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teoria PROBLEMA%20de%20C electromagnetica_ejercicios.doc %C3%A9ctricos
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CAPÍTULO 2
2.1. Se hallan cuatro hallan cuatro cargas positivas 10nC en el plano el plano z 0 en las esquinas de un cuadrado de 8cm Una quinta carga positiva 10nC se localiza en un punto a 8cm de distancia de las otras cargas magnitud de la fuerza total en esta quinta carga para 0 :
= =
Ordene las cargas en el plano xy localizadas en (4,4), (4,-4), (-4,4), y (-4,-4). Entonces la quin estar estar á en el eje z localizada en z 4 2, que está colocado a a 8cm de distancia de la c Por simetría, la fuerza en la quinta carga se dirigirá dirigirá a z y será cuatro veces la la componente z producida por cada una de las otras cuatro cargas .
=
√
2
= = √ 4 × 4πq d 2 = √ 4 × 0 2
F
2
(10−8 )2 -12
4π ( 8.85 × 10
2
= 4.0 × 10-4 N
)(0.08)
2.2. Una carga Q 1 0.1 µ C está localizada en el origen, origen , mientras Q2 0.2 µ C está enA( Encuentre los puntos en el plano z = 0 en que la l a componente x de una tercer a carga positiva e
=
=
Para resolver este problema, problema , las coordenadas z de la tercer a carga es inmaterial, inmaterial , así pode en el plano xy en las coordenadas (x,y, 0). Tomamos su magnitud para ser Q 3 . El vector diri carga a la tercera es R 13 x ax y ay ; el vector dirigido de la segunda carga a la tercera es R 23 (x 0.8)ax (y 0.6)ay . La fuerza en la tercera carga es ahora
= + +
= −
F3
=
Q3
+
Q1 R13
Q2 R23
|R13 |3 + |R23|3 −6 0.2[(x − 0.8)ax + (y + 0.6)ay ] y ay ) = Q34×π 10 0.(x1(x2 a+x + + y 2 )1.5 [(x − 0.8)2 + (y + 0.6)2 ]1.5 0 4π 0
Deseamos que la la componente x sea cero. ero. Así, Así, 0
=
0.1x ax
− 0.8)ax + [(x − 0.8)2 + (y + 0.6)2 ]1.5 (x 2 + y 2 )1.5 Sign up to vote on this title
o x [(x
0.2(x
Useful
Not useful
− 0.8)2 + (y + 0.6)2 ]1.5 = 2(0.8 − x)(x 2 + y 2 )1.5
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2.4. SeaQ1 8 µC localizada en P 1 (2, 5, 8) mientras Q2 a) Encuentre la fuerza F 2 , en Q2 : Esta fuerza será
=
= −5 µC está en P 2 (6, 15, 8).
Sea
× 10−6 )(−5 × 10−6 ) (4ax + 10ay ) F2 = = = (−1.15ax − 2.88ay 4π0 |R12 |3 4π0 (116)1.5 b) Encuentre las coordenadas de P 3 si una carga Q3 experimenta una fuerza total F3 = 0 en Q1 Q2 R12
(8
general será:
Q3
F3
Q1 R13
Q2 R23
= 4π |R |3 + |R |3 0 13 23 donde R13 = (x − 2)ax + (y − 5)ay y R23 = (x − 6)ax + (y − 15)ay . Note, sin emb todas las cargas deben quedar en una línea recta, y la localización de Q3 estará a lo largo de extendiéndose después de Q2 . La pendiente de este vector es (15 − 5)/(6 − 2) =
buscamos P3 en las coordenadas (x, 2.5x, 8). Con esta restricción, la fuerza se vuelve:
F3
Q3
= 4π
0
− 2)ax + 2.5(x − 2)ay ] − 5[(x − 6)ax + 2.5(x − 6)ay ] [(x − 2)2 + (2.5)2 (x − 2)2 ]1.5 [(x − 6)2 + (2.5)2 (x − 6)2 ]1.5 8[(x
en donde requerimos q ue el término en los grandes puntos singulares sea cero. Esto 8(x
− 2)[((2.5)2 + 1)(x − 6)2 ]1.5 − 5(x − 6)[((2.5)2 + 1)(x − 2)2 ]1.5 = 0
que se reduce a
− 6)2 − 5(x − 2)2 = 0 √ √ a Preview You're Reading 6 8− 2 5 √ = 21.1 x = √ − 8 5 trial. Unlock full access with a free 8(x
o
Las coordenadas de P 3 son así P 3 (21.1, 52.8, 8)
Download With Free Trial
2.5. S ea una carga puntual Q1 25 nC localizado en P 1 (4, a) Si
= 0 ,
encuentre E en P 3 (1, 2, 3): Este campo será
E
en donde Así
