Guia Biometria Actuarial

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES Facultad de Ciencias Económicas

Biometría Actuarial Guía de Trabajos Prácticos N° 1

Cátedra: Alberto A. Saenz. Profesor: Daniel A. Sarto. Autor: Pablo F. Nuñez. Ayudantes: Soledad Benyakar, Pablo Caviezel, Alejandro Sorbello.

Biometría Actuarial

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Índice T.P. N° 1: Funciones Biométricas ......................................................................................... 3 T.P. N° 2: Introducción a los Modelos Biométricos ........................................................... 11 T.P. N° 3: Supuestos Fraccionarios .................................................................................... 13 T.P. N° 4: Diagrama de Lexis ............................................................................................. 18 T.P. N° 5: Modelos de Decremento Múltiple ...................................................................... 21 T.P. N° 6: Modelos de Invalidez SIN Rehabilitación .......................................................... 29 T.P. N° 7: Modelos de Invalidez CON Rehabilitación........................................................ 34 T.P. N° 8: Tablas Selectas................................................................................................... 38 Apéndice N° 1: Equivalencia de Notación .......................................................................... 40 Apéndice N° 2: Tabla de Mortalidad CSO-80 Masculina .................................................. 41 Apéndice N° 3: Diagrama de Lexis ..................................................................................... 42 Apéndice N° 4: Resultados .................................................................................................. 43 Trabajo Práctico N° 1 .............................................................................................................. 43 Trabajo Práctico N° 2 .............................................................................................................. 45 Trabajo Práctico N° 3 .............................................................................................................. 46 Trabajo Práctico N° 4 .............................................................................................................. 47 Trabajo Práctico N° 5 .............................................................................................................. 48 Trabajo Práctico N° 6 .............................................................................................................. 50 Trabajo Práctico N° 7 .............................................................................................................. 52 Trabajo Práctico N° 8 .............................................................................................................. 53


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T.P. N° 1: Funciones Biométricas Ejercicio 1. Hallar los valores pedidos a partir de los datos dados: a)

b)

c)

d)

e)

f)

p(63;6) dado: •

q(65;0;1) = 0,033.

•

q(63;0;2) = 0,025.

•

q(66;0;3) = 0,048.

p(41;5) dado: •

q(41;5;5) = 0,020685.

•

q(46;0;5) = 0,021000.

q(42;5:10) dado: •

p(42;15) = 0,7.

•

p(47;3) = 0,9.

•

p(42;8) = 0,81.

p(31;10) dado: •

p(31;20) = 0,95.

•

q(31;10;15) = 0,0395.

•

p(51;5) = 0,99.

q(37;0;5) dado: •

q(37;0;2) = 0,01.

•

q(39;0;3) = 0,02.

q(30;15;55) si w=100: •

q(20;0;10) = 0,0125.

•

q(20;0;25) = 0,0465.

Ejercicio 2. Obtener l(20), d(20), q(20;0;1), p(20;3), q(20;0;5), q(20;10;5), d(22;3;3), d(25;0;3) si se supone lo siguiente:

x2 − 50 ⋅ x + 10.000 2

a)

l(x) =−

b)

l(x) CSO-1980 Hombres.

Ejercicio 3. Conociendo que: •

l(43) = 6.840.

•

d(40;1;2) = 2.660.

•

p(41;1) = 0,9.

•

q(40;1;1) = 0,095.

Obtener: a) Población existente con 40 años. b) Total de fallecidos entre los 42 y 43 años. c) Probabilidad de que un persona con 40 llegue con vida a los 42 años. d) Número esperado de personas con 40 años que alcanzan con vida los 43 y su varianza.


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Ejercicio 4. Llenar el siguiente cuadro realizando las correspondientes deducciones: Vida Media Abreviada

Expresión Inicial

Expresión Final

e(x;0;w-x) e(x;0;n) e(x;n;w-x-n) e(x;n;m) e(x;n;m-n)

Ejercicio 5. Dado el siguiente cuadro: Edad (x)

l(x)

p(x;1)

50

d(x;0;1) 1.250

51

5.000

52

4.750

0,9

53 54

3.420

Determinar el número esperado de fallecidos entre las edades 50 y 54 y su varianza. Ejercicio 6. Siendo: •

e(80;0;20) = 10.

• p(80;1) = 0,99. Obtener e(81;0;19) si se sabe que nadie llega con vida a la edad 100. Ejercicio 7. A partir de los siguientes datos: •

e(5;1;14) = 13,1.

•

e(5;15;w-20) = 56.

• e(5;0;w-5) = 70. Obtener e(5;0;1). Ejercicio 8. Demostrar que la vida media completa calculada en el campo continuo si es resuelta por una aproximación numérica “trapecios generalizados” es igual a la vida media completa en el campo discreto. w −x

•

campo continuo: ec(x;0;w-x) =

∫

p(x; t)dt .

0

•

campo discreto: ec(x;0;w-x) =

1 w −x + ∑ p(x;s) . 2 s =1


5

Ejercicio 9. Si: µ(x) = a (una constante) 0 < x < w Hallar: a)

q(20;2;3).

b)

q(35;2;3).

c)

ec(x;0;w-x).

Ejercicio 10. Demostrar que:

µ 2 (x) >

d d2 [µ(x)] si 2 [l(x)] > 0 dx dx w −x

Ejercicio 11. Partiendo de la definición de ec(x;0;w-x) =

∫

t ⋅ p(x; t) ⋅ µ(x + t)dt (campo continuo) completar

0

el siguiente cuadro: Vida Media Completa

Expresión Inicial

Expresión Final

ec(x;0;w-x) ec(x;0;n) ec(x;n;w-x-n) ec(x;n;m) ec(x;n;m-n)

Ejercicio 12. Si µ(x+t) =

1 para 0 ≤ t < 100-x, se pide: 100 − x − t

a)

ec(x;0;w-x)

b)

q(x;0;n)

c)

q(x;m;n)

d)

varianza de la variable aleatoria del punto a).

e)

mediana

Ejercicio 13. Una persona de 35 años debe trabajar durante un año en un país que se encuentra en guerra, por lo tanto, a su probabilidad normal de fallecimiento entre 35 y 36 años que es igual a 0,01 se le agrega un riesgo nuevo que puede ser expresado como: a)

un aumento en 0,04 unidades en la tasa instantánea de mortalidad.

b)

un aumento en 25% en la tasa instantánea de mortalidad. Encontrar para cada caso la probabilidad de que dicha persona sobreviva entre los 35 y 36 años teniendo en cuenta el riesgo nuevo.

c)

en qué porcentaje debería aumentar la tasa instantánea de mortalidad para obtener una probabilidad de sobrevivir entre los 35 y 36 años sea igual a 0,98.


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Ejercicio 14. Considerando que: n

∫ t ⋅ l(x + t) ⋅ µ(x + t)dt emf(x;0;n) =

0

n

∫ l(x + t) ⋅ µ(x + t)dt 0

Demostrar que:

T(x) − T(x + n) − n ⋅ l(x + n) d(x;0; n)

a)

emf(x;0;n) =

b)

L(x) – l(x+1) = emf ( x;0;1) ⋅ d ( x )

Ejercicio 15. Probar que: ec(x;n;m-n) =

T(x + n) − T(x + m) l(x)

Ejercicio 16. Conociendo: •

p(66;1) = 0,97784.

• m(66;0;1) = 0,0224082. Obtener ec(6;0;1). Ejercicio 17. Sean: •

p(7;1) = 0,9996301.

• ec(7;0;1) = 0,99981725. Obtener emf(7;0;1). Ejercicio 18. Demostrar que: l(x) ≥ L(x) ≥ l(x+1)

i(x;0;1) ≥ m(x;0;1) ≥ q(x;0;1)

Ejercicio 19. Dados los siguientes datos: •

ec(5;1;14) = 13,865.

•

p(5;1) = 0,99963.

•

ec(5;15;w-20) = 55,13518275.

• emf(5;0;1) = 0,50608. Hallar emf(5;0;w-5). Ejercicio 20. Siendo: i(x;0;t) =

t para 0 ≤ t < w-x w−x−t

Verificar que emf(x;0;1) = 0,5.


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Ejercicio 21. Demostrar que: d [q(x;0; t)] = p(x;t) ⋅ [µ(x + t) − µ(x)] dx

Ejercicio 22. Sabiendo que: •

emf(60;0;20) = 10.

•

d(58;2;20) = 50.

•

T(60) = 3000.

• T(80) = 1800. Determinar i(60;0;20). Ejercicio 23. Corroborar las leyes de congruencia del régimen financiero para el régimen biométrico: a)

i - d = i*d.

b)

i/d = 1+i.

c)

d/i = v = 1-d (v = factor de actualización financiero).

Ejercicio 24. Demostrar que: i(x;0;n) = i(x;0;n-1) * p-1(x+n-1;1) + i(x+n-1;0;1): Ejercicio 25. Supongamos una nueva tasa instantánea de mortalidad (µ’ (x)) que es igual al doble de la anterior. a)

Demostrar que q’(x;0;1) ≥ q(x;0;1).

b)

Demostrar que q’(x;0;1) = 2q(x;0;1) sólo cuando q(x;0;1) = 0.

Ejercicio 26. Considerando que: p(x;t) =

e −c*t

c>0

Se pide: a)

E[T(x)].

b)

VAR[T(x)].

c)

Mediana [T(x)].

Ejercicio 27. A partir de: •

emf(15;0;1) = 0,5.

•

m(15;0;1) =

Encontrar ec(15;0;1).

2 . 99

t>0


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Ejercicio 28. Siendo: •

−

d L(55) = 20. dx

• L(55) =110. Hallar m(55;0;1). Ejercicio 29. Dado: •

−

d L(37) = 50. dx

•

−

d T(38) = 1500. dx

• L(37) = 1480. Obtener ec(37;0;1). Ejercicio 30. Demostrar que: µ(x+1) * p(x;1) > µ(x) es condición suficiente pero no necesaria para que m(x;0;1) sea creciente. Ejercicio 31. Si:

d ec(57;0;1) = 0,01. dx

•

−

•

p(57;1) = 0,98.

• ec(57;0;1) = 0,995. Encontrar µ(57). Ejercicio 32. Siendo: • T(x) = k*e-0,02*x. Encontrar una expresión para µ(x) sin k.

Ejercicio 33. Si µ(x) =

A ⋅ Cx 1 + B ⋅ Cx

Obtener el modo de la distribución de la variable aleatoria “edad al fallecimiento” para un recién nacido. Ejercicio 34. Dado:

3 10 para 40 ≤ t < 100. − 100 − x 250 − x ¿A qué edad tiene mayor probabilidad de fallecer un recién nacido teniendo en cuanta la mortalidad dada?

