MATEMÁTIC MATEMÁTICA AI INSTRUCCIONES:
Desarrollar cada uno de las interrogantes en forma ordenada y con con letr letra a legi legibl ble. e. Evit Evite e los los borr borron ones es y/o y/o enme enmend ndad adur uras as.. (se (se tomará en cuenta para la calicación) La presentación se realizará en formato ord o !df (escaneado). El proc procedi edimie miento nto y respues respuesta ta se se tomar tomará á en cuenta cuenta para para la
1. Ingre greso: so: El ingreso mensual total de una guardería obtenido del cuidado de
dado por
x niños está
r = 450 x , y sus costos mensuales totales están dados por
c =380 x + 3500 . ¿Cuántos niños se necesitan inscribir mensualmente para llegar al punto de equilibrio? En otras palabras ¿Cuándo los ingresos igualan a los costos? SOLC!O"# $%&OS#
!ngreso mensual# r = 450 x "'mero de niños# ( Costos mensuales#
c =380 x + 3500
Ob)eti*o# (+? L%"&EO. Como dice, cuántos niños deben matricularse para que#
c =r
380 x + 3500 =450 x 3500= 450 x − 380 x
3500=70 x 3500 7
= x
500= x
CO"CLS!O"# La cantidad de niños que se deben matricular, matricular, para poder llegar al punto de equilibrio, es -/ o sea cuando - niños se matricule, el ingreso mensual y el costo mensual de la cuna serán los mismos
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2. Ganancias: n 0abricante de pequeños instrumentos encuentra que la ganancia
d2lares3 generada por la producci2n de 4
G=
1 10
x (300 − x )
siempre que
G 1en
x 5 6ornos de microondas por semana está dada por
0 ≤ x ≤ 200 ¿Cuántos 6ornos se tienen que 0abricar en una
semana para generar una ganancia de 78- d2lares?
SOLC!O"# $%&OS# 1
9unci2n ganancia# G= 10 x (300 − x ) "'mero de unidades de microondas# ( Condici2n# 0 ≤ x ≤ 200 :anancia# 78- ; Ob)eti*o# (+? L%"&EO. La 0unci2n ganancia 1:3 depende de la cantidad de microondas 1(3 producidas. En este caso la ganancia es 78- ;, entonces# G=1200 1 10
x ( 300 − x ) =1250
operanado y ordenando se tiene 30 x −
x
2
10
=1250
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300 x − x 10
2
=1250
2
x −300 x −125 00=0 hoy queda resolverestaecacion desegundo grado ,aplicamos for mulageneral : 2 − b ± √ b − 4 ac x =
2a
$onde# a =1
b =−300
c =12500
x = x =
300 ±
√ (−300 ) −4 (1)( 12500 ) 2
( )
2 1
300 ± 200 2
habra dos raices ,tal como: x 1=50
x 2 =250 Seg'n
la Condici2n#
0 ≤ x ≤ 200
x 1=50 Es *alida, pues está en el inter*alo de la condici2n/ por tanto# x =50
CO"CLS!O"# ara que la ganancia sea de 78-;, la cantidad de impresoras 0abricar es -
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que se tiene que
3. La ecuaci2n dada equi*ale a una ecuaci2n cuadrática.
6 ( w + 1) 2− w
+
w =3 w− 1 SOLC!O"#
$%&OS# 6 ( w + 1)
Ecuaci2n a reducir +
2− w
+
w =3 w −1
w =?
Ob)eti*o#
L%"&EO. =ediante operaciones algebraicas, se tiene que dar la 0orma# 2 ax + b x + c =0 , una ecuaci2n cuadrática# 6 ( w + 1) 2− w 6 w +6 2 −w
+
+
w =3 w− 1 w
w −1
=3
( 6 w + 6 ) ( w −1 ) w ( 2 − w ) =3 ( 2− w )( w −1) ( 6 w + 6 ) ( w −1 )+ w (2 −w )=3 (2− w )( w −1) 6
( w −1 ) + 2 w −w =3 (−w + 3 w−2 ) 2
5w
2
8w
2
2
2
+ 2 w −6 =−3 w2 + 9 w −6 −7 w =0
En este caso se aplicara el m>todo de 0actoriaci2n para poder resol*er este ecuaci2n de segundo grado#
w ( 8 w −7 )=0
segun propiedades de losnumerosreales setiene : w = 0 o 8 w −7 = 0
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del segundo setiene : 8 w −7= 0 entonces w =
7 8
Soluciones# w=
7 8
w =0
CO"CLS!O"# En este problema, 6a sido posible 6allar las soluciones 1raíces3, mediante 0actoriaci2n. Las dos raíces son los que satis0acen la ecuaci2n de segundo grado
4. La ecuaci2n dada equi*ale a una ecuaci2n cuadrática.
posibles soluciones.
x + √ 4 x −3 =0 SOLC!O"# $%&OS# 9unci2n a reducir# x + √ 4 x −3 =0
Ob)eti*o# (+? L%"&EO. =ediante operaciones algebraicas, se tiene que dar la 0orma# 2 ax + bx + c =0 , una ecuaci2n cuadrática#
x + √ 4 x −3 =0
medianteoperaciones algebraicas .
