Hayt (7.27) Wangness (12-5 y 11-27)

12-5: Una esfera de radio a  y centro en el origen esta hecha de un material conductor i.h.l. el potencial en su superficie se mantiene a los valores dados φ0 cos θ   siendo φ0   = constante en coordenadas esfericas, Encontrar la densidad de corriente libre  J f  f  en todos los puntos de su interior.

   Ejercicio Ejercicio

E  =

−∇φ

J  =

σE  ∞

φ (r , θ )

=



Bl Al r + l+1 r

l=0

l



P l (cos θ)

Para que la ecuaci´on on se cumpla B=0 asi el potencial se mantendr´a finito: ∞

φ (r , θ )



=

Al r l P l (cos θ )

l=0

φ0 cos θ φ0 cos θ

1     = Al al   P   (cos θ) l l = Al a (cos θ)

Igualando coeficientes encontramos el valor de  A 1 :

A1  =

φ0 a

Volviendo a la ecuaci´on on del potencial y reemplazando la constante  A 1 : φ0 cos θ

= Al r (cos θ )

φ0 cos θ

=

φ0 r (cos θ) a

Volviendo a coordenadas cartesianas encontramos el equivalente de  z  en la ecuaci´on on del potencial:

φ (r , θ )

=

  φ0 a

Teniendo el potencial podemos calcular el campo E:

E  = E  =

∂φ  ˆ z ∂z φ0 − a −

Ya podemos Calcular  J :

J  =

1

−σ

φ0 a

z

11-27:  Un circulo de radio  a  se encuentra sobre el plano  xy  con su centro en el origen. La seccion semicircular de la frontera para x >  0 se mantiene al potencial constante φ0 ; el otro semicirculo para que x <   0 se mantiene al potencial constante −φ0 . Encontrar φ   para todos los puntos del interior del circulo. Encontrar E  en el centro del circulo.

   Ejercicio

En general: ∞

= A + b ln ρ

φ

  +

Bm Am ρm + m ρ

m=1



(C m cos mφ + Dm sin mφ)

Para que se mantenga finito el potencial  b  = 0 y Bm  = 0 ∞

φ

= A

 +

ρm (C m cos mφ + Dm sin mφ)

m=1

De las condiciones dadas por el problema se tiene que  φ (ρ , ϕ) =  φ (ρ , −ϕ): ∞

φ

= A

 +  +

ρm (C m cos mφ + Dm sin mφ)

m=1 ∞

φ

= A

ρm (C m cos mφ − Dm sin mφ)

m=1

Restando estas encuaciones se obtiene: ∞

 (  +

ρm Dm sin mφ) = 0 ⇒ Dm  = 0

0 = 2

m=1

∞

φ

= A

ρm (C m cos mφ)

m=1

Usando la ecuacion de frontera  ρ  =  a  e integrando sobre 2 π: 2π

  0

  32 2 sin

π

  2 0

π

φ0 cos nϕdϕ − π

φ0 n

   0            φ (a, ϕ)cos nϕdϕ = A cos nϕdϕ +        2π

  0

 m

2π

m

C m a

  0

2π

 

φ0 cos nϕdϕ + 3π φ0 cos nϕdϕ

2 3π nϕ20π − sin nϕ π2 + sin nϕ23ππ 2 2 2 nπ 3n φ0 sin − sin n 2 π 4 nπ cos nπ − φ0 sin n 2

        

= πC m a

= πC m a

= πC m a = πC m a

Ahora: sin

 nπ

2

= 0 → n  =  par

cos nπ  = −1 → n  = impar 2

Cn  =   0 → n  =  par

cos nϕ cos mϕdϕ

n−1 φ (ρ, ϕ)

= A+

4 π

φ0

( m

−1) 2 m

ρ a

m



cos mϕ

⇒  A = - A ; A = 0

Finalmente: n−1 φ (ρ, ϕ)

E ρ

=

4 π

= −

φ0

−1) 2 m

( m

ρ a

m



cos mϕ

∂φ ∂ρ n−1

4 = − φ0 π

E ϕ

= −

−1) 2 am

( m

ρm

1

−

cos mϕ

1 ∂φ ρ ∂ϕ n−1

=

4 π

φ0

−1) 2 am

( m

ρm

1

−

sin mϕ

on on de la ecuaci´on on de Laplace donde x y y  es una 7-27 Hayt Hayt  Se sabe que V   = xy   es una soluci´ funci´ on on solamente de  y . Determine cual de estas es tambi´ tambi´en en soluci´on on de la ecuaci´on on de Laplace:

   Ejercicio Ejercicio

a-) V  a  = 100xy b-) V  b  = 100xy + 2 x c-) V  c  =  x + 3y d-) V  d  = 2xy  + y2 − x2 e-) V  e  = (xy)

2

Sabemos Sabemos que  ∇ 2 (xy ) = 0 Si se cumple esta condici´on on seria una ecuaci´on on de Laplace:

3

a-) ∇2 V   =

∂ 2 ∂ 2  ( xy ) +  ( yx ) = 0 ∂x 2 ∂y 2 



∇ V   =

x y yx + xy = 0 ⇒ =− =  α 2 x y

∇2 x   =

 0 No 100x =

2







b-) ∇2 50xy

= 50∇2 xy  = 0 Si

c-) ∇2 (x + 3y )

= 0 − 0 = 0  Si

d-) ∇2 2xy + y 2 − x2





= 0−2+2 =  0 No

e-) ∇

2

( )  xy

2

= xy ∇2 xy  = 0 si

4