Guia de Estadistica General 2018(5)

Guía Práctica de Estadística General

Estadística General

Área de Estadística Lima – Perú 2018

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GUÍA DE PRÁCTICAS DE ESTADÍSTICA GENERAL © Derechos Reservados Reservados 2017 © Área de Estadística Primera Edición 2011 Segunda Edición 2013 Tercera Edición 201 !uarta Edición 201" #uinta Edición 201$ Se%ta Edición 2017 Diseño y Diagramación &niversidad !ientí'ica de( Sur Panamericana Sur Sur )m 1* + ,ima ,ima 2 - ,ima+Per. $10+$00

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GUÍA DE PRÁCTICAS DE ESTADÍSTICA GENERAL © Derechos Reservados Reservados 2017 © Área de Estadística Primera Edición 2011 Segunda Edición 2013 Tercera Edición 201 !uarta Edición 201" #uinta Edición 201$ Se%ta Edición 2017 Diseño y Diagramación &niversidad !ientí'ica de( Sur Panamericana Sur Sur )m 1* + ,ima ,ima 2 - ,ima+Per. $10+$00

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Rector

Dr. Manuel Rossemberg

Presidente Preside nte Ejecutivo Luis Javier Cardó Soria

erente eneral Javier !risanc"o Pendavis

Director eneral #cad$mico

Jos$ #gustín %rti& Elías

Directos de Cursos '(sicos Álvaro Pinillos %sna)o

Coordinador de Matem(tica ) Estadística Jos$ D(vila

|3


|4

C%*+E*,D%

-*,D#D  Ca/ítulo 0 Conceptos



Ca/ítulo 10 !ama"o de la muestra#

$

Ca/ítulo 20 Presentaci%n de dato

11

-*,D#D 1 Ca/ítulo 3& 'edidas de !endencia Central

24

Ca/ítulo 40 'edidas de (ispersi%n

2)

Ca/ítulo 50 *simetría + Curtosis

3,

-*,D#D 2 Ca/ítulo 60 Cálculo de Pro-a-ilidades

3$

(istri ri-u -uci ci%n %n .ino .inomi mial al + Pois Poisso sonn Ca/ítulo 70 (ist

,1

istrii-uc uci% i%nn /orm ormal Ca/ítulo 80 (istr

,8

Ca/ítulo 90 (istri-uci%n 'uestral

,

-*,D#D 3 Ca/ítulo 0 eresi%n + Correlaci%n Lineal

8

a-las de Con Contin tinen encia cia + Prue-a Prue-ass Ci – Cuadra Cuadrado do Ca/ítulo 10 !a-las

)8


|,

Ela-oraci%n propia

CONCEPTOS BÁSICOS. TAMAÑO DE LA MUESTRA Y MUESTREO. PRESENTACIÓN DE DATOS.


|

CONCEPTOS ESTADÍSTICOS

Población# Es la totalidad de indiiduos o de elementos 5empresas6 personas6 o-7etos etc# 9ue cumplen o satis:acen la o las características en estudio# Por el número de elementos 9ue la componen la po-laci%n se clasi:ica en :inita e in:inita# La po-laci%n es :inita si tiene un número determinado de elementos en caso contrario es in:inita# En la práctica una po-laci%n :inita con un ran número de elementos se considera como una po-laci%n in:inita; por otro lado el tama"o de una po-laci%n a a depender de o-7etio tra  La arian
CL#S,!,C#C,;* DE L#S :#R,#'LES SE<* L# *#+-R#LE=# DE L# :#R,#'LE a :#R,#'LES C-#L,+#+,:#S % C#+E;R,C#S @on a9uellas cu+os alores eBpresan cualidades o atri-utos; estas a su e< pueden ser&


|)

:#R,#'LES *%M,*#LES.> @on a9uellas en donde no eBiste un orden preesta-lecido entre las cateorías de las aria-le# E7emplos& F**.LE Color Estado Ciil (istrito @eBo Calidad

C*!EGHI*@ *
:#R,#'LES %RD,*#LES # @on a9uellas en donde eBiste un orden preesta-lecido entre las cateorías de la aria-le# E7emplos& F**.LE Grado de nstrucci%n Hrden de '=rito /iel @ocioecon%mico

C*!EGHI*@ Primaria6 @ecundaria6 @uperior Primero6 @eundo6 !ercero etc# .a7o6 'edio6 *lto etc#

!am-i=n podemos considerar como aria-les ordinales por e7emplo rado de satis:acci%n de un sericio 51 J 'u+ insatis:eco; 2 J nsatis:eco; 3 J /i satis:eco ni insatis:eco; 4 J @atis:eco; , J 'u+ satis:eco o tam-i=n el rado de depresi%n6 etc# - :#R,#'LES C-#*+,+#+,:#S @on a9uellas 9ue se o-tienen como resultado de mediciones o conteos; estas a su e< se clasi:ican en&

:#R,#'LES D,SCRE+#S @on a9uellas cu+os alores resultan como consecuencia de conteos6 + por lo tanto solo pueden asumir alores enteros positios6 incluido el cero# E7emplos /úmero de empresas6 número de ospitales6 número de tra-a7adores6 número de compro-antes de pao6 número de má9uinas6 número de conseras etc# :#R,#'LES C%*+,*-#S @on a9uellas cu+os alores se o-tienen por medici%n6 pueden asumir alores decimales# E7emplos& Los sueldos6 el precio6 la temperatura6 el olumen6 el tiempo6 el peso6 la estatura6 la presi%n etc#

SE<* EL R%L ?-E +,E*E* E* L# ,*:ES+,#C,;* a@ :#R,#'LE DEPE*D,E*+E La aria-le dependiente es a9uella determinada por el inestiador para estudiarla en :unci%n de otras aria-les denominadas independientes# Generalmente se sim-oli
b@ :#R,#'LE ,*DEPE*D,E*+E


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La aria-le independiente es a9uella 9ue es controlada en un eBperimento por el inestiador# Generalmente se sim-oli
El costo de producci%n de un artículo6 determina su precio de enta# En este caso las aria-les son& Costo de producci%n J  Precio de enta J D

Podemos notar 9ue el rol 9ue asuma una determinada aria-le como dependiente o independiente en una inestiaci%n6 a a depender con 9u= aria-le se asocie#

E J ER C, C ,% S PR %P- E S+ %S . (eterminar6 en cada caso el tipo de aria-le6 de acuerdo a su naturale
pasado# # !emperaturas reistradas cada ora en un o-seratorio# i# /úmero de pacientes atendidos por emerencia durante el mes pasado#

1. Clasi:icar cada una de las a:irmaciones siuientes +a sea como in:erencias o m=todos descriptios# a# El a"o pasado en la C@ el punta7e promedio del eBamen de admisi%n :ue 8,# -# El (r# García6 un ec%loo6 in:orm% 9ue en cierto río del oriente peruano6 la carne de los peces contienen un promedio de 300 unidades de mercurio# c# La compa"ía M'N predi7o 9ui=n sería el anador en una elecci%n presidencial despu=s de conocer los resultados de las otaciones de 2, mesas de su:raio de las 2 800 mesas 9ue u-o en total#


|$

+#M#A% DE L# M-ES+R# B M-ES+RE% Ejem/lo0 @e 9uiere acer una encuesta para estimar el tiempo promedio por semana 9ue los ni"os en teleisi%n# Por estudios anteriores se sa-e 9ue la desiaci%n estándar de dico tiempo es de 3 oras# Con el niel de con:ian
Solución 2

2

 Z S 2    1#$ x 3  n        138#3  0#,   e  



n  13$ niños

- Qu= costo se de-e presupuestar para acer la encuesta6 si esta tiene un costo :i7o de T,6000 más un costo aria-le de T2 por cada entreistaR#

Solución0 ,6000 U 2 5 13$  J T,62)8

Ejem/lo0 La o:icina de Plani:icaci%n Vamiliar de cierto distrito desea determinar la proporci%n de :amilias con un inreso mensual in:erior a @S# 800# Estudios preios an indicado 9ue esta proporci%n era del 20O# Qu= tama"o muestral se re9uiere para aseurar con una con:ian
Z 2  S 2 p q e2



n 

51#$  2 5 0#2  5 0#8  5 0#03  2

 83

familias

EJERC,C,%S PR%P-ES+%S 1# @e a pro+ectado una encuesta para determinar los astos m=dicos anuales promedio por :amilia de los empleados de una ran compa"ía# La administraci%n de la compa"ía desea tener una con:ian
2# @i un erente de control de calidad 9uisiera estimar la ida promedio de un producto en una escala W 20 oras con una con:ian

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3# @i una cadena de supermercados 9uisiera estimar el importe promedio de entas en una escala de W T100 con una con:ian

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PRESE*+#C,;* DE D#+%S +#'L#S B RÁ!,C%S ES+#DS+,C%S DE D#+%S P#R# :#R,#'LES C-#*+,+#+,:#S a@ +abla de recuencias /ara Datos *o #gru/ados.> Es apropiada para datos cu+os alores distintos no son mu+ numerosos# Ejem/lo0 Los siuientes datos corresponden a las edades de ,0 estudiantes& 20 23 1$ 21 21

22 1$ 22 20 22

21 18 23 21

1$ 20 20 20

18 21 21 24

18 22 1$ 23

20 1$ 22 20

22 20 18 21

20 18 1$ 1$

1$ 23 20 20

20 20 21 22

1$ 21 24 21

a Presentar dicos datos en una ta-la de :recuencias - Presentar los datos rá:icamente a tra=s de un Kistorama c Presentar los datos rá:icamente en un Políono de Vrecuencias

Solución0 En este caso notamos 9ue la aria-le edad6 apenas está tomando solamente siete

alores distintos 9ue an desde 18 asta 24 :ariable0 Fi !recuencias #bsolutas0 :i !recuencias #bsolutas #cumuladas0 Vi !recuencias Relativas0 i !recuencias Relativas #cumuladas0 Ki La siuiente ta-la + el rá:ico an sido o-tenidos6 usando el so:tXare '/!*. !a-la de :recuencias para la aria-le edad& Edad 18 1$ 20 21 22 23 24 !otal

:i

Vi , $ 13 10 ) 4 2

,0

, 14 2) 3) 44 48 ,0

Porcenta7e 10#00 18#00 2#00 20#00 14#00 8#00 4#00 100#00

O *cumulado 10#00 28#00 ,4#00 )4#00 88#00 $#00 100#00

Comentario& @e o-sera 9ue el 2O de los estudiantes tienen 20a"os de edad mientras 9ue solo un 4O tienen 24 a"os# !am-i=n podemos er 9ue un 4O tienen entre 20 + 21 a"os#


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b@ Gistograma de !recuencias

Distribución de los estudiantes según edad 25

20

e j a t 15 n e c r o P 10

5

0 18

19

20

21

22

23

24

Edad (años )

c@ Polígono de !recuencias obtenido con SPSS

d +abla de recuencias /ara Datos #gru/ados.> Es apropiada cuando los alores distintos 9ue toma la aria-le es mu+ numeroso# @e siuen los siuientes pasos& 1 Calcular el rano de la aria-le&  J Falor máBimo – Falor mínimo 2 Eleir el número de interalos de clases& Y se suiere entre , + 10 inclusie 3 Calcular la amplitud de los interalos de clases& C CJ  cu+o cociente en lo posi-le de-erá ser eBacto6 caso contrario de-erá Y tra-a7arse con los llamados MeBcesosN


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Ejem/lo 0 Los siuientes datos representan el contenido de +odo en la sanre de 40 pacientes adultos en ZS100cc# 8# $#2 4# ,#$

$#, #, 3#8

#, )#3 )#0

)#4 ,#, 8#1

10#, ,# ,#$

#8 ,#1 )#3

)#) 4#4 ,#,

,#$ 10#2 ,#,

)#0 #, 4#,

)#3 )#, 3#,

,#1 ,#8 ,#

4#3 ,#8 ,#)

)#$ ,#3 ,#8

Presente los datos en una ta-la de :recuencias

Solución Rango0 R  J 10#, – 3#, J )#0 Y J 1 U 3#32 lo 40 J #32

Y J , %  %

@i [ J ,

C J )#0 J 1#4 ,

@i [ J )

C J )#0 J 1#0 )

)

H-seramos 9ue para am-os alores de Y; emos o-tenido un cociente eBacto Eliiendo Y J , o-tenemos la siuiente ta-la de :recuencias seún el Prorama @P@@ Dodo 5ZS100cc

i

:i

Vi

i

Ki

3#,  4#$ 4#$  #3 #3  )#) )#)  $#1 $#1  10#, !H!*L

4#2 ,# )#0 8#4 $#8

 1, 12 3 4 40

 21 33 3 40

0#1,0 0#3), 0#300 0#0), 0#100 1#000

0#1,0 0#,2, 0#82, 0#$00 1#000

@e o-sera 9ue el 3)#,O de los pacientes tienen un niel de +odo en la sanre 9ue aría entre 4#$ + #3 microramos por 100 cc# !am-i=n podemos decir 9ue poco más del ,0O an tenido entre 3#, + #3 microramos de +odo en la sanre#


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Ejem/lo 10 Como control de la =tica pu-licitaria6 se re9uiere 9ue el rendimiento en millasS al%n6 de asolina est= -asado en un -uen número de prue-as e:ectuadas en diersas condiciones# *l tomar una muestra de ,0 autom%iles se reistraron las siuientes o-seraciones en millas por al%n 3,# 32#0 2$#, 30#3

2)#$ 28#, 28#) 33#,

2$#3 2)#, 23#0 30#,

31#8 2$#8 30#1 30#

22#, 34#2 30#, 3,#1

34#2 31#2 31#3 28#

32#) 28#) 24#$ 30#1

2#, 30#0 2#8 30#3

2#4 28#) 2$#$ 2$#

31#0 33#2 28#) 31#4

31# 30#, 30#4 32#4

Presente los datos en una ta-la de :recuencias

Solución0 Rango0 R  J 3,# – 22#, J 13#1 Y J 1 U 3#32 lo ,0 J #4 @i [ J 

Y J  % ) u C J 13#1 J 2#1833\\\\ 

2#2

EBceso E J 5 B 2#2 – 13#1 J 13#2 – 13#1 J 0#1 @i [ J )

