UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE COMPUTACION UNIDAD ACADEMICA MATEMATICAS DE LA COMPUTACION ELEMENTOS DISCRETOS I
GUIA PRÁCTICA
SEMESTRE OCT2011-MAR2012 OCT2011-MAR2012
NOCIONES DE L GICA (PARTE I)
teórica: I.- Parte teórica: Lógica. Razonamiento. Tipos de Razonamiento: Deductivo e Inductivo. Proposición. Proposición simple. Proposición compuesta. Premisa. Conclusión. Valor de verdad. Lenguaje de la lógica simbólica. Alfabeto (entre ellos, símbolos del metalenguaje), reglas de formación, axiomas o cadenas iniciales y reglas de transformación. Conectivos lógicos. Tablas de verdad. Agrupación y paréntesis. Tautología. Contradicción. Contingencia. Equivalencia lógica. Leyes lógicas. Simplificación de fórmulas bien formadas. 1.
Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos:
1.1.- Cualquier proposición compuesta que contenga condicionales o bicondicionales puede ser escrita como una proposición compuesta equivalente solo con ∧, ∨ y ¬. verdadero falso 2.
1.2.- Es falso que la proposición p ↔ q es equival equivalente ente a (p Æ q) ∨ (q Æ p). verdadero falso 1.3.- Es verdadero que una expresión imperativa es una proposición. verdadero falso
Selección múltiple:
2.1. Sean p, q, r y s las siguientes proposiciones: p: Termino de escribir mi programa de computación antes de comer, q: Juego al tenis por la tarde, r: Hace sol, s: Hay poca humedad. La expresión (p ∧ r ∧ r ∧ s) Æ q equivale a decir: (Seleccione la respuesta correcta) correcta) a) Si termino de escribir mi programa de computación antes de comer y hace sol entonces si hay poca humedad jugaré al tenis por la la tarde. b) Jugaré al tenis por la tarde siempre que termine de escribir mi programa de computación antes de comer, haga sol y haya poca humedad. c) Es necesario que termine de escribir mi programa de computación antes de comer y haga sol y haya poca humedad para que juegue al tenis por la tarde. d) Ninguna de las anteriores. anteriores. 2.2. Indique cuantas filas se necesitan para la tabla de verdad de la proposición (p ∨ ¬q) ↔ [(¬ r ∧ s ) Æ t] (Seleccione la respuesta correcta) correcta) [(¬r ∧ a) 16 b) 32 c) 64 d) Ninguna de las anteriores. anteriores. 2.3. La expresión ¬ (p ∨ q) ¬ p ∨ ¬q es: (Seleccione la respuesta correcta) correcta) a) Ley de De Morgan. b) Ley lógica. c) Axioma. d) Ninguna de las anteriores. anteriores. ≡
NOCIONES DE L GICA (PARTE I)
teórica: I.- Parte teórica: Lógica. Razonamiento. Tipos de Razonamiento: Deductivo e Inductivo. Proposición. Proposición simple. Proposición compuesta. Premisa. Conclusión. Valor de verdad. Lenguaje de la lógica simbólica. Alfabeto (entre ellos, símbolos del metalenguaje), reglas de formación, axiomas o cadenas iniciales y reglas de transformación. Conectivos lógicos. Tablas de verdad. Agrupación y paréntesis. Tautología. Contradicción. Contingencia. Equivalencia lógica. Leyes lógicas. Simplificación de fórmulas bien formadas. 1.
Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos:
1.1.- Cualquier proposición compuesta que contenga condicionales o bicondicionales puede ser escrita como una proposición compuesta equivalente solo con ∧, ∨ y ¬. verdadero falso 2.
1.2.- Es falso que la proposición p ↔ q es equival equivalente ente a (p Æ q) ∨ (q Æ p). verdadero falso 1.3.- Es verdadero que una expresión imperativa es una proposición. verdadero falso
Selección múltiple:
2.1. Sean p, q, r y s las siguientes proposiciones: p: Termino de escribir mi programa de computación antes de comer, q: Juego al tenis por la tarde, r: Hace sol, s: Hay poca humedad. La expresión (p ∧ r ∧ r ∧ s) Æ q equivale a decir: (Seleccione la respuesta correcta) correcta) a) Si termino de escribir mi programa de computación antes de comer y hace sol entonces si hay poca humedad jugaré al tenis por la la tarde. b) Jugaré al tenis por la tarde siempre que termine de escribir mi programa de computación antes de comer, haga sol y haya poca humedad. c) Es necesario que termine de escribir mi programa de computación antes de comer y haga sol y haya poca humedad para que juegue al tenis por la tarde. d) Ninguna de las anteriores. anteriores. 2.2. Indique cuantas filas se necesitan para la tabla de verdad de la proposición (p ∨ ¬q) ↔ [(¬ r ∧ s ) Æ t] (Seleccione la respuesta correcta) correcta) [(¬r ∧ a) 16 b) 32 c) 64 d) Ninguna de las anteriores. anteriores. 2.3. La expresión ¬ (p ∨ q) ¬ p ∨ ¬q es: (Seleccione la respuesta correcta) correcta) a) Ley de De Morgan. b) Ley lógica. c) Axioma. d) Ninguna de las anteriores. anteriores. ≡
II.- Parte práctica: práctica: 1.
Indique si las siguientes expresiones son proposiciones, en caso de serlo diga si son simples o compuestas. Para aquellas que sean compuestas simbolícelas usando la lógica simbólica: a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. q.
2.
Congreso nacional sobre multimedia. Los nuevos programas de reconocimiento de voz tienen a todos hablando. Si x > 3 entonces x > 5 No hables con la la boca llena. Es necesario que Chuo tenga 18 años para que pueda votar en las Mega-elecciones. 125 es divisible por 5 En Mérida se realizó el IV Congreso Nacional sobre sobre Multimedia y Videoconferencias. ¡Caramba! Por fin, existen computadoras computadoras de bolsillo. ¿Es cierto que el romero es bueno para la caída del cabello? El número natural n es par o es impar. La impresora DocuPrint de Xerox reduce los costos de impresión. Si Juan estuvo ayer en el pa el partido, rtido, necesitará dormir. dormir. Usted puede obtener éste programa y sus archivos correspondientes si visita Internet. El carro involucrado en el accidente era verde o azul. ¡Disculpe!, ¿Qué hora es? Amanece en Singapur. Sara y María son hermanas de Pedro.
Si p significa: “Juan dice la verdad” y q: “Jaime miente”, exprese simbólicamente las siguientes proposiciones: a. Juan o Jaime mienten. b. Juan o Jaime dicen la verdad. c. Si Juan dice la verdad, entonces Jaime miente. d. No es cierto que Juan o Jaime digan digan mentiras. e. Juan miente si solo si Jaime dice la verdad. f. No es cierto que, ni Juan miente miente ni Jaime dice dice la verdad. g. Juan dice la verdad solo si Jaime miente. h. Es necesario que Jaime no mienta para que Juan no diga la verdad. i. Siempre que Jaime diga la verdad, Juan mentirá. j. Es suficiente con que Juan diga la verdad para que Jaime no mienta.
3.
Sean las proposiciones simples: p: Los invitados hacen su llegada. q: El asado está crudo. r : Las papas ya están listas. Escriba en forma simbólica las proposiciones siguientes: a. b. c. d.
4.
Los invitados hacen su llegada y el asado está crudo. Las papas no están listas y el asado está crudo. Los invitados hacen su llegada, y una de dos, las papas están listas o el asado está crudo. El asado está listo, o ambas, los invitados hacen su llegada y las papas no están listas.
Si p significa: “El régimen de permanencia es aplicado” y q “Hay disturbios en la UC”, expresa en lenguaje natural cada una de las siguientes proposiciones: a. p ∧ q b. p → q c. ¬(p ∧ ¬q)
d. e. f.
¬(¬ p ∨ ¬q) ¬(¬ p) ¬(¬q → p)
5.
Proporcione una frase para cada proposición simple y exprese en lenguaje natural, el significado de cada expresión: a. p ↔ (q ∧ r) b. q Æ(¬ p ∨ r)
6.
c. d.
(r ↔ p) Æ ¬q (p ∧ q) ∨ ¬(p∨q)
Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones sin usar tablas de verdad: a. Sí 7<16 entonces 40>34. b. Sí 5=10 entonces 10=7+3. c. No es cierto que sí 8+10=6 entonces 8=4+4. d. 9<25 sí 64>16.
7.
Para cada una de las siguientes proposiciones, verifique si la información dada es suficiente para determinar el valor de verdad de la proposición. a. (p → q) → r b. ¬ (p ∨ (q Æ t)) ∧ (¬ t Æ (p ∨ q)) c. (p ∨ q) ↔ (p ∧q) d. (p ∨ q) → (p ∧ s) e. p ∧ (r ↔ p)
8.
r ≡ v t≡vyp≡v p≡v p ≡ v, s ≡ f p≡v
Suponiendo que p y q son verdaderas y r y s son falsas, hallar los valores de verdad de las siguientes expresiones: a. p∨ (q ∧ r) b. [p ∨ (q ∧ r)] ∨ ¬[(p ∨ q) ∧ (r ∨ s)] c. [¬(p ∧ q) ∨ ¬r] ∨ ([(¬ p ∧ q) ∨ ¬r] ∧ s)
9.
Agrupe en las siguientes proposiciones para eliminar ambigüedades: a. p Æ ¬ q ∨ r ∧ s ↔ q ∧ r b. ¬ p ∧ s Æ q ∧ r Æ t Æ p c. p Æ t ∨ ¬ q ∨ s Æ ¬ r ∧ ¬ s Æ q d. q ∧ t ∨ p Æ ¬ s ∧ t ∨ q
10. Simbolice los siguientes enunciados: a. Ni come ni deja comer. b. Sólo tendrás éxito si prestas atención. c. Aunque lo he intentado, no he llegado a tiempo. d. María y Julia prometen mucho pero ni María ni Julia cumplirán. e. Alicia miró en derredor y vio muchas flores y hojas de hierba, pero nada que tuviera el aspecto de ser lo que debía comer o beber en esas circunstancias. f. Entrena todos los días pero no le vale de nada. g. O bien si no entiendes es muy difícil o bien es porque no estudiaste. h. Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería que hay vida extraterrestre. i. La lógica trata de cómo piensa la gente, o de cómo se debería pensar, o de ninguna de ambas cosas. j. No se da el caso de que, si Edgar presenta una queja, entonces Jesús investigará y Sonia no será descalificada. k. Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy loco y dejaría que me internaran en un psiquiátrico. l. Si la liebre está alerta y es rápida, ni el zorro ni el lince podrán atraparla. m. O bien, que José haya preguntado por María es condición necesaria para que Carmen esté enojada, o bien que Carmen esté enojada no es condición suficiente para que José haya preguntado por María.
n.
