Estadistica Actuarial Vida

ESTADÍSTICA ACTUARIAL VIDA

1. Introducción, el modelo biométrico 1.1 función de distribución 1.2 función de densidad. 1.3 función supervivencia. 1.4 probabil probabilidades idades de fallecimien fallecimiento to y supervivencia 1.5 resumen de las ecuaciones 1.6 resumen de las demostraciones 1.7 tanto instantáneo de fallecimiento 1.8 cohortes 1.9 esperanza de vida 1.10 todas las relaciones 2. ejercicios resueltos

1. Introducción, el modelo biométrico 1.1 función de distribución 1.2 función de densidad. 1.3 función supervivencia. 1.4 probabil probabilidades idades de fallecimien fallecimiento to y supervivencia 1.5 resumen de las ecuaciones 1.6 resumen de las demostraciones 1.7 tanto instantáneo de fallecimiento 1.8 cohortes 1.9 esperanza de vida 1.10 todas las relaciones 2. ejercicios resueltos

1. INTRODUCCIÓN En Estadística Estadística actuarial se estudia la biometría humana; la supervivencia humana. Todo gira entorno la variable aleatoria X “edad de fallecimiento”, que representa el tiempo biológico transcurrido desde el nacimiento hasta la muerte. De tal forma que la variable X toma valores entre 0  edad de nacimiento w  o infinito actuarial; la edad máxima esperada de los individuos (105 años). Para saber la probabilidad de que un individuo esté muerto llegado a una edad, o que muera en un rango rango de edad (entre los 30 y los 40, p.ej.), es necesario trabajar con las funciones de probabilidad (campo discreto) y las funciones de densidad (campo continuo) de la mortalidad. Si no se dice nada, siempre se trabaja bajo el punto de vista de mortalidad. Si queremos hablar de probabilidad probabilidad de estar vivo a una edad determinada determinada o en un rango de años determinado, se hablar de funciones de supervivencia.

Los cálculos que se pueden realizar son... 1. probabilidad de fallecer (diferida y temporal) 1.antes de una edad determinada 2. entre una edad y otra y 1. y 2. de nuevo pero sujeto a ya tener una edad. 2. exactamente lo mismo pero como probabilidad de supervivencia (complementario) 3. probabilidad de fallecer en un instante (campo continuo) 4. cantidad de vivos/muertos por edad a partir de una población inicial 5. Esperanza de vida y vida residual

1.1 función de distribución

1.1 función de distribución de la mortalidad Imagina que pudiéramos hacer el siguiente estudio; coger un grupo de recién nacidos (por ejemplo 50 .000) y hacer un seguimiento a lo largo de toda su vida, anotando la cantidad de individuos que van muriendo a cada edad. nº individuos muertos

0

25 50 franjas de edad, de 0 a 105 años

75

w

al final del estudio, tendríamos todos los 50.000 individuos muertos. Las edades van del nacimiento = 0, hasta el infinito actuarial o máxima edad que se prevé (w), p.ej. 105 años. (con 104 años morirán los últimos individuos y nadie llegará a cumplir 105.)


Dividiendo (muertos acumulados hasta una edad) / (total inicial), se obtiene un porcentaje, que es la probabilidad de haber fallecido a una edad determinada.

nº individuos muertos

1 %ó probabilidad de estar muerto a una edad determinada

0

25 50 franjas de edad, de 0 a 105 años

75



0 franjas de edad, de 0 a 105 años Esta es la función de distribución de los fallecimientos. Se escribe creciente y continua por la derecha.  cada año muere gente.

Es una función

Es exponencial, y se dispara a medida que se van sumando fallecidos y se llega a edades más avanzadas. Al nacer, la probabilidad de fallecer es = 0 . Y al llegar a w = 105 años, todo el mundo ha muerto, con lo que la probabilidad de estar muerto es = 1 . La F indica que es función de distribución La x es la edad conocida del individuo La t es el momento en que queremos saber la probabilidad de fallecer



0

Con esta función, por cada valor de “x” edad del individuo , se tendrá un valor de “X” probabilidad de estar muerto . x 0 1 2 30 75 105

X 0 0,05 0,07 0,2 0,8 1

(me invento las probabilidades):

Al nacer, el 0% de los individuos han muerto Al cumplir 1 año, el 5% de los individuos han muerto Al cumplir 2 años, el 7% han muerto Al cumplir 30 años, el 20% han muerto Al cumplir 75 años, el 80% ya han muerto Al cumplir 105 años, el 100% de la población ha muerto



0

Es decir, la función F(x) es la probabilidad de ya estar muerto al llegar a una edad . Si tenemos un individuo con su edad, y la función de distribución de probabilidad, se obtiene X de forma directa: Ej: Se sabe que una población sigue una distribución de mortalidad = ¿Qué probabilidad hay de que un individuo de 30 años ya esté muerto?