C J 13#1 J 1#8)14\\\\ )

1#$

8

28#0 33#) 2)#$ 31#2 31#3 32#)


| 1,

EBceso

E J 5) B 1#$ – 13#1 J 13#3 – 13#1 J 0#2

@i [ J 8

C J 13#1 J 1#3), 8

1#)

EBceso E J 58 B 1#) – 13#1 J 13# – 13#1 J 0#, Eliiendo

YJ

por tener el menor eBceso

Las :recuencias an sido o-tenidas seún el Prorama @P@@ endimiento 5millasSal%n 22#,  24#) 24#)  2#$ 2#$  2$#1 2$#1  31#3 31#3  33#, 33#,  3,#) ! H !*L

i

:i

Vi

i

Ki

23# 2,#8 28#0 30#2 32#4 34#

2 4 10 20 $ , ,0

2  1 3 4, ,0

0#04 0#08 0#20 0#40 0#18 0#10 1#00

0#04 0#12 0#32 0#)2 0#$0 1#00

@e o-sera 9ue el 0O de los autom%iles tienen un rendimiento entre aproBimadamente 2) + 31#3 millas por al%n de asolina#

Ejem/lo 2 Los siuientes son los punta7es lorados en un eBamen de cierta asinatura por ,0 estudiantes& 1 ) , 4)

,0 48 ,4 ,

, 4 ) ,

)0 , 8 ,)

4, 0 0 ,8

0 1 3 ,,

80 2 , ,1

, 2 ,3 43

0 ,) 1 )$

, ), 2 )2

4 ,3 $ 48

,4 ,8 )0

Presentar los datos en una ta-la de :recuencias

Solución  J 80 – 43 J 3) Y J 1 U 3#32 lo ,0 J #4 @i [ J  EBceso

) C J 3) J #1\\\\ 

E J 5 B ) – 3) J 42  3) J ,

Y J  % ) u :

)

8

, ,$ 44


| 1

@i [ J )

C J 3) J ,#28,)\\\## )

:



EBceso E J 5) B  – 3) J 42  3) J , @i [ J 8 EBceso Eliiendo

C J 3) J 4#2, 8

:

,

E J 58 B , – 3) J 40  3) J 3 Y J 8

por tener el menor eBceso

Punta7e 42 – 4 4) – ,1 ,2 – , ,) – 1 2 –  ) – )1 )2 – ) ))  81 !otal

i 44 4$ ,4 ,$ 4 $ )4 )$

:i 3 , $ 12 11  2 2 ,0

Vi 3 8 1) 2$ 40 4 48 ,0

i 0#0 0#1 0#18 0#24 0#22 0#12 0#04 0#04 1

Ki 0#0 0#1 0#34 0#,8 0#8 0#$2 0#$ 1

Poco menos de la mitad de los estudiantes 54O an o-tenido entre ,) +  puntos#

+#'L#S B RÁ!,C%S ES+#DS+,C%S DE D#+%S P#R# :#R,#'LES C-#L,+#+,:#S % C#+E;R,C#S Ejem/lo .> @e reali<% un estudio para determinar la cantidad de personas 9ue o-tienen un empleo# La siuiente ta-la inclu+e datos de 400 su7etos seleccionados al a
/] de Porcenta7e su7etos , 14 44 11

Contactos pro:esionales Correo masio

280 20

)0 ,

!otal

400

100

r(ico de 'arras Sim/les H EFCEL @


| 1)

r(ico de Sectores Circulares H EFCEL @

Diagrama de Pareto H M,*,+#' @ Fuentes de Empleo

e j a t n e c r o P

100

100

80

80

60

60

40

40

20

20

0

0

e j a t n e c r o P

Fuentes de Empleo

Ejem/lo 1.> La siuiente in:ormaci%n se re:iere al número de estudiantes matriculados en tres especialidades de *dministraci%n de Empresas6 durante los a"os 26000 + 2600, Porcentaje Porcentaje % acumulado

70 70.0 70.0

14 14.0 84.0

11 11.0 95.0

5 5.0 100.0


| 18

Especialidad Vinan
2000 10 140 100

200, 2,0 200 1,0

r(ico de 'arras Dobles

EJERC,C,%S PR%P-ES+%S

.> *l contar el número de materias repro-adas por los alumnos de cierta niersidad6 se an o-tenido los siuientes datos& 16 16 26 36 26 6 06 06 16 06 46 ,6 06 06 06 36 26 16 36 16 16 16 06 16 26 06 06 ,6 46 2# Constru+a una ta-la de :recuencias + el istorama correspondiente#

1.> En un coleio MN se piensa en la posi-ilidad de cam-iar el tim-re por unos acordes de música roc[# @e a preuntado a 20 alumnos cual es su opini%n acerca de estos acordes6 seún la escala& /o me usta nada 5 1 6 'e usta poco 5 2 6 'e es indi:erente 5 3 6 'e usta -astante 5 4  'e usta mucísimo 5 , # Estos an opinado la siuiente manera 5codi:icada& ,6

46

16

26

26

46

26

,6 3 6

,6

36

,6

16

16

36

16

26

,6

36

3

Construir la ta-la de distri-uci%n de :recuencias adecuada para responder las siuientes preuntas& a * 9u= porcenta7e de alumnos les usta poco estos acordesR - * cuántos alumnos les usta -astante los acordesR c Cuál es la proporci%n de alumnos a los 9ue les es indi:erente los acordesR d Cuál es la proporci%n de alumnos a los 9ue les usta poco o no les usta nada los acordesR e Cuál es la proporci%n de alumnos a los 9ue a lo más les usta -astante los acordesR#


| 1$

2.> El erente de una tienda comercial está interesado en el número de eces 9ue ,2 clientes an ido a comprar en su almac=n durante un período de dos semanas# Los datos 9ue se reistraron :ueron& , 1 4 10

3 14 ) 8

3 1  $

1 2 , 2

4 4 $ 12

4 4 11 ,

, , 3 )

  12 

4 3 4 4

2 , ) ,

 3 14 

  1 ,

1 8 1

a Hranice los datos en un cuadro de distri-uci%n de :recuencias - Presente los datos en una rá:ica apropiada#

3.> Los siuientes datos proporcionan los inresos anuales en miles de d%lares de ,0 personas& 6.$ 30#0 42#0 18#0 12#0

10#3 2,#, 41#$ 24#$ 8#3

4,#) ,0#0 3,#0 20#0

$#, 1)#1 11#) 28#0

43#0 2,#, ,,#3 28#,

,#0 43#, 2)#0 3#4

38#0 31# ,8#4 3$#,

#) ,$#0 ,)#0 ,#0

48#0 41#, 2$# $#0

30#, 13#, 38#, ,#0

2,#0 12#0 2#0 #$

40#0 $#2 1#, )#0

a@ Presentar dicos datos en una ta-la de distri-uci%n de :recuencias6 usando  interalos de clase# b@ Estime la proporci%n de inresos 9ue están entre 126,00 d%lares + ,26,00 d%lares# c@ Estimar la proporci%n de inresos 9ue están de-a7o de ,06000 d%lares# 4.> Los siuientes datos son cali:icaciones en la prue-a de 'iller de personalidad de 82 estudiantes# 22 22 20 2) 30 23 2$ 21 2 31 21 23 2, 2$ 18 22 31 30 28 1 28 33 2, 23 31 23 18 24 2 2, 1) 22 2, 28 1$ 24 20 23 2 21 31 2, 24 33 2$ 20 2) 21 2, 28 24 23 2, 30 2) 23 2 22 24 1) 33 2 24 1$ 18 33 2, 28 31 2$ 2) 28 24 2 24 22 2 24 18 21 2$ 22 a Hranice los datos en un cuadro de distri-uci%n de :recuencias - Presente los datos en una rá:ica apropiada#


| 20

5.> Cierto inestiador especialista en salud pú-lica a:irma 9ue el niel de plomo en sanre en ni"os en edad escolar de una cierta rei%n6 se a incrementado# Para eri:icar este supuesto se toma una muestra de 120 ni"os en edad escolar6 o-teniendo los siuientes resultados& 2)#88 34#2 28#24 #, 34#2 2)#38 2)# ,#04 4#8 ,1#24

28#42 38#$) 4#) 4$#24 28#84 34#4) 28#42 34#$8 2,#21 ,#84

4,#81 )#22 #0) #82 2#,3 ,#$1 33#0$ #, 4#8 34#)2

#,, ,#24 $#)) 3,#4$ )#$2 33#1 13#38 3#, 3, 33#83

#4 1,#4 ,#3, 33#43 2)#$ 12#04 3)#4) 8#8, $#1) 3,#0$

#14 3#)3 28#34 2)#38 #28 34#2 38#41 2$#33 2,#1) 28#42

3#)3 31#$3 33#43 11#33 38#2 4#24 4#) 4#88 4#82 30#83

2#88 28#34 14#8, ,#44 #,, )#22 3#23 34#2 28#84 4#)$

31#$3 10#)$ 28#84 $#28 4#4 4,#1 33#0$ 34#$$ 34#13 ,#44

14#8, 2#88 3#2) 4#3 10#)$ ,#$1 #) 4#82 #28 )#1)

2#88 #32 4#88 3,# 33#0$ 34#$4 3#)1 1)#$ 4#88 2$#2$

38#3, 33#0$ 4) $#1) 28#42 ,#04 33#83 )#$2 8#) 32#2$

a Constru+a una ta-la de :recuencias - H-tena un istorama + políono de :recuencias#

6.> @e i
4,34 )24 2) 84$

)020 1,48 4484 38$4

)2, 4801 ,33 ,84)

$4 )3) 4148 $1

)428 ,321 ,88 432)

2802 83) 4)2 ,)4$

242 83$ 83)2 1801

4000 )41) 822, 432

33)8 082 142

)343 418$ 10241 $2 12130 $3,$

Presentar en una ta-la de :recuencias usando  interalos de clase cerrados#

7.> En mar
8.> na tienda comercial6 u-icada en Lima 'etropolitana6 ende ropa de moda para damas + ca-alleros además de una amplia ama de productos dom=sticos# * continuaci%n se presentan las entas netas o-seradas durante los a"os del 2002 al 200# epresente rá:icamente dica in:ormaci%n# *"o 2002 2003 2004 200, 200

Fentas netas 5millones de @S# ,00#0 ,1$#2 ,3,#8 ,0#$ ,44#1


| 21

9.> @e a eco una encuesta para sa-er con 9u= reularidad se lee el peri%dico en Lima6 + los resultados :ueron estos& E@PE@!*@ !odos los días na e< por semana na e< al mes *luna e< al a"o /unca /o contesta

O 3)#, 2$ 10#, 12 0#4

a Qu= tanto por ciento de personas respondieron MnuncaNR - @i las personas 9ue no contestaron :ueron 6 cuántas personas :ueron encuestadasR c Las personas encuestadas6 son muestra o po-laci%nR


| 22


| 23

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, MEDIDAS DE POSICIÓN, MEDIDAS DE DISPERSIÓN, ASIMETRÍA Y CURTOSIS.


| 24

Ejercicios de Medidas de +endencia +endencia Central .> Los salarios en una Empresa son en promedio @S# 380 semanales6 con posterioridad se incorpora a la Empresa un rupo de tra-a7adores iual al 2, O de los 9ue esta-an anteriormente# El nueo rupo inresa a la Empresa con un salario medio iual al 0 O de los antiuos# (os meses más tarde6 la Empresa concede un aumento de salarios de @S# ,0# Kallar el salario promedio del total de tra-a7adores# Solución0  x1 & Salario promed promedio io de antiguos 0#2,n1  n2 & N ] de trabajador es nuevos  x 2 & Salario promed promedio io de los nuevos X p  Salario promed promedio io de todos los trabajador es n1 & N ] de trabajador es antiguos

Sabemos que

X p 

x1  380

n1 5380  0#2, n1 5228

1#2,n1

x 2  0#5380  228

 34$#

 34$#  ,0  3$$#

1.> En una Compa"ía 9ue mane7a cuatro productos; los márenes de utilidad + las totales de entas o-serados durante el a"o pasado aparecen en la siuiente ta-la# Producto

* . C (

Margen de utilidad

Venta total

4#2 O ,#, O )#4 O 10#1 10 #1 O

T 306000 T 206000 T ,6000 T 3600 36 0000

Calcule el maren de utilidad promedio#

Solución0 Considerando 9ue las entas totales no son las mismas para cada producto6 utili
0#042 5306000  0#0,, 5 206000  ###################################  0#101 536000 306000  206000  ########################  36000

Por lo 9ue el maren de utilidad util idad promedio será del 4.12 I

2.> na :á-rica tiene 3 má9uinas# La má9uina . produce la mitad de lo 9ue produce la má9uina * + la producci%n de la má9uina C es in:erior en un 20 O de lo 9ue produce la má9uina .# Los costos de producci%n por unidad son& 36 4 + , soles para las má9uinas *6 . + C respectiamente# @e desea anar el 20 O por unidad# Calcule el precio medio de enta#

 0#0,2


| 2,

Solución0 M(uinas * . C

Costo /or unidad @S# 3 4 ,

Cantidad /roducida /roducida 2B B 0#8B

Precio de venta 3# 4#8 #0

3# 52 x  4#8 x   50#8 x  4#42 soles 2 x  x  0#8 x

P V 

3.> El inreso per cápita mensual de un país es T31,# El sector pú-lico 9ue constitu+e un ,,O de la po-laci%n perci-e 18O del inreso total# Calcule el inreso medio por a-itante del sector pú-lico + no pú-lico# Solución0 Consideremos& !ng reso perc"p perc "pita ita & X p 

n1 x1  n 2 x 2 n

Sector Públ Pú blico ico & n1  0#,, n

x1 

 x

 x



1

n1

1



 T31 ,



!ng reso total  31, 31 , n

Sector no Públ Pú blico ico & n 2  0#4, n

31 , n   ,#) n  n1 x1 !ng reso total del Sector Públi Pú bli co   x1  0#18 531,

# luego x1 

 x

1

n1



,#) n  103 bl ico 10 3#0$ dólares 5 !ng reso pro med io del Sector Pú blico 0#,,n

hor h ora a hallaremos el ingreso pro med io del Sector no Pú blico bl ico

31 , 

n1 x1  n 2 x 2 n



,#) n  0#4, n 5 x 2  n



31, 31 ,  ,#)  0#4, x 2

,) 4 dólares  x 2  ,)4

4.> n rupo de 200 estudiantes6 cu+a estatura media es de 0#$ puladas se diide en dos rupos6 uno con estatura media de 3#4 puladas + otro con una estatura de ,)#3 puladas# Cuántos estudiantes a+ en cada rupoR#

