¿EL CERO ES UN NUMERO NATURAL? Nicolás Ordoñez Este problema es grave MINEDU se contradice en sus libros en primaria afirma que el cero no es natural y en secundaria lo confirma pero dice que en algunos casos se le puede considerar como excepción. la pregunta pero es de mucha importancia algunas universidades dicen que no otras que si , Martin Miranda Guarniz nuestro GENERACION DE ORO en aritmética, dice UN NUMERO NATURAL ES EL CARDINAL DE UN CONJUNTO , en otras palabras es el número de elementos de un conjunto , el conjunto vacio tiene cero elementos. Nicolás Ordoñez Que dicen los matemáticos SI NO DEFINES LOS CONJUNTOS NUMERICOS COMO PUEDEN CONSTRUIR LAS MATEMATICAS EN LOS NIÑOS, ES GRAVE ESTA CONTRADICCION Fernando Martín Alva Gallegos Comparto lo planteado por Martín, el cero natural, cardinal del conjunto vacío. Sin considerar al cero natural, ¿cómo representamos 10, 20, 30, ... elementos del conjunto N? Guillermo Pflucker Recuerdo haber sostenido varias conversaciones con colegas (en la César Vallejo) en los últimos años de la década del 70 en la que tocamos el tema ¿es el cero un número natural?, lo que nos llevó al estudio del concepto de número natural. ACERCA DE LOS NÚMEROS NATURALES Como resultado de los intentos de Frege de reducir las Matemáticas a la Lógica, este recibe múltiples crítica (Russell con su paradoja demuestra la inconsistencia de su sistema lógico) entre las que destacan las críticas de Cantor y Peano. Giusseppe Peano en 1989 plantea que no importa qué es un número natural, sino la manera en que estos se relacionan entre sí, en pocas palabras las reglas que definan sus interacciones son las que determinan su naturaleza y no los objetos en sí. “De esta manera la axiomática de Peano no se pregunta
el significado de qué es un número natural, supone que existe y pretende encontrar un sistema simp,e de axiomas que caractericen a los Números naturales y nos permitan deducir a partir de ellos todas las propiedades de los números naturales, utilizando las reglas de la lógica” 1. El formulamiento inicial de Peano consiste de nueve axiomas siendo el primero 1 ∈ N, los axiomas 2, 3, 4, y 5 se refieren a la igualdad y los restantes junto al primero son conocidos como axiomas de Peano. Edmund Landau en Foundations of Analysis, The Arithmetic of whole, rational, irrational and complex numbers. Chelsea Publishing Company, New York propone que los axiomas lógicos sean independientes de los de la aritmética y plantea cinco axiomas siendo el primero de ellos: 1 es un número natural. Con Cantor (1893) y la Teoría de Conjuntos se empezó los naturales (los denomina transfinitos) con el 0 por la necesidad de asignarle un cardinal al conjunto vacío. Luego, Peano, en 1898 reformula sus axiomas iniciales incluyendo como primer elemento de los números naturales al cero, Lo cual no genera modificaciones sustanciales. En las memorias del XIII encuentro de Geometría y I de Aritmética (Colombia) el profesor Julio Luque Arias (Grupo Musa.E1) Muestra que el primer número natural puede escogerse de manera arbitraria (la letra S u 8) y escogiendo al 8 como primer número natural se puede seguir la secuencia N = {8, 11, 14, 17, …}, en realidad no se está haciendo nada nuevo, el símbolo 0 podemos reemplazarlo por el símbolo 8, o por cualquier otro pero todo sigue esencialmente igual. En temas como sucesiones se utiliza los números naturales sin el 0, pues es mucho más lógico relacionar el primer término con el número 1, en algunos textos emplean para esto N*. Los axiomas de Peano son útiles también para formular la idea de número natural en contextos diferentes a la teoría de conjuntos, por ejemplo en teoría de Categorías, se define un objeto número natural (Lawvere 1964 ) en un topos T como un objeto N y dos morfismos. En fin gracias por hacerme recordar tantas horas de estudio de diferentes temas algunos planteados como “retos” y otros fruto de la necesidad de aprender, lo que se materializó en la Escuela de Profesores que desarrollamos en la César Vallejo, donde la colaboración y estudio conjunto nos ayudó a dejar de lado la pedantería intelectual que dominaba a muchos de nosotros. Finalmente la cuestión no es tan difícil si se estudia y busca la información.
