ORTOGONAL POLİNOMLAR
1-) Ortogonal Polinomların Genel Teorisi:
Ortogonal polinom ailesi ile, bir üçgen polinom ailesi kastedilir. Ortogonal bir sistem, bir ağırlık fonksiyonu fonksiyonuyla yla birlikte verilir. Ortogonal Ortogonal polinomları polinomları kullanmak kullanmak kolaydır, çünkü iyi yakınsama özellikleri ve bir fonksiyonun ağırlık dağılımını kesin bir ağ üzerinde, iyi bir şekilde temsil ederler. Ortogonal polinom teorisi, birçok problemin numerik metodun arka planında planında ortaya ortaya çıkar. çıkar. (Örneğin, (Örneğin, numerik numerik integrasy integrasyon, on, cebrik cebrik özdeğer özdeğer proble problemi mi vb.) Teorem Teorem 1.1. 1.1. Her Her ağırlık ağırlık dağılım dağılımıı için, için, birleşt birleştirilm irilmiş iş ortogo ortogonal nal sistem sistemde de Ψ0, Ψ1,
Ψ2,.......... vardır. Bu polinomların üçgen ailesidir.Bu ailede teklik gerçeğinden başka, A 0, A1, A2,...... katsayıları sıfırdan farklı keyfi değerler verilir. Bir ağ üzerindeki m+1 noktası ile ağırlık dağılımı için, aile Ψm(x) ile biter. (Ψm+1(x) herbir ağ noktasında sıfır olur.) Süreklilik durumunda ailede sonsuz sayıda eleman vardır. n
için ortogonal polinomlar üç terimde recursion formülünü sağlar.
≥0
Ψn+1 ( x) = α n ( x − β n )Ψn ( x) − γ n Ψn −1 ( x) Ψ−1 ( x) = 0
Ψ0 ( x) = A0
(1.1)
Not: Eğer ağırlık dağılımı simetrikse; bütün n değerleri için x = β, sonra β n = β’dir.
Ψ j’nin, 0 ≤ j ≤ n, Ψ j ≠ 0(n ≥ 0) için kurulduğunu kurulduğunu varsayalım.n varsayalım.n+1 +1 dereceli dereceli polinomu polinomu arıyoruz arıyoruz.. Kanıt:
(a) katsayıları An +1 = α n An (b) Ψ0 , Ψ1 , Ψ2 ,...... ortogonaldir.
Çünkü [ Ψ f ] 0 bir üçgen üçgen ailesidir, ailesidir, her n. derece derece polinom, polinom, polinomların polinomların lineer lineer kombinasyonu olarak ifade edilir. Her polinom (a) durumunu yerine getirirse, aşağıdaki durumda yazılır. n
n
Ψn+1 ( x) = α n xΨn − ∑ cni Ψi
(1.2)
i =0
(b) durumu durumu yerine yerine getirilirse; getirilirse; sadece sadece α n ( xΨn , Ψ j ) −
n
∑c i =0
ni
(Ψi ,Ψi ) = 0, ( j = 0,1,2,......., n)
Fakat i ≠ j için (Ψi , Ψ j ) = 0 .Bu yüzden; c nj Ψ f
2
= α n ( xΨn , Ψ j )
(1.3) -1-
Bu cnj katsayıları katsayıları tekil olarak tanımlanır. ( xΨn , Ψ j ) = (Ψn , xΨ j ) sonucuna ulaşılır. Fakat xΨ f j+1 dereceli bir polinomdor. Bu yüzden eğer j + 1 < n , Ψn ortogonaldir.Bu nedenle j
=
c
=
n n
α
( xΨ, Ψ ) n
Ψ
n
γ n
= cn,n−1 =
n
(1.4)
2
n
α n (Ψn , xΨn −1 )
Ψn−1
2
(n=0 için, γ n ’e ihtiyaç yoktur, çünkü Ψ−1 = 0 ’dır. γ n ’in ifadesi başka bir yolla yazılabilir. Eğer eşitlik (1.2) Ψ n+1 ile skalar çarpılırsa; n
(Ψn+1 , Ψn+1 ) = α n (Ψn+1 , xΨn ) − ∑ cni (Ψn+1 , Ψi ) =α n (Ψn+1 , xΨn ) i=0
Buradan,
(Ψ
n+
1
)=
, xΨ n
Ψ+1
2
n
α n
Eğer bütün indisleri 1 azaltırsak; Ψn
(Ψn , xΨn−1 ) =
2
α n −1
, (n ≥ 1)
Bunu γ n ifadesinde yerine koyarsak; buradan γ n
=
α n α n −1
Ψn
2
Ψn−1
(1.5)
2
Kanıt, Ψn+1 ’in tek yapı olduğuna götürür. Ayrık durumda, { xi }im=0 ağı ile, bu sadece n ≤ m olana kadar tutulur. n=m için yapılan polinom; Am+1 ( x − x 0 )( x − x1 )......( x − x m ), ’e eşit olmalıdır.