0

Para saber cuál es la probabilidad de que X suceda en un rango de edad, se puede restar la probabilidad de la edad superior – probabilidad de la edad inferior: Si

Es decir, la probabilidad de morir entre los 30 y los 35 años es = 1,7%


Hipótesis y propiedades de la función de distribución: Para Para que el cálculo no esté sumido en el caos se supone que

1. Homogeneidad La función de distribución F(x) es idéntica para todos los individuos. Estadísticamente se comportan todos igual, y el individuo A es indiferente a B.

2. Inde Indepe pen nden dencia La muerte de un individuo es independiente de la muerte de otros individuos. O lo mismo, la probabilidad de muerte de un individuo es independiente de la edad de fallecimiento fallecimiento de otro individuo.

3. Est Estacio aciona nari ried edaad Algo que en la realidad es difícil que se cumpla pero que aquí es un supuesto; la generación a la que pertenecen los individuos no afecta a las probabilidades. Es decir, la probabilidad de morir antes de los 30 debe ser igual para un individuo que nació en el 1979 que para otro que nació en 1985.


La función de distribución cumple las propiedades... 1. F(0) = 0 Es decir, la probabilidad de fallecer en la edad cero es cero (es el momento de nacer). F(1) es la probabilidad de haber fallecido antes o justo en el momento en que cumples 1 año.

2. F(∞) = 1 La probabilidad probabilidad de haber fallecido en el infinito actuarial es del 100% 100 % 3. F es una función no decreciente decreciente siempre hay fallecimientos o, como mínimo, un año sin fallecimientos. Pero los que mueren no vuelven a revivir...

4. F es una funció función n cont continu inuaa por por la la dere derecha cha Implica que si la función tiene un salto (de un año a otro no hay continuidad y la probabilidad probabilidad “salta” de 0,2 a 0,3, p.ej.) no hay pérdida de la continuidad a la derecha de la función. Es decir; la función tendía hacia 0,2, pero en una edad determinada determinada la F(x) salta hacia 0,3. Pero a partir de aquí se sigue comportando comportando para edades superiores con continuidad.

1.2 función de densidad

1.2 función de densidad de la mortalidad En determinadas ocasiones la función de distribución de la probabilidad es insuficiente insuficiente o dificulta dificulta cálculos... una solución es buscar la función de densidad.

La función de densidad

es la pendiente en cada punto de la función de

, es decir; el crecimiento que experimenta en cada edad la probabilidad de morir. Si pudiera hacer una serie de zooms en cada edad, tendríamos la recta tangente a cada momento de la curva... distribución distribución

1


Si ahora colocamos estas pendientes en el gráfico (con su escala representada en un eje a la derecha)....

F(x) 0,1 f(x)


0,1

Y esta curva representa el incremento de la probabilidad de fallecer en cada edad. La suma de todos los incrementos es = 1, la probabilidad total, el 100%. Y por cómo la he dibujado yo, en las primeras edades el incremento es muy suave (porque me imagino una sociedad moderna donde mueren pocos niños pequeños) pero a medida que avanzamos hacia edades más elevadas el incremento es mayor. Formalmente, la función de densidad es

, y se encuentra derivando F(x)


%ó probabilidad de estar muerto a una edad determinada

0,1

0 w f(x) cumple que dentro del rango (0,w) el área que ocupa es exactamente = 1. Y por lo tanto, la integral definida de la f(x) de 0 a w es = 1. Es decir, Si tomamos el rango de cero a w, la probabilidad de que estés muerto ocupa todo el área = 1. Efectivamente, al llegar a los 105 años nadie vive. Si tomamos el rango de cero a 30, la probabilidad de estar muerto es la suma de todas los pequeños incrementos de probabilidad de estar muerto...


%ó probabilidad de estar muerto a una edad determinada

0,1

0 w Y si cogemos un rango entre 30 y 40 años, por ejemplo, la integral de la función desde 30 hasta 40 recogerá el área que queda entre estos dos puntos.

Y al igual que antes con la función de distribución, se entiende como la probabilidad de que X esté en este área.