−2, 7) y una carga Q2= 60 nC está en
10−9
25R13
60R23
= 4π |R |3 + |R |3 0 13 23 √ 41 y vote on this R13 = −3ax + 4ay − 4az y R23 = 4ax − 2Sign ay +up |Rtitle | = 5azto . Además, 13 Useful Not useful 60 × (4ax − 2ay + 5az ) 10−9 25 × (−3ax + 4ay − 4az ) + E= 1 5 . 4π 0 (41) (45)1.5
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Las cargas puntuales de 120 nC están localizad as en A(0, 0, 1) y B(0, 0, a) Encuentre E en P (0.5, 0, 0): Este será
EP
=
donde RAP
= 0.5ax − az
y
120
× 10−9
RAP RAP 3
RBP RBP 3
−1) en espacio libre
| + | | √ RBP = 0 .5ax + az . Además , |RAP | = |RBP | = 1.25. Así 120 × 10−9 ax E = = 772 V/m 4π 0
P
|
4π( 1.25)1.5 0
b) ¿Qué carga simple en el origen proporcionaría un campo de fuerza id éntico? Requerimos Q0
4π0 (0.5)2 del que encontramos Q 0
= 772
= 21.5 nC.
2.7. Una carga puntual 2µC se localiza en A(4, 3, 5) en espacio libre. Encuentre E ρ, Eφ, y Ez en
× 10−6 RAP = 2 × 10−6 4ax + 9ay − 3az = 65.9a + 148.3a − 49.4 EP = x y 4π0 |RAP |3 4π 0 (106)1.5 √ Entonces, en el puntoP , ρ = 82 + 122 = 14.4, φ = tan−1 (12/8) = 56.3◦ , y z = z. Ahora, You're Reading a Preview Eρ = Ep · aρ = 65.9(ax · aρ ) + 148.3(ay · aρ ) = 65.9 cos(56.3◦ ) + 148.3 sen(56.3◦ ) = 159 Unlock full access with a free trial.
2
y
Free = Ep · aφ = 65.9(ax · aφ ) +Download aφ ) = −65Trial 148.3(ay ·With .9 sen(56.3◦ ) + 148.3 cos(56.3◦ ) = Finalmente, E z = −49.4 Eφ
2.8. Dadas las cargas puntuales de 1 µC enP 1 (0, 0, 0.5) y P 2 (0, 0, 0.5), y una carga de 2 µ encuentre E en P (0, 2, 1) en componentes esféricas, suponiendo 0 . Sign up to vote on this title El campo tomará la forma general: Useful Not useful − 6 R1 R3 10 2R2 EP R1 3 R2 3 R3 3 4π0
−
=
− =
−
| | + | | − | |
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2.9. Una carga puntual 100 nC se localiza en A( 1, 1, 3) en espacio libre. a) Encuentre el lugar geométrico de todos los puntos P(x,y,z) en que Ex
−
EP
=
100
× 10−9
4π 0
−
Ex
=
+ −
100
× 10−9
|
|
4π0
+ −
= 500 V/m: El cam
RAP RAP 3
donde R AP (x 1)ax (y 1)ay (z 3)az , y donde RAP 2 1/2 (z 3) ] . La componente x del campo será
= +
|
| = [(x + 1)2 + (y − 1
+ 1) = 500 V/m [(x + 1)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 ]1.5 (x
Y así nuestra condición se vuelve : (x
+ 1) = 0.56 [(x + 1)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 ]1.5
b) Encuentre y 1 si P ( 2, y1 , 3) está en ese lugar geométrico: En punto P , la condición del
−
3.19 d el cual
(y 1
= 1 + (y1 − 1)2
− 1)2 = 0.47, o y1 = 1.69 o 0.31
3
You're Reading a Preview
2.10. Las cargas de 20 y -20 nC están localizadas en (3, 0, 0) y d ( 3, 0, 0), respectivamente. Sea Unlock full access with a free trial. Determine E en P (0, y, 0): El campo será
−
| |
Download 20 With 10−9FreeRTrial 1 EP
=
×
R2 R2 3
|R1|3 − | | donde R1 , el vector de la carga positiva al punto P es ( −3, y, 0), y R2 , el vector de la carga negativa al punto P , es ( 3, y, 0). Las magnitudes de estos vectores son |R 1 | = | 9 + y 2 . Substituyendo estos en la expresión para EP produce Sign up to vote on this title Not useful 20 × 10−9 −Useful 6ax EP = 4π 0 (9 + y 2 )1.5
4π 0
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2.11. (continuación) b) Encuentre E en M( 1, 6, 5) en coordenadas cartesianas: Este campo será:
− 1.63 × 10−6 =
EM
4π0
ax
+ 6ay + 5az [1 + 36 + 25]1.5
= −30.11ax − 180.63ay − 150.53az .
