Cátedra: Metelli Profesores: Ma. Alejandra Metelli Alejandro Simón
Horario: Lu – Ju de 17 a 19 Sá de 9 a 11
Índice
CONTRATOS DE SEGURO............................................................................................................8 Introducción...................................................................................................................................8
UNIDAD I...................................................................................................................13 Factores de valuación...................................................................................................................13 Capital Diferido de Vida: E(x;t).....................................................................................................14 Análisis de la función...................................................................................................................15 Valores singulares del capital diferido de vida..............................................................................16 Comparación del capital diferido de vida con sus componentes..................................................16 Marcha Progresiva Colectiva.......................................................................................................17 Marcha Progresiva Individual......................................................................................................18 Factor de Capitalización Actuarial................................................................................................20 Análisis de la Función...................................................................................................................21 Valores singulares del Factor de Capitalización Actuarial............................................................22 Comparación del factor de capitalización actuarial con sus componentes...................................22 Capital Diferido de Muerte............................................................................................................23 Expresión del capital diferido de Muerte por medio de la esperanza matemática........................24 Análisis de la función...................................................................................................................24 Valores singulares del factor de actualización actuarial muerte...................................................25 Marcha Progresiva Colectiva.......................................................................................................26 Marcha Progresiva Individual para la Edad de Inicio “x”............................................................27
UNIDAD II.................................................................................................................29 Valores de Conmutación..............................................................................................................29 Relaciones entre los valores de Conmutación..............................................................................30 Seguros de vida de capitales múltiples o Rentas Vitalicias............................................................31 Valores singulares de las rentas vitalicias.....................................................................................35 Análisis de la función...................................................................................................................36 Marchas progresivas de rentas vitalicias......................................................................................39 Marcha Colectiva de riesgo Inmediato y Temporario............................................................................................39 Marcha Individual de riesgo Inmediato yTemporario...........................................................................................40 Marcha colectiva de riesgo diferido y limitado.....................................................................................................40 Marcha individual de riesgo diferido y limitado...................................................................................................42 Casos particulares..................................................................................................................................................43
Valor Final de los seguros de vida de capitales múltiples o Imposiciones Vitalicias....................44 Caso particular de las imposiciones vitalicias (por llegar al final de la tabla)...............................46
UNIDAD III............................................................................................................... 47 Seguros de Muerte..........................................................................................................................47 Marchas Progresivas del Seguro de Muerte.................................................................................52 1- Marcha 2- Marcha 3- Marcha 4- Marcha
colectiva del seguro de muerte de riesgo inmediato y limitado (a prima pura única)........................52 individual del seguro de muerte de riesgo inmediato y limitado (a prima pura única)......................53 colectiva del seguro de muerte de riesgo diferido y limitado (a prima pura única)............................54 individual del seguro de muerte de riesgo diferido y limitado (a prima pura única)..........................55
Relaciones entre Seguros de Vida y de Muerte............................................................................56 Análisis de la Función...................................................................................................................58 Cálculo de las Primas Puras Anuales o Primas Niveladas............................................................60 Primas puras anuales del Capital diferido de vida........................................................................60 Primas puras anuales de las rentas vitalicias.................................................................................61 Primas puras anuales del seguro de muerte..................................................................................63 2
Marcha Progresiva Colectiva de Seguro de Renta Vitalicia Diferida y Limitada (a prima pura anual)............................................................................................................................................65
UNIDAD IV................................................................................................................66 Planes Mixtos y Planes Especiales.................................................................................................66 Plan mixto o Plan Dotal.................................................................................................................66 Prima pura única:.........................................................................................................................66 Prima Pura Anual:........................................................................................................................66 Plan Dotal Doble Capital o Capital Doblado................................................................................67 Prima Pura única:.........................................................................................................................67 Prima pura anual:.........................................................................................................................68 Planes Especiales...........................................................................................................................69 Término Fijo...................................................................................................................................69 Comparación con el Plan Dotal....................................................................................................69 Marcha Progresiva Colectiva (a prima pura única ).....................................................................70 Marcha Progresiva Individual (a prima pura única).....................................................................71 Seguro de Cuotas o Rentas Post-Mortem.......................................................................................72 Cuando el plazo de cobertura de muerte es menor que el plazo de cancelación de deudas.........73 Marcha progresiva individual a prima pura anual.........................................................................73 Seguros de Saldo de Deuda............................................................................................................74 Sistema Francés............................................................................................................................74 Sistema alemán.............................................................................................................................75 Préstamo cancelable mediante un sistema americano sin constitución de fondo..........................77 Préstamo cancelable mediante un sistema americano con constitución de fondo........................78
UNIDAD V................................................................................................................. 80 Seguros de Capitales Múltiples Variables......................................................................................80 Seguros de vida de capitales múltiples variables en progresión aritmética...................................80 - Crecientes de razón igual al capital inicial (Increasing).............................................................80 Marcha progresiva individual a P.P.U. de un seguro de vida de capitales variables en progresión aritmética de razón igual al capital inicial (increasing).................................................................88 - Crecientes de razón distinta al capital inicial.............................................................................88 - Decrecientes de razón igual al capital final (Decreasing)...........................................................92 Seguros de muerte de capital variable en progresión aritmética...................................................96 - Creciente de razón igual al primer capital..................................................................................96 Marcha progresiva individual a P.P.U. de seguros de muerte de capitales variables crecientes en progresión aritmética de razón igual al primer capital (Increasing-diferida h y limitada n)........104 Seguros Variables de Razón “r”...................................................................................................104 Seguro Variable de riesgo diferido y plazo limitado: A (x; h; n; r).............................................105 Seguro Variable de riesgo inmediato y plazo limitado:..............................................................107 Seguro Variable de riesgo inmediato y plazo ilimitado:.............................................................107 Seguro Variable de riesgo diferido y plazo ilimitado:.................................................................108 Seguro de Muerte Decreciente de Razón Igual al Último Capital...............................................110 Seguro de muerte de riesgo diferido y plazo limitado................................................................110 Seguro de Muerte de riesgo inmediato y plazo limitado:...........................................................111 Seguro de Muerte de riesgo inmediato y plazo ilimitado:..........................................................112 Seguro de Muerte de riesgo diferido y plazo ilimitado:.............................................................113 Cálculo de las Primas Puras Anuales...........................................................................................114 - Crecientes de razón igual al valor de la Pv(x;n).......................................................................114 - Decrecientes de razón igual al valor de la Pv(x;n)...................................................................115 3
- Primas variables de razón diferente al valor de la Pv(x;n).......................................................115 Seguros de vida de capitales múltiples variables en progresión geométrica................................116 1) De riesgo inmediato y plazo limitado.....................................................................................116 2) De riesgo inmediato, sin límite...............................................................................................116 3) De riesgo diferido y plazo limitado........................................................................................117 4) De riesgo diferido, sin límite..................................................................................................118 Seguros de muerte de capitales múltiples variables en progresión geométrica...........................119 1) De riesgo inmediato y plazo limitado.....................................................................................119 2) De riesgo inmediato, sin límite...............................................................................................120 3) De riesgo diferido y plazo limitado........................................................................................120 4) De riesgo diferido, sin límite..................................................................................................121
UNIDAD VI..............................................................................................................123 Seguros Fraccionarios..................................................................................................................123 Distribución Uniforme de Fallecimientos (D.U.F.).....................................................................123 Distribución uniforme del capital diferido de vida (D.U.E.)......................................................123 Seguros fraccionarios - Capital Diferido de Vida........................................................................125 1) Riesgo inmediato y limitado...................................................................................................125 2) Riesgo inmediato y sin límite.................................................................................................127 3) Riesgo diferido y limitado......................................................................................................129 4) Riesgo diferido y sin límite....................................................................................................131 Resolución por Woolhouse............................................................................................................133 Seguros fraccionarios - Muerte....................................................................................................133 1) Riesgo inmediato y limitado...................................................................................................134 2) Riesgo inmediato y sin límite.................................................................................................136 3) Riesgo diferido y limitado......................................................................................................137 4) Riesgo diferido y sin límite....................................................................................................139 Primas Fraccionarias...................................................................................................................141 Con efecto liberatorio................................................................................................................141 Sin efecto liberatorio..................................................................................................................143 Seguros Continuos........................................................................................................................144 En el caso de Seguros de Vida:..................................................................................................144 En el caso de Seguros de Muerte:..............................................................................................144
UNIDAD VII............................................................................................................ 146 Primas de Tarifa...........................................................................................................................146 1- Capital diferido de vida..........................................................................................................148 2- Seguro de Muerte..................................................................................................................149 3- Plan Dotal..............................................................................................................................150 4- Plan Dotal Doble Capital.......................................................................................................152 5- Rentas Vitalicias.....................................................................................................................153 6- Término Fijo..........................................................................................................................154 Contraseguro................................................................................................................................155 1- Cobertura principal: Capital Diferido de Vida.......................................................................157 2- Cobertura principal: Seguro de Muerte de riesgo inmediato y temporario...........................159 3- Cobertura principal: capital diferido de vida con n
UNIDAD VIII...........................................................................................................171 4
Reservas Matemáticas..................................................................................................................171 Introducción...............................................................................................................................171 Seguro Temporario de Muerte:..................................................................................................171 Seguro del Capital diferido de vida............................................................................................174 Seguro Dotal..............................................................................................................................176 Seguro Dotal Doble Capital.......................................................................................................179 Seguro Ordinario de Vida...........................................................................................................181 Plan Vida Pagos Limitados.........................................................................................................182 Seguro de Muerte de Riesgo Diferido y Plazo Limitado...........................................................183 Renta Vitalicia de Riesgo Diferido y Plazo Limitado.................................................................185 Seguro de Término Fijo.............................................................................................................186 Seguro de Cuotas.......................................................................................................................187 Increasing de Vida de Riesgo Inmediato y Plazo Limitado........................................................189 Increasing de Vida de Riesgo Diferido y Plazo Limitado...........................................................190 Decreasing de Vida de Riesgo Inmediato y Plazo Limitado.......................................................191 Increasing de Muerte de Riesgo Inmediato y Plazo Limitado....................................................192 Increasing de Muerte de Riesgo Diferido y Plazo Limitado......................................................193 Decreasing de Muerte de Riesgo Inmediato y Plazo Limitado..................................................195 Seguro de Vida de Capitales Múltiples Crecientes.....................................................................196 Método de Recurrencia para el Cálculo de las Reservas Matemáticas.......................................197 I) Seguro Temporario de Muerte...............................................................................................198 II) Capital Diferido de Vida........................................................................................................198 III) Seguro Dotal.......................................................................................................................198 IV) Seguro Dotal Doble Capital................................................................................................198 V) Ordinario de Vida..................................................................................................................199 VI) Vida - Pagos Limitados........................................................................................................199 VII) Seguro de Muerte Diferido y Temporario..........................................................................199 VIII) Renta Vitalicia a Riesgo Diferido y Temporario...............................................................200 IX) Término Fijo........................................................................................................................200 X) Post - Mortem.......................................................................................................................200 XI) Increasing - Muerte Diferido y Temporario.........................................................................200 XII) Increasing - Vida Diferido y Temporario............................................................................201 XIII) Decreasing - Muerte Diferido y Limitado.........................................................................201 XIV) Decreasing - Vida Diferido y Limitado.............................................................................202 Primas de Riesgo y Primas de Ahorro..........................................................................................202 I) Temporario de Muerte............................................................................................................203 II) Capital Diferido de Vida........................................................................................................203 III) Seguro Dotal.......................................................................................................................203 IV) Seguro Dotal Doble Capital...............................................................................................204 V) Ordinario de Vida..................................................................................................................204 VI) Vida - Pagos Limitados........................................................................................................205 VII) Seguro de Muerte Diferido y Temporario..........................................................................205 VIII) Renta Vitalicia a Riesgo Diferido y Plazo Limitado..........................................................206 IX) Término Fijo........................................................................................................................206 X) Post - Mortem.......................................................................................................................207 XI) Increasing - Muerte Diferido y Temporario.........................................................................207 XII) Increasing - Vida Diferido y Temporario............................................................................208 XIII) Decreasing - Muerte Diferido y Limitado.........................................................................208 XIV) Decreasing - Vida Diferido y Limitado.............................................................................209 Valores de Rescate – Seguro Saldado - Prorrogado.....................................................................209 Reservas Fraccionarias................................................................................................................213 5
I) Seguro Temporario de Muerte...............................................................................................214 II) Capital Diferido de Vida........................................................................................................214 III) Seguro Dotal.......................................................................................................................215 IV) Seguro Dotal Doble Capital................................................................................................215 V) Ordinario de Vida..................................................................................................................216 VI) Vida - Pagos Limitados........................................................................................................216 VII) Seguro de Muerte Diferido y Temporario..........................................................................216 VIII) Renta Vitalicia a Riesgo Diferido y Temporario...............................................................217 IX) Término Fijo........................................................................................................................217 X) Post - Mortem.......................................................................................................................218 XI) Increasing - Muerte Diferido y Temporario.........................................................................218 XII) Increasing - Vida Diferido y Temporario............................................................................218 XIII) Decreasing - Muerte Diferido y Limitado.........................................................................219 XIV) Decreasing - Vida Diferido y Limitado.............................................................................219 Reserva de Balance.......................................................................................................................220 I) Seguro Temporario de Muerte...............................................................................................220 II) Capital Diferido de Vida........................................................................................................220 III) Seguro Dotal.......................................................................................................................220 IV) Seguro Dotal Doble Capital................................................................................................220 V) Ordinario de Vida..................................................................................................................220 VI) Vida - Pagos Limitados........................................................................................................220 VII) Seguro de Muerte Diferido y Temporario..........................................................................221 VIII) Renta Vitalicia a Riesgo Diferido y Temporario...............................................................221 IX) Término Fijo........................................................................................................................221 X) Post - Mortem.......................................................................................................................221 XI) Increasing - Muerte Diferido y Temporario.........................................................................221 XII) Increasing - Vida Diferido y Temporario............................................................................221 XIII) Decreasing - Muerte Diferido y Limitado.........................................................................221 XIV) Decreasing - Vida Diferido y Limitado.............................................................................221 Agrupamiento de Reservas...........................................................................................................221 Números de Witting.......................................................................................................................227 Temporario de Muerte:..............................................................................................................227 Vida - Pagos Limitados:.............................................................................................................227 Dotal:.........................................................................................................................................227 Dotal Doble Capital:..................................................................................................................227 Ordinario de Vida:......................................................................................................................228 Capital Diferido de Vida:............................................................................................................228 Seguro de Muerte Diferido y Temporario:.................................................................................228 Seguro de Muerte Diferido e Ilimitado:.....................................................................................228 Seguro de Vida Diferido y Temporario:.....................................................................................228 Seguro de Vida Diferido e Ilimitado:.........................................................................................228
UNIDAD IX..............................................................................................................229 Seguros sobre Dos o Más Vidas....................................................................................................229 Supervivencia Conjunta................................................................................................................229 Cálculo de supervivencia conjunta.............................................................................................229 Makeham..............................................................................................................................................................229 Gompertz..............................................................................................................................................................231
Último Sobreviviente (al menos 1).............................................................................................232 Al menos “r” con vida y exactamente “r” con vida....................................................................234 Método ZETA............................................................................................................................236 6
Seguros - Supervivencia Conjunta................................................................................................236 Capital Diferido de Vida.............................................................................................................236 Seguro de Vida Inmediato y Temporario...................................................................................237 Seguro de Muerte Inmediato y Temporario...............................................................................237 Relacaión Vida - Muerte............................................................................................................237 Seguros - Último Fallecimiento....................................................................................................238 Capital Diferido de Vida.............................................................................................................238 Seguro de Vida Inmediato y Temporario...................................................................................238 Seguro de Muerte Inmediato y Temporario...............................................................................238 Reserva Matemática...................................................................................................................239 Seguros – Exactamente “r”o al menos “r”.................................................................................239 Capital Diferido de Vida.............................................................................................................239 Seguro de Vida Inmediato y Temporario...................................................................................240 Seguro de Muerte Inmediato y Temporario...............................................................................240
UNIDAD X............................................................................................................... 242 Invalidez sin Rehabiliiitación.......................................................................................................242 Definiciones................................................................................................................................242 Relaciones..................................................................................................................................243 Probabilidades............................................................................................................................243 Hipótesis en Función al Riesgo de Invalidez................................................................................243 Planteo de Coberturas..................................................................................................................244 Capital Diferido de Vida.............................................................................................................244 Rentas.........................................................................................................................................245 Coberturas de Muerte................................................................................................................246 Nueva Cobertura........................................................................................................................247 Relación Vida - Muerte..............................................................................................................247 Reservas Cargadas y el Método Zillmer.......................................................................................248 Nomenclatura.............................................................................................................................248 Reservas Puras y Reservas Cargadas.........................................................................................249 El método de ZILLMER............................................................................................................250 La Carga Máxima y los Gastos de Adquisición:.........................................................................250 Reservas Zillmerradas negativas................................................................................................251
7
CONTRATOS DE SEGURO Introducción Para comprender la verdadera naturaleza del contrato del seguro que se basa en la repartición de los riesgos entre un gran número de personas; no debe entenderse éste, únicamente, como un contrato entre dos personas, pues para que el seguro funcione es preciso suponer no un asegurado único en presencia de un riesgo de realización muy incierta, sino un gran número de personas expuestas al mismo riesgo; es preciso suponer, además, que este riesgo es de realización frecuente, y que los siniestros que causa anualmente se producen con una regularidad casi constante, con oscilaciones alrededor de una cifra media; en estas condiciones todas esas personas tienen interés evidente en concertarse para repartir entre ellas la pérdida total de los siniestros anuales, y por ese medio, cada una de ellas deja de estar expuesta a un riesgo enorme, susceptible de realizarse, pero capaz de arruinarla o empobrecerla gravemente si llega a producirse, y en lugar de este peligro, cada uno soporta de una manera casi fija un ligero sacrificio económico, casi insensible para ciertos riesgos, pero que basta para hacer frente a las pérdidas anuales del conjunto del grupo.
Seguros de Vida Como es sabido, el seguro es un contrato por el cual “el asegurador, a cambio de una prima, se obliga a resarcir al asegurado, dentro de los límites convenidos, del daño que le haya producido un siniestro, o bien, a pagar un capital o una renta al verificarse un evento relativo a la vida humana”. La primera parte de la definición se refiere a los seguros llamados elementales (contra los daños), la segunda a los seguros de vida (trataremos solamente estos últimos). Sin embargo, es necesario manifestar algunas diferencias entre los seguros elementales y el seguro de vida. Se observa que: -En los seguros elementales la prestación tiene lugar cuando se verifica un siniestro que provoca un daño; en el seguro de vida la prestación tiene lugar al verificarse un evento (de vida o de muerte) que no siempre es dañoso: el hecho puede ser la muerte, pero puede ser también alcanzar determinada edad. En este caso, quien contrata un seguro de vida está pensando en un acto de ahorro para garantizarse la disponibilidad futura de ciertos medios. -En los seguros elementales existe el resarcimiento (eventualmente parcial) de un daño que es determinable objetivamente incluso existiendo incertidumbres en la valoración; en el seguro de vida se paga un capital o una renta en la cuantía prefijada en el contrato (y elegido arbitrariamente por el contratante), que no está en relación directa con el importe de un daño (que puede también no existir y en todo caso no es valorable con certeza). -El seguro elemental es generalmente un contrato a corto plazo, frecuentemente anual; el seguro de vida es, por el contrario, a largo plazo, por tal motivo en el seguro de vida intervienen consideraciones de matemática financiera que a menudo pueden ser despreciadas en los ramos elementales. -El seguro elemental tiene únicamente la función de cubrir un riesgo mientras que en el seguro de vida existe casi siempre una función de ahorro. Los seguros de vida son variadísimos, aunque la mayor parte de los contratos entran en pocas categorías. Sin embargo, es importante precisar sus características. En definitiva se deben indicar las prestaciones requeridas a la Compañía, de éstas se debe conocer con precisión: el capital, el vencimiento y las condiciones.
Las Partes 8
El contrato se estipula entre dos partes: el asegurador y el asegurado. El asegurador puede ser una sociedad anónima o un instituto de Derecho Público, o eventualmente, una mutualidad; por la otra parte hay que distinguir entre asegurado, contratante y beneficiario. El contratante es quien estipula el contrato y paga las primas; el beneficiario es quien cobrará el capital o la renta; el asegurado es la persona sobre cuya vida se estipula el contrato. Las tres personas pueden coincidir en una sola, a menudo en dos; pero existen casos en que se trata de tres personas distintas. Además pueden existir varios asegurados (seguros sobre varias cabezas) y varios beneficiarios. Por ejemplo, en un seguro de muerte, el asegurado es la persona cuya vida se está asegurando y los beneficiarios serán sus derechohabientes y el contratante puede ser el asegurado u otra persona. Desde el punto de vista del cálculo actuarial interesa sólo la persona (y por lo tanto, su edad, sus condiciones de salud, etc.) del asegurado o de los asegurados. El asegurador es un empresario que estipula el contrato con tarifas preestablecidas; como cualquier empresario corre el riesgo de fijar precios insuficientes para cubrir los costes, y por lo tanto, de cerrar la propia actividad con pérdida. Es indudable que las compañías de seguros bajo la forma de empresa, para poder maniobrar con cierta seguridad, deben fijar tarifas elevadas que permiten amplios márgenes de ganancia; además, tratándose (en el ramo vida) de contratos a largo plazo, la fijación de primas que permanecerán invariables durante largos períodos de tiempo, da la posibilidad de importantes ganancias o pérdidas si cambian las condiciones técnicas.
Estipulación del Contrato La estipulación del contrato tiene lugar normalmente por medio de los agentes (productores) que pueden tener también otros cometidos (cobro de primas y liquidación de siniestros). El productor formula sólo propuestas de contrato, posteriormente debe intervenir la aprobación de la compañía. El contrato está representado por un documento llamado póliza que contiene todas las condiciones esenciales. Normalmente la compañía conoce por adelantado las condiciones de salud del asegurado haciéndolo pasar por una revisación médica. La revisación médica debe determinar si el asegurado puede considerarse como un riesgo normal (en cuyo caso será aceptado en condiciones normales, o sea, según la tarifa general), o por el contrario tiene alguna enfermedad, invalidez, defectos físicos, de tal manera que tenga que considerarse como riesgo agravado (o, como se llama a menudo, riesgo tarado). Según la naturaleza y la gravedad de la tara, la proposición puede ser rechazada o aceptada en condiciones especiales, normalmente con una sobreprima, y otras veces con una limitación a las prestaciones de la compañía (por ejemplo pago parcial del capital asegurado a lo largo de un período de tiempo). La revisación médica se requiere cuando el contrato prevé una prestación en caso de muerte (dado que las taras eventuales agravan el riesgo), y trae como consecuencia que los asegurados se consideren, al menos en los primeros años del seguro, como individuos seleccionados (con mortalidad inferior a la de los de la misma edad de la población general). Naturalmente los efectos de tal selección se agotan rápidamente, y a menudo se considera que al cabo de tres o, como máximo, de cinco años los asegurados pueden considerarse como personas normales. 9
No es necesaria la revisación médica para los contratos que prevén prestaciones en caso de vida; en este caso existe una auto selección; son los mismos asegurados quienes están inducidos a estipular tal tipo de contratos sólo si se consideran en buenas condiciones de salud.
La Prima Es el precio que pide la compañía al asegurado (más bien, al contratante), para garantizarle las prestaciones de los contratos. El contrato puede prever el pago de una prima única; sin embargo, es más frecuente la prima periódica. Se llama prima única, si se paga de una sola vez, en el momento de la estipulación del contrato; el contrato se perfecciona con tal pago, y a partir de entonces sólo quedan las obligaciones a cargo de la compañía; a la póliza se la llama entonces liberada (no existen compromisos para el asegurado). Pero en la mayor parte de los casos, el contratante prefiere aplazar sus pagos, lo cual se corresponde mejor con la función económica del seguro como forma de ahorro. Al contratarse una prima periódica, se debe fijar: -el período -la duración del pago de las primas. En todo caso, la primera prima se paga a la estipulación del contrato, con lo que se perfecciona éste. Por lo que respecta al período, las primas pueden ser anuales o fraccionadas. La prima anual se paga al comienzo de cada año (a partir de la fecha de contratación y por el plazo establecido); la prima fraccionaria es en la práctica semestral, trimestral o mensual. En cuanto a la duración, hay que tener en cuenta que es aleatoria, porque la obligación de pagar las primas cesa normalmente a la muerte del contratante. Tal condición es evidente cuando la muerte del contratante pone fin al contrato, como ocurre normalmente. Pero también suele ser así cuando el contrato permanece en vigor, porque en general, se prefiere que los beneficiarios queden libres de cualquier compromiso. Se observa que, mientras en los seguros a prima única son aleatorias las prestaciones de la compañía, en la prima periódica resultan aleatorias las prestaciones del asegurado (contratante). La prima periódica se llama vitalicia si es pagada hasta la muerte del contratante; se llama temporal si hay establecido un número máximo de primas a pagar. La prima periódica es generalmente constante, aunque pueden existir primas variables. Así puede haber: 1- una prima periódica que crece / decrece anualmente en progresión aritmética, o sea, con un crecimiento / decrecimiento fijo. 2- una prima periódica constante que se reduce a la mitad (o en otra fracción) al cabo de cierta edad. Eventualmente, se pueden tener más reducciones sucesivas. Con referencia a la prima fraccionada, se observa que el fraccionamiento puede entenderse de dos modos diversos. Normalmente, vale el principio clásico de que la prima es pagada sólo si el contratante permanece con vida en cada uno de los vencimientos; otras veces se toma como un fraccionamiento puramente financiero de la prima anual. En este caso, si el contratante permanece vivo, al comienzo de determinado año, se consideran como pagaderas todas las fracciones de prima que vencen en aquel año. En consecuencia, a la muerte del contratante, del capital pagadero a los beneficiarios, habrá que descontar las primas fraccionadas que debieron pagarse en el año en curso. 10
Cada compañía de seguros establece sus propias tarifas, que son aplicadas de modo uniforme a todos los contratos, salvo para los riesgos agravados que tienen un tratamiento particular. No existe aquí una contratación del precio entre las partes; en general existe una prohibición específica de practicar descuentos sobre las tarifas (salvo facilidades particulares, como eximir de los accesorios por ejemplo a los dependientes de las compañías). Las tarifas están fijadas siempre por unidad de capital o de renta y, por lo tanto, la prima resulta proporcional a la cuantía del seguro (con la salvedad de cualquier derecho fijo que generalmente grave solo la primera prima).
Ejecución del contrato Perfeccionado el contrato por el pago de la prima única o de la prima periódica, la ejecución comprende finalmente el pago de las primas sucesivas por parte del contratante (salvo en el caso de la prima única) y la prestación o las prestaciones por parte de la compañía. El contrato puede terminar a un vencimiento dado o a la muerte del asegurado o a uno de los asegurados. Y, naturalmente, puede terminar sin ninguna prestación por parte de la compañía. Mientras el compromiso de la compañía es inderogable, el contratante tiene amplias facultades para abandonar el contrato o sustituirlo por otro. Las condiciones de la póliza regulan de manera explícita la hipótesis de que no se paguen las primas; ésto supone según los casos: - la anulación, - la reducción. En ciertos casos se permite al contratante, el rescate de la póliza, o sea, abandonar el contrato recibiendo cierto capital en efectivo (valor de rescate). Normalmente los valores de rescate en diferentes momentos ya están impresos en la póliza. Obsérvese que el valor de rescate procede sólo en aquellos contratos que prevé una prestación cierta por parte de la compañía (aunque sea de vencimiento aleatorio). En tal caso se trata únicamente de anticipar un pago que en cualquier caso tendrá que hacer, antes o después. El valor de rescate será naturalmente inferior al capital asegurado en un principio, ya sea a causa de este anticipo, o, en el caso de las primas periódicas, porque el contratante ha pagado sólo parcialmente las primas debidas, o también puede deberse a la descompensación de la cartera, ya que en general, los que abandonan son los ‘mejores riesgos’. Si, por el contrario, la prestación por parte de la compañía es aleatoria, el rescate no es posible; el asegurado no puede pretender nada si la condición a la que esta subordinada la prestación, no se ha verificado.
Determinación de las Primas Generalidades sobre las tarifas Existen algunas características particulares que conviene hacer notar. En primer lugar se trata de contratos a muy largo plazo, por lo cual las consecuencias económicas de precios eventualmente inadecuados pueden prolongarse mucho a lo largo del tiempo y ser muy importantes; se precisa, por lo tanto, una particular cautela en la determinación de las primas. En segundo lugar, por cada tipo de contrato, pueden presentarse numerosas combinaciones de edades y vencimiento; por lo tanto, es necesario establecer un criterio general que sirva para determinar las primas en cada una de las hipótesis. El problema es análogo al que se presenta en las operaciones financieras: entre las partes se conviene (o lo fija una de ellas) la ley de interés que 11
vendrá aplicada y conforme a ella, se determina la cuantía de cada una de las prestaciones caso por caso. Por lo tanto las primas aparecen siempre por lo menos formalmente, como resultado de una elaboración matemática. Generalmente, las primas se calculan en dos fases; en un primer momento, la compañía calcula las llamadas primas puras o teóricas, y después añadiendo a éstas uno o varios conceptos diversamente calculados (recargos) se llegan a fijar las primas que efectivamente tendrá que pagar el contratante y se llaman primas de tarifa. Con poca precisión, se puede decir que la prima pura corresponde al costo del servicio pedido por el asegurado, mientras que la prima de tarifa es un precio. Para precisar este concepto en una primera aproximación, conviene tener presente que: a) El asegurador soporta dos clase de costes. Por una parte existen los costes directos que se derivan de las prestaciones previstas en el contrato (pago del capital al beneficiario). Por otra parte están todos los otros costes (imputables o no a cada uno de los contratos). En la determinación de las primas puras se tienen únicamente en cuenta los costes directos y por ello se habla de primer coste. b) El asegurador se encuentra con que dispone de fondos elevados que debe invertir de manera rentable y por lo tanto, además de los ingresos que derivan de las primas recaudadas, tiene otros ingresos que provienen de los rendimientos de las diferentes inversiones. En la determinación de las primas puras se hace siempre una hipótesis sobre el rendimiento (medio) de tales inversiones; en la práctica, se supone que ello se traduzca en una ley exponencial y se trata de prever el tanto (anual de interés) de esta ley. c) Con relación a un contrato particular, los costes directos son aleatorios y en general los ingresos también lo son (al menos en el caso de las primas periódicas); por lo tanto es aleatorio el resultado económico del contrato. Teniendo en cuenta todo esto, la prima pura es la prima que debería cobrar la compañía para que, con base a una hipótesis determinada sobre el rendimiento de las inversiones y según la probabilidad de verificación de los eventos a los que están conectadas las prestaciones de las partes, el valor medio del resultado económico (brutos porque se consideran únicamente los costes directos) sea cero. Vulgarmente se dice a menudo que si se hiciera pagar únicamente la prima pura y no se tuvieran otros gastos (además de los costes directos), el asegurador cerraría sin ganancia ni pérdida. Pero hay que precisar que ésto supone: a) Por lo que respecta al rendimiento de las inversiones, que los fondos invertidos den un rendimiento que corresponda exactamente a la ley exponencial tomada como base del cálculo; b) Por lo que respecta a la aleatoriedad de las prestaciones, que se refiera a una masa de contratos en los que se verifique las mismas frecuencias que las probabilidades consideradas en el cálculo del valor medio.
12
UNIDAD I Factores de valuación Financiero 0
t
vt
1- v t = Df(0,t,i)
1 Régimen de Actualización
d= 0
i 1 i
t (1 i) t
1
(1 i ) t
-1 = If(0;t;i)
Régimen de Capitalización Biométrico 0
t
x P(x;t)
x+t Régimen de Actualización
1-p(x;t) = Db(0,t) = q(x;0;t) 1 q(x;0;t) =
0 1
ib(x;0; t) 1 ib(x;0; t)
t p (x;t)
p-1(x;t)-1 = Ib(x;0;t) = ib(x;0;t)
-1
Régimen de Capitalización donde: p-1(x;t) es el factor de capitalización biométrico, Db(0;t) Descuento biométrico, q(x;0;t) tasa de descuento biométrico, ib(0;t) son los intereses que le deja los muertos a los que sobreviven. Actuarial 0 x E(x;t)
t x+t $1.-
Capital Diferido de Vida: E(x;t) Es el valor actual actuarial a la edad x del capital unitario pagadero en el momento “t”; si ésta sobrevive a tal fecha. 13
En edades E(x,x+t) donde “x” es la edad de valuación si se trata de una actualización actuarial o una edad de contratación si se trata de un seguro. P(x;1): prima pura única, pues el valor de la prima se paga una sola vez. P(x;1) < E(x;t) > : de este modo se indica la cobertura que se está ofreciendo. Sucesos
(x)
/
(x+t)
Capitales
0
1
Factor de actualización financiero
vt
vt
Factor de actualización biométrico q(x,0,t) 0.
Factor de actualización actuarial
vt
(x)
(x+t)
p(x;t)
q(x;0;t)=0
.
vt
.p(x;t)
La valuación es al momento cero, entonces: E(x;t) =
vt
E(x;t) =
(1 d ) t
Luego
.p(x;t)
interactúan un factor financiero ( v t ) y uno biométrico ( p(x;t)).
.[1-q(x;0;t)]
0
siendo: d la tasa de descuento financiera. q(x;0;t) tasa de descuento biométrico.
Ejemplo: E(26;20) = (1+0,04)-20.l(46)/l(26)=0,4563. 9168476 / 9629314 = 0,434545 Ley de recurrencia E(x;t) =
vt
.p(x;t) =
vt
t 1
t 1
t 1
s0
s0
s 0
. p( x s;1) = v p( x s;1) = E ( x s;1)
Considerando las edades x y z donde z = x+t 0
s
t
x
y
z
E(x,z) = E(x,y).E(y,z) E(x,y) =
E( x, z) E ( y, z )
1
E(y,z) =
E ( x , z) E ( x , y)
2
1 y 2 : Cualquier capital diferido de vida se puede calcular como cociente entre dos factores de actualización con igual edad de salida o igual edad de entrada.
Análisis de la función Variación del capital diferido de vida Existen tres diferentes variaciones: 14
1) Respecto al tiempo E(x;t) = E(x;t+1) - E(x;t) = E(x;t) . E(x+t;1) - E(x;t) = - E(x;t) [1- E(x+t;1)]
t 0
El capital diferido de vida es función DECRECIENTE en función del plazo, si la edad de contratación se mantiene constante. 1 = E(x;0) > E(x;1) > E(x;2) > ....... > E(x;t) > E(x;t+1) > ....... > E(x;w-x-1) > E(x;w-x) = 0 Ejemplo: x = 26 E(26;0) > E(26;1) > E(26;2) > ............ > E(26;10) >E(26;11) > ......... >E(26;73) > E(26;74) 1
> 0,959875 > 0,921378 > ........ > 0,6364197 > 0,610473 > ..... >0,00008745 > 0
2) Respecto a la edad
x
E(x;t) = E(x+1;t)- E(x;t) = -E(x;t).[1- E(x+1;t)] E(x;t) = - E(x;t).[1- p(x+1;t) ] < 0 p(x,t)
Siendo t constante, variando la edad, en la mayoría de los intervalos la función es decreciente. E(x;t) > E(x+1;t) > E(x+2;t) >.................> E(x+s;t) >..............................> E(w-1;t) < E(w;t) Ejemplo:
x = 26
t = 20
E(26;20)>E(27;20)>E(28;20)>.............>E(50;20)>....................>E(78;20)>E(79;20) 0,4337 >0,4316 >0,4308 >..............>0,31934 >...................>0,00365 > 0,00136 3) Respecto a la edad, pero con una edad de salida que no varía
E(x;y) = E(x+1;y)- E(x;y) x
= E(x+1;y) - E(x;x+1) . E(x+1;y) = E(x+1;y). [1- E(x;x+1)] > 0 A medida que la edad x, manteniendo constante la edad de salida (y), el valor del factor de actualización actuarial AUMENTA. E(x,y) < E(x+1,y) < ............
15
Ejemplo: E(26,46)< E(27,46)
1
Valores singulares del capital diferido de vida Con respecto al plazo y a los efectos del seguro, para una edad x, el menor plazo de cobertura es 1 y el mayor es w-x-1. E(x;1)=v.p(x;1) E ( x ; w-x-1 ) =
v ( w x 1) p( x; w x 1)
Con respecto a la edad, a los efectos del seguro, la mayor edad de contratación para un plazo t es w-t-1; para garantizar la existencia de algún sobreviviente (ya que nadie puede alcanzar la edad w). E ( w-t-1 ; t) =
vt
. p ( w-t-1 ; t)
A los efectos del factor de actualización en sí, el menor plazo de contratación es 0 y el mayor es w-x. E(x;0)=1 E ( x ; w-x ) = 0
Comparación del capital diferido de vida con sus componentes vt
E (x ; t ) =
.p(x;t)
Factor financiero E(x;t)<
vt
la desigualdad se da porque no hay certeza de que se cobre.
Factor biométrico E(x;t)
se paga si sobrevive t años, no existe rentabilidad de los fondos.
a) Diferencia entre el factor financiero y el factor actuarial - saco vt
vt
como factor común
-E(x;t)=
vt
-
=
vt
.[1-p(x;t)]
=
vt
.q(x;0;t)
vt
.p(x;t)
- saco E ( x ; t ) como factor común vt
- E ( x ; t ) = E ( x ; t ) . [ p-1 ( x ; t ) - 1 ] = E ( x ; t ). ib ( x ; 0 ; t ) 0
t
x
x+t
q(x;0;t)
ib(x;0;t) 16
b) Diferencia entre el factor biométrico y el factor actuarial - saco p ( x ; t ) como factor común p(x;t)-E(x;t)=p(x;t)-
vt
=p(x;t).[1-
.p(x;t) vt
]
= p ( x ; t ) . Df ( 0 ; t ; i ) - saco E ( x ; t ) como factor común p ( x ; t ) - E ( x ; t ) = E ( x ; t ) . [ v-t - 1 ] = E ( x ; t ) . If ( 0 ; t ; 1 ) 0
t
x
x+t
Df(0;t;i)
If(0;t;i)
Ejemplo: p(26;20) - E(26;20) = p(26;20).[1- 1,04-20 ]
Siendo [1- 1,04-20 ] el descuento financiero
= 0,95049493 .[1-1,04-20 ] = 0,516701 p(26;20)-E(26;20) = 0,95049493 -0,43379352 = 0,516701 Marcha Progresiva del Capital Diferido de Vida
Marcha Progresiva Colectiva l(x) personas abonan en el momento cero y por única vez, el valor de un prima (E(x;t)) a una compañía de seguros, para recibir en el momento “t” un capital equivalente a $1 si sobreviven. La compañía con lo recaudado en el momento cero, lo invierte por t años a una tasa de interés i. 0
t
x
x+t
l(x) E(x;t)
l (x+t) $1
17
Fechas
Concepto
Fórmulas
01.01. I
Recaudación
l(x).E(x;t) =
vt
.l(x+t)
t
t 1
t 1
t2
v . l(x+t) . (1+i) = v 31.12. I Saldo capitalizado con intereses . l(x+t) -----------------------------------------------------------------------------------------------------v 31.12.II Saldo capitalizado . l(x+t).(1+i) = v . l(x+t) -----------------------------------------------------------------------------------------------------..................
.........................................
................................................
-----------------------------------------------------------------------------------------------------t s 1
t s
v 31.12. s. Saldo capitalizado . l(x+t).(1+i) = v . l(x+t) -----------------------------------------------------------------------------------------------------..................
.........................................
.................................................
-----------------------------------------------------------------------------------------------------31.12. t. Saldo capitalizado v . l(x+t) . (1+i) = l(x+t) Ejemplo:
x = 26 n = 20
E(26;20)
Edad
l(x)
Saldo Inicial
Int. Fin.
Capit. Fin.
X
(1)
(2)=(1)*E(26;20)
(3)=(2)*0,04
(4)=(2)+(3)
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
9.646.002,00 9.629.314,00 9.612.848,00 9.596.506,00 9.580.096,00 9.563.532,00 9.546.499,00 9.529.029,00 9.510.829,00 9.491.807,00 9.471.775,00 9.450.563,00 9.427.881,00 9.403.557,00 9.377.322,00 9.349.002,00 9.318.244,00 9.285.071,00 9.249.138,00 9.210.284,00
4.203.453,44 4.371.591,57 4.546.455,24 4.728.313,45 4.917.445,98 5.114.143,82 5.318.709,58 5.531.457,96 5.752.716,28 5.982.824,93 6.222.137,93 6.471.023,44 6.729.864,38 6.999.058,96 7.279.021,31 7.570.182,17 7.872.989,45 8.187.909,03 8.515.425,39 8.856.042,41
168.138,14 174.863,66 181.858,21 189.132,54 196.697,84 204.565,75 212.748,38 221.258,32 230.108,65 239.313,00 248.885,52 258.840,94 269.194,58 279.962,36 291.160,85 302.807,29 314.919,58 327.516,36 340.617,02 354.241,70
4.371.591,57 4.546.455,24 4.728.313,45 4.917.445,98 5.114.143,82 5.318.709,58 5.531.457,96 5.752.716,28 5.982.824,93 6.222.137,93 6.471.023,44 6.729.864,38 6.999.058,96 7.279.021,31 7.570.182,17 7.872.989,45 8.187.909,03 8.515.425,39 8.856.042,41 9.210.284,10
Pago Cap. Aseg. Saldo Final (5)=l(46)*$1
(6)=(4)-(5)
4.371.591,57 4.546.455,24 4.728.313,45 4.917.445,98 5.114.143,82 5.318.709,58 5.531.457,96 5.752.716,28 5.982.824,93 6.222.137,93 6.471.023,44 6.729.864,38 6.999.058,96 7.279.021,31 7.570.182,17 7.872.989,45 8.187.909,03 8.515.425,39 8.856.042,41 9.210.284,00 0,00
Marcha Progresiva Individual El objetivo es mostrar que lo recaudado en concepto de prima en el momento “0” me alcanza para pagar el capital asegurado en el momento “t” que me comprometí. 0 x
t x+t 18
E(x;t) Fecha 01.01. I 01.01./31.12. I. 31.12. I. 01.01./31.12. I.
$1 Concepto P. P. U. Int. Finan. Saldo Parcial Int. Biomét.
Fórmulas E(x;t) = E(x;1) . E(x+1;t-1) = v . p(x;1).E(x+1;t-1) I(0;1) = i .E(x;t) = d.p(x;1) . E(x+1;t-1) E(x;t) + I(0;1) = (v+d) . p(x;1) . E(x+1;t-1) = p(x;1). E(x+1;t-1) Ib(x;0;1) = ib(x;0;1) . p (x;1) . E(x+1;t-1) = q(x;0;1) . E(x+1; t-1) 31.12. I. Saldo E(x;t) + I(0;1) + Ib(x;0;1) = [p(x;1) + q(x;0;1)] . E(x+1;t-1) = E(x+1;t-1) -------------------------------------------------------------------------------------------------------01.01./31.12.II. Int. Finan. I(1;2) = i . E (x+1;t-1) = d . p(x+1;1) . E(x+2;t-2) 31.12.II. Saldo Parcial E(x+1;t-1) + I(1;2) = (v+d) . p(x+1;1) . E(x+2;t-2) 01.01./31.12.II. Int. Biomét. Ib(x+1;0;1) = ib(x+1;0;1) . p(x+1;1) . E(x+2;t-2) = q(x+1;0;1) . E(x+2;t-2) 31.12.II. Saldo E(x+1;t-1) + I(1;2) + Ib(x+1;0;1) = [ v . p(x+1;1) + d . p(x+1;1) + q(x+1; 0; 1) ].E(x+2;t-2) = [ v . p(x+1;1) + d . p(x+1;1) + (1-p(x+1; 1) ].E(x+2;t-2) = p(x+1;1).[v+d-1] . E(x+2;t-2) + E(x+2;t-2) = E(x+2;t-2) --------------------------------------------------------------------------------------------------------...................... ............. ......................................................................... --------------------------------------------------------------------------------------------------------01.01./31.12. s. Int. Finan. I( s-1;s ) = i . E(x+s-1;t-s+1) = d . p(x+s-1;1) . E(x+s;t-s) 31.12. s. Saldo Parcial E(x+s-1;t-s+1) + I(s-1;s) = (v+d) . p(x+s-1;1) . E(x+s;t-s) 01.01./31.12. s. Int. Biomét. Ib(x+s-1;0;1) = ib(x+s-1;0;1). p(x+s-1;1). E(x+s;t-s) = q(x+s-1;0;1) . E(x+s;t-s) 31.12. s. Saldo E(x+s-1;t-s+1) + I(s-1;s) + Ib(x+s-1;0;1) = = E(x+s;t-s) . p(x+s-1;1). [v+d-1] + E(x+s;t-s) = E (x+s;t-s) --------------------------------------------------------------------------------------------------------.................... .............. ....................................................................... --------------------------------------------------------------------------------------------------------01.01./31.12. t. Int. Finan. I(t-1;t) = i . E(x+t-1;1) = d . p(x+t-1;1) . E(x+t;0) 31.12. t. Saldo Parcial E(x+t-1;1) + I(t-1;t) = (v+d) . p(x+t-1;1). E(x+t;0) 01.01./31.12. t. Int. Biomét. Ib(x+t-1;0;1) = ib(x+t-1;0;1) . p(x+t-1;1) . E(x+t;0) 31.12. t. Saldo E(x+t-1;1) + I(t-1;1) + Ib(x+t-1;0;1) = = E(x+t;0) . p(x+t-1;1) . [v+d-1] + E(x+t;0) = E(x+t;0) = 1 Ejemplo: Marcha Progresiva Individual para la edad de inicio x = 26 El objetivo es demostrar que lo recaudado en concepto de prima en el momento cero, me alcanza para pagar el capital asegurado en el momento 20, al que nos comprometimos. Edad Saldo Intereses Intereses t Saldo Saldo al Final vt Financieros Financiero Biométricos (X) 26 20 0,456386946 0,433793479 0,017351739 0,451145218 0,000781853 0,451927071 19
27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46
19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0,474642424 0,493628121 0,513373246 0,533908176 0,555264503 0,577475083 0,600574086 0,624597050 0,649580932 0,675564169 0,702586736 0,730690205 0,759917813 0,790314526 0,821927107 0,854804191 0,888996359 0,924556213 0,961538462 1,000000000
0,451927071 0,470809232 0,490475417 0,510968188 0,532327310 0,554608180 0,577849967 0,602113975 0,627453464 0,653931694 0,681615436 0,710585508 0,740920508 0,772713122 0,806055978 0,841065303 0,877833005 0,916493132 0,957173775 1,000000000
0,018077083 0,018832369 0,019619017 0,020438728 0,021293092 0,022184327 0,023113999 0,024084559 0,025098139 0,026157268 0,027264617 0,028423420 0,029636820 0,030908525 0,032242239 0,033642612 0,035113320 0,036659725 0,038286951
0,470004154 0,489641601 0,510094434 0,531406916 0,553620403 0,576792507 0,600963966 0,626198534 0,652551602 0,680088961 0,708880054 0,739008928 0,770557329 0,803621647 0,838298217 0,874707915 0,912946325 0,953152857 0,995460726
0,000805078 0,000833816 0,000873754 0,000920395 0,000987777 0,001057460 0,001150010 0,001254929 0,001380091 0,001526475 0,001705454 0,001911580 0,002155794 0,002434331 0,002767085 0,003125090 0,003546806 0,004020918 0,004539274
0,470809232 0,490475417 0,510968188 0,532327310 0,554608180 0,577849967 0,602113975 0,627453464 0,653931694 0,681615436 0,710585508 0,740920508 0,772713122 0,806055978 0,841065303 0,877833005 0,916493132 0,957173775 1,000000000
Factor de Capitalización Actuarial Si se abonan $1 en el momento cero; cuánto podrán cobrar los supérstites en el momento t. 0
1
t
x
x+1
x+t
$1
E -1(x;t)
E-1 (x;t) = (1+ i) t . p-1 ( x ; t ) = (1 + i ) . [ 1+ ib (x;0;t) ] Para determinar la composición de los intereses: E -1 (x;t) - 1 = =
(1 i) t . (1 i) t
(1 + ib(x;0;t) ) -1 +
(1 i) t .
= [ (1 i) t -1 ] +
ib(x;0;t) - 1
(1 i) t
. ib(x;0;t)
= [ (1 i) t - 1 ] + ib(x;0;t) +
(1 i) t .
ib(x;0;t) - ib(x;0;t)
= [ (1 i ) t - 1 ] + ib(x;0;t) + ib(x;0;t) . [ (1 i ) t - 1 ] donde: (1 i) t -1 ib(x;0;t)
es el interés financiero. es el interés biométrico. 20
ib(x;0;t) [ (1 i) t -1] es la conjunción de los intereses biométricos y financieros. En función de valores de conmutación: t E -1 (x; t) = (1 i)
l( x ) D( x ) v x l( x ) = xt = l( x t ) v D (x t ) l( x t )
Aplicando la ley de recurrencia: t 1
t 1
t 1
s 0
s 0
s0
t 1 1 1 E -1 (x; t) = (1 i) p ( x s;1) = (1 i) p ( x s;1) = E ( x s;1)
Análisis de la Función Variación del Factor de Capitalización Actuarial 1) Respecto al plazo de contratación:
t
E -1 ( x ; t ) = E -1 ( x ; t + 1 ) - E -1 ( x ; t ) = ( 1 + i ) t + 1 . p -1 ( x ; t + 1 ) - ( 1 + i ) t . p -1 ( x ; t ) = ( 1 + i ) t . p -1 ( x ; t ) . [ E -1 ( x + t ; 1 ) - 1 ] = E -1 ( x ; t ) . [ E -1 ( x + t ; 1 ) - 1 ] > 0 >0 >0
El factor de capitalización actuarial con idéntica edad de valuación CRECE en función del plazo de contratación. E-1(x;t) < E-1(x;t+1) < E-1(x;t+2) < .... < E-1(x;t+s) < ...... < E-1(x;w-x-2) < E-1(x;w-x-1) Ejemplo: x = 26 E-1(26;1) < E-1(26;2) < E-1(26;3) < ....
21
2) Con respecto a la edad de contratación:
x
E -1 ( x ; t ) = E -1 ( x + 1 ; t ) - E -1 ( x ; t ) =
(1 i) t .
p -1 ( x + 1 ; t ) -
(1 i) t .
p -1 ( x ; t )
= (1 + i) t . [ p -1 (x+1 ; t ) - p -1 (x ; t ) ] > 0 >0 >0 En general el factor de capitalización actuarial con idéntico plazo de duración CRECE en función de la edad de contratación si se supone que p ( x ; t ) > p ( x + 1 ; t) E-1(x;t)
E
-1
x
( x , y ) = E -1 ( x + 1 , y ) - E -1 ( x , y ) = E -1 ( x + 1 , y ) - E -1 ( x , x + 1 ) . E -1 ( x + 1 , y ) = - E -1 ( x + 1 , y ) . [ E -1 ( x , x + 1 ) - 1 ] < 0 <0 >0
En general el factor de capitalización actuarial con idéntica edad de salida DECRECE en función de la edad de contratación. E-1(x,y)>E-1(x+1,y)>........... >E-1(x+s,y) >E-1(x+s+1,y) >.............>E -1(y-2,y) >E-1(y-1,y) Ejemplo: E-1 (26,46) >E-1(27,46) > ................ >E -1(45,46)>E-1 (46,46) = 1 2,305244 >2,212746 > .... ...............> 1,044753 >
1
Valores singulares del Factor de Capitalización Actuarial Fijando la edad en “x”, si queremos establecer el menor y mayor plazo de contratación posible: E-1 (x;0)=1 E-1 (x; w-x) =
es el menor plazo de contratación.
no sobrevive.
E-1 (x, w-x-1) 1 < E (x;t) < -1
E-1 (w-t-1;t)
es el mayor plazo de contratación.
es la mayor edad de contratación.
Comparación del factor de capitalización actuarial con sus componentes E 1 ( x; t ) (1 i) t p 1 ( x; t )
22
Factor financiero:
E 1 ( x; t ) (1 i ) t
a) Diferencia entre el factor de capitalización actuarial y el factor de capitalización financiero E-1(x;t) -
(1 i) t = (1 i) t .
=
(1 i) t
=
p-1(x;t) -
(1 i) t
[ p-1(x;t) - 1]
(1 i) t .
ib(x;0;t)
Ejemplo: E-1(26;20) - (1+0,04)20 =(1+0,04)20 . i b(26;0;20) = 2,191123143 . 0,052083465 = 0,114121 E (26;20) - (1+0,04) -1
20
= 2,3052442 - 2,191123143 = 0,114121
b) Diferencia entre el factor de capitalización actuarial y el factor de capitalización biométrico E-1(x;t) - p-1 (x;t) =
(1 i) t .
= p-1(x;t).[
p-1(x;t) - p-1(x;t) (1 i) t -
1]
Ejemplo: E-1(26;20) - p-1 (26;20) = p-1(26;20).[(1+0,04)20 - 1] = 1,052083465 . 1,191123143 = 1,25316 E-1(26;20) - p-1 (26;20) = 2,3052442 - 1,052083465 =1,25316
Capital Diferido de Muerte Es el valor actual actuarial a la edad “x” del capital unitario pagadero a la edad “x+t” a los derechohabientes, si el fallecimiento del asegurado tiene lugar durante el transcurso del t-ésimo año. 0
t-1
t
x
x+t-1
x+t
A (x,x+t-1,x+t)
1
en edades.
A( x ; t - 1 ; 1 )
1
en plazos.
El capital diferido de muerte lo denotamos: - en edades: A ( x , x + t - 1, x + t ) donde x es la edad de contratación x + t - 1 : es la edad de inicio del riesgo x+t
: edad de finalización del riesgo
- en plazos: A ( x ; t - 1 ; 1 ) donde x es la edad de contratación t - 1 : plazo de diferimiento (inicio del riesgo) 1 : plazo de cobertura del riesgo P ( x ; 1 ) < A( x ; t - 1 ; 1 ) >
la denominamos como prima única del capital diferido de muerte.
Expresión del capital diferido de Muerte por medio de la esperanza matemática Sucesos
x+t-1
x
x + t -1
x+t
x
x+t
Suma 23
Capital Factor actual financiero
0
1
0
vt
vt
vt
Factor actual biométrico q ( x ; 0 ; t - 1 ) q(x;t-1;1) Factor actual. 0 . v t . q(x;0;t-1) v t . q(x;t-1;1) A( x , x + t - 1 , x + t ) = A( x ; t - 1 ; 1 ) =
vt
p(x;t) v t . p(x;t)
1
.q(x;t-1;1)
Expresión por valores de conmutación: A( x ; t - 1 ; 1 ) = =
vt
.d(x+t-1)/l(x)
vxt .
definimos: C ( z ) =
d ( x + t - 1 ) / v t. l ( x )
v z 1 .
d ( z ) ==> A ( x ; t - 1 ; 1 ) = C ( x + t - 1 ) / D ( x )
Análisis de la función Variación del Capital Diferido de Muerte 1) Con respecto al plazo:
A(x ; t-1 ; 1) = A(x ; t ; 1) - A(x ; t-1 ; 1) t
aplicando la ley de recurrencia en A(x ; t ; 1) y en A(x ; t-1 ; 1) = E(x ; t ). A(x+t ; 0 ; 1) - E(x ; t-1) . A(x+t ; 0 ; 1) =
vt
=
v t 1 .
. p(x ; t) . v . q(x+t ; 0 ; 1) -
v t 1 .
p(x ; t-1) . v . q(x+t-1 ; 0 ; 1)
p(x ; t-1) . p(x+t-1 ; 1) . q(x +t ; 0 ; l) -
= p(x ; t-1) .
vt
vt
. p(x ; t-1) . q(x+t-1; 0 ; 1)
.{ v . [ l(x+t)/ l(x+t-1)].[d(x+t)/ l(x+t)]-[d(x+t-1)/ l(x+t-1)]}
A priori no se puede determinar si la función es CRECIENTE o DECRECIENTE. La función depende de la tasa de interés. Ejemplo: Edad = 26 A(26; 1; 1) > A(26;2;1) ...............A(26;19;1)
0,0015061 ...............0,001978 < 0,0020521 Se demuestra que no se puede determinar a priori la evolución de la función. 2) Con respecto a la edad de contratación:
A(x ; t-1 ; 1) = A(x+1 ; t-1 ; 1) - A(x ; t-1 ; 1) x
=
vt
=
vt
. q(x+1 ; t-1 ; 1) -
vt
. q(x ; t-1 ; 1)
. [ q(x+1 ; t-1 ; 1) - q(x ; t-1 ; 1)] > 0
En general a medida que aumenta la edad x, manteniéndose constante el plazo de diferimiento y el plazo del seguro, la prima con respecto al capital diferido de muerte CRECERÁ. A(x;t-1;1) < A(x+1;t-1;1) < ............. < A(x+s;t-1;1) < ................. < A(x+s+h;t-1;1) 24
Ejemplo numérico: Edad = 26
t = 20
A(26;19;1) < A(27;19;1) < .............................. < A(78;19;1) 0,001978 < 0,0021379 < .............................. < 0,0033793 3) Con respecto a la edad de contratación, manteniéndose constante la edad de salida “y”:
A(x; y-1; y) = A(x+1; y-1 ; y) - A(x; y-1; y) x
aplicando la ley de recurrencia en A(x; y-1;
y) = A(x+1 ; y-1 ; y) - E(x ; 1) . A(x+1 ; y-1 ; y ) = A(x+1 ; y-1 ; y ) . [ 1 - E(x ; 1) ] > 0 En general, a medida que aumenta la edad “x”, manteniéndose constante la edad de salida “y”, la prima del capital diferido de muerte CRECERÁ. Ejemplo: Edad = 26
y = 65
A(26 , 64 , 65) < A(27 , 64 , 65) <.....< A(64 , 64 , 65) 0,00366779
< 0,0040622
<.....< 0,02225
Valores singulares del factor de actualización actuarial muerte A(x;o;1)
Menor plazo de diferimiento (cero)
A(x;w-x-1;1) Mayor plazo de diferimiento (w-x-1) A(w-1;0;1)
La mayor edad de contratación posible si fijo (0,1) es w-1
Si el plazo de diferimiento es t-1 y el plazo de cobertura es 1, la mayor edad de contratación es w-t. A(w-t ; t-1 ; 1) = E(w-t ; t-1) . A(w-1 ; 0 ; 1 ) =
v t 1 .
=
vt
p( w-t ; t-1) . v
. p( w-t ; t-1)
Ejemplo: A(80 ; 19 ; 1) = E( 80 ; 19) . A( 99 ; 0 ; 1) = 1,04 -19 . p(80 ; 19) . 1,04-1 = 1,04-20 . l(99)/ l(80) = 0,0015 La menor edad de contratación es de 18 años o la que considere la compañía de seguros. Método de recurrencia A(x;t-1;1) = =
vt
. q(x;t-1;1)
v t 1
.v .p(x;t-1).q(x+t-1;0;1)
= E(x;t-1) . A(x+t-1;0;1) Ejemplo: A(26;19;1) = 0,001978 A(26;19;1) = E(26;19) . A(45;0;1) = 0,45320735 . 0,0043646887 = 0,19781
Marcha Progresiva Colectiva Fecha
Conceptos
Fórmulas 25
01.01.1
Recaudación
l(x). A(x ; t-1 ; 1) = l(x) . vt . q(x ; t-1 ; 1) = vt . d(x+t-1)
31.12.1
Saldo capitalizado vt . d(x+t-1) . (1+i)= vt-1 .d(x+t-1)
31.12.2
Saldo capitalizado vt-1 . d(x+t-1) . (1+i) = vt-2 . d(x+t-1)
......................
31.12.s
Saldo capitalizado vt-s+1 . d(x+t-1) . (1+i) = vt-s . d(x+t-1)
.....................
31.12.t
Saldo capitalizado v . d(x+t-1) . (1+i) = d(x+t-1)
Ejemplo: x = 26
t = 20
A(26;19;1)=0,001978087 Edad
Saldo Inicial
Int. Fin.
Capit. Fin.
Pago Cap. Aseg.
Saldo Final
X
(2)=(1)*A(26;19;1)
(3)=(2)*0,04
(4)=(2)+(3)
(5)=d(X)*$1
(6)=(4)-(5)
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
19.080,63 19.843,86 20.637,61 21.463,12 22.321,64 23.214,51 24.143,09 25.108,81 26.113,16 27.157,69 28.244,00 29.373,76 30.548,71 31.770,65 33.041,48 34.363,14 35.737,66 37.167,17 38.653,86 40.200,01
763,23 793,75 825,50 858,52 892,87 928,58 965,72 1.004,35 1.044,53 1.086,31 1.129,76 1.174,95 1.221,95 1.270,83 1.321,66 1.374,53 1.429,51 1.486,69 1.546,15 1.608,00
19.843,86 20.637,61 21.463,12 22.321,64 23.214,51 24.143,09 25.108,81 26.113,16 27.157,69 28.244,00 29.373,76 30.548,71 31.770,65 33.041,48 34.363,14 35.737,66 37.167,17 38.653,86 40.200,01 41.808,01
41.808,00
19.843,86 20.637,61 21.463,12 22.321,64 23.214,51 24.143,09 25.108,81 26.113,16 27.157,69 28.244,00 29.373,76 30.548,71 31.770,65 33.041,48 34.363,14 35.737,66 37.167,17 38.653,86 40.200,01 0,00
26
Capital Diferido de Muerte
Marcha Progresiva Individual para la Edad de Inicio “x” Fecha
Concepto
Fórmulas
01.01.1
Prima PuraÚnica A(x;t;1) = vt . q(x;t-1;1)
01.01.1 al 31.12.1 Int.Financieros
I(0;1;i) = d . vt-1 .q(x;t-1;1)
31.12.1
A(x;t-1;1)+I(0;1;i) = vt.q(x;t-1;1) + vt-1.q(x;t-1;1)
Saldo Financiero
= vt-1 .q(x;t-1;1) 01.01.1 al 31.12.1 Int.Biométricos
Ib(x;0;1) = ib(x;0;1).vt-1.q(x;t-1;1) = [p-1 (x;1)-1].vt-1.q(x;t-1;1)
31.12.1
vt-1.q(x;t-1;1)p-1 (x;1) = vt-1.[d(x+t-1)/l(x)].[ l(x)/ l(x+1)]
Saldo
= vt-1.q(x+1;t-2;1) = A(x+1;t-1;1) 01.01.2 al 31.12.2 Int.Financieros
I(1;2;i) = i.vt-1.q(x+1;t-2;1) = d.vt-2.q(x+1;t-2;1)
31.12.2
A(x+1;t-2;1) + I(1;2;i) = vt-2.q(x+1;t-2;1)
Saldo financiero
01.01.2 al 31.12.2 Int.Biométricos
vt-2.q(x+1;t-2,1).ib(x+1;0;1)
31.12.2
vt-2.q(x+1;t-2;1).p-1(x+1;1)
Saldo
= vt-2.[d(x+t;t-2;1)/l(x+1)].[l(x+1)/l(x+2)] = vt-2.q(x+2;t-3;1) = A(x+2;t-2;1) ............................ ........................... .............................................................................................. 01.01.s al 31.12.s Int.Financieros
I(1;s;i)= i.vt- S -1.q(x+s-1;t-s;1)=d.vt- S.q(x+s;t-s;1)
31.12.s
A(x+s-1;t-s;1)+I(1;s;i)=vt- S.q(x+s-1;t-s;1)
Saldo financiero
01.01.s al 31.12.s Int.Biométricos
vt-S.q(x+s-1;t-s,1).ib(x+s-1;0;1)
31.12.s
vt-S.q(x+s-1;t-s;1).p-1(x+s-1;1)
Saldo
= vt-S.[d(x+t;t-s;1)/l(x+s-1)].[l(x+s-1)/l(x+s)] = vt-s.q(x+s;t-s;1) = A(x+s;t-s;1) ........................
.........................
..............................................................................................
01.01.t al 31.12.t
Int. financieros
I(t-2;t;i)=i.v2.q(x+t-2;1;1)=d.v.q(x+t-2;1;1)
31.12.t
Saldo financiero
A(x+t-2;1;1)+I(t-2;t;i)=v.q(x+t-2;1;1)
01.01.t al 31.12.t
Int Biométricos
v.q(x+t-2;1;1).ib(x+t-2;0;1)=v.q(x+t-2;1;1). [p-1 (x;1)-1]
31.12.t
Saldo
v.d(x+t-2;1;1)/l(x+t-1)=v.q(x+t-1;0;1)=A(x+t-1;0;1)
27
Ejemplo: Marcha Progresiva Individual para la edad de inicio x = 26 Edad (X) 26
Intereses Saldo Saldo al Final Biométricos Financiero 20 0,456386946 0,002134221 0,000085369 0,002219590 0,000003847 0,002223437
27
19 0,474642424 0,002223437 0,000088937 0,002312374 0,000003961 0,002316335
28
18 0,493628121 0,002316335 0,000092653 0,002408989 0,000004102 0,002413091
29
17 0,513373246 0,002413091 0,000096524 0,002509614 0,000004299 0,002513913
30
16 0,533908176 0,002513913 0,000100557 0,002614470 0,000004528 0,002618998
31
15 0,555264503 0,002618998 0,000104760 0,002723758 0,000004860 0,002728618
32
14 0,577475083 0,002728618 0,000109145 0,002837762 0,000005203 0,002842965
33
13 0,600574086 0,002842965 0,000113719 0,002956684 0,000005658 0,002962342
34
12 0,624597050 0,002962342 0,000118494 0,003080835 0,000006174 0,003087009
35
11 0,649580932 0,003087009 0,000123480 0,003210490 0,000006790 0,003217280
36
10 0,675564169 0,003217280 0,000128691 0,003345971 0,000007510 0,003353481
37
9
0,702586736 0,003353481 0,000134139 0,003487620 0,000008391 0,003496011
38
8
0,730690205 0,003496011 0,000139840 0,003635851 0,000009405 0,003645256
39
7
0,759917813 0,003645256 0,000145810 0,003791066 0,000010606 0,003801673
40
6
0,790314526 0,003801673 0,000152067 0,003953739 0,000011977 0,003965716
41
5
0,821927107 0,003965716 0,000158629 0,004124345 0,000013614 0,004137959
42
4
0,854804191 0,004137959 0,000165518 0,004303477 0,000015375 0,004318852
43
3
0,888996359 0,004318852 0,000172754 0,004491606 0,000017450 0,004509056
44
2
0,924556213 0,004509056 0,000180362 0,004689418 0,000019783 0,004709201
45
1
0,961538462 0,004709201 0,000188368 0,004897569 0,000022333 0,004919902
46
0
1,000000000 1,000000000
t
vt
Saldo
Intereses Financieros
Primero se calculan los intereses financieros, y así se obtiene el saldo financiero. Los intereses biométricos son calculados sobre el saldo financiero. El saldo final se obtiene sumando los intereses biométricos y el saldo financiero.
28
UNIDAD II Valores de Conmutación
[A]
0
1
2
t-1
t
w-2-x
w-1-x
w-x
x
x+1
x+2
x+t-1
x+t
w-2
w-1
w
l(x)
l(x+1)
l(x+2) ..... l(x+t-1)
l(x+t) ........... l(w-2)
l(w-1)
l(w) = 0
d(x)
d(x+1) ...... d(x+t-2)
d(x+t-1) ....... d(w-3)
d(w-2)
d(w-1)
[B] [C]
vx
vx+1
vx+2 .......... vx+t-1
vx+t ............ vw-2
vw-1
vw
Valores de conmutación - Vida [D] D(x)
D(x+1)
D(x+2) ..... D(x+t-1)
D(x+t) ......... D(w-2)
D(w-1)
D(w) = 0
N(x)
N(x+1)
N(x+2) ......N(x+t-1)
N(x+t) ........ N(w-2)
N(w-1)
N(w) = 0
S(x)
S(x+1)
S(x+2)........S(x+t-1)
S(x+t).......... S(w-2)
S(w-1)
S(w) = 0
Valores de conmutación - Muerte [E]
C(x)
C(x+1)....... C(x+t-2) C(x+t-1)........ C(w-3)
C(w-2)
C(w-1)
M(x)
M(x+1)........M(x+t-2) M(x+t-1)....... M(w-3)
M(w-2)
M(w-1)
R(x)
R(x+1)........ R(x+t-2) R(x+t-1).........R(w-3)
R(w-2)
R(w-1)
Siendo: [A] sobrevivientes [B] fallecidos [C] función financiera de actualización [D]=[A]*[C] [E]=[B}*[C]
29
w x 1 D( x t ) t 0 w x 1 N( x n ) D( x t ) t n N( x )
S( x )
Se usa para el cálculo de seguros de vida de capitales múltiples.
w x 1 N(x t ) t 0
Se usa para el cálculo de seguros de vida de capitales variables.
M( x )
w x 1 C( x t ) t 0
Se usa para el cálculo de seguros de muerte.
R (x)
w x 1 M(x t ) t 0
Se usa para el cálculo de seguros de muerte de capitales variables.
