SEP
DGB
Centro de Estudios de Bachillerato 4/1
“Maestro Moisés Sáenz Garza” CICLO 2004-2005 GUÍA PARA EL EXTRAORDINARIO DE
MATEMÁTICA MATEMÁTICAS S II
PROFR: EDUARDO BASURTO HIDALGO CORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
UNIDAD 1. GEOMETRÍA. TEMA 1.1.1CONCEPTOS PRELIMINARES Y ÁNGULOS LECCIÓN 1: CONCEPTO DE ÁNGULO, CONSTRUCCIÓN Y MEDICIÓN DE ÁNGULOS.
1. Investigue y estudie los siguientes conceptos. Punto, Recta, Plano, Segmento, Ángulo. Define y denota los los siguientes ángulos: 1. Agudo___________________________________________________________ 2.Recto____________________________________________________________ 3.Obtuso__________________________________________________________ 4.Llano____________________________________________________________ 5.Entrante_________________________________________________________ 6.Perígono_________________________________________________________ Define y traza las siguientes parejas de ángulos: Adyacentes
Opuestos por el vértice
Complementarios
Suplementarios
TEMA 1.1.2: ÁNGULOS LECCIÓN 2: RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS SOBRE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS, SUPLEMENTARIOS Y OPUESTOS POR EL VÉRTICE. Ejemplos. Ángulos
complementarios complementarios Suman 90°
Encuentra el valor de los siguientes ángulos:
Ángulos
suplementarios suplementarios Suman 180°
Encuentra el valor de los siguientes ángulos: x 2
BAC ∠
es complemento del
¿Cuánto mide cada uno?
∠CAD
∠ ABD es suplemento del
∠CBD
¿Cuánto mide cada uno? ∠ ABD = x
∠ BAC = 2 x ∠CAD = x
Por ser complementarios: 2x +x =90 3x = 90 x =
90 3
x=30 Por lo tanto: ∠ BAC = 2 x = 2(30) = 60 ∠CAD = x = 30
∠CBD =
x
2
Por ser suplementarios: x+
x
=180
2
2 x + x 2
3 x 2 3 x
= 180 =180 = 360
360 3 =120
x = x
∠ ABD = x = 120° ∠CBD =
x
2
=
120 2
= 60°
En cada uno de los siguientes problemas se propone una condición que involu involucra cra una o dos variabl variables. es. El procedi procedimie miento nto es buscar buscar otra otra relaci relación ón que
involucre a las mismas variables con le fin de formar una ecuación en términos de una sola variable o un sistema de ecuaciones que nos lleve a la solución del ejercicio. Ejemplo: Si
∠b =
1 ∠a 3
¿Cuánto miden a,b,c,d?
∠b
1 = ∠a 3
∠a
+ ∠ b = 180°
Primera condición, propuesta por el ejercicio.
Segunda condición, obtenida de acuerdo a la definición de ángulos adyacentes.
Si se sustituye la primera condición en la segunda se obtiene que: ∠a +
∠a
1 3
+
1
∠a =180 °
Sustituyendo a en la segunda condición:
∠a
3
3∠a
=180°
+ ∠a
3 4∠a 3 4∠a
=180°
=180 °
=540°
∠a =
135 + ∠ b = 180° ∠ b = 180 °– 135° ∠ b = 45°
Por lo tanto: ∠c
= 45° y ∠ d = 135° al ser opuestos por el vértice a b y a respectivamente.
540° 4
∠a =135 °
1. Resuelve los ejercicios que se muestran en la siguiente tabla: 1.El complemento de 24° es 66° ya que 2.El suplemento de 86° es _____ ya que
24° + 66° =90°
Ejemplo
3.El complemento de ∠ x es 5 ∠x ya que
∠x + 5 ∠x =
90°
4.El suplemento de que
∠b
Entonces
b=
es 8 ∠b ya
5.El complemento de ∠ z es que
6. El suplemento de ∠ r es que
1 3
∠
∠ z ya
1 ∠r 2
x=
∠
z=
∠
ya
r=
∠
a=
7.
