Geometría Analítica - Agustín Vásquez S., Juan de Santiago Castillo

GEOMETRÍA ANALÍTICA

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Agustín Vázquez Sánchez Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de México

Juan De Santiago Castillo Director del Departamento de Ciencias y Matemáticas Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus San Luis Potosí

REVISIÓN TÉCNICA

Erika Cepeda Arvizu Bachillerato UPAEP Plantel Santiago 2

Datos de catalogación bibliográfica

VÁZQUEZ SÁNCHEZ, AGUSTÍN y DE SANTIAGO CASTILLO, JUAN Geometría analítica. Primera edición PEARSON EDUCACIÓN, México, 2007 ISBN: 978-970-26-0 978-970-26-0938-4 938-4 Área: Bachillerato Formato: 20 × 25.5 cm

Páginas: 408

Editor:

Enrique Quintanar Duarte e-mail: enriqu e-mail: enrique.quint e.quintanar@p anar@pearson earsoned.com ed.com Editor de desarrollo: Felipe Hernández Car arrrasco Superv Sup erviso isora ra de producci producción: ón: Adr Adrian ianaa Rida Montes Montes PRIMERA PRIM ERA EDICIÓN, EDICIÓN, 2007 D.R. © 2007 por Pearson Pearson Educación Educación de México, S.A. de C.V. C.V. Atlacomulco Atlaco mulco No. 500-5° 500-5° piso Col. Industrial Atoto 53519 Naucalpan Naucalpan de Juárez, Edo. de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. núm. 1031. Prentice-Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema siste ma de recuperación recuperación de información, información, en ninguna forma forma ni por ningún medio, sea electrónico, electrónico, mecánic mecánico, o, fotoqu fotoquímico, ímico, magnético magnét ico o electroóptico, electroóptico, por fotocopia, fotocopia, grabaci grabación ón o cualquier otro, sin permiso permiso previo por escrito del editor. editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 10: 970-26970-26-0938-0 0938-0 ISBN 13: 978-970 978-970-26-0 -26-0938-4 938-4 Impreso en México. Printed in Mexico 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 10 09 08 07

Dedicatoria

En honor a la resu resurrec rrección ción de Jesucristo Jesucristo y al espíritu espíritu de poder y amor que se me ha dado. Para mi amada esposa Analia y mis hijas Paulina y Fernanda, musas inigualables. Con aprecio para mis camaradas: Rechy,, Ernesto, Alfonso y Rubén. Rechy Rubén.

Agustín Vázquez Sánchez

A mi esposa y compañera: compañera: Rosa María, María, por su amor y comprensión comprensión A mis hijos: Alejandra Alejandr a y Diego, Diego, por ser el motivo motivo de mi vida

Juan De Santiago Castillo

Agradecimientos y reconocimientos: Ing. Javier Gurrión García Mier Ing. Francisco Javier Rojas Ramos Por todo el apoyo aportado: académico, moral y económico. Ing. Carlos Lozano Sousa Dr. Pedro Grasa Soler Ing. Óscar Lacayo Torres Dr. Carlos Martínez Reyes Por el apoyo académico y voto de confianza a mi persona. Ing. Óscar García,† Universidad Iberoamericana Ing. Blanca Arroyo Ventura, UNAM-CU Fís. Xóchitl Díaz, UNAM-CU Ing. Álvaro Valdez, UNAM-FESC4 Fís. Juan Enrique Hoyos García, IPN, ITESM-CEM Profa. Ester Almaraz, CCH-VALLEJO UNAM Ing. Francisco Sevilla Díaz, UNAM, ITESM-CEM Ing. María Del Carmen Uribe Flores, ITESM-CEM Ing. Erika Cepeda Arvizu, UPAEP Lic. Víctor Quintero Enriquez, IPN, ITESM-CEM Ing. Carlos Duarte Parada, ITESM-CEM Ing. Adriana Beltrán, ITESM-SLP Mat. Ramón Félix Llanes, ITESM-SLP Mat. Francisco Javier Rojas Espinosa, UNAM-FESC4 Ing. Alonso Madera, UNAM-FESC4 Ing. Emiliano Fones, UNAM-FESC4 Ing. José Perdomo, IPN Ing. Alfredo Cortés, ITESM-CEM Ing. Javier Sandoval Dr. Francisco Javier Delgado Cepeda ITESM-CEM Por los comentarios y sugerencias en el desarrollo del libro Profesor Agustín Anfossi, Facultad de Ciencias, UNAM. Como un homenaje, por la excelente recopilación histórica de la geometría analítica.

Contenido

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SISTEMAS COORDENADOS (DÓNDE ESTAMOS) 1 1.1. Sistemas dimensionales 2 1.1.1. Sistema coordenado tetradimensional 2 1.1.2. Sistema coordenado tridimensional o 53 2 1.1.3. Sistema bidimensional 7 1.1.4. Sistema coordenado unidimensional 10 1.2. Conceptos básicos 11 1.2.1. Distancia entre dos puntos en un plano unidimensional 11 1.2.2. Distancia entre dos puntos en un plano cartesiano (bidimensional) 13 1.2.3. División de un segmento en una razón dada y el punto medio 15 1.2.4. División de un segmento en una razón dada 17 1.2.5. Punto medio de un segmento de recta 20 1.2.6. Teorema de Vazgar 23 1.2.7. Pendiente de un segmento de recta 26 Resumen 36 Problemas 37 Autoevaluación 40

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LUGARES GEOMÉTRICOS. FUNCIÓN Y ANÁLISIS DE UNA ECUACIÓN (¿QUÉ TENGO? ¿QUÉ QUIERO?) 43 2.1 Lugares geométricos 44 2.2 Función, una breve introducción 49 2.2.1. Operaciones con funciones 54 2.3 Discusión o análisis de una ecuación 60 2.3.1. Intersección con los ejes 60 2.3.2. Simetría con los ejes y el origen 61 2.3.3. Intersección de una curva con los ejes 61 2.3.4. El intervalo o campo de variación de una ecuación 61 2.4 Intersección de gráficas 65 Resumen 78 Problemas 78 Autoevaluación

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x Contenido

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ECUACIONES DE LA RECTA (ESCALEMOS EL TERCER PELDAÑO). (FORMAS Y CASOS) 83 3.1 Pendiente de una línea recta 84 3.2 Ecuaciones de una línea recta 87 3.2.1. Ecuación de la recta que pasa por un punto con pendiente m 87 3.2.2. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos 88 3.2.3. Ecuación de la recta con pendiente dada y ordenada al origen 90 3.2.4. Ecuación de la recta en forma simétrica 92 3.2.5. Ecuación general de la recta 93 3.2.6. Ecuación normal de la recta 97 3.3. Ángulo entre dos rectas (utilizando sus pendientes) 99 3.3.1. Condición de perpendicularidad entre dos rectas 102 3.3.2. Condición de paralelismo entre dos rectas 103 3.4 Ángulo entre dos rectas a partir de sus ecuaciones generales 105 3.5 Distancia mínima de un punto a una recta 107 3.6 Distancia mínima de un punto a una recta (otro análisis) 111 3.7 Rectas y puntos notables de un triángulo 112 3.7.1. Mediana 112 3.7.2. Mediatriz 113 3.7.3. Altura 114 3.7.4. Bisectriz 115 3.7.5. Recta de Euler 117 3.7.6. Circunferencia de Euler 117 Resumen 137 Problemas 139 Autoevaluación 142

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TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE EJES (DOS PEQUEÑOS MOVIMIENTOS) Y UNA ECUACIÓN FLEXIBLE 145 4.1 Traslación de ejes 146 4.2 Rotación de ejes 149 Ecuaciones de rotación en forma trigonométrica 150 4.3 Eliminación de los términos lineales 152 4.4 Método para eliminar el término xy 154 Otro método para eliminar el término xy 156 Resumen 165 Problemas 166 Autoevaluación 167

5

LA CIRCUNFERENCIA (VAMOS A DAR UNA VUELTA) 169 5.1 5.2 5.3 5.4

Cónicas 170 Ecuación de la circunferencia en su forma canónica (con centro en el origen) 171 Ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria 173 Ecuación general de la circunferencia 176

Contenido

5.5 Ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos 182 5.6 Tangente y normal a una circunferencia 186 Resumen 200 Problemas 202 Autoevaluación 206

6

PARÁBOLA (AHÍ, DONDE SE CONCENTRAN LAS COSAS) 207 6.1 La parábola 208 6.2 Ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje focal paralelo al eje x 208 6.3 Ecuación de la parábola con eje focal paralelo al eje x y con vértice fuera del origen 215 6.4 Ecuación general de la parábola 221 6.5 Ecuación de la parábola que pasa por tres puntos 227 Resumen 240 Problemas 242 Autoevaluación 244

7

LA ELIPSE (UN INSTANTE LEJOS, OTRO CERCA, PERO SIEMPRE LA MISMA DISTANCIA) 245 7.1 Definición de elipse 246 7.2 Ecuación ordinaria de la elipse con eje focal paralelo al eje x 247 7.2.1 Excentricidad de la elipse 248 7.2.2 El lado recto de la elipse 249 7.2.3 Recta directriz de la elipse 250 7.3 Ecuación ordinaria de la elipse con eje focal paralelo al eje y 251 7.4 Ecuación ordinaria de la elipse 255 7.4.1 Con eje focal paralelo al eje x 255 7.4.2 Con eje focal paralelo al eje y 256 7.5 Ecuación general de la elipse 260 Resumen 275 Problemas 276 Autoevaluación 282

8

LA HIPÉRBOLA (UN ÚLTIMO PELDAÑO… Y PARECE QUE ESTOY VIÉNDOME EN UN ESPEJO) 283 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7

Definición de hipérbola 284 Ecuación canónica de la hipérbola con eje focal paralelo al eje x 285 Propiedades de la hipérbola 287 Interpretación geométrica de “a, b y c ” 288 Excentricidad de la hipérbola 288 Asíntotas de la hipérbola 288 Lado recto o ancho focal (latus rectum) 290

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xii Contenido

8.8 Recta directriz de la hipérbola 291 8.9 Ecuación canónica de la hipérbola con centro en el origen y eje focal paralelo al eje y 292 8.10 Ecuación ordinaria de la hipérbola con centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje x 294 8.11 Ecuación ordinaria de la hipérbola con centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje y 295 8.12 Ecuación general de la hipérbola 296 Resumen 313 Problemas 315 Autoevaluación 319

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ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO Y LAS CÓNICAS COMO FUNCIÓN (UNA ECUACIÓN FLEXIBLE Y RELACIONES PELIGROSAS) 321 9.1 Resolución de la ecuación Ax 21Cy 21Dx 1Ey 1F 50 322 9.1.1. Análisis de la ecuación general de segundo grado sin término xy 323 9.2 La ecuación general de segundo grado y las cónicas 325 9.3 Resolución de la ecuación general de segundo grado ( Ax 21Bxy 1Cy 21Dx 1Ey 1F 50) 331 9.4 Análisis de las cónicas como funciones 337 9.4.1. El criterio de la recta vertical 337 Resumen 348 Problemas 348 Autoevaluación 349

10 SISTEMAS COORDENADOS (QUE NO ES IGUAL, PERO SE PARECE CASI TODO) 351 10.1 Sistemas coordenados 352 10.1.1. Sistemas coordenado polar 352 10.1.2. Transformación de coordenadas polares a rectangulares 354 10.2 Simetría en coordenadas polares 355 10.2.1. Distancia entre dos puntos en el plano polar 355 10.3 Ecuaciones polares de la línea recta 356 10.4 Ecuaciones polares de las cónicas 357 10.4.1. Ecuación polar de la circunferencia 357 10.4.2. Ecuaciones polares de las cónicas: parábola, elipse e hipérbola 360 10.5 Sistema coordenado rectangular en tres dimensiones 368 10.5.1. Distancia entre dos puntos en el sistema rectangular tridimensional 369 10.5.2. Ángulos y cosenos directores 370 10.5.3. División de un segmento en una razón dada 373 10.6 Coordenadas cilíndricas 373 10.7 Coordenadas esféricas 374 Resumen 375 Problemas 376 Autoevaluación 378

Prólogo Aprender es cuestión de juego. Experimentar y enfrentar diversas problemáticas con herramientas teóricas no es más que un juego, en el que tratamos de entender cosas que al verlas por primera vez nos resultan complejas, pero que al adquirir el conocimiento del lenguaje que utilizan nos permiten entender que el mundo es mucho más sencillo de lo que parece. Esta publicación pretende enseñarte un nuevo lenguaje. El lenguaje de los puntos, las rectas, los planos y toda una amplia gama de variaciones denominadas geometría. Esta ciencia, sin duda te permitirá entender cómo se equilibra el espacio donde te desenvuelves, a partir del uso de figuras y cálculos que le han dado vida a los objetos físicos que te rodean. Desde la fabricación de artesanías y diseños visuales, hasta la creación de instrumentos de medición como el compás, ello ha sido posible gracias a los conocimientos que la geometría como ciencia brindó a la humanidad. Te invito a aprender un poco más sobre este lenguaje matemático y buscarle una aplicación práctica a los conceptos básicos que se te proporcionen. Sé curioso y observador. Analiza y cuestiona los ejercicios y problemas prácticos que el libro te brinda. Esto te ayudará a relacionar tu mundo con el mundo de la geometría y su lenguaje de expresión. La línea recta, la hipérbola, la parábola, la elipse y la circunferencia serán tus compañeras en este recorrido de formas, que si bien han creado tu entorno, muchas veces han pasado desapercibidas ante nuestros ojos, por lo cual nos olvidamos de la verdadera importancia de la geometría como ciencia en la creación de nuestro mundo. Disfruta de esta publicación creada por tus profesores. Ellos son personas conocedoras que depositaron su conocimiento en los capítulos que verás a continuación, y te brindan una herramienta que facilitará tu aprendizaje mientras juegas a aprender.

DR. PEDRO LUIS GRASA SOLER Director General del Campus Estado de México

Breve bosquejo histórico de la geometría analítica xv

BREVE BOSQUEJO HISTÓRICO DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA*

En el año de 1637 publicó René Descartes (1596-1650) su Géométrie, dividida en tres libros, de los cuales dedica el segundo a lo que se ha llamado Geometría Analítica, obra fundamental para toda la Matemática, y de la cual se ha dicho, con toda exactitud, que ha hecho época. En ella establece el enlace entre el número y el espacio, y aunque su importancia sólo se evidenció años más tarde, su publicación influyó en forma decisiva en el desarrollo del todas las ramas de las ciencias exactas, especialmente con la nueva simbólica que preconiza. Es opinión generalmente admitida entre los matemáticos que la Geometría Analítica brotó completamente elaborada, adulta, de la cabeza de Descartes. Sin embargo, hay discrepancias entre los sabios a este respecto. “Algunos autores han escrito, dice Ch. Bossut (1730-1814), otros lo han repetido y se repite constantemente, que Descartes es el inventor de la aplicación del Algebra a la Geometría. Esto no es exacto. Se atribuye a Descartes más de lo que pudiera pretender”. A pesar del mérito indiscutible de este matemático, no puede aceptarse lo que de la Géométrie dice M. Chasles (17931880) al llamarla criatura generada sin madre (proles sine matre creata), pues con tal afirmación se olvidan demasiado los derechos de sus antecesores, y de F. Viète (15401603) en particular, en cuyas obras hay aplicaciones del Algebra a la Geometría. *

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Si se atiende al uso de coordenadas para localizar un punto, los albores de la Geometría Analítica se remontan a Arquímedes (287-212 a. de J.C.) y a Apolonio de Perga (siglo II a. de J.C.) y, cerca de 18 siglos después, a J. Képler (1571-1630), pues para el estudio de las cónicas se valían ya, sustancialmente, de las coordenadas (cartesianas) refiriéndose, empero, a ejes intrínsecamente conectados con la curva estudiada. Algo mejor relacionado con el concepto moderno de las coordenadas se encuentra en un dibujo del siglo X u XI , de autor desconocido, al hacer el estudio de las trayectorias de los planetas, en el cual representa la latitud y la longitud , respectivamente, como ordenada y abscisa. Este método de representación, que fue adoptado en Astronomía y que aún se usaba en el siglo XIV, dio lugar a una obra, notablemente para aquella época, de N. Oresme (1323-1382), obispo de Lisieux, intitulada Tractatus de latitudinibus formarum, escrita en 1361. En este trabajo se reconoce, en realidad, la verdadera aparición de la Geometría Analítica, a la vez que un primer germen del concepto de función y hasta de derivada. Allí se halla la idea de la representación gráfica por medio de coordenadas rectangulares, de las funciones, que Oresme en latín denomina formæ. Considera dos magnitudes, llamadas longitudo y latitudo: la primera la considera como variable independiente, y la segunda como variable que depende de la primera. La latitudo puede se uniformis o difformis: en el primer caso la gráfica correspondiente es una recta paralela al eje escogido, o sea la latitudo es constante; es difformis en el caso contrario. Cuando la latitudo es difformis, puede tenerse una latitudo secundum se totam difformis, si la gráfica consta de una línea única, o bien latitudo secundum partem difformis, si consta de porciones distintas, algunas de las cuales son rectas al eje. La actitud de Oresme no es, precisamente, la de un creador de las ideas que expone, pues parece atribuirlas a autores antiguos, para nosotros completamente desconocidos. *

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* Reproducido con autorización de Editorial Progreso, Geometría Analítica, © 1958, Agustín Anfossi.