-2-
Çünk Çünküü bu poli polino nom, m, bütü bütünn ağ nokt noktal alar arınd ındaa sıfırd sıfırdır ır ve bund bundan an bütü bütünn fonks fonksiy iyon onla lara ra ortogonaldir. (b) durumu belli ki (a)’daki durumunu da yerine getirmektedir. Bundan Ψm+1 = 0 sonucu çıkar. β n ’in hesaplanması, n = m+1 için yerine gelmez. n=m’de bu tek yapı yapı duru durur. r. Bu doğa doğald ldır ır,, çünk çünküü m+1 m+1 nokt noktal alar arıı ile ile ağ üzer üzerin inde deki ki m+1 m+1 orto ortogo gona nall fonksiyonlarından fazla değildir. Teorem böylece kanıtlanmış olur. Katsayıların hesabında, formun genişletilmesinden; p ( x) = c 0 Ψ0 ( x) + c1 Ψ1 ( x) + ....... + c n Ψn ( x)
Ortogonal katsayı formulünde, c j =
(1.6)
( p, Ψ j )
2 Ψ j kullanılır. Bu recursion formülünün kullanımıyla yapılır. (Eşitlik 1.1) Ayrık durumda, vektör tablosunda, (Ψ j), j=0,1,2,...,n tekrarıyla hesaplanır.
Fonksi Fonk siyo yonu nunn değe değerle rlerin rinii hesa hesapla plama manı nınn en kola kolayy yolu yolu,, Clens Clensha haw’ w’ın ın Recu Recurs rsion ion formulünü kullanmak, bir ortogonal dağılımda tanımlamaktır. Bu formül notasyonunu kullanarak, (eşitlik 1.1) y n+ 2 = y n+1 = 0
k = n,n-1,......,1,0 için hesaplanan; y k = α k ( x − β k ) y k +1 − y k +1 y k + 2 + ck
(1.7)
p ( x) = A0 y 0 olur.
Ortog Ortogona onall polino polinomla mların rın yerine yerine,, genişle genişletilm tilmiş iş fonksiy fonksiyonl onla, a, sürekl süreklii duruml durumlard arda, a, iyi yakınsaklık özelliği gösterirler. pˆ n , f − pˆ n α = E n ( f ) için n. derece polinomu göstersin. p n =
n
∑c Ψ j = 0
j
j
c j, f’nin j. Fourier katsayısıdır. Eğer biz ağırlıklı normunu kullanırsak; pˆ n , pn ’den daha iyi bir yaklaşım yaklaşım sağlamaz. sağlamaz. Gerçekte Gerçekten; n; f − pn
b
2 = − f ( x ) p ( x ) w( x) dx n ∫ 2, w 2
a
b
2
b
≤ ∫ f ( x) − pˆ n ( x) w( x)dx ≤ E n ( f ) ∫ w( x)dx 2
a
(1.8)
a
Bu f ( x) − pn ( x) ’in bir çeşit ağırlığını göstermektedir ki; E n ( f ) ’den küçük veya eşittir. Bu iyi bir sonuçtur. Hata eğrisi titreşen bir davranıştadır. (Şekil 1) Küçük aralıklarda -3-
f ( x) − p n ( x) işaret olarak E n ( f ) ’den büyüktür. Bu genellikle aralığın sonuna yakın olur veya alt aralıklarda w( x ) ’in nispeten küçük olduğu yerlerdedir.