o E M
c) Encuentre E en M( 1, 6, 5) en coordenadas cilíndricas: En M , ρ 80.54◦ , y z 5. Ahora
=
= √ 1 + 36 = 6.08, φ =
= EM · aρ = −30.11 cos φ − 180.63 sen φ = −183.12 Eφ = EM · aφ = −30.11(− sen φ) − 180.63 cos φ = 0 (como lo esperado así que EM = −183.12aρ − 150.53az. √ d) Encontrar E en M( 1, 6, 5) en coordenadas esféricas: En M , r = 1 + 36 + 25 = 7 .87, φ anteriormente), y θ = cos−1 (5/7.87) = 50.58◦ . Ahora, desde que la carga está en el orige Eρ
obtener solamente una componente radial de EM . Esta será : Er
= EM · ar = −30.11 sen θ cos φ − 180.63 sen θ sen φ − 150.53 cos θ = −237 You're Reading a Preview
−|x |−|ywith |−|za| existe access free trial. por encima de todos los espa cios lib ρfull 2.12. La densidad de carga volumétrica ρUnlock 0e v total presente: Esta será 8 veces la integral de ρv por encima del primer octante, o
=
Download With Free Trial
Q
=8
∞ ∞ ∞ 0
0
ρ0 e−x −y −z dx dy dz
0
= 8ρ0
2.13. Una densidad uniforme de carga voumétrica de 0.2 µC/m3 (note error en el libro) está presente esférica extendiéndose desde r 3 cm a r 5 cm. Si ρ vSign 0 por otra on parte: up to vote this title
=
=
=
Useful a) Encuentre la carga total presente por toda la cubierta: Esta será 2π
π
05
3
.05
Not useful
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2.14. Sea
= 5e−0.1ρ (π − |φ|) z2 +1 10 µC/m3 en la región 0 ≤ ρ ≤ 10, −π < φ < π , todo z, y ρ v = 0 por otra parte. ρv
a) Determine la carga total presente: Esta será la integral de ρv so bre la región donde existe; específicamente, ∞ π 10 1 5e−0.1ρ (π Q φ) 2 ρ dρ dφ dz z 10 −∞ −π 0
=
− | |
+
que se vuelve
Q
=5
0.1ρ
− e
10
( 0.1 (0.1)2
o
1)
0
π2
26.4
−∞
Finalmente,
= 5 × 26.4 × π
2
√
1
tan−1
10
− φ) z2 +1 10 dφ dz
(π
2
0
5
Q
Q
π
∞ − − −∞ ∞ = × √ ∞ z
10
−∞
z2
1
+ 10 dz
5(26.4)π 3
= √
10
= 1.29 × 103 µC = 1.2
a4,Preview región Reading π/ 2 < φ < π/ 2, b) Calcule la carga dentro de la You're 0 ρ límites así cambiados, la integral para las cargas se vuelve:
≤ ≤ −
−10 < z < 10: Con
Unlock full access with a free trial.
