CAPITULO III Distribuciones Distribuciones Bivariadas. Bivariadas. Muchos de los fenómenos fenómenos que aparecen aparecen en la naturaleza naturaleza y en la vida diaria, involucran diferentes y diversos factores. Cada factor puede ser identificado identific ado por medio de una variable. En éste sentido un fenómeno de interés estará regido por el comportamiento conjunto de muchas variables. Si X y Y son variables aleatorias (discretas o continuas), la distribución que rige el comportamiento conjunto de ambas variable se conoce como distribución Bivariable o Conjunta. Si se tienen más de dos variables le llamaremos distribución multivariable (Multivariada). Ejemplo: De un gran lote de impresoras descompuestas se escogen al azar cuatro. Se clasifica cada impresora según el daño, leve o severo. Sea X el número de impresoras con daño leve y sea Y el número de impresoras con daño severo. Es claro que X bin ( 4 , p ) , x = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 y Y bi b in ( 4 , p 2 ) ,
y = 0 , 1, 2 , 3 , 4.
y = 4; Si x = 1 y = 3; Si x = 2 y = 2; Si x = 3 y = 1; Si x = 4 y = 0. Así X + Y = 4
Si x = 0
De manera natural el espacio de las variables aleatorias X e Y estará conformado ppor el conjunto de pares ( x , y ) tal que x + y = 4 . x + y = 4; x = 0, 1, 2, 3, 4 = ( x , y ) = {( 0, 4 ) , (1, 3) , ( 2, 2) , ( 3, 1) , ( 4, 0 )} = y 0 1 2 3 4 , , , , El par ( x , y ) será llamado vector aleatorio.
Caso discreto: Sean X e Y variables aleatorias. La distribución de probabilidad conjunta de X e cuál denotare denotaremos mos f xy está dada por f xy ( x , y ) = P ( X = x , Y = y ) . Y , la cuál Propiedades: 1) f xy ( x , y ) 0 , 2)
f x
xy
(x , y ) A
(x , y ) = 1
y
3) Si A A
P ((x , y ) A ) =
f x y (x , y ) .
( x , y )A
La
distribución
acumulada
Fx y ( x, y ) = P ( X x, x, Y y ) .
para
( x, y ) R 2
X
e
Y,
F xy ,
está
dada
por
.
Ejemp Ejemplo: lo: Sean Sean X e Y variables aleatorias discretas con distribución de probabilidad F xy dada por X Y Fx y
0 1 1 2 2 0 1 2 1 2 1/8 ¼ 1/8 1/8 3/8
Calcule P ( x , y ) A donde A = {( x, y ) x = y} ,
P ( x 1, y 1) ,
Solución: P ( x, y ) A =
F
( x, y ) A
xy
( x, y ) = Fx y ( 0, 0 ) + Fx y (1, 1) + Fx y ( 2, 2) =
6 8
P (x > 1 y < 2).
P ( x 1 y 1) =
F x 1 y 1
P ( x > 1 y < 2) =
xy
( x, y ) = Fx y ( 0, 0 ) + Fx y (1, 1) =
F
, x y ( x, y ) =Fx y ( 2 1) =
x >2 y <2
3 8
1 8
Ejemplo: Una urna urna contiene contiene 3 bolas rojas, rojas, 4 bolas blancas y 2 azules. Se extraen al azar sin reemplazo 3 bolas de la urna. Sea X : el número de bolas blancas en la muestra y sea el número de bolas rojas en la muestra. Halle F xy .
y Y:
Solución: A = {( x , y ) 1 x + y < 3} . Se tiene que X hip ( 9 , 4 , 3) y
4 3 2 x y 3 ! x ! y #, " # " # " Fx y ( x, y ) = 9 3 " # 0,
1 x + y 3
otro caso
Caso Caso Cont Contin inuo uo:: Sean Sean X e Y variables aleatorias continuas definidas en un conjunto A R 2 . La distribución acumulada de X e Y , denotad denotada a por F x y , está dada por: por: F x y ( x , y ) = P ( X x , Y y ) . Si existe una función F x y no negativa f : R
2
% 2F x y tal que %x dy
$R
% 2F x y % 2F x y ( x , y ) donde existe (y también ). %x dy %x dy
= Fxy (x , y )
F xy es llamada función de densidad de
probabilidad conjunta de X e Y . Propied Propiedades ades de F x y 1) Por el teorema fundamental del calculo en F ( x, y ) =
R
2
x
y
,
' ' F
xy
( t , s ) ds dt .
!& !&
2)
' 'F R
+&
xy
2
( x , y ) dy dx = '! & '! & F x y ( x , y ) dy dx = 1
3) Si B R 2 Ejem Ejempl plo: o:
+&
P ( x , y ) B =
' ' F
xy
( x , y ) dy dx
Dete Determ rmin ine e el el val valor or c ( x, y ) , 0 < x < 3, x < y < x + 2
Fx y ( x , y ) =
0,
otro caso
Sea una f.d.p conjunta de X e Y .
de
c
que que
hace hace
que que
la la
func funció ión n
Solución:
' ' R
=c
(
Fx y ( x , y ) dA = 1
2
'
3
0
xy +
= 24 c = 1,
y2 2
x +2
dx = c x
c= 1
3
x +2
0
x
' ' c ( x, y) dy dx
2x2 + 2x 3 4 x 2 d x c + = ( ) ' 0 0 ) 3
24
Calcule: a)
P ( x < 1, y < 2 )
1
( x + y ) dydx
1 24
( x + y ) dy dx
2 x 2 + 2x 2 1 24 )
0
1
x +2
24
2
=
2
1
0
x
24
=
1!