@ea n1 J /] de om-res

Solución0 Sabemos que adem"s

luego

n1  n 2  200

X p  0#$

0#$ 



+

n1  200  n 2

X 1  3#4

5 200  n 2  3#4  ,)#3 n 2 200

n 2 J /] de mu7eres X 2  ,)#3



n2  80

n1  120


| 2

automotri< asta T,00 en la compra de latas de aceite aceite 9ue cuestan T10 5.> na estaci%n de sericio automotri< la docena; T,00 en latas 9ue cuestan T12#, la docena; otros T,00 en latas 9ue cuestan T20 la docena + T,00 en otras 9ue cuestan T2, la docena# a (eterminar el costo promedio por docena de las latas de aceite# - En promedio Cuántas docenas docenas de latas de aceite compr%R

Solución0 a@ Kallaremos el costo promedio por docena Monto Costo /or docena 499 9 499 1.4 499 19 499 14 +otal  1999 X 

b

Docenas com/radas 49 39 14 19 24

2000 dólares  14#8 dólares S docena 13, docenas

Pr omedio de docenas compradas &

13,  33#), docenas 4

Ejercicios de Medidas de Dis/ersión .> El coe:iciente de ariaci%n de los inresos mensuales de 100 empleados de una compa"ía es 0## (espu=s de un aumento eneral de @S# $0 mensuales para cada uno de los tra-a7adores de la compa"ía6 el coe:iciente de ariaci%n es aora de 0#,,# (eterminar la


| 2)

cantidad de dinero 9ue necesitará mensualmente la compa"ía para paar los sueldos despu=s de acer e:ectios los aumentos#

Solución0

@ea & @ueldos antes del aumento

ntes

# #V 

$espu%s $espu% s S X

 0#

luego

# #V 

S



!guala !gualando ndo

 0#,,

X  $0

0# X las



0#,,

5 X

0# X



0#,,

X

X

S

desviacion es

0# X

entonces

S



&uego &uego & $iner $inero o





est"ndar



0#,, 5 X

$0

4$#,

$0

0#0, X



5 Sueldo

1080



total

para para



pagar pagar

4$#,

promedio omedio

los los

X



sueld sueldos os



n1 X 1 S 1

en este caso

Sabemos que &

X 



)0

n2

120

X 2







ser"

S 2



30





12, ,

S X n1 X 1  n 2 X 2



)0 5 120   30 5 12,  )0  30

n1  n 2

2

S 

 X

2

 X   

 121#,

2

n

n 1

en este caso por tratarse de dos grupos grupos &

2

S 

  X

2 1

 X   X    X    2 2

1

n 1

$$0

5

actual 

Solución0 @e tiene 9ue&

# #V # 

$

S

1.> na muestra de )0 datos da una media de 120 + una desiaci%n estándar de ; otra muestra de 30 datos da una media de 12, + una desiaci%n estándar de ,# @e reúnen las dos muestras :ormando una sola muestra de 100 datos# Calcule el coe:iciente de ariaci%n de esta muestra de 100 datos#

'allaremos &



2

2

n

100510


| 28

S 12 

2 S 2 

 X

2 1

 X   

2

1

n1



n1  1

 X

&uego

2 2

 X   

3 

 2, 

n 2

14)$$,$ 

Por lo tan to # #V 

 X 2  2

n2

121,0

$$ #14 121#,

 8400 

2

)0

$

2

2

S 2 

 X

2 1

 3),0 2$



 X 1

 1010484

 X 2

 4$4),

2

2

30



2

100  3)#)2

x 100O  ,#0,O

 S  #14

2


| 2$

EJERC,C,%S PR%P-ES+%S

.> na :irma comercial a:irma 9ue el salario promedio mensual paado a su personal es de T406 esto suiere 9ue dica :irma paa -ien# @in em-aro6 un análisis posterior indic% 9ue se trata de una pe9ue"a empresa6 9ue emplea 4 7%enes con a-eres mensuales de T300 cSu + el erente eneral con un a-er de T2000 mensuales# d# puede seuir a:irmando 9ue la :irma paa -ienR 1.> En cierto ospital se encuentran en o-seraci%n en el (epartamento de roloía& , adultos de ,1 [ de peso; 8 de ,3; 10 de 2; ) de 4; 3 de )0; 8 de )2; 1, de ), + 2 de )$ [ de peso# Kallar la mediana + la moda# nterprete# 2.> Las temperaturas medias de 40 días del a"o6 reistradas en la localidad de 'onteaudo an sido& 5en rados centírados& $ 8 , 2 2 1  ) $ 12 13 1) 1 1, 18 1) 14 1) 23 22 2, 2, 28 2 2$ 31 3, 38 3) 3 2$ 2, 24 18 1 8 ) 3 1 3 a Constru+a la ta-la de :recuencias clasi:icando la temperatura en cinco clases# - Calcule la media aritm=tica c Cuántos días an reistrado temperaturas entre X  8] # ( X  8] # d Cuál es el porcenta7e de días con temperaturas entre  3] # ( 33] # R e Cuál es la proporci%n de días con temperaturas ma+ores a 2]C R# 3.> na po-laci%n industrial tiene 4 :á-ricas& '6 /6 H + P# Los ,0 o-reros de la :á-rica ' anan6 en promedio T24 por día; los 3, o-reros de /6 T38 por día6 los 2, o-reros de H6 T43 por día + los )2 empleados de P6 T3 por día# Kallar el inreso promedio por día de esa po-laci%n industrial# R/ta. 23.94 4.> Ciertos inspectores de salu-ridad eBaminan toneladas de mariscos# El inspector * eBamin% 30 toneladas de las cuales 10 no siren# El inspector . eBamin% ,0 de las cuales 40 están en per:ectas condiciones# El inspector C eBamina 80 de las cuales el 2,O no sire# Qu= porcenta7e de los mariscos están en -uenas condicionesR# R/ta. 64I 5.> Para ealuar como in:lu+e el consumo de alcool en el deterioro de la inteliencia6 se reali<% una inestiaci%n en la ciudad de !ru7illo so-re un cierto número de personas de entre 2, + ,, a"os# @e tom% entre otras t=cnicas el test de ^ais 9ue mide el C; los resultados o-tenidos se muestran en la ta-la# @e puede calcular la medianaR + la modaR de ser así allar el alor de dicos estadíra:os e interpretar los resultados o-tenidos# R/ta. Me  1.4 C# ntelectual Ki

100110 110120 120130 130140 1401,0 0#14 0#44 0#8, 0#$) 1#00

6.> @eis mecan%ra:as escri-en a las siuientes elocidades 4,6 3)6 306 386 3, + 42 pala-ras por minuto# @i cada una de ellas escri-e un mismo teBto calcular la elocidad media# R/ta. 26.1 /alabKmin 7.> Las notas de ,0 alumnos se clasi:icaron en una ta-la de :recuencias con siete interalos de clase de iual amplitud# @e pide calcular la mediana + la moda sa-iendo además 9ue& B , J ),; : 2 J : , J ); V1 J ; : ) J 4; V3 J 22; V, J 41 + J 2## x


| 30

8.> Kallar e interpretar la moda de la distri-uci%n siuiente& nteralo de clase Vrecuencia a-soluta

34 3 2

3  38 ,

38  40 30

40  42 40

42  44 20

44 – 4 3

9.> (ado los siuientes datos& 206 $6 2,6 46 136 1,6 206 2)6 226 186 306 )6 10 # Kallar& 'e6 'o6 Q36 + P8, .> (e las mediciones -iom=tricas e:ectuadas con cierto número de estudiantes se an eBtraído los siuientes datos& Los arones de 1) a"os tienen un peso medio de 0#8 [# con una desiaci%n estándar de #$ [# Los arones de 10 a"os tienen un peso medio de 30#, [ + una desiaci%n estándar de ,#3) [ * partir de los datos anteriores se puede a:irmar 9ue el peso es más aria-le a los 10 a"os 9ue a los 1) a"os# R/ta. Eectivamente el /eso es m(s variable a los 9 aos 1.> @e tiene la siuiente in:ormaci%n so-re una distri-uci%n de :recuencias de los pesos en [ de ,0 elementos de un determinado material# La amplitud de los interalos de clase es iual a 20& _Li1  Li` Bi

: i

Vi

Bi: i 8,0 1)10 2) 2)30

$  20

1,00 ,0

a# -# c# d#

eali
2.> @upona 9ue la siuiente ta-la de distri-uci%n representa los salarios diarios de los tra-a7adores de construcci%n ciil de Lima& @alarios diarios 5en @S# (e 24 a 3 (e 3 a 42 (e 42 a 0 (e 0 a )2 (e )2 a 84 (e 84 a $ !otal

Vrecuencia 30 420 ,10 0 ,)0 480 3000

a# El sindicato de construcci%n ciil solicita 9ue en el nueo pacto colectio se esta-le

| 31

3.> En la ta-la siuiente se tiene los datos del número de seuidores de di:erentes reliiones en el mundo6 seún una estimaci%n de XXX#aderents#com a# Ela-orar la distri-uci%n de :recuencias relatias -# @e puede calcular la media6 la mediana o la moda de estos datosR @i es así6 o-tenerlos + eBplicar el sini:icado de tus cálculos# elii%n Cristianismo slam Kinduismo *teosan%sticossin relii%n .udismo Con:ucionismo S 'aoísmo *nimismo + reliiones tradicionales a:ricanas Htras !otal

'illones de personas 2000 1300 $00 8,0 30 22, 24, $3 ,880

4.> (ada la siuiente distri-uci%n respecto a edades de un rupo de personas& 186 3$6 336 286 2$6 406 216 26 236 486 226 436 246 46 1$6 2)6 386 126 36 32# Calcular e interpretar& Q16 + P8)#

5.> El 'inisterio de Educaci%n reali
Subvención )millones de soles+

N, colegios

–) )–8 8–$ $ – 10 10 – 11 11 – 12 12 – 13 13 – 14 14 – 1,

1 , 3 4 , ) , ) 3

Calcular e interpretar& a# -# c#

La su-enci%n mínima del 2,O de los coleios con ma+or su-enci%n# La su-enci%n máBima del 40O de los coleios con menor su-enci%n El numero de coleios del interalo _P406 P8,#


| 32

6.> Cierta :á-rica tiene un departamento de producci%n + otro de entas# Las ta-las 9ue se muestran a continuaci%n muestran los salarios perci-idos asta :ines de ma+o de este a"o 5eBpresado en miles de soles& (pto# producci%n /] nteralos tra-a7adores 1 – 1#, 12 1#, – 2 28 2 – 2#, 32 2#, – 3 24 3 – 3#, 12

(pto# entas /] nteralos tra-a7adores 8 4 8 – 10  10 – 12 12 12 – 14 1, 14 – 1 3

a# Kallar la desiaci%n típica correspondiente a cada departamento# -# (eterminar cual de los departamentos presenta ma+or dispersi%n relatia#

7.> (os países son iual de ricos6 por9ue tienen la misma renta per cápita 5o renta media6 de 8#000 d%lares al a"o# Pero en el país * la desiaci%n típica es de 1#000 d%lares + en el país . es de 4#000 d%lares# Qu= podemos decir so-re la distri-uci%n de la ri9ue Los pesos de los 7uadores de un e9uipo de :út-ol son los siuientes& ) )8 82 )1 8 )1 a# Calcula el peso medio del e9uipo# -# Cuál es la medianaR

),

)2

81 ),

19. (eterminar la arian @e a reali
100110 110120 120130 130140 1401,0 10

2

40

12

2

a@ Qu= porcenta7e de personas tuieron a lo más un C de 118R# R/ta. 23.3I a/ro b@ Cuál es el C mínimo 9ue se re9uiere tener para pertenecer al 9uinto superiorR R/ta. 18 11.> n comerciante ende cinco tipos de limpiadores para desabes# En la ta-la se muestra cada tipo 7unto con la utilidad por lata + el número de latas endidas# Lim/iador * . C ( E

-tilidad /or lata T 2#00 3#,0 ,#00 )#,0 #00

Calcular la utilidad promedio por lata#

:olumen de ventas en latas 3 ) 1, 12 1,


| 33

12.> En una clase a+ )0 estudiantes arones con una edad promedio de 21#8 a"os + 30 mu7eres las cuales en promedio son 1,O más 7%enes# Calcular la edad promedio de los estudiantes# R/ta. 19.71 13.> Los siuientes datos son los a-eres -ásicos en d%lares del mes de aosto de 20 empleados de un 'inisterio# 210 180

200 230

220 210

1,0 10

1$0 140

100 180

10 120

1,0 200

1)0 1$0#

1$0

1,0

Para el mes de setiem-re se decreta un aumento del 10O so-re los a-eres del mes de aosto + un descuento del 2O de los a-eres del mes de setiem-re pro :ondos de compensaci%n social# @e pide calcular la media + la desiaci%n estándar de los nueos a-eres# R/ta. 77.54 ) 24.4

14.> El cuadro siuiente presenta la distri-uci%n 5en porcenta7es de olúmenes de entas anuales en las empresas de cerámicas de la proincia de Lima durante el a"o pasado& :entas Hdólares@ 'enos de 2,00 2,00 – ,000 ,000 – 10000 10000 – 20000 20000 – 40000 40000 – 100000 100000 – 2,0000 2,0000 – ,00000 ,00000 % más

Em/resas HI@ 1$68 1362 1360 1)6) 1160 1464 86, 168 06

a Calcule el olumen de enta promedio anual de las empresas - (etermine el olumen de entas mínimo o-serado por el 2,O de las empresas 9ue reistraron ma+ores entas#