Para los interesados: Principio que genera números Naturales como los números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . Ésto está muy bien fundamentado en un libro de 446 páginas que puedes bajar de: http://www.uv.es/~ivorra/Libros/Logica.p… http://www.uv.es/~ivorra/Libros/Logica.p … También en: http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero encontrarás el desarrollo axiomático de Zermelo-Fraenkel. (el postulado de los conjuntos infinitos asegura la validez de la técnica de demostración conocida como inducción matemática) Demuestra que los números naturales es el mínimo conjunto inductivo y que éstos constituyen un Monoide Conmutativo con elemento neutro 0, el llamado "Monoide Libre con un generador" (donde el cero es natural) En la página 17 del siguiente artículo: http://www.ica.org.ve/guidox/mat/conjunt… http://www.ica.org.ve/guidox/mat/conjunt … encontrarás una definición formal de N: “el conjunto de los números naturales se define como la intersección de todos los conjuntos inductivos y es, por lo tanto, el conjunto inductivo más pequeño de todos. Nótese que el único elemento de los naturales que no es sucesor de ningún otro elemento es el conjunto vacío (el 0). Denotaremos como N al conjunto de los números naturales.” Agrego otras páginas muy interesantes y recomendadas. http://nonstopsa.iespana.es/Apuntes/Alge… http://nonstopsa.iespana.es/Apuntes/Alge… Carlos Ivorra Castillo (PDF de 342 páginas) Leer la introducción (página 9) http://sevein.matap.uma.es/~aciego/docen… http://sevein.matap.uma.es/~aciego/docen … http://www-2.dc.uba.ar/materias/plp/2006… http://www-2.dc.uba.ar/materias/plp/2006 … http://www.ub.es/modeltheory/documentos/… http://www.ub.es/modeltheory/documentos/ … E. Casanovas, sobre: Axiomas. Conjuntos bien ordenados. El axioma de elección Ordinales. Aritmética ordinal. Forma normal de Cantor. Cardinales. Cofinalidad. Combinatoria infinita....etc. http://es.wikipedia.org/wiki/N %C3%BAmero_natural#CITAREFWelschenbach2005 http://www.caece.edu.ar/preuniversidad/3… http://www.caece.edu.ar/preuniversidad/3 …
http://es.wikibooks.org/wiki/%C3%81lgebr … http://www.somece.org.mx/memorias/2001/d… http://www.somece.org.mx/memorias/2001/d … http://mat.uv.cl/profesores/apuntes/arch… http://mat.uv.cl/profesores/apuntes/arch … http://www.matem.unam.mx/~christof/curso… http://www.matem.unam.mx/~christof/curso … http://www2.scielo.org.ve/scielo.php?scr … http://blog.smaldone.com.ar/2006/07/30/p… http://blog.smaldone.com.ar/2006/07/30/p … Nota 1: no he leído todo este material, pero la mayor parte mínimo lo he hojeado. Mi aporte se reduce a ordenar un poco la abundante información. Nota 2: revisar el standard DIN 5473:1992-07 (Instituto alemán de normalización) http://www.uv.es/~ivorra/Libros/Logica.p www.uv.es
Nicolás Ordoñez Como todos saben soy químico pero de la UNI y mi formación matemática es la de antes es decir que lleve cursos de matemáticas con los matemáticos puros y algo se se del tema, tiene tiene razón Guillermo cuando dice que podemos representar el numero con diferentes símbolos el puede ser representado por 8 o por una carita feliz, cuando escribimos el numero 10 estamos utilizando dos símbolos el 1 y el 0 , este ultimo representa la ausencia en cualquier sistema de numeración empleado SIEMPRE NECESITAREMOS EL USO DEL CERO , estamos debatiendo de algo que el MINEDU esta aplicando en la enseñanza de niños peruanos LES FICEN QUE EL CERO NO ES NATURAL Y DESPUES UTILIZAN EL CERO EN ESCRIBIR NUMEROS NATURALES , los niños no son tontos hace tiempo se han dado cuenta del detalle y lo aceptan POR DISPOSICION DEL MINEDU esta bien esto'
Guille Pflucker Estimados Nicolás Ordoñez y Fernando Martín Martín Alva Gallegos el argumento de que el cero es natural por que se usa en la escritura de ellos no es bueno ni correcto, también se usa el símbolo s ímbolo 0 en la escritura de los números irracionales sin que 0 sea irracional, este es un argumento falaz, la confusión proviene de la diferencia entre número y numeral, ya habrá ocasión como plantea Nicolás de debatirlo en alguna reunión.
