1. Graduación de una regla para medir el volumen de un líquido en un tanque cilíndrico inclinado
Tanque cilíndrico vertical
Tanque cilíndrico inclinado un ángulo
Fig. 1 Recipientes cilíndricos con un volumen de líquido
Los volúmenes de líquido se obtienen así:
Se busca transformar el equivalente en altura para un volumen dado, a la distancia que debe tener mojada la regla graduada que se muestra en la fig. 2 y que se usa para medir el volumen de líquido en el tanque inclinado grados.
Igualando las dos ecuaciones del volumen, se tiene:
Ec.1
El la fig. 2 se tiene un diagrama con las relaciones geométricas para cuando el tanque está inclinado y se encuentra con cierta cantidad de líquido. Las líneas más gruesas representan la regla graduada y el nivel de agua.
∅
∅
Fig. 2 Diagrama para las relaciones trigonométricas usadas.
Para asegurarse una medida fácil, se introduce la regla graduada en el centro del tanque, de manera diagonal, desviada un ángulo respecto de la superficie del tanque, esto se logra asegurándose que la regla toque la esquina inferior. La regla se moja una distancia que debe indicar el volumen de líquido.
Deben encontrarse las relaciones adecuada de tal forma que usando la Ec. 1, se obtenga una relación de parámetros conocidos para .
Primero deben relacionarse las variables ángulos y , se tiene:
. Del triángulo rectángulo donde están los
Ec.2
Luego se sustituye la Ec.2 en la Ec.1:
Ec.3
Ahora debe encontrarse una relación entre y se tiene:
∅ ∅ Además:
Ec. 4
Luego:
Ec. 5
. Del triángulo donde están los ángulos
Luego se sustituye la Ec.5 en la Ec.3:
Se despeja para
Ec. 6
Ec. 7
Esta ecuación relaciona las distancias mojadas de la regla para un mismo volumen de líquido en un tanque cilíndrico vertical y un tanque cilíndrico inclinado, considerando el uso de la regla, tal como se menciona anteriormente. Usando:
Se puede obtener la relación siguiente:
Usando la Ec. 6, Ec. 8 y la
Ec. 8
√
Ec. 4 es posible graduar la regla para medir
volumen en un tanque cilíndrico inclinado, recordando que la longitud máxima que puede mojarse la regla (ver fig. 2), es:
Graduación de la regla. A continuación se procede a graduar una regla para medir el volumen de líquido en un tanque inclinado de y , con una inclinación de .
Primero:
Ec. 4
La longitud máxima que puede mojarse la regla (ver fig. 2), es:
La altura correspondiente para ese volumen en un tanque vertical, es:
Ec. 6
Se observa que , lo cual indica que el tanque cuando está inclinado no puede almacenar el mismo volumen de líquido que cuando está vertical, esto debido a la inclinación .
Se procede a encontrar que volumen puede almacenar como máximo el tanque inclinado, sin que el líquido se derrame: El volumen máximo que puede contener el tanque de forma vertical, es:
El volumen máximo que puede contener el tanque de forma inclinado, es:
Se nota que son menos los que puede almacenar. Para no estar en una condición limite, se recomienda llenar el tanque inclinado, c on .
Usando:
Ec. 8
Se obtienen las distancias a marcar en la regla para los volúmenes dados, comenzando desde hasta , a intervalos de .
Los resultados se muestran en la tabla 1 Tabla 1. Valores para la regla de medición inclinada en un tanque cilíndrico inclinado
Volumen
Volumen
Distancia en la regla
Distancia en la regla
Volumen
Volumen
(
Distancia en la regla (
1
0,00379
0,042
4,2
4
0,01514
2
0,00757
0,061
6,1
5
3
0,01136
0,08
8
6
Distancia en la regla
0,1
10
0,01893
0,119
11,9
0,02271
0,139
13,9
7
0,0265
0,158
15,8
29
0,10978
0,586
58,6
8
0,03028
0,178
17,8
30
0,11356
0,605
60,5
9
0,03407
0,197
19,7
31
0,11735
0,625
62,5
10
0,03785
0,217
21,7
32
0,12113
0,644
64,4
11
0,04164
0,236
23,6
33
0,12492
0,664
66,4
12
0,04543
0,255
25,5
34
0,12871
0,683
68,3
13
0,04921
0,275
27,5
35
0,13249
0,703
70,3
14
0,053
0,294
29,4
36
0,13628
0,722
72,2
15
0,05678
0,314
31,4
37
0,14006
0,742
74,2
16
0,06057
0,333
33,3
38
0,14385
0,761
76,1
17
0,06435
0,353
35,3
39
0,14763
0,78
78
18
0,06814
0,372
37,2
40
0,15142
0,8
80
19
0,07192
0,392
39,2
41
0,1552
0,819
81,9
20
0,07571
0,411
41,1
42
0,15899
0,839
83,9
21
0,07949
0,43
43
43
0,16277
0,858
85,8
22
0,08328
0,45
45
44
0,16656
0,878
87,8
23
0,08707
0,469
46,9
45
0,17034
0,897
89,7
24
0,09085
0,489
48,9
46
0,17413
0,917
91,7
25
0,09464
0,508
50,8
47
0,17792
0,936
93,6
26
0,09842
0,528
52,8
48
0,1817
0,955
95,5
27
0,10221
0,547
54,7
49
0,18549
0,975
97,5
28
0,10599
0,567
56,7
50
0,18927
0,994
99,4
La regla debe medir más de
, en este caso se toma
.
