Manoel Paiva Licenciado em Matemática pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Santo André. Mestre em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Professor em escolas particulares por 29 anos.
Matemática Paiva Volume
1 Componente curricular: MA MATEMÁ TEMÁTICA TICA
MANUAL DO PROFESSOR
1a edição São Paulo, 2009
Título original: Matemática Paiva © Manoel Paiva 2009
Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Débora Regina Yogui, Fabio Jun Fujikawa Kawakami, Kawakam i, Willian Raphael Silva
Assistência editorial: Priscila Mayumi Haseyama Leitura crítica: Nilza Eigenheer Bertoni Preparação de texto: Denise de Almeida Coordenação de design e e projetos visuais: Sandra Botelho de Carvalho Homma Projeto gráfico: Alexandre Gusmão Capa: Everson de Paula Foto de capa : © Chase Swift / Corbis – Latinstock
Coordenação de produção gráfica: André Monteiro, Maria de Lourdes Rodrigues Coordenação de arte: Maria Lucia F. Couto Edição de arte: Elaine Cristina da Silva Editoração eletrônica: Formato Comunicação Ltda. Coordenação de revisão: Elaine Cristina del Nero Revisão: Afonso N. Lopes, Nancy H. Dias, Renato Luís Tresolavy, Viviane T. Mendes Coordenação de pesquisa iconográfica: Ana Lucia Soares Pesquisa iconográfica: Ana Claudia Fernandes, Camila D’Angelo, Leonardo de Sousa Klein, Marcia Sato Coordenação de bureau : Américo Jesus
Tratamento de imagens: Pix Art Pré-impressão: Everton L. de Oliveira, H elio P. de Souza Filho, Marcio Hideyuki Kamoto
Coordenação de produção industrial: Wilson Aparecido Troque Impressão e acabamento:
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Paiva, Manoel Matemática – Paiva / Manoel Paiva. — 1. ed. — São Paulo : Moderna, 2009.
Bibliografia. 1. Matemática (Ensino médio) I. Título.
09-05969
CDD-510.7
Índice para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino médio
510.7
Reprodução proibida. Art. 184 do Cód igo Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados
EDITORA MODERNA LTDA. Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho São Paulo – SP – Brasil – CEP 03303-904 Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510 Fax (0_ _11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2010 Impresso no Brasil 1 3
5
7
9
10 8 10
6
4
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. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f
e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p e R
Conheça seu livro Este livro foi elaborado para oferecer, de forma clara e objetiva, obje tiva, conteúdos matemáticos fundamentais para o Ensino Médio.
3
Geometria plana: triângulos e proporcionalidade
CAPÍTULO
3
Equacionando comuma única incógnita
S E G A M I
e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p e R
Y T T E G / T E R R A G S I R H C
. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e
Além da teoria
P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p O e I N R T S U A F
Para medir a largura de um rio, em um trecho de margens paralelas, um topógrafo fixou dois pontos, A e B , um em cada margem, de modo que AB é AB é perpendicular às margens. A seguir, caminhou 70 m, a partir de um ponto A,perpendicularmentea AB , até um ponAB to C tal tal que a medida do ângulo ACB é é 45°. Qual é a largura do rio?
m m
B
. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e
70 m
C
Neste capítulo você irá revisar alguns conceitos da Geometria plana e, com isso, poderá resolver este e outrosproblemas.
Assim,equacionandoasinformaçõesdoproblema,obtemosduasequaçõeseduasincógnitas:
Capítulo 3
e) y
x
1
y 3
1
0
3 O preço unitário y unitário y,, em
1
que é equivalente a 4 x 40 80, da qual Essasduasequaçõespolinomiaisdo 1 grau, obtemos x 10. Assim, concluímos que o ter- porconterem asmesmas incógnitas x e e y ,for, forreno tem 30 m de comprimento por 10 m de mam um sistema deequações do 1 grau comduas incógnitas. largura. Dentreosváriosmétodosderesoluçãodessetipode sistema,estudadosnoEnsinoFundamental, vamosrevisarosmétodosdaadição edasubstituição,nos exercíciosresolvidosR.6eR.7, aseguir.
x
y
r real, de um produto 100 diminui de acordo com a quantidade x quantidade x de de unidades compradas. Para 1 x 50, ospontos 40 ( x, x, y y)pertenc )pertencemàretar e màretar representadaaolado. Comprando-se40 unidadesdesseproduto,o 0 20 preçounitárioserá: a) R$ 60,00 d) R$ 72,00 b) R$ 68,00 e) R$ 74,00 c) R$ 70,00
Exercícios resolvidos
4050
x
R.6
o r p e R
R.7
Resolverosistemadeequaçõesnasincógnitasa e b.
