HIBAH MEK.TEK 1

Mekanika Teknik I

BAB I VEKTOR GAYA ( FORCE ) ) Capaian Pembelajaran Umum

Mahasiswa diharapkan dapat mengetahui tentang penyusunan gaya-gaya dan penguraian gaya-gaya, baik resultan gaya maupun komponen gaya-bidang (koplanar) dan gaya-ruang (tak koplanar).

Capaian Pembelajaran Khusus 1. Mahasiswa dapat menghitung dan menuliskan besar resultan gaya-bidang dalam bentuk notasi skalar dan notasi vektor. 2. Mahasiswa dapat menghitung besar komponen-komponen gaya-bidang 3. Mahasiswa dapat menentukan arah resultan gaya-bidang 4. Mahasiswa dapat menghitung dan menuliskan besar resultan gaya-ruang dalam bentuk notasi skalar dan notasi vektor. 5. Mahasiswa dapat menentukan arah resultan gaya-ruang

.

Politeknik Negeri Sriwijaya MY

1

Mekanika Teknik I PENDAHULUAN

Dasar-dasar meknika benda tegar mengacu pada hukum-hukum dasar yang diberika oleh Sir Isaac Newton yaitu : 1. Hukum Newton I

: Jika resultan gaya yang bekerja pada partikel = 0, partikel

akan diam (jika awalnya diam), atau akan bergerak lurus dengan kecepatan konstan (jika awalnya bergerak). Hukum inilah yang melandasi Mekanika Statika. 2. Hukum Newton II

: Jika resultan gaya yang bekerja pada partikel ≠ ≠ 0, maka

partikel akan mengalami percepatan yang searah dan sebanding dengan resultan gayanya. Hukum ini yang melandasi Mekanika Dinamika. 3. Hukum Newton III

: Gaya-gaya aksi dan reaksi antara benda-benda yang

berkontak akan sama besar, segaris kerja dan berlawanan arah. Hukum ini yang melandas Konsep Gaya. Untuk mempermudah dalam penyelesaian besaran-besaran fisis dalam mekanika diungkapkan secara matematik dalam pengertian skalar dan vektor

POKOK-POKOK BAHASAN 1.1 Gaya-Gaya Bidang ( Koplanar )

1.2 Vektor dan Skalar Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah, misal : perpindahan

(displacement), kecepatan, gaya dan percepatan. Skalar adalah besaran yang mempunyai besar tetapi tanpa arah, misal : massa,

panjang, waktu, suhu. Operasi Vektor

R = F1 + F2 = F2 + F1 R = F1 – F F2 = F1 + (- F2) Contoh : 1. R = F1 + F2 = F2 + F1 F1

F1 Politeknik Negeri Sriwijaya MY

F2

F2 2

Mekanika Teknik I PENDAHULUAN

Dasar-dasar meknika benda tegar mengacu pada hukum-hukum dasar yang diberika oleh Sir Isaac Newton yaitu : 1. Hukum Newton I

: Jika resultan gaya yang bekerja pada partikel = 0, partikel

akan diam (jika awalnya diam), atau akan bergerak lurus dengan kecepatan konstan (jika awalnya bergerak). Hukum inilah yang melandasi Mekanika Statika. 2. Hukum Newton II

: Jika resultan gaya yang bekerja pada partikel ≠ ≠ 0, maka

partikel akan mengalami percepatan yang searah dan sebanding dengan resultan gayanya. Hukum ini yang melandasi Mekanika Dinamika. 3. Hukum Newton III

: Gaya-gaya aksi dan reaksi antara benda-benda yang

berkontak akan sama besar, segaris kerja dan berlawanan arah. Hukum ini yang melandas Konsep Gaya. Untuk mempermudah dalam penyelesaian besaran-besaran fisis dalam mekanika diungkapkan secara matematik dalam pengertian skalar dan vektor

POKOK-POKOK BAHASAN 1.1 Gaya-Gaya Bidang ( Koplanar )

1.2 Vektor dan Skalar Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah, misal : perpindahan

(displacement), kecepatan, gaya dan percepatan. Skalar adalah besaran yang mempunyai besar tetapi tanpa arah, misal : massa,

panjang, waktu, suhu. Operasi Vektor

R = F1 + F2 = F2 + F1 R = F1 – F F2 = F1 + (- F2) Contoh : 1. R = F1 + F2 = F2 + F1 F1

F1 Politeknik Negeri Sriwijaya MY

F2

F2 2

Mekanika Teknik I R Atau F1 R F2

2. R = F1 – F F2 = F1 + (- F2)

F1

F2 - F2 R

Atau

F1

R -F2

1.2.1

F1

Penjumlahan Vektor Gaya Jika permasalahan melibatkan penjumlahan dua gaya yang saling tegak lurus, maka salah satu penyelesaianya menggunakan aturan sinus dan cosinus. A

γ

B

β

α C

Hukum Sinus :

 =  =        Hukum Cosinus : 2

C



A

2

 B

2



2 AB cos 


3

Mekanika Teknik I Contoh : Dua buah gaya bekerja seperti pada gambar di bawah ini, tentukan besar dan arah resultan terhadap gaya F1. F1= 1000 N 0 60 F2 = 800 N