=
2 x3 ) 1! x + 2x ! 24 ) 2
( x + y ) dy dx
1
=
=
1
* 0*
=
5 24 " 2 # 1
=
5 12
1
3
x +2
2
x
''
1
=
24
3
1
( x + y) dy dx
24
3x 2 1! 2x + 2 ! 2 dx 24 ' 0 " # 1
2
=
=
' ( 4x + 2) dx 8
+
1
2
24
=
( x + y ) dy dx
2
''
2 y2 ' 0 24 )) x y + 2 x dx 1 1 2 x3 ) x + 2x ! 24 ) 2 0 1
1
x
''
=
24
1
2
P ( y > 2)
x
x +2
=
c)
0
3x 2 2x + 2 ! 2 dx 24 ' 0 " #
''
=
1
1
2
P (1 < x < 2 )
2
''
=
=
b)
1
1!
1 24
2
( 4)
=
1!
1 6
=
5 6
Ejemplo: Se está interesado interesado en el comportamiento comportamiento conjunto conjunto de dos variables variables aleatorias aleatorias X : el tiempo total empleado por una persona al ingresar a un banco hasta ser atendido y Y : el tiem tiempo po en fila. La f.d.p conjunta de X e Y está dada por:
e ! x , 0 y < x Fx y ( x, y ) = 0, otro caso +&
' '
P ( X > 2, Y > 1) =
2
x
1
e x dy dx =
! x +&
=+&! x1e+ y
' ' = ! ' e
P ( X ! Y < 1) =
0
y
+&
0
e
Calcule
!2 x
=
' 2
( x ! 1) e ! x dx
2
2 dx edy
!(1+ y )
! e -y dy
!(1 y ) ! e -y = ! e +
+&
+&
0
= 1!
P ( x > 2, y > 1) ,
1 e
P ( x ! y < 1)
Valor lor Espera perado do:: Sea Sean X e Y variable aleatoria (discretas o continuas) con distribución de probabilidades (o f.d.p) conjunta F xy .
x f xy ( x, y ) , si X e Y vari variab ablles alea aleato tori rias as disc discre reta tass E [X] = dA, si X e Y variables contínuas ' ' g ( x , y ) fxy ( x, y ) dA Ejemp Ejemplo: lo: Sean Sean X e Y variables aleatoria discretas con distribución de probabilidad conjunta F x y dada por: 0 1 1 2 2 X 0 1 2 1 2 Y Fx y 1/8 1/4 1/8 1/8 3/8 E [X] =
x f
xy
E [ X ] , E [ Y ] , E ( X ! E [ X] )
Halle
2
)
V [ Y ] = E ( Y ! E [ Y])
)
2
= V [ X] , *
, E [ X Y] *
( x, y )
( x , y)
Solución: E [ X ] = 0 f xy ( 0, 0 ) + 1 fxy (1, 1) + 1 fxy (1, 2) + 2 fxy ( 2, 1) + 2 fxy ( 2, 2) =
E [ Y ] = 0 f xy ( 0, 0 ) + 1 fxy (1, 1) + 2 fxy (1, 2) + 1 fxy ( 2, 1) + 2 fxy ( 2, 2) =
x f ( x, y ) = x f 19 E X = x f ( x , y ) = 8
! E [X] =
x
V [ X] =
= y2 f x y ( x, y ) = 19 8
V [ Y] =
2
xy
E Y
2
E [X Y] =
Ejemplo:
x y f
0,
Solución:
( x, y) =
18 8
=
8
19 8 31
11 ! "8#
2
=
31 64
64
9 4
Sean X e Y variables e ! x , 0 y < x
f xy ( x , y ) =
Hallar
xy
8 11
( x )!
2
11
aleatorias
otro caso
E [ X ] , E [ Y] , V [ X] , V [ Y] , E[ X Y]
continuas
con
f.d.p
conjunta
dada
por
E [X] = E [Y] =
+&
' '
x
+&
x
0
0
' ' 0
0
+&
x e ! x dy dx = ye
' ' E Y = ' ' E X 2 =
0
0
+&
2
x
0
x
0
!x
dy dx =
E [X Y] =
' ' 0
'
2
y e
!x
x
0
x 2 e ! x dx = F ( 3) = 2! = Ux
0
'
y2
+&
2
0
+&
' dy dx = '
x 2e ! x dy dx =
x
e
!x
x ye
dx =
1
2'
+&
0
0
x 2 e ! x dx =1 = U
x3e ! x dx = 3! = 6
0
+&
x
3
e
!x
e
!x
1
3'
dx =
+&
6
6
x3 e !x dx =
=2
0 3 3 2 2 = 6 ! 4 = 2, V [ Y] = E Y ! U y = 2 ! 1 = 1 0
V [ X ] = E X 2 ! U x 2 +&
+&
!x
dy dx =
'
+&
0
x3 2
1
2'
dx =
+&
0
x3 e ! x dx =
2
=
3
Dist Distri ribu buci cio ones nes Marg Margin ina ales: les: Sea Sean X e Y variables aleatorias (discretas o continuas). La distribución marginal de las variables aleatorias X ó Y , están están dadas dadas por: por:
f x y ( x , y ), fx ( x ) = y ' f x y ( x , y ) dy,
X e Y var varia iabl bles es alea aleato tori rias as disc discre reta tass X e Y vari variab able less alea aleato tori rias as cont contin inua uass
Analogamente para Y
Una notación similar: fx ( x ) =
' f
xy
( x , y ) dy;
R x = {( a , b ) a = x}
R x
