Guia Practica Promedio Movil

UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN Y TURISMO

GUÍA PARA PRÁCTICA

Promedio móvil 35 30

Valor

25 20 15 10 5 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Punto de datos Real

Pronóstico

Lic. Adm. RICARDO TOLEDO QUIÑONES HUARAZ – PERÚ - NOVIEMBRE - 2 006

UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”

FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN Y TURISMO

© Serie de Técnicas de Estudio: Ricardo Toledo Quiñones Noviembre – 2 006

Publicación para los estudiantes de la Facultad de Administración y Turismo. – Departamento Académico de Administración.

Universidad Nacional “Santiago Antúnez de Mayolo” Facultad de Administración y Turismo

PRONÓSTICOS: PROMEDIO MÓVIL 1.

OBJETIVO

Efectuar pronósticos sobre valores futuros mediante el modelo del Promedio Móvil Simple y el Promedio Móvil Ponderado, llamados también Media Móvil. 2.

CARACTERÍSTICAS

a) b)

Se utiliza para poder estimar valores futuros en base a datos históricos. Se requiere que la información esté ordenada cronológicamente, todos los periodos deben ser de la misma duración (meses, días, etc.), deben haber sido obtenidos por períodos uniformes de observación (“todas las semanas de lunes a viernes”), la información faltante debe ser suplida con información adecuada. Existen multiplicidad de técnicas, las empresas deciden por lo general por alguna de ellas luego de haber experimentado su bondad para el pronóstico, luego de haberlos aplicado a casos concretos. Proyecta valores en el período de pronósticos, basándose en el valor promedio de la variable calculada durante un número específico de períodos anteriores. Una media móvil proporciona información de tendencias que se vería enmascarada por una simple media de todos los datos históricos. Cuanto menor el número de períodos utilizados para el promedio móvil, el pronóstico responde en forma más rápida a los cambios que tienen los datos históricos y viceversa.

c) d)

e)

3.

PROCEDIMIENTO

a) b)

Tener la información histórica adecuada y confiable. El método de promedios más sencillo es el denominado Promedio Móvil Simple (PMS) de N períodos. Se selecciona un número de períodos N para realizar los cálculos. Después se calcula el promedio At de los datos Dt observados, de los N últimos períodos en el tiempo t. Esto se hace de la siguiente manera: PMS

c)

t

=

D t + D t − 1 + ..... + D t − N + 1 N

Dado que se supone que la serie de tiempo es suave o lisa, el mejor pronóstico para el período t + 1 es simplemente una prolongación de la demanda que se ha observado a lo largo del período t. Entonces se tiene que el pronóstico de la demanda para el período t + 1 es: F t + 1 = At Una variante de este método se conoce como del Promedio Móvil Ponderado de n periodos, que asigna a cada valor observado una ponderación deferente de acuerdo con la antigüedad de la información. La suma de las ponderaciones debe ser igual a 1 y se asignan de manera decreciente, siendo los pesos para los valores más antiguos menores o iguales que el período más reciente. La fórmula general es la siguiente: ^

y t +1 = α 0 yt + α1 yt −1 + ........ + α t − n +1 ^

Donde:

y = Valor pronosticado, y = valores históricos para poder pronosticar y

los α son los coeficientes de ponderación de los promedios móviles, con suma igual a uno.

Si se desea compararlo con el Promedio Móvil Simple se tendría las siguientes consideraciones: Elaboración: Ricardo Toledo Q. - 1 -


PROMEDIO MOVIL SIMPLE (PMS): Sean por ejemplo 3 valores históricos (N= 3) que forman parte de la serie que se desea pronosticar (V1, V2 y V3), siendo el primero el más antiguo, como Promedio Móvil Simple (PMS) se podría expresar del modo siguiente: PMS

t

=

1 1 1 V1 + V2 + V3 N N N

Como se puede notar 1/N es una constante, si dicho valor fuera igual a tendría: PMS

t

α , se

= α V1 + α V 2 + α V 3

Es decir si N = 3 y 1/N = 0,33333, la sumatoria de las 1/N o de los

α = 1.

