6rupo ortogonal - 7i8ipedia, la enciclopedia libre
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Grupo ortogonal En matemática, el grupo ortogonal de grado n sobre un cuerpo , designad designadoo como como , es el grupo grupo de matrices ortogonales n por n con las las entradas en , con la operación operación de grupo dada por por la multiplicaci multiplicación ón de matrice rices. s. Éste es es un un su subgrupo rupo del gr grupo upo gen geneeral lineal . Puesto que cada matriz ortogonal tiene determinante 1 o -1. Las matrices n por n ortogonales con determinante 1 forman un subgrupo normal de conocido como el grupo ortogonal especial . Si la caracterstica de es !, entonces " coinciden# en caso contrario el ndice de en es !. " son grupos grupos algebra algebraicos icos,, porque porque la cond condici ición ón que una matriz matriz sea ortogon ortogonal, al, es decir decir que su propia transpuesta sea su in$ersa, se puede e%presar como un con&unto de ecuaciones polinómicas en las entradas de la matriz.
Índice 1 Los Los gru grupo poss '( '(n) " S'(n) reales 1.1 1.1 Prop Propie ieda dade dess ! Los Los gru grupo poss '( '(n,C) " S'(n,C) comple&os * +sunto +suntoss relacio relacionado nadoss
Los grupos O(n) y SO(n) reales uando el el cuerpo matemático matemático sobre el el que se constru"e constru"e el grupo ortonorm ortonormal al es el cuerpo cuerpo de los nmeros nmeros reale reales, s, el grupo grupo ortogo ortogona nall " el grupo grupo ortogo ortogona nall especi especial al a menud menudoo es den denot otad adoo simplemente por " si no a" confusión posible. En ese caso los grupos " son grupos de Lie reales, compactos " de dimensión n ( n -1)/ -1)/!. !. +de +demá máss topo topoló lógi gica came ment ntee tien tienee dos com compo pone nent ntes es cone cone%a %as, s, siendo una de estas dos componentes cone%as, a saber, la componente que contiene la matriz identidad. Los grupos ortogonales especiales reales " ortogonales reales tienen interpretaciones geom0tricas simples. O(n, R ) es isomorfo al grupo de isometras de R n que de&an el origen fi&o. SO(n, R ) es isomorfo al grupo de rotaciones de R n que de&a el origen fi&o.
SO(!, R ) es isomorfo (como grupo de Lie) al crculo S, consistiendo en todos los nmeros comple&os de $alor absoluto 1, con la multiplicación de nmeros comple&os como operación de grupo. Este isomorfismo en$a el nmero comple&o e%p(2i) 3 cos(2) 4 i sin(φ) sin(φ) a la matriz ortogonal5
El grupo SO(*, R ), ), entendido como el con&unto de rotaciones del espacio de * dimensiones, es de gran importancia en las ciencias " la ingeniera. Para una descripción detallada, $0ase grupo de rotación.
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En t0rminos de topologa algebraica, para n > ! el grupo fundamental de SO( n , R' ) es cclico de orden !, " el grupo espinorial Spin(n) es su cubrimiento uni$ersal. Para n 3 ! el grupo fundamental es cclico infinito " el cubrimiento uni$ersal corresponde a la recta real. El álgebra de Lie asociada a los grupos de Lie O(n, R ) " SO(n, R ) consiste en las matrices anti-simétricas reales n por n, con el corcete de Lie dado por el conmutador. Esta álgebra de Lie es denotada a menudo por el o(n, R ) o por el so(n, R ).
Propiedades Los ?grupos de Lie@ " tienen dimensión . El grupo no es cone%o. El grupo es cone%o, aunque no es simplemente cone%o. Para n > ! fundamental cclico de orden !.
tiene grupo
Los grupos O(n,C) y SO(n,C) complejos Sobre el cuerpo C de los nmeros comple&os, O(n, C) " SO(n, C) son grupos de Lie comple&os de dimensión n (n -1)/! sobre C (que significa que la dimensión sobre R es dos $eces 0sa). O(n, C) tiene dos componentes cone%as, " S'(n, C) es la componente cone%a que contiene la matriz identidad. Para n A ! estos grupos son no compactos. E%actamente como en el caso real SO(n, C) no es simplemente cone%o. Para n > ! el grupo fundamental de SO(n, C) es cclico de orden ! mientras que el grupo fundamental de SO(!, C) es cclico infinito. El álgebra de Lie comple&a asociada a O(n, C) " SO(n, C) consiste en las matrices anti-simétricas comple&as n por n, con el corcete de Lie dado por el conmutador.
Asuntos relacionados grupo de rotación, SO(*, R ) grupo ortogonal generalizado grupo unitario grupo simpl0ctico 'btenido de Bttps5//es.9i8ipedia.org/9/inde%.ppCtitle36rupo:ortogonalDoldid3;;;1;1F
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