Respostas do selecionadas problemas ímpares
CAPÍTULO 10
CAPÍTULO 12
Exercícios avançados 1. Basta verificar que a b + a
Exercícios avançados
2
b
2
Os semi-eixos são s e r + s; seus focos são (0, ±r ± r (r + 2s)) e sua excentricidade é . e = x P s
y P
r + + s
= 1.
1. Por exemplo, C = = (0, 2, 2). Não é único: todos os ponto da esfera x 2 +( +( y y −1) −1) 2 +( +(z z −1) −1) 2 = 2, exceto A exceto A e e B, B, satisfazem satisfazem a propriedade.
s
s + r
3.
a =
B − 12 ,
− B4 , 0 B 0
b =
�
4.
r
5. Como 3 0 e 25 − 4 × 3 × 4 0, 3x 3x + 5xy 5xy + + 4 y = c, com c 2
2
0 b0
�4
" 3: elipse, 0 b 0
9. O período é 11. A área é
ln 3 2
4 � T T − � −
" 3: hipérbole: 0 B 0
.
"2
2
r
: duas retas.
= 4 "3
�4
2
togonal ao vetor diretor da reta considerada, e obtém-se nessa reta, onde C é é o ponto méd AP , C B = r 4 para todo P nessa dio de OP 0.
0, é uma elipse. Se c = 0 {(0, 0)} e se c < 0 é o conjunto vazio.
7.
2
r 3. (a) P = = (x (x , y , z ) ⇒ P = 0OP A x,y,z B OP 0 (b) Basta observar que L´é figura plana, e usar que OP 0 é or-
7. (a) Linearmente independente independentes. s. (b) (b) Linearmente Linearmente dependentes.
.
9. � = –1, � = 2/3, � = –1/3. –1/3. 11. Seja P = = (x (x , y , z ) um ponto na interseção do plano com o para2
2
2
2
y x bolóide. Então �x + y + ⇔ Q = (x (x , y , 0), que é a + 1 = a + b y x projeção de P no no plano z = = 0, satisfaz a + b − � x − y − 1 = 0, que é equação de uma elipse no plano xy .
CAPÍTULO 11
2
2
2
2
Exercícios avançados 1. (a) Como a 1, então 1 "a
a e 1 x 1 a = x 0. Se 1 x n x n−1, então 1 � x 1 = � x . O resultado segue 2 do princípio de indução finita.
x n +
n+
n
(b) Uma sequência monótona e limitada c onverge onverge..
'
3.
1
. 2
−
5. A série S n =1 �
bn é uma série telescópica, e como "r n
do n → ∞ ∞,, a série converge para "r 0 −
A Σ
an
an
=
bn
Exercícios avançados 1. Basta observar que r . r'' = 0. Então, |r' (t )| )| = |A||B|sen �.
(c) 1. 3.
CAPÍTULO 13
" x n
1
�
i =n �
a i
Σ i=n
B A Σ 2 +
ai −
�
�
i=n +1
Σ i=n+1
ai
ai
B
0 =
" A .
→
0 quan-
Além disso,
1 2
=
A Σ i= n a i B �
1 2
A Σ i= n �
+
+1
a i
B
1 2
0 quando n → 0.
4
.
5. f A x B = k cosh A x k + c B 7.
�
A t B
=
1 1 + cosh A 2t B
;
ou
f A x B = k .
A t B
=
−1 1 + cosh A 2t B
t = "s ; T =
1 2
= A − se sen n "s, cos "s, 0B Acos "s, sen "s, " 3B , N =
e B = 12 A − "3 cos "s, − "3 sen "s, 1B ,
7. Converge se k 2 (teste da razão) e diverge diverge se k = 1. 9. (a) Converge absolutamente se 0 x −
k � 0
�
6
AsB
=
1 4 "s
, A s B =
− "3 4 "s
, em que k é um
(b) Converge absolutamente se |x | 1 (teste da razão). Conver C onver-ge condicionalmente se x = = −1. Diverge nos outros casos.
(c) Converge absolutamente se |x | 2. Diverge nos outros casos. 11.
�
�
inteiro.. Diverge, caso contrário. inteiro
2(21!) 15
.
9. Observe que d ds N = aT + b N + cB e obtenha a, b e c derivando N . T = 0, N . N = 1 e N . B = 0, respectivamente respectivamente.. 11.
→
3 T
CAPÍTULO 14 Exercícios avançados 1. (b) (b) Como
2
x � 1 x 2 + y 2
, para mostrar que f é contínua na origem, basta tomar � = � na definição de continuidade. ∂f
∂f
(� x ) 2
(� x, � y ) − f (0 , 0) − ∂x (0 , 0)� x − ∂y (0 , 0)� y = � x (� x ) 2 +(� y ) 2 =
2
Cálculo
xE, mas mas xE,
E não tende a zero quando (x, y) → (0,0), o que significa que f que f não não é diferenciável diferenciável na origem. c) Não.
