giradores y operacionales

Análisis y Síntesis de Circuitos

ASC

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS

APENDICE 2 Fig.4.16 Schauman


(b)

(a) Figura Figura A2.1: A2.1:

A2.1 Diseño Diseño de funciones funciones básicas básicas utilizand utilizandoo amplificadores amplificadores operacionales

Ilustra Ilustració ciónn de la la simul simulaci ación ón de (a) un un inducto inductorr a tier tierra ra y (b) (b) un inductor flotante mediante circuitos RC-activos.

de los amplificadores operacionales, las simulaciones serán imperfectas y serán válidas únicamente en un rango limitado de frecuencias. El inductor realizado no sólo tendrá un valor incorrecto y tendrá además parásitos sino que también tendrá pérdidas:

Los amplificadores operacionales se utilizan con varios propósitos: ω L → j ω Lr + R L

A) Amplificación de señales

R L   1 = j ω L r  1 – j -------- = j ω Lr  1 – j ----------------



ω L r 

Q L ( ω )

(A2.2)

B) Suma de señales

donde Q L(ω) es el factor de calidad del inductor.

C) Simulación de la impedancia de otros elementos, frecuentemente un inductor La simulación de inductores se realiza como indica la Fig. 1. Se construye un circuito RC activo cuya impedancia se aproxima a la de un inductor a tierra o flotante, tan bien como sea posible en la frecuenci a de interés. Para un inductor a tierra se necesita un circuito cuya impedancia de entrada sea Z in(s)=sL y para un inductor flotante se necesita una bipuerta cuya matriz de admitancia sea,

D) Simulación operacional de la función de inductores y condensadores Consideremos el inductor en serie y el condensador en paralelo de la Fig. 2a. Están descritos por las ecuaciones: I =

V 1 = ------ 1 – 1 1 sL I 2 – 1 1 V 2

(A2.1)

siendo I 1=− I 2. Debido a las tolerancias de los elementos y las no-idealidades © Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

A2-1

sL

V =

I 1 – I 2 --------------sC

(A2.3)

La misma función de integración la realiza el circuito de la Fig. 2b: V o

I 1

V 1 – V 2 ------------------

V 1 – V 2 = -----------------sC R

(A2.4)

Está claro que debido a las no idealidades ideali dades de los dispositivos aparecerán desde sviaciones respecto a la función de integración ideal. Por tanto, de forma análoga a la simulación de la impedancia de los inductores conviene introducir Curso 2003/04 © Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

A2-2

ASC

A2.1 Diseño de funciones básicas utilizando amplificadores operacionales

ASC


Similares resultados se obtienen para el integrador con condensador: Q I ( ω )

Fig.4.15 Schauman

Figura Figura A2.2: A2.2:

(a) Inductor Inductor serie serie y conde condensa nsador dor paral paralelo elo realiz realizando ando "integra "integració ción"; n"; (b) Equivalente con amplificadores operacionales.

sL a la funun factor de calidad de los integradores. Denominamos T L(s)=1/ sL ción de integración del inductor en (3). Sustituyendo jω L por jω Lr + R L se obtiene: T L ( j ω )

1 1 = ------------------------ = --------------------------------------- j ω L r + R L jIm ( ω ) + Re ( ω )

Im ( ω ) Re ( ω )

ω C R

r = ---------------- = -------------= ω C r RC

G C R

(A2.9)

A2.2 Amplific Amplificador adores/su es/sumador madores es En muchas ocasiones durante el diseño de un filtro debe amplificarse una señal determinada o sumarse dos o varias señales con peso. Los circu itos apropiados son los amplificadores inversores y no-inversores de la Fig. 3.

(A2.5)

Se puede definir entonces un factor de calidad del integrador como: Im ( ω ) Re ( ω )

ω L ⁄ R

ω L

R L ⁄ R

R L

r = ---------------- = ----------------= ---------r

Q I ( ω )

(A2.6) Fig.4.17 Schauman

de manera análoga al factor de calidad de los inductores. A partir de (5) podemos obtener la fase y el error de fase del integrador: T L ( j ω )

1 1 = ---------------------------------------- = ------------------------------------------------------------------------- jIm ( ω ) + Re ( ω ) 1 jIm ( ω ) 1 – j ---------------

(A2.7)

Q I ( ω )


de donde se obtiene la fase y el error de fase: φ I ( ω )

π 1 = – -π- + ∆φ ( ω ) = – -- + atan -------------- I 2 2 Q I ( ω )

(A2.8)

Como era de esperar, el error de fase del integrador está determinado por el factor de calidad del integrador. A2-3

Curso 2003/04 © Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

Circui Circuitos tos acti activos vos elem element entale ales: s: (a) (a) amplifi amplificad cador or invers inversor; or; (b) (b) amamplificador no inversor; (c) sumador inverso r; (d) buffer de ganancia unidad.

Ejercicio

A2.1.- Obtener la ganancia ganancia en tensión tensión del amplificad amplificador or inversor inversor de de la Fig. 3a con un modelo genérico del amplificador operacional.


A2-4

ASC

A2.2 Amplificadores/sumadores

Aplicando la ecuación del amplificador, principio de superposición y divisor de tensiones:  R



R

1 F = –A  ------------------V 1 + -------------------V o R + R R +  1 1 R F  F

R 1   V o  1 + A ------------------- R 1 + R F   V o

(A2.10)

R 1 

Solución detallada

Aplicando la ecuación del amplificador, principio de superposición y divisor de tensiones: 

1 V o = A  V 1 – ------------------ R +  1 R F 

R 1   V o  1 + A ------------------- R 1 + R F  

(A2.12)

A ( s )

GB

GB

= ------------ ≅ -------s+σ s

(A2.13)

(A2.14)

y se obtiene que el producto ganancia ancho de banda en lazo cerrado (1+K o)ωK es aproximadamente igual al producto ganancia-ancho de banda en lazo abierto GB. El tercer circuito mostrado en la Fig. 3c es un sumador. Se ha construido a partir del amplificador inversor añadiendo nuevas entradas en el terminal de entrada inversor que es un nudo de tierra virtual. Ejercicio

A2.3.A2.3.- Obtener Obtener la ganan ganancia cia en en tensión tensión del del sumador sumador de la Fig. Fig. 3c con con un modelo genérico del amplificador operacional.

