FÍSICA I Guía de ejercicios de Conversión de unidades, Análisis Dimensional Dimensional y Vectores. Profa. Ana González CONVERSIÓN DE UNIDADES 1. Un trabajador va a pintar las paredes de un cuarto cuadrado de 8 ft de alto y 12 ft en cada lado. ¿Qué área superficial en metros cuadrados debe cubrir? RESP: 35.67 m2
2. Suponga que toma siete minutos llenar un tanque de gasolina de 30 galones. Calcule la rapidez con la cual el tanque se llena en: a) gal/s; b) m 3 /s y c) Determine el intervalo de tiempo, en horas, necesario para llenar un volumen de 1 m3 a la misma rapidez. ( 1 gal U.S = 231 in 3) RESP: a) 0.0714 gal/s; b) 2.7x10-4 m3 /s; c) 1.03 h
3. Una pieza maciza de plomo tiene una masa de 23.94 g y un volumen de 2.1 cm 3. de estos datos, calcule la densidad del plomo en unidades del SI (kg/m 3) RESP: 11.4x103 kg/m3
4. La densidad del agua es de 1 g/cm 3. ¿Cuánto vale en lb/ft3?.
RESP: 62,4269 lb/ft3 5. La velocidad del sonido en el aire es 340 m/s. ¡Cuál es la
13. La
ecuación
14. ¿Es
correcta
3
es Q K D 0.2 H H 2 , dimensionalmente correcta. Si Q es un volumen por unidad de tiempo y H una longitud, determinar las dimensiones fundamentales de K y de D. RESP: K=L1/2T -1; D=L
S
dimensionalmente
la
ecuación
, siendo S una fuerza por unidad m RY RY b aR Z R Y
de área, m el momento de una fuerza, b y Z son magnitudes sin dimensión, a un área, Y y R son longitudes? RESP: No lo es
15. En la ecuación dimensionalmente correcta (homogénea): C
mSen p k 2 h 2
; donde m es el momento de una fuerza,
es un ángulo, p una masa y h una longitud. Determinar las dimensiones de k y C. RESP: K=L; C=T -2
16. En
la
ecuación
dimensionalmente
homogénea:
S at bt c , 2
velocidad de un avión supersónico que se mueve con una velocidad doble a la del sonido? Dar la respuesta en kilómetros por hora y en millas por hora.
S es una longitud y t un tiempo. Determinar las dimensiones fundamentales fundamentales de a, b y c. RESP: a=LT-2; b=LT -1; c=L
6. ¿Cuántos segundos son 27 años, 245 días con 8 horas?.
17. Sea la ecuación E PS w 2 g v 2 en la que E es el
¿Cuántos siglos son?
momento de una fuerza, P y w son fuerzas, S una longitud, v una velocidad lineal y g una aceleración lineal. ¿Es dicha ecuación dimensionalmente homogénea?. RESP: Si
RESP: 8,73.108 s; 0,2768 siglos 7. Si sumamos: 1 min + 1 s + 1 ms: a) ¿A cuántos años corresponde la suma? b) ¿A cuántas horas corresponde la suma? RESP: a) 1,9.10-6 años; b) 0,0167 h
18. ¿Es
dimensionalmente
P .t mv w 2 g r . p , 2
8. ¿Cuántas libras son 15.876 kg? RESP: 35 lb ANÁLISIS DIMENSIONAL TODOS LOS NÚMEROS REALES QUE APARECEN EN LAS ECUACIONES SON ADIMENSIONALES. A DIMENSIONALES. 9.La ecuación es C I mXa y mYa x , dimensionalmente homogénea, siendo una aceleración angular, m una masa, X e Y longitudes, a x y ay aceleraciones lineales. Determinar las dimensiones fundamentales de C e I. RESP: C=LF; I=LFT2
10. Si se considera la ecuación FtCos P g v IW ,
correcta
la
ecuación:
si P es una fuerza, t un intervalo
de tiempo, m una masa, v una velocidad lineal, w un peso, g una aceleración lineal, r una distancia y p una velocidad angular. RESP: No lo es
19. Determinar
las
dimensiones
de
la
expresión
dimensionalmente homogénea: P A X 2 , siendo P una g fuerza, A un área, X una longitud y g una aceleración lineal.