∠ a y ∠ b son ángulos complementarios
∠
Además su diferencia es 30° 8. ∠ n y ∠p son ángulos suplementarios Además ∠n es 5 veces mayor que ∠p
∠
b= ∠n= p=
∠
2. Resuelve los siguientes ejercicios.
AOB= ∠COD=
BOC= ∠DOA=
∠
∠
x= ∠w= ∠
y= ∠z= ∠
x=
Si ∠q = ∠p −15
AOB= ∠BOC= ∠COD= ∠
∠a= ∠b= ∠c= ∠d=
Si ∠b
1 = ∠a 5
∠m= ∠n=
∠p= ∠q=
UNIDAD 1. GEOMETRÍA TEMA 1.1.2 ÁNGULOS ENTRE PARALEAS
1. Al trazar dos rectas m y n paralelas cortadas por una transversal t se determinan parejas de ángulos como las que se enuncian en la siguiente tabla. Investiga como se definen, cuales son sus propiedades y termina de llenar la tabla.
t
m n
Ángulos Alternos internos Ángulos Alternos externos
(1, 8)
Ángulos Colaterales internos Ángulos Colaterales externos 3.2. Si la recta BD // EGÁngulos Correspondientes T =
(1,5) 1 2
Encuentra el valor de los siguientes ángulos:
< S=
U
Calcula el valor de los siguientes ángulos:
m y n son paralelas 5.6.7.8.9.10. ∠3 = ∠2
4 UNIDAD 1. GEOMETRÍA TEMA 1.2.1 CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
¿Cómo se define un triángulo?_________________________________________ Representa el siguiente triángulo y determina sus elementos:
Clasificación de los triángulos de acuerdo con la medida de sus lados: Completa la siguiente tabla: Triángulo
Descripción
Figura
Equilátero
Tiene dos de sus lados iguales.
Escaleno GH ≠ ____ ≠ ____
Clasificación de los triángulos de acuerdo con la medida de sus ángulos: Completa la siguiente tabla: Triángulo
Descripción
Figura
Acutángulo
A, ∠ B ∠
de 90°
y
∠ C
menores
Tiene un ángulo recto
∠ D = _________
∠ D〉 90°
UNIDAD 1. GEOMETRÍA TEMA 1.2.2 RECTAS, SEGMENTOS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO. LECCIÓN 6. TRZADO Y DEFINICIÓN DE TECTAS, SEGMENTOS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO . Completa la siguiente tabla en algunos cuadros tienes que trazar o completar la figura
Concepto
Definición
Figura
Bisectriz ∠1 = ∠2
IJ es bisectriz del
∠ HIG
Es el segmento que va desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto.
Altura
DE AC por M y M punto medio de AC entonces DE es:___________________
Concepto
Incentro
Definición
Es el punto donde se cortan las tres bisectrices de un triángulo. Además es el centro de circunferencia___________
Figura
Es el punto donde se cortan las tres medianas de un triángulo. Es considerado el centro de____________ del triángulo.
Ortocentro
Es el punto donde se cortan las tres mediatrices de un triángulo. Además es el centro de la circunferencia_________
UNIDAD 1. GEOMETRIA TEMA 1.2.2 PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO. Usa el transportador o algún otro recurso para completar la siguiente tabla: Propiedad Figura 1. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a __________________
∠ A + ∠ B + ∠C =
2. Un ángulo externo de un triángulo es igual a la _______ de los dos ángulos interiores, no__________ a él.
3. La suma de los ángulos externos de todo triángulo es igual a __________________
4. En un triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales son ___________
∠ D =
∠1 + ∠2 + ∠3 =
AB
= BC
A ∠
∠C
5. En un triángulo equilátero, cada ángulo interno es igual a ____________________
∠ A = ∠ B = ∠C =
6. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son___________________
∠ A + ∠B =
TRIÁNGULOS Ejemplo 1.
F
E
En el Si Si
b
DEF
∠a=60° ∠c=70°
d=____130°____ ∠ b=_50°_______
∠
D
Lo primero que debemos hacer es encontrar los suplementos de a y de c que serían respectivamente: a+ ∠ a’ = 180° ∠a’ = 180° – 60° ∠a’ = 120° ∠
c + ∠ c’ =180° ∠c’ = 180° -70° ∠c’ = 110° ∠
Con los datos obtenidos es muy fácil encontrar el ángulo d, ya que los ángulos exteriores de todo triángulo suman 360°. Entonces
d +120° +110° = 360° ∠d = 360° – 230° ∠d = 130°
∠
Por último sabemos que ∠a + ∠b + ∠c =180°, al sustituir los valores conocidos podemos conocer el valor de b. 60° + ∠ b + 70° =180° ∠b = 180° – 130° ∠b = 50°
Resuelve los siguientes ejercicios, traza la figura indicada.
Si uno de los ángulos de un triángulo rectángulo Si uno de los ángulos agudos de un triángulo mide 56° 27’ ¿Cuánto mide el otro ángulo rectángulo es un tercio del otro ¿Cuáles son los agudo? valores de esos ángulos?