= AV 1

(A2.11)

R   A 1 = --------------------------------- V 1 =  1 + ------F  ----------------------------------------------------------V 1 R 1  R 1 R   1 1 + A ------------------1 + ----------------- 1 + ------F  R 1 + R F A ( s ) R



1

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------A2-5

V i

GB ω K ≅ ---------------1 + K o

A2.2.A2.2.- Obtener Obtener la gananc ganancia ia en tensión tensión del amplif amplificad icador or no-inver no-inversor sor de la Fig. 3b con un modelo genérico del amplificador operacional.

R

V

----o- = ( 1 + K o )

puede observarse que dichos amplificadores tienen un ancho de banda reducido:

Ejercicio



V i

R

AR F R 1 = – ----------------------------------------------V = – ------F -------------------------------------------------------V 1 AR 1 + R 1 + R F 1 R 1 R  1  1 + ----------------- 1 + ------F 

V o

V

------o = – K o

donde K o= RF / R1. En realidad la ganancia de estos amplificadores depende de la frecuencia. Si modelamos A(s) como:

F = – A ------------------V R 1 + R F 1

A ( s ) 

V o

ASC

Si A ( j ω ) → ∞ las expresiones en (10) y (11) tienden a:

Solución detallada

V o



Solución detallada

El análisis de este circuito conduce a: V o

∑ Gi V i G F  = – A  ---------------+ ------- V o G G

(A2.15)

siendo G = GF + ∑ ( Gi ) . Agrupando términos: Curso 2003/04 © Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

A2-6

ASC

A2.2 Amplificadores/sumadores

G F V o  1 + A -------  G

∑ Gi V i = – A ---------------G

V o

Gi

1 = – ---------------------------- ∑ ------- V i 1 G G 1 + ------------------ i = 1 F

Rnn

Vnn

(A2.16)

.

.

Vn2

Por lo que la operación del circuito sumador es: n

ASC


.

.

.

.

(A2.17)

Rp2 .

V o

G

= – ∑ -------i V i G F i

(A2.18)

Vpp

Ejercicio

A2.4.A2.4.- Demost Demostrar rar que que el suma sumador dor genera generaliza lizado do de la Fig. Fig. 4 permite permite suma sumarr y restar señales pero a diferencia del sumador de la Fig. 3c no permite un ajuste independiente de los coeficientes. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Otro circuito interesante es el buffer de la Fig. 3d. Es un caso especial del amplificador no inversor con RF =0 y R1=∞. Su ganancia es pues: V A ( s) 1 1 ≅ -----------------------------o = -------------------- = --------------------------V i 1 + A ( s ) 1 + 1 ⁄ A ( s ) s = j ω 1 + s ⁄ GB

(A2.19)

El ancho de banda de 3dB de este buffer es GB, y puede observarse que V o ⁄ V i ≅ 1 para las frecuencias normales de funcionamiento ω « GB . La utilidad de este amplificador de ganancia gananci a unidad es su alta impedancia de enCurso 2003/04 © Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

. . .

Rpp

Suma Sumado dorr gene genera rali liza zado do

trada y su baja impedancia de salida:

=1

donde cada coeficiente se puede ajustar independientemente, lo que resulta muy adecuado para ajuste de filtros activos. La operación de suma puede llevarse a cabo siempre que se disponga de un nodo de tierra virtual en un circuito activo, no es necesario construir un sumador aislado.

A2-7

. .

Figu Figura ra A2. A2.4:

Vo

Rp1

Vp1 Vp2

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |A( j jω)|→∞ y (17) se reduce a: En el caso ideal A

RF

Rn1

Vn1

A ( s ) G F

n

Rn2

Z in ≅ R i

R o Z ou t ≅ ------------------------------- ≅ 1 + A( s )

0

(A2.20)

Luego este circuito puede tener grandes cargas sin cargar los filtros activos puesto que no se extrae prácticamente ninguna intensidad del filtro.

A2.3 A2.3 Integr Integrado adore ress Los integradores realizan una función importante en el diseño de filtros activos. No sólo simulan la operación de inductores y condensadores sino que pueden utilizarse para construir secciones de segundo orden, mediante la conexión de dos integradores en un bucle, como se muestra en la Fig. 5. Si consideramos como modelo para cada integrador 1/ s: s: V 2

1 + 1 1 = -- V = --  KV 1 – aV 2 – -- V 2 s s s

(A2.21)

de donde se obtiene la siguiente función de transferencia:


A2-8

ASC

A2.3 Integradores

ASC


vés del factor de calidad o error de fase del integrador. Ejercicio

A2.5.A2.5.- Obtener Obtener el factor factor de calida calidadd y el error de fase fase del integra integrador dor Miller. Miller. Fig.4.19 Schauman

Solución detallada

Sustituyendo A ( s ) = GB ⁄ s y suponiendo que GBCR » 1 se obtiene: Figura Figura A2.5: A2.5:

H ( s )

=

V ------2 V 1

Lazo Lazo de dos integr integrador adores es para para impleme implementar ntar un filtr filtroo de segundo orden. Ks

= -------------------------2 s + as + 1

(A2.22)

A2.0.1 Integradores inversores El integrador básico puede obtenerse a partir del amplificador inversor sustituyendo RF por 1/ sC sC , tal como se muestra en la Fig. 6. Puede obtenerse pues la función de transferencia a partir de la del amplificador inversor:

Int Integra egrado dorr Mi Mille ller.

