Guía Probabilidades

M A A

R G

R E E NT R E N A M

I E N T

O R

O

P

Guía Cálculo de probabilidades

A D A Z N A V A

Desafío

Sea n un número entero positivo múltiplo de 10. Si se escoge al azar un u n número entero positivo menor o igual que n, ¿cuál es la probabilidad de que el número escogido sea par o múltiplo de 5? A) B) C) D) E)

N Ó I C A T I C R E J E E D A Í U G

0,2 0,5 0,6 0,7 Depende del valor de n.

Resolución

Mis observaciones

1 V 8 1 A T N E 4 0 0 I U G 2 2 T M

1

Programa Entrenamiento - Matemática

Marco teórico Probabilidad clásica Experimento aleatorio: es aquel en que el resultado no se puede predecir.

Espacio muestral: es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Evento o suceso ( A A): es un subconjunto del espacio muestral,

La cantidad de elementos del espacio muestral se conoce como “casos totales” o “casos posibles” del experimento.

La cantidad de elementos del evento o suceso se conoce como “casos favorables” del evento.

0 ≤ P ≤ ≤ 1 P = = 0 ⇒ evento imposible. P = = 1 ⇒ evento seguro.

denido por alguna condición.

La probabilidad de que ocurra A es el cuociente entre los casos favorables de A y los casos posibles del experimento.

Regla de Laplace P ( A A) =

casos favorables casos posibles

Probabilidad de que no ocurra A: P ( A A) = 1 – P (A) (A)

2

GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA

Tipos de probabilidades

Excluyentes: no es posible que ocurran simultáneamente.

Dependientes: la probabilidad de ocurrencia de uno está inuida por la probabilidad de ocurrencia del otro. Tipos de eventos

No excluyentes: es posible que ocurran simultáneamente.

Independientes: la probabilidad de ocurrencia ocurren cia de uno NO está inuida inuida por por la probabilidad de ocurrencia del otro.

Tipos de probabilidades

Producto de probabilidades: probabilidad de que ocurra A y B.

Probabilidad condicional: probabilidad de que ocurra B, dado que ocurrió A. ocurrió A.

Suma de probabilidades: probabilidad de que ocurra A o B.

Sucesos independientes: P ( A A∩B) = P ( A A) ⋅ P (B)

Sucesos independientes: P (B A /A) = P (B)

Sucesos excluyentes: (B) P ( A A∪B) = P ( A A) + P (B)

Sucesos dependientes: / A) P ( A A∩B) = P ( A A) ⋅ P (B A

Sucesos dependientes:

Sucesos no excluyentes: P ( A A∪B) = P ( A A) + P (B) – P ( A A∩B)

P (B A /A) =

P ( A/B A/B) =

P (B A /A) ⋅ P ( A A) P (B)

P ( A A∩B) P ( A A)

Teorema de Bayes

3


Ejercicios PSU

A continua continuación, ción, se presentan los siguientes ejercicios, de los cuales cuales sugerimos respond responder er

el máximo posible y luego, junto a tu profesor(a), revisar detalladamente las preguntas más representativas, correspondientes a cada grado de dicultad estimada. Solicita a tu profesor(a) que resuelva aquellos ejercicios que te hayan resultado más complejos.

1.

2.

Para poder realizar uno de sus actos más aclamados, un mago pone en su sombrero m bolitas, todas de igual peso y tamaño, de las cuales n son verdes y el resto, amarillas. Si la asistente del mago debe extraer una bolita al azar del sombrero para dar inicio a dicho acto, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea una bolita amarilla? A)

1–n m

B)

m – n m

C)

1–m+n m

D)

1–n m+n

E)

n m

Durante el proceso de selección de manzanas para su exportación, la probabilidad de encontrar

2 . Si durante el primer día de trabajo se han cosechado 280.000 7 manzanas, entonces ¿cuántas manzanas en mal estado se cosecharon ese día, teóricamente? una en mal estado es de

A) B) C) D) E)

4

80.000 120.000 150.000 180.000 200.000


3.

4.

Una caja contiene trece tarjetas de papel de igual forma y tamaño, en la que cada cada tarjeta tarjeta tiene escrita una de las letras de la palabra PERPENDICULAR. Si se extrae una tarjeta al azar, ¿cuál(es) de las siguientes armaciones es (son) verdadera(s)? I)

La probabilidad de extraer una consonante es mayor que la de extraer una vocal.