Şekil 1
Eşitlik (1.8)’den ve Weierstrasss yaklaşım teoreminden; f − p n lim n→∞
2, w
=0
sonucuna her sürekli f fonksiyonu için ulaşılır. Bazı hesaplamalardan sonra; ∞
∑c
j = n +1
2 2 j
Ψ f = f −
2 p n 2, w
b
≤ E n ( f ) ∫ w( x)dx 2
a
Yukardaki formül, ortogonal yayılım düşüşünün , terimlerde ne kadar hızlı olduğu hakkında bir fikir verir. Ayrık durumda, matematik düşüncede yakınsaklık problemi yoktur. Ortogonal yayılım sade sadece ce m+1 m+1 terim terimde de ve onlar onların ın topla toplamı mı poli polino noma ma eşit eşit oldu oldugu gund ndaa ama ama bu polin polinom om interpolasyon polinomu ve ağ üzerindeki f(x) ile mevcuttur. m geniş olduğu zaman, şu greçeği greçeği kullanırız; kullanırız; E n ( f ) ’in hızlı olarak düştüğü tahmin edilerek, hatta n’in küçük değerlerinde f için iyi bir temsil sağlar. Bazı ağlarda, n 2 m ’den küçük seçilir. Bu nedenle yaklaşım polinomu, ağ noktaları arasında çok geniş titreşimli davranış göstermez. Teorem 1.2.: Ortogonal polinomların n. derece polinom ailesi, [a,b] aralığında, w
ağırlık fonksiyonl fonksiyonlarıyla arıyla birleştirtilen birleştirtilen n’in basit sıfır değerleridir. değerleridir. Bunların Bunların hepsi hepsi [a,b] iç aralığında dağılır. Dolaylı Kanıt: Ψn ( x) varsayalım; 0 ≤ k ≤ n iç aralığında k’nın işareti değişsin. Kanıt: Dolaylı t 1 , t 2 ,......, t k ’da . Sonra; k
Ψn ( x)∏ ( x − t i ) i =0
(veya Ψn ( x) , eğer k=0’sa)
aralıkta sabit işaretlidir. Fakat, bu durum b
∫
( Ψn , p ) = Ψn ( x) p( x) w( x)dx = 0 a
bütün polinomların polinomların p derecesi derecesi n’den küçük olduğunda olduğunda gerçekleşme gerçekleşmez. z. Bundan Bundan teoremin teoremin sonucuna ulaşılır. -4-
Eğer ağırlık fonksiyonu dağılımı var ve bu daha önceki recursion formülündeki β i , γ j kats katsay ayılılar arıı bilin ilinmi miyo yors rsa; a; bunu bunu teor teoreem 1.1. 1.1.’d ’dek ekii kanı kanıtıtınn adım adımla ları rına na benz benzeetere terekk hesaplayabiliriz. Bu β i , γ j katsayılarının, (Ψ j) vektör tablosunda, tekrarlı hesabıdır. Ve ortogonal katsayı c j verilen f fonksiyonu için, bütün j ≤ n için 4mn işleminin (bir “işlem” = bir çarpım veya bölümün birlikte toplanmasıdır) toplamı ile tahmin edilen ağ simetrik ve polinomların baş katsayıları 1’e eşit olarak düzenlenir. Eğer farklı ağırlıklar varsa; mn toplama işlemine ihityaç olur; benzer olarak, eğer ağ simetrik değilse; mn toplama işlemi sağlanır. Eğer Eğer ortogo ortogonal nal katsay katsayılar ılar,, aynı aynı ağ üzerind üzerinde, e, birçok birçok fonksi fonksiyon yon için aynı aynı zamand zamandaa tanımlanırsa; tanımlanırsa; sadece sadece mn toplam toplamaa işlemi işlemi hakkınd hakkındaa fonksi fonksiyo yonlar nlar vasıta vasıtasıyl sıylaa sağlan sağlanır. ır. (Yukarıda, biz m >> 1, n >> 1 olduğunu varsaydık.) Yukar ukarıd ıdak akii prob proble lemi minn çözü çözüm m yönt yöntem emi,i, klas klasik ik meto metodd ddak akii norm normal al eşit eşitlilikl kleerin rin kullanılmasına göre sadece çok ekonomik değildir. ( bu yaklaşık n(n + 5)m / 2 + n³ / 6 işlem gerektirir.) Bu hasta karakterli sistemlerin eşitliklerinindeki zorlukları önlemek için çok önemli bir avantajdır.