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Geometría analítica

Si en la Geometría Analítica se considera el estudio particularizado de las tres grandes curvas: parábola, elipse e hipérbola, debería hacerse remontar esta ciencia a Menaícmo (siglo IV a. de J.C), a quien se atribuye la invención de dichas curvas —de la parábola e hipérbola equilátera por lo menos—, que constituyen lo que se ha denominado la triáde de Menaícmo. En realidad, los nombres con que se designan las tres curvas citadas, ya existían, y habían sido creados por los pitagóricos. Estos al resolver el problema que denominaron aplicación de las superficies planas, introdujeron las palabras parábola, elipse e hipérbola según que en la aplicación de dichas superficies hubiese, respectivamente, igualdad , deficiencia y exceso . Posteriormente a Menaícmo, Arquímedes amplió el campo del estudio de esas tres curvas; Apolonio de Perga, por su parte, concibió las secciones cónicas, determinadas no ya únicamente, según se presume lo había hecho Menaícmo, en un cono recto rectangular, o cono cuyas generatrices opuestas se cortan en un ángulo recto, sino como resultantes de la intersección de un plano con un cono circular cualquiera, ya sea rectangular o no. En la obra de Apolonio, que él denominó Secciones Cónicas, se encuentra la afirmación de que, en el plano, el lugar de un punto (móvil) cuyas distancias a dos puntos fijos dan una suma o una diferencia constante, es una elipse o una hipérbola, que tiene como focos esos puntos fijos. El mismo Apolonio aclara que una tangente a la elipse deja los dos focos de un mismo lado de dicha tangente, y que en la hipérbola quedan uno de un lado y el otro del otro lado. La amplitud con que, tanto Arquímedes como Apolonio, estudiaron las propiedades de las curvas nombradas es tal que, en muchos puntos, a su trabajo nada nuevo se añadió en los siglos posteriores, motivo por el cual escribió Leibniz: “ El que entiende a Arquímedes y a Apolonio, admira menos lo que los esclarecidos hombres recientes, han inventado”. Por su parte, J. Wallis (1616-1703) en su admiración por Arquímedes, exclama: “ Hombre de estupenda sagacidad, que echó los cimientos de casi todo lo que nuestra edad se gloría de haber promovido”. La primera propiedad notable relativa a las cónicas, enunciada por Apolonio y que se acaba de citar, fue tomada por F. de la Hire (1640-1718) como definición de las curvas que tienen centro, y de la segunda se ideó la manera de describir la elipse por trazo continuo. Esta construcción la indicó por primera vez el bizantino Antemio (siglo VI). Otro gran matemático, P. de Fermat (1601-1665), contemporáneo de Descartes y por éste admirado, había ideado, a su vez, la Geometría Analítica. Sus trabajos relacionados con ella se remontan al año 1629, es decir, precedieron la publicación de la Géométrie. El pensamiento de Fermat, tal como se ve expuesto en una publicación póstuma, titulada Ad locos planos et solidos isagoge —introducción al estudio de los lugares planos y sólidos—, se aproxima a la actual Geometría Analítica casi más que el de Descartes. Así se expresa Fermat: “Siempre que en una ecuación final figuran dos cantidades (segmentos) incógnitas (variables) , la extremidad de una de ellas describe una recta o una curva” .

Breve bosquejo histórico de la geometría analítica xvii

La obra geométrica de Fermat, que sólo fue publicada en 1679, es de gran importancia, pues enseña a interpretar ecuaciones sencillas con dos variables, considerando rectas, elipses, parábolas e hipérbolas. *

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Volviendo a Descartes y a su obra, justo es hacer notar que su punto de vista y su técnica, relativamente a la Geometría Analítica, son incomparablemente más adelantados que los de Fermat. Con respecto a la Géométrie, observaba J.E. Montuela (17251799) que “Descartes no ha pretendido componer un trabajo didáctico; se limita a trazar a los matemáticos un camino que han de recorrer, y en su libro no hay ni orden ni desarrollos: sólo son ideas de un hombre de genio, que no sigue la marcha de los espíritus ordinarios”. Y no solamente no resultó el libro de Descartes un tratado didáctico y completo, sino que, según el propio autor nos informa, omitió, con deliberada intención, muchas cosas que hubiera podido hacer figurar en ella; aun más: él mismo confiesa, en alguna parte, que fue intencionalmente oscuro. Pero, aunque en la Géométrie sólo se contenga un primer ensayo de la Geometría Analítica, corresponde al gran Cartesio el mérito de haber abierto el camino a nuevos métodos, por lo cual ha sido mirado siempre como un obra que ha hecho época y como un instrumento de investigación incomparablemente más poderoso que la geometría de los antiguos. Refiriéndose a la creación de Descartes, escribe el matemático P. Boutruox (18451922) que su importancia estriba en “hacer ver cómo en la aplicación sistemática de coordenadas había un método de un poderío y una universalidad desconocidos hasta entonces en la Matemática; un método destinado a anular, por la superación, a todos los anteriores; un método que, en colaboración con el concepto de función, debía revolucionar y regenerar todas las ciencias que se hallaban relacionadas con los conceptos de espacio y tiempo”. Descartes no habla de ejes, ni de abscisa, ni de ordenada, ni de coordenadas. Para la representación de las cuervas, escoge una recta, en posición horizontal, que a veces llama diámetro y, para comenzar el cálculo, señala en ella un punto fijo (origen); luego toma puntos en el diámetro, y a cada punto asocia otro u otros, según la línea que estudia; en otras palabras: dada la ecuación de una línea y elegida una recta como eje y en ella un punto fijo, a cada distancia (abscisa) contada desde el origen corresponde a otra distancia (ordenada) en una dirección perpendicular al eje; el extremo del segundo segmento u ordenada, determina un punto de la línea, es decir, el punto de la línea queda localizado cuando es conocido el punto tomado en el eje. Descartes no introduce formalmente el otro eje, el vertical. Las coordenadas x , y las llama cantidades indeterminadas y, contrariamente a lo que se hace en la actualidad, toma las abscisas en el sentido vertical y las ordenadas en el horizontal. “Obsérvese en Descartes que adopta como principio que la ecuación de un lugar geométrico únicamente es válida para el cuadrante para el cual fue establecida. La generalización de sus propiedades a los demás cuadrantes fue asunto que sólo a la larga llegó a considerarse, y no puede atribuirse a ningún geómetra en particular”, según afirma P. Tannery (1843-1901).

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G. F. de L´Hospital (1661-1704), que publicó el más importante texto de Geometría Analítica a fines del siglo XVII, fue quien introdujo realmente los dos ejes, no forzosamente perpendiculares, y atribuyó signos a las coordenadas, según las convenciones aún hoy día en uso, aunque advierte al lector que se limitará a describir los fenómenos que se verifican dentro del ángulo (cuadrante) de las direcciones positivas de los ejes. Con respecto a los signos de las coordenadas, merece particular mención I. Newton (1642-1727) por ser el primer matemático que, en realidad, sacó grandes ventajas de la consideración de dichos signos, merced a lo cual logró grandes simplificaciones. Con el mismo Newton comienza, propiamente, a considerarse la hipérbola como una curva de dos ramas, cosa que no se había hecho antes, pues Apolonio no consideraba ambas ramas como pertenecientes a una misma curva. Justo es advertir, empero, que el considerar de una manera sistemática el signo de los segmentos, así como el de los ángulos, de las áreas, etc., sólo se hizo en época posterior, por A. F. Möbius (1790-1868). En cuanto a los sucesores inmediatos de Descartes, y a los que siguieron de cerca a Newton, poco impulso dieron a la Geometría Analítica, y únicamente se esmeraron en aclarar las ideas de esos maestros. Entre los continuadores de la obra Cartesio, además del marqués de L´Hospital, debe mencionarse al ya citado F. de La Hire. Un adelanto importante se tiene con este matemático, pues enseña que, con respecto a las coordenadas de un punto, puede tomarse indistintamente una de ellas como variable independiente y la otra como dependiente de la primera, y viceversa. Para entender su expresión, necesita tenerse presente que llama origen del lugar al origen; que las coordenadas de un punto arbitrario las designa con los nombres de tallo y ramas; que entiende por nudo el pie de la ordenada del punto considerado y que por lugar entiende toda línea o superficie cuyos puntos todos tienen una misma relación con determinados elementos fijos. Su manera de expresar la indicada propiedad es: Pueden cambiarse las partes del Tallo en Ramas y las Ramas en partes del Tallo, sin cambiar el lugar, el origen ni el ángulo comprendido entre el Tallo y las Ramas. *

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Descartes termina el segundo libro de su obra observando que el concepto fundamental de su método puede extenderse del plano al espacio, es decir, mencionó la Geometría Analítica de tres dimensiones, pero nada se escribió acerca de ella. F. van Schooten el joven (1615-1660), traductor y comentador de Descartes, fue él quien sugirió, en 1657, el uso de las coordenadas en el espacio tridimensional. En realidad, el que echó los cimientos de la Geometría Analítica de tres dimensiones, fue A. Parent (1666-1716). Enseñó por primera vez a representar una superficie, la de una esfera y otros sólidos, por medio de una ecuación cartesiana, que él llama équation superficielle; pero, aunque habla de un punto como origen o punto de referencia, no menciona ni ejes ni planos coordenados. El que indicó la consideración de los tres ejes coordenados de un sistema cartesiano, es J. E. Hermann (1678-1733). Con él la Geometría Analítica del espacio, entonces incipiente, recibió notable impulso. Considera tres ejes de referencia, y hace obser-

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var que un punto cualquiera de cada eje tiene dos de sus coordenadas nulas. Demuestra que toda ecuación de primer grado con tres variables, ax 1 by 1 cz 2 d 5 0, representa un plano; partiendo de ella, deduce las coordenadas de la intersección del plano con cada uno de los ejes cartesianos. La obra de Hermann fue posteriormente ampliada con los trabajos de A. C. Clairaut (1713-1765), que constituyen un verdadero tratado de Geometría Analítica del espacio, pues, además de determinar tangentes y normales a las curvas alabeadas, hace figurar ecuaciones de planos, ecuaciones de las superficies de la esfera, del paraboloide y , en general, las ecuaciones de las superficies de los sólidos de revolución. Las obras de Hermann y de Clairaut tuvieron como complemento los trabajos de L. Euler (1707-1783), quien establece los fundamentos de la Geometría Analítica del espacio. Estudia las superficies representadas por las ecuaciones de segundo grado, y hace la reducción de ellas a cinco tipos. *

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Por lo que se refiere a las coordenadas polares en el plano, en Arquímedes se halla una primera alusión a ellas; empero, con toda propiedad, debe decirse que dichas coordenadas fueron inventadas en 1691 por Jacobo Bernoulli (1654-1705), pues antes se habían usado para el estudio de las espirales solamente. La extensión de las coordenadas polares a la Geometría Analítica del espacio, de las que hay un indicio en A. Clairaut, se debe a J. L. Lagrange (1736-1813), y a L. I. Magnus (1790-1861) la introducción a las coordenadas cilíndricas. El estudio sistemático de las curvas dadas por ecuaciones en coordenadas polares, se encuentra en una obra de Gourief , publicada por el año de 1794. Su notación es moderna; usa z para representar el radio del vector y v para el ángulo vectorial o argumento, como se ve en las ecuaciones siguientes: x 5acosv,

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y5 zsenv

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El apelativo Analítica es posterior a Descartes. Aparece en la edición de obras de Newton que hizo S. Horsley en 1779, con el nombre Geometría Analytica, sive specimina artis analyticæ, es decir, Geometría analítica, o especimenes del arte analítico. En el sentido actual, la denominación de Geometría Analítica figura en el prefacio escrito para el Traité du calcul différentiel et du calcul intégral de S. F. Lacroix, publicado por los años 1787-1790. Como título de un libro, se encuentra, por primera vez, en J. C. Garnier: Eléments de géométrie analytique, que vieron la luz en 1808. Débase al marqués de L´Hospital la introducción de la palabra origen, y son de G. G. Leibniz (1646-1716) las palabras abscisa y ordenada (en el sentido que se les da actualmente) y coordenadas. La palabra parámetro, aplicada a ecuaciones paramétricas, fue usada por este mismo autor. Arquímedes ya usaba las palabras eje , vértice y diámetro. Con esta última palabra indicaba los ejes de simetría de la elipse y el de la parábola, como rectas que contienen

xx


los puntos medios de cuerdas paralelas a una recta dada. El mismo Arquímedes usaba también la expresión diámetros conjugados, pero la teoría relacionada con ellos es, tal vez, de fecha anterior. La palabra asíntota aparece usada por Autolico (cerca del año 320 a. de J.C.), pero sólo llega a ser un término propiamente técnico con Apolonio, el cual la consideraba como una recta cuya distancia a la curva disminuye constantemente. El primero que consideró las asíntotas como rectas tangentes cuyo punto de tangencia se halla en el infinito, fue G. Désargues (1593-1661). Por último, débase a Képler el haber introducido la palabra foco que, en el caso de la elipse, le fue sugerida por la observación de que los rayos luminosos o caloríficos que parten de uno de los focos de esa curva, son reflejados por ella en tal forma que pasan por el otro foco. Los geómetras antiguos, Apolonio inclusive, conocían los dos focos de las cónicas que tienen centro; parece que Papo (fines del siglo III) fue el primero que consideró el foco de la parábola, y definió esta curva como el lugar de los puntos del plano que equidistan de una recta fija y de un punto fijo, exterior a esa recta. Partiendo de esta definición, ideó un dispositivo sencillo para describir la parábola con trazo continuo. Como es fácil comprenderlo, resulta casi imposible citar los nombres de todos los matemáticos que han contribuido a complementar la estructura de esta ciencia, y para terminar este bosquejo, únicamente se hace mención de los siguientes matemáticos: Proclo (412-485), el cual refiere que los antiguos griegos ya sabían que un punto fijo de un segmento cuyos extremos se deslizan sobre dos rectas perpendiculares, describe una elipse; J. R. Biot (1774-1862), a quien se debe la ecuación de una recta apoyada en dos puntos; A. Cayley (1821-1895), que fue el primero que describió, por medio de un determinante nulo, la ecuación de dicha recta que se apoya en dos puntos; L. N. M. Carnot (1753-1823), que expresa el área de la superficie de un polígono de n lados por medio de la fórmula: A =

1

( x1 y2 − x2 y1 ) + ( x 2 y 3 − x 3 y 2 ) + ... + ( x y 1 − x 1y ) 

2 

n

n

CAPÍTULO

1

Sistemas coordenados (dónde estamos) Descartes, Fermat y Euler, fundadores de la geometría analítica.

Seis veces hasta ahora he visto la Muerte cara a cara, y otras tantas ella ha desviado la mirada y me ha dejado pasar. Algún día, desde luego, me reclamará, como hace con cada uno de nosotros. Es sólo cuestión de cuándo y de cómo. He aprendido mucho de nuestras confrontaciones, sobre todo acerca de la belleza y la dulce acrimonia de la vida, del valor de los amigos y la familia y del poder transformador del amor. De hecho, estar casi a punto de morir es una experiencia tan positiva y fortalecedora del carácter que yo la recomendaría a cualquiera, si no fuese por el obvio elemento, esencial e irreductible, de riesgo. Carl Sagan

Reseña histórica Sin duda alguna, desde la Antigüedad y gracias a la observación, el hombre concibió formas de figuras o cuerpos y reflexionó sobre el beneficio que podría obtener de ellos. Fue así, por ejemplo, como se inventó la rueda. Es evidente que, para nuestros antepasados, las características geométricas de las formas de aquellos cuerpos no eran de interés, sino solamente su aplicación. Tiempo después, personajes como Pitágoras, Tales de Mileto y Euclides hicieron los primeros estudios de esas formas y forjaron las bases de la geometría. Más adelante, en el siglo XVI, los franceses Pierre de Fermat (16011655) y René Descartes (1596-1650) establecieron las bases de la geometría analítica. Fermat, en principio, no mostró interés por publicar sus logros, sino hasta 1636, cuando dio a conocer las ecuaciones de la recta, la circunferencia, la parábola, la elipse, la hipérbola y el método de la tangente de la curva. En 1637, Descartes publicóLa geometría, naturaleza y propiedades de las líneas curvas , donde presentaba ya la combinación de la geometría plana con el álgebra (geometría algebraica). Es interesante señalar que Descartes no usó dos ejes para el análisis de las curvas y que sólo utilizó coordenadas positivas; Newton fue el primero en emplear coordenadas negativas, y Leibniz fue quien aplicó por primera vez el término coordenada . A partir de entonces, la geometría tomó auge entre los matemáticos de la época, al grado de que se desarrolló en diferentes áreas específicas, como la geometría plana, del espacio, descriptiva, esférica y diferencial, por mencionar algunas; además, se empleó para el desarrollo del cálculo diferencial e integral, el análisis algebraico y el vectorial.

1

2

Capítulo 1

■

Sistemas coordenados (dónde estamos)

INTRODUCCIÓN

A la geometría se le considera un sistema científico. Fetisov afirma que ésta “no es una colección al azar de verdades que describen las propiedades espaciales de los cuerpos, sino un sistema científico, basado en leyes estrictas”.1 Cada teorema se enlaza lógicamente con proposiciones establecidas previamente, y es esta relación la que se descubre mediante demostraciones. Cada teorema geométrico está vinculado a través de una cadena completa de deducciones con teoremas previamente demostrados. Fetisov hace hincapié en que nunca se debe pensar que lo que se dice resulta obvio para los demás, pues esto podría tener graves consecuencias al querer comprobar algo. Para estudiar el presente libro, el alumno debe comprender los siguientes conceptos: axioma, teorema, ley y regla, entre otros. Algunos de éstos se usan a lo largo del texto, tomándolos como verdaderos, sin entrar en casos particulares, a menos que sea necesario y que aporten conocimiento para la comprensión de los temas expuestos. Además, es necesario contar con conocimientos básicos de álgebra y trigonometría. Por otro lado, en el libro se trata sólo con números reales, es decir, { a, b, c… x, y, z ∈ ℜ}. Los elementos x, y y z tienen dos usos: uno, como dupla o terna de coordenadas, y otro, como variables de una ecuación propuesta. Cerca de 60% del texto es álgebra y trigonometría y el resto, análisis (es decir, geometría analítica); de ahí la necesidad de que el lector haya tomado los cursos previos. No obstante, a lo largo de esta obra se hacen las observaciones y explicaciones necesarias para que resulte comprensible; también hay que advertir que no sólo se trata con números enteros, pues en los ejemplos y ejercicios se incluyen números fraccionarios o decimales y potencias de la misma índole.

Al principio se mencionó que la geometría es un sistema científico. En matemáticas

1.1 SISTEMAS comúnmente se emplean cuatro sistemas de referencia y coordenados, que se expliDIMENSIONALES can a continuación.

1.1.1. Sistema coordenado tetradimensional Se estudia partiendo de los elementos espacio-tiempo y volumen. El concepto de espacio-tiempo se define como una serie de sucesos ordenados hacia delante. Quizás por el momento no comprendas del todo esta definición, pero seguramente te habrás dado cuenta de que no existe ningún evento que no ocupe un espacio y que a la vez no transcurra en el tiempo. Para ilustrar lo anterior de forma sencilla, baste un ejemplo: cuando leíste esta explicación ocupaste un espacio y transcurrió un tiempo. Entonces, cualquier punto P tendrá coordenadas ( x, y, z, t ).

1.1.2. Sistema coordenado tridimensional o ℜ3 Si quitamos del sistema tetradimensional el elemento espacio-tiempo tendríamos sólo el volumen que, en sí mismo, es el sistema tridimensional o ℜ3 (se lee r tres). Lo podemos representar y estudiar utilizando más de un sistema coordenado, como el rectangular tridimensional, el cilíndrico y el esférico, entre otros. En las ilustraciones de la figura 1.1 se observan las coordenadas de cualquier punto P para cada sistema coordenado. Es sencillo obtener las relaciones entre aqué-

1

Fetisov, A.I., Proof in Geometry, Universidad de Chicago, 1963.