µ(x) =

Ejercicio 35. Dado: q(0;x;1) =

3 x2 ⋅x − + 0, 01 para x= 0,1,2… …, w-1. 125 5000

Obtener el modo de la distribución de la variable aleatoria “edad al fallecimiento” para un recién nacido.


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Ejercicio 36. Sean: •

Mediana [T(76)] = 10.

•

q(77;0;9) = 4 9 .

•

−

d [ln(L(76))] = 2 19 . dx

Calcular ec(76;0;1). Ejercicio 37. Dado: •

emf (47;0;1) = 0,6.

•

m(47;0;1) = 0,01.

Hallar ec(47;0;1) sin hacer supuestos adicionales. Ejercicio 38. Obtener m(x;0;1), si: •

d  d  p(x; t) ⋅  ln ( T ( x + t ) )   dt   dx  

−1

  t2  = 1 w−x 

para 0 ≤ t < 1.

Ejercicio 39. Si: •

p(x;t) = 1 − 

t   w−x

2

para 0 ≤ t < w-x.

Obtener la varianza de la variable aleatoria “tiempo que media al fallecimiento” para una persona de 20 años si se sabe que le esperanza es igual a 30 (ambas inmediatas e ilimitadas). Ejercicio 40. Si: •

q(77;8;1) = 0,54.

•

E[T(75)] = 10,5.

•

E[T(76)] = 10.

•

E[T(77)] = 9,5.

Siendo T(x) la variable aleatoria tiempo que media al fallecimiento (tomada en forma abreviada, inmediata e ilimitada) se pide obtener el modo de dicha variable para la edad 75. Ejercicio 41. La media de la variable aleatoria “cantidad de personas de edad x que llegan con vida a la edad x+n” es igual a 80 y la probabilidad de que esto suceda es 0,07417315. ¿Cuál es la probabilidad de que sobreviva una persona más que el modo de dicha variable. Ejercicio 42. Responder a las siguientes preguntas conceptuales: a)

¿Cuál es el dominio de la variable aleatoria asociada a ec(x;h;n)?.

b)

Explique conceptualmente por qué e(x;0;n) =

n

∑ p(x; t) . t =1

c)

¿Cuál sería la expresión para el cálculo de la mediana de la variable aleatoria “cantidad de personas de edad x que llegarán con vida a la edad x+1”?

d)

Expresar emf(x;0;1) en forma discreta y abreviada.


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Ejercicio 43. Hallar µ(65) sabiendo que: d ec(65;10;5) = 0,048. • dx •

d ec(65;0;10) = 0,62. dn

•

d ec(65;0;10) = 0,0328. dx

•

Mediana [T(65)] = 15.

•

Edad Media al fallecimiento inmediata y limitada por 15 años para una persona de 65 años es igual a 77,1.

Ejercicio 44. Una persona está expuesta a un riesgo extra que se mide sobre la tasa instantánea de mortalidad x − 25 . La probabilidad de que una persona de sólo para las edades mayores a 25 y es igual a 2000 15 años, que no está expuesta al riesgo extra, fallezca en los próximos 50 años es 0,2. Calcular esta misma probabilidad para una persona que sí está expuesta al riesgo extra.


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T.P. N° 2: Introducción a los Modelos Biométricos X = edad al fallecimiento para un recién nacido.

Nota: en todos los casos considere, la variable aleatoria,

Ejercicio 1. Completar el siguiente cuadro expresando las funciones de las filas en función únicamente de las funciones de cada columna. f(x)

S(x)

F(x)

µ(x)

f(x) S(x) F(x) µ(x)

Ejercicio 2. Dado: f(t) =

1  t  1 −  200  100 

−1

2

para 0 ≤ t ≤ 100.

Se pide hallar: a)

S (75).

c)

F (64).

e)

VAR [X].

b)

µ (50).

d)

E [X].

f)

MED [X].

Ejercicio 3. Hallar el modo de la distribución de la variable aleatoria “Edad al fallecimiento para un recién nacido” sabiendo que la tasa instantánea presenta la forma lineal ax + b . Ejercicio 4. Se sabe que la probabilidad de que un recién nacido fallezca a partir de la edad “x” es igual a:

a ⋅ x2 + b

para 0 ≤ t ≤ w.

Hallar la mediana de la variable aleatoria “edad al fallecimiento para un recién nacido”, sabiendo que la media es 60. Ejercicio 5. Teniendo en cuenta que el tiempo que media al fallecimiento para una persona está distribuido uniformemente entre 1 y 11 años ¿Cuál es la media y el desvío estándar de la variable aleatoria tiempo que media al fallecimiento?. Ejercicio 6. Se sabe que la variable aleatoria “edad al fallecimiento para un recién nacido” tiene una función de densidad exponencial con parámetro igual a 0,0125; se pide: a)

µ (x).

c)

F (35).

e)

VAR [X].

b)

f (18).

d)

E [X].

f)

MED [X].

Ejercicio 7. Hallar expresiones no condicionadas para las siguientes funciones truncadas inferiormente: a)

f (x / X > Y).

c)

S (x / X > Y).

b)

F (x / X > Y).

d)

µ (x / X > Y).

e)

E [X / X > Y].


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Ejercicio 8. Obtener expresiones no condicionadas para las siguientes funciones truncadas superiormente: a)

f (x / X < z).

c)

S (x / X < z).

b)

F (x / X < z).

d)

µ (x / X < z).

e)

E [x / X < z].

Ejercicio 9. Expresar en forma no condicionada las siguientes funciones truncadas inferior y superiormente: a)

f (x / y < X < z).

c)

S (x / y < X < z).

b)

F (x / y < X < z).

d)

µ (x / y < X < z).

e)

E [x / y < X < z].

Ejercicio 10. Expresar en probabilidades condicionales, utilizando la variable aleatoria “X” edad al fallecimiento, las siguientes expresiones: a)

F (x / X > y).

c)

F (x / X < z).

e)

F (x / y < X < z).

b)

S (x / X > y).

d)

S (x / X < z).

f)

S (x / y < X < z).

Ejercicio 11. Dado: • Distribución exponencial de fallecidos. • λ = 0,015. Se pide hallar la mediana del tiempo que media al fallecimiento para un recién nacido que se sabe que fallecerá entre los 7 y 14 años. Ejercicio 12. Si:  x  F(x) =    100 

2

para 0 ≤ x ≤ 100.

Se pide hallar la media y varianza del tiempo que media al fallecimiento para una persona que se sabe sobrevivió hasta la mediana. Ejercicio 13. Hallar el modo de la distribución de la variable aleatoria “edad al fallecimiento no condicionada”: f (x) 1 = S(x) 1 + 2000 ⋅1, 08− x

Ejercicio 14. Relacionar el valor esperado de la variable aleatoria “edad al fallecimiento truncada inferior y superiormente” con una vida media completa de similares características y expresar una de ellas en función de la otra. Ejercicio 15. Se pide calcular E [X / 15 < X< k] sabiendo que: • Probabilidad [x < X < k/ 15 < X< k] = α - βx2. • Mediana [X /15 < X< k] = 60.


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T.P. N° 3: Supuestos Fraccionarios Ejercicio 1.

Completar el siguiente cuadro realizando las deducciones correspondientes: Función

D.U.F.

Balducci

Exponencial

q (x;0;t) d (x;0;t) p (x;t) p (x+t;1-t) q (x+t;0;1-t) l (x+t) d (x+t;0;1-t) q (x+t;0;1-s) L (x) µ (x+t) ec (x;0;w-x) m (x;0;1) d (x+t;0;1-s)

Ejercicio 2.

Conociendo que:

• q (x;0;1) = • i (62;0;1) =

µ(x + t) para 0 ≤ t ≤ 1. 1 + t ⋅ µ(x + t)

1 . 99

Obtener q (62,1;0;0,8). Ejercicio 3.

Sabiendo que:

• µ (x+t) =

i(x;0;1) 1 + t ⋅ i(x;0;1)

para 0 ≤ t ≤ 1.

Determinar qué supuesto se ha realizado. Ejercicio 4.

Analizar la función µ (x+t) para 0 ≤ t ≤ 1, bajo los supuestos de D.U.F. y Balducci:

• Graficar para q (x;0;1) = 0,01. Ejercicio 5.

Si ln[p(42+t;1-t)] = 0,002.(t-1) para 0 ≤ t ≤ 1, calcular:

a)

q (42;0;1).

b)

q (42,75;0;0,15).

c)

q (42+k;0; 3 8 ) siendo 0 ≤ k < 5 8 .


Ejercicio 6.

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Demostrar que l (x+t), asumiendo la hipótesis de Balducci, es una fórmula de interpolación lineal inversa:

 t 1  • l (x+t) =  + (1-t )  l(x)   l ( x + 1)

Ejercicio 7.

−1

A partir de:

• l (27+ 1 ) = 500. 6 • l (27+t) =

k3

(1 + t )

2

para 0 ≤ t ≤ 1.

Hallar l (27+ 5 ) sin obtener el valor de k. 6 Ejercicio 8.

Partiendo de:

• 1-p (63,2; 1 ) = 0,6.q (63,1;0; 2 ). 3 3 Encontrar C (constante) siendo: • q (63+k;0;0,1) = C para 0 ≤ k < 0,9. Ejercicio 9.

Sea:

• µ (12 + t) = 0,02 para 0 ≤ t ≤ 1. Hallar emf (12;0;1). Ejercicio 10. Dado: • p (23;1) = 0,97. •

d µ (x+t) < 0 para 0 ≤ t ≤ 1. dt

Se pide: emf (23;0;1). Ejercicio 11. Dado: • q (63,8;0;0,6) = 3 .q (63,6;0;0,8). 4 • L(63) =

−l(63) ⋅ 0,97 ⋅ ln(0,97) . 0, 03

Obtener q (64;0;1) si se supone Balducci. Ejercicio 12. Supongamos que µ (x+t) es una función lineal para 0 ≤ t ≤ 1.