2b
7
3
Resolução Aplicando o método daadição, podemosproceder daseguinte maneira: Multiplicam-seosdoismembrosdaprimeiraequaçãopor5eos doismembrosdasegundapor3, obtendo,assim,coeficientesopostosnaincógnita esopostosnaincógnitaa a:
5a 5a
Um clientede e de um banco fezum saquede R$ 1.200,00 em notas as de 10 reais ede 20 reais, num total de73 notas. Quantas notas de10 reais elesacou?
Cresce a população urbana no mundo
Resolução Indicando por x por x e e y y asquantidadesde notas de 10e de 20 reais, respectivamente, asinformaçõesdesse enunciado podem ser representadaspelo sistema:
5,0
b
(em bilhõesdepessoas )
Aplicando o método dasubstituição, vamosisolar a incógnita x incógnita x naprimeiraequação, obtendo:
çõesdo sistema, obtendo-se: 11b b 11 e, portanto,b portanto, b 1 11 Substitui-se b por 1 em qualquer equação do sistema, por exemplo, em 3a 3a 2 2b b 4: 3a 2 ( 1) 4 a 2 Oconjunto solução dosistemaé: S {(2, 1)}
10(73 y y)) 20 y 1.200
730 10 y 20 y 1.200
10 y 470 x 47
Concluímos, então, que o cliente sacou 47 notasde 10 reais.
C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p e R
raio. S E G A M I R E H T
1,3
O / Y M A L A / O H A S O P Y
2010 2020 2030
AlmanaqueAbril.2008. p.128 (com adaptações)
Substituindo (I)em (II), temos:
e l a n e P o g i d ó
8 Umacorreialigaduaspoliascom 4 cm e 12 cm de
1,7
0 1950 1960 1970 1980 1990 2000
. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L
sal, um valor fixo de R$ 160,00 maisum adicional de 2% dasvendasefetuadas por ele no mês. Com base nisso: a) construauma tabelaparaapresentar osrendimentosmensaisdesse vendedor nosmesesde abrila junho.Sabe-sequeemabrilavendafoide R$8.350,00,emmaiode R$10.200,00e emjunho de k k reais; reais; b) dêumaequação queexpressao rendimentomensal y sal y dessevendedorem funçãodovalor funçãodovalor x x desuas vendasmensaise construaográficodessa função. ã ode y emrelação c) Calculeataxamédiadevariaçãode y a x x,quandoeste ,quandoeste variadeR$ 500,00aR$1.000,00.
2,3 2,0
O N I T S U A F
novo é R$ 9.000,00 e, com quatro anosde uso, passaa ser R$ 4.000,00. Supondo que o preço caiacom o tempo, segundo umalinha reta, o valor deum carro com um ano de uso é: a) R$ 8.250,00 d) R$ 7.500,00 b) R$ 8.000,00 e) R$ 7.000,00 c) R$ 7.750,00
0,7
x 73 y (I) 10 x 20 y 1.200 (II)
A menosque seespecifique o contrário,obedeceremosà ordem alfabética dasincógnitasno par ordenado queésolução do sistema.
5,0
3,5 2,9
3,0
1,0
Adicionam-se, membro amembro, asduasequa-
previsão
4,0 O N I T S U A F
x y 73 10 x 20 y 1.200
(°F)
7 Um vendedor recebe, atítulo de rendimento men-
2008,pelaprimeiravez nahistóriadas civilizações,a maioriadaspessoasviveránazona urbana.Ográficoa seguirmostrao crescimen i mentoda populaçãourbana ç ãourbana desde1950,quandoessapopulaçãoerade700milhões depessoas,eapresentaumaprevisãopara 2030,baseadaemcrescimentolinearno períodode2008a2030.
B E T O C E L L I
y
didasde temperaturas, 212 naescalaCelsius(°C)e na escalaFahrenheit (°F), estárepresen tada no gráfico ao lado. a) Obtenhaaequação que expressaamedida y da y datemperatura, 32 emgrau Fahrenheit, 0 100 x (°C) emfunçãodamedida ,emgrauCelsius. x,emgrauCelsius. x t ura, em grau b) D etermine amedidada temperatura, Celsius, que corresponde a 4 °F. 6 (Cesgranrio-RJ) Sabe-se que o valor de um carro
)Uma pesquisadaONU estimaque,já em 4 (Enem
R T
De acordo com o gráfico, apopulação urbanamundialem 2020 corresponderá, aproximadamente, a quantosbilhões de pessoas?
a) Escreva uma equação que expresse o número
a) 4,00 b) 4,10 c) 4,15
b) Construao gráfico dafun ção do itema para
d) 4,25 e) 4,50
y de voltas da polia maior em função do número x mero de voltas da polia menor. x de 0 x 5. c) Afunção do item a é linear?Por quê?