1.3 función de supervivencia

1.3 función de distribución de la supervivencia 1 %ó probabilidad de estar vivo a una edad determinada

0 franjas de edad, de 0 a 105 años Se le puede dar la vuelta al gráfico, y verlo como la función de distribución de la que es la probabilidad de estar vivo a cada edad. supervivencia, En un principio, y hasta que la cosa se complique en adelante, F(x) y S(x) sí son complementarios, y se puede decir que la probabilidad fallecer a una edad x es = 1 – probabilidad de estar vivo a una edad x


La función de distribución de la supervivencia cumple las propiedades... 1. S(0) = 1 Es decir, la probabilidad de sobrevivir en la edad cero es uno(es el momento de nacer). S(1) es la probabilidad de llegar vivo hasta el 1º cumpleaños.

2. S(∞) = 0 La probabilidad de sobrevivir hasta el año del infinito actuarial es del 0%

3. S es una función no creciente y en la realidad decreciente, porque la probabilidad de sobrevivir una edad va siendo siempre cada vez menor.

4. S es una función continua por la derecha Implica que si la función tiene un salto (de un año a otro no hay continuidad y la probabilidad “salta” de 0,2 a 0,1, p.ej.) no hay pérdida de la continuidad a la derecha de la función. Es decir; la función tendía hacia 0,2, pero en una edad determinada la F(x) salta hacia 0,1. Pero a partir de aquí se sigue comportando para edades superiores con continuidad.


Un ejercicio puede consistir en demostrar que una función cumple con las propiedades.

y demostrar que es continua por la derecha, creciente (por la primera derivada positiva), F(0)=0 y F(w)=1,... S(x)= 1-F(x) lo de antes

1.4 probabilidades de fallecimiento y s upervivencia

1.4 probabilidades de fallecimiento y supervivencia Sobre la nomenclatura que viene a continuación... “q” es probabilidad de fallecimiento “p” es probabilidad de supervivencia

se lee, teniendo 30 años, probabilidad de fallecer entre 30 y 30+3 años teniendo 30 años, probabilidad de supervivencia entre 30 y 30+3 años teniendo 30 años, probabilidad de falllecer entre 30 y 30+1 teniendo 30 años, probabilidad de supervivencia entre 30 y 30+1 teniendo 30 años, probabilidad de, en 30+5, fallecer entre 30+5 y 30+5+3 teniendo 30 años, probabilidad de, en 30+5, fallecer entre 30+5 y 30+5+1

1.4 probabilidades de fallecimiento y supervivencia 1.4.1.1

1.4.1.1 probabilidad de fallecimiento Si conocemos la distribución de la probabilidad de fallecimiento, se pueden calcular la probabilidad de que un recién nacido haya fallecido al llegar a una edad determinada. Directamente,

Es decir, la probabilidad de que la muerte tenga lugar entre el nacimiento y una edad x es igual a la probabilidad de haber fallecido en x. p.ej. la probabilidad de que en recién nacido haya fallecido al llegar a los 40 años es = función de distribución de la probabilidad de fallecimiento cuando x=40

probabilidad de fallecer antes o en el momento de cumplir los 40 w

0 40

probabilidad de fallecer entre 0 y los 40 años


1.4.1.2 probabilidad de supervivencia La supervivencia es la probabilidad complementaria al fallecimiento. Conociendo la función de distribución de fallecimiento, y en consecuencia la probabilidad de fallecimiento, la supervivencia es = uno menos dicha probabilidad.

El complementario de la probabilidad de fallecer antes de cumplir los 40 = probabilidad de sobrevivir hasta los 40 w

0

1- probabilidad de fallecer entre 0 y los 40 = probabilidad de sobrevivir entre 0 y los 40


1.4.1.3 probabilidad de fallecimiento entre dos edades Volviendo a los fallecimientos, también se puede calcular la probabilidad de que un recién nacido fallezca entre una edad x y otra edad x+n. Directamente, Es decir, la probabilidad de que la muerte tenga lugar entre una edad x y otra edad x+n es = la probabilidad de haber fallecido en x+n quitándole la probabilidad de haber fallecido en x. Ej: La probabilidad de que un individuo fallezca entre los 30 y los 40 es = la probabilidad de haber fallecido antes de los 40 restándole la probabilidad de haber fallecido antes de los 30. Lo que queda es la probabilidad de haber fallecido en estos 10 años... probabilidad de fallecer antes de cumplir los 40 w

0 probabilidad de fallecer antes de cumplir los 30

probabilidad de fallecer entre los 30 y los 40


1.4.1.4 probabilidad de supervivencia entre dos edades La supervivencia es la probabilidad complementaria al fallecimiento. Conociendo la función de distribución de fallecimiento, y en consecuencia la probabilidad de fallecimiento, la supervivencia es = uno menos dicha probabilidad.