1.1

Sistema coordenado cilíndrico

Sistema coordenado rectangular tridimensional

■

Sistemas dimensionales 3

Sistema coordenado esférico z

z z

•

III

T

T

•

II

• P (x,y,z ) o I

IV x

•

f P (r ,u,z )

S

R

•

o VI

VII

y

y

•Q

•R

R

o

S

•

u

y

• Q

S

r u

x y

Q VIII

• P (r,u,f) r

x

V

Figura 1.1. Sistemas coordenados en R3.

llas a partir de las coordenadas rectangulares ( x, y, z) y de trigonometría de triángulos rectángulos. rectangulares  cilíndricas [1] x  r cos u [2] y  r sen u [3] z  z

rectangulares  esféricas [4] x  r sen f cos u [5] y  r sen f sen u [6] z  r cos u

Relación de las coordenadas rectangulares y esféricas z

T • f

•

P (x,y,z ) P (r,u,f)

r O R

•

u

•

l

S y

u

•Q

x

Figura 1.2. Relación entre los sistemas rectangular y esférico.

En la figura 1.2 observamos los triángulos rectángulos OQR, OQS , OPQ y OPT y dos ángulos u y f. Apoyados en el triángulo determinamos l: l  r sen f

4

Capítulo 1

■


Para obtener las coordenadas en los ejes por trigonometría, se tiene: x  l cos u, y  l sen u, z  r cos f

al sustituir l en las expresiones anteriores, obtenemos: x  r sen f cos u y  r sen f sen u, z  r cos f

que son las coordenadas rectangulares en función de las variables esféricas; es común utilizar r (ro) para denotar el radio r . No se pretende que el lector domine de inmediato estas relaciones, sino que se familiarice con los diferentes sistemas coordenados.

Ejemplo 1.1 Determina las coordenadas rectangulares tridimensionales de un punto P, a partir de sus coordenadas cilíndricas. Solución:

Empezamos por considerar las relaciones x  r cos u, y  r sen u y z  z, utilizando 3 el apéndice B, de donde obtenemos que: cos 60°= 1 y sen 60° = 2 2 Por lo tanto, los correspondientes valores para x, y y z son: 3 1 x = 4 ⋅ = 2, y = 4 ⋅ = 2 3, z  6 2 2

(

)

La tercia de valores del punto dado tendrá coordenadas rectangulares P 2, 2 3 , 6 .

Ejemplo 1.2 Determina las coordenadas rectangulares tridimensionales de un punto dado, conocidas sus coordenadas esféricas P(4,30°,60°). Solución:

Utilizando las relaciones x  r sen f cos u, y  r sen f sen u y z  r cos f, y empleando el apéndice B, identificamos que u  30° y f  60°, por lo cual: cos 30°=

3 1 1 3 , sen 30° = , cos 60° = y sen 60°= 2 2 2 2

Por lo tanto, los correspondientes valores para x, y y z son: x = 4 ⋅

3 3 3 1 1 ⋅ = 3 , y = 4 ⋅ ⋅ = 3 , z = 4 ⋅ = 2 2 2 2 2 2

(

)

La terna de valores del punto dado tendrá coordenadas rectangulares P 3, 3, 2 .

1.1

■


Para entender mejor el sistema coordenado rectangular tridimensional, observa el libro que estás leyendo. Nota que tiene una altura, un ancho y un largo. Estos tres elementos son dimensiones diferentes. Desde el punto de vista matemático, en la geometría descriptiva un sistema coordenado tridimensional se construye a partir de la intersección de tres planos que dan origen a ocho octantes, como se ilustra en la figura 1.3.

III

II

I

IV

VII

VIII

VI

V

Figura 1.3. Sistema coordenado rectangular tridimensional.

Si utilizamos letras para representar la dirección de cada dimensión, como se muestra en la figura 1.4, notaremos que la altura está en dirección z (cota), el largo se representa en y (ordenadas), y el ancho en x (abscisas). Observa tu salón de clases desde una esquina. Verás que te rodean figuras seme jantes a las de tu libro, es decir, paredes o planos a tu izquierda y enfrente, con una determinada altura, además de que estás parado entre dos de ellos. Esto es el sistema tridimensional. Todo lo que dé la sensación de volumen, incluido tu cuerpo, está constituido de esta manera. Para representar un punto en este sistema, se necesita una terna de coordenadas, las cuales se denominan

z

G e o m a n a l í e t rí a t i c a x y

Figura 1.4. Coordenadas ( x, y, z).

6

Capítulo 1

■


abscisas, ordenadas y cotas, ( x, y, z) respectivamente. En seguida se describe un procedimiento que facilita la localización de un punto en ℜ3:

• • • •

Localiza las coordenadas x, y y z en sus respectivos ejes. A partir de la coordenada x, traza un segmento de recta paralelo al eje y. De la misma forma, a partir de la coordenada y, traza un segmento de recta paralelo al eje x. Lo anterior origina un punto en la intersección de las rectas en el plano xy. Del punto de intersección traza una recta paralela al eje z y restríngela al valor de la coordenada de esta última.

En forma gráfica obtendrás una figura semejante a la 1.5. z

• (x,y,z ) O

y

x

Figura 1.5. Un punto en el espacio.

Ejemplo 1.3 Localiza la terna de coordenadas de los puntos P(3,4,6), Q(3,4,5) y R(4,5,3).

R (–4,5,3)

z

P (3,4,6)

O

–y

y

x Q (3,–4,–5)

–z

Figura 1.6. Puntos en el espacio.

1.1

Ejercítate

■


Resuelve en cada caso lo que se pide: a) Determina las coordenadas cilíndricas de cierto punto a partir de sus coordenadas rectangulares P(5,8,10). b) Determina las coordenadas esféricas de cierto punto a partir de sus coordenadas rectangulares P(4,4,8). c) Determina las coordenadas esféricas de cierto punto a partir de sus coordenadas rectangulares P(6,5,6). d ) Determina las coordenadas cilíndricas de cierto punto a partir de sus coordenadas rectangulares P(5,6,4). e) Determina las coordenadas rectangulares en ℜ3 de cierto punto a partir de sus coordenadas cilíndricas P(7,75°,8).

1.1.3. Sistema bidimensional A través de un sistema bidimensional estudiamos todo lo que dé sensación de área. Si al sistema tridimensional le quitamos uno de sus componentes, por ejemplo la altura ( z, cota) de nuestro libro, sólo quedaría la carátula. Únicamente tendríamos largo y ancho, como se observa en la figura 1.7.

y

y


I

II

–x

x III

IV

x –y

Figura 1.7. El Plano xy.

Entonces, sólo tratamos con un plano xy, bisecado por dos rectas perpendiculares entre sí, el cual queda dividido en cuatro partes, llamadas cuadrantes. El punto de intersección se llama origen y tiene coordenadas (0,0). En este plano se observan direcciones negativas y positivas, por lo que cualquier punto P será localizado por parejas o duplas ordenadas ( x, y). Este sistema se utiliza continuamente en la geometría analítica y se le conoce como plano cartesiano , en honor a René Descartes, o bien, ℜ2 (se lee: r dos). Otro sistema bidimensional usado comúnmente es el plano polar, el cual se compone de un polo (origen) y un eje polar . Cualquier punto P se localiza a partir de la longitud del segmento de recta que existe entre éste y el polo, además del ángulo que se forma entre el eje polar y el segmento de recta, como se observa en la figura 1.8.

8

Capítulo 1

■

Sistemas coordenados (dónde estamos) Plano polar

Plano cartesiano

P (r,u)

P (x,y ) r

u

Origen

Eje polar

Polo

Figura 1.8. El plano polar.

Si el plano polar se sobrepone en el plano cartesiano, haciendo coincidir el polo con el origen, como muestra la figura 1.9, por trigonometría de triángulos rectángulos se obtienen las siguientes relaciones:

y P (x,y ) P (r,u) r Polo Origen

x = r cos u y = r sen u

[7] [8]

r = x 2 + y2

[9]

u

x Eje polar

 y   x  

θ = tan−1 

[10]

Figura 1.9. Coincidencia entre el plano rectangular y el plano polar.

Ejemplo 1.4 Determina las coordenadas rectangulares del punto P(4,30°) dado en coordenadas polares. Solución:

De las relaciones x  r cos u, y  r sen u, además de saber que cos 30° = 1 sen 30° = , se tiene que los valores para x y y son: 2 x = 4 ⋅

3 = 2 3; 2

1 y = 4 ⋅ = 2, 2

por lo que las coordenadas rectangulares son: P 2 3 , 2 .

3 y 2

1.1

■


René Descartes es reconocido como el padre de la geometría analítica, pues fue el primero en hacer públicos sus trabajos en el libro La Géométrie. Fermat lo hizo tiempo después. El plano cartesiano está formado por duplas 2 de coordenadas ( x, y), a las que se les asocia una relación biunívoca, porque para cada punto se tiene una dupla de coordenadas. La letra x representa a las abscisas (en el eje horizontal), mientras que y representa a las ordenadas (en el eje vertical). Es importante saber que la letra o el nombre que recibirán el eje de las abscisas y el de las ordenadas depende de nosotros o de la situación que se estudie; se recomienda al lector que ocasionalmente invierta o cambie las literales de los ejes y analice los resultados. Para encontrar el lugar de un punto en un plano cartesiano, debe localizarse el valor de la abscisa, después el de la ordenada y luego trazar dos rectas —vertical y horizontal, respectivamente—, hasta llegar al punto de intersección. y P (x,y )

Punto de intersección o

x

Figura 1.10. Punto en el plano cartesiano.

Ejemplo 1.5 Localiza en un plano cartesiano los puntos cuyas duplas de coordenadas son: A(2,1), B(3,3), C (1,5) y D(4,3). Solución:

Primero identifica los datos de las duplas, después señala la abscisa y la ordenada en cada caso, trazando sus respectivas rectas, y finalmente encuentra el punto. y

B (3,3)

A(–2,1) o

x

D (–4,–3)

C (1,–5)

Figura 1.1. Localización de puntos en el plano cartesiano.

2

El término formal es dupla, pero por convención se usa pareja o par. A lo largo del libro se utilizarán los tres términos de manera indistinta.

10

Capítulo 1

■


1.1.4. Sistema coordenado unidimensional Si al plano cartesiano le quitamos el largo o el ancho, obtenemos una línea recta, como indica la figura 1.12.

o

x

Figura 1.12. Sistema coordenado unidimensional.

A esta recta la podemos dividir en segmentos y colocar un punto de referencia, “ origen, 0”, y de ahí tomar la dirección positiva y negativa (derecha e izquierda, convencionalmente). Aquí sólo se podrán encontrar o trazar puntos continuos o discontinuos y sólo tendremos la sensación de longitud.

Ejemplo 1.6 Localiza en el sistema coordenado unidimensional los puntos A  4 y B  3. Solución:

Trazamos un segmento de recta y elegimos una escala adecuada para poder localizarlos. A=4

B = –3 o

Figura 1.13. Localización de puntos en el sistema coordenado unidimensional.

Una línea se define como una sucesión de puntos infinita; si es recta, diremos, además, que los puntos conservan una misma inclinación o dirección. Si la línea se le limita por dos puntos cualesquiera que se encuentran en ella, se obtendrá un segmento de recta , en el cual se puede establecer una dirección positiva o negativa, según sea pertinente, además de una magnitud. Considera la siguiente figura:

A

B

Figura 1.14. Segmento de recta.

Si se toma como positivo el sentido de izquierda a derecha y viceversa negativo, se dice que el segmento de recta AB es positivo y el segmento BA, negativo. La distancia entre estos dos puntos es la misma, pero su sentido es diferente. Este sencillo concepto debe ser bien comprendido, pues será de gran utilidad en todo el estudio de la geometría analítica y otros temas.

1.2

1.2 CONCEPTOS BÁSICOS

■

Conceptos básicos 11

Imaginar que se pueden analizar situaciones prácticas (de cosas cotidianas) suena maravilloso e interesante, y aun más porque es posible hacerlo en términos matemáticos, como se verá a lo largo de este libro.

1.2.1. Distancia entre dos puntos en un plano unidimensional El término distancia se define como la magnitud de la longitud entre dos puntos cualesquiera. La magnitud debe entenderse como el valor absoluto, ya que no existen distancias negativas, pero sí desplazamientos negativos. De aquí la importancia de que se establezca siempre un criterio en cuanto a direcciones, a partir de un sistema de referencia. Nunca decimos: “Caminé menos diez metros”. El valor absoluto. Se define como aquel que sirve para conocer la distancia entre dos puntos de una recta. Por ejemplo a, cuya representación es α , de un

valor determinado, cumple las siguientes condiciones:

α α =   −α

si α ≥ 0 si α < 0

Donde el valor de  está dado por la distancia que existe entre éste y un punto de referencia, comúnmente denotado como O y llamado origen, el cual será α ≥ 0 si se encuentra a la derecha y α < 0 si está situado a la izquierda. Por lo tanto, el valor absoluto se utiliza para conocer la distancia que existe entre dos puntos de una recta. Demostración:

Considera un segmento de línea recta limitado por dos puntos P1 y P2 cualesquiera, en el cual se localice un origen o punto de referencia 3, O, como se muestra en la siguiente figura:

P 1 x 1

P 2 o

x 2

OP2 = P1 P2 ; donde: PO Dividimos en segmentos, de forma que PO = x1 y OP2 = x2 , 1 + 1

además de que P1P2 es la magnitud de la distancia entre los puntos x1 y x2, la cual denotamos con la letra d . Al sustituir las relaciones y tomando en cuenta el criterio establecido, obtenemos: x

x2  d

 1

o bien: d  x2  x1 3

En lo sucesivo, se tomarán como positivos los desplazamientos hacia la derecha, y como negativos los que se realizan en sentido contrario.

12

Capítulo 1

■


Pero como no existen distancias negativas, obtenemos el valor absoluto de la expresión anterior: d1,2 = x2 − x1

[ 11 ]

Obtenemos así la fórmula matemática para determinar la distancia entre dos puntos en un sistema unidimensional. Como recomendación, siempre debes respetar los signos propios de cada fórmula, pues es común confundirlos con los de los valores dados.

Ejemplo 1.7 Calcula la distancia entre los puntos A y B, donde A54 y B58. Solución:

Paso 1. Traza un segmento de recta donde puedan representarse los puntos dados y

márcalos.

–2 –1

o

1

2

3

4

A

5

6

7

8

9 10

B x 1

d

x 2

Figura 1.15. Distancia entre dos puntos en un plano unidimensional.

Paso 2. Toma uno de los puntos como

final y otro como inicial (aquí se muestra de A

hacia B, y en forma inversa). Paso 3. Aplica la fórmula matemática:

d1,2 = x2 − x1

tomando como punto final a B:

d AB = 8 − 4 = 4

o bien, si el punto A es el final:

d BA = 4 − 8 = −4 = 4

Como se mencionó, la distancia siempre es positiva.

Ejercítate

Determina la distancia entre cada uno de los siguientes pares de puntos dados y grafica en cada caso. a) b) c) d) e)

A = 22 y B = 4 A = 25 y B = 9 P = 26 y Q = 26 x1 = 2 y x2 = 8 x1 = 7 y x2 = 1

1.2

■


1.2.2. Distancia entre dos puntos en un plano cartesiano (bidimensional) En el apartado anterior se habló de la distancia entre dos puntos en un plano unidimensional. Aquí se tratará este concepto en el plano cartesiano o ℜ2, el cual tiene un análisis ligeramente más complicado. Demostración:

Sean A( x1 , y1 ) y B ( x2 , y2 ) dos puntos cualesquiera, cuyas duplas de coordenadas se encuentran en un plano cartesiano, como se ilustra en la figura 1.16. x 2 – x 1 y B

y 2

y 2 – y 1 y 1

C

A

x 1

o

x 2

x

Figura 1.16. Distancia entre dos puntos en un plano bidimensional.

En la figura 1.16 se observa un punto C de coordenadas ( x2, y1). Al fragmentar la recta por los puntos dados se tiene AC = | x2 − x1 |, CB = | y2 − y1 |; además, la distancia que se busca es la comprendida por el segmento AB = d AB . El punto C servirá de referencia para construir un triángulo rectángulo ACB, de donde se establece a partir del teorema de Pitágoras ( c2 5 a2 1 b2): 2

2

AC + CB = AB

2

Se reconoce que los segmentos AC y CB son los catetos del triángulo y AB la hipotenusa; sustituyendo, se tiene: AC = | x2 − x1 | CB = | y2 − y1 | 2

2

d AB = x 2 − x1 + y2 − y1

Como interesa saber la distancia, se toma la raíz cuadrada de ambos miembros, para eliminar los cuadrados: d AB =

2

( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )

2

[12]

14

Capítulo 1

■


Una raíz cuadrada tiene dos posibles valores, pero como se mencionó, no existen distancias negativas y además estamos tratando con valores absolutos. Una vez comprendida la fórmula matemática, describiremos un procedimiento sencillo para determinar la distancia entre dos puntos: Procedimiento para calcular la distancia entre dos puntos 1. Traza

un plano cartesiano y elige una escala (unidad de medida), donde se puedan representar los puntos dados. 2. Localiza cada uno de los puntos y únelos con un segmento de recta (esto te permitirá visualizar la distancia que vas a encontrar). 3. Si tomas ( x1, y1) como punto inicial, tendrás a ( x2, y2) como punto final. 4. Aplica la fórmula d AB

2

2

= ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) respetando en todo momen-

to los signos, lo que evitará que cometas errores.

Ejemplo 1.8 Calcula la distancia entre los puntos A y B, cuyas duplas de coordenadas son (3,2) y (23,21), respectivamente. Solución:

Paso 1. Traza un plano cartesiano. Paso 2. Coloca en él los puntos dados y únelos, para visualizar la distancia a calcular. Paso 3. Se designa al punto A como inicial y se aplica la fórmula dada. y

A(3,2)

• B (–3,–1)

O

•

x

Figura 1.17. Distancia entre dos puntos.

Paso 4:

d AB = (3-(-3))2 + (2 -(-1))2 d AB = 45

o bien:

d BA = (-3-3 ) 2 + (-1-2 ) 2 d BA = 45

1.2

■


Como se observa, la distancia es la misma. No pueden obtenerse resultados diferentes. Recuerda respetar los signos negativos de la fórmula, así como los valores de cada par de coordenadas, lo que evitará que cometas errores.

Ejercítate

Determina la distancia que existe entre cada una de las duplas de coordenadas y grafica en cada caso. a) A(6,4) y B(3,5) b) P(–5,–3) y Q(–2,–4) c) F (–4,1) y V (–1,2) d) C (7,–8) y D(9,–5) e) R(3,–5) y S (–3,0) f) A(1,–10) y B(1,–10)

1.2.3. División de un segmento en una razón dada y el punto medio Razón. Una razón es el resultado de comparar dos

cantidades entre sí o el cocien-

te de dividir cada término entre el que le precede.

Cuando decimos que un vehículo viaja a una velocidad de 25

km , existe una razón hr

km entre km y hr; que se denota como un cociente , y 25 es un valor que se obtiene hr de esa relación.