√ 4 x =3 − x
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Ele*amos al cuadrado ambos miembros
( √ 4 x )2=( 3 − x )2 $esarrollando el binomio al cuadrado# 4 x =9− 6 x + x 0 =9−10 x + x
2
2
hoy queda resolver esta ecacion de s egundo grado , aplicamos formula general:
x =
−b ± √ b2− 4 ac 2a
$onde#
a =1
b =−1 0 c =9
x = x =
10 ± √ (−1 0 )
2
− 4 ( 1 )( 9 ) 2 ( 1)
10 ± 8 2
habrados raices ,tal como : x 1= 9 x 2 =1 CO=
Cuando , x = 9, en 0 =9 −10 x + x
2
0 =9−10 ( 9 ) + 9
2
0 =−81 + 81 0 =0 ; por lotanto satisface
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Cuando , x =1, en 0 =9− 10 x + x
2
0 =9−10 ( 1 ) + 1
2
0 =−1 + 1 0 =0 ; por lotanto satisface
CO"CLS!O"# Las soluciones (+7 y A+B satis0acen a la ecuaci2n cuadrática, por tanto estos son las raíces de la ecuaci2n
5. Estaturas Posibles: La estatura promedio de un *ar2n adulto es de D,8 pulg. y B- de los
*arones adultos tiene una altura
|
h−68,2 2,9
h que cumple la desigualdad#
|
≤ 2
$%&OS# 9unci2n a resol*er una inecuaci2n Ob)eti*o# de0inir el inter*alo de de0inici2n de 6
L%"&EO. Se aplicara la de0inici2n de *alor absoluto#
| | − − − = | | h−68,2 2,9
h 68,2 2,9
= h−
68,2
2.9
si
h −68,2 2.9
0
h 68,2 h −68,2 <0 si 2.9
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2.9
FFFFFFF173 FFFFFFF..183
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h−68,2 Sea#
2.9
0 , entonces
h 68.2,( primera condicion)
|− | h 68,2 2,9
h−68,2 2.9
≤2
≤2
h ≤ 74
El inter*alo de de0inici2n de 6 será 68.2 ≤ h ≤ 74
h−68,2 Sea#
2.9
< 0, entonces
h < 68.2, ( segundacondicion )
|− | h 68,2 2,9
−h −68,2 2.9
≤2 ≤2
h 62.4
El inter*alo de de0inici2n de 6 será 62.4 ≤ h ≤ 68.2
$e las dos inter*alos, donde se de0ine 6, el 'nico punto donde donde coinciden es, solo el punto 6+D.8 CO"CLS!O"# &al como dice el enunciado, el punto 6+D.8 es el *alor promedio de la estatura
6. Ley de Torricelli: n dep2sito contiene - galones de agua, que drenan desde un ori0icio en el
0ondo, lo cual causa que el dep2sito se *acíe en 8 min. El dep2sito drena más rápido cuando está casi lleno porque la presi2n del ori0icio es mayor. La Ley de &orricelli da el *olumen del agua que permance en el dep2sito despu>s de
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t minutos como#
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! ( t )=50 ( 1−
Encuentre
t 20
2
)
0 ≤t ≤ 20
! ( 10 ) !nterprete su respuesta. SOLC!O"#
$%&OS# :alones# 50 &iempo en que se
*acía# 8 min
El *olumen en cualquier tiempo# La *ariaci2n del tiempo Ob)eti*o#
! ( t )=50 ( 1−
t 20
2
)
0 ≤t ≤ 20
! ( t =10 )=?
L%"&EO. En este caso, como el *olumen depende del tiempo, se pide 6allar cuando el tiempo es 7 min/ o sea se e*aluara la 0unci2n *olumen en t +7min 2 10 ! ( t =10 )=50 ( 1 − ) 20
! ( t =10 )=12.5 galones
CO"CLS!O"# El tiempo en que se *acía en su totalidad es 8 min, se 6a pedido 6allar el *olumen en t+7 min. ara cali0icar este resultado, será necesario, tener el *alor del *olumen en t+min y en t+8min/ los cuales son G+-gal. H G+ gal.
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7. Ialle el dominio de la 0unci2n#
y =
x
2
√ 6−3 x
2
SOLC!O"# $%&OS# 9unci2n#
y =
x
2
√ 6−3 x
2
Ob)eti*o# 6allar el dominio de la 0unci2n
y
L%"&EO. En este caso, se pide el dominio de la 0unci2n/ o sea el inter*alo de de0inici2n de ( para que la 0unci2n
y exista
paraello se aplicalas propiedadesde losnumeros reales, tal como : √ 6−3 x 0, " ntonces, en adelante quedares 2
2 √ 6−3 x 0
( 6 −3 x ) 0, factori#ando se tiene : 2
3 ( √ 2− x )( √ 2 + x ) 0 ; por propiedades de numeros reales se tiene
( √ 2− x ) 0 y ( √ 2+ x ) 0 FFF..173 ( √ 2− x ) ≤ 0 y ( √ 2+ x ) ≤ FFFF.183 En 173 √ 2 x y −√ 2 ≤ x
En 183
√ 2 ≤ x y −√ 2 x !ntersectando todo este inter*alo en la recta real se tiene# −√ 2 ≤ x ≤ √ 2
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CO"CLS!O"# La 0unci2n
y =
x
2
√ 6−3 x
2
está de0inido para todos los *alores de
para *alores 0uera de este inter*alo la 0unci2n dominio es
−√ 2 ≤ x ≤ √ 2
,
y no está de0inido, por lo tanto el
−√ 2 ≤ x ≤ √ 2
. @osque)e la grá0ica de la 0unci2n. %p2yese en la trans0ormaci2n de 0unciones y sus intersectos
con el e)e 4(5 e 4y5.