Uno de los ángulo agudos de un triángulo rectángulo es el doble del otro menos 15°¿Cuál es el valor de cada ángulo?
Los ángulos interiores de un triángulo son A, B y C. Si el ángulo B es el doble de A y el ángulo C el triple de A ¿Cuánto mide cada ángulo?
Los ángulos interiores de un triángulo son A, B y C. Si el ángulo B excede en 18° al ángulo A y el ángulo C es la mitad de B ¿Cuál es el valor de cada ángulo?
Los ángulos interiores de un triángulo son A, B y C. Si el ángulo a es 15° menor que la mitad del ángulo B y el ángulo C excede en 11° a la cuarta parte de B ¿Cuánto mide cada ángulo?
TRIÁNGULOS
Ejemplo 2
∠AOD = ∠f = 46°
89°
El primer ángulo y probablemente el más fácil de encontrar es b, ya que ∠b + 89°= 180° por ser adyacentes, entonces ∠ b = 91° de esta manera como b y d son opuestos por el vértice ∠d = 91°. El problema dice de AB es paralela a DE, por lo tanto alternos internos.
∠c
=
∠f
por ser
De esto podemos deducir que ∠ c = 46° ∠a
+
∠b
+ ∠ c = 180° por ser ángulos interiores del triángulo AOB
Sustituyendo los valores obtenidos ∠ a + 91° + 46° = 180° ∠a
+ 137° = 180°
∠a
= 180 - 137°
∠a
= 43°
También a y e son alternos internos por lo tanto
∠a
=∠e
Entonces ∠ e = 43°
Con los datos proporcionados en las figuras, calcular los ángulos que se piden:
∠ α =50 °
∠ α =30 °
∠ β =30 °
β =80 ° ∠
∠ γ = __
∠ γ = __
a = __ ∠ b = __ ∠ α γ
γ
α
c = __ ∠
∠ c = __
∠ α = __
∠ α = __ ∠ β = __
α
∠ β = __
γ
∠ γ = __
∠ γ = __
α
∠ a =130 °
γ
b = __ ∠
b = __ ∠
El triángulo es :
El triángulo es :
α = __ ∠
∠ α = 65 ° ∠ β = 25 ° ∠ γ = __
a = __ ∠ b = __ ∠
β = __ ∠ γ = __ ∠
α
∠ a = __
γ
b =55° ∠ ∠ c =145°
c = __ ∠
El triángulo es :
a =153 ° ∠ c =117 ° ∠
c =110 ° ∠
α
∠ b = __
El triángulo es :
El triángulo es :
γ
a = __ ∠
El triángulo es :
Con los datos proporcionados en las figuras, calcular los ángulos que se piden:
l2 ∠x ∠y
=________ =________
∠x ∠y ∠z
=________ =________ =________ l1
l2
∠x ∠y
=________ =________
∠a =________ ∠c =________ ∠y =________ ∠s =________ ∠m =________
El triángulo ABC es rectángulo
6 x 2 6 x 3 ∠g =________ ∠h =________ ∠i =________ ∠x =________
1)
∠CAB ∠CBA
2)
C r
l1 // l2
=________ =________
a
x a x B B
b
X
b a: __________
a: __________
b: __________
b: __________
c: __________
c: __________
x: __________
x: __________
B: __________
B: __________
__________ : 3)
: __________
B
4) C
B B B A
D
C
A
D BC//AD
BAD = 45°
BAD = 70°
ABD = 30°
BDC = 25°
DBC = 53°
BCD = 110°
X=
X=
B= 5)
B= 6) X
127°
X
58° 30°
105°
C
X=
X=
7)
8) (X+15)
70
X
X
(X+15)
X=
X=
9)
10)
150 90°
40°
X X 150
X= 11)
120
X= 12) C=90° J 30
K
W
Z
53
A
(x+y)2 _____________________
F J:_____________ K: ____________ B:_____________
13) E
F F:_____________ 86
° H: ____________
Ø
:_____________
40 G
H 14) M
M:____________ P:_____________
t
Ø
P 5
u
t: _____________ Si
N
82
S: _____________
V
O
U: _____________ : _____________
S: QP//NO y
MN//OP
15)
A__________________________________B So X = _______________ Y = _______________ C
P
x
y
45
F
UNIDAD 1. GEOMETRÍA TEMA 1.2.3 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Completa los espacios vacíos y contesta lo que se te pide. Investiga ¿Cuándo dos triángulos tienen la misma forma pero diferente tamaño? ____________________________________________________ ______________ ____________________________________________________ ______________ ____________________________________________________ ______________ La semejanza la representamos por el símbolo_____y se ilustra en la siguiente figura:
ABC ∆
'
a a′
=
b b′
=
c c′
= k
'
~ '
La k se refiere a que cada proporción es igual a la misma constante k.