10
π/ 2
4
1 − φ) 2 ρ dρ dφ dz Download With Free Trial z + 10
=
Q
2
−10
0
5e−0.1ρ (π
0
Siguiendo con la misma evaluación procedemos como en el inciso a , obtenemosQ
= 0.182 m
2.15. Un volumen esférico que tiene un radio 2 µ m contiene una densidad uniforme de carga volumétric
a) ¿Qué carga totalse engloba en el volumen esférico? Sign up − − 6 3 15 2to vote on this title Q (4/3)π( 2 10 ) Este será 10 3.35 10 C . Useful Not useful b) Ahora suponga que una región grande contiene una de estas esferas pequeñas a cada ángul de 3mm en un lado, y que no hay carga entre las esferas. ¿Cuál es el promedio de la densid
=
×
×
=
×
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2.16. (continuación) Llevando fuera la integral, obtenemos
Q
= 10
r5
5
r4
r3
− 9 4 + 20 3
5
4
1 2
25◦
− 4 sen(2θ )
θ
1.1π
−
1
2cos
0
θ
2
.9 π
= 10(−3.39)(.0266)(.626) = 0.57 C 2.17. Una línea de carga uniforme de 16 nC/m está localizada a lo largo de la línea definida por y a) Encuentre E en P (1, 2, 3): Este será
= 2πρl |RRP |2 0 P donde RP = (1, 2, 3) − (1, −2, 5) = (0, 4, −2), y |RP |2 = 20. Así 16 × 10−9 4ay − 2az = 57.5a − 28.8a E =
=
EP
P
2π 0
20
b) Encuentre E en el punto en el plano z Con z 0, el campo general será
=
y
z
V/m
= 0 donde la dirección de E está dada por (1
2)ay ρl a(y You're Reading Preview
+ − 5az Ez=0 = (y + 2)2 + 25 2π 0 Unlock full access with a free trial. Requerimos |E z | = − |2Ey |, así 2(y + 2) = 5. Así y = 1/2, y el campo se vuelve: Download With Free Trial 2.5ay − 5az ρl Ez=0 = = 23ay − 46az 2π 0 (2.5)2 + 25
2.18. Una línea de cargas uniformes de 0 .4 µ C/m y y 0 .6 m, respectivamente. Sea 0.
=
=
−0.4 µ C/m se localizan en el plano x =0 en Sign up to vote on this title
a) Encuentre E en P(x, 0, z): En general, tendremos ρl
R+P
Useful
R−P
Not useful
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2.18. (continuación) b) Encuentre E en Q(2, 3, 4): Este campo será en general:
EQ
R+Q R+Q
ρl
R−Q R−Q
= 2π | | − | | 0 donde R+Q = (2, 3, 4) − (0, −.6, 4) = (2, 3.6, 0), y R−Q = (2, 3, 4) − (0, .6, 4) = (2, 2 Así 2ax + 3.6ay 2ax + 2.4ay ρl EQ = − = −625.8ax − 241.6ay V/m 2π 0 22 + (3.6)2 22 + (2.4)2
2.19. Una línea de carga uniforme 2 µC/m está localizada en el eje z . Encuentre E en coordenada P(1, 2 ,3) si la carga se extiende de < z < a) : Con la línea infinita, sabemos que el campo tendrá únicamente una compo en coordenadas cilíndricas (o x y y en componentes cartesianas). El campo de una línea el eje z es generalmente E [ρ l /(2π 0 ρ) ]aρ . Por lo tanto, en el punto P :
−∞
∞
=
ax
= 2πρl |RRzP |2 = (2 ×2π10 0 0 zP
−6 )
EP
+ 2ay = 7.2a + 14.4a x
5
y
kV/m
donde RzP es el vector que se extiende de la línea de carga al punto P , y es perpendicular eje z; es decir , R zP (1, 2, 3) (0, 0, 3) (1, 2, 0).
=
b)
−4 ≤ z ≤ 4: donde r
−
=
Aquí usamos la relación general
You're Reading a Preview
r r E Unlock fullP access with a 0freer trial. r 3 4π
=
ρl dz
− | − |
= ax + 2ay + 3az y r = zaz . Así la integral se vuelve Download With Free Trial (2 × 10−6 ) 4 ax + 2ay + (3 − z)az EP = dz 4π 0 −4 [5 + (3 − z)2 ]1.5
Usando las tablas integrales, obtenemos:
EP
= 3597
(ax
+ 2ay )(z − 3) + 5az (z2 − 6z + 14)
4
−4
/m up4to .9a ay title VSign 9.8 4.9az kV/m x on vote this
=
+
+
Useful Not useful Se invita a que el estudiante verifique que cuando evaluamos la expresión de arriba por encima z < , la componente z desaparece y las componentes x y y se vuelven como el encontr
∞
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2.21. Dos cargas lineales uniformes idénticas con ρ l 75 nC/m están localizadas en espacio libre en ¿Qué fuerza por la longitud unitaria hace a cada carga lineal ejercer en la otra? Las cargas son p y está separadas por 0.8 m. Así el campo de la carga en y 0.4 evaluado en la localización de l en y 0.4 será E [ρ l /(2π0 (0.8))]ay . La fuerza en una longitud diferencial de la línea en la localización positiva y es d F dq E ρ l dz E. Así la fuerza por longitud unitaria línea en y positiva se origina de la carga en y negativa es
=
= +
= −
=
F
=
1
= 0
ρl2 dz
2π 0 (0.8)
ay
=
= 1.26 × 10−4 ay N/m = 126 ay µN/m
La fuerza en la línea en y negativa es del mismo curso, pero con
−a y .