Fernando Martín Alva Gallegos Aún cuando en primaria primaria no quiere hacerlo evidente, en el MINEDU MINEDU usan el cero como natural. Basta ver los ejemplos de múltiplos de un número, inician con cero. A mi entender debería tomarse el cero como natural. En la UNI lo hacen. Félix Aucallanchi Acerca del cero (0) se pueden decir varias cosas más. Por ejemplo, la expresión cero a la cero. El año 1994, nuestro muy apreciado y respetado amigo y matemático Óscar Reynaga Alarcón me alcanzó un documento bibliográfico en el que 0 a la 0 tenía por valor 1. Este documento es el libro Atlas de Matemática del PhD Reinhart & Soeder, Alianza Editorial, Madrid, 1984. En este documento se define la o peración de potenciación de un Nro real "a" elevado al natural "n", en donde la definición propone tres casos: para n mayor o igual a 2, para n = 1 y para n = 0. De este último caso se deduce que 0 a la 0 es 1 por definición. En el libro: Mi maestro de matemática y otras historias, del Dr. Elon Lages Lima, Río de Janeiro, Imca, 1998, propone dos evidencias de que 0 a la 0, es 1. Una de ellas es una evaluación del Binomio de Newton (a+b)^n, para a = 1, b = -1 y n = 0. El resultado es 1. La otra evidencia que muestra en el libro es aplicando funciones. Si recordamos la definición de polinomio completo del libro Álgebra y Análisis de Funciones Elementales, PhD. Potápov, Ed. Mir, Moscú, 1987, veremos que un polinomio como: P(x)= 3x^2 - 4x^1 + 5, al evaluarlo para x = 0, da el término independiente: 5. Sin embargo al presentar este mismo polinomio en la forma: P(x)= 3x^2 - 4x^1 + 5x^0, la evaluación queda: P(0)= 0 + 0 + 5.0^0, donde el resultado será 5, como antes, siempre que admitamos que 0^0 = 1. Si evaluamos en la calculadora de la Microsoft, encontraremos que esta arroja 1 como valor para 0^0. Si hacemos uso del graficador del software Derive, última versión, observaremos que la gráfica de la función y = x^x , para x = 0 se inicia en y = 1. Yo no soy matemático pero, a pesar que enseño matemática superior, no me atrevo a asegurar que lo sea ni por haber estudiado ingeniería. He consultado este tema con varios entendidos, entre ellos el Dr. Carlos Chávez Vega, matemático de la UNI, UNMSM, UBA, etc. presidente honorario de la Sociedad Matemática del Perú, quien me manifestó, el año 2007, que hasta ese momento 0^0 = 1, podía ser admitido como definición pues no violaba ninguna línea de análisis posterior de las matemáticas elementales o básicas. Quisiera saber qué opinan los matemáticos de nuestra apreciada Generación
de Oro, pues en los libros de matemática del MINEDU, y en los libros de matemática de la mayoría de las editoriales que operan en el Perú, esta expresión está excluida de la definición de potenciación. Un abrazo a todo Nicolas Ordoñez En los libros de matemáticas X^0 es 1 solo si X es diferente de cero , tenemos aquí otro problema esa afirmación esta se da en todas las editoriales , Felix revisa tus libros, NUESTRA MISION ES PROMOVER EL DEBATE PARA QUE SE TOME UNA DECISION COMO PAIS. Isidoro Ruiz Arango Estimados amigos:
