INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA
“Un optimista ve una oportunidad en toda calamidad, un pesimista ve una calamidad en toda oportunidad” Winston Churchill
NÚMEROS RACIONALES TABLA DE DESEMPEÑOS Comprender las propiedades y características característ icas de los representándolos en la recta numérica y el plano cartesiano.
números
racionales
Manejar las relaciones y las operaciones básicas de los números racionales aplicándolos en la solución de problemas del entorno. Plantear y resolver ecuaciones utilizando los números racionales
INDICADORES INDICADORES DE DESEMPEÑOS:
Grafica con propiedad en la recta numérica. Grafica con propiedad en el plano cartesiano. Soluciona problemas aplicando las operaciones y propiedades de los números racionales. Soluciona problemas aplicando la potenciación de los números racionales. Soluciona problemas aplicando la radicación de los números racionales. Plantea y resuelve ecuaciones a partir de situaciones reales. Cumple con las tareas y actividades asignadas por el docente.
CONTENIDOS: Concepto de número racional Conjunto de los números racionales Fracciones equivalentes Representación de los números racionales en la recta numérica Adición y sustracción de de números números racionales racionales Multiplicación de números racionales División de racionales Potenciación y radicación de números racionales
Ecuaciones con números racionales Polinomios con números racionales
Números Racionales Los números racionales se representan por fracciones reducidas a su mínima expresión
Concepto de fracción Una fracción es el cociente de representamos de la siguiente forma:
b
dos
números
enteros a y b ,
que
denominador , indica el número de partes en que se ha dividido la
unidad. a
numerador , indica el número de unidades fraccionarias elegidas.
Observe las siguientes figuras. En ellas la unidad es el rectángulo A. Hemos partido la unidad en diversas formas pero siempre en partes iguales. Cuando partimos la unidad que tenemos en 2 partes iguales cada pedazo se llama mitad o medio y la unidad queda 2 partida en 2 mitades Esto lo expresamos como 1 . 2 Si partimos la unidad en 3 partes iguales, cada parte se llama tercio y la unidad queda 3 partida en 3 tercios. Eso se expresa como 1 3 En el dibujo de abajo también hemos partido la unidad en sextos y en cuartos. Abajo de cada dibujo pusimos la manera en que queda partida la unidad y el nombre de las partes.
Ecuaciones con números racionales Polinomios con números racionales
Números Racionales Los números racionales se representan por fracciones reducidas a su mínima expresión
Concepto de fracción Una fracción es el cociente de representamos de la siguiente forma:
b
dos
números
enteros a y b ,
que
denominador , indica el número de partes en que se ha dividido la
unidad. a
numerador , indica el número de unidades fraccionarias elegidas.
Observe las siguientes figuras. En ellas la unidad es el rectángulo A. Hemos partido la unidad en diversas formas pero siempre en partes iguales. Cuando partimos la unidad que tenemos en 2 partes iguales cada pedazo se llama mitad o medio y la unidad queda 2 partida en 2 mitades Esto lo expresamos como 1 . 2 Si partimos la unidad en 3 partes iguales, cada parte se llama tercio y la unidad queda 3 partida en 3 tercios. Eso se expresa como 1 3 En el dibujo de abajo también hemos partido la unidad en sextos y en cuartos. Abajo de cada dibujo pusimos la manera en que queda partida la unidad y el nombre de las partes.
En la forma en que estamos expresando estas particiones el número de abajo sirve para decir en cuántas partes iguales se fraccionaron la unidad y el número de arriba para decir cuántas partes tomamos. De estos números, el de arriba se llama numerador (el que numera o cuenta), y el de abajo denominador (el que da nombre), y la expresión se llama completa fracción o quebrado. En las figuras de arriba son iguales el numerador y el denominador porque tomamos todas las partes que forman la unidad.
Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual al producto de medios.
a y d son los extremos b y c son los medios
En las figuras H e I tenemos
1
2
pero hay muchas otras maneras de tener esa misma 3 6 cantidad. Observe las siguientes figuras en las que el rectángulo U es la unidad; en ellas se ha marcado la misma cantidad de área de muchas maneras:
En las figuras anteriores se ha marcado la tercera parte del área del rectángulo U con diversas fracciones. Estas fracciones son equivalentes : porque expresan la misma cantidad, un tercio:
Observe que podemos obtener todas estas fracciones de un tercio multiplicando numerador y denominador por el mismo número:
1 3
1 x 2
1 3
1 x 4
1 3
3 x 2
2
3 x 4
4
1 x8
3 x8
6
12 8
24
Estas operaciones corresponden a obtener una partición más fina, de partes más pequeñas.
Amplificación de fracciones
De esta manera es posible obtener todas las fracciones equivalentes que se quiera. Tomamos una fracción y multiplicamos numerador y denominador por el mismo número natural. Por ejemplo, dos diecisieteavos es equivalente a dieciséis ciento-treinta-y-seis-avos porque
2 x 8 = 16 y 17 x 8 = 136 Simplificación de fracciones Observe también que si el numerador y el denominador de una fracción son divisibles por un mismo número, entonces al realizar estas divisiones obtenemos una fracción equivalente (simplificando fracciones). Lo que se hace con esto es agrupar partes pequeñas en una mayor. Por ejemplo:
4 12
42 12 2
2 6
Si se obtienen fracciones equivalentes con este proceso se dice que se simplifica o que se reduce una fracción. Cuando el numerador y el denominador de una fracción no tienen divisores en común se dice que la fracción es irreducible, es decir que no se puede reducir. Por ejemplo, podemos simplificar la fracción cuarenta y ocho sesenta-avos dividiendo entre dos, dos veces, y luego entre tres, una vez. Obtenemos una fracción que ya no se puede simplificar más:
48 60
48 2 60 2
24 30
24 2 30 2
12 15
12 3 15 3
4 5
Saber encontrar fracciones equivalentes es muy útil, sobre todo para comparar fracciones y para hacer operaciones con ellas.
Reducción de fracciones a común denominador
Reducir varias fracciones a común denominador consiste en convertirlas en otras equivalentes que tengan el mismo denominador. Para ello:
1 Se determina el denominador común, que será el mínimo com ún múltiplo de los denominadores.
2 Este
denominador
común
se
divide
por
cada
uno
de
los
denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente. E j em p lo :
m .c. m. (3. 12. 9) = 2 2 · 3 2 = 36
Comparar fracciones
Fracción es con igual denominador
De dos fracciones que tienen el mismo denominador es menor la que tiene menor numerador.
Ejemplo:
Fracción es con igual numerador
De dos fracciones que tienen el mismo numerador es menor el que tiene mayor denominador.
Ejemplo:
Fracciones con numeradores y denominadores distintos
En primer lugar las tenemos que poner a común denominador Es menor la que tiene menor numerador.
Ejemplo:
Fracción propia. Cuando tenemos un quebrado con el numerador más chico que el denominador, tenemos menos que una unidad y decimos que es una fracción propia. Por
4 11 32 , , ejemplo, , y son fracciones propias. 7 20 360 Fracción impropia Sin embargo podemos tener un quebrado con el numerador mayor que el denominador; en ese caso tenemos más que una unidad y decimos que es una fracción impropia. Por 4 23 132 ejemplo, , y son fracciones impropias. , 3 10 25
Fracción mixta También podemos escribir las fracciones impropias como los enteros que forman y una fracción propia. Por ejemplo, en siete quintos tenemos un entero y dos quintos; esto se 7 2 acostumbra escribir como y se lee un entero dos quintos. 1 5 5 Cuando tenemos enteros y fracciones en esta forma decimos que es una fracción mixta. 7 3 Por ejemplo, 5 son fracciones mixtas. y 14 25 8
Taller 1 1. En las siguientes figuras el rectángulo R es la unidad. Diga qué parte de la unidad es la parte sombreada de cada uno de los otros rectángulos. Encuentre todas las fracciones equivalentes en las siguientes figuras .
