Geometría Analítica Moderna

Geometría analítica MODERNA

Geometría analítica MODERNA

Marco Antonio Valencia Arvizu Martín Gildardo García Alvarado

PEARSON

Datos de catalogación bibliográfica

Marco Antonio Valencia. Arvlzu Martín Gilde.rdo García Alvarsdo

Ceometrla ana.lltice. moderna. Primera edición Pearson Educe.ción, México 2013 ISBN: 978-607-32-2131-3

Área.: Matemátice.s fbrmato 18.5 x 23.5 cm

página,; 288

Todos los derechos reserva.dos

&litara.: María Elena Zahar Arellano [email protected] Marianna. Lyuba.rets (Universide.d de Sonora] Editora. de desa.n-ollo: Claudia. Romero Mercado

PRIMER.A EDTCTÓ.'l, 2013 D.R. © 2013 por Unlversídad de Sonora. Av. Rosales y Blvd. Encinas s/n

CoL Centro 83000, Hermosillo, Sonora. www.uson.mx

D.R.. © 2013 por Pearson Educa.ción de México, S.A. de C.V. Atlscomulco 500-5° Piso Industria.! Atoto

53519 Naucalpen de .Juárez, Eetado do México Oí.mara Nacional de la. Industria Editorial Mexicana.

Reg. núm. 1031

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Impreso en México. Printed in Mexico.

Contenido 9

Introducción 1 La geometría euclidiana

2

13

1.1 1.2 1.3 1.4

Nacimiento de la geometría La escuela pitagórica . . . . Los Elementos de EucUdes . El método sintético de la geometría

Las 2.1 2.2 2.3

cónicas sin coordenadas

25

Descubrimiento de las cónicas Las cónicas de Apolonio ... Las cónicas como lugares geométricos Construcción de las cónicas Propiedades de las cónicas Excentricidad de las cónicas

25

2.4 2.5 2.6

3 Método

de coordenadas

15 19

23

27 29 33

37 42 45

3.1 Método de Descartes . 3.2 Localización de puntos en la recta y en el plano 3.3 Localización de puntos en el espacio . . . . . 3.4 Distancia entre puntos . . . . . . . . . . .. 3.5 División de un segmento en una razón dada 3.6 Inclinación y pendiente de rectas en el plano 3. 7 Ángulo entre dos rectas en el plano . . . . . 3.8 Dirección de rectas en el espacio . . . . ... 3.9 Ángulo formado por dos rectas y por dos planos 4 Rectas en el plano

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

13

Formas de la ecuación de la recta en el plano . Forma normal de la ecuación de la recta ... Distancia de un punto a una recta en el plano Familias de rectas en el plano . . . . . Rectas y puntos notables del triángulo 5

45 46

51 53 56 58 60 63 65 69 69

75 77

82 83

Contenido

6

4.6 4. 7

Método gráfico de la programación lineal . . . . . . . . . Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica

88 92

5 Planos y rectas en el espacio 5.1 Formas de la ecuación del plano 5.2 Distancia de un punto a un plano 5.3 Posiciones relativas de planos .. 5.4 Formas de las ecuaciones de la recta . 5.5 Posiciones relativas de rectas y planos . 5.6 Distancia de un punto a una recta y entre dos rectas

101 101 105 108 110 114 116

6 Vectores en el espacio 6.1 Definición e interpretación geométrica . 6.2 Suma y multiplicación por un escalar . 6.3 Base canónica . . . . . . 6.4 Norma de un vector¡ distancia entre vectores . 6.5 Definición de producto punto ......... 6.6 Ángulo entre dos vectores ........... 6.7 Relaciones entre la norma y el producto punto 6.8 Proyección de un vector sobre otro .... 6.9 Definición y propiedades del producto cruz 6.10 Ecuación vectorial de rectas y planos .. 6.11 Uso de vectores para calcular distancias . .

119 119 120 121 123 125 126 128 129 130 135 136

7

Secciones cónicas: circunferencia y parábola 7.1 J.sometrías en el plano . . . . . . . 7.2 Ecuación de la circunferencia .. 7.3 Propiedades de la circunferencia . 7.4 Tangentes a una circunferencia . 7.5 Ecuación de la parábola ... 7.6 Descripción de una parábola . 7.7 Propiedades de la parábola . .

8 Secciones cónicas: elipse e hipérbola

8.1 Descripción de una elipse . 8.2 Ecuación de la elipse ..... 8.3 Propiedades de la elipse ... 8.4 Descripción de una hipérbola 8.5 Ecuación de la hipérbola ... 8.6 Propiedades de la hipérbola

.....

139 139 147 148 153 156 159 162 165 165 166 171 174 174 179

Contenido

7

8.7 La ecuación general de segundo grado ..

181

9 Superficies 9.1 ¿Qué es una superficie? . 9.2 Representación de superficies . 9.3 Gráficas de superficies . 9.4 Superficies de revolución 9.5 Superficies cuadráticas . 9.6 Superficies regladas . . . 9. 7 La ecuación general de segundo grado .

187 187 189 191 196 200 205 213

10 Curvas 10.1 Representación de curvas . 10.2 Cilindros proyectantes . . 10.3 Curvas planas de grado superior .

219 219 222 225

11 Otros sistemas de coordenadas 11.1 Sistema de coordenadas polares 11.2 Conversión de coordenadas . . . . 11.3 Gráficas en coordenadas polares . 11.4 Las córneas en coordenadas polares 11.5 Más curvas de grado superior . . . 11. 6 Sistema de coordenadas cilíndricas 11. 7 Sistema de coordenadas esféricas

233 233 235 238 241 245 24 7 249

Apéndices Apéndice A: Apéndice B: Apéndice C: Apéndice O:

251 252 253 253 254

Resumen sobre las córneas . . . . . . . . Resumen de la ecuación general de segundo grado . Alfabeto griego . . . . . . . ldentidades trigonométricas . . . . . . . . . . . . .

Soluciones y sugerencias

255

Referencias

277

Índice alfabético

279

Índice onomástico

284

Introducción El libro que ponemos ahora a su disposición es producto de una experiencia de más de 40 años de cátedra universitaria en diversas instituciones, pero principalmente en el Departamento de Matemáticas, División de Ciencias Exactas y Naturales, de la Universidad de Sonora, México. Contiene algunos rasgos que lo distinguen de otros textos y pretende ser una respuesta al empobrecimiento de los cursos de Geometría analítica observado en los últimos lustros. Estamos convencidos de que todos los estudiantes orientados al área de ciencias e ingeniería deberían llevar un curso de geometría analítica plana a nivel preuniversítario, que comprendiera principalmente el manejo de rectas y secciones cónicas, y otro curso a nivel universitario de geometría analítica en el espacio, con el tratamiento de planos, rectas en el espacio, superficies y curvas alabeadas. Sin embargo, se está omitiendo cada vez con mayor frecuencia ese curso preuniversitario y los cursos de licenciatura se reducen al estudio de la geometría analítica plana, en el mejor de los casos, pues en el peor, han desaparecido al "integrarse" algunos de sus contenidos a los cursos de cálculo. Con la omisión de los cursos de Geometría analítica o su restricción a la geometría plana, se priva a los estudiantes de ciencias e ingeniería de una herramienta clave para la comprensión, el desarrollo y el uso de modelos matemáticos, indispensables para el buen desempeño de su profesión. Por otra parte, la Geometría analítica tiene un poder formativo que no se puede sustituir; tanto por lo que se refiere a la metodología de transformar un problema para resolverlo y luego convertir esta solución en sentido inverso pera obtener la respuesta al problema original, como por su aportación al desarrollo de la capacidad para imaginar objetos espaciales y representar en el plano figuras tridimensionales. Una imagen vale más que mil palabras, dice el refrán, y la Geometría analítica nos ayuda a construir gráficas y analizarlas para comprender los fenómenos y procesos de nuestro entorno y los modelos matemáticos que los describen. El presente texto está diseña.do específicamente para cubrir un semestre de Geometría analítica a nivel universitario en las áreas de ciencias e ingeniería; antes de entrar en detalles sobre su contenido, cabe señalar que fue escrito pensando en todos los estudiantes, incluso en aquellos gustosos de enfrentar retos y que demandan una educación más moderna, racional, autocontenida

10

Introducción

y motivante. No presupone un curso previo de Geometría analítica¡ en e1 se aborda tanto la parte plana como la espacial. Está diseñado para un semestre completo, con flexibilidad para que el profesor pueda optar por omitir todo o parte de los capítulos 1, 2, 6 y 11, según la disponibilidad de tiempo y las necesidades del grupo. Para la mejor comprensión del método de coordenadas, decidimos iniciar con la presentación de las secciones oónicas sin el uso de coordenadas, tal como ocurrió histéricamente, y recurrir a múltiples referencias histéricas para ubicar los descubrimientos en el tiempo. Muchos cursos de Geometría analítica, por falta de reflexión, se convierten en cursos de álgebra. La idea central y fundamental de este texto es que la Geometría analítica es un estudio de la geo metría mediante una técnica especial: el uso de coordenadas. Para enfatizar el carácter geométrico de los problemas de la Geometría analítica, dedicamos el capítulo 1 a plantear el surgimiento de la geometría entre los griegos y comentar el método que utilizaban para resolver los problemas geométricos, el llamado método sintético, para compararlo con el método analítico. En el capítulo 2, usando el método sintético y un descubrimíento del siglo XIX, el de las esferas de Dandelin y Quetelet, describimos y estudiamos algunas de las propiedades de las secciones córneas: circunferencia, parábola, elipse e hipérbola, y pasamos de la definición de las secciones córneas como curvas obtenidas al cortar un cono, a una definición como lugar geométrico, que será el punto de arranque para su estudio con el método de coordenadas o método analítico. Estos dos primeros capítulos pueden considerarse como una introducción al curso y puede omitirse su evaluación. En el capítulo 3 iniciamos propiamente con la Geometría analítica al in troducir el método de coordenadas. A diferencia de otros textos, pasamos directamente de la localízacién de puntos, división de un segmento en una razón dada, distancia entre puntos, dirección de una recta y ángulo entre rectas en el plano, a las mismas localízaciones y mediciones en el espacio. El capítulo 4 trata de la recta en el plano. De manera rápida se da cuenta de las diversas maneras de representar la ecuación de una recta en el plano, se estudia la distancia de un punto a una recta y se aplica todo esto al estudio de las rectas y puntos notables de un triángulo. U na aplicación novedosa es el método gráfico de la programación lineal para el caso de dos variables, que se incluye. El capítulo 5 lo dedicamos al estudio de planos y rectas en el espacio, exponiendo las diversas maneras de presentar la ecuación de un plano y las ecuaciones de una recta en el espacio, así como la forma de calcular ángulos y distancias entre ellos. El contenido de este capítulo es material usual, la diferencia está en el hecho de que se presenta antes del estudio de las secciones

ll

cónicas con un doble propósito: por un lado continuar con la idea de tratar un concepto en el plano y enseguida llevarlo al espacio, y por otro, dar la oportunidad al desarrollo del capítulo siguiente, el sexto. En el capítulo 6 hacemos una presentación del tema de vectores en el espacio, lo cual es una novedad en este tipo de libros. Existen libros donde la Geometría analítica se estudia con vectores, pero al entrar al estudio de las secciones cónicas, las cosas se complican; además, con este enfoque vectorial se oscurece el uso del método de coordenadas. Aquí procedemos al revés: usamos la geometría analítica de rectas y planos desarrollada en los capítulos anteriores para presentar una exposición breve de los principales conceptos, operaciones y propiedades de los vectores, y luego utilizamos éstos para resolver problemas de geometría analítica de planos y rectas, principalmente el cálculo de distancias, donde el enfoque vectorial simplifica el planteamiento de los problemas y el cálculo de sus soluciones. El capítulo 7 es una exposición estándar sobre la circunferencia y la parábola¡ la parte novedosa se encuentra al inicio del capítulo, donde tratamos las ísometrías del plano, de las que las translaciones, las rotaciones y las reflexiones son casos especiales, y demostramos que toda isometría en el plano es una composición de, a lo más, tres reflexiones. El capítulo 8 está dedicado a la elipse y la hipérbola, y termina con el estudio de la ecuación general de segundo grado en el plano. En este capítulo destacamos la semejanza en el comportamiento matemático de ambas curvas a pesar de la gran diferencia que muestran en su aspecto geométrico; también incluimos un procedimiento para la localización de las directrices, cosa que usualmente no se hace, sobre todo tratándose de la elipse. En el capítulo 9, referente a superficies, presentamos muchos ejemplos de superficies pertenecientes a tres familias: superficies de revolución, superficies cuadráticas y superficies regladas. Para evitar dar una lista inconexa de ejemplos de superficies, utilizamos las superficies de revolución para generar las superficies cuadráticas, con la ventaja de que esto nos permite manejar simultáneamente su representación cartesiana y paramétrica. Concluimos el capítulo analizando la ecuación general de segundo grado en tres variables. El capítulo 10 está dedicado al estudio de las curvas en el espacio. Aquí también desarrollamos sus representaciones cartesiana y paramétrica. Es usual que se enfatice la representación cartesiana, pero es la representación paramétríca la que permite el uso del cálculo para el estudio de la geometría, de ahí su gran utilidad para las aplicaciones. En este capítulo mostramos cómo los cilindros proyectantes permiten visualizar mejor la forma de la curva en el espacio tridimensional, lo que nos lleva a comprender la necesidad del estudio de curvas de grado superior, que es el tema con el que concluye el capítulo.

12

Introducción

El capítulo 11, el último del libro, muestra que hay diversas formas de escoger un sistema de coordenadas, según se necesite, y desarrolla brevemente tres de ellos: el sistema de coordenadas polares, para el plano, y los sistemas de coordenadas cilíndricas y de coordenadas esféricas, para el espacio. Las coordenadas polares permiten plantear algunos ejemplos interesantes más de curvas planas de grado superior. Como apoyo tecnológico para el desarrollo del curso recomendamos el uso del software matemático interactivo libre Oeoceoro, fácil de descargar desde la red, ligero, amigable y versátil. Su uso contribuye a mejorar la comprensión de los problemas y hace amena. la. búsqueda de su solución¡ el carácter dinámico que se obtiene con la opción de deslizar puntos, rectas y figuras, y de variar parámetros, ayuda a tener una visión más amplia. de las conformaciones geométricas, lo que convierte a GroGe/Jra en una excelente herramienta de investigación y experimentación. Eh lo que se refiere al estilo de redacción de este trabajo, para alejarnos del esquema tradicional de teoremas y demostraciones, quisimos presentar los resultados de manera más coloquial, sin renunciar a la precisión en el lenguaje, con el ánimo de que así fuera más sencilla y atractiva su lectura. También procurarnos proporcionar muchos ejemplos, escribir notas para destacar aspectos importantes, y proponer muchos ejercicios. El enfoque general de la obra ~ debe principalmente a Marco Antonio Valencia Arvizu¡ la formación del texto y las ilustraciones fueron procesadas en m:t;)Cpor Martín Gildardo García Alvarado, pero ambos compartimos la responsabilidad total de este libro. Agradecemos al doctor Rubén Flores Espinoza y al doctor Jorge Ruperto Vargas Castro la lectura del texto original y sus valiosos comentarios. Asi mismo agradecernos a Raúl O. Leyva por la conversión del formato PDF de este texto al formato InDesign para su impresión¡ a Editorial Garabatos por la edición inicial de esta obra, en diciembre de 2010; a Pearson Educación de México, por interesarse en publicar esta nueva versión corregida, y a la Universidad de Sonora, por su invaluable apoyo en ambas ocasiones. Marco Antonio Valencia Arvizu Martín Gildardo García Alvarado Hermosillo, México; junio de 2013.

Capítulo LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA

1.1 1.2 1.3 1.4

1.1

1

Nacimiento de la geometría La escuela pitagórica Los Elementos de Euclides El método sintético de la geometría

Nacimiento de la geometría

El nombre geometría es de origen griego y significa "medición de la Tierra"; proviene de las palabras ge6s ("Ye~), Tierra, y metrón (J.lETpov), medida. Según Heródoto de Halicarnaso (c.484-c.423 a. C.), conocido como "El padre de la historia", la Geometría nació en Egipto, como consecuencia de las inundaciones anuales que sufrían por las crecientes del río Nilo, lo cual los obligaba a medir con frecuencia sus tierras para su correcta delimitación y el pago de impuestos. Es posible que ya desde inicios del cuarto milenio antes de la era Hri!o,o cristiana, observaran y utilizaran propiedades de las recde RalwnMO tas, los ángulos, los círculos y algunos polígonos. Es un hecho notorio que los mesopotámicos, habitantes del territorio actualmente ocupado por Irak, desarrollaron más los aspectos numéricos gracias al sistema de numeración posicional que adoptaron, en tanto que los egipcios tuvieron mayor inclinación hacia la geometría. Ya hacia 1850 antes de la era cristiana, los egipcios poseían conocimientos geométricos no elementales; por ejemplo, sabían calcular el volumen de una pirámide truncada, como lo muestra el papiro de Moscú, y es muy posible que dichos conocimientos se remontaran a muchos siglos atrás, dada la lenta evolución de la matemática egipcia y la costumbre de copiar de documentos antiguos. Sin embargo, este conocimiento se limitaba a una serie de reglas para obtener resultados determinados, como áreas, volúmenes, partes de un todo en una repartición, entre otros. Fue la civilización griega la que descubrió 13

La geometría euclidiana

14

(o inventó, según el punto de vista que se adopte) la geometría tal como la conocemos hoy en día, Los griegos se componían de varios pueblos que se es tablecieron alrededor del siglo xm antes de la era cristiana en el Mediterráneo Oriental y fueron progresando a través del comercio hasta convertirse en el siglo VI a. C. en una gran civilización, cuyos logros aún nos maravillan. Los griegos iniciaron la tarea de comprender el mundo que los rodeaba a través de la razón. Así nació la filosofía y así nacieron las matemáticas como ciencia deductiva, es decir, los griegos trataron de deducir los acontecimientos y propiedades que observaban, mediante el razonamiento y a partir de unos cuantos principios. El primer filósofo y matemático de quien se tiene noticia es Tales de Mileto (c.624-c.547 a. C.), quien trató de demostrar que todas las cosas surgen del agua, y aquí no es el egua lo importante, sino el tratar de explicar todo lo existente a partir de un solo principio, en lugar de atribuírselo todo a los diferentes dioses; se cuenta de él que predijo un eclipse de sol en 585 a. C. y que midió la altura de las pirámides por la longitud de su sombra. A Tales de Milete se le atribuye la demostración de los Tal.. de Mileto teoremas siguientes: ( i) El círculo es bisecado por cualquier diámetro. (ii) Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales. (iii) Los ángulos opuestos por el vértice entre dos rectas que se intersectan son iguales. (iv) Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y un lado iguales, colocados de manera semejante. (v) Los ángulos inscritos en un semicírculo son rectos. AB BC AC A' B' = B'C' = NC'

Figura 1.1 Teorema de Tales Actualmente, se conoce como teorema de Tales ala siguiente proposición: si dos rectas son cortadas por rectas paralelas, los segmentos que estas paralelas determinan en las dos rectas son proporcionales, tal como se muestra en la figura 1.1. Ejercicios y problemas Demuestre que cuando dos rectas se íntersectan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales. 1.1.1

1.2 La escuela piragórica

15

1.1.2 Demuestre que cuando dos rectas paraleles son cortadas por una transversal, los ángulos correspondientes, los ángulos alternos internos y los ángulos alternos externos son iguales. 1.1.s Demuestre que los ángulos internos de un triángulo suman 180". 1.lA Demuestre que dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y un lado iguales, colocados de manera semejante.

i.i.s Demuestre que los ángulos que forman los lados iguales de un triángulo isósceles con el tercer ledo son iguales. 1.1.0 Demuestre el teorema de Tales: si una familia de rectes paraleles cortan a dos rectas transversales, los segmentos que detetmina.n en ellas son proporcionales. Demuestre que los ángulos inscritos en una circunferencia con un diámetro como uno do sus lados, miden la mitad del arco de circunferencia que éstos deter1.1.1

minan. 1.1.8 Demuestre que los triángulos inscritos

en un círculo que tienen un diámetro

como uno de sus ledos, son rectángulos. 1.1.9 Demuestre que los ángulos inscritos en un círculo miden la mitad del arco de circunferencia que comprenden sus lados. 1.1.10 Demuestre que los ángulos semiínscritos en una circunferencia, o sea, con uno de sus lados tangente a la circunferencia, también miden la mitad del arco de circunferencia que comprenden sus lados. 1.1.11 Demuestre que cualquier diámetro divide al círculo en dos partes iguales.

1.1.12 ¿Cómo mediría la altura de una pil'á.mide por medio de la longitud de su sombra?

1.2

La escuela pitagórica

Casi contemporáneo de Tales fue Pitágoras de Samas (c.569-c.475 a. C.), qu.ien formó en Crotona, al sur de la península itálica, una escuela o tradición fi losófica y religiosa que ejerció una enorme influencia en el desarrollo de la ciencia griega y, en particular, de las matemáticas. Para los griegos de esa época, el cero era desconocido y el uno era considerado como la unidad, así que los ''números" eran los que representaban la


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multiplicidad de unidades: 2, 3, 4, 5, ... El lema de la escuela pitagórica era "todo es número", lo que significaba que todo en el universo se puede explicar o representar con números y relaciones entre ellos, especialmente cocientes, también llamados "razones"¡ en otras palabras, para los pitagóricos, el universo no era un caos, sino un cosmos en donde el orden existente se puede representar por medio de las matemáticas.

Pit6gor .. de

s.,.,..

Más aún, la palabra matemáticas es de origen pitagórico y proviene de la palabra materna (µaOr¡µa), que señala un conocimiento muy importante, algo que realmente vale la pena aprender; recordemos que el prefijo ma (µa) también aparece en madre, maestro, majestad e indica grandeza. Así, las

matémata (t1C10r¡µara) eran las matemáticas: aritmética, geometría y astronomía, a las que se agregó la música. Finalmente, a los estudiosos de las matémata se les llamó matematikoi (µaOr¡µaTu.oi), es decir, matemáticos. El teorema de Pitágoros, de lodos conocido, establece que en un triángulo rectángulo la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre la a2+b2 =t? hipotenusa. Algebraicamente, el teoA, rema de Pi tágoras se expresa así: si en un triángulo rectángulo los cateFigura 1.2 Teorema de Pitágoras tos tienen longitudes a y b, y la hipotenusa es de longitud e, entonces a2 + Ir = t?. Posiblemente los pitagóricos fueron los primeros en dar una derrostración de esta propiedad, pero la afirmación del teorema ya se conocía en aúna y en Mesopotamia en la época de Pitágoras. Muy relacionado con el teorema de Pitágoras esté. un descubrimiento hecho en la propia escuela pitagórica y que cimbró los cimientos de su filosofía. Una consecuencia de la doctrina pitagórica de que "todo es número", es que dados dos segmentos de recta cualesquiera existe una unidad de medida común a

17

1.2 La escuela piragórica

Figura 1.3 Diagonal y lado del pentágono pitagórico ambos, es decir, que cabe un número exacto de veces en ambos segmentos; en este caso, decimos que 105 segmentos son conmemurobles, pues se pueden medir exactamente con una misma unidad de medida. Se atribuye a Hipaso de Metaponto el descubrimiento de que en el símbolo representativo de 105 pitagóricos, que es un pentágono regular con una estrella de cinco puntas inscrita en e1, la diagonal d y el lado l son inconmensurables; lo más probable es que Hipaso haya obtenido su demostración mediante una reducción al absurdo, suponiendo que dichos segmentos sí fueran conmensurables y llegando a una contradicción. De manera semejante, se puede demostrar que el lado y la diagonal de un cuadrado son inconmensurables. Sí usamos nuestros conoa cimientos modernos de los números l~ y los proced.i.m.ientosalgebraicos, por 1 el teorema de Pitágoras encontramos que en un cuadrado de lado unitario, Figura 1.4 Diagonal y lado la diagonal mide v2; si ambos segdel cuadrado mentos son inconmensurables, J2 no se puede escribir como el cociente o razón de dos números enteros, pues en tal caso, el lado y la diagonal serían conmensurables¡ en otras palabras, J2 no es un número racional, sino imJcional. Recíprocamente, si demostramos que v2 es un número irracional, estaremos demostrando que en un cuadrado cualquiera la diagonal y el lado son inconmensurables; esta demostración es fácil de realizar, como veremos a continuación, siguiendo la demostración in dicada por Aristóteles (384-322 a. C.). Para demostrar que J2 es irracional, supongamos lo contrario: que se puede escribir en la forma J2 = vl«. dondep y q son enteros y primos relativos, o sea, que la fracción ya fue simplificada para que p y q no tengan factores comunes. Entonces, 2 = p2/q2 y se tiene que p2 = 2q2, por lo que p2 tiene que ser un número par, lo mismo que p. Podemos entonces escribir p = 2r


18

para algún entero r, y sustituyendo en¡?= 2q2, obtenemos 4r2 = 2q2, o sea,
19

1.3 Los Elementos de Euclides

demuestre que lo = do- d1. Colocando una cadena de pentágonos inscritos, obtenga la sucesión 1,, = d,, - dn+ 1 E

8

e

Figura 1.5 Cadena de pentágonos pitagóricos En el mismo pentágono del ejercicio anterior, demuestre que 11 = lo - di, y que se puede establecer una sucesión In+ 1 = In - dn+ 1, usando la cadena de pentágonos inscritos. 1.2.6

1.2. 7

Usando los resultados de los dos ejercicios precedentes, demuestre que el lado

y la diagonal de un pentágono no son conmensurables. Para ello suponga que si 11 y d1 son conmensurables, entonces 12 y di son conmensurables con la misma unidad de medición que l, y di; prosiguiendo sucesivamente con la cadena de pentágonos

inscritos, llegue a una contradicción.

1.3

Los Elementos de Euclides

Aristóteles de &tagira (384-322 a. C.) es un personaje clave en el desarrollo de las matemáticas y de la ciencia en general; se le considera el iniciador de las ciencias como campos del conocimiento independientes de la filosofía. Aristóteles desarrolló la l6gíca, que permitió profundizar el conocimiento acerca de la validez del razonamiento y los métodos de demostración y llevó a la construcción de sistemas axiomáticos, donde a partir de un número reducido de conceptos no definidos y de propiedades no

Aritlóleles de Elt.agira

20


demostradas se van demostrando nuevas propiedades y se van introduciendo nuevos conceptos para conformar un cuerpo de conocimientos. La influencia de la lógica sobre las matemáticas fue determinante para su conformación final. Euclides de Alejandría ( c.325-c.265 a. C.) enseñó en el famoso Museo de Alejandría y sintetizó, con fines didácticos, 105 conocimientos de matemáticas elementales de su época, organizándolos según la lógica de Aristóteles. Su obra más destacada, Los Elementos, tuvo tanto éxito que borró de la memoria hístórica todos los intentos anteriores de resumir las matemáticas de la época, y resultó un trabajo tan sólido y consistente que durante dos milenios, hasta finales del siglo xvm, fue el único libro de texto serio para la enseñanza de la geometría. Por eso, a la geometría desarrollada por los griegos se le asocia con el nombre de Euclides y se le denomina geometr(a euclidiana. Los Elementos constan de trece libros: los primeros d05 tratan de las propiedades básicas de 105 tríangulos y de los cuadriláteros, aportaciones hechas por 105 pltagértcos. Los dos siguientes abordan las propiedades del círculo y de las figuras en e1 inscritas y circunscritas, cuyo origen se encuentra en Ripócrates de Quíos (c.470-c.410 a. C.). El quinto libro trabaja la teoría de las proporciones de Eudoxo, y el sexto consiste en la aplicación de las proporciones a la geometría plana, lo que parece una aportación original del propio Euclides. Los libros del séptimo al noveno tienen también un origen pitagórico y se refieren a la teoría básica y las propiedades de loe números, progresiones geométricas y mímeros primos. Los iíltimos cuatro libros retoman trabajos realizados por Eudoxo IDpóa""" de Quíos y Teeteto (c.417-c.369 a. C.): el décimo trata de los números irracionales o segmentos inconmensurables, el undécimo de prismas y pirámides, el duodécimo de esferas, conos y cilindros, y el último, de los poliedros regulares. No es extraño que Los Elementos culminen con el es tudio de los poliedros regulares. Teeteto demostró que además de los cinco conocidos: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro, no pueden existir otros. El número cinco resultaba sugerente, pues cinco eran los planetas que entonces los astrónomos podían observar a su paso por el firmamento: Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno. No es difícil demostrar que solamente pueden existir esos cinco poliedros regulares. Por definición, loe poliedros regulares están formados por caras iguales

21

1.3 Los Elementos de Euclides

'Ietraedero

Cubo

Octaedro

Dodecaedro

Figura l. 6 Los cinco poliedros regulares que son, a la vez, polígonos regulares, y cada polígono regular lo podemos descomponer en n- 2 triángulos tomando un vértice del polígono como vértice común de los triángulos, como se observa en la figura l. 7.

Suma de ángulos internos: (n-2)180º

n

Figura l. 7 Descomposición de un polígono convexo en triángulos Como los ángulos internos de un triángulo suman 180°, los ángulos internos de un polígono regular den lados suman (n-2)180º, cantidad que habría que dividí r entre n para determinar lo que mide cada ángulo interno del polígono regular. Así, en un triángulo equilátero, miden 60°; en un cuadrado, 900; en un pentágono, 108°, y en un hexágono, 120°. Ahora bien, para formar un ángulo poliedro con el fin de construir poliedros regulares, se necestan al menos tres caras. Procederemos considerando los tipos de cara posibles: Si pegamos tres triángulos equiláteros en cada vértice, obtenemos el tetraedro. Si pegamos cuatro, se obtiene el octaedro, y si pegamos cinco en cada vértice, llegamos al icosaedro. Si queremos pegar seis triángulos, ya no podemos formar el ángulo poliedro porque sumarían 360º y quedarían en un plano, y si tomamos más de seis, los triángulos se traslaparían y tampoco podríamos formar ángulos poliedros. Por tanto, sólo existen tres poliedros regulares con caras triangulares. Pasemos ahora a pegar cuadrados. Si pegamos tres por vértice, obtenemos el cubo. Si queremos pegar cuatro, como sus ángulos sumarían 360º, no podrían formar un ángulo poliedro, y si intentamos pegar más de cuatro se traslaparían, por lo que el cubo es el único poliedro regular con caras cuadradas. Si pegamos tres pentágonos regulares, la suma de sus ángulos será 324•, por lo que se forma un ángulo poliedro que permite construir el dodecaedro regular.


22

Con cuatro pentágonos rebasamos los 360" y no se pueden construir poliedros. De la misma manera, tres hexágonos sumarían 360º, por Jo que no permiten formar ángulos poliedros, y lo mismo pasará con polígonos con más caras, pues tres de ellos rebasarán siempre los 360". Th consecuencia, los únicos poliedros regulares que se pueden construirson los cinco mencionados, llamados también s6lidos plat6nicos porque Platón ( 427-347 a. C.) los menciona en su diálogo Timeo.

Plat
Ejercicios y problemas 1.3.1 Reproduzca la demostración del teorema de Pitágoras dada por Euclides en la Proposición 47 del Libro primero de Los Elementos. 1.3.2 Enuncie y demuestre el reclprooo del teorema de Pitágoras (Proposición 48 del Libro primero de Los Elementos). 1.3.3 Existen varias generalizaciones del teorema de Pitágores, Enuncie la ley de los cosenos e interprétela oomo generalización del teorema de Pitágoras. 1.3.4 Si sobre los lados do un triángulo rectángulo trazamos semic!rculos que tienen

al lado como diámetro, ¿es cl área del semicírculo mayor igual a la suma de las áreas de los dos menores? 1.3.5 Si sobre los lados de un triángulo rectángulo construimos el mismo tipo de polígono regular, como por ejemplo, triángulos o pentágonos, ¿se sigue cumpliendo que el área del polígonoconstruido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los polígonos construidos sobre los catetos?

r.a.s Dado un rectángulo de lados a y b, construya un cuadrado con la misma área. 1.3. 7 Demuestre la fórmula para obtener el área de un triángulo a partir de la fórmula para obtener el área de un rectángulo. 1.3.8 Encuentre la fórmula para obtener el área de un polígono regular den lados. 1.3.9 Escriba las fórmulas para obtener (a) el área de un círculo y

(b) la longitud

de una circunferencia. 1.3.10

Escriba las fórmulas para obtener el volumen de: (a) prismas y (b) pirámi-

des. 1.3.11 Escriba las fórmulas para obtener el área y el volumen de: (a) cilindros, (b) conos y (e) esferas.

lA El método sintético de la geometría

23

1.4 El método sintético de la geometría La forma de demostrar los teoremas en Los Elementos es lo que se conoce ahora como el método sintético de la geometría, en contraposición con el método que descubrió René Descartes (1596-1650) en el siglo xvn de nuestra era y que se denomina método analítico, el cual será el objeto de estudio de este texto; en otras palabras, la geometría a la griega es la que se denomina geometría sintética, mientras que la Reoé 0eocatt .. geometría a la Descartes es la que se conoce como geometría analítica. No se trata, pues, de dos geometrías distintas, sino de d05 métodos distintos para estudiar la misma geometría, que es la que llamamos geometría euclidiana. En un capítulo posterior profundizaremos sobre el significado del calificativo "euclidiana" para la geometría. A lo largo de 105 estudios de primaria, secundaria y preparatoria hemos tenido contacto con la geometría "a la griega". Sin duda, una de las dificultades intrínsecas que tiene este método es que cada problema es prácticamente único y, en ese sentido, el procedirníento para resolverlo también es único. Es decir, no hay tipos preconcebídos de problemas que se resuelvan con procedímíentos rutinarios, sino que cada problema es un reto. La contraparte de esta desventaja es que las soluciones pueden resultar elegantes y bellas, según su ingenio y simplicidad. Por el contrario, el método analítico de la geometría permite convertir los problemas geométricos en problemas algebraicos y, como tales, someterlos a los procedimientos algebraicos para su solución; el álgebra permite, en ese sentido, simplificar la búsqueda de la solución en la mayoría de los casos. Una vez que se obtiene la solución al problema algebraico, se interpreta ésta en términos geométricos para tener la solución del problema geométrico original. Después de los griegos, la geometría sintética siguió su desarrollo y repuntó en 105 siglos XVTU y xrx; a estos nuevos desarrollos se les agrupa hoy en día bajo el nombre de geometr(a moderna. En los libros y Cur505 que llevan este nombre se incluye el uso de segmentos dirigidos, la demostración de nuevas propiedades de triángulos y círculos, el uso de varios ti p05 de transformaciones como la inversión y de nuevas relaciones, como la razón cruzada. La mayor parte de esos conocimientos fueron desarrollados en el siglo XIX. En el siglo XIX surgió una pugna entre los seguidores del método analítico y los seguidores del método sintético sobre cuál de 105 d05 era el mejor. En realidad no se puede hablar de superioridad de un método sobre el otro; muchos problemas se pueden resolver con ambos, otros con uno solo de ellos, y la dificultad relativa es variable cuando ambos métodos llevan a la solución. Por

La gecmetrfa euclidiana

24

tanto, deben verse como recursos coroplementarios disponibles para utilizarse de la manera más conveniente posible. Ejercicios y problemas Se dice que el cubo y el octaedro son duales, lo mismo que el dodecaedro y el icosaedro, y que el tetraedro es dual de sf mismo. 1.4.1

(a) ¿Cómo explica la dualidad en términos del número C de caras, V de vértices y A de aristas de los poliedros? (b) Dado un poliedro regular, ¿cómo se puede construir geométa-ícamente su dual? 1.4.2 Encuentre una fórmula que relacione el número de caras, vértices y aristas de los poliedros regulares. Esta fórmula se conoce como fórmula de en honor a Leonhard Euler {1707-1783), quien la demostró, y es válida para todos los poliedros convexos, aunque no sean regulares. Se sabe que esta fórmula ya era conocida por

emer,

René Descartes.

leonbard Eu!er

Capítulo LAS CÓNICAS SIN COORDENADAS

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

2.1

2

Descubrimiento de las cónicas Las cónicas según Apolonio Las cónicas como lugares geométricos Construcción de las cónicas Propiedades de las cónicas Excentricidad de las cónicas

Descubrimiento de las cónicas

Si tomamos un cono circular recto y lo cortamos con un plano perpendicular a. la. generatriz, obtenemos una curva a la que llamamos secci6n c6nica, o simplemente c6nica. La forma que toma la sección cónica depende del ángulo de apertura del cono, que es el doble del que forma la generatriz con el eje del cono. Si el ángulo de apertura es agudo, la curva es cerrada y se llama elipse; sí el ángulo es recto, la curva es abierta y toma el nombre de parábola, y final mente, si el ángulo es obtuso, la curva sigue siendo abierta y se llama hipérbola. Nótese que con esta forma de cortar el cono no se genera la circunferencia.

Elipse

Parábola

Hipérbola.

Figura 2.1 Las secciones cónicas según Menecmo Las secciones cónicas así generadas fueron descubiertas por Menecmo de Alopeconeso ( c.380-c.320 a. C.), quien las utilizó para dar solución a un famoso problema griego planteado desde hacía un siglo. 25

Las c6nicas sin coordenadas

26

Los problemas siguientes se conocen como problemas clásicos griegos:

• Duplicar el Ctlbo: dado un cubo cualquiera, construir otro cubo que contenga el doble del volumen del primero.

• Trisecar el ángulo: dado un ángulo cualquiera, dividirlo en tres ángulos iguales.

• Cuadrar el círCtllo: dado un círculo cualquiera, construir un cuadrado que posea la misma área que el círculo dado.

Estos problemas deben resolverse utilizando únicamente regla y compás, donde se debe entender por regla una regla no graduada, es decir, quesirva para trazar rectas, pero no para medí r distancias. Menecmo logró resolver el problema de la duplicación del cubo mediante la obtención de dos medias proporcionales entre a y 2a, o sea, a partir de la construcción de la doble proporción a::&:::&:

y :: y: 2a,

es decir,

Figura 2.2 Duplicación del cubo

De estas proporciones surgen dos ecuaciones: al»

= x/y y a/x = y/2a,

que

escribimos x2 = ay, xy = 2a2. Hoy sabemos que estas ecuaciones corresponden a una parábola y a una hipérbola, respectivamente. Si tomamos la intersección de ambas, es decir, si las resolvemos simultáneamente, obtenemos: :c3 = x2x = axy = 2a3. Por tanto, si partimos de un cubo de lado a, el segmento x será el lado de un cubo del doble de volumen, situación que se ilustra en la figura 2.2. Si Menecmo vivió antes que Euclides, entonces, ¿por qué no aparecen las secciones cónicas en Los Elementos? Esto obedece al hecho de que el estudio de estas curvas no era parte de las matemáticas elementales de esa época. De hecho, Euclides escribió, entre otras obras distintas de Los Elementos, una dedicada a las secciones cónicas cuyo contenido desconocemos, ya que se

2.2 Las c6nicas de Apolonio

perdió. Con esta obra ocurrió lo mismo que con los demás Elementos, o sea, las síntesis de las matemáticas griegas elementales que habían compuesto otros matemáticos anteriores a Euclides: Apolonío de Perga (c.262-c.190 a. C.) escribió la obra Las Cónicas, un tratado que por su amplitud y profundidad hizo que cayeran en desuso todas las obras anteriores sobre el terna, incluida la de Euclides.

27

Apoloruo de P
Ejercicios y problemas

una figura consiste en construir el cuadrado que tenga la misma área que la figura original. Dado un rectángulo de lados a y b, oonstruya el cuadredo de lado :i: que tiene la misma área.. 2.1.1

Ouadmr

2.1.2

Dado un triángulo, construya un cuadrado de igual área..

2.1.3

¿Es posible cuadrar cualquier polígono regular?

2.2

Las cónicas de Apolonio

Las Cónicas, de A polonio, es una obra que consiste en ocho libros, de los cuales solamente los primeros cuatro se conservaron en griego; sin embargo, los siete primeros se conservaron en su traducción al árabe, de modo que sólo el octavo se perdió. De inicio, Apolonio cambia la manera de generar las cónicas, pues en lugar de modificar el cono, 6ja éste y lo que cambia es la manera como el plano lo corta: si el plano es perpendicular al eje del cono, la sección es una circunferencia; si a partir de ahí vamos inclinando el plano con respecto al eje, obtenemos una elipse; si continuemos inclinándolo hasta que quede paralelo a una generatriz, se rompe la elipse y se tiene una parábola; y si a partir de ese punto seguimos inclinando el plano, tendremos que la sección es una hipérbola. Apolonio considera las dos ramas del cono, de modo que la hipérbola consta también de dos ramas. Los nombres de las secciones cónicas se deben a Apolonio. Consideremos el caso de la parábola, que proviene de la palabra parnbo/é (rro:po:/30:>..r¡), que significa aplicado. Que se pueda "aplicar" una figura sobre otra quiere decir que tienen la misma área porque una de ellas puede descomponerse en partes, reacomodarse y hacerse coincidir con la otra. En este caso, el rectángulo formado por el lado recto y la abscisa "se aplica" sobre el cuadrado construido sobre la ordenada, como se muestra en la figura 2.4.


28

'' . ··..: .. .... Parábola

Elipse

Hipérbola

Figura 2.3 Las secciones cónicas según Apolonio A,= A,

T

v'=rz

ll

F: foco

r : Iado recto

:z: : abscisa 11 : ordenada

Figura 2.4 Origen del nombre parábola

En el caso de una eli pse, al cuadrado construído sobre le. ordenada le falta área para igualar la del rectángulo construido sobre le. abscisa y el lado recto. La palabra eleípsis (e>.eml/n,) significa le falta, y de ahí surge la palabra elipse. p

A,

l l

11-<

r

A,

---

T

11

A1 < A,

y'< rz F: foco

r : lado recto :z: : abscisa

11 : ordenada.

Figura 2.5 Origen del nombre elipse Por su parte, en el caso de la hipérbola, el área del cuadrado construido sobre la ordenada excede al área del rectángulo formado por el lado recto y la abscísa. La palabra hiperbolé (vrrsp/30>.r¡) significa excede, y de ella se derivó la palabra hipérbola.

2.3 Las a5nicas como lugares geométricos

29

l

11 11--t

1

A,> A2 ¡f > rx F: foco r : lado recto

z : abscisa 11 : ordenada

Figura 2.6 Origen del nombre hipérbola Ejercicios y problemas 2.2.1 Usando un foco luminoso y un anillo delgado, genere las cónicas con la sombra

del anillo: (a) moviendo el anillo y (b) moviendo el plano de proyección. 2.2.2 Compare los métodos para. generar las cónicas propuestos en el ejercicio 2.2.1 con el utilizado por Apolonio. 2.2.s ¿Qué curva. resulta

2.3

al cortar con un ple.no un cilindro circular recto?

Las cónicas como lugares geométricos

Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos del plano o del espacio que satisfacen una o varias condiciones geométricas. Por ejemplo, una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo C. Al punto fijo C se le llama centro de la circunferencia y a la distancia 6ja r que hay de los puntos de la circunferencia al centro, se le llama radio de la circunferencia. De igual manera, una esfera es el lugar geométrico de todos los puntos del espacio que equidistan, a una distanciar, de un punto fijo C. El punto fijo es el centro de la esfera y la distancia fija r es su radio. Vamos ahora a obtener las propiedades que definen a las secciones cónicas oomo Jugares geométricos. Para ello cortamos un cono con un plano ,r para obtener una elipse y colocamos en el interior del cono, de cada lado del plano, una esfera tangente a ambos, como se muestra en la figura 2. 7. Estas esferas reciben el nombre de esferas de Dandelin por el matemático belga Germinal Pierre Dandelin ( 1794-1847), quien junto con su compatriota Lambert Adolphe Jacques Quetelet (1796-1874), las descubrió y utilizó en 1822.

Las cónicas sin coordenadas

30

L&mbat Adolphe

GcnniniJ Pierre

Oanddm

Jaa¡uos

Quetolet

Del hecho de que las longitudes de las dos tangentes que se pueden trazar desde un punto exterior a una circunferencia son iguales, se sigue que las longitudes de las tangentes trazadas desde un punto exterior a una esfera son iguales. Es fácil entonces observar que los puntos de tangencia de las esferas de Dandelin con el cono son dos circunferencias cuyos centros están sobre el eje del cono y cuyos puntos equidistan del vértice del cono, que la distancia entre dos puntos A y B de las dos circunferencias de tangencia que están sobre la misma generatriz es constante, y que cada esfera toca en un solo punto F1 o F2 al plano s , como se muestra en la figura 2.7. De aquí se deduce que para

-

--

------

\

'r

''

1 1 1 1 1

..._-l.-_

PF', +PF', = AP+ PB= AB Figura 2. 7 La elipse como lugar geométrico

cualquier punto P sobre la elipse se tiene que:

PF1=AP por lo que:

PF¡

y PF2=PB,

+ PF2 = AP + PB = AB =constante.

2.3 Las a5nicas como lugares geométricos

31

Dicho con palabras, "la elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es una constante". Recíprocamente, sólo los puntos de la elipse satisfacen esta condición, por lo que la condición define el lugar geométrico llamado elipse. A estos puntos fijos se les llama focos de la elipse. Nótese que la circunferencia se puede considerar un caso especial de la elipse, cuando los focos coinciden. Consideremos el caso de la parábola: ahora solamente podemos ajustar una esfera de Dandelin, que toca al cono en una circunferencia y al plano 1r en un punto F, como se muestra en la figure. 2.8.

"'

'

''

' '<'

''

'

PP= PM =AB = PC Figura 2.8 La parábola como lugar geométrico 'Tomemos cualquier punto P sobre la parábola y consideremos 1r2, el plano que lo contiene y que es paralelo al plano 1r1, el cual contiene a la circunferencia de tangencia de la esfera con el cono. Entonces es fácil demostrar que: PF' = PM =BA = PC, donde PC es paralelo a BA. Bito demuestra que "la parábola es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan a un punto fijo y e. una recta fije.". El punto fijo F es el foro y la recta fija ó es la directriz de la parabola; en este caso, la directriz es le. intersección de los planos 1r y 1r1• Por último, consideremos el caso de la hipérbola: aquí podemos ajustar dos esferas de Dandelin, una en cada rama del cono, que tocan al plano 1r en los puntos Pi y P2, como se observa en la figura 2.9. Nótese que 1r no necesita ser


32

paralelo al eje del cono. Tomemos un punto P cualquíera sobre la hipérbola y consideremos la generatriz del cono que pasa por P, la cual toca a las esferas de Dandelin en los puntos A y B, respectivamente. Entonces, PF2 = PB, PF1 = PA y se tiene que: PF2 - PF1 = PB - PA = AB = constante, con lo que hemos demostrado que "la hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos es una. constante".

. . ' -- ~ .. :~, ..........e_ . -',

-,

PH-PFi=PB-PA=AB Figura 2.9 La hipérbola. como lugar geométrico

Los puntos fijos F1, F2 son los focos de la hipérbola. Apoi orno trabajó con los focos de la elipse y de la hipérbola, aunque el nombre de foco se debe a Johannes Kepler (1571-1630). Fue Papo de Alejandría (c.290..c.350) quien trabajó con el foco de la parábola y con su directriz, así como con las directrices de la elipse y de la hipérbola. En estos dos últimos casos, las directrices corresponden a las rectas donde se intersecta el plano secante 1r con los planos 1r1 y 1r2 que contienen a las circunferencias de tangencia. de las esferas de Dandelin con el cono, situación que se ilustra en la figura 2.10, y que demostraremos en la. sección 2.6. Ejercicios y problemas 2.3.1 Dado un segmento AB, su mediatriz es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan a sus extremos A y B. Muestre que la mediatriz es una recta.

2.4 Construcci6n de las c6nicas

33

...

Figura. 2.10

'' '' '''

-----~::- ' . ....

Las directrices para la. elipse y la. hipérbola

2.s.2 Dado un segmento, construya su mediatriz usando regla y compás. 2.S.3 Demuestre que en un círculo la tangente es perpendicular al radío en el punto de tangencia.. 2.S.4 Demuestre que las tangentes trazadas a una circunferencia desde un punto externo tienen la misma longitud. Demuestre que las tangentes trasades desde un punto externo a una esfera tienen la misma longitud. 2.3.5

2.3.6 Demuestre que los puntos donde las tangentes trazadas desdo un punto fijo externo a una esfera tocan a~. forman una circunferencia. 2.S.7 Demuestre que los segmentos determinados por la intersección de dos planos paralelos con dos rectas transversales paralelas, son de la misma longitud.

2.4

Construcción de las cónicas

De todos es conocido cómo se puede trazar una circunferencia con un pedazo de cuerda. Basta. fijar un extremo y si con la. cuerda tensa. giramos ésta. alrededor de ese punto, el otro extremo describirá una circunferencia cuyo radio será. el largo de la cuerda.


34

De igual manera, es posible trazar mecánica.mente una. elipse con un pedazo de cuerda de longitud fija L. Para ello fijamos dos puntos que disten menos que L. Si fijamos cada extremo de la. cuerda en uno de ESOS puntos fijos y, manteniendo la cuerda. tensa, la vamos jalando en distintas direcciones, los puntos donde se dobla. la. cuerda. Figura. 2. u describen una. elipse cuyos focos son los dos Construcción mecánica puntos fijos dados. de una elipse Por ejemplo, si colocamos un anillo deslizable sobre la cuerda y en él un lápiz, al mantener la. tensión sobre la cuerda. y deslizar el anillo a lo largo de ella, el lápiz dibujará una elipse. Este método se conoce como "método del jardinero" para trazar la elipse, y se ilustra en la figura 2.11. Los puntos extremos de la elipse se llaman vértices, el segmento que los une, eje mayor, el punto medio del eje mayor es el centro de la elipse y se llama eje menor al que es perpendicular al eje mayor y pasa por el centro; es fácil demostrar que la longitud L es igual a la distancia entre los vértices. En la figura 2.12 se muestran algunas relaciones entre estas distancias. Vi V. = 2a : eje mayor 8182 = 2b: eje menor F,F, = 2c: dist8JlCia tnterfocal e: centro PF,+PF2=2a=L

o•= li' +é'

B, Figura 2.12 Descripción de la elipse Nótese que si Les fija y movemos los focos, a medida que éstos se acerquen la elipse se irá pareciendo más y más a una circunferencia, y entre más se alejen, se hará. más y más alargada. Por medio del concepto de excentricidad, que definiremos posteriormente, se puede medir qué tan alargada es una elipse. Entre menos excéntrica, más se parece la elipse a una circunferencia; en el caso extremo de que los focos coincidan, diremos que la excentricidad es cero, y la elipse se convierte en una circunferencia. Hay otra manera de construir la elipse a partir de sus focos F,, F2 y su eje mayor 2a: tomando uno de los focos como centro, digamos F2, trazamos una circunferencia C de radio 2a; por el otro foco, Fi, hacemos pasar una.

2. 4 Construcción de las cónicas

35

circunferencia C' cualquiera que sea tangente a C; el centro P de C' satisface la condición P F'1 + P F'z = 2a y, por tanto, se encuentra sobre la elipse que se quería construir. Este caso se ilustra en la figura 2.13. Para trazar C' se fija primero el punto de tangencia. G; el centro P estará en el segmento F2G y en la mediatriz de F', e.

radio de C = 2a

PF'1 + PF2 = PF'2 + PG \

\

', .... _

_.,.""\,. .... _ .....

=F2G=2a

Figura 2.13 Construcción de la elipse

Figura 2.14 Construcción de la parábola Para construir una parábola partimos de su foco F' y de su directriz ó y, sabiendo que los puntos P de la parábola equidistan de ambos, los localizamos de la manera siguiente: primero bajamos la perpendicular del foco a la directriz; su punto medio está en la parábola. Enseguida tomamos cualquier recta >. perpendicular a la directriz ó y nos fijamos en el punto G donde se intersectan ambas. Como la mediatriz del segmento F'G contiene todos los puntos que equidistan de F y de G, entonces el punto de intersección P de esta mediatriz con >. será equidistante del foco F y de la directriz{¡ y, por tanto, pertenecerá a la parábola. Procediendo de esta forma podemos obtener cualquier punto de la parábola. Esta situación se ilustra en la figura 2.14. Para construir mecánicamente una parábola, o al menos un arco de parébola, procedemos como se ilustra en la figura 2.15. Trazamos el foco F y la.


36 directriz

ó y colocamos una escuadra

con su lado más corto sobre la directriz. Tomamos un punto A en la F orilla. de la. escuadra, de modo que la distancia AB sea mayor que la disB tancia AF, donde B es la esquina. de la escuadra, y tomamos una cuerda Figura 2.15 de longitud AB, cuyos extremos fiConstrucción mecánica jamos en F y en A. Tensando la de una parábola. cuerda para que se man tenga. pegada a. la escuadra, obtenemos un punto P que está sobre la parábola, porque la distancia de P a F es igual a la distancia de P a ó. Si deslizamos la. escuadra sobre la directriz, P describirá un arco de parábola. Veremos ahora o6mo construir una. hipérbola cuando conocemos sus focos F1, F2 y sus vértices V., \f:i, que son los puntos de la hipérbola que se encuentran sobre la recta. que une sus focos. A la distancia V. V:i se le llama eje principal o eje real de la hipérbola, Obsérvese que en la elipse la distancia interfocal es menor que la longitud del eje mayor, mientras que en la. hipérbola. la distancia. entre 105 vértices es menor que la. distancia interfoca.l. Sabemos que todos los puntos P de una rama. de la hipérbola satisfacen la. propiedad de que P P1 P P2 = Vi V:! = 2a.

radio de C = 2a P F1 P F2

=

P Fi

PG

GF1 =2a

Figura 2.16 Construcción de la hipérbola Con centro en uno de los focos, digamos P1, construimos una circunferencia.

C de radio 2a. Tomamos ahora cualquier radio de C cuya. prolongación exterior

a. C quede hacia el lado donde está el otro foco y Jo prolongamos así; sea G en C el extremo de ese radio. Entonces, la mediatriz de F2C intersecta. a la prolongación del radio en un punto P, que es el centro de la circunferencia. C' que pasa por F2 y es tangente a C en G; luego, el centro de C' está sobre la hipérbola que se buscaba construir. Para obtener la otra rama, basta con intercambiar el papel de los focos. Esta situación se muestra en la figura 2.16.

37

2.5 Propiedades de las afnicas

También podemos construir mecánicamente una hipérbola, o un arco de hipérbola: fijamos una tachuela en cada foco, Fi,H; tomamos una cuerda, uni mos sus extremos y los tomamos con una mano; rodeamos una de las tachuelas con la cuerda y pasamos los dos extremos por un lado de la otra tachuela; fijamos el lápiz en un punto de la cuerda de modo que, al tensarla, la diferencia de distancias P Pi PF2 tenga el valor deseado, y luego la jalamos desde los extremos que, por estar unidos, mantendrán constante la diferencia P F1 P F2• Por tanto, P describirá un arco de hipérbola. Esta construcción se ilustra en la figura 2.17.

''

''

''

'

Figura 2.17 Construcción mecánica de una hipérbola

Ejercicios y problemas 2.4 .. 1 Demuestre que si dos círculos son tangentes, la recta de sus centros pasa por el punto de tangencia. Considere los dos casos posibles. 2.4.2 Dada una circunferencia, localice su centro usando solamente regla y compás. 2.4.S Dada una elipse, localice su centro usando solamente regla y compás.

2.5

Propiedades de las cónicas

Ya hemos mencionado cómo Menecmo, el descubridor de las cónicas, las utilizó para resolver uno de los problemas clásicos griegos: la duplicación del cubo. Uno de los más grandes matemáticos de la antigüedad fue Arquímedes de Siracusa (282-212 a. C.), quien estudió sus propiedades y las utilizó. Una propiedad que conocía muy bien es la siguiente: en todo punto P de una parábola, la paralela al eje de la parábola y el segmento que lo une al foco F forman ángulos iguales con la tangente a la parábola en P. En el capítulo 7 demostraremos esta propiedad usando las técnicas de la geometría analítica; aquí lo haremos utilizando el método sintético.

Arqulmecksde Slr&CU.Sa


38

Consideremos una parábola de directriz ó y foco F; sea .>. el eje de la parábola, que une el foco F con el vértice V y corta perpendicularmente a la directriz ó en el punto R, oomo se muestra en la figura 2.18. Tomemos >,."

''

' SP----'I Rt-'--1-t-:-;-~.,..-~~~~~

Figura 2.18 Demostración de la propiedad focal de la parábola ahora un punto P sobre la parábola y tracemos la línea .>.' que pasa por P y es perpendicular a la directriz ó en el punto Q. Finalmente, sea A" una recta que pasa por P y forma un mismo ángulo a con la recta .>.' y el segmento P F. Queremos demostrar que .>." es tangente a la parábola; para ello procederemos por el método de reducción al absurdo. Así, supondremos que A" no es tangente a la parábola y llegaremos a una contradicción. Si .>." no es tangente, entonces corta a la parábola en otro punto P'. Por ser opuestos por el vértice, L.Q P P' = a y en consecuencia. P P' es la bisectriz del ángulo QP F, pero como el triángulo Q P F es isósceles, P P' también es la med.iatriz de QF, por lo que P'Q = P' F; pero como P' está también en la parábola, P'S = P' F, es decir, su distancia a la directriz es la misma que su distancia al foco, y de estas dos igualdades se sigue que P'Q = P' S. Esta es una contradicción, pues en el triángulo rectángulo QSP', la hipotenusa P'Q mediría igual que el cateto P'S. Consecuentemente, la recta A" es tangente y queda así demostrada la llamada propiedad focal de la parábola. La propiedad focal de la parabola tiene grandes consecuencias: si giramos una parábola alrededor de su eje, obtenemos un paraboloide de revolución. Debido a que cuando un rayo de luz incide sobre una superficie el ángulo de incidencia coincide con el ángulo de refiexión, si el paraboloide se pone en línea oon un haz luminoso tan lejano que los rayos lleguen paralelos, todos los rayos, al reflejarse, pasarán por el foco, como se ilustra en la figura 2.19.

2.5 Propiedades de las afnicas

39

Arquímedes usó esta propiedad para construir grandes espejos parabólicos con los que incendió barcos romanos durante el sitio y toma de Siracusa, acción en la que perdió su vida, en el 212 antes de nuestra era. El uso moderno de esta propiedad se da en las antenas parabólicas, que sirven para conFigura 2.19 centrar y captar las ondas electromagnéticas, o en la construcción de espejos parabólicos muy grandes Propiedad focal para producir calor y energía eléctrica. También alde la parábola gunas lentes se basan en esta propiedad, así como la litotripsia, que consiste en concentrar ondas ultrasónicas en un punto para destruir cálculos, sobre todo renales. En sentido inverso, los faros de los automóviles, con su forma de paraboloide, envían hacia el frente la luz ubicada en el foco. La elipse también tiene una propiedad focal parecida a la de la parábola: los segmentos que unen a los focos con un mismo punto de la elipse forman ángulos iguales con la tangente a la elipse en ese punto; esto implica que si un rayo de luz sale de un foco y se refleja en la elipse, necesariamente pasará por el otro, como se ve en la figura 2.20, y lo mismo pasará con una onda sonora.

Figura 2.20 Propiedad focal de la elipse Si tomamos una elipse y la giramos sobre su eje mayor, obtenemos un elipsoide de revolución; con medio elipsoide podríamos construir un techo que permitiría escuchar en uno de los focos todo lo que se dijera en voz baja en el otro foco; esto es lo que se llama cámara de murmullos. Durante la edad media se hicieron muchas construcciones con esa característica, principalmente religiosas.

Es posible demostrar con facilidad la propiedad focal de la elipse utilizando las esferas de Dandelin, como se ilustra en la figura 2.21. Siguiendo la notación de esta figura, se tiene que PF1 = PA, OFi = OA y OP es lado común, por lo que los triángulos OP F1 y 0.P A son iguales; de la misma manera, P F2 = P B, O B = OF2 y OP es común, por lo que los triángulos OP F2 y O .PB son iguales. Por tanto, LOPF1 + LOPF2 = LOPA + LOPB = 180º.


40

Como también LOPF2 + LO'PF2 = 180°, se sigue que LOPF1 = LO'PF-i, como se quería demostrar.

'

_'...' ' ~'

. '

- ... -·'- ... -

- .... ,..,...' _

Figura 2.21 Demostración de la propiedad focal de la elipse Después de Papo de Alejandría, quien como dijimos vivió en el siglo IV de nuestra era, decayó el estudio de las cónicas, hasta que el astrónomo y matemático alemán Johannes Kepler (1571-1630), después de cuidadosos es tudios y observaciones hechas en Praga, en el observatorio del danés Tycho Brahe (1546-1601), planteó sus tres leyes del movimiento planetario:

• Primera ley: los planetas giran alrededor del Sol siguiendo órbitas elípticas en las que éste ocupa uno de los focos. • Segunda ley: el radio vector que une un planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. • Tercera ley: el cuadrado del periodo de revolución es directamente proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita.

Tyeho Bre.he

2.5 Propiedades de las cénicas

41

Estas leyes, obtenidas de la sola observación del movimiento de los planetas, revelan un ingenio y una capacidad de síntesis asombrosos. Estos mismos calificativos se los podemos adjudicar al trabajo de Isaac Newton (1642-1727), quien estableció la ley de la gravitación universal y las tres leyes de la mecánica.

• Ley de la gravitación universal: dos cuerpos se atraen en proporción

directa a sus masas y en proporción inversa al cuadrado de su distancia.

Leyes de la mecánica • Primero ley: un cuerpo mantiene su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, a menos que actúe sobre él una fuerza externa. • Segunda ley: la aceleración que experimenta un cuerpo como consecuencia de la aplicación de una fuerza, multiplicada por la masa del cuerpo, e, igual a la fuerza aplicada, F = ma.

• Tercera ley: a toda fueras de acción corresponde una fuerza de reacción de igual magnitud, pero de sentido contrario. Estas fuerzas actúan sobre cuerpos distintos. A partir de las leyes descubiertas por Newton y usando técnicas de cálculo y ecuaciones diferenciales, fue posible demostrar la validez de las leyes de Kepler. Y no sólo eso, sino que se sigue que todos loe cuerpos celestes se mueven a lo largo de cónicas. Por ejemplo, loe cometas pueden seguir órbitas elípticas, aunque mucho más excéntricas que las de loe planetas; en rete caso, la visión del cometa desde la Tierra es periódica, como ocurre con el cometa Halley. También puede un cometa seguir una trayectoria parabólica o hiperbólica, lo cual depende de su masa y de la velocidad con que se acerque al Sol. Si la velocidad no es suficientemente grande, la atracción gravitacional del Sol Jo atrapa en una órbita elíptica. Usando también técnicas del cálculo, es posible demostrar que, si no se toman en cuenta factores como la resistencia del aire, la trayectoria que sigue un proyectil, desde una piedra hasta una bala de cañón o un cohete, es parabólica. Esta trayectoria parabólica se puede modificar en el caso de que la fricción del proyectil con el aire sea significativa. Para concluir esta sección, comentaremos que las cónicas son básicas para el estudio de curvas y superficies. Ejercicios y problemas 2.5.1 Explique el funcionamientode las antenas persbóltces.


42

2.5. 2 Explique el funcionamient.o de IBs "cámaras de murmullos". Explique la manera en que una lupa puede concentrar los rayos del sol y encenderun fuego. 2.5.3

2.5.4 Explique cómo se pueden utilizar ESpejos para producir energía eléctrica y calor.

2.6

Excentricidad de las cónicas

En una parábola, la distancia de cada punto P al foco F es ígual a su distancia a la directriz ó¡ si denotamos con D al pie de la perpendicular bajada de P a ó, entonces PF/PD = 1, es decir, el cociente PF/PD es constante. Demostraremos que ese cociente también es constante para la elipse, lo llamaremos excentricidad y lo denotaremos por e; así, resulta que e = 1 para la parábola, y se demostrará que O < e < 1 para la elipse y e > 1 para ta hipérbola. Para la demostración, seguiremos la notación de la figura 2.22, en donde se muestra una elipse como sección de un cono, y sus esferas de Dandelin. Sea P un punto sobre la elipse y F, uno de sus focos, y sea "'f la generatriz del cono que pasa por P. Denotamos con C al pie de la perpendicular bajada de P al plano 1r2, con B al punto de 'Y que se encuentra en el plano 1r2 y con D al pie de la perpendicular bajada del punto P a la directriz 61 que es la recta de intersección de los planos 1r y 1r2; entonces se forman los triángulos rectángulos PCB y PCD mostrados en la figura 2.22, en los que cosa = PC/ PB y cos fJ = PC / P D. Como PF1 = P B por ser ambas tangentes desde P a la esfera E1, entonces, PF1 == PD

PB PD

PB/PC 1/cosa cosf3 = ==e PD/PC 1/cos{J cosa

es constante, pues los ángulos a y {) son constantes. A la cantidad e la llamamos excentricidad de la elipse. Con F2 y ~ podemos hacer una deroostración semejante, con el mismo resultado. Si analizamos la figura, observaremos que /3 > a y que, por tanto, e < l. Si dejamos fijo el cono, el ángulo o se mantendrá fijo, y si aumentamos {J, la elipse se parecerá cada vez más a una circunferencia y e disminuirá, aproximándose a O; en el límite, {J será de 90º, los planos n, 1r1 y 1r2 serán paralelos, la curva será una circunferencia, e = O, F1 = F2 y las directrices se habrán ido al infinito. Por el contrario, si f3 disminuye, e aumentará y en el límite en que fJ

2. 6 Excentricidad de las c6nicas

43

,. ,

t~~·~~~.'.$~~f: : .==~~¡Jo p~

e

p~

"• oos/3=

IT

D

e

:DC

ªPe

COSCI'.=

PF,

PB

PD = PD

=

PB/PC

PB

oos/3

PD/PC =~

Figura 2.22 Excentricidad de la elipse alcance a a, 1r será paralelo a la generatriz del cono, la curva será una parábola y se tendrá e = l. Si continuamos disminuyendo (3, la excentricidad seguirá aumentando, y la curva será una hipérbola. En resumen, e = ; ~, o sea, el cociente de la distancia del punto de la córnea al foco sobre la. distancia del punto a la directriz es constante y se llama. excentricidad de la córnea. Para una circunferencia, e = O; para una. elipse, O < e < l; para una parábola, e= 1, y para una. hipérbola, e > l. Ejercicios y problemas 2.0.1 Dados un punto y una recta cue.Jesquiera como foco y directriz, trace la

parábola. 2.a.2 Tomando un punto cualquiera como foco y una recta cualquiera como directriz, trace a partir de ellos una hipérbola de excentricidad 2. 2.6.s Tomendo un punto cualquiera como foco y una recta cualquiera como directriz, trace a partir de ellos una elipse de excentricidad 1/2.