Ejemplo 1.9 Si se tiene que recorrer una distancia de metros en un tiempo de 10 segundos, la razón que se tiene es de distancia y tiempo (en física, sabemos que esto es rapidez), la 100 m m cual se expresa como r = = 10 . 10 s s

Ejemplo 1.10 Si en una frase se nos dice que existe una razón de tres cuartos, esto se representa ma3 temáticamente como r = . 4 En general, sean a y b dos valores cualesquiera que pertenecen a los números reales. La razón de a a b se expresa como a o como a : b. b Proporción. Una

proporción se describe como la igualdad de dos razones, o como la correspondencia entre las partes de un objeto con su todo: a c = b d o, usando un producto cruzado: ad = bc

16

Capítulo 1

■


Ejemplo 1.11 Un análisis muy peculiar para obtener la fórmula del área de una elipse lo concibió el físico Kepler y más tarde Emma Castelnuovo4, quien se apoyó en un material uniformemente elástico y en los conceptos de razón y proporción para obtener el área de una elipse, como se expone a continuación: En un material uniformemente elástico se traza un cuadrado y en éste, una circunferencia, como muestra la figura 1.18. 2r

r

Figura 1.18. Circunferencia inscrita en el cuadrado.

Luego se aplica una fuerza uniforme en ambos lados (izquierdo y derecho) de ese material. El cuadrado se transformará en un rectángulo y la circunferencia en una elipse, como se muestra a continuación: 2a

b 2b

a

Fuerza uniformemente aplicada en ambos extremos

Figura 1.19. Elipse inscrita en un rectángulo.

Observando ambas figuras, se establece la siguiente relación: ACUADRADO A = RECTÁNGULO ACIRCUNFERENCIA AELIPSE Por geometría plana, se saben directamente las fórmulas que definen el área del cuadrado, del rectángulo y la circunferencia, por lo que el área a determinarse es la de la elipse. Sustituyendo valores, se tiene: 4

García, Jesús y Celestí Bertrán, Geometría y experiencias, Addison Wesley, Madrid,1990.

1.2

■


4r 2 4 ab = π r 2 Aelipse 4abπ r 2 Aelipse = 4r 2 ∴ Aelipse = π ab que corresponde a la fórmula que define el área de una elipse. En matemáticas, dos cantidades pueden compararse de dos maneras: por diferencia o por cociente. Los términos de cualquiera de los casos de la razón se llaman antecedente y consecuente.

Ejemplo 1.12 Dada la razón por diferencia 3 21, identifica cuál valor es el antecedente y cuál el consecuente. Solución:

3 5 antecedente; 1 5 consecuente.

Ejemplo 1.13 Dada la razón por cociente al consecuente.

4 , distingue cuál valor representa al antecedente y cuál 3

Solución:

4 5 antecedente; 3 5 consecuente.

1.2.4. División de un segmento en una razón dada Teorema

División de un segmento en una razón dada

Si C 1( x1, y1) y C 2( x2, y2) son los extremos de un segmento de recta, al cual se pretende dividir en una fracción o razón dada r (en partes iguales), y además C ( x, y) es un punto tal que r = C1C / C1C2 , entonces es posible determinar las coordenadas del punto C en términos de C 1 y C 2 como sigue: x 5 x1 1 r ( x2 2 x1) , y 5 y1 1 r ( y2 2 y1)

18

Capítulo 1

■

Sistemas coordenados (dónde estamos) Demostración:

Considera la siguiente figura: C 2(x 2,y 2)

y

C (x ,y ) C 1(x 1,y 1)

o

x

Figura 1.20. División de un segmento.

De acuerdo con las coordenadas de los puntos dados, tenemos: C1C C1C 2

= r ⇒ r =

x − x1 x2 − x1

Al despejar x, se obtiene: x 5 x1 1 r ( x2 2 x1)

[ 13 ]

En forma semejante, para y se tiene: y 5 y1 1 r ( y2 2 y1)

[ 13 ]

1 1 Observa que si r = , debe entenderse que el punto C se localiza a de la distancia 4 4 comprendida entre C 1 y C 2, es decir, dividimos al segmento de recta en cuatro partes iguales. Si C está a cinco octavas partes de la distancia que existe entre C 1 y C 2, es 5 porque r = . 8

Ejercítate

Punto de división de un segmento de recta

Si C 1( x1, y1) y C 2( x2, y2) son los extremos de un segmento de recta y además C ( x, y) es un punto tal que permite dividir al segmento en una relación dada como r = C1C / CC2 , es posible determinar las coordenadas del punto C en términos de C 1 y C 2 como sigue: x + rx2 y + ry ∀ r ≠ −1 , x = 1 y = 1 2 ; 1 + r 1 + r Donde r es negativa si el punto de división está en la prolongación del segmento en cualquiera de sus dos sentidos.

1.2

■


Demostración:

Considera la siguiente figura: C 2(x 2,y 2)

y

• • C (x ,y ) C 1(x 1,y 1)

• o

x

Figura 1.21. Punto de división de un segmento.

Por geometría plana de triángulos semejantes: C1C CC 2

= r ⇒ r =

x − x1 x2 − x

Al despejar x: Factorizando: Finalmente se tiene

rx2 2 rx 5 x 2 x1 x(1 1 r ) 5 x1 1 rx2 x =

x1 + rx2 1 + r

[14]

De forma análoga, para y y1 + ry2 [14] 1 + r Observa que aquí se compara cierta parte del segmento contra su magnitud. y =

Ejemplo 1.14 Encuentra la dupla de coordenadas de un punto A, que divide al segmento determina3 do por E (21,6) y F (3,23) en la razón r = . 4 x1 + rx2 La coordenada x, según x = , será: 1 + r

−1 + ( 3 4 ) (3) 5 x = = 7 1+ 3 4 análogamente, para la coordenada y:

y=

( 4 )( −3) = 15

6+ 3

1+ 3

4

7

20

Capítulo 1

■


Las coordenadas del punto A serán

( 5 7 ,15 7 ).

y

E

•

•

A

O

x

•

F

Figura 1.22. Punto que divide a un segmento en una razón dada.

1.2.5. Punto medio de un segmento de recta Un caso particular que se obtiene es cuando r 5 1. La ecuación [14] se reduce a lo siguiente: x =

x1 + x2 y +y ; y = 1 2 2 2

[15]

y se le conoce como punto medio. 1 También se puede obtener a partir de [13], haciendo r = , es decir, dividiendo 2 al segmento en dos partes.

Ejemplo 1.15 Determina las coordenadas del punto medio del segmento comprendido por los puntos C (3,6) y D(24,22). Solución:

Al identificar al punto C como punto inicial, se tiene: x =

3− 4 1 =− , 2 2

y =

6− 2 =2 2

(

)

Por tanto, las coordenadas del punto medio son A − 1 , 2 . 2

1.2

■


y

C

•

A

•

O

x

•

D

Figura 1.23. Punto medio de un segmento de recta dado.

Ejemplo 1.16 Un herrero requiere fabricar una escalera de 3.0 metros de largo y desea colocarle nueve peldaños. ¿Cómo determinarías a qué distancia debe poner cada uno, si el tramo de material está en posición horizontal, como se muestra en la figura? Solución:

Si nos apoyamos en la expresión x =

x1 + x2 r y tomamos como origen x1 y x2 5 3 1 + r

0 + 9 ⋅ 3.0 27 = = 2.7 metros. 1+ 9 10 Para determinar la distancia, lo que se hace es restar de la longitud total del material el valor obtenido de x. Al sustituir valores: x =

3.0 2 2.7 5 0.3 metros. Por lo tanto, cada peldaño se debe colocar a 0.3 metros de separación.

1

0.30 m

Figura 1.24. Escalera con 9 peldaños.

3m

22

Capítulo 1

■


Otra solución es observar que el número de partes que se tendrán son 10, por lo cual, 1 r = , es decir: 10 1 x = 0.0 + (3.0 − 0.0) 10 x = 0.3 Y obtenemos el mismo resultado.

Ejemplo 1.17 Un albañil se dispone a trazar y construir una escalera de seis escalones en un espacio como el que se muestra en la figura siguiente. ¿Cómo lo ayudarías a determinar las dimensiones de la plantilla y su altura?

y

Plantilla Altura

1.5 m

O

x 2.5 m

Figura 1.25. Escalera con seis peldaños.

Solución:

La forma más práctica es aplicar el concepto de división de un segmento en una razón dada. De acuerdo con lo observado en la figura, tiene la siguiente forma. Para obtener el valor de la plantilla:

( )

5 x1 + rx2 0 + 5 2 25 5 25 5 x = = = . m ⇒ − = = 0416 1 + r 1+ 5 12 2 12 12 De manera semejante, para determinar la altura:

( )

3 y1 + ry2 0 + 5 2 15 y = = = 1 + r 1+ 5 12

3 15 3 = = 0.25 m 2 12 12

⇒ −

a través de los productos siguientes se comprueba que las medidas obtenidas son las correctas: 5 5 * 6 = = 2.5 m 12 2

y

3 3 * 6 = = 1.5 m 12 2

1.2

■


1 Otra posible solución es tomar r = , con lo que se obtiene: 6 1 x = 0.0 + (2.5 − 0.0) 6 . x = 0416 Y para y: 1 y = 0.0 + (1.5 − 0.0) 6 y = 0.25 Como se observa, se llega a los mismos resultados.

Ejercítate

1.

Divide el segmento de recta dado en la razón indicada para cada caso. 1 1 a) A(1,2) y B(3,4), r = b) P(–3,–5) y Q(1,4), r = 4 3 c) A(0,0) y B(5,–6), r 5 4 d) P(–4,7) y Q(–4,–2), r 5 8

2 1 f) P(0,–3) y Q(–5,0), r = 5 5 2. El punto medio de un segmento de recta es P(0,–2) y uno de los puntos de sus extremos es O(–2,1). Determina las coordenadas del otro extremo. e) A(2,–9) y B(5,3), r =

1.2.6. Teorema de Vazgar5 A partir del caso en el que, dadas las duplas de coordenadas de los vértices de un triángulo, se calculan los puntos medios de cada uno de sus lados, el teorema de Vazgar plantea el caso contrario: dadas las coordenadas de los puntos medios de los lados de un triángulo (al que llamaremos triángulo primitivo), se calculan los vértices que los generaron; y todo esto sin plantear sistemas de ecuaciones o procedimientos extensos. Al triángulo formado por los puntos medios lo llamaremos precisamente triángulo de puntos medios. Demostración:

Sean los puntos: D( x3, y3), E ( x4, y4) y F ( x5, y5) los vértices de un triángulo de puntos medios y A( x0, y0), y B( x1, y1), C ( x2, y2) los vértices del triángulo primitivo, es decir, los que generan los puntos medios localizados en un plano cartesiano, como se muestra en la figura 1.26.

5

Teorema desarrollado por el autor del presente libro, y dedicado a Alberto García, cuya creatividad no fue reconocida.

24

Capítulo 1

■

Sistemas coordenados (dónde estamos) y

•

F (x 5,y 5)

B (x 1,y 1)

•

A(x 0,y 0)

•

• D (x 3,y 3)

•

E (x 4,y 4) x

O

•

C (x 2,y 2)

Figura 1.26. Puntos medios de los lados de un triángulo.

A partir de las ecuaciones de punto medio para cada segmento de recta: y +y x1 + x2 y Pm y = 1 2 2 2 La figura permite determinar para cada dupla de coordenadas los puntos medios: Pm x =

x3 =

x0 + x2 2

y

y3 =

y0 + y2 2

(i)

x4 =

x1 + x2 2

y

y4 =

y1 + y2 2

(ii)

x5 =

x 0 + x1 2

y

y5 =

y0 + y1 2

(iii)

De las coordenadas de los puntos medios se obtienen las del triángulo ABC . Si procedemos algebraicamente, de las ecuaciones (i), (ii) y (iii) se obtendrán las coordenadas de A( x0, y0), B( x1, y1), C ( x2, y2). De (i) y (ii) se despejan, x2 y y2, para igualarlas. Los pasos se pueden hacer al mismo tiempo para ambas coordenadas: 2 x3 2 x0 5 2 x4 2 x1

y

2 y3 2 y0 5 2 y4 2 y1

(iv)

Si se despeja x1 y y1, para llevarlas a la ecuación (iii): x5 =

2 x4 − 2 x3 + 2 x0 2

y

y5 =

2 y4 − 2 y3 + 2 y0 2

(v)

1.2

■


Al despejar x0 y y0, respectivamente, se encuentran la dupla de coordenadas para el vértice A y (vi) x0 5 x5 1 x3 2 x4 y0 5 y5 1 y3 2 y4 De manera semejante se encuentran las coordenadas de los vértices restantes: Para: B y (vii) x1 5 x5 1 x4 2 x3 y1 5 y5 1 y4 2 y3 Finalmente: C y (viii) x2 5 x4 1 x3 2 x5 y2 5 y4 1 y3 2 y5 Como las ecuaciones ( vi), (vii) y (viii) corresponden al valor de los vértices buscados, es posible hacer un pequeño arreglo que permita determinar los valores de cada uno, a partir de los puntos medios, como se muestra a continuación: A( x0, y0) ⇔ ( x0 5 x5 1 x3 2 x4, y0 5 y5 1 y3 2 y4) [16] B( x1, y1) ⇔ ( x1 5 x5 1 x4 2 x3, y1 5 y5 1 y4 2 y3) [17] C ( x2, y2) ⇔ ( x2 5 x4 1 x3 2 x5, y2 5 y4 1 y3 2 y5) [18] Observa que las operaciones deben hacerse en forma aritmética y homogénea.

Ejemplo 1.18 Calcula los vértices de un triángulo primitivo aplicando el teorema de Vazgar, cuyos puntos medios son D(1,2), E (5,1) y F (2,–2). Traza la gráfica correspondiente. Solución:

Al aplicar el teorema de Vazgar, para determinar los vértices, se tiene: A( x0, y0) ⇔ x0 5 1 1 5 2 2 5 4, y0 5 2 1 1 2(22) 5 5 ⇒ (4,5) B( x1, y1) ⇔ x1 5 2 1 5 2 1 5 6, y1 5 1 2 2 22 5 23 ⇒ (6,23) C ( x2, y2) ⇔ x2 5 2 1 1 2 5 5 22, y2 5 2 2 1 2 2 1 5 21 ⇒ (22,21)

y

A(4,5)

•

D (1,2)

• • •

C (–2,–1)

E (5,1)

O

x

•

F (2,–2)

•

B (6,–3)

Figura 1.27. Vértices de un triángulo, conocidos los puntos medios de sus lados.

26

Capítulo 1


■

Ejercítate

1. Calcula los puntos medios de los siguientes segmentos de recta que forman un triángulo, cuyos vértices son P(22,5), Q(1,22) y R(4,2), después aplica

el teorema de Vazgar y comprueba los resultados.

1.2.7. Pendiente de un segmento de recta El concepto de pendiente se relaciona con la inclinación que posee un cuerpo respecto de un plano de referencia, es decir, al ángulo que se forma entre ellos.

u

Figura 1.28. Pendiente de un segmento de recta.

Para un segmento de recta comprendido entre dos puntos en un plano xy se puede presentar alguna de las cuatro situaciones siguientes: Pendiente positiva

Pendiente negativa

m = tan u =

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

•+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

•

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

D + y +

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

(x 1,y 1) +

Dy

u +

+

+

+

+

+

+ + +

+

+

+

(x 2,+y 2)•

+

m = +

+

+

+

(x 1,y 1)

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+u +

D+x +

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Dx

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+ y D

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+ x + D

+

+

+

+

+

m + =+ tan + u

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

tan u =

+

= , no definida 0 + + + + + + (x 1,y 1)

+

+

u < 90°

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

•

+

(+x 2,y +2) +

+

m = tan u = 0 = 0 no tiene

∞

Dx

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

•

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

(+x 2,y +2)

+

D + y =+0 +

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

u

u + +

Dy

y

•+

+

+

Dx

(x ,y 1) +1 + +

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

(x 2,y 2)

+

Dy

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

• Dx + =0+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Dx

u > 90°

+

+

•+

u = 90° o 270 °

u = 0° o 180 °

Figura 1.29. Diferentes situaciones para la pendiente de una recta.

Donde6 D x 5 x2 2 x1 y D y 5 y2 2 y1, es decir, la pendiente del segmento de recta se define como: y −y m = tan θ = 2 1 [19] x 2 − x1 Este concepto se estudiará con más detalle en el capítulo 3.

Ejemplo 1.19 Dados los puntos A(2,5) y B(1,1), determina la pendiente de la recta que pasa por éstos e indica si es positiva o negativa. 6

D es la letra griega delta y denota un cambio (incremento) en la variable que la acompaña.

1.2

■


Solución:

y −y La pendiente de una recta se determina mediante la expresión m = 2 1 . Toman x2 − x1 do los valores de A como coordenadas finales, se tiene:

1 − 5 −4 = =4 1 − 2 −1 por el signo, se concluye que la pendiente es positiva. m BA =

Ejemplo 1.20 La gráfica mostrada en la figura 1.30 representa las ventas (en miles de pesos) de cierto producto (en centenas) en los siete meses que se indican desde el día de su lanzamiento. A partir del concepto de pendiente di cuántas veces las ventas han sido positivas, cuántas negativas y cuántas no han sufrido cambios. Solución:

Ventas (pesos) 8

•

7

•

•

6

• •

5

•

4 3 2 1

• 1 E

2 F

3 M

4 A

5 M

6 J

7 J

8 A

Producto (centenas)

Figura 1.30. Ventas de un producto.

La pendiente se define como una diferencia de ordenadas (ventas) entre una diferencia de abscisas (producto). Teniendo en consideración lo anterior, se calculan las pendientes correspondientes entre cada mes, a partir de su lanzamiento al mercado. La pendiente entre enero y febrero m EF =

6 −1 5 = = 5 (+ ) 2 −1 1

mFM =

7−6 1 = = 1 (+ ) 3− 2 1

febrero y marzo

marzo y abril m MA =

7− 7 0 = = 0 no presenta cambios, no existe pendiente 4−3 1

28

Capítulo 1

■


abril y mayo m AM =

4 − 7 −3 = = −3 (–) 5− 4 1

mayo y junio m MJ =

6− 4 2 = = 2 (+ ) 6−5 1

finalmente, entre junio y julio 5 − 6 −1 = = −1 (–) 7−6 1 Una vez hechos los cálculos, vemos que las pendientes han sido tres veces positivas, dos negativas y en una sola ocasión no se presentaron cambios. m AM =

Ejercítate

Dados los siguientes pares de puntos, traza el segmento de recta que forman y determina la pendiente en cada caso. a) A(5,–9) y B(–2,3) b) P(–6,7) y Q(4,–4) c) R(7,–8) y S (7,3) d) E (8,9) y P(6,–1) e) C (–26,–12) y D(–10,–14) f) E (–6,7) y F (15,7) 2. Determina el ángulo de inclinación de cada segmento de recta, comprendido en los siguientes pares de puntos. a) (3,3) y (–1,2) b) (–2,5) y (4,–1) c) (–1,8) y (4,8) d) (–2,4) y (–2,7) 3. Demuestra de tres maneras diferentes que los siguientes puntos A(1,3), B(2,5) y C (–3,–5) pertenecen a una misma recta. 1.

Miscelánea de ejemplos 1.