A ( s)

(A2.23)

sC R

Las desviaciones respecto al comportamiento ideal pueden evaluarse a traA2-9

GB

GBCR

GB

V 1 ------2 = –--------------------------------------------------------------2 V 1 j ω CR – ω C R ⁄ G B

(A2.25)

Comparando con las expresiones anteriores se obtiene el error de fase y el factor de calidad del integrador: ω ∆φ ≅ – atan -------GB

1 = – atan ---------------- A ( j ω )

GB Q I ≅ – -------ω

= – A ( j ω ) (A2.26)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------El factor de calidad del integrador Miller es negativo y viene determinado por la ganancia del A.O. a la frecuencia de interés. Por tanto, es importante tener ganancias grandes. Si el factor de calidad es demasiado bajo se pueden utilizar métodos de compensación compensación pasiva pasiva o activa, tales tales como los de las Fig. 7 y Fig. 8.

Fig.4.20 Schauman

V 1 1 ------2 = – ---------- ---------------------------------------------V 1 sC R 1  1 1 + ----------------- 1 + ----------



(A2.24)

Para s= jω:

Combinando, pues, un integrador inversor y uno no inversor se obtiene una función de transferencia de segundo orden.

Figu Figura ra A2.6 A2.6::

V 1 1 1 ------2 = – ---------------------------------------------------------≅ – ---------- ----------------V 1 sC R s s 1   1 + -------sC R 1 + -------- + ----------------


Ejercicio

A2.6.A2.6.- Estudia Estudiarr el uso uso del circu circuito ito de la la Fig. 7 como como método método de compensación pasiva del integrador Miller para minimizar el error de fase y aumentar por tanto su factor de calidad. Estudiar los problemas asociados a dicha compensación pasiva. Curso 2003/04 © Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

A2-10

ASC

A2.3 Integradores

Consideraremos un modelo de un polo para el amplificador operacional

C

V1

Vb

R Va

ASC


A2

A1

A ( s)

GB s « 1 por lo que = -------- . Para las frecuencias típicas de operación -------s GB

se puede truncar con buena aproximación el siguiente desarrollo en serie:

V2

2

Figur Figuraa A2.8 A2.8:: V 2 V b

Inte Integra grado dorr Mill Miller er con con comp compen ensa saci ción ón act activ iva. a.

= – A 1 V a

A2

(A2.33)

= A2 ( V 2 – V b )

V b

V 1 = ------2 = – ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(A2.39) -----2 3 V 1  s ( 1 + sR C ) s s s  ---------------------------+ sR C  1 – ----------- + -------------2 – -------------3

(A2.34)

A V

V  1 ---  V + ------2 R  1 A1

H ( s )

 V

A V 

2 2 = sC  – ------2 – -------------- A 1 + A 2  1

(A2.35)

V

= ------2 = V 1

1 (A2.40) = – -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2  2 2  GB   ω ω RC ω 1 2 j ω RC  1 + ------------------- – ------------- + ---------------------------- 1 – ----------- – -------------2 2 

(A2.36) Q I

de donde la función de transferencia del integrador: =

GB 2 

GB 1 RC GB  2

GB 2 

GB 1

GB 2 

2

 1 sR C sRCA  = – V 2  ------ + ---------- + -----------------2 1 + A2   A 1 A 1

H ( s )

GB 2

El factor de calidad es pues:

Separando términos:

V ------2 V 1

GB 2



Hacemos s = j ω :

2 2 = --------------1 + A2

Aplicando análisis nodal en el nudo a:

V 1

GB 2

GB 1

V

= – ------2 A 1

(A2.38)

Sustituyendo en (37): H ( s )

de donde: V a

3

1 1 s s s --------------- = ------------------------------- ≈ 1 – ----------- + -------------2 – -------------3 s GB 2 GB 1 GB 2 1 + ------ 1 + ----------2

1 = – ----------------------------------------------------1 + sR C 1 -------------------- + sR C -------------- A 1 1 1 + ------

Im ( ω )

GB

1 ω 1 + ------------------- – -------------2 GB 1 RC GB

2 = ---------------- ≅ ----------2- -----------------------------------------------2 ω Re ( ω ) GB 2 ω 1 – ----------- – -------------2 GB 1

(A2.37)

(A2.41)

GB 2

ω GB 2

Si suponemos que GB 1 RC » 1 y ---------- « 1 :

A2

A2-13



A2-14

ASC

A2.3 Integradores

GB 2 1 Q I ≅ ----------- ------------------------------------------------2 ω GB 2 ω 1 – ----------- – ------------GB 1 GB 2 2

(A2.42)

Si consideramos que los dos amplificadores operacionales son idénticos: GB 1

= GB 2 = GB

(A2.43)

ASC


mos que entre los producto ganancia-ancho de banda de los amplificadores operacionales existe un desapareamiento del 1% tendremos que el factor de calidad se ha deteriorado a: 6 10 1 Q I ≅ -------- ------------------4 1 – 0.99

10

= 10

4

(A2.47)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

entonces: GB 3 Q I ≅ –  --------  ω

= – A( jω )

A2.0.2 Integradores no inversores

3

(A2.44)

que significa una mejora significativa respecto al integrador Miller. Si consideramos por ejemplo una realización con dos amplificadores operacionales con un producto ganancia-ancho de banda de 1 MHz y una frecuencia de operación de 10KHz entonces el factor de calidad del integrador es: 2 3 Q I ≅ – ( 10 )

= – 10

6

El método más simple para obtener un integrador no inversor es conectar un amplificador inversor y un integrador Miller en cascada como se muestra en la Fig. 9a. El circuito adicional reduce el factor de calidad Q I de la cascada inversor-integrador Miller.

(A2.45)

V o 1

mientras que un integrador Miller usando el mismo amplificador operacio2 nal tendría Q I ≅ – 10 . Para obtener dicho factor de calidad hay que suponer coincidencia perfecta entre ambos amplificadores. Si el desapareamiento entre ambos amplificadores es suficientemente ω

(a)

(b)

2

grande para poder despreciar el término -------------2 tendremos:


GB 2

GB 2 1 Q I ≅ ----------- -------------------GB ω 1 – ----------2GB 1

A ( j ω )

2 = -------------------GB 1 – ----------2-

(A2.46)

GB 1

Fig.4.23 Schauman

Integra Integradore doress no invers inversore ores: s: (a) (a) Cascad Cascadaa Miller Miller-inv -invers ersor; or; (b) (b) Casca Casca-da modificada Miller-inversor.