Es posible optimizar el pronóstico, en el Excel, con la combinación de las 1 funciones: =SUMA y =DESREF, se busca que variando N, el error sea mínimo . PROMEDIO MOVIL PONDERADO (PMP): Para el caso anterior los valores α , pueden tomar valores que den un “peso” o ponderación determinado a cada valor V, por lo cual α ya no sería una constante, y la expresión sería: PMP

t

= α 1V 1 + α 2 V 2 + α 3 V 3

Sujeto a las restricciones siguientes:

α1 + α 2 + α 3 = 1 α1 <= α 2 α 2 <= α 3 Como el valor de α1 ,α 2 ,α 3 >= 0

α está entre Cero (0) y uno es decir: 0 ≤ α ≤ 1 , tenemos:

α1 ,α 2 , α 3 <= 1 Para la optimización de los valores α , el modelo con todas las restricciones o condiciones necesarias señaladas, se puede hallar con el Solver del Excel. La 2 Función objetivo del modelo sería: (MIN) RECM = Celda donde se halla RECM. Es posible utilizar sin embargo otro indicador para la optimización, tal como el Error Típico o el Error Absoluto. 1

2

Una aplicación se puede encontrar en: WINSTON Wayne, Investigación de Operaciones, aplicaciones y algoritmos, pp. 1276 – 1279. SAPAG CHAÍN, Nassir Evaluación de Proyectos de Inversión en la Empresa, pp. 63 – 66. Elaboración: Ricardo Toledo Q. - 2 -


d) e)

Proceder a procesar la información. Decidir si se toma el pronóstico o se busca otra metodología.

4.

VENTAJAS

a) b)

Permite aproximar el futuro, facilitando la toma de decisiones. Los pronósticos planeados, son más valiosos y exactos que los intuitivos.

5.

DESVENTAJAS

a)

No existe un método de pronóstico universal, capaz de adaptarse a todas las situaciones y circunstancias, éste debe seleccionarse cuidadosamente, dependiendo del uso específico que se le pretenda dar, del producto y las características cualitativas que podría tenerse. Son simplificaciones de la realidad y no se asegura que todas las variables que influyen sobre el futuro a pronosticar estén incluidas en el modelo de pronóstico. Sólo pronostica un período más. Un cuestionamiento al Promedio Móvil Simple se basa en que asigna el mismo peso relativo a las N observaciones incluidas en el análisis. Se requiere gran cantidad de información cuando existe una gran cantidad de productos con distintos comportamientos de ventas.

b) c) d) e)

6.

UTILIZACIÓN DEL EXCEL

En el Excel, se puede resolver mediante: Herramientas/Análisis de Datos/Media Móvil, aparecerá una ventana en la que se debe ingresar los datos que correspondan bajo las siguientes pautas: Rango de entrada: Introduzca la referencia de celda correspondiente al rango de datos que desee analizar. El rango deberá contener una única columna o fila con cuatro o más celdas de datos. Rótulos en la primera fila: Active esta casilla si la primera fila y la primera columna del rango de entrada contienen rótulos. Esta casilla de verificación estará desactivada si el rango de entrada carece de rótulos; Microsoft Excel generará los rótulos de datos correspondientes para la tabla de resultados. Intervalo: Introduzca el número de valores que desee incluir en la media móvil. El intervalo predeterminado es 3. Rango de salida: Introduzca la referencia correspondiente a la celda superior izquierda de la tabla de resultados. Si ha activado la casilla de verificación Error típico, Excel generará una tabla de resultados de dos columnas y presentará los valores de error típico en la columna de la derecha. Si no existen valores históricos para proyectar ni para calcular un error típico, Excel dará como respuesta el valor de error #N/A. El rango de salida debe estar en la misma hoja de cálculo que los datos empleados en el rango de entrada. Por este motivo, las opciones En una nueva hoja y En un nuevo libro no están disponibles. Crear gráfico: Active esta casilla para generar un gráfico de histograma incrustado con la tabla de resultados. Error típico: Active esta casilla si desea incluir una columna que contenga valores de error típico en la tabla de resultados. Desactívela si desea una tabla de resultados en una sola columna y sin valores de error típicos.