Los modernos computadores digitales fueron inventados con la idea de facilitar y acelerar cálculos complicados. Su capacidad de almacenamiento y de acceso a grandes masas de información juega un papel dominante y por ello se considera esta su característica primordial. o. Juan sabe o C, o Pascal, o Prolog, y disfruta trabajando con la gente. De otro modo, él no sería un programador destacado. p. El resultado obtenido es superior al previsto en 5 unidades, solo si no se ha realizado el proceso a la temperatura adecuada o a la existencia de errores en los cálculos finales. q. Para que el cáncer pueda curarse es necesario que se logre determinar su causa y se consiga encontrar fármacos adecuados o bien para prevenirlo o para curarlo. r. Si tuvieran que justificarse ciertos hechos por su enorme tradición entonces, si estos hechos son inofensivos y respetan a todo ser viviente y al medio ambiente, no generarían problemas. Pero si estos hechos no son inofensivos o no son respetuosos con los seres vivientes o el medio ambiente, entonces habría que dejar de justificarlos o no podríamos considerarnos dignos de nuestro tiempo. 11. Escribir el recíproco, contrario y contrarecíproco de las siguientes expresiones: a. b.
Obtendrás puntaje extra, si entregas a tiempo la tarea. Ir a las clases y prácticas de lógica, es condición suficiente para aprobar esa asignatura.
12. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son tautologías, contingencias o contradicciones? Utilice tablas de verdad. a. [p ∧ (q ∨ r)] ↔ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] b. (p → q) → [¬(q ∧ r) → ¬(r ∧ p)] c. p ∧ [ (q ∧ ¬ p) ∨ (¬q ∧ ¬ p)] d. (s Æ t) Æ (¬ t Æ ¬ s) e. [(p Æ q) ∧ (r Æ ¬ p) ∧ (q Æ p)] Æ (¬ q ∧ ¬ r) f. [t Æ (u Æ w)] Æ [(t Æ u) Æ (t Æ w)] g. [(p Æ q) ∧ (q Æ r)] Æ (p Æ r) 13. Simplifique las siguientes expresiones. Diga si es tautología, contingencia o contradicción, sin usar tablas de verdad. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p.
(p ∧ q) → p q ↔ (¬ p ∨ ¬q) [¬ (r ∧ s) ∨ (r ∨ s)] ∧ [¬ (r ∨ s) ∧ (r ∧ s)] (p → q) → [¬(q ∧ r) → ¬(r ∧ p)] (¬q ∧ (p → q)) → ¬ p [(¬ t ∧ u) ∨ (t ∨ ¬u)] Æ [(t Æ (u ∨ s)) Æ (t Æ s)] p Æ [((p ∨ q) Æ r) Æ((¬ s Æ ¬ r) Æ s)] (s Æ t) ∧ ¬ t ∧ s [(p Æ r) ∧ (r Æ q)] Æ (p Æ r) (p Æ q) Æ [(p Æ (q Æ r)) Æ (p Æ r)] ¬ [(m Æ n) Æ ((m Æ (n Æ s)) Æ (m Æ s))] [(t ∨ u) ∧ w] Æ (u ↔ t) [(m ∨ n) ∧ (n Æ p) ∧ ¬ p] Æ m [¬ (¬ t ∧ u) ∧ (t ∧ u)] Æ [r Æ (s Æ (t ∧ u))] [(¬ p ∨ q) ∧ (p ∧ (p ∧ q))] ↔ (p ∧ q) [m ∧ [¬ m ∨ (n ∧ (n ∨ t))]] ∧ (¬ m ∨ ¬ n)
14. Demuestre (sin usar tablas de verdad) que las siguientes proposiciones son equivalentes: a. (p → p) ≡ [(p ∧ ¬ p) → ¬(r ∧ ¬r)] b. [(p → q) ∨ (¬ p ∨ q)] → ¬ p ≡ ¬(p ∧ q) c. p → (q ∧ r) ≡ (p → q) ∧ (p → r) d. ¬[¬ p ∨ ¬(r ∨ s)] ≡ (p ∧ r) ∨ (p ∧ s)
e. (p ∨ r) ∧ (q ∨ s) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ s) ∨ (r ∧ q) ∨ (r ∧ s) f. p ↔ [(p Æ t) ∧ (¬ t Æ ¬ p) ∧ ¬(p ∧ ¬ t)] (t ∧ p) g. [(¬ p Æ q) ∨ (q Æ p)] ∧ [(p ∨ r) ∨ (s ∧ r)] (p ∨ r) h. (¬ p ∨ ¬ q) Æ (p ∧ q ∧ r) ¬ (p Æ ¬ q) i. p ∧ [[¬ q Æ (r ∧ r)] ∨ ¬[q ∨ ((r ∧ s) ∨ (r ∧ ¬ s))]] p j. ¬ (p ∨ q) ∨ [(¬ p ∧ q) ∨ ¬ q] ¬ (p ∧ q) ≡
≡
≡
≡
≡
15. El conectivo ‘/’ se define por la siguiente tabla de verdad: p v v f f
q v f v f
p/q f v v v
____ p/q ≡ ____
¿Cómo se puede expresar ‘/’, en términos de alguno(s) de los conectivos lógicos ya conocidos? Muestre sin usar tablas de verdad que las siguientes expresiones son tautologías: a. p/p ↔ ¬ p
b.
(p/p) / (q/q) ↔ (p ∨ q)
16. El conectivo ‘⊕’ se define por la siguiente tabla de verdad: p v v f f
q v f v f
p⊕q f f f v
____ p⊕q ≡ ____
¿Cómo se puede expresar ‘⊕’, en términos de alguno(s) de los conectivos lógicos ya conocidos? Para cada una de las siguientes proposiciones, halle una equivalencia en la cual sólo se utilicen las letras que representan las proposiciones: p, q,... y el conectivo ‘⊕’. a.
¬ p
b. p ∨ q
17. El conectivo “nosi” se denota por ↑. La proposición p “nosi” q es falsa excepto cuando p es verdadera y q es falsa, en cuyo caso p “nosi” q es verdadera. Escriba la tabla de verdad de p↑q. 18. Seleccione la alternativa correcta del siguientes problema: X es rojo si y sólo si Y es verde. Y no es verde si y sólo si Z es azul. Luego: a. b. c. d.
Si Z es azul, X no es rojo. Si Z es amarillo, X no es rojo. Si X no es rojo, Z no es azul. Si Z es azul, Y es amarillo.
19. Supongamos la existencia de un mundo donde se dan los siguientes hechos: Si un “tru-cu-trú” es un monstruo, entonces es un “guzi-gú” con lengua doble. Los “centellas” tienen los ojos azules pero no son peces. El “guzi-gú” lengua doble tiene 3 orejas. Sabiendo que el “tru-cu-trú” es un monstruo, indicar si cada una de las siguientes conclusiones es verdadera o falsa: a. b. c.
Si una criatura no tiene 3 orejas, no es un “guzi-gú” lengua doble. Los “centellas” son peces. Los “tru-cu-trú” tienen 3 orejas.
20. Simbolice los siguientes razonamientos señalando las premisas y la conclusión: a. b.
c.
d.
e. f.
g. h.
i. j. k. l.
m.
n.
o.
Si 10 es un número primo, 10 no puede ser igual a 2 por 5. 10 es igual a 2 por 5. Por lo tanto, 10 no puede ser primo. Si usa una buena carnada, entonces si los peces están mordiendo entonces el pesca en el límite legal. El usa una buena carnada, pero no pesca en el límite legal; por lo tanto, los peces no muerden. La lógica simbólica, conjuntamente con las matemáticas son las dos ciencias estructurales de la civilización moderna; ahora bien, debemos tener en cuenta que esta lógica es el fundamento de la matemática actual; por lo tanto, la lógica es la ciencia básica de la civilización de nuestros días y la matriz de las formas del futuro. Si los payasos no llegan o el ponqué no está a tiempo, entonces la piñata tendría que cancelarse y Susana se enojaría. Si la piñata se cancelara, habría que llamar a los invitados. No se llamó a los invitados. Por lo tanto, el ponqué estuvo a tiempo. Si hay neblina será difícil conducir. Si no es fácil conducir llegaré tarde, esto si no salgo temprano. Hay neblina. Luego, salgo temprano. Es necesario no pensar mucho para creerse el noticiero o no comprar prensa. No es cierto que, si se tiene la cabeza grande entonces se piensa mucho, esto siempre que no nos preocupemos. Ahora bien, nos preocupamos sólo si, no se compra prensa o se cree el noticiero. Así que, si se tiene la cabeza grande no nos preocupamos. Cuando vengo, o estás trabajando o durmiendo. Si estás durmiendo, es que no he venido aún o estás trasnochado. Pero no te has trasnochado. Luego estás trabajando o no he venido. Existo, luego dudo o actúo. No existo o pienso. Es suficiente que no piense y escuche para que si no tengo voluntad entonces no dude. Por lo tanto, afirmo que si tengo voluntad y escucho, o no existo o actúo. Si voy a la montaña entonces disfruto. Voy a la montaña. Por lo tanto, si no voy a la montaña o no disfruto entonces sale el sol. Es un avión o es un pájaro, o es Superman y tiene plumas. Si es un avión es Superman, entonces no tiene plumas. Luego, si tiene plumas, es un pájaro. Si corro o tomo un taxi o tengo coche, llego a tiempo. Luego, si no llego a tiempo, no tome un taxi. Si las leyes son buenas y su cumplimiento es estricto, disminuiría el delito. Si el cumplimiento de las leyes se hace de manera estricta y disminuye el delito, entonces nuestro problema es de carácter práctico. Las leyes son buenas. En consecuencia, nuestro problema es de carácter práctico. Si una persona se ahoga en un charco de agua de tres centímetros de profundidad entonces, o estaba inconsciente y boca abajo en el charco o se le estaba quemando el bigote y estaba intentando extinguir la llama. La persona habría quedado inconsciente sólo si hubiese sido drogada. La persona no tiene síntomas de haber sido drogada. Puede concluirse que se le quemaba el bigote. Si no especifico las condiciones iniciales mi programa no comenzará, y habré programado un ciclo infinito sólo si mi programa no termina. Es suficiente que el programa no comience o no finalice para que falle. De ahí que sea necesario no solamente especificar las condiciones iniciales sino también no programar un ciclo infinito para que el programa no falle. Si nuestro país no recibe préstamos internacionales entonces la economía de nuestro país se derrumbará. Los préstamos internacionales serán aprobados siempre que el gobierno de los Estados Unidos no se oponga a nuestro gobierno. En base a esto, podemos decir que nuestra economía se derrumbará si el gobierno de los Estados Unidos se opone a nuestro gobierno. Ahora bien, el gobierno de nuestro país tendrá problemas si y sólo si los préstamos internacionales no se aprueban; sin embargo, nuestro gobierno no se opone al gobierno de los Estados Unidos. “El hombre de talento logrado se conoce, más que por ninguna otra cosa, por su actitud de adaptación; y, por lo tanto, nunca se considera defraudado por la vida” Gregorio Marañón.
