Gg Ejercicios Matematicas Resueltos El Factorial de Un Numero Natural y Sus Propiedades

Matemáticas

Ejercicios Resueltos

EL FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL Y SUS PROPIEDADES

A) Definición El facto factoria riall de un núme número ro natur natural al “ n ” se define como el producto de multiplicar los números naturales consecutivos desde 1 hasta n y se le representa simbólicamen simbólicamente te por  n! ! veamos  x 2  x 3 x

n!  " 1

 ######  x n

$ n ∈ N 

######%1)  

Ejemplo 3!  " 1

& 2  & 3

6!  " 1  &

2  & 3  & 4  & 5  & 6

'ótese (ue %1) tambin puede e&presarse as* n!  " n

 &

(n − 1)  & (n − 2)  &

#####& 2  &

1

+) ,imbolo-*a El factorial de un número natural n se le representa representa mediante mediante los si-uientes s*mbolos . 'otación de /ramp

n! %es

la mas usada)

n

. 'otación de 0auss

∏i i =1

. 'otación in-lesa

) 2ropiedades 0! = 1

1) ,i

a!

= 1   entonces

a

=1

o

a

= 0  es

decir

1!

=

1

o

3) ,i

a!

4) ,i

= b!   entonces

n ∈  N   

a  = b

entonces n! o bien 

si a  y =

b ∈  N 

n  & ( n − 1)! n! = n & ( n − 1) & ( n − 2)!

en -eneral 

%propiedad de-radativa de los factoriales) 5) (n + 1)!  6 n! " (n + 2)  & n! 7) (n − 1)! − n!  " 8 n  & n! 9) n! 6 (n + 1)!  6 ( n + 2)!  " (n + 2) 2  &

n!

:)

( n + 1)!

n  &

−1 "

 x

1

1!

6 2  x 2! 6

3  x

3!

6 #######6

n! n

∑ i  x i!= (n + 1)! − 1

En -eneral

i =1

;)

1 2!

+

2 3!

+

3 4!

+ ....... +

n

En -eneral

n

(n + 1)!

= 1−

1 (n + 1)!

1

i

∑ (i + 1)! = 1 − (n + 1)! i =1

<)

n

(n + 1)!

=

1 n!

−

1 (n + 1)!

1=) >as operaciones aritmticas dentro de factoriales no est?n definidas! es decir  ( a ± b )! ≠ a! + b! ( a x b)! ≠ a!  x b!

 a  !     b  

≠

n

(a ) !

a! b!

≠

( a!) n

A(u* va al-unos ejercicios de aplicación

1) Reducir 

 E 

=

21!+22! 21!

+

18! 16!+17!

,olución De acuerdo con la propiedad %5) 21!

+ 22!  " 23  &

16!

21!  

#####%1)

+ 17!  " 18  & 16!  

#####

%3)  Entonces reempla@ando %1) y %3) en “E” tendremos  E 

=

23 x 21! 21!

+

18! 18 x16!

De acuerdo con la se-unda e&presión de la propiedad de-radativa de los factoriales %4)

1; " 1; & 1: & 19 y simplificando 31 lue-o   E 

= 23 +

18 x17 x16!

'uevamente simplificando y operando  E  =

40

18 x16!

3) Reducir 

 R

=

34(33!+34!+35!) 35!

47!−46!

+

46!

,olución 2or la propiedad %9)  33!  6 34!  6 35!  "

35

2

&

33!

B##

%1) 2or la propiedad %7)  47!

− 46!  "

& 46!

46

B##

%3) Entonces reempla@ando %1) y %3) en R! sta (uedara as*  R

34 x(35

=

2

 x33!)

35!

+

46 x 46! 46!

,implificando 59 y de acuerdo con la se-unda e&presión de la propiedad de-radativa de los factoriales %3)  47 " 47 & 45 & 44 lue-o  R

=

34 x35

2

 x33!

35 x34 x33!

+ 46

Cinalmente reduciendo y ordenando  R

= 81

D) ,emifactorial de un número natural El semifactorial de un número natural “ n ” se define como el producto de multiplicar los números mpares consecutivos desde 1 hasta n ! cuando n  es impar o como el producto de multiplicar los 'úmeros pares consecutivos desde 3 hasta n  ! cuando n  es par# El semifactorial de un número natural “ n ”! en ambos casos! est? representado por n!! ! entonces De acuerdo a la definición

n  $

si

2  & 4  & 6  & 8  & ######### & n

$

1  & 3  & 5  &

n  es

7 & ########## &

impar# n!!

" 1  &

si n  es par#

 'ótese (ue si usamos la notación in-lesa el semifactorial de n  se e&presar*a como Ejemplos 1)

3!!

 "

1  & 3  " 3

3)

5!!

 "

1  & 3  & 5  "

15

4) 4!!  " 2  & 4  " 8 5) 6!!  " 2  & 4  & 6

E) 2ropiedades 1) n!!  " n  & los semifactoriales) 3)

n!!

&

( n − 2)!!

( n + 1)!!

%2ropiedad de-radativa de

" (n + 1)! %2ropiedad del producto de semifactoriales de números enteros consecutivos)

4) Relaciones matem?ticas entre factoriales y semifactoriales

 

a)

(2n)!!  " 2 n  & n!

b)

( 2n + 1)!!  "

( 2n + 1)! n

2 (n!)

bservación importante Ejemplo 3!! ≠

n!! ≠

(3!)!

en efecto 3!!

 "

1  & 3  "

(3!)!  "

6!  "

4

720

( n!)!

A(u* va un ejercicio de aplicación 1)  

,implificar

 M 

=

24!! 12!!(13!!+15!!)

,olución Empleando la propiedad %E48a)  24!!  " 212  & 12!  

y de acuerdo semifactoriales %E1)

#####%1)

a la propiedad de-radativa de los

15!!  " 15  & 13!!  

#####%3)

reempla@ando %1) y %3) en F   M 

 

=

212  x12! 12!!(13!!+15 x13!!)

entonces  M 

=

212  x12! 12!! x16 x13!!

por lo tanto  M 

=

2 8  x12! 12!! x13!!

  ####%4)

Adem?s se-ún la propiedad del producto de semifactoriales de dos números enteros onsecutivos %E3) 12!! x13!!  " 13!  

####%5)

Entonces reempla@ando %5) en %4)   M 

=

2

8

 x12!

13!

  ######%7)

lue-o por la primera e&presión de la propiedad de-radativa de los factoriales %4) 13!  " 13  & 12!

por lo tanto en %7)  =

 M 

 

simplificando o bien

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 M 

=

2

2 8  x12! 13 x12!

8

13

 M 

= 19,69.......