Elaboración: Ricardo Toledo Q.

- 3 -


OBSERVACIÓNES: Para que el Promedio Móvil resultante sea debidamente interpretado se debe considerar que el Excel asocia de manera no adecuada el pronóstico con un dato histórico, para lo cual se debe proceder a lo siguiente: a) Mover los resultados una línea. b) Corregir el gráfico de la serie del Promedio Móvil, que debe hacer referencia a la celda inicial que estará en blanco hasta el último Promedio Móvil, quedando así el pronóstico en la posición que corresponde. 7.

INTERVALOS DE CONFIANZA Un pronóstico es recomendable que no sea puntual y más bien se fundamente en un % de probabilidad o confianza que se pueda producir, para lo cual se tiene las alternativas siguientes para la generación de los intervalos de confianza: Aplicado a

Fórmula genera −

Población

X ± vσ

-

X

Muestra

X

=

V=

σ

−

X ± vs

Donde: −

−

Media de la Población o Muestra. Proporción en unidades desde la media (*) = Desviación estándar de la población

X -

X

s

−

= Desviación estándar de la muestra.

X

(*) Ver Cuadro que se muestra con valores más usuales, así al 95% para la desigualdad Chebyshev, t y Z son 4.4721, ver tabla y 1,96 respectivamente. SI

CARACTERÍSTICA REGLA No está normalmente Desigualdad de distribuida Chebyshev Está normalmente Distribución t de N < 30 distribuida Student Está normalmente Distribución N >= 30 distribuida normal Ejemplo para un 95% de confianza sería: 1 / 0 , 05 N < 30

TABLA O CÁLCULO Calcular: (1/2) (*) (1/(1-Nivel Confianza)) Distribución t Distr. Normal Estándar

Considerando que los niveles de confianza más usuales son 90%, 95% y 99%, se tiene los valores siguientes: Nivel de Desigualdad Valor Valor Confianza Chebyshev t (*) Z 90% 3.1623 Ver Tabla 1.6449 95% 4.4721 Ver Tabla 1.9600 99.0% 10.0000 Ver Tabla 2.9678 (*) Para el caso de la Distribución t es necesario buscar en la tabla de Porciones de Área para las distribuciones t con gl = n – 1. Es decir si se tienen por ejemplo 22 datos históricos gl = 22 – 1 = 21 y el valor t estará en la columna de acuerdo a los niveles de confianza definidos.


- 4 -


En el Anexo se consignan las Tablas de Distribución Normal y Distribución t de Student. 8.

EJERCICIOS RESUELTOS

1.

Una empresa desea pronosticar la producción del período 23 del Artículo XX (en miles de unidades). Ha obtenido información histórica. Se solicita: a) Hallar el pronóstico mediante el Promedio Móvil Simple (N = 3), y Graficar. b) Calcular el Error Típico: del período 23 y promedio. c) Calcular la Raíz Cuadrada del Error Cuadrático Medio (RECM) d) Hallar la Estadística Descriptiva, tanto para los datos históricos como los pronosticados (NOTA: Utilizar la opción del Excel: Herramientas/Análisis de datos/Estadística descriptiva). e) Interpretar los resultados antes obtenidos. f) Efectuar un pronóstico, pero esta vez basados en la Estadística Descriptiva de los datos históricos. Período Producción

1 593

2 570

3 486

4 854

5 797

6 362

7 594

8 271

9 45

10 254

11 433

Período Producción

12 529

13 994

14 319

15 610

16 748

17 832

18 193

19 720

20 415

21 536

22 850

a)

Utilizando el Excel se obtiene el resultado siguiente: (NOTA: se han efectuado las correcciones indicadas como observaciones en el ítem anterior). Período

Producción (Miles UU) 593 570 486 854 797 362 594 271 450 254 433 529 994 319 610 748 832 193 720 415 536 850