RESP: FT 2 20. En
ecuación
dimensionalmente
homogénea:
P
donde F es una fuerza, t un intervalo de tiempo, un ángulo, P un peso, g una aceleración lineal, v una velocidad lineal, I momento e inercia y W una velocidad angular. ¿Es la ecuación dimensionalmente correcta? RESP: No lo es
.v 0,5. I .w .Y .W .v , E es un torque, P un 2 g g peso, v una distancia por unidad de tiempo, w una velocidad angular e Y una distancia. Determinar las dimensiones dimensiones de g y de I. RESP: g=LT-2; I=LFT2
11. La ecuación S P A mc I , es dimensionalmente
21. La
correcta. Si S es una fuerza por unidad de área, A un área, c una longitud y m el momento de una fuerza, ¿cuáles son las dimensiones fundamentales de P e I? RESP: P=F; I=L4
12. Determinar
las
dimensiones
fundamentales
de
m a h 2
expresión
dimensionalmente
homogénea
t 2 Se Sen n siendo m una masa, h longitud, t tiempo y un ángulo. RESP: MLT -2
la 2
,
E
la
P
2
2
ecuación
1 E mc 1 , 2 1 v c 2
es
dimensionalmente homogénea. Determinar las dimensiones de E si v es una velocidad lineal y m una masa. RESP: E=FL
22. Sea K a
la
ecuación
dimensionalmente
homogénea
2m px
, donde m es una masa, p una longitud 0.3a y a = M-2. ¿Cuál es la dimensión de k y de x?. 3
1
FÍSICA I Guía de ejercicios de Conversión de unidades, Análisis Dimensional y Vectores. Profa. Ana González RESP: X=ML-1;K=M-1
23. Una fórmula de ingeniería, dimensionalmente correcta,
30. Hallar la magnitud y dirección del vector resultante del
establece que: Y WX X 3 2 LX 2 L3 , en la que Y 24 EI y L son longitudes, W es una fuerza por unidad de longitud e I es el momento de inercia de un área (L 4). Determinar la dimensión de E. RESP: E=MT -2L-1
siguiente sistema de vectores (figura 1):
24. La fórmula
Y B = 800 u
A = 600 u 45º
30º
v 2 1 A1 A2 2 P P 0 gh , 2
C = 450 u
¿es dimensionalmente homogénea?, si v es una velocidad lineal, P y P 0 son presiones, es una densidad, A 1 y A2 son áreas, g es una aceleración lineal y h una altura. RESP: Si
X 75º
Figura 1
25. Si t es un intervalo de tiempo y c una velocidad lineal
31. Dados 4 vectores coplanares de 8, 12, 10 y 6 unidades
en
de longitud respectivamente; los tres últimos forman con el primero ángulos de 70º, 150º y 200º respectivamente. Encontrar la magnitud y la dirección del vector resultante. RESP: 14.4 u; 98.8º, colocando primer vector en X+
la
ecuación
dimensionalmente
u 2 1 u 2 1 1 2 t c c 2 c
1
2 L
2
;
correcta: hallar
las
dimensiones de u y de L. RESP: u=LT-1; L=L
32. Hallar la resultante de los siguientes desplazamientos:
26. Si P es presión, V es volumen y la dimensión de T es ºK y
A = 20 km, Este 30º Sur B = 50 km hacia el Oeste C = 40 km hacia el Noreste D = 30 km Oeste 60° Sur RESP: 20.88 km; 201.7º o O21.7ºS
de
R
es
FL en mol º K
la
an P 2 V nb nRT , V
ecuación
homogénea:
33. Un vehículo realiza los siguientes desplazamientos: 20
2
hallar las dimensiones de n,
b y de a. RESP: n=mol; b=L3 /mol; a=FL4mol-2
27. La ecuación de esfuerzos para carga excéntrica en una columna corta es:
P PeY
A
I
, es dimensionalmente
correcta. Si P es una fuerza, A un área y tanto e como Y se miden en unidades de longitud, ¿cuáles son las dimensiones del esfuerzo y el momento de inercia del área I? RESP: ML-1T-2=; I=L4
28. En la práctica, la fuerza de un empuje ascendente F se v
2
F C
A , en donde es la 2 densidad, v es la velocidad lineal, A el área y C es el coeficiente de empuje ascendente. ¿Cuáles son las dimensiones de C si la ecuación es dimensionalmente homogénea?. RESP: Adimensional expresa bajo la forma:
VECTORES
km hacia el Este; 50 km Este 60º Norte; 40 km hacia el Noroeste; 30 km Oeste 30° Sur; 45 km hacia el Oeste y 35 km Norte 40° Este. Hallar el desplazamiento resultante. RESP: 89.24 km; 110.86º o O69.14ºN
34. Un avión recorre 200 km hacia el Oeste y luego 150 km Oeste 60º Norte, ¿cuál debe ser el tercer desplazamiento para que el desplazamiento resultante sea de 100 km hacia el Este?. Utilice sólo la Ley del seno y del coseno para la solución. RESP: 396.87 km; E19º6´22”S
35. Un golfista novato necesita hacer tres tiros en el green para meter la pelota en el hoyo. Los desplazamientos sucesivos son 4 m al norte, 2 m al noreste, y 1 m a 30° al oeste del sur. Si empieza en el mismo punto inicial, un golfista experto podría meter la pelota en el hoyo en qué desplazamiento único? RESP: 4.63 m; 78.67º
36. Encontrar la magnitud y dirección de la resultante del sistema de vectores en el plano XY, dirigidos hacia afuera del origen. El primer número indica la magnitud del vector; en seguida se especifica la dirección del vector por el ángulo medido en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, ó por las coordenadas de su línea de acción.