II)

La probabilidad de extraer una P es

III)

La probabilidad de extraer la letra I es 1.

A) B) C) D) E)

Solo I Solo II Solo I y II Solo II y III I, II y III

2 . 13

La tabla adjunta muestra información acerca de las preferencias de los estudiantes de primero

medio de un colegio técnico respecto a la especialidad que les gustaría seguir, considerando que esta puede ser Turismo o Gastronomía. Si se escoge un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que este pertenezca al 1° B y desee estudiar Turismo? Curso 1°A 1°B 1°C 1°D

A)

13 130

B)

5 16

C)

1 8

D)

2 13

E)

20 33

Turismo 15 20 17 12

Gastronomía 25 13 17 11

5


5.

6.

Marco y Marina visitan a su amiga Andrea, y han decidido llevarle llevarle de regalo sus sus dulces favoritos, los que son de igual forma y tamaño, variando solamente su sabor. Marco ha comprado 15 dulces, de los cuales 5 son de fresa; por su parte, Marina ha comprado 10 dulces de fresa, de un total de 20. Antes de entregárselos a su amiga, los han mezclado todos y los han puesto en una dulcera de color oscuro. Si Andrea, al recibir los dulces, ha decidido sacar uno al azar y comérselo, entonces ¿cuál es la probabilidad de que el dulce que tome Andrea sea de sabor a fresa? A)

1 2

B)

1 3

C)

3 4

D)

4 7

E)

3 7

En una urna solo hay chas de tres colores: azules, rojas y verdes, todas de igual peso y tamaño. Al escoger una cha al azar, la probabilidad probabilidad de que esta no sea roja es

que no sea verde es

17 . ¿Cuál es la probabilidad de que, al escoger una cha al azar, esta no 30

sea azul?

6

19 y la probabilidad de 30

A)

1 5

B)

3 10

C)

7 10

D)

4 5

E)

Faltan datos para determinarla.


7.

8.

En un curso de 40 estudiantes, los alumnos pueden inscribirse a teatro o atletismo, teniendo la posibilidad de integrase a una, a ambas o a ninguna de esas actividades. Luego de las inscripciones, 16 alumnos del curso se han inscrito en el grupo de teatro, 18 alumnos se han inscrito en el grupo de atletismo y 12 alumnos han decidido no inscribirse en ninguna de las dos actividades. Si se escoge una persona del curso al azar, ¿cuál es la probabilidad de que dicho alumno esté inscrito solo en atletismo? A)

1 4

B)

3 10

C)

3 8

D)

2 5

E)

9 20

En una caja hay 150 guras entre esferas y cubos, pintadas cada una de ellas de color verde o rojo. Se sabe, además, que 70 de las guras de la caja son cubos, 60 de las guras de la caja son verdes y que un 20% de las guras de la caja son cubos verdes. Si se extrae una gura al azar,

entonces la probabilidad de que esta sea una esfera roja es A)

2 15

B)

5 15

C)

8 15

D)

9 15

E)

12 15

7


9.

En una caja caja hay tarjetas blancas y negras, todas de igual forma forma y tamaño, de manera que si se escoge al azar una tarjeta, la probabilidad de que sea blanca es del 40%. Si al agregar diez tarjetas blancas a la caja, la probabilidad de escoger al azar una tarjeta blanca sube al 60%, ¿cuántas tarjetas blancas hay después de que se agregaron las tarjetas? A) B) C) D) E)

10.

8

22 30 20 18 No se puede determinar.

En una urna hay tres tipos de bolitas: las que tienen escrita escrita la letra P , las que tienen escrita la letra S y las que tienen escrita la letra U , todas de igual peso o tamaño. Se puede determinar la probabilidad de extraer al azar una bolita que tenga escrita la letra S, si se sabe que: (1) (2)

Diez bolitas tienen escrita la letra S. Dos de cada tres bolitas tiene escrita la letra U o o P .

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.


ín ntesis Estrategia de s í Un estudio de distribución de edades en Chile establece que alrededor del 20% de la población tiene 14 años o menos. Por Po r otro lado, también señala señal a que el 20% de la población tiene 55 años o más. Entonces, Ent onces, al escoger un grupo de personas pers onas al azar, teóricamente un quinto tendrá 14 años o menos y un quinto tendrá 55 años o más. ¿Se cumplirá ese pronóstico si las personas son escogidas: * en una esta de música de los años 70?