Dada la terna de coordenadas rectangulares tridimensionales de un punto Q(2,24,6), halla sus coordenadas cilíndricas y esféricas. Solución:

Las coordenadas cilíndricas se obtienen a partir de x 5 r cos u, y 5 r sen u y z 5 z r = x 2 + y2 = (2)2 + (−4)2 = 20 ,

θ = tan

−1

 y   −4  = tan −1   = −63.4° o 296.6°  x    2 

z 5 6, es decir, Q( 20 , 296.6°, 6).

Las respectivas coordenadas esféricas las obtenemos de x 5 r sen f cos u, y 5 r sen u y z 5 r cos f r = x 2 + y2 + z 2 = (2)2 + (−4)2 + (6)2 = 56 ,

 y   −4  = tan −1   = −63.4° o 296..6°   x   2 

θ = tan −1 

1.2

φ = cos 2.

−1

■


 6   z  = cos −1   = 36.7°, por lo cual Q( 56 , 296.6°,36.7°).  r    56 

Determina las coordenadas rectangulares del punto P(6,60°) localizado en coordenadas polares. Solución:

De las relaciones x 5 r cos u, y 5 r sen u y utilizando el apéndice B, se tiene: 3 x 5 6 cos 60° 5 3 y = 6 ⋅ = 3 3. Sus coordenadas rectangulares son: P(3, 3 3 ). 2 3. Un punto se localiza a la misma distancia de x1 5 6 y de x2 5 28. Determina el punto x que satisface tal condición. Solución:

Para facilitarla, se propone un punto x cualquiera y se traza una gráfica, como se muestra en la figura 1.31; además, recordemos que no existen distancias negativas. 8 –x

x

x 2 = –8

x 1 = 6

O

Figura 1.31. Punto medio.

En la figura se muestra la distancia entre cada punto y se observa que x , 0. Al igualar distancias de cada punto conocido con el punto x se tiene: 82 x 5 6 1 x ⇒ 2 5 2 x x 5 1 con lo que se satisface la igualdad establecida: 757 Pero por la segunda propiedad del valor absoluto, 2a si a , 0, se concluye que x se localiza en: x 521 4. Dadas las coordenadas de los puntos P(2,2), Q(26,0) y R(23,23), encuentra las coordenadas de un punto equidistante a ellos. Solución:

Sea T ( x, y) el punto buscado. Por las condiciones del problema y utilizando la ecuación de distancia entre dos puntos en un plano cartesiano, tenemos: PT 5 QT y QT 5 RT

Es decir: 2

2

2

2

(i)

2

2

2

2

(ii)

( x − 2) + ( y − 2 ) = ( x + 6 ) + ( y − 0 ) ( x − 2) + ( y − 2 ) = ( x + 6 ) + ( y − 0 )

30

Capítulo 1

■


Para resolver el sistema de ecuaciones, se eleva al cuadrado cada miembro y se desarrollan los binomios indicados, de donde se obtiene: 216 x 24 y 5 28 6 x 2 6 y 5 218

(i) (ii)

Simplificando por cualquier método de ecuaciones simultáneas, se tiene que x 5 22 y y 5 1. Por lo cual, las coordenadas del punto buscado son: T (22,1) y

T (–2,–1)

P (2,2)

•

•

Q (–6,0)

•

x

• R (–3,–3)

Figura 1.32. Coordenadas de un punto equidistante.

5.

Los siguientes puntos P(28,4), Q(2,–2) y R(–2,–6) son los vértices de un triángulo. Determina de qué tipo de triángulo se trata y justifica tu respuesta. Solución:

Una característica que permite identificar un triángulo es la longitud de sus lados. De acuerdo con esto, se tiene: PQ = (2 + 8)2 + (−2 − 4)2 = 136 PR = (−2 + 8)2 + (−6 − 4)2 = 136 QR = (−2 − 2) 2 + (−6 + 2)2 = 32

Como PQ = PR, se identifica que el triángulo es isósceles. 6.

Si ya conoces el tema de determinantes, te será sencillo utilizar la expresión que se muestra para calcular el área de un triángulo a partir de las coordenadas de sus vértices. Aplícala para calcular el área del triángulo del ejemplo anterior. x1 1 A = x2 2 x3

y1 1 1 y2 1 =  x1 ( y2 − y3 ) − y1 ( x2 − x3 ) + ( x2 y3 − x3 y2 )  2 y3 1

Solución:

Primero recordamos que no existen áreas negativas, entonces, si el resultado del determinante da un valor negativo tomaremos, el valor absoluto. Podemos designar arbitrariamente las coordenadas:

1.2

■


−8 4 1 1 1 A = 2 −2 1 =  −8(−2 + 6) − 4(2 + 2 )+ 1(−12 − 4)  = −32 2 2 −2 −6 1 Es decir, A 5 32 7.

Un segmento de recta comprendido por los puntos A(21,2) y B(6,6) se pretende dividir en tres partes iguales. Determina las coordenadas de los puntos P y Q, donde se trisecta ese segmento. Solución:

Para localizar P, se tiene que r = r ( y2 2 y1) se obtiene con

1 a partir de x 5 x1 1 r ( x2 2 x1) y y 5 y1 1 3

1 4 1 10 x = −1 + (6 + 1) = , y = 2 + (6 − 2) = , es decir, 3 3 3 3

 4 10  P  ,  .  3 3 

2 Para obtener las coordenadas de Q, r = . 3

 11 14  2 11 2 14 x = −1 + (6 + 1) = y = 2 + (6 − 2) = , las coordenadas son: Q  ,  3 3 3 3  3 3  y B Q

•

•

P

•

A

• x

Figura 1.33. Coordenadas de los puntos que trisectan un segmento de recta dado.

8.

Se sabe que un segmento de recta contiene al punto (3,2) y que tiene una pen3 diente m = − . Traza la gráfica correspondiente y determina un segundo punto. 5 Solución:

Utilizamos la definición de pendiente y consideramos un corrimiento hacia la izquierda en las abscisas. Al trazar la pendiente, encontramos el segundo punto buscado (22,5):

32

Capítulo 1

■


m = −

y

3 5

(–2,5)

• 3 (3, 2)

•

• –5 x

Figura 1.34. Punto que pertenece a un segmento de recta.

9.

Comprueba que en la figura mostrada, el segmento DE se localiza a la mitad de los segmentos AB y AC . Prueba también que es la mitad del segmento BC y que son paralelos.

y

• B (5,4) D (3.5,1.5)

•

• •

•

E (4.5,0)

C (7,1)

x

A(2,–1)

Figura 1.35. Segmentos paralelos.

Solución:

Para comprobar que el segmento DE se localiza a la mitad de los segmentos AB y AC , bastará con mostrar que corresponden a los puntos medios. Para D se tiene: 5+ 2 = 3.5 2 4 −1 = 1.5 y D = 2

x D =

y para E : 7+ 2 = 4.5 2 1− 1 =0 yE = 2

x E =

De esta manera se comprueba que las coordenadas correspondientes son: D(3.5, 1.5) y E (4.5,0). Ahora se verifican las longitudes de DE y BC

1.2

■


DE = (4.5 − 3.5) 2 + (0 − 1.5)2 = 13

2

BC = (7 − 5)2 + (1 − 4)2 = 13

Y se comprueba que DE es la mitad BC . Finalmente, se muestra que son paralelos a través de sus pendientes 0 − 1.5 = −1.5 4.5 − 3.5 1− 4 = −1.5 m BC = 7−5 m DE =

Como m DE 5 m BC , se concluye que son paralelos. 10.

Ejemplo de aplicación. Dos estudiantes quieren saber en cuánto tiempo y en qué punto chocan dos pelotas lanzadas al mismo tiempo, una hacia arriba con velocidad inicial de 15 m/s y la otra de que parte del reposo desde una altura de 20m. Ambas van en la misma dirección, pero en sentido contrario, como se aprecia en la figura. También saben que las ecuaciones que rigen su movimiento son: y f 5 y1 1 viy t 2 4.9t 2 y y f 5 y2 2 4.9t 2, respectivamente. ¿Qué valor de y f encontrarán los estudiantes? y

•

y 2 = 20 m

y f = ?

• y 1 = 0 m x

Figura 1.36. Movimiento vertical.

Solución:

Para encontrar el valor de y f se sustituyen los valores dados en las ecuaciones respectivas y se igualan, es decir, de: y f 5 y1 1 viy t 2 4.9t 2 y y f 5 y2 2 4.9t 2 se obtiene: 0 1 15t 2 4.9t 2 5 20 2 4.9t 2

34

Capítulo 1

■


Al simplificar, se halla que t 5 1.33. Al sustituir en ambas ecuaciones se encuentra que: y f 5 15(1.33) 2 4.9(1.33)2 5 11.3 m y y f 5 20 2 4.9(1.33)2 5 11.3 m 11.

Un diseñador requiere localizar, en un plano cartesiano, las coordenadas de un punto P( x, y) que dista en tres unidades de un punto Q(23,22), de tal forma que al unirlos se tenga una pendiente de m 5 3. ¿Cuáles son estas coordenadas? Solución:

Por la primera condición del problema se tiene: 3 = ( x + 3)2 + ( y + 2)2 Al simplificar, 9 5 x2 1 6 x 1 9 1 y2 1 4 y 1 4 x2 1 y2 1 6 x 1 4 y 1 4 5 0

(i)

Luego, y + 2 =3 x + 3

Por simplificación se obtiene: y 1 2 5 3 x 1 9 (ii) y 2 3 x 5 7

Para resolver el sistema de ecuaciones, de (ii) se despeja y y se sustituye en ( i), de donde se obtiene: x2 1 (3 x 1 7)2 1 6 x 1 4(3 x 1 7)14 5 0 10 x2 1 60 x 1 81 5 0

Resolviendo por fórmula general y utilizando tres cifras significativas obtenemos: x1 5 22.05 y1 5 0.847 lo cual conduce a x2 5 23.95 y2 5 24.84

Es decir, se tienen dos posibles puntos que satisfacen las condiciones dadas (22.05,0.847) y (23.948,24.84). NOTA:

Este problema puedes resolverlo con un poco de observación y análisis, evitando cualquier labor algebraica. Inténtalo. 12. Si los puntos medios de los lados de un triángulo son D(22,1), E (1,2) y F (3,22),

utiliza el teorema de Vazgar y calcula los vértices respectivos. Solución:

A( x0 = −2 + 1 − 3, y0 = 1 + 2 + 2)⇒ A(−4, 5) B( x1 = −2 + 3 − 1, y1 = 1 − 2 − 2) ⇒ B(0, –3) C ( x2 = 1 + 3 + 2, y2 = 2 − 2 − 1) ⇒ C (6, –1 )

1.2

■


De manera gráfica: y

• 4

2

•

x

2 –4

–2

4

2 2

6

•

•

−

• −

4

Figura 1.37. Vértices de un triángulo, dados los puntos medios de sus lados.

13. Un campesino desea saber qué área ocupa su terreno. Marca un punto de referen-

cia y localiza los siguientes puntos: (3,24), (24,27), (54,21) y (48,0), en metros, como lo muestra la figura. Ayuda al campesino a determinar el área que desea conocer.

27 24 21

(24,27) (3,24) (54,21)

3 (0,0)

(48,0) 3

24

48

54

Figura 1.38. Área de un terreno.

Solución:

Mediante propiedades geométricas y algebraicas es posible demostrar que para obtener el área de un polígono, en general, se utiliza el siguiente arreglo:

36

Capítulo 1

■

Sistemas coordenados (dónde estamos) –

A=

1 2

x 1

y 1

–

x 2

y 2

x 3

y 3

– +

x 4

y 4





x 1

y 1

– + + + +

Para la resolución de problema se tiene: 0 0 3 24 1 24 27 1 A = =  0 + 81 + 504 + 0 + 0 − 0 − 576 − 1458 − 1008 − 0  = −1228.5 m 2 2 54 21 2 48 0 0 0 Es decir, A 5 1228.5 m2. Se sabe de antemano que no existen áreas negativas. Para obtener un resultado positivo bastará con tomar los puntos en sentido contrario a las manecillas del reloj (movimiento antihorario); además, se ha incluido el origen por ser un punto del polígono y se han puesto ceros para que se entienda mejor el proceso de solución. 14. Si en un segmento de recta comprendido entre P(1,21) y R(5,6) se establece que

la relación es

PQ 2 = ¿cuáles son las coordenadas del punto Q? PR 5

Solución:

Por división de un segmento en una razón dada 2 13 xQ = 1 + (5 − 1) = 5 5

2 9 yQ = −1 + (6 + 1) = 5 5

  Las coordenadas son: Q  13 , 9  5 5 RESUMEN ✓

Existe más de un sistema coordenado. Éstos se encuentran relacionados entre sí y nos permiten localizar uno o más puntos, así como analizar propiedades geométricas de cuerpos y elementos de la misma índole.

Problemas 37

Algunas de las relaciones son: rectangulares-cilíndricas en ℜ3 x 5 r cos u

rectangulares-esféricas en ℜ3

x 5 r sen f y 5 r sen f sen u z 5 r cos f

y 5 r sen u z 5 z

rectangulares – polares en ℜ2

x 5 r cos u

r = x 2 + y2

y 5 r sen u

 y   x  

θ = tan−1 

✓

Un segmento de línea recta se define como una sucesión de puntos infinita; tales puntos conservan una misma inclinación, llamada pendiente. Su sentido depende de los puntos inicial y final.

✓

Distancia entre dos puntos en un plano unidimensional:

Se define como la magnitud de la longitud entre dos puntos cualesquiera. Al mencionar magnitud se entiende que se toma su valor absoluto, ya que no existen distancias negativas. d1,2 = x 2 − x1 ✓

Distancia entre dos puntos en un plano cartesiano (bidimensional). Es indistinto el pun-

to que se quiera tomar como inicial y final. d AB =

2

( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )

2

División de un segmento en una razón dada:

x 5 x1 1 r ( x2 2 x1)

,

y 5 y1 1 r ( y2 2 y1)

Punto de división de un segmento en una razón dada:

x = ✓

x1 + rx 2 y + ry , y = 1 2 ; ∀r ≠ −1 1+ r 1+ r

Punto medio de un segmento de recta comprendido entre dos puntos:

x = ✓

x1 + x2 y +y ; y = 1 2 2 2

Teorema de Vazgar:

A x 0 , y0 ⇔ ( x0 = x5 + x3 − x 4 , y0 = y5 + y3 − y4 ) B x1 , y1 ⇔ ( x1 = x4 + x3 − x5 , y1 = y4 + y3 − y5 ) C x 2 , y2 ⇔ ( x2 = x5 + x 4 − x3 , y2 = y5 + y4 − y3 ) ✓

Pendiente de un segmento de recta:

Conocidos dos puntos que delimitan un segmento de recta, la pendiente del segmento se define como: y −y m = tanθ = 2 1 x 2 − x1

PROBLEMAS Realiza los siguientes ejercicios.

38

Capítulo 1

■

Sistemas coordenados (dónde estamos) 1.

Transforma a coordenadas polares las siguientes coordenadas rectangulares: Respuestas a) (5.0,27.0)

(

74,306°

)

b) (23.0,24.0) c) (4.0,6.0)

(2

13,56.3°

)

d ) (28.0,2.0) e) (1.0,29.0) 2.

(

82,276°

)

Transforma a coordenadas rectangulares las siguientes coordenada s polares: Respuestas a) (4.0,25°) b) (6.0,180°) c) (8.0,290°) d ) (5.0,135°) e) (2.0,340°)

3.

(26.0,0.0) (23.5,3.5)

Localiza los siguientes pares de puntos en un segmento de recta y determina la distancia que existe entre ellos. Respuestas a) x1 5 21, x2 5 2 b) x1 5 3, x2 5 26 c) x1 5 7, x2 5 1 d ) x1 5 1, x2 5 24 e) x1 5 210, x2 5 1 f ) x1 5 22, x2 5 2 g) x1 5 0, x2 5 28 h) x1 5 27, x2 5 25

d 5 3 d 5 6 d 5 11 d 5 8

4.

Localiza las duplas de coordenadas de los puntos que a continuación se dan: A(2,0), B(0,2), C (22,0), D(0,22), E (26,0), F (2,22), G(6,0), H (0,6), I (2,2), J (22,2), K (26,0), y L(22,22); una vez localizados, únelos con segmentos de recta continuos, en orden alfabético.

5.

Determina la distancia que existe entre los siguientes pares de duplas de coordenadas y localízalos en un plano cartesiano. Respuestas

a) A(2,3) y B(4,2)

d = 5

b) A(21,2) y B(3,27) c) A(0,0) y B(1,2)

d = 5

d ) A(0,21) y B(21,0) e) A(23,2) y B(4,21)

d = 58

f ) A(1 / 5,3 / 4) y B(1 / 5,3 / 4) g) A(8,3) y B(2,2) h) A(1,23) y B(21 / 2,4)

d = 37

Problemas 39 6.

Realiza en cada caso lo que se pide. 3 a) Determina las coordenadas del punto que está a partes de la distancia deP(25,24) 4 a R(3,3).

 5   4  

Respuesta: Q  1,

AB 1 = , determib) Si el punto A se localiza en (0,2), otro B(3,6) y además la relación AC 6 na las coordenadas de C . PQ 3 c) Si = , P(3,24) y R(9,3), ¿cuáles son las coordenadas de Q? QR 5

 21 –11 Respuesta: Q  ,  4 8   7.

Determina el punto de división del segmento de recta comprendido entre cada par de puntos indicados en la razón dada para cada caso. Respuestas

8.

a) A(1,2) y B(2,1)

r = 1 2

b) A(21,2) y B(23,2)

r 5 3

c) A(3,7) y B(0,0)

r 5 2

d ) A11 / 2,3N42 y B13,3N42

r 5 2N3

e) A(24,3) y B(5,7)

r 5 4

f ) A(4,4) y B(1N4,22)

r 5 1N5

g) A(6,25) y B(26,21)

r 5 2N5

h) A(27,9) y B(7,9)

r 5 5N6

i) A(1,0) y B(3,24)

r 5 1N3

( − 5 2 , 2)

(3 2 ,3 4 )

( 27 8 ,3)

( − 7 11,9)

Determina el punto medio del segmento de recta dado. Respuestas

a) A(2,3) y B(5,2)

Pm 5 17N2,5N22

b) A(4,5) y B(3,4) c) A(22,1) y B(3,7)

Pm 5 11N2,42

d ) A(3,21) y B(4,5) e) A(5,2) y B(21,22) f ) A(2,1) y B(3,24)

Pm 5 12,02

40

Capítulo 1

■

Sistemas coordenados (dónde estamos) 9.

Dados los puntos medios de los segmentos que conforman un triángulo, determina sus vértices por dos métodos diferentes y traza su gráfica. Respuestas

a) D(1,1), E (22,0), F (21,2) b) D(3y2,22), E (25y2,21y2), F (1,1y2) 10.

A15,212, B123,22, C 122,232

Comprueba de dos formas que el triángulo formado por los puntos A(4,2), B (7,24) y C (22,21) es un triángulo rectángulo.

