expusieron al iniciarse su deducción, las limitaciones que corresponden a la fórmula de Blasius (tuberías lisas y números de Reynolds menores que 105). Para números de Reynolds mayores que 105 el exponente

ξ tiende a disminuir. Prandtl

menciona que para un número de Reynolds de 200 000, la curva de distribución de velocidades queda mejor representada por el exponente 1/8 y para un número de Reynolds 10 veces mayor, el exponente es 1/10. Experimentalmente se ha establecido que en una tubería

ςµαξ = 1,235 ς

(3-25)

Luego, 1

ςη  η 7 = 1,235  ς ρ

(3-26)

Ejemplo 3.1 Calcular el valor de φ en una tubería lisa de 0,60 m de diámetro en la que fluye aceite con una viscosidad de 1,25x10-4 m2/s. La velocidad es de 3,95 m/s. Hacer el cálculo por dos métodos diferentes. Con el valor de cada uno hallar la pérdida de carga para una longitud de tubería de 1 200 m. Solución. En primer lugar calculamos el número de Reynolds, Re =

ς∆ 3,95 × 0 ,60 = 18 960 = 1,25 × 10 −4 !

Como Re < 105, y la tubería es lisa se aplica la fórmula de Blasius (3-8)

φ =

0,316 Re

1 4

=

0,316

(18 960)

1 4

=

0,316 = 0,027 11,73

113



Si aplicamos la fórmula de Konakov (3-16), φ =

φ =

1 (1,81 log Re− 1,5) 2

1 1 1 = = 2 2 (1,81 ξ 4,277 − 1,5) (7,74 − 1,5) 38,95 φ = 0,026

Valor aproximadamente igual al de Blasius. La pérdida de carga es

1 200 3,952 Λ ς2 = 0,027 = 42,99 m 0 ,60 2 γ ∆ 2γ

ηφ = φ o bien,

η φ = 0,026

1 200 3,952 = 41,39 m 0 ,60 2 γ

Ejemplo 3.2 Calcular el valor de φ y luego el valor de Χ en una tubería lisa cuyo diámetro es 0,75 m. Fluye aceite con una viscosidad cinemática de 1,25x10-4 m2/s. La velocidad media es 2,76 m/s. Verificar la ecuación 3-14. Solución. Calculamos el número de Reynolds, Re =

ς∆ 2,76 × 0,75 = 16 560 = ν 1,25 × 10 −4

Como Re < 105 y la tubería es lisa es aplicable la fórmula de Blasius (3-8)

φ =

0,316 Re

1 4

=

0,316

(16 560)

1 4

=

0,316 = 0,0279 ≈ 0,028 11,34

A modo de verificación calculamos el valor de Χ (ecuación 3-11) Χ=

8γ = 53 m1/2/s φ

Obsérvese que los valores obtenidos coinciden con los del problema propuesto 1 del capítulo II. Esto se debe a que el problema es idéntico.

114



Se puede observar también que los resultados obtenidos satisfacen la ecuación 3-14. 1 = 2 log Re φ

φ − 0 ,8

5,99 = 2 log (16 560 x 0,167) - 0,8 5,99 ≈ 6,08 Ejemplo 3.3 Demostrar que en un canal muy ancho de turbulencia plenamente desarrollada y fondo hidráulicamente rugoso se cumple que

ε = 0,884 Siendo ε =

φ

ςµαξ − 1 . Considerar que la ecuación 3-12 es aplicable ς

Solución.

ςη =

ς∗ 30η ln κ κ

ςµαξ =

ς∗ 30 ψ ln κ κ

La velocidad máxima corresponde a η = ψ

La velocidad media es

ς=

ς∗ 11ψ ln κ κ

Luego,

ς∗ 30ψ ς∗ 11ψ ς∗ 30 ς∗ λν − ln ln ln ε κ κ = κ 11 = κ κ ε= κ ς ς ς ς∗ 2,5 ς∗ ε= κ = ς ς Pero, ς = ς∗

8 φ

Luego,

∀=

2,5 ς∗ 2,5 φ = = 0,884 φ 8 8 ς∗ φ 115



Ejemplo 3.4 Se tiene una tubería de 1 000 m de largo, diámetro 0,20 m, rugosidad artificial κ = 0,001 m, velocidad 4 m/s, ν = 10-6 m2/s. Calcular la pérdida de carga. Solución. Calculamos en primer lugar el número de Reynolds

Re =

ς∆ 4 × 0,20 = = 8 × 105 ν 10 −6

Luego la rugosidad relativa κ 0,001 = = 0,005 ∆ 0,20

Entrando con estos dos valores al diagrama de Nikuradse (por ser la rugosidad artificial) se obtiene φ = 0,030.

Obsérvese que corresponde a tuberías hidráulicamente rugosas, luego podemos calcular φ utilizando la fórmula 3-18, 1 ∆  = 2 log 3,71  κ φ  1 0 ,20   = 2 log 3,71  0 ,001  φ  φ = 0,0303

valor bastante próximo al calculado con el abaco. La pérdida de carga es

ηφ = φ

Λ ς2 1 000 16 = 0,030 = 122,45 m ∆ 2γ 0 ,20 2 γ

Ejemplo 3.5 Demostrar que en una tubería hidráulicamente lisa con números de Reynolds menores que 105 se cumple que

Α δ = 7 ρ Re 8 El número de Reynolds está referido al radio ρ de la tubería. Hallar el valor de Α . En la deducción debe utilizarse la ecuación de δ anteriormente establecida (ec. 2-28).

116


Χαπτυλο ΙΙΙ Solución. Sabemos que

φ =

0,316 Re

φ ς 8

ς∗ =

y

1 4

Combinando estas dos ecuaciones, ς∗ =

0,316 ς 1

8 Re 8

Reemplazando este valor de la velocidad de corte en la ecuación 2-28 de δ 1

11,6 ν 8 Re 8 δ = 0,316 ς 1

1

11,6 8 ς 8 ∆ 8 ν δ = 1 0 ,316 ν 8 ς

Multiplicando y dividiendo por ρ y reemplazando ∆ = 2ρ . 1

1

1

ς 8 28 ρ 8 ρ ν δ = 58,37 1 ρς ν8 7

δ = 58,37 ρ 2

ν8

1 8

7

7

ς 8 ρ8 7

δ = 63,65 ρ Re 8 Luego,

δ 63,65 = 7 ρ Re 8 El valor de Α es 63,65.

Ejemplo 3.6 Demostrar que en una tubería hidráulicamente lisa con números de Reynolds menores que 105 se cumple que

Α δ = 7 ρ Re 8 El número de Reynolds está referido al radio ρ de la tubería. Hallar el valor de Α . La deducción debe hacerse sin utilizar la ecuación de δ anteriormente establecida (ec. 2-28). 117



Solución. Sabemos que el esfuerzo de corte en el contorno es

τ0 =

0,316 1

1

7

ρν 4 ς 4 ρ

−

1 4

8 ξ 24

o bien, 0 ,033 #ς 2 Re

−

1 4

El número de Reynolds está referido al radio de la tubería. Sabemos también que dentro de la subcapa laminar se puede aceptar que el corte es constante e igual a τ0 ,

τ0 = µ

ςδ δ

Igualando, 0 ,033 #ς 2 Re

0 ,033

−

1 4

=µ

ςδ δ

ςρ − 14 ρ ςδ Re = ν δ ς 3

0 ,033 Re 4 =

ρ ςδ δ ς

Pero, según la ecuación 3-26, 1

 δ 7 ςδ = 1,235 ς   ρ

Reemplazando, 1

 δ 7 ρ 0,033 Re ς = 1,235 ς   ρ δ 3 4

δ  0,033 Re = 1,235   ρ 3 4

Elevando a la potencia 7/6, 7

7  0,033  6 ρ   Re 8 = δ  1,235 

118

−

6 7


Χαπτυλο ΙΙΙ De donde,

δ 68,45 = 7 ρ Re 8 Luego, Α = 68,45

Ejemplo 3.7 Demostrar que en una tubería hidráulicamente lisa, cuyo número de Reynolds, referido al diámetro, es menor que 105, se cumple que 1

ς ς ρ 7 = 6,99  ∗  ς∗  ν  Solución. Por las condiciones del problema es aplicable la ecuación de Blasius

φ =

0,316 1

Re 4 Sabemos también que φ =8

ς∗2 ς2

Al combinar estas dos ecuaciones se obtiene la expresión buscada.

Ejemplo 3.8 Demostrar que el esfuerzo de corte sobre el contorno se puede expresar por

τ0 =

1 ρ φς2 8

Solución. Partimos de la ecuación de Darcy

ηφ = φ

Λ ς2 ∆ 2γ

Reemplazando el diámetro en función del radio hidráulico y despejando la pendiente, se obtiene, Σ=

1 1 2 φ ς 8 Ργ

Combinando con

τ0 = γ Ρ Σ Se obtiene finalmente

τ0 =

1 ρ φς2 8

119



Ejemplo 3.9 Una fórmula racional para las pérdidas de presión en el caso de flujos en tuberías geométricamente similares es ∆π =

ρ Λς 2  ρ ς∆  ϕ   ∆ µ  

Para el caso de una tubería de 4” de diámetro, que lleva agua a una velocidad media de 0,50 m/s la pérdida de carga es de 0,25 m en un tramo de 40 m. Calcular la pérdida de carga en metros de agua en otra tubería de 150 m de longitud y 10” de diámetro en la que circula aire a la velocidad correspondiente para que ambas tuberías sean similares. Asumir que ambas tuberías tienen rugosidades absolutas similares. Considerar Peso específico del aire

:

1,25 kg/m3

Peso específico del agua

:

1 000 kg/m3

Viscosidad del aire

:

1,8x10-4 poises

Viscosidad del agua

:

1,2x10-2 poises

Solución. Si ambas tuberías son hidráulicamente similares debe cumplirse que el número de Reynolds es el mismo para ambas  ρ1ς1 ∆1   ρ 2ς2 ∆ 2  =    µ1   µ 2

  

Luego al aplicar la fórmula racional, dato del problema a ambas tuberías y al obtener la relación entre las pérdidas de carga se llega a ∆π1 ρ1 Λ1 ς12 ∆2 = ∆π 2 ρ 2 Λ2 ς22 ∆1

De la igualdad de los números de Reynolds obtenemos ς2 = ς1

#1 ∆1 ∝2 1 000 4 1,8 × 10 − 4 = 0 ,50 #2 ∆ 2 ∝1 1,25 10 1,2 × 10 −2 ς2 = 2 ,4 m/s

calculamos ahora la relación entre las pérdidas de carga 2

∆π1 1 000 40  0,50  10 = = 23,148   ∆π2 1,25 150  2,4  4 120


Χαπτυλο ΙΙΙ Luego, ∆π 2 =

0,25 = 0 ,0108 m 23,148

la pérdida de carga en la tubería de aire equivale a una altura de 0,0108 m de agua.

3.10 Concepto de capa límite En el primer capítulo habíamos señalado que la distribución de velocidades en la sección transversal depende del número de Reynolds. Para decirlo en otras palabras, el gradiente transversal de velocidades depende del grado de turbulencia. Cuando el flujo es laminar (o sea cuando no hay turbulencia) el gradiente de velocidades es muy grande. Al aumentar la velocidad, y por consiguiente el número de Reynolds y el grado de turbulencia, el gradiente de velocidades disminuye, tiende a uniformizarse. Llega un momento en el cual la turbulencia está plenamente desarrollada. En estas condiciones un aumento en el número de Reynolds no conlleva un aumento en el grado de turbulencia. En un flujo con turbulencia plenamente desarrollada la distribución de velocidades es casi uniforme en la sección. La influencia del contorno se limita a una capa, muy delgada, próxima a las paredes. Allí los esfuerzos viscosos son grandes y el gradiente de velocidad es intenso. A esta pequeña capa, se le denomina capa límite. Toda la teoría sobre la capa límite es muy compleja, pero conviene presentar acá los conceptos fundamentales, incidiendo principalmente en el aspecto físico del problema. Imaginemos un flujo paralelo que se desarrolla en un espacio infinito, sin obstáculo o contorno alguno. Si en este flujo colocamos un obstáculo, es decir, un cuerpo, se producirá fricción entre el fluido y la superficie del cuerpo. En el contorno mismo las velocidades del fluido y del contorno deben ser iguales. Luego en el contorno la velocidad debe ser cero. En las inmediaciones del cuerpo la distribución de velocidades estará determinada por los esfuerzos viscosos. Aparecerá un gradiente de velocidades. Al alejarnos del cuerpo, normalmente a su superficie, la velocidad aumenta desde cero en el contorno hasta alcanzar, a una distancia

δ

la velocidad que

tendría en ausencia del cuerpo.

121



Figura 3.5 Flujo paralelo

Consideremos que el cuerpo esta constituido por una placa lisa y delgada con borde de ataque agudo y que el flujo es bidimensional. Para facilitar la interpretación del dibujo la escala vertical aparece considerablemente ampliada. Esta zona de espesor variable δ que se inicia en el borde de ataque y que crece hacia aguas abajo se denomina capa límite. La teoría de la capa limite planteada por Prandtl en 1904 es uno de los aportes más significativos a la Mecánica de Fluidos. La esencia de la teoría de Prandtl consiste en separar el escurrimiento en dos regiones: una interior y otra exterior a la capa límite.

(

Figura 3.6 Generación de una capa límite

122



Dentro de la capa limite los esfuerzos viscosos son intensos y determinan un fuerte gradiente de velocidades. Fuera de la capa límite el fluido se comporta como perfecto e irrotacional con energía constante y por la tanto son aplicables las ecuaciones de Euler y la teoría del flujo potencial. La consecuencia práctica de esto es que el movimiento de un fluido puede describirse como si correspondiera a un fluido ideal, salvo en una pequeña capa, próxima al contorno, que es la capa límite. El espesor de esta capa es más pequeño mientras mayor es el número de Reynolds. Para un número de Reynolds infinito, que corresponde a un fluido ideal, sin viscosidad, es evidente que el espesor de la capa límite es nulo (ver Figura 1.13).

3.11 Espesor de la capa límite De lo anteriormente expuesto se desprende que la distancia del contorno a la cual la velocidad sería la misma que habría de no existir el cuerpo o placa, sólo puede alcanzarse asintóticamente. Por lo tanto las definiciones para el espesor de la capa límite son más o menos arbitrarias. Utilizaremos el concepto de espesor nominal de la capa límite. La definición más generalizada considera como espesor la distancia a la cual la velocidad es el 99 % de la que existiría en ausencia del contorno.

(

(a)

(

(b)

Figura 3.7 Definición del espesor de la capa límite

123



Otra manera de definir el espesor nominal de la capa límite se presenta en la Figura 3.7 (a). Se traza la asíntota y una recta que partiendo del origen intercepta a la asintota de modo que las áreas achuradas sean iguales. En la Figura 3.7 (b) se presenta otra definición similar. Se intercepta la asintota con una tangente a la curva de origen.

0,99 ς

ς− ς η

(

ςη δη

(∗

Figura 3.8 Espesor de la capa límite

Otra forma de definición es la que considera el “espesor de desplazamiento”. El espesor de desplazamiento es la distancia en la que se considera desplazado el flujo como consecuencia de la disminución de velocidad en la capa límite. Debido al gradiente de velocidades dentro de la capa límite hay una disminución en el flujo cuyo valor sería

∫

η =∞ η =0

(ς − ςη ) δη

El resultado de esta integral debe ser igual al producto de la velocidad que hay fuera de la capa límite por el espesor de desplazamiento

ς δ∗ = ∫

η =∞ η =0

δ* . (ς − ςη ) δη

o bien,

δ∗ = ∫ 124

η =∞ η =0

 ς  1 − η  δη  ς 

(3-27)



3.12 Desarrollo de la capa límite En la Figura 3.9 el flujo que se aproxima a la placa puede ser laminar o turbulento. En cualquier caso, sin embargo, si es que la placa es suficientemente lisa, la capa límite es laminar hasta una cierta distancia del borde de ataque. Luego de una transición, se vuelve turbulenta. Aparece entonces dentro de la capa límite turbulenta una subcapa laminar. Esta subcapa laminar es la que hemos estudiado en la capítulo II (ec. 2-28). La transición entre el flujo laminar y turbulento dentro de la capa límite se produce para valores del número de Reynolds comprendidos entre 2x105 y 106 siendo,

Re = Se denomina

ςξ ν

ξ a la distancia medida desde el borde de ataque y a lo largo de la placa en la

dirección del escurrimiento. Obsérvese que este número de Reynolds para la capa límite se define de un modo diferente al número de Reynolds de una tubería o un canal. El espesor de la capa límite laminar

δΛ

viene dado por, 1

δΛ =

5ξ Re

El espesor de la capa límite turbulento

δΤ

1 2

 ν 2 = 5  ξ 2 ς  1

(3-28)

viene dado por, 1

δΤ =

0,38 ξ Re

1 5

4  ν 5 = 0,38  ξ 5 ς 

(3-29)

Comparando ambas expresiones se observa que el espesor de la capa límite turbulenta crece con el exponente 4/5 de

ξ , mientras que la capa límite laminar crece con el exponente 1/2.

Es decir que la capa límite turbulenta crece más rápidamente que la laminar. Las expresiones que dan el espesor de la capa límite se derivan a partir de considerar el cambio de la cantidad de movimiento, la fricción con el contorno y el gradiente de presiones.

125



3.13 La separación. Expansión de un conducto Si la capa límite se desarrolla en una tubería que arranca de un estanque, se presentarán las fases descritas en la Figura 3.9. Para un determinado valor de ξ la capa límite turbulenta se habrá desarrollado íntegramente en la sección transversal y δ es igual al radio. Si las paredes de la tubería son suficientemente lisas se desarrollará una subcapa laminar de espesor

δ

.

ς ecuación 3-29

ecuación 3-28

subcapa laminar

(Λ

(Τ (

ξ laminar

transición

turbulento

Figura 3.9 Capa límite laminar y turbulenta

Hasta ahora hemos considerado que el flujo exterior a la capa límite se caracteriza por tener energía constante, sin embargo normalmente la presión disminuye en la dirección del escurrimiento, lo que implica

∂π <0 ∂ξ Puede ocurrir también que por las características del contorno la presión aumente en la dirección del escurrimiento,

∂π >0 ∂ξ Se trata entonces de una expansión y la capa límite aumenta de espesor rápidamente. En el primer caso la capa límite aumenta de espesor lentamente. El efecto del gradiente de presiones del escurrimiento sobre el espesor de la capa límite se 126



ilustra en el siguiente dibujo esquemático.

∗π )0 ∗ξ

∗π +0 ∗ξ Capa límite

Figura 3.10 Variación del gradiente de presiones

La condición

∂π > 0 corresponde a líneas de corriente divergentes. Si esta condición se ∂ξ

presenta en el escurrimiento, su efecto será muy fuerte en la capa límite puesto que allí se tiene el efecto de fricción del contorno. Las partículas fluidas de la capa límite se mueven muy lentamente, y al haber presión adversa van perdiendo velocidad hasta que se detienen. Luego por efecto del gradiente de presiones positivas se produce dentro de la capa límite una contracorriente. Aparece una separación que se inicia en el punto S.

S

Contracorriente

Figura 3.11 Fenómeno de la separación

127



La separación es el fenómeno de alejamiento del flujo de la pared. Queda una porción en la que hay fluido, pero no flujo, en la dirección principal de la corriente. Puede haber movimiento en dirección contraria a la del escurrimiento principal (contracorriente). Lo anteriormente expuesto se puede resumir señalando que siempre que por una razón u otra haya un incremento de presión, las partículas de la capa límite perderán velocidad hasta detenerse y si la diferencia de presión es muy fuerte las partículas avanzan en dirección contraria a la del escurrimiento.

Capa límite

Capa límite

Figura 3.12 Desarrollo de la capa límite en una expansión

Este problema se presenta en una expansión, en un flujo de líneas de corriente divergentes. Podría ser el caso de un difusor o un canal de sección creciente (una transición). Si el gradiente de presiones es muy grande se produce la separación.

Contracorriente

Corriente principal

Contracorriente

Figura 3.13 Aparición de contracorrientes

128



Ejemplo 3.10 Fluye agua con una viscosidad de 10-6 m2/s a una velocidad uniforme de 2,5 m/s. El flujo es paralelo. Se coloca una placa delgada y lisa paralela a la corriente. Calcular la longitud de la porción laminar de la capa límite formada. Calcular el espesor de la capa límite a 5 cm y 1 m del borde de ataque. Solución. La transición se produce para

ςξ = 5 × 105 ν Luego,

ξ=

5 × 105 × 10 −6 = 0,2 m 2,5

La longitud de la porción laminar de la capa límite es de 20 cm. Luego para ξ = 5 cm la capa límite es laminar.

δΛ =

5ξ 1

Re 2 Re =

ςξ = 12,5 × 10 4 ν

5 × 5 × 10 −2 = 7,07 × 10 −4 m 12,5 × 10 2

a)

δΛ =

b)

A la distancia de 1 m el flujo es turbulento

δΤ =

0,38 1

Re 5 El número de Reynolds es

Re =

ςξ = 2,5 × 10 6 ν

y,

δΤ =

0,38 = 2 cm 19

129



PROBLEMAS PROPUESTOS (Capítulo

1 . Discutir

como

varía

en

una

III)

tubería

la

relación

de

la

velocidad

máxima a la media a ) Para b) 2.

números

de

Reynolds

crecientes.

Para rugosidad relativa creciente (para tuberías de rugosidad artificial).

Explique teóricamente por que no hay exactamente el mismo valor para Α en los ejemplos 3.5 y 3.6.

3.

Si admitimos que en la ecuación de Darcy el valor de φ viene dado por la ecuación de Blasius y hacemos los reemplazos correspondientes demostrar que el exponente de la velocidad sería 1,75.

4.

Demostrar que

α = 1 + 2,93 φ − 1,55 φ

3 2

β = 1 + 0,98 φ 5.

Se han efectuado mediciones puntuales de la velocidad en una tubería con flujo turbulento encontrándose que la velocidad a la distancia ∆ / 4 del contorno es igual a 0,89 ςµαξ Calcular el valor del coeficiente φ de Darcy y la rugosidad relativa.

6.

Calcular para el ejemplo 2.1, cuál es la pérdida de carga que se produce en la tubería, aplicando la ecuación de Darcy. Comparar resultados.

7.

Calcular para el ejemplo 2.3, cuál es la pérdida de carga que se produce en la tubería, aplicando la ecuación de Darcy. Comparar resultados.

8.

Calcular para el ejemplo 2.5, cuál es la pérdida de carga que se produce en la tubería, aplicando la ecuación de Darcy. Calcular el valor de φ a partir del coeficiente Χ de Chezy y a partir de la ecuación de Blasius. Comparar resultados.

9.

A partir del valor de

Χ obtenido en el problema propuesto 1 del segundo capítulo, calcular el

valor de φ y comparar con el obtenido a partir de la ecuación de Blasius. Calcular la pérdida de carga.

130



10. Se tiene dos tuberías de igual diámetro por las que circula el mismo gasto. En la primera el flujo es laminar. En la segunda, que es de paredes lisas, el número de Reynolds es de 80 000 (referido al diámetro). Demostrar que la relación entre las velocidades máximas respectivas es de 1,67. 11. Partiendo de que en una tubería rugosa con flujo turbulento la resistencia τ 0 por unidad de área

µ , de la densidad ρ , de la velocidad ς del fluido y del diámetro ∆ y la rugosidad absoluta κ de la tubería, demostrar que

del contorno depende de la viscosidad

 ρ ς∆ κ  τ0 = ϕ  ,  2 ρς  µ ∆ 12. Mediante consideraciones dimensionales puede demostrarse que,

 ρ ς∆  Φ  = ϕ  2 ρς  µ  expresión en la que Φ es la fuerza de fricción por unidad de área del contorno,

ρ es la densidad,

ς es la velocidad media, ∆ el diámetro y µ la viscosidad dinámica. Se trata de simular el flujo del aire en una tubería en un modelo a la escala 1/4 en el que fluye agua. La velocidad del aire es de 25 m/s. Calcular a)

Cuál debe ser la velocidad correspondiente del agua en el modelo para que exista similitud.

b)

Cuál sería la pérdida de carga por unidad de longitud en la tubería para aire si en el modelo para agua la pérdida de carga por unidad de longitud es de 0,20 kg/cm2. 1 000 kg/m3

Peso específico del agua

:

Peso específico del aire:

1,25 kg/m3

La viscosidad dinámica del agua es 60 veces la dinámica del aire. 13. Según Nikuradse la relación entre el coeficiente φ de Darcy y el número de Reynolds

Re ,

referido al diámetro, es

φ = 0,0032 +

0,221 Re 0 , 237

para números de Reynolds comprendidos entre 105 y 107 (ec. 3-15). Calcular cuál es el valor de φ y el correspondiente número de Reynolds, para los que ésta fórmula da los mismos resultados que la ecuación de Blasius.

131



14. Demostrar que en un conducto hidráulicamente liso se cumple que

ςκ 14 < ν φ 15. Demostrar que la expresión para la velocidad media obtenida a partir de la fórmula de Colebrook y White

  κ 2,51ν + ς = −2 8 γ ΡΣ log   14,8 Ρ 4 8 γ Ρ ΡΣ  tiene la forma de la ecuación de Chezy,

ς = 18 log

6Ρ κ δ + 2 7

ΡΣ

Calcular el valor numérico de los coeficientes que resulten de la transformación. ¿Por qué no son exactamente iguales a los de la ecuación de Chezy? 16. La distribución de velocidades en una tubería circular esta dada por 1

ςη  η 7 = 1,235   ς ρ Calcular a qué distancia del contorno la velocidad

( ςη ) es igual a la velocidad media.

17. En una tubería AB de 20” de diámetro, cuyo gasto es de 1 200 l/s, se ha verificado una pérdida de presión de 4 kg/cm2 entre los puntos A y B, cuya separación es de 1 km. El punto B está 2 m por encima del punto A. La temperatura del agua es de 8 ºC. Suponer que la rugosidad de las paredes es uniforme. Calcular a)

El coeficiente φ de Darcy

b)

La calidad de las paredes (lisa o rugosa)

c)

El valor de la rugosidad absoluta (supuesta uniforme), analítica y gráficamente

d)

La velocidad máxima

18. En una tubería de 6” de diámetro hay un escurrimiento cuyo número de Reynolds (referido al diámetro), es de 22 000. Calcular el coeficiente φ de Darcy.

132



19. Comparar los ejemplos 8 y 9 y demostrar que se trata de una misma tubería, (con la única diferencia en la longitud). 20. Demostrar que el ejemplo 2.5 satisface los resultados del ejemplo 3.5. 21. En una tubería el valor de α es 1,08. Calcular la relación entre la velocidad máxima y la media. 22. Calcular los valores de α y

β para la tubería del problema propuesto 5 de este capítulo.

23. En una tubería de 0,75 m de diámetro fluye aceite cuya viscosidad cinemática es de 1,25x10-4 m2/ s. La rugosidad absoluta es de un décimo de milímetro. Cada 100 m de recorrido se pierde una energía equivalente a 1,45 m de columna fluida. Calcular cuál sería el porcentaje de disminución en el gasto si resultara que el diámetro de 0,75 m es exterior y no interior, como se supuso en los cálculos. El espesor de la tubería es de 2 cm. 24. Demostrar que los valores del problema 23 satisfacen la ecuación 3-14. 25. Se tiene una tubería de 1 m de diámetro. La rugosidad de las paredes es de 1 mm. Se mantiene un movimiento uniforme por medio de la energía equivalente a 2 m de columna de agua por cada 100 m de tubería. La viscosidad del agua es de 10-6 m2/s. Después de algunos años de uso, la rugosidad aumentó a 1,5 mm. Calcular los valores iniciales y finales de la velocidad media y del coeficiente φ de Darcy. Calcular cuál sería la energía requerida para mantener la velocidad inicial cuando se tiene el nuevo valor de la rugosidad.

133

Χαπτυλο Ις

∆ισε〉ο δε τυβερασ

CAPITULO

Ις

DISEÑO DE TUBERIAS

4.1 Concepto de pérdida de carga. Línea de energía y línea piezométrica Sea una tubería de sección variable como la mostrada en la Figura 4.1. Si aplicamos la ecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 se tiene

L. E.

2 ∀ 1 ς1 2γ

# η φ 1-2 2 ∀ 2 ς2 2γ

L. P.

π1 !

π2 !

ζ1

Plano de referencia

1

ζ2 2

Figura 4.1 Ecuación de la energía en una tubería

135


∀1


ς2 π ς12 π1 + + ζ1 = ∀2 2 + 2 + ζ2 + ∑ η φ 1− 2 2γ ! 2γ !

(4-1)

Es decir, que al pasar de 1 a 2 hay una parte de la energía que “se pierde”: que no se transforma en presión, velocidad o elevación. Es la energía consumida en forma de fricción y que denominamos η φ , pérdida de energía o pérdida de carga. Para el movimiento uniforme, la sección transversal es invariable, por lo tanto la velocidad también lo es y la energía de velocidad es constante

α1

α

ς12 ς2 = α2 2 2γ 2γ

es el coeficiente de Coriolis estudiado en el capítulo I.

Entonces, la ecuación de la energía es simplemente

π1 π + ζ1 = 2 + ζ2 + ∑ η φ 1− 2 γ γ A la línea que resulta de unir las elevaciones a las que sube el líquido en una serie de piezómetros instalados a lo largo de la tubería se le denomina línea piezométrica o línea de gradiente hidráulica (L. P.). Si en cada sección se adiciona a la cota piezométrica el valor correspondiente a la energía de velocidad se obtiene la línea de energía. En el movimiento uniforme la línea de energía y la línea piezométrica son paralelas. Con respecto a la línea de gradiente o piezométrica conviene ordenar los siguientes conceptos a)

La línea de gradiente indica por medio de su altura sobre el eje de la tubería la presión en cualquier punto de ella.

b)

En una tubería, o en tuberías de igual rugosidad y diámetro, cuanto mayor es la pendiente o inclinación de la línea de gradiente tanto mayor será la velocidad del fluido.

c)

La línea de gradiente hidráulica indica por su descenso vertical la energía perdida entre dos secciones (para el movimiento uniforme).

d)

La gradiente hidráulica es recta para tuberías rectas de sección transversal constante y para tuberías cuya longitud sea aproximadamente igual a la línea que une sus extremos.

La línea de energía siempre desciende en la dirección del escurrimiento, salvo que se coloque una bomba.

136



La línea de gradiente hidráulica no siempre desciende en la dirección del escurrimiento. La línea de energía y la de gradiente coinciden con la superficie libre para un líquido en reposo. Tal sería el caso de un estanque. En la ecuación de la energía 4-1 se ha designado como

∑η

φ1− 2

a la suma de todas las

pérdidas de carga (de energía) que ocurren entre 1 y 2. Estas pérdidas de carga son fundamentalmente de dos tipos: continuas y locales. Las pérdidas de carga continuas se deben a la fricción y se calculan por medio de la fórmula de Darcy (ecuación 3-3).

η

φ

= φ

Λ ς2 ∆ 2γ

Las pérdidas de carga locales dependen de las características de cada singularidad, válvula, codo, etc.; y en el apartado 4.3 se presentarán sus valores.

Potencia Se llama potencia de una corriente líquida a su energía por unidad de tiempo.

Ποτ = γ Θ Η

(4-2)

γ es el peso específico del fluido en kg/m3, Θ es el gasto en m3/s, Η es la energía total con respecto al plano de referencia, en metros,

Ποτ es la potencia en kg-m/s (teórica). Para

obtener esta potencia en

HP (Horse Power)

Ποτ =

γ ΘΗ 76

CV (Caballos de vapor)

Ποτ =

γ ΘΗ 75

KW (kilowatts)

Ποτ =

γ ΘΗ 102

137



Ejemplo 4.1 De un estanque sale una tubería de 10” de diámetro que termina en una boquilla de 4” de diámetro. La velocidad de salida del agua es de 15 m/s. Calcular la potencia teórica del chorro. Solución. El gasto es Θ = Α × ςΣ = 0,1216 m3/s

La energía en la boquilla es

ςΣ2 = 11,48 m ( ςΣ es la velocidad de salida) 2γ La potencia teórica del chorro, según la ecuación 4-2, es Ποτ = 1 396 kg m/s

o bien, 18,4 HP = 13,7 KW

4.2 Abaco de Moody. Tuberías comerciales. Cálculo En el apartado 3.2 se señaló la naturaleza compleja e irregular que tiene la rugosidad de las tuberías comerciales. De acá que Nikuradse usó en sus experiencias rugosidad artificial constituida por esferas de diámetro uniforme (granos de arena). Pero las tuberías comerciales tienen rugosidad natural. El Estudio experimental de la pérdida de carga fue hecho, entre otros, por Moody, estableciendo un gráfico similar al de Nikuradse y que relaciona el coeficiente φ de Darcy, el número de Reynolds y los valores de la rugosidad relativa (Figura 4.2). Las características de este gráfico son similares al de Nikuradse. Las tuberías comerciales son de diferentes materiales: fierro fundido, acero, asbesto-cemento, concreto, plomo, plásticos, etc. Cada material tiene una rugosidad característica propia, cuyo valor forma parte de la descripción técnica de la tubería. De otro lado debe tenerse presente que la rugosidad cambia con el tiempo. Después de varios años de uso una tubería es más rugosa de lo que era inicialmente. Este fenómeno de envejecimiento de las tuberías será descrito mas adelante. La selección del material de una tubería depende de varios factores: costo inicial, costo de reposición y mantenimiento, capacidad inicial, cambio con el tiempo, resistencia, duración, calidad y características químicas del fluido, etc. Los valores de la rugosidad absoluta obtienen de la Tabla 2.1 ó de la 4.4.

138

κ se



Los problemas que pueden presentarse en el cálculo de tuberías son los siguientes a)

Cálculo de la pérdida de carga η φ Es el caso más simple, los datos son

Θ :

gasto

Λ :

longitud

∆ : ν : κ :

diámetro viscosidad cinemática rugosidad

Con estos datos se determina inmediatamente los dos parámetros necesarios para aplicar el diagrama de Moody, que son el número de Reynolds y la rugosidad relativa

ς∆ ν

κ ∆

Con ellos se determina el valor de φ y aplicando la ecuación de Darcy se calcula la pérdida de carga η φ . b)

Cálculo del gasto Θ Los datos son

Λ : ∆ : ν :

κ

:

ηφ :

longitud diámetro viscosidad cinemática rugosidad pérdida de carga

Con estos datos no es posible calcular el número de Reynolds. Debe procederse por aproximaciones sucesivas. Primero se calcula la rugosidad relativa y observando el diagrama de Moody se supone un valor para φ (podría ser, por ejemplo, el que corresponde a turbulencia plenamente desarrollada). Con este valor de φ incorporado a los datos se calcula un valor tentativo para la velocidad, en base a la cual se halla un número de Reynolds. Con el número de Reynolds y la rugosidad relativa se calcula un valor para φ , el cual se compara con el supuesto inicialmente. Si la diferencia fuera grande debe hacerse un nuevo cálculo hasta conseguir igualdad en las dos primeras cifras significativas. Obtenidos los valores de φ y de ς se debe verificar que satisfacen la ecuación de Darcy. Con el valor correcto de la velocidad se calcula el gasto.

139


140

Flujo Laminar

Zona Crítica

0,10 Zona de Transición

o La

0,08

F luj

φ

0,09

0,05

%&% ar, ∃ min

0,07

Turbulencia plenamente desarrollada (Tuberías rugosas)

0,06

0,04 0,03

e ∋()R

0,05

0,02 0,015

0,04

0,01 0,008

Re φ = 200 ∆ κ

0,006

0,03

0,004

0,025

0,002

0,02

κ ∆

0,001 0,0008 0,0006 0,0004

0,015

0,0002 0,0001

Tuberías lisas

0,00005

0,01

0,000001 0,0000005

0,009

0,00001

0,008 67 9 10

3

2

3

4 5 67 9 4 10

2

3

4 5 67 9 5 10

2

4 5 67 9 6 10

ς∆ ϖ

Figura 4.2 Abaco de Moody

2

3

4 5 67 9 7 10

2

3

4 5 67 9 8 10


Re =

3



Ejemplo 4.2 Se tiene una tubería nueva de fierro fundido ( κ = 0,00025 m) de 10” de diámetro. La longitud es de 1 000 m. Conduce agua cuya viscosidad es de 10-6 m2/s. La pérdida de carga (de energía) en el tramo considerado es de 10 m. Calcular el gasto. Solución. La rugosidad relativa es κ ∆ = 0,001

Si suponemos que la turbulencia está plenamente desarrollada φ = 0,0198

Calculamos ahora la velocidad a partir de la ecuación de Darcy,

10 = φ

Λ ς2 1 000 ς 2 = 0,0198 ∆ 2γ 0,254 2 γ

De acá se obtiene, ς = 1,59 m/s

Luego,

Re =

ς ∆ 1,59 × 0,254 = = 4,04 × 105 10 −6 #

Consideramos ahora como datos el número de Reynolds y la rugosidad relativa y hallamos φ en el diagrama de Moody, φ = 0,0205

Valor que difiere del supuesto. A partir del nuevo valor de φ hacemos un nuevo cálculo para la velocidad y se obtiene ς = 1,56 m/s

de donde, Re = 3,96x105

y en el diagrama de Moody encontramos, φ = 0,0205

Valor igual al supuesto. Luego la velocidad es de 1,56 m/s y el gasto Θ = Ας =

π ∆2 1,56 = 0,079 m3/s = 79 lps 4

Los valores de φ y ς satisfacen la ecuación de Darcy. 141

Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ c)


Cálculo del diámetro ∆ Los datos son

Λ :

longitud

ν κ

:

viscosidad

:

rugosidad

ηφ :

pérdida de carga

Θ :

gasto

Si expresamos la ecuación de Darcy reemplazando la velocidad en función del gasto y del área se tiene

Λ ηφ = φ ∆

Θ2  π ∆2   2 γ   4 

2

De donde,

∆5 =

8 Θ2 φ Λ ∃ 2γ ηφ

o bien,

∆5 = 0 ,0827

φ 2 Θ Σ

(4-3)

Para la solución se recomienda el siguiente procedimiento 1.

Escoger tentativamente un diámetro. Este valor debe corresponder a los valores comerciales, que se expresan generalmente en pulgadas y pueden ser: 1/8, 1/4, 3/8, 1/ 2, 3/4, 1, 1 1/4, 1 1/2, 2, 2 1/2, 3, 3 1/2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 24 y 30”. Para hacer un diseño debe conocerse cuales son los diámetros comerciales disponibles. Eventualmente su número puede ser muy restringido.

2.

Calcular la velocidad media y el número de Reynolds.

3.

Calcular la rugosidad relativa.

4.

Con el diagrama de Moody hallar el valor de φ .

5.

Con la ecuación de Darcy calcular la pérdida de carga.

6.

Verificar que la pérdida de carga así calculada es igual o menor que la pérdida de carga admisible (dato).

7.

Caso contrario repetir el procedimiento

8.

Si la pérdida de carga está entre los valores que corresponden a dos diámetros comerciales sucesivos, tomar el diámetro mayor.

142



Otro procedimiento para resolver el problema es el siguiente 1.

Suponer un valor para φ .

2.

Calcular el diámetro a partir de la ecuación 4-3.

3.

Calcular el número de Reynolds considerando que

Re =

ς∆ ν

y que, por la ecuación de continuidad

ς ∆2 =

4Θ π

se expresa como,

Re =

4Θ 1 πν D

4.

Calcular la rugosidad relativa.

5.

Con el diagrama de Moody hallar el valor de φ .

6.

Si este valor es diferente al supuesto repetir el procedimiento con el nuevo valor hallado.

7.

Si el valor de φ es igual al supuesto el problema está resuelto, pero como seguramente el diámetro obtenido no es comercial se toma el inmediato superior.

Para el agua se presentan, en la Tabla 4.1, valores usuales del coeficiente de Darcy. Esta tabla es muy útil para aligerar los cálculos. Los métodos acá presentados no son los únicos para resolver problemas de tuberías. Existen diversos procedimientos de cálculo que última instancia lo que tratan de establecer es el valor del coeficiente de Darcy que corresponde a una rugosidad relativa y a un número de Reynolds dados. Hasta acá el método desde el punto de vista de la Mecánica de los Fluidos. El ingeniero hidráulico que se enfrenta a un problema real introduce una condición adicional: la velocidad media en la tubería. Al ingeniero no le basta que los valores de la rugosidad relativa y el número de Reynolds sean compatibles con el coeficiente de Darcy. Requieren además que la velocidad esté comprendida entre ciertos valores, máximos y mínimos, que garantizarán un comportamiento hidráulico mejor; sin considerar por ahora, el problema de costos y de diámetro más económico, lo que será analizado posteriormente. Las velocidades grandes pueden significar la aparición de fenómenos inconvenientes, como el golpe de ariete, por ejemplo. El ingeniero que busca el diámetro que debe tener una conducción, piensa generalmente en términos de la velocidad media. Es usual empezar los cálculos fijando el rango de velocidades admisibles. De allí se deduce el diámetro y se continúa con el método antes señalado.

143



VALORES DE φ PARA EL AGUA Temperatura 10 ºC a 24 ºC. Valores de φ x 104 ∆

Velocidad m/s Calidad Rugosa Media Nueva Muy lisa

0,30 0,60 0,90 1,20 1,50 1,80 2,40 3,00 4,50 6,00 9,00 435 355 300 240

415 320 265 205

410 310 250 190

405 300 240 180

400 290 230 170

395 285 225 165

395 280 220 155

390 270 210 150

385 260 200 140

375 250 190 130

370 250 185 120

6”

Rugosa Media Nueva Muy lisa

425 335 275 220

410 310 250 190

405 300 240 175

400 285 225 165

395 280 220 160

395 275 210 150

390 265 205 145

385 260 200 140

380 250 190 130

375 240 180 120

365 235 175 115

8”


420 320 265 205

405 300 240 180

400 285 225 165

395 280 220 155

390 270 210 150

385 265 205 140

380 260 200 135

375 250 190 130

370 240 185 120

365 235 175 115

360 225 170 110

10”


415 315 260 200

405 295 230 170

400 280 220 160

395 270 210 150

390 265 205 145

385 260 200 135

380 255 190 130

375 245 185 125

370 240 180 115

365 230 170 110

360 225 165 105

12”


415 310 250 190

400 285 225 165

395 275 210 150

395 265 205 140

390 260 200 140

385 255 195 135

380 250 190 125

375 240 180 120

365 235 175 115

360 225 165 110

355 220 160 105

16”


405 300 240 180

395 280 220 155

390 265 205 140

385 260 200 135

380 255 195 130

375 250 190 125

370 240 180 120

365 235 175 115

360 225 170 110

350 215 160 105

350 210 155 100

20”


400 290 230 170

395 275 210 150

390 265 200 135

385 255 195 130

380 250 190 125

375 245 180 120

370 235 175 115

365 230 170 110

360 220 165 105

350 215 160 100

350 205 150 95

24”


400 285 225 165

395 265 200 140

385 255 195 135

380 250 190 125

375 245 185 120

370 240 180 120

365 230 175 115

360 225 170 110

355 220 165 105

350 210 155 100

345 200 150 95

30”


400 280 220 160

385 255 195 135

380 250 190 130

375 245 185 120

370 240 180 115

365 230 175 115

360 225 170 110

355 220 165 110

350 210 160 105

350 205 155 100

345 200 150 95

36”


395 275 215 150

385 255 195 135

375 245 185 125

370 240 180 120

365 235 175 115

360 230 170 110

355 225 165 110

355 220 160 105

350 210 155 100

345 200 150 95

340 195 145 90

48”


395 265 205 140

385 250 190 125

370 240 180 120

365 230 175 115

360 225 170 110

355 220 165 110

350 215 160 105

350 210 155 100

345 200 150 95

340 195 145 90

335 190 140 90

4”

(Tomada del libro ’’Theory and Problems of Hydraulics and Fluid Mechanics’’ de Ronald V. Giles, de la Colección Shaum)

144



Ejemplo 4.3 Calcular el diámetro que debe tener una tubería nueva, de cemento enlucido ( κ = 0,0004 m) para conducir 2 m3/s. La viscosidad del agua es de 1,2 x 10-6 m2/s. La longitud de la tubería es de 1 000 m. La pérdida de carga admisible es de 25 m. Solución. 1.

Supongamos φ = 0,02

2.

Calculamos el diámetro.

∆5 = 0,0827

φ 2 Θ = 0,265 Σ

∆ = 0 ,767 m

3.

Calculamos el Número de Reynolds

Re = 4.

4Θ 1 = 2,77 × 106 ∃# ∆

La rugosidad relativa es κ 0,0004 = = 0,00052 ∆ 0,0767

5.

Con el ábaco de Moody hallamos el valor de φ φ = 0,0168

6.

7.

Repetimos el procedimiento, con el nuevo valor de φ . ∆5

=

0,222

∆

=

0,74 m

Re

=

2,87 x 106

κ ∆

=

0,00054

φ

=

0,0168

Como el valor que hemos encontrado para φ es igual al último valor supuesto éste es el valor correcto. Los valores de φ y de ς satisfacen la ecuación de Darcy. Luego,

∆ = 0,74 m ∆ = 29,13’’

145



En este caso escogemos

∆ = 30’’ Este problema se ha resuelto según el método segundo propuesto para el cálculo del diámetro. No se ha calculado la velocidad media. Hemos obtenido el diámetro y no sabemos, si esta velocidad es, por ejemplo, muy grande. Si lo fuera habría que verificar que esa alta velocidad no nos traerá dificultades. Hubiera sido más práctico, desde el punto de vista del ingeniero, empezar por fijar el valor máximo para la velocidad. Posteriormente se verá que el problema es también económico. Ejemplo 4.4 Qué presión se requiere para impulsar 20 lps a lo largo de una tubería lisa, horizontal, de 2” de diámetro. La longitud del tramo es 300 m. La viscosidad del agua es 10-6 m2/s. Solución. Por ser una tubería horizontal ηφ =

π1 − π2 !

Para calcular la presión requerida ( π1 − π2 ) debemos establecer la pérdida de carga. El número de Reynolds es 5x105 y para el coeficiente φ de Darcy se obtiene 0,013 (Diagrama de Moody). Aplicando la ecuación de Darcy se obtiene η φ = 381,6 m

y por lo tanto π1 − π2 = ∆π = 38,2 kg/cm2

Este ejemplo se ha presentado con el objeto de mostrar que un diámetro pequeño puede dar lugar a una alta velocidad y a una gran pérdida de carga. 0

Ejemplo 4.5 Calcular el gasto del sistema mostrado en la figura. La viscosidad del agua es 1,2x10-6 m2/s. La tubería es lisa. Considerar únicamente las pérdidas de carga continuas. El diámetro de la tubería de descarga es de 2 cm.

5m

1

2

4m

146



Solución. Aplicamos la ecuación de la energía entre los puntos 1 y 2

ς12 π1 ς2 π + + ζ1 = 2 + 2 + ζ 2 + η φ1−2 ! 2γ ! 2γ Pero, ζ1 = ζ 2

;

ς1 = ς2 = ς

Luego,

π1 − π2 Λ ς2 = η φ1−2 = φ γ ∆ 2γ Ahora aplicamos el teorema de Bernoulli entre 0 y 1

ς2 π ς02 π0 + + ζ0 = 1 + 1 + ζ1 2γ ! 2γ ! π0 = π 2 = 0

Combinando las dos ecuaciones, Energía y Bernoulli, se obtiene

ζ 0 − ζ1 =

Λ ς2 ς12 + φ ∆ 2γ 2γ

Obsérvese que la energía disponible se usa una parte para imprimir energía cinética y otra para vencer la fricción. De acá, ς12 =

2 γ (ζ 0 − ζ1 ) Λ φ +1 ∆

Reemplazando valores, ς12 =

2γ × 5 10 γ = 4 200 φ +1 +1 φ 0,02

(1)

De otro lado sabemos que el número de Reynolds es Re =

ς1 ∆ 0 ,02 ς1 = = 16 ,667 ς1 # 1,2 ξ 10 −6

147



Aplicamos ahora un método de tanteos, asumiendo valores para la velocidad.

ς1 (supuesto)

Re

φ (según Blasius)

1,0

16 667

0,0278

3,87

2,0

33 334

0,0234

4,16

2,5

41 667,5

0,0221

4,25

4,0

66 668

0,0197

4,46

4,2

70 001,4

0,0194

4,48

4,3

71 668,1

0,0193

4,49

4,4

73 334,8

0,0192

4,50

4,5

75 001,5

0,0191

4,51

4,51

75 168,2

0,0191

4,51

ς1

ς1 = 4,51 m/s

Θ = 0,00142 m3/s Los valores de φ se han obtenido aplicando la ecuación de Blasius. Podrían haberse obtenido del diagrama de Moody. Como se señaló antes la energía disponible es de 5 m. Esta energía se usa, una parte para imprimir energía cinética y otra para vencer las fuerzas de fricción. En este problema particular no se ha tomado en cuenta las pérdidas locales.

Energía de velocidad

ς2 2γ

= 1,04 m

Fricción

ηφ

= 3,96 m

Energía

Ε

= 5,00 m

Ε

148



Ejemplo 4.6 Calcular el gasto que fluye en el sistema mostrado en la figura. La tubería es lisa, de 10 cm de diámetro. La viscosidad del agua es 1,25x10-6 m2/s.

1 2m

2

No considerar pérdidas de carga locales. 5m

Solución. Aplicando el teorema de Bernoulli entre 1 y 2 4

π2 − π1 ς2 = ζ1 − ζ 2 − 2 γ 2γ

1m 3

Análogamente entre 3 y 4 se obtiene

π3 − π 4 ς2 = ζ 4 − ζ3 − 3 γ 2γ Se ha considerado que ς1 = ς4 = 0 Aplicamos ahora la ecuación de la energía entre 2 y 3

Λ ς2 π 2 − π3 = ζ3 − ζ 2 + φ ∆ 2γ ! puesto que ς2 = ς3 = ς . Observando que π1 − π4 = 0 se llega a π 2 − π3 = ( ζ1 − ζ 2 ) − ( ζ 4 − ζ3 ) γ

Combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene

ζ1 − ζ 4 = φ

Λ ς2 ∆ 2γ

(Esta expresión podría haberse obtenido mediante un rápido análisis de la figura) Reemplazando los datos del problema ς2 =

2,289 φ

El número de Reynolds es 80 000 ς . Resolveremos las dos últimas ecuaciones por aproximaciones sucesivas. Para un valor supuesto de la velocidad se calcula el correspondiente número de Reynolds. Luego, en el ábaco de Moody se

149



encuentra el valor de φ . Con este valor se calcula la velocidad (utilizando la expresión deducida para este problema). Si la velocidad es igual a la supuesta, el problema está resuelto. Caso contrario deben proseguirse los tanteos. Se obtiene finalmente ς = 14,17 m/s

φ = 0,0114

y el gasto es

Θ = 111 lps Se observa que los valores obtenidos satisfacen las ecuaciones 3-14, 3-15 y 3-16 (estas ecuaciones podrían haberse utilizado como método alternativo de solución). Los valores obtenidos de φ y de ς satisfacen la ecuación de la energía.

4.3 Pérdidas de carga locales (flujo turbulento) En una tubería las pérdidas de carga son continuas y locales. Las pérdidas de carga continuas son proporcionales a la longitud, se deben a la fricción y se calculan por medio de la fórmula de Darcy. Las pérdidas de carga locales o singulares ocurren en determinados puntos de la tubería y se deben a la presencia de algo especial que se denomina genéricamente singularidad: un codo, una válvula, un estrechamiento, etc. En la figura 4.3 se observa una tubería mostrando la línea de energía y la súbita caída que experimenta como consecuencia de una singularidad, que produce una pérdida de carga local a la que designamos como

ηλοχ . Línea de energía L. E.

η λοχ

Singularidad

Figura 4.3 Pérdida de carga local

150



Las pérdidas de carga locales se expresan genéricamente en función de la altura de velocidad en la tubería

ηλοχ = Κ expresión en la que

ς2 2γ

(4-5)

ηλοχ es la pérdida de carga local expresada en unidades de longitud, Κ

es un coeficiente adimensional que depende de las características de la singularidad que genera la pérdida de carga (codo, válvula, etc) así como del número de Reynolds y de la rugosidad, ς es la velocidad media en la tubería. A las pérdidas de carga locales también se les denomina pérdidas menores. Esto en razón que en tuberías muy largas la mayor parte de la pérdida de carga es continua. Sin embargo en tuberías muy cortas las pérdidas de carga locales pueden ser proporcionalmente muy importantes. Analizaremos las principales pérdidas locales en flujo turbulento. A.

Entrada o embocadura

Corresponde genéricamente al caso de una tubería que sale de un estanque

Entrada (embocadura)

A la entrada se produce una pérdida de carga

ηλοχ originada por la contracción de la vena

líquida. Su valor se expresa por, (ec. 4-5),

ηλοχ = Κ

ς2 2γ

Expresión en la que ς es la velocidad media en la tubería. El valor de Κ esta determinado fundamentalmente por las características geométricas de la embocadura. Las que se presentan más frecuentemente son

151

Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ a)


Bordes agudos Zona de separación

Κ = 0,5

∆

b)

Bordes ligeramente redondeados ( ρ es el radio de curvatura)

Κ = 0,26

∆

En este caso el valor de Κ depende de la relación relación de 0,04. Para valores mayores de

ρ ∆ . El valor 0,26 corresponde a una

ρ ∆ , Κ disminuye hasta llegar a 0,03 cuando

ρ ∆ es 0,2. c) Bordes acampanados (perfectamente redondeados). El borde acampanado significa que el contorno tiene una curvatura suave a la que se adaptan las líneas de corriente, sin producirse separación.

Κ = 0,04

∆

d)

Bordes entrantes (tipo Borda)

∆

152

Κ =1



Los valores aquí presentados para Κ son valores medios, que pueden diferir según las condiciones de las experiencias realizadas. Se observa que los valores sólo se hacen depender da las características geométricas y no del número de Reynolds o de la rugosidad. En una conducción normalmente se desea economizar energía. Conviene entonces dar a estas entradas la forma más hidrodinámica posible. A modo de ejemplo cabe indicar que para una velocidad media de 2,5 m/s en una tubería la pérdida de carga es de 0,159 m si la entrada es con bordes agudos y sólo 0,013 m, si la entrada es acampanada. B.

Ensanchamiento del conducto

En ciertas conducciones es necesario cambiar la sección de la tubería y pasar a un diámetro mayor. Este ensanchamiento puede ser brusco o gradual. a)

Ensanchamiento brusco L. E.

η λοχ ς12 2γ

L. P.

ς22 2γ A

∆1

D

π1

π2 B

∆2

C

1

2

La pérdida de carga en el ensanchamiento brusco se calcula analíticamente a partir de la ecuación de la cantidad de movimiento. Entre las secciones 1 y 2 la ecuación de la energía es

ς12 π1 ς22 π2 + = + + ηλοχ 2γ ! 2γ !

(4-6)

153



Se ha considerado que el coeficiente de Coriolis es 1. Para el volumen ABCD comprendido entre las secciones 1 y 2, debe cumplirse que la resultante de las fuerzas exteriores es igual al cambio de la cantidad de movimiento.

( π1 − π2 ) Α2 = ρ Θ (ς2 − ς1 ) Considerando que el coeficiente de Boussinesq es 1. Dividiendo esta última expresión por

γ Α2

se obtiene

π1 − π2 ς22 ς1 ς 2 = − γ γ γ Haciendo algunas transformaciones algebraicas se llega a

π1 − π2 ς22 ς22 2ς1 ς 2 ς12 ς12 = + − + − γ 2γ 2γ 2γ 2γ 2γ agrupando se obtiene,

ς12 π1 ς22 π2 (ς1 − ς2 ) 2 + = + + 2γ γ 2γ γ 2γ Comparando esta expresión con la ecuación de la energía (4-6) se concluye que la pérdida de carga en el ensanchamiento brusco es

(ς1 − ς2 ) 2 ηλοχ = 2γ

(4-7)

expresión que se conoce también con el nombre de fórmula de Borda. Aplicándole la ecuación de continuidad se obtiene 2

ηλοχ

2

 Α1  ς12  Α2  ς22  = 1 −  =  − 1 2 Α γ 2    Α1  2 γ

Este resultado teórico está confirmado por los experimentos.

154

(4-8)



Si la superficie

Α2 es mucho mayor que

Α1 como podría ser el caso de entrega de una tubería a un estanque, se tiene que

A1 A2

ς1 = ς ηλοχ = puesto que

ς2 2γ

(4-9)

Α1 / Α2 → 0

Esto significa que toda la energía cinética del flujo se disipa en forma de energía térmica. b)

Ensanchamiento gradual

La pérdida de energía en un ensanchamiento gradual (cónico) ha sido estudiada experimentalmente, entre otros, por Gibson. En una expansión gradual se producen torbellinos y vórtices a lo largo de la superficie de separación, que determinan una pérdida de carga adicional a la que corresponde por fricción con las paredes. Este fenómeno fue descrito en el capítulo III al estudiar la teoría de la capa límite. La pérdida de carga en el ensanche gradual es la suma de la pérdida por rozamiento con las paredes, más la pérdida por formación de torbellinos. En un ensanche gradual hay mayor longitud de expansión que en un ensanche brusco. 1,2

∆2 ∆1

1,0

= 1,5

∆2 0,8

∆1

=3

Κ 0,6

ς1

∗

ς2

0,4

η λοχ = Κ

0,2

(ς1 − ς2 ) 2 2γ

0 0º

20º

40º

60º

100º

80º

120º

140º

160º

180º

∗

Figura 4.4 Gráfico de Gibson (Ensanchamiento gradual)

155



En la Figura 4.4 se muestran gráficamente los resultados experimentales de Gibson. El valor obtenido del gráfico para Κ se reemplaza en la fórmula 4-10

ηλοχ = Κ

(ς1 − ς2 ) 2 2γ

(4-10)

Obteniéndose así la pérdida de carga en un ensanchamiento gradual. Observando el gráfico de Gibson (Figura 4.4) se obtienen las siguientes conclusiones a)

Hay un ángulo óptimo de aproximadamente 8°para el cual la pérdida de carga es mínima.

b)

Para un ángulo de aproximadamente 60°la pérdida de carga en la expansión gradual es mayor que en la brusca.

Con el objeto de disminuir la pérdida de carga en un cambio de sección se puede recurrir a una expansión curva.

∆1

∆2

En algunos casos se usa una expansión mixta o escalonada combinando una expansión gradual y una brusca.

∆1

C.

∆2

Contracción del conducto

La contracción puede ser también brusca o gradual. En general la contracción brusca produce una pérdida de carga menor que el ensanchamiento brusco. La contracción brusca significa que la corriente sufre en primer lugar una aceleración (de 0 a 1) en la Figura 4.5 hasta llegar a una zona de máxima contracción que ocurre en la tubería de

156



menor diámetro. Se produce consecuentemente una zona de separación. Luego se inicia la desaceleración (de 1 a 2) hasta que se restablece el movimiento uniforme. 2

ς1 2γ

η λοχ L. E. L. P.

ς22 2γ

∆2

∆1 0

1

2

Figura 4.5 Contracción brusca

Una contracción significa la transformación de energía de presión en energía de velocidad. La mayor parte de la pérdida de carga se produce entre 1 y 2 (desaceleración). La energía perdida entre 0 y 1 es proporcionalmente muy pequeña. La pérdida de energía entre 1 y 2 se calcula con la expresión 4-8 2

Α  ς2 ηλοχ =  2 − 1 2  Α1  2 γ en la que

Α1 es el área de la sección transversal en la zona de máxima contracción y Α2 es el área de la tubería menor (aguas abajo). ς 2 es la velocidad media en la tubería de menor diámetro (aguas abajo). La ecuación 4-8 puede adoptar la forma siguiente 2

ηλοχ

Siendo

2

 Α  ς2  1  ς2 =  2 − 1 2 =  − 1 2  χχ Α2  2 γ  χχ  2 γ

(4-11)

χχ el coeficiente de contracción cuyos valores han sido determinados

experimentalmente por Weisbach (Tabla 4.2)

157



TABLA 4.2 COEFICIENTES DE WEISBACH PARA CONTRACCIONES BRUSCAS

[∆2 / ∆1 ] 2

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,586 0,624 0,632 0,643 0,659 0,681 0,712 0,755 0,813 0,892

χχ

1 1

2

 1 − 1 = Κ , entonces Si   χχ  2

ηλοχ

Si

ς =Κ 2 2γ

(4-12)

∆2 / ∆1 es cero esto significa que Α2 es mucho menor que Α1 y se interpreta como una

embocadura con bordes agudos ( Κ = 0,5) Para el estrechamiento gradual la pérdida de carga es mínima, pues se reduce o casi elimina la formación de vórtices, dado que el contorno sirve de guía o soporte a las líneas de corrientes. Consideraremos que su valor es cero. Según Idelchik el coeficiente Κ para la pérdida de carga en una contracción brusca se puede calcular con la fórmula semiempírica

1 ∆  Κ = 1 −  2  2   ∆1  

2

   

(4-13)

∆1 es el diámetro de la tubería mayor (aguas arriba) y ∆2 es el diámetro de la tubería menor (aguas abajo). D.

Cambio de dirección

Un cambio de dirección significa una alteración en la distribución de velocidades. Se producen zonas de separación del escurrimiento y de sobrepresión en el lado exterior. El caso más importante es el codo de 90°. La pérdida de carga es

158



ηλοχ = 0,9

ς2 2γ

(4-14)

Para el codo a 45°la pérdida de carga es

ηλοχ = 0,42

ς2 2γ

(4-15)

Para el codo de curvatura fuerte la pérdida de carga es

ηλοχ = 0,75

ς2 2γ

(4-16)

Para el codo de curvatura suave la pérdida de carga es

ηλοχ = 0,6

E.

ς2 2γ

(4-17)

Válvulas y Boquillas

Una válvula produce una pérdida de carga que depende del tipo de válvula y del grado de abertura. Los principales valores de Κ son Válvula globo (completamente abierta) Válvula de compuerta (completamente abierta) Válvula check (completamente abierta)

10 0,19 2,5

Los valores aquí señalados son meramente referenciales pues varían mucho con el diámetro de la tubería y el grado de abertura. En una boquilla la pérdida de carga es

ς 2 1 ηλοχ =  2 − 1 Σ  2γ  χϖ χϖ es el coeficiente de velocidad y ςΣ es la velocidad de salida. ηλοχ es la pérdida de carga en la boquilla.

159



TABLA 4.3 PERDIDAS DE CARGA LOCALES

ENTRADA

Κ

ς22 2γ

( ς : velocidad media de la tubería)

Bordes Agudos

Κ = 0,5

Bordes ligeramente redondeados

Κ = 0,26

Bordes Acampanados

Κ = 0,04

Bordes Entrantes

Κ =1

(ς − ς2 )2 Κ 1

ENSANCHAMIENTO

2γ

2

Α  ς2 = Κ  2 − 1 2  Α1  2γ

( ς1 : velocidad aguas arriba; ς2 : velocidad aguas abajo)

CONTRACCION

Brusco

Κ =1

Gradual

Gráfico de Gibson

     

2

 2  ς 1 ς2 − 1 2 = Κ 2  2γ 2γ χχ 

( ς2 : Velocidad aguas abajo)

Brusca

Tabla de Weisbach

Gradual

Κ =0

CAMBIO DE DIRECCION

ς2 Κ 2γ

( ς : velocidad media)

Codo de 90º

Κ = 0,90

Codo de 45º

Κ = 0,42

Codo de curv. fuerte

Κ = 0,75

Codo de curv. suave

Κ = 0,60

VALVULAS ( ς : velocidad media)

160

Válvulas de globo (totalmente abierta)

Κ = 10,0

Válvula de compuerta (totalmente abierta)

Κ = 0,19

Válvula check (totalmente abierta)

Κ = 2,5



Ejemplo 4.7 Calcular el gasto que escurre en el sistema mostrado en la figura. La tubería es de fierro fundido bastante oxidado. El diámetro es de 10 cm . La temperatura del agua es de 25 °C. La embocadura es con bordes agudos.

2m

5m

Solución. De la ecuación de la energía se obtiene 1m

Λ ς2 ς2 ς2 + Κ1 + Κ2 7= φ ∆ 2γ 2γ 2γ

Por ser la embocadura con bordes agudos, Κ 1 = 0,5 (ec. 4-5), Κ 2 es igual a 1 por corresponder a la entrega de una tubería en un depósito. (ec. 4-9). Sustituyendo

7= φ

ς2 ς2 6 ς2 + 0,5 + 0,1 2 γ 2γ 2γ

Operando, ς2 =

14 γ 60 φ + 1,5

La rugosidad se obtiene de la Tabla 2.1. Luego,

κ = 0,015 ∆ Si suponemos turbulencia plenamente desarrollada, se obtiene en el ábaco de Moody (Figura 4.2) que φ = 0,044

Con este valor de φ , que es todavía tentativo por cuanto no sabemos si efectivamente hay turbulencia plenamente desarrollada, se calcula la velocidad. ς = 5,76 m/s

Verificamos ahora el número de Reynolds. La viscosidad se obtiene de la Figura 1.8a o de la Tabla de propiedades mecánicas del agua. Re = 6,4 × 105

confirmándose así que la turbulencia está plenamente desarrollada. Esto significa, como sabemos, que el valor de φ es función exclusiva de la rugosidad relativa (es independiente del número de Reynolds). Con el valor obtenido para la velocidad calculamos el gasto.

161



Θ = 45 l/s A modo de verificación calculamos cada una de las pérdidas de carga

ς2 2γ

0,85 m

Λ ς2 ∆ 2γ

4,47 m

Embocadura

0 ,5

Continua

φ

Entrega

ς2 2γ

1,69 m

Energía total

7,01 m

Ejemplo 4.8 En el sistema mostrado en la figura, la bomba impulsa gasolina cuyo peso específico relativo es 0,68. La gasolina debe permanecer en el depósito con una carga constante de 1,0 m. En el depósito la presión manométrica es de 1,8 kg/cm2. A la salida de la bomba el diámetro de la tubería es de 3” y luego de una contracción gradual continúa por medio de un codo de curvatura suave de 2” hasta entregar al depósito. El manómetro ubicado inmediatamente después de la bomba indica 2 kg/cm 2 . Calcular el gasto.

0

1m

B 1

Solución. Planteamos la ecuación de la energía entre el punto 1 (ubicado inmediatamente después de la bomba) y el punto 0 (ubicado en la superficie del líquido). La pérdida de carga en la contracción gradual se desprecia.

ς2 π ς12 π1 ς2 ς2 + + ζ1 = 0 + 0 + ζ0 + Κ 2 + 2 ! 2γ ! 2γ 2γ 2γ Por continuidad se tiene que, ς1 2 = 0,1975 ς22

Reemplazando se obtiene

1,402

162

ς2 = 1,94 2γ



Luego, ς2 = 5,2 m/s

Θ = 10,5 l/s

4.4 Sobre la consideración de las pérdidas de carga locales En el ejemplo 4.7 se observa que las pérdidas de carga locales (por embocadura y por entrega) representan el 36 % de la energía total. El 64 % restante corresponde a la pérdida de carga continua. Este es un sistema en el que las pérdidas de carga locales son proporcionalmente muy elevadas. Si la tubería tuviera una longitud bastante mayor, el valor de la pérdida de carga continua crecería. Para una longitud muy grande podría darse el caso que las pérdidas de carga locales sean despreciables. Se dice que una tubería es larga cuando las pérdidas de carga locales pueden despreciarse sin que resulte un error significativo en el resultado de los cálculos. Corresponde a valores grandes de la relación entre la longitud Λ y el diámetro ∆ ( Λ

∆ ).

Se dice que una tubería es corta cuando las pérdidas de carga locales son importantes con respecto a la energía total y por lo tanto no pueden despreciarse en los cálculos. Corresponde a valores pequeños de la relación ( Λ

∆ ).

A fin de examinar con algo de generalidad la importancia relativa de las pérdidas de carga locales consideremos que en la figura del ejemplo 4.7 la longitud de la tubería es Λ , el diámetro ∆ y la energía Η . Entonces,

Η= φ

2 ς2 ς2 Λς + Κ1 + Κ2 2γ 2γ ∆ 2γ

Admitamos que

Κ1 es 0,5, Κ 2 es 1 y φ = 0,024 (son valores escogidos arbitrariamente, pero que se presentan frecuentemente. En este cálculo se usan a fin de poder establecer comparaciones). Reemplazando en la ecuación de la energía se obtiene,

Λ ς  Η = 1,5 + 0,024  ∆  2γ  2

Examinemos varias posibilidades

163



Λ = 100, luego ∆

Η = 3,9

ς12 2γ

Pero si despreciamos las pérdidas de carga locales, entonces

ς22 Η = 2,4 2γ La relación entre las velocidades calculadas, según que se desprecie o no, las pérdidas de carga locales, sería

3,9 = 1,27 2,4 Luego el error en el cálculo de la velocidad sería del 27 %. Evidentemente esto significa que al despreciar las pérdidas de carga locales la velocidad obtenida en los cálculos es 27 % mayor que la que se obtendría de haberlas considerado.

b)

Λ = 1 000 ∆ Siguiendo el mismo procedimiento se encuentra que el error en el cálculo de la velocidad sería del 3 %

c)

Λ = 10 000 ∆ El error en el cálculo de la velocidad sería del 0,3 % Los cálculos anteriores se expresan en el siguiente cuadro.