15 de enero de 2012 23:23
De acuerdo con Guillermo y Felix un abrazo a la distancia. Para añadir datos sobre el "cero". Hacia el año 500 de nuestra era, las operaciones se realizaban a través del ábaco (suwapan chino y tártaro que fuera usado desde tiempos inmemoriables). por ejemplo para representar 504 se representaba al 5 y 4 en las filas de centenas y unidades respectivamente pero no había movimiento alguno en la fila de decenas. Se dice que el cero fue ideado por un matemático hindú y que pasó a la ciencia árabe por el siglo IX AC. El primer matemático que lo usó fue el árabe Muhammad Ibn al-Khwarlzml en el año 810 DC (las primeras traducciones lo señalaban como ZÍFERO) luego paso a Europa obteniendo su actual significado en el siglo XVII. Robert Kaplan en su libro "The nothing that is: a natural history of zero" (Años noventa) señala que el primer concepto del "cero" se dio en Mesopotania, hacia 5 mil años y que era representado por dos cuñas presionadas dentro de un trozo de arcilla. En el año 331, los griegos lo convirtieron en un círculo y en el año 640 a. D en la India parecía más un punto que un círculo. Sin embargo los mayas lo representaron como un hombre tatuado y de collar, con la cabeza tirada hacia atrás. En los sistemas numéricos de culturas como la Tamiles, los números se detenían en el 1000. Ir más lejos parecía demasiado peligroso. Las conjeturas planteadas con relación al "cero" son muchas tal vez la más significativa sea la no existencia del año "cero" que trajo consigo cambios y confusiones en el calendario (calendas en griego, significa primero de cada mes) desde el calendario romano (siglo VII a.C) pasando por los cambios del Emperador Julio César (calendario Juliano, que resultó ser 11min 14s mayor al año solar), luego el Papa Gregorio XIII eliminó 10m días para coincidir con el equinocio de Primavera el 21 de marzo, estableciendo que los años centenarios divisibles por 400 debían ser años bisiestos y que todos los demás años centenarios debían ser normales (Calendario Gregoriano vigente a la fecha, que los Rusos recién lo adoptaron en 1918 y Grecia en 1923).
He tratado de ser sintético en éstos aportes. Mayores detalles (El dominical del Comercio, 26 de diciembre de 1999). Prof. ISIDORO RUIZ ARANGO Colaboración de Rafael Yancan: http://gaussianos.com:
¿Cuánto vale cero elevado a cero? ¿Y cero factorial? En nuestra época de colegio nos dicen que todo número elevado a cero vale uno, y también nos dicen que cero elevado a cualquier número vale cero, es decir:
Pero siguiendo estas dos afirmaciones nos encontramos con un problema: ¿Cuánto vale
?
