Guia de Estadistica General 2015-II.pdf

UNA La Molina - Dpto. de Estadística e Informática

Estadística General

CAPÍTULO I CONCEPTOS BÁSICOS La Estadística proporciona una serie de métodos y técnicas que permiten analizar información de las diferentes especialidades como Agronomía, Industrias Alimentarias, Zootecnia, Economía, etc. con la finalidad de analizarla y tomar decisiones. d ecisiones. Objetivo. Entender Objetivo. Entender conceptos básicos y los alcances de la estadística, que servirán de base para la comprensión y desarrollo de los capítulos posteriores. 1.1 Definición de Estadística La Estadística es la ciencia del aprendizaje a partir de los datos y de medición, control y comunicación de la incertidumbre, proporcionando los medios esenciales para el avance científico y social. Los estadísticos proporcionan una guía crucial para determinar qué información es fiable y que predicciones son confiables. Ayudan a la búsqueda de pistas sobre la solución de un misterio científico y, a veces a evitar que los investigadores sean engañados eng añados por falsas impresiones. Fuente: Davidian, M. and Louis, T. Whats is Statistics?. Statistics?. Consultado el 24 de Julio de 2014, página web de la American Statistical Association. http://www.amstat.org/careers/whatisstatist http://www.amstat.org/careers/whatisstatistics.cfm ics.cfm División de la Estadística La Estadística puede ser dividida en: 

La Estadística Descriptiva. Parte Descriptiva. Parte de la estadística que se ocupa de la clasificación, descripción, simplificación y presentación de los datos. Comprende el uso de tablas de frecuencias, gráficos y el cálculo de medidas estadísticas.



La Estadística Inferencial. Parte Inferencial. Parte de la estadística que se ocupa de la estimación y prueba de hipótesis de los parámetros de una población, a partir de una muestra aleatoria extraída de dicha población.

Ejemplo 1 Se desea hacer un estudio sobre el consumo de drogas en el distrito de Comas. Con esta finalidad se extrae una muestra aleatoria de 240 adolescentes del distrito de Comas en el 2013 y se les aplica la encuesta respectiva. Se aplica la Estadística Descriptiva para recopilar, clasificar, organizar y presentar en una tabla de frecuencias y en forma gráfica los datos recogidos de una encuesta. Distribución de la frecuencia de cons consum umo o de de dro dro a

Frecuencia de consumo No Interdiario Diario A veces Total

Frecuencia consumo de droga

Número Porcentaje 100 41,7 80 33,3 40 16,7 20 8,3 240 100,0

Fuente: Elaboración propia

50,0

41,7

40,0

33,3

30,0 16,7

20,0

8,3

10,0 0,0 No

Interdiario

Diario

A vec es

Frecuencia

Fuente: Elaboración propia 1



También se calcula medidas estadísticas. La edad promedio de la muestra de los adolescentes que consumen droga es 20.5 años. Se aplica la Estadística Inferencial para estimar la proporción de adolescentes que consumen drogas diariamente del distrito de Comas, cuya estimación fue de 65%. Para probar la hipótesis si esta proporción es mayor al 68%. 1.2. Conceptos básicos 1) Población. Es Población. Es el conjunto de unidades elementales con características similares. El estudio de toda la población constituye un censo. Ejemplo 2 1. El conjunto de todos los estudiantes de una institución educativa. 2. El conjunto de todos los meses de venta en una casa comercial entre el 20072011. 3. El conjunto de personas que viven en el Distrito de Breña. 2) Unidad Elemental. Es Elemental. Es un elemento particular de la población o muestra. Ejemplo 3 1. Un estudiante de la institución educativa. 2. Cada mes de venta en una casa comercial entre el 2007-2011. 3. Cada persona que viven en el Distrito de Breña. 3) Muestra. Es Muestra. Es un subconjunto de la población. Al proceso de obtención de una muestra se le llama “muestreo”. Para que una muestra sea representativa debe cumplir con

las siguientes condiciones: a) Debe haber sido obtenida al azar. b) Su tamaño y sus elementos deben haber sido seleccionados aplicando un método de muestreo. Ejemplo 4 1. 120 estudiantes de la institución educativa. 2. 45 meses de venta en una casa comercial entre el 2007-2011. 3. 80 personas que viven en el Distrito de Breña. Ejercicio 1. El área de marketing del supermercado ABC, desea hacer un estudio sobre la satisfacción de los clientes que realizaron sus compras en el último trimestre. Para el estudio se obtuvo una muestra aleatoria de 420 clientes. Defina población, unidad elemental y muestra.

2



Ejercicio 2. El instituto Nacional Agraria e Innovación (INAI), va realizar un estudio de reforestación en la Selva Central del Perú. Para el estudio se desea evaluar una muestra de 450 árboles que tengan teng an más de 10 años de d e edad. Defina población, unidad elemental y muestra.

4) Variable. Son Variable. Son las características que toman diferentes valores cuando son evaluadas en las unidades elementales de una población o muestra. Se representan por las últimas letras mayúsculas del alfabeto, por ejemplo: X, Y, Z, Z , W, P, T, X 1, X2, Y1, etc. Tipos de Variables Variables Cuantitativas. Son aquellas que se expresan en forma numérica y tiene sentido realizar operaciones matemáticas con ellas. Pueden ser del tipo: 

Variable Cuantitativa Continua. Son Continua. Son aquellas que pueden tomar cualquier valor numérico dentro de un intervalo continuo. Se utiliza un instrumento de medición para generar sus valores: balanza, termómetros, test, escalas, cronómetros, winchas, etc.

Ejemplo 5 1. Peso del langostino de río (en gr) 2. Tiempo para encontrar estacionamiento en un centro comercial (minutos) 3. Gasto mensual familiar en atención médica (nuevos soles) 

Variable Cuantitativa Discreta. Son aquellas que cumplen con la condición condi ción de que entre un valor cualesquiera y su consecutivo no es posible que existan valores intermedios. Generalmente son representados por el conjunto de números enteros. Las observaciones cuantitativas discretas se registran por conteo.

Ejemplo 6 1. Número de artículos defectuosos en un lote de 20 2. Número de clientes atendidos cada 20 minutos mi nutos en una ventanilla 3. Número de predios que posee un agricultor de un valle Variable Cualitativa. Son aquellas que permiten que una unidad elemental pueda ser clasificada como poseedora o no de cierta cualidad, propiedad o atributo. No tiene sentido realizar operaciones matemáticas con ellas. Son aquellas cuyos valores posibles son atributos o categorías. 

Variable Cualitativa Nominal. Son aquellas cuyos valores (cualidades, propiedades o atributos) no son factibles de ser clasificados a través de un criterio de orden o jerarquía. Sus valores posibles no tienen un orden de importancia.

3



Ejemplo 7 1. Sexo de los estudiantes (Masculino o Femenino) 2. Estado civil de una persona (Soltero, Casado, Divorciado, Viudo o Conviviente) 3. Marca de una computadora (A, B, C o D) 4. Marca de Automóvil (Toyota, Chevrolet, Mercedes Benz, etc…) 

Variable Cualitativa Jerárquica u Ordinal. Son aquellas donde sí se puede establecer un criterio de orden o jerarquía entre sus atributos de la variable.

Ejemplo 8 1. Nivel de instrucción (Sin instrucción, Primaria, Secundaria o Superior) 2. Nivel socioeconómico de un cliente (Alto, Medio o Bajo) 3. Calificación de un servicio (Bueno, Regular o Malo) 4. Rango Militar (Cabo, Sargento, Coronel) 5) Observación. Es el valor posible que toma una variable. A las observaciones se les suele representar con las letras minúsculas subindicadas, como como por ejemplo x i , yi , z Ejemplo 9 i

1. X = Peso del langostino l angostino de río (en gr). Observaciones: x1



2.5, x2



3.0,.., x10



3.2

2. Y = Calificación de un servicio. Observaciones: y1 Bueno, y2 



Re gular , y3



Malo

Ejercicio 3. Considerando 3. Considerando que para el ejercicio 1 se aplicó la siguiente encuesta. Supermercado ABC: Encuesta de opinión

1. Edad 2. ¿Cuál es el tipo de pago? 1=Contado 2=Tarjeta 2=Tarjeta de crédito 3=Crédito 3=Crédito ABC 3. ¿Cómo encuentra el estado de los l os productos? 1=Muy bueno 2=Bueno 3=Regular 4=Malo 4. ¿Con qué frecuencia encuentra sus productos? 1=Siempre 2=Casi siempre 3=Raramente 4=Nunca 5. Número de veces veces que viene viene al supermercado supermercado semanalmente semanalmente 6. El gasto semanal en sus compras

Complete el siguiente cuadro: Variable Edad

Tipo de variable

Observación

Tipo de pago Estado de los productos Frecuencia que encuentra los productos Número de veces que viene al supermercado semanalmente Gasto semanal

4



Ejercicio 4. Para 4. Para evaluar un programa productivo cuyos beneficiarios son los agricultores agri cultores de una comunidad campesina, se ha aplicado la siguiente encuesta. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Encuesta para evaluación del programa productivo Nivel tecnológico tecnológico usado 1=Alto 2=Medio 3=Bajo Usa fungicidas 1=Si 2=No Usa insecticidas 1=Si 2=No Número de meses meses que está en el programa programa Tamaño de su predio (has) Ingreso mensual (en soles)

Complete el siguiente cuadro: Variable Nivel tecnológico usado

Tipo de variable

Observación

Usa fungicidas Usa insecticidas Número de meses que está en el programa

Tamaño del predio Ingreso mensual 6) Parámetro. Es una medida estadística para describir el comportamiento de una variable en la población. Son calculadas con los datos de toda la población. Es un valor constante. Se representan con letras griegas. Ejemplo 10 1. Suponga que el número promedio de cocinas vendidas en todos los meses de venta es 15.4 ( = 15.4). 2. El Censo Nacional 2007: XI de Población y VI de Vivienda indica que en el grupo edad de 20 a 29 años, el 1.4% de d e los hombres no sabe leer y escribir mientras que el 3.1% de las mujeres no sabe leer y escribir ( 1 = 0.014 y 2 = 0.031). 3. Suponga que en todo Breña la proporción del nivel de instrucción resultó: Instrucción Primaria Secundaria Superior TOTAL

Proporción ( i) 0.455 0.445 0.100 1.000

7) Valor estadístico o Estadígrafo. Es una medida para describir el comportamiento de una variable en la muestra. Se calculan con los datos obtenidos de una muestra. Son valores variables (varían de muestra a muestra). Los estadísticos sirven para estimar a los parámetros. Se representan repre sentan con letras latinas.

5



Ejemplo 11 1. En una muestra de 30 meses de venta se encontró que el número promedio de cocinas vendidas fue de 14.9 ( x 14.9) . 2. En la encuesta nacional nacional de hogares (ENAHO) indica que el el 1.1% de los hombres no 011 1) . sabe leer y ni escribir ( p 0.01 2. Suponga que en distrito de Breña se ha seleccionado una muestra de 500 personas encontrándose los siguientes resultados: 



Instrucción Primaria Secundaria Superior TOTAL

Proporción (pi) 0.460 0.430 0.110 1.000

Notación de los principales parámetros y estadísticos Medidas estadísticas Media Mediana Moda Proporción Variancia o Varianza Desviación Estándar Coeficiente de Variabilidad

En una población (parámetro)

En una muestra (estadístico)



X

ME MO  2 

CV

me mo p S2 S cv

Ejemplo 12 En el siguiente ejercicio, identificar: la población, la muestra, unidad elemental, la variable, tipo de variable, observación, parámetro y valor del estadístico. La Oficina de Servicios Generales de la UNALM desea UNALM desea conocer los medios en los cuales con mayor frecuencia se transportan los alumnos de la UNALM. Para ello, realiza una encuesta a 50 alumnos de pregrado en el semestre 2013-II y encuentra los siguientes resultados: a) El 70% de los encuestados usa el transporte público y un 20% usa el transporte de la universidad. b) El 20% de los encuestados consideran que el estado de las unidades de transporte de la UNALM es bueno, el 35% que es regular y el 45% que es malo. c) El número promedio de unidades que toma para llegar a la universidad es de 1.5. d) El tiempo promedio de traslado de su casa a la universidad es de 39.70 minutos. Solución Población: Todos los alumnos de la UNALM La Molina de pregrado del semestre 2013-II Unidad elemental: Cada alumno de la UNALM La Molina de pregrado del semestre 2013-II Muestra: 50 alumnos de la UNALM La Molina de pregrado del semestre 2013-II

6

UNA La Molina - Dpto. de Estadística e Informática Variable

Tipo de Variable

a) X= Medio de transporte Cualitativa usado para llegar a la nominal UNALM.

b) Y= Opinión sobre el estado Cualitativa de las unidades de jerárquica transporte de la UNALM.

c) Z= Número de unidades de Cuantitativa transporte que toma discreta para llegar a la UNALM. d) V= Tiempo de traslado de Cuantitativa la universidad a su continua casa.


Valor del Observación Estadístico (estimación) x22

y40

público p p





bueno



0.70

pu



0.20

po



0.10



0.20

pb

pr  0.35

z

4

v48



1



55

pm



z

1.45



0.45

v  39.70

Parámetro La proporción de alumnos según el medio de transporte usado para llegar a la UNALM. La proporción de alumnos según la opinión sobre el estado de las unidades de transporte de la UNALM. El número promedio de unidades de transporte que toma para llegar a la UNALM El tiempo promedio de traslado de la universidad a su casa

Ejemplo 13 Se presentaron algunos resultados del informe gerencial de marketing “Perfil del adulto joven” elaborado por Apoyo Opinión y Mercado. (www.apoyo.com). El informe fue elaborado a partir de los resultados de una encuesta realizada el 25 Abril del 2010 a una muestra aleatoria conformada por 2000 jóvenes de Lima Metropolitana de todos los niveles socioeconómicos y cuyas edades fluctúan entre los 21 y 35 años de edad.  El ingreso medio mensual es de 1320 nuevos soles.  El 5% tiene estudios de postgrado, el 17% universitaria completa, el 33% universitaria incompleta, el 35% secundaria completa y el resto r esto secundaria incompleta.  El 42% de jóvenes trabaja en empresas estatales. Solución Población. Todos los jóvenes de Lima Metropolitana de todos los niveles socioeconómicos y cuyas edades fluctúan entre los 21 y 35 años. Muestra. 2000 jóvenes de Lima Li ma Metropolitana de todos los niveles n iveles socioeconómicos y cuyas edades fluctúan entre los 21 y 35 años. Unidad Elemental. Un joven de Lima Metropolitana de cualquier nivel socioeconómicos y cuya edad fluctúa entre los 21 y 35 años. Variables Ingreso mensual de los jóvenes Grado de instrucción Tipo de empresa que trabaja

Tipo de variable Variable cuantitativa continua Variable cualitativa jerárquica Variable cualitativa nominal

Observación 1000 Superior Estatal

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Valor estadístico El ingreso medio mensual es de 1320 nuevos soles. El 17% universitaria completa El 42% de jóvenes trabaja en empresas estatales. Parámetros El ingreso promedio mensual Porcentaje de jóvenes que tienen cierto grado de instrucción. Porcentaje de jóvenes que trabajan en cierto tipo de empresa. Ejemplo 14 Con la finalidad de efectuar mejoras con los servicios al turista, se seleccionaron 200 turistas franceses al azar que arribaron a nuestro país el 2013 y se les aplicó una encuesta en la que se preguntó por:    

Número de días que permanecieron en el país, obteniéndose un promedio de 8 días. Medio de transporte que utilizaron para viajar, a lo que el 20% respondió que viajó en avión, el 30% en tren y el 50% en bus. Monto gastado durante el tiempo de estadía, de lo que se obtuvo un promedio de 4560.6 soles por encuestado. En cuanto al servicio de alimentación el 30% lo calificó de excelente, el 20% muy bueno y el 50% bueno.

Solución: Población: Todos los turistas franceses que arribaron a nuestro país el 2013 Muestra: 200 turistas franceses que arribaron a nuestro país el 2013 Unidad elemental: Un turista francés que arribó a nuestro país el 2013 Variables: X1: Número de días de permanencia en el país X2: Medio de transporte para trasladarse X3: Monto gastado durante el tiempo de estadía X4: Opinión sobre el servicio de alimentación

Tipo de variables: Cuantitativa discreta Cualitativa nominal Cuantitativa continua Cualitativa jerárquica

Observación: 10 días Avión S/. 3520 Excelente

Valor estadístico: estadístico: Número promedio de días de permanencia en el país ( x 8 días ) Porcentaje del medio de transporte para trasladarse en avión ( p 20.0%) Monto gastado promedio durante el tiempo de estadía ( x S / .4560.6) Porcentaje que opinaron sobre el servicio de alimentación excelente ( p 30.0%) 







Parámetros: Parámetros: Número promedio de días de permanencia en el país Porcentaje del medio de transporte para trasladarse Monto gastado promedio durante el tiempo de estadía Porcentaje que opinaron sobre el servicio de alimentación Ejercicio 5. La Dirección de Salud (DISA) de una zona rural desea realizar un estudio para evaluar la calidad de servicio de las postas de salud. Con esta finalidad se extrae aleatoriamente 30 postas de la DISA con lo cual se obtiene la siguiente información:  El 60% de las postas de salud registraron como enfermedad principal las respiratorias.  El número promedio de niños menores de 6 años atendidos fue de 120.5  Sólo el 25% de las postas tienen como turno de atención mañana y tarde. 8



Identificar la población, unidad elemental, muestra, variables, tipos de variables, observación, parámetros y valor estadístico.

Variable

Tipo de Variable

Observación

Valor del Estadístico

Parámetro

Ejercicio 6. Una empresa distribuidora desea evaluar su eficiencia para atender los pedidos de sus clientes. Selecciona aleatoriamente 30 servicios de reparto realizados en el 2013 y registra los siguientes datos: Tiempo que se tarda para atender el pedido, nivel de satisfacción del cliente (Completamente satisfecho, satisfecho, poco satisfecho, nada satisfecho) y el distrito en el que se encuentra el cliente. Algunos resultados fueron: El tiempo promedio de atención es de 52 minutos, el 40% está completamente satisfecho y el 30% de los pedidos son del distrito de Ate. Identificar la población, unidad elemental, muestra, variables, tipos de variables, observación, parámetros y valor estadístico.

Variable

Tipo de Variable

Observación

Valor del Estadístico

Parámetro

9



EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Indique el tipo de variable que sea la más apropiada para cada una de d e las siguientes variables:  Edad  Tamaño de bebida (pequeño, mediano, grande)  Ventas anuales  Número de camiseta de un jugador  Placa del automóvil.  Número de DNI  Forma de pago ( efectivo, cheque, tarjeta de crédito)  Tipo de medalla( Oro, Plata, Bronce)  Puesto de llegada en una competencia.  Número de celular.  Número de personas a favor del aborto.  Número de hermanos. Para cada ejercicio, identificar: la población, la muestra, unidad elemental, la variable, tipo de variable, observación, parámetro y valor del estadístico. 2. Se presentaron algunos resultados del informe gerencial de marketing “Perfil del adulto joven” elaborado por Apoyo Opinión y Mercado. (www.apoyo.com). El informe

fue elaborado a partir de los resultados de una encuesta encuesta realizada el 14 Julio del 2011 a una muestra aleatoria conformada por 2000 jóvenes de Lima Metropolitana, de todos los niveles socioeconómicos y cuyas edades fluctúan fluctúan entre los 21 y 35 años de edad.   

El ingreso medio mensual es de 850 nuevos soles. El 1% tiene estudios de postgrado, el 12% educación universitaria completa, el 15% educación universitaria incompleta y el 2% educación primaria incompleta. El 42% de jóvenes trabaja en empresas estatales.

3. Con el fin de realizar reali zar una modificación en el Impuesto al Valor del de l Patrimonio Predial del Municipio de La Molina, se hace un estudio socioeconómico sobre una muestra aleatoria de 300 familias residentes en el distrito. Del presente estudio se encontraron los siguientes resultados:  El ingreso familiar promedio es de S/ 2500.00 nuevos soles.  El tipo de material predominante usado en la construcción de la vivienda, 24 de ellos dijeron que era de material noble.  El 40% de ellos afirmaron que el estado de conservación de su vivienda era excelente, 20% muy buena, 20% buena, 10% regular y 10% en pésimas condiciones. Identificar la población, unidad elemental, muestra, variables, tipos de variables, observación, parámetros y valor estadístico. 4. En un estudio de preferencia de bebidas gaseosas realizado en una muestra de 100 alumnos de la universidad peruana de las Américas en el semestre 2011-II se han obtenido los siguientes resultados:  El 52% de los encuestados fueron de sexo masculino  El 47% de los encuestados prefieren la gaseosa en presentación de plástico  El 40% de los encuestados prefiere la marca Inca Kola y el 30% prefiere Coca Cola.  La edad promedio de los encuestados encuestados es de 20.47 años  El número promedio de gaseosas tamaño mediano consumidas por alumno semanalmente es de 3.4

10



5. Estudios realizados sobre la contaminación ambiental coinciden en que los principales causantes de la contaminación del aire son la combustión en los vehículos con motores diesel y la falta de un mantenimiento técnico. Para tener información cuantitativa de lo mencionado anteriormente, se ha tomado una encuesta a una muestra de 30 choferes de la ruta Portada del Sol-Santa Sol -Santa Anita (Línea P) encontrándose los siguientes resultados:  El número promedio de veces que los choferes realizan una revisión técnica a sus vehículos es 1.36 veces al año.  La ganancia promedio por día es de 97.73 nuevos soles  20 choferes poseen un grado de instrucción i nstrucción secundario, 5 choferes poseen primaria completa, 5 choferes poseen nivel universitario. “Milglen” , fabrica yogurt y va a lanzar al mercado un nuevo sabor 6. La microempresa “Milglen de yogurt; como desea conocer la l a necesidad de los consumidores realiza una u na encuesta a 90 consumidores de yogurt que acuden al supermercado “Metro” de La Molina , encontrándose los siguientes resultados:  El 75% de los encuestados consume yogurt por costumbre, frente a un 20% que lo hace por gusto y un 5% que lo hace por dieta.  El 33% consume la marca “Gloria” .  El precio promedio que estarían dispuestos a pagar por un yogurt de 1 litro es de 4.50 nuevos soles.  El 95% prefiere el yogurt con fruta frente a un 5% que lo prefiere natural.

7. Con la finalidad de efectuar mejoras con los servicios ser vicios al turista, se seleccionaron 200 turistas al azar y se les aplicó una encuesta en la que se preguntó por:  

Número de días que permanecieron en el país, obteniéndose un promedio de 8 días. Medio de transporte que utilizaron para viajar, a lo que el 20% respondió que viajó en avión, el 30% en tren y el 50% en bus.



Dinero gastado durante el tiempo de estadía, de lo que se obtuvo un promedio de 1253.6 nuevos soles por encuestado.



En cuanto al servicio de alimentación al imentación el 30% lo calificó de excelente, el 20% muy bueno y el 50% bueno.

8. El Departamento de Estadística e Informática de la Universidad Nacional Agraria La Molina con la finalidad de contar con mayor información sobre los alumnos matriculados en el curso de Estadística General, aplicó una encuesta a dichos alumnos en la que se preguntó por:  Facultad a la que pertenece, a lo que el 35% respondió pertenecer a Agronomía. 

Número de veces que ha llevado el curso.



Promedio ponderado, obteniéndose un promedio para todos los alumnos de 12.10. Expectativa sobre la dificultad del curso (muy fácil, fácil, difícil, muy difícil).



11



Preguntas de Autoevaluación 1. Las medidas estadísticas calculadas con los datos de una población se llaman ___________________ y las calculadas con los datos de una muestra ___________________________. 2. La parte de la estadística que permite la estimación y prueba de hipótesis de los parámetros se llama ____________________ y el cálculo de medidas estadística se denomina ___________________. 3. El valor posible que toma una variable de denomina _____________________. 4. Una ONG que brinda asistencia técnica a productores de truchas en el valle de Huancayo ha aplicado una encuesta para establecer una línea de base en tres zonas (A, B y C). Los resultados obtenidos indicaron que la edad promedio de los productores pr oductores es de 35.8 años; el peso promedio de las truchas en la zona A, B y C son 1.2, 1.8 y 1.6 kgrs. respectivamente. Entonces las variables son _____________________________________________________________ ____________________________ ___________________________________. __. 5. Si el ganadero Juan Pérez, desea registrado el número diario de litros de leche producidas, entonces la unidad elemental es ____________________. 6. Si se han definido cuatro rangos de las edades de una muestra de 100 agricultores: de 18 a 25, de 26 a 40, de 41 a 60 y de 61 a más años, entonces la variable rango de edades es del tipo ______________________________________. 7. Para un estudio sobre la contaminación de un reservorio de agua, se extraen 400 muestras de dos litros de agua y se halló que el número promedio de bacterias fue de 10.5. Entonces: Población: __________________________________________. Unidad elemental: ____________________________________. Variable: ___________________________________________. 8. En la ENAHO (Encuesta Nacional de Hogares) del 2011, respecto al material predominante en las viviendas, el 65% es de material noble, el 20% de calamina, el 10% de esteras y 5% otros. La variable en estudio es de tipo _________________. 9. Si un establecimiento de salud del MINSA registra trimestralmente el número de niños atendidos menores a 5 años, entonces la unidad unidad elemental es __________ y la variable es del tipo _______________________. 10. Indique si es Verdadero (V) o Falso (F) cada uno de los siguientes sigu ientes enunciados: Item Enunciado a.

La población y una muestra extraída de ella pueden tener diferentes unidades elementales

b.

Las medidas estadísticas que se pueden calcular con los datos de un censo son parámetros y valores estadísticos.

c.

Las medidas estadísticas calculadas para el estado civil de una muestra de 120 personas personas pueden ser la mediana y la moda

d.

Una condición para que una muestra sea representativa de una población es que sea aleatoria.

e.

Los valores de las variables sólo pueden ser obtenidos de las unidades elementales de una población.

V/F

12



CAPÍTULO II ORGANIZACIÓN DE DATOS La organización de datos consiste en la elaboración de tablas de frecuencias y gráficos con la finalidad de clasificar, agrupar y presentar la información en forma resumida, facilitando el análisis descriptivo de los conjuntos de datos. La elaboración de una tabla de frecuencia y su gráfico respectivo dependerá del tipo de variable definida. Objetivo. Aplicar en forma adecuada los procedimientos de la estadística descriptiva para tabular, clasificar, analizar, graficar y presentar información según sea la variable cualitativa o cuantitativa. 2.1 Organización para variables cualitativas (nominal o jerárquica) La tabla de frecuencia es organizada por clases o categorías que corresponden a los distintos valores (atributos) que toma la variable cualitativa Tabla de frecuencias N° de clase

Clase o categoría

(f i)

(fri)

(pi)

1 2 . . . K Total

Atributo 1 Atributo 2

f 1 f 2

fr1 fr2

p1 p2

Atributo k

f k n

frk 1

pk 100

Donde: k= Número de clases n= Número de observaciones o unidades elementales Frecuencia absoluta (f i). ). Es el número de observaciones que existen en la clase o categoría i. k

Se cumple:

 f i  n i 1

Frecuencia relativa (fri). Es ). Es la proporción o porcentaje p orcentaje de observaciones con respecto

f r i al total (n) que existen en la l a clase o categoría i. Se tiene: fr Se cumple:



f i n

.

k

 fr i  1 i 1

Frecuencia porcentual (pi). Es ). Es el porcentaje de observaciones con respecto al total (n) que existen en la clase o categoría i. Se tiene: pi  fr i 100 . k

Se cumple:

 pi  100% i 1

Tipo de gráficos Se pueden usar las frecuencias absolutas ( f i) o relativas gráficos  Gráfico de barras vertical u horizontal  Gráfico circular

(fri)

para elaborar dos tipos de

13



Ejemplo 1 Se hizo una encuesta a una muestra de 45 clientes del Banco Comercial y se obtuvo los siguientes resultados:

Caso

Edad

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

29 34 61 28 41 57 30 43 45 35 42 28 28 24 35 42 48 34 66 36 59 37 53 35 63 28 43 60 59 63 55 42 51 39 55 35 42

Tarjeta Ingreso Nº de de Mensual viajes (miles de S/.) (mensual) crédito usada

3.00 1.99 2.90 2.90 4.70 3.00 5.80 4.50 7.09 4.40 6.82 5.30 5.80 5.70 4.70 6.60 6.60 5.74 4.23 5.50 6.60 3.85 6.70 3.50 8.80 10.00 10.10 13.40 3.90 5.84 3.50 4.40 3.70 4.50 5.63 4.60 5.79 2.93

3 3 2 0 1 2 4 0 1 0 3 2 1 4 1 2 1 0 3 1 1 3 0 1 4 2 2 0 1 1 2 0 1 1 4 0 3

Ta1 Ta2 Ta3 Ta2 Ta4 Ta1 Ta4 Ta3 Ta5 Ta2 Ta1 Ta4 Ta2 Ta4 Ta5 Ta4 Ta1 Ta5 Ta1 Ta4 Ta4 Ta6 Ta5 Ta1 Ta5 Ta1 Ta2 Ta5 Ta5 Ta4 Ta2 Ta5 Ta1 Ta1 Ta1 Ta5 Ta5

Lugar de uso de tarjeta de crédito

centros comerciales discotecas restaurantes grifos centros comerciales otros grifos centro de estudios centros comerciales grifos restaurantes discotecas grifos restaurantes discotecas restaurantes discotecas centros comerciales restaurantes centros comerciales restaurantes centros comerciales restaurantes discotecas restaurantes centro de estudios discotecas otros restaurantes grifos centro de estudios centros comerciales otros otros discotecas discotecas grifos

Monto de deuda Sexo (miles de S/.)

1.80 1.10 0.60 2.70 1.30 0.80 0.64 0.90 1.40 2.46 1.10 0.20 0.80 0.50 0.40 3.46 1.20 1.90 2.35 1.90 0.30 0.70 0.67 0.50 1.50 0.70 1.50 1.99 0.60 1.50 0.40 1.80 0.70 0.80 1.25 1.60 0.20

F F M M F F M F M F F M F M F F M F M F M F F F M F F M M M M F M M M M M 14

UNA La Molina - Dpto. de Estadística e Informática Tarjeta Ingreso Nº de de Caso Edad Mensual viajes (miles de S/.) (mensual) crédito usada

38 39 40 41 42 43 44 45

36 49 27 36 42 25 32 28

6.60 4.60 6.60 2.90 4.69 3.99 6.70 2.58

1 0 0 4 2 1 2 1


Lugar de uso de tarjeta de crédito

grifos centros comerciales grifos discotecas centros comerciales restaurantes centros comerciales otros

Ta3 Ta3 Ta4 Ta1 Ta2 Ta4 Ta1 Ta4

Monto de deuda Sexo (miles de S/.)

4.37 2.00 0.90 0.47 0.80 4.32 0.60 1.70

F M F M F F M M

Organización de datos cualitativos Organicemos las observaciones de la variable tarjeta de crédito usada. Tabla de frecuencias del tipo de tarjeta de crédito usada Frecuencia Frecuencia Frecuencia Tarjeta de N° de clase Absoluta Relativa Porcentual crédito usada f i fri pi 1 Ta1 12 0.2667 26.67 2 Ta2 7 0.1556 15.56 3 Ta3 4 0.0889 8.89 4 Ta4 11 0.2444 24.44 5 Ta5 10 0.2222 22.22 6 Ta6 1 0.0222 2.22 Total 45 1.0000 100.00 Fuente: Elaboración propia

f 3 = 4

indica que 4 de los clientes del Banco Comercial utilizan la tarjeta de crédito Ta3 fr1 = 0.2667 indica la proporción de clientes del Banco Banco Comercial que utilizan la tarjeta de crédito Ta1. p2 = 15.56 indica que el 15.56% de clientes del Banco Banco Comercial utilizan la tarjeta de crédito Ta2. Gráfico de Barras Tarjetas de crédito usada 30

25

20

%

15

10

5

0 Ta1

Ta2

Ta3

Ta4

Ta5

Ta6

Tarjeta Tarjeta de crédito


En el gráfico de barras, se aprecia que la tarjeta Ta1 es la de uso más frecuente. 15



Gráfico Circular Tarjetas de crédito usada Ta6 1, 2.2% Ta5 10, 22.2%

Ta1 12, 26.7%

Category Ta1 Ta2 Ta3 Ta4 Ta5 Ta6

Ta2 7, 15.6%

Ta4 11, 24.4% Ta3 4, 8.9%


En el gráfico circular, se aprecia que la tarjeta de crédito Ta6 es la de uso menos frecuente. Ejercicio 1. Se ha realizado una encuesta para evaluar el grado de satisfacción de cuatro planes de seguro familiar (A, B, C y D). Los resultados para una muestra de 40 clientes que adquirieron el seguro familiar en los dos últimos años se muestra en la siguiente tabla. A

Bueno

A

Regular

A

Malo

D

Regular

C

Bueno

A

Malo

A

Malo

A

Malo

C

Malo

B

Bueno

B

Regular

D

Regular

D

Regular

B

Regular

D

Regular

C

Regular

C

Bueno

B

Regular

C

Malo

C

Bueno

B

Malo

B

Bueno

C

Malo

B

Regular

C

Malo

D

Malo

C

Malo

B

Regular

D

Bueno

A

Bueno

A

Regular

B

Regular

D

Bueno

A

Bueno

C

Malo

D

Regular

B

Malo

B

Bueno

D

Malo

B

Regular

a. Elabore una tabla de frecuencias fre cuencias y un gráfico de barras de frecuencias absolutas para la variable plan de seguro familiar.

16



b. Elabore una tabla de frecuencias y un gráfico circular frecuencias relativas para la variable grado de satisfacción del plan de seguro familiar.

Tabulaciones cruzadas  

También llamadas tablas de contingencia o de doble entrada. Se usan para resumir de manera simultánea los datos para dos variables cualitativas.

Ejercicio 2. En el 2010 el Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI) en convenio con la Asamblea Nacional de Rectores (ANR) realizó el II Censo Nacional Universitario. A continuación se presentan los resultados de dos características generales. Distribución de los alumnos de pre-grado según el sexo y edad Sexo Masculino Femenino Total

Edad De 15 a De 21 a De 26 a De 31 a De 36 a Más de 20 años 25 años 30 años 35 años 40 años 40 años 126214 169306 60006 21465 10651 12503 150859 159091 42243 15313 7333 7986 277073 328397 102249 36778 17984 20489

Total 400145 382825 782970

Fuente: PERÚ, II Censo Nacional Universitario Universitario 2010      

Las variables utilizadas en la realización de esta tabla de contingencia son: ___________________________________________________________ ______________________________ _____________________________________ ________ El total de alumnos de pre-grado del sexo masculino es ______________________ El total de alumnos de pre-grado de 31 a 35 años es _________________________ El % de los alumnos de pre-grado del sexo masculino que tienen 26 a 30 años es ________ El % de alumnos de pre-grado de 21 a 25 años que son del sexo femenino es ________ El % de alumnos de pre-grado de 26 a 30 años y que son del sexo femenino es _________

17



2.2 Organización para variables cuantitativas discretas La tabla de frecuencia es organizada por clases o categorías que corresponden a los distintos valores (números) que toma la variable cuantitativa discreta. Se usa cuando el conjunto de valores posible de la l a variable cuantitativa discreta es pequeño. Tabla de frecuencias Valor de la (f i) variable x1 f 1 x2 f 2

N° de clase 1 2 . . . k Total

xk

f k n

(fri)

(pi)

fr1 fr2

p1 p2

frk 1

pk 100

Tipo de gráfico. Se gráfico. Se elabora el gráfico de bastones o varas con las frecuencias absolutas, relativas o porcentual. Ejemplo 2. Organización de datos cuantitativos discretos Organicemos las observaciones de la variable número de viajes al mes de los clientes. Tabla de frecuencias del número de viajes al mes Frecuencia N° de viajes al Absoluta mes No de clientes f i 0 10 1 15 2 9 3 6 4 5 Total 45

Frecuencia Relativa fri

Frecuencia Porcentual pi

0.2222 0.3333 0.2000 0.1333 0.1111 1.0000*

22.22 33.33 20.00 13.33 11.11 100.00*


Interprete: f 2 = 15 Existen 15 clientes del Banco Comercial que hacen un viaje al mes. p1 = 22.22 El 22.22% de los clientes no han realizado viajes. Gráfico de bastones o varas Viajes al al mes mes 35

30

25

20

% 15

10

5

0 0

1

2

3

4

Viajes Viajes


En el gráfico de varas, se aprecia que en la variable número de viajes al mes, el número 1 (un viaje al mes) es el más frecuente. 18



Ejercicio 3. En una estación experimental se ha determinado el número de larvas de insectos encontrados en 40 parcelas, en un cultivo de frijol. Los datos se muestran a continuación: 1 1 10 3

3 3 3 3

3 5 5 5

5 5 5 6

6 6 6 6

6 3 5 5

9 9 9 9

9 10 10 5

10 3 1 3

10 1 1 1

a. Elabore una tabla de frecuencias y su respectivo r espectivo gráfico de bastones.

b. Interprete f 3 y p3

c.

¿Qué número y porcentaje de parcelas muestran al menos 6 larvas?

2.3 Organización para variables cuantitativas continuas El conjunto de datos es agrupado por intervalos de clase que conforman las clases o categorías de la tabla de frecuencias. Tabla de frecuencias N° de clases

Intervalos de clase [LI-LS>

1 2 . . . k Total

Marca Frec. Frec. Frec. de Absoluta Relativa Porc. clase ' f i fri pi x i

Frec. Acumulada Absoluta Fi

Frec. Acumulada Relativa Fri

Frec. Acum. Porc. Pi

[LI1-LS1> [LI2-LS2>

x’ 1 x’ 2

f 1 f 2

fr1 fr2

p1 p2

F1 F2

Fr1 Fr2

P1 P2

[LIk-LSk]

x’ k

f K N

frK 1

pk 100

FK

FrK 1

Pk 100 19



Donde: LIi = Límite inferior de la clase i (Límite cerrado) LSi= Límite superior de la clase i (Límite abierto, salvo la última clase que es cerrado) Marcas de Clase ( X i' ). Es el punto medio del intervalo de clase. Se considerada como el valor representativo de los valores que pertenecen al intervalo de clase. Se calcula:

'

X i



LI i

 LS i

o

2

de clase

'

X i

'

 X i 1  TIC

, donde TIC es el tamaño del intervalo

Frecuencia Porcentual (pi). Indica el porcentaje de observaciones o unidades k

elementales que hay en la clase i. Se cumple:

 p

i

 100%

i 1

Frecuencia Acumulada Absoluta (Fi). Indica el número de observaciones o unidades elementales que hay desde la primera clase hasta la clase i. Se calcula por: k

Fk   fi  f1  f 2  ...  f k . i 1

t

Propiedad: Ft  Fh 

 fi

, ht

ih1

Frecuencia Acumulada Relativa (Fri). Indica la proporción de observaciones o unidades elementales que hay desde la primera pri mera clase hasta la clase i. Se calcula por: i

Fri Fr i 

Fi n

 f j 

j 1

i



n

 f r j j 1

t

 fri

Propiedad: Frt  Fr Frh 

, ht

ih1

Frecuencia Acumulada Porcentual (P i). Indica el porcentaje de observaciones o unidades elementales que hay desde la primera pri mera clase hasta la clase i. t

Propiedad: Pt  Ph 

 pi

, h< t

ih1

Pasos para la construcción de una tabla de frecuencias: Paso 1. Hallar 1. Hallar el rango o amplitud (r).

r



Máximo Máxi mo



Mínimo Mí nimo

Paso 2. 2. Hallar el número de intervalos de clase (k). Se aplica la regla de Sturges: k  1  3.3 log( n)



. Eligiendo un valor: 3 ≤ k ≤ 15

Se aplica el redondeo normal a entero. Si el primer dígito decimal: es  5, se redondea al entero inmediato superior y si es < 5, se considera el entero obtenido.

Paso 3. Hallar 3. Hallar el tamaño de Intervalo de Clase (TIC). TIC   

r k

El número de decimales debe ser igual al de las observaciones. Se aplica el redondeo por exceso. Si exceso. Si la posición del decimal es  1, se redondea al valor inmediato superior, de lo contrario no se redondea. 20



Paso 4. Hallar 4. Hallar los límites inferiores y superiores de cada intervalo de clase. LI1 = Mínimo LI2 = LI1 + TIC = LS1 LI3 = LI2 + TIC = LS2 ... LIk = LIk-1 + TIC = LSk-1

LS1= LI1 + TIC LS2= LI2 + TIC LS3= LI3 + TIC LSk= LIk + TIC

Paso 5. Realizar 5. Realizar el conteo del conjunto de datos, como el resultado de asignar cada observación a alguno de los intervalos de clase. Luego completar la tabla hallando x’ i , f i , fr i , Fi , Fr i .

Tipos de gráficos  Histograma. Se usan las frecuencias absolutas o relativas en el eje vertical y los intervalos de clase en el eje horizontal.  Polígono. Se Polígono. Se usan las frecuencias absolutas o relativas en el eje vertical y las marcas de clase en el eje horizontal. Ejemplo 3. Organización de datos cuantitativos continuos Organicemos las observaciones de la variable ingreso mensual de los clientes (en miles de nuevos soles).

R = xmax - xmin Paso 1. Calcule el rango ( R ). En el ejemplo R = 13.40 – 1.99 = 11.41 Paso 2. Determine el número de intervalos intervalos de clase ( k ). Utilice la regla de Sturges k = 1 + 3.3 log n = 1 + 3.3 log 45 = 6.4556 Redondeo estadístico: estadístico: Se toma en consideración el primer valor decimal, si es:  5

se redondea al entero inmediato superior < 5 se considera el entero obtenido En nuestro ejemplo, k = 6.4556, estamos en el segundo caso, por lo que el número de clases que se debe considerar es k = 6.

Paso 3. Halle el tamaño de los intervalos de clase (TIC) TIC 

R k

11.41 

6



1.90167

Redondeo por exceso: se toma en consideración el número mayor de decimales que tienen las observaciones. Considerando la posición de este decimal, se presentan p resentan 2 casos:  

Si existe alguna cifra significativa a la derecha de este valor, se redondea al valor inmediato superior Si no existe ninguna cifra significativa a la derecha de este valor, entonces no se realiza ningún redondeo TIC



1.90167

Como las observaciones tienen 2 decimales en el TIC también se considerará con 2 decimales y como hay al menos un valor diferente de cero a la derecha de las centésimas se incrementa en una centésima quedando TIC = 1.91

21



Paso 4. Construya la tabla de frecuencias. Tener en cuenta que en la última clase el intervalo es cerrado en el lado derecho. Tabla de frecuencias del ingreso mensual Marca Frec de . clase Abs.

N° de clases

Ingreso mensual [LI-LS>

1 2 3 4 5 6

[1.99 - 3.90> [3.90 - 5.81> [5.81 - 7.72> [7.72 - 9.63> [9.63 -11.54> [11.54-13.45]

'

xi

2.945 4.855 6.765 8.675 10.585 12.495

f i 11 20 10 1 2 1 45

Frec. Rel.

Frec. Porc.

fri

pi

0.2444 0.4444 0.2222 0.0222 0.0444 0.0222 1.0000

24.44 44.44 22.22 2.22 4.44 2.22 100

Frec. Frec. Frec. Acum. Acum. Acum. Abs. Rel. Porc. Fi Fri Pi 11 31 41 42 44 45

0.2444 0.6888 0.9110 0.9332 0.9776 1.000

24.44 68.88 91.10 93.32 97.76 100


Interprete: a. f 2 = 20; 20 de los clientes clientes tienen un ingreso mensual de por lo menos S/. 3900 pero menos de S/. 5810. b.

fr4 = 0.0222; 0.0222 es la proporción de clientes que ganan por lo menos S/. 7720 pero menos de S/. 9630

c.

p5 = 4.44; S/. 11540.

d.

4.44% de los clientes ganan por lo menos S/. 9630 pero menos de

3

F3 

f

i

 f1  f2  f3  11 20  10  41

41 de los clientes ganan mensualmente por

i 1

lo menos S/. 1990 pero menos de S/. 7720 e. F5 – F2 = 44 – 31 =13 F5 – F2 =  fi  f  f  5

3

4

f 5  10  1  2  13

13 de los clientes ganan por lo menos

i 3

S/. 5810 pero menos de S/. 11540 4

f.

Fr4   fri  fr1  fr2  fr3  fr4  0.2444  0. 0.4444  0. 0.2222 0. 0 .0222  0.9332 , indica que i 1

0.9332 es la proporción de clientes que ganan por lo l o menos S/. 1990 pero menos de S/. 9630. g. Fr5 – Fr3 = 0.9776 – 0.9110 = 0.0666 5

Fr5 – Fr3 =

 fri 

0.0222 22  0.04 0.0444 44  0.06 0.0666 66 , indica que 0.0666 es la fr4  fr 5  0.02

i 4

proporción de los clientes que ganan por lo menos S/.7720 pero menos de S/.11540. 3

h. P3   pi  p1  p2  p3  24.44  44.44  22.22  91.10 , indica que el 91.10% de los i 1

clientes tienen ingresos mensuales de por lo menos S/.1990 pero menos de S/.7720

22



i. P5 – P2 = 97.76 – 68.88 = 28.88 5

P5 – P2 =

 p

i

 p3  p4  p5  22.22 .22  2.22 .22  4.44 .44  28.88 .88 , indica que el 28.88% de

i 3

los clientes de ese banco tienen ingresos mensuales por lo menos S/. 5810 pero menos de S/. 11540. j.

el valor representativo de los clientes cli entes que ganan por lo menos S/.5810 pero menos de S/.7720. Las diez observaciones (f 3 = 10) que hay en la clase 3 son representadas por el valor S/. 6765. x

'

3

6.765 es



Histograma de frecuencias Ingreso Mensual 50

40

30

% 20

10

0 1.99

3.90

5.81

7.72

9.63

11.54

13.45

Ingreso


En el histograma se puede apreciar que la clase más frecuente es la segunda esto indica que los ingresos más frecuentes son de por lo menos S/. 3900 pero menores a S/. 5810. Polígono de frecuencias

Ingreso Mensual

Series1, 4.855, 20

Series1, 2.945, 11

Series1, 1.035, 0

Series1, 6.765, 10

Series1, 10.585, 2 Series1, 8.675, 1 Series1, 12.495, 1 Series1, 14.405, 0


En el polígono de frecuencias se observa que son pocos los clientes con ingresos mensuales altos.

23



Ejercicio 4. Con la finalidad de evaluar la viabilidad de un proyecto de reforestación de una zona sometida a estrés turístico, para el que se ha solicitado una subvención pública, se ha tomado muestras sobre la composición en mg/cm 3 de desechos orgánicos en el suelo. Los datos obtenidos fueron: Composición de desechos orgánicos (mg/cm3) 8.2 12.9 15.3 18.8 20.8 9.2 12.9 15.8 19.7 21.0 9.4 14.0 15.9 20.3 21.4 10.8 14.2 16.9 20.3 22.2 10.8 14.4 18.2 20.3 22.5 11.1 15.1 18.4 20.2 23.2 11.2 15.1 18.6 20.7 25.8 a. Construir la tabla de frecuencias usando la regla de Sturges.

b. A partir de la tabla de frecuencias interprete: fr3 , F4 , P4 y 1-Fr2

c.

¿Entre qué niveles de composición se encuentra aproximadamente el 51.4% de las observaciones con menores niveles registrados?

24



Ejercicio 5. La gerencia de marketing del Supermercado ABC desea realizar un estudio con la finalidad de evaluar la satisfacción de sus clientes. Para el estudio se selecciona aleatoriamente a 40 clientes que acudieron al supermercado en un día y se registró los siguientes datos. N°

Tipo pago

Estado de Número de Monto los compras (nuevos productos semanal soles)

N°

Tipo pago

Estado de Número de Monto los compras (nuevos productos semanal soles)

1 1 2 2 200.5 21 3 4 2 350.5 2 2 2 4 200.3 22 3 2 4 250.3 3 2 1 1 136.0 23 3 4 5 180.4 4 2 2 2 150.2 24 2 3 1 320.8 5 2 2 3 300.6 25 2 1 2 150.6 6 1 1 2 320.8 26 3 4 3 190.8 7 3 2 2 310.8 27 1 3 2 240.5 8 3 1 4 229.2 28 2 1 3 275.8 9 1 2 3 180.5 29 3 2 3 130.8 10 2 3 5 110.6 30 3 3 1 180.2 11 3 1 1 140.8 31 2 4 4 315.4 12 1 3 3 368.6 32 1 2 2 290.6 13 2 2 2 160.2 33 2 3 2 265.8 14 3 1 3 180.9 34 3 4 1 360.8 15 3 2 1 190.5 35 1 1 3 260.2 16 2 3 2 210.4 36 2 2 3 140.5 17 3 2 3 89.4 37 1 3 2 180.2 18 1 3 3 110.6 38 3 4 3 220.5 19 2 1 4 100.5 39 3 1 2 345.8 20 1 1 1 120.3 40 3 2 3 95.4 Considerar: Tipo de pago: 1=Contado 2=Tarjeta de crédito 3=Crédito ABC Estado de los productos: 1=Muy bueno 2=Bueno 3=Regular 4=Malo a. Elabore una tabla de frecuencias y un gráfico de barras de frecuencia relativa de la variable tipo de pago.

25



b. Elabore la tabla de frecuencias para la variable número de compras semanal. Elabore el respectivo gráfico de varas.

c.

Elabore la tabla de frecuencias usando la regla de Sturges para la variable monto semanal.

d. Interprete f 4 , F4 , 100-P2

26



e. Elabore el respectivo histograma y polígono de frecuencias.