15.> @e pretende lan
/] de personas 40 4, 44 3$ 32 200

a (etermine el precio promedio 9ue una persona está dispuesto a paar por el producto#


| 34

- El precio mínimo en 9ue coniene lan
16.> Los precios de una artículo6 el mes pasado tenía una media de @S# 4,#8 + una desiaci%n estándar de 8#2# En el presente mes u-o un aumento en los precios e9uialente a un 3 O de los precios del mes pasado# Calcule los nueos alores de la media + la desiaci%n estándar#


| 3,

#S,ME+R# B C-R+%S,S

#S,ME+R#

ecuperado de& ttp&SSXXX#spss:ree#comScursodespssSanalisisdescriptioSmedidasdedistri-ucioncurtosis asimetria#tml

ndice de Simetría de Pearson

#sN9 #simetría negativa #s  9 Sim$trica #sO9 #simetría /ositiva

ndice de Simetría de !is"er


| 3

C-R+%S,S N9 Platicurtica   9 Mesocurtica O9 Le/tocurtica

ecuperado de& ttp&SSXXX#spss:ree#comScursodespssSanalisisdescriptioSmedidasdedistri-ucioncurtosis asimetria#tml

Ejercicios La (irecci%n General de E@@*L( está interesada en estudiar los casos de aricela en los ni"os# Para ello selecciona una muestra aleatoria de ni"os 9ue aca-an de salir del proceso de la en:ermedad 5rupo  del distrito de 'ira:lores + otro rupo de ni"os 9ue 5rupo  del distrito de .re"a# @e reistr% la edad en 9ue se present% la mencionada en:ermedad en am-os rupos de ni"os# Los datos se muestran a continuaci%n& Grupo 

1

2

4

1

Grupo 

2

)

)

8

1J2

J 1#,

2J

J ,#,

Calcule los índices de asimetría + curtosis para cada rupo de ni"os


| 3)

2# Los siuientes datos corresponden a la cantidad de oles reali
Lima en el último !orneo de la Copa Perú#

1

4

2

3



1

9

2

3

1

Determine el coeiciente de asimetría ) curtosis. Realice la gr(ica res/ectiva. 3# @e ealúo a una secci%n estudiantes 9ue llearon el curso de Estadística en el Ciclo

Ferano de una niersidad Peruana# (etermine el tipo de distri-uci%n 9ue presentan los siuientes datos#

*otas 0–, , – 10 10 – 1, 1,  20 +otal

i 3 , 12 10

4# Los siuientes datos corresponden al número de i7os de las tra-a7adoras del seBo

:emenino del Centro de @alud MEl HliarN

*Qmero de "ijos 0 1 2 3 4 , 

*Qmero de trabajadoras 13 20 2, 20 11 ) 4

*nali
,# @e ealu% a un rupo de estudiantes de la carrera de Estomatoloía para esta-lecer la

cantidad de pie
1

3

3

4

(etermine el tipo de distri-uci%n 9ue presentan los datos#

,

)

2


| 38

PROBABILIDADES DISTRIBUCIONES: BINOMIAL, POISSON, NORMAL, MUESTRAL


| 3$

%PER#C,%*ES C%* E:E*+%S B PR%'#',L,D#DES .> En una compa"ía a+  arones + 4 damas 9ue aspiran a ser miem-ros de un comit=# @i se de-e escoer dos al a
Solución0 a @ea el eento * J Los dos sean om-res

    21   P 5 8     10 3     2 - @ean los eentos& . J @ean un om-re + una mu7er

C J @ean dos mu7eres lueo allaremos&


| 40

    4  4     1    1  2 24 2 P -5 # 8 P -85 P # 85  P -5 # 8     10 4, 3   2  1.> n lote contiene 100 artículos de los cuales 20 son de:ectuosos# @e inspecciona del siuiente modo# @e sacan , artículos del lote& si los , son -uenos se acepta el lote; en otro caso se reca
@ea & /] de artículos de:ectuosos en la muestra de tama"o ,

P5eca

| 41

 80   ,   en donde P 5 ceptar  0#32  P5echa. r  1 0#32  0#8  10    , 2.> n reci=n raduado solicita empleo en la compa"ía * + en la .# @e estima 9ue la pro-a-ilidad de ser contratado por * es 0#) + de ser contratado por . es 0#,# En tanto 9ue la pro-a-ilidad de 9ue se recace por lo menos una de sus solicitudes es de 0## Cuál es la pro-a-ilidad de ser contratado al menos por una de las compa"íasR Solución

@ean los eentos&

  c 0l recien graduad o sea contratado por la compañ/a d

 P 5    0#) -  c 0l recien graduad o sea contratado por la comañ/a - d  P 5 -   0#,   -   cSea recha.ado en al menos una de las compañ/asd  P 5   -    0# 'allaremos P 5   -   P 5 Sea contratado en al menos una de las compañias P 5   -   P 5    P 5 -   P 5   -  Por otro lado P 5  -    P 5   -   1  P 5   -   0#  P 5   -   0#4 &uego P 5   -   0#)  0#,  0#4  0#8

3.> @upona 9ue en un sorteo la pro-a-ilidad de anar el primer premio es 2S, + la de anar el seundo premio es 3S8# @i la pro-a-ilidad de anar al menos uno de los dos premios es 3S4# Calcular la pro-a-ilidad de anar& a @%lo uno de los dos premios - /inuno de los dos premios

Solución

@ean los eentos&


| 42



  1anar el primer premio



 P 5   

2

, 3  P 5 -   -  1anar el segundo premio 8   -  1anar al menos uno de los dos premio









 P 5   -   3 S 4

P 5   -   P 5    P 5 -   P 5   -  3S 4

 2 S ,  3 S 8  P 5   - 

 P 5   -   1 S 40

1, 40

&uego

P 5  -   -   

1,  14 40

1 40



14 40

2$ 40

 0#)2,

b@ P 5   -   P 5   -   1  P 5   -   1  3 S 4  1 S 4  0#2, 4.> n -anco de sanre dispone de 10 unidades de sanre tipo *# (e ellas cuatro están contaminadas con suero de epatitis# @e seleccionan aleatoriamente 3 de estas unidades para utili
Solución0 a P 5  J 3 

en donde & /] de pacientes eBpuestos a contraer epatitis


| 43

 4   34   P X5  38    0# 3  10 120    3


| 44

 

5  38 b8 P X 5  2 8  P X  2 8  P X

& ] de pacientes no eBp uestos a contraer X N

     4          2    1 0 3  20 5 28   5  38   P X P X  10  120  10  120     3  3 

5  28  &uego P X

0  20 120

 #0 )


| 4,

 

5  38 b8 P X 5  2 8  P X  2 8  P X

& ] de pacientes no eBp uestos a contraer X N

     4          2    1 0 3  20 5 28   5  38   P X P X  10  120  10  120      3   3 

5  28  &uego P X

0  20

 #0 )


| 4

PR%'#',L,D#D C%*D,C,%*#L @e trata de dos eentos * + . de:inidos en un mismo espacio muestral6 en donde uno de ellos 5eento . +a ocurri%6 es decir se conoce su resultado#

P 5  S -  

P5  �-  P5 - 

Ejem/lo .> na cierta compa"ía compra insumos de tres proeedores *6 . + C# Proeedor * a-astece con 40O de los insumos6 de los cuales el 8O son de:ectuosos# Proeedor . a-astece con el 3,O de los cuales el $O son de:ectuosos# Proeedor C a-astece con el 2,O de los cuales el 10O son de:ectuosos# @i se elie un insumo al a
Solución0

Proveedor

Calidad

+otal

Deectuoso *o Deectuoso #

0#032

0#38

9.39

'

0#031,

0#318,

9.24

C

0#02,

0#22,

9.14

+otal

9.9774

9.84

.99

a@ @eún la ta-la& P 5(e:ectuoso J 0#088,

b@ P 5  S $  

P 5   $  P 5 $ 



0#032  0#3 0#088,

%+R% M+%D%& (*G*'* (EL f.HL ( P5(S* J 0#08 *

P5(gS* J 0#$2

P5* J 0#40 (g P5.J0#3,

P5(S. J 0#0$ .

(


| 4)

P5(gS. J 0#$1 P5C J 0#2, (g C

P5(SC J 0#10 ( P5(gSC J 0#$ (g

a *ora allaremos la pro-a-ilidad de o-tener un artículo de:ectuoso P 5 $   P 5   P 5 $ S    P 5 -  P 5 $ S -   P 5#  P 5 $ S #  P 5 $   5 0#40 x 0#08   50#3, x 0#0$   50#2, x 0#10   0#088,

- *ora allaremos la pro-a-ilidad 9ue un artículo sea proeniente del proeedor *6 sa-iendo 9ue el artículo seleccionado sali% de:ectuoso# P 5  S $  

P 5   $  P 5   P 5 $ S   0#40 x 0#08    0#3 P 5 $  P 5 $  0#088,

Ejem/lo 1.> na cierta prue-a m=dica tiene una e:ectiidad de $$O para descu-rir la presencia o no de una en:ermedad 5resultado positio cuando realmente lo tiene o neatio cuando realmente no lo tiene# @e aplica masiamente la prue-a a una po-laci%n en la cual a+ 1O de indiiduos con la en:ermedad; se desea sa-er 9u= porcenta7e de los indiiduos con resultados positios tendrán e:ectiamente la en:ermedad#

Solución0 @ean los eentos


| 48

P  c e sultado sea posiivo d 0  c Persona tenga la enfermedad d

 P 5 0   0#01

 0    P 

Se pide hallar P 

P  0  P   P    0#$$  P  0   0 

 P  0  P   0#$$ x 0#01  0#00$$

Se sabe que & P 

 P   P  0   P     0#$$  P  0    0  

P 



!iene la en:ermedad& E

P  0   P   0#$$ x 0#$$  0#$801

/o tiene la en:ermedad& Eg +otal

esultado Positio& P

0#00$$

0#00$$

9.987

esultado /eatio& Pg

0#0001

0#$801

9.8791

9.9

9.88

.999

+otal

&uego

P  0  P  0#00$$  0    0#,   0#01$8 P  P   P 

P 

M+%D% DEL D,#R#M# DEL ÁR'%L0 P P 5 PSE  J 0#$$ E

P 5 PgSE  J 0#01

P 5 E  J 0#01 Pg P P 5 Eg J 0#$$

P 5 PSEg  J 0#01 Eg P 5 PgSEg J 0#$$ Pg


| 4$

*ora allaremos la pro-a-ilidad 9ue un resultado sea positio6 sa-iendo 9ue realmente tiene la en:ermedad#

P 5 0 S P  

P 5 0  P  P 5 0  P 5 P S 0  0#01 x 0#$$    0#,0 P 5 P  P 5 P  0#01$8

E:E*+%S ,*DEPE*D,E*+ES @on eentos en donde el resultado de uno de ellos en nada a:ecta al resultado del siuiente eento o 9ue en nada se e a:ectado por el resultado del eento 9ue le antecedi%#

Ejem/lo .> La proporci%n eneral de artículos de:ectuosos en un proceso continuo es 0#10# Cuál es la pro-a-ilidad de 9ue eleidos dos al a
Solución

@ean los eentos&

   P 5    0#10 -   0l art/culo - tenga defectos   P 5 -   0#10    0l art/culo  no tenga defectos   P 5    0#$0 -   0l art/culo - no tenga defectos   P 5 -    0#$0   0l art/culo  tenga defectos

a Kallaremos la pro-a-ilidad 9ue ninuno sea de:ectuoso P 5   -    P 5   x P 5 -  

Por ser eventos independientes

 0#$0 x 0#$0  0#81

- *ora allaremos la pro-a-ilidad de 9ue cuando menos uno no tena de:ectos P 5   -    P 5   -   1  P 5   - 

 1  5 0#10  x 5 0#10   1  0#01  0#$$ 2tro3%todo & 0sto implica que por lo menos uno de los dos

art/culos no tenga defectos

 P 5   -   P 5   -    P 5   -    5 0#0$  5 0#10   5 0#10 x 0#$0   5 0#$0  5 0#$0   0#$$

Ejem/lo 1.> La pro-a-ilidad de 9ue se aliie un res:riado con el anti-i%tico * es de 0#) + con el anti-i%tico . es de 0#8# @e tienen dos pacientes res:riados6 uno toma el anti-i%tico * + el otro el .# Cuál es la pro-a-ilidad de 9ue& a *m-os se curen - no se cure + el otro no se cure


| ,0

Solución

@ean los eentos&

   P 5    0#)0 -   0l paciente - se cure con el antibiótico -   P 5 -   0#80     0l paciente  no se cure con el antibiótico    P 5    0#30 -    0l paciente - no se cure con el antibiótic o -   P 5 -   0#20   0l paciente  se cure con el antibiótico 

a Kallaremos la pro-a-ilidad de 9ue am-os pacientes se curen P 5   -   P 5   x P 5 -   0#) x 0#8  0#,

- *ora allaremos la pro-a-ilidad de 9ue uno se cure + el otro no se cure P 5   -    P 5   -   P 5   x P 5 -    P 5   x P 5 - 

 5 0#) x 0#2   5 0#3 x 0#8   0#14  0#24  0#38


| ,1

EJERC,C,%S PR%P-ES+%S .> En un rupo de alumnos de la especialidad de conta-ilidad se a determinado de 9ue el 40 O tienen di:icultades en el curso de análisis matemático 5'6 20O tienen di:icultades en el curso de estadística aplicada 5E + el ,O tienen di:icultades en am-os cursos 5' + E# (e este rupo de alumnos de conta-ilidad seleccionamos uno al a * continuaci%n se presenta una ta-la en el cual se an clasi:icado a 100 alumnos seún á-ito de :umar + rendimiento en el curso de matemática& (e este rupo seleccionamos un estudiante al a
Ká-ito de :umar

endimiento en matemáticas 'alo .ueno

!otal

@i

2,

,

30

/o

1,

,,

)0

!otal

40

0

100

- Calcular la pro-a-ilidad de 9ue no :ume ciarrillos si se sa-e 9ue tiene un -uen rendimiento en matemáticas#