(

)

1

4 • p (31; 1 ) =  p 31; 2  . 5  5 

• p (31;1) = e −0,3 . Hallar µ (31; 3 ). 4


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Ejercicio 13. Considerando los siguientes datos: • q (33;0; 1 ) = 0,2. 5 • q (33+t;0; 1 - t) es lineal para 0 ≤ t ≤ 1 . 5 5 Encontrar q (33;0;0,1). Ejercicio 14. Sean: • q (31+ 1 ;0; 5 ) = 0,02. 8 4 • q (31+t;0; 7 - t) es lineal para 0 ≤ t ≤ 7 . 8 8 Encontrar q (31;0; 1 ). 8 Ejercicio 15. A partir de los siguientes datos: • L (64) = 950. • d (64) = 100. • D.U.F. para 0 ≤ t ≤ 1. Hallar q (64;0;1) sin obtener l (64). Ejercicio 16. Si: • i (x;0;t) =

c⋅t para 0 ≤ t ≤ 1. 1− c ⋅ t

Calcular µ (x+ 1 ) en función de c. 2 Ejercicio 17. Dados: • Suponiendo D.U.F. para 0 ≤ t ≤ 1.  • m (50;0;1) = 0, 2 . Calcular q (50,2;0; 0,5). Ejercicio 18. Siendo: • l (30) = 500. • d (30) = 50. Calcular d (30,25;0; 1 ) si: 3 a) Suponemos D.U.F. para 0 ≤ t ≤ 1. b)

Suponemos Balducci para 0 ≤ t ≤ 1.

c)

Suponemos µ constante para 0 ≤ t ≤ 1.


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Ejercicio 19. Se tiene: • q (40;0; 1 ) = 0,01. 4 Hallar q (40+ 5 ;0; 1 ) para 0 ≤ t ≤ 1, suponiendo: 7 4 a) D.U.F.. b)

Balducci.

c)

µ constante.

Ejercicio 20. Suponiendo q(x;0;1) = 0,01, demostrar que q Balducci (x;0;t) ≥ q D.U.F. (x;0;t) para 0 ≤ t ≤ 1. Ejercicio 21. Si: • q (41;0;1) = 0,02. Hallar el valor de t que hace que la diferencia entre q(x;0;t) suponiendo Balducci y D.U.F. sea máxima para 0 ≤ t ≤ 1. Ejercicio 22. Se tiene: •

−

d l (44+t) = 100. dt

• m (44;0;1) = 0,02. Encontrar, para 0 ≤ t ≤ 1, l (44) suponiendo D.U.F.. Ejercicio 23. Si: • p (23;1) = 0,98. • q (23+t;0;1-t) = 0,001. Hallar el valor de t suponiendo D.U.F. (0 ≤ t ≤ 1). Ejercicio 24. Dados: • q (12+ t ;0;1-t) = 0,002. 2 • p (12;1) = 0,97. Calcular el valor de t suponiendo D.U.F. (0 ≤ t ≤ 1). Ejercicio 25. A partir de: • q (37+ s ;0; 1- s ) = 0,0015. 3 2 • µ (37+t) p(37+t;1-t) = 0,011. Se pide el valor de s suponiendo Balducci. Ejercicio 26. Se tiene: • µ (37,4) = 0,0015. Obtener: a) q (37,4;0;0,5) si se supone D.U.F.. b)

q (37,3;0;0,1) si se supone Balducci.

(0 ≤ t ≤ 1)


17

Ejercicio 27. Deducir una expresión compacta para L(x) sabiendo que se tiene una tabla de mortalidad con edades cada medio año; aplique distribución uniforme cuando lo considere necesario. Ejercicio 28. Se sabe que: • l (x) varía en forma exponencial con un exponente lineal. • m (x;0;3) = 0,03. Hallar q(x;0;3). Ejercicio 29. Demostrar que q (x;h;t) no es función de h bajo la hipótesis D.U.F. para todo h+t entre 0 y1. Ejercicio 30. Dados los siguientes datos: • p (31; 4 ) = 0,95. 5 • q (31; 2 ; 3 ) = 0,0395. 5 5 • q (31+ 4 ;0; 1 ) = 0,01. 5 5 Hallar ec (31;0;1) con la mayor exactitud posible aplicando distribución uniforme de fallecidos cuando lo considere necesario.


18

T.P. N° 4: Diagrama de Lexis Ejercicio 1.

Se tienen los siguientes datos:

a)

Edad al 1/1/97 34+ 3 4 y fallece el 1/7/98.

b)

Edad al 1/1/97 34+ 3 4 y egresa el 1/1/99.

c)

Edad al 1/1/97 35+ 1 2 y se va el 1/10/98.

d)

Edad al 1/1/97 35+ 1 2 y fallece el 1/10/99.

e)

Ingresa el 1/7/98 con 35+ 1 2 y fallece el 1/10/98.

f)

Ingresa el 1/7/98 con 36+ 1 4 y fallece el 1/10/99.

g)

Ingresa el 1/7/98 con 36 y egresa el 1/7/99.

h)

Ingresa el 1/1/99 con 36+ 3 4 y muere el 1/10/99.

Graficar en un Diagrama de Lexis. Ejercicio 2.

En una compañía de seguros se desea analizar el período que va desde el 1/1/96 al 1/1/98 y las edades en cuestión son 41 y 42 años, por otro lado, se poseen los siguientes datos de los asegurados:

a)

100 personas el 1/1/97 con 40 + 2 3 .

b)

50 personas el 1/1/96 con 41 + 1 3 (mueren todos el día de su cumpleaños a la misma edad).

c)

50 personas el 1/1/96 con 42 + 1 3 .

Ingresos: d)

10 personas el 1/7/96 con 41.

e)

30 personas el 1/5/96 con 41 + 2 3 .

f)

10 personas el 1/9/97 con 41 + 2 3 .

g)

20 personas el 1/5/96 con 42 + 1 3 .

h)


Egresos: i)


j)

10 personas el 1/1/97 con 42 + 1 3 . Fallecimientos:

k)


l)

10 personas el 1/9/97 con 41 + 1 3 .


19

m)

20 personas el 1/5/97 con 42 + 2 3 .

n)

50 personas el 1/5/97 con 43 + 2 3 .

o)

20 personas el 1/5/97 con 43 + 1 3 .

Existentes al 1/1/98: p)

20 personas con 41 + 1 3 .

q)


r)

10 personas con 42.

s)


Se pide: a)

Detallar el comportamiento de cada asegurado de acuerdo a los datos que se poseen.

Ejemplo: 20 personas con 41 años ingresaron el 1/9/97 y llegaron con vida al 1/1/98 con 41 + 1 3 . b)

¿Cuánta gente asegurada (con vida) existe al 1/9/97?

Ejercicio 3.

Dados:

• V (1;40;1/1/98;1/1/99) = 34.638. • M (3;39;40;1/1/98;1/1/99) = 100. • V (2;1/1/98;39;40) = 34.678. • V (2;1/1/97;38;39) = 34.900. • V (2;1/1/98;38;39) = 27.850. • V (2;1/1/99;38;39) = 24.800. • V (1;38;1/1/97;1/1/98) = 28.000. • E (39;40; 1/1/97;1/1/98;1/1/57;1/1/58) = 48. • E (38;39; 1/1/96;1/1/97;1/1/57;1/1/58) = 100. • E (38;39; 1/1/98;1/1/99;1/1/60;1/1/61) = 200. Se pide: a)

M (1;38;39;1/1/58;1/1/59).

b)

M (2;1/1/59;1/1/60;1/1/98;1/1/99).

c)

V (2; 1/1/99;39;40).

d)

q (38;39;1/1/58;1/1/59).

e)

q (38;39;1/1/59;1/1/60).

f)

q (39;40;1/1/58;1/1/59).

g)

¿Cuál es la probabilidad de que un integrante de V (1;38;1/1/96;1/1/97) llegue con vida a los 40 años?


Ejercicio 4.

20

Sean los siguientes datos:

Cumpleaños: a)

5.000 cumplen 50 años en 1996.

b)


c)


Censos: d)

1/1/99: 3.960 entre 50 y 51 años.

e)

1/1/98: 4.863 entre 51 y 52 años.

Defunciones: Entre 50 y 51: f)

entre 1/1/98 y 1/1/99 fallecieron 40 que nacieron entre 1/1/47 y 1/1/48.

g)


h)

entre 1/1/96 y 1/1/97 fallecieron 50 que nacieron entre 1/1/45 y 1/1/46. Entre 51 y 52:

i)


j)

entre 1/1/97 y 1/1/98 fallecieron 28 que nacieron entre 1/1/45 y 1/1/46. Se pide:

a)

población que cumple 52 años durante 1998.

b)

cantidad de defunciones entre las edades 51 y 52 durante 1998.

c)

q (51;52;1/1/46;1/1/47).


21

T.P. N° 5: Modelos de Decremento Múltiple Ejercicio 1.

Sean las siguientes probabilidades independientes: x

q’(x;0;1;1)

q’(x;0;1;2)

50

0,10

0,15

51

0,20

0,05

52

0,25

0,20

Se pide completar la siguiente tabla de decremento múltiple usando el método de las tasas centrales. Detallar los supuestos que se van utilizando.

x

l (x;T)

50

1.000.000

q (x;0;1;1)

q (x;0;1;2)

d (x;1)

d (x;2)

d (x;T)

51 52 53

Ejercicio 2.

Dado: x

µ(x;1)

µ(x;2)

µ(x;3)

32

0,01

0,05

0,02

33

0,02

0,07

0,05

Completar la siguiente tabla de decremento múltiple si se supone: µ(x+t;k) = µ(x;k) para 0 ≤ t ≤ 1. x

l (x;T)

32

1.000.000

q (1)

q (2)

q (3)

d (x;1)

d (x;2)

d (x;3)

d (x;T)

33 34 Nota: q (k) = q (x;0;1;k). Ejercicio 3.

A partir de los siguientes datos: x

m’(x;0;1;1)

28

2

29

2

99

199

m’(x;0;1;2) 2 2

49 39

m’(x;0;1;3) 6 2

97 19

Hallar q (x;0;1;k) para k=1,2,3; x=28,29; si se supone D.U.F. en T.D.U. asociada a T.D.M..


Ejercicio 4.

22

Si q’ (k) = q’ (x;0;1;k), q (k) = q (x;0;1;k) y sabemos que:

•

q’ (1) + q’ (2) + q’ (3) = 0,06.

•

q’ (1) . q’ (2) + q’ (1) . q’ (3) + q’ (2) . q’ (3) = 0,0011.

•

q’ (1) . q’ (2) . q’ (3) = 0,000006.

•

q (1) + q (2) = 0,0295.

Se pide encontrar q (3) sin hacer supuestos (k = 1, 2, 3). Ejercicio 5.

Si:

•

m (x;0;1;T) = 0,3.

•

p’ (x;1;2) = 0,9.