164

Λ/∆

(con ηλοχ )

(sin η λοχ )

ς2 /ς1

Error

100

1,5 + 2,4

2,4

1,27

27 %

1 000

1,5 + 24

24

1,03

3%

10 000

1,5 + 240

240

1,003

0,3 %



Estos valores son sólo indicativos, pues no corresponden a un caso absolutamente general

Κ1 podría no ser 0,5). Sin embargo, el cuadro precedente ilustra claramente para que orden de valores de Λ ∆ el error es muy pequeño. (por ejemplo,

A continuación examinaremos otro procedimiento para apreciar la importancia relativa de las pérdidas de carga locales. En un sistema cualquiera las pérdidas de carga continuas se expresan en función de la ecuación de Darcy, o su equivalente

0,0827 φ

Θ2 Λ ∆5

(4-18)

Las pérdidas de carga locales usualmente corresponden a

∑Κ

ς2 2g

que equivale a

0,0827 ∑ Κ

Θ2 ∆4

La pérdida total de energía es entonces la suma de ambas

Η = 0,0827 φ

Θ2 Θ2 + Λ Κ 0 , 0827 ∑ ∆5 ∆4

La importancia relativa de cada uno de los dos términos del segundo miembro significa que la tubería sea larga o corta. Transformando,

Λ  + 0,0827 ∑ Κ Η =  0,0827 φ ∆ 

Θ  4 ∆ 2

Según lo expuesto en el capítulo III se tiene que se aceptamos un error del 20 % en la estimación de la rugosidad

κ (lo que es perfectamente posible), esto representará un error

del 4 % en el cálculo del valor del coeficiente φ de Darcy (lo que equivale al 2 % de error en el cálculo de la velocidad). De acá se desprende que la condición límite corresponde a

165



4 % de 0 ,0827 φ

Λ = 0 ,0827 ∑ Κ ∆

0,04 φ

Λ =∑ Κ ∆

Examinemos el mismo sistema anterior (

∑ Κ = 1,5

y φ = 0,024 ). Reemplazando se

obtiene,

Λ = 1 562,5 ∆ Λ ≈ 1 500 ∆ En lo sucesivo se considerará, para fines prácticos, que si

Λ > 1 500 ∆

(4-19)

la tubería es larga y por lo tanto las pérdidas de carga locales son despreciables.

4.5 Pérdidas de carga locales (flujo laminar) Por lo general en el flujo laminar las perdidas de carga locales son muy pequeñas comparadas con las pérdidas de carga continuas. Empecemos por examinar la pérdida de carga en un caso particular que es suceptible de tratamiento analítico. Se trata de la pérdida de carga que ocurre en una expansión brusca (ensanchamiento del conducto). Tal como se mostró en la figura del ensanchamiento brusco, las dos ecuaciones fundamentales para el cálculo son

α1

ς12 π1 ς2 π + = α 2 2 + 2 + ζ 2 + ηλοχ 2γ ! 2γ !

( π1 − π2 ) Α2 = ρ Θ (β 2 ς2 − β1 ς1 ) 166



α es el coeficiente de Coriolis, β es el coeficiente de Boussinesq, ς es la velocidad media, π es la presión, γ el peso específico del fluido, ρ su densidad, Θ el gasto, Α el área de la sección transversal. Los subíndices 1 corresponden al tramo ubicado aguas arriba y los subíndices 2 al tramo ubicado aguas abajo. Para el flujo laminar consideramos

α1 = α 2 = 2 β1 = β 2 = 4 / 3 Haciendo las sustituciones y operando se llega finalmente a la expresión que da la pérdida de carga local

ηλοχ ηλοχ =

(3ς1 − ς2 )(ς1 − ς2 ) 3γ

(4-20)

Esta expresión puede compararse con la obtenida para el flujo turbulento, ec. 4-7. En el caso más general una pérdida de carga local está formada por dos componentes: a) la pérdida de energía por rozamiento con el contorno, b) la pérdida de energía por disipación en la formación de vórtices

ηλοχ = ηροζ + ηϖορτ Para el flujo laminar, (según ecuaciones de Darcy)

ηροζ =

64 Λ ς 2 Re ∆ 2 γ

que para longitud y diámetro constante equivale a

ηροζ =

Α ς2 Re 2 γ

La pérdida de carga por formación de vórtices se considera que es

ηϖορτ = Β

ς2 2γ

167



se tiene que

Κ=

Α +Β Re

(4-21)

Naturalmente que si el flujo es turbulento

→ Β Κ  Α y Β son dos constantes.

4.6 Sistemas hidráulicos equivalentes Se dice que dos sistemas hidráulicos son equivalentes cuando requieran la misma energía para que circule en cada uno de ellos el mismo gasto. Lo que equivale a decir que dos sistemas hidráulicos son equivalentes cuando el mismo gasto produce en ambos la misma pérdida de carga. Así por ejemplo, los dos sistemas mostrados en la figura son equivalentes

Η

Η Θ Θ Siempre que los valores de la energía Η y del gasto Θ sean iguales en ambos sistemas.

Ejemplo 4.9 ¿Cuál es la longitud que debe tener una tubería de 0,10 m de diámetro 0,020 de coeficiente φ de Darcy para ser equivalente a otra tubería de 100 m de largo, del mismo diámetro y rugosidad, en

las que las pérdidas de cargas locales tienen un valor de

∑Κ = 2 ?

Solución. La pérdida de carga debe ser igual en ambos sistemas

φ

168

Λε ς 2 Λ ς2 ς2 = φ +∑Κ ∆ 2γ ∆ 2γ 2γ



φ

Λε ς 2 Λ = φ +2 ∆ 2γ ∆

Reemplazando los valores conocidos se obtiene Λε = 110 m.

Ejemplo 4.10 Determinar el gasto que circula en el sistema mostrado en la figura. El diámetro de la tubería es de 4”. Está hecha de fierro fundido, nuevo. La viscosidad del agua es 1,4x10-6 m2/s. Los bordes de la entrada son ligeramente redondeados. El chorro descarga libremente a la atmósfera. Verificar por el método de la tubería equivalente. 0

Η 2 40 m

5m

1

120 m

75 m

Solución. Aplicando el teorema de Bernoulli entre 0 y 1 y la ecuación de la energía entre 1 y 2 se obtiene

ζ0 − ζ2 =

ς2  Λ   φ + Κ1 + 2 Κ 2 + 1 2γ  ∆ 

Reemplazando los valores conocidos y siguiendo el método general ς = 3,6 m/s

Θ = 0,029 m3/s ≈ 29 l/s

La longitud de tubería equivalente del mismo diámetro y rugosidad es 212,24 m. Luego, 212,24 (3,6 ) = 35,08 m 0,1016 2 γ 2

η φ = 0,0254

Con lo que queda verificado el problema.

169



4.7 Tuberías en serie Se dice que dos o más tuberías, de diferente diámetro y/o rugosidad, están en serie cuando se hallan dispuestas una a continuación de la otra de modo que por ellas escurre el mismo gasto.

L. E.

Η

L. P. 1 2

Θ1 = Θ2

Figura 4.6 Tuberías en serie (dos tramos)

En esta figura se presenta un caso particular de tuberías en serie. Corresponde a un sistema formado por dos tramos que conecta dos estanques. La carga o energía disponible Η debe ser igual a la suma de todas las pérdidas de carga que ocurren en el sistema (continuas y locales). Esta condición se expresa por la ecuación de la energía

Η = φ1

Λ1 ς12 Λ ς2 + φ 2 2 2 + ∑ ηλοχ ∆1 2 γ ∆2 2 γ

(4-22)

Los subíndices 1 corresponden al primer tramo, los subíndices 2 corresponden al segundo tramo. Esta ecuación podría extenderse a cualquier número de tramos. La ecuación de la energía junto con la de continuidad, constituyen las dos ecuaciones fundamentales para resolver un sistema de tuberías en serie.

Θ1 = Θ2 = Θ Para la resolución del sistema mostrado en la figura se presentan dos casos. El primero, que es el más simple, tiene por incógnita la energía Η . Son datos básicos los diámetros, longitudes, rugosidades y el gasto. La solución es inmediata.

170



El segundo caso es más laborioso. La incógnita es el gasto. Los datos son la energía disponible Η , los diámetros, longitudes y rugosidades. Hay varios métodos para resolver este problema. Uno podría ser suponer sucesivamente valores para el gasto y verificar en cada caso si la suma de todas las pérdidas de carga es igual a la energía disponible Η . Con los valores obtenidos se hace un gráfico gasto-energía y se determina para el valor de Η , dato del problema, cual es el valor correspondiente de Θ . Otro método es el siguiente. Por medio de la ecuación de continuidad se expresa la ecuación de la energía en función de una de las dos velocidades ( ς1 ó ς2 ). Conviene luego iniciar los cálculos haciendo la siguiente suposición

φ1 = φ 2 = φ Se debe entonces suponer un valor para φ . Esto puede hacerse, aproximadamente, teniendo en cuenta la Tabla 4.1 y/o las rugosidades relativas y luego obteniendo un valor para φ por observación del Diagrama de Moody, Figura 4.2 (se puede suponer inicialmente que la turbulencia está plenamente desarrollada). Con el valor supuesto para φ se calcula las velocidades y luego los números de Reynolds para cada tramo, y se determina con las rugosidades relativas los valores

φ1 y φ 2 .

Con estos valores obtenidos para el coeficiente de Darcy, se rehace el cálculo hallándose nuevos valores para

ς1 , ς2 , Re , φ1 y φ 2 .

Si estos valores obtenidos para φ son iguales a los dos últimos, esto significa que se ha determinado los verdaderos valores de φ y de las velocidades. Se puede entonces calcular el gasto y cada una de las pérdidas de carga. Siempre se debe verificar la ecuación de la energía. Puede darse también el caso de un sistema en serie que descarga a la atmósfera.

L. E. 1

Η

L. P. 2 3

ςσ Θ1 = Θ2 = Θ3

Figura 4.7 Tuberías en serie (tres tramos)

171



Se mantiene el concepto general. La energía disponible Η es igual a la suma de todas las pérdidas de carga continuas y locales, más la energía de velocidades correspondiente al chorro final. La otra ecuación fundamental es la invariabilidad del gasto.

Θ1 = Θ2 = Θ3 = Θ Si tuviéramos una tubería compuesta por varios tramos de diferente diámetro, el último de los cuales descarga a la atmósfera con una velocidad

ςΣ (velocidad de salida), se demuestra

fácilmente que

ςΣ =

 1+ ∑  ι =1  ν

2γ Η ΑΣ2  φ ι Λι ΑΣ2  + Κ ι Αι2  ∆ι Αι2

(4-23)

el gasto es evidentemente

Θ = ςΣ ΑΣ Ocurre a veces que en un sistema de tuberías en serie los tramos son tan largos que las pérdidas de carga locales resultan insignificantes con respecto a las pérdidas de carga continuas. En este caso se desprecian las pérdidas de carga locales. Ejemplo 4.11 Dos estanques están conectados por una tubería que tiene 6” de diámetro en los primeros 6 m y 9” en los 15 m restantes. La embocadura es con bordes agudos y el cambio de sección es brusco. La diferencia de nivel entre las superficies libres de ambos estanques es de 6 m. La tubería es de fierro fundido, nuevo. La temperatura del agua es de 20 °C. Calcular el gasto. Calcular cada una de las pérdidas de carga. Solución. La ecuación de la energía es Λ ς2 ς2 Λ ς 2 (ς − ς2 ) ς12 + φ1 1 1 + 1 + φ2 2 2 + 2 ∆2 2 γ 2 γ ∆1 2 γ 2γ 2γ 2

6 = 0,5

(1)

De la ecuación de continuidad se obtiene ς1 = 2,25ς2 Reemplazando los valores conocidos,

6 = (5,09 + 199,21 φ1 + 65,62 φ 2 )

172

ς22 2γ

(2)



Por tratarse de una tubería de fierro fundido, que conduce agua podríamos suponer inicialmente φ1 = φ 2 = 0,02 . Se puede tener una idea aproximada de este valor calculando las rugosidades relativas y observando el valor de φ para turbulencia plenamente desarrollada. El objetivo de esta suposición es obtener el orden de magnitud del valor ς2 . Reemplazando se obtiene, ς2 = 3,36 m/s

Lo que significa ς1 = 7,56 m/s

Considerando que para 20 °C, la viscosidad cinemática es 10-6 m2/s. Los números de Reynolds son, Re1 = 1,15x106

Re 2 = 7,7x105

κ = 0,0016 ∆1

κ = 0,0011 ∆2

y las rugosidades relativas,

Para la rugosidad absoluta se ha tomado el valor 0,00025 m, según la Tabla 2.1 o la 4.4. Del diagrama de Moody (Figura 4.2) se obtiene el valor de φ φ1 = 0,022

φ 2 = 0,0205

Estos valores difieren ligeramente del que habíamos supuesto (0,02). Usando estos valores calculamos un nuevo valor para las velocidades en (2) ς1 = 7,42 m/s

ς2 = 3,3 m/s

Luego se calculan los números de Reynolds y los valores de φ . Se obtienen valores iguales a los supuestos. Por lo tanto, Θ = Α1 ς1 = 135 l/s

Verificación de la ecuación de la energía

ηλοχ = 0,5 η φ1 = φ1

ς12 = 1,40 m 2γ

Λ1 ς12 = 2,43 m ∆1 2 γ

173



(ς

− ς2 ) = 0,87 m 2γ

η φ2 = φ 2

Λ2 ς22 = 0,75 m ∆2 2 γ

ηλοχ =

1

2

ς22 = 0,56 2γ

(Energía total: 6,01 m)

Con lo que queda verificada la ecuación (1). Obsérvese que en este caso las tuberías son relativamente cortas. La importancia de las pérdidas de carga locales es grande. Constituyen el 47 % de la energía total.

4.8 Tubería sobre la línea de gradiente. Sifón. Cavitación Siempre que la tubería queda por encima de la línea de gradiente (línea piezométrica) hay presión negativa. L. P.

En la figura se observa un estrechamiento en la tubería. Se produce aumento de la velocidad y por consiguiente debe haber disminución de la presión. Si el estrechamiento es muy grande, como el mostrado en la figura, la línea de gradiente queda por debajo de la tubería y se produce presión negativa.

En la Figura 4.8 se observa una tubería que une dos estanques y que por alguna razón, que podría ser de tipo topográfico, tiene un tramo alto que queda sobre la línea de gradiente. A este sistema hidráulico se le denomina sifón. Η es la carga. La línea de gradiente está representada aproximadamente por la línea recta que une las superficies libres de los estanques (en realidad la línea de gradiente no es recta, pues la tubería no lo es). Todo el tramo de la tubería que está sobre la línea de gradiente tiene presión negativa. En los puntos de intersección entre la línea de gradiente y la tubería la presión es cero. Debe tenerse presente que hablamos de presiones relativas. Por lo tanto “presión cero” significa “presión atmosférica” y “presión negativa” significa “presión menor que la atmosférica”.

174


∆ισε〉ο δε τυβερασ C

ζ π= 0 D

A

π= 0

Η

B

Figura 4.8 Esquema de un sifón

En el tramo de tubería en el que la presión es menor que la atmosférica se libera al aire contenido en el agua y si la velocidad no es suficientemente grande el aire queda retenido en la parte superior de la tubería impidiendo la normal circulación del agua. Si la presión disminuye mucho aparece vapor de agua y el problema se agrava. Por lo tanto un sifón debe diseñarse de modo que la presión esté siempre por encima de la correspondiente a la formación de vapor a la temperatura del agua. Para el cálculo del sifón se aplica la ecuación de la energía entre A y C (Figura 4.8). Considerando en este caso para mayor facilidad de cálculo presiones absolutas, se tiene

0 + 10,33 + 0 =

ς2 π + + ζ + η φ ΑΧ 2γ γ

siendo,

ς : velocidad media en la tubería

175



π : altura correspondiente a la presión absoluta γ :

ζ

ηφ

ΑΧ

sobreelevación del eje de la tubería en su punto más alto, con respecto al nivel de la superficie libre en el reservorio de alimentación : pérdidas de carga entre A y C (continuas y locales según el caso)

El máximo valor de ζ depende del valor que se admite para la presión absoluta en C. A fin de evitar la discontinuidad en el escurrimiento por desprendimiento de vapor, esta presión no debe ser inferior a la de vaporización del fluido a la temperatura de operación del sistema. En C se debe tener un valor de la velocidad que sea lo suficientemente alto como para arrastrar las burbujas de aire. Se debe procurar que en el tramo ascendente de la tubería las pérdidas de carga sean mínimas. Si hubiera que instalar una válvula de control debe hacerse en el tramo descendente. Se denomina cavitación al fenómeno de formación y desaparición rápida de burbujas (cavidades) de vapor en el seno del líquido. Las burbujas se forman en las zonas de reducción de presión. Al ser conducidas a zonas de mayor presión explotan provocando un ruido característico. En un sistema hidráulico debe evitarse la aparición de cavitación por las siguientes razones a)

La cavitación significa una discontinuidad en el escurrimiento y por lo tanto una reducción de la eficiencia de conducción.

b)

La cavitación significa inestabilidad en el escurrimiento y puede dar lugar a ruido o vibraciones.

c)

La ruptura de las burbujas produce tensiones muy fuertes que pueden conducir a la falla estructural de la tubería.

La posibilidad de cavitación se describe por medio de un parámetro adimensional denominado Parámetro de Cavitación

π − πϖ % ς 2/ 2

(4-24)

π es la presión absoluta en el punto considerado, πϖ es la presión absoluta de vaporización del líquido a la temperatura existente, ρ es la densidad del líquido y ς es la velocidad media. Se observa que el Parámetro de Cavitación es una forma del Número de Euler.

176



La presión absoluta de vaporización varía, como es sabido, con la temperatura. Hay curvas y gráficos que expresan la presión absoluta de vaporización en función de la temperatura. Sin embargo debe tenerse en cuenta que el agua contiene impurezas, sales, que obligan a aceptar valores prácticos diferentes. Para temperaturas normales se acepta que la presión absoluta de vaporización del agua es el orden de 0,2 a 0,3 kg/cm2. Ejemplo 4.12 Dos estanques A y B (Figura 4.8) están conectados por una tubería que pasa por un punto C, ubicado por encima de la superficie libre del estanque A. Calcular la máxima elevación que puede tener el punto C de modo que la presión absoluta en el punto C sea el equivalente a 2,4 m de columna de agua (esta condición es impuesta a fin de evitar la cavitación). La longitud total de la tubería es de 1 000 m. La longitud entre A y C es 400 m. La diferencia de nivel entre ambos estanques es 15 m. El diámetro de la tubería es 0,4 m. Considerar que el coeficiente φ de Darcy es 0,04. Calcular además el gasto. Solución. Se aplica la ecuación de la energía entre A y B (despreciando las pérdidas de carga locales por se tubería larga). Se obtiene ς = 1,71 m/s. Luego aplicamos la ecuación de la energía entre A y C

0=

Λ ς2 ς2 π + + ζ + φ ΑΧ ∆ 2γ 2γ γ

Reemplazando, ζ = 1,78 m

La máxima elevación que puede tener la tubería en el punto C es 1,78 m, con respecto a la superficie libre del estanque A. El gasto es Θ = 215 l/s

4.9 Tubería con boquilla convergente final Si al final de una tubería se coloca una boquilla tronco-cónica convergente disminuye el gasto, pero aumenta la potencia del chorro. La pérdida de carga en la boquilla viene dada por

 ςΣ2 1  ηλοχ =  2 − 1 2γ  χϖ

(4-25)

177



χϖ : es el coeficiente de velocidad propia de la boquilla ςΣ : es la velocidad de salida del chorro

L. E.

Η

L. P.

2

ςσ 2γ

Figura 4.9 Tubería con boquilla convergente final

Para el sistema mostrado en la figura la ecuación de la energía es

Η =Κ

ς 2 ς 2 Λ ς2  1 ς2 +φ +  2 − 1 Σ + Σ 2γ ∆ 2 γ  χϖ  2γ 2γ

(4-26)

Esta ecuación se resuelve combinándola con la de continuidad

∆

Ας = ΑΣ ςΣ

∆Σ

Los subíndices corresponden a la salida. La potencia del chorro es

Ποτ = γ Θ

ςΣ2 2γ

(4-27)

Ejemplo 4.13 De un estanque sale una tubería de 1,20 m de diámetro y de 840 m de longitud. La tubería es de fierro forjado y termina en una boquilla que reduce el diámetro a la mitad. La energía disponible es de 40 m. Calcular y comparar la potencia generada por el chorro con boquilla y sin ella. El coeficiente de velocidad en la boquilla es 0,9. La temperatura del agua es 10 °C. La embocadura es ligeramente redondeada ( Κ = 0,2).

178



Solución. Examinemos en primer lugar las condiciones cuando la descarga se produce sin boquilla. 2 ς2 Λ ς2 ς + φ + 2γ ∆ 2γ 2γ

Η=Κ

Reemplazando los valores conocidos ς=

40 × 2 γ 1,2 + 700 φ

La rugosidad relativa es 0,00004. Se obtiene finalmente φ = 0,010 ς = 9,78 m/s

Θ = 11,06 m3/s La potencia del chorro es

Ποτ = ! Θ

ς2 = 1 000 2γ

× 11,06 ×

9 ,782 = 53 973,02 kg - m/s 2γ

Ποτ = 710 HP

Si la descarga se produce con boquilla, entonces

Η=Κ

ς 2 ς 2 ς2 Λ ς2  1 + φ +  2 − 1 Σ + Σ 2γ ∆ 2 γ  χϖ  2γ 2γ

Por la ecuación de continuidad ςΣ = 4ς

Reemplazando los valores conocidos se obtiene

ς=

40 × 2 γ 19,88 + 700 φ

encontrándose finalmente φ = 0,011 ς = 5,33 m/s

179


Αρτυρο Ροχηα ςΣ = 21,32 m/s

Θ = 6,03 m3/s Ποτ = 1 840 HP

Concluimos así que al colocar la boquilla la potencia del chorro es 2,59 veces mayor, pero el gasto se reduce al 54,5 %

4.10 Máquinas hidráulicas. Suministro por bombeo Las máquinas hidráulicas son de dos tipos: bombas y turbinas. Las bombas aportan energía. Las turbinas absorben, toman, energía. Las bombas están accionadas por un motor. Las turbinas están accionadas por la fuerza de la corriente líquida. La presencia de una bomba significa una elevación de la línea de energía. El aumento ∆Ε en la energía de

L. E.

+Ε

la corriente depende del gasto, del peso específico del fluido y de la potencia

Ε2

∆Ε =

Ε1 Tubería B

Ποτ γΘ

(4-28)

( Ε1 es la energía inmediatamente antes de la bomba y energía después).

Figura 4.10 Presencia de una bomba

Ε2 es la

inmediatamente

Para el caso de una turbina cambia el signo de la expresión anterior. Vale decir que en una turbina se usa la energía de la corriente para producir potencia. Se aprovecha la energía de elevación para obtener energía mecánica. Si de un estanque sale una tubería que descarga por medio de un chorro libre, este chorro tiene una potencia que es aprovechable. La potencia es un trabajo por unidad de tiempo. La altura de velocidad del chorro, obtenida a partir de su velocidad de salida ςΣ , es un trabajo por unidad de peso del fluido. Luego la potencia del chorro, tal como lo vimos en el apartado anterior, es igual al producto del gasto por el peso específico del fluido y por la altura de velocidad.

Ποτ = γ Θ 180

ςΣ2 2γ



Se llama rendimiento de una bomba a la relación entre la energía útil aportada a la corriente y la energía que acciona la bomba. La eficiencia de una turbina es la relación entre la energía útil que se obtiene y la energía tomada de la corriente.

Esquema genérico de un suministro por bombeo En la Figura 4.11 se presenta esquemáticamente el caso más general de un suministro por bombeo de M a N. B representa una bomba. En M el líquido está confinado y sometido a una presión π0 . El tramo 0-1 (M-B) se denomina de aspiración (succión). El tramo 2-3 (B-N) se denomina de impulsión. Las alturas correspondientes se llaman de succión y de impulsión. En la Figura 4.11 el líquido descarga por medio de un pitón (boquilla) en un recipiente N, que está a presión.

π3 3

Ηι 1

N

2 B

π0 ΗΣ 0

M

Figura 4.11 Esquema genérico de un suministro por bombeo

Si aplicamos la ecuación de la energía a la tubería de succión entre 0 y 1 se obtiene

π0 ς12 π1 = α1 + + Η Σ + ∑ ηφ 0 −1 2γ γ γ 181



El último término representa la suma de las pérdidas de carga (continuas y locales, según el caso) entre 0 y 1. La presión

π1 debe ser lo suficientemente grande como para que no se

produzca cavitación en la bomba. De modo similar se aplica la ecuación de la energía a la tubería de impulsión entre 2 y 3. Obsérvese que el diámetro de ambas tuberías, succión e impulsión, no es necesariamente igual (ver ejemplo 4.14).

π2 ς2 ς2 π + α 2 2 = α3 3 + 3 + Η ι + ∑ ηφ 2−3 γ 2γ 2γ γ La energía suministrada por la bomba debe ser

(Ε2 − Ε1 )

π ς2   π ς2  ∆Ε = Η βοµβα =  2 + α 2 2  −  1 + α1 1  2γ   γ 2γ  γ o bien,

∆Ε = Η ι +

π  π3 ς2 + α 3 3 + ∑ η φ −  0 − Η Σ − ∑ η φ  2−3 0 −1 γ 2γ γ 

∆Ε = Η Σ + Η ι +

π3 − π0 ς2 + α3 3 + ∑ ηφ 0−3 γ 2γ

Si los recipientes M y N estuvieran en contacto con la atmósfera

(4-29)

( π0 = π3 = 0)

La ecuación anterior se reduce a

∆Ε = Η Σ + Η ι + α 3

ς32 + ∑ ηφ 0−3 2γ

(4-30)

Esta expresión representa la energía que debe suministrar la bomba. Evidentemente que ∆Ε es la energía necesaria para establecer el flujo. La potencia teórica de la bomba en HP debe ser

Ποτ =

182

γ Θ ∆Ε (HP) 76

(4-31)



Si introducimos el coeficiente η de eficiencia de la bomba entonces la potencia real es

Ποτ =

γ Θ ∆Ε η 76

(4-32)

Ejemplo 4.14 De acuerdo a la figura ¿qué potencia debe tener la bomba para elevar 70 l/s?. Las tuberías son de fierro fundido, nuevas. El fluido es agua con una viscosidad de 1,4x10-6 m2/s. No considerar pérdidas de carga locales. La eficiencia de la bomba es 0,8. Hallar la presión a la entrada y salida de la bomba. 33,0 m

3,0 m

∆ = 6" Λ = 600 m

0m B

∆ = 8" Λ = 300 m

Solución. En primer lugar calculamos las velocidades en cada una de las tuberías, designándolas por el subíndice que corresponde al diámetro. ς8 = 2,16 m/s

ς6 = 3,84 m/s

y luego los números de Reynolds respectivos Re 8 = 3,14x105

Re 6 = 4,18x105

Las rugosidades relativas son 0,0012

0,0016

En el diagrama de Moody se encuentran los valores del coeficiente φ de Darcy. φ 8 = 0,021

φ 6 = 0,023

Se puede entonces calcular la pérdida de carga en cada tramo

183



η φ8 = 7,38 m

η φ6 = 68,12 m

La energía que debe suministrar la bomba es (ec. 4-30)

Ε = 30 + η φ8 + η φ6 +

ς62 = 106,25 m 2γ

(no se ha considerado pérdidas de carga locales). La potencia teórica es (Η = ∆Ε )

Ποτ =

γ ΘΗ = 97,86 HP 76

La potencia efectiva es 122,3 HP La presión a la entrada de la bomba ( π Ε ) se obtiene aplicando la ecuación de la energía

ς02 π0 ς2 π + + ζ 0 = 8 + Ε + ζ Ε + η φ8 2γ γ 2γ γ Reemplazando, 0 + 0 + 3 = 0,24 +

πΕ + 0 + 7,38 γ

Se llega finalmente a πΕ = - 4,62 m γ

(- 0,46 kg/cm2)

La presión a la salida de la bomba ( π Σ ) es

ς82 πΕ ς62 πΣ + = + − ∆Ε 2γ γ 2γ γ

0,24 - 4,62 = 0,75 +

πΣ - 106,25 γ

πΣ = 101,12 m (10,11 kg/cm2) γ

Obsérvese que en el tramo de succión (8”) el diámetro es mayor que en el de impulsión (6”). De esta manera se evita presiones negativas excesivas a la entrada de la bomba.

184


∆ισε〉ο δε τυβερασ TABLA 4.4 VALORES DE LA RUGOSIDAD ABSOLUTA

κ

κ (m)


-6


1,5 x 10

Fierro forjado

4,5 x 10

-5

-5

Acero rolado nuevo Acero laminado, nuevo

5 x 10 -5

-4

4 x 10

– 10 -4


2,5 x 10

Fierro galvanizado

1,5 x 10


1,2 x 10

Fierro fundido oxidado Acero remachado

-4 -4

-3

-3

1 x 10

– 1,5 x 10

-4

-3

0,9 x 10

– 0,9 x 10 -5


2,5 x 10

Concreto centrifugado nuevo

1,6 x 10

-4

-5


10

-5

Concreto liso

2,5 x 10 -4


2 x 10


10

-3

-3

– 3 x 10 -2


-4

– 3 x 10 10

-4

1,8x10

-4

– 9 x 10

Los valores anteriores se refieren a conductos nuevos o usados, según el caso. Por su propia naturaleza son valores aproximados. Su determinación se ha hecho por métodos indirectos. En el caso de tuberías es importante la influencia de las uniones o empalmes. En el concreto el acabado puede ser de naturaleza muy variada y a veces ocurren valores mayores o menores a los presentados en esta tabla. La variación de estos valores con el tiempo puede ser muy grande. (Esta tabla es igual a la Tabla 2.1).

185



PROBLEMAS PROPUESTOS (Capítulo IV)

1.

Calcular el diámetro que debe tener una tubería de acero rolado para conducir 1 500 l/s, de aceite cuya viscosidad es 1 poise (peso específico 910 kg/m3). El acero es nuevo. La pérdida de carga por fricción es de 1 m por cada 100 m de tubería

2.

En el tanque mostrado en la figura hay un líquido cuyo peso específico es de 900 kg/m3. Está sometido a una presión de 0,12 kg/cm2.

π

Descarga por medio de la tubería mostrada, que tiene 4 cm de diámetro y es muy lisa, de cobre. Determinar la viscosidad del líquido sabiendo que el

Η

gasto es de 4 l/s. La embocadura es perfectamente redondeada, por lo que puede despreciarse la pérdida de carga local. La carga Η es 0,90 m y la

Λ

longitud Λ es 8 m. 3.

0

El sistema mostrado en la figura

1

descarga agua a la atmósfera. Calcular el gasto. La embocadura es 100 m

80 m

con bordes agudos. La tubería de 6 cm de diámetro es de fierro fundido

2

nuevo. La temperatura del agua es de 20 °C.

4.

Calcular el gasto en el problema 3 si se coloca en la tubería una válvula de globo completamente abierta.

5.

Calcular cual debe ser el valor de la carga Η en el sistema mostrado en la figura para que el gasto sea de 10 l/s. La tubería es de fierro forjado, de 3” de diámetro. La longitud total es de 75 m. La viscosidad del aceite es 0,1 poise y su peso específico relativo es 0,9. La entrada es con bordes agudos. El codo es a 90°. Calcular cada una de las pérdidas de carga.

186



Η

6.

( κ = 4,5 x 10-5 m)

Se tiene una tubería de fierro fundido, asfaltado, de 6” de diámetro y 80 m de largo. La tubería arranca de un estanque cuya superficie libre está 5 m por encima del punto de descarga de la tubería. A lo largo de la tubería hay dos codos standard de 90° y una válvula de globo completamente abierta. La embocadura es con bordes agudos. Calcular el gasto. Considérese que la viscosidad cinemática del agua es 10-6 m2/s.

7.

La pérdida de presión ∆π debida a una válvula, codo o cualquier otra obstrucción en una tubería depende de la forma de la obstrucción, del diámetro ∆ de la tubería, de la velocidad media

ς del escurrimiento, de la densidad ρ del fluido y de su viscosidad dinámica µ .

Determinar la forma más general de una ecuación, dimensionalmente homogénea para obtener

∆π . ¿Qué forma particular tomaría esta ecuación cuando la viscosidad es despreciable?. 8.

En el tanque mostrado en la figura del problema 2, hay un líquido cuyo peso específico es de 750 kg/m3. Está sometido a una presión de 0,04 kg/cm2. Descarga por medio de la tubería mostrada que tiene 4 cm de diámetro y es muy lisa, de cobre. Determinar la viscosidad del líquido sabiendo que el gasto es de 1 l/s. La embocadura es perfectamente redondeada, por lo que puede despreciarse la pérdida de carga local. La carga Η es 0,30 m y la longitud Λ es 20 m.

9.

Se tiene una tubería de fierro fundido de 6” de diámetro y 80 m de largo. La tubería arranca de un estanque que tiene 5 m de carga con respecto al punto de desague. A lo largo de la tubería hay 2 codos standard de 90° y una válvula ( Κ = 10). La embocadura es con bordes agudos. Calcular el gasto ( Τ = 20 °C).

10. Dos estanques cuya diferencia de nivel es de 25 m están unidos por una tubería de 6” de diámetro y 1 550 m de longitud (asbesto - cemento, nuevo). La viscosidad del agua es 10-6 m2/s. Calcular el gasto. 11. ¿Cuál es la diferencia de nivel que debería existir entre los dos estanques del problema anterior para que el gasto sea de 50 l/s?.

187



12. Dos estanques están conectados por una tubería de 12” de diámetro y 915 m de largo. La diferencia de nivel entre ambos estanques es de 24,5 m. A una distancia de 300 m del primer estanque se ha colocado en la tubería una válvula de 3” que descarga libremente a la atmósfera. Esta válvula está 15 m debajo del nivel del estanque. Para los efectos de este problema se puede considerar a la válvula como un orificio circular de coeficiente de descarga igual a 0,95. Considerando que el coeficiente φ de fricción es constante e igual a 0,032. Calcular el gasto: a) cuando la válvula está cerrada, b) cuando la válvula está abierta. 13. Dos reservorios están conectados por una tubería de fierro galvanizado que tiene 6” en los primeros 15 m y 8” de diámetro en los siguientes 25,1 m. La embocadura es con bordes ligeramente redondeados y el cambio de sección es brusco. Calcular cual debe ser la diferencia de nivel entre las superficies libres de ambos reservorios para que el gasto sea de 123,5 l/s. Dibujar la línea de energía y la línea de gradiente hidráulica, calculando previamente cada una de las pérdidas de carga. La viscosidad cinemática del agua es 1,3x10-6 m2/s. 14. Dos estanques tienen una diferencia de nivel de 34,7 m. El primer tramo de la tubería que los une tiene 3” de diámetro y 100 m de longitud. Calcular que longitud debe tener el segundo tramo, cuyo diámetro es de 2”, para que el gasto sea 8 l/s. La embocadura es acampanada ( Κ = 0,04). La transición es gradual. La temperatura es de 20 °C. La tubería es de fierro forjado. 15. Dos estanques están unidos por una tubería de fierro galvanizado que tiene 6” de diámetro en los primeros 15 m y 8” de diámetro en los siguientes 20 m. La embocadura es con bordes ligeramente redondeados y el cambio de sección es brusco. La diferencia de nivel entre las superficies libres de ambos estanques es de 8 m. La viscosidad del agua es de 1,3x10-6 m2/s. Calcular el gasto y cada una de las pérdidas de carga. Dibujar la línea de gradiente hidráulica. 16. Dos estanques están conectados por una tubería cuyo diámetro es de 6” en los primeros 20 pies y de 9” en los otros 50 pies. La embocadura es con bordes agudos. El cambio de sección es brusco. La diferencia de nivel entre las superficies libres de ambos estanques es de 20 pies. Calcular cada una de las pérdidas de carga y el gasto. Considerar φ = 0,04 en ambas tuberías. 17. Dos reservorios cuya diferencia de nivel es de 6 m están unidos por una tubería de acero remachado nuevo, que tiene un primer tramo de 80 m de largo y 6” de diámetro. El segundo tramo, unido al primero por una expansión gradual (10°) tiene 120 m de largo y 8” de diámetro. La embocadura es con bordes ligeramente redondeados. En el segundo tramo se ha colocado una válvula. Calcular para que valor de Κ , de la válvula, el gasto queda reducido al 90 % (del que existiría en ausencia de la válvula). La temperatura del agua es de 15 °C.

188



18. Dos estanques están conectados por una tubería que tiene 6” de diámetro en los primeros 25 m y 8” en los 40 m restantes. La embocadura es perfectamente redondeada. El cambio de sección es brusco. La diferencia de nivel entre ambos estanques es de 20 m. Las tuberías son de fierro fundido, nuevo. La temperatura del agua es de 20 °C. Calcular el gasto, y cada una de las pérdidas de carga. Dibujar la línea de energía y la línea piezométrica. 19. Dos estanques estan conectados por una tubería que tiene 8” de diámetro en los primeros 20 m y 6” en los 30 m restantes. La embocadura es ligeramente redondeada. El cambio de sección es brusco. La diferencia de nivel entre ambos estanques es de 15 m. La tubería es de fierro fundido. La temperatura del agua es de 20 °C. Calcular el gasto. Dibujar la línea de energía y la línea piezométrica. 20. De un estanque sale una tubería de 2 400 m de largo y 18” de diámetro. Descarga libremente a la atmósfera 350 l/s. La carga es de 40 m. Calcular el coeficiente φ de Darcy. Si a la tubería se le adiciona una boquilla tronco cónica convergente, en la que suponemos que la pérdida de carga es despreciable, determinar cual debe ser el diámetro de la boquilla para que la potencia del chorro sea máxima. Calcular la potencia. 21. Calcular el gasto para el sifón mostrado en la figura. El diámetro de la tubería es 0,20 m, su rugosidad es de 1,5x10-4 m, la viscosidad es de 10-6 m2/s.

8,0 m

∆

4,0 m

3,0 m 7,0 m 3,0 m

10°

1,5 ∆

189



22. En el sistema mostrado en la figura circulan 60 l/s. La bomba tiene una potencia de 10 HP. La eficiencia de la bomba es 0,85. La presión manométrica inmediatamente antes de la bomba es de 0,06 kg/cm2. Determinar cual es la energía disponible inmediatamente después de la bomba. El agua está a 20 °C. Dibujar la línea de energía y la línea piezométrica. Calcular la longitud de cada uno de los tramos. 22,0 m

10,0 m

B ∆ = 4"

∆ = 4"


23. Calcular la potencia que debe tener la bomba, cuya eficiencia es del 80 % para bombear 15 l/s. La succión se efectúa por medio de la válvula de pie mostrada en la figura ( Κ = 0,8). Hay una válvula check ( Κ = 2) y una válvula de compuerta ( Κ = 17). El codo es de curvatura suave. La tubería es de 4” de diámetro. Es de fierro galvanizado. La viscosidad del agua es 10-6 m2/s. 250 m 90,0 m

50 m

11,5 m B 10,0 m 1,5 m

190



24. Si no existiera la bomba circularían 150 l/s en el sistema mostrado en la figura. Calcular la potencia teórica requerida en HP de la bomba para mantener el mismo gasto, pero en dirección contraria.

12 m

∆ = 12" Λ = 600 m B

∆ = 12" Λ = 300 m

25. Una tubería conduce 200 litros por minuto de aceite. La longitud es de 2 km y el diámetro de 0,18 m. El peso específico relativo del aceite es 0,9 y su viscosidad 4x10-3 kg-s/m2. Si la potencia se mantiene constante se pregunta cual es la variación en el caudal.

191

Χαπτυλο ς

∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ

CAPITULO

ς

DISEÑO DE CONDUCCIONES Y REDES

5.1 Tuberías en paralelo Sea una tubería AD como la mostrada en la Figura 5.1. En el punto B esta tubería se ramifica. Se produce una bifurcación, dando lugar a los ramales BMC y BNC, los que concurren en el punto C. La tubería continúa a lo largo de CD.

M

A

B

C

D

N Figura 5.1 Sistema de tuberías en paralelo

Se dice que las tuberías BMC y BNC están en paralelo. Ambas tienen en su origen (B) la misma energía. Lo mismo ocurre con su extremo (C) en el que ambas tienen la misma energía. Se cumple entonces el siguiente principio Energía disponible para BMC = Energía disponible para BNC La diferencia de energía entre B y C es la energía disponible. La energía disponible determina, de acuerdo a la naturaleza del contorno y del fluido, las características del escurrimiento. La

193



energía disponible se transforma en energía de velocidad, de presión y elevación. En un conducto horizontal muy largo con velocidad relativamente pequeña se puede considerar que la energía disponible da lugar íntegramente a la pérdida de carga continua. Nótese que la ramificación puede ser en la forma de dos o más tuberías, cada una de las cuales tiene su propio diámetro, longitud y rugosidad. A modo de ilustración se ha efectuado el trazo de la línea de gradiente hidráulica (L. P.) para el sistema mostrado en la Figura 5.2

ηφ

L. P. B -C

A

B

C

D

Figura 5.2 Línea piezométrica en un sistema en paralelo

Como las tuberías en paralelo se caracterizan por tener la misma energía disponible se producirá en cada una de ellas la misma pérdida de carga. Sea una representación esquemática de varias tuberías en paralelo

1 2 3 A

B

C

4

D

5

Figura 5.3 Varias tuberías en paralelo

Se cumplirá que

ηφ = ηφ = ηφ = ηφ = ηφ = ηφ 1

194

2

3

4

5

ΒΧ

(5-1)



η φ representa la pérdida de carga en cada uno de los tramos. La suma de los gastos parciales de cada una de las tuberías es igual al gasto total Θ de la tubería AB (y de la tubería CD).

Θ = Θ1 + Θ2 + Θ3 + Θ4 + Θ5

(5-2)

La ecuación de continuidad debe verificarse para el nudo B y para el nudo C. Para el cálculo de tuberías en paralelo se presentan básicamente dos casos. En ambos suponemos conocidas las características de las tuberías, diámetro, longitud y rugosidad, así como las propiedades del fluido. 1.

Se conoce la energía disponible η φ entre B y C y se trata de calcular el gasto en cada ramal.

2.

Se conoce el gasto total Θ y se trata de determinar su distribución y la pérdida de carga.

El primero corresponde al caso general de cálculo de tuberías. Se puede proceder, por ejemplo, con la ecuación de Darcy o con cualquier otra, al cálculo del gasto en cada ramal. Se recomienda el siguiente procedimiento Combinando las ecuaciones de Darcy y continuidad ( Θ = ςΑ ) se obtiene

φΛ 2 Θ ∆5

(5-3)

∆ 5 12 ηφ Θ = 3,477 φΛ

(5-4)

η φ = 0,0827 expresión en la que,

η φ : pérdida de carga en el tramo considerado φ : coeficiente de Darcy Λ : longitud del tramo considerado ∆ : diámetro de la tubería Θ : gasto de la que obtenemos inmediatamente

Para una tubería dada los valores del diámetro y la longitud son constantes. En muchos casos se puede considerar que φ también es constante, por lo menos para un determinado

195



rango de velocidades. Luego, 1

Θ = Κ η φ2

(5-5)

A esta ecuación la denominaremos “ecuación de descarga de la tubería”. En ella

∆5 φΛ

Κ = 3,477

(5-6)

si usamos la ecuación de Darcy. Aplicando la ecuación de descarga 5-5 a cada ramal se obtiene el gasto respectivo. La ecuación 5-5 es un caso particular de una ecuación general que toma la forma

Θ = Κη ξφ

(5-7)

en donde los valores de Κ y de

ξ dependen de la ecuación utilizada. Podrían fácilmente obtenerse los valores de Κ y de ξ para la ecuación de Chezy, ya estudiada. Posteriormente

se obtendrán, por ejemplo, para la ecuación de Hazen y Williams. Para el segundo caso se empieza por aplicar la ecuación de descarga a ambos ramales y se obtiene así la relación entre

Θ1 y Θ2 . Combinando con la ecuación de continuidad se obtiene

un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Se halla así los gastos parciales. Otro método consiste en plantear las ecuaciones de descarga para cada ramal y luego sumarlas

∑Κ η ι

ξ φ

=Θ

(5-8)

Esta ecuación permite la resolución inmediata del sistema, pues η φ o Θ es un dato. Hay un sistema de conducción que se caracteriza porque se produce una ramificación, pero los ramales no concurren en un punto. Este sistema puede tener un caso particular: que en las bocas de descarga de los ramales la energía sea la misma. Este sistema se considera como un sistema de tubería en paralelo.

Ε1 Ε2 A

B

Ε 1 = Ε2 = Ε3

Figura 5.4 Tubería ramificada

196

Ε3



Ejemplo 5.1 Para un sistema de dos tuberías en paralelo se dispone de los siguientes datos Λ1 = 1 000 m

Λ2 = 750 m

∆1 = 16’’

∆2 = 12’’

φ1 = 0,018

φ 2 = 0,018

El gasto total es de 100 l/s. Calcular el gasto en cada una de las tuberías. Solución. Por ser tuberías en paralelo la pérdida de carga debe ser la misma en ambas. Aplicamos la ecuación 5-3

0,0827

φ1 Λ1 2 φ Λ Θ1 = 0,0827 2 5 2 Θ22 5 ∆1 ∆2

de donde, 5

Θ12 Λ2  ∆1 =  Θ22 Λ1  ∆2

 750  16   =   = 3,16  1000  12  5

Se llega así a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas Θ1 = 1,78Θ2

Θ1 + Θ2 = 0,1

Obteniéndose finalmente Θ2 = 36 l/s

Θ1 = 64 l/s

El método alternativo de solución consiste en aplicar a cada ramal la ecuación de descarga 5-4

Θ = 3,477

∆ 5 12 ηφ φΛ

obteniéndose 1 2

Θ1 = 0,0863 η φ

1 2

Θ2 = 0,0485 η φ

sumando 1 2

Θ = 0,1348 η φ

que es la ecuación de descarga del sistema. Para Θ = 0,1 m3/s se obtiene η φ = 0,55 m. Al reemplazar este valor en cada una de las dos ecuaciones se obtiene el gasto en cada ramal. El método es extensible a cualquier número de ramales. 197



Ejemplo 5.2 Para un sistema de dos tuberías en paralelo se dispone de los siguientes datos Λ1 = 100 m

Λ2 = 156 m

∆1 = 14’’

∆2 = 12’’

φ1 = 0,018

Χ2 = 80 m1/2/s

Si con la energía disponible el gasto total es de 1 m3/s, calcular el gasto en cada ramal, teniendo en cuenta que en el ramal 1 hay una válvula ( Κ = 2,5). Solución. En primer lugar aplicamos la ecuación 3-2

φ2 =

8γ = 0,0122 Χ2

Por ser tuberías en paralelo la pérdida de carga debe ser la misma en cada ramal

φ1

Λ ς2 Λ1 ς12 ς2 + 2,5 1 = φ 2 2 2 ∆2 2 γ ∆1 2 γ 2γ

Reemplazando valores y operando se obtiene ς2 = 1,1ς1

Por continuidad,

π ∆12 π ∆22 ς1 + ς2 = 1 4 4 Se obtiene así ς1 = 5,57 m/s Θ1 = 553 l/s

ς2 = 6,13 m/s Θ2 = 447 l/s

A modo de verificación se calcula la pérdida de carga en cada tramo obteniéndose η φ = 11,97 m, que es la energía disponible. En este problema también se pueden aplicar los métodos alternativos de solución descritos anteriormente.

198



5.2 El problema de los tres reservorios En la Figura 5.5 se muestran tres estanques ubicados a diferentes niveles y que están comunicados entre sí por un sistema de tuberías que concurren en un punto P.

ζ1 ζ2 1

ζP

1 P

2

2

ζ3 3 3

Figura 5.5 Tres reservorios

Los valores de ζ corresponden a las cotas piezométricas. En los estanques corresponden a la elevación de la superficie libre. Para el nudo P,

ζ Π representa la suma de la elevación

topográfica del punto P más la altura correspondiente a la presión. Usualmente los datos son: diámetros, longitudes y rugosidades de cada ramal y cotas piezométricas (elevaciones de la superficie libre) de cada estanque. Se busca el gasto en cada ramal y la cota piezométrica del punto P. Para determinados problemas pueden presentarse combinaciones entre los datos e incógnitas mencionados. El sentido del escurrimiento en cada tubería dependerá de la diferencia entre la cota piezométrica del nudo P y la del estanque respectivo. Evidentemente que la cota piezométrica del punto P no puede ser superior a la de los tres reservorios, pues en este caso el punto P debería comportarse como un punto alimentador del sistema. Tampoco puede ser que el punto P tenga una cota inferior a la de los tres estanques, pues entonces todo el caudal concurriría allí lo que implicaría que P fuese un punto de desagüe. La cota del punto P determinará el sentido del escurrimiento en cada ramal. La discusión anterior excluye el caso de un sifón. Así por ejemplo si la cota de P está por encima de los estanques 1 y 2, pero debajo del estanque 3, los sentidos del escurrimiento serán los mostrados en la Figura 5.6.

199



ζP ζ3 Θ3

P

Θ1 ζ1

Θ2 ζ2

ζP ζP ζP

ζ1 ζ2 ζ3

Figura 5.6 Tres reservorios (caso particular)

En este caso particular la ecuación de continuidad es

Θ1 + Θ2 = Θ3 Esto significa que el estanque 3 es alimentador. Podrían hacerse dibujos análogos para otras combinaciones de cotas piezométricas. Debe verificarse siempre la ecuación de continuidad en el nudo: la suma de los gastos en el nudo, con su propio signo, es cero. Para resolver el problema de los tres reservorios, conociendo los diámetros, longitudes y rugosidades de cada tubería, así como las cotas piezométricas de cada estanque, se sugiere el método siguiente 1.

Suponer un valor para la cota piezométrica del punto P.

2.

Calcular, por simple diferencia, las energías disponibles en cada tramo. Corresponden a las pérdidas de cada η φ 1 , η φ 2 y η φ 3 . Determinar luego el sentido del flujo en cada ramal y plantear tentativamente la ecuación de continuidad.

3.

Calcular el gasto en cada tubería por medio de la ecuación 5-4

∆5 12 ηφ Θ = 3,477 φΛ

200



Esta ecuación toma para cada tubería la forma 1

Θ = Κ η φ2 Si en lugar de la ecuación de Darcy se quiere usar otra ecuación, como, por ejemplo, la de Hazen y Williams que estudiaremos más adelante, entonces la ecuación genérica es de la forma

Θ = Κη ξφ determinándose los valores de Κ y de

ξ para la ecuación particular que se está

empleando. Calculado el valor de Κ es fácil hacer sucesivos reemplazos y tanteos. 4.

Verificar la ecuación de continuidad en el nudo.

5.

Si la ecuación no quedara verificada, lo que es lo más probable, hay que hacer nuevos tanteos, reiniciando el cálculo a partir del punto 1.

6.

A fin de no aumentar el número de tanteos conviene auxiliarse con un gráfico. Así por ejemplo, para la última figura se tiene que la ecuación de continuidad debe ser

Θ1 + Θ2 = Θ3 Como en un tanteo cualquiera lo más probable es que esta ecuación no se verifique, se tiene que hay un error, que es

Θ3 − (Θ1 + Θ2 ) El gráfico sería

ζP

-

0

+

Θ 3 - ( Θ1 + Θ 2 ) 201



Cada punto corresponde a un tanteo. Los puntos se unen con una curva suave. La intersección con el eje vertical significa que

Θ3 − (Θ1 + Θ2 ) = 0 con lo que queda verificada la ecuación de continuidad y se obtiene los gastos en cada ramal. Para hacer este gráfico es necesario definir previamente el sentido del escurrimiento en cada ramal y escribir la ecuación de continuidad en su forma correspondiente. Se puede obtener una rápida información sobre el sentido del flujo en el ramal 2 asumiendo en P una cota piezométrica igual a la del estanque 2. Esto implica

Θ2 = 0. Comparando Θ1 y

Θ3 se deduce el sentido del escurrimiento en cada tubería. Una variante de este problema es el de los cuatro reservorios. 1

2 3 4 2

1

3

P1

4

P2

Figura 5.7 Cuatro reservorios

El método general se basa en aproximaciones sucesivas. Debe tenerse cuidado de hacer una sola suposición cada vez. Se puede, por ejemplo, iniciar el cálculo suponiendo una cota piezométrica en el nudo P1. Esto determina el flujo en los ramales 1 y 2. Habrá luego que calcular la cota piezométrica en P2. Evidentemente que el flujo entre P1 y P2 es igual a

Θ1 + Θ2 . La pérdida de carga se calcula por ejemplo con la ecuación 5-3 η φ = 0,0827

φΛ 2 Θ ∆5

u otra similar si no se estuviera empleando la ecuación de Darcy. 202



La forma genérica de esta ecuación es

η φ = ΚΘ ξ en donde los valores de Κ y

ξ dependen de la ecuación particular empleada (Chezy, Darcy, Hazen y Williams, etc.). Para el cálculo de Κ se ha supuesto que el coeficiente de resistencia ( Χ , φ , ΧΗ , etc.) es constante. Conviene limitar esta constancia del coeficiente a un rango de valores de la velocidad. Habiendo calculado la cota piezométrica de P2 se calcula los gastos

Θ3 y Θ4 y se verifica

luego la ecuación de continuidad. Caso que ésta no quede satisfecha deberá repetirse el procedimiento y recurrir a un gráfico. Ejemplo 5.3 Sea un sistema de tres reservorios. Los datos son ζ1 = 120 m

ζ 2 = 100 m

ζ 3 = 80 m

Λ1 =1 000 m

Λ2 = 2 000 m

Λ3 = 1 200 m

∆1 = 8’’

∆2 = 10’’

∆3 = 6’’

φ1 = 0,02

φ 2 = 0,018

φ 3 = 0,015

Calcular el gasto en cada uno de los ramales. Solución. A partir de la ecuación

Θ = 3,477

∆ 5 12 ηφ φΛ

determinamos la ecuación de descarga de cada tubería 1

1

1

Θ1 = 0,0145 η φ21

Θ2 = 0,0188 η φ22

Θ3 = 0,0074 η φ23

Iniciamos el cálculo suponiendo para el nudo P la cota 110 m ζ π = 110 m

η φ1 = 10 m;

Θ1 = 45,9 l/s

η φ2 = 10 m;

Θ2 = 59,5 l/s

η φ3 = 30 m;

Θ3 = 40,5 l/s

Θ1 − (Θ2 + Θ3 ) = - 54,1 l/s

203



Como la ecuación de continuidad no ha quedado verificada se hace un nuevo tanteo ζ π = 105 m

η φ1 = 15 m;

Θ1 = 56,2 l/s

η φ2 = 5 m;

Θ2 = 42 l/s

η φ3 = 25 m;

Θ3 = 37 l/s

Θ1 − (Θ2 + Θ3 ) = - 22,8 l/s

Haremos algunos cálculos adicionales ζ π = 101 m

η φ1 = 19 m;

Θ1 = 63,2 l/s

η φ2 = 1 m;

Θ2 = 18,8 l/s

η φ3 = 21 m;

Θ3 = 33,9 l/s

η φ1 = 19,5 m;

Θ1 = 64 l/s

η φ2 = 0,5 m;

Θ2 = 13,3 l/s

η φ3 = 21,5 m;

Θ3 = 34,3 l/s

η φ1 = 20 m;

Θ1 = 64,8 l/s

η φ2 = 0 ;

Θ2 = 0

η φ3 = 20 m;

Θ3 = 33,1 l/s

Θ1 − (Θ2 + Θ3 ) = 10,5 l/s

ζ π = 100,5 m

Θ1 − (Θ2 + Θ3 ) = 16,4 l/s

ζ π = 100 m

Θ1 − (Θ2 + Θ3 ) = 31,7 l/s

Llevando estos valores a un gráfico se obtiene el resultado Θ1 = 62 l/s

Θ2 = 27 l/s

y la cota piezométrica del punto P es 102 m.

204

Θ3 = 35 l/s



ζP -54,1

110 109 108 107 106 105

-22,8

104 103 102 101 100 -60 -50 -40 -30 -20 -10

+10,5 +16,4

+31,7

0 +10 +20 +30 +40 +50 +60

Θ 1 - ( Θ 2 + Θ 3)

5.3 Bombeo de un reservorio a otros dos En la Figura 5.8 se muestra un reservorio alimentador 1, una tubería de succión 1, una bomba B, una tubería de impulsión 2, que se bifurca en las tuberías 3 y 4 para alimentar dos estanques. Considerando que se conoce los diámetros, longitudes y coeficientes de rugosidad de cada tubería, así como las elevaciones de los estanques y la potencia de la bomba, se trata de calcular el gasto en cada ramal. Se sugiere el siguiente método

= Θ2 = Θ ).

1.

Suponer un valor para el gasto Θ impulsado por la bomba ( Θ1

2.

Calcular la pérdida de carga

3.

Calcular la cota piezométrica

4.

Calcular la energía Η teórica suministrada por la bomba, a partir de la ecuación 4-2,

η φ en la tubería 1. 1

ζ Ε a la entrada de la bomba.

Η=

76 Ποτ γΘ

Η es la energía en metros, Ποτ es la potencia en HP, γ es el peso específico del fluido en kg/m3 y Θ es el gasto en m3/s. 205



ζ3 3

ζ4 3

4

4

ζp ζ1 1

1

B

P

2

Figura 5.8 Bombeo de un reservorio a otros dos

5.

Calcular la cota piezométrica

ζ Σ a la salida de la bomba. ζΣ = ζΕ + Η

6.

Calcular la pérdida de carga η φ en el tramo 2.

7.

Calcular la cota piezométrica del nudo P

2

ζΠ = ζΣ − η φ 8.

2

Calcular la energía disponible η φ 3 para el tramo 3

η φ = ζ Π − ζ3 3

9.

Calcular el gasto en la tubería 3 aplicando una ecuación de la forma

Θ = Κη ξφ 10. Aplicar los pasos 8 y 9 a la tubería 4. 11. Verificar si se cumple la ecuación de continuidad en el nudo

206



Θ2 = Θ3 + Θ4 Caso contrario reiniciar el cálculo suponiendo otro valor para el gasto impulsado por la bomba. Para no aumentar el número de tanteos se recurre a un método gráfico similar al descrito en el apartado anterior. Ejemplo 5.4 En el sistema mostrado en la figura hay una bomba que suministra a la corriente una potencia de 40 HP. Calcular el gasto en cada tubería. Considerar φ = 0,02 en todas las tuberías. (Para los efectos del problema considerar para la bomba una eficiencia del 100 %).

125 m

120 m

10" 1 800 m 3 18" 2

100 m 1

20"

P

4

12"

1 500 m

1 300 m

B

300 m

Solución. La pérdida de carga en las tuberías 1 y 2 viene dada por la ecuación 5-3

η φ = 0,0827

φΛ 2 Θ ∆5

La ecuación de descarga en las tuberías 3 y 4 viene dada por la ecuación 5-4

Θ = 3,477

∆ 5 12 ηφ φΛ

Reemplazando datos de cada tramo se obtiene 1

η φ1 = 14,67Θ12

Θ3 = 0,0188η φ23

η φ2 = 107,63Θ22

Θ4 = 0,0326η φ24

1

207



Iniciemos el cálculo suponiendo un gasto Θ = 100 l/s (en la bomba). La pérdida de carga en el tramo 1 es η φ1 = 14,67Θ12 = 0,15 m

La cota piezométrica a la entrada de la bomba es 99,85 m. La energía teórica suministrada por la bomba es Η=

76 Ποτ 76 × 40 = = 30,4 m !Θ 1 000 × 0 ,1

La cota piezométrica a la salida de la bomba es 130,25 m. La pérdida de carga en el tramo 2 es η φ2 = 107,63Θ22 = 1,08 m

La cota piezométrica en el nudo resulta ser 129,17 m. La energía disponible (que suponemos se consume íntegramente en fricción) en el tramo 3 es

η φ3 = 129,17 - 125 = 4,17 m y el gasto resultante es 1

Θ3 = 0,0188η φ23 = 38,4 l/s

La energía disponible para el tramo 4 es 9,17 m y el gasto resultante es 1

Θ4 = 0,0326η φ24 = 98,7 l/s

Para que se verifique la ecuación de continuidad se requeriría que Θ2 = Θ3 + Θ4

o bien, Θ2 − (Θ3 + Θ4 ) = 0

sin embargo encontramos que para el gasto supuesto Θ2 − (Θ3 + Θ4 ) = -37,1 l/s

Como la ecuación de continuidad no ha quedado verificada debemos proseguir con los tanteos. 208



Hacemos un nuevo cálculo con Θ = 110 l/s y obtenemos Θ2 − (Θ3 + Θ4 ) = 8,9 l/s

Hacemos un nuevo tanteo con Θ = 108 l/s y obtenemos Θ2 − (Θ3 + Θ4 ) = -1,2 l/s

con Θ = 108,7 l/s se obtiene, Θ2 − (Θ3 + Θ4 ) = 2,1 l/s

Llevando estos valores a un gráfico se obtiene finalmente Θ = 108,3 l/s. Redondeando los valores (l/s) se obtiene

Θ = 108 l/s

Θ3 = 24 l/s

Θ4 = 84 l/s

Θ 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101 100 -40

-30

-20

-10

0

+10

+20

Θ 2 - ( Θ3 + Θ 4 )

209



5.4 Tuberías con dos o más ramales de descarga independiente Sea un estanque alimentador del que sale una tubería de longitud de resistencia

Λ1 , diámetro ∆1 y coeficiente

φ1 . Esta tubería se bifurca en los ramales 2 y 3. Se conoce la elevación del

estanque y las cotas de descarga. Se trata de calcular el gasto en cada ramal.

ζ1 ζ2

1

1

2

ζP

P 3

ζ3

Figura 5.9 Tuberías con ramales de descarga independiente

El método de cálculo sugerido es el siguiente 1.

Suponer una cota piezométrica en el punto P.

2.

Calcular las energías disponibles para cada tramo

3.

Calcular el gasto en cada tubería. Se puede usar la ecuación de Darcy (5-4).

∆5 12 ηφ Θ = 3,477 φΛ o bien otra ecuación de la forma

Θ = Κη ξφ 4.

Verificar si se cumple la ecuación de continuidad en el nudo

Θ1 = Θ2 + Θ3 5.

210

Caso contrario repetir el procedimiento y/o recurrir a un gráfico auxiliar hasta encontrar el valor de la cota piezométrica del punto P necesaria para satisfacer la ecuación de continuidad.



5.5 Conducto que da servicio (filtrante) Se dice que un conducto es filtrante cuando a lo largo de su recorrido pierde parte del gasto que transporta. Es el caso de una tubería que da servicio y que cada cierta distancia tiene una toma (salida de agua). Podría ser una tubería de agua potable que a lo largo de una calle da servicio a cada casa.

Θ0

Figura 5.10 Conducto que da servicio

Resulta evidente que en estas condiciones el gasto de la tubería va disminuyendo, lo mismo que la velocidad, puesto que el diámetro permanece constante. Si admitimos la validez de la fórmula de Darcy y la constancia del coeficiente φ se tendría que, en general, dicha fórmula nos indica que la pérdida de carga es proporcional al cuadrado del gasto y a la longitud.

ηφ = φ

Λ ς2 ∆ 2γ

de donde,

η φ = ΚΘ 2 Λ expresiones en las que

η φ : es la pérdida de carga φ : es el coeficiente de Darcy Λ : es la longitud de la tubería ∆ : es el diámetro

ς : es la velocidad media Θ : es el gasto φ Κ : es igual a 0,0827 5 (ec. 5-3) ∆

211



En el conducto de la Figura 5.10 el gasto inicial es

Θ0 . Consideremos que el gasto que sale a lo largo del conducto es θ m3/s por metro lineal de tubería. Supondremos que este gasto θ

es constante. El gasto en cualquier sección es

Θ = Θ0 − θΛ

(5-9)

siendo Λ la distancia desde el punto inicial. La pérdida de carga en un tramo muy pequeño es

δη φ = ΚΘ 2 δΛ y por lo tanto Λ

η φ = ∫ ΚΘ 2 δΛ 0

Introduciendo la ecuación (5-9) 2

η φ = Κ ∫ (Θ0 − θΛ ) δΛ Λ

0

  θ 2 Λ2 η φ = ΚΛΘ02 + − Θ0 θ Λ 3    (Θ − Θ )2 − Θ (Θ − Θ ) η φ = ΚΛ Θ02 + 0  0 0 3   ηφ =

(

ΚΛ 2 Θ0 + Θ0Θ + Θ 2 3

)

(5-10)

que es la ecuación que nos da la pérdida de carga para un tramo de longitud Λ en cuyo extremo el gasto es Θ . Para el caso particular que el gasto final Θ sea cero

ηφ =

ΚΛ 2 Θ0 3

(5-11)

Significa esta ecuación que en este caso la pérdida de carga sería la tercera parte de la que ocurriría si el gasto fuera constante.

212



Ejemplo 5.5 De un estanque sale una tubería de 8’’ de diámetro y 300 m de longitud. Esta tubería se bifurca en ramales de 6’’ de diámetro y 150 m de largo cada uno. Los extremos descargan libremente a la atmósfera. Uno de los ramales es un conducto filtrante que tiene bocas de descarga distribuidas uniformemente a lo largo de la tubería de modo que la suma de la descarga de todas ellas es igual a la mitad del gasto inicial en ese ramal (la otra mitad descarga por la boca final). Las bocas de los dos ramales están al mismo nivel (15 m debajo de la superficie libre del estanque). Calcular el gasto en cada ramal. Despreciar las pérdidas de carga locales. Considerar φ = 0,024, constante e igual para todas las tuberías. Solución.

15 m 0 1

8" 300 m

P

0m 6"; 15 6";

150

m

0

En un conducto filtrante la pérdida de carga es según la ec. 5-9

ηφ = En este caso particular Θ =

ΚΛ 2 (Θ0 + Θ0Θ + Θ 2 ) 3

Θ0 . Luego, 2 ηφ =

ΚΛ 7 2 7 φΛ Θ0 = 0,0827 5 Θ02 3 4 12 ∆

Sustituyendo los datos φ , Λ y ∆ para el conducto filtrante se obtiene η φ0 = 2 112,52 Θ02

La pérdida de carga entre el estanque y el nudo es

η φ = 0,0827

φΛ 2 Θ = 1 718,78 Θ 2 ∆5

Debe cumplirse que 1 718,78 Θ 2 + 2 112,52 Θ02 = 15 m

(1)

213



La pérdida de carga en el otro ramal es

η φ 1 = 0,0827

φΛ 2 Θ1 = 3 621,46Θ12 ∆5

Debe cumplirse que 1 718,78 Θ 2 + 3 621,46 Θ12 = 15 m

(2)

Luego 2 112,52 Θ02 = 3 621,46 Θ12

Θ0 = 1,31 Θ1

Este problema particular se hubiera podido resolver más rápidamente, puesto que de antemano se hubiera podido establecer la ecuación

Θ0 =

12 Θ1 7

Continuando, Θ = Θ0 + Θ1 = 1,31Θ1 + Θ1 = 2,31Θ1

Reemplazando en (2) 1 718,78(2,31)2 Θ12 + 3 621,46 Θ12 = 15 De donde,

Θ = 79 l/s

Θ1 = 34,2 l/s

Θ0 = 44,8 l/s

La pérdida de carga η φ en el ramal principal es 10,73 m. En cada uno de los dos ramales la pérdida de carga es 4,24 m, lo que hace un total de 14,97 m, que es prácticamente igual a la energía disponible. Hay otra forma de calcular un conducto filtrante y es a partir de la variación de velocidades. Examinemos el caso particular en el que la velocidad final sea cero.

ς0

ςx ξ Λ Figura 5.11 Cálculo de un conducto filtrante

214



En la Figura 5.11 se ha hecho una representación gráfica de la disminución de velocidad para un tramo de longitud Λ y velocidad inicial ς0 . Se denomina ςξ a la velocidad a la distancia

ξ del punto inicial. Se cumple que ςξ = ς0

Λ−ξ Λ

La expresión para la pérdida de carga se obtiene aplicando la ecuación de Darcy a la longitud δξ y luego integrando 2

δξ ςξ δη φ = φ ∆ 2γ

φ ς02 Λ (Λ − ξ ) δξ ηφ = ∆ 2 γ ∫0 Λ2 2

ηφ = para

ξ2 ξ3  φ ς02  − + ξ Λ 3Λ2  ∆ 2 γ 

ξ = Λ se obtiene ηφ =

1 Λ ς02 φ 3 ∆ 2γ

(5-12)

Significa esta ecuación que en un conducto que da servicio y cuyo gasto final es cero se cumple que la pérdida de carga es la tercera parte de la que ocurriría si el gasto fuera constante. Para el caso en que la velocidad final sea la mitad de la inicial se obtendría.

ηφ =

7 Λ ς02 φ 12 ∆ 2 γ

(5-13)

5.6 Cambio de la rugosidad con el tiempo Con el uso y el paso de los años aumenta la rugosidad de los conductos y disminuye el gasto que pueden conducir. Este problema está íntimamente vinculado al de la calidad del agua y para su conocimiento se requieren observaciones de muchos años.

215



Básicamente el fenómeno de envejecimiento de las tuberías tiene dos aspectos: aumento de la rugosidad y disminución de la sección útil. La consecuencia es la disminución de la capacidad. La variación de la rugosidad con el tiempo se expresa así

κ τ = κ 0 + α1 τ

(5-14)

siendo

κτ : rugosidad después de transcurrido el tiempo τ κ0 : rugosidad inicial (al ponerse en servicio de la tubería)

α1 : velocidad de aumento de la rugosidad Esta expresión debida a Colebrook y White supone que la rugosidad se incrementa linealmente con el tiempo. Lamont ha propuesto la Tabla 5.1 para describir la intensidad de aumento de rugosidad

TABLA 5.1 INTENSIDAD DE AUMENTO DE LA RUGOSIDAD

INTENSIDAD

α1 , mm/año

Pequeña

0,012

Moderada

0,038

Apreciable

0,12

Severa

0,38

Cuando se diseña una conducción no debe tenerse en cuenta exclusivamente la rugosidad inicial, sino la que se espera se presente, según la calidad de agua y otros factores, dentro de un cierto número de años. De no hacerse esta previsión nos encontraríamos en el futuro frente a una disminución de la capacidad de la tubería. La corrosión es una acción química. Por lo tanto depende de la calidad del agua y de la calidad o naturaleza de la tubería. Las tuberías de fierro fundido, que son sensibles a la corrosión, suelen recubrirse interiormente con una sustancia bituminosa protectora a fin de disminuir la corrosión y mantener la capacidad de diseño de la conducción.