Resolvaasquestões õ es1 e 2 do do Roteiro Roteiro detrabalho. 45
Temasbásicosda Álgebrae matemáticafinanceira Capítulo2
A teoria vem acompanhada dos exercícios resolvidos, resolvidos, cujo desenvolvimento ajuda na compreensão dos conceitos.
Orio Amazonasé omais extensodoplaneta,com 6.992km.O trechomaislargodo Amazonas,não intercaladoporilhas efora doestuário,tem 13km delargura.Duranteascheias, orio podealcançar, emdeterminadostrechos,cercade40 a50 kmde largura.O a.O trechomaisestreitodo rio,em território brasileiro,tem ro,tem cercade2.600m delargura.(2003)
58
d) y 5 x
b) y 2 x 4 c) y 5 x
y ax b é o apresentado ao lado. Determine: a) osvaloresde a e b b) a raizdafunção.
2x 2y 8 0 y x 20
(x 20) (x 20) x x 80,
P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p e R
45° A A
x y
É dado queo perímetro do terreno é80m; assim,temosa equação: . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d
O N I T S U A F : S E Õ Ç A R T S U L I
O N I T S U A F : S E Õ Ç A R T S U L I
y x
x
x 20
a) y 2 x 4
2 Ográficodafunção
Equacionando comduas incógnitas
Indicando por x a a medida da largura do reIndicando por x e e y asmedidas,em asmedidas,em metro, tângulo,em metro,temos quea medida do da largura edo comprimento do terreno,rescomprimentoé x 20. pectivamente,temos: x 20
5 A relação entreasme-
1 Construao gráfico de cadaumadas funções:
Um terreno retangulartem angulartem 80m de perímetro,demodo que o comprimento tem20m a maisque a largura.Quaissão asdimensõesdesseterreno? Pararesolvermosproblemascomoesse,podemosequacioná-loscom umaoumais incógnitas.
x
. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f
Exercícios propostos
Sistemas de equações polinomiais do 1 grau
120 Capítulo6
Funçã opolinomialdo1 g rauoufunçãoafim
Em todos os capítulos, entremeados aos conteúdos, os exercícios objetivam verificar propostos objetivam propostos o aprendizado, trazendo uma aplicação mais imediata dos conteúdos além de algumas conexões com o cotidiano.
Geometria plana: triângulos e proporcionalidade
A proposta da página de abertura, abertura, que tem por objetivo estimular a reflexão sobre um problema contextualizado, traz questões para avaliar seus conhecimentos prévios e ainda questões-desafio, que poderão ser resolvidas após o estudo do capítulo.
Roteiro de trabalho 1
2
Em duplas, expliquem, com suasprópriaspalavras: a) o que é umaequação polinomialdo 1 grau; b) o que é o conjunto solução de umaequação; c) o que é umainequação polinomialdo 1 grau; d) o que é umaequação polinomialdo 2 grau; e) sobque condição aequaçãoax2 bx c 0, com {a, b, c} e a 0:
possuiduas raízesreais?
possuiduas raízesreaisdistintas?
possuiduas raízesreaisiguais?
não possuiraízesreais?
Reúna-se em grupo pararealizar astarefassugeridas nositensabaixo. Vocêspoderão usar jornaise revistas parailustrar assituações. a) Expliquem o significado do símbolo x% paraqualquer número real x. b) Escolhamsituaçõesdodia adianas quaisesteja presente o conceito de porcentagem. c) Escolhamsituaçõesdodia adianas quaisesteja presente o conceito de juro simples. d) Escolhamsituaçõesdodia adianas quaisesteja presente o conceito de juro composto. e) Expliquem adiferença entre juro simplese juro composto.