Obtener q’ (x;0;1;1) si, para k = 1, 2, se supone: a)

D.U.F. en T.D.M..

b)

D.U.F. en T.D.U. asociada a T.D.M..

Ejercicio 6. Dados: •

m’ (x;0;1;1) = 2

•

m’ (x;0;1;2) = 2

•

q (x;0;1;3) = 0,029552.

199 99

.

.

k = 1, 2, 3.

Calcular q’ (x;0;1;3) si se supone D.U.F. en T.D.U. asociada a T.D.M.. Ejercicio 7. Sean: •

q’ (x;0;1;1) = 0,01.

•

m’ (x;0;1;2) = 0,019602.

•

q (x;0;1;3) = 0,029552.

k = 1, 2, 3.

Se pide calcular q (x;0;1;1) utilizando el método de las tasas centrales sin tener en cuenta el ajuste. Ejercicio 8. Se tiene: •

l (42;T) = 10.000.

•

q (42;0;1;2) = q (44;0;1;1) .

•

q (42;2;1;T) = 0,1995.

•

q (44;0;1;2) = q (42;0;1;1) .

•

q (43;1;1;T) = 0,285.

Hallar l (45;T). Ejercicio 9. Se conoce que: •

p (32;6;T) = 0,285.

•

l (32;T) = 1.000.000.

•

µ (32 + t;T) = 0,06187540372 para 0 ≤ t ≤ 1.

•

q (32;1;1;T) = 0,141.

•

q (34;2;1;T) = 0,18.

•

q (34;2;2;T) = 0,45.

Se pide l (37;T).

k = 1, 2.


23

Ejercicio 10. Si: x

q (x;0;1;1)

q (x;0;1;2)

29

0,01

0,05

30

0,02

0,06

Hallar q’ (x;0;1;k) para k = 1, 2 y x = 29, 30, suponiendo D.U.F. en T.D.M.. Ejercicio 11. Sabiendo que: • µ (x;1) =

1 100 − x

para 0 ≤ x ≤ 100; k = 1, 2.

• p’ (0;x;2) = e − x . Verificar que: a)

q (x;0;1;1) =

1 − e −1 . 100 − x

b)

q (x;0;1;2) =

99 − x − e −1 (98 − x) . 100 − x


q’ (x;0;1;4) = 0,02.

•

q (x;0;1;4) = 0,018.

Si se supone que se aplicó el método de las tasas centrales, hallar q (x;0;1;T), la cual representa la suma de las q (x;0;1;k) no ajustadas todavía. Ejercicio 13. Demostrar que bajo el supuesto de D.U.F. en T.D.U. asociada a T.D.M.: m

m

k =1

k =1

1 − ∏ p '(x;1; k) = ∑ q(x;0;1; k) .

Hallar el desarrollo para m = 3. Ejercicio 14. Dado: •

q’ (x;0;1;3) = 0,02.

•

q (x;0;1;T) = 0,09.

Suponiendo que se aplicó el método de las tasas centrales, calcular q (x;0;1;3) sin tener en cuenta el ajuste final. Ejercicio 15. Si se sabe: •

m (x;0;1;T) = 0,1.

•

q (x;0;1;3) = 0,02.

Suponiendo D.U.F. en T.D.M. calcular q’ (x;0;1;3).


24

Ejercicio 16. La probabilidad de que una persona de edad x sea eliminada por la causa k entre las edades x y x+1 es igual a 0,03, y la probabilidad de ser eliminado por cualquier causa que no sea k es 0,08 para la misma persona e igual plazo. Responder: ¿Cuál es la probabilidad independiente de ser eliminado por la causa k, si se trabajó con el método de las tasas centrales, sin realizar el ajuste final? Ejercicio 17. Sea: • µ (27,1;1) = 0,01. • µ (27,2;2) = 0,03.

k = 1, 2, 3.

• µ (27,3;3) = 0,05. Hallar q (27;0;1;T) suponiendo D.U.F. en T.D.U. asociada a T.D.M.. Ejercicio 18. Si se sabe que: • µ (31,1;3) = 0,01. • µ (31,2;2) = 0,03.

k = 1, 2, 3.

• µ (31,3;3) = 0,05. Suponiendo D.U.F. en T.D.M., calcular q (31;0;1;T). Ejercicio 19. Dado que: •

q (27;1;1;1) = 0,0279.

•

l (27;T) = 10.000.

•

10 q (28;0;1;1) + q (28;0;1;2) + 10 q (28;0;1;3) = 0,6.

•

q (27;0;1;1) = q (27;0;1;3).

•

30 q (27;0;1;1) + 10 q (27;0;1;2) + 20 q (27;0;1;3) = 1.

•

2 [ q (28;0;1;2) + q (28;0;1;3) ] = 0,24.

•

q (27;0;1;T) = 0,5 [ q (28;0;1;T) – 0,01 ].

•

q (28;0;1;1) = 0,03.

Se pide sin hacer supuestos: a)

l (29;T).

b)

d (28;0;1;3).

c)

d (27;0;1;2).


m’ (x;0;1;1) + m’ (x;0;1;2) = 0,03.

•

m’ (x;0;1;1) . m’ (x;0;1;2) = 0,0002.

•

q (x;0;1;3) = 0,04.

k = 1, 2, 3.

Suponiendo D.U.F. en T.D.U. asociada a T.D.M., calcular q (x;0;1;T).


25

Ejercicio 21. Partiendo de: • m’ (x;0;1;1) = 0,02. • m (x;0;1;2) = 0,035. • µ (x+0,1;3) = 0,045. Si se supone que µ(x+t;k) = µ(x;k) para 0 ≤ t ≤ 1, calcular q (x;0;1;T). Ejercicio 22. Demostrar que bajo el supuesto de D.U.F. en T.D.M.: m

m

k =1

k =1

1 − ∏ p '(x;1; k) = ∑ q(x;0;1; k) . Ejercicio 23. Si se sabe que: • µ (37+t;1) = 0,01. • µ (37+t;2) = 0,02. • µ (37+t;3) = 0,03. Se pide: a)

f (2;2).

b)

h (2).

c)

g (5).

d)

f (t;j).

e)

h (j).

f)

g (t).

Ejercicio 24. Si tenemos que: • µ (x+t;j) =

j para j = 1, 2, 3 y 0 ≤ t ≤ 44. 44 − t

Obtener: a)

h ( j / T = t).

b)

g ( t / J = j).

Ejercicio 25. Sea: • µ (x+t;j) = 2 j−32 para j = 1… 25. Se pide, hallar ec (x;0;w-x;T).

j = 1, 2, 3; t ≥ 0.


26

Ejercicio 26. Sabiendo que: • f (t;1) =

10 − t 90

• f (t;2) =

10 − t 270

• f (t;3) =

10 − t 540

0 ≤ t ≤ 10.

• f (t;4) =

10 − t 900

j = 1, 2, ….., m.

• f (t;5) =

10 − t 1350

Se pide: a)

h (j).

b)

Cantidad de causas de eliminación que existen.

Ejercicio 27. Dadas las siguientes probabilidades de eliminación de una T.D.M.: x

Jubilación

Fallecimiento

Renuncia

45

0,05

0,04

0,15

46

0,10

0,06

0,10

47

0,15

0,08

0,05

48

0,90

0,10

0

Calcular: a)

Número esperado de renuncias y su varianza durante los cuatro años, l (45) = 1.000.

b)

Justificar práctica y teóricamente por qué la varianza del número de personas que no renunciarán será igual a la calculada en el punto a).

Ejercicio 28. Se tiene: x

Fallecimiento

Invalidez

Enfermedad

37

0,05

0,10

0,01

38

0,10

0,09

0,05

39

0,15

0,08

0,10

40

0,20

0,07

0,15

Responder: a)

Cantidad esperada de personas que no serán eliminadas por ninguna causa durante los cuatro años, y su varianza. Sabiendo que l (37) = 1.000.

b)

Cantidad de gente que se espera que no sea eliminada por las causas de invalidez y de enfermedad durante los cuatro años, calcular también su varianza.

c)

Si se sabe que una persona de 37 años será eliminada por alguna causa durante el corriente año, ¿qué probabilidad tiene de ser eliminada por la causa fallecimiento durante el mismo año?


27

Ejercicio 29. Dada la tabla del ejercicio anterior, se pide: a)

Sabiendo que una persona de 37 años fallecerá entre los 37 y 41 años, hallar la probabilidad de que esto ocurra entre los 39 y 40.

b)

Teniendo en cuenta el punto a), hallar la edad esperada al fallecimiento y su varianza (tomando la variable aleatoria en forma abreviada.

Ejercicio 30. Dada la siguiente tabla de decremento múltiple: x

Invalidez

Fallecimiento

Retiro

35

0,01

0,05

0,02

36

0,02

0,10

0,04

37

0,03

0,15

0,06

38

0,04

0,20

0,08

a)

Sabiendo que l (35) = 10, ¿Cuál es la probabilidad de que 6 personas fallezcan entre los 36 y los 38 años?.

b)

Sabiendo que una persona de 35 será eliminada entre los 36 y los 38 años, ¿Cuál es la probabilidad que sea por invalidez?.

c)

Se sabe que un asegurado de 35 años no se retirará y que no sobrevivirá a todas las causas más de 4 años. ¿A qué edad se espera que dicha persona sea eliminada, y cuál es su varianza (abreviada)?.

d)

Sabiendo que una persona de 35 será eliminada por invalidez, entre los 35 y los 38 años. Hallar la media, mediana, modo y varianza de la variable aleatoria tiempo que media a la invalidez (condicionada) tomada en forma abreviada.

Ejercicio 31. Si: • µ (36,1;1) = 0,01. • q (36;0;1;2) = 0,03.

Obtener m (36;0;1;T) si se supone D.U.F. en T.D.U.. Ejercicio 32. Dados los siguientes datos: • ec (41;0;1;T) = 0,98. • µ (41,1;1) = 0,01.

Obtener µ (41,5;2) si se supone distribución uniforme de eliminados en la tabla de decremento única asociada a la tabla de decremento múltiple correspondiente (k = 1, 2). Ejercicio 33. Para el ejercicio 24), hallar la esperanza matemática de la variable aleatoria condicionada “tiempo que media a la eliminación”, sabiendo que una persona será eliminada por una causa “j”. Ejercicio 34. Demostrar que bajo el método del puente de las tasas centrales se cumple: a)

q (x;0;1;j) =

q '(x; 0;1; j) ⋅ 1 − 1 q ( x; 0;1;T )   2 . 1 − 1 q ' ( x; 0;1; j) 2

b)

q’ (x;0;1;j) =

q(x; 0;1; j) . 1 1−  q x; 0;1; T ) − q ( x; 0;1; j)  2 (


28

Ejercicio 35. Dado que: a)

q(x;0;1;1) = 0,01 y que µ (x+t;1) es constante entre x y x+1. ec ( x;0;1;T )

b)

q’ (x;0;1;2) = 0,02 y se distribuye uniformemente entre las edades x y x+1.