Ejemp Ejemplo: lo: Sean Sean X e Y variables aleatoria discretas con distribución de probabilidad conjunta dada por: X Y Fx y
0 1 1 2 2 0 1 2 1 2 1/8 1/4 1/8 1/8 3/8
fx (x ) =
f
xy
( x , y ) = fx y ( x, 0 ) + fx y ( x, 1) + fx y ( x, 2 );
para x = 0, 1, 2
y
2
fy (y ) =
f
xy
( x , y ) = f x y ( 0, y ) + f x y (1, y ) + fx y ( 2, y );
para y = 0, 0 , 1,2
x =0
x fx ( x )
0 1 2 1/8 3/8 4/8
y fy ( y)
0 1 2 1/8 3/8 4/8
Ejemp Ejemplo: lo: Sean Sean X e Y variables aleatoria discretas con distribución de probabilidad x + y , x = 1, 2, 3; y = 0, 1, 2, 3 f x y ( x, y ) = 36 3
fx ( x ) =
x+y
3
x+y
y =1
fy ( y) =
x =1
36
36
=
=
3x+6 36
=
3y + 6 36
=
x+2 12
;
y+ 2 12
;
x = 1, 2, 3
y = 1, 2, 3
Ejemp Ejemplo: lo: Sean Sean X e Y variables aleatorias continuas con f.d.p conjunta dada por
f x y
dada por:
fx ( x ) =
e , 0 y < x f xy ( x , y ) = 0, otro caso !x
fy ( y) =
x
' e 0
+&
' y
!x
dy = x e ! x ,
!x
e dx = e
!y
,
x >0 y>0
Dist Distri ribu buci cion ones es Cond Condic icio iona nale les: s: Sean Sean X e Y variables aleatorias (discretas o continuas) con distribución de probabilidades f xy . La distribución distribución condicional condicional de “ Y dado X = x ”, es una función de los valores de la variable aleatoria Y cuando se fija un valor especifico para X . Si denotamos dicha función por f Y|x entonces f Y|x ( y ) =
f x y ( x, y ) f x (x)
f x (x) > 0
,
(Análogamente se define f Y|x ). Ejemplo: Para el el ejercicio ejercicio anterior: anterior: f x (x) =
x + y x = 1, 2, 3 , f x y ( x , y ) = 36 y = 1, 2, 3 0, otro caso
f Y|x ( y ) =
f X|y ( x ) =
f Y|1 ( y ) =
f X|2 ( x ) =
f x y ( x, y ) f x (x)
f x y ( x, y) f y ( y)
f (1, y ) f x (1)
=
f xy ( x , 2 ) fy (2)
f y ( y) =
x+2 12 y+2 12
,
x = 1, 2, 3
,
y = 1, 2, 3
x+ y =
36 = x + y , x + 2 3 ( x + 2) 12
y = 1, 2, 3
x+ y =
36 = x + y , y + 2 3( y + 2) 12
1+ y 3 (1 + 2 )
=
=
y+1 9
x+2 3( 2 + 2)
=
,
y = 1, 2, 3
x+ 2 12
x = 1, 2, 3
,
x = 1, 2, 3
Observe que para cualquier caso P ( x , y ) = P x ( x ) P Y|X ( y | x ) = P y (y ) P X|Y (x | y ) o F ( x , y ) = F x ( x ) F Y|X ( y | x ) = F y (y ) F X|Y (x | y )
Diremos que X e Y son v.a Estadístic Estadísticame amente nte independ independient ientes es si
P ( x , y ) = P x ( x ) P y (y )
(x , y )
F (x , y ) = F x (x )F y (y )
(x , y )
o
Si existe algún par ( x , y ) para el cual no se cumple esta igualdad, diremos que X e Y son Estadísticamente Estadísticamente dependientes. dependientes. Ejemp Ejemplo: lo: Sean Sean X e Y variables aleatorias continuas con f.d.p conjunta f xy .dada por:
e ! x , f x y ( x, y ) = 0, f Y|x ( y ) =
f X|y ( x ) =
f Y|2 ( y ) =
Observe
!x
e
xe e !x e
1 2
!y =
,
1
= !x
e
x
f x ( x ) = x e !x ,
otro caso
f x ( y) = e !y ,
0 y< x
,
!( x ! y )
,
x>0 y>0
( uniforme en ( 0, x ) )
y
f X| 1 ( x ) = e
!( x !1)
f x ( x ) f y ( y ) = xe
!( x ! y )
0 < y < 2,
que
0 y
,
x >1
- e !x
entonces
X
e
Y
no
son
estadísticamente
independientes. Al igual que en el caso de una variable, podemos definir el valor esperado para funciones de más de una variable aleatoria, solo que tenderemos más de una sumatoria o más de una integral, según el caso. Como f Y|x o f X|y son distribuciones o funciones de densidad de probabilidad, tiene sentido calcular probabilidades condicionales y valores esperados condicionales. Sean X e Y variables aleatorias (discretas o continuas) y sean A A x y B A .