UNIDAD 1. GEOMETRÍA TEMA 1.2.3 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Investiga que afirma el Teorema de Tales y escríbelo aquí:
Al trazar en el triángulo ABC el segmento DE paralelo al lado AB se determina la proporción:
AC
=
EC
EJEMPLO. Semejanza de triángulos. AE ll BD x=______
De acuerdo con el teorema que dice que toda paralela a un lado de un triángulo determina un triángulo semejante al primero, podemos afirmar que en la figura anterior el triángulo AEC es semejante al triángulo BDC. Si separamos las figuras tenemos:
La s proporciones del triángulo grande al pequeño quedan de la siguiente manera: AC BC
=
EC DC
2 x + 4
x
=
=
12 5
AE BD
=
AE
Sustituyendo lo anterior por los valores mostrados: Solo trabajaremos con las dos primeras pues solo de esas tenemos valores
BD
Encontramos el valor de x:
5( 2 x + 4 )
=12 x
10 x + 20
=12 x
20
=12 x −10 x
20
= 2 x
10
= x
Para comprobar el resultado obtenido sustituimos en la proporción: 2(10) + 4 10 24 12
=
12 5
=
10
5
Ejercicios. En cada una de las siguientes figuras, calcula el valor de las incógnitas.
1.
2.
h=______________ 3.
x=____________ 4.
r=_____________
z=_____________
Ejercicios. En cada una de las siguientes figuras, calcula el valor de las incógnitas. 5.
6.
y=___________
m=______________
7.
8.
r=________ s=____________
x=________________
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Ejemplo: En la figura mostrada podemos observar algunos datos que pueden ayudar a establecer la semejanza de los tres triángulos formados y obtener los valores requeridos.
ABC
Como CD es la altura del triángulo ABC y éste triángulo es rectángulo se forman, tres triángulos que tienen un ángulo recto, además el triángulo I comparte un ángulo con el triángulo ABC, lo mismo sucede entre el triángulo II y el triángulo ABC, por lo tanto los dos son semejantes al triángulo ABC y por consiguiente semejantes entre ellos.
?
Para reconocer las partes homologas fácilmente es recomendable separar cada uno de los tres triángulos.
20
20
15
12 12
15
Los segmentos que no conocemos son BD y DA, por lo que solo tenemos que trabajar con el triángulo I y II ya que contiene a los dos segmentos que buscamos, las proporciones quedan de la siguiente manera: AC CB
=
CD BD
=
AD CD
Sustituyendo los valores indicados queda:
15 20
=
12
BD
=
AD 12
Separamos las proporciones para poder resolverlas: Primero encontramos BD:
Después encontramos DA:
15
12
15
BD
20
20
=
15( BD ) BD
=
DA 12
15(12)
= (12)(20)
180
(12)( 20)
= ( 20) AD
= 20 AD
15 9
BD
=
= AD
=16
Para comprobar los resultados obtenidos anteriormente basta con sustituir los valores obtenidos en las proporciones y verificar que son iguales a la misma constante.
15
=
20
=
BD
20
15
12
=
12 16
=
AD 12
9 12
.75 = .75 = .75
20
E 15
A
X
AB//DE
D
C
X
C 36
2Z+14
D
E
60
5Z
A
DE//AB
B
Z
B
D
A
CD: 2,4, AC: 3, BC: 4 CD: Altura A,B, C BD=
C
D:
B
E
A
D
C
DC= 2, AD= 18, DE= 3 AB
B
E
A
D
C
BC BA DE AC AC= 34; BC= 28 DC= 16 EC
B
D
E
A AC= 45,
C
AD= 24,
BD= 12,
BE= 14,
EC= 28
DE
C 25
X D
E
15
22
A
B
AB// DE X C 18 D
X E
A
22
B
AB// DE X F
12
E
15
D
X+8 B X+22.5 C EB // DC X C
X
E A
B 1.50 192
DE//BC X
UNIDAD 1. GEOMETRÍA TEMA 1.2.4 TEOREMA DE PITÁGORAS LECCIÓN 11. REVISIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS Y EJERCICIOS EN DONDE SE UTILIZA. “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”
2
2
C =a +b
2
Ejemplo:
El objetivo de este ejercicio es calcular la medida del segmento AB, para lo cual podemos aplicar el teorema de Pitágoras.
