Macroproceso Gestión de Formación
MGF- 02- R04 Versión 8
SUBMÓDULO 2 ÁREA DE MATEMÁTICAS ASIGNATURA: ESTADÍSTICA GRADO UNDÉCIMO PERIODO II No Unidades 8 DESEMPEÑO 1. Aplica conceptos básicos de la probabilidad. 2. Interpreta y soluciona situaciones problémicas usando la probabilidad de un evento, la regla general de la suma y la complementación de probabilidades. 3. Sigue las indicaciones dadas en la asignatura para el desarrollo de tareas y trabajos.
CRITERIO DE DESEMPEÑO 1. Identifica el espacio muestral, experimentos aleatoreos y eventos en situaciones reales. 2. Clasifica los sucesos de acuerdo al contexto. 3. Calcula la probabilidad de un evento teniendo en cuenta sus reglas y clases. 4. Aplica la regla general de la suma y la complementación de probabilidades en diversos contextos. Efectúa las tareas y trabajos de acuerdo con las indicaciones dadas.
ÁMBITOS CONC EPTUALES SU SUGERIDOS. GERIDOS.
Espacios muestrales y experimentos aleatoreos. Eventos o sucesos. Sucesos independientes y dependientes. Sucesos mutuamente excluyentes. Probabilidad de un evento. Reglas de la probabilidad y eventos mutuamente excluyentes. Regla general de la suma. Complementación de probabilidades. RESEÑA HISTÓRICA.1 La Edad media termina históricamente en el año 1.453 con la caída de C onstantinopla por parte de los otomanes, dando paso a la etapa conocida como Renacimiento, la cual se destacó por la actividad mercantil, industrial, artística, arquitectónica, intelectual y científica, entre otras. En esta época surge una nueva relación del hombre con la naturaleza, que va unida a una concepción ideal y realista de la ciencia. La matemática se va va a convertir en la principal ayuda de un arte arte y una sociedad que se preocupan incesantemente incesantemente en fundamentar racionalmente racionalmente su ideal de belleza. A partir de esta etapa con el avance en las matemáticas y la filosofía, se empieza a dar una explicación coherente a muchos fenómenos que que no seguían un patrón determinístico, sino aleatorio. Es el caso de todos los fenómenos fenómenos relativos a la probabilidad de los sucesos, concretados en este tiempo tiempo fundamentalmente en los juegos de azar. En este periodo del Renacimiento es cuando empiezan a surgir de manera manera más seria inquietudes entorno a contabilizar el número de posibles resultados resultados de un dado lanzado varias veces, o problemas más prácticos sobre sobre cómo repartir las ganancias de los jugadores cuando el juego se 1
http://www.uam.es Tomado de Internet. 1
interrumpe antes de finalizar. Como vemos estas inquietudes surgían más como intentos de resolver problemas “cotidianos” con el fin de ser justos en las apuestas y repartos o incluso de
conocer las respuestas para obtener ventajas y en consecuencia mayores ganancias respecto a otros jugadores y mucho menos de inquietudes matemáticas verdaderas. De hecho la idea de modelizar el azar mediante las matemáticas aún no estaba plenamente presente en los intelectuales de la época. El primero en dar la definición clásica de probabilidad fue Jacob Bernoulli (1654 – 1705), matemático suizo que trabajó en la universidad de Basilea en 1687, en su obra” Arsconjectandi” (El arte de la conjetura) que fue publicada algunos años después de la muerte del autor. En esta obra encontramos entre otras cosas la importante proposición conocida como el Teorema de Bernoulli mediante el cual la teoría de la probabilidad fue elevada por primera vez del nivel elemental de conjunto de soluciones de problemas particulares a un resultado de importancia general. Bernoulli siempre destacó la importancia de que los fenómenos aleatorios dejaran de enfocarse como casos particulares y se intentara ver los conceptos generales que habías detrás de ellos, sólo así se avanzaría y profundizaría en el entendimiento de esta materia. Más adelante, el matemático francés exiliado en Inglaterra Abraham De Moivre (1667 –1754) aceptó la definición dada por Bernoulli y la reformuló en términos más modernos para la época: «una fracción en la que el numerador es igual al número de apariciones del suceso y el denominador es igual al número total de casos en los que es suceso pueda o no pueda ocurrir. Tal fracción expresa la probabilidad de que ocurra el suceso». La definición clásica de la probabilidad, en su forma actual, está basada en el concepto de equiprobabilidad de los resultados, basado a su vez en la simetría. Se supone que un experimento se puede descomponer en n sucesos equiprobables y mutuamente excluyentes llamados sucesos básicos o ‘elementales’. Así, la probabilidad de suceso A es el número del interva lo [0,1] que expresa el cociente entre los m sucesos elementales que componen A y el número total n de posibles sucesos elementales. La traba fundamental que encuentra esta interpretación de la probabilidad es la dificultad de descomponer un suceso en sucesos elementales equiprobables; lo que