Ejercicio 6. Se ha recolectado información de 20 sacos de papa tomados al azar, cosechados para un trabajo experimental. Se muestra a continuación el número de papas que están comenzando descomponerse por saco y las variedades de papas cosechadas. Número de papas descomponiéndose

Variedades de papa cosechadas

8

12

8

12

10

8

12

8

9

16

6

9

16

4

9

16

2

12

16

0

12

17

12

17

12

18

Serie1

amarilla

negra

blanca

toma tomasa sa

ser serrana

3

5

9

2

1

Variedad de papa Fuente: Estudio Experimental.

a. Elabore una tabla de frecuencias para la variable cuantitativa.

b. Elabore un cuadro que resuma la información de la variable cualitativa.

27



Práctica Dirigida N° 1 1. La agencia agropecuaria del MINAG desea evaluar su programa de asistencia técnica dirigido a los agricultores Región de Cajamarca. Los resultados obtenidos de una muestra de 350 agricultores que asistieron al programa fueron los siguientes:     

El tamaño promedio del predio por agricultor es de 3.5 has. El ingreso promedio agropecuario fue de S/. 1250.0 El 65.5% de los agricultores usan fungicidas. En cuanto al uso de semillas, el 45% usa certificada, el 35% mejorada y el resto su propia semilla. El número promedio de visitas fue de 4.8

a) De acuerdo al enunciado identifique la población de estudio, unidad un idad elemental y muestra.

b) Identifique las variables, tipos, observación, estadístico o parámetro. Variable

Tipo de Variable

Observación

Estadístico

Parámetro

28



2. La empresa de turismo “El Viajero” que ofrece paquetes turísticos a nivel nacional, desea evaluar su nuevo sistema de ventas por internet. Para el análisis seleccionó una muestra aleatoria de 30 clientes que hicieron su reserva por internet, y se registra el tiempo de demora (en minutos) en hacer la reserva, el tipo y número de días de estadía del paquete turístico. Los datos se presentan en la siguiente tabla: Tiempo de demora

10.0 12.7 13.0 13.8 14.0 14.4 14.6 15.9 16.9 16.1 16.2 17.8 18.0 18.4 18.5 19.6

Tipo de Número de paquete días Clásico 2 Todo incluido 3 Premium 3 Clásico 3 Todo incluido 2 Todo incluido 4 Clásico 5 Todo incluido 6 Clásico 3 Premium 4 Premium 5 Clásico 5 Todo incluido 6 Clásico 3 Todo incluido 3 Premiun 2

Tiempo de demora

19.8 20.0 20.3 20.6 22.8 23.0 24.1 24.5 24.8 25.6 26.0 26.4 28.0 30.0 32.0 34.0

Tipo de paquete Clásico Clásico Clásico Clásico Todo incluido Premium Clásico Todo incluido Premium Todo incluido Clásico Todo incluido Premiun Clásico Todo incluido Premium

Número de días 3 2 2 4 5 6 5 4 3 4 3 2 6 5 5 4

a) Con respecto a la información proporcionada, identifique la población, unidad elemental y muestra.

b) Elabore una tabla de frecuencias sobre el tipo de paquete y un gráfico de barras de frecuencias porcentuales.

29



c) Elabore la tabla de frecuencias para la variable tiempo que demora en hacer la reservación por internet. Use la regla de Sturges.

d) Interprete f 4, p4, F5, y 100-P5.

30



e) Elabore el respectivo histograma de frecuencias porcentuales.

f) Elabore la tabla de frecuencias para la variable número de días de estadía y su gráfico respectivo.

31



EJERCICIOS PROPUESTOS 1. En Marzo del 2009 la empresa de investigación de mercados “CONTHEOS”, fue contratada por el banco “Nuevo Horizonte ” para que realice un estudio sobre la aceptación de los créditos anuales que ofrecen a sus clientes en sus sucursales de los l os “CONTHEOS ” después de hacer un estudio distritos de La Molina y Surco. La empresa “CONTHEOS de las características de los clientes activos del banco, seleccionó una muestra de 36 clientes de la sucursal de La Molina, y recolectó de ellas información para un conjunto de variables seleccionadas para tal fin. Los resultados se muestran a continuación: Nº Cliente

Tipo de crédito

Nº de solicitudes

Monto de crédito. (miles de soles)

Tipo de cliente

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

1 2 3 1 2 4 5 3 5 4 3 4 2 5 4 2 3 4 4 5 3 4 1 3 4 1 3 4 1 3 4 1 3 1 1 2

1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 3 1 3 3 1 4 4 1 3 7 1 5 6 1 2 4 1 2 4 1 3 2 1 3 1 2

30.0 35.3 48.4 50.1 55.3 57.2 58.1 60.4 65.3 66.0 68.0 69.1 70.2 72.5 73.1 75.3 77.2 79.1 82.7 84.3 86.0 90.3 95.2 100.1 101.2 102.2 102.2 104.3 110.1 115.3 118.4 119.1 125.1 128.0 130.2 140.0

2 3 2 2 3 2 1 3 3 2 2 2 3 2 3 3 3 3 2 3 1 1 2 3 3 1 3 2 2 3 2 1 3 2 2 3

Tipo de Crédito: Tipo de cliente:

(1) Inversión en negocio, (2) Compra de inmuebles, (3) Compra Compra de maquinarias, (4) Inversión en bolsa de valores (5) Compra de autos. (1) Casado (a), (2) Soltero (a), (3) Divorciado(a)

32



a) Elabore una gráfica adecuada para la variable cualitativa. b) Haciendo uso de la regla de Sturges construya un cuadro de distribución de frecuencias para la variable Monto de crédito (miles de soles). c) Interprete según enunciado los valores de f 2, p3, F4, P5 y (p5+p6). d) Construya el polígono de frecuencias para la variable Monto de crédito. e) Construya un cuadro de distribución de frecuencias para la variable cuantitativa discreta. 2. La siguiente información se tomó de los registros del Hospital Centro de Salud Materno Infantil San Bartolomé. Sección Maternidad entre el 18 y el 22 de Mayo del 2012. Caso 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Madre Edad Estado Civil No de partos 25 conv 2 22 conv 2 32 conv 4 22 conv 1 18 casada 1 21 casada 3 20 soltera 2 19 casada 1 23 casada 3 26 casada 2 36 casada 5 30 conv 5 23 soltera 3 29 conv 4 22 conv 2 23 casada 1 27 conv 2 28 conv 3 19 conv 1 32 casada 2 17 conv 1 21 conv 2 18 casada 2 27 conv 3 21 casada 1 19 casada 1 19 conv 2 31 casada 3 32 casada 4 21 conv 2 23 casada 2 19 casada 1 19 conv 1 26 conv 3 18 casada 1 24 casada 2 30 casada 3 26 casada 3 19 casada 1 34 casada 3

Hijo Peso 2.90 2.90 4.04 4.35 3.60 3.50 3.20 3.00 3.60 2.80 3.00 3.30 3.10 3.30 3.30 3.50 3.62 3.30 2.65 2.86 2.62 3.56 3.10 3.62 3.18 2.95 3.90 3.00 4.00 3.85 2.75 3.18 3.14 3.08 2.80 3.40 3.00 3.05 2.90 3.10

Sexo F F M F M M M F M M M F F F F F M F F F M F M F M M M F F M F F F F F M F F F F 33

UNA La Molina - Dpto. de Estadística e Informática Caso 41 42 43 44 45

Madre Edad Estado Civil No de partos 28 casada 3 24 casada 2 26 casada 2 22 casada 2 34 casada 5

Estadística General Hijo Peso 3.40 2.97 2.94 3.80 4.65

Sexo M F F M F

a) Elabore una tabla y grafica adecuada para la variable ESTADO CIVIL. b) Haciendo uso de la regla de Sturges construya un cuadro de distribución de frecuencias para la variable PESO DEL RECIEN NACIDO. c) Interprete según enunciado los valores de f 2, fr4, p5, F3, P3 y (P5-P2) del cuadro de distribución de frecuencias anterior. d) Construya el polígono de frecuencias para la variable PESO DEL RECIEN R ECIEN NACIDO. e) Construya un cuadro de distribución de frecuencias para la variable Nº DE PARTOS. 3. Con el objeto de determinar el número de horas diarias que los alumnos de la facultad de ciencias se dedican a estudiar en la biblioteca de la UNALM, se llevó a cabo una encuesta a 49 de ellos, obteniéndose los siguientes resultados expresados en horas: 1.2 1.2 1.3 1.3 1.5 1.8 1.8 a) b) c)

1.8 1.8 2.3 2.3 2.3 2.3 2.3

2.3 2.3 2.3 2.4 2.4 2.6 2.6

2.6 2.7 2.7 2.8 2.8 2.8 2.9

3.0 3.0 3.0 3.0 3.1 3.1 3.1

3.1 3.1 3.1 3.4 3.4 3.4 3.4

3.6 3.6 3.6 4.0 4.1 4.5 4.5

Construya una tabla de frecuencia completa, usando la regla de Sturges. Interpretar la marca de clase del tercer intervalo de clase. Interpretar la frecuencia relativa del tercer intervalo de clase.

4. Tomando como base la información tomada en la pregunta 3, se encuestó también a 35 alumnos de la facultad de Agronomía obteniéndose los siguientes resultados en horas: 2 2.6 3.3 3.8 4.4

2 2.7 3.4 4 4.5

2.1 2.7 3.4 4 4.5

2.1 3 3.5 4 4.6

2.2 3 3.6 4.1 4.7

2.5 3.1 3.6 4.3 4.7

2.6 3.2 3.6 4.3 4.7

Construya la tabla de frecuencias comparativa entre las dos facultades. Mencionar tres conclusiones importantes en términos del enunciado.

34



5. Los siguientes datos corresponden a la longitud de la cabeza del feto a los 45 días dí as de gestación de un total de 60 ovejas que produjeron un solo feto y de las cuales el día de apareamiento es conocido. Las medidas están en mm y fueron obtenidas con imágenes de ultrasonido: 19.4 22.6 23.6 24.5 25.5

20.4 22.7 23.6 24.6 25.5

21.0 22.7 23.7 24.7 25.5

21.6 22.7 24.0 24.7 25.6

21.9 22.8 24.0 24.8 25.6

21.9 22.9 24.0 24.8 25.6

22.0 23.0 24.0 25.0 25.8

22.1 23.1 24.0 25.0 25.9

22.1 23.2 24.1 25.0 26.0

22.2 23.2 24.1 25.2 26.4

22.3 23.4 24.3 25.3 26.9

22.3 23.6 24.4 25.3 27.5

a) Defina variable y unidad elemental. b) Construya la tabla de frecuencias. Utilice la regla de Sturges para determinar el número de intervalos. Presente 3 decimales para sus frecuencias relativas. c) Interprete fr 3, Fr 5, F 5 – F 2. d) Grafique el histograma de frecuencias y el polígono polí gono de frecuencias. 6. Una compañía manufacturera tiene a prueba a 48 nuevos trabajadores. Para evaluar su rendimiento, se les asignó una tarea rutinaria y se midió el tiempo que tardaron en realizarla. Los tiempos en minutos son los l os siguientes: 105 113 126 150

105 114 126 152

107 114 128 153

108 117 129 154

108 118 130 157

108 119 131 157

109 121 134 158

109 121 134 164

110 123 137 170

111 125 145 171

111 126 145 179

111 126 150 183

a) Construya la tabla de frecuencias. Use la regla de Sturges para determinar el número de intervalos. Presente 3 decimales d ecimales para sus frecuencias relativas. b) Interprete F 5 - F 2, 1 - Fr 4, fr 5+fr 6. 7. Se ha llevado a cabo un estudio para evaluar los volúmenes de venta (miles de soles por día) de los establecimientos comerciales de un distrito de Lima. Para ello se eligieron al azar 36 establecimientos encontrándose los siguientes resultados: 1.5 2.1 2.5 3.2 3.7 4.4 4.5 4.6 4.6 4.6 4.7 5.2 5.3 5.4 5.7 5.7 5.8 6.1 6.4 6.7 6.7 7.2 7.4 7.4 7.7 7.8 8.4 8.4 8.5 8.7 9.1 9.8 10.1 11.7 12.1 15.4

a) Construya la tabla de frecuencias. Use la regla de Sturges para determinar el número de intervalos. b) Interprete f 4, F3, p5 c) Graficar el histograma y el polígono de frecuencias. 8. En una fábrica de pernos se desea estimar el número de pernos defectuosos por c aja para verificar si estos valores están dentro de los límites permisibles. Se selecciona una muestra de 40 cajas y se obtienen los siguientes resultados: 1 4

1 4

2 4

2 4

2 4

2 4

2 4

3 4

3 4

3 5

3 5

3 5

3 5

3 5

3 5

3 5

4 6

4 6

4 7

4 7

a) Construya la tabla de frecuencias. Use la regla de Sturges para determinar el número de intervalos. b) Interprete f 2, p4 35



9. Un profesor decide registrar el mes de nacimiento de cada uno de los 40 estudiantes de su clase. junio julio mayo agosto agosto noviembre

julio agosto abril noviembre junio septiembre

noviembre septiembre febrero enero julio junio

abril diciembre agosto junio marzo marzo

enero julio junio abril diciembre noviembre

febrero junio mayo septiembre marzo

septiembre noviembre octubre diciembre junio

Construya la tabla de frecuencias, elabore e interprete el diagrama de barras. ¿Cuál es el mes que presenta la mayor y cuál la menor frecuencia de nacimientos? 10. Un Ing. Pesquero está realizando un estudio sobre el salmón plateado pl ateado con la finalidad de introducirlo al país. Una de las variables de interés es la longitud (en centímetros). El resultado luego de la evaluación a 45 peces elegidos al azar de esta especie se presenta a continuación: 93.30 96.53 97.41 98.47 99.32

93.36 96.58 97.45 98.49 99.44

94.48 96.60 97.58 98.53 99.68

94.68 96.61 97.66 98.56 100.08

95.76 96.80 97.66 98.63 100.22

95.95 96.86 97.88 98.76 100.82

96.31 96.93 97.92 98.79 101.24

96.37 97.29 98.22 99.21 101.31

96.43 97.40 98.40 99.29 102.79

a) Construya la tabla de frecuencias usando la regla de Sturges. b) Presente el polígono de frecuencias. 11. La empresa Nicronics S.A. se dedica a la venta de placas circulares plásticas de policarbonato, que importa de Alemania, Holanda y Japón. Las cantidades porcentuales que importa de cada país son 16%, 64% y 20% respectivamente. Las longitudes de los diámetros de dichas placas se expresan en pulgadas y los pesos de los mismos varían de 480 a 920 gramos. En los últimos tres meses, los clientes nacionales, le han devuelto sus productos debido a la baja resistencia encontrada, por ello, el área de control de calidad ha seleccionado al azar 500 placas circulares (en cantidades proporcionales a lo que importa de cada país) y analizado en un laboratorio, la resistencia a las ralladuras y a los impactos (en ambos casos la resistencia puede ser alta, media o baja). Si la empresa encuentra que efectivamente las placas no satisfacen las condiciones del cliente, se verán obligados a cambiar de proveedores. En base a la variable país de importación elabore un cuadro de frecuencias de la muestra seleccionada y su respectivo gráfico

36



Preguntas de Autoevaluación 1. Para graficar un polígono, en el eje de ordenadas se usa _________________ y en el eje de abscisas _____________________. 2. Si en una tabla de frecuencias las marcas de clases: X’ 1=25 y X’ 6=75, entonces el valor del TIC es ___________________ y el valor del LI1 es _________________. 3. El gráfico asociado a una variable cuantitativa discreta se conoce como ______________________. 4. El valor representativo de un intervalo de clase se conoce como _________________________ 5. Para graficar un polígono, en el eje de ordenadas se usa ________________ y en el eje de abscisas _____________________. 6. La frecuencia acumulada relativa F r puede ser calculada en términos de la frecuencia relativa por ____________________ y en términos de la frecuencia acumulada absoluta por _________________________. 4

7. Los gráficos que se pueden elaborar para la variable estado civil son llamados __________________________________ ____________________________ ______ 8. Para los siguientes valores del TIC, halle el valor usando el redondeo por exceso para los casos de un entero, un decimal y dos decimales. TIC

Entero

Un decimal

Dos decimales

4.051 12.106 35.09 9. El número de decimales del Tamaño de Intervalo de Clase (TIC), debe ser siempre igual a _________________________________ 10. Indique si es Verdadero (V) o Falso (F) cada uno de los siguientes enunciados: Item Enunciado a.

Para hallar el número de intervalos de clase se aplica el redondeo por exceso.

b.

El número de decimales de la marca de clase es igual a la de las observaciones.

c.

Para una muestra de 55 clientes, la frecuencia absoluta acumulada de la última clase es mayor a 55.

d.

El gráfico circular se elabora usando las frecuencias absolutas relativas

e.

Es posible que el límite superior de la última clase sea menor que el máximo valor.

V/F

37



CAPÍTULO III MEDIDAS ESTADÍSTICAS Las medidas estadísticas pueden ser calculadas con los datos provenientes de una población (N: Tamaño de la población) p oblación) o muestra (n: Tamaño de la muestra) para evaluar diferentes variables (cuantitativas y cualitativas), cuya finalidad es resumir y representar el conjunto de datos. Muestra Muestra (n) : X 1 , X 2 ,..., X n

Estadìsticos  Valores Estadìsti

Poblacion Poblacion( N ) : X 1 , X 2 ,..., X N

Parámetros  Parámetros

Observaciones  Las medidas estadísticas asumen las mismas unidades de medida de la variable en estudio, con la excepción de ciertas medidas estadísticas relativas.  Para las variables cuantitativas, se pueden calcular medidas estadísticas como: media, mediana, moda, rango, rango intercuartílico, varianza, desviación estándar, coeficiente de variabilidad, y otras. En el caso de las variables cualitativas, sólo es posible calcular las medidas como la moda y la l a proporción. Objetivo. Reconocer Objetivo. Reconocer las características básicas de una distribución de datos a través de las principales medidas de tendencia central, de posición y variabilidad. 3.1 Medidas de tendencia central Son medidas estadísticas que se localizarían en la parte central de la distribución de los datos. Permiten resumir y representar en un sólo valor val or el conjunto de datos. Las medidas m edidas de tendencia central revisadas en este texto son las siguientes:    

La media aritmética La media ponderada La mediana La moda

La media aritmética o Promedio La media aritmética simple o promedio de un conjunto de datos provenientes de una población (N) o muestra (n), es igual al cociente entre la suma total de sus valores y el número de observaciones. Media poblacional:  

1

N

 X j

Media muestral:

N j 1

X 

1

n

n

 X j j 1

Ejemplo 1 Suponga que se tiene los datos de las ventas semanales (en dólares) de una muestra de 8 vendedores. Calcule la venta promedio semanal. 150

120

300

280

350

250

160

280

Solución X 

1

8

 x 8 i 1

i



150  120  300  280  350  250  160  280 8



1,890 8

 236.3

La venta promedio semanal por vendedor fue de $ 236.3

38



Ejercicio 1. Los siguientes datos corresponden a una muestra de 12 auditores sobre los gastos de viáticos (nuevos soles) realizados en un mes. Halle e interprete i nterprete la media. 250.5

420.0

345.5

560.4

458.2

268.5

380.1

510.2

630.4

580.3

610.3

720.1

Propiedades: 1. La media está afectada por valores extremos (altos o pequeños). Es una desventaja de la media. 2. La media aritmética localiza la parte central de un conjunto de observaciones. 3. Para un conjunto de observaciones la media es única. 4. Si la media sustituye a cada observación, la suma total no cambia. 5. La suma de las desviaciones de las observaciones con respecto al promedio es igual n

  X

a cero.

n

j

j 1

 X    X j  n X  n X  n X  0 j 1

6. La suma de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones con respecto a la n

media es mínima:



X j  X

j 1



2

n

   X j  c  , donde donde c  R 2

j 1

Ejemplo 2 Los siguientes datos corresponden a los ingresos mensuales de dos grupos de empleados: Grupo A 520 B 530 Propiedad 1.

525 545

Ingreso 523 545 8000 580

518 520

Par a A :

X



8

1

 X 8

i

x

580 590

4221



8

i 1

Par a B :

X



8

1

 X 8

i



i 1

500 600

527.625 1490.625

 527.625

11925 8

510 560

 1490.625

En el grupo A el promedio es similar a los 8 valores (promedio representativo), mientras que en el grupo B eso no ocurre (el valor 8000 es un dato extremo alto). Propiedad 5. 5.

Par a B

8

8

i 1

i 1

8

8

 ( X i  X )  X i  n X  4221  8 x527.625  0

Par a A :

 ( X i  X )  X i  n X  11925  8 x1490.625  0

:

i 1

i 1

8

8

 ( X  X )  X 2

Propiedad 6. Para A :

2 i

i

i 1

 ( X  c)  X 2

 ( X

i

 ( X

i

i 1

 nc 2 2231403  8 x510 2  150603

i 1

8

2

 X )  X i  n X 66206425  8 x1490.625  48430721.88 2

2

2

i 1

8

510 :

2 i

i

i 1

c

8

i 1

8

Par a B :

i 1

8

c  510 :

2

 n X 2231403  8 x527.625 2  4297.875

8

 c)   X i  nc 66206425  8 x510  64125625.00 2

2

2

2

i 1

39



La media aritmética ponderada La media ponderada de un conjunto de observaciones ponderaciones w1 , w2 ,

x1

, x2 , .. ... , xk con pesos o

, wk está dada por: k

 x j w j x p 

j 1 k

 w j



x1 w1  x2 w2  w1  w2 

 x k wk  wk

j 1

La media ponderada se usa en aquellos casos donde las observaciones tienen diferente importancia dentro de una población o muestra. Casos particulares: Cuando los datos se encuentran en una u na tabla de frecuencias correspondiente a una variable cuantitativa discreta. La media se calcula por:



k

k

 f j x j x p 

j 1 k

 f j x j 

j 1

n

 f j

Si x1 , x 2 , ....., x k son las medias de k grupos y cada ..., nk n1 , n2 , .. grupo tiene tamaño respectivamente, entonces la media de todos los datos n  n1  n2  ...  nk se calcula por:



j 1 k

 n j x j x p 

j 1 k

 n j j 1

Ejemplo 3 Un empresario que vende ropa para Caballeros, posee dos tiendas, administradas por Gerentes contratados, los ternos vendidos por estas tiendas son comprados a un proveedor a un costo de 150 nuevos soles 



La tienda A vendió 95 ternos al precio original de 400 nuevos soles, luego de esto en una oferta vendió 126 ternos a 280 nuevos soles. y por cierre de temporada vendió los 79 ternos restantes a 200 nuevos soles. La Tienda B, ha vendido el 30% de sus ternos a 400 nuevos soles, el 40% a 300 nuevos soles y el resto al precio de costo.

a. ¿Cuál ha sido el precio promedio por terno vendido en la tienda A? Media de A: (95*400+126*280+79*200)/(95+126+79)= 296.9333

b. Considerando el precio promedio por terno vendido como indicador de buena administración, ¿Cuál de ellas ha sido mejor administrada? Media de B: 0.3*400+0.4*300+0.3*150 = 285. La tienda A pues tiene un precio promedio mayor que la de B

c.

Si la tienda B recibió el doble de cantidad de ternos para vender que la tienda A. ¿Cuál es el precio promedio por terno vendido considerando ambas tiendas? Media de A y B: (300*296.933+600*285)/(900) = 288.98

40



Ejercicio 2. En la siguiente tabla se presenta la distribución de número de viajes realizados en un mes para una muestra de auditores de una entidad financiera. Número de viajes al mes Xi 0 1 2 3 4 Total

Número de auditores f i 10 15 9 6 5 45

Halle e interprete el número de viajes promedio mensual por cada auditor.

Ejercicio 3. Los tiempos promedios de tardanza (minutos) de muestras de 40, 25 y 15 empleados de los turnos de día, tarde y noche fueron 8.5, 12.0 y 15.5 respectivamente. Hallar el tiempo promedio de tardanza de los trabajadores para los tres turnos.

41



La mediana La mediana es el valor que ocupa la posición central de un conjunto de datos, previamente ordenados: X , X ,..., X (1)

( 2)

(n)

 n  1  ntero  E   me  x E   100   50  Ente   Si   n  1   50  Decimal  E.d   me  x  0.d     E    100 

 x

E 1



 x E 



La mediana poblacional se representa por Me y la mediana muestral por me

Otra forma:

Si

n  impar me  X n 1 ( )  2   X n  X n ( ) ( 1)  2 2   n par m e  2 

Ejemplo 4 Los siguientes datos corresponden a los pesos (en Kg.) de 10 personas: 50, 77, 53, 76, 63, 64, 75, 54, 52, 80. Calcule la mediana Datos ordenados: 50, 52, 53, 54, 63, 64, 75, 76, 77, 80 Posición :

 10  1   50  5.5  me  x5  0.5   x6  x5   63  0.5  64  63  63.5 Kg. 100  

Interpretación. Un 50% de personas pesan menos de 63.5 Kg. y el otro 50% pesa más de 63.5 Kg. Ejercicio 4. En un estudio del medio ambiente para evaluar la calidad de aire, se registró el número de microgramos de partículas en suspensión por mt 2 de aire para muestras evaluadas en dos zonas. Zona A Zona B

38 25

32 28

45 25

30 32

24 26

45 35

42 54

18 38

28

Halle e interprete la mediana del número de microgramos de partículas en suspensión por mt2 de aire para cada zona.

42



Propiedades: 1. La mediana divide las n observaciones en dos partes iguales. El 50% con valores menores a la mediana y el otro 50% con valores mayores a la mediana. 2. La suma de las desviaciones absolutas de las observaciones con respecto a la mediana n

es un valor mínimo.

 X

n

j

 me   X j  c , donde donde c  R

j 1

j 1

3. La mediana no está influenciada por valores extremos. Ejemplo 5 Los siguientes datos corresponden a los ingresos mensuales de dos grupos de empleados: Grupo A B

Ingreso 520 530

525 545

518 520

523 8000

m

e

545 580

580 590

510 560

523 560

Comente las medianas de los dos grupos. Solución Se observa que la mediana no está afectada por el valor extremo 8000, como es la l a media. La moda La moda de un conjunto conjunto de datos es el valor valor que ocurre con mayor frecuencia. frecuencia. La moda poblaciones se representa por Mo y la moda muestral por mo. Propiedades: 1. La moda puede no existir o puede haber más de una moda en un conjunto de d atos. 2. La moda no está afectada por valores extremos. 3. Se aplica tanto para información cualitativa como cuantitativa. Ejemplo 6 1. Se tiene las longitudes de peces de río (cm) de la zona A: 4.0, 4.1, 4.2, 4.3, 4.5, 4.7, 4.8. No hay moda. 2. Las siguientes longitudes sonde la zona B: 4.0, 4.1, 4.1, 4.1, 4.2, 4.2, 4.5, 4.2. Se distinguen dos modas mo 1 = 4.1 y mo2 = 4.2 (distribución (di stribución bimodal). Ejercicio 5. Se tiene una muestra de los niveles de ozono alrededor de una ciudad (220 partes por billón). Halle e interprete la moda. 160

124

156

164

178

163

163

178

164

185

196

164

170

145

164

43



Ejercicio 6. En una encuesta realizada a una muestra de estudiantes de una universidad, se les preguntó por el club deportivo de su preferencia. Los datos se muestran en la siguiente tabla de frecuencias. Halle e interprete la moda. Club de preferencia Alianza Lima Universitario Sporting Cristal Sport Boys

Número de estudiantes 280 240 80 45

Ejercicio 7. En la siguiente tabla se presenta el número de cursos matriculados en el presente semestre para una muestra de 300 alumnos. Número de cursos matriculados 2 3 4 5 6

Número de alumnos 20 40 100 80 60

Halle e interprete la media, medi a, mediana y moda. Sugerencia: k

Use la expresión: X muestra.

 X i f i 

i

n

, donde k es el el número de clases y n el tamaño tamaño de la

44



Propiedades de transformación Para una nueva variable transformada: Y i  a  bX ,i donde a y b son constantes reales. Entonces, sus medidas estadísticas son calculadas: Medida estadística

Y i



a  bX i

Media

Y



a  b X

Mediana

meY



a  bme X

Moda

moY



a  bmo X

Ejemplo 7 En un parque de atracciones la media de los gastos por visitante un día especial es de S/.40, sabiendo que los adultos gastaron una media de S/.43 y los niños S/.35. a. Calcule el número de adultos y niños que visitaron el parque, si en total fueron 400 personas. Se tiene:

x p



n Adultos * x Adultos

n Adultos

n Adultos 

n Niños



 

n Niños * x Niños

n Niños



n Adultos * 43  n Niños * 35 400



40

400

150 y n Niños 250 250 Entonces: n Adultos 150 b. Si los gastos por asistir al parque de atracciones se incrementaron en un 10% en el caso de los adultos y en un 5% en el caso de los niños. ¿Cuál será ahora el promedio de los gastos por visitante? y Adultos  1.1* x Adultos  1.1* 43  47.3  150 * 47.3  250 * 36.75  40.76  y p  400 y Niños  1.05 * x Niños  1.05 * 35  36.75 



Ejercicio 8. La gerencia de marketing ha decidido aumentar 10% los precios de los ternos en la sucursal Sur pero restando 90 nuevos soles, mientras que en la sucursal Norte disminuir en 4.5% los precios de los ternos y en la sucursal Centro aumentar 125 nuevos soles cada terno. A continuación se presenta las medidas estadísticas de los precios de las sucursales obtenidas con MINITAB. Halle las medidas estadísticas de los nuevos precios de los ternos para la sucursal Sur, Norte y Centro . Estadísticas descriptivas: Sucursal Sur; Sucursal Norte; Sucursal Centro Variable N Sucursal Sur 15 Sucursal Norte 15 Sucursal Centro15

N* 0 0 0

Media 450,5 582,3 500,3

Mínimo 345,0 320,0 310,0

Mediana 450,0 580,0 550,0

Máximo 650,0 910,0 810,0

Moda 450 600 550

N para moda 3 2 3

45



3.2 Percentiles (Pq) El percentil Pq divide a un conjunto ordenado de observaciones en un q% menores que Pq y un (100 – q)% mayores que P q. El percentil Pq es un valor expresado en las mismas unidades que la variable en estudio. Cálculo del Percentil

 n  1  q  100 

Posición  

,

 n  1    q  Entero  E   Pq  x E    100  Si   n  1   q  Decimal  E.d   P  x  0.d  x q  E  E 1  x E   100 





Ejemplo 8 Se cuenta con los datos de los tiempos ti empos (en minutos) de tardanza de d e los trabajadores de una compañía de seguro. Halle e interprete el percentil 45. 15

12

18

Datos ordenados:

22

24

10

9

13

25

18

6

14

6, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 18, 18, 22, 24, 25

 12  1  min utos   45  5.85  P 45  x5   0.85   x6   x 5   13  0.85  14  13  13.85  100 

Posic ión  

Interpretación: El Interpretación: El 45% de los trabajadores tienen un tiempo de tardanza menor 13.85 minutos y el otro 55% más de 13.85 minutos. Ejercicio 9. Suponga que se quiere evaluar el número de insectos encontrados en 40 parcelas, en un cultivo de maíz. Los resultados fueron los siguientes: 1 1 1 2

2 3 3 3

3 5 5 5

5 5 5 6

6 6 6 6

7 7 8 8

9 9 9 9

9 11 11 11

12 12 15 18

18 18 19 23

46



a. Halle e interprete el percentil 35

b. ¿Cuál debe ser el valor mínimo de insectos para que una parcela sea considerada dentro del 18% de las parcelas con mayores números de insectos?

c. ¿Cuál debe ser el valor máximo de insectos para que una parcela sea considerada dentro del 22% de las parcelas con menores números de insectos?

d. ¿Para qué valores del número de insectos se tendrá el 80% central de parcelas?

Ejercicio 10. Se tiene las notas de los promedio ponderados de los estudiantes graduados en el último ciclo. Halle el promedio ponderado mínimo para que un alumno sea considerado dentro del quinto superior. 10.5 10.9 11.2 11.3 11.5 11.5 11.7 12.8 12.9 13.6 13.7 13.9 14.0 15.6

47



Cuartiles Son percentiles que dividen el conjunto de datos en 4 partes iguales (25% cada una). Son conocidos también como Q 1=P25, Q2=P50 y Q3=P75. Ejemplo 9 Los siguientes datos corresponden a los pesos, en Kg. de 10 personas: 50, 52, 53, 54, 63, 64, 75, 76, 77, 80. a. Calcule e interprete el percentil 25 P 25  x 101   x2.75  x 2  0.75  x 3  x 2  52  0.75  53  52  52.75 Kg  25  100 

Interpretación: El 25% de las personas pesa menos de 52.75 Kg. y el otro 75% pesa más de 52.75 Kg. b. Halle el percentil 75 P 75  x 101   x8.25  x8  0.25  x 9  x 8  76  0.25  77  76  76.25 Kg  75  100 

Interpretación: Un 75% de personas pesa menos de 76.25 Kg. y el otro 25% pesa más de 76.25 Kg. Ejemplo 10 Se ha desarrollado un experimento para evaluar el efecto de alimentos balanceados en la ganancia de pesos de pollos. Una muestra aleatoria de 30 pollos que recibieron el alimento balanceado fue seleccionada. Al cabo de 10 días d ías se registraron las ganancias de pesos (en gr) 93 98 100 102 107 109 110 110 111 111 113 114 115 116 118 118 119 119 120 120 120 124 125 128 129 129 130 135 138 141 a. Halle e interprete las medidas de tendencia central para la ganancia de peso. b. ¿Cuál es el peso mínimo de un pollo que fue alimentado con el alimento balanceado para estar en el 10% superior de los que pesan más? c. ¿Cuál es peso máximo del 60% de pollos que pesan menos con el alimento balanceado? Solución: a) N

Media

30 117,40

StDev CoefVar Minimo

11,57

9,85

93,00

Q1

Mediana Mediana

Q3

Maximo

110,00 118,00 125,75 141,00

La ganancia de peso por pollo alimentado con A es de 117.4 gr. El 50% de los pollos alimentados con A tuvieron ganancias de peso menores de 118 gr. y el restante 50% tuvieron ganancias de peso mayores a 118 gr. El valor de la ganancia de peso más frecuente es de 120gr. b) P90



X 27.5

13 134.5 gr .



119 gr . c) P 60  X 18  119

48

UNA La Molina - Dpto. de Estadística e Informática 3.3


Diagrama de Tallos y Hojas

Un diagrama de tallos y hojas es un ingenioso artificio que ofrece una representación parecida a un histograma. La ventaja de este diagrama es que no sólo muestran las frecuencias sino que contienen los valores reales. A diferencia d iferencia de las tablas de frecuencias con este procedimiento ningún dato se pierde. Pasos para elaborar un diagrama de tallos y hojas Paso 1. Cada dato se divide en dos: dos: la primera se llama tallo tallo y la segunda hoja. Paso 2. Cada tallo se forma con uno o más dígitos iniciales de cada dato y las hojas se forman con los dígitos restantes (generalmente de un solo dígito). Paso 3. Los tallos se presentan presentan en una columna ordenada de menor a mayor Paso 4. Las hojas se muestran muestran en filas ordenadas y listadas a la derecha derecha de su respectivo tallo. Nota. En caso de datos decimales, al construir el diagrama de tallos y hojas el punto decimal se pierde, por tal razón se acostumbra indicar unidades que los datos del tallo representan. Por ejemplo para un dato: 4.12 Unidad=0.01  Es necesario pone todos los tallos consecutivos. Si no existe el dato, se pone el valor del tallo y en la fila de hoja se deja en blanco.  Si es necesario se divide en dos hojas cada tallo, según los rango: (0 – 4) y (5 – 9). Ejemplo 11 Los siguientes datos corresponden a la estatura de una muestra de 30 alumnos universitarios. 158, 159, 161, 161, 163, 163, 164, 166, 166, 167, 168, 168, 168, 169, 170, 170, 170, 171, 171, 171, 172, 173, 174, 174, 174, 174, 174, 177, 182, 191 Diseño de Tallo y Hoja: Estatura Tallo y Hoja de Estatura n = 30 Unidad de hoja = 1.0

Profundidad Tallos

2 7 14 (13) 3 2 1 1

15 16 16 17 17 18 18 19

89 11334 6678889 0001112344444 7 2

Hojas

1

El diagrama de tallos y hojas representa la estatura de 30 alumnos. Existen tres partes en el gráfico.  La primera columna representa la profundidad  La segunda columna representa los tallos  La última columna representa las hojas. Cada dígito de las hojas representa una observación. El diagrama de tallos y hojas muestra 8 tallos con sus respectivas hojas. El primer tallo es 15 y la primera hoja es 8. La observación correspondiente es 158 que se obtuvo juntando los dígitos del tallo y de la hoja y se multiplica por la unidad de hoja (158*1.0=158). La primera columna (la profundidad) indica cuantas observaciones hay en esa línea o antes. El número 14 en la tercera línea indica que hay 14 observaciones en esa línea y en las líneas anteriores (14 observaciones menores o iguales a 169). Hay una línea 49



especial, la línea que contiene la mediana. El valor que muestra es encerrado entre paréntesis e indica cuantas observaciones hay en esa línea. A partir de la siguiente línea que contiene la mediana, la columna de profundidad indica cuantas observaciones hay en esa línea y en las líneas posteriores. El número 3 en la quinta línea indica que hay 3 observaciones en esa línea y en las líneas posteriores (3 observaciones mayores o iguales a 177). La séptima línea muestra al tallo 18 ( 1 18 ); sin embargo no tiene ninguna hoja, lo que significa que no hay ninguna observación en ese tallo. (Un error muy frecuente es considerar el tallo 18 y la hoja 0 y por consiguiente considerar la observación 18.0 con lo que se tendrían 31 observaciones). Ejercicio 11. Se tiene una muestra sobre el tiempo (minutos) de concentración de un medicamento: 105, 126, 120, 119, 133, 145, 123, 108, 136, 136 , 156, 142, 130, 112, 123. 123 . A continuación se presenta su respectivo diagrama de tallos y hojas. Tallo y hoja de Tiempo Unidad de hoja = 1.0

2 3 4 7 7 6 4 3 2 1 1

10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15

N

= 14

58 2 9 033 6 03 6 2 5 6

a. Si se desconocen los datos originales, origi nales, calcule la media, mediana, moda y P 28 a partir del diagrama de tallos y hojas.

50



Ejercicio 12. Se tienen datos de las concentraciones de lactato en la sangre (milimoles/litros): 2.1, 2.5, 2.8, 3.5, 3.6, 3.8, 3.8, 4.6, 5.2, 5.4, 5.6, 5.9, 6.2, 6.5, 6.5 A continuación se presenta su respectivo diagrama de tallos tall os y hojas. Tallo y hoja de Concentracion Concentracio n Unidad de hoja = 0.10

1 3 3 7 7 (1) 7 5 3 2

2 2 3 3 4 4 5 5 6 6

N

= 15

1 58 5688 6 24 69 2 55

a. A partir del diagrama de tallos y hojas calcule e interprete la media, mediana y moda.

51



Práctica Dirigida N° 2 1. Se desea analizar la cantidad de hormona llamada ecdisona que ecdisona que se obtiene a partir de una conversión química del colesterol que presentan los crustáceos. Esta hormona es la encargada de llevar a cabo el proceso de muda en los crustáceos. Para el estudio se utiliza 20 individuos de la especie Cyclograpsus cinereus. Los resultados del nivel de ecdisoma (en ml) son los l os siguientes: 31.4 39.4 47.6 50.5

Nivel de ecdisona (ml) 56.7 77.73 89.8 58.2 85.5 93.6 65.3 68.8 94.7 66.5 88.2 95.5

95.8 97.4 99.3 99.5

a) Calcule e interprete la media, mediana y moda del nivel de ecdisona.

b) Se desea clasificar a los individuos tres grupos según sus niveles de ecdisona

(Bajo, Medio y Alto), de tal manera que contengan al 42%, 38% y 20% de individuos respectivamente. Calcule los niveles de ecdisoma que permitan identificar los límites de cada grupo.

52



c) A fin de mejorar el proceso de muda de los crustáceos, se han ensayado dos tipos

de dosis (A y B). Con el tipo A, A , se espera que el nivel de ecdisoma se incremente en un 12.5% pero con un reducción de 5.6 ml por cada individuo, mientras que con la dosis B, los niveles de ecdisoma disminuirán en un 4.5% pero más 8.5 ml por cada individuo. ¿Cuál de las dos dosis proporcionaría los mayores niveles promedios de ecdisoma en los crustáceos?. Justifique su respuesta.

2. En un reservorio en la zona agrícola de Huachipa se realiza la crianza de peces Tilapia, los cuales son vendidas diariamente a los pobladores de alrededor. Se muestra a continuación en un diagrama de tallos y hojas el peso en Kg. de venta d e esta especie de pez durante un mes. Sem –and –Leaf Display: peso de tilapias Sten-and-leaf de peso N = 31 Leaf Unit = 0.10 1 1 6 10 (12) 9 4 1

4 2 4 5 223344 5 5566 6 112233444444 6 8999 7 344 7 9

Halle e interprete la media, median, moda y el percentil 32.5

53



EJERCICIOS PROPUESTOS 1. En una empresa, el jefe de Recursos Humanos está interesado en analizar el impacto i mpacto en los empleados al suprimir las horas extras de trabajo pagadas. Con este fin se extrae una muestra aleatoria de 60 empleados tomando los datos de un día al azar. A continuación se muestran las horas de trabajo por día de cada empleado. Horas diarias trabajadas 7.6 8.3 8.9 10.0

7.7 8.4 8.9 10.3

8.0 8.4 8.9 10.5

8.0 8.4 9.0 10.5

8.0 8.4 9.1 10.6

8.1 8.5 9.1 10.8

8.1 8.5 9.3 11.0

8.2 8.5 9.4 11.2

8.2 8.6 9.6 11.6

8.2 8.6 9.7 11.7

8.2 8.7 9.7 12.2

8.2 8.7 9.8 12.5

8.2 8.7 9.9 12.9

8.3 8.8 9.9 13.3

a) Construya el diagrama de tallos y hojas, considere como unidad de hoja 0.10 b) Calcule e interprete la media mediana y moda c) Calcule el número mínimo de horas trabajadas para que un empleado se encuentre en el 17% de los empleados que más horas trabajan. 2. El banco “Nuevo Continente” cuenta con sucursales en La Molina y Los Olivos. El gerente de crédito selecciona al azar algunas solicitudes de préstamo que han sido aceptadas en cada una de las sucursales y resume de manera independiente la información correspondiente al monto de préstamo otorgado (en miles de nuevos soles) en los siguientes diagramas de tallos y hojas: Tallo y Hojas Hojas de La Molina Molina Unidad de Hoja = 0.10 1 4 (4) 5 4 3 1

4 4 5 5 6 6 7

3 678 2244 5 4 99 4

N = 13

Tallo y Hojas Hojas de Los Olivos Unidad de Hoja = 0.10 1 3 3 5 5 7 7 6 3 2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

N = 14

6 01 08 14 5 069 1 45

a) Calcule e interprete las medidas de tendencia centra para la sucursal de La Molina. M olina. b) ¿Entre qué valores se encuentra el 60% central de las observaciones correspondientes a la sucursal de Los Olivos? c) El Interés que cobra el banco corresponde al 5% del monto otorgado como préstamos más 20 nuevos soles por gastos administrativos. admi nistrativos. Halle el interés medio que percibirá el banco debido a los préstamos otorgados 3. Si 80 artículos tienen un peso promedio de 2.54 Kg y se sabe que el instrumento de medición utilizado no estaba calibrado ocasionando que el peso de los artículos tengan un 25% más de su peso verdadero. Halle el verdadero peso promedio. (aplique propiedades en la solución)

54

8.3 8.8 10.0 14.5



4. Una fábrica tiene una máquina que trabaja las 24 horas del día en tres turnos de 8 horas (mañana, tarde y noche). Los costos de producción por hora (en soles) y los tiempos de producción por artículo que dependen depend en del turno. Los datos se presentan a continuación: Turno

Costo de producción por hora (S/.) 40 50 20

Mañana Tarde Noche

Tiempo por hora de consumo 0.50 0.40 0.32

a) Calcule el costo promedio de producción por hora. b) Calcule el tiempo promedio de producción por artículo al día 5. Del ejercicio anterior. Suponga que un trabajador que labora con la máquina en la mañana cobra 36 soles, un trabajador que labora en la tarde cobra 40 soles, y un trabajador que labora en la l a noche cobra 50 soles diarios. ¿Cuál es el costo promedio por hora que tiene la fábrica considerando la labor del trabajador y el costo de producción de energía eléctrica? 6. En una fábrica de camisas se estudió la variable definida como el número de camisas defectuosas que se produce cada hora. Fue seleccionada una muestra de 80 horas, encontrándose la siguiente información: X fi

0 50

1 12

2 8

3 7

4 3

Si la producción por hora es de 40 camisas y cada camisa buena genera una utilidad de 120 soles además cada camisa defectuosa da lugar a una pérdida de 40 soles. Calcule la utilidad neta promedio por día (Considere 6 horas de trabajo efectivo por día). 7. Una empresa dedicada a la fabricación de electrodomésticos desea evaluar el número de un determinado componente eléctrico que sus trabajadores pueden ensamblar en un día. Con tal fin se registra el número de componentes eléctricos ensamblados por 20 trabajadores del turno de la mañana. Los resultados son los siguientes: 6 9

7 9

7 9

7 9

7 9

8 9

8 10

8 10

8 10

8 11

a) Calcule e intérprete las medidas de tendencia central. b) La empresa le paga al trabajador 4 soles por componente si este ensambló 8 o menos y 5 soles si ensambló 9 o más. Calcule el ingreso promedio en ese día para los dos grupos de trabajadores. Calcule el ingreso promedio en ese día para el total de trabajadores. 8. Suponga que se quiere evaluar el número de insectos encontrados en 40 parcelas, en un cultivo de frijol. Los resultados fueron los siguientes: 2 19 3 5 6 6

3 19 3 18 18 6

9 6

3 9 18 6

9 3 5 2 5 11 11 11 11 7

5 7

1 7

5 8

1 1 12 8

5 12

a) Halle e intérprete: Media, Mediana y Moda b) Si se considera que el costo por eliminación de un insecto es de aproximadamente 2 soles además del alquiler del equipo que es una cantidad fija de 50 soles, hallar el costo promedio para la eliminación eli minación de los insectos. 55



9. La siguiente información corresponde al número de emergencias que atendió el cuerpo de bomberos en los últimos 30 días: 3 2

5 1

3 5

4 2

1 2

2 4

3 6

2 7

4 4

5 7

7 6

1 4

3 6

4 4

2 3

a) Calcule e intérprete las medidas de tendencia central. b) El cuerpo de bomberos gasta en combustible 18 soles por emergencia eme rgencia atendida y recibe un presupuesto de 120 soles diarios. ¿Es este presupuesto suficiente? Si así fuera, ¿cuánto dinero sobra diariamente en promedio?. En caso contrario, ¿cuánto dinero falta diariamente en promedio? 10. Parra evaluar la efectividad de sus empleados, una empresa dedicada a la venta de teléfonos celulares ha recopilado la siguiente información sobre el número de teléfonos vendidos en la última semana por sus 64 empleados: Número de empleados Número de ventas

13 5

15 6

16 7

8 8

5 9

4 10

3 11

a) Calcule e intérprete las medidas de tendencia t endencia central. b) La empresa le paga a sus empleados 100 soles semanales más una comisión de 40 soles por celular vendido y sobre estos ingresos los empleados deben aportar el 15% a su AFP. Calcule el promedio para el ingreso i ngreso neto promedio semanal por empleado. 11. Se encuestó a 84 congresistas de cierto país para averiguar el número de viajes internacionales que realizan por año, obteniéndose los siguientes resultados: Tallo y Hojas de Viajes N = 84 Unidad de Hoja = 1.0 (46) 0 6666666666666677777777777 666666666666 66777777777777777888888899 777788888889999999999 99999999 38 1 00000001111111222223334 000000011111112222233344 4 14 1 55566667789 3 2 034

Calcule las medidas de tendencia central para estos datos. Interpretar: Media, Mediana y Moda. 12. Se realizó un estudio en la l a provincia de Tambo Grande (Piura), luego de la aplicación de un nuevo abono en el cultivo de dos variedades de mango: Kent y Haden. Los rendimientos en la producción obtenidos luego de la cosecha cosecha en Kg/Ha fueron los siguientes: Variedades N° de Ha 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Variedad Kent de Rend. N° Rend. Ha 9.0 12 13.1 11.9 13 13.2 12.6 14 13.5 12.6 15 13.5 12.6 16 13.7 12.8 17 13.8 12.8 18 13.8 12.8 19 14.1 12.9 20 14.1 12.9 21 14.3

Variedad Haden Tallo y Hoja de Haden Unidad de Hoja = 0.10 8 10 22388999 (6) 11 266888 8 12 2233 4 13 344 1 14 1 15 1 16 5

N

= 22

Calcule e interpretar las medidas de tendencia central para estos datos. 56



Preguntas de Autoevaluación 1. Las medidas de tendencia central que no están influenciadas por valores atípicos son _______________________________________. ____________________________ ___________. 2. ___________________ es una medida de tendencia central que está está afectada afectada por los valores extremos. 3. __________________ es una medida de tendencia central utilizada para resumir datos provenientes de un variable tipo cualitativa. 4. En una muestra de 80 estudiantes, el 60% ha perdido pe rdido un celular, el 20% dos celulares, el 15% tres celulares y el resto ningún celular en los últimos dos años. Entonces el percentil 56 es igual a ____________________________. 5. La suma de las desviaciones de las observaciones respecto a la media aritmética, es igual a _____________________. 6. La suma de las desviaciones absolutas de las observaciones con respecto a la ________________________ es un valor mínimo. 7. Los resultados de una encuesta sobre el porcentaje de satisfacción de sus clientes para dos empresas de seguro (A y B) se muestran en el siguiente cuadro: Satisfacción

Empresa A

Empresa B

Alta

30%

40%

Media

40%

35%

Baja

20%

15%

Muy baja

10%

10%

Para comparar donde hay mayor satisfacción de los clientes en las empresas A y B, la medida de tendencia central usada es ____________________ y cuyos valores usados son __________________________ respectivamente. 8. Una empresa aseguradora de autos ofrece a sus clientes cuatro planes de seguros (A, B, C y D), siendo el costo anual de 650, 520, 450 y 380 (nuevos soles) respectivamente. Si el 45% de sus clientes tienen el plan de seguro A, el 35% el B, el 15% el C y el resto el plan D. El costo promedio de los cuatro planes de seguro para la empresa aseguradora es igual a _____________________________ n

9. Si X  10.5, entonces:  ( X i  10.5) , es un valor _______________________. i 1 10. Indique si es Verdadero (V) o Falso (F) cada uno de los siguientes enunciados: 2

Item Enunciado a.