Relaciones entre los valores de Conmutación 1) Relación entre C(x) y D(x) C(x) = vx+1.d(x) = vx+1. [ l(x) - l(x+1) ] = v. D(x) - D(x+1) 2) Relación entre M(x) y N(x) w x 1
M(x ) =
t 0
w x 1
C(x+t) =
t 0
[v.D(x+t) -D(x+t+1) ] = v.N(x)-N(x+1)
3)Relación entre R(x) y Sx) R(x) =
w x 1
M(x+t) =
w x 1
t 0
[D(x+t)- d.N(x+t) ] =N(x) - d. S(x) = [ S(x) - S(x+1) ] - d. S(x)
t 0
=(1-d).S(x) - S(x+1) = v.S(x) - S(x+1) 4) Relación entre M(x), D(x) y N(x) M(x) =
w x 1
t 0
C(x+t) =
w x 1
[ v . D(x+t) - D(x+t+1) ] = v . N(x) - N(x+1)
t 0
= (1-d) . N(x) - [ N(x) - D(x) ] = D(x) - d . N(x) 5) Relación entre R(x), N(x) y S(x) R(x) =
w x 1
t 0
M(x+t) =
w x 1
t 0
[ v . N(x+t) - N(x+t+1) ] = v . S(x) - S(x+1)
= (1-d) . S(x) - [ S(x) - N(x) ] = N(x) - d . S(x)
Seguros de vida de capitales múltiples o Rentas Vitalicias 1) Riesgo inmediato y plazo limitado 0
1
2
t
n-2
n-1
n
x
x+1
x+2
x+t
x+n-2
x+n-1
x+n
30
Cobertura
1
1
1
1
1
1
(n pagos)
que ofrece el asegurador Asegurado: P(x;1) < a(x;0;n) a(x, x, x+n-1) = a(x;0;n) donde el 1er campo indica la edad de contratación. el 2do campo indica el plazo de diferimiento. el 3er campo indica el número máximo de pagos que puede realizar. Definición: El asegurado mediante el pago de la/s prima/s, transfiere al asegurador el riesgo del plan, y éste le acuerda cobertura de vida de riesgo inmediato y plazo limitado; consistente en el pago del capital asegurado al comienzo de cada año durante un plazo preestablecido mientras viva. Calculamos el valor actual de los pagos de cada uno de los pesos.
a ( x;0; n ) 0 = D-1 (x)[
n 1
n 1
t 0
t 0
= E(x,t) = D-1 (x). D(x+t) = D-1(x).N(x;0;n)
w x 1
D(x+t) -
t 0
w x 1
.D(x+t) ] = D-1 (x).[ N(x) - N(x+n)]
t n
Cálculo de la P(x;1) < a(x;0;n) > por el método de la colectividad necesaria. l(x).P(x;1) < a(x;0;n) l(x) + v.l(x+1) + v 2 .l(x+2) +..............+vn-1. l(x+n-1) n 1
l(x).P(x;1) < a(x;0;n)
t 0
P(x;1) < a(x;0;n) P(x;1) < a(x;0;n)
vt
n 1
. l(x+t)
t v
t 0
n 1
t 0
vt
l( x t ) l( x )
. p(x;t)
n 1
P(x;1) < a(x;0;n) E(x;t) t 0
Ejemplo: a(26;0;20) = D-1(26).[ N(26) - N(46) ] = (3479209,06) -1.[73833900,1 - 25452133,7] = 13,9059670074
2) Riesgo inmediato y sin límite 0
1
2
t
n-2
n-1
n
w-1-x
w-x
x
x+1
x+2
x+t
x+n-2
x+n-1
x+n
w-1
w 31
Cobertura 1 1 que ofrece el asegurador
1
1
1
1
1
1
Asegurado: P(x;1) < a(x;0;w-x) a(x,x,w-1) donde el 1er campo indica la edad de contratación. el 2do campo indica el plazo de diferimiento (cero). el 3er campo indica el número máximo de pagos que puede realizar. Definición: El asegurado mediante el pago de la/s prima/s, transfiere al asegurador el riesgo del plan, y éste le acuerda cobertura de vida de riesgo inmediato y sin límite; consistente en el pago del capital asegurado al comienzo de cada año mientras viva. Calculamos el valor actual de los pagos de cada uno de los pesos. a(x;0;w-x) =
w x 1
t 0
.E(x,t) = D-1 (x).
w x 1
t 0
.D(x+t) =D-1 (x).[N(x) - N(w) ] = D-1(x). N(x)
Ejemplo: a(26;0;100-26) = D-1(26). N(26) = (3479209,06)-1.73833900,1 = 21,221461 Cálculo de la P(x;1) < a(x;0;w-x) > por el método de la colectividad necesaria. l(x).P(x;1) < a(x;0;w-x) l(x) + v.l(x+1) + v 2 .l(x+2) +....+vn-1. l(x+n-1)+vn.l(x+n)+....+vw-x-1.l(w-1) l(x).P(x;1) < a(x;0;w-x) P(x;1) < a(x;0;w-x) P(x;1) < a(x;0;w-x) P(x;1) < a(x;0;w-x)
w x 1
vt
t 0
w x 1
t 0 w x 1
w x 1
t 0
vt
vt
t 0
. l(x+t) l( x t ) l( x )
. p(x;t)
E(x;t)
3) Riesgo diferido y plazo limitado 0
1
2
h
h+1
h+t
h+n-2
h+n-1
h+n
x
x+1
x+2
x+h
x+h+1
x+h+t
x+h+n-2
x+h+n-1
x+h+n
Cobertura que ofrece el asegurador 1
1
1
1
1
Asegurado:P(x;1)
el 2do campo indica el plazo de diferimiento (h) el 3er campo indica el número máximo de pagos que puede realizar (n) Definición: El asegurado mediante el pago de la/s prima/s, transfiere al asegurador el riesgo del plan y éste le acuerda cobertura de vida de riesgo diferido y plazo limitado; consistente en el pago del capital asegurado al comienzo de cada año, a partir de la edad “x+h”, durante un plazo preestablecido mientras viva. Calculamos el valor actual de los pagos de cada uno de los pesos. a(x;h;n) =
h n 1
th
h n 1
E(x,t) = D-1 (x).
t 0
= D-1(x) [
w x 1
t h
D(x+t) -
D(x+t) = D-1(x).N(x;h;n)
w x 1
t h n
D(x+t) ] = D-1 (x).[N(x+h) - N(x+h+n)]
Ejemplo: a(26;20;30) = D-1(26).[N(46) - N(76)] = (3479209,06) -1.[25452133,7 - 1597399,57] = 6,856366984 Cálculo de la P(x;1) < a(x;0;w-x) > por el método de la colectividad necesaria. l(x).P(x;1) < a(x;h;n) vh. l(x+h) + vh+1.l(x+h+1)+......+vh+t.l(x+h+t)+....+vh+n-1. l(x+h+n-1) h n 1
l(x).P(x;1) < a(x;h;n)
vt
t h
h n 1
P(x;1) < a(x;h;n)
th
vt
h n 1
P(x;1) < a(x;h;n)
th
P(x;1) < a(x;h;n)
h n 1
t h
. l(x+t)
vt
l( x t ) l( x )
. p(x;t)
E(x;t)
Cálculo de la a(x; h; n) por el método geométrico. a(x;h;n)
h n 1
t 0
h 1
E(x;t) - E(x;t) = a(x;0;h+n) - a(x;0;h) t 0
Ejemplo: a(26;20;30)= a(26;0;50) - a(26;0;20) = 20,762173 - 13,905972 = 6,856201 Por el Método de Recurrencia a(x;h;n) =
h n 1
th
n 1
n 1
n 1
t 0
t 0
t 0
E(x;t) = E(x;h+t) = E(x;h) . E(x+h;t) =E(x;h) . E(x+h;t) 33
a(x;h;n) =E(x;h) . a(x+h;0;n) Ejemplo: a(26;20;30) = E(26;20). a(46;0;30) = 0,433793.15,805215 = 6,856192 4) Riesgo diferido y sin límite 0
1
2
h
h+1
w-x-2
w-x-1
w-x
x
x+1
x+2
x+h
x+h+1
w-2
w-1
w
1
1
1
1
Cobertura q’ ofrece el asegurador
......
Asegurado: P(x;1)
w x 1
t h
E(x,t) = D-1 (x).
w x 1
t h
D(x+t) = D-1 (x) .N(x+h)
Ejemplo: a(26;20;54) = D-1 (26).N(46) = (3479209,06)-1.25452133,7 = 7,62122373 Cálculo de la P(x;1) < a(x;h;w-h-x) > por el método de la colectividad necesaria. l(x).P(x;1) < a(x;h;w-x-h) vh. l(x+h) + vh+1.l(x+h+1)+......+vw-x-1.l(w-1) l(x).P(x;1) < a(x;h;w-x-h)
t=h
P(x;1) < a(x;h;w-x-h)
t=h
P(x;1) < a(x;h;w-x-h)
w-x-1 vt . l(x+t) w-x-1. vt. l(x+t)/l(x)
w-x-1 vt.p(x;t)
t=h
P(x;1) < a(x;h;w-x-h)
t=h
w-x-1 E(x;t)
Ejemplo: 34
a(26;20;54) = t=2073 E(26;t) = 7,62122373 Cálculo de la a(x; h; w-x-h) por el método geométrico a(x;h;w-x-h) =
w-x-1 E(x;t) - t=0h-1 E(x;t) = a(x;o;w-x) - a(x;0;h) = t=0w-x-1-h E(x;h+t)
t=0
Ejemplo: a(26;20;54) = a(26;0;74) - a(26;0;20) = 21,221395 - 13,905972 = 7,621224 Por el Método de Recurrencia a(x;h;w-x-h) = t=hw-x-1 E(x;t) = t=0w-x-h-1 E(x;h+t) =
w-x-h-1 E(x;h) . E(x+h;t)
t=0
=E(x;h) . t=0w-x-h -1 E(x+h;t) =E(x;h) . a(x+h;0;w-x-h) Ejemplo: a(26;20;54) = E(26;20). a(46;0;54) = 0,433793.16,86400 = 7,621224
Valores singulares de las rentas vitalicias 1) Con respecto a la cantidad de pagos: Si fijamos una edad x y un plazo de diferimiento 0, la mayor cantidad de pagos será w-x es decir a(x;0;w-x). Si fijamos una edad x y un plazo de diferimiento h , la mayor cantidad de pagos será w-x-h es decir a(x; h; w-h-x). La menor cantidad de pagos será 1: a(x;0;1) = 1 = E(x;0)
para un plazo de diferimiento 0.
a(x; h;1) = E(x; h)
para un plazo de diferimiento h.
2) Con respecto a la edad de contratación: La mayor edad de contratación: w-1 cuando exista un plazo de diferimiento 0 y un sólo pago. a(w-1;0;1) w-n cuando exista un plazo de diferimiento 0 y n pagos. a(w-n;0;n) w-1-h cuando el plazo de diferimiento sea h y haya un sólo pago. a(w-1-h;h;1) w-n-h cuando el plazo de diferimiento sea h y haya n pagos. a(w-n-h;h;n) 3) Con respecto al plazo de diferimiento para una edad x: El mayor plazo de diferimiento será: w-x-1 si existe un sólo pago. a(x;w-x-1;1) w-x-n si existen n pagos. a(x;w-x-n;n)
35
Análisis de la función Renta vitalicia de riesgo diferido y limitada 1) Respecto a la edad manteniéndose constante n y h:
a(x;h;n) = a(x+1;h;n) - a(x;h;n) x
= =
h n 1
t h h n 1
th
h n 1
vt
. p(x+1;t) -
vt
. [ p(x+1;t) - p (x;t) ] < 0
t h
vt
. p(x;t)
a(x;h;n) > a(x+1;h;n) > ........... > a(x+t;h;n) > ......... > a(w-h-n;h;n) En general a medida que aumenta la edad x , manteniéndose constantes el número de servicios y el plazo de diferimiento , la prima pura única DECRECERÁ. Ejemplo: a(26;20;10) > a(27;20;10) > a(28;20;10) > .... > a(55;20;10) > .... > a(69;20;10) > a(70;20;10) 3,5671682 > 3,5481178 > 3,5268782 > .... > 1,5883147 > .... > 0,2043103 > 0,1593803 2) Respecto al plazo de diferimiento manteniéndose constante x y n
a(x;h;n) = a(x;h+1;n) - a(x;h;n) h
=
hn
h n 1
t h 1
th
E(x;t) -
E(x;t)
=E(x;h+n) - E(x;h) = -E(x;h).[ 1 - E(x+h;n) ] < 0 0
1
h
h+1
h+n-2
h+n-1
h+n
x
x+1
x+h
x+h+1
x+h+n-2
x+h+n-1
x+h+n
a(x;h+1;n) a(x;h;n)
1
1
.....
1
1
1
.....
1
1
1
a(x;0;n) > a(x;1;n) > a(x;2;n) >........ > a(x;t;n) > ......... > a(x;w-x-n;n) A medida que aumenta el plazo de diferimiento, manteniéndose constantes la edad de contratación y el número de servicios, el valor de la prima pura única de la renta vitalicia DECRECERÁ. 36
Ejemplo: a(26;0;20} > a(26;1;20) > a(26;2;20) > .... > a(26;20;20) > .... > a(26;53;20) > a(26;54;20) 13,905971 > 13,339765 >12,794896 > ....> 5,73073005 > .... > 0,27947409 > 0,23281791 3) Respecto a la cantidad de servicios manteniéndose constante x y h
a(x;h;n) = a(x;h;n+1) - a(x;h;n) n
hn
h n 1
t h
th
= vt . p(x;t) =
h n 1
t h
vt . p(x;t)
E(x;t) +E(x;h+n) -
h n 1
th
E(x;t)
= E(x;h+n) > 0 0 x
1
2
x+1 x+2
h
h+1
h+n-2
h+n-1
h+n
x+h
x+h-+1
x+h+n-2
x+h+n-1
x+h+n
a(x;h;n+1)
1
1
......
1
1
a(x;h;n)
1
1
......
1
1
1
A medida que aumenta la cantidad de servicios , manteniéndose constantes la edad y el plazo de diferimiento, el valor de la prima pura única CRECERÁ. Ejemplo: a(26;20;1) < a(26;20;2) < a(26;20;3) < .... < a(26;20;20) < .... < a(26;20;53) < a(26;20;54) 0,433793 < 0,8488506 < 1.245820 < .... < 5,73073005 < .... < 7,31536019 < 7,3154237 Rentas Vitalicias Inmediatas a) Respecto a la edad
a(x;0;n) = a(x+1;0;n)-a(x;0;n) = 0
x
n -1 E(x+1;t)-t=0n -1 E(x;t) = t=0n -1 vt [p(x+1;t) - p(x;t)] <
t=0
a(x;0;n)> a(x+1;0;n)> a(x+2;0;n)> ...........> a(x+t;0;n)>......................... >a(w-n;0;n) En general a medida que aumenta la edad x, manteniéndose constante el numero de servicios; la prima (con respecto al seguro de vida con riesgo inmediato y plazo limitado) DECRECERÁ. Ejemplo: a(26;0;20) > a(27;0;20) > a(28;0;20) > .... > a(55;0;20) > .... > a (79;0;20) > a(80;0;20) 37
13,90597 > 13,897399 > 13,88674 > .... > 13,522645 > .... > 5,9819312 > 5,701754 b) Respecto al número de primas
n
a(x;0;n) = a(x;0;n+1) - a(x;0;n) =
n E(x;t) - t=0n -1 E(x,t)
t=0
=E(x;n) + t=0n -1 E(x;t) - t=0n -1 E(x;t) = E(x;n) > 0 a(x;0;n)
38
Marchas progresivas de rentas vitalicias Marcha Colectiva de riesgo Inmediato y Temporario Fecha Concepto Fórmula 01.01. I Recaudación l(x) .a(x;0;n) = l(x).t=0n-1 vt. l(x+t)/l(x) = t=0n-1 vt . l(x+t) 01.01. I Pago l(x) n-1 01.01. I Saldo vt . l(x+t) t=1 31.12. I Saldo Capitalizado [t=1n-1 vt .l(x+t) ] . (1+i) = t=1n-1 vt-1 l(x+t) = t=0n-2 vt .l(x+t+1) 01.01.II Pago l(x+1) n-2 t 01.01.II Saldo v .l(x+1+t) t=1 31.12.II Saldo Capitalizado [t=1n-2 vt .l(x+1+t)]. (1+i) = t=1n-2 vt-1. l(x+1+t) = t=0n-3 vt .l(x+t+2) …….....
...............………......
……................................
01.01.S 01.01.S 31.12.S
Pago l(x+s-1) n-s Saldo vt .l(x+s-1+t) t=1 Saldo Capitalizado [t=1n-s vt.l(x+s-1+t)].(1+i) = t=1n-s vt-1.l(x+s-1+t) = t=0n-s-1 vt . l(x+t+s)
…….....
...........………..........
……..................................
01.01.N-1 01.01.N-1 31.12.N-1 01.01.N 01.01.N
Pago Saldo Saldo Capitalizado Pago Saldo
l(x+n-2) v . l(x+n-1) [v.l(x+n-1) ]. (1+i) = l(x+n-1) l(x+n-1) 0
Ejemplo: Riesgo Imediato y Temporario para x = 26 y n = 20 I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI XVII XVIII XIX XX
Recaudación 134132368
Pago 9645905 9629218 9612752 9596410 9580000 9563427 9545404 9528934 9510734 9491712 9471685 9451468 9427787 9403463 9377278 9345908 9318151 9281978 9249045 9210292
Saldo 124486463 119836703 115017420 110021707 104842575 99472851 93906361 88133682 82148295 75942515 69508531 62837404 55923113 48756574 41329560 33636834 25664156 17408745 8856050 0
Saldo Capitalizado 129465921 124630172 119618117 114422575 109036278 103451765 97662616 91659029 85434227 78980216 72288872 65350900 58160038 50706837 42982742 34982307 26690723 18105095 9210292 0
39
Marcha Individual de riesgo Inmediato yTemporario Fecha Concepto Fórmula 01.01. 1 Recaudación P(x;1)=a(x;0;n)=t=0n-1 vt . p(x;t) 01.01. 1 Pago a(x;0;1)=1 01.01. 1 Saldo a(x;1;n-1)= t=1n-1 vt . p(x;t) 31.12 .1 Saldo a(x;1;n-1).E-1 (x;1)=a(x+1;0;n-1) 01.01. 2 Pago a(x+1;0;1)=1 01.01. 2 Saldo a(x+1;1;n-2)= t=1n-2 vt . p(x+1;t) 31.12 .2 Saldo a(x+1;1;n-2).E-1 (x+1;1)=a(x+2;0;n-2) ........
.......
.......
01.01. S 01.01. S 31.12 .S
Pago Saldo Saldo
a(x+s-1;0;1)=1 a(x+s-1;1;n-s)= t=1n-s vt . p(x+s-1;t) a(x+s-1;1;n-s).E-1 (x+s-1;1)=a(x+s;0;n-s)
.......
.......
.......
01.01. N-1 01.01. N-1 31.12 .N-1 01.01. N 01.01. N
Pago Saldo Saldo Pago Saldo
a(x+n-2;0;1)=1 a(x+n-2;1;1)= E(x+n-2;1) a(x+n-2;1;1).E-1 (x+n-2;1)=a(x+n-1;0;1) a(x+n-1;0;1)=1 a(x+n-1;1;0)= 0
Ejemplo: Riesgo inmediato temporario para x=26 y n=20 Ver mrcha progresiva en anexo 1 Marcha colectiva de riesgo diferido y limitado Fecha Concepto Fórmula 01.01. I Recaudación l(x).P(x;1) = l(x).a(x;h;n) = l(x).E(x;1).a(x+1;h-1;n) = v.l(x+1) .a(x+1;h-1;n) 01.01./31.12. I Int. financieros d . l(x+1) . a(x+1;h-1;n) 31.12. I Saldo l(x+1) . a(x+1;h-1;n) 01.01.II. Saldo inicial l(x+1) . a(x+1;h-1;n) = v . l(x+2) . a(x+2;h-2;n) 01.01./31.12.II Int. financieros d . l(x+2) . a(x+2;h-2;n) 31.12.II Saldo l(x+2) . a(x+2:h-2;n) .........
01.01. H 01.01./31.12.H 31.12.H 01.01. H+1 01.01./31.12.H+1 31.12.H+1 ..........
01.01.H+N-1 01.01./31.12.H+N-1 31.12.H+N-1 01.01.H+N Ejemplo:
.......................
Saldo inicial Int. financieros Saldo Saldo/Pago Int. financieros Saldo
............................
l(x+h-1) . a(x+h-1;1;n) d . l(x+h) . a(x+h;0;n) l(x+h) . a(x+h;0;n) l(x+h) . [ a(x+h;0;n) - a(x+h;0;1) ] = l(x+h) . a(x+h;1;n-1) d . l(x+h+1) . a(x+h+1;0;n-1) l(x+h+1) . a(x+h+1;0;n-1)
......................
.........................
Saldo/pago
l(x+h+n-2) . [ a(x+h+n-2;0;2) - a(x+h+n-2;0;1) ] = l(x+h+n-2) . a(x+h+n-2;1;1) Int. financieros d . l(x+h+n-1) . a(x+h+n-1;0;1) Saldo l(x+h+n-12) . a(x+h+n-1:0:1) Saldo/pago l(x+h+n-1) . [ a(x+h+n-1;0;1) - a(x+h+n-1;0;1) ] = 0
Riesgo diferido y temporario h = 10 n = 20 40
Fecha I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI XVII XVIII XIX XX XXI XXII XXIII XXIV XXV XXVI XXVII XXVIII XXIX XXX
D(26+t) 3479.174 3339.572 3205.636 3077.102 2953.693 2835.176 2721.278 2611.825 2506.574 2405.347 2307.953 2214.215 2123.943 2036.984 1953.174 1872.38 1794.442 1719.283 1646.759 1576.787 1509.243 1444.055 1381.128 1320.385 1261.717 1205.049 1150.242 1097.198 1045.809 995.972 947.639
N(26+t) 73832.93 70353.76 67014.18 63808.55 60731.44 57777.75 54942.58 52221.30 49609.47 47102.90 44657.55 42389.60 40175.38 38051.44 36014.46 34061.28 32188.90 30394.46 28675.18 27028.42 25451.63 23942.39 22498.33 21117.21 19796.08 18535.10 17330.06 16175.81 15082.62 14036.81 13040.83
Recaudación Saldo 87656400.656841 91162656.6831 94809162.9504 98601529.4684 102545590.6471 106647414.2731 110913310.8440 115349843.2777 119963837.0088 124762390.4892 129752886.1088
Saldo / Pago
129752899.3 125276414.8 120445208.6 115458111.2 110297414.1 104922719.0 99431800.1 93687881.6 87810518.1 81703961.8 75393412.2 68874043.5 62140770.1 55188667.9 48007402.4 40607872.2 32969487.0 25061198.5 16975000.3 8611551.5 0.0
NOTA: los intereses capitalizan financieramente hasta el momento h.
41
Marcha individual de riesgo diferido y limitado Fecha Concepto Fórmula 01.01. I Recaudación P(x;1) = a(x;h;n) = E(x;1) . a(x+1;h-1;n) 01.01./31.12. I Int. financieros I(x;1;i) = i. E(x;1) . a(x+1;h-1;n) = d . p(x;1) . a(x+1;h-1;n) 31.12. I Saldo parcial P(x;1) + I(x;1;i) = (v+d) . p(x;1) . a(x+1;h-1;n) 01.01./31.12. I Int. biométricos I(x;0;1) = ib(x;0;1) . p(x;1) . a(x+1;h-1;n) = q(x;0;1) . a(x+1;h-1;n) 31.12. I Saldo P(x;1) + I(x;1;i) + I(x;0;1) = a(x+1;h-1;n) 01.01.II. Saldo inicial P(x+1;1) = a(x+1;h-1;n) = E(x+1;1) . a(x+2;h-2;n) 01.01./31.12.II Int. financieros I(x+1;1;i) = i .v. p(x+1;1) .a(x+2;h-2;n) = d .p(x+1;1) .a(x+2;h-2;n) 31.12.II Saldo parcial P(x+1;1) + I(x+1;1;i) = p(x+1;1) . a(x+2;h-2;n) 01.01./31.12.II Int. biométricos I(x+1;0;1) = ib(x+1;0;1) . p(x+1;1 ).a(x+2;h-2;n) = q(x+1;0;1). a(x+2;h-2;n) 31.12.II Saldo P(x+1;1) + I(x+1;1;i) + I(x+1;0;1) = a(x+2;h-2;n) ......... ............. ........................ 01.01.S-1 Saldo inicial P(x+s-1;1) = a(x+s-1;h-s+1;n) = E(x+s-1;1) . a(x+s;h-s;n) 01.01./31.12.S-1 Int. financieros I(x+s-1;1;i) = d . p(x+s-1;1) .a(x+s;h-s;n) 31.12.S-1 Saldo parcial P(x+s-1;1) + I(x+s-1;1;i) = p(x+s-1;1) . a(x+s;h-s;n) 01.01./31.12.S-1 Int. biométricos I(x+s-1;0;1)=ib(x+s-1;0;1).p(x+s-1;1).a(x+s;h-s;n)=q(x+s-1;0;1) .a(x+s;h-s;n) P(x+s-1;1) + I(x+s-1;1;i) + I(x+s-1;0;1) = a(x+s;h-s;n) 31.12.S-1 Saldo .............. 01.01. H 01.01./31.12.H 31.12.H 01.01/31.12.H 31.12.H 01.01.H+1 01.01./31.12.H+1 31.12.H+1 01.01./31.12.H+1 31.12.H+1 .......... 01.01.H+N-1 01.01./31.12.H+N-1 31.12.H+N-1 01.01./31.12.H+N-1 31.12.H+N-1 01.01.H+N
................. Saldo Int. financieros Saldo parcial Int. biométricos Saldo Saldo/pago Int.financieros Saldo parcial Int. biométricos Saldo ............... Saldo/pago Int.financieros Saldo parcial Int. biométricos Saldo Saldo/pago
...................... P(x+h-1;1) = a(x+h-1;1;n) = E(x+h-1;1) . a(x+h;0;n) I(x+h-1;1;i) = d . p(x+h-1;1) .a(x+h;0;n) p(x+h-1;1) . a(x+h;0;n) I(x+h-1;0;1) = q(x+h-1;0;1) . a(x+h;0;n) a(x+h;0;n) a(x+h;0;n) -a(x+h;0;1) = a(x+h;1;n-1) I(x+h;1;i) = d . p(x+h;1) .a(x+h+1;0;n-1) p(x+h;1) . a(x+h+1;0;n-1) I(x+h;0;1) = q(x+h;0;1) . a(x+h+1;0;n-1) a(x+h+1;0;n-1) .............................. a(x+h+n-2;0;2) -a(x+h+n-2;0;1) = a(x+h+n-2;1;1) I(x+h+n-2;1;i) = d . p(x+h+n-2;1) .a(x+h+n-1;0;1) p(x+h+n-2;1) . a(x+h+n-1;0;1) I(x+h+n-2;0;1) = q(x+h+n-2;0;1) . a(x+h+n-1;0;1) a(x+h+n-1;0;1) a(x+h+n-1;0;1) -a(x+h+n-1;0;1) = 0
Ejemplo: Marcha individual x = 26; h = 10; n = 20 Ver anexo 2
42
Casos particulares - Diferida por un período de plazo limitado {a(x ;1;n)}
a(x;1;n)
0
1
2
t
n-1
n
x
x+1
x+2
x+t
x+n-1
x+n
1
1
.......
1
.........
1
1
a (x ;1; n) = t=1n E (x;t) = a (x;0;n ) - 1 + E (x;n) en función de valores de conmutación: a (x;1;n) = t=1n E (x;t) = t=1n D (x+t) / D (x) = D -1 (x) . [ N (x+1) - N (x+n+1) ] a (x;1; w-1-x) = t=1w-1-x E(x;t) = a(x;0;w-x) - 1 + E (x;w-x) = a(x;0;w-x) - 1 en función de valores de conmutación: a (x;1; w-1-x) = t=1w-1-x E(x;t) = t=1w-1-x D (x+t) / D (x) = D -1 (x) . [ N (x+1) - N (w) ] = D -1 (x) . [ N (x+1) ] Ejemplo: a (26;1;20) = t=1n E(26;t) = a (26;0;20) - 1 + E (26;20) = 13,905972 - 1 + 0,433794 = 13,339766 en función de valores de conmutación: a (26;1;20) = D -1 (26) . [ N(27) - N(47) ] = 3479,174 -1 . [70353,755 - 23942,389 ] = 13,339765 a (26;1:w-27) = t=1w-27 E (26;t) = a (26;0;w-26) - 1 + E (26;w-26) = 21,221483 - 1 = 20,221483 en función de valores de conmutación: a (26;1:w-27) = D-1 (26) . [ N(27) ] = 3479,174 -1 . 70353,755 = 20,221395
43
Valor Final de los seguros de vida de capitales múltiples o Imposiciones Vitalicias 0
1
2
t
n-1
n
n+m-1
x
x+1
x+2
x+t
x+n-1
x+n
x+m+n-1
1
1
1
.....
1
a(x;0;n)
1 S(x;n;0)
S(x;n;1)
S(x;n;m)
S(x;n;0) el primer campo indica donde está ubicado el primer compromiso. el segundo campo indica la cantidad de compromisos. el tercer campo indica el diferimiento de la valuación respecto del último pago. Valuación en el mismo momento del último pago n 1
S(x;n;0) =
t 0
E-1 (x+t;n-1-t)
donde E -1 (x;n-1) = E-1 (x;t) . E-1 (x+t;n-1-t)
n 1
entonces = E-1 (x;n-1) . E(x;t) t 0
S(x;n;0) = a(x;0;n) . E-1 (x;n-1) es el valor actual de los pagos capitalizado actuarialmente. Ejemplo: S(26;20;0) = a(26;0;20).E-1 (26;19) = 13,905972 . 2,206495 = 30,683457 En valores de conmutación: n 1
S(x;n;0) = D-1 (x+n-1).
t 0
D(x+t) = D-1 (x+n-1) . N(x;0;n) = D-1 (x+n-1) . [N(x) - N(x+n)]
Ejemplo: S(26;20;0) = D-1 (45).[N(26) - N(46)] = 1576,87-1 .(73832,929-25451,632) = 30,681855 Valuación un período después del último pago n 1
S(x;n;1) =
t 0
E-1 (x+t;n-1-t) . E-1 (x+n-1;1) n 1
= D-1 (x+n-1). D(x+t) . D-1 (x+n) . D(x+n-1) t 0
n 1
= D-1 (x+n) . D(x+t) t 0
= D-1 (x+n) . [N(x) - N(x+n)] Ejemplo: 44
S(26;20;1) = D-1 (46).[N(26) - N(46)] = 1509,24-1 . (73832,929 - 25451,632) = 32,056728 En función de a(x;0;n): n 1
S(x;n;1) = E (x;t) . E-1 (x;n) = a(x;0;n) . E -1 (x;n) t 0
Ejemplo: S(26;20;1) = a(26;0;20) . E-1(26;20) =13,905972 . 2,305244 = 32,056658 En función de S(x;n;0): S(x;n;1) = t=0 n-1 E (x;t) . E-1 (x;n)
si E -1 (x;n) = E -1 (x;n-1) . E -1 (x+n-1;1)
= a(x;0;n) . E -1 (x;n-1) . E-1 (x+n-1;1) = S(x;n;0) . E-1 (x+n-1;1) Ejemplo: S(26;20;1)= S(26;20;0) . E-1 (45;1) = 30,68 .1,0447535 = 32,053037 Valuación m períodos después del último pago n 1
S(x;n;m) = E-1 (x+t;n-1-t) . E-1 (x+n-1:m) t 0
n 1
= D-1 (x+n-1) . D(x+t) . D-1 (x+n+m-1) . D(x+n-1) t 0
n 1
= D-1 (x+n+m-1) .
t 0
D(x+t)
= D-1 (x+n+m-1).[ N(x) - N(x+n)] Ejemplo: S(26;20;10) = D-1 (55). [ N(26)-N(46) ] = 995,98-1 . (73833,9 - 25452,13) = 48,577049 En función de a(x;0;n): S(x;n;m) = t=0 n-1 E (x;t) E-1 (x;n+m-1) = a(x;0;n) . E-1 (x;n+m-1) Ejemplo: S(26;20;10) = a(26;0;20) . E-1 (26;29) = 13,905972 . 3,49324 = 48,576897 En función de S(x;n;0): S(x;n;m) = t=0 n-1 E (x;t) . E-1 (x;n+m-1)
si E-1 (x;n+m-1) = E -1 (x;n-1) . E -1 (x+n-1;m) 45
= a(x;0;n) . E -1 (x;n-1) . E -1 (x+n-1;m) = S(x;n;0) . E -1 (x+n-1;m) Ejemplo: S(26;20;10)=S(26;20;0) . E-1 (45;10) = 30,683466 . 1,583163 = 48,571441 En función de S(x;n;1): S(x;n;m) = S(x;n;1) . E-1 (x+n;m-1) Ejemplo: S(26;20;10) = S(26;20;1) . E-1 (46;9) =32,056662 . 1,515346 = 48,566839
Caso particular de las imposiciones vitalicias (por llegar al final de la tabla) 0
1
w-2-x
w-1-x
w-x
x
x+1
w-2
w-1
w
1
1
1
1
....
S(x;w-x;0)
S(x;w-x;1)
S(x;w-x;0) = D-1 (w-1) . N(x) = a(x;0;w-x) . E-1 (x;w-x-1) S(x;w-x;1) = S(x;w-x;0).(1+i) Capitalizo sólo financieramente porque no existen sobrevivientes (nadie puede alcanzar la edad w). S(x;n;w-x-n+1) = S(x;n;w-x-n) . (1+i) = a(x;0;n) . E-1 (x;w-x-1) . (1+i) Capitalizo actuarialmente hasta la edad w-1 y luego capitalizo sólo financieramente. Ejemplo: S (26;74;0) = D-1 (99) . N(26) = 0,221 -1 . 73832,929 = 334085,651583 S (26;74;0) = a(26;0;74) . E -1 (26;73) = 21,22139541 .15707,3289452 = 334085,651583
46
UNIDAD III Seguros de Muerte 1) Riesgo inmediato y plazo limitado 0
1
2
t-1
t
t+1
n-2
n-1
n
x
x+1
x+2
x+t-1
x+t
x+t+1
x+n-2
x+n-1
x+n
P(x;n)
P(x;n) .................... P(x;n)
P(x;n) P(x;n)
P(x;n) .......... P(x;n)
A(x;0;n) 1
ó
1
ó ......
1
ó
1
ó
1
.........
1
P(x;n) Asegurado ó
1
ó
1
Definición: El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan y éste le acuerda cobertura de muerte de riesgo inmediato y plazo limitado consistente en el pago del capital asegurado a los derechohabientes al fin del año del fallecimiento del asegurado si éste tiene lugar entre las edades x y x+n. A(x;0;n) donde: el 1 er campo indica la edad de contratación o de valuación (x). el 2 do campo indica el plazo de diferimiento (0). el 3 er campo indica el plazo del seguro(n). Si trabajamos en edades A(x;x;x+n) donde: el 1 er campo indica la edad de contratación o de valuación (x). el 2 do campo indica la edad en que se inicia el riesgo (x). el 3 er campo indica la edad que finaliza el riesgo(x+n) A(x;0;n) = t=0n -1 A(x;t;1) = t=0n -1 .vt+1.q(x;t;1) = D-1(x). t=0n -1.C(x+t) = D-1(x).M(x;0;n) = D-1(x).[ M(x) - M(x+n) ] Ejemplo: A(26;0;20) = D-1(26).[ M(26) - M(46) ] = 0,0313616 Método de la colectividad necesaria l(x).P(x;1)
P(x;1)
n -1.vt+1.[d(x+t)/l(x)]
t=0
= t=0n -1 vt+1 q(x;t;1) 2) Riesgo inmediato, sin límite 0
1
2
t-1
t
t+1
n-2
n-1
x
x+1
x+2
x+t-1
x+t
x+t+1
x+n-2
x+n-1
n
w-x-1
x+n
w-x
w-1
P(x;1)
w P.P.U.
P(x;w-x)
P(x;w-x) 1
o
1 ...
P(x;w-x).............P(x;w-x) 1
o
1
o
1
P(x;w-x) ...
1
P(x;w-x)..............P(x;w-x)P.P.A. o
1 o 1
...
1
o
1
Definición: El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan y este le acuerda cobertura de muerte de riesgo inmediato , sin límite consistente en el pago del capital asegurado a los derechohabientes al fin del año del fallecimiento del asegurado. A(x;0;w-x) donde: el 1 er campo indica la edad de contratación o de valuación (x). el 2 do campo indica el plazo de diferimiento (0). el 3 er campo indica el plazo del seguro(w-x). Si trabajamos en edades A(x;x;w) donde: el 1 er campo indica la edad de contratación o de valuación (x). el 2 do campo indica la edad en que se inicia el riesgo (x). el 3 er campo indica la edad que finaliza el riesgo(w). A(x;0;w-x) = t=0w-x-1 A(x;t;1) = t=0w-x-1 vt+1.q(x;t;1) = t=0w-x-1vt+1.[d(x+t;0;1)/l(x)] = t=0w-x-1vt+1.[d(x+t;0;1).vx / l(x) vx] = t=0w-x-1[vx+t+1.d(x+t)/ vx . l(x)] =D-1(x).t=0w-x-1C(x+t) =D-1(x).M(x) Ejemplo: A(26;0;74) = D-1(26). M(26) = 0,18379258 48
Método de la colectividad necesaria l(x).P(x;1)
w-x-1.vt+1.[d(x+t)/l(x)]
t=0
= t=0w-x-1 vt+1 q(x;t;1) 3) Riesgo diferido y plazo limitado 0
1
2
h-1
h
h+1
h+n-2
h+n-1
h+n
x
x+1
x+2
x+h-1
x+h
x+h+1
x+h+n-2
x+h+n-1
x+h+n
P(x;1)
P.P.U.
P(x;h) P(x;h) P(x;h)...............P(x;h)
P.P.A.
A(x;h;n)
1
ó .... ó
1
ó
1
ó
1
Definición: El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan y éste le acuerda cobertura de muerte de riesgo diferido y plazo limitado consistente en el pago del capital asegurado a los derechohabientes al fin del año del fallecimiento del asegurado; si éste tiene lugar a partir de h años y por un período de n años. A(x; h; n) donde: el 1 er campo indica la edad de contratación o de valuación (x). el 2 do campo indica el plazo de diferimiento (h). el 3 er campo indica el plazo del seguro(n). Si trabajamos en edades A(x; x+h; x+h+n) donde: el 1 er campo indica la edad de contratación o de valuación (x). el 2 do campo indica la edad en que se inicia el riesgo (x+h). el 3 er campo indica la edad que finaliza el riesgo(x+h+n). A(x; h; n) = t=hh+n-1 A(x;t;1) = t=hh+n -1 .vt+1.q(x;t;1) = t=hh+n - 1.vt+1.[d(x+t;0;1)/ l(x)] = t=hh+n -1.vt+1.[d(x+t;0;1).vx/ l(x). vx] = t=hh+n -1.[vx+t+1.d(x+t)/ vx .l(x)] = D-1(x).t=hh+n -1.C(x+t) = D-1(x).M(x+h;0;n) = D-1(x).[M(x+h) - M(x+h+n)] Método de la colectividad necesaria l(x).P(x;1)
h+n -1.vt+1.[d(x+t)/l(x)]
t=h
49
= t=hh+n -1 .vt+1 q(x;t;1) = t=hh+n -1 .A(x;t;1) Método Geométrico h+n -1.A(x;t;1)
A(x;h;n) =
t=h
=
t=0
h+n -1.A(x;t;1) - t=0h -1.A(x;t;1)
= A(x;0;h+n) - A(x;0;h) Método de Recurrencia A(x;h;n) = t=hh+n -1.A(x;t;1) = t=0n -1.A(x;t+h;1) = t=0n -1.vt+h+1. q(x;t+h;1) = t=0n -1.vt+h+1.p(x;h).q(x+h;t;1) = t=0n -1.vh.p(x;h).vt+1.q(x+h;t;1) =E(x;h). t=0n -1.A(x+h;t;1) =E(x;h).A(x+h;0;n) Ejemplos: Por valores de conmutación A(26;10;20) = D-1(26).[ M(36) - M(56) ] = 0,041029399 Por método geométrico =A(26;0;30) - A(26;0;10) = 0,055581592- 0,014552193 = 0,041029399 Por recurrencia =E(26;10).A(36;0;20) = 0,663362345 . 0,06185066 = 0,041029399
50
4) Riesgo diferido, sin límite 0
1
h
h+1
t
t+1
w-x-2
x
x+1
x+h
x+h+1
x+t
x+t+1
w-2
w-x-1
w-x
w-1
w
P(x;1)
P.P.U.
P(x;h) P(x;h) P(x;h)...............P(x;h)
P.P.A.
A(x;h;w-x-h)
1
ó ....... ó
1 ó
1 ó
........
ó
1
ó
1
ó
1
Definición: El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan y éste le acuerda cobertura de muerte de riesgo diferido , sin límite consistente en el pago del capital asegurado a los derechohabientes al fin del año del fallecimiento del asegurado; si éste sobrevive hasta “x+h”. A(x; h; w-x-h) donde: el 1 er campo indica la edad de contratación o de valuación (x). el 2 do campo indica el plazo de diferimiento (h). el 3 er campo indica el plazo del seguro(w-x-h). Si trabajamos en edades A(x;x+h;w) donde: el 1 er campo indica la edad de contratación o de valuación (x). el 2 do campo indica la edad en que se inicia el riesgo (x+h). el 3 er campo indica la edad que finaliza el riesgo(w). A(x;h;w-x-h) = t=hw-x-1 A(x;t;1) = t=hw-x-1 .vt+1.q(x;t;1) = t=hw-x-1.vt+1.[d(x+t;0;1)/l(x)] = t=hw-x-1.vt+1.[d(x+t;0;1).vx/ l(x).vx] = t=hw-x-1.[vx+t+1.d(x+t) / vx .l(x)] =D-1(x). t=hw-x-1.C(x+t) =D-1(x).M(x+h;0;w-x-h) =D-1(x). M(x+h) Método de la colectividad necesaria l(x).P(x;1)
w-x-1.vt+1.[d(x+t) / l(x)]
t=h
= t=hw-x-1.vt+1 q(x;t;1) = t=hw-x-1 .A(x;t;1) Método Geométrico A(x;h;w-x-h) =
w-x-1.A(x;t;1) = t=0w-x-1.A(x;t;1) - t=0h-1.A(x;t;1)
t=h
=A(x;0;w-x) - A(x;0;h) Método de Recurrencia 51
A(x;h;w-x-h) = t=hw-x-1.A(x;t;1) = t=0w-x-h -1.A(x;t+h;1) = t=0w-x-h -1.vt+h+1. q(x;t+h;1) = t=0w-x-h -1 .vt+h+1. p(x;h).q(x+h;t;1) = t=0w-x-h -1.vh.p(x;h).vt+1.q(x+h;t;1) =E(x;h). t=0w-x-h -1.A(x+h;t;1) =E(x;h).A(x+h;0;w-x-h) Ejemplos: Por valores de conmutación A(26;10;64) = D-1(26). M(36) = 0,169240393 Por el método geométrico =A(26;0;74) - A(26;0;10) = 0,183792586 - 0,014552193 = 0,169240393 Por recurrencia =E(26;10).A(36;0;64) = 0,663362345 . 0,2551251133 = 0,169240393
Marchas Progresivas del Seguro de Muerte 1- Marcha colectiva del seguro de muerte de riesgo inmediato y limitado (a prima pura única) Fecha Concepto Fórmula 01.01. I. Recaudación l(x).P(x;1) = l(x).t=0n-1 vt+1q(x;t;1) =t=-0n-1 vt+1.d(x+t) 31.12. I. Capit. financiera l(x).P(x;1).(1+i) = t=0 n-1 vt d(x+t) 31.12. I. Pago/riesgo d(x) 31.12. I Saldo n-1 t v .d(x+t) t=1 n-1 31.12.II. Capit. financiera t=1 vt.d(x+t).(1+i) = t=1 n-1 vt-1 .d(x+t) 31.12.II. Pago/riesgo d(x+1) n-1 t-1 31.12.II. Saldo v . d(x+t) t=2 ........ .............. ...................... 31.12. s. Capit. financiera t=s-1 n-1 vt-(s-2).d(x+t).(1+i) = t=s-1 n-1 vt-(s-1) . d(x+t) 31.12. s. Pago/riesgo d(x+s-1) n-1 t-(s-1) 31.12. s. Saldo v . d(x+t) t=s n-1 t-(s-1) 31.12.s+1 Capit.financiera t=s v . d(x+t).(1+i) = t=s n-1 vt-s . d(x+t) 31.12.s+1 Pago/riesgo d(x+s) n-1 t-s 31.12.s+1. Saldo v . d(x+t) t=s+1 ........ ............... ...................... 31.12.n-1. Capit. financiera t=n-2 n-1 vt-(n-3) . d(x+t).(1+i) = t=n-2 n-1 vt-(n-2) . d(x+t) 31.12.n-1 Pago/riesgo d(x+n-2) n-1 t-(n-2) 31.12.n-1. Saldo . d(x+t) t=n-1 v n-1 t-(n-2) 31.12. n. Capit. financiera t=n-1 v . d(x+t).(1+i) = t=n-1 n-1 vt-(n-1) . d(x+t) 31.12. n. Pago/riesgo d(x+n-1) 31.12. n Saldo 0 Ejemplo: Cuadro de marcha colectiva a prima pura única (P.P.U. = 0,03136163) 52
Edad X
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
l(x)
Saldo Inicial
Int.Fin.
(1)
(2)=(1)*PPU
(3)=(2)*0,04
9.646.002,00 9.629.314,00 9.612.848,00 9.596.506,00 9.580.096,00 9.563.532,00 9.546.499,00 9.529.029,00 9.510.829,00 9.491.807,00 9.471.775,00 9.450.563,00 9.427.881,00 9.403.557,00 9.377.322,00 9.349.002,00 9.318.244,00 9.285.071,00 9.249.138,00 9.210.284,00
302.514,35 297.926,92 293.378,00 288.771,12 283.911,96 278.704,44 272.819,62 266.262,40 258.712,90 250.039,41 240.008,99 228.397,35 214.851,24 199.121,29 180.851,15 159.765,19 135.397,80 107.640,71 76.013,34 40.199,87
12.100,57 11.917,08 11.735,12 11.550,84 11.356,48 11.148,18 10.912,78 10.650,50 10.348,52 10.001,58 9.600,36 9.135,89 8.594,05 7.964,85 7.234,05 6.390,61 5.415,91 4.305,63 3.040,53 1.607,99
Capit. Fin. Pago Cap. Aseg. Saldo Final (4)=(2)+(3)
(5)=d(X)*$1
314.614,92 309.844,00 305.113,12 300.321,96 295.268,44 289.852,62 283.732,40 276.912,90 269.061,41 260.040,99 249.609,35 237.533,24 223.445,29 207.086,15 188.085,19 166.155,80 140.813,71 111.946,34 79.053,87 41.807,87
16.688,00 16.466,00 16.342,00 16.410,00 16.564,00 17.033,00 17.470,00 18.200,00 19.022,00 20.032,00 21.212,00 22.682,00 24.324,00 26.235,00 28.320,00 30.758,00 33.173,00 35.933,00 38.854,00 41.808,00
(6)=(4)-(5)
297.926,92 293.378,00 288.771,12 283.911,96 278.704,44 272.819,62 266.262,40 258.712,90 250.039,41 240.008,99 228.397,35 214.851,24 199.121,29 180.851,15 159.765,19 135.397,80 107.640,71 76.013,34 40.199,87 0,00
2- Marcha individual del seguro de muerte de riesgo inmediato y limitado (a prima pura única) Fecha Concepto Fórmula 01.01. 0 Recaudación PPU = t=0 n-1 vt+1 q(x;t;1) 01.01. 0 Pago v. q(x;0;1) n-1 t+1 01.01. 0 Saldo v q(x;t;1) t=1 31.12. 0 Capit.actuarial Saldo.E-1(x;1) = t=1n-1 vt+1 q(x;t;1).E-1(x;1)= t=1 n-1 vt q(x+1;t-1;1) =A(x+1;0;n-1) 01.01.1 Pago v.q(x+1;0;1) n-1 t 01.01.1 Saldo v q(x+1;t-1;1)-v.q(x+1;0;1)= t=2 n-1 vt q(x+1;t-1;1) t=1 31.12.1 Capit.actuarial Saldo.E-1(x+1;1)= t=2n-1 vtq(x+1;t-1;1).E-1(x+1;1) =t=2 n-1 vt-1 q(x+2;t-2;1) ..............
01.01. s. 01.01. s. 31.12. s. ..........
.................
.......................
Pago v.q(x+s;0;1) n-1 t-s+1 Saldo v q(x+s;t-s;1)-v.q(x+s;0;1) = t=s+1 n-1 vt-s+1 q(x+s;t-s;1) t=s Capit.actuarial Saldo .E-1(x+s;1) = t=s+1 n-1 vt-s q(x+s+1;t-s-1;1) ................
.....................................
01.01. n-1 Pago v.q(x+n-1;0;1) n-1 t-n+2 01.01. n-1 Saldo q(x+n-1;t-(n-1);1)- v.q(x+n-1;0;1) =0 t=n-1 v El riesgo fue eliminado al inicio del período. Ejemplo: Cuadro de marcha individual a prima pura única (P.P.U. = 0,03136163) 53
Edad Sal. Inicial X
(1)
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
0,03136163 0,03093958 0,03051936 0,03009128 0,02963561 0,02914242 0,02857797 0,02794223 0,02720193 0,02634265 0,02533939 0,02416759 0,02278892 0,02117510 0,01928600 0,01708900 0,01453038 0,01159287 0,00821841 0,00436466
Riesgo
Neto
(2)=A(X;0;1)
(3)=(1)-(2)
(4)=(3).0,04 (5)=(3)+(4) (6)=[l(x)/l(x+1)-1] (7)=(5)+(6)
0,0296981 0,0292954 0,0288847 0,0284470 0,0279731 0,0274299 0,0268184 0,0261057 0,0252788 0,0243134 0,0231860 0,0218598 0,0203081 0,0184925 0,0163821 0,0139256 0,0111073 0,0078717 0,0041792 0,0000000
0,0011879 0,0011718 0,0011554 0,0011379 0,0011189 0,0010972 0,0010727 0,0010442 0,0010112 0,0009725 0,0009274 0,0008744 0,0008123 0,0007397 0,0006553 0,0005570 0,0004443 0,0003149 0,0001672 0,0000000
0,0016635 0,0016442 0,0016346 0,0016442 0,0016625 0,0017125 0,0017596 0,0018365 0,0019231 0,0020293 0,0021534 0,0023078 0,0024808 0,0026826 0,0029039 0,0031634 0,0034231 0,0037211 0,0040393 0,0043647
Int. Fin.
Subsaldo 0,0308861 0,0304672 0,0300401 0,0295849 0,0290920 0,0285271 0,0278911 0,0271500 0,0262900 0,0252859 0,0241135 0,0227342 0,0211205 0,0192322 0,0170374 0,0144826 0,0115516 0,0081866 0,0043463 0,0000000
Int. Biom. 0,0000535 0,0000522 0,0000512 0,0000507 0,0000504 0,0000509 0,0000511 0,0000520 0,0000527 0,0000535 0,0000541 0,0000547 0,0000546 0,0000538 0,0000516 0,0000478 0,0000413 0,0000318 0,0000183 0,0000000
Saldo Final 0,0309396 0,0305194 0,0300913 0,0296356 0,0291424 0,0285780 0,0279422 0,0272019 0,0263427 0,0253394 0,0241676 0,0227889 0,0211751 0,0192860 0,0170890 0,0145304 0,0115929 0,0082184 0,0043647 0,0000000
3- Marcha colectiva del seguro de muerte de riesgo diferido y limitado (a prima pura única) Fecha Concepto Fórmula 01.01. I Recaudación l(x).P(x;1)
31.12. h-1 31.12. h. 31.12. h. 31.12. h. 31.12. h+1 31.12. h+1 31.12. h+1 .........
..........
...............
Capit.financiera t=h h+n-1 vt-(h-2) d(x+t).(1+i) = t=h h+n-1 vt-(h-1) d(x+t) Capit.financiera t=h h+n-1 vt-(h-1) d(x+t).(1+i) = t=h h+n-1 vt-h d(x+t) Pago/riesgo d(x+h) h+n-1 t-h Saldo v d(x+t) - d(x+h) = t=h+1h+n-1vt-h d(x+t) t=h Capit.financiera t=h+1h+n-1vt-h d(x+t).(1+i) = t=h+1h+n-1vt-(h-1) d(x+t) Pago/riesgo d(x+h+1) h+n-1 t-(h-1) Saldo v d(x+t)-d(x+h+1) = t=h+2h+n-1 vt-(h+1) d(x+t) t=h+1 ...............
..............................
31.12. h+n-1 31.12. h+n-1 31.12. h+n-1
Capit.financiera t=h+n-1h+n-1 vt-(h+n-2).d(x+t).(1+i) = t=h+n-1h+n-1 vt-(h+n-1).d(x+t) Pago/riesgo d(x+h+n-1) h+n-1 t-(h+n-1) Saldo v .d(x+t) - d(x+h+n-1) = 0 t=h+n-1 El riesgo fue eliminado al finalizar el período Ejemplo: Cuadro de marcha colectiva de riesgo diferido y limitado a P.P.U. = 0,01680919686 54
Edad
l(x)
Sal. Inicial
Int. Fin.
X
(1)
(2)=(1)*PPU
(3)=(2)*0,04
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
9.646.002,00 9.629.314,00 9.612.848,00 9.596.506,00 9.580.096,00 9.563.532,00 9.546.499,00 9.529.029,00 9.510.829,00 9.491.807,00 9.471.775,00 9.450.563,00 9.427.881,00 9.403.557,00 9.377.322,00 9.349.002,00 9.318.244,00 9.285.071,00 9.249.138,00 9.210.284,00
162.141,55 168.627,21 175.372,30 182.387,19 189.682,68 197.269,98 205.160,78 213.367,21 221.901,90 230.777,98 240.009,10 228.397,46 214.851,36 199.121,41 180.851,27 159.765,32 135.397,93 107.640,85 76.013,49 40.200,03
6.485,66 6.745,09 7.014,89 7.295,49 7.587,31 7.890,80 8.206,43 8.534,69 8.876,08 9.231,12 9.600,36 9.135,90 8.594,05 7.964,86 7.234,05 6.390,61 5.415,92 4.305,63 3.040,54 1.608,00
Capit. Fin. Pago Cap. Aseg. (4)=(2)+(3)
168.627,21 175.372,30 182.387,19 189.682,68 197.269,98 205.160,78 213.367,21 221.901,90 230.777,98 240.009,10 249.609,46 237.533,36 223.445,41 207.086,27 188.085,32 166.155,93 140.813,85 111.946,49 79.054,03 41.808,03
(5)=d(X)*$1
21.212,00 22.682,00 24.324,00 26.235,00 28.320,00 30.758,00 33.173,00 35.933,00 38.854,00 41.808,00
Saldo Final (6)=(4)-(5)
168.627,21 175.372,30 182.387,19 189.682,68 197.269,98 205.160,78 213.367,21 221.901,90 230.777,98 240.009,10 228.397,46 214.851,36 199.121,41 180.851,27 159.765,32 135.397,93 107.640,85 76.013,49 40.200,03 0,00
4- Marcha individual del seguro de muerte de riesgo diferido y limitado (a prima pura única) Fecha Concepto Fórmula 01.01.0 Recaudación PPU
.................
h+n-1vt-(h-2)q(x+h-1;t-(h-1);1).E-1(x+h-1;1) = t=hh+n-1vt-(h-1)q(x+h;t-h;1) Pago v.q(x+h;0;1) h+n-1 t-(h-1) Saldo v q(x+h;t-h;1) - v.q(x+h;0;1) = t=h+1h+n-1vt-(h-1)q(x+h;t-h;1) t=h Capit. actuarial t=h+1h+n-1vt-(h-1)q(x+h;t-h;1).E-1(x+h;1) = t=h+1h+n-1vt-hq(x+h+1;t-h-1;1)
31.12. h-1 Capit. actuarial 01.01. h 01.01. h 31.12. h ............
.....................
...........
01.01.n-1 Pago 01.01.n-1 Saldo
t=h
...................
v.q(x+h+n-1;0;1) h+n-1 t-(h+n-2) v q(x+h+n-1;t-(h+n-1);1) - v.q(x+h+n-1;0;1)=0 t=h+n-1
El riesgo fue eliminado al inicio del período.
55
Ejemplo: Cuadro de marcha individual de riesgo diferido y limitado a P.P.U = 0,01680919686 Edad Sal. Inicial X
(1)
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
0,01680920 0,01751186 0,01824353 0,01900558 0,01979966 0,02062731 0,02149068 0,02239129 0,02333150 0,02431339 0,02533940 0,02416761 0,02278893 0,02117511 0,01928602 0,01708901 0,01453040 0,01159288 0,00821843 0,00436468
Riesgo
Neto
Int. Fin.
Subsaldo
Int. Biom.
Saldo Final
(2)=A(X;0;1)
(3)=(1)-(2)
(4)=(3)*0,04
(5)=(3)+(4)
(6)=[l(x)/l(x+1)-1]
(7)=(5)+(6)
0,00215336 0,00230776 0,00248078 0,00268260 0,00290390 0,00316344 0,00342308 0,00372113 0,00403925 0,00436469
0,01680920 0,01751186 0,01824353 0,01900558 0,01979966 0,02062731 0,02149068 0,02239129 0,02333150 0,02431339 0,02318604 0,02185985 0,02030815 0,01849251 0,01638212 0,01392557 0,01110732 0,00787175 0,00417918 0,00000000
0,00067237 0,00070047 0,00072974 0,00076022 0,00079199 0,00082509 0,00085963 0,00089565 0,00093326 0,00097254 0,00092744 0,00087439 0,00081233 0,00073970 0,00065528 0,00055702 0,00044429 0,00031487 0,00016717 0,00000000
0,01748156 0,01821234 0,01897327 0,01976581 0,02059165 0,02145241 0,02235031 0,02328694 0,02426476 0,02528592 0,02411348 0,02273424 0,02112048 0,01923221 0,01703740 0,01448260 0,01155161 0,00818662 0,00434635 0,00000000
0,00003030 0,00003120 0,00003231 0,00003386 0,00003566 0,00003828 0,00004098 0,00004456 0,00004863 0,00005348 0,00005412 0,00005470 0,00005463 0,00005381 0,00005161 0,00004780 0,00004127 0,00003181 0,00001834 0,00000000
0,01751186 0,01824353 0,01900558 0,01979966 0,02062731 0,02149068 0,02239129 0,02333150 0,02431339 0,02533940 0,02416761 0,02278893 0,02117511 0,01928602 0,01708901 0,01453040 0,01159288 0,00821843 0,00436468 0,00000000
Marcha progresiva individual descontando el riesgo al fin del período (Anexo 1)
Relaciones entre Seguros de Vida y de Muerte 1) Riesgo inmediato y plazo limitado: A(x:0:n) = t=0 n-1 A(x;t;1) = t=0 n-1 vt+1 . q(x;t;1) = t=0 n-1 vt+1 [p(x;t) - p(x;t+1)] = v. t=0 n-1 E(x;t) - t=0 n-1 E(x;t+1) = v.a(x;0;n) - a(x;1;n) = (1-d ).a(x;0;n) - [a(x;0;n)-1+ E(x;n) ] = 1-E(x;n) -d.a(x;o;n) El asegurador necesita al momento 0 el capital asegurado ($1) menos el valor actual actuarial del capital asegurado pagadero en el momento n menos los intereses que se generan durante el plazo de cobertura. Ejemplo: A(26;0;20) = 0,031361484 56
A(26;0;20) = 1-E(26;20)-d .a(26;0;20) = 1- 0,433793479-(0,04/1,04).13,905970966 = 0,031361484 2) Riesgo inmediato, sin límite: A(x;0;w-x) =
t=0
w--x-1 vt+1 . q(x;t;1)
=
t=0
w-x-1 vt+1 [p(x;t) - p(x;t+1)]
= v. t=0 w-x-1 vt .p(x;t) - t=0 w-x-1 vt+1 p(x;t+1) = v. t=0 w-x-1 E(x;t) -
t=0
w-x-1 E(x;t+1)
= v. a(x;0;w-x) - t=1 w-x-1 E(x;t) - E(x;w-x) = v. a(x;0;w-x) - a(x;1;w-x-1) = (1-d) a(x;0;w-x) -[ a(x;0;w-x)-1+E(x;w-x)] = a(x;0;w-x) - d.a(x;0;w-x) - a(x;0;w-x) +1 = 1 - d.a(x;0;w-x) El asegurador necesita al momento 0 el capital asegurado ($1) menos los intereses que se generan durante el plazo de cobertura ya que el pago del capital asegurado al final del año de fallecimiento es cierto). Ejemplo: A(26;0;74) = 0,18379258 A(26;0;74) = 1- d.a(26;0;74) = 1- (0,04/1,04).21,221392768 = 0,18379258 3) Riesgo diferido y plazo limitado: A(x; h; n) = t=h h+n-1 vt+1 . q(x;t;1) = t=h h+n-1 vt+1 .[p(x;t) -p(x;t+1)] = v. t=h h+n-1 vt p(x;t) - t=h h+n-1 vt+1 p(x;t+1) = v. t=h h+n-1 E(x;t) - t=h h+n-1 E(x;t+1) = v.a(x;h;n) - t=h+1 h+n E(x;t) = v.a(x;h;n) - a(x;h+1;n) = (1-d) a(x;h;n) - [ a(x;h;n)+E(x;h+n) -E(x;h)] = E(x;h) - E(x;h+n) -d.a(x;h;n) El asegurador necesita al momento 0 el capital asegurado ($1) actualizado actuarialmente h períodos, menos el valor actual actuarial del capital asegurado pagadero en el momento h+n menos los intereses que se generan durante el plazo de cobertura. Ejemplo: A(26;10;20) = 0,041029399 A(26;10;20) = E(26;10) - E(26;30) - d.a(26;10;20) 57
= 0,663362345 - 0,272374619 - (0,04/1,04) . 9,098900772 = 0,041029399 4) Riesgo diferido, sin límite: A(x;h;w-x-h) = t=h w-x-h-1 vt+1 . q(x;t;1) = t=h w-x-h-1 vt+1 [p(x;t) -p(x;t+1)] = v. t=h w-x-h-1 vt.p(x;t) - t=h w-x-h-1 vt+1 . p(x;t+1) = v .a(x;h;w-x-h) - t=h+1 w-x-h E(x;t) -E(x;w-x) = v .a(x;h;w-x-h) - a(x;h+1;w-x-h) = (1-d) a(x;h;w-x-h) - [a(x;h;w-x-h) -E(x;h) +E(x;w-x)] = E(x;h) - d.a(x;h;w-x-h) El asegurador necesita al momento 0 el capital asegurado ($1) actualizado actuarialmente h períodos menos los intereses que se generan durante el plazo de cobertura ya que una vez alcanzada la edad x+h el pago del capital asegurado es cierto. Ejemplo: A(26;10;64) = 0,169240393 A(26;10;64) = E(26;10) - d.a(26;10;64) = 0,663362345 - (0,04/1,04).12,847170752 = 0,169240393
Análisis de la Función Variación del seguro de muerte diferido y temporario 1) Con respecto al plazo de cobertura:
A(x;h;n) = A(x;h;n+1) - A(x;h;n) n
=
t=h
h+n vt+1 . q(x;t;1) - t=h h+n-1 vt+1 .q(x;t;1)
= vh+n+1 q(x;h+n;1) >0 A(x;h;1) < A(x;h;2) < .......... < A(x;h;n) < A(x;h;n+1) A medida que aumenta el plazo n, manteniéndose constante la edad de contratación y el plazo de diferimiento, el valor de la prima de un seguro de muerte diferido y temporario AUMENTA. Ejemplo: x = 26
h = 10
A(26;10;1) < A(26;10;2) < ....... < A(26;10;20) < A(26;10;21) <....
h
A(x;h;n) = A(x;h+1;n) - A(x;h;n) 58
= t=h+1 h+n vt+1 .q(x;t;1) - t=h h+n-1 vt+1.q(x;t;1) = A(x;h+n;1) - A(x;h;1) > 0 A(x;h+n;1) > A(x;h;1) debido a que el riesgo biométrico implícito en el primero es mayor que en el segundo ( la probabilidad de muerte de una persona de edad x+h+n es mayor que la de una persona de edad x+h). A(x;1;n) < A(x;2;n) < ............. < A(x;h;n) < A(x;h+1;n) En general, a medida que aumenta el plazo de diferimiento h, manteniéndose constante la edad de contratación y el plazo de cobertura, el valor de la prima de un seguro de muerte diferido y temporario aumenta. Pero en el caso de un plazo de diferimiento alto (donde x+h supere las edades de alta mortalidad ) la prima de este seguro disminuirá. Ejemplo: x = 26 n = 20 (26;1;20) < A(26;2;20) < ..........< A(26;10;20) < A(26;11;20) ... A(26;53;20)>A(26;54;20) 0,0317502 < 0,03229523 <........< 0,0410276 < 0,0426005 .... 0,0359070 >0,0318780 3) Con respecto a la edad de contratación:
x
A(x;h;n) = A(x+1;h;n) - A(x;h;n) = t=h h+n-1 vt+1 q(x+1;t;1) - t=h h+n-1 vt+1 .q(x;t;1) = t=h h+n-1 vt+1 [q(x+1;t;1) - q(x;t;1)] > 0
A(x; h; n) < A(x+1;h;n) < ................. < A(w-h-n-2;h;n) < A(w-h-n;h;n) Ejemplo: h = 10
n = 20
A(26;10;20) < A(27;10;20) < ....A(45;10;20)A(70;10;20) 0,0410276 < 0,0443813
< .... 0,1705423 <0,1810595........ <0,287374034<0,2752608407
En general, a medida que aumenta la edad x ,manteniéndose constante el plazo de diferimiento y el plazo de cobertura; la prima de un seguro de muerte de riesgo diferido y plazo limitado AUMENTA. En el ejemplo numérico, donde la edad de contratación es igual a 70, podemos observar que el valor de la prima a disminuido.
59
Cálculo de las Primas Puras Anuales o Primas Niveladas 0
1
2
n-2
n-1
n
x
x+1
x+2
x+n-2
x+n-1
x+n
P(x;n)
P(x;n)
P(x;n)
P(x;n)
P(x;1) P(x;n)
..........
Suponemos que se pagan primas puras anuales al comienzo de cada año y se pagan mientras el asegurado esté con vida. A la compañía de seguros le debe dar lo mismo recibir una prima pura única P(x;1), o las primas puras anuales P(x; n). l(x).P(x;1)=l(x).P(x;n)+l(x+1).v.P(x;n)+l(x+2).v2.P(x;n) +..+ l(x+t).vt.P(x;n) +..+ l(x+n-1).vn-1. P(x;n) l(x).P(x;1) = P(x;n)t=0 n-1 l(x+t) .vt P(x;1) = P(x;n) t=0 n-1 E(x;t) =P(x;n) a(x;0;n) P(x;n) = P(x;1) .a-1 (x;0;n)
Primas puras anuales del Capital diferido de vida P(x;n) < E(x;n) P(x;1) < E(x;n) > a-1 (x;0;n) = E(x;n).a-1 (x;0;n) = S-1 (x;0;n) Ejemplo: P(26;20)
1
2
n-1
n
x
x+1
x+2
x+n-1
x+n
1
E -1 (x;n)
a-1(x;0;n)
a-1(x;0;n) a-1 (x;0;n)
...................
a -1(x;0;n)
S-1(x;n;1)
S-1(x;n;1) S-1(x;n;1)
..................
S -1(x;n;1)
E(x;n)
*1 1
*2
*1 Suponiendo que el valor de la P.P.U. en el momento 0 fuese 1, en el momento n el capital asegurado es E-1(x;n). Si en cambio se abonan n P.P. Anuales, el valor de éstas es de a-1(x;0;n), abonándose la primera en el momento 0 y la última en n-1. *2 Suponiendo que el capital asegurado en el momento n fuese 1, el valor de la P.P.U. en el momento 0 es E(x;n). Si en cambio se abonan n P.P. Anuales , el valor de éstas es de S -1(x;n;1), abonándose la primera en el momento 0 y la última en n-1.
60
Primas puras anuales de las rentas vitalicias 1) De riesgo inmediato y plazo limitado: P(x;n).a-1 (x;0;n)= a(x;0;n).a-1 (x;0;n) =1 Matemáticamente se plantea, teóricamente no se va a contratar. 2) De riesgo diferido y plazo limitado: Las primas puras anuales se pagan en el período de diferimiento. P(x;h).a-1 (x;0;h) =a(x;h;n).a-1 (x;0;h) = E(x;h) .a(x+h;0;n). a-1 (x;0;h) = S -1 (x;h;1) . a(x+h;0;n) La prima pura anual de este seguro es la cuota de ahorro necesaria para constituir un capital equivalente a a(x+h;0;n) (prima pura única de un seguro de vida de capitales múltiples a la edad x+h de riesgo inmediato y plazo limitado) a la finalización del plazo de pago de primas. En valores de conmutación: P(x;h) < a(x;h;n) [N(x+h)-N(x+h+n)]/[N(x)-N(x+n)] 0
1
2
h-1
h
h+1
h+n-2
h+n-1
x
x+1
x+2
x+h-1
x+h
x+h+1
x+h+n-2
x+h+n-1
1
1
P(x;h) P(x;h) P(x;h) ....