29. Tres desplazamientos son A = 200 m hacia el Sur; B =
V 1
V 2
V 3
V 4
250 m hacia el Oeste; C = 150 m, 30º al Este del Norte. Determine el desplazamiento resultante gráficamente para cada una de las formas de adicionar estos vectores: a)
8; (4, 6)
6; (3, -4)
5; 250º
7; (-5, -2)
R A B C (Polígono); b) R B C A (Polígono,
V 5 4; 3 4
rad
RESP: 3.98; 221º1´23.77”
paralelogramo + triángulo) y c) R C B A (Polígono, triángulo + paralelogramo). d) Hallar gráficamente el ángulo entre todos los vectores.
2
FÍSICA I Guía de ejercicios de Conversión de unidades, Análisis Dimensional y Vectores. Profa. Ana González 37. Si la tensión en AB es de 7800 Lbf, determinar los valores de las tensiones que se requieren en AC y AD para que la resultante de las tres fuerzas aplicadas en A sea vertical.
40. Dos alambres se sujetan a la parte superior del poste CD. Se sabe que la fuerza ejercida por el poste es v ertical y que la fuerza de 500 lbf aplicada en el punto C es horizontal, paralela al eje Z. Calcular la tensión en cada cable.
RESP: TAC = 1192 Lbf; T BC = 898 Lbf
RESP: TAC = 4200 Lbf; T AD = 12857.14 Lbf
500 Lbf
Y
Y A
C
120 ft 60º
A
C
X
30º
40 ft D
D 40º
60 ft
30 ft
B
35 ft
B Z
X
Figura 5
40 ft Z
Figura 2
41. La pluma soporta una cubeta y su contenido, que pesan
38. Determine la magnitud de las fuerzas P , R y F para el equilibrio del sistema de fuerzas concurrentes.
200 kgf. Determine las fuerzas desarrolladas en las barras AD y AE y la tensión en el cable AB para la condición de equilibrio. La fuerza en cada barra actúa a lo largo.
RESP: FB = 773.59 N; FD = FE = 1002.6 N
RESP: P = 1096.52 N; F = 504.4 N; R = 408.8 N
Z B
Z P
3m
1.5 m
A
F
R
4m 45º
1m
3.5 m
400 N
C
Y
3m
60º E 1.5 m 600 N
X
D
1.5 m
200 kgf Y
X
Figura 3
Figura 6
39. Determine la magnitud y dirección de la fuerza P necesaria para mantener en equilibrio el sistema de fuerzas concurrentes.
RESP: P = 1.65 kN;
x = 137.34º; y = 127.33º; z = 72.35º
Z
42. Determine: a) las componentes rectangulares de las fuerzas de 600 N y 450 N; b) la dirección de ambas fuerzas y c) la fuerza resultante del sistema de fuerzas, en magnitud y dirección.