Hallar q (x;0;1;2). Ejercicio 36. En un modelo con 2 causas de eliminación se sabe que: a)

q’ (x;0;1;1) = 0,2

Los decrementos ocurren en sólo 2 momentos al año: dos tercios de los mismos ocurren en t = 0,25, y el restante tercio en t = 0,8.

b)

q’ (x;0;1;2) = 0,1

Se supone distribución uniforme en tabla de decremento única asociada a una tabla de decremento múltiple.

Hallar q (x;0;1;1). Ejercicio 37. Dado un modelo con 3 causas de eliminación en el cual: • µ (x+t;j) = j/150. Se pide, hallar la media y varianza de la variable aleatoria tiempo que media a la eliminación, sabiendo que la persona será eliminada por la causa 3. Ejercicio 38. En un modelo con 2 causas de eliminación se sabe que: a)

q’ (x;0;1;1) = 0,2

Se supone distribución uniforme en tabla de decremento única asociada a una tabla de decremento múltiple.

b)

q’ (x;0;1;2) = 0,25

Un sexto de los decrementos ocurren en t = 0,1; la mitad de los decrementos se distribuye uniformemente entre t = 1 3 y t = 2 3 , y por último, los decrementos restantes se producen en t = 0,8.

Hallar q (x;0;1;2). Ejercicio 39. En un modelo con dos causas de eliminación se sabe que: • m (x;0;1;T) = 0,03. • la causa de eliminación “1” se distribuye uniformemente en la T.D.U.. • µ (x+t;2) = 0,01 para todo t entre 0 y 1. Se pide, hallar q (x;0;1;2).


29

T.P. N° 6: Modelos de Invalidez SIN Rehabilitación Ejercicio 1.

Sean las siguientes probabilidades independientes: x

q’(x;0;1;a)

r’(x;0;1)

q’(x;0;1;i)

30

0,01

0,001

0,10

31

0,02

0,002

0,15

32

0,03

0,003

0,20

Completar la siguiente tabla utilizando D.U.E.. x

l (x;aa)

l (x;i)

30

1.000.000

1.000

i (x;x+1)

d (x;aa)

d (x;ai)

d (x;ii)

d (x;T)

31 32 33

Ejercicio 2. Dado: • •

q (30+t;0;1;aa) = 0,10 + t . 0,05. q (30+t;0;1;i) = 0,15 + t . 0,05.

•

r (30+t;0;1) = 0,005 + t . 0,001.

t = 0, 1, 2, 3.

Se pide: a)

Hallar las matrices de transición para las edades 30, 31, 32 y 33.

b)

Utilizando las matrices obtenidas en el punto anterior determinar cantidad de defunciones entre los 30 y los 34 años, y la población activa e inválida a los 34 años si se sabe que a los 30 años había 1.000.000 de activos y 1.000 inválidos.

Ejercicio 3. Partiendo de: •

q (35+t;0;1;aa) = 0,2.

•

r (35+t;0;1) = 0,05.

•

q (35+t;0;1;i) = 0,2.

•

con 40 años existen 56.313,5147095 personas activas.

•

con 40 años existen 45.494,6343472 personas inválidas.

•

entre los 30 y 40 años fallecieron entre los 35 y 40 años.

t = 0, 1, 2, 3, 4.

Calcular la cantidad de gente que falleció entre los 35 y los 40 años. Ejercicio 4. Se sabe que el 80% de la población total es activa; por otro lado, que si una persona a la edad x era activa, la probabilidad de llegar con vida en cualquier estado hasta la edad x+1 es igual a 0,9, y por último que la probabilidad independiente de fallecer de una persona inválida es igual a 0,15. Calcular cuál es la probabilidad de que una persona sobreviva entre x y x+1 sin tener en cuenta el estado original y final de la persona.


30

Ejercicio 5. Demostrar que: q (x;0;1;i) > q (x;0;1) > q (x;0;1;a) Sabiendo que q (x;0;1;i) > q (x;0;1;a). Ejercicio 6. Si: • µa (x+t) = 0,01. • µr (x+t) = 0,005. • µi (x+t) = 0,02. Obtener: a)

q (x;0;1;ai) sin hacer supuestos adicionales.

b)

q (x;0;1;aa).

c)

r (x;0;1)


p (31;1;ai) = 0,00730213.

•

q (31;0;1;i) = 0,12.

•

q (30;0;1;aa) = 0,02991.

•

q (30;0;1;ai) = 0,00031105.

•

p (30;1;aa) = 0,96418.

Hallar el valor de p (30;2;ai). Ejercicio 8. Sabiendo que: •

l (38;ai) = 4.736,8421.

•

l (38;aa) = 945.000.

•

l (37;aa) = 1.000.000.

•

l (39;aa) = 872.235.

•

q (38;0;1;i) = 0,13.

•

q (39;0;1;i) = 0,16.

•

p (37;3;ai) = 0,0157993.

Se pide calcular p (38;1;ai). Ejercicio 9. Si: •

q (x;0;1;ai) = 0,0004054.

•

p (x;1;aa) = 0,895.

•

q (x;0;1;aa) = 0,1.

•

q (x+1;0;1;ai) = 0,000666.

•

q (x+1;0;1;i) = 0,2.

Obtener q (x;0;2;ai).

para 0 ≤ t ≤ 1.


31

Ejercicio 10. Demostrar que: p (x;1;ai) =

l(x + 1;i) − l(x;i) ⋅ p(x;1;i) . l(x;aa)

Ejercicio 11. Se tienen los siguientes datos: a)

De la cantidad de personas que originalmente eran inválidos a los 35 años, fallecieron 300 entre los 35 y los 45 años.

b)

Existen 500.000 personas activas con 35 años.

c)

La probabilidad de que un activo de 35 años se invalide y finalmente fallezca entre los 35 y los 45 años es igual a 0,005.

Hallar el número de personas que fallecieron inválidas entre los 35 y los 45 años. Ejercicio 12. Dado: x

Activos

r’(x;0;1)

q’(x;0;1;i)

38

1.000.000

1.000

0

 45.244, 4  69.528,8

 205.755, 5

39

?

40

?

•

p (38;1;ai) = p (39;1;ai).

•

p (38;1;i) = p (39;1;i).

?

Se pide: a)

l (39;ai).

b)

l (39;ii).

c)

q (38;0;1;i).

Ejercicio 13. Tomando los datos del ejercicio 1, calcular: a)

número esperado de activos que se invalidan entre las edades 30 y 33.

b)

su varianza.


q (40;0;4;ai) = 0,0075498.

•

q (40;0;4;i) = 0,467247.

•

l (40;aa) = 1.000.000.

•

l (44;aa) = 690.791,803.

•

l (44;i) = 21.067,6066.

•

l (40;i) = 1.000. 3

Obtener

∑ d ( 40 + t, 40 + t + 1;aa ) . t =0


32

Ejercicio 15. Dadas estas condiciones: 1)

Simetría en el cálculo.

2)

q (x;0;1;aa) + r (x;0;1) = 1- [1- r’ (x;0;1) ] [1- q’ (x;0;1;a) ].

3)

Si q’ (x;0;1;a) = q (x;0;1;i) => q’ (x;0;1;a) = q (x;0;1;i) = q (x;0;1). Verificar el siguiente cuadro haciendo las demostraciones correspondientes.

3° Condición

Condición

1° Condición Activos

Método

2° Condición Activos D.U.E.

Balducci

D.U.E. en T.D.U.

Se Cumple

Se Cumple

Se Cumple

No Se Cumple

Determinantes

Se Cumple

No Se Cumple

No Se Cumple

Se Cumple

µ Constante

Se Cumple

Se Cumple

Tasas Centrales

Se Cumple

No Se Cumple

Se Cumple Sin Supuestos Se Cumple

No Se Cumple

Los métodos de determinantes y tasas centrales están tomados sin el ajuste final que se les realiza a las probabilidades dependientes. Ejercicio 16. Sabiendo que: •

q’ (48;0;1;a) = 0,01.

•

r’ (48;0;1) = 0,001.

•

q (49;0;1;aa) + r (49;0;1) = 0,02.

•

l (x;aa) = 10.000.

Las tasas instantáneas de eliminación de la población de activos son constantes entre los 48 y los 49: a)

¿Cuál es la probabilidad de no fallecer como activo entre los 48 y los 49 años?.

b)

¿Cuál será la población esperada de activos a los 50 años? ¿y su varianza?.

Ejercicio 17. Completar con ≥, ≤, = y justificar. a)

p (x;1;ai) …….. r (x;0;1).

b)

q (x;0;1;ai) + p (x;1;ai) q (x+1;0;w-x-1;i) …….. r (x;0;1) - p (x;1;ai) p (x+1;w-x-1;i). n −1

∑ d ( x + t;0;1;ai ) t =0

c)

q (x;0;n;ai) ……..

d)

l (x;i) p (x;n;i) …….. l (x+n;ii).

e)

q (x;0;n;ai) ……..

.

l(x;aa)

n



n −s



∑ p ( x;s − 1;aa ) ⋅ q ( x + s − 1;0;1;ai ) + p ( x + s − 1;1;ai ) ⋅ ∑ q ( x + s; t − 1;1;i ) . s 1 =t 1

f)

1- q (x;n-1;1;ai) …….. p (x;n;aa) + q (x;0;n;aa) + p (x;n;ai).

g)

q (x;0;w-x; i) …….. q (x;0;w-x;ai) + p (x;w-x;ai).

h)

l (x;i) q (x;n-1;1;i) …….. d (x+n-1,x+n,ii).


33


q’ (x;0;1;a) = 0,1.

•

m’ (x;0;1;i) = 0,2.

•

l (x;aa) = 10.000.

•

l (x;i) = 100.

•

La tasa central de mortalidad de ser eliminado por cualquier causa de la población de activos entre x y x+1 es 0,3.

Calcular el número esperado de sobrevivientes inválidos a la edad x+1 y su varianza. Suponga distribución uniforme de eliminados en las tablas de decremento únicas de ambas poblaciones. Ejercicio 19. Dado que la: •

probabilidad de que una persona de edad x activa no fallezca inválida entre las edades x+n-1 y x+n es igual a 0,99.