216



Ejemplo 5.6. Una ciudad se abastece de agua por medio de una tubería de 20’’ de diámetro. Después de 1 año de la puesta en servicio se requiere de 40 HP por kilómetro de conducción, para bombear 400 l/s. Después de 4 años de servicio la potencia requerida para transportar el mismo caudal aumentó en 10 % ¿Cuál será la potencia necesaria después de 8 años, sabiendo que entonces el caudal requerido será de 600 l/s? ( ν = 1,1x10-6 m2/s, eficiencia 100 %). Solución. Después de 1 año de servicio la pérdida de carga es ηφ =

η φ = 0,0827

Ποτ 40 × 76 = 7 ,6 m = γ Θ 1 000 × 0,4

φΛ 2 Θ ∆5

o o o

Re =

En el ábaco de Moody se obtiene

φ = 0,00071 m

ς∆ = 9 × 105 ν

κ1 = 0,0009. Luego, ∆ κ1 = 0,00046 m

Un aumento del 10 % en la potencia supone un aumento del 10 % en el valor de φ . Luego φ = 0,0213 y para el mismo número de Reynolds la rugosidad relativa es

κ4 = 0,0014 ∆

o o o

κ 4 = 0,00071 m

Sabemos que según la ecuación 5-14 κ 4 = κ 0 + 4α 1

0,00071 = κ 0 + 4α 1

κ 0 = 0,00038 m o o o

Por consiguiente 0,00046 = κ 0 + α 1

α1 = 0,000083 m/año

Después de 8 años de servicio κ8 = κ 0 + 8α 1

κ8 = 0,002055 ∆

o o o

o o o

κ8 = 0,001044 m

φ = 0,0236

Re = 1,37 x 106

217



η φ = 0,0827

Ποτ =

φΛ 2 Θ = 20,77 m ∆5

γ ΘΗ 1000 × 0,6 × 20,77 = = 164 HP 76 76

que es la potencia teórica requerida.

5.7 Fórmula de Hazen y Williams La fórmula de Hazen y Williams tiene origen empírico. Se usa ampliamente en los cálculos de tuberías para abastecimiento de agua. Su uso está limitado al agua en flujo turbulento, para tuberías de diámetro mayor de 2’’ y velocidades que no excedan de 3 m/s. La ecuación de Hazen y Williams usualmente se expresa así

Θ = 0,000426 Χ Η ∆ 2, 63 Σ 0,54

(5-15)

expresión en la que

Θ : gasto en litros por segundo

ΧΗ : coeficiente de Hazen y Williams ∆ : diámetro en pulgadas Σ : pendiente de la línea de energía en metros por km Para una tubería dada, la longitud, el diámetro y el coeficiente de resistencia son constantes, luego

Θ = Κ η 0φ ,54

(5-16)

Κ = 0,000426ΧΗ ∆ 2, 63 Λ− 0,54

(5-17)

siendo

La expresión 5-16 es similar a la ecuación 5-5. Los valores de la constante

ΧΗ de Hazen y Williams han sido determinados

experimentalmente. Son función de la naturaleza de las paredes. (Obsérvese que este coeficiente

218

ΧΗ es diferente del de Chezy). Los valores usuales son los de la Tabla 5.2


∆ισε〉ο δε χονδυχχιονεσ ψ ρεδεσ TABLA 5.2 COEFICIENTES DE HAZEN Y WILLIAMS NATURALEZA DE LAS PAREDES

ΧΗ

Extremadamente lisas y rectas

140

Lisas

130

Madera lisa, cemento pulido

120

Acero ribeteado

110

Fierro fundido viejo

95

Fierro viejo en mal estado

60-80

Fuertemente corroído

40-50

Hagamos una breve discusión de la fórmula. -

Si el Diámetro ∆ y la pendiente de la línea de energía tiene que

Σ se mantienen constantes se

Θ1 Χ Η 1 = Θ2 Χ Η

(5-18)

2

Significa esto que si el coeficiente

ΧΗ varía, el gasto variará en la misma proporción.

Podría también aplicarse este concepto a dos tuberías, que tengan el mismo diámetro y el mismo valor de Σ . Sus gastos estarán en la misma proporción que sus respectivos coeficientes de Hazen y Williams. -

Si el diámetro y el gasto permanecen constantes, entonces

ΧΗ Σ1 1

0 , 54

= ΧΗ Σ 2

Σ 2  Χ Η1 = Σ1  Χ Η 2 

0 , 54

2

   

1, 85

(5-19)

Así por ejemplo si dos tuberías tienen el mismo diámetro y el mismo gasto, pero la primera tiene

ΧΗ igual a 100 y la segunda igual a 120, entonces

219


Αρτυρο Ροχηα 1,85

Σ 2  100  =  Σ1  120 

= 0,714

Conviene obtener la expresión de la pérdida de carga a partir de la ecuación de Hazen y Williams.

Σ 0,54 =

Θ 0,000426 Χ Η ∆ 2, 63

Σ=

Θ1,85 1,85 5,813 × 10 − 7 Χ Η ∆ 4,866

ηφ =

ΛΘ1,85 1,85 5,813 × 10 −7 Χ Η ∆ 4,866

Para una tubería particular se cumple que

η φ = ΚΘ1,85 Así por ejemplo, si ∆ = 10’’,

ηφ =

ΧΗ = 120 y Λ = 1,25 km se obtiene

1,25 Θ1,85 = 0,00417Θ1,85 5,813 × 10 × 7 022,4 × 7,345 × 10 4 −7

η φ = 0,00417Θ1,85 Que es la ecuación de descarga para la tubería.

220

(5-20)



Ejemplo 5.7 Determinar el gasto que fluye en cada uno de los ramales del sistema de abastecimiento de agua mostrado en la figura y hallar la presión en el punto P. 50 m válvula

20 m

1 1

2

10 m P

3

10 m

La elevación del punto P es 10 m. Inicialmente la válvula está completamente abierta. Λ1 = 5,2 km

∆1 = 16’’

Χ Η1 = 100 (acero usado)

Λ2 = 1,25 km

∆2 = 10’’

ΧΗ 2 = 120 (cemento pulido)

Λ3 = 1,5 km

∆3 = 10’’

Χ Η3 = 120 (cemento pulido)

Si se aumenta la presión en el punto P hasta 20 m de columna de agua (cerrando la válvula ubicada en el ramal 2), determinar el nuevo valor de gasto en cada tubería y la pérdida de carga en la válvula. Solución. La ecuación de Hazen y Williams es Θ = 0,000426Χ Η ∆ 2 , 63 Σ 0 , 54

de donde, Θ=

0,000426Χ Η ∆ 2 , 63 η 0φ , 54 Λ0 , 54

Θ = Κη 0φ ,54 siendo Κ característico de cada tubería e igual a

Κ=

0,000426Χ Η ∆ 2 , 63 Λ0, 54

Se puede calcular la ecuación respectiva para cada ramal hallando los correspondientes valores de Κ Θ1 = 25,68 η 0φ1, 54

Θ2 = 19,33 η 0φ2, 54

Θ3 = 17,52 η 0φ3,54

221



Empecemos por la segunda parte del problema. Si la presión en el nudo P es 20 m, entonces

η φ1 = 20 m

η φ2 = 10 m

η φ3 = 20 m

que son las energías disponibles en cada tramo. Reemplazando se obtiene el gasto en los ramales 1 y 3. La ecuación de descarga no es aplicable al tramo 2 por tener una válvula. Θ1 = 129,5 l/s

Θ3 = 88,3 l/s

Θ2 será simplemente la diferencia, Θ2 = 41,2 l/s

Para el tramo 2 la energía necesaria para vencer las fuerzas de fricción es η φ 2 = 0,004173Θ2

1, 85

η φ2 = 4,06 m Como la energía disponible es de 10 m resulta que la pérdida de la carga en la válvula es 5,94 m. Para la primera parte del problema el método más simple consiste en tantear valores para la presión en P, calculando luego las energías disponibles en cada tramo y los gastos. Cuando la ecuación de continuidad quede satisfecha se ha encontrado la respuesta.

πΠ = 15 m

πΠ = 17,5 m

η φ1 = 25 m

Θ1 = 146,04

ηφ2 =

5m

Θ2 = 46,1

η φ 3 = 15 m

Θ3 = 75,6

η φ1 = 22,5 m

Θ1 = 138

ηφ2 =

7,5 m

Θ2 = 57,4

η φ 3 = 17,5 m

Θ3 = 82,2

Θ1 − (Θ2 + Θ3 ) = 24,3

Θ1 − (Θ2 + Θ3 ) = −1,6

Con una presión de 17,5 m en P prácticamente queda satisfecha la ecuación de continuidad. Si se continúan los cálculos se obtiene π Π = 17,3 m Θ1 = 139 l/s

222

Θ2 = 57 l/s

Θ3 = 82 l/s



5.8 Diseño de una conducción Esencialmente el problema de un diseño de tuberías consiste en encontrar el diámetro más adecuado para transportar un gasto dado. La selección del diámetro implica un estudio de a) b) c)

Velocidades Presiones Costo

Las velocidades excesivas deben evitarse. No sólo pueden destruir la tubería por erosión, sino también hay la posibilidad del golpe de ariete. Las presiones pueden ser negativas o positivas. Las presiones negativas ya fueron estudiadas anteriormente al examinar el comportamiento de un sifón (apartado 4.8). Deben evitarse, pues dan lugar a discontinuidad en el escurrimiento y a cavitación. Tampoco se puede aceptar cualquier presión positiva. Las tuberías, según el material de que están hechas, soportan determinadas presiones. La máxima presión admisible forma parte de la descripción técnica de una tubería. El costo es muy importante. Las condiciones a y b pueden satisfacerse con más de un diámetro. Debe escogerse el más económico. Este concepto será analizado más adelante. Por cierto que en el diseño de una conducción debe tenerse en cuenta los diámetros comerciales disponibles. Hay otros factores que intervienen como la calidad de agua y otros, que escapan a los alcances de este curso. Examinemos el caso genérico de la Figura 5.12. La tubería AB une los dos estanques. Se trata de determinar el diámetro que debe tener, conociendo la carga disponible Η y el gasto Θ . El dibujo muestra el perfil de la tubería de acuerdo al terreno sobre el que debe apoyarse. Se ha trazado aproximadamente la línea de gradiente hidráulica (sobre la hipótesis de diámetro uniforme entre A y B) y, como se observa en el dibujo, se anticipa la presencia de presión negativa en N y quizá una presión muy fuerte en M (positiva).

A L. P. M

Η

N

B

Figura 5.12 Diseño de una conducción

223



La inclinación de la línea de gradiente sería

Σ=

Η Λ

Siendo Η la diferencia de nivel entre los estanques y Λ la longitud total de la conducción, supuesta de diámetro uniforme. Se puede fácilmente verificar la intensidad de las presiones en M y N. Si fueran muy grandes habría que utilizar un diámetro diferente para cada tramo y constituir un sistema de tuberías en serie, como se muestra en la Figura 5.13

A L. P.

Η

M N B

Figura 5.13 Determinación del diámetro en una conducción

Se observa que la línea de gradiente (L. P.) aparece quebrada. La conducción está formada por varios tramos de diferentes diámetros. Como una ilustración de lo anteriormente expuesto podemos examinar el ejemplo 4.14. Se evita así las presiones positivas muy grandes y las presiones negativas excesivas. Al desarrollar dicho ejemplo no se mencionó porqué hay dos diámetros diferentes (8’’ y 6’’). La razón es simple. Si el primer tramo tuviera un diámetro de 6’’, la pérdida de carga sería muy grande y se produciría una fuerte presión negativa al ingreso de la bomba. Para evitar esto se introdujo un tramo con un diámetro mayor (8’’) con lo que disminuyó la velocidad y por consiguiente la pérdida de carga. En todo caso debe tenerse presente que en el diseño de una conducción uno de los primeros problemas que debe analizarse es el número de tuberías a usarse (en paralelo). Acá intervienen razones de seguridad, costo y disponibilidad en el mercado.

224



Ejemplo 5.8 Proyectar la línea de conducción entre los estanques A y B siguiendo el perfil del terreno mostrado en la figura. El caudal debe ser de 500 l/s. Se dispone de tuberías de 14’’, 16’’, 18’’ y 20 ‘’de diámetro, para presiones de un máximo de 75 lb/pulg2, Χ Η = 100, 1 225 m

A 13

00 m

1 100 m 2 200 m

1 050 m

N

M B'

12

00 m

960 m

B

Solución. Si usáramos un diámetro constante entre A y B se tendría que Σ=

265 = 56,4 m/km 4 ,7

La pérdida de carga entre A y N sería

η φ ΑΝ = 56,4 × 3,5 = 197,4 m La cota piezométrica en N es ζ Ν = 1 027,6 m

La presión en N es π Ν = - 22,4 m

Es una presión negativa inadmisible. Pensemos entonces en descomponer la tubería en dos tramos: AN y NB. Supongamos que entre A y N el diámetro es constante. Σ=

175 = 50 m/km 3,5

La pérdida de carga entre A y M es

η φ ΑΜ = 50 × 1,3 = 65 m

225



La cota piezométrica en M es ζ Μ = 1 160 m

La presión en M resulta ser πΜ = 60 m

Esta presión es excesiva. Sólo disponemos de tuberías para 75 lb/pulg2, lo que equivale a una altura de 52,7 m de columna de agua. Aceptaremos para M una presión máxima de 52,7 m con lo que su cota piezométrica resulta ser 1 152,7 m. La pérdida de carga entre A y M es entonces 72,3 m y la pendiente Σ es 55,6 m/km. Veamos cuál debe ser teóricamente el diámetro. De la fórmula de Hazen y Williams obtenemos

∆ 2 ,63 =

Θ 0,000426ΧΗ Σ 0 ,54

o o o

∆ = 15,5’’

Si usáramos un diámetro de 16’’ la pérdida de carga sería menor y la presión en M resultaría mayor que la admisible. Con un diámetro de 14’’ la pérdida de carga sería notablemente mayor y resultaría en M una presión pequeña, mucho menor que la admisible (lo que en principio es aceptable), pero nos interesa tener en el punto M la presión más alta posible (52,7 m) a fin de disminuir el problema de la presión negativa en N. Utilizaremos para el tramo AM dos diámetros diferentes 14’’ y 16’’ (constituyendo así un sistema de tuberías en serie). Para 14’’ de diámetro la pendiente Σ es 89,98 m/km y para 16’’ la pendiente es 46,96 m/km. Sea Λ la longitud de tubería de 14’’. Debe cumplirse que 89,98 Λ + 46,96 (1,3 - Λ ) = 72,3 De donde la longitud Λ es 0,262 km. La tubería AM queda así descompuesta en dos tramos: 262 m de 14’’ y 1 038 m de 16’’. Ensayemos diámetros para el tramo MN. Si usáramos 14’’ de diámetro la presión resultante en N sería muy baja (negativa). Con 16’’ de diámetro se tendría para el tramo MN una pérdida de carga de 103,3 m, lo que representa para el tramo AN una pérdida de carga de 175,6 m y la presión para el punto N es - 0,6 m valor que es admisible. La cota piezométrica del punto N es 1 049,4 m y la pendiente para el tercer tramo es Σ=

89,4 = 74,5 m 1,2

De la fórmula de Hazen y Williams obtenemos que el diámetro debería ser 14,6’’. Tal como se hizo con el tramo AM descompondremos en un tramo Λ de 14’’ y otro de 16’’ de modo que 89,98 Λ + 46,96 (1,2 - Λ ) = 89,4

226


1 225 m 1 201,4 m A " 14

72,3 m M'

1 152,7 m " 16

52,7 m 1 100 m 265

M 16"

1 049,4 m

N

1 050 m 1 029,1 m

" 16 " 14

960 m

B

227

Figura 5.14 Línea piezométrica para la línea de conducción del ejemplo 5.8


B'



De acá se obtiene que Λ es 0,768 km. Los 4 700 m de conducción se descomponen finalmente así 262 m de 14’’ 1 038 m de 16’’ 2 200 m de 16’’ 432 m de 16’’ 768 m de 14’’

(A - M’) (M’ - M) (M - N) (N - B’) (B’ - B)

Lo que significa 1 030 m de tubería de 14’’ y 3 670 m de tubería de 16’’. En la Figura 5.14 se presenta el trazo de la línea piezométrica.

5.9

Diámetro más económico

Cuando se diseña una conducción por tubería no hay solución única. Tanto un diámetro como otros pueden satisfacer las condiciones hidráulicas. De todos los diámetros posibles, que desde el punto de vista puramente hidráulico constituyen soluciones, hay uno que es el diámetro más económico. Se entiende por “diámetro más económico” aquel para el cual resulta mínima la suma de los costos de instalación, operación y servicios del sistema. Si se trata, por ejemplo, de una conducción por bombeo el problema puede ser más complejo, pues hay que empezar por examinar el número de tuberías, en paralelo o en serie, que conformarán la conducción. Por razones de seguridad en el servicio puede convenir tener más de una tubería conformando así un sistema en paralelo. Un análisis nos dirá cuál es la solución más económica. En una instalación por bombeo los costos principales son a)

Adquisición e instalación de la tubería. Este costo aumenta con el diámetro. A mayor diámetro, mayor costo.

b)

Instalación y operación del equipo de bombeo. Este costo es inversamente proporcional al diámetro. Los diámetros pequeños representan una gran pérdida de carga y por consiguiente requieren de gran potencia. Con los diámetros grandes ocurre lo inverso.

Para la obtención del diámetro más económico de una conducción por bombeo normalmente los datos están constituidos por -

Diámetros disponibles en el mercado

-

Costo de las tuberías

-

Gasto requerido

228

Χαπτυλο ς -

Coeficientes de rugosidad de las tuberías

-

Costo del KW hora

-

Tiempo de amortización

-

Interés

-

Costo de la bomba y el motor, etc


El procedimiento de cálculo es el siguiente a)

Escoger tentativamente un diámetro

b)

Calcular la pérdida de carga η φ

c)

Calcular la energía necesaria

d)

Calcular la potencia necesaria

e)

Calcular el costo anual de la potencia necesaria

f)

Calcular el costo del motor y de la bomba

g)

Calcular el costo de la tubería (teniendo en cuenta el diámetro y espesor requeridos)

h)

Calcular el costo de la inversión inicial: tubería, motor y bomba y luego determinar la amortización (en base al número de años útiles del sistema)

i)

Determinar el costo total por año sumando la amortización anual de la inversión inicial ( η ) y el costo anual de la potencia ( ε )

Si el procedimiento anterior se repite para varios diámetros diferentes se encontrará finalmente el diámetro más económico.

5.10 Redes de tuberías. Método de Hardy Cross Una red es un sistema cerrado de tuberías. Hay varios nudos en los que concurren las tuberías. La solución de una red es laboriosa y requiere un método de tanteos y aproximaciones sucesivas. Representemos esquemáticamente la red muy simple de la Figura 5.15. Esta red consta de dos circuitos. Hay cuatro nudos. En la tubería MN tenemos un caso típico de indeterminación: no se puede saber de antemano la dirección del escurrimiento. En cada circuito escogemos un sentido como positivo. Se escoge una distribución de gastos respetando la ecuación de continuidad en cada nudo, y se asigna a cada caudal un signo en función de los circuitos establecidos. Se determina entonces las pérdidas de carga en cada tramo, que resultan ser “positivas” o “negativas”.

229



M

I

II

B

C

N Figura 5.15 Esquema típico de una red de tuberías

Las condiciones que se deben satisfacer en una red son 1.

La suma algebraica de las pérdidas de carga en cada circuito debe ser cero. Ejemplo

ηφ

ΒΜ

+ηφ

ΜΝ

+ ηφ

ΝΒ

=0

2.

En cada nudo debe verificarse la ecuación de continuidad.

3.

En cada ramal debe verificarse una ecuación de la forma

η φ = ΚΘ ξ en donde los valores de Κ y de

ξ dependen de la ecuación particular que se utilice.

Como los cálculos son laboriosos se recurre al método de Hardy Cross. En este método se supone un caudal en cada ramal, verificando por supuesto que se cumpla la ecuación de continuidad en cada nudo. Si para un ramal particular se supone un gasto

Θ0 este valor será, en principio, diferente al

gasto real que llamaremos simplemente Θ , luego

Θ = Θ0 + ∆Θ En donde ∆Θ es el error, cuyo valor no conocemos. Si tomamos, por ejemplo, la fórmula de Hazen y Williams se tiene que la pérdida de carga en cada tubería es

η φ = ΚΘ1,85 Si esta ecuación se aplica a los valores supuestos se obtiene

230



η φ 0 = ΚΘ0

1,85

La pérdida de carga real será

η φ = Κ (Θ0 + ∆Θ )

1,85

Luego, desarrollando y despreciando los términos pequeños se llega a

η φ = ΚΘ0

+ 1,85

1, 85

η φ = η φ + 1,85 0

ηφ

ηφ

0

Θ0 0

Θ0

∆Θ

∆Θ

De donde, para cada circuito

∑ η φ = ∑ η φ + ∆Θ 1,85∑ 0

ηφ

0

Θ0

=0

De acá obtenemos finalmente el valor de ∆Θ

∆Θ =

− ∑ ηφ 1,85 ∑

(5-21)

0

ηφ

0

Θ0

Esta es la corrección que debe hacerse en el caudal supuesto. Con los nuevos caudales hallados se verifica la condición 1. Si no resulta satisfecha debe hacerse un nuevo tanteo.

Ejemplo 5.9 Para la red mostrada en la figura calcular el gasto en cada ramal. Considerar

ΧΗ = 100 en

todas las tuberías. M m 500

B

6"

C

6’’ 6"

200 l/s

70 0m

500 m 500 m

8"

8"

600

m

N

8"

600

m

231



Solución. Para la solución de esta red vamos a aplicar el método de Hardy Cross. La ecuación de descarga en cada tubería es

η φ = ΚΘ1,85 siendo Κ=

1,72 × 10 6 Λ Χ Η1,85 ∆ 4, 866

Estas ecuaciones corresponden a la fórmula de Hazen y Williams, que es la que utilizaremos, dado que el coeficiente de resistencia está en los datos referido a dicha fórmula. Si éste no fuera el caso se utilizaría las ecuaciones correspondientes. Empezaremos por dividir la red en dos circuitos en cada uno de los cuales consideramos como sentido positivo el correspondiente al sentido contrario de las agujas del reloj. Esto es puramente convencional y podría ser al contrario. Haremos también, tentativamente, una suposición con respecto a la distribución de caudales. En consecuencia cada caudal vendrá asociado a un signo. Habrá caudales positivos y negativos. Por consiguiente las pérdidas de carga en cada tramo también estarán afectadas del correspondiente signo. Sabemos, sin embargo, que ni los caudales ni las pérdidas de carga tienen signo. Se trata solamente de algo convencional para expresar la condición 1 que debe satisfacer una red. Se obtiene así M

0 -13

200 l/s

B

-11 0

I

II

+

+ C

-20 +20 +70

+90

N

La magnitud y el sentido del caudal en cada ramal se ha escogido arbitrariamente, cuidando tan sólo que se cumpla la ecuación de continuidad en cada nudo (en valores absolutos naturalmente). Ahora debemos hallar los valores de Κ en cada ramal para facilitar así el cálculo de la pérdida de carga con los diferentes caudales que nos irán aproximando sucesivamente a la solución final.

232

CIRCUITO I

CIRCUITO II

BN NM MB

CM MN NC

0,03367 0,02806 0,00692

0,00969 0,02806 0,00830



Calculemos ahora los valores de la pérdida de carga η φ0 en cada circuito aplicando la ecuación de descarga. BN NM MB

∑η

φ0

+ 87,23 - 7,16 - 56,35

CM MN NC

∑η

= + 23,72

φ0

- 57,93 + 7,16 + 34,23 = - 16,54

Aplicamos ahora la ecuación

∆Θ =

− ∑ η φ0 ηφ 1,85 ∑ 0 Θ0

para obtener la corrección que debe aplicarse al caudal supuesto en cada ramal. Se obtiene para cada circuito ∆Θ =

−23,72 = −6,3 1,85 × 2,04

∆Θ =

∆Θ = −6

16,54 = 7,1 1,85 × 1,26

∆Θ = 7

Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la pérdida de carga η φ son los siguientes

CIRCUITO I

Tramo

CIRCUITO II

Caudal

ηφ

Tramo

Caudal

ηφ

BN

+70 - 6

= +64

+73,91

CM

-110 + 7 = -103

-51,29

NM

-20 - 6 - 7 = -33

-18,09

MN

+20 + 7 + 6 = +33

+18,09

MB

-130 - 6 = -136

-61,26

NC

+90 + 7

+39,32

∑η

= −5,44

φ

= +97

∑η

φ

= +6,12

Calculamos nuevamente la corrección ∆Θ ∆Θ =

5,44 = +1,37 1,85 × 2,15

∆Θ = +1

∆Θ =

−6,12 = −2,28 1,85 × 1,45

∆Θ = −2

233



Los nuevos caudales y los correspondientes valores de η φ son

CIRCUITO I

Tramo

CIRCUITO II

Caudal = + 65

ηφ

Tramo

Caudal

+76,06

CM

-103 - 2 = -105

BN

+ 64 + 1

NM

- 33 + 1 + 2 = -30

-15,16

MN

+33 - 2 - 1

MB

- 136 + 1 = - 135

-60,43

NC

+97 - 2

∑η

φ

ηφ

= +30 +15,16

= +95

∑η

= +0,47

-53,15

+37,83 φ

= −0,16

Calculamos ahora nuevamente la corrección ∆Θ

∆Θ =

−0,47 = −0,12 1,85 × 2,12

∆Θ =

∆Θ = 0

0,16 = 0,06 1,85 × 1,41

∆Θ = 0

En consecuencia los caudales son M

135

200

10 5

200

30 65

N

95

Estos caudales satisfacen las tres condiciones de una red. Obsérvese que la condición 1,

∑η

φ

= 0 para cada circuito es la expresión de conceptos básicos del

flujo en tuberías. Aplicada, por ejemplo, al circuito I, debe entenderse que en realidad refleja el comportamiento de un sistema en paralelo, tal como se ve a continuación.

234



M

I B N

Por lo tanto se debe cumplir la ecuación fundamental

η φ ΒΜ + η φΜΝ = η φ ΒΝ como efectivamente ocurre con los resultados obtenidos. Debe cumplirse, por las mismas razones, las siguientes ecuaciones

η φ ΜΧ + η φ ΜΝ + η φ ΝΧ = 0 η φ ΒΝΧ = η φ ΒΜΧ La condición 3 queda también satisfecha. Tomemos un ramal cualquiera (NC).

∆

=

8’’

ΧΗ

=

100

Θ = 0 ,00426 × 100 × 8 2 ,63 × 63,050 ,54

Λ

=

0,6 km

Θ = 94,7 l/s

ηφ

=

37,83 m

Valor que está dentro del error aceptado.

235

CALCULOS DEL EJEMPLO 5.9

Κ

Θο

ηφ

0

∑η

φ0

∆Θ

Θ

ηφ

∑η

φ

∆Θ

Θ

ηφ

∑η

φ

∆Θ

Circuito 1

BN

0,03367

+70

+87,23

-6

+64

+73,91

+1

+65

+76,06

0

NM

0,02806

-20

-7,16

-13

-33

-18,09

+3

-30

-15,16

0

MB

0,00692

-130

-56,35

-6

-136

-61,26

+1

-135

-60,43

+23,72

-5,44

+0,47


236

TABLA 5.3

0

Circuito 2

CM

0,00969

-110

-57,93

+7

-103

-51,29

-2

-105

-53,15

0

MN

0,02806

+20

+7,16

+13

+33

+18,09

-3

+30

+15,16

0

NC

0,00830

+90

+34,23

+7

+97

+39,32

-2

+95

+37,83

-16,54

+6,12

-0,16


Al aplicar el método de Hardy-Cross se sugiere realizar una tabulación como la aquí presentada, que corresponde al ejemplo 5.9.

0



PROBLEMAS PROPUESTOS (Capítulo V)

1.

Se tiene dos tuberías en paralelo de 3 000 m de longitud cada una. El diámetro de la primera es de 10’’ y el de la segunda de 20’’. La diferencia de nivel entre los estanques comunicados por el sistema en paralelo es de 18 m. Considerar φ = 0,02 para ambas tuberías. Calcular el gasto en cada una.

2.

Se tiene dos tuberías en paralelo. Ambas tienen 2 500 m de longitud. El diámetro de la primera es de 8’’ y el de la segunda de 14’’. Calcular cuál es la energía necesaria para que el gasto total sea de 200 l/s. Considerar φ = 0,025 en ambas tuberías.

3.

¿Cual sería el gasto en cada una de las tuberías del ejemplo 5.2, si no estuviera la válvula y se mantuviera la misma energía disponible?.

4.

¿Cuál sería la energía necesaria para transportar el gasto total del ejemplo 5.2, considerando que no existiera la válvula? ¿Cuales serían los gastos en cada tubería?.

5.

Dos estanques están conectados por tres tuberías en paralelo cuyos diámetros son ∆ , 2 ∆ y 3 ∆ . Las tres tuberías tienen la misma longitud y el mismo valor de φ de Darcy. ¿Cuál es el gasto en la tubería mayor si el gasto en la tubería menor es de 30 l/s?.

6.

Hallar el gasto en cada uno de los ramales del sistema en paralelo mostrado en la figura

1 2 B

Λ1 = 80 m Λ2 = 120 m Λ3 = 300 m

3

∆1 = 4’’ ∆2 = 6’’ ∆3 = 10’’

C

φ1 = 0,018 φ 2 = 0,018 φ 3 = 0,025

La elevación del punto B es 112,80 m La elevación del punto C es 115,10 m La presión del punto B es 4 kg/cm2 La presión del punto C es 2,5 kg/cm2

237

Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ 7.


Hallar el gasto en cada uno de los ramales del sistema en paralelo mostrado en la figura 1 2 B

Θ = 0,400 m3/s

8.

C

3

Λ1 = 220 m

∆1 = 8’’

φ1 = 0,025

Λ2 = 280 m Λ3 = 390 m

∆2 = 10’’ ∆3 = 6’’

φ 2 = 0,020 φ 3 = 0,028

Determinar el gasto en cada ramal del sistema para Θ = 2 m3/s 1 2

3 4

9.

Λ1 = 100 m Λ2 = 120 m Λ3 = 120 m

∆1 = 10’’ ∆2 = 8’’ ∆3 = 8’’

φ1 = 0,030 φ 2 = 0,025 φ 3 = 0,025

Λ4 = 100 m

∆4 = 10’’

φ 4 = 0,030

La tubería de alimentación mostrada en la figura tiene una longitud de 500 m, un diámetro de 8’’ y un coeficiente φ de 0,025. Calcular cuál debe ser la presión π para que el gasto en el ramal 2 sea de 50 l/s.

π 100 m 80 m

1 2 3

238



φ1 = 0,02 φ 2 = 0,022 φ 3 = 0,015

∆1 = 4’’ ∆2 = 6’’ ∆3 = 4’’

Λ1 = 250 m Λ2 = 300 m Λ3 = 100 m

10. En la figura se muestran dos sistemas de tuberías ¿Cuál de ellas tiene mayor capacidad (para una misma energía disponible)?. Considerar φ = 0,02 en todas las tuberías. (a)

Θ1

(b)

20" 800 m

16" 500 m

18"

14"

12" 300 m 12"

Θ2 200 m

600 m

1 000 m

10" 800 m

11. Para el sistema mostrado en la figura se tiene que cuando el gasto es de 700 l/s la presión en el punto 3, de empalme con una tubería, es de 1 kg/cm2. Se trata de aumentar el caudal a 900 l/s. La presión en el punto 3 debe ser 1,5 kg/cm2. Determinar cuál es el diámetro que debe tener una tubería de 400 m de largo, colocada paralelamente a la anterior para cumplir con lo señalado ( φ es 0,025 en todas las tuberías).

ζ1 1 2

Tramo 1-2 : Tramo 2-3 :

3

800 m, 24’’ 400 m, 18’’

12. Dos estanques están conectados por dos tuberías en paralelo. Los datos son

Λ1 = 1 200 m Λ2 = 800 m

∆1 = 12’’ ∆2 = 10’’

φ1 = 0,022 φ 2 = 0,03

Si el gasto en la primera tubería es de 50 l/s. ¿Cuál es el gasto en la segunda?

239



13. Entre dos estanques hay una diferencia de nivel de 6 m. Están conectados por un sistema que consta de un primer tramo formado por una tubería de 20’’ de diámetro y 2 500 m de longitud. Esta tubería se bifurca dando lugar a ramales de 10’’ y de 2 500 m de longitud cada uno. Estos ramales concurren en paralelo en el segundo estanque. Considerar φ = 0,03 para todas las tuberías. Hallar el gasto. 14. Para un sistema de tuberías en paralelo se tiene

φ1 = 0,018 φ 2 = 0,0122

∆1 = 14’’ ∆2 = 12’’

Λ1 = 100 m Λ2 = 156 m

Al colocar una válvula en el primer ramal hay unan disminución del 11 % en el gasto total. Calcular el valor Κ de la válvula. 15. Calcular el gasto en cada ramal.

Η = 30 m 2

válvula 4

1 3

Λ1 = 120 m Λ2 = 130 m Λ3 = 130 m

∆1 = 6’’ ∆2 = 4’’ ∆3 = 4’’

Λ4 = 120 m

∆4 = 6’’

Considerar φ = 0,02 para todas las tuberías. En el ramal 2 hay una válvula check totalmente abierta. 16. 1

Η 2

Λ1 = 200 m Λ2 = 250 m Λ3 = 400 m

240

3

∆1 = 4’’ ∆2 = 6’’ ∆3 = 8’’

φ1 = 0,02 φ 2 = 0,025 φ 3 = 0,030



Si la diferencia de nivel Η entre ambos estanques es de 10 m, calcular el gasto en cada ramal. ¿Cuál debe ser el valor de Η para que el gasto sea de 300 l/s? Determinar la longitud de una tubería equivalente que reemplace al sistema (para Η = 10 m). 17. La tubería 1 tiene 300 m de longitud y 4’’ de diámetro. Suponiendo que ésta sea la única tubería de desagüe, determinar la longitud que debe tener una tubería en paralelo (2) del mismo diámetro para que el gasto en la tubería 1 aumente en 50 %. Calcular cuál sería el porcentaje de aumento en el gasto, si además del tubo anterior se coloca una tubería (3) en paralelo de 50 m de largo y 3’’ de diámetro. ( φ = 0,02 en todas las tuberías)

Η

2 1 3

18. Calcular la elevación que debe tener el estanque para que el gasto que ingrese a él sea de 10 l/s. ?

π = 4 kg/cm 2 10 l/s válvula 0

2 1

Λ1 = 150 m Λ2 = 80 m Λ3 = 40 m

∆1 = 6’’ ∆2 = 4’’ ∆3 = 4’’

3

φ = 0,025

19. Dos reservorios tienen una diferencia de nivel constante de 220 ft. Están unidos por medio de una tubería de 9’’ de diámetro y 2,5 millas de largo. A una milla del reservorio más alto la tubería tiene una salida que descarga 1,5 ft3/s. Asumiendo para φ un valor constante de 0,036 calcular la velocidad con la que el agua entra al segundo reservorio. No se consideren pérdidas de cargas locales .

241



20. En la tubería 1 la velocidad es 1,5 m/s. Calcular el gasto en cada ramal y el valor que debe tener

Η.

Η 1 4

3 2

Λ1 = 300 m ∆1 = 8’’

5

Λ2 = 300 m Λ3 = 300 m Λ4 = 600 m Λ5 = 800 m ∆5 = 12’’ ∆3 = 18’’ ∆4 = 12’’ ∆2 = 12’’

Considerar φ = 0,018 en todas las tuberías.

21. En el sistema de tres reservorios mostrados en la figura las tuberías tienen un coeficiente de

Η1 + Η 2 = 10 m; Λ1 = 150 m; Λ2 = 70 m; Λ3 = 90 m; ∆1 = ∆2 = ∆3 = 6’’. Se pregunta: a) ¿Cuáles deben ser los valores de Η1 y Η 2 para que Θ2 sea cero?, b) ¿Cuáles serían los valores de Θ1 y Θ2 si Η1 fuera cero?.

Darcy igual a 0,025. Se sabe que

ζ1 1

ζ2

Η1

1

Η2

2

ζ3

P 3

22. En el sistema de 3 reservorios mostrado en la figura del problema anterior las tuberías tienen un

ΧΗ = 100. Se sabe que Η 2 − Η1 = 5 m; Λ1 = 800 m; Λ2 = 600 m; Λ3 = 1 200 m; ∆1 = ∆2 = ∆3 = 12’’. Se pregunta: a) ¿Cuáles deben ser los valores de Η1 y Η 2 para que Θ2 sea cero?, b) ¿Cuáles serían los valores de Θ1 y Θ2 si Η1 fuera cero?.

coeficiente

242



23. En la figura se muestra una sistema de 3 reservorios. La válvula check ubicada en la tubería 1 está completamente abierta de modo que para un gasto de 250 |/s produce una pérdida de carga de 0,80 m. Calcular la longitud que debe tener la tubería 2. 180 m 1

1

150 m

14"; 1 000 m

14";

10"

3 000 m

120 m

2

24. Calcular el gasto en cada uno de los ramales del sistema mostrado en la figura. ζ1 ζ2

ζ3

2 1 3

P

ζ2 = 90 m Λ2 = 6 km ∆2 = 8’’

ζ1 = 100 m Λ1 = 4 km ∆1 = 10’’ Considerar

ζ3 = 80 m Λ3 = 5 km ∆3 = 6’’

ΧΗ = 120 para todas las tuberías.

25. Hallar el caudal en cada uno de los ramales del sistema

0,30 m 103 m

m 0 30 " 18

100 m

24"

0m 60 " 18

600 m

350 l/ s

0m 1 00 18"

P2

300 m 18"

P1

Considerar φ = 0,028 en todas las tuberías. 243



26. Calcular la potencia de salida de la turbina mostrada en la figura (eficiencia 0,9) 218 m

150 m

"; 18 6"; 800 m ; 0,019

15

2 0,0 ; m

00

T

125 m

P 12";

Θ= 550

300

l/s m; 0,01 9

100 m

27. El estanque 1 alimenta al sistema mostrado por medio de dos tuberías que totalizan 600 |/s. Las tuberías se juntan en el punto P en el que reciben a otra tubería que viene del estanque 2. Del nudo P sale una tubería en cuyo extremo hay una turbina. En el punto B la presión es de –2,5 m ( ΧΗ = 100 para todas las tuberías). Determinar la potencia teórica generada por la turbina. 150 m 140 m

20"

1

4 00

0m 24

18" 25 00

"

12

2

m 00

100 m

P

36"

4 000 m A

m

B

28. Calcular la potencia que debe tener la bomba para que el caudal en la tubería 3 sea de 40 |/s (ν = 10-6 m2/s). Eficiencia 0,75 126 m

124 m

3 4 100 m

2 1 B

244

P 0



Λ = 300 m; Λ = 1 500 m;

Tubería 1 : Tubería 2 :

Λ = 600 m; Λ = 600 m;

Tubería 3 : Tubería 4 :

κ = 0,00015 κ = 0,00015

∆ = 18’’; ∆ = 18’’; ∆ = 10’’;

κ = 0,000045 κ = 0,000045

∆ = 12’’;

29. En el sistema mostrado en la figura la bomba B suministra a la corriente una potencia de 76 HP. El gasto es de 250 |/s. Calcular cuál es la elevación de la superficie libre en el estanque C. Eficiencia 0,8. válvula

Κ = 2,5

C

2

18 m

5m

1

B

A

φ1 = 0,025 φ 2 = 0,018

∆1 = 16’’; ∆2 = 14’’;

Λ1 = 20 m; Λ2 = 180 m;

30. Se tiene una red de distribución de agua + 0,40 m C + 0,20 m

2 4

0m

B

1 B

P1

3

P2

5

- 0,30 m A

Los puntos P1 y P2 se encuentran al nivel 0,0 m. En los puntos A, B y C la presión debe ser de 15 m de columna de agua y el gasto de 8 |/s.

Λ1 = 200 m Λ2 = 50 m Λ3 = 30 m

Considere φ = 0,018 para todos los tubos. Calcular la potencia que debe tener la bomba (eficiencia del 85 %).

Λ4 = 80 m Λ5 = 100 m

245



31. Una tubería de abastecimiento de agua tiene una longitud de 1 200 m y un diámetro de 24’’. El coeficiente de Darcy es 0,022. La energía disponible es de 12 m. Por razones del servicio que da la tubería se requiere aumentar su caudal en 30 %. Hay dos posibilidades. Una es instalar una bomba. La otra es instalar una tubería en paralelo de iguales características a la existente. Cuál de las alternativas es más económica. La eficiencia de la bomba es 0,8 El costo de la tubería es S/. 5 000 por m instalado El costo del HP instalado es S/. 15 000 (comparar sólo los costos iniciales) 32. Se tiene una tubería de 20’’ de diámetro. Su longitud es de 2 000 m. La energía disponible es de 10 m. Calcular el gasto usando: a) La fórmula de Darcy, b) La fórmula de Hazen y Williams. La tubería es muy lisa. 33. El gasto entregado por el sistema mostrado en la figura debe ser 800 |/s. Determinar la potencia que debe tener la bomba, cuya eficiencia es de 0,8. Para todas las tuberías

ΧΗ =120.

90 m 85 m 18 " 50 00 m

18"

00 60

14 " m 6 000

m

P

30"

0m

5 000 m

70 m

B

34. De acuerdo a la figura, ¿Qué diámetro debe tener la conducción para elevar 70 |/s?. Las tuberías son de fierro fundido, nuevas. La potencia de la bomba es 122,3 HP (eficiencia 0,8). El fluido es agua con una viscosidad de 1,4 x 10-6 m2/s. Se dispone de tuberías de 6’’, 8’’ y 10’’ de diámetro. La máxima presión negativa admisible es –6 m. 33 m

3m

300 m

246

B

m 600



35. Una tubería de 18’’ de diámetro, fuertemente corroída, tiene una rugosidad de 1 mm. Con la potencia instalada (una bomba) se bombea en la actualidad un caudal de 300 |/s. Se trata ahora de bombear un caudal mayor con la misma potencia instalada, cambiando la tubería por una más lisa ( κ = 0,00025 m). ¿En cuanto aumentará el caudal? 36. Una tubería de abastecimiento de agua debe entregar uniformemente a lo largo de su recorrido 0,5 |/s por metro de recorrido. La longitud total es de 2 000 m y debe llegar al extremo final 140 |/s. La cota piezométrica inicial es de 42 m y la presión final es de 34 m. La tubería tiene una rugosidad κ = 2,5 x 10-4 m. La temperatura del agua es de 20 °C. Calcular el diámetro, y la presión que existirá en el punto medio. 37. De un tanque sale una tubería de 8’’ de diámetro y 1 000 ft de longitud. Esta tubería se bifurca en ramales de 6’’ de diámetro y 500 ft de largo. Los extremos descargan libremente en la atmósfera. Uno de los ramales tiene bocas de descarga distribuidas uniformemente a lo largo de la tubería de modo que la descarga de todas ellas es igual a la mitad del gasto en la tubería (la otra mitad descarga por la boca final). Las bocas de los dos ramales están al mismo nivel (50 ft debajo de la superficie libre del tanque). Calcular el gasto en cada ramal. Despreciar las pérdidas de carga locales. Considerar φ = 0,024 (constante). 38. Al cabo de 6 años de uso una tubería de fierro fundido ha duplicado el valor de su rugosidad absoluta. Calcular la pérdida de carga que tendrá esta tubería, de 12’’ de diámetro, para un gasto de 250 |/s, después de 20 años de servicio. La longitud de la tubería es 1 800 m. 39. Una tubería nueva de 30’’ de diámetro tiene un valor de φ igual a 0,0168 para una velocidad de 4,6 m/s. Después de 10 años de servicio tiene un valor de φ igual a 0,022, para una velocidad de 3,5 m/s. Calcular cuál será el valor de φ al cabo de 15 años de servicio, para una velocidad de 4 m/s. 40. B

D

A

C

400 l/s

Calcular el caudal en cada una de las tuberías de la red. Se sabe que

247



Tramo

Λ

∆

ΧΗ

AB

320 m

8”

90

AC

810 m

6”

120

BC

1 200 m

6”

120

BD

1 000 m

6”

120

CD

300 m

6”

110

En los puntos B, C y D las descargas son de 80, 120 y 200 |/s, respectivamente.

248



PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS (Capítulos I al V)

Problema 1 En una tubería de radio ρ la distribución de velocidades se expresa por 1ξ

η ςη = ςµαξ   ρ

Encontrar las expresiones para el cálculo de los coeficientes de Coriolis y Boussinesq. Hallar los valores particulares para

ξ igual 7.

Problema 2 La longitud de un tubo cónico vertical es de 10 m. La velocidad en el punto 1 (extremo superior) es de 9 m/s y en el extremo inferior es de 3 m/s (punto 2). La presión en el punto 2 equivale a 15 m de columna de agua. Encontrar la presión en el punto 1, en kg/cm2. El fluido es petróleo de peso específico relativo 0,93. Entre los extremos 1 y 2 del tubo existe una pérdida de carga η φ cuyo valor es

0,98

(ς1 − ς2 )2 2γ

Problema 3 Una tubería horizontal de 10’’ de diámetro y 500 m de largo conduce 0,20 m3/s de aceite de viscosidad 1,5 poise y peso específico relativo 0,8. La presión en el punto inicial es de 4 kg/cm2 y en el punto final es de 3 kg/cm2. Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular el número de Reynolds. Problema 4 De un estanque sale una tubería de 4’’ de diámetro cuyo punto de descarga está 10 m por debajo de la superficie libre del estanque. Las pérdidas de carga en el sistema equivalen a cuatro veces la carga de velocidad. Calcular el gasto y dibujar las líneas de energía y de gradiente hidráulica.

249



Problema 5 En una tubería hidráulicamente lisa de 0,75 m de diámetro se ha determinado que la distribución de velocidades es

ςη = 0,937 log η + 3,81 Calcular el gasto. Problema 6 En una tubería horizontal el gasto es de 0,5 l/s. El diámetro es de 6 cm. La viscosidad del fluido es 8 x 10-4 kg-s/m2 y su densidad relativa es 0,86. Calcular el valor de la velocidad máxima. Problema 7 En un canal muy ancho, cuyo fondo está constituido por partículas de diámetro uniforme y cuyo tirante es de 2 m, se ha determinado que la distribución vertical de velocidades es

ςη = 0,499 ln 75,38 η La temperatura del agua es de 15 °C, Calcular a)

La rugosidad absoluta

b)

La velocidad media

c)


d)

El gasto específico

e)

El coeficiente Χ de Chezy

f)

La pendiente de la superficie libre

g)

A que distancia del fondo la velocidad es igual a la velocidad media

h)

La velocidad a una profundidad 0,6 ψ (a partir de la superficie)

i)

El promedio de las velocidades a las profundidades 0,2 y 0,8 del tirante (a partir de la superficie).

j)

El esfuerzo de corte sobre el fondo.

Problema 8 En un canal muy ancho cuyo tirante es de 1,5 m se ha medido la velocidad a dos profundidades diferentes. A 0,50 m del fondo se encontró 1,41 m/s y a 1,00 m del fondo la velocidad fue 1,49 m/s. Calcular a)

La velocidad media

b)


c)

La pendiente de la superficie libre

250



Problema 9 Se tiene una tubería de 1 000 m de largo y 8’’ de diámetro que lleva agua a 20 °C. La tubería es de fierro fundido bastante oxidado. El punto inicial está en la cota 218,50 m y tiene una presión de 2,5 kg/cm2. El punto final está en la cota 219,20 y tiene una presión de 1 kg/cm2. a)

Decir si la tubería es hidráulicamente lisa o rugosa

b)

Calcular el coeficiente Χ de Chezy

c)

Calcular la velocidad máxima

d)

Calcular el coeficiente φ de Darcy

e)

Calcular la velocidad media y el gasto

Problema 10 En un canal muy ancho la velocidad superficial es 2,5 m/s y la velocidad media es 2,2 m/s. El gasto es de 4 m3/s/m. Calcular la pendiente de la superficie libre y la rugosidad del fondo. La temperatura del agua es 20 °C. Problema 11 Demostrar que en una tubería lisa de 30’’ de diámetro en la que circula petróleo de viscosidad 10-4 m2/ s, la pérdida de carga por kilómetro está dada por la expresión siguiente

η φ = Κς 1, 75 siendo η φ la pérdida de carga,

ς la velocidad media y Κ una constante. La validez de la fórmula

propuesta está limitada a un rango de velocidades comprendido entre 0,5 y 4 m/s. Hallar el valor numérico de Κ . Problema 12 Se requiere conducir a través de una tubería de fierro galvanizado de 1 200 m de longitud, un caudal de 3,5 m3/s de aire, a 15 °C. La viscosidad es 1,451 x 10-5 m2/s. ¿Qué diámetro de tubería comercial se necesita si la pérdida de carga es de 200 mm de columna de agua?. El peso específico del aire es 1,226 kg/m3 . Problema 13 Se tiene una tubería de 1 000 m de longitud y 0,20 m de diámetro. La rugosidad absoluta es de 1 mm. Circula agua a una velocidad de 4 m/s. La viscosidad es 10-6 m2/s. Calcular la pérdida de carga considerando que las paredes son hidráulicamente rugosas. No se debe utilizar ábacos.

251



Problema 14 Por una tubería lisa de 0,40 m de diámetro fluye agua de viscosidad 10-6 m2/s. El caudal es de 400 |/s. a)

Hallar la pendiente de la línea piezométrica.

b)

Hallar el espesor de la subcapa laminar.

c)

¿Cuál sería la rugosidad máxima aceptable en la tubería para que siga comportándose como hidráulicamente lisa?.

Problema 15 Sabemos que el flujo turbulento en una tubería da lugar a una distribución de velocidades que puede ser descrita por 17

 η ςη = ςµαξ 1 −   ρ expresión en la que ςη es la velocidad a la distancia

η del contorno, ςµαξ es la velocidad en el eje,

ρ es el radio de la tubería. Si el gasto en la tubería es Θ calcular la energía cinética total en función de Θ , ρ y la densidad del fluido. Comparar esta energía con la que se obtendría para el mismo gasto Θ en el caso de un movimiento laminar en la tubería. ¿Cómo se explica la diferencia en energía cinética?. Problema 16 En una tubería fluye agua (20 °C) con una velocidad media de 2,4 m/s. El coeficiente φ de Darcy es 0,019. Hallar el esfuerzo medio de corte sobre el contorno. Problema 17 En una tubería de 4’’ de diámetro fluye agua con una velocidad de 0,8 m/s (20 °C). El coeficiente φ de Darcy es 0,025. Hallar la velocidad de corte. Problema 18 Calcular el diámetro que debe tener una tubería de fierro fundido nuevo para llevar 0,240 m3/s. La viscosidad del agua es de 1,2x10-6 m2/s. La longitud de la tubería es de 800 m. La pérdida de carga no debe ser superior a 15 m. La velocidad media no debe ser superior a 3 m/s ni inferior a 1 m/s. Se dispone de tubos de 12’’, 14’’ y 16’’.

252



Problema 19 De un estanque sale una tubería de 0,80 m de diámetro en sus primeros 200 metros y luego 0,60 m de diámetro en los últimos 50 m. La embocadura es redondeada ( Κ = 0,2). La contracción es brusca. La energía disponible es de 10 m. La temperatura es de 20 °C. La tubería es de fierro fundido nuevo. a)

Hallar el caudal

b)

Hallar la potencia del chorro

c)

¿Qué potencia tendría el chorro si se colocara una boquilla convergente que reduce el diámetro a la mitad? ¿Cuál es el nuevo caudal?. Considerar

χς = 0,9

Problema 20 Dos estanques están unidos por una tubería de fierro galvanizado que tiene 6’’ de diámetro en sus primeros 10 m, 8’’ en sus segundos 10 m y 6’’ en los terceros 10 m. La diferencia de nivel entre los reservorios es de 10 m. La embocadura es de bordes agudos. Los cambios de sección son bruscos. Calcular al caudal, y cada una de las pérdidas de carga. Fluye agua a 20 °C. Problema 21 Hallar la longitud que debe tener una tubería de 10’’ de diámetro, cuyo punto de descarga está 10 m por debajo de su estanque alimentador, para que la pérdida de carga continua sea el 50 % de la energía disponible. La embocadura es con bordes agudos. La tubería es de fierro fundido nuevo. La temperatura del agua es 15 °C. Problema 22

1

600 l/s

8"

0 18

14

0m

16

16"

00 15

12"

"

m

17

"

00

16 00

m

m

2 200 m

Calcular el gasto y la pérdida de carga en cada tubería. Considere

ΧΗ = 100.

253



Problema 23 De un estanque sale una tubería de abastecimiento de agua de 3 200 m de longitud. El primer tramo es de 10’’ y mide 1 200 m. El segundo tramo es de 12’’ y mide 1 300 m. El tercer tramo es de 10’’. Toda la tubería es de fierro fundido viejo. Dibujar una curva gasto-energía disponible para valores de la energía comprendida entre 15 y 40 m. (Se sugiere usar la fórmula de Hazen y Williams y el método de la tubería equivalente) Problema 24 Un depósito de almacenamiento de agua desagua a través de una tubería de 24’’ de diámetro (acero ribeteado) la que recorre 1 800 m y se bifurca en ramales de 12’’ y 14’’. El primero tiene 800 m de longitud y descarga libremente a la atmósfera en un punto ubicado 25 m debajo de la superficie libre del estanque alimentador. El ramal de 14’’ tiene una longitud de 1 600 m; de su punto medio sale un ramal de 6’’ y 500 m de largo. Ambas bocas de descarga se encuentran 10 m por debajo del punto de descarga de la tubería de 12’’. Los ramales son de fierro fundido viejo. Calcular el gasto en cada boca de descarga. Problema 25 Se tiene una tubería de 1 m de diámetro que da servicio a lo largo de su recorrido de modo que cada 0,5 m tiene una salida que descarga 25 litros por segundo. El gasto inicial es de 1 m3/s. Calcular la pérdida de carga que se producirá en el tramo de longitud Λ , que es necesario para que el gasto inicial haya disminuido a la mitad. Considere que φ es constante e igual a 0,025. Problema 26 De un estanque sale una tubería compuesta de dos tramos en serie. El primero tiene un diámetro de

κ de 10-4 m. El segundo tiene una longitud de 800 m, un diámetro de 0,40 m y una rugosidad absoluta κ de 5x10-5 m. La carga disponible es de 50 m. La viscosidad del agua

0,20 m y una rugosidad absoluta

es de 10-6 m2/s. Calcular la longitud mínima que debe tener el primer tramo para que el segundo tramo se comporte como una tubería hidráulicamente lisa. No considerar pérdidas de carga locales.

254



Problema 27 Para el sistema mostrado en la figura, calcular el gasto π

π = 2 atmósferas

Κ Ε = 0,5 (entrada) Κς = 2 (válvulas)

3m

Κ Χ = 0,2 (codo) Λ (total) = 100 m

κ = 3x10-5 m 3m

∆ = 25 mm

ν = 10-6 m2/s

1m

255

Χαπτυλο ςΙ

Χ〈λχυλο δε χαναλεσ

CAPITULO

ςΙ

CALCULO DE CANALES

6.1 Condiciones normales Los aspectos teóricos más importantes del flujo uniforme en canales han sido ya presentados en los capítulos I y II. Ahora, en este capítulo VI, se expone esencialmente el cálculo de canales. Es decir, el dimensionamiento de la sección transversal para conducir un gasto dado en determinadas condiciones. Supongamos que en un canal escurre libremente un caudal Θ . El movimiento es permanente y uniforme. La profundidad del agua (tirante) está determinada por la pendiente, la rugosidad, la forma de la sección transversal y por el caudal Θ , que según hemos dicho antes se supone que es constante. El tirante con el que escurre el agua (o cualquier otro líquido) en estas condiciones se llama tirante normal. El tirante normal es, pues, el que caracteriza al movimiento permanente y uniforme. Si el movimiento fuera, por ejemplo, gradualmente variado habría para cada sección un tirante diferente del normal (mayor o menor según el caso). Al respecto se puede observar la Figura 1.4. En el capítulo II hemos establecido la ecuación general para el cálculo de la velocidad media en un conducto

ς = Χ ΡΣ en el cual ς es la velocidad media,

(6-1)

Χ el coeficiente de Chezy, Ρ el radio hidráulico y Σ la

pendiente.

257



Esta ecuación corresponde a una sección determinada cuyo radio hidráulico Ρ implica un tirante " ψ " que es el tirante normal. Esta ecuación (6-1) llamada de Chezy fue establecida en el capítulo II (ec. 2-42) mediante consideraciones teóricas basadas en las ecuaciones de Karman-Prandtl. Lo esencial en esta ecuación es que el coeficiente Χ de Chezy tiene una estructura que es función de las características del escurrimiento y de la naturaleza de las paredes. La expresión general del coeficiente Χ es

Χ = 18 log

6Ρ κ δ + 2 7

(6-2)

Ρ es el radio hidráulico, κ la rugosidad absoluta y δ el espesor de la subcapa laminar. Según los valores relativos de κ y de δ el contorno puede considerarse hidráulicamente liso o hidráulicamente rugoso. Esta ecuación aparece en la forma presentada por Thijsse. La ecuación de Chezy resulta ser entonces,

ς = 18 log

6Ρ κ δ + 2 7

ΡΣ

(6-3)

El gasto se obtiene inmediatamente a partir de la ecuación de continuidad. Los valores de la rugosidad absoluta

κ pueden obtenerse de la Tabla 6.1 que es una ampliación

de la Tabla 2.1 (o de la Tabla 4.4). La velocidad media puede expresarse también por medio de la ecuación de Colebrook White, estudiada el capítulo III

 κ  2,51ν + ς = −2 8 γ ΡΣ log   14,8 Ρ 4 8 γ Ρ ΡΣ 

(6-4)

Esta ecuación es equivalente a la de Chezy. Como en muchos casos el canal es hidráulicamente rugoso las ecuaciones 6-3 ó 6-4, que son generales, pueden fácilmente reducirse a este caso particular.

258


Χ〈λχυλο δε χαναλεσ TABLA 6.1 VALORES DE LA RUGOSIDAD ABSOLUTA

κ κ (m)


-6


1,5 x 10

Fierro forjado

4,5 x 10

-5

-5

5 x 10

Acero rolado, nuevo Acero laminado, nuevo

-5

-4

4 x 10

– 10 -4


2,5 x 10

Fierro galvanizado

1,5 x 10


1,2 x 10

Fierro fundido, oxidado Acero remachado

-4 -4

-3

-3

1 x 10

– 1,5 x 10

-4

-3

0,9 x 10

– 0,9 x 10 -4

4 x 10

Cemento enlucido

-5


2,5 x 10

Concreto centrifugado, nuevo

1,6 x 10

-4

-5

10


-5

2,5 x 10

Concreto liso

-4


2 x 10


10

-3

-3

– 3 x 10 -2

10


-4

– 3 x 10

-4

1,8 x 10

-4

– 9 x 10 -4

Piedra asentada y bien lisa

5 x 10

Revestimiento de piedra

2 x 10

-3

-2

10

Grava

-2

Piedra pequeña

2 x 10

Piedra grande

5 x 10

-2

0,1

Roca

-3

3 x 10

Tierra (lisa) Fondo con transporte de arena Acequia con vegetación

NOTA: Téngase presente que el valor de

-2

10

-2

– 5 x 10 0,1

κ señalado para los contornos muy rugosos (roca,

fondo de arena, etc.) es absolutamente referencial y sujeto a grandes variaciones según las circunstancias de cada caso particular.

259



6.2 Fórmulas antiguas Desde el Siglo XVIII se conocía la ecuación de Chezy (6-1), pero se ignoraba la naturaleza y estructura del coeficiente

Χ . La fórmula se originó en 1 768 cuando Chezy recibió el encargo

de diseñar un canal para el suministro de agua a París. Hubo una larga época en la que se consideró que el coeficiente

Χ era constante e igual a 50,

para cualquier río. Examinaremos brevemente algunas de las numerosas fórmulas de origen experimental que en el pasado se estableciera para el coeficiente

Χ.

Las fórmulas que presentaremos a continuación son las de Ganguillet-Kutter, Kutter y Bazin. Las tres fórmulas se caracterizan por corresponder a la siguiente expresión genérica

Χ=

Ξ Ψ 1+ Ρ

(6-5)

Los valores de Ξ e Ψ corresponden a cada fórmula particular. Ρ es el radio hidráulico.

Χ

es el coeficiente a usarse en la ecuación de Chezy. a) Fórmula de Ganguillet-Kutter La fórmula, establecida en 1 869 por los ingenieros suizos E. Ganguillet y W. R. Kutter, se basó en numerosas mediciones, incluyendo el río Mississippi. Durante muchos años estuvo bastante extendido el uso de esta fórmula. Su expresión es

1 0,00155 + ν Σ Χ= 0,00155  ν  1 +  23 +  Σ   Ρ 23 +

(6-6)

Χ es el coeficiente de Ganguillet-Kutter a usarse en la fórmula de Chezy (6-1), Σ es la pendiente, Ρ el radio hidráulico y ν un coeficiente de rugosidad (de Kutter), cuyos valores aparecen en la Tabla 6.2.

260



Conviene comentar algunas particularidades de esta fórmula. Si el radio hidráulico es igual a 1 entonces

Χ resulta ser independiente de la pendiente y la fórmula se reduce a Χ=

Según señala King, la pendiente

1 ν

(6-7)

Σ fue introducida en la fórmula de Ganguillet-Kutter para

lograr concordancia con las mediciones efectuadas por Humphreys y Abbott en el río Mississippi. Sin embargo, parecería que los errores (10 a 15 %) que tuvieron esas mediciones orientaron erróneamente a Ganguilllet y Kutter. Algunos piensan que si no se hubiera introducido la influencia de la pendiente, los resultados de la fórmula serían más precisos. Se observa que la fórmula de Ganguillet-Kutter corresponde a la forma genérica de la ecuación 6-5. La fórmula de Ganguillet-Kutter en el sistema de unidades inglesas es

0,00281 1,811 + Σ ν Χ= 0 , 00281   ν 1 +  41,65 +  Σ   Ρ 41,65 +

(6-8)

b) Fórmula de Kutter Para pendientes mayores que 0,0005 (1/2 000) la fórmula de Ganguillet-Kutter tiene una forma particular establecida por Kutter y que es independiente de la fórmula (6-6). La fórmula es

Χ=

100 Ρ µ+ Ρ

(6-9)

Los valores del coeficiente de rugosidad

µ son diferentes de los valores de ν (Kutter). Ρ es el radio hidráulico. Χ es el coeficiente a usarse en la ecuación de Chezy. Los valores de µ aparecen en la Tabla 6.3.

261



VALORES DEL COEFICIENTE

ν DE KUTTER QUE GENERALMENTE

SE USA EN LOS DISEÑOS.

SUPERFICIE

ν

Superficie metálica, lisa, sin pintar

0,012

Superficie metálica, lisa, pintada

0,013

Superficie metálica, corrugada

0,025

Cemento liso

0,011

Mortero de cemento

0,013

Madera cepillada

0,012

Madera sin cepillar

0,013

Tablones sin cepillar

0,014

Concreto liso

0,013


0,014

Concreto frotachado

0,015

Concreto sin terminar

0,017

Gunita (sección bien terminada)

0,019

Gunita (sección ondulada)

0,022

Superficie asfáltica lisa

0,013

Superficie asfáltica rugosa

0,016

Tierra, limpia, sección nueva

0,018

Tierra, limpia, sección antigua

0,022

Tierra gravosa

0,025

Tierra, con poca vegetación

0,027

Tierra, con vegetación

0,035

Tierra, con piedras

0,035

Tierra, con pedrones

0,040

Para secciones circulares (trabajando como canal) Metal, liso

0,010

Acero soldado

0,012

Acero riveteado

0,016

Fierro fundido

0,013 – 0,014

Cemento

0,011 – 0,013

Vidrio

262

0,010


Χ〈λχυλο δε χαναλεσ TABLA 6.3


µ DE RUGOSIDAD A USARSE EN LA FORMULA DE

KUTTER PARA PENDIENTES MAYORES QUE 0,0005

CATEGORIA I

FORMA

DESCRIPCION

µ

Superficie muy lisa. Cemento muy pulido

0,12

II

Superficie bastante lisa. Madera cepillada

0,15

III

Superficie bien terminada

IV

Superficie usada. Tuberías de abastecimiento

Semicircular

0,20

de agua con mucho tiempo de servicio, pero Rectangular V VI

y

0,25

sin grandes incrustaciones

0,30 - 0,35

Piedra labrada bien acabada Piedra no bien terminada, usada

0,45

VII

Piedra rústica, fondo con poco lodo

0,55

VIII

Piedra mal terminada, fondo fangoso

0,75

IX

Piedra antigua, sin vegetación, fangoso

1,00

Otras

Fondo rocoso. Ancho inferior a 1,50 m. Poca Xa

vegetación

1,25

Xb

Sección definida, en tierra sin vegetación

1,50

XIa

En tierra con fondo pedregoso o fangoso. Poca vegetación. Ancho superior a 2 m Trapecial

XIb

(corresponde a algunos arroyos y ríos)

1,75

En tierra o piedra, lecho fangoso, con vegetación

abundante

(corresponde

a

algunos arroyos y ríos) XII

2,00

En tierra con vegetación muy abundante. Con mal mantenimiento, lecho fangoso. Arrastre de fondo

2,50

263



c) Fórmula de Bazin Esta fórmula fue establecida por Bazin en 1897

Χ=

87 Γ 1+ Ρ

(6-10)

Χ es el coeficiente a usarse en la fórmula de Chezy, Ρ el radio hidráulico, Γ el coeficiente de rugosidad de Bazin. Los valores del coeficiente

Γ aparecen en la Tabla 6.4 determinada por el autor de la fórmula TABLA 6.4


Γ DE RUGOSIDAD A UTILIZARSE

EN LA FORMULA DE BAZIN CATEGORIA 1

DESCRIPCION Contorno muy liso, perfectamente ejecutado. Plancha metálica. Cemento liso, madera muy cepillada.

Γ 0,06

2

Contornos lisos. Concreto bien acabado.

0,16

3

Concreto sin pulir. Albañilería de piedra bien terminada.

0,46

4

Canales en tierra, sin vegetación.

0,85

5

Canales en tierra con hierbas. Ríos de cauce irregular, sin vegetación.

1,30

Canales en tierra con vegetación. Fondo de cantos 6

rodados.

Canales en tierra muy erosionados e

1,75

irregulares.

Además de las tres fórmulas presentadas ha habido desde fines del siglo XIX una cantidad enorme de ellas. Sólo a título ilustrativo podríamos mencionar las siguientes. Knauff, quién en realidad presentó un conjunto de fórmulas, cada una de las cuales se aplica según la forma de la sección y la naturaleza de las paredes. Utilizó el concepto de rugosidad de Kutter.

264



Siedek publicó en Viena en 1901 "una nueva fórmula para el cálculo de canales" que es en realidad bastante complicada. Al igual que muchas fórmulas de esta época está basada en modificaciones de las ideas de Kutter y Bazin. Lindboe publico en 1910 una "nueva fórmula" para el cálculo de la velocidad media en corrientes naturales. Matakiewiez publicó en 1910 otra nueva fórmula para cursos naturales (ríos). Hay muchas otras más como la de Christen (1903), Forchheimer (1915), Groeger (1914), Scobey, etc. Respecto a las fórmulas empíricas para el cálculo de la velocidad media es conveniente citar lo escrito por el profesor Francisco Javier Domingez. "Una crítica razonada y científica de las fórmulas anteriores no puede hacerse, pues, en primer lugar, no descansan en base científica, sino que son fórmulas empíricas de resultados experimentales y hay, además, dificultades de otro orden, que impiden una comparación justa. En efecto, ¿Cómo pretender comparar las categorías fijadas por un experimentador con las de otro?. Es evidente que en la primera categoría, que es la mejor definida, cabe una comparación y en ella parece adaptarse mejor a las experiencias la de Bazin que la de Ganguillet y Kutter y Manning; pero pasando a otras categorías, mientras más áspera es la pared, más difícil es comparar. Hay otra dificultad y es determinar por simple inspección que categoría de una fórmula que se quiere usar, corresponde a un canal existente, y es aún más difícil proyectar un canal dándose a priori la categoría que debe asignársele. Por otra parte, la rugosidad de pared de un lecho cambia si está sujeto a posibles embancamientos, deformaciones y vegetaciones, variables de una estación a otra: estamos lejos de haber expresado en fórmulas la asperidad de la pared de los canales, variable desde un cemento liso hasta una roca’’.

6.3 Fórmula de Manning Es la fórmula cuyo uso se halla más extendido en la actualidad. Proviene de considerar que en la fórmula de Chezy el coeficiente

Χ es

Χ=

1 6

Ρ ν

(6-11)

de donde al sustituir en 6-1 se obtiene la fórmula de Manning

265


Αρτυρο Ροχηα 2

1

Ρ3Σ 2 ς= ν

(6-12)

y el gasto es

Θ=

2 3

ΑΡ Σ ν

1 2

(6-13)

Los valores del coeficiente de rugosidad son los de Kutter (Tabla 6.2), los mismos que se utilizan en la fórmula de Ganguillet-Kutter (6-6). Se observa que las dimensiones de

−

ν son ΤΛ

1 3.