2-) Chebyshev ve Legendre Polinomları:
Bu polinomlarda her m dağılımı için Br (d α ) = ⊂[ − 1,+1] arasında varsayalım. a-) Birinci Derece Chebyshev Polinomları: θ
parametres parametresini ini kullanara kullanarak, k, aşağıdaki aşağıdaki formuld formuldeki eki T n ( x) fonksiyonunu tanımlayalım. x
= cosθ
x = cosθ =
T n ( x) = cos nθ
,
(2.1)
1 iθ + −iθ ( e e ) ilişkisi e iθ = x + x 2 − 1 ve e −iθ = x − x 2 − 1 içermektedir. 2
T n ( x ) =
1 2
( e θ + e − θ ) = 1 ( x + in
in
2
x 2
− 1) + ( x − n
x2
n − 1) =
n n−v 2 v 2 1 n n n−v v x ( x − 1) + ∑ x ( − 1) ( x 2 − 1) v 2 = (2.2) = ∑ 2 v = 0 v 2 v =0 v 1
n
n 2
n n−2 µ 2 µ = ∑ x ( x − 1) µ = 0 2 µ Bu T n ( x) pozitif ana katsay katsayılarıyla ılarıyla n. derece derece bir polinom polinom olduğunu olduğunu gösterir. gösterir. Formülün Formülün içine Fourier serisini koyarsak; -5-
0için = θ θ θ k l d cos cos 1için π ∫ 0
k ≠ 1 k = 1
2 π
x
= cosθ
değişimini yaparak yeni x değişkeninin içine koyarsak; dx
d θ = −
2
( k = 0,1,.....; l = 1,2,.........)
1
1 − x 2 0için = 2 1 − x 1için
k ≠ 1 ( k = 0,1,.....; l = 1,2,.........) k = 1
dx
∫
T k ( x)T l ( x )
π −1
basit bir hesaplam hesaplamayla; ayla; T 0 ( x) ≡ 1 elde edilir. 1
dx
∫ 1 − x
−1
2
= π
Bu şunu gösterir; p 0 ( x) =
1 x
T 0 ( x) , p1 ( x) =
2 π
T 1 ( x) ,…….., p n ( x) =
2 π
T n ( x)
ortogonal polinom sisteminin ağırlık fonksiyonlarıdır. ω 0 ( x) =
1 1 − x ²
(−1 < x < +1)
Buradan şu önemli tahmin çıkar. p 0 (ω 0 ; x) ≤
1 π
ve pn (ω 0 ; x ) ≤
-6-
2 π
( n = 0,1,2,......)
(2.3)
Şekil 2: Chebyshev Polinomu T n(x) n=1(1)5
b-) İkinci Derece Chebyshev Polinomları: x = cosθ , koyup U n ( x) =
sin( n + 1)θ ( 0 ≤ θ ≤ π ) , ( − 1 ≤ x ≤ 1) (2.4) sin θ
Bunun sebebi; sin ( n + 1)θ = sin nθ cosθ + cos nθ sin θ = sin nθ + cos θ cos nθ sin θ sin θ sin θ U n ( x) zinciri bu tekrarlı ilişkiyi sağlar. U 0 ( x) ≡ 1 , U n ( x) = xU n −1 ( x) + T n ( x)
(2.5)
Bu ilişkiden U n ( x) ’in n. derece bir polinom olduğu çıkar. Bu formülden; 2
π
∫
π 0 x
= cosθ
k ≠ 1 k = 1
0için 1için
sin k θ sin l θ d θ =
değişken dönüşümünü yaparak aşağıdaki formülü elde ederiz.
2 +1
∫
0için 1için
U k ( x)U l ( x) 1 − x ² dx =
π −1
-7-
k ≠ 1 k = 1
Bu şunu gösterir; p n ( ω 1 ; x ) =
2
( n = 0,1,......)
U n ( x)
π
Ortogonal fonksiyonlar ağırlık fonksiyonlarıyla vardır. ω 1 ( x) =
1 − x 2
( − 1 ≤ x ≤ 1)
(2.4)’den p n (ω 1 ; x) ≤
2 π
1 1 − x 2
(−1 ≤ x ≤ 1) sonucuna varılır.