f ( x )= 4 −√ x + 3
SOLC!O"# $%&OS# 9unci2n a gra0icar#
f ( x )= 4 − √ x + 3
Ob)eti*o# 6acer una grá0ica en el sistema coordenado (, y L%"&EO. Se empeara 6allando los puntos de intersecci2n con los e)es coordenados# !ntersecci2n con el e)e (#
f ( x )= y = 0 4 −√ x + 3= 0
x = 13 !ntersecci2n con el e)e y#
x = 0
f ( x )= y =4 −√ 0 + 3 y = 4 −√ 3 =2.27 La
gra0ica es#
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:rá0ica, obtenida mediante so0tJare grap6
CO"CLS!O"ES# ara poder realiar la grá0ica de una 0unci2n, es empear desde los puntos de intersecci2n con los e)es coordenados y conociendo la tendencia de las 0unciones, como cuadráticas 1parábolas3, 0unci2n raí cuadrada 1 semiparabola3. Se puede traar la grá0ica.
!. $espu>s de gra0icar la siguiente 0unci2n por partes. $etermine los inter*alos donde
creciente, decreciente y constante.
2 x + 5 ,si x ≤ −1 2 f(x) = x ,si 1 < x < 1 2 ,si x ≥ 1
SOLC!O"# $%&OS# 9unci2n a gra0icar#
fucioncompuesta
Ob)eti*o# 6acer una grá0ica en un solo sistema coordenado (, y/ gra0icar las tres
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f ( x ) es
L%"&EO. Se traara de manera independiente las 0unciones indi*iduales, siguiendo los mismos pasos del problema anterior/ pero en un solo sistema de coordenada ( y
f1 ( x) = 2 x + 5 ,si x ≤ −1 9unci2n 7# !ntersecci2n con el e)e (#
f ( x )= y = 0 2 x + 5 =0
x =−2.5 !ntersecci2n con el e)e y# x =0
y =5
f 2 ( x) = x2
,si 1 < x < 1
9unci2n 7# !ntersecci2n con el e)e (#
f ( x )= y = 0 2 x + 5 =0
x =0 !ntersecci2n con el e)e y# x =0
y = 0 f 3 ( x) = 2
,si x ≥ 1
9unci2n 7# Es una 0unci2n constante, paralelo al e)e (, que pasa por y +8 La
gra0ica es de la 0unci2n compuesta será#
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:rá0ica, obtenida mediante so0tJare grap6 0 ≤ x <1
Creciente en#
$ecreciente en# Constante en#
−$ < x ≤−1 1≤ x <$
CO"CLS!O"ES# Se 6a gra0icado de manera independiente las 0unciones 7, 8, K pero en un mismo coordenado. En lo cual se 6a podido determinar la tendencia de la grá0ica.
e)e
1".n constructor de edi0icios quiere cercar un terreno rectangular adyacente a un río recto,
utiliando la orilla del río como un lado del área encerrada 1*>ase la 0igura3 Si el constructor tiene 8 pies de cerca, encuentre una 0unci2n que modele el área del campo en 0unci2n de
x y calcule el área má(ima que puede cercarse.
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SOLC!O"# $%&OS# Longitud de cerca con se cuenta# 8 pie %nc6ura# ( Largo# y 1 u otro *ariable3 Ob)eti*o# ma(imiar la 0unci2n que describe el a rea del terreno rectangular L%"&EO. ara la ma(imiaci2n se necesita de la 0unci2n, para 6allar la 0unci2n se empeara de la geometría del problema 1terreno3 El área dependerá de dos *ariables, y Sea#
% el area delterreno
% ( x , y )= largo∗anchura % ( x , y )= x∗ y , en funcion de otr variable desconocido y 2 x + y =200 pie , esla condicion
% ( x ) = x∗( 200 −2 x )=−2 x + 200 x , esel modelo para el area 2
parala maximi#acion se sigue : entonces#
d dx d
A( x) = 0 (−2 x 2 + 200 x) = 0
dx −4 x + 200 = 0 x = 50
El área má(ima será para (+-pie Entonces el área
má(imo será#
% ( x =50 )=5000 pi e
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2
% ( x =50 )=−2 ( 50 ) + 200 ( 50 ),
2
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CO"CLS!O"ES# El área má(ima se da para (+- pie, reemplaando este *alor en el modelo del área, este 'ltimo es - pie8
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