En consecuencia, al tener

ν unidades

debería de cambiar de un sistema de unidades a otro. Sin embargo, desde el principio se impusieron los valores de

ν determinados por Kutter (sistema métrico decimal) y se halló una solución práctica que consiste en considerar a ν como adimensional e incorporar en la

ecuación de Manning, en unidades inglesas, un factor de corrección que es parte de la fórmula. Así se tiene, que en el sistema de unidades inglesas, la ecuación de Manning es 2

ς=

1

1,486 3 2 Ρ Σ ν

(6-14)

Las unidades de 1,486 son ft1/3 /sec. (1,486 = 3,28081/3). En el sistema métrico decimal la constante vale 1 y sus unidades son m1/3/s. Dado el carácter empírico de la fórmula de Manning debe esperarse que su validez esté limitada a determinadas condiciones. Rouse, en su "Hidráulica" señala que: "La fórmula de Manning es aceptable para valores intermedios de la rugosidad relativa. Tampoco hay que olvidar que una expresión de este tipo no puede englobar la acción de la viscosidad. Es, pues, de suponer que su poca exactitud disminuya con números de Reynolds bajos". En la literatura europea es frecuente que la fórmula aparezca con el nombre de Strickler o de Manning-Strickler y con la siguiente forma 2

1

ς = κΡ 3 Σ 2 siendo,

266

(6-15)



κ=

1 ν

(6-16)

La ecuación de Strickler se conoce frecuentemente en los libros técnicos franceses con el nombre de fórmula de Gauckler, quien fue un ingeniero que en 1868 publicó en "Annales des Ponts et Chaussées" la fórmula en cuestión, la misma que en 1891 fue atribuida en su forma actual al irlandés Manning. Algunos autores soviéticos consideran que en lugar de la fórmula 6-11 debería usarse otra similar, pero con exponente variable. En 1925 Pavlovski presentó la expresión siguiente

Χ=

Ρξ ν

(6-17)

Siendo,

ξ = 2,5 ν − 0,13 − 0,75 Ρ

(

ν − 0,10

)

(6-18)

Χ es el coeficiente de Chezy en unidades métricas. Esta fórmula es válida para radios hidráulicos comprendidos entre 0,1 m y 3 m y para valores de ν comprendidos entre 0,011 y 0,040. La ecuación 6-18 se puede simplificar para fines prácticos, con las siguientes ecuaciones Para

Ρ <1m

ξ = 1,5 ν

(6-19)

Para

Ρ >1m

ξ = 1, 3 ν

(6-20)

Para el cálculo de un canal, o sea para el dimensionamiento de la sección transversal, deberá tomarse en cuenta todos los factores que afecten al coeficiente

ν de Kutter, los mismos que

serán analizados más adelante. Ejemplo 6.1 Se tiene un canal rectangular de 10 m de ancho y 3 m de tirante que conduce agua. La superficie es de concreto, bien acabado, pero con varios años de uso. La pendiente es 0,0008. Calcular el gasto utilizando las fórmulas de Ganguillet-Kutter, Kutter, Bazin, Manning, Chezy y Pavlovski. Comparar los resultados. (Τ = 20 °C) Solución. En primer lugar se calcula de inmediato el radio hidráulico que resulta ser Ρ = 1,875 m

267



Fórmula de Ganguillet-Kutter. La descripción del contorno corresponde a ν = 0,014. Entonces,

23 + Χ=

1 0,014

+

0,00155 0,0008

0,00155  0,014  1 +  23 +  0,0008  1,875 

= 77 m1/2/s

de donde,

ς = Χ ΡΣ = 2,98 m/s

Θ = Ας = 89,4 m3/s b)

Fórmula de Kutter (Σ > 0,0005). La descripción del contorno corresponde a µ = 0,25

Χ =

100 1,875 0 , 25 + 1,875

= 85 m1/2/s

ς = 3,29 m/s Θ = 98,7 m3/s c)

Fórmula de Bazin. La descripción del contorno corresponde a Γ = 0,16 87

Χ = 1+

0 ,16

= 78 m1/2/s

1,875

ς = 3,02 m/s Θ = 90,6 m3/s d)

Fórmula de Chezy. La descripción del contorno corresponde a κ = 3x10-4 m ς* = 0,121 m/s

δ = 0,000096 m

ς* κ = 36 (transición) ν

Χ = 87 m1/2/s

por lo tanto, ς = 3,37 m/s Θ = 101,1 m3/s

268

Χαπτυλο ςΙ e)


Fórmula de Manning. (ν = 0,014) 2

1

Ρ3Σ 2 = 3,07 m/s ς= ν

Θ = 92,1 m3/s (Corresponde a un valor de Χ igual a 79 m1/2/s, que se obtiene aplicando la ecuación 6-11) f)

Fórmula de Pavlovski. (ν = 0,014) ξ = 2,5 0,014 − 0,13 − 0,75 1,875 Χ=

( 0,014 − 0,10) = 0,147

Ρξ = 78 m1/2/s ν

ς = Χ ΡΣ = 3,02 m/s Θ = 90,6 m3/s COMPARACION DE LOS RESULTADOS FORMULA

Χ

ς

Θ

Ganguillet – Kutter

77

2,98

89,4

Kutter

85

3,29

98,7

Bazin

78

3,02

90,6

Chezy

87

3,37

101,1

Manning

79

3,07

92,1

Pavlovski

78

3,02

90,6

Promedio

81

3,13

93,8

Ejemplo 6.2 ¿Cuáles serían los valores del gasto en el canal del ejemplo anterior según las mismas fórmulas y considerando que el canal fuera de tierra con fondo pedregoso, en buen estado. Comparar los resultados de ambos ejemplos. Solución. a)

Ganguillet-Kutter ν Χ ς Θ

= = = =

0,025 45 m1/2/s 1,74 m/s 52,2 m3/s 269

Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ b)

c)

d)

e)

f)


Kutter µ Χ ς Θ

= = = =

1,75 44 m1/2/s 1,70 m/s 51 m3/s

Γ Χ ς Θ

= = = =

1,3 45 m1/2/s 1,74 m/s 52,2 m3/s

κ Χ

= =

5x10-2 m 48 m1/2/s

ς Θ

= =

1,86 m/s 55,8 m3/s

ν ς Θ

= = =

0,025 1,72 m/s 51,6 m3/s

ν ξ Χ ς Θ

= = = = =

0,025 0,206 46 m1/2/s 1,78 m/s 53,4 m3/s

Bazin

Chezy

Manning

Pavlovski

COMPARACION DE LOS GASTOS CALCULADOS (m3/s) SUPERFICIE

CONCRETO BIEN ACABADO

EN

CON VARIOS AÑOS DE USO

PEDREGOSO, BUEN ESTADO

Ganguillet - Kutter

89,4

52,2

Kutter

98,7

51

Bazin

90,6

52,2

Chezy

101,1

55,8

Manning

92,1

51,6

Pavlovski

90,6

53,4

FORMULA

270

TIERRA

CON

FONDO



De este ejemplo obtenemos algunas conclusiones importantes. En primer lugar, las diversas fórmulas no dan una gran dispersión en los resultados, para una misma naturaleza del contorno. En segundo lugar, y esto es muy importante, la velocidad está fuertemente influenciada por la naturaleza del contorno. En el diseño de un canal será de primerísima importancia la correcta estimación de la rugosidad de las paredes. De acá vemos la importancia que tiene el revestimiento. Al obtenerse una superficie más lisa se logra disminuir el tamaño de la sección transversal ó aumentar la capacidad de descarga del canal.

6.4 Discusión de los valores del coeficiente de rugosidad ν a emplearse en la fórmula de Manning Básicamente se presentan dos problemas de naturaleza diferente a)

Dado un curso de agua existente calcular el gasto Θ que puede escurrir, aplicando la fórmula de Manning. Para ello se requiere estimar el valor de

ν que corresponde al

cauce. b)

Dado un problema de diseño hay que considerar para la superficie (revestimiento) que va a tener el canal, cual es el valor de

ν que se le asigna.

Las tablas consideran los valores usuales del coeficiente

ν para condiciones que podríamos

llamar normales. Sin embargo, lo normal es que un canal tenga uno o varios de los problemas que a continuación se señalan y que modifican el valor original que podía haberse asignado a El coeficiente

ν.

ν depende, pues, esencial, pero no exclusivamente de la aspereza de la

superficie. También interviene lo siguiente a)

Curvas. No es correcto considerar el coeficiente de rugosidad, que estrictamente es un coeficiente de resistencia, como independiente del alineamiento del canal. La presencia de curvas aumenta la resistencia. Especialmente si estas son numerosas y de pequeño radio de curvatura.

b)

Vegetación. Es particularmente importante en canales pequeños. Su crecimiento puede alterar esencialmente los valores supuestos en base únicamente a la rugosidad. Es frecuente en canales en tierra. Su crecimiento desmedido puede dar lugar fácilmente a aumentos del orden del 50 % en el valor de

c)

ν.

Irregularidades. Los canales en tierra se caracterizan por no tener una sección transversal invariable. Las pequeñas irregularidades que pueden ocurrir como consecuencia de bancos, depósitos de sedimentos, etc. alteran el valor de la rugosidad supuesta.

271



Esto se agrava cuando el canal tiene transporte sólido, que motiva una configuración variable del lecho. d) Tirante. En general al aumentar el tirante se tendrá, de acuerdo a la teoría, que la rugosidad relativa disminuye y por lo tanto también debe disminuir el coeficiente Cowan determinó que el valor de

ν.

ν a considerarse en los cálculos debería tomar en cuenta

los factores anteriormente señalados, según la ecuación siguiente

ν = (ν0 + ν1 + ν2 + ν3 + ν4 )µ5 siendo

ν0 : el valor básico que depende de la rugosidad (aspereza)

ν1 : es un valor adicional para tomar en cuenta las irregularidades ν2 : es un valor adicional para tomar en cuenta las variaciones en la forma y tamaño de la sección transversal

ν3 : es para tomar en cuenta las obstrucciones

ν4 : es para tomar en cuenta la vegetación µ5 : es un factor para tomar en cuenta los meandros Al respecto se incluye la Tabla 6.5 tomada del libro de Ven Te Chow.

6.5 Determinación de la sección transversal En el cálculo de la sección de un canal debe partirse del hecho siguiente: desde el punto de vista hidráulico hay, en principio, un número infinito de soluciones. En el caso de un canal que va a ser construido, el gasto o caudal esta dado por las condiciones de diseño; no proviene de un cálculo hidráulico, sino de la función del canal, de la naturaleza del servicio que presta y por cierto del análisis que se ha hecho de las disponibilidades de agua. El caudal de diseño Θ es un dato impuesto al que debe adecuarse al cálculo de la sección del canal. Un canal puede servir para abastecer de agua a una ciudad, servir a una irrigación, a una central hidroeléctrica o tener un uso múltiple. Para transportar un gasto Θ podemos, dentro de las limitaciones topográficas, adoptar una determinada pendiente compatible con la naturaleza del revestimiento, que escogeremos en función de varios factores: costo, seguridad, disponibilidad de materiales, etc.

272



TABLA 6.5 TABLA DE COWAN PARA DETERMINAR LA INFLUENCIA DE DIVERSOS FACTORES SOBRE EL COEFICIENTE

ν

Tierra Superficie del Canal

Roca Grava fina

0,000 ν1

0,010 0,020

Gradual

0,000

Ocasional

Menor Apreciable

ν2

0,005 0,010 – 0,015 0,000

ν3

0,010 – 0,015 0,020 – 0,030

Severo

0,040 – 0,060

Bajo

0,005 – 0,010

Medio Alto

ν4

Menor Apreciable Severo

0,010 – 0,025 0,025 – 0,050 0,050 – 0,1

Muy alto

Intensidad de Meandros

0,005

Severa

Despreciable

Vegetación

0,024

Suave

Frecuente

Efecto de la Obstrucción

0,025

0,028

Moderada

Variación de la Sección

ν0

Grava gruesa

Menor

Irregularidad

0,020

1,000 µ5

1,150 1,300

ν = (ν0 + ν1 + ν2 + ν3 + ν4 )µ5

273



En esas condiciones podemos diseñar diversas secciones transversales: rectangular, trapecial, semicircular, etc. En la Figura 6.1 se observa varias secciones transversales que se caracterizan por tener todas un radio hidráulico de 1 m.

4m 1,5 m 6m

6m 3m 3m

2m 4m

2,4 m

45°

1,095 m

20 m

Figura 6.1 Comparación de varias secciones transversales que se caracterizan por tener todas un radio hidráulico de 1 m

Veamos, con un poco más de detenimiento, cuales son los factores limitantes para el diseño. No siempre un canal conduce agua totalmente libre de partículas sólidas (sedimentos). Debemos admitir, pues, que en muchos casos el agua contendrá partículas en suspensión (arenas, limos, arcillas) de diferente diámetro. Si la velocidad del canal es pequeña hay la posibilidad de que estas partículas sedimenten formando bancos o depósitos. Dado que la sección transversal se caracteriza por tener una distribución de velocidades, hay zonas en las que la velocidad es notablemente menor que la velocidad media.

274



Sin embargo, se considera que, por lo menos en primera aproximación, la velocidad media es un parámetro útil para examinar la posibilidad de sedimentación. Cada partícula sólida se mantiene en suspensión en función de la relación que existe entre su velocidad de caída

ω

y la velocidad ς de la corriente.

ς ω ς

ω

Valores altos de esta relación indican tendencia a la sedimentación y al depósito. Las partículas actúan como proyectiles y si la velocidad es alta pueden destruir el revestimiento. El problema de erosión y sedimentación es más serio en tramos en curva, pues en una margen la velocidad es muy grande y en la otra muy pequeña. Según la naturaleza de las paredes hay tablas que dan las velocidades límites. La velocidad ideal es aquella que para las características del agua y del revestimiento no produce erosión ni sedimentación y da lugar a un costo mínimo de construcción. El talud de la sección depende de la naturaleza del terreno. Desde el punto de vista puramente hidráulico se puede lograr los mismos resultados con un canal de cualquier forma.

1

ζ Los taludes que generalmente se recomienda son los siguientes (en seco)

MATERIAL

TALUD ζ

Roca dura y sana

0

Roca fisurada

0,5

Suelos cementados, firmes

1

Tierra arcillosa

1,25

Tierra arenosa

1,5

Arena

2 ó más

Los valores consignados en esta tabla deben considerarse meramente referenciales. Siempre consideramos que el talud se define como 1 vertical y ζ horizontal.

275



La sección hidráulica de un canal debe satisfacer la fórmula de Manning (o alguna de las otras).

Θ=

2 3

ΑΡ Σ ν

1 2

de donde, 2 3

ΑΡ =

Θν Σ

(6-21)

1 2

El miembro de la izquierda describe la geometría de la sección transversal. El valor

ΑΡ 2 / 3

generalmente crece al aumentar el tirante. Para un valor del gasto y una rugosidad y pendiente dadas hay un valor de

ΑΡ 2 / 3 que corresponde al tirante normal.

Para realizar un buen diseño, debemos tener una idea clara de como varía el gasto con el tirante, lo que se logra efectuando el cálculo respectivo y graficando como se ve en la figura adjunta.

ψ

ψ = φ (Θ )

(6-22)

Θ Empezaremos por analizar como se realiza el cálculo cuando hay una condición impuesta. Esta puede ser el ancho en la base o el tirante. Si ninguna de estas dos condiciones es impuesta, entonces tenemos mayor libertad para escoger la sección transversal.

CASO A: Se conoce el ancho Los datos son

β Θ Σ ζ ν 276

:

ancho en la base

:

gasto

:

pendiente

:

talud

:

rugosidad

β en la base



La incógnita es el tirante ψ Este caso se presenta con alguna frecuencia dado que por razones constructivas se puede requerir para el canal un ancho determinado. Para la solución de este caso Ven Te Chow ha preparado un gráfico al que se entra con los valores de

ΑΡ 2 / 3 ψ y se obtiene el valor de , para cada talud (Figura 6.2), tal como se ve en 8/3 β β

el esquema adjunto.

ζ

ψ β

ΑΡ β

Para el cálculo de

2/3

8/3

ΑΡ 2 / 3 basta con recordar que (6-21) β8 / 3 2

ΑΡ 3 =

Θν 1

Σ2

Ejemplo 6.3 Se tiene un canal trapecial revestido en tierra en regulares condiciones de conservación. El ancho en la base es de 4 m. El talud de 45°. La longitud de canal entre los puntos A y B es de 1 000 m. La cota del punto A es 836,5 m y la cota del punto B es 835,8 (ambas cotas están medidas en la superficie libre). El gasto es de 8 m3/s.Calcular el tirante normal. Dibujar la función gasto-tirante.

277

0,001

0,01

0,1

0,2

1

0,5

2

3

10 4 5 67 9 10 8

6

6

4

MEH

3 2

ψ β

1,0 0,8

ó

0,4

ψ ∆

ψ

∆ ζ=

0

(re

ct

g an

) ar ul

ζ

,5 =0

ζ=

0,3 cir

0,2

la cu

2

1,0

ζ ζ ζ ζ ζ

0,6

4 3

= = = = =

1,5 2,0 2,5 3,0 4,0

1,0 0,8 0,6 0,4 0,3

r

0,2

0,1 0,08

0,1 0,08

0,06

0,06

0,04

ζ

ψ ∆

0,03

β

0,02

0,02

0,01 0,0001

ó

0,04

ψ

1

0,03

ψ β


278

0,0001 10 8

0,001

0,01

0,1

β

2/3

8/3

ó

ΑΡ

0,5

1

2/3

8/3

∆

Figura 6.2 Curvas para determinar el tirante normal (Ven Te Chow)

2

3

4 5 67 9 10

0,01


ΑΡ

0,2



Solución. Θ = 8 m3/s β=4m ζ=1 Σ = 0,0007 ν = 0,02 (Tabla 6.2) 2 2 3

ΑΡ =

Θν Σ

De la Figura 6.2 se obtiene

1 2

o o o

= 6,04

ΑΡ 3 8

= 0,15

β3

ψ = 0,315 β

de donde ψ = 1,26 m Luego el tirante normal es 1,26 m y se puede calcular toda la sección transversal (para 8 m3/s). Examinemos ahora el método de tanteos, tanto para resolver este ejemplo sin la ayuda del gráfico de Ven Te Chow, como para obtener la función gasto - tirante (ec 6-22). Consideremos una sección trapecial como la mostrada en la figura

ψ

1

ζ β

Aplicando ecuaciones conocidas se obtienen las expresiones siguientes Α = (β + ζψ )ψ

(6-23)

Π = β + 2ψ 1+ ζ2

(6-24)

Ρ=

(β + ζψ )ψ

(6-25)

β + 2ψ 1+ ζ2

De donde,

 (β + ζψ )ψ  2 β + 2ψ 1+ ζ Θ = (β + ζψ )ψ  ν

2

3 1  Σ2 

(6-26)

279



Reemplazando los datos del ejemplo se tiene Α = (4 + ψ )ψ Π = 4+ 2 2ψ Ρ=

(4 + ψ )ψ 4+ 2 2ψ

2

1  (4 + ψ )ψ  3   (0,0007)2  4 + 2 2 ψ  Θ = (4 + ψ )ψ  0,02

Tenemos así una ecuación con una incógnita, que puede ser resuelta por el método de tanteos. 2

 (4 + ψ )ψ  3 Θ = 1,323(4 + ψ )ψ    4 + 2 2 ψ 

Dando valores al tirante ψ se obtiene lo siguiente

ψ (m) 3

ψ (m)

Θ (m /s)

0,9

4,48

1,0

5,37

1,1

6,34

1,2

7,37

0,8

1,3

8,48

0,6

1,4

9,66

0,4

1,5

10,92

0,2

1,6 1,4 1,26 1,2 1,0

0

280

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Θ

3

(m /s)



CASO B: Se conoce el tirante ψ Los datos son

ψ : tirante Θ : gasto

Σ : pendiente ζ : talud ν : rugosidad La incógnita es el ancho en la base. Esta condición se presenta cuando por razones de servicio se requiere un tirante determinado. Para la solución de este caso se puede recurrir al método de tanteos descrito anteriormente.

CASO C: Se desconoce los valores de

βe ψ

En este caso se pueden escoger libremente los valores del ancho en la base y el tirante. Se suele usar entonces el concepto de máxima eficiencia hidráulica que se estudia a continuación.

6.6 Sección de máxima eficiencia hidráulica (M. E. H.) Como se ha visto anteriormente hay muchas secciones transversales que satisfacen las ecuaciones de la velocidad media en movimiento uniforme. Como normalmente los datos son Θ ,

ν , ζ y Σ , hay muchas combinaciones de las incógnitas

β e ψ , que satisfacen la fórmula de Manning. Anteriormente hemos visto los casos en los que hay una condición impuesta: Por ejemplo el ancho en la base. Entonces se calcula el tirante que satisface la condición hidráulica. O bien al revés. También puede darse el caso que haya libertad para escoger los valores del ancho en la base y el tirante. En estos casos puede buscarse la sección de máxima eficiencia hidráulica. Se dice que una sección es de máxima eficiencia hidráulica cuando para la misma área, pendiente y calidad de paredes deja pasar un gasto máximo. O bien, es aquella que para el mismo gasto, pendiente y calidad de paredes tiene un área mínima.

281



La sección de M. E. H. se puede interpretar a la luz de la fórmula de Manning 2

1

ΑΡ 3 Σ 2 Θ= ν Luego, 5

Α3 =

2

Θν

Π3

1

Σ2 3

 5 2 Θν Α =  1  Π5  2 Σ  Como en un canal dado, Θ ,

ν y Σ son constantes Α = ΚΠ

2 5

La sección de M. E. H. es aquella que para la misma área tiene el perímetro mínimo. En consecuencia la sección de máxima eficiencia hidráulica es la semicircular.

Esto, basándose en la propiedad geométrica de ser el círculo la figura que para la misma área tiene el perímetro mínimo. En condiciones normales la sección de M. E. H., involucra la mínima sección de excavación, de revestimiento y de superficie de infiltración. También debe tenerse presente que el perímetro mínimo involucra menor rozamiento. Sin embargo, los canales circulares son poco usados. Naturalmente que en un canal en media ladera la sección de M. E. H. no da la mínima excavación. Hay una patente española, Barragan, para la construcción de canales circulares. Más adelante nos ocuparemos de este tipo de canales.

282



Para obtener la sección de máxima eficiencia hidráulica en la práctica se reemplaza la sección semicircular por una trapecial.

Τ ζψ

ψ

1

ζ β Lo que nos interesa es la relación que debe haber entre máxima eficiencia hidráulica. Llamemos

β e ψ para que la sección sea de

µ a esta relación

µ=

β ψ

(6-27)

Mediante simples consideraciones geométricas se obtiene

Α = (µ + ζ )ψ 2 de donde,

ψ=

Α µ+ ζ

El perímetro es

Π = µψ + 2 ψ 1 + ζ 2 Mediante transformaciones sucesivas se obtiene

(

Π 2 µ + Π 2 ζ = Α µ 2 + 4µ 1 + ζ 2 + 4 + 4 ζ 2 Derivando el perímetro Π con respecto a

)

µ

283



δΠ 2 Α(µ + 2 1 + ζ 2 ) − Π 2 =0 = 2 Π(µ + ζ ) δµ De donde,

(

µ = 2 1+ ζ2 − ζ Se concluye que para cada talud hay una relación

)

(6-28)

µ , que es la que da la máxima eficiencia

hidráulica. Así por ejemplo, en un canal rectangular ζ = 0, de donde

µ = 2. Significa esto que en un

canal rectangular la máxima eficiencia hidráulica se obtiene cuando el ancho es igual al doble del tirante.

ψ

β=2ψ Para las diferentes secciones trapeciales la relación

µ se obtiene para cada talud, aplicando

la ecuación 6-28. Los valores más comunes son

ζ

0

0,25

0,5

1

1,5

2

2,5

3

4

µ

2

1,56

1,24

0,83

0,61

0,47

0,39

0,32

0,25

En una sección de M. E. H. el radio hidráulico es

Ρ=

reemplazando el valor de

284

(µ + ζ )ψ 2 µψ + 2 ψ 1 + ζ 2

µ de la ecuación 6-28 se obtiene, luego de simplificar

(6-29)



Ρ=

ψ 2

(6-30)

Lo que demuestra que en una sección de máxima eficiencia hidráulica el radio hidráulico es igual a la mitad del tirante (sección trapecial). También puede obtenerse las condiciones de máxima eficiencia hidráulica para talud variable. Se busca así el llamado "talud más eficiente". Para este caso el perímetro es

(

Π = ψ µ + 2 1+ ζ2

)

por condición de M. E. H.

(

µ = 2 1+ ζ2 − ζ

)

sustituyendo se obtiene que el perímetro mínimo es

Πµιν = 4 ψ 1 + ζ 2 − 2 ψζ δΠµιν =0 δζ de donde

ζ=

3 3

(6-31)

En las Tablas 6.9 y 6.10 se presentan cuadros auxiliares para el cálculo de canales en máxima eficiencia hidráulica. Ejemplo 6.4 Un canal debe transportar 6 m3/s. La inclinación de las paredes (talud) impuesta por la naturaleza del terreno es 60° con la horizontal. Determinar las dimensiones de la sección transversal con la condición de obtener máxima eficiencia hidráulica. La pendiente del fondo es 0,003 y el coeficiente de rugosidad de Kutter se ha considerado de 0,025. Solución. tg 60° =

1 = 1,732. ζ

Luego, ζ = 0,577

285



Para máxima eficiencia hidráulica se tiene que,

(

)

µ = 2 1 + ζ 2 − ζ = 1,155

β = 1,155 ψ

o o o

Para utilizar el gráfico de la Figura 6.2 debemos entrar con la inversa del valor anterior ψ = 0,866 β

y obtenemos que, 2

ΑΡ 3 8

= 0,74

β3

pero, 2

ΑΡ 3 =

Θν Σ

1 2

o o o

= 2,74

β = 1,63 m

luego los otros valores son ψ Α

= =

1,41 m 3,45 m2

ς Ρ

= =

1,74 m/s 0,705 m

El cálculo podría haberse hecho de otra manera. A partir de la ecuación Α = (µ + ζ )ψ 2

se obtiene

aplicando la fórmula de Manning 2

1  ψ 3   (0,003)2 2 Θ = 1,73 ψ 2   0,025

se obtiene 8

Θ = 2,39 ψ 3 para Θ = 6 m3/s se encuentra ψ = 1,41 m (Este problema se podría haber resuelto usando la Tabla 6.9)

286

Α = 1,73 ψ 2



Con lo que la sección transversal queda así, 3,26 m

m

m

60º

1,6 3

3 1,6

1,41 m

1,63 m

Θ = 6 m3/s Α = 3,45 m

ς = 1,74 m/s Π = 4,89 m

Ρ = 0,705 m ψ = 1,41 m

Se observa que por ser una sección trapecial de máxima eficiencia hidráulica el radio hidráulico es igual a la mitad del tirante ψ, la longitud de cada talud es igual a la mitad del ancho superficial. El talud, por la naturaleza del terreno es de 60°. Casualmente resulta ser el talud que da el perímetro mínimo (talud más eficiente). Al respecto se puede ver la ecuación 6-31. En este caso particular la sección hidráulica obtenida es la mitad de un hexágono. Si resolviéramos este mismo problema para un talud diferente de 60° obtendríamos siempre una sección de máxima eficiencia hidráulica (para el talud respectivo), pero el perímetro sería mayor que 4,89 m. 8

Con la ecuación Θ = 2,39 ψ 3 obtenida, se puede hacer un gráfico ψ (m) 2,0

1,5

1,0

0,5

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Θ (m3/s)

287



La ecuación que se ha obtenido gasto-tirante es muy importante. Así por ejemplo, si el gasto fuera 10 % mayor (6,6 m3/s). Entonces ψ = 1,46 m

6.7 Concepto de borde libre Se denomina borde libre (free board) a la altura (tirante) adicional que se da a fin de absorber los niveles extraordinarios que puedan presentarse por encima del caudal de diseño de un canal.

borde

libre

ψ

¿Por qué puede presentarse en un canal un tirante mayor que el correspondiente al del gasto de diseño?. Por ejemplo, si se diseña un canal para 30 m3/s y se encuentra que el tirante (normal) es 3,20 m ¿Por qué hemos de esperar un tirante mayor? Las razones son entre otras las siguientes a)

Cuando se calcula la sección transversal de un canal hay que suponer un valor para la rugosidad, pero, en el momento de la construcción y por causas que escapan al ingeniero diseñador puede ser que la superficie tenga una mayor rugosidad. En consecuencia, se requerirá de un tirante mayor para que escurra el mismo caudal. También puede ocurrir que con el paso de los años el revestimiento del canal se deteriore y tienda ha hacerse más rugoso. Si este fenómeno fuera más intenso que el previsto, la diferencia es tomada por el borde libre.

b)

Una mala operación en las compuertas de entrada al canal puede dar lugar a que ingrese a éste un caudal mayor que el de diseño.

c)

A lo largo de la conducción pueden presentarse ingresos de agua no previstos.

d)

Puede ocurrir una obstrucción parcial a lo largo de la conducción. Por ejemplo, caída de un tronco. El borde libre sirve para absorber los incrementos en el tirante que se produzcan como consecuencia de lo anterior.

e)

Por una razón u otra puede presentarse una onda en el canal. El borde libre debe absorber la altura de ola correspondiente.

288



El borde libre es, pues, una seguridad que toma el ingeniero diseñador contra fenómenos que tienen una cierta probabilidad de ocurrencia. Entonces la magnitud del borde libre depende esencialmente del grado de seguridad que se debe dar al canal como consecuencia de su importancia y de una estimación de la posibilidad que ocurra algún fenómeno extraordinario. En consecuencia, en la determinación de la magnitud del borde libre juega un gran papel la naturaleza del terreno en que está construido el canal. Si el canal rebalsa y está en zona arenosa las consecuencias pueden ser mucho más graves que en otro tipo de suelo. Para dimensionar el borde libre (entendido como una altura vertical adicional al tirante) debemos tener en cuenta la forma de la sección transversal y esencialmente la curva gasto-tirante. Supongamos que se tiene dos secciones transversales como las mostradas a continuación

3m

8m

Si ambas tienen similares velocidades, es evidente, y puede demostrarse mediante el calculo, que un borde libre igual en ambas, representará en la primera un pequeño aumento de caudal y en la segunda un aumento de caudal bastante mayor. El análisis de la curva gasto-tirante nos permite visualizar el problema del borde libre bajo una perspectiva diferente. No pensemos únicamente en centímetros adicionales para el tirante, sino en su equivalente en metros cúbicos por segundo. Por último, podríamos señalar que en zonas en las que los estudios hidrológicos no ofrecen una gran confiabilidad, tanto en la estimación de la oferta como de la demanda, y en las que sea cara el agua, es conveniente dimensionar con generosidad el borde libre. Naturalmente que hay que tener presente como varía el costo de una canal con el tirante. Esta función no es lineal, de modo que es frecuente que un aumento en el tirante produzca un aumento pequeño en el costo del canal. Ven Te Chow señala que el borde libre varía entre menos del 5 % y más del 30 % del tirante. Indudablemente se trata de valores extremos.

289



Para canales en tierra, donde dicho sea de paso es mayor la incertidumbre con respecto al coeficiente de rugosidad, el Bureau of Reclamation señala que el borde libre varía entre 1 ft (0,30 m) para canales pequeños y poco profundos, hasta 4 ft (1,20 m) para canales grandes, profundos y con caudales de 85 m3/s ó más. Para cálculos preliminares el Bureau recomienda la fórmula siguiente

β. λ. = χψ

(6-32)

β. λ. : es el borde libre en metros ψ : es el tirante en metros

χ

:

es un coeficiente que varía así 0,46 para Θ = 0,60 m3/s 0,76 para Θ = 85 m3/s

El Bureau of Reclamation recomienda el gráfico de la Figura 6.3

Altura del Terraplén sobre la Superficie Libre Altura del Revestimiento sobre la Superficie Libre

ALTURA EN METROS

1,2

0,9

0,6

0,3

0 ,1

,2

,3

,4 ,5

1,0

2

3

4 5

10

20

30 40 50

100 m 3/s

GASTO

Figura 6.3 Borde libre recomendado por el Bureau of Reclamation

Hay también unas curvas que dan el borde libre en función del tirante y la velocidad, tal como aparece en la Figura 6.4. 290



6

2,6 m/s 2,8 m/ s 3,0 m/ s 3,2 m/ s 3, 4m /s 3, 6 m /s

3

1,6 m /s 1,8 m /s 2,0 m /s 2,2 m/s 2,4 m/s

TIRANTE ψ EN METROS

4

1,2 m/s 1,4 m /s

velocid ad 0,80 m/s 1,0 m/s

5

2

1

0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

BORDE LIBRE EN METROS

Figura 6.4 Tabla orientativa para el cálculo del borde libre en canales (Tomada de Engineering News Record)

291



6.8 Cálculo de canales de sección compuesta Puede haber canales que tengan una sección transversal como esta

Se dice entonces que es una sección compuesta. Está formada por la suma de dos figuras geométricas. También puede ocurrir algo similar en un cauce natural. Un río tiene en época de estiaje un caudal pequeño, pero en época de abundancia tiene un caudal grande que ocupa las áreas adyacentes.

Areas de inundación

Θ1

Θ2

Una sección compuesta se puede dividir en

Θ3

Ν secciones parciales de modo que el gasto

total Θ es igual a la suma de los gastos parciales

Θ = Θ1 + Θ2 + Θ3 + ........ ΘΝ Cada parte de la sección tiene su propia rugosidad: Para cada parte de la sección se tendrá que 2

1

Ρ3 Σ 2 ςι = ι νι

292

ν1 , ν2 ,......, νΝ

(6-33)


Χ〈λχυλο δε χαναλεσ 2

1 1

Α Ρ3Σ 2 = Κι Σ 2 Θι = ι ι νι siendo,

Κι =

2 3 ι

Αι Ρ νι

El gasto total es 1

Θ = ∑ (Κ ι )Σ 2

(6-34)

ι =1

de donde,

ς=

∑ (Κ )Σ

1 2

(6-35)

ι

Α

que es la expresión de la velocidad media en una sección compuesta.

Rugosidad compuesta Un canal puede ser construido de modo que el fondo y las paredes tengan rugosidades diferentes. En este caso habrá dos valores para el coeficiente de rugosidad. Uno para el fondo y otra para las paredes. Se dice entonces que el canal es de rugosidad compuesta.

vidrio

piedra

concreto

madera

Estas figuras muestran dos ejemplos característicos de rugosidad compuesta. Si cada parte de la sección tiene un coeficiente en hallar un valor de

νι de Kutter, entones el problema consiste

ν que sea representativo de todo el perímetro.

293

Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ Consideremos que hubiera


Ν rugosidades diferentes. A cada una le corresponde una parte

del perímetro mojado. Rugosidades

:

ν1

ν2

ν3

.....

νΝ

Perímetros

:

Π1

Π2

Π3

.....

ΠΝ

Supongamos, por facilidad operativa, que sólo hubiera dos rugosidades diferentes. Para cada una de ellas habrá un radio hidráulico correspondiente y se puede calcular cada velocidad parcial 2

1

2

Ρ3Σ 2 ς1 = 1 ν1

1

Ρ3Σ 2 ς2 = 2 ν2

o bien, 3

3

 2 ς1ν1   Ρ1 = 1  2  Σ 

 2 ς2 ν2   Ρ2 = 1  2   Σ 

en consecuencia, y aplicando la ecuación Α = ΡΠ se tiene que 3

3

 2 ς ν 1 1 Α1 =  1  Π1  2  Σ 

 2 ς ν 2 2 Α2 =  1  Π2  2   Σ 

El área total es igual a la suma de las áreas parciales

Α = Α1 + Α2 3

3

3

ς 2  2  2 ς ν ς ν ν 1 1 2 2  1  Π =  1  Π1 +  1  Π2  2  2   2  Σ  Σ   Σ  La pendiente es la misma. Horton y Einstein hicieron la suposición de que la velocidad es una sola.

ς1 = ς2 = ........ ςΝ 294



Luego, 2

3 3  32  Π1ν1 + Π2 ν22   ν=   Π  

(6-36)

que es coeficiente de rugosidad de Kutter para toda la sección transversal.

Ejemplo 6.5 Se tiene un canal trapecial de 4 m de ancho en la base. El talud es de 45°. La pendiente es 0,07 %. Originalmente las paredes eran lisas y para un gasto de 6 m3/s el tirante normal era 0,88 m. Luego el mismo canal se reviste con mortero preparado a base de arena gruesa, con lo que la rugosidad aumenta, determinándose que para un caudal de 10 m3/s el tirante normal es 1,44 m. a)

Determinar el gasto para un tirante normal de 1,10 m, si el fondo tuviera un acabado rugoso y las paredes el acabado liso original.

b)

Determinar el gasto para el mismo tirante normal, para el caso que el fondo fuera liso y las paredes rugosas.

Solución. Si el canal es liso entonces 2

1

ΑΡ 3 Σ 2 4,29(0,66 ) (0,0007 ) = ν1 = = 0,014 6 Θ 23

12

Si el canal es rugoso entonces,

7,83(0,97 ) (0,0007 ) = 0,20 10 23

ν2 =

12

a) Si el fondo es rugoso y las paredes lisas 3 3  Π1 ν12 + Π2 ν 22  ν=  Π 

[3,11(0,014) ν=

+ 4(0,02) (7,11)2 3 32

2

3   

32

]

23

= 0,0175

295



el gasto es 2

1

ΑΡ 3 Σ 2 5,61(0,79) (0,0007) = Θ= = 7,25 m3/s 0,0175 ν 23

12

b) Si el fondo es liso y las paredes rugosas

[4(0,014)

+ 3,11(0,02) (7,11)2 3

32

ν=

32

]

23

= 0,017

Luego, 5,61(0,79 ) (0,0007 ) = 7,46 m3/s 0,017 23

Θ=

12

6.9 Escurrimiento en tubo parcialmente lleno Es frecuente tener un conducto cerrado llevando un fluido que no ocupa totalmente la sección transversal. Podría ser, por ejemplo, un túnel, una tubería de desagüe o una alcantarilla.

∆

ψ

ψ

En cualquiera de estos casos el conducto no trabaja a presión e hidráulicamente es un canal. Examinemos el caso de un tubo circular parcialmente lleno

∆

296

ψ



Mediante simples consideraciones geométricas se puede determinar el área, perímetro y demás elementos de la sección transversal ocupada por el fluido. Sin embargo, los cálculos se pueden simplificar con el gráfico de Figura 6.6 "Características geométricas de la sección circular" que nos da para cada valor de la relación

ψ ∆ el correspondiente valor del área,

perímetro, tirante hidráulico y radio hidráulico. La tubería que trabaja parcialmente llena se caracteriza por la posibilidad de tener una velocidad media y un gasto mayores a los que corresponderían a tubo lleno. Examinemos en primer lugar las condiciones para tener velocidad máxima en un tubo parcialmente lleno. Consideremos una tubería cuyo diámetro es ∆ y cuyo radio es ρ . El flujo corresponde a un tirante ψ .

A

B

∆ ψ !

Figura 6.5 Cálculo de un tubo parcialmente lleno

Se trata de hallar la relación

ψ ∆ que da la máxima velocidad para el flujo. AB es la superficie

libre, θ es el ángulo en el centro. Las expresiones correspondientes al área, perímetro mojado y radio hidráulico son

ρ2 Α = (θ − sen θ ) 2

(6-37)

Π = ρθ

(6-38)

297



Ρ=

ρ (θ − sen θ ) 2θ

(6-39)

Si consideramos las fórmulas de Manning o de Chezy, o cualquier otra, para el cálculo de la velocidad media encontramos que siempre se cumple que

ς = κΡ ξ Para pendiente y rugosidad constantes,

(6-40)

κ y ξ dependen de la fórmula particular empleada.

Por lo tanto, para que la velocidad sea máxima se requiere que el radio hidráulico sea máximo

δΡ =0 δθ

(6-41)

ρ sen θ − θ cos θ =0 2 θ2 de donde,

! = tg !

(6-42)

θ = 4,4934 rad

θ = 257º 27‘ 10’’ ≈ 257º 30’ θ es el ángulo que corresponde a la velocidad máxima. Se determina inmediatamente que

2π − θ = 102º 30’

El tirante es

De donde

θ  ψ = ρ 1 − cos  2 

(6-43)

ψ = 0,8128 ≈ 0,81 ∆

(6-44)

Por lo tanto, cuando el tirante es 0,81∆ la velocidad es máxima.

298



Se observa que el resultado obtenido es independiente de la fórmula con la que se calcule la velocidad media. Calculemos ahora cual es el valor de

ψ ∆ que hace que el gasto sea máximo.

En la Figura 6.5 se observa que

Α=

ρ2 (θ − sen θ ) 2

Π = ρθ Ρ=


El gasto, si usamos la fórmula de Manning, tiene por expresión 2

1

ΑΡ 3 Σ 2 Θ= ν Se observa que para

Σ y ν constantes el máximo valor del gasto corresponde al máximo

2

valor de

ΑΡ 3 2   δ  ΑΡ 3    =0 δθ

1

(6-45)

2

− δΡ 2 δΑ + Ρ3 ΑΡ 3 =0 3 δθ δθ

−

−

δΑ 2 δΡ Α =Ρ δθ 3 δθ

2 2 ρ2 (θ − sen θ ) ρ (sen θ − θ2 cosθ ) = ρ (1 − cosθ ) ρ (θ − sen θ ) 3 2 2 2 2θ θ

De donde,

299



5θ cosθ − 2 senθ − 3θ = 0

(6-46)

θ = 5,278 rad θ = 302º 24’ 26’’ ≈ 302º 30’ que es el ángulo que corresponde al gasto máximo. Se determina inmediatamente que

2π − θ = 57º 30’ El tirante es

θ  ψ = ρ 1 − cos  2  de donde,

ψ = 0,938 ≈ 0,94 ∆

(6-47)

Por lo tanto, cuando se usa la fórmula de Manning para los cálculos, el gasto es máximo cuando ψ = 0,94 ∆ . Si se hubiera empleado la fórmula de Chezy, entonces la condición hubiera sido 2    δ  ΑΡ 3   =0 δθ

y se habría obtenido

θ = 5,3784 rad θ = 308º 09’ 35’’ ≈ 308º ψ = 0,95 ∆

(6-48)

Por lo que cuando se usa la fórmula de Chezy para los cálculos, el gasto es máximo cuando

ψ = 0,95 ∆ . En la Figura 6.7 se muestra el gráfico de elementos hidráulicos proporcionales que sirve para aligerar los cálculos de tubos circulares trabajando parcialmente llenos (como canales).

300

Ζ=Α

Τ ∆0

δ = Α

0,8

∀ .∆ 0 4

Π0 = ∀ . ∆0 Ρ0 =

0

0,9

Α Τ

2

Α0 =

1

1,0

Α Τ

∆0 4

ψ ∆0

Ζ

∆

0

δ

∆0

Α

0,6

Α

0

0

Ρ0 Ρ

0,5

0

0,4

0

Π

Π0

Τ

0

2,5 0

0,7


δ=

0,3

∆0

ψ

0,2

0

0,1

0

0

0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

301

Figura 6.6 Características geométricas en una sección circular

0,8

0,9

1,0

Α Π δ , , , etc. Α0 Π0 ∆0

1,1

1,2

1,3


El subindice " 0" corresponde a tubo lleno

0

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

0,8

0,8 (n

Θ

Θ

0

Α

0,6

Α0

Θ0

Θ

(n

c

s on

0,7

te) tan

0,6 0,5

ta nt e)

0,5

va

) ble ria

Ν ν

0,7

∆0

1,0 0,9

0,9

ψ


302

1,0

ns

Ρ

∆0

Ρ0

0,4

ς

(n

co

0,4

ψ

0,2 * El subindice " 0" corresponde a tubo lleno * Ν es el coeficiente de Kutter

0

0,3

ς

0,3

ς

ς0

(n

co n

sta

) nte

0,2

0,1

0,1

0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,7

ς ς0 ;

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

Ρ Ρ 0 ; etc.

Figura 6.7 Elementos hidráulicos proporcionales en una sección circular

Θ ς Ρ , , , etc. Θ0 ς0 Ρ0

1,3

0 Αρτυρο Ροχηα

Θ Θ0 ;

0,6



Gráfico de elementos hidráulicos proporcionales La Figura 6.7 muestra para cada relación tirante-diámetro de una sección circular parcialmente llena, la relación existente entre el gasto Θ correspondiente a dicha sección y el gasto

Θ0

correspondiente al tubo lleno. Hay también una curva que da la relación entre las velocidades (ς

ς0 ).

Para cada variable (gasto, velocidad) hay en realidad dos curvas, una para coeficiente de rugosidad constante y otra para coeficiente de rugosidad variable en función de la altura.

Ν es el coeficiente de rugosidad de Kutter para toda la sección (podría expresarse como ν0 ). En cambio,

ν es el coeficiente de rugosidad (variable) para la sección parcialmente llena. Así

por ejemplo si un tubo tiene un coeficiente de rugosidad (a tubo lleno) de 0,013, cuando esté trabajando a 0,7 ∆ tendrá un coeficiente

ν=

0,013 Ν = = 0,015 0,85 0,85

puesto que del gráfico de elementos hidráulicos proporcionales se obtiene que para la relación

ψ ∆ = 0,7

Ν ν es 0,85.

Examinemos las curvas de gasto y velocidad que corresponden a un coeficiente de rugosidad constante. La curva de gastos tiene un máximo que corresponde a

ψ ∆ igual a 0,94 si se usa la

fórmula de Manning y a 0,95 si se usa la fórmula de Chezy. En el primer caso la relación

Θ Θ0 es 1,07 y en el segundo es 1,05. La curva de velocidades tiene un máximo que se presenta para

ψ ∆ = 0,81 . Corresponde a

ς ς0 igual a 1,14 (según Manning). Todos estos valores se pueden obtener fácilmente a partir de las ecuaciones anteriormente establecidas. Un cuadro comparativo de todos los valores aparece en la Tabla 6.6.

ψ ∆ > 0,82 (aprox.) hay para cada valor del gasto dos tirantes posibles. También se cumple que para ψ ∆ > 0,5 se tiene dos tirantes posibles En la Figura 6.7 se observa que para

para cada valor de la velocidad (uno por encima y otro por debajo de 0,81∆ ).

303

SECCIONES CIRCULARES PARCIALMENTE LLENAS

CONDICION

TUBO LLENO

GASTO MAXIMO

GASTO MAXIMO

(Manning)

(Chezy)

0,785 ∆ 2

0,765 ∆ 2

0,771 ∆ 2

0,684 ∆ 2

3,142∆

2,639∆

2,689∆

2,247∆

0,25∆

0,29∆

0,287∆

0,304∆

1

0,94

0,95

0,813

2π rad

5,278 rad

5,3784 rad

4,4934 rad

360º

308º 24’ 26’’

308º 09’ 36’’

257º 27’ 10’’ _

VARIABLES Α

Α=

Π = ρθ

Π Ρ

ρ2 (θ − sen θ ) 2

Ρ=


VELOCIDAD MAXIMA

ψ ∆

_

θ

_

Θmax Θ0

_

1

1,07

1,05

ςmax ς0

_

1

_

_

Α Α0

_

1

0,97

0,98

0,87

Π Π0

_

1

0,84

0,86

0,72

Ρ Ρ0

_

1

1,15

1,14

1,22


304

TABLA 6.6

1,14 (Manning) 1,10 (Chezy) Αρτυρο Ροχηα



Obsérvese que para coeficiente de rugosidad constante, que es el caso que estamos analizando, se cumple que la velocidad media es la misma para medio tubo y para tubo lleno. En cambio, si consideraramos que la rugosidad es variable entonces la velocidad media en medio tubo es sólo el 80 % de la correspondiente a tubo lleno. En la práctica no conviene diseñar para la condición de gasto máximo porque entonces la superficie libre está tan cerca del extremo superior que cualquier eventualidad tendería a que el escurrimiento sea a tubo lleno, disminuyendo así la capacidad de conducción. Es usual diseñar para un ángulo de 240°. Las Tablas 6.7 y 6.8 sirven como ayuda para el cálculo de secciones circulares.

Expresión del caudal máximo para cualquier conducto abovedado Anteriormente hemos examinado las condiciones de máximo caudal para un conducto circular parcialmente lleno. Ahora examinaremos la misma condición, pero para cualquier conducto abovedado. Siempre se tendrá por continuidad que

Θ = Ας de donde

δΘ = Αδς + ςδΑ = 0 que es la condición de máximo caudal. De acá

δς = −ς

δΑ Α

(6-49)

También debe cumplirse la ecuación de Chezy

ς = Χ ΡΣ o bien,

ς =Χ

Α Σ Π

Si reemplazamos este valor de la velocidad en la ecuación 6-49 y además se reemplaza el valor de

δς obtenido de la ecuación de Chezy se llega a 3ΠδΑ = ΑδΠ

(6-50)

305



Que es la ecuación diferencial que fija la condición de gasto máximo en cualquier conducto abovedado en el que se calcule el gasto con la fórmula de Chezy. Obsérvese que la ecuación 6-50 al combinarse con las ecuaciones 6-37 y 6-38 nos daría la condición de gasto máximo en un conducto circular

θ − 3θ cosθ + senθ = 0

(6-51)

cuya solución es precisamente θ = 5,3784 rad que corresponde al resultado de la ecuación 648. Si hubiéramos usado la fórmula de Manning se habría obtenido que el gasto máximo para cualquier conducto abovedado está dado por

5ΠδΑ = 2 ΑδΠ

(6-52)

Si reemplazamos en esta ecuación las ecuaciones 6-37 y 6-38 se obtendría la ecuación 6-46.

Expresión de la velocidad máxima para cualquier conducto abovedado En cualquier conducto abovedado debe cumplirse que 1

Α 2 Σ ς = Χ ΡΣ = Χ Π de donde, 1 2

1 Α δς = ΧΣ   2 Π

−

1 2

ΠδΑ − ΑδΠ =0 Π2

ΠδΑ − ΑδΠ = 0

(6-53)

que es la condición de máxima velocidad en cualquier conducto abovedado. Esta ecuación no depende de la fórmula empleada para el cálculo de la velocidad. Canales cubiertos de hielo A veces ocurre que en un canal construido en zonas frías se presenta un fenómeno inconveniente: se hiela la parte superior y el canal trabaja como tubería, con la consiguiente disminución en el gasto. Este fenómeno es frecuente en zonas andinas elevadas, especialmente si el canal tiene pequeña velocidad. Esta circunstancia debe tomarse en cuenta en los cálculos y verificar la capacidad del conducto como si fuese una tubería.

306



Canales circulares Un canal semicircular es el más conveniente desde el punto de vista exclusivo de la eficiencia hidráulica. Sin embargo, este tipo de canales es poco usado por las dificultades constructivas que conlleva. El método español de Barragán considera la construcción mecánica de secciones circulares. Según dicho ingeniero las secciones circulares representan una economía importante frente a las secciones trapeciales (del orden del 22 %). En todo caso nuestra opinión es que es difícil una generalización y en cada caso debe hacerse un análisis técnicoeconómico. Secciones en herradura Es frecuente que los túneles se construyan con una sección diferente de la circular. Una de las secciones más empleadas es la sección en herradura. La Tabla 6.8 sirve como ayuda para el cálculo de las secciones en herradura (horse shoe). Ejemplo 6.6 Por una alcantarilla de 60 cm de diámetro fluye un caudal de 80 l/s. La pendiente es de 0,0008. El coeficiente ν de Kutter es 0,015. Calcular la velocidad. Solución. Si el flujo fuera a tubo lleno se tendría que

(0,60) π

2

Θ0 =

4

2

1  0,60  3  (0,0008)2   4  = 0,1505 m3/s ≈ 151 l/s 0,015

Luego, 80 Θ = = 0,53 Θ0 151

del gráfico de elementos hidráulicos proporcionales se obtiene ψ = 0,52 ∆

o o o

ψ = 0,31 m

para ψ ∆ = 0,52 se obtiene

ς = 1,02 ς0 la velocidad a tubo lleno es ς0 =

Θ 0,150 × 4 = 2 = 0,53 m/s Α π (0,60 )

307



o bien, (para verificar)

(0,15) (0,0008) 23

ς0 =

12

0,015

= 0,53 m/s

Luego ς = 1,02 x 0,53 = 0,54 m/s La velocidad es ς = 0,54 m/s Ejemplo 6.7 Hallar el tirante ψ que corresponde a la condición de caudal máximo en una sección cuadrada, de lado α, en la que una de las diagonales es vertical. Usar la fórmula de Chezy. Solución.

M A

Mediante consideraciones geométricas se obtiene

B P

R

Α = α2 −

S

ψ Α = α2 −

1 ΑΒ ΜΠ 2

(

1 ΑΒ α 2 − ψ 2

)

α Considerando la semejanza de los triángulos MAB y MRS se obtiene

N

(

ΑΒ = 2 α 2 − ψ

)

luego, Α = 2α 2 ψ − α 2 − ψ 2

similarmente se obtiene para el perímetro Π = 2 2ψ

tomando en cuenta la ecuación 6-50, 3ΠδΑ = ΑδΠ

se obtiene 5 ψ 2 − 4α 2 ψ − α 2 = 0

de donde ψ = 1,287 α que es la respuesta buscada

308


Χ〈λχυλο δε χαναλεσ TABLA 6.7 PROPIEDADES HIDRAULICAS DE CONDUCTOS CIRCULARES

∆

ψ

Tirante

∆

Diámetro

Α

Area

Π

Perímetro mojado

Ρ

Radio hidráulico

ψ

ψ ∆

Α ∆2

Π ∆

Ρ ∆

ψ ∆

Α ∆2

Π ∆

Ρ ∆

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

0,0013 0,0037 0,0069 0,0105 0,0147

0,2003 0,2838 0,3482 0,4027 0,4510

0,0066 0,0132 0,0197 0,0262 0,0326

0,21 0,22 0,23 0,24 0,25

0,1199 0,1281 0,1365 0,1449 0,1535

0,9521 0,9764 1,0003 1,0239 1,0472

0,1259 0,1312 0,1364 0,1416 0,1466

0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

0,0192 0,0242 0,0294 0,0350 0,0409

0,4949 0,5355 0,5735 0,6094 0,6435

0,0389 0,0451 0,0513 0,0574 0,0635

0,26 0,27 0,28 0,29 0,30

0,1623 0,1711 0,1800 0,1890 0,1982

1,0701 1,0928 1,1152 1,1373 1,1593

0,1516 0,1566 0,1614 0,1662 0,1709

0,11 0,12 0,13 0,14 0,15

0,0470 0,0534 0,0600 0,0668 0,0739

0,6761 0,7075 0,7377 0,7670 0,7954

0,0695 0,0754 0,0813 0,0871 0,0929

0,31 0,32 0,33 0,34 0,35

0,2074 0,2167 0,2260 0,2355 0,2450

1,1810 1,2025 1,2239 1,2451 1,2661

0,1755 0,1801 0,1848 0,1891 0,1935

0,16 0,17 0,18 0,19 0,20

0,0811 0,0885 0,0961 0,1039 0,1118

0,8230 0,8500 0,8763 0,9020 0,9273

0,0986 0,1042 0,1097 0,1152 0,1206

0,36 0,37 0,38 0,39 0,40

0,2546 0,2642 0,2739 0,2836 0,2934

1,2870 1,3078 1,3284 1,3490 1,3694

0,1978 0,2020 0,2061 0,2102 0,2142

309


310


ψ ∆

Α ∆2

Π ∆

Ρ ∆

ψ ∆

Α ∆2

Π ∆

Ρ ∆

0,41 0,42 0,43 0,44 0,45

0,3032 0,3130 0,3229 0,3328 0,3428

1,3898 1,4101 1,4303 1,4505 1,4706

0,2181 0,2220 0,2257 0,2294 0,2331

0,71 0,72 0,73 0,74 0,75

0,5964 0,6054 0,6143 0,6231 0,6318

2,0042 2,0264 2,0488 2,0714 2,0944

0,2973 0,2984 0,2995 0,3006 0,3017

0,46 0,47 0,48 0,49 0,50

0,3527 0,3627 0,3727 0,3827 0,3927

1,4907 1,5108 1,5308 1,5508 1,5708

0,2366 0,2400 0,2434 0,2467 0,2500

0,76 0,77 0,78 0,79 0,80

0,6404 0,6489 0,6573 0,6655 0,6736

2,1176 2,1412 2,1652 2,1895 2,2143

0,3025 0,3032 0,3037 0,3040 0,3042

0,51 0,52

0,4027 0,4127

1,5908 1,6108

0,2531 0,2561

0,81 0,82

0,6815 0,6893

2,2395 2,2653

0,3044 0,3043

0,53 0,54 0,55

0,4227 0,4327 0,4426

1,6308 1,6509 1,6710

0,2591 0,2620 0,2649

0,83 0,84 0,85

0,6969 0,7043 0,7115

2,2916 2,3186 2,3462

0,3041 0,3038 0,3033

0,56 0,57 0,58 0,59 0,60

0,4526 0,4625 0,4723 0,4822 0,4920

1,6911 1,7113 1,7315 1,7518 1,7722

0,2676 0,2703 0,2728 0,2753 0,2776

0,86 0,87 0,88 0,89 0,90

0,7186 0,7254 0,7320 0,7384 0,7445

2,3746 2,4038 2,4341 2,4655 2,4981

0,3026 0,3017 0,3008 0,2996 0,2980

0,61 0,62 0,63 0,64 0,65

0,5018 0,5115 0,5212 0,5308 0,5404

1,7926 1,8132 1,8338 1,8546 1,8755

0,2797 0,2818 0,2839 0,2860 0,2881

0,91 0,92 0,93 0,94 0,95

0,7504 0,7560 0,7642 0,7662 0,7707

2,5322 2,5681 2,6061 2,6467 2,6906

0,2963 0,2944 0,2922 0,2896 0,2864

0,66 0,67 0,68 0,69 0,70

0,5499 0,5594 0,5687 0,5780 0,5872

1,8965 1,9177 1,9391 1,9606 1,9823

0,2899 0,2917 0,2935 0,2950 0,2962

0,96 0,97 0,98 0,99 1,00

0,7749 0,7785 0,7816 0,7841 0,7854

2,7389 2,7934 2,8578 2,9412 3,1416

0,2830 0,2787 0,2735 0,2665 0,2500


Χ〈λχυλο δε χαναλεσ TABLA 6.8 PROPIEDADES HIDRAULICAS DE CONDUCTOS EN HERRADURA

∆/2 ∆

∆

ψ ∆

ψ

Tirante

∆

Diámetro

Α

Area

Π

Perímetro mojado

Ρ

Radio hidráulico

ψ ∆

Α ∆2

Π ∆

Ρ ∆

ψ ∆

Α ∆2

Π ∆

Ρ ∆

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

0,0019

0,2830

0,0066

0,21

0,1549

1,1078

0,1398

0,0053 0,0097

0,4006 0,4911

0,0132 0,0198

0,22 0,23

0,1640 0,1733

1,1286 1,1494

0,1454 0,1508

0,0150 0,0209

0,5676 0,6351

0,0264 0,0329

0,24 0,25

0,1825 0,1919

1,1702 1,1909

0,1560 0,1611

0,06

0,0275

0,6963

0,0394

0,26

0,2013

1,2115

0,1662

0,07 0,08 0,0886 0,09

0,0346 0,0421 0,0491 0,0502 0,0585

0,7528 0,8054 0,8482 0,8513 0,8732

0,0459 0,0524 0,0578 0,0590 0,0670

0,27 0,28 0,29 0,30

0,2107 0,2202 0,2297 0,2393

1,2321 1,2526 1,2731 1,2935

0,1710 0,1758 0,1804 0,1850

0,8950 0,9166 0,9382 0,9597 0,9811

0,0748 0,0823 0,0895 0,0964 0,1031

0,31

0,2489

1,3139

0,1895

0,12 0,13 0,14 0,15

0,0670 0,0753 0,0839 0,0925 0,1012

0,32 0,33 0,34 0,35

0,2586 0,2683 0,2780 0,2878

1,3342 1,3546 1,3748 1,3951

0,1938 0,1981 0,2023 0,2063

0,16 0,17 0,18 0,19

0,1100 0,1188 0,1277 0,1367

1,0024 1,0236 1,0448 1,0658

0,1097 0,1161 0,1222 0,1282

0,36 0,37 0,38 0,39

0,2975 0,3074 0,3172 0,3271

1,4153 1,4355 1,4556 1,4758

0,2103 0,2142 0,2181 0,2217

0,20

0,1457

1,0868

0,1341

0,40

0,3370

1,4959

0,2252

0,10 0,11

311


312


ψ ∆

Α ∆2

Π ∆

Ρ ∆

ψ ∆

Α ∆2

Π ∆

Ρ ∆

0,41

0,3469

1,5160

0,2287

0,71

0,6403

2,1297

0,3006

0,42 0,43

0,3568 0,3667

1,5360 1,5561

0,2322 0,2356

0,72 0,73

0,6493 0,6582

2,1518 2,1742

0,3018 0,3028

0,44 0,45

0,3767 0,3867

1,5761 1,5962

0,2390 0,2422

0,74 0,75

0,6671 0,6758

2,1969 2,2198

0,3036 0,3044

0,46 0,47 0,48

0,3966 0,4066 0,4166

1,6162 1,6362 1,6562

0,2454 0,2484 0,2514

0,76 0,77 0,78

0,6844 0,6929 0,7012

2,2431 2,2666 2,2906

0,3050 0,3055 0,3060

0,49 0,50

0,4266 0,4366

1,6762 1,6962

0,2544 0,2574

0,79 0,80

0,7094 0,7175

2,3149 2,3397

0,3064 0,3067

0,51

0,4466

1,7162

0,2602

0,81

0,7254

2,3650

0,3067

0,52 0,53

0,4566 0,4666

1,7362 1,7562

0,2630 0,2657

0,82 0,83

0,7332 0,7408

2,3907 2,4170

0,3066 0,3064

0,54 0,55

0,4766 0,4865

1,7763 1,7964

0,2683 0,2707

0,84 0,85

0,7482 0,7554

2,4440 2,4716

0,3061 0,3056

0,56 0,57 0,58

0,4965 0,5064 0,5163

1,8165 1,8367 1,8569

0,2733 0,2757 0,2781

0,86 0,87 0,88

0,7625 0,7693 0,7759

2,5000 2,5292 2,5595

0,3050 0,3042 0,3032

0,59 0,60

0,5261 0,5359

1,8772 1,8976

0,2804 0,2824

0,89 0,90

0,7823 0,7884

2,5909 2,6235

0,3020 0,3005

0,61 0,62 0,63

0,5457 0,5555 0,5651

1,9180 1,9386 1,9592

0,2844 0,2864 0,2884

0,91 0,92 0,93

0,7943 0,7999 0,8052

2,6576 2,6935 2,7315

0,2988 0,2969 0,2947

0,64 0,65

0,5748 0,5843

1,9800 2,0009

0,2902 0,2920

0,94 0,95

0,8101 0,8146

2,7721 2,8160

0,2922 0,2893

0,66 0,67

0,5938 0,6033

2,0219 2,0431

0,2937 0,2953

0,96 0,97

0,8188 0,8224

2,8643 2,9188

0,2858 0,2816

0,68 0,69 0,70

0,6126 0,6219 0,6312

2,0645 2,0860 2,1077

0,2967 0,2981 0,2994

0,98 0,99 1,00

0,8256 0,8280 0,8293

2,9832 3,0667 3,2670

0,2766 0,2696 0,2538


TABLA 6.9 SECCION TRAPECIAL DE MAXIMA EFICIENCIA HIDRAULICA

90º

θ

75º 58’

71º 34’

63º 26’

60º

56º 19’

53º 08’

45º !#∃

ζ

0

0,250

0,333

0,500

0,577

0,667

0,750

1,000

µ

2

1,562

1,442

1,236

1,155

1,070

1,000

0,828

µ = 2 1 + ζ2 − ζ

1µ

0,5

0,640

0,694

0,809

0,866

0,934

1,000

1,207

1µ= ψ β

Α

2 ψ2

1,812 ψ 2

1,775 ψ 2

1,736 ψ 2

1,732 ψ 2

1,737 ψ 2

1,750 ψ 2

1,828 ψ 2

Α = (µ + ζ )ψ 2

Π

4ψ

3,623 ψ

3,550 ψ

3,472 ψ

3,464 ψ

3,474 ψ

3,500 ψ

3,657 ψ

Π = µ + 2 1 + ζ2 ψ

ζ#∃

(

(

2

8

8

8

8

8

8

8

8

ΑΡ 3

1,260 ψ 3

1,141 ψ 3

1,118 ψ 3

1,094 ψ 3

1,091 ψ 3

1,094 ψ 3

1,102 ψ 3

1,152 ψ 3

ζ

313

β

)

ψ

µ=

β ψ

Θ=

ΑΡ 2 3 Σ 1 2 ν

ΑΡ 2 3 =

Θν Σ1 2 Χ〈λχυλο δε χαναλεσ

1

!

)

Ρ=Α Π

ψ 2

Ρ

1

ζ

38º 40’

33º 41’

30º

29º 45’

26º 34’

21º 48’

18º 26’

14º 02’

ζ

1,250

1,500

1,732

1,750

2,000

2,500

3,000

4,000

µ

0,702

0,606

0,536

0,531

0,472

0,385

0,325

0,246

µ = 2 1+ ζ2 − ζ

1µ

1,425

1,651

1,866

1,883

2,118

2,596

3,081

4,026

1µ= ψ β

Α

1,952 ψ 2

2,106 ψ 2

2,268 ψ 2

2,281 ψ 2

2,472 ψ 2

2,885 ψ 2

3,325 ψ 2

4,246 ψ 2

Α = (µ + ζ )ψ 2

Π

3,903 ψ

4,211 ψ

4,536 ψ

4,562 ψ

4,944 ψ

5,770 ψ

6,649 ψ

8,492 ψ

Π = µ + 2 1+ ζ2 ψ

!#∃

2

8

8

8

8

8

8

8

8

1,230 ψ 3

1,327 ψ 3

1,429 ψ 3

1,437 ψ 3

1,557 ψ 3

1,817 ψ 3

2,095 ψ 3

2,675 ψ 3

β

)

ψ

µ=

β ψ

Θ=

ΑΡ 2 3 Σ 1 2 ν

ΑΡ 2 3 =

Θν Σ1 2


1

ζ

(

)

Ρ=Α Π

ΑΡ 3

!

ζ

(

ψ 2

Ρ

1

ζ #∃


314 θ


TABLA 6.10 SECCIONES DE MAXIMA EFICIENCIA HIDRAULICA

SECCION

TRAPECIO (Mitad de un hexágono)

RECTANGULO (mitad de un cuadrado)

TRIANGULO (Mitad de un cuadrado)

SEMICIRCULO

PARABOLA

Τ = 2 2ψ

PERIMETRO MOJADO

RADIO HIDRAULICO

ANCHO SUPERFICIAL

TIRANTE HIDRAULICO

Α

Π

Ρ

Τ

δ

Ζ

3ψ 2

2 3ψ

ψ 2

4 3ψ 3

3 ψ 4

3 2 ψ 2

2 ψ2

4ψ

ψ 2

2ψ

ψ

ψ2

2 2ψ

1 2ψ 4

2ψ

ψ 2

π 2 ψ 2

πψ

1 ψ 2

2ψ

π ψ 4

π 2 ψ 4

4 2 ψ2 3

8 2ψ 3

1 ψ 2

2 2ψ

2 ψ 3

8 3ψ 2 9

1,39586 ψ 2

2,9836 ψ

0,46784 ψ

1,917532 ψ

0,72795 ψ

1,19093 ψ 2

FACTOR HIDRAULIC

5

5

2ψ2 5

2 2 ψ 2 5

5

5

315

(Este cuadro ha sido tomado del libro Open-Channel Hydraulics de Ven Te Chow)


CATENARIA

AREA


316

TABLA 6.11 ELEMENTOS GEOMETRICOS DE DIVERSAS SECCIONES

SECCION

AREA

PERIMETRO MOJADO

RADIO HIDRAULICO

ANCHO SUPERFICIAL

Α

Π

Ρ

Τ

βψ

β + 2ψ

βψ β + 2ψ

(β + ζψ )ψ

β + 2 ψ 1 + ζ2

ζψ 2

2 ψ 1 + ζ2

1 (θ − senθ )∆2 8

1 θ∆ 2

TIRANTE HIDRAULICO

FACTOR HIDRAULICO

δ

Ζ

Τ ψ β

5

ψ

β

βψ 2

RECTÁNGULO

(β + ζψ )ψ

Τ 1

ψ ζ β

(β + ζψ )ψ

β + 2 ζψ

β + 2 ψ 1 + ζ2

β + 2 ζψ

5

[(β + ζψ )ψ] 2 β + 2 ζψ

TRAPECIO

Τ 1

ψ ζ

ζψ

5

ψ 2

2 2 ζψ 2

2 ψ (∆ − ψ )

  1  θ − senθ  ∆ θ  8   sen  2 

2 (θ − senθ )2 2 ∆ 32  θ 0,5 sen   2 

3Α 2ψ

2 3ψ

2 6Τψ1,5 9

π  2  − 2 ρ + (β + 2ρ )ψ 2  (π − 2)ρ + β + 2 ψ

β + 2ρ

π  2  − 2 ρ 2  +ψ β + 2ρ

Α Π

2 ζ( ψ − ρ ) + ρ 1 + ζ 2

2 1+ ζ

2 ζψ

2

TRIANGULO Τ

∆

ψ

!

θ   sen  ∆ , ó 2 

1  sen!  1 − ∆ 4 ! 

5

5

CIRCULO

Τ ψ

2 Τψ 3

Τ+

8 ψ2 * 3Τ

2Τ 2 ψ 3Τ 2 + 8 ψ 2

PARÁBOLA Τ ρ

ρ

ψ

β

(π − 2)ρ + β + 2 ψ

Τ 2 ρ2 − (1 − ζ cot −1 ζ ) 4ζ ζ

2ρ Τ 1+ ζ2 − 1 − ζ cot −1 ζ ζ ζ

RECTÁNGULO CON ESQUINAS REDONDEADAS

Τ 1

ζ

ρ

ψ

(

)

[

]

Α Τ

TRIANGULO CON FONDO REDONDEADO

* Aproximación satisfactoria para el intervalo

0 ≤ ξ ≤ 1 , siendo ξ =

4ψ Τ

, para

( Esta tabla ha sido tomada del libro Open-Channel Hydraulics de Ven Te Chow)

Τ 2  2 ξ > 1 , la expresión exacta es ∆ = 2  1 + ξ + 1 ξ ln ξ + 1 + ξ 

  

 π   2  2 − 2  ρ + (β + 2 ρ )ψ    

1, 5

β + 2ρ

Α

Α Τ


π  2  − 2 ρ + (β + 2ρ )ψ 2 



PROBLEMAS PROPUESTOS (Capítulo VI)

1.

Hallar una expresión para la pérdida de carga η φ en un canal de longitud Λ , en función de la carga de velocidad y del radio hidráulico.

2.

Un canal tiene un ancho en el fondo de 2,5 m. El tirante es 0,8 m y el talud es de 60°. La velocidad media es 1,80 m/s. ¿Cuál es el gasto? ¿Cuál es el radio hidráulico?. Dibujar la sección transversal.

3.

Un canal rectangular tiene un ancho en el fondo de 2 m y un coeficiente de rugosidad de Kutter de 0,014. El tirante es 1,20 m y la pendiente 0,0012. Calcular el gasto. Calcular el tirante con el que fluirá el mismo gasto en un canal triangular, de 90º, que tiene la misma rugosidad y la misma pendiente.

4.

Hallar el radio que debe tener la sección semicircular de un canal para transportar 3 m3/s. La pendiente del canal es 1 en 2 500. Considerar que el coeficiente Χ de Chezy es 49 m1/2/s. Si el canal tuviera forma rectangular, pero el mismo ancho y profundidad total que la sección anterior, ¿Cuál sería el gasto con el mismo valor de Χ y la misma pendiente?.

