Prof. Francisco Barillas. Materia: Estocástica 1. Guía de ejercicios de distribuciones clásicas. 1. Un fabricante de bebidas lácteas bajas en calorías desea comparar el sabor de una nueva fórmula B con el de la formula convencional A .Cuatro catadores reciben 3 vasos en orden aleatorio, dos de ellos contienen la formula A y el otro la B . A cada catador se le pide que indique cual vaso contenía la bebida que más le agradó. Suponga que las dos preparaciones gustan por igual. Si Y es el número de catadores que indican su preferencia por la nueva fórmula, a) Determine la función de probabilidad de Y b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos tres de los cuatro catadores prefieran la nueva fórmula? c) Determine el valor esperado y la varianza de Y 2. Se diseña un complicado sistema electrónico con cierta cantidad de componentes de seguridad en sus subsistemas. Uno de ellos cuenta con cuatro componentes idénticos, cada uno con una probabilidad de fallar de 0.2 en menos de 1000 horas. El subsistema funcionará si dos de los cuatro componentes están trabajando. Suponga que cada uno opera de manera independiente. a) Determine la probabilidad de que dos de los cuatro componentes rindan más de 1000 horas b) Encuentre la probabilidad de que el subsistema funcione más de 1000 horas. 3. Un examen de opción múltiple tiene 15 preguntas, cada una con cinco respuestas posibles, de las cuales solo una es correcta. Suponga que uno de los alumnos que lo presenta contesta cada una de las preguntas mediante aleatoriedad independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 10 de sus respuestas sean correctas? 4. Se descubrió que a determinada concentración una sustancia química, encontrada en aguas contaminadas, resultó mortal para 20% de los peces que se exponían a ella por más de 24 horas. Se colocan 20 peces en un tanque de agua que contiene esta concentración de químicos. a) b) c) d)
Determine la probabilidad de que sobrevivan 14 peces Estime la probabilidad de que por lo menos 10 sobrevivan Determine que probabilidad existe de que cuando mucho sobrevivan 16 Obtenga la media y la varianza de la cantidad de sobrevivientes
5. Considere una distribución binomial con n ensayos y probabilidad de éxito p Demuestre que
p( y ) (n y 1) p p( y 1) yq
para y 1,2,..., n la ecuación p( y )
para y 1,2,..., n. De la misma manera,
(n y 1) p( y 1) proporciona una relación yq
recurrente entre las probabilidades asociadas con valores sucesivos de y. 6. Si un experimento binomial consta de n ensayos y observamos y 0 “éxitos”, y0 . Es decir n determine el valor de p que maximiza la probabilidad del valor de Y realmente
demuestre que P(Y y0 ) adquiere su máximo valor cuando p
observado. 7. Suponga que el 30% de solicitantes de empleo en una industria están capacitados en programación de computadoras. Los candidatos son elegidos al azar entre la población y entrevistados en forma sucesiva. Determine la probabilidad de encontrar en la quinta entrevista al primer aspirante con conocimientos en programación. ¿Cuál es el número esperado de solicitantes que hay que entrevistar para hallar el primero que sepa programación? 8. Si lanzamos diez veces una moneda perfecta y obtuvimos cero caras, ¿Cuál es la probabilidad de que debamos lanzar la moneda por lo menos dos veces más para obtener la primera cara? 9. En una encuesta sobre un tema controversial se pregunta, por ejemplo, “¿Alguna vez ha fumado mariguana?”, mucha gente prefiere responder que no. Deduzca la distribución de probabilidad para Y, que es el número de personas que se necesitaría entrevistar para obtener una sola respuesta afirmativa, sabiendo que 80% de la población respondería verídicamente “no” a la pregunta y que de 20% que debería contestar afirmativamente, 70% miente. 10. Encuentre EY (Y 1) para el caso de una variable aleatoria geométrica Y deduciendo
d2 y ( q ) . Emplee el resultado para calcular la varianza de Y dq 2 y 1
11. Si Y es una variable aleatoria geométrica, defina Y * Y 1. Si se considera Y como el número de ensayo en el que ocurre el primer éxito, Y * puede interpretarse
como el número de fracasos que ocurren antes de que se presente el primer éxito. Si
Y * Y 1,
P(Y * Y ) P(Y 1 y) P(Y y 1)
y 0,1,2,...... Demuestre que P(Y y) q p, *
y
para
y 0,1,2,.......