P (x;h) 1
1
.......
a(x+h;0;n) Ejemplo: P(26;10) < a(26;10;20) P(26;1).a-1 (26;0;10) = a(26;10;20).a-1 (26;0;10) = S -1 (26;10;1) .a(36;0;20) = 0,07921476 . 13,71642215 = 1,086543108 En valores de conmutación: P(26;10) < a(26;10;20) [N(36)-N(56)]/[N(26)-N(36)] = 1,086543108 3) De riesgo inmediato, sin límite: Existen dos alternativas: -Pagar las primas durante todo el período de cobertura(w-x) y se lo denomina ordinario de vida-vida. Es decir pago $1 y cobro $1 de capital. -Pagar las primas durante un plazo n , menor al plazo de cobertura y se lo denomina Vida pagos limitados-vida. P(x;n) < a(x;0;w-x) P(x;1).a-1 (x;0;n) =[a(x;0;n) +E(x;n) a(x+n;0;w-x-n)].a-1 (x;0;n) 61
= 1 + S-1 (x;n;1).a(x+n;0;w-x-n) (a)
(b)
(a) peso que se paga de prima pura anual para cubrir el cobro de $1 en los primeros n años. (b) ahorro para poder cobrar $1 hasta que se muera (desde el momento n). En valores de conmutación: P(x;n) < a(x;0;w-x) N(x)/[N(x)-N(x+n)] 0
1
2
n-1
n
n+1
w-x-2
x
x+1
x+2
x+n-1
x+n
x+n+1
w-2
P(x;n) P(x;n) .............
w-x-1 w-1
P(x;n) a(x+n;0;w-x-n)
Ejemplo: P(26;20) < a(26;0;74) P(x;1).a-1 (26;0;20) = 1+S-1 (26;20;1).a(46;0;54) = 1+0,0311947989.16,864002 = 1,526069 P(26;20)
Primas puras anuales del seguro de muerte 1) De riesgo inmediato y temporario P(x;n) < A(x;0;n) P.T.M.(x;n)=A(x;0;n).a-1(x;0;n) 62
En valores de conmutación: P(x;n) < A(x;0;n) [M(x)-M(x+n)]/[N(x)-N(x+n)] Ejemplo: P(26;10) < A(26;0;10) A(26;0;10).a-1(26;0;10) = 0,0145524 / 8,374222 = 0,0017377 En valores de conmutación: P(26;10) < A(26;0;10) [M(26)-M(36)]/[N(26)-N(36)] = 0,0017377 2) De riesgo inmediato, sin límite Ordinario de vida - vida entera P(x;w-x) < A(x;0;w-x) A(x;0;w-x).a-1(x;0;w-x) =M(x)/N(x) valores de conmutación A(x;0;w-x) Vida pagos limitados P(x;n) < A(x;0;w-x) A(x;0;w-x).a-1(x;0;n) = P.T.M.+S -1(x;n;1).A(x+n;0;w-x-n) = M(x)/[N(x)-N(x+n)] valores de conmutación En vida pagos limitados: P.T.M. para cubrir el riesgo en los primeros n años. S-1(x;n;1).A(x+n;0;w-x-n) para cubrir el riesgo hasta que se muera (desde el momento n). Ejemplo: P(26;74) < A(26;0;74) A(26;0;74).a-1(26;0;74) = 0,18379/21,221483 = 0,0086605 P(26;74) < A(26;0;74) M(26)/N(26) = 0,0086605 P(26;20)
seguro de muerte de edad x+h de riesgo inmediato y plazo limitado. En valores de conmutación: P(x;h) < A(x;h;n) [M(x+h)-M(x+h+n)]/[N(x)-N(x+h)] Ejemplo: P(26;20) < A(26;20;10) A(26;20;10).a-1(26;0;20) = 0,02421841/13,905972 = 0,0017416 P(26;20) < A(26;20;10) [M(46)-M(56)]/[N(26)-N(46)] = 0,0017416 4) De riesgo diferido, sin límite P(x;h) < A(x;h;w-x-h) A(x;h;w-x-h).a-1(x;0;h) = E(x;h).A(x+h;0;w-x-h).a-1(x;0;h) = S-1(x;h;1).A(x+h;0;w-x-h) es la cuota de ahorro para constituir un capital equivalente a una P.P.U. de un seguro de muerte de edad x+h de riesgo inmediato y sin límite. En valores de conmutación: P(x;h) < A(x;h;w-x-h) M(x+h)/[N(x)-N(x+h)] Ejemplo: P(26;20) < A(26;20;54) A(26;20;54).a-1(26;0;20) = 0,15242831/13,905972 = 0,0109615 P(26;20) < A(26;20;54) M(46)/[N(26)-N(46)] = 0,0109615
64
Ejemplo:
Marcha Progresiva Colectiva de Seguro de Renta Vitalicia Diferida y Limitada (a prima pura anual) Fecha 01.01. I. 31.12. I. 01.01.II.
Concepto Recaudación Saldo (int. finan.) Saldo + prima
31.12.II
Saldo (int.finan.)
.........
...............
01.01.s+1 Saldo+prima
31.12.s+1 Saldo (int.finan.) ..........
01.01.t
................
Saldo + Prima
Saldo (int.finan.) ..........
...............
01.01.h.
Saldo+prima
31.12.h.
Saldo(int.finan.)
01.01.h+1 Saldo-pago
31.12.h+1 Saldo (int.finan.)
Fórmula l(x) P(x;h) = l(x) a(x;h;n)/a(x;0;h) = l(x) s-1 (x;h;1).a(x+h;0;n) l(x).s-1(x;h;1).a(x+h;0;n).(1+i) [l(x).(1+i)+l(x+1)].s-1 (x;h;1).a(x+h;0;n) = l(x+1).[p-1(x;1).(1+i)+1].s-1(x;h;1).a(x+h;0;n) = l(x+1).[E-1(x;1)+1].s-1(x;h;1).a(x+h;0;n) = l(x+1).s(x;2;0).s-1(x;h;1).a(x+h;0;n) l(x+1).s(x;2;0).s-1(x;h;1).a(x+h;0;n) ..............................
[l(x+s-1).(1+i).(s(x;s;0)+l(x+s)].s-1(x;h;1).a(x+h;0;n) = l(x+s)[E-1(x+s-1).s(x;s;0)-1].s-1(x;h;1).a(x+h;0;n) = l(x+s)[s(x;s;1)+1].s-1(x;h;1).a(x+h;0;n) = l(x+s).s(x;s+1;0).s-1(x;h;1).a(x+h;0;n) l(x+s).(1+i).s(x;s+1;0).s-1(x;h;1).a(x+h;0;n) ...........................
[l(x+t-2).(1+i).(s(x;t-1;0)+l(x+t-1)].s-1(x;h;1).a(x+h;0;n) = l(x+t-1)[E-1(x+t-2).s(x;t-1;0)-1].s-1(x;h;1).a(x+h;0;n) = l(x+t-1)[s(x;t-1;1)+1].s-1(x;h;1).a(x+h;0;n) = l(x+t-1).s(x;t;0).s-1(x;h;1).a(x+h;0;n) l(x+t-1).(1+i).s(x;t;0).s-1(x;h;1).a(x+h;0;n) .............................
[l(x+h-2).(1+i).s(x;h-1;0)+l(x+h-1)].s-1(x;h;1).a(x+h;0;n) = l(x+h-1).[E-1(x+h-2).s(x;h-1;0)+1].s-1(x;h;1).a(x+h;0;n) = l(x+h-1).[s(x;h-1;1)+1].s-1 (x;h;1).a(x+h;0;n) = l(x+h-1).s(x;h;0);s-1(x;h;1).a(x+h;0;n) l(x+h-1).(1+i).s(x;h;0).s-1(x;h;1).a(x+h;0;n) = (1+i).l(x+h-1).E(x+h-1;1).a(x+h;0;n) = l(x+h-1).p(x+h-n-1).a(x+h;0;n) = l(x+h).a(x+h;0;n) l(x+h).[a(x+h;0;n)-a(x+h;0;1)] = l(x+h).a(x+h;1;n-1)=l(x+h).E(x+h;1).a(x+h+1;0;n-1) = v.l(x+h+1).a(x+h+1;0;n-1) (1+i).v.l(x+h+1).a(x+h+1;0;n-1)
Continúa como la marcha a prima pura única. Ejemplo: Marcha progresiva colectiva de una renta vitalicia. a(x;h;n) x = 26 h = 10 n = 10 (anexo 2)
65
UNIDAD IV Planes Mixtos y Planes Especiales Plan mixto o Plan Dotal El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan; y éste le acuerda cobertura de muerte de riesgo inmediato y plazo temporario o cobertura de vida de riesgo diferido, consistente en el pago del capital asegurado a los derecho habientes al fin del año de fallecimiento del asegurado; si éste tiene lugar dentro del plazo establecido; o en el pago de dicho capital al fin del plazo de la cobertura, si el asegurado sobrevive. 0
1
2
t-1
t
t+1
n-2
n-1
n
x
x+1
x+2
x+t-1
x+t
x+t+1
x+n-2
x+n-1
x+n
Muerte A(x;0;n) Vida
1 o 1 o ....... o
1
o
1
o
1
o............o
1
o
1
E(x;n)
o
1 1
P(x;1) P(x;n) P(x;n) ..............
P(x;n)
P(x;n)
P(x;n)..............P(x;n)
P(x;n)
Prima pura única: En función de seguros de vida: P(x;1) < A(x;0;n) + E(x;n) A(x;0;n) + E(x;n) = 1- E(x;n) - d. a(x;0;n) + E(x;n) P(x;1) < A(x,;0;n) + E(x;n) 1-d.a(x;0;n) Es decir el pago del capital asegurado es cierto, el asegurador debe disponer del capital asegurado($1), menos el valor actual de los intereses que se generan mientras el asegurado viva. En función de valores de conmutación: P(x;1) < A(x,;0;n) + E(x;n) D-1(x). [ M(x) - M(x+n) + D(x+n) ]
Prima Pura Anual: P(x;n) < A(x;0;n) + E(x;n) P(x;1) < A(x;0;n) + E(x;n) > .a-1(x;0;n) = [ A(x;0;n) + E(x;n) ].a-1(x;0;n) En función de valores de conmutación: P(x;n) < A(x;0;n) + E(x;n) [ M(x)-M(x+n) +D(x+n) ]/[ N(x) - N(x+n) ] En función de seguros de vida: P(x;n) < A(x;0;n) + E(x;n) [ 1- d. a(x;0;n) ].a-1(x;0;n) 66
P(x;n) < A(x;0;n) + E(x;n) a-1(x;0;n) - d Ejemplo: x = 26
n = 20
P.P.U. P(26;1) < A(26;0;20) + E(26;20) 1-d.a(26;0;20) =1-0,038461538.13,90597195 = 0,465154925 P(26;1) < A(26;0;20) + E(26;20) A(26;0;20) + E(26;20) = 0,0313616 + 0,43379352 = 0,46515512 P.P.A. P(26;20) < A(26;0;20) + E(26;20) P(26;1).a-1(26;0;20) = 0,465154925/13,90597195 = 0,033450011 P(26;20) < A(26;0;20) + E(26;20) a-1(26;0;20) - d = 0,07191155020 - 0,038461538 = 0,033450011
Plan Dotal Doble Capital o Capital Doblado El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan; y éste le acuerda cobertura de muerte de riesgo inmediato y plazo temporario o cobertura de vida de riesgo diferido y cobertura de muerte de riesgo diferido sin límite consistentes en el pago del capital asegurado a los derechohabientes al fin del año de fallecimiento del asegurado, si éste tiene lugar dentro del plazo establecido, o en el pago del capital asegurado si el asegurado sobrevive a dicho plazo y el pago del capital asegurado a sus derecho habientes al fin del año de fallecimiento, si éste tiene lugar a partir del plazo de diferimiento. 0
1
2
n-2
n-1
n
n+1
w-x-1
w-x
x
x+1
x+2
x+n-2
x+n-1
x+n
x+n+1
w-1
w
1
ó 1
Muerte:A(x;0;n) Vida
1 ó
1 ó ....... ó 1
ó
1
E(x;n)
ó
1 1
A(x;n;w-x-n)
1 ó ............ ó P(x;1) P(x;n) P(x;n) .................................. P(x;n)
Prima Pura única: P(x;1) < A(x;0;n) + E(x;n) +A(x;n;w-x-n) A(x;0;n) + E(x;n) +A(x;n;w-x-n) donde: A(x;0;n) + E(x;n) es la prima pura única del plan dotal A(x;n;w-x-n) es la prima pura única de un seguro de muerte diferido. Luego P(x;1) < DDC A(x;0;w-x) + E(x;n) es decir está formado por un vida entera y un capital diferido de vida. 67
En función de seguros de vida: P(x;1) < DDC 1-d.a(x;0;w-x) + E(x;n) En función de valores de conmutación: P(x;1) < DDC D-1(x) . [M(x) + D(x+n)]
Prima pura anual: La prima pura anual se paga durante el plazo de diferimiento del seguro de vida. P(x;n) < DDC P(x;1).a-1(x;0;n) P(x;n) < DDC [A(x;0;n) + E(x;n) +A(x;n;w-x-n)].a-1(x;0;n) =A(x;0;n).a-1(x;0;n)+E(x;n).[1+ A(x+n;0;w-x-n)].a-1(x;0;n) =P.T.M.(x;n) + P.C.D. (x;n).[ 1+ A(x+n;0;w-x-n) ] P(x;n) < DDC P.V.P.L(x;n) + P.C.D.(x;n) P.V.P.L(x;n) = prima pura anual del seguro de vida pagos limitados P.C.D.(x;n) = prima pura anual del seguro de capital diferido de vida. En valores de conmutación: P(x;n) < DDC [ M(x) + D(x+n) ]/[N(x)-N(x+n)] Ejemplo: P(26;1) < DDC A(26;0;20) + E(26;20) + A(26;20;54) = 0,0313616+0,433794+0,1524283 = 0,6175839 P(26;1) < DDC A(26;0;74) + E(26;20) = 0,183792+0,433794 = 0,6175839 = D-1(26).[M(26) + D(46)] = 0,6175839 P(26;20) = P(26;1) < DDC > .a-1(26;0;20) = 0,6175839/13,90597195 = 0,04441157 = P.T.M.(26;20) + P.C.D. [1+ A(46;0;54) ] = A(26;0;20).a-1(26;0;20) + E(26;20).a-1(26;0;20).[1+D-1(55). M(55) ] = 0,0313616/13,90597195 + (0,43379352/13,90597195).1,4579396 = 0,00225526 + 0,045480082 = 0,04441160
68
Planes Especiales Término Fijo El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan, y éste le acuerda cobertura de muerte de riesgo inmediato y plazo limitado o cobertura de vida de riesgo diferido consistente en: - el pago del capital asegurado a los derechohabientes al fin del plazo de la cobertura si el fallecimiento tiene lugar dentro del plazo convenido o; - el pago del capital asegurado al finalizar el plazo de cobertura al asegurado si éste sobrevive. 0
1
2
3
n-2
n-1
n
x
x+1
x+2
x+3
x+n-2
x+n-1
x+n
P(x;1) P(x;n) P(x;n) P(x;n) P(x;n).............................. P(x;n) P(x;n) vn
. q(x;0;n)
$1 muerte
E(x;n)
$1 vida
Cálculo de la prima pura anual P (x;1) < vn 1. vn = vn . [ p(x;n) + qx;0;n) ] = vn . p(x;n) + vn . q(x;0;n) n 1
n 1
t 0
t0
= E(x;n) + vn . q(x;t;1) = E(x;n) + vn-t-1 . A(x;t;1) La operación financiera cierta la puedo considerar como un seguro de vida de capital diferido + un seguro de muerte con pago del capital asegurado a los derecho habientes al fin del plazo establecido.
Comparación con el Plan Dotal El plan a término fijo es parecido al plan dotal con respecto a sus coberturas, pero si comparamos las primas:
P.P.U.
Dotal E(x;n) + A(x;0;n)
Término Fijo E(x;n) + v n . q(x;0;n)
n 1
E(x;n) + A(x;t;1) t 0
n 1
E(x;n) + vn-t-1 . A(x;t;1) t 0
en ambos planes el término acerca del seguro de vida es el mismo, entonces, si comparamos los n 1
segundos términos se puede ver que:
t 0
v t 1
n 1
q(x;t;1) >
t 0
vn
. q(x;t;1)
la prima del seguro dotal va a ser más cara porque el asegurador debe pagar al fin del año de fallecimiento, en cambio en el seguro de término fijo el asegurador debe pagar al fin del plazo estipulado cualquiera sea el año de fallecimiento. Cálculo de la prima pura anual 69
P (x;n) < vn > . a (x;0;n) = P (x;1) < vn > P (x;n) < vn vn . a-1 (x;0;n) = vn . [ p(x;n) + q(x;0;n) ] . a-1 (x;0;n) = [ vn . p(x;n) + vn . q(x;0;n) ] . a-1 (x;0;n) = E(x;n) . a -1 (x;0;n) + vn .q(x;0;n) . a-1 (x;0;n) P (x;n) < vn P (x;n) < E (x;n) > + P (x;n) Ejemplo: x = 26
n = 20
PPU: P(26;1) < vn v20 = 1.04-20 = 0.45638969 = E(26;20) + v20 . q(26;0;20) = 0.433794 + 0.45638969 . 0.0477996489301 = 0.45638969 PPA: P(26;20) < v20 P(26;1) < v20 > . a-1 (26;0;20) = 0.45638969 . [ 1 / 13.905972 ] = 0.032763568555
Marcha Progresiva Colectiva (a prima pura única ) Fecha 01.01. 0 31.12. 0 31.12. 0 31.12. 0
Concepto Recaudación Cap. financiera Pago / riesgo Saldo
31.12. 1 31.12. 1 31.12. 1
Cap. financiera Pago / riesgo Saldo
........
Fórmula l(x) . PPU < vn > = l(x) . vn l(x) . vn . (1+i)= l(x) . vn-1 d(x) . vn-1 l(x) . vn-1 - d(x) . vn-1 = vn-1 . [ l(x) - d(x) ] = vn-1 . l(x+1) vn-1 . l(x+1) . (1+i) = l(x+1) . vn-2 d(x+1) . vn-2 l(x+1) . vn-2 - d(x+1) . vn-2 = vn-2 . [ l(x+1) - d(x+1) ] = vn-2 . l(x+2)
.............
31.12. s 31.12. s 31.12. s
................................
Cap. financiera Pago / riesgo Saldo
........
l(x+s) . vn-s . (1+i) = l(x+s) . vn-(s+1) d(x+s) . vn-(s+1) l(x+s) . vn-(s+1) - d(x+s) . vn-(s+1) = vn-(s+1) .[ l(x+s) - d(x+s) ] = v n-(s+1) . l(x+s+1)
................
31.12.n-1 31.12.n-1 31.12.n-1 01.01. n 01.01. n
..............................
Cap. financiera Pago / riesgo Saldo Pago /riesgo Saldo
v . l(x+n-1) . (1+i) = l(x+n-1) d(x+n-1) . vn-n l(x+n-1) - d(x+n-1) = l(x+n) $1 . l(x+n) = l(x+n) l(x+n) - l(x+n) = 0 n-( n-1 )
El riesgo en esta marcha fue eliminado al final del período. Ejemplo: Cuadro de marcha colectiva a prima pura única = 0,456386946 Edad Saldo Inicial X
(2)=l(x)*PPU
Int. Fin. (3)=(2)*0,04
Capit. Fin. (4)=(2)+(3)
Pago Cap. Aseg. (5)=l(26)
Saldo Final (6)=(4)-(5) 70
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
4402309,39583 4578401,77166 4761537,84253 4951999,35623 5150079,33048 5356082,50370 5570325,80385 5793138,83600 6024864,38944 6265858,96502 6516493,32362 6777153,05657 7048239,17883 7330168,74598 7623375,49582 7928310,51565 8245442,93628 8575260,65373 8918271,07988 9275001,92308
176092,37583 183136,07087 190461,51370 198079,97425 206003,17322 214243,30015 222813,03215 231725,55344 240994,57558 250634,35860 260659,73294 271086,12226 281929,56715 293206,74984 304935,01983 317132,42063 329817,71745 343010,42615 356730,84320 371000,07692
4578401,77166 4761537,84253 4951999,35623 5150079,33048 5356082,50370 5570325,80385 5793138,83600 6024864,38944 6265858,96502 6516493,32362 6777153,05657 7048239,17883 7330168,74598 7623375,49582 7928310,51565 8245442,93628 8575260,65373 8918271,07988 9275001,92308 9646002,00000
4578401,77166 4761537,84253 4951999,35623 5150079,33048 5356082,50370 5570325,80385 5793138,83600 6024864,38944 6265858,96502 6516493,32362 6777153,05657 7048239,17883 7330168,74598 7623375,49582 7928310,51565 8245442,93628 8575260,65373 8918271,07988 9275001,92308 9646002,00000 0,00000
Marcha Progresiva Individual (a prima pura única) Fecha 01.01. 0 01.01. 0 01.01. 0 31.12. 0 01.01. 1 01.01. 1 31.12. 1 ........
01.01. s 01.01. s 31.12. s ........
01.01. n-1 01.01. n-1 31.12. n-1 31.12. n-1 31.12. n-1
Concepto Recaudación Pago / riesgo Saldo Cap. actuarial Pago / riesgo Saldo Cap. actuarial
Fórmula P(x;1) = vn vn . q(x;0;1) vn - vn . q(x;0;1) = vn . [ 1 - q(x;0;1) ] = vn . p(x;1) = vn-1 . E (x;1) Saldo . E-1(x;1) = vn-1 . E (x;1) . E-1 (x;1) = vn-1 vn-1 . q(x+1;0;1) vn-1-vn-1.q(x+1;0;1) = vn-1.[1-q(x+1;0;1)] = vn-1.p(x+1;1) = vn-2.E(x+1;1) Saldo . E-1 (x+1;1) = vn-2 . E (x+1;1) . E-1 (x+1;1) = vn-2
.............
..................................
Pago / riesgo Saldo Cap. actuarial .............
v . q(x+s;0;1) vn-s-vn-s.q(x+s;0;1) = vn-s.[1-q(x+s;0;1)] = vn-s.p(x+s;1) = vn-(s+1).E(x+s;1) Saldo . E-1 (x+s;1) = vn-(s+1) . E (x+s;1) . E-1 (x+s;1) = vn-(s+1) n-s
.................................
Pago / riesgo Saldo Cap. actuarial Pago Cap.Aseg. Saldo final
v . q(x+n-1; 0;1) v - v.q(x+n-1;0;1) = v .[1-q(x+n-1;0;1)] = v . p(x+n-1;1) = E (x+n-1;1) E (x+n-1;1) . E-1 (x+n-1;1) = v n-n = 1 v0=1 0
En esta tabla el riesgo fue eliminado al inicio del período. Ejemplo: Cuadro de marcha progresiva a prima pura única (anexo 1).
Seguro de Cuotas o Rentas Post-Mortem El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al aegurador el riesgo del plan y éste le acuerda cobertura de muerte de riesgo inmediato y plazo limitado consistente en al pago de las 71
cuotas consecutivas y constantes a cargo del asegurado, a partir del fin del año de fallecimiento del mismo y durante el plazo establecido.(no se cancela en ese momento todo el capital). 0
1
2
3
t
x
x+1
x+2
x+3
x+t
C
C
C
......
C
n-2 ....... ........
x+n-2
n-1
n
x+n-1
x+n
C
C
C
P(x;1) P(x;n) P(x;n)
...................
P(x;n)
Mediante el pago de una P.P.U. o de P.P.A., si el asegurado fallece en un momento determinado, el asegurador pagará las cuotas pendientes del asegurado. Suponiendo que C=1 Período 1 2 ......................
t+1 .......................
n
Evento (x) (x+1) (x) (x+1)
(x+2)
.............................
(x)
(x+t)
(x+t+1)
.............................................
(x)
(x+n-1) n 1
P(x;1) < S.C q(x;t;1). n 1
= q(x;t;1). t 0
n = 20
(x+n)
.............................
..................
....................
c.af(0;n-t;i)
q(x;t;1)
(n-t).c
.............................
...................
.....................
c.af(0;1;i)
q(x;n-1;1)
c
v t 1 af(0;n-t;i)
t 0
Ejemplo:
Capital Asegurado Probabilidad Cuotas c.af(0;n;i) q(x;0;1) n.c c.af(0;n-1;i) q(x;1;1) (n-1).c
v t 1 .[(1-v
)/d] = 1/d . A(x;0;n) - 1/d .
n-t
v n 1 q(x;0;n)
i = 4%
P(26;1) < S.C 1/d . A(26;0;20) - 1/d . (1,04)-21 .q(26;0;20) = 1,04/0.04 . 0,0313616 - 1,04/0,04 .1,04 -21 .0,04950506 = 0,250565 En función de seguros en caso de vida: P(x;1) < S.C. 1/d . [1 - E(x;n) -d.a(x;0;n) ]- 1/d .vn+1 .[1- p(x;n) ] =1/d (1- vn+1 ) - 1/d .E(x;n) .(1-v) - a(x;0;n) = af(0;n+1;i) - a(x;0;n+1) = [1+af(1;n;i)]-[1+a(x;1;n)] P(x;1) < S.C. af(1;n;i) - a(x;1;n) Esta expresión no es aplicable cuando el plazo de cancelación no coincide con el plazo de cobertura. Ejemplo: P(26;1) < S.C af(1;20;4%)-a(26;1;20) =13,590326345-13,3397604 = 0,2505658478 72
Método de la colectividad necesaria l(x).P(x;1) < S.C. v.d(x)+v2.[d(x)+d(x+1)]+v3.[d(x)+d(x+1)+d(x+2)]+....+vt.[d(x)+....+d(x+t-1)] +....+ vn.[d(x)+....+d(x+n-1)] = t=1 n d(x;0;t) . vt P(x:1) < S.C.
t=1
n q(x;0;t) .vt
= t=1 n [ 1- p(x;t) ] . vt = af(1;n;i) - a(x;1;n) Cuando el plazo de cobertura de muerte es menor que el plazo de cancelación de deudas P(x;1) < S.C. t=0 n -1 vt+1 .q(x;t;1) . af(0;h+n-t;i) = t=0 n -1 vt+1 .q(x;t;1) .[(1-vh+n-t)/d ] = 1/d . A(x;0;n) - 1/d . vh+n+1 .q(x;0;n) = 1/d . [ 1- E (x;n) - d . a (x;0;n) - v h+n+1 . ( 1 - p(x;n) ) ] = 1/d - E (x;n)/ d - a (x;0;n) - vh+n+1 / d + vh+n+1 . p(x;n) / d si : af(0;n+h+1;i) = [1- vh+n+1 ]/ d ; y af(0;h+1;i) = [ 1 - vh+1 ] / d entonces: P(x;1) < S.C. af(0;n+h+1;i) - E (x;n) . af(0;h+1;i) - a(x;0;n) = af(1;n+h;i) + 1 - a(x;0;n) - E(x;n) . [ af(1;h;i) +1 ] = af(1;n+h;i) + 1 - a(x;0;n+1) - E(x;n) . af(1;h;i) = af(1;n+h;i) + 1 - a(x;1;n) -1- E(x;n) . af(1;h;i) P(x;1) < S.C. af(1;n+h;i) - a(x;1;n) - E(x;n) . af(1;h;i) Ejemplo:
plazo de cobertura ; n = 20
plazo de cancelación de deuda ;h+n = 30
i = 4%
P(26;1) < S.C. 1/d . A(26;0;20) - 1/d .(1,04)-31 q(26;0;20) =(1,04/,04) . 0,0313616 - (1,04/0,04) . (1,04) -31 . 0,04950506 = 0,433818246 P(26;1) < S.C. af(1;30;0,04) - a(26;20) - E (26;20) . af(1;10;0,04) = 17,29203330 - 13,339765 - 0,43379352 . 8,1108957 = 0,433813641
Marcha progresiva individual a prima pura anual Nº de primas a pagar = 2/3.n donde P(x; 2/3.n) = Fecha 01.01.I 01.01/ 31.12.I 31.12.I 01.01.II
Nº de años de cobertura = n
n-1 A(x;t;1).af(0;n-t;i)/a(x;0;2/3.n)
t=0
Concepto y Valores Recaudación P(x;2/3 n) Capit.actuarial E-1(x;1) Saldo capit. P(x;2/3 n). E-1(x;1) Saldo+Prima P(x;2/3.n).S(x;2;0)
Riesgo A(x;0;1). af(0;n;i) E-1(x;1) A(x;0;1). af(0;n;i). E-1(x;1) [A(x;0;1).af(0;n;i)+A(x;1;1).af(0;n-1;i)].E1 (x;1) = E-1(x;1). t=01A(x;t;1).af(0;n-t;i) 73
01.01/31.12.II 31.12.II
Capit.actuarial E-1(x+1;1) Saldo capit. P(x;2/3.n).S(x;2;1)
E-1(x+1;1) E-1(x;2) t=01 A(x;t;1).af(0;n-t;i)
.........
..................
................
01.01. s 01.01/31.12. s 31.12. s
Saldo+Prima P(x;2/3.n).S(x;s;0) Capit.actuarial E-1(x+s-1;1) Saldo capit. P(x;2/3.n).S(x;s;1)
E-1(x;s-1) . t=0 s-1 A(x;t;1).af(0;n-t;i) E-1(x+s-1;1) E-1(x;s).t=0s-1 A(x;t;1).af(0;n-t;i)
.........
.................
................
01.01.2/3n Saldo+Prima P(x;2/3.n).S(x;2/3n;0) E-1(x;2/3n-1). t=02/3n-1 A(x;t;1).af(0;n-t;i) 01.01/31.12.2/3n Capit.actuarial E-1(x+2/3n-1;1) E-1(x+2/3n-1;1) 31.12.2/3n Saldo capit. P(x;2/3.n).S(x;2/3n;1) E-1(x;2/3n). t=02/3n-1 A(x;t;1).af(0;n-t;i) 01.01.2/3n al Saldo capit P(x;2/3n)S(x;2/3n;1). 31.12.n .E -1(x+2/3n+1;n-2/3 E-1(x;n). t=0n-1 A(x;t;1).af(0;n-t;i) n+2)) = E -1(x;n) n-1 t=0 A(x;t;1).af(0;n-t;i) Saldo – Riesgo = 0 donde en el último año: P(x;2/3n)S(x;2/3n;1). E-1(x+2/3n+1;n-(2/3n+2)) = = [ t=0n-1 A(x;t;1).af(0;n-t;i)/a(x;0;2/3n)].a(x;0;2/3n).E-1(x;2/3n+1). E-1(x+2/3n+1;n-(2/3n+2)) = E-1(x;n). t=0n-1 A(x;t;1).af(0;n-t;i) Ejemplo: Cuadro de marcha progresiva individual de seguro Post-Mortem con riesgo inmediato, plazo 21 años y pago de 14 primas (anexo 2).
Seguros de Saldo de Deuda Sistema Francés El asegurado mediante el pago de la/s prmina/s, transfiere al asegurador el riesgo del plan y éste le acuerda cobertura de muerte de riesgo inmediato y plazo limitado consistente en el pago del saldo de deuda al final del año de fallecimiento del asegurado. 0
1
2
t
t+1
n-2
n-1
n
x
x+1
x+2
x+t
x+t+1
x+n-2
x+n-1
x+n
V(0)(1+i’) V(1)(1+i’)
...............................
V(t-1)(1+i’) V(t)(1+i’)
........................................................
V(n-1)(1+i’) donde: V(0)(1+i’) expresa la cobertura del asegurador, si el asegurado fallece entre los momentos 0 y 1 V(t-1)(1+i’) expresa la cobertura del asegurador, si el asegurado fallece entre los momentos t-1 y t. En este tipo de seguros donde la cobertura consiste en pagar el saldo de deuda al fin del año de fallecimiento del asegurado, se utilizan dos tasas de interés para su valuación. Para valuar el saldo de 74
deuda al fin del año de fallecimiento del asegurado, se utiliza la tasa de interés técnica, mientras que para valuar el saldo de deuda se debe utilizar la tasa pactada entre asegurado y prestamista. Prima pura única Período 1 2
Evento (x) (x+1) (x) (x+1)
...............
.............................
t+1
(x)
...............
.............................................
n
(x)
(x+t) (x+n-1)
(x+2) (x+t+1) (x+n)
Capital Asegurado Riesgo c.af(1;n;i’).(1+i’) q(x;0;1) c.af(1;n-1;i’).(1+i’) q(x;1;1)
Actualización v v2
.............................
..................
....................
c.af(1;n-t;i’).(1+i’)
q(x;t;1)
vt+1
.............................
...................
.....................
c.af(1;1;i’).(1+i’)
q(x;n-1;1) vn
Es decir: P(x;1) < SSD
n -1.vt+1.q(x;t;1).c.af(1;n-t;i’)(1+i’)
t=0
=c.t=0n -1.A(x;t;1).af(0;n-t;i’) i’ es la tasa de interés pactada entre asegurado y prestamista. Si la tasa de interés técnica y la pactada entre asegurado y prestamista son idénticas, entonces las primas puras únicas de seguros de saldo de deuda y seguros de cuotas son iguales. Es decir sí i=i’
P(x;1) < SC P(x;1) < SSD >
Ejemplos: P(26;1) < SSD c . [ af(1;20;4%) - a(26;1;20) ] = 735,81750 . (13,590326345 - 13,339764445) = 184,36783 Cuadro de saldo de deuda con i = i’ = 4% (anexo 3) Cuadro de saldo de deuda con i = 4%
i’ = 6% (anexo 4)
Sistema alemán El asegurado mediante el pago de la prima transfiere al asegurador el riesgo del plan, consistente en el pago del saldo de deuda más los intereses por parte del asegurador a partir del año del fallecimiento del asegurado.
75
Período 1 2 3
Evento (x) (x) (x)
....................
.............................
t+1
(x)
....................
.............................................
n
(x)
P(x;1) < S.D.A
(x+1) (x+1) (x+2) (x+t)
(x+2) (x+3) (x+t+1)
(x+n-1)
Capital Asegurado n.m+i’.n.m=n.m.(1+i’) (n-1).m.(1+i’) (n-2).m.(1+i’)
Probabilidad q(x;0;1) q(x;1;1) q(x;2;1)
.............................
..................
(n-t).m.(1+i’)
q(x;t;1)
.............................
...................
(x+n) m.(1+i’)
q(x;n-1;1)
n-1 (n-t).m.(1+i’).vt+1 .q(x;t;1)
t=0
= m.(1+i’) t=0n-1 (n-t) A(x;t;1) = m.(1+i’) {n. t=0n-1 A(x;t;1) - D-1(x) t=0n-1 t.C(x+t)}
(A)
(a) Desarrollando (a) : (a)
C(x+1)
C(x+2) C(x+2)
C(x+3).................... C(x+n-1) C(x+3).................... C(x+n-1) C(x+3).................... C(x+n-1) .................................... C(x+n-1)
(a) = M(x+1)-M(x+n) +M(x+2)-M(x+n)+........+M(x+n-1)-M(x+n) t=0n-1 t.C(x+t) = t=1n-1 M(x+t)- (n-1)M(x+n) = t=1n-1 M(x+t)- n.M(x+n) + M(x+n) = t=1n M(x+t)-n. M(x+n) = R(x+1)-R(x+n+1)-n.M(x+n) Reemplazando en (A): P(x;1) < S.D.A. m.(1+i’) .{n.A(x;0;n) - D-1(x). [R(x+1)-R(x+n+1)-n.M(x+n)]} = m.(1+i’).{n.D -1(x).M(x) - n.D-1(x).M(x+n) - D-1(x)R(x+1) + D-1(x)R(x+n+1) + n.D1 (x).M(x+n)] } = m.(1+i’).{D-1(x) .[n.M(x) -R(x+1)+R(x+n+1)] } Ejemplo: x=26
m = 500
n = 20
i’ = 4%
P(26;1) < S.D.A 500 .1,04.{ D-1(26) .[20.M(26) -R(27)+R(47)]} = 163,87091 Cuadro de saldo de deuda con i’=4% (anexo 5)
76
Préstamo cancelable mediante un sistema americano sin constitución de fondo 0
1
2
t
n-1
n
x
x+1
x+2
x+t
x+n-1
x+n
V0
V0
V0
V0
V0
A) En caso de fallecimiento del asegurado ,el asegurador se hace cargo del monto del préstamo adeudado al final del año de fallecimiento. El capital necesario en todo momento es igual al valor total del préstamo más los intereses devengados por éste durante el último período. Momento Suceso 1 (x) (x+1) 2 (x) (x+1) .........
(x+2)
..............
t+1
(x)
........
(x)
Actualizac. v v2
............
(x+t)
(x+t+1)
.............
n
Probabilidad q(x;0;1) q(x;1;1)
.......
q(x;t;1) ..........
(x+n-1)
(x+n)
Cap. Necesario V0 . (1+i`) V0 . (1+i`) ..........
v
V0 . (1+i`)
t+1
.......
q(x;n-1;1)
..........
vn
V0 . (1+i`)
Cálculo de prima n 1
n 1
t 0
t 0
P (x;1) = A (x;t;1) . V . (1+i`) = V . (1+i`) . A (x;t;1) = V . (1+i`) . A (x;0;n) Ejemplo: si x = 26 y i`= 0.06 para un plazo de 20 años y si la deuda asciende a 1000 P(26;1) = 1000 . 1.06 . A (26;0;20) = 1060 . 0.0313616 = 33.24329 B) En caso de fallecimiento del asegurado, el asegurador se hace cargo del pago del total del préstamo al momento de cancelación del mismo y del pago de los intereses periódicos hasta dicha cancelación. Suceso (x) (x+1) (x) (x+1) (x+2) ..............
(x) (x+t) (x+t+1) .............
Prob. Actual v . q(x;0;1) v2. q(x;1;1) ............
v . q(x;t;1) t+1
............
(x) (x+n-1) (x+n) vn . q(x;n-1;1)
Cap. Asegurado V0 . i`. af(0;n;i) V0 . i`. af(0;n-1;i) .................
V0 . i`. af(0;n-t;i) .................
V0 . i`. af(0;1;i)
Probab. Actual vn . q(x;0;1) vn . q(x;1;1)
Cap. Asegurado V0 V0
...............
.....
v . q(x;t;1)
V0
n
...............
vn . q(x;n-1;1)
.
.....
V0
Cálculo de la prima P(x;1)=v.q(x;0;1).V0.i`.af(0;n;i)+v2.q(x;1;1).V0.i`.af(0;n-1;i) +...+ V0.vn.q(x;0;1) + V0.vn.q(x;1;1) +.... = V0 . i`.t=0 n-1 vt+1. q(x;t;1) . af(0;n-t;i) + V0 . vn t=0 n-1 q(x;t;1) = = V0 . i`. [ af(1;n;i) - a(x;1;n) ] + V0 . vn . t=0 n-1 q(x;t;1) donde: - [ af(1;n;i) - a(x;1;n) ]: es un seguro de renta post mortem 77
- vn . t=0n-1 q(x;t;1):
es una parte del seguro de término fijo.
Ejemplo: P(26;1) = 1000 . 0.06 . [ af(1;20;0.04) - a(26;1;20) ] + 1000 . 1.04 -20 . q(26;0;20) = 1000 . 0.06 .
0.25056087
+1000.1.04 -20.[1-9168476/9646002] = 37.6271197
* la prima es mayor porque la compañía debe hacer frente a un conjunto de cuotas -interesescalculados según una tasa superior a su rentabilidad esperada. si i`= 0.04 P(26;1) = 1000. 0.04 . [13.5903263 -12.8973494 ]+1000 . 1.04 -20. [1-9210291.53/9645905.07] = = 1000 . 1.04 . 0.0313616 = 32.616064 * la prima a pagar en caso en que la tasa del préstamo sea igual a la técnica, es la misma.
Préstamo cancelable mediante un sistema americano con constitución de fondo 0
1
2
t+1
x
x+1
x+2
x+t+1
V0(1+i`) V0(1+i`)
.......
.......................
t+1 .......
n
x+n-1
V0(1+i`)
-cSf(0;1;i``) -cSf(0;2;i``) Momento Suceso 1 (x)(x+1) 2 (x) (x+1) (x+2)
n-1
.......................
-cSf(0;t+1;i``)
-cSf(0;n-1;i``)
Saldo V0 (1+i`) - c.Sf(0;1;i``) V0 (1+i`) - c.Sf(0;2;i``)
Prob. Actual v . q(x;0;1) v2 . q(x;1;1) ................
V0 (1+i`) - c.Sf(0;t+1;i``) .............................
(x)(x+n-1)(x+n)
x+n
V0(1+i`)
..............................
(x)(x+t)(x+t+1)
n
vt+1 . q(x;t;1) ................
V0 (1+i`) - c.Sf(0;n;i``)
vn . q(x;n-1;1)
Cálculo de la prima P (x;1) = [V0 . (1+i`) - c . Sf(0;1;i``)]. v .q(x;0;1) + [ V0 . (1+i`) - c . Sf(0;2;i``) ]. v2 .q(x;1;1)+ … + + [V0 . (1+i`) - c. Sf(0;t+1;i``)]. vt+1.q(x;t;1) + ...+ [V0 .(1+i`) - c.Sf(0;n;i``)].v.q(x;n-1;1) n 1
= V0 . (1+i`) .
t 0
v t 1 .
n 1
q(x;t;1) - c Sf(0;t+1;i``) . t 0
v t 1 .
q(x;t;1)
n 1
= V0 . (1+i`) . A(x;0;n) - c. Sf(0;t+1;i``) . A(x;t;1) t0
Ejemplo: V0 = 1000
i’ = 5%
i’’ = 4%
n = 20
c = 33,58175032837
P(26;1) = 1000 . 1,05 . A(26;0;20) - c . t=0 19 Sf(0;t+1; 4%) . A(26;t;1) 78
= 1050 . 0,031361484 - 33,58175032837 . 0,47173322 = 32,9295582 - 15,8416272156 = 17,0879309844 *El capital necesario al finalizar cada año es igual al valor del préstamo original más los intereses devengados por el mismo en ese período, pero se le debe descontar el valor de los depósitos que el asegurado tuvo que hacer por contrato, capitalizados hasta fin del año de fallecimiento del mismo que es cuando la compañía debe hacerse cargo del pago del préstamo adeudado. Si i = i`` n 1
P(x;1) = V0 (1+i`) . A(x;0;n) - c .
t 0
[ (1+i)t+1 -1 ]/ d .
n 1
n 1
t 0
t 0
v t 1 .
q(x;t;1)
v t 1 .
q(x;t;1)/d
= V0 (1+i`) . A(x;0;n) - c . q(x;t;1)/ d + c.
= V0 (1+i`) . A(x;0;n) - c/d . q(x;0;n) + c/d . A(x;0;n) = [V0 (1+i`) + c/d]. A(x;0;n) - c/d . q(x;0;n) Ejemplo: V0 = 1000
i’=4%
n = 20
c = 33,58175032837
P(26;1) = [1000 . 1.04 + c . 1,04 / 0,04 ] . A(26;0;20) - c .1,04 / 0,04 . q(26;0;20) = 1913,12550855 . 0,031361484 - 43,2241390365 = 59,9984550264 - 43,2241390365 = 16,7743159899
79
UNIDAD V Seguros de Capitales Múltiples Variables Crecientes de razón igual al capital inicial (increasing). en progresión aritmética
Seguros Variables
Crecientes de razón diferente al capital inicial. Decrecientes de razón igual al capital final.
en progresión geométrica. Las primas puras pueden ser: Primas puras unicas (P.P.U)
P(x;1)
Primas puras anuales (P.P.A.)
P(x;n)
Primas puras anuales (P.P.A.)
Constantes Pv(x;n) Variables en forma creciente o decreciente en progresión aritmética o geométrica .
Seguros de vida de capitales múltiples variables en progresión aritmética Notación: P(x;1) < av(x;h;n;r) av(x;h;n;r) donde se denota: a: seguro de vida de capitales múltiples v: capitales variables x: edad de contratación o de valuación h: plazo de diferimiento n: número máximo de pagos r: razón
- Crecientes de razón igual al capital inicial (Increasing) Supuesto: el capital inicial es igual a uno (c=1) 1) Riesgo inmediato y plazo limitado El asegurado mediante el pago de la/s prima/s, transfiere al asegurador el riesgo del plan; y éste le acuerda, cobertura de vida de riesgo inmediato y plazo limitado, consistente en el pago del capital asegurado variable al comienzo de cada año mientras viva y durante el período establecido.
Capital
0
1
2
t
n-2
n-1
n
x
x+1
x+2
x+t
x+n-2
x+n-1
x+n
3 ................ t+1....................... n-1
n
1
2
P(x;1)
P(x;1)
= (t+1).E(x;t) t 0
n 1
= D-1(x). (t+1).D(x+t)
[A]
t 0
n 1
desarrollando la sumatoria: (t+1).D(x+t) = t 0
D(x) D(x+1) D(x+2) D(x+3) ...................... D(x+n-1)
D(x+1) D(x+2) D(x+3) ....................... D(x+n-1)
N(x)-N(x+n)
N(x+1)-N(x+n) N(x+2)-N(x+n) N(x+3)-N(x+n) ............. N(x+n-1)-N(x+n)
D(x+2) D(x+3) ....................... D(x+n-1)
D(x+3) ...................... D(x+n-1)
............. D(x+n-1) (n veces)
S(x)-S(x+n)-n.N(x+n) reemplazando en [A] P(x;1) < aI(x;0;n) D-1(x).[ S(x)-S(x+n)-n.N(x+n)] Otra manera de obtenerlo es en forma de rentas diferidas y limitadas
a(x;0;n)
0
1
2
t
n-2
n-1
n
x
x+1
x+2
x+t
x+n-2
x+n-1
x+n
1
1
1
............ 1
............…….
1
1
1
1
1
............ 1
…….............
1
1
1
1
............ 1
…….............
1
1
1
a(x;1;n-1) a(x;2;n-2) ................
...........
a(x;t;n-t)
................. 1
..............
.....…….......
a(x;n-2;2) a(x;n-1;1)
1
................... .......... 1
1
1
1 1
n 1
n 1
t 0
t 0
aI(x;0;n) = .a(x;t;n-t) =D-1.(x). [N(x+t) - N(x+n) ] =D-1(x).[S(x) - S(x+n) - n.N(x+n)] Ejemplo: aI(26;0;20) = D-1(26).[ S(26) - S(46) - 20. N(46) ] 81
= (1282076919,84 - 330995991,76 - 20 . 25451881,83)/ 3479209,06 = 127,0528109 2) Riesgo inmediato, sin límite El asegurado mediante el pago de la/s prima/s, transfiere al asegurador el riesgo del plan; y éste le acuerda, cobertura de vida de riesgo inmediato sin límite, consistente en el pago del capital asegurado variable al comienzo de cada año mientras viva. 0
1
2
t
w-x-2
x
x+1
x+2
x+t
w-2
1
2
Capital
w-x-1
w-x
w-1
w
3 ............ t+1 ......………................. w-x-1
w-x
P(x;1) < aI(x;0;w-x) aI(x;0;w-x) =
w x 1
t 0
= D-1(x).
desarrollando la sumatoria:
(t+1).E(x;t)
w x 1
t 0
w x 1
t 0
(t+1).D(x+t)
[A]
(t+1).D(x+t) =
D(x) D(x+1)
D(x+1)
D(x+2)
D(x+2)
D(x+2)
D(x+3)
D(x+3)
D(x+3)
......................
....................... ....................... ......................
D(w-1)
D(w-1)
D(w-1)
D(w-1)
N(x)
N(x+1)
N(x+2)
N(x+3)
D(x+3) .............. D(w-1) (w-x veces) .............. N(w-1)
S(x) reemplazando en [A] P(x;1) < aI(x;0;w-x) D-1(x). S(x) Otra manera de obtenerlo es en forma de rentas diferidas y limitadas
a(x;0;w-x)
0
1
2
t
w-x-2
w-x-1
w-x
x
x+1
x+2
x+t
w-2
w-1
w
1
1
1
1
1
1
............
1
...............
82
a(x;1;w-x-1)
1
a(x;2;w-x-2)
1
............
1
...............
1
1
1
1
............
1
...............
1
1
1
...........
...
...............
........
...…..
…
1
...............
1
1
1
1
1
................... a(x;t;w-x-t) a(x;w-x-2;2) a(x;w-x-1;1) aI(x;0;w-x) =
1 w x 1
t 0
= D-1.(x). = D-1(x).
a(x;t;w-x-t)
w x 1
t 0 w x 1
t 0
[N(x+t) - N(w)]
N(x+t) = D-1(x).S(x)
Ejemplo: aI(26;0;74) = D-1(26).S(26) = 1282076919,84/ 3479209,06 = 368,4966603 3) Riesgo diferido y plazo limitado El asegurado mediante el pago de la/s prima/s, transfiere al asegurador el riesgo del plan; y éste le acuerda, cobertura de vida de riesgo diferido y plazo limitado, consistente en el pago del capital asegurado variable al comienzo de cada año a partir de la edad “x+h” mientras viva y durante el período establecido. 0
1
2
h-1
h
h+1
h+n-2
h+n-1
h+n
x
x+1
x+2
x+h-1
x+h
x+h+1
x+h+n-2
x+h+n-1
x+h+n
Capital
1
2 .................
n-1
n
P(x;1) < aI(x; h; n) aI(x;h;n) =
h n 1
th
(t+1-h).E(x;t) h n 1
= D-1(x).
th
(t+1-h).D(x+t)
[A]
n 1
desarrollando la sumatoria: (t+1).D(x+t) = t h
D(x+h) D(x+h+1) D(x+h+2)
D(x+h+1) D(x+h+2)
D(x+h+2) 83
D(x+h+3) ......................
D(x+h+3) D(x+h+3) D(x+h+3) ....................... ....................... ......................
D(x+h+n-1)
D(x+h+n-1)
D(x+h+n-1)
D(x+h+n-1)
N(x+h)N(x+h+n)
N(x+h+1)N(x+h+n)
N(x+h+2)N(x+h+n)
N(x+h+3)N(x+h+n)
..... D(x+h+n-1) (n veces) ... …
N(x+h+n-1)-N(x+h+n)
S(x+h)-S(x+h+n)-n.N(x+h+n) reemplazando en [A] P(x;1) < aI(x;h;n) D-1(x) . [S(x+h) - S(x+h+n) - n.N(x+h+n)] Otra manera de obtenerlo es en forma de rentas diferidas y limitadas 0
1
2
x
x+1
x+2
h-1
h
h+1
x+h-1 x+h x+h+1
a(x;h;n)
1
a(x;h+1;n-1)
h+n-2
h+n-1
h+n
x+h+n-2
x+h+n-1
x+h+n
1
......
1
1
1
1
......
1
1
1
......
......
......
.....
1
1
................... a(x;h+n-2;2) a(x;h+n-1;1)
1
n 1
aI(x;h;n) = a(x;h+t;n-t) t 0
n 1
=D-1.(x).
[N(x+h+t) - N(x+h+n) ]
t 0
=D-1(x) . [S(x+h) - S(x+h+n) - n.N(x+h+n)] Ejemplo: aI(26;10;20) = D-1(26).[ S(36) - S(56) - 20. N(56) ] = (684676149,87 - 137023322,53 - 20. 13040960,20)/3479209,06 = 82,44219257 Recurrencia: n 1
aI(x;h;n) =
t 0
n 1
(t+1).E(x;t+h) = (t+1).E(x;h).E(x+h;t) t 0
n 1
= E(x;h)
t 0
n 1
(t+1).E(x+h;t) = E(x;h)
t 0
(t+1).D-1(x+h).D(x+h+t)
= E(x;h).D (x+h)[ S(x+h)-S(x+h+n)-n.N(x+h+n)] -1
84
= E(x;h).aI(x+h;0;n) Ejemplo: aI(26;10;20) = E(26;10).aI(36;0;20) = 0,66336241.82,442193 = 54,689051 Método Geométrico: aI(x;h;n) =
h n 1
th
a(x;t;n+h-t) = h 1
= aI(x;0;h+n) -
h n 1
t 0
h 1
a(x;t;h+n-t)- a(x;t;n+h-t) t 0
[ a(x;t;h-t)+a(x;h;n) ]
t 0
= aI(x;0;h+n)-aI(x;0;h)-h.a(x;h;n) 0
1
2
h-1
h
h+1
x
x+1
x+2
1
2
3
......
h
h+1 h+2
........
h+n+1
h+n
1
2
3
......
h
[h
........
h
h]
x+h-1 x+h x+h+1
h
h+n-2
h+n-1
h+n
x+h+n-2
x+h+n-1
x+h+n
luego: aI(x;h;n) = aI(x;0;h+n) - aI(x;0;h) - h.a(x;h;n) Ejemplo: aI(26;10;20) = aI(26;0;30) - aI(26;0;10) - 10.a(26;10;20) = 216,66559562 - 43,23420556 - 10.9,098916508 = 82,44222496 4) Riesgo diferido, sin límite El asegurado mediante el pago de la/s prima/s, transfiere al asegurador el riesgo del plan; y éste le acuerda, cobertura de vida de riesgo diferido sin límite, consistente en el pago del capital asegurado variable al comienzo de cada año a partir de la edad “x+h” mientras viva. 0
1
2
x
x+1
x+2
h-1
h
h+1
x+h-1 x+h x+h+1
Capital
1
h+t
w-x-2
w-x-1
w-x
x+h+t
w-2
w-1
w
w-x-h-1
w-x-h
2 ........ t+1
........
P(x;1) < aI(x;h;w-x-h) aI(x;h;w-x-h) =
w x h 1
t 0
(t+1).E(x;t+h) = D-1(x) .
w x h 1
t 0
(t+1).D(x+t+h)
[A]
85
desarrollando la sumatoria:
w x h 1
t 0
(t+1).D(x+t+h) =
D(x+h) D(x+h+1) D(x+h+2) D(x+h+3) ...................... D(w-1)
D(x+h+1) D(x+h+2) D(x+h+3) ....................... D(w-1)
D(x+h+2) D(x+h+3) D(x+h+3) ....................... ...................... D(w-1) D(w-1)
N(x+h)
N(x+h+1)
N(x+h+2)
N(x+h+3)
.............. D(w-1) (w-x-h veces) .............. N(w-h-1)
S(x+h) reemplazando en [A] P(x;1) < aI(x; h; w-x-h) D-1(x). S(x+h) Otra manera de obtenerlo es en forma de rentas diferidas y limitadas 0
1
2
h-1
x
x+1
x+2
h
h+1
h+t
x+h-1 x+h x+h+1
a(x;h;w-x-h)
1
w-x-2
w-x-1
w-x
w-2
w-1
w
x+h+t
1
..................
1
1
1
a(x;h+1;w-x-h-1)
1
..................
1
1
1
.....................
....
..................
......
.....
.....
1
1
a(x;w-x-2;2) a(x;w-x-1;1)
1
aI(x; h; w-x-h) =
w x h 1
t 0
a(x;h+t;w-x-h-t) = D-1.(x).
w x h 1
t 0
[N(x+h+t) - N(w) ]
= D-1(x). S(x+h) Ejemplo: aI(26;10;64) = D-1(26).S(36) = 684676149,87/ 3479209,06 = 196,790747 Recurrencia: aI(x; h; w-x-h) =
w h 1
t 0
= E(x;h)
(t+1).E(x;t+h) =
w h 1
t 0
w h 1
t 0
(t+1).E(x;h).E(x+h;t)
(t+1).E(x+h;t) = E(x;h)
w h 1
t 0
(t+1).D-1(x+h).D(x+h+t)
= E(x;h).D-1(x+h) S(x+h) 86
= E(x;h).aI(x+h;0;w-x-h) Ejemplo: aI(26;10;64) = E(26;10).aI(36;0;64) = 0,66336241.296,6564933 = 196,7907663 Método Geométrico: w x h 1
aI(x; h; n) =
t 0
a(x;h+t;w-x-h-t) = h 1
= aI(x;0;w-x) -
w x h 1
t 0
h 1
a(x;t;w-x-t) - a(x;t;w-x-t) t 0
[a(x;t;h-t) + a(x;h;w-x-h)]
t 0
aI(x; h; w-x-h) = aI(x;o;w-x)-aI(x;0;h)- h.a(x;h;w-x-h) 0
1
2
x
x+1
x+2
h-1
h
h+1
x+h-1 x+h x+h+1
h+t
w-x-2
w-x-1
w-x
x+h+t
w-2
w-1
w
1
2
3
......
h
h+1 h+2 .....
h+t+1 .....
w-x-1
w-x
1
2
3
......
h
[h
h
h
h ]
h
.....
......
Ejemplo: aI(26;10;64) = aI(26;0;74) - aI(26;0;10) - 10.a(26;10;64) = 368,4966603 - 43,23420556 - 10.12,84717077 = 196,790747
87
Marcha progresiva individual a P.P.U. de un seguro de vida de capitales variables en progresión aritmética de razón igual al capital inicial (increasing) Momento Concepto
Fórmula
n-1 n-1 P.P.U t=0 (t+1)E(x;t)= t=1 (t+1)E(x;t)+1 Cobertura 1 n-1 Saldo t=1 (t+1)E(x;t) Cap.Actuarial E-1(x;1)
0
n-1 n-1 t=1 (t+1)E(x+1;t-1)=2+ t=2 (t+1)E(x+1;t-1) Saldo Capit. 2 Cobertura n-1 Saldo t=2 (t+1)E(x+1;t-1) Cap.Actuarial E-1(x+1;1)
1
n-1 n-1 t=2 (t+1)E(x+2;t-2)=3+ t=3 (t+1)E(x+2;t-2) Saldo Capit. 3 Cobertura n-1 Saldo t=3 (t+1)E(x+2;t-2) Cap.Actuarial E-1(x+2;1) ....... .........................
2
......
n-1 n-1 t=h (t+1)E(x+h;t-h)=(h+1)+ t=h+1 (t+1)E(x+h;t-h) Saldo Capit. (h+1) Cobertura n-1 Saldo t=h+1 (t+1)E(x+h;t-h) Cap.Actuarial E-1(x+h;1)
h
n-1(t+1)E(x+h+1;t-h-1)
h+1
Saldo Capit.
t=h+1
.......
.......
...........
n-1 n-1 t=n-2 (t+1)E(x+n-2;t-n+2)=(n-1)+ t=n-1 (t+1)E(x+n-2;t-n+2) Saldo Capit. (n-1) Cobertura n-1 Saldo t=n-1 (t+1)E(x+n-2;t-n+2)=n E(x+n-2;1) Cap.Actuarial E-1(x+n-2;1) Saldo n Cobertura n Saldo 0
n-2
n
Ejemplo: Ver marcha progresiva en anexo 1.
- Crecientes de razón distinta al capital inicial 1) Riesgo inmediato y plazo limitado El asegurado mediante el pago de la/s prima/s, transfiere al asegurador el riesgo del plan; y éste le acuerda, cobertura de vida de riesgo inmediato y plazo limitado, consistente en el pago del capital asegurado variable al comienzo de cada año mientras viva y por el plazo establecido. 0
1
2
t
n-2
n-1
n 88
Capitales
x
x+1
x+2
x+t
x+n-2
1
1+r
1+2r
......
1+tr
1 2r
1 .......
....... tr
1 ............ 1 ............ (n-2)r
............ 1+(n-2)r
x+n-1
x+n
1+(n-1)r
[A]
ó 1
1 (n-1)r
r [B]
[A] n 1
av(x; 0; n; r) =
t 0
n 1
n 1
(1+tr).E(x;t) =
t 0
E(x;t) + r.
t 0
t.E(x;t)
= a(x;0;n) + r.aI(x;1;n-1) [B] av(x; 0; n; r) = a(x;0;n) + r.aI(x;1;n-1 ) Ejemplo:
r = 10
av(26;0;20;10) = a(26;0;20) + 10.aI(26;1;19) =13,90597195 +10.113,1468399 = 1145,374371 Evolución de los capitales: 0
1
2
15
19
20
x
x+1
x+2
x+15
x+19
x+20
1
11
21
1+15.r
1+19.r
2) Riesgo inmediato, sin límite El asegurado mediante el pago de la/s prima/s, transfiere al asegurador el riesgo del plan; y éste le acuerda, cobertura de vida de riesgo inmediato sin límite, consistente en el pago del capital asegurado variable al comienzo de cada año mientras viva. 0
1
2
t
w-x-2
w-x-1
w-x
x
x+1
x+2
x+t
w-2
w-1
w
1
1+r
1
1
1
r
2r .......
Capitales
1+2r ....... 1+tr
...........
1+(w-x-2)r 1+(w-x-1)r [A]
ó .......
1
...........
tr
...........
1 (w-x-2)r
1 (w-x-1)r
[B]
[A] 89
av(x; 0; w-x; r) =
w x 1
t 0
w x 1
(1+tr).E(x;t) =
t 0
E(x;t) + r.
w x 1
t 0
t.E(x;t)
= a(x;0;w-x) + r.aI(x;1;w-x-1) [B] av(x; 0; w-x; r) = a(x;0;w-x) + r.aI(x;1;w-x-1) Ejemplo:
r = 10
av(26;0;74;10) = a(26;0;74) + 10. aI(26;1;73) = 21,22139541 + 10.347,2752675 = 3493,97407 Evolución de los capitales: 0
1
2
t
w-x-1
w-x
x
x+1
x+2
x+t
w-1
w
1
11
21
1+t.r
1+(w-1).r
3) Riesgo diferido y plazo limitado El asegurado mediante el pago de la/s prima/s, transfiere al asegurador el riesgo del plan; y éste le acuerda, cobertura de vida de riesgo diferido y plazo ilimitado, consistente en el pago del capital asegurado variable al comienzo de cada año a partir de la edad “x+h” mientras viva y por el plazo establecido. 0
1
2
h-1
h
h+1
h+n-1
h+n
x
x+1
x+2
x+h-1
x+h
x+h+1
x+h+n-1
x+h+n
Capitales [A]
1 ó
1
[B]
1+r ......... 1+(n-1)r 1 r
......... .........
1 (n-1)r
[A] av(x;h;n;r) =
h n 1
th
h n 1
(1+(t-h)r).E(x;t) =
t h
h n 1
E(x;t) + r.
th
t.E(x;t) = a(x;h;n) + r.ai(x;h+1;n-1)
[B] av(x;h;n;r) = a(x;h;n) + r.ai(x;h+1;n-1) Ejemplo: av(26;10;20;10) = a(26;10;20) + 10.aI(26;11;19) = 9,098916508 + 10.73,34327607 = 742,5316772 Recurrencia: 90
av(x;h;n;r) =
h n 1
th
n 1
n 1
t 0
t 0
(1+(t-h)r).E(x;t) = (1+tr)E(x;t+h) = E(x;h) (1+tr)E(x+h;t)
= E(x;h).av(x+h;0;n;r) Ejemplo: av(26;10;20;10) = E(26;10).av(36;0;20;10) = 0,66336241. 1119,345533 = 742,5317504 Método Geométrico: 0
1
2
h-1
h
h+1
h+n-2
h+n-1
h+n
x
x+1
x+2
x+h-1
x+h
x+h+1
x+h+n-2
x+h+n-1
x+h+n
1
1+r
1+2r .... 1+(h-1)r
1
1+r
1+2r .... 1+(h-1)r
1+hr 1+(h+1)r ........... 1+(h+n-2)r [h
h
............
1+(h+n-1)r
h
h ].r
av(x;h;n;r) = av(x;0;h+n;r)-av(x;0;h;r)-h.r.a(x;h;n) Ejemplo: av(26;10;20;10) = av(26;0;30;10)-av(26;0;10;10)-10.10.a(26;10;20) = 2276,84277 - 624,41936 - 100. 9,098916508 = 742,531750 4) Riesgo diferido, sin límite El asegurado mediante el pago de la/s prima/s, transfiere al asegurador el riesgo del plan; y éste le acuerda, cobertura de vida de riesgo diferido sin límite, consistente en el pago del capital asegurado variable al comienzo de cada año a partir de la edad “x+h” mientras viva. 0
1
x
x+1
2
h-1
h
h+1
x+2
x+h-1
x+h
x+h+1
Capitales [A] ó
w-x-1 w-1
1
1+r
1
1
.........
r
......... (w-x-h-1)r
[B]
w-x w
......... 1+(w-x-h-1)r 1
[A] av(x;h;w-x-h;r) =
w x 1
t h
(1+(t-h)r).E(x;t) =
w x 1
t h
E(x;t) + r.
w x 1
t h
t.E(x;t)
=a(x;h;w-x-h) + r.ai(x;h+1;w-x-h-1) [B] av(x;h;w-x-h;r) = a(x;h;w-x-h) + r.ai(x;h+1;w-x-h-1) Ejemplo: 91
av(26;10;64;10) = a(26;10;64) + 10. aI(26;11;63) = 12,84717077 + 10.183,9435 = 1852,283128 Recurrencia: (Caso particular de av(x;h;n) donde n = w-x-h) av(x;h;w-x-h;r) = E(x;h).av(x+h;0;w-x-h;r) Ejemplo: av(26;10;64;10) = E(26;10). av(36;0;64;10) = 0,66336241.2792,2642285 = 1852,283128 Método Geométrico: 0
1
2
h-1
h
h+1
x
x+1
x+2
x+h-1
x+h
x+h+1
1
1+r
1+2r .... 1+(h-1)r
1
1+r
1+2r .... 1+(h-1)r
w-x-2
w-x-1
w-x
w-2
w-1
w
1+hr 1+(h+1)r ........... 1+(w-x-2)r [h
h
............
1+(w-x-1)r
h
h ].r
av(x;h;w-x-h;r) = av(x;0;w-x;r)-av(x;0;h;r)-h.r.a(x;h;w-x-h) Ejemplo: av(26;10;64;10) = av(26;0;74) - av(26;0;10;10) - 10. 10. a(26;10;64) = 3493,97407 - 356,973865 -100. 12,84717077 = 1852,283128
- Decrecientes de razón igual al capital final (Decreasing) Supuesto: el capital final es igual a uno (c=1) 1) Riesgo inmediato y plazo limitado El asegurado mediante el pago de la/s prima/s, transfiere al asegurador el riesgo del plan; y éste le acuerda, cobertura de vida de riesgo inmediato y plazo limitado, consistente en el pago del capital asegurado variable al comienzo de cada año mientras viva y por el plazo establecido.
Capitales [A]
0
1
2
t
n-2
n-1
n
x
x+1
x+2
x+t
x+n-2
x+n-1
x+n
n
n-1
n-2
...... n-t
........
2
1
n
n
n
......
n
........
n
n
1
2
......
t
........
n-2
n-1
ó [B] ó [C]
n
n(1-1/n) n(1-2/n) ...... n(1-t/n) ........ n(1-(n-2)/n) n(1-(n-1)/n)
[A]
92
n 1
n 1
aD(x;0;n) =
t 0
(n-t).E(x;t) = n.
t 0
n 1
E(x;t) -
t 0
t.E(x;t)
[B] aD(x;0;n) = n.a(x;0;n) - aI(x;1;n-1) Ejemplo: aD(26;0;20) = 20. a(26;0;20) - aI(26;1;19) = 20.13,90597195 - 113,1468399 = 164,9725991 [C] aD(x;0;n) = n.av(x;0;n;-1/n) Ejemplo: aD(26;0;20) = 20.av(26;0;20;-1/20) = 20.8,248629955 = 164,9725991 2) Riesgo inmediato, sin límite El asegurado mediante el pago de la/s prima/s, transfiere al asegurador el riesgo del plan; y éste le acuerda, cobertura de vida de riesgo inmediato sin límite, consistente en el pago del capital asegurado variable al comienzo de cada año mientras viva. 0
1
x
x+1
Capitales [A] w-x ó [B] w-x
2
t
w-x-2
x+2
x+t
w-x-1
w-x-2 .......
w-x-t .........
w-x 1
w-x 2
w-x t
....... .......
......... .........
w-x-1
w-x
x+n-2
x+n-1
x+n
2
1
w-x w-x-2
w-x w-x-1
ó
[C] w-x w x 1
1 wx
...... w x 1
t w x 1 ........ w x 1 wx wx
[A] aD(x;0;w-x) =
w x 1
t 0
(w-x -t).E(x;t) = (w-x).
w x 1
t 0
E(x;t) -
w x 1
t 0
t.E(x;t)
[B] aD(x;0;w-x) = (w-x).a(x;0;w-x) - aI(x;1;w-x-1) Ejemplo: aD(26;0;74) = 74.a(26;0;74) - aI(26;1;73) = 74.21,22139541 - 347,2752675 = 1223,107993 [C] aD(x;0;w-x) = (w-x).av(x;0;w-x;-1/(w-x)) Ejemplo: 93
aD(26;0;74) = 74.av(26;0;74;-1/74) = 74.16,528486 = 1223,107993 3) Riesgo diferido y plazo limitado El asegurado mediante el pago de la/s prima/s, transfiere al asegurador el riesgo del plan; y éste le acuerda, cobertura de vida de riesgo diferido y plazo limitado, consistente en el pago del capital asegurado variable al comienzo de cada año a partir de la edad “x+h” mientras viva y por el plazo establecido. 0
1
2
h-1
h
h+1
h+n-1
h+n
x
x+1
x+2
x+h-1
x+h
x+h+1
x+h+n-1
x+h+n
Capitales [A]
n
n-1
........
1
n
n
........
n
1
........
n-1
ó [B] ó [C]
n
n(1-1/n) ........ n(1-(n-1)/n)
[A] aD(x;h;n) =
h n 1
t h
(n-t+h).E(x;t) = n.
h n 1
th
E(x;t) -
h n 1
t h
t.E(x;t)
[B] aD(x;h;n) = n.a(x;h;n) - aI(x;h+1;n-1) Ejemplo: aD(26;10;20) = 20.a(26;10;20) - ai(26;11;19) = 20.9,098916508 - 73,34327607 = 108,6350541 [C] aD(x;h;n) = n.av(x;h;n;-1/n) Ejemplo: aD(26;10;20) = 20.av(26;10;20;-1/20) = 20.5,431752705 = 108,6350541 Método de recurrencia aD(x;h;n) = n.a(x;h;n) - aI(x;h+1;n-1) = n.E(x;h).a(x+h;0;n) - E(x;h).aI(x+h;1;n-1) = E(x;h) [n.a(x+h;0;n) - aI(x+h;1;n-1)] = E(x;h).aD(x+h;0;n) Ejemplo: aD(26;10;20) = E(26;10).aD(36;0;20) = 0,66336241.163,7642599 = 108,6350541 94
Método Geométrico 0
1
2
h-1
h
h+1
x
x+1
x+2
x+h-1
x+h
x+h+1
h+n h [n
h+n-1 h-1 n
h+n-2 ..... 1 n .....
n+1
n
n-1
h+n-1
h+n
x+h+n-1 x+h+n .......