Capítulo MÉTODO DE COORDENADAS

3

3.1 Método de Descartes 3.2 Loca.lizaciónde puntos en la recta y en el plano 3.3 Localización de puntos en el espacio 3.4 Distancia entre puntos 3.5 División de un segmento en una razón dada 3.6 Inclinación y pendiente de rectas en el plano 3. 7 Ángulo entre dos rectas en el plano 3.8 Dirección de rectas en el espacio 3. 9 Ángulos formados por dos rectas o por dos planos

3.1

Método de Descartes

René Descartes (1596-1650) fue un matemático y filósofode origen francés que publicó en 1637 un tratado que llamó Discurso del método paro conducir /nen su razón y buscar la verdad en las ciencias, al que se le conoce popularmente como Discurso del método. Este trabajo contenía tres apéndices a manera de ejemplos de aplicación de dicho método: La dióptrica, Los meteoros y La geometría. La dióptrica es un tratado sobre óptica, Los meteoros es un intento de poner el estudio del clima sobre una base científica y La geometría plantea una nueva manera de estudiar esta rama de las matemáticas, y que hoy conocemos como geometría analítica. La geometría analítica se basa en representar puntos por medio de números y lugares geométricos por medio de ecuaciones, de tal manera que un problema geométrico se puede convertir en uno algebraico. Este aspecto de la geometría analítica fue enfatizado por Descartes. Pierre de Ferrnat (1601-1665), otro matemático francés, trabajó independientemente en el problema de estudiar de manera geométrica las ecuaciones. Así, aunque con distintos énfMis, ambos iniciaron el estudio de la geometría analítica, el crédito se le atribuye usualmente a Descartes porque su planteamiento fue más general y visionario. 45

Método de coordenadas

46

En resumen, la geometría analítica permite transformar problemas geométricos en problemas algebraicos, resolver éstos utilizando las técnícas del álgebra y luego transformar la solución algebraica en una solución geométrica para el problema original. De igual forma, un problema algebraico puede transformarse en problema geométrico, resolverse geométricamente, y el resultado convertirse al lenguaje algebraico para resolver el problema algebraico original.

3.2

Localización de puntos en la recta y en el plano

Cuando consultamos el plano de una ciudad, podemos ubicar un lugar o una calle por medio de una letra y un número, que permiten localizar el rectángulo o cuadro del plano donde se encuentra el lugar buscado, como se ilustra en la figura 3.1. En este caso, por ejemplo, el lugar buscado, marcado con x, está en el rectángulo 5C, o C5, como deseemos designarlo, pues no hay confusión. 1

2

3

4

5

6

A B

A B

e

e

X

o

o

E

E 1

2

3

4

5

6

Figura 3.1 Localización de lugares en un plano Si en lugar de usar letras usamos números solamente, podemos seguir localizando el rectángulo donde está el lugar que buscamos, siempre que distingamos cuál número se refiere a la fila y cuál a la columna donde está el rectángulo buscado. Esta distinción la podemos hacer, por ejemplo, escribiendo la pareja de números en la forma (m, n), y que el primer número, la m, se refiera a la columna, y el segundo, la n, se refiera a la fila; así, en lugar de 5C, escribiríamos (5,3). Es claro que entre más pequeños sean los rectángulos, mayor será la precisión con que el plano permitirá localizar el lugar que buscamos. Si nos vamos al extremo, los lados de los rectángulos se convertirían en puntos y la identificación sería precisa si a cada punto de la recta pudiéramos asignarle un número. Por fortuna, esto es posible, como veremos enseguida. Para empezar, recordemos que los números que utilizamos se llaman nú meros reales, los cuales podemos dividir en números racionales y en números

47

3.2 Localizaci6n de puntos en la recta y en el plano

irracionales. Son números racionales los que se pueden escribir como el cociente o razón de dos enteros y números irracionales los que no se pueden representar así. Por ejemplo, son racionales 2, 5/ 4, 3.287, y son irracionales ../2, ./3, 1r. Aunque hay una cantidad infinita de números de cada clase, se puede asegurar que son muchos más los irracionales que los racionales. Una característica de los números racionales es que su expansión decimal es finita o infinita periódica, es decir, un número finito de dígitos se repite indefinidamente en el mismo orden. Por ejemplo, 5/4 es 1.25 y 1/3 es 0.3333... Los números irracionales tienen expansiones decimales infinitas aperiódicas. Consideremos ahora una recta, que por facilidad representaremos horizontalmente, y supongamos, como nos dice nuestra intuición, que no le faltan puntos, o sea, que no tiene hoyos, que es continua. Sobre la recta señalamos un punto, al que llamaremos O u origen, y distinguimos un sentido, al que llamamos sentido positivo, y que tomaremos hacia la derecha. Fijamos una unidad mediante un punto en la dirección positiva, y lo denotamos l. A una recta con estas característícas la llamamos recta numérica porque a cada número real le podemos asignar un punto de la recta y a cada punto de la recta, un número real, de la manera que mostraremos enseguida. Tomando la unidad de medida y avanzando hacia le. derecha, localizamos los puntos que corresponden a los enteros positivos. Tomando la unidad de medida y avanzando hacia la izquierda a partir de O, localizamos los enteros negativos. Esto se muestra en la figura 3.2. -4

-3

-2

-1

o

1

2

3

4

Figura 3.2 Localización de los enteros en le. recta numérica Dado un segmento AB, mediante regle. y compás lo podemos dividir en cualquier número n de segmentos iguales mediante el siguiente procedimiento: En el extremo A del segmento trazamos un segmento auxiliar AC, sobre éste trazamos con el compás y con cualquier abertura, n segmentos iguales; luego, el extremo de este último segmento, An, b unimos al extremo B del segmento inicial. Por cada A..: trazamos segmentos paralelos a AnB, cuyas intersecciones con AB nos darán los puntos B1, Si, ... , B«: 1 requeridos para nuestra construcción, como se ve en la figura 3.3. A partir de esta construcción, podemos asignar un punto a cada número racional, descomponiéndolo en su parte entera y su parte fraccionaria, diví diendo el segment.oque va de la parte entera al entero siguiente en tantas partes iguales como el denominador de la parte fraccionaría y escogiendo el extremo derecho del segmento que corresponda. al numerador de esa parte fraccíonaría. Por ejemplo, el número 22/3 es igual a 7 + 1/3, por tanto, lo ubicaremos entre


48

A

B,

Eh

B,

···

B

Bn1

Figura 3.3 División de un segmento en partes iguales

el 7 y el 8; enseguida dividimos este segmento en tres partes iguales y tomamos el extremo de la primera parte. Ese punto corresponderá al número 22/3. La situación se representa en la figura 3.4.

,, 3

1

O

7

8

figura 3.4 Loca.J.i.zación del punto que corresponde a 22/3 Para el caro de los irracionales, su localización es un poco más complicada. En algunos casos podemos localizar el punto que le corresponde mediante una construcción; por ejemplo, usando el teorema de Pitágoras podemos localizar los puntos correspondientes a

,/2 y v'3, romo se ilustra en la figura 3.5.

zt.

O

1./22

1

O

1

\!'32

Figura 3.5 Localización de los puntos que corresponden a ,/2 y

v'3

En el caso general, tomamos la expansión decimal del número irracional y consideramos sus expansiones truncadas. Si el número es positivo, las expansiones truncadas son números racionales, a los que les corresponden puntos sobre la recta numérica cada vez más a la derecha, pero cada vez más juntos; al mismo tiempo, estas expansiones truncadas van determinando cotas superiores para el resto de puntos cada vez más a la izquierda, de modo que los puntos que siguen quedan contenidos en intervalos cuya longitud tiende a cero. Es claro que entonces sólo pueden acercarse a un punto, ese punto es el que corresponde al número irracional. La justificación de este procedimiento corresponde al análisis matemático, y no abundaremos en él. Por ejemplo,

49

3.2 Localizaci6n de puntos en la recta y en el plano

para localizar el punto correspondiente e. ./2, nos lijamosen sus expansiones finitas 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, cuyos puntos correspondientes se encuentran en los intervalos [l , 2), [1.4, 1.5), [1.41, 1.42), [1.414, 1.415), etc., y se van acercando por la izquierda al mismo punto que encontramos usando el teorema. de Pítagoras, Esto se muestra en la figura 3.6.

o

1.4 1.5

\ /

1

1.4

Figura 3.6 Aproximación a.

i/2

2

1.5

./2 mediante truncamientos

Con esta. construcción, a cada número real le asociamos un único punto de la recta real y a cada punto de la recta real le corresponde un único número real. Es decir, se establece una correspondencia biunívocaentre los puntos de la recta numérica y los números reales. NOTA IMPORTANTE. Esta correspondencia biUllÍvoca entre los números reales y la recta numérica es /a piedra Mgular sobre la que se construye la geometda analítica. La recta se convierte con ella en una representación gráfica de los números reales. Dado un número, queda determinado su punto correspondiente, y dado un punto, también queda determinado el número que le corresponde. Regresemos al caso del plano. Si tomamos dos rectas numéricas perpendiculares, digamos una horizontal y le. otra vertical, de modo que el origen de ambas coincida y que la parte positiva de Je. horizontal esté hacía la derecha. y el sentido positivo de la vertical, hacia arriba, entonces cada. punto P del ple.no se puede representarmediante une. pareja ordenada. de números (x, y), donde x se refiere al pie de la. perpendicular bajada de Pala recta numérica horizontal y y al pie de le. perpendicular bajada de P a le. recta numérica. vertical. A x la llamamos la abscisa del punto P y a y su ordenada; al eje horizontal lo llamamos el eje de las abscisas y al eje vertical, el eje de las ordenadas. A x, y las llamamos coordenadas del punto P, y el eje de las abscisas y el eje de las ordenadas son los ejes de coordenadas. A este sistema de ejes de coordenadas se le llama si.stema de coordenadas cartesianas. Esta situación se ilustra en le. figura 3.7.

50

Método de coordenadas 11 11

p

,

-z

l

........ z

Figura 3.7 A cada punto P del plano le corresponde una única pareja ordenada de números reales (z, y) Recíprocamente, si damos una pareja ordenada de números reales (a, b), identificamos el punto A que corresponde a a en el eje de las abscisas y el punto B que corresponde a b en el eje de las ordenadas. Desde A y B trazamos paralelas al otro eje de coordenadas, y donde éstas se corten tendremos el punto Q que corresponde a la pareja de coordenadas (a, b), lo cual se ilustra en la figura 3.8. 11

l

·Q

B

'•

•

b

•

A'

"___,

z

Figura 3.8 A cada pareja ordenada de números reales (a, b)

le corresponde un único punto Q del plano

De esta manera, dado un sistema de coordenadas cartesianas, se ha establecido una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y las parejas ordenadas de números reales. Nótese que los ejes de coordenadas divi11 den al plano en cuatro partes, llamadas cua,. /] J drantes, que numeramos como se muestra ---+---z en la figura 3. 9. En el primer cuadrante se tienen los puntos con coordenadas positiJI/ IV "85, en el tercero los de coordenadas negatívas, en el segundo los de abscisa negativa Figura 3.9 Numeración y ordenada positiva, y en el cuarto, los de de los cuadrantes abscisa positiva y ordenada negativa. NOTA IMPORTANTE. Usualmente se toma Ja misma unidad de medida en los dos ejes de coordenadas; en caso contrario, conviene señalarlo. Por

3.3 Localizaci6n de puntos en el espacio

51

otra. parte, incluso los ejes pueden no ser perpendiculares y se znantiene la correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y las pilrejas ordenadas de números reales; sin embargo, la. perpendicularidad de los ejes fa.cilita. los cálculos y simplifica. las expresiones algebraicas de los conceptos geométricos. En el último capítulo se estudian otros tipos de sistemas de coordenadas.

Ejercicios y problemas s.2.1 Convierta. los siguientes expresiones decimales a frsccíones comunes: (a) 2.15, (b) 2.1515151515 ... , (e) l.32132132132 ... , (d) -1.144. 3.2.2 Calcule las expresiones decimales que oorresponden a las fracciones oornunes siguientes: (a) 327/12, (b) 1/15, (e) -11/3, (d) 18.5/17. 3.2.3 Localice en una recta numérica los puntos siguientes: (a) 3.25, (b) -14/5, (e) -2v'2, (d) v'S. 3.2.4 Usando un sistema de coordenedas cartesianas, localice los siguientes puntos del plano: (a) P(3,2), (b) Q(-2,-1), (e) R(-2,3), (d) S(-l,v'2).

3.3

Localización de puntos en el espacio

Para localizar puntos en el espacio, agregaremos un tercer eje de coordenadas, perpendicular a los dos que ya tenemos, de tal manera que su origen coincida con el de los otros dos. El problema aquí consiste en que tenemos que representar en dos dimensiones lo X que sucede en tres. Para ello, dibujaremos Figura 3.10 Sistema los ejes de coordenadas como se muestra en de coordenadas cartesianas la figura 3.10, pues ésta es la manera más en el espacio común de representarlos. Para dar la sensación de profundidad, el eje de las x se ha dibujado formando un ángulo de 135º tanto con el eje de las y como con el eje de las z, además, en el eje de las x la unidad se acorta a ./2/2, que es aproximadamente O. 7, ya que si giramos 45° en dirección a nosotros un segmento unitario perpendicular a nuestra línea de vista, lo veremos de esa longitud, como se observa en la figura 3.11.

52


'1---------------~+l Figura 3.1l Vista de un segmento unitario que gira 45° Con este sistema de coordenadas establecemos ahora una correspondencia biunívoca entre los puntos del espacio y las ternas ordenadas de números reales. Dado un punto, podemos encontrar sus coordenadas proyectándolo sobre los planos de coordenadas y luego proyectando, a su vez, estas proyecciones sobre los ejes de coordenadas, como se ve en la figura 3.12. z

n:,

p

./tS>

/"}i,,.....,,,...... 11

: ,'

- - - _ ....

-11-

z Figura 3.12 Obtención de las coordenadas de un punto mediante proyecciones Otra manera de hacerlo es tomando los planos que pasan por el punto y son paralelos a los de coordenadas para formar un paralelepípedo, como se muestra en la figura 3.13. z

,

,, z ,

:

-------

,•

,, ' , '

·~ .

!

.

' : z ,--....,..,-,~.11 , ' :, , '

.

1

:

•

z Figura 3.13 Obtención de las coordenadas de un punto

mediante la construcción de un paralelepípedo Los dos métodos anteriores nos permiten el proceso inverso: dadas las coordenadas (a, b, c) de un punto Q en el espacio, localizar éste, como se muestra en la figura 3.14.

3.4 Distancia entre puntos

53

z

z

.

, 'e

>--~.~-·11 __ _b

-·----

.... ,, n , • , "'{ , ' .• :,_ - - e- - - - 1

Q

•

•

•

•

11

,;

X

Figura 3.14 Localización de puntos en el espacio Cuando se utiliza algún programa computacional para graficar, se tiene la ventaja de poder girar el sistema de coordenadas para obtener diferentes perspectivas de la gráfica. En nuestro caso, tomaremos un sistema de coordenadas ligeramente girado con respecto al que hemos presentado para el caso manual. La figura 3.15 muestra esta posición.

z

y X

Figura 3.15

Representación del sistema de coordenadas usando paquetería de cómputo

Ejercicios y problemas 3.3.1 Usando un sistema de coordenadas cartesianas, localice los siguientes puntos del espacio usando los dos métodos señalados en el texto: (a)P(3,2,l), {b)Q(-2,1,-l), (c)R(l,-2,3), (d)S(-1,2,)2).

3.4

Distancia entre puntos

L06 conceptos más primitivos de la geometría euclidiana son 106 de punto, recta y plano; por otra parte, las relaciones más básicas que podemos establecer entre estos conceptos son las de distancia y de ángulo. En las secciones anteriores logramos representar los puntos por medio de mímeros, en esta sección y las

54


que restan de este capítulo encontraremos la manera de calcular distancias y ángulos. Para medir la distancia entre dos puntos P1 (x,, Y1) y P2(x2, y2) en el plano, construimos un rectángulo tomando las rectas paralelas a loo ejes que pasan por los puntos, de modo que los puntos dados queden en vértices opuestos. La distancia entre los puntos es igual a la longitud de la diagonal del rectángulo, la cual podemos obtener por medio del teorema de Pltagoras, como se ilustra en la figura 3.16. La distancia entre dos puntos Pi y ?-i la denotaremos con d( Pi, A), o simplemente d.

~ --z,------ ,P, 11

lit

--

T ,v,-11,

,

J

Pi ~ X2 1

X1

!1

d{Pt, ~) = v'(z2 - z,}2

l

+ (112 -

!11l2

Figura 3.16 Distancia entre dos puntos en el plano Para medir la distancia entre dos puntos Pi(x1, y¡, z1) y P2(x2, in, z.i) en el espacio, construimos un paralelepípedo con planos paralelos a los de coordenadas que tenga a esos puntos en vértices opuestos, entonces, la longitud de su diagonal será la distancia entre los puntos y se puede calcular a partir de las coordenadas de los puntos usando el teorema de Pitágoras, como se muestra en la figura 3.17.

P, d(P1,C) =d(A,B)

d(P, ,P,} = v'(:t, - z1 )'

+ Gí, v,)• + (zo

z1)2

Figura 3.17 Distancia entre dos puntos en el espacio

55

3.4 Distancia entre puntos

Ejercicios y problemas 3.4.1 Calcule la distancia entre los dos puntos del plano o del espacio indicados en cada uno de los casos siguientes: (a) (3, 3) y (7, 6}; (b) (1/2, 5) y (-3, -3/2); (e) (O, O) y (a/2, a/2); (d) (6,-2,4) y (5,-4,2); (e) (-2,1,-2) y (3,-3,3). 3.4.2 Calculando las distancies entre los puntos, decida si las ternes de puntos aíguientes forman un triángulo o son colineales. En caso de formar un triángulo, decida si éste es equilátero, isósceles, escaleno o rectángulo. En todos los cesos, haga una gráfica. (a) {-4, 3), (2, -5), (3, 2); (b) (4,0),(-4,0),(-4, ./3); (c) (2,3),(-4, 1), (6,2); (d) (2,-1,0),(4,0,3),(0,-2,-3);

(e) (2,1,4),(1,-1,2),(-l,2,0).

3.4.3 Si (3, k)

y (k, -1) equidistan de (4, 2), encuentre el valor de k. Compruebe

gráficamente la solución. 3.4.4 Si la distancia entre los puntos (6, 2)

y (3, k) es 5, encuentre el valor de k.

Ilustre la situación con una figura. (Dos soluciones.) 3.4.5 Si (h, k) equidista de P(4, 3) y Q(2, 1), y también equidista de R(6, 1) y

S(-4, -5), encuentre los valores de h y k. Muestre el resultado en una gráfica. 3.4.6 Encuentre los puntos (h, k) que equidistan de los ejes coordenados y también equidistan de los puntos P(4.,0) y Q(-2,1). Muestre la situación en una gráfica. (Dos soluciones.) 3.4. 7 (a) Encuentre una ecuación que represente la mediatri.t del segmento que une los puntos (-2, 1) y (3, -1), es decir, del lugar geométrico de los puntos P(x,y) del plano que equidistan de dichos puntos. (b) ¿Qué figura geométrica representa esta ecuación? (e) ¿Cómo reinterpreta la solución de los problemas 3.4.5 y 3.4.6 a partir

de este resultado? 3.4.8 (a) Encuentre una ecuación que represente el lugar geométrico de todos los puntos P(x,¡¡,z) del espacio que equidistan delos puntos (1,-2,3) y (-2,4,1). (b) ¿Qué figura geométrica representa esta ecuación? 3.4.9 Demuestre que el cuadrado de la distancia de un punto al origen es igual a la suma de los cuadrados de sus distancias a los planos de coordenadas.


56

3.5

División de un segmento

en una razón dada Consideremos el segmento que une los puntos Pi(xi, Y1, zi) y P2(x2, !h, z2). Denotaremos mediante P,P2 al segmento que va en la dirección de P1 a P2 y diremos que es un segmento dirigido. Podemos sumar segmentos dirigidos de modo que P1P2 + P2P3 = P1P3, y si denotamos el segmento PP = O para cualquier punto P, obtenemos que P1 P2 = P2P1. Con la notación P1P2 denotaremos tanto el segmento dirigido como su longitud con signo, tomando signos contrarios cuando dos segmentos sobre una misma recta tengan sentidos contrarios; el contexto evitará cualquier confusión. Tomemos ahora un punto P(x, y, z) sobre la recta que contiene al segmento P1P2; diremos que P divide al segmento P1P2 en la razón r = PiP/PP2. Si el punto P está en el segmento PiP2, los dos segmentos estarán en el mismo seutido y r será positiva, y si está fuera del segmento, 1· será negativa. Si P está en el interior del segmento P1 P2, entre más cerca se encuentre de P1, más se acercará el valor de r a cero, y a medida que P se acerque a P2, r crecerá indefi.nidamente, manteniéndose positiva, de modo que para P en el segmento P1P2, se tiene que O < r < oo. Procediendo de manera semejante se puede observar que si P está fuera de P1P2, del lado de P11 entonces -1 < r < O, y que si P está fuera de P1P2, del lado de P2, entonces -oo < r < -1. Para introducir coordenadas, hagamos primero nuestro planteamiento en el plano, como se muestra en la figura 3.18. 11 82 ---------

P2 1 1 1 1 1

-1---~---~' --+X A,

A

A,

Figura 3.18 División de un segmento en el plano Como los segmentos A1P1, AP y A2P2 son paralelos, por el teorema de Tules, los segmentos que delimitan son proporcionales, es decir, P1P A1A x-x, r=== . PP2 AA2 x2-x Si de esta ecuación despejamos e, obtenemos: x, +rx2 x= con r#-1. l+r

57

3.5 División de un segmento en una raz6n dada Por un razonamiento semejante, podemos llegar a que: y=

l/L

+ ry2

1 +r

con r/-1.

Para el caso de segmentos en el espacio, podemos seguir exactamente el mismo argumento, proyectando los puntos no sólo sobre los ejes X y Y, sino también sobre el eje Z, como se observa en la figura 3.19, para obtener la coordenada zde P: Zt +rZ:i z= con rf-1. l+r z ' e,

Figura 3.19 División de un segmento en el espacio Ejercicios y problemas 3.5.1 Encuentre el punto medio del segmento CUYoS extremos son los puntos indi-

cados:

(a) (7,4) y (3,2}; (e) (2,-1,3) y (-4,3,-1);

(b} (-5, 1} y (3,-5}; (d} (-3/8,-5/8,1/8)

y (3/4,-1/2,1/4).

3.5.2 Encuentre en cada caso el punto que divide al segmento AB en la razón

dada. (a) A(2, l},B(3, -9), r = 4; (b} A.(-4,1),B(5,4), r = -5/2; (e) A(5,-2), B(5, -3), r = 2/3; (d} A(S,4,2),B(-13,-2,5), r=-2; (e) A(-2,5, 3),B(-10,-2,6), r = -1/2.

r

3.5.3 Encuentre los puntos de trisección de cada uno de los segmentos AB dados.

(a) A(-l,2),B(-10,-1);

(e) A(7,8),8(1,-6}; (e) A(l, l,6),B(2, 3, -1).

(b) A(ll,6},B(2,3);

(d) A(-1,2,3),8(-10,-1,3);


58

S.5.4 Si uno de los puntos extremos del segmento AB es A(4, 6, 2) y su punto medio es M(5, 2, 1 ), encuentre las coordenadas del extremo B. 3.5.5 Considere el triángulo con vértices A(4-,6), B(-2,2),

C(4,6), y sean P y

Q los puntos medios de los segmentos AB y AC, respectivamente. Demuestre que: (a) la longitud de PQ es la mitad de la longitud de BC, y (b) el segmento PQ es paralelo al lado BC. S.5.6 Si en el segmento AB so tiene que P( 4, 13) os su punto do tri.sección más cercano a A(3, 8), calculo las coordenadas del extremo B. 3.5.7 (a) Compruebe que los puntos A(2, -4), 8(5, 2) y P(3, -2) son colíneales, y (b) encuentre las coordenadas del punto Q que divide externamente a AB en la misma razón (pero de signo contrario) en que P lo divide internamente. 3.5.8 Si la longitud del segmento AB es 3, A es el punto {1, 1,0) y las coordenadas y y z de su punto medio son 2 y 1, respectivamente, encuentre las coordenadas de su extremo B. {Dos eolucíones.) 3.5.9 Dados los puntos A{-3, -8) y B(3, -2), encuentre las coordenadas de los puntos P{l,b) y Q(c, d) que dividen interna y externamente al segmento AB en la misma razón.

3.6

Inclinación y pendiente de rectas en el plano

Para medir la inclinación de una recta, tomaremos el ángulo ¡p que forma con la parte positiva del eje de las x, aguíendo la convención de que es positivo si se describe en sentido contrario al movimiento de las manecillas de un reloj. A ¡p se le llama ángulo de inclinación de la recta, y aunque es claro que basta con tomarlo entre -90º y 90º para describir la inclinación de cualquier recta, esto no impide que podamos tomar cualquier ángulo. Hay que recordar que existe otra manera de medir ángulos: por medio de radianes. Un radián es el ángulo que subtiende un arco de longitud igual al radio de la circunferencia. Como el radio cabe en la circunferencia 21r veces, 21r radianes equivalen a 3600 y entonces 1r son 180°, 1r/2 son 90º, 1r/3 son 60º, rr/4 son 45º, etc. En particular, un radián es igual a 180/1r ::::, 57.295 grados ::::, 57°17'46''. Recíprocamente, un grado es igual a 11/180::::, 0.017453 radianes. La ventaja. de los radianes es que son números que no necesitan acompañarse

3. 6 Inclinación y pendiente de rectas en el plano

59

11

Figura 3.20 Ángulo de inclinación de una recta. de la unidad de medida. Así, la inclinación de una recta se puede describir con un ángulo comprendido entre -7t /2 y 1t /2 radianes. Sin embargo, sería preferible poder describir la inclinación de una recta por medio de un número, y mejor aún que pudiéramos establecer una correspondencia biunívoca entre los números y las diferentes inclinaciones que puede tener. Afortunadamente es posible conseguir esto de una forma casi perfecta siguiendo una idea muy antigua: podemos medir que tan "empinada" es una subida diciendo cuánto subimos por cada unidad que avanzamos. Esto nos lleva a la definición siguiente. Dados dos puntos cualesquiera de una recta dada, el cociente 'Y2 - y, m= , con X1 f. x2, X2 X1

es una constante, como puede comprobarse fácilmente por semejanza de trián-

gulos a partir de la figura 3.21. A esta constante se le llama pendiente de la recta y nos dice cuánto subimos o bajamos en el eje de las y por cada unidad que avanzamos en el sentido positivo del eje de las x. De la mísma figura resulta también que m = tan ,J,, donde es la inclinación. La restricción x1 f. x2 en la definicién significa que no podemos definir la pendiente para rectas verticales. é

P, P

T m=

!12 - !11 X'·:¡ %1

=11- !11 x- Z:1

Figura 3.21 Pendiente de una recta Por su definición, resulta que la pendiente de una recta horizontal es O, la de una a 45° es 1, y a medida que vamos aumentando el ángulo de inclinación, aumenta la pendiente y tiende a infinito cuando el ángulo de inclinación tiende a 90°. Si tomamos una inclinación negativa, la pendiente es negativa, así, para -45° es -1, y tiende a menos infinito cuando el ángulo de inclinación tiende a -90°. De esta manera, a través de la pendiente establecemos una

60


correspondencia biunívoca entre la inclinación de las rectas, salvo las verticales, y los números reales, de modo que a cada inclinación corresponde un número real único, su pendiente, y a cada número real le corresponde un único ángulo de inclinación. NOTA IMPORTANTE. En las secciones 3.2 y 3.3 establecimos una correspondencia biunívoca entre los puntos de una recta y los números reales, los puntos de un plano y las parejas ordenadas de números reales, y los puntos del espacio y las ternas ordenadas de números reales. Ahora hemos establecido una correspondencia biunívoca entre los ángulos de inclinaci6n de las rectas, salvo 90°, y los números reales. Así, mediante números, vamos representando sin ambigüedades los conceptos geométricos. Ejercicios y problemas s.0.1

Calcule la pendiente de cada uno de los lados del triángulo CUYoS vértices son

A(4,-I), B(-3,2), C(-2,6). 3.6.2 Considere un círculo con centro en (2, 3) y radio 5. (a) Verifique que el punto A(6, 6) está sobre el círculo. (o) Calcule la pendiente de la recta tangente al circulo en el punto A. s.e.s Si la pendiente de la recta que pasa por los puntos (k,3) y (k,5) es 1, encuentre el valor de k. 3.6.4 'Ires de los vértices de un paralelogramo son (1, 2), {-5, -3) y (7, -6). Encuentre las coordenadas del cuarto punto. ('Ires soluciones.) s.e.s Encuentre el valor de k para que el ángulo de inclinación de la recta que pasa por el origen y el punto (3,k) sea el doble del ángulo de inclinación a de la recta que pasa por los puntos (3, 1) y (6, 1).

3. 7

Ángulo entre dos rectas en el plano

Consideremos dos rectas .>. 1 y >-2 y supongamos que sus pendientes son m1 y sus ángulos de inclinación ,J,1 y 'P2, respectiva.mente. Calcularemos los ángulos 61 y 62 que forman .>.1 y .>.2; para ello nos referiremos a la figura 3.22. Como 'P2 = ,¡,, + 1'1 por ser 'P2 externo al triángulo, se tiene que 81 = 'P2 - ,t>, y por la fórmula para la tangente de la diferencia de dos ángulos, si m1m2 f, -1, tendremos: (3.1)

ffi2, y

61

3. 7 Ángulo entre dos rectas en el plano

02 81

Figura 3.22 Ángulo entre dos rectas = r/)1 + (1r - th) = ,P1 hecho de que tan(II 1r) = tan 11, se tiene que De igual manera,

°'1

(th w)

y entonces, por el

tan 112 = tan c/>i - tan(th - ,r) = tan ef>i tan th = m1 Tl'llz 1 + tan t tan( th 1r) 1 + tan q>i tan th 1 + m1 rr12

(3.2)

De (3.1) y (3.2) se tiene que tan 111 = tan 112, lo que concuerda con el hecho de que 111 y 112 son ángulos suplementarios. De ambos resultados, obtenemos la regla siguiente: "para obtener la tangente del ángulo que forman dos rectas, a la pendiente de la recta final le restamos la pendiente de la recta inicial y dividimos entre la unidad más el producto de las dos pendientes". A partir de la íórmula (3.1) podemos observar que dos rectas son paralelas (es decir, 8 = O) si y solamente si tienen la misma pendiente, y que son perpendiculares (es decir, (J = ,r/2) si y sólo si el producto de sus pendientes es -1. Una manera equivalente de decir lo mismo es: una condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean paralelas es que tengan la misma pendiente; y una condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean perpendiculares es que el producto de sus pendientes sea - l. Ejemplo 3.1 En el triángulo cuyos vértices son A(-1,5), 8(8, 7) y C(5,3), calcule el ángulo interior en B. y

Figura 3.23 El triángulo del ejemplo 3.1

62


Solución: la. pendiente de AB es m1 BC es m2 entonces,

=

! =; = ;;

=

8

~ ( ~l) = ~· mientras que la de

como el ángulo, en sentido positivo, va de AB a BC, - !~ 3 g tan º 4 (2) 1+3¡¡

!!!

_g_

-

6

:i5 ,

27

7

por lo que, tomando el inverso de la tangente, se tiene que L.ABC = 40.60°.

Ejercicios y problemas s.1.1 Demuestre que la recta que pesa por los puntos (4,-2) y (2,3) es paralela a la recta que pesa por los puntos (10, 3) y (12, -2). s. 7. 2 En cada caso, calcule la pendiente de la perpendicular a la recta que pasa por el par de puntos dados:

(a) (2,1) y (3,-1);

(b) (-1,2) y (4,3);

(e) (-a,2a) y (l,o).

S.7.S Considere los puntos A(6, 11), B(4, -9), C(ll, -4) y D(-9,6).

(a) Demuestre que AB y CD son diámetros perpendiculares de un círculo. (b) Encuentre el centro del circulo. S.7.4 Si un círculo es tangente a la recta que pesa por los puntos (-2,5) y (4,3), encuentre la pendiente del radio en el punto de contacto. s.7.5 Calculando pendientes, demuestre que los puntos A(O, -1}, B(3, -4),

0(2, 1}

y D(S, -2) son los vértices de un rectángulo. 8.7.6 (o) Encuentre les tangentes de los ángulos interiores del triángulo con vértices A(2, 1), B{-1,-2) y 0(-3,3), y (b) muestre que es ísésceles,

.X1 y A2 son 3 y m, respectivamente, y si la tangente del ángulo que va de A1 a A2 es 2, encuentre el valor de m. S.7. 7 Si las pendientes de dos rectas

s.r.s Si el ángulo de la recta .X a la recta que pasa por los puntos (I,3} y (2,-2) es de 45°, calcule la pendiente de A.

3. 8 Dirección de rectas en el espacio

3.8

63

Dirección de rectas en el espacio

Consíderemos ahora una recta en el espacío y tratemos de representar su dirección. En el caso rectas en el plano, bastó el ángulo de ínclinación, que es el ángulo que forma con la parte positiva del eje de las x. Obsérvese que si conocemos este ángulo, también conocemos el ángulo que forma con la parte positiva del eje de las y, por ser complementarios. En el caso tridimensional, dos de los ángulos que forma la recta con los ejes no determinan el tercero, por lo que necesitamos dar los tres ángulos a, f) y -y que forma la recta con la parte positiva. de los ejes para determinar su dirección. Estos ángulos se llaman ángulos directores de la recta, y están representados en la figura 3. 24.

z Figura 3.24 Ángulos directores de una recta

Así como en el plano, en lugar de usar ángulos usaremos números para indicar la dirección de una recta, pero a cambio de la tangente del ángulo de inclinación, usaremos los cosenos de los ángulos directores, y los llamamos cosenos directores de la recta. Sus expresiones, que se deducen de la figura 3.25, son: z

Figura 3.25 Cosenos directores de una recta cosa=

X2 X¡

d

,

cos R = ¡,

Y2

y¡

d

,

cos-y =

Z
d

Z¡

,

(3.3)

donde d = d(A, P2). De aquí resulta que cos2 tt

+ cos2 f) + cos2 -y =

l.

(3.4)

Método de roordenadas

64

En ocasiones resulta más conveniente usar tres números que sean proporcionales a los cosenos directores, los denotaremos [a, b, e) y los llamaremos números directores de la recta. Los números directores tienen un significado geométrico: si partimos de un punto P sobre la recta y avanzamos a unidades en la dirección del eje x, b unidades en la dirección del eje y y e unidades en la direccíón del eje z, llegaremos a un punto Q que también está sobre la recta. Por su definición, es claro que los números directores no son únicos, pues si (a, b, e) son números directores de una recta, entonces [ka, kb, kc] también son números directores de la recta para toda k =J O, pero la ecuación (3.4) implica que los cosenos directores sí son únicos, excepto por el signo, según la recta esté dirigida en un sentido o en otro. Dada una terna [a, b, e] de números directores, podemoscalcular sus cosenos directores, pues

a=kcosa,

b=kcosfJ,

c=kcos¡;

elevando al cuadrado y sumando, tenemos: ª2 + /} + c2 = k2( cos2 + cos2 fJ + cos2 ¡) = k2 y, por tanto,

cosa =

±a

v'a2+1i2+c2'

ª ,.,

cos =

±b

v"a2+6l+c2'

cos"" =

'

±e

Ja2+11+c2

. (3.5)

Ejemplo 3.2 Calcule los cosenos directores para la recta que pasa por los puntos Pi(0,6,8) y P2(-3,2,4). Solución: una terna de números directores para la recta sería (-3 - O, 2 - 6 , 4 - 8] = [-3 ' -4 1 -4) ) o bien, (3 ,.,__, A 4] • Como d(Pi, P2) = y"9 + 16 + 16 = J,ü, los cosenos directores serían: cosa=±

3

rtt»

v41

cosfJ = ±

4

rtt: cos-j =

v41

±

4

rtt: <1

v41

Ejercicios y problemas 3.8.1 Encuentre números directores y cosenos directores para las rectas que unen los paros de puntos siguientes: (a) (4,2, -2) y (6,-4,1); (b) (2,-5, 1) y (2,7,6); (e) (3,2,4) y (-3,5,6). s.s.a Demuestre que los números 0.2, -1, 0.4 no pueden ser los cosenos directores de una recta. 3.8.3 Si dos cosenos directores de una recta son 1/2 y 1/3, encuentre el tercero.

(Dos soluciones.)

3. 9 Ángulo formado por dos rectas y por dos planos

65

3.8.4 Demuestre que los puntos A(3, -1, O), B(4, O, 2), C(2, 1, 4) y D(l, O, 2) son los vértices de un paralelogramo. 3.8.5 Usando números directores, muestreque los puntos A(4, 1, 4), B(2, 4, -1) y C(O, 7, -6) son colíneales.

3.8.6 Los números directores de una rocta son [5,-1,2j. Encuentre sus cosenos directores y sus ángulosdirectores. (Dos soluciones.) 3.8.7 Encuentre el punto donde la recte .X que pasa por los puntos (1,2, 3) y ( 4, -5, 6) corta al pleno XY.

3.9

' Angulo formado por dos rectas y por dos planos

Consideremos dos rectas en el espacio. Si se tocan en 11n solo punto, diremos que son concurrentes, y si se tocan en dos puntos son coincidentes; si no se tocan y sus números directores son proporcionales, diremos que son paralelas, y si no se tocan ni tienen números di rectores proporcionales, diremos que son cruzadas. Cuando dos rectas son concurrentes, podemos hablar del ángulo que forman; para evitar excepciones, si dos rectas son coincidentes o paralelas, diremos que el ángulo que forman es de O"; si dos rectas se cruzan, desplazamos paralelamente una de ellas hasta que concurra con la otra y diremos que el ángwo que forman las primeras es el mismo que forman las dos últimas. Con estas definiciones, procederemos a calcular el angulo entre dos rectas en el espacio a partir de sus números directores. Para obtener el angule que forman dos rectas cualesquiera ..\1 y ..\2, con base en nuestra definición de ángu]o y con el fin de simplificar los cálculos, las trasladamos paralelamente para obtener dos rectas Aj y ~ que pasen por el origen. Esto se ilustra en la figura 3.26. Sean Pi en..\~, Pi en ..\2, d = d{Pi, P2), d¡ = d(Pi, O) y d2 = d{P2, O). Por la ley de los cosenos, se tiene que: d2 = d~ + d~ - 2d,d2coslJ. Como d2 d~

(x2 - x1)2 + (!1'2 -y.)2 + (zi z1)2,

+ y~ + ~ ~ ~+!A+~. X~

y

Método de roordenadas

66 z

.X,

' Figura 3. 26 Angulo entre dos rectas en el espacio despejando cos () y simplificando, obtenemos C0S

I) _ -

X1X2 + !/IY2 + Z1Z2 d1d2

(3.6)

.

Sean 01, {J1 y n los ángulos directores de .>.1 y>.\ y o2, fJ2 y "12 los de .>.2 y .>.!¡; entonces, por las ecuaciones (3.3), los cosenos directores serán: X¡ Yt Z¡ cos o1 = di, cosfJ1 = di, cos-n = di' X2

Y2

Z2

cos o2 = d2' cosfJ2 = d2' cos-r2 = d2. Si sustituimos estos valores en (3.6), obtenemos coslJ = coso1 coso~+ cosfJ1 cosfJ2 + COS')':i COS')'2.

(3.7)

Finalmente, si .>.1 y >.2 tienen números directores [ai,b1,ct] y [a2,/>i,c2], respectivamente, sustituyendo en (3. 7) las ecuaciones (3.5), obtenemos: cos I) = ±

a1a2+b1/>i+c1C2 Jar +b?+c?J~ +~

(3.8)

+~

Ejemplo 3.3 Calcule el ángulo formado por la recta .>.1, que pasa por los puntos P1(-l, 1, -3) y Q1(2,-3, 2), oon la recta .>.2, que contiene a los puntos P2(0, 1, 4) y Q2(3, 1, 1). Solución: una terna de números directores para .>.1 será [3, -4, 51, y una para >.2, [3, O, -3]. Usando la fórmula (3.8), obtenemos:

cos () = ±

9 + O - 15

-6

-1

1

JwJi] = ± (5v'2)(3./2) = ±5 = :¡:5.

3. 9 Ángulo formado por dos rectas y por dos planos

De aquí se sigue que

e=

67

e=

78.46°, o 101.54°. Obsérvese que los ángulos son suplementarios, pues corresponden a los dos ángulos que forman las rectas. <1 Ya sabemos que para que dos rectas sean paralelas, sus números directores deben ser proporcionales. Como cos 90" = O, la ecuación (3.8) implica que una condición necesaria y sufici.ente para que dos rectas sean perpendiculares es que sus números directores satisfagan la ecuaci6n a1a2 + bilri + c1c2 = O. Para conocer el ángulo con que se cortan dos planos, serfa suficiente tener los números directores de rectas normales (es decir, perpendiculares) a ellos, el ángulo que forman estas rectas es el mismo que forman los planos, Por otra parte, el ángulo que forma una recta con un plano es el complemento del que forma ron su normal, Ejercicios y problemas (a) Demuestre que loe puntos A{2, -1,3), B(3, 1, 5) y C(O, 2, 1) son loe vértices de un triángulo rectángulo, y (b) encuentre su área. 3.9.1

3.9.2

Encuentre el ángulo agudo del paralelogramo del problema 3.8.4.

3.9.s

Encuentre loe ángulos agudos del triángulo del problema 3.9.1.

Si el plano 1r1 tiene una normal oon números directores (2, -1, 2] y el plano 1r2 tiene una normal con números directores [-1,2,2], encuentre el ángulo agudo formado por los dos planos. 3.9.4

Si el plano 1r tiene una normal oon números directores (2, -1,2], encuentre el ángulo agudo que forma con una recta.>. de números directores (O, 3, -3]. S.9.5

Capítulo

4

RECTAS EN EL PLANO

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4. 7

4.1

Formas de la ecuación de la recta en el plano Forma normal de la ecuacíon de la recta Distancia de un punto a una recta en el plano Familias de rectas en el plano Rectas y puntos notables del triángulo Método gráfico de la programación lineal Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica

Formas de la ecuación de la recta en el plano

En el capítulo anterior observamos que podemos caracterizar la recta en el plano como un lugar geométrico de puntos que, tomados por pares, tienen pendiente constante¡ por tanto, si una recta contiene a los puntos Pi (xi, x2), P2(x2, 112) y P(x, y) y tiene pendiente m, entonces:

- 112 - '!/J -

m

X2 -Xi

y y¡ X-Xi

.

Analizando la ecuación Y2 - Yi = Y - Yi , llegamos a la conclusión de que esta Z2 X1

z-

Zt

igualdad es una condición necesaria y suficiente para que el punto P esté sobre la recta determinada por P1 y P2. En otras palabras, esta ecuación representa a la recta en el sentido de que un punto P está en la recta si y solamente si sus coordenadas (c. y) satisfacen la ecuación; es decir, para que el punto P esté en la recta, es condición necesaria y suficiente que sus coordenadas satisfagan esa ecuación. Usualmente representamos esta ecuacién en la forma y-y1 = y decimos que es la

Y2-Y1 X2

X1

(x-x1)

(4.1)

ecuación de la recta ciados dos puntos, o forma bipuntual.

La ecuación de la recta también la podemos escribir en la forma y- Yt = m(x - x,)

69

(4.2)

Rectas en el plano

70

y entonces se llama ecuaci6n de la recta dado un punto y la pendiente, o forma punto-pendiente. Si de la ecuación ( 4.2) despejamos la variable y, obtenemos:

(4.3)

y=mx+b, llamada ecuaci6n de la recta dada la pendiente forma pendiente-ordenada en el origen, ya que recta corta al eje de las ordenadas. Finalmente, si en cualquiera de las formas la recta reacomodamos los térmlnos para que obtenemos una expresión de la forma:

y la ordenada en el origen, o (O, b) es el punto donde esta anteriores de la ecuación de todos estén del mismo lado,

(4.4)

ax+by+c= O,

a la que denominamos forma general de la ecuación de la recta. NOTA IMPORTANTE. Las formas (4.1), (4.2) y (4.3) de la ecuación de la recta no permiten representar rectas verticales, o sea, paralelas al eje de las ordenadas. Una recta ve1tical la representamos en la forma x = e, que es un caso especial de la forma general de la ecuación de la recta Ejemplo 4.1 Calcule las cuatro formas hasta aquí señaladas para la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-2,3), P2(5, -1). Solución: forma bipuntual:

y- 3=

forma punto-pendiente: y- 3 =

-4

-1-3 + (x + 2); 5 2

7(x

-4 1= 7(x 5); -4 13

+ 2), o y+

forma pendiente-ordenada en el origen: y forma general: 4x + 7y 13 = O. <1

=

v= + 7;

y

2

Figura 4.1 Gráfica de la recta del ejemplo 4.1 Otra manera de representar una recta es la llamada forma simétrica de la ecuaci6n de la recta: X y +=1. (4.5)

a

b

71

4.1 Formas de la ecuación de la recta en el plano

Esta. recta pasa por los puntos {a, O) y {O, b), es decir, a es la abscisa en el origen y b es la ordenada en el origen. Para poder representar una recta en esta forma, se necesita que a y b sean distintas de O. Ejemplo 4.2 Represente en su forma simétrica la recta del ejemplo 4.1. Solución: en este caso,

y 13/4 + 13/7 = l.
ll P,{z1,Y1)

,--------

A,.t

1 1

P2(z.,,¡.,2) ;

---''---.-~-::---'<-'--

z P,(zs,Y3)

Figura 4.2 Área de un triángulo Entonces: A = (x3 - x2)(Y1 -y3) -

!(x, - x2)(y, -

ll'l)

4(xa - x2)(Y2 -113)

-Hx3 - x,)(y, - YJ), y de aquf: 2A

-

2x3y1 - 2:z;3y3 - 2x2y1 + 2x2y3 - X1Y1 + x,y2 + X2Y1 - X2Y2 -:¡;3y2 + Z3y3 + Z2Y2 - X2l/3 - X3y¡ + X3y3 + X¡y¡ - X¡y3 Z1Y2 - Z¡y3 - X2Y1 + X2Y3 + X3Yt - X3y2

- :i:1(Y2 -y3) + :z:2{!/3 -y,)+ X3(y1 - y2). Esta expresión es la misma que se obtiene al desarrollar el determinante :i:1 Y1 1 Xz Y2 l :i:3 Y3 l

= X1Y2(l) + :Z:2YJ(l) + Z3y¡ (i) -

:Z:¡y3(l) - Z2Y1 (1) - :i;3y2(l)

Rectas en el plano

72

y, por consecuencia, l

:i:1

y,

1

(4.6)

A=2X2Y2l X3 Y3 1 NOTA IMPORTANTE.

Esta fórmula se puede extender a cualquier polígono

convexo den vértíces, si numeramos los vértices siguiendo un sentido positivo: A=

1

2 [x1(Y2 -yn) + X2(y3 -yi) + X3(y,

- !h)

+ · · · + Xn(Y1 -Yn-.J].

Si tres puntos están alineados, no forman triángulo y, por tanto, no encierran área alguna; esto nos permite utilizar (4.6) para llegar a una forma de determinante de la ecuación de la recta que pasa por P, y P2 : 1 X¡ 1 X2 Y2 l X

y Yt

=

o.

(4.7)

Podemos plantear algebraicamente esta condición para la colinealidad de los tres puntos P(x,y), P1(xi,y1) y P2(x2,Y2) de este modo: el sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas a, by e : ax+by+c= O, ax1 + by, +e= O,

axz+by2+c=O

tiene solución no trivial (es decir, con alguna de las íncégnttes díferente de cero) si y solamente si el determinante del sistema se anula, o sea, si y solamente si

se cumple la ecuación (4. 7). Otra manera más de representar una recta se obtiene escribiendo las coordenadas (:i:, y) de un punto arbitrario sobre la recta en cuestión en términos de un parámetro t, de tal forma que para cada valor de t corresponda un valor único de :i; y un valor único de y : X=

at+ b,

y= et+ d.

(4.8)

Esta es la forma pammétrica de la ecuación de la recta. Nótese que para pasar de la forma paramétrica a la forma general de la ecuación de la recta basta con eliminar el parámetro t. Ejemplo 4.3 Si su forma paramétrica es x = -2t + 1, y= t - 5, represente la. recta en su forma general, su forma simétrica y su forma de determinante, Solución: si despejamos t de ambas ecuaciones, obtenemos:

x-1 t=~·

t=y+5.

4.1 Formas de la ecuaci6n de la recta en el plano

73

1 Igualando términos, x :2 = y + 5, de donde x + 2y + 9 = O, que es su forma general. Si ahora dividimos la forma general entre -9, obtenemos su forma simétrica ~9 + ~/2 = l. Finalmente, para obtener la forma de determinante basta encontrar dos puntos de la recta; por ejemplo (O, -9/2) y (-9, O). Asf: X y 1 O -9 /2 1 = o.
La pendiente es 5 y la int.ersección con el eje y es 7; la int.erseoción con cada eje coordenado es 10; la pendiente es 4 y la recta pasa por el punto (O, -6); contiene al punto (6, 3) y la interseccíón con el eje y es 8; pasa por los puntos (4, 2) y (O, -2); (f) las intersecciones con los ejes x y y son -5 y 3, rospectivamente; (g) pasa por el punto (2, O) y la ordenada disminuye dos unidades por cada tres que aumenta la abscisa.

(a) (b) (c) ( d) (e)

4.1.2 Escriba cada una de las ecuaciones siguientes en la forma simétrica y en la forma pendiente-ordenadaen el origen. (a) 3y=6x+10; (b) 3y-12-x =0; ~x+y=~ ~lk~=~

4.1.s Demuestre que las rectas 3x

+ 4y = 24 y 8y + 6x = 5 son paralelas.

4.1.4 Demuestre que las rectas 2x - 5y = 20 y 5x pendicularment.e en el eje y.

+ 2y =

-8 se int.ersectan per-

4.1.5 Encuentre las intersecciones con los ejes y la pendiente de cada una de las rectas siguientes. (a) 6x +5y = 30; (b) 2y + 7x = -9; (c) 4x -18 = 3y; (d) x - 3y- 8 = O; (e) 3x = 4y; {f) 2y-4 + 5x = O. Díbuje cada una de las rectas siguientes y encuentre la pendiente. (a) y = Sx; {b) 3x = 7y; (c) 4x + 3y = O; (d) X= 1 -t, y= 2 + t; (e) X= 2t, y= t; (f) X= t + 1, y= 2t l.

4.J .6

4.1.7 En cada uno de los casos siguientes, encuentre la ecuación de la recta que tiene las propiedades descritas y dibuje la recta correspondiente.

74

Rectas en el plano

(a) Pasa por el punto (4, -2) y tiene pendiente -3; (b) pasa por el punto (-l, 2) y es paralela a la recta 3x 11 = 7; (c) pasa por el punto (4, 1) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (5, 2) y

(4, 4);

(d) tiene pendiente 2 e intersección con el eje x en -5; (e) pasa por el punto {3, -2) y las intersecciones con los ejes son iguales; (f) tiene pendiente m e intersección con el eje z en a.

En ceda caso, encuentre el valor de k tal que:

4.1.8

(e.) (b) (c) (d) (e)

le. roete. 2:i:-ky = 9 pase por el punto (3,-1); la pendiente de la recte. 2kx 711 +4 =Osea 1/2; la recte. 3:i: +ky = 3 tenga intersecciones iguales con ambos ejes coordenados; la roete. de pendiente k que pasa por (4, -1) intersecte al eje II en 10; la roete.11-2 = k(x -4) tenga intersecciones iguales con ambos ejes coordenados. (Dos sotucíones.)

Encuentre la ecuación de la recte. que pasa por el punto ( 4, -2) y que forma con los ejes un triángulo de 2 unidades cuadradas de área. (Dos soluciones.) 4.1.9

4.1.10 Al colgarse pesos de 6 y 8 gramos a un resorte, ést.e mide 8 y 9 cm, respectivament.e. Suponiendo que la relación entre el peso w y la longitud les fíneal (de la forma ( = aw +b, para a y b constantes): (a) Encuentre la relación entre l y w. (b) ¿Cuá.J es la longitud original del resorte? (e) Dibuje la gráfica de la relación. 4.1.11 Calcule el área del triángulo cuyos vértices son:

(a) (3,3),(-1,-2),(-3,4); (e) (O, O), (12, -4), (3, 6);

(b) (1,3),(3,0),(-4,3); (d) (-2, 2), (0,0), (5, 5).

4.1.12 Encuentre el área del cuadrilátero de vértices (4, 5), (2,-3), (O, 7) y (9, 2). 4.1.13

Si el área del triángulo A(3, 1), B(O, 8), C(2, k)

es 41,

encuentre el valor de

k. (Dos soluciones.) 4.1.14 Considere los puntos A(-1,-14),8(3,-2), C(4, 1). (a) Suponiendo que forman un triángulo, calcule su área. (b) ¿Qué puede concluir sobre estos puntos?

4.1.15 La recta ax + by+ 10 = O es paralela a la roete. 3x roete. x + 11 = 7 en el eje x. Encuentre los valores de a y b.

+ 11 = 7 e intersecte. a la

Encuentre el punto Q tal que P(3, 5) y Q sean simétricos con respecto a la recte. 11 + 2x = 6. 4.1.16

4.1.1 T Encuentro la ecuación de la recta que tiene pendiente 2 e intercepta a los ejes en a y b, de tal manera que ab = -8. (Dos soluciones.)

75

4.2 Forma normal de la ecuaci6n de la recta

4.2

Forma normal de la ecuación de la recta

Existe una forma más de representar la ecuación de una recta, muy distinta de las anteriores, y es la forma normal de la ecuaci6n de la recta. y P.(•1,

vil P{•,Y)

zrosw +vsenw - p = O

Figura 4.3 Forma normal de la ecuación de la recta Como se muestra en la figura 4.3, se requiere que la recta no pase por el origen O; O P1 es perpendicular a la recta y tiene una longitud p, y P1 tiene coordenadas ( Xi, y1). Al ángulo que forma O P1 con la parte positiva del eje de las x lo denotamos w y entonces las coordenadas de P1 son x1 = p cosw, y1 = ¡> sen w, y la pendiente de la recta será -1 cosw m = -- = -cotw = ---. tanw senw Usando la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta, obtenemos

y-psenw= de donde

cosw ---(x-pcosw),

senw

ysenw- psen2w = -xcosw +pcos2w, y entonces

xcosw +ysenw -p(sen2w +cos2w)

= O;

finalmente,

(4.9) = O. En esta formula, que es la forma normal de la ecuación de la recta, se tiene que z , y son las coordenadas de cualquier punto sobre la recta, pes la distancia de la recta al origen y, por tanto, un mímero positivo, y w es un ángulo positivo cuyos valores están entre O y 360º. Puesto que cos(21r - w) = cos(-w) y sen(2,r -w) = sen(-w), también w puede tomar valores negativos, como en el ejemplo siguiente. xcosw+ysenw-p

Ejemplo 4.4 Encuentre la forma normal de la ecuación de la recta cuyo punto más cercano al origen es (3, -4). Solución: como la distancia de (3, -4) a (O, O) es 5, entonces p = 5. Por otra parte, como se observa en la figura 4.4, cosw = 3/5 y senw = -4/5, y entonces la ecuación normal es:

76

Rectas en el plano

Figura. 4.4 La. recta. del ejemplo 4.4 3

-

4

5x 5y

5 = O. 4

Le. recta que obtuvimos en el ejemplo 4.4 puede escribirse en la forma general 3x 4y- 25 = O. En general, cualquier recta la podernos convertir de su forma normal a su forma general y viceversa, para ello, basta comparar las ecuaciones

ax+by+c=O y

xcosw + ysenw - p = O. Si estas ecuaciones representan la misma recta, sus coeficientes son proporcionales, y entonces: cosw = ka, } senw = kb, (4.10) p = kc. De las primeras dos ecuaciones obtenemos 1 =cos2w+sen2w= k2(a2 +Ir), de donde podemos despejar k :

k=±

l

,/a2 + b2

Sustituyendo en las tres ecuaciones (4.10), se tiene que: a b cosw= senw= p=

e ±,/a2+b2' ±,/a2+b2' ±,/a2+b2 Entonces, la recta cuya ecuación en forma general es ax+ by+ c = O, tiene por ecuación normal a

:,=¡¡=;¡;¡X

±Ja2

+ b2

+

ó e y+ = 0. ±Ja2 + b2 ±Ja2 + b2

(4.11)

Esta expresión nos será de gran utilidad para calcular la distancia de un punto a una recta. NOTA IMPORTANTE. Nótese que en la ecuación (4.11) tenemos que escoger el signo del denominadorr = ±,/a2 + ó2. (i) Sic ,f O, r será de signo contrario

4.3 Distancia de un punto a una recta en el plano

77

a c. (jj) Si e = O y 1, # O, r tendrá el signo de b. (iii) Si 1, = e = O, r será del mismo signo que a.

Ejercicios y problemas 4.2.1 Encuentre la ecuación de la recta. de pendiente 3 y que dista 7 unidades del origen. (Dos soíucíones.)

4.2.2 Encuentre la distancia dol origen (O, O) a cada una da les rectas siguientes:

(c)2+s=l;

(b) 11 = 7x - 3; (d)y=mx+b;

(e) y2=m(x5);

(f) x-h =m.

( a)

5y X

= 12x 'Y

91;

y- k

4.2.a Encuentre el valor de k tal que la distancia de la recta. dada al origen sea la que se especifica. (Dos soluciones en cada csso.) (a) y= kx + 9, p = 6; (b) 11 + 1 = k(x - 3), p = 2. 4.2.4 Encuentre les ecuaciones de les rectes sujetas a les condiciones siguientes: (a) pendiente -3, distancia al origen 5 unidades; (b} pesa por (2, -5) y dista dos unidades del origen; (c) es paralela a la recta &t; 4y - 30 = O, pero su distancia al origen es el doble; (d) dista 3 unidades del origen e intercepta al eje x en -8. (Dos soluciones en (a}, (e) y (d).)

4.3

Distancia de un punto a una recta en el plano

Consideremos una recta >. en el plano y un punto Pi exterior a ella que se encuentren situados como se muestra en la figura 4.5. Tracemos por Pi una recta >.' paralela a >.. Entonces, la distancia del punto a >. será la distancia d que hay entre las d06 rectas, la cual podemos calcular e. partir de le. forma normal de ambas. Siguiendo la figure. 4.5, tenemos que las ecuaciones normales de >. y >.' son: xcosw+ysenw-p= O y xc06w+ysenw-p' =D. Como Pi ( xi, yi) está en >.1, entonces x1 cosw + y1 sen w - p' = O y, así,

d = p' p = x1cosw +Ytsenw-p. Por tanto, en este caso, paro encontrar la distancia de Pi a>. basta con SttStituir las coordenadas de Pi en la forma normal de la ecua,ei6n de >..

78

Rectas en el plano >...' <,

' '

'Y

Figura 4. 5 Distancia de un punto a una recta En este caso, el punto y el origen están de lados opuestos de la recta, y lo mismo ocurre en los tres casos señalados en la figura 4.6, que corresponden a esa posición en los otros tres cuadrantes; en estos tres casos, siguen siendo válidos el argumento y Je. conclusión anteriores.

Figura 4.6 Distancia de un punto a una recta Consideremos ahora el caso en que el origen y el punto estén del mismo lado de la recta. Entonces puede suceder que el ángulo w sea el mismo para ). y X, oomo se muestra en Je. figura 4. 7, o que tengan ángulos w distintos, como ocurre en la figura 4.8. Calcularemos la distancie. en ambas situaciones.

Á~ w:tyllp':,;Á

)i

11

. X

).

',

I

),

.

Q

P,

/ I

/

Figura 4.7 Distancia de un punto a una recta

En los casos de la figura 4.7, como Pi está en A', d = pp' = pxi cosw -yi senw = (x1 cosw + yi senw - p). En los casos de la figura 4.8, tenemos:

79


~,•.

,

).'

Figura 4.8 Distancia de un punto a una recta d y d

p+p' = p+ x1 cos(w--ir) p-x, cosw y1 senw -(xi cosw + y, sen w - p) p + p1 p

+ y1 sen(w-

= p + x1 oos(w + 1r) + y¡sen(w+

x, cosw - y, senw

-ir)

1r)

- -(x1cosw+y1senw-p). Por tanto, en todos los casos, paro rolcular la distancia de un punto a una

recta, basta sustituir las coordenadas del punto en la ecuaci6n de la recta en forma normal y tomar el valor absoluto: d= 1 x1cosw+y,senw-p

1=

ax1 + by, + el . 1 ±Ja2 + b2

(4.12)

NOTA IMPORTANTE. En la. fr5rmula. de la. distancia. de un punto a una recta, el valor absoluto es innecesario cuando el punto y el origen están de lados contrarios de la. recta

Ejemplo 4.5 Calcule la distancia del punto (2, 5) a la recta x - 2y + 1 = O. Soluci6n:

.!.....

d= 12-2(5)+11 = 1..:::2..1 = -Jl + 4 -v's Js Nótese que en este caso el punto y el origen están de lados contrarios de la recta, como se observa en la figura 4.9.
+ 3(1) _

+J4 + 9

l l_±_I

l =

+,/13

= _6 __

,/I3

En este ejemplo el punto y el origen están del mismo lado que la recta, como se puede ver en la figura 4.10.
Rectas en el plano

80 11

Figura 4.9 Distancia del punto P(2, 5) a la recta x - 2y

+l

=O

11

o Figura4.10 Distancia del punto P(4, 1) a la recta -2:.+3y-1

=O

Ejercicios y problemas 4.3.1 Calcule la distancia. de la recta &, + 6y = 55 a cada uno de los puntos siguientes: (a) (10, 2); {b) (9, 6)¡ (e) (4,5)¡ (d) (-1,1). 4.3.2 Calcule la distancia de la recta y = mx puntos: (a) (JI +m2,s+ J1 +m2); (b) (h,k).

+6 a

cada uno de los siguientes

4.3.3 Considere el triángulo cuycs vértices son (4, 1), (8, -2) y (1, -3). (a) Encuentre las ecuaciones de las alturas, (b) ¿Cómo es el triángulo 1

4.3.4 Encuentre las longitudes de las alturas del triángulo CUYoS lados son

3z = 4y, 6x + 811- 5 = O y 5x -12y- 17 = o.

4.3.5 Encuentre el valor de m en cada uno de los casos siguientes.

(a) La recta y= 5mx + 8 dista 5 unidades del punto (4, 5). (b) La recta y = mx + 10 es tangente al círculo de radio 6 y centro (O, O). (e) Las rectas Bx + 6y = 11 y 8mx - By= 7 equidistan del punto (1, -2). (Dos soluciones en (b) y (e).)

81


4.S.6 Encuentre en cada inciso la ecuación de la recta que satisface las condiciones dadas. (Dos soluciones en cada ceso.)

(a) Es perpendicular a la recta -3a:+4y = 5 y dista 2 unidades del punto (5, -7); (b) pasa por (-1,-4) y dista 6 unidades de (3,2). 4.3. 7 Encuentre loe valores de m y b si se sabe que la recta 11 = mz en cada caso, las condiciones siguientes:

+ b satisface,

(a) pasa por (12, -6) e intercepta al eje x a 5/3 del origen; (b) dista 6 unidades del punto (4, l) y 2 unidades del origen. (Dos eolucíoncs.)

a y b si se sabe que la recta ~ condiciones siguientes: (Dos soluciones en cada ceso.) 4.S.8 Encuentre loe valores de

+~=1

satisface las

(a) tiene intercepciones idénticas con loe ejes y dista 4\/'2 unidades de (5, -2); (b) pasa por el punto (3, 4) y dista 3 unidades del punto (6, 5); (c) dista 2 unidades de (a, -3) y la intersección con el eje z excede en 5 unidades a la intersección con el eje 11· 4.3.9 Encuentre la ecuación de la recta A si dista 4 unidades del punto (-2, 6) y si el ángulo desde A a la recta 7:r + 11 = O es de 45°. (Dos solucícnes.] 4.3.10 Encuentre la ecuación de la recta cuya distancia a (4, l) es igual a la dis tancia a (i, 4) y es paralela a la recta 5x 25y = 1.

4.S.11 Encuentre las ecuaciones de las rectas que equidistan de loe puntos dedos:

(a) (2, -1), (6, 1) y (-3, 4); (b) (4, 1), (8, 2) y (5, -3). (Tres soluciones en cada caso.) 4.S.12 Encuentre los valores de h y de k si el punto P(h, k) satisface cada una de

las condiciones siguientes: (a) P equidista de las rectas 3x -11

= O y x + 311 = 4 y, además, h = k;

(b) P está.sobre la recta 2x+y+2 = O y dista 4 unidades de la recta 3z-4y = 10; (c) P dista 4 unidades de la recta 12:r - 5y = 49 y 3 unidades de 4y - 3x = 24;

(d) Pes equidistante de las rectas 3y-4x-12

= O, 9x+l2¡¡ = 18 y &:-8y = 25.

(Dos soluciones en (a) y (b), cuatro soluciones en (e) y (d).) Encuentre la ecuación del Jugar geométrico que describe un punto que se mueve de tal manera que su distancia a la recta 6:r + 2¡¡ = 13 es siempre el doble de su distancia a la recta y - 3:c = 8. 4.S.13

82

4.4

Rectas en el plano

Familias de rectas en el plano

Consideremos una recta y = mx + b. Todas las rectas paralelas a ella deben tener la misma pendiente y, por tanto, deben ser de la forma y = 11u; + k; en este caso, decimos que k es un parámetro que genera la [amilia de rectas paralelas a y= 11'1$ + b. Si la recta inicial la expresamos en su forma general ax +by+ e = O, como su pendiente es m = -a/b, entonces ax+ by+ k = O representa la familia de rectas paralelas a ella. De manera semejante, la familia de rectas perpendiculares a y = mx + b está dada por: l

y= --x+k, m

mf

O,

o si la recta está dada en su forma general ax+ by + e = O, entonces la familia de rectas perpendiculares a ella es bx ay+ k O. Otro tipo de familia de rectas es el haz de rectas que pasa por un punto fijo (xi, y1) dado. En este caso, la pendiente es la que cambia, y podemos describir esta familia de rectas con la íórmula y - y1 = k(x x1), donde el parámetro k es la pendiente; la única recta de la familia que no queda representada es la recta vertical x = x1• Consideremos ahora dos rectas: A1 : a 1x + /,¡y + c1 = O y A2 : a2x + b2Y + ~ = O, y la combinación lineal Aa : k1(a,x + biy +e,)+ k2(<12x +~Y+ C2) = O. Es fácil comprobar que >,3 también es una recta y que (i) si A1 y A2 son paralelas, entonces As es paralela a ellas y (ii) si >,, y A2 son concurrentes, Aa pasa por su punto de intersección. Así, la combinación lineal k1 (a,x + b,y + c1) + k2(a,x +~y+ C2) = O representa a toda la familia de rectas paralelas a A1 y A2, o concurrentes con ellas, según sea el caso. Con el propósito de simplificar el lenguaje se conviene en suponer que las rectas paralelas concurren en el infinito. Por otra parte, una de las propiedades de los determinantes establece que un determinante se anula si y solamente si uno de sus renglones se puede escribir como combinación lineal de los otros. Usando esta propiedad y la conclusión anterior, podemos entonces afirmar que una condición necesaria y suficiente para que las rectas A1 : a1x +/,¡y+ c1 = O, A2 : 02x +~Y+ c2 = O y A3 : aax + b:iy + es = Il sean concurrentes (o paralelas) es que:

=

a, b, c, a2

bi C2

as b:i es

= O.