1- probabilidad de fallecer antes de cumplir los 40 = probabilidad de sobrevivir hasta los 40 w

0 1-probabilidad de fallecer antes de cumplir los 30 = probabilidad de sobrevivir hasta los 30 1- probabilidad de fallecer entre los 30 y los 40 = probabilidad de sobrevivir entre los 30 y los 40


1.4.2.1 probabilidad de fallecimiento para un individuo de edad x Hasta el momento, se ha visto probabilidades para individuos recién nacidos. Lo siguiente es plantearse las mismas probabilidades pero para individuos que ya tienen una edad x. es la probabilidad de, teniendo x años, fallecer entre x y x+n. p.ej. es la probabilidad de, teniendo 10 años, morir entre los 10 y los 15 es la probabilidad de, teniendo 30 años, morir entre los 30 y los 45 Es decir, la probabilidad de fallecimiento para un individuo de edad x se escribe como y se interpreta como la probabilidad de que la muerte (X) suceda entre las edades x y

x+n, pero bajo la condición (sujeto a...) de que el individuo ya tiene la edad x (sobrevive hasta x). Es decir, la muerte tiene que suceder en una edad mayor que la edad actual.

Con la función de distribución queda...


La demostración sería ...

La probabilidad de fallecer entre x y x+m de un individuo que ya tiene edad x

Probabilidad de que la muerte suceda en una edad superior a la edad actual x

Probabilidad de que el fallecimiento se produzca entre x y x+n


Gráficamente ... probabilidad de fallecer antes de cumplir los 40 w

0 ya se tienen 30 años probabilidad de fallecer antes de cumplir los 30

probabilidad de fallecer entre los 30 y los 40 sujeto a que el individuo ha sobrevivido hasta los 30 años.

En realidad, cuando antes se hablaba de probabilidad de que un recién nacido haya fallecido en una edad x, debería escribirse o lo que es lo mismo donde “n” es la edad, y se leería como teniendo cero años, probabilidad de morir entre 0 y 0+n


1.4.2.2 probabilidad de supervivencia para un individuo de edad x De nuevo es el caso del complementario. Si

es la probabilidad de, teniendo x años, fallecer entre x y x+n.

Sucede igual que antes, que para un recién nacido x=0

Y en realidad,

no es sino la propia función de supervivencia

O visto de otra forma


1.4.2.3 la escindibilidad en la supervivencia Si calculamos la probabilidad de que un individuo de una edad (p.ej. 30) sobreviva hasta que cumpla los 33 años, es porque sobrevivirá los 30 años, los 31, y los 32,... y la muerte andará de los 33 en adelante. 30

33 w

0 probabilidad de sobrevivir hasta los 33 años de un individuo que tiene 30

30 31 32 33 0 la probabilidad de sobrevivir de los 30 a los 33 es lo mismo que sobrevivir los 30 y sobrevivir los 31 y sobrevivir los 32.

w


30 31 32 33 0

w

Cuando trabajamos con probabilidad el “y” se convierte en multiplicar..

Probabilidad de sobrevivir entre los 30 y los 33 teniendo 30 años es = probabilidad de sobrevivir los 30 * prob. de sobrevivir los 31 * prob. de sobrevivir los 32

Esta propiedad de escindibilidad sólo se cumple para la probabilidad de supervivencia, ya que si el individuo llega vivo a los 33, es porque ha sobrevivido cada uno de los años anteriores.

En fallecimiento esta propiedad no existe . Pero sí se puede “forzar” que un individuo llegue vivo hasta un determinado instante, es lo que se verá en 1.4.3


De forma general se define como un punto intermedio “k”, de tal forma que...

x

k

n

0

w

Es decir, la probabilidad de sobrevivir entre x y x+n teniendo x años es = probabilidad de supervivencia entre x y x+k (llegamos al punto intermedio) y la probabilidad de supervivencia entre x+k (el punto intermedio) y n-k Y en definitiva,

...la probabilidad de supervivencia es el producto de todas las probabilidades de supervivencia intermedias.


La demostración de lo anterior es...

La prob. de que la muerte suceda en una edad superior a x+n, sujeto a que la muerte también sea superior a la edad x del individuo...