•

probabilidad de que una persona de edad x activa no fallezca en los próximos n años es igual a 0,8.

•

probabilidad de que una persona de edad x activa no se invalide, ni sobreviva como activa en los próximos n años es igual a 0,18.

¿Cuál es la probabilidad de que una persona de edad x activa muera inválida en los próximos n-1 años?. Ejercicio 20. Sabiendo que una persona activa de edad 40 fallecerá como inválida en los próximos 10 años; se pide, calcular la probabilidad de que esto no suceda en el mismo año en que la persona se invalida. •

q (x;0;1;aa) = 0,01.

•

q (x;0;1;i) = 0,04.

•

r (x;0;1) = 0,02.

•

p (x;1;ai) = 0,0196.

•

constantes para toda edad x entre 40 y 49 años (ambos inclusive).

Ejercicio 21. Dada la siguiente información: •

µr (x+t) = 0,1

para 0 ≤ t ≤ 1.

•

para 0 ≤ t ≤ 1.

•

q’ (x;0;t;a) = t.0,2  m (x;0;1;i) = 0, 2 .

•

l (x;aa) = 5.

•

l (x;i) = 2.

•

Se supone D.U.F. en la población de inválidos entre x y x+1.

a)

Hallar la probabilidad de que existan 3 personas vivas con edad x+1 entre las 2 poblaciones.

b)

Hallar la probabilidad de que existan 2 personas inválidas vivas con edad x+1.

Ejercicio 22. Explicar en qué difieren los términos de la desigualdad y completar para que se cumpla la igualdad. 1- q (x;h;n;aa) - q (x;h;n+1;ai) ≠ q (x;0;h;aa) + q (x;0;h;aa) + q (x;0;h;ai) + p (x;h+n;ai) p (x+h+n;1;i) + p (x;h+n;aa).


34

T.P. N° 7: Modelos de Invalidez CON Rehabilitación Ejercicio 1.

Dadas las siguientes probabilidades independientes: x

Q’(x;0;1;a)

R’(x;0;1;a)

Q’(x;0;1;i)

R’(x;0;1;i)

55

0,02

0,005

0,15

0,10

56

0,04

0,007

0,18

0,15

57

0,03

0,009

0,21

0,20

D (x;aa)

D (x;ai)

Completar la siguiente tabla suponiendo D.U.E.. x

L (x;a)

L (x;i)

55

1.000.000

1.000

I (x;x+1)

B (x;x+1)

D (x;ii)

56 57 58

Ejercicio 2. Dado: • •

Q (37+t;0;1;aa) = 0,05 + t . 0,02. Q (37+t;0;1;ii) = 0,10 + t . 0,02.

•

R (37+t;0;1;a) = 0,01 + t . 0,01.

•

R (37+t;0;1;i) = 0,15 + t . 0,01.

t = 0, 1, 2.

Obtener: a)

matrices de transición para las edades 37, 38 y 39.

b)

cantidad de activos e inválidos a los 40 años.

c)

cantidad de fallecidos activos entre los 37 y los 40 años.

d)

cantidad de fallecidos inválidos entre los 37 y los 40 años.

Tener en cuenta que a los 37 años existían 1.000.000 de activos y 1.000 inválidos (usar D.U.E.). Ejercicio 3. Si: •

Q (40+t;0;1;aa) = 0,1.

•

Q (40+t;0;1;ii) = 0,26.

•

R (40+t;0;1;a) = 0,13.

•

R (40+t;0;1;i) = 0,05.

•

con 45 años existen 185.783,804 activos y 124.021,6824 inválidos.

•

entre los 38 y los 45 años fallecieron 375.619,6981 activos.

•

entre los 38 y los 45 años fallecieron 315.574,8155 inválidos.

•

emplear D.U.E..

t = 0, 1, 2, 3, 4.

Calcular el número de activos e inválidos que fallecieron entre los 38 y los 40 años.

D (x;ia)


35

Ejercicio 4. Dados: •

A la edad x la población de inválidos es el 70% de la población total.

•

La probabilidad de fallecer entre las edades x y x+1 para una persona que a la edad x era activa y luego fallece en cualquiera de los 2 estados es igual a 0,02.

•

La probabilidad de fallecer entre las edades x y x+1 para una persona que a la edad x era inválida y luego fallece en cualquiera de los 2 estados es igual a 0,05.

Hallar la probabilidad de fallecer en esta población independientemente del estado inicial y final de la persona. Ejercicio 5. Demostrar que: Q (x;0;1;ii) + Q (x;0;1;ia) > q (x;0;1) > Q (x;0;1;aa) + Q (x;0;1;ai) Sabiendo que Q (x;0;1;ii) + Q (x;0;1;ia) > Q (x;0;1;aa) + Q (x;0;1;ai). Ejercicio 6. Siendo: •

Q (45;0;1;ai) = 0,00057473.

•

L (45;a) = 1.000.000.

•

L (46;a) = 940.146,134.

•

Q (46;0;1;ai) = 0,00140555.

•

Q (46;0;1;ii) = 0,12.

•

P (45;1;ai) = 0,00942527.

•

L (46;ia) = 146,134.

Encontrar el número de personas que eran activas a los 45 años y fallecieron inválidas entre los 45 y 47 años. Ejercicio 7. Si: x

P (x;1;aa)

P (x;1;ai)

45

0,97

0,00942527

46

0,91

0,02809172

47

0,85

P (x;1;ia)

P (x;1;ii)

0,14528602

0,74

0,16079959

Calcular la probabilidad de que una persona activa de 45 años se encuentre viva y activa a los 48 años. Ejercicio 8. Partiendo de: • •

A la edad x existen 300.000 activos y 1.000 inválidos. da (x+t) = 10.000 - t.500.

•

di (x+t) = 30.000 - t.1.500.

En cuánto tiempo se extinguirá la población total si: a)

da: es la cantidad de personas que fallecen activas entre las edades x+t y x+t+1. di: es la cantidad de personas que fallecen inválidas entre las edades x+t y x+t+1. t = 0, 1, 2, …..

b)

da: es la cantidad de personas que fallecen activas al momento x+t. di: es la cantidad de personas que fallecen inválidas al momento x+t. t ≥ 0.


36

Ejercicio 9. Se tiene: •

R (x;0;1;a) = 0,01.

•

L (x;a) = 100.000.

•

B (x,x+1) = 200.

Calcular el valor que tomaría r (x;0;1) en un modelo de invalidez sin rehabilitación equivalente sabiendo que: • L (x;a) = l (x;aa). •

L (x;i) = l (x;i).

•

Q’ (x;0;1;a) = q’ (x;0;1;a).

•

Q’ (x;0;1;i) = q’ (x;0;1;i).

•

L (x+1;a) = l (x+1;aa).

•

Se supone D.U.E. en ambos modelos.

Ejercicio 10. En un modelo de invalidez sin rehabilitación se tiene: •

q’ (x;0;1;a) = 0,15.

•

r’ (x;0;1) = 0,01.

•

la población de inválidos es la mitad que la de activos.

Calcular el valor que tomaría R (x;0;1;i) en un modelo de invalidez con rehabilitación equivalente sabiendo que R’ (x;0;1;a) = 0,02 y que: • L (x;a) = l (x;aa). •

L (x;i) = l (x;i).

•

Q’ (x;0;1;a) = q’ (x;0;1;a).

•

Q’ (x;0;1;i) = q’ (x;0;1;i).

•

L (x+1;a) = l (x+1;aa).

•

Se supone D.U.E. en ambos modelos.

Ejercicio 11. Dadas estas condiciones: 1)

Simetría en el cálculo.

2)

Q (x;0;1;aa) + R (x;0;1;a) = 1- [1- R’ (x;0;1;a) ] [1- Q’ (x;0;1;a) ]. Q (x;0;1;ii) + R (x;0;1;i) = 1- [1- R’ (x;0;1;i) ] [1- Q’ (x;0;1;i) ].

3)

Si Q’ (x;0;1;a) = Q’ (x;0;1;i) => Q’ (x;0;1;a) = Q’ (x;0;1;i) = q (x;0;1). Verificar el siguiente cuadro haciendo las demostraciones correspondientes.

Condición Método

3° Condición 1° Condición Activos

2° Condición Activos D.U.E.

Balducci

D.U.E. en T.D.U.

Se Cumple

Se Cumple

Se Cumple

No Se Cumple

Determinantes

Se Cumple

No Se Cumple

No Se Cumple

Se Cumple

µ Constante

Se Cumple

Se Cumple

Tasas Centrales

Se Cumple

No Se Cumple

Se Cumple Sin Supuestos Se Cumple

No Se Cumple


37

En el caso del método de la µ Constante no es necesario hacer supuestos adicionales para el cumplimiento de la 3° condición. Los métodos de Determinantes y Tasas Centrales están tomados sin el ajuste final que se les realiza a las probabilidades dependientes. La 1° y 2° condición deben demostrarse para los grupos de activos e inválidos. Ejercicio 12. Dados los siguientes datos: •

la tasa central de eliminación por cualquier causa entre las edades x y x+1 en la población de activos es igual a 0,3.

•

Q’ (x;0;1;a) = 0,1.

•

uRI (x+0,02) = 0,02 (asociada a la rehabilitación).

•

uI (x+0,03) = 0,05.

•

L (x;a) = 10.000.

•

L (x;i) = 100.

Hallar el número esperado de activos con edad x+1 y su varianza suponiendo distribución uniforme de eliminación en tabla de decremento única en ambas poblaciones. Ejercicio 13. Completar con ≥, ≤, = y justificar. 1

a)

Q (x;0;1;ai) ……..

∫ P ( x; t;aa ) ⋅ µ ( x + t ) ⋅ Q ( x + t;0;1 − t;ii ) dt . RA

0

b)

Q (x;0;n;ai) + P (x;n;ai) …….. R (x;0;n;a).

Ejercicio 14. Teniendo en cuenta lo siguiente: •

P (x;1;aa) = 0,9.

•

P (x;1;ai) = 0,05.

•

P (x;1;ii) = 0,5.

•

P (x;1;ia) = 0,3.

•

L (x;aa) = 100.000.

•

L (x;ii) = 100.

Se pide hallar la varianza de la variable aleatoria “cantidad de personas inválidas que habrá con edad x+15”, teniendo en cuenta la composición de la población de activos e inválidos con edad x, y suponiendo que las tasas instantáneas de eliminación de ambas poblaciones se mantienen constantes entre x y x+15.