f x|y ( x ), xA P ( X A|Y = y ) = ' f x|y ( x ) dx, A
caso discreto caso continuo
;
Análogamente P (Y B | X = x)
El valor esperado de “ Y dado X = x ”, el cuál se denota E [ Y | X = x ] ó E [Y | X = x] =
yf
Y|x
( y ),
caso discreto
y
' y f
; Y|x
dy, ( y ) dy
caso continuo
Análogamente E [ X | Y = y] = U X|y
Si g es una función de Y entonces
g ( y ) f xy ( x , y ) E g ( y ) = x y ' ' g ( y ) f xy ( x , y) dy dx
µ Y|x ,
está está dado dado por
Análogamente
g ( y ) f Y|x ( y ), E g ( Y ) | X = x = y ' g ( y ) f Y|x ( y ) dy,
Análogamente
h ( x ) f x | y ( x ), E h ( x ) | Y = y = x ' h ( x ) f x| y ( x ) dx dx,
caso discreto caso contínuo
discreto caso continuo
Así la varianza de “ Y dado X = x ”,la cuál denotamos V [ Y | X = x ] o V [Y | X = x] = /
=E
)( Y ! U )
2 Y|x
2
| X = x = E Y | X = x ! U Y|x 2
*
Y|x
2 /Y|X está dada por:
2
V [ X | Y = y] = / 2 X | y = E X 2 | Y = y ! U X | y 2
Ejemp Ejemplo: lo: Sean Sean X e Y variables aleatoria discretas con distribución conjunta dada por:
x + y , x = 1, 2, 3 y = 1, 2, 3 36 . E [ Y | X = 1] E [ X | Y = 2] P ( X < 2 | Y = 2) Hallar: , , , f x y ( x, y ) =
P ( Y > 1 | X = 1)
Solución: 3
E [ Y | X = 1] =
yf
Y| 1
2 fY| 1 ( 2 ) + 3fY |1 ( 3) = ( y ) = 1fY| 1 (1) + 2f
y =1
3
E [ X | Y = 2] =
x f
X| 2
( x) =
X =1
3
+
8
+
15
12 12 1 2 12 12
P ( X < 2 | Y = 2) = P ( X 1 | Y = 2) =
=
26 12
=
13 13 6
fX| 2 ( x ) = fX| 2 (1) =
X =1
P ( Y > 1 | X = 1) = P ( Y 2 | X = 1) =
3
f
Y| 1
( y) =
Y =2
3 9
+
9
+
6 9
+
12 9
=
20 9
= U Y|1
= U X| 2
1
2
4 9
=
3 12
=
1 4
7 9
Ejemp Ejemplo: lo: Sean Sean X e Y variables aleatorias continuas con f.d.p conjunta dada por:
e ! x , 0 y < x f x y ( x, y ) = 0, otro caso E [ X | Y = 1] =
+&
' 1
xe
!( x !1)
dx =
Hallar
E [ X | Y = 1] E [ Y | X = 2]
! ( x + 1) ex
,
+&
=
!1 1
2 = U X |1
E [ Y | X = 2] =
2
y2
1
' y 2 dy =
4
0
2
= 1 = UY | 2 0
Calcular: P ( Y > 3 | X = 2 ) P ( X < 3 | Y = 1) / 2 Y|2 /2 X|1 , , , . Podemos hablar de valor esperado condicional, pero usaremos las distribuciones condicionales en vez de las conjuntas o marginales (según el caso). Asi, El valor esperado de “ Y dado X = x ”, el cuál denotamos
y P Y|X ( y | x ) ; X e Y discretas E [Y | X = x ] = y ' y f Y|X ( y | x ) dy dy ; X e Y cco ontinuas E [Y | X = x ] suele denotarse µ Y|x . Análogamente se define
µ X|y
Covar Covaria ianza nza y Corr Correla elació ción n Cuando dos v.a X e Y no son independientes la pregunta de interés es ¿Qué tan relacionadas están?. Una medida del grado de dependencia entre X e Y es conocida como Covarianza. Defin Definic ición ión:: Sean Sean X e Y v.a. (discretas o contínuas). La Covarianza entre X e Y mide el grado de dependencia entre estas variables. Una Covarianza alta implica, casi siempre, una alta dependencia entre X e Y . El problema problema de la covarianza covarianza es quee quee s sensible sensible a la escala de medición de las variables involucradas. Así Covarianzas altas no implican necesariamente alta dependencia. Para evitar este problema observe que:
X!µ X *=0 y / ) X *
E)
X!µ X Similarr para para con * = 1 . Simila / ) X *
V)
implica que Y . Lo que implica
X!µ X
/X
y
Y !µ Y
/Y
estan
a la misma escala y son adimensionales. adimensionales. Por lo tanto la Cova Covarianza rianza entre estas dos dos variables no X!µ X Y !µ Y depende de la escala de medición. La Covarianza entre y se conoce como
/X
/Y
correla correlación ción entre entre X e Y . Definició Definición: n: La correla correlación ción entre entre X e Y , o Coefi oefic cien iente de corr corre elac lacion ion lin lineal entre X e Y , se
X ! µ X Y ! µ Y cov cov [ X , Y] = , * /X /Y )" / X # " / Y #* Se puede demostrar que 0 x y 1 . Un valor de 0 x y cercano a 1 indica una alta dependencia lineal positiva. Un valor de 0 x y cercano a !1 indica un alta dependencia negativa. Un valor cercano a cero indica poca independencia lineal.