(2.6)
Şekil 3: Chebyshev polinomu Un(x) n=1(1)5
c-) Legendre Polinomları:
Bu polinomlar için verilen olası tanım Rodrigues formülüdür. 1 d n 2 n ( x − 1) P n ( x) = n 2 n! dx n 2n pozitif pozitif ana katsay katsayılarıyla ılarıyla n. n. derece derece polinom polinom n 2 n olduğu sonucuna varılır. İki tarafı n kez integre edersek; aşağıdakileri elde ederiz: Tanımlanan eşitliklerden; P n ( x) ,
1
∫ x P ( x)dx = 0 m
n
1
( m = 0,1,2......., n − 1) ve
−1
-8-
1
1 1 2 n = − ( ) dx x P x dx x ( ) 1 n ∫−1 2 n −∫ 1 n
İlk formulden şu ortaya çıkar; 1
∫ P ( x)∏ n
−1 x
= cosθ
n −1
( x)dx = 0
’yı yerine koyarsak;
2 n +1 2n 1 2 2 n +1 n − = = θ θ x dx d ( 1 ²) sin ∫−1 ∫ 0 n 2n + 1 1
−
π
ek olarak 2n 1 2 n+1 ∫ −1 x P n ( x)dx = 2n + 1 n ve −
1
n
+1
∫
1 2n n + x x ( ) ∫ −1 2 n n ∏n−1 P n ( x)dx =
+1
2
P n ( x)dx =
−1
−1
2n 2 n+1 2n 1 = n = 2 2 n 2n + 1 n 2n + 1 Bu sebepten ortogonal fonksiyona ait olan ağırlık fonksiyonu; ω ( x) = 1
p n (ω 2 ; x) =
[ − 1 ≤ x ≤ 1]
2n + 1 P ( x) 2 n
(2.7)
Bizim amacımız uygun pn (ω 2 ; x) ’i tahmin etmektir.
-9-
Şekil 4: Legendre Polinomu Pn(x) n=2(1)5
3-) Jacobi Polinomları:
Bunların tanımı basitçe Rodrigues formülüyle verilebilir. ( β ,γ )
(1 − x ) (1 + x ) P n β
β > −1, γ > −1
γ
varsayarız.
(−1) n d n [(1 − x) n+ β (1 + x) n+γ ] ( x) = n n 2 n! dx
Leibnitz kuralının sonuç diferansiyeli yardımı ile bu ifadeyi hesaplarsak; P n( β ,γ ) ( x) ’i 2n + β + γ 1 > 0 ana katsayılarıyla, n. derece polinom elde ederiz. Parçaları n kere n 2 n integre edersek; +1
∫ x P m
( β ,γ )
n
( x)(1 − x) β (1 + x) γ dx = 0
m = 0,1,....., n − 1 için
−1
+1
∫ ∏
−1
+1
n −1
∫ x P m
−1
( x) P n( β ,γ ) ( x)(1 − x) β (1 + x) γ dx = 0 ve
( β ,γ ) n
+1 1 ( x)(1 − x) (1 + x) dx = n ∫ (1 − x) n+ β (1 + x) n+γ dx 2 −1 β
γ
- 10 -
=2
n + β +γ +1
1
∫
x n+ β (1 − x) n +γ dx =2 n+ β +γ +1
0
Γ (n + β + 1)Γ (n + γ + 1) elde ederiz. Γ ( 2n + β + γ + 2)
Bu nedenle; +1
2
∫ [ P
( β ,γ ) n
( x)] (1 − x) β (1 − x) γ dx =
−1
2n + β + γ n ( β ,γ ) β γ = ∫ 1n + − + x x P x x x dx = ( ) ( )( 1 ) ( 1 ) ∏ n n −1 n 2 −1 +1
= 2 n+ β +γ +1
2n + β + γ Γ (n + β + 1)Γ (n + γ + 1) −n 2 = n Γ (2n + β + γ + 2)
= 2 n+ β +γ +1
2n + β + γ Γ (n + β + 1)Γ (n + γ + 1) −n 2 = Γ (2n + β + γ + 2) n
β +γ +1 Γ (n + β + 1)Γ (n + γ + 1) ( β ,γ ) 2 = =h 2n + β + γ + 1 Γ (n + 1)Γ (n + β + γ + 1) n
Buradan; p n( β ,γ ) ( x) = [ hn( β ,γ ) ]
−1 2
P n( β ,γ ) ( x)
Ağırlık fonksiyonu; ω β ,γ = (1 − x ) (1 − x ) β
γ
( − 1 ≤ x ≤ +1)
Şekil:5 Jacobi polinomu P n( β ,γ ) ( x)
- 11 -
4-) Tchebycheff Polinomları:
Tchebycheff polinomları, belkide ortogonal polinom ailesi içinde en önemlilerinden biridir. Bunların Bunların özellikleri; özellikleri; basit basit metodlarla metodlarla türevinin türevinin alınabilme alınabilmesidir. sidir. Kolayc Kolaycaa düzenlenmiş düzenlenmiş aşağıdaki formülü düşünürsek; cos( n + 1)Ψ + cos( n − 1)Ψ = 2 cos Ψ cos nΨ n ≥ 1
(4.1)