Matemática sem fronteiras
O efeito estufa
Exercícios complementares 1
irtodaaprodução,quantopaa) Seumcompradoradquirirtodaaprodução,quantopa-
Desde o instante em que iniciaaentradaem um túnel até o instante em que saiinteiramente desse túnel, um trem percorre 780 m. Sabendo que o comprimento do túneltem 260 m amais do que o triplo do comprimprimento do trem, calcule o comprimento do trem.
garáporpneuequantopagaráportodaa produção? b) Se um comprador adquirir um lote de 30 pneus,
quanto pagarápor pneu e quanto pagarápor todo o lote? c) Se um comprador adquirir um lote de pneuspor
R$ 1.500,00, qualseráo preço pago por pneu? 6
2
Umaherançafoi divididaentre aviúva, afilha, o filho e o cozinheiro. Afilhae o filho ficaram com amet ade, distribuídanaproporção de 4 para3, respectivamente. Aviúvaganhou o dobro do que coube ao filho, e o cozinheiro R$ 500,00. Calcule o valor daherança.
3
(PUC-RJ)A organizadorade umafesta observaque, se sentasse osconvidados em mesade trêslugares, sobrariam vinte convidadossem lugar. Usando o mesmo número de mesascom quatro em vezde três lugares, sobrariam trêsconvidadossem lugar. Qualo número de convidados?
4
(FEI-SP)Em um colégio, no período damanhã, estudam 420 alunosem n salascom n 1 alunospor sala. Determine o número n.
5
é 40
x
5
.
Alunosde escola primária em Ogulagha,Nigéria (2006).Embora a Nigéria sejaumdosmaiores produtoresdepetróleodo mundo,opaístem umdos maisbaixosIDH(Índicede Desenvolvimento Humano):éo ) :éo 158 entre os182 paíseseterritórios classificados. 7
Paravender sua produção de 100 pneus, um empresário estabeleceu que o preço por pneu depende da quantidade adquiridapelo comprador, ou seja, para cada x unidadesvendidas, o preço unitário, em real,
Oeconomistanorte-americanoJamesTobin,ganhador doprêmioNobeldeEconomiaem1981,propôs,em , em 1972,umataxação de0,1%sobre astransações financeirasespeculativasinternacionais. Odinheiro assim recolhidoserviriapara criarum fundointernacional paraajudarno combateàpobreza. Estudosrealizados noano de2002estimamque astransaçõesfinanceiras especulativasmovimentam1,5trilhãodedólaresaodia útil.Considerandoqueo anoé formadopor52 semanasdecincodiasúteiscadauma,calcu s cadauma,calculeomontante anual,emdólar,quepoderia serrecolhidocomessat axação,seaproposta deTobinfosseadotada.
(Enem) Parase obter 1,5 kg do dióxido de urânio puro, matéria-primaparaa produção de combustível nuclear, é necessário extrair-se e tratar-se 1,0 toneladade minério. Assim o rendimento (em %)do tratamento do minério até chegar ao dióxido de urânio puro é de: a) 0,10% c) 0,20% e) 2,0% b) 0,15% d) 1,5%
Temasbásicosda Álgebrae matemáticafinanceira Capítulo2
Nasdécadasde1970e1980,o município deCubatão (aqui,em foto de1983),onde selocaliza um dosprincipaispolosindustriaisdo Brasil,foi considerado doumdos maispoluídosdomundo.Apósarealizaçãodeestudos,foi implantadoumplanoderecuperaçãoambientalquevem reduzindo ano a ano a emissão degasespoluentes. Efeito estufa é o nome dado à retenção de calor na Terra possibilitada pela l concentração de diversos gases na atmosfera. Graças a esse fenômeno, a tempe-ratura média na superfície da Terra se mantém em torno dos 16 °C. Sem isso, a temperatura média na superfície do planeta seria de �18 °C (dezoito graus abaixo xo de zero). Logo, o efeito estufa é fundamental para a existência de vida na Terra.. Quando se alerta para os riscos do efeito estufa, o que está em discussão é a a ação do homem na intensificação desse efeito. Estudos têm mostrado que as s indústrias, as queimadas, os automóveis etc. liberam na atmosfera, anualmente, e, cerca de 23 bilhões de toneladas de gases que aumentam de forma notável oo efeito estufa. Se as emissões desses gases não diminuírem, a quantidade deles es presente na atmosfera pode triplicar em cem anos. Deacordo com a Cetesb (Companhia deTecnologia eSaneamento Ambiental), l), há quase consenso entre os cientistas de que o resultado mais direto das mudannças climáticas seja o aumento da temperatura do planeta em até 5,8 °C ao final al desses cem anos. Essa previsão científica éfundamentada em equaçõesmatemáticasqueexpres-ssam a variação média da temperatura em função do tempo.
Osgasesformam uma camada ao redor da Terra,impedindo quepartedo calor escapeda atmosfera.