NOCIONES DE L GICA (PARTE II)
I. Parte teórica: El condicional y la im plicación lógica. El c ondicional directo y sus c ondicionales asociados: recíproco, contrario y cont rarrecíproco. Implicación lógica. Doble implicación lógica. C ondición necesaria y condición suficiente. Razonamiento lógico. Razonamiento válido e inválido. Reglas de inferencia. Prueba formal de val idez e invalidez. Métodos de inferencia lógica: método directo, método de reducción al absurdo y método del condicional. 1.
Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos: 1.1. Es falso que la prueba por método indirecto es lo mismo que una prueba por argumentación indirecta. verdadero falso
2.
1.2. En la prueba por condicional se parte de que tanto las premisas como la conclusión son verdaderos. verdadero falso 1.3. Es falso que p → ¬q es el contrarrecíproco de ¬q → p. verdadero falso
Selección múltiple: 2.1. Un razonamiento es inválido cuando: (Seleccione la respuesta correcta) a) Sus premisas son falsas y su conclusión es verdadera. b) Sus premisas son verdaderas y su conclusión es verdadera. c) Sus premisas son falsas y su conclusión es falsa. d) Ninguna de las anteriores. 2.2. En el método de reducción al absurdo: (Seleccione la respuesta correcta) a) Se toma la conclusión como una de las premisas. b) Se trata de llegar a una tautología. c) Se debe llegar a una contradicción del tipo s ∧ ¬s. d) Ninguna de las anteriores. 2.3. El contrarrecíproco de la expresión p → ¬q es: (Seleccione la respuesta correcta) a) q → ¬ p b) ¬ p → q c) ¬q → p d) Ninguna de las anteriores.
II. Parte práctica: 1.
Dados los siguientes razonamientos y sus pruebas formales de validez, indique en cada paso de la prueba, la regla de inferencia y/o ley lógica utilizada, y además indique que pasos son innecesarios.
a)
Razonamiento: P1: p → (r ∧ s) P2: ¬ r ∧ (q ∨ s) P3: q ∨ r ∨ s Q: ¬ (p ∨ r) Prueba formal de validez: ________________________________
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) b)
Verdadero p → (r ∧ s) ¬ r ∧ (q ∨ s) q ∨ r ∨ s s ∨ q ∨ r ¬ p ∨ (r ∧ s) (¬ p ∨ r) ∧ (¬ p ∨ s) (p → r) ∧ (p → s) p → r q∨s ¬ r ¬p ¬ p ∧ ¬ r ¬q→s ¬ (p ∨ r)
Razón:
Razonamiento: P1: (s → q) ∧ (¬ q ∨ t) P2: (m → s) ∧ (t → m) Q: (s → ¬t) → ¬(s ∨ t) Prueba formal de validez: ________________________________
Verdadero 1) (s → q) ∧ (¬q ∨ t) 2) (m → s) ∧ (t → m) 3) s → ¬t 4) t→m 5) m→s 6) t→s 7) t → ¬t 8) ¬t ∨ ¬t 9) ¬t 10) ¬s → ¬t 11) ¬q ∨ t 12) q → t 13) t ∨ ¬q 14) ¬t → ¬q 15) ¬q 16) s → q 17) ¬s 18) ¬s ∧ ¬t 19 ) ¬(s ∨ t)
Razón:
c)
Razonamiento: P1: (p → r) ∨ (p → s) P2: q → (r ∨ s) P3: (p ∨ q) → r P4: (p ∨ s) ∧ q Q: (q ∨ s) → [(p → r) → (p ∨ r)] Prueba formal de validez: ________________________________
Verdadero 1) (p → r) ∨ (p → s) 2) q → (r ∨ s) 3) (p ∨ q) → r 4) (p ∨ s) ∧ q 5) ¬{(q ∨ s) → [(p → r) → (p ∨ r)]} 6) ¬{¬(q ∨ s) ∨ [¬(¬ p ∨ r) ∨ (p ∨ r)]} 7) ¬{(¬q ∧ ¬s) ∨ [(p ∧ ¬r) ∨ (p ∨ r)]} 8) (q ∨ s) ∧ (¬ p ∨ r) ∧ ¬ p ∧ ¬r 9) ¬ r 10) ¬ p 11) ¬ (p ∨ q) ∨ r 12) (¬ p ∧ ¬q) ∨ r 13) (¬ p ∨ r) ∧ (¬q ∨ r) 14) ( p → r) ∧ (q → r) 15) q → r 16) ¬ q 17) q 18 ) ¬ q ∧ q 2.
3.
Razón:
Dados los siguientes razonamientos realice su prueba formal de validez e indique en cada paso la regla de inferencia o ley lógica utilizada. a)
P1: (p ∨ q) ∧ (r → s) P2: r ∧ (q ∨ s) P3: ¬ p → r Q: p → s
b)
P1: (p ∧ q) → (r → s) P2: t → ¬ s P3: q ∧ ¬ t P4: (q ∨ t) → p Q: ¬r ∨ s
c)
P1: p ∧ (¬q → r) P2: q ∨ r ∨ s P3: (p → s) ∧ r Q: (p ∧ r) ∨ s
d)
P1: p → q P2: q → (r ∧ s) P3: ¬r ∨ (¬t ∨ u) P4: p ∧ t Q: u
Dados los siguientes razonamientos verifique en cada caso si se puede o no concluir. a)
Si Andreina va a salir en la noche entonces o va a la peluquería o se arregla el cabello en la casa. Es suficiente que Andreina vaya a salir con Felipe para que vaya a la peluquería. Andreina se va a arreglar el cabello en la casa. ¿Se puede saber si Andreina va a salir con Felipe?
b)
Si a Gabriel le aumentan el sueldo entonces si tiene ánimo trabaja mejor. Gabriel tiene ánimo y no trabaja mejor. ¿Se puede concluir que a Gabriel no le aumentaron el sueldo?
c)
Si el grupo U2 hace una buena canción entonces la canción suena en la radio por meses. Si una canción suena por meses en la radio entonces se venden muchos CD’s. Si se venden muchos CD’s el grupo U2 gana mucho dinero. Si el grupo U2 gana mucho dinero entonces o lo gasta en lujos o lo usa en obras caritativas. ¿Se puede concluir que si el grupo U2 hace una buena canción entonces gana mucho dinero y lo gasta en lujos o invierte en obras caritativas?
d)
El Ministro de Economía y Hacienda ha hecho las siguientes declaraciones: A la prensa: " Si los impuestos suben, la inflación bajará si y sólo si no se devalúa el bolívar." A la radio: " Si la inflación baja o si el bolívar no se devalúa, los impuestos no subirán." A la tele: " O bien baja la inflación y se devalúa el bolívar, o bien los impuestos deben subir." Como consecuencia, publica un i nforme en el que asegura: "Los impuestos deben subir, pero la inflación bajará y el bolívar no se devaluará." ¿Fue consecuente con sus declaraciones a los medios de comunicación?
4.
Dados los siguientes razonamientos determine su validez o invalidez utilizando los métodos de inferencia lógica. a)
Si acepto este trabajo o dejo de pintar por falta de tiempo, ent onces no realizaré m is sueños. He aceptado el trabajo y he dejado de pintar. Por lo tanto, no realizaré mis sueños.
b)
Si me dices que nunca has hecho mal mientes y, si mientes, eres malo. Si me dices que ha s hecho mal, eres malo y, si er es malo, no eres totalmente ético. Digas l o que digas, no eres totalmente ético.
c)
Si vamos a Asia, entonces llegaremos hasta la India. Si vamos a Asia entonces, si llegamos hasta la India visitaremos Varanasi. Si vam os a India entonces, si visitamos Varanasi podremos ver el Ganges. Por lo tanto, si vamos a Asia veremos el Ganges.
d)
Si un animal fabuloso se enfada, te quedas paralizado del susto y si te quedas paralizado del susto, entonces puedes apelar a su bondad. Si apelas a su bondad no serás engullido. Por lo tanto, si u n animal fabuloso se enfada, tendrás que apelar a su bondad o serás engullido.
e)
Si tuvieran que justificarse los hechos por su enorme tradición entonces, si estos hechos son inofensivos y respetan a todo ser viviente y al medio ambiente, no habría ningún problema. Pero si los hechos son bárbaros o no respetuosos con los seres vivientes o el medio ambiente, entonces no habría que justificarlos o no podríamos considerarnos dignos de nuestro tiempo. Luego, si se justifican los hechos por su enorme tradición, son bárbaros, no respetuosos con el medio ambiente y con los seres vivientes entonces no podemos considerarnos dignos de nuestro tiempo.