Bu formülde; cos( nΨ ) ’yi cos Ψ ’ye bağlı bir polinom olarak ifade edebiliriz. Örneğin; cos 2Ψ = 2 cos 2 Ψ − 1 cos 3Ψ = 2 cos Ψ cos 2Ψ − cos Ψ = 4 cos 3 Ψ − 3 cos Ψ cos 4Ψ = 2 cos Ψ cos 3Ψ − cos 2Ψ = 8 cos 4 Ψ − 8 cos 2 Ψ + 1 ……. Eğer = cos Ψ olarak düzenleyip, buradan Ψ = arccos olur. Sonra bir üçgen polinomu elde elde eder ederiz. iz. Tc Tche heby bych chef efff polin polinom omla ları; rı; (−1 ≤ x ≤ +1, n = 0,1,2,...) aşağıda aşağıdaki ki formülle formülle tanımlanır. x
x
T n ( x) = cos( n arccos x )
(4.2)
Buradan, daha önceki cos( nΨ ) için olan formülden; T 0 ( x) = 1 T 3 ( x) = 4 x ³ − 3 x
T 1 ( x) = x T 4 ( x ) = 8 x 4
T 2 ( x) = 2 x ² − 1
− 8 x 2 + 1 elde ederiz.
Tchebycheff polinomunun faydalı özellikleri vardır. 1. Recu Recurs rsio ion n Form Formül ülü: ü: T 0 ( x) = 1 , T 1 ( x) = x = xT 0 ( x) T n +1 ( x) = 2 xT n ( x) − xT n −1 ( x) n ≥ 1
Bu direkt olarak 4.1 eşitliğinin sonucuna ulaşır. 2. Baş Ka Katsa tsayı: n ≥ 1için2 n −1 n = 0için1
3. Sime Simetr trii Özel Özelli liği ği:: T n (− x) = (−1) n T n ( x)
- 12 -
(4.3)
2. ve 3. özellik recursion formülü yardımıyla elde edilir.
Şekil 6
4. T n ( x) , [ − 1,1] aralığında sıfır değerlerine sahiptir. 2k + 1 π n 2
x k = cos
( k = 0,1,2,....., n − 1) ve n+1 ekstremumu
Bu sonuçlardan; x k ′
= cos
k π n
T n ( x k ′ ) = (−1) k ,
,
Bu sonuçl sonuçlard ardan; an; Ψ =
( k = 0,1,2,....., n ) (4.5)
2k + 1 π için cos( nΨ ) = 0 sonuc sonucuna una ulaşılır ulaşılır.. cos nΨ ’nin n 2
2 maksimum değeri Ψ = değeri için olur. π
n
5. Ortogo Ortogonal nallik lik Özelli Özelliği, ği, Sürekl Süreklilik ilik duru durumu mu −1 2
+1
( f , g ) = f ( x) g ( x)(1 − x
∫
2
)
dx düzenleyip, sonra;
−1
0 (T i , T j ) = 1 π 2 π
i ≠ j i = j ≠ 0 i = j = 0
(4.6)
Kanıt: x = cos Ψ alıp; +1
(T i , T j ) = ∫ T i ( x), T j ( x)(1 − x )
2 −1 2
π
∫
dx = cos iΨ cos jΨd Ψ
−1
0
6. Ortogo Ortogonal nallik lik özelli özelliği, ği, Ayrık Ayrık durum durumda da
( f , g ) =
m
∑ f ( x ) g ( x ) düzenlenip k
k
(4.7)
k = 0
T m +1 ( x) ’in sıfır değerleri; [ x k ] ’da iken; 0 ≤ i ≤ m , 0 ≤ j ≤ m
- 13 -
0 1 (T i , T j ) = (m + 1) 2 m + 1
i ≠ j i = j ≠ 0 i = j = 0
7. Mini Minima maxx Öze Özell lliğ iği: i:
Bütün n. derece polinomların baş katsayısı 1, 21−n T n , [ − 1,+1] aralığındaki en küçük maksimum norm değeridir. Maksimum normun değeri 21−n ’dir. Dolaylı Kanıt: Bir p n ( x ) polinomu Kanıt: Dolaylı polinomu varsayalım, varsayalım, baş katsayısı katsayısı 1 olan, [ − 1,+1] aralığındaki bütün x değerleri için p n ( x) < 21−n olsun. x k ′ , T n ’nin k = 0,1,2,...., n değerleri
için extremi olsun. p n ( x 0′ )
< 21−n T n ( x0′ ) p n ( x1′ ) < 21−n T n ( x1′ ) p n ( x ′2 ) < 21−n T n ( x ′2 ) vb. x n′ ’ne kadar Buradan, p n ( x ) − 21−n T n ( x ) polinomuna ulaşılır. Her bir n aralığında ( x k ′ +1 , x k ′ ) , k = 0,1,2,...., n − 1 işaret değiştirir. Bu imkansızdır. Bu yüzden polinomun derecesi n-1’d n-1’dir. ir. ( pn ve 21−n T n aynı aynı baş baş kats katsay ayısı ısına na sahi sahipt ptir. ir. Bu nede nedenl nlee minim minimax ax özel özelliğ liğii kanıtlanmış olur. Tchebycheff polinomlarının önemli bir amacı, çalışma aralığının [ − 1,+1] arasında olmasıdır. [ a, b] gibi aralığa sahip değerlerde, bir t parametresi ile değişken dönüşümü yapılır. 1 2