Deduzca la media y la varianza de la variable aleatoria Y * 12. Suponga que el 10% de los motores armados en una línea de montaje están defectuosos. Si se seleccionan en forma aleatoria uno por uno y se prueba, ¿Qué probabilidad hay de localizar el primer motor que no tiene defecto en el segundo ensayo? Encuentre la probabilidad de localizar el tercer motor sin defecto: a) En el quinto ensayo, b) en el quinto ensayo o antes 13. Una urna contiene diez canicas, de las cuales cinco son verdes, dos azules y tres rojas. Se van a extraer tres canicas de la urna, una por una sin reemplazo. ¿Qué probabilidad hay de que las tres que se saquen sean verdes? 14. La cantidad de veces que se equivoca una mecanógrafa tiene una distribución de Poisson con un promedio de cuatro errores por cuartilla; si excede este número, debe volver a mecanografiar la página completa. ¿Qué probabilidad hay de que no necesite repetirla? 15. Un vendedor descubre que la probabilidad de hacer una venta en una sola entrevista con clientes es de 0.03 aproximadamente. Si se acerca a 100 posibles clientes, ¿Cuál es la probabilidad de hacer por lo menos una venta? 16. Los clientes llegan al mostrador de una tienda departamental de acuerdo con la distribución de Poisson con una frecuencia promedio de siete por hora. En una hora determinada, calcule las probabilidades de que: a) No lleguen más de tres clientes b) Por lo menos lleguen dos compradores Determine la probabilidad de que exactamente dos clientes lleguen dentro de un intervalo de dos horas: a) Entre 14:00 y 16:00 horas (un periodo continuo de dos horas) b) Entre las 13:00 y 14:00 horas o entre las 15:00 y 16:00 horas (dos periodos separados de una hora, que suman dos horas)
17. Considere un experimento binomial con n=20 y p=0.05. Utilice las tablas estadísticas para calcular las probabilidades binomiales de Y=0,1,2,3,4. Estime las mismas probabilidades mediante la distribución de Poisson con np y compare los resultados. 18. La probabilidad de que un ratón vacunado contraiga cierta enfermedad es de 0.2. Mediante la distribución de Poisson calcule la probabilidad de que a lo más 3 de 30 ratones inoculados enfermen. 19. Sea Y una distribución de Poisson con media . Estime EY (Y 1) y utilice el resultado para demostrar que V (Y ) 20. Si p( y) denota la función de probabilidad relacionada con una variable aleatoria de Poisson con media . a) Demuestre que la razón de probabilidades sucesivas satisface la relación: p( y ) , para y 1,2,........ p( y 1) y b) ¿Para qué valores de y se cumple la relación p( y) p( y 1) ? c) Observe que el resultado del inciso a) implica que las probabilidades de Poisson se incrementan en un momento determinado conforme y aumenta, y de ahí en adelante disminuye. ¿Para qué valor de y alcanza p( y) su máximo valor? 21. Si un paracaidista aterriza en un punto aleatorio sobre una línea entre los indicadores A y B, calcule la probabilidad de que caiga más cerca de A que de B 22. Se selecciona un punto al azar sobre una línea de longitud L. ¿Cuál es la probabilidad de que la razón del pedazo más corto al más largo sea menor que un cuarto? 23. El tiempo que tardan en ir y volver unos camiones que transportan concreto a un lugar donde se construye una autopista está distribuido uniformemente en el intervalo de 50 a 70 minutos, ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo del viaje redondo rebase los 65 minutos si se sabe que hacerlo toma más de 55 minutos? Calcule la media y la varianza de los tiempos que los camiones de carga tardan en ir y volver.