Promedio Móvil

Error Típico

1 2 #N/A #N/A 3 #N/A #N/A 4 550 #N/A 5 637 #N/A 6 712 139.59 7 671 223.52 8 584 185.06 9 409 195.46 10 438 80.15 11 325 89.85 12 379 51.94 13 405 88.03 14 652 212.27 15 614 270.36 16 641 261.37 17 559 203.07 18 730 125.28 19 591 261.11 20 582 250.30 21 443 243.79 22 557 82.35 23 600 145.53 Error Típico Promedio 172.72 Error Absoluto Promedio RECM = Raíz cuadrada del Error Cuadrático Medio = (*)

Error Absoluto

Error Cuadrático

304.33 160.33 350.33 77.00 313.33 41.00 184.33 108.00 150.00 588.67 333.00 4.00 107.00 273.00 537.00 129.00 166.67 93.33 293.00

92,618.78 25,706.78 122,733.44 5,929.00 98,177.78 1,681.00 33,978.78 11,664.00 22,500.00 346,528.44 110,889.00 16.00 11,449.00 74,529.00 288,369.00 16,641.00 27,777.78 8,711.11 85,849.00

221.75 270.06

(*) Sacar el promedio del Error Cuadrático (72 934,15) y luego de este valor, la raíz cuadrada.


- 5 -


b)

Para el período 23 el Error Típico sería: A B C D E F G

Histórico Pronosticado Diferencias Diferencias^2 Acum. de D Promedio E Raíz

Dato Dato A–B C^2 ∑D E/3 Raíz F

415 442,67 -27,67 765,44 63 539,89 21 179,96 145,53

536 557,00 -21,00 441,00

850 600,33 249,67 62 333,44

El Error Típico para el período 23 es 145,53 y el Error Típico Promedio para los datos pronosticados o modelo es 172,72. c)

Para el período 22 la Raíz Cuadrada del Error Cuadrático Medio (RECM), es igual a 270,06 (Notar que no es posible calcular el error cuadrático del período 23, ya que no ha sucedido aún, por lo que se tiene sólo el valor pronosticado): A B C D

Histórico Pronosticado Diferencias Diferencias^2

Dato Dato A–B C^2

850 557 293 85 849

La RECM = Raíz cuadrada del Error Cuadrático Medio en el modelo de pronóstico es de 270,06. d)

La Estadística Descriptiva es: DATOS HISTÓRICOS

MODELO DE PRONÓSTICO

Media 564.0909091 Error típico 46.98401262 Mediana 553 Moda #N/A Desviación estándar 220.3745533 Varianza de la muestra 48564.94372 Curtosis -0.803785335 Coeficiente de asimetría 0.159306345 Rango 801 Mínimo 193 Máximo 994 Suma 12410 Cuenta 22

Media 553.9666667 Error típico 25.88242534 Mediana 583 Moda #N/A Desviación estándar 115.749725 Varianza de la muestra 13397.99883 Curtosis -0.745574831 Coeficiente de asimetría -0.490298098 Rango 405 Mínimo 325 Máximo 730 Suma 11079.33333 Cuenta 20

e)

El pronóstico para el período 23 es 600 mil unidades. El Error Típico del Período Pronosticado (23) es 145,53 que como medida del valor de variación de la media es menor que la que del Error Típico Promedio = 172,72, la menor variación la tiene el Pronóstico efectuado para el período 12 con 51,94 y la mayor la del período 15 con 270,36, este error puede ser utilizado para comparar varios pronósticos cambiando el “N” (número de períodos que se tomen para calcular la el promedio móvil), prefiriendo la que tenga el menor Error Típico. Elaboración: Ricardo Toledo Q.