2.> La C@ recientemente lan<% una campa"a pu-licitaria para el eBamen de admisi%n 20126 instalando cuatro anuncios panorámicos en la panamericana norte# @e sa-e por eBperiencia 9ue la pro-a-ilidad de 9ue el primer anuncio sea isto por un conductor es de 0#),# La pro-a-ilidad de 9ue el seundo sea isto es de 0#826 la pro-a-ilidad para el tercero es de 0#8) + la del cuarto es de 0#$0# @uponiendo 9ue el eento de 9ue un conductor ea uno cual9uiera de los anuncios pu-licitarios es independiente de si a isto o no los demás# Cuál es la pro-a-ilidad de 9ue& a Los cuatro anuncios sean istos por un conductorR - El primero + el cuarto sean istos6 sin 9ue el seundo + el tercero sean notadosR c EBactamente uno de los anuncios sea istoR d /inuno de los anuncios sea istoR e El tercero + cuarto anuncios no sean istosR 3.> @e estima 9ue el 30O de los a-itantes de EE# son o-esos + 9ue el 3O su:re de dia-etes# El 2O son o-esos + su:ren de dia-etes# Cuál es la pro-a-ilidad de 9ue una persona eleida al a (e todos los pacientes con cáncer6 el ,2O son mu7eres# El 40O de todos los pacientes so-reie al menos , a"os desde el momento del dian%stico# /o o-stante6 esta tasa de so-reiencia es álida solamente para el 3,O de las mu7eres# Cuál es la pro-a-ilidad de 9ue un paciente con cáncer seleccionado aleatoriamente sea mu7er + so-reia al menos , a"osR# R/ta. 9.71


| ,2

5.> na empresa constructora del prorama ' FFE/(* descu-ri% 9ue s%lo el 20O de todos los tra-a7os se termina-an a tiempo; mientras 9ue el 30O su:rían so-recostos# *demás6 los so-recostos se presenta-an el ),O de las eces en las 9ue se termina-an el tra-a7o a tiempo# El propietario de la empresa desea conocer la pro-a-ilidad de 9ue un tra-a7o& a !ena so-recostos + se termine a tiempo R/ta. 9.4 - !ena so-recostos o se termine a tiempo# R/ta. 9.24 c @e termine a tiempo6 dado 9ue no tiene so-recostos# R/ta. 9.963 6.> La distri-uci%n de los tipos de sanre en EE# entre los indiiduos de ra
7.> En un estudio so-re alco%licos se in:orma 9ue el 40O de los mismos tiene padre alco%lico + 9ue el O tiene madre alco%lica# El 42O tiene al menos uno de los padres alco%licos# Cuál es la pro-a-ilidad de 9ue eleido uno al a (e 1000 7%enes de 18 a"os6 00 tienen empleo + 800 son -acilleres# (e los 800 -acilleres6 ,00 tienen tra-a7o# Cuál es la pro-a-ilidad de 9ue un 7oen de 18 a"os tomado aleatoriamente sea& a n -aciller empleado - Empleado pero no -aciller c (esempleado o un -aciller d (esempleado o no -aciller 9.> El @r# Conti6 propietario de un restaurante6 a me7orado la in:raestructura para una -uena presentaci%n# H-sera 9ue el 2,O de todos los autos 9ue pasan por allí6 se detienen para consumir alún alimento# a Cuál es la pro-a-ilidad de 9ue los pr%Bimos cuatro carros se detenanR - Cuál es la pro-a-ilidad de 9ue el primer auto pare6 9ue el seundo + tercero no lo aan + el cuarto pareR .> LLusol compra tres acciones di:erentes# La pro-a-ilidad de 9ue la primera aumente su alor es 1S36 la pro-a-ilidad de 9ue la seunda aumente es de 3S4 + la pro-a-ilidad de 9ue la tercera aumente su alor es de 1S10# (etermine la pro-a-ilidad de 9ue& a !odas aumenten de alor - na aumente su alor 1.> Con -ase en su eBperiencia un m=dico a reca-ado la siuiente in:ormaci%n6 relatia a

las en:ermedades de sus pacientes& , O creen tener cáncer + lo tienen; 4, O creen tener cáncer + no lo tienen; 10 O no creen tener pero sí lo tienen; + :inalmente 40 O creen no tenerlo6 lo cual es cierto# (e entre los pacientes del doctor se seleccion% uno al a @e estima 9ue el 1, O de la po-laci%n adulta padece de ipertensi%n6 además se sa-e 9ue el ),O de todos los adultos creen no tener este pro-lema# @e estima tam-i=n 9ue el  O de la po-laci%n tiene ipertensi%n pero no es consciente de padecer dica en:ermedad#


| ,3

a @i un paciente adulto cree 9ue no tener ipertensi%n#  Cuál es la pro-a-ilidad de 9ue la en:ermedad6 de eco eBistaR# R/ta. 9.97 - @i la en:ermedad eBiste# Cuál es la pro-a-ilidad de 9ue el paciente lo sospeceR# R/ta. 9.59

3.> @%lo el 0O de los estudiantes de la clase de matemática del Pro:esor  pasaron la primera prue-a# (e 9uienes pasaron el 80O estudiaron6 el 20O de 9uienes no pasaron si estudiaron# a Cuál es la pro-a-ilidad de 9ue un estudiante pase o estudieR - Cuál es la pro-a-ilidad de 9ue un estudiante pase pero no estudieR 4.> El ,O de las unidades producidas en una :á-rica se encuentran de:ectuosas cuando el proceso de :a-ricaci%n se encuentra -a7o control# @i el proceso se encuentra :uera de control6 se produce un 30O de unidades de:ectuosas# La pro-a-ilidad marinal de 9ue el proceso se encuentre -a7o control es de 0#$2# @i se escoe aleatoriamente una unidad + se encuentra 9ue es de:ectuosa6 Cuál es la pro-a-ilidad de 9ue el proceso se encuentre -a7o controlR 5.> na planta armadora reci-e microcircuitos proenientes de tres distintos :a-ricantes .16 .2 + .3# El ,0O del total se compra a .16 mientras 9ue a .2 + .3 se les compra un 2,O a cada uno# El porcenta7e de circuitos de:ectuosos para .16 .2 + .3 es ,6 10 + 12O respectiamente# @i un circuito está de:ectuoso6 cuál es la pro-a-ilidad de 9ue a+a sido endido por el proeedor .2 R 6.> @e estima 9ue la pro-a-ilidad de 9ue una Cía# . tena =Bito al comerciali Contratistas @#*# está neociando dos contratos# La Gerencia piensa 9ue la pro-a-ilidad de anar el primer contrato es de 0O + 9ue el anador tendrá enta7a de:initia en la neociaci%n del seundo contrato# La Gerencia cree 9ue si Contratistas @#* ana el primer contrato a a tener un )0O de pro-a-ilidad de anar el seundo contrato6 en caso contrario disminuirá a 0#10# a Cuál es la pro-a-ilidad de 9ue Contratistas @#*# pierda am-os contratosR# R/ta. 9.25 - Cuál es la pro-a-ilidad 9ue ane el seundo contratoR# R/ta. 9.35 8.> na Compa"ía tiene 1000 repuestos para cierto ensam-lado# El 20O de las partes son de:ectuosas; además el 40O se compraron a proeedores de :uera + el resto :ue :a-ricado por la misma compa"ía# (e los comprados :uera de la compa"ía el 80O son -uenos# @i se elie un repuesto al a En un ca7%n a+ 80 artículos -uenos + 20 malos; en un 2h ca7%n el 30O son malos + en un tercer ca7%n el 2,O son malos# @e sa-e 9ue el número de artículos del tercer ca7%n es el triple de los 9ue a+ en el seundo + 9ue en total a+ 20 artículos# @e me

| ,4

1.> @e a determinado 9ue el porcenta7e de teleidentes 9ue en los proramas *6 . + C son respectiamente 0#4# 0#, + 0#3# Cada teleidente e los proramas independientemente uno del otro# @i se elie al a En cierta rei%n la pro-a-ilidad de 9ue lluea en cual9uier día del a"o es 0#1# @uponiendo la independencia de un día con otro# Cuál es la pro-a-ilidad de 9ue la primera lluia ocurra despu=s de 14 días sin lluiaR# R/ta. 9.912


| ,,

D,S+R,'-C,;* ',*%M,#L Estudia a eentos independientes 9ue se repiten arias eces + cu+os resultados tienen solo dos alternatias; así por e7emplo& masculino:emenino6 sanoen:ermo6 -uenode:ectuoso6 apro-ado desapro-ado6 comprano compra etc#

P [ X x ] 



n �� p q x �� x

n



x

x



06 16 26 36###########################6 n

Ejem/lo .> n :a-ricante enía sus productos en lotes de 20 unidades a sus clientes# El sa-e 9ue la pro-a-ilidad de 9ue cual9uier artículo est= de:ectuoso es de 0#0,# Cual es la pro-a-ilidad de 9ue determinado lote& a /o contena artículos de:ectuosos - Cuál es el número de artículos de:ectuosos 9ue se espera encontrar en un loteR# Solución0 a@ Kallaremos P 5  J 0 

en donde & /] de artículos de:ectuosos en un lote

P [ X x ] 



n �� p q x �� x

n



�20 � P5 X 08 � �50#0,8 50#$,8 �0 � 0





x

x

20 



06 16 26 36#################################n

0#3

- *ora allaremos el /] promedio de artículos de:ectuosos por lote 0 5 X   n p

0 5 X   20 5 0#0,   1 art/culo defectuoso por lote

Ejem/lo 1.> El 20O de todas las mu7eres 9ue reci-en a un endedor de aspiradoras en sus oares terminan por comprar una# Cuál es la pro-a-ilidad de 9ue entre  mu7eres 9ue admiten la demostraci%n del endedor en sus casas& a@ EBactamente dos compren una aspiradora b@ *l menos una aca-e por comprar la aspiradora c@ * lo más una no compre una aspiradora Solución0


| ,

0xactament e dos compren una aspiradora luego hallaremos P 5 X  2  a

en donde X & N ] de mujeres que compran

   2 4 P 5 X  2     50#2 50#8  0#24,)  2 

-

P 5 X  1  P 5 X  1  P 5 X  2   P 5 X  3   P 5 X  4   P 5 X  ,   P 5 X    luego P 5 X  1   1  P 5 X  0 

en donde X & N ] de mujeres que compran

   0  P 5 X  0     50#2 50#8  0#2214  0  Por lo tan to P 5 X  1  1  0#2214  0#)38 c *ora allaremos la pro-a-ilidad 9ue a lo más una no compre


| ,)

5  1  P X 5  0   P X 5 1  P X

X & N ] de amas de casa que no compran la aspiradora

  0  5  0     5 0#8  5 0#2   0#00004 P X  0   1 , 5  1    5 0#8  5 0#2   0#001,3 P X  1  &uego P 5 X  1  0#001 Ejem/lo 2.> En una empresa donde los empleados son 80O om-res + 20O mu7eres; están aptos para 7u-ilarse el 10O de las mu7eres + el 1,O de los om-res# (e , solicitudes para 7u-ilarse Cuál es la pro-a-ilidad de 9ue al menos dos est=n aptos para 7u-ilarseR Solución0 Sea X & N ] de empleados aptos para jubilarse





P5 X �2   1  P5 X  0  P5 X  1 , �� P5 X  0  �� 5 p  5q  0 �� 0

luego

,

en donde p & probabilidad que una persona est% apto para jubilarse

p  0#1, 5 0#8   0#1 5 0 #2   0#14

0n con sec uencia

, �� P5 X  0   �� 5 0#14  5 0#8   0#4)04 0 �� 0

,

, �� P5 X  1  �� 5 0#14 5 0#8  0#382$ 1 �� 1

Por lo tan to

4

P5 X �2   1  0#8,33  0#14)

Ejem/lo 3.> El 7e:e de la secci%n de recaudaci%n de cierto municipio o-sera 9ue6 de todas las multas de aparcamiento 9ue se ponen6 se paan el )8O# La multa es de T2# En la semana mas reciente6 se an puesto 20 multas# a Kalle la media + la desiaci%n estándar del número de multas 9ue se paan# - Kalle la cantidad de dinero 9ue se o-tiene por el pao de estas multas; así como tam-i=n su desiaci%n estándar# Solución0


| ,8

a @ea & /] de multas impuestas E5   J n p J 0#)8 5 20 J 483# multas o sea aproBimadamente 484 multas serán paadas F5   J n p 9 J 20 B 0#)8 B 0#22 J 10#3$2

lueo ? J 10#31, multas

- ecaudaci%n por el pao de multas J 483# B 2 J $)#2 d%lares La desiaci%n estándar será& 10#31, 5 2  J 20#3

Ejem/lo 4.> La pro-a-ilidad de cura de una en:ermedad normalmente mortal con cierto medicamente6 se estima en 0#30# @i cinco en:ermos se tratan con este medicamento# Cuál es la pro-a-ilidad de 9ue al menos cuatro se curenR Solución0 a@ Kallaremos P5   4 

 n x nx P X [  x ]    p q  x  P X 5  4   P X 5  4   P 5 X  , 

 , 4 1 P X 5  4     5 0#3 5 0#)   0#0283,  4  , , 0 P X 5  ,     50#3 5 0#)   0#00243  ,

en donde & /] de pacientes 9ue se curan

x  06 16 26 36#################################n


| ,$

&uego

P 5 X  4 

 0#0283,  0#00243  0#030)8

Ejem/lo 5.> @e somete a un estudiante a un eBamen del tipo erdadero – :also 9ue contiene 10 preuntas; para 9ue aprue-e de-e responder correctamente a 8 preuntas o más# @i el estudiante está adiinando# Cuál es la pro-a-ilidad de 9ue aprue-e el eBamenR# Solución0 @ea & /] de preuntas contestadas correctamente

P 5 X  8   P 5 X  8   P 5 X  $   P 5 X  10 

 10  8 2 P 5 X  8     50#, 50#,  0#043$4,  8   10  $ 1 P 5 X  $     50#, 50#,  0#00$),  $   10  10 0 P 5 X  10    50#, 50#,  0#000$)  10  Por lo tan to P 5 X  8   0#0,4)


| 0

D,S+R,'-C,;* DE P%,SS%* Estudia a los eentos independientes 9ue suceden con mu+ poca :recuencia + 9ue ocurren en un determinado espacio6 olumen o tiempo#

J 06 16 26 3#4 \\\\\\# Ejem/lo .> El promedio de llamadas tele:%nicas en una ora es de 3# Cuál es la pro-a-ilidad de reci-ir& a EBactamente 2 llamadas en una ora - (os o más llamadas en $0 minutos Solución0 a@ Kallaremos P 5  J 2