24. Toda distribución continua puede ser llevada a la distribución uniforme en el intervalo unitario. Esta sorprendente propiedad es de gran utilidad práctica y es una de las herramientas básicas de simulación para generar números aleatorios. Sea X una variable continua con densidad f (x) . Si Y F (x) es una función matemática de X, demuestre que la distribución de Y es uniforme en el intervalo (0,1). Sugerencia: Use la técnica de la distribución acumulada. 25. Se observó que los gastos semanales de una empresa por concepto de mantenimiento y reparaciones, durante un largo periodo, se aproximan a una distribución normal con una media de 400 dólares y una desviación estándar de 20 dólares. Si se destina un presupuesto de 450 dólares para la siguiente semana, ¿Cuál es la probabilidad de que los costos reales rebasen el presupuesto? ¿Qué presupuesto debe destinarse a reparaciones y mantenimiento semanales con el fin de que la probabilidad de rebasar el presupuesto cierta semana sea de solo 0.1? 26. Los promedios de calificaciones de una gran población de estudiantes universitarios tienen una distribución normal aproximada con una media de 2.4 y una desviación estándar de 0.8. ¿Qué fracción de alumnos obtendrá un promedio superior a 3.0? Si los estudiantes que obtienen un promedio de calificaciones inferior a 1.9 son expulsados de la universidad, ¿Qué porcentaje de ellos será expulsado? Supongamos que se eligen tres estudiantes aleatoriamente de la población. ¿Cuál es la probabilidad de que tres de ellos obtengan un promedio de calificaciones superior a 3.0? 27. La longitud de los bloques de un edificio tiene una distribución normal con una media de 950 mm y una desviación estándar de 10 mm. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un bloque elegido al azar tenga una longitud entre 947 y 958 mm? b) ¿Qué valor es adecuado para C, de tal manera que un bloque elegido aleatoriamente tenga una longitud menor que C con una probabilidad de 0.8531? 28. Los resultados de un examen parecen estar distribuidos de manera normal con una media de 78 y una varianza de 36. a) ¿Cuál debe ser la mínima calificación probatoria si el examinador desea que solo apruebe el 28% de los estudiantes?
b) ¿Qué porcentaje de estudiantes obtienen aproximadamente calificaciones que exceden por lo menos en 5 puntos a la calificación reprobatoria del 25% (de calificaciones inferiores) c) Si se sabe que un estudiante obtuvo más de 72 puntos, ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga más de 84? 29. Demuestre que el valor máximo de la densidad normal con parámetros y es
1 2 y se presenta cuando y
30. Demuestre que la función de densidad normal con parámetros y tiene puntos de inflexión para los valores y 31. Suponga que Y tiene una distribución normal con media y desviación estándar
. Después de observar un valor de Y , un matemático construye un rectángulo con L Y de largo y W 3 Y de ancho. Si A es el área del rectángulo construido, calcule E(A) 32. La magnitud de los terremotos registrados en una región de Estados Unidos puede representarse mediante de una distribución exponencial con media 2.4, de acuerdo con la escala de Richter. Calcule la probabilidad de que un terremoto que azota esa región: a) Rebase los 3.0 grados en la escala de Richter b) Esté entre los 2.0 y 3.0 grados en la escala de Richter 33. La duración (en horas) Y de un componente electrónico es una variable aleatoria 1 y 100 con una función de densidad dada por la expresión: f ( x) si y 0 y e 100 f ( x) 0 en otro caso. Tres de estos componentes funcionan independientemente en un quipo, el cual falla si se descomponen al menos dos de sus componentes. Calcule la probabilidad de que el equipo funcione por lo menos 200 horas sin fallar. 34. Los explosivos que se utilizan en las operaciones mineras forman cráteres casi circulares cuando se detonan. Los radios de éstos tienen distribuciones exponenciales con una media de 10 pies. Calcule la media y la varianza de las áreas creadas por los explosivos.
35. Sea X una variable aleatoria con distribución exponencial con una media de . Defina una variable aleatoria Y de la siguiente forma: Y k si k 1 X k , para
k 1,2,..... a) Calcule P(Y k ) para toda k 1,2,..... b) Demuestre que su respuesta al inciso a) puede expresarse de la siguiente manera:
P(Y k ) e 1
1 e k 1
1
k 1,2,......
y que Y tiene una distribución geométrica con p 1 e 1
36. Suponga que una variable aleatoria X tiene una función de densidad de probabilidad dada por f ( x) kx3 e x 2 sí x 0 y f ( x) 0 en cualquier otro punto. Determine el valor de k que convierte a f (x) en una función de densidad. Sugerencia: Use la función Gamma para obtener el valor al que converge la integral 37. Demuestre que si la distribución de X es Normal (0,1), la variable Y X 2 estará distribuida como una 12 (Chi-cuadrado con un grado de libertad).