- 6 -


El Error Absoluto Promedio es de 221,75, indicándonos que entre el valor histórico de la producción y su valor pronosticado en promedio existe una diferencia o error de 221,75 mil unidades. La Raíz Cuadrada del Error Cuadrático Medio (RECM) es de 270,06, que es un indicador que al igual que el Error Típico Promedio y el Error Absoluto Promedio son medidas estadísticas que indican la variación entre los datos históricos y el pronóstico, con fines comparativos para poder buscar un modelo de pronóstico que minimice dicha variación o error. La variabilidad es mayor en los datos históricos que con el modelo, sus coeficientes de variación son 0,39 (220,37/564,09) y 0,20 (115,74/553,97) respectivamente. El rango es mayor en los datos históricos que van de 193 mil a 994 mil unidades, en el modelo esta variación va de 325 mil a 730 mil. En la gráfica que se muestra a continuación, se puede notar la gran variación histórica del período 13 que llega a 994 mil no llega a ser captada por el modelo (el pronóstico es de 405 mil, nótese que esta diferencia es captada por el error absoluto), el valor promedio de los Pronósticos efectuados es de 553,97 mil unidades, en tanto los datos históricos tienen una media de 564,09 mil unidades. Promedio móvil 1200 1000

Valor

800 600 400 200 0 1

2

3

4 5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Punto de datos Real

Pronóstico

A partir del Error Típico aplicado al Pronóstico del período 23, se puede fijar los parámetros de confianza, asumiendo que se acondiciona a una distribución normal y con N= 3, gl = 3 – 1 = 2, utilizando la Distribución t por ser el número de datos (3) utilizados para el cálculo de la media < 30. Pudiendo afirmar tal como se muestra en el Cuadro siguiente que el nivel promedio de la Producción pronosticado para el período 23 con un 95% de confianza estará entre 0 y 1227 mil unidades, que nos indica la alta variabilidad para el pronóstico. Nivel de Valor t Promedio Error Típico Intervalos (*) Confianza Gl = n - 1 (*) Móvil Valor Inferior Valor Superior 90% 2.920 600 145.5334 175 1,025 95% 4.303 600 145.5334 0 1,227 99.7% 9.925 600 145.5334 0 2,045 (*) Promedio Movil ± Valor t * Error Típico (no pudiendo adoptar valores negativos, en tanto la producción no puede ser negativa). Elaboración: Ricardo Toledo Q.

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f)

A partir de la estadística descriptiva de los DATOS HISTÓRICOS, puede considerarse que la producción a distintos niveles, considerando que n < 30 y asumiendo que se acondiciona a una distribución normal, utilizando la Distribución t de Student, con gl= 22 – 1 = 21, los parámetros de confianza son: Nivel de Valor t Media Error Típico Confianza gl = n - 1 (*) 90% 1.721 564.09 46.9840 95% 2.080 564.09 46.9840 99.0% 2.831 564.09 46.9840 (*) Promedio Movil ± Valor t * Error Típico

Intervalos (*) Valor Inferior Valor Superior 483 645 466 662 431 697

La Empresa podría utilizar esta metodología en vez del Promedio Móvil, en tanto demuestre en la Práctica que sus pronósticos son mejores a partir de la práctica, es decir de la comparación en varios períodos cual fue el resultado entre lo pronosticado y la producción realmente generada. 2.

Si tendría que decidir entre pronósticos alternativos con números de períodos N = 3, 4 o 5 para el Promedio Móvil Simple. Cuál escogería, ¿Por qué? (NOTA: Para poder dar una respuesta debe previamente estimar el promedio móvil con N = 4 y N = 5). Y siempre prefiera aquel pronóstico que tenga el menor Error Típico Promedio o la menor RECM = Raíz cuadrada del Error Cuadrático Medio. Para uniformizar los criterios en el curso se preferirá el RECM. RESPUESTAS: Error Típico Promedio Error Absoluto Promedio RECM

N=3 172.72 221.75 270.06

N=4 199.12 202.38 254.68

N=5 202.77 220.19 268.29

Si se eligiera por el Error Típico Promedio se escogería N=3, si es por el Error Absoluto Promedio se elegiría N=4, con la Raíz Cuadrada del Error Cuadrático Medio (RECM) N=4 sería la elegida. Bajo la recomendación teórica se escoge el pronóstico efectuado con N=4 basado en la RECM. 3.