* en el cine, cuando estrenan una película de dibujos animados? * en el patio de una universidad? ¿Qué concepto matemático se encuentra detrás de esta diferencia de resultados?

11.

En el casillero de un profesor solo hay lápices de dos colores: 8 lápices rojos y 22 lápices azules. De los lápices rojos, 6 son de pasta y el resto son de mina, y de los lápices azules, 17 son de mina y el resto son de pasta. Si para corregir una prueba necesita un lápiz que sea rojo de cualquier tipo, o de pasta de cualquier color, ¿cuál es la probabilidad de que al sacar un lápiz al azar del casillero, este le sirva para corregir la prueba? A)

1 5

B)

13 30

C)

19 30

D)

23 30

E)

5 6

9


12.

13.

14.

10

En una canasta hay chas que tienen escrita una letra entre las cuatro primeras vocales, A, E, I y O, O, todas con igual forma y tamaño. Si la razón entre las chas que tienen escritas las vocales A y E es es 2 : 3, la razón entre las chas que tienen escritas las vocales A y O es 3 : 2, y la razón entre las que tienen escritas las vocales I y y E es es 1 : 3, entonces ¿cuál ¿cuál es la probabilidad de que al extraer al azar una cha esta tenga escrita la vocal A o la vocal O?

A)

5 9

B)

10 23

C)

1 2

D)

5 11

E)

Indeterminable con los datos dados.

Se lanzan dos dados comunes, siendo P la la suma de sus resultados. ¿Cuál(es) de los siguientes eventos tiene(n) una probabilidad de ocurrir mayor que 40%? I) II) III)

Que P sea sea un número primo. Que P sea sea menor que 5 o mayor que 9. Que P sea sea 6, 7 u 8.

A) B) C) D) E)

Solo III Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III

En una caja solo hay cubos azules, rojos y verdes, todos de igual peso y tamaño. Al escoger de la caja un cubo al azar, se puede calcular la probabilidad de que el cubo sea azul o rojo, si: (1) (2)

Los cubos verdes corresponden a la quinta parte del total. La cantidad de cubos rojos es igual a la cantidad de cubos azules.

A) B) C) D) E)



15.

En una tómbola hay bolitas blancas, rojas y naranjas, todas de igual peso y tamaño. Al extraer

una bolita al azar, se puede determinar la probabilidad de que sea roja o blanca, si se sabe que:

16.

2 . 3

(1)) (1

La probabilidad de extraer una bolita naranja o roja es

(2)) (2

La probabilidad de extraer una bolita blanca o naranja es

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola. (1) (2) por sí sola. Ambas juntas, (1 (1)) y (2). Cada una por sí sola, (1 (1)) ó (2). Se requiere información adicional.

8 . 15

Se tienen dos bandejas con galletas galletas de igual forma y tamaño, donde solo varía varía el tipo de relleno que poseen. La primera bandeja tiene 2 galletas rellenas con manjar, mientras que la segunda bandeja posee s galletas con dicho relleno. Si en cada bandeja hay m galletas, al escoger dos galletas al azar, una de cada bandeja, ¿cuál es la probabilidad de que ambas tengan relleno de manjar? A)

s + 2 m

B)

2s m

C)

s + 2 m2

D)

s2 m2

E)

2s m2

11


17.

En un frasco se tienen cinco dulces dulces de sabor naranja y siete siete de sabor a menta, todos todos de igual peso y tamaño. Si Isabel se venda los ojos, extrae un dulce y luego lo devuelve al frasco; después extrae un segundo dulce, pero esta vez se lo come y, nalmente, extrae un tercer dulce, ¿cuál es la probabilidad de que el primer dulce sea de menta, el segundo de naranja y el tercero sea de naranja nuevamente? A)

4 7 5 · · 12 12 11

B)

7 5 4 · · 12 11 11

C)

7 5 5 · · 12 12 11

D)

4 7 5 · · 12 11 10

E)

7 5 4 · · 12 12 12

18. Se tiene una baraja especial formada por cuatro cartas de corazón, tres cartas de pica, dos cartas de trébol y seis cartas de diamante. Si se escogen al azar tres cartas, una tras otra, sin reposici ón, entonces ¿cuál es la probabilidad de escoger, en ese orden, una carta de trébol, una carta de corazón y una carta de diamante?