RESP: a) 219 N, 543.8 N, 126.8 N y -237 N, 258.1 N, 282.4 N b) 68.5º, 25º, 77.8º y 121.8º, 55º, 51.13º; c) 900.4 N y 91.1º, 27º, 63º
(-1.5m, 3m, 3m)
P
F2 = 0.75 kN
120º
F3 = 0.5 kN
Y
60º 43º
X F1 = 2 kN
Figura 4
3
FÍSICA I Guía de ejercicios de Conversión de unidades, Análisis Dimensional y Vectores. Profa. Ana González Figura 7
Figura 9
43. Una torre de transmisión se sostiene por medio de tres
45. En la figura, el cable AB está unido a la parte superior del
alambres que están unidos a una articulación en A y anclados mediante pernos en B, C y D. Si la tensión en el alambre AB es de 840 Lb, determine la resultante del sistema de fuerzas, en magnitud y dirección, sabiendo que es vertical. Todas las fuerzas tienen como origen el punto A.
poste vertical de 3 m de altura, y su tensión es de 50 kN. ¿Cuáles son las tensiones en los cables AO, A C y AD, para el equilibrio del sistema?. Todas las fuerzas tienen como origen el punto A. RESP: TAO= 43 KN; TAC = 7 KN; TAD= 5.6 KN
RESP: 1543.6 Lb, YY
Figura 8
Figura 10
46. Si 44. Una placa circular, contenida en el plano horizontal, está
A
4 i 7 j 6 k y
B
3 i 4 j 2 k ,
hallar el
producto escalar A B y el ángulo que forman ambos vectores.
suspendida por tres alambres que forman ángulos de 30° con respecto a la vertical; los alambres se encuentran unidos a un soporte en D. Sabiendo que la componente x de la fuerza ejercida por el alambre AD sobre la placa es de 110.3 N, determine la tensión en el alambre AD, BD y CD en magnitud y dirección, sabiendo que la resultante es vertical. Cada tensión tiene como origen a los puntos A, B, y C, respectivamente.
RESP: 52; 16.09º
RESP: TAD: 288 N y 67.5º, 30º, TBD: 100 N y 112.5º, 30º, TCD: 287.87 N y 104.5º, 30º, 64.33º
48. Hallar el ángulo y el área del paralelogramo que forman
108.7º 108.8º
47. Determinar el producto vectorial A B y B A entre
los vectores: A
7
RESP:
i 3 j 4 k y B
2 i 3 j 2 k .
A B 18 i 6 j 27 k ; B A 18 i 6 j 27 k
los vectores A
2 i 2 j
k y B
6 i 3 j 2 k .
RESP: 67.6º 49. Dados
los
A
vectores
3 i 4 j 2 k ,
B 5 i 3 j k y C i 2 j 3 k , hallar:
a) El ángulo que forman A con C b) 2 A 3 B 4C c) 2C 5 A 4 B d) El ángulo que forma el vector resultante con cada uno de los vectores dados. RESP: a) 75.63º; b) -214; c) 128 i 268 j 164 k ; d) AR = 75.63º, BR = 95.18º, CR = 38.21º
50. Determinar la magnitud y dirección del momento de la fuerza de 800 N aplicada en el punto A (4m,3m), hacia el este, con respecto al punto O (0,0).
4
FÍSICA I Guía de ejercicios de Conversión de unidades, Análisis Dimensional y Vectores. Profa. Ana González
51. Determinar la magnitud y dirección del momento de la fuerza de 800 N aplicada en el punto A (4m,3m), hacia el este, con respecto al p unto P (-3m,-7m).
52. Dadas las tres fuerzas siguientes:
F 2 200 j 100 k Lbf ;
F 1
500 i Lbf ;
EJERCICIOS PARA EL TALLER:
F 3 100 i 50 j 400 k Lbf .
a) Determinar el torque, con respecto al origen O, de cada
24, 26, 33, 34, 39, 42, 43, 44 y 51.
una de las fuerzas cuando se aplican en el punto (4, -3, 15);
RESP: a) 3 =
1 =
7500j+1500k (ft. Lbf); 450i+100j-100k (ft.lbf)
2 =
2700i-400j-800k (ft.lbf);
53. Encontrar el torque resultante con respecto al punto O de las fuerzas del problema 52 cuando se aplican en diferentes puntos: F1 en (3, 8, 10); F2 en (-2, 0, 4) y F3 en (4, -25, 10).
54. Calcular el torque de la fuerza en la figura 18 con respecto al origen.
RESP: 24
5
N.m
Figura 11
55. Determinar el torque resultante con respecto a O, de las tres fuerzas, 50 N, 80 N y 100 N, de la figura 19.
Figura 12
5