es fácil para problemas sencillos (cartas, dados, etc.…),
pero es de gran dificultad en
problemas más complicados. Además otro de los descubrimientos importantes de Bernoulli fue el saber obtener la probabilidad de ocurrencia de un suceso sin necesidad de contar los casos favorables (bien por omisión de datos o bien por la imposibilidad de contarlos). Para ello inventó la probabilidad a posteriori, es decir: “mediante la observación múltiple de los resultados de pruebas similares…” De esta manera, introdujo el concepto de probabilidad ‘estadística’: asignar como probabilidad de un
suceso el resultado que se obtendría si el proceso se repitiera en condiciones similares un número grande de veces. Sin embargo, estas condiciones no eran muy concretas y con ellas no se podía dar lugar a una definición seria y rigurosa de todos los conceptos q manejaba Bernoulli. En primer lugar, se habla de un ‘número grande’ de veces, pero no se da ninguna indicación sobre cuál es ese número o lo suficientemente grande que debe ser, no se especifica tampoco que significa condiciones similares y tampoco se establece cuál es el error admitido respecto al resultado teórico. Precisamente, fueron la necesidad de precisar con ex actitud qué se entiende por un ‘número grande’ de repeticiones y de calcular el error del resultado obtenido respecto del resultado teórico,
lo que llevaron a Jacob Bernoulli a idear, en su forma más intuitiva y básica, la Ley de los Grandes Números.
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TERMINOS BÁSICOS EXPERIMENTOS ALEATORIOS: Es un conjunto de pruebas realizadas en las mismas condiciones en que los resultados pueden atribuirse al azar. Los experimentos aleatorios poseen tres características: Los resultados de cada ejecución dependen de la casualidad; es decir, de influencias que no pueden ser controladas. Aunque, en general, no podemos indicar cuál será un resultado particular, sí podemos describir el conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Proporcionan la información básica para determinar medidas de probabil idad. ACTIVIDAD 1: Explica si los siguientes ejemplos corresponden a experimentos aleatorios. Justifica la respuesta. 1. Se lanza un dado y se observa el número que aparece en la cara superior. 2. Se lanza una moneda cuatro veces y se cuenta el número total de caras obtenidas. 3. Se lanza una moneda cuatro veces y se observa la sucesión de caras y sellos obtenidos. 4. Se fabrican artículos en una línea de producción y se cuenta el número de artículos defectuosos producidos en un período de 24 horas. 5. El ala de un aeroplano se arma con un gran número de remaches. Se cuenta el número de remaches defectuosos. 6. Se fabrica una bombilla, luego se prueba su duración conectándola en un portalámparas y se anota el tiempo transcurrido (en horas) hasta que se quema. 7. En un lote de 10 artículos hay 3 defectuosos. Se el ige un artículo después de otro (sin sustituir el artículo elegido) hasta que se obtiene el último artículo defectuoso. Se cuenta el número total de artículos sacados del lote. 8. Se fabrican artículos hasta producir 10 no defectuosos. Se cuenta el número total de artículos manufacturados. 9. Se lanza un proyectil. Después de un tiempo determinado , se anotan los tres componentes de la velocidad, . 10. Se observa un proyectil recién lanzado en tiempos, . En cada oportunidad se anotó la altura del proyectil sobre el suelo. 11. De una urna que contiene sólo esferas negras se escoge una esfera y se anotó su color. 12. Una ruleta tiene inscritos los números del 1 al 20, encontrándose éstos igualmente espaciados. Se le da vueltas y después se anata el número favorecido. 13. Se presenta un examen de matemáticas y se anotan las calificaciones que pueden variar de 0 a 100. 14. Se somete a examen médico a posibles integrantes de un equipo de fútbol y se les aprueba a reprueba. 15. Se pesan objetas y se anotan sus pesos. 16. Se marca un número telef6nico y se obtiene tono de ocupado. 17. Se selecciona a la suerte a un profesor del colegio y se encuentra que es casada. ESPACIOS MUESTRALES: El conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio recibe el nombre de espacio muestral. Dicho conjunto se simbolizo con la letra mayúscula S y el número total de resultados con N(S). Los elementos de un espacio muestral se denominan puntos muéstrales o muestras. Consideremos el experimento aleatorio que consiste en jugar en forma simultánea un dado y una moneda. Construyamos el espacio muestral del experimento. Para construir el espacio muestral de este experimento se emplea el principio fundamental del Conteo, así: Ejemplo:
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Es importante recordar que en la construcción del espacio muestral de un experimento se emplea el principio fundamental del conteo. ACTIVIDAD 2 1. Un experimento consiste en lanzar al aire en forma simultánea tres monedas y observar el resultado de los lados superiores. Construye el espacio muestral. 2. Un experimento consiste en lanzar simultáneamente dos dados y observare1 resultado de los lados superiores. Determina el espacio muestral. 3. Una caja contiene una moneda de $50, una de $100, una de $200 y una de $500. Se sacan aleatoriamente dos monedas juntas de la caja. Haz el espacio muestral por medio de un diagrama de árbol. 4. En un estudio médico los pacientes se clasifican de acuerdo con su tipo de sangre en 8 grupos, así: AB+, AB-, A+, A-, B+, B-, O+, O-, por su presión sanguínea: baja, normal, alta. Si tomas una persona al azar, encuentra el espacio muestral para lo prueba. 5. Planeamos un estudio de las familias que tienen cuatro hijos. Deseamos registrar el sexo de cada hijo por orden de nacimiento. Señala todos los puntos muéstrales de este experimento. 6. Se lanza una moneda una vez y un dado dos veces. Elabora uno lista de todos los resultados posibles. 7. Un niño juega con una máquina tragamonedas que tiene 3 ruedas, y en cada una de ellas hay un banano, una cereza y un limón, respectivamente. Elaboro una lista de todos los posibles resultados para un juego en particular. 8. María desea seleccionar dos frutas de una canasta que contiene dos higos, dos manzanas y un durazno. Si selecciona una fruta y no la remplazo antes de seleccionar la segunda, encuentra las posibilidades de que se leccione dos frutas diferentes. 9. Se juegan simultáneamente cinco monedas para ver cuántas caras se obtienen. Designamos con c y s las caras y los sellos, respectivamente. Enumero todos los elementos del espacio muestral mediante un diagramo de árbol. 10.Los artículos provenientes de uno lineo de producción se clasifican en defectuosos (D) o no defectuosos (N). Se observan los artículos y se anotó su condición. Este proceso continúa hasta que se produzcan dos artículos defectuosos consecutivos o se hayan verificado cuatro artículos, cualquiera que sea su condición. EVENTOS ALEATORIOS: Cualquier subconjunto del espacio muestral es un evento o suceso aleatorio. Si A es un evento, entonces n(A) es el número de puntos muéstrales que pertenecen al evento A. Los eventos se representan con las letras A, B, C. Existen varias clases de eventos: El evento elementales un subconjunto que tiene un solo punto muestral en S. El espacio muéstrales un evento en el sentido de que es un subconjunto que contiene todos los eventos elementales en S; esta clase de evento se denomina evento seguro. El evento imposible se refiere a un evento que no puede ocurrir nunca, y se simboliza con Ø. El Eventos mutuamente excluyentes: se dice que ya son dos eventos mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir simultáneamente. Se simbolizan así: ACTIVIDAD 3 1. Se lanzan simultáneamente dos dados. 4
a. Describe el espacio muestral correspondiente. b. Determina los elementos del evento que consiste en obtener un resultado igual en ambos
dados. c. Identifico los elementos del suceso que consiste en obtener un resultado en el que la suma sea impar. 2. Considera cuatro objetos W, X, Y, Z Supón que el orden en el cual aparecen esos objetos representa el resultado de un experimento aleatorio. Sean A y B los sucesos definidos así: A {W/W está en primer lugar}; B = {X/X está en segundo lugar} a. Anota todos los elementos del espacio muestral. b. Anota los elementos del evento y 3. En los diagramas que aparecen a continuación, sombrea los siguientes eventos: ( ) ( )
4. Se arrojan dos dados. Determina el número de puntos muéstrales en cada uno de los siguientes eventos definidos en el espacio muestral de este experimento: a. La suma es 7 b. La suma es 11 c. La suma es menor que 5 d. La suma es igual a o menor que 12 PROBABILIDAD: Una probabilidades un número entre 0 y 1 que permite predecir la ocurrencia de un hecho o evento al azar. Si el evento se representa con A, entonces, la probabilidad de que A ocurra se escribe como P(A). Existen tres enfoques para el cálculo de probabilidades: el enfoque clásico, el enfoque de la frecuencia relativa y el de la probabilidad subjetiva. Se juega un dado legal (un dado que no está cargado) y se observa la cara que muestra hacia arriba. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un dos? Ejemplo:
El espacio muestral de este experimento tiene seis resultados posibles [() ], que son . Si A representa el evento de que aparezca el número dos, entonces () Este resultado corresponde a la probabilidad clásica.