Ejercicio

A2.8.- Calcular el factor factor de calidad del integrador integrador no-inversor no-inversor de de la Fig. 9a.

Si consideramos el mismo ejemplo numérico anterior pero ahora consideraA2-15



A2-16

ASC

A2.3 Integradores

V 01 1 1 -------= – ---------- ------------------------------------------------V 1 sC R 1  1 1 + -------------------- 1 + ---------- A 1 ( s )

r

(A2.55) r

sC R

V o V i

La ganancia del segundo bloque considerando ecuación del amplificador operacional, principio de superposición y divisor de tensiones: V 2

V o 1 1 1 = A 2 – -------- – -- V – -- V A1 2 2 2 o 1

A2 V 2  1 + ------  2

1 2 = – -- A2  1 + ------ V o 1 A 1 2

(A2.57)

= – A ( jω )

Inte Integra grado dorr de de Deboo. Deboo.

El integrador de Deboo tiene la particularidad de ser un integrador no inversor con un único amplificador operacional. Calculamos en primer lugar la función de transferencia. Aplicamos ecuación constitutiva del amplificador operacional, principio de superposición y divisor de tensiones: R

R

--------------------------------------1 + sR C 1 + sR C 1 V o = A ( s ) ------------------------------V V i + ------------------------------V V o – -- V o R R 2 R + ------------------- R + -------------------1 + sR C 1 + sR C

(A2.59)

sC R

Sin consideramos los amplificadores operacionales idénticos, la cascada modificada de integrador Miller e inversor tiene el mismo factor de calidad que el integrador Miller simple: Q I

R

Solución detallada

(A2.56)

Por tanto, para el integrador no-inversor se tiene la función de transferencia: V 1 + 2 ⁄ A 1 ( s ) 1 1 ------2 = ---------- ------------------------------------------------------------------------------V 1 sC R 1  1  1 + 2 ⁄ A 2 ( s ) 1 + --------------------- 1 + ----------

R

C

Figur Figuraa A2.10: A2.10:

1 2 2 2  1 + ------- A2  1 + ------ A 2  1 + ------  A 1  A1 2 A 1 V 2 --------- = – ------------------------------- = – ---------------------------- = – --------------------V o 1 A 2 + A2 2  1 + -----1 + ------2  A2 2

A 1 ( s )

ASC


(A2.58)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ejercicio

Agrupando términos: V o

A

A

A

1 + --- – -------------------- = -------------------- V i 2 2 + sR C 2 + sR C

Resultanto la función de transferencia en tensión: A

-------------------2 + sR C 1 H ( s ) = ------ = --------------------------------------- = ------------------------------------V i A A 2 + sR C sR C 1 + --- – -------------------- -------------------- + ---------2 2 + sR C A 2 V o

A2.10.- Demostrar Demostrar que el circuito circuito de la Fig. 10 (integrador (integrador de Deboo) Deboo) es un integrador no inversor y obtener su factor de calidad.

Utilizamos el modelo de un polo para el amplificador operacional:

A2-19



(A2.60)

(A2.61)

A2-20

ASC

A2.3 Integradores

H ( s )

V 1 = ------o = --------------------------------------------2 V i 2 s s RC sR C -------- + ------------- + ---------GB GB 2

ASC


R1

(A2.62) C

R1

x

R

Hacemos s = j ω :

V i

V o

1 H ( j ω ) = ------ = -------------------------------------------------------------------------------------------2 V i RC 2 ω RC – --------------- + j ω -------- + -------GB 2 GB

A2

A1

V o

(A2.63) Figura Figura A2.11 A2.11::

Integra Integrador dor no no invers inversor or con con adelan adelanto to de fase. fase.

por lo que el factor de calidad: 2 -------- + -------2 GB Q I = – ----------------------ω RC ------------

Solución detallada

RC

(A2.64)

GB

RC 2 y despreciando -------- frente a -------- : GB 2 RC

-------2 GB 1 Q I ≈ – ------------ = – -------- = – -- A ( j ω ) ω RC 2ω 2 ------------

(A2.65)

Calculamos la función de transferencia del integrador utilizando ganancias genéricas de los amplificadores operacionales. Aplicando la relación impuesta por el amplificador A1, principio de superposición y divisor de tensiones: 1 -----sC R V o = A 1 ----------------V i + ----------------V x 1 1 R + ----- R + -----sC

GB

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ejercicio

A2.11.- Demostrar Demostrar que intercambiando intercambiando los terminales terminales de entrada entrada del amplificador operacional de un integrador inversor Miller y colocando un amplificador inversor de ganancia −1 en el lazo de realimentación como se muestra en la Fig. 11 se obtiene un integrador no inversor con factor de calidad positivo (adelanto de fase o “phase-lead”).

(A2.66)

sC

De la misma forma, para el amplificador A2: V x

1 1 = – A 2 -- V o + -- V x 2 2

(A2.67)

de donde: – A ---------2 2 1 V x = ------------------- V o = – ---------------V o –A2 2 1 + -----1 + -------- A 2 2

(A2.68)

y sustituyendo en (66): A2-21



A2-22

ASC

A2.3 Integradores

Haciendo s = j ω :

1 -----sC R 1 V o = A1 ----------------V i – -------------------------------V o 1 1 2 R + ------ R + ------ 1 + -----sC

sC

(A2.69)

sR C

1 = -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 2 1 1 ω RC – --------------- + 2 ω RC ----------- + j ω RC + ----------GB 1

GB 2

(A2.74)

GB 1

El factor de calidad: A

A

1 1 1 + -------------------- --------------= -------------------V 1 + sR C 2 1 + sR C i 1 + ------

(A2.70)

A 2

Utilizamos un modelo de un polo de los amplificadores operacionales = GB i ⁄ s . La función de transferencia:

A i ( s )