1
n]
aD(x;h;n) = aD(x;0;h+n) - aD(x;0;h) - n.a(x;0;h) Ejemplo: aD(26;10;20) = aD(26;0;30) - aD(26;0;10) - 20. a(26;0;10) = 325,0017425 - 48,88224044 - 20. 8,37422240 = 108,6350541 4) Riesgo diferido, sin límite El asegurado mediante el pago de la/s prima/s, transfiere al asegurador el riesgo del plan; y éste le acuerda, cobertura de vida de riesgo diferido sin límite, consistente en el pago del capital asegurado variable al comienzo de cada año a partir de la edad “x+h” mientras viva.
Capitales
0
1
2
x
x+1
x+2
h-1
h
h+1
h+t
w-x-1
w-x
x+h-1
x+h
x+h+1
x+h+t
w-1
w
[A]
w-x-h w-x-h-1 .... w-x-h-t .......
[B]
w-x-h w-x-h ..... w-x-h ....... 1 …. t .......
1
ó w-x-h w-x-h-1
ó [C]
w-x-h
w x h
w x h [A]
1
aD(x;h;w-x-h) =
1
1 wxh
.........................
w x h 1 wxh
w x 1
t h
(w-x-t).E(x;t) = (w-x).
w x 1
t h
E(x;t) -
w x 1
t h
t.E(x;t)
[B] aD(x;h;w-x-h) = (w-x-h).a(x;h;w-x-h) - aI(x;h+1;w-x-h-1) aD(26;10;64) = 64.a(26;10;64) - aI(26;11;63) = 64.12,84717077 - 183,9435 = 638,2754293 [C] aD(x;h;w-x) = (w-x-h).av(x;h;w-x-h;-1/(w-x-h)) Ejemplo: aD(26;10;64) = 64.av(26;10;64;-1/64) = 64.9,97305358281 = 638,2754293 95
Método de recurrencia aD(x;h;w-x-h) = (w-x-h).a(x;h;w-x-h) - aI(x;h+1;w-x-1) = (w-x-h).E(x;h).a(x+h;0;w-x-h) - E(x;h).aI(x+h;1;w-x-1) = E(x;h) [(w-x-h).a(x+h;0;w-x-h) - aI(x+h;1;w-x-h-1) ] = E(x;h).aD(x+h;0;w-x-h) Ejemplo: aD(26;10;64) = E(26;10).aD(36;0;64) = 0,64336241. 992,093133 = 638,2754293 Método Geométrico 0
1
2
h-1
h
h+1
h+t
w-x-1
w-x
x
x+1
x+2
x+h-1
x+h
x+h+1
x+h+t
w-1
w
w-x w-x-1 w-x-2 ... w-x-h+1 w-x-h w-x-h-1 ... w-x-h-t ....... h
h-1
h-2 ....
1
1
[w-x-h w-x-h ......... w-x-h] aD(x;h;w-x-h) = aD(x;0;w-x) - aD(x;0;h) - (w-x-h).a(x;0;h) Ejemplo: aD(26;10;64) = aD(26;0;74) - aD(26;0;10) - 64. a(26;0;10) = 1223,107993 - 48,88224044 - 64. 8,37422240 = 638,275519
Seguros de muerte de capital variable en progresión aritmética - Creciente de razón igual al primer capital A- De riesgo inmediato y limitado El asegurado mediante el pago de la/s prima/s, transfiere al asegurador el riesgo del plan; y éste le acuerda cobertura de muerte de riesgo inmediato y limitado, consistente en el pago del capital asegurado variable a los derecho habientes al fin del año de fallecimiento del asegurado, si éste tiene lugar entre las edades “x” y “x+n”. 0
1
2
h
n-2
n-1
n
x
x+1
x+2
x+h
x+n-2
x+n-1
x+n
P(x;1)
1
ó
2 .......... ó h
ó ..........
n-2
ó
n-1
ó
n
_ Cálculo a partir de la suma de valores actuales de capitales diferidos de muerte AI (x ; 0 ; n ) = t=0 n-1 (t+1) . A ( x ; t ; 1 ) n 1
= D-1 (x) . [
t 0
(t+1) . ( M(x+t) - M(x+t+1))] 96
= D-1 (x) . [R(x) - R(x+n) - n . M(x+n)] Ejemplo: AI (26 ; 0 ; 20 ) = D-1 (26) . [ R(26) - R(46) -20 M(46) ] = 3479,174 -1 . [ 24522,765 - 12721,141 - 20 . 530,334 ] = 0,343456234152 0
1
2
t
n-2
n-1
x
x+1
x+2
x+t
x+n-2
x+n-1
A(x;0;n) A(x;1;n-1)
1
ó
A(x;n-3;3) A(x;n-2;2) A(x;n-1;1)
n x+n
1 .......... ó 1 ó .......... 1 ó 1 ó 1 1 .......... ó 1 ó .......... 1 ó 1 ó 1 .............................................................................. 1 ó 1 ó 1 1 ó 1 1
_ Cálculo a partir de la suma de seguros de muerte de capital constante n 1
n 1
t 0
t 0
AI ( x ; 0 ; n ) = A ( x ; t ; n-t ) = D-1 (x) [M (x+t) - M (x+n)] n 1
= D-1 (x) [ M (x+t) - n . M (x+n)] = D-1 (x) . [R (x) - R (x+n) - n . M (x+n)] t 0
_ Cálculo en función de la relación con los valores de conmutación de vida M (x+t) = D (x+t) - d . N(x+t) R (x) = N (x) - d . S (x) AI ( x ; 0 ; n ) = D-1 (x) . [ R (x) - R (x+n) - n . M (x+n) ] = D -1 (x) {[ N (x) - d S (x) ] - [ N (x+n) - d S (x+n) ] - n.[ D (x+n) - d N (x+n) ]} = D -1 (x) {[ N (x) - N (x+n) ] - n.D (x+n) - d.[ S (x) - S (x+n) - n.N (x+n) ]} = a (x;0;n) - n . E(x;n) - d . aI (x;0;n) Ejemplo: AI (26;0;20) = a(26;0;20) - 20 . E (26;20) - 0,04 / 1.04 . ai (26;0;20) = 13,905972 - 20 . 0,433794 - 0,04 / 1.04 . 127,052825182 = 0,343444877 _ Cálculo en función de los capitales diferidos de vida A (x ; t ; 1)
=
v t 1 . n 1
AI( x ; 0 ; n) =
t 0
q(x;t;1) =
v t 1 .[
p(x;t) - p(x;t+1) ] = v . E(x;t) -E(x;t+1)
n 1
(t+1) . A(x;t;1) =
t 0
(t+1) . [ v . E(x;t) - E(x;t+1) ]
97
n 1
=v.
n 1
t 0
(t+1) . E(x;t) -
(t+1) . E(x;t) = v . aI(x;0;n) - aI(x;1;n)
t 0
donde aI(x;1;n) = aI(x;0;n) - a(x;0;n) + n . E(x;n) 0
1
2
t
t+1
n-2
n-1
n
x
x+1
x+2
x+t
x+t+1
x+n-2
x+n-1
x+n
1 2 t t+1 n-2 n-1 n aI(x;1;n) + 1 2 3 t+1 t+2 n-1 n aI(x;0;n) 1 1 1 1 1 1 1 a(x;0;n) -------------------------------------------------------------------------------------------------------= 1 2 t t+1 n-2 n-1 falta n reemplazando: AI ( x; 0; n ) = v . aI (x; 0 ; n ) - [ aI ( x ; 0 ; n ) - a ( x ; 0 ; n ) + n . E ( x ; n ) ] = ( v-1) . aI ( x ; 0; n ) + a ( x ; 0; n ) - n . E ( x ; n ) = a ( x ; 0 ; n ) - n . E ( x ; n ) - d . aI ( x ; 0 ; n ) Ejemplo: AI (26;0;20) = 1.04-1 . aI (26;0;20) - aI (26;1;20) = 1.04-1 . 127,05282518 - 121.822733182 = 0.343444877 B- De riesgo inmediato, sin límite El asegurado mediante el pago de la/s prima/s, transfiere al asegurador el riesgo del plan; y éste le acuerda cobertura de muerte de riesgo inmediato sin límite, consistente en el pago del capital asegurado variable a los derecho habientes al fin del año de fallecimiento del asegurado, si éste tiene lugar a partir de la edade “x” . 0
1
2
t
t+1
w-x-1
w-x
x
x+1
x+2
x+t
x+t+1
w-1
w
1
ó
2
ó ...... ó
t
ó
t+1 ó ......... ó w-x-1
ó
w-x
_ Cálculo de la prima pura única AI (x ; 0 ; w-x) =
w x 1
t 0
(t + 1) . A (x ; t ; 1) =
= D -1 (x) . [
w x 1
t 0
w x 1
t 0
D-1 (x) . (t+1) . C (x+t)
M (x+t) - (w-x) . M (w)] = D-1 (x) . [R (x) - R (w)]
= D-1 (x) . R (x) 98
Ejemplo: AI (26;0;74) = D-1 (26) . R (26) = 3479,174-1 . 24522,765 = 7,04844454459 _ Cálculo en función de los seguros de vida AI (x;0;w-x) = D-1 (x) . R(x) = D-1 (x) . [ N(x) - d . S(x) ] = a (x;0;w-x) - d . aI (x;0;w-x) Ejemplo: AI (26;0;74) = a (26;0;74) - 0,04 / 1,04 . aI (26;0;74) = 21,221483 - 0,04 / 1,04 . 368,49674261 = 7,04853136 C - De riesgo diferido y limitado El asegurado mediante el pago de la/s prima/s, transfiere al asegurador el riesgo del plan; y éste le acuerda cobertura de muerte de riesgo diferido y limitado, consistente en el pago del capital asegurado variable a los derecho habientes al fin del año de fallecimiento del asegurado, si éste tiene lugar entre las edades “x+h” y “x+h+n”. 0
1
h
h+1
h+t
h+n-2
h+n-1
h+n
x
x+1
x+h
x+h+1
x+h+t
x+h+n-2
x+h+n-1
x+h+n
1
ó ... ó
t
ó ... ó
n-2
ó
n-1
ó
n
_ Cálculo a partir de la suma de valores actuales de capitales diferidos de muerte n 1
AI (x;h;n) =
t 0
n 1
(t+1) . A (x;t+h;1) = D-1(x) (t+1) . C (x+h+t) t 0
n 1
= D-1(x)[ M (x+h+t) - n . M (x+h+n)] t 0
= D (x) . [R(x+h) - R(x+h+n) - n . M(x+h+n)] -1
Ejemplo: AI (26;20;10) = D-1 (26) . [ R (46) -R (56) - 10 . M (56) ] = 3479,174 -1 . [12721,141 - 7770,757 - 10 . 446,046 ] = 0,1408161822 0
1
h
h+1
h+t
h+n-2
h+n-1
h+n
x
x+1
x+h
x+h+1
x+h+t
x+h+n-2
x+h+n-1
x+h+n
A(x; h; n) ...........
A(x; h+n-3; 3) A(x; h+n-2; 2) A(x; h+n-1; 1)
1
ó .... ó
1 ó ...... ó
1
ó
1
ó
1
ó ó
1 1 1
..........................................................................
1
ó
1 1
_ Cálculo a partir de la suma de seguros de muerte de capital constante 99
n 1
AI (x;h;n) = A(x;t+h;n-t) t 0
n 1
= D-1(x) . [M (x+h+t) - M (x+h+n)] t 0
= D (x) . [R(x+h) - R(x+h+n) - n . M(x+h+n)] -1
_ Cálculo en función de la relación con los valores de conmutación de vida AI (x;h;n) = D-1(x) . [R(x+h) - R(x+h+n) - n . M(x+h+n)] = D-1(x).{[N(x+h) - d.S(x+h)] - [N(x+h+n) - d.S(x+h+n)] - n.[D(x+h+n) - d.N(x+h+n)]} = D-1(x).{[N(x+h) - N(x+h+n)] - n .D(x+h+n)- d .[S (x+h) - S(x+h+n) - n . N(x+h+n)]} = a (x;h;n) - n . E (x;h+n) - d . aI (x;h;n) Ejemplo: AI ( 26;20;10 ) = a (26;20;10) - 10 . E (26;30) - 0,04 / 1,04 . aI (26;20;10) = 3.56716824 - 10 . 0,272375 - 0,04 / 1,04 . 18,269405611 = 0,14074879339 _ Cálculo en función de los capitales diferidos de vida n 1
n 1
AI (x;h;n) = (t+1) . A(x;t+h;1) = (t+1) . [v . E (x;t+h) - E (x;t+h+1)] t 0
n 1
t 0 n 1
t 0
t 0
= v . (t+1) . E(x;t+h) - (t+1) . E(x;t+h+1) = v . aI (x;h;n) - aI (x;h+1;n) donde aI (x;h+1;n) = aI(x;h;n) - a(x;h;n) - n . E(x;h+n) _ Método de recurrencia n 1
n 1
AI (x;h;n) = (t+1) . A(x;t+h;1) = (t+1) . E(x;h) . A(x+h;t;1) t 0
t 0
n 1
= E (x;h) . (t+1) . A(x+h;t;1) = E(x;h) . AI(x+h;0;n) t 0
0
1
h
h+1
h+t
h+n-2
h+n-1
h+n
x
x+1
x+h
x+h+1
x+h+t
x+h+n-2
x+h+n-1
x+h+n
1
ó ... ó
t
ó ... ó
n-2
ó
n-1
ó
n
AI (x;0;h+n) 1 ó ... ó h ó h+1 ó ... ó h+t ó ... ó h+n-2 ó h+n-1 ó h+n AI(x;0;h) 1 ó ....ó h ---------------------------------------------------------------------------------------------------------h ó ... ó h ó ... ó h ó h ó h _ Método geométrico 100
n 1
AI (x;h;n) = (t+1) . A(x;t-h;1) t 0
= = =
h n 1
th h n 1
t 0
h n 1
t 0
(t+1-h) . A(x;t;1) (t+1) . A(x;t;1) – (t+1) . A(x;t;1) -
h n 1
t 0
h n 1
(t+1-h) . A (x;t;1)
(t+1).A(x;t;1) - h.[
t 0
h n 1
t 0
h 1
A(x;t;1) - A(x;t;1)] t 0
= AI (x;0;h+n) - AI (x;0;h) - h . [A (x;0;n+h) - A (x;0;h)] = AI(x;0;h+n) - AI(x;0;h) - h . A(x;h;n) Ejemplo: AI (26;20;10) = AI (26;0;30) - AI (26;0;20) - 20 . A (26;20 10) = 0,96859786 - 0,343444877 - 20 . 0,024219829 = 0,1407563997128 D- De riesgo diferido, sin límite El asegurado mediante el pago de la/s prima/s, transfiere al asegurador el riesgo del plan; y éste le acuerda cobertura de muerte de riesgo diferido sin límite, consistente en el pago del capital asegurado variable a los derecho habientes al fin del año de fallecimiento del asegurado, si éste tiene lugar a partir de la edade “x+h”. 0 x
1 x+1 .....
h-1
h
x+h-1
x+h
h+1
x+h+1 .... x+h+t .... 1 ó ....
AI(x;h;w-x-h) =
w x h 1
t 0
= D -1(x) .
w-x-2
w-x-1
w-x
w-2
w-1
w
ó t ó .... ó w-x-h-2 ó w-x-h-1 ó w-x-h
(t+1) . A(x;t+h;1)
w x h 1
= D -1(x) . [
h+t
t 0
(t+1) . C(x+t+h)
w x h 1
t 0
M(x+h+t) - (w-x-h) . M(w)]
= D -1(x) . {[R(x+h) - R(w)] - (w-x-h) . M (w) ]} = D-1(x) . R (x+h) Ejemplo: AI (26;20;54) = D-1 (26) . R (46) = 3479,174-1 . 12721,141 = 3,656368149 0
1
h-1
h
h+1
h+t
w-x-2
w-x-1
w-x 101
x
x+1
.....
x+h-1
x+h
x+h+1 .... x+h+t ....
A (x;h;w-x-h)
w-1
w
1 ó .... ó 1 ó .... ó 1 ó 1 ó 1 .................................................................... 1 ó .... ó 1 ó 1 ó 1 ................................................. 1 ó 1 1
A (x;h+t-1;w-x-h-t+1) A (x;w-x-2;2) A (x;w-x-1;1) AI (x;h;w-x-h) =
w-2
w x h 1
t 0
A(x;h+t;w-x-h-t) = D-1 (x) .
w x h 1
t 0
[M (x+h+t) - M (w)]
= D -1(x) [R(x+h) - R(w)] = D-1(x) . R(x+h) En función de seguros de vida: AI (x;h;w-x-h) = D-1(x) . R(x+h) = D-1(x) .[N(x+h) - d . S(x+h)] = a (x;h;w-x-h) - d . aI (x;h;w-x-h) Ejemplo: AI (26;20;54) = a (26;20;54) - 0,04 / 1,04 . ai (26;20;54) = 7,315511 - 0,04 / 1,04 . 95,1354430678 = 3,656455497391 AI (x;h;w-x-h) =
w x h 1
t 0
(t+1) . A(x;t+h;1) =
w x h 1
t 0
(t+1) . [v .E(x;t+h) - E (x;t+h+1)]
= v . aI(x;h;w-x-h) - [ a(x;h;w-x-h) - d . aI(x;h;w-x-h) ] AI (x;h;w-x-h) =
w x h 1
t 0
= E (x;h) .
(t+1) . A(x;t+h;1) =
w x h 1
t 0
w x h 1
t 0
(t+1) . E (x;h) . A (x+h;t;1)
(t+1) . A(x+h;t;1) = E(x;h) . AI(x+h;0;w-x-h)
Ejemplo: AI (26;20;54) = E (26;20) . AI (46;0;54) = 0,433794 . 8,4288224167 = 3,6563725914 AI (x;h;w-x-h) =
=
=
w x h 1
t 0 w x 1
t h
w x 1
t 0
(t+1) . A(x;t+h;1)
(t+1-h) . A(x;t;1) h 1
(t+1) . A(x;t;1) -
t 0
(t+1) . A(x;t;1) 102
= AI(x;0;w-x) - AI(x;0;h) - h . A(x;h;w-x-h)
103
Marcha progresiva individual a P.P.U. de seguros de muerte de capitales variables crecientes en progresión aritmética de razón igual al primer capital (Increasing-diferida h y limitada n) Momento
Concepto
Fórmula n-1(t+1).A(x;t+h;1) E-1(x;h)
0
P.P.U Cap.Actuarial hasta h.
h
Saldo Capitalizado Cobertura Saldo Cap.Actuarial
h+1
Saldo Capitalizado Cobertura Saldo Cap.Actuarial
h+2
Saldo Capitalizado
t=2
........
........
.........
t=0
n-1(t+1).A(x+h;t;1) 1. A(x+h;0;1) n-1 t=1 (t+1).A(x+h;t;1) E-1(x+h;1) t=0
n-1(t+1).A(x+h+1;t-1;1) 2. A(x+h+1;0;1) n-1 t=2 (t+1).A(x+h+1;t-1;1) E-1(x+h+1;1) t=1
n-1(t+1).A(x+h+2;t-2;1)
n-1(t+1).A(x+h+f;t-f;1) (f+1). A(x+h+f;0;1) n-1 t=f (t+1).A(x+h+f;t-f;1) E-1(x+h+f;1)
h+f
Saldo Capitalizado Cobertura Saldo Cap.Actuarial
h+f+1
Saldo Capitalizado
t=f+1
.........
........
..........
h+n-2
Saldo Capitalizado Cobertura Saldo Cap.Actuarial
h+n-1
Saldo Capitalizado Cobertura Saldo
t=f
n-1(t+1).A(x+h+f+1;t-f-1;1)
n-1(t+1).A(x+h+n-2;t-n+2;1) (n-1). A(x+h+n-2;0;1) n-1 t=n-1 (t+1).A(x+h+n-2;t-n+2;1) E-1(x+h+n-2;1) t=n-2
n-1(t+1).A(x+h+n-1;t-n+1;1)=n.A(x+h+n-1;0;1) n.A(x+h+n-1;0;1) 0 t=n-1
Ejemplo: ver marcha progresiva en anexo 2
Seguros Variables de Razón “r” El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan y éste le acuerda cobertura de muerte por el plazo convenido consistente en el pago del capital variable, en una suma fija, distinta al capital inicial a los derechohabientes al finalizar el año en que éste fallece.
104
Caso general: Seguro Variable de riesgo diferido y plazo limitado: A (x; h; n; r) 0 1 2 h-1 h h+1 h+t h+n-2 x
x+1
x+2 .... x+h-1
x+h
x+h+1 ....
x+h+t .... x+h+n-2
h+n-1
h+n
x+h+n-1
x+h+n
1 ó ... ó 1+(t-1)r .… 1+(n-3)r ó 1+(n-2)r ó 1+(n-1)r _ Cálculo de la Prima Pura Única n 1
Av (x;h;n;r) =
t 0
n 1
n 1
t 0
t 0
(1+t.r) . A(x;t+h;1) = A(x;t+h;1) + r . t . A(x;t+h;1)
= A(x;h;n) + r . AI( x;h+1;n-1) expresado en valores de conmutación: Av (x;h;n;r) = D-1(x).[M(x+h) - M(x+h+n)]+r .D-1(x).[R(x+h+1)- R(x+h+n) - M(x+h+n).(n-1)] = D-1(x).[M (x+h) - ( 1 - (n-1) . r) . M (x+h+n) + r . R (x+h+1) - r . R (x+h+n)] Ejemplo: Av (26;20;10;10) = D-1 (26) . [M (46) - (1-10) . M (56) + 10 . R (47) - 10 . R (56)] = (639452,83 + 9.446072,85 + 10. 12190927,09 - 10. 7770832,41)/ 3479209,06 = 14,042000 _ Método de recurrencia n 1
Av (x;h;n;r) =
t 0
n 1
(1+t.r) . A(x;t+h;1) =
t 0
n 1
n 1
t 0
t 0
(1+t.r) . E(x;h) . A(x+h;t;1)
= E(x;h).[ A(x+h;t;1) + r.t.A(x+h;t;1)] = E(x;h).[A(x+h;0;n) + r.AI(x+h;1;n-1)] = E (x;h) . Av (x+h;0;n;r) _ Método Geométrico 0
1
2
h-1
h
h+1
h+t
h+n-2
h+n-1
h+n
x
x+1
x+2
x+h-1
x+h
x+h+1
x+h+t
x+h+n-2
x+h+n-1
x+h+n
*1 *2 *3
1 1
ó 1+r ó ... ó 1+r(h-1) ó 1+rh .... ó 1+r(h+t-1) .................................................. ó 1+r ó ... ó 1+r(h-1) rh ó .... ó rh ó .... ó rh ó rh ó rh
Av (x;h;n;r)
1 ó .... ó 1+r(t-1) ....1+ (n-3)r ó 1+(n-2)r ó1+(n-1)r
donde: *1 es Av(x;0;h+n;r), *2 es Av(x;0;h;r), *3 es r.h A(x;h;n) Av (x;h;n;r) = Av(x;0;h+n;r) - Av(x;0;h;r) - r.h A(x;h;n) 105
Ejemplo: Av(26;20;10;10) = Av(26;0;30;10) - Av(26;0;20;10) - 10. 20. A(26;20;10) = 90,1876538846 - 61,0761137786 - 200. 0,02422010823 = 24,267518 _ Cálculo en función de los seguros de vida Av (x;h;n;r) = A (x;h;n) + r. AI (x;h+1;n-1) desarrollando cada término de la derecha: A (x;h;n) =
h n 1
th
=v.
A(x;t;1) =
h n 1
h n 1
t h
E(x;t) -
t h
v t 1 .[p(x;t)
h n 1
th
- p(x;t+1)]
E(x; t+1)
= v . a (x;h;n) - a ( x;h+1;n) = (1-d) a (x;h;n) - a (x;h+1;n) = a (x;h;n) - d . a (x;h;n) - [ a (x;h;n) + E (x;h+n) - E (x;h) ] = E (x;h) - E (x;h+n) - d . a (x;h;n) AI (x;h+1;n-1) =
h n 1
t h
=0+
=v.
(t-h) . A(x;t;1)
h n 1
t h 1
h n 1
t h 1
(t-h) .
v t 1
[p (x;t) - p (x;t+1)]
(t-h) . E (x;t) -
h n 1
t h 1
(t-h) . E (x;t+1)
= v . ai (x;h+1; n-1) - ai ( x;h+2;n-1) = ai(x;h+1; n-1) - d .ai(x;h+1; n-1) - [ai(x;h+1; n-1) - a(x;h+1; n-1) + (n-1).E(x;h+n)] = a (x; h+1;n-1) - (n-1) . E (x;h+n) - d . ai (x;h+1;n-1) reemplazando en la fórmula: Av (x;h;n;r) = A(x;h;n) + r. AI(x;h+1;n-1) = E(x;h) - E(x;h+n) - d.a(x;h;n) + r .[a(x; h+1;n-1) - (n-1) .E(x;h+n) - d .ai(x;h+1;n-1)] = E(x;h) - d.[a(x;h;n) + r .aI( x;h+1;n-1)] + r a(x;h+1;n-1) - E(x;h+n) .(1+r (n-1)) = E(x;h) - d .av(x;h;n;r) + r a(x;h-1;n-1) - E(x;h+n) - r. n. E(x;h+n) + r . E(x;h+n) = E(x;h) - d . av(x;h;n;r) + r . a (x;h+1;n-1) - (1+r . (n-1)) .E(x;h+n) 1- caso particular: para n = 0 Seguro Variable de riesgo inmediato y plazo limitado: _ Cálculo de la PPU 106
n 1
Av (x;0;n;r) =
(1+t.r) . A(x;t;1)
t 0
n 1
n 1
t 0
t 0
= A(x;t;1) + r . t . A(x;t;1) = A (x;0;n) + r . AI ( x;1;n-1) expresado en valores de conmutación: Av(x;0;n;r) = D-1(x). [M(x) - M(x+n)] + r .D-1(x). [R(x+1) - R(x+n) - M(x+n) . (n-1)] = D-1(x).[M(x) - ( 1 - (n-1) . r) . M(x+n) + r . R(x+1) - r . R(x+n)] Ejemplo: Av(26;0;20;10) = D-1(26) . [ M(26) - (1-10) . M(46) + 10 . R(27) - 10 . R(46)] = (639452,83 - 9.530339,67 + 10.23883558,44 - 10.12721266,76)/3479209,06 = 648,6788443 _ Cálculo en función de los seguros de vida Av(x;0;n;r) = A(x;0;n) + r. AI(x;1;n-1) desarrollando cada término de la derecha: A(x;0;n) = E(x;0) - E(x;n) - d . a(x;0;n) = 1 - E(x;n) - d . a(x;0;n) AI(x;1;n-1) = a(x; 1; n-1) - (n-1) . E(x;n) - d . aI(x;1;n-1) reemplazando en la fórmula: Av (x;0;n;r) = A (x;0;n) + r. AI (x;1;n-1) = 1 - E (x;n) - d . a(x;0;n) + r .[ a (x; 1;n-1) - (n-1) . E (x;n) - d . aI (x;1;n-1) ] = 1 - d . av (x;0;n;r) + r . a (x;1;n-1) - (1+r . (n-1)) .E (x;n) 2- Caso particular: para h= 0, n = w-x Seguro Variable de riesgo inmediato y plazo ilimitado:
_ Cálculo de la PPU Av (x;0;w-x;r) =
w x 1
t 0
(1+t.r) . A (x;t;1) =
w x 1
t 0
A (x;t;1) + r .
w x 1
t 0
t . A (x;t;1)
= A (x;0;w-x) + r . AI ( x;1;w-x-1) expresado en valores de conmutación: 107
Av (x;0;w-x;r) = D-1(x). [M (x) + r . R (x+1)] Ejemplo: Av (26;0;74;10) = D-1(26) [M (26) +10 . R (27)] = (639452,83 + 10.23883558,44)/ 3479209,06 = 68,6865989105 _ Cálculo en función de los seguros de vida Av(x;0;w-x;r) = A(x;0;w-x) + r. AI(x;1;w-x-1) desarrollando cada término de la derecha: A (x;0;w-x) = E (x;0) - E (x;w-x) - d . a (x;0;w-x) = 1 - d . a(x;0;w-x) AI (x;1;w-x-1) = a (x; 1;w-x-1) - d . aI (x;1;w-x-1) reemplazando en la fórmula: Av (x;0;w-x;r) = A (x;0;w-x) + r. AI (x;1;w-x-1) = 1 - d . a(x;0;w-x) + r .[a(x; 1;w-x-1) - d . aI (x;1;w-x-1)] = 1 - d . av(x;0;w-x;r) + r . a(x;1;w-x-1) Ejemplo: Av(26;0;74;10) = 1- d. av(26;0;74;10) + 10.a(26;1;73) = 1- 0,04/1,04.3493,97407 +10. 20,22139278 = 68,83030972 3- Caso particular: para n = w-x-h Seguro Variable de riesgo diferido y plazo ilimitado: _ Cálculo de la PPU Av (x;h;w-x-h;r) =
w x 1
t 0
(1+t.r) . A(x;t+h;1) =
w x 1
t 0
A(x;t+h;1) + r .
w x 1
t 0
t . A(x;t+h;1)
= A(x;h;w-x-h) + r . AI( x;h+1;w-x-h-1) Ejemplo: Av(26;20;54;10) = A(26;20;54) +10.AI(26;11;63)=0,1524311017+10.3,503936348=35,1917945886 expresado en valores de conmutación: Av (x;h;w-x-h;r) = D-1(x). [M (x+h) + r . R (x+h+1)] Ejemplo: Av (26;20;54;10) = D-1(26) . [M(46) + 10 . R(47)] =(530339,67 + 10.12190927,09)/ 3479209,06 = 35,1917945886 108
_ Método de recurrencia Av (x;h;w-x-h;r) = =
w x h 1
t 0
(1+t.r) . A(x;t+h;1)
w x h 1
t 0
= E (x;h) . [
(1+t.r) . E(x;h) . A(x+h;t;1) w x h 1
t 0
A(x+h;t;1) +
w x h 1
t 0
r . t . A(x+h;t;1)]
= E (x;h) . [A(x+h;0;w-x-h) + r . AI(x+h;1;w-x-h-1)] = E (x;h) . Av (x+h;0;w-x-h;r) Ejemplo: Av(26;20;54;10) = E(26;20).Av(46;0;54;10) = 0,43379352. 81,12568067 = 35,191795 _ Método Geométrico 0
1
2
h-1
h
h+1
h+t
w-x-2
x
x+1
x+2
x+h-1
x+h
x+h+1
x+h+t
x+h+n-2
*1
1
ó 1+r ó .... ó
1+r(h-1) ó 1+rh .... ó 1+r(h+t-1) ................................................
*2
1
ó 1+r ó .... ó
1+r(h-1)
*
rh
3
Av (x;h;w-x-h;r)
ó .... ó
rh
ó ... ó rh
ó
rh
w-x-1
w-x
w-1
w
ó
rh
1 ó .... ó 1+r(t-1) ..........................................
donde: *1 es Av (x;0;w-x;r) *2 es Av (x;0;h;r) *3 es r.h A (x;h;w-x-h) Av(x;h;w-x-h;r) = Av(x;0;w-x;r) - Av(x;0;h;r) - r.h A(x;h;w-x-h)
Seguro de Muerte Decreciente de Razón Igual al Último Capital DECREASING: el asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan, y éste le acuerda cobertura de muerte de riesgo inmediato/diferido y plazo limitado/sin límite, consistente en el pago del capital variable, a los derecho habientes, al fin del año de fallecimiento del asegurado, si éste ocurre dentro del plazo establecido. Caso general:
109
Seguro de muerte de riesgo diferido y plazo limitado 0
1
2
h
h+1
h+t
n+h-1
n+h
x
x+1
x+2
x+h
x+h+1
x+h+t
x+n+h-1
x+h+n
n ó .... ó n -t+1 ó .... ó 2 1 n ó .... ó n (1-(t-1)/n)ó.... ó n(1-(n-2)/n) 1 n ó .... ó n ó .... ó n n .......... t-1 ó .... ó n-2 n-1
n.A(x;h;n) AI(x;h+1;n-1) _ Cálculo de la prima pura única n 1
AD (x;h;n) =
t 0
n 1
n 1
t 0
t 0
(-t+n) . A(x;h+t;1) = n. A(x,t+h;1) - t . A(x;t+h;1)
= n . A(x;h;n) - AI(x;h+1;n-1) expresado en valores de conmutación: AD (x;h;n) = n . A (x;h;n) - AI (x;h+1;n-1) = n . D -1(x).[M(x+h) - M(x+h+n ] - D-1 (x) [R(x+h+1) - R(x+h+n) - (n-1) . M(x+h+n)] = D-1(x).[n.M(x+h) - n.M(x+h+n) - R(x+h+1) + R(x+h+n) + n.M(x+h+n) - M(x+h+n)] = D-1 (x) [n . M(x+h) - R(x+h+1) + R(x+h+n) - M(x+h+n)] Ejemplo: AD (26;20;20) = D-1(26) . [20 . M(46) - R(47) + R(66) - M(66)] = (20. 530339,67 - 12190927,09 + 3824267,35 - 324616,51)/ 3479209,06 = 0,550561095055 _ Método de Recurrencia n 1
AD (x;h;n) =
t 0
n 1
(n-t) A(x;t+h;1) =
t 0
n 1
(n-t) . E (x;h) . A (x+h; t 1) n 1
= E(x;h) . [n. A(x+h;t;1) - t. A(x+h;t;1)] t 0
t 0
= E (x;h) . [ n . A (x+h;0;n) - AI (x+h;1; n-1) ] = E (x;h) AD (x+h;0;n) Ejemplo: AD(26;20;20) = E(26;20).AD(46;0;20) = 0,43379352. 1,269177776 = 0,550561095055 _ Método Geométrico 0
1
2
h
h+1
h+t
n+h-1
n+h
x
x+1
x+2
x+h
x+h+1
x+h+t
x+n+h-1
x+h+n
AD(x;0;h+n) h+n ó h+n-1 ó.... ó n-1 ó
n
ó ......................... ó
2
ó
1 110
AD(x;0;h) h ó h-1 ó.... ó 1 n.A(x;0;h) n ó n ó.... ó n ------------------------------------------------------------------------------------------------------------AD(x;h;n) n ó .... ó n-(t-1) ó ..... ó 2 ó 1 AD(x;h;n) = AD(x;0;h+n) - AD(x;0;h) - n . A(x;0;h) Ejemplo: AD(26;20;20) = AD(26;0;40) - AD(26;0;20) - 20. A(26;0;20) = 1,15674544 - 0,31513635 - 20.0,0145524 = 0,55056109 _ Expresado en función de seguros de vida AD(x;h;n) = D-1(x) [n . M(x+h) - R(x+h+1) + R(x+h+n) - M(x+h+n)] donde M(x) = D(x) - d . N(x) ; y R (x) = N (x) - d . S (x) AD(x;h;n) = D-1(x) [n .D(x+h) - n.d .N(x+h) - N(x+h+1) + d.S(x+h+1) + N(x+h+n) - d.S(x+h+n) D(x+h+n) + d .N(x+h+n)] AD(x;h;n) = n . E(x;h) - a (x;h+1;n-1) - E (x;h+n) - d .aD (x;h;n) 1- Caso particular: para h = 0 Seguro de Muerte de riesgo inmediato y plazo limitado: _ Cálculo de la prima pura única n 1
AD(x;0;n) = (n-t) . A(x;t;1) t 0
n 1
n 1
t 0
t 0
= n. A(x,t;1) -
t . A(x;t;1)
= n . A(x;0;n) - AI(x;1;n-1)
Ejemplo: AD(26;0;20) = 20. A(26;0;20) - AI(26;1;19) = 20. 0,0313616 - 0,31209565 = 0,31513635 expresado en valores de conmutación: AD (x;0;n) = n . A(x;0;n) - AI(x;1;n-1) = n . D -1(x) . [ M(x) - M(x+n) ] - D-1(x) [ R(x+1) - R(x+n) - (n-1) . M(x+n)] = D-1(x) [n . M(x) - n . M(x+n) - R(x+1) + R(x+n) + n . M(x+n) - M(x+n)] = D-1(x) [n . M(x) - R(x+1) + R(x+n) - M(x+n)] 111
Ejemplo: AD (26;0 20) = D-1(26) . [20 . M (26) - R(27) + R(46) - M(46)] = (20.639452,83 - 23883558,44 + 12721266,76 - 530339,67) / 3479209,06 = 0,31513635 _ Expresado en función de seguros de vida AD(x;0;n) = D-1(x) [n . M(x) - R(x+1) + R(x+n) - M(x+n)] donde M(x) = D(x) - d . N(x); y R(x) = N(x) - d . S(x) AD(x;0;n) = D-1(x).[n.D(x) – n.d.N(x) -N(x+1)+d.S(x+1) +N(x+n) -d .S(x+n) - D(x+n) + d .N(x+n)] AD(x;0;n) = 1 - a(x;1;n-1) - E(x;n) - d .aD(x;0;n) 2- Caso particular: h = 0 y n = w-x Seguro de Muerte de riesgo inmediato y plazo ilimitado: _ Cálculo de la prima pura única AD (x;0;w-x) = =
w x 1
t 0 w x 1
t 0
(w-x-t) . A(x;t;1) n. A(x,t;1) -
w x 1
t 0
t . A(x;t;1)
= (w-x) . A(x;0;w-x) - AI(x;1;w-x-1) Ejemplo: AD(26;0;74) = 74.A(26;0;74) - AI(26;1;73) = 74.0,1837900 - 6,86446035 = 6,735999 expresado en valores de conmutación: AD(x;0;w-x) = (w-x) . A(x;0;w-x) - AI(x;1;w-x-1) = (w-x) . D-1(x) . [M(x)] - D-1(x) [R(x+1)] = D-1(x) [(w-x) . M(x) - R (x+1)] Ejemplo: AD(26; 0; 74) = D-1(26) . [74 . M(26) - R(27)] = (74.639452,83 - 23883558,44)/3479209,06 = 6,73599964125 _ Expresado en función de seguros de vida AD(x;0;w-x) = D-1(x) [(w-x) . M(x) - R(x+1)] donde M(x) = D(x) - d . N(x) ; y R(x) = N(x) - d . S(x) AD(x;0;w-x) = D-1(x) [(w-x) . D(x) - (w-x) .d . N(x) - N(x+1) + d . S(x+1)] AD(x;0;w-x) = (w-x) [1- d. a(x;0;w-x) ] - a(x;1;w-x-1) - d .aI(x;1;w-x-1) 112
3- Caso particular: para n = w-x-h Seguro de Muerte de riesgo diferido y plazo ilimitado: _Cálculo de la prima pura única AD (x;h;w-x-h) =
w x h 1
t 0
= (w-x-h)
(w-x-h-t) . A(x;t+h;1)
w x h 1
A(x,t+h;1) -
w x h 1
t 0
t . A(x;t+h;1)
t 0
= (w-x-h) . A (x;h;w-x-h) - AI (x;h+1;w-x-h-1) Ejemplo: AD(26;20;54) = 54.A(26;20;54) - AI(26;21;53) = 54.0,152431017 - 3,5039363498 = 4,727343 expresado en valores de conmutación: AD(x;h;w-x-h) = (w-x-h) . A(x;h;w-x-h) - AI(x;h+1;w-x-h-1) = (w-x-h) . D -1(x) . [M(x+h)] - D-1(x) [R(x+1)] = D-1(x) [(w-x-h) . M(x+h) - R(x+h+1)] Ejemplo: AD (26;20;54) = D-1(26) . [54. M(46) - R(47)] = (54. 530339,67 - 12190927,09) / 3479209,06 = 4,72734314218 _ Expresado en función de seguros de vida AD (x;h;w-x-h) = D-1(x) [(w-x-h) . M(x+h) - R(x+h+1)] donde M(x) = D(x) - d . N(x); y R(x) = N(x) - d . S(x) AD(x;h;w-x-h) = D-1(x) [(w-x-h) . D(x+h) - (w-x).d .N(x+h) - N(x+h+1) + d.S(x+h+1)] AD(x;h;w-x-h) = (w-x-h)E(x;h) -d.(w-x-h) .a(x;h;w-x-h) - a(x;h+1;w-x-h-1) -d .aI(x;h+1;w-x-h) _ Método de Recurrencia AD(x;h;w-x-h) =
w x h 1
t 0
(w-x-h-t) A(x;t+h;1) =
= E(x;h) . [(w-x-h).
w x h 1
t 0
w x h 1
t 0
A(x+h;t;1) -
(w-x-h-t) . E (x;h) . A (x+h; t 1) w x h 1
t 0
t. A(x+h;t;1)]
= E(x;h) . [(w-x-h) . A(x+h;0;w-x-h) - AI(x+h;1;w-x-h-1)] = E(x;h) AD(x+h;0;w-x-h) Ejemplo: AD(26;20;54) = E(26;20).AD(46;0;54) = 0,43379352. 10,8976804 = 4,727343 113
_ Método Geométrico AD(x;h;w-x-h) = AD(x;0;w-x) - AD(x;0;h) - (w-x-h) . A(x;0;h) Ejemplo: AD(26;20;54) = AD(26;0;74) – AD(26;0;20) – 54 .A(26;0;20) = 6,73599964125 – 0,31513635 – 54 .0,0313616 = 4,727343
Cálculo de las Primas Puras Anuales - Crecientes de razón igual al valor de la Pv(x;n) 0
1
2
t
n-2
n-1
n
x
x+1
x+2
x+t
x+n-2
x+n-1
x+n
P(x;1) Pv(x;n) 2Pv(x;n)
....................... (t+1)Pv(x;n) ......... (n-1)Pv(x;n) nPv(x;n)
l(x) . P(x;1) = l(x).Pv(x;n)+ l(x+1).v.2.Pv(x;n)+ l(x+2).v2.3.Pv(x;n)+ ....+ l(x+t).vt.(t+1).Pv(x;n) +.... + l(x+n-1).vn-1.n.Pv(x;n) n 1
l(x) .P(x;1) = l(x+t). t 0
n 1
P(x;1) = Pv(x;n)
t 0
vt
.(t+1).Pv(x;n)
vt
. p(x;t). (t+1) = Pv(x;n)
n 1 t 0
(t+1).E(x;t) = Pv(x;n).aI(x;o;n)
Pv(x;n) = P(x;1) / aI(x;0;n) donde Pv(x;n) representa el valor de la 1era prima que se paga.
- Decrecientes de razón igual al valor de la Pv(x;n) 0
1
2
t
n-2
n-1
n
x
x+1
x+2
x+t
x+n-2
x+n-1
x+n
P(x;1) nPv(x;n) (n-1)Pv(x;n) (n-2)Pv(x;n)
........ (n-t)Pv(x;n)
......... 2Pv(x;n) Pv(x;n)
l(x) . P(x;1) = l(x).n.Pv(x;n) + l(x+1).v.(n-1).Pv(x;n) + l(x+2).v2.(n-2).Pv(x;n) + ...+ l(x+t).vt.(n-t). Pv(x;n) + ... + l(x+n-1).vn-1.Pv(x;n) n 1
l(x) .P(x;1) =
t 0
l(x+t). n 1
P(x;1) = Pv(x;n)
t 0
vt
.(n-t).Pv(x;n)
vt
. p(x;t). (n-t) = Pv(x;n)aD(x;o;n)
Pv(x;n) = P(x;1) / aD(x;0;n) donde Pv(x;n) representa el valor de la última prima que se paga. 114
- Primas variables de razón diferente al valor de la Pv(x;n) 0
1
t
n-1
n
x
x+1
x+t
x+n-1
x+n
P(x;1) Pv(x;n) (1+r)Pv(x;n)
.......... (1+tr)Pv(x;n) .........
[1+(n-1)r]Pv(x;n)
l(x) . P(x;1) = l(x).Pv(x;n)+ l(x+1).v.Pv(x;n)(1+r)+ l(x+2).v2.Pv(x;n)(1+2r) + .... + l(x+t).vt. (1+tr).Pv(x;n)+....+ l(x+n-1).vn-1.[1+(n-1)r].Pv(x;n) n 1
l(x) .P(x;1) = l(x+t). t 0
n 1
P(x;1)= Pv(x;n)
t 0
vt
.(1+tr).Pv(x;n)
vt
. p(x;t). (1+tr) = Pv(x;n) (1+tr).E(x;t) = Pv(x;n) . av(x;o;n;r)
n 1 t 0
Pv(x;n)=P(x;1) / av(x;0;n;r) donde Pv(x;n) representa el valor de la 1era prima que se paga.
115
Seguros de vida de capitales múltiples variables en progresión geométrica Definición:
1) De riesgo inmediato y plazo limitado El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan y éste le acuerda cobertura de vida de riesgo inmediato y plazo limitado consistente en el pago del capital asegurado variable al comienzo de cada año mientras viva y durante el período establecido. 0
1
2
t
n-2
n-1
n
x
x+1
x+2
x+t
x+n-2
x+n-1
x+n
1
(1+r)
(1+r) 2
......... n 1
P(x;1) < avg(x;0;n;r) n 1 t 0
n 1
=
t0
..........
(1+r) n-2
(1+r)n-1
(1+r)t . E(x;t)
t 0
=
(1+r) t
(1+r)t .
vt .
p(x;t)
[(1+r)/(1+i)]t . p(x;t)
Análisis: n 1
-Si r = i
avg(x;0;n;r) = p(x;t) = e(x;0;n) es la vida media
-Si r < i
(1+r / 1+i) < 1 ;
t 0
llamando
v* = 1+r/1+i donde por definición v* = 1/1+i*
luego 1/1+i* = 1+r/1+i i* = (1+i/1+r)-1 n 1
por lo tanto: avg(x;0;n;r) = v*t p(x;t) = a*(x;0;n) t0
siendo a*(x;0;n) un seguro de vida de capitales múltiples constantes calculado a la tasa i* Ejemplo: x = 26
i = 4%
r = 2%
i* = 1,96%
(ver cuadros en anexo 3) -Si r > i no se puede expresar como un seguro de vida de capitales múltiples constantes con otra tasa de interés.
avg(x;0;n;r) = t=0n-1 [(1+r/1+i)]t .p(x;t) >1
<1
2) De riesgo inmediato, sin límite El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan y éste le acuerda cobertura de vida de riesgo inmediato sin límite consistente en el pago del capital asegurado variable al comienzo de cada año mientras viva. 0
1
2
t
w-x-2
w-x-1
w-n 116
x
x+1
1
(1+r)
x+2
x+t
(1+r) 2 .........
(1+r) t
w x 1
P(x;1)
=
..........
w-1
w
(1+r) w-x--2 (1+r)w-x-1
1 r t . E(x;t)
t 0
=
w-2
w x 1
t 0 w x 1
1 r t . 1 r 1 i
t 0
t
vt .
p(x;t)
. p(x; t)
Análisis: -Si r = i
avg(x;0;w-x;r) =
-Si r < i
(1+r / 1+i) < 1 ;
w x 1
t 0
p(x;t) = e(x; 0; w-x) es la vida media
llamando
v* = 1+r/1+i donde por definición v* = 1/1+i*
luego 1/1+i* = 1+r/1+i i* = (1+i/1+r)-1 por lo tanto: avg(x; 0; w-x; r) =
w x 1
t 0
v *t . p(x;t)
= a*(x;0;w-x)
siendo a*(x;0;w-x) un seguro de vida de capitales múltiples constantes calculado a la tasa i* -Si r > i no se puede expresar como un seguro de vida de capitales múltiples constantes con otra tasa de interés. avg(x;0;w-x;r) =
w x 1
t 0
t
1 r 1 i
.p(x;t)
>1
<1
3) De riesgo diferido y plazo limitado El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan y éste le acuerda cobertura de vida de riesgo diferido y plazo limitado consistente en el pago del capital asegurado variable, al comienzo de cada año mientras viva y durante el período establecido a partir de la edad “x+h”. 0
1
2
x
x+1
x+2
h
h+2
h+t
h+n-2
h+n-1
h+n
x+h x+h+1 x+h+2
x+h+t
x+h+n-2
x+h+n-1
x+h+n
1 P(x;1) < avg(x;h;n;r)
h+1
(1+r) (1+r) 2..... h n 1
t h
(1+r)t ..........(1+r) n-2
(1+r)n-1
1 r t h . E(x;t)
117
n 1
n 1
t 0
t 0
= 1 r t .E(x;h+t) = E(x;h). 1 r t .E(x+h;t) n 1
= E(x;h). 1 r t . t0
vt .
p(x+h;t)
Análisis: n 1
-Si r = i
avg(x;h;n;r) = E(x;h)
-Si r < i
(1+r / 1+i) < 1 ; luego v* = (1+r)/(1+i) i* = (1+i/1+r)-1 n 1
avg(x;h;n;r) = E(x;h)
t 0
t0
p(x+h;t)
v*t p(x+h;t)
= E(x;h) . a*(x+h;0;n) =a*(x;h;n) siendo a*(x;h;n) un seguro de vida de capitales múltiples constantes calculado a la tasa i* -Si r > i no se puede expresar como un seguro de vida de capitales múltiples constantes con otra tasa de interés. n 1 avg(x;h;n;r) = E(x;h) 1 r
t
.p(x+h;t)
t0 1 i
>1
<1
4) De riesgo diferido, sin límite El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan y éste le acuerda cobertura de vida de riesgo diferido sin límite consistente en el pago del capital asegurado variable al comienzo de cada año mientras viva a partir de la edad “x+h”. 0
1
2
x
x+1
x+2
h
h+1
h+2
h+t
x+h x+h+1 x+h+2 1
x+h+t
w-x-2
w-x-1
w-2
w-1
(1+r) (1+r) .… (1+r) ...... (1+r) 2
P(x;1)
w x 1
t h
t 0
= E(x;h)
w-x-h-2
(1+r)
w
w-x-h-1
1 r t h . E(x;t)
w x h 1
t
w-x
1 r t . E(x;t+h) = E(x;h)
w x h 1
t 0
w x h 1
t 0
1 r t . v t .p(x+h;t) = E(x;h)
1 r t .E(x+h;t)
w x h 1
t 0
1 r 1 i
t
.p(x+h;t)
Análisis: -Si r = i
avg(x;h;w-x-h;r) = E(x;h)
w x h 1
p(x+h;t)
t 0
-Si r < i
(1+r / 1+i) < 1 ; luego v* = (1+r)/(1+i) i* = (1+i/1+r)-1 118
avg(x;h;w-x-h;r) = E(x;h) .a*(x+h;0;w-x-h) = a*(x;h;w-x-h) siendo a*(x+h;0;w-x-h) un seguro de vida de capitales múltiples constantes calculado a la tasa i* -Si r > i no se puede expresar como un seguro de vida de capitales múltiples constantes con otra tasa de interés. avg(x;h;w-x-h;r) = E(x;h)
w x h 1
t 0
1 r 1 i
t
.p(x+h;t)
>1
<1
Seguros de muerte de capitales múltiples variables en progresión geométrica Definición:
1) De riesgo inmediato y plazo limitado El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan y éste le acuerda cobertura de muerte de riesgo inmediato y plazo limitado consistente en el pago del capital asegurado variable a los derecho habientes al fin del año de fallecimiento del asegurado si éste ocurre dentro del plazo establecido. 0
1
2
t
t+1
n-2
n-1
n
x
x+1
x+2
x+t
x+t+1
x+n-2
x+n-1
x+n
1
ó
(1+r) .....ó.... (1+r) t-1 ó (1+r)t ..... ó .....(1+r) n-3 ó (1+r)n-2 ó (1+r)n-1 n 1
P(x;1)
n 1
= 1 r t . t 0
n 1
= (1+r)-1
t0
Análisis:
v t 1 .q(x;t;1)
1 r 1 i
t 1
n 1
= (1+r)-1
t 0
1 r t 1 .
v t 1 .q(x;t;1)
.q(x;t;1)
n 1
-Si r = i Avg(x;0;n;r) = (1+r)-1 q(x;t;1) = (1+r)-1 q(x;0;n) t 0
-Si r < i (1+r / 1+i) < 1 ; luego v* = (1+r)/(1+i) i* = (1+i/1+r)-1 n 1
Avg(x;0;n;r) = (1+r)-1
t 0
v *t 1 q(x;t;1)
= (1+r)-1 .A*(x;0;n)
siendo A*(x;0;n) un seguro de muerte de capital constante calculado a la tasa i* Ejemplo: x = 26
r = 0,02
i = 0,04
i* = 0,0196
(ver cuadros en anexo 4) -Si r > i no se puede expresar como un seguro de muerte de capital constante calculado a otra tasa de interés. 119
n 1 Avg(x;0;n;r) = (1+r)-1 1 r
t 1
t0 1 i
.q(x;t;1)
>1
<1
2) De riesgo inmediato, sin límite El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan y éste le acuerda cobertura de muerte de riesgo inmediato sin límites consistente en el pago del capital asegurado variable a los derecho habientes al fin del año de fallecimiento del asegurado. 0
1
2
t
t+1
w-x-2
w-x-1
w-n
x
x+1
x+2
x+t
x+t+1
w-2
w-1
w
1
ó
(1+r)
P(x;1)
...... ó (1+r) t ó (1+r)t+1 ......... (1+r) w-x--3 ó (1+r)w-x--2 ó (1+r)w-x-1 w x 1
t 0
= (1+r) -1
1 r t .A(x;t;1)
w x 1
1 r t 1 . v t 1 .q(x;t;1) = (1+r)-1
t 0
w x 1
t 0
1r 1 i
t 1
.q(x;t;1)
Análisis: -Si r = i Avg(x;0;w-x;r) = (1+r)-1
w x 1
t 0
q(x;t;1) = (1+r)-1 q(x;0;w-x-1) = (1+r)-1
-Si r < i (1+r / 1+i) < 1 ; luego v* = (1+r)/(1+i) i* = (1+i/1+r)-1 Avg(x;0;w-x;r) = (1+r)-1
w x 1
t 0
v *t 1 q(x;t;1)
= (1+r)-1 .A*(x;0;w-x)
siendo A*(x;0;w-x) un seguro de muerte de capital constante calculado a la tasa i* -Si r > i no se puede expresar como un seguro de muerte de capital constante calculado a otra tasa de interés. Avg(x;0;w-x;r) = (1+r)-1
w x 1
t 0
1r 1 i
t 1
.q(x;t;1)
>1
<1
3) De riesgo diferido y plazo limitado El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan y éste le acuerda cobertura de muerte de riesgo diferido y plazo limitado consistente en el pago del capital asegurado variable a los derecho habientes al fin del año de fallecimiento del asegurado si éste ocurre entre las edades “x+h” y “x+h+n”. 0
1
2
h
h+1
h+2
h+t
h+t+1
h+n-1
h+n
x
x+1
x+2
x+h
x+h+1
x+h+2
x+h+t
x+h+t+1
x+h+n-1
x+h+n
1
ó (1+r) .....
(1+r) t-1 ó (1+r)t ...... ó......
(1+r) n-2 ó (1+r)n-1 120
h n 1
P(x;1)
th
n 1
1 r t h .A(x;t;1) = 1 r t . A(x;t+h;1) t 0
n 1
n 1
t 0
t 0
= 1 r t .E(x;h).A(x+h;t;1) = E(x;h).(1+r)-1 1 r t 1 . v t 1 .q(x+h;t;1) n 1 = E(x;h).(1+r)-1 1 r
t 1
t0 1 i
.q(x+h;t;1)
Análisis: n 1
-Si r = i Avg(x;h;n;r) = E(x;h).(1+r)-1 q(x+h;t;1) = E(x;h).(1+r)-1.q(x+h;0;n) t 0
-Si r < i (1+r / 1+i) < 1 ; luego v* = (1+r)/(1+i) i* = (1+i/1+r)-1 n 1
Avg(x;h;n;r) = E(x;h).(1+r)-1
t 0
v *t 1 .q(x+h;t;1)
n 1
= E(x;h).(1+r)-1 A*(x+h;t;1) t 0
= E(x;h).(1+r)-1 . A*(x+h;0;n) siendo A*(x+h;0;n) un seguro de muerte de capital constante calculado a la tasa i* -Si r > i no se puede expresar como un seguro de muerte de capital constante calculado a otra tasa de interés. n 1 Avg(x;h;n;r) =E(x;h) (1+r)-1 1 r t0 1 i
>1
t 1
.q(x;t;1) <1
4) De riesgo diferido, sin límite El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan y éste le acuerda cobertura de muerte de riesgo diferido sin límite consistente en el pago del capital asegurado variable a los derecho habientes al fin del año de fallecimiento del asegurado si éste ocurre una vez alcanzada la edad “x+h”. 0
1
2
x
x+1
x+2
h
h+1
h+2
x+h x+h+1 x+h+2
h+t
h+t+1
w-x-1
w-x
x+h+t
x+h+t+1
w-1
w
1 ó (1+r)..... (1+r)t-1 ó P(x;1)
w x 1
t h
(1+r)t-h .A(x;t;1)
w x h 1
t 0
(1+r)t ....ó.... (1+r)w-x-h-2 ó (1+r)w-x-h-1
(1+r)t . A(x;t+h;1) =
w x h 1
t 0
(1+r)t.E(x;h).A(x+h;t;1) 121
= E(x;h).(1+r) -1
w x h 1
= E(x;h).(1+r)-1
t 0
w x h 1
t 0
(1+r)t+1.vt+1.q(x+h;t;1) 1r 1 i
t 1
.q(x+h;t;1)
Análisis: -Si r = i Avg(x;h;w-x-h;r) = E(x;h).(1+r)-1.q(x+h;0;w-x-h) = E(x;h).(1+r)-1 -Si r < i (1+r / 1+i) < 1 ; luego v* = (1+r)/(1+i) i* = (1+i/1+r)-1 Avg(x;h;w-x-h;r) = E(x;h).(1+r)-1 = E(x;h).(1+r)-1
w x h 1
t 0 w x h 1
t 0
v *t 1 .q(x+h;t;1)
A*(x+h;t;1)
= E(x;h).(1+r)-1.A*(x+h;0;w-x-h) siendo A*(x+h;0;w-x-h) un seguro de muerte de capital constante calculado a la tasa i* -Si r > i no se puede expresar como un seguro de muerte de capital constante calculado a otra tasa de interés. Avg(x;h;w-x-h;r) =E(x;h) (1+r)-1
w x h 1
t 0
1r 1 i
>1
t 1
.q(x;t;1) <1
122
UNIDAD VI Seguros Fraccionarios Distribución Uniforme de Fallecimientos (D.U.F.) Esta hipótesis implica que los fallecimientos ocurridos entre dos edades enteras consecutivas son directamente proporcionales a la fracción de año considerada. Por eso la probabilidad de fallecer en un k- ésimo de año es: q(x;s/k;1/k) = d(x+s/k;0;1/k)/l(x) = 1/k . d(x)/l(x) q(x;s/k;1/k) =1/k . q(x;0;1) q(x;0;1/k) = d(x;0;1/k)/l(x) = 1/k . d(x)/l(x) q(x;0;1/k) =1/k . q(x;0;1) p(x;s/k) =1-q(x;0;s/k) p(x;s/k) =1- s/k. q(x;0;1) Se observa que la probabilidad de fallecer en una fracción de año es constante dentro del intervalo, es decir no depende de la ubicación de la fracción.
Distribución uniforme del capital diferido de vida (D.U.E.) Esta hipótesis implica que para una edad entera de valuación “x” y entre dos plazos (o edades) consecutivos y enteros, el factor de actualización actuarial para el caso de vida tiene una distribución uniforme, es decir que puede aproximarse linealmente de la siguiente forma: E(x;h+s/k) = (1-s/k).E(x;h) + s/k.E(x;h+1) E(x;h+s/k) = E(x;h) - s/k.[ E(x;h) - E(x;h+1) ] en particular para h=0 E(x;s/k) = 1 - s/k.[1 - E(x;1)] Por definición de capital diferido de vida: E(x;s/k) =
vs k
.p(x;s/k)
luego p(x;s/k) = 1 i s k .E(x;s/k) y aplicando la hipótesis de D.U.E. a la definición original de “capital diferido de vida” se obtiene. p(x;s/k) = 1 i s k .{1 - s/k. [1 - E(x;1)]} De donde resulta la siguiente expresión para la probabilidad diferida y temporaria de fallecimiento q(x;s/k;1/k) = p(x;s/k) - p(x;(s+1)/k) 123
= 1 i s k .[ 1- s/k.(1- E(x;1)) ] - 1 i s 1 k .[1-
s 1 . (1 - E(x;1))] k
= 1 i s k - 1 i s k .s/k.(1-E(x;1)) - 1 i s k . 1 i 1 k +
s 1 . 1 i s 1 k
k
.(1-E(x;1))
= 1 i s k .[1- 1 i 1 k + 1/k .(1-E(x;1)).((s+1). 1 i 1 k - s)] = 1 i s k .[ - i(k) +1/k.[1-E(x;1)].[ 1 i s k .(s+1) - (s+1) + 1] = 1 i s k .[ - i(k) +1/k.[1-E(x;1)].[ (s+1).( 1 i 1 k - 1)+1] = 1 i s k .[1/k [ 1- E(x;1)].[1+(s+1).i(k)] - i(k) ] q(x;s/k;1/k) = 1 i s k . {1/k.[1-E(x;1)].[1+(s+1).i(k) ] - i(k) } Se puede observar que q(x;s/k;1/k) es una función creciente respecto de “s”. Ejemplo numérico comparativo entre las dos hipótesis Si comparamos la evolución de las probabilidades de muerte diferidas y temporarias dentro del año de edad con las siguientes bases técnicas: - tabla de mortalidad : C.S.O. 80 - tasa de interés anual: 4% q(26;0;1) = 0,00173000 E ( 26;1 ) = 0,95987499 k=6 Cuadro numérico resultante
s 0 1 2 3 4 5 6
x+s/k 26 26+1/6 26+2/6 26+3/6 26+4/6 26+5/6 27
D.U.F. q(x;s/k;1/kl) E(x;s/k) 0.000288333 1 0.000288333 0.99319807 0.000288333 0.98644234 0.000288333 0.97973247 0.000288333 0.97306816 0.000288333 0.96644911 0.95987499 0.00173000
D.U.E. p(x;s/k) q(x;s/k;1/k) 1 0.000173162 0.999826838 0.000218443 0.999608396 0.000264311 0.999344086 0.000310771 0.999033316 0.000357829 0.998675489 0.000405491 0.998269999 0.00173000
Conclusión: La hipótesis de D.U.F. arroja como resultado que entre edades enteras consecutivas, la probabilidad de muerte con edad de valuación igual a la menor de ellas, diferidas y temporarias por una fracción de año, resultan ser iguales mientras que en el caso de la hipótesis de D.U.E., las mismas resultan ser crecientes. 124
Por lo tanto en el calculo de las primas de los seguros de vida tendremos que, al aplicar la hipótesis de D.U.E., en coberturas fraccionarias, los resultados serán superiores a los que produce la hipótesis de D.U.F. En el caso de los seguros de muerte con pago del capital asegurado al fin de la fracción del año del fallecimiento, la hipótesis de D.U.E. arroja resultados inferiores que los resultantes de la aplicación de la hipótesis de D.U.F. Sin embargo, las diferencias entre los resultados que arrojan las hipótesis consideradas no resultan significativas y en la práctica vigente interesa fundamentalmente la complejidad de las fórmulas de cálculos resultantes.
Seguros fraccionarios - Capital Diferido de Vida 1) Riesgo inmediato y limitado El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan y éste le acuerda cobertura de vida de riesgo inmediato y plazo limitado, consistente en el pago de una fracción del capital asegurado al comienzo de cada fracción de año mientras viva y por el plazo establecido. 0
1/k
2/k
n-2/k
n-1/k
n
x
x+1/k
x+2/k
x+n-2/k
x+n-1/k
x+n
1/k
1/k
1/k
1/k
1/k ..........................
Renta anual -pagos fraccionarios.
a(x;0;1;k) Renta anual fraccionaria de k pagos. La prima pura única de una cobertura de vida con capitales constantes (múltiples) para una persona de edad “x” con primer pago del capital asegurado a la edad “x” por el plazo de “n” años y pago del capital unitario anual en “k” fracciones de año se simboliza. a(x;0;n;k) =
n k 1 1
s0
k
.E(x;s/k)
donde: x es la edad de contratación 0 es el plazo de diferimiento n plazo de cobertura k cantidad de pagos por año. Cálculo de la prima Aplicación de la hipótesis D.U.E. Partimos de la cobertura anual k 1 1
a(x+t;0;1;k) =
s0 k
k 1 1
.E(x+t;s/k) =
s0 k
.{1- s/k[1-E(x+t;1)]} n 1
= 1/k . [ k - 1/k .(1- E(x+t;1) s] t 0
resolviendo la suma se llega a que: 125
a(x+t;0;1;k) = 1 -
k 1 . [1-E(x+t;1)] 2k
Resultado que se puede expresar en función de la cobertura de muerte. a(x+t;0;1;k) =1 -
k 1 . [A(x+t;0;1) + d] 2k
resultados que permiten las siguientes interpretaciones: 1 - “[1- E(x+t ; 1)]” es una tasa de descuento actuarial y el valor actual de la cobertura se ha obtenido utilizando el régimen de descuento simple. 2-“ “
k 1 .d” es el descuento financiero en régimen de descuento simple y; 2k k 1 .A(x+t;0;1)” es el descuento con base biométrica concordante con el primero. 2k
En función de los resultados anteriores, se tiene que: n 1
n 1
t 0
t 0
a(x;0;n;k) = a(x;t;1;k) = E(x;t). a(x+t;0;1;k) n 1
= E(x;t).{1E(x;t+1)]
t 0
a(x;0;n;k) = a(x;0;n) -
n 1 n 1 k 1 k 1 n 1 .[1-E(x+t;1)]} = E(x;t) .[ E(x;t) - 2k 2k t 0 t 0 t 0
k 1 . [1- E(x;n)] 2k
Ejemplo: a(26;0;20;6) = a(26;0;20) - 5/12.[1-E(26;20)] = 13,90597195 - 5/12.[1 - 0,43379352] = 13,670053 En función de la cobertura de muerte. a(x;0;n;k) = [1-
k 1 k 1 .d ].a(x;0;n) .A(x;0;n) 2k 2k
Ejemplo: a(26;0;20;6) = [ 1 - 5/12. ( 0,04 / 1,04 ) ]. a(26;0;20) - 5/12 . A(26;0;20) = [ 1 - 5/12. ( 0,04 / 1,04 ) ]. 13,90597195 - 5/12 . 0,0313616 = 13,670053 Aplicando la hipótesis D.U.F. Partimos de la cobertura anual k 1 1
a(x+t;0;1;k) =
s0 k
k 1 1
=
s0 k
k 1 1
.E(x+t;s/k) =
s0 k
. v s k .p(x+t;s/k) k 1 1
. v s k .[1-s/k.q(x+t;0;1)] =
s0 k
k 1
. v s k - v. q(x+t;0;1).
s
s 0 k
2
. 1 i k s
k
126
k 1
siendo:
s 2
s 0 k
. 1 i k s
k
= (i - j(k))/ f(k).j(k) = w(k)
llegamos a: a(x+t;0;1;k) = d/f(k) - [1-d.E(x+t;1)].w(k) en función de la cobertura de muerte a(x+t;0;1;k) = d/f(k) - A(x+t;0;1). w(k) Para t = 0 n 1
n 1
t 0
t 0
a(x;0;n;k) = a(x;t;1;k) = E(x;t).a(x+t;0;1;k) n 1
n 1
=
t 0
E(x;t).[d/f(k) - A(x+t;0;1).w(k)] = d/f(k).
t 0
E(x;t) - w(k) t=0n-1.A(x;t;1)
= d/f(k).a(x;0;n) - w(k).A(x;0;n) = d/f(k).a(x;0;n) - w(k).[1 - E(x;n)] + d . w(k) . a(x;0;n) = a(x;0;n) . (d. j(k)+d .i - j(k).d)/ f(k).j(k) - w(k) .[1 - E(x;n)] a(x;0;n;k) = a(x;0;n).i.d /(j(k).f(k)) - w(k).[1 - E(x;n)] Ejemplo: si : i = 0,04 d = 0,04/1,04 = 0,0384615 j(6) = [1,041/6 -1].6 = 0,039349181 f(6) = [1-1,04-1/6].6 = 0,039092803 a(26;0;20;6) = a(26;0;20) . i.d/j(6).f(6) - w(6) . [1- E(26;20)] = 13,90597195 . 1,000124634 - 0,42308467159. [1- 0,43379352] = 13,668152 D.U.E. > D.U.F.
2) Riesgo inmediato y sin límite El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan y éste le acuerda cobertura de vida de riesgo inmediato y plazo sin limite, consistente en el pago de una fracción del capital asegurado al comienzo de cada fracción de año a partir de la edad “x”, mientras viva. 0
1/k
2/k
w-x-2/k
w-x-1/k
w-x
x
x+1/k
x+2/k
w-x-2/k
w-x-1/k
w
1/k
1/k
1/k ..............................................