Si 260 de 400 amas de caso entrevistadas en un supermercado declararon que preferirían el “detergente nuevo y mejorado” al anterior, estimemos lo probabilidad de que una ama de casa que esté en ese supermercado prefiero el detergente “nuevo y mejorado”. Si A simbolizo el evento de que al entrevistar a una ama de casa manifieste que prefiero el detergente “nuevo y mejorado”,
entonces: ( )
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ACTIVIDAD 4 1. Se lanzó una moneda dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos? 2. Se lanzó uno vez uno moneda y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en la moneda y un número par en el dado? 3. Encuentro la probabilidad que existe de que al lanzar dos dados lo sumo de las caras sea igual a siete. 4. ¿Cuál es la probabilidad que existe de que al seleccionar aleatoriamente un día del presente mes, éste sea lunes? 5. En una prueba del tipo falso-verdadero, una persona no tiene ni la menor idea de las respuestas correctas correspondientes a tres preguntas, así que decide adivinarlas. a. Elabora uno lista de todos los resultados posibles utilizando C para denotar correcta y E para denotar equivocadas. b. Encuentro la probabilidad que existe de que el número de respuestas correctos seo uno. c. Determina la probabilidad que existe de que el número de respuestas correctas sea por lo menos 1. 6. Pamela trabaja en una joyería y tiene una gran pasión por los diamantes. En un cajón se guardan cuatro diamantes y ella remplaza dos de estas gemas por imitaciones. El dueño de la joyería extrae al azar dos piedras. ¿Cuál es lo probabilidad de que extraigo dos diamantes legítimos? 7. El neumático del automóvil de una persona tiene un vidrio o un clavo y el 20% del neumático es visible. Si el automóvil se detiene, ¿cuál es lo probabilidad de que el vidrio o el clavo queden en la porte visible? 8. Un alumno cree que las posibilidades que tiene de aprobar el examen de admisión a la universidad son 2 de 13. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar el examen? 9. Para la selección aleatoria de una carta perteneciente a una baria ordinaria de 52 cartas encontrar los siguientes probabilidades: a. P (reina) b. P (reyo reina) c. P (corazón) d. P (rey y reina) e. P (reina o corazón) f. P (corazón o diamante) g. P (reino y corazón) 8. P (rojo o negro) REGLAS DE LA PROBABILIDAD Y EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES La probabilidad de cualquier evento es un número mayor que o igual a 0; es decir, () para todo evento A. La probabilidad de todo espacio muestral es igual a 1; es decir, que () . Si dos eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que el uno o el otro ocurran es igual a la suma de sus respectivas probabilidades; es decir () () () Ejemplo: De los estudiantes de una facultad
de derecho, 30% son de primer año, 35% de segundo, 20% de tercero, 10% de cuarto y el resto de quinto año. Si uno de los alumnos de esa facultad se ganó diez millones de pesos en una lotería, ¿cuál es la probabilidad de que el alumno sea de primero o de segundo año?
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Representemos con A el evento de que el alumno sea de primer año y con Bel evento de que el alumno sea de segundo año. Entonces: la probabilidad de que el alumno ganador sea de primero o de segundo año es: Respuesta.