denota como
Ejemplo:
0 xy y 0 xy
= cov )
Tenga en cuenta que si la correlación correlación es cercana cercana a cero cero esto no no implica que NO hay independencia entre X e Y . Ejemp Ejemplo: lo: Sean Sean X e Y v.a discretas con p.m.f conjunta dada por x y
P(x , y)
0 0 1
8
1 1 1
4
1 2 1 8
2 1 1
8
2 2 3
8
0 xy
XY] , Halle E [ X] , E [ Y] , V [ X] , E [ XY
Solución: E [ X] =
x p ( x , y ) = 0p ( 0 , 0) + 1p (1, 1) + 1p (1, 2) + 2p ( 2 , 1) + 2p ( 2 , 2) (x , y )
E [ X] =
11 8
Análogamente E [ Y ] =
11 8 2
11 31 E X = 1 V [ X ] = E X ! µ X = ! = 8 8 " 8# 64 E [ XY ] = x y p ( x , y ) = ( 0 ) ( 0 ) p ( 0 , 0 ) + (1) (1) p (1 , 1) + (1) ( 2 )p (1 , 2 ) + ( 2 ) (1)p ( 2 , 1) + ( 2 ) ( 2 )p (2 , 2 ) 19
2
2
(x , y )
E [ XY] =
18 8
=
cov cov [ X , Y ] =
9
4 18
! = 8 " 8 # " 8 # 64 11
11 11
23
23
0 xy
=
23 64 = = 0.7419 31 31 31 64 64
2
19
Definició Definición: n: Sean X e Y variables aleatorias (discretas o continuas) con distribución conjunta f xy . e Y se dicen variables X f x y ( x , y ) = f x ( x ) f y ( y ) , ( x , y ) x y
aleatorias con esto
Estadísticamente
f X| y ( x ) = f x ( x )
y
Independientes
fY|x ( y ) = fY ( y )
(E.i).
si
.
Coro Corola lari rio: o: Si X e Y son variables aleatorias E.i entonces E ( XY ) = E ( X ) E ( Y ) . Si h y g son son funciones de valor real. E g ( X ) h ( Y ) = E ( g ( X )) E h ( Y )
Ejemp Ejemplo: lo: Sean Sean X X -1 0 -1 1/8 0 Y 0 1/8 0 1 1/8 1/4 3/8 1/4
.
e Y v.a. discretas con distribución de Probabilidad dada por: 1 1/8 2/8 1/8 2/8 1/8 4/8 3/8
Calcule E [X Y] ,
E [ X] ,
E [ Y] ,
E ( X - U x ) ( Y - Uy )
¿Son X e Y variables aleatorias E.i?
Solución: 2 E = Y [ ] E X - U x ) ( Y - U y ) = E [ X Y] ! U x U y = 0 E [X] = 0 8 , E [ X Y] = 0 , ( , X e Y no son E.i, pues 1 3 2 6 f x y ( !1, !1) = - f x ( !1) f y ( !1) = 2 = 8 8 8 64
Ejercicios propuestos:
-
-
(*)Demue (*)Demuestre stre que la siguie siguiente nte función función satis satisface face las propied propiedade ades s de una func función ión de probabilidad conjunta. y f XY ( x , y ) x 1.5
2
1.5
3
2.5
4
3
5
Cont Contin inua uació ción n del del ante anteri rior or eje ejerc rcic icio io Calcule las probabilidades siguientes a. P ( X < 2.5 , Y < 3) b. P ( X < 2.5 ) c. P ( Y < 3) d. P ( X > 1.8 , Y > 4.7 ) e. Determine E ( X ) y E ( Y )
1
8 1 4 1 2 1 8
f. Determine la distribución de probabilidad marginal de la variable aleatoria X g. Determine la distribución de probabilidad condicional de Y dado que X = 1.5 h. Determine la distribución de probabilidad condicional de X dado que Y = 2 -
En la transmi transmisión sión de de informac información ión digital, digital, la prob probabili abilidad dad de de que un bit tenga tenga una una distors distorsión ión alta, moderada o baja es 0.01, 0.04 y 0.95, respectivamente. Suponga que se transmiten tres bits y que la cantidad de distorsión de cada uno es independiente. Sean X y Y las variables aleatorias que denotan el número de bits, de los tres transmitidos, que tienen una distorsión alta o moderada, respectivamente. a. ¿Cuál es el rango de la probabilidad conjunta de X y Y ? b. Calcule P ( X = 3 , Y = 0 ) c. Determine P ( X = 2 , Y = 1) d. Determine P ( X = 2 , Y = 0 ) e. ¿Son independientes las variables aleatorias del ejercicio (*). Explique su respuesta.
-
Determ termin ine e el va valor lor de c tal que la función f ( x , y ) = c x y , para 0 < x < 3 y 0 < y < 3 , cum cumpla con las propiedades de una función de densidad de probabilidad conjunta.
-
Cont Contin inua uació ción n del del ante anteri rior or eje ejerc rcic icio io Determine lo siguiente: a. P ( X < 2.5 , Y < 3) b. P ( X < 2.5 ) c. P (1 < Y < 2.5) d. P ( X > 1.8 , 1 < Y < 2. 5) e. E ( X ) f. E ( Y )
-
Determ termin ine e el el va valor lor de de c que hace que la función f ( x , y ) = c ( x + y ) sea una función de densidad de probabilidad conjunta sobre el rango 0 < x < 3 y x < y < x + 2 .