(4.13)

83

4.5 Rectas y puntos notables del triángulo

Resulta interesante comparar este resultado con la propiedad ya demostrada de que tres puntos (x1,Y1), (x2,Y2), (x3,y3) son colineales si y solamente si X¡ Yt l X2 Y2 1 = 0. X3 y3 1

Ejercicios y problemas 4.4.l Si las rectas paralelas ax + by+ e = O y ax + by + ¿ = O se representan por .X= O y >.' = O, respectivamente, demuestre que:

( a) .X + kN = O representa una recta paralela a .X = O y a N = O¡

(b) .X+ .X'= O es una recta paralela a .X= O y a>.'= O, que equidista de ollas; (e) .X - .X' = O no representa punto alguno en el plano. Considere la familia de rectas (k + 1):r: + (k - l)y = k2 - l. Demuestre que le. diferencia de las intersecciones con los ejes de cualquier miembro de la familia es constante. 4.4.2

4.4.S Para la familia de rectas del ejercicio 4.4.2, dibuje las rectas correspondientes

a loe valores k 4.4.4

= -5,

-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,4,5.

Demuestre que las rectas de la familia k:r: + 4y = k son concurrentes.

Demuestre que todas las rectas de la familia (k+h):r:+(k-h)y = 10/h2 + dependiente de dos parámetros, equidistan del origen. 4.4.5

4.5

k2,

Rectas y puntos notables del triángulo

En un triángulo cualquiera, las mediatrices de los lados son concurrentes en un punto llamado circuncentro, ya que es el centro de la circunferencia circunscrita e.l triángulo. Recuérdese que la mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos que equidistan a los extremos del segmento; por consiguiente, las rnedíatrices de dos de los lados concurren en un punto equidistante de los tres vértices y que, por tanto, está sobre la tercera mediatriz.

Ejemplo 4. 7 Para el triángulo de vértices Pi (-4, 5), P2(3, -5) y P3(4, 1), calcule las mediatrices y el circuncentro.

Rectas en el plano

84

Solución: igualando distancias a los vértices, las mediatrices del triángulo son: >.1 : J(x - 3)2 +(y+ 5)2 = J(x - 4)2 + (y - 1)2, osea, 2x + 12y + 17 = O, >.2 : J(x + 4)2 + (y - 5)2 = ,j,.,.(x-_-4..,.¡""" +--,-(y---1=) 2 2,

o sea, 2x - y + 3 = O, .).:, : v(x + 4)2 + (y 5)2 = v(x 3)2 +(y+ 5)2, o sea, 14x - 20y + 7 = O. Al resolver simultáneamente dos de estas ecuaciones, obtenemos el circuncentro -53 -14) e ( 26 ' 13 · Como comprobación, conviene sustituir estas coordenadas en la tercera mediatriz para ver que el punto está en ella. En la figura 4.11 se muestra esta situación. <1

1

I

' ''

/

/

' ',

.\;i:14:e-20y+7=0 \

r

1 1

1 \

I

A1:

2x+l2y+l7=0

\ \

Figura 4.11 Mediatrices y circuncentro del triángulo del ejemplo 4.7 La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos que equidistan a los lados del ángulo y divide al ángulo en dos ángulos iguales. Las bisectrices de 10$ ángulos internos de un triángulo son concurrentes en un punto llamado incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. Si tomamos dos bisectrices, su punto de intersección equiclistará de los tres lados del triángulo y, por tanto, estará sobre la tercera bisectriz. Ejemplo 4.8 Parael triángulo de vértices P1(!, calcule las bisectrices y el incentro.

229),

Pl{-2,-3) y P3(32,-17),

Solución: usando los vértices, obtenemos primero las ecuaciones de 10$ lados del triángulo: -17+3 >.1 :y+3= (x+2), osea, 7x+17y+65=0, 32+2

85


.>.2:y+l7=

(29/2) + 17 (l/2)_32(x-32), (29/2)

>.a : y+ 3 = (l/2)

+3

+ 2 (x + 2),

osea, x+y-15=0, o sea,

T» - y+ 11 = O.

Ahora obtendremos las ecuaciones de las bisectrices igualando distancias a los lados del triángulo. Podemos observar que el origen está en el interior del triángulo y, por tanto, en todos los casos el origen y los puntos de la bisectriz estarán del mismo lado con respecto a los lados del triángulo. Tomando esto en cuenta, escogeremos los signos adecuados según la observación a la ecuación {4.11). Así, las bisectrices son: 7x + l 7y + 65 X+ y - 15 _13v'2 = v'2 , osea, 2x+3y-13=0, 7x+17y+65 7x-y+ll = -13v'2 -5v'2 X+ y - 15 7x - y+ 11 v'2 = -Sv'2 ,

1

osea1 4x 7y - 13 = o, o sea,

3x

+y -

16 = O.

Al resolver dos de ellas simultáneamente, obtenemos el incentro /(5, se muestra en la figura 4.12.
u, lo que

4z-7y-13=0

P,(-2,-3

P:, (32, -17) 2x+3y-13=0

Figura 4.12 Bisectrices e incentro del triángulo del ejemplo 4.8 Las alturas de un triángulo son las rectas bajadas perpendicularmente desde cada vértice al lado opuesto. Las alturas de un triángulo son concurrentes en un punto llamado ortocentro. Demostrar la concurrencia de las alturas no resulta inmediato por medio del método sintético, pero sí por medio del método analítico, pues basta demostrar que se cumple la condición (4.13). Sin pérdida de generalidad, para facilitar los cálculos, tomemos el triángulo de vértices P1{0, O), P2(a, O), P3(b, e); entonces, las ecuaciones de las alturas son:

Rectas en el plano

86 h1

x-b= O,

h-i

b»

+ cy - ab =

O,

h3 (a-b)x-cy=O, las cuales cumplen la condición (4.13). Ejemplo 4.9 Para el triángulo que tiene como vértices los puntos P1(-4, 5), P2(3, -5) y P3(4, 1), calcule las alturas y el ortocentro. Solución: primero obtenemos las pendientes de los la.dos: 1+5 4- 3

mi==6,

m2=

5-1 l =. -4 - 4 2'

m3=

y con ellas calculamos las ecuaciones de las alturas: l

y-5

= -6(x+4),

y+ 5 = 2(x - 3), 7 y1=10(x-4),

5+5 10 =, -4 - 3 7

o sea, x+ 6y-26 = O, o sea, 2x - y - 11 = O,

osea, 7x-10y-18=0. Resolviendo simultáneamente dos de estas ecuaciones, obtenemos el ortocentro O, ( 92 41) , como se muestra en la figura 4.13. 13, 13

2'"-11-ll

=0

P,

Figura 4.13 Alturas y ortocentro del triángulo del ejemplo 4.9 Las medianas de un triángulo son las rectas trazadas desde ca.da vértíce

al punto medio del lado opuesto. Las medianas se intersectan en un punto

llamado gravicenl:ro o centro de gravedad. Para demostrar la concurrencia de las medianas, se puede usar de nuevo la condición ( 4. 13) o alguno de los dos hechos siguientes: (i) El gravicentro divide al segmento que va del vértice a la mitad del la.do opuesto en la razón r = 2.

87


(ii) En términos de las coordenadas de los vértices, las coordenadas del gra. tr o G son (x, + x2 + , Yi + Y2 + vicen . 3 3

X3

y3)

Ejemplo 4.10 Para el triángulo que tiene como vértices los puntos P, (-4, 5 ), P2(3, -5) y P3(4, 1), calcule las medianas y el gravicentro. Solución: primero obtenemos los puntos medios de los lados: M,: ( 3+4 2-, -5+1) =(7/2,-2), 2 5+1) = (0,3), M2: ( -4+4 ,-22 5-5) M3: ( -4+3 ,2- =(-1/2,0). 2 Entonces, las medianas son: -2-5 y- 5= + + 4), o sea, 14x + 15y- 19 = O, 712 3+5 Y+ 5 = _ (x - 3), o sea, 8x + 3y - 9 = O, 0 3 0-1 y-1= _112_4(x-4), osea, 2x-9y+l=0,

/x

y el gravicentro es ( 1, ~) ; esto se muestra en la figura 4.14.

<1

y

2:r-911+1

=0

~~:=-l.d-1~-+~-.x 14:r+J5y-19=0 8:r+3y-9=0

Figura 4.14 Medianas y gravicentro del triángulo del ejemplo 4.10

Rectas en el plano

88 Ejercicios y problemas

4.5.1 Encuentre las ecuaciones de las alturas del triángulo cuyos vértices son:

(a) (4,1),(8,-3),(1,-3);

(b) (5,-1),(5,5/4),(-8,11).

4.5. 2 Encuentre las ecuaciones de las alturas del triángulo cuyos lados son:

(a) 8y+x+34 = O,x-y- 2 = 0,2x+y(b) 3x = 4y,6x + By- 5 = 0,5x-12y-17

7 = O; =0.

4.5.3 Dados los puntos A(O, 3), B( 4, 6) y C(36/5, O), dibuje el triángulo ABC y encuentre los puntos síguíentes: (a) el gravicentro G, (b) el incentro I, (c) el ortocentro Or, (d) el circuncentro C.

o.

4.5.4 Verifíque que los puntos G, y C del ejercicio 4.5.3: (a) están en una recta, llamada recta de Buler, y (b) cumplen que O,G : GC = 2 : 1. 4,5.5 Verifiqueque el circunoentro, el ortocentro y el centro de gravedad del triángulo de los ejemplos 4.7, 4.9 y 4.10 satisfacen las afirmaciones del ejercicio 4.5.4.

4.6

Método gráfico de la programación lineal

A continuación presentaremos un tipo de problemas donde se pueden aplicar algunos de los conceptos y resultados sobre rectas que hemos estudiado. Este tipo de problemas se llaman de programación lineal y su solución fue desarrollada por George Dantzig (1914-2005) en 1947¡ su método algebraico se llama método simplex, y fue la primera de una serie de técnicas que conforma todo un campo de las matemáticas que se llama programaci6n matemática..

En un problema de programación lineal se pueden presentar muchas variables, pero en el caso de tener solamente dos, es posible plantear y resolver el problema geométricamente usando rectas en el plano, y en el caso de tener tres variables, el problema también se puede plantear y resolver geométricamente por medio del uso de planos en el espacio. Al uso de rectas y planos para resolver problemas de programación lineal se le llama método gráfico de la programaci6n lineal y aquí trataremos el caso de dos variables, mediante dos ejemplos. Problema 1: supongamos que una fábrica de bicicletas cuenta con dos líneas de producción. La linea A puede producir a lo más 50 bicicletas de

4. 6 Método gráfico de la programación lineal

89

un mismo tipo que producen una utilidad de $450.00 por unidad, y la línea 8 puede producir hasta 30 bicicletas diarias de otro tipo que producen una utilidad de $600.00 por unidad. Por otra parte, la línea A requiere de 2 horashombre para la elaboración de cada bicicleta y la línea 8, de 3. La totalidad disponible de horas-hombre por día es de 120. Bajo estas restrioc:iones, ¿cuál debe ser la producción diaria de cada tipo de bicicletas para que la utílidad sea máxima? Solución: denotemos con x el número de bicicletas diarias producidas por la línea A y con y el número de bicicletas producidas por la línea B. Entonces, Jo que queremos maximizar es la utilidad diaria U= 450x+600y. Observemos que para cada valor de U, la expresión se convierte en la ecuación de una recta; por ejemplo, si U = 1800, sustituyendo y simplificando la expresión, resulta 3x+4y = 12, que representa las posibles combinaciones de x y y que producen una utilidad de 1800. Por otra parte, para que una pareja (x, y) sea una solución factible del problema, es necesario que se cumplan las restricciones que imponen la capacidad de las líneas de producción y la capacidad de mano de obra. Considerando esto, determinaremos el conjunto de soluciones factibles. De inicio, por la propia definición de x, y, se debe tener que: X ;;,: 0, y ;;,: 0, lo que restringe las soluciones íactibles al primer cuadrante. Las restricciones que imponen las líneas de producción son: X~ 50, '!/ ~ 30, por lo que ahora las soluciones factibles quedan limitadas a un rectángulo, y finalmente, la restricción en el número de horas hombre la escribimos en la forma: 2x+3y ~ 120. Esta última desigualdad se cumple para todos los puntos (x, y) sobre la recta 2x + 3y = 120 y todos los que están del mismo lado de la recta que el origen; es decir, se trata de un semiplano que incluye la orilla. 'Todas estas restricciones determinan el conjunto de soluciones factibles que se muestra en la figura 4.15. Obsérvese que el conjunto de soluciones factibles, por ser una intersección de sem.iplanos, será siempre un polígono convexo. Si ahora, sobre el mismo plano donde localizamos el conjunto de soluciones factibles, trazamos las rectas correspondientes a varias utilidades posibles, observaremos que estas rectas son paralelas y que a medida que se acercan al origen disminuye la utilidad. Por consiguiente, la utilidad será máxima cuando la recta se encuentre lo más alejada posible del origen, pero tocando el conjunto de soluciones íactibles. Así, la recta de la utilidad, a la que llamaremos funcién

Rectas en el plano

90 z=50

40

30 20

lO O

'º

-;:,,,...~,: 20 30 40 50 60

Figura 4.15 Conjunto de soluciones factibles

objetivo, puede tocar al conjunto de soluciones factibles en un solo punto, o sea, un vértice, en cuyo caso la solución óptima es única, o Jo puede tocar en todo un lado del polígono, lo que significa que hay muchas soluciones. En el ejemplo que nos ocupa, la situación se muestra en la figura 4.16, en donde se observa que la solución óptima está en el vértice donde se intersectan las rectas x = 50 y 2x + 3·y = 120; por tanto, la solución buscada es x = 50, y = 20/3, U = 26, 500.
' ',',<

' ', '

U= 18,000

U=30,500 ,

2":+3¡.,=120

~ '', f....

Solución óptima: (50, 20/3)

:...,...:,..;z=50 O

102030405060

%

Figura 4.16 Solución al problema 1 de programación lineal Problema 2: una compañía minera extrae minerales de dos vetas y debe cubrir una demanda de dos minerales, A y B; esta demanda es de 3 toneladas del mineral A y 2.5 de B por mes. La veta l produce, por cada tonelada procesada, 100 Kg. del mineral A y 200 Kg. del mineral 8; la veta 2 produce 200 Kg. de A y 50 Kg. de B por tonelada, y el costo de procesar una tonelada es de $500 para la veta I y de $600 para la veta 2. ¿Cuántas toneladas de material de cada veta se deben procesar mensualmente para satisfacer la demanda y minimizar los costos?, ¿cuál es el costo mínimo?

4. 6 Método gráfico de la programaci6n lineal

91

Solución: sea x el número de toneladas procesadas de la veta 1, y sea y el número de toneladas procesadas de la veta 2. Entonces queremos minimizar el costo C, dado por C = 500:z: + 600y, bajo las restricciones siguientes: 100:z: + 200y ~ 3000 (demanda del mineral A) 200:i; + 50y ~ 2500 (demanda del mineral B). En la figura 4.17 se muestra el conjunto de soluciones factibles, diferentes posiciones de la función objetivo o recta de costos, y la solución del problema: x = 10, y= 10, rosto mínimo= 11,000. <1 1/

x • 10 11 • lO C ~ U,000 0:10.000 ......

Figura 4.17 Solución al problema 2 de programación lineal

Ejercicios y problemas 4.6.l Un fabricante produce dos tipos de asadores de carne. En el proceso de producción, utilizados méquínes A y B. Cada una de las máquina.s se puede utilizar las 24 horas del día. El asador tipo 1 produce una utilidad de $40 y requiere de 2 horas en la máquina A y 4 horss en la máquina B; el asedor tipo 2 produce una utilidad de $60 por unidad, y requiere de 4 horas en la máquina A y 2 horas en la máquina B. (a) ¿Cuánta.s unidades de tipo 1 y cuéntas de tipo 2 deben producirse para maximizar las utilidades?, y (b) ¿cuál es la utilidad máxima?

4.6.2 Un fabricante de juguetes producirá dos tipos de juguetes para la próxima temporada navideña. El primer juguete requiere 2 horas en la máquina A, 1 hora en la máquina By 1 hora de terminado; el segundo juguete requiere de 1 hora en la máquina A, 1 hora en la máquina B y 3 horas en terminado. Las horas disponibles semanales de los empleados son 70 horas para la. máquina A, 40 para. la B, y 90 para el terminado. Si la utilidad unitaria del primer juguete es de $40 y el del segundo

Rectas en el plano

92

$60, (a) ¿cuántas unidades de cada juguete deben fabricarse para maximizar las utilidades?, y (b) ¿cuál será la utilidad máxima? 4.6.s Una diete. debe contener al menos 16 unidades de carbohídratos y 20 unidades de proteínas. Estos requerimientos se van a cubrir con dos productos que se venden en el mercado. El producto A cueste. $12 por unidad y oontiene 2 unidades de carbohídraaos y 4 de proteínas; el producto B cueste. $8 por unidad y oontiene 2 unidades de carbohídratos y 1 de proteínas. (a) ¿Cuántas unidades de cada producto deben adquirirse para minimizar los costos", y (b) ¿cuál es el costo mínimo? 4,6.4 Un agricultor necesita tres tipos de ingredientes nutritivos A, B y C para fertilizar un campo, y sus necesidades semanales son de 80 unidades de A, 120 de B y 24-0 de C. Por otra parte, en el mercado se ofrecen dos marcas de fertilizante; la Marca l cueste. $4 pesos el saco y oontiene 2 unidades de A, 6 de B, y 4 de C. La Marca 2, por su parte, tiene un costo de $5 el saco y oontiene 2 unidades de A, 2 de B, y 12 de C. (a) ¿Cuántos sacos de cada fertilizante se deben comprar semana.lmente para minimizar el oosto y cubrir los requerimientos alimenticios de las plantas?, y (b) ¿cuál es el costo mínimo?

4. 7

Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica

En los capítulos previos hemos señalado que el método de lageometóa analítica permite convertir problemas geométricos en algebraicos y viceversa. Esto nos lleva a plantear como dos problemas fundamentales de la geometría analítica los siguientes. • Primer problema: dada una ecuación, interpretarla geométricamente, es

decir, trazar su gráfica. • Segundo problema: dado un lugar geométrico, es decir, una figura y la

condición que deben cumplir sus puntos, determinar su ecuación. Para trazar la gráfica de una ecuación, es conveniente seguir una serie de pasos para darse una idea del comportamiento global de la figura, antes de proceder al trazo de puntos concretos sobre la gráfica. Los pasos recomendados son los siguientes: l. Intersecciones con los ejes. Buscar los puntos que estén sobre la gráfica y sobre los ejes de coordenadas. Para esto, hacemos x = O y los valores de y nos darán los puntos de intersección de la gráfica con el eje de las

4. 7 Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica

93

Si hacemos y = O, obtendremos los puntos de intersección con el eje de las z,

y.

2. Simetrías. Para ver si hay simetría respecto al eje de las z, basta ver que si el punto (x, y) está en la gráfica, entonces, ( x, -y) también lo está. La simetría con respecto al eje de las y ocurre si (-x, y) está en la gráfica cuando (x, y) lo está. Tendremos simetría respecto al origen si para cada punto (z, y) en la gráfica, también (x, y) está en la gráfica. Esto se comprueba sustituyendo en la ecuación x por -x, y por -y, o ambas, y viendo que la ecuación no se altera. Si hay simetría respecto a los dos ejes, también hay simetría respecto al origen, pero la afirmación recíproca no es válida. 3. Bxten.si6n. Conviene saber en qué parte del plano se encuentra la gráfica¡ es decir, delimitar para qué valores de x y para qué valores de y hay puntos de la gráfica. Son restricciones a la extensión las indeterminaciones por denominadores que se anulan y la existencia de raíces cuadradas de números negativos. 4. Asíntotas. Se llama asíntota de una curva a una recta tal que, al alejarnos del origen, la distancia de los puntos sobre la curva a la asíntota se va acercando a cero sin llegar a serlo, es decir, sin que la curva llegue a tocar a la asíntota. Existen asíntotas horizontales o verticales cuando al despejar laxo la y, respectivamente, aparece un denominador que se acerca a cero. 5. Trozo de puntos. Ya que se han cubierto los cuatro pasos señalados, con la información generada se procede a calcular algunos puntes escogidos robre la gráfica, sea dando valores a la x para calcular la y o viceversa, de modo que faciliten el trazo final de la gráfica. Ejemplo 4.11 Trace la gráfica de la ecuación x2y xy 2y 1

= O.

Solución: (1) Intersecciones: si x = O, entonces y = -1/2. Por tanto, la gráfica pasa por el punto (O, -1/2). (2) Simetrías: si (x, y) está en la gráfica, entonces ni (-x, y), ni (x, -y), ni (x, -y) están sobre la gráfica; luego, no hay simetría respecto a los ejes y tampoco respecto al origen. ( :!¡ Extensi6n: para encontrar la extensión de la x, factorizamos y(x2 - x- 2) = y(x- 2)(x + 1) = 1, para despejar l (4.14) y= (x 2)(x + 1);

Rectas en el plano

94

esto significa que x no puede tomar los valores x = 2 ni x = l. Para encontrar la extensión de y, observamos primero de la ecuación que y # O; entonces escribimos x2 - x - 2 - ~ = O, y por la fórmula general, y

x=

-1± ./9+(4/y) 2 ;

(4.15)

entonces, 9 + (4/y) ;;¡, O, de modo que si y> O entonces v » -4/9 y si y< O, entonces y ..;; -4/9; es decir, y no puede tomar valores que sean mayores que -4/9 y menores que O. (4) Asintotas: en la ecuación (4.14) podemos observar que cuando x se aproxima a -1 o a 2, el valor y tiende a más o menos infinito; esto significa que la gráfica tiene como asíntotas verticales a las rectas x = -1 y x = 2. Por otra parte, de la ecuación (4.15) deducimos que cuando y tiende a O, z tiende a más o menos infinito, por lo que y = O es una asíntota horizontal. ( S) 'lrazo de puntos: utilizando (4.14) y la información obtenida en los puntos anteriores, damos valores adecuados ax para obtener valores de y, de modo que los puntos obtenidos nos den una idea clara de la forma de la gráfica. En la tabla 4.1 se muestran las coordenadas de algunos puntos.

o

"'1J -4

-2 ~

.~

-3

-4

_!

~

.!.

-1

~

re

_, !

•

7

7

1

;

-!

¡¡

2

3

4

• t to

Tabla 4.1

Con estos puntos y la información obtenida, podemos proceder a trazar la gráfica, como se muestra en la figura 4.18. Una inspección de la tabla 4.1 y la gráfica 4.18 nos permite descubrir su simetría con respecto a la recta X=

1/2.

1

1

1 1 1 1 1 1 1

1

o

1 1 1 1 1

,2

X

1 1 1 1

Figura 4.18 Gráfica de la ecuación :zily- xy- 2y-1 = O


95

Ejemplo 4.12 Trace la gráfica de la ecuación z211 = z2 + y2• Solución: (1) Intersecciones: si x = O obtenemos y2 = O, y si hacemos y= O obtenemos x2 = O. Por tanto, la gráfica pasa. por el punto (O, O}. (2) Simetrías: si (x, y) está en la. gráfica, entonces (x, -y), (-x, y) y ( -x, y) también están en la. gráfica. Por tanto, la gráfica. es simétrica. con respecto a ambos ejes y, en consecuencia, al origen. ( S} &tensi6n: factorizando la variable y encontramos que: x2

Y2 _- -,,.-x2 -1'

(4.16}

de donde concluimos que x no puede tomar los valores ±1, porque se anularía el denominador, ni puede tomar valores en el intervalo (1, 1), porque el la.do derecho sería negativo, mientras que el izquiedro no puede ser negativo. Por la simetría de la gráfica, las mismas afirmaciones son válidas para los valores de y. (4) Asíntotas: si :i; se aproxima a 1 por la derecha o a -1 por la izquierda, entonces el valor de 11 tenderá a infinito. AEí, las rectas :i; = ±1 son asíntotas verticales. Obviamente, las rectas y = ±1 son asíntotas horizontales. (5) Trazo de puntos: el punto (O, O} está sobre la gráfica. Dando ax algunos valores mayores que 1 y calculando los correspondientes valores positivos de y por medio de (4.16), obtenemos la tabla 4.2.

"'11

1.1

1.2

1.3

1.4

1.7

2

2.3

2.6

2.400

2809

1.565

1.428

1.236

1.15470

1.11045

1.(11333

Tabla. 4.2 Los puntos (x, y) representados en la tabla 4.2 corresponden a la porción (o rama) de la gráfica que está en el primer cuadrante. Los puntos que se obtienen reflejándolos sobre los ejes y sobre el origen corresponden a las ramas de la gráfica en los cuadrantes restantes. La gráfica.de la ecuación se muestra en la figura 4.19.
= O.

Rectas en el plano

96 11

L 1·· ·1 _j __

i __

•

• •

~~~~·---~·~¡~~--+-X

•

Figura 4.19 Gráfica de la ecuación x2 + y2 = x2y2 Solución: (1) Intersecciones: si hacemos x = O en la ecuación original se obtiene y3 = O y si hacemos y = O obtenemos 8x2 = O, así que la única intersección de la gráfica con los ejes ocurre en el origen. ( 2) Simetrías: vemos que al cambiar z por -x en la ecuación dada, ésta no se altera; luego, la gráfica es simétrica con respecto al eje y. Al cambiar y por -y la forma de la ecuación se transforma de x2(y + 8) + ,! = O en x2(y - 8) + y3 = O, luego, la gráfica no es simétrica con respecto al eje z: ( 9) Extensi6n: podemos escribir la ecuación dada en la forma X

2

-y3

=

y+8'

(4.17)

de donde se concluye, con respecto a la variable y, lo siguiente: (a) no puede tomar el valor -8, pues se anularía el denominador¡ (b) no puede ser positiva ni menor que -8, pues de lo contrario el lado derecho de ( 4.17) sería negativo, mientras que su lado izquierdo es no negativo. Entonces, la variable y sólo puede estar en el intervalo (-8, o¡. Por su parte, la variable x puede tomar cualquier valor porque al acercarse y a O (con valores negativos) el valor de x2 se aproxima a cero, y cuando el valor de y se aproxima a -8 (con valores mayores que -8) el valor de x' se puede hacer tan grande como se quiera. (.() Asíntotas: Por lo anterior, y= -8 es una asíntota. ( 5) Thizo de punto»: para encontrar las coordenadas de algunos puntos de la gráfica damos a y valores entre O y -8, y calculamos los respectivos valores de x mediante la relación x = ±J-y3/(y+8). En la tabla 4.3 se muestran las coordenadas de algunos puntos en el cuarto cuadrante. Los puntos de la tabla 4.3, así como la gráfica de la ecuación se muestran en la figura 4.20.
97

4. 7 Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica 11

o

-0.1

-0.5

1

-2

-3

-4

:,;

o

0.011

0.129

0.377

J.154

2.323

4

-5

-6

6.454 10.392

-7 18.520

Tabla 4.3

.................... s··················

Figura 4.20 Gráfica de la ecuación x2(y

+ 8) + y3 = O

El segundo problema fundamental de la geometría. analítica consiste en encontrar una ecuación que represente a un lugar geométrico dado. Hemos visto, por ejemplo, que una. recta puede representarse mediante una. ecuación de la. forma ax + &y + e = O. Cuando definimos un lugar geométrico, lo hacemos describiendo una. propiedad geométrica. que cumplen todos sus puntos, y solamente ellos. Ejemplo 4.14 Encuentre la ecuación de la circunferencia. con centro (h, k) y radío r, Solución: la circunferencia es el lugar geomítrico de los puntos Pt», y) del plano que distan del punto lijo C(h, k) una distancia lijar. Esta condición la traducimos en una ecuación:

d(P,C)

=r.

Aplicando la fórmula. para. la distancia. y elevando al cuadrado, obtenemos: (x h)2 + (¡¡ - k)2 = r2.
Rectas en el plano

98

Ejemplo 4.16 Un segmento de recta de longitud 2 se desliza sobre el piso y la pared, manteniéndose en un plano perpendicular a ambos. Encuentre la ecuación del lugar geométrico que describe su punto medio. La situación se ilustro en la figura 4.22. Solución: es fácil observar en la figura 4.22 que il + '!! = l. Por tanto, se trata de una circunferencia con centro en el origen y radio unitario. <1 11

11

T

11 ,..__,

t

~,....--l43 X

11

l+-:c---': f-1=-~-=--:,; z-J.-.x~

Figuro 4. 21 Lugar geométrico del ejemplo 4.15

Figura 4.22 Lugar geométrico del ejemplo 4.16

Ejemplo 4.17 Un segmento de recta se desliza sobre el piso y la pared manteniéndose en un plano perpendicular a ambos. Si su longitud es 3, encuentre la. ecuación del lugar geométrico que describe el punto que se halla a una unidad del piso cuando el segmento está vertical. Esta situación se ilustra en la. figura 4.23. Solución: a partir de la figura 4.23, por triángulos semejantes obtenemos que v'4-:¡;2 y 2

= I·

Elevando al cuadrado obtenemos x2 +4y2 = 4, que es la ecuación de una elipse con centro en el origen y semiejes de longitudes 2 y l. <1 11

2

Figura 4.23 Lugar geométrico del ejemplo 4.17


99

Ejercicios y problemas 4.7.1 Encuentre la ecuación del lugar geométrico del punto P del plano que se mueve según cada una de las condiciones siguientes. (a) La suma de los cuadrados de las distancias de P a (3, O) y a (-3, O) es 100. (b) La distancia de Pal punto (O, 6) es igual a la distancia al eje z. (e) La distancia de P al punto (8, 2) es el doble de la distancia al punto (4, 3). (d) La distancia de Pal punto (-1,0) es una unidad menor que la distancia al eje z: (e) La distancia a (1, O) es igual a la distancia a la recta x = 4. (f) El área del triángulo APB es igual al área del triángulo PQR donde A es (2, 5), Bes (2, 1), Q es (3, O), y Res (5, 3). (g) La diferencia de dístancias de P a (5, O) y ( -5, O) es 8. (h) El producto de las distancias de P a los ejes es 1 O. (i) El ángulo AP B es do 45°, donde A es cl punto ( 4, l) y B es el punto ( -2, 3). 4. 7 .2

Examine las siguientes ecuaciones en lo que respecta a intersecciones con los ejes, simetrías, intervalos de z para los que II es real, intervalos de x para los que 11 es ímaginarii,.y díbuje la gráfica correspondiente. (a)

tl - 2:r2 + 12:r = 10;

(b) 112 + 8:i: + 16 = O; (d) 4:r2 + 9y2 - 36 = O; (f) 9:r2 +4¡¡2-36 = O; (h) 112+9:r2-9=0; (j) 3:i:2 56:r + 240 = ¡r; (1) :r2 +9y2 = 9; (o) (11- 5)2 = z2 - x - 12; (p) 112 = (:r - 1)(:r - 2)(:r - 3); (r) 112 = (x 1)(:r - 3)3•

(e) 4¡¡2 - 9:r2 = 27:r - 90; ( e) 4:r2 - 9y2 - 36 = O;

(g) 3:r = 6- 4¡r; (i) :r2+4¡r-6:r-]6=0; (k) 8:r - 112 - 8 = O; (m) 112 - :r2 - 8 = O; (o) 8y2 - cc1 = O; (q) 112 = 2:r3 + 10:i:2 - 28:r;

4.7.3 Examino las siguientes ecuaciones en lo que respecta a intersecciones con los ejes, simetrías, intervalos de x para los que II es real, intervalos de z para los que y es lmaginaría, asíntotas borízontales y verticales y dibuje la gráfica.

(a) :ry=6;

(b) 3:i:11 = 6y + x; (d) xy 211 = :r2 - 16;

(e) 3a;2-:ry-4x+y=7; 9 1 (g) 11 = :r2 + 1 - :r2 + 4; (i) (:r +112)(:r +4) = 12:r2;

(í) -

(e) 211 + 16 = xy;

(k) 112(:r + 3) = :r2(3 - :r); 2 9(:r2 - 2x - 8) (m) 11 = :r2-6:r+5 ;

xy2

=4; 4-:r (h) :r211 +v = 10;

(j) l/2(:r + 5) = -:r3; (1) :r2(y + 8) + y3 = O; :r-4 (n) ll = 2z2 - 7:i: - 4.

Rectas en el plano

100

4.7.4 Un rectángulo está inscrito en un círculo de radio 12. Si un lado del rectángulo es 2:i:, encuentre el área A del rectángulo en términos de z, dibuje la gráfica de la ecuación en A y z, y calcule el valor de x para el que se tiene el valor mayor de A. 4.7.5 En la situación descrita en el problema 4.7.4, exprese el perímetro P en términos de x y ca.Jcule el valor de x para el que se tiene el mayor valor de P. 4.7.6

A y B son dos puntos de atracción magnética separados 10 unidades. Pes

un punto arbitrario en la recta AB. P es atraído por A con una fuerza F1 igual a A

10

B p

12/(AP)2 y por B con una fuerza. F2 igua.J a 18/(BP)2. Sea x = AP. (a) Exprese en términos de x la suma F de las dos fuerzas, y (b) dibuje una gráfica que muestre los valores de F para todo valor de x.

Capítulo PLANOS Y RECTAS EN EL ESPACIO

5

5.1 Formas de la ecuación del plano 5.2 Distancia de un punto a un plano 5.3 Posiciones relativas de planos 5.4 Formas de las ecuaciones de la recta 5.5 Posiciones relativas de rectas y planos 5.6 Distancia de un punto a una recta y entre dos rectas

5.1

Formas de la ecuación del plano

Supongamos que tenemos un plano 1r que contiene al punto P1(:.1,Y1,z1) y cuya normal tiene números directores (a, b, e]. Si P(:., y, z) es cualquier otro punto de ,r, entonces la recta que pasa por P y A tiene números directores (:. x1, y - y1, z z1 J, está contenida en ,r y entonces es perpendicular a la normal al plano; por consiguiente, a(x - :.t) + b(y-y1) + c(z - z1) = O. (5.1) Recíprocamente, si P,. no está en n, la recta por P y P1 no está en 1r y no se cumple la ecuación (5.1). Así, esta ecuación caracteriza los puntos del plano que pasa por Pi y tiene dirección normal [a, b, e]; por eso la llamaremos forma punto-normal de la ecuación del plano. Nótese que dos planos son paralelos o perpendiculares si y sólo si sus normales son paralelas o perpendiculares, respectivamente, y en general, forman el mismo ángulo que forman sus normales. Con la ecuación (3.8), podemos calcular el ángulo entre dos rectas a partir de sus números directores. NOTA IMPORTANTE. Le ecullCión (5.1) C8.f8Cteriza Ios puntos del plano en el sentido de que las coordenadas de un punto satisfacen la ecuación (5.1) si y sol11J11ente si el punto está en el plano. Si en la ecuación (5.1) agrupamos los términos constantes, obtenemos una ecuación de la forma (5.2) a:. + by + cz + d = O, a la que llamamos forma general de la ecuación del plano. 101

Planos y rectas en el espacio

102

Observamos que en la Iorma general de la ecuación del plano los coeficientes de x, y, z son números directores de su normal y que si d = O, el plano pasa por el origen. Cuando en la forma general uno de los coeficientes a, b, c es cero, entonces el plano es paralelo a un eje de coordenadas, y si dos de esos coeficientes son cero, entonces el plano es paralelo a un plano de coordenadas. Si el plano no pasa por el origen, también lo podemos representar en la forma xyz () ;; + ¡; + ~ = 1, 5.3 ecuación a la que llamaremos forma simétrica de la ecuacwn del plano. En esta forma de la ecuación del plano, (a, O, O), (O, b, O) y (O, O, e) son los puntos donde el plano corta a los ejes de coordenadas. Ejemplo 5.1 Calcule en las tres formas hasta aquí presentadas, la ecuación del plano que pasa por (1, -3, 2) y tiene dirección normal [-1, 2, 3]. Solución: la forma punto-normal es -(x-1) + 2(y+3) +3(z- 2) = O. Agrupando los términos constantes y cambiando de signo a la ecuación, obtenemos :¡; - 2y - 3z l = O, que es la forma general. Por último, pasamos el uno a la derecha y los coeficientes al denominador para obtener la forma simétrica: y z :¡; -

1/2 - 1/3 = l.

Para darnos una idea de la posición de un plano en el espacio, podemos señalar los puntos donde intersecta a los ejes de coordenadas, cuando tales puntos existan, y unirlos formando un triángulo. En el caso del ejemplo 5.1, estos puntos son A(l, O, O), B(O, -1/2, O) y C(O, O, -1/3). Véase la figura 5.1. z

y

Figura 5.1 El plano del ejemplo 5.1 NOTA IMPORTANTE. Así como un11 recta en el pl11110 estÁ detemlinada por dos condiciones, como por ejemplo dos puntos, un punto y la pendiente o dos de hls const1U1tes de la form11 generlll, así un plano en el espacio está determinado por tres condiciones: tres puntos, las ínteISecciooes con los ejes, tres de las constantes de la forma general. También está determinado por un punto y la

103

5.1 Formas de la ecuación del plano

dirección normal al plano, pero la dirección nonnal equivale a dos condiciones independientes porque permite establecer dos ecuaciones independientes. Dados cuatro puntos P(x, y, z), Pi(x,, Y.1, z1), A(:c2, y2, Z2) y A(:c3, y3, z3), consideremos el sistema de ecuaciones:

ax +by+cz+ d = O, + /,y¡ + CZ1 + d = 0, ax2 + /,y2 + CZ2 + d = o, ax3 + by3 + CZ3 + d = O. Existe un plano que contiene a los cuatro puntos si y solamente si este sistema. de ecuaciones lineales en las incógnitas a, b, e, d tiene una solución no trivial (la solución trivial es a = b = e = d = O), y para que esto ocurra es necesario y suficiente que el determinante del sistema sea. nulo, es decir, que a:&1

X

y

Z

X1

Y1

Z1

1 1

X:! Y2 Z2 l X3 Ya Za 1

(5.4)

=0.

Esta es la forma de determinante de la ecuación del plano. El determinante (5.4) se puede calcular con determinantes 3 x 3 de la manera siguiente: ~ ~ 1 Y2 Z2 1

~ ~ 1 Xt Yt 1 X2 Z2 1 Y+ X2 Y2 1

X

Y3 Z:1 1

:C3

Z3

1

:C3

Xt ~ Z

Y3 1

X2

~ Y2 Z2 = 0.

X3 Ya Z:1

Ejemplo 5 .2 Encuentre la ecuación del plano que contiene a los puntos (1, -3, 2), (-1, 2, -2), (O, 1, -1). Solución: calculamos los determinantes de la ecuación (5.5): -3 2 1 2 -2 1 =6+2-2-(-2+4+3)=6-5=1, 1 1

1

1 2 1 -1 -2 1 O -1 l 1 -3 1

-1

2 l

O

1 l

=-2+0+1-(0-2-1)=-1+3=2, = 2 + O - 1 - (O + 3

+ 1) = 1 -

4 = -3,

(5.5)


104

1 -3 2 1 2 -2 = -2+0-2-(0-3-2) = -4+5 = l. o 1 1 Por tanto, la ecuación del plano es :t: 2y - 3z - 1 = O. Obsérvese que es el mismo plano del ejemplo 5.1. q Si tenemos tres puntos no colineales en un plano, con ellos determinamos dos direcciones en el plano; con estas dos direcciones, tratemos de encontrar la dirección normal al plano, que será perpendicular a ambas. Sean [a1, bi, et] y [a2, bi, 02) dos direcciones no paralelas y supongamos que [a, b, cj es perpendicular a ambas. Entonces: a1a+ bib+c1c= O, (!,JO

+ IJ.ib + C2C =

0.

Fste es un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas. Como las dos dírecciones dadas no son paralelas, al menos uno de los tres determinantes de orden dos de 106 coeficientes será distinto de cero; supongamos que ó
Iªa2'

bi I i O.

(5.6)

l>i

Entonces escribimos el sistema en la forma a,a + btb = -C¡C, a2a + />ib = -C2c, y resolvemos para a y b, dando valores arbitrarios a e, para obtener

I=:~ ~I I~ :1

1: =~:~I 1: :1

a= ó = e ó ' b= ó Si tomarnos e= ó, entonces la solución será:

lb,

al>i

CJIC2'

b--1ª' -

02

CJI C2'

-1ª1

C-02

= -e

bil bi'

ó

.

(5.7)

Así, las fórmulas (5. 7) nos dan números directores de la direcci6n perpen dicular a las dos direcciones dadas. Ejemplo 5.3 Usando la dirección normal al plano, encuentre la ecuación del plano que pasa por los puntos dados en el ejemplo 5.2. Solución: con los puntos {l, -3, 2), (-1, 2, -2), {O, 1, -1) encontramos dos direcciones no paralelas en el plano, por ejemplo: [l + 1, -3 - 2, 2 + 2] = [2, -5, 4], y [1- o, -3- 1, 2 + l] = (1, -4,3j. A continuación, con estas dos direcciones y usando (5. 7) encontramos la di rección normal:

5.2 Distancia de un punto a un plano

[I=! ~l·li ~l·li =!IJ

105

=[-15+16,-(6-4).-8+5]=[1,-2.-3].

Finalmente, calculamos la ecuación del plano usando uno de los puntos: (x 1) - 2(y + 3) - 3(z 2) = O, y de aquí, X 2y - 3z 1 = 0. ~ Ejercicios y problemas 5.1.l En cada caso, encuentre la ecuación del plano que tiene las características descritas. Utilice la forma de la ecuación que más convenga; si no es la forma general, también encuentre ésta. (a) Es para.lelo al plano 4z - 211- z = 12 y pasa por el origen. (b) Int.ersecta la parte positiva de cada uno de los ejes a dos unidades del origen. (c) Pasa por el punto (1, -2, O) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (2,-4,2) y (-1,3, 7). (d) Su punto más cercano al origen es (1, -2, 2). 5.1.2 Dados los puntos A(2,1,-1), B(-2,2,4) y C(3,2,-2), encuentre en cada inciso la forma general de la ecuación del plano que satisface las condiciones que se indican: (a) Pasa por A, B y C. (b) Pasa por B y es perpendicular a AG. (c) Es perpendicular a AB en A. (d) Pasa por A y las intersecciones oon los ejes son iguales. (e) Pasa por By C y es paralelo al eje z. (f) Contiene a la recta AB y al punto (3, 1, O). s.r.s Muestre que los puntos (4, 1, 3), (1, 5, -1), (3, O, l) y (O, 4, -3) son coplanares.

5.2

Distancia de un punto a un plano

Además de las formas señaladas en la sección anterior, existe la llamada forma normal de la ecuación del plano. Para deducirla, consideremos un plano que no pase por el origen O y desde el origen tracemos el segmento OP., perpendicular al plano y cuyos ángulos directores son a, f3 y 'Y· Si la longitud de OP1 es p y tomamos cualquier otro punto P(x, y, z) en el plano, tendremos la situación planteada en la figura 5.2. Si proyectamos el punto P1 sobre 106 ejes de coordenadas, obtenemos triángulos rectángulos que nos permiten calcular las coordenadas de P1: x, =pcosa, 111 =pcos/3, z, =pcos-,.


106 z

d(O,P,) = p

;¡;

Figura 5.2 Forma normal de la ecuación del plano Por otra parte, como O Pi es ortogonal a PPi, entonces: cosa(x - p cosa)+ cos,B(y -pcos,B) + cos-y(z - peas-y)= O. Simplificando, se tiene la forma nonnal de la ecuación del plano:

z cos o

+ yoos/3 + zoos,

-

p =

O.

(5.8}

Siguiendo los mismos pasos que dimos para el caso de la recta en el plano, se obtiene que la distancia del punto Pi (x1, y1, z1} al plano dado por (5.8} es: d = lx, coso+ y, cos/3 + z, cos, - vi, es decir, para calcular la distancia. de un punto a un plano, basta con sustituir las coordenadas del punto en la expresión dada por la forma normal de la ecuación del plano y tomar el valor absoluto. Ahora bien, si tenemos la ecuación en forma general ax + by + cz + d = O, también siguiendo un procedimiento paralelo al caso de la recta en el plano, se puede convertir esta forma general a la forma normal dividiendo entre ±../a2 + b2 + c2, donde el signo lo tomaremos contrario al de d, si d f O; igual al de e si d = O; igual al de b, si e = d = O, o igual al de a, si b =e= d =O.Así, la fórmula para obtener la distancia del punto Pi(xi, 111, z1) al plano ax + by + cz + d = O, es

d = ¡ax, +by

1

+cz1

+di.

±../a:l + b2 + c2

(5.9}

L8. Clllltidad obtenida 111 sustituir las coordenadas del punto en la forma normru, será positiva si y sólo si el origen y el punto estAn de lados contrarios del pl1UJ0. NOTA IMPORTANTE.

Ejemplo 5.4 Calcule la distancia del punto P,(2, -3, 1} al plano 2x - 2y + z - 3 = O. Solución: por la fórmula (5.9}, la distancia. es:

107

5.2 Distancia de un punto a un plano

d

= 12(2)-2(-3)+(1)-31 ±,/22

= 1~1 = ~-

+ 22 + l2

Véase la figura 5.3.
3

3

z

Pi,-,-···--

~~,·

r

k.,....

,

1

•.

:i;

,

,

1 1

y

Figura 5.3 Distancia de P1(2, -3, 1) al plano 2x - 2y + z - 3 = O Ejercicios y problemas s.2.1 Encuentre la forma normal de la ecuación del plano en cada uno de los casos siguientes: (Dos soluciones en (a) y (b).) ( a) Es paralelo al plano 2x - 3y + 6z = 17 y dista 9 unidades del origen. (b) Es paralelo al plano 2:z:- 3y+ 6z = 21 y dista 3 unidades má.s del origen que éste. (c) El segmento que va del origen al punto (2, 1, 2) es normal al plano, y el plano contiene al punto (2, 1, 2). ( d) Es simétrioo del plano 2x 2y - z = 6 oon respecto al origen. 5.2.2

En cada caso, calcule la distancia del punto al plano que se indica:

( a) Del punto (3, -2, 3) al plano 6x - 3y + 2z = 8. (b) Del origen al plano que pasa. por los puntos (1, O, O), (O, 2, O), (O, O, 3). (c) Del punto (-3,4, 2) al plano que oontiene al eje z y cuyos puntos equidistan de los planos de coordenadas x = O y y= O. (Dos soluciones.) s.a.s Encuentre la ecuación del plano perpendicular a la recta de números directores (2, 3, -6] y que dista 7 unidades del origen. (Dos solucíones.] 5.2.4 El vértice de una pirámide es el punto (2, 7, -2) y la pirámide tiene una base de 32 unidades cuadradas, que está sobre el plano 2x - 5y + z - 12 = O. Calculo el volumen do la pirámide. 5.2.5 Encuentre el valor de k para que el plano 2x y+ z distancia de 4 unidades del punto (3, -1, 7). (Dos soluciones.)

+k =

O esté a una

5.2.6 Calcule el volumen del tetraedro formado por los planos de coordenadas y el plano 6x + 7y + 14z - 42 = O.


108

Calcule el volumendel tetraedro formado por los planos de coordenadasy el plano ax+ b¡¡ + cz +d = O. 5.2. 7

5.2.8 Construya y encuentre el volumen del prisma formado por los planos coordenados y los planos y + 3z - 6 = O y z - 7 = O. 5.2.9 Demuestreque los cosenosdirectores de una recta perpendicular a un plano son proporcionalesa los recíprocos de las intersecciones del plano con los ejes. 5.2.10 Encuentre la ecuación del lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan del origen y del plano 6z + 3y 2z = 8. s.2.11 Encuentre la distancia entre los planos paralelos 8z - 4y + z - 36 = O y 8z - 4¡¡ + z + 9 = o.

5.2.12 Demuestreque la distanciad entre los planos paralelosax+b¡¡+cz+dt y az + by + cz + <Í2 = O está dada por la fórmula d _

=O

ld2 - d1I

- .,la" +6' + ¿:,·

5.3

Posiciones relativas de planos

Dados dos planos a1x + b1y + c1z + di = O y 02x + bzy + c,z + d2 = O, el ángulo que forman es el mismo que forman sus direcciones normales, que son lai. bi, et) y !a2, bz, e,). En particular, los planos son paralelos si sus números directores son proporcionales, y son ortogonales si a1a2 + bi t.i + eic, = O. Por el primer comentario, la ecuación ax + /Jy + cz + k = O representa una familia de planos paralelos, uno para cada valor del parámetro k. Cuando tenemos dos planos a1x+b1y+c1 z+di = O y a2x+bzy+0zz+d2 = O, sólo hay tres posibilidades: o coinciden, o son paralelos o se cortan. En el último caso, podemos representar la familia o haz de planos que pasan por la recta de intersección de estos dos, mediante la ecuación k1(a1x + b1y + c1z + d1) + k2(02x + b2Y + 0zz + d2) = O, donde k1 y k2 son dos parámetros, y que cumplen los puntos que están en ambos planos¡ este hecho resulta importante en el estudio de la recta. Si en la ecuación ax +óy+cz+d = O uno de los coeficientes es cero, se trata de un plano paralelo a un eje y, por tanto, perpendicular a un plano de coordenadas. Si dos de los coeficientes son nulos, se trata de un plano perpendicular a uno de los ejes y, por tanto, paralelo a un plano de coordenadas.

109

5.3 Posiciones relativas de planos

Ejemplo 5.5 La ecuación 2x + z 1 = O representa un plano paralelo al eje y; consecuentemente, es perpendicular al plano y = O. Por su parte, la ecuación 2y - 3 = O es la de un plano perpendicular al eje y en el punto {O, 3/2, O). Las gráficas de estos planos se muestran en la figura 5.4, en {a) y ( b), respectivamente. <1

z

z 1

y

y

(a)

(b]

Figura 5.4 Los planos 2x + z - 1

= O y 2y - 3 = O

Ejercicios y problemas 5.3.1 Encuentre el ángulo formado por los planos

2:z: - 3y + Z

5= 0 y

X

+ 2y + 4z 3 = 0.

Encuentre la ecuación del plano que contiene a la recta de intersección de los planos x +y +z+4 = O y x -2y+z -4 = O, y pasa por el origen. 5.3.2

5.3.3 .Encuentre la ecuación del plano equidistante de los planos paralelos 2a:+3y-z+6=0 y -4:i:-6y+2z+5=0. 5.3.4 Encuentre el ángulo formado por la recta de dirección x+y-z+4 = O.

p, -2, 2] y el plano

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (4, -2, t) y es perpendícular a ceda uno de los planos x - 3y + 4z - 9 = O y 2:i: + 2y - z + 11 = O. 5.3.5

5.3.6 Hallar las ecuaciones de los planos bisectores de los ángulos diedros formados por los planos x - 411 + Sz - 9 = O y 2z+ y - 2z +6 = O. (Dos soluciones.] 5.3.7 .Encuentre la ecuación del plano que pesa por la recta de intersección de los planos 3z + 11 2z + 2 = O y x 3y - z + 3 = O y es perpendicular al plano z¡¡. 5.3.8 Encuentre Je. ecuación del ple.no que pasa por el punto (1, 6, -2} y tiene la misma. traza. sobre el plano x¡¡ que el plano 3z - 11 8z + 7 = O.


llO

5.3.9 Demostrar que los planos 2x - y+ 2z - 8 = O, &z: - y 4x +y+ 9z - 5 = O pertenecen a. un mismo haz.

+ 13z -

=

21 = O y

=

5.S.10 (a) Demostrar que los cuatro planos 4x+3y-4z-8 O, 2x-8y+ 1z+5 O, x-3y-2z-3 = O y 3x+y+z-2= O pertenecen a. una. misma. radiación de planos, es decir, tienen un solo punto en común. (b) Encuentre su punto de intersección.

5.4

Formas de las ecuaciones de la recta

Una recta en el espacio se obtiene al intersectar dos planos, por lo que la forma geneml de los ecuaciones de la recta es:

Nótese que hablamos de ú:is ecuaciones, pues se necesitan dos para determinar una recta en el espacio. Dos puntos P1(x1, y1, z1) y P2(x2, Yz, Zz) también determinan una recta en el espacio. Si P(x, y, z) está sobre la recta, entonces los números directores fx-x1, y-y1, z- zi) y [x2- X1,!,'2-Y1, Zz - z1] son proporcionales. Por tanto, y-y¡

XX¡

-

Z

Z¡

Zz - Z1 '

(s.n)

siempre que x1 'f' x2, y1 'f' Y2, z1 'f' z2. Ésta es la forma simétrica bipuntuai o formo bipuntuai de las ecuaciones de la recta. En caso de que uno de los denominadores se anule, se escribe en otra ecuación por separado. Por ejemplo, si 111 = 112, entonces escribimos X

X1

Xz X1

-

Z

Z1

Zz -

Z1

v=vv.

NOTA TMPOJITANTE. Si bien en la expresión (5.11) tenemos tres ecuaclones, s61o dos son independientes, pues cua.lquiera. de elles se deduce de las otras dos. Si en (5.11) sustituimos los números directores (x2 - x,, Y2 - Y1, Zz - z1], por cualesquiera números directores [a, b, e] de la recta, tendremos la [orma

simétrica de las ecuaciones de la recta, X X¡

ª

Y-

== b

Y1

Z Z1

e

(5.12)

donde a, b y e son distintos de cero; si uno de ellos es nulo, se procede como en la forma bipuntual. Por ejemplo, si e= O, escribimos:

111

5. 4 Formas de las ecuaciones de la recta

x-x.

a

y-Yt

= -bz = z,. Si en las ecuaciones (5.12) igualamos a un parámetro t todos los cocientes y despejamos, tendremos la forma pammétrica de las ecuaciones de la recta: x = Xt + ta, y= Y•+ tb, z = Zt + te. (5.13) La ventaja que tiene la forma paramétrica (5.13) es que no hay casos es peciales como en las dos formas anteriores, es decir, se sigue aplicando aun cuando uno o dos de los números directores de la recta se anulen. Si los tres se anulan, ya no tenemos una recta, sino un punto. Ejemplo 5.6 Bicriba las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos P1(2, -1,3) y P2(3, 2, -1) en todas las formas mostradas en esta sección Solución: primero obtenemos la forma bipuntual: x2 y+l z-3 3-2=2+1 = -1-3' y de ella la forma simétrica: y+l z-3 x-2=--=--.

3

-4

A continuación encontramos la forma para.métrica: x=2+t, y=-1+3t, z=3-4t, y, por último, usamos la forma simétrica para encontrar la forma general: y+ 1 z-3 X - 2 = , X -2 = , 3 -4 y de aquí, 3x - y - 7 = o, 4x + z - 11 = O. Nótese que estos dos planos contienen a la recta y son perpendiculares a los planos de coordenadas. En ese sentido, proyectan la recta sobre los planos de coordenadas, por eso se denominan planos proyectantes de la recta. El tercer plano proyectante es: y+l z-3 3 = _4 , osea, 4y+3z5 = O.

Los tres planos proyectantes se muestran en la figura 5.5.

q

Ejemplo 5.7 Dada la recta 2x-y +z-3 = O, x+y-3z +2 = O, encuentre las ecuaciones de sus planos proyectantes. Solución: todo lo que tenemos que hacer es eliminar una a una las incógnitas en la ecuación del haz de planos que contienen a la recta:

k1(2x-y+ z-3) + !vi(x +y- 3z+ 2) = (2k1 + ~)x + (-k1 +~)y+ (k1 - 3.lvi)z - 3k,

+ 2k2 =

O.


112

z

z

11 X X

(a)

(b)

3:,;-y-7=0

4y+3z-5

(e)

=0

4z+z-ll

=0

Figura 5.5 Planos proyectantes de la recta que pasa por los puntos (2, -1, 3) y (3, 2, -1) Tomando k1 = 1 y k,¡ = -2, obtenemos el plano proyectante -3y+7z-7 = O. Haciendo k, = k2 = 1, se obtiene el plano proyectante 3:r - 2z - l = O. Por último, con k1 = 3 y k,¡ = 1, tenemos el plano proyectante 7:r - 2y - 7 = O.
7

3

Otra manera de resolver el problema es encontrar un punto, por ejemplo, (O, -7/2, -1/2), y la dirección de la recta como perpendicular a las normales [2, -1, 1] y [l, I, -3] de ambos planos:

5.5 Posiciones relativas de rectas y planos

113

Ejercicios y problemas 5.4.l Describa el plano o la. recta. que representan cada. uno de los grupos de ecuacienes siguientes: (a)x=4,y=6; (b)y=2,z=l; (c)x=0,z=3;

(d) x=1 +t,y=t;

(f) x =l +t,y=l +t,z =t.

(e) x=2-t,z=2+t;

Escriba. en forma. simétrica., en forma peramétríca y en forma. general las ecua.clones de las rectas que satisfacen las condiciones dedes: 5.4.2

(a.) Pasa por los puntos (4,-3,-2) y (1,1,3).

(b) Pasa por el punto (2,1,0) y es perpendicular a.l plano 2:z:-¡¡+ 3z = O. x-1 ¡¡+2 z-3 (e) Pasa por el punto (1,-1, 3) y es paralela. a la. recta -2- = -3- = -3-. ( d) Es paralela a la recta 2:z: + ¡¡ + z (2,0,0).

= 10, x -

3¡¡ + z = 15, y pasa por el punto

(e) Es la. intersección de los planos x =y+ 5 y ¡¡ = s.

(f) Pasa por el punto ( -7, 3, -5) y es perpendicular a cada una de dos rectas que tienen números directores [4,-2,3J

y [l,2,2J.

(g) Pasa por el punto (4, -1, 4) y dos de sus ángulos directores son a = 45° y

fJ =

60". (Dos soluciones.)

5.4.S Escriba. en forma simétrica. y en forma general las ecuaciones de las rectas

dadas por: (a) x = 2+ 4t,11 =t-4,z = 7-Bt; (c) x =2,11 = 2t,z = 1-2t¡ 5.4.4 Para la recta

(b) x = 2t,y = -t+ l,z = 3; (d) x = 1- 2t,y = 2t,z = 1-2t.

3x + 2¡¡ - z = 4, 4x -11 + 7z = 14, encuentre loo planos

proyectantes. 5.4.5 Demuestre que la rectax-4y+5z-3 = O, x+3y-3z+2 = O está contenida en el plano 3x +2y- z + 1 = O.

:i:+3

5.4.6 Demuestre que la recta -4- =

z - 2·y - 3z - 8 = O. 5.4.7

y-5

=¡

z+7

= 2- está contenida en el plano

Encuentre la ecuación del plano que contiene a. la recta 2x + 2y- z + 3 = O,

z -¡¡ +2z+2 = O y al punto (3,-1,2).


114

z

z

y

(i)

z

y

y

(ii)

(iii)

Figura 5.6 Posiciones relativas de rectas y planos

5.5

Posiciones relativas de rectas y planos

Dados una recta y un plano, puede suceder Jo siguiente: (i) la recta está contenida en el plano, (ii) la recta es paralela al plano, o (iii) la recta corta al plano. Véase la figura. 5.6. En los primeros dos casos, la normal al plano y la dirección de la recta son perpencliculares. En los casos {i) y (ii), tiene sentido calcular la distancia de la recta al plano, para ello es suficiente tomar un punto de la recta y medir su distancia al plano; si la. distancia es cero, la. recta está en el plano y si es positiva, es paralela a él. x-2 y+l z-3 Ejemplo 5.9 Encuentre la. distancia de la recta -2- = -3- = -::¡- al plano x 2y - z 1 = O. Solución: la dirección [2, 3, -4] de la recta y la dirección normal al plano [1, -2, -1] son perpendiculares, puesto que (2)(1) + (3)(-2) + (-4)(-1) = O. Como la distancia de la recta al plano es d = 1(2) - 2(-1) - (3) =o J1+4+1 ' entonces la recta está contenida en el plano. <1

11

Si la recta corta al plano, nos puede interesar calcular el ángulo agudo que forman y el punto de intersección. El primero es el complemento del ángulo que forma la recta con la normal al plano y el punto de intersección se puede encontrar sustituyendo la forma paramétrica de las ecuaciones de la recta en la ecuación del plano. Ejemplo 5.10 Calcule el punto de intersección y el ángulo que forman la recta x-2 y+l z-3 -2- = -3- = -::¡y el plano x - 2y + z - 1 = O.

5.5 Posiciones relativas de rectas y planos

115

Solución: la forma paramétrica de las ecuaciones de la recta es :i; = 2 + 2t, y= -1 + 3t, z = 3 - 4t. Sustituyendo en la ecuación del plano, obtenemos: (2 + 2t)- 2(-l + 3t) + (3 - 4t) - 1 = o, de donde -8t + 6 = O, o sea, t = 3/4. Sustituyendo en la forma paramétrica, obtenemos las coordenadas del punto de intersección: :i; = 7 /2, y= 5/4, z = O. En cuanto al ángulo agudo que forma la recta con el plano, ya que el coseno de un ángulo es el seno de su complementario, se tiene que: senlJ = 1 2(1) + 3(-2) - 4(t) 1 = _s_:::::0.6065 y () = 37.33°.
D(6, -2, 2) son los vértices de un tetraedro. (a) Encuentre el ángulo AGB. (b) Encuentre el ángulo que forman los planos que se íntersectan a lo largo de AG. 5.5.1

Los puntos A(2, 1, O), B(O,

5.5.2

Encuentre el ángulo agudo formado por las rectas x = 11 = z y 2x = y = 1- z,

5.5.S

(a) Calcule el ángulo formado por la recta z =y= z y el plano x+y+z

y

( b) Encuentre su punto de Intersección. Calcule el ángulo agudo formado por la recta 2x y el plano z - y - z = l. 5.5.4

s.5.5

z+5 -3-

+y -

z

= 7, z +y+ z = 10

x-1

Encuentre el ángulo agudo formado por las rectas -7- =

71-8

=~

= O.

z+9

y

3

2z+3

= 4-

Y

= =¡· 2x+3

5.5.6 Calcule el ángulo obtuso formado por las rectas -4- = z+y-2z+ 11 = O, 2x-y+z-9 = O. s.s. 7 Ralle el ángulo agudo formado por las rectas

2z+y-4z-2

= O, 4x-3y+2z-4 = O

5.5.8 Demuestre que la recta x + 3y+ z al plano 2x - 3y - 4z + 6 = O.

y+2

--=f"

z-2

= _3 Y

y z+5y+z+ 1 = O, x+y-z-1

+ 9 = O,

= O.

4x + 3y- 2z + 12 = O es paralela


116

5.6

Distancia de un punto a una recta y entre dos rectas

Para obtener la distancia de un punto a una recta, podemos seguir el procedimiento siguiente: encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto y ES perpendicular a la recta, luego encontrar el punto de intersección del plano con la recta y, finalmente, obtener la distancia de este punto al punto dado, que es la distancia buscada.

y+l z-3

Ejemplo 5.11 Calcule la distancia del punto (-2,-2,3) a la recta x-2 2= -3 = -4

+ 2) - + 2) -

=

+ =

Solución: la ecuación del plano que pasa por el punto y es perpendicular a la recta es 2(x 3(y 4(z - 3) O, o sea, 2x - 3y - 4z 10 O. Poniendo las coordenadas de los puntos de la recta en función de un parámetro y sustituyendo, obtenemos: X = 2 + 2t, y = -1 - 3t, Z = 3 - 4t, y entonces, 2(2 + 2t)- 3(-1- 3t)- 4(3 -4t) + 10 = o, de donde 29t + 5 = O y t = -5/29. Por tanto, el punto de intersección es:

x=2+2(;!)=:, y=-1-3(;!)=-~:.

z=

3-4 (-5) 107 29

=

29'

y la distancia. buscada:

~~~~~~~~~~~~~~~

d= (-2-:)

2

=

1

29

J11235

+

(-2- ~:) + (3-1;;)

+ 1936 + 400 ~

2

2

4.0112. <1

Para obtener la distancia entre dos rectas, primero encontramos un plano que contenga a una recta y sea paralelo a la otra; para ello usamos el hecho de que la dirección normal al plano debe ser perpendicular a las direcciones de las dos rectas, y luego obtenemos la distancia de la segunda recta al plano y ésa es la distancia buscada. Ejemplo 5.12 Encuentre la distancia entre las rectas x = 2 - t, y = 3t, Z = -1 + 2t y X = 2t, y = 1 + 3t, Z = 2 - t.

5. 6 Distancia de un punto a una recta y entre dos rectas

117

Solución: las direcciones de las rectas son [-1, 3, 2] y [2, 3, -1]; la dirección normal a ambas es

[I~ :1l·l;

:1l·l-;1

1

o, equivalentemente, [3, -1, 3].

~IJ

=[9,3,-9],

El plano que contiene a la primera recta tiene esta dirección normal y pasa por (2, O, -1 ), por lo que 3(x - 2) - l(y - O)+ 3(z + 1) = O, o sea, 3x y+ 3z 3 = O. Finalmente, la distancia entre las dos rectas es lo mismo que la distancia de un punto de la segunda recta a este plano: d

= 13(0) -

(1)

+ 3(2)- 31 = 1-2-1:::, .ji9

±v'9+ 1 + 9

0.4588.

Ejercicios y problemas 5.6.1 Calcule la distancia de la recta 2:i; = 11 = 1 - z al plano 4:& + 11 son paralelos, o su punto de intersección si no lo son.

+ 3z = 6 si

x-1 y+2 z+l 5.6.2 Calcule la distancia del punto (1,2,3) a la recta -2- = -=:f" = -3-. 5.6.3 Halle la distancia de la recta 6:x: punto (7, 7,4).

+ 211 + z -

4 = O, 6:i; - y - 2z 10 = O al

5.6.4 Encuentre la distancia entre las rectas z-1 x+2 -2-=11+2=.t-3 y -=:f"=11-2=z+l. 5.6.5 Encuentre la distancia entre las rectas x-2 112 8-z :i;-1 211 -3- - ,¡ ,¡ y -3- - --:;¡-5.6.6 Calcule la distancia entro las rectas 2:1: +11-z = 7,z +y+z = 10 y 5.6.7 (a) Demuestre que las rectas x-1 z-5 -2- =114= -2- y

x311 + 2z

z+3

- --:;¡--·

= 5,3x-311+z

z-11 -=r- = y-8 -3- = -4-

:i;-2

se cortan, y (b) encuentre la ecuación del plano que las contiene. 5.6.8 (a) Demuestre que las rectas

z-2y+2zz+y+5z-5

4

= 0,:i;

+4y +8z+8 = O 11 = 0,x+ 811+ 12z-12 =0.

son paralelas, y (b) halle la ecuación del plano que las contiene.

= 7.