( ) ( ) ()
ACTIVIDAD 5 1. Se pide a tres jefes de producción que asignen probabilidades a los sucesos relacionados con que una tarea particular se complete anticipadamente, a tiempo o con retardo. El señor A da las probabilidades respectivas de 0,22, 0,55 y 0,35 a los tres sucesos; el señor B les asigna las probabilidades 0,15, 0,65 y 0,20, y el señor C les asigna las probabilidades de 0,15, 0,60 y 0,20. Comenta estas respuestas. 2. Aprecia la lógica o su ausencia en las siguientes afirmaciones: a. Las probabilidades de que haya 0, 1, 2 o 3 huelgas en las plantas de una compañía este año son, respectivamente, de 0,01, 0,15, 0,50 y 0,20. b. La probabilidad de que un bus municipal tenga una avería seria este año es de 0,50 y la probabilidad de que tenga por lo menos una avería semejante es de 0,25. c. La probabilidad de que el señor A sea llamado como jurado este año es de 0,25 y la probabilidad de que sean llamados tanto el señor A como su esposa es de 0,35. 3. Las probabilidades de que 0, 1, 2, 3,4 o más clientes pidan determinado artículo de los estantes en un supermercado cierto día son, respectivamente, 0,10, 0,40, 0,30, 0,15 y 0,05. Determina la probabilidad de que: a. Ninguno a un cliente pida el artículo. b. Al menos dos clientes pidan el artículo. c. A lo sumo tres clientes pidan el artículo. d. Al menos un cliente pida el artículo. 4. El testamento de la abuela dispone que Carlos reciba $100 millones de su fortuna a su muerte. La abuela ha muerto recientemente y Carlos desea utilizar el dinero en una de las siguientes posibilidades: a) en su educación superior, b) en inversiones, o c) en un viaje por Europa. Las probabilidades de estas opciones son , respectivamente, 0,5, 0,3 y 0,1. a. ¿Cuál es la probabilidad de que Carlos haga una de estas cosas? b. ¿Cuál es la probabilidad de que olvide estas tres posibilidades y gaste el dinero en otra cosa? 5. La probabilidad de que un vendedor de televisores a color venda par lo menos tres aparatos en un día es 0,20. ¿Cuál es la probabilidad de que venda 0,1 o 2 televisores ese día? REGLA GENERAL DE LA SUMA La corporación de turismo seleccionó una muestra de 400 turistas que visitaron la costa Atlántica durante la temporada de diciembre. La encuesta reveló que 240 turistas fueron a Cartagena y 200 a Santa Marta. ¿Cuál es la probabilidad de que determinada persona haya visitado Cartagena o Santa Marta? Ejemplo:
Si se emplea el tercer postulado de las probabilidades, la probabilidad de seleccionar un turista que fue a Cartagena es 0,60, que se obtiene por . De manera semejante, la probabilidad de que un turista haya ido a Santa Marta es 0,50. La suma de estas probabilidades es 1,10. Sin embargo, se sabe por el postulado 2 que esta probabilidad no puede ser mayor que 1. La explicación es que muchas turistas visitaron ambas ciudades y se están contando 2 veces. Una verificación a las respuestas de la encuesta reveló que 120 de los 400 turistas de la muestra en realidad visitaron ambas ciudades. Cuando dos eventos se traslapan, a la probabilidad de la intersección se le denomina probabilidad conjunta. La probabilidad de que un turista haya visitado ambos lugares es = 0,30. Por tanto,
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La probabilidad ()
ACTIVIDAD 6 1. Entre los 80 directivos de una compañía hay 48 casados, 35 tienen un título universitario y 22 son casados y tienen un título universitario. Si se elige a la suerte uno de estos directivos para que asista a una convención, ¿cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea casada, graduada o ambas cosas? 2. Una encuesta a ejecutivos de alto nivel reveló que 35% leen con regularidad la revista Semana, 20% leen Cromos y 10% leen tanto Semana como Cromos. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un ejecutivo específico lea al menos una de las dos revistas? b. ¿Cómoseinterpretala probabilidad0,10? c. ¿I.os eventos son mutuamente excluyentes? Explica tu respuesta. 3. Como parte de un programa del servicio de salud para los niños de los empleados de una compañía, se efectúan anualmente exámenes físicos de rutina. Se descubrió que 8% de los niños necesitaban zapatos ortopédicos, 15%, trabajos dentales mayores y 3% necesitaban tanto zapatos ortopédicos como trabajo dental mayor. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño seleccionado al azar necesite o zapatos ortopédicos o trabaja dental mayor? b. ¿Los eventos son mutuamente excluyentes? c. Muestra esta situación en forma de diagrama de Venn. 4. Considera el siguiente diagrama de Venn.