& /] de llamadas en una ora

SegQn la distribución de Poisson

&uego

P 5 X  2  

e 3 3 2 2j

 0#224

b@ Enseuida allaremos la pro-a-ilidad de 9ue ocurran dos o más llamadas en $0 minutos P 5 X  2   1   P 5 X  0   P 5 X  1 d P 5 X  0   P 5 X  1   &uego

e  4#, 54#,  0 0j e  4 # , 5 4 #,  1 1j

X & N ] de llamadas en

$0 min utos

 e  4#,  4 #, e  4 # ,

P 5 X  2   1  ,#,e  4#,  1  0#011 

0#$38$

Ejem/lo 1.> na :á-rica enía al dep%sito ,00 artículos# La pro-a-ilidad de deterioro de un artículo en el camino es de 0#002# Kallar la pro-a-ilidad de 9ue en el camino se deterioren& a 'enos de tres artículos


| 1

- Por lo menos un artículo

Solución0 a@ (ado 9ue np k 1 usaremos la aproBimaci%n de la .inomial a la de Poisson en donde ZJ np En este caso Z J np J ,0050#002 J 1 P 5 X  3   P 5 X  0   P 5 X  1   P 5 X  2 

P 5 X  0  

e 111 1j

P 5 X  1   P 5 X  2   &uego

e 1 10  e 1 0j

 e 1

e 112  2j

e 2

1

P 5 X  3   2#, e 1

 0#$2

b@ P 5 X  1   1  P 5 X  0   1  e 1  1  0#3)88  0#3212 Ejem/lo 2.> n lí9uido contiene cierta -acteria con un promedio de 3 -acterias por centímetro cú-ico# Calcular la pro-a-ilidad de 9ue& a /o contena -acteria aluna una muestra de 1S3 de cc# - Contena por lo menos una -acteria una muestra de 2 cc# Solución0 a@ Kallaremos P 5  J 0 

& /] de -acterias en 1S3 de cc#

@eún la (istri-uci%n de Poisson

(onde& ZJ Promedio de -acterias en 1S3 de cc J 1

&uego

P 5 X  0  

e 1 10

0j

b P 5 X  1   1  P 5 X  0 

P 5 X  0  

luego

e   0

1  e 

0j

 e 

 0#$$),

 e 1  0#38 X & N ] de bacterias en una muestra de 2 cc


| 2

Ejem/lo 3.> na acuna produce inmunidad contra la polio en un $$#$$O# @uponiendo 9ue la acuna a sido administrada a 106000 ni"os# a Cuál es el número esperado de ni"os 9ue no an sido inmuni
P 5 X  0   P 5 X  1   &uego

e 1 10  e 1 0j e 111 1j

 e 1

P 5 X  2   2 e 1

 0#)3,8


| 3

D,S+R,'-C,;* *%RM#L Es una distri-uci%n de pro-a-ilidad 9ue se di:erencia de las anteriores por ser de aria-le aleatoria continua# Es una de las más importantes +a 9ue la ma+oría de los tra-a7os de inestiaci%n están -asados en muestras aleatorias proenientes de po-laciones 9ue se distri-u+en normalmente # Ejem/lo.> na má9uina eBpendedora de re:rescos se reula de manera 9ue descarue un promedio de 1$ r# por aso# La cantidad descarada tiene aproBimadamente distri-uci%n normal con una desiaci%n estándar de 14 ramos# c Cuál es la pro-a-ilidad de o-tener un aso con más de 218#4 ramosR#

Solución0 Consideremos a & Cantidad descarada por la má9uina endedora de re:rescos6 la cual se distri-u+e normalmente con Z J 1$ r + ? J 14 r# Kallaremos& P 5 X  218 #4  Z 

X  

es tan dari.ando el valor de X



Z 



P 5 Z  1#  

218 #4  1 $ 14

mediante la fórm ula &

 1 #

0#0,48

!nter pretación#  0l ,#48O de los vasos tendr"n una cantidad ma(or de 218 #4 gr

b@ @i los asos pueden contener solo 224 ramos sin 9ue a+a derrame# En cuántos asos de 200 endidos es pro-a-le 9ue el lí9uido se derrameR# Solución0 P 5 X  224  

por lo tan to

Z 

224  1$ 2 14

luego

P 5 Z  2  0#0228

200 5 0#0228   4#, es decir se derramar"n aproximadamente , vasos

Ejem/lo 1.> La puntuaci%n media en un eBamen :inal de una asinatura :ue de )2 + la arian

| 4

Z 

X  



1#28 



X  )2 $



X  83#,

Ejem/lo 2.> na aria-le aleatoria tiene una distri-uci%n normal con ? J 21#,# Kallar su media si la pro-a-ilidad de 9ue la aria-le aleatoria tome un alor menor 9ue 120#, es de 0#884$ Solución0

Se sabe que P 5 X  120#,  0#884$

Z 

X  



1#2 



120#,   21#,





 $4#)

Ejem/lo 3.> @upona 9ue las puntuaciones o-tenidas en un eBamen de un curso tienen distri-uci%n normal con Z J 80# @i el $,O de los eBaminados o-tienen punta7es entre 0#4 + $$# a@ Calcule el alor de la desiaci%n estándar

Z 

X  





1#$ 

$$#  80





 10



b@ Qu= porcenta7e de los eBaminados o-tuieron entre ,, + $8 puntos

Z 1 

,,  80 10

  2#,

Z 2 

$8  80 10

 1#8

P 5 2#,  Z  1#8   0#4$38  0#441  0#$,)$



$,#)$ O


| ,

Ejem/lo 4.> Los punta7es del coe:iciente de inteliencia tomados a un rupo de personas adultas6 en un proceso de selecci%n de personal están distri-uidos normalmente con una media de 10, + una desiaci%n estándar de 12# a @i el punta7e mínimo para apro-ar es $0# Cuál es el porcenta7e de no apro-adosR# - @i an apro-ado el 80O de las personas# Cuál es el punta7e mínimo apro-atorioR# Solución0 a Consideremos a & Punta7e del coe:iciente de inteliencia6 la cual se distri-u+e normalmente con Z J 10, + ? J 12 Kallaremos

P 5 X  $0 

Z 

X  

es tan dari.ando el valor de X





Z 

$0  1 0, 12

mediante la fórmula &

  1#2,

P 5 Z  1#2,   0#10, o sea 10#,O

- *ora allaremos el punta7e mínimo apro-atorio

80O

 0#84 

X  10,

12



X  $4#$2 o sea aproximadamente $, puntos

Ejem/lo 5.> En una distri-uci%n normal a+ 4) O de alores in:eriores a 4) + 28O superiores a )0# Calcular la proporci%n de alores entre ,) + 8#

Solución


| 

 0#08 

4)  

0#,8 







 0#08   4)

&uego

 



 0#08   4)  0#,8   )0

e solviendo ecuaciones 51  (

hora

)0  

Z 1 

52

,)  4$#)$  0#21 34#8,

 0#,8   )0

51 52 obtenemos



 4$#)$

Z 2 



 34#8,

8  4$#)$  1#04 34#8,

P 5 0 #21  Z  1#04   P 5 0  Z  1#04   P 5 0  Z  0 #21 

 0#3,08  0#0832  0#2)



2 #) O

EJERC,C,%S PR%P-ES+%S .> Para estudiar la reulaci%n ormonal de una línea meta-%lica se in+ectan ratas al-inas con un :ármaco 9ue ini-e la síntesis de proteínas del oranismo# En eneral 4 de cada 20 ratas mueren a causa del :ármaco antes de 9ue el eBperimento a+a concluido# @i se trata a 10 animales con el :ármaco# Cuál es la pro-a-ilidad& a Que eBactamente 3 no lleuen ias al :inal del eBperimento# R/ta. 9.192 - Que al menos 8 lleuen ias al :inal del eBperimento# R/ta. 9.5667 1.> @e determina 9ue un 2,O de los ni"os eBpuestos a un determinado aente in:eccioso contraerán la en:ermedad producida por dico aente# Entre un rupo de 4 ni"os iualmente eBpuestos al aente in:eccioso# Cuál es la pro-a-ilidad de 9ue& a EBactamente 2 ni"os se en:ermen# R/ta. 9.1 - Por lo menos un ni"o se en:erme# R/ta. 9.573 2.> En cierto país en desarrollo el 30O de los ni"os están desnutridos; en una muestra aleatoria de 2, ni"os de esa área# Cuál es la pro-a-ilidad de 9ue el número de ni"os desnutridos sea& a 'enos de cinco# R/ta. 9.9894 - 'enos de ); pero más de 4R R/ta. 9.1491


| )

3.> La pro-a-ilidad de 9ue un paciente se recupere de una rara en:ermedad sanuínea es 0#4# @i se sa-e 9ue 1, personas contraen esta en:ermedad# Cuál es la pro-a-ilidad& a Que so-reian de 4 a ) - /o so-reian eBactamente , 4.> n prominente m=dico a:irma 9ue )0O de las personas con cáncer de pulm%n son :umadores empedernidos# @i su a:irmaci%n es correcta& Encuentre la pro-a-ilidad de 9ue de 10 de tales pacientes admitidos recientemente en un ospital6 menos de 3 sean :umadores empedernidos 5.> @i la pro-a-ilidad de 9ue un indiiduo su:ra una reacci%n des:aora-le por una in+ecci%n de cierto suero es de 0#001# (eterminar la pro-a-ilidad de 9ue de 200 personas& a EBactamente 3 su:ran la reacci%n# R/ta. 9.99 - (os o más su:ran la reacci%n# R/ta. 9.964 6.> (e la po-laci%n de alores de  seleccionamos uno al a @up%nase 9ue se sa-e 9ue los pesos de 300 indiiduos están distri-uidos en :orma normal con media de 8 Y# + una desiaci%n estándar de 11#, Y# a Cuál es la pro-a-ilidad de 9ue una persona seleccionada al a Las notas de un eBamen del curso de -ioestadística se distri-u+e normalmente con una media de 13#, + una desiaci%n estándar de 4#3 a Cuál es el porcenta7e de estudiantes cu+as notas están entre 11 + 1,R - Cuál es la pro-a-ilidad de 9ue un alumno eleido al a @up%nase 9ue se sa-e 9ue los nieles de lucosa en sanre eBtraída a 1,0 ni"os en a+unas están distri-uidos normalmente con una media de  + una arian

| 8

.> Los punta7es del Coe:icientes de nteliencia tomados a un rupo de personas adultas6 en un proceso de selecci%n de personal están distri-uidos normalmente con una media de 10, + una desiaci%n estándar de 12# a @i el punta7e mínimo para apro-ar es $06 Cuál es el porcenta7e de no apro-adosR - @i an apro-ado el ),O de las personas6 Cuál es el punta7e mínimo apro-atorioR 1.> @up%nase 9ue la estancia promedio de internaci%n en un ospital es de ,#, días6 con una desiaci%n estándar de 1#8 días# @i se supone 9ue la duraci%n de la internaci%n se distri-u+e normalmente6 encuentre la pro-a-ilidad de 9ue un paciente seleccionado al a El niel de colesterol en los tra-a7adores administratios tiene distri-uci%n normal# Por otro lado se sa-e 9ue el ,O superior de los tra-a7adores su colesterol está por encima de 280 + 9ue el 10O in:erior de los tra-a7adores su colesterol está por de-a7o de 1)0# @e pide determinar los alores de la media + arian Calcular [ si P 5  k [  J 0#141 +  siue una /51,64# 4.> (e una aria-le normal /5Z; ? se sa-e 9ue P 5 k )  J 0#$))2 + P 5 k #, J 0#8413# Calcular& a Z + ?# - P 5 ,#, k  k #2,  c El numero [ tal 9ue P 5  ` [  J 0#3 5.> La presi%n arterial sist%lica de los co-a+os tiene distri-uci%n normal con una media de $, + una desiaci%n estándar de $# @i de esta po-laci%n seleccionamos un co-a+o al a Las cali:icaciones de una prue-a :inal de una cierta sinatura tienen distri-uci%n normal con media de 12# @i el $,#44O de los eBaminados o-tuieron cali:icaciones entre 8 + 1# a Calcule la desiaci%n estándar# R/ta. 1 - @i la nota apro-atoria es 11# Qu= porcenta7e de alumnos apro-aron el cursoR R/ta. 58.4I c Qu= nota mínima de-erá tener un alumno para estar u-icado en el 9uinto superiorR R/ta. 2.6 7.># El número promedio de personas 9ue comen en un restaurante es aproBimadamente normal6 con una media de 2,0 + una desiaci%n estándar de 20 por día# a @i el consumo promedio por cliente es de T4 Cuál es el consumo diario esperadoR R/ta. T999 - Cuál es la pro-a-ilidad de 9ue el consumo eBceda a T16100R R/ta. 9.945 8.> @upona 9ue la demanda mensual de un -ien de consumo se distri-u+e normalmente con una media de ,0 [ + una desiaci%n estándar de 100 [# a Qu= pro-a-ilidad a+ de 9ue la demanda no supere los ,00 [R R/ta. 9.9557 - Qu= cantidad del -ien de-e a-er mensualmente a :in de satis:acer la demanda en un 8$#8 OR R/ta. 72. Ug


| $

19.> !rescientas estudiantes tienen talla media de , puladas + desiaci%n estándar de 2 puladas# Las 300 tallas presentan distri-uci%n normal + se miden a la pulada más cercana# a Cuántas estudiantes tienen talla de 4 puladas o menosR# - (e-a7o de 9u= talla están el 30O de las estudiantesR# c Cuántas de las estudiantes tienen talla 9ue di:iere de la media por más de una desiaci%n estándarR# 1.> En -ase a prue-as + la eBperiencia6 un :a-ricante de laadoras mecánicas modelo 101E6 decide 9ue la ida media con uso :amiliar normal es de ,#8 a"os6 con desiaci%n estándar de 2 a"os# @i la ida de este modelo presenta distri-uci%n normal& a Qu= arantía de-e o:recer si está dispuesto a reparar únicamente al 1O de las laadoras endidasR# - @i da una arantía de dos a"os Qu= porcenta7e de las má9uinas necesitarán reparaci%n antes 9ue eBpire el período de arantíaR# 11.> na má9uina automática 9ue eBpende ca:= llena los asos con  on @upona 9ue el inreso :amiliar mensual en una comunidad tiene distri-uci%n normal con media de T400 + desiaci%n estándar T,0# a @i el 10O de las :amilias de-e paar un impuesto# * partir de 9u= inreso :amiliar se de-e paar el impuestoR R/ta. T353 - @i el aorro :amiliar está dado por la relaci%n D J   ,0 4 Cuál es la pro-a-ilidad de 9ue el aorro sea superior a T),R R/ta. 9.9117 13.> @i el 20O de los residentes en una ciudad pre:iere un tel=:ono -lanco 9ue cual9uier otro color disponi-le# Cuál es la pro-a-ilidad de 9ue entre los siuientes 1000 tel=:onos 9ue se instalen en esa ciudad& a 'ás de 18, sean -lancos# R/ta 9.772 - *l menos 210 pero no más de 22, sean -lancos# R/ta. 9.1938 14.> @i el 40O de los clientes de una estaci%n de sericio utili

| )0

D,S+R,'-C,;* M-ES+R#L 1# n estudio reciente de un oranismo de iilancia am-iental determin% 9ue la cantidad de contaminantes en el río ímac 5en partes por mill%n tiene una distri-uci%n normal con media de 4 ppm + arian
# * partir de una po-laci%n de 12, artículos con media de 10, + desiaci%n estándar de 1)6 se eliieron 4 artículos# a Cuál es el error estándar de la muestraR - Cuál es la P510)#,   10$R


| )1


| )2

)# Luisa *liaa icaldi6 inestiadora de la Colom-ian Co:ee Corporation6 está interesada en determinar la tasa de uso de ca:= por oar en Estados nidos# Ella cree 9ue el consumo anual por oar tiene distri-uci%n normal con media desconocida + desiaci%n estándar cercana a 1#2, li-ras# @i Luisa toma una muestra de 3 oares + reistra su consumo de ca:= durante un a"o6 cuál es la pro-a-ilidad de 9ue la media de la muestra se ale7e de la media de la po-laci%n no más de media li-raR