...se escinde por cada periodo anual abarcando desde x+n hasta x...


1.4.3.1 probabilidad diferida temporal de fallecimiento para un individuo de edad x Aunque con el fallecimiento no existe escindibilidad, sí se puede hacer el paso de 1) averiguar la probabilidad de que viva en una edad futura 2) calcular probabilidad de fallecimiento desde ese punto en adelante. Es el x

m

0 El individuo ya tiene una edad x 1) se calcula la probabilidad de que llegue vivo a m 2) se calcula la probab. de fallecer entre m y m+n 3) todo sujeto a que el individuo sobrevive hasta la edad x

n w


Demostración...

probab. de que teniendo x años, llegar vivo a m y morir entre m y m+n si ahora multiplicas todo por


3 formas diferentes de escribir lo mismo, 1. llegar vivo a m y fallecer entre m y n

2. fallecer entre x y m+n y restar la probabilidad de fallecer entre x y m

3. sobrevivir entre x y m y restar la probabilidad de sobrevivir entre x y m+n


1.4.3.2 probabilidad diferida de fallecimiento para un individuo de edad x Es una situación concreta del apartado anterior, cuando n=1 Todo es exactamente igual, salvo que se escribe

x 0

y donde hay “n” va un 1

m 1 w

1.4 probabilidades de fallecimiento y supervivencia 1.4.4

1.4.4 en el fallecimiento, probabilidades diferidas Si con la supervivencia se hacia la escindibilidad (que consistía en entender una probabilidad total de supervivencia como sobrevivir un año y el siguiente y el otro y etc.), con las probabilidades diferidas de fallecimiento se puede agregar las probabilidades anuales como morir un año o morir el siguiente o morir el otro o el otro o etc. 35 38 w

0

la probabilidad de que teniendo 35 años, se fallezca entre los 35 y los 38 es también

35 36 37 38 0 la probabilidad de fallecer entre los 35 a los 38 es lo mismo que fallecer entre 35 y 36 o fallecer entre 36 y 37 o fallecer entre los 37 y los 38

w

1.4 probabilidades de fallecimiento y supervivencia 1.4.4

35 36 37 38 0

w

Cuando trabajamos con probabilidad el “o” se convierte en sumar..

Probabilidad de, teniendo 35, fallecer entre los 35 y los 38 es = probabilidad de con 35 fallecer entre 35 y 36 o probabilidad de con 35 fallecer entre 36 y 37 o probabilidad de con 35 fallecer entre 37 y 38

De forma general...

1.5 resumen de las ecuaciones

1.5 resumen de las ecuaciones 1. la probabilidad de fallecer antes de una edad en la función de distribución

se obtiene sustituyendo directamente

2. la probabilidad de sobrevivir hasta una edad del anterior

se obtiene como el complementario

3.

la probabilidad de fallecer entre dos edades para un recién nacido

4. la probabilidad de supervivencia entre dos edades para un recién nacido 1 – lo anterior


5. la probabilidad de fallecimiento para un individuo de edad x

6. la probabilidad de supervivencia para un individuo de edad x

7. la probabilidad diferida temporal de fallecimiento para un individuo de edad x


8. la propiedad de la escindibilidad en la probabilidad de supervivencia

6. la propiedad de agregar probabilidades diferidas para conseguir

1.6 resumen de las demostraciones

1.6 Resumen de las demostraciones 1. para la probabilidad temporal de fallecimiento...

El numerador sitúa el fallecimiento entre x y x+n

El denominador X>x nos sitúa vivos en el momento “x”


2. probabilidad diferida y temporal de fallecimiento... (con fallecimiento y supervivencia)

primero se multiplica todo por


3. y lo anterior se demuestra...

el numerador sitúa la muerte por encima de x+m

=

El denominador X>x nos sitúa en el momento “x”

el numerador sitúa la muerte entre x+m y x+m+n

El denominador X>x+m nos sitúa vivos en el momento “ x+m”


4. probabilidad diferida y temporal de fallecimiento... (con sólo fallecimientos)

si desarrollamos el numerador...

5. la probabilidad diferida y temporal de fallecimiento con supervivencias se obtiene sustituyendo y por sus complementarios (1-...), quedando al final...

1.7 tanto instantáneo de fallecimiento

1.7 tanto instantáneo de fallecimiento A la probabilidad de fallecimientos que suceden en un instante infinitesimal “t” se le llama...