f)
Si los Estados Unidos tienen democracia, entonces sus ciudadanos tienen el derecho de votar. Sus ciudadanos tienen el derecho de votar. Por tanto, los Estados Unidos tienen democracia.
g)
Si Kenshin se siente culpable por su pasado como hitokiri entonces no matará a nadie mas. Ahora bien, si Kenshin tiene un encuentro con Shishio entonces ocurre un milagro o lo mata o él muere. Por lo tanto, Kenshin muere si se siente culpable y tiene un encuentro con Shishio.
h)
Si Antonio ganó la carrera, entonces Baltasar o Carlos fueron los segundos. Si Baltasar fue segundo, entonces no ganó Antonio. Si Demetrio fue segundo, no lo fue Carlos. Antonio ganó la carrera. Por tanto, Demetrio no fue segundo.
i)
No llora, ríe. Si no llora, ríe sólo si tiene un juguete. Nunca tiene un juguete cuando se está riendo si no come un caramelo. Luego come un caramelo.
j)
Juan quiere a María si y sólo si María quiere a Juan y promete casarse con él. María no quiere a Juan si Juan no quiere a María. María promete casarse con Juan si y s ólo si Juan promete casarse con María. Por tanto, Juan quiere a María y María no quiere a Juan.
k)
Si ha ne vado será difícil conducir. Si no es fácil conducir llegaré tarde si n o salgo temprano. Ha nevado. Luego saldré temprano.
l)
Si no llueve salgo al campo. Si salgo al campo respiro. Por tanto, respiro si y sólo si no llueve.
m) Si un monte se quema algo tuyo se quema. Algo tuyo se quema si y sólo si eres descuidado. Si eres descuidado no mereces que te feliciten. Por tanto si no mereces que te feliciten entonc es es que un monte se quema. n)
Si no especi fico las condiciones iniciales mi programa no comenzará. habré programado un ciclo infinito solo si mi programa no termina. Basta que el programa no comience o no finalice para que falle. De a hí que sea necesario no s olamente especificar las condiciones iniciales sino también no programar un ciclo infinito para que el programa no falle.
o)
Si 25 divisiones son suficientes, el general ganará la batalla; por otra parte, o se suministran 3 alas de apoyo aéreo táctico, o el general no ganará la batalla. Además, no es cie rto que sean suficientes 25 divisiones y que se vayan a suministrar 3 alas de apoyo aéreo táctico. Conclusión: no son suficientes 25 divisiones.
NOCIONES DE L GICA (PARTE III) I.- Parte teórica: Función proposicional. Universo del discurso. Cu antificador universal y cuantificador existencial. Proposición cuantificada o categórica. Desarrollo de los cuantificadores en un universo U. Tipos de pr oposiciones cuantificadas: Proposición universal afirmativa, proposición universal negativa, proposición existencial afirmativa, proposición existencial negativa. Eq uivalencias e implicaciones l ógicas con cuantificadores. Princi pios de particularización y ge neralización: Particularización universal (PU), generalización universal (GU), particularización existencial (PE), generalización existencial (GE). Prueba form al de validez e invalidez pa ra razonamientos con proposiciones cuantificadas. 1.
Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos: 1.1. ∃x[P(x)] ⇒ P(a) es una particularización existencial. verdadero falso 1.2. En lógica de predicados “algún P no es Q” se traduce como ∃x[P(x) ∧ ¬Q(x)] verdadero falso
2.
1.3. Un razonamiento que use cuantificadores no es inv álido si se ob tienen premisas verdaderas y conclusión falsa para algún universo del discurso. verdadero falso
Selección múltiple: 2.1. Un razonamiento que use cuantificadores es inválido cuando: (Seleccione la respuesta correcta) a) Sus premisas son verdaderas y su conclusión es falsa para algún universo del discurso. b) Sus premisas son falsas y su conclusión es verdadera para algún universo del discurso. c) Sus premisas son falsas y su conclusión es falsa para algún universo del discurso. d) Ninguna de las anteriores. 2.2. Al momento de simbolizar el cuantificador universal se detecta por la presencia en la oración de las siguientes palabras: (Seleccione la respuesta incorrecta) a) Todo. b) Hay. c) Cualquiera. d) Cada uno. 2.3. La expresión ∀x[P(x) Æ Q(x)] significa: (Seleccione la respuesta correcta) a) Algún P es Q. b) Todo P es Q. c) Algún P no es Q. d) Ningún P es Q.
II.- Parte práctica: 1.
Dados el universo U={UC, UCV, UDO} y el predicado G(x): x tiene una facultad de Ciencias, establecer el significado de las siguientes expresiones y decir cuales son equivalentes: a) ∀x[G(x)] b) ¬∀x[G(x)] c) ∃x[G(x)]
d) ¬∃x[G(x)] e) ∃x[¬G(x)] f) ∀x[¬G(x)]
2.
Determine el o los universos adecuados para traducir cada una de las siguientes proposiciones a la notación lógica de funciones proposicionales y cuantificadores: a) Cuando 1 se multiplica por cualquier entero, el resultado es el entero original. b) Las mordeduras de serpientes a veces son fatales. c) Los hombres muertos no cuentan cuentos. d) La gripe tiene cura en la actualidad. e) El resfriado común nunca es fatal. f) Cualquiera que logre algo será la envidia de todos. g) Los caballeros no siempre son ricos. h) Ningún ser humano es absolutamente malo. i) Nadie hace donación de todas sus pertenencias a una sola beneficiaria. j) Todo hombre que tiene una mascota es afortunado. k) Toda persona educada no necesariamente tiene dinero. l) Algunos comerciantes tienen excesivas ganancias. m) Una persona que posea todas las virtudes es una persona virtuosa, pero hay personas virtuosas que no poseen todas las virtudes.
3.
Traducir cada una de las siguientes proposiciones a la notación lógica de funciones proposicionales y cuantificadores: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) u) v)
Los murciélagos son mamíferos. El resfrío común nunca es fatal. Un niño señaló con el dedo al emperador. No se dijo nada de importancia. Nadie más que los valientes merecen a la doncella. Si se requiere ya sea de cálculo o geometría, entonces todos los estudiantes cursarán matemáticas. Los melocotones y las guayabas son deliciosos y nutritivos. Los embajadores siempre reciben honores. Ningún automóvil que tenga más de diez años será reparado si está seriamente dañado. El que detiene el castigo a su hijo, lo aborrece. Sólo los ejecutivos tienen secretarias. No todos los visitantes se quedaron a cenar. No toda persona que habla mucho tiene mucho que decir. Cualquier caballo que es manso está bien entrenado. Si nada se descompone, nadie será culpado. Si cualquier plátano está amarillo, entonces está maduro. No todo lo que brilla es oro. Cada rosa tiene su espina. Una persona mantiene un estorbo si tiene un perro que le ladra a cualquiera que visite a su dueño. Todos los círculos son figuras. Por lo tanto, todos los que trazan círculos, trazan figuras. Ninguna tienda hace todas sus ventas a una sola tienda. David tiene todos los defectos de su padre y ninguna de sus virtudes.
Repita este mismo ejercicio con las proposiciones de la pregunta anterior. 4.
Restringiéndose únicamente a l os universos del discurso que se presentan a c ontinuación, simbolice utilizando sólo funciones proposicionales y/o conectivos. U1 = {Daniel, Amadís, Oswaldo} U2 = {Acción, Comedia, Terror, Suspenso, Drama} U3 = { Los infiltrados, El despertar del miedo, Tres son multitud }
(Personas a las que le gusta el cine) (Géneros de películas) (Películas en cartelera)
a) A toda persona a la que le gusten las películas de acción debe ver los in filtrados. b) Daniel el amigo de Oswaldo es fanático del suspenso pero no le gusta ninguna película en cartelera. c) No existe una persona a la que no le guste alguna película en cartelera.
5.
Sean x, y ∈ Z, decir cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones y cuáles no. E n caso de serlo asignarle el valor de verdad correspondiente. b) c) d) e) f) g)
6.
Reformular cada una de las siguientes expresiones de manera que comiencen con un cuantificador en lugar de un símbolo de negación. a) b) c) d)
7.
¬∀x[A(x) → B(x)] ¬∃x[G(x) ∧ ¬H(x)] ¬∃x[¬(¬Q(x) ∨ R(x))] ¬∀x[P(x) → Q(x)] → ¬∃x[R(x)]
Usando el predicado A(x, y): “x am a a y”, escriba en el lenguaje de la lógica de predicados las siguientes oraciones: a) b) c) d) e) f)
8.
2
∃y[y + 2 = 5] 2 ∀y[y + y + 2 =15] y + 4 + x = 10 ∀y[y3 + 1 + x = 8] 2 ∀x∃y[x + y + 3 = 5] 2 ∃x[x + y =3]
Alguien ama a Rosa. Nadie ama a Karla. Todos aman a Nelly. Todo el mundo ama a alguien. Alguien es amado por todo el mundo. No hay nadie que no se ame a sí mismo.