Como podemos observar en la figura el segmento AB se compone de los segmentos AD y DB que en este caso son las hipotenusas de los triángulo II y I respectivamente, por lo que la suma de los valores de estas seria la medida de AB. En el triángulo I I
En el triángulo I 2
2
(FB) + (FD) = (DB)
2
Sustituyendo resulta: 52 + (16 – 4 ) 2 = (DB)2 25 +144
= ( DB )
(AG)2 + (GD)2 = (AD)2 Sustituyendo resulta: 32 + 42 = (AD)2 9 +16 25
= ( AD )
= AD
5 = AD
169
= DB
13 = DB
Como AB = AD + DB AB = 5 + 13 AB = 18
En las siguientes figuras, calcula el valor de las incógnitas, aplicando el teorema de Pitágoras.
Resuelve los siguientes problemas:
1. Calcula la altura de un triángulo isósceles, si su base mide 60cm y cada uno de los lados iguales 50cm. 2. Calcula la altura de un triángulo equilátero que mide 10m por lado. 3. ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de 5m por lado? 4. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado cuya diagonal mide 8m? 5. ¿Cuánto mide la diagonal de un rectángulo de 28m de largo 21m de ancho? 6. ¿A que altura lega una escalera de 10m de largo en un muro vertical si su pie está a 3m del muro? 7. Si el lado de un hexágono regular mide 16 cm ¿Cuánto mide su apotema? 8. Un terreno rectangular de 4000m de largo por 3000m de ancho tiene en medio una colina que no permite una medición directa ¿Cuál es la longitud de su diagonal? 9. Para sostener la torre de la antena de una estación de radio de 72m de altura se desea poner tirantes de 120m para darle mayor estabilidad ¿A que distancia del pie de la torre deben fijarse los tirantes para que queden completamente tensos y sujetados desde la parte más alta de la torre? 10.Las tres bases a que se sujetan los cables que sirven para la estabilidad de un poste están situadas a 36m del pie del poste. Calcular la longitud de los cables, si el poste tiene una altura de 48m. UNIDAD 1. GEOMETRÍA
TEMA 1.3.1CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS LECCIÓN 12.DEFINICIÓN DEL CONCEPTO DE POLÍGONO Y CLASIFICACIÓN. I. ¿Qué es un polígono? ___ ________________________________________________ II. Escribe el nombre de cada polígono según el número de lados o su número de lados según su nombre: a) 3 lados _______________ b) 4 lados _______________ c)_______ Pentágono d) 6 lados _______________ e)_______ Heptágono f) 8 lados _______________ g)_______ Icoságono h) 9 lados_______________ i)_______ Dodecágono j) 10 lados_______________ k)_______Endecágono l) 15 lados ______________ III. Completa la siguiente tabla. POLÍGONO
CARACTERÍSTICAS
EQUILÁTERO Polígono que tiene sus ángulos iguales. CONVEXO Polígono que tiene ángulos internos entrantes. Es el que es a la vez equilátero y equiángulo. IRREGULAR
UNIDAD 1. GEOMETRÍA
TEMA 1.3.2 CENTRO, SEGMENTOS Y ÁNGULOS NOTABLES DE LOS POLÍGONOS I. Completa la siguiente tabla de acuerdo a las definiciones de los conceptos de polígonos regulares y a la siguiente figura. Sea ABCDE un polígono inscrito en C1 y circunscrito en C2.
C1 C2
CONCEPTO
DEFINICIÓN
EN LA FIGURA
CENTRO Es el segmento que une el centro con un vértice del polígono.
OA y OE ∠ AOE
APOTEMA BD Ángulo formado por cada dos lados consecutivos del polígono. ∠ HAE
II. Relaciona las siguientes columnas (para cualquier polígono regular de n lados)
2rt = dos ángulos rectos = 180° CONCEPTO
(
(
) Ángulo central (x)
(
) Ángulo interno (i)
(
) Ángulo externo (e)
) Suma de los ángulos internos (Si)
( ) Número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice (d)
( ) Número total de diagonales que pueden tazarse desde todos los vértices (D)
(
) Suma de los ángulos externos (Se)
FÓRMULA
(1)
( 2)
n ( n −3)
2
2 rt ( n − 2) n
(3)
360° n
( 4)( n −3)
(5) 4 rt
(6)
360 n
(7 ) 2 rt ( n − 2)
III. De acuerdo a las propiedades de los polígonos contesta las siguientes preguntas como en los ejemplos anteriores.
1) Si la suma de los ángulos interiores de un polígono regular es de 1260° ¿Cuál es el polígono?
2) ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior es de 135°?
3) ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice de un icoságono?
4) Determina el número total de diagonales que pueden trazarse en un endecágono regular.