Mejor dicho, el tanto instantáneo de fallecimiento a una edad x, mide la tasa de fallecimiento en cada fracción infinitesimal de tiempo a lo largo del año.

se lee como el crecimiento que experimenta la probabilidad de fallecer a la edad 20. Es la probabilidad expresada en continuo (de instante a instante), cuando la función de distribución lo expresa en un campo discreto (de año a año) Demostración... La probabilidad de fallecer, teniendo una edad x, entre x y un incremento de “t” es...


... por lo tanto,...

...y se puede separar en...

Es la función de densidad cuando el incremento de t tiende a cero!

Es decir, estamos mirando el incremento en un punto que experimenta la probabilidad de


Siguiendo la expresión anterior...

...f(x) no es sino F’(x)...

... y ya que

Esta expresión no tiene una definición muy clara, pero sí es una forma de encontrar cuando tengamos datos que expresan supervivencia y no fallecimiento...


Si cuando teníamos determinada. Y punto... Si nos dieran esto es...

esto era la probabilidad de fallecer hasta una edad era su derivada, es decir, el incremento de probabilidad en un

se puede hacer el paso inverso y llegar hasta

Si la tasa instantánea de fallecimiento expresa en continuo lo mismo que la función de

distribución expresa en discreto, sujeto a que se sobrevive hasta una edad determinada...

La integral de nos debería dar la función de distribución de la probabilidad de fallecimiento sujeto a una edad determinada...


Si se desarrolla la integral

y elevando a “e” todo y cambiando el signo de lado, al final queda...

y cambiando cosas de lado...

Esta expresión relaciona la tasa instantánea de fallecimiento con la función de distribución, y su complementario es la relación entre tasa instantánea de fallecimiento y supervivencia:


Si

y

La supervivencia, como complementario quedaría


Resumen del tanto instantáneo de fallecimiento... 1. respecto la función de densidad y la de distribución

o también

2. respecto la función de distribución de la supervivencia

3. probabilidad temporal de fallecimiento

4. de supervivencia

1.8 Cohortes

1.8.1 Cohortes La cohorte es el número de individuos vivos (en absoluto o en tanto por uno) que quedan de un número inicial. l(0) es el tamaño del grupo inicial de individuos, por ej. 100.000 l(w) es el número de individuos que cumplen w años, que será = 0 l(x) es la evolución de este grupo. Podemos expresar como el número de éxitos (supervivientes) a una edad determinada, que resulta de multiplicar el grupo inicial de individuos por la probabilidad de supervivencia

Como en la realidad el número de supervivientes es aleatorio (porque no es un experimento que se pueda llevar a la realidad), se calcula el número esperado de supervivientes...

1.8 Cohortes

1.8.2 Relación entre las cohortes y la tasa instantánea de fallecimiento Si

... y derivando...

y si

entonces

y si

1.8 Cohortes

Relación entre tanto instantáneo de fallecimiento y probabilidad de supervivencia... Si

1.8 Cohortes

Relación entre probabilidad de fallecimiento y defunciones Si

1.8 Cohortes

1.8.3 cifra de fallecidos Si

es el número de vivos a una edad, y decrece (como mínimo) cada año, la diferencia entre x y x+1 será el número de defunciones entre x y x+1 .

y desarrollando en base a que

1.8 Cohortes

1.8.4 defunciones en continuo El número de defunciones de un periodo se puede obtener como el continuo (integral) de los que llegan vivos a cada instante de tiempo por el tanto instantáneo de mortalidad que hay en ese mismo instante.

1.8.5 cohortes y tanto de supervivencia La proporción de vivos en x+n respecto los vivos en x, es la probabilidad de supervivencia:

1.8.6 cohortes y tanto de mortalidad La proporción de defunciones entre x y x+n, respecto los vivos en x, es la proabilidad de fallecimiento:

1.8 Cohortes

1.8.7 función censal de supervivencia Es

el promedio de individuos vivos entre x y x+1, o también se interpreta como el número total de años esperados que viven entre x y x+1 los individuos que alcanzan la edad x.

Ya que normalmente se trabaja con edades enteras, se hace una simplificación y se supone que el número medio de individuos vivos a lo largo del año es el punto intermedio entre 1. vivos a principio de año 2. vivos a final de año (en exactamente x+1) Es decir,

o también

1.8 Cohortes

1.8.8 tanto central de mortalidad Es

y es la probabilidad de fallecimiento en el momento intermedio del año.

Es decir, una especie de

pero en base a la función censal y no a los datos de la cohorte.