-
Cont Contin inua uació ción n del del ejerc ejercic icio io ant anter erio ior r
-
Obteng tenga a lo lo sig sigu uien iente: te: a. P ( X < 1 , Y < 2 ) b. P (1 < X < 2 ) c. P ( Y > 2 ) d. P ( X < 2 , Y < 2 )
-
e. E ( X )
-
Se utiliza utilizan n dos métod métodos os para para medir medir la rugosid rugosidad ad superfic superficial ial con con la finalida finalidad d de evalua evaluarr un producto de papel. Las mediciones se registran como una desviación a partir del valor nominal de la rugosidad de la superficie. La distribución de probabilidad conjunta de las dos mediciones puede describirse mediante una distribución uniforme sobre el interior de la
región 0 < x < 4 , 0 < y , y x ! 1 < y < x + 1 . Esto Esto es, f ( x , y ) = c para ( x , y ) tal que 0 < x < 4 , 0 < y , y x !1 < y < x +1
a. Determine el valor de c para el que f ( x , y ) es una función de densidad de probabilidad conjunta. b. Determine P ( X < 0.5 , Y < 0.5) c. Obtenga P ( X < 0.5) d. Calcule E ( X ) y E ( Y ) e. Obtenga la distribución de probabilidad condicional de X dado que Y = 1 -
Determin Determine e la Covaria Covarianza nza y la correl correlació ación n de la siguie siguiente nte distrib distribució ución n de probabi probabilidad lidad conjunta x y f XY ( x , y ) 1
3
1
4
2
5
3
6
1
8 1 4 1 2 1 8
Sean X e Y variables aleatorias continuas con p.d.f. conjunta dada por:
e !x , f x y ( x, y) = 0,
0 y
Calcule
/ xy , 0 xy
Solución Solución:: Sabemo Sabemos s que E [ X ] = 2 , Así Cov [ X , Y] = E [ XY] ! µ X µ Y
E [ Y ] = 1 , V [ X] = 2 ,
= 3 ! ( 2) (1) = 1
y por por tanto tanto
0 xy
=
V [ Y] = 1 y 1 2. 1
=
1 2
E [ XY] = 3 = 0.707
Ejercicio: - Demues Demuestre tre que que la siguien siguiente te función función satisf satisface ace las las propie propiedad dades es de una una función función de de probabilidad conjunta y f XY ( x , y ) x
!1
!2
!0.5
!1
0.5
1
1
2
Calcule las siguientes probabilidades a. P ( X < 0.5 , Y < 1.5) b. P ( X < 0.5 )
1
8 1 4 1 2 1 8
c. P ( Y < 1.5) d. P ( X > 0.25 , Y < 4. 5) Ejemplo: Supóngase Supóngase que que la variable aleatoria continua X denota la longitud de una de las dimensiones de una pieza moldeada por inyección, y que la variable aleatoria continua Y denota la longitud de otra dimensión de lamisca pieza. Supóngase además que la función de densidad de probabilidad conjunta f X Y ( x , y ) es constante sobre la región R identificada por 4.8 < x < 5. 2 y 2x < y < 2x + 0.1 .
Sea c el valor constante, no conocido, de f X Y ( x , y ) . & &
1=
' ' f
XY
dx dy ( x , y ) dx
!& !&
5.2 2 x + 0.1
=
' ' c dy dx
4.8
2x
Una vez efectuada la integración, se tiene que c = 25 . Determine P ( 4.9 < X < 5.1) . Esto representa representa la probabilidad probabilidad de que que la dimensión dimensión X cumpla las especificaciones. Esta probabilidad es el volumen bajo la f X Y ( x , y ) sobre la región 4.9 < X < 5.1 , la cuál aparece indicada con una Q . Sin embarg embargo, o, f XY ( x , y ) es igual a cero, excepto sobre la región R . Por consiguiente consiguiente el volumen es la integral integral de la constante 25 sobre la intersección intersección de Q y R . Ahor Ahora a bien, bien, 5.1 2 x + 0.1
P ( 4.9 < X < 5. 1) =
' ' f
4.9
XY
( x , y ) dy dx
2x
2 x 0.1 = ' ) ' 25 dy * dx 4.9 2 x 5.1
+
5.1
=
' '
25 0.1 dx 4.9
=
25 [ 0.1× 0. 2] = 0. 5
Determínese P (10.0 < Y < 10. 1) . La probabilidad probabilidad pedida está está representada representada por por el volumen volumen de volumen puede hallarse al particionar particionar T en dos f X Y ( x , y ) sobre la región sombreada T . El volumen regiones, T1 y T 2 , tales tales que que T = T1 4 T 2 . Ento Entonce nces, s, P (10.0 < Y < 10. 1) = 25 por el área de T 2
2 x 0.1 = ' ) ' 25 dy * dx 4.95 10.0 5.05 10.1 + ' ) ' 25 dy * dx 5.0 2 x 5.0 x . . d x ! = 25 ) ' + 2 0 1 1 0 0 ( ) * ' 4.95 5.05 . x d x 1 0 1 2 ! +25 ) ' ) * ' ( 5.0 5.0
+
= 0.0625 0625 + 0. 0625 0625 = 0.125
Ejercici Ejercicio: o: Sean Sean X e Y v.a. con distribución conjunta dada por:
x ye !2x f x y ( x, y ) = ; y! Hallar f x , f y , f Y| x ,
x > 0;
0 xy,
y = 0, 1, 2, 3, ...
f X|y , E [ X ] ,
E [ Y] ,
/2 y , /2X , /x y
.
Ejemp Ejemplo: lo: Sean Sean X e Y variables aleatorias discretas con distribución conjunta dada por: x y
0 0
f x y ( x, y )
1/8 1/4 1/8 1/8 3/8
E [X] =
1 1
1 2
11 E Y 11 [ ]= 8 8 ,
2 1
2 2
Halle
/xy
E [X Y] =
9 11 1 / x y = ! 4 "8#
2
=
23 64
.
x y f
xy
( x, y ) =
18 8
=
9 4
= 0.359375
.
Ejercici Ejercicio: o: Sean Sean X e Y variables aleatorias continuas con f.d.p dada por:
e !x , 0 y < x f x y ( x, y ) = 0, otro caso +&
E [X Y] =
/ xy .
x
' ' x y e
!x
dy dx = 3
0 0
E [Y] = 1
Halle
,
E [X ] = 2
,
1 /x y = 3 ! 2 = 1
Debido a los problemas de escala, observe que: X!µ X Y !µ Y y son variables aleatorias con media cero y varianza 1.