Las medidas de tendencia central, asumen como unidad de medida la misma que la variable en estudio.

b.

Los percentiles están afectados por valores extremos

c.

La mediana y el percentil 50 no siempre son iguales

d.

La media puede tomar un valor negativo

e.

Las medidas de tendencia central son calculadas sólo con los datos de una muestra.

V/F

57



CAPÍTULO IV MEDIDAS DE VARIABILIDAD O DE DISPERSIÓN Son medidas estadísticas que permiten conocer el grado de dispersión o variabilidad (homogeneidad o heterogeneidad) dentro de un conjunto de datos. Se usan para comparar la variabilidad entre dos o más conjuntos de datos. Cuando los datos presentan p resentan baja variabilidad, se dice que son homogéneos y cuando presentan alta variabilidad se dice que son heterogéneos. Objetivos. Calcular Objetivos. Calcular e interpretar las principales medidas de variabilidad para describir las características (variables) cuantitativas de las unidades elementales en términos de su dispersión. Las principales medidas de variabilidad son las siguientes: 1. 2. 3. 4.

La amplitud o rango El rango intercuartil La variancia y la desviación estándar El coeficiente de variabilidad

Ejemplo 1 Suponga que las notas de la primera práctica de tres grupos del curso de Estadística General fueron: Grupo A B C

Notas 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 13 15 14 12 15 16 13 12 16 19 8 19 11 16 18 6 13 10 20

x

14 14 14

Analice las notas promedios de los tres grupos grup os de Estadística general. Solución Del cuadro se observa que: a. Los grupos A, B y C tienen la misma media pero diferente dispersión en torno a la media. b. Respecto a la variabilidad o dispersión: A < B < C c. Respecto a la homogeneidad : A > B > C d. Respecto a la confiabilidad de la media: A > B > C 4.1 Principales medidas de variabilidad El rango El rango o amplitud de un u n conjunto de observaciones es igual a la diferencia d iferencia entre el valor máximo y el valor mínimo. Desventajas:

R = Xmax - Xmin

a. Queda afectada por valores extremos b. No mide la variabilidad de los datos intermedios in termedios

58



Ejemplo 2 El rango de la nota para el grupo B es: RB = 16 – 12 = 4 puntos. Esto indica que la amplitud de la nota de la primera práctica del grupo B fue de 4 puntos. El rango intercuartil El rango intercuartil, se define como la diferencia entre el percentil 75 (P 75 = Q3) y el percentil 25 (P25 = Q1). RI = P75 - P25  

El RI excluye el 25% más alto y el 25% más bajo, dando un rango dentro del cual se encuentra el 50% central de los datos. Un RI pequeño indica alta homogeneidad o pequeña variabilidad dentro del 50% central de los datos.

Ejemplo 3 Para el grupo C: P75 = 19 y P 25 = 9.5, entonces el rango intercuartil: RI = 19 – 9.5 = 9.5 puntos. Esto indica que la amplitud del 50% central de las notas de la primera práctica para el grupo C fue 9.5. La variancia y la desviación estándar

 N 2      X j       X j  N  2  N j 1 N  j 1  n n 2 2  1 1  2 2 S  X j  X    X j n X   n  1 j 1 n  1  j 1  1

2

Variancia poblacional: Variancia muestral: Desviación estándar muestral:

S

Para una tabla de frecuencias:

S 

S



2

N

1

2

2

1

k



n  1 i 1

fi ( X i  X )  2

k

1 n 1

(

 i 1

2

f i X i2  n X )

Se observa que la variancia está dada en las mismas unidades que la variable en estudio al cuadrado. Por ejemplo si las unidades de las observaciones son son Kg. entonces la 2 variancia se expresa en Kg . Ejemplo 4 Halle la variancia y desviación estándar muestral de las notas para cada uno de los grupos. 10

Grupo

 xi

2

Notas

x

i 1

A B C

14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 13 15 14 12 15 16 13 12 16 19 8 19 11 16 18 6 13 10 20

14 14 14

1960 1980 2192

Solución Grupo A:

  1 S A  1960  10 x14   0 y S A  0   xi  n x    n  1  i 10 1   1  1 S B  1980  10 x14   2.22 y S B  2.22  1.49   xi  n x   n  1  i  10  1 2

1

10

2

2

2

1

10

Grupo B:

2

2

2

2

1

59



1   S C  2192  10 x14   25.78 y S C    xi  n x    10 1 n  1  i 

Grupo C:

1

2

10

2

2

2

25.78

 5.08

1

Se observa que a mayor variabilidad entre las observaciones, la variancia es mayor. Esta comparación se cumple siempre cuando los promedios sean similares. Se observa que la variabilidad promedio de las notas de la primera práctica del grupo B es 1.49 puntos. Coeficiente de variabilidad El coeficiente de variabilidad es una medida de dispersión relativa (no tiene unidades) y se define como la razón entre la desviación estándar y la media aritmética de un conjunto de observaciones. Coeficiente de variabilidad poblacional:

CV



  s

Coeficiente de variabilidad muestral:

cv 

 100

 100

x

Ejemplo 5 Halle el coeficiente de variabilidad de las notas de la primera práctica para cada grupo. Grupo A:

cv A



Grupo B:

cv B



Grupo C:

cvC



S A

x100

x A S B

x100

0 

1.49 

x C

x100



0

x100



x100



14

x B S C

x100

14

5.08 

14

10.6%

36.3%

Esto indica, que la variabilidad de la nota de la primera práctica del grupo C es 36.3% y por lo tanto es el más heterogéneo por tener mayor cv en comparación con el grupo A y B. Ejemplo 6 Los siguientes datos corresponden al tiempo (en minutos), al cabo del cual se duermen las ratas después de haber recibido un tipo de tranquilizante (A o B). Tipo A n 18 ratas 9.94 min x s 2.81 min

Tipo B 20 ratas 15.2 min 2.84 min

¿Con qué tranquilizante el tiempo es más homogéneo? cv A

2.81 

9.94



100  28.27 %

cv B

2.84 

15.2

 18.68

%

Se concluye que con el tranquilizante B se obtienen observaciones más homogéneas que con el tranquilizante A.

60



Ejercicio 1. Los siguientes datos corresponden a las mediciones de la emisión diaria (en toneladas) de óxido de azufre de una planta industrial. 15.8 26.4 17.3 11.2 23.9 24.5 13.9 9.4 22.7 18.5 15.2 11.0 7.7 20.0 16.2 Calcule e interprete las medidas de variabilidad (Rango, Rango intercuartil, Varianza, Desviación estándar y Coeficiente de variación).

Comparación de la variabilidad Para comparar la variabilidad entre dos o más conjuntos de datos, se debe considerar: Unidades de medidas diferentes cv1 con cv2

Unidades de medidas iguales Medias similares

Medias diferentes

S1 con S2

cv1 con cv2

El cuadro indica que cuando se compara la variabilidad de dos conjuntos de datos, si las variables tienen unidades de medidas diferentes; se debe usar los coeficientes de variación; mientras si las variables tienen unidades de medida iguales, ig uales, se debe observar si las medias son similares para usar la desviación estándar y en caso que las medias sean diferentes usar el coeficiente de variación.

61



Ejercicio 2. En el siguiente cuadro se muestra las medidas estadísticas de las ventas (soles) y tiempo extra (horas) de los vendedores v endedores de dos zonas (A y B). Desviación estándar

Promedio

Coeficiente de variabilidad

Zona

Ventas

Tiempo

Ventas

Tiempo

Ventas

Tiempo

A

236.3

3.5

82.6

1.5

35.0

42.9

B

450.5

3.6

98.5

2.8

21.9

77.7

a. Las ventas de la zona A son menos variables que las de la l a zona B. Justifique.

b. El tiempo extra de la zona B muestra más variabilidad que la zona A. Justifique.

c.

Para la zona A, las ventas son más variables vari ables que el tiempo extra. Justifique.

Transformación de datos Sea la variable Y, entonces se cumple: 2

2

Y



a



bX

2

S Y



b S X

S Y



bS X

Ejemplo 7 En una empresa industrial desea mejorar la l a productividad de los obreros, para tal efecto se escogió uno de los productos p roductos de la empresa para hacer el análisis, y se tomó el tiempo que demoran 20 trabajadores del primer turno en ensamblar el producto, obteniéndose los tiempos siguientes (en minutos): Variable C1

Media StDev 3.525 1.723

Varianza 2.967

CoefVar 48.87

Q1 1.975

Mediana Q3 3.250 5.125

a. El Gerente de Producción, considera que la muestra de obreros es muy pequeña, por lo tanto dispone se incremente con 5 trabajadores más, los cuales demoran 2.5, 2.8, 4.3, 5.1, 5.5 (en minutos) para ensamblar el producto, encuentre e interprete interprete la media, la mediana y la moda de los tiempos de los 25 trabajadores juntos. Media con 20 trabajadores Media de 5 trabajadores Media con 25 trabajadores

: 3.525 : (2.5+2.8+4.3+5.1+5.5)/5= 4.04 : (20*3.525+5*4.04)/25= 3.628 62



b. Inspeccionando el cronómetro con que se registró los tiempos se encontró que éste estaba excediendo la medición en 0.1 minutos. ¿Cuáles serían entonces las reales medidas halladas en a)? Media = 3.525-0.1=3.425 Mediana = 3.25-0.1=3.15 S= 1.723 CV = 1.723/3.425*100 = 50.3%

Ejercicio 3. Considere los datos del ejercicio 2. Suponga que la empresa decide hacer un pago adicional por las horas extras. A los vendedores de la zona A, se les pagará S/ 10.0 por cada hora extra más S/. 50 por movilidad. A los de la zona B, se les pagará S/ 15.0 por cada hora extra. Calcule la desviación estándar y coeficiente de variabilidad para estos pagos adicionales

Ejercicio 4. Los sueldos de 100 empleados de una empresa tienen una media de $300 y una desviación estándar de $50. Se proponen dos alternativas de aumento A: $75 a cada uno B: 15% del sueldo más $20 a cada uno. ¿Cuál alternativa es la más conveniente?. Justifique su respuesta. a. Si la empresa dispone solo de $37000 para pagar sueldos

b. Si la empresa quiere homogeneizar los sueldos.

63



EJERCICIOS PROPUESTOS 1. En el mes de Julio el sueldo promedio de los l os trabajadores del Sector Educación fue de $200 dólares. Para el mes de Agosto se considera un aumento del 37% con respecto al sueldo del mes anterior más un adicional de $35 dólares. Si se obtuvo una desviación estándar igual a $ 3.15 en el mes de Julio. ¿Se puede afirmar que la distribución de sueldos en Julio fue más homogénea? 2. En una industria el jornal diario de sus obreros tiene una media de $10 y una desviación estándar de $2. Si se hace un incremento del 20% en cada jornal y una bonificación adicional de $3. ¿En qué porcentaje cambio el coeficiente de variación de los jornales? 3. Los sueldos de 100 empleados de una empresa tienen una media de $300 y una desviación estándar de $50. Se proponen dos alternativas de aumento i) $75 a cada uno ii) 15% del sueldo más $20 a cada uno ¿Cuál alternativa es la más conveniente? a) Si la empresa dispone solo de $37000 para pagar sueldos. b) S la empresa quiere homogeneizar los sueldos 4. Si 80 artículos tienen un variancia de 4.2 Kg 2 y un P40 = 43.4 Kg y se sabe que el instrumento de medición utilizado no estaba calibrado y pesó a los artículos con un 25% más de su peso. Halle la verdadera variancia y el verdadero P40. 5. En un estudio sobre garbanzo se consideró la variable altura de planta y en una muestra de 14 plantas se tiene: 55.7, 57.6, 58.5, 58.7, 58.8, 59.3, 59.4, 59.6, 60.0, 59.8, 60.1, 60.2, 60.3, 63.1. Calcule e interprete la variancia variancia muestral y P75. Si a cada observación se le multiplica por 1.8 y a cada resultado se le resta 3 halle la nueva variancia muestral y el nuevo P 75. 6. Se tiene una muestra muestra aleatoria de tamaño tamaño 20 con media 5 y variancia igual a 0.36, si a cada observación observación se le incrementa un 20% de su valor más más una cantidad de 4 unidades: 1. Calcule el coeficiente de variación de los datos transformados. 2. De la pregunta anterior, ¿qué conjunto de datos presenta mayor variabilidad, los datos transformados o los datos iniciales? 7. El sueldo promedio de los empleados de una empresa para el mes de Julio fue de S/. 1500 y un coeficiente de variabilidad de 30%. Si la gerencia decide dar un aumento del 8% más un monto por viáticos de S/. 200 cada mes. Calcular el coeficiente de variabilidad para el nuevo sueldo. 8. Para evaluar la efectividad de sus empleados, una empresa dedicada a la venta de teléfonos celulares ha recopilado la siguiente información sobre el número de teléfonos vendidos en la última semana por sus 64 empleados: Número de empleados 13 15 16 8 5 4 3 Número de ventas 5 6 7 8 9 10 11 a. Calcule e intérprete las medidas de variabilidad. b. La empresa le paga a sus empleados 100 soles semanales más una comisión de 40 soles por celular vendido y sobre estos ingresos los empleados deben aportar el 15% a su AFP. Calcule el promedio y la desviación estándar para el ingreso i ngreso neto promedio semanal por empleado.

64



9. Los sueldos de 150 trabajadores de una empresa tienen un coeficiente de variación del 5% en el mes de agosto. Para el mes de septiembre hay un aumento a cada trabajador del 20% de sus sueldos más una bonificación de $60 y el coeficiente de variación baja a 4%. a) Calcule la media y la desviación estándar de los sueldos del mes de agosto. b) ¿Cuánto dinero adicional necesita la empresa para pagar todos los sueldos del mes de septiembre? .

El banco “Nuevo Continente” cuenta con sucursales en LA Molina y Los Oli vos. El 10. gerente de crédito selecciona al azar algunas solicitudes de préstamo que han sido aceptadas en cada una de las sucursales y resume de manera independiente la información correspondiente al monto de préstamo otorgado (en miles de nuevos soles) en los siguientes diagramas de tallos y hojas: Tallo y Hojas de La Molina Unidad de la Hoja = 0.10 1 4 (4) 5 4 3 1

4 4 5 5 6 6 7

3 678 2244 5 4 99 4

N

= 13

Tallo y Hojas de Los Olivos Unidad de la Hoja = 0.10 1 3 3 5 5 7 7 6 3 2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

N

= 14

6 01 08 14 5 069 1 45

a) Calcule e interprete las medidas de variabilidad para la sucursal de La Molina. b) ¿Qué conjunto de datos presenta mayor variabilidad? c) Para la sucursal de los Olivos el interés que cobra el banco corresponde al 5% del monto otorgado como préstamos más 20 nuevos soles por gastos administrativos. Mientras que para la sucursal de la Molina, se cobra 4.5% del monto otorgado. Se puede decir que el interés que cobra la sucursal La Molina es menos variables que el que cobra los Olivos. 11. En el mes de Marzo el sueldo promedio de los trabajadores del Sector Educación fue de $180 dólares. Para el mes mes de Abril se considera un aumento del 25% con respecto al sueldo del mes anterior más un adicional de $40 dólares. Si el coeficiente de variación del mes de Marzo fue de 0.15. ¿Se puede afirmar que la distribución de sueldos en Marzo fue más homogénea? 12. Los sueldos de 150 trabajadores de una empresa tienen un coeficiente de variación del 5% en el mes de agosto. Para el mes de septiembre hay un aumento a cada trabajador del 20% de su sueldo más una bonificación de $60 y el coeficiente de variación baja a 4%. a) Calcule la media y la desviación estándar de los sueldos del mes de agosto. b) ¿Cuánto dinero adicional necesita la empresa para pagar todos los sueldos del mes de septiembre?

65



Preguntas de Autoevaluación

1. La medida de variabilidad que mide la amplitud del 50% central de los datos, se __________________________________ _______________________. _________. denomina ____________________

2. La medida de variabilidad para medir el grado de homogeneidad del peso y talla de una muestra de 100 estudiantes es _____________________________ 3. ________________ es una medida de variabilidad que es afectada por valores extremos. 4. Si el cv=30% y el promedio es 2, entonces para Y=5-2X, su cv es igual a ________________________ 5. Se sabe que en una muestra de 50 familias de una zona rural, 25 tienen 6 hijos, 15 tienen 5 hijos, 8 tienen 4 hijos y el resto 3 hijos. hij os. Entonces el coeficiente de variación del número de hijos es igual a ___________________________. 6. Se tiene que el sueldo de los 120 trabajadores de una empresa tiene un coeficiente de variabilidad del 8% en el mes de julio. Para el mes de agosto hay un aumento para cada trabajador del 25% de su sueldo más una bonificación de $40, lo cual hace que el coeficiente de variabilidad sea del 4%. La media y la desviación estándar de los sueldos del mes de agosto son ____________ y ______________. 7. Si las variables X e Y son independientes y para para a y b constantes, constantes, entonces la Var(aX + bY) es igual a __________________________ 8. En una distribución simétrica la mediana es 4 y el coeficiente de variabilidad es 20%. El valor de la desviación estándar es ______________________. 9. Si se sabe que en una plantación foresta, el 25% de los árboles tienen un diámetro menor a 0.85 cm y el 25% mayores a 0.92 cm. Entonces, la amplitud del 50% central de los diámetros es igual a _________________________. 10. Indique si es Verdadero (V) o Falso (F) cada uno de los siguientes siguient es enunciados: Item Enunciado a.

Si a cada valor de una variable se le multiplica por una constante (k), entonces el coeficiente de variación resulta multiplicado por k.

b.

El coeficiente de variabilidad es una medida de dispersión relativa y siempre es positivo. La desviación estándar es una medida que permite comparar dos conjuntos de datos que presentan diferentes unidades.

c. d.

La unidad de medida de la variancia siempre está al cuadrado.

e.

La desviación estándar está afectada por las unidades de medida.

V/F

66



CAPÍTULO V MEDIDAS DE ASIMETRÍA Las medidas de asimetría permiten determinar la forma de una distribución para un conjunto de datos en lo que se refiere a su simetría o asimetría. Objetivo. Al Objetivo. Al finalizar este capítulo el lector l ector debe ser capaz de cuantificar e interpretar i nterpretar la simetría o asimetría de una distribución. 5.1 Formas de una Distribución 

 

Distribución simétrica. Un simétrica. Un conjunto de datos muestra una distribución simétrica, si su curva guarda simetría con respecto al centro de los datos. Si la distribución es simétrica entonces   Me . Distribución asimétrica positiva. Si un conjunto de datos muestra una distribución asimétrica positiva o con cola a la derecha, entonces:   Me . Distribución asimétrica negativa. Si un conjunto de datos muestra una distribución asimétrica negativa o con cola a la izquierda, entonces: entonces:   Me .

Ejemplo 1 Los siguientes gráficos corresponden a la distribución de los ingresos mensuales (miles S/.) de muestras al azar de los clientes de d e tres sucursales (A,B y C) de una caja rural. Sucursal A

Sucursal B

X

X



me

Distribución simétrica





Sucursal C

me

X

Distribución asimétrica positiva o hacía la derecha



me

Distribución asimétrica negativa o hacía la izquierda

Las relaciones entre la media y la mediana descritas anteriormente, se cumplen con distribuciones unimodales (una sola moda).

5.2 Coeficiente de asimetría de Pearson Poblacional:

As

Propiedades



3   Me





3 X

Muestral:

as





me



s

1. Si as = 0 entonces la distribución es simétrica. 2. Si as < 0 entonces la distribución es asimétrica negativa o a la izquierda. 3. Si as > 0 entonces la distribución es asimétrica positiva o a la derecha. Un mayor (menor) valor del coeficiente de asimetría de Pearson indica un mayor (menor) grado de asimetría de la distribución de los datos. 67



Ejemplo 2 Recordemos los datos de los ingresos ing resos mensuales del Banco Comercial que se trabajaron en la parte de organización de datos. Con esa información información se tienen los siguientes valores: x 5.350 , me 4.700 , s 2.181 . 

Por lo tanto



as





3 5.350 5.350  4.70 4.700 0 2.181



0.89 .8941  0 , entonces la distribución de los ingresos

mensuales tiene una asimétrica positiva. Ejercicio 1. Se desea realizar un estudio sobre la utilización del agua en tres zonas rurales (A, B y C). Con esta finalidad se ha seleccionado al azar 8 casas de la zona A, 6 de la zona B y 10 de la zona C. Luego se registró el número nú mero de litros de agua consumidos por un día, los cuales se presenta en el siguiente cuadro: Zonas A 150 B 135 C 100

Número de litros de agua consumidos por día 135 120 110 160 180 155 165 110 105 125 750 140 110 115 280 130 140 175 120 130

145

Cálculo de medidas estadísticas con el MINITAB Estadísticas Descriptivas Variable Zona A Zona B Zona C

N 8 6 10

Variable Zona A Zona B Zona C

Minimo 110.00 105 100.0

Media 146.88 228 144.5 Maximo 180.00 750 280.0

Mediana 152.50 130 130.0 Q1 123.75 109 113.8

StDev 23.59 256 52.0 Q3 163.75 293 152.5

Calcule e interprete el coeficiente de asimetría de Pearson para el número de litros de agua consumidas para cada zona

68



5.3 Diagrama de cajas (Box plot) El diagrama de cajas (Box plot) es una técnica té cnica gráfica que nos permite determinar: 1. Los valores extremos (outliers), valores atípicos o datos discordantes. 2. La asimetría de la distribución que corresponde al 50% central de los datos. 3. La variabilidad del 50% central de dos o más conjuntos de datos. Valor Outlier Outlier

*

El bigote bigote super superio ior r se extiende al valor más alto q ue pert enece al int erval o de seguridad superior

Tercer Cuartil (Q3) Mediana

Primer Cuartil (Q1)



 

El bigote inferior se extiende al valor ás bajo que pertenece pertenece al int er valo de seguridad inferior

La caja contiene información del 50% de los datos ya que la línea inferior de la caja es el primer cuartil (Q 1 = P25), y la línea superior de la caja es el tercer cuartil (Q 3 = P75). La línea que divide a la caja es la mediana y su posición dentro de ella nos brindará información sobre la asimetría de la distribución del 50% central de datos. Los bigotes son las líneas que se extienden de la parte inferior y superior de la caja hasta la observación más alta o más baja dentro de los intervalos de seguridad.

Interpretación del diagrama de cajas: 1. Respecto a la Simetría o Asimetría. Para Asimetría. Para evaluar la asimetría en el 50% central de los datos se observa la posición de Q2 = P50   

Si Q2 está próximo a Q1, entonces la distribución de los datos presentan una asimetría positiva o hacía la derecha. Si Q2 está próximo a Q3, entonces la distribución de los datos presentan una asimetría negativa o hacía la izquierda. Si Q2 está en medio de Q 1 y Q3, entonces la distribución de los datos presentan una simetría.

2. Respecto a la variabilidad. En variabilidad. En el punto referido a la variabilidad sólo es aplicable al caso cuando se comparan dos o más distribuciones a través de la longitud (largo) de sus respectivas cajas. Presenta mayor variabilidad la distribución que tenga mayor longitud de caja, sin embargo, se debe advertir que este criterio para evaluar la variabilidad alcanza únicamente a la distribución del 50% central de datos. 3. Respecto a datos outliers. Son observaciones fuera de los límites inferior y/o superior y que se representan con asteriscos (*). Intervalo de seguridad inferior Intervalo de seguridad superior

ISI = Q1 – 1.5 (Q3 - Q1) = Q1 – 1.5 RIC ISS = Q3 + 1.5 (Q3 - Q1) = Q3 + 1.5 RIC

Si Xi < ISI, entonces X i es un dato atípico pequeño u outliers pequeño. Si Xi > ISS, entonces Xi es un dato atípico alto u outliers alto. 69



Ejemplo 3 Se tienen los pesos de 10 personas del aula A: 50, 52, 53, 54, 63, 64, 75, 76, 85, 120. Con estos datos se obtiene P25 = 52.75, P50 = me = 63.5, P 75 = 78.25, RI = Q3-Q1 = 25.5 Luego se calculan los intervalos de seguridad inferior y superior. ISI = P25 – 1.5 RI = 52.75 – 1.5 (25.5) = 14.5 ISS= P75 + 1.5 RI = 78.25 + 1.5 (25.5) = 116.5 Un valor es extremo si es menor que 14.5 o mayor que 116.5 120

110

100

90 A o s e P

80

70

60

50

Se aprecia que hay un outlier o valor extremo superior (120 Kg.  116.5) que se representa con un asterisco (*). En el caso inferior no existe ningún valor menor al límite inferior (14.5). El límite superior es 116.5. El bigote superior llega hasta el valor adyacente más alto dentro del límite superior (78.25 a 116.5). En nuestro ejemplo el bigote superior llega hasta 85. El límite inferior es 14.5. El bigote bi gote inferior llega hasta el valor adyacente más bajo dentro del límite inferior (14.5 a 52.75). En nuestro ejemplo el bigote inferior llega hasta 50. La asimetría del 50% central de los datos es positiva. Ejemplo 4 Si se tienen los pesos de 10 personas del aula B: 54, 54, 54, 55, 55, 55, 55, 56, 56, 56. Entonces P25 = 54, P50 = 55, P75 = 56, RI = 2, ISI = 51, ISS ISS = 59. 120

110

100

90

80

70

60

50 Peso A

Peso B

Peso A representa A representa la caja del ejemplo anterior y Peso B la B la caja del ejemplo que se está presentando. Se observa que en Peso B no B no hay valores extremos y que una caja más grande representa a datos más variables (Peso (Peso A es más variable que Peso B). B). Peso B es simétrica (se verifica que me  x  55 Kg ) 70



Ejercicio 2. Se sabe que un determinado contaminante industrial vertido sobre un ecosistema fluvial genera en las truchas anticuerpos. Se cree que el número de anticuerpos por cada unidad de sangre, puede ser distinta entre truchas hembras y machos, por lo que se ha seleccionado de un criadero de truchas, ubicado cerca de una industria que vierte el contaminante, una muestra de 70 truchas de las cuales 40 son hembras y 30 machos. Los datos obtenidos se resumen a continuación, según el grupo de hembras o machos. Gráfico de tallo y hojas para: Hembras N = 40 Unidad de hoja: 10 3 2 223 6 3 568 12 4 236899 19 5 0112249 (10) 6 0034456788 11 7 33779 6 8 9 5 9 08 3 10 00 1 11 1 12 1 13 4

Estadísticas descriptivas para: Machos Mean 673.0

SE Mean 45.2

StDev Minimo 247.8 290.4

Q1 476.6

Median 689.2

Q3 Maximo 833.3 8 33.3 1200

N 30

a. Complete el siguiente diagrama de cajas.

Cálculos:

71



b. Realice una comparación acerca de la posición, variabilidad, simetría para el 50% central y outliers de ambos sexos.

Ejercicio 3. Se ha desarrollado un experimento para evaluar el efecto de alimentos balanceados en la ganancia de pesos de pollos. Una muestra de 30 recibió re cibió el alimento A y otra muestra de 60 pollos el alimento B. Al cabo de 10 días se registraron la ganancia de pesos (en gr) Alimento A

93 98 100 102 107 109 110 110 111 111 113 114 115 116 118 118 119 119 120 120 120 124 125 128 129 129 130 135 138 181 Alimento B Tallo y Hojas de Alimento B Unidad de Hoja = 1,0 2 12 34 11 12 566788999 24 13 0000000011133 0000000011133 (12) 13 566678889999 24 14 001123 18 14 5669 14 15 0122 10 15 788899 4 16 0123 Variable A B

N 30 60

Media 117,40 139,60

StDev 11,57 11,46

N

= 60

CoefVar 9,85 8,21

Minimo 93,00 123,00

Q1 110,00 130,00

Mediana Q3 118,00 125,75 138,00 148,25

Maximo 181,00 163,00

a. ¿Cuál de los dos tipos de alimentos es menos variable? (Considerando el 100% de los datos)

72



b. Calcule e interprete el coeficiente de asimetría de Pearson para las ganancias de peso de los pollos alimentados con A y B.

c.

Construya un diagrama de cajas para las l as ganancias de peso de los l os pollos alimentados con A y B. Interprete y compare los diagramas de cajas. (respecto a la simetría en el 50% central de los datos, la variabilidad en el 50% de los datos y la presencia de datos outliers).

73



Práctica Dirigida N° 3 1. El gerente de una empresa financiera desea analizar el comportamiento de la rentabilidad de las acciones de las empresas mineras y pesqueras. Con esta finalidad se registra los índices de rentabilidad de una muestra de 12 y 15 empresas minera y pesquera respectivamente. Los datos se muestran a continuación:

6.0 7.2 7.9 10.2 10.8 12.2 12.8 13.8 14.0 14.0

Indice de rentabilidad Minera Pesquera Stem-and-Leaf Display: 16.8 Stem-and-leaf of x2 N = 15 18.2 Leaf Unit = 0.10 5 10 23899 (4) 11 2688 6 12 233 3 13 34 1 14 1 15 1 16 5

a) ¿Cuál debe ser el índice de rentabilidad como máximo para que una empresa minera este dentro del 35% de las de menor rentabilidad?.

b) ¿Qué tipo de empresa se debe escoger, si se desea de sea tener índices de rentabilidad más homogéneos?. Justifique su respuesta.

74



2. La siguiente salida de MINITAB corresponde al tiempo extra semanal (en horas) de los trabajadores de una empresa agroindustrial agroin dustrial de los turnos mañana y noche. Variable N Mañana 13 Noche 13

Mean 16.24 18.68

StDev 10.11 9.24

Minimum 4.5 8.9

Q1 10.2 12.15

Median 14.5 16.8

Q3 19.45 22.35

Maximum 45.6 38,5

a) ¿Cuál es la forma de la distribución de los tiempos extras para cada uno de los turnos?. Justifique su respuesta.

b) Si la empresa decide hacer un pago (en soles) de 12 a los trabajadores del turno de mañana por cada hora extra semanal más 50 por movilidad y a los del turno noche 7.5 por cada hora extra semanal. ¿Cuál de los turnos mostrará mayor variabilidad respecto a los pagos por horas extras semanal?. Justifique su respuesta.

75



c) Considere que los datos del tiempo extra semanal de los trabajadores de los turnos mañana y noche son los que se muestran en la siguiente tabla: Mañana 12.5 Noche 8.9

10.6 9.8 20.5 12.3 24.5 35.8

18.4 18.4 14.6

8.5 16.8

14.6 12.0

12.5 12.5 10.3

22.3 22.3 16.8

45.6 14.5 20.2 18.7

16.8 16.8 13.4

4.5 38.5

Complete e interprete el siguiente diagrama de cajas (variabilidad, datos atípicos y asimetría).

ss ss

76



EJERCICIOS PROPUESTOS 1. El siguiente gráfico (BoxPlot) muestra la información in formación sobre el nivel de ventas durante el último mes (en cientos de dólares) del detergente “Blanquito” en 18 tiendas

seleccionadas al azar. Las tiendas fueron clasificadas de acuerdo a los niveles socioeconómicos Medio-Alto y Medio-Bajo a la cual pertenece. 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 Medio-Alto

Medio-Bajo

a) Señale en cuál de los dos estratos socioeconómicos se presenta una mayor variabilidad. b) Señale el tipo de asimetría que presentan las tiendas de cada uno de los estratos socioeconómicos. 2. Una empresa que posee tres fábricas, ha observado el número de piezas diarias producidas por cada una de ellas durante diez días dí as elegidos al azar, obteniéndose los siguientes resultados: 10

 x

2

i

i 1

Fabrica A Fabrica B Fabrica C

103 106 105 102 1 02 108 109 101 110 105 107 111590 1 11590 115 112 99 98 107 113 108 114 96 94 112100 92 97 103 89 106 108 116 87 128 130 113610

a) Calcule e interprete la media y la mediana para el número de piezas diarias producidas por las fábricas A y C. b) La empresa recibe un pedido de 2111 piezas que debe ser entregado en un plazo de 20 días. ¿A cuál de las tres fábricas es más aconsejable encargarle el pedido? c) ¿Qué se puede afirmar acerca de la simetría de las piezas diarias producidas por la fábrica B? d) Elabore e interprete el diagrama de cajas para el número de piezas diarias producidas por las tres fábricas.

77



3. En la granja de la UNALM, se realizó un estudio con la finalidad de comparar el peso en Kg. (a los dos meses de nacido), de dos razas de cuyes: Inti y Andina. Para llevarlo a cabo, se seleccionaron al azar muestras de cada una u na de las razas, obteniéndose los siguientes resultados: INTI

ANDINA Tallo y Hojas de Andina Unidad de Hoja = 0.010 1 3 7 (5) 3 2 1 1

8 8 9 9 10 10 11 11

0.68

0.94

0.89

0.95

3 58 1234 56679 1 5

0.89

0.99

0.89

0.99

0.89

1.04

0.89

1.09

5

0.89

1.11

0.90

1.11

a) Halle e interprete la media y la moda para la raza Andina b) Construya el Diagrama de Cajas para la raza Andina, calcule sus componentes e indíquelo en el gráfico. Diagrama de Cajas del Peso 1.2

1.1

) .

1.0 g k n e (

0.9 o s e P

0.8

0.7

Andina Andina

Inti

c) Utilice el gráfico anterior para comparar la variabilidad y asimetría de las dos razas en estudio. 4. Para determinar la efectividad efectividad de un programa de seguridad seguridad industrial se recogieron los siguientes datos (horas hombres - perdidas por mes) empleando dos programas distintos (A y B) durante 12 meses tomados al azar. Tallo y Hojas de Prog A Unidad de Hoja = 1.0 2 (6) 4 1 1

Variable Prog B

0 1 1 2 2

N

= 12

68 022223 569 6

N 12

Media 7.750

StDev 2.491

Minimo 2.000

Q1 6.000

Mediana Q3 9.000 9.750

Maximo 10.000

a) ¿Cuál es la pérdida mínima de horas –hombres que debe tener el programa A para estar incluido en el 15% de lo que más horas-hombre pierden? b) Encontrar el rango intercuartílico del programa A.

78



5. Se realizó un estudio en la l a provincia de Tambo Grande (Piura), luego de la aplicación de un nuevo abono en el cultivo de dos variedades de mango: Kent y Haden. Los rendimientos en la producción obtenidos luego de la cosecha cosecha en Kg/Ha fueron los siguientes: Variedades N° de Ha 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Variedad Kent N° de Rend. Ha 9.0 12 11.9 13 12.6 14 12.6 15 12.6 16 12.8 17 12.8 18 12.8 19 12.9 20 12.9 21 13.1 22

Variedad Haden Rend.

Tallo y Hojas de Haden Unidad de Hoja = 0.10

13.1 13.2 13.5 13.5 13.7 13.8 13.8 14.1 14.1 14.3 15.1

8 (6) 8 4 1 1 1

Variable Kent

N 22

Mediana 13.100

StDev 1.164

Variable Haden

N 22

Media 11.836

StDev 1.422

10 11 12 13 14 15 16

N

= 22

22388999 266888 2233 344

5

Minimo 9.00 Minimo 10.20

Maximo 15.10 Maximo 16.50

Elabore un diagrama de cajas múltiple y presente sus conclusiones. 6. Lidercom es una institución dedicada a otorgar certificaciones de calidad ISO 9001 a empresas de bienes y servicios. La Firme está en proceso de evaluación por esta institución y una de las tareas es medir la satisfacción del personal de la empresa mediante una prueba con escala de 0 a 100 puntos. De una muestra de 40 trabajadores que laboran en la sede principal se principal se obtuvieron las siguientes puntuaciones: 74 71 69 88

89 74 66 80

82 50 93 85

83 64 53 85

67 72 98 72

81 44 70 81

68 66 95 90

85 84 82 89

81 69 81 80

72 81 80 97

a) Halle el rango intercuartíl (RI) de la distribución de la puntuación de los trabajadores de la sede principal. b) Usando el RI hallado en b, calcule el límite inferior y superior e indique si un valor es atípico (outlier) o no.

79



Preguntas de Autoevaluación 1. Si el coeficiente de asimetría de Pearson es 0.00001, se dice que los datos presentan una distribución _______________________________. 2. Si en un conjunto de datos la mediana es mayor que la media, entonces el coeficiente de asimetría de Pearson es ________________ y el conjunto de datos tiene una asimetría __________________________. 3. La diferencia de RI y el coeficiente de asimetría de Pearson, es que el RI mide la asimetría considerando __________________________ mientras que el As considera el _____________________ de los datos. 4. Si los cuartiles de los pesos (en kgrs.) de una muestra de 50 pollos son 1.9, 2.2 y 3.4 respectivamente, entonces se puede afirmar que la distribución del 50% central de los pesos tiene ____________________________________. 5. En un diagrama de cajas, para afirmar que la distribución del 50% central de los datos tiene una distribución asimétrica negativa, entonces se debe de cumplir que ______________________________.. ______________________________ 6. Si en un diagrama de cajas no existen datos atípicos, entonces el bigote inferior y superior son ____________________________________ respectivamente. 7. Si en un conjunto de datos, la mediana es 34.5% mayor que la media y el coeficiente de variación es 45%, entonces el coeficiente de asimetría de Pearson es igual a _____________________________ 8. Para mejorar los tiempos de atención en un Centro Comercial, sea determinado que los percentiles 25 y 75 de los tiempos de atención en el área de ropa femenina fe menina fue de 14.5 y 18.5 minutos y en área de ropa masculina fue de 6.5 y 12.5 minutos, entonces se puede decir que hay mayor variabilidad en el tiempo de atención en el área de ropa ____________________ porque _________________________. 9. En una distribución simétrica, la mediana es igual a 6 y la desviación de sviación estándar es 18, entonces el coeficiente de variación es igual a ________________________. 10. Indique si es Verdadero (V) o Falso (F) cada uno de los siguientes si guientes enunciados: Item Enunciado a.

Los límites de seguridad son dibujados en el diagrama de cajas

b.

Si en un diagrama de cajas, Q2 está próximo a Q 3, entonces la distribución de los datos presenta una asimetría negativa. Es similar usar el diagrama de cajas y el coeficiente de Pearson para medir la asimetría en un conjunto de datos.

c. d.

Cuando un conjunto de datos presenta una asimetría positiva, indica que los datos están concentrados en la parte izquierda.

e.

A partir de un diagrama de tallos y hojas se puede elaborar su diagrama de cajas.

V/F

80



CAPÍTULO VI PROBABILIDAD La probabilidad se refiere al estudio de la aleatoriedad y la incertidumbre. En el mundo cotidiano las personas continuamente van tomando decisiones desde las más simples hasta las más complejas, generalmente en condiciones de incertidumbre. La teoría de probabilidad nos proporciona métodos y técnicas adecuadas para cuantificar la incertidumbre por lo que es una herramienta importante en la toma de decisiones. Es común escuchar o leer expresiones como: a. Es probable que el índice inflacionario se mantenga durante los próximos dos meses. b. Hay un 50% de posibilidades de que el alcalde del distrito “X” busque reelegirse. c. Probablemente el próximo ciclo se ofrecerá por lo menos 7 grupos de ese curso. d. Se espera que por lo menos se vendan 15000 boletos para el partido de fútbol. Objetivo. Conocer Objetivo. Conocer los conceptos básicos de las l as probabilidades; las reglas o axiomas que la sustentan, así como, sus aplicaciones como medida de cuantificación de la incertidumbre. 6.1 Revisión de técnicas de conteo La regla del producto para n-uplas Supóngase que un conjunto está formado por grupos ordenados de n elementos (n-upla) (n-upl a) y que hay n 1 posibles opciones para el primer elemento; por cada opción del primer elemento hay n2 posibles opciones del segundo elemento;...; por cada posible opción de los primeros n – 1 elementos hay nk opciones del elemento n. Entonces hay: n1 x n2 x ... x n k posibles n – uplas. Ejemplo 1 El propietario de una casa desea efectuar algunas remodelaciones y requiere los servicios de un distribuidor de utensilios de cocina, de un contratista plomero y de un contratista electricista. Si, en la zona, hay 8 distribuidores de utensilios de cocina, 10 contratistas contratistas plomeros y 5 contratistas contratistas electricistas. ¿De cuántas formas formas se pueden seleccionar seleccionar estos tres servicios? Sea el evento A = {seleccionar los tres servicios} n(A) = n1 n2 n3 = (8)(10)(5) (8)(10)(5) = 400 3-uplas de la forma (Ui, P j, E k), así que hay 400 formas de seleccionar primero un distribuidor de utensilios de cocina, luego un plomero y, finalmente un electricista. Ejercicio 1. Un menú consta de tres platos; una entrada, un segundo y un postre. Si en la lista figuran 2 clases de entrada, 3 clases de segundo y 2 tipos de postre. ¿De cuántas formas se puede seleccionar los tres platos del menú?

81



La regla de la adición Si un experimento 1 ocurre de n1 formas, 2 de n2, ….., k de nk formas; entonces el experimento  que consiste en realizar 1 ó 2 ó ….. k (los experimentos no pueden realizarse juntos) ocurre de n 1 + n2 + … + nk formas. Ejercicio 2. Un producto se vende en 3 mercados. En el primer mercado se tienen disponibles 5 tiendas, en el segundo 4 y en el tercer mercado, 6 tiendas. ¿De cuántas maneras puede venderse el producto?

Permutaciones Cualquier secuencia ordenada de n objetos tomados t omados de un conjunto de N objetos distintos di stintos se llama permutación permutación de tamaño n de los objetos. El número de permutaciones de tamaño n que puede construirse con los N objetos (donde sí importa el orden) se obtiene por la regla del producto de la siguiente manera: N

P n





 N N  1 N  2

Utilizando factoriales se obtiene:

N !

N

P n

 N  n  2 N  n  1



 N





n !

Ejemplo 2 En un campeonato de fútbol participan 12 equipos ¿De cuántas maneras se pueden ocupar los tres primeros puestos? Sea el evento A = {Número de maneras que puede ocupar los 3 primeros puestos} Total de equipos : N = 12 Seleccionar 3 equipos: n= 3 N (A) =

12

P 3



12  11  10



1320

Ejercicio 3. Un club social está formado por 10 personas. ¿De cuántas maneras se puede formar una comisión integrada por un presidente, un secretario y un vocal?

Casos especiales: a) Permutaciones de N en N

N

P N



N!



N(N



1)( N 2)...1 

Ejemplo 3 Se tiene un grupo de 5 caballos para alquiler. Si llegan 5 personas para alquilar un caballo cada una de ellas ¿De cuántas maneras se puede hacer el alquiler? 5

P 5

 5!  5(5  1)(5 )(5  2).. 2)...1 .1  120 120 maner aneras as 82



b) Permutaciones con repetición. El número de permutaciones de N elementos, de los cuales son iguales entre si N 1, N2, N 3,..., Nk y donde N = N 1+ N 2 + N3 +...+ Nk, está dado por:

N !

N

P N

1, N2 , ...N k



N1 ! N 2 !...N k !

Ejemplo 4

En la casa comercial “El Palco” hay 4 sinfonías N° 9 de Beethoven, 5 Sinfonías N° 100 de

Haydn y 6 Sinfonías N° 36 de Mozart. Suponga que se seleccionan con restitución y considerando el orden de extracción 8 de estas obras maestras. a. ¿De cuántas maneras serán seleccionadas 5 sinfonías de Beethoven y 3 de Haydn?

 

n A



5

4



3

5



8

P 5,3



5

4



3

5



8! 5! 3!



7168000

b. ¿De cuántas maneras serán seleccionadas 2 sinfonías de Beethoven, 2 de Haydn y 4 de Mozart?

 

n A



4

2



2

5



6

4



8

P 2,2,4



4

2



5

2



6

4



8! 2! 2! 4!



217728000

Combinaciones Dado un conjunto de N objetos distintos, cualquier subconjunto no ordenado de tamaño n de los objetos se llama l lama combinación y se denota de la siguiente manera:

 N  N !     n  n !  N  n  ! Cuando haya N objetos distintos, cualquier permutación de tamaño n se obtiene al ordenar los n objetos no ordenados de una combinación combi nación en una de n! formas (donde no importa el orden) , así:

 N  P    n!  n  N n



 N  P n N N !      n  n! n !  N  n !

Ejemplo 5 Al poco tiempo de ser puestos en servicio, algunos autobuses fabricados por cierta compañía presentan grietas en la parte inferior del bastidor principal. Suponga que una ciudad tiene 18 de estos autobuses, y que han aparecido grietas en 5 de ellos. a. ¿De cuántas formas se puede seleccionar sin restitución y sin considerar el orden una muestra de 7 autobuses de los 18 para una inspección completa?  18  18 !  31824 Sea el espacio muestral  entonces n      7 7 ! 11 !   b. ¿En cuántas formas puede una muestra de 7 autobuses contener exactamente 3 con grietas visibles si la selección es hecha sin restitución y sin considerar el orden de extracción? Sea el evento A = {una muestra de 7 autobuses contiene exactamente 3 con grietas}  5   13  n A        7150  3   4  83



Ejercicio 4. Un club de Karate tiene 10 deportistas dep ortistas de los cuales 4 son cinturones negros a. ¿De cuántas maneras puede escoger sin restitución y sin considerar el orden de extracción a cinco karatecas para participar en un torneo?

b. ¿De cuántas maneras puede escoger sin restitución y sin considerar el orden de extracción a cinco karatecas de tal manera que hayan 2 cinturones negros?

6.2 Conceptos básicos de probabilidad Experimento aleatorio (E) Un experimento aleatorio es todo proceso que consiste en la ejecución de un acto (o prueba) una o más veces (en las mismas condiciones) y cuyo resultado en cada prueba depende del azar (no se pueden predecir p redecir con certeza) pero que sin embargo, se pueden definir (si se pueden describir). Ejemplo 6 Suponga los siguientes experimentos aleatorios: E1 : Observar el número de la cara superior cuando se lanza un dado E2 : Registrar el sexo del recién nacido E3 : Observar el número de artículos defectuosos de un lote de 8. E4 : Anotar el número de clientes que llegan a un supermercado en una semana E5 : Observar el tiempo de duración de un foco de luz (horas) Espacio muestral ( ) El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados (llamados puntos muestrales) de un experimento aleatorio. Se considera a  es el conjunto universal. La cardinalidad de (número de elementos de un conjunto) se denota n( ). Ejemplo 7 Los espacios muestrales asociados a los anteriores experimentos aleatorios son: E1: 1 = {1,2,3,4,5,6} n(1)=6 Finito E2: 2 = {Hombre, Mujer} n(2)=2 Finito E3: 3 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8} n(3)=9 Finito E4: 4 = {0,1,2,. . . .} n(4)= ∞ Infinito numerable E5: 5 = {T/ 0 ≤ t < ∞} n(5)= ∞ Infinito no numerable 84



Ejemplo 8 Si se observan los sexos de tres tr es niños recién nacidos, el espacio muestral asociado será:  = {MMM, MMF, MFM, FMM, MFF, FMF, FFM, FFF} Ejemplo 9 Considere dos fábricas tales que en cada una hay 6 máquinas máquin as que fabrican un producto. Sea el experimento aleatorio que consiste en determinar el número de máquinas que están en uso en un día particular. Un resultado experimental indica cuántas máquinas están en uso en la primera fábrica y cuantas están en uso en la segunda (asuma que los resultados son igualmente posibles). El espacio muestral  será igual a:

0 1 Primera 2 fábrica 3 4 5 6

0 (0, 0) (1, 0) (2, 0) (3, 0) (4, 0) (5, 0) (6, 0)

1 (0, 1) (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)

Segunda fábrica 2 3 4 (0, 2) (0, 3) (0, 4) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (6, 2) (6, 3) (6, 4)

5 (0, 5) (1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5)

6 (0, 6) (1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)

Eventos Un evento es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Se dice que un evento es simple si está formado exactamente por un resultado y compuesto si consta de más de un resultado. Ejemplo 10 Si se observan los sexos de tres tr es niños recién nacidos, el espacio muestral asociado será:  = {MMM, MMF, MFM, FMM, MFF, FMF, FFM, FFF}. Hay H ay 8 eventos simples. Posibles eventos eventos simples: A={MMF} y B = {FMF}. Eventos compuestos pueden ser: C = {MFF, FMF, FFM} = {exactamente un bebe es de sexo masculino} D = {MMM, FFF} = {los tres bebes son del mismo sexo} Ejemplo 11 Con relación al ejemplo ejemplo 9, hay 49 eventos eventos simples. Ejemplos de eventos compuestos son: E = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} = {el número de máquinas en uso es el mismo para ambas fábricas} F = {(0, 3), (3, 0), (1, 2), (2, 1)} = {el número total de máquinas en uso es tres} G = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} = {a lo sumo una máquina está en uso en cada fábrica} Eventos mutuamente excluyentes Los eventos A y B son mutuamente excluyentes (o disjuntos) si no tienen resultados en común. O sea A  B   . Generalizando: Los eventos A 1, A2,..., Ak son mutuamente excluyentes si: Ai  A j    i  j  1, 2,  , k Ejemplo 12 En el Ejemplo 11 los eventos E y F son mutuamente excluyentes en cambio los eventos E y G no son mutuamente excluyentes. 85



Eventos colectivamente exhaustivos k

Los eventos A1, A2,..., A k son colectivamente exhaustivos si

 A j

 A1  A2   Ak  

j 1

Ejemplo 13 En el Ejemplo 10 los eventos C y D no son colectivamente exhaustivos. Evento complementario Para un evento A definido sobre un espacio muestral , el evento complemento de A, denotado por Ac está compuesto por todos los elementos que no pertenecen pert enecen al evento de A. Es decir, todo lo que le falta al evento A para ser el espacio muestral . Se cumple: A

c

c

 A   y A 

A  

Ejemplo 14 En el ejemplo 5, para el evento C = {MFF, FMF, FFM} su complemento es C c = {MMM, MMF, MFM, FMM, FFF} Ejercicio 5. Sea el experimento aleatorio observar el número de la cara superior cuando se lanza un dado. El espacio muestral:  = {1,2,3,4,5,6} Sean los siguientes eventos definidos: El número observado es impar: A1 = {1,3,5} El número observado es par: A2 = {2,4,6} El número observado mayor a 4: A3 = {5,6} a. Defina eventos mutuamente excluyentes y no mutuamente excluyentes

b. Defina eventos colectivamente exhaustivos y no colectivamente exhaustivos

c.