5.

El canal mostrado en la figura tiene una pendiente de 0,0009. El coeficiente

1,5 m

ν de Kutter es 0,013.

Calcular el gasto.

90º

1,0 m

¿En cuánto aumentará el gasto si la pendiente fuera el doble? 6.

¿Qué sucede con el gasto en un canal si se cuadruplica la pendiente y el contorno se hace de una rugosidad doble?. Explicar detalladamente la respuesta.

7.

En el problema número 2 la pendiente del canal es 0,003. Calcular

ν de Kutter b) el coeficiente Χ de Ganguillet-Kutter

a) el coeficiente

c) la velocidad media a partir del coeficiente de Ganguillet-Kutter. Comparar con la velocidad media dato del problema

κ de Strickler e) el coeficiente Χ de Chezy con la fórmula de Pavlovski

d) el coeficiente

317

Ηιδρ〈υλιχα δε τυβερασ ψ χαναλεσ 8.

Un canal tiene según la tabla de Kutter una rugosidad


ν = 0,035. Calcular el coeficiente Χ de

Chezy usando las fórmulas de Ganguillet-Kutter y Manning. El canal es muy ancho y el tirante es 1 m. 9.

Hallar los valores de Ξ e Ψ , a que se refiere la ecuación 6-5, de las ecuaciones de GanguilletKutter, Kutter y Bazin.

10. Calcular el gasto en un canal que tiene 1,80 m de tirante. La pendiente es 0,0018. La rugosidad de Kutter a considerarse es 0,018, a) b) c) d)

para una sección rectangular de 6 m de ancho para una sección triangular con un ángulo de 60° para una sección circular de 4 m de diámetro para una sección parabólica que tiene 4 metros de ancho a la profundidad de 1 m

11. Un canal de sección trapecial, en tierra sin vegetación, debe transportar un gasto de 10 m3/s, con una velocidad no mayor de 1 m/s. El talud es de 30° (con la horizontal). La pendiente es de 8 en 10 000. Calcular las dimensiones de la sección transversal. Usar la fórmula de Bazin. 12. Un canal trapecial tiene 24 ft de ancho superficial, un talud de 45° y un ancho en la base de 8 ft. El canal es de concreto frotachado. La pendiente es 0,0006. Calcular el gasto. Usar la fórmula de Ganguillet-Kutter y la de Manning (en unidades inglesas). 13. Se tiene un canal trapecial de 8 m de ancho en la base y de 2 m de tirante. El talud es de 1,5. El canal es de tierra, sin vegetación, y varios años de uso. La pendiente es 0,0004. Calcular el gasto utilizando las fórmulas de Ganguillet-Kutter, Bazin, Manning y Chezy. Comparar resultados (la temperatura del agua es 15 °C) 14. En un canal de 0,80 m de ancho y 0,30 m de tirante fluye petróleo. La pendiente del canal es 0,0008. El canal es de fierro galvanizado. La viscosidad del petróleo es 10-5 m2/s y su peso específico relativo es 0,86. Calcular el gasto. 15. Un canal trapecial de concreto frotachado tiene una capacidad de 4 m3/s. La pendiente es 0,006. El talud es 0,5. Si el ancho en el fondo es de 1 m ¿Cuáles son las dimensiones de la sección transversal y la velocidad media?. Si el borde libre fuera de 30 cm ¿Qué caudal adicional podría ser absorbido? (en porcentaje). 16. Se quiere construir un canal con una pendiente de 0,0035 para conducir 4 m3/s ¿Qué dimensiones debe tener el canal para que la velocidad no sea superior a 1,5 m/s. El talud es 1,5. Considerar que el coeficiente

ν de Kutter es 0,025.

17. Se tiene un canal trapecial de 5 m de ancho superficial y 3 m de ancho en el fondo, talud de 60° y coeficiente de rugosidad de Kutter de 0,030. La capacidad del canal es de 10 m3/s. Calcular

318



a) ¿Cuánto habría que profundizar el canal, conservando el mismo ancho superficial y taludes, para aumentar su capacidad en 50 %?. b) ¿Cuánto habría que ensanchar el canal, conservando la misma profundidad y taludes, para aumentar su capacidad en 50 %?. 18. Demostrar que en un canal de máxima eficiencia hidráulica se cumple que la suma de los taludes es igual al ancho superficial. 19. Demostrar que en una sección trapecial de máxima eficiencia hidráulica se cumple que

1 (β + 2 ζψ ) = ψ 1 + ζ 2 2 20. Demostrar que en un canal trapecial de máxima eficiencia hidráulica, cuyo talud es de 45°, se cumple que 2

ΑΡ 3 β

8 3

= 1,90

21. Demostrar que para un canal que está en máxima eficiencia hidráulica se cumple para la sección más eficiente que

 Θ ψ = 0,968 1ν  2 Σ

3

8    

22. Demostrar que en un canal con una velocidad

 Θ β = 1,118 1ν  2 Σ

3

8    

ς , dada, la condición de máxima eficiencia

hidráulica (M. E. H.) corresponde a pendiente mínima. 23. En un canal de M. E. H. el ancho en el fondo es de 3 m y el ancho superficial es 8 m. La pendiente es 0,006 y el coeficiente

ν de rugosidad de Kutter es 0,025. Hallar el gasto.

24. El gasto de canal de alimentación de una central hidroeléctrica es de 60 m3/s. El talud es 1,25. a) Calcular las dimensiones de la sección transversal para un tirante de 2 m y una pendiente de 0,0008 (el coeficiente de rugosidad Γ de Bazin es 0,30). b) Conservando la velocidad del caso anterior ¿Cuáles serían las dimensiones del canal en condiciones de máxima eficiencia hidráulica? ¿Cuál deberá ser la pendiente del canal?. c) ¿Cuál sería la sección de máxima eficiencia hidráulica manteniendo una pendiente 0,001 ¿Cuál será la velocidad en este caso?.

319



25. Un canal debe transportar 8 m3/s. El talud es de 45°. Determinar las dimensiones de la sección transversal con la condición de obtener máxima eficiencia hidráulica. La pendiente es 0,002 y el coeficiente de Kutter es 0,022. En caso de revestir el contorno con concreto ( ν = 0,016) determinar cuáles serían las nuevas dimensiones de la sección transversal. 26. Un canal debe transportar 10 m3/s. La inclinación de las paredes (talud) es 60°. Determinar las dimensiones de la sección transversal con la condición de obtener la máxima eficiencia hidráulica. La pendiente del canal es 0,005. El canal es de concreto frotachado. 27. Un canal debe conducir 750 l/s. El talud es 2. Determinar las dimensiones de la sección transversal con la condición que la pendiente sea mínima. La velocidad no debe ser mayor de 1 m/s. (a fin de prevenir erosiones). Considerar que ν es 0,03. En el caso de revestir el canal ( ν = 0,022) ¿Con qué tirante fluirá el mismo gasto, manteniendo la pendiente y la forma de la sección calculada en el caso anterior?. 28. Un canal debe transportar 6 m3/s. La inclinación de las paredes (talud) es de 60° con la horizontal. Determinar las dimensiones de la sección transversal con la condición de obtener máxima eficiencia hidráulica. La pendiente del fondo es 0,003 y el coeficiente de Kutter es 0,025. En caso de revestir el canal con concreto frotachado ¿Cuáles serían las nuevas dimensiones de la sección?. 29. Un canal trapecial debe transportar 12,5 m3/s. El talud es 0,5. Determinar las dimensiones de la sección transversal de modo de obtener máxima eficiencia hidráulica. La pendiente es 0,0015. El coeficiente Χ de Chezy es 55 m1/2/s. 30. Se trata de diseñar un canal para 8 m3/s que debe ser construido en media ladera (inclinación media 30°). El ancho en el fondo es de 4 m. La pendiente del canal debe ser 0,00025 y el coeficiente de rugosidad de Kutter 0,025. El talud será de 45°. El borde libre se obtendrá de la Figura 6.4. Se pregunta si, desde el punto de vista del costo de excavación, habría resultado más económico un canal de máxima eficiencia hidráulica. 31. Determinar el talud que debe tener un canal triangular para que sea de máxima eficiencia hidráulica. 32. A igualdad de pendiente y calidad de paredes ¿En cuál de los siguientes casos se obtendrá una mayor velocidad de flujo para el escurrimiento de un mismo gasto? a) Usando un canal rectangular de máxima eficiencia hidráulica b) Usando un canal triangular da máxima eficiencia hidráulica 33. Un canal trapecial cuyo ancho en la base es de 3,80 m tiene un talud igual a 0,75. La pendiente es 1 por 1 000. Si el canal estuviera completamente revestido de albañilería de piedra, entonces para un gasto de 45 m3/s el tirante es 3,06 m. Si el mismo canal estuviera revestido con concreto frotachado se tendría para un gasto de 40 m3/s un tirante de 2,60 m.

320



a) ¿Cuál será el gasto, si el fondo es de concreto y las paredes de albañilería de piedra, siendo el tirante de 3,0 m?. b) ¿Cuál será el gasto si el fondo es de albañilería y las paredes de concreto para un tirante de 3 m?. 34. Hallar las dimensiones que debe tener un canal trapecial en máxima eficiencia hidráulica para llevar un gasto de 70 m3/s. La pendiente es de 0,0008 y el talud es de 1,5. El fondo es de concreto frotachado y los taludes están formados de albañilería de piedra bien terminados. 35. Un canal trapecial transporta 12 m3/s y posee un talud de 60°. El ancho en el fondo es de 3 m y el tirante de 1,5 m. Si se necesita transportar 20 m3/s, se desea saber ¿Cuántos metros habría que profundizar la base del canal manteniendo el talud?. Considerar para concreto antiguo 0,018 y para el nuevo revestimiento 0,014. ¿Qué dimensión tendría la nueva base del canal? 36. Calcular el radio hidráulico de una sección triangular, a partir de la ecuación 6-29. 37. Hallar las expresiones correspondientes al área, perímetro mojado, radio hidráulico, ancho superficial, tirante hidráulico y factor hidráulico para un canal circular parcialmente lleno en el que el tirante es el 60 % del diámetro. Hallar también el ángulo en el centro. Hallar luego las expresiones correspondientes al gasto y velocidad máximos, para

ν igual constante y para ν

igual variable. Como aplicación calcular todos los valores para ∆ = 16’’, Σ = 0,001 y ν = 0,014. ¿Cuál es el máximo gasto que podría haber en esta tubería y cuál es la máxima velocidad que puede presentarse?. 38. Hallar cual es el grado de sumergencia ( ψ

∆ ) que corresponde a un ángulo de 240° en una

tubería circular parcialmente llena. 39. Determinar el diámetro mínimo de un colector de desagüe para conducir cada uno de los gastos siguientes: 160, 200 y 250 l/s. La velocidad no debe ser menor de 0,60 m/s ¿Cuál es el tirante en cada caso?. La cota del colector en el punto inicial es 100 m y en el punto final es 99,85. La longitud es de 200 m. El coeficiente

ν de Kutter es 0,014. Dibujar la curva de variación entre

Θ y ∆. 40. Determinar el diámetro que debe tener un túnel de sección circular ( ν = 0,030) para conducir un gasto de 20 m3/s de modo que sea la mínima sección posible. La pendiente es 0,0008. Calcular también el tirante y velocidad respectivos. 41. Calcular la pendiente mínima con la cual se podrá tender un conducto circular para que conduzca un gasto de 500 l/s. El diámetro debe ser de 36’’ y a fin de evitar sedimentaciones la velocidad debe ser superior a 0,60 m/s ( ν = 0,014). Determinar también con que tirante se producirá el escurrimiento.

321



42. Un conducto tiene forma oval, formado por arcos circulares. La parte superior es un semicírculo de radio ρ . El área y el perímetro mojado de la sección debajo del diámetro horizontal del 2

semicírculo son 3 ρ y 4,82 ρ , respectivamente. Demostrar que la máxima descarga se presenta cuando la superficie libre subtiende un ángulo de 305° en el centro de curvatura del semicírculo (usar la ecuación de Chezy). 43. La porción superior de la sección transversal de un canal es un semicírculo de radio ρ . La porción inferior es una semieclipse de ancho 2 ρ , profundidad 2 ρ y perímetro 4,847 ρ , cuyo eje menor coincide con el diámetro horizontal del semicírculo. El canal debe llevar 15 m3/s trabajando a 3/4 ( ψ

∆ = 0,75). La pendiente es 1 en 1 000, ν = 0,014. Hallar las dimensiones

de la sección y el tirante que daría un gasto máximo. 44. Un acueducto tiene la forma que se muestra en la figura

Σ = 0,0005

1,5 m

Θ = 800 l/s

0,3 m

ν = 0,012 Calcular el tirante, la velocidad media correspondiente y determinar cual sería el tirante para las condiciones de gasto máximo y de velocidad máxima.

0,3 m 1,5 m

45. Se tiene un conducto de la forma siguiente

Θµαξ = 100 l/s β/2

Σ = 0,2 %o

ν = 0,013 β/2 Calcular el valor del ancho

β , el tirante y la

velocidad media.

β

322

Capítulo VII

Energía específica y momenta

CAPITULO

VII

ENERGIA ESPECIFICA Y MOMENTA

7.1 Energía específica La energía de la corriente en una sección determinada de un canal es igual a la suma del tirante, la energía de velocidad y la elevación del fondo con respecto a un plano horizontal de referencia arbitrariamente escogido y se expresa así

Energía = y + α

V2 +z 2g

(7-1)

y es el tirante, α el coeficiente de Coriolis, V la velocidad media de la corriente en la sección considerada, z la elevación del fondo con respecto a un plano de referencia. Si tomamos como plano de referencia el fondo del canal, la energía así calculada se denomina energía específica y se designa con la letra E . Esta definición significa z = 0.

E = y +α

V2 2g

(7-2)

La energía específica es, pues, la suma del tirante y la energía de velocidad. Como está referida al fondo va a cambiar cada vez que éste ascienda o descienda. Obsérvese que las definiciones anteriores no implican necesariamente condiciones normales. Puede, por ejemplo, calcularse la energía específica para una sección que forma parte de un 323


Arturo Rocha

movimiento gradualmente variado, siempre y cuando el flujo pueda considerarse como paralelo y aceptarse una distribución hidrostática de presiones, que son los supuestos fundamentales de la ecuación 7-1. La energía específica se interpreta gráficamente así

Línea de energía

!

V2 2g E y

Fondo (plano de referencia)

Figura 7.1 Interpretación gráfica de la Energía Específica

Estamos considerando que la pendiente del canal es cero (horizontal), o muy pequeña. En consecuencia, es indiferente que el tirante se mida vertical o normalmente al fondo. Hemos visto en el capítulo I que en muchos casos se justifica considerar que el coeficiente de Coriolis es igual a la unidad. Entonces,

E = y+

V2 2g

(7-3)

es la ecuación de la energía para este caso particular. Esta ecuación puede también expresarse en función del gasto Q y el área A de la sección transversal, que es una función del tirante y ( V

E = y+

= Q A ).

Q2 2gA2

(7-4)

En esta ecuación se ve con claridad que hay tres variables involucradas: energía específica, gasto y tirante

324

Capítulo VII


y = φ (E , Q )

(7-5)

Para poder discutir y analizar esta función consideraremos sucesivamente la constancia de cada una de las dos variables del segundo miembro de la ecuación 7-5. Así, si aceptamos que el gasto es constante

y = φ (E )

(7-6)

y = φ (Q )

(7-7)

Pero si la energía es constante,

7.2 Energía específica a gasto constante Discusión de la curva E − y La ecuación de la energía específica a gasto constante puede ser graficada colocando en el eje de abscisas los valores de la energía específica y en el eje de ordenadas los del tirante y , tal como se ve en el Figura 7.2. Empezaremos por discutir las asíntotas de la ecuación 7-4,

E = y+

Q2 2gA2

que evidentemente son

E−y=0 ;

y=0

Es decir, que las dos asíntotas están constituidas por una recta a 45º ( E = y ) y por el eje de abscisas. Es claro que si la pendiente del canal no es cero entonces dicha asíntota no está a 45º. Es decir, que si la pendiente del canal es lo suficientemente grande como para tenerse que tomar en cuenta, entonces no es lo mismo medir el tirante vertical o normalmente al fondo. Examinemos el mínimo de la ecuación 7-4 que corresponde a

dE =0 dy

325


Arturo Rocha

E=y

y Tirante

V2 E = y+ 2g V22 2g

y2

R

IO

V < Vc

dE =0 dy y2

F<1

0<

Q2 T 3 < 1 gA

dE <1 dy

Q = CONSTANTE

2

Vc 2g

yc

y1

y1

CRISIS

V = Vc

V12 2g

45º

F=1

Q2 T 3 = 1 gA

TORRENTE

V > Vc

F>1

dE <0 dy

V2 E = y+ 2g

E min

Energía Específica

E = y1 +

V12 2g

TORRENTE

=

y2 +

V22 2g

RIO

y1 e y2 son tirantes alternos 2

( E1 = E2 )

2

V1 Vc > 2g 2g

(flujo supercrítico)

F > 1 ( y1 < yc )

V12 Vc 2 < 2g 2g

(flujo subcrítico)

F < 1 ( y2 > yc )

Si E < Emin no hay flujo posible del gasto Q

Figura 7.2 Gráfico de la Energía Específica a gasto constante (Curva E − y )

326

Q2 T 3 > 1 gA

Capítulo VII


y a partir de la ecuación 7-4 se obtiene

dE Q 2 dA = 1− 3 dy gA dy

(7-8)

Esta expresión es aplicable a una sección transversal cualquiera, como la que se ve en la figura Para cada valor del tirante y , que es

T

variable, hay un valor del área A y un valor del ancho superficial T . El área

dy

y

es

A

A( y ) = ∫ T ( y )dy y

0

Al diferenciar esta expresión se llega a

dA = Tdy Luego,

T=

dA dy

(7-9)

Siempre se cumple que la derivada del área con respecto al tirante es igual al ancho superficial. Evidentemente que esta igualdad también es válida para un conducto abovedado. Obsérvese en el cuadro “Elementos geométricos de diversas secciones” (Tabla 6.11) que para todas las secciones se cumple la ecuación 7-9. Reemplazando este valor en la ecuación 7-8 se obtiene

dE Q 2T = 1− 3 dy gA

(7-10)

Si esta ecuación se iguala a cero nos da el mínimo valor de la energía con que puede escurrir un gasto Q en un canal dado y que corresponde a las condiciones críticas

dE Q 2T = 1− 3 = 0 dy gA

327


Arturo Rocha

o bien,

Q 2 A3 = g T

ó

Q 2T =1 gA3

(7-11)

que es la condición general de flujo crítico en cualquier sección transversal. Es interesante notar que la ecuación 7-11, de condición general de crisis, puede hacerse adimensional al dividir ambos miembros por

L5 .

Q2 A3 = gL5 TL5

(7-11a)

siendo L una magnitud lineal característica de la sección (ancho, diámetro, etc.). Hasta el momento hemos establecido que la ecuación de la energía específica tiene dos asíntotas y un mínimo. Por lo tanto tiene dos ramas tal como se ve en la Figura 7.2. La rama superior corresponde al régimen denominado RIO. En él siempre se cumple que

Q 2T <1 gA3 La rama inferior corresponde al régimen denominado TORRENTE. En él siempre se cumple que

Q 2T >1 gA3 El régimen crítico, que separa los ríos de los torrentes, corresponde a (ec. 7-11)

Q 2T =1 gA3 La velocidad y el tirante que corresponden a la energía mínima se denominan críticos. De esta última ecuación se obtiene

Q= A gAT

328

Capítulo VII


El tirante hidráulico se definió en el capítulo I como,

d=

A T

es decir, como la relación entre el área de la sección transversal y el ancho superficial. Luego,

Q = A gd o bien,

V = g A T = gd que es la velocidad que corresponde al mínimo contenido de energía y que se denomina velocidad crítica Vc (en cualquier sección transversal).

Vc = g A T = gd c

(7-12)

Desde el punto de vista de la consistencia en la notación quizá sería más conveniente que en las ecuaciones 7-11, 7-12 y otras se escriba en lugar de A ,

Ac y en lugar de T , Tc , etc. Por

comodidad se omiten los subíndices, pero debe entenderse claramente que los valores de

A , T y otros que corresponden al mínimo contenido de energía son necesariamente críticos. Si no hubiéramos considerado que el coeficiente de Coriolis es igual a 1, entonces la velocidad crítica sería

Vc = De la ecuación 7-12, para α

g d α c

(7-13)

= 1 , se obtiene que Vc2 d c = 2g 2

(7-14)

Significa esta ecuación que en un régimen crítico la energía de velocidad es igual a la mitad del tirante hidráulico (para cualquier sección). Es claro que las expresiones 7-11, 7-12 y 7-14 son absolutamente equivalentes.

329


Arturo Rocha

Se observa en la Figura 7.2 que para un valor dado de la energía específica, superior a la mínima, pueden presentarse dos tirantes diferentes. El mayor de ellos corresponde a un régimen de río. Se caracteriza por que la velocidad siempre es menor que la crítica. Por eso se llama régimen subcrítico. El menor de ellos corresponde a un régimen de torrente. Se caracteriza porque la velocidad siempre es mayor que la crítica. Por eso se llama régimen supercrítico. De acuerdo a las definiciones anteriores se comprende de inmediato que

Emin = yc +

Vc2 2g

(7-15)

Más adelante veremos que la proporción en la que se distribuye la energía mínima entre tirante y energía de velocidad depende de la forma de la sección transversal. Los tirantes

y1 e y2 , uno de torrente y otro de río, que corresponden a la misma energía

específica se denominan alternos.

Introducción del Número de Froude Veamos como el número de Froude es útil para distinguir los tres regímenes anteriormente presentados. El número de Froude es un indicador del tipo de flujo y describe la importancia relativa de las fuerzas gravitacionales e inerciales. Su definición general es

F=

Si la velocidad

V = gd

V gAT

(7-16)

V de la corriente es igual a la crítica, entonces

F=

gd c =1 gd c

(7-17)

Llegándose así a la importante conclusión que en un régimen crítico el número de Froude es igual a 1.

330

Capítulo VII


En un río la velocidad de la corriente es menor que la crítica y por lo tanto el número de Froude es menor que 1. Por similares razones en un torrente el número de Froude es mayor que 1. Examinemos nuevamente la ecuación 7-10

dE Q 2T = 1− 3 dy gA Al introducir V

= Q A se obtiene dE V2 = 1− A dy g T

(7-18)

Pero, (ec. 7-16)

F=

V g

A T

De donde,

dE = 1− F 2 dy

(7-19)

Si el número de Froude es igual a 1 (condiciones críticas) entonces,

dE =0 dy

(7-20)

Condición que es precisamente de la energía mínima. Si el número de Froude es menor que 1 (régimen subcrítico) entonces,

0<

dE <1 dy

(7-21)

331


Arturo Rocha

Propagación de una onda superficial Examinemos otra interpretación de los regímenes de corriente antes descritos Si en la superficie libre de un canal se produce una onda superficial ésta adquiere una celeridad

c , es decir, una velocidad con respecto a la corriente que aproximadamente es igual a c = gy

(7-22)

Siendo y la profundidad de la corriente.

c-V

Resulta evidente que la condición para que un onda pueda remontar la corriente es que su celeridad sea mayor que la velocidad de la corriente.

c+V

y

V

En un torrente siempre se cumple que la velocidad media de la corriente es mayor que

gy (sección rectangular).

De acá que los torrentes se caracterizan porque una onda superficial no puede remontar la corriente. En cambio en los ríos si es posible que un onda superficial remonte la corriente. En el régimen crítico la velocidad de la corriente es igual a la celeridad de la onda y ésta permanece estacionaria, ( c = V ).

Ríos y torrentes Los ríos se caracterizan por tener pequeña velocidad y gran tirante (régimen subcrítico). En cambio en los torrentes la velocidad es grande y el tirante pequeño (régimen supercrítico): la mayor parte de la energía específica corresponde a energía de velocidad.

V 2 2g La conclusión que obtenemos es que la relación describe el régimen de la corriente. E La relación

V 2 2g es fija para el régimen crítico, pero depende de la forma de la sección. E

En los torrentes la variación del tirante y la energía específica es de signo contrario: si aumenta el tirante disminuye la energía específica. Esto se ve claramente en la Figura 7.2 y en la Figura 7.2a.

332

Capítulo VII


En cambio en los ríos la variación es del mismo signo. Esta es una propiedad importante de ríos y torrentes que será muy útil para la discusión de los perfiles de la superficie libre cuando se presente, por ejemplo, pequeñas gradas de fondo que implican un cambio en la energía específica.

Propiedades de la curva de la Energía Específica (Figura 7.2) Aunque las características de la ecuación de la Energía Específica, a gasto constante, han sido analizadas y discutidas en las páginas anteriores, se presenta a continuación, en forma de resumen, sus principales características. i)

La curva E − y (energía específica – tirante, a gasto constante) tiene dos ramas: una superior que corresponde al régimen de río y otra inferior que corresponde a los torrentes.

dE es negativo, y en un río es positivo, (menor que 1). dy

ii)

En un torrente,

iii)

La curva E − y tiene dos asíntotas que son E = y ; y = 0 .

iv)

La curva E − y tiene un mínimo que corresponde al mínimo contenido de energía,

dE = 0 . Se define por las ecuaciones 7-11, 7-12, ó 7-14. dy El tirante y la velocidad que corresponden al mínimo contenido de energía se denominan críticos. v)

Para cualquier contenido de energía superior a la mínima existen dos puntos sobre la curva: uno corresponde a un río y el otro a un torrente. Los tirantes respectivos, que se caracterizan por tener la misma energía específica, se denominan alternos.

vi)

Para la energía específica mínima sólo hay un flujo posible: el crítico.

vii) En la zona superior de la curva E − y la velocidad siempre es menor que la crítica (flujo subcrítico). En la rama inferior la velocidad de la corriente es siempre superior que la crítica (flujo supercrítico). viii) En un río el número de Froude es menor que 1. En un torrente, mayor que 1. En la crisis es 1. ix) Una onda superficial puede remontar la corriente en un río, pero no en un torrente.

333


x)

Arturo Rocha

En un río un aumento del tirante implica un aumento de la energía específica

dE >0. dy

En un torrente un aumento del tirante implica una disminución de la energía específica

dE < 0. dy

y

En un río las variaciones de

∀y

E e y son del mismo signo y del mismo orden de magnitud.

RI O

∀E

En un torrente las variaciones de

45º

∀y

TORR

E e y son de diferente signo y

ENTE

de diferente orden de magnitud.

∀E E

Figura 7.2a Variación de la energía específica y el tirante

Ejemplo 7.1 Probar que la sección de un canal en la cual el flujo es crítico puede ser expresada en la forma siguiente x2 y3 =

Q2 32 g

Donde “x” es la mitad del ancho superficial e “y” es la distancia de la superficie del agua a la línea de energía. Solución. Sea T el ancho superficial y V la velocidad media de la corriente. Entonces, x=

T 2

y=

V2 2g

Como el problema establece que el flujo es crítico debe cumplirse la ecuación fundamental 7-11 Q 2 A3 = g T

334

Capítulo VII


Siendo en este caso, T = 2x

A=

Q = V

Q 2 gy

Reemplazando los valores de A3 y de T en el segundo miembro de la ecuación 7-11 se verifica la expresión propuesta. Podría haberse usado como condición de crisis la ecuación 7-12.

7.3 Sección rectangular Condiciones críticas En cualquier sección transversal en la que el flujo es crítico debe cumplirse la ecuación 7-11 ó la 7-12, ya que son equivalentes. Partamos de esta última ecuación

Vc = g expresión en la que

A T

Vc es la velocidad crítica, A el área de la sección transversal, T el

ancho superficial. Tal como lo señalamos antes, para estos casos de flujo crítico se sobreentiende que A es

Ac y T es Tc . En una sección rectangular la relación

A T (tirante hidráulico) es igual al tirante. Luego, Vc = gyc

(7-23)

que es la ecuación de la velocidad crítica en una sección rectangular. De esta ecuación se obtiene de inmediato

Vc2 yc = 2g 2

(7-24)

Esta última ecuación significa que en un régimen crítico en sección rectangular la energía de velocidad es igual a la mitad del tirante crítico.

335


Arturo Rocha

La energía que corresponde a las condiciones críticas es

Vc2 E = yc + 2g Este valor de la energía es el mínimo en la curva E − y , tal como se ve en la Figura 7.2. Combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene

2 E 3

(7-25)

Vc2 1 = E 2g 3

(7-26)

yc =

Esta es, pues, la proporción en la que se distribuye la energía, en condiciones críticas, en un canal rectangular. Al respecto puede leerse nuevamente el comentario hecho después de presentar la ecuación 7-15.

Vc 2 2g

1 E 3

yc

2 E 3

E

Figura 7.3 Distribución de la Energía Específica en un canal rectangular

Se puede obtener fácilmente una expresión para el tirante crítico en función del gasto recordando que

336

Capítulo VII

Vc =

Q q = A yc


2

o

o o

q2 = 0,467q 3 yc = g 3

(7-27)

Vc = gyc q es el gasto específico, es decir, el gasto por unidad de ancho. La última expresión corresponde al sistema métrico. En general la energía específica de un canal rectangular es

E = y+

V2 2g

Si dividimos ambos miembros por el tirante y , se llega a

E V2 = 1+ y 2 gy

Introduciendo el número de Froude

F=

V se obtiene gy

E F2 = 1+ y 2

(7-28)

Si esta expresión se combina con la ecuación 7-19, se obtiene,

dE 2E = 3− dy y

(7-29)

Nótese que si en la ecuación 7-28 hacemos F = 1 esto significa condiciones críticas, y se obtiene E =

3 yc , tal como se demostró anteriormente. 2

Lo mismo se podrá hacer en la ecuación 7-29. Las condiciones críticas están dadas por

337


Arturo Rocha

3 dE = 0 , obteniéndose también E = yc . 2 dy

Expresión adimensional de la energía específica (Figura 7.4) La expresión que nos da la energía específica en un canal rectangular cuyo gasto específico es q , se obtiene de inmediato a partir de 7-4

E = y+

q2 2gy 2

Dividiendo ambos miembros por el tirante crítico

(7-30)

yc se obtiene

E y q2 = + yc yc 2 gy 2 yc Pero, en una sección rectangular

yc = 3

q2 g

ó lo que es lo mismo,

q 2 = gyc3

(7-31)

E y y2 = + c2 yc y c 2 y

(7-32)

Reemplazando se obtiene

que es la expresión adimensional de la energía específica en un canal rectangular. La ecuación 7-32 puede también tomar la forma siguiente

E 2 y 1 yc2 = + Emin 3 yc 3 y 2

338

(7-32a)

Capítulo VII


y yc

E=y

3

yc2 y E yc = yc + 2 y 2 R

IO

2

1

CRISIS TO RRE NTE

yc = 2 E 3 45º 0

1

1,5

2

3

E yc

Figura 7.4 Diagrama adimensional de la Energía Específica en canal rectangular

339


Arturo Rocha

Variación del gasto con el tirante a energía específica constante El análisis hecho hasta ahora ha sido considerando gasto constante y energía específica variable en función del tirante. Vamos a examinar ahora la posibilidad mencionada en la ecuación 7-7

y = φ (Q ) , para energía constante La ecuación de la energía específica en un canal rectangular es

E = y+

q2 2gy 2

De acá podemos despejar el gasto específico q

q = 2 g (E − y )y

(7-33)

Siendo la energía específica constante se tendrá que para cada valor del tirante y hay un valor correspondiente del gasto. Por lo tanto habrá un valor del tirante que produzca el gasto máximo

dq =0 dy 1 1 1 dq   − = 2 g (E − y )2 − (E − y ) 2 y  = 0 2 dy  

De donde,

y=

2 E 3

Se obtiene así que el gasto es máximo cuando el tirante es los 2/3 de la energía específica. Esta es precisamente la ecuación 7-25 obtenida al examinar las condiciones críticas en un canal rectangular. Luego, pues, el gasto es máximo cuando las condiciones son críticas. El gasto máximo en un canal es el que corresponde a las condiciones críticas 3

Q = AVc = byc gyc = g byc2

340

Capítulo VII


Pero, en un canal rectangular yc =

2 E 3

Luego,

q=

Q b 3

3

 2 2 q = g  E2 3

(7-34)

En el sistema métrico 3

q = 1,704E 2

(7-35)

Este es el gasto máximo que puede transportar un canal con un contenido de energía específica dado. La representación gráfica de la ecuación 7-33 aparece en la Figura 7.5.

Ejemplo 7.2 En un canal rectangular de 4 m de ancho se ha determinado que las ondas superficiales remontan la corriente con una velocidad de 2,2 m/s y en otro caso son arrastradas por la corriente con una velocidad de 3,0 m/s. Hallar el gasto en el canal. Solución. Sea V la velocidad de la corriente en el canal y c la celeridad de las ondas superficiales. Entonces, c - V = 2,2 c+V=3 De donde, c = 2,6 m/s y V = 0,4 m/s A partir de la ecuación 7-22 obtenemos que y=

c2 = 0,69 m g

El gasto es Q =AV = 2,76 x 0,4 = 1,10 m3/s Como las ondas pueden remontar la corriente esto significa que el número de Froude es menor que 1 y que la velocidad media de la corriente es menor que la crítica como puede fácilmente comprobarse. (F= 0,15). Si la onda se produce en la dirección de la corriente su velocidad es de 2,6 + 0,4 = 3,0 m/s, pero si la onda se produce contra la corriente su velocidad es 2,6 - 0,4 = 2,2 m/s.

341


Arturo Rocha

y q = 2g(E - y) y VR2 2g

RI O

q

dq FR

Vc 2 2g

<

dy

=0

1

3

q = 1,704 E 2

CRISIS F=1

qmax 2 T

V 2g E

T

2 y 3

TO RR EN TE

yc =

F<

1

yR

(sección rectangular)

q yT

q

q < qmax 3

qmax = 1,704 E 2 (sección rectangular)

yT yR yR yT

=

FR2 8 (1 + 1 + 2 ) 4 FR

FT2 8 = (1 + 1 + 2 ) 4 FT

Los subíndices R y T se refieren a río y torrente

Figura 7.5 Curva de descarga para Energía Específica constante

342

Capítulo VII


Ejemplo 7.3 En un canal rectangular el gasto específico es de 1 m3/s/m. Presentar una tabla que muestre la variación de la energía específica y de otros parámetros descriptivos de la corriente en función del tirante (1,50 > y > 0,10 m). Solución. Asignaremos sucesivamente valores al tirante. Para cada uno de ellos se puede calcular el área, la velocidad media, la energía de velocidad y la energía específica. Conviene calcular en primer lugar el tirante crítico. Por ser una sección rectangular usamos la ecuación 7-27 yc = 3

q2 = 0,4673 m (0,47 aprox.) g

En la tabla se ha considerado cuatro tirantes mayores que el crítico y cuatro menores. (Ver Figura 7.6 y Tabla 7.1). La velocidad crítica puede calcularse como gasto entre área, o usando la ecuación 7-23 Vc = gy c = 2,14 m/s

La energía mínima es 0,7009 m. Esta es la mínima energía con la que puede establecerse un régimen de 1 m3/s/m en un canal rectangular.

(2,14)

2

0,4673 +

yc

2g

Vc2 2 g

= 0,7009

E (mínima)

Para cualquier valor de la energía superior a 0,7009 m puede establecerse dos tipos de escurrimiento (ríos y torrentes). Los ríos tienen tirantes mayores que el crítico y velocidades menores que la crítica (régimen subcrítico). Los torrentes tienen tirantes menores que el crítico y velocidades mayores que la crítica. (régimen supercrítico). Los tirantes que corresponden al mismo contenido de energía específica se denominan alternos. Así por ejemplo, con una energía de 1,48 m puede haber dos escurrimientos a)

Un río, con un tirante de 1,46 m y una velocidad de 0,685 m/s (como esta velocidad es menor que la crítica el régimen es subcrítico). El número de Froude es menor que 1 y los valores de

dE son positivos, pero menores que 1. dy

343


Arturo Rocha

y (m)

E=y

Tirantes alternos

2,00

1,50 (1,46)

0,17 (Número de Froude) 0,18

R

IO

yc

2

1,00

Vc 2g

yc

0,32 3

q = 1 m /s/m

1m

0,69 0,50

(0,20)

0

0,4673

0,2336

CRISIS 1,00 1,26 1,94 3,57

TORRE NTE

45º

1,00

0,50

1,50

2,00

2,50

E (m)

0,7009 1,48

Figura 7.6 Gráfico para el ejemplo 7.3

b)

Un torrente, con un tirante de 0,20 m y una velocidad de 5 m/s (como esta velocidad es mayor que la crítica el régimen se denomina supercrítico). El número de Froude es mayor que 1 y los valores de

dE son negativos. dy

Como los tirantes 1,46 m y 0,20 m corresponden a la misma energía específica (1,48 m) se dice que son tirantes alternos. Obsérvese que satisfacen la expresión propuesta en el ejemplo 7.4. En los ríos al disminuir el tirante disminuye la energía específica. En cambio en los torrentes al disminuir el tirante aumenta la energía específica. Así por ejemplo, al pasar de un tirante 0,30 m a otro 0,20 la energía específica aumenta de 0,87 m a 1,48 m. En cambio en un río al disminuir el tirante de 1,46 m a 1,00 m la energía específica disminuye de 1,48 a 1,05 m.

344

Capítulo VII

TABLA 7.1 EJEMPLO 7.3 ( q = 1 m3/s/m)

y

V

V2 2g

E

F

dE dy

V2 2g × 100 E

c

c +V

c −V

1,50

0,67

0,023

1,523

0,17

0,971

1,5

3,83

4,50

3,16

1,46

0,68

0,024

1,484

0,18

0,968

1,6

3,78

4,46

3,10

1,00

1,00

0,051

1,051

0,32

0,898

4,9

3,13

4,13

2,13

0,60

1,67

0,142

0,742

0,69

0,524

19,1

2,42

4,09

0,75

0,4673

2,14

0,2336

0,7009

1,00

0

33,3

2,14

4,28

0

0,40

2,50

0,319

0,719

1,26

-0,588

44,4

1,98

4,48

-

0,30

3,33

0,567

0,867

1,94

-2,764

65,4

1,71

5,04

-

0,20

5,00

1,276

1,476

3,57

-11,745

86,4

1,40

6,40

-

0,10

10,00

5,102

5,202

10,10

-101,01

98,1

0,99

10,99

-

V =

q y

E = y+

V2 2g

F=

R I O

disminuye la energía

REGIMEN

específica

SUBCRITICO

0<

CRISIS T O R R E N T E

V gy

dE <1 dy dE =0 dy

Al disminuir el tirante aumenta la energía

F <1

V2 E < 2g 3

F =1

Vc2 E = 2g 3

F >1

V2 E > 2g 3

V < VC

V = VC

REGIMEN

específica

SUPERCRÍTICO

dE <0 dy

V > VC

dE 2E = 3− dy y

y 345

1m

Al disminuir el tirante

c=

gy


A= y

REGIMEN


Arturo Rocha

Para ilustrar la diferencia entre ríos y torrentes se ha calculado para cada tirante, la celeridad de una pequeña onda superficial. En la Tabla 7.1 se muestra para el rango de valores solicitado, la variación de la energía específica y de otros parámetros descriptivos de la corriente en función del tirante. Ejemplo 7.4 Demostrar que en un canal rectangular se cumple entre los tirantes alternos y1 e y2 y el tirante crítico yc la siguiente relación 2 y12 y 22 = yc3 y1 + y 2

Solución. Por ser y1 e y2 tirantes alternos corresponden a flujos que tienen la misma energía específica y1 +

V12 V2 = y2 + 2 2g 2g

Introduciendo el gasto específico q (gasto por unidad de ancho) se obtiene y1 +

q2 q2 = y2 + 2 2 gy1 2 gy 22

Pero en un canal rectangular yc = 3

q2 g

Luego, y1 +

yc3 y c3 = + y 2 2 y12 2 y 22

Efectuando las operaciones indicadas se llega fácilmente a 2 y12 y 22 = yc3 y1 + y 2

En el ejemplo 7.3 hay 2 tirantes alternos, 0,20 m y 1,46 m (pues ambos corresponden a la misma energía específica). A modo de comprobación 2(0,20 ) (1,46 ) = 0,1027 1,66 2

2

que es prácticamente igual al cubo del tirante crítico.

346

Capítulo VII


7.4 Sección parabólica

T

A

yc

En cualquier sección transversal en condiciones críticas debe cumplirse la ecuación 7-11 (o la 7-12 que es su equivalente)

Vc = g

A T

Por propiedades geométricas de la parábola se sabe que el área transversal es igual a los 2/3 del área del rectángulo circunscrito

A=

2 y cT 3

reemplazando esta ecuación del área en la expresión general de la velocidad crítica (7-12) se obtiene

Vc =

2 gyc 3

Vc =

2 gyc 3

(7-36)

o bien,

que es la ecuación de la velocidad crítica en un canal parabólico. De acá se obtiene

Vc2 yc = 2g 3

(7-37)

347


Arturo Rocha

Esta ecuación puede compararse con la ecuación 7-24. Combinando la ecuación 7-37 con la definición de energía específica en condiciones críticas se obtiene

3 E 4

(7-38)

Vc2 1 = E 2g 4

(7-39)

yc =

Vc 2 2g 1 E 4 3 E 4

yc

E

Figura 7.7 Distribución de la Energía Específica en un canal parabólico

En la Figura 7.7 se ve la distribución de la energía específica en un canal parabólico, en condiciones críticas. El gasto máximo que puede escurrir con una energía dada es el que corresponde a las condiciones críticas. Su expresión para un canal parabólico es

Q=

2 2 y cT gyc 3 3 Vc

A 3

1

3

 2 2 Q =   g 2 T yc2  3 Si denominamos gasto específico q al gasto por unidad de ancho superficial se tiene

q= 348

Q T

(7-40)

Capítulo VII

Energía específica y momenta 3

1

3

 2 2 q =   g 2 yc2  3

(7-41)

De donde, en el sistema métrico 2

(7-42)

yc = 0,701 q 3

El gasto máximo con energía específica constante es el que corresponde a las condiciones críticas 3

 3 2 q = 1,7039 E  4 

q = 1,1067 E

3 2

(7-43)

Ejemplo 7.5 Demostrar que el tirante crítico en una sección parabólica es 1

1

1

 27  4  1  4 Q 2 y c =     1  64   p  g 4

(7-44)

Considerar que la ecuación de la parábola es x 2 = 2 py Solución. La expresión general para las condiciones críticas viene dada por la ecuación 7-11

y

Q 2 A3 = g T

T ( T , yc ) 2

Por ser una parábola el área es A=

x 2 = 2 py yc

2 ycT 3

Por condición de parábola x 2 (T 2 ) T2 = = 2y 2 yc 8 yc 2

p=

x

349


Arturo Rocha

De donde, T = 8 py c

A=

2 y c 8 py c 3

Reemplazando en la ecuación general de crisis se obtiene (ec. 7-44) 1

1

1

 27  4  1  4 Q 2 y c =     1  64   p  g 4 que es la expresión propuesta.

7.5 Sección triangular. T

A yc

1 z

En cualquier sección transversal en condiciones críticas debe cumplirse la ecuación 7-11 (o la 7-12 que es su equivalente).

Vc = g

A T

En el triángulo el área es

A=

1 y cT 2

Reemplazando esta ecuación del área en la expresión general de la velocidad crítica (7-12) se obtiene 350

Capítulo VII


Vc =

1 gyc 2

(7-45)

o bien,

Vc =

1 gyc 2

que es la ecuación de la velocidad crítica en un canal triangular. De acá se obtiene

Vc2 yc = 2g 4

(7-46)

ecuación que puede compararse con la 7-24 y la 7-37. Combinando la ecuación 7-46 con la definición de energía específica en condiciones críticas se obtiene

yc =

4 E 5

(7-47)

Vc2 1 = E 2g 5

(7-48)

ecuaciones que muestran la proporción en la que se distribuye la energía específica en condiciones críticas en un canal triangular tal como se ve en la Figura 7.8.

Vc 2 2g 1 E 5 yc

4 E 5

E

Figura 7.8 Distribución de la Energía Específica en un canal triangular

351


Arturo Rocha

El gasto en condiciones críticas es el gasto máximo.

Q = AV =

1 1 y cT gyc 2 2 3

1

3

 1 2 Q =   g 2 T yc2  2 Si denominamos gasto específico q al gasto por unidad de ancho superficial 3

1

(7-49)

q =Q T

3

 1 2 q =   g 2 yc2  2 de donde, en el sistema métrico

q = 0,7920 E

3 2

(7-50)

o bien, 2

(7-51)

yc = 0,9346 q 3

Se demuestra fácilmente que en un canal triangular en condiciones críticas el tirante es 0, 2

 2  Q yc =     g  z 

0, 4

(7-52)

siendo z el talud. Como ilustración podríamos señalar que en un canal triangular de 90º ( z = 1) el tirante crítico en el sistema métrico es

yc = 0,7277 Q 0 , 4 Veamos, sólo a título ilustrativo, otro método para obtener las condiciones críticas en un canal triangular. La energía específica es

E = y+ De donde,

352

V2 2g

Capítulo VII


V = 2 g (E − y ) Designemos por z el talud de la sección triangular. Su área es

A = zy 2 Luego,

Q = AV = zy 2 2 g (E − y ) Para las condiciones críticas el gasto es máximo. Luego

dQ =0 dy De acá se obtiene inmediatamente

yc =

4 E 5

verificando así la ecuación obtenida anteriormente y comprobando una vez más que las condiciones críticas implican energía mínima para gasto constante y gasto máximo para energía constante. Nota. En muchos casos en los que aparece la aceleración de la gravedad se ha reemplazado ésta por su valor 9,8 m/s2, restringiendo así su uso al sistema métrico. Sin embargo, como las fórmulas genéricas están dadas, es posible utilizarlas en cualquier sistema de unidades. Debe, sin embargo, observarse en que casos se ha reemplazado previamente el citado valor de la gravedad.

7.6 Sección trapecial T

yc

1 z

A

b 353


Arturo Rocha

En cualquier sección transversal en régimen crítico debe cumplirse que (ec. 7-12)

Vc = g

A T

En una sección trapecial se tiene, por consideraciones geométricas, las siguientes expresiones

A = (b + zy )y T = b + 2 zy que al reemplazarse en la ecuación de la velocidad crítica dan

Vc = g

(b + zyc )yc b + 2 zyc

(7-53)

o bien,

Vc =

b + zyc b + 2 zyc

gyc

Como el primer radical siempre es menor que 1 se tiene que en un canal trapecial la velocidad crítica es menor que la que tendría un canal rectangular del mismo tirante. Esta es la expresión general de la velocidad crítica en un canal trapecial. Obsérvese que si

b = 0 se obtiene la velocidad crítica en una sección triangular y si z = 0 se obtiene la velocidad crítica en una sección rectangular. Si hubiéramos partido de la ecuación 7-11

Q 2 A3 = g T se tendría que las condiciones críticas en un canal trapecial están dadas por

(b + zyc )3 yc3 b + 2 zyc

=

Q2 g

(7-54)

Las ecuaciones 7-53 y 7-54 son equivalentes. Para resolver cualquiera de ellas se debe

354

Capítulo VII


recurrir a tanteos. Si el ancho en la base

b y el talud z son datos, entonces se debe suponer

valores para el tirante hasta encontrar uno que satisfaga la ecuación 7-53 (ó la 7-54). Se puede también obtener otra expresión para las condiciones críticas si expresamos el área del trapecio de la siguiente manera

A=

b +T yc 2

valor que reemplazado en la ecuación 7-12 da

Vc = g

b+T yc 2T

(7-55)

De donde,

Vc2 b + T E = 2 g 5T + b

(7-56)

4T E 5T + b

(7-57)

yc = Obsérvese que siempre se cumple

2 4T 4 E< E E< 3 5T + b 5

yc : (Rectángulo) (Trapecio) (Triángulo) 2

Vc 2g

b+T E 5T + b yc

4T E 5T + b

E

Esta figura muestra la proporción en la que se distribuye la energía en un canal trapecial en condiciones críticas. (Se observa que es función del talud). 355


Arturo Rocha

Veamos a título ilustrativo una expresión para el tirante crítico en un canal trapecial obtenida a partir de la consideración de que en condiciones críticas el gasto es máximo. La energía específica es

E = y+

V2 2g

La velocidad es

V = 2 g (E − y ) El gasto es

Q = (b + zy )y 2 g (E − y )

(7-58)

La condición crítica corresponde a gasto máximo (siendo constante la energía)

dQ =0 dy Luego de derivar la ecuación 7-58 e igualar a cero y operar se obtiene

5 zyc2 + (3b − 4 zE )yc − 2bE = 0

(7-59)

que es una expresión general para las condiciones críticas en un canal trapecial. Si en esta expresión hacemos

b = 0 se obtiene las condiciones críticas para un canal triangular y si

hacemos z = 0 se obtienen las condiciones críticas para un canal rectangular. Si z no es cero se puede resolver la ecuación 7-59 llegando a

yc =

4 zE − 3b + 16 z 2 E 2 + 16 zEb + 9b 2 10 z

(7-60)

Abaco de Ven Te Chow Ven Te Chow en su libro “Open-channel Hydraulics” presenta un gráfico (Figura 7.9) que permite el cálculo rápido del tirante crítico. La precisión es la que corresponde a un método gráfico. Si se desea un cálculo más preciso puede usarse para obtener un valor aproximado y luego proseguir con la ecuación 7-53 ó 7-54. Para el cálculo, Ven Te Chow introduce una variable auxiliar Z que es

356

Capítulo VII


Z=

Se entra al gráfico con el valor de

Q g

(7-61)

Z y y se obtiene el valor de c para cada valor del talud b 2,5 b

z , (Figura 7.9).

Z b

2,5

z yc

yc

b

b

Ejemplo 7.6 Hallar el tirante crítico para un canal de 10 m3/s en un canal trapecial cuyo ancho en la base es de 0,50 m. El talud es 3. Solución. Si partimos de la expresión general

A3 Q 2 = se tiene, luego de reemplazar el gasto, que T g

A3 = 10,2T

Luego, A = (b + zy c )y c = (0,5 + 3 y c )y c T = 0,5 + 6 yc

(0,5 y

+ 3 y c2 ) = 10,2(0,5 + 6 y c ) 3

c

Para resolver esta ecuación procedemos por tanteos (o cualquier otro método numérico) obteniéndo el valor del tirante crítico yc = 1,098 ≈ 1,10 m. Luego se puede calcular, a modo de comprobación y análisis, otros valores

357

b 0,001

0,01

(Secciones trapeciales)

2,5

0,1

1

10

100 10 8 6

r) ula ng a t c ,5 ,0 (re 0,5 = 1 z = 1 0 z z= = z

y

1

z

4 3 z = 2,0 z = 2,5 z = 3,0 z = 4,0

b

2

1,0 0,8 0,6

cir

c

r ula

0,4 0,3 0,2

yc


358

Z

b ó yc D

0,1 0,08 0,06

D

y

0,04 0,03 0,02

2 0,0001

3

4 5 67 9 0,001

2

3

4 5 67 9 0,01

2

D

2,5

4 5 67 9 0,1

2

3

4 5 67 9 1

(Secciones circulares)

Figura 7.9 Cálculo del tirante crítico (Ven Te Chow)

2

3

4 5 67 9 10

0,01

Arturo Rocha

Z

3

Capítulo VII


A = 4,18 m2 Vc = 2,39 m/s E = yc +

Vc2 = 1,39 m 2g

Vc2 = 0,29 m 2g

Obsérvese que también se cumple que Vc = gd c dc =

A = 0,59 m T

Vc = 9,8 × 0,59 = 2,40 m/s

Se aprecia que y c = 0,79 E valor intermedio entre el rectángulo (2/3) y el triángulo (0,8) y casi igual a este último, pues la figura es casi triangular. También hubiéramos podido hacer el cálculo a partir del gráfico de Ven Te Chow. Entonces,

Z=

Q

= 3,19

Z = 18 b 2,5

yc = 2,2 b

yc = 1,10 m

g

De donde, (Figura 7.9),

A modo de comprobación se puede verificar que los valores obtenidos satisfacen las ecuaciones 7-47, 7-48 y 7-60.

Línea de energía

1

0,29 m

21 % E

1,10 m

79 % E

E = 1,39 m

3 0,50 m

359


360

TABLA 7.2 SECCIONES CRITICAS ( E

= yc +

Vc2 ) 2g

(Sistema métrico)

TIRANTE CRITICO

yc

RECTANGULO

PARABOLA

TRIANGULO

TRAPECIO

2 E 3

3 E 4

4 E 5

4T E 5T + b

0,467q

2 3

0,701q

2 3

0,935q

1

Vc2 2g

VELOCIDAD CRITICA

Vc

GASTO MAXIMO

qmax

2T 3 q b +T

2

 Q 5 0,728  z

4 zE − 3b + 16 z 2 E 2 + 16 zEb + 9b 2 10 z

1 E 3

1 E 4

1 E 5

T +b E 5T + b

gyc

0,816 gyc

0,707 gyc

T +b gyc 2T

1,704 E

3 2

1,107 E

3 2

0,792 E

T

3

 b + T  2 32 8,854  E  5T + b 

3 2

T

T

Q T

yc

yc

x 2 = 2 py

yc

1 z

yc

1 z b

Arturo Rocha

T

q=

0,467

 1 4 0,456  Q 2  p 1

ENERGIA DE VELOCIDAD

2

2 3

Capítulo VII


7.7 Sección circular y otras secciones Como en cualquier sección transversal las condiciones críticas vienen dadas por la ec. 7-11 ó 7-12. Consideremos la primera de ellas

D

Q 2 A3 = g T yc

En una sección circular el área es (ec. 6-37)

#

A=

r2 (θ − sen θ ) 2

Teniendo en cuenta las ecuaciones 6-43 y 7-9 se obtiene

dA r (1 − cosθ ) = θ dy sen 2

T=

(7-62)

Esta última expresión es equivalente a la que aparece en la Tabla 6.11. Reemplazando en la ecuación 7-11 se obtiene

θ r 5 (θ − sen θ ) θ Q 2 r 6 (θ − sen θ ) sen = sen = 8 r (1 − cosθ ) 2 8 (1 − cosθ ) 2 g 3

Haciendo r =

3

D 2 2

5

Q D = 8 g 2

(θ − sen θ )3  sen θ  2  (1 − cosθ )

(7-63)

Esta ecuación puede compararse con la ec. 7-11a Teniendo en cuenta consideraciones trigonométricas se puede sustituir

361


Arturo Rocha

1 − cos θ θ = 2 sen θ 2 sen 2

(7-64)

Luego, 3

Q=

g (θ − sen θ )2 24

θ  2  sen  2 

5

(7-65)

D2

1 2

En el sistema métrico 3

(θ − sen θ )2 Q = 0,1383 θ   sen  2 

1 2

D

5 2

(7-66)

Esta última expresión es la que da las condiciones críticas en una tubería circular parcialmente llena, la que hidráulicamente es un canal. Dada una tubería de diámetro D se puede calcular para cada valor del gasto el correspondiente ángulo θ que da condiciones críticas. El tirante crítico es

yc =

D θ 1 − cos  2 2

(7-67)

La ecuación 7-65 expresa que para las condiciones críticas existe una función

Q D

5 2

= φ (θ )

(7-68)

El gráfico de la Figura 7.10 permite resolver rápidamente la ecuación 7-65. Este gráfico da también las condiciones críticas para otros conductos abovedados. El gráfico de Ven Te Chow (Figura 7.9) puede también emplearse.

362

3

Capítulo VII

2

1

4

D/2 D

D

D

D/2

y

y

D

y

yc

y D/2

D

4

1,50

5

6

4

1,25

3 1

1,00

0,75

2 0,50

1 3 2

0,10

0,20

0,30

4

5

6

0,20

0 1

2

3

363

Figura 7.10 Gráfico para el cálculo de secciones críticas

Q D

5/2


0,10

0,25

0

4

0,30


Arturo Rocha

Ejemplo 7.7 En un conducto circular el gasto es de 2 m3/s, el diámetro es de 1 m. Calcular a) b) c) d)

tirante crítico velocidad crítica energía mínima ángulo en el centro

Solución. Vamos a usar la Figura 7.10 Q D

=2

5 2

o o o

yc = 0,81 m

A partir de la ecuación 7-67 encontramos el ángulo en el centro correspondiente yc =

D θ 1 − cos  2 2

0,81 θ = 1 − cos 0,5 2

θ = 256º 38’ θ = 4,4791 rad

El área es A=

r2 (θ − senθ ) = 0,25 (4,4791 + 0,9729) 2 2

A = 0,6815 m2 Podría haberse obtenido el mismo resultado a partir de la Tabla 6.7 y = 0,81, D

A = 0,6815 D2

o o o

A = 0,6815 m2

o o o

Vc2 = 0,44 m 2g

La velocidad crítica es

Vc =

Q 2 = = 2,93 m/s A 0,6815

La energía mínima es E = 0,81 + 0,44 = 1,25 m Hay también la posibilidad de usar el ábaco de Ven Te Chow

Z=

Q g

= 0,64 ;

Z D

5 2

= 0,64

o o o

yc = 0,80 m

Podría también resolverse este problema sin ninguno de los dos gráficos mencionados. Siempre es aplicable el método de tanteos (o cualquier otro método numérico) en secciones para las que no exista gráficos especialmente preparados. 364

Capítulo VII


7.8 Flujo crítico normal. Pendiente crítica Mientras la velocidad de la corriente sea baja lo más probable es que estemos lejos de las condiciones críticas. Pero, cuando la pendiente es grande o cuando haya revestimientos muy lisos se puede conseguir velocidades altas y acercarse o igualar las condiciones críticas. En principio no hay inconveniente, desde el punto de vista puramente hidráulico, en tener un régimen supercrítico. Las dificultades se originan en la necesidad de mantener el revestimiento y, por ejemplo, dar servicio a lo largo del canal. Lo que si debe evitarse es el régimen crítico. En condiciones críticas el tirante normal es igual al tirante crítico. La pendiente correspondiente se llama pendiente crítica. Cuando la pendiente es crítica la superficie libre es ondulada e inestable. Pequeñas variaciones de la energía específica dan lugar a perturbaciones e inestabilidades en el escurrimiento. Se produce oleaje y “pequeños saltos imperfectos”. Estas oscilaciones de la superficie libre no son recomendables, pues obligan a un borde libre mayor. Este problema ha sido estudiado, entre otros, por José Gandolfo, quien recomienda que una condición de diseño sea

  A  V2   y +  ≥ 1,05 yc + c  2g  2Tc   

(7-69)

Cambiando la notación se podría escribir

d   E ≥ 1,05 yc + c  2 

(7-70)

La pendiente crítica se calcula igualando la velocidad crítica (ec. 7-12) con una ecuación de la velocidad normal. (Manning, Chezy, etc).

Vc = g A T 2

1

R3S 2 V= n Igualando ambas expresiones se obtiene

365


Arturo Rocha 2

1

R 3 Sc2 = gAT n de donde,

Sc = g

A n2 T 43 R

(7-71)

que es la ecuación de la pendiente crítica, si se usa la fórmula de Manning. Si hubiéramos empleado, por ejemplo, la ecuación de Chezy, entonces la pendiente crítica sería

Sc =

g P C2 T

(7-72)

En un canal muy ancho se puede considerar sin mayor error que el perímetro es igual al ancho superficial, P = T . entonces la ec. 7-72 queda reducida a

Sc = pero, f =

g C2

8g 8g 2 , de donde, C = , siendo f el coeficiente de fricción de Darcy. Luego, 2 f C Sc =

f 8

(7-73)

Ejemplo 7.8 En un canal rectangular de 1,80 m de ancho fluye un gasto de 5 m3/s. La rugosidad es de 0,018 (Kutter). ¿Cuál debe ser la pendiente para que se establezca un flujo crítico normal? Solución. Como las condiciones deben ser críticas la velocidad es Vc = gy c (ec. 7-19)

Como el flujo debe ser normal, su velocidad se puede calcular por la fórmula de Manning, la que debe ser igual a la crítica para cumplir la condición del problema de tener a la vez un tirante que sea crítico y sea normal.

366

Capítulo VII

Energía específica y momenta 2

1

R3S 2 = gy c n

De donde, El tirante crítico es según la ec. 7-27 yc = 3

q2 = 0,92 m g

El radio hidráulico correspondiente es 0,46 m. Reemplazando valores se obtiene Sc =

gy c n 2 R

4 3

9,8 × 0,92(0,018)

2

=

(0,46)

4 3

= 0,0082

S c = 0,0082

Esta pendiente se denomina pendiente crítica. Es la que separa los ríos de los torrentes. Lo que significa que en este canal se establece, con una pendiente de 0,0082, un movimiento uniforme, cuyo tirante es igual al tirante crítico. Si este canal tuviera una pendiente mayor que 0,0082 se establecería un flujo torrencial (supercrítico). Ejemplo 7.9 En un canal de concreto frotachado el gasto es de 3,86 m3/s. La sección transversal es la mostrada en la figura. Calcular: a) el tirante crítico y la energía específica correspondiente, b) la pendiente para que se establezca un flujo crítico normal.

T

A

yc 45º

Solución. a)

La condición general de crisis es

A=

A3 Q 2 = = 1,5204 T g

1 1 y cT = y c2 2 2

T = yc

De donde, y6 y5 A3 = c = c T 8 yc 8

367


Arturo Rocha

yc5 = 1,5204 8

yc = 1,648 ≈ 1,65 m

o o o

Vc =

Q 3,86 = = 2,84 m/s A 1,358

V2 = 0,412 ≈ 0,41 m 2g

E = 1,65 + 0,41 = 2,06 m 4 E 5

E 5

(por ser sección triangular)

Podría emplearse la ecuación 7-52, 0,2

 2  Q y c =     g  z

0,4

2 =   g

0,2

0,4

 3,86    = 1,648 ≈ 1,65 m  0,5 

siendo, z=

b)

z1 + z 2 0 + 1 = = 0,5 2 2

S es Sc cuando la velocidad correspondiente es la crítica 2

1

R 3 S c2 Vc = V = n P = y c + y c 2 = 3,9835 m

R=

A 1,3613 = = 0,3417 m P 3,9835  12   Sc    0,015

(0,3417) Vc = 2,84 = Obteniéndose finalmente, Sc = 0,0076

368

2 3

Capítulo VII


7.9 Pendiente crítica mínima (Pendiente límite, S L ) En un canal de geometría dada se puede establecer para cada gasto la pendiente crítica correspondiente. De todas las pendientes críticas posibles hay, para determinada sección, una que es la mínima. Se le llama pendiente límite ( S L ). Si bien es cierto que el concepto de pendiente crítica mínima no parece tener mayor interés práctico se presenta acá como una contribución al esclarecimiento teórico. Examinemos en primer lugar un canal rectangular. En general la pendiente crítica es (ec. 7-71)

A n2 Sc = g T 43 R Para un canal rectangular es

Sc =

gn 2 4

4

(b + 2 yc )3 = 1

b3

yc3

La pendiente crítica mínima se obtiene a partir de

(7-74)

dS c =0 dyc

Al derivar la ecuación 7-74 con respecto a y , igualar a cero y resolver se obtiene

b = 6 yc

(7-75)

P = 8 yc

(7-76)

de donde,

R=

b 3 = yc 8 4

(7-77)

que son las ecuaciones para el cálculo de la sección transversal correspondiente a la pendiente límite

SL .

Introduciendo la ecuación 7-75 en la 7-74 se llega a

SL =

8 gn 2 3 13 b

(7-78)

369


Arturo Rocha

Si hubiéramos usado la ecuación de Chezy, entonces

SL =

4g 3C 2

(7-79)

si ahora introducimos el coeficiente de Darcy (ec. 3-2), f =

SL =

8 g se llega a C2

f 6

(7-80)

El gasto que corresponde a la pendiente límite es

Q=6 gy

5 2 c

(7-81)

Examinemos ahora una sección trapecial. La expresión general de la pendiente crítica es (ec. 7-71) 4

S c = gn

2

P3 1

A 3T La pendiente límite se obtiene a partir de

dS c = 0 , teniendo en cuenta que dyc

P = b + 2 1 + z 2 yc A = (b + zyc )yc T = b + 2 zyc Reemplazando, derivando e igualando a cero, se obtiene después de algunas simplificaciones

A=

T2 4T dP dT −3 P dy dy

(7-82)

que es la expresión general del área en un canal trapecial con pendiente crítica mínima. Si en esta última expresión se hace z = 0 se obtiene A = 6 yc2 que es lo correcto para un canal rectangular.

370

Capítulo VII


Ejemplo 7.10 Para un canal rectangular de 2,4 m de ancho, cuyo coeficiente de rugosidad de Kutter es 0,014, calcular la pendiente límite así como las características del escurrimiento para estas condiciones. Solución. La pendiente límite SL, es decir la menor pendiente crítica posible es S L = 2,67

(ec. 7-78)

gn 2 1

= 0,0038

b3

Luego, yc =

yc =

(ec. 7-81)

q2 g

b = 0,40 m 6

q = gy c3 = 0,792 m3/s/m

o o o

Q = 1,9 m3/s Vc = gy c = 1,98 m/s

Como verificación calculamos la velocidad media (condiciones normales) 2

1

R3S 2 = 1,98 m/s V= n 1

R6 = 58,4 m1/2/s C= n f =

SL =

8g = 0,0229 C2

0,0229 = 0,0038 6

7.10 Transiciones Como una aplicación del concepto de energía específica vamos a estudiar el perfil de la superficie libre en un canal en el que hay un cambio en la sección transversal. Este cambio puede originarse en una pequeña grada de fondo, positiva o negativa, según que el fondo ascienda o descienda. Las transiciones se originan también por un cambio en el ancho del canal y se llaman contracciones si el ancho disminuye y expansiones si aumenta. Para el estudio del perfil de la superficie libre en una transición suponemos que la pérdida de carga es

371


Arturo Rocha

despreciable. En consecuencia cualquiera que sea la transición se tendrá que entre dos secciones 1 y 2 la ecuación de la energía es

y1 +

siendo

V2 V12 = y2 + 2 + a 2g 2g

(7-83)

a la altura de una grada (positiva o negativa). La grada positiva significa una disminución

de la energía específica y la grada negativa un aumento. En ambas secciones debe cumplirse la ecuación de continuidad.

V1 A1 = V2 A2 = Q Si no existiera una grada de fondo, entonces

a = 0 . Si el ancho es constante y el cambio de

la superficie libre se origina en una grada se observa en las Figuras 7.11, 7.12, 7.13 y 7.14 los perfiles, esquemáticos, de la superficie libre en varios casos. La conclusión general es que, a gasto constante, una disminución de la energía específica significa una disminución del tirante en los ríos y un aumento del tirante en los torrentes. Por el contrario, un aumento de la energía específica significa un aumento del tirante en los ríos y una disminución en los torrentes. El valor máximo que puede tener una grada positiva, sin alterar la línea de energía, es el que corresponde a un flujo crítico sobre ella. (Figura 7.15) Curva E − y para diferentes caudales Obsérvese en la Figura 7.16 como es que para diferentes valores del gasto se obtiene una familia de curvas E − y . Es evidente que para el caso particular de un canal rectangular la recta que une el origen con los vértices de las curvas tiene una pendiente igual a 2/3 (cada vértice corresponde a la condición crítica del respectivo caudal).

372

Capítulo VII


V12 2g

Línea de energía

y 2

V2 2g E1

E2

y1

q

y1

y2

yc

y2

a

45º

E2

E

a

E1 Río (subcrítico, V
y1 > y c

E 1 (Energía específica antes de la grada)

y1 +

2

Ecuación de la energía (1-2) Luego, Del gráfico de la energía específica

V1 2g

En un río una disminución de la

E1 = E 2+ a

energía específica, a gasto constante,

E 2< E

implica una disminución del tirante.

1

y2 < y 1

Figura 7.11 Grada positiva en un río

Línea de energía

V22 2g

q

y2

y

2

V1 2g E1

y1 yc

E2

a

y2

y1 45º

E1

a

E

E2 Río (subcrítico, V
y1 > y c


y1 +

Ecuación de la energía (1-2)

V12 2g

E 1= E 2- a

Luego,

E 2> E

En un río un aumento de la energía específica, a gasto constante, implica un aumento del tirante.

1 2

E2

y2 +

Del gráfico de la energía específica

V2 2g

y 2> y 1

Figura 7.12 Grada negativa en un río

373


Arturo Rocha

Línea de energía

y V22 2g

V12 2g

E2

E1 yc

y2

q

y1

y1

y2 45º

a

E2

a

E

E1 Torrente (supercrítico, V >Vc )

y1 < yc

E 1 (Energía específica antes de la grada) Ecuación de la energía (1-2)

V12 y1 + 2 g

En un torrente una disminución de la energía específica, a gasto constante,

E1 = E2 + a

Luego,

implica un aumento del tirante.

E2< E 1


y2 > y 1

Figura 7.13 Grada positiva en un torrente

y

Línea de energía 2

V1 2g E1 y1

V22 2g E2

yc

q

y1

y2

y2

a

45º

E1

a

E2 Torrente (supercrítico, V >Vc )

y1 < y c


y1 +

2

Ecuación de la energía (1-2) Luego,

V1 2g

E 1= E 2 - a E 2> E 1


En un torrente un aumento de la energía específica, a gasto constante, implica una disminución del tirante.

y2 < y 1

Figura 7.14 Grada negativa en un torrente

374

E

Capítulo VII


Línea de energía

y

V2 2g

RI O

2

E

V1 2g

y2

Vc 2 2g

ENTE TORR

RI O

2

E min

yc

q

y1

a max

TORRENTE

45º

E min

a max

E

E

Si a es máximo, la energía específica C

E = E min+ a max 2

sobre la grada debe ser mínima

E min= y c +

Vc 2g

El máximo valor de la grada, sin alterar las condiciones aguas arriba, corresponde a condiciones críticas (energía mínima).