Demostrar que las siguientes expresiones son verdaderas en todo dominio no vacío: a) b) c) d) e)
∀x[P(x)] ⇒ ∃x[P(x)] ∀x[P(x) ∨ R] ≡ ∀x[P(x)] ∨ R ∀x[ P(x) → Q(x) ] ⇒ ∀x[¬R → (¬Q(x) → ¬P(x))] ∃x[P(x) ∨ Q(x)] ≡ ∃x[P(x)] ∨ ∃x [Q(x)] ∃x[P(x) ∧ Q(x)] ⇒ ∃x[P(x)] ∧ ∃x[Q(x)]
9.-
Simbolizar cada uno de los siguientes razonamientos: a) Todo el que pidió, recibió. Simón no recibió. Por lo tanto, Simón no pidió. b) Todos los políticos son ricos. No hay trabajadores ricos. Po r lo tanto , los políticos nunca son trabajadores. c) Los compuestos del argón y los compuestos del sodio son aceitosos o volátiles. No todos los compuestos del sodio son aceitosos. En consecuencia, algunos compuestos del argón son volátiles. d) Algunos periodistas no son entrometidos. Algunos entrometidos no son felices. Por lo tanto, algunos periodistas no son felices. e) Todos los ciudadanos que no son traidores están presentes. Todos los oficiales son ciudadanos. Algunos oficiales no están presentes. Luego, hay traidores. f)
Si hay genios entonces todos los grandes compositores son genios. Si todos somos temperamentales, entonces todos los genios son temperamentales. Por lo tanto, si todo genio es t emperamental, entonces todos los grandes compositores son temperamentales.
g) Si Juan Vicente Tovar ganó la carrera, entonces se sintieron felices algunas personas que estaban en La Rinconada. Si todas las personas que apostaron perdieron su dinero, entonces no se sintió feliz ninguna de las personas que estuvieron en el Hipódromo. ¿Se pue de deducir que si Juan Vicente Tovar ganó la carrera, entonces alguien que apostó no perdió su dinero? h) Algunos diamantes se usan c omo adorno. Es suficiente que una cosa se use como adorno para decir que se lleva como joya o se aplica como cosmético. Ningún diamante se aplica como cosmético. No tiene un uso apropiado ninguna cosa que se lleve como joya y pueda tener una aplicación industrial. Algunos diamantes tienen a plicaciones industriales. Luego, algunos diamantes no tienen un uso apropiado. i)
Algunos jóvenes que comenten delitos menores son encarcelados. Cualquier joven que es encarcelado esta expuesto a la influencia de criminales profesionales. Cada joven que se vea expuesto a la influencia de cri minales profesionales, se tornará agresivo y aprenderá técnicas para cometer crímenes. Todo joven si es a gresivo entonces, es una amenaza para la sociedad siempre que aprenda técnicas para cometer crímenes. Por lo tanto, algunos jóvenes que cometen delitos menores constituyen una amenaza para la sociedad.
“La felicidad es como la neblina ligera: Cuando estamos dentro de ella no la vemos” Amado Nervo.
TEORIA DE CONJUNTOS
1.- Parte Teórica: Definiciones básicas: Conjunto , Pertenencia, Cardinalidad, Conjuntos finitos e infinitos, C onjunto universal, Conjunto vacío, Igualdad e inclusión de conjuntos. Propiedades de conjuntos. Diagra ma de Venn. Operaciones co n conjuntos. Leyes de la teoría de conjuntos. F amilia de conjuntos. Unió e intersección gen eralizada de con juntos. Conjunto potencia o Conjunto de las partes. Conjunto partición. Producto de conjuntos.
1.
2.
Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos: 1.1. La cardinalidad de un conjunto de las partes de A es dos elevado a l a cardinalidad de A. verdadero falso
1.3. Un elemento de U lla mado ‘a’, no pertenece a un conjunto c ualquiera con una función proposicional P(x) sii P(a) ≡ v. verdadero falso
1.2. A ⊂ B ⇔ ∀ x[ x ∈ U ∧ ( x ∈ A ⇒ x ∈ B )] verdadero falso
1.4. Es verdad que x ∈ A se l ee “x no pertenece a A”. verdadero falso
Selección múltiple: 2.1. Señale cual de los siguientes enunciados es falso: a) El complemento de un conjunto es un conjunto. b) El complemento de un conjunto A son los elementos que no están ni en A ni en el universo. c) El complemento de un conjunto A son los elementos que no están en A. d) El complemento de un conjunto A es el resultado de restarle al universo los elementos de A. 2.2. La diferencia de los conjuntos A menos B es: a) El conjunto de los elementos que están en el Universo y no están en B. b) El conjunto de los elementos que están en B y no están en el complemento de A. c) El conjunto de los elementos que están en A y están en el complemento de B. d) El conjunto de los elementos que están en el complemento de B y están en el complemento de A. 5
2.3. Sea
I Ai
2
la intersección generalizada es igual a:
i =2
a)
A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5 .
b)
A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5 .
c)
A4 ∩ A9 ∩ A16 ∩ A25 .
d)
A4 ∩ A6 ∩ A8 ∩ A10 .
2.- Parte Práctica:
1.- Sea la siguiente figura:
Donde: U es el universo de los programadores. La región A representa el conjunto de programadores con certificación Microsoft. La región B representa el conjunto de programadores con certificación CISCO. La región C representa el conjunto de programadores con certificación JAVA. Las regiones D, E, F, G, H, I , J y K son subco njuntos disjuntos de los conjuntos antes citados (según se observa en la figura), entonces: 1.1- El conjunto de programadores con certificación CISCO, esta representado por: a) E ∪ ( I ∩ J ) b) E ∩ ( H ∩ I ∩ J ) c) E ∪ ( J ∪ I ∪ H ) d) E ∩ ( H ∪ J ) 1.2- El conjunto de programadores que solo tienen una certificación, esta representado por: a) A ∩ B ∩ C b) G ∪ H ∪ I c) A ∪ F ∪ B d) D ∪ E ∪ F 1.3- La región G representa el conjunto de programadores que: a) tienen certificación CISCO y no JAVA. b) solo tienen certificación Microsoft y JAVA. c) tienen certificación JAVA y no Microsoft. d) tienen las tres certificaciones. 1.4- El conjunto denotado por J es: a) ( A ∪ B ) – C b) A – ( B ∩ C ) c) ( Ac ∪ Bc ∪ Cc)c – K d) A ∩ ( B ∪ C ) 1.5- Un subconjunto de B y C a la vez, es el representado por: a) E b) F c) I d) D 1.6- El conjunto Cc ∩ ( A ∪ B )c es: a) J b) D c) I d) K 1.7- El conjunto de programadores con certificación Microsoft y no de CISCO, esta representado por: a) Cc ∪ ( A ∩ B ) b) A ∩ Bc c) A ∩ ( B ∪ C ) d) A ∪ Cc 1.8- El conjunto Ac ∩ Bc ∩ Cc representa los programadores: a) Con solo una certificación. b) No tienen certificación JAVA ni CISCO c) Tienen certificación Microsoft o ninguna. d) No tienen certificación.
3.- En una encuesta realizada a 225 estudiantes se halló que: 78 aspiran ser excelentes profesionales. 148 son inteligentes. 167 son apáticos a los estudios. 120 son apáticos a los estudios, pero son inteligentes. 20 quieren ser excelentes profesionales y no son inteligentes. 23 quieren ser excelentes profesionales y no son apáticos a los estudios. 15 aspiran ser excelentes profesionales, son apáticos a los estudios y no son inteligentes. 3.1.- ¿Cuántos de los 225 estu diantes entrevistados no aspi ran ser excelen tes profesionales, son apáticos a lo s estudios y no son inteligentes? 3.2.- ¿Cuántos no son apáticos a los estudios, son inteligentes y no aspiran a ser excelentes profesionales? 3.3.- ¿Cuántos son apáticos a los estudios e inteligentes, pero no aspiran ser excelentes profesionales? 3.4.- ¿Cuántos solo cumplen con dos condiciones? 3.5.- ¿Cuántos no cumple con todas las condiciones? 4.- Defina los a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
siguientes conjuntos por extensión: El conjunto de las letras de sus apellidos. El conjunto de las facultades de la Universidad de Carabobo. El conjunto de los números primos menores a o iguales a 20. A = {x / x∈Z ∧ 5 ≤ x ≤ 10} F = {Ai / Ai = {(a , i) / a∈Z ∧ a = 3 + i } ∧ i∈I } I={1, 6, 13, 22} El conjunto de monedas de Venezuela. B = { ( x, y ) / x, y ∈Z ∧ x2 + y2 = 1 } F = {Bi / Bi = { ( i , b) / b ∈ N ∧ b2 – i = 3 ∧ i∈I } I = {1, 6, 13, 22} El conjunto de telefonías de Venezuela. El conjunto de ministerios del gobierno de nuestro país.