Defina eventos complementarios

86



6.3 Definiciones de probabilidad de un evento Definición clásica de probabilidad (a priori) Si un experimento aleatorio tiene n  resultados posibles y si n A de tales resultados corresponden a un evento A, entonces, siempre que los eventos simples de  sean mutuamente excluyentes e igualmente posibles, la probabilidad de que ocurra A es: P  A 

n A n



Número de casos favorables fav orables Número de casos posibles

Se dice que es a priori por que antes de realizarse el experimento se puede determinar cuál es la probabilidad de que ocurra A. Ejercicio 6. Una urna contiene 6 bolas blancas y 5 bolas negras. Si se extraen al azar y sin reemplazo 4 bolas de la urna. ¿Cuál es la probabilidad de que una bola sea de color blanco?

Ejercicio 7. Si se considera igualmente probable el nacimiento de un niño o una niña, en una familia que tiene tres hijos, ¿Cuál es la probabilidad de que a. existan dos mujeres y un hombre?

b. existan por lo menos dos mujeres?

c. existan al menos un hombre?

87



Ejercicio 8. Se tiene un grupo con 6 ingenieros, 4 economistas y 2 matemáticos ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar sin restitución 6 personas, existan 3 ingenieros, 2 economistas y 1 matemático?

Definición frecuencial de probabilidades (a posteriori) Si un experimento aleatorio se repite n veces, bajo las mismas condiciones, y n A resultados corresponden al evento A, la probabilidad estimada de A está A está dada por la frecuencia relativa del evento; es decir, P  A estimada  fr A  lim fr A probabilidad de A es: P  A  lim n 



lim lim n 

nA n

nA n

. Teóricamente la

.

Se dice que es a posteriori por que la probabilidad estimada se determina después de realizarse el experimento. Ejemplo 15 La siguiente tabla de frecuencias corresponde a las temperaturas promedio de 24 horas (C) registrados en cierto observatorio, en el mes de enero de cierto año: Temperatura 20.2-20.9 20.9-21.6 21.6-22.3 22.3-23.0 23.0-23.7 Número días 1 3 12 13 1

23.7-24.4 1

La probabilidad estimada que en un día del mes de enero, la temperatura promedio sea por lo menos 20.9 C pero menor que 23.0 C es P  A 

f 2  f 3  f 4 n



3  12  13 31

28 

31

.

Note que esta probabilidad se obtiene después de realizarse el experimento. Ejemplo 16 Se tienen 4 cuyes de tipo I, 6 de tipo II y 7 de tipo III. Cinco cuyes son seleccionados al azar. 1. ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de los cuyes seleccionados sean de tipo I y los otros 3 de otro tipo si la selección es sin restitución y sin considerar el orden de extracción? Solución

4 I 6 II 7 III N = 17, n = 5

88



El experimento aleatorio consiste en seleccionar, sin restitución y sin considerar el orden de extracción, 5 cuyes cuyes de un total de 17. El espacio muestral asociado asociado a este  N   17  experimento tendrá n        6188 puntos muestrales.  n   5  Sea el evento R = {obtener 2 de tipo ti po I y 3 de otro tipo}  4   13  n R  1716 n R        0.2773  2   3   1716 entonces: P  R   n  6188     2. Calcule la probabilidad de seleccionar 2 cuyes de tipo I, 3 de tipo II y 4 de tipo III si la selección es sin restitución y sin considerar el orden de extracción. Solución Sea el evento R = {obtener 2 de tipo ti po I, 3 de tipo II y 4 de tipo III}  46 7   23 4  n  R      P  R   n  17     9 Definición axiomática Sea  el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. La probabilidad de cualquier evento A de , es el número real r eal P(A) que satisface los siguientes axiomas: 1. P  A  0 , para todo evento A. 2. P    1 3. Si los eventos A1, A2, ..., A k son mutuamente excluyentes o sea si: Ai  A j    i  j  1, 2,  , k , entonces

 k  k P   A j    P  A j   P ( A1 )  P ( A2 )  ...  P ( Ak )    j 1  j 1 Propiedades de probabilidad 1. Para cualquier evento A, P(A c) = 1- P(A)

,

 

2. La probabilidad del evento imposible i mposible es cero. c

3. Para dos eventos A y B cualesquiera

P A

4. Para dos eventos A y B cualesquiera

P A  B



P 

 B





0

   P  A  B 

P B

  P  A  P  B   P  A  B 

89



Usando el Diagrama de Venn se tiene: A

A  B

B

c

A  B

A

c

 B

A





P A  B



P A  B



P A



P A



P A





c

c

c

c

 B c

  P  A  P  B  P  A  B

 A  P  A  B   B   P  B   P  A  B   B  1  P  A  B   B   1  P  A  B  c

 P

c

c

Ejemplo 17 Los registros de una planta industrial indican que el 12% de todos tod os los obreros lesionados ingresan a un hospital para recibir tratamiento, el 16% regresa al trabajo al día siguiente y el 2% ingresan a un hospital pero vuelven al trabajo al día siguiente. Si un obrero se lesiona: a. Halle la probabilidad de que ingrese en un hospital para recibir tratamiento o que regresará al día siguiente Sean los eventos:

H = {un obrero lesionado ingresa a un hospital para tratarse} T = {un obrero lesionado regresa al trabajo al día siguiente}

Datos: P(H) = 0.12, P(T) = 0.16, P(H T) = 0.02 Se pide P(HT) y por la propiedad 4: P(HT) = P(H) + P(T) - P(H T) = 0.12 + 0.16 – 0.02 = 0.26 En un diagrama de Venn también se apreciaría lo anterior. b. Calcule la probabilidad de que ingrese a un hospital pero no regrese al trabajo al día siguiente. Se pide P(HTc) y por la propiedad 3: P(HTc) = P(H) - P(H T) = 0.12 – 0.02 = 0.1 c. Determine la probabilidad de que no ingrese a un hospital ni regrese al trabajo al día siguiente. Se pide P(HcTc) entonces por Morgan y por la propiedad 1: P(HcTc) = P(HT)c = 1 - P(HT) = 1 – 0.26 = 0.74

90



d. ¿Cuál es la probabilidad de que ingrese a un hospital o no regrese al trabajo al día siguiente? Por las propiedades 3, 2 y 4: P(HTc) = P(H) + P(T c) - P(H Tc) = P(H) + (1 – P(T)) – ( P(H) – P(HT) ) = = 1 - P(T) + P(H T) = 1 - 0.16 + 0.02 = 0.86 0.86 Ejemplo 18 Se ha realizado una encuesta para determinar la adicción de alguna droga en diferentes profesionales. La encuesta se aplicó a 900 profesionales a los que se les preguntó si consumen alguna droga, los resultados se muestran en la siguiente tabla: Profesional

Consume alguna droga Si (S) No (Sc) 40 210 60 190 50 200 20 130 170 730

Abogado (A) Contador (C) Ingeniero (I) Médico (M) Total

Total 250 250 250 150 900

Si se selecciona al azar a un profesional, halle la probabilidad que el profesional seleccionado: a. Sea un contador o un abogado



  P ( A)  P (C )  P ( A  C ) 

P A  C

b. Sea médico y si consuma droga





P M  S

c.

20 900



250 900



250 900



0  0.5556

0.0222

No sea ingeniero y si consuma droga



c

P I



 P S 

S





 P I 



S

170 900



d. No consuma droga o sea abogado



c

P S



S 

 A  P

c



( A)  P S c

 P



50 900



A





40  60  20 900

730 900





250 210  900 900

0.1333



0.8556

Ejemplo 19 Se encuestó a 500 alumnos universitarios sobre cultura musical. 474 no identifican el Concierto para piano y Orquesta de Grieg, Grieg, 471 no identifican la Sinfonía N° 7 de Beethoven y Beethoven y 450 no identifican ninguna de estas obras. a. Calcule la probabilidad de que un estudiante universitario identifique las dos obras maestras en mención. Sean los eventos:

A = {Un estudiante no identifica la obra de Grieg} Grieg} B = { Un estudiante no identifica la obra de Beethoven} Beethoven}

Datos: P(A) = 474/500, P(B) = 471/500, P(AB) = 450/500 P(AB) = P(A) + P(B) - P(A B) = 495/500 495 P  A  B    P  A  B   1  P  A  B   1   0.01   500 c

c

c

91



b. ¿Cuál es la probabilidad que un estudiante identifique la obra de Beethoven pero no la de Grieg?



P A  B

c

 P  A 





P A B

47 474



500

450 

500

24 

500



0.048

Ejercicio 9. Para un estudio sobre cultura general se encuestó a 500 estudiantes encontrándose que: 20 habían leído “Ficciones” de Borges; 24 habían leído “El libro de Arena” de Borges y 464 no n o habían leído estas dos obras geniales. Si se selecciona un estudiante al azar: a. ¿Cuál es la probabilidad que haya leído ambos libros?

b. ¿Cuál es la probabilidad que haya leído “Ficciones” pero no “El Libro de Arena”

Ejercicio 10. En una habitación se encuentran 7 hombres mayores de 18 años, 8 hombres menores de 18 años, 10 mujeres mayores de 18 años y 5 mujeres menores de 18 años. Si se elige al azar una persona: a. ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que sea menor de 18 años o sea hombre?

92

UNA La Molina - Dpto. de Estadística e Informática c.


¿Cuál es la probabilidad de que no sea mayor de 18 años y sea mujer?

Ejercicio 11. La unidad de rentas de un distrito de Lima, afirma que el 60% de los contribuyentes han pagado el predial, el 20% arbitrios y el 8% ambos impuestos. Si se selecciona un contribuyente al azar: a. ¿Cuál es la probabilidad que haya pagado el impuesto predial o el de arbitrios?

b. ¿Cuál es la probabilidad que haya pagado el impuesto predial y el de arbitrios?

c.

¿Cuál es la probabilidad que no haya pagado el impuesto predial y ni el de arbitrios?

d. ¿Cuál es la probabilidad que haya pagado el impuesto predial y no el de arbitrios?

e. ¿Cuál es la probabilidad que no haya pagado el impuesto predial o ni el de arbitrios?

93



6.4 Probabilidad condicional Para dos eventos A y B de un espacio muestral, con P(B)  0, la probabilidad probabilid ad condicional de ocurrencia del evento A dado que el evento B ha ocurrido, está definida por:



P A B





P A  B



 

P B

Ejemplo 20 ¿Qué es más probable? Que una persona cualquiera tenga cáncer pulmonar o que una persona que fuma tenga cáncer pulmonar. pulmonar. Según los especialistas la probabilidad probabilidad de que tenga cáncer pulmonar una persona que fuma es mayor. Tenemos los eventos:

A = {una persona tiene cáncer pulmonar} B = {una persona fuma}

De acuerdo a los especialistas



P A B

  P  A

Ejemplo 21 La probabilidad que la construcción de un edificio termine a tiempo es 17/20, la probabilidad que no haya huelga es 3/4 y la probabilidad que la construcción construcción se termine a tiempo dado que no hubo huelga es 14/15; la probabilidad que haya huelga y no se termine la construcción a tiempo es 1/10. ¿Cuál es la probabilidad que a) la construcción se termine a tiempo y no haya huelga? b) no haya huelga dado que la construcción se terminó a tiempo? c) la construcción no se termine a tiempo si hubo huelga? d) la construcción no se termine a tiempo si no hubo huelga? Solución: Definimos los eventos: A = La construcción se termina a tiempo. B = No haya huelga. Tenemos: P ( A)

a) b)

c)

17 

P ( B)

20

P ( A  B)

P ( B / A)

c

P ( A

B

c

)



3 

P ( A / B )

4

P ( A / B) * P ( B)



15

*

15

3 4



c

P ( A

1

c

 B )



10

0.7

7

P ( A  B )



14 

14 

10 0.8235 17 P ( A) 20 1 c c 4 P ( A  B ) 10 0.4 c 3 10 P ( B ) 1 4 











d) c 14 P ( Ac  B) P ( B)  P ( A  B) P ( A  B) A )  1  1  P ( A / B)  1   0.0667 P ( B 15 P ( B) P ( B) P ( B)

94



Ejemplo 22 En una universidad el 70% de los estudiantes, son de Ciencias y el 30% de Letras; de los estudiantes de Ciencias, el 60% son varones y los de Letras son varones el 40%. Si se elige aleatoriamente un estudiante. Varones 42% 12% 54%

Ciencias Letras Total

Mujeres 28% 18% 46%

Total 70% 30% 100%

A = El estudiante elegido es de Ciencias. B = El estudiante elegido es varón. Calcular la probabilidad que: a) Sea un estudiante varón. P (B) = 0.54 b) Sea un estudiante varón, si es de Ciencias. P ( B / A)

P ( A  B) 

P ( A)

0.42 

0.70



0.6

c) Sea un estudiante de Ciencias, si es varón. P ( A / B )



P ( A  B) P ( B)



0.42 0.54



0.778

Propiedades de probabilidad condicional 1. 0  P  A / B   1 , para todo evento A y B 2. P  / B   1 3. Si los eventos A1, A2, ... , A k son mutuamente mutuamente excluyentes o sea si:  k  k Ai  A j    i  j  1, 2,  , k , entonces P   A j B    P  A j / B     j 1  j 1 4. P(A/B) = 1- P(A c /B)  / B  0 5. P   6. P Ac  B / C  P  B / C   P  A  B  / C  7. P  A  B  / C   P  A / C   P  B / C   P  A  B / C  

Ejercicio 12. Una empresa de turismo vende tres planes de viajes para la ciudad del Cusco y para la ciudad de Arequipa. En una encuesta realizada por internet, resultó la siguiente tabla de los porcentajes de clientes con las preferencias de los planes y las ciudades. Ciudad Cusco (C) Arequipa (A) Total

Plan 1 (P1)

Plan 2 (P2)

Plan 3 (P3)

Total

0.05 0.15 0.20

0.10 0.40 0.50

0.05 0.25 0.30

0.20 0.80 1.00

Si se selecciona al azar a un cliente que ha sido encuestado por internet:

95



a. ¿Cuál es la probabilidad de que desee viajar al Cusco y que no tenga preferencia por el Plan 1?

b. Si el cliente no prefiere el Plan 2, ¿cuál es la probabilidad de que prefiera el Plan 3?

c. Si el cliente no prefiere el Plan 1, ¿cuál es la probabilidad de que desee viajar a la ciudad de Arequipa?

Ejercicio 13. Durante el mes de diciembre del año pasado, el 50% de los clientes del centro comercial PLAZUELA compraron el producto “W”, el 40% compraron el producto “V”, y de los que compraron compraron el producto “V”, el 20 % compraron compraron el producto “W” . a. Si se elige un cliente al azar, encuentre la probabilidad de que no haya comprado estos productos.

b. Si del grupo de cli entes que no compraron el producto “W” se selecciona al azar un cliente, hallar la probabilidad de que haya comprado el producto “V” .

96



Ejercicio 14. En la Facultad de Agronomía se ha determinado que el 10% de estudiantes son aficionados al tenis y el 20% son aficionados al fútbol. Se sabe que, entre los aficionados al fútbol el 75% no son aficionados el tenis. Si se selecciona un estudiante al azar, hallar la probabilidad: a. No sea aficionado al ffútbol, útbol, pero le guste el el tenis.

b.

Que le guste sólo un deporte

c.

Le guste el tenis si se sabe que no es aficionado al fútbol.

6.5 La regla de la multiplicación Se sabe que:

establece que:



P A B





P A  B

 

P B



y





P B A



P A  B

 

P A



, de estas expresiones se

P  A  B   P  B P  A B  P  A P  B A

Generalizando: Sean los eventos A1, A2, ... , Ak entonces: P  A1  A2  A3    Ak   P  A1  P  A2 A1  P  A3 A1  A2  P  Ak A1  A2    Ak 1  97



Ejemplo 23 Si se eligen al azar 2 artículos de un cargamento de 250, de los cuales, 20 están defectuosos. Halle la probabilidad de que ambos estén estén defectuosos si: a. La selección es sin reemplazo Sean los eventos: Di = {el artículo seleccionado en el lugar i está defectuoso} D = {el artículo seleccionado en el lugar i no está defectuoso} c

i

  D   P  D  P  D

P D1

2

1

2

D1

   

20  19    250   249 

 0.0061

Otra manera de resolver este problema es con la definición clásica de probabilidad y utilizando las técnicas de conteo b. La selección es con reemplazo.(queda como ejercicio) Ejemplo 24 Si se eligen al azar 3 artículos de un cargamento de 250, de los cuales, 20 están defectuosos. 1. Halle la probabilidad de que los 3 estén defectuosos si: a. La selección es hecha sin reemplazo.  20  19  18   D2        0.0004  250  249  248  b. La selección es con reemplazo.(queda como ejercicio)

  D2  D3   P  D1  P  D2

P D1

 

D1 P D3 D1

6.6 La ley de probabilidad total Sean

los

eventos

A 1,A2,...,A k

mutuamente

excluyentes,

esto

es:

k

Ai  A j    i  j  1, 2,  , k , y colectivamente exhaustivos

 A j  A  A 1

2

  Ak  

j 1

 k  k entonces: P   A j    P A j  . Luego, para cualquier otro evento B:  j 1  j 1

P  B  P ( A1  B)  P ( A2  B)  ...  P ( Ak  B) 

k

 P  A

j

 B .

j 1 k

  

 P ( A1 ) P ( B / A1 )  P ( A2 ) P ( B / A2 )  ...  P ( Ak ) P ( B / Ak )   P A j P B A j



j 1

98



6.7 Teorema de Bayes Sean los eventos A 1, A2,..., Ak mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos con P A j  0 para j = 1, 2,..., 2,..., k. Entonces para cualquier otro otro evento B para el que P(B)  0 : P  Ah  B  P  A  P  B Ah   k h P  Ah B   P  B 

 P  A  P  B A  j

j

j 1

Como puede notarse en la igualdad anterior, se usa en el numerador la regla de la multiplicación y en el denominador la ley de probabilidad total. Ejemplo 25 Suponga que una caja C 1 contiene 4 esferas blancas y 2 azules y que q ue otra caja C 2 contiene 4 esferas blancas y 6 azules. La probabilidad de elegir la caja C 1 es el doble de probabilidad de elegir la caja C2. Si se elige al azar una caja y de ella se elige eli ge al azar una esfera, halle la probabilidad que: qu e esta proviene de la caja C 2. a) se elija una esfera azul si se sabe que b) se elija la caja C 2 y la esfera es azul. c) se elija una esfera azul. d) se haya elegido la caja C2 si la esfera elegida fue azul. Solución l u A z

1 a j a C l a r i g l e E

2/6

=

P(A/C1)

4/6

=

P(B/C1)

2/3=P(C1) B l a n c a

E l l u e g i A z r l a C a j 1/3 =P(C2) a 2 B l a n c a

6/10

=

P(A/C2)

4/10

=

P(B/C2)

a) Se elija una esfera azul si se sabe que esta proviene de la caja C 2 P(A/C2) =6/10 b) Se elija la caja C 2 y la esfera es azul P(C2  A) = P(C2)*P(A/C2)=1/3 * 6/10 = 6/30 c) Se elija una esfera azul P(A)=P(C1  A)+P(C2  A)= 2/3 *2/6+1/3*6/10=8/15 d) Se haya elegido la caja C2 si la esfera elegida fue azul P (C 2 / A) 

P (C 2  A) P ( A)



6 / 30 8 / 15

 3/8 99



Ejemplo 26 Los ingenieros de ventas 1, 2 y 3 estiman los costos de 30%, 20% y 50%, respectivamente, de todos los trabajos licitados por una compañía. Las probabilidades de cometer error grave, al estimar el costo, de los ingenieros son 0.01, 0.03 y 0.02 respectivamente. a. Halle la probabilidad de que se cometa error grave al estimar el costo en una licitación. Sean los eventos: A i = {el ing. “i” estima los costos de una licitación}, i = 1, 2, 3 E = {Se comete comete error grave al estimar el costo} Según los datos se tiene: P  A1   0.3

P  A2   0.2

P  A3   0.5

P  E A1   0.01

P  E A2   0.03

P  E A3   0.02

Aplicando la ley de probabilidad total: 003  0.006 006  0.01  0.019 019 P  E   P  A1  P  E A1   P  A2  P  E A2   P  A3  P  E A3   0.003

b. Si en una licitación en particular se incurre en un error grave al estimar los costos del trabajo. ¿Cuál es la probabilidad de que el ingeniero 2 haya haya cometido el error? Aplicando el teorema de Bayes y usando el resultado de la subpregunta a:





P A2 E

c.



   P  E 

P A2 P E A2





0.2  0.03 0.019



0.3157

Si en una licitación en particular no se incurre en e n un error grave al estimar los costos del trabajo. ¿Cuál es la probabilidad de que el ingeniero 3 haya hecho el trabajo? (se deja como ejercicio)

Ejercicio 15. Una empresa manufacturera tiene dos máquinas (M1 y M2) para producir un producto. El área de control de calidad a determinado que la máquina M1 produce el 60% de la producción total y la máquina M2 el restante. El 2% de las unidades producidas por la máquina M1 son defectuosos, mientras que la máquina M2 tiene una tasa de defectuosos del 4%. Si se selecciona un producto al azar: a. ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?

100



b. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido sido producido por la máquina M1, si se sabe que es defectuoso?

c.

¿Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso?

Ejercicio 16. En un vivero se tiene plantas de dos variedades (A y B) en un 35% 35 % y 65% respectivamente. Se sabe que cierta plaga ataca al 1% de las plantas de la variedad A y al 3% de las plantas de la variedad B. a. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una planta pl anta con plaga?

b. Si se elige al azar una planta y se encuentra afectada por la plaga ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la variedad B?

c.

Si se elige al azar una planta y no se encuentra afectada por la plaga ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la variedad B?

101



Ejercicio 17. El área financiera de una distribuidora di stribuidora de productos agrícolas ha observado que el 25% de las compras son pagadas en efectivo, el 30% son pagadas al crédito y el resto son pagadas con cheque. Se sabe que el 20% de las compras pagadas en efectivo, 60% de las compras a crédito y 90% 90 % de las compras pagadas con cheque; se hacen por un monto mínimo de $ 150. Si el agricultor Juan Pérez acaba de realizar una compra por un monto de $180, $180 , ¿cuál es lo más probable: qué haya pagado la compra, en efectivo, al crédito o con cheque?

6.8 Independencia de eventos Los eventos A y B son independientes si cuando ocurre uno de ellos esto no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro, o sea:

    P  B A  P  B  P A B  P A

En otras palabras, las probabilidades condicionales son iguales a las probabilidades incondicionales. Consecuencia: A Consecuencia: A y B son independientes si P  A  B   P  A P  B  . Lo anterior es un resultado de la definición de independencia y de la regla de la multiplicación. Teorema Si los eventos A y B son independientes entonces, también lo serán: 1. A y Bc 2. Ac y B 3. Ac y Bc Entonces se cumple:

 P  A P  A

 B 

P A  B c c c



B c





P  A  P ( B c )

  P ( B)  P  A  P ( B



P Ac





c



c

)

P  A  B   P  A  P ( B)  P  A  P ( B)

Nota: Los eventos A1 y A2 son condicionalmente independientes si: P  A1  A2 B   P  A1 B  P  A2 B  102



Ejercicio 18. En cierta ciudad la probabilidad de que llueva en un día cualquiera es 0.3 y de que ocurra un temblor en un día cualquiera es 0.4. Si estos eventos son independientes. Calcule la probabilidad de que en un día cualquiera: a. Llueva y haya un temblor

b. Llueva pero no haya un temblor

c. Llueva o haya un temblor

d. No llueva ni haya un temblor.

e. Llueva dado que ocurrió un temblor.

103



Ejemplo 27 La probabilidad de que se presente determinada enfermedad es 1/500 y un test para detectarla es 99% confiable (esto quiere decir que si una persona tiene la enfermedad la probabilidad de que el test de positivo es 0.99 y si una persona no tiene la enfermedad la probabilidad de que el test de negativo es 0.99). a. Si a Ud. le resulta el test positivo ¿Cuál es la probabilidad de que Ud. tenga la enfermedad? Solución Sean los eventos: B  Ud. tiene la enfermed enfermedad ad , A  A Ud. le corresp corresponde onde un test positivo positivo

 P( A / B )  0.99 Confiable en este contexto significa:  c c  P( A / B )  0.99 P  B A  

1

P  B  P  A B  P  B  P  A B   P  B c  P  A B c 

500



1 500

 0.99

 0.99 

499 500

 0.1655  0.01

b. Si a Ud. le resulta positivo en dos tests independientes ¿Cuál es la probabilidad de que Ud. tenga la enfermedad? Solución

A Ud. le corresponde un test positivo en el test i P  B  P  A1  A2 B  P  B A1  A2    P  B  P  A1  A2 B   P  B  P  A1  A 2 B  B



Ud. tiene la enfermedad

, Ai



c

1 

500 1 500

Note





c

0.99  0.99

0.99  0.99 

499 500

 

0.9516

0.01  0.01

que

aquí se ha trabajado P  A1  A2 B   P  A1 B  P  A2 B 

la

independencia

condicional:

Independencia de k eventos Utilizando la regla de la multiplicación generalizada y considerando independencia se obtiene la siguiente definición: los eventos A 1, A2, ... , A k son independientes si:

  A2    A   P  A1  P  A2  P  A 

P A1

k

k

Cabe mencionar que el teorema anterior también se cumple con k eventos. Nota: Los eventos A1 , A2 ,

, Ak son condicionalmente independientes si:

P  A1  A2 

 Ak B   P  A1 B  P  A2 B 

P  Ak B  104



Ejercicio 19. En la fabricación de cierto artículo se encuentra que se presenta un tipo de defecto con una probabilidad de 0.05 y defecto de un segundo tipo tip o con probabilidad 0.10. Si estos defectos ocurren independientemente ¿Cuál es la probabilidad de que un artículo seleccionado al azar a. tenga ambos defectos?

b. por lo menos tenga un defecto?

c.

Si se sabe que el artículo es defectuoso, halle la probabilidad de que este sólo tenga un tipo de defecto.

Ejemplo 28 En cierta población la probabilidad de que una chica mida más de 1.75 m es 0.08; de que tenga el cabello lacio es 0.22 y de d e que tenga un buen conocimiento de Estadística es 0.18. Si estas cualidades son son independientes. a. Halle la probabilidad de que una chica, que va a ser seleccionada al azar, tenga las tres cualidades. Solución Sean los eventos:

M = {la chica mide más de 1.75} L = {la chica tiene cabello lacio} lacio} E = {la chica chica tiene un buen conocimiento conocimiento de estadística} estadística} T = {la chica tiene las tres cualidades}

P T   P  M  L  E   P  M  P  L  P E   0.08  0.22  0.18  0.003168

b.

Halle la probabilidad de que una chica, que va a ser seleccionada al azar, tenga sólo 2 de estas cualidades. (queda como ejercicio) 105



Práctica Dirigida N° 4 1. Con la finalidad de conocer los hábitos, usos y preferencias de los usuarios de telefonía móvil, la consultora Comunication Fono encuestó a usuarios de telefonía móvil en la ciudad de Lima Metropolitana clasificándolos según su rango de edad y rango del tiempo diario que utilizan el celular para enviar whatsapp. Los resultados para una muestra de 445 clientes se presentan en el siguiente cuadro

Rango de edad (años) Joven(J)

[21 – 30> (T1) 40

Tiempo diario (minutos) [30- 39> [39 – 48> (T2) (T3) 72 8

[48 - 57] (T4) 110

Total 230

Adulto (A)

10

20

15

60

105

Adulto mayor (M)

15

25

30

40

110

Total

65

117

53

210

445

Si se elige al azar a un cliente, ¿cuál es la probabilidad? a) Que utilice un tiempo de a lo más 39 minutos para enviar whatsapp.

b) Que sea un adulto o utilice un tiempo mayor o igual a 39 pero menor a 48 minutos.

c) Que no sea un adulto mayor y ni utilice un tiempo de al menos de 48 minutos.

d) Si se sabe que un encuestado es un joven ¿Cuál es la probabilidad de d e que utilice un tiempo menor a 30 minutos para enviar mensajes de whatsapp?

106



2. Una compañía de seguro ha observado que el 65% de sus clientes han adquirido una póliza de vida, el 35% para su casa y el 15% de vida y casa. Si se selecciona a un cliente al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad que haya adquirido el seguro de vida y no para su casa?

b)

¿Cuál es la probabilidad que no haya adquirido un seguro de vida o ni para su casa?.

3. Un comerciante adquiere sacos de azúcar de d e dos azucareras nacionales (A 1 y A2). Se sabe que el 68% de los sacos proviene de A1 y el resto de A 2. Además, el 85% de los sacos que recibe de A1 y el 92% que recibe de A2 son de calidad extra. Si un saco de arroz se escoge al azar: (defina los respectivos eventos). a. ¿Cuál es la probabilidad que sea de calidad extra?.

b. Sabiendo que es de calidad extra, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la azucarera A1?.

107



c. Sabiendo que no es de calidad extra, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la azucarera A2?.

4. Las personas sospechosas de incurrir en lavado de activos pueden ser investigadas por Organismos Gubernamentales responsables. La probabilidad de ser investigada por el organismo gubernamental A es 0.009 y la probabilidad de ser investigada por el organismo gubernamental B es 0.018. Si estos eventos son independientes a) Calcule la probabilidad de que la persona sospechosa sea investigada por el organismo gubernamental A pero no por el B.

b) Calcule la probabilidad de que un persona sospechosa sea investigada por el organismo gubernamental A o por el B.

108



EJERCICIOS PROPUESTOS 1. De un grupo de personas, el 30% practica fútbol y el 40% juega ajedrez. De los futbolistas, el 50% juega ajedrez. Si se elige aleatoriamente una persona ¿Cuál es la probabilidad de que: a) juegue fútbol o ajedrez? b) practique sólo uno de estos deportes? c) no practique ni fútbol ni ajedrez? 2. De 20 personas que contrajeron cierta enfermedad al mismo tiempo y que fueron llevados a una misma sala de un hospital, 15 se recuperan completamente en 3 días; al cabo del cual, se escogen al azar 5 personas para un chequeo. a) ¿Cuál es la probabilidad que los 5 sean dados de alta? b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 4 sean dados de alta? c) ¿Cuál es la probabilidad que ninguno sea dado de alta? 3. De 200 familias, 80 compran el periódico A, 95 el periódico B y 40 no compran A pero si B. Si se selecciona selecciona una familia al azar, calcule la probabilidad de que: a) Compre A o B. b) Compre A pero no B. 4. En una ciudad el 60 % son hombres, el 20 % son de raza negra y el 8 % son hombres negros. Si se selecciona a una persona al azar azar de esa ciudad, halle halle la probabilidad de que sea una mujer de raza negra. 5. En una fábrica se seleccionó 200 artículos producidos durante un día y se encontró que 9 tienen fallas de tipo I, 10 tienen fallas de tipo II y 2 tienen ambos tipos de fallas. Si un artículo es seleccionado seleccionado al azar, halle la probabilidad de no tenga ninguno de estos tipos de fallas. 6. Una enfermedad X se puede presentar en forma maligna o benigna. Si se presenta en forma maligna da origen a un tumor cerebral con probabilidad 0.75, mientras que la forma benigna produce tumor en un 8 % de los casos. Se sabe además que la forma benigna es 7 veces más probable que la maligna. a) ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona que padece la enfermedad no le aparezca el tumor cerebral? b) Si alguien que padece esa enfermedad tiene tumor cerebral ¿Cuál es la probabilidad de que tenga la forma maligna? 7. La probabilidad de que un turista haga una reservación con más de una semana de anticipación es del 10% y la probabilidad de que un turista se inscriba en el tour completo ofrecido por el hotel es de 35%. Si la probabilidad de que se inscriba en el tour completo ofrecido por el hotel o haga la reservación con más de una u na semana de anticipación es del 40%, ¿Cuál es la probabilidad de que se inscriba en el tour completo ofrecido por el hotel si se sabe que hizo la reservación con más de una semana de anticipación? 8. En una investigación realizada a los conductores de taxis, se encontraron los siguientes resultados: el 20% son mujeres, el 10% de las mujeres tienen estudios universitarios; el 60% de los hombres no tienen estudios universitarios. Si se toma un conductor de taxi al azar y resulta que tiene estudios universitarios, ¿cuál es la probabilidad que sea mujer? 9. Sea A el evento de que un cierto libro de Estadística (primero) se encuentre prestado pr estado fuera de la biblioteca de la universidad, sea B el evento de que otro libro (segundo) sobre el mismo tema también se encuentre prestado. (Nota: los datos de la pregunta (a.) difieren de la pregunta (b.)) a) Si P(AB)= 0.2 y P(exactamente un libro esté prestado)= 0.5. Calcular P(AB) 109



b) Si P(Ac  Bc) = 0.3, P(Ac  Bc) = 0.9 0.9 y P(sólo el primer libro esté esté prestado)=0.4. Calcular P(A) y P(B) 10. Una planta armadora recibe microcircuitos provenientes de tres distintos fabricantes (A, B y C). El 52% del total de microcircuitos se compra de A, el 28% de B y el 20% de C. El porcentaje de microcircuitos defectuosos para A, B y C son 4%, 8% y 10% respectivamente. Si los microcircuitos microcircuitos se almacenan almacenan en la planta sin importar importar quién fue el proveedor: a) Diga, ¿cuál es la probabilidad que la planta no n o reciba microcircuitos del fabricante B? b) Si un circuito no está defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que no haya sido vendido por el proveedor C? 11. Suponga que una empresa dedicada a realizar revisiones técnicas tiene dos talleres A y B. Cada propietario o conductor elige al azar un taller para pasar por dos exámenes 1 y 2. Un vehículo aprueba la revisión técnicas si aprueba los dos exámenes. Para un vehículo que pasa por el taller A, la probabilidad que apruebe los dos exámenes es 0.85 mientras que para un vehículo que pasa por el taller B la probabilidad correspondiente es 0.9. Considerando que la l a elección del taller A es igual de probable que la elección del taller B. a) Halle la probabilidad que un vehículo apruebe la revisión técnica b) Si se sabe que el vehículo desaprobó la revisión técnica, ¿cuál es la probabilidad que haya escogido el taller B? 12. Un investigador afirma que, en cierta población, el 60% son hombres; el 70% de los hombres y el 45% de las mujeres tienen un coeficiente intelectual menor que el promedio. Si una persona de esa población tiene un coeficiente intelectual de por lo menos el promedio ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre? 13. Una fábrica confecciona en un día determinado 400 prendas para varones y 600 para mujeres. La probabilidad de que una prenda de mujer tenga falla es de 0.01 y la probabilidad de que una prenda de varón tenga falla es 0.02. Se elige de la producción del día una prenda al azar a) ¿Cuál es la probabilidad de que la prenda tenga falla? b) Si la prenda elegida no tiene falla, ¿cuál es la probabilidad de que no sea de d e mujer? c) Se eligen cuatro prendas, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos una u na prenda tenga fallas? 14. La probabilidad de que la construcción de un edificio se termine a tiempo es 17/20, la probabilidad de que no haya huelga huel ga es ¾, la probabilidad de que la construcción se termine a tiempo dado que no hubo huelga es 14/15, la probabilidad de que haya huelga y no se termine la construcción a tiempo es 1/10 a) Hallar la probabilidad de que la construcción se termine t ermine a tiempo y no haya huelga b) Hallar la probabilidad de que la construcción no se termine a tiempo si hubo huelga 15. Un estudio acerca de los trabajadores de dos plantas de una un a empresa manufacturera incluye la pregunta: “¿cuán efectiva es la gerencia p ara responder a las legítimas quejas de los trabajadores?”. En la planta 1, 48 de 192 trabajadores contestaron “poco efectiva”, una respuesta desfavorable; en la planta 2, 80 de 248 trabajadores respondieron “poco efectiva”. Se va a seleccionar aleatoriame nte a un empleado de la empresa manufacturera. Sea A el evento “el trabajador procede de la planta 1” y B el evento “la respuesta es desfavorable”.

a) Encuentre P(A), P(B) y P(A B) b) ¿son independientes los eventos A y B? c) Encuentre P(B/A) y P(B/A c), ¿son iguales?

16. Un cazador dispara 7 balas a un león enfurecido. Si la probabilidad de que una bala mate es 0.6. ¿Cuál es la probabilidad de que el cazador esté todavía vivo? 110



17. En cierta población de perros: el 40% son de raza Bóxer, 57% son machos y 32% tienen más de dos años. Asuma que estas tres cualidades son independientes. Si un perro va a ser seleccionado al azar calcule la probabilidad de que tenga sólo una de estas cualidades. 18. En un club hay 10 hombres y 12 mujeres. 4 de los hombres y 5 de las mujeres tienen Maestría. Si seleccionan al azar y sin restitución a 3 personas calcule la probabilidad de que las tres personas sean hombres o que tengan Maestría. 19. Un dispositivo tiene 3 partes que funcionan independientemente. Sus probabilidades de falla son: 0.2, 0.3 y 0.4 0 .4 para la primera, segunda y tercera t ercera partes respectivamente. Hallar la probabilidad de que al menos una de la partes falle. 20. Un lote consta de 10 artículos buenos, 4 con pequeños defectos y 2 con defectos graves. Se elige un artículo al azar. Encontrar la probabilidad de que: a) No tenga defectos. b) Tenga un defecto grave. c) Que sea bueno o que tenga un defecto grave. Si se escogen 2 artículos en vez de uno, calcule la probabilidad de que: d) Ambos sean buenos. e) A lo menos uno sea bueno. f) A lo más uno sea bueno. g) Ninguno tenga defectos graves. 21. En una serie de observaciones del tiempo de sobrevivencia de peces de una determinada especie en aguas contaminadas, un pesquero ha encontrado que el 95% sobrevive 20 días, el 78% sobrevive 40 días, el 33% sobrevive 80 días, el 6% sobrevive 100 días y ninguno sobrevive después de 120 días. Estime la probabilidad de los eventos: a) Un pez muere dentro de los primeros 20 días. b) Muere entre 40 y 100 días. c) Sobrevive a lo más 80 días. 22. En un salón de clases hay 40 personas. personas. 15 son hombres y 26 están en segundo ciclo de los cuales 18 son mujeres. Si se escoge un estudiante al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y no esté en segundo ciclo? b) Si se selecciona un estudiante y se observa que está en segundo ciclo, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? 23. Dos máquinas, A y B, producen el 35% y el 65% de las tuercas tuercas de una fábrica. Se sabe que el 10% y el 15% de las tuercas de cada máquina son defectuosas. a) Si en el mercado se encontró una tuerca defectuosa ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido producida por la máquina A? b) Si en el mercado se seleccionaron independientemente dos tuercas y resultaron defectuosas ¿Cuál es la probabilidad de que hayan sido producidas por la máquina A? 24. Para evaluar el resultado de una capacitación, un participante está rindiendo un test de 5 preguntas, donde cada una vale 2 puntos. Ya ha respondido dos correctamente corr ectamente y decide elegir al azar las tres respuestas que le faltan. a) Defina el espacio muestral. b) Si la calificación mínima aprobatoria es 6, ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe el test?

111



25. En una ciudad se estudia la cantidad de usuarios de Internet de acuerdo a ciertas variables. En el siguiente cuadro, se muestra la distribución de acuerdo a la Edad y Velocidad de Internet: Rango de Edad

Total

Velocidad de Internet

De 6 a 20 años

De 21 a 30 años

De 31 a 40 años

Más de 40 años

1 Mbps 2 Mbps 3 Mbps Total

150 55 25 230

80 30 10 120

50 20 5 75

50 20 5 75

330 125 45 500

a) ¿Cuál es la probabilidad que un usuario seleccionado al azar tenga una velocidad de 2 Mbps y tenga como mínimo 21 años? b) ¿Cuál es la probabilidad que un usuario seleccionado al azar tenga una velocidad de 1 Mbps o tenga a lo más 20 años? 26. En la Gerencia de CRM del Supermercado Desco trabajan diez Analistas. Seis de ellos son informáticos y los otros cuatro son Industriales. Para implementar una campaña comercial, se debe formar un equipo de cuatro miembros. ¿Cuál es la probabilidad que hayan dos informáticos en este equipo de cuatro? 27. Una compañía de desarrollo urbano está considerando la posibilidad de construir un centro comercial en un sector del sur de Lima, Perú. Un elemento vital en esta consideración es un proyecto de una autopista que una este sector con el centro de la ciudad. Si el gobierno municipal aprueba esta autopista, hay una probabilidad de 0,90 de que la compañía construya el centro comercial en tanto que si la autopista no es aprobada, la probabilidad es solo 0,20. Basándose en la información disponible, el gerente de compañía estima que hay una probabi lidad de 0,60 que la autopista sea aprobada. a) ¿Cuál es la probabilidad de que compañía construya el centro comercial? b) Dado que el centro comercial fue construido, ¿cuál es la probabilidad de que la autopista haya sido aprobada? 28. Un sistema consiste en tres componentes independientes: A, B 1 y B2. La probabilidad de falla es 0,01 para A, 0,02 para B 1 y 0,10 para B2. Si para el funcionamiento del sistema son necesarios los componentes A y al menos uno de los B, ¿cuál es la probabilidad de que el sistema funcione?

112



Preguntas de Autoevaluación 1. Determine el espacio muestral para los siguientes experimento aleatorios: a) Lanzar una moneda y un dado simultáneamente ________________________ b) Anotar el número de artículos defectuosos de un lote de seis ______________ c) Lanzar dos monedas a la vez _______________________________________ 2. Si se define el evento A={Todos los clientes cuyo gasto es menor a $500}, $500} , entonces c el evento A se define __________________________________________ ______________________________________________ ____ 3. Si en un grupo de 12 amigos de colegio, 5 desean viajar a la selva, 4 a la sierra y 3 a la costa por Semana Santa. Si se selecciona a tres personas al azar, la probabilidad que haya dos personas que deseen ir a la selva es igual a ____________________________________. ______________________________ ______. 4. Sean los eventos A1, A2,...,A k definidos sobre Ω, las condiciones que se debe cumplir para aplicar la ley de la probabilidad total es que los eventos sean ___________________________________________________________ ______________________________ _______________________________. __. 5. Si A y B son dos eventos independientes de Ω, entonces P ( Ac  B c ) / Ac es igual a _________________ siendo P ( Ac )  0 . 6. Si los eventos A y B definidos en el espacio muestral Ω son independientes, entonces P(Ac /B) es igual a _____________________ 7. En una encuesta por teléfono aplicada a los egresados de una entidad educativa superior, se encontró que el 66% de los encuestados prefieren ahorrar para comprar su carro, el 46% para estudiar una maestría maestría y el 16% para ambas cosas. cosas. Si se seleccionada al azar a un egresado encuestado, la probabilidad de que no ahorre para comprar su carro ni para estudiar una maestría es igual a ______________________________________ ______________________________ ________ . 8. Si P(T)=0.25 y P(S)=0.75, sabiendo que los eventos T y S son independientes, entonces P(T ᴜ Sc) es igual a: ______________________. 9. En un programa de asistencia técnica han participado 120 agricultores en la capacitación de dos técnicas de manejo de cultivo de frijol (A y B). Se sabe que 80 agricultores han usado la técnica A y el resto la B. De los que usaron la técnica A, el 65% han conseguido aumentar el rendimiento del cultivo de frijol frij ol y de los que usaron la técnica B sólo el 35% consiguieron aumentar su rendimiento. Si se selecciona al azar a un agricultor que participó el programa, la probabilidad que haya aumentado su rendimiento de frijol es igual a : _______________________. 10. Indique si es Verdadero (V) o Falso (F) cada uno de los siguientes enunciados: Item Enunciado a.

Para N objetos tomados de n en n, se pude decir que el número de combinaciones es mayor al número de permutaciones.

b.

Se dice que la probabilidad clásica que es a priori, porque se pude calcular la probabilidad de un evento antes de realizar el experimento. Para dos eventos A y B Ω, los axiomas de la definición clásica corresponden a: P(A)≥0, P(B)≥0;P(AᴜB)=1 y A∩B=Φ.

c. d.

Sean los eventos A1, A2, y A3 definidos sobre Ω, entonces si se cumple que A1 ᴜ A2 ᴜ Ak = Ω se puede afirmar que los eventos forman una partición de Ω.

e.

Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces también se pude decir que son independientes.

V/F

113



CAPÍTULO VII VARIABLES ALEATORIAS Se estudia las características y tomando en cuenta los conceptos de probabilidades para entender la definición de una variable aleatoria y su distribución de probabilidad asociada; así como hallar su media, la variancia y el coeficiente de variación. Objetivo. Objetivo. Al finalizar este capítulo el estudiante podrá entender el concepto de una variable aleatoria y las aplicaciones que tiene en la teoría de probabilidades p robabilidades y en el campo de la inferencia estadística. 7.1 Definición de variable aleatoria Una variable aleatoria es cualquier función que tiene como dominio a los elementos que constituyen el espacio muestral de un experimento aleatorio y como rango a un subconjunto de los reales.

7. 2 Clases de variable aleatoria Las variables aleatorias pueden ser:  Variables aleatorias discretas  Variables aleatorias continuas Variable aleatoria discreta. Si su rango es un conjunto finito o infinito numerable. Ejemplo 1 Sea el experimento aleatorio registrar los sexos de los próximos tres niños que van a nacer. Si se define la v.a.d. Y como el número de niños de sexo femenino que nacerán. Halle el dominio y el rango de Y. Solución: ={ MMM, MMF, MFM, FMM, MFF, FMF, FFM, FFF } Y(MMM) =0 Y(MMF) = Y(MFM) = Y(FMM) =1 Y(MFF) = Y(FMF) = Y(FFM) =2 Y(FFF) =3 Entonces RY = {0, 1, 2, 3}

114



Y = número de niños de sexo femenino que nacerán



R Y

0

MMM MMF MFM FMM

1

Y MFF 2

FMF FFM FFF

DY =

={

3

MMM, MMF, MFM, FMM, MFF, FMF, FFM, FFF } RY = {0, 1, 2, 3}

Ejemplo 2 Se va a registrar la variable aleatoria X definida como el número de autos que llegan por cada hora a una playa de estacionamiento entonces el dominio de X será el conjunto de todas las horas en estudio y el rango RX = {0, 1, 2, } Variable aleatoria continua. Si su rango es un conjunto infinito no numerable. Ejemplo 3 Se desea determinar el pH de un compuesto químico seleccionado al azar, entonces la variable aleatoria X definida como el pH del compuesto es una variable aleatoria continua con rango 0,14 7.3 Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta Sea X una variable variable aleatoria discreta. Se denomina función (ley, modelo o distribución) de probabilidad de X a la función f  x  definida por f  x  P  X x  para todo número real x, que satisface las siguientes condiciones: 

f  x  0

para x  R x

ii ) f  x   0

para x  R x

i)



 f  xi   1

iii)

xi R X

Ejemplo 4 Con relación al Ejemplo 1, halle la función de probabilidad de la v.a.d Y definida como el número de niños de sexo femenino que nacerán, asumiendo que los eventos simples son igualmente probables (o que P(M)=P(F)=1/2 y que M y F son eventos independientes). indepe ndientes). Solución: f 0  f 1 f 2  f 3





P Y





P Y

P Y P Y





1





0





2 3

P  MMM 

1 

8

P  MMF , MFM , FMM 





P  MFF , FMF , FFM  P  FFF 

3 

8 3



8

1 

8

La función de probabilidad también se puede representar de la siguiente manera: Y f  y   P Y  y 

0 1/8

1 3/8

2 3/8

3 1/8

Ejemplo 5 115



El número de unidades vendidas por día del artículo Z es una variable aleatoria tiene la siguiente función de probabilidad: x  1, 2 c, 1  , x  3, 4 f  x   P  X  x    8 2c, x  5, 6  0, otros valores de x Determine el valor de c. Solución Por propiedad: 1

1

 f  x  1  f 1  f 2  f 3  f 4  f 5  f 6  c  c  8  8  2c  2c  1

x R X

resolviendo la ecuación resulta

1 c



8

.