GB

----------1s H ( s ) = ------ = --------------------------------------------------------------------------------------V i GB 1 ----------s 1 + s RC RC + s R C------------------- 2s 1 + ----------V o

(A2.71)

ω ω RC + ----------GB 1 Q I ≅ ------------------------------------2 2 2 ω RC ω RC ------------------ – --------------GB 2 GB 1

(A2.75)

Suponiendo GBCR » 1 se tiene que Q I ≅

ω RC

------------------------------------= 2 2 2 ω RC ω RC ------------------ – --------------GB 2

GB 1

1 -------------------------2ω ω -----------– -----------

(A2.76)

GB 2 GB 1

Si suponemos que los productos ganancia-ancho de banda de los amplificadores son iguales GB 1 = GB 2 = GB :

GB 2

Como la frecuencia de operación ω « GB podemos aproximar: 1 2s ------------------------------- ≈ 1 – ----------2s GB 2 1 + -----------

GB Q I ≅ -------ω

(A2.72)

GB 2

= A( jω )

(A2.77)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ejercicio

Por tanto, H ( s )

H ( j ω )

A 2

Agrupando términos:

V o

ASC


V

GB

1 = ------o ≅ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ = V i 2 2s s + s R C+ s GB GB1 RC  1 – -----------   GB 2

GB

(A2.73)

1 = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GB 1 2 2 s + s R C+ s GB GB1 RC – 2 s RC -----------

A2.12.- Demostrar Demostrar que colocando colocando un seguidor seguidor en el lazo de realimentación realimentación del integrador en cascada Miller-inversor modificado, tal como se muestra en la Fig. 12, se obtiene un integrador no inversor con factor de calidad muy alto y negativo (retrado de fase o “phaselag”). ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

GB 2

A2-23



A2-24

ASC

A2.3 Integradores

ASC


Ejercicio C

A3 R1

R

V i

R1

A1

A2

V o

A2.14.- Estudiar Estudiar si en el integrador integrador “phase-lead “phase-lead”” de la Fig. 14 pueden pueden aparecer problemas de estabilidad si el segundo polo de los amplificadores operacionales no está al menos dos veces por encima del GB. Utilice el modelo de dos polos GB s A ( s) ≅ -------  1 – ------ . Puede considerar que ambos amplificadores s  ω 2 operacionales son identicos. R1


Integrad Integrador or no inver inversor sor con con alto alto facto factorr de cali calidad. dad.

C

Ejercicio

A2.13.- La Fig. 13(a) muestra muestra un integrador integrador pasivo con pérdidas. pérdidas. Investigar Investigar qué tipo de elemento hay que conectar en paralelo con el condensador para anular las pérdidas. Estudiar el posible uso del circuito de la Fig. 13(b) para implementar dicho elemento (puede considerar que el amplificador operacional es ideal). Estudiar el tipo de integrador resultante y obtener su factor de calidad suponiendo un modelo de un polo ( A A(s)=GB/ s) para el amplificador operacional. No olvide tomar la salida del integrador en un nudo de baja impedancia. R

R

+ V i

(a)

−

+ C

V o

R

−

(b)

V 1

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Figura A2.14:

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A2.4 A2.4 Gira Girado dorres Uno de los propósitos de circuitos activos es la simulación de inductores, de forma que la impedancia de entrada sea inductiva. La técnica más conocida para la simulación de inductores está basada en el uso de giradores. Un girador, cuyo símbolo símbolo se muestra en la Fig. 15, es una bipuerta descrita descrita por las ecuaciones: I 1

1 = -- V 2 r


I 2

1 =  – -- V 1 r

(A2.78)

y la impedancia de entrada es: Z in ( s )

A2-25

R V 2

R

Figura A2.13:

R1

V 2 – I 2 = Z in = ------1 = r -------2 = r Y load ( s ) I 1

V 2


(A2.79) A2-26

ASC

A2.4 Giradores

ASC


17. Fig.4.25 Schauman

R

R

(a)


(b)

(a) Símbol Símboloo del girador girador;; (b) Modelo Modelo de pequeña pequeña señal señal equiva equivalen lente te..

I1 + V1

donde r es la resistencia del girador y Y load ( s ) es la admitancia de carga. Está claro que si Y load =sC, Z in será de tipo inductivo. Ya que la mayoría de los diseños de giradores tienen tierra común entre las puertas de entrada y salida, se simulan inductores conectados a tierra, como indica la Fig. 16a. Para simular simular inductores flotantes flotantes se suele recurrir a un circuito como el de la Fig. 16b, construido a partir de dos giradores con tierra común. I 21

Fig.4.26 Schauman

(a) Figura Figura A2.16: A2.16:

I 22 V 21

(b) Simulac Simulación ión media mediante nte girad giradores ores de de (a) un induc inductor tor a tier tierra; ra; (b) (b) un inductor flotante.

+

R

R

R +

R

-

I2 R

+ V2 -

Figu Figura ra A2.1 A2.17: 7:

Bipu Bipuer erta ta acti activa va..

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Si bien los giradores se adecúan muy bien a su realización utilizando OTAs, no ofrece ventajas su realización utilizando amplificadores operacionales por lo que para la simulación de la impedancia de inductores utilizando amplificadores operacionales se suelen utilizar convertidores de inmitancia.

A2.5 Convertido Convertidores res de de inmitanci inmitanciaa La estructura general de un convertidor de inmitancia se muestra en la Fig. 181. Utilizando modelos ideales de los A.O. se obtiene que:

Ejercicio

A2.15.- Calcular Calcular la inductancia inductancia del inductor inductor flotante flotante simulado simulado por la estructura de la Fig. 16b. Solución

Si los dos giradores son idénticos se simula un inductor de valor L=r 2C . ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ejercicio

A2.16.- Discutir el el tipo de función que realiza realiza la bipuerta bipuerta activa de la Fig. Fig. A2-27


1. Para una deducción lógica de la estructura de un convertidor de inmitancia consultar apéndice A.7. Curso 2003/04 © Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

A2-28

ASC

A2.5 Convertidores de inmitancia

I 4 V 4

I 3

= Y 5 V 1

R1

R 1



Y 



Y 4

R2

= V 1  1 + -----5- R 3

Fig.4.32 Schauman

Y Y

3 5 = I 2 = – -----------V 1

R 4

(A2.80)

Y 4

R3 R5

R5

(a)

Y 3 Y 5  V 2 = V 1  1 – ------------ Y 2 Y 4  I 1

ASC


(b)


Convert Convertido idores res genera generales les de imped impedanc ancia ia de Antonio Antoniou: u: (a) (a) tipo I; (b) tipo II.