Capítulo

6

VECTORES EN EL ESPACIO

6.1 Definición e interpretación geométrica 6.2 Suma y multiplicación por un escalar 6.3 Base canónica 6.4 Norma de un vector 6.5 Definición de producto punto 6.6 Ángulo entre vectores 6. 7 Relaciones entre la norma y el producto punto 6.8 Proyección de un vector sobre otro 6.9 Definición y propiedades del producto cruz 6.10 Ecuación vectorial de rectas y planas 6.11 Uso de vectores para cálculo de distancias

6.1

Definición e interpretación geométrica

Sea P( z, y, z) un punto en el espacio, consideraremos ahora el segmento dirigido O P y lo representaremos geométricamente con una flecha, a la que llamaremos vector de posición de P, o solamente vector, y lo denotaremos p = (z, y, z) o simplemente p; diremos que :i:, y, z son sus componentes; con esta identificación, habrá tantos vectores como puntos del espacio. Sabemos que no tiene sentido pensar en hacer operaciones con puntos; en cambio, una ventaja de los vectores es que sí podemos hacer operaciones con ellos, operaciones que tienen, además, un sentido geométrico.

z

z

1 1

y

:¡;

Punto en el espacio

'kctor en el espacio

Figura 6.1 Puntos y vectores en el espacio 119

Vectores en el espacio

120

6.2

Suma y multiplicación por un escalar

Dados dos vectores p = (p1,P2,P3) y q = (q1, C/2, q3), definimos su suma como el vector p+q = (pi +qi,P2+q2,p3 +q3), y la multiplicaci6n de p por un escalar (o sea, un número real) a, mediante ap = (api, O!J2,ap3).

El.tas operaciones tienen una interpretación geométrica: multiplicar por un escalar equivale a extender o contraer el vector, conservando o invirtiendo su dirección. La suma es el vector que resulta al colocar uno de los vectores en el extremo del otro y unir el origen con el extremo del último; ésta es la llamada "regla del paralelogramo para la suma". Estas operaciones se muestran en la figura 6.2. z z p

(a> 1)

Multiplica.ci6o por un escalar

p+q

Suma. de vectores

Figura 6.2 Operaciones con vectores Directamente, con la definición de vector y de sus operaciones, es fácil demostrar que se cumplen las propiedades siguientes para la suma y la multiplicación por un escalar: si p, q y r son vectores en el espacio, (81) p+q es un vector (cermdura); (82) p + q = q + p ( ccnmutatillidad); (83) (p + q) + r = p + (q + r) ( asociatividad); (84) O= (O, O, O) es tal que p+O = p para todo vector p (existe un neutro); (85) cada vector p tiene un inverso aditivo -p = (-pi, 1>2, -¡13) tal que p+(-p) = O.

A consecuencia de las propiedades (81) a (85), decimos que los vectores, con la operación de suma, forman un grupo abeliano. Por otra parte, la operación de multiplicación por escalar satisface las propiedades siguientes: (Ml) lp = p;

(M2) a(bp)

= (ab)p.

121

6.3 Base can6nica

Finalmente, de manera conjunta las dos operaciones satisfacen las llamadas

propiedades distributivas:

(Dl) (a+ b)p = ap + úp; (02) a(p+q) = ap+aq. Decimos que los vectores, con sus operaciones de suma y multiplicación por escalar, por cumplir con las nueve propiedades mencionadas, forman un

espacio vectorial. Ejercicios y problemas 6.2.1 Demuestre que los vectores, con la suma y la multiplicación por escalar forman un espacio vectorial, es decir, cumplen todas las propiedades señaladas en esta sección. 6.2.2 Demuestre que las matrices 3x 3 con las operaciones do suma y multiplicación siguientes, forman un espacio vectorial:

:: :) + (~: ~ ~:) ( :: 031 032 033 b31 b32 /r,¡3 e (:: 031

= (:: 03¡

:

::) = (::

032

033

!~: +

b31

::

::)

Cll31 COJ2 co33

6.2.S Dado un punto P distinto del origen y su vector de posición p, demuestre que el coajunto {op o es un número real} representa a la recta. que pasa. por el origen y por P, en el sentido de que sus elementos son los vectores de posición de todos los puntos sobre esa. recta,

I

6.3

Base canónica

Dado un vector p f O, el conjunto de vectores de la forma ap, donde o es un número real, cubre la recta generada por OP. Si tomamos un vector q que no sea colineal con p, entonces las =binaciones lineales ap+bq generan el plano que contiene los segmentos 0.P y OQ; finalmente, si tomamos un vector r que no sea coplanar con p y q, entonces las combinaciones lineales op + bq + cr generan todo el espacio, es decir, cualquier otro vector se puede ex-presar como combinación lineal de ellos. Tres vectores son linealmente independientes si no son colineales ni coplanares; esto equivale a decir que ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros, o sea, que la única manera de representar el


122

vector O como combi nacién lineal de los vectores en cuestión es la de coeficientes nulos. Generalizamos esta idea y decimos que los vectores Pi, p2, p3, ... , P, son linealmente independientes si a1p1 + a2P2 + · · · + a.p, = O implica que OJ = 02 = · · · = a. = O. & fácil deducir que, en el espacio, no puede haber conjuntos con más de tres vectores linealmente independientes. Cualquier conjunto de vectores linealmente independientes que generen al espacio, o sea, tales que todo vector se pueda expresar como combinación lineal de ellos, se llama base. Como todas las bases del espacio tienen tres vectores, decimos que el espacio tiene

dimensión tres.

Una base importante es la llamada base can6nica: u1 = (1, O, O), u2 = (0,1,0), ua = (0,0,1), también denotada con i,j,k. Así, si p = (p1,P2,Pal. entonces

Ejercicios y problemas 6.3.1 Demuestre que dado un vector p puede escribir en la forma q = ap.

¡

O, cualquier otro vector q colineal a p se

6.3. 2 Demuestre que dados dos vectores no colineales p y q, cualquier otro vector r del plano que los contiene se puede escribir en la forma r ap bq.

=

+

6.3.3 Demuestre que dados tres vectores no copla.nares p, q y r, cualquier otro vector s se puede escribir en la forma s = ap + bq + cr.

Demuestre que cualesquiera cuatro vectores p, q, r y s son linealmente dependientes, es decir, existe una combinación lineal de ellos ap + bq + cr + ds = o con alguno de los coeficientes distinto de O. 6.S.4

6.3.5 Exhiba una base distinta de la canónica y escriba el vector p = (-2, 1, -3) como combinación líncal de los elementos de esa base y de la base canónica. 6.3.6 Demuestre que (p

q) = p

+q y

muéstrelo gráficamente.

6.3. 7 Demuestre que las diagonales de un paralelogramo se bisectan.

e.a.s Demuestre que al unir con un segmento los puntos medios de lados consecutivos de un cuadrilátero se forma un paralelogramo. Use la figura 6.3 como guía para la demostración.

123

6.4 Norma de un vector; distancia entre vectores

i(o+r)

7>+q+r+s=O 1'

Figura 6.3 Los puntos medios de los lados de un cuadrilátero son los ~rtices de un paralelogramo 6.S.9 Sea O un punto interior del triángulo ABC, y sean P, Q, R, los puntos medios de los lados AB, BC y CA, respectivamente. Demuestre que OA + OB + OC = OP +OQ + OR. Nótese que se suman los vectores y no sus longitudes.

e.s.ro Demuestre que las medianas de un triángulo, o ses, los segmentos que unen los vértices de un triángulo con el punto medio del lado opuesto, se íntersectan en el gravícentro G, que las divide en la razón 2: l. Use la figura 6.4 como guía para la demostración.

J>+q+r=O

Figura 6.4

6.4

Las medianas de un triángulo concurren en el gravicentro

Norma de un vector; distancia entre vectores

Llamaremos norma de un vector a su longitud. Usando en dos ocasiones el teorema de Pitégoras, en la figura 6.5 se puede observar que la norma del vector p = (p¡ ,P2, Pa) es:

llvll

=

Jrlí + ri + ~

(6.1)

De esta definición podemos deducir las propiedades fundamentales de la norma:


124

z

X

Figura 6.5 Norma de un vector (i) IIPII ES un número real para todo vector p; (ii) llvll ;;, O para todo vector p; (iii) IJPII = O si y solamente si p = O; (iv) Uavll = lalllvll; (v) IJp+qll ~ IIPII + IJqll (desigualdad del triángulo); (vi) IJp + qll = IIPII + llqlJ sí y sólo si p y q son linealmente dependientes. Con excepción de la desigualdad del triángulo, la demostración de estas propiedades es inmediata. La demostración de la desigualdad del triángulo la expondremos en la sección 6.7. Decimos que un vector p es unitario cuando IIPII = 1. Por ejemplo, los vectores de la base canónica son unitarios. Definiremos la distancia entre dos vectores como la distancia entre los puntos correspondientes: d(p, q) = IJq PII = J(q1 p,)2

+ (Q2 -P2)2 + (q3 -

p3)2.

(6.2)

De las propiedades fundamentales de la norma, se siguen las propiedades fundamentales de la distancia: (i) d(p, q) es un número real para cualesquiera vectores p, q; (ii) d(p, q) ;;, O para cualesquiera vectores p, q; (iii) d(p, q) = O si y solamente si p = q;

(ív) d(p, q) = d(q,p); (v) d(p, r) ~ d(p, q) + d(q, r) (desigualdad del triángulo). La distancia definida en (6.2) se llama distancia euclidiana, Como el espacio es tridimensional y tiene esta noción de distancia, lo llamamos espacio euclidiano tridimensional y lo denotamos IE3. Ejercicios y problemas 6.4.l Demuestre que la norma de vectores satisface las propiedades (i) a (itl) y (11i) enunciadas en el texto.

125

6.5 Definición de producto punto

6.4.2 A partir de las propiedades de le. norma. de vectores, demuestre las propiedades (i) e. (e) de le. distancia entre vectores. 6.4.3 Ilustre, oon dos ejemplos, los dos casos de le. desigualdad del triángulo, tanto para le. norma como para la distancie.. 0.4.4 Tomando los vectores p = (4,4,-7) y q = (-3,6,2) como lados, calcule el área (a) del triángulo que generan, y (b) del paralelogramo que generan. 6.4.5

A

partir de que (a± b)2;:: O demuestre que:

(a) La medie. geométrica es menor o igual que la medie. arítmétíca, o sea, que: r. ~ a+b . 2

VCWs

6.4.0 A partir de la desigualdad del triángulo para le. norma, demuestre que:

(a) IIP + q + rll ~ IIPII + llqll + llrll;

6.5

(b) I IIPll llqll l ~ IIP qll.

Definición de producto punto

Usando la ley de los cosenos, en el capítulo 3, fórmula (3.6), demostramos que si P,(x1,y1,z1) y P2(x2,Y2,Z2) son puntos sobre dos rectas que pasan por el origen, entonces el ángulo O que forman las rectas está dado por la ecuación

(6.3) donde d¡ y d2 son las distancias de Pi y P2 al origen. Si pensamos ahora en Pi y P2 como vectores p y q, entonces d1 = IIPII, d2 = llqll, Tomando el numerador de la fórmula (6.3), definimos

(6.4) al que llamaremos producto punto de p y q. Directamente de esta definición, podemos obtener las propiedades funda· mentales del producto punto, que son las siguientes: (i) p · q es un número real para cualesquiera vectores p, q; (ii) (ap+bq)·r = ap·r+bq·r, p·(bq+cr) = bp·q+cp·r (bilineaUdaá); (iii] p · q = q · p (simetría); (iv) p · p ~ O y p · p O si y sólo si p O (positividad definida).

=

=


126 Ejercicios y problemas

6.5.1 Demuestre las propiedades (i) a (it1) del producto punto. 6.5.2 Dados loe vectoresp = (2, i , -1), q = (-2,5, 1) y r = (1, O, 2), calcule:

(a)p·p; (d)(p+q)·(p+q);

6.6

(b)(p+q)·r; (e) (p+q)·(p-q);

(c)p·r+q·r; (í) (2p+q)·(-3p+2q).

' Angulo entre dos vectores

Regresemos a la ecuación (6.3); por las observaciones hechas y por la definición de producto punto, podemos reescribirla en la forma p. q =

IJplJIJqlJ coso.

(6.5)

Esta fórmula permite obtener el ángulo entre dos vectores. Como cos 90° = O, una condición necesaria y suficiente para que dos vectores p, q sean ortogonales (es decir, perpendiculares) es que p · q = O. Por ejemplo, los vectores de la base canónica son ortogonales. Cuando una base consta solamente de vectores unitarios ortogonales, decimos que es una base ortonormal o un sistema de referencia ortonormal. Si e,, e2, es es una base ortonormal, ' = {1 si. i. ..1. = i • • Alstm • boIo ó;; se Ie ll ama • entonces e.;·flj = u;;

0

Si

i .,

J

delta de Kronecker, en honor al matemático alemán Leopold Kronecker (1823-1891). Las bases ortonormales son muy importantes por dos razones:

Loopold Kr-oocdcer

(i) Si e1, e2, e3 es una base ortonormal, cualquier vector p se puede escribir en la forma (6.6) p = (p · e1)e 1 + (p · e2)e2 + (p · e3)e3. la expresión (6.6) se llama desarrollo ortonormal de p.

(ii) Si ei, e2, e3 es una base ortonormal y si p = p1e1 q = q¡ e1 + <12e2 + qae3, entonces

+ P2e2 + P3e3,

y

(6.7) es decir, la fórmula para obtener el producto punto es la misma para todas las bases ortonormales.

6. 6 Ángulo entre dos vectores

127

.

v'2

v'2

EJemplo 6.1 Demuestre que e1 =2(1, O, 1), e2=2(1, O, -1), ea =(O, 1, O) es una base ortonormal.

f

Solución: e1 ·e1 =}(1+0+ 1) = 1, e1 ·e2=}(l- l) = O, erea= (o+o+o) = O, ez · e2=Hl +O+ 1) = 1, e2 · ea =4(0 +O+ O) = O, ea· ea=O + 1 +O= l. <1 Ejemplo 6.2 &prese 106 vectores p = (2, -1,3), q = (-1, 3, -2) en términos de la base ortonormal del ejemplo 6.1 y calcule su producto punto, tanto en la base canónica como en la base del ejemplo 6.1. Solución: una manera de resolver la primera parte consiste en calcular primero la combinación lineal de los vectores de la base:

-(ªv'2 + W2 ,e, av'2_bv'2)-((a+b)v'2 ae1+ be 2+ cea-

2 2 2 2 2 AJ expresar el vector p en términos de la base tendremos:

, e, (a-b)v'2) 2

(2 1 -1 , 3) = ((a+ 2b) v'2 .c, (a - 2b)v'2) ' de donde resulta el sistema de ecuaciones 2

.

= (a+b)v'2 2

5v'2

_1 =

'

3=

e,

v'2

,

cuya solución es e = -2-, b = -2, e= -1,

. De manera semejante, obtenemos que q =

8S1

(a-b)v'2 2

'

5v'2

v'2

quep = -2-e,-2e2-e3.

3v'2 v'2 -2-e1 + 2e2 + 3e3.

Aunque este procedimiento es general, dado que en este caso la base ei, e2, ea es ortonormal, resulta más sencillo utilizar el desarrollo ortonormal (6.6) de los vectores:

5v'2

p·ei=-2-,

q·e1 =--,

v'2

p·e2=-2,

3v'2 2

v'2

q·e2 =-, 2

p·e3=-1,

q·e3 =3.

Finalmente, calculamos el producto punto usando las dos bases:

(i) en la base canéníca, p · q = (2)(-1)

+ (-1)(3) + (3)(-2)

= -11;

·


128

(ü) en la base del ejemplo 6.1,

v·

q -

(sf) ( - 3f) + ( - f) ( f) +(-1)(3)

Ejercicios y problemas 6.0.1 ¿Qué ángulo agudo forman los vectores p

= {2, 1, -2) y q = (6,

-3, 2)7

6.6.2 Calcule los cosenos de los ángulos internos del triángulo generado por los vectores p = (7, 4, -4) y q = (3, 6, 2). 6.6.3 Partiendo del vector unitario e

= (2, -1, 2)/3,

complete una base ortonormal.

6.6.4 Encuentre los cosenos de los ángulos que forma el vector p = (2, 6, -3) con la parte positiva de los ejes de coordenadas. 6.6.5 Escriba los vectores p = (2,2,-1) y q = (6,-3,2) como combinación lineal de los elementos de la base que obtuvo en el problema 6.6.3 y calcule el producto punto de ambos usando esta base y la base canónica. 6.6.6 Demuestre que los vectores p los lados de un triángulo rectángulo.

= (3, -2, 1), q = {l, -3, 5) y r = (2, l , -4) son

6.6. 7 En el texto demostrarnos la fórmula p · q = IIPll llqll cos O a partir de la ley de los cosenos; ahora demuestre ésta a partir de la fórmula del producto punto. 6.6.8 Demuestre que las diagonales de un rombo son perpendiculares.

6.7

Relaciones entre la norma y el producto punto

Además de la ecuación (6.5), podernos establecer las siguientes relaciones, fácilmente demostrables, entre la norma y el producto punto: (i) llvll = (p · v)1'2;

(ii) P · q = ~ [llv + qll2 - llvll2 - llqll2) ; (üi) IP · ql ~ llvllllqll (desigualdad de Schwarz); (iv)

IP · ql = IIPllllqll

si

y sólo si p y q

ron linealmente dependientes.

129

6.8 Proyecci6n de un vector sobre otro

La desigualdad de Schwarz (iii), así llamada en honor del matemático alemán Hennann Amandus Schwarz (18431921), se obtiene de la fürmula (6.5) y del hecho de que lcosOI ~ 1; la propiedad (iv) se sigue de que [cosé] = 1 si y sólo si 8 = Oº o 180º. Por otra parte, usando la desigualdad de Schwarz se puede demostrar la desigualdad del triéngulo:

llp+qll2 = (p+q) ·(p+q)= p·p+2p· s+s ·q = IIPll2+2p·q+llqll2 ~ IIPll2+2IIPll llqll+llqll2. De aquí, IIP + qi12,;;; (llpll + 1lqll)2 Y entonces IIP+ gil,¡;; IIPII + llqll;

por (iv), la igualdad se alcanza si y sólo si p y q son linealmente dependientes. Ejercicios y problemas 6.T.t Demuestre las rclacíones (i) y (ii) entre el producto punto y la norma indicadas en el texto. 6.T.2 Dé dos ejemplos que ilustren los dos casos posibles de la desigualdad de Schwarz,

6.T.S Dé otra demostración, más general, de la desigualdad de Schwa.rz siguiendo este razonamiento: como llpzqll2 ;;, O para todo escalar z, entonces el discriminante de la ecuación de segundo grado en z que resulta al igualar a cero el miembro de la izquierda tiene que ser menor o igual a cero, para que la ecuación no tenga dos soluciones. De este discriminante se deduce la desigualdad de Schwarz,

6.8

Proyección de un vector sobre otro

Si dividimos ambos lados de la ecuación (6.5) entre q. u=

donde u =

llqll coso,

IIPII, obtenemos

ll:II es un vector unitario en la dirección de p.

En la figura 6.6 se ilustra. la situación y se observa que el número obtenido corresponde a I a proyección del vector q en la dirección de p. Esta proyección es un escalar positivo si el ángulo O es agudo y negativo si O es obtuso. Por este motivo, si tenemos dos vectores p y q, definimos la. proyección escalar de p sobre q en la forma (6.8)


130

z

X

Figura 6.6 Proyeccién de un vector sobre otro De manera semejante, la proyección vectorial de p sobre q, es Pq =

p·q

q

(6.9)

ilqll jjqjj·

Estas proyecciones nos servirán para calcular distancias. subíndice la diferencia en la notación de ambas proyeccíones.

Nótese en el

Ejercicios y problemas 6.8.1 Encuentre: (a) la proyección escalar y (b) la proyección vectorial del vector p

= (2, 2, l) sobre el vector q = (4, -4, 7).

6.8.2 Encuentre: (a) la proyección escalar y (b) la proyección vectorial del vector r = (4, -3, 1) sobre la recta que pasa por los puntos P(2, 3, -1) y Q(-2, -4,3).

6. 9

Definición y propiedades del producto cruz

Si tenemos dos vectores linealmente independientes p = (p1,P2,P3) y q (Qi.'12, q3), por medio de la fórmula (5.7) sabemos que un vector ortogonal a ambos sería r = (r1, r2, rs), donde

1: ::I ·

-1::

::I ·

1::

:I ·

= r2 = 7"3 = A este vector lo llamaremos el producto cruz de p y q, y lo denotaremos ri

p

xq=

.

.

;. ~ Qt

Q2

k P3 = Ql

IP2 Pal i-lP• p31j + IP• P21 k. Q2

Q3

Qt

Q3

QI

Q2

(6.10)

Aunque el arreglo en forma de determinante 3 x 3 no es propiamente un determinante porque mezcla vectores con escalares, se usa con fines nemotécnicos.

6. 9 Definición y propiedades del producto cruz

131

A continuación desarrollaremos algunas propiedades del producto cruz, omitiendo las demostraciones breves que se puedan obtener directamente de las definiciones.

(i) p x q = q x p (antisimetna). (ii) p

X

p = 0.

(iii) p x (bq + cr) = bp x q + cp x r,

(ap + bq) x r = a.p x r + bq x r

( bilinealidaá).

P1 P2 p3 (iv) p · ( q x r) = Qi q2 q3 r1 r2 ra Demostración: p·(qxr)=(P1,P2,P3)·

(

triple producto escalar).

i

j

k

Q1

C/2

q3

r1 r2 r3

(v) p · (q x r) = (p x q) · r. Demostración: r1 T2 T3 P1 P2 p3 q¡ q2 q3 - P1 P2 p3 = r · (p X q) = (p X q) · r. r, r2 T3 q1 C/2 q3

p·(qxr)=

(vi) p x (q x r)

= (p · r)q- (p · q)r (triple producto vectorial').

Demostración: i

px(qxr)

-

j

k

p3 P2 q21·3 - q3r2 -q1r3 + Q31·1 Q1r2 - C/2T1 - (P2q1r2 + p3q1r3 - P2C/2T1 - p3q3r1 )i +(p1C/2T1 + P3Q2T3 - P1Q1T2 - p3q3r2)j +(p1q3r1 + P21J3T2 - P1QlT3 - P2Q2Ta)k = (P2r2 + P3r3)Q1i + (vir1 + P37'3)(/2j + (p1r1 + 1>2r2)q3k [(P2qi +paqa)r1i + (p1q1 +Paqa)rai+ (p,q, +P2C12)r3k).


132

px(qxr)

-

(p-r)q1i+(p·r)qzj+(p·r)q3k [(p · q )r1i + (p · q)rij + (p · q)r3kj (p,r)q-(p,q)r.<1

(vü) (pxq)·(rxs) = (p·r)(q·s)-(p·s)(q·r), ecuación llamada identidad de Lo.grange en honor al matemático ítalo-francés Joseph Louis Lagrange (1736-1813).

Demostración: (p x q) · (r x s) = p · [q x (r x s)) = p · [( q · s )r - ( q · r )s] = (p · r) ( q · s) - (p · s)(q · r). (vüí) IIP

X

.fclcpl, Louh

1-ange

qll2 = (p · p)(q · q)- {p · q)2•

Demostración: IIP X qll2 = (p X q) · (p X q) = (p·p)(q • q)-(p·q)(q·p) = (p. p)(q. q) - (p. q)2.
-

-

(p · p)(q · q)- (p · q)2 = IIPll2llqll2 - (IIPJl llqll cos0)2 llvll2 llqJl2 (1 - cos2 O) = IIPll2 llqll2 se.n2 O;

extrayendo raíz cuadrada, IIP x qll = IIPll llqJI sen O. Nótese que si IIPII es la longitud de la base, entonces llqJI sen O es la altura del paralelogramo, como se muestra en la figura 6. 7. Por tanto, IIP x qll = área del paralalograrno generado por p y q. <1 (x) IP · (q x r )1 = volumen del paralelepípedo generado por P, q y r. Demostración: de a.cuerdo con la figura 6.8, IP · (q X r)I - l(p X q) · r] - IIP x qll llrJl lcos-DI - (área de la base)(altura) - volumen del paralelepípedo. <1

6. 9 Definici6n y propiedades del producto cruz

133

z

~-----y

X

A=

lb>llh = 11Pllllqllsen8 = IIP x qll

Figura 6.7 El producto cruz y el área de un paralelogramo

z

pxq

X

V= Ah= IIP x qllllrlloosl? =(p x q -e-]

Figura 6.8 El triple producto escalar y el volumen de un paralelepípedo

Ejemplo 6.3 Demuestre que el cuadrilátero de vértices P(l, 2, 3), Q(3, 3, O), R(O, 5, 1) y S(2, 6, -2) es un paralelogramo y calcule su área. Solución: primero calculamos las direcciones de los lados para verificar que es un paralelogramo: q p = (2, 1, -3), r - p = (-1, 3, -2), s - p = (1, 4, -5), t q = (-3, 2, -1), s - q = (-1,3, -2), s - r = (2, 1, -3). Entonces PQ y RS son paralelos, Jo mismo que PR y QS. Para obtener el área, usamos el producto cruz: Área = ll(q p) x (r - p)II =

2 1

j

k

l

-3

3 -2

= 11(7, 1, 7)11 = Jgg = 3./IT.
Ejercicios y problemas 6.9.1 (a) Demuestre que el producto cruz es antisimétrico: p x q de ahí deduzca que p x p = O para todo vector p.

= -q x p, y (b}


134 6.9.2 Demuestre que si p

x q = O, entonces p y q son oolineales.

= (3,-2,1) y q = (1,-3,2), calcule: (a)pxq; (b)qxp; (c)(p+q)x(p-q).

6.9.3 Si p

6.9.4 Simplifique la expresión dada, (a) (p + q) · (q + r) x (r + p);

(b) (p-q)· (q-r) x (r-p); (e) (p x q) · (r x s) + (q x r) · (p x s)

+ (r

x p) · (q x s).

6.9,5 Encuentre un vector unitario que sea ortogonal a los vectores p y q = (1,-3,5).

= (3, -2, 1)

6.9.6 Usando las operaciones vectoriales, construya una bese ortoncrmal a partir del vector p= (2,-2,1). 6.9.7 Demuestre que IIP x

qll2 + (p · q)2 = llvll211qll2.

6.9.8 Usando el producto cruz, demuestre la ley de los senes:

sena, senP sen-y -a- = -b- = -e-.

6.9.9 Demuestre que p, q y r, no nulos, son cople.ruues si y sólo si p · (q x r) = O.

=

6.9.10 Halle (a) el área del paralelogramo generado por los vectores p {3,-2, 1) y q = (1, -3, 5); (b) el área del triángulo que generan los mismos vectores. 6.9.11 Calcule el volumen del paralelepípedo generado por los vectores, (a) p= (3,-2, 1}, q = (1,-3,5) y r = (-2,1,4);

(b) p = (2,1,-2), q = (-4, 7,4) y r

= (1,0,

6.9.12 Calculo el volumen del tetraedro (4, -1, -2) y (5,2, 8).

2).

cuyos vértices son (-4,5,2),

(8,-4,4),

6.9.13 Muestre que el volumen del tetraedro generado por los vectores p, q

V=

1

¡¡IJ>·q

y res

x r].

6.9.14 Demuestre que si (x1,l/1,z1), (x2,!l'l,Z2), (x3,113,za) y (x4,y4,zt) son los vértices de un tetraedro, entonces su volumen V está dado por el determinante

V=±¡¡

1

X4 X2-X4 X3 -X4 X¡

111 - y4 Z¡ - Z,J

l,'l-Y•

z2-z4,

113 -¡¡4 Z3-

Z4

6.9.15 Calcule nuevamente el volumen del tetraedro del problema 6.9.12.

135

6.10 Ecuación vectorial de rectas y planos

6.10

Ecuación vectorial de rectas y planos

La ecuación de una recta que pasa por p y tiene dirección v la podemos representar en la forma pararoítrica vectorial

r =p+tv.

(6.11)

En esta ecuación, r es el vector de posición de los puntos sobre la recta.

Nótese que esta forma vectorial es equivalente a la forma paramétríca para representar las ecuaciones de una recta en el espacio, pues la podemos escribir mediante tres ecuaciones si igualamos componente a componenteen la ecuación vectorial: (x,y,z) = (p1,P2,P3) +t(vi,1>2,113) = (p, +tVJ,P2 +t112,p3+t113). Si damos dos puntos con vectores de posición p y q, la recta que pasa por ellos la podemos escribir vectorialmente en la forma

r=p+t(q-p). Ejemplo 6 .4 Usando vectores, encuentre los puntos de trisección del segmento PQ cuyos extremos son P(l,4,5) y Q(-2, 1,-4). Solución: la ecuación vectorial de la recta que pasa por P y Q es: r = (1,4,5) +t(-2-1, 1- 4, -4- 5) = (1,4, 5) + t(-3, -3, -9). Como t = O corresponde al punto P y t = l al punto Q, basta tomar t = 1/3 y t = 2/3 para obtener los puntos de trisección del segmento. Sustituyendo estos valores en la ecuación de la recta, tenemos loo puntos R1{0,3,2) y R2(-1,2,-1).
n· (r -:,,)

= O,

(6.12)

donde r es el vector de posición de los puntos del plano; esta ecuación equivale a la forma punto-normal de la ecuación del plano. Ejercicios y problemas 6.10.1

Encuentre una ecuación

vectorial

para la recta que:

(a) pasa por el punto P(2,-1,4) y tiene dirección (-1,-3,2); (b) pasa por loo punteeP(3,-2,1) y Q(l,-3,5). (a) Encuentre loo puntos de trisección de las medianas, y (b) el centro de gravedad del triángulo con vértices P(-3,5,0), Q(5,-3,-4) y R(l,4,1). 6.10.2


136 6.10.3 (a) {b) (c) (d)

6.11

Encuentre una. ecuación vectorial para el plano que: pasa por el punto P(l, 5,3) y es perpendicular al vector q = (2, 3, 6); contiene los puntos P(l,4,3), Q(2,4,3) y R(l,5,2); pasa. por el punto P(l, 2, -2) y contiene a la rectar = (2, O, -3) + t(l, 1, 1 ); pasa. por los puntos P(2, -1, 6), Q(l, -2, 4) y es perpendicular al plano X - 2y - 2z + 9 = 0.

Uso de vectores para calcular distancias

Supongamos ahora que queremos calcular la distancia de un punto Q con vector de posición q a un plano n · (r p) = O. Para ello tomamos el vector q - p y lo proyectamos en la dirección de la normal al plano¡ el valor absoluto de la proyección escalar será la distancia buscada, es decir,

_In·(~ nll P)I •

d como se muestra en la figura 6.9.

z

y Figura 6.9 Distancia de un punto a un plano Nótese que sin= (a,b,c), v= (xo,!A>,Zo) y q= (xi,y1,z1), entonces d = 1 a(x1 :to)+ b(y. - yo)+ c(z1 - Zo) 1

±-la2 + bl + c2

'

que es equivalente a la fórmula que ya teníamos. Tomemos ahora un plano n · (r - p) = O y una recta r = q + to, Si n · v = O, la recta es paralela al plano y podemos calcular la distancia entre ambos. Para ello, basta tomar cualquier punto Q de la recta con vector de posición q, y obtener la distancia del modo en que lo acabamos de hacer. El mismo procedimiento se aplica cuando tenemos dos planos paralelos.

137

6.11 Uso de vectores para calcular distancias

Ejemplo 6.5 Encuentre la distancia de la rectar = (1, -2,3) plano (2, 1, 2) · (r - (O, 1, -3)) = O.

+ t(l,

2, -2) al

Solución: romo (1, 2, -2) · (2, 1, 2) = O, la recta es paralela al plano, por lo que basta tomar un punto de la recta, en este caso ya tenemos (1, 2, -3), y calcular la distancia de este punto al plano: d _ 1(2, 1, 2) · ((1, -2, 3) - (O, 1, -3)]1 _ 1(2, 1, 2) · (1, -3, 6)1 _ 11 11(2,1,2)11 3 - 3·
llv x wll

z V X to

r(t)=p+tv

Figura 6.10 Distancia entre dos rectas Es claro que si las rectas concurren, entonces la distancia será cero. Ejemplo 6.6 Calcule la distancia entre las rectas r = (2,-3, 1) y s = (1, -2, -3) + t'(-2, 3, -1).

+ t(-1,2,3)

Solución: la dirección normal a ambas rectas es: j

k

-1 2 3 =(-11,-7,1). -2 3 -1 La distancia entre las rectas es, entonces: d= 1[(2,-3,l)-(l,-2,-3)) ·n1 = 1(1,-1,4) · (-11,-7,1)1 llnll \/'121 + 49 + 1 y, por tanto, son concurrentes. <1 n=

=O

'


138

Ejercicios y problemas s.11.1 Calcule vectorialmente la. dístancía del punto al plano indicados: (a) de P(7, 3,4) a. 6x- 3y + Zz - 13 = O; (b) del origen al plano que pase por P(l,5, 3) y es perpendicular al vector q = (2,3,6). 6.11.2 En cada. caso, baile la. distancia. entre los planos dados: (a.) (2, -3,-6) · (x- 2,y+ l,z -3) = O y (-2,3, 6) · (x +3,y(b) 4x-1211+3z +6 = O y 12z- 36y + 9z 8= O.

l,z +2) = O;

6.11.s Encuentre la. distancia de la. recta al plano dados: x-12 11-10 z1 (a.)de--=--=--· a. 4.:r-8y+z=l; 15 9 12 (b) de x 2¡¡ + 3.z - 5 = O, 2z + y - z 3 = O a .:r + 311- 4z 2 = O. 6.11.4 Encuentre la. distancia. entre las rectas: (a) r =(0,-2,l)+t(2,3,1) y s= (-l,1,-l)+u(3,4,-1); z-1 11 z-5 X 11+1 (b) -3- = 4 = --::f" y 2 = --::f" = z - 4; (c)x-11+z-1=0,x+y+2z+l

=0 y 2z+y-z+2=0,

6.11.s Encuentre la. distancia del punto a. la. recta dados: (a.) del origen a. x - 2 = y- 2 = z - l; (b) de P(3, 1, -2) ar= (2, i, -2) + t{l, -1, 2); y+l z-3 (c) de P(l,3,3) a. -5-3;

= 12,x =

:z:+2 5-y = -1 3

(d) de P(-2 2 3) a. -' '

z

= 4"

x-2y+z-1 =0.

SECCIONES CÓNICAS: CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA

Capítulo

7

7.1 lsometrías en el plano 7.2 Ecuación de la circunferencia 7.3 Propiedades de la circunferencia 7.4 Tangentes a una circunferencia 7.5 Ecuación de la parábola. 7.6 Descripción de una parábola 7. 7 Propiedades de la parábola

7.1

Isometrías en el plano

Consideremos una circunferencia de radio r y centro en el origen. Partiendo de su definición como lugar geométrico, tenemos que su ecuación está dada por:

(7.1) Si ahora consideramos una circunferencia de radío r y centro en el punto (h, k), rápidamente llegamos a que su ecuación es: (x h)2

+ (y

- k)2

= 1'2.

(7.2)

Lo único que distingue a las dos circunferencias es su posición con respecto al sistema de coordenadas, pero geométricamente son indistinguibles. De hecho, podemos "convertir" una ecuación en la otra moviendo el sistema de coordenadas al punto (h, k), o moviendo al origen el centro de la segunda circunferencia. Ambas acciones son equivalentes y corresponden a una transformación del espacio que se llama translación. Como la elección del origen del sistema de coordenadas es arbitraria, trasladaremos el sistema de coordenadas para que el origen esté ahora en (h, k), como se muestra en la figura 7.1. Si las coordenadas en el sistema original son z, y, mientras que en el nuevo sistema las denotamos x', !I, entonces la relación entre ellas es la siguiente: X = X1 + h; y = y' + k.

139

Secciones cónicas: circunferencia y parábola

140

o equivalentemente,

x'=x-h, 11

y' =y-k.

(7.3)

¡/

h

------

-·

x' -P(.,,11),P{r,r/) --~1 : ¡/

t+x'

(h, k) ;k ~-----~--'---+%

Figura 7 .1 Translación de ejes de coordenadas Ejemplo 7.1 La elipse 4x2 + ¡/ = 4 tiene su centro en el origen. Encuentre su ecuación cuando se translada, sin girar, para que su centro sea el punto

(3,5). Solución: en la nueva posición, con respecto a un sistema de coordenadas con ejes paralelos al original y origen en (3, 5), la ecuación de la elipse será 4:c'2 + y12 = 4, y por tanto, su ecuación con respecto al sistema original es 4(x 3)2 + (y - 5)2 = 4. Esta situación se ilustra en la figura 7.2.
8 7 6 5

4 3

I 1 1 1 1 1

/

'\

'"""'+rl'=• 1 1

\

...

I

x'

'4(< 3)2 + {v s)2

=4

/

Figura 7.2 Translación de la elipse

4x2 + ir

=4

Una rotaci6n de los ejes de coordenadas con respecto al origen mediante un ángulo O consiste en que los vectores de posición de todos los puntos giren el mismo ángulo -O alrededor del origen, como se ilustra en la figura 7.3.

141

7.1 lsometrías en el plano

Figura 7.3 Rotación de ejes de coordenadas La relación entre las coordenadas iniciales (x, y) y las coordenadas nuevas (x',y') de los puntos es: x = rcos(O + r/>) = r cosOcos r/> r sen Osenrf> = x' cosO- y sen O, y= rsen(O + rf>) = r sen Ocosrf> + reos Osenrf> = e' sen O+¡/ cosO. Si de estas ecuaciones despejamos :,! y y', lo que correspondería a obtener la transformación inversa, o sea, girar los ejes un ángulo 9, obtenemos:

x' = xoosO + y sen O, } y'= -xsenO+ycosO.

(7.4)

Para hacer una rotación alrededor de cualquier otro punto, podemos primero transladar ese punto al origen, hacer la rotación respecto al origen, y luego devolver el centro de rotación a la posición original mediante la translación inversa.

Ejemplo 7.2 Encuentre la ecuación de la elipse 4x2 + ¡/ = 4 cuando la gi ramos alrededor del origen para que su eje principal quede inclinado a 45°. Solución: como sen 45° = cos45º = ,/2/2, las ecuaciones de transformación son: :t = (x + y)./2/2 y= (-x+y),/2/2. Respecto al sistema de coordenadas x', ¡/, la ecuación de la elipse sería

11

4x12 + yl2 = 4,

y sustituyendo con las ecuaciones de transformación y simplíficando, obtenemos:

=

Figura 7.4 Rotación de 45° de la elipse 4x2+y2=4

5x2 + 6xy + 5¡/ 8. La figura 7.4 ilustra la situación planteada en el ejemplo.

Las translaciones y las rotaciones son casos especiales de un tipo de transformaciones del plano que se llaman isometrías. Una isometría o movimiento rígido en el plano es cualquier transformación f del plano que preserva la

142


distancia euclidiana entre los puntos; es decir, si /(P) y J(Q) son las imágenes de dos puntos cualesquiera P y Q del plano, entonces d(f (P), /( Q)) = d(P, Q). Usando la definición de distancia, es fácil demostrar que todas las translaciones t(x,y) = (x',y') = (x + h,y + k) y todas las rotaciones s(x,y) = (x',y') = (xcosO + y sen O, -xsenO + ycosO) preservan la distancia euclidiana entre puntos. Una reflexión respecto a una recta >. es una transformación que manda cada punto P en un punto r( P), de tal manera que la recta A sea la mediatriz del segmento que los una, tal como se muestra en la figura 7.5. A la recta >. se le llama eje de la reflexión. Una manera de imaginarse una reflexión es pensar que su eje funciona. como un espejo, y que esta transformación convierte cualquier figura en su "imagen de espejo". A partir de la propia definición de reflexión, es fácil demostrar sintéticamente que éstas preservan la distancia euclidiana entre puntos.

,

'P 1 1

\r(P)

Figura 7.5 Reflexión con respecto a una recta A Si al aplicarle una reflexión r(x,y) = (x',y') a una figura ésta no cambia, decimos que la figura tiene simetría con respecto al eje de la reflexi6n, el cual también se denomina, en este caso, eje de simetría; por tanto, una figura es simétrica con respecto al eje de reflexión si al sustituir en su ecuación x por x' y y por y' la ecuación no se al tera. Por ejemplo, si r(x,y) = (x',¡/) = (x,-y), entonces se trata de una reflexión con respecto al eje de las abscisas, y si r(x,y) = (x',y') = (-x,y), tenemos una reflexión con respecto al eje de las ordenadas; en el primer caso, existe simetría si la ecuación del Jugar geométrico no se altera al sustituir y por -y, y en el segundo, si la ecuación no se altera al sustituir x por -x. Esto fue precisamente lo que aplicarnos al estudiar la simetría de las gráficas con respecto a los ejes de coordenadas. Así como Jo hicimos con las translaciones y con las rotaciones, podemos encontrar una expresión analítica para ]B.$ reflexiones. Antes de pasar al caso general, consideraremos otro caso especial: el de una reflexión con respecto a la recta vertical x = x0, caso que se ilustra en la figura 7.6, donde podemos observar que y' = y y que x0 = (x + x')/2 por ser punto medio, por lo que x' = -x + 2x0 y entonces, para una reflexión respecto a la recta x = x0,

143

7.1 lsometrfas en el plano

tenemos que r(x,y) = (x

+ 2xo,y).

(7.5)

y (•,ul

·· .. (:,',J/)

e

r(z,u)

Figura 7.6 Reflexión con respecto a la recta x = x0 Ejemplo 7 .3 Compruebe que la gráfica de la ecuación x2y - xy 2y- 1 = O, analizada en el ejemplo 4.11, es simétrica con respecto a la recta x = 1/2. Solución: para que la gráfica sea simétrica con respecto a la recta vertical x = 1/2, la ecuación no debe alterarse al cambiar x por -x +2(1/2) = -x + l. En efecto, así sucede, pues: (-x+l)2y-(-x+l)y-2y-l = (x2-2x+l)y+xy-y-2y-l = x2y xy 2y - 1 = O; por tanto, la gráfica es simétrica con respecto a la recta x = 1/2. <1 Pasemos ahora al caso de una refleJáón con respecto a la recta y = mx, que pasa por el origen. Esto resuelve el problema general, pues si la recta no pasara por el origen, la trasladaríamos para que pasara por éste, haríamos la reflexión y luego aplicaríamos la translación en el sentido inverso. Para encontrar la expresión analítica del caso que nos ocupa, seguiremos la figura 7.7. 11

(\

.

·.

uP=;k(zt) (r,P') = ·<~.¡¡)

+z

Figura 7.7 RefleJáón con respecto a la recta y= mx Como (xo, yo) está en ambas rectas y es el punto medio del segmento que une a (x, y) con (x', y'), tenemos que:

144


!

{i) Yo il = - (xo - e), {ii) 1A> = mxo y x+· 'f! -y+fl {iii) Xo = -2-, Yo= -2-. De (i) obtenemos myo - my = -xo + x, y de aquí, Xo = x - m!A) + my; sustituimos esta expresión en (ii) para obtener y0 = m(;i; my0 + miJ) mx - m2yo + m2y; despejando, se tiene . ) m;i; + m2y ( JV

l+m2

l,I)=

Bor ora t parte, como xo = x-myo+my, expresión que se simplifica a x+my (v) Xo= l+m2· Finalmente, de {iii) y (v) resulta que "í! = 2xo _ z = 2 (x +

Xo

(mz + m2y) +my,-

= x-m

1

+m2

mi]) _ x = (1- ml+m2 )x + 2my ' 2

l+m2

y de (íii) y (ív),

(mx + 1rl¡¡)

__

= 2mx - (1-m2)y l+m2 Y l+m2 · En resumen, la reflexión con respecto a la recta y = mx está dada por ,.1 = II

.

2Yo

__ = Y

2

+ 2my 2mx - (1 -m2 + m2 ' 1 + m2

) _ ((1 -m2)x

r ( z; Y -

1

)y)

Ejemplo 7.4 Demuestre que la gráfica de la ecuación x2 simétrica con respecto a la recta y = x. Solución: tomando m

(7 6)

.

+ y2

-

x2y2 es

= 1 en la ecuación de transformación (7.6), se obtiene

r(x,y) = (y,x). Entonces, sustituyendo x por y y y por x en la ecuación, obtenemos y2 + x2 = ¡fx2, que es idéntica a la ecuación inicial, lo que implica

la simetría.
145

7.1 lsometrías en el plano

fueran iguales, es decir, si d(A, P) = d(A, Q), d(B, P) = d(B, Q) y d(C, P) = d( C, Q), entonces A, B, C tendrían que estar en la. mediatriz del segmento PQ, en contra de la suposición de que no son colineales. Por tanto, P y Q no pueden ser distintos. Segundo: si A, B, C ne son colineales, sólo hay una isometría f que lleva A en f(A), B en J(B) y C en J(C), pues como la isometría preserva distancias, J(A), J(B), J(C) tampoco serán colineales, y por el punto primero, a cada punto P le corresponderá el único punto J( P) que mantiene las mismas distancias a los tres puntos.

r,

: r,(r,(C)) : •;,.,

. \ . . . ...... 1 1

: A

\ '

r,

,t

...... t • , •.... ~ ......

:

....·,

e

1

•

··"

.,· '"'2

\ '~.. ....... . . . - - "ª

; - -:.... :··· - ;,.,····' •, .,.

(B)

"

.!

/(B)=2(r1(B)) ar;,(r2(r1 (B))}

''4r, (C)

/(A)=1¡A) • /(C)=,-3(..,(r,(C)}) -, r,{A)) =,(r2(r, (A)))

Figura 7.8 'Toda isometría plana. se compone de reflexiones 'Tercero: toda isometrl'a del plano es una reflexión o una composición de

dos

o

tres reflexiones.

Demostración: dada. una isometría J. tomamos tres puntos no alineados .4, B, C y sus imágenes J(A), J(B), J(C); por el paso segundo, la isometría es única. Tomamos la reflexión rt con respecto a la medíatriz de A y J(A), que lleva a A en J(A), o sea, r1(A) = J(A). Véase la figura 7.8. Si r1(B) = J(B) y r1(C) = J(C), r1 = f y fes una reflexión. Si r1(B) ,f J(B), tomamos la reflexión r2 con respecto a la mediatriz de r1(B) y J(B), que manda r1(B) en J(B), es decir, r2(r1(B)) = J(B). Como d(f(A),J(B)) = d(A, B) = d(r1(A),r1(8)) = d(J(A),r1(B)), entonces J(A) está en la mediatriz der1(B) y J(B), luego, es invariante bajo la reflexión r2, osea, quer2(r1(J(A))) = r2(J(A)) = J(A). Si ademásr2(r1(C)) = J(C), entonces r2(r1) = f y fes una composición de dos reflexiones. Por último, si r2(r1 (C)) .¡ J(C), tomamos una tercera reflexión r3 respecto a la mediatriz de estos dos puntos que dejará invariantes a J(A) y J(B), y de esta manera, con a lo más tres reflexiones llevamos A, B, C, puntos no colineales, en J(A), f(B), J(C). Por el paso segundo, r3(r2(r1)) = J, es decir, f es la composición de a lo más tres reflexiones. 4

Secciones ainicas: circunferencia y parábola

146

Este resultado significa que si en una hoja dibujamos dos triángulos congruentes en cualquier posición, podemos hacerlos coincidir doblando la hoja a lo más tres veces Ejercicios y problemas 7 .1.1 Transforme cada une.de las ecuaciones siguientes por medio de une. translación de modo que (h, k) sea. el nuevo origen de coordenadas.

(a) x2 - 2¡/ - 6x + Sy = 9, (h, k) = (3, 2); (b) y2-4:t+4y+B=O, (h,k)=(l,-2); (e) (x a)2 + (11 + a)2 = xy, (h, k) = (a, -a); (d) x2-6xy+¡¡2-6x+211+l=O, (h,k)=(0,-1); (e) 3:z:2-2xy-y2+14x+611=6, (h,k)=(-1,4). 1.1.2 Transforme cada una de las ecuaciones siguientes por medio de una rotación de ejes en un ángulo O, como se indice.

z2 -112

0 = 45°; (c) 2x2+24xy-5¡/=8, sen9=l;

(e.)

= 4,

7.1.s Para le. ecuación

ir 6y-

(b) (x + y - 2)2 = 4xy, (d) x2 -2xy+2¡/ = 1,

O =45°; te.no =2.

2x + 11 =O:

(a) Demuestre que no hay translación alguna. que elimine los dos términos de primer grado. (b) Encuentre una translación que elimine dos de los términos de le. ecuación. 7.1.4 Demuestre que la transformación inversa. de la reflexión 7.6 es ella misma.

r.i.e Verifique que una reflexión respecto a. y= r(x,11)

l/0 tiene forme.

= (x, -11 + 2110).

7.1.6 En los casos siguientes, encuentre le. ecuación que resulta de le. ecuación de.de. al hacer une. reflexión con respecto e. la recta que se índica.

(e.)x2+f=4, (c) x2 + ¡¡2 = 4,

x=I; {b)(x-2)2-112=1, 11 = 2x; (d) x4 + (11- 1)'1 = 1,

x=11;

y= 2.

En ceda caso, verifique si la ecuación es simétrica. respecto a le. recta dada. (a) x2 + ¡¡2 - 2x = O, x = l; (b) x2 + ¡¡2 - 2x = O, y= x;

7.1.7

(c)y2-x-5y+5=0,

11=5/2;

{d)xy-2:i:+211+4=0,

11=:i:+4.

7.2 Ecuaci6n de la circunferencia

7.2

147

Ecuación de la circunferencia

Como observamos en la sección anterior, la ecuación de una circunferencia con centro en (h, k) y radio r se puede escribir en la forma (7.7) Diremos que ésta es la forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia; si además h = k = O, diremos que la ecuación está en forma canónica. Si elevamos al cuadrado y reacomodamos términos en la forma ordinaria, obtendremos t' + 1Í' 2hx - 21.."Y + h2 + k2 - r2 = O, que tiene la forma (7.8) la cual es un caso particular de la ecuación general de segundo grado Ax2 + Bxy + Cy2 + D» + Ey + F' = O, con A = O y B = O. Para referencia posterior, obsérvese que entonces, para la circunferencia, I = 82 - 4AC < O. Cuando escribirnos la ecuación de una circunferencia en la forma (7.8), decimos que está en la forma general de la ecuación de la circunferencia. Es claro que no toda ecuación de la forma (7 .8) representa una circunferencia, pues es necesario que al completar cuadrados para escribirla en su forma ordinaria el término a la derecha de la ecuación quede positivo por tratarse del cuadrado del radio, de lo contrarío, puede tratarse de un solo punto o de ningún lugar geométrico. Ejemplo 7 .5 ¿Para qué valores de F la ecuación x2 + y2 - 2x + 4y + F representa una circunferencia?

=O

Solución: completando cuadrados, obtenemos (x-1)2+(y+2)2 = -F+ 1+4, lo que implica que no existe lugar geométrico si F > 5, que sélo será un punto si F = 5, y que será una circunferencia si F < 5.

148

Ejercicios y problemas 7.2.1 Encuentre la ecuación y trace la gráfica de cada una de las circunferencias descritas a continuación. (Dos soluciones en (e) y en (/).)

(a) Tiene centro en (-1, 2) y radio 6; (b) tiene centro en (4, O) y es tangente a la recta x = 8; (c) tiene centro en (3, 4) y es tangente a la recta 6:x: +8y = 15; (d) pasa por los puntos (4,0), (O, -8) y (0,0); (e) es tangente a las rectas x = 6, z = 12 y y= 8; (f) tiene radio 10 e intersecta al eje x M O y 12. 7.2.2 Encuentre el centro y el radio de cada una de las circunferencias siguientes. (a) i2 +y2 - 8x + 4y = 5; {b) :x:2 + ¡,2- 6x = O; (c) x2 +i,2-12:x:- 2y = 12; (d) :x:2 + ¡,2 - 6x = 16;

(e) x2+y2+8x+6y=0; (g) i2 +y2 + 2x +2 = 2y;

(f)x2+y2+8y=0; (h) 2:x:2

+2,l

= 5:x:.

7.2.S Muestre que la circunferencia :x:2+ y2 +8x-4y+16 7.2.4 Demuestre que la circunferencia x2 +

y2 - 2ax

= O es tangente al eje y.

7.2.5 Demuestre que son tangentes las circunferencias

x2

+ y2 + 12x + 6y -

19

= O.

7.2.6 ¿Esla circunferenciax2+y2-l&z:+45

7.3

= O es tangente al eje x.

x2+ ¡/ 4x - 6y+ 9 = O y

= O tangente alarecta3y-4x+2

= O?

Propiedades de la circunferencia

'Il:es puntos determinan una circunferencia. De hecho, ya vimos que las mediatríces de un triángulo concurren en el circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Por consiguiente, dados tres puntos, usando las mediatrices de los segmentos que determinan podemos encontrar la. ecuación de la circunferencia que pasa. por ellos, como en el ejemplo 4. 7. Un procedimiento alternativo sería el de tomar la forma general de la ecuación de le. circunferencia (7.8) y sustituir en ella las coordenadas de los puntos para obtener tres ecuaciones con tres incógnitas. Ejemplo 1.1 Encuentre la ecuación de la circunferencia. que pasa por los puntos Pi(-4, 5), P2(3, -5), P3(4, 1). Solución: sustituyendo en la fórmula (7.8), obtenemos

149

7.3 Propiedades de la circunferencia

o sea:

16 + 25 - 4D + 5E + F = O, 9+25 +3D-5E +F = O, 16 + 1 + 4D + B + F = O,

-4D+5B+F=-41,

3D-5E+F=-34,

4D+E+F=-17.

Le, solución para este sistema es D = 53/13, E= 28/13, F = -461/13, y, por

tanto, la ecuación de la circunferencia es: 2 53 28 461 _ O 2 :¡;~ + !/ + 13 X + 13 !/ 13 '

o sea,

53)2 ( X+ 26

(

+ y+

14)2 27,565 13 = (26)2 '

lo que coincide con el resultado del ejemplo 4. 7. q En el capítulo primero comentamos que una de las propiedades del círculo cuyo des11 cubrimiento se atribuye a Tales de Mileto es que los ángulos inscritos en un semicírculo son rectos. Daremos ahora su demostración usando coordenadas; para ello colocamos la figura en nuestro sistema de coordenadas A(-r,0) B(r,O) ' de modo que se simplifiquen los cálculos, Figura 7. 9 Ángulos inserí tos poniendo el centro de la circunferencia en el en una semicircunferencia origen y los extremos del diámetro en (r, O) y (r, O); esto se muestra en la figura 7.9. Siguiendo la figura 7.9, observamos que la pendiente de la recta PA es m1 = _Y_y la de la recta PE es mi = _Y __ Por otra parte, ya que x+r x-r el punto P está en la circunferencia, oo cumple que x2 + y2 = r2, por lo

e5·l

que m111i2 =

(-Y-) (Y) = i2 y2 x+r x-r -r

2

= -1, y entonces

"'

PA y PB son

perpendiculares, como se quería demostrar. Consideremos ahora dos circunferencias: C1 : x2 + y2 + Dix + E1y + F1 = O, C2 : x2 + y2 + ~x + &i!! + F2 = O, y la combinación C = C1 + kC2; o sea, C: (l+k)x2+(1+k)y2+(D1

+kD2)x+(Ei +k&i)y+(F1 +kF2) = O. (7.9)

Si k = -1, obtenemos la recta

(Di - D2)x + (E1 - &i)y + (F1 - F2) = O,

(7.10)

a la que llamamos eje radical de C1 y C2; si k # -1, entonces, C representa una circunferencia. En caso de que las circunferencias C1 y C2 oo intersecten


150

en dos puntos, el eje radical y la circunferencia C también pasan por esos puntos, lo que implica que los centros de las circunferencias de la familia (7.9) están sobre la recta que une los centros de C1 y de C2, y que el eje radical es perpendicular a la línea de estos centros. Si las circunferencias C1 y C2 son tangentes, entonces también son tangentes en ese punto el eje radical y las circunferencias de la familia (7.9); como en el caso anterior, sus centros están alineados y el eje radical es perpendicular a esa línea. ¿Qué sucederá si las circunferencias C1 y C2 no se intersectan? Los centros de las tres circunferencias son: -D1 - kDi -E1 - kEi) Di -E1) ( 2'2' ( 2(k+ 1) ' 2(k+ 1) 2'2' ' y la recta que une a los dos primeros es

(-D2 Ei)

2(E1 - Ei)x - 2(D1 - D2)y + D2E1 - D1Eh = O.

(7.11)

Es fácil comprobar que las coordenadas del tercer centro satisfacen esta ecuación y, por tanto, los centros de todas las circunferencias de la familia (7.9) son colíneales. Por otra parte, el eje radical (7.10) tiene pendiente m1 =

-~,_-t

mientras que la recta de los centros (7.11) tiene pendiente m2 =

i

2),

1 - : 1 -

2

;

como m1 mi = -1, el eje radical es siempre perpendicular a la recta de los centros de las circunferencias. Veremos ahora que el eje radical es el lugar geométrico de les puntos cuyas t,angentes a ambas circunferencias son iguales. Para eso nos referiremos a la figura 7.10.

e, Figura 7 .10 Eje radical de dos circunferencias Las longitudes de las tangentes de t1

y

= j(x - h1)2

+ (y -

k1)2

-

Pt», y)

r? =

a C1 y C2 son

Jx2 + y2 + D1x

+ E1y + F1

151

7.3 Propiedades de la circunferencia

Si t1 = t2, entonces:

x2+ y2 + Dix+ E,_y

consecuentemente,

+ F1 = x2 +r/ + D2x+

E,v+ F'2;

(Di - D,)x + (E1 Ei.)y + (Pi - Fa)= O y P está en el eje radical. Recíprocamente, sí P está en el eje radical, regresándose en el argumento se tiene que ti = t2, con lo que queda demostrada la afirmación. Ejemplo 7 .8 Encuentre la ecuación del eje radical y los puntos de intersección de las círcunferencias x2 + y2 + 2x 6y - 16 = O y x2 + !l 2x + 6y = O. Solución: restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos la ecuación del eje radical 4$ - 12y - 16 = O, o sea, x - 3y - 4 = O. Si ahora sustituimos laxen la segunda ecuación, obtenemos (3y + 4)2 + y2 - 2(3y + 4) + 6y = O; simplificando, resulta 5y2 + 12y + 4 = O y al resolver mediante la fórmula -12 ± ./144- 80 -12 ±8 general, obtenemos y = = , por lo que y = -2/5 10 10 o y = -2. Como x = 3y + 4, los valores respectivos de x son 14/5 y -2. Luego, los puntos de intersección son A(-2, -2) y B (~, ~2). La situación

se muestra en la figura 7.11.

<3

Figura 7.11 Circunferencias del ejemplo 7.8

Ejemplo 7.9 Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos de intersección de las circunferencias del ejemplo 7.8 y por el punto (-2, O).

152


Solución: la circunferencia buscada debe pertenecer a la familia de circunferencias (1 + k)x2 + (1 + k)y2 + (2 - 2k)x + (-6 + 6k)y + (-16 + Ok) = O. Sustituyendo las coordenadas del punto (-2, O) en la ecuación, obtenemos 4(1+k)-2(2-2k)-16 = O, de donde k = 2 y la ecuación de la circunferencia

es 3x2

+ 3y2 -

2x

+ 6y - 16 = O.

<1

Ejercicios y problemas 7.3.1 Encuentre la ecuación y trace la gráfica de cada una de las circunferencias descritas a continuación. (Dos soluciones en (b) y en (d).)

(a) Intcrsecta al eje x en 6 y en lO y tiene con el eje y una intersección en 8. (b) Jntersecta al eje x en -4 y en 2, y su radio es 5. (e) Uno de sus diámetros va del punto (6,3) al punto (-2,5). (d) Pasa por el origen y por (-1, 1); su radio es 5. 7.3.2 En cada caso, determine el lugar geométrico que representa la ecuación, y si se trata de una circunferencia, encuentre su centro y su radio. (a) x2 +y2-6x- By= O; (b) x2+y2-8x +2y +21 = O; (e) i'-+y2+12x+l011-3=0; (d) 2x2+2tr+2x+2y+l =0.

r.s.s En cada caso, encuentre la ecuación y trace la gráfica de la circunferencia que cumplo las condíciones dadas. (Dos soluciones en (a), (b) y (e); cuatro soluciones en (/).) (a) Es tangente al eje x en (6, O) y es tangente al eje 11· (b) Es tangente a ambos ejes y pasa por el punto (2, 1). (c) Es tangente a las rectas x = 6 y x = 10 y pasa por el punto (6, 8). (d) Es tangente al eje x en el punto (5, O) y una de las intersecciones con el eje 11 es 10. (e) Es tangente a la recta x- 2y-3 = O en el punto (-1, -2), y tiene radio Js.

(f) Es taogente a ambos ejes y a la recta 4:& + 3y = 12. 7.3.4 En cada caso, encuentre la ecuación y trace la gráfica de la circunferencia descrita. (Cuatro soluciones en (e) y (d).)

(a) Pasa por el origen y por los puntos comunes a las circunferencias x2 + y2 = 25 y x2 +y2 -4x +2y= 15. (b) Está inscrita en el triángulo formado por las rectas 4x-3y = 12, 4x+3y = 24 y el eje y. (e) Es tangente a las rectas 4x 3y = 12 y 4x + 3y = 24, y tiene radio 10. (d) Pasa por el origen y corta una cuerda de 5V2 unidades de cada una de las rectas X - y = 0, X + y = 0.

153

7.4 Tangentes a una circunferencia

(e) Tiene centro en el punto (4, 10) y es tangente a x2 + ¡¡2 + 4x - 4y = l. (f) Tiene por diámetro el segmento de la recta y= mx que es tntersectado por la circunferencia x2 + y2 - 2ax = O. 7.3.5

(a) (b) (c) (d)

Identifique el lugar geométrico que corresponde a las condiciones dadas. Un punto que se mueve de tal manera que la suma de los cuedrados do sus distancias a los puntos (O, 2) y (O, -2) es siempre igual a 24.. Un punto que se mueve de modo que su distancia al punto (4,2) es siempre el doble que su distancia al punto (-1, 3). Un punto que se mueve de tal manera que la longitud de la tangente bajada del punto a la circunferencia x2 + ,J 9 = O es igual a la longitud de la tangente bajada a la circunferencia x2 + ¡¡2 - 8.z + 12 = O. Un punto que se mueve de tal manera que la longitud de la tangente bajada del punto a la circunferencia x2 + y2 - 9 = O es igual al doble de la longitud de la tangente bajada a la circunferencia x2 +112-8x+ 12 = O.

7.3.6 Demuestre que la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (x1, y¡), (:J:2,1/2) y (x3, y3), se puede obtener mediante el determinante z2+y2 X 11 1

z? + 11? z[ + 1/i X~

7 .4

+ 115

Zl

Y1

]

X2

1/2

1 = O.

X3

1/3

1

Tangentes a una circunferencia

Dados un punto P y una circunferencia C, puede ocurrir una de las situaciones siguientes: (i) P está en el interior de C y no hay tangentes a C que pasen por P. (ii) P está en C y ha.y una tangente a C que pasa por P. (iii) P está fuera de C y entonces hay dos tangentes a C que pasan por P.

La ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto P(x1, y1) es 11-Yt =m(x-x1), osea, y=y1+rnx-mx1. Si sustituimos la y ei la ecuación de la circunferencia, obtendremos una ecuación de segundo grado en z, que por la condición de tangencia deberá tener sólo una solución y, por tanto, su discriminante deberá anularse. Esto nos da otra ecuación de segundo grado en m, cuyas soluciones son los valores de la pendiente que hacen que la recta sea tangente. Si esta ecuación no tiene solución real, se trata del caso (i)¡ si hay una solución, es el caso (ii), y si hay dos soluciones reales, estamos en el caso (iii).

154


Ejemplo 7.10 Encuentre las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto (1, -1) a la circunferencia x2 + y2 + 2x - 6y - 6 = O. Solución: la familia de rectas que pasan por el punto es y+ l = m(x - l). Sustituyendo la y en la ecuación de la circunferencia, tenernos x2 + (mx- m-1)2+2x-6(mx-m-1)-6 = O, ecuación que se simplifica a (1 +m2)x2 + (2-2m2 -8m)x + m2 + Bm+l = O, y para que la recta sea tangente, el discriminante de esta ecuación deberá

anularse, o sea,

(2 - 2m2 - 8m)2 - 4(1 + m2)(m2 + 8m + 1) de donde 3m2

-

= O,

4m = O, que tiene soluciones m1 = O y m2 = 4/3. Por

;(x - 1).

consiguiente, las ecuaciones de las tangentes son y= -1 y y+ 1 = En la figura 7.12 se muestran la circunferencia y las tangentes referidas.

11

<,

.,

4 u+t=-(%-1)

(-1,3)

3

Figura 7.12 Las rectas tangentes del ejemplo 7.10 Otro tipo de problemas de tangentes se tiene cuando se da la pendiente de la recta tangente, en cuyo caso la familia de rectas será de la forma y= mx+ k, y hay que determinar k. El procedimiento es el mismo: sustituir y en la ecuación de la circunferencia y anular el discriminante de la ecuación cuadrática en z. Ejemplo 7.11 Hallar las ecuaciones de las tangentes de pendiente m = 2 para la circunferencia x2 + y2 + 2x - 6y - 6 = O. Solución: las tangentes serán de la forma y = 2x + k; sustituyendo en la ecuación de la circunferencia y simplificando, obtenernos: y

x2 + {2x + k)2 + 2x - 6(2x + k) 6 = O 5x2 + (4k-10)x+

(k2-6k-

6)

= O.

v=2%+s-•Js

Figura 7 .13 Las rectas tangen tes del ejemplo 7.11

155

7.4 Tangentes a una circunferencia

Haciendo el discriminante de esta ecuación igual a cero, se sigue que: (4k 10)2 - 4(5)(k2 - 6k 6) = o, y simplificando, k2 - lOk - 55 = O, por lo que k = 5 ± 4VS. Por consiguiente, las ecuaciones de las tangentes de pendiente m = 2 son y = 2:i: + 5 + 4VS y y= 2:i; + 5 - 4/5. La figura 7.13 muestra esta situación.
(a) x2 +1¡2 = 25, P(3,4}; (b) x2 +1l = 34, P(-5,3}; (c) :i:2 +¡¡2- 6x +2¡¡ = O, P(2, 2}; (d) x2 + ¡¡2 + 4x 7v- 11 = O, P(3, 2). 7.4.2 Para cada una de las circunferencias siguientes, encuentre le. ecuación de la recta tangente que satisfaga.la condición indicada, (Dos soluciones en cada caso.)

(a) (b} (e) (d} (e)

x2 + ,¡2 = 25, la pendiente de la tangente es 3/4;

x2 + ¡¡2 = 49, la pendiente de la tangente es -12/5; x2 + v2 = 36, la tangente es paralela a 4$- 3y = O; x2 + ¡¡2 = 13, la tangente es perpendicular ax = ~Y, x2 + y2 = 104, el punto (-8, 12} está sobre la tangente; (f} x2 + ¡¡2 = 64, la tangente pasa por el punto (8, 4}.