Solusi : 

R 0

60

F1 α F2



360

0



2  30



0

 150

2

2

R



F 1

 F 2

R



1000

R



2



2



0

2 F 1 F 2 cos 

800

2



2  1000  800 cos150

0

Arah R atau α : F 1

sin 

R 

Sin 

sin 150

0

1000  sin 150

0

R

  Jika penjumlahan gaya-gaya yang terjadi menggunakan aturan sumbu kartesius (sb.x, sb.y). Caranya seperti di bawah ini, y (j) F

Fy x (i)


α

x (i)

4

Mekanika Teknik I Fx

Y (j)

Di mana : Fx

= F cos α

Fy

= F sin α

Besarnya F : F  F x

2



F y

2



( F cos  ) 2



( F sin  ) 2

Notasi skalar

Atau F = Fx i + Fy j

Notasi vektor kartesian

Contoh : 1.

y F1 = 500 N F2 = 800 N

600 x

Tentukan : a. Besar resultan gaya dalam notasi skalar b. Besar resultan gaya dalam notasi vektor kartisian c. Arah resultan gayanya. Penyelesaiannya : F1 F1y F2 F1x Politeknik Negeri Sriwijaya MY

5

Mekanika Teknik I

= F1 . cos 30 0

F1x

= 500 cos 300 = 433,013 N = F1 . sin 30 0

F1y

= 500 sin 30 0 = 250 N F2x

= F2 = 800 N

F2y

=0

 F

 F 1 x  F 2 x  433,013  800  366,987N

 F y

 F 1 y  F 2 y  250  0  250 N

x

a. Besar resultan gaya dalam notasi skalar R 

 F    F    366,987  250 2

2

x

2

y

2

 444,049N

b. Besar resultan dalam notasi vektor skalar R

= (F1x + F2x) i + (F1y + F2y) j

R

= -366,987 N (i) + 250 N (j)

c. Arah resultan gaya R tan   

 F y  F x

 55,737



 366,987

250

 1,468

0


6

Mekanika Teknik I

Latihan-latihan 1. Tentukan besar gaya resultan R = F 1 + F2 + F3 dan arahnya, diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu x positip.

2. Tentukan besar gaya resultan R = F 1 + F2 dan arahnya, diukur berlawanan jarum jam dari sumbu x positip.

3. Tentukan besar gaya resultan dan arahnya terhadap sumbu x positip.


7

Mekanika Teknik I

4. Uraikan gaya-gaya F1 dan F2 menjadi komponen-komponen yg bekerja sepanjang sumbu u dan v dan tentukan besar komponen-komonennya.

5. Uraikan gaya 100 N menjadi komponen-komponen yang bekerja sepanjang sumbu u dan v dan tentukan besar komponen-komponennya.

6. Tentukan komponen-komponen x dan y dari gaya 1500 N.


8

Mekanika Teknik I

7.

Komponen-y dari gaya F yang dikenakan seseorang pada gagang kunci Inggris adalah 300 N. (lihat gambar di bawah).

Tentukan komponen-x dan gaya F

8. Apabila dalam posisi tertutup, penutup pintu ,yang menggunakan piston pegas dan piston hidrolik, mengakibatkan gaya P = 100 N pada pintu di B dalam arah B ke A, sehingga menahan pintu agar tetap tertutup. Tentukan komponen-komponen gaya P yang sejajar dan tegak lurus pintu.

9. Tentukan resultan R dari tiga gaya tarik yang bekerja pada baut mata. Dan tentukan sudut yang dibentuk oleh R terhadap sumbu-x positip. (lihat gambar di bawah)


9

Mekanika Teknik I

10. Empat batang ramping dikaitkan pada tumpuan sebagaimana terlihat pada gambar di bawah. Jika gaya yang dikenakan oleh tiga batang diketahui, tentukan sudut  dari batang ke empat dan besar gaya tarik F pada batang tersebut jika resultan ke empat gaya tersebut adalah 200 N dan tegak lurus ke atas.


10

Mekanika Teknik I

BAB/TOPIK

: I/ Vektor Gaya ( Force )

SUB. BAB/SUB.TOPIK

: 1.2 Vektor Gaya Tiga Dimensi ( Tak Koplanar )

ALOKASI WAKTU

: 3 Jam/Minggu

SEMESTER

: I (Satu)

Tujuan Instruksional Umum (TIU)

Mahasiswa diharapkan dapat mengetahui tentang penjumlahan dan penyusunan gaya-gaya dalam ruang (tiga dimensi)/

Tujuan Instruksional Khusus (TIK)



Mahasiswa dapat menghitung hasil penjumlahan gaya-gaya dalam ruang secara analistis dengan benar;



Mahasiswa dapat menentukan komponen-komponen gaya dalam ruang secara analistis dengan benar;



Mahasiswa dapat menentukan arah resultan gaya dalam ruang dengan benar.