12

A)

2 4 6 + + 15 14 13

B)

2 4 6 · · 15 15 15

C)

6 2 4 · · 15 14 13

D)

2 4 6 + + 15 15 15

E)

1 1 1 · · 15 14 13


19.

20.

En una jaula se introducen cuatro ratones de una misma especie: una hembra negra, una hembra blanca, un macho negro y un macho blanco. En esa especie, si dos ratones del mismo color se reproducen, entonces la cría siempre nace del mismo color de los padres. En cambio, si uno de los padres es de color blanco y el otro de color negro, entonces la cría siempre nace de color gris. Luego de dos semanas, los ratones de la jaula han formado dos parejas al azar y se han reproducido, teniendo cada pareja una cría. En ese momento, al escoger un ratón al azar de la jaula, ¿cuál ¿cuál es la probabilidad probabilidad de que el el ratón escogido escogido sea sea de color color gris?

A)

1 12

B)

1 6

C)

1 4

D)

1 3

E)

1 2

En un concurso organizado por un supermercado supermercado se sortean dos premios: una tarjeta de regalo o una compra gratis; pudiendo un mismo cliente ganar uno o ambos premios. Si la probabilidad de que un cliente gane ambos premios es del 0,5% y la probabilidad de que un cliente gane la compra gratis y no gane la tarjeta de regalo es un 4,5%, ¿cuál es la probabilidad de que un cliente gane una tarjeta de regalo? A) B) C) D) E)

21.

9,5% 85,5% 90% 4,5% 10%

Se tiene una lista con diez números naturales, ninguno de ellos repetido. Al extraer de la lista dos números al azar, uno tras otro y sin reposición, se puede determinar la probabilidad de que ambos sean pares, si: (1) (2)

El menor de los números es 5. Los números son consecutivos.

A) B) C) D) E)


13


22.

23.

Si se lanza una moneda siete veces, la probabilidad de obtener a lo más cuatro caras es A)

1 128

B)

127 128

C)

98 128

D)

35 128

E)

99 128

Al considerar el espacio muestral de un experimento que consiste consiste en lanzar cuatro monedas al mismo tiempo, es FALSO armar que: A) B) C) D) E)

24.

En un experimento de dos partes, la probabilidad de que la primera parte sea exitosa es 2m, con 0 < m < 0,25. Si eso ocurre, la probabilidad de que la segunda parte sea exitosa es m. En cambio, si la primera parte no es exitosa, la probabilidad de que la segunda parte no sea exitosa es 4m. Si la segunda parte del experimento no fue exitosa, entonces la probabilidad de que la primera parte haya sido exitosa se expresa siempre como A) B)

14

la cantidad de ocasiones en las que se obtendrán tres caras es la misma que la cantidad de ocasiones en las que se obtendrán tres sellos. está constituido por 16 elementos. en seis ocasiones se obtiene igual cantidad de caras que de sellos. en cuatro ocasiones la cantidad de caras obtenidas es menor que la de sellos. en quince ocasiones se obtiene a lo menos un sello.

1–m 3 – 5m m

2 – 3m

C)

2m 1–m

D)

2–m 1 – 3m

E)

un valor constante que no depende de m.


25.

En la gura adjunta se muestran tres bloques formados por cuadrados iguales, que pueden ser

blancos o grises. Si entre todos los cuadrados se escoge uno al azar y este resulta ser gris, entonces la probabilidad de que provenga del bloque 3 es

26.

A)

5 9

B)

1 4

C)

3 5

D)

1 2

E)

9 20

Bloque 1

Bloque 2

Bloque 3

Una niña, cuando va a la casa de su abuela, la mitad de las veces utiliza un camino A, un tercio de las veces utiliza un camino B y el resto de las veces utiliza un camino C . En su viaje, a veces se encuentra con un lobo, lo que ocurre una de cada nueve veces en el camino A, una de cada cinco veces en el camino B y una de cada cuatro veces en el camino C . Si la niña va a la casa de su abuela y se encuentra con el lobo, entonces la probabilidad de que haya sido en el camino B está más cercana al A) B) C) D) E)

20% 30% 10% 40% 50%

15


27.