Localiza las coordenadas de un punto P( x, y) que se encuentra a cinco unidades del punto 3 A(21,21),de tal forma que al unirlos con un segmento de recta éste tenga una pendiente de . 4 12. Determina el área del paralelogramo cuyos vértices son (2,2), (21,21), (3,25) y (6,22). 11.

Respuesta: 24 unidades cuadradas 13 . Demuestra de tres maneras diferentes que los puntos A(1,3), B(2,5) y C (23,25) pertenecen a una misma recta. (Sugerencia: Una forma podría ser utilizando el concepto de pendiente.)

Actividad en equipo. Uso de tecnología 14.

Dadas las coordenadas de los puntos A(2,4), B(-4,2) y C (6,-3): a) Obtengan las coordenadas del punto que es equidistante a los puntos A, B y C . b) Del punto obtenido en a) y considerando los puntos A, B y C trace la figura que se obtiene. c) Verifiquen los resultados por medio de algún software. Respuestas:

 1 3  a)  , −   2 2 

b) Una circunferencia

AUTOEVALUACIÓN Contesta y practica en tu cuaderno las siguientes preguntas y ejercicios: 1.

¿Qué entiendes por valor absoluto? Da un ejemplo.

2. 3.

Determina el perímetro de la siguiente figura: Dados los puntos A(3,2) y B(23,3), determina las coordenadas de C , si AB = 1 . BC 3 y C (–6,2)

•

B (2,3)

• •

A(5,1) x

•

D (–7,–4)

• Figura 1.39. Perímetro del polígono.

E (4,–6)

Autoevaluación

41

4.

Explica qué pasa si la razón fuese negativa y ejemplifica.

5.

Dados un punto extremo (0,23) y el punto medio (2,1) de un segmento de recta, determina las coordenadas del otro extremo.

6.

Determina los puntos de trisección del segmento de recta, cuyos extremos son los puntos A(21,26) y B(0,3).

Si A( x0, y0), B( x1, y1) y C ( x2, y2) son los vértices de un triángulo, haz una propuesta de arreglo matemático que permita determinar su área. (Sugerencia: Parte de A = bh . ) 2 8. ¿Servirá el arreglo anterior para determinar si tres puntos son colineales? Si es así, explica por qué. 7.

9.

Define qué es una pendiente con tus propias palabras y da un ejemplo.

10.

Dada la terna de coordenadas rectangulares de un Q(3,6,8), determina sus correspondientes coordenadas cilíndricas y esféricas.

11.

Si un punto tiene coordenadas cartesianas (23,4), ¿cuáles serán sus coordenadas polares?

CAPÍTULO

2

Lugares geométricos. Función y análisis de una ecuación (¿Qué tengo? ¿Qué quiero?)

La soga que tenía preso mi cuello se ha roto y con ella, el fin… gracias… por hacer que tu tiempo invadiera mi tiempo, porque ya viví, porque nadie sabrá lo que es estar excluido detrás de tu mirada, atravesar al otro lado, sentir la caída y el perfil de tu silueta, la confusión con tu nombre interpuesto y porque sueñes que hay días en que vivo… E. Aguilar

43

44

Capítulo 2

■

Lugares geométricos. Función y análisis de una ecuación

2.1 LUGARES GEOMÉTRICOS

El lugar geométrico se define como un conjunto de puntos que satisfacen una condición dada. La geometría analítica presenta dos problemas fundamentales, a saber: • •

Conocidas las características, propiedades o la descripción de un lugar geométrico, determinar su ecuación. Conocida una ecuación, determinar el lugar geométrico que representa.

En muchas ocasiones encontrarás, ya sea en este texto o en el lenguaje de tu profesor, la expresión “el lugar geométrico”, en relación con una gráfica o una definición. En geometría analítica, la frase “determina o encuentra el lugar geométrico ” (primer problema) se refiere a determinar la curva, cuerpo o superficie que genera o describe una ecuación. Un segundo problema parte de las propiedades o características de un planteamiento, generalmente un punto que se mueve con respecto a otro(s), satisfaciendo ciertas condiciones que permiten determinar su ecuación, aunque también se podría partir de un conglomerado de puntos. A través de procedimientos matemáticos es posible mostrar y probar la reciprocidad de los dos problemas f undamentales.

Ejemplo 2.1 Determina el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en forma equidistante de tres unidades, alrededor de un punto fijo de coordenadas (2,1). Solución:

Sea P( x , y) el punto móvil que equidista del punto fijo (2,1) en tres unidades. Aplicando la definición de distancia entre dos puntos 6: y

r=

2

(x − x ) + (y − y ) 1

•

2

1

se tiene:

• 3=

2

( x − 2) + ( y − 1)

•

• x

2

o elevando al cuadrado: 9 5 ( x 2 2)2 1 ( y 2 1)2 9 5 x 2 2 4 x 1 4 1 y2 2 2 y 1 1 Al simplificar, x 2 1 y2 2 4 x 2 2 y 2 4 5 0

Por la descripción del lugar geométrico se observa que se trata de una circunferencia, la cual se analizará con más detalle en el capítulo 5.

Ejemplo 2.2 Determina el lugar geométrico de los puntos que distan de la recta 8 x 2 6 y 1 4 5 0 en dos unidades. Solución:

Al analizar la descripción del enunciado, se sabe que se trata de un par de rectas paralelas. Para comprobarlo, se considera un punto P( x , y) cualquiera que pertenezca al lugar geométrico.

2.1

■

Lugares geométricos

45

Utilizando la ecuación de distancia de un punto a una recta*, se tiene: 2= ±

8 x − 6 y + 4 64 + 36

De donde se consiguen dos posibles resultados: 2(10) 5 8 x 2 6 y 1 4 ⇒ 8 x 2 6 y 2 16 5 0 2(210) 5 8 x 2 6 y 1 4 ⇒ 8 x 2 6 y 1 24 5 0

o bien:

Comprobamos así lo que se espera tener, un par de rectas paralelas con y. 4

y

3 2 1 x

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

–1 –2 –3 –4

Figura 2.1. Rectas paralelas.

Ejemplo 2.3 Determina la ecuación del lugar geométrico que describe un punto al moverse en el plano xy tal que su distancia a un punto fijo de coordenadas (23,21) y a la recta y 5 22 sea la misma. Solución:

Sea P( x , y) el punto que satisface ambas condiciones. Utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos y la de distancia de punto a una recta se tiene: ( x + 3) 2 + ( y + 1)2

=

y+2

1

Al elevar al cuadrado en ambos miembros y simplificando: ( x 1 3)2 1 ( y 1 1)2 5 ( y 1 2)2 x 2 1 6 x 2 2 y 1 8 5 0 Se trata de la ecuación del lugar geométrico llamado parábola, que se estudiará más adelante. *

Ax + By + C

±

2

A

+ B2

= d , capítulo 3.

46

Capítulo 2

■


Ejemplo 2.4 Dada la siguiente tabla de valores, localiza cada par ordenado en un plano xy y menciona qué lugar geométrico representan en conjunto.

x

y

–3.00

0.00

–2.50

6

1.17

–2.00

6

–1.50

6

–1.00

6

–0.50

6

0.00

6

0.50

6

1.00

6

1.50

6

2.00

6

2.50

6

1.58

3

1.84 2.00

•

•

2.09

2.00 1.84

–4

•

–3

–2

–1

•

•

1

2

•

3

x

4

5

–1

•

•

1.58

3.00

2• 1

2.12 2.09

y

4

–2

•

•

•

–3

1.17 –4

0.00

Tabla 2.1

Figura 2.2. Elipse.

Solución:

Al localizar y unir los puntos dados ( figura 2.2) se traza el lugar geométrico denominado elipse.

Ejemplo 2.5 Dada la ecuación x 2 1 y2 5 16, determina el lugar geométrico que representa. Solución:

Para determinar el lugar geométrico que describe la ecuación dada se procede a resolverla para y, es decir: y = ± 16 − x

2

Se debe tener presente que en el campo de los números reales no tiene lugar la raíz cuadrada de un número negativo, y que una raíz cuadrada tiene dos posibles resultados. Esto nos lleva a un breve análisis que permita saber qué valores de x producen valores reales de y. Primero se iguala a 0 el radicando: 16 2 x 2 5 0 Al despejar x : x 2 5 16 ⇒ x 5 64

2.1

■

Lugares geométricos

47

lo que nos indica que el intervalo de valores de x que satisfacen lo anterior es de 24 a 4, es decir, de manera que la raíz exista en el campo de los números reales. Con base en lo anterior podemos valernos de una tabla y obtener duplas de coordenadas que permitan trazar el lugar geométrico.

Operación x

16 − x 2

y 2

–4

16 − ( −4 )

–3

16 − ( −3)

–2

16 − ( −2 )

–1

16 − ( −1)

0

16 − ( 0 )

1

16 − (1)

2

16 − ( 2 )

0

2

±

7

2

±

12

±

15

2

y 5 4

2

64

3 2

2

±

15

1

±

12

–5 –4 –3 –2 –1 –1

2

x 1

2

3

4

5

6

–2 2

3

16 − ( 3)

4

16 − ( 4 )

±

–3

7

–4

2

–5

0

Tabla 2.2

–6

Figura 2.3. Circunferencia.

Después de localizar cada dupla de coordenadas y unir los puntos, se observa que se trata de una circunferencia.

Ejemplo 2.6 Determina el lugar geométrico que describe un punto cuya diferencia de distancias a los puntos (2,24) y (2,6) es igual a 6. Solución:

Sea P( x , y) el punto que satisface tal condición. Al considerar la ecuación de distancia entre dos puntos y la condición dada se tiene: ( y + 4) 2 + ( x − 2)2

−

( y − 6) 2 + (x − 2)2 = 6

48

Capítulo 2

■


Al ordenar: ( y + 4 )2 + ( x − 2)2

= 6+

( y − 6 )2 + ( x − 2 )2

Al elevar al cuadrado: ( y + 4 )2 + ( x − 2 )2 = ( 6 + ( y − 6)2 + ( x − 2 )2 y y

2

2

+ 8 y + 16 + x 2 − 4 x + 4 = 36 + 12

( y − 6)2 + ( x − 2)2 + ( y − 6)2 + ( x − 2)2

2

+ 8 y + 16 + x 2 − 4 x + 4 = 36 + 12

( y − 6)

2

+ ( x − 2)2 + y 2 − 12 y + 36 + x 2 − 4 x + 4

Simplificamos y elevamos una vez más al cuadrado: 20 y − 56 = 12 ( y − 6)2 + ( x − 2)2 (20 y − 56)

2

= (12

( y − 6)

2

+ ( x − 2)2 )2

de donde se obtiene el lugar geométrico llamado hipérbola: 16 y2 2 9 x 2 2 32 y 1 36 x 2 164 5 0 cuya gráfica es:

y

6 4 2 –6

–4

–2 –2

x

2

4

6

8

–4 –6 –8

Figura 2.4. Hipérbola.

Ejemplo 2.7 Determina el lugar geométrico de un punto ( x , y) que al moverse y unirlo con los puntos fijos (23,22) y (1,21) tiene un producto de pendientes negativo igual a 23. Solución:

Al utilizar la definición de pendiente y considerado las condiciones dadas se obtiene:

 y + 2   y + 1 = −3  x + 3    x − 1 

2.2

■

Función, una breve introducción

49

Al simplificar y ordenar: ( y 1 2)( y 1 1) 5 23( x 1 3)( x 2 1) y2 1 3 y 1 2 5 23( x 2 1 2 x 2 3) y2 1 3 x 2 1 3 y 1 6 x 2 7 5 0 Se obtiene el lugar geométrico llamado elipse.

y 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 –1

x 1

2

3

4

5 6

–2 –3 –4 –5 –6

Figura 2.5. Elipse.

Existe una buena cantidad de lugares geométricos, entre los que destacan las cónicas (parábola, elipse e hipérbola), que se estudiarán en capítulos posteriores y que se describen con un punto que se mueve de forma que la razón de sus distancias a un punto fijo y a una recta fija es constante. El punto fijo se llama foco y la recta, directriz; la razón se denomina excentricidad. El valor de la excentricidad, e, determina al mismo.

2.2 FUNCIÓN, UNA BREVE INTRODUCCIÓN

La idea de estudiar el concepto de función tiene como fin ampliar las herramientas matemáticas del lector, pues el tema es bastante amplio y existen varios libros al respecto.

Producto cartesiano: Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano de A con B se denota por A 3 B y se define como el conjunto de todos los pares ordenados ( a,b), donde a pertenece a A y b pertenece a B, es decir: A 3 B 5 {(a,b)/ a ∈ A y b ∈ B. El producto cartesiano no es conmutativo, a menos que A y B sean iguales.

Ejemplo 2.8 A menudo te encuentras en situaciones donde intervienen dos o más variables relacionadas entre sí; por ejemplo, cuando eliges la ropa que usarás durante la semana o en una ocasión especial. Si cuentas con un determinado número de pantalones y camisas, puedes hacer una variedad de combinaciones que indicarán qué zapatos y calcetines elegir, también el saco o suéter que te pondrás, etcétera. Esto podría analizarse como un producto cartesiano entre conjuntos, o bien, como una función. Sean los conjuntos Pantalones 5 {azul, negro, café } y Camisas 5 {blanca, roja, morada}

50

Capítulo 2

■


Si comienzas por la elección del pantalón, tendrías las siguientes maneras de hacerlo: P 3 C 5 {(a,b), (a,r ), (a,m), (n,b), (n,r ), (n,m), (c,b), (c,r ), (c,m)}. Es decir, el producto cartesiano de P y C .

La idea es que habría una relación uno a uno de un conjunto con otro, que estaría restringida sólo por tus gustos personales.

Relación: Es cualquier subconjunto del producto cartesiano de A y B, es decir, R ( A 3 B. Si en el ejemplo anterior usaras únicamente el pantalón azul, habría la siguiente relación: R1 5 {(a,b), (a,r ), (a,m)} o si deseas ponerte sólo la camisa roja, tendrías la siguiente relación: R2 5 {(a,r ), (n,r ), (c,r )}. Como se observa, habrá varias relaciones. Función: Es un tipo especial de relación en la que no hay dos pares ordenados con el mismo primer elemento. En el ejemplo anterior, R 5 {(a,b), (n,r ), (c,m)} representa una función. Es importante observar que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones. La variable predilecta o de mayor importancia (variable independiente) se llama dominio (primeros elementos en el producto cartesiano; en el ejemplo anterior, los pantalones) y la consecuente (variable dependiente) se llama contradominio o imagen (segundos elementos del producto cartesiano; en el ejemplo, las camisas). Observa que estas variables pueden invertirse.

Ejemplo 2.9 El cálculo del área de un círculo también permite identificar los conceptos de variable independiente, variable dependiente y, en consecuencia, el de función. Para ello, se toma la expresión A 5 p r 2. Para cada posible valor de r se obtiene uno en A. Si r 5 5, el área es: A 5 p r 2 ⇒ A 5 p(5)2 5 25p 5 78.539u2

Pero si r 53, el valor del área será A 5 p(3)2 5 9p 5 28.274u2

A partir de lo anterior, podemos enunciar que él área de un círculo depende de su radio. También se dice que el área de un círculo está en función de su radio y se denota como A 5 f (r ), es decir, la expresión: A 5 p r 2 es equivalente a A 5 f (r ) 5 p r 2

En forma esquemática se tendría:

Áreas

Radios r 1 r 2 r 3

r 4

Figura 2.6. Concepto de función.

Para cada radio existe un área diferente A1 A2 A3 A4

2.2

■


51

En este caso, el conjunto de radios es el dominio (valores de la variable independiente) y el conjunto de las áreas, la imagen (es decir, los valores obtenidos para la variable dependiente). Poner una variable en función de otra depende en buena parte de las circunstancias. Es totalmente válido invertir los papeles: r = f ( A) =

A π

Y decir que el radio es una función del área. En la geometría analítica comúnmente se acostumbra poner a las ordenadas como función de las abscisas, es decir, las abscisas representan el dominio y las ordenadas la imagen.

Ejemplo 2.10 Dada la ecuación 2 x 2 4 y 1 8 5 0, determina el lugar geométrico que genera. Solución:

Se empieza por poner la ecuación como una función 1 de una sola variable (la independiente) para que a partir de ésta se determine el dominio ( intervalo o rango de valores para el cual existe una imagen) y el contradominio, que representa los valores de la variable dependiente. Si en la ecuación anterior se despeja y: 4 y 5 2 x 1 8 y =

1 2

x + 2

Se observa que el rango puede abarcar todos los reales, pues para cualquier valor de x existe uno para y. Y se sabe que y es la variable dependiente, y x es la variable independiente, es decir, es función de x . Esto se expresa como: y = f ( x ) f ( x ) =

1 2

x + 2

Para conocer los valores de y se toman valores arbitrarios para x y se evalúa la función, como se muestra en la tabla 2.3. Observa que el lugar geométrico descrito por la ecuación dada es una línea recta. También nota que x toma valores de entre 2` hasta ` (que se lee: de menos infinito hasta infinito) y que siempre existirá uno para y. Sabemos que para trazar una línea recta se necesitan sólo dos puntos y para ello basta con igualar a cero una de las dos variables. Es decir, si x 5 0, la ecuación tomaría la forma 2(0) 1 8 5 4 y y se tiene que y 5 2, o la dupla de coordenadas (0,2). Por otro lado, si y 5 0, 2 x 1 8 5 4(0), es decir, x 5 24 y la dupla de coordenadas será (24, 0).

1

Se dice que y es una función de x en un intervalo, cuando a todo valor de x de ese intervalo corresponde, de alguna manera, un valor para y. Agustín Anfossi, Curso de cálculo diferencial e integral, editorial Progreso, México, 1962.

52

Capítulo 2

■


Operación 1 x + 2 2

Variable independiente x

1

–10

2

2 1

–2

–3

(–10, –3)

(−4) + 2

0

(–4, 0)

(−2) + 2

1

(–2, 1)

( 0) + 2

–4

(0, 2)

(2) + 2

3

(2, 3)

( 4) + 2

4

(4, 4)

(−10) + 2

1

–4

Variable dependiente y 5 f ( x)

Par coordenado obtenido ( x, y)

2

1

0

2 1

2

2 1

4

2

Tabla 2.3.

Al localizar los pares de coordenadas obtenidas en un plano cartesiano, se obtiene la gráfica de la figura 2.7. y

4 3 2 1

•

– 6 –5 –4 –3 –2 –1

• 1 2 3 4 5

x

Figura 2.7. Línea recta.

Una representación en esquema de una relación que no es función se presenta en la figura 2.8.

Imagen Dominio

Figura 2.8. Concepto de relación.