Para el caso anterior, efectuar el análisis considerando lo siguiente: a) El PROMEDIO MOVIL PONDERADO con 4 períodos (NOTA: Para la optimización considere que la RECM = Raíz cuadrada del Error Cuadrático Medio, sea la mínima) y coméntelo. b) Cuál sería el resultado del análisis anterior si los valores históricos de los últimos períodos son: Período Producción

18 810

19 750

20 620

21 700

22 820

RESPUESTAS: a) El valor de los cuatro valores ponderados sería el mismo = 0,25, que lo hace equivalente al Promedio Móvil Simple, lo cual demuestra que el Promedio Móvil Ponderado es Equivalente al Promedio Móvil Simple si cada valor ponderado es igual a 1/N, además que el valor asignado de 1/N = 0,25 a cada factor ponderado α , ya se encuentra optimizado. b) El mejor pronóstico es 734 mil unidades, los valores ponderados son: Elaboración: Ricardo Toledo Q.

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α0 = α1 = α2 = α3 = Suma coef. pond. 4.

0.1952 0.1952 0.2809 0.3287 1.00

Considere la información del Cuadro que aparece a continuación, sobre ventas mensuales del año anterior (2XX0) en una empresa. a) Se debe aplicar el PROMEDIO MÓVIL PONDERADO de 4 meses para pronosticar su nivel de ventas para el mes de Enero del año 2XX1. Con la hoja de cálculo Excel, debe utilizar la herramienta Solver para determinar los coeficientes más adecuados sobre bases históricas, optimizar con . b) Escoger la ponderación más adecuada.(Nassir Sapag Chaín: Evaluación de Proyectos de Inversión en la Empresa - Pág. 63). MES

VENTAS REALES $ 305 657 314 827 324 272 334 000 308 002 316 626 325 492 334 605 327 066 333 607 340 279 347 085

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

RESPUESTAS: (se dan dos optimizaciones, para no confundirse utilizar siempre la RECM) Optimizando con Error Absoluto

Optimizando con RECM

α0 =

0.1756

0.2001

α1 =

0.1756

0.2001

α2 =

0.1756

0.2001

α3 = Suma coef. pond.

0.4731

0.3996

1.0000

1.0000

PRONÓSTICO: Ventas período Enero: $ 339 019 (optimizando la RECM), con error típico de 4 987,39. Los indicadores del error de pronóstico, para toda la serie de datos, son: Error Típico Promedio = 6 410,50, Error Absoluto = 8247.81 y RECM = 215,53. 9. 1.

EJERCICIOS PROPUESTOS Para el siguiente cuadro hallar el Promedio Móvil Simple con N = 5, comentar el pronóstico obtenido. Elaboración: Ricardo Toledo Q.

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Período Demanda

2.

3.

1

2 10

3 18

4 29

5 15

6 30

7 12

16

Período

9

10

11

12

13

14

15

Demanda

22

14

15

27

30

23

15

8 8

La empresa ZZ desea conocer la tendencia que tendrá para el siguiente período (período 11), la demanda del Artículo NN. Se solicita: a) Hallar el pronóstico mediante el Promedio Móvil Ponderado (N = 3). b) Calcular la Raíz Cuadrada del Error Cuadrático Medio. c) Hallar la Estadística Descriptiva, tanto para los datos históricos como los pronosticados (NOTA: Utilizar la opción del Excel: Herramientas/Análisis de datos/Estadística descriptiva). d) Interpretar los resultados. Período

Demanda

Período

Demanda

01

26

11

26

02

22

12

48

03

29

13

52

04

34

14

61

05

23

15

47

06

38

16

35

07

54

17

59

08

42

18

31

09

25

19

63

10

64

20

65

Para la siguiente serie de datos: a) Hallar el pronóstico para el período 48, con el método de Promedio Móvil Simple con N = 3, establecer la RECM y comentar sus resultados. b) Hallar el pronóstico para el período 48, con el método de Promedio Móvil Ponderado con N = 3, establecer la RECM y comentar sus resultados.