COMPLEMENTACION DE PROBABILIDADES
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ACTIVIDAD 7 1. Se arrojan dos dados. Determina la probabilidad para cada uno de los siguientes evenlos: a. La suma no es 11 b. La suma no es 5 c. La suma es menor que 3 d. La suma es menor que o igualo 5 e. ¿Cuál es la probabilidad de que no aparezca un 7o un 11? 2. Un experimento consiste en arrojar una moneda y un dado juntos. De una descripción verbal del complemento de cada uno de los siguientes eventos: a. La moneda sale cara yel dado par. b. 2, La moneda sale sello yel dado resulta un número mayor que 4. 3. En un conjunto de 100 lámparas, 7 de ellas son defectuosas. Se toma una lámpara aleatoriamente del conjunto; ¿cuál es la probabilidad de que no sea defectuosa? 4. Una encuesto a profesores de secundaria reveló que 50% leen con rularidad El Tiempo, 40% leen El Espectador y 20% leen tanto El Tiempo como El Espectador. ¿Cuál es la probabilidad de que un profesor de secundaria no lea El Tiempo ni El Espectador? 5. El testamento del abuelo dispone que a su muerte María reciba $10 000 000 de su fortuna. El abuelo ha fallecido recientemente y María se propone utilizar el dinero en una de las siguientes posibilidades: a) en educación superior, b) en títulos de depósitos, o c) en un viaje a Europa. Las probabilidades de estas opciones son, respectivamente, 0,5, 0,3 y 0.1. a. ¿Cuál es la probabilidad de que haga una de estas cosas? b. ¿Cuál es la probabilidad de que olvide estas tres opciones y gaste el dinero en otra co sa? 6. La probabilidad de que la señora Correa reciba como máximo 5 llamadas telefónicas en un día es de 0,25; y por lo menos 9 llamadas telefónicas en un día es de 0,50. ¿Cuál es la probabilidad de que la señora Correa reciba 6, 7 u 8 llamadas ese día? 7. Una compañía manufacturera tiene dos expendios al menudeo. Se sabe que el 30% de los clientes potenciales compran productos sólo en el expendio I, el 50% compra en el expendio II, el 10% compra en los expendios I y II y el 10% de los consumidores no compra en ninguno de los dos expendios. Si A es el evento de que un cliente potencial, seleccionadoal azar, compre en I y Bel evento enel que compre en II, ¿cuál es la probabilidad de A’?
PROBABILIDAD CONDICIONAL
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ACTIVIDAD 8
ACTIVIDAD 9
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SUCESO O EVENTOS: Los sucesos o eventos aleatorios son subconjuntos del espacio muestral que contienen todos los resultados favorables o deseados en un experimento. Por ello un suceso es un evento aleatorio con un atributo o característica especial esperada por el experimentador o investigador. Al lanzar un dado y obtener un resultado inferior a 4 puntos. El suceso aleatorio tiene como conjunto solución 1,2,3. Ejemplo:
Sucesos independientes: Se presenta cuando dos sucesos no se relacionan el uno con el otro, es decir, la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro. Al lanzar un dado y una moneda, aquí la manera de caer el dado es independiente de la manera de caer la moneda. Ejemplo:
Sucesos dependientes: Dos o más sucesos son dependientes cuando la realización o no realización de uno de ellos afecta la probabilidad de que se produzca uno cualquiera de los restantes. En una urna se colocan 3 bolas blancas y dos negra. Si se extrae una bola al azar y ésta no se vuelve a introducir en la urna, y luego se extrae otra bola con la esperanza que sea también negra, estos dos sucesos se denominan dependientes. Ejemplo:
Sucesos mutuamente excluyentes: Dos o más sucesos se excluyen mutuamente si la realización de uno de ellos implica la no realización de los otros. Esto es que estos sucesos son disjuntos y por lo tanto no pueden ocurrir simultáneamente. Cuando se lanza un dado, y sea A el suceso de sacar un número par y sea B el suceso de sacar un número impar, estos dos sucesos son m utuamente excluyentes. Ejemplo:
