Manoel Paiva Licenciado em Matemática pela Faculdade de Filosofia Ciências e Letras de Santo André. Mestre em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Professor do ensino fundamental, médio e de cursos pré-vestibular durante 29 anos.
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3 Guia do mestre
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Apresentação
Caro professor Sigmund Freud disse certa vez que as funções de psicanalisar, governar e educar são impossíveis. Provavelmente, ao fazer essa afirmação, ele tinha em mente a impossibilidade de tratar de forma global as individualidades humanas. Polêmicas à parte, temos de reconhecer, pelo menos, a dificuldade de educar sem considerar cada aluno o que ele é: um ser único. Essa individualidade, na Educação, não se limita ao aluno, estende-se também ao professor e a todos os que participam indiretamente desse processo. Por essa característica humana, a adaptação de uma obra didática ao complexo sistema de ensino-aprendizagem depende não só de fatores ponderáveis, como a qualidade dos textos e das atividades, mas também de agentes imponderáveis, como a empatia dos envolvidos no processo com o tipo de abordagem adotado pelo autor. O êxito de uma obra nos aspectos imponderáveis é o objetivo de todo autor – o êxito no que é ponderável pode ser aproximadamente estimado. Apresentamos para o seu julgamento uma obra que procura seguir as atuais diretrizes do ensino de Matemática e, principalmente, considerar a individualidade, respeitando limites e explorando potenciais. Manoel Paiva
Sumário
Parte geral Motivações pedagógicas da obra
Ensinar para todos ________________________________________________ 5 A Matemática vai além de suas aplicações práticas ____________________ 5 A linguagem comum e a linguagem matemática _____________________ 5 Aspectos técnicos e pedagógicos da obra I. A estrutura ___________________________________________________ 6 II. Objetivo das tarefas adicionais __________________________________ 6 III. Objetivo da seção “Matemática sem fronteiras” ___________________ 6 IV. Objetivos gerais da obra________________________________________ 6 V. Distribuição dos três grandes temas______________________________ 7
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Parte específica Resolução das questões Capítulo 1 – Estatística: medidas de dispersão _____________________
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Capítulo 2 – Trigonometria: complementos _______________________ 26 Capítulo 3 – Geometria analítica: ponto e reta ____________________ 59 Capítulo 4 – Geometria analítica: ângulos, distâncias, áreas e
inequações _______________________________________ 103
Capítulo 5 – Equações da circunferência _________________________ 133 Capítulo 6 – As cônicas _______________________________________ 172 Capítulo 7 – Reconhecimento de uma curva a partir de uma
equação do 2‚ grau e lugar geométrico ______________ 203 Capítulo 8 – O conjunto dos números complexos _________________ 227 Capítulo 9 – Polinômios _______________________________________ 273 Capítulo 10 – Equações polinomiais ______________________________ 302
Parte geral Motivações pedagógicas da obra ENSINAR PARA TODOS
Entre os princípios nos quais esta obra se fundamentou, enfatizamos a inclusão de todos os alunos no processo de aprendizagem e a possibilidade de escolhas do conteúdo e do nível de ensino. Quando destacamos a inclusão de todos os alunos no processo de aprendizagem, referimo-nos, principalmente, ao aluno com grande potencial, que vem sendo excluído do processo. É uma exclusão velada, da qual pouco se fala. Como, então, atender às expectativas de todos os alunos respeitando limites e explorando potenciais? Este é um dos nossos maiores desafios: ensinar para todos. Qualquer aluno necessita de atendimento individual, e grande parte deles se satisfaz com o curso ministrado. Alguns, porém, querem mais, e por isso necessitam de orientações específicas, que transcendem o curso ministrado. Este livro foi escrito também para eles, pois lhes oferece material de consulta para estudos mais amplos. Quando destacamos a possibilidade de escolhas do conteúdo, nós nos contrapomos à opção por conteúdos mínimos, que obrigam o professor a ministrar seus cursos de forma estereotipada, em que os conteúdos, os