Y Y Y

1 3 5 V 1 = -----------------Y Y 2 4

Ejercicio

A2.17.- El GIC de tipo tipo I de la Fig. Fig. 19a simula simula la impedancia impedancia de un inductor conectado a tierra. Diseñar dicho circuito para maximizar el factor de calidad del inductor y minimizar las desviaciones que se producen respecto al valor nominal del inductor cuando se consideran modelos no ideales de los amplificadores operacionales.

Fig.4.33 Schauman


Estruct Estructura ura genera generall de un converti convertidor dor de inmita inmitanci ncias as de Antoniou Antoniou..

Solución detallada

El análisis del circuito de la Fig. 18 considerando conside rando una ganancia genérica A(s) para los A.O. conduce a la siguiente expresión para la admitanc ia de en-

trada:

Por tanto, la impedancia del GIC es: Z in ( s )

Z ( s ) Z ( s ) Z ( s )

1 3 5 = --------------------------------------------------- Z 2 ( s ) Z 4 ( s )

Para Z 2=1/ sC sC y Z 1= Z 3= Z 4= Z 5= R conduce a Z in=sL=sCR2, el circuito resultante se denomina GIC de tipo I y se muestra en la Fig. 19a. Pero también se obtiene comportamiento inductivo si se intercambia Z 2 y Z 4, es decir, Z 4=1/ sC sC y Z 1= Z 2= Z 3= Z 5= R. Este último se denomina GIC de tipo II y se muestra también en la Fig. 19b. A2-29

1  Y  1 Y  Y  1  Y 2  Y 4 1 + -----  1 + ------4 + ------ ----2-  1 + ------4 + ------------------- 1 + ------  1 + ------

(A2.81)


Y in ( s )

Y Y Y

A 2 

Y 5

A 1 Y 3 

Y 5

A 1 A 2 

Y 3 

Y 5

A 1 

Y 4

A 2 Y 2 

Y 4

A 1 A 2 

Y 2 

Y 4

1 3 5 = ------------------------------------ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (A2.82) Y 2 Y 4 1  Y  1 Y  Y  1  Y 3  Y 5 1 + -----  1 + ------5 + ------ ----3-  1 + ------5 + ------------------- 1 + ------  1 + ------

Vamos a utilizar el modelo de un polo: A ( s )

GB s

= --------


(A2.83) A2-30

ASC


y sustituimos los valores de las admitancias para el GIC de tipo I: Y 1

= G1 Y 4

Y 2

= sC 2

= G4

Y 5

Y 3

= G3

= G5

por lo que considerando: (A2.84)

resulta que la admitancia del inductor simulado es: s

H

s

2 C

GB 1

(A2.85)

GB 2 C 2

donde hemos despreciado los términos de segundo orden porque suponemos 2 que ω « GB 1 GB 2 y Lo

C G

2 4 = ---------------------

(A2.86)

G1 G3 G 5

x

 jω  GB 1

G

H =

1 + -------

2 G3  1  H ω C 2 H j ω   jω Y L ≅ ------------------  1– ------------- -----------------+ ------------- -----------  1 – H ----------- – H -----------------(A2.91)  j ω Lo  H – 1 GB 1 G 3 H – 1 GB 2  GB 1 GB 2 C 2

Haciendo el producto y haciendo la misma aproximación anterior de eliminar los términos de segundo orden: 2 G3  1  H ω C 2 1 H H 1 Y L ≅ ------------------  1– ------------- -----------------– H ----------------- – ------  ----------- – ------------- ----------- = j ω Lo  H – 1 GB 1 G 3 GB 2 C 2 L o  GB 1 H – 1 GB 2 (A2.92)

1 = --------- + G L j ω L

(A2.87)

G4

Haciendo s= jω:

1

Y L ≅ ----------- j ω L o

2 ω C 2  H  j ω 1 + ------------- ----------- – ----------------- H – 1  GB 2 GB 1 G 3

------------------------------------------------------------------------------------------------------G3   jω 1 + H  ----------- + ----------------- GB GB  1 2 C 2

Al considerar un modelo de un polo para los A.O. el inductor inducto r simulado tiene pérdidas (reflejadas en la conductancia en paralelo G L) y el inductor tiene un cierto error. La conductancia G L se puede anular haciendo: H H 1 ----------- – ------------------------ = 0 GB 1 H – 1 GB 2

(A2.88)

H – 1

GB

= ----------1- ≅ 1 GB 2

(A2.94)

luego (A2.89)

G

------5- = 1 G4

A2-31

(A2.93)

Es decir,

Si x«1 se puede hacer la aproximación: 1 ----------- ≅ 1 – x 1+x

(A2.90)

GB 2 C 2

es el valor del inductor nominal y G5



3 = H  ----------- + -----------------

se obtiene:

H

1 + ----------- ------------- + ----------- ------2- ------------GB 2 H – 1 GB 1 G 3 H – 1 1 Y L = -------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------sL o s 1 G3 1 + ----------- H + ----------- ------- H

ASC




(A2.95) A2-32

ASC


y por tanto H =2. =2. Para minimizar el error del inductor hay que minimizar: 2 G3 ω C 2 ------------------ + ----------------GB 1 G 3 GB 2 C 2

ω C

G

G3

C 2

de calidad del inductor y minimizar las desviaciones que se producen respecto al valor nominal del inductor cuando se consideran modelos no ideales de los amplificadores operacionales.