Figura 7.15 Valor máximo de la grada positiva

y E=y

q1 < q2 < q3

Emin (3) pendiente = 2/3 (canal rectangular)

Emin (2) Emin (1) q3 q2 q1 45º

3 2 1

E=y+

V2 2g

Figura 7.16 Curva Energía Específica - Tirante para diferentes caudales

375


Arturo Rocha

Ejemplo 7.11 En un canal rectangular el ancho se reduce de 4 a 3 m y el fondo se levanta 0,25 m (grada positiva). Aguas arriba la profundidad de la corriente es 2,80 m. En la zona contraída la superficie libre desciende 0,10 m. Calcular el caudal, dibujar el perfil de la superficie libre y el gráfico de la energía específica. Calcular también cual es el máximo valor que podría tener la grada para que circule el mismo gasto sin alterar la línea de energía. ¿Cuál sería en este caso la depresión de la superficie libre?. Solución.

4,0 m

3,0 m

q1 = 3,41 m3/s/m

q2 = 4,55 m3/s/m

y Línea de energía

0,08 m 0,10 m 1,06 m 0,53 m

2,63 m

2,88 m

2,80 m

2,45 m

Q yc

2,80 m

3

= 13 ,64 m /s

yc

= 1,06 m

2

= 1,28 m 1,06 m

1

45º 1,59 m

0,25 m

E

2,88 m

Aplicamos la ecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 que corresponden a los anchos de 4 y 3 m, respectivamente 2,80 +

V12 V2 = 2,45 + 2 + 0,25 2g 2g

Por continuidad, V1 =

Q Q Q = = A1 4 y1 11,2

V2 =

Q Q = 3 y 2 7,35

Reemplazando en la ecuación de la energía se obtiene Q = 13,64 m3/s Efectuando las operaciones indicadas se tiene que V1 = 1,22 m/s;

376

V2 = 1,86 m/s;

V12 = 0,08 m; 2g

V22 = 0,18 m 2g

Capítulo VII


De donde, E1 = y1 +

V12 = 2,88 m 2g

E2 = y2 +

V22 = 2,63 m 2g

Como referencia se puede calcular los números de Froude y los tirantes críticos F1 = 0,23 ;

y c = 1,28 m 2

y c = 1,06 m ; 1

F2 = 0,38 ;

Obsérvese que el gasto específico q cambia al pasar a la zona contraída. El máximo valor a de la grada corresponde a condiciones críticas sobre ella. Como el tirante crítico es 3 1,28 m y la sección es rectangular la energía específica es y c , o sea, 1,92 m. La ecuación de la energía 2 es E1 = E min + a max

2,88 = 1,92 + a max a max = 0,96 m

La depresión de la superficie libre es 0,56 m

7.11 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la energía específica Si al extremo de un canal se produce una caída como la mostrada en la Figura 7.17, hay un cambio de régimen: se pasa de un movimiento uniforme a un movimiento gradualmente variado, y por último, sobre el plano de la grada hay un movimiento rápidamente variado. En una sección cualquiera ubicada aguas arriba la energía es E . Al desplazarnos hacia la caída la energía específica va disminuyendo hasta llegar a

Emin , (lo que ocurre teóricamente

sobre el plano de la grada y corresponde a condiciones críticas). Sobre la grada el tirante no puede ser menor que el crítico pues esto implicaría un aumento de energía. Sobre la grada la energía es mínima, pero el tirante que hay sobre ella no es el tirante crítico que se obtendría al aplicar las ecuaciones hasta ahora establecidas. Ello se debe a que sobre el plano de la grada el movimiento es rápidamente variado y por lo tanto no es aceptable la suposición de una distribución hidrostática de presiones. 377


Arturo Rocha

Rouse, determinó que para canales de pequeña pendiente la profundidad crítica es 1,4 veces el tirante sobre la grada. El tirante crítico, calculado con las fórmulas usuales, se ubica a una distancia de

3 yc a 4 y c ,

aproximadamente, aguas arriba de la grada.

y

ENERGIA MINIMA

yc E

E min ∃% 3,5y

c

Figura 7.17 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la Energía Específica

7.12 Fuerza Específica (Momenta) La segunda Ley del movimiento de Newton dice que el cambio de la cantidad de movimiento por unidad de tiempo es igual a la resultante de las fuerzas exteriores. Consideremos un canal con un flujo permanente cualquiera y un volumen de control limitado por dos secciones transversales 1 y 2, la superficie libre y el fondo del canal, tal como se ve en la Figura 7.18.

2

1

Q P1

y1

Wsen#

y2

P2

Ff L

Figura 7.18 Gráfica para la deducción de la ecuación de la Fuerza Específica.

Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento (segunda ley del movimiento de Newton) entre las secciones 1 y 2 se obtiene

ρ Q (β 2V2 − β1V1 ) = P1 − P2 + Wsenθ − F f 378

(7-84)

Capítulo VII


ρ densidad del fluido; Q gasto; β coeficiente de Boussinesq; V velocidad media; P fuerza hidrostática; W peso; F f fuerza debida a la fricción; θ ángulo que corresponde a la pendiente del canal; L longitud; W sen θ componente del peso en la dirección del escurrimiento; ‘’ y ’’ tirante.

expresión en la que:

En la ecuación 7-84 se ha considerado una distribución hidrostática de presiones lo que es válido para el movimiento uniforme y aproximadamente válido en el movimiento gradualmente variado. En consecuencia, las secciones 1 y 2 deben escogerse de tal manera que en cada una de ellas sea aplicable la ley hidrostática. Obsérvese que la ecuación 7-84 es diferente a la ecuación de la energía. En la ecuación de la cantidad de movimiento están involucradas las fuerzas exteriores, en tanto que en la ecuación de la energía se expresa la disipación de energía interna. Analicemos la ecuación de la cantidad de movimiento para un canal horizontal en el que el volumen de control tenga peso y fricción despreciables y en el que

β1 = β 2 = 1 . Entonces la

ecuación 7-84 se reduce a

ρ Q(V2 − V1 ) = P1 − P2 La fuerza hidrostática P es

γ yA ,

siendo

(7-85)

y la profundidad del centro de gravedad.

Introduciendo este valor de la fuerza hidrostática en la ecuación 7-85 y haciendo algunos reemplazos se llega a

Q2 Q2 + y1 A1 = + y 2 A2 gA1 gA2

(7-86)

Como los dos miembros son análogos se puede escribir

Q2 + y A = constante = Fuerza Específica = Momenta gA

(7-87)

que es la ecuación de la Fuerza Específica o Momenta. Cada uno de los dos términos de la ecuación de la Fuerza Específica es dimensionalmente una fuerza por unidad de peso de agua.

379


Arturo Rocha

Q2 es la cantidad de movimiento del fluido que pasa por la sección, por unidad de tiempo y gA por unidad de peso.

y A es la fuerza hidrostática por unidad de peso. A la suma de ambos términos se le llama Fuerza Específica o Momenta (F. E. ó M.) El gráfico de la Fuerza Específica es

ec. 7-87

y Tirante

F. E. mínima

O RI

y2 yc

TORRENTE

y1 M

F. E. Fuerza específica (Momenta)

Figura 7.19 Fuerza Específica

Se observa que para una Fuerza Específica dada hay dos tirantes posibles

y1 e y2 . Los

tirantes que corresponden a la misma Fuerza Específica se denominan conjugados. En el mismo gráfico se aprecia que la Fuerza Específica tiene un mínimo

d (F .E.) Q 2 dA d (y A) =− 2 + =0 dy gA dy dy De donde, luego de un desarrollo matemático, se obtiene que

380

Capítulo VII


V2 d = 2g 2 que se puede comparar con la ecuación 7-14. Obteniéndose así la importante conclusión que la Fuerza Específica mínima corresponde a condiciones críticas. Como una aplicación de la ecuación de la Fuerza Específica a un caso particular se puede examinar un canal rectangular en el que

Q = bq ; A1 = by1 ; A2 = by2

y1 = siendo

y2 y1 ; y2 = 2 2

b el ancho del canal.

Efectuando estos reemplazos en la ecuación 7-86 y operando se llega luego de algunas simplificaciones a

q2 1 = y1 y2 ( y1 + y2 ) g 2

(7-88)

Pero, en un canal rectangular el tirante crítico es

yc = 3

q2 g

valor que sustituido en 7-88 nos da

yc3 =

Siendo

1 y1 y 2 ( y1 + y 2 ) 2

(7-89)

y1 e y2 tirantes conjugados (es decir que tienen la misma Fuerza Específica).

381


Arturo Rocha

7.13 Salto hidráulico El salto hidráulico es el paso violento de un régimen supercrítico a uno subcrítico con gran disipación de energía. También se le llama resalto. Esquemáticamente se ve en la Figura 7.20.

Línea de energía

h f = (∀E)1-2 2

V2 2g

2

E1

V1 2g

RIO TORRENTE

y2

TO SAL

y1

E2

(F .E.)1 = (F .E.)2

E1 = E2 + h f

Figura 7.20 Salto hidráulico

La Fuerza Específica es la misma antes del salto y después del salto. Por lo tanto son tirantes conjugados. La energía específica disminuye de

E1 a E2 .

Salto hidráulico en un canal rectangular Partimos de la ecuación 7-88

q2 1 = y1 y2 ( y1 + y2 ) g 2 Se divide ambos miembros por

y13 , y luego de algunas sustituciones se llega a

V12 1 y2  y2  1 +  = gy1 2 y1  y1  De donde,

F12 =

382

1 y2  y2  1 +  2 y1  y1 

y1 e y2

Capítulo VII


De acá se obtiene una ecuación en

y2 y1 2

 y2  y   + 2 − 2 F12 = 0 y1  y1  Resolviendo esta ecuación se obtiene

y2 1 = y1 2

( 1 + 8F − 1) 2 1

(7-90)

Que es la ecuación de un salto hidráulico en un canal rectangular. La relación entre los tirantes conjugados

y 2 es función exclusiva del número de Froude incidente, y1

y2 = ϕ (F1 ) y1 Este resultado es sumamente importante para los estudios en modelo hidráulico. Basta con tener el mismo número de Froude en el modelo y en el prototipo para que, si es que hay suficiente turbulencia en el modelo, haya similitud. El salto hidráulico es un movimiento rápidamente variado, con fuerte curvatura de las líneas de corriente. Se caracteriza por la gran disipación de energía. Se puede describir como el paso violento de un régimen supercrítico a uno subcrítico. El salto hidráulico es un fenómeno tridimensional que presenta grandes fluctuaciones de la velocidad y de la presión en cada punto; es decir que tiene un alto grado de turbulencia, lo que se traduce en una alta capacidad de mezcla. En un salto hidráulico se produce también la incorporación de aire a la masa líquida. El salto produce oleaje, que se propaga hacia aguas abajo. Para la elaboración de un modelo matemático del salto hidráulico es necesario hacer muchas simplicaciones. Así por ejemplo, la ecuación 7-90 es sólo una aproximación, una representación esquemática, del modo como ocurren los fenómenos. Sin embargo, cuando se estudia estructuras muy grandes, no se puede despreciar los efectos de las fluctuaciones instantáneas de la presión. Las presiones consideradas como un promedio temporal son en este caso de poca utilidad.

383


Arturo Rocha

En un salto hidráulico es posible que las fluctuaciones instantáneas de presión tengan valores tan altos, que de no tomarse en cuenta en los cálculos podrían conducir a la falla total de la estructura. Lopardo, investigador argentino, cita lo ocurrido con las presas: Blustone, Calyton, Alamogordo, Glendo, Bonneville, señalando que “estos ejemplos son más que suficientes para llamar la atención de los proyectistas acerca de la necesidad de conocer con mayor aproximación las solicitaciones variables”. Las fluctuaciones son esencialmente aleatorias. Se pueden describir por medio de su frecuencia y amplitud. Tipos de salto En función del número de Froude y según el U. S. Bureau of Reclamation se distingue los siguientes tipos de salto

F =1

Flujo crítico, no hay salto

1 < F < 1,7

“salto ondular” (la superficie libre presenta ondulaciones)

1,7 < F < 2,5

“salto débil”. La disipación de energía es pequeña

2,5 < F < 4,5

“salto oscilante”. Se produce el efecto de chorro. Hay ondas superficiales

4,5 < F < 9

“salto permanente o fijo”. Buena disipación de energía (45 - 70 %)

F >9

“salto fuerte”. Gran disipación de energía (85 %)

Pérdida de energía en el salto La perdida de energía en el salto hidráulico se define así

 V2  V2   h f =  y2 + 2  −  y1 + 1  2g   2g  

(7-91)

expresión que aplicada a un canal rectangular da lugar luego de algunas pequeñas transformaciones a

∆E = h f = E1 − E2

384

3 y2 − y1 ) ( =

4 y1 y2

(7-92)

Capítulo VII


Eficiencia Se denomina eficiencia de un salto hidráulico a la relación entre la energía específica después del salto y la que hay antes de él.

(

) (

3

E2 8 F12 + 1 2 − 4 F12 + 1 = E1 8 F12 2 + F12

(7-93)

)

La pérdida de energía relativa es

1−

E 2 ∆E = E1 E1

(7-93a)

Altura del salto ( hi ) La altura del salto se define como la diferencia entre los tirantes después y antes del salto ( hi

= y2 − y1 )

Se demuestra fácilmente que

1 + 8 F12 − 3 hi = E1 F12 + 2

(7-94)

Longitud del salto ( L ) La longitud del salto depende de muchos factores (pendiente del canal, número de Froude, etc.). Aproximadamente se tiene que

L = 6,9( y2 − y1 )

(7-95)

En algunos casos para fijar el salto y disminuir su longitud se colocan dados o bloques. Oleaje En un salto hidráulico se producen ondas que se propagan hacia aguas abajo. Sus alturas y periodos dependen del número de Froude incidente. Se designa como

H S a la altura

significativa (promedio del tercio superior). Lopardo y Vernet han encontrado que

HS 1 = (F1 − 1) y1 6 Para

(7-96)

F1 ≤ 7

385


Arturo Rocha

Ejemplos de salto hidráulico

Línea de energía

a)

h f = E1 - E2

2

y2

y1

Rápida

Para vencer un desnivel se construye una

V22 2g

V1 2g

rápida. Al final de ella debe disiparse

yn

Canal

la energía. El salto hidráulico actúa como un disipador de energía

Colchón Dispipador

L

b) En un río se costruye una presa derivadora

Oleaje

Vertedero

y1

(barraje) para elevar el nivel del agua

yn

y2

en época de estiaje. La energía se disipa por medio de un salto hidráulico.

c) Compuerta

Si en un canal se coloca una compuerta Línea de energía

que deja una abertura en la parte inferior se produce aguas abajo un salto hidráulico.

E y1

a

y2

yn

En la figura se observa el llamado salto hidráulico libre.

d) Si el tirante normal aguas abajo es mayor que y2 se produce el llamado salto

yS

y1

(yn es el tirante normal aguas abajo)

386

yn

hidráulico ahogado.

Capítulo VII


7.14 Descarga por una compuerta de fondo Como una aplicación del concepto de energía específica examinaremos brevemente el flujo a través de una compuerta plana de fondo. Línea de energía

V12 2g

V22 2g

y1

a

E

y2

Figura 7.21 Descarga por una compuerta de fondo

Consideremos un fondo plano e ignoremos la pérdida de carga. La energía específica en una sección ubicada inmediatamente aguas arriba de la compuerta debe ser igual a la energía específica en otra sección ubicada inmediatamente aguas abajo. Sea

a la abertura de la compuerta, cc el coeficiente de contracción. Entonces y2 = cc a . La

ecuación de la energía específica es

y1 +

V2 V12 = y2 + 2 2g 2g

Por cierto que debe cumplirse la ecuación de continuidad

V1 A1 = V2 A2 = Q Estas dos ecuaciones permiten resolver totalmente el flujo bajo la compuerta. Evidentemente que si la pérdida de carga es importante habrá que tomarla en cuenta

y1 +

V12 V2 = y2 + 2 + h f 2g 2g

En ambos casos se ha supuesto que el coeficiente de Coriolis es igual a 1. La descarga bajo una compuerta sumergida puede tener diversas características, según las

387


Arturo Rocha

condiciones de aguas abajo. Ellas son a) No se forma salto b) Se forma un salto libre c) Se forma un salto sumergido (ahogado)

Ejemplo 7.12 Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento y la ecuación de continuidad para el análisis de un salto hidráulico sumergido, como el que puede ocurrir a la salida de una compuerta en un canal rectangular, demostrar que se cumple la siguiente expresión

 y  ys = 1 + 2 F22 1 − 2  y2  y1  Siendo ys el tirante inmediatamente aguas abajo de la compuerta, y1 la abertura de la compuerta, y2 el tirante aguas abajo del salto, q el gasto por unidad de ancho, F2 el número de Froude aguas abajo del salto. Despréciese la fricción en el canal. Solución. Por continuidad, V1 y1 = V2 y 2 . Aplicando la ecuación de la cantidad de movimiento (ec. 785) entre las secciones 1 y 2 (ver Figura d, ejemplos de salto hidráulico).

P1 − P2 = ρ Q(V2 − V1 ) Reemplazando la fuerza hidrostática P e introduciendo la ecuación de continuidad se obtiene

γ 1 γ (y s2 − y 22 ) = V2 y 2 (V2 − V1 ) g 2 Efectuando algunas sustituciones y operaciones se llega a 1  y s2  γ V2 (V2 − V1 ) γ  − 1 = 2  y 22  g y 2  V y s2 − 1 = 2 F22 1 − 1 y 22  V2

Obteniéndose finalmente la expresión propuesta.

388

  

Capítulo VII


PROBLEMAS PROPUESTOS (Capítulo VII)

1.

En un canal rectangular de 3 m de ancho circula un caudal de 7,5 m3/s. Calcular el tirante crítico, la velocidad y la energía correspondiente. Verificar que se cumplen las ecuaciones 7-25 y 7-26.

2.

Demostrar que en un canal rectangular que conduce un gasto Q en condiciones críticas debe tener un tirante igual a los 3/4 del ancho para que el perímetro sea mínimo.

3.

En un canal rectangular se tiene los siguientes datos

Q = 12 m3/s ;

b =6m;

S = 0,315 %o ;

n = 0,0125

Calcular a) El tirante normal b) La energía específica correspondiente al flujo uniforme c) El gasto máximo que podría ser transportado con la energía calculada en b Verificar que se cumple la ecuación 7-14. 4.

En un canal rectangular la energía especifica es 2,3 m. Hacer una tabla y graficar los diferentes valores que puede tomar el tirante en función del gasto. Hallar la altura de río y de torrente para

q = 4 m3/s/m. ¿Cuál es el gasto máximo que puede ser conducido? 5.

Se tiene un canal rectangular de 8 m de ancho y rugosidad 65 de Strickler. ¿Cuál será la pendiente crítica, el tirante normal correspondiente y la energía específica mínima cuando el gasto sea de 6 m3/s? Si este canal tuviera una pendiente mayor que la crítica ¿qué tipo de flujo se establecería en él? (¿río o torrente?) ¿Por qué?

6.

En un canal rectangular el tirante es 0,75 m y la velocidad es de 1,15 m/s. Se deja caer una piedra en el canal. Calcular las velocidades de propagación, hacia aguas arriba y aguas abajo, de las ondas superficiales producidas.

7.

Demostrar que en un canal rectangular se cumple entre los tirantes alternos

y1 e y 2 la siguiente

relación

y1 F22 + 2 = y2 F12 + 2

389

Hidráulica de tuberías y canales 8.

Arturo Rocha

Demostrar que en un canal rectangular de máxima eficiencia hidráulica la pendiente crítica es 24,69

n2 y

9.

1 3 c

=

f 4

( g = 9,8 m/s2)

Demostrar que en un canal rectangular en condiciones críticas son aplicables, en el sistema métrico, las siguientes ecuaciones 3 2 c

a)

qmax = 3,13 y

b)

2 Vc = 3,13 yc2 = 2,56 Emin

1

1

c) E min = 0,7 3 q max 2

2 d) yc = 0,467 3 qmax

e) Vc = 2,14 3 qmax 2

10. En un canal parabólico la velocidad crítica es de 3,95 m/s. El gasto es de 12 m3/s. ¿Cuál es la ecuación de la parábola. Mostrar que se cumplen las ecuaciones 7-11, 7-38, 7-39 y 7-44.

x 2 = 16 y , la energía

11. Demostrar que en un canal de sección parabólica cuya ecuación es específica mínima es 0,3611 Q1 2 12. Hallar el tirante crítico para el canal mostrado en la figura. El gasto es de 8 m3/s. ¿Cuál es la energía que corresponde a las condiciones críticas?. Demostrar que se cumplen las ecuaciones 7-14, 7-56 y 7-57.

yc

45º

13. Un canal trapecial revestido en concreto tiene un coeficiente

60º 2,20 m

C de Chezy igual a 55 m1/2/s y

conduce un gasto de 10 m3/s (talud 45º; ancho en el fondo 2,5 m). Calcular para que pendiente se establecerá un movimiento uniforme con el mínimo contenido de energía. Si en estas condiciones de pendiente crítica se presenta un gasto menor que 10 m3/s. ¿Qué tipo de flujo se establecerá?. 14. Un gasto de 28 m3/s escurre en un canal trapecial ( b = 3 m, z = 2,

n = 0,017). Calcular la

pendiente crítica y el tirante crítico. ¿Qué porcentaje de la energía mínima corresponde a la energía cinética?. Demostrar que se cumple la condición dada por el ejemplo 7.1.

390

Capítulo VII


15. ¿Cuál debe ser la pendiente del canal mostrado en la figura para que se produzca un movimiento uniforme yc

con el mínimo contenido de energía

45º

para un gasto de 3,5 m3/s, y sabiendo que la rugosidad del contorno corresponde a

G = 0,46 en la fórmula

3,00 m

de Bazin?. Si por una razón u otra el contorno fuera más rugoso de lo señalado, indicar que tipo de flujo se presentaría con la pendiente crítica calculada. 16. Se tiene un canal trapecial cuyo ancho en la base es de 4 m. El talud es de 45º. La longitud del canal entre los puntos A y B es de 1 000 m. La cota del punto A es 864,30 m y la cota del punto B es 863,70 m. El gasto es de 10 m3/s. Considerar que el coeficiente

n de Kutter es 0,020.

Calcular a) el tirante normal b) el tirante crítico c) la pendiente crítica d) la pendiente crítica para un tirante normal de 1 m y el gasto correspondiente (Las cotas están medidas sobre la superficie libre). 17. En un canal trapecial los taludes tienen una inclinación z = 4/3. El canal es de concreto ( n = 0,015). La pendiente es 0,004. Si el canal está trabajando en condiciones de máxima eficiencia hidráulica, hallar a) el caudal, de forma tal que la energía específica sea mínima y el valor de dicha energía b) la energía especifica cuando el gasto sea de 15 m3/s 18. Un canal trapecial revestido en concreto ( C = 60 m1/2/s) conduce un gasto de 8 m3/s a) establecer si este flujo es un río o un torrente b) ¿Cuál debería ser la pendiente para que conduciendo el mismo gasto, éste sea crítico? (Talud 60º ; tirante 0,80 m; ancho en el fondo 3 m) 19. Demostrar que los resultados del ejemplo 7.6 son compatibles con la ecuación 7-60. 20. Un canal trapecial tiene un ancho en el fondo de 2,80 m. El talud es de 45º. El gasto es de 8 m3/s. Determinar si el flujo es torrencial o tranquilo. El tirante es 1,80 m.

391


Arturo Rocha

21. Calcular la altura de río y de torrente que podrían producirse en el canal cuya sección aparece en la figura, para un gasto de 6,5 m3/ s y una energía específica de 3,14 m. Calcular

1

también para cada uno de los dos regímenes, el número de Froude y el correspondiente

0,25

dE dy en la curva E − y . Dibujar la curva E − y y verificar todos los valores

valor de

1,00 m

calculados, así como las condiciones críticas.

22. ¿Cuál debe ser el ancho en la base de un canal trapecial cuyo talud es 2 para que un gasto de 30 m3/s dé un tirante crítico normal de 1,25 m?. 23. Demostrar que el tirante crítico en un sección triangular es 0, 2

 2  Q yc =     g  z 

(ec. 7-52)

0, 4

24. En un canal triangular el tirante es de 0,40 m. La velocidad es de 2,50 m/s. ¿Cuál es la energía específica? ¿Cuáles son el tirante y la velocidad cuando con la misma energía el gasto es máximo? ¿Cuál debe ser al ángulo en el vértice para que este gasto máximo sea de 321,8 l/s?. 25. Demostrar que la velocidad crítica en un canal triangular de 90º ( z = 1) es

Vc = 1,8883 Q 0, 2

n de Kutter

90º

1: 1

coeficiente

1:2

yc

1 1:

26. Para el canal mostrado en la figura ¿Cuál es el tirante crítico para un gasto de 12 364 l/s? ¿Cuál debe ser el

1,50 m

para que con una pendiente de 0,0022 se establezca un flujo crítico normal?. 27. En un canal de sección circular de 3 m de diámetro fluye un gasto de 15 m3/s, con un tirante de 1,20 m. Hallar el tirante alterno, el número de Froude correspondiente a cada uno de los regímenes, el tirante crítico, la velocidad crítica y la energía mínima para que escurra el gasto mencionado. Verificar que se cumple las ecuaciones 7-66 y 7-67. Como comprobación hacer el cálculo con el ábaco de la Figura 7.10. 392

Capítulo VII


28. Un acueducto de sección cuadrada, una de cuyas diagonales es vertical, lleva un gasto de 6 m3/s con un mínimo contenido de energía. ¿Cuánto debe medir el lado L del cuadrado para que el tirante sea el 75 % del tirante máximo? ¿Cuál es la energía?. 29. Demostrar que a energía constante, para un mismo gasto, hay dos regímenes posibles: río y torrente. Entre los tirantes respectivos debe cumplirse que

yT FR2  8  1 1 = + + yR FR2  4  o bien,

F=

V gy

y R FT2  8  1 + 1 + 2  =  yT FT  4 

FR y FT son los números de Froude para río y torrente. ¿Qué ocurre cuando FR = FT =1? 30. Un canal rectangular pasa de una sección de 1,20 m de ancho a otra de 1,80 m de ancho, por medio de una transición suave en las paredes del canal. El fondo no sufre ninguna alteración. El gasto es de 2,1 m3/s. El tirante en la segunda sección es de 1,15 m. Hallar el tirante en la primera sección, considerando que aguas arriba hay un régimen subcrítico. Dibujar el perfil de la superficie libre. 31. En un canal rectangular de flujo torrencial cuyo tirante es de 0,40 m y la velocidad es 2,75 m/ s se desea saber cual debe ser la sobre elevación de una grada de fondo para que se produzca un régimen crítico. 32. Un canal rectangular muy ancho conduce un gasto de 4 m3/s/m. Calcular cual es la máxima sobreelevación que puede tener una grada de fondo para no afectar las condiciones de aguas arriba. El tirante normal es 2,50 m. 33. Por un canal rectangular de 5 m de ancho escurre un caudal de 10 m3/s. En el canal se produce un resalto hidráulico. Si el número de Froude antes del resalto es 10 veces mayor que el que hay después del resalto, hallar a) tirante crítico b) tirante antes del resalto c) tirante después del resalto d) la fuerza específica (momenta) e) la energía disipada en el resalto f) la potencia del resalto en HP 393


Arturo Rocha

34. En un canal rectangular de 2 m de ancho se produce un salto hidráulico en el cual la disipación de energía corresponde a una potencia de 31,2 HP. El tirante inicial es 0,60 m. Hallar el tirante después del salto y el gasto. 35. En un canal rectangular de 5 m de ancho se produce un salto hidráulico que disipa el 40 % de la energía. Si el gasto es de 20 m3/s, hallar los tirantes antes y después del salto. 36. Demostrar (detalladamente, fundamentando cada paso) que en un canal rectangular en el que se produce un salto hidráulico, cuyos tirantes conjugados son

y1 e y2 se cumple que

1 + 8 F12 − 3 y2 − y1 = E1 F12 + 2 siendo

E1 y F1 la energía específica y el número de Froude antes del salto.

37. En un canal rectangular cuyo tirante normal es de 1,50 m se coloca una compuerta que deja en el fondo una abertura de 0,50 m. El coeficiente de contracción del tirante en la compuerta es de 0,6. Calcular la fuerza que soporta la compuerta por unidad de ancho del canal. No considerar la fricción. 38. En un canal rectangular de 0,75 m de ancho se ha colocado una compuerta plana vertical que descarga por el fondo una vena líquida cuya altura es de 0,25 m y que luego forma un resalto. Aguas arriba de la compuerta la altura del agua es de 0,10 m. Calcular a) b) c) d)

el caudal la fuerza sobre la compuerta la altura conjugada del resalto la energía disipada

e) la pendiente que debería tener el canal aguas abajo del salto ( n = 0,015) f) la altura y la eficiencia del salto No considerar la fricción. 39. Dibujar para un canal rectangular las siguientes curvas a) E − y

para q = 5 m3/s/m

b) F .E. − y

para q = 5 m3/s/m

c) q − y

para E = 4 m

Calcular los mínimos o máximos en cada caso. Considerar en el intervalo 0 ≤ y ≤ 2,80 m valores de ∆y = 0,50 m. 40. Demostrar que en un canal rectangular la Fuerza Específica (Momenta) es

q2 1 2 + y gy 2 394

Capítulo VIII


CAPITULO

VIII

MOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO

8.1 Introducción El movimiento gradualmente variado (M. G. V.) es un flujo permanente cuya profundidad (calado o tirante) varía suavemente a lo largo del eje de un canal. En consecuencia, la velocidad varía de una sección a otra. A diferencia de lo que ocurre en el movimiento uniforme, en el que las pendientes del fondo, de la superficie libre y de la línea de energía son iguales, en el movimiento gradualmente variado estas tres pendientes son diferentes. El movimiento uniforme se da pocas veces en la naturaleza. No ocurre ni aun en los canales hechos por el hombre, en los que el flujo sólo se aproxima al movimiento uniforme. Lo real es que a lo largo de una conducción abierta (canal) hay cambios de pendiente, sección, rugosidad y alineamiento que determinan la aparición de un movimiento, que siendo permanente no es uniforme. Es variado. En este capítulo examinaremos el caso particular del movimiento gradualmente variado. La teoría del movimiento gradualmente variado empezó a desarrollarse en 1828 con los estudios de Belanger y recién está completándose. Siguiendo a Ven Te Chow se presenta a continuación los aspectos generales del movimiento gradualmente variado (M. G. V.). La hipótesis general para el estudio del movimiento gradualmente variado es la siguiente

La pérdida de carga en una sección es la misma que correspondería a un flujo uniforme que tuviese la misma velocidad y radio hidráulico que la sección mencionada. La aceptación de esta hipótesis implica que las fórmulas del flujo uniforme (Manning, Chezy, 395


Arturo Rocha

etc.) pueden usarse para calcular la pendiente de la línea de energía en una sección de un movimiento gradualmente variado. Además de la hipótesis general es necesario hacer otras. Las principales son las siguientes i)

La distribución de presiones en cada sección transversal es hidrostática. Esto implica un flujo paralelo. Para que esta hipótesis no se aleje de la realidad se requiere que la variación del tirante sea efectivamente gradual (suave) y, en consecuencia, la curvatura debe ser pequeña. Cuando el radio de curvatura de la superficie libre es pequeño, menor que el tirante, ya el movimiento no es gradualmente variado, sino rápidamente variado. Cuando las líneas de corriente tienen curvatura, la distribución de presiones se diferencia de la del movimiento uniforme y debería ser como aparece en la Figura 8.1. M M

P'

P

N N

P'

P

Flujo cóncavo

Flujo convexo M

P N Flujo uniforme

Figura 8.1 Distribución de presiones en diferentes tipos de flujo

En cambio, en un movimiento uniforme la distribución de presiones es hidrostática, tal como se aprecia en la Figura 8.1. Este tipo de flujo se llama paralelo. Las líneas de corriente no tienen curvatura y por lo tanto no hay componentes de la aceleración normales a la dirección de la corriente. Los flujos convexos y cóncavos son curvilíneos. Hay una aceleración normal a la dirección de la corriente. Si el flujo fuera paralelo la distribución de presiones correspondería a la línea MP. En cambio, en el flujo convexo la fuerza centrífuga actúa en sentido contrario a la gravedad y la presión resultante es menor que la correspondiente al flujo uniforme. En el flujo cóncavo ocurre lo contrario, tal como puede verse en la Figura 8.1.

396

Capítulo VIII


ii)

El canal es prismático. Esto significa que el canal tiene una sección transversal geométrica definida (rectángulo, trapecio, triángulo, etc.) y que su alineamiento es recto. Un río no es un ‘‘canal prismático’’.

iii)

El coeficiente de rugosidad es constante a lo largo del escurrimiento e independiente del tirante.

iv)

La distribución de velocidades es invariable, lo que significa que el coeficiente de Coriolis es constante, es el mismo, en todas las secciones transversales a pesar de que la velocidad media varía.

v)

La pendiente del canal es pequeña, de modo que a)

La profundidad es la misma, sea que se considere una vertical o la normal al fondo del canal.

b)

No se considera aire incorporado. Cuando la pendiente es grande la alta velocidad da lugar a que el agua atrape aire, incorporándolo al escurrimiento y produciéndose, eventualmente, un aumento del tirante. Este fenómeno se presenta generalmente para velocidades mayores de 6 m/s.

En una canal de pendiente grande se tendría la siguiente expresión de la presión en un punto de la corriente.

y y cos2 !

y cos!

!

Figura 8.2 Presión en un punto de la corriente.

Cuando la pendiente se supone pequeña desaparecen los problemas de aire incorporado y, además, la profundidad a considerarse es la misma, ya sea que se mida vertical o normalmente al fondo. vi)

El factor de sección Z y el factor de capacidad K son funciones exponenciales del tirante.

397


Arturo Rocha

El factor de sección Z se define de la siguiente manera

Z=A d siendo

(8-1)

d = A T , de acá que el factor de sección pueda también expresarse así Z=

A3 T

(8-2)

A es el área de la sección transversal y T es el ancho superficial. Para la definición del factor de capacidad K hay que recordar que en el cálculo del movimiento uniforme pueden usarse las expresiones genéricas siguientes

V = CR X S Y

(8-3)

Q = CAR X S Y

(8-4)

Tanto en la ecuación de Manning como en la de Chezy el exponente de la pendiente

S

es 1/2. Luego, 1

Q = CAR X S 2

(8-5)

K Se denomina K , factor de capacidad, a la expresión CAR X . En consecuencia,

K = CAR X

(8-6)

Como K es directamente proporcional al gasto se considera que es una medida de la capacidad de conducción de la sección transversal. De la última expresión se deduce inmediatamente que 1

Q = KS 2

(8-7)

Luego,

K=

398

Q 1

S2

(8-8)

Capítulo VIII


Si se utiliza la ecuación de Chezy, entonces, (8-9)

1

K = CAR 2 Si se utiliza la ecuación de Manning, 2

AR 3 K= n

(8-10)

8.2 Definiciones fundamentales Cuando en una corriente el tirante está determinado exclusivamente por el gasto, pendiente, rugosidad y geometría de la sección se dice que hay condiciones normales. El tirante se denomina normal ( y n ). En un canal, o río, pueden presentarse ciertas singularidades que alteran el tirante normal (y por lo tanto la velocidad media de la corriente). Así por el ejemplo, cuando se construye un vertedero en un canal, o una presa en un río, la corriente se eleva y por lo tanto se aparta de las condiciones normales. Su tirante se hace mayor que el normal. Si esa variación de tirante no es brusca se genera un movimiento gradualmente variado. A este caso particular se le llama una corriente peraltada porque su tirante es mayor que el normal. Aguas arriba de la presa o vertedero aparece una curva de remanso, (Figura 8.3). Podría se también que en un canal o río haya una caída brusca. En el plano de la caída la energía es mínima, y en sus inmediaciones hay un tirante crítico. El río que viene de aguas arriba con un tirante normal disminuye su tirante para aproximarse al crítico. Aparece así una corriente deprimida porque el tirante es menor que el tirante normal, tal como se ve en la Figura 8.3. Eje Hidráulico

y Vertedero

yn

Corriente peraltada y > yn

yn

y

yc

Corriente deprimida y < yn

Figura 8.3 Corriente peraltada y corriente deprimida

399


Arturo Rocha

Hay muchas otras formas en las que puede generarse un movimiento gradualmente variado. Cuando un canal o río desemboca en el mar, las mareas producen alternadamente corrientes peraltadas y deprimidas. También un cambio de pendiente da lugar a una curva de ‘‘empalme’’, entre los respectivos tirantes normales, produciéndose así un movimiento gradualmente variado. Antes de establecer la ecuación del movimiento gradualmente variado conviene precisar otras definiciones. Ríos y torrentes. Esta es una clasificación que se refiere a la corriente. En un río, el tirante (del movimiento gradualmente variado) es mayor que el crítico. En cambio, en un torrente es menor.

y

yc

yc

y

Río ( y > yc )

Torrente ( y < yc )

Figura 8.4 Ríos y torrentes

En un río la velocidad de propagación de una onda superficial es menor que la velocidad media de la corriente. Lo contrario ocurre en los torrentes. Por lo tanto, los ríos dependen de las condiciones de aguas abajo. En cambio los torrentes no dependen de las condiciones de aguas abajo. Pendientes suaves y fuertes. Esta es una clasificación que se refiere al lecho. Son pendientes suaves los lechos en los que el tirante normal es mayor que el crítico. Son pendientes fuertes los lechos en los que el tirante normal es menor que el crítico. A las pendientes suaves se les denomina también tipo M, del ingles mild, y a las pendientes fuertes, tipo S, del ingles steep.

yn yc

Pendiente suave (tipo M) yn > yc

yc yn

Pendiente fuerte (tipo S) yn < yc

Figura 8.5 Pendientes suaves y fuertes 400

Capítulo VIII


Son pendientes suaves los lechos que en movimiento uniforme dan ríos y pendientes fuertes los que dan torrentes. Si varía la rugosidad del contorno, conservándose constantes las otras características, un lecho de pendiente suave puede convertirse en fuerte, o viceversa. Nótese que fuera del movimiento uniforme, en cualquier clase de pendiente (fuerte o suave), puede escurrir un río o un torrente. La pendiente crítica es la que separa las pendientes suaves de las fuertes y da escurrimiento crítico en movimiento uniforme. Zonas En función de la posición relativa (magnitud) que tiene el tirante crítico

yc , el normal y n , así

como el del movimiento gradualmente variado y , se distingue tres zonas

Zona 1

Zona 2

Zona 3

y > yc y > yn yc < y < y n

El tirante del movimiento gradualmente variado y es mayor que el tirante crítico y también es mayor que el tirante normal.

yn < y < yc

El tirante del movimiento gradualmente variado y está comprendido entre el crítico y el normal.

y < yc

El tirante del movimiento gradualmente variado y es menor

y < yn

que el tirante crítico y también es menor que el tirante normal.

8.3 Ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado Sea una sección longitudinal cualquiera de un movimiento permanente gradualmente variado, que se presenta en un canal prismático con gasto constante Q , tal como se aprecia en la Figura 8.6. La energía total H es

H=

V2 + y+z 2g

(8-11)

Estamos suponiendo que el coeficiente de Coriolis es igual a 1 y que la pendiente del fondo es pequeña.

401


Arturo Rocha

(1)

V2 2g

(2)

SE Línea de energía

H SW

y

S0

z

Fondo

dx

Superficie libre

! x

Figura 8.6 Movimiento gradualmente variado

dH , siendo x la ordenada en la dirección dx de la corriente. Derivando la energía total H con respecto a x se tiene La variación de esta energía a lo largo del canal es

V 2  d  + y + z 2g dH  =  dx dx

(8-12)

La pendiente

S 0 del fondo se define como el seno del ángulo θ .

La pendiente

S E de la línea de energía se obtiene a partir de la ecuación de Chezy o de la de

Manning. La pendiente se asume como positiva si desciende en la dirección del flujo y como negativa si asciende en la dirección del flujo. La variación de energía ∆H es siempre negativa en la dirección del flujo, pues lo contrario implicaría que se añadiese energía al sistema. La variación de la elevación del fondo ∆z puede ser positiva o negativa. En la Figura 8.6 ∆z es negativa. Como ambas pendientes deben ser positivas, pues descienden en la dirección de escurrimiento, se tendrá que

S 0 = senθ = −

402

dz dx

Capítulo VIII


dH V2 V 2n2 SE = − =− 2 =− 4 dx C R R3 Luego,

V 2  + y  d   2g  − S = −S 0 E dx Pero

(8-12a)

V 2   + y  es la energía específica E (ver la ecuación 7-2). Por lo tanto,  2g  dE = S0 − S E dx

(8-13)

Pero, anteriormente hemos establecido (capítulo VII, ec. 7-19) que

dE = 1− F 2 dy Luego, combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene

dy S 0 − S E = dx 1 − F 2

(8-14)

que es una de las formas de la ecuación general del movimiento gradualmente variado. Como el cuadrado del número de Froude es

Q 2T F = gA3 2

(8-15)

se tiene que,

dy S 0 − S E = Q 2T dx 1− gA3

(8-16)

403


Arturo Rocha

Vamos a hacer algunas transformaciones en esta ecuación, a fin de introducir el factor de capacidad ( K ) y el factor de sección ( Z ). Según la definición de factor de capacidad

K=

Q 1 SE 2

Kn =

Q 1 S0 2

para cualquier sección del M. G. V.

para el movimiento uniforme

Luego,

SE  Kn  = S 0  K 

2

Según la definición de factor de sección

Z=

A3 T

para cualquier sección

Zc =

Q g

para condiciones críticas

Esta última expresión se obtiene a partir de la consideración de que para condiciones críticas el número de Froude es igual a 1, por lo tanto

Vc = gd c = g

A T

Q2 A =g 2 A T

A Q = g T A

;

Vc =

;

Q 2 A3 2 = = Zc g T

Luego, 2

Q 2T  Zc  =  Z  gA3 Introduciendo en la ecuación 8-16 los valores obtenidos para K y Z se llega a

404

Capítulo VIII

Movimiento gradualmente variado 2

K  1−  n  dy K = S0 2 dx  Zc  1−   Z 

(8-17)

que es otra de las formas de la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado. Las ecuaciones de movimiento gradualmente variado, 8-14, 8-16 y 8-17 representan la variación de la superficie libre con respecto al fondo del canal. Aplicación a una sección rectangular muy ancha Si usamos la fórmula de Manning (8-10) se tiene 2

5

AR 3 yn3 (para condiciones normales) = Kn = n n 2

5

AR 3 y 3 = K= n n

(para cualquier sección del M. G. V.) 2

Z c = A d c = yc3 (para flujo crítico) 3

Z = A d = y2

(para cualquier sección del M. G. V.)

Reemplazando estos valores en la ecuación general (8-17) se obtiene 10

y 3 1−  n  dy  y = S0 3 dx  yc  1−   y

(8-18)

que es la ecuación de eje hidráulico para un canal rectangular muy ancho (fórmula de Manning) en movimiento gradualmente variado. Si hubiéramos usado la ecuación de Chezy (8-9), entonces la ecuación general del movimiento gradualmente variado sería

405


Arturo Rocha 3

y  1−  n  dy y = S0 3 dx  yc  1−   y

(8-19)

Si el coeficiente de Coriolis no fuese igual a la unidad, habríamos tenido que introducir su valor (constante) en la ecuación 8-11 y proseguir con el desarrollo. La ecuación general del movimiento gradualmente variado también puede expresarse así 2

Q 1−   dy  Qn  = S0 2 dx Q 1−    Qc 

(8-20)

siendo Q el gasto del movimiento gradualmente variado,

Qn es el gasto para un flujo normal cuyo tirante y fuese igual al del movimiento gradualmente variado, Qc es el gasto crítico para una profundidad y. Mediante algunas sencillas transformaciones puede obtenerse para el M. G. V. la siguiente ecuación

Q2 dy C 2 A2 R = Q2 dx 1− 2 gA d S0 −

siendo

d el tirante hidráulico

(8-21)

A T

Ejemplo 8.1 Demostrar que para un canal rectangular de ancho variable b y pequeña pendiente la ecuación del movimiento gradualmente variado es

dy = dx

406

α Q 2 y db gA 3 dx α Q 2b 1− gA 3

S0 − SE +

(8-22)

Capítulo VIII


Solución. A partir de la ecuación 8-12a y de la introducción del coeficiente de Coriolis obtenemos

V 2   d  2 g  dy  − S E = −S 0 + +α dx dx

(1)

Pero, V 2   d   2g  = dx

 Q2 d  2  2 gA dx =−

  −2 2 2  = Q dA = Q (− 2 )A −3 dA 2 g dx 2g dx

Q 2  dy db  b + y  gA3  dx dx 

Reemplazando en (1) − S E = −S0 +

dy Q 2  dy db  −α b + y  3 dx gA  dx dx 

De donde, dy = dx

αQ 2 y db gA 3 dx αQ 2 b 1− gA 3

S0 − S E +

que es la expresión buscada.

8.4 Discusión de la ecuación del eje hidráulico El signo de

dy en la ecuación del M. G. V. nos da una indicación sobre algunas características dx

del eje hidráulico. Así,

SW

dy > 0, Si dx entonces el tirante y aumenta en la dirección de la corriente. La superficie libre se levanta. Esta condición se da en los ríos peraltados y en los torrentes deprimidos.

y S0

La superficie libre se levanta (

dy ∀0) dx

407


Si

Arturo Rocha

dy < 0, dx

SW

entonces el tirante

y

disminuye en la dirección de la corriente. La superficie libre desciende. Se da en los ríos deprimidos y en los torrentes peraltados.

S0

y

La superficie libre desciende (

dy dx

0)

Para comprender mejor la discusión de la ecuación del eje hidráulico examinemos algunos casos especiales. ¿Qué ocurre cuando el tirante y del movimiento gradualmente variado se hace igual al tirante crítico? Esto implica que en la ecuación 8-17 se cumple que

Z = Z c , por lo tanto en la ecuación

diferencial del eje hidráulico se tendrá que como el denominador tiende a cero, entonces

dy → infinito dx lo que implicaría que para

y = yc el eje hidráulico debería ser vertical tal como se aprecia en

la Figura 8.7.

yc

y = yc

y

Figura 8.7 Intersección del eje hidráulico con

Esto significa que en las proximidades del tirante crítico ( y

y = yc

= yc ) el eje hidráulico tiene una

gran curvatura y por lo tanto ya no es válida la hipótesis del movimiento gradualmente variado de considerar que las líneas de corriente son paralelas y de aceptar por lo tanto una distribución hidrostática de presiones. La consecuencia de este hecho es que la ecuación establecida para el eje hidráulico en el movimiento gradualmente variado no puede usarse en las inmediaciones de 408

y = yc .

Capítulo VIII


¿Qué ocurre cuando el tirante se hace igual a cero? En el caso más general el valor de

dy se hace indeterminado. dx

Examinemos algunos casos particulares. Si fuera un canal rectangular muy ancho en el que se aplica la fórmula de Manning, (8-18), entonces para y = 0 se obtiene que

dy → infinito, dx

lo que implicaría que el eje hidráulico fuese vertical. En cambio si hubiéramos usado la fórmula de Chezy (8-19) se tendría que

y3 dy = S 0 n3 yc dx lo que significaría que el eje hidráulico hace un cierto ángulo con el fondo. ¿Qué ocurre si el tirante es igual al tirante normal? Entonces

dy = 0 lo que significa que la superficie es paralela al fondo y se trata, por lo tanto, dx

de un movimiento uniforme (S 0 = SW ) . ¿Qué ocurre si el tirante y crece indefinidamente? Entonces,

dy → S0 dx o sea que la superficie libre tiende a ser horizontal.

8.5 Análisis de los seis casos del movimiento gradualmente variado Partimos de la ecuación 8-17 y consideramos dos posibilidades con respecto al signo del primer miembro. Para cada una de ellas se presenta esquemáticamente la forma en la que, algebraicamente, se podría obtener el signo (positivo o negativo) del primer miembro. La ecuación del eje hidráulico en el movimiento gradualmente variado, según la ecuación 8-17 es

409


Arturo Rocha 2

K  1−  n  dy K  = S0 2 dx  Zc  1−   Z 

En esta ecuación pueden presentarse las siguientes posibilidades

dy >0 dx

Numerador y denominador positivos Numerador y denominador negativos

dy <0 dx

Numerador positivo y denominador negativo Numerador negativo y denominador positivo

Con base en las posibilidades planteadas en este esquema general haremos la discusión de cada uno de los seis casos del movimiento gradualmente variad, que son las siguientes -

Río peraltado en pendiente suave (M1)

-

Río peraltado en pendiente fuerte (S1)

-

Torrente deprimido en pendiente suave (M3)

-

Torrente deprimido en pendiente fuerte (S3)

-

Torrente peraltado en pendiente fuerte (S2)

-

Río deprimido en pendiente suave (M2)

PRIMERA POSIBILIDAD

dy > 0 Numerador y denominador positivos dx Como el numerador es positivo esto significa que

1− lo que necesariamente implica normal ( y

K n2 >0 K2

K > K n . Es decir, que el tirante es mayor que el tirante

> yn ).

Se trata por lo tanto de una corriente peraltada. Esta es una conclusión de carácter general: siempre que el numerador sea positivo se tiene una corriente peraltada.

410

Capítulo VIII


Como el denominador también es positivo, esto significa que

1− Lo que necesariamente implica

Z c2 >0 Z2

Z > Z c ( y > yc ). Se trata por lo tanto de un río. Esta es

también una conclusión de carácter general: siempre que el denominador sea positivo se tiene un río. Por lo tanto, numerador y denominador positivos implican necesariamente un río peraltado. Este río peraltado puede darse en pendiente suave o en pendiente fuerte. Tenemos así los dos primeros casos del movimiento gradualmente variado. Caso 1 Río peraltado en pendiente suave (M1) Por tratarse de un río el tirante del movimiento gradualmente variado es mayor que el tirante crítico y por tratarse de una corriente peraltada el tirante es mayor que el normal y por ser pendiente suave el tirante normal es mayor que el crítico. Por lo tanto,

M1

yn

y

yc Río peraltado en pendiente suave

y > y n > yc Como el tirante es mayor que el normal y que el crítico, se dice que el eje hidráulico está en la ZONA 1. Como la pendiente es suave la curva es tipo M1. Es una curva cóncava. Obsérvese que en cada sección transversal las velocidades son menores que las que corresponderían al movimiento uniforme. Por lo tanto, las pérdidas de carga también serán menores. Esta curva es la más conocida y estudiada pues se presenta frecuentemente. Usualmente se le llama curva de remanso. Se observa que el eje hidráulico es asintótico a la recta

y = yn ,

de la que se separa gradualmente. Crece hacia aguas abajo. Esta curva puede aparecer cuando se coloca un vertedero en un canal. También cuando hay una presa vertedora en el lecho del río, cuando hay una diminución de pendiente, un aumento en la rugosidad, un cambio de sección, en la entrega de un canal al mar o a un reservorio, etc.

411


Arturo Rocha

Caso 2 Río peraltado en pendiente fuerte (S1) Por tratarse de un río el tirante del movimiento gradualmente variado es mayor que el tirante crítico y por tratarse de una corriente peraltada el tirante es mayor que el normal y por ser pendiente fuerte el tirante normal es menor que el crítico. Luego,

S1 SALTO

y yc

yn

Río peraltado en pendiente fuerte

y > yc > y n Es una curva tipo S1, pues la pendiente es fuerte y el eje hidráulico está siempre por encima del tirante crítico y del normal (ZONA 1). Este eje hidráulico crece hacia aguas abajo a partir de su separación de

y = yc , que la

realiza normalmente. Esta curva empieza con un salto y tiende asintóticamente hacia aguas abajo. Es una curva convexa. Este tipo de perfil se origina de un modo similar al anterior, es decir, en un vertedero, presa o compuerta que produzca una sobreelevación de la superficie libre, variando en que la pendiente es fuerte. Esta curva es de longitud limitada. Prosiguiendo con la discusión tenemos que

SEGUNDA POSIBILIDAD

dy > 0 Numerador y denominador negativos dx Como el numerador es negativo esto implica que

1− lo que nos conduce a

K n2 <0 K2

K n > K ( yn > y ). Es decir que el tirante es menor que el tirante normal.

Se trata por lo tanto de una corriente deprimida. Esta es una conclusión de carácter general: siempre que el numerador es negativo se trata de una corriente deprimida. Como el denominador también es negativo se tiene que

1−

412

Z c2 <0 Z2

Capítulo VIII Lo que implica


Z c > Z . Es decir, que el tirante es menor que el crítico ( y < yc ). Se trata por

lo tanto de un torrente. Esta es también una conclusión de carácter general: siempre que el denominador sea negativo se trata de un torrente. Por lo tanto, numerador y denominador negativos implican un torrente deprimido, que por cierto puede darse en pendiente suave o en pendiente fuerte, dando así lugar a otros dos casos de movimiento gradualmente variado. Caso 3 Torrente deprimido en pendiente suave (M3) Por tratarse de un torrente el tirante del movimiento gradualmente variado es menor que el tirante crítico y por tratarse de una corriente deprimida el tirante es menor que el normal y por se pendiente suave el tirante normal es mayor que el crítico. Luego,

M3

SALTO

y

yc

yn

Torrente deprimido en pendiente suave

y n > yc > y Como el tirante es menor que el crítico y que el normal se dice que el eje hidráulico está en la ZONA 3. La curva es tipo M3. Es una curva cóncava. Este perfil debería empezar teóricamente en el fondo, lo que es físicamente imposible. Se puede originar en una compuerta de fondo como en la figura, también en una grada, en un estrechamiento o, en una disminución de pendiente de fuerte a suave. Esta curva no llega en realidad a alcanzar el tirante crítico, sino que salta al nivel

yn que está determinado por las

condiciones de aguas abajo. Caso 4 Torrente deprimido en pendiente fuerte (S3) Por tratarse de un torrente el tirante del movimiento gradualmente variado es menor que el crítico y por tratarse de una corriente deprimida el tirante es menor que el normal y por ser pendiente fuerte el tirante normal es menor que el crítico, Por lo tanto,

S3

y

yn

yc

Torrente deprimido en pendiente fuerte

413


Arturo Rocha

yc > yn > y Es un perfil tipo S3. Se trata de una curva convexa, asintótica hacia aguas abajo. Es muy poco frecuente. Puede ocurrir aguas abajo de la descarga de una compuerta de fondo de pequeña abertura, que entrega a un canal de pendiente fuerte, o bien, por ejemplo, en un cambio de pendiente de muy fuerte a fuerte. Examinemos ahora los casos en los que la superficie libre desciende (se acerca al fondo) en la dirección del escurrimiento lo que implica la condición

dy <0 dx

TERCERA POSIBILIDAD

dy < 0 Numerador positivo y denominador negativo dx Según lo que hemos examinado anteriormente, numerador positivo significa corriente peraltada y denominador negativo significa torrente. Esta combinación de signos da un torrente peraltado. Este torrente peraltado podría darse en principio en una pendiente suave o en una pendiente fuerte. Para que se dé en una pendiente suave se requeriría lo siguiente Corriente peraltada

y > yn

Torrente

y < yc

Pendiente suave

y > yc

No hay solución posible

Por lo tanto no existe un torrente peraltado en pendiente suave. Para la combinación de signos sólo hay una solución posible que es la que se presenta en el caso siguiente. Caso 5 Torrente peraltado en pendiente fuerte (S2) Por tratarse de un torrente el tirante del movimiento gradualmente variado es menor que el tirante crítico y por tratarse de una corriente peraltada el tirante es mayor que el normal y por ser pendiente fuerte el tirante normal es menor que el crítico. Luego, 414

S2

y

yn

Torrente peraltado en pendiente fuerte

yc

Capítulo VIII


yc > y > y n Como el tirante y es intermedio entre el crítico y el normal el eje hidráulico se desarrolla en la ZONA 2. La curva es del tipo S2. A veces a esta curva se la llama un remanso de depresión. Es una curva cóncava, asintótica hacia aguas abajo. Nótese que al corresponder este caso a del escurrimiento. El eje hidráulico debe ser normal a

dy < 0 la superficie libre desciende en la dirección dx

y = yc . Este perfil puede originarse, por ejemplo, en un

cambio de pendiente o como consecuencia de un ensanchamiento de la sección.

CUARTA POSIBILIDAD

dy < 0 Numerador negativo y denominador positivo dx El numerador negativo significa corriente deprimida y denominador positivo equivale a un río. Luego, esta combinación de signos significa río deprimido. En principio puede darse en pendiente suave o en pendiente fuerte. De esta consideración se origina el caso siguiente. Caso 6 Río deprimido en pendiente suave (M2) Por tratarse de un río el tirante del movimiento gradualmente variado es mayor que el tirante crítico y por tratarse de una corriente deprimida el tirante es menor que el normal y por ser pendiente suave el tirante normal es mayor que el crítico. Luego,

M2

yn yc

y

Río deprimido en pendiente suave

y n > y > yc Como el tirante y es intermedio entre el normal y el crítico, el eje hidráulico está en la ZONA 2. Es una curva convexa del tipo M2.

415


Arturo Rocha

El eje hidráulico desciende en la dirección del escurrimiento y se acerca normalmente a

y = yc . El eje hidráulico es asintótico a y = yn . Este perfil se puede originar de varias maneras: una grada, una expansión en la sección, un cambio de pendiente, etc. Se demuestra fácilmente que la otra posibilidad (río deprimido en pendiente fuerte) es imposible. Resumen de la discusión de los seis casos del M. G. V. Hay varias maneras de resumir esquemáticamente la discusión de los seis casos del movimiento gradualmente variado. En el libro de Domínguez se encuentra una tabla que resume la discusión de la ecuación general del M. G. V. y que, con algunas ampliaciones, se presenta en la Tabla 8.1.

TABLA 8.1 RESUMEN DE LA DISCUSION DE LOS SEIS CASOS DEL MOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO

+

0

CORRIENTE PERALTADA

NUMERADOR

DENOMINADOR

MOVIMIENTO UNIFORME

RIO

CRISIS

CORRIENTE DEPRIMIDA TORRENTE

dy >0 dx

dy >0 dx

416

M1

S1

M3

S3

PENDIENTE SUAVE

PENDIENTE FUERTE

PENDIENTE SUAVE

PENDIENTE FUERTE

Capítulo VIII

Pueden sintetizarse los seis casos en el siguiente esquema

y > yn

RIO PERALTADO

M1 (CONCAVA)

dy >0 dx CASO 1

Pendiente Suave

y n > y > yc

RIO DEPRIMIDO

M2 (CONVEXA)

y n > yc

yc > y n

CASO 6

CASO 3

y < yc

TORRENTE DEPRIMIDO

M3 (CÓNCAVA)

dy >0 dx

y > yc

RIO PERALTADO

S1

(CONVEXA)

dy >0 dx

yc > y > y n

TORRENTE PERALTADO

S2

(CONCAVA)

dy <0 dx

yn yc

CASO 2

CASO 5 CASO 4

y < yn

TORRENTE DEPRIMIDO

S3

(CONVEXA)

dy >0 dx

417

  dy < 0  son los ubicados en la ZONA 2.   dx

Obsérvese que los únicos perfiles que descienden en la dirección del escurrimiento 

yc yn


Pendiente fuerte

dy <0 dx


Arturo Rocha

8.6 Cambios de pendiente (perfiles de continuidad) Como una ilustración del movimiento gradualmente variado se presenta una breve discusión de diez perfiles del eje hidráulico (seis generales y cuatro especiales) generados exclusivamente por cambio de la pendiente del fondo. Es decir, que se supone que todas las otras características permanecen constantes. Los seis casos generales son -

De pendiente suave a pendiente más suave

-

De pendiente suave a pendiente menos suave

-

De pendiente suave a pendiente fuerte

-

De pendiente fuerte a pendiente menos fuerte

-

De pendiente fuerte a pendiente más fuerte

-

De pendiente fuerte a pendiente suave

Los cuatro casos especiales son -

De pendiente suave a pendiente crítica

-

De pendiente crítica a pendiente suave

-

De pendiente crítica a pendiente fuerte

-

De pendiente fuerte a pendiente crítica

1. De pendiente suave a pendiente más suave Sean

y n e yn los tirantes 1

2

normales en cada uno de los dos tramos.

M1 P

En el primer tramo, por ser pendiente suave,

y n > yc .

yc

1

En el segundo tramo, por ser pendiente más suave también se cumple que

yn > yc

S0

y

primero. Por lo tanto,

yn

1

1

S0

2

El tirante normal del segundo tramo es mayor porque su pendiente es menor que la del

418

yn

y n > yn 2

1

S c > S 0 > S0 1

2

2

Río uniforme que empieza en el punto P

2

Capítulo VIII


El quiebre del fondo, de pendiente suave a más suave, da lugar a una curva de empalme tipo M1, río peraltado en pendiente suave que se desarrolla en el primer tramo. 2. De pendiente suave a pendiente menos suave Por consideraciones similares a las anteriores se tiene que

yn < yn 2

1

M2

yn

1

y

yc

En ambos tramos se cumple que

S0

yn > yc (pendiente suave) 1

yn

yc

2

1

S0

2

S 0 < S0 < Sc

yn > yc (pendiente menos 2

1

2

Río uniforme

suave) Como

P

yn está más cerca de yc que y n , se dice que la pendiente es menos suave. 2

1

El perfil de empalme es del tipo M2, río deprimido en pendiente suave. A partir del punto P empieza un río uniforme. 3. De pendiente suave a pendiente fuerte En el tramo de aguas arriba hay un río que al aproximarse al cambio de pendiente se deprime (M2) y tiende a acercarse normalmente a

y = yc . Como un

M2 (río deprimido en pendiente suave)

yn

1

río deprimido en pendiente suave. Inmediatamente aguas abajo del cambio de pendiente el torrente se peralta (S2), arrancando

S2

yc S0

(torrente peraltado en pendiente fuerte)

1

S 0 < Sc < S0 1

2

S0

2

y = yc como un

SUAVE

FUERTE

torrente peraltado en pendiente fuerte.

yn > yc

yn < yc

normalmente a

1

yn

2

yc

2

419


Arturo Rocha

4. De pendiente fuerte a pendiente menos fuerte

yc yn

1

P

S0

S3

yn

1

S0 S0 > S0 > Sc 1

2

2

2

FUERTE

MENOS FUERTE

yn < yc

yn < yc 2

1

yn < yn 1

2

Este torrente no puede ser modificado por las condiciones de aguas abajo.

Un torrente si puede ser modificado por las condiciones de aguas arriba

Desde el punto P se desarrolla un torrente deprimido en pendiente fuerte tipo S3. 5. De pendiente fuerte a pendiente más fuerte El torrente aguas arriba no es influenciado por las condiciones de aguas abajo. El torrente de aguas abajo se peralta a partir del cambio de pendiente, continuando en pendiente más fuerte que la de aguas arriba.

yc

yn

S2

P

1

S0

1

S0 FUERTE

2

MAS FUERTE

S 0 > S 0 > Sc 2

1

yn < yc

yn < yc 2

1

yn > yn 1

420

(torrente peraltado en pendiente fuerte)

2

yn

2

yc

Capítulo VIII


6. De pendiente fuerte a pendiente suave Este es el caso más importante y corresponde al salto hidráulico. Normalmente en un salto

y1 < y2 (al respecto se puede ver la ecuación 7-90). En el presente caso de cambio de pendiente, y n1 es el tirante y1 del salto. hidráulico hay dos tirantes conjugados:

yc

1

yn

1

S0

yc

1

S 0 > S0 1

S0

2

2

2

FUERTE

SUAVE

yn < yc

yn > yc

1

2

yn > yn 2

Para el tirante

yn

1

y1 ( yn1 ) existe un tirante conjugado y2 que puede ser igual, mayor o menor

que y n2 . Si y 2 < y n2 el salto se produce en el tramo 1, es decir, que el salto se desplaza hacia aguas arriba. Si y 2 > y n2 entonces el salto queda rechazado y se produce dentro del tramo 2. Ambas posibilidades están presentadas en la figura adjunta. 7. De pendiente suave a pendiente crítica M2

yn

1

yc

S0

1

S 0 < Sc

Sc

yc = yn

2

1

SUAVE

CRITICA

yn > yc

yn = yc

1

2

El eje hidráulico se aparta suavemente del movimiento uniforme, se desarrolla íntegramente entre el tirante crítico y el normal y termina con una tendencia a hacer un ángulo de 90º con

y = yc .

En el segundo tramo hay un río uniforme en el que el tirante normal coincide con el tirante crítico. 421


Arturo Rocha

8. De pendiente crítica a pendiente suave

yn = yc

yn

1

yc Sc

S0

2

1

CRITICA

SUAVE

yn = yc

yn > yc 2

1

yn > yn 2

1

Antes del cambio de pendiente el eje hidráulico es intermedio entre torrente deprimido en pendiente suave y fuerte. 9. De pendiente crítica a pendiente fuerte

yn = yc

S2

1

yn CRITICA

yc

2

FUERTE

Equivale al cambio de pendiente fuerte a más fuerte 10. De pendiente fuerte a pendiente crítica

yc

yn

1

yn = yc 2

FUERTE

CRITICA

Aguas abajo del cambio de pendiente el eje hidráulico es intermedio entre torrente deprimido en pendiente suave y fuerte.

422

Capítulo VIII


8.7 Curva de remanso Se denomina curva de remanso a la que se produce en un canal al presentarse un movimiento gradualmente variado. El cálculo de la curva de remanso significa básicamente la solución de la ecuación dinámica del movimiento gradualmente variado. Para obtener la longitud de la curva de remanso debemos integrar la ecuación general del M. G. V. La longitud de la curva de remanso se define como la longitud comprendida entre un punto extremo, que actúa como sección de control, en la que el tirante es calculable, y otro ubicado en el extremo del escurrimiento en el que el tirante es igual, o prácticamente igual al tirante normal. La definición de longitud de la curva de remanso tiene un sentido práctico. Podríamos, por ejemplo, decir que la curva termina cuando la diferencia entre el tirante normal y el del movimiento gradualmente variado es inferior a un valor dado (por ejemplo, 1 cm). En muchos casos no es posible integrar directamente la ecuación diferencial del movimiento gradualmente variado. En consecuencia es necesario proceder con métodos aproximados, indirectos o gráficos. El uso de un programa de cómputo resulta particularmente útil. Para la obtención de la curva de remanso presentaremos tres métodos -

Integración gráfica

-

Aproximaciones sucesivas

-

Integración directa

Método de la integración gráfica Como su nombre lo indica este método consiste en integrar gráficamente la ecuación diferencial del movimiento gradualmente variado. Examinemos la siguiente figura

Eje hidráulico (M. G. V.)

y

y1

y2

0 x1

x x2

423


Arturo Rocha

Consideremos dos secciones transversales próximas 1 y 2. Evidentemente que x2

y2

x1

y1

x = x2 − x1 = ∫ dx = ∫ Nótese que

dx dy dy

dx es igual a la inversa del segundo miembro de la ecuación general del M. G. V. dy

Para el cálculo de una curva de remanso, es decir, la longitud de la curva del movimiento gradualmente variado, es indispensable conocer un punto de dicha curva, lo que siempre es posible. Para iniciar el cálculo de la curva de remanso con este método consideraremos que se conoce el valor de y en una sección de control. Luego se determina el tipo de curva que se presentará (M1, por ejemplo) y, a continuación, se procederá de la manera que se señala a continuación. i)

Suponer un valor para el tirante

ii)

Calcular el valor correspondiente de

iii)

Calcular

iv)

Construir una curva, como la mostrada a continuación, con los valores de y (tirantes

dy a partir de la ecuación general del M. G. V. dx

dx , que es la inversa del valor anterior. dy

supuestos) y los valores obtenidos para

dx . dy Eje hidráulico (M. G. V.)

dx dy

( dx % & dy # ∋ ∃1

x

y

y1 y2 424

( dx % & dy # ∋ ∃2

Capítulo VIII


El valor de

x es el área achurada comprendida entre la curva, el eje y , y las ordenadas

dx correspondientes a los valores de y . Luego, dy Area

=x=∫

Al medir esta área se tiene el valor de

dx dy dy

x.

Finalmente se obtendrá una curva de este tipo

dx dy

)∗A3 )∗A2 )∗A1

v)

y2 y1

y De esta curva se puede obtener los correspondientes valores de ∆ A . Para una sección transversal cualquiera se sugiere trabajar con la siguiente tabla

y

A

P

R

K

Z

dy dx

dx dy

)∗A

x

Es decir, que para cada sección se calcula a partir de un valor de y , el área, perímetro, radio hidráulico, factor de capacidad, factor de sección, inclinación del eje hidráulico, su inversa, el valor del área comprendida en el gráfico y el correspondiente valor de Por último se dibuja

x.

x e y y se obtiene la curva de remanso. 425


Arturo Rocha

Método de subdivisión en tramos Se divide el canal en pequeños tramos y se calcula separadamente cada uno de ellos, considerando como que en ese tramo el movimiento es uniforme.

∆x en el que

En la Figura 8.8 se muestra un tramo de un canal prismático de longitud aparecen las secciones 1 y 2.

SE h f = SE ) x ∗

2 + 1 V1 2g

2 + 2 V2 2g

SW

y1 S0

y2 S0 ) x ∗

)x ∗

z1

z2 Plano de referencia

Figura 8.8 Esquema para el cálculo de la curva de remanso

Aplicando la ecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 se tiene

S0 ∆x + y1 + α1

V2 V12 = y2 + α 2 2 + S E ∆x 2g 2g

de donde,

∆x(S 0 − S E ) = E2 − E1 = ∆E y por lo tanto,

∆x = El valor de Manning

426

∆E S0 − S E

S E se puede obtener, para una sección determinada, a partir de la fórmula de

Capítulo VIII


SE =

n 2V 2 R

Para un tramo (de longitud

4 3

∆x ) el valor de S E es el promedio de los respectivos valores de

S E al principio y al final del tramo. M. G. V.

yn

y

ymax

Lago

Figura 8.9 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante

ymax

determinado por la condición de entrega al lago.

El cálculo se puede empezar por la sección extrema de aguas abajo, en la cual el tirante alcanza su máximo valor, o mínimo según el caso. (Ver las figuras 8.9 y 8.10 como casos típicos). M. G. V.

yn

ymin

y

y = ymin x=0 Figura 8.10 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante

ymin determinado por la grada.