exercícios, a metodologia e as avaliações são sempre os mesmos, independentemente do aluno. Com a possibilidade de escolhas, procuramos seguir as diretrizes educacionais vigentes, que enfatizam a flexibilidade, a autonomia e a diversidade. Como acatar essas diretrizes se o professor estiver engessado por uma obra que limita seus procedimentos, aquém do seu potencial? Ao falar da possibilidade de escolhas do nível de ensino, referimo-nos às características regionais, às peculiaridades da escola e da classe e, mais especificamente, à individualidade do aluno. Esta obra oferece uma gama de oportunidades de escolhas quanto ao nível teórico e ao nível de atividades, atendendo assim às mínimas e máximas exigências do professor e do aluno. A MATEMÁTICA VAI ALÉM DE SUAS APLICAÇÕES PRÁTICAS
“Professor, pra que serve isso?” Essa pergunta, da qual nenhum professor de Matemática escapa, é absolutamente pertinente, pois é indispensá-
vel estabelecer conexões entre o conhecimento matemático e as experiências da vida pessoal, social e produtiva, explorando os aspectos práticos dos assuntos estudados. E isso basta? Infelizmente, para o ensino de Matemática, muitos educadores entendem que sim. Essa forma tecnicista de estudar Matemática perde, a nosso ver, a essência dessa ciência: o simbólico. O ensino de Matemática calcado apenas nas aplicações práticas tem vantagens como: possibilidade de comparação entre as similaridades do que é familiar e do que é desconhecido para o aluno; entendimento de um conceito por analogias que sistematiza os conhecimentos e torna as aulas mais atraentes. Porém, essa forma de ensino tem desvantagens como: se as analogias estão fora do contexto socioeconômico e cultural dos alunos, elas podem se transformar em um complicador; uma interpretação equivocada da analogia pode gerar conceitos equivocados; um mau direcionamento pode destacar aspectos irrelevantes do análogo, em detrimento do que é principal no simbólico. Certamente poderíamos acrescentar outras vantagens e desvantagens a essa lista, porém as que destacamos já são suficientes para justificar a composição entre o simbólico e o real, adotada ao longo de toda a obra, o que para nós é indispensável ao aprendizado de Matemática. A LINGUAGEM COMUM E A LINGUAGEM MATEMÁTICA
Ao pedir a uma pessoa que não conhece Matemática que escolha um número entre 2 e 3, provavelmente ela escolherá um deles. Entretanto, ao fazer o mesmo pedido a um conhecedor da matéria, a resposta será um número maior que 2 e menor que 3. Isso porque a preposição “entre” tem um significado específico na linguagem matemática – e o mesmo ocorre com muitas outras palavras. Um importante motivo que leva a Matemática a adotar uma linguagem própria é a precisão: a linguagem comum é insuficiente para a descrição de todos os objetos matemáticos. A linguagem cotidiana deve ser usada no ensino de Matemática? É claro que sim. Porém, via de regra, é necessária uma explicação detalhada, que mostre a diferença entre os significados da palavra usada no cotidiano e em Matemática. Nesta obra, faremos a abordagem dos conceitos matemáticos transitando pelas duas linguagens. Parte geral
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Aspectos técnicos e pedagógicos da obra I. A ESTRUTURA
A coleção é formada por três volumes divididos em capítulos. A teoria é intercalada com questões resolvidas e questões propostas. Estas são seguidas de remissões a tarefas adicionais apresentadas em cinco séries de atividades: Roteiro de estudos, Questões técnicas, Questões contextualizadas, Questões-desafio e Questões de revisão cumulativa. Cada capítulo é fechado com a seção “Matemática sem fronteiras”. II. OBJETIVO DAS TAREFAS ADICIONAIS
As tarefas adicionais devem ser feitas preferencialmente em casa, para que o aluno adquira desembaraço e autonomia em relação ao assunto estudado. Mais do que isso, as tarefas adicionais vão revelar dúvidas das quais o aluno não se deu conta em sala de aula e que devem ser dirimidas na aula seguinte. • Roteiro de estudos
As atividades dessa série se propõem a revisar os aspectos mais importantes, necessários para a resolução das questões complementares. • Questões técnicas