5.- Defina los a) b) c) d) e) f) g) h)
siguientes conjuntos por comprensión: A = { 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42 } El conjunto E, definido como el conjunto de los estados de Venezuela. El conjunto de los números enteros pares. A = { 3, 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52 } El conjunto de máquinas con ruedas. C = { Amarillo, Azul, Rojo } B = {1/2, 2/4, 3/8, 4/16, 5/32} M = {Algoritmo I, Elementos Discretos, Matemática I, DHP }
6.- Asigne valores de verdad a las siguientes proposiciones: (Justifique) 6.1.- Sea A = {x / x∈ N ∧ x2 - 9x + 14 = 0 } p : 7∈A q : { 2 }∈ A u : ∅∈A v : { 7, 2 }⊂ A
6.2.-
r:{7}⊆A w : A ⊆ { 7, 2 }
t:∅⊂A s: { 2 }⊂ A
p : todos los siguientes conjuntos son de cardinalidad finita. A = {x / x∈Z ∧ -5 ≤ x ≤ 5 } C = {x / x es un año bisiesto}
B = {x / x es un mes del año } D = {x / x∈R ∧ -1 ≤ x ≤ 1 }
q : ∅ = {x / x ≠ x }
6.3.-
p : U = {x / x = x }
6.4.-
p : { ∅, { ∅ } } – { ∅ } = {{ ∅ }} q : { a, e } ∩ { e, f } ∩ { g, a } = ∅ , donde a, e, f y g son elementos distintos. r : si a, b∈R y a < b entonces [a, b] – { a, b } = { a, b } s : si a, b∈R y a < b entonces [a, b] ∩ { a, b } = { a } ∪ { b }
7.- Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } y sean los conjuntos A = {x / x∈Z+ ∧ x2 ≤ 16 } B = { 1, 2, 3, 5, 7 } + 2 C = {x / x∈Z ∧ x – 5x + 4 = 0 } D = { 2, 4, 6, 8 } Calcule: a) A ∪ B d) B ∩ D g) C – D j) A Δ B
h)
b) B ∪ C e) A – B Ac k) C Δ D
c) A ∩ C f) B – A i) Bc l) B Δ C
8.- Sea el universo el conjunto de los números reales y sean los enteros positivos el conjunto de índices. Si para cada i ∈Z+ se define Ai = {x / x∈R ∧ -2i ≤ x ≤ 3i }. Determine: 7
5
U Ai
a)
b)
i =1
6
U Ai
e)
I Ai i =2
f)
I Ai
c
i =1
3
U Ai i ∈Ζ
3
c
i =1
i)
c)
g)
j)
i =1
U ( A3i ∩ Ai ) i =1
c
h) 3
k)
I Ai
i ∈Ζ +
⎡4 ⎤ ⎢U Ai ⎥ ⎣ i =1 ⎦
3
I ( Ai ∪ A2i )
d)
+
⎡5 ⎤ ⎢I Ai ⎥ ⎣ i =1 ⎦
c
3
I ( Ai ∩ A2i )
c
l)
i =1
U ( A2i ∪ A3i )
c
i =1
9.- Sean A = {5, 7, 9 } y B = { 1, 3 } comprobar la veracidad de las siguientes proposiciones: a) b) c) d)
A x B = { (5,1) , (5,3) , (7,1) , (7,3) , (9,1) , (9,3) } B x A = { (1,5) , (3,5) , (1,7) , (3,7) , (1,9) , (3,9) } AxB=BxA A2 = B2 , donde A2 = A x A y B2 = B x B
10.- Sea A = {a, { b }, c } Hallar: a) A2
b) P( A )
c) ∏( P( A ) )
d) ∏( A )
e) ∏( A2 )
11.- Suponga que Manuel corre o nada (o ambos) para su entren amiento diario du rante todo el mes de abril. Si corre 23 días y nada 19 días. ¿Cuántos días corre y nada Manuel? 12.- Demuestre: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m)
(A∪B=A)⇔(B⊆A) El conjunto vacío es único (A⊆B)⇒(AΔB)⊆(B–A) (A∩B)⊆A⊆(A∪B) (AΔB)ΔC=AΔ(BΔC) [( A – B )c ∩ ( C Δ B )c] = ( C ∩ B ) ∪ [( A ∪ B )c – C] Uc = ∅ ∧ ∅c = U ( Bc ⊆ Ac ) ⇒ ( A ∪ B = B ) A ∩ B = ∅ ⇔ Ac ∪ Bc = U (A∪B)xC=(AxC)∪(BxC) A∪(B–C)=(A∪B)–(C–A) P( A ∩ B ) = P( A ) ∩ P( B ) ( A – B )c = Ac ∪ B
n)
⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎞ ⎛ ⎜⎜ U ( Ai c − B )⎟⎟ xC = ⎜⎜ ⎜⎜ I Ai ⎟⎟ xC ⎟⎟ ∪ ( BxC ) ⎝ i∈ I ⎠ ⎝ ⎝ i∈ I ⎠ ⎠
o)
⎛ ⎞ c ( ( ) ) ⎜ A ∪ B ∪ C = A I i ⎜ U i ⎟⎟ ∩ ( B ∪ C ) i∈ I ⎝ i∈ I ⎠
c
c
c
13.- Demuestre o de un contraejemplo: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
A⊆∅⇒A=∅ [( A ∪ B ) – C = B ] ⇒ [( A Δ C ) ⊆ B ] (AΔB)∩C=(A∩C)∪(B∩C) [( A – B ) – C ] ∪ ( C ∩ B ) = [( A Δ B ) – B ] ∪ [( B – C )c ∩ C ] P( A ) ∪ P ( B ) ⊆ P( A ∪ B ) , donde A ≠ ∅ y B ≠ ∅ [( B – C ) ∪ ( A – C )] – ( A ∩ B ) = ( A Δ B ) – C ( A Δ B )c = Ac Δ Bc ( A Δ B = ∅) ⇔ ( A = B ) [( A ∩ B )c – C ] ∩ A = [( Ac ∪ C ) Δ B ]c ∩ Cc [( A – B )c ∪ C ]c Δ A = A ∩ ( Ac ∪ B ∪ C )
TEORIA DE RELACIONES
I. Parte Teórica: Definiciones: Relación, relación binaria. Tipos de relaciones: Relación identidad, relación universal, relación vacía. Dominio y rango de una relación. Relación inversa. Representación de las relacione s: Dígrafos o grafos dirigidos, gráficos cartesianos, matriz de la relación y diagrama sagital. Composición de relaciones. Teoremas sobre composición de relaciones. Propiedades de las relaciones. Relaciones de equivalencia. Clases de equivalencia. Conjunto cociente. Propiedades de las clases de equivalencia y del conjunto cociente. Relaciones de orden. Elementos comparables. Relaciones de orden amplio y de orden estricto. Relaciones de orden parcial y de orden total. Conjuntos bien ordenados. Diagramas de Hasse. Elementos distinguidos de un conjunto ordenado. 1. Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos: 1.1. El domino de una relaci on R es el rango de la relacion inversa de R. verdadero falso 1.2. Una relacion S es una rel acion de equivalencia si cumple que e s reflexivo, antisimetrico y transitivo. verdadero falso
1.3. Una relacion de orden Total se define como ∃x ∃y [x, y ∈ A → (¬(x ∝ y) ∨ ¬(y ∞ x))]. verdadero falso 1.4. Si R ⊆ AxB y S ⊆ BxC entonces la composicion es SoR. verdadero falso
2. Selección múltiple: 2.1. Señale cual de los siguientes enunciados es falso: a) b) c) d)
Si (x,y)∈R entonces se dice que “x esta relacionado con y”. Si T es una relación de A en B, entonces R T es el conjunto definido por: R T = {y / y∈B ∧ (x, y)∈T}. Una relación S de A en B es cualquier subconjunto de BxA. Si R es una relación de A en B, entonces DR es el conjunto definido por: DR = {x / x∈A ∧ (x, y)∈R}.
2.2. La relación de orden amplio cumple: a) b) c) d)
R es reflexiva, antisimétrica y atransitiva. R es arreflexiva, no simetrica y transitiva. R es reflexiva, simetrica y no transitiva. R es reflexiva, antisimetrica y transitiva.
2.3. Señale cual de los siguientes enunciados es verdadero: a) b) c) d)
Una relacion R es reflexiva cuando cumple que ∀x[ x∈A → (x,x)∈ R ]. Una relacion R es simetrica cuando cumple que ∀x∀y[ (x,y)∈R → (y,x)∉ R ]. Una relacion R es transitiva cuando cumple que ∀x∀y∀z[((x,y)∈R ∧ (y,z)∈R)→ (x,z)∉R]. Una relacion R es antisimetrica cuando cumple que ∀x∀y∀z[((x,y)∈R ∧ (y,x)∈R)→ x≠y].
II. Parte Práctica: 1.- Sean A = { 1, 2, 4, 8, 10, 12} y B = {3, 12, 36, 24, 300} y sea la relación R ⊆ AxB, definida en base a: xRy sii y = 3x a) Definir R por compresión y por extensión. b) Representar AxB en un sistema de ejes cartesianos. c) Representar R usando: a. Gráficos cartesianos. b. Matriz de la relación. c. Grafos dirigidos. d. Diagrama sagital. d) Determinar dominio y rango de R e) Definir R -1 por compresión y por extensión. f) Representar R -1 usando: a. Gráficos cartesianos. b. Matriz de la relación. c. Grafos dirigidos. d. Diagrama sagital. g) Determinar dominio y rango de R -1 h) Comparar los resultados de los puntos c) y d) con los de f) y g), respectivamente. 2.- Sean A = { ∅, {1}, {2}, {3, 4}, {5, 6}} y B = {{1}, {1, 2}, {2, 3, 4}, {6}, {7}} y sea la relación R ⊆ AxB, definida en base a: XRY sii X ⊆Y a) Definir R por compresión y por extensión. b) Representar AxB en un sistema de ejes cartesianos. c) Representar R usando: a. Gráficos cartesianos. b. Matriz de la relación. c. Grafos dirigidos. d. Diagrama sagital. d) Determinar dominio y rango de R e) Definir R -1 por compresión y por extensión. f) Representar R -1 usando: a. Gráficos cartesianos. b. Matriz de la relación. c. Grafos dirigidos. d. Diagrama sagital. g) Determinar dominio y rango de R -1 h) Comparar los resultados de los puntos c) y d) con los de f) y g), respectivamente. 3.- Sea E = {1, 2 , 3, 4, 5, 6}. En E se d efine la relación R, diciendo que: xRy sii x – y = 1. O btener la representación gráfica de R vía gráficos cartesianos y con diagrama sagital. 4.- Sea A = { x/ x ∈ N ∧ (3 ≤ x ≤ 7) } y B = {2, 3, 6}. Se define R ⊆ AxB como: (x,y) ∈R sii (x + y) ≤ 8 a) Definir R por compresión y por extensión. b) Representar R usando: a. Gráficos cartesianos. b. Matriz de la relación. c. Grafos dirigidos. d. Diagrama sagital. c) Determinar dominio y rango de R
5.- Se consideran los conjuntos: A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, B = {1, 4, 6, 16} y C = {2, 3, 6, 10}; con las relaciones R ⊆ AxB y S⊆BxC, definidas como sigue: (x,y)∈R sii y=x2 (y,z)∈S sii z=y/2 Se pide: a) Definir R y S por compresión y por extensión. b) Definir SoR por compresión y por extensión. c) Representar en diagrama sagital, las tres relaciones: R, S y SoR. 6.- Se consideran los conjuntos: A = { 12, 42, 99, 150, 210 }, B = {4, 8, 50, 72, 100} y con las relaciones S ⊆ AxB y R ⊆BxC, definidas como sigue: (y, z)∈R sii 2y=z2 (x, y)∈S sii x=3y Se pide: a) b) c) d)