2.22. Una densidad de carga superficial uniforme de 5 nC/m2 está presente en la región x 0 , encuentre E en: a) P A (3, 0, 0): Usamos la de superposición integral:
= 0, −2
=
E donde r
=
ρs da r
− r 4π0 |r − r |3
= 3ax y r = y ay + zaz . La integral se vuelve : 3ax y ay zaz EP A You're Reading a Preview dy dz 4π0 −∞ −2 [9 y 2 z2 ]1.5 2
∞
ρs
=
− − + +
Unlock full access with a free trial.
Ya que los límites de la integración son simétricos sobre el origen, y d ado que las componente los integrandos exhiben la paridad impar (cambiando signos cuando cruzan el origen, pero por Free Trial x . Esto es evidente justamente de éstos integrarán a cero, dejandoDownload únicamenteWith la componente del problema. Realizando la integración de z primero en l a componente x , obtenemos (usando
Ex,PA
= 43πρs
0
3ρs
= 2π
0
∞ = − +− + = + −∞ − 2
2
1 3
dy
(9
tan
3ρs
z
y2) 1
9
y
3
2
−2
y2
z2
2π 0
2 2
dy (9
Sign up to vote on this title 106 V/m Useful Not useful
Se alienta al alumno a verificar que si los límites y donde
+ y2)
−∞ a ∞, el resultado ser ía que d
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teoria PROBLEMA%20de%20C electromagnetica_ejercicios.doc %C3%A9ctricos
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2.23. Dada la densidad de carga superficial, ρs encuentre E en :
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= 2 µC/m2 , en la región ρ < 0.2 m, z = 0, y es cero po
a) P A (ρ 0, z 0.5): Primero, reconocemos por simetría que únicamente un a component za z . Entonces, con presente. Considerando un punto general z en el eje z, tenemos r za z ρ aρ . La integral de superposición de la componente z de E será obtenemos r r
=
= − = Ez,P A
=
−
2π
ρs
= 4π
0
= 2ρs z 0
0 .2
√ − √ 0
0
z ρ dρ dφ
(ρ 2
1
z2
z2
+ z2 )1.5 = − 4π 0 z
1
+ 0.4
Con z
b)
2πρs
0 .2
1
+ z2
ρ2
0
= 0.5 m, la evaluación de arriba como Ez,P = 8.1.kV/m Con z en −0.5 m, evaluamos la expresión para Ez para obtener Ez,P = −8.1 kV/m . A
B
2.24. La densidad de carga superficial está posicionada en espacio libre como los siguientes : 20 nC/m2 en y 4, y 40 nC/m2 en z 2. Encuentre la magnitud de E en los tres puntos, ( 4, 3, 2), ( 2, 5 y (0, 0, 0). Ya que que las tres láminas son infinitas, la magnitud del campo asociado con cada un ρ s /(20 ), que es la posición independiente . Por esta razón, la magnitud del campo net ser á la en todas partes, mientras la dirección del campo dependerá en qué lado de una lámina dada se posi Tomamos el primer punto, por ejemplo, y encontramos
=
=
−
−
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EA
−9
= 20 ×210 0
9 10−9 full access 40 × 10a−free with + 30 ×2Unlock = 1130ax + 1695ay − 2260az V ay − aztrial. 2
ax
0
0
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La manitud de EA es así 3.04 kV/m. Esta será la magnitud en los otros dos puntos también .