5)¿Cuál es el polígono en el que pueden trazarse 20 diagonales en total?
6) ¿Cuánto vale cada ángulo interior de un pentadecágono?
7) ¿Cuánto suman los ángulos externos de un decágono regular?
8) ¿Cuál es el polígono que tiene 12 diagonales más que lados?
9) ¿Qué polígono tiene el doble número de diagonales que de lados?
10) ¿Qué polígono 25 diagonales más que lados?
UNIDAD 1. GEOMETRÍA
TEMA 2.4.1. DEFINICIÓN DE CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA I. Define los siguientes conceptos y trata de ilustrarlos. Circunferencia______________________________________ __________________________________________________ Círculo____________________________________________ __________________________________________________ II. Completa la siguiente tabla con respecto a las definiciones presentadas y a su representación en la gráfica.
Concepto
Definición
En la figura
Radio Segmento determinado por dos puntos de la circunferencia. BC Secante Cualquier recta que toque a la circunferencia en un punto y sólo uno.
UNIDAD 1. GEOMETRÍA
TEMA 1.4.2. ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA I. Completa la siguiente tabla. Clase de ángulo
Figura
Fórmula
Ángulo central
∠ B =
1
AC
2
Semi - inscrito
∠CBA =
1
AB
2
Interior
∠ A =
1 2
( BC − DE )
∠ A =
1 2
Formado por dos tangentes
( BC − BD )
UNIDAD 1. GEOMETRÍA TEMA 1.4.3 CÁLCULO DE ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA LECCIÓN 16. EJERCICIOS PARA LA APLICACIÓN DE LOS CONCEPTOS DE ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA.
wqa
UNIDAD 1. GEOMETRÍA TEMAS 1.3.4 y 1.4.4.5 PERÍMETROS Y ÁREAS DE POLÍGONOS REGULARES E IRREGULARES ASI COMO DE LA CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO. I. Completa la siguiente tabla de acuerdo a las fórmulas de perímetro y área de cada figura. NOMBRE FÓRMULAS FIGURA
TRIÁNGULO
P= Elementos (a,b,c) A= Elementos (b y h) A= Elementos (a,b,c)
CUADRADO
P= Elementos A= Elementos
PARALELOGRAMO
A= Elementos (B,b,h)
NOMBRE
ROMBO
FÓRMULAS P= Elementos A= Elementos
P= Elemetos POLÍGONO IRREGULAR A= Elementos
P= Elementos A= Elementos
CIRCUNFERENCIA
Longitud = Elementos
CÍRCULO
A= Elementos
FIGURA
II. Obtén el perímetro y área de cada una de las siguientes figuras, en el caso de las figuras con área sombreada solo obtén el perímetro y área de la misma.
Área:________
Área: ________
Perímetro:_______ Área:_______
Perímetro:________
Área: _________
Área:
Perímetro: _________
Perímetro: _________
Perímetro: ______ Área:_____
Perímetro:__________
Área:
Perímetro: _________
=25cm
Área: ________
Perímetro: ________
UNIDAD II. TRIGONOMETRÍA TEMA 2.1.1 IDENTIFICAR LAS PRINCIPALES RAZONES TRIGONOMÉTRICAS . I. Completa la siguiente tabla de acuerdo con los lados y ángulos del triángulo rectángulo: a es el cateto__________al < A a es el cateto__________al < B b es el cateto__________al < A b es el cateto__________al < B c es__________ del triángulo ABC II. Completa la siguiente tabla: Define las funciones trigonométricas para cada ángulo.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
El seno del ángulo A es________________ Sen A = El coseno del ángulo A es ______________ Cos A = La tangente de ángulo A es _____________ _
Tan A =
La cotangente del ángulo A es __________ Cot A = La secante del ángulo A es______________ Sec A = La cosecante del ángulo A es____________ ___________________________________
Csc A =
III. Relaciona las siguientes funciones con sus recíprocas. Recuerda que si al multiplicar dos funciones trigonométricas el resultado es igual a uno, diremos que dichas funciones son recíprocas.
sen ∠ A =
a
sec ∠ A =
h
cos ∠ A
=
b
cot .∠ A
h
tan ∠ A =
a
=
csc ∠ A =
b
h b
b a h a
IV. Completa la siguiente tabla de acuerdo al triángulo ABH. Recuerda que en el triángulo ABH,
sen ∠ A =
b
sen ∠ B =
h
cos ∠ A
h
tan ∠ A =
cot .∠ A
b
=
a b
=
sec ∠ A =
csc ∠ A =
b a
h b
h a
h
cos ∠ B =
tan ∠ B =
cot .∠ B
csc ∠ B =
sen ∠ A = cos(90 ° − ∠A)
cos ∠ A =
cos ∠A =
a h
b a
=
sec ∠ B =
sen ∠ A =
A = tan ∠
= cot(90°-
a b
cot ∠ A =
cot ∠A =
h a
A = sec ∠
= csc (90°- < A)
h b
A = csc ∠
Conclusiones: En un triángulo rectángulo
csc ∠A =
• • •
El seno de un ángulo es igual al coseno de su complemento. La tangente de un ángulo es igual a la cotangente de su complemento La secante de un ángulo es igual a la cosecante de su complemento.