Ejemplo 6 Se tienen 6 impresoras, de las cuales 2 están defectuosas. Si se seleccionan 3 de ellas, sin reemplazo, determine la función de probabilidad de la variable aleatoria definida como el número de impresoras defectuosas seleccionadas. Solución Sean los eventos:

D0 = {obtener 0 impresoras defectuosas y 3 no defectuosas} D1 = {obtener 1 impresora defectuosa y 2 no defectuosas} D2 = {obtener 2 impresoras defectuosas y 1 no defectuosa}

Sea X = Número de impresoras defectuosas seleccionadas El rango es: R X = {0, 1, 2}  2   4       0 3 n D   4 f 0   P  X  0   P  D        n   6  20    3   2   4       1 2 n D1   12      f 1  P  X  1  P  D1    6  n  20    3   2   4       4 n D2   2   1  f 2  P  X  2  P  D2     n   6  20    3  0

0

La función de probabilidad queda definida:

0.2 x  0, 2  f  x   P  X  x   0.6 x  1 0 Otro caso 

116



Ejercicio 1. Una muestra aleatoria con reposición de tamaño n=2 se selecciona del conjunto {1, 2, 3} obteniéndose un espacio muestral: 

1,2  , 1,3 1,3 ,  2,1 , 2,2  ,  2,3 , 3,1 , 3,2 3,2 , 3,3 1,1 , 1,2

Sea X la variable aleatoria la suma de los dos números. Hallar la función de probabilidad de la variable aleatoria X.

Ejercicio 2. Un dispositivo está compuesto por tres elementos (A, B y C) que trabajan independientemente. La probabilidad de falla de cada elemento en una prueba es 0.1. a. Halle la función de probabilidad de la variable aleatoria X: número de elementos que fallan en una prueba.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que falle al menos un elemento en una prueba?.

117



Ejercicio 3. En un distrito de Lima el número de hijos por familia es una variable aleatoria con la siguiente función de probabilidad:



P X

 0;1 x  2;3 x4

0.5k k   x     2 .0 k 0

x

otra manera

a. Halle el valor de k para para que f(x) sea una función de probabilidad.

b. Si se escoge al azar una familia, ¿cuál es la probabilidad prob abilidad de que tenga por lo menos dos hijos?

7.4 Función de densidad de una v.a continua X La función f  x  de la v.a. continua X es su función de densidad si cumple con lo siguiente: 1. f  x   0 ,

x  R ,

f  x  no es una probabilidad por ejemplo f  x  =3.9 es posible.



2.

 f  x  dx  1  b

3. Si A   x a  x  b  P  A  P  a  X  b   f  x dx a

b

4. P  a  X  b   P  a  X  b   P a  X  b   P a  X  b    f x dx a

b

En general: general:

 a

n

X dx



n 1

b

n 1

a

X



b

n 1

 a n 1 n 1

118



Ejemplo 7 Suponga que el tiempo, en horas, que necesita un técnico para reparar cierta avería de un artefacto eléctrico es una variable aleatoria que tiene la siguiente función de densidad:

k  6  x  , 1  x  3 , para otros valores valores de x 0

f  x   

a. Halle el valor de k para que f(x) sea una función de densidad. 

Por propiedad:

 f  x  dx  1 , entonces, 



1

 f  x  dx   



3



3





  6  x dx  k  8  k  8

f  x  dx  f  x  dx  f  x  dx  k 1

cero

k  6 x 

3

cero

1

1

1   6  x  , 1  x  3 Entonces la función de densidad: f  x    8 0 , para otros valores de x b. Calcule la probabilidad de que un técnico demore por lo menos 1.8 horas pero menos de 2 horas en reparar esa avería. 2

A   x 1.8  x  2  P  A  P 1.8  X  2  

 1.8

c.

2

f  x  dx 

1

 8  6  x dx  0.1025

1.8

¿Cuál es el tiempo máximo que necesita un técnico para reparar cierta avería de un artefacto eléctrico para estar dentro del 18% de los que usan menor tiempo? P ( X  k ) k

 1.26



k

1

1 8

6  x dx  0.18

horas

Ejercicio 4. Sea la V.A. X: Peso de un artículo (Kg), cuya función de densidad d ensidad está dada por:

2  x, 1  x  2 f ( x)   3 0 Ot Otro ro caso caso a. Verifique que f(x) es una función de densidad

119



b. Halle la probabilidad de que un artículo pese entre 1 y 1.5 kg. kg .

c. Halle la probabilidad de que un artículo pese al menos 1.8 kg.

7.5 Valor esperado, esperanza matemática matemática o media de una variable aleatoria aleatoria X La media de una v.a X, que tiene como función de probabilidad f  x  , está dada por: 1.

 X

 E  X  

 x f x 

si X es una variable aleatoria discreta.

x R X



 x f  x  dx si X es una variable aleatoria continua.

2.  X  E  X  



Propiedades del valor esperado 1. 2.

Si c y d son constantes reales, entonces, E c X  d   c E  X   d Consecuencias de la propiedad 1: a. E d   d b. E  X  d   E  X   d c. E c X  c E  X  Si X e Y son v.a. y c, d son son constantes reales, entonces: entonces: E c X  d Y   c E  X   d E Y  Casos particulares: E  X  Y   E  X   E Y  

3.



E X  Y

4.

Si

X 1 ,

, X n

  E  X   E Y 

 n  n son v.a. entonces E   X i    E  X i   i 1  i1

7.6 La variancia de una variable aleatoria X La variancia de una v.a X está dada por el valor esperado de la función h X    X   X  , es decir:

2

2

 X



 

Var X





E X



 X

2



E ( X

2

)



( E ( X )) 2



E ( X

2

)



2



120



Propiedades de la variancia La variancia es un número real positivo que cumple con las siguientes propiedades: 1.

 

Var X



E X

2 

 X 2

Demostración 2 2 2 2 2 Var  X   E  X   X    E  X    X  2 X E ( X )  E  X    X  



2. Si c y d son constantes reales, entonces,

c

Var c X  d

2

 

Var X

3. Consecuencias de la propiedad 2: a. Var d   0 b. Var  X  d   Var  X  c. Var c X   c 2 Var  X  4. Si X e Y son v.a. independientes y c, d son constantes reales, entonces: Var c X  d Y   c 2 Var  X   d 2 Var Y  . Var  X  Y   Var  X   Var Y 

Casos particulares:



Var X  Y

  Var  X   Var Y 

  son v.a. independientes entonces Var   X   Var  X   1  1 n

5. Si

X 1 ,

, X n

n

i

i

i

i

Ejemplo 8 Suponga que una librería compra 6 ejemplares de un libro y el número de ejemplares vendidos en tres meses, tiene la siguiente función de probabilidad: X

1 1/8

f  x 

2 1/8

3 1/8

4 1/8

5 2/8

6 2/8

a. Halle el número de ejemplares que se espera vender en tres meses.  X

 E  X  

1

1

1

1

2

2

 x f  x   1 8  2  8  3  8  4  8  5  8  6  8  4 unidades

x R X

b. Halle la variancia variancia del número de ejemplares vendidos en tres meses. Por la propiedad 1 de la variancia: Var  X   E  X 2    X 2  X  E  X 2   2

1  x f x  1  8  2 2

2

x R X

2

1

1

1

2

2

8

8

8

8

8

  32   42   52   62 

 19

entonces: Var  X   E X 2   X 2 = 19 – 42 = 3 unidades2 c. Calcule el coeficiente de variación del número de ejemplares ejemplares vendidos en tres meses. meses. CV X 

 X  X

100 

3 4

100  43.3 %  100

121



d. Suponga que la librería compra compra 6 ejemplares de un libro a $10.00 cada uno, para venderlos a $20.00 teniendo en cuenta que al al terminar el periodo de 3 meses, meses, cualquier ejemplar no vendido se venderá a $7.00. Calcule la media, la variancia y el coeficiente de variación de la utilidad neta. Sean las variables:

X = número de ejemplares vendidos – 6 X = número de ejemplares no vendidos U = utilidad neta

U = 20 X + 7 ( 6 – X ) – 60 = 13 X – 18 , aplicando la propiedad 1 del valor esperado y la propiedad 2 de la variancia se tiene lo siguiente: E (U) = E (13 X – 18) = 13 E (X) – 18 = 13 (4) – 18 = $34 Var (U) = Var (13 X – 18) = 13 2 Var (X) = 13 2 (3) = 507 CVU =

507 34

 100  66.2 %

e. Calcule la probabilidad probabilidad de que la utilidad utilidad neta sea mayor que 34.



P U



34

  P 13 X  18  34  P  X  4   P  X  5  P X  6  

2 8



2 8

 0.5

Ejercicio 5. Sea la variable aleatoria X, definida como el número de artículos artí culos defectuosos producidos por día, cuya función de probabilidad es: 0.1, x  0 kx, x  1,2  f ( x)  P ( X  x)   k (5  x ), x  3,4 0 otro caso a. Halle el valor de k para para que f(x) sea una función de probabilidad.

b. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar por lo menos dos artículos defectuosos en un día d ía cualquiera?

122



c. Halle el valor esperado y el coeficiente de variabilidad.

d. Si la empresa estima que la perdida por cada artículo defectuoso por día es de $25.0 $2 5.0 y un gasto de reenvió de $4.5. Halle la pérdida p érdida media y el coeficiente de variabilidad.

Ejemplo 9 La v.a. continua X definida como la proporción de accidentes fatales por mes que ocurren en determinada ciudad tiene como función de densidad:

2 x , para 0  x  1 f  x    , para otros valores valores de x 0 a. Calcule la probabilidad de que la proporción de accidentes accidentes por mes sea menor que 0.4 0.4

P  X  0.4  P  0  X  0.4 

 0

 x  f  x  dx   2x dx  2   2 0.4

2

0

0.4

  x  2

0.4

 0.16

0

0

Nota: Nota: Como X es una v.a. continua se cumple que: 0.4

P  0  X  0.4   P  0  X  0.4   P  0  X  0.4   P  0  X  0.4  

 f  x  dx  0.16 0

b. Encuentre la proporción media media de accidentes fatales por mes en esa ciudad. 

 X

 E  X  

 

1

1





0

0

x f  x  dx  x  2x  dx 

2x

2

dx 

2

1

2

x   3 3 3

0

123



c. Halle la variancia de X. 

E  X

2

  x

1 2



1

f  x  dx  x



2

 2x  dx   2x

0

3

0

dx 

2

1

1

 x   4 2 4

0

2

1 2  X  E  X    E  X        2 3  18 2

2

2

1

d. Si Y=0.8X-0.02, calcule calcule la media y la variancia de Y. E(Y)=E(0.8X-0.02)=0.8E(X)-0.02= E(Y)=E(0.8X-0.02)=0.8E(X )-0.02= 0.5133

1 Var(Y)=Var(0.8X-0.02)= 0.82Var  X   0.82    0.0356  18  e. Halle la P Y  0.3



P Y



0.3  = P  0.8 X



0.02  0.3  P  X  0.4   0. 0.16

Ejercicio 6. Supóngase que la concentración que cierto contaminante se encuentra distribuida de manera uniforme en el intervalo de 0 a 20 partes p artes de millón (f(x)=1/20). Si se considera tóxica una concentración de 8 o más. a. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomarse una muestra la concentración de ésta sea tóxica?

b. Hallar el valor esperado y la l a varianza de la concentración de cierto contaminante.

c. Calcule la probabilidad de que la concentración de cierto contaminante sea exactamente 10

124



EJERCICIOS PROPUESTOS 1. El gerente de una empresa de transporte sabe que la distribución de la demanda de pasajes que diariamente solicitan a su agencia es la que se presenta a continuación. Los valores positivos indican que el número de pasajes solicitados exceden la capacidad del ómnibus, mientras que los negativos indican i ndican que la demanda de pasajes es menor a la capacidad del ómnibus. 0.05 X  15 0.15 X  10  f ( X )   0.55 X  0  0.1 X  10   0.15 X  15 a) ¿Cuál es la probabilidad que en un día la demanda de pasaje exceda la capacidad del ómnibus? b) ¿Cuál es la probabilidad que de tres días dí as seleccionados aleatoriamente dos de ellos tengan una demanda de pasajes igual a la l a capacidad del bus? c) El gasto (Y, en dólares) que ocasiona a los operadores logísticos cuando la demanda de pasajes no es igual a la capacidad del bus, puede expresarse expr esarse como: Y = 2|X|. Halle el gasto medio esperado. 2. El gerente de la empresa de juguetes plásticos le ha encargado al nuevo asistente que investigue sobre los registros de ventas de un tipo de camioncitos y como resultado ha calculado la siguiente distribución de probabilidades para sus ventas anuales. Unidades (ventas) 3000 4000 4500 5000 Probabilidad 0.2 0.4 0.2 0.2 ¿Cuántos camioncitos se esperaría vender el próximo año? 3. De acuerdo con el ministerio de transporte, se sabe que el número de accidentes por semana que ocurren en una empresa es una variable aleatoria X con función de distribución de probabilidades dado por: X f(x)

0 0.28

1 0.35

2 0.22

3 0.15

Otros valores 0

a) Hallar la media, la variancia y coeficiente de variación de X. b) Si en una semana se sabe que ocurrió al menos un accidente, ¿cuál es la probabilidad de que en dicha semana haya ocurrido exactamente uno? c) Si la empresa incurre en una pérdida semanal Y (soles) según el número de accidentes dada por: Y = 10 + 8X. Hallar la pérdida esperada semanal. 4. Cierta variedad de planta es sembrada en parcelas pa rcelas utilizando determinado fertilizante. Suponga que la producción X, en miles de Kilos por parcela es una variable aleatoria continua con la siguiente función de densidad: d ensidad:

k  x  1 , para 1  x  3 , para otros valores valores de x 0

f  x   

a) Halle el valor de k. b) Calcule la probabilidad de que una parcela tenga una producción de por lo menos 1500 Kilos pero menos de 2000 Kilos. 125



c) Si se eligen independientemente 10 parcelas, halle la probabilidad de que en 5 de ellas la producción sea mayor que 1000 kilos pero menor que 2000 Kg. d) Determine el valor de la media y la variancia de X. e) Un especialista ha establecido que debido a un nuevo fertilizante, la producción (en miles de kilos) es una v.a. Z=1.2X-0.08. Calcule la media y la variancia variancia de Z. f) Halle la probabilidad de que la producción con el nuevo fertilizante sea menor que 1733.4 kilos. 5. Si el peso X, de un artículo en Kg. tiene como función de densidad:  x  8 , para 8  x  10 f ( x)   2  0 , de otro modo a) Calcule E(X) y Var(X). b) Si el precio de venta es de 2 u.m. y el costo es de 1 u.m, garantizando g arantizando un reintegro cuando el peso es menor de 8.25 Kg. Halle la utilidad esperada por artículo. 6. Suponga que el número de accidentes por semana que ocurren en una empresa es una variable aleatoria X con con función de distribución de probabilidades dada por: X f(x)

0 0.28

1 0.35

2 0.22

3 0.15

Otros valores 0

a) Hallar la media y la variancia de X . b) La empresa incurre en una pérdida pérdi da semanal Y según según el número de d e accidentes dada por Y = = 10 + 8 X . Hallar la pérdida esperada semanal. c) Determinar la función de distribución acumulada. d) Si en una semana se sabe que ocurrió al menos un accidente, ¿cuál es la probabilidad de que haya ocurrido exactamente uno? 7. Juan Quispe planea gastar su gratificación en comprar un Blue Ray en Jim´s Video Service a un precio de US$300. Ahora tiene la opción de comprar una póliza de servicio extendido que ofrece cinco años de cobertura por US$100. Después de conversar con sus amigos y leer los informes, Juan cree que puede incurrir en los siguientes gastos de mantenimiento durante los próximos cinco años: GASTO

0

PRO PROBABI ABILIDAD 0,3 0,35 5

50

100

150

200

250

300

0,25 ,25

0,15 ,15

0,10 ,10

0,08 ,08

0,05 ,05

0,02 ,02

a. ¿Cuál es el valor esperado de los costos de mantenimiento pronosticados? b. ¿Debe Juan pagar US$100 por la garantía? Fundamente su respuesta 8. Sea la variable aleatoria X con la siguiente distribución:

a) b) c) d)

xi

p(xi)

0

a/9

1

2a/9

2 3

5a/9 a/9

Hallar a. Hallar E(x) y V(X). Hallar: E(Y) y V(Y), donde Y= 3X+4. Calcular P(Y>1)

126



Preguntas de Autoevaluación 1. El dominio de una variable aleatoria es ________________________ y su rango es ________________________ 2. La función f(x) de una variable aleatoria discreta es conocida como _________________________________. _____________________________ ____. Dos de sus condiciones son:______________________________________________ 3. El rango de una variable aleatoria discreta es un conjunto _____________________ _____________ ________ y el rango de una variable aleatoria continua es un conjunto __________________. 4. Si X es una variable aleatoria, siendo Var(X)=45 y E(X)=5, entonces E(X2) es igual a ___________________________ 5. En las siguientes funciones f(x) indique si son o no funciones de probabilidades a) X f(x) c) X f(x)

2 0.2

4 0.2

6 0.2

8 0.2

10 0.2

20 0.2

30 0.2

40 0.2

10 0.2

b) X f(x) d) X f(x)

-1 0 1 2 0.25 0.25 0.25 0.25 0 -0.5

1 0.5

_______________________________________________________________ ______________________________ __________________________________. _. 6. Para los siguientes experimentos aleatorios defina el rango de d e la variable aleatoria: a) Lanzamiento de dos monedas, sea X=Número de caras obtenidas ____________ b) Observar un lote de 5 artículos, sea X=Número de artículos defectuosos ______ c) Lanzar dos dados, sea X=La suma de las caras superiores __________________ d) El número de quejas recibidas por una operadora en una semana ____________ 7. Si X es una variable aleatoria, tal que P(X<12.5)=0.25 y P(X<18.5)=0.75, entonces el rango intercuartil será igual a __________________________. _________________________ _. 8. Si f (x)=10 ; 1 ≤ x ≤ a, el valor de “a” es igual a _________________________ 9. Si f(x)=1/12; 6 ≤ x ≤ 18, verifique que E(X)=(6+18)/2 y Var(X)=(18-6)2 /12; ___________________________________________________ ______________________________ _____________________ 10. Indique si es Verdadero (V) o Falso (F) cada uno de los l os siguientes enunciados: Item Enunciado a. b. c.

V/F

El valor esperado de una variable aleatoria es un valor que siempre es igual a uno de los valores del rango de la variable . f(x) denota la función de probabilidad si X es una V.A. discreta y función de densidad si es continua. El valor esperado de una variable aleatoria nunca puede tomar valores negativos

d.

Sean X e Y variables aleatorias, entonces Var(X-Y)=Var(X)-Var(Y)

e.

Una variable aleatoria discreta y continua nunca puede tomar valores negativos

127



CAPÍTULO VIII PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DISCRETAS Se estudiarán las principales distribuciones que corresponden a las variables aleatorias discretas que son utilizadas muchas aplicaciones en el mundo real, conociendo su función de probabilidad. A continuación se presentan las principales distribuciones discretas:   

La distribución de probabilidad binomial La distribución de probabilidad hipergeométrica La distribución de probabilidad Poisson

Objetivo. Objetivo. Identificar y aplicar una variable aleatoria discreta, asociada alguna de las principales distribuciones discretas estudiadas. 8.1 La Distribución Binomial Experimento Binomial Hay muchos experimentos que se ajustan ya sea exacta o aproximadamente a las siguientes propiedades: 1. El experimento consiste en una secuencia de n intentos (experimentos de Bernoulli), donde n se fija antes del experimento. 2. Los intentos son idénticos, y cada uno de ellos puede dar lugar a dos posibles resultados, llamados: éxito (E) o fracaso (F). 3. Los intentos son independientes, por lo que el resultado de cualquier intento particular no afecta el resultado de cualquier otro otro intento. 4. La probabilidad de éxito es constante de un intento a otro; se denota esta probabilidad por P  E    . La probabilidad de fracaso es P  F  1  



Ejemplo 1 En una tienda la llegada de un cliente y determinar si compra o no es un experimento de Bernoulli donde éxito: E = {un cliente compra} y fracaso: F = {un cliente no compra}. compra}. Se sabe que el 75% de los clientes que llegan hacen una compra, entonces P  E   = 0.75. Si a la tienda llegan 20 clientes, este sería un experimento binomial donde n=20 y  = 0.75 

La Función de Probabilidad Binomial Dado un experimento binomial entonces la v.a.d. binomial X se define como el número de éxitos en n intentos, y su función de probabilidad está dada por:

 n  x n  x    1    f  x   P  X  x    x   0  inomial ial  n ,   Notación: X ~ Bino

x  0, 1, 2, , n de otro mod o

128



La Media y la Variancia de X Si

X

~ Binom inomia iall  n ,  

entonces:





E  X 



n 

y



2



Var  X 



n  1







Ejemplo 2 Un examen consta de n = 25 preguntas, cada una de las cuales tiene 5 alternativas de las cuales sólo una es correcta, si una persona está adivinando al responder y se desea saber el número de respuestas correctamente respondidas. Entonces, este es un experimento Binomial con éxito: E={la respuesta es correcta} y fracaso: F={la respuesta no es correcta} y siendo:

 

P E   

1 5

.

Sea la v.a. X=El número de respuestas correctas en las 25 preguntas, X  Bi Binomial nomial ( 25,0.2)

La

distribución  25  f  x     0.2 x  0.825 x  x 

de

probabilidad

Binomial

será:

x  0,1, 2, ...,2 5

La probabilidad de que la persona acierte por lo menos 3, pero menos de d e 5 preguntas es: P(3 ≤ X < 5) = P(X=3)+P(X=4) = 0.1358+0.1867=0.3225

Ejemplo 3 Siguiendo con el Ejemplo 1. Éxito: E={un cliente compra} y fracaso: F ={un cliente no compra}. Se sabe que el 75% de los clientes que llegan hacen una compra, entonces P  E   = 0.75. Si a la tienda llegan 20 clientes, cli entes, este sería un experimento Binomial con n=20 y  = 0.75. Solución. Sea v.a. X=El número de clientes que hacen una compra. La distribución de  20    0.75 x  0.2520  x   f x  x  0,1, 2, ...,2 0 probabilidades se define: x   La probabilidad de que el número de clientes que hacen una compra sea mayor que 18 sería:  20   20 19 1 20 0 P( X  18)    0 . 7 5 0 . 2 5 0.0243    0.75 0.25  0.0211 0.0032  0.  19   20  

Ejemplo 4 Una compañía vendedora de equipos electrónicos verifica que de todas las máquinas por ella instaladas, el 40 % exigen nuevos ajustes después d espués de su instalación. Si 5 máquinas fueron seleccionadas al azar: a. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 requieran trabajos de ajuste después de la instalación? El experimento aleatorio que consiste en determinar el número de máquinas que requieren ajustes, en un grupo de 5, es un experimento Binomial con éxito: E={una máquina requiere ajustes} y P  E     0.4 . La v.a.d. X definida como el número de máquinas, que requieren ajustes, en un grupo de 5, es una v.a. binomial. X ~ Bin n ,   ~ Bin5,0.4  , entonces: 129


 5  f  x     0.4 x  0.6 5 x  x  5

P  X  3  f 3  f 4  f 5 

 5 

  x  0.4

x 3

 

x


x  0, 1, 2, 3, 4, 5

 0.6  x  0.2304  0.0768  0.0102  0.3174 5

b. La compañía estima que el costo del ajuste después de la instalación es de 100 um por máquina y que este costo lo debe d ebe pagar la compañía ¿Cuál es el costo esperado para la firma? Solución.Sea la v.a. Y definida como el costo de las máquinas que necesitan ajuste en un grupo de 5. Y = 100 X y como: X ~ Bin n ,  , entonces E  X   n   5  0.4  2 por lo tanto:

 

E Y





E 100

X





 

100 E X



100  2  200 um

Ejemplo 5 El gimnasio “El Rápido” ha ha comprobado que el 20% de sus alumnos se dan de baja durante el primer mes y el 80% restante permanecen todo el año. Suponga que este año se inscribieron 20 alumnos. a. ¿Cuál es la probabilidad de que se den de baja más de dos alumnos? Sea la v.a. X=número de alumnos que se dan de baja en el gimnasio. π=0.20 y n=20; entonces: X ~ Binomial (20;0.20)

p(X > 2) =1- p(X ≤ 2) =1-0.20608472 = 0.79391528 b. ¿Cuál es la probabilidad de que permanezcan 12 alumnos todo el año? Sea la v.a. Y=número de alumnos que permanecen todo el año en el gimnasio. π=0.80 y n=20; entonces: Y~ Binomial (20;0.80) P(Y=12) = 0.02216088 c. Al hacer la inscripción se realiza un único pago anual de $ 600. Si cada alumno que permanece todo el año genera un gasto anual para el gimnasio de $ 150, ¿cuál es el beneficio anual esperado para el gimnasio? gi mnasio? Ingreso: I = 600*20=12000 Gasto: G= 150*(20-X) Beneficio: B = 12000 - (3000 – 150X) = 9000+150 X Se tiene: E(X) = 20*0.2=4 E(B) = 9000+150*4 = 9600

130



Ejercicio 1. Se conoce por experiencias anteriores que el 20% de las plantas de limonero son atacadas por cierta plaga. Si se desea llevar l levar a cabo un experimento con 10 plantas. ¿Cuál será la probabilidad de que: a. 5 plantas sean atacadas?

b. 3 o más plantas sean atacadas?

c.

más de 1 pero menos de 5 plantas sean atacadas?

d. ¿Cuál es el número esperado de plantas enfermas en la muestra?. ¿Cuál es la desviación estándar?

131



Ejercicio 2. Una institución educativa conmemora sus 100 años de fundación, con tal motivo la junta directiva ha invitado a sus 25 profesores fundadores a la ceremonia principal. Se cree que la probabilidad de que un profesor fundador asista a la ceremonia es de 0.75. a. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 96% de los profesores fundadores asistan? asista n?

b. Si ya confirmaron su asistencia al menos dos profesores fundadores, ¿cuál es la probabilidad de que confirmen su asistencia más de 23 profesores fundadores?

c.

La empresa que da servicios de buffet cobra por persona $35 màs $ 5 por servicio, halle el costo esperado para la ceremonia.

Ejercicio 3. Cierta clínica cuenta con una población de 20 enfermos, donde el 25% padece de algún tipo de cáncer. Se selecciona con reemplazo una muestra de 4 enfermos. a. ¿Cuál es la probabilidad de haber seleccionado por lo menos un enfermo con cáncer?

132



b. Hallar el número esperado de enfermos con cáncer.

Ejercicio 4. Un estudiante se presenta a un examen de selección múltiple contiene 20 preguntas cada una con 5 respuestas opcionales (de las cuales sólo una es la correcta). El estudiante está adivinando al momento de responder cada pregunta. Si para aprobar el curso el estudiante debe responder correctamente más de 17 preguntas correctamente. ¿Cuál es la probabilidad de que desapruebe el curso?

8.2 La Distribución Hipergeométrica Los supuestos que se consideran para una distribución di stribución hipergeométrica son: 1. La población o conjunto donde se hace el muestreo tiene N elementos, individuos u objetos (una población finita) 2. Cada elemento puede ser caracterizado como un éxito (E) o fracaso (F), y hay A éxitos en la población entonces son (N-A) fracasos. 3. Se saca una muestra, sin reemplazo, de n elementos de tal forma que sea igualmente probable obtener cada subconjunto de tamaño n. La Función de Probabilidad Hipergeométrica La v.a.d. hipergeométrica X está definida como el número de éxitos en la muestra de tamaño n. Hiper  N , n, A Notación: X ~ Hi Si

X

~ Hi Hiper  N , n, A entonces su distribución de probabilidad es:

 A   N  A      x n  x  para x entero t .q máx0, n  A  N   x  min n, A f  x   P  X  x       N     n  La Media y la Variancia de X Si

X

~ Hi Hiper  N , n, A entonces:   E  X   n

A N

,

 2  Var  X   n

A   N  n  1     N  N   N  1  A 

133



Ejemplo 6 Un embarque de sustancias químicas llega en 15 contenedores, 2 de los cuales no cumplen con con los requerimientos de pureza. Se eligen 3 contenedores al azar, sin reemplazo, para hacer una inspección de la pureza del producto. Calcule la probabilidad de que al menos uno de los contenedores que no cumplen los requerimientos esté en la muestra. La v.a.d. hipergeométrica X se define como el número de contenedores que no cumplen los requisitos, entonces X ~ Hi Hiper  N , n, A ~ Hi H iper 15, 3, 3, 2  por lo tanto:  2   13      x 3 x   f  x   P  X  x       15     3 

,

máx 0, 3  15  2   x  min 3, 2 

o

x  0, 1, 2

 2   13   2   13           1   2    2   1   0.3714 P  X  1  P  X  1  P  X  2    15   15       3   3 

Ejemplo 7 Una estación experimental se compone de 4 ingenieros agrónomos y 9 técnicos agrícolas. Si se elige al azar y sin reemplazo a 3 individuos para asignarlos a un trabajo de campo, ¿cuál es la probabilidad que el grupo asignado al trabajo de campo incluya al menos 2 ingenieros agrónomos? Sea la v.a. x: Número de ingenieros agrónomos incluidos en el trabajo de campo. x

~ H 13, 3, 3, 4

N



13 ,

n



3 , A



4,

x=0,1,2,3

 13  4  4   13  4  4        3  2  2  3  3  3    p x  2   p  x  2  p x  3    0.189  0.014  0.203  13   13      3    3  Ejemplo 8 Un determinado antibiótico es empacado en cajas de 20 botellas. botell as. Suponga que una caja, la cual es enviada a una farmacia hay 5 botellas mal envasadas. El dueño de la farmacia sospecha que la cantidad de antibiótico en algunos de frascos es insuficiente por lo selecciona al azar y sin reemplazo una muestra de tres frascos fra scos y decide que si encuentra la mitad o más de frascos mal envasados en esa muestra cambiará de distribuidor. ¿Cuál es la probabilidad de que el dueño de la farmacia no cambie de distribuidor? Solución. N



20

n



3

A=5

N-A = 15

x  0,1,2,3

 5  15   5  15         0  3   1  2   P ( x  2)  P ( x  0)  P ( x  1)  =0.859  20     3 

134



Ejercicio 5. Un lote contiene 15 semillas de cierto cultivo, de los cuales 8 están dañadas. Sea X la variable aleatoria el número de semillas dañadas. Del lote se toma una muestra aleatoria sin reemplazo de 5 semillas. a. ¿Cuál es la probabilidad de que en la muestra se haya seleccionado por lo menos tres semillas dañadas?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra no contengan semillas dañadas?

Ejercicio 6. En el almacén de una compañía hay 10 impresoras y 4 de ellas son defectuosas. Un usuario selecciona al azar y sin reemplazo 5 de d e ellas para usarlas. a. ¿Cuál es la probabilidad de que las cinco impresoras seleccionadas no tengan defectos?

b. El usuario regresa las defectuosas para su reparación. Se sabe que cuesta 50 u.m. reparar cada impresora. Calcule el promedio y la variancia del costo total de reparación.

135



Ejercicio 7. Un ingeniero zootecnista sabe que en cierta región hay 8 individuos de una u na especie de mamífero, de los cuales cinco son machos y el resto son hembras. hemb ras. Si selecciona al azar a cuatro individuos y observa el número de machos seleccionados. a. ¿Qué valores posibles podría tomar la variable mencionada?

b. ¿Cuál es la probabilidad que haya más de un macho?

c.

¿Cuál es la probabilidad que haya el mismo número de machos y hembras?

d. Halle la media y la varianza

8.3 La Distribución de Poisson Una v.a.d. X tiene distribución Poisson con parámetro   0 si su función de probabilidad es: e   x f  x  P  X x  x 0,1, 2, x! Esta distribución tiene dos aplicaciones: 



 







Si X ~ Bin  n ,   con n   y   0 entonces X ~ Pois  n  Proceso de Poisson (ésta es la que se usará en el libro) 136



Proceso de Poisson El proceso de Poisson es un experimento aleatorio en el que ocurren sucesos en un intervalo dado de longitud t. Propiedades de un Proceso de Poisson 1. Los sucesos son de la misma clase u homogéneos. h omogéneos. 2. Los sucesos en un intervalo son independientes de los sucesos en otros intervalos no superpuestos. 3. El promedio de sucesos por unidad de intervalo (t = 1), es conocido e igual a v. La v.a.d. X definida como el número de sucesos que ocurren en intervalos de longitud t, sigue un proceso de Poisson. Como ejemplos de variables aleatorias Poisson, se tienen las siguientes: a. El número de accidentes accidentes fatales por semana en una ciudad. b. El número de fallas fallas que hay en cada 2.5 m2 de tela. c. El número de renacuajos renacuajos por cada 4 litros de agua, en cierto estanque. Función de Probabilidad para un Proceso de Poisson La v.a.d. X definida como el número de d e sucesos que ocurren en intervalos de tamaño t. e  v t v t 

x

f  x   P  X  x  

x  0,1, 2,

x!

donde:v = promedio de sucesos por unidad de intervalo. t = tamaño tamaño del intervalo (ejemplo: t = 2.3, t = 5.8 etc.). vt = promedio de sucesos por intervalo de tamaño t Notación:

X

~

 

Pois vt

f  x   P  X  x  

También se puede expresar:

e   x x!

x  0,1, 2,

Donde   vt , X ~ Pois   La Media y la Variancia de X Si X ~ Pois   entonces:  E  X   



y

 2



Var  X 



 con  vt 

Ejemplo 9 Los mensajes que llegan a una computadora, utilizada como servidor, lo hacen de acuerdo con una distribución Poisson con una tasa promedio de 10 mensajes por hora. a. Calcule la probabilidad de que lleguen 7 mensajes mensajes en 2 horas. horas. Sea la v.a Y = El número de mensajes que llegan al servidor en 2 horas.(t = 2) Unidad de intervalo = 1 hora v=promedio de sucesos por unidad de intervalo = 10 t=tamaño del intervalo = 2 vt = promedio de sucesos por intervalo de tamaño t = 10x2 137



Y ~ Pois (vt) ~ Pois (10 2) ~ Pois (20) , entonces: f  y   P Y



P Y



7



e



20



y 



e



y

20

20

y  0, 1, 2,

y !

7

20

7 !



0.00052

b. Encuentre el intervalo de tiempo necesario para que la probabilidad p robabilidad de que no lleguen mensajes, durante ese lapso, sea 0.9. Sea la v.a Z = El número de mensajes que llegan al servidor en k horas.(t = k) Z ~ Pois (vt) ~ Pois (10 k) ~ Pois (10k), entonces: f  z   P  Z  z  



P Z



0 

e



10 k

10k 

z

e 10 k

10k 

z  0, 1, 2,

z !

0



e

10 k



0 !



0.9



k



0.0105 horas horas

Nota: La ecuación anterior se resolvió tomando logaritmos. Ejemplo 10 Se cree que el número promedio de individuos por cada 2 km2 de cierta especie de mamífero que habita en las alturas de cierta región es de 1.2. a. En una zona de 2.8 km 2, ¿ cuántos individuos esperaríamos en promedio encontrar?. Sea la v.a. X=Número de individuos en 2 km2 2.8(1.2) / 2  1.68 El número de individuos que habitan en promedio será:   2.8( b. Si se observa un área de 3 km 2 en dicha región, ¿cuál es la probabilidad que se encuentren más de 3 individuos de esta especie? Sea la v.a. X: Número de individuos en 3km21   3(1.2 1.2) / 2

1.8  1.8 3

p ( x

 3)  1  p( x  3)  1   x  0

c.

1.8

e

x

(1.8) x !

 1  0.8912  0.1087

Si se selecciona dos áreas independientemente de 3 km2 cada una. ¿Cuál es la probabilidad que en cada una de estas áreas haya más de 2 individuos? i ndividuos? Probabilidad que haya en un área de 3 km2 más de 2 individuos: 2

p ( x

2)  1  p( x  2) 2)  1    2) x 0

1.8

e

(1.8) x x !

 0.269378

Probabilidad que haya en un área de 3km2 más de dos individuos. Y: número de áreas con más de dos individuos. Y: 0, 1, 2. p ( y  0)  (1  0. 0.2694) 2  0.5338

138



Ejercicio 8. A cierta fábrica de laminados de madera llegan por término t érmino medio 3 clientes cada 2 horas. Suponiendo que las llegadas se distribuyen de acuerdo a una distribución de Poisson, calcule: a) La probabilidad de que en una mañana de trabajo (de 9:30 a 13:30 horas) lleguen más de 2 clientes.

b) La probabilidad de que el primer cliente llegue en la primera p rimera media hora de trabajo.

c) La probabilidad que en una semana lleguen entre 10 y 14 clientes. cli entes. (Suponer 6 días de trabajo a 8 horas diarias). di arias).

139



Ejercicio 9. El número de barcos que llegan a un puerto cada semana es una variable aleatoria que tiene distribución de Poisson con media igual a 9 barcos. a. ¿Cuál es la probabilidad que en una semana lleguen exactamente 5 barcos?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que en tres días lleguen a lo más 2 barcos?

c.

¿Cuál es la probabilidad de que en una semana lleguen más de 3 barcos si se sabe que ya llegó al menos un barco en la semana?

d. Un aduanero sabe que el costo de mantenimiento del puerto por semana está en función del número de barcos que arriban, si no llegan barcos el costo es de 2 mil soles si llega un barco el costo es de 3 mil soles y si llegan dos o más barcos el costo es de 5 mil soles. Halle la distribución del costo y el costo esperado por mantenimiento del puerto por semana.

140



Práctica Dirigida N° 5 1. Una empresa constructora tiene para ejecutar varios proyectos de inversión inmobiliarios, los cuales tienen 50% de éxito cada uno. Finalmente, decide invertir en tres proyectos. Sea X la la variable aleatoria definida como el número de proyectos exitosos menos el número de proyectos fracasados . Determine la función de distribución de probabilidades de la variable X .

2. El siguiente gráfico muestra la distribución de probabilidades de la variable aleatoria X , definida como el número de reclamos de los clientes de una compañía de seguros. Distribución Distribución del número de reclamos

f(x) f(x) 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0

2

4

6

8

10

Número de reclamos

a) Halle la probabilidad que la compañía de seguros tenga al menos 6 reclamos.

141



b) Si la empresa estima que por cada reclamo el tiempo perdido es de 10 minutos. Calcule el coeficiente de variación del tiempo ti empo perdido por los reclamos.

3. Se sabe que en un embarcadero de un Club de yates, el pago anual (en miles nuevos soles) por yate que realiza los socios, es una variable aleatoria que tiene la siguiente función de densidad.

 x 2  x  8  f ( x )   30 0 otro caso a.

¿Qué porcentaje de socios realizan un pago por yate de al menos de 3500?.

b.

Halle el pago esperado y su coeficiente de variación

142



Si se extrae una muestra de 5 socios, halle la probabilidad que tres hayan realizado un pago anual entre 3000 y 6000 nuevos soles.

4. La oficina de inspección de salud de una municipalidad ha iniciado una campaña con la finalidad de detectar avícolas que no cumplen con las normas de sanidad avícolas. Con esta finalidad se realiza 8 visitas cada día a las avícolas de Lima Metropolitana. En campañas pasadas, se ha determinado que el 12% de las avícolas fueron multadas. a. Defina la variable aleatoria en estudio y su distribución di stribución de probabilidad.

b. Halle la probabilidad que se multe a lo más dos avícolas.

c. Halle la probabilidad de que se multen más de tres pero menos de seis avícolas.

143



d. Halle la probabilidad que ninguna avícola sea multada.

e. ¿Cuántas avícolas se esperan que sean multadas?.

5. En la oficina de recursos hídricos de una entidad estatal, existen 6 ingenieros agrícolas y 4 ingenieros civiles. Se sabe que la oficina ofi cina debe enviar a 5 ingenieros para un curso de capacitación en Manejo del Agua. a. Defina la variable aleatoria en estudio y su distribución de probabilidad, para los ingenieros agrícolas.

b. ¿Cuál es la probabilidad que asista al curso al menos dos ingenieros agrícolas?.

c. ¿Cuál es la probabilidad que asista ningún ingeniero agrícola?

144



d. ¿Cuál es la probabilidad que asistan al curso tres ingenieros civiles?

e. Si el costo por persona para asistir al curso es $350 más $50 por p or movilidad. ¿Cuál es el costo esperado que pagará la entidad estatal para que asistan al curso los ingenieros agrícolas?.

6. Una empresa que ofrece los servicios de la tecnología de Computación en la Nube (Cloud Computing), desea analizar la capacidad de sus servidores con la finalidad de ampliar los servicios a pequeñas empresas del interior del país. Si se sabe que el número de mensajes que llegan a su servidor central, lo hacen de acuerdo con una distribución de Poisson con una tasa promedio de 1.5 mensajes por minuto. a. Calcule la probabilidad de que llegue al menos dos mensaje en media hora.

b. Calcule la probabilidad de que llegue como máximo tres mensaje en una hora.

c. Si se sabe que ya llegaron al menos tres mensajes, calcule la probabilidad que lleguen a lo más seis mensajes en 10 minutos

145



EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Halle la probabilidad de que exactamente 9 de 10 tubos de vacuna duren como mínimo 1000 horas. La probabilidad que estos tubos duren como mínimo 1000 horas es de 0.80. 2. El número de rayos gamma emitidos por segundo, por cierto sustancia radioactiva es una variable aleatoria que tiene una distribución de Poisson con parámetro igual a 5.6. Si un instrumento de medida se daña cuando recibe por lo menos 3 radiaciones por segundo. ¿Cuál es la probabilidad que este instrumento se dañe? 3. La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una molécula rara es 10 %. Si se van a tomar 18 muestras para analizar y asumiendo que las muestras son independientes con respecto respecto a la presencia de la molécula. molécula. Halle la probabilidad probabilidad de que exactamente 2 muestras contengan la molécula rara. 4. Juan es un dentista que atiende todos los días a sus clientes de 9:00 am a 4:00pm y se ha registrado el número de clientes atendidos cada tres días, en una muestra de tamaño 5 obteniéndose: 18, 21, 19, 20 y 17. 17 . Se sabe que el número de d e clientes que van a consultar sigue una distribución de Poisson. a. Si se observa 5 días de atención. ¿Cuál es la probabilidad de que sólo hayan ido tres personas a consultar al dentista? b. Encuentre el intervalo de tiempo necesario para que la probabilidad de que no lleguen clientes sea 0.08. 5. En una población de drosóphila, que ataca a cierta variedad de fruta, se sabe que el 25% ha desarrollado mutación en las alas. Si se escogen aleatoriamente 6 moscas de esta población: a. ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de estas moscas presenten mutación de alas? b. ¿Cuál es la probabilidad que más de tres presenten mutación de alas? c. ¿Cuál es la probabilidad que a lo l o más una mosca presente mutación de alas? al as? d. Si se sabe que más de una presenta mutación de alas, ¿Cuál es la probabilidad que como máximo 4 presenten mutación de alas? 6. La probabilidad que la llanta trasera derecha de un auto ti po “Tico” reviente al entrar a una curva es de 0.05. Encontrar la probabilidad que de 16 autos tipo “Tico” que

pasan por la curva: a. Se revienten la llanta trasera derecha de a lo más 3 autos b. Se revienten la llanta trasera derecha de dos o más autos.

7. En una pecera se encuentra 20 pececillos ornamentales, de los cuales cinco son de color anaranjado y el resto no. El dueño de esta pecera ha decidido regalar regal ar la pecera a su mejor amigo si al seleccionar una muestra al azar sin reemplazo de tres pececillos la mitad o menos son de color anaranjado. ¿Cuál es la probabilidad que el dueño de la pecera regale ésta a su mejor amigo? 8. En un estudio se encontró que el número total de animales muertos cerca de una carretera de 30 Km. fue de 18. Si el número de animales muertos cerca de la carretera tiene distribución Poisson, calcule la probabilidad de encontrar al menos 2 animales muertos en 4.5 Km. de carretera. (Sugerencia v = 18/30 = 0.6). 9. Dos cápsulas se seleccionan sin reemplazo de un frasco que contiene tres aspirinas, dos sedantes y cuatro cápsulas laxantes. ¿Cuál es la probabilidad de no seleccionar aspirinas?

146



10. Se sabe que en el centro de Lima ocurre en promedio un asalto cada dos minutos entre las 6:00 p.m. y las 8:00 p.m. María sale de su trabajo a las 6:30 p.m. y debe caminar desde la Plaza San Martín hasta la Av. Tacna con dirección hacia el paradero. Si el trayecto le toma 4 minutos. ¿Cuál es la probabilidad que María llegue a su paradero sin que haya ocurrido algún asalto? 11. Los pasajeros de las aerolíneas llegan al azar e independientemente a la sección de documentación de un aeropuerto con una frecuencia promedio de llegadas de 10 pasajeros por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más un pasajero llegue en 15 segundos? 12. Un determinado antibiótico se envía a las farmacias en cajas de 24 frascos. El farmacéutico sospecha que la cantidad de antibiótico en algunos de los frascos es insuficiente y decide analizar el contenido de 5 frascos escogidos al azar sin reemplazo. Suponga que 14 de los 24 frascos tienen cantidad insuficiente de antibióticos. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 4 frascos tengan cantidad suficiente de antibióticos? 13. Según una encuesta hecha a un grupo de 10 personas, seis de ellas prefieren la gaseosa Inca Kola y 4 de ellas Coca Cola. Si se seleccionan a 3 personas de ese grupo. ¿Cuál es la probabilidad de que hayan 2 que les guste Inca Kola? 14. Se sabe, por experiencia, que el 42% de todas las personas que reciben un ejemplar gratuito de una revista se suscriben a ella, calcule la probabilidad de que, a lo más 3 de las 6 personas seleccionadas al azar que reciben un ejemplar gratuito de una revista se suscriben a la revista. 15. Si el número de solicitudes de información i nformación sobre cruceros que recibe una agencia de viajes por día es una variable que tiene una distribución de Poisson con variancia 2.4. Halle la probabilidad de que: a. b.

Ningún solicitante sea recibido en medio día. Al menos dos solicitantes sean recibidos en dos días. d ías.

16. Se cree que el número promedio de individuos por cada 2 km2 de cierta especie de mamífero que habita en las alturas de cierta región es de 1.2. Además se conoce que el número de individuos por área de esa región tiene una distribución de Poisson. a. En una zona de 2.8 km 2, cuántos individuos esperaríamos en promedio encontrar. b. Si se observa un área de 3 km 2 en dicha región, ¿cuál es la probabilidad que se encuentren más de 3 individuos de esta especie? c. Si se selecciona dos áreas independientemente de 3km 2 cada una. ¿Cuál es la probabilidad que en cada una de estas áreas no haya más de 2 individuos? i ndividuos? 17. La empresa FERTISA se dedica a la producción de fertilizantes y tiene ciertos problemas en el envasado de sus productos. Un lote de 100 sacos que contienen 8 defectuosamente envasados ha sido remitido a la firma Agrouna. a. Si dicha firma selecciona 10 sacos aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que encuentre 3 sacos mal envasados? b. Dicha firma aceptará el lote si al seleccionar 10 sacos no encuentra defecto en ninguno de ellos. Si se remiten 10 lotes con 8 sacos defectuosos cada uno, ¿cuál es la probabilidad de que a lo más 1 lote sea rechazado?

147



18. Un biólogo marino ha determinado que el número de avistamientos promedio de mamíferos marinos por hora en alta mar es de 3.2. a) Si decide contar el número de ejemplares durante 4 horas ¿cuál es la probabilidad de que se observe entre 10 y 12 ejemplares (ambos números incluidos)? b) Si se establecen jornadas de trabajo de 6 horas, ¿cuál será el número promedio de avistamientos por jornada? c) Se sabe también que el 35% de los avistamientos corresponden a delfines. Si en un día se observaron 10 animales, ¿cuál es la probabilidad de que se hayan observado por lo menos 2 delfines? 19. Los agricultores de una región están preocupados por la calidad de sus cosechas, ya que se ha detectado en ciertas áreas la existencia de sustancias contaminantes en el suelo. Para analizarla, se segmenta la tierra en parcelas de 100 m 2, y se concluye que hay una probabilidad de 0.6 de encontrar estos contaminantes en una determinada parcela. Se pide: a) Si un agricultor posee 15 de estas parcelas. ¿Qué probabilidad hay de que tenga alguna parcela contaminada? b) Una comunidad posee 100 parcelas del tipo anterior. ¿Qué probabilidad hay de que tenga entre 10 y 15 parcelas contaminadas? c) Si por cada cada parcela contaminada la cooperativa sufre una pérdida de 1000 nuevos soles, ¿cuál es la pérdida que la comunidad espera tener?. 20. El gerente de una empresa dedicada realizar copias de CD sabe por información histórica el 93% de los CD que provee la compañía Lotus international son no defectuosos. Si selecciona al azar 5 CD, ¿cuál es la probabilidad que 3 sean no defectuosos, si se sabe que al menos uno es no defectuoso? 21. Por factores internacionales el precio del petróleo ha sufrido ciertas variaciones en los últimos meses. REPLUSA ha determinado que la probabilidad de que varíe el precio del petróleo es de 0.60. Si se va a realizar 10 compras de petróleo: ¿Cuál es la probabilidad que el número compras de petróleo donde el precio tiene variación sea menor que su esperado? 22. Los camiones que reparten el combustible a los diferentes grifos de la capital llegan a las instalaciones de la refinería a un promedio de tres cada 20 minutos. Si las instalaciones sólo tienen capacidad para recibir 10 camiones por hora, ¿cuál es la probabilidad de que una hora los camiones tengan que regresar en otro momento?