38

T.P. N° 8: Tablas Selectas Ejercicio 1.

Completar la siguiente tabla: x

l(x;0)

l(x+1;1)

l(x+2)

58

10.000

59

9.000

60

7.200

61

5.400

Se sabe que: •

Los que ingresaron hace menos de un año tienen el 70% de probabilidad de fallecer en un año respecto a los que están en la empresa hace más de 2 años.

•

Los que ingresaron hace más de un año y menos de 2 años tienen el 80% de probabilidad de fallecer en un año respecto a los que están en la empresa hace más de 2 años.

Ejercicio 2. Usando la tabla del ejercicio anterior, calcular: a)

q (60;1;1;1).

b)

q (60;1;1;0).

c)

q (61;2;0).

Ejercicio 3. Demostrar que: l (x;0) ≥ l (x+1;1) ≥ l (x+2;2) ≥ …………. ≥ l (x+n-1;n-1) ≥ l (x+n) Recordar que los multiplicadores de acuerdo a la antigüedad están siempre entre 0 y 1 (0 < ki < 1). Ejercicio 4. Dados los siguientes datos: •

l (63;0) = 98.851,67306.

•

l (63) = 100.000.

•

d (64;0;1) = 6.000.

•

l (65) = 90.000.

•

l (65;1) = 89.303,00097.

•

l (66) = 82.000.

Se pide: a)

Hallar los 2 valores que multiplican a las q (x;0;1) y dan como resultado la probabilidad de fallecer en el mismo período teniendo menos de un año de antigüedad, o entre 1 y 2 años de antigüedad.

b)

Calcular l (63;1).

c)

Obtener l (64;0).


39


0 ≤ t ≤ 2.

•

q (48;0;2;0) = 0,089545.

•

l (50) = 90.000.

•

l (50;1) = 88.687,1182.

•

l (51) = 82.000.

•

l (51;1) = 80.374,21555.

•

l (52) = 72.000.

•

l (53) = 61.000.

•

Para hallar la probabilidad de fallecer en un año para una persona que tiene entre 1 y 2 años de antigüedad en la empresa se multiplica la probabilidad normal por 0,92 (k1 = 0,92).

Encontrar el valor de l (48;0). Ejercicio 6. Si: •

p (30;1;0) = 0,9.

•

p (31;1;1) = 0,81.

•

p (32;1;2) = 0,729.

•

p (33;1;3) = 0,6561.

•

l (30;0) = 100.000.

•

l (30+n) = 304,354272.

Se pide hallar el valor de n que es la antigüedad a partir de la cual se utiliza la tabla final.


40

Apéndice N° 1: Equivalencia de Notación Notación usada por la Cátedra

International Actuarial Notation (IAN)

q (x;0;1)

qx

q (x;0;n)

n

q (x;n;m)

nm

q (x;n;1)

n

qx

qx

qx

p (x;1)

px

p (x;n)

n

l (x+t)

lx+t

d (x;0;1)

dx

d (x;0;n)

n

px

dx

µ(x)

µ(x)

ec (x;0;w-x)

ex

ο

e (x;0;w-x)

ex ο

ec (x;0;n) e (x;0;n)

e x:n e x:n

emf (x;0;1)

a (x)

L (x)

Lx

m (x;0;1)

mx

m (x;0;n)

n

T (x)

mx

L (x)

Tx L (x)

f (t;j)

fT,J (t;j)

g (t)

fT (t)

h (j)

fJ (j)

G (t)

FT (t)

q (x;0;n;T)

n

q (T) x

q (x;0;n;j)

n

q ( j) x

p (x;n;T)

n

p (T) x

µ(x;j)

µ(j)(x)

p’ (x;n;j)

n

p '( j) x

q’ (x;0;n;j)

n

q '( j) x

m (x;0;1;T)

m (T) x

m’ (x;0;1;j)

m '(xj)


41

Apéndice N° 2: Tabla de Mortalidad CSO-80 Masculina x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

l(x) 10.000.000 9.958.200 9.947.545 9.937.697 9.927.958 9.918.526 9.909.599 9.901.176 9.893.255 9.885.736 9.878.421 9.871.210 9.863.609 9.855.225 9.845.468 9.834.146 9.821.067 9.806.237 9.789.861 9.772.435 9.754.258 9.735.725 9.717.130 9.698.765 9.680.725 9.663.106 9.646.002 9.629.314 9.612.848 9.596.506 9.580.096 9.563.522 9.546.499 9.529.029 9.510.829 9.491.807 9.471.779 9.450.562 9.427.881 9.403.557 9.377.321 9.349.001 9.318.243 9.285.070 9.249.137 9.210.383 9.168.476 9.123.367 9.074.831 9.022.741

d(x) 41.800 10.655 9.848 9.739 9.432 8.927 8.423 7.921 7.519 7.315 7.211 7.601 8.384 9.757 11.322 13.079 14.830 16.376 17.426 18.177 18.533 18.595 18.365 18.040 17.619 17.104 16.688 16.466 16.342 16.410 16.574 17.023 17.470 18.200 19.022 20.028 21.217 22.681 24.324 26.236 28.320 30.758 33.173 35.933 38.754 41.907 45.109 48.536 52.090 56.031

p(x;t)

x

l(x)

d(x)

p(x;t)

0,9958200 0,9989300 0,9990100 0,9990200 0,9990500 0,9991000 0,9991500 0,9992000 0,9992400 0,9992600 0,9992700 0,9992300 0,9991500 0,9990100 0,9988500 0,9986700 0,9984900 0,9983300 0,9982200 0,9981400 0,9981000 0,9980900 0,9981100 0,9981400 0,9981800 0,9982300 0,9982700 0,9982900 0,9983000 0,9982900 0,9982700 0,9982200 0,9981700 0,9980900 0,9980000 0,9978900 0,9977600 0,9976000 0,9974200 0,9972100 0,9969799 0,9967100 0,9964400 0,9961300 0,9958100 0,9954500 0,9950800 0,9946800 0,9942599 0,9937900

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

8.966.710 8.906.543 8.841.525 8.771.146 8.694.749 8.611.627 8.521.463 8.423.807 8.318.594 8.205.544 8.084.348 7.954.352 7.814.833 7.664.866 7.503.444 7.329.814 7.143.490 6.944.544 6.733.152 6.509.679 6.274.224 6.026.329 5.765.389 5.490.668 5.201.639 4.898.956 4.584.492 4.261.148 3.932.528 3.602.589 3.274.573 2.950.914 2.633.750 2.324.943 2.026.746 1.742.495 1.475.980 1.230.834 1.009.838 814.667 645.795 502.577 383.476 286.284 208.383 146.722 98.310 60.505 31.451 10.757

60.167 65.018 70.379 76.397 83.122 90.164 97.656 105.213 113.050 121.196 129.996 139.519 149.967 161.422 173.630 186.324 198.946 211.392 223.473 235.455 247.895 260.940 274.721 289.029 302.683 314.464 323.344 328.620 329.939 328.016 323.659 317.164 308.807 298.197 284.251 266.515 245.146 220.996 195.171 168.872 143.218 119.101 97.192 77.901 61.661 48.412 37.805 29.054 20.694 10.757

0,9932900 0,9927000 0,9920399 0,9912900 0,9904400 0,9895300 0,9885400 0,9875100 0,9864100 0,9852300 0,9839200 0,9824600 0,9808100 0,9789400 0,9768600 0,9745800 0,9721500 0,9695600 0,9668100 0,9638300 0,9604899 0,9567000 0,9523500 0,9473600 0,9418101 0,9358100 0,9294700 0,9228799 0,9161000 0,9089499 0,9011599 0,8925201 0,8827501 0,8717401 0,8597501 0,8470498 0,8339097 0,8204502 0,8067304 0,7927104 0,7782299 0,7630194 0,7465500 0,7278891 0,7040977 0,6700427 0,6154511 0,5198083 0,3420241 0,0000000


42

Apéndice N° 3: Diagrama de Lexis


43

Apéndice N° 4: Resultados Trabajo Práctico N° 1 Ejercicio 1. a) p(63;6) = 0,8975694.

c) q(42;5;10) = 0,2.

e) q(37;0;5) = 0,0298.

b) p(41;5) = 0,985.

d) p(31;10) = 0,98.

f) q(30;15;55) = 0,96556962.

Ejercicio 2. a) l(20) = 8.800, d(20) = 70,5, q(20;0;1) = 0,0080113636, p(20;3) = 0,975625, q(20;0;5) = 0,041193, q(20;10;5) = 0,046875, d(22;3;3) = 229,5, d(25;0;3) = 229,5. b) l(20) = 9.754.258, d(20) = 18.533, q(20;0;1) = 0,0019, p(20;3) = 0,9943108, q(20;0;5) = 0,0093448, q(20;10;5) = 0,0090513, d(22;3;3) = 50.258, d(25;0;3) = 50.258. Ejercicio 3. a) l(40) = 10.000.

c) p(40;2) = 0,855.

b) d(42;0;1) = 1.710.

d) Esperanza = 6.840, Varianza: 2.161,44.

Ejercicio 4. --------------Ejercicio 5. Esperanza = 2.830, Varianza: 1.548,576. Ejercicio 6. e(81;0;19) = 9,101010101010. Ejercicio 7. e(5;0;1) = 0,9. Ejercicio 8. --------------Ejercicio 9. a)

e −2 a − e −5 a

e −2 a − e −5 a

b)

c)

1

a

Ejercicio 10. --------------Ejercicio 11. --------------Ejercicio 12. a) b)

100 − x 2 . n 100 − x .

c)

n 100 − x .

(100 − x ) d)

12

e)

100 − x 2 .

2

.

Ejercicio 13. a) p(35;1) = 0,95118154. Ejercicio 14. ---------------

b) p(35;1) = 0,98751566.

c) Aumento = 101,015245%.


44

Ejercicio 15. --------------Ejercicio 16. ec(6;0;1) = 0,9889236975. Ejercicio 17. emf(7;0;1) = 0,505947553. Ejercicio 18. --------------Ejercicio 19. emf(5;0;w-5) = 70. Ejercicio 20. --------------Ejercicio 21. --------------Ejercicio 22. i(60;0;20) = 1,4285714. Ejercicio 23. --------------Ejercicio 24. --------------Ejercicio 25. --------------Ejercicio 26. a) 1

b) 1

c.