V. Completa la siguiente tabla siguiendo el ejemplo. La hipotenusa en todos los casos será igual a 1. No Sen A Cos A Tan A Cot A Sec A Csc A FIGURA 1 0.6000 0.8000 0.7500 1.3333 1.2500 1.6667
2
3
0.8000
1.25
0.9806
1.01978
4
0.333
3.0030
5
0.555
1.800
6
7
1.1333
2.4622
VI. Relaciona las siguientes columnas. Ejemplo: Sen 70° = cos ( 90° – 70°) = cos 20° tan 49° = ( )
a) csc 65°
sec 25°= ( )
b) csc 53° 40´
cos 10°= ( )
c) cos 44° 14´ 15´´
sen 54°= ( )
d) tan 77°
cot 13°= ( )
e) cos 36°
csc 66°= ( )
f) sen 80°
Sen 28° 30´= ( )
g) cot 41°
Tan 19° 45´= ( )
h) sen 27° 29´ 40´´
Sec 36° 20´= ( )
i) cot 9° 30´
Cos 62° 30´ 20´´ = ( )
j) sen 26°
Tan 69° 15´ 10´´= ( )
k) csc 59° 49´50´´
Sec 30° 10´ 10´´= ( )
l)tan 79°15´´
Sen 45° 45´ 45´´= ( )
m) csc 84° 45´´
Sen 15°= ( )
n) cos 75°
Cos 74°= ( )
ñ) cot 20° 44´50´´
Tan 80° 30´= ( )
o) cos 61°30´
Cot 10° 45´= ( )
p) sec 24°
Sec 5° 15´= ( )
q) cot 70°15´
UNIDAD II. TRIGONOMETRÍA TEMA 2.1.2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE 30°, 45° Y 60° Cada una de las escuadras de 45° forma un triángulo rectángulo isósceles, y colocándolas como se muestra forman un cuadrado.
Ángulo de 45°. Si trazamos la diagonal de un cuadrado de lado 1, los triángulos formados son rectángulos y sus ángulos agudos miden 45° como en el caso de las escuadras. Podemos calcular el valor de esa diagonal con el teorema de Pitágoras. h2=a2+b2 h2=12+12 h2=2 h= 2
Al unir 2 escuadras de 30° y 60° respectivamente de la manera que se muestra se forma un triángulo equilátero.
Ángulos de 30° y 60°. Para obtener estos ángulos trazamos un triángulo equilátero similar al que se forma con las escuadras, pero de dos unidades por lado, por lo que cada uno de sus sus ángul ángulos os mide mide 60° 60°,, la bisec bisectr triz iz de de uno uno de ello ellos, s, lo divi divide de en dos triángu triángulo loss rectángulos de dos unidades de hipotenusa y una unidad de base. La altura se calcula calcula con el teorema de Pitágoras. h2 = a2+b2 a2=h2 – b2 a2=22-12 a2= 4 – 1 a2=3 a= 3