1

a

3

b

–2

c

6

d

–4 10

2.2

■


53

En este caso, no existe una relación uno a uno, es decir, para cada valor del dominio hay más de un valor en la imagen o no existe un valor en la imagen. Una función se define como la correspondencia entre dos conjuntos, llamados dominio e imagen, de forma que para cada valor del dominio corresponde uno, y sólo uno, de la imagen. En general, se dice que y (imagen) es función de x (dominio), si para cada valor de la variable x , le corresponde un valor de la variable y. Esto se expresa simbólicamente como: y 5 f ( x ) donde x es la variable independiente y y, la variable dependiente. Es importante señalar que se trata de una relación uno a uno, biunívoca. Con las funciones es posible realizar diferentes operaciones: suma, resta, multiplicación, división, composición de funciones, etcétera.

Ejemplo 2.11 Las expresiones y =

1 2

x + 2 y x 21 y255 también se pueden escribir como f ( x ) =

1 2

x + 2

y f ( x ) = ± 5 − x 2 . En el segundo caso se debe omitir alguno de los signos del radical; de lo contrario, no sería una función. Cuando la función está restringida por un radical, es necesario igualar el radicando a cero para determinar los posibles valores que puede tomar la variable independiente y obtener valores reales para la dependiente, es decir, un intervalo del conjunto de los reales donde exista la correspondencia entre el dominio y la imagen (la variable dependiente).

Ejemplo 2.12 Para f ( x ) = − 36 − x 2 , obtén el dominio y la imagen. Solución:

Para obtener el dominio es necesario igualar a cero el radical y resolver para x : 36 2 x 2 5 0 x = ± 36 x = ±6

Es decir, el dominio de la función está limitado de 26 a 6. Para obtener la imagen bastaría con sustituir el valor más grande y el más pequeño del dominio en la función, es decir, el 6 y el 0: f (6) = − 36 − 36 = 0 f (0) = − 36 − 0 = −6

La imagen tiene valores entre 0 y 26, como se observa en la figura 2.9.

54

Capítulo 2

■


y 6 5 4 3 2 1

–6

–5

–4

–3

–2

x

–1 –1

1

2

3

4

5

6

7

–2 –3 –4 –5 –6 –7

Figura 2.9. Parte inferior de la circunferencia.

2.2.1. Operaciones con funciones Ejemplo 2.13 Sean f ( x ) 5 2 x 2 2 3 x 1 4 y g( x ) 5 5 x 2 6 funciones en el campo de los reales. Las operaciones elementales se realizan en forma semejante a la de dos polinomios. La suma: ( f

+

2

g)( x ) = (2 x

−

3x + 4 ) + (5x − 6) = 2x 2

+

2x − 2

−

3x + 4 ) − (5x − 6 ) = 2x 2

−

8x + 10

La resta: ( f

−

g)( x ) = (2 x

2

El producto: ( f ⋅ g)( x ) = (2 x 2 − 3x + 4 )(5x − 6) = 10 x 3 − 3x 2 + 2x + 24 La división:

( f

÷

g)( x ) =

2 x 2 − 3x + 4 5 x − 6

=

2 5

x −

27 25

262 +

25 5 x − 6

Como se observa, el resultado de cualquier operación entre funciones es una nueva función. También se ve que es posible expresar una ecuación en función de sus variables; esta práctica es común, pues facilita el análisis. Es importante notar que las funciones suma, resta, producto y cociente tienen como dominio la intersección de las funciones particulares y que en la función cociente también es necesario quitar los valores que conviertan en cero el denominador.

2.2

■


55

Ejemplo 2.14 Sean f ( x ) 5 x 2 1 x 2 12 y g( x ) 5 x 1 4 funciones en el campo de los reales. Realiza cada operación básica y construye el gráfico correspondiente. 14

y

12 10 8 6 4

2

f (x ) = x + x – 12

2 –12 –10 –8 –6 –4 –2

x

2

–2

4

6

8 10 12

14

–4 –6 –8 –10

g (x ) = x + 4

–12 –14

Figura 2.10. Gráfica de las funciones.

Solución:

Si las operaciones elementales se realizan de forma semejante a la de dos polinomios, los resultados son los siguientes. La suma: ( f 1 g)( x ) 5 ( x 2 1 x 2 12) 1 ( x 1 4) 5 x 2 1 2 x 2 8 (f +g )(x )=x 2+2x–8 y

12 10 8 6 4 2 –12 –10 –8 –6 –4 –2

2 –2 –4 –6 –8

–10 –12 –14

Figura 2.11. Gráfica de la función suma.

x

4

6

8 10

12 14

56

Capítulo 2

■


La resta: ( f 2 g)( x ) 5 ( x 2 1 x 2 12) 2 ( x 1 4) 5 x 2 2 16

y 16 14 12 10 8 6 4 2 –16 –14–12–10 –8 – 6 –4 –2

x 2

–2

4

6

8 10 12 14 16

–4 –6 –8 –10 –12

2

(f –g )(x )=x –16

–14 –16 -18

Figura 2.12. Gráfica de la función diferencia.

El producto: ( f ? g)( x ) 5 ( x 2 1 x 2 12)( x 1 4) 5 x 3 1 5 x 2 2 8 x 2 48

y 2

f (x ) = x + x – 12

x

–20

20

–20

g (x ) = (x + 4) –40

Figura 2.13. Gráfica de la función producto.

(f . g )(x ) = x 3 + 5x + 5x 2 – 8x – 48

2.2

■


57

La división: ( f

÷ g)( x ) =

x

2

+ x − 12 = x − 3, x + 4

para x ≠ −4 14 y 12 10 8 6 4

(f g )(x ) = x – 3 ÷

2 14 –12 –10 –8 –6 –4 –2

–2

x

2

4

6

8 10 12 14

–4

•

–6 –8 –10 –12 –14

Figura 2.14. Gráfica de la función cociente.

Si observas mejor las gráficas, verás que es posible efectuar cualquier operación directamente con ellas; sólo se necesita saber el valor de su imagen para los mismos puntos del dominio. Un ejemplo más del concepto función se encuentra en la economía, en la relación entre oferta y demanda. La demanda se define como el conjunto de los bienes y servicios que consume una economía a diferentes precios (esta variable se denota comúnmente con las literales D o p), mientras que la oferta se define como todos los bienes y servicios que se producen en una economía a diferentes precios (la cual se denota con las literales O o q). La intersección de ambas da origen a lo que se conoce como punto de equilibrio, que se define como el lugar donde los ingresos totales son iguales a los costos totales; es decir, el punto donde no hay pérdidas pero tampoco ganancias.

Ejemplo 2.15 Considera las siguientes expresiones que definen la oferta y la demanda de cierto producto y encuentra el punto de equilibrio. p 5 q 1 2 y p =

35 q

En ambas expresiones la demanda es la variable independiente, pero lo que se busca es encontrar el punto de equilibro. Para ello, se igualan ambas expresiones: q12=

35 q

58

Capítulo 2

■


Al realizar el producto cruzado y al ordenar los términos: q2 1 2q 2 35 5 0

Se resuelve a través de factorización: (q 1 7)(q 2 5) 5 0 Las raíces serán q 5 27 y q 5 5, pero dentro de la economía los números negativos carecen de sentido, así que se toma el valor positivo. Para determinar el valor de la oferta se sustituye q en cualquiera de las dos expresiones; ese valor tiene que satisfacer ambas: p 5 q 1 2 ⇒ p 5 5 1 2 5 7; p =

35 q

⇒ p =

35 5

=7

El resultado nos indica el punto de equilibrio PE (5,7). El hecho de que la oferta esté en función de la demanda se debe a que ésta depende de los consumidores del producto, en tanto que la oferta la define quien elabora el producto, con base en la demanda. Esto se representa gráficamente en la figura 2.15. Oferta (p ) 14

y

12 10 8 7 6

Punto de equilibrio (5,7)

4 2

x

–7 14 –12 –10 –8

–6

–4

–2

2

4

–2 –4 –6 –8 –10 –12 –14

Figura 2.15. La oferta y la demanda.

A partir de la gráfica se establecen dos casos: • A mayor demanda, menor oferta. • A menor demanda, mayor oferta.

5

6

8

10

12

14 Demanda (q)

2.2

■


59

Ejemplo 2.16 En una oficina de contadores se han determinado las expresiones de oferta y demanda de cierto producto como p 5 q 1 3 y p =

3 q

− 1. Determina el punto de equilibrio

y realiza un gráfico representativo de ambas. Solución:

Se igualan ambas expresiones: q + 3=

3 q

−1

Se simplifica: q2 1 3q 5 3 2 q q2 1 4q 2 3 2 5 0

Al desarrollar, sus raíces son: q1 5 24.64, q2 5 0.64

El valor negativo de q se descarta, pues no se puede tener un punto de equilibrio cuando existen pérdidas. Para determinar las coordenadas del punto de equilibrio, se sustituye el valor positivo en la ecuación p 5 q 1 3 ⇒ p 5 0.64 1 3 5 3.64, o bien p =

3 q

− 1⇒ p = 3.64

Las coordenadas son: (0.64,3.64). La representación gráfica se presenta en la figura 2.16.

Oferta (p ) 8

y

p = q + 3

6 4

Punto de equilibrio (0.64,3.64)

2 x

–8

–6

–4

–2

2 –2 –4 –6 –8

Figura 2.16. Punto de equilibrio.

4

6

Demanda (q) 8 p = 3/ q – 1

60

Capítulo 2

■


Por lo que se observa en la gráfica, se concluye que este producto no es rentable, pues existe un gran riesgo si aumenta la demanda.

2.3 DISCUSIÓN O ANÁLISIS DE UNA ECUACIÓN

Ahora se sabe que toda ecuación tiene una representación gráfica, a la cual comúnmente se le denomina curva, sin importar que se trate de una perfecta línea recta. Pretendemos generalizar cualquier ecuación, independientemente de su grado; recuerda que el grado de la ecuación lo da su máximo exponente. 3 x 1 4 y 2 7 5 0 5 x 2 1 4 x 2 y 1 5 5 0 5 x 3 1 4 x 1 4 y2 2 4 5 0

Primer grado Segundo grado Tercer grado

2.3.1. Intersección con los ejes Se dice que una ecuación interseca al eje x cuando y 5 0, es decir, se satisface la ecuación pues el valor de x en ese punto es una solución o raíz de ésta. Una ecuación tendrá tantas raíces o ceros de acuerdo con su grado. Por otro lado, la ecuación interseca el eje y cuando x 5 0.

Ejemplo 2.17 Determina los puntos donde la gráfica de la ecuación 3 x 2 1 2 y 5 12 corta los ejes. Solución:

Para conocer el o los puntos donde corta el eje x se hace y 5 0: 3 x 2 + 2(0) = 12 2

x

=

12

3 x = ±2

=4

De manera análoga, para conocer dónde corta el eje y se escribe x 5 0: 3(0) y =

+ 2 y = 12

2

12 2

=6

Por tanto, la ecuación corta al eje x en dos puntos (22 y 2) y al eje y en uno (6), como muestra la figura 2.17. y 10 8 6 4 2 –8 –6 –4 –2 –2 –4 –6 –8

Figura 2.17. Intersecciones con el eje x .

–10 –12

x 2 4 6 8 10 12

2.3

■

Discusión o análisis de una ecuación

61

2.3.2. Simetría con los ejes y el origen Una ecuación es simétrica al eje y, si al sustituir x por 2 x no se altera. Por ejemplo, la ecuación 3 x 2 1 2 y 5 12 es simétrica al eje de las ordenadas, pues al reemplazar x por 2 x no se modifica, lo cual se verifica también en la gráfica anterior. 3(2 x )2 1 2 y 5 12 3 x 2 1 2 y 5 12

Una ecuación es simétrica al eje x, si al sustituir y por 2 y no se altera. Por ejemplo, la ecuación 3 x 2 1 2 y 5 12 no es simétrica al eje de las abscisas, ya que al reemplazar y por 2 y la ecuación se modifica, lo cual se observa también en la gráfica referida. 3 x 2 1 2(2 y) 5 12 3 x 2 2 2 y 5 12

Una ecuación es simétrica al origen si al sustituir al x por 2 x y y por 2 y no se altera. Por ejemplo, la ecuación x 2 1 y2 5 9 es simétrica al origen (2 x )2 1 (2 y)2 5 9 x 2 1 y2 5 9 La ecuación 4 x 2 1 2 xy 2 6 y3 5 0 no es simétrica al origen, pues al hacer las respectivas sustituciones se modifica la ecuación. 4(2 x )3 1 2(2 x )(2 y)26(2 y)3 5 0 3 3 24 x 1 2 xy 1 6 y 5 0

2.3.3. Intersección de una curva con los ejes Para determinar la intersección de la curva con el eje x , se escribe y 5 0 y se obtendrán uno o más puntos de la forma ( x ,0). De manera análoga, para conocer la intersección con el eje y, se hará x 5 0, obteniendo un punto o más de coordenadas (0, y).

2.3.4. El intervalo o campo de variación de una ecuación Se define como todos los valores para los cuales la ecuación existe o tiene una imagen. Las restricciones se encuentran al poner la ecuación en función 2 de una sola variable; los casos típicos que requieren un mayor análisis ocurren cuando la variable independiente aparece en el denominador o como radicando. El intervalo es analizable para ambos ejes, es decir, si algún valor de las abscisas produce un valor imaginario en las ordenadas o no se puede representar en un plano real o cartesiano. Se dice que el valor de la abscisa no está dentro del intervalo solución y que en ese punto existe una asíntota vertical. De manera análoga, si algún valor de las ordenadas produce un valor imaginario en las abscisas, se dice que en tal punto existe una asíntota horizontal. Las asíntotas se representan con rectas.

2

Es común expresar una ecuación como una función para facilitar su análisis, pero recuerda que una función es una relación uno a uno, entonces no se le puede tratar siempre como ecuación.

62

Capítulo 2

■


Ejemplo 2.18 Dada la ecuación y( x 2 2) 5 x 1 4, obtén su intervalo de variación, en x y y. Solución:

Al resolver para y, se busca el intervalo de variación en x , así como la(s) asíntota(s) vertical(es): x + 4 y = x − 2 Aquí se observa que la ecuación tiene un campo de variación para cualquier valor de x , excepto para x 5 2, pues en ese punto ésta se indetermina. A tal circunstancia se le llama asíntota vertical. Si se resuelve para x , se tendrá el campo de variación de y y las posibles asíntotas horizontales, es decir: yx 2 2 y 5 x 1 4 yx 2 x 5 4 1 2 y x ( y 2 1) 5 4 1 2 y

Por lo que:

=

4 + 2 y y − 1

Y se concluye que el intervalo solución en y son todos los reales excepto y 5 1, pues al indeterminarse la ecuación se dice que existe una asíntota horizontal. En forma gráfica, esto se representa en la figura 2.18.

8

y

6 4 Asíntota horizontal –8 –6

–4

2

–2

2

4

6

8 x

–2 –4 –6

Asíntota vertical

–8 Figura 2.18. Asíntota vertical.

Ejemplo 2.19 Dada la ecuación 9 y2 1 2 x 2 5 32, obtén su campo de variación.

2.3

■

Discusión o análisis de una ecuación

63

Solución:

Para determinar los valores de x que producen una imagen en y, se aísla esta última y se tiene que: y =

32 − 2 x 2 3

Sin olvidar que toda raíz cuadrada tiene dos posibles respuestas, el radical en esta última expresión definirá el intervalo de valores donde la ecuación existe; para conocerlos, se iguala a cero y se resuelve para x . 32 − 2 x 2 = 0 2

x

=

32

2 x = ±4

= 16

Es decir, el campo de variación de la ecuación está limitado a valores en 24 y 4, como se observa en la figura 2.19.

y

6 4 2 x

–6

–4

–2

2

4

6

–2 –4 –6

Figura 2.19. Campo de variación de la ecuación 9 y212 x 2532.

Tal vez ya tengas una idea de cómo graficar una ecuación o por lo menos sabes que la tarea es fácil cuando se tienen dos variables, aunque en ocasiones esto resulta tedioso. Por lo general, esto se resuelve utilizando una tabla de valores que se obtiene despejando una variable de la ecuación, para después asignarle valores a la otra; una segunda opción es seguir sus patrones o propiedades conocidas. Lo más fácil es utilizar una calculadora, con las funciones para PLOT; finalmente, también —o mejor aún— con un software como MATLAB , MAPLE o WINPLOT . Lo más recomendable es que empieces utilizando una tabla de valores, con tus conocimientos de álgebra y trigonometría, pues esto te dejará ver patrones de la ecuación que después te permitirán extrapolar para otras ecuaciones y ahorrar tiempo al graficarlas. Esto te dará mayor capacidad de análisis por observación y, sin duda, te permitirá saber lo que obtendrás antes de efectuar las operaciones. Una vez que domines esta técnica se recomienda el uso de la tecnología.

64

Capítulo 2

■


Ejemplo 2.20 Analiza la ecuación y2( x 2 2) 5 1 y traza su gráfico. Solución:

Simetría con el eje y: y2((2 x ) 2 2) 5 1 y2(2 x 2 2) 5 1

La ecuación no es simétrica al eje y.

Simetría con el eje x : (2 y2)( x 2 2) 5 1 y2( x 2 2) 5 1

La ecuación es simétrica al eje x .

Simetría con el origen: (2 y2)((2 x )2 2) 5 1 y2(2 x 2 2) 5 1

La ecuación no es simétrica al origen.

Intersección con los ejes: Con el eje x , se escribe y 5 0 (0)2 ( x − 2) = 1 ( x − 2) =

El valor de x es indeterminado.

1 0

Con el eje y, se escribe x 5 0 y (0 − 2) = 1 2

y (−2) = 1 2

y

2

=

1

−2 1

y = ±

−2

=±

1 2

i

No existe intersección con el eje y, pues su valor es imaginario. Intervalo de variación en el eje x : Al despejar y se obtiene y

2

=

1 x − 2

y = ±

1 x − 2

Se observa que la ecuación tiene una imagen para cualquier valor de x mayor a 2, es decir, en x 5 2 se tiene una asíntota vertical. Intervalo de variación en el eje y: Al despejar x se obtiene x − 2 = x = 2 +

1 y

2

1 y

2

2.4

■

Intersección de gráficas

65

Esta expresión indica que y toma valores desde ( 2`, `) exceptuando al 0. Es decir, en y 5 0 se tiene una asíntota horizontal. 1

x

y =

2 2.1 3 4 5 6 10

indeterminado 610 61 60.707 60.577 60.500 60.353

( x , y)

x − 2

(2.1, 610) (3, 61) (4, 60.707) (5, 60.577) (6, 60.500) (10, 60.353)

Tabla 2.4.

En la tabla 2.4 se han colocado valores cercanos a las asíntotas para comprender el comportamiento de la gráfica cuando éstas se encuentran en ella.

y

4

x = 2

3 2

y =

1 y = 0 1

±

1 x – 2 x

2

3

4

5

6

7

8

9

–1 –2 –3 –4

Figura 2.20. Comportamiento asintótico.

2.4 INTERSECCIÓN DE GRÁFICAS

Otro problema común relacionado con dos o más ecuaciones o gráficas es determinar el o los puntos de intersección entre ellas. Esos puntos deben satisfacer las ecuaciones dadas y para calcularlos se debe resolver un sistema de ecuaciones formado por ellas o tener los gráficos perfectamente definidos en escalas adecuadas que permitan ver los puntos de intersección.