En la figura, PF representa le. dirección e intensidad de una fuerza aplicada a una rueda en el punto P. Esta fuerza P F se puede des11 componer en la suma de otras dos fuerzas, una a,mponente N tangencial PT, que hece girar la rueda, y una nonnal PN, que no produce giros. Entonces, PF es la diagonal del ..¡.......J.4..:.''....t!..l.i...-=-:r: paralelogramc de fuerzas, cuyos lados son PT y P N. Si las T coordenadas de P son (4, 3), las de F son (~, 0) y OA es 5, encuentre las magnitudes de los vectores PT y P N. 7.4.S

f

Para las circunferencias x2 + ¡¡2 34 = O y encuentre el ángulo que forman al cortarse. 7.4.4

x2 + ¡¡2 -

5:t + l()y + 1 = O,

Encuentre el ángulo agudo formado por las tangentes trazadas desde el punto ( -5, 4) a la circunferencia x2 + ¡¡2 lOx + 7 = O. 7.4.5

Demuestre que la ecuacíén de la tangente a la circunferencia x2 +¡¡2 = r2 en el punto de contacto (x1, ¡,,1) es x1x + ¡¡1y = r2. 7.4.6

156

7.5


Ecuación de la parábola

Sabemos que una parábola es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo F, llamado foco, ES igual a su distancia a una recta fija ó, llamada directriz. Supongamos que F tiene coordenadas (p, O) y que ó tiene ecuación x p. Entonces, para cualquier punto P(x, y) de la parábola,

6, z = p

11

=

= lx +PI,

J(x- p)2 + (y- 0)2

situación que se muestra en la figura 7.14. Figura 7.14 Ecuación de una parábola Si elevamos al cuadrado y simplificamos, obtenemos y2 = 4px. De igual manera, si P = (O,p) y /j es y= p, obtenemos la ecuación J(x- 0)2 + (yp)2 = IY +PI, la cual se reduce a x2 = 4py. En ambos casos, la parábola pasa por el origen, que es su vértice V. Si, mediante una translación, colocamos el vértice en el punto (h, k), entonces las ecuaciones son: (y - k)2 = 4p(x h) y (x h)2 = 4p(y - k). (7.12) Diremos que la ecuación de la parábola está en forma ontinariasi se escribe en la forma (7.12) y en forma can6nica si además h = k = O. la primera ecuación corresponde a una parábola horizontal que se abre hacia la parte positiva del eje de las x cuando p > O y hacia la parte negativa de éste cuando p < O; la segunda ecuación representa una parábola vertical que se abre hacia la parte positiva del eje y cuando p > O y hacia su parte negativa cuando p
O)*-

11

X

!Í' = 4¡,x p>O

11

I FpO)

fO~) ~ 11

X

!Í' = 4p:i;

11

:t

F O,p)

Figura 7.15 Parábolas horizontales y verticales

Si desarrollamos las ecuaciones (7.12), obtenemos y2 - 4p:i:: 2ky + k2 + 4ph = O y :i::2 2hx 4py ES decir, las ecuaciones son de la forma Cy2+D:c+ Ey+F=O

y

\

i" = 4Plf

= 4p1f p>O

,,,

p
Z

+

A:c2+Dx+Ey+F=O.

p
h 2 + 4pk =

O;

(7.13)

157

7.5 Ecuaci6n de la parábola

A la forma (7.13) de escribir la ecuación se le llama forma general de la ecttaci6n de una parábolahorizontal o vertical. No toda ecuación de la forma (7.13) representa una parábola, pues si en la primera forma general D = O, la ecuación resultante Cy2 + Ey + F = O representa una o dos rectes horizontales o ningún lugar geométrico; de la misma manera, si en la segunda forma general E = O, tendremos una o dos rectes verticales, o ningún lugar geométrico. A la expresión l = 82 - 4AC la llamaremos indicador o caracterlstica de la ecuación general de segundo grado en dos variables, Ax2 + Bxy+ Cy2 + D» + Ey+ F' = O, y la estudiaremos con detalle en la sección 8. 7. Obsérvese que en su forma general, la ecuación de una parábola horizontal o vertical tiene B = O, y si A f O, entonces C = O, lo mismo que si C f O, entonces A = O; por tanto, para una parábola horizontal o vertical, se tiene que 1 = 82 -4AC = O. Cuando la forma general carece de término en xy, se puede encontrar la forma ordinaria de la ecuación de la parábola mediante el procedimiento de completar el cuadrado, y, recíprocamente, dada la forma ordinaria se puede encontrar su forma general desarrollando el cuadrado. Si la parábola está inclinada, A, B y C son no nulos, pero se conserva la ecuación 1 = 82 - 4AC = O, como se observa en el ejemplo siguiente. Ejemplo 7 .12 Encuentre la ecuación de la parábola con foco en el origen y directriz 6: 3x + 4y - 3 = O. 11

.,....,::::::::~l.,..:t /

/

,

/

6: 3.:z: + 411- 3 = O

/

16.:z:2 - 24.:z:y

+ 9,r + 18:i: + 24y

- 9=O

Figura 7.16 Parábola del ejemplo 7.12 Solución: aplicando la definición de parábola como lugar geométrico,

J( X -0)2 + (y -0)2=

J3x+4y-3J. y'9+ 16

Elevando al cuadrado, obtenernos: 25x2 + 25y2 = 9:.2 + 16y2 + 9 + 24xy- 18x - 24y,


158

y entonces la ecuación resulta: 16;¡;2 - 24xy + 9y2 + 18x + 24y - 9 = o. Si examinamos el indicador de la ecuación obtenida, observamos que

I = 82 - 4AC = {-24)2

-

4{16)(9) = 576 - 576 = O.

<1

Ejercicios y problemas 7.5.1 En cada uno de los C8SOS siguientes, encuentre la. ecuación de la. parábola. que sa.tisfaoe las condiciones que se señalan. Su foco es F(O, 5) y su vértice, el origen; su foco es F(3, O) y su directriz, z = 3; su foco es F(0,0) y su directriz, 4z- 3y+5 = O; su foco es F'(3, O) y su directriz, y= 4; su foco es F(O, -2) y su directriz, y= 4; (f) su foco es F(2, 3) y su directriz, 4z + 3y + 12 = O.

(a) (b) (c) (d) (e)

7 .5. 2 Encuentre la. ecuación de la. perábola horizontal o vertical que sa.tisfaoe las condiciones dadas. (a.) Su vértice es el origen y pasa. por los puntos (-4, 2) y (4, 2); (b} su vértice es el origen, su eje el de las z y pasa. por el punto (9, 6); (e) su vértice es el punto (5,4), su eje paralelo al de las z, y pase. por el punto

(3, O);

(d) su vértice es el origen y su directriz le. recte. y= 6; (e) su vértice es ( 4, 5) y su foco, {4, 7); (f) su vértice es el origen, su eje es un eje de coordenadas y una. de sus cuerdas une los puntos (-2,-5) y {-2,5); (g) pase. por los puntos (0,2), (1,-1) y (-1,1). 7.5.S Encuentre le. ecuación de le. pe.rábola con eje horizontal o vertical y vértice en el origen, que satisface la condición que so da en cada C8SO. (Dos soluciones en (e) y cuatro en {d).) (a) Su foco es el punto (-5,0); (b) la ordenada del foco es 8; (e) pase. por el punto {2,6); {d) la dístancía del foco a la directriz es 6. 7 .5.4 Encuentre el vértice V de cada una de las parábolas siguientes; dibuje nuevos qjes que pasen por V y que sean paralelos a los originales; encuentre la nueva ecuación y dibuje la parábola. (a) .,} - 6x 4y + 10 = O; (b) 2x2 + 12x+ 3y+3= O; (e) 3y2 + 12y + 16 = 4z; (d) i?=az+2y+5; (e) 11=2z2-6x+3; (f) 5z2 -Sz = 4y.

7. 6 Desaipci6n de una parábola

159

7.S.5 En cada caso, dibuje las gráficasdel par de ecuacionesdadas y encuentre los puntos comunes. (a) y2 9:1:, 3x - 7y + 30 O; {b) x2 + y2 - 4x 4, x y2; (e) z2 = y, X= y2; (d) z2 =v, z2 = y2.

=

=

=

=

7.5.6 Se inscribe un triángulo equílétero en la. pa.rábolay2 = 4px de ta.l manera. que uno de los vértioes está en el origen. Encuentre la longitud de un ledo del triángulo. 7.5.7 Dibuje la. parábola x2 = 4y y loca.Jioe el punto P sobre la. parébola cuya abscisa es 6. Trace el segmento que une a. P con el foco F y demuestre que el círculo cuyo diámetro es FP es tangente al eje z.

7.6

Descripción de una parábola

Dada la parábola y2 = 4px, sabemos que su vértice V es el origen (O, O), que su foco F es el punto (p, O) y que su directriz ó es la recta x = p; por tanto, IPI mide la distancia del vértice al foco y del vértice a la directriz. También sabemos, por la sección 6 del capítulo 2, que su excentricidad, que se mide como el cociente de la distancia. de cualquier punto de la parábola al foco sobre la distancia de dicho punto a la directriz, es e = l. El eje de la parábola es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco y y el vértice. A la longitud del segmento que va del foco a un punto de la parábola se le llama 6 radio focal o radio vector del punto; cuerda es cualquier segmento que una dos puntos de la parábola y cuerda focal es toda cuerda que pase por el foco. A la cuerda focal perpendicular al eje se le llama lado recto, y a su longitud, ancho focal, el cual es muy útil para bosquejar la gráfica de la parábola, pues es una buena medida de la forma en que se abre Figura 7.17 Puntos y rectas esta curva. El ancho focal es l4PI, valor que notables de una parábola se obtiene sustituyendo la abscisa p del foco en la ecuación y recordando que el ancho focal es el doble de la ordenada y en el foco. Por último, una tangente a la parábola es cualquier recta que la toque en un solo punto. Estos conceptos están ilustrados en la figura 7 .17. Para obtener la ecuación de las tangentes a una parábola que pasan por un punto dado, o que tienen una pendiente dada, se procede como en el caso de la circunferencia.

160


Ejemplo 7.13 Encontrar la ecuación de la tangente a la parábola. i? = 4px en cualquier punto P(x1, Y1) de la curva. Solución: la ecuación de la tangente será de la forma y y1 = m(x - x1), donde mes la pendiente a determinar. Sustituyendo la y en la ecuación de la parabola, obtenemos: (Yi + mx - mxi)2 = 4px, que es la ecuación de segundo grado en z: m2x2 + (2my1 - 2m2x1 - 4p)x + (yf + m2;tj 2mx1y1) = O. Como queremos que la recta sea tangente, hacemos el discriminante de esta ecuación igual a oero y obtenemos: (2rrty1 - 2m2x1 - 4p)2 - 4m2(ilt + m2x?- 2m:c1Y1) = O, una ecuación que se reduce. a: x1m2-y1m+p =0. Usan.do la fórmula general, encontramos que: Y1 ± V~Y--4px-, 2~1

m=

2x,

.

'

si el punto (x1, y1) está fuera de la parábola, el radicando es positivo y habría dos tangentes¡ si el punto está dentro de la parábola, el radicando seóa negativo y no existiría tangente¡ como el punto (x1, y1) está en la parábola, el radicando es cero y m = • Por tanto, la ecuación de la tangente es: 2Y X¡1 y - Y! = Yi (x x1 ). 2x1

Esta situación se muestra en la 6gura 7.18.

<1

Figura 7.18 Recta tangente a una parábola en uno de sus puntos

Ejercicios y problemas 7.6.1 Díbuje ceda una de les parábolas siguientes, encuentre su ancho focal, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz.

161

7. 6 Desaipci6n de una parábola (a) z

= 2y2¡

(d) 2:i:2 =9y;

(b) 6z = i/; (e) 3r-6z=4y-11;

(e) z2 = -911; (f) 2y2 =8y+3z+l.

y2 = 6z y las cuerdas determinadas por las rectas paralelas 11 = z, 11 = z - 8/3, y = z - 9 /2. Demuestre que los puntos medios de esas cuerdas 7 .6.2 Dibujo la parébola

son oolineales. 7.6.3 Demuestre que las parébolas :i:2 - 2z = 5y- 11 y y2 = 411 + 5z- 9 tienen el mismo vértice y encuentre el otro punto de intersección. 7.6.4 En cada una de las parábolas siguientes, demuestre que el punto P está sobre la curva y encuentre las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva en P.

(a) ¡¡2 = Bx, P(2,4); (c)9if-z=0,

P(9,-1);

(b) z =

¡r,

(d) 11=9:i:2,

P(1, 1}; P(-1,9).

7.6.5 Encuentre los puntos de ta parábola dada que se encuentran a 9 unidades del punto dado. (a) La parábola y2 = 123: y su foco; (b) la parábola y2 = -24:i: y su vértice. 7.6.G La tangente a ta pa.rábola 6z = 112 en el punto P(:i:1,111) pasa por el punto (4, 7). Encuentre las coordenadas del punto P. (Dos soluciones.) 7.6.7 Una tangente a la parébola

y2 = 20:i: es paralela a la recta 11 = z. Encuentre

el punto de tangencia. 7.6.8 Encuentre las intersecciones con los ejes coordenados de la tangente a la parábola y2 = 4p:i; en el punto P( z1, 1/1 ). 7.6.9 A partir de las conclusiones del ejercicio 7.6.8, diseñe un procedimiento para

trazar la tangente a una parábola cualquiera en cualquiera de sus puntos. 7.6.10 ¿Bajo qué ccndícíones la recta

y2 =4pz?

az +by+ e =

O es tangente a la parabola

7.6.11 Encuentre las ecuaciones de las tangentes a la parábola 112 = -1&: en los

extremos del lado recto. Demuestre que estas tangentes son perpendiculares entro sí y que se intersectan sobre la directriz. 7.6.12 Demuestre que las tangentes a cualquier parábola en los extremos del lado recto, se intersectan perpendicularmente sobre la directriz.


162

7. 7

Propiedades de la parábola

En la sección 2.5 demostramos la propiedad focal de la parábola que afirma que, en cada uno de sus puntos P, la recta >. paralela al eje de la parábola y el radio focal p forman el mismo ángulo con la tangente, y por tanto, con la normal v en el punto, usando para ello una demostración indirecta por reducción al absurdo; ahora demostraremos esa misma propiedad haciendo uso de coordenadas. En lo que sigue nos referiremos a la parábola y2 = 4px y la notación de la figura 7.19.

Figura 7 .19 Propiedad focal de la parábola: a =

f3

Para demostrar que a = f3 basta demostrar que tan tr = tanfj, lo cual hacernos a. partir de las pendientes de las rectas que determinan estos ánguloo:

>. tiene pendiente

O; por el resultado del ejemplo 7.13, la. normal v tiene pen-

diente -2:z:, , y el radio focal p, que pasa. por el punto y por el foco, tiene Yt pendiente Yt . Entonces: X¡

p

-2:z:1

tan a =

Yt

ID x, - p _ -2x1 l

:z:1 _ -2~ + 2p:z:1 - 4p:z:1 2i1y1 - Y1 X1 p 2:z:1y1 - X1Y1 py¡ '.lX1Y1 Y1(X1 p)

-2x1(:z:1 + ~) _ 2:z:1 -Y1{X1 +p - Yt ' y, por otra parte, =

tanfj = O- ( ~)

1+0(:

1)

= 2x1.

Yt

Esta propiedad de la parábola se aplica en la fabricación de lentes y de antenas parabólicas para la captación de señales. Si dirigimos la antena hacia la fuente, las ondas electromagnéticas llegarán prácticamente paralelas al eje,

163

7. 7 Propiedades de la parábola

serán reflejadas por la superficie y se concentrarán en el foco, donde se ubica el receptor de la señal. En sentido inverso, en los faros de un automóvil la luz se produce en el foco y al reflejarse en la superficie interna del faro, se proyecta toda hacia el frente. Otra aplicación muy importante de la parábola es el tiro pamb6lico: la trayectoria de un proyectil, desde una piedra hasta un cohete, se puede describir mediante una parábola cuando el efecto de la fricción es despreciable. La ecuación es de la forma y = ax2 + b:z: + e, y tiene como gráfica una parábola vertical; también se le conoce como funci6n cuadrática. El coeficiente de :z:2 determina si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo y, por tanto, si tiene un mínimo o un máximo; este valor extremo, lo mismo que el rango (también llama.do recorrido), se puede encontrar reduciendo la ecuación de la parábola a la forma ordinaria. Ejemplo 7 .14 Encuentre la altura máxima y la longitud del recorrido de la trayectoria parabólica dada por la función cuadrática y = :il + 4.:z: 3. Solución: completando cuadrados, podemos escribir y - 1 = -(:z: - 2)2, por lo que el vértice de la parábola es (2, 1) y la altura máxima es l. Por otra parte, si y = O, entonces los valores de :z: son :z:1 = 1 y :z:2 = 3, por lo que el recorrido es x2 - xi = 2. La figura 7.20 muestra este caso.
1/

Figura 7.20 Trayectoria parabólica

y= -x2+4x-

Ejercicios y problemas

3

Supongamos que un rayo de luz emitido desde el foco de la parábola 11 = 4z se refleja en el punto (9,6). Dibuje la parábola, dibuje el rayo reflejado y encuentre la ecuación del rayo. 'T.7.1

'T. 7.2 Un reftect.or parabólico se obtiene haciendo girar una parábola sobre su eje. Si el foco está a 6 cm del vértice y la profundidad del reflector es de 16 cm, ¿cuál es la abertura del reflector?

7.7.3 En la figura siguiente representamos un arco parabólico con AB = 20 m y CD = 6 m. Encuentre las alturas del arco a intervalos de 2 m a lo largo de AB. D ~

A

e

B

164


7.7.4 Se planea oonstruir un arco parabélíeo de modo que sus puntos de apoyo estén separados 30 m y que su fooo se encuentre a 8 m de altura, ¿ Cuál será la altura del arco? 7.7.5 Se tiene una cerca de malla de 120 m oon la que se va a cercar un lote de terreno rectangular. Si los lados miden z m y 60- z m, exprese el área y en términos de z y encuentre el valor de z que maximice y. 7.7.6 Demuestre que si una recta A que pasa por el vértice de una parábola in tersecta de nuevo a la parábola en otro punto P y si la perpendicular a A en P intersecta al eje de la parábola en Q, entonces la proyección de PQ sobre el eje de la parábola es oonstante. 7.7.7 Encuentre el lugar geométrico de los puntos medios de los radios focales de la parábola y2 = 4pa:. 7.7.8 Demuestre que cualquier circunferencia que tenga como diámetro a un radio focal de la parábola y2 = 4p:t es tangente al eje y. 7.7.9 Demuestre que todas las parábolas son semejantes. Es decir, una parábola se puede hacer ooincidir oon cualquier otra mediante un cambio de escala adecuado.

1.1.10 Dibuje una parábolai/ = 4pz y desde cualquier punto Q sobre su lado recto AB dibuje las perpendiculares QR y QS a las tangentes en A y B, respectivamente. Encuentre las coordenadas de R y S y demuestre que RS es tangente a la parábola. 7.7.11 Se inscribe un triángulo rectángulo en una parábola de modo tal que cl

vértice del ángulo recto coincide con el vértice de la parábola. Demuestre que si el triángulo gira sobre su vértice, la hipotenusa gira sobre un punto fijo del eje de la parábola. 7.7.12 Demuestre que cualquier circunferencia que tenga como diámetro a una cuerda focal de la parábola y2 = 4pa: es tangente a la directriz.

Capítulo

SECCIONES CÓNICAS: ELIPSE E HIPÉRBOLA

8

8.1 Descripción de una elipse 8. 2 Ecuación de la elipse 8.3 Propiedades de la elipse 8.4 Descripción de una hipérbola 8.5 Ecuación de la hipérbola 8.6 Propiedades de la hipérbola 8. 7 La ecuación general de segundo grado

8.1

Descripción de una elipse

Recordemos que la elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano 11 cuya suma de distancias a dos puntos ó, 6, fijos, llamados focos, es constante. La figura 8.1 muestra los puntos y distancias notables de la elipse; el centro es C(O, O), los focos son F, (e, O) y F2( -e, O), y los vértices son Vi ( a, O) y p :t=d V2(a, O). La recta que contiene a los "'= d focos se llama eje farol, y el segmento Figura 8.1 Puntos y distancias de longitud 2a entre los vértices, se notables en una elipse denomina eje mayor; a la recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro se le llama eje nonnal y al segmento de longitud 2b que une a los puntos A,(O,b), A2(0, b) de la elipse que estén sobre el eje normal, eje menor, en tanto que 2c es la distancia interfocal. Al igual que como lo hicimos para la parábola, podernos definir los conceptos de radio focalo radio vector, cuerda, cuerda focal, lado recto y ancho focal para la elipse. Las directrices son 61 : x = d y <Í2 : x = -d. En estas definiciones hemos supuesto que a, b, e y d son cantidades positivas. Observando las longitudes de los lados del triángulo A ,C P2, por el teorema de Pitágoras se tiene que a2 = b2 +
165

166

Secciones cónicas: elipse e hipérbola

excentricidad del modo siguiente: d(Ai, F1) a . d(Vj, Fi) a- e e=d(A1,ó1)=d y tamblén e=d(V1,ó1)=d-a' por tanto, a e e --e-e=~= d d= __ d d-a l-~ 1-e'

d e2 c/d e de donde e - e- = e - - y entonces e = = = . d' e a/el a ,

e

Ahora podemos encontrar la distancia de le. directriz al centro de la elipse:

a e

a

d===

e/a

a2 e

Usando cálculo se puede demostrar que el área de una elipse es A = 1rab, y su longitud, L = r.(a

8.2

+ b).

Ecuación de la elipse

Para la elipse de la figure.8.1, por le. propiedad de las distancias de los puntos de la elipse a los focos, se tiene que d(P, F1) + d(P, F2) = 2a, o sea,

,/(x-c)2 +y2 + v'(x +c)2 +y2

= 2a,

de donde y entonces

x2 - 2cc + c2 +y2 por lo que

= 4a2 +x2 + 2cc+ c2+y2 -

4aJ(x + c)2 +y2,

ex+ a2 = aJ(x + c)2 + y2.

Elevando de nuevo al cuadre.do y simplificando, obtenemos: (a2 - c?')x2 + a2y2 = a.2(a2 - é2), de modo que 1Jx2 + a2y2 = a2b2. Esta ecuación se puede escribir en la forma

x2

y2

+=l a2 Ir

(8.1)

y se llama jorma canónica paro la ecuaci6n de una elipse harizontal.

Eh el caso de una elipse vertical centrada en el origen, los focos son F1{O, e) y F2(0, -e), por Jo que:

167

8.2 Ecuaci6n de la elipse

../ ;¡;2 + (y - c)2 + ../;¡;2 + (y + c)2 = 2a, y, simplificando como en el caso anterior, la forma can6nica para la ecuación

de una elipse vertical es

(8.2) Como a > b para la elipse, resulta fácil distinguir cuándo una elipse es horizontal y cuándo es vertical. Utilizando la ecuación (8.1), podemos comprobar que cuando x = e; entonces y= ±ll /a, por lo que el ancho focal es l; = 2b2/a. Si colocamos el centro de la elipse en el punto (h,k), tendremos las ecua-

ciones ordinarias

(x h)2

~

+

(y - k)2 p =1

y

(x h)2

~

+

(y - k)2

~

(8.3)

=1

para una elipse horizontal y una vertical, respectivamente. Si desarrollamos las ecuaciones ordinarias de la elipse, llegamos a la forma general de la ecuaci6n de la elipse Ax2 + Cy2 + De + Ey + F = O, donde B = O y A tiene el mismo signo que C, por lo que T = 82 - 4AC < O. Partiendo de una ecuación general cuyos coeficientes cumplan con estas condiciones, al completar cuadrados para obtener la forma ordinaria, puede ocurrir que la suma de cuadrados sea igual a cero o que sea igual a un número negativo; en el primer caso, el lugar geométrico consistirá de un solo punto, mientras que en el segundo no existirá lugar geométrico. Cuando la elipse está inclinada aparece el término en xy en la ecuación, como lo muestra el ejemplo siguiente. Ejemplo 8.1 Encuentre la ecuación de la elipse de excentricidad 1/2 con un foco en F1(1, 1), al que correspondela directriz ó1: x+ = O.

y-5

Solución: por la definición de excentricidad,

v'(x-1)2+(y-1)2=-

i¡x+y-51

2

Jf+I

.

Elevando al cuadrado y simplificando, obtenemos la ecuación 7:c2 - 2:cy + 7y2 - 6:c - 6y - 9 = O, cuyo indicador es J = B2-4AC = -192 < O. Esta elipse se muestra en la figura 8.2.
1.,•2:t'lf+1u•

&.. 6¡¡- 9•0

Figura 8.2 Elipse del ejemplo 8.1

168


Ejemplo 8.2 Encuentre los focos, los vértices, las directrices, la excentricidad, el ancho focal y las longitudes de los ejes de la elipse dada por la ecuación 9x2 + 4y2 36x 24y + 36 = O. Solución: primero íactorizamos y completamos cuadrados en la ecuación para ponerla en la forma ordinaria: (x 2)2 (y - 3)2 4

+

9

=l.

Fsto significa que se trata de una elipse vertical con centro en C(2, 3), a= 3, b = 2 y e= Ja2 - /fÍ = ./5. Entonces, los focos son F1(h, k +e)= (2, 3 + ./5), Fi(h, k-c) = (2, 3-./5); los vértices, V1(h, k+a) = (2, 6), Vi(h, k-a) = (2, O); la excentricidad, e= e/a= ./5/3; el ancho focal , l,. = 2/l/a= 8/3; la longitud del eje mayor, 2a = 6; longitud del eje menor, 2b = 4. La distancia del centro a las directrices es d = a2/c = 9/./5, así, las ecuaciones de las directrices son

ó1: y= k+d= 3+9/./5 y 02: y=k-d=

3- 9/./5.

<1

Ejercicios y problemas 8.2.1 Encuentre la ecuación de la elipse que satisface los condiciones señalados en cada caso. (a) Focos en (±4, O) y vértices en (±6, O); (b) focos en (±4,0) y directrices en x = ±12; (e) eje menor 6 y focos en (±4,0)¡ (d) vértices en {O, ±5) y excentricidad 2/3; (e) excentricidad 1/2, eje mayor 12, centro en el origen y focos sobre el eje y; (f) vértices en (±8,0) y pesa por (1,1). 8.2.2 Para cada una de las ecuaciones siguíentes, dibuje la elipse y encuentre los focos, el ancho focal, la excentricidad, el área y los directrices. (a) 4x2 + 25y2 = 100; (b) 9x2 + 4y2 = 36; (e) 3x2 + 4y2 = 12; (d) 6x2 + 9y2 = 30; (e) 25x2 + 9¡J = 225; (f) &:2 + 5y2 = 20. s.a.a Encuentre la ecuación de la elipse que tiene sus ejes paralelos a 106 ejes de coordenados y que satisface las propiedades que se señalan en cada caso. (a) Centro en (4,3), excentricidad 1/2 y eje mayor de longitud 12 y para.lelo a.l eje x; (b) focos en (6, -2) y (2, -2), y su eje mayor es el doble de su eje menor; (e) centro en (2, 3) y pasa por (2, 2) y (4,3); (d) vértices en (-1, -2) y {-1, -10), y un foco en (-1, -3); (e) intersecta al eje x en 1 y 7 y a.l eje 11 en 3 y 5.

169

8.2 Ecuaci6n de la elipse

8.2.4 Para las siguient.es elipses, encuentre el centro, la excentricidad, los focos y las directrices, y dibuje la gráfica correspondiente. (a) x2 + 4y2 - 6:z: -24y +41 = O; (b) 4x2 +9y2 + 16:z:-18y- 11 = O; (e) 4x2 + 25y2 - Bx- lOOy +4 = O; (d) 2x2 +5y2 - 16:z: + 20y + 42 = O; (e) 25x2 +4y2 +50x- By-171 = O; (f) 2x2 +:ltr + 12x 12y 6 = O; (g) 9x2 + y2 - 4y - 5 = O; (h) 9x2 + J 6y2 - 12x + 16y - 64 = O. 8.2.s Las distancias mínima y máxima de la Tierra al Sol son 147 y 152 millones de kilómetros, aproximadamente. Se sabe que la órbita terrestre es elíptica y que el Sol ocupa uno de los focos de la elipse. (a) ¿Cuál es la distancia entre loe focos? (b) ¿Cuál es la longitud de loe ejes? 8.2.6 Para construir un patio elíptico, se clavan dos estacas a 16 m do distancia y

se fijan loa extremos do una cuerda do 36 m en ollas. Manteniendo la cuerda tensa se traza una elipse. ¿Cuáles son las longitudes de los ejes? 8.2. 7 Un auditorio tiene una bsse elíptica de 20 metros de largo por 16 metros de anchura. ¿A qué distancia se encuentran los focos de los extremos (a) del eje mayor, (b) del eje menor? 8.2.8 Un arco en forma de media elipse mide 8 metros de ancho y 3 metros de

altura en el centro. Encuentre las alturas del areo a intervalos de 2 metros.

arco formado por menos de la mitad de una elipse. La cuerda AB mide 20 m de largo y está separeda 4 m del punto más alto E. La cuerda CD mide 16 m de largo y está separada 2 m de E. Ambas cuerdas son 8.2.9 La siguiente figura representa un

paralelas al eje mayor. Encuentre la altura del arco a intervalos de 5 m a lo largo deAB.

A¿=f •' ''

r

•

''

tal que la distancia entre sus focos es igual al eje menor y su ancho focal es 4. (Dos eolucíones.) 8.2.10 Encuentre la ecuación de la elipse centrada en el origen

8.2.11 Encuentre la ecuación de la elipse centrada en el origen que pasa por el punto ( 4, 2) y es tal que el segmento que va de uno de los extremos do su eje menor

a uno de los focos es igual al doble de su eje menor. (Dos soluciones.) 8.2.12 Encuentre la razón entre los ejes de una elipse si el segmento que une al centro y un foco divide al eje mayor en cuatro partes iguales.

170


8.2.13 Demuestre que el ancho focal de la elipse z2/ a2 + y2 /tl = 1 es 2b~. 8.2.14 Demuestre que si~

> z~ > O y 11? >,A> O, ent.onces

z2

ir

l

z~yfl=O z~ ,A 1

es la ecuación cartesiana. de una elipse o de una circunferencia que pasa por los puntos Q(z1,!11) y R(z2,112). 8.2.15 Se traza una circunferencia concéntrica a la elipse z2 / á2 + ¡¡2 /ll = 1 de tal manera que las dos curvas se intersectan en cuatro puntos que forman los vértices de un cuadrado. Encuentre el radio de la circunferencia.. 8.2.16 Demuestre que todos los puntos de una escalera que resbala sobre una pared

y el piso siguen una trayect.oria elíptica. 8.2.17 Demuestre que si la distancla que separa al foco de una elipse con la.directriz

correspondiente es 2p, entonces, la longitud de su eje mayor es 4pe/(1 - e2). 8.2.18 Demuestre que para la elipse z2 /a2 + y2/ll = 1 las longitudes do los radios foca.lesde un punto P(z,y) sobre la elipse son a± ez. 8.2.19 Demuestre que la longitud del semieje menor de una elipse es media pro-

porcional entre los dos segmentos del eje mayor determinados por uno de los focos. 8.2.20 Demuestre que la longitud del eje menor de una elipse es media proporcional entre las longitudes de su eje mayor y su lado recto. 8.2.21 Sean P, Q los extremos de un diámetro de una elipse. Demuestre que la

suma de los radios focales FP y FQ es igual a la longitud del eje mayor. 8.2.22 Sea O el centro de una elipse cuyos semiejes mayor y menor son a y b, respectivamente, y sea Q el pie de la perpendicular bajada desde cualquier punt.o P de la elipse a su eje focal. Entonces, OQ2 /a2 + PQ2 /ti' = l.

s.a.as (a) Demuestre que si una elipse tiene sus ejes paraleles a los de coordenadas, bastan las coordenadas de cuatro de sus puntos para determinarla, (b) ¿Cuántos puntos son necesarios si el centro está en el origen? 8.2.24 Demuestre que t.odas las elipses con la misma excentricidad son semejantes.

Es decir, si dos elipses tienen la misma excentricidad, mediante un cambio de escala adecuado se puede hacer coíncidir una de ellas con la otra.

8.3 Propiedades de la elipse

171

8.2.25 Dados los ejes mayor y menor de una elipse, trazar con escuadra y compás puntos de ella. 8.2.26 Hallar e identificarel lugar geométricodel centro de una circunferenciaque se mantiene tangente a las circunferenciasx2 + ¡¡2 4y 12 = O y x2 +1/ = l.

8.3

Propiedades de la elipse

En la sección 2.5 señalamos que los planetas describen órbitas elípticas en las que el Sol ocupa uno de los focos¡ en el caso de nuestro sistema solar, estas elipses tienen una excentricidad muy pequeña, menor que 0.25, por lo que parecen circunferencias; la Tierra, por ejemplo, tiene una órbita casi circular, con una excentricidad e = 0.0167; su distancia mínima al Sol (perihelio), en números redondos, es de 147 millones de kilómetros y su distancia máxima (afelio), de 152 millones de kilómetros, por lo que su eje mayor es de unos 299 millones de kilómetros. Como e2 = c2/a2 = l lr/a2, al despejar y sustituir el valor de la excentricidad, obtenemos que b/a = 0.99986, lo que implica que los semiejes son casi iguales. Los cometas que se acercan periódicamente al Sol también tienen órbitas elípticas, pero de excentricidad muy grande; por ejemplo, el cometa Halley tiene un periodo orbital de casi 76 años y una excentricidad orbital e= 0.967. También mencionamos en la sección 2.5 la propiedad focal de la elipse y dimos una demostración sintética usando las esferas de Dandelin. Ahora presentaremos una demostración analítica de esta propiedad, que asegura que en cada punto P de la elipse los radios focales forman ángulos iguales con la recta normal a la elipse en el punto; para. ello nos referiremos a la figura 8.3, donde v denota la recta normal a la elipse en el punto P y p¡, fJ2 los radios focales. 11 Primeramente, para calcular la pendiente de la recta tangente a la elipse en el punto P(x1, y,), tomamos la familia y= y,+m(x-x1) de rectas que pasa por P y sustituimos y en la forma canónica de la ecuación, x2 y2 Figura 8.3 Propiedad focal -+-=1 a2 b2 • de la elipse: cr = /3 lo que 006 produce una ecuación de segundo grado en x : (ll + a2m2) x2+2a2m(y1 -mx1)x+a2 (y1 - mx, + b)(y, - mx1 - b) = O;


172

para que la recta y= y1 + m(x - x1) sea tangente a la elipse, debe haber sólo una solución para esta ecuación, por lo que igualamos a cero su discriminante, lo que nos lleva a una ecuación de segundo grado en m, que puede reducirse a (:.f - a2)m2 - 2x1y1m + (vl - b2) = O, cuya solución única es 2 b2 a' X1Yt X1 Y1 X1 b2X1 m = x?

a2

= Y1 a2 ( ~

(1 5.) 1) = 1/1 a2 ( ~ 1) = - a2y¡ .

Como ésta es la pendientede la recta tangente, la pendiente de la recta normal a2y¡

V

es 1nv = ¡:,--. vX1

Calculamos ahora las tangentes de a y fJ : Y1

tan a -

~

- 1

(

y

a2 y,

b2Xi

) ( a2y )

=

(b2 - a2)x1y1 li2x1(x1

-

+ a2r:y1

f:Jh

e)+ a2yf = ti''

+ x1 ~ e lrx: donde la última igualdad se logra usando el hecho de que r? = a2 -1? y que (xi, Y1) está sobre la elipse. Por otra parte, a2y1

tan{]= 1

+

~-~

(ª Yt) lrx1

l/1

( x1 Y1+ c )

=

(a2 b2)x1y1

+ a2r:y1

b2x1(x1 +e)+ a2y'f

cy1

= --¡¡-;

por tanto, tan a= tan{], y entonces o={], lo que demuestra la afirmación.

Ejercicios y problemas s.s.r En ceda uno de loe casos siguientes muestre que P está sobre la elípse, encuentre las ecuaciones de la tangente y de la normal en P y dibaje la figura. (a) 3x2+8¡¡2 =35, P(l,2); (b) 9x2+y2 =25, P(-1,-4); (e) :i:2 + 4y2 = 25, P(3, -2); (d) &:2 + lly2 = 98, P(3, -2). 8.3.2 Calculo do nuevo las ecuaciones do las tangentes del ejercicio anterior usando el procedimiento siguiente: primero traslade los ejes de coordenadas al punto dado para que la tangente sea de la forma y= mx, calcule la tangente y luego haga la translación inversa para expresar las tangentes respecto al sistema de coordenadas original. 8.3.3 (a) Encuentre las ecuaciones de las tangentes a la elipse 7:i:2 + 3y2 = 28 que tienen pendiente 2/3 y (b) encuentre el punto de tangencia. (Dos soluciones.)

173

8.3 Propiedades de la elipse

8.S.4 Dibuje la elipse x2+4y2 = 25, la tangente A en P(3, 2), y otras dos tangentes

perpendiculares a A. Encuentre las ecuaciones de estas dos tangentes. 8.S.5 Encuentre la ecuación de una tangente a la elipse 3x2

+ 4y2 = 72 que forme

con los ejes un triángulo de área 21. (Ocho soluciones.) 8.S.6 Demuestre que el producto de las intersecciones con el eje y de la tangente y la normal en un punto ( x1, y1) de la elipse x2/ a2 + y2 /b2 = 1 es constante e igual a

Ir -a2.

8.S.7 Encuentre la condición para que la recta elipse x2 / a2 + /Ir = l.

1i

x/a1 + y/b1 =

1 sea tangente a la

8.3.8 Demuestre (a) que la ecuación de la tangente a la elipse l?x2 +a2y2 = a2/r en cualquier punto (x1, l/l) es b2XJx +a211111 = a21r, y (b) que la ecuación de la normal es a2!/J x - b2x1 y - a2x 11/1 + b2x1Y1 O.

=

8.3.9 Demuestre que si la recta y= entonces k = ±,./ a2m2 + b2.

mx+kes

tangente a la elipse x2/a2+y2/b2

= 1,

8.3.10 Si desde un punto exterior se trazan tangentes a una elipse, el segmento que une los puntos de contacto se llama cuerda de contacto de P. Si P(x1,y1) es un punto exterior a la elipse b2x2 + a2y2 = (ilt,2, demuestre que la ecuación de la cuerda de contacto de Pes fílx1x +a211111 = a2b2.

8.s.11 Encuentre la cuerda de contacto del punto ( 3, r) para la elipse x2 + 2y2 8.3.12 Si la normal en P a la elípse x2

= 2.

+ 4y2 =

100 pasa por un extremo del eje menor, encuentre las coordenadas de P si la normal no es el propio eje menor. ( Cuatro soluciones.) 8.3.13 (a) Demuestro quo las tangentes a una elipse trazadas en los extremos de un

diámetro son paralelas entre sf. (b) Recfprocamente, dos rectas paralelas tangentes a una elipse la tocan en los extremos de un diámetro. 8.3.14 Demuestro que el lugar goomótrico de los puntos modios de cualquier sistema de cuerdas paralelas do pendiente m do la elipse b2x2 + a2y2 = a2/i2 es la recta

y= -b2x/ a2m.

8.3.l 5 Con base en el ejercicio 8.3.14, encuentro un método para localiear gráfica,.

mente el centro do una elipse dada.


17 4

8.4

Descripción de una hipérbola

A pesar de su forma tan distinta, la hipérbola y la elipse tienen propiedades matemáticas muy parecidas. La figura 8.4 muestra los puntos y rectas distinguidas de una hipérbola; los focos son F'1(c, O) y F2{-c, O), los vértices son V¡ (a, O) y 1'2(-a, o), el centro es C(O, O). A la recta que contiene a los focos se le llama eje focal, y al segmento de longitud 2a entre los vértices, eje transverso, en tanto que 2c es la distancia interfoca~ a la Figura 8.4 Puntos y rectas recta perpendicular al eje focal que pasa por distinguidos de una hipérbola el centro se le llama eje normal y al segmento de longitud 2b, donde /? c2 - a2, que une a los puntos del eje normal A1(0,b), A2{0, -b), se le llama eje conjugado. Al igual que como lo hicimos para la parábola, podemos definir lea conceptos de rndic focal, cuerda, cuerda focal, lado recto y ancho focal para la hipérbola. Las directrices son 61 : x = d y 62 : x = -d. En estas definiciones hemos supuesto que a, b, e, y d son cantídades positivas, y mientras que para la elipse a> e, para la hipérbola se tiene que a< c. Conforme se aleja de su centro, la hipérbola se va acercando a dos rectas, llamadas asíntotas, que para el caso

=

de la figura 8.4 son las rectas y=

8.5

±~x, a

como veremos en la sección siguiente.

Ecuación de la hipérbola p

R,

f

r= -d

z= d

Figura 8.5 Deducción de la ecuación de la hipérbola

Primero encontraremos la ecuación de la hipérbola de la figura 8.5. Como ya sabellXIS, la diferencia de distancias a los focos desde cualquier punto P(x, y) de la hipérbola es una constante, que denotamos 2a. Así, d( P, F'1)- d(P, F2) = 2a para los puntos que están en la segunda rama ( como el mostrado en la figura) y para los puntos que están en la primera, d(P,F1)-d(P,F2) = -2a, Jo que nos lleva a las ecuaciones J(;¡; c)2 +y2 - J(x + c)2 +y2 = ±2a.

175

8.5 Ecuaci6n de la hipérbola

Utilizando el mismo procedimiento que seguimos para obtener la ecuación de la elipse, llegamos a la ecuación

b2i' - a2y2 = a21?. Esta ecuación se puede escribir en la forma :,,3 Y2 = 1

a2

b2

(8.4)

y se llama Jonna can6nica para la ecuaci6n de una hipérbola horizontal.

Despejando la y de esta ecuación, tenemos que y = ±~xJI- ~ , de donde se sigue que cuando se alejan de su centro, los puntos de la hipérbola se aproximan a las rectas y = ±~x. lo que demuestra que éstas son asíntotas a de la hipérbola. También podemos calcular el ancho focal de esta hipérbola sustituyendo x = e en la ecuación (8.4) para obtener que es 2b2[a, como en el caso de la elipse. Con este valor, calculamos su excentricidad a partir del vértice Vi y del extremo del lado recto R1 : d(Vi,P1) c-a d(R1,P1) /?-/a e= =-e= =--· d(Vi,ó1) a-d' d(Ri,ó1) c-d' despejando -ed de ambas ecuaciones e igualando, obtenemos

b2

c-a-ae=--ce;

a usando ahora el hecho de que a2 + b2 c2, simplificando y despejando e, obtenemos que e= e/a, ecpresíén igual a la que obtuvimos e.n el caso de la elipse.

=

Por otra parte, como e= e- ªd = ~. despejando obtenemos que la distancia

a-

a

del centro de la hipérbola a las directrices es d = a2/ e, también como en el caso de la elipse. Cuando se tiene una hipérbola vertical centrada en el origen, los focos son Fa(O, e) y A(O, -e), por lo que Jx2 + (y c)z - Jx2 +(y+ c)2 = ±2a. y entonces, simplificando, obtenemos que la fonna can6nica para la ecuaci6n de una hipérl>ola vertical es y2 x2

~-b2=1.

~·~

Para distinguir la posición horizontal o vertical de una hipérbola, observamos que si la hipérbola es horizontal el término en x2 es positivo y el término en y2 negativo, y que la situación se invierte cuando se trata de una hipérbola. vertical.

176


Si colocamos el centro de la hipérbola en el punto (h, k ), tendremos las

ecuaciones ordinarias (x - h)2 a2

-

(y - k)2 (y - k)2 Ir =1 y a2

-

(x - h)2 Ir =1

(8.6)

para una hipérbola horizontal y una vertical, respectivamente. Si desarrollamos las ecuaciones ordinarias de la hipérbola, llegamos a la forma general de la ecuación de las hipérbolashorizontales y verticales A:c2 + Cy2 + Ds: + Ey + F = O,

donde B = O y A tiene signo contrario al de C, de donde se concluye que I = B2 - 4AC > O. Partiendo de una ecuación general con estas características, si la podemos factorízar, el lugar geométrico consistirá de dos rectas que se cortan. Cuando la hipérbola está inclinada no se cumplen estas propiedades de la ecuación, pero el indicador seguirá siendo positivo; por ejemplo, xy = 1 representa una hipérbola con centro en el origen y eje focal inclinado a 45°, y su indicador es I = B2 - 4AC = 1 > O. Ejemplo 8.3 Encuentre los focos, los vértices, las directrices, la excentricidad, las longitudes de loo ejes, el ancho focal y las asíntotas de la hipérbola 25x2 - 4y2 - 50x 1.6y - 91 = O. Solución: primero factorizamos y completamos cuadrados en la ecuación para ponerla en la forma ordinaria

(x1)2 4

(y+2)2 -

25

= l.

Por tanto, se trata de una hipérbola horizontal con centro en C(l, 2), a = 2, b = 5 y e= ,/a2 + Ir = ,/29. Entonces, los focos son = (1 + ,/29, 2), Fi(h e, k) = (1 ,/29, 2); F, (h

+ e, k)

y los vértices,

V1(h + a, k) = (3, -2), Figura 8.6 La hipérbola 25x2 - 4y2 - 50x - 16y- 91 = O Vi(h a, k) = (1,2); la excentricidad, e = e/a = ./29/2¡ el ancho focal, l; = 21? / a = 25; la longitud del eje transverso, 2a = 4; la longitud del eje conjugado, 2b = 10. Por otra parte, la distancia del centro a las directrices es d = a2 /e= 4/ ,/29, así, las ecuaciones de las directrices son:

177

8.5 Ecuaci6n de la hipérbola

ó, ::c=h+d= 1 +4/\/'29,

Ó2: :e= h-d=

Finalmente, las ecuaciones de las asíntotas son y - k

1-4/\/'29. = ±~(x - h), a

o sea,

y+ 2 = ±;(x - 1). la hipérbola en cuestión se muestra en la figura 8.6. <3 Ejercicios y problemas 8.5.l En cada. ca.so, encuentre Je. ecuación de le. hipérbole. con centro en el origen que tiene sus ejes paralelos a los ejes coordenados y que satisface las condiciones indicadas. Dibuje la figura en cada caso. (Dos soluciones en (e), (h), (i).)

(a) Tiene un vértice en (4, O) y un foco en (5, O)¡ (b} tiene un vértice en (0, 8} y su excentricidad es 2; (c) una asíntota es 2x = 3y y un foco es (13, O)¡ (d} pasa por el punto (4, J3) y uno de sus vértices es (2, O)¡ (e) pasa por los puntos (4, 6) y (1, 1 ); (f) una de sus asíntotas es 3.:z: - 4y = O y uno de sus vértices es (O, 10}; (g) es equilátera (es decir, a= b) y uno de sus foca¡ es (0,8}; (h) un vérticebisecta la distancia del centro al foco y el ancho focal es 18; (i) el ancho focal es igual al eje transverso y una de sus díroctioes es x = 4; O) uno de sus focos es (5, O) y FP = 11/3, donde P es un punto sobre la curva con abscisa
focal, las directrices y las

asíntotas de cada. una de las hipérbolas siguientes. Haga un bosquejo de cada. gráfica. (e.) 4.:z:2 - 2Sy2 = 100; (b) 9.:z:2 - 4¡¡2 = 36¡ (c) 4x2 - 9y2 = 36¡ (d) .:z:2 ¡¡2 = 64¡ (e) .:z:2 - ¡¡2 = -64; (f} x2 -4¡¡2 = -4. 8.5.3 Encuentre la ecuación de le. hipérbola de ejes paralelos e. los de coordenadas que satisface las condiciones dadas en cada caso. Díbuje una gráfica de cada hipérbola. (Dos soluciones en (e).)

(e.) (h} (c) (d) (e)

Sus focos son (4, O) y (10, O} y uno de sus vértices es (6,0); tiene focos en (3, 5} y (13, 5) y la excentricidad es 13/4; tiene sus vértices en (-1, -6) y (-1,8) y su excentricidad es ./2; sus directrices son z = -2 y .:z: = 4 y uno de sus focos es F(16/3, 6); su centro es (4, 1), su excentricidad es ,/f3/2 y pasa por el punto (8,4).

8.5.4 Pe.re. cada una de las hipérbolas siguientes, encuentre los focos, Je. excentricidad, el ancho focal y las directrices y trace un bosquejo de la gráfica. (a) 4x2 - 9¡¡2 - 16.:z: + 18y- 29 = O; (b} 9:r:2 ¡¡2 + 36.:z: +6y +18 = O; (e) 3:r:2 - 2y2 -18:c - By+ l = O; (d} 2:r:2 -5y2 - 20.:z: + 18 = O; (e) y2 -2x2 - 12x -34 = O; (f} 4y2 - x2 + 2x + 16y- 1 = O; (g) x2 - ¡¡2 8y - 48 = O; (h} .:z:2 - ¡/-By= O.

178


8.5.5 Sea O el centro de una hipérbola cuyos semiejes transverso y conjugado son

a y b, respectivamente, y Q es el pie de la perpendicular bajada desde cualquier punto P do la elipse a su eje focal, entonces OQ2 PQ2

tF¡¡¡=l.

8.5.6 Los extremos de la base de un triángulo son (O, O) y (4, O). Encuentre e identifique el lugar geométrico del tercer vértice si uno de los ángulos de la base se mantiene siempre igual al doble del otro. 8.5. r Demostrar que el lugar geométrico de los puntos donde se oye al mismo tiempo el estampido de un rifle y el impacto de la bala sobre el objetivo es una hipérbola. 8.5.8 Demuestre que para toda hipérbola equilátera (es decir, a = b): (a) su excentricidad es ,/2, y (b) su ancho focal coincide oon las longitudes de sus ejes. 8.5.9 Demuestre que las asíntotas de toda hipérbola equilátera son perpendiculares. 8.5.10

Demuestre que el ancho focal de la hipérbola:,;2/a2-¡¡2 /b2 = 1 es 2bJr-"i.

8.5.11 Demuestre que si ~ > z? > O, ~ > 11? > O y~~ x2 112 1

:,;~ Y!

Xi ~

1 1

- x~11f ¡ O, eotoooes

=º

es la ecuación cartesiana de una hipérbola que pasa por los puntos Q(:,;1, 111) y R(z2, 1l2), Demuestre que para cualquier punto sobre una hipérbola el producto de sus distancias a las asíntotas se mantiene constante cuando el punto se mueve sobre la hipérbola. 8.5.12

8.5.lS Demuestre que si la distancia que separa al fooo de una hípérbola de la directríz correspondiente es 2p, entonces su eje transverso mide 4pe/(e2 - 1).

8.5.14 Si O es el ángulo entre las asíntotas de una hipérbola, demuestre que tan O =

2Jr-T

2-.,..• . Consecuentemente, el ángulo que forman las asíntotas es el mismo para todas las hipérbolas con la misma excentricidad. 8.5.15 Demuestre que la elipse

x2 + 2y2

= 10 y la hipérbola 4y2 - x2 = 4 son

bomofocoles (es decir, tienen los mismos focos) y se cortan ortogonalmente. 8.5.16 Demuestre que para la hipérbola x2/a2 - 112/b2 = 1 las longitudes de los radios focales de un punto P(x,11) sobre la elipse son lex ± al, 8.5.17

jantes.

Demuestre que todas las hipérbolas con la misma excentricidad son seme-

179

8.6 Propiedades de la hipérbola

8.6

Propiedades de la hipérbola

Usando el mismo procedimiento que utilizamos para la elipse, podemos demostrar

ª2 -

x2

11

y2

Ir = l en b2x uno de sus puntos (x,,y,) es m = Con a Y1 este resultado, es fácil demostrar la propiedad focal. de la hipérbola: En cada uno de los puntos de un a que la tangente a la hipérbola

p

T·

hipérbola, su tangente es bisectriz del ángulo formado por los radios focales de ese punto, como se muestra en la figura 8. 7.

Figura 8. 7 Propiedad focal de la hipérbola: a= f3

Ejercicios y problemas 8.6.1 En cada uno de los casos siguientes, verifique que el punto P está sobre la hipérbola dada, encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal en P. (a) 4:t2 ¡¡2 = 64,P(S, 6); (b) x2 - 9y2 = 25, P(-13,4); (c) y2 -x2 = 16,P(3,5); (d) 2:i:2- 3¡¡2 = 50,P(7,-4). 8.6.2 Calcule de nuevo las ecuaciones de las tangentes del ejercicio 8.6.1 usando el procedimiento siguiente: primero traslade los ejes de coordenadas al punto dado

para que la tangente sea de la forma y = mx, calcule la tangente y Juego haga la translación inversa para expresar las tangentes respecto al sistema de coordenadas original. 8.6.3 Demuestre que no existen tangentes a la hipérbola tengan pendiente menor que b/ a y mayor que -b/a. 8.6.4 Sí b > a, no existen tangentes a la hipérbola perpendiculares entre sí.

x2 /o2 - ¡/ /t?

i1/a2 - 'll /t?

= 1 que

= 1 que sean

s.e.s Dos hipérbolas son amjugo.das si tienen las mismas asíntotas y sus ejes focales son ortogonales. Demuestre que ninguna tangente a una hipérbola es tangente a su hipérbola conjugada. 8.6.6 Halle las ecuaciones de las rectas tangentes a la hipérbola I6x2 - 25¡¡2 = 400 y paralelas a la recta 2x 2y = 7.

8.6. 7 Encuentre los puntos de tangencia de las rectas tangentes a la hipérbola 4:i:2 - 3y2 = 36 y paralelas a la recta y = 2x.

180


8.6.8 Encuentre xi Y!/l de tal manera que la tangente ala bipérbola5x2-2¡r en el punto (x1,111) pase por el punto (-1,4). 8.6.9 Encuentre la pendiente de la recta tangente a la hipérbola x2 pasa por el punto (3, 9). (Dos soluciones.)

-

¡¡2

= 18

= 9 que

8.6.10 Demuestre que desde un punto arbitrario del plano se pueden trazar dos, una o ninguna tangente a una hipérbola dada. 8.6.11 Demuestre que si e y e' son las excentricidades de dos hipérbolas conjugadas, 1 1 entonces e2 + él = l. 8.6.12 Si el punto (xi, 11,) está sobre la hipérbola x2

- 112

8.6.13 Una recta tangente a la hipérbola x2

=

= 7, encuentre x1 y 111 para que la normal a la hipérbola en ese punto pase también por el punto (O, 6). (Dos soluciones.) -

4112

16 en un punto

P tiene

intersecciones idénticas con los ejes de coordenadas. Encuentre las coordenadas del punto P. (Cuatro soluciones.) 8.6.14 Diseñe un procedimiento para construir una tangente y una normal a una hipérbola cualquiera en un punto cualquiera. 8.6.15 ( a) Demostrar que la ecuación de la tangente a la hipérbola b2x2 - 02712 = a2b2 en cualquier punto (x1, 111) es b2x1x - 0211111 = a2b2, y (b) que la ecuación de la normal es a2111x + li'X171- a2Xt!/l - b2x1111 = O. 8.6.16 Demostrar que el triángulo formado por una tangente cualquiera a una hipérbola y sus asíntotas tiene un área constante. 8.6.1 T Encuentre la condición para que la recta x/a1 hipérbola x2/a2 - ¡¡2 /b2 = l.

+ 11/b1 = 1 sea

tangente a la

8.6.18 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la hipérbola x2 - 112 = 4 que determina un segmento de longitud ./IS entre los ejes coordenados. (Cuatro

eolucíoncs.) 8.6.19 Demuestre que SÍ la recta y= mx + k es tangente a la hipérbola dada por la ecuación x2 /a2 - ,,¡2/1? = I, entonces k = ±Ja2m2 - b2. 8.6. 20 Si desde un punto exterior se trazan tangentes a una hipérbola, el segmento que une los puntos de contacto se llama ruerda de contacto de P para la hipérbola, Si P(x,, 111) es un punto exterior a la hipérbola b2x2 - o.2112 = a21?, demuestre que la ecuación de la cuerda de contacto es b2x, x - a2y111 = a21?. 8.6. 21 Encuentre la ecuación de la cuerda de contacto del punto (-2, 4) para la

hipérbola 3x2 - 2112 = 3.

8. 7 La ecuaci6n general de segundo grado

181

8.6.22 Demuestre que el producto de las intersecciones con el eje x de la tangente y la normal en un punto (x1, y1) de la elipse x2 /a2 + y2 /b2 = 1 es constante e igual aa2+b2. 8.6.23 Demuestre que el lugar geométrico de los puntos medios de cualquier sistema de cuerdas paralelas de pendiente m de la hipérbola b2 a2y2 = a2b2 es la recta

y=b2x/a2m.

r

8.6.24 Con base en el ejercicio 8.6.23, encuentre un método para localizar gráñcamente el oentro de una hipérbola dada.

8. 7

La ecuación general de segundo grado

La ecuación general de segundo grado en el plano es

Ax2 + Bcy+ Or/ +Dx+Ey+ F= O.

(8.7) En 106 capítulos 7 y 8 hemos visto cómo todas las cónicas n06 llevan a ecuaciones de la forma (8.7); lo mismo ocurre con los que se conocen como casos límite de las oónícas: d06 rectas, que pueden ser concurrentes, paralelas o coincidentes, n06 llevan a una ecuación de la forma (8. 7) factorizable; también puede darse el caso de que la ecuación (8. 7) represente un solo punto o no represente lugar geométrico alguno, es decir, puede suceder que ningún punto del plano tenga coordenadas que satisfagan la ecuación. También observamos que si les oénícas tienen su eje focal paralelo a uno de 106 ejes de coordenadas, entonces B = O, y que si éste es el caso, para una parábola se tiene que f = 82-4AC = O; para una elipse, f = B2-4AC < O, y para una hipérbola, f = 82 - 4AC > O. Lo anterior nos lleva a preguntamos: ¿existen otros üpos de lugares geométrices cuya ecuación sea de la forma (8.7)? Si la cónica está inclinada, ¿cómo se comporta el indicador f = 82 - 4AC? La respuesta a la primera pregunta es en el sentido negativo; para ello demostraremos que mediante una rotación de ejes de coordenadas podemos eli minar el término en :cy de la ecuación, obteniendo una ecuación que representa alguna de les opciones ya analizadas y mencionadas en el párrafo anterior; como las rotaciones son isometrías, no alteran la forma del lugar geométrico, y entonces la ecuación (8. 7) sólo puede representar 106 lugares geométricos

señalados.

Para responder a la segunda pregunta, demostraremos que el indicador de la ecuación, J = B2 - 4AC es un invariante ante translaciones, rotaciones y reflexiones, Jo que n06 permitirá identificar directamente de la ecuación el tipo de lugar geométrico que representa. Si J = B2 - 4AC = O, decimos

182


que La ecuación es del género pardbola, y puede representar una parábola, una recta, dos rectas paralelas o ningún lugar geométrico; si I = 82 - 4AC < O, la ecuación es del género elipsey puede representar una elípse, una circunferencia, un punto o ningún lugar geométrico; si I = 82 - 4AC > O, la ecuación es del género hipérbola, y puede representar una hipérbola o dos rectas que se cortan. Para referencia, en el Apéndice A hacemos un resumen de las cónicas, y en el Apéndice B, un resumen de la ecuación general de segundo grado en el plano. Pasemos ahora a demostrar que podemos eliminar el término en xy mediante una rotación adecuada, lo que implica que la ecuación (8. 7) no puede representar lugares geométricos distintos a las cónicas y a los casos límite ya conocidos. Por la sección 7.1, sabemos que las ecuaciones de transformación de las coordenadas cuando hacemos una rotación de los ejes coordenados mediante un ángulo O son X=:,! cosO-y' sen O, y= X1 sen O +11 coso. Si sustituimos estas expresiones para z, y en la ecuación (8. 7), obtenemos una nueva ecuación de la forma donde

A':,!2 + B'x1/ + C'y12 + D'x + E''II + F' = o,

A' - Aros20+ B senOcosO + Csen20, 2(C - A) sen O ros O+ B(cos2 O- sen2 IJ), C' - Asen20- BsenOcosO+Ccos20, D' - CcosO + E sen O, E' - ErosO- DsenO, B' -

F' -

(8.8)

F.

Para anular el término en xrJ, usamos las fórmulas trigonométricas para el ángulo doble: sen 20 = 2 sen Ocos O, ros 28 = cos2 0- sen2 O, y entonces hacemos B' = (C - A)sen 20 + Bcos20 = O. (8.9) Se presentan dos casos: 1) Si A el C, podemos escribir (8.9) en la forma B

tan20= AC 2) Si A = C, la. ecuación (8.9) se reduce a Bcos20 entonces O = 45º.

= O, y como B el O,


183

Así, una. rotación en un ángulo (J = 45° o (J = ~arctan A ~ C, según el caso, hará que en la ecuación transformada se tenga B' = O, corno se quería demostrar. Para el desarrollo de los cálculos en el ceso A 'F C, a partir de tan 29 encontramos primero cos 29 y sen 29, y luego calculamos cos (J y sen (J usando las fórmulas cos20 = 1 + cos20' 1-cos20 20 2 sen = 2 ' como se muestra en el ejemplo siguiente. Ejemplo 8.4 Mediante una rotación adecuada, elimine el término en X1J de la ecuación x2 6xy + 9¡¡2 - 3lx - 27y + 6 = O. Solución: como A

'F C,

necesitamos girar un ángulo O tal que B -6 3 tan 20 = = = ; AC 1-9 4 de aquí que, como se observa en la figura 8.8, sen 29 = 3/5, y cos20 = 4/5. Por otra parte, 4 sen2 (J = 1- cos20 = 1- (4/5) = ~. Figura 8.8: Cálculo de 2 2 10 1 +cos20 _ 1 + (4/5) _ ~ sen 20 y cos 20 29_ cos 2 2 - 10' y por tanto, usando las ecuaciones (8.8),

A'= Acos20+ BsenOoosO + C sen20 = l(i~)- 6J¡{f;i B' = 2(C - A) senil cos9 + B(cos2 (J sen2 9) = (9 - 1)

rn)

C' = Asen2 II- B sen(Jcos(J D' = C cos O + E sen O = 9

+ Ccos2 0=

l{i1)

/'fo 27 ¡¡ = O,

E'= Ecosll- DsenO = -21j¡

+31/[o

+ 6/k,/fo

+ 9(1~) = O, 6(i) +

= O,

9(i~)

= 10,

= -5Jui,

F' = F= 6. Así, la ecuación transformada. es 10¡/2 - 5./lliy' + 6 = O, que representa las dos rectas paralelas verticales ¡/ = 3./i]/10, y' = ../f.0/5. <1

Si tan 29 = A~G < o, 20 puede estar en el segundo o en el cuarto cuadrante¡ en tales casos, O estaría. en el primero o en cuarto cuadrante, respectivamente. Entonces, cos 20 < O, o sen O < O, respectivamente, y habría.que toma.r el signo negativo que corresponda. NOTA lMPO!trANTE.

184


Vamos ahora a demostrar la invariancia del indicador J = B2 - 4.AC. Primero ante translaciones y Juego bajo rotaciones y reflexiones. Por la sección 7.1, las ecuaciones de transformación para una translación son X = X + h, y = y' + k. Si sustituimos en la ecuación general de segundo grado, obtenemos A(x'

+h)2+

B(x' +h)(y'+

k)+C(¡/ +k)2+

D(x' +h)+ E(¡/

+k)+

F

= o,

de donde se observa que la ecuación transformada satisface A' = A, B' = 8 y C' = C, por lo que el indicador no se altera con una translación. Para el caso de una rotación, calculamos el indicador usando las ecuaciones (8.8): 812 - 4.A'C' = [2(C A)senOcosO + B(cos20-sen2 0)]2 -4[Acos20+ Bsen OcosO+ C sen20l[Asen20Bsen Ocos0+Ccos28], expresión que se reduce a I = B2 - 4.AC. Ejemplo 8.5 Determine el tipo de curva que representa la ecuación 5x2 - 26xy + 5y2 - 98x + 82y + 149 = O y escrfbala en su forma canónica utilizando una rotación y una translación. Solución: en este caso, I = B2 - 4AC = (-26)2 - 4(5)(5) > O, por lo que es una ecuación del género hipérbola. Por otra. parte, A = C, por lo que debemos hacer una. rotación de 45°, y entonces el cambio de coordenadas está dado por x = :f,(x' - ¡/),y= :f,(x' + y'). Sustituyendo en la. ecuación,

s(D
u'>2 - 26(!)(x

- y')(x +u'>+ sU)(x' + v'>2

-98 ;2(:r! -y')+ 82 ;2(:r! +y')+ 149 = o, y simplificando,

8xn - 18y12 + 8./2x' - 90v'2y' - 149 = o. Ya tenemos una. ecuación sin término en xy, ahora eliminaremos los términos en x y en y mediante una translación. Usamos las fórmulas x' = :r!' + h; y' = y" + k, para sustituir en la ecuación: 8(:r!' + h)2 - 18{y" + k)2 + 8v'2{x'' + h) 90./2(y'' + k) - 149 = O; simplificando, obtenemos

8:r!ª 18y'12 + (16h + 8./2):r!' - (36k + 90\1'2)y'' +(8h2

-

18k2 + 8\1'2h - 90./2k - 149) = O;

entonces, para eliminar los términos en x" y en y'' basta con hacer h = 5./2

f,

k = 2-, y llegamos a la ecuación 8:r!ª - 18y'12 + 72 = O, que puesta en forma canónica resulta


185

Figura 8.9 La hipérbola

5x2

-

26xy + 5112

-

98:i:

+ 8211 + 149 = O

11"2

:rfl'l

4

9

=1

'

ecuación que corresponde a una hipérbola vertical, respecto al sistema de coordenadas z", '11', la cual se muestra en la figura 8.9. <1 NOTA IMPORI'ANTE. Cuando se va a simplificar una ecuaci6n mediante rotaciones y translaciones, es importante realiza.e primero la rotaci6n, porque aJ girar pueden eliminac.se o eoerecec términos en x o en y. Habiendo demostrado que el indicador de la ecuación general de segundo grado, I = B2 - 4AC, es invariante ante translaciones y rotaciones, es fácil demostrar su invariancia ante una reflexión respecto a cualquier recta, pues con una translación y una rotación podemos hacer que el eje de la reflexión coincida con el eje de las abscisas y demostrar la invariancia en este caso: como r(x, y)= (x, -y), resulta A'= A, B' = B, C' = e, y de aquí, 812 4A'C' = B2-4AC.

Por tanto, el indicador J = B2 -4AC es invariante bajo cualquier isometrfa y al calcularlo para cualquier ecuación nos dirá el tipo de curva que representa, limitándose los casos posibles a los ya estudiados. Ejercicios y problemas s.r.r En cada uno de los casos siguientes, identifique el tipo de gráfica de la ecuación, elimine el término en r¡¡ mediante una rotación y dibuje la gráfica mostrando los dos sistemas de coordenadas. (a) 3x2 + 2r¡¡ + 3y2 16; (b) 2z2 + 3xy- 2y2 25; (e) x2 3x¡¡ + y2 = 5; (d) 7x2 - 4xy + 4y2 = 240; (e) 3x2 + ,/"3xy- 2¡¡2 = 15; (f) 5x2 - 12%¡¡ + 5y2 = 10.