Para hacer el cálculo asignaremos valores al tirante y de modo de acercarnos lentamente del valor extremo al normal. Cada valor del tirante determina una sección para la que es posible calcular

427


Arturo Rocha

A : Area (en función de la geometría de la sección)

R : Radio hidráulico

R=A P

V : Velocidad media

V =Q A

hV : Energía de velocidad

hV =

E : Energía específica

V2 y+ 2g

V2 2g

∆E : Diferencia de energía específica

∆E = E2 − E1 ó ( E1 − E2 )

entre dos secciones

S E : Pendiente de la línea de energía en esa sección

 Vn  SE =  2 3  R 

S E : Pendiente media de la línea de energía SE =

para un tramo dado

∆x =

∆x : Distancia

Acumulando los valores de

2

SE + SE 1

2

2 ∆E S0 − S E

∆x se obtiene la distancia desde el origen escogido.

Metodo de la integración directa En el apartado 8.3 se estableció que la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado (8-17) es 2

K  1−  n  dy K = S0 2 dx  Zc  1−   Z 

Para la presente exposición de la integración de la ecuación 8-17 se sigue el procedimiento de Bakhmettef expuesto por Ven Te Chow en 1955.

428

Capítulo VIII


En primer lugar es necesario recordar la suposición hecha por Bakhmettef de que el cuadrado del factor de capacidad K (ec. 8-6) es proporcional a una cierta potencia del tirante, es decir

K 2 = c1 y N

(8-23)

c1 es una constante de proporcionalidad. N es el exponente hidráulico para el cálculo del movimiento uniforme. Sus características se establecen a continuación. Tomando logaritmos neperianos en la ecuación 8-23 se obtiene

(

2(ln K ) = ln c1 y N

)

Derivando con respecto a y se llega a

2

d (ln K ) c1 Ny N −1dy dy = dy c1 y N

De donde,

d (ln K ) N = dy 2y

(8-24)

Pero, al aplicar la fórmula de Manning, se obtiene que el factor de capacidad K es

K=

AR n

2 3

tal como aparece en la ecuación 8-10. Tomando logaritmos en esta última expresión se obtiene 2   AR 3 ln K = ln  n 

    

Derivando con respecto a y se llega a

d (ln K ) 2 1 dR 1 dA = + dy 3 R dy A dy Introducimos ahora, las conocidas expresiones, (ec. 7-9)

dA =T dy 429


Arturo Rocha

R=

(ec. 1-8)

A P

y se obtiene,

d (ln K ) 2 1 dR T = + dy 3 R dy A Pero,

dP  A d  T − R dR dy P =  = P dy dy Reemplazando se llega a

 dP   T − R  dy  T d (ln K ) 2 1  = + 3R P A dy d (ln K ) 1  dP  5T − 2 R  =  3A  dy dy  Introduciendo la ecuación 8-24 se obtiene

1  N dP  5T − 2 R  =  2 y 3A  dy  De donde,

N=

2y  dP  5T − 2 R   3A  dy 

que es la expresión general del exponente hidráulico

(8-25)

N para cualquier sección transversal.

Para una sección trapecial se obtiene a partir de la ecuación 8-25 que

   y   y  1 + 2 z   1 + z 2     10   b  8   b  N= − 3   y  3  2  y  1 + z  b  1 + 2 1 + z  b        siendo

430

b el ancho en el fondo y z el talud del canal.

(8-26)

Capítulo VIII


Para el caso particular de una sección rectangular ( z

N=

= 0 ) se obtiene

y b

10 8 − y 3 3 1 + 2  b 

Si se tratase de una sección muy ancha, entonces la relación

(8-27)

y b es muy pequeña y tiende

a cero, con lo que

N=

10 3

(8-28)

Se puede hacer un desarrollo similar a partir de la suposición de que el cuadrado del factor de sección Z (ec. 8-1) es proporcional a una potencia M del tirante

Z 2 = c2 y M

(8-29)

M es el exponente hidráulico para el cálculo de las condiciones críticas. Sus características se establecen a continuación Tomando logaritmos

(

2 ln (Z ) = ln c2 y M

)

Derivando con respecto a y ,

2

d (ln Z ) M dy = dy y dy

se llega a

d (ln Z ) M = dy 2y Pero,

(1)

Z = A3 T (ec. 8-2). Luego, tomando logaritmos en la ecuación 8-2 y derivando con

respecto a y se obtiene

d (ln Z ) 3 T 1 dT = − dy 2 A 2T dy

(2)

Igualando (1) y (2) se obtiene

M=

y A dT   3T −  A T dy 

(8-30)

431


Arturo Rocha

que es la expresión del exponente hidráulico M para cualquier sección transversal. Para un canal trapecial, 2

y y y  31 + 2 z  − 2 z 1 + z  b b b M=  y y    1 + 2 z b  1 + z b  siendo

(8-31)

b el ancho en el fondo y z el talud del canal.

Para el caso particular de una sección rectangular ( z

= 0 ), se obtiene

M =3

(8-32)

Para efectos de integrar la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado se considerará, a partir de la ecuaciones 8-23 y 8-29, lo siguiente

K 2 = c1 y N K n2 = c1 y N

Z 2 = c2 y M Z c2 = c2 y M Reemplazando estos valores en la ecuación 8-17 se obtiene N

y  1 −  n  dy  y  = S0 M dx y  1 −  c   y

(8-33)

que es la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado para cualquier sección transversal, en función de los exponentes hidráulicos. Obsérvese que si en la ecuación 8-33 se reemplaza

N = 10 3 (ec. 8-28) y M = 3 (ec. 8-32)

se obtiene la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado, para un canal muy ancho en el que se aplica la fórmula de Manning, y que es la ecuación 8-18, previamente establecida. Si se considera que entre el tirante y del movimiento gradualmente variado y el tirante normal

432

y n existe la relación u , se tiene

Capítulo VIII


u= Como se recuerda, si

y yn

(8-34)

u es mayor que 1 se trata de corrientes peraltadas y si es menor que

1 se trata de corrientes deprimidas. Introduciendo la ecuación 8-34 en la 8-33 se llega a N

1 1−   dy u = S0 M dx y  1 −  c   y De acá se obtiene M  yc  u N − M  1 yn   du + dx = 1 − S 0  1 − u N  yn  1 − u N   

Para integrar esta ecuación se supone que los exponentes

N y M son constantes para el

tramo considerado. Luego, M  u  yc  u u N − M du yn  du + x = u − ∫  y  ∫0 1 − u N  + c 0 1− u N S0    n 

(8-35)

Para obtener el resultado es necesario resolver dos integrales. A la primera de ellas, Ven Te Chow la denomina función del flujo variado y la representa como

F (u , N ) = ∫

u

0

du 1− u N

(8-36)

Para la segunda integral Ven Te Chow introduce una variable auxiliar N

v=uJ

(8-37)

N N − M +1

(8-38)

siendo

J=

Con lo que la segunda integral del segundo miembro de la ecuación 8-35 queda así

u N −M J ∫0 1 − u N du = N u

v

dv

∫ 1− v 0

J

=

J F (v, J ) N

(8-39)

433


Arturo Rocha

De donde,

F (v, J ) = ∫

dv 1− vJ

v

0

(8-40)

Introduciendo en la ecuación 8-35 la nueva notación de ambas integrales se llega a M   yc  J yn  F (v, J ) + c x = u − F (u, N ) +   S0    yn  N 

(8-41)

Ven Te Chow usa la siguiente notación,

x = A[u − F (u, N ) + B F (v, J )]+ c

(8-42)

siendo,

A=

yn S0

y  B =  c   yn  u=

M

J N

y yn N

v=uJ J=

N N − M +1

A partir de la ecuación 8-42 se obtiene la longitud L de la curva de remanso entre dos secciones 1 y 2, de modo que

L = x2 − x1 = x = A{(u2 − u1 ) − [F (u2 , N ) − F (u1 , N )]+ B [F (v2 , J ) − F (v1 , J )]} (8-43) Los exponentes hidráulicos

N y M dependen de la ecuación particular que se use (Chezy

o Manning, por ejemplo), de la forma de la sección transversal (rectangular, parabólica, etc.) y del tirante. A partir del conocimiento del factor de capacidad K y del respectivo tirante se puede calcular

434

Capítulo VIII


el valor correspondiente del exponente hidráulico

N.

Si bien es cierto que el exponente hidráulico N es variable, también lo es que su rango de variación no es muy amplio. Bakhmettef señala que N varía entre 2 y 5,5 para diferentes secciones transversales. Bakhmettef, quien fue profesor de Hidráulica en San Petersburgo, preparó hacia 1914 unas tablas con diversos valores de N . En la revolución rusa estas tablas se perdieron durante muchos años. Más tarde se recalcularon para 2,8 < N < 5,4 y fueron publicadas por Bakhmettef en 1932. La Tabla 8.2 que se adjunta fue preparada por Ven Te Chow entre 1952 y 1954, para valores de N comprendidos entre 2 y 5,5 y aparece en su conocido libro sobre canales, del que se ha tomado. En la Tabla 8.2 se presenta para diversos valores de

u y de N los correspondientes a la función F (u, N ). La Tabla 8.2 sirve también para la función F (v, J ) reemplazando u por v y N por J . Para el cálculo se suponen conocidos el caudal, la pendiente, la rugosidad y las caracterísicas de la sección transversal. El procedimiento de cálculo para aplicar el método de integración directa es el siguiente 1.

Seleccionar una fórmula para el cálculo del flujo (Chezy o Manning, por ejemplo) y determinar el tirante normal

yn

2.

Calcular el tirante crítico

3.

Se supone que para un tramo determinado ( ∆ x ) los exponentes hidráulicos constantes. Se calcula

yc

N y M son

N (ec. 8-26, o alguna de sus simplificaciones) y M (ec.8-30, o

alguna de sus simplificaciones) 4.

Se calcula

5.

Se calcula, para las secciones extremas (inicial y final) del tramo considerado, los valores de

6.

J , con la ecuación 8-38

u (ec. 8-34) y v (ec. 8-37)

Se entra a la Tabla 8.2 y se obtiene calculados de

7.

F (u, N ), ingresando con los valores previamente

u y N . Suele ser necesario hacer interpolaciones.

Se ingresa a la Tabla 8.2 y se obtiene

F (v, J ) , ingresando con los valores de v y de J

previamente calculados 8.

Se calcula la longitud

∆ x correspondiente mediante la ecuación 8-43

435


Arturo Rocha

TABLA 8.2 FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS Y NEGATIVAS (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)

FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS

du 0 1− u N

F (u , N ) = ∫ N

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

3,2

3,4

3,6

3,8

4,0

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,10 0,12 0,14 0,16 0,18

0,100 0,120 0,140 0,161 0,181

0,100 0,120 0,140 0,161 0,181

0,100 0,120 0,140 0,160 0,181

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,20 0,22 0,24 0,26 0,28

0,202 0,223 0,244 0,265 0,286

0,201 0,222 0,243 0,263 0,284

0,201 0,221 0,242 0,262 0,283

0,201 0,221 0,241 0,262 0,282

0,200 0,221 0,241 0,261 0,282

0,200 0,220 0,241 0,261 0,281

0,200 0,220 0,240 0,261 0,281

0,200 0,220 0,240 0,260 0,281

0,200 0,220 0,240 0,260 0,280

0,200 0,220 0,240 0,260 0,280

0,30 0,32 0,34 0,36 0,38

0,307 0,329 0,351 0,372 0,395

0,305 0,326 0,348 0,369 0,392

0,304 0,325 0,346 0,367 0,389

0,303 0,324 0,344 0,366 0,387

0,302 0,323 0,343 0,364 0,385

0,302 0,322 0,343 0,363 0,384

0,301 0,322 0,342 0,363 0,383

0,301 0,321 0,342 0,362 0,383

0,301 0,321 0,341 0,362 0,382

0,300 0,321 0,341 0,361 0,382

0,40 0,42 0,44 0,46 0,48

0,418 0,442 0,465 0,489 0,514

0,414 0,437 0,460 0,483 0,507

0,411 0,433 0,456 0,479 0,502

0,408 0,430 0,452 0,475 0,497

0,407 0,428 0,450 0,472 0,494

0,405 0,426 0,448 0,470 0,492

0,404 0,425 0,446 0,468 0,489

0,403 0,424 0,445 0,466 0,488

0,403 0,423 0,444 0,465 0,486

0,402 0,423 0,443 0,464 0,485

0,50 0,52 0,54 0,56 0,58

0,539 0,565 0,592 0,619 0,648

0,531 0,557 0,582 0,608 0,635

0,525 0,550 0,574 0,599 0,626

0,521 0,544 0,568 0,593 0,618

0,517 0,540 0,563 0,587 0,612

0,514 0,536 0,559 0,583 0,607

0,511 0,534 0,556 0,579 0,603

0,509 0,531 0,554 0,576 0,599

0,508 0,529 0,551 0,574 0,596

0,506 0,528 0,550 0,572 0,594

0,60 0,61 0,62 0,63 0,64

0,676 0,691 0,706 0,722 0,738

0,663 0,678 0,692 0,707 0,722

0,653 0,667 0,680 0,694 0,709

0,644 0,657 0,671 0,684 0,698

0,637 0,650 0,663 0,676 0,690

0,631 0,644 0,657 0,669 0,683

0,627 0,639 0,651 0,664 0,677

0,623 0,635 0,647 0,659 0,672

0,620 0,631 0,643 0,655 0,667

0,617 0,628 0,640 0,652 0,664

0,65 0,66 0,67 0,68 0,69

0,754 0,771 0,787 0,804 0,822

0,737 0,753 0,769 0,785 0,804

0,724 0,738 0,754 0,769 0,785

0,712 0,727 0,742 0,757 0,772

0,703 0,717 0,731 0,746 0,761

0,696 0,709 0,723 0,737 0,751

0,689 0,703 0,716 0,729 0,743

0,684 0,697 0,710 0,723 0,737

0,680 0,692 0,705 0,718 0,731

0,676 0,688 0,701 0,713 0,726

0,70 0,71 0,72 0,73 0,74

0,840 0,858 0,878 0,898 0,918

0,819 0,836 0,855 0,874 0,892

0,802 0,819 0,836 0,854 0,868

0,787 0,804 0,820 0,837 0,854

0,776 0,791 0,807 0,823 0,840

0,766 0,781 0,796 0,811 0,827

0,757 0,772 0,786 0,802 0,817

0,750 0,764 0,779 0,793 0,808

0,744 0,758 0,772 0,786 0,800

0,739 0,752 0,766 0,780 0,794

u

436

u

Capítulo VIII


FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)

F (u , N ) = ∫

u

0

N

du 1− u N

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

3,2

3,4

3,6

3,8

4,0

0,75 0,76 0,77 0,78 0,79

0,940 0,961 0,985 1,007 1,031

0,913 0,933 0,954 0,976 0,998

0,890 0,909 0,930 0,950 0,971

0,872 0,890 0,909 0,929 0,949

0,857 0,874 0,892 0,911 0,930

0,844 0,861 0,878 0,896 0,914

0,833 0,849 0,866 0,883 0,901

0,823 0,839 0,855 0,872 0,889

0,815 0,830 0,846 0,862 0,879

0,808 0,823 0,838 0,854 0,870

0,80 0,81 0,82 0,83 0,84

1,056 1,083 1,110 1,139 1,171

1,022 1,046 1,072 1,099 1,129

0,994 1,017 1,041 1,067 1,094

0,970 0,992 1,015 1,039 1,064

0,950 0,971 0,993 1,016 1,040

0,934 0,954 0,974 0,996 1,019

0,919 0,938 0,958 0,979 1,001

0,907 0,925 0,945 0,965 0,985

0,896 0,914 0,932 0,952 0,972

0,887 0,904 0,922 0,940 0,960

0,85 0,86 0,87 0,88 0,89

1,201 1,238 1,272 1,314 1,357

1,157 1,192 1,223 1,262 1,302

1,121 1,153 1,182 1,228 1,255

1,091 1,119 1,149 1,181 1,216

1,065 1,092 1,120 1,151 1,183

1,043 1,068 1,095 1,124 1,155

1,024 1,048 1,074 1,101 1,131

1,007 1,031 1,055 1,081 1,110

0,993 1,015 1,039 1,064 1,091

0,980 1,002 1,025 1,049 1,075

0,90 0,91 0,92 0,93 0,94

1,401 1,452 1,505 1,564 1,645

1,343 1,389 1,438 1,493 1,568

1,294 1,338 1,351 1,435 1,504

1,253 1,294 1,340 1,391 1,449

1,218 1,257 1,300 1,348 1,403

1,189 1,225 1,266 1,311 1,363

1,163 1,197 1,236 1,279 1,328

1,140 1,173 1,210 1,251 1,297

1,120 1,152 1,187 1,226 1,270

1,103 1,333 1,166 1,204 1,246

0,950 0,960 0,970 0,975 0,980

1,737 1,833 1,969 2,055 2,164

1,652 1,741 1,866 1,945 2,045

1,582 1,665 1,780 1,853 1,946

1,518 1,601 1,707 1,773 1,855

1,467 1,545 1,644 1,707 1,783

1,423 1,497 1,590 1,649 1,720

1,385 1,454 1,543 1,598 1,666

1,352 1,417 1,501 1,554 1,617

1,322 1,385 1,464 1,514 1,575

1,296 1,355 1,431 1,479 1,536

0,985 0,990 0,995 0,999 1,000

2,294 2,477 2,792 3,523

2,165 2,333 2,621 3,292

2,056 2,212 2,478 3,097

1,959 2,106 2,355 2,931

1,880 2,017 2,250 2,788

1,812 1,940 2,159 2,663

1,752 1,873 2,079 2,554

1,699 1,814 2,008 2,457

1,652 1,761 1,945 2,370

1,610 1,714 1,889 2,293

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

1,001 1,005 1,010 1,015 1,020

3,317 2,587 2,273 2,090 1,961

2,931 2,266 1,977 1,807 1,711

2,640 2,022 1,757 1,602 1,493

2,399 1,818 1,572 1,428 1,327

2,184 1,649 1,419 1,286 1,191

2,008 1,506 1,291 1,166 1,078

1,856 1,384 1,182 1,065 0,982

1,725 1,279 1,089 0,978 0,900

1,610 1,188 1,007 0,902 0,828

1,508 1,107 0,936 0,836 0,766

1,03 1,04 1,05 1,06 1,07

1,779 1,651 1,552 1,472 1,404

1,531 1,410 1,334 1,250 1,195

1,340 1,232 1,150 1,082 1,026

1,186 1,086 1,010 0,948 0,896

1,060 0,967 0,896 0,838 0,790

0,955 0,868 0,802 0,748 0,703

0,866 0,785 0,723 0,672 0,630

0,790 0,714 0,656 0,608 0,569

0,725 0,653 0,598 0,553 0,516

0,668 0,600 0,548 0,506 0,471

1,08 1,09 1,10 1,11 1,12

1,346 1,295 1,250 1,209 1,172

1,139 1,089 1,050 1,014 0,981

0,978 0,935 0,897 0,864 0,833

0,851 0,812 0,777 0,746 0,718

0,749 0,713 0,681 0,652 0,626

0,665 0,631 0,601 0,575 0,551

0,595 0,563 0,536 0,511 0,488

0,535 0,506 0,480 0,457 0,436

0,485 0,457 0,433 0,411 0,392

0,441 0,415 0,392 0,372 0,354

1,13 1,14 1,15 1,16 1,17

1,138 1,107 1,078 1,052 1,027

0,950 0,921 0,892 0,870 0,850

0,805 0,780 0,756 0,734 0,713

0,692 0,669 0,647 0,627 0,608

0,602 0,581 0,561 0,542 0,525

0,529 0,509 0,490 0,473 0,458

0,468 0,450 0,432 0,417 0,402

0,417 0,400 0,384 0,369 0,356

0,374 0,358 0,343 0,329 0,317

0,337 0,322 0,308 0,295 0,283

u

437


Arturo Rocha


F (u , N ) = ∫

u

0

N

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

3,2

3,4

3,6

3,8

4,0

1,18 1,19 1,20 1,22 1,24

1,003 0,981 0,960 0,922 0,887

0,825 0,810 0,787 0,755 0,725

0,694 0,676 0,659 0,628 0,600

0,591 0,574 0,559 0,531 0,505

0,509 0,494 0,480 0,454 0,431

0,443 0,429 0,416 0,392 0,371

0,388 0,375 0,363 0,341 0,322

0,343 0,331 0,320 0,299 0,281

0,305 0,294 0,283 0,264 0,248

0,272 0,262 0,252 0,235 0,219

1,26 1,28 1,30 1,32 1,34

0,855 0,827 0,800 0,775 0,752

0,692 0,666 0,644 0,625 0,605

0,574 0,551 0,530 0,510 0,492

0,482 0,461 0,442 0,424 0,408

0,410 0,391 0,373 0,357 0,342

0,351 0,334 0,318 0,304 0,290

0,304 0,288 0,274 0,260 0,248

0,265 0,250 0,237 0,225 0,214

0,233 0,219 0,207 0,196 0,185

0,205 0,193 0,181 0,171 0,162

1,36 1,38 1,40 1,42 1,44

0,731 0,711 0,692 0,674 0,658

0,588 0,567 0,548 0,533 0,517

0,475 0,459 0,444 0,431 0,417

0,393 0,378 0,365 0,353 0,341

0,329 0,316 0,304 0,293 0,282

0,278 0,266 0,256 0,246 0,236

0,237 0,226 0,217 0,208 0,199

0,204 0,194 0,185 0,177 0,169

0,176 0,167 0,159 0,152 0,145

0,153 0,145 0,138 0,131 0,125

1,46 1,48 1,50 1,55 1,60

0,642 0,627 0,613 0,580 0,551

0,505 0,493 0,480 0,451 0,425

0,405 0,394 0,383 0,358 0,335

0,330 0,320 0,310 0,288 0,269

0,273 0,263 0,255 0,235 0,218

0,227 0,219 0,211 0,194 0,179

0,191 0,184 0,177 0,161 0,148

0,162 0,156 0,149 0,135 0,123

0,139 0,133 0,127 0,114 0,103

0,119 0,113 0,108 0,097 0,087

1,65 1,70 1,75 1,80 1,85

0,525 0,501 0,480 0,460 0,442

0,402 0,381 0,362 0,349 0,332

0,316 0,298 0,282 0,267 0,254

0,251 0,236 0,222 0,209 0,198

0,203 0,189 0,177 0,166 0,156

0,165 0,153 0,143 0,133 0,125

0,136 0,125 0,116 0,108 0,100

0,113 0,103 0,095 0,088 0,082

0,094 0,086 0,079 0,072 0,067

0,079 0,072 0,065 0,060 0,055

1,90 1,95 2,00 2,10 2,20

0,425 0,409 0,395 0,369 0,346

0,315 0,304 0,292 0,273 0,253

0,242 0,231 0,221 0,202 0,186

0,188 0,178 0,169 0,154 0,141

0,147 0,139 0,132 0,119 0,107

0,117 0,110 0,104 0,092 0,083

0,094 0,088 0,082 0,073 0,065

0,076 0,070 0,066 0,058 0,051

0,062 0,057 0,053 0,046 0,040

0,050 0,046 0,043 0,037 0,032

2,3 2,4 2,5 2,6 2,7

0,326 0,308 0,292 0,277 0,264

0,235 0,220 0,207 0,197 0,188

0,173 0,160 0,150 0,140 0,131

0,129 0,119 0,110 0,102 0,095

0,098 0,089 0,082 0,076 0,070

0,075 0,068 0,062 0,057 0,052

0,058 0,052 0,047 0,043 0,039

0,045 0,040 0,036 0,033 0,029

0,035 0,031 0,028 0,025 0,022

0,028 0,024 0,022 0,019 0,017

2,8 2,9 3,0 3,5 4,0

0,252 0,241 0,230 0,190 0,161

0,176 0,166 0,159 0,126 0,104

0,124 0,117 0,110 0,085 0,069

0,089 0,083 0,078 0,059 0,046

0,065 0,060 0,056 0,041 0,031

0,048 0,044 0,041 0,029 0,022

0,036 0,033 0,030 0,021 0,015

0,027 0,024 0,022 0,015 0,010

0,020 0,018 0,017 0,011 0,007

0,015 0,014 0,012 0,008 0,005

4,5 5,0 6,0 7,0 8,0

0,139 0,122 0,098 0,081 0,069

0,087 0,076 0,060 0,048 0,040

0,057 0,048 0,036 0,028 0,022

0,037 0,031 0,022 0,017 0,013

0,025 0,020 0,014 0,010 0,008

0,017 0,013 0,009 0,006 0,005

0,011 0,009 0,006 0,004 0,003

0,008 0,006 0,004 0,002 0,002

0,005 0,004 0,002 0,002 0,001

0,004 0,003 0,002 0,001 0,001

9,0 10,0 20,0

0,060 0,053 0,023

0,034 0,028 0,018

0,019 0,016 0,011

0,011 0,009 0,006

0,006 0,005 0,002

0,004 0,003 0,001

0,002 0,002 0,001

0,001 0,001 0,000

0,001 0,001 0,000

0,000 0,000 0,000

u

438

du 1− u N

Capítulo VIII



du 0 1− u N

F (u , N ) = ∫ N

u

4,2

4,6

5,0

5,4

5,8

6,2

6,6

7,0

7,4

7,8

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,10 0,12 0,14 0,16 0,18

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,20 0,22 0,24 0,26 0,28

0,200 0,220 0,240 0,260 0,280

0,200 0,220 0,240 0,260 0,280

0,200 0,220 0,240 0,260 0,280

0,200 0,220 0,240 0,260 0,280

0,200 0,220 0,240 0,260 0,280

0,200 0,220 0,240 0,260 0,280

0,200 0,220 0,240 0,260 0,280

0,200 0,220 0,240 0,260 0,280

0,200 0,220 0,240 0,260 0,280

0,200 0,220 0,240 0,260 0,280

0,30 0,32 0,34 0,36 0,38

0,300 0,321 0,341 0,361 0,381

0,300 0,320 0,340 0,361 0,381

0,300 0,320 0,340 0,360 0,381

0,300 0,320 0,340 0,360 0,380

0,300 0,320 0,340 0,360 0,380

0,300 0,320 0,340 0,360 0,380

0,300 0,320 0,340 0,360 0,380

0,300 0,320 0,340 0,360 0,380

0,300 0,320 0,340 0,360 0,380

0,300 0,320 0,340 0,360 0,380

0,40 0,42 0,44 0,46 0,48

0,402 0,422 0,443 0,463 0,484

0,401 0,421 0,442 0,462 0,483

0,401 0,421 0,441 0,462 0,482

0,400 0,421 0,441 0,461 0,481

0,400 0,420 0,441 0,461 0,481

0,400 0,420 0,441 0,461 0,481

0,400 0,420 0,440 0,460 0,480

0,400 0,420 0,440 0,460 0,480

0,400 0,420 0,440 0,460 0,480

0,400 0,420 0,440 0,460 0,480

0,50 0,52 0,54 0,56 0,58

0,505 0,527 0,548 0,570 0,592

0,504 0,525 0,546 0,567 0,589

0,503 0,523 0,544 0,565 0,587

0,502 0,522 0,543 0,564 0,585

0,501 0,522 0,542 0,563 0,583

0,501 0,521 0,542 0,562 0,583

0,501 0,521 0,541 0,562 0,582

0,500 0,521 0,541 0,561 0,582

0,500 0,520 0,541 0,561 0,581

0,500 0,520 0,541 0,561 0,581

0,60 0,61 0,62 0,63 0,64

0,614 0,626 0,637 0,649 0,661

0,611 0,622 0,633 0,644 0,656

0,608 0,619 0,630 0,641 0,652

0,606 0,617 0,628 0,638 0,649

0,605 0,615 0,626 0,636 0,647

0,604 0,614 0,625 0,635 0,646

0,603 0,613 0,624 0,634 0,645

0,602 0,612 0,623 0,633 0,644

0,602 0,612 0,622 0,632 0,643

0,601 0,611 0,622 0,632 0,642

0,65 0,66 0,67 0,68 0,69

0,673 0,685 0,697 0,709 0,722

0,667 0,679 0,691 0,703 0,715

0,663 0,675 0,686 0,698 0,710

0,660 0,672 0,683 0,694 0,706

0,658 0,669 0,680 0,691 0,703

0,656 0,667 0,678 0,689 0,700

0,655 0,666 0,676 0,687 0,698

0,654 0,665 0,675 0,686 0,696

0,653 0,664 0,674 0,685 0,695

0,653 0,663 0,673 0,684 0,694

0,70 0,71 0,72 0,73 0,74

0,735 0,748 0,761 0,774 0,788

0,727 0,740 0,752 0,765 0,779

0,722 0,734 0,746 0,759 0,771

0,717 0,729 0,741 0,753 0,766

0,714 0,726 0,737 0,749 0,761

0,712 0,723 0,734 0,746 0,757

0,710 0,721 0,732 0,743 0,754

0,708 0,719 0,730 0,741 0,752

0,706 0,717 0,728 0,739 0,750

0,705 0,716 0,727 0,737 0,748

0,75 0,76 0,77 0,78 0,79

0,802 0,817 0,831 0,847 0,862

0,792 0,806 0,820 0,834 0,849

0,784 0,798 0,811 0,825 0,839

0,778 0,791 0,804 0,817 0,831

0,773 0,786 0,798 0,811 0,824

0,769 0,782 0,794 0,806 0,819

0,766 0,778 0,790 0,802 0,815

0,763 0,775 0,787 0,799 0,811

0,761 0,773 0,784 0,796 0,808

0,759 0,771 0,782 0,794 0,805

u

439


Arturo Rocha


du 0 1− u N

F (u , N ) = ∫ N

4,2

4,6

5,0

5,4

5,8

6,2

6,6

7,0

7,4

7,8

0,80 0,81 0,82 0,83 0,84

0,878 0,895 0,913 0,931 0,949

0,865 0,881 0,897 0,914 0,932

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0,838 0,852 0,866 0,881 0,897

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0,950 0,970 0,990 1,012 1,035

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0,912 0,930 0,947 0,966 0,986

0,905 0,921 0,937 0,955 0,974

0,898 0,913 0,929 0,946 0,964

0,891 0,906 0,922 0,938 0,956

0,887 0,901 0,916 0,932 0,949

0,882 0,896 0,911 0,927 0,943

0,90 0,91 0,92 0,93 0,94

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1,060 1,088 1,117 1,151 1,188

1,039 1,064 1,092 1,123 1,158

1,021 1,045 1,072 1,101 1,134

1,007 1,029 1,054 1,081 1,113

0,994 1,016 1,039 1,065 1,095

0,984 1,003 1,027 1,050 1,080

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0,960 0,979 0,999 1,021 1,044

0,950 0,960 0,970 0,975 0,980

1,272 1,329 1,402 1,447 1,502

1,232 1,285 1,351 1,393 1,443

1,199 1,248 1,310 1,348 1,395

1,172 1,217 1,275 1,311 1,354

1,148 1,188 1,246 1,280 1,339

1,128 1,167 1,319 1,250 1,288

1,111 1,149 1,197 1,227 1,262

1,097 1,133 1,179 1,207 1,241

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1,073 1,106 1,148 1,173 1,204

0,985 0,990 0,995 0,999 1,000

1,573 1,671 1,838 2,223

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1,337 1,404 1,519 1,780

1,309 1,373 1,479 1,725

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u

440

u

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

Capítulo VIII



du 0 1− u N

F (u , N ) = ∫ N

u

4,2

4,6

5,0

5,4

5,8

6,2

6,6

7,0

7,4

7,8

1,26 1,28 1,30 1,32 1,34

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0,001 0,001 0,000 0,000 0,000

0,001 0,001 0,000 0,000 0,000

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0,001 0,001 0,001 0,000 0,000

0,001 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

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0,001 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

9,0 10,0 20,0

0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

u

441


Arturo Rocha


du 0 1− u N

F (u , N ) = ∫ N

8,2

8,6

9,0

9,4

9,8

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0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

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0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

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0,601 0,611 0,621 0,631 0,641

0,600 0,611 0,621 0,631 0,641

0,600 0,610 0,621 0,631 0,641

0,65 0,66 0,67 0,68 0,69

0,652 0,662 0,673 0,683 0,694

0,652 0,662 0,672 0,683 0,693

0,651 0,662 0,672 0,682 0,692

0,651 0,661 0,672 0,682 0,692

0,651 0,661 0,671 0,681 0,692

0,70 0,71 0,72 0,73 0,74

0,704 0,715 0,726 0,736 0,747

0,704 0,714 0,725 0,735 0,746

0,703 0,713 0,724 0,734 0,745

0,702 0,713 0,723 0,734 0,744

0,702 0,712 0,723 0,733 0,744

0,75 0,76 0,77 0,78 0,79

0,758 0,769 0,780 0,792 0,804

0,757 0,768 0,779 0,790 0,802

0,756 0,767 0,778 0,789 0,800

0,755 0,766 0,777 0,788 0,799

0,754 0,765 0,776 0,787 0,798

u

442

u

Capítulo VIII



du 0 1− u N

F (u , N ) = ∫ N

u

8,2

8,6

9,0

9,4

9,8

0,80 0,81 0,82 0,83 0,84

0,815 0,827 0,839 0,852 0,865

0,813 0,825 0,837 0,849 0,862

0,811 0,823 0,835 0,847 0,860

0,810 0,822 0,833 0,845 0,858

0,809 0,820 0,831 0,844 0,856

0,85 0,86 0,87 0,88 0,89

0,878 0,892 0,907 0,921 0,937

0,875 0,889 0,903 0,918 0,933

0,873 0,886 0,900 0,914 0,929

0,870 0,883 0,897 0,911 0,925

0,868 0,881 0,894 0,908 0,922

0,90 0,91 0,92 0,93 0,94

0,954 0,972 0,991 1,012 1,036

0,949 0,967 0,986 1,006 1,029

0,944 0,961 0,980 0,999 1,022

0,940 0,957 0,975 0,994 1,016

0,937 0,953 0,970 0,989 1,010

0,950 0,960 0,970 0,975 0,980

1,062 1,097 1,136 1,157 1,187

1,055 1,085 1,124 1,147 1,175

1,047 1,074 1,112 1,134 1,160

1,040 1,063 1,100 1,122 1,150

1,033 1,053 1,087 1,108 1,132

0,985 0,990 0,995 0,999 1,000

1,224 1,275 1,363 1,560

1,210 1,260 1,342 1,530

1,196 1,243 1,320 1,500

1,183 1,228 1,302 1,476

1,165 1,208 1,280 1,447

1,001 1,005 1,010 1,015 1,020

0,614 0,420 0,337 0,289 0,257

0,577 0,391 0,313 0,269 0,237

0,546 0,368 0,294 0,255 0,221

0,519 0,350 0,278 0,237 0,209

0,494 0,331 0,262 0,223 0,196

1,03 1,04 1,05 1,06 1,07

0,212 0,173 0,158 0,140 0,123

0,195 0,165 0,143 0,127 0,112

0,181 0,152 0,132 0,116 0,102

0,170 0,143 0,124 0,106 0,094

0,159 0,134 0,115 0,098 0,086

1,08 1,09 1,10 1,11 1,12

0,111 0,101 0,092 0,084 0,077

0,101 0,091 0,083 0,075 0,069

0,092 0,082 0,074 0,067 0,062

0,084 0,075 0,067 0,060 0,055

0,077 0,069 0,062 0,055 0,050

1,13 1,14 1,15 1,16 1,17

0,071 0,065 0,061 0,056 0,052

0,063 0,058 0,054 0,050 0,046

0,056 0,052 0,048 0,045 0,041

0,050 0,046 0,043 0,040 0,036

0,045 0,041 0,038 0,035 0,032

1,18 1,19 1,20 1,22 1,24

0,048 0,045 0,043 0,037 0,032

0,042 0,039 0,037 0,032 0,028

0,037 0,034 0,032 0,028 0,024

0,033 0,030 0,028 0,024 0,021

0,029 0,027 0,025 0,021 0,018

u

∞

∞

∞

∞

∞

443


Arturo Rocha


du 0 1− u N

F (u , N ) = ∫ N

8,2

8,6

9,0

9,4

9,8

1,26 1,28 1,30 1,32 1,34

0,028 0,025 0,022 0,020 0,018

0,024 0,021 0,019 0,017 0,015

0,021 0,018 0,016 0,014 0,012

0,018 0,016 0,014 0,012 0,010

0,016 0,014 0,012 0,010 0,009

1,36 1,38 1,40 1,42 1,44

0,016 0,014 0,013 0,011 0,010

0,013 0,012 0,011 0,009 0,008

0,011 0,010 0,009 0,008 0,007

0,009 0,008 0,007 0,006 0,006

0,008 0,007 0,006 0,005 0,005

1,46 1,48 1,50 1,55 1,60

0,009 0,009 0,008 0,006 0,005

0,008 0,007 0,006 0,005 0,004

0,006 0,005 0,005 0,004 0,003

0,005 0,004 0,004 0,003 0,002

0,004 0,004 0,003 0,003 0,002

1,65 1,70 1,75 1,80 1,85

0,004 0,003 0,002 0,002 0,002

0,003 0,002 0,002 0,001 0,001

0,002 0,002 0,002 0,001 0,001

0,002 0,001 0,001 0,001 0,001

0,001 0,001 0,001 0,001 0,001

1,90 1,95 2,00 2,10 2,20

0,001 0,001 0,001 0,001 0,000

0,001 0,001 0,001 0,000 0,000

0,001 0,001 0,000 0,000 0,000

0,001 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

2,3 2,4 2,5 2,6 2,7

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

2,8 2,9 3,0 3,5 4,0

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

4,5 5,0 6,0 7,0 8,0

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

9,0 10,0 20,0

0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

u

444

u

Capítulo VIII


FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)

F (u , N )− S 0 = ∫

u

0

N

du 1+ u N

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

3,2

3,4

3,6

3,8

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,10 0,12 0,14 0,16 0,18

0,099 0,119 0,139 0,158 0,178

0,100 0,119 0,139 0,159 0,179

0,100 0,120 0,140 0,159 0,179

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,20 0,22 0,24 0,26 0,28

0,197 0,216 0,234 0,253 0,272

0,198 0,217 0,236 0,255 0,274

0,199 0,218 0,237 0,256 0,275

0,199 0,219 0,238 0,257 0,276

0,200 0,219 0,239 0,258 0,277

0,200 0,220 0,240 0,259 0,278

0,200 0,220 0,240 0,259 0,278

0,200 0,220 0,240 0,260 0,279

0,200 0,220 0,240 0,260 0,280

0,200 0,220 0,240 0,260 0,280

0,30 0,32 0,34 0,36 0,38

0,291 0,308 0,326 0,344 0,362

0,293 0,311 0,329 0,347 0,355

0,294 0,313 0,331 0,350 0,368

0,295 0,314 0,333 0,352 0,371

0,296 0,316 0,335 0,354 0,373

0,297 0,317 0,337 0,356 0,374

0,298 0,318 0,338 0,357 0,375

0,298 0,318 0,338 0,357 0,376

0,299 0,319 0,339 0,358 0,377

0,299 0,319 0,339 0,358 0,377

0,40 0,42 0,44 0,46 0,48

0,380 0,397 0,414 0,431 0,447

0,384 0,401 0,419 0,437 0,453

0,387 0,405 0,423 0,440 0,458

0,390 0,407 0,426 0,444 0,461

0,392 0,409 0,429 0,447 0,464

0,393 0,411 0,430 0,449 0,467

0,394 0,412 0,432 0,451 0,469

0,395 0,413 0,433 0,452 0,471

0,396 0,414 0,434 0,453 0,472

0,396 0,415 0,435 0,454 0,473

0,50 0,52 0,54 0,56 0,58

0,463 0,479 0,494 0,509 0,524

0,470 0,485 0,501 0,517 0,533

0,475 0,491 0,507 0,523 0,539

0,479 0,494 0,512 0,528 0,545

0,482 0,499 0,516 0,533 0,550

0,485 0,502 0,520 0,537 0,554

0,487 0,505 0,522 0,540 0,558

0,489 0,507 0,525 0,543 0,561

0,491 0,509 0,527 0,545 0,563

0,492 0,511 0,529 0,547 0,567

0,60 0,61 0,62 0,63 0,64

0,540 0,547 0,554 0,562 0,569

0,548 0,556 0,563 0,571 0,579

0,555 0,563 0,571 0,579 0,586

0,561 0,569 0,578 0,585 0,592

0,566 0,575 0,583 0,590 0,598

0,571 0,579 0,578 0,595 0,602

0,575 0,583 0,591 0,599 0,607

0,578 0,587 0,595 0,603 0,611

0,581 0,589 0,598 0,607 0,615

0,583 0,592 0,600 0,609 0,618

0,65 0,66 0,67 0,68 0,69

0,576 0,583 0,590 0,597 0,603

0,585 0,593 0,599 0,607 0,613

0,592 0,600 0,607 0,615 0,621

0,599 0,607 0,614 0,622 0,629

0,606 0,613 0,621 0,628 0,635

0,610 0,618 0,626 0,634 0,641

0,615 0,622 0,631 0,639 0,646

0,619 0,626 0,635 0,643 0,651

0,623 0,630 0,639 0,647 0,655

0,626 0,634 0,643 0,651 0,659

0,70 0,71 0,72 0,73 0,74

0,610 0,617 0,624 0,630 0,637

0,620 0,627 0,634 0,641 0,648

0,629 0,636 0,643 0,650 0,657

0,637 0,644 0,651 0,659 0,665

0,644 0,651 0,658 0,665 0,672

0,649 0,657 0,664 0,672 0,679

0,654 0,661 0,669 0,677 0,684

0,659 0,666 0,674 0,682 0,689

0,663 0,671 0,679 0,687 0,694

0,667 0,674 0,682 0,691 0,698

0,75 0,76 0,77 0,78 0,79

0,643 0,649 0,656 0,662 0,668

0,655 0,661 0,667 0,673 0,680

0,664 0,670 0,677 0,683 0,689

0,671 0,679 0,685 0,692 0,698

0,679 0,687 0,693 0,700 0,705

0,686 0,693 0,700 0,707 0,713

0,691 0,699 0,705 0,713 0,719

0,696 0,704 0,711 0,718 0,724

0,701 0,709 0,715 0,723 0,729

0,705 0,713 0,719 0,727 0,733

u

445


Arturo Rocha

FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION) (Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)

F (u , N )− S0 = ∫

u

0

N

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

3,2

3,4

3,6

3,8

0,80 0,81 0,82 0,83 0,84

0,674 0,680 0,686 0,692 0,698

0,685 0,691 0,698 0,703 0,709

0,695 0,701 0,707 0,713 0,719

0,703 0,710 0,717 0,722 0,729

0,712 0,719 0,725 0,731 0,737

0,720 0,727 0,733 0,740 0,746

0,726 0,733 0,740 0,746 0,752

0,732 0,739 0,745 0,752 0,758

0,737 0,744 0,751 0,757 0,764

0,741 0,749 0,755 0,762 0,769

0,85 0,86 0,87 0,88 0,89

0,704 0,710 0,715 0,721 0,727

0,715 0,721 0,727 0,733 0,739

0,725 0,731 0,738 0,743 0,749

0,735 0,741 0,747 0,753 0,758

0,744 0,750 0,756 0,762 0,767

0,752 0,758 0,764 0,770 0,776

0,759 0,765 0,771 0,777 0,783

0,765 0,771 0,777 0,783 0,789

0,770 0,777 0,783 0,789 0,795

0,775 0,782 0,788 0,794 0,800

0,90 0,91 0,92 0,93 0,94

0,732 0,738 0,743 0,749 0,754

0,744 0,750 0,754 0,761 0,767

0,754 0,760 0,766 0,772 0,777

0,764 0,770 0,776 0,782 0,787

0,773 0,779 0,785 0,791 0,795

0,781 0,787 0,793 0,799 0,804

0,789 0,795 0,800 0,807 0,813

0,795 0,801 0,807 0,812 0,818

0,801 0,807 0,813 0,818 0,824

0,807 0,812 0,818 0,823 0,829

0,950 0,960 0,970 0,975 0,980

0,759 0,764 0,770 0,772 0,775

0,772 0,777 0,782 0,785 0,787

0,783 0,788 0,793 0,796 0,798

0,793 0,798 0,803 0,805 0,808

0,801 0,807 0,812 0,814 0,818

0,809 0,815 0,820 0,822 0,825

0,819 0,824 0,826 0,828 0,830

0,823 0,829 0,834 0,836 0,839

0,829 0,835 0,840 0,843 0,845

0,835 0,841 0,846 0,848 0,851

0,985 0,990 0,995 1,000 1,005

0,777 0,780 0,782 0,785 0,788

0,790 0,793 0,795 0,797 0,799

0,801 0,804 0,806 0,808 0,810

0,811 0,814 0,816 0,818 0,820

0,820 0,822 0,824 0,826 0,829

0,827 0,830 0,832 0,834 0,837

0,833 0,837 0,840 0,842 0,845

0,841 0,844 0,847 0,849 0,852

0,847 0,850 0,753 0,856 0,858

0,853 0,856 0,859 0,862 0,864

1,010 1,015 1,020 1,03 1,04

0,790 0,793 0,795 0,800 0,805

0,801 0,804 0,807 0,811 0,816

0,812 0,815 0,818 0,822 0,829

0,822 0,824 0,828 0,832 0,837

0,831 0,833 0,837 0,841 0,846

0,840 0,843 0,845 0,850 0,855

0,847 0,850 0,853 0,857 0,862

0,855 0,858 0,860 0,864 0,870

0,861 0,864 0,866 0,871 0,877

0,867 0,870 0,872 0,877 0,883

1,05 1,06 1,07 1,08 1,09

0,810 0,815 0,819 0,824 0,828

0,821 0,826 0,831 0,836 0,840

0,831 0,837 0,841 0,846 0,851

0,841 0,846 0,851 0,856 0,860

0,851 0,855 0,860 0,865 0,870

0,859 0,864 0,869 0,873 0,877

0,867 0,871 0,876 0,880 0,885

0,874 0,879 0,883 0,887 0,892

0,881 0,885 0,889 0,893 0,898

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1,10 1,11 1,12 1,13 1,14

0,833 0,837 0,842 0,846 0,851

0,845 0,849 0,854 0,858 0,861

0,855 0,860 0,864 0,868 0,872

0,865 0,870 0,873 0,878 0,881

0,874 0,878 0,882 0,886 0,890

0,881 0,886 0,891 0,895 0,899

0,890 0,894 0,897 0,902 0,905

0,897 0,900 0,904 0,908 0,912

0,903 0,907 0,910 0,914 0,918

0,908 0,912 0,916 0,919 0,923

1,15 1,16 1,17 1,18 1,19

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0,866 0,870 0,874 0,878 0,882

0,876 0,880 0,884 0,888 0,892

0,886 0,890 0,893 0,897 0,901

0,895 0,899 0,902 0,906 0,910

0,903 0,907 0,911 0,915 0,918

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0,886 0,891 0,898 0,910 0,917

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0,913 0,917 0,925 0,935 0,945

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0,940 0,944 0,950 0,960 0,965

0,945 0,949 0,955 0,964 0,970

u

446

du 1+ u N

Capítulo VIII



F (u , N )− S 0 = ∫

u

0

N

du 1+ u N

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

3,2

3,4

3,6

3,8

1,30 1,32 1,34 1,36 1,38

0,915 0,922 0,930 0,937 0,944

0,925 0,931 0,939 0,946 0,952

0,933 0,940 0,948 0,954 0,960

0,941 0,948 0,955 0,961 0,967

0,948 0,955 0,962 0,968 0,974

0,955 0,961 0,967 0,973 0,979

0,961 0,967 0,973 0,979 0,985

0,966 0,972 0,978 0,983 0,989

0,981 0,976 0,982 0,987 0,993

0,975 0,980 0,986 0,991 0,996

1,40 1,42 1,44 1,46 1,48

0,951 0,957 0,964 0,970 0,977

0,959 0,965 0,972 0,977 0,983

0,966 0,972 0,979 0,983 0,989

0,973 0,979 0,984 0,989 0,994

0,979 0,984 0,990 0,995 0,999

0,984 0,989 0,995 1,000 1,005

0,989 0,995 1,000 1,004 1,008

0,993 0,998 1,003 1,007 1,011

0,997 1,001 1,006 1,010 1,014

1,000 1,004 1,009 1,012 1,016

1,50 1,55 1,60 1,65 1,70

0,983 0,997 1,012 1,026 1,039

0,990 1,002 1,017 1,029 1,042

0,996 1,007 1,020 1,032 1,044

1,001 1,012 1,024 1,035 1,045

1,005 1,016 1,027 1,037 1,047

1,009 1,020 1,030 1,039 1,048

1,012 1,022 1,032 1,041 1,049

1,015 1,024 1,034 1,041 1,049

1,017 1,026 1,035 1,042 1,049

1,019 1,028 1,035 1,042 1,048

1,75 1,80 1,85 1,90 1,95

1,052 1,064 1,075 1,086 1,097

1,053 1,064 1,074 1,085 1,095

1,054 1,064 1,074 1,084 1,092

1,055 1,064 1,073 1,082 1,090

1,056 1,065 1,072 1,081 1,087

1,057 1,065 1,071 1,079 1,085

1,056 1,064 1,069 1,077 1,081

1,056 1,062 1,067 1,074 1,079

1,055 1,060 1,066 1,071 1,075

1,053 1,058 1,063 1,066 1,071

2,00 2,10 2,20 2,30 2,40

1,107 1,126 1,144 1,161 1,176

1,103 1,120 1,136 1,150 1,163

1,100 1,115 1,129 1,141 1,152

1,096 1,110 1,122 1,133 1,142

1,093 1,104 1,115 1,124 1,133

1,090 1,100 1,109 1,117 1,124

1,085 1,094 1,102 1,110 1,116

1,082 1,089 1,096 1,103 1,109

1,078 1,085 1,090 1,097 1,101

1,075 1,080 1,085 1,090 1,094

2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

1,190 1,204 1,216 1,228 1,239

1,175 1,187 1,196 1,208 1,216

1,162 1,172 1,180 1,189 1,196

1,150 1,159 1,166 1,173 1,178

1,140 1,147 1,153 1,158 1,162

1,131 1,137 1,142 1,146 1,150

1,121 1,126 1,130 1,132 1,137

1,113 1,117 1,120 1,122 1,125

1,105 1,106 1,110 1,112 1,115

1,098 1,000 1,102 1,103 1,106

3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

1,249 1,292 1,326 1,352 1,374

1,224 1,260 1,286 1,308 1,325

1,203 1,232 1,251 1,270 1,283

1,184 1,206 1,223 1,235 1,245

1,168 1,185 1,198 1,205 1,212

1,154 1,167 1,176 1,183 1,188

1,140 1,151 1,158 1,162 1,166

1,128 1,138 1,142 1,146 1,149

1,117 1,125 1,129 1,131 1,134

1,107 1,113 1,117 1,119 1,121

6,0 7,0 8,0 9,0 10,0

1,406 1,430 1,447 1,461 1,471

1,342 1,360 1,373 1,384 1,394

1,292 1,303 1,313 1,319 1,324

1,252 1,260 1,266 1,269 1,272

1,221 1,225 1,229 1,231 1,233

1,195 1,199 1,201 1,203 1,203

1,171 1,174 1,175 1,176 1,176

1,152 1,153 1,154 1,156 1,156

1,136 1,136 1,137 1,137 1,137

1,122 1,122 1,122 1,122 1,122

u

447


Arturo Rocha


F (u , N )− S0 = ∫

u

0

N

4,0

4,2

4,5

5,0

5,5

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,10 0,12 0,14 0,16 0,18

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,20 0,22 0,24 0,26 0,28

0,200 0,220 0,240 0,260 0,280

0,200 0,220 0,240 0,260 0,280

0,200 0,220 0,240 0,260 0,280

0,200 0,220 0,240 0,260 0,280

0,200 0,220 0,240 0,260 0,280

0,30 0,32 0,34 0,36 0,38

0,300 0,320 0,339 0,359 0,378

0,300 0,320 0,340 0,360 0,379

0,300 0,320 0,340 0,360 0,380

0,300 0,320 0,340 0,360 0,380

0,300 0,320 0,340 0,360 0,380

0,40 0,42 0,44 0,46 0,48

0,397 0,417 0,436 0,455 0,474

0,398 0,418 0,437 0,456 0,475

0,398 0,418 0,437 0,457 0,476

0,400 0,419 0,439 0,458 0,478

0,400 0,420 0,440 0,459 0,479

0,50 0,52 0,54 0,56 0,58

0,493 0,512 0,531 0,549 0,567

0,494 0,513 0,532 0,550 0,569

0,495 0,515 0,533 0,552 0,570

0,497 0,517 0,536 0,555 0,574

0,498 0,518 0,537 0,558 0,576

0,60 0,61 0,62 0,63 0,64

0,585 0,594 0,603 0,612 0,620

0,587 0,596 0,605 0,615 0,623

0,589 0,598 0,607 0,616 0,625

0,593 0,602 0,611 0,620 0,629

0,595 0,604 0,613 0,622 0,631

0,65 0,66 0,67 0,68 0,69

0,629 0,637 0,646 0,654 0,662

0,632 0,640 0,649 0,657 0,665

0,634 0,643 0,652 0,660 0,668

0,638 0,647 0,656 0,665 0,674

0,640 0,650 0,659 0,668 0,677

0,70 0,71 0,72 0,73 0,74

0,670 0,678 0,686 0,694 0,702

0,673 0,681 0,689 0,698 0,705

0,677 0,685 0,694 0,702 0,710

0,682 0,690 0,699 0,707 0,716

0,686 0,694 0,703 0,712 0,720

0,75 0,76 0,77 0,78 0,79

0,709 0,717 0,724 0,731 0,738

0,712 0,720 0,727 0,735 0,742

0,717 0,725 0,733 0,740 0,748

0,724 0,731 0,739 0,747 0,754

0,728 0,736 0,744 0,752 0,760

u

448

du 1+ u N

Capítulo VIII



F (u , N )− S 0 = ∫

u

0

N

du 1+ u N

4,0

4,2

4,5

5,0

5,5

0,80 0,81 0,82 0,83 0,84

0,746 0,753 0,760 0,766 0,773

0,750 0,757 0,764 0,771 0,778

0,755 0,762 0,769 0,776 0,783

0,762 0,770 0,777 0,784 0,791

0,768 0,776 0,783 0,790 0,798

0,85 0,86 0,87 0,88 0,89

0,780 0,786 0,793 0,799 0,805

0,784 0,791 0,797 0,803 0,810

0,790 0,797 0,803 0,810 0,816

0,798 0,804 0,811 0,818 0,825

0,805 0,812 0,819 0,826 0,832

0,90 0,91 0,92 0,93 0,94

0,811 0,817 0,823 0,829 0,835

0,816 0,821 0,828 0,833 0,840

0,822 0,828 0,834 0,840 0,846

0,831 0,837 0,844 0,850 0,856

0,839 0,845 0,851 0,857 0,864

0,950 0,960 0,970 0,975 0,980

0,840 0,846 0,851 0,854 0,857

0,845 0,861 0,866 0,859 0,861

0,852 0,857 0,863 0,866 0,868

0,861 0,867 0,972 0,875 0,878

0,869 0,875 0,881 0,883 0,886

0,985 0,990 0,995 1,000 1,005

0,859 0,861 0,864 0,867 0,870

0,863 0,867 0,869 0,873 0,874

0,870 0,873 0,876 0,879 0,881

0,880 0,883 0,885 0,887 0,890

0,889 0,891 0,894 0,897 0,899

1,010 1,015 1,020 1,030 1,040

0,873 0,875 0,877 0,882 0,888

0,878 0,880 0,883 0,887 0,893

0,884 0,886 0,889 0,893 0,898

0,893 0,896 0,898 0,902 0,907

0,902 0,904 0,907 0,911 0,916

1,05 1,06 1,07 1,08 1,09

0,892 0,896 0,901 0,905 0,909

0,897 0,901 0,906 0,910 0,914

0,903 0,907 0,911 0,916 0,920

0,911 0,915 0,919 0,923 0,927

0,920 0,924 0,928 0,932 0,936

1,10 1,11 1,12 1,13 1,14

0,913 0,917 0,921 0,925 0,928

0,918 0,921 0,926 0,929 0,933

0,923 0,927 0,931 0,935 0,938

0,931 0,935 0,939 0,943 0,947

0,940 0,944 0,948 0,951 0,954

1,15 1,16 1,17 1,18 1,19

0,932 0,936 0,939 0,943 0,947

0,936 0,941 0,944 0,947 0,950

0,942 0,945 0,948 0,951 0,954

0,950 0,953 0,957 0,960 0,963

0,957 0,960 0,963 0,965 0,968

1,20 1,22 1,24 1,26 1,28

0,950 0,956 0,962 0,968 0,974

0,953 0,957 0,962 0,971 0,977

0,958 0,964 0,970 0,975 0,981

0,966 0,972 0,977 0,982 0,987

0,970 0,976 0,981 0,986 0,990

u

449


Arturo Rocha


F (u , N )− S0 = ∫

u

0

N

4,0

4,2

4,5

5,0

5,5

1,30 1,32 1,34 1,36 1,38

0,979 0,985 0,990 0,994 0,998

0,978 0,986 0,992 0,996 1,000

0,985 0,990 0,995 0,999 1,003

0,991 0,995 0,999 1,002 1,006

0,994 0,997 1,001 1,005 1,008

1,40 1,42 1,44 1,46 1,48

1,001 1,005 1,009 1,014 1,016

1,004 1,008 1,013 1,016 1,019

1,006 1,010 1,014 1,017 1,020

1,009 1,012 1,016 1,018 1,020

1,011 1,014 1,016 1,018 1,020

1,50 1,55 1,60 1,65 1,70

1,020 1,029 1,035 1,041 1,047

1,021 1,029 1,035 1,040 1,046

1,022 1,029 1,034 1,039 1,043

1,022 1,028 1,032 1,036 1,039

1,022 1,028 1,030 1,034 1,037

1,75 1,80 1,85 1,90 1,95

1,052 1,057 1,061 1,065 1,068

1,051 1,055 1,059 1,060 1,064

1,047 1,051 1,054 1,057 1,059

1,042 1,045 1,047 1,049 1,051

1,039 1,041 1,043 1,045 1,046

2,00 2,10 2,20 2,30 2,40

1,071 1,076 1,080 1,084 1,087

1,068 1,071 1,073 1,079 1,081

1,062 1,065 1,068 1,071 1,073

1,053 1,056 1,058 1,060 1,061

1,047 1,049 1,050 1,051 1,052

2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

1,090 1,092 1,094 1,096 1,098

1,083 1,085 1,087 1,088 1,089

1,075 1,076 1,077 1,078 1,079

1,062 1,063 1,063 1,064 1,065

1,053 1,054 1,054 1,054 1,055

3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

1,099 1,103 1,106 1,108 1,110

1,090 1,093 1,097 1,098 1,099

1,080 1,082 1,084 1,085 1,085

1,065 1,066 1,067 1,067 1,068

1,055 1,055 1,056 1,056 1,056

6,0 7,0 8,0 9,0 10,0

1,111 1,111 1,111 1,111 1,111

1,100 1,100 1,100 1,100 1,100

1,085 1,086 1,086 1,086 1,086

1,068 1,068 1,068 1,068 1,068

1,056 1,056 1,056 1,056 1,056

u

450

du 1+ u N

Capítulo VIII


PROBLEMAS PROPUESTOS (Capítulo VIII)

1.

En un canal muy largo se establece un flujo permanente. El canal termina en una caída libre. En una cierta sección del canal, alejada de sus extremos, se coloca una compuerta, tal como se aprecia en la figura. Se debe determinar los diferentes perfiles de la superficie libre considerando dos situaciones diferentes en el canal: a) flujo subcrítico, b) flujo supercrítico.

yn

2.

Un canal muy ancho tiene una pendiente de 0,00038. El tirante normal es de 3,20 m. Se coloca un vertedero a todo lo ancho del canal y el tirante se eleva a 6,80 m. Si el coeficiente C de Chezy es 40 m1/2/s calcular las características de la curva de remanso originada por el vertedero. ¿Cuáles serían las características de dicha curva si la pendiente fuese 0,12?.

3.

Se tiene un canal trapecial de concreto ( n =0,014). La pendiente es 0,001. El ancho en el fondo es de 1,5 m. El talud es de 45º. El caudal es de 10 m3/s. En cierta sección el tirante correspondiente al movimiento gradualmente variado es de 3 m. Calcular el tirante en una sección ubicada 40 m aguas abajo de la sección mencionada.

4.

Se tiene un canal trapecial de 20 m de ancho en la base y un talud 1:2. El gasto es de 12,7 m3/s. La pendiente es 0,0003 y la rugosidad de Kutter es

n =0,028.

Este canal desemboca en el mar. Cuando hay marea alta el pelo de agua alcanza en la desembocadura un nivel que está 1,75 m por encima del tirante normal. Cuando hay marea baja el nivel de la superficie libre está 0,75 m por debajo del que correspondería al tirante normal. Calcular la curva de remanso en cada caso. 5.

Un canal trapecial tiene un ancho en el fondo de 1 m. El coeficiente de rugosidad

n de Kutter

es 0,025. La pendiente del fondo es 0,0001 y el gasto es de 1 m3/s. a) Calcular el tirante normal b) Determinar cuál de los seis casos del movimiento gradualmente variado se presentará al colocar un vertedero cuyo umbral es de 1,60 m.

451

Hidráulica de tuberías y canales 6.

Arturo Rocha

Un canal rectangular de 3,7 m de ancho toma agua de un embalse. La toma es suave y redondeada. El nivel de agua sobre la cresta de entrada es de H =1,85 m. El canal de concreto con

n =0,013 es recto y largo. La pendiente es S 0 =0,001. Calcular el caudal y el tipo de perfil

superficial en la entrada del canal si se supone que las pérdidas son despreciables.

H

S0

7.

El canal rectangular de descarga de una turbina desemboca en un río. Los datos son los siguientes Cota del fondo del canal en la desembocadura

575,80 m

Cota del fondo del canal en su iniciación

575,85 m

Longitud del canal

275,00 m

Ancho del canal

8,00 m

Coeficiente de Kutter (supóngase constante)

0,014

Gasto en el canal

5,0 m3/s

Nivel del agua en el río

576,80 m

Calcular a) El nivel de la superficie libre en la iniciación del canal b) Cota de la línea de energía en la iniciación del canal c) Tipo de perfil correspondiente al movimiento gradualmente variado que se presenta en el canal.

575,85 m

576,80 m

575,80 m

452

Capítulo VIII 8.


Determinar el exponente hidráulico

N de un canal trapecial cuyas características son las

siguientes

T 1 2

T = 12 m b=5m

b

9.

Determinar el exponente hidráulico M de un conducto circular de 0,90 m de diámetro que tiene un tirante de 0,60 m.

10. Un canal rectangular de 2,40 m de ancho tiene una pendiente de 1/500. En su extremo hay un vertedero que eleva la corriente a 1,20 m de profundidad. Existe una compuerta de fondo a 300 m aguas arriba del vertedero, que permite la salida de un chorro de agua de 0,15 m de profundidad. El coeficiente de Chezy es 49,7 m1/2/s y el tirante normal es 0,90 m. Calcular el perfil de la superficie (con un mínimo de 6 puntos) entre la compuerta de fondo y el vertedero. Si existiera un salto hidráulico, ¿dónde ocurriría y cuál sería su altura?. Indicar igualmente los tipos de curva y sus características.

453

Vertederos

Capítulo IX

CAPITULO

IX

VERTEDEROS

9.1 Objeto de los vertederos. Tipos El vertedero ha sido definido por Balloffet como ‘‘una abertura (o mejor, escotadura) de contorno abierto, practicada en la pared de un depósito, o bien en una barrera colocada en un canal o río, y por la cual escurre o rebasa el líquido contenido en el depósito, o que circula por el río o canal’’. Una escotadura es el entrante que resulta en una cosa cuando está cercenada, o cuando parece que lo está, como si le faltara allí algo para completar una forma más regular. En la Figura 9.1 se aprecia una escotadura rectangular de longitud L . En general, un vertedero suele tener una de las dos finalidades siguientes: a) medir caudales y b) permitir el rebose del líquido contenido en un reservorio o del que circula en un río o canal. Estas funciones no son excluyentes. Los vertederos resultan muy útiles para medir caudales. Los que tienen el objetivo exclusivo de medir, lo hacen por lo general con caudales relativamente pequeños. También puede construirse un vertedero para permitir el rebose del líquido al llegar a un cierto nivel. A esta estructura se le denomina aliviadero. En realidad en un vertedero siempre están presentes ambas funciones. En las obras de ingeniería hidráulica, por ejemplo en una presa, se construyen vertederos para que cumplan la función de aliviaderos. Sin embargo, son a la vez estructuras aforadoras, es decir, que miden caudales. Existen diferentes tipos de vertederos. Pueden clasificarse por el tipo de cresta, por los niveles de aguas abajo, por su forma, por las condiciones laterales, por su inclinación con respecto a la corriente y por otras circunstancias. 455

V0 2g

M. R. V.

M. G. V.

hV =∀!

A Napa vertiente

H

V02 2g

Escotadura

H

V0

> 3H P

L


456 2

!

> 3H

P Paramento

B

Aguas muertas

B

4H

P : es el umbral ! : es el coeficiente de Coriolis H : es la carga L : es la longitud del vertedero B : es el ancho del canal de aproximación V0 : es la velocidad de aproximación Arturo Rocha

Figura 9.1 Descarga sobre un vertedero rectangular en pared delgada

Vertederos

Capítulo IX

Para una mejor comprensión de los aspectos teóricos vinculados a la descarga por vertederos es necesario que el lector recuerde y tenga presente algunos conceptos de descarga por orificios, estudiados en un curso anterior de Hidráulica o de Mecánica de Fluidos. Un vertedero da lugar a un chorro, es decir, a una napa vertiente, tal como se aprecia en la Figura 9.1. Sobre el vertedero y en sus inmediaciones hay un movimiento rápidamente variado (M. R. V.). Es un ‘‘remanso de depresión’’ originado en la transformación de energía potencial en energía cinética. Hacia aguas arriba, en una sección AB, hay un movimiento gradualmente variado (M. G. V.). Se acepta que en la sección AB rige la ley hidrostática. Esta sección se encuentra a una cierta distancia del vertedero. Referencialmente se considera que esta distancia es igual a 4 H , siendo H la carga sobre el vertedero. Obsérvese que inmediatamente aguas arriba del umbral de vertedero hay una zona de estancamiento o de aguas muertas. Se denomina carga sobre el vertedero a la altura H con respecto a un plano horizontal que pasa por la cresta, medida en la sección AB. En la Figura 9.1 se muestra también la altura del umbral P del vertedero (paramento), que es la distancia entre el fondo y la cresta del vertedero. Existen fundamentalmente dos tipos de napa vertiente en función de la presión que la rodea. En la napa libre la presión que hay en el espacio comprendido entre el paramento del vertedero (umbral), las paredes del canal inmediatamente aguas abajo de él y la parte inferior de la napa vertiente es igual a la atmosférica. En consecuencia, en todo el contorno de la napa la presión es igual a la atmosférica. En estas condiciones se forma el perfil, o trayectoria de la napa, representado en la Figura 9.1. En la Figura 9.2 se observa la red de corriente correspondiente a esas condiciones (chorro libre).

hV

H

P

hV

p #

p #

Figura 9.2 Red de corriente característica de una napa vertiente libre ( P >>> H )

457


Arturo Rocha

En la Tabla 9.1 se aprecia las coordenadas típicas correspondiente a un chorro libre, según Franke, siempre que la altura del umbral sea mucho mayor que la carga sobre el vertedero ( P >>> H ). Para conseguir la condición de chorro libre puede ser necesario ventilar debidamente el espacio antes mencionado ubicado debajo del chorro. Para ello, si es necesario, se colocan tomas de aire que garantizan la comunicación con la atmósfera. Cuando el chorro es libre las condiciones de descarga (la napa) se mantienen bastante constantes y el vertedero es así confiable para medir caudales. Este es el caso deseable en un vertedero.

TABLA 9.1 COORDENADAS CARACTERISTICAS DE UNA NAPA VERTIENTE LIBRE ( P >>> H ) z H

1,00

x P>H

z x

458

z

PARTE

PARTE

INFERIOR

SUPERIOR

x

PARTE

PARTE

INFERIOR

SUPERIOR

- 3,00

-

1,000

0,75

- 0,125

0,540

- 2,00

-

0,985

0,80

- 0,155

0,510

- 1,00

-

0,950

0,90

- 0,210

0,450

0

- 0,125

0,830

1,00

- 0,270

0,380

0,10

- 0,035

0,805

1,20

- 0,41

0,22

0,20

- 0,005

0,775

1,40

- 0,59

0,03

0,30

0

0,745

1,54

- 0,74

- 0,125

0,40

- 0,010

0,705

1,60

- 0,80

- 0,19

0,50

- 0,030

0,665

1,80

- 1,05

- 0,43

0,60

- 0,060

0,620

2,00

- 1,31

- 0,70

0,70

- 0,105

0,570

2,50

- 2,10

- 1,50

0,75

- 0,125

0,540

3,00

- 3,11

- 2,50

Capítulo IX

La presión en el espacio comprendido entre el

El espacio comprendido debajo de la napa está

Desaparece el aire en el espacio ubicado debajo

paramento del vertedero y la napa vertiente es

lleno de agua y aire. El aire se ha ido arrastrando.

de la napa y éste queda lleno de agua. La lámi

menor que la atmosférica y dicho espacio se

El chorro es inestable.

queda adherida al paramento del vertedero.

encuentra lleno de aire. La napa vertiente (el chorro) no es estable: es oscilante.