Según la primera de las afirmaciones valdría 1, pero según la segunda valdría 0. ¿Con cuál nos quedamos?. Muchos diríais: diríais: es indeterminación. Sí Sí pero no. No, porque el caso que nos ocupa no es el de una función (sucesión) que tiende a 0 elevada a otra función (sucesión) que tiende también a 0. Es decir, no queremos calcular el límite de cualquier función que dé una indeterminación , sino que queremos saber cuál es el valor del número (recalco esto porque es muy importante y suele llevar a errores: no es lo mismo un número que una función cuyo límite es ese número ). ¿Cuál es la forma más más coherente matemáticamente hablando para dar un valor a ?. Pues a través de un límite. Sí, cierto, en el párrafo anterior he dicho que no estamos calculando cualquier límite límite que dé como indeterminación , pero no es eso lo que vamos a hacer. Vamos a utilizar una función concreta para encontrar ese valor. ¿Cuál?. Pues la más lógica: . Vamos a calcular su límite cuando x tiende a 0. Lo haremos por el procedimiento normal: llamar A al límite y aplicar logaritmo a ambos lados de la igualdad. Utilizando después la regla de L’Hopital llegamos a la solución:
Tenemos otra indeterminación. Para resolverla pasamos como al denominador y aplicamos la regla de L’Hopital en el paso *:
Tenemos entonces que
. Por tanto
Es decir, el valor más coherente matemáticamente hablando (y por tanto el que se utiliza en los casos en los que es necesario) es:
Algo del estilo ocurre con . Sabemos que . Pero, ¿qué pasa con ?. Pues muy sencillo: . Al igual que en el caso anterior se utiliza este valor por convenio, pero la elección no es arbitraria. Podemos ver que es la elección más coherente con este razonamiento: Por tanto:
Actualización: Leyendo los comentarios me doy cuenta de que igual no he explicado de la mejor manera posible lo que quería qu ería decir. Os acosejo que leáis los comentarios c omentarios que he hecho explicando un poco más estos dos temas. Carlos Miguel Carrascal Vilca Amigos de generación de oro, mis saludos y mis respetos a todos ustedes, pronto estaremos estaremos en contacto, ya que por ahora estoy en un proyecto y dispongo de poco tiempo, pero hay algunas cosas que me preocupan y debo escribir . Respecto a que cero elevado al cero igual uno me parece que no es correcto. por las siguientes falacias que indico a continuaci continuación ón 1.- Se podrían hacer operaciones con el cero, tales como: * 0^3/0^3 =0^(3-3)=0^0=1 “ Lo cual es falso, no existe la división por cero” * Si 0^0=1 → 0^0=1^0 “ Después de cancelar el exponente cero, se llegaría a que 0=1 . " Lo cual también es falso” Lo que sí hay que tener en cuenta es que el Límite de x^x cuando x tiende a cero , el límite tiende a la unidad, el cual puede ser demostrado tomando logaritmos Neperianos. Además observe: (0.1) ^ 0.1 = 0.7943282 (0.01) ^ 0.01 = 0.9549925 (0.000001) ^ 0.000001 = 0.9999861 Así cuando más nos aproximemos a cero, el valor del límite se aproxima a 1 Nota: 0^0 significa cero elevado al exponente cero 0^3 significa cero elevado al exponente tres 0^0 Es indetermin indeterminado ado
EL CERO: NUMERO NATURAL O ENTERO CERO El cero (0) (0) es el sign signo o numé numéri rico co de valo valorr nulo nulo,, que que en notación posicional ocupa los lugares donde no hay una cifra significativa. significativa. Si está situado a la derecha de un número entero, decuplica su valor; colocado a la izquierda, no lo modifica. Es el elemento del conjunto de los números enteros ( ) qu que si sigue al al −1 y precede al 1. Algunos Algunos matemáti matemáticos cos lo conside consideran ran pertenec pertenecient iente e al conjunto de los naturales ( ) ya que que estos estos tamb tambié ién n se puede pueden n defin definir ir como el conjunto que nos permite contar el número de elementos que cont contie iene nen n los los demá demás s conj conjun unto tos, s, y el con conju junto nto va vacío cío tien tiene e cero cero elem elemen ento tos. s. El núme número ro cero cero se pued puede e repr repres esen enta tarr como como cual cualqu quie ierr número más su opuesto (o, equivalentemente, menos él mismo): X + ( − X − X ) = 0. http://es.wikipedia.org/wiki/Cero ¿EL CERO ES UN NUMERO NATURAL? El cero (0) pertenece al conjunto de los números enteros () mayor que -1 e infer ferior a 1. Alg Algunos matem temático ticos s lo con consid sideran eran perteneciente perteneciente al conjunto de los naturales naturales () ya que estos también se pueden definir como el conjunto que nos permite contar el número de elementos que contienen los demás conjuntos, y el conjunto vacío tiene cero elementos. http://espanol.answers.yahoo.com/question/index? qid=20061112085858AA05rAq Encuesta: ¿es el cero un número natural? Qué curioso, nuestro comentarista Agus ha pensado en lo mismo que yo… yo… El otro día, después de una clase donde aparecieron los números naturales, la cuestión sobre si el 0 es un número natural volvió a ron rondar dar mi cabe cabeza za.. Ahor Ahora a mism mismo o no teng tengo o dema demasi siad ado o clar claro o haberme planteado seriamente esta cuestión antes de comenzar mis mis estu estudi dios os univ univer ersi sita tari rios os,, pero pero lo que que sí recu recuer erdo do es cómo cómo transcurrió el asunto en esos años de matemáticas universitarias. Recuerdo claramente claramente que en los primeros cursos (sobre todo en el prim primer ero) o),, los los prof profes esor ores es excl excluy uyer eron on al 0 del del conj conjun unto to de los los números naturales. Por tanto, el conjunto comenzaba en el 1, ese
era era su míni mínimo mo.. La verd verdad ad es que que en los los años años poste posteri rior ores es la cuestión se mantuvo ahí, con ligeros cambios, pero más o menos como estaba. Cuando llegué a 5º de carrera la asignatura Lógica e Historia Historia de las Matemáti Matemáticas cas me hizo hizo cambi cambiar ar radica radicalme lmente nte de opinión. En ella, el profesor incluyó al cero en los naturales, y el desar desarro rollo llo de la asign asignatu atura ra apoyó apoyó,, al menos menos para para mí, aquel aquella la inclu inclusió sión. n. Ahor Ahora a mi opin opinió ión n (si es que que en esto esto se puede puede tener opinión) opinión) es que el cero es un número natural, de hecho es el primer número natural. natural. http://gaussianos.com/encuesta-%C2%BFes-el-cero-unnumero-natural/ ¿El cero es un número natural? Basados en la teoría de números el cero no es un número natural. En esta esta los los natu natura rale les s se defi define nen n a trav través és de la desi design gnaci ación ón "siguiente", y forma a través de una sucesión el conjunto de los núme número ros s natur atural ales es,, y est esta suce sucesi sió ón part parte e desd desde e el uno uno. Basados en la teoría de conjunto el cero es un número natural, ya que representa el neutro (el vacío) ; y el vacío, está incluido en todo conjunto. Basados en la teoría de números el cero no es un número natural. En esta esta los los natu natura rale les s se defi define nen n a trav través és de la desi design gnac ació ión n "siguiente", y forma a tráves de una sucesión el conjunto de los núme número ros s natur atural ales es,, y est esta suce sucesi sió ón part parte e desd desde e el uno uno. Basados en la teoría de conjunto el cero es un número natural, ya que representa el neutro (el vacío) ; y el vacío, está incluido en todo conjunto. http://mx.answers.yahoo.com/question/index? qid=20080709202348AA3XYtS ¿ El cero es considerado un numero entero o natural? El cero es un número entero. Pertenece al conjunto ℤ (conjunto de los números enteros), siendo ℤ = ℤ⁻ ∪ {0} ∪ ℤ⁺ donde ℤ⁻ son los enteros negativos, como por ejemplo, -1, -2, -3,....
{0} es el cero ℤ⁺ son los enteros positivos o naturales, tales como 1, 2, 3,... http://mx.answers.yahoo.com/question/index? qid=20100817185217AAQ5FoT ¿El cero es un numero? El cero, a demás de un número natural N , es un número entero Z , racional Q , y real R . El conocido isomorfismo entre la recta real y el conjunto R nos permite ver al cero desde otra perspectiva: no tiene nada de especial que lo diferencie de los demás reales, es tan sólo el que tomamos como origen. Una simple traslación nos pone el cero en otro punto, y ese es todo el misterio. http://tiopetrus.blogia.com/2003/100801--es-el-cero-unnumero-.php