28.

16

De un determinado experimento se pueden obtener solo dos resultados, A o B, donde la probabilidad de que ocurra A es de un 70%. Una vez obtenido los resultados se pueden obtener dos resultados más, C o o D, donde la probabilidad que se obtenga C dado dado que antes se obtuvo A es de un 25%, mientras que la probabilidad que se obtenga D dado que previamente se obtuvo B es de un 60%. Si el resultado que se obtuvo al término del experimento fue D, ¿cuál es la probabilidad de que inicialmente se haya obtenido A?

A)

21 40

B)

12 47

C)

9 50

D)

19 40

E)

35 47

Un bioquímico está realizando un estudio con 50 personas, el cual consiste consiste en analizar el efecto de beber café antes de acostarse respecto al tiempo que las personas demoran en dormirse. Para ello, se solicita a 30 personas que beban dos tazas de café media hora antes de irse a acostar, mientras que al resto se les pide que q ue no consuma café. Al cabo de dos semanas, 16 de las personas que beben café antes a ntes de acostarse indicaron que siempre se duermen como mínimo tres horas después de haberse acostado, mientras que solo 4 personas de las que no beben el café, indicaron lo mismo. Si se escoge al azar una persona que no se haya demorado siempre como mínimo tres horas en dormirse, ¿cuál es la probabilidad de que haya bebido las dos tazas de café media hora antes de irse a acostar? A)

3 5

B)

7 15

C)

7 25

D)

2 5

E)

8 15


29.

30.

En una tienda tienda hay 11 11 peluches con una cinta en el cuello, de los cuales 8 tienen forma de gato. Por otra parte, 9 peluches no tienen ninguna cinta, de los cuales solo 4 tienen forma de gato. Si los peluches que no tienen forma de gato corresponden a peluches con forma de perro, y se escoge un peluche al azar y resulta ser gato, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga una cinta en el cuello? A)

7 12

B)

5 27

C)

1 2

D)

7 10

E)

1 3

Se lanzan simultáneamente simultáneamente una moneda de $ 50 y una moneda de $ 100, cuatro millones de veces. Entonces, se puede armar que I) II) III)

exactamente dos millones de veces saldrá cara en la moneda de $ 50 y sello en la moneda de $ 100. teóricamente, un millón de veces saldrá cara en ambas monedas. teóricamente, tres millones de veces no saldrá cara en ninguna de las monedas.

Es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E)

solo I. solo II. solo I y III. solo II y III. I, II y III.

17


Torpedo Datos y Azar

Este torpedo resume aquellos conceptos de Educación Básica necesarios para comprender los contenidos de este eje temático. Revísalo y estúdialo, ya que te podría ser de utilidad al momento de la ejercitación.

Glosario Datos •

Población: conjunto sobre el cual se realiza el estudio estadístico.

•

•

dentro del total de la muestra.

Muestra: subconjunto de la población utilizada como estadístico.

datos

en

el

estudio

Variables cuantitativas: variables que representan una propiedad numérica. Pueden ser discretas (ciertos valores jos) o continuas (ciertos valores dentro de un intervalo).

•

Frecuencia relativa: proporción del dato

•

Frecuencia

•

frecuencia

relativa en forma de porcentaje. •

Frecuencia

acumulada:

•

Clases: intervalos donde se encuentran

suma de frecuencias desde el primer valor hasta el valor indicado. agrupado los datos de una variable estadística continua.

Frecuencia absoluta (o frecuencia): número de veces que aparece un dato dentro de la muestra o cantidad de elementos que agrupa un determinado intervalo.

porcentual:

Marca de clase: valor representativo de

•

un intervalo o clase. Se obtiene calculando el promedio entre los extremos de un intervalo.

Tipos de gráfcos

De barras

Polígono de frecuencia

Frecuencia

Frecuencia f 4 f 5 f 2 f 3

f i

f 1

x i

Dato

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5

Circular

Dato

Histograma Frecuencia

100

200

300

400

Dato

El histograma se utiliza para datos agrupados. En el gráfco circular , la información se representa en porcentajes.

18


Tablas Dato Frecuencia x 1

Frecuencia acumulada

f 1

Frecuencia porcentual

f 1

x 2

f 2

f 1+f 2

. . .