Es la proporción de fallecimientos totales en el año x, supervivientes Si desarrollamos la expresión en base a que

, respecto al promedio de

queda...

1.8 Cohortes

1.8.8 relación entre probabilidad de fallecimiento y tanto central De la expresión anterior se puede llegar a la expresión

1.8.9 relación entre probabilidad de supervivencia y tanto central

y por complementariedad, se tiene...

1.9 Esperanza de vida

1.9 esperanza de vida

La vida residual es la diferencia entre la edad del individuo y la edad esperada de fallecimiento. La vida residual es aleatoria (T(x) y la “x” entre paréntesis) porque a pesar de conocer la edad x del individuo, realmente no se conoce la edad X de fallecimiento.

Por narices, cumplirá la misma probabilidad que el fallecimiento...

De tal forma que sigue una función de distribución que se escribe pero que es lo mismo que la probabilidad de fallecimiento temporal de toda la vida

= y sigue una función de densidad


Ya que...


Igual que el tanto instantáneo de fallecimiento era la probabilidad en continuo de una función de densidad de fallecimiento sujeta a una edad del individuo,

la esperanza de vida es la probabilidad en continuo, de todos los años que quedan por vivir (de cero a w-x) de la función de densidad de la vida residual a lo largo de todas las fracciones de tiempo...

Si definimos esto con las dos posibilidades de la diapositiva anterior, quedará o bien

o también


Si se desarrolla

al final quedará

Si se sustituye ahora

queda...

donde... es la cantidad de existencia


1.9.2 Cantidad de existencia Es el número de años que todavía vivirán los individuos que han alcanzado la edad x.

La cantidad de existencia en la edad x, es la esperanza a esa edad multiplicado por el tamaño de la corte. Se puede expresar como...


1.9.3 Varianza de la vida residual Desarrollando E[T²(x)] se llega a...


1.9.4 esperanza de vida media Desarrollando la expresión de la cantidad de existencia en base a la función censal (individuos vivos de promedio a lo largo del año...)


1.9.4 esperanza de vida abreviada Es el número de años completos que vive un individuo de edad x antes de fallecer.

Se relaciona con el tanto anual de supervivencia como...


1.9.5 vida media diferida El número de años que vivirá una persona de edad x a partir de un momento x+m

1.9.6 vida media diferida completa

1.9.7 vida media diferida abreviada

1.10 Todas las relaciones

1.10. Todas las relaciones











2. ejercicios resueltos

1. Si se sabe



la probabilidad de supervivencia entre los 60 y los 66 años es igual a la proporción de vivos a los 66 respecto vivos en 60

la probabilidad de fallecer entre los 56 y

los 66 es igual al complementario de la proporción de vivos a los 66 respecto vivos a los 56.

ejemplifica que se puede calcular la

probabilidad de

supervivencia entre 56 y 60 como 1. la proporción de vivos a los 66 respecto vivos a 56 2. la inversa de vivos a los 66 respecto vivos a los 60 De algún modo es como calcular la probabilidad “pasándose de largo” y luego

corrigiendo hasta la edad deseada


2. Personas que fallecen a la edad de 79 = personas que sobreviven a los 80 = personas que sobreviven a los 70= personas que sobreviven a los 60= a) probabilidad de que una persona de 60 esté viva a los 70 prob.

de, teniendo 60, sobrevivir hasta los 70 es la proporción de vivos en 70 respecto vivos en 60 b) probabilidad de que una persona de 60 fallezca antes de los 80 prob. de, con 60, haber muerto antes de los 80 es la

cantidad de muertos entre 60 y 80 respecto los vivos en 60 c) probabilidad de que una persona de 60 fallezca a los 79 prob. de, con 60, llegar vivo hasta los

79 y fallecer antes de cumplir 80 es la proporción de muertos en 79 respecto los vivos en 60 d) probabilidad de que una persona de 60 fallezca entre los 70 y los 80  prob. de, con 60, vivir hasta los 70 y fallecer antes

de cumplir los 80 es la cantidad de muertos entre 70 y 80 respecto vivos en 60


3. Probabilidad de, con 35, fallecer antes de los 60; Prob. de, con 30, sobrevivir hasta los 60; ¿Prob. de, con 30, fallecer antes de 5 años; 30

35

? 60 w

0 ?