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Supóngase que un suceso se puede realizar de h maneras (casos favorables) y que no ocurre de f formas (casos no favorables, teniendo h + f maneras (casos posibles). h h La probabilidad de ocurrencia del suceso se denota por p = siendo h f n h f n f f La probabilidad de no ocurrencia se denota por q = h f n h f h f n p q = 1 , se deduce entonces que p = 1 – q, q = 1 – p n n n n Como se muestra, la suma de las probabilidades sobre sucesos sobre un espacio muestral es 1. Por otra parte las probabilidades están relacionadas con las frecuencias relativas. La probabilidad es el cociente de los casos favorables de un suceso y los casos posibles del mismo. Ejemplos:
1. Al lanzar una moneda y obtener cara la quinta vez y sexta vez y como son sucesos independientes la probabilidad de los dos sucesos es
1 1
1
2 2 4
2. Una urna contiene 3 bolas blancas y dos negras. Si se extrae una bola al azar ¿cuál es la probabilidad que sea negra? Si no se introduce la bola extraída y luego se extrae otra ¿cuál es la posibilidad de que ambas sean negras? Como los sucesos son dependientes la probabilidad resultante es
2 1
1
5 4 10
3. De una caja que contiene 3 bolas rojas, 2 blancas y 4 azules se extrae una bola al azar. Halle la probabilidad p de que a) Sea roja, b) no sea roja, c) sea blanca, d) sea roja o azul. Casos favorables 3 3 1 a) p = 3 2 4 9 3 Casos posibles b) p = 1 c) P = d) p =
1
3
2 3
2 9
3 9
4 9
7 9
ACTIVIDAD 10 1. Una urna contiene bolas blancas y negras. Otra urna contiene bolas blancas y negras. Se extrae una bola de cada urna. Determine la probabilidad p en la que a) Las dos sean blancas, b) Las dos sean negras, c) Una sea blanca y la otra negra. 2. Halle la probabilidad de obtener 8 puntos lanzando dos dados una vez. 3. Hallar la probabilidad de obtener por lo menos 1 al lanzar dos veces un dado al aire.
4. La probabilidad que tiene A de ganar a B una partida de ajedrez es igual a . ¿Cuál es probabilidad que tiene A de ganar por lo menos una de las tres partidas?
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5. De una baraja de 52 cartas se sacan tres naipes de uno en uno y se vuelven a introducir en el mazo después de cada extracción. Halle la probabilidad p de que todas sean: a) Tréboles , b) ases, c) Corazones o tréboles 6. De una baraja de 52 cartas se sacan tres naipes. Determine la probabilidad p de obtener: a) Que sean ases, b) Sean el as de trébol, el de corazones y el de picas en este orden. c) Sean todos tréboles, d) Sean todos del mismo palo. EVALUACIÓN. Durante el proceso de la asignatura se evidenciaran los avances en el desarrollo de las competencias interpretativa, argumentativa y propositiva, a través de las diversas actividades realizadas como talleres, sustentaciones escritas y tareas. Todos los trabajos, tareas e investigaciones propuestas deben ser entregados según los parámetros y el cronograma establecido entre los estudiantes y el profesor. En el primer corte tareas y taller, segundo corte tareas y evaluación, tercer corte tareas y evaluación. BIBLIOGRAFÍA MARTÍNEZ BENCARDINO CIRO. Estadística, Apuntes y 600 problemas resueltos. Editorial ECOE. LINCOYAN PORTUS GOVINDEN. Curso práctico de Estadística. Editorial Mc. Graw Hill. DANIEL WAYNE W. Bioestadística. Editorial Noriega Editores. SPIEGEL, MURRAY R. Estadística. Editorial McGraw Hill. KUME, HITOSHI. Herramientas estadísticas básicas para el mejoramiento de la calidad. Editorial Norma. CASTILLO Juana; GÓMEZ Jorge. Estadística Inferencial Básica. Grupo Editorial Iberoamérica ZILL Dennis. Cálculo. Grupo Editorial Iberoamérica. TAYLOR Howard, WADE Thomas. Cálculo Diferencial e Integral. LEITHOLD Louis. El Cálculo. Editorial Harla. http://www.cortland.edu/flteach/stats/stat-sp.html#Métodos http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/CursoEstadistica.htm http://www.dane.gov.co/ BIBLIOGRAFÍA Revisado:
Verificado:
Validado:
Dolly Camacho Moreno Profesora Fecha: 18 de marzo
Luis Jairo González G. Coordinador de área Fecha: 05 de abril
P. Edwin Martínez, S.J. Director Académico Fecha: 12 de abril
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