. . .

. . .

x k

f k

f 1+f 2+...

f 1 N f 2 N

f k N

Marca de clase

Frecuencia

[35 – 56[

35+56 2

17

[56 – 76]

56+76 2

8

• 100% • 100% . . .

+f k = N

Intervalos

• 100%

Medidas de tendencia central en datos no agrupados Moda: dato que más se repite dentro de la

Mediana: valor que ocupa la posición central

muestra

de una muestra (¡OJO! Los datos deben estar ORDENADOS)

(¡NO CONFUNDIR CON LA FRECUENCIA DE LA MODA!) Si todos los datos tienen la misma frecuencia, no existe moda (amodal). En una muestra puede haber más de un moda.

Promedio o media aritmética: x

Sea una muestra con una cantidad N de de datos: Si

es N es

es el dato que ocupa el lugar número

x k : Dato f k : Frecuencia del dato

+ 1 N + 2

.

Si N es un número par , entonces la mediana es el promedio entre los datos que ocupan los N lugares N y + 1. 2

x 1 • f 1 + x 2 • f 2+ x 3 • f 3 + ... + x k • f k

=

un número impar , entonces la mediana

2

N

Glosario Azar •

Experimento aleatorio: actividad cuyo

•

resultado no se puede predecir a pesar de que se manejen todas las condiciones. •

•

•

Suceso imposible: evento que no tiene elementos, es decir, la probabilidad de que ocurra es nula.

Eventos mutuamente excluyentes: eventos que no tienen ningún elemento en común, es decir, no ocurren simultáneamente.

Evento o suceso: subconjunto del espacio muestral que cumplen con alguna condición.

•

los mismos que los del espacio muestral, es decir, la probabilidad de que ocurra es uno, siempre ocurrirá.

Espacio muestral: conjunto de todos los posibles resultados distintos de un experimento.

Suceso seguro: evento cuyo elementos son

•

Eventos independientes: eventos cuya ocurrencia de cada uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.

A) ≤ 1 Sea A un evento en un determinado experimento aleatorio. 0 ≤ P ( A) P ( A A) =

número de casos favorables número de casos totales

⇒

(no A) = 1 – P ( A P (no A)

19


Tabla de corrección

Ítem

20

Alternativa

Habilidad Ha

Difcultad Estimada

1

Comprensión

Fácil

2

Aplicación

Media

3 4

Aplicación Aplicación

Fácil Fácil

5

Aplicación

Fácil

6 7

ASE ASE

Difícil Media

8

ASE

Media

9 10

ASE ASE

Difícil Media

11

Aplicación

Media

12

Aplicación

Difícil

13 14

ASE ASE

Media Media

15

ASE

Media

16 17

Comprensión Aplicación

Fácil Media

18

Aplicación

Fácil

19 20

ASE ASE

Difícil Difícil

21

ASE

Media

22 23


Media Fácil

24

Comprensión

Difícil

25 26


Media Difícil

27

Aplicación

Difícil

28 29

Aplicación

ASE

Media Fácil

30

ASE

Difícil


Mis apuntes

21


Mis apuntes

22


Mis apuntes

23

_____________________________________________________ Han colaborado en esta edición: Directora de Desarrollo Desarrollo Académico e Innovación Institucional Institucional Katherine González Terceros Coordinadora PSU Francisca Carrasco Fuenzalida Equipo Editorial Editorial Rodrigo Cortés Ramírez Pablo Echeverría Silva Marcelo Gajardo Vargas Andrés Grandón Guzmán Equipo Gráfco y Diagramación Diagramación Cynthia Ahumada Pérez Daniel Henríquez Fuentes Vania Muñoz Díaz Tania Muñoz Romero Elizabeth Rojas Alarcón Equipo de Corrección Corrección Idiomática Paula Santander Aguirre Imágenes Banco Archivo Cpech

El grupo Editorial Cpech ha puesto su esfuerzo en obtener los permisos correspondientes para utilizar las distintas obras con copyright que aparecen en esta publicación. En caso de presentarse alguna omisión o error, error, será enmendado en las siguientes siguientes ediciones a través de las inclusiones o correcciones necesarias.

Registro de propiedad intelectual de Cpech. Prohibida su reproducción total o parcial.

Guía Probabilidades

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