148



Preguntas de Autoevaluación 1. Los parámetros de la distribución Binomial son _______________________, de la distribución Hipergeométrica son _________________________ y la distribución Poisson son ________________________ 2. La distribución Binomial está asociada al muestreo __________________________ mientras la distribución Hipergeométrica al muestreo _______________________ . 3. Si X  Poisson(4) e Y  Bin(10,0.35), entonces el coeficiente de variabilidad de X e Y son __________________________ ______________________________________ ____________ respectivamente. 4. Sea la variable aleatoria: X=Número de autos que vende diariamente una distribuidora, con una media igual a 8.5 y una variancia de 6.25, sabiendo que la ganancia (en $) de la distribuidora se puede definir por: G=550 X – 200, entonces la desviación estándar de la ganancia será ______________________________. 5. Si en una poza de crianza hay 200 truchas, de las cuales el 45% son hembras. Si se toma una muestra aleatoria con reemplazo de 20 truchas, la variable aleatoria número de truchas hembras tiene una distribución _________________________. 6. Sea la variable aleatoria H~Hip(N=18,n=12,A=8) entonces el rango de H es el conjunto ________________________. 7. Si la variable aleatoria X=Número de llamadas que a una central telefónica en una hora tiene una distribución Poisson y P(X=2)=2/3P(X=1), entonces el número esperado de llamadas que llegan en una hora es igual a ______________________ 8. El rango de una variable aleatoria que se distribuye como una Binomial es un conjunto _____________________, para una Hipergeométrica es un conjunto _________________________ y para una Poisson ________________________. 9. En un terreno después de rociar con cierto insecticida, se determinó que el número promedio de insectos vivos es de 4.5 por cada 2 mt 2. Asumiendo que el número de insectos vivos tiene distribución Poisson, la probabilidad de que en 1.5 mt 2 de terreno se encuentren 5 insectos vivos es ________________________________. 10. Indique si es Verdadero (V) o Falso (F) cada uno de los siguientes enunciados:

Item Enunciado a. b. c.

V/F

En un experimento binomial, la probabilidad de éxito de un intento a otro puede variar. Si la variable aleatoria X se distribuye como una Binomial con P(Éxito)=0.5, entonces la probabilidad de k éxitos es igual a la probabilidad de k fracasos. Si X es una variable aleatoria que se distribuye como una Hipergeométrica, entonces el número de éxitos nunca puede ser mayor al de fracasos.

d.

Para una variable aleatoria que se distribuye como una Poisson, la media y desviación estándar son iguales.

e.

El rango de una variable aleatoria que se distribuye como una Poisson es un conjunto finito.

149



CAPÍTULO IX DISTRIBUCIONES CONTINUAS Se estudiarán algunas variables aleatorias continuas particulares cuya distribución de probabilidades se conoce. También se conocerán las principales distribuciones continuas y las distribuciones muestrales asociadas a ellas, que se utilizarán posteriormente en inferencia estadística (intervalos de confianza y para hacer pruebas de hipótesis). Objetivo. Al Objetivo. Al finalizar este capítulo el lector l ector conocerá los conceptos y aplicaciones de las principales distribuciones continuas. 9.1 Distribución Exponencial La variable aleatoria continua X tiene distribución di stribución exponencial con parámetro β con media 2 igual a E(X)= β y variancia V(X) = β , si su función de densidad es:

 1  x /  para x  0;   0  e f ( x)    0 para cualquier otro caso  Su notación: X ~ E(β) Gráficamente se representa:

Función acumulada (calcular la probabilidad):

1  e x /  para x  0;   0 F ( x)  P ( X  x)   < 0 para x < 0   P ( X < k )  p Para hallar percentiles:   P ( X > k )  p

 k    Ln(1  p)  k    Ln( p)

150



Ejemplo 1 El tiempo de demora en entregar una pizza pi zza tiene distribución exponencial con media igual a 25 minutos. Si la pizzería ofrece su producto con la promoción “si recibe su pizza después de 30 minutos usted no paga nada”. Calcule:

a) La probabilidad de que una pizza sea entregada de manera gratuita a un cliente. b) Si se entregan 12 pizzas, ¿cuál es la probabilidad de que 3 sean gratuitas? c) ¿Cuál debe será el tiempo como máximo, para considerar un pedido de pizza dentro del 25% de menor tiempo? Solución: a) Sea X: tiempo de demora en entregar una pizza X~ E(25) P(pizza gratis) = P(X>30) = 1- P(X≤30) = 1 (1 





e

30

25

)





e

30

25



0.3012

b) Y= Número de pizzas gratuitas entregadas de un total de 12 Y~ B(12,p) p= P(pizza gratis) = 0.3012 P(Y=3) = 0.2389 c) Se tiene que:

P ( X  k ) 

0.25  k  25 xLn(1  0.25)  7.19 min min utos

Ejercicio 1. El tiempo para un proceso de congelamiento de hongos comestibles tiene una distribución exponencial con promedio de 4.5 4 .5 minutos. a. ¿Cuál es la probabilidad que un proceso de congelamiento dure a lo más de 5 minutos?

b. Sabe que el proceso de congelamiento no debe durar más de 6 minutos, de lo contrario el hongo puede malograse. ¿Cuál es la probabilidad que el hongo se malogre?

151



¿Cuál debe ser el tiempo como mínimo para ser considerado un proceso de congelamiento, dentro del 20% de mayores tiempos?

d. ¿Cuál es la desviación estándar del tiempo de congelamiento?

9.2 Distribución Normal La Distribución Normal fue hallada por primera vez en 1733, por A. De Moivre. Pero el descubrimiento de De Moivre al parecer pasó inadvertido y fue “redescubierta” por C.F Gauss en 1809 y P.S Laplace en 1780 hizo trabajos preliminares que profundizó en 1812. En Estadística una buena cantidad de variables continuas (peso, longitud, ingresos, temperatura etc.) se consideran que tienen Distribución Normal (se dice que es lo normal que tenga esa distribución). La variable aleatoria continua X tiene distribución normal con media  y variancia 2 si su función de probabilidad es:

f  x  

1  x   

1 2

e

  2



 

2

,

  x       



>0



Notación: X  N( , 2)

152



Características de la distribución normal 1. Tiene forma acampanada. 2. Es simétrica respecto a la recta X = 3. Es asintótica asintótica respecto respecto al eje X



En el gráfico anterior se aprecia dos distribuciones normales con igual promedio pero diferente desviación estándar (a menor desviación estándar los datos están más cerca de la media) 9.3 Distribución Normal Estándar Si X  N( , 2), entonces la v.a.c. Z = (X - ) /  se dice tiene distribución normal estándar; su media es 0, su variancia 1 y su función de probabilidad es:

f  z  

1 2 

e



1

z 2

2

,

 

z

Prueba  X     X   E  X          E                2  X     X   Var  X    2 Var  Z   Var    Var     2       

E  Z   E 

0

1

Esta prueba es incompleta porque sólo demuestra d emuestra que la media y la l a variancia de Z son 0 y 1 respectivamente pero no demuestra que Z tiene distribución di stribución normal (esto es tema de un libro de Estadística Matemática).

153



Uso de la tabla de la distribución Normal Estándar

Ejemplo 2 La estatura de los estudiantes universitarios de cierto país está normalmente distribuida di stribuida con una media de 167.85 cm y desviación estándar 10.37 cm. a. Si un estudiante es seleccionado al azar ¿Cuál es la probabilidad de que mida menos de 179 cm? Sea la v.a.c. X = Estatura de los estudiantes universitarios de ese país (cm). X  N( , 2)  N(167.85, 10.372) 179  167. 167.85 85   X   179  P  X  179   P    P  Z  1.07522   P( Z  1.08)  0.8599 10.37    Notación: Z 0.8599  1.08 Se puede afirmar que el percentil 85.99 de las estaturas es igual a 179 cm y que el 85.99% de los estudiantes mide menos de 179 cm. b. Halle la probabilidad de que la estatura de un estudiante estu diante que va a ser escogido al azar mida por lo menos 152 cm.    152  P 

P X



X   



152 152  167. 167.85 85  10.37

  P  Z  1.53  1  P  Z  1.53  1  0.0630  0.9370 

c. Si se está buscando estudiantes universitarios que midan entre 165 y 195 cm para un casting de TV ¿Qué porcentaje de d e estudiantes cumplen con esa condición? P 165  X



195  P   0.28  Z



2.62  P  Z  2.62 P  Z   0.28

P 165  X  195  0.9956  0.3897  0.6059

154



d. Si se eligen independientemente 9 estudiantes. Encuentre la probabilidad de que siete de ellos midan menos de 179 cm. Exito



E



X



 179

,

     P  X

P E

 17 9

Sea la v.a.d. Y = Número de estudiantes con Bino inomial ial  n,  

Y

P Y  7



9

X

  0.8599

 179

Bino inomial ial  9,0.8 ,0.8599  7

2

0.1401  0.2457      0.8599  0.

7

e. ¿Cuál es la altura mínima que debe tener un bus de transporte para que qu e el 97.06% de los estudiantes viaje de pie sin dificultad? Según el problema si k es esa altura, entonces: k  167.85   X   k  167.85     P  Z  P  X  k   0.9706  P    10.37 10.37      k  167.85  1.89  k  187.4493 cm. Z 0.9706  10.37

Ejercicio 2. Las notas del examen final del curso de Informática se distribuyen normalmente con media 12 puntos y variancia 4 puntos2. Si se elige un alumno al azar: a. ¿Qué porcentaje de alumnos están aprobados (nota mayor a 11)?

b. Si se eligen 8 estudiantes al azar ¿cuál es la probabilidad que 2 de ellos hayan aprobado el curso?.

155



Ejercicio 3. El diámetro del punto producido por una impresora tiene una distribución normal con media igual a 0.002 pulgadas y desviación estándar de 0.0004 pulgadas. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro del punto sea mayor que 0.0026 pulgadas?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro del punto esté entre 0.0014 y 0.0026 pulgadas?

9.4 Distribuciones muestrales asociadas a la Distribución Normal Definición de Estadístico Un estadístico es cualquier cantidad cuyo valor se puede calcular a partir de datos muestrales. Antes de obtener datos, hay incertidumbre en cuanto a qué valor resulta de cualquier estadístico particular. Por lo tanto, un Estadístico es una variable aleatoria y estará denotada (casi siempre) por una letra mayúscula; una minúscula se emplea para representar el valor calculado u observado del Estadístico. Ejemplo 3 La media muestral X , es un estadístico, (variable aleatoria) y x , es el valor calculado del estadístico. La variancia muestral S 2, es un estadístico, (variable aleatoria) y s 2 es el valor calculado del estadístico. Definición de Muestra Aleatoria Una muestra aleatoria es un subconjunto de la población pobl ación obtenida al azar. Distribución de la Media Muestral Muestral ( X ) Sea X1 , , X una muestra de una distribución con media  y desviación estándar  .Entonces: n

156



Si el muestreo es con reemplazo de una población finita o con o sin reemplazo de una población infinita: En este caso la muestra es aleatoria y se cumplen las siguientes igualdades: a. E  X    X   b. Var  X   X 2



2 

 X

y

n

 

n

El caso de una población con distribución normal Si X 1 ,

, X n es una muestra aleatoria de una distribución normal con media  y

desviación estándar  . Entonces, para cualquier n,

X

está normalmente distribuida

2

con media





y variancia

n

El caso de una población con distribución no normal El teorema del límite central Este teorema fundamental de la Estadística fue enunciado por primera vez por P.S Laplace en 1812 luego en 1901 A. Liapounoff hizo una demostración rigurosa en condiciones bastante generales. Si

, X n es una muestra aleatoria de una distribución con media  y desviación

X 1 ,

estándar  .

Entonces, para n suficientemente grande,

X

está distribuida

2

aproximadamente en forma normal con media  y variancia



n

.

Ejemplo 4 El tiempo que demora una rata de cierta subespecie seleccionada al azar, para que se duerma después de aplicársele un somnífero experimental, es una variable aleatoria distribuida con  1.5 min y  0.35 min. Suponga que se seleccionan seleccionan n ratas y denote por X1 , , X sus tiempos hasta dormirse. 



n

a. Si el tiempo que demora una rata tiene distribución d istribución normal y X1 , , X 5 es una muestra aleatoria de tamaño tamaño 5 de esa población. Calcule la probabilidad de que la media de la muestra sea a lo más 2 min. Solución:

 

E X



 

Var X



P X

 X 



2

 X

 



1.5

 2 n



 0.35 5

2 

0.0245

y

 X



 n



0.1565

 X   2  1.5   2  P     P  Z  3.19   0.9993   0.1565    X

X

157



b. Si el tiempo que demora una rata tiene distribución desconocida y X 1 , , X 40 es una muestra aleatoria de tamaño 40 de esa población. p oblación. Calcule la probabilidad aproximada de que el tiempo de demora promedio esté entre 1.35 y 1.60 min. Solución: Por el teorema del límite central el tiempo promedio de la muestra tiene, aproximadamente, distribución normal con 2

 2  0.35  Var X   X    0.0030625 . n 40

 

 

E X   X  1.5

P 1.35  T



  1.60   P   



2

1.35  1.5 0.0030625







X

 

X

 X



   P  2.71  Z  1.81  0.0030625 

1.60  1.5



 P Z  1.81  P Z  2.71  0.9649  0.0034  0.9615

Ejercicio 4. Sea la variable aleatoria X la cantidad de radiación radi ación que puede ser absorbida por un individuo antes que le sobrevenga la muerte. Suponga que X es normal con media de 500 roentgen y una desviación estándar de 150 roentgen. a. ¿Qué porcentaje de individuos podrán absorber entre 350 y 430 roentgen r oentgen de radiación antes que le sobrevenga la muerte?

b. Si se extrae una muestra de 20 individuos, ¿cuál es la probabilidad que la cantidad media de radiación absorbida por un individuo antes de morir se encuentre entre 450 y 550 roentgen?

158



Ejercicio 5. Sea X una variable aleatoria con función de probabilidad X f (x)

-1 0.3

0 0.4

1 0.2

2 0.1

de la cual se toma una muestra de tamaño 36. a) Halle la probabilidad que el promedio muestral sea menor a 0.34.

b) Si se sabe que el promedio muestral es menor que 0.34, ¿cuál es la probabilidad que el promedio muestral sea mayor o igual a 0.26?

Distribución de una proporción por muestreo (p) Suponga que X1, … ,Xn es una muestra aleatoria de n alumnas universitarias de Lima y se estudia si una alumna mide más de 1.75 m. Por lo tanto X i  Binomial(1,) i=1,…,n; es decir Xi=1 si la alumna mide más de 1.75 y Xi=0 de otro modo. La proporción muestral n

 X i de alumnas que miden más de 1.75 mt. es p 

i 1

n

que como se observa es un

promedio muestral pero que se basa en una muestra aleatoria de una distribución Binomial(1,). Por lo tanto, si n es grande y utilizando el teorema del límite central se puede asegurar que p tiene una distribución aproximadamente normal con media  =



y variancia

2 n



 (1   ) n

y por lo tanto se puede estandarizar de la siguiente manera

159

UNA La Molina - Dpto. de Estadística e Informática Z

p  



 (1  )


. La expresión anterior tiene una distribución normal con media cero y



n

variancia uno. A continuación se presentan los casos de la distribución p con muestras aleatorias y con muestras aleatorias simples. Uso del teorema del límite central Si n es suficientemente grande (n  30), por el teorema del límite central se puede afirmar que:  p   k     k    P  p  k   P    P  Z      p     p  p    Ejemplo 5 En un proceso de producción pr oducción el porcentaje de unidades uni dades defectuosas producidas es 3%. Para controlar el proceso, se revisan periódicamente periódi camente los artículos producidos. Si el proceso de producción se para al encontrar al menos 5% de unidades defectuosas producidas al revisar una muestra aleatoria de 200 artículos cada vez. Halle la probabilidad aproximada de que el proceso continúe. Solución La proporción muestral tiene una distribución aproximadamente normal. Esto se puede afirmar por el Teorema del Límite Central (n grande).   1     p Normal Normal     ,  2   n Aprox.        p  0.05 0.05  0.03 0.03   P  Z  1.65  0.9505 P  p  0.05  P     1    0.0121    n   Ejemplo 6 El contenido de sólidos solubles (en grados Brix °B) en muestras de chirimoya tiene distribución normal siendo su esperanza matemática es 7.78 °B y su desviación d esviación estándar 2.54 °B. Un especialista selecciona una muestra aleatoria de 80 muestras de chirimoya. Calcule la probabilidad de que la proporción muestral de esas muestras de chirimoya con un contenido de sólidos solubles menor de 9.88 °B sea menor de 0.72. Solución Sea X el contenido de sustancias solubles en °B. 2 2 X Norm Normal al    7.78, 7.78,  2.54 2.54  La probabilidad de que una muestra de chirimoya tenga un contenido menor de 9.88 °B es:   P  X

9.88  7.78 7.78  X   9.88  9.88  P     P  Z  0.83  0.7967 2.54   

160



La proporción muestral tiene una distribución aproximadamente normal. Esto se puede afirmar por el Teorema del Límite Central (n grande).  1      2 p Normal Normal     ,    n Aprox.       0.72 0.72  0.796 0.7967 7 p      P  Z  1.71  0.0436  P  p  0.72   P   1    0.7967 0.7967  0.2033 0.2033    80 n   Ejercicio 6. De una empresa se escoge una muestra aleatoria de 300 empleados para una encuesta sobre condiciones laborales. Halle la probabilidad aproximada de que la proporción muestral a favor de las condiciones laborales esté comprendido en el intervalo i ntervalo 0.76 y 0.84, si se estima en 80% del total de empleados el porcentaje a favor de las condiciones laborales.

Ejercicio 7. El diez por ciento de las personas de cierta comunidad tiene sangre tipo B. Si se selecciona una muestra aleatoria de 900 personas de esa comunidad. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de personas con sangre tipo B? a) Sea al menos 7.2%

b) Sea a lo más 10.5%

161



Distribución de la diferencia de promedios muestrales

 X

Si de dos poblaciones independientes ind ependientes distribuidas con medias  22 , se extraen muestras de tamaños

aleatoria

 X

1

 X

2

n1 y n2 ,

1

 X

 1 ,

2



 2 y variancias  12 ,

respectivamente; entonces, la variable

di stribución normal  (diferencia de promedios muestrales) tendrá una distribución

con media y variancia: Si las muestras son aleatorias (con o sin reemplazo) de poblaciones normales o se cumple con el teorema del límite central con otro tipo de distribución.  X 

1X 2





1   2

y 

2

X

1  X 2





 12 n1



 22 n2

Ejemplo 7 El tiempo que lleva efectuar un procedimiento de montaje para el método 1 tiene distribución con media 35 seg. y variancia 20 seg 2 mientras que con un método 2 tiene distribución con media 31 seg. y variancia 17 seg 2. Si se selecciona una muestra de 40 empleados entrenados con el método 1 y 50 entrenados con el método 2. Halle la probabilidad de que el promedio muestral con el método 1 exceda al promedio muestral con el método 2 en por lo menos 5 seg. X 1  X 2



P X 1

  12  22  20 17    N  1   2 ,  N  35  31,   N  4, 0.84  n1 n2  40 50     X  X    54   5  P     P  Z  1.09   0.1379    0.84   

 X2

1

2

X 1

X 1

X 2

X 2

Ejercicio 8. La estatura promedio de un soldado del ejército del país A es de 172.5 cm con una desviación estándar de 5 cm. En tanto que qu e para un soldado del ejército del país B es de 167.5 cm y 2.5 cm respectivamente. Si se selecciona una muestra aleatoria de 90 soldados en cada uno de los ejércitos, ¿cuál es la probabilidad de que la estatura promedio de la muestra del ejercito B sea inferior al del ejército A en 4.5 cm o menos?

162



Ejercicio 9. En una inspección de control de calidad de focos se encontraron los siguientes resultados: 1. En la empresa A, se obtuvo un promedio de vida útil de 30 meses con una desviación estándar de 4 meses. 2. En la empresa B, se obtuvo un u n promedio de vida útil de 40 meses con una desviación estándar de 6 meses. Al seleccionar una muestra de 100 focos de A y 80 de B, ¿Cuál es la probabilidad que el promedio de vida útil de los focos fabricados por B supere en más de 8 meses del promedio de vida útil de los focos fabricados por A?

Distribución de la diferencia de proporciones muestrales ( p1  p2 ) Si p1 y p2 son las proporciones muestrales de dos poblaciones independientes con proporciones poblacionales  1 y  2 , y de estas poblaciones se extraen muestras de tamaños n1 y n2 , respectivamente, entonces, la diferencia de proporciones muestrales p1  p2 tiene una distribución con media  p p   1   2 y variancia: 1

 p21  p2 

 1 1  1  n1



2

 2 1   2  n2

Uso del teorema del límite central Si las muestras son suficientemente grandes entonces: p1  p2

aprox



N  1   2 , p2  p 1

2



La forma de la variancia depende de si la muestra es aleatoria o aleatoria simple. Ejemplo 8 Si para elaborar un artículo se usan, independientemente, ind ependientemente, las máquinas I y II, y se sabe que la probabilidad de producir un artículo defectuoso con la máquina I es 0.15 y 0.08 con la máquina II. Si se eligen al azar 80 artículos producidos por I y 100 producidos por II, halle la probabilidad de que la proporción de defectuosos de la muestra de I supere a la de II en más de 0.06, si las muestras son aleatorias.

163



Solución p1  p2

aprox

aprox P  p1  p2



N  1   2 , p1  p2 2



aprox

 

N  0.15  0.08,

0.15  0.85 80



0.08 0.92  100

 

N  0.07,0.00233

0.06 0.06  0.07 0.07   0.06   P  Z    P  Z   0.21  0.5832 0.04827  

Ejercicio 10. Se sabe que van a la universidad en movilidad propia el 40% de los estudiantes de la Universidad L y el 30% de la Universidad S. Si se toman al azar muestras de 80 y 90 estudiantes respectivamente, halle la probabilidad de que la proporción de la muestra de la Universidad L supere a la de S en más de 9%.

Ejercicio 11. Dos máquinas A y B producen el mismo artículo. Se sabe que la proporción de artículos defectuosos producidos por A es de 0.06 y por B es de 0.04. Si se obtiene una muestra aleatoria de 50 artículos para cada una de las máquinas, halle la probabilidad que la proporción de defectuosos de la muestra A sea superior a la proporción de defectuosos de la muestra de la máquina B en más de 0.01.

164



Práctica Dirigida N° 6 1. El tiempo que tarda un proceso de ensamblaje de un artículo puede modelarse como una variable aleatoria exponencial con una media de 5.5 minutos. a. ¿Cuál es la probabilidad que el proceso de ensamblaje de un artículo dure entre 3.8 y 6.8 minutos?

b. ¿Cuánto tiempo como como mínimo debe tener un artículo para ser considerado considerado dentro del 28.5% de los mayor tiempo de ensamblaje?.

c. Halle el RI.

d. Halle el medio del tiempo de ensamblaje y su coeficiente de variación.

165



2. La escuale de manejo “El Rápido”, estima que el número de horas de práctica necesarias para la obtención del permiso de conducir para una persona sigue una distribución normal con media 24 horas y desviación d esviación estándar 4 horas. a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener el permiso de conducir con al menos 20 horas de prácticas de manejo?

b. ¿Cuál debe ser el número de horas como máximo, para que una persona sea considerada dentro del 22% con menos horas de prácticasde manejo?

c. Si una escuela de manejo cobra S/ 35 por hora de práctica más S/ 45 por gastos de administrativos. Calcule el ingreso esperado por alumno que tendrá la escuela.

d. Si se extrae una muestra aleatoria de 35 personas, ¿cuál es la probabilidad que el número promedio de horas de manejo para obtener la licencia de conducir sea entre 18 y 26 horas?.

166



e. Si se sabe que el 18.5% de las personas desaprueban en la primera vez el examen de manejo, para una muestra de 120 personas halle la probabilidad que la proporción muestral que desaprueban el examen por po r primera vez sea a lo más el 15.5%.

f. La escuela desea hacer una evaluación respecto al género. Se tiene que el número de horas para obtener la licencia de conducir tiene una distribución normal, con media de 22 horas y desviación estándar de 5 horas para los hombres, mientras que para las mujeres su media es de 28 horas y desviación estándar de 8 horas. Halle la probabilidad que el número de horas promedio para tener una licencia de las mujeres sea mayor que el de los hombres en más de 3 horas.

167



EJERCICIOS PROPUESTOS 1. El tiempo, en horas, de reparación de un automóvil es una variable aleatoria X con distribución exponencial. En promedio se demora 4.48 horas. a. Calcular la probabilidad de que un automóvil este más de 3 horas, si lleva al menos media hora siendo reparado. b. Hay un 10% de automóviles que son los que requieren de mayor tiempo para reparación. ¿Cuántas horas se requiere como mínimo para reparar un automóvil de este tipo? 2. Suponga que la duración en minutos de las llamadas telefónicas que llegan en forma independiente a una central telefónica es una variable aleatoria con distribución exponencial, con media de 2 minutos por llamada. ¿Cuál es la probabilidad que una llamada dure entre 1 y 4 minutos? 3. El tiempo de incapacidad por enfermedad de los empleados de una compañía en un mes, tiene distribución normal, con media 100 horas y desviación estándar de 20 horas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo por incapacidad del siguiente mes se encuentre entre 50 y 80 horas? b) ¿Cuánto tiempo de incapacidad deberá planearse para que la probabilidad de excederlo sea sólo 0.1? 4.

Suponga que se estima que el 70% de los jóvenes de Lima y el 63% de los jóvenes de Arequipa considera que escuchar escuchar música clásica clásica es un buen hábito. Si se toman muestras de tamaño 50 de jóvenes de Lima y 60 de jóvenes de Arequipa, halle la probabilidad de que la proporción de la muestra de Lima supere a la de Arequipa en menos de 0.05, si Las muestras son aleatorias simples (sin reemplazo), habiéndose elegido la primera muestra de 900 jóvenes limeños y la segunda de 1400 jóvenes arequipeños.

5. El promedio y la desviación estándar de las medidas de los diámetros interiores de ciertos tubos de desagüe son respectivamente 34.1 cm y 1.5 cm. Si se toma una muestra de 100 tubos, ¿Cuál es la probabilidad de que la media de esta muestra aleatoria esté entre 34 cm. y 34.5 cm? 6. En una población, el 20% de d e las familias están suscritas al diar io “El Comercio”, ¿cuál es la probabilidad de que al seleccionar una muestra de 225 familias, la proporción de familias suscritas a dicho diario sea menor al 16%? 7. La presión sanguínea sistólica de los hombres de 20 a 24 años se distribuye normalmente con media 123 y con una desviación típica de 137. Si se selecciona al azar a uno de estos hombres, ¿cuál es la probabilidad que su presión sanguínea sea mayor a 139.44? 8. El tiempo que necesita un alumno para terminar t erminar el examen final de Química General se distribuye normalmente con una media de 110 minutos y una desviación estándar de 8 minutos; mientras que el tiempo que necesita un alumno para terminar el examen final de Física General se distribuye normalmente con una media de 115 minutos y una variancia de 49 minutos mi nutos2. a. Si un alumno termina el examen de Física General en menos de una hora y media medi a se puede suponer que domina el curso. Si se selecciona un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que domine el curso? b. Si se seleccionan al azar 5 alumnos de Física Fí sica General, ¿cuál es la probabilidad probabilid ad de que al menos dos alumnos dominen el curso?

168



9. El número de clientes que llegan a una agencia bancaria cada 5 minutos tiene una distribución Poisson con media 3.2. Se selecciona una muestra aleatoria de tamaño 40 de esta distribución. Calcule la probabilidad de que la media muestral sea mayor que 2.8. 10. Se sabe que el 52% de adolescentes de cierto distrito fuman. Si se selecciona una muestra aleatoria de 50 adolescentes de ese distrito, halle la probabilidad de que la proporción muestral de fumadores sea mayor que 0.40 pero menor que 0.62 11. Una Empresa Arrocera se tienen dos máquinas agrícolas A y B; las cuales presentan tiempos de duración que cumplen la función de cosechar arroz en forma independiente tienen una distribución normal con un tiempo de vida medio medio de 12 y 15 años y con con desviaciones estándar de 1.5 años y 3 años respectivamente. a) El administrador de la empresa está dispuesto a reemplazar sólo al 3% de las maquinas con menor tiempo de duración. ¿Cuál es la duración límite para que la máquina A sea considerada para ser reemplazada? b) Si se toma una muestra de 50 máquinas agrícolas para cada tipo de máquina (A y B) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de la media de la muestra de la máquina B sea como máximo 14 ó como mínimo 16 años? c) Si se toma una muestra de 50 máquinas agrícolas para cada tipo de máquina (A y B) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra de la máquina A difiera de la máquina B en más de 1 año? 12. La vida útil de una batería se distribuye como una exponencial con una media de 10 años. El fabricante ofrece una garantía de un año. Si la batería b atería falla en ese período se reemplaza por otra, a lo más una vez. ¿Cuál debe ser el tiempo de garantía que el fabricante debe ofrecer para que solo se devuelva el 2% de las baterías producidas? 13. Una máquina fabrica un determinado producto cuya longitud, en centímetros, tiene un promedio de 6 cm. cm. y una desviación estándar de 1.2 cm. cm. a) Si se toma una m.a. de tamaño 25 ¿Cuál será la probabilidad de que se obtenga un promedio muestral de a lo más 6.25 cm? b) Se sabe que el costo de fabricación, por unidad, está dado por C = 4.5X + 6.5, 6.5, donde C es el costo unitario y está dado en soles. Si se toma una muestra muestra aleatoria de tamaño 36 ¿Cuál es la probabilidad de que el costo promedio, en esta muestra, supere los 23.5 soles? 14. Un fabricante de electrodomésticos sabe que la vida útil de éstos sigue una distribución normal normal con media de 100 meses y desviación estándar de 20 meses. Determine el tamaño mínimo muestral que garantiza, con una probabilidad de 0.98 que la vida útil media de media de los electrodomésticos en dicha muestra se encuentra entre 90 y 110 meses. 15. Se sabe que la vida de bombillas eléctricas es una variable aleatoria distribuida normalmente con media desconocida y = 200 horas. 200 horas. El precio de un lote de bombillas es

1 5



dólares. Un posible comprador propone tomar una muestra aleatoria

de n bombillas y pagar al productor

1 5

X dólares

por el lote de bombillas. ¿Cuál debe

ser el valor de n, para que la probabilidad de que comprador no sobre pague ni subpague al productor con más de 20 dólares, sea 0.95? 169



9.5 Distribución Ji – Cuadrado La distribución Ji-cuadrado fue encontrada por primera vez por F.R Helmert en 1876. Esta distribución toma el nombre de la letra griega castellano se llama Ji y en inglés Chi.

 elevada al cuadrado. Esta letra en

Una v.a X tiene distribución Ji-cuadrado con m grados de libertad si su función de probabilidad está dada por: m  1  x 1 2 x e 2  m f  x    2 2 m 2  0 

Se debe aclarar que el operador Notación:





m

2

si x  0 si x  0

 es una integral definida.

2

X

 m  

Características de una distribución Ji-cuadrado típica Como se aprecia en el gráfico anterior: 1. 2. 3. 4.

Presenta un sesgo o asimetría positiva. positiva. Es asintótica con respecto al al eje horizontal en el lado positivo. El rango de la variable considera sólo sólo los valores positivos. La distribución tiene menor menor sesgo conforme los grados de libertad son mayores (m  30) 2 5. Si X    , entonces  X  m y  X  2 m . 2

m

Teorema Si Teorema Si Z  N(0 , 1) entonces

2

Z

 21 .

Ejemplo 9 Si

X



2

N  , 

 , entonces Z 

Teorema Si Teorema Si J1 , m1 ,

X

 

N

 0,1  Z

2

 X         

2 2

 1

, J n son v.a. independientes que tienen ti enen distribución Ji-cuadrado con

, mn grados de libertad, li bertad, respectivamente; entonces la v.a V 

n

 J

i

i 1

 2 n

  mi     i1 



. 170



Distribuciones muestrales asociadas a la distribución Ji-cuadrado

 n  1 S

2

Distribución de la v.a. Sea

 2

, X n una muestra aleatoria de una distribución normal con media  y

X 1 ,

n

 n  1 S

 ( X

2

desviación estándar

 ,

entonces la v.a



2



i

 X )

2 2

i 1



2

  n 1 .

Ejemplo 10 Si J  219 , determine el valor de: a. P  J  11.651 Solución

 = 0.1 Notación: b. P  J  15.352  

P J  11.651

11.651



 20.1,19 

Solución P  J  15.352   1  P  J  15.352  1 0.3  0.7

c. P 15.352  J  30.144  Solución 0.95  0.3  0.65  J  30.144   P  J  30.144  P  J  15.352  0.



P 15.352

Ejemplo 11 Si L  225 , halle p1 y p2 tales que: P  p Solución

1

P  L  p1   0.2  p1    0.2,25  2

P  L  p2   0.9  p2

L  p2   0.7 y P  L  p2   0.1 .

 18.940

2

  0.9,25 







34.382

9.6 Distribución t de Student La distribución t fue empleada por primera vez en un problema de Estadística importante por W.S Gosset en 1908 (él escribía bajo el seudónimo de Student). Una v.a X tiene distribución t con m grados de libertad si su función de probabilidad es:

  

f  x  

m 1 2

 

 m  1  x     2  2 

m   

Notación:

2

m 1

,

  x  

2

~()

171



Características de la distribución t 1. Cada curva

t m tiene  

2. Cada curva

t m es  

3. Si

entonces  X

t  m ,

X

forma acampanada con centro en 0.

más dispersa que la curva normal estándar. 

0

y  X 2

m



m2

4. Conforme aumenta m, la dispersión de la curva 5. A medida que

m 

, la curva

t m se  

t

 m

disminuye.

aproxima a la curva normal estándar.

Teorema Si las v.as

Z

N

 0,1 y V  2m  son independientes, entonces la v.a

X

Z

.

t m  



V m

Distribuciones muestrales asociadas a la distribución t Sea

X 1 ,

, X n una muestra de una distribución normal con normal con media  y desviación

estándar  , entonces la v.a

X   S X

t  n 1 ,

siendo:

2

2

S X

S 

n

, si el muestreo es con reemplazo (muestra aleatoria)

Teorema Si de dos poblaciones normales independientes distribuidas con medias  ,

 2

1

variancias  12   22   2 , se extraen muestras aleatorias de tamaños respectivamente;

entonces, la variable aleatoria Y 

 X

1

 X        2



S p2 

1

1

n

1

siendo: S  2 p

 n1  1 S12   n2  1 S22



  n  1

2

y

n1 y n2 ,

t  n  n 1

2

 2

,

2

n1  n2  2

172



Ejemplo 12 Si a.

t  8  ,

R



P R

  2.306 

P  R 

b.

2.306



P R  2.896



P R

c.

calcule:

  0.025 Notación:

t  0.025,8



 2.896   1  P  R  2.896   1  0.99  0.01



P 3.355  R  0.889

P

2.306 



 3.355  R  0.889   P  R  0.889   P  R  3.355   0.200  0.005  0.195

d. El valor valor de c si





P R  c 





P R  c  0.3

0.3  c  t  0.3,8

 0.546

9.7 Distribución F Ronald A. Fisher (nació en Inglaterra el 17 de Febrero de 1890 y falleció el 29 de Julio de 1962) fue un gran científico, gran científico, matemático, matemático, estadístico, estadístico, biólogo biólogo evolutivo y genetista. Fisher genetista. Fisher aportó mucho a la estadística, siendo una de sus más importantes contribuciones, la Inferencia Estadística creada por él en 1920 en 1920 (que se estudiará de manera introductoria en el capítulo XI de este libro). A la distribución F también se le llama distribución F de Snedecor o distribución F de Fisher-Snedecor. Una v.a. X tiene una distribución F con n y m grados de libertad si su función de probabilidad es: n

f  x  

n  m   n  2 2 1     m  x 2    n

n m nx       1    2  2  m 

Notación:

X



F n m ,

n m

,

x0

2



173



Características de la distribución F 1. 2. 3. 4.

Está definida solamente solamente para valores valores positivos de la variable. Tiene asimetría positiva. Es asintótica respecto al eje horizontal en su parte parte positiva. Las distribuciones F  n, m  tienden a ser simétricas cuando suficientemente grandes (mayores que 30)

Teorema Si U  n y V 2

n

y

m

son

 2m , son v.a. independientes, entonces la variable aleatoria

U X

U m

n 

V





F n, m

V n



m

Notación Si X

F  n m

Propiedad recíproca

PX

y

,

F 





 ,n , m 

k     k



F  n m ,

,

1

F 1



,m, n 

Distribución muestral asociada a la distribución F Sea X 1 , , X una m.a. de una distribución normal con variancia n1

m.a. (independiente de las X i) de una distribución normal con variancia por S

2

y

1

2



1

y 2



2

Y1 ,

, Y n2

otra

, y denotemos

S 22 las dos variancias muestrales. Entonces la v.a:

S 12  12 S 22  22

F  n1  1, n2  1

Ejemplo 13 Si

 8,21 , halle: a. P W  2.42  P W  2.42   0.95  2.42  F  0.95,8,21 b.

W

F





P W  3.51



P W

c.

 3.51  1  P W  3.51  1  0.99 

0. 0.01

 2.42  W  3.51 P  2.42  W  3.51  P W  3.51   P W  2.42   0.99  0.95  0.04

P

d. El valor valor de k en P  k  W  2.42  =0.94



P k  W 

2.42  0.94  P W  2.42  P  W 



k 

0.94 





P W  k 

0.01

0.95

 k  F  0.01,8,21 

1 F  0.99,21,8



1 5.34

 0.1873

Nótese que se utilizó la propiedad recíproca. 174



EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Una muestra aleatoria de 27 observaciones es tomada de una población normal con  2 16.8 . Hallar la probabilidad de obtener una desviación estándar muestral entre 2.9909 y 5.2045 

2. Un fabricante de alambres de acero afirma que la fuerza promedio requerida para romper los alambres que fabrica es de 500 Kg. Para verificar esta afirmación se toma una muestra aleatoria de 25 trozos de este alambre y se somete a prueba encontrándose una desviación estándar de 55 Kg. Suponiendo que las fuerzas de rompimiento pueden considerarse como valores de una variable aleatoria que se distribuye normalmente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un promedio de rompimiento entre 481.179 y 518.821 Kg? 3. Si Y tiene distribución t de Student con 15 grados de libertad. Halle el valor de la 753 )  0.95 constante K tal que: P (Y  K )  P (Y  1.753

2

W

~

a)

P (W



d)

P ( Z  1.325 325 )

 (5)

Z

4. Sea , probabilidades:

~ t ( 20)

,

Y ~ F (8,10)

. Usando tablas estadísticas hallar las siguientes

3) b) P (W  11.07) 860 ) c) P ( Z  0.860

e) P(1.325  Z  1.725) f) P (Y  3.07) g) P (Y  5.06) h) P(3.07  Y  5.06)

175



Preguntas de Autoevaluación 1. Dos características de la distribución Normal son ___________________________ ______________________________________________________________ _____________________________ _____________________________________ ____ 2. Dos características de la distribución t de Student son: _______________________ ______________________________________________________________ _____________________________ ______________________________________ _____ 3. Dos características de la distribución Chi-cuadrado son: ______________________ ___________________________________________________________ _____________________________ ______________________________________ ________ 4. Dos características de la distribución F de Fisher son: _______________________ ______________________________________________________________ _____________________________ ______________________________________ _____ 5. Si la variable aleatoria X se distribuye como una exponencial, entonces la probabilidad que X sea mayor a su media es igual a _____________________ ______ _______________ y su coeficiente de variación es igual a ___________________. 6. Si X tiene una media poblacional igual a 12.5 y una desviación estándar de 2.5, entonces para un muestra n de tamaño 50, la distribución de la media según el Teorema del Límite Central es ______________________________ 7. Si la variable aleatoria X~ Bin(10,0.85), Bin (10,0.85), entonces para una muestra de tamaño 40 la probabilidad que la media muestral sea mayor a 6 es igual a ________________ 8. Si Y ~ Hip(15,8,5), entonces para una muestra de tamaño 35 la media muestral se aproxima a la distribución _________________ con media y variancia __________________________. 9. La distribución normal estándar está asociada a la distribución muestral de _________, la distribución t con la distribución muestral muestral de _________________, la distribución Chi-cuadrado con la distribución muestral de _____________________ y la distribución F con la distribución muestra de _________________________ . 10. Indique si es Verdadero (V) o Falso (F) cada uno de los siguientes sigui entes enunciados: Item Enunciado a.

La mediana en una distribución normal estándar es igual a cero

b.

En la distribución t, a medida que aumenta los grados de libertad la distribución se aproxima a una normal estándar. Las variables aleatorias distribuidas como una Chi-cuadrado y F toman sólo valores positivos.

c. d.

Las variables aleatorias distribuidas como una Normal y Normal estándar toman sólo valores negativos.

e.

Conforme aumenta los grados de libertad de la Chi-cuadrado, la distribución tiene mayor sesgo.

V/F

176



CAPÍTULO X INFERENCIA ESTADÍSTICA La inferencia estadística se ocupa de la estimación y prueba de hipótesis de los parámetros de una población, en base de una muestra aleatoria extraída de dicha población. Objetivo. Entender Objetivo. Entender el proceso de inferencia estadística para la estimación (estimación puntual y por intervalos) y de prueba de hipótesis de los parámetros de una población. La inferencia estadística comprende: 1. La estimación de parámetros (estimación puntual y por intervalos intervalos de confianza). 2. Las pruebas de hipótesis de parámetros. 10.1 Estimación puntual de parámetros Sea X 1 ,

, X n una muestra de tamaño n de una población con parámetro  .

denomina estimador puntual de  ˆ





 a

cualquier estadístico

 ˆ

h  X1,

Se

, X n  cuyo valor

, xn  dará una estimación puntual de  . En este caso  es una variable

h x1 ,

ˆ

aleatoria y  es un número. Los estimadores puntuales para la media, varianza y proporción serán: ˆ

n

 X

i

Para la media poblacional ( ):

  X ˆ



i 1

n n

 ( X

i

Para la variancia poblacional ( 2):



2

2

 S 

ˆ

 p

Para la proporción poblacional ( poblacional ( ):



ˆ

 X )

2

i 1

n 1

Número de éxitos 

n

Ejemplo 1 2 De una población de tallas (mt) en madres adolescentes con media  y varianza  , se extrae una muestra aleatoria 8 madres adolescentes, cuyos valores observados son: 1.50, 1.60, 1.58, 1.45, 1.52, 1.68, 1.62, 1.55. Halle un estimador puntual para la media, la varianza y la desviación estándar poblacionales. 8

 X i

Entonces se tiene:

X 

i 1

12.5



8

8

 1.56 mt . , será una estimación puntual de  .

8

Cálculo de la suma de cuadrados:

 X

2

i

 19.569

i 1

Para la varianza, el estimador puntual será: n

S  2

 X i

2 i

  n 1

n

X i i 1 n



2 n



 X i

2 i

 n X

n 1

19.569  (12.5) 2 19.569  8 x1.56 2    0.0053 7 7

Para la desviación estándar: S  0.0053



0.073 177



10.2 Estimación de parámetros por intervalo de confianza Sea X1 , , X una muestra aleatoria de tamaño n de una población con parámetro  , cuyos valores observados o datos respectivos son x1 , , x . Sea además, la v.a n

n



, X n  un valor estadístico, con función de probabilidad conocida, que estima

  h X1, ˆ

a

Si P  A    B   1   , donde A  h1  X 1 ,

 .

halladas a partir de la distribución de   h  X1 , ˆ

, X n 

y B  h2  X1 ,

, X n  son

v.a.

, X n  , entonces se dice que el intervalo

aleatorio  A, B  es el intervalo estimador del parámetro  , o que    A B  con probabilidad 1  . ,



Si a  h1  x1 , , x  y b  h2  x1 , , xn  , son los valores numéricos que resultan al reemplazar los valores de la muestra en las v.a. A y B respectivamente, entonces, se dice que el intervalo numérico  a b  es el intervalo de confianza del 1     100 % para  , n

,

o que





 a b  con un nivel o grado de confianza del 1 ,









100

%.

Interpretación Si con los datos de una muestra aleatoria de tamaño n se construyó el intervalo a    b con nivel de confianza, por ejemplo, 98% para el parámetro  , esto quiere decir que existe un 98% de confianza que el intervalo  a b  contenga al parámetro  . ,

Intervalo de confianza para una media poblacional po blacional  Intervalo de confianza para una media poblacional  con Si 2

desconocida

, X n es una muestra aleatoria de una población pobl ación normal con media  y variancia

X 1 ,



2



desconocida. Para cualquier tamaño de muestra se tiene que la variable aleatoria la

v.a.

t

X 





S

~ t n -1 ,

entonces para definir el intervalo de confianza del 1     100 %

n

se cumple:

      X    P  t    P   t  t 1 n   t  t  1 2 ; n 1 S 1 2 ; n 1  1 2 ;n 1   1   .  1 2 ; n 1   n   Entonces despejando la expresión anterior, el intervalo con un nivel de confianza del 1     100 % para la media (  ) será hallado por:

  s  X  t 1 ;n 1  2 n      a  

  S   X  t 1 2;n 1 n      b  

178



donde a y b son valores numéricos que representan el Límite inferior y Límite superior del intervalo. Lími ímite inferior: Lími ímite superior:

LI ( )  X

LS (  )





X

t

s







1 ; n 1 2

t

n s

1



 ;n 1 2



n

Intervalo de confianza para una proporción Se usa la v.a.

  ~ N(0,1) y n>30, entonces para determinar el intervalo de  (1   ) p

n

confianza del 1    100 % para la proporción se cumple:   

P   Z 

   1   2 

    Z  Z      P   Z       1   1    2     2  

  p    Z      1    1    (1   )  2   n 

Entonces despejando la expresión anterior, el intervalo con un nivel de confianza del 1    100 % para la proporción ( ) será hallado por:

p 1  p 

p  Z 

  1   2

n

p 1  p 

   p  Z 

   1   2

a

n b

donde a y b son valores numéricos que representan el Límite inferior y Límite superior del intervalo. Intervalo de confianza para la variancia Sea

X 1 ,

2

, X n una muestra aleatoria de una población normal con variancia  ,

 (X i  X )

2

desconocida. Se usa

( n  1) S 2



~  2n -1 , entonces para determinar el

2



2



intervalo de confianza del 1    100 % para la varianza se cumple:

 

P

2



 2 P    

2,n 1

 2,n 1

  2     2 n 1



1  2, n1

 n  1 S 2  2

  1  

   2

1  2, n 1

   1   

179



Entonces despejando la expresión anterior, el intervalo con un nivel de confianza del 1     100 % para la varianza (  ) será hallado por: 2

 n  1 s 2 2

 

   2

 n  1 s 2 2

  

 1 , n 1  2 

  , n 1  2 



a

b

Si se desea obtener los límites de confianza para la desviación estándar se obtiene la raíz cuadrada en la expresión anterior obteniéndose:

 n  1 s 

2

2

  

 n  1 s 

   1 , n 1 2  

2

2

    , n 1  2 

a

b

Ejemplo 2 En 2011, se tomó una muestra de 35 casas en la Ciudad 1, y se hizo el estudio de las siguientes variables: X= Peso total de basura producida en una casa durante un día (Kg), Y= Peso de residuos orgánicos producidos (Kg) en una casa durante un día y Z= Hábito de reciclaje, obteniéndose los siguientes resultados:

Casa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Peso total de basura 2.7 3.0 1.5 1.8 3.0 2.5 4.0 3.0 3.5 5.0 1.5 2.5 2.3 3.5 5.0 4.0 4.0 3.0 2.5 2.8 2.8 3.5 4.0 3.0

Peso residuos orgánicos

Hábito de reciclaje

1.8 1.5 0.8 0.8 2.1 1.5 2.5 1.2 2.0 3.7 0.8 1.3 1.3 2.8 3.5 2.1 2.6 1.2 1.0 2.0 1.9 2.6 3.3 2.0

Si No No No Si No No No Si No No No No No No No No No No No Si No No No 180

UNA La Molina - Dpto. de Estadística e Informática Casa 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

Peso total de basura 1.9 2.7 2.8 3.7 3.2 2.9 3.5 3.0 5.0 3.5 4.0


Peso residuos orgánicos

Hábito de reciclaje

1.0 1.4 1.8 2.5 2.3 1.9 2.1 1.3 3.4 2.7 3.2

No No No No No No Si No No No Si

Cálculos: Peso Total

Peso residual Orgánico

x

3.160

1.997

s n

0.884 35

0.818 35

Del total de casas, sólo 6 tienen hábitos de reciclaje a. Halle e interprete un intervalo de confianza del 95% para el peso total promedio de basura producida en una casa durante un día. Solución: 1

 0.95    0.05  1 

3.160  2.032

0.884 35



2

 0.975 . t  0.975,34  2.032 

   3.160  2.032

0.884 35



2.856    3.464

Interpretación: Se tiene un nivel de confianza de 95% que qu e el peso total promedio de basura producida en una casa durante un día está en el intervalo  2.856,3.464 Kg. b. Halle un intervalo de confianza de 95% para la verdadera proporción de casas que tienen el hábito de reciclaje en esa ciudad. Solución: 1 



0.95    0.05  1 

0.1714  1.96 



2



0.975 .

0.1714 x(1  0.1714)

35 0.0465    0.2963



Z 0.975

  

 1.96

y p

0.1714  1.96

6 



0.1714

35

0.1714 x(1  0.1714) 35

Interpretación: Se tiene una confianza de 95% que la verdadera proporción de casas que tienen el hábito de reciclaje, está en el intervalo 0.0465 , 0.2963  .