1/k
1/k
Renta anual
-pagos fraccionarios. La prima pura única de una cobertura de vida con capitales constantes (múltiples) para una persona de edad “x” con primer pago del capital asegurado a la edad “x” mientras viva y pago del capital unitario anual en “k” fracciones de año se simboliza. 127
a(x;0;w-x;k) =
( w x )k 1 1
s0
k
.E(x;s/k)
donde: x es la edad de contratación 0 es el plazo de diferimiento w-x plazo de cobertura k cantidad de pagos probables por año. Cálculo de la prima Aplicación de la hipótesis D.U.E. a(x;0;w-x;k) = = =
w x 1
t 0 w x 1
t 0
w x 1
t 0
a(x;t;1;k) = E(x;t).{1E(x;t) -
a(x;0;w-x;k) = a(x;0;w-x) -
w x 1
t 0
E(x;t). a(x+t;0;1;k)
k 1 .[1-E(x+t;1)]} 2k
w x 1 k 1 w x 1 .[ E(x;t) - E(x;t+1)] 2k t 0 t 0
k 1 2k
Ejemplo: a(26;0;74;6) = a(26;0;74) - 5/12 = 21,22139541 - 5/12 = 20,804728 En función de la cobertura de muerte. a(x;0;w-x;k) = [1-
k 1 k 1 .d ].a(x;0;w-x) .A(x;0;w-x) 2k 2k
Ejemplo: a(26;0;74;6) = [1-5/12. 0,0384615]. a(26;0;74) - 5/12 . A(26;0;74) = [1-5/12. 0,0384615]. 21,22139541 - 5/12 . 0,183790 = 20,804730 Aplicando la hipótesis D.U.F. a(x;0;w-x;k) = =
w x 1
t 0
a(x;t;1;k) =
w x 1
t 0
= d/f(k).
w x 1
t 0
E(x;t).a(x+t;0;1;k)
E(x;t).[d/f(k) - A(x+t;0;1).w(k)]
w x 1
t 0
E(x;t) - w(k)
w x 1
t 0
A(x;t;1)
= d/f(k).a(x;0;w-x) - w(k).A(x;0;w-x) a(x;0;w-x;k) = a(x;0;w-x).i.d /( j(k).f(k) ) - w(k) 128
Ejemplo: a(26;0;74;6) = a(26;0;74). i.d/j(6).f(6) - w(6) = 21,22139541 . 1,000124634 - 0,42308467159 = 20,800955 D.U.E. > D.U.F.
3) Riesgo diferido y limitado El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan y éste le acuerda cobertura de vida de riesgo diferido y plazo limitado, consistente en el pago de una fracción del capital asegurado al comienzo de cada fracción de año a partir de la edad “x+h”, mientras viva y por el plazo establecido. 0
1/k
2/k
x
x+1/k
x+2/k
h
h+1/k
x+h x+h+1/k 1/k
1/k ............
n-2/k
n-1/k
n
x+n-2/k
x+n-1/k
x+n
1/k
1/k
Renta anual
-pagos fraccionarios. La prima pura única de una cobertura de vida con capitales constantes (múltiples) para una persona de edad “x” con primer pago del capital asegurado a la edad “x+h” por el plazo de “n” años y pago del capital unitario anual en “k” fracciones de año se simboliza. a(x;h;n;k) =
n k 1 1
s0
k
. E(x;h+s/k)
donde: x es la edad de contratación h es el plazo de diferimiento n plazo de cobertura k cantidad de pagos por año. Cálculo de la prima Por recurrencia n 1
a(x;h;n;k) =
t 0
n 1
a(x;t+h;1;k) = E(x;t+h).a(x+t+h;0;1;k) t 0
a(x;h;n;k) = E(x;h).a(x+h;0;n;k) Aplicación de la hipótesis D.U.E. a(x;h;n;k) = =
h n 1
th h n 1
th
a(x;t;1;k) =
h n 1
t h
E(x;t). a(x+t;0;1;k)
E(x;t).{1-(k-1)/2k. [1-E(x+t;1)]} 129
=
h n 1
t h
h n 1
E(x;t) - (k-1)/2k. [
th
a(x;h;n;k) = a(x;h;n) -
E(x;t) -
h n 1
t h
E(x;t+1)]
k 1 . [E(x;h) - E(x;h+n)] 2k
Ejemplo: a(26;10;20;6) = a(26;10;20) - 5/12 .[E(26;10) - E(26;30)] = (44697,552-13040,833)/3479,174 - 5/12 .[ 0,66336241- 0,2723747 ] = 9,098918019 - 5/12 . 0,39098771 = 8,936006 En función de la cobertura de muerte. a(x;h;n;k) = [1-
k 1 k 1 .d ].a(x;h;n) .A(x;h;n) 2k 2k
a(26;10;20;6) = [1-5/12.(0,04/1,04)]. a(26;10;20) - 5/12 . A(26;10;20) = [1-5/12.(0,04/1,04)]. 9,098918019 - 5/12 . 0,0410292787 = 8,9531020251 - 0,0170955328285 = 8,936006 Aplicando la hipótesis D.U.F. a(x;h;n;k) = =
h n 1
t h
h n 1
t h
a(x;t;1;k) =
h n 1
th
E(x;t).a(x+t;0;1;k)
E(x;t).[d/f(k) - A(x+t;0;1).w(k)] = d/f(k).
h n 1
t h
E(x;t) - w(k)
h n 1
th
A(x;t;1)
= d/f(k).a(x;h;n) - w(k).A(x;h;n) a(x;h;n;k) = a(x;h;n).i.d /( j(k).f(k) ) - w(k).[E(x;h) - E(x;h+n)] Ejemplo: a(26;10;20;6) = a(26;10;20) . i.d/j(6).f(6) - w(6) . [ E(26;10) - E(26;30) ] = 9,098918019 . 1.000124634 - 0,42308467155 . 0,39098771 = 8,934631 D.U.E. > D.U.F.
4) Riesgo diferido y sin límite El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan y éste le acuerda cobertura de vida de riesgo diferido y sin límite, consistente en el pago de una fracción del capital asegurado al comienzo de cada fracción de año a partir de la edad “x+h”, mientras viva. 0
1/k
2/k
h
x
x+1/k
x+2/k
x+h x+h+1/k
1/k
1/k ............. 1/k
1/k
h+1/k 1/k ............
w-x-2/k
w-x-1/k
w-x
w-2/k
w-1/k
w
1/k
1/k Renta anual -pagos fraccionarios.
130
La prima pura única de una cobertura de vida con capitales constantes (múltiples) para una persona de edad “x” con primer pago del capital asegurado a la edad “x+h” mientras viva y pago del capital unitario anual en “k” fracciones de año se simboliza: ( w x h )k 1 1
a(x;h;w-x-h;k) =
s0
k
. E(x;h+s/k)
donde: x es la edad de contratación h es el plazo de diferimiento w-x-h plazo de cobertura k cantidad de pagos por año. Cálculo de la prima Por recurrencia a(x;h;w-x-h;k) =
w x h 1
t 0
a(x;t+h;1;k) =
w x h 1
t 0
E(x;t+h).a(x+t+h;0;1;k)
a(x;h;w-x-h;k) = E(x;h).a(x+h;0;w-x-h;k) Aplicación de la hipótesis D.U.E. a(x;h;w-x-h;k) = =
w x h 1
t h w x h 1
t h
a(x;t;1;k) =
E(x;t).{1-
t h
E(x;t). a(x+t;0;1;k)
k 1 . [1-E(x+t;1)]} 2k
w x h 1 k 1 w x h 1 .[ E(x;t) E(x;t+1)] 2k t h t h t h k 1 a(x;h;w-x-h;k) = a(x;h;w-x-h) . E(x;h) 2k
=
w x h 1
w x h 1
E(x;t) -
Ejemplo: a(26;10;64;6) = a(26;10;64) - 5/12 . E(26;10) = 12,847173 - 5/12. 0,66336241 = 12,570772 En función de la cobertura de muerte. a(x;h;w-x-h;k) = [1-
k 1 k 1 .d ].a(x;h;w-x-h) .A(x;h;w-x-h) 2k 2k
Ejemplo: a(26;10;64;6) = [1-5/12. (0,04/1,04) ] .a(26;10;64) - 5/12 . A(26;10;64) = 0,98397443. 12,847173 - 5/12 . 0,169237 = 12,570772 Aplicando la hipótesis D.U.F. a(x;h;w-x-h;k) =
w x 1
t h
a(x;t;1;k) =
w x 1
t 0
E(x;t).a(x+t;0;1;k)
131
=
w x 1
t 0
= d/f(k).
E(x;t).[d/f(k) - A(x+t;0;1).w(k)]
w x 1
t 0
E(x;t) - w(k)
w x 1
t 0
A(x;t;1)
= d/f(k).a(x;h;w-x-h) - w(k).A(x;h;w-x-h) a(x;h;w-x-h;k) = a(x;h;w-x-h) .i.d /( j(k).f(k) ) - w(k).E(x;h) Ejemplo: si : i = 0,04 d = 0,04/1,04 = 0,0384615 j(6) = [1,041/6 -1].6 = 0,039349181 f(6) = [1-1,04-1/6].6 = 0,039092803 a(26;10;64;6) = a(26;10;64) . i.d/j(6).f(6) - w(6).E(26;10) = 12,847173 . 0,04 . 0,038461/ 0,039349. 0,039092 - 0,423084 . 0,66336241 = 12,568104 Casos particulares; diferidos por un k -ésimo a(x;1/k;n;k) = a(x;0;n;k) -1/k +1/k.E(x;n) a(x;1/k;w-x-1/k;k) = a(x;0;w-x;k) - 1/k a(x;h+1/k;n;k) = a(x;h;n;k) - 1/k.E(x;h) + 1/k.E(x;h+n) a(x;h+1/k;w-x-h-1/k;k) = a(x;h;w-x-h;k) - 1/k.E(x;h)
Resolución por Woolhouse Dada una función f (a+h/k . t), por medio del desarrollo de Woolhouse es posible calcular: n.k-1 f(a+h/k .t) = k. t=0n-1 f(a+h.t) + (k-1)/2.[f(a+n.h)-f(a)]- (k2-1)/2 .h/k .[f ’(a+n.h)-f ’(a)]+....
t=0
En el caso particular de la función: E(x;t/k) con “a = x” y “h = 1”; es posible calcular: a(x;0;n;k) =
n.k-1 1/k . E(x;t/k) considerando que:
t=0
E’(x;t) = d/dt vt.p(x;t)= vt. ln v .p(x;t) + vt .[-u(x+t).p(x;t)] = -E(x;t) . [u(x+t) + ] siendo = ln v entonces: a(x;0;n;k) = t=0n.k-1 1/k . E(x;t/k ) = 1/k . { k . t=0n-1 E(x;t) + (k-1)/2 . [ E(x;n) - E(x;0) ] -(k 2-1)/2.k [-E(x;n).(u(x+t)+) -(-1). ( u(x) + ) ] } a(x;0;n;k) = a(x;0;n) - (k-1)/2.k.[1- E(x;n)]- (k2-1)/2.k.[ (u(x) + )- E(x;n).(u(x+t)+)] (*) 132
donde (*) es el resultado que se obtiene aplicando DUE La fórmula no termina en ese término, puede continuarse; pero como la diferencia no es significativa se omiten los términos siguientes. Ejemplo: a(26;0;20;6) = a(26;0;20)-5/12 .[1-E(26;20)] = 13,90597195 - 5/12 . [1-0,43379352] = 13,670052
Seguros fraccionarios - Muerte En general A(x;h+s/k;1/k;k) = v h s 1 k .q(x;h+s/k;1/k) = v h s 1 k .[p(x;h+s/k) - p(x; h+(s+1)/k) ] =
v1 k . v h s k .p(x;h+s/k)
A(x;h+s/k;1/k;k) =
v1 k
- v h s 1 k .p(x;h+(s+1)/k)
.E(x;h+s/k) - E(x;h+(s+1)/k)
En consecuencia A(x;h;n;k) = s=0n.k-1.A(x;h+s/k;1/k;k) = s=0n.k-1.
.E(x;h+s/k) v1 k
- s=0n.k-1.E(x;h+(s+1)/k)
=
v1 k .k.a(x;h;n;k)
- k. a(x;h+1/k;n;k)
=
v1 k .k.a(x;h;n;k)
- k.{a(x;h;n;k) - 1/k.[E(x;h) - E(x;h+n) ]}
= E(x;h) - E(x;h+n) - (1-
v1 k ).k.a(x;h;n;k)
= E(x;h) - E(x;h+n) - d(k).k.a(x;h;n;k)
A(x;h;n;k) = E(x;h) - E(x;h+n) - f(k).a(x;h;n;k)
1) Riesgo inmediato y limitado El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan y éste le acuerda cobertura de muerte de riesgo inmediato y plazo limitado, consistente en el pago del capital asegurado al final de la fracción de año del fallecimiento; a los derecho habientes por el plazo establecido. 0
1/k
2/k
n-2/k
n-1/k
n
x
x+1/k
x+2/k
x+n-2/k
x+n-1/k
x+n
1/k
ó 1/k
ó .................... ó 1/k
ó
1/k
ó
1/k
La prima pura única de una cobertura de muerte para una persona de edad “x” con pago del capital unitario al fin de la fracción de año del fallecimiento, se simboliza por: A(x;0;n;k) = s=0k-1 A(x;s/k;1/k;k) donde: x es la edad de contratación 0 es el plazo de diferimiento n plazo de cobertura k cantidad de pagos probables por año. 133
Cálculo de la prima En función de la cobertura de vida. A(x;0;n;k) = 1 - E(x;n) - f(k).a(x;0;n;k) Ejemplos: Utilizando la hipótesis D.U.E. A(26;0;20;6) = 1 - E(26;20) - f(6).a(26;0;20;6) =1-0.433793479 - 0.03909280328.13.6700525 = 0,031806 Utilizando la hipótesis D.U.F. A(26;0;20;6) = 1 -E(26;20) -f(6).a(26;0;20;6) =1-0.433793479 -0.03909280328 .13.668151824 = 0.031880 D.U.E. < D.U.F. Aplicación de la hipótesis D.U.F. Partimos de la cobertura anual de muerte A(x+t;0;1;k) = s=0k-1 A(x+t;s/k;1/k;k) = s=0k-1.v(s+1)/k.q(x+t;s/k;1) = v.q(x+t;0;1). s=0k-1.1/k.v(s+1)/k.(1+i) = A(x+t;0;1).1/k .[1+(1+i)1/k.+..........+(1+i)(k-1)/k ] = A(x+t;0;1).1/k. [-1+(1+i)k/k ]/ [(1+i)1/k -1] A(x+t;0;1;k) = A(x+t;0;1). i/j(k) En función de los resultados anteriores, se tiene que: A(x;0;n;k) = t=0n-1 A(x;t;1;k) =
n-1.E(x;t).A(x+t;0;1;k)
t=0
= t=0n-1.E(x;t).A(x+t;0;1).i/j(k) A(x;0;n;k) = A(x;0;n). i/j(k) Ejemplo: A(26;0;20;6)=A(26;0;20).i/j(6) = 0.031361484. 0,04/0.03934918158 = 0,031880 Aplicando la hipótesis D.U.E . Partimos de la cobertura anual A(x+t;0;1;k) = s=0k-1 v(s+1)/k.q(x+t;s/k;1/k) = s=0k-1 .v(s+1)/k.{1/k.[1-E(x+t;1) ].[1+(s+1).i(k) ] - i(k)}.(1+i)s/k =1/k.v1/k.[1-E(x+t;1)].s=0k-1 [1+(s+1)i(k)] - k.v1/k.i(k) =1/k.v1/k.[1-E(x+t;1)].[k+i(k).k(k+1)/2]-f(k) = v1/k.[1-E(x+t;1)]+d(k).(k+1)/2. [1-E(x+t;1) ] - f(k) 134
Sumando y restando 1-E(x+t;1) = [1-E(x+t;1)] - [1-E(x+t;1)](1-v1/k)+d(k). (k+1)/2. [1-E(x+t;1) ] - f(k) = [1-E(x+t;1)] - f(k).{1- [1-E(x+t;1)].[(k+1)/2k - 1/k ]} = [1-E(x+t;1)] - f(k).{1- (k-1)/2k.[1-E(x+t;1)]} A(x+t;0;1;k) = 1-E(x+t;1) - (k-1)/2k. a(x+t;0;1;k) ó A(x+t;0;1;k) = [1-E(x+t;1)] .[1+f(k).(k-1)/2k] - f(k) luego A(x;0;n;k) = t=0n-1.A(x;t;1;k) = t=0n-1.E(x;t).A(x+t;0;1;k) =
n-1.E(x;t). {[1-E(x+t;1)] .[1+f(k).(k-1)/2k] - f(k)}
t=0
= [1+f(k).(k-1)/2k].[ t=0n -1.E(x;t) - t=0n-1.E(x;t+1)] - f(k). t=0n-1.E(x;t) A(x;0;n;k) = [1+f(k).(k-1)/2k].[1 - E(x;n) ] - f(k).a(x;0;n) Ejemplo: A(26;0;20;6) = [1+f(6).(6-1)/12].[1 - E(26;20) ] - f(6).a(26;0;20) = (1+0,01628866803).(1-0.433793479) - 0.03909280328.13.905970966 = 0.031805 D.U.E. < D.U.F.
2) Riesgo inmediato y sin límite El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan y éste le acuerda cobertura de muerte de riesgo inmediato y sin límite, consistente en el pago del capital asegurado al final de la fracción de año del fallecimiento; a los derecho habientes. 0
1/k
2/k
w-x-2/k
w-x-1/k
w-x
x
x+1/k
x+2/k
w-x-2/k
w-x-1/k
w
1/k ó
1/k ó ..............................................
ó
1/k
ó
1/k
ó
1/k
La prima pura única de una cobertura de muerte para una persona de edad “x” con pago del capital unitario al fin de la fracción de año del fallecimiento, se simboliza por: A(x;0;w-x;k) = s=0(w-x)k-1 A(x;s/k;1/k;k) donde: x es la edad de contratación 0 es el plazo de diferimiento w-x plazo de cobertura k cantidad de pagos probables por año. Cálculo de la prima 135
En función de la cobertura de vida. A(x;0;w-x;k) = 1 - f(k).a(x;0;w-x;k) Ejemplos: Utilizando la hipótesis D.U.E. A(26;0;74;6) = 1-f(6).a(26;0;74;6) = 1- 0.03909280328.20.8047301 = 0,186685 Utilizando la hipótesis D.U.F. A(26;0;74;6) = 1-f(6).a(26;0;74;6) = 1- 0.03909280328.20.8009556458 = 0,186832 D.U.E. < D.U.F. Aplicación de la hipótesis D.U.F. A(x;0;w-x;k) = t=0w-x-1 A(x;t;1;k) = t=0w-x -1.E(x;t).A(x+t;0;1;k) = t=0w-x-1.E(x;t).A(x+t;0;1).i/j(k) A(x;0;w-x;k) = A(x;0;w-x). i/j(k) Ejemplo: A(26;0;74;6) = A(26;0;74).i/j(6) = 0,183792586.0,04/0,03934918158 = 0,186832 Aplicando la hipótesis D.U.E. A(x;0;w-x;k) = t=0w-x-1.A(x;t;1;k) = t=0w-x-1.E(x;t).A(x+t;0;1;k) = t=0w-x-1.E(x;t). {[1-E(x+t;1)] .[1+f(k).(k-1)/2k] - f(k) } = [1+f(k).(k-1)/2k].[ t=0w-x -1.E(x;t) - t=0w-x-1.E(x;t+1) ] - f(k). t=0w-x-1.E(x;t) A(x;0;w-x;k) = [1+f(k).(k-1)/2k] - f(k).a(x;0;w-x) Ejemplo: A(26;0;74;6) = [1+f(6).(6-1)/12] - f(6).a(26;0;74) = (1+0,01628866803) - 0,03909280328 . 21,22139541 = 0,187746 D.U.E. < D.U.F.
3) Riesgo diferido y limitado El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan y éste le acuerda cobertura de muerte de riesgo diferido y plazo limitado, consistente en el pago del capital asegurado al final de la fracción de año del fallecimiento a los derecho habientes, si el asegurado fallece después de alcanzar la edad “x+h” y por el plazo establecido. 136
0 x
1/k
2/k
x+1/k
h
x+2/k
h+1/k
n-2/k
x+h x+h+1/k
n-1/k x+n-2/k
n x+n-1/k
x+n 1/k
............
1/k
1/k
1/k
La prima pura única de una cobertura de muerte para una persona de edad “x” con pago del capital unitario al fin de la fracción de año del fallecimiento, se simboliza por: A(x;h;n;k) = s=0n.k-1 A(x;h+s/k;1/k;k) donde: x es la edad de contratación h es el plazo de diferimiento n plazo de cobertura k cantidad de pagos probables por año. Cálculo de la prima En función de la cobertura de vida. A(x;h;n;k) = E(x;h) - E(x;h+n) - f(k).a(x;h;n;k) Ejemplos: Utilizando la hipótesis DUE: A(26;10;20;6) = E(26;10) - E(26;30) - f(6).a(26;10;20;6) = 0,663362345 - 0,272374619- 0,03909280328 . 8,936006473 = 0,041654 Utilizando la hipótesis DUF: A(26;10;20;6) = E(26;10) - E(26;30) - f(6).a(26;10;20;6) = 0,663362345 - 0,272374619- 0,03909280328 . 8,934631146 = 0,041708 D.U.E. < D.U.F. Por recurrencia A(x;h;n;k) = t=0n - 1 .A(x;t+h;1;k) = t=0n - 1 .E(x;t+h).A(x+t+h;0;1;k) A(x;h;n;k) = E(x;h).A(x+h;0;n;k) Ejemplos: Utilizando la hipótesis DUE: A(26;10;20;6) = E(26;10).A(36;0;20;6) = 0,663362345. 0,0627925289 = 0,041654 Utilizando la hipótesis DUF: 137
A(26;10;20;6) = E(26;10).A(36;0;20;6) = 0,663362345. 0,06287358213 = 0,041709 D.U.E. < D.U.F. Aplicación de la hipótesis D.U.F. A(x;h;n;k) = t=hh+n -1 A(x;t;1;k) = t=hh+n -1.E(x;t).A(x+t;0;1;k) = t=hh+n -1.E(x;t).A(x+t;0;1).i/j(k) A(x;h;n;k) = A(x;h;n). i/j(k) Ejemplo: A(26;10;20;6) = A(26;10;20). i/j(6) = 0,0410292787 . 0,04 / 0,03934918158 = 0,041708 Aplicando la hipótesis D.U.E. A(x;h;n;k) = t=hh+n-1.A(x;t;1;k) = t=hh+n -1.E(x;t).A(x+t;0;1;k) = t=hh+n -1.E(x;t). {[1-E(x+t;1)] .[1+f(k).(k-1)/2k] - f(k) } = [1+f(k).(k-1)/2k].[ t=hh+n -1.E(x;t) - t=hh+n-1.E(x;t+1) ] - f(k). t=hh+n-1.E(x;t) A(x;h;n;k) = [1+f(k).(k-1)/2k].[E(x;h) - E(x;h+n)] - f(k).a(x;h;n) Ejemplo: A(26;10;20;6) = [1+f(6).(6-1)/12].[E(26;10) - E(x;30)] - f(6).a(26;10;20) = [1+ 0,01628866805].[0,663362345 - 0,272374619 ] - 0,039092803 . 9,098916508 = 0,041654 D.U.E. < D.U.F.
4) Riesgo diferido y sin límite El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurador el riesgo del plan y éste le acuerda cobertura de muerte de riesgo diferido y sin límite, consistente en el pago del capital asegurado al final de la fracción de año del fallecimiento a los derecho habientes, si el asegurado fallece despues de alcanzar la edad “x+h”. 0
1/k
2/k
h
x
x+1/k
x+2/k
h+1/k
x+h x+h+1/k 1/k ó ....... ó
w-x-2/k w-2/k 1/k
ó
w-x-1/k
w-x
w-1/k
w
1/k
ó
1/k
La prima pura única de una cobertura de muerte para una persona de edad “x” con pago del capital unitario al fin de la fracción de año del fallecimiento, se simboliza por: A(x;h;w-x-h;k) = s=0(w-x-h-1).k-1 A(x;h+s/k;1/k;k) donde: x es la edad de contratación 138
h es el plazo de diferimiento w-x-h plazo de cobertura k cantidad de pagos probables por año. Cálculo de la prima En función de la cobertura de vida. A(x;h;w-x-h;k) =E(x;h) - f(k).a(x;h;w-x-h;k) Ejemplos: Utilizando la hipótesis DUE: A(26;10;64;6) = E(26;10) - f(6).a(26;10;64;6) = 0,663362345 - 0,03909280328 . 12,570772 = 0,171936 Utilizando la hipótesis DUF: A(26;10;64;6) = E(26;10) - f(6).a(26;10;64;6) = 0,663362345 - 0,03909280328 . 12,568104 = 0,172040 D.U.E. < D.U.F. Por recurrencia A(x;h;w-x-h;k) = t=0w-x-h - 1 .A(x;t+h;1;k) = t=0w-x-h - 1 .E(x;t+h).A(x+t+h;0;1;k) A(x;h;w-x-h;k) =E(x;h).A(x+h;0;w-x-h;k) Ejemplos: Utilizando la hipótesis DUE: A(26;10;64;6) = E(26;10).A(36;0;64;6) = 0,663362345 .0,2591881414 = 0,171936 Utilizando la hipótesis DUF: A(26;10;64;6) = E(26;10).A(36;0;64;6) = 0,663362345. 0,2593447722 = 0,172039 D.U.E. < D.U.F. Aplicación de la hipótesis D.U.F. A(x;h;w-x-h;k) = t=hw-x-1 A(x;t;1;k) = t=hw-x -1.E(x;t).A(x+t;0;1;k) = t=hw-x -1.E(x;t).A(x+t;0;1).i/j(k) A(x;h;w-x-h;k) =A(x;h;w-x-h). i/j(k) Ejemplo: A(26;10;64;6) = A(26;10;64). i/j(6) = 0,1692403934 . 0,04/0,03934918158 = 0,172039 Aplicando la hipótesis D.U.E. A(x;h;w-x-h;k) = t=hw-x-1.A(x;t;1;k) = t=hw-x-1.E(x;t).A(x+t;0;1;k) 139
= t=hw-x -1.E(x;t). {[1-E(x+t;1)] .[1+f(k).(k-1)/2k] - f(k) } = [1+f(k).(k-1)/2k].[ t=hw-x-1.E(x;t) - t=hw-x-1.E(x;t+1) ] - f(k). t=hw-x-1.E(x;t) A(x;h;w-x-h;k) = [1+f(k).(k-1)/2k].E(x;h) - f(k).a(x;h;w-x-h) Ejemplo: A(26;10;64;6) = [1+f(6).(6-1)/12].E(26;10) - f(6).a(26;10;64) = [1+ 0,01628866803] . 0,663362345 - 0,03909280328 . 12,84717077 = 0,171936 D.U.E. < D.U.F. Casos particulares; diferidos por un k -ésimo A(x;1/k;n;k) = A(x;0;n;k) -A(x;0;1/k) +A(x;n+1/k;1/k) A(x;1/k;w-x-1/k;k) = A(x;0;w-x;k) - A(x;0;1/k) A(x;h+1/k;n;k) = A(x;h;n;k) - A(x;h;1/k) +A(x;h+n;1/k) A(x;h+1/k;w-x-h-1/k;k) = A(x;h;w-x-h;k) - A(x;h;1/k)
Primas Fraccionarias Con efecto liberatorio La ecuación de equivalencia actuarial: p(x;1) = p(x;n). a(x;0;n) = P(x;n;k) . a(x;0;n;k) Las primas fraccionarias, primas pagaderas por fracción de año, con efecto liberatorio en caso de fallecimiento del asegurado ,se calculan a partir de la ecuación anterior que refleja la equivalencia entre la prima pura única y las primas anuales ( P(x;n) ó P(x;n;k) ) valuado a la edad x. P(x;n;k) = P(x;n).[a(x;0;n)/a(x;0;n;k)] >1 La prima anual fraccionaria es mayor que la prima pura anual ya que existen recargos financieros(por la existencia de una mayor financiación) y recargos por mortalidad (por el efecto liberatorio en caso de fallecimiento no se descuentan las porciones de primas no pagadas). Interesa analizar los valores que se obtienen para los recargos por mortalidad y financieros en sus aspectos aditivos y multiplicativos. Cálculo por DUE P(x;n;k). a(x;0;n;k) = P(x;n).a(x;0;n) P(x;n;k) = P(x;n).[a(x;0;n)/a(x;0;n;k)] P(x;n;k) = P(x;n).a(x;0;n)/[a(x;0;n)- (k-1)/2k.[1-E(x;n)] = P(x;n)/{a(x;0;n)-(k-1)/2k .[1-E(x;n)]}.a-1(x;0;n) Como [1-E(x;n)] . a-1(x;0;n) = [A(x;0;n)+d.a(x;0;n)].a-1(x;0;n) = PTM(x;n)+d P(x;n;k) = P(x;n)/{1-(k-1)/2k.[ PTM(x;n)+d]} 140
entonces P(x;n;k). {1-(k-1)/2k.[ PTM(x;n)+d]}= P(x;n) P(x;n;k) = P(x;n) + P(x;n;k).(k-1)/2k.PTM(x;n) + P(x;n;k). (k-1)/2k .d P(x;n;k) = P(x;n) + P(x;n).[ (k-1) / 2k. PTM(x;n) ] / {1-(k-1)/2k . [ PTM(x;n) + d ]} + (a) (b) +P(x;n). [ (k-1)/2k .d ] / {1-(k-1)/2k . [ PTM(x;n) + d ]} (c) Donde: (a) es la prima pura anual (b) es el recargo por mortalidad (c) es el recargo financiero Ejemplo: P(26;20) < A(26;0;20) A(26;0;20)/a(26;0;20) = 0,03136148/13,905970966 = 0,002255 P(26;20;6) = P(26;20) + P(26;20).[ (6-1) / 12. PTM(26;20) ] / {1-(6-1)/12 . [ PTM(26;20) + d ]} + +P(26;20). [ (6-1)/12 .d ] / {1-(6-1)/12 . [ PTM(26;20) + d ]} = 0,002255 + 0,002255 . [ 5/12 . 0,002255 / 1 - 5/12.( 0,002255 + 0,038461 ) ] + +0,002255. [5/12 . 0,038461 / 1 - 5/12.( 0,002255 + 0,038461 ) ] = 0,002255 + 0,0000021558 + 0,0000367655 = 0,00229417 Considerando los recargos en forma multiplicativa: P(x;n;k) = P(x;n).f(k)/d . {1-[A(x;0;n)+E(x;n)]} / { 1-[A(x;0;n;k)+E(x;n)]} (a) (b) donde: (a) es el recargo financiero (b) es el recargo por mortalidad Ejemplo: P(26;20;6) = P(26;20).f(6)/d . {1-[A(26;0;20)+E(26;20)]} / { 1-[A(26;0;20;6)+E(26;20)]} = 0,002255 . 1,016413. {1-[0,0313614+0,4337935]} / { 1-[0,03180588+0,4337934]} = 0,002255 .1,016413 . 1,00083158 = 0,00229417 Cálculo por DUF P(x;n;k). a(x;0;n;k) = P(x;n).a(x;0;n) P(x;n;k) = P(x;n).[a(x;0;n)/a(x;0;n;k)] = P(x;n).a(x;0;n)/{a(x;0;n).i.d / j(k).f(k) - w(k).[1-E(x;n)] = P(x;n)/{i.d / j(k).f(k) - w(k).[PTM(x;n)+ d]} = P(x;n)/ { id / j(k)f(k)-(i-j(k)/f(k)j(k)).d-w(k).PTM(x;n)} 141
= P(x;n)/ { [(id-id+j(k).d) / j(k)f(k)]-w(k).PTM(x;n)} =P(x;n)/ {d / f(k)]-w(k).PTM(x;n)} = P(x;n)/ {1- [f(k)-d / f(k)]-w(k).PTM(x;n)} P(x;n;k) = P(x;n) + P(x;n) . [ f(k) -d / f(k) ] / {1- [f(k)-d / f(k) ] - w(k) . PTM(x;n)} + (a) (b) + P(x;n).w(k).PTM(x;n)/ {1- [f(k)-d / f(k)]-w(k).PTM(x;n)} (c) donde: (a) es la prima pura anual (b) es el recargo financiero (c) es el recargo por mortalidad Ejemplo: P(26;20) < A(26;0;20) A(26;0;20) / a(26;0;20) = 0,03136148/13,905970966 = 0,002255 P(26;20;6) = P(26;20) + P(26;20) . [ f(6) -d / f(6) ] / {1- [f(6)-d / f(6) ] - w(6) . PTM(26;20)} + + P(26;20).w(6).PTM(26;20)/ {1- [f(6)-d / f(6)]-w(6).PTM(26;20)} = 0,002255 + 0,0000370511 + 0,000002189315 = 0,00229449
Sin efecto liberatorio Los derecho habientes deberán hacerse cargo de las fracciones de primas faltantes al momento de fallecimiento del asegurado, hasta cubrir el año en curso; su valor será calculado tomando en cuenta (en cada año) sólo la actualización financiera. El precio de esta prima es inferior ya que la probabilidad de fallecer y no pagar más, no está contemplada; el pago de las fracciones de prima para un año es cierto. El monto de fracciones de primas aún no pagadas al momento de fallecimiento puede descontarse del capital asegurado ya que al momento del cálculo de las primas sólo se tuvo en cuenta el cálculo de la mortalidad anual pero no la fraccionaria. 0
1/k
2/k
1-1/k
1
x
x+1/k
x+2/k
x+1-1/k
x+1
P(x;n) Ps(x;n;k)/k
Ps(x;n;k)/k
Ps(x;n;k)/k
P s(x;n;k)/k
donde Ps(x;n;k)/k es la prima fraccionaria sin efecto liberatorio Considerando los recargos en forma multiplicativa: P(x;n) =Ps(x;n;k)/k . t=0k-1 vt/k
(contempla sólo la actualización financiera)
= Ps(x;n;k)/k .[(1-v) / (1- v1/k )] = Ps(x;n;k)/k . [d / d(k)] = Ps(x;n;k)/k .d/ f(k) Ps(x;n;k)/k = P(x;n) . f(k) /d es el recargo netamente financiero Considerando los recargos en forma aditiva: 142
P(x;n)=Ps(x;n;k)/k . t=0k-1 [1-(t/k).d] = Ps(x;n;k)/k .[k - d/k . t=0k-1 t ] = Ps(x;n;k)/k .{k - d/k .[ k.(k-1)/ 2 ] }= Ps(x;n;k)/k .[1 - d.(k-1)/2k ] es el recargo netamente financiero Ejemplos: P(26;20) < A(26;0;20) A(26;0;20)/a(26;0;20) = 0,03136148/13,905970966 = 0,002255 P s(26;20;6) = P(26;20) .f(6)/d = 0,002255 . 1,01641309258 = 0,002292 P s(26;20;6) = P(26;20) .[ 1 - d .(5/12)]-1 = 0,002255 . 1,0162866 = 0,002292 Los ejemplos fueron realizados para una cobertura específica pero los recargos son válidos para cualquier plan ya que la relación entre primas se mantiene.
Seguros Continuos En el caso de Seguros de Vida: El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurado el riesgo del plan y éste le acuerda cobertura de vida de riesgo inmediato/diferido y plazo limitado/sin límite consistente en el pago del capital unitario en algún momento de año durante el plazo establecido mientras viva. Rentas continuas (inmediata y limitada) a(x;0;n;) Para calcular una renta continua se aplica la fórmula de Euler -Mc Laurin: a
f(t) dt = t=a f(t) + h/2 [f(b)-f(a)]-h2/2 .[f ’(b)- f ’(a) ] +.....
b
n
a(x;0;n;) = E(x;t) dt 0
= t=0n-1 E(x;t) + 1/2.[E(x;n)-E(x;0)]-1/12 . {-E(x;n)[u(x+n)+ ]+[u(x)+ ]} a(x;0;n;) = a(x;0;n)-1/2 [1- E(x;n)] Otra forma de calcularla es aplicando límite de k a(x;0;n;) = =
lím
k
lím
k
a(x;0;n;h;k)
aplicando DUE
[a(x;0;n) - (k-1)/2.k [1- E(x;n)]
= a(x;0;n) -1/2 [1- E(x;n)] + 1/2k .[1-E(x;n)] a(x;0;n;) = a(x;0;n) -1/2 [1- E(x;n)] Ejemplo: a(26;0;20;) = a(26;0;20) .1/2 .[1- E(26;20)] = 13,90597096 - 1/2. [1 - 0,433793479] = 13,622867
143
En el caso de Seguros de Muerte: El asegurado mediante el pago de la/s prima/s transfiere al asegurado el riesgo del plan y éste le acuerda cobertura de muerte de riesgo inmediato/diferido y plazo limitado/sin límite consistente en el pago del capital asegurado a los derecho habientes en el momento del fallecimiento del asegurado si éste tiene lugar dentro del plazo establecido. n
A(x;0;n; ) = v t . p(x;t).u(x;t) dt 0
u= v t
resolviendo la integral por partes donde:
dg = p(x;t).u(x;t) dt
du= v t .ln v dt g = - p(x;t)
entonces: A(x;0;n; ) = - v t . p(x;t)
n 0
n
+ p(x;t) . v t . ln v dt 0
A(x;0;n; ) = 1 - E(x;n) - . a(x;0;n; ) Ejemplo: A(26;0;20; ) = 1 - E(26;20) - . a(26;0;20; ) = 1 - 0,433793479 - 0,03922071 . 13,622867 = 0,031908 Aplicando límite de k A(x;0;n; ) =
lím
k
A(x;0;n;k)
resolviendo por DUF A(x;0;n; ) =
lím
k
A(x;0;n;k) =
A(x;0;n; )=A(x;0;n) . i /
lím
k
siendo
A(x;0;n) . i / j(k)
lím
k
lím
j(k) =
k
f(k) =
Ejemplo: A(26;0;20; ) = A(26;0;20) . i / = 0,031361484 . 0,04/0,0319846162 = 0,031984 Otra forma de resolverlo es usando la hipótesis de Balducci: (siendo s<1) 1
A(x;t;1; ) = E(x;t) A(x+t;0;1; ) = E(x;t) vs . p(x+t;s).u(x+t;s) ds 0
1
= E(x;t) vs [1-s. q(x+t;0;1)]. q(x+t;0;1)/[ 1-s. q(x+t;0;1)] ds 0
1
= E(x;t). q(x+t;0;1) vs ds 0
144
= E(x;t). q(x+t;0;1) [ v s / ln v ]
1 0
= E(x;t). q(x+t;0;1).(1-v) / = E(x;t). A(x+t;0;1).i / A(x;t;1;) = A(x;t;1).i / A(x;h;n;) = t=h h+n-1 A(x;t;1;)= t=h h+n-1 A(x;t;1) i / A(x;h;n;) = A(x;h;n) i / Ejemplo: A(26;10;20;) = A(26;10;20) i / = 0,01680929170 . 0,04/0,03922071 = 0,01714
UNIDAD VII Primas de Tarifa El asegurador es un administrador de fondos de terceros, y por realizar tal actividad incurre en una serie de gastos y comisiones a los productores, comisiones por cobranzas, de comprobantes de pago, de pago de capitales, etc. El objetivo es establecer una equivalencia no sólo en cuanto a la cobertura existente sino también considerando gastos antes mencionados en que incurriría el asegurador. La equivalencia actuarial debe darse de la siguiente forma: COMPROMISO DEL ASEGURADO -Prima de tarifa (P.T.)
COMPROMISO DEL ASEGURADOR - Cobertura establecida - Gastos: * adquisición * gestión * liquidación
Los gastos de adquisición son ciertos, en cambio los de gestión y liquidación, si bien lo son en cuanto a su cuantía, son aleatorios en cuanto se refiere a su ocurrencia y repetición. Generalmente los gastos no se expresan sobre el valor de la prima pura porque nadie quiere revelar sus verdaderos costos; es por eso que se expresan sobre el capital asegurado o sobre la prima de tarifa. Llamamos prima de tarifa a la prima que el asegurado paga para cubrir tanto la cobertura deseada como los gastos en que el asegurador incurre para poder ofrecer tal servicio. Podemos observar en un eje cuáles son los costos incurridos y por tanto los pagos que el asegurado debe realizar: 0
1
2
t
n-1
n
x
x+1
x+2
x+t
x+n-1
x+n
P(x;n)
P(x;n)
P(x;n)
P(x;n)
P(x;n)
145
.PT(x;n) .PT(x;n) .PT(x;n) PT(x;n) .PT(x;n)
.PT(x;n) PT(x;n)
.PT(x;n) PT(x;n)
.PT(x;n) PT(x;n)
donde: * P(x;n) : es la prima pura anual y se aplica a la prestación de la cobertura. *
: es un porcentaje de gastos sobre el capital asegurado que se paga al inicio y por única vez (por ejemplo la comisión pagada a productores).
*
: es un porcentaje de gastos sobre el capital asegurado que se abona periódicamente (por ejemplo los gastos de cobranza).
*
: es un porcentaje de gastos sobre la PT(x;n) del plan seleccionado que se paga al inicio y por única vez.
*
: es un porcentaje de gastos sobre la PT(x;n) del plan seleccionado que se paga periódicamente.
* PT(x;n) : es la prima de tarifa del plan seleccionado, prima que el asegurador paga para cubrir los distintos compromisos que el asegurador se ve obligado a afrontar. Cálculo de la prima de tarifa Ecuación de equivalencia: V.A. de P.T.(x;n) = Valor actual de la cobertura + Valor actual de los gastos P.T.(x;n) . a(x;0;n) = P(x;n) . a(x;0;n) + + . a(x;0;n) + . P.T.(x;n) + . P.T.(x;n). a(x;0;n) - dividiendo a ambos miembros por a(x;0;n): P.T.(x;n) = P(x;n) + . a-1 (x;0;n) + + . P.T.(x;n) . a-1 (x;0;n) + . P.T.(x;n) P.T.(x;n) - . P.T.(x;n) . a-1 (x;0;n) - . P.T.(x;n) = P(x;n) + . a-1 (x;0;n) + P.T.(x;n) . [ 1 - . a-1 (x;0;n) - ] = P(x;n) + . a-1 (x;0;n) + P.T.(x;n) = [ P(x;n) + . a-1 (x;0;n) + ]/ [ 1 - . a-1 (x;0;n) - ] Los gastos iniciales en que incurre el asegurador ( y . P.T.(x;n) ) el asegurado los paga en forma amortizada. Desde el punto de vista comercial, el problema más complicado es determinar , , y . El precio lo fija el mercado, entonces en general, tenemos un camino inverso, tenemos P.P y P.T. como datos. Loading (carga): [ PT-PP ] / PT Los recargos se calculan sobre la prima de tarifa. El mercado fija cuánto se puede cargar y en base a eso, se establece como distribuir los gastos. Se establece que el loading no puede ser superior al 50%, si no se estaría vendiendo más gasto que producto. Análisis de la prima de tarifa 146
Consiste en descomponer a la prima de tarifa en sus distintos componentes y ver qué relevancia tiene cada uno (sobre la prima de tarifa y sobre la prima pura). CONCEPTO Primas Puras (P.P.A.) vida muerte Gastos iniciales (amortizados) - s/ capital - s/ P.T. periódicos - s/ capital - s/ P.T.
VALORES ABSOLUTOS
VALORES RELATIVOS
Ejemplo:
1- Capital diferido de vida x = 26
n = 20
período de pago de primas = 10
C.A. = 1000 Gastos de adquisición
: 80% s/ P.T. ; 2% s/ C.A.
Gastos de gestión
: 5% s/ P.T. ; 1% s/ C.A. luego del cese de pago de primas
Liquidación de siniestro : 1% s/ C.A. 0
1
2
8
9
10
11
19
20
26
27
28
34
35
36
37
45
46
Cobertura 1000 E(26;20) 0,8 P.T. 0,02. C.A. 0,05PT 0,05PT 0,05PT
1000
0,05PT 0,05PT 0,01CA 0,01CA
0,01CA 0,01CA
PT
PT
PT
PT
PT
Cálculo de la prima de tarifa P(26;1) < E(26;20) 1000 . E(26;20) P(26;10) . a(26;0;10) = P(26;1) < E(26;20) 1000 . E(26;20) P(26;10) = 1000 . E(26;20) . a-1 (26;0;10) = 51,801048 PT(26;10) a(26;0;10) = CA. P(26;10). a(26;0;10) + 0.8 PT + 0,02 CA + 0,05 PT .a(26;0;10) +0,01.CA a(26;10;10) + 0,01 CA E(26;20) PT(26;10) = CA. P(26;10) + 0.8 PT a-1 (26;0;10) + 0,02 CA a-1 (26;0;10) + 0,05 PT + + 0,01 CA a(26;10;10) a-1 (26;0;10) + 0,01 CA E(26;20) a-1 (26;0;10) 147
PT(26;10) [ 1-0,8 a-1 (26;0;10) - 0,05 ] = 1000 a-1 (26;0;10){E(26;20) + 0,02 + 0,01 E(26;20) + 0,01 a(26;10;10)} PT(26;10) = 1000 a-1 (26;0;10){E(26;20) + 0,02 + 0,01 E(26;20)+ 0,01 a(26;10;10)}/ [ 1-0,8 a-1 (26;0;10) - 0,05 ] PT(26;10) = 1000 . 8,3742224-1 { 0,43379352 + 0,02+0,01.0,4337935+0,01.5,53174955} / [ 1-0,8 . 8,3742224 -1 - 0,05 ] = 61,31303017 / 0,854468742076 = 71,755732135
148
CONCEPTO Primas Puras ( P.P.A. ) vida Gastos iniciales (amortización) - s/ capital - s/ P.T. periódicos - s/ capital - s/ P.T. Liquidación del siniestro
VALORES ABSOLUTOS 51,801048 51,801048
VALORES RELATIVOS 72,1908% 72,1908%
9,243196
12,8814%
2,3882814 6,8549153
3,3280% 9,5530% 10,193474
6,6056878 3,5877866
14,2057% 9,2057% 5,0000%
0,5180104
0,518010
Total
0,7219%
0,7219%
71,755732
100,00 %
2- Seguro de Muerte x = 26
n = 20
período de pago de primas = 10
C.A. = 1000 Gastos de adquisición
: 80% s/ P.T. ; 2% s/ C.A.
Gastos de gestión
: 5% s/ P.T. ; 1% s/ C.A. luego del cese de pago de primas
Liquidación de siniestro : $5 0
1
2
8
9
10
11
19
20
26
27
28
34
35
36
37
45
46
1000 ó 1000 ........ó 1000 ó 1000 ó 1000 ó 0,8 P.T. 0,02. C.A. 0,05PT 0,05PT 0,05PT PT
5 PT
ó
5 ..... ó PT
1000
...... ó
1000 ó 1000
0,05PT 0,05PT 5 ó 5 ó PT PT
0,01CA 0,01CA 5 ó 5 .....
ó
0,01CA 5 ó
5
Cálculo de prima de tarifa P(26;10) = 1000 . A(26;0;20). a-1(26;0;10) = 3,7450163 PT(26;10) = 1000. A(26;0;20). a-1(26;0;10) + 0,8 PT a-1(26;0;10) + 0,02 1000 a-1(26;0;10) + 0,05 PT + 0,01 1000 a(26;10;10) a -1(26;0;10) + 5. A(26;0;20). a-1(26;0;10) PT(26;10).[ 1-0,8 a-1(26;0;10) - 0,05]= 1000. a-1(26;0;10) {A(26;0;20)+0,02+0,01a(26;10;10)} + 5 . A(26;0;20). a -1(26;0;10) PT(26;10) = 1000. a-1(26;0;10) {A(26;0;20)+0,02+0,01a(26;10;10)+0,005A(26;0;20) }/ 149
[ 1-0,8 a-1(26;0;10) - 0,05 ] = 1000. 8,3742224-1 { 0,0313616 + 0,02+ 0,01 .5,531749955+ 0,05 .0,0313616 }/ [ 1- 0,8 . 8,3742224 -1 - 0,05 ] = 12,92623653033 / 0,85446874 = 15,127805062 CONCEPTO Primas Puras ( P.P.A. ) muerte Gastos iniciales (amortización) - s/ capital - s/ P.T. periódicos - s/ capital - s/ P.T.
VALORES ABSOLUTOS 3,7450163 3,7450163
VALORES RELATIVOS 24,7558% 24,7558%
3,8334534
25,3373%
Liquidación de siniestro
0,1872508
2,3882814 1,4451782
15,7873% 9,5500% 7,3620780
48,6658%
6,6056878 0,7563902
43,6658% 5,0000% 0,1872508
Total
1,2377%
1,2377%
15,1278050
100,00 %
3- Plan Dotal x = 26
n = 20
período de pago de primas = 20
C.A. =1000 Gastos de adquisición : 80% s/ P.T. Gastos de gestión
: 15% s/ P.T.
Liquidación de siniestro en caso de muerte: $5 Liquidación de siniestro en caso de vida
: 2% s/ C.A.
0
1
2
8
9
10
11
19
20
26
27
28
34
35
36
37
45
46
A(26;0;20)1000 ó 1000 ........ó 1000 ó 1000 ó 1000 ó E(26;20) 0,8 P.T. 0,15PT 0,15PT 0,15PT
PT
5 PT
ó
5 ..... ó PT
1000
...... ó
1000 ó 1000 1000
0,15PT 0,15PT 0,15PT 5 ó 5 PT PT
ó
5 PT
0,15PT ó
5 ..... PT
0,15PT ó
5 PT
0,02CA ó 5
Cálculo de prima de tarifa PD (26;1) = 1 - d . a(26;0;20) PD (26;20) = a-1 (26;0;20) - d 150
PTD (26;20) a(26;0;20) = C.A.PD (26;20). a(26;0;20) + 0,8. PTD (26;20) + CA.0,02 E(26;20) + 0,15 PT D (26;20) .a(26;0;20) + 5. A(26;0;20) PTD (26;20) = C.A. PD (26;20) + 0,8. PTD (26;20) a-1 (26;0;20) + 0,15 PTD (26;20) + CA.0,02 E(26;20) a-1 (26;0;20) + 5. A(26;0;20) a-1 (26;0;20) PTD (26;20) [ 1 - 0,8 .a-1 (26;0;20) - 0,15 ] = 1000 a-1 (26;0;20) [ PD (26;1) + + 0,02. E(26;20) + 0,005. A(26;0;20) ] PTD (26;20) = 1000 a-1 (26;0;20) [ PD (26;1) + 0,02 .E(26;20) + 0,005 .A(26;0;20) ] / / [ 1- 0,8.a -1 (26;0;20) - 0,15 ] P(26;1) = 1- d . a(26;0;20) = 1 - 0,04 / 1,04 . 13,90597195 = 0,465154925 E(26;20) = 0,43379352 A(26;0;20) = 0,0313616 PTD (26;20) = 1000.13,90597195-1 [ 0,465154925 + 0,02 . 0,43379352 + 0,005 . 0,0313616 ]/ [ 1 - 0,8 . 13,90597195 -1 - 0,15 ] PTD (26;20) = 34,08518333736 / 0,79247087598 PTD (26;20) = 43,011282011 CONCEPTO Primas Puras ( P.P.A. ) vida muerte
VALORES ABSOLUTOS 33,450025 31,194764 2,255261
VALORES RELATIVOS 77,7703% 72,5269% 5,2434%
Gastos iniciales (amortización) - s/ P.T.
2,474406 2,474406
9% 5,7529%
5,752
6,45169 periódicos - s/ P.T.
2
Liquidación de siniestros - de vida - de muerte Total
6,451692
15,00 % 15,00 %
0,635171 0,623895 0,011276 43,0112820
1,4767 % 0,0262 % 1,4505 % 100,00 %
4- Plan Dotal Doble Capital x = 26
pago de primas = 20
C.A. = 1000 Gastos de adquisición : 80% s/ P.T. ; 2% s/ C.A. Gastos de gestión
: 5% s/ P.T. ; 1% s/ C.A. luego del cese de pago de primas 151
Liquidación de siniestro en muerte: $5 Liquidación de siniestro en vida
: 1% del C.A.
0
1
2
18
19
20
21
72
73
74
26
27
28
44
45
46
47
98
99
100
A(26;0;)1000 ó 1000 .... ó 1000 ó 1000 ó 1000 ó E(26;20) 0,8 P.T. 0,02 C.A. 0,05PT 0,05PT 0,05PT ... 0,05PT 0,05PT 5 PT
ó
PT
5 ..... ó PT
5 PT
ó
5
1000
...... ó
1000 ó 1000
1000
0,01CA 0,01CA 0,01CA0,01CA ó 5 ó 5 ..... ó 5 ó 5 ó 0,01CA
5
PT
Cálculo de la prima de tarifa PT(26;20).a(26;0;20) = 1000.[ A(26;0;74) + E(26;20) ]+0,8.PT(26;20) + 0,02.1000 + + 0,05.PT(26;20).a(26;0;20) + 0,01.1000.a(26;20;54)+ 5.A(26;0;74) + 0,01.1000.E(26;20) PT(26;20) = 1000.[ A(26;0;74) + E(26;20) ] a-1 (26;0;20) + 0,8.PT(26;20) a-1 (26;0;20) + 0,02.1000. a-1 (26;0;20) + 0,05.PT(26;20) + 0,01.1000 a(26;20;54).a-1 (26;0;20) + +5.A(26;0;74). a-1 (26;0;20) + 0,01.1000.E(26;20). a-1 (26;0;20) PT(26;20).[1-0,8. a-1 (26;0;20) - 0,05 ] = 1000. a-1 (26;0;20).{A(26;0;74) + E(26;20)+0,02+ + 0,01.a(26;20;54)+ 0,005.A(26;0;74)+0,01.E(26;20)} PT(26;20) = 1000. a-1 (26;0;20).{A(26;0;74) + E(26;20)+0,02 + 0,01.a(26;20;54) +0,005.A(26;0;74)+ 0,01.E(26;20)}/ [1-0,8. a -1 (26;0;20) - 0,05 ] = 1000.13,90597195 -1.{0,18379+0,43379352+0,02+0,01.[21,2211395 -13,905971]+ + 0,005.0,18379+0,01.0,43379352 }/ [1-0,8. 13,90597195 -1 - 0,05 ] = 51,48810114 / 0,8924707 = 57,69163927 CONCEPTO Primas Puras ( P.P.A. ) vida muerte Gastos iniciales (amortización)
VALORES ABSOLUTOS VALORES RELATIVOS 44,4113883 76,9807% 31,19476449 54,0716% 13,21662381 22,9091% 8,2458 4,7571870 % 152
- s/ capital - s/ P.T. periódicos - s/ capital - s/ P.T.
1,43823100 3,31895600 5,26045106 2,88458100
Liquidación de siniestro: - de vida - de muerte Total
2,4929% 5,7529% 8,1450320 14,1182% 9,1182% 5,00 % 0,3780307
0,06608311 0,31194764
0,6553 % 0,1146 % 0,5407 %
57,69163927
100,00 %
5- Rentas Vitalicias x = 26
n = 20
Período de pago de primas : 10 años Período de pago de renta : a partir del décimo año C.A. = 1000 Gastos de adquisición : 80% s/ P.T. ; 2% s/ C.A. Gastos de gestión
: 5% s/ P.T. ; 1% s/ C.A. luego del cese de pago de primas
0
1
2
8
9
10
11
19
20
26
27
28
34
35
36
37
45
46
1000
1000
......
1000
0,8 P.T. 0,02. C.A. 0,05PT 0,05PT 0,05PT
0,05PT 0,05PT 0,01CA 0,01CA
PT
PT
PT
PT
0,01CA
PT
Cálculo de prima de tarifa PT(26;10) a(26;0;10) = 1000 a(26;10;10) + 0,8 PT(26;10)+ 0,02 1000 a(26;10;10) + + 0,05 PT(26;10) a(26;0;10) + 0,01 1000 a(26;10;10) PT(26;10) = 1000 a(26;10;10) a-1(26;0;10) + 0,8 PT(26;10) a-1 (26;0;10) + 0,02 1000 a(26;10;10) a-1(26;0;10) +0,05 PT(26;10) + 0,01 1000 a(26;10;10) a-1 (26;0;10) = 1000 a-1 (26;0;10) a(26;10;10) [ 1+ 0,02 + 0,01 ] / [ 1 - 0,8 a-1 (26;0;10) - 0,05 ] 153
= 1000. 8,37422224-1 (13,90597195 - 8,3742224) 1,03 / [ 1 - 0,8 8,3742224-1 - 0,05 ] = 680,3858035 / 0,8544687 = 796,26767314 CONCEPTO Primas Puras ( P.P.A. ) vida
VALORES ABSOLUTOS 660,568741 660,568741
Gastos iniciales (amortización) - s/ capital - s/ P.T. periódicos - s/ capital - s/ P.T. Total
VALORES RELATIVOS 82,9581% 82,9581%
89,279827 13,211374 76,068452
11.2122% 46,419071
6,6056878 39,8133836
1,6591% 9,5531% 5,8297% 0,8297% 5,0000%
796,267639
100,00 %
6- Término Fijo x = 26
n = 20
Período de pago de primas: 10 años
C.A. = 1000
Gastos de adquisición : 80 % s/P.T.; 2% s/ C.A. Gastos de gestión
: 5 % s/P.T.; 1% s?C.A. luego del cese de pago de primas
Liquidación de siniestro de muerte : $5 Liquidaciön de siniestro de vida 0 26
1 27
2 28
: 1 % del C.A. 8 34
9 35
10 36
19 45
20 46
q(26;0;20).v20
1000
E(26;20) 0,8P.T. 0,02 C.A. 0,05PT 0,05PT 0,05PT
1000 0,05PT 0,05PT 0,01CA
0,01CA 5 0,01CA
PT
PT
PT
PT
PT
Cálculo de prima de tarifa PT(26;10) a(26;0;10) = 1000[ q(26;0;20) v20 + E(26;20) ] + 0,8 PT(26;10) + 0,02 1000 + + 0,05 PT(26;10)a(26;0;10)+ 0,01 1000 a(26;10;10)+5 q(26;0;20) v 20+ + 0,01 1000 E(26;20) PT(26;10) = {1000[ q(26;0;20) v20 + E(26;20) ] + 0,8 PT(26;10) + 0,02 1000 } a-1 (26;0;10) + + 0,05 PT(26;10)+0,01 1000 a(26;10;10) a -1 (26;0;10)+5q(26;0;20) v20 a-1 (26;0;10)+ + 0,01 1000 E(26;20) a -1 (26;0;10) 154
= 1000 a-1 (26;0;10) [ q(26;0;20) v20 + E(26;20) + 0,02 + 0,01 a(26;10;10) + + 0,01 E(26;20) + 0,005 q(26;0;20) v20] / [ 1 - 0,08 a-1 (26;0;10) - 0,05 ] = 1000. 8,3742224-1 {0,04950498 . 1,04-20 + 0,43379352 + 0,02 + + 0,01 [ 13,90597195 - 8,3742224 ] + 0,01.0,43379352 + + 0,005. 0,04950498 . 1,04 -20 }/ [ 1 - 0,8.8,3742224 -1 - 0,05 ] = 64,0244933 / 0,8544687 = 74,9290094 CONCEPTO Primas Puras ( P.P.A. ) vida muerte Gastos iniciales (amortización) - s/ C.A. - s/P.T. periódicos - s/ C.A. -s/ P.T. Liquidación de siniestros - de vida - de muerte Total
VALORES ABSOLUTOS 54,499023 51,801050 2,697973
VALORES RELATIVOS 72,7342% 69,1335% 3,6007%
9,546343 2,388281 7,158062 10,352137 6,605687 3,746450
12,7405% 3,1859% 9,5531% 13,8159% 8,8159% 5,00 %
0,531499 0,518010 0,013489 74,929002
0,7093% 0,6913% 0,0181% 100,00 %
Contraseguro En los contratos de seguro para los cuales el pago del capital asegurado está subordinado a la verificación de ciertos sucesos, (seguros en caso de vida y seguros en caso de muerte temporales o diferidos) la existencia de la prestación es aleatoria. Esta aleatoriedad de la prestación es normal en los seguros de daños; podría ocurrir similar para el ramo vida si prevaleciese el carácter de cobertura del riesgo. De hecho prevalece siempre el concepto de ahorro y el asegurado no contrata gustosamente contratos en los que existe la eventualidad de pagar sin recibir nada; ello se debe también, al hecho de que para tales seguros no existe rescate. Todo esto explica la prevalecencia de los seguros de tipo mixto y para los de caso de vida y de muerte (no de vida entera) a menudo viene añadida la cláusula de contraseguro, según la cual cuando no se verifique el evento que daría lugar a la prestación principal, la compañía debe restituir la prima o las primas pagadas. El seguro con contraseguro es un seguro mixto en donde las dos prestaciones en caso de muerte y en caso de vida son de distinta cuantía y una viene representada por la prima (o por el total de la prima). Con el total reembolso de las primas, el contratante tiene la ilusión de que al menos no pierde lo que ha desembolsado; sin embargo, obteniendo el simple reembolso de las primas pagadas ha perdido todos los intereses que habría podido obtener invirtiendo de manera rentable las mismas primas. Se 155
podría pensar en un seguro con reembolso de primas y de interese (simple o compuesto) a un determinado tanto. La cláusula de contraseguro al aumentar las prestaciones a cargo de la compañía necesita un suplemento de prima, y en casos el aumento puede ser muy importante. Las primas que el asegurado desea que se le reembolsen son las que ha pagado efectivamente (primas de tarifa ). La cláusula de contraseguro puede estar incluida en cualquier contrato cuyas prestaciones sean aleatorias incluso en existencia. En la práctica los caso fundamentales son dos: a) en el seguro de capital diferido de vida; b) en el seguro temporario de muerte. Pueden existir también: c) un seguro de renta vitalicia diferida con contraseguro; el reembolso de las primas tiene lugar en caso de muerte antes del comienzo de la renta; d) el seguro de muerte diferido con contraseguro, en que las primas se reembolsan en caso de muerte durante el diferimiento. En los seguros con contraseguro las modalidades de pago de primas (única o anual, y duración de la anual) influyen también sobre las prestaciones de la compañía ya que ésta debe rembolsar las primas pagadas efectivamente. Si la prima es única se trata de rembolsar la prima única recargada; si la prima es anual se trata de rembolsar las primas anuales que han sido pagadas efectivamente, cuyo número es aleatorio. Las primas recargadas U’ o P’ incógnitas, figuran también como capitales asegurados (por las prestaciones del contraseguro); la determinación de las primas requiere, por lo tanto, hacer una ecuación U’ o P’. Prácticamente es mejor considerar como incógnitas U y U’ (o P y P’), y hacer una segunda ecuación (que exprese las condiciones de los recargos) que une la prima pura con la recargada. Descripción de primas del plan El asegurado mediante el pago de las primas transfiere al asegurador el riesgo del plan y éste le acuerda: - cobertura según el plan principal - contra cobertura El capital que el asegurado (o los derechohabientes, según la cobertura) tiene derecho a percibir en el momento de ejecutar el contraseguro es usualmente igual al valor de los primas de tarifa pagadas hasta ese momento que serán primas de tarifa calculadas sobre la cobertura principal o sobre ésta y el contraseguro. Devolución de primas con contraseguro
1- Cobertura principal: Capital Diferido de Vida Contra cobertura: seguro de muerte temporario con capital asegurado variable 0
1
2
t
t+1
n -2
n-1
n
x
x+1
x+2
x+t
x+t+1
x+n-2
x+n-1
x+n 156
Cob. Princ. Contr: PTC
1
PTC ó 2 PTC ó ....... ó t PTC ó (t+1)PTC ó ...... ó (n-2) PTC ó (n-1)PTC ó n
Gastos:
PTC(x;n) PTC PTC PTC
PTC
PTC
PTC
PTC
Pagos: PTC(x;n) PTC(x;n) PTC(x;n) PTC(x;n) PTC(x;n)
........ PTC(x;n) PTC(x;n)
donde: PTC(x;n): es la prima de tarifa anual con contraseguro . Se supone que en caso de fallecimiento el pago del capital se hará al final del año en que éste ocurra. Ecuaciones de equivalencia P(x;1) = E (x;n) + PTC(x;n) AI(x;0;n)
[1]
PTC(x;n) a(x;0;n) = P(x;1) + + a(x;0;n) + PTC(x;n) + PTC(x;n) a(x;0;n)
[2]
[ 1 ] Expresa que el valor actual actuarial de la cobertura TOTAL del plan es igual al valor actual actuarial de la cobertura principal más el valor actual actuarial de la contra cobertura. [ 2 ] Expresa que el valor actual actuarial de las primas de tarifa con contraseguro anuales pagadas por el asegurador deben ser suficientes para afrontar el riesgo TOTAL del plan más los gastos incurridos a tal efecto. Sustituyendo [ 1 ] en [ 2 ] y multiplicando por a-1 (x;0;n) PTC(x;n) = [ E(x;n) + PTC(x;n) AI(x;0;n) ] a-1 (x;0;n) + a-1 (x;0;n) + + + PTC(x;n) a-1 (x;0;n) + PTC(x;n) PTC(x;n) [ 1- a-1 (x;0;n) - - AI(x;0;n) a-1 (x;0;n) ] = E(x;n) a-1 (x;0;n) + a-1 (x;0;n) + como: AI(x;0;n)/ a(x;0;n) = Pv(x;n)
Prima anual constante de una cobertura con capital variable
y E(x;n) / a(x;0;n) = P
CD
(x;n)
PTC(x;n) = [ PCD (x;n) + a-1 (x;0;n) + ] / [ 1- a-1 (x;0;n) - - Pv(x;n) ] Ejemplo: x = 26
n = 20
= 0,80
= 0,15 157
P(26;1) = E (26;20) + PTC (26;20) . AI (26;0;20) PTC(26;20) a(26;0;20) = P(26;1) + PTC(26;20). 0,80 + PTC(26;20).0,15.a(26;0;20) PTC(26;20) = E(26;20) a-1 (26;0;20) + PTC(26;20).AI(26;0;20). a-1 (26;0;20) + + PTC(26;20).0,8. a-1 (26;0;20) + PTC(26;20). 0,15 = E(26;20) a-1 (26;0;20) / [1 - 0,8. a-1 (26;0;20) - 0,15 - AI(26;0;20). a-1 (26;0;20) ] = 0,4337934.13,9059709-1 /[ 1-0,8.13,9059709-1-0,15 - 0,3434562.13,9059709-1 ] = 0,0311947637 / 0,7677722837 = 0,04063022905165839 * Las primas, aunque sean de distintos planes, si están afectadas por los mismos gastos guardan igual relación, podemos utilizar los datos conocidos (PD(x;n) y PTD(x;n)) para el cálculo de la PTCD(x;n) PTD(x;n) / PD(x;n) = PT CD(x;n) / P CD(x;n) PT CD(x;n) = PTD(x;n) / PD(x;n). P CD(x;n) = 42,20979104 / 33,450017 = 0,0393639 * También podría calcularse como: PT CD(x;n) = P CD(x;n) . [ 1 + % de gastos s/prima pura ] = 0,0311947637 . [ 1 + 0,26187621 ] = 0,0393639 *Conclusión: P(x;n)
<
PT(x;n)
<
PTC(x;n)
0,03119476
<
0,0393639
<
0,04063022
* Análisis de la PTC(x;n)
CONCEPTO Primas Puras ( P.P.A. ) vida muerte
VALORES ABSOLUTOS 0,03219826 0,03119476 0,00100350
VALORES RELATIVOS 79,2470% 76,7772% 2,4698%
Gastos iniciales (amortización) - s/ P.T. periódicos - s/ P.T. Total
0,00843196
20,7530%
0,00233742
5,7530%
0,00609453 0,04063022
15,00 % 100,00 %
donde: 158
vida
: E(26;20)/ a(26;0;20) = 0,03119476
muerte
: PTC(26;20). AI(26;0;20)/ a(26;0;20) = 0,00100350
adquisición: 0,8. PTC(26;20)/a(26;0;20) = 0,00233742 cobranza
: 0,15.PTC(26;20) = 0,00609453
* Otra expresión de PTC(x;n): PTC(x;n) = [E(x;n) + PTC(x;n) AI(x;0;n)] a-1(x;0;n) + a-1(x;0;n) + + PTC(x;n) a-1(x;0;n) + Ptc(x;n) Para: x = 26
n = 20
= 0,8
= 0,15
PTC(26;20) = [ E(26;20) + PTC(26;20).AI(26;0;20) ] a-1 (26;0;20) / [ 1 - . a-1 (26;0;20) - ] = PPA(26;20) /{1/ [ 1 - . a-1 (26;0;20) - ] } 1
2
1 - Representa la prima pura anual de la cobertura total 2 - Es un factor mayor a 1, factor que indica los recargos sobre la prima pura. Y por eso también es mayor al factor de la otra expresión de la PTC(x;n) porque en ese caso representa los recargos sobre la PT(x;n) que ya es mayor.
2- Cobertura principal: Seguro de Muerte de riesgo inmediato y temporario Contra cobertura: capital diferido de vida 0
1
2
t
t+1
n -2
n-1
n
x
x+1
x+2
x+t
x+t+1
x+n-2
x+n-1
x+n
1 ó
1 ó ... ó
1
Cob. Princ.