=

=


186

8. 7. 2 En cada uno de los casos siguientes, identifique el tipo de ecuación, elimine el término en xy mediante una rotación y luego, cuando sea posible, elimine los términos do primer grado con una translación. En cada caso, tra.oe la gráfica mostrando los tres sistemas de coordenadas.

(a) 3:t:2 + lOzy + 3y2- 2x - 1411- 5 = O; (b) 4x2 + 4xy +112 - 24x +38y-139 = O;

(c) z2 - v3:t:y + 2,/:ix - 3y - 3 = O;

(d] 3:t:y - 4y2 + x - 2y + 1 = O; (e) x2+2zy +Y +2x-4y+5 = O; (f) 2x2 - 5xy + 2y2 - 7x + By- 32 = O; (g) 4x2 - 28zy + 25y2 + 4y 4 = O; (h) x2 + 2zy + y2 + 2x - 2y- 1 = O. 8.7.a Se llama discriminante de la ecuación de segundo grado expresión /:, = b2-4ac =

1 ~ :el .

ax2 +bx +e=

O a la

Tumbién se llama discriminante de la ecuación

general de segundo grado en dos incógnitas Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = O 2A B D a la expresién ó=~ B 2C E =4ACF82FAE2CD2+BDE. 2

D

E

2F

Demuestre que el discriminante de la ecuación general de segundo grado en dos incógnitas también es invariante ante translaciones y rotaciones.

Capítulo

9

SUPERFICIES

9.1 ¿Qué es una superficie? 9.2 Representación de superficies 9.3 Gráficas de superficies 9.4 Superficies de revolución 9.5 Superficies cuadráticas 9.6 Superficies regladas 9. 7 La ecuación general de segundo grado

9.1

¿Qué es una superficie?

Cuando estudiamos la recta, no dimos una definición de ella, sino que partimos de la idea que todos tenemos en el sentido de que los puntos de la recta siguen una misma dirección, idea que hicimos operativa observando que dos puntos cualesquiera de una recta determinan una misma pendiente. Tampoco deñnimos lo que es un plano, pero nuestro. idea de lo que es un plano la concretamos en la propiedad de que dos puntos cualesquiera del plano determinan una recta totalmente contenida en él y en que existe una única dirección que es normal a todas estas rectas. De igual manera, apelaremos a la noción de superficie que todos tenemos en el sentido de que es un plano o pedazo de plano o se puede obtener flexionando un plano o un pedazo de plano. Entre los ejemplos más elementales de superficies tenemos, además de los planos, las esféricas, las cilíndricas y las oónicas; en este capítulo daremos más ejemplos. Es claro que nuestra noción intuitiva de superficie incluye flexiones o deformaciones bruscas del plano, como lo que ocurre, por ejemplo, con las aristas y vértices de la superficie de una caja o paralelepípedo, o el vértice de un cono. En ocasiones es necesario evitar esos casos, para lo cual sólo se permite que flexionemos "suavemente" los planos para obtener superficies, lo que es equivalente a que las superficies tengan en cada punto un plano tangente único; éste es el punto de vista que se adopta cuando se va a hacer uso del cálculo diferencial en el estudio de la geometría de las superficies, tema que corresponde a la geometría diferencial. 187

Superficies

188

En nuestro caso, por comodidad y por apegamos más a nuestra idea intuitiva, llamaremos superficie al conjunto de puntos del espacio tridimensional cuyas coordenadas satisfacen una ecuación de la forma Fi», y, z) = O, aunque ocasionalmente este conjunto pueda resultar vacío o constar de un solo punto, como veremos más adelante. Por ejemplo, un plano se representa con una ecuación ax+by+cz+d = O, y una esfera de centro (h, k,I) y radio r, mediante (:,; - h)2 + (y k)2 + (z - 1)2 = r2, o reacomodando términos, en la forma general z2 + y2 + z2 + O» + H y+ I z + J = O. Al final de este capítulo, después de los muchos ejemplos que se estudiarán, se comprenderá la conveniencia de esta definición de superficie. Por otra parte, llamaremos c-urua en el espacio a la intersección de dos superficies y, así como representamos las rectas mediante dos planos escribiendo las ecuaciones de éstos separadas por una coma, representaremos las curvas mediante la intersección de dos superficies cuyas ecuaciones estarán separadas por una coma. Esta representación no es única; por ejemplo, la curva x2 + y2 + z2 = 25, y = 4, coincide con la curva :,;2 + z2 = 9, y = 4; en ambos casos, se trata de una circunferencia con centro en (O, 4, O), radio r = 3, situada en un plano perpendicular al eje y; en el primer caso se expresa como la intersección de una esfera con un plano y en el segundo, como la intersección de un cilindro circular recto con un plano, como se muestra en la figura 9.1

z

Figura 9.1 Una misma curva se puede expresar como intersección de pares distintos de superficies Ejercicios y problemas 9.1.1 Encuentre la.ecue.ción de la esfera que en cada caso cumpla. con les condiciones señaladas. (a) (b] (c) (d] (e)

Centro el origen y radio 5; centro en (2, -3, l) y radio 4; centro en el origen y tangente al plano x 2y + 2z = 9; centro en (3, -6, 6) y tangente al plano x 2y + 2z = 9; pasa por los puntos (2, i, -3), (1, 2, O), (O, 2, -2) y (O, O, 3).

189

9.2 Representaci6n de superficies 9.1.2 Encuentre el centro y el radio de las esferas siguientes.

( a) x2 + 1l + z2 = 16; (b) x2 +1l+z2

+6x+4y-2z + 14 = O; (c) x2 + 1l + z2 - 1x + 4¡¡- 2z = O; (d) x2 +y2 + z2 +x + 3y = O. 9.1.3 Encuentre la ecuación del plano tangente a la esfera dada en el punto dado.

(a) x2+y2+z2=169en (-12,3,4); (b) x2+y2+z2+2x-4¡¡-2z-15=0cn 9.1.4 Encuentre la ecuación del

(3,0,2).

plano radical (es decir, el plano que contiene a la

intersección) de las superficies esféricas x2 z2 +y2 +z2+8x-2¡¡+4z +12 = O.

+ V' + z2 -

2x + 4¡¡ - 6z + 10 = O y

9.1.5 Hallar la ecuación de la esfera que pasa por el punto (2, 4, O} y por la circunferencia de intersección de las esferas i' + y2 + z2 - 2x + 2¡¡ 4z + 2 = O y z2 +112+z2- 4x-2y- 6z+10 = O. 9.1.s Encuentre la ecuación de la superficie esférica que pasa por (-1,6,-3) y es tangente al plano 4x + 4¡¡ + 7 z 96 = O en el punto (7, 3, 8).

9.2

Representación de superficies

Llamaremos forma cartesiana de la representación de una superficie a la ecuación F(x,y,z) =0. Por ejemplo, la ecuación :,;2 + z2 = 9 representa, en el espacio tridimensional, un cilindro circular recto, pues el hecho de que no aparezca en ella la coordenada y significa que ésta es libre y, consecuentemente, por cada punto de la circunferencia x2 + z2 = 9, y = O, se tiene una recta perpendicular al plano »z en ese punto al considerarla en el espacio tridimensional; estas rectas generan el cilindro. Damos el nombre de forma cartesiana a esta representación de las superficies para distinguirla de la forma paromé'trica, que definiremos enseguida. Podemos parametrízar una recta con un solo parámetro t en la forma

:c(t) = (a1 + b1t, a2 + ~t, a3 + /J..¡t);

de manera semejante, con un solo parámetro podemos parametrizar una curva en el espacio en la forma:

:c(t)

= (x(t), y(t), z(t)),

Superficies

190

lo cual corresponde a la idea de que las curvas son unidimensionales. Por ejemplo, la circunferencia x2 + y2 = r2, z = O puede parametrízarse en la forma: x(t) = (x(t),y(t),O) = (rcost,rsent,O), donde O ~ t ~ 2ir; para comprobarlo, basta eliminar el parámetro t haciendo 3/J- + y2 = (rcost)2 + (r sen t)2 = r2. También podemos parametrizar un plano usando dos parémetros 'U y ·u en la forma: x(u, ·u)= (a,+ biu+ civ, a"2 + />iu+ C2V,Cl3 + 11:iu+ c3v); por ejemplo, x(u,v) = (u+ 3v+ 1, -2u+ v - 2,u- 4v +3), -oc< u,v < oc, representa el plano cuya ecuación cartesiana es x + y + z 2 = O. De modo similar, también podemos representar una superficie en forma paramétrica poniendo cada una de las coordenadas en función de dos parámetros: x(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u, v)), donde u y v son 106 parámetros. Cada pareja de valores de los parámetros ( 11-0, vo) determina un punto (:i:o, 1.ll, Zo) = x( Uo, vo) = (x(11o, vo). y( Uo, ·uo), z( uo, ·uo)) de la superficie, lo que concuerda con nuestra idea de que las superficies son bidimensionales. Ejemplo 9.1 Encuentre la forma cartesiana de la superficie cuyas ecuaciones paramétrícas son x(u,v)=u2-v, y(u,v)=u+2·u, z(u,v)=v. Solución: para eliminar los parámetros, observamos primero que u = z; entonces u2 = x + v = x + z, u = y - 2v = y - 2z. Por tanto, x + z = (y - 2z)2; al simplificar y pasar a la forma general, obtenemos la ecuación 1t + 4z2 - 4yz - x - z = O. Esta ecuación representa un cilindro parabólico inclinado, como veremos más adelante, en la sección 9.6. q Las representaciones pararnétricas de curvas y superficies son muy importantes por sus aplicaciones y por su uso en el cálculo y la geometría diferencial. Ejercicios y problemas 9.2.1

Represente en forma cartesiana las curvas planas siguientes, dadas en forma

para.métrica. (a) x(t) = (3cost,3sent,0); (e) x(t) = (0,3cost,sent); (e) :i;(t) = (cosht,senht,O);

{b) z{t) = (2scn t, O, 3cost); [d] z(t) = {3sent,O,cost); {f) ;;(t) = (0,3cosht,3senht).

9.3 Gráficas de superficies

191

9.2.2 Represente en forma. cartesiana. los planos siguientes, dados en forma. parar métrica.

(a.) x(u,11)=(u+1,11-2,u+11); (b) z(u,v) = (2u- 11,2v + 3,u+211);

(e) z(u,v)=(u-2v+3,u+211-l,v);

(d) :r(u, v) =(u+ v + 1, 2u - v, 3u + 2v + 1). 9.2.3 Represente en forma. cartesiana cada. una. de les superficies siguientes, dadas en forma. paramétnca, (a.) :r(u,11) = (211senu,vcosu,v2); (b) :r(u,v) = (2senu,2cosusenv,2cosucos11); (e) :f'(u,v) = (senusenv,2cosu,-2senucosv); (d) z(u,v) = (senhusen v, 2coshu, 3senh ucosv). 9.2.4 Represento en forma. certcsiena cada una de las superficies siguientes, dedss en forma. paramésnca, (a.) z(u,v) =(u+ v, u -v,v2); (b) z(u,v) =(u+ 11, u- 11,uv); (e) :r(u,v) =(u+ v, u- 11, .fiw); (d) :r(u,v) =(u+ v, u- v,u2 + v2); (e) z(u, 11) = (u+ v, u- 11,u2).

9.3

Gráficas de superficies

Cuando se va a trazar la gráfica de una superficie, es conveniente seguir una serie de pasos que nos ayuden a entender el comportamiento global de la figura, antes que proceder al trazo de puntos concretos, de manera semejante a como lo hicimos para el caso de gráficas de curvas en el plano. Se recomiendan los pasos siguientes: l. Intersecciones con los ejes. Buscar los puntos que se encuentren sobre la gráfica y sobre los ejes de coordenadas igualando dos de las tres variables

a cero para hallar las intersecciones de la gráfica con el eje de la tercera variable. Así, haciendo x = y = O en la ecuación, obtenemos las intersecciones con el eje z; haciendo x = z = O, obtenemos las intersecciones con el eje y, y haciendo y = z = O, obtenemos las intersecciones con el eje z. 2. Trazas sobre los planos de coordenadas. Buscar las curvas en que los planos de coordenadas cortan a la gráfica igualando a cero una de las variables para obtener una curva en el plano coordenado de las otras dos. Así, haciendo x = O en la ecuación, obtenemos la traza de la superficie sobre el plano yz; haciendo y = O, la traza sobre el plano xz, y haciendo z = O, la traza sobre el plano xy.

192

Superficies

3. Simetrias. (a) Buscar las simetrías con los planos de coordenadas cambiando una variable por su negativa y observando si la ecuación se altera o no. Así, si al cambiar :z; por -:z; la ecuación no se altera, la superficie es simétrica con respecto al plano yz; si al cambiar y por -y la ecuación no se altera, la superficie es simétrica con respecto al plano z.z, y si al cambiar z por - z la ecuación no se altera, la superficie es simétrica respecto al plano :z;y. (b) Buscar las simetrías con respecto a los ejes de coordenadas cambiando dos de las variables por sus negativas y observando si se altera o no la ecuación. Así, si al cambiar :i; por :i: y y por -y la ecuación no se altera, hay simetría con respecto al eje z; si la ecuación no se al tera al cambiar :i: por :i: y z por -z, la superficie es simétrica respecto al eje y, y si al cambiar y por -y y z por -z la ecuación no se altera, la gráfica será simétrica con respecto al eje :i:. ( e) Buscar la simetría con respecto al origen cambiando las tres variables y observando si la ecuación se altera o no. Si la ecuación no se altera, la superficie es simétrica con respecto al origen. 4. Secciones con planos paraleles a los de coordenadas.

Si en la ecuación sustituimos x por una constante k; obtendremos una ecuación que representa la curva sección de la superficie con el plano x = k. De igual manera, si sustituimos y por k, será la sección de la superficie con el plano y = k, y si sustituimos z por k, será la sección de la superficie con el plano z = k. Estas secciones nos dan una buena idea del comportamiento de la gráfica.

5. &tensi6n. Conviene saber en qué partes del espacio se encuentra la gráfica, es decir, para qué valores de las coordenadas :z;, y, z hay puntos de la gráfica. Recordemos que no habrá puntos cuando un denominador se anule o cuando el radicando de una raíz cuadrada o par sea negativo. Ejemplo 9.2

nace la gráfica de la superficie x2 + .,¡ - z2 = O.

Solución: (1) La única intersección con los ejes de coordenadas es el origen (0,0,0). ( 2) La traza sobre el plano :ctJ es :z;2 + .,; = O, z = O, y se reduce a un punto: el origen. La traza sobre el plano xz es x2 - z2 = O, y = O, y son las rectas :z; - z = O, y = O, y :z; + z = O, y = O, que se cortan en el origen. La traza sobre el plano yz es .,¡ - z2 = O, :z; = O, también dos rectas concurrentes en el origen.


193

( 9) La superficie es simétrica con respecto a cada uno de los planos de coordenadas, con respecto a cada eje de coordenadas y con respecto al origen. ( .() Si cortamos la superficie con planos z = k, paralelos al plano xy, obtenemos las circunferencias de radio k, i2 + y2 = k2, x = k, cuyo radio crece cuando nos alejamos del origen, como se ilustra en la figura 9.2.

z

Figura 9.2 Intersecciones de la superficie x2 + y2 con planos z = k

Si cortamos con planos x

-

z2 = O

= k, paralelos al plano yz, obtenemos hipérbolas

equiláteras z2 - y2 = k2, x = k, Si cortamos con planos y = k; paralelos al plano xz, también obtenemos hipérbolas equiláteras z2 - x2 = k2, y= k. ( s) No se tienen restricciones a la extensión. Considerando los resultados anteriores, llegamos a la conclusión de que la gráfica buscada es la superficie cónica que se muestra en la figura 9.3.
z

y Figura 9.3 Gráfica de la superficie

x2 + y2 - z2 = O

Ejemplo 9.3 Trace la gráfica de la superficie x2 + y2 - z3 = O. Solución. ( 1) La única intersección con los ejes de coordenadas es el origen. ( 2) La traza sobre el plano ZII es el origen; las trazas con los planos xz y yz son las curvas x2 = z3, y = O, y y2 = z3, x = O, que pasan por el origen, son simétricas respecto al eje z, sólo admiten valores no negativos de z, y tienen un pico en el origen. Estas trazas se muestran en la figura 9.4.

194

Superficies

z

z

y

X

(b)

(a)

Figura 9.4 Trazas de :i? + y2 - r' = O (a) sobre el plano xz, (b) sobre el plano yz

($'¡ La superficie es simétrica con respecto a los planos xz y yz, pero no con respecto al plano xy. Tumbién es simétrica con respecto al eje z, pero no lo es con respecto a los otros dos. Tampoco es simétrica con respecto al origen. (4) Si cortamos con planos paralelos al plano xy, obtenemos :i? + y2 = k3, z = k, que son circunferencias para k > O, un punto pare. k = O y ningún lugar geométrico para k < O, como se muestra en la figura 9.5.

z

Figura 9.5 lntersecciones de x2 + y2

-

z3

= O con z = k pare. k > O

(5) La z no puede tomar valores negativos. Tomando en cuente. todos estos resultados, la gráfica resultante es le. que se muestre. en la figura 9.6. <1

z

X

y

Figura 9.6 Gráfica de xZ + y2 - z3 = O

Ejemplo 9.4 Trace le. gráfica de la superficie

il + y2

z2 = l.

195


Solución: (1) Las intersecciones con los ejes son los puntos (1, O, O), (-1, O, O), (O, 1, O) y (O, -1, O). (2) La traza sobre el plano xy es la circunferencia x2 + y2 = 1, z = O; la traza sobre el plano xz es la hipérbola equilátera x2 - z2 = 1, y= O, y la traza sobre el plano yz es la hipérbola equilátera y2 - z2 = 1, x = O. Las trazas se muestran en la figura 9. 7. z z z y

(a)

(b)

y

X

(c)

Figura 9. 7 Trazas de x2 + y2 - z2 = 1 (a) sobre el plano xy, (b) sobre el plano xz, (e) sobre el plano yz ( 9) La superficie es simétrica con respecto a los tres planos de coordenadas, los tres ejes de coordenadas y el origen. (4) Si cortamos la superficie con planos paralelos al plano xy, obtenernos las circunferencias x2 + y2 = 1 + k2, z = k, cuyo radio crece cuando nos alejamos del origen, como se ve en la figura 9.8. z

y

Figura 9.8 Intersecciones de r

+ y2 -

z2 = 1 con planos

z=

k

Si cortamos con planos paralelos al plano xz ; obtenemos las hipérbolas

x2 - z2 = l - lr:2, y = k, que tienen eje paralelo al eje x si lkl < 1, paralelo al eje z si lkl > 1, y que se convierten en rectas concurrentes para k = l. De manera semejante, si cortamos con planos paralelos al plano yz, obtenemos las hipérbolas y2 - z2 = 1- k2, x = k, que tienen eje paralelo al eje y si lkl < 1, y paralelo al eje z si lkl > 1, y que se convierten en rectas concurrentes para k = l.

( 5) En cuanto a la extensión, como x2 + y2 = 1 + k2 ~ 1, no habrá gráfica dentro del cilindro x2 + y2 = l. La coordenada z es libre de tomar cualquier valor.

Superficies

196

z

Figura 9.9 Gráfica de

x2 + y2 - z2 =

1

Considerando todos estos resultados, llegamos a la gráfica del hiperboloide de revolución de una boja que se muestra en la figura 9.9.
(e) z2 +4x-4z- 4 = O; (g) 2:ry-4:i:z+2x-¡¡+2z-

9.4

l = O;

(f) :i:2 - ¡r -2z = O; (h) x2 - 2xz+z2 - 5y+ lOz = O.

Superficies de revolución

Una superficie de revoluci6n es la generada por una curva plana 1, llamada generatriz, cuando gira alrededor de una recte. fija ó, llamada directriz o eje rk revoluci6n, contenida en el mismo plano de la generatriz. Al generar una superficie de revolución, cada punto P de la generatriz describirá una circunferencia al girar alrededor de la directriz. Esto se ilustra en la figura 9.10. 6: Oi.roctix

eo,era-.rb.

'l'(u) e (h(u),O,g(u))

X

Figura 9.10 Una superficie de revolución A las circunferencias generadas por los puntos de la generatriz se les llama paralelos y a las diferentes posiciones de la generatriz, meridianos.

197

9. 4 Superficies de revoluci6n

Ahora bien, toda curva en el plano se puede parametrizar en la forma (x(t), y(t)); por ejemplo, la circunferencia x2 + '!} = r2 puede parametrizarse en la forma (x(t),y(t)) = (rcost,rsent), donde el parámetro tes el ángulo que forman el radio que une al origen con el punto y la parte positiva,del eje de las abscisas. V~ la figura 9.11. Si el parámetro t representa el tiempo que pasa, el punto (x, y) se desplazará sobre la circunferencia en el sentido positivo a partir del punto (r, O), que corresponde al valor /,=O. Supongamos ahora que la generatriz es de la forma¡(u) = (h(u), O,g{u)), donde el parámetro u torna valores en algún intervalo, digamos (a, b], y que la directriz 6 es el eje z; entonces para ca.da u en [a, b] se generará una circunferencia de radio h(u) que se mantendrá a una distancia g(u) Figura 9.11 del plano z = O y cuyo centro será (0,0,g(u)). Parametrización de Si el parámetro de esta circunferencia lo denotauna circunferencia mos con v, la paremetnzación de la superficie de en el plano revolución será:

x(u,v)

= (h(u)cosv,h(u)senv,g(u)),

u E [a,b),

v E [0,2ir].

Intercambiando los papeles de u y de v, construimos otra parametrización: hacemos ¡(v) = (h(v), O,g(v)) y la girarnos alrededor del eje z para obtener

x(u,v) =(h(v)cosu,h(v)senu,g(v)),

uE (0,2,r],

vE [a,b].

Es claro que si la generatriz está en otro plano de coordenadas y el eje de rotación es otro eje de coordenadas en ese plano, siguiendo este procedimiento podemos encontrar ecuaciones semejantes. Por otra parte, si contamos con la representación cartesiana de la generatriz ¡ : J(x, z) = O, y = O, como al girar alrededor del eje z esta coordenada no se altera y el valor de x se convierte en el radio del paralelo (circunferencia) correspondiente, basta con sustituir x por jx2 + y2 en la ecuación de la generatriz para obtener la ecuación de la superficie de revolución: F(x,y, z) = J( j:i? + ¡f ,z) = O. Ejemplos de superficies de revolución Ejemplo 9.5 Representacwn paramétrica de una esfera La esfera es una superficie de revolución, pues si tomarnos como generatriz lasemicircunferencia¡(u) = (rcosu,O,rsenu), donde u está.en [-ir/2,ir/2] y

Superficies

198

la giramos alrededor del eje z, tomando v en [-1r, 1r) obtenemos la parametrización de la esfera

x(u,v) = (rcosucosv,rcosusenv,rsenu), 1r uE-[2,2,

1Tl

} (9.1)

vE[-1r,1r).

En este caso, u y v son las llamadas coordenadas geográficas, es decir, u es la latitud y v la /.ongitud, tal como se miden para localizar un punto sobre el globo terrestre. La figura 9.12 ilustra esta parametrización. <3 (-•/2,rr}

•

• (w/2,•

l1erklla.no O áf(u,O)

•

(-,r/2,-w)

(w/2,- ,r)

Figura 9 .12 Parametrización de una esfera Ejemplo 9.6 Representación cartesiann de unn esfera Es fácil pasar de la forma paramétrica (9.1) de la esfera a la. forma. cartesiana, pues una sustitución directa nos lleva. a que las coordenadas x(u,v), y(u,v), z(u,v) de (9.1) satisfacen la ecuación :1? + y2

+ z2 = r2•

Por otra parte, si representamos la generatriz en la forma. x2 + z2 = 12, y= O, obtenemos la ecuación de la superficie de revolución haciendo la sustitución arriba señalada: ( ../x2 + y2)2 + z2 = r2, de donde x2 + y2 + z2 = r2. <3 Ejemplo 9. 7 Representación pammétrica de un toro El toro es una superficie que tiene forma de dona; su nombre proviene de la palabra latina torus, que significa.precisamente una superficie con esa forma; sin embargo, la. traducción al español es equfvocs, pues la. pa.la.bra. toro, referida al animal de ese nombre, viene del latín taurus, de modo que la superficie no tiene en realidad nada que ver con ese animal. Para generar un toro o dona, tomamos una circunferencia que no toque a la directriz y giramos. La generatriz la podemos parametrizar en la. forma.

199

9. 4 Superficies de revoluci6n

-y(u)=(R+rcosu,O,rsenu), donde uE[0,27rj, con R>r, y entonces la parametrízacíón del toro resulta x(,;, v) = ((R + r cosu) cose, (R + reos u) senu, r sen u), u E [O, 27rj, tJ E [O, 21r]. Los detalles de esta parametriaacién se ilustran en la figura 9.13. <1

z

directriz 6

generatriz -,

y (R,O, O)

Figura 9 .13 Parametnzacíén de un toro Ejemplo 9.8 Representación cartesiana de un toro La generatriz de este toro la podemos escribir en la forma cartesiana (x R)2 + z2 = r2, y= O, por lo que su representación cartesiana será ( ,/x2 +y2 _ R)2 + z2 = r2. Nótese que para eliminar la raíz cuadrada tenemos que elevar al cuadrado y entonces la ecuación resulta de cuarto grado. <1 Ejercicios y problemas 9.4.1 Encuentre la ecuación de la superficie que resulta al girar la curva que se da en el plano de coordenadas indicado, con respecto al eje que se señala. (a) :r?- + 2y2 = 1, z = O, eje y; (b) 23:2 - z2 = 1, y= O, eje x; (e) ¡¡2 + z 4 = O, z = O, eje z; (d) x2 + z2 - 4z - 21 = O, y= O, eje z; (e) +~ = 1, z=O,ejey; (f) yz= 1, x=O, eje e.

f

9.4.2 En cada una de las superficies de revolución siguientes, encontrar el eje de revolución y las ecuaciones de una generatríz. (a) :r?- +112 - z3 = O; {b) :r?- + z2 = 4; (e) 23;2 + 2y2 + 3z2 = 6; (d) :r?y2 + x2z2 = 1; ( e) 4x2 -y2 + 4z2 = 4; {f) :r?- + z2 - y+ 1 = O.

200

Superficies

9.4.S Identifique lss superficies de revolución siguientes, dadas en forma paramétrica, y encuentre su representación cartesiana.

(a) (b) (e) (d)

9.5

:i:(u,t1) :f(u,t1) :f(u,t1) :f{u,t1)

= (2senu,2cosusenv,2cosucost1};

= (3senucosv,2senv+l,2cosucost1-2}; =((3+cosu)senv,senu,(3+cosu)cosv); = ((3+2cosu)coiw-l,2senu+3,(3+2cosu)senv+2).

Superficies cuadráticas

En la sección 8. 7 demostramos que todas las secciones oónicas se representan mediante una ecuación de segundo grado y que, recíprocamente, una ecuación de segundo grado sólo puede representar una sección cónica o casos limite de éstas. En el espacio sucede algo similar: el tipo de superficies que puede representar una ecuación de segundo grado es el de aquellas cuyas secciones, es decir, cortes con planos, nos dan secciones cónicas o casos límite de éstas. Estas superficies reciben el nombre de superficies cuadráticas, o simplemente cuádricas, precisamente porque su representación cartesiana es una ecuación de segundo grado. A continuación mostraremos distintos tipos de superficies cuadráticas. Ejemplos de superficies cuadráticas Ejemplo 9.9 Elipsoide de revoluci6n x2

z2

Tomemos la elipse 2+""3 = 1, y= O, que puede parametrizarse en la forma a e ,(u)= (acosu,O,csenu); si a= e, se trata.de una circunferencia., si a> e, se trata de una elipse horizontal, y si a< e, se tiene una elipse vertical. Si giramos la mitad de esta elipse alrededor del eje z, obtenemos una superficie, llamada elipsoide de revolución, cuyas ecuaciones, en forma pa.ramétrica y cartesiana, son: x(u,v) = (acosucosv, acosusenv,csenu), u E [-1r/2, r./2], v E [O, 2r.J¡ x2

Y2

z2

-+-+-=l. a2 a2 é2

Si a = e, se trata de una esfera¡ si a > e, el elipsoide de revolución se dice achatado¡ si a < e, el elipsoide de revoluci6n se dice alargado. Ambos casos se ilustran en la figura 9.14. <1

201

9.5 Superficies cuedrstices directriz

z

cfirectriz

generatriz

generatriz

Elipsoide de revolución achatado Elipsoide de revolución alargado

Figura 9.14 Elipsoides de revolución Ejemplo 9.10 El elipsoide

Si hacemos cortes transversales y longitudinales en un elipsoide de revolución, obtenemos circunferencias y elipses, respectivamente. Modificando ligeramente las ecuaciones, podemos convertir las circunferencias en elipses y ya no tendremos una superficie de revolución; así, la superficie dada por x(u, v) = (acosucosv,bcosusen v, csen u), o equivalentemente por

x2

se llama simplemente elipsoide.

y2

zZ

-+-+-=1 a2 b2 c2

'

<1

Ejemplo 9.11 Hiperooloide de revolución de una hoja

Las funciones hiperbólicas son el seno hiperbólico, definido como er - e-r senhz = , 2

y el coseno hiperb6lico, dado por coshz =

e"+ e-"'

2 Como cosh2x - senh2x = 1,

.

entonces la hipérbola horizontal ~ - ~ = 1, y = O, se puede parsmetrizar en Ya forma ,(u)= (e coshu, O, csenhu},

/.

genera.tru,

Figura 9.15 Hiperboloide de revolución de una hoja

202

Superficies

y si giramos alrededor del eje z, tendremos el hiperbo/.oidede revolución de una hoja

x(u, v)

= (acoshucosv, c coshusen v, csenhu), u E R, v E (O, 21r],

cuya ecuación cartesiana es

x2

a2

:?

y2

+ a2

-

él = l.

Esta superficie se encuentra ilustrada en la figura 9.15.

<1

Ejemplo 9.12 Hiperboloide el(ptico de una hoja

Si modificamos loo paralelos del hiperboloide de revolución de una hoja. para convertirlos en elipses, tendremos el hiperboloide elíptico de una hoja, o simplemente hiperboloide de una hoja, cuyas ecuaciones paramétrica y cartesiana son: x(u, v) = (eooshucosv, booshusenv, csenhu), u E R, v E (O, 21r], y

i1 a2

z2

y2

+ Ir - c2 = l.

<1

Ejemplo 9.13 Hiperboloide de revoluci6n de dos hojas Si tomamos ahora como generatriz la hipérbola vertical ~ - ~ = 1, y= O, cuya representación paramétrica es 'Y(u) = (csenhu, O, ccoshu), u E R, y la giramos alrededor del eje z, obtendremos una superficie como la mostrada. en la figura 9.16, que se llama hiperboloide de revoluci6n de dos hojas, la cual podemos representar paramétrica y cartesiana.mente en la forma x(u,v) = (asenhucosv,asenhusenv,ccoshu), u E R, v E [0,1r],

ª

i2

y2

z2

a2

a2

él

+ z

= l.

<]

Figura 9.16 lliperboloide de revolución de dos bojas

203

9.5 Superficies cuedrstices

Ejemplo 9.14 Hiperboloide eliptico de dos hojas Modificando estas ecuaciones para convertir los paralelos de la. superficie de revolución en elipses, tenemos el hiperboloide elíptico de dos hojas, o simplemente hiperboloide de dos hojas: i(u, v) = (esenhucos u, ooenhu sen v, ccoshu ), ~· E R, 11 E [O, 21r], o bien: x2 y2 z2

-a2-1r+ ¿.

=l.<1

Ejemplo 9.15 Paraboloide de revolución

x2

Tomaremos ahora como generatriz la parábola z = 2, y= O, cuya reprea sentación paramétrica es ¡(u) = (au, O, u2), u E R. Al girarla. con respecto al eje z, obtenemos el pamboloide de revoluci6n x(u, 11) = (aucosv, eusenv, u2), u E R, v E [O, 21t], cuya ecuación cartesiana es x2 y2

Z=+ a2 a2•

y se encuentra representado en la figura 9.17. <1

Figura 9.17 Paraboloide de revolución Ejemplo 9.16 Paraboloide elíptico Modificando las ecuaciones del paraboloide de revolución para convertir los paralelos en elipses, obtenemos el paraboloide elíptico: i(u,v) = (aucosv, lrusenv,u2), u E R, v E [0,21r), con ecuación cartesiana x2 y2 z = a2 + b2.
204

Superficies

x(u,v) = (aucoshv,!rusenhv,u2),u E R, que nos lleva a la ecuación x2 y2

v E R,

z = a2 - b2·

Aparentemente obtuvimos una parametrizaclón de la superficie llamada paraboloick hiperb6lico, dada por esta ecuación cartesiana, pero una observación cuidadosa nos permite ver que esta parametrieaclén sólo admite puntos con z ~ O; para z ~ O podemos 1' tomar x(u, v) = (ausenh v, !rucosh v, -u2), uER,vER, Figura 9.18 Paraboloide parametrización que nos lleva a la misma hiperbólico ecuación cartesiana. Para. no utilizar pararretrizaciones parciales de esta superficie, recurrimos a. la siguiente parametrízación, que cubre todo el paraboloide hiperbólico: x(u,v)=(a(u+v),b(u-v),4uv), uER, vER. Este paraboloide hiperbólico se encuentra representado en la figura 9.18. q Los elipsoides y los hiperboloides son superficies cuadráticas con centro y los paraboloides son superficies cuadráticas sin centro. Más adelante veremos los casos límite de estas superficies. Ejercicios y problemas 9.5.1 Identifique y trace una grttfica de cada una de las superficies cuadráticas siguientes. (a) 36x2 + 9y2 + 4z2 = 36; (b)-x2 +4y2 +4z2 =0; (e) 4y2 + z2 + 2z = O; (d)-x2 +y2- z = O; z2

(e) 9

7¡2

z2

+ 16 4 = 1·'

x2 y2 (f)¡ 9

+ z2 = l.

9.5. 2 Identifique y trace una gráfica de cada una de las superficies cuadráticas

siguientes.

4z2 - 6y + 4z - 2 = O; (e) z2-4y2+2zz+8y- 3= O; (e) 4x2+y2+z2 +8z-2z-3 = O; (a) 22:2

+ ¡¡2 -

(b) y2 -z24z2

= 2z+8z;

(d) z2 +z2 -4z-y(f) z2-y2+3z-y+2

5 = O; =0.

9.5.S Identifique las superficies cuadrttticas siguientes, dadas en fonna paramétrica,

y encuentre su representación cartesiana.. {a) x(u,v) = (u+v,2(v-u),u11);

205

9. 6 Superficies regladas (b) (e) (d) (e)

(f) (g) (h) (i)

(j)

z(u,11) = (uccsv, u2 - 1, 2usen v); z(u,11) = (2(u + 11) -1, 2uv + 2,u -11); :r(u, v) "' (11senu + 1, v2 2, veos u- l); z(u,11) = (2cosuoos11, -cosusen11,3senu); :r(u,11) = (cosusen e + 2, -2cosucos11 + I, 2senu- 3); z(u,11) = (senh usen e, -2coshu,senbucos11); z(u,11) = (2ooshucos11,coshusen11, -3senhu); z(u, 11) = (sen usenh 11 - l,oosusenh11 + 1, 2oosh 11 + 2); z(u,11) = (3senhu + I.cosh usen 11 - 2, 2cosh ueos e -1).

9.5.4 Encuentre la ecuación e identifique el lugar geométrico de los puntos del espacio cuya distancia al punto fijo (O, e, O) es igual a su distancia al plano xz,

9.5.5 Encuentre la ecuación e identifique el Jugar geométrico de los puntos del espacio cuya suma de distancias a los puntos fijos ( -e, O, O) y ( e, O, O) es igual a la constante positiva 2a. 9.5.6 Calcule el volumen limitado por la superficie 4x2 +3y2+2z2&t+ 12y+4

9.6

= O.

Superficies regladas

Una superficie reglada es aquella que se puede generar mediante una recta, llamada regla, rayo o generatriz, que se mueve a lo largo de una curva, llamada directriz. Paramétricamente, las superficies regladas se pueden representar en la forma x(u,v) = ó(u) +v,B(u) o x(u,v) = ó(v) + u,B(v), donde ó y ,8 son curvas. De hecho, la curva ó es la directriz de la superficie y la curva ,8 proporciona la dirección de la generatriz en cada punto de la directriz. Entre las superficies regladas destacan las cilíndricas y las cónicas, que estudiaremos adelante, pero también se encuentran otras que parecen menos "planas", más "redondeadas", como por ejemplo, el hiperboloide elíptico y el paraboloide hiperbólico. Ejemplos de superficies regladas Ejemplo 9.18 El pamboloíde hiperb6lico es dobkmente reglado

En la sección anterior dimos, para el paraboloide hiperbólico x2 y2 Z= a2

Ir'

206

Superficies

la parametrización

x(u,v) - (a(u+v),b(u-v),4uv) = (au,bu,O) +v(a,-b,4u) - (av, -bu, O) + u(a, b, 4v), de donde se sigue que el paraboloide hiperbólico es doblemente reglado, es decir, existen dos familias de rayos que lo generan. También podemos observar esta propiedad directamente de la ecuación cartesiana, factorizando e introduciendo un parámetro k :

z = (~ +

!) (~ í) .

de donde una familia de rayos (para cada k tenemos un par de planos) sería

z y otra,

= k (=a + !!') b '

z=k

k

(=a !!'b) '

= (=a !) b '

k=

(

X Y) . 4 ;+¡;

z

Figura 9.19 El paraboloide hiperbólico es doblemente reglado Ejemplo 9.19 El hiperboloide elíptico de una hoja es doblemente reglado El hiperboloide elíptico de una hoja también es doblemente reglado, pues

podemos escribir la ecuación

en la forma osea,

y2 z2 +=l a2 b2 é2

x2

(~+~) (~~)

=

(1+¡) (1!)

y entonces las familias de rayos que generan la superficie son

( ~ + ~) = k

(1

+

I) .

k (~ - ~)

= ( 1

!) .

207

9. 6 Superficies regladas

o bien,

!/

:z:

Figura 9.20 El hiperboloide elíptico de una hoja es doblemente reglado

En ocasiones es fácil detectar que una ecuación representa una superficie reglada, como sucede cuando al cortar la superficie con una familia de planos paralelos, en cada corte obtenemos una recta. Ejemplo 9.20 Demuestre que la superficie de ecuación ¡¡2 + yz + 2x + 1 = O es una superficie reglada. Solución: si tomamos el plano y = k, al sustituir en la ecuación obtenemos 2x + kz + 1 + k2 = O, que para cada valor de k es otro plano, y ambos planos determinan una recta. Tenemos entonces una familia de rectas, una recta para cada valor de k, que genera a la superficie. <1 Ejemplo 9.21 Parametrización de un cilindro Cuando en una superficie reglada la generatriz no cambia de dirección, la superficie generada. se llama cilindro y entonces puede parametrizarse en alguna de las dos formas siguientes:

x{u, v) = 6{u)

+ v q o x{u, v) = 6(v) + uq,

(9.2)

donde q es una dirección o vector fijo. Esta situación está ilustrada en la figura 9.21. Si la directriz está en un plano y q es perpendicular a dicho plano, decimos que el cilindro es recto; el tipo de directriz da nombre al cilindro, pues, por ejemplo, si la directriz es una parábola, se tiene un cilindro parabólico. <1

208

Superficies

Plano de la directriz

Figura 9.21 Generación de un cilindro Ejemplo 9.22 Parametrizaci6n de un plano Un plano es un caso especial de cilindro, donde la directriz es una recta, y entonces tiene una parametrizacién de la forme.

x(u,v) =p0+up+vq

o x(u,v)=p0+vp+uq;

por ejemplo, el plano

= O,

x+y+z-2

mostrado en la sección 9.2, y cuya parametrización era x(u,v) = u+3v+ 1, y(u,v) = -2u+v - 2, z(u, v) = u- 4v + 3, puede escribirse en la forma x(u, v) = (1, -2,3) + u(l, -2, 1) + v(3, 1, -4). <1 Ejemplo 9.23 Ecuaci6n cartesiana de un cilindro Consideremos ahora el cilindro parabólico

x(u,v)

= (u-v,u2

+3v,2v)

cuya directriz es la parábola y = x2,

x-xo _1

y-yo

z

z=

= (u,1/,0)

+v(-1,3,2),

O, y cuyas generatrices son de la forma

=3- =2, para cada punto (xo,Yo, O) de esta parábola. Despejando

xo y Yo, obtenemos xo = x + ~, Yo la parábola, tenemos

= y-

y-3;

=

3;,

y sustituyendo en la ecuación de

(x+~)2;

simplificando, llegamos a la ecuación 4x2 + 4xz + z2 - 4y + 6z = O, que es la ecuación cartesiana de este cilindro parabólico. Obsérvese que la ecuación es de segundo grado y que si haoemos un "corte" del cilindro con un plano z = k, obtenemos una parábola que es una translación de la directriz. Podemos aplicar esta técnica para construir la ecuación cartesiana de un cilindro cuando conocemos la ecuación cartesiana de la directriz y la dirección de las generatrices. <1

209


Ejemplo 9.24 Encuentre la ecuación cartesiana del cilindro elíptico cuya directriz es la curva x2 + 4z2 = 4, y = 1, y tal que sus generatrices tienen dirección (1, 2, 1). X-Xo

y+l

Z-Zo

Solución: las generatrices son de la forma = -2- = -1-, donde 1 (xo, 1, zo) es un punto sobre la directriz. Despejando Xo y Zo, y sustituyendo en la ecuación de la elipse, tenemos:

y-1)

(2x-2

2

+4(2z-:-1)2

=4,

de donde llegamos a 4a;2 -4xy + 5y2 -16yz+ 16z2- 4x + 10y-16z - 11 = O, que es también una ecuación de segundo grado. q Ejemplo 9.25 Ecuaci6n de una superficie c6nica Una superficie cónica o cono es la generada por una recta, llamada rayo, regla o generatriz, que se desplaza a Jo largo de una curva fija ó llamada directriz, manteniendo un punto fijo p, llamado vértice. La. superficie cónica tiene entonces una parametrización de alguna de las formas siguientes:

x(u, v)

= p + u(ó(v) -

p)

o x(u, v)

= p + v(ó(u) -

p).

(9.3)

En la figura 9.22 se muestra cómo se genera una superficie cónica.

q

Ge°':lia.triz \ Plano de la. directriz

Figura 9.22 Generación de una superficie cónica Ejemplo 9 .26 Encuentre una parametrización para la superficie cónica con vértice en el origen y directriz ó(u) = (a cos u, bsen u, e), u E (O, 21r]. Encuentre también su representación cartesiana. Solución: por la segunda parametrización de {9.3), tenemos que

x(u,v)=(avcosu,bvsenu,cv),

uE[0,21r],

vER.

Para encontrar la ecuación, observamos que 2 + (~)2 = v (!) a b

2

= (~)2 e

'

de donde resulta

x2 + y2 a2

Ir

z2

c2

=O

'

210

Superficies

ecuación de segundo grado muy parecida a la de un hlperboloide de una hoja, y que es, además, una ecuación homogénea. F.ste cono es el cono asint6tico del hiperboloide de una hoja :: + :: ~ = 1, pues al alejarse del origen los puntos del hiperboloide se acercan al cono tanto como se quiera.
z

= -,e

directriz, J (;, la demostracion.

xo -

xo

~)

xcx

O

= -t = -, z

Yo O

Yo

YC'IJ

e O

= -t = -, z

y como el punto está en la

= O, y ésta es una ecuación homogénea, lo que termina

Ejemplo 9.27 Encuentre la ecuación de la superficie cónica con directriz .,? + ,j + 2 = O, z = 2 y vértice en el origen. Solución: haoemos la sustitución x0 = 2x, y0 =

z

2Y,

z

para obtener

(2:)3 + (2:)2 +2=0; simplificando, obtenemos

Ejercicios y problemas Bosqueje la gráfica de los cilindros siguientes. (a)x2+z2=16; (b)z=x2+1; (e) .fi+JY=l; (d} x2 - z2 = 4; ( e) 4y2 + 9z2 = 36; (f) x2 + y2 - 2y

9.6.l

= O.

211


9.6.2 Encuentre las dos familias de rectas que generan el hiperboloide de una hoja

y2

z2

g+ 16-4

z2

= l.

9.6.3 Encuentre las dos familías de rectas que generan el paraboloide hiperbólico z2 --¡¡-+ 11162 =z. 9.6.4 En cada. caso encuentre la ecuación de la superficie cilíndrica. de la que se proporcionan las ecuaciones de su directriz y los números directores de sus generatrices. (a) x2+z2= 1,11=0; 12,1,-lj; {b) z2-y2 = l,z =0; (0,2,-1); (c) y2 =4z+ 4, z = O; [l, -1,lj; (d) 4x2 + z2 +4z = O, 11 = O; [4,1,2]. 9.6.5 Para las superficies cilíndricas siguientes, encuentro una directriz y los números directores de sus generatrices.

( a) z2 + 112 + sz2 + 2zz + 4yz 4 = O; (c) l 7z2 + 2¡¡2 + z2 - Sz¡¡ - 6zz 2 = O.

(b) zz

+ 2¡¡z -

1 = O;

9.6.6 Identifique las superficies cilíndricas siguientes, dadas en forma paramétrica, y encuentre su representación cartesiana.

(a) x(u,v) = (2u+ 1, -3u+v - 2, u+ v2 -3); (b} (c) (d) (e)

x(u,v)=(u+l,-2u-3v,u-v+3); z(u,v) = (2u2 -v,u + 2v - 2,u+ v -1); x(u,v) = (cosu + v + l,v - 2,2sen u +v); x(u,v) = (2v -1,coshu + v - 2,senh u - 3v + 3); (f) x(u,v) = (-2u + v, -1' + 2v - 2,4u + v3).

9.6. 7 En cada caso, encuentre la ecuación de la superficie cónica de la que se dan IM ecuaciones de su directriz y IM coordenedas de su vértice. (a) x2 + z2 = 4, y= 2; (O, O, O); (b) z2 = 4y, z = O; (2, 0,0); (e) z2 - 4z2 = 4, 11 = 3; (-1,1, l}; (d) 11 = z3, z = 2; (0,0,0).

9.6.8 En cada caso, identifique y construya el cono cuya ecuación se da. (a) z2 = 2z11; (b) x2 - 2y2 + 4z2 = O;

(e) xy+zz+11z=O;

(e) x2 - 2y2 + 4z2 + 2z + 1 = O;

(d) y2+xz=0;

(f} x2 + 211z - 2z = O.

9.6.9 Identifique les superficies cónicas siguientes, dadas en forma pa.ramétrica, y encuentre su representación cartesiana.

(a) x(u,v) = (u,2ucosv, usenv); (b) z(u,v) = (2vcoshu,2v,vsenhu); (e) :r(u,v) = (uv,u2v-v+ 1,211);

212

Superficies

(d) x(u, 11) = (uv2, -uv, -2 + 2u); (e) x(u,11) =(11oosu,5v-3,11+11senu); (f) x(u,11) = (21.1senv,uoos11,2u+l). 9.6.10 En cada caso, encuentre la ecuación de la superficie reglada generada por la familia de rectas que se muestra. Bosqueje la gráfica.

(a) kx +21.-y-4= O, x-2y-k (c) x+2y-k =0, kx-2ky-z

=0; =0.

(b) x+y-

ky =0,x

+ kz =0;

9.6.11 Demuestre que las superfícíes siguientes son regladas. (a) z2 + 1,12 - z2 - 2y + 1 = O; (b) XII - X - y- z + 1 = O; (c)x24y2+z2 =4; (d)x2-il-z =l. 9.6.12 Identifique una directriz y el comportamiento de las generatríces en las superficies regladas siguientes, dadas en forma paramétrica.

(a) (b) (e) (d)

x(u,11) x(u,11) x(u,11) :l!(u,11)

= (uoos11,usen11,11),cstasuperficie se llama. helicoide; = (ucos11+l,11,uscn11+l); =

(u,u2 +vcosu,vsenu);

= (u,-1t3+uv,u2v+v).

9.6.lS Calcule el volumen limitado por las superficies x2 - 41,12

+ z2 = O y 11 = 2.

9.6.14 Encuentre la ecuación del lugar geométrico de los puntos del espacio tales

que su dístancla del plano xy es igual al cuadrado de su distancia del eje y. 9.6.15 Encuentre la ecuación del lugar geométrico de los punt.os del espacio tales

que su distancia. al plano x11 es igual a su distancia al eje y. 9.6.16 Encuentre la ecuación del lugar geométrico de los puntos del espacio tales

que la suma de sus distancias a los planos coordenados es igual a su distancia al origen. Identifique el lugar geométrico. 9.6.17 Halle la ecuación del hiperboloide de revolución de una hoja generado por la rotación de la recta 11 = 2, z x, e.lrededor del eje z,

=

9.6.18 Encuentre la. ecuación de la superficie reglada generada por una recta que se mueve paralela al plano 11z y se apoya en la recta z + z = 1, 11 = O, y en la parábola

il=x, z=O.

9.6.19 Halle la ecuación de la superficie reglada generada por una recta que se

mueve paralela al plano xz y se apoya en la recta x 112 +4.r =4, X= 0.

=

3, z = O, y en la elipse

213


9.7

La ecuación general de segundo grado

Con tres variables, la ecuación general de segundo grado se puede escribir en la forma Ax2+ By2 + Cz2 + Dxy+ Exz+ F'yz +Gx + Hy + I z + J = O. (9.4) Como observamos en la sección 9.4, las superficies que se pueden representar mediante una ecuación de la forma (9.4) se llaman superficies cuadráticas o, simplemente, cuádricas. E}¡ claro que si hacemos constante una de las tres variables, nos quedará una ecuación de segundo grado en dos variables, y por la sección 8. 7 sabemos que ésta representa una sección cónica o un caso límite de sección o6nica. Geométricamente, esto significa que al cortar una superficie cuadrática con cualquier plano paralelo a uno de los planos de coordenadas, obtendremos una sección cónica o un caso límite de sección cénica. Por otra parte, en los ejemplos de superficies que hemos analizado, además de los elipsoides, hiperboloídes y paraboloides, encontramos también que exis ten cilindros cuédncos y conos cuádricos. Surge entonces la pregunta: ¿qué otros tipos de superficies o casos límite pueden representarse con una ecuación de segundo grado? La respuesta a esta pregunta se deriva del hecho de que mediante translaciones y rotaciones adecuadas en el espacio tridimensional, lo cual no demostraremos en este libro, la ecuación (9.4) se puede llegar a escribir en la forma (9.5) Mx2 + Ny2 + Pz2 = R, o en la forma J.,fx2 + Ny2 = Sz, (9.6) las cuales son fáciles de analizar. Las superficies cuadráticas del primer tipo se llaman superficies cuadráticas con centro, porque tienen un centro de simetría, en tanto que las del segundo tipo son las superficies cuadráticas sin centro, por carecer de él. Antes de proceder a este análisis, veamos el aspecto que presentan las fórmulas de transformación cuando real izamos una translecíón o una rotación en el espacio. Si el sistema de coordenadas z , y, z k> transladamos al sistema :i/, y', z' oon origen en el punto (h, k, l), entonces las ecuaciones de transformación son

+h, y =y'+ k,

X =X1

z=z'+l, y las ecuaciones de transformación de la translación inversa,

:i!=x-~

y'=y-k,

z'=z-l.

(9.7)

214

Superficies

En la figura 9.23 se ilustra este caso.

z

t

lz' 1

:y'

;..¡,

1/

x'

,!

~-----y

-~--~.-.J{r ..~_-_,_,~;-:i~+:.:--..

.......----. X

·.¿;··----

: /x

;.··

Figura 9.23 Translación de coordenadas Para encontrar fórmulas de transformacióncuando se realiza una rotación, usamos los ángulos y los cosenos directores de los nuevos ejes. Así, si x' tiene ángulos directores a 1, f)1, "YI con respecto a los ejes z, y, z 1/ tiene ángulos directores a2, fJ2, "Y2 con respecto a los ejes x, y, z ;! tiene ángulos directores os, {)3, "/3 ron respecto a los ejes x, y, z, entonces x tiene ángulos directores a1, a2, a3 con respecto a los ejes z', y', :t y tiene ángulos directores{},, fJi, fJs ron respecto a los ejes x', y', z' z tiene ángulos directores ')'1, "/2, "/3 con respecto a los ejes ;¡/,y', z', Por lo tanto, el plano x O pasa por el origen y su normal tiene cosenos directores cos oi, cosos, cosos con respecto a la nueva base, de modo que su ecuación resulta x' cos o¡ + ¡/ cos o¡ + z' coso3 = O. Ahora bien, la. distancia. del punto P(x, y, z), también expresado P(x', v,:t), al plano x = O es, por un lado, x, y por el otro el miembro izquierdo de la ecuación anterior, por la forma. normal de la ecuación del plano, de modo que a: = x' cosa,+¡/ cosa2 + t cos os, y procediendo de manera similar, se pueden obtener expresiones para y y z, de modo que las ecuaciones de transformación son

=

x

=

x'cosa, +y'oosa:i+zcosos,}

y = x' cos f)" + y' cos fJ2 + z' cos fh, Z = x' COS"{t + y' 006"{2 + Z COS"{3.

(9.8)

En estas ecuaciones de transformación observarnos nueve coeficientes, sin em-

bargo, solamente tres de ellos son Independientes,pues por el hecho de ser

215


cosenos directores cumplen tres ecuaciones y por el hecho de que los ejes son perpendiculares, satisfacen otras tres. Procediendo de manera.semejante, podemos deducir las ecuaciones para la. transformación inversa de (9.8): :,/ - xcosa1+ycosfJ1+zcos¡1,} y' = XCOS 02 + y cos¡Si + Z COS"Y2, ;( = X COS °'3 + y COS /J:¡ + Z COS ')'3 .

En la figura 9.24 se muestra. una rotación. z

•

'\

: :

.

;!

(9.9)

p \

\

y'

\

\ ,! \

z:

\

'

x' Figura. 9.24 Rotación de coordenadas También pueden deducirse las fórmulas de transformaciónpara una rotación usando propiedades de los vectores, en particular, la. fórmula p·q = IIPll llq II cos O, donde O es el ángulo que forman p y q: si er, !!2, e3 son vectores unitarios en la dirección positiva de los ejes z, y, z y éi, eí, e'3, en la dirección positiva de los ejes x', y', z, entonces p = Xe1 +y~+ Ze3 = x'é¡ + y'eí + re; y

x

·e,= (x'é¡ + y'ef¡ +:!~)·e, x'e\ · e1 + y'eí · e1 + z'~ · e1 p

x' cosa, +v' cosce + :! coses.

De igual manera se pueden obtener las demás ecuaciones para esta rotación y

para su inversa.

216

Superficies

Con estas rotaciones podemos eliminar los términos cruzados de segundo grado xy, xz, yz de las ecuaciones de segundo grado, y mediante translaciones, los términos de primer grado, hasta llegar a una ecuación de uno de los dos tipos siguientes: Mx2 + Ny2 + Pz2 = Ro Nlx2 + Ny2 = Sz. Clasificación de las superficies cuadráticas

Enseguida enlistamos todas las superficies cuadráticas y sus casos límite. l. Cuádricas con centro:

Mi2+ Ny2 + Pz2 =R

Lugar gecmitrico

R,

Elipsoide Hiperboloide de una hoja Hiperboloide de dos hojas Cilíndro elíptico recto Qlindro hiperbólico recto

R > O, todos positivos

Dos planos paralelos distintos Ningún lugar geométrico Ningún lugar geométrico Ningún lugar geométrico Un solo punto ( el origen) Cono recto Una recta (un eje coordenado)! Dos planos que se cortan 2

R > O,

Un plano (de coordenadas)3

R = O,

coeficientes M, N y P

R > O, dos positivos, uno negativo R > O, uno positivo, dos negativos R > O, uno cero, dos positivos

R > O, uno cero, uno positivo, R > O,

R > O, R > O, R = O, R = O, R = O, R = O,

uno negativo dos cero, uno positivo todos negativos uno cero, dos negativos dos cero, uno negativo todos positivos dos positivos, uno negativo uno cero, dos del mismo signo uno cero, uno positivo, uno negativo dos cero.

+ Ny2 = Sz

Il. Cuádricas sin centro:

Mx2

Lugar geométrico

s.

Paraboloide elíptico Paraboloide hiperbólico Cilindro parabólico recto Una recta (eje coordenado)1 Dos planos que se cortan2 Un plano (de coordenadas]"

S > O, mismo signo S > O, signos opuestos

S > O, S = O, S = O, S = O,

coeficientes i\1/ y N

uno cero mismo signo signos opuestos uno cero

Nótese que los tres últimos casos de ambos grupos coinciden porque las ecuaciones que resultan son iguales.


217

Al eliminar los t.érminos cruzados de segundo grado xy, xz, yz medie.nte rotaciones, estamos acomodando el sistema de coordenadas para que el lugar geométrico quede alineado con los ejes de coordenadas, y al eliminar los términos de primer grado mediante translaciones, estamos colocando el origen del sistema de coordenadas en el centro o en el vértice del lugar geométrico. Obvia.mente, al cambiar el sistema de coordenadas no se modifica el lugar geométrico, sino solamente la manera de describirlo. NOTA IMPORTANTE.

Ejemplo 9 .28 Identifique las siguientes superficies cuadráticas: 1) 2x2-y2+4z2-9=0; 2)x2-2y2-z2=0¡ 3) x2 + 3z2 - y= O¡ 4) -4x2 + z2 O¡ 5) 3x2 + 2y2 - 9 = o.

=

Solución: la primera ecuación puede escribirse en la forma 2x2-i,2+4z2 = 9, por lo que se trata de un hiperboloide de una hoja cuyo eje es el eje y. La segunda ecuación corresponde a un cono elíptico recto con eje en el eje de las z , Si escribimos la tercera ecuación en la forma x2 + 3z2 = y, vemos que corresponde a un paraboloide elíptico con eje sobre el eje y. La cuarta la podemos escribir en la forma z2 - 4x2 = (z - 2x)(z + 2x) = O, y corresponde a los dos planos que se cortan z - 2x = O y z + 2x = O. Finalmente, la quinta ecuación corresponde a un cilindro elíptico recto, cuyo eje es el eje z,
( a) 2x2 - 3y2 - z2 -
218

Superficies

9.7.3 'Iransforme la ecuación 10x2 + 13y2 + 13z2 -

4xy- 4:z:z +8yz- 36 = O al sistema de coordenadas :r!, ti, z', donde los cosenos directores de :r! son [2/3, 2/3, -1/3]; de ti, (2/3,-1/3,2/3], y de

z',

[-1/3,2/3,2/3].

9.7.4 'Iransforme la ecuación &i:2 + lly2 + sz2 - 4.zy + 8:i:z + 4yz - 12 = O al sistema de coordenadas :r!,v,z', donde los cosenos directores de :r! son (1/3,2/3, 2/3]; de ti, (2/3,-2/3,1/3], y de z", [2/3, 1/3,-2/3]. 9.7.5 Hallar la ecuación canónica de una superficie cuádrica con oentro si la superficie oontiene al punto (1,1,-1) y alacurva4y2 + 2z2=3, :i:=2.

Capítulo

10

CURVAS

10.1 Representación de curvas 10. 2 Cilindros proyectantes 10.3 Curvas planas de grado superior

10.1

Representación de curvas

Hasta el momento hemos trabajado con curvas planas, sea en el plano o en el espacio. Cuando una curva no está contenida en plano alguno, decimos que es una cunJa alabeada. Del mismo modo como consideramos que los planos son casos especiales de superficies, consideramos las rectas como casos especiales de curvas, y así como representamos una recta mediante la intersección de dos planos, una curva la representamos como la intersección de dos superficies. También podemos representar las curvas en forma paramétrica; en este caso, se necesita un parámetro solamente, como en el caso de una recta. Ejemplo 10.1 Determine qué curva representan las ecuaciones 4:i:2 + z2 = 16, y = 3 y exprésela en forma paramétrica. Solución: la primera ecuación representa un cilindro elíptico recto con eje en el eje y, en tanto que la segunda es un plano paralelo al plano y = O; por tanto, su intersección es una curva plana, en este caso una elipse que podemos representar paramétricamente en la forma x(t) = 2cost, y(t) = 3, z(t) = 4sent o, equivalentemente, en la forma a(t) = (2cost,3,4sent), O~ t ~ 21r. <1 Con nuestra definición de superficie como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación de la forma P(x, y, z) O, una superficie se puede reducir a un punto o a ningún lugar georrétrico. La definición de curva como la intersección de dos superficies puede también dar I ugar a un solo punto, a ningún lugar geométrico, a curvas de más de una pieza, o curvas de formas muy caprichosas, como lo muestran los ejemplos siguientes.

=

Ejemplo 10.2 Haga un bosquejo de lacurvax2+y2+z2 = 1, x2-y2+z2 = O.

219

Curvas

220

Solución: la primera ecuación representa una esfera de radio unitario centrada en el origen, y la segunda, un cono circular recto con eje sobre el eje y. Consecuentemente,la intersección de ambas son las dos circunferencias x2+z2 = 1/2, y= ±../2/2, como se observa en la figura 10.1, las cuales podemos parametrizar en la forma

o~

t~21r .

.i

(0,1/4,0)

(1/4,

Figura 10.1 La curva x2 + .,¡ +

o.o)

z2 = 1, x2 y2 + z2 = O

Ejemplo 10.3 Exprese la curva x(t) = sen 2t, y(t) = l+cos2t, z(t) O ~ t ~ 2r., en forma cartesiana y trace un bosquejo de ella.

= 2sen t,

Solución: operando las coordenadas para eliminar el parámetro, llegamos a 18$ ecuaciones

Figura 10.2 La curva x2 + y2 + z2

= 4, x2 + (y -

1)2

=1

La primera de estas ecuaciones es una esfera de radío 2 centrada en el origen

y la segunda es un cilindro circular recto de radio unitario cuyo eje es la recta x = O, y = l. Su intersección es una curva alabeada en forma de 8, "recostada"

221

10.1 Representaci6n de curvas

sobre la esfera, de tal modo que su punto más aJto está en el polo norte, su punto más bajo en el polo sur, y el punto de intersección de su trazo está en el punto {O, 2, O) de la esfera, taJ como se muestra en la figura 10.2.
x2+y2=4,

i'+z2=4.

Solución: en este caso, la primera superficie es un cilindro circular recto de radio 2 con eje en el eje z; la segunda, otro cilindro circular recto de radio 2, pero su eje esUí ahora sobre el eje y. Su intersección son dos elipses iguales con centro en el origen, que se cortan perpendiculannente, ambas perpendiculares aJ plano :¡; = O, como se observa en la figura 10.3. Una parametrización de esta curva sería x(t) = 2cost, y(t) = 2sen t, z(t) = ±2sent, O~ t ~ 2ir, donde cada signo de z genera una de las dos elipses.
•

V

Figura 10.3 La curva x2 + y2 = 4, x2 + z2 = 4 Ejemplo 10.5 Trace un bosquejodelacurvao(t) = (acost,asent,út), bf= O, a > O, -oo < t < 001 llamada hélice circular. Solución: si pensamos en el parámetro t como el tiempo, la curva describe el movimiento de un punto en el espacio. Las dos primeras coordenadas describen una circunferencia de radio a, en el plano :i;y, mientras la tercera coordenada cambia de manera constante. Si b > O, al aumentar t, la. hélice circular avanzaría en el sentido positivo del eje z, En cada vuelta, la coordenada z aumentaría. en 2irb unidades, cantidad que se llama paso de la hélice circular. La hélice circular es un caso particular de hélice cilíndrica, por lo que es im portante el calificativo para diferenciarla. La figura.10.4 muestra su gráfica. Si recortamos a lo largo de una generatriz el cilindro que contiene a la hélice y lo extendemos sobre un plano, la hélice se convierte en una familia de segmentos de recta paralelos equidistantes.
Curvas

222

-

;"',..,=t::;;:.z:~ T

'

2irlbl (b < O)

(b > O)

..;

'l""lr.i

..

Figura 10.4 He1ice circular

. . . ·-.

a(t) = (acos t, asen t, bt)

Ejercicios y problemas 10.1.1 Trace la gráfica de la curva de intersección de las dos superficies dadas. (a) 3x2- 2-¡¡2 - z2 +6 O,x = 3; (b) &;2- 3¡¡2 + 2z2 = 6,z = 2x;

=

(c) x2 +ir +z2 =4,x+y = I; (e) x2+y2 =4,x+y-z=O;

(d) x2 +z

= 4,11 = 3z;

(f) x2 +y2+z2 =9,x+y+z

=l.

Trace la curva de intersección de los dos cilindros rectos que se dan. (a) x2 + z2 = 4,x2 =11; (b) 11 +x = 3,x2 + z = 9; (e) y2 +x =4,-¡¡2-4z =0; (d) x2+z2 = l,3x2 + 112 = 12; (e) x2 + y2 4y = 0,¡¡2 + 9z2 = 9; (f) y= x3,4y2 + z2 = 4.

10.1.2

10.1.s En ceda uno de los casos siguientes, encuentre los puntos de intersección de la CUI'Va con la. superficie que se da.

(a) (b) (c) (d)

La recta x = t - 2, y = t + 5, z = t + 1, con el plano 2x 3y + 7 z + 12 = O. La roete e = 4t,y = t+4., z = 3t+6, con la esfera x2+-¡¡2+z2-4x-2y-44 = O. La CUI'Va x = 2ocst,y = 2sent,z = 2sent, con la superficie x2-y2 +z2 = 4. La curva. x = t,y = t2, z = tfl, con la superficie x2 + 2y- z = 2.

10.2

Cilindros proyectantes

Si tenemos una curva en el espacio dada por la intersección de dos superficies F1(x,y,z) = O, F2(x,y,z) = O, entonces, para cada valor de k, la ecuación F1(x, y, z) + kF2(x, y, z) = O representa una superficie que contiene a la curva de intersección de ambas, puesto que los puntos que setísfacen las dos primeras ecuaciones también satisfacen la tercera. De todas estas superficies, nos interesan especialmente las que carecen de una delas tres variables, pues representan

223

10.2 Cilindros proyectantes

cilindros rectos, perpendiculares a los planos de coordenadas, y los llamaremos cilindros proyectantes de la curva, pues la contienen y sus trazas sobre los planos de coordenadas son las proyecciones de la curva sobre cada. uno de estos planos. Ejemplo 10.6 Halle los cilindros proyectantes de la curva ¡f y2 - z2 + 2x = 5.