Período

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Demanda (miles)

21

20

16

18

16

18

12

12

13

13

17

24

Período

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Demanda (miles)

11

10

17

14

14

14

20

12

11

10

10

16

Período

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

Demanda (miles)

17

17

17

15

17

21

23

22

21

24

37

21

Período

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

Demanda (miles)

28

29

23

32

26

28

21

22

34

29

17

11


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BIBLIOGRAFÍA

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Investigación de Operaciones, aplicaciones y algoritmos. México, 2005, International Thomson Editores S.A., 1418 pág.


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ANEXO TABLA 1: DISTRIBUCIÓN NORMAL Áreas bajo la curva normal

Ejemplo:

Z

X

2 8

P [Z > 1] = 0.1587 P [Z > 1.96] = 0.0250

Desv. normal x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.5000 0.4602 0.4207 0.3821 0.3446

0.4960 0.4562 0.4168 0.3783 0.3409

0.4920 0.4522 0.4129 0.3745 0.3372

0.4880 0.4483 0.4090 0.3707 0.3336

0.4840 0.4443 0.4052 0.3669 0.3300

0.4801 0.4404 0.4013 0.3632 0.3264

0.4761 0.4364 0.3974 0.3594 0.3228

0.4721 0.4325 0.3936 0.3557 0.3192

0.4681 0.4286 0.3897 0.3520 0.3156

0.4641 0.4247 0.3859 0.3483 0.3121

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.3085 0.2743 0.2420 0.2119 0.1841