11

Mekanika Teknik I

1.2.1 Vektor Tak Koplanar

Vektor tak-koplanar adalah vektor yang bekerja pada satu titik pangkal dan tidak pada satu bidang. Setiap vektor A dalam ruang 3 dimensi dikatakan sebagai vektor tak-koplanar (lihat gambar di bawah). z

A A3 k y A1 i A2 j x Misalkan (A1, A2, A3) koordinat-koordinat tegak lurus titik terminal dari vektor A dengan titik asal pada O. Vektor-vektor A 1 i, A2 j dan A 3 k disebut vektor-vektor komponen tegak lurus atau vektor-vektor komponen dari A berturut-turut dalam arah x, y dan z. Vektor satuan merupakan vektor yang mempunyai besar 1. Jika A adalah sebuah vektor yang mempunyai besar A ≠ 1 , maka vektor satuan yang mempunyai arah yang sama seperti A dinyatakan dengan Politeknik Negeri Sriwijaya MY

12

Mekanika Teknik I

 =  

Cara yang mudah untuk mendapatkan cosinus arah vektor A adalah membentuk suatu vektor satuan dalam arah vektor A. Jika A dinyatakan dalam vektor kartesian A = A x i + A y j + A z k (lihat gambar atas), maka kita peroleh :

 =   = AAx i + AAy j + AAz k Dimana : uA

: vektor satuan

A

: vektor A

A

: besar vektor A

Besar vektor A  A x A x









cos

cos

cos



Jika

A

2

A z

 cos

A x

2



2

A z atau

A

2



A x

2



A y

2



A z

2

(lihat gambar c)

A



A y

(lihat gambar b)

A

Jadi : u A



(lihat gambar a)

A

A y



2

2

 i  cos  j  cos  k



A y

2




2

A z dibagi dengan A 2, maka

13

Mekanika Teknik I A

2

A 2



A x

2



A 2

1  cos

2

A y

2

A 2



Az

2

A 2

  cos 2   cos 2 

Contoh : 1. Jika gaya F = 1000 N seperti yang ditunjukan dalam gambar (2.10,hal46). Tentukan : a. Komponen gaya F terhadap sumbu x, y, dan z b. Nyatakan gaya F dalam vektor kartesian. Solusi : 2

2

2

2

2

cos   cos   cos   1 cos   cos 60

0

 cos

cos   1  0,707

2

2

45

 0,5

2

0

1

 0,5

Untuk α = 0,5 

1

cos 0,5 





60

0

Untuk α = - 0,5



cos 1 ( 0,5) 







1200

Berdasarkan gambar pada soal di atas besarnya α = 600 a. Komponen-komponen gaya F terhadap sumbu x, y, dan z Fx = F cos α = 1000 cos 60 0 = ......... Fy = F cos β = 1000 cos 60 0 = .......... Fz = F cos γ = 1000 cos 45 0 = ......... b. Pernyataan Gaya F dalam vektor kartesius F = F cos α i + F cos β j + F cos γ k F = 1000 cos 60 0 i + 1000 cos 60 0 j + 1000 cos 45 0 k F=

i +


j +

k

14

Mekanika Teknik I

Latihan-latihan 1. Tentukan besar dan sudut arah koordinat dan gaya resultan yang bekerja pada cincin seperti gambar di bawah ini.

2. Nyatakan gaya F pada gambar di bawah ini dalam notasi vektor kartesian.

3. Nyatakan gaya F pada gambar di bawah ini dalam notasi vektor kartesian.


15

Mekanika Teknik I

4. Dua buah gaya F 1 dan F2 bekerja ada pengait (lihat gambar). Tentukan sudut arah

koordinat dari gaya F2 sehingga gaya resultan R bekerja sepanjang sumbu y positip dan mempunyai besar 800 N.

5. Peregang kawat dikencangkan sampai tarikan pada kawat AB mencapai 1,5 kN. Tentukan komponen-komponen gaya –x, -y dan –z (lihat gambar di bawah).

6. Seutas kawat penahan menara dipancangkan dengan sebuah baut pada A (lihat gambar). Gaya tegang kawat sebesar 2500 N. Politeknik Negeri Sriwijaya MY

16

Mekanika Teknik I Tentukan : a. Komponen-komponen F x, Fy, Fz dari gaya yang beraksi pada baut. b. Tentukan sudut-sudut x, y, z.

1.2.2 Vektor Posisi Vektor posisi R didefinisikan sebagai suatu vektor tertentu yang menempati suatu titik dalam ruang relatif terhadap titik lain. Misalnya, jika R merentang dari titik asal koordinat O ke titik P(x,y,z), maka R dapat dinyatakan dalam bentuk vektor kartesian sebagai berikut : R = x i + y j + z k (lihat gambar di bawah).

Dari gambar tersebut di atas bahwa cara penjumlahan vektor kepala ke pangkal dari tiga komponen menghasilkan vektor R. Diawali pada titik asal O, bergerak pada x dalam arah +i, kemudian y dalam arah +y dan akhirnya z dalam arah +k untuk sampai pada titik P(x,y,z). Dalam kasus yang lebih umum, vektor posisi dapat diarahkan dari titik A ke titik B dalam ruang (lihat gambar di bawah).