ó
1 ó ... ó
Cont. Cob. Gastos: PTC(x;n) PTC PTC PTC PTC PTC PTC PTC
1
ó
1
ó
1 nPTC
Pagos: PTC(x;n) PTC(x;n) PTC(x;n)
PTC(x;n) PTC(x;n)
........ PTC(x;n) PTC(x;n)
donde: PTC(x;n) es la prima de tarifa anual con contraseguro.Se establece que si el asegurado alcanza con vida la edad x+n se le pagará el total de la PTC(x;n) pagadas. 159
Ecuaciones de equivalencia P(x;1) = A(x;0;n) + n. PTC(x;n).E(x;n)
[1]
PTC(x;n) a(x;0;n) = P(x;1) + + a(x;0;n) + PTC(x;n) + PTC(x;n) a(x;0;n)
[2]
sustituyendo [ 1 ] en [ 2 ] y multiplicando por a-1 (x;0;n) PTC(x;n) = [A(x;0;n)+n.PTC(x;n).E(x;n)] a-1(x;0;n)+ a-1(x;0;n)++ PTC(x;n)a-1(x;0;n)+PTC(x;n) PTC(x;n) = [ A(x;0;n).a-1 (x;0;n) + a-1 (x;0;n) + ] / {1 - a-1 (x;0;n) - - n E(x;n) a-1 (x;0;n)} si: E(x;n) a-1 (x;0;n) = PCD(x;n) A(x;0;n). a-1 (x;0;n) = PTM(x;n) PTC(x;n) = [ PTM(x;n) + a-1 (x;0;n) + ] / { 1 - a-1 (x;0;n) - - n. PCD(x;n) } Ejemplo: x = 26
= 0,80
n = 20
= 0,15
Ecuaciones de equivalencia PTC(26;20) a(26;0;20) = [ A(26;0;20) + 20. PTC(26;20).E(26;20) ] + 0,8 Ptc(26;20)+ + 0,15. Ptc(26;20).a(26;0;20) PTC(26;20) = PTM(26;20) / [ 1 - 0,80. a-1 (26;0;20) - 0,15 - 20.PCD(26;20) ] PTM(26;20) = 0,031361484 / 13,905970966 = 0,00225525309 PCD(26;20) = 0,0311947637 PTC(26;20) = 0,00225525309 / [1 - 0,057529244 - 0,15 - 20. 0,0311947637] = 0,01337829835657
*Cálculo de la PT(x;n) PT(x;n) = PTM(x;n). [ 1+ %gastos s/ prima pura ] ( los gastos se determinan en el plan dotal) = 0,00225525309.[ 1 + 0,26187621 ] = 0,00284585 * Conclusión: PTM
<
PT(x;n)
0,00255253
<
0,00284585
<
PTC(x;n)
< 0,01337829835
* Análisis de la PTC(x;n) CONCEPTO Primas Puras ( P.P.A. ) muerte vida
VALORES ABSOLUTOS 0,01060191 0,00255253 0,00834665
VALORES RELATIVOS 79,2470% 16,8575% 62,3895%
160
Gastos iniciales (amortizados) - s/ P.T. periódicos - s/ P.T. Total
0,00277638
20,7530%
0,00076964
5,7530%
0,00200674
15,00
%
0,013378298
100,00 %
donde: muerte: A(26;0;20) a-1 (26;0;20) = 0,0022552530 vida : 20.PTC(26;20).E(26;20).a-1 (26;0;20) = 0,0083466571 gastos de adquisición: 0,8.PTC(26;20).a-1 (26;0;20) = 0,0007696433935 gastos de cobranza : 0,15.PTC(26;20) = 0,002006744753 * Otra expresión de PTC(x;n) PTC(26;20) = [ A(26;0;20) + 20.PTC(26;20).E(26;20) ].a -1(26;0;20) + + 0,8.PTC(26;20) a -1 (26;0;20) + 0,15.PTC(26;20) 1) PTC(26;20).[ 1 - 20.PCD(26;20) - 0,8.a-1 (26;0;20) - 0,15 ] = PTM(26;20) PTC(26;20) = PTM(26;20) / [ 1 - 0,8.a-1(26;0;20) - 0,15 - 20.PCD(26;20) ] = PTM(26;20). {1 / [ 1 - 0,8.a -1(26;0;20) - 0,15 - 20.PCD(26;20) ] } recargo sobre la prima de la cobertura principal = 0,00225525309 . 5,93206075 = 0,0133782983 2) PTC(26;20).[ 1 - 0,8.a-1(26;0;20) - 0,15 ] = PTM(26;20) + 20.PTC(26;20).P CD(26;20) PTC(26;20) = [ PTM(26;20) + 20 PTC(26;20).PCD(26;20) ] / [ 1 - 0,8.a-1(26;0;20) - 0,15 ] = PPA(26;20). { 1 / [ 1 - 0,8.a -1(26;0;20) - 0,15 ] } recargo sobre la prima pura de la cobertura total = 0,01060191.1,2618762179 = 0,0133782983
3- Cobertura principal: capital diferido de vida con n
1
2
h-1
h
h+1
x
x+1
x+2
x+h-1
x+h
x+h+1
Cob. Princ.
n-1
n
x+n-1
x+n 1 161
Contr:
PTC ó 2 PTC ó ..... ó(h-1)PTC ó h PTC ó h PTC ó ..... ó
h PTC ó
h PTC
Gastos:
PTC PTC
PTC
PTC
Pagos: PTC(x;h) PTC(x;h)PTC(x;h)
PTC(x;h)
* Si el asegurado fallece antes de alcanzar la edad x+n, que sería el momento de recibir el capital asegurado; los derechohabientes reciben las primas pagadas hasta ese momento a fin del año de fallecimiento. Ecuaciones de equivalencia P(x;1) = E (x;n) + PTC(x;h) AI(x;0;h) + h PTC(x;h) A(x;h;n-h)
[1]
PTC(x;h) a(x;0;h) = P(x;1) + + a(x;0;h) + PTC(x;h) + PTC(x;h) a(x;0;h)
[2]
[ 1 ] Expresa que el valor actual actuarial de la cobertura TOTAL del plan es igual al valor actual actuarial de la cobertura principal más el valor actual actuarial de la contra cobertura. [ 2 ] Expresa que el valor actual actuarial de las primas de tarifa con contraseguro anuales pagadas por el asegurador deben ser suficientes para afrontar el riesgo TOTAL del plan más los gastos incurridos a tal efecto. Sustituyendo [ 1 ] en [ 2 ] y multiplicando por a-1 (x;0;h) Ptc(x;h) = [ E(x;n) + Ptc(x;h) AI(x;0;h) + Ptc(x;h) A(x;h;n-h) ] a-1 (x;0;h) + a-1 (x;0;h) + + + Ptc(x;h) a-1 (x;0;h) + Ptc(x;h) como: AI(x;0;h)/ a(x;0;h) = Pv(x;h) Ptc(x;h) = [E(x;n) a-1(x;0;h) + a-1(x;0;h) + ] / [1 – Pv(x;h) – h . A(x;h;n-h).a -1(x;0;h) – .a1 (x;0;h)-] Ejemplo: x = 26
n=20
= 0,8
= 0,15
h = 10
Ecuación de equivalencia PTC(26;10) a(26;0;10) = E(26;20) + PTC(26;10) AI(26;0;10) + 10 PTC(26;10).A(26;10;10) + 0,80 PTC(26;10) + 0,15 PTC(26;10) PTC(26;10) = [ E(26;20) a-1 (26;0;10) ] / [ 1- Pv(26;10) - 10. A(26;10;10). a-1 (26;0;10) -[ 0,8. a -1 (26;0;10) - 0,15 ] = [ 0,43379352 / 8,374222002 ] / { 1 - 0,0777434529 / 8,374222002 162
- 10. 0,0168094495 / 8,374222002 - 0,8 / 8,374222002 - 0,15 } = 0,051801053 / 0,72511222551 = 0,07143867038 donde: AI(26;0;20) = 0,0777434529 A(26;10;10) = 0,0168094495 Cálculo de la PT(x;h) PT(x;h) a(x;0;h) = E(x;n) + + a(x;0;h) + PT(x;h) + PT(x;h) a(x;0;h) PT(x;h) = E(x;n) a-1 (x;0;h) + a-1 (x;0;h) + + PT(x;h) a-1 (x;0;h) + PT(x;h) PT(x;h) = [E(x;n) a-1 (x;0;h) + a-1 (x;0;h) + ] / [ 1 - a-1 (x;0;h) - ] Ejemplo: x = 26
n = 20
h = 10
= 0,80
= 0,15
PT(26;10) = E(26;20) a-1 (26;0;10) / [ 1 - 0,8.a-1(26;0;10) - 0,15 ] = 0,051801053 / 0,7544687375 = 0,068658978726 Cálculo de la PPA(x;h) P(x;h) a(x;0;h) = P(x;1) = E(x;n) P(x;h) = E(x;n) / a(x;0;h) Ejemplo: x = 26
n = 20
h = 10
P(26;10) = E(26;20) / a(26;0;10) = 0,051801053 * Conclusión: PPA(x;h) 0,051801053
<
PT(x;h)
<
PTC(x;h)
< 0,068658978726
<
0,07143867038
* Análisis de la prima de tarifa: CONCEPTO Primas Puras ( P.P.A. ) vida muerte Gastos iniciales (amortización) - s/ P.T. periódicos - s/ P.T. Total
VALORES ABSOLUTOS 0,05389824 0,05180105 0,00209719
VALORES RELATIVOS 75,4468% 72,5112% 2,9356% 24,5532%
0,00682462 0,00682462 0,01071580 0,01071580
15,00
0,07143867
100,00 %
9,5531% % 163
donde: vida: E(26;20).a-1 (26;0;10) = 0,05180105 muerte: [ PTC(26;10).AI(26;0;10) + 10.PTC(26;10).A(26;10;10) ] / a(26;0;10) = 0,00209719 gastos de adquisición: 0,8.PTC(26;10) / a(26;0;10) = 0,00682462 gastos de cobranza: 0,15. PTC(26;10) = 0,01071580 * Otra expresión de la PTC(x;h) 1 ) PTC(x;h) = E(x;n) / a(x;0;h).[1- Pv(x;h) - h. A(x;h;n-h) .a-1 (x;0;h) - . a-1 (x;0;h) - ] recargo sobre la prima pura de la cobertura principal = 0,051801053 . 1,379096869168 = 0,07143867038 2 ) PTC(x;h) = [ E(x;n) / a(x;0;h) + PTC(x;h) AI(x;0;h) a-1 (x;0;h) + + h.PTC(x;h) A(x;h;n-h) a -1 (x;0;h) ] .{ 1/ [ 1- . a-1 (x;0;h) - ] } recargo sobre la prima pura de la cobertura total { 1 / [ 1- . a-1 (x;0;h) - ] } = 1,325435966125767
4- Cobertura principal: Seguro de Vida por “n” años con un diferimiento de h Contra cobertura: seguro de muerte inmediato y temporario ( por el plazo de diferimiento de la cobertura principal, durante el período de pago de primas ) con capital asegurado variable. 0
1
2
h-1
h
h+1
h+n - 1
h+n
x
x+1
x+2
x+h-1
x+h
x+h+1
x+h+n-1
x+h+n
Cob. Princ. 1 1 Contr: PtTC ó 2 PTC ó ..... ó(h-1)PTC ó h PTC Gastos: PTC PTC PTC PTC
1
1
Pagos: PTC(x;h) PTC(x;h)PTC(x;h)
PTC(x;h)
donde: PTC(x;h) es la prima de tarifa con contraseguro, anual. Si el asegurado alcanza con vida la edad x+h, recibirá mientras viva y hasta la edad x+h+n, una renta anual.
164
Si el asegurado fallece durante el período de pagos de primas los derechohabientes recibirán las primas abonadas hasta ese momento (a fin de año de fallecimiento del asegurado). Ecuaciones de equivalencia P(x;1) = a(x;h;n) + PTC(x;h) AI(x;0;h)
[1]
PTC(x;h) a(x;0;h) = P(x;1) + + a(x;0;h) + PTC(x;h) + PTC(x;h) a(x;0;h)
[2]
Sustituyendo [ 1 ] en [ 2 ] y multiplicando por a-1 (x;0;h) PTC(x;h) = [ a(x;h;n) + PTC(x;h) AI(x;0;h) ] a-1 (x;0;h) + a-1 (x;0;h) + + + PTC(x;h) a-1 (x;0;h) + PTC(x;h) PTC(x;h) = [ a(x;h;n) a-1 (x;0;h) + a-1 (x;0;h) + ] / [ 1 - Pv(x;h) - a-1 (x;0;h) - ] Ejemplo: x = 26
n = 20
h = 10
= 0,80
= 0,15
PTC(26;10) = a(26;10;20).a-1 (26;0;10) /[ 1-AI(26;0;10).a-1.(26;0;10)- 0,8.a-1 (26;0;10) - 0,15 ] = 9,098916501 / 8,374222002 / [ 1 - 0,7774345/8,37422 - 0,8 / 3,7422002 - 0,15 ] = 1,086538725 / 0,7451850747 = 1,45807902259 * Cálculo de la PT(x;h) PT(x;h) a(x;0;h) = P(x;1) + + a(x;0;h) + PT(x;h) + PT(x;h) a(x;0;h) PT(x;h) = a(x;h;n). a-1 (x;0;h) + a-1 (x;0;h) + + PT(x;h). a-1 (x;0;h) + PT(x;h) PT(x;h) = [ a(x;h;n). a-1 (x;0;h) + a-1 (x;0;h) + ] / [ 1 - . a-1 (x;0;h) + ] PT(26;10) = a(26;10;20).a-1 (26;0;10) / [ 1 - 0,8.a-1 (26;0;10) - 0,15 ] = 9,09816501 / 8,374222002 / [ 1 - 0,8 / 8,374222002 - 0,15 ] = 1,08653875 / 0,7544687375 = 1,440137505349 * Cálculo de la PPA(x;h) P(x;h) a(x;0;h) = P(x;1) = a(x;h;n) P(x;h) = a(x;h;n) . a-1 (x;0;h) P(26;10) = a(26;10;20). a-1 (26;0;10) = 9,098916501 / 8,374222002 = 1,086538725 * Conclusión: PPA(x;h) 1,086538725
<
PT(x;h)
< 1,440137505349
<
PTC(x;h)
< 1,45807902259 165
* Análisis de la PT(x;h) CONCEPTO Primas Puras ( P.P.A. ) vida muerte Gastos iniciales (amortización) - s/ P.T. periódicos - s/ P.T. Total
VALORES ABSOLUTOS 1,10007503 1,08653872 0,01353631
VALORES RELATIVOS 75,4468% 72,5112% 2,9356% 24,5532%
0,13929212 0,13929212
9,5531% 0,21871185
0,21871185
15,00
%
1,45807902
100,00 %
donde: vida: a(26;10;20).a-1 (26;0;10) = 1,08653872 muerte: PTC(26;10) AI(26;0;10).a-1 (26;0;10) = 0,01353631 gastos de adquisición: 0,8.PTC(26;10) a-1 (26;0;10) = 0,13929212 gastos de cobranza: 0,15.PTC(26;10) = 0,21871185
* Otra expresión de la PT(x;h) 1 - PTC(26;10) = a(26;10;20).a-1 (26;0;10).{ 1 / [ 1 - Pv(26;10) - 0,8.a-1 (26;0;10) - 0,15 ] } recargo sobre prima pura del plan principal = 1,086538725 . 1,3419485 = 1,45807902259 2 - PTC(26;10) = [a(26;10;20).a-1(26;0;10) + PTC(26;10).Pv(26;10)]/{1/1 - 0,8 .a-1(26;0;10) - 0,15} recargo sobre prima pura del plan total (con contraseguro) = [ 1,086538725 + 0,0135363138 ]. 1,325435966 = 1,45807902259
Extra Primas Dado el siguiente caso como ejemplo pero que puede trasladarse a otros: Cobertura principal: Capital diferido de vida Cobertura adicional: Seguro de muerte inmediato y temporario de capital variable Existen dos alternativas posibles:
166
1) En caso de fallecimiento del asegurado en el período de diferimiento de la cobertura principal, se reintegrará a sus derechohabientes al fin del año de fallecimiento del asegurado el valor de la/s prima/s de tarifa del plan principal [ PT(x;n) ] abonadas. 2) En caso de fallecimiento del asegurado en el período de diferimiento de la cobertura principal, se reintegrará a sus derechohabientes ,al fin del año de fallecimiento del asegurado, el valor de la/s prima/s de tarifa de la cobertura total; es decir la prima que cubre el plan principal y el contraseguro [ PTC(x;n) ] abonadas. Alternativa 1 Se establecerá cual es la EXTRAPRIMA que el asegurado deberá pagar para recibir un contraseguro con las características descriptas anteriormente. Llamamos EPT(x;n): a la extraprima de tarifa que se abona en caso de que el contraseguro consista en la devolución de las PT abonadas; aquellas abonadas por la cobertura principal. 0
1
2
t
t+1
n -2
n-1
n
x
x+1
x+2
x+t
x+t+1
x+n-2
x+n-1
x+n
Cob. Princ. 1 Contr: PT ó 2 PT ó ..... ó t PT ó t+1PT ó ....... ó (n-2)PT ó (n-1)PT ó nPT PT(x;n) PT(x;n) PT(x;n) + + + EPT EPT EPT = = = PTC PTC PTC
PT(x;n) PT(x;n) + + EPT EPT = = PTC PTC
PT(x;n) + EPT = PTC
PT(x;n) + EPT = PTC
Ecuaciones de equivalencia P(x;1) = E(x;n) + PT(x;n) AI(x;0;n)
[1]
[ PT(x;n) + EPT(x;n) ] a(x;0;n) = P(x;1) + + a(x;0;n) + [ PT(x;n) + EPT(x;n) ] + + [ PT(x;n) + EPT(x;n) ] a(x;0;n)
[2]
Reemplazando [ 1 ] en [ 2 ], tomando en cuenta que: PT(x;n) a(x;0;n) = E(x;n) + + a(x;0;n) + PT(x;n) + PT(x;n) a(x;0;n) P(x;1) = E(x;n) + PT(x;n) AI(x;0;n) EPT(x;n) a(x;0;n) = PT(x;n) AI(x;0;n) + EPT(x;n) + EPT(x;n) a(x;0;n) EPT(x;n) = PT(x;n) AI(x;0;n) a-1 (x;0;n) + EPT(x;n) a-1 (x;0;n) + EPT(x;n) = PT(x;n) Pv(x;n) / [ 1 - a-1 (x;0;n) - ] Para calcular el monto a pagar realmente, para hacer frente a la cobertura total : PT(x;n) + EPT(x;n) = PT(x;n) + PT(x;n) Pv(x;n) / [ 1 - a-1 (x;0;n) - ] = PT(x;n) { 1 + Pv(x;n) / [ 1 - a-1 (x;0;n) - ] } 167
Llamamos EPT(x;n) a la extraprima por unidad de prima de tarifa. EPT(x;n) = EPT(x;n) / PT(x;n) = [ 1 / PT(x;n) ] . PT(x;n) Pv(x;n) / [1 - a-1 (x;0;n) - ] Alternativa 2 Se establecerá cual es la EXTRAPRIMA que el asegurado deberá pagar para recibir un contraseguro con las características descriptas anteriormente. Llamamos EPTC(x;n): a la extraprima de tarifa que se abona en caso de que el contraseguro consista en la devolución de las PTC abonadas; aquellas abonadas por la cobertura total. EPTC(x;n) = PTC(x;n) - PT(x;n) 0
1
2
t
t+1
n -2
n-1
n
x
x+1
x+2
x+t
x+t+1
x+n-2
x+n-1
x+n
Cob. Princ. Contr:
1 PTC ó 2 PTC ó ... ó t PTC ó (t+1)PT ó ... ó (n-2)PTC ó (n-1)PTC ó nPTC
PT(x;n) PT(x;n) + + EPTC EPTC = =
PT(x;n) + EPTC =
PTC(x;n) PTC(x;n) PTC(x;n)
PT(x;n) PT(x;n) + + EPTC EPTC = = PTC(x;n) PTC(x;n)
PT(x;n) + EPTC =
PT(x;n) + EPTC =
PTC(x;n) PTC(x;n)
Ecuaciones de equivalencia P(x;1) = E(x;n) + PTC(x;n) AI(x;0;n)
[1]
PTC(x;n) a(x;0;n) = P(x;1) + + a(x;0;n) + PTC(x;n) + PTC(x;n) a(x;0;n)
[2]
Reemplazando [ 1 ] en [ 2 ], tomando en cuenta que: PT(x;n) a(x;0;n) = E(x;n) + + a(x;0;n) + PT(x;n) + PT(x;n) a(x;0;n) PTC(x;n) = PT(x;n) + EPTC(x;n) EPTC(x;n) a(x;0;n) = PT(x;n) AI(x;0;n) + EPTC(x;n) AI(x;0;n) + EPT(x;n) + EPT(x;n) a(x;0;n) EPT(x;n) = PT(x;n) Pv(x;n) / [ 1 - a-1 (x;0;n) - - Pv(x;n) ] Para calcular el monto a pagar realmente, para hacer frente a la cobertura total : PTC(x;n) = PT(x;n) + EPTC(x;n) = PT(x;n) { 1 + Pv(x;n) / [ 1 - a-1 (x;0;n) - - Pv(x;n) ] } Llamamos EPTC(x;n) a la extraprima por unidad de prima de tarifa. 168
EPTC(x;n) = EPTC(x;n) / PT(x;n) = Pv(x;n) / [ 1 - a-1 (x;0;n) - - Pv(x;n) ] Relaciones entre la extraprima por unidad de prima de tarifa: EPT(x;n) = Pv(x;n) / [1 - a-1 (x;0;n) - ] EPTC(x;n) = Pv(x;n) / [ 1 - a-1 (x;0;n) - - Pv(x;n) ] EPT(x;n) / EPTC(x;n) = [ 1 - a-1 (x;0;n) - ] / [ 1 - a-1 (x;0;n) - - Pv(x;n) ] = 1 - Pv(x;n) / [ 1 - a-1 (x;0;n) - ] = 1- EPT(x;n) EPTC(x;n) = EPT(x;n) / [1 - EPT(x;n)] EPT(x;n) se puede asemejar a una tasa de descuento y EPTC(x;n) a una de interés. EPTC(x;n) = EPTC(x;n)/ PTC(x;n) Entonces: EPT(x;n) = EPTC(x;n) [ 1 - EPT(x;n) ] = EPTC(x;n) - EPTC(x;n) EPT(x;n) EPT(x;n) [ 1+ EPTC(x;n) ] = EPTC(x;n) EPT(x;n) = EPTC(x;n) / [ 1 + EPTC(x;n) ] Ejemplo: x = 26
Capital diferido de vida n = 20
= 0,8
= 0,05
0
1
2
18
19
20
26
27
28
44
45
46 1
PT(26;20) ó 2 PT(26;20)
18PT(26;20) ó 19PT(26;20) ó 20PT(26;20)
P(26;1) = E(26;20) + PT(26;20) AI(26;0;20) [ PT(26;20) + EPT(26;20) ] a(26;0;20) = P(26;1) + 0,8 [ PT(26;20) + EPT(26;20) ] + + 0,05 [ PT(26;20) + EPT(26;20)] a(26;0;20) PT(26;20) + EPT(26;20) = E(26;20). a-1 (26;0;20) + PT(26;20) AI(26;0;20). a-1 (26;0;20) + + 0,8 [ PT(26;20) + EPT(26;20) ] a -1 (26;0;20) + + 0,05 . [ PT(26;20) + EPT(26;20) ] a -1 (26;0;20) PT(26;20) = E(26;20). a-1 (26;0;20) + 0,8.PT(26;20) .a-1(26;0;20) + 0,05. PT(26;20) 169
PT(26;20) = 0,43379352 . 13,90597195-1 / [ 1 - 0,8 . 13,90597195-1 - 0,05 ] = 0,03495326221865 EPT(26;20) = PT(26;20).AI(26;0;20) a-1(26;0;20) +0,8 EPT(26;20) a-1 (26;0;20) + 0,05 EPT(26;20) EPT(26;20) = 0,0349532 . 0.343444877 . 13,90597195-1 / [1 - 0,8 .13,90597195-1 - 0,05] = 0,000967272051 Total a pagar periódicamente: PT(26;20) + EPT(26;20) = 0,03495326221865 + 0,000967272051 = 0,0359205342
170
UNIDAD VIII Reservas Matemáticas Introducción En todo seguro contratado a primas anuales se tiene en el momento inicial que “el compromiso del asegurador iguala al compromiso del asegurado”, pero esta situación encuentra su fin apenas empieza a correr el primer año de vigencia. En los seguros de vida - rentas vitalicias - los compromisos del asegurador decrecen con el transcurso del tiempo; en cambio para los seguros de muerte los compromisos del asegurador se ven incrementados con el tiempo. Así mismo, el compromiso del asegurado, que consiste en el pago de las primas, decrece a medida que va recibiendo la cobertura estipulada. El concepto de “reservas” surge de la necesidad de medir la obligación que el asegurador posee frente a cada asegurado en cualquier momento posterior a la contratación. La Ley 17.418, en sus comentarios al artículo 138 especifica: “La progresividad del riesgo determina en el caso de los seguros plurianuales que la prima - nivelada - resulte en los primeros tiempos, proporcionalmente mayor al riesgo a los efectos técnicos de lograr su uniformidad durante toda la vigencia del seguro, evitando la progresividad de la prima con la consiguiente carga de encarecimiento e imprevisibilidad “. Así, frente a un riesgo progresivo, una prima constante resulta mayor al comienzo del contrato para compensarse después con el incremento del riesgo. El mayor valor proporcional de la prima en los primeros años determina un capital excedente por riesgos futuros, el cual sumado a la renta derivada de su correspondiente inversión constituye la denominada “RESERVA MATEMÁTICA”. Esta reserva juega en los casos de rescate, de conversión de seguro y también como beneficios para el asegurado en forma de préstamos. La reducción de la suma asegurada o del pago, en forma tal que la reserva matemática quede como prima única de un seguro que, por lo tanto, se denomina saldado - íntegramente pagado brinda una solución para propender el mantenimiento de la vigencia del seguro. Según el método prospectivo para el cálculo de la reserva, ésta resulta del exceso del valor actual actuarial del riesgo no corrido por encima de las primas a pagar. Según el método retrospectivo para el cálculo de la reserva, ésta resulta del exceso del valor actual actuarial de las primas pagadas por encima del valor final actuarial del riesgo corrido.
Seguro Temporario de Muerte: Cálculo en forma anual: Cálculo a P.P.U: 0) P(x;1) = A(x;0;n) P(x;1) = A(x;0;t)+A(x;t;n-t) Valuando en t (período intermedio) t) P(x;1).E-1 (x;t) = A(x;0;t).E-1 (x;t)+A(x+t;0;n-t) Separando por un lado lo que ya pasó y por otro lado lo que falta correr. 171
P(x;1).E-1 (x;t) - A(x;0;t).E-1 (x;t)=A(x+t;0;n-t) donde: V(x;t) = P(x;1).E-1 (x;t) - A(x;0;t).E-1 (x;t) Método retrospectivo del cálculo de la reserva. V(x;t) = A(x+t;0;n-t) Método prospectivo del cálculo de la reserva. Ejemplo:
x=26
n=20
t=10
A(26;0;20) = 0,031361484
Método Retrospectivo: V(26;10) = P(26;1).E-1 (26;10) - A(26;0;10).E-1 (26;10) = 0,031361484 / 0,663362345 - 0,014552193 / 0,663362345 = 0,0253395 Método Prospectivo: V(26;10) = A(36;0;10) = 0,0253395 Graficamente: 0
1
t-1
t
n-1
n
x
x+1
x+t-1
x+t
x+n-1
x+n
P(x;1)
V(x;t) x es la edad de contratación del seguro, t es el momento donde calculo la reserva.
Cálculo a P.P.A: 0)P(x;n).a(x;0;n)=A(x;0;n) P(x;n).[a(x;0;t)+a(x;t;n-t)]=A(x;0;t)+A(x;t;n-t) Valuando en t t)P(x;n).S(x;t;1)+P(x;n).a(x+t;0;n-t)=A(x;0;t).E -1 (x;t)+A(x+t;0;n-t) Separando por un lado lo que ya pasó y por otro lado lo que falta correr. PTM(x;n).S(x;t;1) - A(x;0;t).E-1 (x;t) = A(x+t;0;n-t) - PTM(x;n).a(x+t;0;n-t) donde: VTM(x;t;1) = PTM(x;n).S(x;t;1) - A(x;0;t).E-1(x;t) Método retrosp. del cálculo de la reserva. VTM(x;t;1) = A(x+t;0;n-t) - PTM(x;n).a(x+t;0;n-t) Método prospectivo del cálculo de la reserva. x es la edad de contratación del seguro. t indica la cantidad de primas pagadas. 1 indica que se está valuando un período después del momento que se ingresa la t-ésima prima. Prospectivo: Es el valor actual de la cobertura a prestar menos el valor actual de las primas a pagar. 172
Retrospectivo: Es el valor final de las primas pagadas menos el valor final de la cobertura prestada. Otros métodos para el cálculo de la reserva: -Método del encaje del futuro: (parte del método prospectivo) VTM(x;t;1) = A(x+t;0;n-t) - PTM(x;n).a(x+t;0;n-t)
donde A(x+t;0;n-t) = PTM (x+t;n-t).a(x+t;0;n-t)
entonces: = PTM (x+t;n-t).a(x+t;0;n-t) - PTM(x;n).a(x+t;0;n-t) VTM(x;t;1) = [PTM (x+t;n-t) - PTM(x;n)].a(x+t;0;n-t) es el valor actual de la diferencia de la prima que se debería pagar y la que realmente se paga. -Método en función de las Rentas: (parte del método de encaje del futuro) VTM(x;t;1)= [PTM (x+t;n-t) - PTM(x;n)].a(x+t;0;n-t) [A] sabiendo que: PTM(x;n)=[1-E(x;n)].a-1(x;0;n)-d
(a)
análogamente: P (x+t;n-t)=[1-E(x+t;n-t)].a (x+t;0;n-t)-d (b) TM
-1
reemplazando (a) y (b) en
[A]
VTM(x;t;1)= {[1-E(x+t;n-t)].a-1(x+t;0;n-t) - d - [1-E(x;n)].a-1(x;0;n) +d }.a(x+t;0;n-t) VTM(x;t;1)=[1-E(x+t;n-t)]- [1-E(x;n)]. a(x+t;0;n-t) / a(x;0;n) -Método del encaje del pasado: (parte del método retrospectivo) VTM(x;t;1) = PTM(x;n).S(x;t;1) - A(x;0;t).E-1 (x;t)
donde A(x;0;t) = PTM (x;t).a(x;0;t)
= PTM(x;n).S(x;t;1) - PTM (x;t).a(x;0;t).E-1(x;t) = PTM(x;n).S(x;t;1) - PTM (x;t).S(x;t;1) VTM(x;t;1) = [ PTM(x;n) - PTM (x;t)] . S(x;t;1) es el valor final de la diferencia de la prima que se debería haber pagado por el riesgo corrido hasta t. -Método en función de las Imposiciones: (parte del método del encaje del pasado) VTM(x;t;1) = [PTM(x;n) - PTM (x;t)] . S(x;t;1)
[A]
Sabiendo que: PTM(x;n) = [1-E(x;n)].a-1(x;0;n)-d = [1-E(x;n)].E(x;n)/E(x;n) . a-1(x;0;n) - d = [E-1(x;n) - 1].S-1(x;n;1) - d
(a)
análogamente: PTM(x;t) = [ E-1(x;t) - 1].S-1(x;t;1) - d
(b)
reemplazando (a) y (b) en [A] VTM(x;t;1) = {[E-1(x;n) - 1].S-1(x;n;1) - d -[ E-1(x;t) - 1].S-1(x;t;1) + d}. S(x;t;1) VTM(x;t;1) = [E-1(x;n) - 1]. S(x;t;1) / S(x;n;1) - [ E-1(x;t) - 1] Ejemplos:
x = 26
t = 10
n = 20
P TM(26;20) = 0,002255253 173
Método Retrospectivo: VTM(26;10;1)= PTM(26;20).S(26;10;1) - A(26;0;10).E-1 (26;10) =0,002255253 . 12,6239032 - 0,014552193/ 0,663362345 = 0,006533 Método Prospectivo: VTM(26;10;1) = A(36;0;10) - PTM(26;20).a(36;0;10) = 0,0253395 - 0,002255253 . 8,338955 = 0,006533 Método del encaje del futuro: VTM(26;10;1) = [PTM(36;10)-PTM(26;10)].a(36;0;10) = [0,00303869-0,002255253].8,338955 = 0,006533 Método en función de las rentas: VTM(26;10;1) = [1-E(36;10)]- [1-E(26;20)]. a(36;0;10) / a(26;0;20) = [1-0,6539314]-[1-0,4333793479].8,338955 / 13,905970966 = 0,006533 Método del encaje del pasado: VTM(26;10;1) = [ PTM(26;20) - PTM (26;10)] . S(26;10;1) = [0,002255253 - 0,00173773].12,6239032 = 0,006533 Método en función de las imposiciones: VTM(26;10;1) = [E-1(26;20) - 1]. S(26;10;1) / S(26;20;1) - [ E-1(26;10) - 1] = [2,3052444 - 1].12,6239032 / 32,0566621 - [1,507471 - 1] = 0,006533
Seguro del Capital diferido de vida Cálculo a P.P.U 0)P(x;1) = E(x;n) P(x;1) = E(x;t).E(x+t;n-t) Valuando en t t) P(x;1)E-1(x;t)=E(x+t;n-t) donde: VCD(x;t) = P(x;1)E-1(x;t) Método retrospectivo del cálculo de la reserva. VCD(x;t) = E(x+t;n-t) Ejemplo:
x = 26
t = 10
Método prospectivo del cálculo de la reserva. n = 20
P CD(x;1)=0,43379479
Método Retrospectivo: 174
VCD(26;10) = P(26;1)E-1(26;10) = 0,43379479/0,663362345 = 0,6539314 Método Prospectivo: VCD(26;10) = E(36;10) = 0,6539314 Cálculo a P.P.A. 0)P(x;n).a(x;0;n)=E(x;n) P(x;n).[a(x;0;t)+a(x;t;n-t)]=E(x;t).E(x+t;n-t) Valuando en t t)PCD(x;n).S(x;t;1)+PCD(x;n).a(x+t;0;n-t)=E(x+t;n-t) Separando por un lado lo que ya pasó y por otro lado lo que falta correr, PCD(x;n).S(x;t;1)=E(x+t;n-t) - PCD(x;n).a(x+t;0;n-t) donde: VCD(x;t;1) = PCD(x;n).S(x;t;1) Método retrospectivo del cálculo de la reserva (es sólo el valor final de las primas ya que no hay riesgo corrido). VCD(x;t;1) = E(x+t;n-t) - PCD(x;n).a(x+t;0;n-t) Método prospectivo del cálculo de la reserva. Otros métodos para el cálculo de la reserva: -Método del encaje del futuro: (parte del método prospectivo) VCD(x;t;1) = E(x+t;n-t) - PCD(x;n) a(x+t;0;n-t)
donde E(x+t;n-t) = P(x+t;n-t). a(x+t;0;n-t)
entonces: = P(x+t;n-t). a(x+t;0;n-t) - PCD(x;n) a(x+t;0;n-t) VCD(x;t;1) = [P(x+t;n-t) - PCD(x;n)]. a(x+t;0;n-t) es el valor actual de la diferencia entre la prima que se debería pagar y la que realmente se está pagando. -Método en función de las Rentas:(parte del método del encaje del futuro) VCD(x;t;1) = [P(x+t;n-t) - PCD(x;n)]. a(x+t;0;n-t) sabiendo que: PCD(x;n)=E(x;n) / a(x;0;n)
y
PCD(x+t;n-t)=E(x+t;n-t) / a(x+t;0;n-t)
VCD(x;t;1) = [ E(x+t;n-t) / a(x+t;0;n-t) - E(x;n) / a(x;0;n) ]. a(x+t;0;n-t) VCD(x;t;1) = E(x+t;n-t) - E(x;n) . a(x+t;0;n-t) / a(x;0;n) -Método del encaje del pasado: (parte del método retrospectivo) VCD(x;t;1) = PCD(x;n).S(x;t;1) 175
-Método en función de las imposiciones:(parte del método del encaje del pasado) VCD(x;t;1) = PCD(x;n).S(x;t;1) donde: PCD(x;n) = E(x;n) / a(x;0;n)= E(x;n). a-1(x;0;n)=S-1(x;n;1) entonces: VCD(x;t;1) = S-1(x;n;1) . S(x;t;1) VCD(x;t;1) = S(x;t;1) / S(x;n;1) Ejemplos:
x = 26
n = 20
t = 10
P CD(26;20) = 0,03119476
Método retrospectivo: VCD(26;10;1) = PCD(26;20).S(26;10;1) = 0,03119476 . 12,6239032 = 0,393799 Método Prospectivo: VCD(26;10;1) = E(36;10) - PCD(26;20).a(36;0;10) = 0,6539314 - 0,03119476 . 8,338955 = 0,393799 Método del encaje del futuro: VCD(26;10;1) = [PCD(36,10) - PCD(26,20)].a(36;0;10) = [0,0784188-0,03119476].8,338955 = 0,393799 Método en función de las rentas: VCD(26;10;1) = E(36,10)-E(26;20).a(36;0;10)/a(26;0;20) = 0,0539314 - 0,433793479.8,338955 / 13,905970966 = 0,393799 Método del encaje del pasado: VCD(26;10;1) = PCD(26;20).S(26;10;1) = 0,03119476 . 12,6239032 = 0,393799 Método en función de las imposiciones: VCD(26;10;1) = S(26;10;1) / S(26;20;1) = 12,6239032 / 32,0566621 = 0,393799
Seguro Dotal Cálculo a P.P.U 0)PD(x;1) = A(x;0;n)+E(x;n) PD(x;1) = A(x;0;t)+A(x;t;n-t)+E(x;t).E(x+t;n-t) Valuando en t t)PD(x;1).E-1(x;t) = A(x;0;t).E-1(x;t)+A(x+t;0;n-t)+E(x+t;n-t) Separando por un lado lo que ya pasó y por otro lado lo que falta correr, PD(x;1).E-1(x;t)-A(x;0;t).E-1(x;t) = A(x+t;0;n-t)+E(x+t;n-t) donde: 176
VD(x;t) = PD(x;1).E-1(x;t)-A(x;0;t).E-1(x;t) Método retrospectivo del cálculo de la reserva. VD(x;t)= A(x+t;0;n-t)+E(x+t;n-t) Método prospectivo del cálculo de la reserva. Ejemplo:
x = 26
n = 20
t = 10 P D(26;1)=0,465154
Método Retrospectivo: VD(26;10) = P(26;1)E-1(26;10) - A(26;0;10).E-1(26;10) = 0,465154 / 0,663362345 - 0,014552193 / 0,663362345 = 0,6792709 Método Prospectivo: VD(26;10) = A(36;0;10) + E(36;10) = 0,0253395 + 0,6539314 = 0,6792709 Cálculo a P.P.A 0)PD(x;n).a(x;0;n) = A(x;0;n)+E(x;n) PD(x;n).[a(x;0;t)+a(x;t;n-t)]=A(x;0;t)+A(x;t;n-t)+E(x;t).E(x+t;n-t) Valuando en t t) PD(x;n).S(x;t;1)+PD(x;n).a(x+t;0;n-t)=A(x;0;t).E-1(x;t)+A(x+t;0;n-t)+E(x+t;n-t) Separando por un lado lo que ya pasó y por otro lado lo que falta correr, PD(x;n).S(x;t;1) - A(x;0;t).E-1(x;t)=A(x+t;0;n-t)+E(x+t;n-t) - PD(x;n).a(x+t;0;n-t) donde: VD(x;t;1) = PD(x;n).S(x;t;1) - A(x;0;t).E-1(x;t) Método retrospectivo del cálculo de la reserva. VD(x;t;1) = A(x+t;0;n-t)+E(x+t;n-t) - PD(x;n).a(x+t;0;n-t) Método prosp. Otros métodos para el cálculo de la reserva: -Método del encaje del futuro:(parte del método prospectivo) VD(x;t;1) = A(x+t;0;n-t)+E(x+t;n-t) - PD(x;n).a(x+t;0;n-t) donde:
A(x+t;0;n-t)+E(x+t;n-t)= PD(x+t;n-t).a(x+t;0;n-t)
reemplazando: VD(x;t;1) = PD(x+t;n-t).a(x+t;0;n-t) - PD(x;n).a(x+t;0;n-t) VD(x;t;1)= [ PD(x+t;n-t) - PD(x;n) ] . a(x+t;0;n-t) -Método en función de las Rentas: (parte del método de encaje del futuro) VD(x;t;1) = [ PD(x+t;n-t) - PD(x;n) ] . a(x+t;0;n-t) Sabiendo que: PD(x;n) = a-1(x;0;n) - d
[A]
(a) 177
análogamente: PD(x+t;n-t)=a-1(x+t;0;n-t) - d
(b)
reemplazando (a) y (b) en [A] VD(x;t;1)=[ a-1(x+t;0;n-t) - d - a-1(x;0;n) + d ]. a(x+t;0;n-t) VD(x;t;1) = 1 -
a(x+t;0;n-t)/ a(x;0;n)
-Método del encaje del pasado: (parte del método retrospectivo) VD(x;t;1) = PD(x;n).S(x;t;1) - A(x;0;t).E-1(x;t)
donde: A(x;0;t) = PTM(x;t).a(x;0;t)
= PD(x;n).S(x;t;1) - PTM(x;t).a(x;0;t).E-1(x;t) = PD(x;n).S(x;t;1) - PTM(x;t).S(x;t;1) VD(x;t;1) = [ PD(x;n) - PTM(x;t) ] . S(x;t;1) -Método en función de las imposiciones: (parte del método del encaje del pasado) VD(x;t;1)=[ PD(x;n) - PTM(x;t) ] . S(x;t;1)
[A]
sabiendo que: PD(x;n) = a-1(x;0;n) - d = a-1(x;0;n).E(x;n).E-1(x;n) - d = S-1(x;n;1).E-1(x;n) - d
(a)
PTM(x;t) = [1-E(x;t)].a-1(x;0;t)-d = [1-E(x;t)].E(x;t)/E(x;t).a-1(x;0;t) – d = [E-1(x;t)-1].S-1(x;t;1)- d (b) reemplazando (a) y (b)
en [A]
VD(x;t;1) = { S-1(x;n;1).E-1(x;n) - d -[E-1(x;t) - 1].S-1(x;t;1) + d }. S(x;t;1) VD(x;t;1) = E-1(x;n).S(x;t;1) / S(x;n;1) -[ E-1(x;t) - 1] Ejemplos:
x = 26
n = 20
t = 10
P D(26;20) = 0,0334500
Método retrospectivo: VD(26;10;1) = PD(26;20).S(26;10;1) - A(26,0,10) .E-1(26;10) = 0,0334500 . 12,6239032 - 0,014552193/0,663362345 = 0,400332 Método Prospectivo: VD(26;10;1) = A(36;0;10) + E(36;10) - PD(26;20).a(36;0;10) = 0,0253395 + 0,6539314 - 0,0334500 . 8,338955 = 0,400332 Método del encaje del futuro: VD(26;10;1) = [PD(36,10) - PD(26,20)].a(36;0;10) = [0,08145755 - 0,0334500 ].8,338955 = 0,400332 Método en función de las rentas: VD(26;10;1) = 1 - a(36;0;10)/a(26;0;20) = 1 - 8,338955 / 13,905970966 = 0,400332 Método del encaje del pasado: 178
VD(26;10;1) = [PD(26;20)-PTM(26;10)].S(26;10;1) = [0,0334500 - 0,0017377] .12,6239032 = 0,400332 Método en función de las imposiciones: VD(26;10;1) = E-1(26;20).S(26;10;1) / S(26;20;1) - [E-1(26;10) - 1] = 2,305244 .12,6239032 / 32,0566621 - [1,507471 - 1] = 0,400332
Seguro Dotal Doble Capital Caso 0 < t < n Cálculo a P.P.U 0)PDDC(x;1) = A(x;0;w-x)+E(x;n) PDDC(x;1) = A(x;0;t)+A(x;t;w-x-t)+E(x;t).E(x+t;n-t) Valuando en t t) PDDC(x;1) E-1(x;t)=A(x;0;t).E-1(x;t) + A(x+t;0;w-x-t) + E(x+t;n-t) Separando por un lado lo que ya pasó y por otro lado lo que falta correr, PDDC(x;1) E-1(x;t) - A(x;0;t).E-1(x;t ) = A(x+t;0;w-x-t) + E(x+t;n-t) donde: VDDC(x;t) = PDDC(x;1) E-1(x;t) - A(x;0;t).E-1(x;t ) Método retrospectivo del cálculo de la reserva. VDDC(x;t) = A(x+t;0;w-x-t) + E(x+t;n-t) Método prospectivo del cálculo de la reserva. Cálculo a P.P.A 0)PDDC(x;n).a(x;0;n) = A(x;0;w-x)+E(x;n) PDDC(x;n).[a(x;0;t )+a(x;t;n-t)] = A(x;0;t)+A(x;t;w-x-t)+E(x;t).E(x+t;n-t) Valuando en t t) PDDC(x;n).S(x;t;1 ) + PDDC(x;n).a(x+t;0;n-t) = A(x;0;t).E-1(x;t) + A(x+t;0;w-x-t) + E(x+t;n-t) Separando por un lado lo que ya pasó y por otro lado lo que falta correr, PDDC(x;n).S(x;t;1 ) - A(x;0;t).E-1(x;t) = A(x+t;0;w-x-t) + E(x+t;n-t) - PDDC(x;n).a(x+t;0;n-t) donde: VDDC(x;t;1)=PDDC(x;n).S(x;t;1 ) -A(x;0;t).E-1(x;t) Método retrosp. del cálculo de la reserva. VDDC(x;t;1)= A(x+t;0;w-x-t)+E(x+t;n-t) -PDDC(x;n).a(x+t;0;n-t) Método prosp. Ejemplos:
x = 26
n = 20
t = 10
179
Cálculo a P.P.U.
donde: PDDC(26;1)=0,617586
Método Retrospectivo: VDDC(26;10) = PDDC(26;1) E-1(26;10) - A(26;0;10).E-1(26;10 ) = 0,617586/0,663362345 - 0,014552193/0,663362345 = 0,909056 Método Prospectivo: VDDC(26;10) = A(36;0;64) + E(36;10) = 0,255125 + 0,6539314 = 0,909056 Cálculo a P.P.A
donde: PDDC(26;20)=0,044411
Método retrospectivo: VDDC(26;10;1) = PDDC(26;20).S(26;10;1 ) -A(26;0;10).E-1(26;10) = 0,044411 . 12,6239032 - 0,014552193 / 0,663362345 = 0,538711 Método prospectivo: VDDC(26;10;1) = A(36;0;64)+E(36;10) -PDDC(26;20).a(36;0;10) = 0,255125 + 0,6539314 - 0,044411 . 8,37895 = 0,538711 Caso t > n Cálculo a P.P.U 0)PDDC(x;1) = A(x;0;w-x)+E(x;n) PDDC(x;1) = A(x;0;t)+A(x;t;w-x-t)+E(x;n) Valuando en t t) PDDC(x;1) E-1(x;t)=A(x;0;t).E-1(x;t) + A(x+t;0;w-x-t) + E-1(x+n;t-n) Separando por un lado lo que ya pasó y por otro lado lo que falta correr, PDDC(x;1) E-1(x;t) - A(x;0;t).E-1(x;t ) - E-1(x+n;t-n) = A(x+t;0;w-x-t) donde: VDDC(x;t) = PDDC(x;1) E-1(x;t) -A(x;0;t).E-1(x;t )-E-1(x+n;t-n) Método retrosp. VDDC(x;t) = A(x+t;0;w-x-t) Método prospectivo del cálculo de la reserva. Cálculo a P.P.A 0)PDDC(x;n).a(x;0;n)=A(x;0;w-x)+E(x;n) PDDC(x;n).a(x;0;n)=A(x;0;t)+A(x;t;w-x-t)+E(x;n) Valuando en t t) PDDC(x;n).S(x;n;1).E-1(x+n;t-n)= A(x;0;t).E-1(x;t) + A(x+t;0;w-x-t) + E-1(x+n;t-n) 180
Separando por un lado lo que ya pasó y por otro lado lo que falta correr, PDDC(x;n).S(x;n;1 ).E-1(x+n;t-n) - A(x;0;t).E-1(x;t) - E-1(x+n;t-n) = A(x+t;0;w-x-t) donde: VDDC(x;t;1) = PDDC(x;n).S(x;n;1).E-1(x+n;t-n)-A(x;0;t).E-1(x;t)-E-1(x+n;t-n) Método retrosp. VDDC(x;t;1) = A(x+t;0;w-x-t) Método prospectivo del cálculo de la reserva. Ejemplos:
x = 26
Cálculo a P.P.U.
n = 20 t = 30 donde: PDDC(x;1) = 0,617586
Método retrospectivo: VDDC(26;30) = PDDC(26;1) E-1(26;30) -A(26;0;30).E-1(26;30 )-E-1(46;10) = 0,617586/0,272374619 - 0,055581593/0,272374619 - 1,592635 = 0,470715 Método prospectivo: VDDC(26;30) = A(56;0;64) = 0,470715 Cálculo a P.P.A.
donde: PDDC(26;20) = 0,044411
Método retrospectivo: VDDC(26;30;1) = PDDC(26;20).S(26;20;1) E-1(46;10) -A(26;0;30).E-1(26;30 )-E-1(46;10) = 0,044411 . 32,0566621.1,592635 - 0,055581593/0,272374619 - 1,592635 = 0,470715 Método prospectivo: VDDC(26;30;1) = A(56;0;64) = 0,470715
Seguro Ordinario de Vida Cálculo a P.P.A 0)POV(x;w-x).a(x;0;w-x) = A(x;0;w-x) POV(x;w-x).[a(x;0;t)+a(x;t;w-x-t)] = A(x;0;t)+A(x;t;w-x-t) Valuando en t t) POV(x;w-x).S(x;t;1)+ POV(x;w-x).a(x+t;0;w-x-t) = A(x;0;t).E-1(x;t) + A(x+t;0;w-x-t) Separando por un lado lo que ya pasó y por otro lado lo que falta correr, POV(x;w-x).S(x;t;1) - A(x;0;t).E-1(x;t) = A(x+t;0;w-x-t) - POV(x;w-x).a(x+t;0;w-x-t) donde: VOV(x;t;1) = POV(x;w-x).S(x;t;1)-A(x;0;t).E-1(x;t)Método retrospectivo del cálculo de la reserva. VOV(x;t;1) = A(x+t;0;w-x-t) - POV(x;w-x).a(x+t;0;w-x-t)Método prosp. del cálculo de la reserva. 181
Ejemplos:
x = 26
n = 20 t = 10
P OV(26;74) = 0,0086607
Método retrospectivo: VOV(26;10;1) = POV(26;74).S(26;10;1) - A(26;0;10).E-1(26;10) = 0,0086607 . 12,6239032 - 0,014552193 / 0,663362345 = 0,0873948 Método prospectivo: VOV(26;10;1) = A(36;0;64) - POV(26;74).a(36;0;64) = 0,255125 - 0,0086607 . 19,36674 = 0,0873948
Plan Vida Pagos Limitados Cálculo a P.P.A Caso 0 < t < n 0)PVPL(x;n).a(x;0;n) = A(x;0;w-x) PVPL(x;n).[a(x;0;t)+a(x;t;n-t)] = A(x;0;t)+A(x;t;w-x-t) Valuando en t t) PVPL(x;n).S(x;t;1)+ PVPL(x;n).a(x+t;0;n-t) = A(x;0;t).E-1(x;t)+A(x+t;0;w-x-t) Separando por un lado lo que ya pasó y por otro lado lo que falta correr, PVPL(x;n).S(x;t;1) - A(x;0;t).E-1(x;t) =A(x+t;0;w-x-t) - PVPL(x;n).a(x+t;0;n-t) donde: VVPL(x;t;1) = PVPL(x;n).S(x;t;1) - A(x;0;t).E-1(x;t) Método retrosp. del cálculo de la reserva. VVPL(x;t;1) = A(x+t;0;w-x-t)-PVPL(x;n).a(x+t;0;n-t) Método prosp. del cálculo de la reserva. Ejemplo: x = 26
n = 20 t = 10
P VPL(26;20) = 0,0132168
Método retrospectivo: VVPL(26;10;1) = PVPL(26;20).S(26;10;1) - A(26;0;10).E-1(26;10) = 0,0132168 . 12,6239032 - 0,014552193 / 0,663362345 = 0,144910 Método prospectivo: VVPL(26;10;1) = A(36;0;64)-PVPL(26;20).a(36;0;10) = 0,255125 - 0,0132168 . 8,338955 = 0,144910 Caso t > n 0)PVPL(x;n).a(x;0;n) = A(x;0;w-x) PVPL(x;n).a(x;0;n)= A(x;0;t)+A(x;t;w-x-t) Valuando en t t) PVPL(x;n).S(x;n;1).E-1(x+n;t-n)= A(x;0;t).E-1(x;t)+A(x+t;0;w-x-t) 182
Separando por un lado lo que ya pasó y por otro lado lo que falta correr, PVPL(x;n).S(x;n;1).E-1(x+n;t-n) - A(x;0;t).E-1(x;t) =A(x+t;0;w-x-t) donde: VVPL(x;t;1) = PVPL(x;n).S(x;n;1).E-1(x+n;t-n) - A(x;0;t).E-1(x;t) Método retrospectivo. VVPL(x;t;1) = A(x+t;0;w-x-t) Método prospectivo del cálculo de la reserva. Ejemplo: x = 26
n = 20 t = 30
P VPL(26;20) = 0,0132168
Método retrospectivo: VVPL(26;30;1) = PVPL(26;20).S(26;20;1).E-1(46;10) - A(26;0;30).E-1(26;30) = 0,0132168.32,0566621.1,592635 - 0,055581593/0,272374619 - 1,592635 = 0,470715 Método prospectivo: VVPL(26;30;1) = A(56;0;44) = 0,470715
Seguro de Muerte de Riesgo Diferido y Plazo Limitado Pago de primas durante el período de diferimiento P(x;1) < A(x;h;n) PSM(x;1) = A(x;h;n) PSM(x;h).a(x;0;h)=A(x;h;n) Caso t < h 0)PSM(x;h).a(x;0;h) = A(x;h;n) PSM(x;h).[a(x;0;t)+a(x;t;h-t)] = A(x;h;n)] donde: A(x;h;n) = E(x;h).A(x+h;0;n) = E(x;t).E(x+t;h-t).A(x+h;0;n) a(x;t;h-t) = E(x;t).a(x+t;0;h-t) entonces: PSM(x;h).[a(x;0;t)+ E(x;t).a(x+t;0;h-t)] = E(x;t).E(x+t;h-t).A(x+h;0;n) Valuando en t t) PSM(x;h).S(x;t;1)+ PSM(x:h).a(x+t;0;h-t)= E(x+t;h-t).A(x+h;0;n) Separando por un lado lo que ya pasó y por otro lado lo que falta correr, PSM(x;h).S(x;t;1)= E(x+t;h-t).A(x+h;0;n) - PSM(x;h).a(x+t;0;h-t) PSM(x;h).S(x;t;1)= A(x+t;h-t;n) - PSM(x;h).a(x+t;0;h-t) donde: VSM(x;t;1) = PSM(x;h).S(x;t;1) Método retrospectivo del cálculo de la reserva. VSM(x;t;1) = A(x+t;h-t;n) - PSM(x;h).a(x+t;0;h-t) Método prospectivo del cálculo de la reserva. 183
Ejemplo:
x = 26
h = 15
n = 20
t = 10
P SM(26;15) = 0,004326
Método retrospectivo: VSM(26;10;1) = PSM(26;15).S(26;10;1) = 0,004326 . 12,6239032 = 0,05462 Método prospectivo: VSM(26;10;1) = A(36;5;20) - PSM(26:15).a(36;0;5) = 0,0745688- 0,004326. 4,608528 = 0,05462 Caso t > h 0)PSM(x;h).a(x;0;h)=A(x;h;n) donde: A(x;h;n) = E(x;h).A(x+h;0;n)=E(x;h).[A(x+h;0;t-h) + A(x+h;t-h;n+h-t)] PSM(x;h).a(x;0;h)= E(x;h).[A(x+h;0;t-h) + A(x+h;t-h;n+h-t)] Valuando en t t) PSM(x;h).a(x;0;h).E-1(x;t)= E(x;h).E-1(x;t).A(x+h;0;t-h)+E(x;h).E-1(x;t).E(x+h;t-h).A(x+t;0;n+h-t)] PSM(x;h).S(x;h;1).E-1(x+h;t-h)= E-1(x+h;t-h).A(x+h;0;t-h)+A(x+t;0;n+h-t) Separando por un lado lo que ya pasó y por otro lado lo que falta correr, PSM(x;h).S(x;h;1).E-1(x+h;t-h) - E-1(x+h;t-h).A(x+h;0;t-h)=A(x+t;0;n+h-t) donde: VSM(x;t;1) = PSM(x;h).S(x;h;1).E-1(x+h;t-h) - E-1(x+h;t-h).A(x+h;0;t-h) Método retrospectivo VSM(x;t;1) = A(x+t;0;n+h-t) Método prospectivo. Ejemplos:
x = 26
h = 15
n = 20
t = 18
Método retrospectivo: VSM(26;18;1) = PSM(26;15).S(26;15;1).E-1(41;3) - E-1(41;3).A(41;0;3) = 0,004326.21,2412277.1,1370092 - 1,1370092.0,0098609 = 0,09328 Método prospectivo: VSM(26;18;1) = A(44;0;17) = 0,09328
Renta Vitalicia de Riesgo Diferido y Plazo Limitado Con pago de primas durante el periodo de diferimiento P(x;1) < a(x;h;n) PRV(x;1) = a(x;h;n) PRV(x;h).a(x;0;h) = a(x;h;n) Caso t < h 0)PRV(x;h).a(x;0;h) = a(x;h;n) 184
PRV(x;h).[a(x;0;t)+a(x;t;h-t)] = a(x;h;n) donde: a(x;h;n) = E(x;h).a(x+h;0;n) = E(x;t).E(x+t;h-t).a(x+h;0;n) a(x;t;h-t) = E(x;t).a(x+t;0;h-t) entonces: PRV(x;h).[a(x;0;t)+ E(x;t).a(x+t;0;h-t)] = E(x;t).E(x+t;h-t).a(x+h;0;n) Valuando en t t) PRV(x;h).S(x;t;1)+PRV(x;h).a(x+t;0;h-t) = E(x+t;h-t).a(x+h;0;n) Separando por un lado lo que ya pasó y por otro lado lo que falta correr, PRV(x;h).S(x;t;1) = E(x+t;h-t).a(x+h;0;n) - PRV(x;h).a(x+t;0;h-t) PRV(x;h).S(x;t;1) = a(x+t;h-t;n) - PRV(x;h).a(x+t;0;h-t) donde: VRV(x;t;1) = PRV(x;h).S(x;t;1) Método retrospectivo del cálculo de la reserva. VRV(x;t;1) = a(x+t;h-t;n) - PRV(x;h).a(x+t;0;h-t) Método prospectivo del cálculo de la reserva. Ejemplos:
x = 26
n = 20
h = 15
t = 10
P RV(26;15) = 0,636227
Método retrospectivo: VRV(26;10;1) = PRV(26;15).S(26;10;1) = 0,636227 . 12,6239032 = 8,031670 Método prospectivo: VRV(26;10;1) = a(36;5;20) - PRV(26;15).a(36;0;5) = 10,9637540122 - 0,636227.4,608528066 = 8,031670 Caso t > h 0)PRV(x;h).a(x;0;h)=a(x;h;n) donde: a(x;h;n) = E(x;h).a(x+h;0;n) =E(x;h).[a(x+h;0;t-h) + a(x+h;t-h;h+n-t)] a(x;h;n) = E(x;h).a(x+h;0;t-h)+E(x;h).E(x+h;t-h).a(x+t;0;h+n-t) = E(x;h).a(x+h;0;t-h)+E(x;t).a(x+t;0;h+n-t) entonces: PRV(x;h).a(x;0;h) = E(x;h).a(x+h;0;t-h)+E(x;t).a(x+t;0;h+n-t) Valuando en t t) PRV(x;h).S(x;h;1).E-1(x+h;t-h)= E(x;h).E-1(x;t).a(x+h;0;t-h)+ E(x;t) E-1(x;t).a(x+t;0;h+n-t) PRV(x;h).S(x;h;1).E-1(x+h;t-h)= E-1(x+h;t-h).a(x+h;0;t-h)+a(x+t;0;h+n-t) Separando por un lado lo que ya pasó y por otro lado lo que falta correr, PRV(x;h).S(x;h;1).E-1(x+h;t-h) - E-1(x+h;t-h).a(x+h;0;t-h) = a(x+t;0;h+n-t) donde: 185
VRV(x;t;1) = PRV(x;h).S(x;h;1).E-1(x+h;t-h) - E-1(x+h;t-h).a(x+h;0;t-h)Método retrospectivo. VRV(x;t;1)= a(x+t;0;h+n-t)Método prospectivo. Ejemplos:
x = 26
h = 15
n = 20
t = 18
Método retrospectivo: VRV(26;18;1) = PRV(26;15).S(26;15;1).E-1(41;3) - E-1(41;3).a(41;0;3) = 0,636227 . 21,2412277 . 1,1370092 - 1,1370092 . 2,8766088 = 12,09511 Método prospectivo: VRV(26;18;1) = a(44;0;17) = 12,09511
Seguro de Término Fijo PTF(x;1) = vn = E(x;n) + vn .q(x;0;n) PTF(x;n).a(x;0;n) = E(x;n) + vn .q(x;0;n) 0) PTF(x;n).a(x;0;n) = E(x;n) + vn .q(x;0;n) PTF(x;n).[ a(x;0;t) + a(x;t;n-t) ]= E(x;t).E(x+t;n-t) + vn .[ q(x;0;t)+q(x;t;n-t)] Valuando en t t) PTF(x;n).S(x;t;1) + PTF(x;n).a(x+t;0;n-t)= E(x+t;n-t) + vn .E-1(x;t) q(x;0;t)+ vn.E-1(x;t).q(x;t;n-t) donde: vn .E-1(x;t) q(x;0;t) = vn . v-t.p-1(x;t).q(x;0;t) = vn-t.p-1(x;t).q(x;0;t) = vn-t.l(x)/l(x+t) .d(x;0;t)/l(x) = vn-t.ib(x;0;t) vn.E-1(x;t).q(x;t;n-t) = vn . v-t.p-1(x;t).q(x;t;n-t) = vn-t. p-1(x;t).p(x;t).q(x+t;0;n-t) = vn-t. q(x+t;0;n-t) entonces: PTF(x;n).S(x;t;1) + PTF(x;n).a(x+t;0;n-t) = E(x+t;n-t) + vn-t.ib(x;0;t)+ vn-t. q(x+t;0;n-t) Separando por un lado lo que ya pasó y por otro lado lo que falta correr, PTF(x;n).S(x;t;1) - vn-t.ib(x;0;t) = E(x+t;n-t) + vn-t. q(x+t;0;n-t) - PTF(x;n).a(x+t;0;n-t) PTF(x;n).S(x;t;1) - vn-t.ib(x;0;t) = vn-t [ p(x+t;n-t) + q(x+t;0;n-t)] - PTF(x;n).a(x+t;0;n-t) PTF(x;n).S(x;t;1) - vn-t.ib(x;0;t) = vn-t - PTF(x;n).a(x+t;0;n-t) donde: VTF(x;t;1) = PTF(x;n).S(x;t;1) - vn-t.ib(x;0;t) Método retrospectivo del cálculo de la reserva. VTF(x;t;1)= vn-t - PTF(x;n).a(x+t;0;n-t) Método prospectivo del cálculo de la reserva.
186
Ejemplos:
x = 26
n = 20
t = 10
P TF(26;20) = 0,032819
Método retrospectivo: VTF(26;10;1) = PTF(26;20).S(26;10;1) - (1,04-10) .ib(26;0;10) = 0,032819 . 12,6239032-(1,04-10) .0,01839390 = 0,4018 Método prospectivo: VTF(26;10;1) = v10 - PTF(26;20).a(36;0;10) = (1,04-10) - 0,032819 . 8,378955 = 0,4018
Seguro de Cuotas PSC(x;1)=1/d. A(x;0;n) - 1/d . vn+1 . q(x;0;n) PSC(x;h).a(x;0;h)= 1/d. A(x;0;n) - 1/d . vn+1 . q(x;0;n) Caso t < h 0) PSC(x;h).a(x;0;h)= 1/d. A(x;0;n) - 1/d . vn+1 . q(x;0;n) PSC(x;h).[a(x;0;t)+a(x;t;h-t)]= 1/d. [A(x;0;t)+A(x;t;n-t)] - 1/d . vn+1 .[ q(x;0;t)+q(x;t;n-t)] Valuando en t t) PSC(x;h). S(x;t;1) + PSC(x;h).a(x+t;0;h-t) = 1/d . A(x;0;t) . E-1(x;t) + 1/d . A(x+t;0;n-t) -1/d . vn+1 .E-1(x;t).q(x;0;t) - 1/d .vn+1 .E-1(x;t) .q(x;t;n-t) donde: 1/d . vn+1 .E-1(x;t).q(x;0;t) =1/d . vn+1 . v-t . p-1(x;t).q(x;0;t) = 1/d . vn+1-t . ib(x;0;t) 1/d.vn+1.E-1(x;t).q(x;t;n-t) = 1/d . vn+1 . v-t . p-1(x;t).q(x;t;n-t) = 1/d . vn+1-t .q(x+t;0;n-t) entonces: PSC(x;h).S(x;t;1) + PSC(x;h).a(x+t;0;h-t) = 1/d.A(x;0;t).E-1(x;t) + 1/d .A(x+t;0;n-t) -1/d.vn+1-t.ib(x;0;t) - 1/d.vn+1-t.q(x+t;0;n-t) Separando por un lado lo que ya pasó y por otro lado lo que falta correr, PSC(x;h).S(x;t;1)+1/d.[vn+1-t.ib(x;0;t)-A(x;0;t).E-1(x;t)] = 1/d.A(x+t;0;n-t)-1/d.vn+1-t.q(x+t;0;n-t)PSC(x;h).a(x+t;0;h-t) donde: VSC(x;t;1) = PSC(x;h). S(x;t;1) + 1/d .[ vn+1-t. ib(x;0;t) - A(x;0;t) .E-1(x;t) ] Método retrosp. VSC(x;t;1) = 1/d .A(x+t;0;n-t)-1/d.v n+1-t.q(x+t;0;n-t) - PSC(x;h).a(x+t;0;h-t) Método prosp. Ejemplo: x = 26
t = 10
h = 15
P SC(26;15) = 0,021919
Método retrospectivo: VSC(26;10;1) = PSC(26;15). S(26;10;1) + 1/d .[ v11. ib(26;0;10) - A(26;0;10) .E-1(26;10) ] = 0,021919.2,6239032 + 26.[1,04 -11.0,01839390-0,0145521/0,663362345] = 0,01700 187
Método prospectivo: VSC(26;10;1) = 1/d .A(36;0;10)-1/d .v11.q(36;0;10) - PSC(26;15).a(36;0;15) = 26 . 0,0253395 - 26 . 1,04 -11(0,032021756 - 0,021919 . 4,608528667 = 0,01700 Caso t > h 0) PSC(x;h).a(x;0;h) = 1/d. A(x;0;n) - 1/d . vn+1 . q(x;0;n) PSC(x;h).a(x;0;h) = 1/d.[A(x;0;t)+A(x;t;n-t)] - 1/d . vn+1 .[ q(x;0;t)+q(x;t;n-t)] Valuando en t t) PSC(x;h) . S(x;h;1) . E-1(x+h;t-h) = 1/d.A(x;0;t).E-1(x;t) + 1/d.A(x+t;0;n-t) - 1/d.vn+1.E-1(x;t) .q(x;0;t) - 1/d.vn+1.E-1(x;t).q(x;t;n-t) entonces: PSC(x;h) . S(x;h;1) . E-1(x+h;t-h) = 1/d . A(x;0;t) . E-1(x;t) + 1/d . A(x+t;0;n-t) - 1/d . vn+1-t . ib(x;0;t) - 1/d . vn+1-t . q(x+t;0;n-t) Separando por un lado lo que ya pasó y por otro lado lo que falta correr, PSC(x;h).S(x;h;1).E-1(x+h;t-h)+1/d.vn+1-t.ib(x;0;t)-1/d.A(x;0;t).E-1(x;t) = 1/d.A(x+t;0;n-t)-1/d.vn+1-t .q(x+t;0;n-t) donde: VSC(x;t;1) = PSC(x;h).S(x;h;1).E-1(x+h;t-h) +1/d. vn+1-t .ib(x;0;t) - 1/d.A(x;0;t).E-1(x;t) M. retr. VSC(x;t;1) = 1/d . A(x+t;0;n-t) - 1/d . vn+1-t . q(x+t;0;n-t) Método prospectivo.
Ejemplo:
x = 26
t = 18
h = 15
n = 20
Método retrospectivo: VSC(26;18;1) = PSC(26;15).S(26;15;1).E-1(41;3) +1/d. v11 .ib(26;0;18) - 1/d.A(26;0;18).E-1(26;18) = 0,021919.21,2412277.1,1370092 + 26 .1,04 -11 .0,0429083 - 26.0,0274718/0,473318 = 0,0120956 Método prospectivo: VSC(26;18;1) = 1/d .A(44;0;2) - 1/d .v3.q(44;0;2) = 26. 0,008217940 - 26.1,04-3 0,08721 = 0,01209188
Increasing de Vida de Riesgo Inmediato y Plazo Limitado PaI(x;1) = aI(x;0;n) PaI(x;n).a(x;0;n) = aI(x;0;n) 188
0) PaI(x;n).a(x;0;n) = aI(x;0;n) PaI(x;n).[a(x;0;t)+a(x;t;n-t)] = aI(x;0;t) + t.a(x;t;n-t)+aI(x;t;n-t) (a) (a) Gráficamente: 0
1 x
2 x+1
t-1 x+2
t x+t-1
t+1 x+t
n-2 x+t+1
n-1
n
x+n-2
x+n-1
x+n aI(x;0;n) aI(x;0;t) aI(x;t;n-t) t.a(x;t;n-t)
1 1
2 2
3 3
......... .........
t t
t+1
t+2
........
n-1
n
1 t
2 t
........ ........
n-t-1 t
n-t t
Valuando en t t) PaI(x;n).S(x;t;1)+ PaI(x;n).a(x+t;0;n-t)=aI(x;0;t).E-1(x;t)+ t.a(x+t;0;n-t)+aI(x+t;0;n-t) Separando por un lado lo que ya pasó y por otro lado lo que falta correr, PaI(x;n).S(x;t;1) - aI(x;0;t).E-1(x;t) = aI(x+t;0;n-t)+ t.a(x+t;0;n-t) - PaI(x;n).a(x+t;0;n-t) donde: VaI(x;t;1) = PaI(x;n).S(x;t;1) - aI(x;0;t).E-1(x;t) Método retrospectivo. VaI(x;t;1) = aI(x+t;0;n-t)+ t.a(x+t;0;n-t) - PaI(x;n).a(x+t;0;n-t) Método prospectivo.