C = {4, 10, 11, 12};
Definir R y S por compresión y por extensión. Definir RoS por compresión y por extensión. Representar en diagrama sagital y matriz de la relación a RoS. Determine dominio y rango (RoS) -1
7.- Se consideran los conjuntos: A = { -1, 2, 5 }, B = {-11, -4, 10, 31} y C = {-1, 0, 2, 5, 8}; con las relaciones R ⊆ AxB y S ⊆BxC, definidas como sigue: (a,b)∈R sii a.b ≤ 9 (c,a)∈S sii c = 7.a – 4 Se pide: a) b) c) d) 8.- Demostrar: a) b) c) d) e) f)
Definir R y S por compresión y por extensión. Definir SoR por extensión. Representar en diagrama sagital y matriz de la relación a RoS. Determine dominio y rango (RoS) -1 (R -1)-1 = R (SoR)-1 = R -1oS-1 (ToS)oR = To(SoR) (S1 ∩ S2) ο R ⊆ (S1 ο R) ∩ (S2 ο R) Si R es simétrica entonces R = R -1 Si R es transitiva entonces (RoR) ⊆ R
9.- Sea F una relación en el conjunto de los números enteros y definida como: xFy sii x ≤ ky, donde k ∈R. Determine las propiedades que cumple F. 10.- Si R y R’ son relaciones definidas sobre un conjunto E, R ⊆ ExE y R’ ⊆ ExE, demuestre que: a) Si R y R’ son simétricas, entonces R ∪R’ es simétrica. b) Si R es reflexiva y R’ es cualquier relación, entonces R ∪R’ es reflexiva. c) Si R y R’ son antisimétricas, entonces R ∩R’ es antisimétrica. d) “Una relación R es circular sii xRy ∧ yRz implica que zRx, pa ra todo x, y, z perte necientes al conjunto sobre el cual se define la relación”.Demostrar que si R es reflexiva y circular e ntonces R es simétrica y transitiva. Para el mismo ejercicio, demuestre que las siguientes proposiciones son falsas, dando un contraejemplo: e) Si R y R’ son antisimétrica, entonces R ∪R’ es antisimétrica. f) Si R y R’son transitiva, entonces R ∪R’ es transitiva. g) Si R y R’ son reflexivas, entonces R ∪R’ es reflexiva. h) Si R y R’ son simétricas, entonces R ∪R’ es simétrica
11.- Sea S una relación de X a Y. Se define para A ⊆ X, al conjunto S(A) de la siguiente manera: S(A) = {y / y ∈Y ∧ ∃x[ x∈A ∧ (x,y) ∈S] } Se pide: a) Demostrar que S(A) ⊆ Y. b) Demostrar que S(A ∪B) = S(A) ∪ S(B). c) Demostrar que S(A ∩B) ⊆ S(A) ∩ S(B). 12.- Sean las relaciones: a) R ⊆ NxN, es decir R ⊆ N2 y aRb sii (a mod 6) = (b mod 6) b) R ⊆ R 2 y xRy sii | x - 1| = | y – 1| 2 2 c) R ⊆ N xN y (x1,y1) R (x2,y2) sii x1 + y2 = x2 + y1. d) R ⊆ Z2 y aRb sii a2 + a = b2 + b e) R ⊆ R 2xR 2 y (x,y) R ( x’,y’) sii y = y’. 2 2 f) R ⊆ N x N y (x1, y1)R(x2, y2) sii y1 = x2 2 g) R ⊆ Z y xRy sii x – y es multiplo de 3. ¿Qué tiene esta ultima relación de especial? Verificar cuáles son relaciones de equivalencia, en cuyo caso; se le pide hallar las clases de equivalencia y el conjunto cociente respectivo. 13.- Sea A ≠ ∅ y sea B un subconjunto fijo de A. Se define la relación R en P(A) como: Sean Ai ,A j ∈ P(A), entonces A iRA j sii Ai ∩ B = A j ∩ B. a) Demuestre que R es una relación de equivalencia en P(A). b) Si A = {1,2,3} y B = {1}. Defina y halle la s clases de equivalencia y el conjunto cociente inducido por la relación R. 14.- Determine las clases de equivalencia y el c onjunto cociente de la siguiente relación de equivalencia definida sobre el conjunto A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} como xRy sii x 2 = y2. 15.- Determine las clases de equivalencia y el c onjunto cociente de la siguiente relación de equivalencia definida sobre el conjunto N (no incluye el cero) como xRy sii x = y.k, k ∈Ν (x es múltiplo de y) 16.- En Z se define la relación R mediante: aRb sii a = b mod 4 (Relación de congruencia) En cuentre las clases de equivalencia y la partición inducida por esta relación. 17.- Si E = {a, b, c, d, e} se particiona de la siguiente manera: E1 = {a} E2 = {b, d} E 3 = {c} E4 = {e} , de manera que ∏(E) = { E 1, E2, E3, E4 }. Encuentre la relación de equivalencia que induce a esta partición. 18.- Dado el conjunto X = { a, {2, f} , ∅, (3,b) , 6 }, hallar una partición cualquiera de X y defina la relación de equivalencia S que induce a esa partición. 19.- Dada Π(A) = {A i / Ai = {x / x ∈ A ∧ x = i.k, k ∈ Z }, i ∈ I } donde I = {2, 3, 5} y A = {2, 3, 4, 5, 8, 9, 16, 21, 25}. Hallar la relación de equivalencia que induce esta partición. 20.- Sea la relación R definida en Z + x Z+ tal que xRy sii x | y (‘x’ divide exactamente a ‘y’). Determine si R es una relación de orden amplio, y en caso de serlo, clasifiquela según los tipos: parcial o total. 21.- Sea R una relación definida en Q + (los racionales positivos) de la siguiente manera: a c sii ad ≤ bc. Muestre que R es una relación de orden total. R b d
22.- Se considera el intervalo [2, 8] ⊆ R , donde se define la relación de mayor o igual, es decir, xRy sii x ≥ y. a) Demostrar que R es una relación de orden amplio y clasificarla según los tipos: parcial o total. b) Determine con respecto al intervalo dado: - Primer elemento. - Último elemento. - Elementos maximales. - Elementos minimales. c) Si consideramos [2 , 8] como un subconjunto de los números reales, determine cotas inferiores y superioes, ínfimo y supremo. 23.- Sea E = {2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 24, 30, 36} ordenado por la relación: ‘y’ es multiplo de ‘x’ a) Demostrar que R es una relación de orden amplio y clasificarla según los tipos: parcial o total. b) Determine: - Primer elemento. - Último elemento. - Elementos maximales. - Elementos minimales. c) Si consideramos {6, 8, 9} como un subconjunto de E, determine cotas inferiores y superioes, ínfimo y supremo. 24.- Dada la relación de orden α definida en el conjunto A = { a, b, 3, 2, 10, 4, c, 5, d} α ⊆ AxA y representada mediante el siguiente diagrama de Hasse:
5 a) Hallar los cuatro elementos distinguidos generales.
d c
4
3
2
b) Para cada uno de los siguientes subconjuntos de A, hallar los elementos distinguidos relativos a cada subconjunto:
10
• S1 = { d, 5 } • S2 = { 3, 10 }
a
b
25.- Se define la relación de orden “ ⊆” (inclusión) en P(A), donde A = { α, β, λ}: a) b) c) d)
Demuestre que es una relación de orden. Determine que tipo de orden corresponde (parcial o total) Dibuje el diagrama de Hasse e identificar los elementos distinguidos generales. Determine los ele mentos distinguidos: Mayor, menor, maximales y minimales, suponiendo que el elemento {α, β, λ} ∉ P(A) e) Para S = { { α}, {λ}, {α, λ} }, S ⊆ P(A); determine cotas superiores, cotas inferiores, supremo e ínfimo.
26.- Dada la relación de orden R definida en el conjunto A = {(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (a,e), (a,f)}, R ⊆ AxA y representada mediante la siguiente matriz de la relación, donde las filas y las columnas están encabezadas por los elementos de A, según el orden en que a parecen listados (por ejemplo, la fila 1 corresponde al par (a,a), la fila 2 al par (a,b) y así sucesivamente): 1 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 0
1 1 0 0 1 0
1 1 1 0 0 1
a) Dibuje el diagrama de Hasse. b) Determine todos los elementos distinguidos, tomando para aquellos que lo requieran el siguiente subconjunto: S = {(a,b), (a, f)} 27.- Sea el siguiente diagrama de Hasse:
10 9 7
8
6
4
5 2
3 1
a) Es esta relación de orden total o parcial. Justifique su respuesta. b) Hallar el elemento mayor, elemento menor, maximales y minimales. c) Para cada uno de l os siguientes subconjuntos hallar las cotas superiores, cotas inferiores, supremos e infimos: • S1 = {10} • S2 = {6, 7} • S3 = {3, 2} d) Suponiendo que ahora esta misma relación de orden se aplica sólo a este conjunto de elementos A = {1 , 2, 3, 4, 5, 6, 8 }; hallar los elementos distinguidos indicados en el literal b ) de esta pregunta. 28.- En R ordenado por la relación menor o igual, se considera al subconjunto A como: A = { x / x ∈R ∧ x = 1/n ∧ n∈ N } Investigar si R tiene Primero o menor elemento y último o mayor elemento. Y t omando en c uenta el subconjunto A, determine cotas superiores e inferiores, infimo y supremo.
“Si lloras porque el Sol se oculta, las lágrimas no te dejarán ver las estrellas.” R. Tagore.