/X
/Y
X ! Ux 1 X ! Ux 1 E V ! = = X U 0 [ ] ( ) * / ) / * = / 2 V [X] = 1 x / x x x x y . X !µ X Y !µ Y Así, las variables y está a la misma escala. /X /Y E)
Así, la Covarianza entre estas dos variables no depende de las escalas de medición. Esta nueva medida se conoce como coeficiente de correlación lineal entre X e Y y se deno denota ta 0 x y
X ! Ux Y ! U y E ( X ! U x ) ( Y ! Uy ) X ! Ux Y ! Uy 0 x y = cov ) , * = * = E ) /y * /x /y ) / x )" /x # " / y #* cov[ X,Y ] Así, 0 x y = . Es fácil fácil ver que 0 x y 1 . /X /Y Un valor de 0 x y cercano a uno indica una lata dependencia positiva (cuando X aumenta, Y tiende a aumentar). Un valor de 0 x y cercano a menos 1 indica una alta dependencia negativa. Un 0 x y cercano a cero no permite concluir. cov[ X,Y ] / X2 = 2 Para el ejemplo anterior, donde cov [ X , Y] = 1 , y 0 xy = /X /Y /y 2 = 1 1 0 x y =
1 2
5 0.707 .
Corola rolarrio: io: Sean X e Y variables aleatorias (discretas o continuas). Si estadís estadística ticamen mente te indep independ endient ientes es , entonce entonces s 0 xy = 0 . Ejemplo: Ejemplo: esta esta muest muestra ra que que si
0 x y = 0 no implica independencia entre
variables aleatorias discretas con distribución de probabilidad dada por: X cov [ X, Y] = E [ X Y ] ! Ux Uy -1 0 1 E [X Y] = x y fxy = 0 -1 1/8 0 1/8 Y 0 1/8 0 1/8 2 E [ X ] = 0, E [ Y] = 1 cov[ X, Y] = 0 0 x y 1 1/8 1/4 1/8 8
X
e Y
son
X e Y . Sean X e Y
pero
f x y ( !1,1) =
1 8
-
3 4 = 3 es decir " 8 # " 8 # 16
f x ( !1) f y ( 1) =
X
e
=
Y
0
son
estadísticamente
dependientes. Distribu Distribución ción normal normal bivariada bivariada Sean X e Y variables aleatorias continuas. Diremos que X e Y tienen una distribución normal bivariada si su f.d.p conjunta está dada por:
f x y ( x, y ) =
1 26 /x
/y
1! 0 x y
2
!1 Q 2(1 !0 x y2 )
2e
!& < x < +& !& < y < +& !& < U x < +& !& < U y < +&
;
2 X ! Ux X ! Ux Y ! U y Y ! U y ! 20 x y Q= + " /x # " / x # " /y # " / y #
No es difícil mostrar que
' ' f
xy
2
;
/x , /y > 0,
| 0 x y |< 1
( x , y ) dy dx = 1
2
Las distribuciones marginales para X e Y son variables aleatorias normales Y n ( Uy , /y2 ) 0 x y = 0 y .
"
Y | x n Uy + 0
Además,
E [Y | X = x ] = U y + 0
/x ( x ! U x ) , / y 2 (1 ! 02 ) /y #
/y ( x ! U x ) = a x + b; /x
con
"
X | y n Ux + 0
,
a=0
/y /x
y
X n ( Ux ,
/x 2 )
,
/x y ! U y ) , / x 2 (1 ! 02 ) ( /y #
b = Uy
!0
/y /x
Ux
.
Teor Teorem ema: a: Sean Sean X e Y son variables aleatorias con f.d.p conjunta una normal bivariada X e Y son estadísticamente independientes entonces 0 x y = 0 .
Demostración: " 7 " Si
f x y ( x, y) =
1 26 /x
0 x y = 0 f x y ( x, y ) =
1 X ! U x
e
2 * ! ) 2 )" / x # *
2
1 26
/y
e
1 2 6 /x
2 1 Y!Uy * ! ) 2 )" / y # * ) *
/y
=fx
e
2 2 1 X ! Ux Y! U y * ! ) + 2 )" / x # " / y # * ) *
(x) f y (y)
Ejemplo: Ejemplo: Suponga Suponga que X e Y son variables aleatorias con f.d.p normal bivariada con 1 2 0 =0= 2 x y U y = 2 U x =1 U y = 4 3. , , , Calcule: a) P ( X < 2 ) b) P ( Y > 1) c) E [ Y | X = 1] d) E [ X Y]
e) V [ 5X ! 2Y + 1]
V [ aX ! bY b Y + c ] = a 2 V [ X] + b2 V [ Y] + 2 a b cov[ X, Y]
Sugerencia.
"
Solución: X n (1, 1) , Y n ( 2, 4 ) , Y | x n 2 +
2 ( x ! 1) , 4 , , 3" 1 # " 3 ##
1 2
X !1 2 !1 P < = ( Z < 1) = 0. 8413 1 # " 1
a) P ( X < 2 ) = P
bP) (
> Y
Y ! 2 < 1! 2 = P ) 1= P 2 # " 2 "
c) E [Y | X = 1] = 2 +
1
"
= P
2#
< Z
1
=
2#
. 0 6915
1 2
(1! 1) = 2
3" 1 #
cov [ X, Y] = E [ X Y] ! µ x µ y
d) E [ X Y ] = ?
1
> Z!