1 2
t = ( a + b) + ( b − a ) x x ,
t ∈ [ a.b] ⇔ x ∈ [ − 1. + 1]
(4.8)
5-) Önemli Ortogonal Polinomlar:
Yukarıda anlatılanlardan başka diğer önemli polinomlar: Ultraspherical Polinomlar:
Γ (α + n)n!2 2 n (α , − 12 , 12 ) 2 (2 x − 1) C 2 n ( x ) = P Γ (α )(2n)! n
α ≠ 0
Γ (α + n + 1)n!2 2 n+1 (α , − 12 , 12 ) 2 C 2 n +1 ( x ) = xP n (2 x − 1) Γ (α )(2n + 1)!
α ≠ 0
α
α
- 14 -
Γ (α + 1 )Γ (2α + n) (α − 1α − 1 ) 2 C 2α n ( x ) = P n 2 2 ( x) 1 Γ (2α )Γ (α + n + ) 2
α ≠ 0
Genelleştirilmiş Laguerre Polinomu: ( −1 2 ) n
L
(1 2 ) n
L
( x ) =
( x ) =
( − 1) n n!2 2 n
H 2 n ( x )
( − 1) n n!2
2 n +1
x
H 2 n +1 ( x )
Hermite Polinomları: H 2 m ( x) = (−1) m 2 2 m m! L(m−1 2) ( x ²) H 2 m+1 ( x) = (−1) m 2 2 m+1 m! xL(m1 2 ) ( x ²)
KAYNAKLAR: KAYNAKLAR: 1-) ORTOGONAL POLYNOMIALS Géza FREUD NUMERICAL L METHODS METHODS 2-) NUMERICA
Germund DAHLQUIST, Ǻke BJÖRK-Ned ANDERSON
HANDBOOK OF MATHM MATHMETIC ETICAL AL FUNCT FUNCTIONS IONS 3-) HANDBOOK Milton ABRAMOWITZ Irene A. STEGUN
- 15 -
İÇİNDEKİLER
ORTOGONAL ORTOGONA L POLİNOMLAR.................................................................................................. 1
1-) ORTOGONAL POLINOMLARIN GENEL TEORISI :................................ ........................................ ................ ................ ................ ................. .............. ..... 1 2-) CHEBYSHEV VE LEGENDRE POLINOMLARI :...................................... .............................................. ................ ................ ................. ................. ............ .... 5 a-) Birinci Derece Chebyshev Polinomları:.................................................................... .......................................................................... ...... 5 b-) İkinci Derece Chebyshev Polinomları:..................................................................... ............................................................................ ....... 7 c-) Legendre Polinomları:................................................................................. .......................................................................................... ................. ........... ... 8
3-) JACOBI POLINOMLARI :.................................. ........................................... ................. ................ ................ ................ ................ ................ ................ ................ .......... 10 4-) TCHEBYCHEFF POLINOMLARI :............................ .................................... ................ ................ ................ ................ ................ ................. ................. ............. ..... 12 5-) Ö NEMLI ORTOGONAL POLINOMLAR :.............................. ...................................... ................ ................ ................ ................ ................ ................ ............14 14
- 16 -