0.3050 0.2709 0.2389 0.2090 0.1814

0.3015 0.2676 0.2358 0.2061 0.1788

0.2981 0.2643 0.2327 0.2033 0.1762

0.2946 0.2611 0.2296 0.2005 0.1736

0.2912 0.2578 0.2266 0.1977 0.1711

0.2877 0.2546 0.2236 0.1949 0.1685

0.2843 0.2514 0.2206 0.1922 0.1660

0.2810 0.2483 0.2177 0.1894 0.1635

0.2776 0.2451 0.2148 0.1867 0.1611

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

0.1587 0.1357 0.1151 0.0968 0.0808

0.1562 0.1335 0.1131 0.0951 0.0793

0.1539 0.1314 0.1112 0.0934 0.0778

0.1515 0.1292 0.1093 0.0918 0.0764

0.1492 0.1271 0.1075 0.0901 0.0749

0.1469 0.1251 0.1056 0.0885 0.0735

0.1446 0.1230 0.1038 0.0869 0.0721

0.1423 0.1210 0.1020 0.0853 0.0708

0.1401 0.1190 0.1003 0.0838 0.0694

0.1379 0.1170 0.0985 0.0823 0.0681

1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

0.0668 0.0548 0.0446 0.0359 0.0287

0.0655 0.0537 0.0436 0.0351 0.0281

0.0643 0.0526 0.0427 0.0344 0.0274

0.0630 0.0516 0.0418 0.0336 0.0268

0.0618 0.0505 0.0409 0.0329 0.0262

0.0606 0.0495 0.0401 0.0322 0.0256

0.0594 0.0485 0.0392 0.0314 0.0250

0.0582 0.0475 0.0384 0.0307 0.0244

0.0571 0.0465 0.0375 0.0301 0.0239

0.0559 0.0455 0.0367 0.0294 0.0233

2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

0.0228 0.0179 0.0139 0.0107 0.0082

0.0222 0.0174 0.0136 0.0104 0.0080

0.0217 0.0170 0.0132 0.0102 0.0078

0.0212 0.0166 0.0129 0.0099 0.0075

0.0207 0.0162 0.0125 0.0096 0.0073

0.0202 0.0158 0.0122 0.0094 0.0071

0.0197 0.0154 0.0119 0.0091 0.0069

0.0192 0.0150 0.0116 0.0089 0.0068

0.0188 0.0146 0.0113 0.0087 0.0066

0.0183 0.0143 0.0110 0.0084 0.0064

2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0

0.0062 0.0047 0.0035 0.0026 0.0019 0.0013

0.0060 0.0045 0.0034 0.0025 0.0018 0.0013

0.0059 0.0044 0.0033 0.0024 0.0018 0.0013

0.0057 0.0043 0.0032 0.0023 0.0017 0.0012

0.0055 0.0041 0.0031 0.0023 0.0016 0.0012

0.0054 0.0040 0.0030 0.0022 0.0016 0.0011

0.0052 0.0039 0.0029 0.0021 0.0015 0.0011

0.0051 0.0038 0.0028 0.0021 0.0015 0.0011

0.0049 0.0037 0.0027 0.0020 0.0014 0.0010

0.0048 0.0036 0.0026 0.0019 0.0014 0.0010

TABLA 2: DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT Puntos de porcentaje de la distribución t Ejemplo Para = 10 grados de libertad: P[ t > 1.812] = 0.05 P[ t < -1.812] = 0.05

D

0,25

0,2

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

0,005

0,0005

1 2 3 4 5

1,000 0,816 0,765 0,741 0,727

1,376 1,061 0,978 0,941 0,920

1,963 1,386 1,250 1,190 1,156

3,078 1,886 1,638 1,533 1,476

6,314 2,920 2,353 2,132 2,015

12,706 4,303 3,182 2,776 2,571

31,821 6,965 4,541 3,747 3,365

63,656 9,925 5,841 4,604 4,032

636,578 31,600 12,924 8,610 6,869

6 7 8 9 10

0,718 0,711 0,706 0,703 0,700

0,906 0,896 0,889 0,883 0,879

1,134 1,119 1,108 1,100 1,093

1,440 1,415 1,397 1,383 1,372

1,943 1,895 1,860 1,833 1,812

2,447 2,365 2,306 2,262 2,228

3,143 2,998 2,896 2,821 2,764

3,707 3,499 3,355 3,250 3,169

5,959 5,408 5,041 4,781 4,587

11 12 13 14 15

0,697 0,695 0,694 0,692 0,691

0,876 0,873 0,870 0,868 0,866

1,088 1,083 1,079 1,076 1,074

1,363 1,356 1,350 1,345 1,341

1,796 1,782 1,771 1,761 1,753

2,201 2,179 2,160 2,145 2,131

2,718 2,681 2,650 2,624 2,602

3,106 3,055 3,012 2,977 2,947

4,437 4,318 4,221 4,140 4,073

16 17 18 19 20

0,690 0,689 0,688 0,688 0,687

0,865 0,863 0,862 0,861 0,860

1,071 1,069 1,067 1,066 1,064

1,337 1,333 1,330 1,328 1,325

1,746 1,740 1,734 1,729 1,725

2,120 2,110 2,101 2,093 2,086

2,583 2,567 2,552 2,539 2,528

2,921 2,898 2,878 2,861 2,845

4,015 3,965 3,922 3,883 3,850

21 22 23 24 25

0,686 0,686 0,685 0,685 0,684

0,859 0,858 0,858 0,857 0,856

1,063 1,061 1,060 1,059 1,058

1,323 1,321 1,319 1,318 1,316

1,721 1,717 1,714 1,711 1,708

2,080 2,074 2,069 2,064 2,060

2,518 2,508 2,500 2,492 2,485

2,831 2,819 2,807 2,797 2,787

3,819 3,792 3,768 3,745 3,725

26 27 28 29 30

0,684 0,684 0,683 0,683 0,683

0,856 0,855 0,855 0,854 0,854

1,058 1,057 1,056 1,055 1,055

1,315 1,314 1,313 1,311 1,310

1,706 1,703 1,701 1,699 1,697

2,056 2,052 2,048 2,045 2,042

2,479 2,473 2,467 2,462 2,457

2,779 2,771 2,763 2,756 2,750

3,707 3,689 3,674 3,660 3,646

40 60 120

0,681 0,679 0,677 0,674

0,851 0,848 0,845 0,842

1,050 1,045 1,041 1,036

1,303 1,296 1,289 1,282

1,684 1,671 1,658 1,645

2,021 2,000 1,980 1,960

2,423 2,390 2,358 2,326

2,704 2,660 2,617 2,576

3,551 3,460 3,373 3,290

r

FAT – 2 006 RTQ/MTC

Guia Practica Promedio Movil

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