I. Con la información anterior completa la siguiente tabla de valores de las funciones trigonométricas de 30°, 45°, 60°.
GRADOS FUNCIÓN 30°
45 ° 2 2
Sen
1 2
Cos
Tan
60°
3 3
Cot
1 1
2 1
Sec
Csc
UNIDAD II. TRIGONOMETRÍA
2 1
TEMA 2.1.3 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. La resolución de triángulos rectángulos tiene diferentes caminos para resolverse, a continuación se presentan algunos tipos de problemas y una opción de cómo resolverlos. Los triángulos rectángulos están formados, de un ángulo recto, dos agudos complementarios y tres lados. Sin considerar el ángulo recto, si conocemos dos de esos elementos podemos conocer los demás. Tomaremos el triángulo ABC como modelo para cada caso. Caso
Datos
Dos catetos
1
2
3
4
a=5m c=7m ∠B=90 ° Un cateto y la hipotenusa b=9m c=4m ∠B=90° Un cateto y un ángulo a=2m ∠C=35° ∠B=90° Hipotenus a y un ángulo b=20m ∠C=38° ∠B=90°
Incógnitas
b= ∠A= ∠C=
Cálculo de incógnita +c
2
b =
a
b =
52 + 7 2
tan A =
b =
tan A =
74
a = a = a =
b
2
9
2
a= c=
5
= .7142
∠ C = 90° −35°32 ∠ C = 54°28′
∠ A = 35°32′
−c
2
−4
2
65
senC =
senC =
4
= .444
∠ A = 90° − 26°23 ∠ A = 63°37′
∠C = 26°23′
=
a
senA =
c
2 tan 55° 2 = = 1 .40 1.42
b =
c
b =
senA =
a b
a b
c =
∠ A = 55 °
∠ A = 90 ° −C
∠ A = 90° −C
9
∠ A = 90 ° −C ∠ A = 90 ° −35°
c b
tan A
∠A=
∠ C = 90° − A
7
a = 8.06 m
c= b= ∠A=
Cálculo de incógnita
a c
b = 8.6 m
a= ∠A= ∠C=
Cálculo de incógnita
2 sen55°
2 .8192
senC =
= 2.44 m
c b
∠ A = 90 ° −38°
a = 20 sen 52 °
c = 20 sen 38 °
∠ A = 52 °
a = 20 (. 7880 )
c = 20 (.6157 )
a =15 .76 m
c =12 .31m
I. Completa la siguiente tabla de acuerdo a los valores que te dan, revisa el ejemplo.
a
b
c
∠A
∠B
1
5
12
13
22°37´
67°23´
2
2
7
3
4
11
4
8
∠A
∠B
No
No
FIGURA
FIGURA
a
17
b
c
5
13
15.26
6
8
7
6
53°8´
71°34´
8
12.08
24°27´
9
10
53°8´
10
100
14°2´
II. Los siguientes problemas son aplicaciones prácticas de la resolución de triángulos rectángulos, resuélvelos.
UNIDAD II. TRIGONOMETRÍA TEMA 2.2.1 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL PLANO CARTESIANO. LECCIÓN 24. IDENTIFICAR LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN LOS CUATRO CUADRANTES. I. Completa la siguiente tabla de acuerdo a las posiciones de los ángulos. CUADRANTE
I
II
P es un punto cualquiera de coordenadas (c,a) b, siempre es positivo pues es una distancia
Senα =
a b
Cosα =
c b
Tanα =
c a
Cot α =
Secα =
Cscα =
c a
b c
b a
III
α
α
IV
α
α
+ + -
II. De acuerdo con la información construye el triángulo rectángulo y calcula los valores de cada una de las funciones trigonométricas de sus dos ángulos agudos. No
Datos
1
El punto de coordenadas (3,2)
2
El punto de coordenadas (-3,5)
3
El punto de coordenadas (2,-5)
4
El punto de coordenadas (-4,-3)
Si
5
tan α =
3
y está
4
en el tercer cuadrante
Figura
Solución
No
Datos
Si Senα =
6
4
en el segundo cuadrante.
−3
5
y está
3
Tanα = −
3 2
y
está en el segundo cuadrante.
Si
10
y
en el primer cuadrante.
Si
9
7
está en el cuarto cuadrante.
Si Cot α =
8
y está
5
Si Tanα =
7
Figura
Cosα =
en el primer cuadrante.
4 7
y está
Solución
10α − β
45°
2α + β
Calcula los valores de
∠α
y∠
si m y n son paralelas:
∠ α = ∠ β =
m α
2 β +10
β −10°
Calcula los valores de
∠α
y
si m y n son paralelas :
∠
∠ α = ∠ β =
m n
Calcula el valor de ∠X=
∠x
y
∠
∠y
si m y n son paralelas :
y=
m n l
Calcula el valor de ∠X=
∠x
y ∠ y si m, n y l son paralelas :
∠ y=
n
Calcula el valor de los siguientes ángulos si m y n son paralelas: ∠ d
g ∠
∠ e =
h = ∠
∠ f
i = ∠
m
∠ j =
k ∠
Calcula el valor de los siguientes ángulos si m y n son paralelas: ∠ 1= ∠ 2 ∠ 3
∠ 4
7 = ∠
5 = ∠
8 = ∠
6 ∠
∠ε − 2∠θ = 45° ε α
γ
n
λ
δ
µ
m
Calcula el valor de los siguientes ángulos: ∠ α =
γ = ∠
∠ β =
δ ∠
∠ ε =
λ = ∠
∠ θ =
µ ∠