2. En las siguientes figuras cada rectángulo es la unidad de referencia. Escriba qué parte del entero es la parte sombreada en cada caso y encuentre tres fracciones equivalentes a la que dio.
3. Simplifique las siguientes fracciones hasta tener una fracción irreducible:
4. De las siguientes parejas de fracciones diga cuál es más grande:
5. Representa gráficamente cada par de fracciones, para determinar si son o no equivalentes
6. Determina si cada par de fracciones son o no equivalentes:
REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES EN LA RECTA NUMÉRICA Todas las fracciones pueden ubicarse en la recta numérica. Estudiemos cómo se hace en cada uno de los casos. Fracción propia Toda fracción propia se ubica entre el 0 y el 1 de la recta. Sólo habrá que dividir ese segmento de recta en las partes que indica el denominador de la fracción; mientras, el numerador nos señala cuantas partes hay que tomar. Por ejemplo, si ubicamos 2/3 en la recta numérica, dividimos en 3 partes iguales la unidad y tomas los dos primeros trozos desde el cero
Fracción impropia En este caso, las fracciones pueden ser transformadas a número mixto, antes de ubicarlas en la recta numérica. Ello, debido a que las fracciones impropias son mayores que 1. Al convertirlas en número mixto, el entero que se obtiene nos indica entre que números enteros está la fracción impropia, y la fracción que nos resulta se ubica entre dichos números. Por ejemplo, veamos qué sucede con 5/3.
El entero 1 nos indica que la fracción está entre el 1 y el 2. Por eso, dividimos ese segmento (del 1 al 2) en tres partes iguales y marcamos donde va 2/3. De este modo, ubicamos allí mismo los 5/3, que corresponden a nuestra fracción original. O simplemente dividimos tantas unidades en tercios como sean necesarias para completar cinco tercios.
TAREA DE CONSULTA Consultar como se ubica parejas ordenadas compuestas por números fraccionarios en el plano cartesiano
Taller 2 1. Ubicar en la recta numérica.
2. Ubicar en la misma recta numérica
3. Ubicar en el plano cartesiano cada par ordenado
Taller 3 1. Establece la relación de orden entre cada par de números
2. Aplicando el producto en cruz, determina si cada par de fracciones son o no equivalentes
3. Ordena de mayor a menor los siguientes números racionales
SUMA Y RESTA DE NÚMEROS RACIONALES SUMA Y RESTA DE RACIONALES CON EL MISMO DENOMINADOR Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador y si podemos, simplificamos el resultado. Por ejemplo: Ejemplos:
SUMA Y RESTA DE RACIONALES CON DISTINTO DENOMINADOR En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.
Ejemplos:
Suma y resta de fracciones mixtas Si sumamos fracciones mixtas podemos sumar primero los enteros y luego las fracciones o convertir los enteros en fracciones, sumar y simplificar el resultado. Por ejemplo, si queremos sumar tres enteros un medio y cinco enteros un tercio, se puede hacer de las dos maneras siguientes: a) Sumamos primero los enteros :
b) O bien, primero convertimos los enteros a fracciones impropias
3
1 2
3 x 2 2
1 2
6 2
1 2
7
5
3
2
Y luego sumamos:
7 2
16 3
21 32 6
53 6
8
1
5 6
Taller 4 1. Sume las siguientes Fracciones:
2. Haga las siguientes restas de fracciones:
5 x3
3
1
3
15
3
1
3
16
3
3. resolver
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES En esta lección se verá cómo multiplicar y dividir números racionales. Usted ya sabe realizar estas operaciones con números enteros.