17

Mekanika Teknik I

R A + R = R B R

= R B - R A = (xB i + yB j + zB k) – (xA i + yA j + zA k) = (xB – xA) i + (yB – yA) j + (zB – zA) k

Jadi penjumlahan kepala ke pangal dari tiga komponen-komponen ini menghasilkan R, yaitu bergerak dari A ke B, yang pertama kali menjalani (x B – x A) dalam arah +i, kemudian (yB – yA) dalam arah +j, dan terakhir (zB – zA) dalam arah +k Contoh : 1. Sebuah tali elastis diikatkan pada titik A dan B seperti gambar di bawah. Tentukan panjang dan arahny diukur dari A menuju B

Solusi : Titik A (1 m, 0 m, -3 m) Titik B (-2 m, 2 m, 3 m) R = AB

= (-2 -1)m i + (2 – 0)m j + [3 – (-3)]m k = -3m i + 2m j + 6m k


18

Mekanika Teknik I

Besarnya R atau panjang tali AB =

√ 3 + 2 + 6 = 7

Arah dari A menuju B adalah :

 =  = −  +   +    =  − (37 ) = 115  =  − (27) = 73,4  =  − (67) = 31 2. Orang yang ada di gambar bawah menunujukan sedang menarik tali dengan gaya sebesar 70 N. Nyatakan gaya F yang diberikan oleh orang tersebut pada penopang A sebagai suatu vektor kartesian dan tentukan arahnya.

Solusi : Titik A (0, 0, 7,5) Titik B (3m, -2m, 1,5m) R

= (3 – 0)m i + (-2 – 0)m j + (1,5 – 7,5)m k


19

Mekanika Teknik I = (3 i – 2 j – 6 k)m Besar R atau panjang AB :

 = √ 3 + 2 + 6 = 7 Gaya F adalah :

 =   =  = 70(37   27   67 ) = 30 20 60 Arah F adalah :

 =  − (37) = 64,6  = − ( 27) = 107  = − ( 67) = 149 3. Dua batang kawat menderita gaya F AB = 100 N dan F AC = 120 N pada pengait A (lihat gambar). Tentukan besar gaya resultan R yang bekerja di dinding A.


20

Mekanika Teknik I


21

Mekanika Teknik I

BAB/TOPIK

: II/ Momen dan Kopel

SUB. BAB/SUB.TOPIK

: Momen dan Kopel

ALOKASI WAKTU

: 3 Jam /Minggu

SEMESTER

: I (Satu)

Tujuan Intruksional Umum (TIU)

Mahasiswa diharapkan mengetahui tentang pengertian Momen dan Kopel Bidang Mahasiswa diharapkan mengetahui tentang pengertian Momen dan Kopel Ruang.

Tujuan Intruksional Khusus (TIK)



Mahasiswa dapat menyebutkan perbedaan Momen dan Kopel Bidang dengan benar;



Mahasiswa dapat menyebutkan perbedaan Momen dan Kopel Ruang dengan benar;



Mahasiswa dapat menghitung besarnya momen dan atau kopel bidang yang terjadi akibat gaya yang bekerja pada suatu batang dengan benar;



Mahasiswa dapat menghitung besarnya momen dan kopel ruang yang terjadi akibat gaya yang bekerja pada suatu ruang tiga dimensi dengan benar.


22

Mekanika Teknik I

2.1 Momen Bidang

Momen adalah sebuah gaya yang bermaksud untuk menggerakan dan memutar benda. Momen juga sering disebut torsi. Gambar di bawah menunjukan sebuah gaya yang bekerja pada sebuah benda yang bermaksud untuk memutar benda Besar momen = Gaya x Jarak

M = Fx d

 N.m

Tanda moomen : Yang searah jarum jam diberi tanda (+) dan Yang berlawanan arah jarum jam diberi tanda (-)

Prinsip Momen :

Prinsip momen yang terpenting adalah berdasarkan Teori Varignon atau Principle of Moment. Politeknik Negeri Sriwijaya MY

23

Mekanika Teknik I Menurut Teorema Varignon : Suatu teorema yang sangat penting dalam Statika yang ditemukan oleh Matematikawan Prancis yang bernama Varignon ( 1654 – 1722 ). Teorema ini menyatakan bahwa momen sebuah gaya terhadap setiap sumbu samadengan jumlah momen komponen gaya itu terhadap sumbu yang bersangkutan.. Pembuktian teorema di atas adalah sebagai berikut :

R d c F1

p

F2 



q

r



b a

O

Karena jajaran genjang, maka : ad = ab + bd bd = ac R sin  = F2 sin  + F1 sin  Dimana : ad = R sin  ab = F2 sin  ac = F1 sin  Jika dikalikan dengan panjang Oa di dapat : R sin . Oa = F2 sin . Oa + F1 sin . Oa p = Oa sin  q = Oa sin  r = Oa sin  R. r = F2 . p + F1. q


24

Mekanika Teknik I Dari uraian di atas telah terbukti bahwa momen suatu gaya R terhadap suatu titik a = R. r sama dengan jumlah momen komponen-komponennya = F 2. p + F1. q Jadi : R. r = F2. p + F1. q Rumus ini berlaku juga untuk komponen gaya yang lebih dari dua gaya.