8# (e una po-laci%n de ), elementos con media de 34 + arian

| )3

REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL. CHI CUADRADO


| )4

Ejercicios de Regresión y Correación Linea Ejem/lo .> El costo de :a-ricar un lote de cierto producto depende del tama"o del lote6 como se aprecia en el siuiente con7unto de datos& Costo 5T10& !ama"o del lote& 5100 unidades

30 1

)0 ,

140 10

2)0 2,

,30 ,0

1010 100

2,00 2,0

,020 ,00

a Gra:i9ue un diarama de dispersi%n - (etermine la ecuaci%n de reresi%n lineal# nterprete el coe:iciente de reresi%n lineal# c Gra:i9ue so-re el diarama de dispersi%n6 la línea de reresi%n# d Estime el costo para un lote cu+o tama"o es de ,00 unidades e Calcule el error estándar de estimaci%n : Calcule e interprete el coe:iciente de correlaci%n#  nterprete el coe:iciente de determinaci%n#

Solución a (iarama de (ispersi%n

#r$%ica de dispersión de " &s'  5000

4000

" : ) s e r 3000 a l ó d 0 1 ( 2000 o t s o !

1000

0 0

100

200

300

400

Tamaño del lote ( 100 unidades): 

500


| ),

- (eterminaci%n de la Ecuaci%n de reresi%n lineal& 5 A

 X  5   X  X a  n  X    X  n  X 5   X  5 b n  X    X  2 i

i

i

i

 X

Lueo

a 

i

b 

b X

5 i

i

i

i

i

2

2 i

en donde &



2

2 i

i

 a

i

 5  $,)0

 $41

 X 5  32)1030

i

i

32,),1 5 $,)0   $41 5 32)1030  8 5 32,),1  

 $41 

2

8 5 32)1030   5 $41  5 $,)0  8 5 32,),1   5 $41 2

Por lo tan to la ecuación de regresión

 X

2 i

i

 32,),1

 22 #8$8)

 $#$),

lineal ser" &

A  5

22#8$8)  $#$), X

,nter/retación0 *l aumentar el tama"o del lote en 100 unidades6 el costo aumentará en $#$), decenas de d%lar o sea aproBimadamente en 100 d%lares# c Grá:ica de la línea de reresi%n lineal

#r$%ica de lnea ajustada  & 2290 ' 9975 ( S !"cuad. !"cuad.#ajustado$

5000

120374 1000% 1000%

4000 ) " ( o t s o !

3000

2000

1000

0 0

100

200

300

400

500

Tamaño del lote (  )

d Costo estimado para un lote de ,00 unidades& Es decir el costo estimado sería de )28 d%lares#

A  22#8$8)  $#$), 5 ,   )2#8 5


| )

e Cálculo del Error Estándar de Estimaci%n& @+SB S ( S x 

S ( S x 

 5

2

 a

 5  b  X 5 n  2

3284$)00  22 #8$8) 5 $,)0   $ #$), 5 32)1030  8  2

: Cálculo del Coe:iciente de Correlaci%n& r n  X 5   X  5 r  2 n  X i2   X n  5 i 2 

[

r 



 ][

 12 #03)4 decenas de dólares

  5  ] 2

8 5 32)1030   5 $41  5 $,)0 

[ 8 5 32,),1  5 $41  ] [ 8 5 3284$)00   5 $,)0  ] 2

2

 1#00

,nter/retación0 EBiste una correlaci%n lineal positia per:ecta; a medida 9ue el tama"o del lote se incrementa6 el costo tam-i=n crecerá#  Cálculo del Coe:iciente de (eterminaci%n& r 2 J 1

,nter/retación0 Las ariaciones 9ue se o-sera en el costo6 se de-e únicamente a la ariaci%n del tama"o del lote# Ejem/lo 1.> @e lle% a ca-o un eBperimento para estudiar el e:ecto de cierto medicamento para disminuir la :recuencia cardíaca en adultos# La aria-le independiente es la dosis en miliramos del medicamento + la aria-le dependiente es la di:erencia entre la :recuencia cardíaca más -a7a despu=s de la administraci%n del medicamento + un control antes de administrarlo# @e reunieron los siuientes datos& (osis

(isminuci%n de la :recuencia

5m

cardíaca 5latidosSmin

0#,0 0#), 1#00 1#2, 1#,0 1#), 2#00 2#2, 2#,0 2#), 3#00 3#2, 3#,0

10 08 12 12 14 12 1 18 1) 20 18 20 21


| ))

a Gra:i9ue un diarama de dispersi%n - (etermine la ecuaci%n de reresi%n lineal# nterprete el coe:iciente de reresi%n lineal# c Gra:i9ue so-re el diarama de dispersi%n6 la línea de reresi%n# d Estime la disminuci%n de la :recuencia cardíaca para una dosis de 2 m e Calcule el error estándar de estimaci%n : Calcule e interprete el coe:iciente de correlaci%n#  Calcule e interprete el coe:iciente de determinaci%n

Solución0

a (iarama de (ispersi%n #r$%ica de dispersión de " &s' 

) n i m22  t a l ( a 20 c a  d r 18 a c a i c 16 n e u c e r 14 % a l e 12 d n ó i c 10 u n i m s 8 i D : "

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

: Dosis ( mg )

- (eterminaci%n de la Ecuaci%n de reresi%n lineal& 5 A a 

 X  5   X  X n  X    X  2 i

i

i

2 i

en donde &

 X

Lueo

a 

i

b 

 2

i

5 i

b 

2

i

5  1$8 2

13 5 442 #,  5 2  5 1$8  13 5 3 #3),   5 2  2





b X

 X 5   X  5 n  X    X  i

i

i

2 i

i

3#3), 5 1$8   2 5 442#, 

 2 

n

 X 5 

i

13 5 3#3),  

 a

i

442#,

i

2

i

 X

2 i

 3#3),

 )#0,,

4#088

Por lo tan to la ecuación de regresión lineal ser" &

A  )#0,,  4#088 X 5

,nter/retación0 *l aumentar la dosis del medicamento en 1 m#la reducci%n de los latidos del cora<%n6 se incrementan en 4 latSmin aproBimadamente; es decir por cada m de la dosis6 los latidos del cora<%n se reducen en 4 aproBimadamente#


| )8

c Grá:ica de la línea de reresi%n lineal #r$%ica de lnea ajustada  & 7.055 ' 4.088 ( " : a c a  d r a c a i c n e u c e r %

22

S !"cuad. !" cu ad .# aj ustad o$

20

1.35579 90.4% 89.5%

18 16 14

a l e d 12 n ó i c 10 c u d e * 8

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Dosis: 

d (isminuci%n estimada de la :recuencia cardíaca para una dosis de 2 m& A  )#0,,  4#088 5 2   1, 5

Es decir para una dosis de 2 m de dico medicamento6 se espera 9ue la :recuencia cardíaca disminu+a en 1, latSmin aproBimadamente#

e Cálculo del Error Estándar de Estimaci%n& @+SB S ( S x 

S ( S x 

 5

2

 a

 5  b  X 5 n  2

322  )#0,, 51$8   4#088 5 442#,  13  2

 1#3,,8 latidos

r 

r 

[n  X

2 i

: Cálculo del Coe:iciente de Correlaci%n& r

13 5 442 #,   5 2  5 1$8 

[ 13 5 3#3), 

 5 2 

2

] [ 13 5 322 

 X 5   X  5    X  ] [ n  5    5  ]

n

 5 1$8 

2

]

2

2

i

 0#$,0)

,nter/retación0 EBiste una correlaci%n lineal positia entre la dosis del medicamento + la reducci%n de la :recuencia cardíaca; a medida 9ue se aumenta la dosis del medicamento entonces la reducci%n de la :recuencia tam-i=n aumentará#  Cálculo del Coe:iciente de (eterminaci%n& r 2 J 0#$04

,nter/retación0 El $0#4O de las ariaciones 9ue se o-sera en la reducci%n de la :recuencia cardíaca6 se de-e a la ariaci%n de la dosis del medicamento; el $#O restante se de-e a la in:luencia o e:ecto de aluna otra aria-le no tomada en cuenta en el presente estudio#

2


| )$

EJERC,C,%S PR%P-ES+%S 1# na muestra aleatoria de cinco :amilias da la siuiente in:ormaci%n en relaci%n al inreso :amiliar mensual + los astos mensuales en astos en seuros de salud# V*'L* fila .enaides Calder%n (ía< Ercilla

nreso mensual

Gastos en seuros de salud

3,00 2800 4)00 2100 31,0

320 280 410 120 340

a Gra:i9ue un diarama de dispersi%n - (etermine la ecuaci%n de reresi%n lineal# nterprete el coe:iciente de reresi%n lineal# Gra:i9ue so-re el diarama de dispersi%n6 la línea de reresi%n# c Prue-e otros modelos de reresi%n + eli7a el me7or a -ase del coe:iciente de determinaci%n# d Estímese el asto anual en preenci%n de la salud de una :amilia cu+o inreso mensual es 2,00 soles# e Calcule el error estándar de la estimaci%n del modelo : Calcule e interprete el coe:iciente de determinaci%n

1.> Con la siuiente in:ormaci%n& Korasom-re por mes de instrucci%n 200 ,00 4,0 800 $00 1,0 300 00 *ccidentes por mill%n de Koras )#0 #4 ,#2 4#0 3#1 8#0 #, 4#4 om-re a Gra:i9ue el diarama de dispersi%n - (etermine una ecuaci%n 9ue descri-a la relaci%n entre la :recuencia de accidentes + el niel de educaci%n preentia# Gra:i9ue esta ecuaci%n# c nterprete los alores de los coe:icientes de reresi%n# d Calcule el error estándar de la estimaci%n del modelo# e Calcule e interprete el coe:iciente de correlaci%n# : Calcule e interprete el coe:iciente de determinaci%n#  Estime el número de accidentes si el número de oras de instrucci%n :uese 340#

2.> El editor en 7e:e de un importante peri%dico metropolitano a intentado conencer al due"o del peri%dico para 9ue me7ore las condiciones de tra-a7o en el taller de prensas# Está conencido de 9ue6 cuando tra-a7an las prensas6 el rado de ruido crea nieles no saluda-les de tensi%n + ansiedad# ecientemente i
4 3$

3 38

1 1

2 18

 41

) 4,

2 2,

3 38


| 80

a epresente rá:icamente estos datos# - (esarrolle una ecuaci%n de estimaci%n 9ue descri-a los datos# c Pronosti9ue el rado de ansiedad 9ue podríamos esperar cuando el niel de ruido es ,# d Calcule e interprete el coe:iciente de correlaci%n e Calcule e interprete el coe:iciente de determinaci%n : Calcule el error estándar de la estimaci%n

3.> El Gerente de una Clínica dispone de la siuiente in:ormaci%n& *"o Ciruías

2001 120

2002 143

2003 1,0

2004 1)0

200, 12

200 1,8

a Gra:i9ue + determine la ecuaci%n de la tendencia - Pro+ecte las ciruías al cora<%n para el a"o 200)

4.> @e a medido la ariaci%n de creatinina en pacientes tratados con Captopril 5droa antiipertensi%n tras la suspensi%n del tratamiento con diálisis6 resultando la siuiente ta-la& (ías tras la diálisis&  1 , 10 1, 20 2, Creatinina 5mSdl& D ,#) ,#2 4#8 4#, 4#2 4

3, 3#8

a Calcule el modelo de reresi%n lineal - nterprete la ariaci%n de creatinina6 en :unci%n de los días transcurridos tras la diálisis# c @i un indiiduo presenta 8 días tras la suspensi%n del tratamiento con diálisis6 9ue sucede con la creatinina 5mSdl#

5.> En un rupo de 8 pacientes se reistran las medidas antropom=tricas peso 5[ + edad 5a"os o-teniendo el modelo de reresi%n& 5A  20#1  2#83 X

a nterprete la recta de reresi%n lineal - C%mo cree d# 9ue será el diarama de dispersi%nR

6.> na cadena de restaurantes de comida rápida decide llear a ca-o un eBperimento para medir la in:luencia del asto en pu-licidad so-re las entas# En 8 reiones del país6 se reali
4 )#2