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES Ahora vamos a presentar la manera en que se multiplican dos fracciones. Al multiplicar dos fracciones se obtiene una fracción. Entonces, para efectuar la multiplicación necesitamos saber cuál es el numerador y cuál el denominador del resultado. La regla es la siguiente: • El numerador del producto de dos fracciones es el producto de los numeradores,
y el denominador es el producto de los denominadores, de las fracciones que se están multiplicando.
Obtenemos el resultado
14 20
. Pero como 14 y 20 tienen divisores comunes, podemos
simplificar el resultado, encontrando una fracción equivalente que tenga un denominador más pequeño: dividiendo arriba y abajo entre 2 se obtiene
Veamos un ejemplo: multipliquemos las fracciones y
2 5
y
7 10
7 4
Ya se ha dicho que los enteros son racionales que se pueden expresar como fracciones poniéndoles como denominador el 1. Así podemos realizar multiplicaciones como la que se muestra a continuación.
2 5
x7
2
5
x
7 1
14 5
Taller 5 1. Resuelva las siguientes multiplicaciones y si es posible simplifique el resultado: A)
D)
8 15
x
4 6
35 18
x
15 25
B)
E)
2
9 x
3 8 5
16
C)
x3
2. Encuentra los siguientes productos, simplifica los resultados
3. Completa el cuadro:
8 9
F)
x
1 2
5 7
x
5 4
x
7 3
a
b
c
axb
bxa
ax(bxc)
(axb)xc 1xc
ax(b+c)
bx(c-a)
División de fracciones Para dividir dos fracciones es conveniente hablar de algunas propiedades de la multiplicación de números racionales, que son importantes para la división de fracciones.
La primera de ellas es la propiedad del neutro multiplicativo, propiedad que ya conocíamos para los naturales y para los enteros:
Al multiplicar por 1 cualquier número racional, el resultado es ese mismo número. Por ejemplo:
3 8
x1
3 8
La segunda propiedad es la del inverso multiplicativo:
Para todo número racional distinto de cero, se puede encontrar otro número racional que multiplicado por el primero dé como resultado 1. El número encontrado es el inverso multiplicativo del primero. Por ejemplo,
El siguiente procedimiento para dividir fracciones: 1 . Se m u l t i p l i c a e l n u m e r ad o r d e l a p r i m e r a , p o r e l d e n o m i n a d o r d e l a s e g u n d a . El r e s u l t a d o e s e l n u m e r ad o r d e l c o c i e n t e . 2 . S e m u l t i p l i c a e l d en o m i n a d o r d e l p r i m e r o p o r e l n u m e r a d o r d e l s e g u n d o . El resultado es el denom inador d el cociente.
Ejemplos:
Con este mismo procedimiento podemos dividir una fracción entre un entero, o un entero entre una fracción, ya que podemos expresar el entero como una fracción con denominador igual a 1. Por ejemplo:
Taller 6 1. Encuentre el inverso multiplicativo de los siguientes números:
2. Resuelve:
3. Resuelve aplicando “Ley de la oreja”
4. Completa la siguiente tabla
5. Soluciona el crucigrama propuesto:
6. Simplifique las siguientes fracciones:
POTENCIACIÓN NÚMEROS RACIONALES En los números racionales se aplican las mismas propiedades que en el conjunto de los números enteros. Es la multiplicación de factores iguales. Los términos de la potenciación son:
n
a = b
Exponente Potencia Base
Las potencias de exponente par son siempre positivas.
Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base .
Propiedades de la potenciación 1. Potencia 0 Un número racional elevado a 0 es igual a la unidad.
Ejemplo:
2. Potencia de 1 Un número racional elevado a 1 es igual a sí mismo.
Ejemplo:
3. Producto de potencias 3.1 potencias con la misma base Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
Ejemplo:
3.2 Potencia con el mismo exponente Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.
Ejemplo:
4. Cociente de potencia 4.1 Potencias con la misma base Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.
Ejemplo:
4.2 Potencias con el mismo exponente Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.
Ejemplo:
5. Potencia de una potencia Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.
Ejemplo:
6. Potencia con exponente negativo Es otra potencia con el inverso multiplicativo del número racional y cuyo exponente es el mismo pero con signo positivo.