(A2.96)

Solución detallada

Si suponemos que GB1≅GB2 hay que minimizar: 2

El análisis del circuito de la Fig. 18 considerando conside rando una ganancia genérica A(s) para los A.O. conduce a la siguiente expresión para la admitanc ia de en-

-------------2 + ------3-

(A2.97)

trada: 1  Y  1 Y  Y  1  Y 2  Y 4 1 + -----  1 + ------4 + ------ ----2-  1 + ------4 + ------------------- 1 + ------  1 + ------

o bien: ω C

G

G3

C 2 ω

Y in ( s )

3 -----------2 + -----------

(A2.98)

ω C

---------2- = 1 G3

Y Y Y

A 2 

Y 5

A 1 Y 3 

Y 5

A 1 A 2 

Y 3 

Y 5

A 1 

Y 4

A 2 Y 2 

Y 4

A 1 A 2 

Y 2 

Y 4

1 3 5 = ------------------------------------ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (A2.101) Y 2 Y 4 1  Y  1 Y  Y  1  Y 3  Y 5 1 + -----  1 + ------5 + ------ ----3-  1 + ------5 + ------------------- 1 + ------  1 + ------

Vamos a utilizar el modelo de un polo:

Esto se minimiza para: (A2.99)

A ( s )

GB s

= --------

(A2.102)

y sustituimos los valores de las admitancias:

por lo que: C 2

ASC


1 = ---------ω R 3

(A2.100)

Nótese que es una función de la frecuencia por lo que para obtener valores de los elementos habrá que considerar una frecuencia concreta y será a esa frecuencia a la que se produce la mayor minimización minimizaci ón de los errores. Por tanto, esa frecuencia habrá de ser elegida de manera inteligente en cada caso. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Y 1

= G1

Y 2

Y 4

= sC 4

= G2 Y 5

Y 3

= G3

= G5

(A2.103)

El inductor realizado tenía como valor: L0

G C

2 4 = --------------------G1 G3 G5

(A2.104)

y la admitancia despreciando los factores de segundo orden:

Ejercicio

A2.18.- El GIC de tipo II de la Fig. Fig. 19b simula la impedanci impedanciaa de un inductor conectado a tierra. Diseñar dicho circuito para maximizar el factor A2-33



A2-34

ASC


G2  G2   1 2 C 4  1 1 + s  ----------- + ----------------- + s -------  ----------- + ------------------

1

G 5  GB 2 G 3 GB 1  GB 2 G3 GB 1 1 Y L ( s ) ≅ -------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(A2.105) sL 0 G5  1 G3  G3   1 1 + -------  ----------- + ------------------ + s  ----------- + ------------------ C 4  GB 1 G 2 GB 2  GB 1 G2 GB 2

Y L ( j ω ) ≅ ----------------- j ω L 0

G 5  GB 2

C 4  GB 1

G 3 GB 1

 GB 2

G 3 GB 1

G 2 GB 2

 GB 1

G 2 GB 2

(A2.109) G2  G5  1 G3  2 C 4  1 1 = ------------------ 1 – ω -------  ----------- + ------------------ – -------  ----------- + ------------------ – j ω L 0

G2  G2   1 2 C 4  1 1 + j ω  ----------- + ----------------- – ω -------  ----------- + ------------------ GB G GB G GB G  2 3 1 5 2 3 GB 1 1

Y L ( j ω ) ≅ ------------ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(A2.106) j ω L0 G5  1 G3  G3   1 1 + -------  ----------- + ------------------ + j ω  ----------- + ------------------ C 4  GB 1 G 2 GB 2  GB 1 G2 GB 2

Si x«1 se puede hacer la aproximación: 1 ----------- ≅ 1 – x 1+x

(A2.107)

G  1 G3  G3   1 = ------5-  ----------- + ----------------- + j ω  ----------- + ------------------ G 2 GB 2

G 5  GB 2

G 3 GB 1

C 4  GB 1

G 2 GB 2

G3 G2   1 1 1 – ------ ----------- + -----------------–  ----------- + ----------------- L 0 GB 1

G 2 GB 2

 GB 2

G 3 GB 1

Las pérdidas se anulan si hacemos R2 = R 3 . La desviación del valor del inductor se minimiza cuando se hace mínimo ω C

G

G5

ω C 4

5 -----------4 + -----------

(A2.110)

que es mínimo para

por lo que considerando:

C 4  GB 1

G2  G2   1 2 C  1 1– ω ------4-  ----------- + ----------------- + j ω  ----------- + ------------------ ⋅

G  1 G3  G3   1 1 – ------5-  ----------- + ----------------- – j ω  ----------- + ------------------ =

Haciendo s = j ω :

x

ASC


 GB 1

G 2 GB 2

(A2.108)

por lo que aplicándolo a (106) se obtiene:

G5

= ω C 4

(A2.111)

Obviamente esto es función de la frecuencia por lo que sólo se puede igualar para un valor concreto, por lo que se escoge una frecuencia adecuada ω c . ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A2.6 Diseño Diseño de funcion funciones es básicas básicas usando usando amplificadores amplificadores de transconductancia A continuación veremos bloques básicos activos contruidos con OTAs. Estos bloques contienen únicamente OTAs y condensadores. En general, es

A2-35



A2-36

ASC ASC

A2.6 A2.6 Dise iseño de func funcio ione ness bási básica cass usan usando do ampli mplifi ficcado adores res de tra transc nscondu onduct ctaanci ncia

suficiente con estos dos elementos y los circuitos resultantes son fáciles de integrar. El circuito de la Fig. 20 se utiliza para simular una resistencia a tierra. El análisis de esta estructura con un modelo ideal para el OTA es: I 1

= g m ( V 1 – 0 )

(A2.112)

por lo que el valor de la resistencia simulada es: R in

1 = ------

Para implementar sumadores con OTAs se necesita un OTA por cada señal a sumar como se muestra con el circuito de la Fig. 22. La intensidad I s, suma de la que circula por todos los OTAs se transforma transfor ma en la tensión de salida mediante una resistencia simulada a tierra. Para el circuito de la Fig. 22 se han sumado dos señales escaladas: V s

(A2.113)

gm

ASC


g

g

m1 m2 V 1 + --------- V 2 = --------g g ms

(A2.115)

ms

La extensión a más de dos señales es obvia. Intercambiando simplemente simp lemente los terminales de entrada de cualquier OTA se obtiene la diferencia de dos señales.