Ejercicio 27. ec(15;0;1) = 0,99. Ejercicio 28. m(55;0;1) = 0,18181818. Ejercicio 29. ec(37;0;1) = 0,954838709. Ejercicio 30. --------------Ejercicio 31. µ (57) = 0,0100502512. Ejercicio 32. µ (x) = 0,02. ln ( ln ( C ) ) − ln ( A )

Ejercicio 33. Modo =

ln ( C )

Ejercicio 34. x = 77,2105358. Ejercicio 35. Modo = 60. Ejercicio 36. ec (76;0;1) = 0,95.

.

c2 .

c)

ln ( 2 ) c

.


45

Ejercicio 37. ec (47;0;1 ) =

Ejercicio 38.

1 w-x- 1

250 . 251

.

3

Ejercicio 39. x = 450. Ejercicio 40. Modo = 10. Ejercicio 41. x = 0,0732574321. Ejercicio 42. t  l(x)  k l(x)-k siendo t la mediana. c) 0, 5= ∑   ⋅ p ⋅ (1-p ) k=1  k 

a) Dominio = (0,n). b) ---------------

d) 0.

Ejercicio 43. µ (65) = 0,048. Ejercicio 44. p (15;50) = 0,46374396.

Trabajo Práctico N° 2 Ejercicio 1.

---------------

Ejercicio 2. a)

0,5.

c)

0,4.

e)

888,88888.

b)

0,01.

d)

66,66666.

f)

75.

Ejercicio 3.

b-a . b

Ejercicio 4.

45 ⋅ 2

Ejercicio 5.

6y

5 3

.

Ejercicio 6. a) 0,0125.

c) 0,354351.

e) 6.400.

b) 0,00998145.

d) 80.

f) 55,45177.

Ejercicio 7.

---------------

Ejercicio 8.

---------------

Ejercicio 9.

---------------


46

Ejercicio 10. --------------Ejercicio 11. 10,408167. Ejercicio 12. 15,4822 y 70,7822. Ejercicio 13. 65,441507. Ejercicio 14. --------------Ejercicio 15. 57,200231.

Trabajo Práctico N° 3 Ejercicio 1.

---------------

Ejercicio 2.

8

Ejercicio 3.

Balducci.

Ejercicio 4.

---------------

999

.

Ejercicio 5. a)

0,001998001.

b)

Ejercicio 6.

---------------

Ejercicio 7.

202,479338845.

Ejercicio 8.

0,1145325067.

Ejercicio 9.

299

600

.

Ejercicio 10. 0,4949236223. Ejercicio 11. 3

103

.

Ejercicio 12. 0,45. Ejercicio 13. 1 . 9 Ejercicio 14. 0,00409836065. Ejercicio 15. 0,1.

0,000299955.

c)

0,000749718.


Ejercicio 16.

47

c . 1-0,5 ⋅ c

Ejercicio 17. 5

48

.

Ejercicio 18. a)

 16, 6 .

b)

16,9212691.

c)

16,8067343.

b)

7

c)

0,01.

Ejercicio 19. a)

0,0102941176.

720

.

Ejercicio 20. --------------Ejercicio 21. 0,497474683. Ejercicio 22. 5.050. Ejercicio 23. 950

999

Ejercicio 24. 2.800

.

2.997

.

Ejercicio 25. 1,728136795. Ejercicio 26. a)

0,00075.

b)

0,00015.

Ejercicio 27. a)

1  1 2 ( l ( x) + l ( x + 1 2 ) ) + 1 2 ( l ( x + 1 2 ) + l ( x + 1)= ) 1 2 [l ( x + 1 4) + l ( x + 3 4)] 2

Ejercicio 28. 0,086068814. Ejercicio 29. --------------Ejercicio 30. 0,97105.

Trabajo Práctico N° 4 Ejercicio 1. Ejercicio 2. b)

160.

Ejercicio 3.

---------------


48

a)

250.

b)

260.

c)

27.590.

g)

d)

1 . 140

e)

0,0125.

f)

112

b)

80.

34.750

0,989657142857.

.

Ejercicio 4. a)

74 c)

4.831.

4.905 .

Trabajo Práctico N° 5 Ejercicio 1. x

l (x;T)

q (x;0;1;1)

q (x;0;1;2)

d (x;1)

d (x;2)

d (x;T)

50

1.000.000

0,0925

0,1425

92.500

142.500

235.000

51

765.000

0,1950

0,0450

149.175

34.425

183.600

52

581.400

0,2250

0,1749

130.815

101.687

232.502

53

348.898

Ejercicio 2. x

l (x;T)

q (1)

q (2)

q (3)

d (x;1)

d (x;2)

d (x;3)

d (x;T)

32

1.000.000

0,0096

0,048

0,019

961,04

4.805,22

1.922,09

7.688,36

33

92.312,6

0,0186

0,065

0,046

1.722,82

6.029,87

4.307,05

12.059,7

34

80.251,8

Ejercicio 3. x

q (x;0;1;1)

q (x;0;1;2)

q (x;0;1;3)

28

0,019016

0,038416

0,058216

29

0,009266

0,047266

0,097016

Ejercicio 4.

0,029406.

Ejercicio 5. a)

0,1787439.

Ejercicio 6.

0,03.

Ejercicio 7.

0,00975423.

Ejercicio 8.

4.655.

b)

0,1778846.


49

Ejercicio 9.

215.730.

Ejercicio 10. x

q’ (x;0;1;1)

q’ (x;0;1;2)

29

0,010259

0,050256

30

0,026296

0,060620

Ejercicio 11. --------------Ejercicio 12. 0,218. Ejercicio 13. --------------Ejercicio 14. 191

9.900

.

Ejercicio 15. 0,0207981. Ejercicio 16. 0,03125. Ejercicio 17. 0,0868278. Ejercicio 18. 0,08806262. Ejercicio 19. a)

7.905.

b)

186.

c)

500.

Ejercicio 20. 0,0689565. Ejercicio 21. 0,0951625. Ejercicio 22. --------------Ejercicio 23. a) 0,0177384.

c) 0,044449. d) 0,01 ⋅ j ⋅ e

b) 1 . 3

-t ⋅0,06

j e)

.

f) 0,06 ⋅ e-t ⋅0,06 .

Ejercicio 24. a)

6 .

j 6

.

Ejercicio 25. 64.

b)

6 5 44 − t ) . 6 ( 44


50

Ejercicio 26. b)

50 . 45j ⋅ ( j + 1)

a)

9.

Ejercicio 27. a)

254,12 y 189,54.

Ejercicio 28. a)

248,08224 y 186,53744.

b)

563,38784 y 245,98198.

c)

0,3125.

Ejercicio 29. a)

0,303705.

b)

38,68775 y 1,074523.

Ejercicio 30. a) 0,006678.

c) 36,80145 y 1,051363.

b) 0,125.

d) 1,255583 ; 1; 2; 0,5779751356.

Ejercicio 31. 0,0406512083323753. Ejercicio 32. 0,03067455428. Ejercicio 33. 44 . 7 Ejercicio 34. Ejercicio 35. 0,0199003325. Ejercicio 36. 0,19133333. Ejercicio 37. 25. Ejercicio 38. 0,22333333. Ejercicio 39. 0,00985181.


l (x;aa)

l (x;i)

i (x;x+1)

d (x;aa)

d (x;ai)

d (x;ii)

30

1.000.000

1.000

995

9.995

52,3684

100

31

989.010

1.842,6

1.958,24

19.760,41

158,776

276,394

32

967.291,3

3.365,7

2.858,34

28.975,21

317,594

673,14

33

935.457,7

5.233,3


51

Ejercicio 2. a)

---------------

Ejercicio 3.

216.157,8295.

Ejercicio 4.

0,89.

Ejercicio 5.

---------------

b)

444.470,12; 11.911,78; 544.618,08.

b)

0,009925373.

c)

0,004962686.

b)

800.

c)

0,2.

Ejercicio 6. a)

0,0000494205.

Ejercicio 7.

0,0119676437.

Ejercicio 8.

0,0065131275.

Ejercicio 9.

0,00192039.

Ejercicio 10. --------------Ejercicio 11. 2.800. Ejercicio 12. a)

44.444,4444.

Ejercicio 13. a)

5.811,58.

b)

5.777,81.

b)

9.692,298 y 298,233947.

Ejercicio 14. 281.123,5434. Ejercicio 15. --------------Ejercicio 16. a)

0,99000499246.

Ejercicio 17. a)

≤.

d)

≤.

g)

≥.

b)

=.

e)

=.

h)

≤.

c)

≥.

f)

≥.

Ejercicio 18. 1.602,7316 y 1.304,4717. Ejercicio 19. 0,01. Ejercicio 20. 0,893168.


52

Ejercicio 21. a)

0,028672.

b)

0,5213269.

Ejercicio 22. Al lado derecho se le debe restar p (x;h+n;aa) q (x+h+n;0;1;ai).


L (x;a)

L (x;i)

I (x;x+1)

B (x;x+1)

D (x;aa)

D (x;ai)

D (x;ii)

D (x;ia)

55

1.000.000

1.000

4.950

92,5

19.950

407,351

142,5

0,93444

56

975.191,5

5.313,7

6.689,84

725,313

38.871,1

661,63

884,722

14,8023

57

930.341,1

9.731,7

8.121,876

1.741,991

55.569,2

952,846

1.839,30

53,87603

58

868.338

13.319

Ejercicio 2. a)

---------------

c)

148.214,91.

b)

758.264,4755 y 40.680,91.

d)

8.839,69.

b)

9,579851.

b)

≤.

Ejercicio 3.

177.378,5076 y 64.457,2227.

Ejercicio 4.

0,041.

Ejercicio 5.

---------------

Ejercicio 6.

3.026,9794.

Ejercicio 7.

0,7569621.

Ejercicio 8. a)

10,0501.

Ejercicio 9.

0,008.

Ejercicio 10. 0,0185. Ejercicio 11. --------------Ejercicio 12. 7.400,8851 y 1.926,274043. Ejercicio 13. a)

≥.

Ejercicio 14. 3.713,54432.


53


l(x;0)

l(x+1;1)

58

10.000

59

0,184.

b)

0,1488.

c)

0,688.

Ejercicio 3.

8.571,42

7.200

61

7.848,83

6.750

5.400

Ejercicio 4. 0,85 y 0,92.

b)

99.667,7740864.

c)

94.313,4003644.

9.000

9.216,58

---------------

a)

9.782,60

60

Ejercicio 2. a)

l(x+2)

Ejercicio 5.

98.371,8105739.

Ejercicio 6.

n = 10.

Guia Biometria Actuarial

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