+ 4z2 -

3x = O,

Solución: eliminando la z, obtenemos y2 +z2 = 3, que es un cilindro circular; si eliminamos y, llegamos a z2 - x + 1 = O, que es un cilindro parabólico, y eliminando z tenemos y2 + x- 4 = O, otro cilindro parabólico. La intersección de dos cualesquiera de ellos nos permite localizar la curva en el espacio, la cual se muestra en la figura 10.5.
Figura 10.5 Cilindros proyectantes de la curva x2 + 4z2 - 3x = O, 'JI z2 + 2x = 5 Por lo general, los cilindros proyectantes facilitan la comprensión de la forma y la ubicación de la curva, pero en ocasiones resultan complicados y no contribuyen mucho a ello. Ejemplo 10. 7 Encuentre cilindros proyectantes para las curvas de los ejemplos 10.1 a 10.5. Solución: en el caso del ejemplo 10.1, la curva ya se da mediante cilindros proyectantes: el cilindro 4x2 + z2 = 16 la proyecta sobre el plano y = O, y el plano y = 3 la proyecta sobre los planos x = O y z = O. En el ejemplo 10.2, los cilindros proyectantes son el cilindro circular recto 2:.2 + 2z2 = 1, que proyecta la curva sobre el plano y = O, y el par de planos paralelos y = ±,/2/2, que la proyectan sobre los planos x = O y z = O. En cuanto a los cilindros proyectantes de la cuna del ejemplo 10.3, ya tenemos uno: il + (y - 1)2 = l. Restando esta ecuación de la de la esfera x2+y2+z2 = 4, obtenemos el cilindro parabólico recto z2 = -2(y-2). El tercer cilindro proyectante lo obtenemos despejando y de ambas ecuaciones, igualando, y eliminando los radicales, para lo cual elevamos dos veces al cuadrado¡ el resultado es el cilindro recto de cuarto grado ¡ti + 4x2 - 4z2 = O.

Curvas

224

En el ejemplo 10.4, ya tenemos dos cilindros proyectantes¡ para obtener el tercero, restamos ambas ecuaciones y obtenemos y2 - z2 = O, que son dos planos que se cortan perpendicularmente. En el caso del ejemplo 10.5, un cilindro proyectante sería xi + y2 = a2, que es un cilindro circular recto que contiene a la hélice y la proyecta sobre el plano z = O. Los otros dos cilindros proyectantes los obtenemos fácilmente eliminando el parámetro: x = a cos(z/b) y y = a&ln(z/b), pero no resulta tan fácil su interpretación. Estas curvas serán estudiadas en la seccíén 10.3. Tienen forma de ondas de amplitud a y periodo 211'b; ambas tienen la misma forma, sólo están desfasadas 7fb/2, corno se muestra en la figura 10.6.
z

z , / X

-

/

y

... . .. 11 = ,uen(z/b)

x = ooos(z/b)

Figura 10.6 Cilindros proyectantes de

una hélice circular Ejercicios y problemas 10.2.1 Para cada uno de los casos sigulentes, encuentre e ídentifique la ecuación de

los cilindros proyectantes de la curva dada y trace un bosquejo de la curva, (a) 4.x2 +y2 +z2 = 7, 2z2 +1l- z2 +1 (b) 3¡t +x +2z = 12,¡t- x +2z = 4;

= O;

(e) x2 +2y2 +9z2 -4y = 9,2x2 + ¡t-9z2 -By +9 = O;

(d) 3x2+2y2+z2=4,:z:2-2112+z2=0; (e) x2 +xy+ z2 = 2,:z:2 -2xy +z2 + 1 = O¡ (f) :t3 + x2 + z2 - y= 1, z3 - 2x2 - 2z2 - y+ 2 = O. 10.2.2 En cada caso, encuentre cilindros proyectantes y utilícelos para construir la curva dada en forma paramétrica. (a) x = 2t,y = 4t2,z =t; {b) z = cos t, y= cos2t, z = sent; (e) x = sen 2t,y = sen tcost,z = cos2 t; (d) X =t,y = 2t2,z = 2t2-t; (e) x = e',y =e-',z = t; (f) x = cost,y = 2sen t, z = 3t.

225

10.3 Curvas planas de grado superior

10.3

Curvas planas de grado superior

Como vimos, 106 cilindros proyectantes son importantes para visualizar la ubicación de las curvas en el espacio, y para entender la forma de 106 cilindros proyectantes es necesario conocer la forma de la curva que el cilindro proyecta en el plano de coordenadas correspondiente. Si la curva se expresa mediante una ecuación de la forma ax+ by+ e= O, sabemos que es una recta, y que se trata de una cónica o un caso límite de cénicas si se escribe en la forma Ax2 + Bxy + Oy2 + Dx + Ey + P = O. Llamaremos curva plana de grado superior a toda curva plana que no se pueda representar mediante una ecuación de uno de estos d06 típos. Existen varias clases de curvas planas de grado superior que se estudian en otros cursos, y que aquí abordaremos brevemente, y existen también muchas curvas particulares interesantes, cada una con su propia historia; también mencionaremos varias. Algunos tipos de curvas planas de grado superior Ejemplo 10.8 Curvas de potencias Son las curvas representadas por una ecuación de la forma y=axn, con afO. Si n > O la curva se dice de tipo parahólico, pues paran = 2, es una parábola; si n
·11· : :

=2

n=1 ··n= -2 ' 1, Cl)

=~·.,_, ..z:-·_¡_~="""' s: n=3

Tipo paraoóllco

\

Tipo

hiperbólico

Figura 10.7 Curvas de potencias Todas las curvas de potencias pasan por el punto (1, a). Todas las curvas de potencias pares son simétricas respecto al eje y, y todas las impares lo son respecto al origen. En la figura 10. 7 se muestran ejemplos de cada caso.
Curvas

226

Una curva polinomial de grado n puede intersectar al eje x, o a alguna recta paralele. al eje z, basta en n ocasiones. Las de grado impar intersectan al eje x al menos una vez. En la figura 10.8 se muestran dos casos de curvas polinomiales, una de grado par y una de grado impar. Nótese que cuando lxl es muy grande, el término a0x" es el que domina y por eso el polinomio de grado n se comporte. como la curva de potencia n lejos del origen. <1 11 X

~1---1--=~.x

n=3

ao>O

n=4

ao>O

Figura 10.8 Curvas polinomiales Ejemplo 10.10 Curvas e:,;ponenciales

Las curvas exponenciales son de la forma y=a"', o y=a-z, donde a>O, a,!=1. Las de la primera forma se llaman exponenciales positivas; las de la segunda, e:,;ponenciales negativas. Todas ellas pasan por el punto (O, l). En la figura 10.9 se muestran ambos ti pos.

<1

="''++x Exponenciales postnvas

",···········, +==,x J:lxponenciales negatlva.s

Figura 10.9 Curvas exponenciales Ejemplo 10.11 Curvas logaritmicas

Las curvas logarítmicas son de la forma y = log, x, donde a > O, a,!= l. Fsto significa que z = au y, entonces, las curvas logarítmicas se obtienen reflejando las curvas exponenciales correspondientes sobre la recta y = x; es decir, una se obtiene de la otra al intercambiar x y y. Todas las curvas logarítmicas pasan por el punto (1, O), son crecientes y tienen al eje y como asíntota. En la figura 10.10 se muestran ejemplos. <1

227

10.3 Curvas planas de grado superior 11 /

.,,....···

r ......··'

(O l ' - --

: -

,'

'/ !

I

•.,· o=2 a =e

_

-

a e 10

:e

i,=log~%

Figura 10.10 Curvas logarítmicas Ejemplo 10.12 Curvas sinusoidales La palabra sinusoidal se deriva de la palabra seno, referente a la relación trigonométrica fundamental, que es asu vez una traducciónde la palabra latina sinus, que significa ensenada o bahía, una cavidad que permite que el agua de mar se extienda tierra adentro. Pero ¿qué relación tiene este significado con la relación trigonométrica seno? La respuesta es que ninguna y que todo es producto de un error de traducción, como veremos enseguida. Podemos decir que el inicio de la trigonometría se encuentra en los trabajos de Híparco de Rodas (190-120 a. C.), quien para facilitar el cálculo de distancias astronómicas a partir de la medición de ángulos, construyó una tabla de cuerdas. En una circunferencia de radio r (Hiparco tomó r = 3428 minutos), la mitad de la cuerda (o sea, la semicuerde] que subtiende un ángulo central 20 es igual el radio multiplicadopor el seno de O : crd228 = r sen O; en particular, si r = 1, la semicuerda coincide con el seno. Por tanto, una tabla de cuerdas es equivalente a una tabla de senos. Esta tabla de cuerdas fue mejorada por Claudío Tolomeo

,, Alejandríay (<.85-d65), del famoso de matemáticas astronomía Elautor Almagesto. De tratado Alejandría,

[':. .i·~~r~ t.

~,

esta tabla pasó a la India, donde terminó utilizándose la sernicuerda; pero con el fin de simplificar la escritura, se abrevió a jya, que significa cuerda. En el siglo vm, cuando los árabes tradujeron el concepto, tan sólo transliteraron el CtaudJo Tolomeo sonido a jiba, adoptándola como palabra técnica, sin signifide Ale]andrl& cado anterior en su lengua. Como en el árabe y otras escrituras del Medio Oriente no se escriben las vocales, el vocablo se escribió solamente jb. Tres y medio siglos más tarde, en el siglo xn, al traducir del árabe al latín, como el traductor desconocía el sánscrito y las matemáticas indias y arábigas, interpretó jb oomo jaib, una palabra común que significa lo mismo que sinus, por

Curvas

228 lo que le asignó esa traducción, que ahora nos desconcierta.

Las curvas sinusoidales son de la forma y= asen(bx+ e)= asenb(x + c/b), donde a, b y e son constantes. La gráfica de una curva sinusoidal tiene la forma de una onda cuya amplitud es !al, su periodo 2?r/by su ángulc de desfase con respecto al origen es c/b. En la figura 10.11 se muestra un ejemplo. Estas curvas son fundamentales para analizar fenómenos ñsícos de ondas y de vibraciones. Nótese que dos de los cilindros proyectantes de la figura 10.6 son cilindros sinusoidales. <1 11

(-i,o)

l•I

,___

'lf/b _

__,

,r/b _

__,

l•I

Figura 10.11 Curva sinusoidal y= asen(bx

+ c)

Algunas curvas planas de grado superior especiales Ejemplo 10.13 La campana de Gauss Aunque Abraham De Moivre (1667-1754) la descubrió en 1733, se llama campana de Gauss a la curva dada por la ecuación y=e

-z~

.

Este nombre proviene de su forma y del hecho de que el matemático alemán Carl Friedrích Gauss ( 1777-1855) la utilizó para representar la distribución de los errores que ocurren al hacer una medición; esta curva, ajustada en la forma y=--e 1

-%•¡2

~

se llama distribuci6n normal o curoa normal de frecuencias y actualmente ocupa un papel central en la probabilidad y en la estadística. Su gráfica se muestra en la figura 10.12. <1

229


~-~-""=----_+,--+--+----=::::,,,~-~: Figura 10.12 Campana de Oauss Ejemplo 10.14 La catenaria Galileo Galilei (1564-1642) pensaba que la forma que adopta una cadena o un cable flexible al colgar era un segmento de parábola; sin embargo, no resultó así. Jakob Bemoulli (1654-1705) lanzó un reto para descubrir su verdadera forma y representarla por Gol lloo Galilel Jat.ob Bernoulll medio de una ecuación. Christiaan Huygens (1629-1695) le dio en 1690 el nombre de catenaria y en 1691 el mismo Huygens, Wilhelm Gottfried Leibniz (1646-1716) y Johann Bernoulli (1667-1733), hermano de Jakob, resolvieron el problema.

. ,., ..... ~

..

-~~ :?··

Christiaan Huygms

Gotlfriod Lcibn.b,

f

Johann llamoulli

Esta curva se puede representar en la forma. y =00-z/• 11 11 "F a,í'I• 1 X / \ y= acosh-, donde a> O. / \ a / \ I La catenaria pasa por el punto (O, a); \ \ I X para demostrarlo, basta recordar que , 11 = aoosh' cosh x

=

e%+ e-% 2

x

y= acosh-

ª

, y entonces,

ae%/4 + ae%/o

= --~--

2 En la figura. 10.13 se muestra la

curva.
__-......:'~-''é" .... O,a) .. __

a

--=--.~~=--:

Figura 10.13 Catenaria

Curvas

230

Ejemplo 10.15 Cunxi de Agnesi La cunxi de Agnesi fue estudiada inicialmente por Pierre de Fermat (1601-1665); sin embargo, en 1748 fue analizada por la italiana María Gaetana Agnesi (1718-1799) en su H bro lnstituzioni analitiche, quien le puso el nombre italiano de versiero, un término tomado de la navegación y relacionado con M"".:;:i""" Pierre de F""""' la forma de la curva, sin embargo, el traductor al inglés confundió la palabra versiern con aversiem, y esta última significa bruja, hechicera, por Jo que también se conoce esta curva como bruja de Agnesi. Por la forma de su ecuación, 8a3 Y= x2 +4a2' también se Je llama cúbica de Agnesi. La figura 10.14 muestra la curva de Agnesi; es fácil demostrar que X y b cotO= y sen O= b = 20 20, de donde puede deducirse la siguiente parametrización: x = 2acot0, y= 2asen2 O,

la cual puede escribirse también en la forma paramétrics x = 2at, y

=(

20

1 +t

Elimina.ndo el parámetro, se llega a la ecuación cartesiana arriba anotada. 11

P(x,11)

Figura 10.14 La curva de Agnesi

Ejemplo 10.16 La cicloide Si fijamos un punto sobre una circunferencia y luego la hacemos rodar, sin resbalar, sobre una recta, el punto describe una curva denominada cicloide, nombre que Je asignó Galileo en 1599, pero que fue estudiada por primera vez por Nicolás de Cusa (14011464). Es fácil encontrar ecuaciones paramétricas

Nicolás de Cus•

2).
231


para la cicloide tomando como parámetro el ángulo O señalado en la figura 10.15. 11

O A

B

Figura 10.15 La cicloide

x= OA = OB-AB = aO-PD = aO- asen O, y= AP = BD= BC- DC = a- acosO. Por consiguiente, podemos escribir las ecuaciones paramétricas en la forma

x=a(O-senO),

y=a(l-cosO),

y de aquí, eliminando el parámetro, podemos llegar a la ecuación cartesiana

a-y ± ,/2ay - y2. a

x = aarccos--

La cicloide es también la curva de más rápido descenso, o braquist6crona, pues el recorrido de una partícula que cae entre dos puntos fijos dados se realiza en tiempo mínimo cuando su trayectoria es parte de una cicloide invertida respecto a la de la figura 10.15; esta propiedad ya era conocida por Johann Bernoulli desde 1696. También es una taut6crona, pues si desde cada lado de la curva invertida dejamos rodar dos partículas desde diferentes alturas, las dos llegarán al mismo tiempo al vértice o punto más bajo de la cicloide; esta propiedad fue descubierta por Huygens en 1673, quien trató de aplicarla al diseño de péndulos para relojes. <1 En el capítulo siguiente, en el tema de coordenadas polares, veremos otros ejemplos de curvas planas de grado superior. Ejercicios y problemas 10.3.1 Para cada uno de los casos siguientes, trace la gráfica de la curva potencia dada. (c) y= 2z2/s; (b) y= 3:t:4; (a) y = 2:i:3; {d) y =2z-3; (e) y= ax4; (f) y= 2(z -1)3; (g) y = 3z4 + 2; (h) y= 2{z + 3)213; (i) y= 2(z - 1)-3 + 3. 10.s.2 Sea e > O una constante; para cada uno de los casos siguientes, describa el efecto que produce sobre la gráfica de la curva plana y = f(x) la presencia de la constante c.

Curvas

232 (a) y= /(z) + e; (b) y= f(x) - e; (e) y= f(x + e); (e) y= cf(x); (f) y= -cf(x); (g) y= /(ex);

(d) y= f(x - e); (b) y= /(-ex).

En ceda caso, trace la gráfica de la curva polínomíal dada.

10.s.s

(a) 11 = x3 2z2 - x + 2; (e) y= (x 2)3 - 2(z - 2)2 - (x 2) + 2;

(b) 11 = (:r 2zl- x + 2)/3; (d) 11 = (2%)3- 2(2,:)2 - (2%)

+ 2.

Trace la gráfica de las curvas exponenciales siguientes. (a) y= e-2z; (b) y= 3e-2'<-2 + I; (c) y= -2e-z; (d} Y= e-"'•; (e) 11 = J;e-z2ti; (f) y= 2Jz::e-Cz-1)•/2.

10.3.4

10.8.5 Trace las gráfica de las curvas logarítmicas siguientes. (a) y= log10(z 1); {b)y= 5log2(3x); (e) y= 21og.z(d) y= logto(-z); (e) y= log0.,/i; (f) y= log10z2.

1;

Trace las gráficas de las curvas sinusoidales siguientes.

10.3.6

(b) y =sen3x; (e) y= 4 sen x +3;

y= 2senz; (d) y= 2scn(3z - 6) + 1; (a)

(e) y= sen(z/3); (f) x = sen(211 + 4) -3.

Trace la gráfica de cada una de las curvas trigonométricas siguientes. (a) y= cose, (b) y= 2cos(-3z + ..) I; (e) y= - oos(-z); (d) y= tan z'; (e)¡¡= tan(2z+ 1); (f) ¡¡ = secz; (g) y= 3sec(-z + 1r /2); (h) y= csc(z - 1r/4) + 1; (i) y= escz.

10.3. 7

10.s.s

'frece el lugar geométrico de las curvas hiperbólicas siguientes. (b) ¡¡ = sonh x = (lf - e-•)/2;

(e) y= coshe = (e"+ e-•)/2; (c) y= 3cosh(z/3); (e) ¡¡ = sech x = 1/ cosh z; (g) y = tanhz = senhz/ cosh z:

y= 3senb(z/3); (f) ¡¡ = csch x = 1/ senh z; (h) y= oothz = cosh e] senh z, (d)

10.S.9 Trace el lugar geométrico que corresponda de grado superior siguientes.

a cada una de las curvas planas

(&.) zs +:¡;¡¡2- 3a,:2 + o:¡¡2 = O (trisectriz de Maclaurin); (b) y2 = 2ax3 :¡;

(cisoide);

+y4 = a4 (curva de cuarto grado de Lamé); :i:3 +y3- 3axy = O (lwja de Descartes); (x2 + ¡¡2)2 - azly = O (bifoliada); ,:3 +zy2 + azl- ay2 = O (estrofoide); zly2 = a.2(,:Z +y2) (crocifonne);

(c) x4

(d) (e) (f) (g) (h) ry - a2x

+ b2y = 0

(serpentina).

OTROS SISTEMAS COORDENADAS

Capítulo

DE

11

11.1 Sistema de coordenadas polares 11.2 Conversión de coordenadas 11. 3 Gráficas en coordenadas polares 11.4 Las cónicas en coordenadas polares 11.5 Más curvas de grado superior 11. 6 Sistema de coordenadas cilíndricas 11. 7 Sistema de coordenadas esféricas

11.1

Sistema de coordenadas polares

El sistema de coordenadas polares permite localizar puntos en el plano por medio de dos números: el primero mide una distancia y el segundo, un ángulo. Comenzamos fijando un punto O, al que llamaremos polo, y una semirrecta o rayo que sale del polo, a la que llamaremos semieje polar. Con el propósito de facilitar la comparación con el sistema de coordenadas cartersíanas, colocamos el polo en el origen y el semieje polar en lo que sería la parte positiva del eje de las abscisas; la recta que contiene al semieje polar se llama eje polar. Dado un punto P, al segmento que une al polo O con P lo llamarnos rodio vector de P y su longitud, la que representamos con r (r ;;.: O), será la primera coordenada polar, a la que llamaremos radio polar; la segunda coordenada polar es el ángulo positivo O que forman el semieje polar y el radio vector del punto, es decir, O se mide en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj; este ángulo se denomina ángulo polar. El radio polar y el ángulo polar son, entonces, las coordenadas polares, y se escriben en ese orden: (r, O). Es claro que si O ~ O < 21r, entonces habrá una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano, excluido en origen, y las parejas [r, O), donde r > O y O ~ fJ < 21r. En cuanto al polo, convenimos que º~~epolu cualquier pareja {O, fJ) lo representa. Para el trazo de gráficas y la comparación con el sistema de coorde- Figura 11.1 Sistema nadas cartesianas, es conveniente considerar también de coordenadas polares

¡:;(r,O)

233

Otros sistemas de roordenadas

234

el eje a 90', que es la recta que pasa por el polo y es perpendicular al eje polar. En la figura 11.1 se representa el sistema de coordenadas polares. En algunas ocasiones no es tan importante la correspondencia biunívoca entre las parejas ( r, O) y los puntos del plano como la simplicidad de las ecuaciones y la completez de sus gráficas, y entonces se permite que r tome valores negativos y que O tenga cualquier valor. En ese caso, (-r, O) = (r, O+ ,r) y [r, O) = (r, O+ 2n1r), donde el ángulo se mide en radianes y n es cualquier número entero. A la pareja de coordenadas polares que cumple con las condiciones r ~ O y O ~ (J < 2,r se le llama entonces par principal. A menos que se especifique lo contrario, usaremos el sistema de coordenadas polares extendídas. En la figura 11.2 se muestran ejemplos de puntos representados mediante coordenadas polares extendidas. OO'P(r,8)

q(,.,0)

(a) r extendida

Q(r,-0)

(b) O extendida

(c) O extendida

Figura 11.2 Sistema de coordenadas polares extendidas Ejemplo 11.1 ¿Cuál es la gráfica de cada una de las ecuaciones r = r0 y O = Oo? Considere coordenadas polares extendidas y, por separado, el caso donde se tome solamente el par principal.

=

Solución: la gráfica de la ecuación r ro, dado que el radio polar es constante y el ángulo polar es arbitrario, es una circunferencia de radio ro con centro en el polo, y lo mismo ocurre si consideramos solamente el par principal. En cambio, la ecuación (J = 80, al fijar el ángulo polar y dejar libre el radio polar, tiene por gráfica una recta que pasa por el polo; pero si consideramos únicamente el par principal, la gráfica consistirá solamente de una semirrecta. Esta situación queda ilustrada en la figura 11.3.
(a) (4,45°);

(b) (2,135°); (d) (4, 71r/6); (e) (-3, 120º);

(e) (3,3,r/4);

(f) (-2,5,r/6).

235

ll.2 Conversi6n de coordenadas 90º

o

''

/

(a) Par principal y polares extendidas

''

(b) Par principal

(e) Coordenadas polares extendidas

Figura 11.3 Gráficas del ejemplo 111 En cada caso, exprese en ooordenadas polares, de tres formas dístíntes, el punto cuyas coordenadas cartesianas se dan. (a) (0,-4); (b) (./3,-1); (e) (-3,0); 11.1.2

(d) (-4,-4v'3); 11.1.s

(e) (2./3,-2);

Demuestre que la distancia entre los puntos (r,,01) y (1'2,°'2) es

d=

11.1.4

v'rf + r~-2nr2cos(lh-

(b) (1,w/3) y (2,2w/3).

Demuestre que el área de un triángulo cuyos vértices son el polo y los puntos

(111 01) y (1'2, lh) está dada por A = 11.1.6

1

21111'2

sen(OJ - °'2)1.

Encuentre el área del triángulo formado por el polo y los puntos que se dan.

(a) (2, 300) y (3, 330°);

11.2

111).

Encuentre la dístancia entre los puntos siguientes.

(a) (2,30") y (3,330º); 11.1.s

(í) (3,-3v'3).

(b) (1, w/3) y (2, 2w/3).

Conversión de coordenadas

Procederemos ahora a comparar las coordenadas polares con las coordenadas rectangulares; para ello haremos coincidir el polo con el origen y el semieje polar con la parte positiva del eje de las abscisas. Bajo estas condiciones, obtenemos fácilmente, a partir de la figura 11.4, que x=rcosO,

y=rsenO,

x'+y2=r2

y

tanO=y/x.

(11.1)

Usando las ecuaciones (11.1), las fórmulas de transformación de coordenadas polares a cartesianas son x=rcosO,

y=rsenO,

(11.2)


236 11

(r, O) = (z,v) r 9

O

• X

Figura 11.4 Conversión de coordenadas y las fórmulas para transformar coordenadas cartesianas en polares,

r = ±Jx2 + y2, O=

(11.3)

angtan.1!.. ;¡;

Cuando uno transforma las coordenadas de puntos aislados, utiliza las ecuaclones (11.2) y (11.3), pero cuando se trata de transformar ecuaciones de un sistema al otro, es conveniente usar también las siguientes, que se derivan de ellas:

Ejemplo 11.2 Encuentre las coordenadas polares de los puntos P y Q, cuyas coordenadas cartesianas son (1, v3) y (-1, -1), respectivamente. Solución: el par principal de coordenadas polares de P es .,. = v'l

+ 3 = 2, O=

angtanv3 = angcos~ = ~ = 60º.

2

Para Q, el par principal es r=

3

1

5,r

v'f+T= Jf, O= a.ngtanl = angcos-,,fi. = -4 = 225°.

Ambos casos se ilustran en la figura 11.5.

11

11

p

2 1

2

3

--~----x ,r/3

l

2

(a) Coordenadas de P: cartesianas: {1, ,/3), polares (principales): (2,.,.. /3)

(b) Coordenadas de Q: cartesianas: (-1,-1), polares (principales): ( v'2, 51T/3)

Figura 11.5 Transformación a coordenadas polares

237

ll.2 Conversi6n de coordenadas

Ejemplo 11.3 Encuentre las coordenadas cartesianas de los puntos R y S que tienen coordenadas polares ( 4, 210") y (-2, -1r /4), respectivamente. Solución: el punto R está en el tercer cuadrante, en tanto que S se encuentra en el segundo. Los puntos están trazados en el figura 11.6, de donde se puede deducir lo siguiente: Las coordenadas rectangulares de R, son x = 4cos(210º) = -4cos(30º) = -4(V3/2) = -2./3, y= 4sen(210º) = -4sen(30º) = -4(1/2) = -2; en tanto que las coordenadas rectangulares de S son x = -2cos(-1r/4) = -2cos(1r/4) = -2(./2/2) = -./2, y= -2sen(-1r/4) = 2sen(1r/4) = 2(./2/2) = ./2. <1 ll

s

11 -2,/3

210°

1

2

Z

z ./z

1

z ·x

I 1

1 "' 4

R

--------

1

2

( a) Coordenadas de R: polares: (4,2100),

cartesíanas: (-2v'3, -2)

-2

(b) Coordenadas de S: polares: (-2,-,r/4),

cartesianas: ( ./2,

./2)

Figura 11.6 Transformación a coordenadas cartesianas

Ejemplo 11.4 Convierta la ecuación r gulares.

= 2(1-senO)

a coordenadas rectan-

Solución: multiplicando la ecuación por r, obtenemos r2 = 2r - 2r sen 8, de donde x2 +yz = 2vxz+y2-2y. Elevando al cuadrado para eliminar el radical y simplificando, obtenemos x4 + 2x2y2 + ¡/ + 4x2y + 4f - 4x2 - 4y2 = O, una ecuación de cuarto grado. <1 Ejercicios y problemas 11.2.1 En cada caso, transforme la ecuación cartesiana en una ecuación polar. (a) 3x2 + 4y2 = 5; (b) x2 y2 = 16; (e) 3x - ¡¡2 = O;

(d)x2+y2-2y=0;

(e)x+3y=2;

(f)xy=4.


238

11.2.2 En cada caso, transformela ecuación polar en una ecuacióncartesiana.

(a)r=1; 4 (d)r=SEmll+cosO;

(b)r=4sen0; 2 (e)r=5-cosll;

(g) rcosO- 2 = O;

(b) r = 2sec~(ll/2).

11.3

(c) r=8cos0; 4 (f)r=4+senll;

Gráficas en coordenadas polares

En la sección 4. 7 presentamos un procedimientopara trazar sistemáticamente la gráfica de una ecuación, que consistía en encontrar sus intersecciones con los ejes, sus simetrías, su extensión, sus asíntotas y el trazo de algunos de sus puntos, a partir de lo cual procedíamos ya concierta confianza a la construcción de la gráfica. En el caso de las coordenadas polares, se pueden seguir estos pasos: l. Dete,minar los intersec.ciones con el eje polar y con el eje a 90º. Para ello damos al ángulo polar los valores (} = mr, donde n es cualquier entero, para obtener las intersecciones con el eje polar, y hacemos O = mr/2,

donde n es un número impar cualquiera, para obtener las intersecciones con el eje a 90º. 2. &aminar los simetrias. Respecto al eje polar, cambiarnos (} por -{}, o sustituirnos (J por 1r 8 y r por -r¡ la simetría existe si y solamente si la ecuación no se altera al hacer estos cambios. Del mismo modo, la simetría respecto al eje a 900 se analiza cambiando (} por 1r (}, o sustituyendo (J por -{} y r por -r. Finalmente, la simetría respecto al origen la probarnos cambiando O por O+ 1r o r por -r. 3. Determinar la extensi6n de la gráfica. Investigamos si r está acotado o si tiene valores máximo y mínimo. 4. Calcular puntos de la gráfica. Se calculan tantos puntos como se considere adecuado; éstos podrían estar igualmente espaciados para valores de(} divisores de 90º, como por ejemplo, a cada 45°, a cada 30º o a cada 15°, según sea la precisión deseada en el trazo. 5. Construir la gráfica. Ejemplo 11.5 Construya la gráfica de la ecuación polar r = 2(1- sen fJ). Solución: como sen(n1r) = O para todo entero n, los puntos de intersección con el eje polar son únicamente (2, O) y (2, 1r); y como sen(1r/2+2n1r) = 1 para

ll.3 Gráficas en coordenadas polares

239

todo entero n, y sen(31r/2 + 2rm) = -1 para todo entero n, las intersecciones con el eje a 90º son nada más (O, ,r/2), ( 4,31r /2). Para analizar las simetrías, observamos que, como sen O = sen(-0), la ecuación se altera al cambiar () por -0, y entonces la gráfica no es simétrica respecto al eje polar. En cambio, sen O= sen(1r- O), lo que significa que sí hay simetría con respecto al eje a 90°. Por último, al sustituir r por -r se altera la ecuación y, por tanto, la gráfica no es simétrica respecto al polo. Por lo que se refiere a la extensión, como 1 ( sen O ( 1, se tiene que O ( r ( 4, de modo que la gráfica está contenida en una circunferenciacon centro en el polo y radio 4. Enseguida calculemos algunos puntos de la gráfica, como 106 que se muestran en la tabla siguiente:

e

o

1t/4

seno o 0.707 r 2 0.606

,r/2 3-rr/4 1

o

0.707 0.606

"o 2

5,r/4 -0.707 3.414

3"/2 1 4

7,r/4 -0.707 3.414

Thbla 11.1 Finalmente, con la información obtenida so bre las intersecciones, las simetrías, la extensión y 106 puntos de la tabla 11.1, trazamos la curva, llamada cardioide por su parecido con la figura del corazón, y que se muestra en la figura 11.7. Todas las ecuaciones del tipo r=a(l±senO), r = a(l ± cosO), con a # O constante, representan cardioides. <1

9\l°

Figura 11. 7 Cardioide r = 2(1 - sen O)

Ejemplo 11.6 Construya la gráfica de la ecuación polar r = 1

+ 2 cos 20.

Solución: haciendo O = O y (} = 1r se obtienen las intersecciones con el eje polar: (3, O) y (3, ,r). Como cos(-20) = cos(20), vemos que el eje polar es un eje de simetría. Para descubrir si hay otros ejes de simetría escribimos r(O) = 1 + 2 cos 20 y nos preguntarnos si existe un ángulo () tal que

r(O- ip) = r(O+ ip) (11.4) para cualquier ángulo !p. Si la respuesta es afirmativa, los valores de () que se obtengan serán los correspondientes ejes de simetría. En nuestro caso, la ecuación (11.4) resulta cos 2(0 - ip) = cos2(1J

+ ip),


240 y, simplificando,

sen e C05 e sen cf¡ C05 cf¡ = o, de donde concluimos que (11.4) se satisface para O = O, por lo que, como ya

e

sabíamos, el eje polar es un eje de simetría, y también para = 'Ir/2, es decir, el eje a 90° es otro eje de simetría. De aquí concluimos que la gráfica es simétrica con respecto al polo. Con respecto a la extensión, como -1 ~ cos20 ~ 1., entonces -3 ~ r ~ 3, de modo que la gráfica está contenida en una circunferencia con centro en el polo y radio 3. Las coordenadas polares de algunos puntos de la gráfica se muestran en la tabla 11.2. 8

r

O 3

,r

6 2

3

,r

O

2 -1

,r

2,r 3 O

5,r 6 2

,r 3

7,r 6 2

4,r

3

O

3,r 2 -1

5,r 3 O

11,r 6 2

2,r

3

Tabla 11.2 Para una mejor apreciación del comportamiento de r oomo valor que depende de en la figura 11.8 se muestran las gráficas para distintos intervalos de O. Esta curva, para O ~ O ~ 2'1r, se llama cicloide de Ceva. <1

e,

.

· · ·····P

.

.

-ce.

· ·······P ~

.

.

.

+

•

•

·GP ·CP ·CP Figura 11.8

Gráfica de r

= 1 +2cos20

. '

para distintos intervalos

Ejercicios y problemas 11.8.l

Analice y trace la gráfica de cada una de las curvas polares dadas en el

ejercicio l 1.2.2. 11.s.2 Analice y trace la gráfica de la curva cuya ecuación polar se da. (a) r = cos20; {b) r = oos311; (e) r = cos4Q; (d) r = 3sen(II- 60°); (e) r = 3(1 - cosll); {f) r = 4 - 2sen 9; (g) r2 = 4cos0; (h) r2 =sen 29.

241

ll.4 Las cónicas en coordenadas polares

11.3.3 Obtenga. los puntos de intersección (r, O), donde r > O y O< O< 360", para. cada. par de curvas polares. (a.) reos O= 4, rsenO = 4; (b) r = 4cosll, r = 2; (e) r = 1 +senll, r = 1 + cosll; (d) r=cosll, r=secll; 2 6 (e) r = 4 cos 211, r = sen 211; (f) r = 1 senll' r= l+senO' . (g) r =seno,

11.4

r = 1 + 2sen0;

(h) r2 = sen 20,

r2 = cos 20.

Las cónicas en coordenadas polares

En el ejemplo 11.1 vimos que la ecuación polar O = 0o representa una recta que pasa por el polo. Para obtener la ecuación de una recta que no pasa por el polo, acudiremos a su representación normal, siguiendo la notación de la figura 11.9. Observamos que en el triángulo rectángulo ONP se tiene rcos(O-w) = p, y ésta es la ecuaci6n polar de la recta. Después de todo, esta ecuación nos resulta familiar, pues al convertirla a coordenadas cartesianas obtenemos rcos(w - O)= rcosOcosw -rsenOsenw = xcosw -ysenw = p, que es la forma normal de la ecuación de la recta.

Figura 11.9 Ecuación polar de una recta También en el ejemplo 11.1 observamos que la ecuación polar de una circunferencia de radio r y centro en el polo es r = r0. Para describir la ecuación polar de los puntos P(r, O) sobre una circunferencia de centro C(c, a) y radio a, recurrimos a la figura 11.10, que ilustra la situación. Aplicando la ley de los cosenos, que ya utilizamos cuando calculamos el ángulo formado por dos rectas, obtenemos: a2 = r2 + c2 - 2crcos{O - a). Reacomodando 108 términos, llegamos a la ecuación polar de la circunferencia: r2 - 2crcos(O - a)+¿.= a2• Para encontrar la ecuación general del resto de las cónicas en coordenadas polares, colocamos uno de los focos en el polo y hacemos que el eje focal


242 P(r,8)

Figura 11.10 Ecuación polar de una circunferencia coincida con el eje polar, tal como se muestra en la figura 11.11. Denotamos con ó a la directriz que corresponde al foco O¡ con p, la distancia del polo a la directriz, y con P(r, O), un punto arbitrario sobre la cónica. Entonces, la excentricidad es d(P,0) r e= d(P,ó) = p+rcosO' y despejando r obtenemos (11.5) Si en lugar de colocar la directriz a la izquierda del polo, la ubicamos a su derecha, la ecuación resulta ep r= "~

l+ecosO' de modo que la ecuación polar de una c6nica horizontal tiene la forma r=

ep l±ecoslJ'

Procediendo de la misma manera, si colocamos un foco en el polo y el eje focal de la cónica sobre el eje a 90°, llegaremos a la ecuaci6n polar de una

cónica vertical

ep

r= "~ 1 ±esenO'

donde el signo es positivo si la directriz está arriba del polo, y negativo en caso de que se encuentre debajo. P(r,8) --

_

ep 1-esenO

r= --'-'-~

P(r, O)

6

ep r=~ 1-eoosO

-----

6

Figura 11.11 Posición de la cónica en coordenadas polares

ll.4 Las cónicas en coordenadas polares

243

Ejemplo 11. 7 Considere el caso de las cónicas horizontales con directriz a la izquierda del polo, cuya ecuación es (11.5). Colocando el polo en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas y la directriz ó como la recta x = -2, muestre las cónicas correspondientes a las excentricidades 1/2, 1 y 2. Solución: en la figura 11.12 se muestran estas eénicas. (a) La curva I corresponde a la elipse de excentricidad e= 1/2. El ángulo O toma valores en cualquier intervalo de longitud 21r, como O E [O, 21r]. (b) La curva II corresponde a una parábola por ser e = l. Puesto que el denominador en (11.5) se anula en los puntos de la forma 2n,r para n = O, ±1, ±2, ... , entonces O toma valores en cualquier intervalo abierto de la forma (2n1r, 2(n + l)1r). (c) Las curvas fll y fV corresponden a las ramas de la hipérbola de excentricidad e= 2. Para este valor de la excentricidad, el denominador en (11.5) se anula en los puntos J ± 2mr y 11f ± 2m,r, con m, n = O, ±1, ±2, .... El denominador es positivo en intervalos de la forma (2mr-,r /3, 2n1r+,r /3); tomando valores de O en alguno de tales intervalos se obtiene la rama que corresponde a la curva tn. Por ejemplo, el punto A tiene coordenadas polares ( -4, O). El denominador es negativo en intervalos de la forma ((2r1 + l),r - 211"/3, (2n + l),r + 211"/3), para los que se obtiene la rama indicada en la curva TV. Por ejemplo, el punto 8 tiene coordenadas polares (~, 11"). (d) Las líneas punteadas en la figura corresponden a las asíntotas de la hipérbola. Pasan por el punto medio de A y B y tienen penclientes m = tan(±rr /3).
Ejemplo 11. 8 Identifique la cónica r =

2

+ ; sen O·

90º

Solución: por contener a sen 8, la cónica es vertical, y por ser positivo el signo antepuesto al seno, tiene la directriz arriba del foco. Por otra parte, dividiendo entre dos, tanto el numerador como el denominador, Figura 11.13 Parábola l llegamos a r= r= 1

1

+seno'

1 + sen8

y por tanto, e = 1, por lo que se trata de una parábola cuya distancia del polo a la directriz es p = l. En la figura 11.13 se muestra la gráfica.

244 IV

1 1 \

\

\

rr

\ \ \

\ \

A

\

\ I I \

I

I

I

I I I I

'

I

Figura 11.12 Cónicas en coordenadas polares Ejercicios y problemas Trace la gráfica de las rectas siguientes: (a) rcos(O -1r/2) 2¡ (b) rcos(O- 3,r/4) 1; (e) rcos((I + 30") = 4; ( d) rcos(ll - 200°) = 3.

11.4.1

=

=

Escriba en coordenadas polares la ecuación de las rectas dadas en coordenadas cartesianas. 11.4.2

(a) z

= 2;

(d)y=4¡

{b) z +v

= ./2;

(e) ./3z+y=3;

(e) z =u= 3; (f) y-2=z./3.

Escriba en coordenadas polares la ecuación de las circunferencias dadas en coordenadas cartesianas. (b) z2 +,l-4y = O; (a) z2+,l =9; (e) z2 + ,l +4z= 32; (d) (z 2)2 +(y+ 1)2 = 4; (e) z2 + ¡j +4z- 8y = 5. 11.4.S

Ident.i.fique cada una de las cónicas siguientes y trace su gráfica.

11.4.4

4

(a)r= 1-cosll; 12 (d)r=1 - 4 sen 11;

4

(b)r= 3+2sen0¡ 8 (e)r=5 + 4 sen (I;

8

(c)r= 1+3cosll; M (f)r= 4- 5 eos 11.

En cada caso, encuentre la ecuación polar de la cónica con foco en el polo que cumple las condiciones dadas. 11.4.5

(a) (b) (e) (d}

Parábola con directriz z = -4; parábola con directriz y= -2¡ elipse con excentricidad 3/4 y directriz correspondiente y= -6¡ elipse con excentricidad 2/3 y directriz correspondiente z = 4.;

11.5 Más curvas de grado superior

245

(e) hipérbola oon excentricidad 2 y directriz correspondiente x = -4; (f) hipérbola con excentricidad 3/2 y directriz correspondiente y= 6.

11.5

Más curvas de grado superior

A continuación daremos varios ejemplos más de curvas interesantes de grado superior que se expresan de manera sencilla en coordenadas polares. Ejemplo 11. 9 Lemniscata de Bernoulli

La lemniscata de Bernoulli toma ese nombre porque Jakob Bernoulli la describió en 1694. Su ecuación en coordenadas polares es

r2 = a2 cos 20. r2 y descomponiendo

Multiplicando por el coseno, se obtiene r4 = a2r2( ce%' O - sen2 O) y usando las fórmulas de transformación, su ecuación cartesiana resulta

(~ + y2)2 = a2(~

y2),

que es una ecuación de cuarto grado. La ecuación r2 = a2 sen 28 representa también una lemniscata, sólo que en este caso es vertical. En la figura 11.14 se muestra la gráfica de la lemniscata r2 = 4cos 28.
r2

=4cos28

Figura 11.14 Lemniscata de Bernoulli

Ejemplo 11.10 Rosa de cuatro hojas

La ecuación r = asen 20 representa una rosa de cuatro hojas, lo IJÚSmo que la ecuación polar r = a cos 20. En la figura 11.15 se muestran ambas rosas para a = 4. Es posible escribir ecuaciones polares para rosas de distintos números de hojas.
(a) r =4sen211

Figura 11.15

(b)

T

=400821/

Rosas de cuatro hojas


246

Ejemplo 11.11 La cisoide de Diocles En la figura 11.16 consideramos una circunferencia de radio a cuyo diámetro se encuentra delimitado por el polo O y un punto B del semieje polar. Trazamos la perpendicular al eje polar en B. Para. cada recta secante u, tomamos sobre ella el punto P tal que r = d(O, P) = d(C, D) = d(O,D)- d(O,C). El lugar geométrico que describe P se llama cisoide de Diocles por haber sido desarrollado por Diocles de Caristo (c.240-c.180 a. C.) con el fin de resolver uno de los problemas clásicos griegos. El lugar geométrico descrito por P satisface que r = d(O,D)- d(O, C) = 2asec8- 2acos0 = 2a(sec0 - cosO), y de aquí, llegamos a la ecuación polar r = 2a tan Osen 8.

Figura 11.16

La císoíde de Diocles

La ecuación rectangular de la cisoide es ¡f = i3 y permite resolver el 2 a-x llamado problema de la duplicación del cubo: dado un cubo, construir con sólo regla y compás otro cubo que tenga el doble del volumen del cubo inicial. En el siglo XIX se demostró que esto era imposible usando solamente regla y compás, pero desde la antigüedad se encontraron soluciones geométricas alternas, como es el caso de la que hace uso de la cisoide. Menecmo (c.380-c.320 a. C.) resolvió el problema de la duplicación del cubo mediante la intersección de una parábola de la forma x2 = ay y una hipérbola del tipo wy = ob, como se mostró en el capítulo 2. <1

ll.6 Sistema de coordenadas cilíndricas

247

Ejercicios y problemas 11.s.1 Analice y trace la. gnlfica. de la. curva cuy-a. ecuación polar se da. (a.) r = 3(1- cosO) (oordioide); (b) r = 4cos31/ (rosa de 9 hojas); (e) r = 2cos 411 (rosa de ocho hojas); (d) r = 4 - 2senll (ooracol); (e) r2 = 2cos0 (lemniscata); (f) r20 = a2 (lítuus); (g) r = a ese O± b (conande); (h) rO = 4 (espiral hiperbólica); (i) r2 = a,21} ( espiro! de Fermat); (j) r = ealJ ( espiral equiang'Ular).

11.6

Sistema de coordenadas cilíndricas

Si al sistema de coordenadas polares le agregamos la tercera coordenada. z, tenemos el sistema de coordena,das cikndricas. En otras palabras, las coordenadas cilíndricas de un punto P en el espacio tridimensional son (r, O, z), donde r, O son las coordenadas polares en el plano x, y y z es la tercera coordenada. cartesiana. En la figura 11.17 se ilustran las coordenadas cilíndricas. z

.:

' ,P

P(~,u,.i) P(r,6,~)

•

~- ...... ·T' r :r··7..__

,.:···-l'--~.~ ~

Figura 11.17

}C

V

Coordenadas cilíndricas

Para pasar de coordenadas cilíndricas a rectangulares, tenernos: x = rcooO, y= rsenO, z = z, y para transformar de coordenadas cartesianas a polares: r=../x2+y2, O=angtan!!'., z=z. X

Ejemplo 11.12 ¿Qué representan las ecuaciones cilíndricas (a) r = ro, (b)

O= 00, (c) z = z,,?

Solución: la ecuación en coordenadas cilíndricas r = r0 se transforma en la ecuación cartesiana x2 + y2 = rg, que representa. un cilindro circular recto con eje en el eje z. La ecuación cilíndrica O = Oo tiene como ecuación cartesiana x sen 00 = y cos 00, que corresponde a un plano que contiene al eje z, Finalmente, la ecuación cilíndrica z = Zo ooincide con la ecuación cartesiana


248

•

(b) o=ºº

{a) r = ro

(e) z =Zo

Figura 11.18 Gráficas de ecuaciones cilíndrlcas básicas correspondiente y representa un plano paralelo al plano z, y. Los tres casos se ilustran en la figura 11.18.
z2 =

9y

Solución: la primera ecuacíón es una esfera de radio 3 y centro en el origen. En coordenadas cilíndricas su ecuación resulta r2+ z2 = 9. La segunda ecuación es el cilindro circular recto ,:,? + (y - 1)2 = 1, cuya ecua.cíón ctlíndríca es r2 = 2(r sen O), o sea, ,. 2sen O. Ambas superficies se encuentran dibujadas en la figura 11.19.
= •

• •············

........... -

{a)r2+z2 =9

(b) r=2sen8

Figura 11.19 Gráficas de ecuaciones cílíndricas

Ejercicios y problemas 11.6.1 Obtenga las coordenadas cilíndricas de cada uno do los puntos siguientes, dados en coordenadas cartesianas.

(a) (2,1,1); (d) (./5,2,-4);

(b) (-1,,/3,-4); (e) (,/3,-1,-1);

(e) {3,3,-3); {f) (-/6,-v'i,-2v'í).

ll. 7 Sistema de coordenadas esféricas

249

11.6.2 Obtenga. las coordenadas cartesianas para. cada uno de los puntos siguientes, dados en coordenadas cilíndricas. (a.) {4,,r/2,1); (b) (-3,,r/3,4); (e) (-3,,r/4,-5); (d} (2, -,r/2,3); (e) (4,-4..~º.-3); (f) (-2,240°,4}. 11.6.S Obtenga. una. ecuación cartesiana. para cada una. de las superficies siguientes, cuya ecuación se da en coordenadas cilíndricas. (a) r2 = 4 - z2; (b) r = 2; (e) r = 9oos0; (d}r2-z2=-4; (e}r2+z2=9; (f) rcos0=2. 11.6.4 Obtenga. una. ecuación en coordenadas cilíndricas para. ceda una. de las superficies siguientes, dadas en forma cartesiana. (a) z2 + y2 + z2 9; (b) x2 + y2 4z2 16; (e) z2 +Ir+ 9z2 = 36;

(d) x2 +1l

11.7

=

= 9z;

=

(o) y= 3;

(f} y= 2:r +z.

Sistema de coordenadas esféricas

En el sistema de coon:ienadas esféricas, los puntos se representan mediante una distancia y dos ángulos: P(p, , O), donde p = d(P, O) es el radio vector de P, es su colatitud y O es su longitud, lo6 cuales se encuentran representados en la figura 11.20.

•

P(z,¡¡,z) P(p., q,,8)

' Figura 11.20 Sistema de coordenadas esféricas Para pasar de coordenadas esféricas a rectangulares, usamos las fórmulas

x=psenrpoosO,

y=psenrpsenO,

z=poosef>;

y para pasar de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas, utiliza-

mos las ecuaciones p = -+-y~2 _+_z~2' = ang cos

v~x~2

z

,/x2 + 112 + z2

,

O= angtan!!'.. X

Ejemplo 11.14 ¿Cuál es el lugar geométrico que corresponde a cada una de las ecuaciones en coordenadas esféricas (a) p = Po, (b) =o, (e) 9 = Oo?


250

Solución: la primera ecuación corresponde a la ecuación cartesiana :i:2 + y2 + z2 = P5, que representa una esfera con centro en el origen. La segunda ecuación podemos pasarla a coordenadas cartesianas observando que x2 + y2 = ,l sen2 o y z2 = ,l cos2 o, de donde :,;2 + y2 = i' tan2 o, que es la ecuación de un cono recto con eje en el eje z: Finalmente, la tercera ecuación nos lleva a que tan 80 = J¿' por lo que X y= (tan 00)x, que es la ecuación de un plano perpendicular al plano x, y. Los tres casos están ilustrados en la figura 11.21.
•

•

• ~p=~ (~ef>~ ~O=• Figura 11.21 Gráficas de ecuaciones esféricas básicas

Ejercicios y problemas 11.1.1 Obtenga les coordenadas esféricas de los puntos cuyas coordenadas cartesianas se dan en el ejercicio 11.6.1. 11.7.2 Obtenga las coordenadas cartesianas de los puntos siguientes, dados en coordenadas esféricas.

(a) (2,1r/2,1r/6); (d) (3,,r/3,31r/4);

{b) (2,;r/2,tr/2); (e) (-4,30°,120º);

(e) (5,37r/2,;r/3); (f) (3, 120°,30°).

11.7.S Obtenga una ecuación cartesiana de las superficies siguientes, cuya ecuación se da en coordenadas esféricas.

(a) p = 2; (d)p006ef,=4;

(b) p = 4senqjcos0; (c) psenqj = 1; (e)oosO=ootqj; (f)p=4senqj.

11.7.4 Obtenga una ecuación en coordenadas esféricas para cada una de las superficies siguientes, dadas en forma cartesiana. (a) 'J;2+ 1l + z2 = 9; (b) x2 +1¡2 - 4z2 = 16; (c) :i:2 +t.r2 + 9z2 = 36; (d) y= 3; (e) :i:2 + y2 = 9z; (f) y= 2x2 + z,

,

APENDICES

252

Apéndices

Apéndice A Resumen sobre las cónicas Etipec

C'm:unfcrcnda

Oelln.ld611: ea el

lug., g,e<>mé>rlco de loo pun, .. del

plaoo talco que

sud.lita~

tu dlst.anela a un pun,o fijo (.,..,1,0) es oonatM.te (~ .-)

e. una recta RJa

(dlt«tdx),.

lg,w

a tu dl:stMC:i.a a un punto fijo (loco)

}Upérbola

la suma de lUS dlslandat

ladllen,n~ de ws dlotonclN a doe pu11toe Rjot (loooo) "' oooáonto (• 2a)

adoe puntos fijoo (!0<00) et COO$\.&nle

(=2a)

............

a= semieje

os semieje

p.,4me1.,..,

r = radio de la clrc unfere.oclA

p = dl$t6'lda del vdrtlce o! loco (y a la dlroctrb)

E:jeloct.1

h
z'l:+11,•r2

Rel..tlCl6n cut.re los parámetrot:

.

&oeotricidad.:

e=O

v' =dpz

mayor

b= semleje

b = .. mloje

e= dJt1tanciA del oentro a cada roo:,

t

conjugado

"""'º'

Eje local horbontak

.,.

oeotro a ca.da loco

E:Jeloct.l

horb:o.otal:

rí'

,..

.,+.,=I

ri'

.. b'=I

Eje local \'O"lical: .¡, •4pu

E:je loc:al \'er'lical: 112 z2

+•l 42 ,,,

112:

.

¿, =lí'+
o•+b'=
e•J

O<

E:jc!oct.l \'Crtical:

ª'-

e =e/a<

l

Eje IOCA.l

E:je!oct.l

bori>on,a): :i = _,,,

Oirectrioes:º

= diste.ncia del

.Eje íocal ,'el'&ical:

11=p

hortt.01ual:

•

:i:=±=±

•

Eje loc:al ..crtical:

a 11=±=± •

••e

o• e

:r2 l,2

=1

c~c/a>l Eje local borb:ontal:

:t•±•±

•

••

e

e

• e E:Je!oct.l ,...-1lcall • •• 11=±=± Eje íoeol

h<>rl>onial: As.lnr.ot.&a:º

.

.

.

b:r

11=±

•

Ejeloct.l

,utical:

ve±-"-" b

Fstas ccuecícnes se re.6oreo a la par'1>olas oon ,'trlioc oo el ori.gm y d.rcunfcrenc:ias, elipses e bipl:rbolaa ooo ccotro en el origen; para obtener la ccuadón de la cónica coo ,útlcc. o omtro en (h1k)1 so roonplau z por 2: - h y y por 11-k¡ lo mismo se hace para obtener sus dira::trices y sus Mintotas. 0

253

Apéndices

Apéndice B Resumen de la ecuación general de segundo grado en el plano A:r;2 + Bxy + Cy2 + D» + Ey + F = O Indicador: Curva tipo:

Casos posibles:

(medlanee una rotación y una translación sdecuadas,

las ecuaciones fueron puestas en rorma cardoíce.)

i=B2 -4AC < O cllpse

i=B2-4AC=0 parábola 1) Parábola 1l = 4¡,:i;,p I

o

2) Dos recess pe.ralclas 112 = k,k

>O

3) Una recta

hipérbola

1) Circunferencia z2+y2 =r2,

1) Hipérbola

r#O

---=l

2) Elipse

2) Dos rectes que se cortan ,,. y2 ---=0

i'

a•

,,. y2 -+-=l

a•

li'

a•

,/

li'

li'

3) Un punto

,,, v2

11=0 4) Ningún luga.r geométrico

1Í'

i=B2-4AC>0

-+-=0 a2 b2 4) Ningún luga.r geométrico

x•

v•

-+-=-1

=k,k
a•

li'

Apéndice C En matemáticas es común usar las letras del alfabeto griego para representar variables, objetos y magnitudes geométricas. En la tabla siguiente aparecen las letras griegas (mayúsculas y minúsculas) con sus nombres.

A B

r

t,. E

z

}[

a

Alfabeto griego ¡ L iota a alfa (3 beta K kapa gamma A >. lambda 'Y s delta M µ mu {,E épsilon N V nu ( dsete. ( ksi eta o o ómicron 1/ theta TI 'Ir pi O, '19

"

-

p E

T T cf>

X

'1í

n

o

ro a,« sigma 'T tau v (psilon t/>, tp fi X ji ,p psi w omega P,

Apéndices

254

Apéndice D Identidades trigonométricas

l. ldentidnd• reciprocas 1 1 ,cnO• csc9; cotO• set.O; 1

&. ldcu1t.J(lftdt.}• dA aotni&ngulo•

sen,O= 1-00620; 2

1

tanlJ= -0; cot9= --8; COI tan

cos-20=

'o

l 1 tcc8 • --; ac9 • . cos9 sen8 2. Identidades pitAg6rico.s sco2 (J t

+ a:w.29 •

~•)«,.(8;')

seo (9

000

....

4, ldentid.ndes de et>íunciooes

ooe{i-o) escn9;

coe(O

•cotO;

ac{f-9)

•tccO;

coo(O -~)+coo(O +\1)=2coo0..,.t,I;

=csc8;

eot{i-o) =tan8.

1cn(8 +6) +1m(8- 6) • 2BCD 9cos~

-ICOO¡

OOll(-0) =co&O¡

tan(-0)=-tanO;

cot(-8)=-cotO;

,ec(-e) =•ec9; eoc(-0)= -01c8. 6. I.dent.id.odM de eut.nlt.S y difér1J1,chu

scn(O ±6) •1<08000\1± BCD•coo0;

= cos Be<>&,;\ :¡:sm Osen\!; t3ft

8 ± \.tUl 4'

ª 1 ,ctanOtan\1°

1. Identidades de ángulo doble

seo(20)e2sm8e<>&0;

00&(29) e

00&'2

O- 8en29

-2ooe'o-1

•J-2sm29;

tan(20) • 1

10. ldentidadea de su.mas a productos

•coeO;

5. Jdentid.od~a por p(\ndad

tan(O± \1)

i(,eno- ..n•);

coo(º!<>)CG& (º;•) = i(cosO+ccosl); '"' (º!•)sm (º;•) =-i(coo8-<0
•en

00&(8 ±\1)

= ~(smO+sen•);

-(º!
S. Tdo11tidnd.éa oodo,,té O coeO tan 8 = 0; ootO = 0.

sen(-9)•

• 1 +coe2íJ'

9. IdtJntidncle.a de productos a sumoa

l;

1+eot•o=coc:2o.

sec{i-o)

l-cos26

tan

+ t.&n2 () = sec2 9¡

seo(i-9) tan (i-0)

l+coe:20¡ 2

~ano, o· - '""

2

-\1)-cos(O

+•) e

2seo8&
sen(O +<,!)- seo(O- <,) = 2oos0seo\l. t t. Lo)' do los caa,onoa

o2 = b2 +c2

- 2.bcCIOIO

12. Le)' de loe aenoa a 6 e ;;;;; = eenfJ = sen'} 1 S. Ley de W t.Angru.1te•

tan(~)

a+b

a-6

=

,an(~)'

14 . .Árü 1 ÁN,a

=

ee un

2"""'º1'·

triAn,gulo


Capitulo 1 1.1.1 Cada uno de los dos ángulos, sumados a. un eercero, son iguales a 180°. 1..1.2 Por igua.ldad deMgulos opuestos porol vértice y detl.ngulos con lados paralelos. 1.1.3 Prolongue un lado, trace por el vértice una paralela al lado opuesto, e identifiqueángulos correspondientes y alternos internos. 1.1.4 Analice las diferentes cooJlguracioncs posibles. 1.1.5 'Irsce un segmento del punto medio del lado desigual al vértice opuesto. Se forma.o dos tríángulos congruentes. 1.1.6 Si las transversales son paralelas, el resultado es obvio. Si no lo son, prol6nguelas ba.sta.que se unan. Se Iormsn así tríángulos semejanoos. 1.1.1 Del extremo del lado que no es diámetro, se traza un segmento que vaya al centro (radio) del círculo para foanar un triángulo iB66celcs. Como los ángulos internos suman 180°, la suma de los dos ángulos iguales es igual al ángulo externo (central). 1.1.8 EB consecuencia inmediata del resultado de 1.1.7. 1.1.9 Utilice el resultado de 1.1.7. 1.1.10 La tangente es perpendicular al diámetro en el punto de tangencia. Con este diámetro formamos un ángulo inscrito que es complementario del que queremos medir. 1.1.11 'Irace una perpendicular en cualquier punto del diámetro y demuestre que los segmentos comprendida, entre la. circunferencia y el diámetro son iguales, usando los resultados de 1.1.3 y de 1.1.9. 1.1.12 Tome un poste de altura conocida, por ejemplo una unidad, y forme con su sombra un triángulo rectángulo, semejante al formado por la pirámide y su sombra. 1.2.3 Con su cuerda forman un triángulo de lodos 3, 4 y 5 metros. 1.2.4 Los segmentos t, y t, son conmensurables si y sólo si existe una unidad de medida. ti t.8l que t, = mu y t2 = nt,. De aquí so derivan las dos sñrmectonee. 1.3.S La ley de los cosenos se encuentra en el Apéndice D. Tome en ella un ángulo de 90". 1.3.4 La respuesta. es sí. 1.S.5 la. respuesta. es sí. 1.3.6 Ellto equivale a. eocontra.r la. media. proporcional o media geométrica :t de a y Ir. a/:t = :t/b, o sea, :i' = o.b. Para obtener z, construya. una circunferencia con diámetro a+ b, entonces, :r sera el segmento perpendicular al diámetro que va del punto de unión de a y b a la circunferencia. 1.4.1 (a) El número de caras de un poliedro es igual al número de vértices de su dual (b) Si tomamos como vértices loo centros de las caras de un poliedro regular y los unimos, obtenemos un poliedro dual del primero. 1.4.2 La fórmulaes: V -A+ C = 2. Capítulo 2 2.1.1 Construya la media proporcional como en l.8.6. 2.1.2 Construya un rectángulo de lgual área y aplique 2.1.1. 2.1.S La respuesta es sí. Construya. un triá.ogulo de igual área. con el perímetro como base y apotema (dístsncíe, del punto medio del lado al centra del polígono) como altura; luego aplique 2.1.2. 2.2.S Si el corre es oblicuo, se obtienen elipses; si el oorte es perpendicular, una circunferencia, y si es longitudloal, una recta o dos rectas paralelas,

255


256

2.3.1 'Ibmaado M, punto medio de AB, y cualquier punto P de la mediatriz, construya triángulo,¡ congruentes. La. mediatriz es la recta que pasa por P y M. 2.3.3 El ángulo que forman es semíínscríto. 2.3.4 Con el punto, el centro de la circunferencia y los puntos de tangencia, construya triángulos congruentes. 2.3.5 Use el resultado de 2.3.4. 2.3.6 Los triángulo,¡ rectángulos formados por el vértice del cono, el punto de tangencia y la p~ióo de éste sobre el eje del coco son congruentes. 2.S.7 Los puntos de interseecíén forman un paralelogramo y, por tanto, sus lados paralelos son iguales. 2.4.1 Uie el resultado de 2.3.3. 2.4.2 Trace dos cuerdas. Sus mcdtatrices se cortan en el centro de la circunferencia. 2.4.S Los puntos medios de cuerdas paralelas forman rectas que pe.san por el centro de la clípsc. 2.6.l Utilice el procedimiento para su construcción mostrado en la sección 2.4. 2.6.2 Trace rectas paralelas a la directriz y, desde el foco, localice con un compás puntos de la hipérbola. 2.6.3 Misma sugerencia que en 2.6.2. Capítulo 3 3.2.1 (a) 43/20 {b) 71/33 (e) 440/333 (d) -143/125. S.2.2 (a) 27.25 {b) 0.06 (e) -3.6 (d) 10.8823529411764705 S.2.3 (d) Use un triángulo rectángulo coa catetos de longitudes 2 y l. 3.4.l (a) 5 (b) ,/fil/2 {e) (../2/2}a (d) 3 (e) /66. 3.4.2 (a) escaleno (b) rectángulo (e) escaleno (d) colincalcs (e) rectángulo. 3.4.S k = 5. S.4.4 k1 = 6,k, = -2. 3.4.5 (h,k) = (-8,13}. 3.4.6 (h,k) = {ll/JO,ll/10), (h,k) = {11/14,-11/14). 3.4.7 (a) \Oz-4y - 5 = O (b) Una rceta. (e) Los puntos enoontrados son iotersoccioncs de medíatrlces. 3.4.8 (a) 6z- 12v + 4z = 7 (b} un plano. S.5.1 (a) (5,3) (b) (-1,-2} (e) (-1,1,1) (d} (3/16,-9/16,3/16}. S.5.2 (o) (14/5,-7) {b) {11, 6) (e) (5,-12/5) (d) (-34,-8,9) (e) (6, 12, O). S.5.3 (a) (-4, 1) y (-7,0) {b) (8, 5) y (5, 4) (e) (5, 10/3) y {3,-4/3) (d) (-4,1,3) y (-7,0,8/3) (e) (4/3,5/3,11/3) y (5/3. 7/3, 4/3). 3.5.4 B(6, -2, O). 3.5.5 (b) Los segmentos son paralelos porque los triángulos sm semejantes. 3.5.6 B(6, 23). S.5.7 (b) La. razdn de división externa es -1/2, B{-l, 10). 3.5.8 {2, 3, 2) y {O, 3, 2). S.5.9 r = 2, P{l,-4),Q{9,4}. 3.6.l m1 = -3/7,m,, = -7 /6,ffil = 4. 3.6.2 (b} 3/4. 3.6.3 k = l. S.6.4 {13,-1),(-11, 5) y (1,-11). 3.6.5 a= 33.69°, k =3tan2a= 7.2. 3.7.1 m1 = m,, = -5/2. 3.7.2 m1 = -1/2,m, = -5,m3 =(a+ 1)/a. 3.7.3 AB y CD tienen la misma loogitud y el mismo punto medio (i, l}, que es el centro del círculo. 3.7.4 m = S. 3.7.5 1.aB pendientes de lados opuestos son iguales. 3.7.6 (a) tano = -7 /3,WlP = -7 /3,tAn"'f = -21/20. 3.7.7 m = -1.3.7.8 m = 3/2. S.8.1 (a) cosa= 2/7,oosP = -f,/7,oos-y = 3/7 (b) coso= O,cosP = 12/13,oos-y = 5/13 (e) coso -6/7,rosP 3/7,cos,y 2/7. 3.8.2 No se cumple la condición cos2a + coi,2 P + cos? 'Y = l. 3.8.3 OOS"'f = ±,/'i!i/6. S.8.4 Compruebe que AB e, paralelo a CD y AD es paralelo a. BC. 3.8.5 Compruebe que AB y AC tienen la. misma dirección. S.8.6 cosa= 5/(±,/'i!i),oosP = -l/(±,/2a).oos1 = 2/(±,/23). 3.8.7 Como (:i: l,y2, z - 3) = k(4 1, -5 - 2, 6 - 3j para todo punto de la. recta, y para el punto buscado z = 0,-3 = 3k, por Jo que k = 1 y el punto es (-2,9,0). 3.9.1 (a) AB es perpendicular a BC (b) área= 3,/í'f/2. 3.9.2 oos9 = 1/,/6,9 = 6~.90°. 3.9.3 oosP = 3/.,/26,p = 53.96º; cos-r = ,,/17 /26, 'Y= 36.04°. s.9.4 cose= 0,9 = 90.00°. S.9.5 sen9 = -1/../2,9 =45.00". Capitulo 4 <1.1.1 (a) y= 5z+ 7 {b) z +11 = 10 (e) 4%-y-6 = O (d) 5z+6y-48 =0 (e) z-11-2 = O (/) 3z-5y+15 = O (q) 2z+3y-4 = O. 4.1.2 (a) z/{-10/6)+y/{10/3) = 1, y= 2%+ 10/3

=

=

=


257

(b) x/(-12) +v/4 = l,1J = x/3+4 (e) x/6+11/6 = l,11 = -x +6 (d) z/(3/4) +v/(-9/2) = l,y = 6:i:-9/2. 4.1.3 Tienen la. misma pendiente m = -3/4. 4.1.4 El producto de SU8 pendient-es 2/5 y-5/2es l. 4.1.5 (a) a= 5,b = 6, m = -6/5 (b) a= -9/7,b = -9/2,m = -7 /2 (e) a= 9/2,b -6,m 4/3 {d) a= 8,b 8/3,m 1/3 (e) a= O,b = O,m 3/4 (!) a= 4/5, b = 2, m = -5/2. 4.1.6 (a) m = 8 (b) m = 3/7 (e) m = -4/3 (d) m = -1 (e) m = -1/2 (J) m= 2. 4.1.7 (a) 3x +y-10 =0 (b) 3x-11+5 =0 (e) 2"'+11-9 =0 (d) 2:i:-¡,+10 =0 (e) z+¡,-1 =O(!)¡, =m(x-a). 4.1 ..8 (a) k =3 (b) k= 7/4 (e) k =3 (d} k = -11/4 (e) k1 = 1/2,k, = -1. 4.1.9 x + 11 - 2 = 0,x + 4y + 4 = O. 4.1.10 (a) t = w/2 + 5 (b) lo= 5. 4.1.11 (a) A= 17 (b} A= 15/2 (e) A= 42 (d} A= 10. 4.1.12 A = 41, use la. generalísacíén de la. li:írmula 4.6. 4.1.13 k, = -44/3, k2 = 40. 4.1.14 (a) A= O (b} Son coílneales. 4.1.15 a= -10/7,b = -10/21. 4.1.16 Q(-1,3). 4.1.17 ¡¡ = 2x ± 4. 4.2.1 11 = 3:t ± 7 /../ITJ. 4.2.2 (a) p = 7 (b} p = 3/2/10 (e) p = 10/~ (d) p = lb/ v'iñ1+TI (e)~= l(-5m+2)/v'ñi'+TI = l(k-mh)/ v'm' + ll 4-2.3 (a) k = ±../5/2 (b) k = (-3±2v'6)/5. 4.2.4 (a) 11 = -3x±5vl0 (b) ¡¡+5 = -21(:t-2)/20 (e) 3:t-4¡¡±60 = O (d) y= ±3(x +8)/./55. 4.3.1 (a) d = 37/10 = 53/10 (e) d = 7/10 (d) d = 57/10. 4.3.2 (a) d = lm 11 (b)d=l(mh-k+6)/ m +ll.4.3.3 (a) 7:z:+11-29=0,3x+4y-16 =0,4:t-3¡¡-13=0 (b) u,ósoeles y rectángulo. 4.3.4 h, = 8/5,"'2 = 28/5,h., = 56/39. 4.3.5 (a) m = 4/15 (b) m = ±4/3 (e) m1 = 21/20, m.2 = 3/4. 4.3.6 (a) 4:t + 311 + 11 = O, 4:t + 3y - 9 = O (b) 11 = -4,12x+5y+32 =0. 4.3.7 (11) 18x+3111-30 = O (b) x -2,15:z:+811 +34 O. 4.3.8 (a) a1 = b¡ = 11,a, = b2 = -5 {b) a= 6,b = 8, la.otra solución es la.recta x = 3, que no puede escribirse en forme símétrica (e) e.= 20±10../5,b = 15±10../5. 4.3.9 4:t-311+46 = 0,4x-3y+6 = O. 4.3.10 x-5¡,+10 = O. 4.3.11 (a) z+311-4 = O,x+11-4 = O, 2"'-411+7 = O (b) lOz - 611- 51 = 0,8:t + 2y -51 = 0,2z -811- 17 = O. 4.3.12 (a) h.1 = k1 = 2, h,, = k, = 2/3 (b) h.1 = 2,k1 = -6; 1,,, = -18/11,k, = 14/11 (e) h1 = 599/33,k, = 257/11; h,, = 449/33,k, = 137/11; h.3 = 183/33,k:, = 153/11;/,.4 = 1,k. = 3 (d} Los puntos buscados son el incentro y los excentros del triángulo: h1 = -83/ll2,k, = -13/16; h, = 111/36,k, = 253/84; = 111/36,k3 = -331/12; "-4 = -379/16,k4 = -13/16. 4.3.13 36:i' -40:t11+4y2 +308:t+9y +285 = (18:t- 211+ 19}(2:t - 2y+ 15) = O, dos rectas

=

=

=

=

=

(fl.J?.