Contoh :

Tentukan besar momen terhadap titik O akibat gaya sebesar 600 N. (lihat gambar)

Penyelesaian : Cara I :

d = 4 cos 40 0 + 2 sin 40 0 = 4,35 m M0 = F. d M0 = 600 . 4,35 = 2610 Nm

Cara II :


25

Mekanika Teknik I

F1 = 600 cos 40 0 = 460 N F2 = 600 sin 40 0 = 386 N Berdasarkan Teorema Varignon; M0 = 460. 4 + 386. 2 = 2610 NM

Cara III :

Pindahkan gaya 600 N tersebut di atas sepanjang garis kerjanya ke titik B, yang meniadakan dari komponen F 2. Lengan F1 menjadi : d1 = 4 + 2 tan 40 0 = 5,68 m.

Jadi momen di titik O adalah : M0 = 460. 5,68 = 2610 Nm.

Cara IV : sama dengan cara III, hanya perpanjangan F nya ke titik C. (silahkan diteruskan

sendiri).


26

Mekanika Teknik I

Latihan.

1. Sebuah gaya F sebesar 40 N dikenakan pada roda gigi. (lihat gambar). Tentukan momen akibat gaya F terhadap titik O.

2. Seorang pengemudi mengenakan gaya 20 N pada jeruji dalam bidang kemudi. (lihat gambar). Tentukan momen akibat gaya ini terhadap pusat kemudi O.

3. Tentukan jarak -y yang diukur ke bawah dari puncak suatu tiang di mana satu gaya horisontal F harus dikenakan agar memberikan pengaruh luar yang sama seperti kedua gaya yang ditunjukan pada gambar di bawah ini.


27

Mekanika Teknik I

4. Hitunglah momen akibat gaya 250 N pada gagang kunci monyet terhadap pusat baut.

5. Gaya sebesar 1200 N bekerja pada braket (lihat gambar). Tentukan Momen di titik A dari akibat gaya tersebut.

6. Gaya sebesar 30 lb bekerja pada lengan 3 ft (lihat gambar). Tentukan momen terhadap titik O. Politeknik Negeri Sriwijaya MY

28

Mekanika Teknik I

7. Gaya sebesar 150 N diterpakan pada lengan kontrol A (lihat gambar). Dengan mengetahui jarak AB ialah 250 mm, tentukan momen gaya terhadap B bila  adalah 500.


29

Mekanika Teknik I

2.2 Momen Suatu Kopel Bidang

Dua buah gaya yang besarnya sama, garis aksinya sejajar, dan arahnya berlawanan membentuk suatu kopel. Dua gaya semacam itu, F dan F 1 yang besarnya sama dengan F ditunjukan beraksi pada benda tegar (lihat gambardi bawah ini). F F1

A d2

d

d1

Besar momen M terhadap titik A adalah : MA = F. d1 – F. d2 = F ( d1 – d2 ) ………………. Dimana d1 – d2 = d Jadi MA = F. d

MA adalah momen kopel

Contoh :

1. Gaya F bekerja pada titik A (lihat gambar di bawah), jika ditambahkan sejumlah gaya dan gaya tersebut saling meniadakan ( F = 0) maka akan timbul kopel. Besarnya kopel (M) = - F.d B. d Politeknik Negeri Sriwijaya MY

F

B

F d 30

Mekanika Teknik I A.

F

A

B

F

F M

2. Letakan gaya 80 N pada lever dengan system seperti momen kopel, gaya dan kopel pada titik O F = 80 N

F

9m O

600 F

F

F

M

Kopel = - F. l sin 60 0 = - 80. 9, 0,5 = - 360

3

3

Nm


31

Mekanika Teknik I

Latihan-latihan :

1. Gaya sebesar 50 lb diterapkan pada keping sudut (lihat gambar). Tentukan : a. Sistem gaya kopel pada A yang ekuivalen. b. Sistem ekuivalen yang terdiri dari gaya 150 lb di B dan gaya yang lain di A.

2. Gantilah gaya horisontal 400 N yang bekerja pada pengungkit dengan sistem setara (equivalent system) yang terdiri dari sebuah gaya di O dan sebuah kopel.


32

Mekanika Teknik I 3. Ketika berbelok ke kiri, seorang pengemudi mengenakan dua buah gaya masingmasing sebesar 6 N pada roda kemudi (lihat gambar). Tentukan momen akibat gaya ini. Bahaslah pengaruh dari perubahan diameter roda kemudi d.

4. Pada gambar di bawah adalah sebuah pintu masuk putar bila dilihat dari atas. Dua orang secara serentak mendekati pintu tersebut dan mengenakan gaya yang sama besarnya sebagaimana terlihat. Jika momen resultan terhadap sumbu poros pintu di O adalah 15 Nm, tentukan besar gaya-gaya tersebut.

5. Sebuah kunci nok digunakan untuk mengencangkan baut berkepala persegi. Bila gaya sebesar 250 N dikenakan pada kunci nok tersebut (lihat gambar), tentukan besar F dari gaya-gaya yang sama yang dikenakan di ke empat titik kontak pada kepala baut 25 mm. Sehingga pengaruh luarnya pada baut setara dengan kedua gaya 250 N tersebut di atas. Anggap bahwa gaya bekerja tegaklurus terhadap permukaan datar kepala baut.