Antes de executar um concerto, um estudante de música deve passar por exercícios de escalas, até que estas estejam incorporadas a seus sistemas motor e cognitivo. Do mesmo modo, entendemos que o aluno de Matemática só terá plenas condições de resolver problemas sobre determinado assunto quando a técnica necessária estiver totalmente incorporada. Por isso, as questões técnicas são fundamentais, pois com elas adquirem-se agilidade, autoconfiança e autonomia em relação às técnicas. • Questões contextualizadas
Durante muitos anos, a Matemática foi ensinada aos nossos jovens de modo estritamente acadêmico, formando cidadãos que carregaram, às vezes por toda a vida, a falsa ideia de que muito pouco dessa matéria tem utilidade no dia a dia. Embora a ciência caminhe sempre à frente do pragmatismo, as questões contextualizadas são necessárias no 6
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ensino de qualquer disciplina, porque o trânsito entre a teoria e a prática solidifica o aprendizado. Há divergências em relação à conceituação de contextualização no ensino de Matemática. Adotaremos o conceito de “problema contextualizado” como todo problema que apresente uma situação prática, isto é, que não seja pura criação teórica. • Questões-desafio
Uma considerável parcela dos profissionais gosta de desafios. O que já foi feito é obsoleto, dizem eles. Esses profissionais foram alunos um dia. Pensando nesses alunos é que propomos as questões-desafio. O objetivo delas é propiciar uma autoavaliação do potencial dos alunos que exigem sempre mais. • Questões de revisão cumulativa
É comum, durante as aulas, o professor necessitar de um assunto já estudado e os alunos não lembrarem. As questões de revisão cumulativa têm o objetivo de minimizar esse problema. Geralmente simples, elas destacam os aspectos mais importantes dos tópicos estudados. III. OBJETIVO DA SEÇÃO “MATEMÁTICA SEM FRONTEIRAS”
Fechando cada capítulo, a seção “Matemática sem fronteiras” apresenta um breve texto sobre uma aplicação prática do assunto tratado no capítulo. Essa seção tem dois objetivos. O primeiro é o mesmo das questões contextualizadas: permear a teoria matemática e a prática. O segundo é despertar a curiosidade do aluno para aplicações mais sofisticadas que as apresentadas nas questões contextualizadas. IV. OBJETIVOS GERAIS DA OBRA • Apresentar os rudimentos do pensamento científico. • Propiciar a compreensão da evolução do pensamento
científico por meio da ampliação de conceitos e/ou da construção de objetos abstratos. • Mostrar que a ciência caminha à frente das aplicações
práticas imediatas. • Ampliar as possibilidades de representação por meio da
linguagem matemática, exercitando: a construção de esquemas, tabelas e gráficos; as argumentações lógicas; o uso de modelos geométricos ou algébricos etc. • Transitar pelas várias formas de representação de um
mesmo objeto matemático.
• Estabelecer conexões entre o conhecimento matemático
e as experiências da vida pessoal, social e produtiva. • Fornecer embasamento científico para a tomada de
decisões por meio de análise de dados. V. DISTRIBUIÇÃO DOS TRÊS GRANDES TEMAS
Os três grandes temas da Matemática do ensino médio – Funções, Geometria e Trigonometria – são distribuídos pelos três volumes. O objetivo maior dessa divisão é fazer que esses temas estejam sempre presentes. A distribuição da Trigonometria pelos três volumes merece uma explicação mais detalhada: • O primeiro volume apresenta uma breve introdução à
Trigonometria. São estudadas as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo e na primeira volta positiva da circunferência trigonométrica,
tratando apenas de medidas em grau dos arcos trigonométricos. Entendemos que basta essa introdução no volume 1, porque ela é suficiente para o desenvolvimento da Mecânica no curso de Física. • No segundo volume, é feita uma breve revisão da Trigonometria estudada no volume 1, e as ideias são ampliadas para as infinitas voltas da circunferência trigonométrica, considerando agora arcos de medidas em grau e radiano. São estudadas ainda as funções trigonométricas. • Deixamos para o terceiro volume o estudo de adição
de arcos, arco duplo, transformação em produto e funções trigonométricas inversas. Dessa forma, o curso de Trigonometria se completa em pequenas doses, evitando aquele curso “interminável” e cansativo que tradicionalmente é ministrado nesse campo.
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