9. A primeira integral corresponde ao volume da pirâmide de vértices (0, 0, 0), (3, 3, 0), (0, 3, 0) e (3, 3, 6) e a segunda ao volume da pirâmide de vértices (3, 3, 0), (0, 3, 0), (3, 3, 6) e (0, 6, 0 ). Como têm uma face comum, essas pirâmides juntas correspondem a uma pirâmide de vértices (0, 0, 0), (3, 3, 0), (3, 3, 6) e (0, 6, 0).
3. Parax Para x � 0, 0, f f é é diferenciável, diferenciável, pois as derivadas parciais existem e são contínuas. Para x = = 0, f 0, f é é diferenciável porque f A�x, y + � y B − f A0 , y B −
A A y + � y B + �x sen
� x � x
∂f , y � x − ∂f , y � y = ∂x 0 ∂y 0
A
B
B x
1 �
A
= � xE
B
com E tendendo a
zero, quando (x, y) → (0, 0). ∂f não é contínua nos pontos ∂x S0
5. Falsas: a ⇒ b, a ⇒ c, a ⇒
0 0
9.
d = 0 se a + b
;
=
"3 .
c =
2
2
�4 e
d =
11.
h =
a b a b 3 V
4
3
5 �
1
"2 A"a 2 +
B
b2 − 2
e r =
3
5
3V
5
5�
que
, caso con-
6
r
r
tegrável.
2 2 2 0
0
4
V =
rdrdθdz = =
3
3
2 3
2 3
R
�
3
7.
�
V = 4
1
2 2 2 4
−
� 4
0
6
B,
A
= −
u2
"6 "6 "6 , , − 6
6
6
B formam
2 �
=
3
.
B
e
S = lim N S
�
S
k=1
a k
3
R +
�
�
A3R 2 Ah − R B − A h − R B B 3
5 dS 2 2 =
S
sen d = 2 −
× [0, � ], ], tem-se
,
11.
8
V
A
rdzdrdθ = 8 2 −
"1− r 2 cos 2
=
4
−
�
=
dzd
0
4
"2 Portanto, A
2
4
−
A
�
sen d
4
= 24 2 −
"2 B.
9. Usando x =t = t cos cos � sen �, y = t = t sen � sen �, z = = cos �, (�, � ) ∈ [0, 2� ] 3
.
"1− r 2 cos 2
−
3 "2
.
4
= 2
+
16 � 3
, 0 , −
A
2
24
donde segue o resultado.
5. Todos são iguais a
6
"2 − 2 k � 2 � e e −
, tem-se, usando coorcoor-
�R
1 4
=
"R 2 − z 2
0
3"2
cada cilindro. A parte que está no cilindro de equação x 2 + y 2 = 1 tem 8 partes de mesma área A , separadas pelos planos de 24 equações x = y , x = − y e z = 0. A parte S da superfície com área A que satisfaz − y x y y ee z 0 pode ser parametri24 � zada por x = = cos �, y = = sen �, z = = z , – � , 0 z sen �, � � 4 4 � sen θ � portanto A
e Σ ni=1 f A donde f não não é in Ax i , y i B �i = 0 , donde f
3 3
A
7. A superície do sólido tem 3 partes de mesma área A3 , uma em
[0, 1] e não se reduzem a um ponto (caso em que teriam área nula) ⇒ existem (x (x i, y i) ∈ R iQ2 e (x ( x 'i, y' i ) ∈ Ri\Q2, resultando
2 �
a(k) =
2
1. Se R1, . . . , Rn são retângulos de uma partição de R = [0, 1] ×
denadas cilíndricas, 2 4 � R 3
.
t
Exercícios avançados
h−R
u 1 =
"2
3. Como o volume volume da esfera é
.
3. Seja G ( t ) = 2a sg A As B ds, a t b. Então � (r ) = G(r ). ).
4
CAPÍTULO 15
=1
bx − ay "a 2 + b 2
y=
uma base ortonormal do plano. m
5.
n Σ i=1 f Ax i , y i B �i
ax + by e "a 2 + b 2
=
= 18
x
0
1. Como a curva é um círculo de raio 1 no plano x + y + y + + z = = 0, pode ser parametrizada por �(�) = cos �u1 + sen �u2, � ∈[0, 2� 2� ], ], em
1
3
0
Exercícios avançados
2
a b a b . 1
2 2 2 dydzdx
CAPÍTULO 16
trário. 1
6−x
∂f ∂x
⇒ d , c ⇒ d (veja (veja Exercício 3), c ⇒ b (veja Exercício 1), c ⇒ a ( f f (x , y ) = 1 se xy = = 0 e f (x , y ) = 0 se xy � 0). As demais implicações são verdadeiras, pelos teoremas apresentados no texto.
7.
11. Basta tomar u
Ax, y B . d A f Ax, y B Ä xy xy B b
em que x = = 0, pois não existe lim x
2 x
3
O volume é V =
"2 B.
5 f A A x x,y,,y, z B d 5
= . F dV =
F . ndS =
S
5 f At A x,y,z BBBB d
2
� �
= t
S t
� �
S1
16 � 3
.