181



c. Halle e interprete un intervalo de confianza del 95% para la varianza y desviación estándar del peso de los residuos orgánico. Solución: 

1    0.95    0.05  1 

(n  1) S 2 

2



2



( n 1) S 2 2

 

1  2;n 1 





2



2

2

0.975   0.975,34 

(35 1)0.818 2



51.966



;n 1



2





51.966

y

(35 1)0.818 2 19.806

 20.025,34



19.806

 0.438  

2

 1.149

Interpretación: Se tiene una confianza de 95% que la verdadera varianza estándar del 0.438, 1.149 Kgs2. peso de los residuos orgánico se encuentra en el intervalo  0.438, Para la desviación estándar:

0.438   

1.149



0.662    1.072

Interpretación: Se tiene una confianza de 95% que la verdadera desviación estándar del peso de los residuos orgánico se encuentra en el intervalo 1.615, 2.616  Kg. Ejemplo 3 Los siguientes datos corresponden a los pesos de destete (X 1) y peso de nacimiento (X 2), en gramos, de una muestra aleatoria de 10 cuyes. X1 210 174 310 127 174 172 296 362 306 352 X2 140 142 140 90 92 84 156 200 185 180 Asumiendo que ambas variables tienen distribución normal: a. Halle un intervalo de confianza de 90% para el verdadero peso medio de destete de los cuyes. Solución: Peso de Peso al Destete Nacer

1

x



0.90    0.10  1 

 t 1 2,n 1

s

x

248.3

140.9

s n

85.7 10

41.4 10



2

248.3 3  1.83 1.833 3  248.

n



0.95 .  t 0.95; 9   1.833

85.7 10

198.624, 297.976 , de donde se obtiene: 198.624,

Interpretación: Se tiene una confianza de 90% que el peso promedio de destete, está en el intervalo 198.624, 198.624, 297.976 gr. One-Sample T: PDestete Variable PDestete

N 10

Media 248.3

StDev 85.7

SE Media 27.1 (

90.0% CI 198.6, 298.0)

182



b. Halle un intervalo de confianza de 98% para la verdadera variancia del peso al nacer de los cuyes. Solución: 1    0.95    0.02  1  2

(n  1)S 2



1  2; 1 

n

2

2

  

(n  1)S 2

 



2



; n 1



2



2

0.99   0.99,9  2



(10  1) x41.4 21.666



21.666

2

y  0.01,9 



2.088

2

2

  

(10  1) x41.4 2.088 088

2

 711 711 .975 975    7387 .759 759

Interpretación: Se tiene una confianza de 98% que la verdadera variancia del peso al nacer está en el intervalo 711.975, 711.975, 7387.759 gr2. Para hallar el intervalo de confianza para  , se sacará la raíz cuadrada en ambos límites: obteniéndose:  26.683,85.952 gr. Ejercicio 1. Un inspector de calidad está evaluando si el contenido de fruta por lata es el adecuado. Se supone que el contenido de fruta se distribuye como una normal. El inspector escoge al azar 35 latas y encuentra que el peso promedio es de 29.2 onzas, la variancia es de 4 onzas 2 y que 5 no tienen un peso adecuado. a. Halle e interprete un intervalo in tervalo de confianza del 95% para el peso promedio poblacional.

b. Halle e interprete un intervalo de confianza del 95% para la variancia y desviación estándar poblacional del contenido de fruta en las latas.

183



c. Halle e interprete un intervalo de confianza del 99% para la proporción poblacional de latas que presentan un peso adecuado

Ejercicio 2. Un fabricante de fibras sintéticas diseña un experimento para estimar la tensión de ruptura media de una fibra, observa las tensiones de ruptura, en libras, de 16 hilos seleccionados al azar y se obtiene los siguientes resultados: Descriptive Statistics: Tensión Variable Tensión

N 16

Media 20.381

StDev 0.523

Minimo 19.600

Maximo 21.100

a. Con una confianza del 95%, halle el intervalo de confianza para la tensión de ruptura media de las fibras sintéticas. Interprete.

b. Halle e interprete un intervalo del 90% de confianza para la variancia de la tensión de ruptura media de las fibras sintéticas.

184



10.3 Determinación del Tamaño de Muestra A continuación se presenta la manera de hallar el tamaño de muestra cuando se estima a la media poblacional μ o cuando se estima a la proporción poblacional . 

Determinación del tamaño de muestra para estimar a la media poblacional μ Se sabe que:

x



t  s

/



2

t s

, despejando se se obtiene el el tamaño de muestra:

n

n



e

2

2

Donde:  e es el margen de error que se quiere aceptar.  El valor de t t  depende del nivel de confianza requerido y se trabaja con gl . 1 

La variancia



s

2





2



se obtiene de una muestra piloto.

Determinación del tamaño de la muestra para estimar la proporción poblacional 

Se sabe que: Z

p







 (1



 )

2

Z

, despejando se obtiene el tamaño de muestra:

n





1 e







2

n

Donde:  e es el margen error permisible.  El valor de Z Z 1   depende del nivel de confianza requerido 





2

 es el parámetro que se desea estimar y como es desconocido, entonces se puede

tomar una muestra piloto para obtener un valor estimado. Se puede utilizar el valor conservador igual a 0.5.

Ejemplo 4 Una famosa cadena de hoteles desea desarrollar un intervalo de confianza del 99% para estimar el número promedio de habitaciones ocupadas cada noche en sus sucursales de toda la nación. ¿Cuántas noches deben incluirse en la muestra si se puede tolerar un error de 10 habitaciones y una muestra piloto revela una desviación estándar de 60 habitaciones? Solución: t 2 s2

  0.01  t 1 ,  t 0.995,   2.58  n  2   2  e

2.582 x602 102

 239.63  240 noches

185



Ejemplo 5 ¿Cuántos estudiantes debe tener una muestra, con el fin de estimar la proporción de estudiantes que tienen correo electrónico? En un estudio previo, se halló que de 150 estudiantes, 120 tenían correo electrónico. Se desea tener un nivel de confianza del 95% y un error del 3% en las estimaciones. Solución: 120 p



150



0.8 , Z 0.975 1.96 , 

entonces

1.96 n

0



2

 0.8  0.2 2

0.03



682 682.95 .95  683 y por lo tanto:

En el siguiente cuadro se presenta las estimaciones de tamaños de muestra para diferentes valores de margen de error: Margen de error n 0,01 6146,560 0,02 1536,640 0,03 682,951 0,04 384,160 0,05 245,862 Se observa un incremento exponencial de tamaño de muestra mu estra al disminuir el margen de error. Ejercicio 3. ¿Cuál debe ser el tamaño de muestra para estimar el nivel medio del consumo de proteínas de los adultos de una zona minera, si se desea tener un margen de error de 0.45 g/dl y un nivel de confianza del 95%?. De una muestra piloto se obtuvo que el consumo de proteínas tiene una desviación estándar de 2.5 g/dl.

Ejercicio 4. El director comercial de cierta compañía que realiza ventas por correo electrónico, desea precisar con mucho cuidado su política de crédito. Si el director desea tener un intervalo de confianza del 99% para la proporción de clientes que están al día en sus pagos. ¿Qué tamaño de muestra debe usar si se desea tener un u n margen de error erro r del 4.5%?. Suponga que en una muestra piloto de 35 clientes se halló que 8 clientes están al día en sus pagos.

186



10.4 Prueba de hipótesis Una hipótesis estadística, es cualquier afirmación o suposición que se hace acerca del tipo ti po de distribución de probabilidad de la población o al valor o valores de uno o más parámetros de la población. Ejemplo 6 Las siguientes son hipótesis estadísticas: e stadísticas: a) b) c) d)

El peso promedio de destete de ciertos cuyes es 230 gr. La proporción de casas con hábitos de reciclaje es mayor que 0.15 La variancia de los diámetros de ciertos árboles árbol es es 0.95 m 2 Son iguales los pesos promedios al nacer de dos tipos de cuyes (I, II) que se distribuyen normalmente con variancias iguales  12   22

Hipótesis nula y alterna Hipótesis nula (H0 o Hp). ). Es la hipótesis que es aceptada provisionalmente como verdadera y cuya validez será sometida a verificación experimental. Los resultados experimentales nos permitirán seguir aceptándola como verdadera o si debemos rechazarla como tal. Hipótesis alterna (H 1 o Ha). Es ). Es la hipótesis que se acepta en caso de que la hipótesis nula sea rechazada. H1 es la suposición contraria a H 0. Prueba de hipótesis estadística es el proceso mediante el cual se toma la decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula. La aceptación de una hipótesis nula, significa que los datos de la muestra no proporcionan evidencia suficiente para rebatirla. El rechazo significa que los datos de la muestra lo rebaten. Tipos de pruebas de hipótesis El tipo de prueba depende de la forma de la hipótesis alterna: a. Prueba de hipótesis bilateral bilateral o de dos colas, si: H 0 : 



 0 contra H 1 : 



 0

b. Prueba de hipótesis unilateral unilateral o de cola cola a la derecha, derecha, si: H 0 : 



 0 contra H 1 : 

H 0 :    0 contra

H 1 : 



 0 , o



 0

c. Prueba de hipótesis unilateral o de cola a la izquierda, izquierda, si: H 0 :    0 contra

H 1 : 



 0 , o

H 0 :    0 contra

H 1 : 



 0

Donde  es el parámetro de interés y  el valor supuesto que puede tomar el parámetro. o

187



Errores tipo I y tipo II Al tomarse una decisión respecto a una hipótesis nula (H 0), se puede presentar cuatro posibles casos que determinan si la decisión tomada es correcta o incorrecta, esto se presenta en la siguiente tabla: Decisión Aceptar H0 Rechazar H0

H0 verdadera Decisión correcta Probabilidad =1   Error tipo I Probabilidad = 

H0 falsa Error tipo II Probabilidad =  Decisión correcta Probabilidad =1  

Error tipo I , es el error que se comete cuando se rechaza una hipótesis nula que es

verdadera en la población.

Error tipo II , es el error que se comete cuando se acepta una hipótesis nula que es falsa

en la población.

Nivel de significación (  ). De ). De una prueba de hipótesis, h ipótesis, es la probabilidad de cometer error tipo I. La probabilidad de cometer error tipo I se denota por 

 ,

entonces:

= P(error tipo I) = P(rechazar una hipótesis nula verdadera)

La probabilidad de cometer error tipo II se denota por  , entonces:  = P(error tipo II) = P(aceptar P(aceptar una hipótesis nula falsa) falsa)

Potencia de prueba. Es prueba. Es igual a 1 -  , es la probabilidad de rechazar re chazar una hipótesis nula que es falsa. Región crítica y regla de decisión. La regla de decisión involucra la división de la distribución muestral del estadístico



(como X , S 2 etc.) de la prueba en dos partes mutuamente excluyentes: a región de rechazo o región crítica (R.C) de la hipótesis nula, y la región de aceptación (R.A) o no rechazo de la hipótesis nula. La división depende de la forma de la hipótesis alternativa, alternativa, del nivel de significación  y de la distribución muestral del estadístico.

188



Supuestos para las pruebas de hipótesis. Para las diferentes pruebas de hipótesis hi pótesis se deben cumplir los siguientes supuestos: 1. Prueba de hipótesis para para una media poblacional poblacional (  ), para la variancia poblacional

  y para una proporción   . 

2

a. La muestra es aleatoria. b. La muestra proviene de una distribución normal. 2. Prueba de hipótesis para diferencias de medias poblacionales poblacionales  1   2  , para la razón

  22  de variancias poblacionales  2  y para la diferencia de proporciones     .   1  1

2

a. Las muestras son aleatorias. b. Las muestras provienen de distribuciones normales. c. Las poblaciones son independientes.

Procedimiento general de la prueba de hipótesis de un parámetro 1. Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. 2. Elegir el nivel de significación

 .

3. Seleccionar la prueba estadística apropiada, E, (cuya distribución depende del valor estadístico utilizado) y hallar el valor calculado (E c) de la prueba estadística. Ver la tabla de las pruebas de hipótesis. 4. Determinar la regla de decisión, estableciendo las regiones de rechazo y de aceptación de la hipótesis nula (Ho). 5. Decidir el rechazo de la hipótesis nula (Ho), si E c cae en la región crítica de rechazo. En caso contrario, no rechazar la hipótesis nula. 6. Conclusión

189



Tabla de las pruebas de hipótesis Hipótesis referida a : 

Valores tabulares E1 y E2 = /2 para pruebas bilaterales = para pruebas unilaterales

Prueba Estadística (E) 2 desconocida



y población normal

 X    ~

t1= - t(1-,n-1) t2= t(1-,n-1)

0

t c=

t

 n 1

s

n 2

2

 c



n





2

1 S

2

  n

2

 0

p   0

Zc=

 0 (1   0 )





1





 2  , n 1

 22



 2 1  , n 1

~ N(0,1)

2

2

Fc



2

2

2

2

S 1  2



F n1

S 2  1 2

2

1

2



1, n2  1

a.  y  desconocidas pero homogéneas y poblaciones normales. X 1  X 2    1   2 0  tc  t  n n  2 1 1 S p2     n1 n2  b.  y  desconocidas pero heterogéneas y poblaciones normales.

2

tc



2

2

1

2

X 1  X 2   1   2 0 2 1

s

n1



s

2

t  H 

2 2

n2

2

S p



t1

 

t2



n1  n2





1

p 1  p   1   2

 n1



1 

N  0,1



n2 



2

t 1   , n1  n2  2  t 1   , n1  n2  2  2

 s12 s22      n1 n2  H  2 2  s12   s22       n1    n2  n1  1 n2  1 t1

 t 1   , H 

t2

 t 1   , H 



Z c 



 n1  1 S12   n2  1 S22

a. Cuando  1  2 =0 p1  p2   1   2  0



F1= F(, n1-1, n2-1) F1= F(1-, n1-1, n2-1)

1

 



Z1= Z() Z2 = Z(1-)

n

 2 /  1

1

 12

p 

n1 p1  n2 p2 n1  n2

Z1= Z() Z2 = Z(1-)

b. Cuando  1  2  0 

Z c



p1  p2   1   2 0 p1 1  p1  n1



p2 1  p2 

N  0,1

Z1= Z() Z2 = Z(1-)

n2

190



Ejemplo 7 (En este ejemplo se usan los resultados del estudio durante 2011 de la ciudad 1 del ejemplo 2 y datos ya calculados de la cuidad 2 para ese mismo año). Se estudió el peso total de basura producida por casa durante un día en dos ciudades, para lo cual se tomaron dos muestras de tamaños 35 y 40 respectivamente obteniéndose: Ciudad 1

Ciudad 2

x

3.1600

3.7575

s n

0.884 35

0.3809 40

¿Hay evidencias estadísticas para afirmar que el peso total promedio en la ciudad 1 es 3.22 Kg? Use =0.05 1. Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. H 0 :  1  3.22 H 1 :  1  3.22

2. Elegir el nivel de significación. =0.05 3. Seleccionar la prueba estadística apropiada, E, (cuya distribución depende del valor estadístico utilizado) y hallar el valor calculado (E c) de la prueba estadística. Ver la tabla: tc=

 X

1 

s1

 0



n1

~t(n-1)

Cálculo:

t c



3.16  3.1



3.22 .22

0.884



35

0.402

 

4. Determinar la regla de decisión, estableciendo las regiones de rechazo y de aceptación de la prueba. La prueba es bilateral por la forma de la hipótesis alternativa H 1 :  1  3.22 Región de rechazo=RR=

t  2.032  t  2.032 Región de aceptación=RA=

2.032  Z  2.032

5. Decidir el rechazo rechazo de la hipótesis nula si E c cae en la región de rechazo. En caso contrario, no rechazar la hipótesis nula. tc = -0.402 cae en la RA, entonces no hay evidencias estadísticas para rechazar la H 0 , en otras palabras no se rechaza la afirmación de que el peso total promedio es 3.22 en la ciudad 1.

191



Ejemplo 8 Después de la ejecución en el 2011 del estudio del peso de residuos orgánicos producidos por casa durante un día en las ciudades 1 y 2; en el 2012 se volvió a recoger datos en las mismas dos dos ciudades, para lo cual se tomaron dos muestras de tamaños 17 y 22 casas respectivamente obteniéndose: Ciudad 1 Ciudad 2 x

1.777

2.115

s n

0.718 17

0.6549 22

a. ¿Hay evidencias estadísticas para afirmar que el peso promedio de residuos orgánicos en la ciudad 1 es menor de 2.5 Kg? Use =0.025 1. Formular la hipótesis nula y la hipótesis alterna. alterna. H 0 :  1  2.5 H 1 :  1  2.5

2. Elegir el nivel de significación. =0.025 3. Seleccionar la prueba estadística apropiada, E, (cuya distribución depende del valor estadístico utilizado) y hallar el valor calculado (E c) de la prueba estadística. Ver la tabla: tc=

 X

1

  0

s1



n1

~ t(n-1)

Cálculo:

t c



1.777





2.5

*

0.718

17

 

4.1518

4. Determinar la regla de decisión, estableciendo las regiones de rechazo y de aceptación de la prueba. La prueba es unilateral a la l a izquierda por la forma de la hipótesis alterna H 1 :  1  2.5 Región de rechazo = RR = {t < -2.120} Región de aceptación = RA = {t≥-2.120}

Región de Aceptación

t



5. Decidir el rechazo de la hipótesis nula si E c cae en la región de rechazo. En caso contrario, no rechazar la hipótesis nula. tc = -2.120 cae en la RR, entonces hay evidencias estadísticas para rechazar la H 0 , en otras palabras se acepta la afirmación de que el peso promedio de residuos orgánicos es menor que 2.5 Kg en la ciudad 1.

192



b. ¿Hay evidencias muestrales para establecer que el promedio de los residuos r esiduos orgánicos de la ciudad 2 excede al de la ciudad 1 en más de 1 Kg? Use  =0.10 Solución Caso: Prueba de hipótesis para Primer Paso.

2

  con 1

2

2

 1 y  2

desconocidas

2

Prueba de hipótesis para



2 1

2



  2 

2 2

1



1

1. Formular la hipótesis nula y la hipótesis alterna. 2

2

H 0 :  1



2

 2



 2

2

1

 1

2

2

H 1 :  1



2

 2



 2

2

1

 1

2. Elegir el nivel de significación. =0.10 3. Seleccionar la prueba estadística apropiada, E, (cuya distribución depende del valor estadístico utilizado) y hallar el valor calculado (E c) de la prueba estadística. Ver la tabla: 2

F c



2 2 2 2 S 2  1

S 1



~ F (n1



1, n2



1) ~ F (16,21).

2

Cálculo:

F c

0.718 

2

0.6549

1.2019



4. Determinar la regla de decisión, estableciendo las regiones de rechazo y de aceptación de la prueba. La prueba es bilateral por la forma de la hipótesis alternativa H 1 :     2 1

2 2

 22  12

1

Región de rechazo = RR =  F 16,21; 0.05  0.44  F (16,21; 0.95)  2.16 Región de aceptación = RA = 0.44  F  2.16 5. Decidir el rechazo de la hipótesis nula si E c cae en la región de rechazo. En caso contrario, no rechazar la hipótesis nula. Fc = 1.2019 cae en la RR, entonces no hay evidencias estadísticas para no rechazar la H0, en otras palabras hay homogeneidad homogeneid ad de variancias (     2 1

2 2

 22  12

 1 ).

193



Segundo Paso Caso: Prueba de hipótesis para

2

  con 1

2

2

 1 y  2

desconocidas pero homogéneas.

1. Formular la hipótesis nula y la hipótesis alterna. H o :

 2



 1 

H 1 :

 2



 1

1

 1

2. Elegir el nivel de significación. =0.10 3. Seleccionar la prueba estadística apropiada, E, (cuya distribución depende del valor estadístico utilizado) y hallar el valor calculado (E c) de la prueba estadística. Ver la tabla: 2 p 

S

t c 

(17  1) *0.7 *0.7182



(22 (22  1) *0.6 *0.6549 2

17  22  2

( 2.115  1.777)  1 0.46636(

1 22

1



17





0.46636

3.002

)

4. Determinar la regla de decisión, estableciendo las regiones de rechazo y de aceptación de la prueba. La prueba es unilateral hacia la derecha por la forma de la hipótesis alterna H 1 :  2



 1



1

Región de rechazo = RR = { t `

c



Región de aceptación = RA = { t

c

1.69

}

 1.69

}

5. Decidir el rechazo de la hipótesis nula si E c cae en la región de rechazo. En caso contrario, no rechazar la hipótesis nula. tc = 3.002 cae en la RR, entonces hay evidencias estadísticas para rechazar la H 0 y aceptar la H1, en otras palabras se acepta la afirmación de que el peso de residuos orgánicos promedio de la ciudad 2 excede al de la ciudad 1 en 1 Kg. Ejemplo 9 Se hicieron 9 y 8 observaciones de pH en suelo superficial de cada una de dos d os diferentes localidades, obteniéndose: Localidad 1 Localidad 2

8.53 8.52 8.01 7.99 7.93 7.89 7.85 7.82 7.80 7.85 7.73 7.58 7.40 7.35 7.30 7.27 7.27

Suponiendo que en cada localidad el pH tiene distribución normal.

194



a. ¿Se puede afirmar que la verdadera media de valores de pH del suelo en la localidad 1 es por lo menos 8.08? Use  =0.05. Solución Localidad 1

Localidad 2

x

8.04

7.47

s n

0.285 9

0.224 8

1. Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. H 0 :  1  8.08 H 1 :  1  8.08

2. Elegir el nivel de significación. =0.05 3. Seleccionar la prueba estadística apropiada, E, (cuya distribución depende del valor estadístico utilizado) y hallar el valor calculado (E c) de la prueba estadística. Ver la tabla:

 X

1

tc=

  0

s1



n1

~ t



n 1

t 8

Cálculo:

t c 

8.04  8.08 8.08  8.04 0.285

9  0.42

4. Determinar la regla de decisión, estableciendo las regiones de rechazo y de aceptación de la prueba. La prueba es unilateral a la izquierda por la forma de la hipótesis alternativa H 1 :  1  8.08

   1.86 Región de aceptación = RA =    1.86 Región de rechazo = RR =

t

8



t

8



5. Decidir el rechazo rechazo de la hipótesis nula si E c cae en la región de rechazo. En caso contrario, no rechazar la hipótesis nula. tc = -0.42 cae en la l a RA, entonces no hay evidencias estadísticas para rechazar la H 0, en otras palabras no se rechaza la afirmación de que la media del pH es por lo menos 8.08 en la localidad 1. One-Sample T: Local 1 Test of mu = 8.08 vs mu < 8.08 Variable Local 1 Variable Local 1

N 9

Mean 8.0378

95.0% Upper Bound 8.2145

b. Si en realidad  1



StDev 0.2852 T -0.44

SE Mean 0.0951 P 0.334

8 , ¿Se cometió cometió algún error en la pregunta a). Justifique.

No se rechazó una hipótesis falsa, entonces se cometió error tipo ti po II.

195



¿Con qué valores del estimador se rechazará la hipótesis planteada en la pregunta a)? Se rechazará

H 0 si

Se rechazará

H 0 si

 X

1

  0



n1

s1

 1.86 

 X

1

 8.08



9

0.285

 1.86  X 1 

7.903

X 1  7.903 .

d. En la localidad 2 la variancia del pH era de 0.022, pero p ero un especialista considera que ha aumentado ¿Tiene razón el especialista? Use  =0.10. Solución Caso Prueba de hipótesis para  . 2

2

1. Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. 2

H 0 :  2 2

H 1 :  2



0.022



0.022

2. Elegir el nivel de significación. =0.10 3. Seleccionar la prueba estadística apropiada, E, (cuya distribución depende del valor estadístico utilizado) y hallar el valor calculado (E c) de la prueba estadística. Ver la tabla: 2 c

 

 n  1 S 22  22



2  n2 1

2  7

 .

Cálculo: 

2

c



8





1 0.224

2 

15.97

0.022

4. Determinar la regla de decisión, estableciendo las regiones de rechazo y de aceptación aceptación de la prueba. La prueba es unilateral a la derecha por la forma de la hipótesis alternativa 2

H 1 :  2



0.022

    12.017 Región de aceptación = RA =     12.017 Región de rechazo = RR =

2

7

 2

7



5. Decidir el rechazo rechazo de la hipótesis nula si E c cae en la región de rechazo. En caso contrario, no rechazar la hipótesis nula.  2 = 15.97 cae en la RR, entonces hay evidencias estadísticas para rechazar la H 0 , c

en otras palabras la muestra nos permite afirmar que la variancia aumentó. e. Si en realidad  22  0.022 , ¿Se cometió cometió algún error en la pregunta d). Justifique. Se rechazó una hipótesis planteada verdadera, entonces se cometió error tipo I.

196

UNA La Molina - Dpto. de Estadística e Informática f.


¿Con qué valores del estimador no se rechazará la hipótesis planteada en la pregunta d)? No se rechazará

H 0 si:  c  2

 n 1 S

2 2

2



2

8 1 S

2

0.022

 2

No se rechazará

H 0 si:

2

S 2

 12.017 

2

S 2



0.038

0.038 .



g. ¿Hay homogeneidad de variancias? Use



=0.10.

Solución 2

Caso Prueba de hipótesis para



2 1

2

  2 



2 2

1



1

1. Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. 2

2

H 0 :  1



2

 2



 2

2

1

 1

2

2

H 1 :  1



2

 2



 2

2

1

 1

2. Elegir el nivel de significación. =0.10 3. Seleccionar la prueba estadística apropiada, E, (cuya distribución depende del valor estadístico utilizado) y hallar el valor calculado (E c) de la prueba estadística. Ver la tabla: Fc 

S 12

 2

2

S 22

 1

2

2

F  n1  1, n2  1

F  8, 7  . Cálculo:

F c



0.285 0.224

2



1.62

4. Determinar la regla de decisión, estableciendo las regiones de rechazo y de aceptación de la prueba. La prueba es bilateral por la l a forma de la hipótesis alternativa

2

2

H 1 :  1   2 

 22  12

1

1   Región de rechazo = RR =  F  8, 7    0.29   F  8, 7   3.73 3.50   Región de aceptación = RA = 0.29  F  3.73

5. Decidir el rechazo de la hipótesis nula si E c cae en la región de rechazo. En caso contrario, no rechazar la hipótesis nula. Fc = 1.62 cae en la RA, entonces hay evidencias estadísticas para no rechazar la H 0 , 2

en otras palabras hay homogeneidad de variancias ( 

2 1

2

  2 

 2

2

1

)

 1

197



h. ¿Sugiere la información que la verdadera media de valores de pH del suelo difiere para las dos localidades? Use =0.05. Solución Caso Prueba de hipótesis para

2

2

  con

2

desconocidas y homogéneas

1 y  2

1

1. Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. H 0 : 2   1



0

H 1 : 2   1



0

2. Elegir el nivel de significación. =0.05 3. Seleccionar la prueba estadística apropiada, E, (cuya distribución depende del valor estadístico utilizado) y hallar el valor calculado (E c) de la prueba estadística. Ver la tabla: tc



X 2  X 1  k s p2 (

1 n2



1 n1

t n

1  n2  2

)

Cálculos: t c 

t 15  .



 7.47  8.04   0 1 1 0.067     9 8

2

s p



n

1

s

1

n1

2

n

1





n2

2

s

1

2 2



2

8  0.285

2

0..224  7 0 15

2



0.067



 4.53

4. Determinar la regla de decisión, estableciendo las regiones de rechazo y de aceptación de la prueba. La prueba es bilateral por la l a forma de la hipótesis alternativa



Región de rechazo = RR = t



Región de aceptación = RA =



15

 t 

 2.131 

15



H 1 :  2



 1

1



 2.131



2.131  t 15  2.131

 

5. Decidir el rechazo de la hipótesis nula si E c cae en la región de rechazo. En caso contrario, no rechazar la hipótesis nula. tc = -4.53 cae en la RR, entonces hay evidencias estadísticas para rechazar la H0 , en otras palabras la información nos permite afirmar que la media de valores de pH del suelo difiere en ambas localidades. Two-Sample T-Test and CI: Local 2, Local 1 Two-sample T for Local 2 vs Local 1 N Mean StDev SE Mean Local 2 8 7.469 0.224 0.079 Local 1 9 8.038 0.285 0.095 Difference = mu Local 2 - mu Local 1 Estimate for difference: -0.569 95% CI for difference: (-0.837, -0.301) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -4.53 Both use Pooled StDev = 0.259

P-Value = 0.000

DF = 15

198



Ejemplo 10 La siguiente información es el resultado de un experimento para medir el porcentaje de aumento de peso para ratones jóvenes de laboratorio a los que se administró una dieta estándar y ratones a los que se les dio 2000 partes por millón (ppm) de nitrato (fuerte dosis) en el agua que bebieron. Nitrato (1) 12.7 19.3 20.5 10.5 14.0 10.8 16.6 14.0 17.2 Control (2) 18.2 32.9 10.0 14.3 16.2 27.6 15.7 Suponiendo que el porcentaje de aumento de peso con nitrato y del control tienen distribución normal. a. ¿Son homogéneas las variancias? Use =0.10. Solución Nitrato (1)

Control (2)

x

15.07 %

19.27 %

s n

3.558 % 9

8.053 % 7 2

Caso Prueba de hipótesis para



2 1

2

  2 



2 2

1



1

1. Formular la hipótesis hipótesis nula y la hipótesis alterna. H 0

2  1



2  2

2  1



2  2

:

H 1 :

2 2 2  1

1

2 2 2  1

1









2. Elegir el nivel de significación. =0.10 3. Seleccionar la prueba estadística apropiada, E, (cuya distribución depende del valor estadístico utilizado) y hallar el valor calculado (E c) de la prueba estadística. Ver la tabla: Fc 

S 12

 2

2

S 22

 1

2

F  n1  1, n2  1

F  8, 6 . Cálculo:

F c 

3.5582 8.0532



0.195

4. Determinar la regla de decisión, estableciendo las regiones de rechazo y de aceptación de la prueba. La prueba es bilateral por la forma de la hipótesis alterna H 1 :     2 1

2 2

 22  12

1

1   Región de rechazo = RR =  F  8, 6    0.279   F 8, 6   4.15 3.58   Región de aceptación = RA = 0.279  F  4.15

5. Decidir el rechazo de la hipótesis nula si E c cae en la región de rechazo. En caso contrario, no rechazar la hipótesis nula. Fc = 0.195 cae en la RR, RR, entonces hay evidencias evidencias estadísticas para rechazar la H 0 , en otras palabras no hay homogeneidad de variancias (     2 1

2 2

 22  12

 1)

199



b. Determine con =0.01, si una fuerte dosis de nitrato retarda el verdadero promedio de porcentaje de aumento de peso en ratones. Solución Caso Prueba de hipótesis para

1

  con 2

2

2

1 y  2

desconocidas y heterogéneas

1. Formular la hipótesis nula y la hipótesis alterna. H 0 : 1   2  0

1   2

H 1 :

0

2. Elegir el nivel de significación. =0.01 3. Seleccionar la prueba estadística apropiada, E, (cuya distribución depende del valor estadístico utilizado) y hallar el valor calculado (E c) de la prueba estadística. Ver la tabla: tc



X 1

X2

 2

s1

n1

 k 2

s2



t H 

t  8 .

n2 2

2

 s12 s22   3.5582 8.0532        n n 9 7 1 2     Cálculos: H    7.825  8 2 2 2 2 2 2 2 2  s1   s2   3.558   8.053           9   7   n1    n2  8 6 n1  1 n2  1 t c 

15.07 19.27   0 3.558

2

8.053 

9

2

 1.29

7

4. Determinar la regla de decisión, estableciendo las regiones de rechazo y de aceptación de la prueba. La prueba es unilateral a la izquierda por la forma de la hipótesis alternativa H 1 : 1



 2



0

  Región de aceptación = RA = t   Región de rechazo = RR =

t

8



  2.896

8



 2.896

5. Decidir el rechazo de la hipótesis nula si E c cae en la región de rechazo. En caso contrario, no rechazar la hipótesis nula. tc = -1.29 cae en la RA, entonces hay evidencias estadísticas para no rechazar la H 0 , en otras palabras una fuerte dosis de nitrato no retarda el verdadero promedio de porcentaje de aumento de peso en ratones.

200



Ejemplo 11 (En este ejemplo ejemplo se usan los datos de la ciudad 1, del ejemplo 2). ¿Hay evidencias estadísticas para afirmar que la verdadera proporción de casas que tienen hábito de reciclaje es a lo más 0.15? Use  0.025 . 

Solución 6 p



35



0.1714

Caso Prueba de hipótesis para una proporción

 .

Procedimiento 1. Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. H 0 :   0.15 H 1 :   0.15

2. Elegir el nivel de significación. =0.025 3. Seleccionar la prueba estadística apropiada, E, (cuya distribución depende del valor estadístico utilizado) y hallar el valor calculado (E c) de la prueba estadística. Ver la tabla: Zc=

p   0

 0 (1   0 )

~ N(0,1).

Cálculo:

Z c



0.17 0.1714 14  0.15 0.15



0.35

0.15 0.15 0.85 0.85 35

n

4. Determinar la regla de decisión, estableciendo las regiones de rechazo y de aceptación de la prueba. La prueba es unilateral a la derecha por la forma de la hipótesis alternativa H 1 : 



0.15

Región de rechazo = RR =  Z  1.96 Región de aceptación = RA =  Z  1.96 5. Decidir el rechazo rechazo de la hipótesis nula si E c cae en la región de rechazo. En caso contrario, no rechazar la hipótesis nula. Zc = 0.35 cae en la RA, entonces no hay evidencias estadísticas para rechazar la H 0, en otras palabras la proporción de casas que tienen hábito de reciclaje es a lo más 0.15. Test and CI for One Proportion: Hábitos Test of p = 0.15 vs p > 0.15 Success = Si Variable Hábitos

X 6

N 35

Sample p 0.171429

95.0% Lower Bound 0.066643

Z-Value 0.36

P-Value 0.361

201



Ejemplo 12 En una biblioteca universitaria se hace un inventario completo de libros en estantes, una vez al año. El bibliotecario propone seleccionar seleccionar 800 libros al azar de entre la colección colección de la biblioteca e investigarlos de un modo semejante. Si la evidencia muestral indica que la verdadera proporción de libros mal colocados o extraviados es menor 0.02, entonces el inventario se pospondrá. Entre 800 libros buscados, 12 estaban mal mal colocados o no se pudieron encontrar. a. Pruebe las hipótesis pertinentes y asesore al bibliotecario sobre qué hacer. Use α = 0.05. Solución 12 p



800



0.015

Caso Prueba de hipótesis para una proporción

 .

1. Formular la hipótesis nula y la hipótesis alterna. alterna. H 0 :   0.02 H 1 :   0.02

2. Elegir el nivel de significación. =0.05 3. Seleccionar la prueba estadística apropiada, E, (cuya distribución depende del valor estadístico utilizado) y hallar el valor calculado (E c) de la prueba estadística. Ver la tabla: Zc=

p   0

 0 (1   0 )

~ N(0,1).

Cálculo:

Z c

n



0.01 0.015 5  0.02 0.02

1.01

 

0.02 0.02  0.98 0.98 800

4. Determinar la regla de decisión, estableciendo las regiones de rechazo y de aceptación de la prueba. La prueba es unilateral a la izquierda por la forma de la hipótesis alternativa H 1 :   0.02

Región de rechazo = RR =  Z  1.65 Región de aceptación = RA =  Z   1.65 5. Decidir el rechazo rechazo de la hipótesis nula si E c cae en la región de rechazo. En caso contrario, no rechazar la hipótesis nula. Zc = -1.01 cae en la RA, entonces no hay evidencias estadísticas para rechazar la H 0, en otras palabras hay que sugerirle al bibliotecario que haga el inventario.

202



b. En otra biblioteca universitaria de 850 libros buscados, 19 estaban mal colocados o no se pudieron encontrar. Con esta información información muestral se puede concluir que la verdadera proporción de libros mal colocados o extraviados es similar en ambas universidades. Use =0.05. Solución 12 p1



800



19

0.015

p2



850



0.022

Caso Prueba de hipótesis para una diferencia de proporciones



1

  = 0. 2

1. Formular la hipótesis nula y la hipótesis alterna. alterna. H 0 :  1   2  0 H 1 :  1   2  0

2. Elegir el nivel de significación. =0.05 3. Seleccionar la prueba estadística apropiada, E, (cuya distribución depende del valor estadístico utilizado) y hallar el valor calculado (E c) de la prueba estadística. Ver la tabla: Z c



p1  p2   1   2 



p 1  p

Cálculos:

p



n1 p1 n1

Z c



n

2





N  0,1 .



  n1  n1  

p2

1



2



800  0.01 .015  850  0.022

n2

800  850

 0.015  0.022   0 1   1  0.019 0.019  0.981 0.981    800 850 



0.019

 1.04

4. Determinar la regla de decisión, estableciendo las regiones de rechazo y de aceptación de la prueba. La prueba es bilateral por la l a forma de la hipótesis alternativa H 1 :  1   2  0 Región de rechazo = RR =  Z

  Z  1.96 Región de aceptación = RA = 1.96  Z  1.96   1.96

5. Decidir el rechazo de la hipótesis nula si E c cae en la región de rechazo. En caso contrario, no rechazar la hipótesis nula. Zc = -1.04 cae en la RA, entonces hay evidencias e videncias estadísticas para no rechazar la H 0 , en otras palabras la información nos permite afirmar la verdadera proporción prop orción de libros mal colocados o extraviados es similar en ambas universidades.

203



c. ¿La información información nos permite afirmar que la verdadera proporción de libros mal colocados o extraviados en la universidad 2 es menor que en la universidad 1 en 0.005. Use =0.05. Solución 12 p1



800



0.015

19 p2



850



0.022

Caso Prueba de hipótesis para una diferencia de proporciones



1

 

2



0.

1. Formular la hipótesis nula y la hipótesis alterna. alterna. H 0 :  1   2  0.005 H 1 :  1   2   0.005

2. Elegir el nivel de significación. =0.05 3. Seleccionar la prueba estadística apropiada, E, (cuya distribución depende del valor estadístico utilizado) y hallar el valor calculado (E c) de la prueba estadística. Ver la tabla: Z c



 1   2  p1 1  p1  p2 1  p2  p1  p2 n1

Cálculos:

Z c







n2

0.015  0. 0.022  0.01 .015  0.98 0.985 5 800

N  0,1



 0.005 

0.0 0.022  0.97 0.978 8

 0.30

850

4. Determinar la regla de decisión, estableciendo las regiones de rechazo y de aceptación de la prueba. La prueba es bilateral por la l a forma de la hipótesis alterna Región de rechazo = RR =  Z

H 1 :

 1   2



0.005

  Z  1.96 Región de aceptación = RA = 1.96  Z  1.96   1.96

5. Decidir el rechazo de la hipótesis nula si E c cae en la región de rechazo. En caso contrario, no rechazar la hipótesis nula. Zc = -0.30 cae en la RA, entonces hay evidencias estadísticas para no rechazar la H 0, en otras palabras la información nos permite afirmar la verdadera proporción de libros mal colocados o extraviados en la universidad 2 es menor que en la universidad 1 en –0.005.

204



Ejercicio 6. Se realiza un control a los conductores deteniendo los autos que circulan a altas horas de la noche, midiendo a sus conductores el grado de alcohol consumido en decigramos de alcohol por litro de sangre Se muestra a continuación el resultado obtenido en 12 conductores seleccionados aleatoriamente. Resultados obtenidos en el dosaje etílico

0.4

0.7

0.5

0.6

0.7

0.6

0.4

0.7

0.6

0.7

0.6

0.5

a. Suponiendo que los resultados en el dosaje etílico, se distribuyen normalmente. Pruebe usted la hipótesis que sostiene que el grado medio de alcohol consumido por los conductores es mayor a 0.4 decigramos de alcohol por litro de sangre. Use  = 0.05. 2.

b. Probar la hipótesis que sostiene que la variancia del grado de alcohol consumido por los conductores que circulan a altas horas de la noche es menor a 0.05 decigramos 2 de alcohol por litro de sangre. Use  = 0.05.

205



Ejercicio 7. Un investigador diseñó un experimento en el que pidió a un determinado número de sujetos que lleven a cabo una tarea específica en un medio controlado y bajo dos niveles diferentes de ruido de fondo (el (el nivel 2 es más severo que el nivel 1). El investigador seleccionó 44 personas que son capaces de realizar la misma tarea y de manera práctica en el mismo tiempo. Los siguientes datos representan los tiempos observados (en minutos) que fueron necesarios para completar la tarea: n

Nivel 1 21

Nivel 2 23

x

14.4

18.6

s 2.277 2.450 Asuma que los tiempos observados en cada nivel tienen distribución normal. a. ¿Hay evidencias estadísticas para afirmar que el verdadero tiempo medio en el nivel 1 es menor que 15.5 minutos? minutos? Use  = 0.05.

b. ¿Con qué valores del estimador se acepta la hipótesis planteada en la pregunta a?.

c. Si en realidad el verdadero tiempo promedio p romedio con el nivel 1 es 17.5 minutos ¿Se cometió algún error en la pregunta a?

206



d. Si el investigador afirma que la verdadera desviación estándar del tiempo con el nivel 2 era 2.3, pero un especialista considera que ha aumentado ¿Tiene razón el especialista? Use =0.10.

e. Si 10 personas a los que se les aplicó el primer nivel de ruido excedieron el tiempo límite para llevar a cabo la tarea específica. Pruebe a un =0.05 si más del 30% de personas a los que se les aplica el primer nivel de ruido exceden el tiempo límite para llevar a cabo la tarea específica.

207



f. ¿Son similares los tiempos medios con ambos niveles de ruido?. Use =0.10.

g. Si 12 personas a los que se les aplicó el primer nivel de ruido y 15 personas a lo que se les aplicó el segundo nivel de ruido excedieron el tiempo límite para llevar a cabo la tarea específica. Pruebe a un =0.05 si la proporción de personas que supera el tiempo límite en llevar a cabo la tarea específica es mayor al aplicar el primer nivel de de ruido que el segundo nivel de ruido.

208



Ejercicio 8. Un agricultor desea probar la eficiencia de dos concentraciones de plaguicidas en muestras de cultivos de frijol canario. Luego de la cosecha se obtuvo los siguientes resultados de rendimiento en Kg/parcela. Plaguicida

A

B

Tamaño de muestra

17

19

Rendimiento promedio en Kg/parcela

210

180

18.50

58.20

Variancia muestral

Asumiendo normalidad en los rendimientos (Kg/parcela) a. ¿Se puede afirmar que el rendimiento de frijol canario es mayor a 185 Kg/parcela utilizando el plaguicida A? Use  = 0.05

b. ¿Se puede afirmar que el rendimiento promedio obtenido utilizando el plaguicida A supera al plaguicida B en más de 20 kg/parcela? Use  = 0.10

209



Práctica Dirigida N° 7 1. La siguiente tabla muestra datos sobre aumento de peso corporal (grs) para una muestra de animales de control y una muestra de animales a los que q ue se dio una dosis de 1 mg/pastilla de cierto esteroide diluido (los animales de control son aquellos que no recibieron el esteroide). Animales Control Esteroide diluido

Tamaño de muestra 10 8

Media muestral 40.5 52.8

Desviación estándar 4.5 2.6

Suponga que el aumento de peso p eso se distribuye normalmente tanto para animales de control como para los que recibieron el esteroide. a) Halle e interprete con un nivel de confianza del 98% el aumento promedio de peso p eso corporal de los animales que se les dio el esteroide diluido.

b) Halle e interprete un intervalo de confianza del 95% la desviación estándar del aumento de peso corporal de los animales que no recibieron el esteroide.

c) Se puede concluir que la desviación estándar del aumento de peso corporal de los animales que tomaron esteroide es superior a 4.0 gr. Use  = 0.05.

210



d) Con un nivel de significación e 0.05, se puede afirmar que hubo una ganancia de peso corporal de los animales que recibieron el esteroide con respecto a los que no la recibieron.

211



2. La gerencia comercial de la empresa CEREAL S.A que se dedica a la comercialización de cajas de cereal en supermercados, desea introducir un nuevo producto con la finalidad de aumentar su posicionamiento en el mercado de cereales. El nuevo producto “Cheerios” se comercializará también en bodegas, esperando ser un producto competitivo. Con esta finalidad la gerencia comercial, ha realizado un estudio de mercado para evaluar la competitividad y productividad de este nuevo producto. Para el presente estudio la gerencia de comercialización se ha planteado varios objetivos. Con la finalidad de analizar las empresas de la competencia, se extrae una muestra aleatoria de 12 bodegas registrando los precios de venta (en soles) del cereal Cheerios. 4,8 4,7

5,9 4,9

6,0 4,4

6,5 6,2

5,8 5,8

5,3 5,5

a. Mantener el precio de lanzamiento. El gerente de comercialización decidirá mantener el precio de lanzamiento del nuevo cereal Cheeris de S/. 5.5, si comprueba que el precio promedio de venta de la competencia es al menos S/. 6.0. Usando un nivel de significación del 5%, ¿cuál será la decisión del gerente de comercialización?.

b. El gerente de comercialización también cree que es importante analizar la variabilidad del precio de venta de la competencia. El sospecha que la variabilidad del precio de venta es similar a S/. 0.55. Usando un nivel ni vel de significación de 0.05, pruebe afirmación del gerente comercial.

212



c. Obtener más del 60% de aceptación de Cheeris. Con esta finalidad se aplicó una encuesta a 120 personas que compraron el cereal Cheerios, de los cuales 36 dijeron que no seguirián comprando el cereal. Con un nivel de significación del 4%, se puede concluir que la gerencia comercial ha cumplido este objetivo.

d. Aumentar las ventas de CEREAL S.A. La gerencia de comercialización desea

determinar si las ventas de la empresa han aumentado significativamente con el nuevo cereal. La gerencia espera que las ventas promedio con el cereal Cheeris sean mayores que con el cereal anterior Kereal en más de $ 30,000. A continuación se presentan las estadísticas descriptivas de muestras aleatorias de semanas de ventas obtenidas con el cereal Cheeris y Kereal. Con un nivel de significación de 5%, se puede concluir que se la gerencia ger encia tienen razón. Suponga que las ventas se distribuyen normalmente. Cereal Cheeris Kereal

n 8 10

Media (miles $) 120.0 70.0

Desviación estándar (miles $) 12.0 13.0

213



2. Aumentar el porcentaje de cajas vendidas de Cheeris. La Cheeris. La gerencia comercial afirma que el porcentaje de cajas vendidas en el segundo trimestre del cereal Cheeris a aumentado con respecto al primer trimestre. En el siguiente cuadro se presentan los resultados del número de cajas vendidas para el primer y segundio trimestre, y para los cereales Cheeris y Kereal. Con un nivel de significación de 5%, pruebe la afirmación de la gerencia comercial. Trimestre Primer Segundo

Cheeris 5000 5850

Kereal 3000 3150

214



EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Se estudió la densidad (en gr/cm 3) de tres tipos de roca, obteniéndose: Tipo de roca I II III a. b. c.

n 14 18 22

s

x

3.06 0.14 2.85 0.12 3.02 0.29

Para el tipo de roca III, estime la l a densidad media con un intervalo de confianza de 95%. ¿Es la densidad media de la roca tipo II igual a 3 gr/cm 3? Use =0.0456. ¿Es la densidad media de la roca tipo III menor que la de tipo I? Use =0.0548.

2. Se está desarrollando un estudio para medir el nivel de estrés promedio de estudiantes. Se sabe que la población de los puntajes de la prueba para medir el nivel de estrés de un estudiante preuniversitario se distribuye normalmente con desviación estándar de 11 puntos. Calcule un intervalo de confianza para  con un nivel de confianza del 90%, si se elige una muestra aleatoria de tamaño 80 ha dado una media de 72 puntos. 3. Durante una semana, una tienda de grandes almacenes local registró que 8540 de las 12810 personas que entraron en la tienda hicieron por lo menos una compra. Tratando esto como una muestra ala azar de todos los clientes potenciales. Hallar un intervalo de confianza del 90% para la proporción real de personas que entran en la tienda y que harán por lo menos una compra. 4. Si en una muestra de 600 estudiantes de Estadística tomada en universidades del país, 360 tienen hermanos en el área informática. ¿Cuál es el intervalo de confianza del 90% para la proporción de todos los estudiantes de Estadísticas que tienen hermanos en el área de informática?. Asuma que el número de estudiantes de Estadística en todo el país se estima en 5000. 5. Una planta industrial desea determinar qué tipo de combustible (gas o eléctrico) producirá más energía usada al menor costo. costo. Una medida de la producción de energía económica es la razón cuadrangular cuadrangular calculada tomando la cantidad de dinero (en dólares) invertido en un uso particular de la planta y dividirla entre la cantidad liberada de energía (en unidades térmicas). térmicas). Cuanto más pequeño es esta razón, menos es lo que la planta industrial paga por la energía liberada. Se tomaron muestras aleatorias de 12 plantas que usan combustible eléctrico y 15 plantas que usan combustible a gas, se midió la razón cuadrangular descrita anteriormente obteniéndose: Planta n Media Variancia

Eléctrica 12 45.8 67.2

Gas 15 35.8 64.5

Asuma que la razón cuadrangular eléctrica y a gas tiene distribución normal. a. Determine e interprete un intervalo de confianza de 98% para la desviación estándar de la razón cuadrangular de plantas p lantas con combustible eléctrico. b. ¿Hay homogeneidad de variancias? Use  0.10 . c. ¿Hay evidencias estadísticas para concluir que en promedio con combustible a gas se ahorra más que con combustible eléctrico? Use  0.10 



215



6. Se estudió la cantidad de D.D.T, en partes por millón (ppm), encontrados en tejidos cerebrales de pelícanos. Con una muestra aleatoria de 10 pelícanos jóvenes se obtuvo una media de 0.041 ppm y una desviación estándar de 0.017 ppm mientras que con una muestra aleatoria de 13 pelícanos polluelos se polluelos se obtuvo una media de 0.026 ppm y una desviación estándar de 0.006 0.006 ppm. Asumiendo que la cantidad de D.D.T tiene distribución normal. a. ¿Hay evidencias estadísticas para establecer que las variancias difieren? Use  0.02 . b. ¿El contenido promedio de D.D.T en pelícanos jóvenes supera al de pelícanos polluelos en más de 0.01 ppm? Use  0.02 



7. Se sabe que el el peso de ciertas bolsas de arroz, embolsadas embolsadas por una máquina, tiene distribución normal. Se tomó una muestra muestra aleatoria de 22 bolsas obteniéndose una media de 1.990 Kg y una variancia de 0.0004 Kg . 2

a. Determine e interprete un intervalo de confianza de 95% para la verdadera desviación estándar del peso. b. La empresa afirma que el verdadero peso promedio de las bolsas es 2 Kg, pero determinados consumidores dicen que le están dando menos peso en las bolsas. ¿Quién tiene la razón? Use  0.05 . c. Suponga que en realidad el verdadero peso peso medio es 2 Kg. ¿Se cometió algún algún error en la pregunta b? Justifique su respuesta. 