E [ X Y ] = cov [ X, Y ] + µ x µ y = / x
y
0 xy
=
cov[ X, Y ]
/x /y
/ y 0xy +µx µ y
1+ 1 2 = 2 + 2= 8 ( )( ) 3 3 "3#
E [ X Y ] = (1) ( 2 )
e)
V [5X ! 2Y + 1] = 25V [ X] + 4V [ Y] ! 20 CO COV[ X, Y]
"
= 25 (1) + 4 ( 4 ) ! 20 (1) ( 2 ) = 25 + 16 !
40
=
1
3#
83
3 3 Combi Combina nacio cione nes s de variab variable les s aleat aleator orias ias:: Esper Esperan anza za y varian varianza za
Sean X 1 , … , X p variables aleatorias (discretas o continuas) y sean
c 1 , c 2 , ... , c p
.
p
Y=
Sea
c X i
i
i =1
Y es una combinación lineal de las variables aleatorias X 1 , … , X p .
p
I)
E [Y] =
c E X i
i
i =1 p
V [ Y] =
c i =1
2 i
c
V X i + 2
i< j
i
c j cov X i , X j
U x =1
,
II) Si X 1 , … , X p son variables aleatorias estadísticamente independientes entonces
p p 2 V [ Y ] = V ) c i X i * c i V X i i 1 i1 =
, ci =
=
V X i = / ; 2
i,
i = 1, 2, ..., p
1 p
,
E X i = U . Además, si;
Y = x y así E[ x] = U y V [ x] =
/2 p
III)
Si
cada
p p c i µ i , c i 2/ i 2 en i 1 "i1 #
X i n ( µi , /i ) , i = 1, 2, ..., p entonces si X 1 , … , X p son E.i entonces Y n 2
=
particular si, c i
=
1
, µi =µ
y
/ i2 = / 2
(
x n µ, /
=
)
2
p p “Combina “Combinación ción lineal lineal de de norma normales les independ independiente ientes s es es Normal Normal”” o Propieda Propiedad d Reprodu Reproductiva ctiva de la Normal.
Ejercici Ejercicios os Propues Propuestos tos 1.
Muestre que si 2 2 µ x, µ y, 9 x , 9 y , y
2.
Si
en
una
e tienen una X Y 2 : entonces X n ( µ x , / x ) .
normal
bivariada
µ x = 2,
distribución
µ y = 3,
9
2 x
=4
normal
2
, 9 y = 1,
bivariada
1
0xy = . 3
con
Calcule
E [ X Y + X + 2Y ! 3] .
3. Suponga que X e Y son variables aleatorias discretas con distribución conjunta dada por: x y
-10 0 0 -1
0 1
1 0
f x y ( x, y )
1/4 1/4 ¼ 1/4
Calcule V [ 2X ! 3Y + 1]
4. Sean X e Y variables aleatorias discretas con f.d.p conjunta por: k, 0 < x < 2, 0 < y < 1 f x y ( x, y ) = Calcule V [ X ! 3Y + 2] . 0 o t r o c a s o , -
Supo Supong nga a que que la corr correl elac ació ión n ent entre re X y Y es 0 . Para las las constante constantes s a , b , c y d . ¿Cuá ¿Cuáll es la correlación entre las variables aleatorias U = aX + b y V = cY + d ?
-
Sean X y Y la concentración y la viscosidad de un producto químico. Suponga que X y Y tienen una distribución normal bivariada con / X = 4 , / Y = 1 , µ X = 2 , µ Y = 1 y 0 = 0.8 . Dibuje una gráfica de contornos de la función de densidad de probabilidad conjunta.
-
Sean X y Y dos dimensiones de una pieza moldeada por inyección. Suponga que X y Y tienen una distribución normal bivariada con / X = 0.04 , / Y = 0.08 , µ X = 3.00 , µ Y = 7.70 y
0 = 0 . Dete Determi rmine ne P ( 2.95 < X < 3. 05 , 7. 60 < Y < 7. 80)
-
Si X y Y son variables aleatorias normales independientes con E ( X ) = 0 , V ( X ) = 4 , Calcule lo siguien siguiente: te: E ( Y ) = 10 y V ( X ) = 9 . Calcule a. E ( 2X + 3Y ) b. V ( 2X + 3Y ) c. P ( 2 X + 3Y < 30 ) d. P ( 2X + 3Y < 40 )
-
El ancho ancho del del marco marco de una una puerta puerta tiene tiene una una distrib distribució ución n normal normal con con media media 24 pulga pulgadas das y desviación estándar de 1 de pulgada. El ancho de la puerta tiene una distribución normal 8 con media 23 y 7 pulgadas y desviación estándar de 1 pulgadas. Suponga 8 16 independencia. a. Determine la media y la desviación estándar de la diferencia entre le ancho del marco y el de la puerta. b. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia entre el ancho del marco y el de la puerta sea mayor que 1 de pulgada? 4 c. ¿Cuál es la probabilidad de que la puerta no quepa en el marco? - Un comp compon onen ente te en form forma a de de U está formado por tres piezas, A , B y C . La long longit itu ud de de A tienen una distribución normal con media de 10 milímetros y desviación estándar de 0.1 milímetros. El espesor de las piezas B y C está distribuido normalmente con media de 2 milímetros y desviación estándar de 0.05 milímetros. Suponga que todas las dimensiones son independientes. a. Determine la media y la desviación estándar de la longitud del hueco D . b. ¿Cuál es la probabilidad de que el hueco D sea menor que 5.9 milímetros?
El tiempo de vida de seis componentes importantes de una copiadora son variables aleatorias exponenciales independientes con medias de 8000, 10000, 10000, 20000 y 25000 horas respectivamente. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de todos los componentes sea mayor que 5000 horas? b. ¿Cuál es la Covarianza entre los componentes cuya duración media es de 5000 horas y los de 25000 horas?