Jl f

=

=

,..J

que se cortan. 4.4.1 (a) 'Todas tienen pendiente m = -a/b {b) Su ordenada en el origen es el promedio de las otras dOII. 4.4.2 a = k - 1, b = k + l,a - b = 2. 4.4.4 'lbda.s pesan por (1, O). 4.4.5 Toda.s díatsn 5,/2. 4.5.1 (a) 1x - 6¡¡ 22 = O. 3x - 2¡¡ - 30 = O, x - y+ 2 = O (b) 4:t - 3v - 23 = O, 13x-12y-50 = O, 11 = 11. 4.5.2 (a) Bx-y-23 =0, x+11-l = O, x-2¡¡-6 =O (b} 32:z: + 2411- 39 = o, 64:i: 48y- 17 = 0,192:z: + 8v - 41 = O. 4.5.3 (a) G(56/15,3) (b) 1(312/91,312/91) (e) 0,(99/28, 171/35) (d) C(1073/280, 72/35). 4.6.1 (a) 1ipo T = 4, tipo U= 4 (b) U máxima.= 400. 4.6.2 (a) Juguete T = 30,juguctc n = 10 (b} U máxima.= 1800. 4.6.3 (a) Producto A = 4, producto 8 = 4 (b) Costo mínimo = 80. 4.6.4 (a) Marea 1 = 30, marce 2 = 10 (b} Costo mínima= 170. 4.7.1 (11) :i:2 + ¡¡" = 41 círcuaícrcncta (b) x2 1211+ 36 = O parábola (e) 3:i:2 + 3112 - 16:t 20y +32 = O círcunferencía (d) x• + 2:i: + 2y = O parábola (e) ¡¡" + 6:t- 15 = O parábola. (/) t» -211-17 = O recte. (g) 9:t2 -16¡¡2 - 144 = O hipérbola (h) xy = ±10 dos hip!rbola.s (i) Parte externa de las círcuníerénclas:i:2 +v' +2¡¡-19 = O y x2 +v' 4:i: loV+ 9 = O, que se Interseetan en A y B.

Soluciones Y sugerencias

258 11

11

1/ 4.7.2

.,

5

1

o

-2

(a.)

o"'

(b)

2

3

(f}

(e) 11

~ 3

12

.,

1

(j)

o {k)

.,

o

2

.,

3

(e)

11

o

-6

(d)

·*· *H4f' (g)

8 .,

(i)

(m)

(o)

11

11

o

{o)

(r)

(q)

4.7.3

o

1

.,

1 1

1

(a.)

1

(b)

(e)

.,

{d)

J3

•


259

!/

11 •

10

8

:t

1

•'

(g)

%

1 1 1

:t

(f}

11

1

O)

{i)

(b}

11 !I

,_ __ ,_ l_ 1 4 1

r 5

1

~

%

1---

(m)

(1)

(k}

(n)

4.7.4Máximo en :r: = 6,/2. 4. 7.5 Má.ximo si :r: = 6,/2. 4.7.6 Calcule por separado F cuando :t < o, O< :r: < 10 y :r: > 10. Capitulo 5 5.1.1 {a} 4:t-2y-z = O (b) x+11+z-2 = O (e) 3:t- 711-Sz- l 7 = O (d) :i:-2y+2z-9 = O. s.1.2 (et} 6:t-y+sz-6 = O (b) :t+ 11- z =0 {e) 4:t-11-Sz-12 = O (d) :t +y+• - 2 = O (e} y= 2 (/} :,; + 9¡¡ - s - 12 = O. s.1.s Use la forma de determinante de la ecuacíén del

plaao.

5.2.1 (a) 2:t/7 -311/7 + 6z/7 ± 9 = O (b) 2:r,/7 - 3y/7 + 6z/7 ± 6 = O (e) 2:t/3 -11/3 + 2
=

=

=


260

5,4,4 25x + 1311- 42 = O, 11:t + 13, - 32 = O, 1111- 25z + 26 = O. 5.4.5 Muestre que el tercer plano está. en el haz de los primeros dos. 5.4.6 &criba la recta en forma, paramétrica. y sustituya. en la ecuacíén del plano. 5.4.7 ll:t + 2111- 18: + 14 = O. 5.5.l (a) 6 = 47.92" {b) 6 = 8.09°. 5.5.2 O = 78.90°. 5.5.S (a) O = 90° (b) (0,0,0). 5.5.4 38.11º. 5.5.5 80.50°. 5.5.o 134.18º. 5.5.7 10.8go. 5.5.8 Use números directores. 5.6.1 d = 3/./'if,. 5.6.2 d = 4/2. 5.6.S d = 11. 5.6.4 d = 8_.12. 5.6.5 d = 9. 5.6.6 d = 37/,/iiñ. 5.6.7 Se interscctan en (3,5, 7) (b) 2:t + 10¡, - 7: - 7 = O. 5.6.8 (a) Use números díroctores {b} 3:t - 411 + 8z - 8 = O. Capítulo 6 6.2.l Use la definición y las propiedades de los reales. 0.2.2 u.e la definición y las propiedades de los reales. 6.2.S Muestre que O, P y Q son colinesJes si y sólo si sus coor-

o=

o=

o=

o=

denadas son proporcionales.

6.S.l Use 6.2.3. 6.S.2 Plantee ap + bq = r como un sistema de ecuaciones con a y b como incógnitas. 6.S.3 Plantee ap + bq + cr = s romo un sistema de ecuaciones con a,b y c romo incógnitas. 6.S.4 Use 6.3.3. 6.3.6 Muc.-tre que p q + (p + q) = o. 6.S.7 Si los lados son p y q, las diagonales son p + q y p - q. Muestre que q + (p q)/2 = (p+q)/2. 6.S.8 Muestre que los lodos opuestos son iguales, pero de signo contrario. 6.3.9 Uso que 2(AP + BQ + CR) = AB + BC + CA = O. 6.s.10 Muestre que aJ recorrer dos terceras partes de las medianas empeeaedo desde un mismo vértice, se llega al mismo punto. 6.4.1 Use la definición y las propiedades de los reales. 6.4.2 Use las propiedades de la oonna. 6.4.4 (a) 31.48 {b) 62.96. 6.4.5 (b) El resultado del incoo anteríor se puede escribir a2+b2 ab,;; 2-.6.4.6 {b) Demuestre que IIPII,;; IIP qll + lfqll Y que lfqlf,;; llq pll + IIPII· 6.5.1 Use la definición y las propiedades de los reales. 6.5.2 (a) 6 (b) O (e) O (d) 36 (e) -24 (/) 24. 6.6.1 O = 76.230. 6.6.2 oos01 = 37/63,cosO. = 22/(9vri;i'),cos03 = 6/(7/14). 6.6.4 eos e = 2/7,cos{J = 6/7,cos"( = -3/7. 8.6.6 Demuestre que la suma de dos de dios es el tercero y que dos de ellos son ortogonales. 6.6. 7 Parta de la igualdad IIP qll2 = (p q) · (p q). 6.6.8 B,cprere los lados y las diagonales en la forma p, q; p + q, p - q. 6.7.1 Utilice que p ·p = IIPII'· 6.8.l (a) 7/9 (b) 7(4,-4, 7)/81. 6.8.2 (a) -1 {b) (-4,-7,4)/9. 6.9.l (a) Use l& definición (b) Use el inciso anterior. 6.9.2 ~ la. definición, si p x q = O, entonces las componentes de p y q son proporcionales. 6.9.S (a) (-1,-5,-7) (b) (1,5. 7) (e) (2, 10, 14). 6.9.4 (a) 2p ·q x r (b) O (e) O. 6.9.5 e= ±(1,2, 1 )/ ,/6. 6.9.7 Use la liírmula 6.5 y la. propiedad (ix) del producto cruz. 6.9.8 &riba los lados del triángulo en la forma p, q, r oon p+q +r = o y multiplique esta ecuación por cada uno de los lados del triángulo. 6.9.9 Si son ccplanares, r = op + bq, y si p · (q x r) = o, p está en el plano de q y r. 6.9.10 (a) 7/,/6 (b) 7/2,/6. 6.9.11 (a) V= 28 (b) V= 54. 6.9.12 Obtenga el área de la base con IIA B x ACII y la altura con la pro¡,,:cción de AD sobre A B x AC; V = 40. 6.9.13 Use el procedimiento del ejercicio anterior. 6.9.14 Use el resultado del ejercicio

anterior.

6.10.l (a) r = (2,-1,4) +t(-1, -3,2} (b) r = (3, -2,1 )+t(-2, -1, 4). 6.10.2 (a) Mediana por P: (-1, 7/2,-1/2), (1,2,-1); mediana. por Q: (3,-1/2,-5/2), (1,2,-1); mediana por R: (1,3,0), (1,2,-1) (b) C(l,2,-1). 6.10.3 (a) ((x,11,z)- (1,5,3)) · (2,3,6) = O (b) ({:t,1/, z)-(1, 4,3))·(-l, l , 1) = O (e) ({:t, 11, z)-(1,2,-2)) ·(-1, -2, 3) = O (d) ((x, ¡.,,z){2, -1, 6)) · (-2,4,3) = O. 6.11.1 (a) d = 4 (b) d = 5. 6.11.2 (a) d = 2 (b) d = 2.


261

6.11.3 (a) d = 32/9 (b) d = 4/./26. 6.11.4 (a) d = 4/./3 (b} d = 3/Vl55 (e) d = 10/V474. 6.11.5 (a) d = 2/ v'6 (b) d = 5/ ./30 (e} d = 28/13 (d} d = 9/./'fS. Capítulo 7 1.1.1 (a} z2 -2ir = 10 (b} ir-4:t = o (e) z2 :l)lf +112 + ax a11 = o (dl z2 -&:11+1P = o (e) 3:t' - 2:ty - !Í' = l. 7.1.2 (a) :t¡, = -2 (b) ir 2./2:t + 2 = O (e) t 1:t2 - 14!Í' = 32 (d) 5:t2 + 2:ty + !Oy2 = 3. 7.1.3 (a) El coeficientede :t no cambia con oranslaciones {b) h = 1,k = 3. 7.1.5 'Iranslsde el eje :ta y= l!'.l, refleje y baga la translacídn inversa. 7.1.6 (a) (:t - 2}2 + ¡¡2 = 4 (b) (y- 2)2 - :t2 = 1 (e) ,? + y2 = 4 (d) z• + (y- 3)4 = l. 7.1. 7 (a) Sí es (b} No es (e} Sí es (d) Sí es. 7.2.l (a) (:t + 1}2 + (11- 2)2 = 36 (b) (z - 4)2 + y2 = 16 (e) (:t - 3)2 + (¡, 4)2 = 49/4 (d} :t2 + IÍ' 4x + 811 = O (e) (:t - 9)2 + (y - 11}2 = 9, (z - 9)2 + (11- 5)2 = 9 (/) (:t - 6)2 +(y± 8}2 = 100. 7.2.2 (a) C(4, -2), r = 5 (b} C(3, O), r = 3 (e} C(6, I}, r = 7 (d) C(3, O), r = 5 (e) C(-4, -3), r = 5 (/) C(O, -4), r = 4 (g) Es el punto (-1, 1) (h) C(5/4,0),r = 5/4. 7.2.3 k = r = 2. 7.2.4 h: =r = lal, 7.2.5 d(Cl, C2) = n +rs = 10. 7.2.6 La distanciadel centro a la recta no es el radio. 7.3.1 (a} (:t-8},+(11-31/4)2 = (1025/16)2 (b) (:t+J)2+(y±4}2 = 25 (e) (x-4)2+(y-4}2 = 5 (d} (x - 3)2 + (¡¡ +4)2 = 25, (x -4)2 + (11 + 3)2 = 25. 7.3.2 (a} (x 3}2 + (11-4)2 = 25 (b) Ningún lugar gecmétrico (e) (x + 6)2 + (¡, + 5}2 = 64 (d) El punto (-1/2,-1/2}. 7.3.3 (a) (:t- 6)2 + (11 ± 6)2 = 36 (b) (x 5)2 + (11 - 5)2 = U, (:t - 1)2 + (11- 1)2 = t (e) (:t - 8)2 + (y - 8)2 = 4 (d) (:t + 5)2 + (y- 25/4)2 = (25/4)2 (e) :t2 + (¡, + 4)2 = s, (:t +2)2 +!Í' = 5 (!) (:t-6)2 + (11-6)2 = 36, (:t-1 )2 + (11-1 )2 = 1, (:t-2)2 +(y+2)2 = 4, (:z:+3)2+(11-3}2=9.7.3.4(a}(:t-5}2+

5)2 125 . =-;¡-(b)(x-2}2+(y-2} 2=4 ( y+2

(e) (x + 8)2 + (y- 2)2 = 100, {:t - 17}2 + (11- 2)2 = 100, {:t - 9/2)2 + (11 - 56/3)2 = lOO, (:t - 9/2)2 +(y+ 44/3)2 = 100 (d} (x - 5)2 + (s, ± 5)2 = 25, (x + 5)2 + (11 ± 5)2 = 25 (e) (:t - 4)2 + (11 - 10)' = 49 (/) C(a/(1 + m'},am/(t + m2)}, r2 = a2 /(1 + m2). 7.3.5 (a) Circunferencia:t2 + s,2 = 8 (b) Circunferencia (:t + 8/3)2 + (y 10/9)2 = 104/9 (e) Rect&x =21/S(ejo radical) (d) Circunferencia(x-16/3)2+!Í' = 85/9. 7.3.6 Desarrolle el dctermJnantopor la primera fila como en (5.5) para ver que es una circunferencia;contiene a los puntos, pues al sustituír en el determinante se repíten filas y el determinante se anula, 7.4.l (a) Normal: 4z - 3v = O, tangente: 3:t + 4¡, - 25 = O {b) Normal: 3x + 5¡¡ = O, tangente: 5:t - 311 + 34 = O (e) Normal: 3:t + 11 - 8 = O, tangente: z - 311 + 4 = O (d) Normal: 3x+ 1011- 29 = O, tangente: lOz- 3y- 24 = O. 7.4.2 (a) 3z -4y ± 25 = O (b) 108:t +45¡¡ ± 455 = O (e) 4x- 3y ± 30 = O (d) 3z+2y ± 26/../'fj = O (e) 5x-y+ 52 = 0,z + 5y - 52 = O (/) x = 8, 3z + 411- 40 = O. 7.4.S IIPNII = 9/2, IIPTII = 6. 7.4.4 tan 8 = 43/53. 7.4.5 tan O= 21/20. 7.4.6 La. pendiente de la. tangente es -:,;1/11,. 7.5.1 (a) :t2 = 20y (b) IÍ' = -12:t (e) 9x2 +24zs, + l 6v2 40:t +30y-25 = O (d) (x-3)2 = -8(y-2)(e) ,? = -12(11-1) (!) 9x2-24:t¡,+16s,'-346z-222y+81 = O. 7.5.2 (a) x1 = 8y (b) IÍ' = 4:t (e) (ti 4)1 = -8(:t- 5} (d) x2 = -611 (e} (:t -4)2 =8(1,1- 5) (/) ir = -25x/2 (g) 2:t2 +:t +11- 2 = O. 7.ó.3 (a} IÍ' = -20:t (b) :t1 = 32y (e} IÍ' = 18:t,:t' = 21J/3 (d) IÍ' = ±12:t,:t2 = ±12y. 7.5.4 (a) V(t,2},IÍ' = 6:t {b) V(-3,5),:t2 = -3¡¡/2 (e) V(J,-2),!Í' = 4:t/3 (d) V(-2,1),111 = 3:t (e) V(3/2,-3/2},x2 = y/2 (/) V(l/2,-5/16},x2 = 411/S. 7.5,5 (a) (4,6),(25/15) (b) (4,2},{4,-2} (e) (0,0),(t,l} (d) (0,0},(l,l},(-1, 1). 7.5.6 lado = 8,/sp. 7.5. 7 Encuentre C(h, k), punto medio de PF, y compruebe que d(C,F) = lkl. 7.6.l (a} 1, = 1/2, F(l/8,0), x = -1/8 (b) t; = 6, F(-3/2, O), :t = 3/2 (e) L, = 9, F(0,-9/4), ¡¡ = 9/4 (d} Ir= 9/2, F(0,9/8},tl = -9/8 (e} 1, = 4/3, F(l,7/3), JI= 5/3 (!) 1, = 3/2, F(-21/8,2), :t = -27/8. 7.6.2 Los tres puntos medios tienen ordenada


262

3. 7.6.3 V(l,2), P(6, 7). 7.6.4 (a} x - 11 + 2 = O (b} x + 2.11- l = O (e) x + 18¡¡ + 9 = O (á} 18x + 11+9 = O. 7.6.5 (a) (6,±6./2} (b} (-3,±6\1'2). 7.6.6 (2/3,2),(24/12). 7.6.7 (5,10}. 7.6.8 (-x1,0), (0,111/2). 7.0.9 'frazar la recta que pasa por los puntos obtenidos en el ejercicio anterior. 7.0.10 a f. O,ac = b2p. 7.6.11 Las tangentes son :z: ±¡¡- 4 = O. 7.6.12 Las tangentes son :z: ±11 + p = O. 7.7.1 3x - 411- 3 = O. 7.7.2 16,/6. 7.7.S La ecuación del arco es 50¡¡ = -3x2 + 60x. 7.7.4 25/2. 7.7.5 x = 30. 7.7.6 Si ir = 4px, la diferencia de abscisas de P y Q es 4p. 7.7.7 Otra pa.rábola de ancho focal 2p y foco (p/2,0). 7.7.8 Abscisa del centro= radio= (x, + p)/2, donde (xi, 111) es un extremo del diámetro. 7.7.9 Para las parábolas¡/ = 4p,x y ¡f = 4112:z:, cuyos anchos focales están en le. razón p1 /1>2, demuestre que si (x, 11) cst& en la pímera parábola, entonces (p,;x/pi,p,y/p,) está en la segunda. 7. 7.10 R(111/2,yi/2 + p), S(-11¡/2,yi/2 -p),(xi.111) de la parábola. está. en RS y la pendiente de RS es 11,/2:z:1. 7.7.11 Las rectas 11 = m:z: y 11 = -x/m cortM a la parábola 11 = 4p:z: en los puntos (4p/m2 ,4p/m) y {4m2p, -4pm), is. recta que los une corta siempre el eje x en :z: = 4p. 7.7.12 La cuerda focal que une al foco con la tnterseectén de 11 = 4p:t con 11 = m(:z:- p) tiene centro (p(2 +m2)/m2, 2p/m), cuya sbecísa es igual a su distancia a la directriz. Capítulo 8 8.2.1 (a) x2/36+¡//20 l (b) il/48+¡//32 l (e) il/25+¡//9 l (d) 9:i:2/125+ 112/25 = 1 (e) x2/27 +112/36 = 1 (/) :z:2/64 + 63¡¡2/64 = l. 8.2.2 (a) F(±./2T.O), 1,. = 8/5, e = ./2T/5, x = ±25/./2T, A = 1011' {b) F(0,±/5), 1,. = 8/3, e= /5/3, 11 = ±9//5, A= 6,r (e) F{±v'a,o), J.,.= 3, e= 1/2, x = ±4, A= 2/3,r (d) F{±-,/573,0), 1, = 20./5/15, e= 1//3, x = ±,/is, A= rn//3 (e) E(i),±4), 1,. =_1Y5, e= 4/5, 11 = ±25/4, A = 15,r (/) F(0,±,/3j?.), J.,. = 5/2, e= .,/318, 11 = ±4,/213, A= ./f"Oir. 8.2.S (a)(x- 4)2 /36 + (11-3)2 /27 = l (b) 3(:i: -4)' /16 + 3(11 +2)2 /4 = l (e) (x- 2)2 /4 + (11 - 3}2 = 1 (d) (z + !}2/7 + (11 + 6)2 /16 = l (e) 15(:z: - 4)2 /247 + 7(11- 4}2 /247 = l. 8.2.4 (a) C(3,3), e= V3/2, F(3 ± /3,3), :r; = 3 ± 4//3 (b) C{-2,1), e = ,/f,/3, F(-2 ± ./5, J), z = -2 ±9/,/f, (e) C(l,2}, e= 3/5, F(l ± 3, 2), x = 1 ± '1!,/3 {d) C{4,-2), e= ,/375, F(4 ± Ja,-2), x = 4 ±5/"./3 (e) C{-1,1), e= ,/21/25, F{-1.1 ± ,/.i2), 11 = 1 ± 50/./42 (/) C(-3,2), e= 1/Ja, F(-3 ± 1,2), x = -3± 3 {g) O(~, e= 2./2/3, F(0,2 ± 2./2), 11 = 2 ± 9/2../2 {h} 0(2/3, -1/2), e = ../'f/4, F(2/3 ± ../772,-1/2), x = 2/3 ± 8../277. 8.2.5 (a) 2c = 5 (b) 2a = 199, 2b = 28v'fi4 "'298.9;82. 8.2.G 211 = 36, 2b = 4,/65. 8.2.7 (a) a-e= 4, a+c = 16 (b) a= 10. 8.2.8 0,3v3/2,3,3V3/2,0. s.2.9 u¡1, ,/u n/7,39/7, ,./1111¡1, JJ/7. 8.2.10 x2/16 + 1/ /8 = 1, :i:2 /8 + 112/16 = 1. 8.2.11 z2/&:J + ¡//5 = 1, 4:i:2/65 + ,;2/260 = l. 8.2.12 a/b = 2/v'a. 8.2.13 Use que t; = 2b1/a y que e = e/a. 8.2.14 Vea. que es el determinante de una ecuación tipo cír cuníerencía, que puede ser un punto o ningún lugar geométrico; pero los dos puntos dados mtisfaren la ecuación. 8.2.15 r = ab,/2/(a1+ b2). 8.2.16 Si el punto está. a una distancia r del extremo inferior de la escalera de longitud 1, la ecuación es x1/(1- r}' + ¡//r' = l. 8.2.17 Muestre que d e = 2p implica que 2a{l - e2) = 4pe. 8.2.18 Los radios focales miden r' = (x ±e)' +11• y v' = b2-b2z2/a2• 8.2.19 (a -c)/b = b/(a+ e). 8.2.20 Use las definiciones. 8.2.21 FQ = PF'. 8.2.22 No se requieren cálculos, sólo interpretación. 8.2.23 (a) La ecuación :r2 + C¡/ + Dx + E11 + F = O se resuelve oon cuatro puntos. (b) La ecuación se reduce a x2 + 0¡¡2 + F = O, por lo que bastan dos puntos no simétricos roo respecto a los ejes y el origen. 8.2.24 Demuestre primero que si dos elipses tienen la misma. excentricidad y a, = kai, entonces b, = k",; luego demuestre que si P(z, 11) este, en la primera elipse, entonces Q{k:i, k¡¡) est& en la segunda. 8.2.25 '.ll'ace dos círcunfercnciss concéntrícss de radios a y b, a > b, y localice con regla y compás los puntos de coordenadas {:t, b¡¡/a) para cada punto (e, 11) de la circunferencia de radio a. Nótese que las á.roas está.n

=

=

=


263

eo la misma razón: 1rab = (1ra')b/a.. 8.2.26 Elipse de focos (O, O), (O, 2) y 2a = 5, pues la suma de distaneía.s es (r + 1)+ (4- r) = 5, donde res el radio de la. circunferencia tangente a ambas.

8.3.1 (a) a,,+ 16y- 35 = o, 16:i: - 3y- 10 = O (b) 9:i: + 4y + 40 = o, 4z -9y + 7 = O (c) 3:i: - 8¡¡ - 25 = o, 8z + 3y - 18 = O (d) 9z - lly - 49 = o, 11:i: + 9¡¡ - 15 = O. 8.3.2 Aplique el procedimiento y ooteje los resultados. 8.3.3 2:i:-31,1±10 = O, (±4/5, :pt2/15). 8.3.4 Pendiente m = -8/3, puntos de tangencia (±16-/5/ /53, ±3,/5/2/53). 8.3.5 En los puntos de tangencia buscados (:i:1,1,11), m = -3:i:¡/4y,. y por la condición dada, l:i:!11!.l_= 72/7, de donde los puntos de tangencia resultan (J'f27'f,±J'f27'f), (-,/'i217,±,/'i217), {./5f17,±72/7,/54), (-,/5417,±72/7../M). 8.S.6 En las ecuaciones de la tangente y la. normal baga x = O, y multiplique los valores que obtenga. de ¡¡. 8.3. 7 a"/il + Ira~ = af/il 8.3.8 Obtenga. y reescriba la.s ecuaciones usando la.s pendientes de la. sección 8.3. 8.3.9 Use la condición de tangencia anulando el discriminante. 8.3.10 Use 8.3.8 (a) para. ver que los dos puntos de tangencia (x,, v,) y (z,,,y3) están en la. recta dada. 8.3.11 3:1, + 2¡, - 2 = O, por el ejercicio anterior. 8.3.12 P(l0./33/17, ±8/7), P(-10v33/l 7, ±80/17). 8.S.lS Por simetría, los extremos de un diámetro son de la. forma (:i:1,1/1), (x,, -¡,,), que corresponden a tangentes con la. misma. pendiente, y recíprocamente. 8.3.14 Por 8.3.13 (b), las tangentes son extremos de un diámetro; tomando un punto (x1, 1/1) sobre la recta 11 = m:i: y haciéndolo tender a. infinito, la cuerda de contacto del problema. 8.3.10 tiende a. la. recta buscada, 8.3.15 En direcciones distintas, trace dos pares de cuerdas y una sus puntos medios, para. tener dos diámetros. 8.5.l (a) 9z' - 16¡,' = 144 (o) 1921,2 - 6411" = 12288 (c) 52:,:• - 111y> = 6084

(d) :i:" -4¡,' = 4 (e) 7:i:2 - 311" = 4, 15¡,' - 2:i:2 = 13 (!) 16¡,'- 9:i:2 = 1600 (g) ¡,2:i:2 = 64 (h) 9:t2 - ./311' = 27, 9¡.,2 - v':i:t2 = 27 (i) :t2 -¡,' = 32, y2 x2 = 32 (j) 16:i:" -9¡,2 = 144. 8.5.2 (a) F(±,/29,0), e= ../29/5, 1, = 8/5, :t = ±25/../29, 11 = ±2:i:/5 (o) F(±./i3,0), e= ./i3/2, l; = 9, :t = ±4/ ./i3, 11 = ±3:i:/2 (c) F{±/IS,O), e= v13/3, I,. = 8/3, :t = ±9//IS, y= ±2:t/3 (d) F{±8v'2,0), e= ,/2, l,. = 16, z = ±8/,/2, 11 = ±:t (e) F(O, ±8,/2), e= v'2, t; = 16, 11 = ±8/../2, 11 = ±:t (!) F(0,±../29), e= ./5/5, I, = 8, ¡¡ = ±1/../5, 11 = ±:t/2. 8.5.S (o) 8(:t-7)2-11' = 8 (o) 169(:i:-8)2 /400+169(11-5)2/3825= 1 (c) (11-1)2-(:i:+1)2 = 49 (d) 4{x-1)2-9(11-6)2 =52 (e)27(:i:-4)2-12(11-1)2 =324, 9(11-1}2-4(x-1)2 =12. 8.5.4 (a) F(2± /i3,l), e= v13/3, I, = 8/3, z = 2 ±9/v'is (b) F(-2 ±v'fo,3), e= ./iO, 1,. = 18,:,; = -2 ± 1/v'fo (e) F(3 ± ./15,-2), e= ../f,i2, l, = 18/./6, z = 3 ± 6/.,/ÍS (d) F(5±4fi7s,1), e= fils.1, = 16/5, :i: = 5 ±4/,/sfi (e) F(-3,±2v'6}, e= ./6/2, 1,. = 4, 11 = ±8/./6 (!) F{l, -2 ± 2-/5), e= ./5, 1, = 16, :e = -2 ± 2/-/5 (.q) F(±8, -4), e= 4/,/2, t,. = 16/,/2, :i: = ±4 (h) F(0,-4±4,/2), e= ,/2, l,. = 8, ¡¡ = -4±4/,/2. 8.5.5 Interprete los segmentos en términos de coordenadas. 8.5.6 Hipérbola :i:2 - ¡¡2 = 16. 8.5. 7 Use que d = ot: y siga. las dos trayectorias para. ver que d1 - d, = constante. 8.5.8 Directo de las definiciones. 8.5.9 Use que m = ±b/a. 8.5.10 Desarrolle ambas expre-

siones para llegar al mismo resultado. 8.5.11 El determinante da una ecuación de la forma. A:i:2 +By'+F =0 con AB < O y Ff.O. 8.5.12 Multiplique las distancias de P(:i:,11) a. la.s 11Síntota.s b:t ±

264

anterior. 8.6.3 Todas las rectas que pasan por el origen y tienen pendiente menor que b/a o mayor que -b/a, cortan a la blpérbcla en dos puntos de cada rama. 8.6.4 b > a implicaque las pendientes de las asíntotas cumplen lml > l. 8.0.5 Por 8.6.3, si una recta es tangente a un hipérbola, no puede ser tangente a la otra. 8.6.6 :t -11- 3 = O. 8.6.'7 (3,/3/2, ,/3), (-3,/3/2,-,/3). 8.0.8 (37 /27, 148/27). 8.6.9 m1 = 5/3, m, = oo. 8.G.10 Haga un análisis romo el del ejemplo 7.13. 8.6.11 Observe que á b, 11 = a, c1 c. 8.6.12 (±4,3). 8.6.13 (±8/,/3, ±2/ ,/3). 8.6.14 La abscisa y la ordenada en el origen de la tangente son :t = a2/:t1, 11 = -b2/111. La abscisa y la ordenada en el origen de la normal son :t = é':i:,/a2, 11 = c2111/¡jJ. 8.6.15 Utilice las intersecciones de 8.6.14 para encontrar las ecuaciones. 8.6.16 Con la ecuación de la. tangente dada por 8.6.15, encuentre los puntos de intersección oon las asmtotas; el área buscada es A= ab. 8.6.17 tí'a1 - a21r, = -a?bf 8.6.18 Puntos de tangencia: (4/,/3, ±2/,/3), (-4/,/3, ±2/,/3); pendientes: m = ±2. 8.6.19 Desarrolle la condición de tangencia y despeje k, 8.6.20 Use 8.6.15 (a) pa.ra demostrar que los dos puntos de contacto {:tt,lll), (:t2,!h) satisfacen la ecuscíéu b2x1:i: a211,11 = a2b2. 8.6.21 Usando 8.6.20 se obtiene 6,r; + 811 +3 = O. 8.6.22 Tome las ecuaciones de 8.6.15 para obtener las intcrscecloocs con el eje :t. 8.6.23 Compare con 8.3.14. 8.6.24 Se unen los punoos medios de dos pares de rectas parsklas; su intcrsocclón os el centro de la hipérbola. 8.7.1 (a) Elipse 5:t2 + y2 = 16 (b) Hipérbola :i' -112 - 6vÍO:t/25 - 10 = O (e) IDpérbola 2y2-4:t2 = 5 (d} Elipse 8:t2+31/'-4:t/v5-240 o (e) Hipérbola 5:t2-3y2-2v:h-30 o (/) Hipérbola ni? - :t2 = 10. 8. 7.2 (a) Hipérbola 23:i:2 - 7112 = 850/161 (b) Parábola :i:2 = -52¡¡/5../5 (e) Ripérbola 3:t2 -y2 = 6 (d) Hipérbola 9y2 - :t2 = 49/10 (e) Parábola x2 = 3" (/) ffipérbola 18y2 - 4:i:2 = 177 (g} Hipérbola 32¡¡2 - 3:i:2 = 73/30 (h) Parábola :i:2 = 211· 8.7.3 Use las ecuaciones (8.8) para demostrar que t>' = t>. Capítulo 9 9.1.1 (a) "'~ + y2 + ..2 = 25 (b) (x - 2)2 + (11 + 3)2 + (z 1 )2 = 16 (e) x2 +ir+ z2 = 9 (d} (x -3)2 + (11 +6)2 +( s -6)2 = 36 (e} :t2 +v• + z2 +28x/15+ 1311/3+ 14•/15-59/5 = O. 9.1.2 (a) G(O, O, O), r = 4 (b) C(-3, -2, 1 ), r = O (e) 0(2, -2, 1), r = 3 (d} G(-1/2, -3/2,0), r = /i0/2. 9.1.3 (a) -l2:t+3y+4z-169 = O (b) 4x-211+:-14 = O. 9.1.46:t-3¡,+f>z+l = O. 9.1.5 7:t2 + 7¡i' + 7z2 -f>:t+32¡¡ -l 9z 22 = O. 9.1.6 (:t-3}2 +(11 + 1 )2 + (• -1)2 = 81. 9.2.l (a) i' + ¡,2 = 9, z = O (b) 9:i:2 + 4z2 = 36, 11 = O (e) v' + 9z2 = 9, :t = O (d) :i:2 + 9z2 = 9, 11 = O (e) :t2 - y2 = 1, z = O (/) y2 - •' = 9, :t = O. 9.2.2 (a} :t + 11 - z + 1 = O (b) 2"' + 5¡¡ - 4z - 15 = O (e) x 11 + 4z 4 = O (d} 7z+lly+2z-74 = O. 9.2.8 (a} :i' +4¡,-4z = O (b) x2+y2+z2 = 4 (e) 4:t2+y2+z2 = 4 (d} -36:t2 + 9112 - 4z2 = 36. 9.2.4 (a) :r:2 - 2"'11 + 112 - 4z = O (b) :i:2 - y2 - 4z = O (e) :r:2 -v' -4z2 = O (d} :i:2 +112 -2z = O (e) :i:2 +2"'11+112 -4z = O. 9.3.1 z z s

=

=

z

--- ... ---- --...

11

11

....

(a)

(b)

(e)

(d)


265

z

-: - "'=:;:;;'..._ . . "' .::rr :,;

(e)

(g)

(f)

(h)

9.4.1 (a) x2+2112+z2 = l {b) 2•l-¡f-z2 = 1 (e) x2+¡f+z-4 = O (d) z2+¡f+z2-4z-21 = O (e) 9z2 - 4112 + 9z2 + 2411- 36 = O (/} z2z2 + ,lz2 = l. 9.4.2 (a) z2 - r' = O, 11 = O; eje z (b) z = 2, :,; = O; eje 11 (e) 2x2 + 3i' = 6, 11 = O; eje z {d) z2¡f = 1, z = O; eje z (e) 4x2 -,1 = 4, z = O; eje 11 (!) z'-11+1 = O, z = O; eje ll· 9.4.S (a) z2+112+z2 = 4, esfera (b) 4:,;2 +9(11- 1 )2 + 9{z + 2~ = 36, dípsoíde de revolución (e) ( + z2 - 3)2 + ¡¡" = 1, toro (d) (y'(:i: +1)2 +(z-2) -3)2 +(1,1-3)2 = 1 roro. 9.5.1

,/z• z

z

II

a:

z

(i,) Elipsoide

(b) Cono

z

(e) Paraboloide elíptico

s

ll :t

~

Paraboloide hiperbólico

00

lüperboloíde de una hoja.

W

Hiperboloide de dos hojas


266 z

z

9.5.2

:t

(e)

{b)

(a.)

Hiperboloide de una hoja

Paraboloide hiperbólico

Hlperboloide de una hoja

z

z V

V

f)

(e)

{d}

Paraboloide de revolución

Elipsoide de revolucíén aehlltado

Dos plsaos

que se cortan

9.5.3 (a) .¡,,> -¡¡2 = 4z, paraboloide hiperbólico {b) 4:i:2 + z2 = 4(11- l ), paraboloide elíptico (e) (z-1)2-4z' = 8(¡¡-1), paraboloide biperbólico (d) (:t-l)'+(z+l)2 = ¡¡+2,paraboloide de revolución (e) 9:i:2 + 36¡,' + 4z2 = 36, elipsoide {!) 4(:i; - 2)2 + (11- 1)' + (z + 3}' = 4, elipsoide de revolución achatado (g) -4,;• + ¡¡2 + 4z2 = 4, hlperboloide de una hoja (h) 9:i:2 + 36¡¡2 - 4z2 = 36, hlperboloide de una hoja (i) -4(:,: - 1 )2 - 4(¡¡- 1 )' + (z 2)2 = 4, hiperboloide de revolución de dos bojas (j) -4(:,: - 1 )2 + 36(¡¡ + 2)2 + 9{z + 1 )2 = 36, hiperboloide de una hoja. 9.5.4 :i:2 + z2 = 2c(J¡ - c/2), paraboloide de revolución. 9.5.5 (a2 - c2):,:2 + a2 + a2z2 = a2(a2 - c2), elipsoide de revolución. 9.5.6 V = &r./2. z

¡r

~. .i.

9.6.l

z

z

z

ti

ti (d)

(e)

{b)

(a)

(e)

11

:,:

{f)


267

9.6.2 k(x/3 - z/2) = (1 -v/4), (x/3 + z/2) = k(l + v/4); k(x/3 - z/2) = (1 + 'Jl/4), (x/3 + z/2) = k{l - 11/4). 9.6.3 k('Jl/4 - x/3) z, v/4 + z/3 k; k(v/4 + x/3) = z, v/4 x/3 = k. 9.0.4 (a) x + 5¡¡2 + z2 - 4.x¡¡ + 2yz - 1 = O (b) x2 -1l - 4.z2 - 4vz - 1 = O (e) :,;2 + z• + 211z - 4z + 4z - 4 = O (d) 4x2 + B¡,2 + z2 - 32xy - 4vz - By + 4z = O. 9.6.5 (a) z2 +v' = 4, z =0; [-1,-2, 1) (b) zz = 1,v = O; [2,-1,0J (e) 2v• + z2 = 2,x = 0;{1,2,3). 9.6.6 (a) Cilindro parabólico 3:i:2 + 4¡,2 + 12:tv- 1&: - 4z - 5 = O (b) Plano x-v-3z +s = O (e) Cilindro parabólico 2¡r +8z2 - Syz- x-v+z+31 = O (d) Cilindro elíptico 4z2 + 5¡¡2 + i' Sx¡¡ - 2¡,z 24z + 28¡, - 4z + 40 = O (e) Cilindro hiperbólico x2 - sv2 - 4z2 - 4.x¡¡ 12¡,z - 6a: + 2411 + 12z - 4 = O (!) Cilindro cúbico (x 2¡, 4)3 -36(-2x +v +2) +27z = O. 9.6.7 (a) z2-v2 +z2 = O (b} 4%2 - 811(x-2) = O (e) 4x2 - 7¡,i2-16z2-4x'JI + 1611z + 12x +2611+48z -31 = O (d) 4x3 yz2 = O. 9.6.8

=

=

z

z

(b)

(c} z

(e)

(e)

9.6.9 (a) 4x2 - 112 - 4.z2 = O (b) :,;2 - ¡¡2 - 4.z2 = O (e) 4x2 - i' 2(11 - l}z = O (d) 2¡¡2 - (x - 2)z = O (e} 25x2 + 25z2 - 10(11 + 3}z = O (/) x2 + 4yl - (z 1)2 = O. 9.6.10 (a) Cilindro híperbolíco recto z2 -4v2 = 4 (b) Cono xy+zz+11z = O (e} Paraboloide hiperbólico :,;2 -4112 = z, 9.6.11 (a) Cono :,;2 +(11-1)2 -z2 = O (b) Paraboloide hiperbo1ico (x - !)(11- l) = z (e) Hiperboloide de una boja (x + 1)2 - 4y2 + z2 = 5 (d) Paraboloide hiperbólico x2-(11-1)2 = z +5. 9.6.12 (a) Directriz el eje z: (0,0, 11); si 11 = v0, se tiene la recta ( u eosvo, usen vo, ~) 1 y al aumentar vo, Ja. recta "sube" por el eje z y gira con rapidez constante, manteniéndose siempre paralela al plano xy (b} &, otro helicoide con eje en el eje 11 y transledado del origen por (1, O, 1) (e) La directriz es la parábola x2 = 11, z = O, y la dirección de las generatrices está. dada por la circunferencia v' + z2 = 1, x = O (d) La directriz es la curva y = -x3, z = O, y la dirección de la generatriz está dada por la parábola 1l = z-1, x = O. 9.6.lS V= 32,r/3. 9.6.14 x2 + (z ± 1/2)2 = 1/4 dos cilindros paralelos iguales que se tocan sobre el eje y. 9.6.15 x' - 2z2 = O dos planos que se cortan sobre el eje 11· 9.6.16 x2 +11 + z2 = (!xi+ 1111 + 1•1)2, los ejes de coordenadas. 9.6.17 x• +11 - z2 = 4. 9.6.18 (xy- 'JI 2x2)2 = x(x 1)2• 9.6.19 (:t - 3)2(4 - 'JI')= 36z2.


268

i' ili' = 5, hiperbololde de dos hojas, C(l, -2, 2) (b) 9i' +4112+36z2 = 36, dípsoíde, C(l, -2, O) (e) 9x2-4¡¡2 = 5z, paraboloidehiperl:ólico en (O, -1, -2) (d) x2-4112 + 2z2 = 4, hiperboloide de una hoja, C(3,-1,-2). 9.7.2 (a) z2-¡.i'+2z2 = 13/2, hlperboloWe de unaboja(b)-4x2+¡f+z2 = 4, hlperboloídede una hoja. 9.7.S8Ix2+81¡?+142z2 = 324. 9.7.4 108:z:2 + 124¡¡2 + 27z2 = 108. 9.7.5 4(:,:- 9/8)2 +4¡¡2 +2z• = 97/16. 9.7.1 (a)

Capítulo 10 10.1.1

z 11 (a)

z

(d)

z

·~

11

(e)

(f)

10.1.2

z

(a.)

(b) z

(e)

(f)


269

10.1.3 Ja) (-2,5,1) (b) (0,4, 6), (-4,3,3) (e) (±2, O, O) (d) (1- ,/3,4- 2v3,6- 6,/3). 10.2.1 (a) 3x2

+ v2 = 3

(b)

x'+z• =4

11' +3z2

1f = -(x x-z=O

4)

u, l, i), (l+v3,4+2v3, x' + (11- 2)2 = 4

(e)

y'-9z2 =9

1f = -(z-4)

=9

z

(d)

+2v2 = 2 2x2+z2=2 4v2- •• = 2

(e)

:t2

(!) x2+z2=1

:z;y = 1 x2+..-•=t

ti= z3

z

z

10.2.2 (a)

= 2z 11=:t' 11 = 4z2 X

z

(b)

2:t2=11+1 x2+z2=l 2z• = (11 l)

z

(e)

211 112 +(z-1/2)2 = 1/4 x2 +4(z-1/2)• = 1/4 X=

z

z

11 X

6+6v3),


270 (d)

2x2 = 11

(x-1/4)2 =z+t/8 Sy2 + 4z2 -811z-11 = O

(e)

(/)

XI/= l

~=e"' 11 =

4x'+y2 =4 x =cos(z/3) 11 = 2sen(z/3)

c-z:

¡;

z

z

11 11 10.3.1

11

11

1

(d)

(e)

,ªlL 1

X

z (g)

(/)

(h)

(i)

10.S.2 (a) Translacíén hacia. arriba (b) 1\-ansla.ci6u hacia. abajo (e) 'fransla.ci6n & la derecha (d) 1'ranslacl6n & la izquierda (e) C11JObio de escala en el eje 11 (!) Cambio de escala en el eje II y re8exión respecto al eje x (g) cambio de escala en el eje x (h) cambio de escala en el eje x y reflexión respecto al eje 11· 10.3.S ¡¡ II

(a)

(b)

y

y

(e)

(d)


271

10.3.4 1

-2

:r;

(a)

(b)

+.

(e)

11

(d)

'

r

:r;

(e)

' :r;

(/)

10.3.5

11

11

11 2

:t

(b)

(a)

(e) 11

:r;

(e)

(d)

(/)

10.3.6

~:t

(a)

~'

(e)

"'

2- j¡

(d)

(e)


272 10.3.7

~ y(~) %~:t

(l>f

'

3)

(e)

V (3w/2,-3)

u

(\(g) (\

~,r/4,2

u (i)

(h)

10.3.s

1,3.168)

--4---z

4.

(e)

(a)

(e)

~8009) -~'--=>-:t

\

(!)

10.3.9

(a)

(I>)

t

(d)

(!,!!1§!5)

~:t

(g)

\

re: (h)


273

+·

11 (o,b'/24)

:z;

(k)

Capítulo 11 11.1.1 (a) (4,-315°), (-4,225º), (-4,-135º) (b) (2,-225°), (-2,45°), (-2,315°) (e) (3, -5ir/4), (-3, -r,/4), (-3, 71r/4) (d) (4, -5,r/6), (-4, 1r/6), (-4, -1111/6) (e) (3, -60º), (3,300°), (-3, -240º) (!) (2,-,,. /6), (2,511/6), (-2, -71r/6). 11.1.2 (a) (4,311/2), (4, -1r/2), (-4,1r/2) (b) (2,-300), (2,3.10º), (2, \50º) (e) (3,:1:?r), (-3,0) (d) (8,240º), (8,-1200), (-8,60°) (e) {4,-1r/6), (4,111r/6), (-4,51'/6) (/) (6,-,r/3), (6,51r/3), (-6,21r/3). 11.1.3 Use la ley de los cosenos. 11.1.4 (a) d = ,/7 (b) d = l. 11.1.5 Use la &Snnula dol dctermínsnte con los puntos (0,0), (r,cosO,,r,scnO,) y (r-,cos8-,,r,scn8,). 11.1.6 (a) A= 3./3/2 (b) A= ./3/2. 11.2.1 (a) r2 = 5/(3+sen20) (b) r2 = 16/oos28 (e) r = 3cos8/sen20 (d) r = 2sen0 (e) r = 2/(cos8 +3sen O) (!) r2 = 8/ sen 20. 11.2.2 (a) z2 + v' = 4 (b) z2 + (11 2}' = 4 (e) (:i:-4)2+v2 = 16 (d) :i:+11-4 = O (e) 24:i:2+25v'-4z-4 =O(/) 16z2+15v'+811-l6 = O (g) :i: = 2 (h) 1/ = -8(:z;- 2).

"ki>

+~~-t

(b}

(o)

(e)

(d) 4,

"~

2

1,0

{/)

(e)

i) (2 O)

(q)

(h)

11.3.2

(1,0)

(a)

1,0)

(b)

(e)

(d)

274

e

,t)

(4,,r

"

2,J) (4 O)

''"ll'1..i,,.;¡.

3.,,)

€fj

(2,")

(2, O)

....__._.,,

(1,

>' ~)

(e)

d2' ")

Soluciones y sugerencias ,-¡

t¡)

(g)

(h)

11.3.3 (a) (4,/2,,r/4) (b) (2,w/3), (2,Sir/6) (e) (l+,/2/2,,r/4), (1-,/2/2,5,r/4) (d) (1,0º) (e) (4/../í'i,(sen-14/../í'i)/2\, (4/../f'i,,r- (sen-14/,/f7)/2) (/) (4,30"), {4,150") (g) No hay (h) (2-114,22.s•), (2-11•, 112.5º). 11.4.1 (3coc(K/9),•/2)

.. k,J>

2

~

(a)

(d)

(b)

11.4.2 (a) roosll = 2 (b) roos{ll-,r/4) = 1 (e) roos(ll-7,r/8) = 3/,/2 (d) rcos(6- ,r/2) = 4 (e) roos(II- ,r/6) = 3/2 (/) roos(II- 2,r /3) = l. 11.4.S (a) r = 3 (b) r = 4 cos(6- ,r/2) = O (e) r' -4roos(II - ,r) = 32 (d) r' 2,.¡g,.oos(I/ + tan-1(1 /2)) = 4 (e) r' 4,.¡g,.oos(I/ ,r/2-1an-1(1/2)) = 25. 11.4.4

(!~

(s.~·i~ (a)

(b)

(e)

(!)

(e)

(d)

11.4.5 (a) r = 4/(I-cosl/) (b) r = 2/(1-scn 6) (e) r = 18/(4-3scn6) (d) r = 8/(3+2cos6) (e) r = 8/(1 - 2cos 6) (!) r = 18/(2 + 3scnl/). 11.5.1

© 2,f)

(3, f) (2,0)

(6,,)

(3,f

(a)

(•. f> (b)

(6, ,)

(e)

(d)

o)


275 (a+b,f)

(v'2,,r)

(v'2,o)

b (e)

(!)

(g)

~- . , (lt)

(i)

(j)

11.6.1 (a) ( ./5,300, 1) (b) (2, 1200, -4) (c}(3./2, 45°. -3l(d)(3,sen-1(2/3), -4) (e) (2,330°, !) (/) (2./2,210°,-2./2). 11.6.2 (a) (0,4,1) (b) (-3/2,-3J§/2,4) (e) (-3/2/2,-3/2/2,4) (d) (0,-2,3) (e) (2/2,-2/2,-3) (/) {1,,/3,4).11.6.3 (a) z2+ ¡¡' + z2 = 4 (b) z2 +,r = 4 (e) i' + y2 - lb: = 4 (d) z2 + ,r z2 = -4 (e) z2 + iJ + z• = 9 (/) :t = 2. 11.6.4 (a} r2 + z2 = 9 (b} r2 - 4z2 = 16 (e) r2 + 9i' = 36 (d} r2 = 9_. (e) rain 8 = 3 (!) 2r2cos28- rain O+ z = O. 11.7.1 (a) (J6.~•,oos-1(1/v6)) (b) (2.,/5,1200,oos-1(-2/-15)) (e) (3,/3,45º, oos-1 (-1/,/3)) (d) (5,sen-• (2/3),oos-• (-4/5)) (e) (./5,330°,oos-1 (-1/5)} (/) (4, 210°, 135°). 11.7.2 (a) (O, 1, ,/3) (b) (O, ,r/2, O} (e) (0,5,/3/2, 5/2) (d} (3./2/4,3\/'6/4, -3/2¡2) (e) (-1, -,/3, -2,/3) (/) (-3,/3/4, 3/4, 3/2). 11.7.S (a) x2 + f + z2 = 4 (b) (z - 2) + ¡¡2 + z• = 4 (e) :z:2 + v' = 1 (d) z = 4 (e) x = z (/) (:z:2 + 712 + z2)2 = 16:i:2 + 161( + 15.i'. 11.7.4 (a) p = 3 (b) ¡r(l -5cos2ql) = 16 (e) p2(1 +8cos2ql) = 36 (d) psenqlsenO = 3 (e) p =cotq,cscq, (/) p(senq>9'n O cos é) = 2sen2 4,oos2 O.

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277

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Sitios en Internet

http://vvv-groups.dcs.st-aod.ac.u.k Bite sitio en lcogua inglesa contiene uumcrosss, amplias e Informadas blognúl'as de los grandes matemáticos de todos los tiempos, a,,í como la hístoria de algunos temas de matemátiC88. Continuamente revisado y enriquecido, este sitio es el mejor en su g,!nero. 'Iiene su sede en la Universidad de San Andtt!ti, Escocia, Reino Unido. http://vvv.matbcurve.com

&te es un sitio en lengua francesa, llamado &ciclopedfu de las formas matem,ílkas notables, que ha recibido premios y reconocimentos. Contiene un amplio repertorio de curvas planas y alabeadas, superficies, fractales y poliedros, en muchos casos con animacíonea. F\Je creado por Robert Fern!ol, profesor de liceo en París.

Las imágenes de matemáticos que aparecen en este texto son del dominio público y fueron tomados de diferentes sitios de Internet.

,

Indice alfabético

de la elipse 34, 165 de la hipérbola 174 cerradura 120 cicloide 230 de Ceva 240 dlindro 207 cilindros proyectantes 223 drcuncentro 83 dsoíde 232 de Diocles 246 a:,latltud 249 combínactores lineales 121

a abscisa 49 en el origen 71 álgebra geométrica 18 alturas de un triángulo 85 omplitud 228 ancho focal de la elipac 165 de la hipérbola 17 4 de la pa,ábol& 159 ángulo de desfase 228 de IJlClinB<:16n de la recta 58 polar 233 ángulos directores 63 811tÍilimetrl& 131 esíntotes 93 de la hipérbola 174 osociati vi dad 120

componente

rormal 155 mngoocial J 55 componentes 119 a:,ncoide 24 7 aínica 25 conjunto de 11:)]uciones factibles 89 conmensurables 1 7 conmutatividad 120 amo osintótico 210 coordenadas 49 cilíndricas 247 es&!rícas 249 !l'Ognl.flca.s 198 polares 233 correspondencia biunívoca 49 a:,seno hiperbólico 201 cosenos directores 63 auciforme 232 cuadrantes 50 cuadrar el circulo 26 cuadríces 200, 213 cuerda de contacto para la elipse 173 para la hipérbola 180 de la elipse 165

b

base 122 canónica 122 ortouormal 126 bifoliada 232 billnealidad 125, 131 bisectriz 84 bra,¡uistócrona 231 bruja de Agnesi 230

e

CIUll pana de

Gauss 228

ceraool 24 7

característica 157 cardíoíde 239, 24 7 casos limite de las cónicas 181 catenaria. 229

centro

de gravedad 86 de la circunferencia 29

279

Índice alfabético

280 de la hipérbola 174 de la parábola 159 foca.[ de la elipse 165 de la hipérbola 174 de la parábola 159 curva

de la hipérbola 174 distribución normal 228 doblemente regíada 206 duplicar el cubo 26 o

ecua.ción cartesiana de un cilindro 208 de la. recta bipuntua.l 69 oomo determinante 72 dada la pendiente y la ordenada en el origen 70 dado un punto y la pendiente 70 normal 75 paramétrica 72 punto-pendiente 70 simétrica 70 de una superficie cónica 209 homogénea 21 O polar de la recta 241 ordinaria de la circunferencia 147 de la elipse 167 de la hipérbola horizontal 176 de la hipérbola vertical 176

alabeada 219 de Agnesi 230 de cuarto grado de La.rué 232 en el espacío l 88 oonnal de frecuencias 228 plana de grado superior 225 po1inomial de grado 11 225 CllrV8.8

de potencias 225 cxponeuclales 226 logarítmicas 226 polinomiales 225 sinusoldales 227 d delta de Krooecker 126 desarrollo ortonormal 126 desigualdad de Scbwarz 128 del triángulo 124 directrices de la elipse 32, 165 de la hipérbola 32 directriz de la parábola 31, 156 de un CODO 209 de una superficie de revolucídn 196 reglad& 205 discriminante 186 de la.ecuación general de segundo grado en dos incógnitas 186 Discurso del método 45 distancia de un punto a una recta 116 de un punto a un pla.no 106 entre dos puntos 54 wtre dos rectas 116 wtre dos vectores 124 euclidiana 124 interfocal de la elipse 165

eje

a 90', 234

oonjugado de una hipérbola 174 de tas abecisas 49 de las ordenadas 49 de revolución de una superficie de revolución 196 de simettía 142 de una parábola 159 de una reBexión 142 focal de la elipse 165 focal de la hipérbola 174 mayor de la elipse 34, 165 menor de la elipse 34, 165 normal de la elipse 165 normal de la hipérbola 174 polar 233 principal de la hipérbola 36 radical 149 real de la hipérbola 36 transverso de l& hipérbola 174 ejes de coordenadas 49 El Al111JJges!o 227

281

Índice alfabético eklpsis 28 ellpse 25, 28 clípsoíde 201 de revolución 200 aclu,.tado 200 elsrgado 200 esferas de Dandclin 29

espacío

euclidiano tridimensional 124 vectorial 121 espiral de Fermat 247 equíangular 247 hiperl:.ólica 247 estrofoíde 232 exoentricídad 34, 42 de la clipec 43, 166 de la hipérbola 175 de una cónica 43 exponenciales negativas 226 positivas 226 f

foco

de una pan!bola 31, 156 focos de la elipse 31, 165 de la hipérbola 32, 174 forma blpuntual de las ecuaciones de la recta 110 canónica de la ecuación de la circunferencia 147 de la parábola 156 de una elipse horizontal 166 de una elipse vertical 167 de una hipérbola horizontal 175 de una hipérbola vertical 175 cartesíana de la representación de una superflcle 189 de determinante de In ecuación del plano 103 general de la ecuación de la clrcunfcreocia. 147 de la elipec 167 de la hipérbola 176 de la parábola 157 de la recta 70 del plano l 01

general de las ecuaciones

de la recta 110 ordinaria. de la ecuación de la circunferencia 147 de la parábola 156 paramétrica de la representación de una superficie 189 de las ecuaciones de la recta 111 pendiente-ordenada en el origen 70 punto-normal de la ecuación del plano 101 simétrica bipuntual 110 de la ecuación del plano 102 de las ecuaciones de la recta 11 O fórmula de Euler 24 función cuadrática 163 objetivo 90 g

(§)lleratriz de un cono 209 de una superfícíe de revolución 196 reglada 205 género dípse 182 hipérbola 182 pan!bola 182 WlOmetrfa 13 8Dlllítica 23 euclidíane 20, 23, 144 moderna 23 síntétíca 23 gravlcentro 86 grupo abeliano 120 h

haz

de planos 108 de rectas 82 bélice circular 221 belícoíde 212 hipérbola. 25, 28 equilátera 177 hipérbolas conjugadas 179 hiperbolé 28

Índice alfabético

282 hiperboloide de dos hojas 203 de revolución de dos bojas 202 de una hoja 201, 202 de una. boja 202 díptico de dos bojas 203 de una. hoja 202 boja de Descartes 232 bomofocsjes 178 i

identidad de Legrsnge 132 inccntro 84 indicador 15 7

"'8tituzicmi onGlitiche 230 inverso aditivo 120 in-ooio!l81 J 7 sometría 141 iloroetrlas básicas 144

llldo recto de la elipse 165 de la hipérbola 174 de la parábola 159 Las CónicGs 27 atitud 198 lemniscata 24 7 de Bernoulli 245 ley de la gravitación universal 41 de los cosenos 65 de los senos 134 bycs de la mecánica 41 del movimiento planetario 40 lit1'US 247

longitud 198, 249 lm Ekmen tos 20 lugar geométrico 29 m

medianas 86 mediatriees 83 meridianos 196 método analítico 23 del jardinero 34

gnUlco de la. programación lineal 88 si.mplex 88 •intético 23 movimiento rígido 141 wultiplicacl6n por un escalar 120 n

norma de un vector 123 números directores 64, 104 írradoualea 4 7 racionales 46 reales 46 o ordcoads 49 en el origen 70, 71 origen de la recta nwnérica 4 7 ortoocntro 85 ortogonales 126 p par principal 234 parábola 25 pambolé 27 paraboloide de revolución 203 elíptico 203 hiperbólico 203 paralelos 196 para.metrlzación de una esfera. 197 de un cilindro 207 de un cono 209 de un toro 198 penúnctro 82 paso de la be1ice circular 221 pendiente 59 periodo 228 plano rsdlcal 189 planos proyectantes de la recta 111 polo 233 positividad definida 125 producto cruz 130 punto 125 programación liooal 88 matemática 88 propiedad

Índice alfabético focal

de la elipse 171 de la hipérbola 179 de la pe.rabola 38, 162 geométrica euclidiana 144 propíedades dístributlvas 121 proyección escalar 129 vectorial 130 r

radiación de planos 11O radián 58 radio de la circunferencia 29 focal de la elipse 165 de la hipérbola. 174 de la. parábola 159 polar 233 vector 233, 249 de una. elipse 165 de una parábola 159 rayo de una. superficie reglada 205 de un cono 209 recta de Euler 88 numérica 47 rectas coincidentes 65 concurrentes 65 crusadas 65 paralelas 65 reflexión 142 regla de una. superficie reglada 205 de un cono 209 Representación cartesiana de un toro 199

283 seno hiperbólico 201 serpentina 232 simetria 125 ron respecto al eje de la reñexídn 142 simetrías 93 SÍntJS

227

sinusoidal 227 sistema de coordenadas cartesianas 4 9 cílfndrícas 24 7 esfi!ricas 249 sistema de referencia ortonormal 126 solidos platónicos 22 suma de vectores 120 superficie 188 de revolución 196 regla.da 205 superficies cuadrátíee.s 200, 213, 216 ron centro 204, 213, 216 Bin centro 204, 213, 216 t

tautócrona 231 teorema de 'Tu.les 14 tipo

hiperbólico 225 parab5lico 225 liro parabólico 163 toro 198 translación 139 triple producto escalar 131 vectoríal 131 trisecar el ángulo 26 lrisectriz de Maclaurin 232 V

,,:ctor 119 de posición de un punto 119 uní tarío 124

rosa.

vectores

de 3 hojas 24 7 de cuatro hojas 245 de ocho hojas 24 7 rotación 140

vértice

•

sección cónica 25 segmento dirigido 56 semieje polar 233

linealmente independientes 121, 122 o-togonales 124 otonormalcs 124

de una parábola 156 de un cono 209 ,<értJces de la elípse 34, 165 de la hipérbola 174

,

Indice onomástico

Agnesi, María Gaetana, 230 Aristóteles de Esta gira, 17, 19, 20 Apolonio de Perga, 27, 28, 29, 32 Arquímedes de Síracusa, 37, 39 Bernoulli, Jakob, 229, 245 Bernoulli, Johann, 229, 231 Brabe, Tycho, 40 Ceva, Cíovanní, 240 Oaudío Tolomeo de Alejandría., 227 Cusa, Nicolás de, 230 Dandelln, Germinal Pierre, 29, 30, 31, 32, 40, 42, 171 Dantzig, George, 88 Descartes, fumé, 23, 24, 45, 232 Oioelcs de Csristo, 246 Euclides de Alejandría, 19, 20, 22, 26, 27 Eudoxo de Cnido, 18, 20 Euler, Leonhard, 24, 88 R!rmat, Pierre, 45, 230, 247 Qillleo Galilei, 229, 230 Gauss, Carl Friedrích, 228, 229 Heródoto de Halicamaso, 13 Hiparco de Rodas, 227 Hipase de Metaponto, 17 Hipócrates de Quío,¡, 20 Huygeos, Chrístíaan, 229, 231 Kepler, Jobe.noes, 32, 40, 41 Kronccker, Leopold, 126 Iagrangc, Joscph Louís, 132 Lemé, Gabriel, 232 Leibniz, Wilhelm Gottfried, 229 Maclaurin, Colin, 232 MenecmodeAlopeooneso, 25, 26, 37, 246 MoiVTC, Abraha.m de, 228 Newton, Isaac, 40, 41 Pe.po de Aleja.ndrfa, 32, 40 Pitágoras de Samas, 15, 16, 17, 18, 22, 48,49,54, 123, 165 Platón, 22

Quetelet, Lambert Adolpbe Jscques,

29, 30

Schwarz, Hermano Ama.ndus, 128, 129 Tules de Mileto, 14, 15, 56, 149 Tocteto, 20

284

Este tibro nos presenta la geometría analítica del plano y del espacio ele una manera coherente y progresiva dentro del marco histórico de la geometría. Está orientado prln cipatmente a estudiantes y profesores de las áreas de ciencias e ingeniería. Con un lenguaje sencillo pero preciso. los autores nos exponen los lemas más Importantes presentados en cada uno de los capítulos que componen esta obra, hacen comen tarios sobre los puntos más importantes de la teoría. los cuales vienen ilustrados con mültiples ejemplos, aplicaciones y figuras cuidadosamente elaboradas. Como complemento Indispensable para una mejor aplicación de los conocimientos y profundización del aprendízaje del lector, contiene cerca de 500 ejercicios y problemas, con un total de más de t 100 items, que abarca todos tos conceptos, procedimientos y métodos del texto; así como, ampliaciones y generalizaciones que van desde los cueslionamientos más básicos hasta problemas complejos que son verdaderos retos para el lector. Este aspecto se refuerza con la adición al final de una sección de res puestas y sugerencias para todos los problemas propuestos.

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V11fteno1 en: www.pearsonenespañol.com www.uson.mx

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Geometría Analítica Moderna

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