8. Un estudio para comparar la actitud de la l a gente hacia el feminismo con su grado g rado de autoritarismo. Dos muestras aleatorias fueron usadas, la primera consiste en 24 sujetos con alto grado de autoritarismo y la segunda consta de 22 sujetos con bajo grado de autoritarismo. Cada sujeto fue evaluado con una prueba de 18 preguntas donde se revela su actitud frente al feminismo, con una calificación en una escala de 18 a 90 (Una calificación alta indica pro-feminismo), obteniéndose: Autoritarismo

n

Alto Bajo

24 22

x

68.2 54.8

s 10.4 12.5

¿Hay evidencias estadísticas para afirmar que el nivel de autoritarismo difiere en lo que se refiere al feminismo?. Use  0.10 para las dos pruebas necesarias. 

9. Según las estadísticas, a lo más el 35% de los estudiantes universitarios fuman regularmente. En una muestra aleatoria de 500 estudiantes universitarios se encontró que 200 fuman regularmente. a. ¿Tienen razón las estadísticas? Use =0.05. b. Estime la verdadera proporción de estudiantes que fuman con un coeficiente de confianza del 90%. Interprete. 10. Un partido político afirma que el 60% de los electores están de acuerdo con él en cierto problema. En una muestra aleatoria de 800 electores se encontró que 455 están a favor. a. ¿Puede el partido sostener su afirmación?. Use =0.05. b. Determine e interprete un intervalo de confianza del 95% para la verdadera proporción de electores que están de acuerdo con ese partido político.

216



11. En una evaluación sobre la duración de llantas mediante su recorrido hasta su desgaste. Se obtuvieron dos muestras aleatorias de las marcas Greeck y Nico de 30 y 35 llantas respectivamente, los cuales se muestran en la siguiente tabla: Tipo de llanta

Tamaño de muestra

Duración promedio de la llanta (miles de km.)

Desviación estándar muestral

Greeck Nico

20 25

86 81

9.8 10.4

a) Calcule e interprete un intervalo del 95% de confianza para la duración promedio de la marca Greeck. b) Un primer resultado en este estudio señala que la l a duración promedio de las llantas Greeck es mayor a 86.8 mil kilómetros. ¿Que podría afirmar Ud.? Use  = 0.05 c) ¿Se puede afirmar que la variancia de la duración de las l as llantas de marca Nico es 2 menor a 100 (mil km) ? Use  = 0.05 d) Se realizó un estudio posterior y se determinó que la variancia del tiempo de duración de las llantas marca Nico es 89 (mil Km.) 2. ¿Se cometió algún error en la pregunta anterior? e) De acuerdo a las muestras de llantas tomadas en ambas marcas, ¿Se puede afirmar que la duración media de ambas marcas de llantas son similares? Use  = 0.10 12. El gerente de una compañía productora de artículos para pintar consulta a un Ingeniero Estadístico para saber qué tamaño de muestra debe tomar para estimar la cantidad media de pintura contenida contenida en las 9000 latas de un galón producidas. El Ingeniero Estadístico le pregunta al gerente que margen de error está dispuesto a aceptar y este este le contesta que 0.005 galones. El Gerente le dice al Ingeniero que con base a trabajos anteriores se sabe que la desviación estándar es 0.02 galones y el Ingeniero sugiere un nivel de confianza de 95%. ¿Cuántas latas se debe tomar? 13. ¿Cuál debe ser el tamaño de muestra para estimar la proporción de escolares de quinto de secundaria, en cierto distrito, que saben nadar (asuma que en ese distrito hay aproximadamente 5000 estudiantes de quinto de secundaria)?. Considere un error de 3% en las estimaciones y que en un estudio previo con 100 estudiantes se encontró que 75 sabían nadar. Además se desea tener un nivel de confianza confianza de 95%. 14. El gerente de producción desea estimar el tiempo promedio que demora cierto proceso, como el tiempo se mide en minutos, este gerente desea tener un error máximo de estimación, del tiempo promedio real, de a lo más 4 minutos, sabe, por experiencias anteriores, que la desviación estándar en los tiempos de procesamiento es de 10 minutos, qué tamaño de muestra debe tomar, si desea un nivel ni vel de confianza del 95% para sus resultados? 15. El tiempo que tarda un proceso de ensamblaje tiene una distribución normal con una media de 20 minutos. Para hacer más eficiente el sistema, se le pide a un ingeniero i ngeniero que haga un análisis y proponga algunas mejoras. Tras implementar los cambios sugeridos, se toma una muestra de 9 artículos y se registran sus tiempos de ensamblaje obteniéndose un tiempo medio de 24.3 minutos con una desviación estándar de 6 minutos. a) ¿Se puede afirmar que los cambios implementados has disminuido el tiempo promedio del sistema de ensamblaje? (Utilice un nivel de confianza del 95%) b) Construya un intervalo del 90% de confianza para el tiempo medio de ensamblaje

217



16. Se sabe que en una compañía de taxis el gasto diario promedio en combustible, por unidad, es una variable con distribución normal, cuyo promedio es de 187.6 galones, galo nes, y una desviación estándar de 32.5 galones. El gerente de operaciones decide incluir un aditivo especial al combustible que le permitirá un ahorro en ese rubro. Después de incluir el aditivo toma una muestra de 6 unidades y encontró los siguientes gastos gas tos en combustible expresado en galones por día: 180.3 179.6 185.7 170.5 158.3 180.6 El gerente operativo afirma que el gasto promedio diario en combustible disminuyó en más de 12% ¿En base a la información i nformación muestral presentada se puede aceptar lo afirmado por el gerente operativo? 17. Una compañía telefónica está tratando de determinar si algunas líneas en una determinada comunidad deben instalarse subterráneas. Debido a que se hará un pequeño cargo adicional en las cuentas telefónicas para pagar los costos extras de la instalación, la compañía ha determinado hacer un estudio entre los clientes y proceder con la instalación subterránea solo si el estudio indica que más del 60% de todos los clientes están a favor de la instalación. i nstalación. a) Defina en forma clara el parámetro que utilizará en la prueba de hipótesis respectiva. b) Si 118 de 160 clientes entrevistados están a favor de esta instalación i nstalación a pesar del cargo adicional, ¿qué debe hacer la compañía? Use un =0.01 c) ¿Cuáles son las conclusiones al respecto? respe cto? d) Defina el error tipo I y error tipo II en términos del problema pr oblema 18. El Dpto. de Marketing de una compañía que produce el detergente ABC encontró en una muestra de 200 amas de casa que el 20% utiliza esta marca de detergente. Después de una intensa campaña publicitaria, se tomó otra muestra de 300 amas de casa la que indicó que el 27% favorece esta marca. Al 5% de significación, ¿puede el jefe del Dpto. concluir, en base a los resultados de esta muestra, que la campaña fue exitosa? 19. Al señor Juan Pérez le han propuesto participar en una lista para el congreso, en representación de su provincia. Para aceptar la propuesta este señor quiere estar seguro de que al menos el 25% de los votantes en la provincia que reside están a favor de su candidatura. Para determinar esto toma una muestra aleatoria de tamaño n = 450 personas encontrando que 90 están a favor de su candidatura. ¿Aceptará el señor Juan Pérez participar en la lista? Considere  = 5%

218



Preguntas de Autoevaluación 1. Cuando el tamaño de muestra aumenta, entonces se puede afirmar que la amplitud del intervalo de confianza para la media _________________________________ 2. En la estimación del tamaño de muestra, a mayor margen de error, entonces el tamaño de muestra es _______________________________________________. 3. Si se desea contrastar la venta media con el valor 100, entonces la hipótesis planteada para una prueba unilateral con cola a la derecha, es __________________________ 4. Cuando el tamaño de muestra aumenta, entonces se puede afirmar que la amplitud del intervalo de confianza para la proporción _____________________________. 5. Cuando disminuye el nivel de significación, entonces la probabilidad de rechazar la hipótesis nula __________________________ 6. Mencione 2 supuestos de la prueba de hipótesis para la diferencia de medias ____________________________________________________ _____________________________ _______________________ . 7. En una prueba unilateral para una media con cola a la izquierda, si el estadístico tc=3.45, entonces la decisión estadística será _____________________________. 8. La probabilidad de rechazar una hipótesis nula que es falsa es ____________ y se conoce como _____________________________. 9. Para realizar una prueba de diferencia de medias, si las varianzas son desconocidas, se debe realizar previamente _________________________________________. 10. Indique si es Verdadero (V) o Falso (F) cada uno de los siguientes enunciados: Item Enunciado a.

El nivel de confianza (1-α)100% para la media, significa que el 95% de todos los promedios muestrales caen dentro del intervalo estimado y 5% son errados

b.

En la prueba de hipótesis, el área de la zona de aceptación de Ho es igual a 1-α

c.

La probabilidad de cometer error tipo I, se conoce como el nivel de significación.

d.

Cuando el tamaño de muestra aumenta, entonces se puede afirmar que la amplitud del intervalo de confianza para la proporción disminuye

e.

Se puede afirmar en una prueba de hipótesis de la media, que a mayor variabilidad mayor posibilidad de rechazar la hipótesis planteada.

V/F

219



CAPÍTULO XI ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE El análisis de regresión lineal simple, es una técnica estadística que permite estudiar la relación funcional entre dos variables, una de ellas es la variable dependiente Y (por ejemplo ventas semanales) y la otra la variable independiente X (por ejemplo el gasto semanal en publicidad). Objetivo. Al Objetivo. Al finalizar este capítulo el estudiante debe conocer los supuestos s upuestos y estimación de parámetros en el análisis de regresión lineal simple, probar si existe relación lineal entre dos variables y calcular el coeficiente de determinación y el coeficiente de correlación. 11.1 Diagrama de dispersión El diagrama de dispersión (también llamado gráfico de dispersión) muestra la relación de dos variables de relación de intervalo en un plano de coordenadas. Sólo se muestran los puntos. Es la primera etapa de análisis de regresión. Es una forma rápida de ver si las variables están asociadas y la fuerza de la l a asociación. Un diagrama de dispersión muestra también la dirección de la relación. Todos los puntos agrupados juntos en una línea recta sugieren que hay una relación fuerte. Incluso si algunos puntos están fuera de la línea, todavía puede existir una relación. Si los puntos no están agrupados y se encuentran dispersos, están al azar y no hay ninguna ni nguna relación.

220



Ejemplo 1 Se presentan a continuación la población por departamentos (no se incluye Lima) y el número de delitos registrados en el 2007, ¿existe entre la población y los números de delitos? Distribución del número de delitos por departamento en el 2007 Población Departamento N° de delitos (en miles) Amazonas 376.0 811 Ancash 1,063.5 4 503 Apurímac 404.2 1 125 Arequipa 1,152.3 9 188 Ayacucho 612.5 2 185 Cajamarca 1,387.8 2 292 Cusco 1,171.4 4 065 Huancavelica 454.8 22 Huánuco 762.2 988 Ica 711.9 2 548 Junín 1,225.5 1 710 La Libertad 1,617.1 9 763 Lambayeque 1,112.9 8 474 Loreto 891.7 3 485 Madre de Dios 109.6 1 387 Moquegua 161.5 1 439 Pasco 280.4 331 Piura 1,676.3 5 518 Puno 1,268.4 1 607 San Martín 728.8 1 338 Tacna 288.8 1 080 Tumbes 200.3 1 529 Ucayali 432.2 2 856 Fuente: INEI y Ministerio del Interior Gráfica de dispersión de de Delitos vs. Población 10000

8000

6000 s o t i l e D

4000

2000

0 0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

Población

Fuente: Elaboración propia Correlación de Pearson de Población y Delitos = 0.659

221



11.2 El Modelo de Regresión Lineal Simple El modelo de regresión lineal simple es definido por: Yi



 0



1

Xi



 i

,

i



1,2,3, , n

(1)

Donde:     

Y es la variable dependiente o variable respuesta. X es la variable independiente, explicativa o de predicción.  0 es el coeficiente de intersección paramétrico. Es el valor de Y cuando X=0.  1 es el coeficiente de regresión paramétrico. Es la pendiente del modelo de regresión.  i es el error o residual.

11.3 Supuestos del análisis de regresión lineal simple Los supuestos del análisis de regresión lineal li neal simple son los siguientes:    

La variable independiente X es fija (no aleatoria). La variable dependiente Y es aleatoria. Para cada valor de X existe una distribución normal de Y. El  ~ N ( 0 ,  2 ) para p ara i = 1,2,3,...,n. Además: i

ε i es inde indepe pend ndie ient ntee de ε j para para i¹j i ¹j ε i es inde indepe pend ndie ient ntee de X

En consecuencia:

   E    X        X Var Y   Var     X     Var      Y. X



E Yi

0

1

i

i

0

1

i



E

    i

0



 1 X i

2

0

i

1

i

i

i

Notar que  1 mide el cambio en el promedio

 Y . X

ante el cambio en una unidad de X.

11.4 Estimación por el método de mínimos cuadrados El método de mínimos cuadrados consiste en minimizar la suma de cuadrados del error. Del modelo de regresión lineal li neal simple (1) se obtiene: i



Yi



0



 1

n

n

i 1

i 1

X i ,

por lo tanto:

Q    i2   Yi   0   1 X i 

2

Los estimadores mínimos cuadráticos de los parámetros  0 y  1 , digamos b 0 y b 1, se deben obtener, primero derivando Q con respecto a  0 e igualando a cero y luego derivando Q con respecto a  1 e igualando a cero. Con el procedimiento anterior se obtienen las siguientes ecuaciones (denominadas ecuaciones normales).

222

UNA La Molina - Dpto. de Estadística e Informática n

n

i 1

i 1


n b0  b1  xi   yi n

n

n

i 1

i 1

i 1

b0  xi  b1  xi2   xi yi

Resolviendo las ecuaciones normales se obtienen los coeficientes estimados:: b1



SP ( XY ) SC ( X )

b0



y



b1 x n

Suma de cuadrados de X:

SC ( X )

  ( x  x)   x  2

2

i

i

i 1

(

 x )   x n 2

i

2

i

 nx

n

( xi )( yi )

i 1

n

Suma de productos X e Y: SP ( XY )   ( xi  x )( yi  y )   xi yi 

De tal manera que b 0 estima a  0 y b1 estima a  1 . Es decir:  0 ˆ



  xi yi  n x y

b0 y  1 ˆ

2



b1

Interpretación de los coeficientes de regresión:  0 ˆ

 1 ˆ



b0

 b1

Mide el valor promedio de Y, cuando X es igual a cero. Mide el cambio (aumento, si es positivo o disminución, si es negativo) promedio de Y, cuando X se incrementa en una unidad.

11.5 Recta de regresión estimada El modelo estimado o ecuación de regresión estimada es: La ecuación de la recta Yi  b0  b1 X i ˆ

Yi 



y



b1 x





b1 X i



El error estimado es:



y  b1 X i ei



Yi



Yi ˆ





x

Yi





y estima a

ˆ

b0





b1 X i

,i



1,2,..., n

Y .X   0   1 X i , además:

estima a



Y i



y  b1 Xi i



Yi







x , es el efecto de la regresión.  Y . X

550 500 450 o i c e r P

400 350

Y i ˆ

300 250

ei

200

Y i

150 100 0

5

10

Captura

223



11.6 El análisis de la variancia en la regresión lineal simple El Análisis de la variancia (ANVA) consiste en la descomposición de la variación total o n   suma de cuadrados total  SC T   SC Y     yi  y    yi  n y  en sus fuentes de i   variación que en este caso son la suma de cuadrados de la regresión y la suma de cuadrados del error. 2

2

2

1

Para un valor

X i se

deduce que:

   y  y  Y  y    y

 Y 

yi  y  Yi  y  yi Y i ˆ

ˆ

i

i

De donde se obtiene:

ˆ

ˆ

i

i

En la segunda igualdad anterior se aprecia que la desviación total ( yi  y ) es igual a la desviación debido a la regresión Yi  y  más el error estimado  yi  Y i  . Elevando al ˆ

ˆ

cuadrado ambos lados de esta segunda igualdad, aplicando sumatorias y simplificando se obtiene: n



yi  y

i 1



2

n



  Yi  y i 1

ˆ



2

n



  yi  Y i i 1

ˆ



2

La expresión indica, que la suma de cuadrados total (SCT) se descompone en la suma de cuadrados debido a la regresión (SCR) más la suma de cuadrados del error (SCE). Haciendo los reemplazos y las simplificaciones correspondientes se obtienen las expresiones de las sumas de cuadrado de la regresión, total y error o residual.



SCR   Y i  y ˆ



2

2

 b1

SCT  SC (Y )   y  2 i

  x

i

 x

( yi ) 2 n



2



2

b1 SP ( XY )  b1 SC ( X )

2  yi n y

2

SCE  SCT  SCR

Con la información anterior se construye el siguiente cuadro del ANVA. Cuadro del ANVA Fuente de variación Regresión Error Total

Grados de Libertad (GL) 1 n-2 n-1

Suma de Cuadrados (SC) SCR SCE SCT

Cuadrado F calculado Medio (CM) CMR Fc CME

Prueba de hipótesis H p :  1  0 ( No hay relación lineal entre X e Y ) H a :  1  0 ( Si hay relación lineal entre X e Y )

224



Prueba Estadística  2 1

SC( R) /  2 F c 

1 SCE /  2



1 2  n  2

n2

F Tab



F 1



CM ( R)

 F 1, n  2

CME

n2 



;1, n 2 

Decisión estadística De acuerdo a la hipótesis alternativa la prueba es unilateral a la derecha por lo tanto:  

Si Fc es mayor que Ftab se rechaza la H Hp. p. Si Fc es menor o igual que Ftab no se rechaza rechaza la Hp.

11.7 Coeficiente de determinación y de no determinación El coeficiente de determinación (r 2) mide la proporción o porcentaje de la variación total de Y que es explicada por el modelo de regresión y el coeficiente de no determinación (1 - r2) mide la proporción o porcentaje de la variación total de Y que no es explicada por el modelo de regresión. 2

r



SCR SCT

x100 

( SP ( XY )) 2 SC ( X ) xSC (Y )

x100

,

0  r 2

 100%

11.8 Coeficiente de Correlación Lineal El coeficiente de correlación lineal r mide la fuerza de la relación lineal entre valores cuantitativos de dos variables. variables. También se le conoce como como coeficiente de correlación de Pearson, en honor a Karl Pearson quien lo desarrolló originalmente.

∑ ∑ ∑    − ( )(∑ )( ) =  (∑ (∑ 2) − (∑ )2√ (∑ (∑ 2) − (∑ )2 



SP XY r

 

 

,

 1  r  1

SC X SC Y

El valor de r siempre está entre -1 y +1, inclusive. 





Si r > 0, la correlación lineal es positiva (si sube el valor de una variable sube el de la otra). La correlación es tanto más fuerte cuanto más se aproxime a +1. Por ejemplo: altura y peso: los alumnos más altos suelen pesar más. Si r < 0, la correlación lineal es negativa (si sube el valor de una variable disminuye el de la otra). La correlación negativa es tanto más fuerte cuanto más se aproxime a -1. Por ejemplo: peso y velocidad: los alumnos con más peso suelen correr menos. Si r = 0, no existe correlación lineal entre las variables. Aunque podría existir otro tipo de correlación (cuadrática, exponencial, etc.) 225



Ejemplo 1 En cierto país se estudió la captura de anchoas, en millones de toneladas métricas, (X), y los precios de harina de pescado, en dólares por tonelada, (Y) para los l os últimos 13 años. Y 190 X 7.23

160 8.53

134 9.82

129 172 10.26 8.96

197 19 7 167 239 12.27 10.28 4.45

542 1.78

372 4.00

245 3.30

376 4.30

454 45 4 0.80

600

500

400 o i c e r P

300

200

100 0

2

4

6

8

10

12

Captura

Cálculos previos 13

13

 x  85.98,  x i

i 1

SC Y    yi

2

2 i

i

i 1

  x 

 1089365

i 1

13

 x y i

i

 17357.8

i 1

2

i

 163.5791

n

  y  

SP  XY    xi yi 

13

 y  3377,  y

i 1

SC  X    xi2 

a)

13

 732.2376,

2 i

2

i

 212124.3077

n

 xi  yi n

 4977.1585

Halle la línea de regresión estimada. Interprete el coeficiente estimado de intersección y el coeficiente estimado de regresión. b1 

SP  XY  SC  X 

  30.4266

 13  yi    xi  b0  y  b1 x  i 1   b1   i 1   461.0062 13  13      13

La línea estimada es:

Y i ˆ



461 461 .0062



30.4266 X i

El coeficiente de intersección estimado, b0  461.0062 , representa el precio promedio de harina de pescado cuando no hay captura de anchoas.

226



El coeficiente de regresión estimado, b1 30.4266 , indica que el precio promedio de harina de pescado disminuye en 30.4266 dólares por tonelada, cuando se incrementa en un millón de toneladas métricas la captura de anchoas. 

b)



¿Hay relación lineal entre X e Y? Utilice Utili ce 



0.01

SC ( R )  b12 SC ( X )  b1SP SP ( XY )  151438.075 SC  Error   SC Y   SC  R   60686 686.23 .2327

Fuente de variación Regresión Error Total

G. L. 1 11 12

Tabla de ANVA S. C. C. M. F calculado 151438.0750 151438.075 27.45 60686.2327 5516.9302 212124.3077

Prueba de hipótesis H p :  1  0 (No hay relación lineal entre X e Y) H a :  1



(Si hay relación lineal entre X e Y)

0

Como  F  27.45   F 0.01,1,11  9.65  entonces se rechaza la hipótesis planteada por lo tanto hay evidencias estadísticas para concluir que existe relación lineal entre X e Y. c

c)

Estime el precio promedio de harina de pescado (en dólares por tonelada) para una captura de 5 millones de toneladas ton eladas métricas de anchoas. La línea estimada es:

Y i ˆ



461 461 .0062

Por la tanto, como X i=5, se tiene:

Y ˆ





30.4266 X i

461 461 .0062



30.4266 * 5



308 308 .8732

El precio promedio de harina de pescado es de $ 308.9 para una captura de 5 millones de toneladas métricas de anchoas. d)

Calcule e interprete el coeficiente de determinación y el coeficiente de correlación. Coeficiente de determinación 2

   SP  XY   2 0.7139  71.39% 71.39%    0.7139 r  SC  Y  SC  X  SC SC  Y  SC R

Indica que el 71.39% de la variación de los precios es explicada por la regresión. Coeficiente de correlación





SP XY r



 

0.84

 

 

SC X SC Y

Se puede afirmar que hay una alta asociación negativa entre X e Y en otras palabras cuando aumenta una de ellas disminuye la otra.

227



Regression Analysis: Precio versus Captura The regression equation is Precio = 461 - 30.4 Captura Predictor Constant Captura

Coef 461.01 -30.427

S = 74.28

SE Coef 43.59 5.807

R-Sq = 71.4%

T 10.58 -5.24

P 0.000 0.000

R-Sq(adj) = 68.8%

Analysis of Variance Source Regression Residual Error Total

DF 1 11 12

SS 151438 60686 212124

MS 151438 5517

F 27.45

P 0.000

Predicted Values for New Observations New Obs 1

Fit 308.9

SE Fit 22.6

(

95.0% CI 259.1; 358.7)

(

95.0% PI 138.0; 479.8)

Values of Predictors for New Observations New Obs 1

Captura 5.00

228



Ejercicio 1. Se desea estudiar la tasa de flujo Y (en m3 / min ) de un dispositivo para medir la calidad del aire en función de la caída de presión X (en mm de agua) a través del filtro del del dispositivo. Se tomó una muestra de 10 mediciones encontrándose encontrándose los siguientes datos: Y 0.6 0.7 0.8 1.0 1.1 1.2 1.4 1.8 2.2 2.2 2.6 X 127 178 229 254 330 381 406 432 457 507 Asumiendo que se cumplen los supuestos respectivos a) Estime la línea de regresión. Interprete los coeficientes.

b) ¿Hay relación lineal entre estas variables? Use





0.05 .

229



c) Calcule e interprete el coeficiente de determinación.

d) Estime la tasa de flujo promedio para una caída de presión de 400 mm de agua.

e) Halle e interprete el coeficiente de correlación.

230



Práctica Dirigida N° 8 1. Una compañía de productos químicos desea analizar si la eficiencia en una operación de extracción está influenciado por el tiempo de extracción. Tiempo (minutos x) Eficiencia (% Y) n  10

 x

i

 320 320

27 47

 x

2

i

45 84 11490

41 80

19 46

 y

i

35 62

 635 635

39 72

 y

2

i

19 52 43075

49 87

15 37

 x y i

i

31 68  22095

a) Determine la ecuación de la regresión entre la eficiencia y el tiempo de extracción. Interprete el coeficiente de regresión estimado.

b) Pruebe si existe una relación lineal entre las variables. Use un nivel de significación del 5%.

231



c) ¿Qué porcentaje de la variabilidad de la eficiencia de la operación de extracción es explicada por la regresión?

d) Estime la eficiencia de operación de extracción cuando el tiempo de extracción es de 55 minutos.

232



EJERCICIOS PROPUESTOS 2. Una investigación de la relación entre el flujo de tránsito X (en miles de automóviles por 24 horas) y el contenido conteni do de plomo Y de la corteza co rteza de árboles cerca de la autopista (ug/gr de peso en seco) produjo los datos siguientes: X 8.3 Y 227 a) b) c)

8.3 312

12.1 12.1 17.0 17.0 17.0 17.0 24.3 24.3 24.3 24.3 33.6 362 521 640 539 728 945 738 759 1263

Obtenga la línea línea de regresión estimada. estimada. Interprete el coeficiente estimado de intersección y el el coeficiente estimado de regresión. Tiene interpretación práctica el coeficiente de intersección estimado. ¿Existe relación lineal entre X e Y? Utilice  0.05 . Calcule e interprete los coeficientes de determinación y de correlación. 

3. Se ha realizado un estudio para establecer una ecuación mediante la cual se pueda utilizar la concentración de estrona en la saliva pg/ml (X), para predecir la concentración del esteroide en el plasma pg/ml (Y). Para el estudio se extrae una muestra aleatoria de 12 varones sanos y se obtienen los siguientes cálculos previos Σ Xi = 173 ΣX2i = 2,728.5 ΣXi Yi = 8,959.25

Σ Yi = 578.5

ΣY2i = 29,734.25

a) Calcule e interprete los coeficientes estimados para para la regresión lineal simple entre X e Y. b) Pruebe con un nivel de significación de 0.05, si existe relación lineal entre X e Y. c) Predecir la concentración del esteroide en el plasma, cuando se tiene una concentración de estrona en la saliva de 18 pg/ml. 3. Se estudia, en un proceso químico, el tiempo de reacción Y (en horas) y la temperatura X (en °C) de la cámara donde tiene lugar la reacción. Se tomó una muestra muestra de 10 mediciones encontrándose: X 82 84 86 91 93 94 99 110 115 125 Y 3.10 2.98 3.09 2.92 2.80 2.93 3.10 2.70 2.84 2.83 Asumiendo que se cumplen los supuestos respectivos a) b) c) d) e) f)

Estime la línea de regresión. Interprete los coeficientes. coeficientes. ¿Hay relación lineal entre estas variables? Use  0.05 Calcule e interprete el coeficiente coeficiente de determinación. Obtenga e interprete el coeficiente de correlación. Estime el tiempo promedio de reacción para una temperatura de 120 °C. Descomponga el el efecto total de la medición 8 en sus efectos efectos respectivos. 

4. En un centro centro de salud salud se han han tomado los datos de las edades y la Presión Sistólica de 12 pacientes, bajo la sospecha de que la edad y la presión estaban relacionadas de alguna manera. Los datos que se tomaron son los siguientes. Edad (X) Presión sistólica (Y)

56 147

42 125

72 160

36 118

63 149

47 128

55 150

49 145

38 115

42 140

68 60 152 155

a) Obtenga el Diagrama de Dispersión y comente los l os resultados. b) Calcule la ecuación de regresión estimada e Interprete el valor de cada uno de los coeficientes de la recta anterior. c) Calcule e interprete el valor del coeficiente de determinación. d) ¿Puede Ud. afirmar que la pendiente de la recta es significativamente distinta de cero, con  = 0,05? 233



5. Se hizo un estudio con yeguas de los niveles de progesterona en la sangre (X) y en heces (Y), estos niveles se expresan en ng/ml donde ng = nanogramos. X 8.37 6.09 5.81 8.86 8.86 6.21 0.38 0.31 Y 10.74 10.75 9.85 10.85 10.00 4.31 1.30 a) b) c) d)

Estime la línea de regresión. Interprete los coeficientes. coeficientes. ¿Hay relación lineal entre estas variables? Use  0.05 . Calcule e interprete el coeficiente coeficiente de determinación. Poner el efecto total 5 en términos términos del efecto de la regresión y el error. error. 

7. El banco “Préstamo” estudia estudia la relación entre las variables Ingresos (X) y ahorros (Y) mensuales de sus clientes. Una muestra aleatoria de de sus clientes revelo los siguientes datos. X Y

1200 345

1380 380

1550 450

1725 552

3278 1210

2932 1225

2415 870

3105 1104

2070 450

a) Estime la recta de regresión. b) Utilice la recta estimada para pronosticar el valor del ahorro cuando el ingreso sea de 2800 soles. c) ¿Se puede afirmar que existe una relación lineal significativa entre los ingresos y el ahorro? A un nivel de significación del 5% d) ¿Qué porcentaje de la variación muestral se puede atribuir a la relación del modelo? 8. Una empresa en consultoría contable desea desarrollar un modelo que le permita predecir el costo de la auditoría en función del número de documentos revisados. Para este fin extrae una muestra de 12 auditorías, registrando el costo de la auditoría (miles $) y el número de documentos revisados (miles documentos). Número de documentos (miles documentos) Costo de la auditoría (miles $)

28

17

32

48

6

14

19

24

34

22

20

46

50

35

65

98

12

24

38

45

65

45

36

85

a) Analice el diagrama de dispersión. ¿Qué se puede afirmar acerca de la relación entre el número de documentos revisados y el costo de la auditoría?. b) Interprete los coeficientes de regresión. Presente la ecuación estimada. c) Pruebe con un nivel de significación de 5%, si existe relación lineal entre el número de documentos revisados y el costo. d) Halle e interprete el coeficiente de determinación e) Estime el costo promedio de la auditoría cuando se revisen 25,000 documentos. f) Halle e interprete el coeficiente de determinación. 9. Las materias primas empleadas en la producción de una fibra sintética son almacenadas en un lugar donde no se tiene ti ene control sobre la humedad. Las mediciones medi ciones de la humedad relativa en el lugar de almacenamiento (x) y la humedad de una muestra de las materias primas (y) (ambas en porcentaje) para 12 días se presenta en la siguiente tabla. Humedad en el 42 almacenamiento (%) Humedad en la 12 materia prima (%)

35

50

43

48

62

31

36

44

39

55

48

8

14

9

11

16

7

9

12

10

13

11

234



a) Analice el diagrama de dispersión. ¿Qué se puede afirmar acerca de la relación entre la humedad de almacenamiento y la humedad en la materia prima?. b) Interprete los coeficientes de regresión. Presente la ecuación estimada. c) Pruebe con un nivel de significación de 5%, si existe relación lineal entre la humedad de almacenamiento y la humedad en la materia prima. d) Estime la humedad promedia de la materia prima, cuando se tiene una humedad de almacenamiento de 45%. e) Halle e interprete el coeficiente de determinación f) Pruebe con un nivel de significación de 5%, si existe correlación entre la humedad de almacenamiento y la humedad de la materia prima. 10. Se cuenta con información de una muestra de 10 fondos de inversión, respecto a su rentabilidad porcentual para un periodo de doce meses y el activo total (en millones de $). Los datos se presentan en la siguiente tabla. Activo total 22 (millones $) Rentabilidad 29.3 (%)

18

14

8

26

10

16

19

20

7

17.6

16.0

9.5

22.6

12.4

18.5

21.4

18.2

12.5

a) Analice el diagrama de dispersión. ¿Qué se puede afirmar acerca de la relación entre el activo total y rentabilidad del fondo de inversión?. b) Interprete los coeficientes de regresión. Presente la ecuación estimada. c) Pruebe con un nivel de significación de 5%, si existe relación lineal entre el activo total y la rentabilidad. d) Estime la rentabilidad promedia, cuando se tiene un activo de 18 millones de dólares. e) Halle e interprete el coeficiente de determinación f) Pruebe si existe correlación entre el activo total y la rentabilidad. Use un nivel de significación de 5%. 11. El gerente de ventas permite que los agentes vendedores que tiene a su cargo reciban charlas para motivarlos, dichas charlas se dan en diferentes horarios y los agentes tienen absoluta libertad para elegir el horario que crean conveniente. El gerente cree que dichas charlas influyen en la eficiencia de las ventas. Para verificar esto toma una muestra de 10 vendedores y determinó el tiempo acumulado de horas en las que estuvo presente en una o más charlas durante el último trimestre y la eficiencia de sus ventas, los datos encontrados fueron: Tiempo acumulado (Horas) Eficiencia en las ventas (%)

27 45 41 19 35 39 19 49 15 31 47 84 80 46 62 72 52 87 37 68

a)¿Es a)¿Es posible afirmar que existe una relación lineal entre el número de horas de charla y la eficiencia en las ve ntas?. Use un α=0.05. b) Interprete adecuadamente el coeficiente de regresión. c) El Gerente de ventas afirma que cuando un agente vendedor recibe charlas esto permite un mejor desempeño en sus nivel de ventas y cree además que por cada hora adicional de charla su rendimiento se incrementa en más de un punto porcentual. Utilizando un nivel de significación del 5% ¿Qué ¿Qué puede concluir concluir con respecto a la afirmación que hace el gerente de ventas?.

235



12. En ocasiones es conveniente comprar la mayor cantidad posible de ciertos artículos. Por lo general el precio unitario es menor al adquirir grandes cantidades. Para contrastar esta teoría se obtuvieron los siguientes datos: Número Número de Unidades Unidades (X 1 Costo Unitario (Y) $ 55

3 5 52 48

10 36

12 15 32 30

24 25

a) Interprete el coeficiente de regresión estimado. b) ¿Qué % de la variabilidad en el costo no es explicada por la recta de regresión? c) ¿Es la pendiente de la recta diferente de cero significativamente?. Use un α=0.05. d) Estime el costo promedio unitario cuando se compran 40 unidades. e) Es posible afirmar, en base a la información muestral obtenida y utilizando un nivel de significación del 5%, que por cada unidad adicional que se compre el precio del artículo disminuye en más de $1,2. Use un α=0.05.

13. Un banco quiere determinar la relación entre las variables Ingresos mensuales (variable independiente) y Ahorros mensuales (variable dependiente) de sus clientes. Para esto, selecciona una muestra aleatoria de seis clientes y obtiene los siguientes resultados: Y: Ahorros X: Ingresos mensuales mensuales 1.0 0,20 1,2 0,22 1,5 0,25 0,8 0,18 1,8 0,30 2.0 0,35 a) Halle la ecuación de regresión e interprete in terprete sus coeficientes. b) Calcule el coeficiente de determinación e interprételo. c) Utilice el modelo de regresión desarrollado para predecir los ahorros mensuales si el ingreso mensual de su cliente es de 2500 soles. d) Plantee las hipótesis respectivas y diga si el modelo hallado es significativo o no. Utilizar un nivel de significancia del 5%.

236



Preguntas de Autoevaluación 1. El gráfico que permite visualizar la existencia de una posible relación lineal entre la variable X e Y, se conoce como _______________________________________ . 2. El método de estimación para estimar los coeficientes de regresión β0 y β1, se conoce como _____________________________________ . 3. En el análisis de regresión lineal li neal simple, el valor que mide el cambio o variación en la variable Y, cuando la variable X aumenta en una unidad, se conoce como ____________________________.. ____________________________ 4. Uno de los supuestos del análisis de regresión es que la variable X se considera un valor ______________, en cambio la variable Y se considera ________________. 5. Para probar si existe una relación lineal entre las variables X e Y en un análisis de regresión, la hipótesis nula formulada es ____________________________ . 6. El rango en que varía el coeficiente de determinación es ______________________ ______________ ________ 7. Si el coeficiente de correlación estimado se aproxima a 1, indica que existe una correlación ______________________, si se aproxima a -1, __________________ y se aproxima a cero __________________________ entre las variables X en que varía el e Y. 8. La ecuación estimada en un análisis de regresión entre la ventas (Y) en miles de $ sobre los años de experiencia de los vendedores (X) en años, resultó: Y = 250 – 1.2X. Entonces el coeficiente de regresión se interpreta como _______________________________________________________________ ______________________________ ___________________________________. __. 9. La interpretación del coeficiente de correlación entre el peso y la l a talla de una muestra – de 12 estudiantes cuyo valor fue igual a 0.88, es ___________________________________________________________ ____________________________ ________________________________. _. 10. Indique si es Verdadero (V) o Falso (F) cada uno de los siguientes enunciados:

Item Enunciado a.

El coeficiente de determinación mide el porcentaje de la variabilidad de X que es explicada por la regresión.

b.

Los coeficientes de regresión estimados, asumen como unidad de medida la de la variable dependiente (Y). El rango del coeficiente de correlación es [-1, 1] .

c. d.

El coeficiente de regresión estimado b1, no puede tomar un valor negativo.

e.

El cuadro del ANVA, muestra la descomposición de la variabilidad de la variable Y, en dos fuentes (regresión y error).

V/F

237



Bibliografía 1. Anderson, D. y Sweeney, D. y Williams, T. (2008). Estadística para Administración y Economía (10a. ed.) México: Cengage Cengage Learning Editores.

2. Daniel, W. (2004). Bioestadística: base para el análisis de las ciencias de la salud (4ta. ed.). México: Limusa. Grupo Noriega editores. 3. Johnson, R. y Kuby, P. (2008). Estadística elemental: lo esencial (10ma. (10ma. ed.). México: Cengage Learning Editores. 4. Levin, R y Rubi, D.(2004). Estadística para Administración y Economía (7ma. ed.) México: Pearson Educacion. Prentice Hall. 5. Montgomery, D. y Runger, G. (2002). Probabilidad y Estadística aplicadas a la ingeniería (2da. ed.). México: Editorial Limusa. Grupo Noriega editores.

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7. Miranda, F. & Salinas, J. & Otros. (2012). Estadística General. Lima: Universidad Nacional Agraria La Molina. 8. Triola, M. (2009). Estadística (10ma. ed.). México: Pearson Educacion. Adisson.

238



Anexo N° 1 Laboratorio de Cómputo N°1 Estadística Descriptiva con MINITAB Se trabajará con el conjunto de datos alumnos.mtw que que contiene información de los alumnos de primer ciclo de una Universidad del país. Las variables consideradas son:  Especialidad del estudiante.  Sexo del estudiante.  Edad del estudiante.  Nota obtenida por el estudiante en un curso general común a todas las carreras.  Promedio ponderado del primer ciclo del estudiante. Se mostrará el procedimiento para realizar cada uno de los análisis que se han visto en el curso y extraer información sobre este conjunto de datos. I.

Estadística Descriptiva

Para poder obtener medidas descriptivas como las medidas de tendencia central o de dispersión seguiremos la siguiente secuencia en el menú:

Al hacer click en esa opción aparecerá la siguiente ventana:

239



Desde seleccionaremos la variable o variables con las que queremos trabajar, posteriormente elegiremos qué estadísticas descriptivas queremos obtener. Por ejemplo elegiremos la variable Nota (haciendo doble click en ella) y seleccionaremos algunas medidas estadísticas:

Hemos elegido media, coeficiente de variación, mediana, mínimo y máximo. Solo queda darle click a Aceptar a esta ventana y a la siguiente y habremos obtenido estas medidas requeridas. Estadísticos descriptivos: Nota Variable Nota

Media 13.048

CoefVar 16.39

Mínimo 9.000

Mediana 13.000

Máximo 20.000

Ejercicios: 1. Obtenga el coeficiente de variabilidad de la variable Edad : _________________ 2. Obtenga la desviación estándar de la variable Nota: ______________________ 3. Obtenga la mediana de la variable Nota de acuerdo al Sexo de los estudiantes: ________________________________________________________________ _________________________________ _______________________________

240

UNA La Molina - Dpto. de Estadística e Informática II.


Gráficos

Desde esta opción podemos elegir entre los gráficos más conocidos haciendo click sobre el que deseemos obtener:



Gráfico de barras

Elegiremos el gráfico de barras Simple.

Luego elegiremos la variable que queremos graficar, existen otras opciones que se pueden personalizar, como Escala, Etiquetas, etc. 241



Finalmente obtenemos el gráfico de barras de estudiantes por Especialidad.

Gráfica de Especialidad 25

23.2 22

19.2

20

19.2

16.4

e j a t n e c r o P

15

10

5

0

Contabilidad

Derecho

Industrial

Psicología

Sistemas

Especialidad Porcentaje en todos los datos.

242

UNA La Molina - Dpto. de Estadística e Informática 


Gráfico circular

Directamente podemos elegir la variable de interés, i nterés, también podemos personalizar algunas opciones.

Este es el gráfico que hemos obtenido y muestra la distribución de estudiantes por la especialidad.

Gráfica circular de Especialidad Categoría Contabilidad Derecho Industrial Psicología Sistemas

16.4%

19.2%

19.2%

22.0%

23.2%

243



Histograma

Elegiremos el histograma Simple.

En la siguiente ventana indicamos la variable y podemos personalizar algunas opciones.

Este es el histograma de frecuencias que obtenemos, podemos personalizar algunas otras opciones (como la marca de clase, pues no es igual al que se ha trabajado en clases) haciendo click derecho en las barras:

244



Desde esta opción podemos editar los LI y LS del histograma, para esta variable el máximo es 18.5 y el mínimo 8.5, el número de intervalos de clase es 9, teniendo así que el TIC es de 1.2

Con esto hemos editado nuestro histograma de frecuencias y podemos obtener uno como el que se ha trabajado en clases:

245



Histograma de Promedio 60

50

40 a i c n e u c e r F

30

20

10

0

8.5

10.9

13.3

15.7

18.1

Promedio



Gráfica de cajas

Podemos obtener un gráfico de cajas Simple o Con grupos, elegiremos esta segunda opción pues resulta interesante comparar variables cuantitativas de acuerdo a agrupaciones.

En este ejemplo la variable a graficar será Nota y la variable de agrupación será Especialidad .

246



Obtenemos el gráfico de cajas de Nota agrupado por Especialidad , podemos identificar un valor outlier para la especialidad de Contabilidad.

Gráfica de caja de Nota 20

18

16 a t o N 1 4

12

10

Contabilidad

Derecho

Industrial

Psicología

Sistemas

Especialidad

247



Tallo y hojas

En esta ventana podemos elegir directamente la variable que queremos graficar.

Diseño de tallo y hoja: Promedio Tallo y hoja de Promedio Unidad de hoja = 0.10

3 5 22 58 96 (42) 112 60 23 7 2

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

N

= 250

559 45 13334444556688889 133344445566 88889 0001111133344445555556666 000111113334 444555555666667778899999 67778899999 0000011112333333344455555 000001111233 33333444555555577788999999 5577788999999 000111111111133344444444555555566789999999 0000001111233333333333444455555555555566667788889999 0000000111113334455566666 000000011111 3334455566666777788888999 777788888999 1113556666668999 1113556666668999 01456 35

Ejercicios: Obtenga el diagrama de cajas de la variable Nota agrupada por Sexo, responda: 1. ¿Existen valores atípicos? ¿Cuáles son y a qué categoría corresponden? _______________________________________________________________ ______________________________ _____________________________________ ____ _______________________________________________________________ ______________________________ _____________________________________ ____ 2. Para ambas categorías identifique: Femenino

Masculino

Primer cuartil Mediana Tercer cuartil LCI LCS N

248



Anexo N° 2 Laboratorio de Cómputo N°2 Estadística Inferencial con MINITAB Nuevamente trabajaremos con el conjunto de datos alumnos.mtw que cuenta con cinco variables: Especialidad, Sexo, Edad, Nota, Traslado. Intervalos de confianza y Pruebas de Hipótesis  Para la media Siguiendo estas opciones podremos obtener intervalos de confianza y realizar la prueba de hipótesis para la media de la variable Nota.

Al elegir esta opción de prueba t para una muestra obtendremos la siguiente ventana:

249



Desde esa ventana podremos elegir la variable con la que queremos trabajar. Podemos especificar el valor de la media poblacional hipotética que este caso hemos definido con el valor de 17 años. También debemos marcar la casilla para realizar la prueba de hipótesis de la media (de lo contrario solo se obtendrá el intervalo de confianza). Hacemos click en Aceptar y obtendremos el siguiente resultado: T de una muestra: Edad Prueba Prue ba de μ = 17 vs. ≠ 17

Variable Edad

N 250

Media 18.284

Desv.Est. 1.668

Error estándar de la media 0.105

IC de 95% (18.076, 18.492)

T 12.17

P 0.000

Estos resultados muestran el intervalo de confianza para la media al 95% y el valor de la T calculada para la prueba de hipótesis. 

Para una proporción

Puede ser de interés realizar pruebas de hipótesis para una proporción. Podríamos querer probar si el valor de la proporción de estudiantes de Contabilidad es superior al 15%, teniendo en cuenta que 41 de los 250 son de esa especialidad. Para ello tendríamos que ingresar a las pruebas de “1 proporción” y defini r estos valores:

Haciendo click a Opciones podemos especificar qué tipo de prueba de hipótesis es la que deseamos:

250



Habiendo definido estas opciones hacemos click en Aceptar y obtenemos los siguientes resultados: Prueba e IC para una proporción Prueba de p = 0.15 vs. p > 0.15

Muestra 1

X 41

N 250

Muestra p 0.164000

Límite inferior de 95% 0.125480

Valor Z 0.62

Valor p 0.268

Uso de la aproximación aproximación normal.

De esa manera contamos con los valores de los intervalos de confianza y el Valor Z calculado. 

Para diferencia de medias

Si se quiere comparar si las medias de las Edad de de acuerdo al Sexo son distintas, primero debemos realizar la prueba de Hipótesis para determinar si las varianzas son o no homogéneas.

251



Para ello debemos definir:

En Opciones podemos definir la relación y el nivel de confianza con el que se trabajará, de la siguiente manera:

Obteniéndose estos resultados: Prueba e IC para dos varianzas: Edad vs Sexo Método Hipótesis nula Hipótesis alterna Nivel de significancia

Varianza(Femenino) Varianza(Femenino) / Varianza(Masculino) Varianza(Masculino) = 1 Varianza(Femenino) Varianza(Feme nino) / Varianza(Masculino) Varianza(Mas culino) ≠ 1 α = 0.1

252



Estadísticas

Sexo Femenino Masculino

N 116 134

Desv.Est. 1.711 1.627

Varianza 2.926 2.648

IC de 90% para varianzas (2.551, 3.453) (2.324, 3.094)

Relación de desviaciones estándar = 1.051 Relación de varianzas = 1.105

Intervalos de confianza de 90%

Método Bonett Levene

IC para relación de Desv.Est. (0.948, 1.168) (0.906, 1.214)

IC para relación de varianza (0.899, 1.364) (0.821, 1.475)

Pruebas

Método Bonett Levene

GL1 GL2 — — 1 248

Estadística de prueba Valor p — 0.422 0.28 0.600

Y el siguiente gráfico que resume los resultados:

253



Para hacer la prueba de comparación de medias:

Y en Opciones también Opciones también se personaliza lo siguiente, debemos marcar la casilla si es que en la prueba de Homogeneidad de Varianzas estas resultan iguales:

254



Teniendo como resultado: Prueba T e IC de dos muestras: Edad, Sexo T de dos muestras para Edad

Sexo Femenino Masculino

N 116 134

Media 18.15 18.40

Desv.Est. 1.71 1.63

Error estándar de la media 0.16 0.14

Diferencia = μ (Femenino) - μ (Masculino) Estimación de la diferencia: -0.256 IC de 95% para la diferencia: (-0.673, 0.160) Prueba T de diferencia = 0 (vs. ≠): Valor T = -1.21 248 Ambos utilizan Desv.Est. agrupada = 1.6665

Valor p = 0.226

GL =

Podemos observar los valores de la media y la varianza de las edades para cada uno de los grupos por Sexo. El cálculo del intervalo de confianza al 95% y el valor T calculado obtenido. Ejercicios: 1. Realice la prueba correspondiente que le permita determinar si el valor de la desviación estándar de las Notas de esta muestra de 250 estudiantes es mayor a 2.

2. Compare si existen diferencias entre los Promedios de acuerdo al Sexo de los estudiantes.

255



Anexo N° 3

TABLAS ESTADÍSTICAS

Distribución Distribución Normal Estándar Distribución Distribución Chi-Cuadrado Distribución t Distribución F

256

Guia de Estadistica General 2015-II.pdf

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