Ejemplos: x = 26 n = 20 t = 10
PaI(26;20) = 9,136565
Método retrospectivo: VaI(26;10;1) = PaI(26;20).S(26;10;1) - aI(26;0;10).E-1(26;10) = 9,136565 . 12,6239032 - 43,2342057 / 0,663362345 = 50,164770 Método prospectivo: VaI(26;10;1) = aI(36;0;10)+ 10.a(36;0;10) - PaI(26;20).a(36;0;10) = 42,964626 + 10.8,338955 - 9,136565 . 8,338955 = 50,164770
Increasing de Vida de Riesgo Diferido y Plazo Limitado P(x;1) = aI(x;h;n) P(x;h).a(x;0;h) = aI(x;h;n) Caso t < h 0)P(x;h).a(x;0;h) = aI(x;h;n) 189
P(x;h).[a(x;0;t)+ a(x;t;h-t)] = E(x;t).E(x+t;h-t). aI(x+h;0;n) Valuando en t t) P(x;h).S(x;t;1)+P(x;h).a(x+t;0;h-t) = E(x+t;h-t). aI(x+h;0;n) P(x;h).S(x;t;1)+P(x;h).a(x+t;0;h-t) = aI(x+t;h-t;;n) Separando por un lado lo que ya pasó y por otro lado lo que falta correr, P(x;h).S(x;t;1) = aI(x+t;h-t;;n) - P(x;h).a(x+t;0;h-t) donde: VaI(x;t;1) = P(x;h).S(x;t;1) Método retrospectivo. VaI(x;t;1)= aI(x+t;h-t;n) - P(x;h).a(x+t;0;h-t) Método prospectivo. Ejemplos:
x = 26 h = 15 n = 20
t = 10
P aI(26;15) = 5,716625
Método retrospectivo: VaI(26;10;1) = P(26;15).S(26;10;1) = 5,716625 . 12,6339032 = 72,1661205 Método prospectivo: VaI(26;10;1) = aI(36;5;20) - P(26;15).a(36;0;5) = 98,511346799 - 5,716625.4,608528 = 72,1661205
Caso t > h 0)P(x;h).a(x;0;h) = aI(x;h;n) P(x;h).a(x;0;h) = aI(x;h;t-h)+aI(x;t;n-t+h)+(t-h)a(x;t;n-t+h) (a) (a) Gráficamente: 0 x
1
2
x+1 x+2
aI(x;h;n) aI(x;h;t-h) aI(x;t;n-t+h) (t-h).a(x;t;n-t+h)
h
h+1
t-1
t
t+1
x+h
x+h+1
x+t-1
x+t
x+t+1
1 1
2 ...... 2 ......
t-h t-h
t-h+1 t-h+2 1 t-h
2 ....... t-h .......
h+n-1
h+n
x+h+n-1 x+h+n n n-(t-h) t-h
Valuando en t t) P(x;h).S(x;h;1).E-1(x+h;t-h)=aI(x;h;t-h).E-1(x;t)+aI(x+t;0;n-t+h)+(t-h)a(x;t;n-t+h).E-1(x;t) P(x;h).S(x;h;1).E-1(x+h;t-h)=aI(x;h;t-h).E-1(x;t)+aI(x+t;0;n-t+h)+(t-h)a(x+t;0;n-t+h) P(x;h).S(x;h;1).E-1(x+h;t-h)=aI(x+h;0;t-h).E-1(x+h;t-h)+aI(x+t;0;n-t+h)+(t-h)a(x+t;0;n-t+h) 190
Separando por un lado lo que ya pasó y por otro lado lo que falta correr, P(x;h).S(x;h;1).E-1(x+h;t-h) - aI(x+h;0;t-h).E-1(x+h;t-h) = aI(x+t;0;n-t+h) + (t-h).a(x+t;0;n-t+h) donde: VaI(x;t;1) = P(x;h).S(x;h;1).E-1(x+h;t-h) - aI(x+h;0;t-h).E-1(x+h;t-h) Método retrospectivo. VaI(x;t;1)= aI(x+t;0;n-t+h) + (t-h).a(x+t;0;n-t+h) Método prospectivo Ejemplo:
x = 26
t = 18 h = 15
n = 20
Método retrospectivo: VaI(26;18;1) = P(26;15).S(26;15;1).E-1(41;3) - aI(41;0;3).E-1(41;3) = 5,716625 . 21,2412277 . 1,1370092 - 5,671451 . 1,1370092 = 131,616415 Método prospectivo: VaI(26;18;1) = aI(44;0;17) + 3.a(44;0;17) = 95,3310870 + 3. 12,09511 = 131,616415
Decreasing de Vida de Riesgo Inmediato y Plazo Limitado. 0)P(x;n).a(x;0;n) = aD(x;0;n) P(x;n).[a(x;0;t)+a(x;t;n-t)] = aD(x;0;t)+aD(x;t;n-t)+(n-t)a(x;0;t) (a) (a) Gráficamente: 0
1
2
t-1
t
t+1
n-2
n-1
n
x
x+1
x+2
x+t-1
x+t
x+t+1
x+n-2
x+n-1
x+n
aD(x;0;n) n aD(x;0;t) t aD(x;t;n-t) (n-t).a(x;0;t) n-t
n-1 t-1
n-2 ....... n-(t-1) t-2 ....... 1
n-t
2
1
2
1
n-t n-t
n-t .......
n-(t+1) ......... n-t-1
.........
n-t
Valuando en t t) P(x;n)S(x;t;1)+P(x;n).a(x+t;0;n-t) = aD(x;0;t). E-1(x;t)+aD(x+t;0;n-t)+(n-t)a(x;0;t).E-1(x;t) Separando por un lado lo que ya pasó y por otro lado lo que falta correr, P(x;n)S(x;t;1) - aD(x;0;t). E-1(x;t) - (n-t)a(x;0;t).E -1(x;t) = aD(x+t;0;n-t) - P(x;n).a(x+t;0;n-t) donde: VaD(x;t;1) = P(x;n)S(x;t;1) - aD(x;0;t). E-1(x;t) - (n-t)a(x;0;t).E-1(x;t) Método retrospectivo. VaD(x;t;1) = aD(x+t;0;n-t) - P(x;n).a(x+t;0;n-t) Método prospectivo. Ejemplos:
x = 26
n = 20
t = 10 P(26;20)=11,863436 191
Método retrospectivo: VaD(26;10;1) = P(26;20)S(26;10;1) - aD(26;0;10). E-1(26;10) - 10.a(26;0;10).E-1(26;10) = 11,863436 . 12,6239032 - 48,88223646/0,663362345 - 10.8,374222/0,663362345 = - 50,1647578 Método prospectivo: VaD(26;10;1) = aD(36;0;10) - P(26;20).a(36;0;10) = 48,7638784-1,863436.8,338955 = -50,164780
Increasing de Muerte de Riesgo Inmediato y Plazo Limitado PAI(x;1) = AI(x;0;n) PAI(x;n).a(x;0;n) = AI(x;0;n) 0) PAI(x;n).a(x;0;n) = AI(x;0;n) PAI(x;n).[a(x;0;t)+a(x;t;n-t)] = AI(x;0;t) + t.A(x;t;n-t)+AI(x;t;n-t) (a)
(a) Gráficamente: 0
1
2
t-1
t
t+1
n-2
n-1
n
x
x+1
x+2
x+t-1
x+t
x+t+1
x+n-2
x+n-1
x+n
t
t+1
........
n-2
n-1
n
1 t
........ ........
n-t-2 t
n-t-1 t
n-t t
AI(x;0;n) AI(x;0;t) AI(x;t;n-t) t.A(x;t;n-t)
1 1
2 ........ t-1 2 ........ t-1
t
Valuando en t t) PAI(x;n).S(x;t;1)+ PAI(x;n).a(x+t;0;n-t)=AI(x;0;t).E-1(x;t)+ t.A(x+t;0;n-t)+AI(x+t;0;n-t) Separando por un lado lo que ya pasó y por otro lado lo que falta correr, PAI(x;n).S(x;t;1) - AI(x;0;t).E-1(x;t) = AI(x+t;0;n-t)+ t.A(x+t;0;n-t) - PAI(x;n).a(x+t;0;n-t) donde: VAI(x;t;1)= PAI(x;n).S(x;t;1) - AI(x;0;t).E-1(x;t) Método retrospectivo. VAI(x;t;1)= AI(x+t;0;n-t)+ t.A(x+t;0;n-t) - PAI(x;n).a(x+t;0;n-t) Método prospectivo Ejemplos:
x = 26
n = 20
t = 10
P(26;20)=0,024697655
Método retrospectivo: VAI(26;10;1) = PAI(26;20).S(26;10;1) - AI(26;0;10).E-1(26;10) = 0,024697655 . 12,6239032 - 0,0777444 / 0,663362345 = 0,19459 192
Método prospectivo: VAI(26;10;1) = AI(36;0;10)+ 10..A(36;0;10) - PAI(26;20).a(36;0;10) = 0,1471555 + 10. 0,0253395 - 0,024697655 . 8,338955 = 0,19459
Increasing de Muerte de Riesgo Diferido y Plazo Limitado. Las primas se pagan durante el período de diferimiento PAI(x;1) = AI(x;h;n) PAI(x;h).a(x;0;h) = AI(x;h;n) Caso t < h 0)P(x;h).a(x;0;h) = AI(x;h;n) P(x;h).[a(x;0;t)+ a(x;t;h-t)] = E(x;t).E(x+t;h-t). AI(x+h;0;n) Valuando en t t) P(x;h).S(x;t;1)+P(x;h).a(x+t;0;h-t) = E(x+t;h-t). AI(x+h;0;n) P(x;h).S(x;t;1)+P(x;h).a(x+t;0;h-t) = AI(x+t;h-t;;n) Separando por un lado lo que ya pasó y por otro lado lo que falta correr, P(x;h).S(x;t;1) = AI(x+h;h-t;;n) - P(x;h).a(x+t;0;h-t) donde: VAI(x;t;1) = P(x;h).S(x;t;1) Método retrospectivo. VAI(x;t;1) = AI(x+t;h-t;n) - P(x;h).a(x+t;0;h-t) Método prospectivo. Ejemplos:
x = 26
h = 15
n = 20
t = 10
P(26;15) = 0,050743398
Método retrospectivo: VAI(26;10;1) = P(26;15).S(26;10;1) = 0,050743398 . 12,6239032 = 0,640579 Método prospectivo: VAI(26;10;1) = AI(36;5;20)-P(26;15).a(36;0;5) = 0,8744322-0,050743398.4,608528667 = 0,640579 Caso t > h 0)P(x;h).a(x;0;h) = AI(x;h;n) P(x;h).a(x;0;h) = AI(x;h;t-h)+AI(x;t;n-t+h)+(t-h)A(x;t;n-t+h) (a) (a) Gráficamente: 0 x
1
2
h
h+1
t-1
t
t+1
x+1 x+2
x+h
x+h+1
x+t-1
x+t
x+t+1
h+n-1
h+n
x+h+n-1 x+h+n 193
AI(x;h;n) AI(x;h;t-h) AI(x;t;n-t+h) (t-h).A(x;t;n-t+h)
1 1
....... t-h-1 ....... t-h-1
t-h t-h
t-h+1
n-1
n
1 ....... n-(t-h+1) n-(t-h) t-h ........ t-h t-h
Valuando en t t) P(x;h).S(x;h;1).E-1(x+h;t-h)=AI(x;h;t-h).E-1(x;t)+AI(x+t;0;n-t+h)+(t-h)A(x;t;n-t+h).E -1(x;t) P(x;h).S(x;h;1).E-1(x+h;t-h)=AI(x;h;t-h).E-1(x;t)+AI(x+t;0;n-t+h)+(t-h).A(x+t;0;n-t+h) P(x;h).S(x;h;1).E-1(x+h;t-h)=AI(x+h;0;t-h).E-1(x+h;t-h)+AI(x+t;0;n-t+h)+(t-h).A(x+t;0;n-t+h) Separando por un lado lo que ya pasó y por otro lado lo que falta correr, P(x;h).S(x;h;1).E-1(x+h;t-h) - AI(x+h;0;t-h).E-1(x+h;t-h) = AI(x+t;0;n-t+h) + (t-h).A(x+t;0;n-t+h) donde: VAI(x;t;1)= P(x;h).S(x;h;1).E -1(x+h;t-h) - AI(x+h;0;t-h).E-1(x+h;t-h) Método retrospectivo. VAI(x;t;1)= AI(x+t;0;n-t+h) + (t-h).A(x+t;0;n-t+h) Método prospectivo Ejemplos:
x = 26
h = 15 n = 20
t = 18
Método retrospectivo: VAI(26;18;1) = P(26;15).S(26;15;1).E-1(41;3) - AI(41;0;3).E-1(41;3) = 0,050743398 . 21,2412277 . 1,1370092 - 0,019975234 . 1,1370092 = 1,202815877 Método prospectivo: VAI(26;18;1) = AI(44;0;17) + 3 . A(44;0;17) = 0,922924173 + 3.0,093297234 = 1,202815877
Decreasing de Muerte de Riesgo Inmediato y Plazo Limitado. 0)P(x;n).a(x;0;n) = AD(x;0;n) P(x;n).[a(x;0;t)+a(x;t;n-t)] = AD(x;0;t)+AD(x;t;n-t)+(n-t).A(x;0;t) (a) (a) Gráficamente:
AD(x;0;n) AD(x;0;t) AD(x;t;n-t) (n-t).A(x;0;t)
0
1
2
t-1
t
t+1
n-2
n-1
n
x
x+1
x+2
x+t-1
x+t
x+t+1
x+n-2
x+n-1
x+n
n t
n-1 ....... n-(t-2) t-1 ....... 2
n-(t-1) 1
.......
3
2
1
n-t .......
3
2
1
n-t
n-t .......
n-t
n-t
n-t
Valuando en t t) P(x;n)S(x;t;1)+P(x;n).a(x+t;0;n-t) = AD(x;0;t). E-1(x;t)+AD(x+t;0;n-t)+(n-t).A(x;0;t).E -1(x;t) 194
Separando por un lado lo que ya pasó y por otro lado lo que falta correr, P(x;n)S(x;t;1) - AD(x;0;t). E-1(x;t) - (n-t).A(x;0;t).E -1(x;t) = AD(x+t;0;n-t) - P(x;n).a(x+t;0;n-t) donde: VAD(x;t;1)= P(x;n)S(x;t;1) - AD(x;0;t). E-1(x;t) - (n-t).A(x;0;t).E-1(x;t)Método retrospectivo. VAD(x;t;1)= AD(x+t;0;n-t) - P(x;n).a(x+t;0;n-t)Método prospectivo. Ejemplos:
x = 26
n = 20
t = 10
P(26;20) = 0,02266194
Método retrospectivo: VAD(26;10;1) = P(26;20)S(26;10;1) - AD(26;0;10). E-1(26;10) - 10.A(26;0;10).E-1(26;10) = 0,02266194.12,6239032 - 0,082331715/ 0,663362345 - 10.0,0145524/ 0,663362345 = - 0,057403856
Método prospectivo: VAD(26;10;1) = AD(36;0;10) - P(26;20).a(36;0;10) = 0,13157935 - 0,02266194 . 8,338955 = - 0,057403856
Seguro de Vida de Capitales Múltiples Crecientes EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA (de razón distinta al capital inicial - de riesgo diferido y plazo limitado) Pav(x;1) = av(x;h;n;r) Pav(x;h).a(x;0;h) = av(x;h;n;r) = a(x;h;n)+ r aI(x;h+1;n-1) Caso t < h 0) Pav(x;h).a(x;0;h) = av(x;h;n;r) Pav(x;h).[a(x;0;t)+a(x;t;h-t)] = a(x;h;n)+ r aI(x;h+1;n-1) Valuando en t t) Pav(x;h).S(x;t;1)+Pav(x;h).a(x+t;0;h-t) = a(x;h;n).E-1(x;t)+ r aI(x;h+1;n-1).E-1(x;t) Pav(x;h).S(x;t;1)+Pav(x;h).a(x+t;0;h-t)= a(x+t;h-t;n)+ r aI(x+t;h-t+1;n-1) Separando por un lado lo que ya pasó y por otro lado lo que falta correr, Pav(x;h).S(x;t;1)= a(x+t;h-t;n)+ r aI(x+t;h-t+1;n-1) - Pav(x;h).a(x+t;0;h-t) donde: 195
Vav(x;t;1) =Pav(x;h).S(x;t;1) Método retrospectivo. Vav(x;t;1) = a(x+t;h-t;n)+ r aI(x+t;h-t+1;n-1) - Pav(x;h).a(x+t;0;h-t) Método prospectivo. Caso t > h 0) Pav(x;h).a(x;0;h)=av(x;h;n;r) Pav(x;h).a(x;0;h) = a(x;h;n)+ r aI(x;h+1;n-1) = a(x;h;t-h)+a(x;t;n+h-t)+ r.[aI(x;h+1;t-h-1)+aI(x;t+1;n+h-t-1)+(t-h).a(x;t;n+h-t)] Valuando en t t) Pav(x;h).S(x;h;1).E-1(x+h;t-h) = E-1(x;t).a(x;h;t-h) + E-1(x;t).a(x;t;n+h-t) + E-1(x;t).r.[aI(x;h+1;t-h-1) + aI(x;t+1;n+h-t-1)+(t-h).a(x;t;n+h-t)] Pav(x;h).S(x;h;1).E-1(x+h;t-h) = E-1(x;t) . a(x;h;t-h) + a(x+t;0;n+h-t) + E-1(x;t) r.aI(x;h+1;t-h-1) + r.aI(x+t;1;n+h-t-1)+r.(t-h).a(x+t;0;n+h-t) Separando por un lado lo que ya pasó y por otro lado lo que falta correr, Pav(x;h) . S(x;h;1) . E-1(x+h;t-h) - E-1(x;t).[a(x;h;t-h) + r.aI(x;h+1;t-h-1)] = = a(x+t;0;n+h-t) + r.aI(x+t;1;n+h-t-1) + r.(t-h).a(x+t;0;n+h-t) donde: Vav(x;t;1) = Pav(x;h).S(x;h;1).E-1(x+h;t-h) -E-1(x;t).[a(x;h;t-h)+r.aI(x;h+1;t-h-1)] M. retrosp. Vav(x;t;1) = a(x+t;0;n+h-t) +r.aI(x+t;1;n+h-t-1)+r.(t-h).a(x+t;0;n+h-t) Método prospectivo.
Método de Recurrencia para el Cálculo de las Reservas Matemáticas 0
1
2
t-1
t
t+1
n
x
x+1
x+2
x+t-1
x+t
x+t+1
x+n
P(x;n) ................... P(x;n)
P(x;n)
P(x;n)
P(x;n)
P(x;n) ........... P(x;n)
V(x;t;1) V(x;t+1;1) En el momento “t”, la reserva matemática perteneciente a cada una de las l(x+t) personas es V(x;t;1). Esas l(x+t) personas abonan la prima anual correspondiente a ese período y si a la suma resultante la capitalizamos financieramente, este importe debería coincidir con el necesario para cubrir la reserva del momento “t+1”, perteneciente a cada una de las l(x+t+1) personas, y el riesgo corrido durante el año transcurrido. Planteamos la ecuación de equivalencia para un seguro de muerte a prima anual. l(x+t).[V(x;t;1) + P(x;n) ].(1+i) = l(x+t+1).V(x;t+1;1) + d(x+t) l(x+t).[V(x;t;1) + P(x;n) ].(1+i) = l(x+t+1).[ V(x;t+1;1) + d(x+t)/l(x+t+1) ] [V(x;t;1) + P(x;n) ].(1+i).p-1(x+t;1) = V(x;t+1;1) + ib(x+t;0;1) V(x;t+1;1) = [ V(x;t;1) + P(x;n) ].E-1 (x+t;1) - ib(x+t;0;1) 196
Si restamos el riesgo al principio V(x;t+1;1) = [ V(x;t;1) + P(x;n) - A(x+t;0;1) ].E-1 (x+t;1) Ejemplo plan dotal doble capital: ( s > n y primas pagadas hasta n ) V(x;s;1) = V(x;t;1) . E-1(x+t;s-t) + P(x;n) . S(x+t;n-t;1) . E -1(x+n;m-n) – A(x+t;0;s-t) . E-1(x+t;s-t) – 1.E-1(x+n;s-n) La reserva del período “s” es igual a la reserva del período “t”, más el valor de las primas pagadas entre “t” y “n”, menos el riesgo corrido entre “t” y “s”, con la capitalización correspondiente para cada uno de estos elementos hasta “s”.
Aplicamos el método de recurrencia para todos los casos desarrollados de Reservas Matemáticas para x = 26
t = 10
n = 20 (en caso de diferimiento h = 10, n = 20)
I) Seguro Temporario de Muerte P(26;1) = A(26;0;20) = 0,0313616 P(26;20) = P(26;1).a-1(26;0;20) = 0,00225526 V(26;10;1) = 0,006533 V(26;11;1) = 0,0069152 Por recurrencia V(26;11;1) = [V(26;10;1) + P(26;20) - A(36;0;1) ].E-1(36;1) = [0,0026533 + 0,00225526 - 0,002153869 ].1,0423348 = 0,0069152
II) Capital Diferido de Vida P(26;1) = E(26;20) = 0,43379352 P(26;20) = P(26;1).a-1(26;0;20) = 0,0311947 V(26;10;1) = 0,393799 V(26;11;1) = 0,442986 Por recurrencia V(26;11;1) = [V(26;10;1) + P(26;20) ].E -1(36;1) = [0,393799 + 0,0311947].1,0423348 = 0,442986
III) Seguro Dotal P(26;1) = A(26;0;20) + E(26;20) = 0,46515512 P(26;20) = P(26;1).a-1(26;0;20) = 0,033450 V(26;10;1) = 0,400332 V(26;11;1) = 0,449901 197
Por recurrencia V(26;11;1) = [ V(26;10;1) + P(26;20) - A(36;0;1) ].E -1(36;1) = [ 0,400332 + 0,0334500 - 0,002153 ].1,0423348 = 0,449901
IV) Seguro Dotal Doble Capital P(26;1) = A(26;0;20) +E(26;20) + A(26;20;54) = 0,61758622 P(26;20) = P(26;1).a-1(26;0;20) = 0,0444115 V(26;10;1) = 0,538711 V(26;11;1) = 0,605564 V(26;30;1) = 0,470715 Por recurrencia V(26;11;1) = [ V(26;10;1)+P(26;20) - A(36;0;1) ]. E-1(36;1) = [ 0,538711 +0,044411 - 0,002153 ].1,0423348 = 0,605564 V(26;30;1) = [ V(26;10;1)+P(26;20).a(36;0;10) - A(36;0;10) -A(36;10;10) - E(36;10)]. E -1(36;20) = [ 0,538711 +0,04441158 . 8,338955 - 0,0253395 - 0,036511129 - 0,653931]. 2,435478 = 0,470715
V) Ordinario de Vida P(26;1) = A(26;0;74) = 0,1837900 P(26;74) = P(26;1).a-1(26;0;74) = 0,0086607 V(26;10;1) = 0,0873948 V(26;11;1) = 0,097876 Por recurrencia V(26;11;1) = [ V(26;10;1)+P(26;74) - A(36;0;1) ]. E-1(36;1) = [ 0,0873948 + 0,0086607 - 0,0021538 ] . 1,0423348 = 0,097876
VI) Vida - Pagos Limitados P(26;1) = A(26;0;74) = 0,1837900 P(26;20) = P(26;1).a-1(26;0;20) = 0,0132168 V(26;10;1) = 0,144910 V(26;11;1) = 0,162577 V(26;30;1) = 0,470715 Por recurrencia V(26;11;1) = [ V(26;10;1)+P(26;20) - A(36;0;1) ]. E-1(36;1) = [ 0,144910 +0,0132168 - 0,0021538 ].1,0423348 = 0,162577 198
V(26;30;1) = [ V(26;10;1)+P(26;20).a(36;0;10) - A(36;0;20) ]. E-1(36;20) = [ 0,144910 + 0,0132168 . 8,338955 - 0,061851 ] .2,435478 = 0,470715
VII) Seguro de Muerte Diferido y Temporario P(26;1) = A(26;10;20) = 0,04102939 P(26;10) = P(26;1).a-1(26;0;10) = 0,00489948 V(26;9;1) = 0,054447 V(26;10;1) = 0,061851 V(26;10;2) = 0,062224 Por recurrencia V(26;10;2) = [V(26;10;1) - A(36;0;1) ].E -1(36;1) = [0,061851 - 0,0021538 ].1,0423348 = 0,062224
VIII) Renta Vitalicia a Riesgo Diferido y Temporario P(26;1) = a(26;10;20) = 9,098917 P(26;10) = P(26;1).a-1(26;0;10) = 1,086538675 V(26;9;1) = 12,074444 V(26;10;1) = 13,71635 V(26;10;2) = 13,25470061 Por recurrencia V(26;10;2) = [V(26;10;1) - 1 ].E-1(36;1) = [13,71635 - 1 ].1,0423348 = 13,25470061
IX) Término Fijo P(26;1) = v20.q(26;0;20) + E(26;20) = v20 = 0,456386 P(26;20) = P(26;1).a-1(26;0;20) = 0,0328195 V(26;9;1) = 0,354163 V(26;10;1) = 0,4018 V(26;11;1) = 0,451530 Por recurrencia V(26;11;1) = [V(26;10;1) + P(26;20) - v10.q(36;0;1) ].E-1(36;1) = [0,4018 + 0,0328195 - 1,04-10.0,002240 ].1,0423348 = 0,451530
X) Post - Mortem P(26;15) = 0,021919 V(26;10;1) = 0,01700 V(26;11;1) = 0,021703 199
Por recurrencia V(26;11;1) = [V(26;10;1) +P(26;15) - v.ib(26;0;10) ].E -1(36;1) = [ 0,0170 + 0,021919 - 1,04 -1.0,018394 ].1,0423348 = 0,0221313
XI) Increasing - Muerte Diferido y Temporario P(26;1) = AI(26;10;20) = 0,480571 P(26;10) = 0,057387 V(26;9;1) = 0,637728 V(26;10;1) = 0,724446 V(26;10;2) = 0,75287061 V(26;10;21) = 0 Por recurrencia V(26;10;2) = [V(26;10;1) - AI(36;0;1)].E-1(36;1) = [0,724446 - 0,0021538].1,0423348 = 0,75287061 V(26;10;21) = [V(26;9;1) + P(26;10) - AI(35;1;20)].E -1(35;21) = [ 0,637728 + 0,057387 - 0,695113 ].2,538227 = 0,000005 Para períodos intermedios de riesgo V(x;t) = [ V(x;t-1) +P(x;n) - (t-h).A(x+t-1;0;1) ].E -1 (x+t-1;1)
XII) Increasing - Vida Diferido y Temporario P(26;1) = aI(26;10;20) = 82,442193 P(26;10) = 9,844758 V(26;9;1) = 109,402432 V(26;10;1) = 124,27924 V(26;10;2) = 128,498242 Por recurrencia V(26;10;2) = [V(26;10;1) -aI(36;0;1) ].E -1(36;1) = [124,27924 - 1 ].1,0423348 = 128,498242 V(26;10;21) = [V(26;9;1) + P(26;10) -aI(35;1;20) ].E-1(35;21) = [109,402432 + 9,844758 - 119,247157 ]. 2,538253 = 0 Para períodos h< t
XIII) Decreasing - Muerte Diferido y Limitado P(26;1) = AD(26;10;20) = 0,381047 200
P(26;10) = 0,045502 V(26;9;1) = 0,505657 V(26;10;1) = 0,574417 V(26;10;2) = 0,553854
Por recurrencia V(26;10;2) = [ V(26;10;1) - 20. A(36;0;1) ].E-1(36;1) = [ 0,574417 - 20.0,0021538 ] . 1,0423348 = 0,553854 Para períodos h< t
XIV) Decreasing - Vida Diferido y Limitado P(26;1) = aD(26;10;20) = 108,6350541 P(26;10) = 12,97255422 V(26;9;1) = 144,160882 V(26;10;1) = 163,7642272 V(26;10;2) = 149,8504645 Por recurrencia V(26;10;2) = [V(26;10;1) - aD(36;0;20)].E-1(36;1) = [163,7642272 - 20].1,0423348 = 149,8504645 Para períodos h< t
Primas de Riesgo y Primas de Ahorro Suponemos un seguro de muerte V(x;t+1;1) = [ V(x;t;1) + P(x;n) - A(x+t;0;1) ].E-1 (x+t;1) V(x;t;1) + P(x;n) = E (x+t;1). V(x;t+1;1) + q(x+t;0;1).v P(x;n) = E(x+t;1).V(x;t+1;1) + A(x+t;0;1) - V(x;t;1) = v.[1-q(x+t;0;1) ].V(x;t+1;1) + A(x+t;0;1) - V(x;t;1) = v.V(x;t+1;1) -A(x+t;0;1).V(x;t+1;1)+ A(x+t;0;1) - V(x;t;1) P(x;n) = v.V(x;t+1;1) - V(x;t;1) + A(x+t;0;1).[ 1- V(x;t+1;1) ] Prima de ahorro
Prima de riesgo
201
donde: 1-V(x;t+1;1) es el capital expuesto a riesgo (C.E.P.) Prima de ahorro: es la parte de la prima destinada a incrementar el valor de la reserva matemática. Prima de riesgo: si el asegurado fallece cobrará 1$, pero la compañía sólo desembolsará [ 1 -V(x;t+1;1) ] , es decir, el peso menos el ahorro constituido. Análisis de la prima para todos los planes (x = 26) Denotamos con k al capital asegurado.
I) Temporario de Muerte P(26;1) = k.A(x;0;n) V(x;t+1;1) = [ V(x;t;1) + P(x;n) - k.A(x+t;0;1) ].E -1 (x+t;1) P(x;n) = E(x+t;1).V(x;t+1;1) + k.A(x+t;0;1) - V(x;t;1) = v.[1-q(x+t;0;1) ].V(x;t+1;1) + k.A(x+t;0;1) - V(x;t;1) = v.V(x;t+1;1) -A(x+t;0;1).V(x;t+1;1)+ k.A(x+t;0;1) - V(x;t;1) P(x;n) = v.V(x;t+1;1) - V(x;t;1) + A(x+t;0;1).[ k- V(x;t+1;1) ] Ejemplo para t = 10 y k = 1: P(26;20) =
v.V(26;11;1 ) - V(26;10;1)
+ A(36;0;1).[ 1 - V(26;11;1) ]
= 0,961538.0,0069152 - 0,006533 + 0,002153869.[1-0,0069152] = 0,000116 + 0,002139 = 0,002255 Prima de ahorro es igual a 0,00116 Prima de riesgo es igual a 0,002139
II) Capital Diferido de Vida P(x;1) = k.E(x;n) V(x;t+1;1) = [ V(x;t;1) + P(x;n) ].E -1 (x+t;1) P(x;n) =E(x+t;1).V(x;t+1;1) - V(x;t;1) = v.[1-q(x+t;0;1) ].V(x;t+1;1) - V(x;t;1) = v.V(x;t+1;1) -A(x+t;0;1).V(x;t+1;1) - V(x;t;1) P(x;n) = v.V(x;t+1;1) - V(x;t;1) + A(x+t;0;1).[-V(x;t+1;1)] Ejemplo para t = 10: P(26;20) =
v.V(26;11;1 ) - V(26;10;1)
+ A(36;0;1) . [-V(26;11;1)]
= 0,961538.0,442986 - 0,393799 + 0,002153869.[- 0,442986] = 0,032149 - 0,000954 = 0,031195 Prima de ahorro es igual a 0,031195
202
III) Seguro Dotal P(x;1) = k.[A(x;0;n) + E(x;n) ] V(x;t+1;1) = [ V(x;t;1) + P(x;n) - k.A(x+t;0;1) ].E -1 (x+t;1) P(x;n) = E(x+t;1).V(x;t+1;1) + k.A(x+t;0;1) - V(x;t;1) = v.[1-q(x+t;0;1) ].V(x;t+1;1) +k. A(x+t;0;1) - V(x;t;1) = v.V(x;t+1;1) -A(x+t;0;1).V(x;t+1;1)+ A(x+t;0;1) - V(x;t;1) P(x;n) = v.V(x;t+1;1) - V(x;t;1) + A(x+t;0;1) . [k- V(x;t+1;1)] Ejemplo para t = 10 y k = 1: P(26;20) =
v.V(26;11;1 ) - V(26;10;1)
+ A(36;0;1).[ 1 - V(26;11;1) ]
= 0,961538.0,449901 - 0,400332 + 0,002153869.[1-0,449901] = 0,032265 + 0,001185 = 0,033450 Prima de ahorro es igual a 0,032265 Prima de riesgo es igual a 0,001185
IV) Seguro Dotal Doble Capital P(x;1) = k.[A(x;0;n) + E(x;n) +A(x+n;0;w-x-n) ] Para t
v.V(26;11;1 ) - V(26;10;1)
+ A(36;0;1).[ 1 - V(26;11;1) ]
= 0,961538.0,605564 - 0,538711 + 0,002153869.[ 1-0,605564 ] = 0,043562 + 0,000850 = 0,044412 Prima de ahorro es igual a 0,043562 Prima de riesgo es igual a 0,000850
V) Ordinario de Vida P(x;1)= k.A(x;0;w-x) V(x;t+1;1) = [ V(x;t;1) + P(x;w-x) - k.A(x+t;0;1) ].E-1 (x+t;1) P(x;w-x) = E(x+t;1).V(x;t+1;1) + k.A(x+t;0;1) - V(x;t;1) = v.[1-q(x+t;0;1) ].V(x;t+1;1) + k.A(x+t;0;1) - V(x;t;1) = v.V(x;t+1;1) -A(x+t;0;1).V(x;t+1;1)+ k.A(x+t;0;1) - V(x;t;1) P(x;w-x) = v.V(x;t+1;1) - V(x;t;1) + A(x+t;0;1).[ k- V(x;t+1;1) ] 203
Ejemplo para t=10 y k=1: P(26;74) =
v.V(26;11;1 ) - V(26;10;1)
+ A(36;0;1).[ 1 - V(26;11;1) ]
= 0,961538.0,097876 - 0,0873948 + 0,002153869.[1-0,097876] = 0,006717 + 0,001943 = 0,008660 Prima de ahorro es igual a 0,006717 Prima de riesgo es igual a 0,001943
VI) Vida - Pagos Limitados P(x;1) = k.A(x;0;w-x) V(x;t+1;1) = [ V(x;t;1) + P(x;n) - k.A(x+t;0;1) ].E -1 (x+t;1) P(x;n) =E(x+t;1).V(x;t+1;1) + k.A(x+t;0;1) - V(x;t;1) = v.[1-q(x+t;0;1) ].V(x;t+1;1) + k.A(x+t;0;1) - V(x;t;1) = v.V(x;t+1;1) -A(x+t;0;1).V(x;t+1;1)+ k.A(x+t;0;1) - V(x;t;1) P(x;n) = v.V(x;t+1;1) - V(x;t;1) + A(x+t;0;1).[ k- V(x;t+1;1) ] Ejemplo para t=10 y k=1: P(26;20) =
v.V(26;11;1 ) - V(26;10;1)
+ A(36;0;1).[ 1 - V(26;11;1) ]
= 0,961538.0,162577 - 0,144910 + 0,002153869.[1-0,162577 ] = 0,011414 + 0,001804 = 0,013218 Prima de ahorro es igual a 0,011414 Prima de riesgo es igual a 0,00180
VII) Seguro de Muerte Diferido y Temporario P(x;1) = k.A(x;h;n)
Para t
V(x;t+1;1) = [ V(x;t;1) + P(x;h) ].E -1 (x+t;1) P(x;h) = E(x+t;1).V(x;t+1;1) - V(x;t;1) = v.[1-q(x+t;0;1) ].V(x;t+1;1) - V(x;t;1) = v.V(x;t+1;1) -A(x+t;0;1).V(x;t+1;1) - V(x;t;1) P(x;h) = v.V(x;t+1;1) - V(x;t;1) + A(x+t;0;1).[ - V(x;t+1;1) ] Ejemplo para t = 9 y k = 1: P(26;10) =
v.V(26;10;1 ) - V(26;9;1)
+ A(35;0;1).[ - V(26;10;1) ]
= 0,961538.0,061851 - 0,054447 + 0,002029.[ -0,061851 ] = 0,005025 - 0,000125 = 0,0049900 204
Prima de ahorro es igual a 0,00499
VIII) Renta Vitalicia a Riesgo Diferido y Plazo Limitado P(x;1) = k.a(x;h;n) Para t
v.V(26;10;1 ) - V(26;9;1)
+ A(35;0;1).[-V(26;10;1)]
= 0,961538.13,71635-12,074444+0,002029.[-13,71635] = 1,114354-0,027829 = 1,086525 Prima de ahorro es igual a 1,086525 Si el número de primas es mayor al plazo de diferimiento: Para h < t < h+n/2 V(x;t+1;1) = [ V(x;t;1) + P(x;h+n/2) - k.a(x+t;0;1) ].E-1 (x+t;1) P(x;h+n/2) = E(x+t;1).V(x;t+1;1) - V(x;t;1) +k.a(x+t;0;1) = v.[1-q(x+t;0;1) ].V(x;t+1;1) - V(x;t;1)+ k.a(x+t;0;1) = v.V(x;t+1;1) -A(x+t;0;1).V(x;t+1;1) - V(x;t;1) + k.a(x+t;0;1) P(x;h+n/2) = v.V(x;t+1;1) - V(x;t;1) + A(x+t;0;1).[ - V(x;t+1;1) ] + k.a(x+t;0;1) P(x;h+n/2) = v.V(x;t+1;1) - V(x;t;1) + A(x+t;0;1).[k/A(x+t;0;1) - V(x;t+1;1)]
IX) Término Fijo P(x;1) = k.[ vn.q(x;0;n) + E(x;n) ] V(x;t+1;1) = [ V(x;t;1) + P(x;n) - k. vn - t.q(x+t;0;1) ].E-1 (x+t;1) P(x;n) = E(x+t;1).V(x;t+1;1) - V(x;t;1) + k.vn - t.q(x+t;0;1) = v.[1-q(x+t;0;1) ].V(x;t+1;1) - V(x;t;1) + k. vn - t.q(x+t;0;1) = v.V(x;t+1;1) -A(x+t;0;1).V(x;t+1;1) - V(x;t;1)+ k. vn - t.q(x+t;0;1) P(x;n) = v.V(x;t+1;1) - V(x;t;1) + A(x+t;0;1).[ k.vn-t-1- V(x;t+1;1) ] Ejemplo para t=10 y k=1: P(26;20) =
v.V(26;11;1 ) - V(26;10;1)
+ A(36;0;1).[ v9 - V(26;11;1) ]
= 0,961538.0,451530 - 0,4018 + 0,002153869.[ 0,702587 - 0,451530 ] = 0,032363 + 0,000541 = 0,032904 Prima de ahorro es igual a 0,032363 Prima de riesgo es igual a 0,000541 205
X) Post - Mortem La ecuación de equivalencia adoptará la forma: l(x+t).[V(x;t;1) + P(x.n) ].(1+i) = c.d(x;0;t) +l(x+t+1).V(x;t+1;1) V(x;t;1) + P(x;n) = v.c.[ ( l(x) - l(x+t) )/ l(x+t) ] + v .p(x+t;1). V(x;t+1;1) V(x;t;1) + P(x;n) = v.c.[ p-1(x;t) -1 ] + v .[ 1 - q(x+t;0;1) ]. V(x;t+1;1) V(x;t;1) + P(x;n) = v.c.ib(x;0;t) + v.V(x;t+1;1) - v. q(x+t;0;1).V(x;t+1;1) P(x;n) = v.c. ib(x;0;t) - A(x+t;0;1).V(x;t+1;1) + v.V(x;t+1;1) - V(x;t;1) Prima de riesgo
Prima de Ahorro
Ejemplo para t = 10 y c = 1: P(26;15) = v ib(26;0;10) - A(36;0;1).V(26;11;1) + v.V(26;11,1) - V(26;10;1) =1,04-1.0,018394 -0,0021538.0,021703 + 1,04-1.0,021703 - 0,01700 = 0,017640 + 0,003868 = 0,021508 Prima de ahorro es igual a 0,003868 Prima de riesgo es igual a 0,017640
XI) Increasing - Muerte Diferido y Temporario P(x;1) = k.AI(x;h;n) Para t < h V(x;t+1;1) = [ V(x;t;1) + P(x;h) ].E -1 (x+t;1) P(x;h) = E(x+t;1).V(x;t+1;1) - V(x;t;1) = v.[1-q(x+t;0;1) ].V(x;t+1;1) - V(x;t;1) = v.V(x;t+1;1) -A(x+t;0;1).V(x;t+1;1) - V(x;t;1) P(x;h) = v.V(x;t+1;1) - V(x;t;1) + A(x+t;0;1).[ - V(x;t+1;1) ] Ejemplo para t = 9 y k = 1: P(26;10) =
v.V(26;10;1 ) - V(26;9;1)
+ A(35;0;1).[ - V(26;10;1) ]
= 0,961538.0,724446 - 0,637728 + 0,002029.[ -0,724446 ] = 0,058855 - 0,001470 = 0,057385 Prima de ahorro es igual a 0,057385 Si el número de primas es mayor al plazo de diferimiento: Para h < t < h+n/2 V(x;t+1;1) = [V(x;t;1) + P(x;h+n/2) - (t+1-h).k.AI(x+t;0;1)].E -1 (x+t;1) P(x;h+n/2) = E(x+t;1).V(x;t+1;1) - V(x;t;1)+ (t+1-h).k.AI(x+t;0;1) = v.[1-q(x+t;0;1) ].V(x;t+1;1) - V(x;t;1)+ (t+1-h).k.AI(x+t;0;1) = v.V(x;t+1;1) -A(x+t;0;1).V(x;t+1;1) - V(x;t;1)+ (t+1-h).k.A(x+t;0;1) P(x;h+n/2) = v.V(x;t+1;1) - V(x;t;1) + A(x+t;0;1).[ (t+1-h).k - V(x;t+1;1) ]
206
XII) Increasing - Vida Diferido y Temporario P(x;1)= k.aI(x;h;n) Para t < h V(x;t+1;1) = [ V(x;t;1) + P(x;h) ].E -1 (x+t;1) P(x;h) =E(x+t;1).V(x;t+1;1) - V(x;t;1) = v.[1-q(x+t;0;1) ].V(x;t+1;1) - V(x;t;1) = v.V(x;t+1;1) -A(x+t;0;1).V(x;t+1;1) - V(x;t;1) P(x;h) = v.V(x;t+1;1) - V(x;t;1) + A(x+t;0;1).[ - V(x;t+1;1) ] Ejemplo para t=9 y k=1: P(26;10) =
v.V(26;10;1 ) - V(26;9;1)
+ A(35;0;1).[ - V(26;10;1) ]
= 0,961538.82,442174 - 72,573459 + 0,002029.[ - 82,442174 ] = 6,697862 - 0,167265 = 6,530597 Prima de ahorro es igual a 6,530597 Si el número de primas es mayor al plazo de diferimiento: Para h < t < h+n/2 V(x;t+1;1) = [ V(x;t;1) + P(x;h+n/2) - (t-h+1)k.a(x+t;0;1) ].E -1 (x+t;1) P(x;h+n/2) =E(x+t;1).V(x;t+1;1) - V(x;t;1) +(t-h+1)k.a(x+t;0;1) = v.[1-q(x+t;0;1) ].V(x;t+1;1) - V(x;t;1)+ (t-h+1)k.a(x+t;0;1) = v.V(x;t+1;1) -A(x+t;0;1).V(x;t+1;1) - V(x;t;1) + (t-h+1)k.a(x+t;0;1) P(x;h+n/2) = v.V(x;t+1;1) - V(x;t;1) + A(x+t;0;1).[ - V(x;t+1;1) ] + (t-h+1)k.a(x+t;0;1)
XIII) Decreasing - Muerte Diferido y Limitado P(26;1)= k.AD(x;h;n) Para t < h V(x;t+1;1) = [ V(x;t;1) + P(x;h) ].E -1 (x+t;1) P(x;h) =E(x+t;1).V(x;t+1;1) - V(x;t;1) = v.[1-q(x+t;0;1) ].V(x;t+1;1) - V(x;t;1) = v.V(x;t+1;1) -A(x+t;0;1).V(x;t+1;1) - V(x;t;1) P(x;h) = v.V(x;t+1;1) - V(x;t;1) + A(x+t;0;1).[ - V(x;t+1;1) ] Ejemplo para t = 9 y k = 1 P(26;10) = v.V(26;10;1) - V(26;9;1) + A(35;0;1).[ - V(26;10;1) ] = 0,961538.0,574417 - 0,505657 + 0,002029. [-0,574417 ] = 0,046667 - 0,001165 = 0,045502 Prima de ahorro es igual a 0,045502 Si el número de primas es mayor al plazo de diferimiento: 207
Para h < t < h+n/2 V(x;t+1;1) = [ V(x;t;1) + P(x;h+n/2) - (n+h+1-t).k.AI(x+t;0;1) ].E -1 (x+t;1) P(x;h+n/2) =E(x+t;1).V(x;t+1;1) - V(x;t;1)+ (n+h+1-t).k.A(x+t;0;1) = v.[1-q(x+t;0;1) ].V(x;t+1;1) - V(x;t;1)+ (n+h+1-t).k.A(x+t;0;1) = v.V(x;t+1;1) -A(x+t;0;1).V(x;t+1;1) - V(x;t;1)+ (n+h+1-t).k.A(x+t;0;1) P(x;h+n/2) = v.V(x;t+1;1) - V(x;t;1) + A(x+t;0;1).[ (n+h+1-t).k - V(x;t+1;1) ]
XIV) Decreasing - Vida Diferido y Limitado P(26;1)= k.aD(x;h;n) Para t < h V(x;t+1;1) = [ V(x;t;1) + P(x;h) ].E -1 (x+t;1) P(x;h) =E(x+t;1).V(x;t+1;1) - V(x;t;1) = v.[1-q(x+t;0;1) ].V(x;t+1;1) - V(x;t;1) = v.V(x;t+1;1) -A(x+t;0;1).V(x;t+1;1) - V(x;t;1) P(x;h) = v.V(x;t+1;1) - V(x;t;1) + A(x+t;0;1).[ - V(x;t+1;1) ] Ejemplo para t = 9 y k = 1: P(26;10) =
v.V(26;10;1 ) - V(26;9;1)
+ A(35;0;1).[ - V(26;10;1) ]
= 0,961538.163,7642272 - 144,160822 + 0,002029.[ - 163,7642272 ] = 13,304721 - 0,332257 = 12,972464 Prima de ahorro es igual a 12,972464 Si el número de primas es mayor al plazo de diferimiento: Para h < t < h+n/2 V(x;t+1;1) = [ V(x;t;1) + P(x;h+n/2) - (n+h+1-t)k.a(x+t;0;1) ].E -1 (x+t;1) P(x;h+n/2) = E(x+t;1).V(x;t+1;1) - V(x;t;1) +(n+h+1-t)k.a(x+t;0;1) = v.[1-q(x+t;0;1) ].V(x;t+1;1) - V(x;t;1)+ (n+h+1-t)k.a(x+t;0;1) = v.V(x;t+1;1) -A(x+t;0;1).V(x;t+1;1) - V(x;t;1) +(n+h+1-t)k.a(x+t;0;1) P(x;h+n/2)= v.V(x;t+1;1) - V(x;t;1) + A(x+t;0;1).[ - V(x;t+1;1) ] +(n+h+1-t)k.a(x+t;0;1)
Valores de Rescate – Seguro Saldado - Prorrogado Puede ocurrir que en algún momento el asegurado desista del pago de las primas. En esta situación el asegurado puede optar entre: 1) Rescatar la póliza en efectivo. 2) Aplicar el valor de rescate a la compra de un nuevo seguro. Valor de rescate: Cuando un asegurado desiste del pago de las primas, el asegurador sufre básicamente dos perjuicios 208
I) no recupera la totalidad de los gastos de producción (iniciales), ya que, en lo general, el asegurado lo amortiza conforme paga las primas. II) desmejora el perfil de cartera, ya que, los que la abandonan son los mejores riesgos. Es por ello que el valor de rescate de una póliza es menor que el valor de la reserva matemática pura al momento del rescate. R(x;t;1) = V(x;t;1) - .a-1(x;0;n).a(x+t;0;n-t) -
Reserva Matemática Pura
Valor de Rescate
Cuota de Amortización de los Gastos Iniciales
Costo de la Descomposición de la Cartera
en la práctica R(x;t;1) = .V(x;t;1) siendo un porcentaje, es decir es un porcentaje de la reserva que varía en general entre un 80% y 95%, según las primas que se hallan pagado (a mayor número de primas pagas mayor será el porcentaje de la reserva). Seguro saldado Se habla de seguro saldado cuando con el valor de rescate que surja del plan original, se compra un seguro con igual cobertura y plazo que el original, pero por un menor capital asegurado. Suponiendo un temporario de muerte, sería: R(x;t;1) = k’.A(x+t;0;n-t) Seguro Prorrogado Se habla de seguro prorrogado cuando con el valor de rescate que surja del plan original, se compra un nuevo seguro con igual cobertura y capital asegurado, pero por un plazo diferente de cobertura. Suponiendo un temporario de muerte, sería: R(x;t;1) = k.A(x+t;0;n’-t) siendo n’< n Ejemplo: Suponiendo un plan Dotal en donde n=20, x=26, y el plazo de pago de primas es 20 V(26;10;1) = 0,400332 Suponiendo que el valor de rescate es el 90% de la reserva, entonces: R(26;10;1) = 0,90.V(26;10;1) = 0,360299 Si desea un dotal por el mismo plazo pero sólo con las 10 primas pagadas y considerando el valor de rescate como prima única (seguro saldado). R(26;10;1) = 0,360299 = k’.[ E(36;10) + A(36;0;10) ] 209
0,360299 = k’.[ 0,653931 + 0,025340 ] 0,360299 = k’.0,679271 k’= 0,530420
es decir un 53,04% del capital original.
Si desea contratar un dotal pero manteniendo el capital asegurado con sólo con las 10 primas pagadas y considerando el valor de rescate como prima única, entonces deberá variar el plazo de cobertura (seguro prorrogado). R(26;10;1) = E(36;h) + A(36;0;h) = D-1(36).[ D(36+h) + M(36) - M(36+h) ] R(26;10;1).D(36) - M(36) = D(36+h) - M(36+h) 0,360299.2307976,28 -588822,71 = D(36+h) - M(36+h) 242738,3741 = D(36+h) - M(36+h) Para h=28 D(64)-M(64)= 257534,30 Para h=29 D(65)-M(65)= 234083,72 Es necesario hacer una interpolación para hallar el valor de h. Haciendo una interpolación lineal. (y - y1 )/(x - x1 ) = (y2 - y1)/( x2 - x1) y = y1 + (y2 - y1)/( x2 - x1).(x -x1) donde: y es la edad x valores de conmutación y = 64+(65-64)/(234083,72-257534,30). (242738,3741-257534,30) y = 64,630941 y = 64 + 0,63 . 12 y = 64 años y 7 meses meses Es decir que la cobertura de muerte será hasta la edad 64 años y 7 meses, cobrando en esta edad el capital asegurado, si llega con vida; en lugar de cobrarlo a la edad de 46años. Para x = 35 n = 20 Suponiendo que sólo abona 8 primas: V(35;8;1) = 1- a(44;0;11).a-1(35;0;20) V(35;8;1) = 0,307937 Suponiendo que el valor de rescate es de un 90% de la reserva, entonces: R(35;8;1) = 0,90 . V(35;8;1) R(35;8;1) = 0,27714366 Si desea un dotal por el mismo plazo pero sólo con las 8 primas pagadas y considerando el valor de rescate como prima única (seguro saldado). R(35;8;1) = 0,27714366 = k’.[ E(43;12) + A(43;0;12) ] 0,27714366 = k’.0,6108 210
k’= 0,453739
es decir un 45,37% del capital original.
Si desea contratar un dotal pero manteniendo el capital asegurado pero sólo con las 8 primas pagadas y considerando el valor de rescate como prima única, entonces deberá variar el plazo de cobertura (seguro prorrogado). R(35;8;1) = E(43;h) + A(43;0;h) = D-1(43).[ D(43+h) + M(43) - M(43+h) ] R(35;8;1).D(43) - M(43) = D(43+h) - M(43+h) 0,27714366.1719299,72 - 550270,51 = D(43+h) - M(43+h) -73,7756 = D(43+h) - M(43+h) da un valor negativo, que no alcanza lo aportado. En el caso de no alcanzar, entonces se cubre primero la parte de muerte y aquello que sobre, se destina a la de vida. Entonces cubriendo sólo la muerte R(35;8;1) = A(43;0;12) + k’.E(43;12) 0,27714366 = 0,0547716+k’.0,579295 k’ = 0,3835667 Es decir se cubre el capital asegurado por muerte y un 38,35% aproximadamente del capital asegurado de vida, manteniéndose constante el plazo de cobertura. Variando sólo el plazo de cobertura de vida. R(35;8;1) = A(43;0;12) + E(43;h) 0,27714366 = 0,0547716 + D-1(43).D(43+h) D(43+h) = 382320,502 Haciendo una interpolación lineal. D(70) = 402926,91 D(71) = 372122,34 Luego y = 70+ (71-70).(382320,502 - 402926,91)/(372122,34 - 402926,91) y = 70,67 y = 70 + 0,67.12
y = 70 años 8 meses
h = 27 años y 8 meses. Es decir que la cobertura de muerte será igual a la original pero la cobertura de vida, cobrará el capital si llega con vida a la edad 70 años y 8 meses, en lugar de la edad original de 55 años.
211
Reservas Fraccionarias 0
1
2
t-1
t
t+1/k
t+1
n-1
n
x
x+1
x+2
x+t-1
x+t
x+t+1/k
x+t+1
x+n-1
x+n
V(x;t;1) P(x;n) P(x;n) P(x;n)........P(x;n) P(x;n) V(x;t+1;0)
P(x;n) P(x;n) .................... P(x;n) V(x;t+1;1/k)
Donde: V(x;t+1;0) = V(x;t;1) + P(x;n) Supuesto riesgo de muerte V(x;t+1; s/k) = [ V(x;t+1;0) - A(x+t;0; s/k) ] . E-1(x+t; s/k) siendo: k fracción de año y s fracción del año en que se calcula la reserva Existen dos maneras de calcular la reserva matemática fraccionaria [A] en forma exacta. [B] por interpolación lineal. [A] En forma exacta V(x;t+1; s/k) = [ V(x;t+1;0) - A(x+t;0; s/k) ] . E-1(x+t; s/k) i) A(x+t;0;s/k) = v.q(x+t;0;s/k) A(x+t;0;s/k) = v. s/k . q(x+t;0;1) (el capital asegurado en caso de muerte se paga a fin del año y no al final de la fracción) ii) E-1(x+t; s/k) = (1+i)s/k.p-1(x+t;s/k) E-1(x+t; s/k) = (1+i)s/k / [ 1- s/k. q(x+t;0;1) ] [B] Por interpolación lineal V(x;t+1; s/k)= (1- s/k) . V(x;t+1;0) + s/k. V(x;t+1;1) V(x;t+1; s/k)= (1- s/k) . [V(x;t;1) + P(x;n) ]+ s/k. V(x;t+1;1) Ejemplos: para x=26 t=10 k=4 (trimestral) s=1 y s=3 A(36;0;1/4) = v.1/4.q(36;0;1) = 1,04-1.1/4.0,00224
E-1 (36;1/4) = 1,041/4/[1-1/4.q(36;0;1)] E-1 (36;3/4) = 1,010419
A(36;0;1/4) = 0,000538 A(36;0;3/4) = v-1.3/4.q(36;0;1) = 1,04-1.3/4.0,00224
E-1 (36;3/4) = 1,043/4/[1-3/4.q(36;0;1)] E-1 (36;3/4) = 1,031586
A(36;0;3/4) = 0,001615 212
I) Seguro Temporario de Muerte P(26;20) = 0,00225526
V(26;10;1) = 0,006533
V(26;11;1) = 0,0069152
en forma exacta V(26;11;1/4) = [ V(26;11;0) - A(36;0;1/4) ]. E-1 (36;1/4) = [V(26;10;1) + P(26;20) - A(36;0;1/4) ].E -1 (36;1/4) = [0,006533 + 0,00225526 - 0,000538 ].1,010419 = 0,008336 V(26;11;3/4) = [ V(26;11;0) - A(36;0;3/4) ]. E-1 (36;3/4) = [V(26;10;1) + P(26;20) - A(36;0;3/4) ].E -1 (36;3/4) = [0,006533 + 0,00225526 - 0,001615 ].1,031586 = 0,007400 por interpolación lineal V(26;11;1/4) = (1-1/4).[ V(26;10;1) + P(26;20) ] + 1/4.V(26;11;1) = (1-1/4).[0,006533 + 0,00225526] + 1/4. 0,0069152 = 0,008320 V(26;11;3/4) = (1-3/4).[ V(26;10;1) + P(26;20) ] + 3/4.V(26;11;1) = (1-3/4).[0,006533 + 0,00225526] + 3/4. 0,0069152 = 0,007383
II) Capital Diferido de Vida P(26;20) = 0,0311947
V(26;10;1) = 0,393799
V(26;11;1) = 0,442986
en forma exacta V(26;11;1/4) = V(26;11;0) . E-1 (36;1/4) = [V(26;10;1) + P(26;20) ].E -1 (36;1/4) = [0,0393799 + 0,0311947 ].1,010419 = 0,429422 V(26;11;3/4) = V(26;11;0). E-1 (36;3/4) = [V(26;10;1) + P(26;20) ].E -1 (36;3/4) = [0,0393799 + 0,0311947 ].1,031586 = 0,438418 por interpolación lineal V(26;11;1/4) = (1-1/4).[ V(26;10;1) + P(26;20) ] + 1/4.V(26;11;1) = (1-1/4).[0,393799 + 0,0311947 ] + 1/4. 0,442986 = 0,429492 V(26;11;3/4) = (1-3/4).[ V(26;10;1) + P(26;20) ] + 3/4.V(26;11;1) = (1-3/4).[ 0,393799 + 0,0311947 ] + 3/4. 0,442986 = 0,438488
213
III) Seguro Dotal P(26;20) = 0,033450
V(26;10;1) = 0,400332
V(26;11;1) = 0,449901
en forma exacta V(26;11;1/4) = [ V(26;11;0) - A(36;0;1/4) ]. E-1 (36;1/4) = [V(26;10;1) + P(26;20) - A(36;0;1/4) ].E -1 (36;1/4) = [0,400332 + 0,033450 - 0,000538 ].1,010419 = 0,437758 V(26;11;3/4) = [ V(26;11;0) - A(36;0;3/4) ]. E-1 (36;3/4) = [V(26;10;1) + P(26;20) - A(36;0;3/4) ].E -1 (36;3/4) = [0,400332 + 0,033450 - 0,001615 ].1,031586 = 0,445817 por interpolación lineal V(26;11;1/4) = (1-1/4).[ V(26;10;1) + P(26;20) ] + 1/4.V(26;11;1) = (1-1/4).[ 0,400332 + 0,033450 ] + 1/4. 0,449901 = 0,437812 V(26;11;3/4) = (1-3/4).[ V(26;10;1) + P(26;20) ] + 3/4.V(26;11;1) = (1-3/4).[ 0,400332 + 0,033450 ] + 3/4. 0,449901 = 0,445871
IV) Seguro Dotal Doble Capital P(26;20) = 0,0444115
V(26;10;1) = 0,538711
V(26;11;1) = 0,605564
en forma exacta V(26;11;1/4) = [V(26;10;1) + P(26;20) - A(36;0;1/4) ].E -1 (36;1/4) = [0,538711 + 0,0444115 - 0,000538 ].1,010419 = 0,588654 V(26;11;3/4) = [V(26;10;1) + P(26;20) - A(36;0;3/4) ].E -1 (36;3/4) = [0,538711 + 0,0444115 - 0,001615 ].1,031586 = 0,599875 por interpolación lineal V(26;11;1/4) = (1-1/4).[ V(26;10;1) + P(26;20) ] + 1/4.V(26;11;1) = (1-1/4).[ 0,538711 + 0,0444115] + 1/4. 0,605564 = 0,588733 V(26;11;3/4) = (1-3/4).[ V(26;10;1) + P(26;20) ] + 3/4.V(26;11;1) = (1-3/4).[ 0,538711 + 0,0444115 ] + 3/4. 0,605564 = 0,599954
214
V) Ordinario de Vida P(26;74) = 0,0086607
V(26;10;1) = 0,0873948
V(26;11;1) = 0,097876
en forma exacta V(26;11;1/4) = [V(26;10;1) + P(26;74) - A(36;0;1/4) ].E -1 (36;1/4) = [0,0873948 + 0,0086607 - 0,000538 ].1,010419 = 0,096513 V(26;11;3/4) = [V(26;10;1) + P(26;74) - A(36;0;3/4) ].E -1 (36;3/4) = [0,0873948 + 0,0086607 - 0,001615 ].1,031586 = 0,097423 por interpolación lineal V(26;11;1/4) = (1-1/4).[ V(26;10;1) + P(26;74) ] + 1/4.V(26;11;1) = (1-1/4).[ 0,0873948 + 0,0086607 ] + 1/4. 0,097876 = 0,096511 V(26;11;3/4) = (1-3/4).[ V(26;10;1) + P(26;74) ] + 3/4.V(26;11;1) = (1-3/4).[ 0,0873948 + 0,0086607 ] + 3/4. 0,097876 = 0,097421
VI) Vida - Pagos Limitados P(26;20) = 0,0132168
V(26;10;1) = 0,144910
V(26;11;1) = 0,162577
en forma exacta V(26;11;1/4) = [V(26;10;1) + P(26;20) - A(36;0;1/4) ].E -1 (36;1/4) = [0,144910 + 0,0132168 - 0,000538 ].1,010419 = 0,159231 V(26;11;3/4) = [V(26;10;1) + P(26;20) - A(36;0;3/4) ].E -1 (36;3/4) = [0,144910 + 0,0132168 - 0,001615 ].1,031586 = 0,161455 por interpolación lineal V(26;11;1/4) = (1-1/4).[ V(26;10;1) + P(26;20) ] + 1/4.V(26;11;1) = (1-1/4).[ 0,144910 + 0,0132168 ] + 1/4. 0,162577 = 0,159259 V(26;11;3/4) = (1-3/4).[ V(26;10;1) + P(26;20) ] + 3/4.V(26;11;1) = (1-3/4).[ 0,144910 + 0,0132168 ] + 3/4. 0,162577 = 0,161464
VII) Seguro de Muerte Diferido y Temporario V(26;10;1) = 0,061851
V(26;11;1) = 0,062224 215
en forma exacta V(26;11;1/4) = [V(26;10;1)-A(36;0;1/4)].E-1(36;1/4) = [0,061851 - 0,000538].1,010419 = 0,061952 V(26;11;3/4) = [V(26;10;1)-A(36;0;3/4)].E-1(36;3/4) = [0,061851- 0,001615 ].1,031586 = 0,062139 por interpolación lineal V(26;11;1/4) = (1-1/4).V(26;10;1) + 1/4.V(26;11;1) = (1-1/4).0,061851+ 1/4. 0,062224 = 0,061944 V(26;11;3/4) = (1-3/4).V(26;10;1) + 3/4.V(26;11;1) = (1-3/4).0,061851 + 3/4.0,062224 = 0,062131
VIII) Renta Vitalicia a Riesgo Diferido y Temporario V(26;10;1) = 13,71635
V(26;11;1) = 13,25470061
en forma exacta V(26;11;1/4) = [V(26;10;1) - a(36;0;1) ].E -1 (36;1/4) = [13,71635 -
1
].1,010419 = 12,848842
V(26;11;3/4) = [V(26;10;1) - a(36;0;1) ].E -1 (36;3/4) = [13,71635
-
1
].1,031586 = 13,118009
por interpolación lineal V(26;11;1/4) = (1-1/4). V(26;10;1) + 1/4.V(26;11;1) = (1-1/4). 13,71635 + 1/4. 13,25470061 = 13,600938 V(26;11;3/4) = (1-3/4).V(26;10;1) + 3/4.V(26;11;1) = (1-3/4). 13,71635 + 3/4. 13,25470061 = 13,254701
IX) Término Fijo P(26;20) = 0,0328195
V(26;10;1) = 0,4018
V(26;11;1) = 0,451530
en forma exacta V(26;11;1/4) = [V(26;10;1) +P(26;20) - v10.1/4.q(36;0;1) ].E-1 (36;1/4) = [0,4018
+ 0,0328195 - 1,04 -10.1/4.0,00224 ].1,010419 = 0,43885
V(26;11;3/4) = [V(26;10;1) +P(26;20) - v10.3/4.q(36;0;1) ].E-1 (36;3/4) = [0,4018
+ 0,0328195 - 1,04 -10.3/4.0,00224 ].1,031586 = 0,447263
por interpolación lineal V(26;11;1/4) = (1-1/4).[ V(26;10;1) + P(26;20) ] + 1/4.V(26;11;1) = (1-1/4). [ 0,4018 + 0,0328195 ] + 1/4. 0,451530 = 0,438847 V(26;11;3/4) = (1-3/4).[ V(26;10;1) +P(26;20) ]+ 3/4.V(26;11;1) 216
= (1-3/4). [ 0,4018 + 0,032820 ] + 3/4. 0,451530 = 0,447302
X) Post - Mortem P(26;15) = 0,021919
V(26;10;1) = 0,01700
V(26;11;1) = 0,021703
en forma exacta V(26;11;1/4) = [V(26;10;1) +P(26;15) - af(0;10;0,04).1/4.q(36;0;1) ].E -1 (36;1/4) = [ 0,017
+ 0,021919 - 8,435332.1/4.0,00224 ].1,010419 = 0,034551
V(26;11;3/4) = [V(26;10;1) +P(26;15) - af(0;10;0,04).3/4.q(36;0;1) ].E -1 (36;3/4) = [ 0,017
+ 0,021919 - 8,435332.3/4.0,00224 ].1,031586 = 0,025529
por interpolación lineal V(26;11;1/4) = (1-1/4). [ V(26;10;1) + P(26;15) ] + 1/4.V(26;11;1) = (1-1/4). [ 0,017 + 0,021919 ] + 1/4. 0,021703 = 0,023140 V(26;11;3/4) = (1-3/4). [ V(26;10;1) + P(26;15) ] + 3/4.V(26;11;1) = (1-3/4). [ 0,017 + 0,021919 ] + 3/4. 0,021703 = 0,022182
XI) Increasing - Muerte Diferido y Temporario P(26;10) = 0,057387
V(26;10;1) = 0,724446
V(26;11) = 0,75287061
en forma exacta V(26;11;1/4) = [V(26;10;1) - A(36;0;1/4) ].E-1 (36;1/4) = [0,724446 - 0,000538 ].1,010419 = 0,731450 V(26;11;3/4) = [V(26;10;1) - A(36;0;3/4) ].E-1 (36;3/4) = [0,724446 - 0,001615 ].1,031586 = 0,745662 por interpolación lineal V(26;11;1/4) = (1-1/4). V(26;10;1) + 1/4.V(26;11;1) = (1-1/4).0,724446 + 1/4. 0,75287061 = 0,731552 V(26;11;3/4) = (1-3/4). V(26;10;1) + 3/4.V(26;11;1) = (1-3/4).0,724446 + 3/4. 0,75287061 = 0,745764
XII) Increasing - Vida Diferido y Temporario P(26;10) = 9,844758
V(26;10;1) = 124,27924
V(26;11) = 128,498242
en forma exacta V(26;11;1/4) = [V(26;10;1) - a(36;0;1) ].E -1 (36;1/4) = [124,27924 -
1
].1,010419 = 124,563686 217
V(26;11;3/4) = [V(26;10;1) - a(36;0;1) ].E -1 (36;3/4) = [124,27924 -
1
].1,031586 = 127,173138
por interpolación lineal V(26;11;1/4) = (1-1/4). V(26;10;1) + 1/4.V(26;11;1) = (1-1/4). 124,27924 + 1/4. 128,498242 = 125,333991 V(26;11;3/4) = (1-3/4). V(26;10;1) + 3/4.V(26;11;1) = (1-3/4). 124,27924 + 3/4. 128,498242 = 127,443492
XIII) Decreasing - Muerte Diferido y Limitado P(26;10) = 0,045502
V(26;10;1) = 0,574417
V(26;11) = 0,553854
en forma exacta V(26;11;1/4) = [V(26;10;1) - 20.A(36;0;1/4) ].E -1 (36;1/4) = [ 0,574417 - 20.0,000538 ].1,010419 = 0,569530 V(26;11;3/4) = [V(26;10;1) - 20.A(36;0;3/4) ].E -1 (36;3/4) = [ 0,574417 - 20.0,001615 ].1,031586 = 0,559240 por interpolación lineal V(26;11;1/4) = (1-1/4). V(26;10;1) + 1/4.V(26;11;1) = (1-1/4). 0,574417
+ 1/4. 0,553854 = 0,569276
V(26;11;3/4) = (1-3/4). V(26;10;1) + 3/4.V(26;11;1) = (1-3/4). 0,574417 + 3/4. 0,553854 = 0,558995
XIV) Decreasing - Vida Diferido y Limitado P(26;10) = 12,97255422
V(26;10;1) = 163,7642272
V(26;11) = 149,8504645
en forma exacta V(26;11;1/4) = [V(26;10;1) - 20.a(36;0;1) ].E-1 (36;1/4) = [163,7642272 -
20
].1,010419 = 145,262107
V(26;11;3/4) = [V(26;10;1) - a(36;0;1) ].E -1 (36;3/4) = [163,7642272-
20
].1,031586 = 148,305164
por interpolación lineal V(26;11;1/4) = (1-1/4). V(26;10;1) + 1/4.V(26;11;1) = (1-1/4). 163,7642272 + 1/4. 149,8504645 = 160,285787 V(26;11;3/4) = (1-3/4). V(26;10;1) + 3/4.V(26;11;1) 218
= (1-3/4). 163,7642272 + 3/4. 149,8504645 = 153,328905
Reserva de Balance Las compañías de seguro deben cerrar el balance el 30.06; en tanto las reservas terminales se calculan al 31.12. Luego para calcularlas se toma 1/k=1/2 o sea que está suponiendo que las pólizas se distribuyen en forma uniforme. sabiendo que: V(x;t+1;1/k)= (1 - 1/k ). [ V(x;t;1) + P(x;n) ] + 1/k.V(x;t+1;1) luego la reserva de balance es: VB(x;t+1;1/2) = 1/2. [V(x;t;1) + P(x;n) + V(x;t+1;1) ] Ejemplos:
I) Seguro Temporario de Muerte VB(26;11;1/2) = 1/2.[ V(26;10;1) + P(26;20) + V(26;11;1) ] = 1/2 .[ 0,006533 + 0,00225526 + 0,0069152 ] = 0,007852
II) Capital Diferido de Vida VB(26;11;1/2) = 1/2.[ V(26;10;1) + P(26;20) + .V(26;11;1) ] = 1/2.[ 0,393799 + 0,0311947 + 0,442986 ] = 0,43399
III) Seguro Dotal VB(26;11;1/2) = 1/2.[ V(26;10;1) + P(26;20) + V(26;11;1) ] = 1/2.[ 0,400332 + 0,033450 + 0,449901 ] = 0,441842
IV) Seguro Dotal Doble Capital VB(26;11;1/2) = 1/2.[ V(26;10;1) + P(26;20) + V(26;11;1) ] = 1/2.[ 0,538711 + 0,0444115 + 0,605564 ] = 0,594343
V) Ordinario de Vida VB(26;11;1/2) = 1/2.[ V(26;10;1) + P(26;74) + V(26;11;1) ] = 1/2.[ 0,0873948 + 0,0086607 + 0,097876 ] = 0,0969666
VI) Vida - Pagos Limitados VB(26;11;1/2) = 1/2.[ V(26;10;1) + P(26;20) + V(26;11;1) ] = 1/2.[ 0,144910 + 0,0132168 + 0,162577 ] = 0,160352
VII) Seguro de Muerte Diferido y Temporario VB(26;11;1/2) = 1/2 [ V(26;10;1) + V(26;11;1) ] = 1/2. [ 0,061851 + 0,062224 ] = 0,062038 219
VIII) Renta Vitalicia a Riesgo Diferido y Temporario VB(26;11;1/2) = 1/2.[ V(26;10;1) + V(26;11;1) ] = 1/2. [ 13,71635 + 13,25470061 ] = 13,485525
IX) Término Fijo VB(26;11;1/2) = 1/2. [ V(26;10;1) + P(26;20) + V(26;11;1) ] = 1/2. [ 0,4018 + 0,032820 + 0,451530 ] = 0,443075
X) Post - Mortem VB(26;11;1/2) = 1/2. [ V(26;10;1) + P(26;15) + V(26;11;1) ] = 1/2. [ 0,017 + 0,021919 + 0,021703 ] = 0,030311
XI) Increasing - Muerte Diferido y Temporario VB(26;11;1/2) = 1/2. [ V(26;10;1) + V(26;11;1) ] = 1/2. [0,724446 + 0,75287061 ] = 0,738658
XII) Increasing - Vida Diferido y Temporario VB(26;11;1/2) = 1/2.[ V(26;10;1) + V(26;11;1) ] = 1/2.[ 124,27924 + 128,498242 ] = 126,388741
XIII) Decreasing - Muerte Diferido y Limitado VB(26;11;1/2) = 1/2. [ V(26;10;1) + V(26;11;1) ] = 1/2.[ 0,574417 + 0,553854 ] = 0,564136
XIV) Decreasing - Vida Diferido y Limitado VB(26;11;1/2) = 1/2. [ V(26;10;1) + V(26;11;1) ] = 1/2.[ 163,7642272 + 149,8504645 ] = 156,807346
Agrupamiento de Reservas Para evitar la realización de un elevado número de cálculos que serían necesarios para calcular la reserva matemática de cada plan contratado y a cada momento, podemos valernos de los “números de Altemburger”. Estos números agrupan los planes en tres conjuntos principales y cada uno de éstos en subgrupos según la edad actuarial.