33

Mekanika Teknik I

Momen Ruang (tiga dimensi)

Momen dalam tiga dimensi, penentuan jarak tegaklurus antara sebuah titik atau garis dengan garis kerja gaya dapat merupakan perhitungan yang membosankan. Pendekatan vektor dengan menggunakan perkalian silang akan lebih memudahkan. Persamaan perkalian silang untuk M O dapat ditulis dalam bentuk diterminan: i j k MO = r x r y r z Fx Fy Fz MO = ( r y. Fx – r z. Fy ) i + ( r z. Fx – r x . Fz ) j + (r x. Fy – r y. Fx ) k

Untuk mengetahui lebih jelas tentang hubungan perkalian-silang, marilah kita amati ketiga komponen dari momen gaya tersebut terhadap sebuah titik (lihat gambar), yang menunjukan tiga komponen gaya F yang bekerja pada titik A yang dipisahkan dari titik O oleh vektor r.

Fx

F

z A Politeknik Negeri Sriwijaya MY

Fy 34

Mekanika Teknik I Mz r

r z

Fx y My

r x O r y Mx

x

Besarnya skalar dari momen akibat ketiga gaya ini terhadap sumbu – x, -y, -z melalui titik O adalah : Mx = r y. Fz – r z. Fy My = r z. Fx - r x. Fz Mz = r x. Fy – r y. Fx Kopel Ruang (tiga dimensi)

Momen kopel merupakan vektor bebas, sedangkan momen gaya terhadap sebuah ti tik (yang juga merupakan momen terhadap sumbu tertentu yang melalui titik tersebut) merupakan vektor geser yang arahnya adalah sepanjang sumbu yang melalui titik itu. Seperti dalam kasus dua dimensi, sebuah kopel cenderung untuk menghasilkan rotasi murni dari benda yang bersangkutan terhadap sebuah sumbu yang tegaklurus terhadap bidang gaya yang membentuk kopel tersebut .

Latihan-latihan.


35

Mekanika Teknik I 1. Suatu tarikan T sebesar 10 kN dikenakan pada kabel yang terikat pada puncak A dari tiang tegar dan ditanamkan di tanah di B. Tentukan momen M B akibat T terhadap sumbu – z yang melalui pondasi O.

2. Tentukan besar dan arah kopel M yang akan menggantikan dua buah kopel yang diberikan dan masih menghasilkan pengaruh luar yang sama pada balok. Tentukan dua buah gaya F dan – F, bekerja pada kedua sisi balok yang sejajar bidang y-z, yang dapat menggantikan keempat vektor yang diberikan tersebut. Gaya-gaya 30 kN bekerja sejajar bidang y-z.

3.

Sebuah gaya sebesar 400 N dikenakan di A untuk menangani engkol pengendali yang dipasang pada poros tetap OB. Dalam usaha menentukan pengaruh gaya terhadap


36

Mekanika Teknik I tangkai poros pada potongan melintang seperti di O, kita dapat mengganti gaya tersebut dengan gaya setara di O dan sebuah kopel. Gambarkan kopel ini sebagai suatu vektor M.

4. Dua kopel beraksi pada balok (lihat gambar). Gantilah kedua kopel ini dengan suatu kopel ekuivalen.

5. Dalam usaha mengambil sebuah beban dari posisi A, dihasilkan ta rikan kabel T sebesar 21 kN. Hitunglah momen yang dihasilkan T terhadap pangkal O dari Kren- angkat kuntruksi. (lihat gambar). Politeknik Negeri Sriwijaya MY

37

Mekanika Teknik I

BAB/TOPIK

: III/Diagram Benda Bebas (FBD) Pada Sistem Kesetimbangan

SUB. BAB/ SUB.TOPIK

: 3.1 /Diagram Benda Bebas (FBD)

ALOKASI WAKTU

: 3 Jam/ Minggu

SEMESTER

: I (Satu)


Mahasiswa dapat memahami tentang Free Body Diagram (Diagram Benda Bebas) pada benda (balok) tegar/kaku.




Mahasiswa dapat menggambarkan Free Body Diagram pada benda tegar dengan benar;



Mahasiswa dapat melukiskan reaksi-reaksi gaya pada cantilever dengan benar;


38

Mekanika Teknik I



Mahasiswa dapat melukiskan reaksi-reaksi gaya pada sistem tumpuan benda tegar baik engsel maupun rol dengan benar;



Mahasiswa dapat menyebutkan perbedaan antara tumpuan jepit, rol dan engsel dengan benar.

Aplikasi Mekanis dari Gaya-gaya Dalam Analisis Dua-Dimensi


39

Mekanika Teknik I


40

Mekanika Teknik I


41

Mekanika Teknik I Conto-contoh :


42

Mekanika Teknik I Latihan-latihan I.


43

Mekanika Teknik I

II.


44

Mekanika Teknik I

III.