INDUCCIÓN COMPLETA
I.- Parte Teórica: Factorial de un núm ero. Sumatorias. Productorias. Teorema de Inducción C ompleta. Principio de inducción completa. Corolario del teorema de inducción. Forma fuerte de inducción. II.- Parte Práctica:
EJERCICIOS CON SUMATORIAS: 1. Expresar las siguientes sumas empleando el símbolo de sumatoria: a) 1.1 + 2.1 + 3.2 + 4.6 + 5.24 1
c)
2 −1 2
+
1 3 −2 2
+
1 4 −6 2
e) 2 2 + 4 3 + 6 4 + 8 5
f)
+
b) 12 − 2 2 + 3 2 − 4 2 + 5 2 1
d) 1 + 5 + 9 + 13 + 17
5 − 24 2
1 a (a + 1)
+
1 ( a + 1)(a + 2)
g) − 2 + 6 − 18 + 54 − 162
+
1 ( a + 2)(a + 3)
+
1 ( a + 3)(a + 4)
h) 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6
2. En cada caso, indicar si se cumple o no la igualdad y justificar su respuesta: n
a)
∑
(3i + 5) = 15n
i =1
n
n
∑
∑ (3k
2
b)
i
k =1
i =1
⎞ ⎛ 5 ⎞⎤ c) ∑ = ⎢⎜ ∑ i ⎟ − ⎜ ∑ i ⎟⎥ 2 ⎣⎝ i =6 ⎠ ⎝ i =1 ⎠⎦ j =1 2 6
i
1 ⎡⎛
9
0
∑ (3
d)
2i
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ + 2k + 1) = 3⎜ ∑ k 2 ⎟ + 2⎜ ∑ k ⎟ + n ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠ + k ) = 0
i =0
3. Calcule el valor de las siguientes sumatorias: 5
a)
∑
3
7
i =1
4
e)
∑
k 2 (2 j − 1)
j =1
⎛ k 3 − 1 ⎞ ⎟⎟ i) ∑ ⎜⎜ k 2 + 1 k = 0 ⎝ ⎠ n
b)
∑
5
( k 2 + 3k + 5)
c)
k =1
2
k
∑ i −1
d)
i=2
6
f)
∑
( −1) k k 2
3
g)
∑ j =1
k =1
⎛ 2 2 k ⎞ j) ∑ ⎜ ∑ (i 3 )⎟ k = 0 ⎝ i =1 ⎠ 2
∑ (2i − 3)
2
i =0
⎞ ⎟ , para i = 5 2 ⎟ k = 2 ⎝ ⎠ 2 ⎛ 2 ⎛ 2 ⎞ ⎞ k) ∑ ⎜ ∑ ⎜⎜ ∑ ( 3i + k − j ) ⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎟ k = 0 ⎝ i = 0 ⎝ j = 2 ⎠ ⎠
32 j +1
i −1
h)
⎛
k
∑ ⎜⎜ (k − 1)
EJERCICIOS CON PRODUCTORIAS: 1. Expresar las siguientes multiplicaciones empleando el símbolo de productoria: a. c.
2 × 4 × 8 × 16 × 32 1 1 1 1
×
4 16
×
64
×
256
b.
7 × 9 × 11 × 13 × 15
d.
(-1) × 4 × (-27) × 256
2. Calcule el valor de las siguientes productorias: 4
a.
∏
4
8
∏
b.
i =0
⎡ 2 ⎤ 2 ( ) + i j ∏ ⎢∏ ⎥ j = 0 ⎣ i =1 ⎦
⎡ 2 i ⎤ 3 + ( )⎥ i j ∏ ⎢∏ j =1 ⎣ i = 0 ⎦ 2
e.
∏ ((−1)
k
× k )
k =1
j =0
2
d.
5
c.
j!
⎡ 2 ⎛ 2 ⎞⎤ ⎢∏ ⎜⎜ ∏ (i + j × k ) ⎟⎟⎥ ∏ k = 0 ⎣ j =1 ⎝ i =1 ⎠⎦ 1
f.
3. Reescriba las siguientes productorias para cuando i=1, j=1 y k=1. 4
a.
∏
5
∏ (i
b.
3
i =0
2
⎡ 2 i ⎤ 2 ( )⎥ i j − ∏ ∏ ⎢ j =3 ⎣ i = 0 ⎦ 5
+ 2i )
c.
i=2
EJERCICIOS DE INDUCCIÓN: 1. Probar por inducción completa, la validez de las siguientes expresiones, para todo n∈ N: 2
a) 2 + 6 + 10 + … + (4n - 2) = 2n 1
2
3
n
n+1
b) 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 2 2
n
c) x + (x-1)x + (x-1)x + ... + (x-1)x = x d)
1.3.5....( 2 n − 1) 2.4 .6 ....( 2 n )
n+1
1
≥
2n
2. Para todo n ∈ N, demostrar por inducción completa que: n
a)
∑
i3 = (
i =1
∑ i)
2
i =1
n
b)
n
∑ (2i −1)
2
n(4n − 1) 2
=
3
i =1 n
c)
1
∑ i(i + 1)(i + 2)
=
i =1
d)
n(n + 3)
4(n + 1)(n + 2 )
n
[2a + (n − 1)r ]n
j =1
2
∑ (a + ( j − 1)r ) =
e) (1 + x) ≥ (1 + nx) ; n
∀x ≥ -1
, a es constante y r ∈ R
3. Demostrar que: a) Demostrar que la suma de los cubos de tres números consecutivos es divisible por 9. b) a n − b n es múltiplo de a − b para todo numero natural n. n
4. Sabiendo que:
∑i = i =1
n(n + 1)
2
n
y
∑i
2
=
n( n + 1)( 2n + 1)
i =1
6
, deduzca una fórmula para la
siguiente expresión: 0 . 1 + 1 . 2 + 2 . 3 + ... + (n-1).n , donde n ∈ N y demuéstrela por inducción completa. 5. Teniendo que n∈ N, demuestre que: n
a)
1
n
∑ (2i − 1)(2i + 1) = 2n + 1
n≥5
b) 2 n > n 2 ,
i =1 n
c)
∏ (10
n +1− 2 i
)=1
d) 2n! – ( n – 1)(n – 1)! = n! + (n – 1)!
i =1
e)
1 2
n
≤
1.3.5.....( 2n − 1) 2.4.6.....2n
1
f) n + 1
+
1 n+2
+ ... +
1 2n
>
13 24
,
n>1
“T e n g o p o r m e n o s i n m o r a l m a t a r a alguien involuntariamente que engañarle acerca de la herm osura, la bondad y la justicia de las leyes.” Sócrates
TEORIA COMBINATORIA
I. Parte teórica:
Regla de la sum a (adición). Regla del Produc to (multiplicación). Variaciones Simples: Vm,n. Permutaciones Simples: Pm. Permutaciones Circulares: Pc m. Variaciones con repetición: V’m,n. Combinaciones Simples: Cm,n. Combinaciones co n repetición: C’ m,n. m1,m2,...,mr Variaciones de Particiones Ordenadas (Coeficiente Multinomial): V’m . II. Parte Practica:
1.- Calcular: a) V7,5 b) V’7,5
c) d)
P6 2,3,1 V’6
e) C8,4 f) C’8,4
g)Pc7 h) C5,5
2.- Hallar n tal que: 7Vn,3 = 6Vn+1.3
3.- Cuando en un conjunto de m elementos, vamos tomando n de ello s, siendo n > m ; no nos importa el orden y queremos saber cuantas escogencias son posibles. ¿A cual expresión de la teoría de conteo nos estamos refiriendo?
4.- Cuando en un conjunto de m elementos, vamos tomando n diferentes de ellos, siendo m > n; nos importa el orden y querem os saber cuantas elecciones son posibles. ¿A cual expresión de la teoría de conteo nos estamos refiriendo?
5.- Cuando en un conjunto de m elementos, consideramos todas las posibles formas en que podemos tomar dichos elem entos, importándonos el orden. ¿A cual expr esión de la teoría de conteo nos estamos refiriendo?
6.- ¿De cuantas maneras distintas se puede sentar 5 personas en un banco?
7.- ¿De cuantas formas se pueden repartir 2 premios entre 10 personas? Sabiendo que ambos: a) No se pueden conceder a la misma persona. b) Se pueden conceder a la misma persona.
8.- Un alumno desea inscribir: Algoritm os y Programación I, Matemáticas I y Matemáticas Discretas. Para estas materias existen respectivamente 4, 3 y 2 horarios disponibles. ¿De cuantas formas puede estructurarse el horario de clases?
9.- ¿Cuántas pulseras se pueden hacer ensartando en un hilo 9 piedras diferentes, si al ser colocada no se puede distinguir el punto de enganche?
10.- Determinar de cuantas m aneras se puede formar un grupo de 4 alumnos a partir de 17 estudiantes sobresalientes, para representar a FACYT en un concurso de algebra.
11.- ¿De cuantas maneras diferentes se pue de contestar un exam en que contiene 7 preguntas de selección simple de doble alternativa?
12.- Determinar el número de triángulos difere ntes que se pueden form ar uniendo los seis vértices de un hexágono.
13.- Existen 4 líneas de autobuses entre A y maneras distintas puede viajar un pasajero:
B; y 3 entre B y C. Calcular de cuantas
a) De A a C pasando por B. b) De A a C y viceversa, pasando ambas veces por B. c) De A a C y viceversa, pasando am bas veces por B sin utilizar una m isma línea de autobús dos veces.
14.- En un grupo de 5 personas dos de ellas no se llevan bien, de tal for ma que evitan sentarse una al lado de la otra. ¿De cuantas formas pueden ubicarse estas cinco personas: a) En un banco? b) En una mesa redonda?
15.- Probar que: 16.- ¿De cuantas maneras pueden entrar 4 alum nos en 3 aulas, si no importa el aula donde entre cada uno?
17.- ¿Cuántos números distintos pueden fo rmarse permutando las cifras del num 121323233?
18.- ¿De cuantas m aneras diferentes se puede n sentar 5 personas en autobús?
ero
9 asientos en un
19.- ¿De cuantas formas se puede elegir un co mité formado por 3 hombres y 2 m ujeres de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres?
20.- Hallar el núm ero de palabras diferentes de 5 letras (con o sin sentido) que se pueden formar con las letras de la palabra “impulsar”. a) Si cada letra no se emplea más de una vez. b) Si cada letra se puede repetir.
21.- Siendo Vn,r = 3024 y Cn,r = 126. Hallar r.
22.- El Sr. Juanes Tudiante tie ne 10 libros, de los cuales 4 son cuentos ilustrados, 3 de historia del arte, 2 de matem áticas y 1 de le nguaje. Juanes desea colocar sus libros en su biblioteca, pero tiene dos interrogantes: a) ¿De cuantas maneras puede colocarlos de ta l forma que todos los que sean de un a misma área queden consecutivos? b) ¿De cuantas maneras puede colocarlos sin restricción del área a la que pertenecen? En ambas preguntas, considerando los casos: i.- todos los libros dentro de cada área sean distintos? ii.- todos los libros dentro de cada área tengan el mismo titulo, autor, edición, etc?
23.- ¿De cuantas m aneras pueden alinearse 5 mujeres y 5 hom bres de m odo que queden alternados?