Los grupos son: 1 - Seguros de muerte y planes mixtos de riesgo inmediato (los seguros de riesgo diferido pasada la etapa de diferimiento pasan a integrar este grupo); 2 - Seguros de vida de riesgo inmediato; 3 - Planes con riesgo diferido, durante el período de diferimiento. 220
Ejemplo (grupo 1) Se intenta asimilar la reserva de cualquier plan con la reserva de un seguro ordinario de vida: V(x;t;1) = A(x+t;0;w-x-t) - PP (x;n) a(x+t;0;w-x-t) donde PP (x;n) representa a la prima de cualquier plan. Para eso se busca una expresión que junto con la reserva del seguro ordinario de vida permita el cálculo de cualquier reserva. Ejemplo: Temporario de muerte VTM (x;t;1) = A(x+t;0;n-t) - PTM (x;n) a(x+t;0;n-t) Si A(x+t;0;w-x-t) = M(x+t) D-1 (x+t) A(x+t;0;n-t) = [ M(x+t) - M(x+n) ] D-1 (x+t) a(x+t;0;w-x-t) = N(x+t) D-1(x+t) a(x+t;0;n-t) = [ N(x+t) - N(x+n) ] D-1(x+t) para corregir la reserva del ordinario de vida necesito: - D-1 (x+t) M(x+n) - ( - D-1(x+t) N(x+n) PTM(x;n) ) = D-1 (x+t) [-M(x+n) + N(x+n) PTM(x;n)] donde: [-M(x+n) + N(x+n) PTM(x;n)] es igual a K(A) K(A) es el número de Altemburger que corresponde a un plazo de cobertura de ‘n’ años y fue contratado por una persona de edad ‘x’(actuarial). Ese término que no depende de ‘t’, se puede calcular al momento de contratar el seguro y es válido para cualquier momento posterior. A partir de los siguientes datos: - fecha de nacimiento, - fecha de emisión de la póliza, - capital asegurado, - plazo de cobertura. Con ellos se puede calcular: - prima pura anual, - número auxiliar de Altemburger que se mantiene constante para todo el plazo de la cobertura. En el caso de que el plan sea de riesgo diferido le corresponderán dos números auxiliares, uno para cada etapa. Cálculo de la edad actuarial Fecha de emisión Fecha de nacimiento del contratante
15 - 11 - 1993 7 - 8 - 1957
Edad actuarial
36
Ejemplos para cada uno de los grupos mencionados 221
Grupo 1 Este grupo puede integrarse por: - Ordinario de Vida - Seguro temporario de muerte - Vida pagos limitados - Plan Dotal - Plan Dotal Doble Capital Fórmula de agrupamiento R.M.( grupo 1 ) = A(x+t;0;w-x-t) CA(del grupo 1) - a(x+t;0;w-x-t). PP + D-1(x+t) K(A) Suponemos:
x = 26
n = 20
Plan Ordinario de Vida Temporario de Muerte Vida Pagos Limitados Dotal Dotal doble Capital
V(26,10,1) 0,0873948 0,0065330 0,1449100 0,4003320 0,5387110
P.P.A. 0,0086607 0,0022552 0,0132168 0,0334500 0,0444067
K(A) 0 -472939,3135 336391,922 1830284,2317 2639494,0620
1,1778808
0,1019895
4333230,9000
La sumatoria de las reservas en el 10 período se verifica de la siguiente manera: V(26;10;1) = A(36;0;64) CA - a(36;0;64). P.P.A. + D-1(36) K(A) = 0,255125 . 5 - 19,36674 . 0,10198951 + 4333230,90 / 2307976,28 = 1,177920 Grupo 2 A este grupo pueden integrarse: - Seguros de vida inmediato y limitado con pago de primas durante todo el plazo de cobertura; - Seguros de vida inmediato y limitado con pago de primas durante un plazo menor a la cobertura; - Seguro de vida pagos limitados- vida; - Seguro ordinario de vida- vida. Tanto el primero como el último carecen de sentido, pues nadie pagará periódicamente una prima de igual valor al que recibe en ese momento como renta. En este caso se intenta asimilar la reserva de cualquier plan con la reserva de un ordinario de vidavida. V(x;t;1) = a(x+t;0;w-x-t) - PP (x;n) a(x+t;0;w-x-t) 222
donde PP (x;n) representa la prima de cualquier plan perteneciente al grupo. Para el cálculo de todas las reservas es necesario corregir ésta expresión, de donde surge una fórmula base: V(x;t;1) = a(x+t;0;w-x-t) - PP (x;n) a(x+t;0;w-x-t) - D-1 (x+t) K(A) donde K(A) es el número de Altemburger que se calcula al momento de contratar cualquier plan. - a(x;0;n) con pago de ‘n’ primas = D-1 (x+t) N(x+n) + P(x;n) D-1 (x+t) N(x+n) = D-1 (x+t)[ - N(x+n) + P(x;n) N(x+n) ] = D-1 (x+t) N(x+n) [ P(x;n) - 1 ]
N(x+n) [ P(x;n) - 1 ] es igual a K(A)
= K(A) Como P(x;n) = 1 K(A) = 0 - a(x;0;h) con pago de ‘n’ primas
(donde n
= D-1 (x+t) N(x+h) + P(x;n) D-1 (x+t) N(x+n) = D-1 (x+t) [ - N(x+h) + P(x;n) N(x+n) ] = K(A)
[ - N(x+h) + P(x;n) N(x+n) ] es igual a K(A)
- a(x;0;w-x) con pago de ‘n’ primas = D-1 (x+t) N(x+n) P(x;n) = K(A)
P(x;n).N(x+n) es igual a K(A)
- a(x;0;w-x) con pago de primas. En este caso no hay correcciones porque es igual al de base. Ejemplo: Suponemos: A-Ordinario de vida -vida B-Vida pagos limitados -vida C-Renta inmediata y temporaria (con pago de primas durante el período de cobertura) D-Renta inmediata y temporaria (con pago de primas durante un período menor al de la cobertura) Plan
V(26,10,1)
P.P.A.
K(A)
A
0
1
0
B
6,64097294
1,5260633
38841182,77
C
0
1
0
D
2,73278582
1,6605687
15983296,16
9,37375876
4,7425404
54824478,94 223
La sumatoria de las reservas en el 10 período se verifica de la siguiente manera: V(26;10;1) = a(36;0;64) CA - a(36;0;64). P.P.A. + D-1(36) K(A) = 19,36674 . 4 - 19,36674. 4,742540388 + 54824478,94 / 2307976,28 = 9,373764 Grupo 3 En este grupo se pueden integrar: - Capital diferido de vida; - Seguro de vida diferido y limitado; - Seguro de vida diferido sin límite; - Seguro de muerte diferido y limitado; - Seguro de muerte diferido sin límite. Se intenta asimilar la reserva de cualquier plan con la reserva de: V(x;t;1) = - PP (x;n) a(x+t;0;w-x-t) + D-1(x+t) K(A) donde PP (x;n) representa la prima de cualquier plan perteneciente al grupo; y K(A) es el número de Altemburger que se calcula al momento de contratar cualquier plan. - VCD (x;t;1) = E(x+t;n-t) - PCD (x;n) a(x+t;0;n-t) = D-1 (x+t) [ D(x+n) - PCD (x;n) ( N(x+t) - N(x+n) ] = - P CD (x;n) a(x+t;0;w-x-t) + D-1(x+t) [ D(x+n) + PCD (x;n) N(x+n) ] = K(A) - VVDL (x;t;1) = a (x+t;h-t;n) - PVDL (x;h) a(x+t;0;h-t) = D-1 (x+t) { [ N(x+h) - N(x+h+n) ] - PVDL (x;h) [ N(x+t) - N(x+h) ] = - P VDL (x;h) a(x+t;0;w-x-t) + D-1 (x+t) [ N(x+h) - N(x+h+n) + PVDL (x;h) N(x+h) ] = KVDL(A) - V(x;t;1) = a(x+t;h-t;w-x-h) - P(x;h) a(x+t;0;h-t) = D-1 (x+t) N(x+h) - P (x;h) [ N(x+t) - N(x+h) ] = - P (x;h) a(x+t;0;w-x-t) + D -1 (x+t) [ N(x+h) + P (x;h) N(x+h) ] = K(A) - V(x;t;1) = A(x+t;h-t;n) - P(x;h) a(x+t;0;h-t) = D-1 (x+t) {[ M(x+h) - M(x+h+n) ] - P(x;h) [ N(x+t) - N(x+h) ] } = - P (x;h) a(x+t;0;w-x-t) + D -1 (x+t) [ M(x+h) - M(x+h+n) + P(x;h) N(x+h) ] = K(A) - V(x;t;1) = A(x+t;h-t;w-x-h) - P(x;h) a(x+t;0;h-t) = D-1 (x+t) [ M(x+h) - P(x;h) [ N(x+t) - N(x+h) ] } = - P (x;h) a(x+t;0;w-x-t) + D -1 (x+t) [ M(x+h) + P(x;h) N(x+h) ] 224
= K(A) Aplicando agrupamiento para las Reservas de Balance [1] Reserva de Balance = { Resevas en “t” V(x;t+1;1)
+ P.P.A. + Reserva en “t+1” }.1/2
V(x;t;1)
V(x;t+1)
donde: [2] Reserva en “t” = A(x+t; 0; w-x-t). CA.. de muerte + a(x+t; 0; w-x-t)CA de vida + V(x;t;1)
y mixto de RI. - a(x+t; 0; w-x-t). P.P.A.
de RI
+ D-1(x+t) K(A) de RI
[ 3 ] P.P.A. = P.P.A. [4] Reserva en “t+1” = A(x+t+1;0;w-x-t-1).CA.de muerte + a(x+t+1;0;w-x-t-1) CA de vida V(x;t+1;1)
y mixto de RI. - a(x+t+1; 0; w-x-t-1). P.P.A.
de RI
+ D-1(x+t+1) K(A) de RI
Reemplazando [2],[3], y [4] en [1] Reserva de Balance = A(x+t+1/2; 0; w-x-t-1/2). CA. de muerte + V(x;t+1;1)
y mixto de RI. + a(x+t+1/2; 0; w-x-t-1/2) CA de vida de RI - [ a(x+t+1/2; 0; w-x-t-1/2) -1/2] P.P.A. + D-1(x+t+1/2).K(A) de RI
en donde: A(x+t+1/2;0;w-x-t-1/2) = 1/2. [A(x+t;0;w-x-t) + A(x+t+1;0;w-x-t-1)] a(x+t+1/2;0;w-x-t-1/2) = 1/2. [a(x+t;0;w-x-t) + a(x+t+1;0;w-x-t-1)] D-1(x+t+1/2) = 1/2.[D-1(x+t) + D-1(x+t+1) ] RI: riesgo inmediato Ejemplo: A(36+1/2;0;64-1/2) = 1/2. [A(36;0;64) + A(37;0;63)] =1/2. [0,255125
+ 0,263681] = 0,259403
a(36+1/2;0;64-1/2) = 1/2. [a(36;0;64) + a(37;0;63)] = 1/2. [19,366747 + 19,144301] =19,255524 D-1(36+1/2) = 1/2.[D-1(36) + D-1(37) ] = 1/2. [0.332800162E -7 + 0,516228614E-7] = 0,424514388E-7 225
Números de Witting Una expresión alternativa a los números de Altemburger son los números de Witting.
Temporario de Muerte: P(x;n) =[ M(x) - M(x+n) ]/[N(x) - N(x+n)] P(x;n) . [ N(x) - N(x+n) ] = M(x) - M(x+n) P(x;n) . N(x) - M(x) = P(x;n) . N(x+n) - M(x+n) Nº de Witting Nº de Altemburger
Vida - Pagos Limitados: P(x;n) = M(x)/ [N(x) - N(x+n)] P(x;n) . [ N(x) - N(x+n) ] = M(x) P(x;n) . N(x) - M(x) = P(x;n) . N(x+n) Nº de Witting Nº de Altemburger
Dotal: P(x;n) =[ M(x) - M(x+n) + D(x+n) ]/[N(x) - N(x+n) ] P(x;n). [N(x) - N(x+n)] = M(x) - M(x+n) + D(x+n) P(x;n) . N(x) - M(x) = P(x;n) . N(x+n) - M(x+n) + D(x+n) Nº de Witting Nº de Altemburger
Dotal Doble Capital: P(x;n) = [M(x) + D(x+n)]/[N(x) - N(x+n)] P(x;n) . [ N(x) - N(x+n) ] = M(x) + D(x+n) P(x;n) . N(x) - M(x) = P(x;n) . N(x+n) + D(x+n) Nº de Witting Nº de Altemburger
Ordinario de Vida: P(x;n) = N(x)/[ N(x) - N(x+n) ] P(x;n) . [ N(x) - N(x+n) ] = N(x) P(x;n) . N(x) - N(x) = P(x;n) . N(x+n) Nº de Witting Nº de Altemburger
Capital Diferido de Vida: P(x;n) = D(x+n)/[ N(x) - N(x+n) ] P(x;n) . [ N(x) - N(x+n) ] = D(x+n) P(x;n) . N(x) = P(x;n) . N(x+n) + D(x+n) 226
Nº de Witting
Nº de Altemburger
Seguro de Muerte Diferido y Temporario: P(x;n) = [ M(x+h) - M(x+h+n) ]/[ N(x) - N(x+h) ] P(x;n) . [ N(x) - N(x+h) ] = M(x+h) - M(x+h+n) P(x;n) . N(x) = P(x;n) . N(x+h) + M(x+h) - M(x+h+n) Nº de Witting Nº de Altemburger
Seguro de Muerte Diferido e Ilimitado: P(x;n) = M(x+h) / [ N(x) - N(x+h) ] P(x;n) . [ N(x) - N(x+h) ] = M(x+h) P(x;n) . N(x) = P(x;n) . N(x+h) + M(x+h) Nº de Witting Nº de Altemburger
Seguro de Vida Diferido y Temporario: P(x;n) = [ N(x+h) - N(x+h+n) ] / [ N(x) - N(x+h) ] P(x;n) . [ N(x) - N(x+h) ] = N(x+h) - N(x+h+n) P(x;n) . N(x) = P(x;n) . N(x+h) + N(x+h) - N(x+h+n) Nº de Witting Nº de Altemburger
Seguro de Vida Diferido e Ilimitado: P(x;n) = N(x+h)/[ N(x) - N(x+h) ] P(x;n) . [ N(x) - N(x+h) ] = N(x+h) P(x;n) . N(x) = P(x;n) . N(x+h) + N(x+h) Nº de Witting Nº de Altemburger
227
UNIDAD IX Seguros sobre Dos o Más Vidas Supervivencia Conjunta El grupo como tal subsiste en tanto sobrevivan todos sus integrantes; es decir que el grupo se extingue con el primer fallecimiento. Admitamos que el grupo está compuesto por “m” individuos (cabezas) de distintas edades (x1,x2,....,xm). La probabilidad de supervivencia conjunta de los m integrantes del grupo durante un período de “n” años se expresa. p(x1;x2;.....;xm;n;m) = p(x1;n).p(x2;n).....p(xm;n) que sobrevivan “m” de un grupo de “m” individuos. que sobrevivan “n” años “m” integrantes del grupo p(x1;x2;.....;xm;n;m) =l(x1+n)/l(x1). l(x2+n)/l(x2). ............ l(xm+n)/l(xm) p(x1;x2;.....;xm;n;m) = l(x1+n; x2+n;......;xm+n)/ l(x1;x2;......;xm) Siendo l(x1;x2;.....;xm) el conjunto de sobrevivientes de varias cabezas, resulta del producto de las l(x) para las distintas edades.
Cálculo de supervivencia conjunta Se puede realizar haciendo todos los números, es decir multiplicando los l(xi) correspondientes a cada edad, que es un método tan exacto como complicado. En cambio puede realizarse en forma más sencilla y aproximada a partir de distintas tablas ajustadas como Makeham o Gompertz. Makeham Recordando que: p(x;n) =
l( x ) k s x g c
x
l( x n ) k s x n g c ( x n ) l( x ) k s x g c x
p(x1;x2;.....;xm;n) =
p(x;n) =
n s n g c x ( c 1)
x1 x2 xm n n n s n g c (c 1) s n g c (c 1) ........s n g c (c 1)
=
x1 x2 xm n s n m g (c 1) c c .... c
=
s n g (c n 1) c z
=
n z s n m g (c 1) m c
m
p(x1;x2;.....;xm;n) = [p(z;n)] m En donde z es la edad común de m personas por las que pueden ser reemplazadas las m personas de edad distinta. x x x c 1 c 2 .... c m
= m.
cz
228
donde x1< z < xm ; la edad uniforme “z” es una edad intermedia entre x1 y xm. Conclusión: En el caso de verificarse la ley de Makeham, la probabilidad de supervivencia conjunta de todas las cabezas de un grupo, siendo éstas de edades distintas, puede calcularse a partir de la probabilidad de supervivencia de una persona de edad “z” elevada al número de cabezas. Cálculo de la edad de envejecimiento uniforme “z” x x x c 1 c 2 .... c m
1+
= m.
x x x x c 2 1 .... c m 1
log [1+
c
x 2 x1
= m. c z x 1
.... c
z-x1 = { log [1+ h = { log [1+
cz
c
x m x1
] = log m + (z-x1). log c
x x x x c 2 1 .... c m 1 ]
x 2 x1
.... c
x m x1
- log m }/ log c
] - log m }/ log c
En donde “h” son los años que se le deben sumar a la menor edad, para establecer a “z” que es la edad promedio para un grupo de m cabezas. Ejemplo: Dado un grupo de 2 personas de edad 30 y 35, calculo la edad de supervivencia conjunta por 10 años. p(30;35;10;2) = [ p( z;10) ]2 cálculo de z: c30 + c35 = 2.
cz
1 + c35 - 30 = 2.
c z 30
log [ 1+ c5 ] = log 2 + (z-30). log c z - 30 = { log [ 1+ c5 ] - log 2 }/ log c La tabla CSO 41 ajustada por Makeham arroja un valor de c = 1,089132, que permite hallar el valor de supervivencia de un grupo de edades distintas a partir de la supervivencia de un grupo de personas de edades iguales. luego h = z - 30 h = { log [ 1+ 1,0891325 ] - log 2 }/ log 1,089132 = 2,7648 resultando una edad sustituta z = 32,7648 entonces p(30;35;10;2) = p(32,7648; 32,7648; 10; 2) = [ p(32,7648) ]2 donde p(32,76;10) se calcula mediante una interpolación p(32,76;10) = (1 - 0,76) .p(32,10) + 0,76.p(33;10) = 0,24.0,976090 + 0,76.0,974398 = 0,974804 229
luego p(30;35;10;2) = 0,950248 Gompertz x
Recordando que l(x) = k. g c p(x;n) = l(x+n)/l(x) = k. g c p(x;n) =
x n g c c 1
x n
x
/ [k. g c ]
p(x1;x2;.....;xm;n) = = p(z;n) =
x1 x2 xm n n n g c (c 1) g c (c 1) ....... g c (c 1)
x1 x2 xm n g (c 1) c c .... c
z n g c c 1
Esta hipótesis permite reemplazar al grupo de “m” personas con m edades distintas, por una persona de edad “z”, evidentemente superior a la mayor de las edade del grupo ( z > x i ), ya que tiene que cargar con la mortalidad de todo el grupo. Conclusión: En caso de verificarse la ley de Gompertz, la probabilidad de supervivencia conjunta de un grupo de “m”cabezas, siendo éstas de distintas edades, puede calcularse como la probabilidad de supervivencia de una persona de edad “z”. Cálculo de la edad “z” o edad de envejecimiento uniforme a)
c
x1
c
1+
x2
c
.... c
x 2 x1
log [1+
xm
=
.... c
cz
x m x1
= c z x1
x x x x c 2 1 .... c m 1 ]
z-x1 = log [1+ h = log [1+
c
x 2 x1
= (z-x1). log c
.... c
x m x1
x x x x c 2 1 .... c m 1 ]
] / log c
/ log c
En donde “h” son los años que se deben sumar a la menor edad, para establecer a “z” que es la edad sustitutiva del grupo aplicable solo a una persona. b)
c
x1
c
c
x2
x1 x m
.... c
c
xm
x2 xm
=
cz
.... 1
= cz x m
log [ c x1x m c x 2 x m .... 1 ] = (z-xm). log c z-xm = log [ c x1x m c x 2 x m .... 1 ] / log c h’ = log [ c x1x m c x 2 x m .... 1 ] / log c En donde “ h’ ” son los años que se deben sumar a la mayor edad, para establecer a “z” que es la edad sustitutiva del grupo aplicable solo a una persona. 230
Último Sobreviviente (al menos 1) El grupo formado por “m” cabezas subsiste en tanto sobreviva alguna de ellas (al menos una). El grupo se extingue sólo cuando fallece el último integrante. La probabilidad de que al menos uno de los integrantes sobreviva es igual a 1 menos la probabilidad de que todos mueran. p(x1;x2;.....;xm;n;1;m) = 1 - q(x1;x2;.....;xm;0;n;1;m) al menos 1 de un grupo de “m” a) Supongamos un grupo de 2 personas del cual queremos que sobrevivan al menos 1. p(x1;x2;n;1;2) = 1 - q(x1;x2;0;n;1;2) = p(x1;n).q(x2;0;n) + p(x2;n).q(x1;0;n) + p(x1;x2;n;2) = p(x1;n).[ 1-p(x2;n) ] + p(x2;n).[ 1-p(x1;n) ] + p(x1;n).p(x2;n) = p(x1;n) - 2. p(x1;x2;n;2) + p(x2;n) + p(x1;x2;n;2) p(x1;x2;n;1;2) = p(x1;n) + p(x2;n) - p(x1;x2;n;2) Siempre se intenta expresar cualquier tipo de probabilidad para más de una cabeza como combinación de probabilidad de supervivencia simple (donde el cálculo es directo a partir de cualquier tabla utilizada) y conjunta (que no es otra cosa que el producto de probabilidades de supervivencia simple; y su cálculo puede aproximarse a partir de distintas tablas ajustadas por Makeham o Gompertz). Ejemplo: p(30;35;10;1;2) = p(30;10) + p(35;10) - p(30;35;10;2) donde p(30;35;10;2) = [ p(32,76;10) ]2 según la ley de Makeham. p(30;35;10;1;2) = 0,978834 + 0,970351 - 0,950243 p(30;35;10;1;2) = 0,998942
b) Supongamos un grupo de “m” personas del cual queremos que sobreviva al menos 1. p(x1;x2;......;xm;n;1;m) = 1 - q(x1;x2;......;xm;0;n;1;m) = 1 - [ 1 - p(x1;n) ]. [ 1 - p(x2;n) ] ........... [ 1 - p(xm;n) ] = 1 - { 1- [p(x 1;n) + p(x2;n) + ........ + p(xm;n) ] + + [ p(x 1;x2;n;2) + p(x1;x3;n;2) + ...... + p(x1;xm;n;2) + .....+ + p(xm -1;x1;n;2) + p(xm-1;x2;n;2) + ........ + p(xm-1;xm ;n;2) ] + + [p(x1;x2;x3;n;3) + .... + p(x m-2;xm-1;xm;n;3)] + .... + (-1) m+1 p(x1;x2;......;xm;n) = p(x 1;n) + p(x2;n) + .... + p(xm;n) - [p(x1;x2;n;2) + p(x1;x3;n;2) + .... + + p(x1;xm;n;2) + ..... + p(x1;x2;x3;n;3) + p(x1;x2;x4;n;3) + ...... + 231
+ p(x1;x2;xm;n;3) + ... + p(xm-2; xm-1; xm;n;3) + .... + (-1)m+1 p(x1;x2;.....;xm;n) =
m.p(xi;n) - i=1m s=2m. p(xi;n).p(xs;n) + i s .k . p(xi;xs;xk;n;3) -
i=1
- ........ + ( -1 ) m+1. p(x1;x2;.....;xm) Se observa cómo la probabilidad de que sobreviva al menos 1 puede expresarse a partir de todas las posibles combinaciones de supervivencia conhunta ( tomados de a 1, de a 2 , ... , de a m ). En el caso particular de m=2 p(x1;x2;n;1;2) = i=12.p(xi;n) - i=11. k=22.p(xi;n).p(xk;n) = 1 - q(x1;x2;0;n;1;2) = p(x1;n).q(x2;0;n) + p(x2;n).q(x1;0;n) + p(x1;x2;n;2) = p(x1;n).[ 1-p(x2;n) ] + p(x2;n).[ 1-p(x1;n) ] + p(x1;n).p(x2;n) = p(x1;n) - 2. p(x1;x2;n;2) + p(x2;n) + p(x1;x2;n;2) p(x1;x2;n;1;2) = p(x1;n) + p(x2;n) - p(x1;x2;n;2) En el caso particular de m=3 p(x1;x2;x3;n;1;3) = 1 - q(x1;x2;x3;0;n;1;3) = 1 - [ 1 - p(x 1;n) ]. [ 1 - p(x2;n) ]. [ 1 - p(x3;n) ] p(x1;x2;x3;n;1;3) = p(x1;n) + p(x2;n) + p(x3;n) - p(x1;x2;n;2) - p(x1;x3;n;2) - p(x2;x3;n;2) + + p(x 1;x2;x3;n;3) Ejemplo: p(30;35;40;10;1;3) = p(30;10)+p(35;10)+p(40;10) - p(30;35;10;2) - p(30;40;10;2) -p(35;40;10;2) + + p(30;35;40;10;3) donde p(30;35;10;2) = [ p(32,76;10) ]2 y z-30 = { log [ 1 + c10 ] - log 2} / log c z = 36,04 p(30;40;10;2) = [ p(36,04;10) ]2 y z-35 = { log [ 1 + c5 ] - log 2} / log c z = 37,76 p(35;40;10;2) = [ p(37,76;10) ]2 Las probabilidades de supervivencia siempre las saco de la tabla para una cabeza de Makeham. p(36,04;10) = ( 1-0,04 ). p(36;10) + 0,04. p(37;10) = 0,96.0,967978 + 0,04.0,965378 = 0,967874 p(37,76;10) = ( 1-0,76 ). p(37;10) + 0,76. p(38;10) = 0,24.0,965378 + 0,76. 0,962553 = 0,963231 232
luego p(30;40;10;2) = [ p(36,04;10) ]2 = 0,936780 p(35;40;10;2) = [ p(37,76;10) ]2 = 0,927814 p(30;35;40;10;1;3) = p(30;10) + p(35;10) + p(40;10) - p(30;35;10;2) - p(30;40;10;2) -p(35;40;10;2) + p(30;35;40;10;3) = 0,978834 + 0,970351 + 0,956212 -0,950248 - 0,936780 - 0,927814 +0,908222 = 0,998777
Al menos “r” con vida y exactamente “r” con vida Dado un grupo formado por m cabezas de edades x1 ,x2 ,x3 ,.....,xm; se dice que éste continúa existiendo en tanto sobrevivan “r ” de las cabezas; es decir que fallezcan (m-r) individuos. El grupo se extingue cuando fallezcan (m-r+1) personas. Casos particulares: 1) r = m El grupo subsiste como tal hasta que se produzca el 1er fallecimiento (m-m+1). Es el caso de una probabilidad de supervivencia conjunta. 2) r = 1 El grupo subsiste como tal en tanto subsista con vida al menos 1 de los integrantes del mismo (m-1+1); es decir se extingue cuando fallecen las m cabezas. Es el caso de último sobreviviente.
233
Se expresa como: a) p(x1 ,x2 ,x3 ,.....,xm;n;r;m) refleja la probabilidad de que , de un grupo de m cabezas, sobrevivan al menos r; al cabo de n años. b) p(x1 ,x2 ,x3 ,.....,xm;n;r) refleja la probabilidad de que , de un grupo de m cabezas, sobrevivan exactamente r; al cabo de n años. Ejemplo para m = 3; r = 2 a)p(x1 ,x2 ,x3 ;n;2;3) = p(x1 ,x2 ;n).[1- p(x3;n) ] +p(x2 ,x3 ;n).[1- p(x1;n) ] +p(x1 ,x3 ;n). [1- p(x2;n) ]+ + p(x 1 ,x2 ,x3 ;n) = p(x1 ,x2 ;n;2) + p(x2 ,x3 ;n;2) + p(x1 ,x3;n;2) - 2.p(x1 ,x2 ,x3 ;n) b)p(x1 ,x2 ,x3;n;2) = p(x1 ,x2 ;n).[1- p(x3;n) ] +p(x2 ,x3 ;n).[1- p(x1;n) ] +p(x1 ,x3 ;n). [1- p(x2;n) ] = p(x1 ,x2 ;n;2) + p(x2 ,x3 ;n;2) + p(x1 ,x3;n;2) - 3.p(x1 ,x2 ,x3 ;n) Deducción teórica de exactamente “r ” con vida (es decir, de la probabilidad expresada como p(x1 ,x2 ,x3,....,xm;n;r) En primer lugar suponemos que las m cabezas que forman el grupo poseen la misma edad. Bajo este supuesto, la probabilidad de que exactamente “r ” cabezas sobrevivan al cabo de n años; (es decir, que m-r fallezcan); se puede expresar como: [p(x;n)]r . [1-p(x;n)]m - r
pero ésta probabilidad representa sólo una de las posibles combinaciones,
es por eso que: p(x ,x ,x,....,x;n;r) = (mr ) [p(x;n)]r . [1-p(x;n)]m - r Puede observarse que el segundo término corresponde al coeficiente que acompaña a t r en el desarrollo del polinomio de grado ‘m’ siguiente: {p(x;n).t + q(x;0;n) }m = k=0m (mk ) [ p(x;n).t] k.[q(x;0;n)]m- k = (m0 ) [ p(x;n).t] 0.[q(x;0;n)]m + (m1 ) [ p(x;n).t] 1.[q(x;0;n)]m- 1 + ....+ + ( mr ) [ p(x;n).t]r.[q(x;0;n)]m- r +.....+ (mm ) [ p(x;n).t] m.[q(x;0;n)]0 Levantando el supuesto de que las cabezas pertenecientes al grupo poseen la misma edad; la probabilidad de que exactamente r cabezas de las m sobrevivan; y m-r fallezcan puede expresarse: p(x1;n).p(x2;n).......p(xr;n).q(xr+1;0;n).q(xr+2;0;n).........q(xm;0;n)= = p(x1;n).p(x2;n).......p(xr;n).[1- p(xr+1;n)].[1-p(xr+2;n)]......[1-p(xm;n)] 234
La probabilidad de que sobrevivan exactamente r cabezas del grupo de m personas de distintas edades se define: p(x1;x2;....;xm;n;r ) y está compuesta por todas las posibles combinaciones de la probabilidad prevista -cada sumando constará de ‘ r ’ factores p(xi;n) y ‘ m-r ’ factores q(xj;0;n) con i=j Existe un método donde se pueden expresar las posibles combinaciones; éste es conocido con el nombre de:
Método ZETA La probabilidad buscada en este caso será: p(x1, x2, x3,..,xm;n;r) = Z(r;m) - (
r+1 1
) Z(r+1;m) + (
r+2 2
m
).Z(r+2;m) - ..+..= 1
sr
s r
s
s r Z(s; m )
donde Z(s;m) es la suma de todas las combinaciones posibles de ‘s’ cabezas que pueden realizarse sobre un conjunto inicial de ‘m’ cabezas. Deducción teórica de al menos “r ” con vida (significa la suma de exactamente r, r+1, ..., m) (es decir, de la probabilidad expresada como p(x1, x2, x3, ...., xm; n; r; m)) m
p(x1 ,x2 ,x3,....,xm;n;r;m) = s=r p(x1 ,x2 ,x3,....,xm;n;s) = 1 m
sr
sr
s 1s r Z(s; m)
Para lograr esa expresión partimos de la probabilidad de que sobrevivan exactamente ‘r’ personas de un grupo de ‘m’ cabezas. Esta probabilidad puede expresarse como la diferencia entre la probabilidad de que sobrevivan al menos ‘r’personas y la probabilidad de que sobrevivan al menos ‘r+1’ personas. p(x1 ,x2 ,x3,....,xm;n;r)= p(x1 ,x2 ,x3,....,xm;n;r;m) - p(x1 ,x2 ,x3,....,xm;n;r+1;m) Si se aplica el método Zeta en ambos miembros; se verificará la igualdad inicial: m
p(x1 ,x2 ,x3,....,xm;n;r;m) = 1 sr
sr
s 1s r Z(s; m)
Seguros - Supervivencia Conjunta Capital Diferido de Vida El seguro consiste en el pago de $1 al cabo de “n” años, al grupo si sobreviven las “m” cabezas que lo componen. E(x1;x2;......;xm;n;m) = vn.p(x1;x2;......;xm;n;m) = vn.l(x+n)/l(x1).l(x2+n)/l(x2)........l(xm+n)/l(xm) multiplicamos numerador y denominador por vt, donde “t” representa el promedio de las edades del grupo = v [x1+x2+.....+xm] /m . n/v[x1+x2+.....+xm] /m .l(x1+n;x2+n;......;xm+n)/l(x1;x2;.....xm) Si definimos como valor de conmutación para varias cabezas: D(x1;x2;.....;xm) = v [x1+x2+.....+xm] /m.l (x1+n; x2+n;.....;xm+n) 235
entonces el capital diferido de vida lo expresamos E(x1;x2;.....;xm;n;m) = D(x1+n;x2+n;.....;xm+n)/ D(x1;x2;.....;xm)
Seguro de Vida Inmediato y Temporario El seguro consiste en el pago de $1 anual, durante “n” años al grupo; siempre y cuando todos los integrantes del mismo sobrevivan ( cada integrante recibirá $1/m ). a(x1, x2, ...., xm;0;n;m) = t=0n - 1.E(x1, x2, ...., xm;t;m) = t=0n - 1.D(x1+t;x2+t;.....;xm+t)/ D(x1, x2, ....,xm) a(x1;x2;.....;xm;0;n;m) = [ N(x1;x2;.....;xm) - N(x1+n;x2+n;.....;xm+n) ]/ D(x1;x2;.....;xm)
Seguro de Muerte Inmediato y Temporario El seguro consiste en el pago de $1 al fin del año del primer fallecimiento de las “m” cabezas que integran el grupo. Se expresa respetando la nomenclatura utilizada por los seguros de vida. A(x1, x2, ...., xm;0;n;m) = t=0n - 1.vt+1.q(x1, x2, ...., xm;t;1;m) = t=0n - 1.vt+1.d(x1+t; x2+t; ... ; xm+t)/ l(x1, x2, ...., xm) = t=0n - 1v [x1+x2+....+xm] /m+t+1/v[x1+x2+.....+xm] /m .d(x1+t; x2+t; ... ; xm+t)/l(x1, x2, .. , xm) donde: d(x1+t; x2+t; ... ; xm+t) = l(x1, x2, ...., xm) - l(x1+t; x2+t; ... ; xm+t) C(x1+t; ... ; xm+t) = v [x1+t+x2+t+.....+xm+t] /m .d(x1+t; x2+t; ... ; xm+t) entonces A(x1;x2;.....;xm;0;n;m) = [ M(x1;x2;.....;xm) - M(x1+n; x2+n;.....; xm+n) ]/ D(x1;x2;.....;xm)
Relacaión Vida - Muerte A(x1, x2, ...., xm;0;n;m) = t=0n - 1.vt+1.q(x1, x2, ...., xm;t;1;m) = t=0n - 1. vt+1.[ p(x1, x2, ...., xm;t;m) - p(x1, x2, ...., xm;t+1;m) ] = v. t=0n - 1.E(x1, x2, ...., xm;t;m) - t=0n - 1.E(x1, x2, ...., xm;t+1;m) = (1-d).a(x1, x2, ...., xm;0;n;m) - a(x1, x2, ...., xm;1;n;m) = (1-d).a(x1, x2, ..., xm;0;n;m) - [a(x1, x2, ..., xm;0;n;m) - 1+ E(x1, x2, ..., xm;n;m)] A(x1, x2, ...., xm;0;n;m) = 1 - E(x1, x2, ...., xm;n;m) - d.a(x1, x2, ...., xm;0;n;m)
236
Seguros - Último Fallecimiento Capital Diferido de Vida El seguro consiste en el pago de $1 al cabo de “n” años, al grupo inicial de “m” cabezas, si al menos uno de sus integrantes sobrevive. E(x1, x2, ...., xm;n;1;m) = vn.p(x1, x2, ...., xm;n;1;m) E(x1, x2, ...., xm;n;1;m) = vn.[1 - q(x1, x2, ...., xm;0;n;m)] donde la probabilidad de supervivencia de “al menos 1” de los integrantes, puede expresarse en función de probabilidades de supervivencia simple o conjunta.
Seguro de Vida Inmediato y Temporario El seguro consiste en el pago de $1 anual, durante “n” años al grupo; siempre y cuando al menos 1 de los integrantes del mismo sobreviva. El grupo en sí se extingue cuando fallece el último integrante (cada vez le corresponde mayor porción de ese peso que se paga, a cada uno) n 1
a(x1, x2, ...., xm;0;n;1;m) = E(x1, x2, ...., xm;n;1;m) t 0
donde E(x) se calcula como se define en el punto anterior.
Seguro de Muerte Inmediato y Temporario El seguro consiste en el pago de un capital de $1 a fin del año de fallecimiento del último integrante del grupo de “m” cabezas. Es decir que el grupo no se extingue siempre y cuando exista al menos un sobreviviente. hay que convertir el seguro de al menos uno en una expresión de supervivencia conjunta. n 1
A(x1, x2, ...., xm;0;n;1;m) = vt+1. q(x1, x2, ...., xm;t;1;1;m) t 0
A(x1, x2, ...., xm;0;n;1;m) = 1 - E(x1, x2, ...., xm;n;1;m) - d. a(x1, x2, ...., xm;0;n;1;m) se recurre a la relación Vida - Muerte. La probabilidad que pague el seguro, está dada por la combinación lineal que supone distintas combinaciones de supervivencia conjunta. En el caso de seguro pagadero al último fallecimiento, las primas se pagan siempre y cuando sobreviva uno de los integrantes del grupo.
237
Ejemplo: grupo de 2 cabezas P(x; y; n; 1; 2) donde: 2 es el número cabezas que forman el grupo. 1 es el monto que se abona hasta que fallezca el último. n es el número de primas a pagar. x e y son las edades de las cabezas del grupo. P(x; y; n; 1; 2) = A(x; y; 0; n; 1; 2). a-1(x; y; 0; n; 1; 2)
Reserva Matemática Para el cálculo de la Reserva Matemática hay que tomar en cuenta todos lo casos de sobrevivientes posibles. El asegurador debe comprender que hasta el momento del último fallecimiento, está obligado a construir una Reserva. V(x;y;t;1;2) Reserva que contempla que los 2 estén con vida o uno de ellos cualquiera. Si las 2 cabezas estan con vida... V(x;y;t;1;2) = A(x+t; y+t; 0; n-t; 1; 2) - P(x; y;n;1;2). a(x+t; y+t; 0; n-t; 1; 2) Si “x” esta con vida... V(x;y;t;1;2) = A(x+t; 0; n-t) - P(x; y;n;1;2). a(x+t; 0; n-t) Si “y” esta con vida... V(x;y;t;1;2) = A(y+t; 0; n-t) - P(x; y;n;1;2). a(y+t; 0; n-t) Si al momento t fallecen x e y, no se constituye reserva alguna porque el grupo se considera extinguido.
Seguros – Exactamente “r”o al menos “r” Capital Diferido de Vida El seguro consiste en el pago de $1 al cabo de n años bajo la condición de que exactamente “r ” personas del grupo inicial de m estén con vida. m
E(x1, x2, ...., xm;n;r) = vr.p(x1, x2, ...., xm;n;r) = v n 1 sr
m
E(x1, x2, ...., xm;n;r) = 1 sr
sr
s
sr
s
s r Z(s; m )
* s r Z (s; m )
El método Z, se traslada directamente al capital diferido de vida. Consideramos z *(s;m); aquel factor que resulta de todos las combinaciones posibles, para distintas supervivencias, del capital diferido de vida. 238
Ejemplo: m = 2 r = 1 E(x1;x2;n;1) = vn. p(x1;x2;n;1) = vn.p(x1;n) + vn.p(x2;n) - 2.vn. p(x1;x2;n;2) E(x1;x2;n;1) = E(x1;n) + E(x2;n) - 2.E(x1;x2;n;2) o bien E(x1;x2;n;1) = s=12.(-1)s - 1.(ss-1). z*(s;2) = z*(1;2) - 2.z*(2;2) E(x1;x2;n;1) = E(x1;n) + E(x2;n) - 2.E(x1;x2;n;2)
Seguro de Vida Inmediato y Temporario El seguro consiste en el pago periódico de $1 al grupo de m cabezas, por un lapso de n años; solo si sobreviven exactamente r. Por lo tanto a cada integrante del grupo le corresponderá $1/r. Al momento 0, el seguro toma el valor 0 ya que no existe la probabilidad que de un grupo inicial de m cabezas, sobrevivan en ese mismo momento solo r. a(x1, x2, ...., xm;0;n;r) = t=0n -1.E(x1, x2, ...., xm;t;r) a(x1, x2, ...., xm;0;n;r) =s=r m.(-1)s - r.(ss-r). z”(s;m) El método z se traslada directamente al seguro de vida de riesgo inmediato y temporario. Consideramos z”(s;m) al factor que resume todas las posibilidades, para distintas conbinaciones de supervivencia conjunta, de seguros de vida de capitales múltiples constantes. Ejemplo: m=2 r=1 a(x1;x2;0;n;1) = t=0n -1.E(x1;x2;t;1) = t=0n -1. {E(x1;t) - E(x2;t) - 2.E(x1;x2;t;2)} a(x1;x2;0;n;1) = a(x1;0;n) + a(x2;0;n) - 2.a(x1;x2;0;n;2)
Seguro de Muerte Inmediato y Temporario El seguro consiste en el pago de $1 al grupo de m personas, al momento de que fallezcan “m-r +1” y la cobertura es por un plazo de n años. Se puede definir, a partir de la cantidad de sobrevivientes necesarios para que el grupo no se extinga, en lugar del número de fallecimientos al cual se debe hacer frente al pago del capital asegurado. Suponer que el seguro se paga al momento de que fallezcan r personas, es equivalente a decir que el grupo sobrevive si sobreviven al menos “mr +1” personas. m
p(x1, x2, ...., xm;n;r;m) = s=rm.p(x1, x2, ...., xm;n;s) = 1 sr
sr
s s r z(s; m)
A(x1, x2, ...., xm;0;n;r;m) = 1 - E(x1, x2, ...., xm;n;r;m) - d.a(x1, x2, ...., xm;0;n;r;m) Nota: Se recurre a la relación vida - muerte; y el cálculo tanto del capital diferido de vida como de la renta vitalicia para “al menos r ” se expresa en función de p(x1, x2, ...., xm;n;r;m) * Capital Diferido de Vida 239
El seguro consiste en el pago de $1 al cabo de n años, a un grupo inicial de m personas, si sobreviven al menos r. E(x1, x2, ...., xm;n;r;m) = vr.p(x1, x2, ...., xm;n;r;m) = vn. s=r m.(-1)s - r.(s-1s-r). z(s;m) E(x1, x2, ...., xm;n;r;m) = s=r m.(-1)s - r.(s-1s-r). z*(s;m) El método z, se traslada directamente al capital diferido de vida. Consideramos a z *(s;m); al factor que resulta de todas las combinaciones, según los distintos grupos de supervivencia conjunta, para el capital diferido. * Seguro de Vida temporario y limitado El seguro consiste en el pago de $1 periodicamente al grupo original de m personas, mientras sobrevivan al menos r; por un plazo de n años. a(x1, x2, ...., xm;0;n;r;m) = t=0n -1.E(x1, x2, ...., xm;t;r;m) a(x1, x2, ...., xm;0;n;r;m) =s=r m.(-1)s - r.(s-1s-r). z”(s;m) El método z se traslada directamente al seguro de vida de riesgo inmediato y temporario. Consideramos z”(s;m) al factor que resume todas las posibilidades, para distintas conbinaciones de supervivencia conjunta, de seguros de vida de capitales múltiples constantes. El seguro de muerte de al menos r; no se podría llevar a cabo. Se especifico que se paga a un fallecimiento determinado lo que se puede entender como que el grupo subsiste siempre que sobrevivan x personas.
Todas las relaciones mencionadas anteriormente se verifican para todos los casos: inmediato sin límite, diferido temporario y diferido sin límite.
240
UNIDAD X Invalidez sin Rehabiliiitación Definiciones l(x;aa) número de activos sobrevivientes a la edad x. d(x;aa) número de personas de edad x, que fallecen como activos antes de alcanzar la edad x+1. i(x;x+1) nº de personas que abandona el grupo de activos, entre las edades x y x+1, por invalidez. l(x;i) grupo de inválidos a la edad x d(x;ii) número de personas que eran inválidas a la edad x y fallecen entre x y x+1. p(x;1;aa) probabilidad de que un activo a la edad x sobreviva como activo a la edad x+1. q(x;0;1;a) probabilidad de que un activo a la edad x fallezca entre x y x+1 sin importar su estado. p(x;1;ii) probabilidad de que un inválido de edad x sobreviva hasta la edad x+1. q(x;0;1;ii) probabilidad de que un inválido de edad x , fallezca entre x y x+1. q(x;0;1;aa) probabilidad de que un activo a la edad x fallezca como tal antes de alcanzar la edad x+1. r (x;0;1) probabilidad de que una persona de edad x se invalide entre x y x+1.
d(x,x+1;aa) l(x;aa)
l(x+1;aa) i(x;x+1)
d(x,x+1;ai) l(x+1;ai)
d(x,x+1;ii) l(x;i) l(x+1;ii)
241
Relaciones l(x+1;aa)= l(x;aa) - d(x;aa) - i(x;x+1) l(x+1;i) = l(x+1;ii) + l(x+1;ai) = l(x;i) - d(x;ii) + i(x,x+1) - d(x;ai) l(x+1;i)= l(x;i) - d(x;i) + i(x,x+1) d(x;i) = d(x;ii) + d(x;ai) l(x+1;ii) = l(x;i) - d(x;ii) l(x+1;ai) = i(x,x+1) - d(x;ai)
Probabilidades p(x;1;aa)= 1 - q(x;0;1;aa) - r(x;0;1) p(x;1;a) = p(x;1;aa) + p(x;1;ai) q(x;0;1;a) = q(x;0;1;aa) + q(x;0;1;ai) q(x;0;1;aa) = d(x;aa)/ l(x;aa) r(x;0;1) = i(x,x+1)/ l(x;aa) q(x;0;1;i) = q(x;0;1;ii) q(x;0;1;ii) = d(x;ii)/ l(x;i) p(x;1;ii) + q(x;0;1;ii) = 1 p(x;1;aa) + q(x;0;1;aa) + r(x;0;1)=1
Hipótesis en Función al Riesgo de Invalidez Suponemos DUI (distribución uniforme de invalidez) DUF (distribución uniforme de fallecimiento) Si suponemos que se invalidan en forma uniforme, es decir todos los individuos que se invalidan lo hacen a mitad del año, estando de esta manera expuestos por solo la mitad del año. 242
r(x;0;1) = i(x;x+1)/ [ l(x;aa) - 1/2.d(x;aa) ] q(x;0;1;i) = d(x;i)/ [ l(x;i) + 1/2.i(x;x+1) ] q(x;0;1;ai) = d(x;ai)/ l(x;aa) = i(x,x+1).1/2.q(x;0;1;i)/ l(x;aa) q(x;0;1;ai) = 1/2. r(x;0;1).q(x;0;1;i) p(x;1;ai) = l(x+1;ai)/ l(x;aa) = [ l(x+1;i) - l(x+1;ii) ]/ l(x;aa) p(x;1;ai) = [ l(x+1;i) - l(x;i).p(x;1;i) ]/ l(x;aa) o bien p(x;1;ai) = l(x+1;ai)/ l(x;aa) = i(x;x+1).[ 1 - 1/2.q(x;0;1;i) ]/ l(x;aa) p(x;1;ai)= r(x;0;1). [ 1- 1/2.q(x;0;1;i) ] p(x;n;ai) = [ l(x+n;i) - l(x;i).p(x;n;i) ]/ l(x;aa) q(x;n;1;ai) = [ d(x+n;i) - l(x;i). q(x;n;1;i) ]/ l(x;aa)
Planteo de Coberturas Capital Diferido de Vida E(x;n;aa) = vn.p(x;n;aa) = vx+n.l(x+n;aa)/ l(x;aa) = vx+n/ vx . l(x+n;aa)/ l(x;aa) E(x;n;aa) =D(x+n;aa)/ D(x;aa) E(x;n;i) = vn.p(x;n;i) = vx+n.l(x+n;ii)/ l(x;i) = vx+n/ vx . l(x+n;ii)/ l(x;i) E(x;n;i) = Di (x+n)/ Di (x;aa) Di(x) se pertenece al grupo cerrrado, ya que sólo se relaciona con la probabilidad de fallecer de un inválido. E(x;n;ai) = vn.p(x;n;ai) = vn.l(x+n;ai)/l(x;aa) = vx+n / vx. [ l(x+n;i) - l(x;i).p(x;n;ii) ]/ l(x;aa) 243
E(x;n;ai) = D-1(x;aa).[ D(x+n;i) - D(x;i).E(x;n;i) ] Todos pertenecen a la tabla combinada porque l(x+n;ai) es igual a todos los inválidos en “x+n” menos los que ya eran al momento x y lograron sobrevivir (esa probabilidad de sobrevivir no se puede ver alterada por los ingresos al grupo de inválidos de nuevos i(x)). Tomar en cuenta que E(x;0;ai) = 0
Rentas a(x;0;n;aa): Renta unitaria por un período de n años que cobra una persona activa de edad x mientras permanezca activo. a(x;o;n;aa) = t=0n -1.E(x;t;aa) =t=0n -1.vt.p(x;t;aa) = t=0n -1.vx+t/vx.l(x+t;aa)/l(x;aa) a(x;o;n;aa) = D-1(x;aa).[N(x;aa) - N(x+n;aa) ] a(x;0;n;i): Renta unitaria por un período de n años que cobra un persona inválida de edad x mientras permanezca con vida. a(x;o;n;i) = t=0n -1.E(x;t;i) =t=0n -1.vt.p(x;t;ii) = t=0n -1.vx+t/vx.l(x+t;ii)/l(x;i) a(x;o;n;i) =Di-1(x).[ Ni(x) - Ni(x+n) ] a(x;0;n;ai) : Renta unitaria que cubre un período de n años y se abona a partir del momento donde una persona (que al inicio poseía edad x ) se invalida hasta el final de la cobertura si sobrevive. a(x;o;n;ai) = t=0n -1.E(x;t;ai) como para t=0 E(x;0;ai)=0, entonces a(x;o;n;ai) = t=1n -1.E(x;t;ai), por lo tanto hay 2 posibilidades: 1) mantener el momento de fin de cobertura (x+n) a(x;1;n-1;ai) = t=1n -1.E(x;t;ai) = t=1n -1. D-1(x;aa).[ D(x+t;i) - D(x;i).E(x;t;i) ] =D-1(x;aa).[ t=1n -1.D(x+t;i) - D(x;i). t=1n -1.E(x;t;i) ] a(x;1;n-1;ai) = D-1(x;aa).[ N(x+1;i) - N(x+n;i) - D(x;i).a(x;1;n-1;i) ] 244
2) mantener el plazo de cobertura (n años) n .E(x;t;ai)
a(x;1;n;ai) =
t=1
= t=1n . D-1(x;aa).[ D(x+t;i) - D(x;i).E(x;t;i) ] = D-1(x;aa).[ t=1n .D(x+t;i) - D(x;i). t=1n .E(x;t;i) ] a(x;1;n;ai) = D-1(x;aa).[ N(x+1;i) - N(x+n+1;i) - D(x;i).a(x;1;n;i) ]
Coberturas de Muerte A(x;0;n;aa): Seguro que consiste en el pago de $1 a los derechohabientes al fin del año de fallecimiento del asegurado, si este fallece como activo entre las edades x y x+n. n -1.vt+1.q(x;t;1;aa)
A(x;0;n;aa) =
t=0
=
t=0
n -1.vx+t+1/vx.d(x+t;aa)/l(x;aa)
= D-1(x;aa).t=0n -1.C(x+t;aa) A(x;0;n;aa) = D-1(x;aa). [ M(x;aa) - M(x+n;aa) ] A(x;0;n;i): Seguro que consiste en el pago de $1 a los derechohabientes al fin del año de fallecimiento de una persona inválida, si esta fallece entre las edades x y x+n. A(x;0;n;i) = t=0n -1.vt+1.q(x;t;1;i) = t=0n -1.vx+t+1/vx.d(x+t;ii)/l(x;ii) = Di-1(x).t=0n -1.Ci (x+t) A(x;0;n;i) = Di-1(x). [ Mi (x) - Mi (x+n) ] A(x;0;n;ai): Seguro que consiste en el pago de $1 a los derechohabientes a fin del año de fallecimiento del asegurado, que contrató a la edad x como activo, y fallece como inválido antes de cumplir la edad x+n. A(x;0;n;ai) = t=0n -1.vt+1.q(x;t;1;ai) n -1.vx+t+1/vx.d(x+t;ai)/l(x;aa)
=
t=0
= D-1(x;aa).t=0n -1.vx+ t+1.[d(x+t;i) - l(x;i).q(x;t;1;i)] = D-1(x;aa). [t=0n -1.C(x+t;i) - vx.l(x;i). t=0n -1.vt+1.q(x;t;1;i)] A(x;0;n;ai) = D-1(x;aa). [M(x;i) - M(x+n;i) - D(x;i).A(x;0;n;i)]
Nueva Cobertura I(x;0;n) : Cobertura que consiste en el pago del capital asegurado a fin del año en que se invalida, si este tiene lugar a partir del momento de contratación y por un periodo de n años. I(x;0;n) =
n -1..vt+1.r(x;t;1)
t=0
245
Relación Vida - Muerte A(x;t;1;aa) = vt+1.q(x;t;1;aa) = vt+1.[ p(x;t;aa) - p(x;t+1;aa) - r(x;t;1) ] = v.E(x;t;aa) - E(x;t+1;aa) - I(x;t;1) A(x;t;1;aa) = v.E(x;t;aa) - E(x;t+1;aa) - I(x;t;1) A(x;0;n;aa) = t=0n -1 .vt+1.q(x;t;1;aa) = t=0n -1 . [ v.E(x;t;aa) - E(x;t+1;aa) - I(x;t;1) ] = v t=0n -1 ..E(x;t;aa) - t=0n -1 .E(x;t+1;aa) - t=0n -1 .I(x;t;1) = v.a(x;0;n;aa) - a(x;1;n;aa) - I(x;0;n) = (1-d).a(x;0;n;aa) - [ a(x;0;n;aa) -1 + E(x;n;aa) ] - I(x;0;n) A(x;0;n;aa) = 1 - d.a(x;0;n;aa) + E(x;n;aa) - I(x;0;n) Se puede expresar I(x;0;n) = 1 - d.a(x;0;n;aa) + E(x;n;aa) - A(x;0;n;aa) A(x;t;1;i) = vt+1.q(x;t;1;i) = vt+1.[ p(x;t;i) - p(x;t+1;i) ] A(x;t;1;i) = v.E(x;t;i) - E(x;t+1;i) A(x;0;n;i) = t=0n-1. vt+1.q(x;t;1;i) = t=0n -1.[ v.E(x;t;i) - E(x;t+1;i) ] = v.t=0n -1.E(x;t;i) - t=0n -1.E(x;t+1;i) = v.a(x;0;n;i) - a(x;1;n;i) = (1-d).a(x;0;n;i) - [ a(x;0;n;i) - 1 + E(x;n;i) ] A(x;0;n;i) = 1 - E(x;n;i) - d.a(x;0;n;i) A(x;t;1;ai) = vt+1.q(x;t;1;ai) = vt+1.d(x+t;ai)/ l(x;aa) = vt+1. [ d(x+t;i) - l(x;i).q(x;t;1;i) ]/ l(x;aa) = vt+1. { [ l(x+t;i) - l(x+t+1;i) + i(x+t;0;1) ] - l(x;i).p(x;t;i).q(x+t;0;1;i) }/l(x;aa) tomando en cuenta que: l(x+1;i) = l(x;i) - d(x;i) + i(x;0;1) q(x+t;0;1;i) = 1 - p(x+t;1;i) p(x;t;i) . p(x+t;1;i) = p(x;t+1;i) reemplazando A(x;t;1;ai) = vt+1. {[l(x+t;i) - l(x+t+1;i) + i(x+t;0;1)] - l(x;i).p(x;t;i) + l(x;i) p(x;t+1;i)}/l(x;aa) [1] 246
si agrupamos de la siguiente manera: *
vt+1. [ l(x+t;i) - l(x;i).p(x;t;i) ]/ l(x;aa) = vt+1.l(x+t;ai)/ l(x;aa) = vt+1.p(x;t;ai) = v.E(x;t;ai)
*
vt+1.i(x+t;0;1)/l(x;aa) = vt+1.r(x;t;1) = I(x;t;1)
*
vt+1 [ l(x;i).p(x;t+1;i) - l(x+t+1;i) ]/ l(x;aa) = vt+1.( - p(x;t+1;ai) ) = -E(x;t+1;ai)
entonces la expresión [1] quedaría A(x;t;1;ai) = v.E(x;t;ai) + I(x;t;1) - E(x;t+1;ai) A(x;0;n;ai) = t=0n -1.A(x;t;1;ai) = v. t=0n -1.E(x;t;ai) + t=0n -1.I(x;t;1) - t=0n -1.E(x;t+1;ai) = v.a(x;1;n-1;ai) - a(x;1;n;ai) + I(x;0;n) = (1-d).a(x;1;n-1;ai) - [ a(x;1;n-1;ai) + E(x;n;ai) ] + I(x;0;n) A(x;0;n;ai) = I(x;0;n) - E(x;n;ai) - d.a(x;1;n-1;ai)
Reservas Cargadas y el Método Zillmer Nomenclatura x: edad de contratación. n: plazo de cobertura y pago de primas. P(x;1) prima pura única. P(x;n) prima pura anual. P’(x;n) prima anual que incluye la porción de la carga que corresponde a los gastos de adquisición. P*(x;n) = P’(x;n) utilizada en el método de Zillmer. gastos de adquisición en tanto por ciento de prima. gastos de adquisición: es entonces: = .P(x;n) V(x;t;1) reserva terminal pura con t primas abonadas V*(x;t;1) reserva terminal cargada con t primas abonadas.
247
Reservas Puras y Reservas Cargadas Es muy diverso el problema del recargo para gastos iniciales. Como ya sabemos los gastos de adquisición se sostienen en el momento de la contratación pero el respectivo recargo se reparte entre todas las primas. Si se excluye el caso de los seguros a prima única, los gastos iniciales de adquisición se pueden considerar como costos de amortización plurianual (teóricamente a lo largo de todos los ejercicios en los que dura el pago de primas). Entonces, de esta forma a cargo de cada ejercicio se lleva una cuota anual de amortización. Se podría calcular entonces la reserva en cuantía inferior; si se hace directamente esta rectificación, la reserva se llama Zillmerada. El fenómeno de los gastos de adquisición se puede tener en cuenta ya en el cálculo de la reserva matemática, incluyendo los costos indirectos entre las prestaciones de la compañía y los correspondientes recargos entre las prestaciones del asegurado. Si consideramos únicamente los gastos de adquisición se tiene que en la determinación prospectiva de la reserva: - No hay que añadir nada a las prestaciones de la compañía, porque los costos de adquisición ya han sido sostenidos. - En las prestaciones del asegurado se debe considerar la prima pura aumentada con el recargo para gastos de adquisición, entonces: P’(x;n)=P(x;n) + .a-1(x;0;n) P’(x;n)=P(x;n) + .P’(x;n).a-1(x;0;n) Consideramos la reserva terminal pura con t primas pagadas donde P(x+t;1) es la prima pura única a la edad x+t, o valor actual actuarial de la prestación a dar a partir de la edad x+t. V(x;t;1) = P(x+t;1) - P(x;n).a(x+t;0;n-t) Si reemplazamos a la prima pura anual P(x;n) por la prima anual que incluye la porción de la carga que corresponde a los gastos de adquisición P’(x;n), se tiene entonces la reserva cargada. V*(x;t;1)= P(x+t;1) - P’(x;n).a(x+t;0;n-t) V*(x;t;1)= P(x+t;1) - [ P(x;n) + .a-1(x;0;n) ].a(x+t;0;n-t) V*(x;t;1)= P(x+t;1) - P(x;n).a(x+t;0;n-t) - .a(x+t;0;n-t).a-1(x;0;n)
Entonces: V*(x;t;1) = V(x;t;1) - .a(x+t;0;n-t).a-1(x;0;n) Estableciendo entonces así que la reserva cargada es inferior a la reserva de primas puras. La diferencia es igual al valor actual actuarial de los recargos futuros por gastos de adquisición o lo que es lo mismo el valor actual actuarial de los gastos de adquisición por amortizar.
248
El método de ZILLMER La reserva cargada ha resultado menor que la pura. El doctor Augustus Zillmer supone que en lugar de ser iguales todos las primas, la primera es inferior a las restantes en una suma dada, digamos . Luego, si es P*(x;n) la primera que habrá que pagarse a partir del segundo año, la que corresponde al primero será P*(x;n) - , y se tiene entonces, siendo P(x;1) la prima pura única de cualquier plan: P(x;1) = P*(x;n) - + P*(x;n).a(x;1;n-1) P(x;1) = P*(x;n).[ 1+ a(x;1;n-1) ] - P(x;1) = P*(x;n).a(x;0;n) - y resulta P*(x;n) = P(x;1). a-1(x;0;n) - .a-1(x;0;n) = P(x;n) + .a-1(x;0;n) Que fue lo obtenido anteriormente. Zillner establece entonces la reserva cargada del primer año: V*(x;1;1) = P(x+1;1) - P*(x;n).a(x+1;0;n-1) V*(x;1;1) = P(x+1;n-1).a(x+1;0;n-1) - P*(x;n).a(x+1;0;n-1) V*(x;1;1) = [ P(x+1;n-1) - P*(x;n) ].a(x+1;0;n-1) y como esta reserva no tiene que ser menor que cero, se ha de tener como máximo: P(x+1;n-1) - P*(x;n) = 0 P*(x;n) = P(x+1;n-1) Entonces, la prima de Zillmer (anual durante “n” períodos) que ha de reunir para calcular las reservas cargadas no puede ser superior a la prima pura anual (de n-1 períodos) que corresponde a la edad inmediata superior.
La Carga Máxima y los Gastos de Adquisición: La carga máxima que en estas condiciones puede destinarse a gastos de adquisición se desprende de la expresión: P*(x;n) = P(x;n) + .a-1(x;0;n) Reemplazando es esta P*(x;n) por P(x+1;n-1), entonces: P(x+1;n-1) = P(x;n) + .a-1(x;0;n)
donde = .P(x+1;n-1) = .P*(x;n)
= [ P(x+1;n-1) - P(x;n) ].a(x;0;n) = P(x+1;n-1).[ 1+ a(x;1;n-1) ] - P(x;n).a(x;0;n) = P(x+1;n-1) - [ P(x;n).a(x;0;n) - P(x+1;n-1).a(x;1;n-1) ] y es la carga máxima que puede destinarse a gastos de adquisición: Tomando como ejemplo un seguro de vida entera. El pago de primas es por toda la cobertura. 249
=P(x+1;w-x-1)-[A(x;0;w-x).a-1(x;0;w-x).a(x;0;w-x)-A(x+1;0;w-x-1).a-1(x+1;0;w-x-1).a(x;1;w-x-1)] y reemplazando en el corchete por sus valores de conmutación: = P(x+1;w-x-1) - [ M(x).D-1(x) - M(x+1).N-1(x+1) . N(x+1).D-1(x) ] = P(x+1;w-x-1) - [ M(x) - M(x+1) ].D-1(x) = P(x+1;w-x-1) - C(x).D-1(x) en donde C(x).D-1(x) es la prima pura única de un seguro temporario de muerte por un año para una persona de edad x. Es decir, que según este método, la primer prima debe considerarse como correspondiente a un seguro temporario de muerte por un año de tal modo que el excedente entre la prima cobrada y la natural del año pueda ser aplicado íntegramente a cubrir los gastos de adquisición, gastos que por otra parte no deben exceder de dicho margen.
Reservas Zillmerradas negativas Puede ocurrir que resulte positivo el valor de una reserva calculada con primas puras, el correspondiente valor Zillmerado (que es siempre menor) resulte negativo. Esto significa que para aquel contrato el importe de los costos de adquisición a amortizar es inferior al valor puro de la póliza, y entonces si el asegurado abandonara el contrato, la compañía aunque no le reconociera ningún derecho, se encontraría descubierta parcialmente. Esto podría ocurrir especialmente en los primeros años, incluso a menudo ocurre en el, primer año, por que el asegurador paga al agente como comisión casi la totalidad de la primer prima y por ello tiene que afrontar el riesgo del primer año sin haber cobrado casi nada. De esto se extraen diversas consecuencias: Cuando se usa la Zillmerización, si la reserva resulta negativa, por prudencia se hace igual a cero. La compañía que normalmente no obliga al asegurado a tener fe en sus compromisos, en el primer año hace valer sus derechos obligándolo a pagar para cubrirse al menor de los costos de adquisición. Es conveniente que la compañía limite los gastos de adquisición de modo que la reserva de Zillmer no sea negativa.
250