45

Mekanika Teknik I

BAB/TOPIK

: III/Diagram Benda Bebas (FBD) pada Sistem Kesetimbangan

SUB. BAB/SUB. TOPIK

: 3.2 ./ Kesetimbangan

WAKTU

: 3 Jam./ Minggu

SEMESTER

: I (Satu)


Mahasiswa dapat mengerti dan memahami tentang sistem Kesetimbangan pada benda tegar/ kaku.




Mahasiswa dapat menghitung besarnya reaksi yang terjadi pada tumpuan jepit akibat beban luar dengan benar.



Mahasiswa dapat menghitung besarnya reaksi yang terjadi pada tumpuan rol dan engsel akobat beban luar dengan benar.


46

Mekanika Teknik I

3.2.1 Sistem Kesetimbangan pada Benda Tegar/Kaku Dua Dimensi

Kesetimbangan didefinisikan sebagai kondisi di mana resultan semua gaya yang bekerja pada sebuah bendan adalah nol.

Fx = 0,

Fy = 0,

M = 0

Dimana :

Fx = 0, artinya jumlah semua gaya searah sumbu-x adalah nol Fy = 0, artinya jumlah semua gaya searah sumbu-y adalah nol M = 0, artinya jumlah momen pada suatu mekanikis adalah nol

Contoh :


47

Mekanika Teknik I

Contoh : F1

F2

F1 = 1000 N

A

B

F2 = 500 N Ditanyakan :

2m

3m

2m

Reaksi gaya di titik A dan titik B

Penyelesaian : F1

F2

R Ax A

B

R AY

R By

 Fx = 0 R Ax = 0

 MA = 0 F1. 2 + F2. 5 – R By. 7 = 0 1000. 2 + 500. 5 – R By. 7 = 0 R By =

1000.2  500.5 7

= 642,857 N

 Fy = 0 R Ay – F1 – F2 + R By = 0 R Ay = 1000 + 500 – 642,857 = 857,142 N


48

Mekanika Teknik I

Latihan-latihan

1. Crane tetap bermassa 1000 kg dipakai untuk mengangkat peti seberat 2400 kg. Benda itu dipegang tetap pada tempatnya oleh pin di A dan roller B. Pusat gravitasi Crane terletak di titik G. Tentukan komponen realksi di A dan di B .

2. Balok kantilever dibebani seperti pada gambar di bawah ini. Balok tersebut ujung kakinya terikat ( dijepit ) dan ujung lainnya bebas. Tentukan reaksi pada bagian yang terjepit .


49

Mekanika Teknik I 3. Kereta beban berada dalam keadaan diam pada rel yang membentuk sudut 25 0 dengan vertikal. Berat seluruh kereta serta bebannya ialah 5500 lb, dan beraksi pada titik 30 in dari rel. Tentukan gaya tegang kabel dan reaksi pada masing-masing pasa ngan roda.

4. Lengan AB yang panjangnya 40 ft, beratnya 0,5 ton; jarak dari aksel A ke pusat gravitasi G dari lengan itu ialah 20 ft. untuk kedudukan seperti pada gambar. Tentukan gaya tegang T dalam kabel dan reaksi di A.


50

Mekanika Teknik I

5. Suatu Derek mengangkat sebuah Buldoser seberat 4,2 MN. Pusat massa lengan OA beratnya 2 MN berada pada pertengahan panjangnya. Hitungkah tarikan kabel T yang diikat ke B dan Besar gaya yang disangga oleh lengan tersebut pada engsel di O dalam keadaan setimbang pada posisi 60 0. (lebar lengan diabaikan).


51

Mekanika Teknik I

BAB/TOPIK

: IV/ Titik Berat

SUB. BAB/ SUB. TOPIK

: Titik Berat Garis, Bidang dan Ruang

ALOKASI WAKTU

: 3 Jam/ Minggu

SEMESTER

: I (Satu)


Mahasiswa dapat memahami tentang titik berat garis, bidang dan ruang.




Mahasiswa dapat menentukan titik berat garis dengan benar;



Mahasiswa dapat menentukan titik berat bidang dengan benar;



Mahasiswa dapat menentukan titik berat ruang atau benda dengan benar;



Mahasiswa dapat menyebutkan fungsi titik-titik berat garis, bidang dang ruang dengan benar.


52

Mekanika Teknik I

4.1 Titik Berat Garis.

1. Titik berat suatu garis lurus adalah titik pada pertengahan garis tersebut G

2. Titik berat garis gabungan umumnya tidak terletak pada garis tersebut.

.G

3. Titik berat garis gabungan yang simestris adalah selalu pada sumbu simetris. G G

Contoh : 1. Hitung titik berat dari garis gabungan di bawah ini.