Ejemplo:
Taller 7 1. Realiza las siguientes operaciones con potencias: a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
3. Opera:
4. ¿Se dobla un pliego de papel en dos partes y se recorta por el dobles. ¿Cuántos pedazos de papel hay después de repetir el mismo procedimiento cinco veces? 5. Una canasta de gaseosa tiene 30 botellas; cuantas botellas habrá en 30 carros, si cada carro tiene 30 canastas?
RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES En los números racionales se aplican las mismas propiedades que en el conjunto de los números enteros.
Los términos que intervienen en la radicación son: el índice, la cantidad sub - radical, el radical (símbolo de la radicación y la raíz (el resultado buscado).
Propiedades de los radicales
Producto de radicales
Cociente de radicales
Potencia de radicales
Raíz de un radical
Raíz enésima de una potencia
En los números racionales
Ejemplo
Recordar: La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.
Las únicas raíces de números racionales que se trabajan un poco en este curso son las raíces de radicando racional e índice natural.
Taller 8 1. Resolver aplicando propiedades
2. Resolver aplicando propiedades
ECUACIONES CON NÚMEROS RACIONALES Para resolver ecuaciones con números racionales, se procede igual que con los números enteros.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES Ahora se verá la aplicación de los procedimientos anteriores en la solución de problemas. Para la solución de estos planteamientos lo importante es lograr reducirlos a expresiones algebraicas. Ejemplo 1
Taller 9 1. Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones fraccionarias de primer grado: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
1 2
1
x
3 3 4 x 2 5 6 3 8
x
1
x
3
1
2
x
6
4x 5 8 x3 4
3x 5 2
5
2x
5 x
x
9
7 12
1
2
2
3 10
9
x
x
5 3x
3
x 1 4
17)
3
18)
2 3 5x 2
x3 4
2
3
3
2x 1
1
16)
3
1
6
x4
8x 3
15)
4
4
x 2
x 1
3
18
14)
4
x
3
x
6
x
6
5
5
x2
13)
5
3
19)
4
2x 1
20)
9
5x 1
21)
8
10) 3x 8
5
11) 12)
7 2x 11 x
x 1 4
8 3x
2
7x 3 9
4x
1 3
4x 3
22)
8x 5 10
23)
31 7 x
5
x
1 8x 3 4x
3 2
9x 5
0,8x
x
1
3
3
14
5 0,6x
3
2 x 1
7
3x 1 13 2x 3 x4 x 3
x
1 4
72
11 14x
1,25
1,5x
2 5 2
0
3
3x 2
13
16
3
x2
24x
1
7x
1,6x
x 3
8
1
12x
5
7
1
x 1
6x 6x 1 11 x3
2x 5 2x
0
0
0
6x
3 x
Respuestas: 1) 6 11)
2) 3 5 2
3) 12
12) 4
13)
4) 20 4 3
5) 5
14) 2
6)
20
15) -1
29
16)
7) 1 2
1 8
8) -5 17) 1
9) 5 18)
13 2
10)
19)
17 23
16
5
0
20) -5
21)
2 15
22) 8
23)
5
3
2. Resolver 1 Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo?
2 Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número?
3 La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm?
4 En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96 personas?
5 Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. Reponemos 38 l y el bidón ha quedado lleno hasta sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón.
6 Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?
7 Luís hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 20 l de gasolina. El trayecto lo hizo en dos etapas: en la primera, consumió 2/3 de la gasolina que tenía el depósito y en la segunda etapa, la mitad de la gasolina que le queda. Se pide:
1 Litros de gasolina que tenía en el depósito. 2 Litros consumidos en cada etapa. 8 En una librería, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un cómic con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería tenía 12 €. ¿Cuánto dinero tenía Ana?