2.25. Encontrar E en el origen si las siguientes distribuciones de cargas están presentes en espacio libre: en P (2, 0, 6); una densidad de carga lineal uniforme , 3nC/m en x 2, y 3; densidad 2 uniforme 0.2 nC/m en x 2. La suma de los campos al origen de cada carga en orden es : − − 9 9 Sign up to vote on this title (12 10 ) ( 2ax 6az ) (3 10 ) (2ax 3ay ) (0.2 10−9 )ax E Useful Not useful (4 9) 4π 0 2π0 20 (4 36)1.5
= × − − = + + = −3.9ax − 12.4ay − 2.5az V/m
= − =
×
− +
−
×
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2.27. Dado el campo eléctrico E (4x 2y) ax (2x 4y) ay , encuentre: a) la ecuación de línea de corriente que atraviesa el punto P (2, 3, 4): Escribimos
=
−
−
dy dx
+
−
= EEy = −(4(2xx−+24y)y) x
De este modo 2(x dy
+ y dx) = y dy − x d x
o 2 d(xy) Así C1
= 12 d(y 2 ) − 12 d(x2 )
+ 2xy = 21 y 2 − 12 x 2
o y2
Evaluand o en P (2, 3,
− x 2 = 4xy + C2
−4), obtenemos: 9 − 4 = 24 + C2 , or C 2 = −19
Finalmente, en P , la ecuación requerida es
You're Reading a Preview 2 2 y
− x = 4xy − 19
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b) un vector unitario especificando la dirección de E en Q(3, 2, 5): Tiene EQ Download With Trial 2 .12. Así E 4(2)]a y 16ax 2ay . Entonces 16 4Free 16
=
+
| |=
aQ
√
+ =
−
= [4(3) + 2(2
= 16a16x +.122ay = 0.99ax + 0.12ay
Sign up to vote on this title 2.28. Sea E 5x 3 a x 15x 2 y ay , y encuentre: a) la ecuación de la línea de corriente que atraviesa P (4 1): Escribimos , 2,Useful Not useful
=
−
dy
Ey
−15x 2 y
−3y
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2.28. (continuación) b) un vector unitario a E especificando la dirección de E en Q(3, EQ 301.9. De este modo aE 0 .45ax 0.89ay .
| |=
=
+
−2, 5): En Q, EQ = 135
c) un vector unitario a N (l, m, 0) que es perpendicular a aE en Q: Ya que este vector no componente z , podemos encontrarlo atravesando aN (aE az). Realizando estas, encontramos aN
=
=± ×
2.29. Si E 20e−5y cos 5x ax sen 5x ay , encontramos: a) E en P(π/6, 0.1, 2): Substituyend o este punto, obtenemos EP 12.2.
= | |
−
= −10.6ax − 6.1ay , y así
b) un vector unitario en la dirección de E P : El vector unitario asociado con E es justamente que evaluando en P se vuelve a E 0.87ax 0.50ay .
= −
−
c) la ecuación de la línea de dirección que pasa a través de P : Use dy
− sen 5x = − tan 5x ⇒ = dx cos 5x Así y
dy
= − tan 5x d x
= 15 ln cos 5x + C . Evaluando en P , encontramos C= 0.13, y así y
= 15 lncos5x + 0.13
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2.30. Dada la intensidad de campo eléctrico E 400 y a x 400x ay V/m, encuentre: a) la ecuación de la línea de corriente pasando a través del punto A(2, 1, 2): Escribe:
=
+
−
Download With Free Trial Ey x = = ⇒ dx E y dy
x dx
x
Así x 2
= y dy
= y 2 + C . Evaluando en A produce C = 3, así la ecuación se vuelve x2
3
−
y2
3
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2.31. En coordenadas cilíndricas con E(ρ,φ) Eρ (ρ,φ)aρ Eφ (ρ,φ)aφ , la ecuación diferencial las líneas de dirección es E ρ /Eφ dρ/(ρdφ) en cualquier plano z -constante. Derive la ecuac que pasa a través del punto P (ρ 4, φ 10◦ , z 2) en el campo E 2ρ 2 cos 3φ a ρ 2ρ Usando la información dada, escribimos
= = = = Eρ
Eφ
De este modo
dρ ρ
oρ
+
=
=
+
= ρddρφ = cot 3φ
= cot 3φ d φ ⇒
= 13 ln sen 3φ + ln C
ln ρ
= C(sen 3φ)1/3 . Evalúe esto en P para obtener C = 7.14. Finalmente, ρ 3 = 364 sen 3φ
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