Ga

Gc

60

40 Politeknik Negeri Sriwijaya MY

53

Mekanika Teknik I Gb Y

X

30

Penyelesaian : Titik berat dari masing-masing garis adalah : Ga, Gb, Gc terletak masing-masing pada pertengahannya. N

Ln

Xn

Yn

Lnb. Xn

Ln. Yn

1

40

0

20

0

800

2

30

15

0

450

0

3

60

30

30

1800

1800



130

2250

2600

Xo =

= Yo =

=

 L n . X n  Ln

2250 130

= 17,3 dari A

 Ln .Y n  Ln

2600 130

= 20 dari A

Jadi Titik beratnya G ( 17,3 , 20 )

Khusus untuk Titik Berat Tali Busur

Jika Y1 = 0; maka X1 =

r . sin 

……… dimana  penyebut = /4



4.2 Titik Berat Bidang

Suatu bidang dapat dicari titik beratnya dengan cara memomenkan bidang tersebut terhadap garis sumbu yang telah ditentukan letaknya lalu dibagi dengan luas bidang tersebut. Pada bidang-bidang tertentu titik beratnya terletak pada perpotongan garis beratnya. Contoh :


54

Mekanika Teknik I Tentukanlah koordinator titik berat sebuah trapesium yang mempunyai ukuran seperti pada gambar. Panjang garis sejajar yang terpendek 4 cm, panjang garis sejajar yang terpanjang 7 cm dan tingginya 3 cm. 4 cm 3 cm

3 cm

G

Y1

Y2 X1 X2

Dimuka telah dijelaskan bahwa titik berat suatu bidang terletak pada titik perpotongan garis berat bidang tersebut, untuk itu maka bidang tersebut dibagai menjadi dua penampang yaitu : A 1 dan A2 X1 = (  Ai Xi )/ (  Ai ) = ( A1 X1 + A2 X2 ) / ( A1 + A2 ) = ( 12. 2 + 4,5. 5 ) / ( 12 + 4,5 ) = 2,82 cm

Y1 = (  Ai. Yi ) / (  Ai ) = ( A1. Y1 + A2. Y2 ) / ( A1 + A2 ) = ( 12. 1,5 + 4,5. 1 ) / ( 12 + 4,5 ) = 1,36 cm Jadi titik berat bidang trapisium tersebut adalah : G ( 2,82 , 1,36 )

4.3 Titik Berat Ruang

X1 = ( Vi. Xi ) / ( Vi) Y1 = ( Vi. Yi ) / ( Vi) Z1 = ( Vi. Zi ) / ( Vi)


55

Mekanika Teknik I

Latihan-;atihan

1. Tentukan titik berat dari garis gabungan berikut ini : 40 30

50 30

30

30

40

30o

28

76 34

2. Tentukan titik berat dari gabungan garis dan busur di bawah ini. 25 mm 60o

50 mm

40 mm

r = 40 mm

50 mm

3. Tentukan letak titik berat dari gambar di bawah ini 800 Politeknik Negeri Sriwijaya MY

56

Mekanika Teknik I

400

200 150

100

4. Tentukan titik berat luas trapisium seperti pada gambar di bawah ini. 100 mm 150 mm

175 mm


57

Mekanika Teknik I

BAB/TOPIK

: V/ Bidang Gaya Geser dan Momen

SUB. BAB/ SUB. TOPIK

: 5.1 / Bidang Gaya Geser dan Momen pada Cantilever

ALOKASI WAKTU

: 3 Jam/ Minggu

SEMESTER

: I (Satu)


Mahasiswa dapat memahami tentang pengertian bidang gaya geser dan bidang momen pada suatu batang.

Tujuan Instruksional Khusus (TIK)



Mahasiswa dapat melukis bidang gaya geser pada si stem cantilever dengan benar.



Mahasiswa dapat melukis bidang momen pada sistem cantilever dengan benar.



Mahasiswa dapat menghitung besarnya gaya geser dan momen maksimum pada sistem cantilever dengan benar.


58

Mekanika Teknik I

Momen Bengkok (bending moment)

Momen Puntir (torsion)

Untuk beam akan kita tinjau besarnya gaya geser dan momen bengkok pada setiap titik sepanjang beam tersebut. Langkah-langkah dalam penyelesaian persoalan tersebut adalah : 1. Buat free body diagram ; 2. Tentukan reaksi-reaksinya berdasarkan persamaan kesetimbangan; 3. Potonglah sebagian batang dari ujung kiri atau kanan dan gambar free body diagramnya; Politeknik Negeri Sriwijaya MY

59

Mekanika Teknik I 4. Tentukan gaya geser danmomen bengkok pada tiap-tiap potongan tersebut; 5. Gambarkan bidang gaya geser (V) dan bidang momen bengkok (M); yang positip pada potongan tersebut sesuai dengan perjanjian yang lazim dipakai. M (+)

R A

V (+)

M (+)

V (+)

R B

5.1 Cantilever

Apabila suatu batang ditumpu dengan jepitan (cantilever), maka jepitan tersbut harus mampu menahan beban aksial dan lateral serta momen bengkok. Karena sifat cantilever itu harus memiliki reaksi-reaksi gaya dan momen.

Contoh : 1. Diketahui : Sebuah batang yang dijepit, pada ujungnya diberi beban F Ditanyakan : Lukis bidang gaya geser (V) dan bidang momen (M) (lihat gambar di bawah) F A L Penyelesaian : F A

 Fx = 0 R Ax = 0

 Fy = 0

L R Ax

x

F

R Ay – F = 0; didapat R Ay = F

 MA = 0 MA R Ay

MA + F. L = 0; didapat M A = - F. L F Mx


Ditinjau pada potongan di x :

 Mx = 0 60

HIBAH MEK.TEK 1

Recommend Documents