Es decir, la probabilidad de fallecer entre 30 y 60 años es = probabilidad de fallecer entre 30 y 35 o (en probabilidad “o” es sumar) vivir entre los 30 y los 35 y (multiplicar) luego

morir entre los 35 y los 60. Sólo falta relacionar


4. Probabilidad de, con 60, sobrevivir hasta los 68; Prob. de, con 60, sobrevivir hasta los 69; ¿Prob. de con 68, sobrevivir hasta los 69?

Relacionando probabilidad de supervivencia con cohortes...

y directamente


5. Si el tanto instantáneo de fallecimiento es el mismo para cualquier edad (constante)

¿prob de, con 30, sobrevivir hasta los 65 y fallecer antes de los 75?

la relación entre probabilidades y tanto instantáneo es


6. Prob de, con 60, vivir 10 años más; prob. de, con 60, fallecer entre 60 y 75;

¿prob de, con 60, alcanzar los 70 y fallecer antes de 75?

Si recordamos

sólo falta obtener


7. Si el tanto instantáneo de fallecimiento es el mismo para cualquier edad (constante)

¿cuántos años han de pasar para que una población de 100.000 se reduzca a 80.000? Si tenemos...

la relación entre tanto anual de supervivencia y tanto instantaneo de fallecimiento es

de forma que...


8. Si para una edad x se cumple que para todo 0 ≤t ≤ 3 cuál es

?

Siguiendo la relación

Para t=2


9. Si sabiendo que

siendo 0
y si

? entonces


10. Si sabiendo la prob de con x alcanzar x+t; Y sabiendo la prob. de con x, alcanzar x+t-1;

¿prob. de con edad x+t-1 fallecer antes de x+t,

?

La prob. de, con x+t-1, morir entre x+t-1 y x+t es igual a la probabilidad de, con x, morir entre t-1 t t ( ) sujeto a llegar vivo hasta t-1. Falta encontrar

una vez se sabe...


11. Si sabemos el nº de vivos en 37; y el tanto central de mortalidad en 37; ¿qué nº de personas fallecer en x=37 Si

y

?


12. Si sabemos el nº de vivos en 40; y el tanto central de mortalidad en 40; ¿qué nº de personas cumplen x=41, Si

y

?


14. Si sabemos el tanto anual de supervivencia a los 60; y a los 61; ¿cuál es,

?

se puede aproximar el tanto instantáneo de fallecimiento en una edad x (61) como la diferencia entre los vivos en x-1 (60) y vivos en x+1 (62) sujeto a dos veces la cantidad de vivos en la edad central x...


15. Si sabemos el nº de vivos que cumplen 32; y el nº que cumple 33; ¿cuál es,

?

Suponiendo una distribución uniforme de los fallecimientos,


16. Si se tiene una función

Es función de supervivencia porque cumple las propiedades de que a) b) c) d)

para la edad x=0 la cohorte es =1 y cumple que S(0) = 1 para la edad x= infinito actuarial, 100, la cohorte es = 0, S(w) = 0 la primera derivada es negativa; función decreciente la función es continua por la derecha entre 0 y 100 años


17. Si se tiene una función

a) La probabilidad de con 40, sobrevivir hasta los 60

b) La probabilidad de con 30, morir a los 35

c) Edad media de fallecimiento de los que mueren entre 40 y 60 años. Si sabemos que es la cantidad de existencia y que mide el nº de años TOTALES que viven los que fallecen a esa edad, será el número de años totales que se espera que viva los que mueren entre 40 y 60...


...y se calcula mediante...

...la vida media residual dará la cantidad de años que vive cada uno de los individuos que fallecen en el intervalo...

...finalmente la edad media de fallecimiento es tomar la edad inferior del intervalo (40) y sumarle la vida media reisdual. d) tanto instantáneo de fallecimiento a los 60


e) esperanza de vida a los 10 años Es la cantidad de años que vivirán los que fallecerán de una cohorte x=10, dividido por el número de individuos que viven a los 10 años...

...y

se entiende como el nº de años que se espera que aún vivan los individuos de 10 años.

f) vida residual probable a los 20 años La vida residual probable es el tiempo de vida en años para llegar al momento donde hay la misma probabilidad de fallecer que de sobrevivir


19. Ejercicios de rellenar tablas... edad x ...

. 1

2

3

1)

2) y también

3)

4)

4

5

6

7

8

9

10


edad x ...

. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5)

Si los periodos son de más de un año (quinquenales)

*5

si se acepta constancia del tanto instantáneo de fallecimiento la función censal cálculo más elaborado...

6) y se acepta la aproximación

tiene un

Estadistica Actuarial Vida

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