Fig.4.13 Schauman


Simulac Simulación ión de resi resiste stenci nciaa a tierra tierra..

Fig.4.35a Schauman

Si se intercambian los terminales de entrada se obtiene −gm en lugar de gm por lo que pueden implementarse también resistencias negativas. Para simular una resistencia flotante la intensidad I 1 debe fluir a través del segundo terminal. El resultado es el circuito de la Fig. 21. Por simple análisis se obtiene: I 1

= g m 1 ( V 1 – V 2 )

I 2

= g m 2 ( V 1 – V 2 )

(A2.114)

Si los OTAs están apareados gm1=gm2=gm por lo que tenemos una resistencia flotante de valor R=1/ gm.

Fig.4.34 Schauman

Figura Figura A2.21: A2.21: A2-37

Simulac Simulación ión de resi resiste stenci nciaa flota flotante nte.. Curso 2003/04 © Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI


Suma Sumado dorr gm-C.

La Fig. 23 muestra un integrador con pérdidas que implementa la siguiente función: V o

g

m3 = ---------------------( V sC + g m 4 i

+

–

– V i )

(A2.116)

Si los OTAs son ideales el integrador puede hacerse sin pérdidas eliminando gm4. Si V s del sumador de la Fig. 22 se conecta al terminal + o − del integrador y se conecta a tierra el otro se tendrá un integrador sumador inversor o no inversor. Para simular inductores se pueden utilizar giradores. Se pueden construir muy fácilmente giradores utilizando OTAs como se indica en la Fig. 24, donde además del girador se ha colocado colocado un un condensador condensador C en la Curso 2003/04 © Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

A2-38

ASC ASC


V C

Fig.4.35b Schauman

Figur Figuraa A2.23 A2.23::

Integr Integrad ador or dif difere erenci ncial al gm-C con pérdidas.

segunda puerta para simular la impedancia del inductor. El análisis de este circuito proporciona: V C

gm 1

= ---------V 1 sC

I 1

gm1 gm2

= gm 2 V C = ------------------- V 1 sC

g

m1 ( V 1 – V 2 ) = ---------

sC

g

g

g

g

I 1

m1 m2 ( V 1 – V 2 ) = gm 2 V C = ------------------sC

I 2

m1 m3 = gm 3 V C = ------------------( V 1 – V 2 ) sC

L

C g m gm 1

= ----------------

(A2.117)

(A2.120)

Fig.4.36b Schauman


Simu Simula laci ción ón gm-C de un inductor a tierra.

Por tanto, la impedancia de entrada corresponde a la de un inductor controlable variando gm: Z in

V

C gm 1 g m2

= ------1 = s ------------------ I 1

(A2.118)

La simulación de inductores flotantes es muy fácil con la conocida estructura de dos giradores. Sin embargo, podemos ahorrar el uso de un OTA sin más que tener en cuenta que solo necesitamos un circuito que proporcione I 2= I 1 en el segundo terminal. Esto se realiza con el circuito de la Fig. 25. El análisis de este circuito es:


Simu Simula laci ción ón gm-C de un inductor flotante.

A.7 Desarrollo de un GIC tipo I La simulación de inductores con A.O. puede realizarse utilizando la configuración general de la Fig. 26. Supongamos que la bipuerta tiene impedancia de entrada infinita y nula de salida. Del análisis de la bipuerta se obtiene que: I 1

= G ( V 1 – V 2 )

(A2.121)

y queremos que se comporte como un inductor: Z in

A2-39

(A2.119)

Si los OTAs están apareados gm2=gm3=gm se simula un inductor de valor:

Fig.4.36a Schauman


ASC


V

= ------1 = sL I 1


(A2.122) A2-40

ASC ASC


ASC


Fig.4.31 Schauman Fig.4.28 Schauman

Figura Figura A2.27: A2.27: Figura Figura A2.26: A2.26:

Circui Circuito to genéri genérico co de simul simulaci ación ón de induc inductanc tancias ias.. V 1 1 ------2 = --  1 – ---------- V sC R 2

Por tanto, se debe construir una bipuerta tal que I 1 -----V 1

V   1 = ------ = G  1 – ------2 sL



V 1

(A2.123)

Es decir, V

R sL

----2- = 1 – -----V 1

Ilustra Ilustrando ndo el desarr desarroll olloo del simulad simulador or de inducta inductancia nciass de Antoniou.

(A2.124)

(A2.126)

Finalmente para eliminar el factor 1/2 es necesario multiplicar por una función de transferencia de valor 2, un amplificador no inversor como se muestra en la Fig. 28. Se puede ahorrar el uso de las dos resistencias mediante la conexión del terminal inversor del A.O. al nodo V /2. El circuito resultante es un tipo (tipo I) de los convetidores generales de impedancia de Antoniou (GIC), que se muestra en la Fig. 19.

Un circuito muy utilizado para simulación de inductores implementa la diferencia de la ecuación (124) utilizando directa mente un integrador Miller, eliminando la conexión a tierra del terminal no inversor para hacer uso de la entrada diferencial del A.O. El circuito, mostrado en la Fig. 27, tiene como función de transferencia: +

+

V V 1  V  ------2 = ------ – ----------------- 1 – ------ V

V

SC R

V

(A2.125)


Convert Convertido idores res genera generales les de imped impedanc ancia ia de Antoni Antoniou ou tipo tipo I.

Si hacemos V + / V V=1/2 = 1/2 obtendremos la función de transferencia en la forma de la ecuación (124). Para ello se hace un divisor de tensión con dos resistencias:

A2-41



A2-42

giradores y operacionales

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