14 10 10#3 $#1

$

8 10#2

 4#1

1 )#

3#,

a Calcule el coe:iciente de correlaci%n lineal# - Estimar la ecuaci%n reresi%n lineal del incremento en las entas so-re el incremento del asto en pu-licidad c Calcule el error estándar de estimaci%n# d Estime el incremento en las entas6 si el asto en pu-licidad es del 10O#


| 81

7.> Los siuientes datos se re:ieren al número de oras de estudio inertidas por los estudiantes :uera de clase durante un período de tres semanas para cierto curso6 7unto con las cali:icaciones 9ue o-tuieron en un eBamen aplicado al :inal de ese período# Cali:icaciones 4 Koras de estudio 20 a - c d

1 1

84 34

)0 23

88 2)

$2 32

)2 18

)) 22

Calcule el coe:iciente de correlaci%n lineal# Estimar la ecuaci%n reresi%n lineal Calcule el error estándar de estimaci%n# Estime la cali:icaci%n para un estudiante 9ue estudi% 24 oras durante dico período de tiempo#

8.> n editor tom% una muestra de ) li-ros anotando el precio + el número de páinas respectio6 o-teniendo los siuientes datos# /úmero de páinas 30 Precio 5 T10  10 a - c d

,,0 8

400 )

2,0 4

3)0 

320 

10 $

Calcule el coe:iciente de correlaci%n lineal# Estimar la ecuaci%n reresi%n lineal Calcule el error estándar de estimaci%n# Estimar el precio de un li-ro de 300 páinas# @i a este li-ro se le incrementa 20 páinas en una seunda edici%n# En cuánto se incrementará su precioR#

9.> n inestiador de una :á-rica de re:rescos a tomado al a
28 ,

12 1$

31 )2

30 ),

1$ 3

24 )

1, 24

Calcule el coe:iciente de correlaci%n lineal# Kalle la ecuaci%n reresi%n lineal Calcule el error estándar de estimaci%n# Estimar el pedido de re:rescos para una semana cu+a temperatura media es de 20]C#

.> @e e:ectúa un eBperimento m=dico para determinar el e:ecto de la droa e:edrina en las pulsaciones del cora<%n# n paciente reci-e diersas dosis diarias de la droa durante seis días# La ta-la 9ue siue resume los resultados del eBperimento# (osis diaria total /] de pulsaciones de e:edrina 5ranos por minuto 3 )0 2 0 1 ,0 3 80 , 100 4 $0 /ota# 1 rano J 0#0 ramos a Gra:i9ue un diarama de dispersi%n - (etermine la ecuaci%n de reresi%n lineal# nterprete los coe:icientes de reresi%n lineal# Gra:i9ue so-re el diarama de dispersi%n6 la línea de reresi%n# c Estímese el número de pulsaciones para una dosis diaria de 4 ranos de e:edrina#


| 82

d Calcule el error estándar de la estimaci%n del modelo e Calcule e interprete el coe:iciente de correlaci%n# : Calcule e interprete el coe:iciente de determinaci%n

1.> La siuiente ta-la ilustra los alores del consumo de metil mercurio + la cantidad total de mercurio en la sanre de 12 indiiduos eBpuestos a la primera sustancia por a-er consumido peces contaminados# Consumo de metil mercurio 5ZKSdía 180 200 230 410 00 ,,0 2), ,80 10, 2,0 40 ,0

'ercurio en la sanre 5 nS  $0 120 12, 2$0 310 2$0 1)0 3), )0 10, 20, 480

a Calcule el coe:iciente de correlaci%n lineal# - Estimar la ecuaci%n reresi%n lineal de la cantidad de mercurio en la sanre so-re el consumo de metil mercurio c Calcule el error estándar de estimaci%n# d Estime la cantidad de mercurio en la sanre6 considerando una inesta de 300 Z de mercurio#

2.> @e 9uiere determinar la relaci%n entre la eBperiencia en entas + el olumen de entas para cada endedor -asado en un rupo de 10 endedores de una compa"ía de seuros# Los a"os de eBperiencia en entas + los olúmenes de entas son& EBperiencia en entas Folumen de entas 5a"os 5T106000 1 3 2 2 3 , 4 4 ,   8 ) $ 8 $ $ 12 10 10 a - c d

Kalle la ecuaci%n de reresi%n lineal# nterprete el coe:iciente de reresi%n Estime las entas para un endedor con , a"os de eBperiencia Calcule e interprete el coe:iciente de correlaci%n nterprete el coe:iciente de determinaci%n


| 83

3.> En una muestra de 8 pacientes se miden las cantidades antropom=tricas peso + edad o-teni=ndose los siuientes resultados Edad 5a"os Peso 5[ a - c d

12 ,

8 42

10 ,1

11 ,4

) 40

) 3$

10 4$

14 ,8

Calcule e interprete el coe:iciente de correlaci%n Kalle la ecuaci%n de reresi%n lineal Estime el peso para un paciente de 10 a"os de edad (etermine e interprete el coe:iciente de determinaci%n

4.> Consideremos los siuientes datos respecto al precio de enta 5T16000 de una muestra de iiendas + sus áreas 5100 pies 2 correspondientes a cada una de ellas6 en cierta ciudad# Precio de enta& frea de la iienda& a - c d e

41 13

32 10

24 08

44 14

42 14

3 12

3, 10

Kallar la ecuaci%n de reresi%n lineal nterprete el coe:iciente de reresi%n lineal Estime el precio de enta para una iienda cu+a área es de 16000 pies2 Calcule e interprete el coe:iciente de correlaci%n lineal nterprete el coe:iciente de determinaci%n

40 12

2$ 10

2 08


| 84

PR-E'# DE ,*DEPE*DE*C,# !iene por o-7eto pro-ar si dos aria-les cualitatias o cate%ricas no están relacionadas o asociadas; tam-i=n una de ellas podría ser cuantitatia#

2  0    �� 0 r

c

2

2

c

ij

i 1

ij

j 1

ij

Ejem/lo .> En una empresa se desea estudiar si eBiste una relaci%n entre el niel de las remuneraciones + los a"os de eBperiencia del personal de su planta de pro:esionales# Con este o-7eto6 se clasi:ican las remuneraciones seún su monto6 en tres cateorías& -a7o6 medio + alto; asimismo los a"os de eBperiencia de acuerdo a su número en cuatro cateorías& *6 .6 C + (# *l niel de 0#0,# Ka+ aluna relaci%n entre los a"os de eBperiencia + las remuneraciones 9ue perci-en los 100 empleados de la empresaR# *H@ (E EPEE/C* E'/E*CH/E@ !otal * . C ( .a7o 4 $#88 11 $#88 $ $#12 14 $#12 38 'edio 12 8#,8 $ 8#,8 8 )#$2 4 )#$2 33 *lto 10 )#,4  )#,4 ) #$  #$ 2$ !otal 2 2 24 24 100

Solución0 ' 0 & No existe relación entre las remuneraciones ( los años de eBp eriencia ' 1 & Si existe relación entre las remuneraciones ( los años de eBp eriencia Nivel de significancia

c

2



 0#0,

5 4  $#88 2 512  8#,8 2 5  #$ 2    ####################################   10#814 $#88 8#,8 #$

e gla de decisión & e cha.ar ' 0 si

c

2

 Vt 5 Valor hallado en la tabla

c

2

con  g ##l

en este caso Vt  12#,$2# Por lo tan to no recha.arem os ' 0 #onclusión & No existe relación entre las remuneraci ones ( los años de eBp eriencia#

Ejem/lo 1.> @e tiene la siuiente in:ormaci%n o-tenida de una muestra de ,6000 :allecidos# (*G/@!CH 'uerte por cáncer de pulm%n 'uerte por otras causas Vumadores 348 /o Vumadores 82 !otal 430

301 12$

361,2 16418 46,)0

!otal

31$$ 36,00 13)1 16,00 ,6000

@e desea pro-ar la ip%tesis de 9ue el :umar + la muerte por cáncer pulmonar son independientes con  J 0#01

Solución


| 8,

' 0 & No existe relación entre el h"bito de fumar ( la muerte por c"ncer pulmonar ' 1 & Si existe relación entre el h"bito de fumar ( la muerte por c"ncer pulmonar Nivel de significancia

c

2





 0#01

5348  301 2 5361,2  361$$ 2 5 82  12$  2 516418  163)1 2     2#)4 301 361$$ 12$ 163)1


c

2


c

2

con 1 g ##l

0n este caso Vt  #3, Por lo tan to recha.arem os ' 0 #onclusión & mbos factores est"n relacionad os#

PR-E'# DE G%M%E*E,D#D Ejem/lo .> El (irector de compras de una :á-rica rande de-e decidir por la compra de una de las cuatro marcas 9ue a+ en el mercado# Para pro-ar si eBiste di:erencia sini:icatia en la calidad de las má9uinas6 o-tiene una muestra de la producci%n de 1,0 artículos para cada una de ellas + o-sera el número de de:ectuosos# Los resultados se dan en la siuiente ta-la& ' *Q  C*L(*( * . (e:ectuosos 21 1#, 12 1#, .uenos 12$ 133#, 138 133#, !otal 1,0 1,0

 / * @ C ( 1, 1#, 18 1#, 13, 133#, 132 133#, 1,0 1,0

!otal  ,34 00

Solución

' 0 & p   p -  p #  p $

5 &a proporción de defectuoso s son las mismas en cada una de las m"quinas

' 1 & l menos en una de las m"quinas la proporción de defectuoso s no es la misma# Nivel de significan cia c

2



5 21  1#,  2 1#,





 0#0,

512$  133#,  2 133#,


 #################################### 

c

2

5 132  133#,  2 133#,

 Vt 5 Valor hallado en la tabla c 2 con 3 g ##l

en este caso Vt  )#81,# Por lo tan to no recha.arem os ' 0 #onclusión & &a proporción de defectuoso s s/ es la misma#

Ejem/lo 1.> @e sostiene 9ue una droa determinada es e:ectia para la curaci%n del catarro común# En un eBperimento con 14 personas con catarro6 a la mitad de ellas se le suministr% la droa + a la otra mitad se le suministr% píldoras a
(roa

 3#04

E*CCH/E@ 'e7orado Empeorados E:ecto /ulo !otal s ,2 48 10 11 20 23 82


| 8

*<úcar

44

!otal

48

12

$

11

2

22

23 4

82 14

Solución ' 0 & &a droga ( las p/ldoras tienen igual efecto ' 1 & &a droga ( las p/ldoras no tienen igual efecto# Nivel de significancia

c

2



5 ,2  48  2 48





 0#0,

510  11  2 11

 #################################### 


c

2

5 2  23  2 23

 1#31


c

2

con 2 g ##l

en este caso Vt  ,#$$1 Por lo tan to no recha.arem os ' 0 #onclusión & &a droga ( las p/ldoras a.ucaradas producen reacciones similares#


| 8)

EJERC,C,%S PR%P-ES+%S .> na encuesta reali @o-re una muestra de ,00 ni"os de cierta escuela primaria se i
R/ta. Sí

2.> @e lle% a ca-o una encuesta con respecto a la pre:erencia del consumidor para determinar si eBistía aluna predilecci%n entre las tres marcas competitias 5*6 . + C  dependiendo de la rei%n eorá:ica en la 9ue a-ita el consumidor# La in:ormaci%n o-tenida es la siuiente& ei%n  ei%n  ei%n  !otal 'arca * 40 ,2 2, 11) 'arca . ,2 )0 3, 1,) 'arca C 8 )8 0 20 !otal 10 200 120 480 Con esta in:ormaci%n La pre:erencia por una determinada marca depende de la rei%n eorá:icaR R/ta. *o

3.> Los punta7es o-tenidos en una muestra de 218 estudiantes en el eBamen de inreso a una uniersidad6 así como los promedios :inales durante el primer semestre de la uniersidad :ueron clasi:icados en cuatro cateorías& *6 .6 C + (# Estos aparecen en la siuiente ta-la& Promedios del Puntajes de ,ngreso Primer Semestre # ' C D +otal 20 10 1) 8 ,, # 1) 1 18 ) ,8 ' 1$ 4 1, 12 ,0 C 12 8 12 23 ,, D 8 38 2 ,0 218 +otal


| 88

@e puede decir 9ue los punta7es o-tenidos en am-os eBámenes son independientesR se  J 0#0,

4.> @e tom% una muestra de 4006 ,00 + 400 compradores de las ciudades de Piura6 !ru7illo + Cicla+o respectiamente con la :inalidad de determinar si la proporci%n erdadera de compradores 9ue se inclinan por el producto * en luar del .6 es la misma en las tres ciudades# se  J 0#0, Producto * Producto . !otal Piura 232 18 400 !ru7illo 20 240 ,00 Cicla+o 1$) 203 400 !otal 8$ 11 1300

5.> @e eBamin% una muestra de 26000 reistros m=dicos los cuales dieron los siuientes resultados& 'uerte por cáncer 'uerte por otras causas del intestino Vumadores 22 161)8 /o Vumadores 2 ))4 !otal 48 16$,2

!otal 16200 800 26000

Pro-ar la ip%tesis 9ue las dos clasi:icaciones son independientes con  J 0#0,

6.> Cierta compa"ía desea determinar si el ausentismo se relaciona con la edad# @e toma una muestra de 200 empleados al a
E(*( 'enos de 30 30  ,0 'ás de ,0 40 28 ,2 20 3 24 relacionada con el

7.> na :á-rica de autom%iles 9uiere aeriuar si el seBo de sus posi-les clientes no tiene relaci%n con la pre:erencia del modelo# @e toma una muestra aleatoria de 26000 posi-les clientes + se clasi:ican así& @EH 'H(ELH    Contrastar la ip%tesis de 9ue el 'asculino 3,0 2)0 380 seBo no tiene relaci%n con la pre:erencia acia un Vemenino 340 400 20 determinado modelo para un  J 0#01 8.> @e desea determinar si eBiste alún tipo de relaci%n entre la concentraci%n de procaína usada en operaciones del molar mandi-ular + el porcenta7e de casos satis:actorios 5e:ectiidad clínica de la anestesia# @e tuo la siuiente in:ormaci%n& @oluci%n de procaína Casos satis:actorios Casos no satis:actorios 1#0 O 0) 18 'ás de 1#0 O 3 12 se  J 0#0,

Guia de Estadistica General 2018(5)

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