Vertederos

459

Figura 9.3 Se aprecia tres casos de napa deprimida


Arturo Rocha

Cuando el espacio antes descrito, ubicado debajo de la napa vertiente, tiene una presión menor que la atmosférica el chorro no tiene descarga libre y se acerca al paramento del vertedero. Se dice entonces que la napa está deprimida. En estas condiciones el chorro se vuelve inestable y el vertedero no resulta adecuado para medir caudales. Puede darse que el espacio debajo de la napa, en el que se produzca una presión menor que la atmosférica, esté libre de agua, parcialmente con agua o totalmente lleno de agua, tal como se aprecia en la Figura 9.3. Finalmente, la napa pasa de deprimida a adherente y adquiere una trayectoria vertical, pegada (adherida) al paramento. Esto se produce con caudales pequeños. Las condiciones de lámina vertiente adherida o deprimida deben evitarse, pues inducen a error en la medición del caudal. Clasificación de los vertederos por el tipo de cresta Por el tipo de cresta se distingue dos grandes tipos: vertederos en pared delgada y vertederos en pared gruesa. La diferencia está en el tipo de contacto entre la napa vertiente y el paramento. En los vertederos en pared delgada el contacto entre el agua y la cresta es sólo una línea, es decir, una arista. Para que un vertedero se considere en pared delgada no es indispensable que la cresta sea delgadísima como la de la Figura 9.1. La pared puede tener un cierto espesor. Si éste es menor que

2H / 3 se considera que el vertedero es en pared delgada,

como se deduce de la observación de la Figura 9.4 que corresponde a una napa vertiente en cresta delgada. 0,27 H

0,15 H

0,23 H H

p 0,85 H

0,66 H 0,11 H

2 H 3 p P

P >> H

Ventilación

Figura 9.4 Detalle de las características geométricas de la napa vertiente en un vertedero en pared delgada, convenientemente aireada. Esta figura es un detalle de la Figura 9.1

460

Vertederos

Capítulo IX

(a)

(b)

(c)

Figura 9.5 Vertederos en pared gruesa, según dibujo de Balloffet

En cambio, en los vertederos en pared gruesa el contacto es un plano. El flujo se adhiere a la cresta. En la Figura 9.5 se observa tres vertederos en pared gruesa. El vertedero tipo c se considera en pared gruesa propiamente dicha, en tanto que los tipos a y b se llaman de pared intermedia. En la Figura 9.1 se observa las características generales de la descarga sobre un vertedero en pared delgada. Se aprecia como se forma la napa vertiente, cuyas dimensiones relativas aproximadas se dan en la Figura 9.4. La cresta del vertedero es aguda (de umbral achaflanado) y el contacto es sólo una línea. En los vertederos en pared delgada la napa se caracteriza porque en todo su contorno la presión es igual a la atmosférica, lo que es indispensable para la correcta medición de caudales. Velocidad de aproximación Se denomina velocidad de aproximación (velocidad inicial o de llegada) a la velocidad media que corresponde a la sección AB en la que el escurrimiento se produce en toda la sección. Obsérvese que hacia aguas abajo de la sección AB la sección transversal que participa del escurrimiento es menor. La velocidad de aproximación V 0 es

V0 =

Q Q = A B (P + H )

(9-1)

siendo B el ancho del canal de aproximación. Si el umbral P fuese mucho mayor que H entonces V 0 tendería a cero. Esta velocidad inicial da lugar a una energía cinética

hV = α

V02 2g

hV cuya expresión es (9-2)

461


Arturo Rocha

Siendo α el coeficiente de Coriolis. Clasificación de los vertederos por los niveles de aguas abajo Este es un criterio de clasificación muy importante. En el vertedero libre el nivel de aguas abajo es inferior al de la cresta. En cambio, el vertedero sumergido o incompleto se caracteriza porque el nivel de aguas abajo es superior al de la cresta, tal como se ve en la Figura 9.19. Esto no significa necesariamente, como ha sido claramente señalado por Domínguez, que ‘‘dicho nivel tenga influencia en el escurrimiento sobre el vertedero, porque puede suceder que no lo tenga y en cambio otro, aun inferior a la cota del umbral, la puede tener en otras circunstancias. Un vertedero, pues, definido como incompleto o ahogado por la cota del escurrimiento de aguas abajo, no es sinónimo de vertedero influenciado por dicho nivel’’. Clasificación por las condiciones laterales de descarga Los vertederos pueden ser con contracciones laterales o sin ellas. Los vertederos con contracciones laterales son aquellos en los que la longitud L del vertedero es menor que el ancho B del canal de aproximación. Para que se produzca contracciones laterales completas es necesario que la distancia entre cada extremo del vertedero y la pared del canal sea por lo menos de 3H . Es recomendable también que la altura P del umbral sea por lo menos igual a 3H , tal como se ve en la Figura 9.1. Naturalmente que si B = L es un vertedero sin contracciones laterales. Clasificación de los vertederos según su forma Según la forma hay diferentes tipos de vertederos: rectangulares, triangulares, trapeciales, circulares, parabólicos, poligonales y muchas otras posibilidades geométricas, tal como se observa en la Figura 9.6. Clasificación de los vertederos por la inclinación del paramento El paramento de los vertederos suele ser vertical, pero puede estar inclinado hacia aguas arriba o hacia aguas abajo, tal como se ve en la Figura 9.7. El vertedero inclinado hacia aguas abajo disminuye la contracción. En consecuencia, para una misma carga H el gasto aumenta con la inclinación hacia aguas abajo. Si la inclinación fuese hacia aguas arriba ocurriría lo contrario. Existe también el llamado vertedero entrante, que aparece en la misma figura.

462

Vertederos

Capítulo IX

(a) Rectangular

(d) Circular

(b) Triangular

(c) Trapecial

(e) Parabólico

(f) Parábola semicúbica

(g) Mixto

(h) Hiperbólico

(i) Proporcional

Figura 9.6 Diferentes formas de vertederos

463


Arturo Rocha

H

(a)

(c)

(b)

Figura 9.7 Vertedero con paramento inclinado (a y b) y vertedero entrante (c)

Vertederos inclinados con respecto a la dirección de la corriente Los vertederos suelen estar ubicados normalmente a la corriente. Sin embargo, eventualmente, forman un cierto ángulo con ella, tal como se ve en la Figura 9.8.

B

L ∃

Figura 9.8 Vertedero que forma un ángulo con la dirección de la corriente

Otros tipos de vertederos Existen otros tipos de vertederos como -

Desarrollados Abatibles Inflables Laterales Morning Glory, etc.

Algunos de ellos se aprecian en la Figura 9.9.

464

Vertederos

Capítulo IX

Vertedero de planta circular

Combinación de orificio y vertedero

Vertedero proporcional El caudal es proporcional a la carga H

cámara inflable

Vertedero desarrollado

Vertedero Inflable

Figura 9.9 Otros tipos de vertederos

465


Arturo Rocha

9.2 Vertederos rectangulares. Fórmula teórica de descarga A continuación se presenta la deducción de la fórmula general de descarga de un vertedero rectangular. En la Figura 9.10 se muestra parcialmente un estanque en una de cuyas paredes hay un orificio rectangular de ancho L . Los otros elementos característicos se muestran en la figura.

!

V02 2g

y

h2 L

h1

dy

Figura 9.10 Esquema para la deducción de la fórmula de descarga en un vertedero rectangular

Para efectos de cálculo consideramos que en el orificio hay una pequeña franja de área elemental de ancho L y espesor dy a través de la cual pasa el siguiente caudal

dQ = VdA = VLdy siendo V la velocidad correspondiente. Para el cálculo de esta velocidad se aplica el teorema de Bernoulli y se obtiene

 V2  V = 2 g  y + α 0  2g   Por lo tanto,

 V2  dQ = 2 g  y + α 0  Ldy 2g   466

Vertederos

Capítulo IX Integrando se obtiene el caudal a través del orificio

Q = 2g

∫

h1 +α

V02 2g

1

 V 2 2  y + α 0  Ldy 2g   h2 + α

V02 2g

3  2 2   V 2 Q= 2 g  h1 + α 0   3 2g  

3   V02  2   L −  h2 + α 2 g    

Esta fórmula es para un orificio. Para un vertedero debe darse que llamamos H a h1 , que es la carga, se tiene 3  2 2   V 2 Q= 2 g  H + α 0   3 2g  

h2 = 0. Si, además,

3   V02  2    − α  L  2 g   

(9-3)

que es la fórmula teórica de descarga de un vertedero. Esta fórmula no toma en cuenta la fricción, ni los efectos debidos a la contracción vertical de la napa. En consecuencia, para obtener el gasto real se debe aplicar un coeficiente

c de descarga. Entonces el gasto real es

3 3  2 2 2 2     V V 2 Q= 2 g c  H + α 0  − α 0   L  3 2g   2g    

El coeficiente de descarga

(9-4)

c se obtiene experimentalmente.

Si tuviésemos un vertedero en el que la velocidad de aproximación fuese tan pequeña que pudiese despreciarse, entonces, para V 0 = 0 se obtiene la descarga teórica 3

Q=

2 2 g LH 2 3

(9-5)

La descarga real se obtiene aplicando un coeficiente de descarga

c y se llega a

3

Q=

2 2 g cLH 2 3

(9-6)

467


Arturo Rocha

que es la ecuación de descarga característica de los vertederos rectangulares. La posibilidad de despreciar la velocidad de aproximación depende de su valor y de la precisión con la que estemos trabajando. Referencialmente se señala que si la sección transversal del canal de aproximación es mayor que 8 LH entonces se puede despreciar la velocidad de aproximación. Obsérvese que en un vertedero rectangular el caudal es directamente proporcional a la longitud del vertedero y a la potencia 3/2 de la carga. La determinación del coeficiente de descarga

c ha sido objeto desde el siglo XIX de numerosos estudios experimentales. En general, el coeficiente de descarga c de un vertedero depende de varios factores: carga H , naturaleza de los bordes, altura del umbral, propiedades del fluido, etc. Las diversas investigaciones experimentales para determinar el coeficiente de descarga se han desarrollado para diferentes condiciones. Cada investigación tiene, en consecuencia, un campo de aplicación. Si nos salimos de él no hay seguridad en los resultados. La aproximación que da cada fórmula es bastante buena, siempre que se aplique dentro de los límites fijados en los trabajos experimentales. En las Figuras 9.1 y 9.4 se aprecia las características generales de la napa vertiente en un vertedero rectangular. Los estudios experimentales han partido de la fórmula teórica 9-3 y han seguido diversos caminos. En algunas investigaciones simplemente se introduce un coeficiente, en otras se introduce una longitud o una carga ficticia para tomar en cuenta los efectos originados en fenómenos no considerados en la deducción de la fórmula teórica. En lo que respecta a vertederos rectangulares hay dos grandes grupos de ellos: sin contracciones y con contracciones laterales. De las numerosas fórmulas existentes se presenta las siguientes: Francis (1852), Rehbock (1911), Bazin-Hegly (1921), Sociedad Suiza de Ingenieros y Arquitectos (1924), KindsvaterCarter (1959). Obsérvese que si en la fórmula 9-3 consideramos V02 2 g = hV y tomamos factor común

H , entonces se obtiene 3 3  3 2 2 2 h h     V V 2 2 g LH 1 + α  − α   Q=  3 H  H   

(9-7)

si comparamos esta fórmula con la 9-6 se obtiene una interpretación de un coeficiente de descarga que toma en cuenta el efecto de la velocidad de llegada y cuyo valor es

468

Vertederos

Capítulo IX 3

3

h 2  h 2  1 + α V  −  α V  H  H 

(9-8)

9.3 Fórmula de Francis James B. Francis realizó más de 80 experimentos, entre 1848 y 1852, en vertederos rectangulares en pared delgada con el objetivo de encontrar una expresión para el coeficiente de descarga. Francis realizó sus experiencias en Lowell, Massachusetts, dentro de determinadas condiciones, las que constituyen los limites de aplicación del coeficiente de descarga que obtuvo. La mayor parte de las experiencias las hizo con un vertedero de 10 ft de longitud (3,05 m); sin embargo, experimentó también con otras longitudes. En lo que respecta a la carga, ésta estuvo comprendida entre 0,18 m y 0,50 m, que constituyen los límites de aplicación de la fórmula. Se recomienda también que la altura del umbral P esté comprendida entre 0,60 m y 1,50 m. Se recomienda también que la relación L / H sea mayor que 3. La fórmula obtenida por Francis considera la velocidad de aproximación V0 y la posibilidad de contracciones laterales. La fórmula de Francis es 3 3  2 2 2 2     2 nH V V   2 g 0,622  L − Q=   H + 0  −  0   3 10   2g   2g    

(9-9)

En el sistema métrico se considera

2 2 g 0,622 = 1,836 ≈ 1,84 3

(9-10)

Obsérvese que el coeficiente 0,622 es adimensional, en cambio el coeficiente 1,84 es dimensional. En el sistema de unidades inglesas se tendría

469


Arturo Rocha

2 2 g 0,622 = 3,33 3

(9-11)

En el sistema métrico la fórmula general de Francis queda así

nH  Q = 1,84 L − 10 

3 3   V02  2  V02  2      −   H + 2 g   2 g      

(9-12)

en la que el caudal Q está en m3/s, la longitud del vertedero L en metros, la carga H en metros, la velocidad de aproximación

V0 en m/s. Se designa como n el número de

contracciones (0, 1, 2). Se observa que el criterio que usa Francis para considerar el efecto de las contracciones es el de considerar que como consecuencia de ellas se produce una reducción de la longitud del

 

vertedero. Aparece así una longitud efectiva  L −

nH   en función del número n de 10 

contracciones. Obsérvese que si L ≤ 0,2 H aparecería cero o un valor negativo para el caudal. Si se considera que la velocidad de aproximación es muy pequeña y que puede despreciarse, entonces

V0 = 0 y la fórmula de Francis queda así 3

nH  2  Q = 1,84 L − H 10   Si, además, no hubiese contracciones laterales, entonces

(9-13)

n = 0 y la fórmula de Francis

quedaría reducida a 3

Q = 1,84 LH 2

(9-14)

Para aplicar la fórmula general de Francis (Fórmula 9-9) es necesario recurrir a un método de tanteos y aproximaciones sucesivas, puesto que para calcular

V0 se requiere conocer la

carga H . Lo que se recomienda es hacer un cálculo preliminar a partir de la fórmula (9-14), asumiendo que la velocidad

V0 de aproximación fuese cero y que no hubiese contracciones. Con ese

valor preliminar obtenido se aplica la ecuación general, se compara los resultados obtenidos y se prosigue hasta lograr la aproximación deseada.

470

Vertederos

Capítulo IX

Si la fórmula es aplicada correctamente y el vertedero fue bien colocado se puede lograr aproximaciones de ± 3 %. Si se usase el vertedero para medir caudales que den lugar a cargas muy pequeñas, fuera de los límites de aplicación de la fórmula de Francis, se obtendría resultados menores que los reales.

9.4 Otras fórmulas para vertederos rectangulares a) Fórmula de Bazin, ampliada por Hégly En 1886 Bazin luego de una larga serie de cuidadosos experimentos estableció una fórmula para calcular la descarga en vertederos rectangulares sin contracciones. En 1921 Hégly publicó, a partir de las investigaciones de Bazin, una nueva fórmula para el cálculo de la descarga de un vertedero rectangular en pared delgada con contracciones o sin ellas. La llamó ‘’fórmula completa de Bazin’’. También se le conoce con el nombre de fórmula de Bazin-Hégly. La fórmula de Bazin-Hégly se aplica a vertederos cuyas cargas están comprendidas entre 0,10 m y 0,60 m, cuyas longitudes están entre 0,50 m y 2,00 m y en los que la altura del umbral se encuentra entre 0,20 m y 2,00 m. La fórmula de Bazin-Hégly parte de la ecuación 9-6, de descarga de un vertedero 3

Q=

2 2 g cLH 2 3

en la que para un vertedero con contracciones laterales el valor de

c es

B − L 0,00405   L  H   c = 0,6075 − 0,045 +  1 + 0,55    B H   B H +P  2

2

  

(9-15)

en la que B es el ancho del canal. Si el vertedero fuese sin contracciones, entonces B = L y el coeficiente de descarga sería 2 0,00405    H    + c =  0,6075 + 1 0 , 55    H    H + P   

(9-16)

471


Arturo Rocha

b) Fórmula de la Sociedad Suiza de Ingenieros y Arquitectos Esta fórmula de descarga para vertederos rectangulares en pared delgada fue adoptada en 1924. La fórmula parte de la ecuación 9-6 de descarga de un vertedero 3

2 Q= 2 g cLH 2 3 En esta fórmula también hay dos coeficientes, según que haya contracciones o no. El coeficiente

c para un vertedero con contracciones es

2  L  3,615 − 3    2 2  1 L H   B  L   c = 0,578 + 0,037  +    1 +  1000 H + 1,6   2 B  H + P   B    

(9-17)

B es el ancho del canal. Los límites de aplicación de esta fórmula para el coeficiente de descarga en vertederos rectangulares con contracciones son

0,025 ≤ H ≤ 0,80 m L B L ≥ 0,30 B m

P ≥ 0,30 B H ≤1 P El coeficiente de descarga

c para un vertedero sin contracciones es

2 1  1  H    c = 0,615 1 +    1 +   1000 H + 1,6   2  H + P  

La carga H está en metros. Los límites de aplicación de este coeficiente son 0,025 m < H ≤ 0,80 m

472

(9-18)

Vertederos

Capítulo IX

P ≥ 0,30 m

H ≤ 1 P c) Fórmula de Kindsvater - Carter Es una de las fórmulas de mayor confiabilidad. Se aplica a todos los vertederos rectangulares, con contracciones o sin ellas. Fue establecida por C. E. Kindsvater y R. W. Carter y data de 1959. La fórmula es

Q = ce

3 2 2 g (L + K L )(H + K H )2 3

(9-19)

Como puede apreciarse, en lugar de la longitud del vertedero se usa la ‘‘longitud efectiva’’, que es la suma de la longitud L del vertedero más un valor K L que se encuentra a partir de una expresión obtenida experimentalmente y que aparece en la Figura 9.11. K H es un valor igual a 0,001 m, que se adiciona a la carga para constituir la ‘’carga efectiva’’. ce es el coeficiente de descarga propio de la fórmula. Tiene origen experimental y aparece en la Figura 9.12. 55

(mm) KKLL (mm)

44 33 22 11 00 -1 -1

00

0,2 0,2

0,4 0,4

0,6 0,6

0,8 0,8

11

LL BB Figura 9.11 Gráfico para la determinación de

KL

Entre los requerimientos para una correcta aplicación de la fórmula están los siguientes. La carga H debe medirse a una distancia igual a 4 ó 5 veces la máxima carga. El vertedero debe ser propiamente en pared delgada. La cresta debe ser de 1 ó 2 mm de espesor.

473


Arturo Rocha

El nivel de la superficie libre de aguas abajo debe estar por lo menos 6 cm debajo de la cresta del vertedero. La carga debe ser superior a 3 cm. El umbral debe ser por lo menos de 10 cm. La longitud del vertedero y el ancho del canal deben ser superiores a 15 cm. La relación entre la carga H y la altura P del umbral debe ser menor que 2,5. Si la longitud del vertedero es igual al ancho del canal ( L = B ), entonces no hay contracciones, pero debe cumplirse que B − L ≥ 0, 2 m

L B

0,75

0,9

Coeficiente de descarga

ce

0,8

=1

0,8

0,7

0,7 0,65

0,6 0,4 0

0,6 0,55 0

0,5

1

1,5

2

2,5

H P ISO (1980)

LMNO

Figura 9.12 Coeficiente de descarga en un vertedero trapecial

Ejemplo 9.1 En un canal de 6 m de ancho se ha instalado un vertedero rectangular en pared delgada, de 2 m de longitud. La altura del umbral es 1,50 m. Calcular el caudal para una carga de 0,50 m. Solución. Se observa que se trata de un vertedero con dos contracciones y que la distancia de cada extremo del vertedero a las paredes del canal es apropiada para asegurar buenas condiciones de contracción. Así mismo, la altura del umbral también garantiza una buena contracción. Dadas las dimensiones del vertedero y la carga que se presenta son varias las fórmulas que podrían usarse. Fórmula de Francis Para iniciar el cálculo se puede usar la ecuación 9-14 considerando como que no hubiese contracciones no velocidad de acercamiento importante 474

Vertederos

Capítulo IX 3

Q = 1,84 LH 2 = 1,84 × 2 × (0,50 )2 = 1,301 m3/s 3

Esta sería la descarga del vertedero para las condiciones señaladas ( n = 0 ; V0 = 0 ). A partir del caudal encontrado se puede calcular la velocidad de aproximación (ec. 9-1)

V0 =

1,301 Q Q = = = 0,108 m/s A B(P + H ) 6 × 2

Aplicando la ecuación 9-2, para α = 1 , se obtiene

hV =

V02 = 0,0006 m 2g

Se trata de un valor bastante pequeño, sin embargo vamos a considerarlo y aplicamos la ecuación 9-12

nH  Q = 1,84 L − 10 

3 3   (H + hV )2 − hV 2   

3 3 2 × 0,50    Q = 1,84 2 −  (0,50 + 0,0006 )2 − (0,0006 )2   10   

Q = 1,238 m3/s Obsérvese que este valor del caudal es casi 5 % menor del que se obtuvo suponiendo que no había contracciones y que la velocidad de aproximación era despreciable. Podría hacerse un nuevo cálculo de la velocidad de aproximación y repetir todo el procedimiento, pero como en este caso es tan pequeña no vale la pena hacerlo. Se hubiera podido partir de la ecuación 9-13, entonces 3 nH  32  Q = 1,84 L −  H = 1,84 ×1,9 × (0,50 )2 = 1,236 m3/s 10  

V0 =

1,236 = 0,103 m/s 12

hV =

V02 = 0,0005 2g

3 3 Q = 1,84 × 1,9 (0,50 + 0,0005 )2 − (0,0005 )2  = 1,238 m3/s  

475


Arturo Rocha

Por lo tanto según la fórmula de Francis el caudal es 1,238 m3/s. Si quisiéramos calcular el coeficiente de descarga con la ecuación 9-8 se obtendría 3

3

3

3

h  2  h  2  0,0005  2  0,0005  2  c = 1 + α V  − α V  = 1 +  −  = 1,0015 H  H 0,50   0,50   

que es prácticamente igual a la relación entre 1,238 y 1,236 m3/s Fórmula de Bazin El coeficiente c de descarga para la fórmula de Bazin está dado por la ecuación 9-15 2 2 B − L 0,00405    L  H   + + c = 0,6075 − 0,045 1 0 , 55       B H     B   H + P  

reemplazando los valores conocidos se obtiene 2 2 6 − 2 0,00405     2   0,50   c = 0,6075 − 0,045 + 1 + 0,55     6 0,50    6   0,50 + 1,50   

c = 0,588

y el gasto es Q=

3 2 c 2 g LH 2 = 1,227 m3/s 3

Fórmula de la Sociedad Suiza Para un vertedero con contracciones el coeficiente de descarga viene dado por la ecuación 9-17 2  L  3,615 − 3   2 2  L  B   1 + 1 L  H   c = 0,578 + 0,037  +      1000 H + 1,6   2 B  H + P   B    

Reemplazando los valores conocidos se obtiene 2  2  3,615 − 3    2 2  2  6   1 + 1 2  0,50   c = 0,578 + 0,037  +    1000 H + 1,6   2 6  2,00   6    

476

Vertederos

Capítulo IX De donde, c = 0,595

El caudal es Q=

3 3 2 2 2 g cLH 2 = 2 g × 0,595 × 2 × (0,50 )2 = 1,242 m3/s 3 3

1,756 Fórmula de Kindsvater Se aplica la ecuación 9-19

Q = ce

3 2 2 g (L + K L )(H + K H )2 3

K H es 0,001 m. Para el cálculo de K L se usa la Figura 9.11 y a partir de

L = 0,33 se obtiene B

K L = 0,025 m.

Para el cálculo de ce se usa la Figura 9.12 y para

H = 0,33 se obtiene c e = 0,59 P

Por lo tanto,

Q = 0,59

3 2 2 g (2 + 0,0025)(0,50 + 0,001)2 = 1,237 m3/s 3

CUADRO COMPARATIVO

INVESTIGADOR

Q (m3/s)

ε (m3/s)

%

Francis

1,238

+ 0,002

0,16 %

Bazin

1,227

- 0,009

0,73 %

Sociedad Suiza

1,242

+ 0,006

0,48 %

Kindsvater

1,237

- 0,001

0,08 %

Promedio

1,236

0

0

Al haber aplicado estas cuatro fórmulas se observa que, independientemente del error que cada una de ellas tiene, los resultados son bastante coincidentes y las diferencias con respecto al promedio son inferiores al 1 %. 477


Arturo Rocha

d) Fórmula de Rehbock Rehbock realizó desde 1911 numerosas experiencias en el Laboratorio de Hidráulica de Karlsruhe con vertederos rectangulares. Sus experiencias fueron muy cuidadosamente hechas y trató de disminuir la influencia de las condiciones de aproximación. La fórmula de 1929 para el coeficiente de descarga en vertederos rectangulares en pared delgada sin contracciones es 3

H 0,00009   0,0011 2  1+ c = 0,6035 + 0,0813 + P P   H  

(9-20)

H y P están en metros. El coeficiente c se aplica a la ecuación 9-6. Se recomienda usar la fórmula para cargas comprendidas entre 0,025 m y 0,60 m.

9.5

Vertederos triangulares

Para deducir la fórmula de descarga en un vertedero triangular se plantea la siguiente figura Consideremos el gasto a través de

b

la pequeña franja elemental

dx .

La longitud de la franja es

x dx 2!

H

b(H − x ) H El área de la franja es

b(H − x ) dx H Considerando a esta franja como un orificio y despreciando la velocidad de aproximación se obtiene el caudal

dQ = Integrando entre

478

1  1  b (H − x ) 2 gxdx = b 2 g  Hx 2 − x 2 dx H H  

x = 0 y x = H se obtiene

Vertederos

Capítulo IX 3

4 Q = b 2g H 2 15 Pero, b = 2H tanα , de donde 5

QTEORICO =

8 tan α 2 g H 2 15

(9-21)

5

QREAL = c

8 tan α 2 g H 2 15

(9-22)

La fórmula de descarga para un vertedero triangular de un ángulo dado y para coeficiente

c

constante puede expresarse así

Q = KH

5 2

siendo,

K =c

8 tan α 2 g 15

La necesidad de este coeficiente de descarga

c

se justifica porque en la deducción de la

fórmula no se ha tomado en cuenta la contracción de la napa y otros efectos que si están presentes en el flujo real. Otra forma de calcular la descarga a través de un vertedero triangular verticalmente simétrico es considerar que la ecuación de uno de los dos lados del triángulo es

x = y tan α

dy y

!

H

de donde, el caudal es

Q = 2 2 g c tan α

∫

H 0

1

(H − y )2 ydy

integrando se obtiene

479


Arturo Rocha 5

8 2 g c tan αH 2 Q= 15 que es la ecuación de descarga de un vertedero triangular. De un modo similar se puede obtener la descarga para vertederos de otras formas geométricas. La dificultad se da en conocer los correspondientes coeficientes de descarga. Si el vertedero estuviese formado por un triángulo asimétrico en el que los ángulos con respecto a la vertical fuesen α1 y α 2 se puede considerar el promedio respectivo. Entre las ventajas de los vertederos triangulares se puede citar las siguientes. Como la descarga depende de la potencia 5/2 de la carga se puede tener mayor precisión en la medición de caudales pequeños. Así mismo, en los vertederos triangulares es muy pequeña la influencia de la altura del umbral y de la velocidad de llegada. Para ello se requiere que el ancho del canal de aproximación sea igual o mayor a 5 veces la carga sobre el vertedero.

B ≥ 5H

(9-23)

A los vertederos triangulares se les suele conocer por su nombre en ingles: V-notch, que liberalmente significa escotadura en V . Los vertederos triangulares son muy sensibles a la rugosidad de la cara de aguas arriba y a la exactitud en la medición de la carga. Para cargas pequeñas influye la viscosidad y la capilaridad. El coeficiente

c depende de varios factores; entre ellos están el ángulo del vertedero y la

carga. La forma de conocer el coeficiente de descarga es mediante estudios experimentales. En el Laboratorio de Hidráulica de la Universidad de Chile los ingenieros L. Cruz - Coke, C. Moya y otros realizaron entre 1923 y 1924 una amplia investigación experimental del flujo en vertederos de 15º, 30º, 45º, 60º, 90º y 120º. En la Figura 9.13, tomada de la Hidráulica de Dominguez, se aprecia los resultados. Para cada ángulo del vertedero y para cada valor de la carga se obtiene el coeficiente

m que es 8/15 del coeficiente de descarga c . Por lo tanto, c=

15 m 8

El gasto se calcula con la fórmula 9-22. Se determinó, como parte del estudio, que los errores no son superiores al 5 %.

480

Vertederos

Capítulo IX

m 0,40

2! 15º

0,35

30º 45º 90º 120º

0,30

60º

CRUZ COKE Y MOYA

120º otros ángulos

MIGUEL Y FIGARI 0,25 0

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

H

Figura 9.13 Coeficientes de descarga en vertederos triangulares

Es interesante analizar la Figura 9.13. Se observa claramente que para cada ángulo el coeficiente aumenta al aumentar la carga, mientras éstas sean pequeñas. A partir de un cierto valor de la carga, alrededor de 3 ó 4 cm, el aumento de la carga implica una disminución del coeficiente. Finalmente, para valores mayores de la carga (mayores, mientras más pequeño sea el ángulo) se llega a un valor prácticamente constante. Estos valores prácticamente constantes hacia los que tiende el coeficiente de cada vertedero y las cargas respectivas son para cada ángulo los que aparecen en la Tabla 9.2 TABLA 9.2 COEFICIENTES EN VERTEDEROS TRIANGULARES

ANGULO ( 2α )

15º

30º

45º

60º

90º

120º

H>

0,25

0,205

0,185

0,17

0,14

0,12

m

0,343

0,33

0,325

0,32

0,313

0,322

c

0,643

0,619

0,609

0,6

0,587

0,604

K

0,2

0,392

0,596

0,818

1,386

2,471

481


Arturo Rocha

Aplicando la Tabla 9.2 se podría tener una fórmula simple para cada vertedero de un cierto ángulo, la que se podría aplicar para valores de la carga H mayores que un cierto valor. Así, se tendría Para 15º Para 30º Para 45º Para 60º Para 90º Para 120º

Q = 0,2 H

5 2

(para H ≥ 0,25 m)

Q = 0,392H Q = 0,596H Q = 0,818H Q = 1,386H Q = 2,471H

5 2

(para H ≥ 0,205 m)

5 2

(para H ≥ 0,185 m)

5 2

(para H ≥ 0,17 m)

5 2

(para H ≥ 0,14 m)

5 2

(para H ≥ 0,12 m)

Para el caso particular de los vertederos triangulares de 90º se tiene que

2α = 90º (α = 45º )

y el gasto teórico es 5

QT =

5

8 2 g H 2 = 2,3612 H 2 15

(9-24)

James Thomson (1861) realizó experiencias con vertederos triangulares. Es muy conocida su fórmula para vertederos triangulares de 2α = 90º . Sus experimentos abarcaron cargas entre 5 y 18 cm. Posteriormente (1908) James Barr demostró experimentalmente que la fórmula de Thomson podía extenderse hasta H = 30 cm. La fórmula es 5

Q = 0,593

8 2g H 2 15

o bien, 5

Q = 1,4 H 2 que es la conocida fórmula de Thomson para vertederos de 90º. H está en metros y el caudal Q en m3/s. A partir de las mediciones de Thomson y Barr, M. A Barnes presentó la siguiente fórmula

Q = 1,37 H 2, 48 que es equivalente a la de Thomson y para la cual su autor señala que el error es inferior a 1/5 de 1 %. Obsérvese que fórmulas como la de Thomson y de Barnes sólo son aplicables a partir de un cierto valor de la carga H obtenido experimentalmente. 482

Vertederos

Capítulo IX

9.6 Vertederos trapeciales. Vertedero tipo Cipolletti Los vertederos trapeciales son muy poco usados para medir caudales. En consecuencia, casi no hay información sobre sus coeficientes de descarga. Para el cálculo de la descarga teórica se suele considerar que la sección está conformada por tres partes: una central, que es rectangular, y dos laterales, que son triangulares. Se obtiene así que la descarga en un vertedero trapecial isósceles es 5

3

Q = c1

8 2 2 g tan α H 2 2 g LH 2 + c2 15 3

!

!

H

L

Se tiene muy poca información experimental sobre los valores de los coeficientes de descarga para este caso. Balloffet señala que es frecuente considerar

c1 = c2 = 0,6 , a pesar de la falta

de justificación teórica o experimental. En 1887 el ingeniero Italiano Cipolletti estudió y propuso un tipo especial de vertedero trapecial, cuyas características se señalan a continuación.

Vertedero de Cipolletti Es un vertedero trapecial de determinadas características geométricas.

2d

!

L

H d

El gasto se considera formado de dos partes -

Una parte a través de la abertura rectangular.

-

Otra parte a través de los triángulos.

483


Arturo Rocha

Por consideraciones geométricas se cumple que

tan α =

d H

Los taludes deben calcularse de modo que el aumento del gasto producido por ellos sea precisamente igual a la disminución del gasto causado por las contracciones en un vertedero rectangular de longitud L . Consideremos que el gasto teórico a través de los triángulos es 3 8 Q = d 2g H 2 15

La disminución del gasto en un vertedero rectangular con dos contracciones se obtiene a partir de una fórmula tipo Francis 3

2 Q= 2 g (0,2 H )H 2 3 Igualando 3

3

8 2 d 2g H 2 = 2 g (0,2 H )H 2 15 3 se obtiene

H 4 = d 1 Es decir,

tan α = 1 4 que es la condición de un vertedero tipo Cipolletti. Esto implica α = 14º 2' .

Experimentalmente se ha determinado que el coeficiente de descarga de un vertedero Cipolletti es 0,63. El gasto en el vertedero Cipolletti es el correspondiente a un vertedero rectangular de longitud

L , sin contracciones 3

Q = 0,63

2 2 g LH 2 3

L es la base del trapecio. O bien, en el sistema métrico 3

Q = 1,86 LH 2 Para una correcta operación del vertedero Cipolletti se debe cumplir las siguientes condiciones. La carga debe ser mayor que 6 cm, pero debe ser inferior a

L 3 . La altura P del umbral debe b , señalada en la

ser mayor que el doble de la máxima carga sobre el vertedero. La distancia

484

Vertederos

Capítulo IX

Figura 9.14, debe ser mayor que el doble de la máxima carga. El ancho del canal de aproximación debe estar comprendido entre 30 H y 60 H . La carga debe medirse a una distancia de 4 H del vertedero.

b H

1 0,25

L P

B Figura 9.14 Vertedero tipo Cipolletti

La corrección por velocidad de aproximación puede hacerse de un modo similar al que se hizo con la fórmula Francis. El vertedero Cipolletti se usa en mediciones de campo, en distribución de aguas y otros sistemas compatibles con la aproximación de este vertedero. No se recomienda su uso en laboratorios o en mediciones de precisión. Si se cumplen las condiciones de instalación el error puede ser

± 5 %.

9.7 Condiciones para la instalación y operación de vertederos Los vertederos instalados para medir caudales deben reunir una serie de condiciones indispensables para garantizar su confiabilidad. Entre ellas están las siguientes 1. El primer y más importante punto para una buena y confiable medición de caudales con un vertedero es la apropiada selección del tipo de vertedero. Así por ejemplo, un vertedero triangular es muy indicado para medir caudales pequeños (puesto que en ellos el caudal depende de la potencia 5/2 de la carga). En cambio, para medir caudales relativamente altos, un vertedero rectangular sin contracciones podría ser el más indicado. Más adelante se señala los errores que se pueden producir en el cálculo del caudal como consecuencia de un error en la medición de la carga.

485


Arturo Rocha

2. Luego viene la correcta selección de la fórmula. Para cada tipo de vertederos existen numerosas fórmulas de origen experimental. Cada una de ellas tiene un rango de aplicación. Mientras estemos dentro de esos rangos se puede tener una alta aproximación en la medición de caudales. Si estamos fuera de los rangos de experimentación, la confiabilidad del resultado es dudosa. 3. Para un vertedero rectangular con contracciones existen ciertas recomendaciones de carácter general, además de las que pueden originarse en cada fórmula, las que aparecen en la Figura 9.15, debida a G. E. Russell, y que es producto de la recomendación de varios investigadores.

H

>3H

L >3H

>3 H

P >3H

Figura 9.15 Valores orientativos de las mínimas distancias a tenerse en cuenta para instalar un vertedero rectangular con contracciones.

Se observa que la longitud L del vertedero, el umbral P y la distancia a las paredes del canal debe ser por lo menos igual al triple de la máxima carga sobre el vertedero. En estas condiciones la velocidad de aproximación será despreciable. 4. En los vertederos en pared delgada la cresta debe ser aguda, recta y horizontal. El vertedero debe colocarse normalmente a la dirección de las líneas de corriente. Para efectos de una buena conservación se recomienda que la cresta sea de bronce. El vertedero debe colocarse perfectamente vertical y su cara de aguas arriba debe mantenerse lisa. El vertedero debe instalarse en un tramo recto, que lo sea en una longitud no inferior a 10 veces la longitud L de la cresta del vertedero.

486

Vertederos

Capítulo IX

5. La altura del umbral P no debe ser inferior a 0,30 m ni a 3 veces la máxima carga sobre el vertedero. 6. La velocidad de aproximación debe mantenerse pequeña. La sección transversal del canal de aproximación

[B × (H + P )] debe ser por lo menos igual a 6, o mejor

8 veces, la sección de la napa vertiente LH . 7. Debe tomarse las medidas pertinentes para que la napa vertiente quede perfectamente aireada. En todo su contorno la presión debe ser igual a la atmosférica. Si fuese necesario, debe instalarse dispositivos de aireación. 8. Si las condiciones de aproximación del flujo no son tranquilas debe colocarse elementos disipadores de energía, es decir tranquilizadores, como pantallas, ladrillos huecos, mallas, etc. 9. La carga debe medirse cuidadosamente, fuera del agua en movimiento, mediante una toma adecuada (principio de vasos comunicantes), a una distancia de aproximadamente cuatro veces la carga ( 4 H ) de modo que no haya influencia del movimiento rápidamente variado que se origina sobre la cresta del vertedero. Tampoco se debe medir la carga a mayor distancia del vertedero, porque entonces aparecería la influencia debida a la pendiente de la superficie libre del canal. 10.Las condiciones de aguas abajo (nivel del agua) deben ser tales que no influyan en la napa. 11. Los vertederos de dimensiones especiales, que no cumplen las condiciones antes señaladas, deben ser cuidadosamente calibrados.

9.8 Vertederos en pared gruesa (o de cresta ancha) En la Figura 9.16 aparece un vertedero de cresta ancha en el que la longitud de la cresta, plana y horizontal, es

b . El vertedero es de descarga libre, es decir, no influenciado por las

condiciones de aguas abajo. Para que el vertedero se comporte como de pared gruesa es necesario que el espesor la cresta sea mayor que los dos terceras partes de la carga

b≥

2 H 3

b de

(9-25)

puesto que si no se cumple esta condición el vertedero podría ser de pared delgada (ver Figura 9.4) o de pared intermedia.

487


Arturo Rocha

V02 2g

V2 %H = 2g H

y = yc

P

b Figura 9.16 Perfil característico de un vertedero en pared gruesa

Se considera que la longitud máxima de

b debe estar alrededor de 15H

En el vertedero en pared gruesa mostrado en la Figura 9.16 se aprecia el perfil característico de la superficie libre. La energía específica aguas arriba es H + V0 2 g , la que debe ser 2

igual a la energía sobre la cresta, suponiendo que no haya fricción ni pérdidas de carga y que el coeficiente

α

de Coriolis sea igual a 1. Por lo tanto,

V02 V2 = y+ H+ 2g 2g siendo

V la velocidad media del flujo sobre la cresta y ∆H la diferencia de energía

correspondiente. De la última ecuación se obtiene que la velocidad media sobre la cresta es

  V2 V = 2 g  H + 0 − y  2g   Aguas arriba del vertedero se ha considerado que el flujo es subcrítico ( F < 1 ). En la sección correspondiente a la caída, al final de la cresta, se produce un flujo supercrítico F > 1 . En algún lugar intermedio, como el mostrado se produce un flujo crítico.

488

Vertederos

Capítulo IX El flujo sobre el vertedero es crítico

(y = yc ) . Es decir, que el flujo resuelve el cruce del

vertedero haciéndolo con el mínimo contenido de energía. Si se tratase de una sección rectangular de ancho L entonces

V2  2 y = yc =  H + 0  3 2g 

(9-26)

Por lo tanto, el gasto teórico sobre el vertedero es

  V2 V 2  2 Q = BycV = L  H + 0   2 g  H + 0 − yc   3 2 g   2g    yc

V

De donde, 3

3

Q = g L yc2 = 3,13L yc2

(9-27)

Esta fórmula se suele expresar en función de la energía de aguas arriba 3

3

 V 2 2  2 2 Q =   2 g L H + 0  2g  3  Si la velocidad de aproximación es muy pequeña y/o su efecto se considera indirectamente, entonces el gasto teórico es 3

3

 2 2 Q =   g LH 2  3

(9-28)

En el sistema métrico el gasto teórico sobre un vertedero rectangular en pared gruesa es 3

Q = 1,7 LH 2

(9-29)

En el sistema ingles sería

489


Arturo Rocha 3

(9-30)

Q = 3,09LH 2

Para obtener el gasto real deberá introducirse en la ecuación 9-29 un coeficiente de descarga

c . Su valor se obtiene experimentalmente y depende de varios factores 3

(9-31)

Q = c1,7 LH 2

George E. Russell, presenta algunos valores del coeficiente, provenientes de tres investigadores, para diversos valores de longitud L del vertedero, del umbral P y de las condiciones del borde de aguas arriba del vertedero. Los resultados aparecen en la Tabla 9.3. Si el nivel del flujo aguas abajo del vertedero fuese mayor que el de la cresta de éste, las condiciones de cálculo serían diferentes.

TABLA 9.3 COEFICIENTES EN VERTEDEROS DE CRESTA ANCHA EXPERIMENTADOR

L

P

CARGA

1,7c

Bazin

2

0,75

0,09 a 0,50

1,42 a 1,61

U.S. Deep Waterways Board

2

1,40

0,25 a 1,50

1,55

Woodburn

3

0,53

0,15 a 0,45

1,53 a 1,57

Bazin

2

0,75

0,06 a 0,45

1,33 a 1,45

U.S. Deep Waterways Board

2

1,40

0,27 a 1,50

1,31 a 1,38

Woodburn

3

0,53

0,15 a 0,45

1,44 a 1,45

BORDE DE AGUAS ARRIBA REDONDEADO

BORDE DE AGUAS ARRIBA AGUDO

(Todas las dimensiones en metros)

9.9 Vertederos laterales Los vertederos laterales son aberturas (escotaduras) que se hacen en una de las paredes (taludes) de un canal. Su función es la de evacuar el exceso de caudal. En consecuencia, son aliviaderos. A continuación se presenta algunas nociones sobre estos vertederos. En la Figura 9.17 se aprecia el esquema característico de un vertedero lateral de longitud L practicado en un canal con flujo subcrítico ( F < 1 )

490

Vertederos

Capítulo IX

Q0

Q1 Q

L

h

h0 H0

Q0

H

h1 Q

P

Q1

H1

i

x Figura 9.17 Vertedero lateral

Se observa las líneas de corriente y su desvío como consecuencia del vertedero lateral, cuyo caudal es conducido fuera del canal. En la Figura 9.17 se observa la longitud L del vertedero y el umbral P . El caudal inicial en el canal es

Q0 . El caudal que pasa por el vertedero es Q y el caudal remanente es Q1 . Evidentemente que Q es el exceso de caudal que se quiere eliminar del canal.

Q = Q0 − Q1 V0 es la velocidad correspondiente al caudal Q0 y V1 lo es del caudal Q1 , H 0 es la carga en el punto inicial del vertedero y H1 , es la carga en el punto final. H es la carga (variable) en cualquier punto del vertedero a la distancia x del punto inicial. Como se trata de un régimen subcrítico el valor de la carga h aumenta desde H 0 hasta H1 en el punto final del vertedero, lo que puede comprobarse experimental y teóricamente suponiendo que la energía es constante a lo largo de la cresta, tal como lo señala Balloffet. Se supone en la siguiente deducción que la variación de la carga es lineal a lo largo del vertedero. Por lo tanto, la carga

491

Hidráulica de tuberías y canales a la distancia

Arturo Rocha

x del punto inicial es H = H0 +

H1 − H 0 x L

(9-32)

El gasto es

Q=

∫

L 0

2 H − H0  c 2g  H0 + 1 3 L 

3 2

 x  dx 

(9-33)

De donde,

Q=

5 2 1

5 2 0

H H −H c 2g L 15 H1 − H 0

(9-34)

Como longitud del vertedero puede considerarse la longitud efectiva, la que siguiendo el criterio de Francis es L −

nH . Si el vertedero es muy largo, más de 10H , puede despreciarse el 10

efecto de las contracciones.

9.10 Errores en el cálculo del gasto como consecuencia de un error en la medición de la carga a) Vertedero rectangular La ecuación de descarga de un vertedero rectangular es 3

Q = KH 2 La variación del gasto con respecto a la carga se obtiene derivando la ecuación anterior 1

dQ = 1,5KH 2 dH de donde, 1

dQ = 1,5KH 2 dH comparando con el gasto se obtiene,

dQ dH = 1,5 Q H 492

(9-35)

Vertederos

Capítulo IX

Luego, un error, por ejemplo del 1 % en la medición de H , produciría un error de 1,5 % en el cálculo de Q . b) Vertedero triangular La ecuación de descarga de un vertedero triangular es

Q = KH

5 2

La variación del gasto con respecto a la carga se obtiene derivando la ecuación anterior 3

dQ = 2,5KH 2 dH de donde,

dQ dH = 2,5 Q H

(9-36)

En consecuencia, un error del 1 % en la medición de H representará un error del 2,5 % en el cálculo de Q .

9.11 Vaciamiento de un depósito por un vertedero El vaciamiento de un depósito se puede producir por medio de un vertedero de cualquier forma y características. La condición de vaciamiento implica que el nivel de la superficie libre sea descendente. Se trata entonces de la descarga de un vertedero con carga variable. El caudal va disminuyendo paulatinamente. Este tipo de vertedero puede presentarse como aliviadero de presas.

H1

H1 H

H dH H2

Depósito

H2

L

Figura 9.18 Vaciamiento de un depósito por medio de un vertedero

493


Arturo Rocha

En la Figura 9.18 se aprecia un vertedero rectangular de longitud L que realiza el vaciamiento de un estanque, entre los niveles comprendida entre

H1 (nivel inicial) y H 2 (nivel final). H es una carga variable

H1 y H 2 .

Consideremos que durante un intervalo de tiempo infinitamente pequeño

dt , la carga H se

puede asumir, para efectos de aplicación de una de las fórmulas de vertederos, como si fuese constante. El volumen descargado por el vertedero durante el tiempo

dt debe ser

3

dV =

2 c 2 g LH 2 dt 3

Este volumen descargado debe ser igual al producto del área de la sección transversal A del depósito por

dH , que es la variación de niveles. Luego, 3

2 c 2 g LH 2 dt = AdH 3

(9-37)

Se está suponiendo que el área transversal A del estanque es constante. Sin embargo, en muchos casos no lo es. El área A puede ser una función de la carga. Una posibilidad es que esta función pueda expresarse matemáticamente de un modo simple. Tal sería el caso, por ejemplo, de paredes inclinadas 45º un otro ángulo. En los embalses naturales no existe esa función matemática. Se recurre entonces a una sumatoria. También se está suponiendo que el coeficiente de descarga es constante. De la expresión 9-37 se obtiene por integración

∫

t

dt = 0

∫

H2 H1

AdH 2 c 2 g LH 3

3 2

=

A 2 c 2g L 3

∫

H2 H1

dH 3

H2

Por lo tanto, el tiempo requerido para que el nivel de la superficie libre baje de

t=

494

 1 1  −   2 H1  c 2 g L  H 2 3

H 2 a H1 es

2A

(9-38)

Vertederos

Capítulo IX

H 2 tiende a cero, el tiempo requerido tenderá a infinito, lo que no concuerda con la realidad. Esto se debe a que tanto la carga H como el área de descarga estarían Obsérvese que si

aproximándose a cero simultáneamente. En todo caso hay que recordar que las fórmulas para el cálculo de la descarga de un vertedero sólo son aplicables a partir de una cierta carga mínima. Cuando por una razón u otra no es posible integrar se debe recurrir a una sumatoria aplicando las fórmulas conocidas en intervalos muy pequeños. Este método se emplea también cuando el depósito tiene además el aporte de un caudal Q que a su vez puede ser función del tiempo. La magnitud de los intervalos dependerá de la precisión buscada y de las características de la información disponible. Ejemplo 9.2 Un depósito profundo tiene paredes verticales. La sección transversal es de 30 por 50 metros. En una de las paredes se ha instalado un vertedero rectangular de 0,50 m de longitud. La cresta del vertedero es aguda y se encuentra en la cota 122,30 m. Considerar que el coeficiente de descarga es constante e igual a 0,6. Calcular: a) el tiempo necesario para que el nivel de la superficie libre descienda de la cota 122,50 m a la cota 122,35 m, b) el gasto instantáneo al principio y al final del intervalo, c) el caudal medio durante el intervalo. Solución. a) Aplicando la ecuación 9-38 se obtiene

t=

 1  1 1  2 × 1 500 1  − − =    2 0,20  H 1  2 × 0,6 × 2 g × 0,5  0,05 c 2 g L  H 2 3 3 2A

t = 7 576,7 segundos b) La ecuación de descarga por el vertedero es (considerando V0 = 0 y sin contracción). Q=

3 3 2 c 2 g LH 2 = 0,885H 2 3

Para la condición inicial H = 0,20 m y Q = 0,0792 l/s Para la condición final H = 0,05 m y Q = 0,0099 l/s c) El volumen total descargado es A(H 1 − H 2 ) = 30 × 50 × 0,15 = 225 m3

495


Arturo Rocha

El caudal medio es 225 Volumen = = 0,0297 m3 7 576,7 Tiempo

Para realizar el cálculo del tiempo de vaciamiento de un estanque mediante una sumatoria se procede a elaborar una tabla como la 9.4 en la que sólo se ha presentado, como ejemplo, las primeras filas del cálculo correspondiente al ejemplo 9.2. Se procede así 1. Se empieza por considerar

n valores de la carga comprendidos entre H1 y H 2

(columna 1). Para el ejemplo 9.2 estos valores podrían ser 0,20 m, 0,19 m, 0,18 m, etc. 2. Luego se calcula los correspondientes valores de ∆H , es decir,

(H 2 − H1 ) para

cada dos valores sucesivos de la carga (columna 2). 3. A continuación se calcula la carga media del intervalo, que es (columna 3).

1 (H1 + H 2 ) 2

4. A partir de la carga media obtenida se calcula el correspondiente caudal de descarga, y se considera los coeficientes que resulten más apropiados (columna 4). 5. Ahora se calcula el volumen descargado que es igual al producto del área transversal correspondiente del estanque, la que puede ser variable, por la diferencia de carga (columna 5). 6. Para obtener el intervalo de tiempo correspondiente se encuentra la relación entre el volumen descargado y el correspondiente caudal (columna 6). 7. Finalmente, se acumula los tiempos parciales y se obtiene el tiempo total.

TABLA 9.4 EJEMPLO 9.2

1

2

3

4

5

6

7

H

∆H

H

Q

Volumen

∆t

t

0,19

0,01

0,195

0,0762

15

196,9

196,9

0,18

0,01

0,185

0,0704

15

213,0

409,9

0,17

0,01

0,175

0,0648

15

231,5

641,4 etc.

496

Vertederos

Capítulo IX

9.12 Vertedero sumergido Se dice que un vertedero está sumergido cuando el nivel de aguas abajo es superior al de la cresta del vertedero. La condición de sumergencia no depende del vertedero en sí, sino de las condiciones de flujo. Un mismo vertedero puede estar sumergido o no, según el caudal que se presente. Las condiciones de aguas abajo, por ejemplo un remanso, pueden determinar que un vertedero quede sumergido. El vertedero sumergido puede ser de cualquier tipo o forma. En la Figura 9.19 se observa un vertedero sumergido en el cual H es la diferencia de nivel entre la superficie libre de aguas arriba y la cresta del vertedero; h es la diferencia de nivel entre la superficie libre de aguas abajo y la cresta del vertedero. Se denomina sumergencia a la relación que existe entre h y H .

H h

Figura 9.19 Esquema típico de un vertedero sumergido

Los vertederos sumergidos se presentan en diversas estructuras hidráulicas. En ellas el vertedero actúa como un aliviadero más que como un elemento de aforo. Las fórmulas para el cálculo de la descarga de un vertedero sumergido son menos precisas que las correspondientes a un vertedero libre, razón por la cual no se les usa como estructuras para determinar caudales. Si la relación

h H , es decir la sumergencia, está próxima a la unidad o cuando es muy

pequeña, suele presentarse aguas abajo un flujo ondulado, como se aprecia en la Figura 9.20. Es por eso que se recomienda hacer el cálculo sólo para

0,2 ≤

h ≤ 0,8 H

(9-39)

497


Arturo Rocha

Figura 9.20 Flujo ondulado que puede presentarse aguas abajo de un vertedero sumergido

Uno de los criterios más antiguos para determinar el caudal en un vertedero sumergido es el Du Buat, de 1816. Este método considera que el gasto total está formado por dos gastos parciales.

Q1 que es el que escurre a través de un vertedero libre virtual cuya cresta se

supone que coincide con el nivel de aguas abajo y

Q2 que es el que escurre por un orificio

virtual cuya altura es la diferencia de nivel entre el de aguas abajo y la cresta del vertedero. En consecuencia, para un vertedero sumergido rectangular, de cresta aguda el gasto es

3 1 3  2 2 2 2 2 2       2 V V V 2 g L  H + 0 − h  −  0   + c2 2 g Lh  H + 0 − h  Q = c1  3 2g 2g     2 g    

(9-40)

Q2 = orificio

Q1 = vertedero libre

La precisión de esta fórmula dependerá de la precisión con la que se pueda determinar los coeficientes

c1 y c2 para este caso particular. Numerosos investigadores trataron de encontrar

dichos coeficientes, pero los resultados no fueron satisfactorios ni coincidentes. Se suele considerar que

c1 = c2 = 0,62 , lo que si bien no tiene mayor justificación teórica resulta útil

para los cálculos prácticos. Algunos autores, como Herschel, resuelven el problema de hallar la descarga en un vertedero sumergido a partir de una modificación de la fórmula de Francis 3

Q = 1,84L(NH )2

498

(9-41)

Vertederos

Capítulo IX en donde H es la carga del vertedero considerado como si fuese libre y

N es un coeficiente

de reducción de la carga del vertedero supuesto libre, que depende de la sumergencia. Los valores experimentales obtenidos aparecen en la Tabla 9.5.

TABLA 9.5 VALORES DE h H

0,00

0,01

N PARA USARSE EN LA FORMULA 9-41

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,0 1,000 1,004 1,006 1,006 1,007 1,007 1,007 1,006 1,006 1,005 0,1 1,005 1,003 1,002 1,000 0,998 0,996 0,994 0,992 0,989 0,987 0,2 0,985 0,982 0,980 0,977 0,975 0,972 0,970 0,967 0,964 0,961 0,3 0,959 0,956 0,953 0,950 0,947 0,944 0,941 0,938 0,935 0,932 0,4 0,929 0,926 0,922 0,919 0,915 0,912 0,908 0,904 0,900 0,896 0,5 0,892 0,888 0,884 0,880 0,875 0,871 0,866 0,861 0,856 0,851 0,6 0,846 0,841 0,836 0,830 0,824 0,818 0,813 0,806 0,800 0,794 0,7 0,787 0,780 0,773 3,766 0,758 0,750 0,742 0,732 0,723 0,714 0,8 0,703 0,692 0,681 0,669 0,656 0,644 0,631 0,618 0,604 0,590 0,9 0,574 0,557 0,539 0,520 0,498 0,471 0,441 0,402 0,352 0,275

Villemonte en 1947, en la Universidad de Wisconsin, estableció una fórmula genérica para vertederos sumergidos de diferente forma

  h n  Q = Q1 1 −      H  

0, 385

(9-42)

n depende del tipo de vertedero (3/2 para vertedero rectangular, 5/2 para vertedero triangular, etc.),

Q1 es el caudal que se produciría si el vertedero fuese libre.

499


Arturo Rocha

Ejemplo 9.3 En un canal de 6,20 m de ancho en el que el tirante normal es de 1,10 m se instala un vertedero rectangular sin contracciones y con borde agudo de 0,80 m de umbral. La superficie libre se sobreeleva en 1 m. Determinar el caudal Solución. V02 2g

H = 1,30 m 2,10 m

1,00 m

0,30 m

h = 0,30 m 1,10 m

0,80 m

Como no se conoce el caudal no se puede calcular V0 . Supongamos inicialmente que su valor es cero. El gasto se obtiene a partir de la ecuación 9-38 Q = 0,62

3 1 2 2 g L ( H − h) 2 + 0,62 2 g Lh ( H − h) 2 3

Reemplazando los valores conocidos se obtiene

Q = 11,35 (1,30 - 0,30) 3/2 + 5,11 (1,30 - 0,30)1/2 Q = 11,35 + 5,11

Q = 16,46 m3/s Ahora se puede introducir el efecto de la velocidad de aproximación V0 =

16,46 = 1,26 m/s 6,20 × 2,10

o o o

V02 = 0,08 2g

Q = 11,35 (1 + 0,08)3/2 + 5,11 (1 + 0,08)1/2 Q = 12,74 + 5,31 = 18,05 m3/s Si usamos la fórmula de Francis con los coeficientes de Herschel se tiene h 0,30 = = 0,23 H 1,30

500

o o o

N = 0,977 (Tabla 9.4)

m

Vertederos

Capítulo IX 3

3

Q = 1,84 L ( NH ) 2 = 11,35 (0,977 × 1,38) 2 = 17,77 m3/s

Si usamos la fórmula de Villemonte   h n  Q = Q1 1 −      H  

0 , 385

3

= Q1 [1 − (0,23) 3 / 2 ]

0 , 385

= Q1 × 0,956

3

Q1 = 1,84 LH 2 = 1,83 × 6,20 × 1,38 2 = 18,4 m3/s

Q = 18,4 × 0,956 = 17,59 m3/s

CUADRO COMPARATIVO

FORMULA

RESULTADO

Fórmula completa

18,05 m3/s

Francis – Herschel

17,77 m3/s

Villemonte

17,59 m3/s

Promedio

17,8 m3/s

501


Arturo Rocha

PROBLEMAS PROPUESTOS (Capítulo IX)

1.

Se tiene un vertedero en pared delgada con cresta aguda. Deducir una expresión para la velocidad media, en función de la carga, para una sección transversal correspondiente a la zona de máxima contracción.

2.

Se tiene un vertedero en pared delgada con cresta aguda. Calcular la carga que debe tener el vertedero para que la velocidad en el eje de la napa vertiente en la zona de máxima contracción sea de 0,80 m/s.

3.

En un canal de 7,20 m de ancho se ha colocado un vertedero rectangular en pared delgada de 3,20 m de largo. El umbral es de 2,0 m. Si la carga es 0,61 m calcular el caudal usando varias fórmulas; discutir su aplicabilidad, preparar un cuadro comparativo de los resultados considerando el efecto de la contracción. Calcular la longitud adicional que debería tener el vertedero para compensar el efecto de las contracciones.

4.

En un canal de 3,20 m de ancho se ha instalado a todo lo ancho un vertedero rectangular en pared delgada de 2 m de alto. Se ha medido la carga y se obtuvo 0,61 m. Calcular el caudal. Usar varias fórmulas, discutir su aplicabilidad y preparar un cuadro comparativo de los resultados.

5.

Calcular el ancho que debe tener un canal rectangular que tiene un caudal de 12 m3/s, para que al colocar un vertedero cuyo umbral tiene una altura de 1 m la superficie libre se sobreeleve 0,20 m por encima de la cresta. Considerar que el vertedero es de cresta aguda en pared delgada y que el flujo de aguas abajo no influye en la descarga sobre el vertedero. ¿Si la sobreelevación fuese de 0,70 m cuál debería ser el ancho?. Comentar las diferencias en el cálculo de ambos casos a propósito de la consideración de la velocidad de aproximación.

6.

Un canal rectangular de 2 m de ancho tiene una pendiente de 0,0007 y un coeficiente

C de

1/2

Chezy de 53 m /s. Si se coloca un vertedero, sin contracciones, de 1,20 m de umbral y cresta aguda la carga sería de 0,60 m. ¿Cuál debería ser el ancho del canal para que conservando el mismo tirante normal se comporte como de máxima eficiencia hidráulica?.

502

Vertederos

Capítulo IX 7.

En un canal de 1,20 m de ancho que tiene un caudal de 500 l/s se va a instalar una placa como la mostrada en la figura, la que da lugar a un orificio y a un vertedero. Si la placa tiene 0,75 m de alto, calcular la abertura

H

0,75

a del fondo para que el orificio y

a

el vertedero descarguen el mismo caudal. 8.

En la figura se muestra dos tanques comunicados por un orificio. El sistema es alimentado de modo que ingresan 500 l/s. El tanque A tiene un vertedero rectangular en pared delgada de 0,80 m de longitud, que descarga libremente. El tanque B tiene un vertedero triangular de 60º. Las cotas respectivas se muestran en el dibujo. Se pide: a) ¿cuál es la descarga de cada vertedero, si el diámetro del orificio es de 8’’?; b) ¿cuál debe ser el diámetro del orificio para que ambos vertederos descarguen el mismo caudal?.

109,00 108,00

A

B 100,80 100,00

9.

El agua que pasa a través de un vertedero triangular de 90º es recogida en un tanque cilíndrico de 0,80 m de diámetro. Se encontró que para una carga de 0,25 m sobre el vertedero el nivel del agua en el tanque cilíndrico aumenta 0,352 m en 4 segundos. Hallar el coeficiente de descarga del vertedero.

10. La expresión general del flujo por un vertedero triangular es del tipo

 H gH  ,θ  Q = H 2 gH φ   ν  expresión en la que

H : es la carga

ν θ

:

viscosidad cinemática

:

es el ángulo del vertedero

503


Arturo Rocha

Experimentos llevados a cabo para el agua en un vertedero de 90º dieron la fórmula

Q = 1,386 H 2,5 Aplicando la similitud dinámica demostrar que el porcentaje de error que representa el uso de la fórmula práctica para medir el gasto cuando el fluido es un líquido cuya viscosidad cinemática es 12 veces la del agua será del 5 % por defecto. 11. Un fluido de viscosidad cinemática

ν

pasa a través de un vertedero triangular, de un cierto

ángulo, con el objeto de calcular la descarga Q conociendo la altura H . Demostrar por medio del análisis dimensional que

 32 12  Q H g =ϕ 5 1  ν H 2g2 

    

Para el caso particular de un vertedero con un ángulo de 30º la descarga viene dada por la expresión

Q = 0,392 H 2,5 Hallar el gasto en un vertedero similar por el que pasa un fluido que tiene una viscosidad cinemática seis veces mayor que la del agua, cuando la carga H es de 25 cm. 12. Se tiene un vertedero triangular en el que el caudal viene dado por la expresión

Q = 0,6 H 5 / 2 .

Determinar la precisión con la que debe medirse la carga para que el error resultante no repercuta en un error superior al 1 % al calcular el gasto. 13. Determinar la descarga teórica del vertedero mostrado en la figura

0,50 m 60º

45º 0,90 m

504

Vertederos

Capítulo IX

14. Calcular la descarga teórica del vertedero mostrado en la figura, para una carga de 0,12 m.

0,12 m 30º 0,25 m

15. Calcular la descarga teórica del vertedero mostrado en la figura

y

H=1m

y = x2

60º 1,23 m

x

16. Deducir la ecuación del gasto en función de la carga para un vertedero de sección parabólica. 17. La fórmula de descarga teórica de un vertedero es

Q = cH 7 2 . Establecer la forma del vertedero

y la ecuación respectiva. 18. Un vertedero rectangular y un vertedero triangular de 90º están colocados en serie en un canal. El vertedero rectangular tiene 2,0 m de longitud. Calcular la carga sobre el vertedero triangular, si para un caudal de 50 l/s la carga sobre el vertedero rectangular es de 0,1 m. 19. En un canal de 9 m de ancho hay un caudal de 18 m3/s. Se va a colocar un vertedero a todo lo ancho del canal, de modo de producir una sobreelevación de 0,40 m en el nivel del agua. La velocidad de aproximación al vertedero debe ser de 0,50 m/s. Calcular la altura que debe tener el umbral del vertedero.

505

Capítulo I

Introducción

TABLAS GENERALES

TABLA 1 TABLA DE DIMENSIONES

SISTEMA

SISTEMA

ABSOLUTO

GRAVITACIONAL

MLT

FLT

L

L

AREA

L

2

L2

VOLUMEN

L3

L3

TIEMPO

T

T

CANTIDADES

LONGITUD

VELOCIDAD

LT

LT-1

VELOCIDAD ANGULAR

T-1

T-1

ACELERACIÓN LINEAL

LT-2

LT-2

VISCOSIDAD CINEMATICA

L2 T-1

L2 T-1

GASTO

L3 T-1

L3 T-1

M

FT2 L-1

MLT-2

F

MASA FUERZA

-1

FT2 L-4

DENSIDAD PESO ESPECIFICO

ML-2 T-2

FL-3

VISCOSIDAD DINAMICA

ML-1 T-1

FTL-2

TENSION SUPERFICIAL

MT-2

FL-1

MODULO DE ELASTICIDAD

ML-1 T-2

FL-2

PRESION

ML-1 T-2

FL-2

MLT-1

FT

2

-2

LF

2

-3

LFT-1

CANTIDAD DE MOVIMIENTO ENERGIA (Y TRABAJO) POTENCIA

ML T ML T

507


Arturo Rocha

TABLA 2 PROPIEDADES MECANICAS DEL AGUA

Peso

Viscosidad

Viscosidad

Temperatura

Densidad

específico

dinámica

cinemática

T

ρ

γ

µ

ν

(ºC)

(Kg - s /m )

(Kg/m )

(Kg - s/m )

(m2/s)

0,0

101,94

1 000

1,81 x 10-4

1,78 x 10-6

5

101,94

1 000

1,55 x 10-4

1,52 x 10-6

10

101,94

1 000

1,33 x 10-4

1,30 x 10-6

15

101,94

1 000

1,17 x 10-4

1,15 x 10-6

20

101,74

998

1,04 x 10-4

1,02 x 10-6

25

101,63

997

0,909 x 10-4

0,894 x 10-6

30

101,53

996

0,815 x 10-4

0,803 x 10-6

35

101,33

994

0,732 x 10-4

0,722 x 10-6

40

101,12

992

0,663 x 10-4

0,656 x 10-6

45

100,92

990

0,606 x 10-4

0,600 x 10-6

50

100,71

988

0,552 x 10-4

0,548 x 10-6

55

100,51

986

0,508 x 10-4

0,505 x 10-6

60

100,31

984

0,468 x 10-4

0,467 x 10-6

65

100,00

981

0,439 x 10-4

0,439 x 10-6

70

99,69

978

0,410 x 10-4

0,411 x 10-6

75

99,39

975

0,381 x 10-4

0,383 x 10-6

80

98,98

971

0,356 x 10-4

0,360 x 10-6

85

98,67

968

0,336 x 10-4

0,341 x 10-6

90

98,37

965

0,317 x 10-4

0,322 x 10-6

95

98,06

962

0,298 x 10-4

0,304 x 10-6

100

97,66

958

0,287 x 10-4

0,294 x 10-6

2

4

3

2

Tabla tomada del libro de Mecánica de Fluidos Aplicada de Robert L. Mott, 1996

508

Capítulo I

Introducción

TABLA 3 CONVERSION DE UNIDADES

LONGITUD 10

-6

m

10

-9

m

1 Angstrom (A)

10

-10

m

1 pulgada

0,0254

m

1 pie

0,3048

m

1 milla

1,609

m

1 yarda

0,9144

m

1 centímetro

0,3937

pulgadas

1 metro

39,37

pulgadas

1 metro

3,281

pies

1 metro

1,093

yardas

1 kilómetro

0,6214

millas

1 yarda

36

pulgadas

1 milla

1,760

yardas

1 micrón 1 milimicrón

SUPERFICIE 1 metro cuadrado

10,76

pies cuadrados

1 metro cuadrado

1,550

pulgadas cuadradas

1 metro cuadrado

1,196

yardas cuadradas -4

1 metro cuadrado

2,471x10

acres

1 pie cuadrado

0,0929

metros cuadrados

1 acre

3

4,047x10

metros cuadrados

509


Arturo Rocha

VOLUMEN 1 metro cúbico

35,31

pies cúbicos

1 metro cúbico

220

galones imperiales

1 metro cúbico

264,2

galones americanos

1 galón imperial

4,546

litros

1 galón americano

3,785

1 pie cúbico

litros

2,832x10

-2

metros cúbicos

MASA 1 kilogramo - masa

2,205

libras - masa -2

1 kilogramo - masa

6,852x10

slugs

1 slug

14,59

kilogramos - masa -2

1 libra - masa

3,108x10

slugs

DENSIDAD 1 gr - masa/cm

3

62,43

lb - masa/pie

1 gr - masa/cm

3

1,940

slug/pìe

3

0,01602

gr - masa/cm

1 lb - masa/pie

510

3

3 3

Capítulo I

Introducción

FUERZA 5

1 Newton

10

dinas

1 Newton

0,1020

kilogramos

1 Newton

0,2248

libras

1 kilogramo

2,205

libras

POTENCIA 1 HP

76,04

kg - m/s

1 HP

745,7

watts

1 watt

0,1020

kg - m/s -3

1 watt

1,341x10

HP

1 watt

1

joule/s

1 HP

550

lb - pie/s

1 HP

33 000

lb - pie/minuto

PRESION 1 atmósfera

5

Newton/m

1,013x10

6

dinas/cm

76

cm de Hg

406,8

pulgadas de agua

29,92

pulgadas de Hg

2,116

lb/pie

14,7

lb/pulg

1,033

kilogramos/cm

1,013x10

2

2

2 2 2

511


Arturo Rocha

TABLA 4 PROPIEDADES FISICAS DEL AIRE (a la presión atmosférica)

512

Temperatura

Densidad

T

ρ

Viscosidad

Viscosidad

absoluta

cinemática

µ

ν

(ºC)

(gr - masa/cm )

(dina - s/cm )

(cm2/s)

0

1,293 x 10-3

1,709 x 10-4

0,1322

50

1,093

1,951

0,1785

100

0,946

2,175

0,2299

150

0,834

2,385

0,2860

200

0,746

2,582

0,3461

250

0,675

2,770

0,4104

300

0,616

2,946

0,4782

350

0,567

3,113

0,5490

400

0,525

3,277

0,6246

450

0,488

3,433

0,7035

500

0,457

3,583

0,7840

3

2

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Hidraulica de Tuberias y Canales - Arturo Rocha

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