Atividades 1
Supondoqueatemperatura médiaatualdaTerraseja de16°C,e queatemperaturaaumente,emmédia,0,058°Cao ano,obtenhaumaequaçãoqueexpresse atemperatura f atemperatura f (t ),emgrauCelsi ) ,emgrauCelsius,emfunçãodotempot ,emano. , emano.
2
Aplicando aequação obtidanaatividade anterior, qualseria atemperatura do planeta daqui a cem anos?
3
De acordocomotexto ecominformações veiculadasem jornais,revistas e natelevisão, como podemosajudar areduzir aemissão dosgases causadores do efeito estufa?
55 A linguagemdas funções
Ao final de cada capítulo, o roteiro de trabalho apresenta trabalho apresenta questões que estimulam os alunos a argumentar, questionar e sintetizar os principais conceitos tratados no capítulo. Para finalizar, há os exercícios que oferecem complementares que complementares questões de aprofundamento dos assuntos abordados.
Capítulo4
99
A seção Matemática sem traz textos intefronteiras traz fronteiras ressantes, com situações que aplicam os conceitos trabalhados no capítulo.
3
Sumário
CAPÍTULO
1
Uma introdução à linguagem dos conjuntos
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
A Matemática é concebida entre quatro paredes? Conceitos primitivos Representação de um conjunto Conjunto unitário e conjunto vazio Conjunto finito e conjunto infinito Subconjunto Igualdade de conjuntos Conjunto universo Operações entre conjuntos Conjunto diferença Conjunto complementar Problemas sobre quantidades quantidades de elementos de conjuntos finitos 13. Conjuntos numéricos 14. O eixo real Exercícios complementares
CAPÍTULO
2
1. 2. 3. 4. 5.
3
4
6
7 7 8 9 9 10 11 11 13 16 18 20 23 33 36
40
4
Geometria plana: triângulos e proporcionalidade
As origens da Geometria Polígonos Triângulos Propriedades dos triângulos Teorema de Tales Semelhança de figuras planas Semelhança de triângulos Relações métricas no triângulo retângulo Exercícios complementares
41 43 45 46 49 55
A linguagem das funções
1. Sistemas de coordenadas 2. O conceito de função 3. Formas de representação de uma função 4. Imagem de x pela pela função f 5. Análise gráfica Exercícios complementares
CAPÍTULO
5
1. 2. 3. 4.
81 83 86 89 93 96
100
101 103
Variação Variaç ão de uma função
105
Funções inversas Exercícios complementares
108 112
CAPÍTULO
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Função real de variável real e inversão de funções
80
Função real de variável real Zero (ou raiz) de uma função
6 Equações polinomiais do 1‚ grau Inequações polinomiais do 1‚ grau Sistemas de equações polinomiais polinomiais do 1‚ grau Equações polinomiais do 2‚ grau Matemática financeira Exercícios complementares
CAPÍTULO
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Temas básicos da Álgebra e matemática financeira
CAPÍTULO
Função polinomial do 1‚ grau ou função afim
116
A função afim
117
Gráfico da função afim Funções definidas por mais de uma sentença
118 126
Variação de sinal da função afim Variação Inequação-produto
128 130
Inequação-quociente Exercícios complementares
131 132
58
59 60 61 65 67 69 69 73 77
CAPÍTULO
7
1. 2. 3. 4. 5.
Função polinomial do 2 ‚ grau ou função quadrática
135
A função quadrática Gráfico da função quadrática
136 136
Máximo e mínimo da função quadrática Variação Variaç ão de sinal da função quadrática
142 145
Inequações polinomiais do 2‚ grau Exercícios complementares
147 150
. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f
e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p e R
CAPÍTULO
8
CAPÍTULO
Função modular
154
10 Função logarítmica
188
1. Distância entre dois pontos do eixo real
155
1. Os fundamentos da teoria dos logaritmos
2. Módulo, equações e inequações modulares
155
2. O conceito de logaritmo
189 189
3. Função modular
163 166
3. Função logarítmica
198
4. Equações logarítmicas
202 205
Exercícios complementares
5. Inequações logarítmicas
Exercícios complementares
208
CAPÍTULO . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f
e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p e R
9
Função exponencial
168
CAPÍTULO
11 Sequências
1. Introdução
169
2. Potenciação e radiciação
170 177
1. O conceito de sequência
181 182
3. Progressão aritmética
3. A função exponencial 4. Equação exponencial 5. Inequação exponencial
Exercícios complementares
184
2. Lei de formação de uma sequência 4. Progressão geométrica
Exercícios complementares
212
213 215 217 227 238
Indicação de leituras complementares
240
Respostas
241
Lista de siglas
255
Bibliografia
256
5