Hasta aquí se ha trabajo con la idea de que la regla para medir se introduzca en el centro del tanque y que toque la esquina inferior del fondo. Si se desea medir el volumen de modo que la regla permanezca vertical siempre, se debe modificar su graduación. Del triángulo entre el eje vertical, la regla y el nivel de agua, se tiene que:
Entre el eje vertical, el eje del cilindro y su base, se forma un triángulo de modo que
y con
, resulta una relación entre
y .
(√ )
Ec. 9
Tabla 2. Valores para la regla de medición vertical en un tanque cilíndrico inclinado Volumen
1
Distancia en la regla para medición inclinada
Distancia en la regla para medición vertical
Volumen
4,2
2,7
26
Distancia en la regla para medición inclinada
Distancia en la regla para medición vertical
52,8
50,7
2
6,1
4,6
27
54,7
52,6
3
8,0
6,5
28
56,7
54,5
4
10,0
8,4
29
58,6
56,4
5
11,9
10,4
30
60,5
58,4
6
13,9
12,3
31
62,5
60,3
7
15,8
14,2
32
64,4
62,2
8
17,8
16,1
33
66,4
64,1
9
19,7
18,0
34
68,3
66,1
10
21,7
20,0
35
70,3
68,0
11
23,6
21,9
36
72,2
69,9
12
25,5
23,8
37
74,2
71,8
13
27,5
25,7
38
76,1
73,7
14
29,4
27,6
39
78,0
75,7
15
31,4
29,6
40
80,0
77,6
16
33,3
31,5
41
81,9
79,5
17
35,3
33,4
42
83,9
81,4
18
37,2
35,3
43
85,8
83,3
19
39,2
37,2
44
87,8
85,3
20
41,1
39,2
45
89,7
87,2
21
43,0
41,1
46
91,7
89,1
22
45,0
43,0
47
93,6
91,0
23
46,9
44,9
48
95,5
92,9
24
48,9
46,8
49
97,5
94,9
25
50,8
48,8
50
99,4
96,8
2. Graduación de una regla para medir el volumen de un líquido en un tanque cilíndrico horizontal
Fig. 3 Tanque cilíndrico horizontal. La solución se encuentra por integración. En la fig. 4 se muestran los detalles.
Fig. 4 Esquema para la integración.
Se tiene
de donde:
Con la fórmula:
∫ √ √
{ }
{ }
El volumen es:
* √ +
Ec.10
Graduación de la regla. A continuación se procede a graduar una regla para medir el volumen de líquido en un tanque horizontal de y . Ghjfgjgfjgfjfgjgfjgfj
3. Graduación de una regla para medir el volumen de un líquido en un tanque cilíndrico horizontal inclinado
Fig. 5 Tanque cilíndrico horizontal inclinado.
Caso 1: cuando el nivel de líquido no ha alcanzado la tapa superior, que está a la derecha en la fig. 5
ó
Fig. 6 Esquema para el caso 1.
El volumen del líquido toma la forma de una cuña de un cilindro mientras se cumple que .
y también
De la fig. 6 se tiene:
Ec. 11
También:
Ec. 12
Luego:
Ec. 13
El volumen para una cuña de un cilindro, es:
sustituyendo Ec. 11
sustituyendo Ec. 13
Ec. 14
La Ec. 14 es válida para encontrar la distancia mojada en la regla de medición hasta que
y por lo tanto
. En este caso
La Ec. 14 es válida para
Caso 2: cuando el nivel de líquido alcanza la tapa superior, que está a la derecha en la fig. 5
En este caso el volumen se encuentra por medio de una integral triple.
Fig. 7 Esquema para el caso 2. Se tiene para el volumen:
Donde
para lo anterior se consideran un sistema coordenado tridimensional que no se muestra, con el origen en el centro de la tapa inferior y la coordenada z a lo largo de su eje. Integrando:
Usando de tablas de integrales
∫ √
y
∫ √
Y simplificando:
, - Ec. 16 Ahora se necesita una relación entre
y
, para que dado un volumen, pueda calcularse
la distancia mojada sobre la regla de medición. De la fig. 7 se tiene:
Y también:
Ec. 17
Esta expresión es válida para
[ ]
Caso 3: cuando el nivel de líquido cubre completamente la tapa inferior, que está a la izquierda en la fig. 5
Fig. 8 Esquema para el caso 3.
Este caso es similar el caso 1. En este caso es el volumen de aire el que tiene forma de cuña de cilindro. Aquí se encuentra el volumen de líquido de la siguiente manera:
Ec. 19
De manera análoga como en el caso 1, se tiene:
y
Ec. 20
Sustituyendo estas en Ec. 19
Despejando:
La Ec. 21 es válida para
Ec. 21
[ ]
anexo
Caso 2: cuando el nivel de líquido alcanza la tapa superior, que está a la derecha en la fig. 5
En este caso el volumen del líquido adopta la forma de medio cono truncado.
Fig. 7 Esquema para el caso 2.
De la fig. 7, se expresa la mitad del volumen de un cono truncado:
Ec. 15
Donde
Ec. 16
Ahora se necesita una relación entre
y , para que dado un volumen, pueda calcularse la
distancia mojada sobre la regla de medición. De la fig. 7 se tiene:
Ec. 17
Ec. 17 en la Ec. 15
] [ Despejando:
Aplicando la fórmula cuadrática:
√ √ Esta expresión es válida para
Ec. 18
[ ]