Ejemplo 2.21 Dadas las ecuaciones 3 x 2 2 y 5 25 y 6 x 1 3 y 5 18, determina el o los puntos de intersección y traza un gráfico de ambas.

66

Capítulo 2

■

Lugares geométricos. Función y análisis de una ecuación Solución:

Se plantea el sistema de ecuaciones 3 x 2 2 y 5 25 6 x 1 3 y 5 18 Al resolver, se obtiene que x 5 1 y y 5 4. El gráfico es:

5 4

(1,4)

3

3 x – 2 y = – 5

2 1

6 x + 3 y = 18 –3

–2

–1

1

2

x 3

Figura 2.21. Intersección de dos rectas, un punto.

Ejemplo 2.22 Encuentra los puntos donde se cortan las gráficas de las ecuaciones x 2 1 y2 5 12 y y 2 3 x 5 4, después traza ambas gráficas e indica los puntos de intersección. Solución:

Por la naturaleza de las ecuaciones se observa que es mejor utilizar el método de sustitución. x 2 1 y2 5 12 y 2 3 x 5 4

(i) (ii)

En (ii) se tiene y 5 3 x 1 4. Al sustituir en (i), se obtiene: x 2 1 (3 x 1 4)2 5 12 x 2 1 9 x 2 1 24 x 1 16 5 12

5 x 2112 x 1250 Al ordenar y resolver por fórmula general: x =

−12 ±

(12) 2 − 4 (5)(2) 2(5)

2.4

■


67

de donde se obtiene: x 5 20.180, sustituyendo en (i): x 5 22.219, de la misma forma:

y 5 3(20.180) 1 4 5 3.46 y 5 3(22.219) 1 4 5 2.657

Es decir, los puntos donde se cortan las gráficas son: P(20.180,3.46) Q(22.219,22.657)

Esto se muestra gráficamente en la figura 2.22. y

4

P ( – 0 . 180, 3.46 )

3 2 1 x

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

–1 –2 , – 2.657) Q ( – 2 . 219

–3 –4

Figura 2.22. Intersección de una recta con una circunferencia.

Ejemplo 2.23 Determina los puntos de intersección de las gráficas generadas por las ecuaciones 2 2 x y + = 1 y x 2 2 4 y 5 6, después traza ambas gráficas y señala los puntos de inter4 9 sección. Solución:

Se plantea el sistema de ecuaciones x

2

y

2

=1 9 x 2 2 4 y 5 6 4

+

(i) (ii)

De (i) 9 x 2 1 4 y2 5 36 y de (ii) x 2 5 4 y 1 6. Al sustituir se tiene: 9(4 y 1 6) 1 4 y2 5 36 Al ordenar y resolver para y: 4 y2 1 36 y 1 18 5 0 2 y2 1 18 y 1 9 5 0

68

Capítulo 2

■


Por fórmula general:

−18 ± y =

(18)

2

− 4(2)(9)

2(2)

Se obtiene: y 5 20.531 y 5 28.468

Se sustituyen estos valores en ( ii) para obtener los valores correspondientes de x . Para: y 5 20.531 x 2 5 4 y 1 6 x 5 61.968 y 5 28.468 Se tiene un par de raíces reales y conjugadas para los valores de x , es decir, no existen en el plano real. Por lo tanto, los puntos son: P(21.968,20.531) Q(1.968,20.531

Su gráfico es el siguiente:

y

4 9x 2 + 4y 2 = 36 3

2

1 x 2 = 4y + 6

–4

x

–3

–2

–1

1

(–1.968,–0.531) –1

–2

–3

–4

Figura 2.23. Intersección de una elipse con una parábola.

2

3

4

(1.968,–0.531)

2.4


■

69

Miscelánea de ejemplos 1. Determina la ecuación y el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal forma que los segmentos de recta que lo unen con los puntos (3,0) y (23,0) son perpendiculares. Solución:

Comenzamos por trazar un gráfico de la situación: y

(x,y )

x

(–3,0)

(3,0)

Figura 2.24. Ecuación del lugar geométrico.

Por condición de perpendicularidad entre rectas m1m2 5 21, se tiene: y−0 y−0 , m2 = m1 = x + 3 x − 3 es decir,

 y − 0   y − 0  = −1  x + 3    x − 3   Al simplificar: y

2

= −1 −9 2 2 y = − ( x − 9) 2 2 x + y = 9 2

x

Se trata de una circunferencia de radio igual a 3, cuya gráfica es:

3 2 1

r = 3

x 2 + y 2 = 9 –3

–2

–1

x

1 –1 –2 –3

Figura 2.25. Gráfica de la circunferencia.

2

3

4

70

Capítulo 2

■


2. Determina el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en el plano ab de forma que su distancia con la recta a 5 2 es igual a su distancia con el punto (4,0). Solución:

Sea P(a, b) ese punto. Utilizando la ecuación de distancia de un punto a una recta y la de distancia entre dos puntos, se tiene: a−2

1

2

= ( a − 4 ) + (b − 0 ) 2

a− 2=

2

(a − 4) + b

2

Al elevar al cuadrado ambos miembros: 2

= (a − 4) + b2 2 2 2 a − 4 a + 4 = a − 8a + 16 + b

(a − 2)

2

Se simplifica: b2 2 4a 1 12 5 0

Se trata de una parábola, como se muestra en la figura 2.26.

a =z b 4 P (a,b ) 3 2 1

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

–1 –2 –3 –4

Figura 2.26. Gráfica de la parábola.

3. Analiza la siguiente ecuación 4 x 2 1 16 y2 2 6 x 1 y 2 12 5 0 y traza su gráfico. Solución:

Simetría con el eje y: 4(2 x )2 1 16 y2 2 6(2 x ) 1 y 2 12 5 0 4 x 2 1 16 y2 1 6 x 1 y 2 12 5 0 La ecuación se altera, por lo que no es simétrica al eje y.

2.4


■

71

Simetría con el eje x : 4 x 2 1 16(2 y)2 2 6 x 1 (2 y) 2 12 5 0 4 x 2 1 16 y2 2 6 x 2 y 2 12 5 0 La ecuación se altera, por lo que no es simétrica al eje x . Simetría con el origen: 4 x 2 1 16 y2 2 6 x 2 y 2 12 5 0

La ecuación se altera, por lo que tampoco es simétrica al origen.

Intersección con los ejes: Con el eje x , se escribe y 5 0 4 x 2 1 16(0)2 2 6 x 1 (0) 2 12 5 0 4 x 2 2 6 x 2 12 5 0 Por fórmula general, se obtienen los puntos de intersección con el eje x x 1 5 2.63 x 2 5 21.13

Con el eje y, se escribe x 5 0 4(0)2 1 16 y2 2 6(0) 1 y 2 12 5 0 16 y2 1 y 2 12 5 0 de donde:

−1 ±

y = y =

(1)

2

− 4(16)(−12)

2(16)

−1 ± 27.73

2 y1 = 0.835 y2 = −0.897

El intervalo de variación para x se determina resolviendo la ecuación para y:

+ 16 y 2 − 6 x + y − 12 = 0 16 y 2 + y = 12 + 6 x − 4 x 2 4 x

2

Se completa cuadrado para y: y

2

+

1 16

y=

3 4

+

3

x−

8

1 4

2

x

2

2

 1   1  1 3 3 1 2  16  2 16   = + x − x −  y + y+  2  16 4 8 4  2       2

 1  767 3 1 2 = + x − x  y + 32   1024 8 4 Raíz cuadrada de ambos miembros: y +

1 32

y = ±

=±

767 1024

767 1024

+

3 8

+

x−

3 8 1 4

x− 2

x

1 4

−

2

x

1 32

72

Capítulo 2

■


La condición para obtener raíces reales es 21.136 , x , 2.636, que corresponden a los puntos por donde se corta al eje x . La gráfica de la ecuación es: 2

1

y

0.835 2.63

x

–1.13 –1

1

2

3

–0.897 –1

–2

Figura 2.27. Gráfica de una elipse.

4. Analiza la siguiente ecuación x 4 1 y4 1 2 x 2 y2 5 32( x 2 2 y2) y traza su gráfico. Solución:

Simetría con el eje y: (2 x )4 1 y4 1 2(2 x )2 y2 5 32((2 x )2 2 y2) x 4 1 y4 1 2 x 2 y2 5 32( x 2 2 y2) La ecuación es simétrica al eje y. Simetría con el eje x : x 4 1 (2 y)4 1 2 x 2(2 y)2 5 32( x 2 2 (2 y)2) x 4 1 y4 1 2 x 2 y2 5 32( x 2 2 y2) La ecuación es simétrica al eje x .

Simetría con el origen: (2 x )4 1 (2 y)4 1 2(2 x )2(2 y)2 5 32((2 x )2 2 (2 y)2) x 4 1 y4 1 2 x 2 y2 5 32( x 2 2 y2) La ecuación es simétrica al origen. Intersección con los ejes: Con el eje x , se escribe y 5 0 x 4 1 (0)4 1 2 x 2(0)2 5 32( x 2 2 (0)2) x 4 5 32 x 2 x 4 2 32 x 2 5 0 x 2( x 2 2 32) 5 0

de donde se obtienen cuatro puntos de intersección (raíces o ceros) que son: x 1 5 x 2 5 0 x 3 = 32 x 4 = − 32

2.4

■


73

Con el eje y, se escribe x 5 0: (0) 4 + y 4 + 2(0)2 y 2 = 32((0 )2 − y 2 )

= −32 y2 2 y = −32 y = ± 32i y

4

Se obtienen valores imaginarios para y (no hay una imagen en el campo de los números reales), es decir, no corta al eje real de las ordenadas. Intervalo de variación en el eje x : Lo que se pretende es aislar a y y poner la ecuación como una función de x . Al ordenar la ecuación se tiene:

+ 32 y 2 + 2 x 2 y 2 + x 4 − 32x 2 = 0 4 2 2 4 2 y + y (32 + 2 x ) + ( x − 32 x x ) = 0 y

4

Para resolver para y, se expresa como una ecuación de segundo grado: ( y2)2 1 y2(32 1 2 x 2) 1 ( x 4 2 32 x 2) 5 0 y se identifica que a 5 1, b 5 32 1 2 x 2 y c 5 x 4 2 32 x 2

Al utilizar la fórmula general para solución de ecuaciones de segundo grado se obtiene: y

2

=

−(32 + 2 x 2 ) ±

(32 + 2 x )

2 2

− 4(1)(x 4 − 32x 2 )

2(1)

Se simplifica: y

2

y

2

y

2

= = =

−(32 + 2 x 2 ) ±

1024 + 128 x 2 + 4 x 4 − 4 x 4 + 128 x 2 ) 2

−(32 + 2 x 2 ) ±

1024 + 256 x 2 ) 2

−(32 + 2 x 2 ) ± 16

( x 2 + 4)

2

=

− (32 + 2 x2 ) ±

= −(16 + x 2 ) ± 8

256(x 2 + 4)

2 2

( x

+ 4)

Por raíz cuadrada se tiene: y = ± 8 x

2

+ 4 − 16 − x 2

Se desecha el signo negativo del radicando, pues al considerarlo se tendrán un par de raíces complejas y conjugadas. Con el signo positivo, se iguala a cero para obtener los valores de x que dan los reales correspondientes en y: 8 x 2 + 4 − 16 − x 2 = 0 8 x 2 + 4 = 16 + x 2

74

Capítulo 2

■


Al elevar al cuadrado:

(

8 x 2 + 4

2

) = (16 + x )

2 2

64( x 2 + 4 ) = 256 + 32 x 2 + x 4

= 32 x = ± 32 2

x

Es decir, el radical anterior sólo es válido entre da con los pasos anteriores. Con ello se forma la tabla 2.5. x

−

y = ± 8 x

2

(– 32 , ±0)

25

61.44

24

61.93

23

61.96

22

61.62

21

60.88

32

0

32, lo cual concuer-

( x , y)

2

0

0

32 y

+ 4 − 16 − x

32

0 1 2 3 4 5

−

(25, 61.44) (24, 61.93) (23, 61.96) (22, 61.62) (21, 60.88) (0, 0) (1, 60.88) (2, 61.62) (3, 61.96) (4, 61.93) (5, 61.44)

60.88 61.62 61.96 61.93 61.44

( 32 , ±0)

Tabla 2.5.

Se localizan las duplas de coordenadas y se obtiene la siguiente gráfica: y

6 5 4 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

x

1 2

3

–2 –3 –4 –5 –6

Figura 2.28. Gráfica de la Lemniscata de Bernoulli.

4

5

6

7

2.4

■


75

Esta gráfica se conoce como la lemniscata de Bernoulli.

5.

Determina y muestra en un gráfico la intersección de las gráficas generadas por las ecuaciones 4 x 2 2 3 y2 5 24 y xy 5 6. Solución:

Primero se forma el sistema de ecuaciones 4 x 2 2 3 y2 5 24 xy 5 6 A partir de (ii) se tiene y =

6

(i) (ii)

y al sustituir en (i):

x

2

2

4 x

 6  − 3   = 24  x 

4 x 2 −

108 2

x

= 24

4 x 4 2 108 5 24 x 2 x 4 2 6 x 2 227 5 0

Al ordenar y reducir la ecuación de grados se tiene: ( x 2)2 2 6 x 2 2 27 5 0 Se resuelve por fórmula general: 2

x

=

−(−6) ± (−6)2 − 4(1)(−27) 2(1)

Se simplifica: 2

x

=

6 ± 144 2

=

6 ± 12 2

= 3± 6

de donde se obtienen las cuatro raíces:

= 3 + 6= ± x = ±3 2

9

x

Se obtienen dos raíces reales:

= 3 − 6 = −3 x = ± −3 2

x

Ahora existen dos raíces complejas y conjugadas, las cuales se descartan. Se sustituye x 5

63

en y =

6 x

para obtener las coordenadas de los puntos

de intersección: y =

que son (3,2) y ( 23,22).

6 3

=2

y =

6

−3

= −2

76

Capítulo 2

■


Las gráficas se obtienen utilizando tablas como las siguientes. 4 x 2 2 3 y2 5 24 4

y =

3

Para

2

x

x

−8

y 65.83 63.65 62 0

25 24 23

x ≤ − 6 y x ≥ 6 2

6

0

6 3 4 5

( x , y) (25,65.83) (24,63.65) (23,62) (− 6 , 0 )

65.83

( 6 , 0) (3,2) (4,63.65) (5,65.83)

y 21.5 22 23 26 260 60 6 3 2 1.5

( x , y) (24, 21.5) (23, 22) (22, 23) (21, 26) (20.1, 260) (0.1, 60) (1, 6) (2, 3) (3, 2) (4, 1.5)

12 63.65

Tabla 2.6.

x 24 23 22 21 20.1 0.1 1 2 3 4

xy 5 6 y =

6 x

Para x Z 0

Tabla 2.7.

En la tabla se ven los puntos donde se cortan. Sus gráficos son:

y 7 6 5 4 3

(3,2)

2 1 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

(–3,–2)

–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

Figura 2.29. Gráficas de hipérbolas.

x 1 2

3

4 5

6

7

8

2.4

■


77

6. Determina los puntos donde se cortan las gráficas generadas por las ecuaciones: 2 x 2 2 6 y 2 3 5 0 y 2 x 2 1 6 y 2 6 5 0. Solución:

El sistema de ecuaciones es: 2 x 2 2 6 y 5 3 2 x 2 1 6 y 5 6

(i) (ii)

Se resuelve por suma y resta: 4 x 2 = 9 2

x

=

9 4 9

x = ± x = ±

4 3 2

1 Por lo que y = . Los puntos de intersección son: 4 muestra la gráfica:

 3  − 2 ,

1 

 3 y  ,  4   2

y

4 3 2 1 x

–4

–3

–2

–1

1 –1 –2 –3 –4

Figura 2.30. Parábolas que se intersecan.

2

3

4

5

1   , como 4 

78

Capítulo 2

■


RESUMEN ✓

Lugar geométrico se refiere a la gráfica de una ecuación o a un punto que se mueve en el plano satisfaciendo ciertas condiciones dadas.

✓

Los problemas fundamentales de la geometría analítica son: a) Conocidas las características de un lugar geométrico, determinar su ecuación. b) Conocida una ecuación, determinar el lugar geométrico que representa.

✓

Se dice que una variable ( y) es función de otra ( x ) cuando ambas están relacionadas de forma que para cada valor de la segunda ( x ) existe uno y sólo un valor correspondiente para la primera ( y).

✓

La discusión o análisis de una ecuación consiste en determinar su simetría, su intersección con los ejes, determinar si tiene o no asíntotas, establecer su intervalo de variación y construir su gráfica.

✓

El o los puntos de intersección entre dos o más gráficas deben satisfacer sus ecuaciones.

PROBLEMAS 1. Determina la ecuación del lugar geométrico generado por un punto que al moverse conserva la misma pendiente que la recta 4 y 2 6 x 5 8 y pasa por el punto (23,22). Respuesta: 3 x 2 2y 1 7 5 0 2. ¿Cuál es la ecuación y el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en forma equidistante igual a cuatro unidades de longitud al punto (5,23)? Respuesta: ( x 2 5)2 1 ( y 1 3)2 5 16 o x 2 1 y2 2 10 x 1 6 y 1 18 5 0. Circunferencia 3. Determina el lugar geométrico que describe e l producto de las pendientes de dos segmentos de recta formados desde un punto en el plano xy a los puntos (22,3) y (2,23), el cual es 1 / 4. Respuesta: x 2 2 y 1 4 5 0 4. Determina el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano xy de forma que la diferencia de sus distancias a los puntos (23,0) y (3,0) es igual a 10. Respuesta: No existe lugar geométrico. 16 x 2 1 25 y2 5 2400 5. Determina la gráfica en un plano xy del lugar geométrico que se obtiene al sumar tres veces la abscisa al cuadrado más nueve veces la ordena da al cuadrado y el resultado sea igual a 27. Respuesta: 3 x 2 1 9 y2 5 27 3

y

2 1 x

–3

–2

–1

1 –1 –2 –3

Figura 2.31. Elipse.

2

3

Problemas

79

6. En cada uno de los siguientes problemas, determina el lugar geométrico que describen. Respuestas a) 2 x 1 4 y 2 12 5 0

Una línea recta

b) x 2 1 y2 5 9 c) x 2 2 2 5 y

d)

x

2

9

+

y

Una parábola

2

4

=1

e) x 3 5 y

Una curva de la familia de las parábolas

f) 3 y2 2 5 x 2 5 15

7. Expresa cada uno de los siguientes ejercicios como una función de x . Respuestas a) 2 x 2 2 3 y 1 2 x 2 1 5 0

2 x 2 + 2 x − 1

y = f ( x ) =

3

b) 3 x 3 2 2 y2 1 x 2 1 5 0 c) Ax 1 By 1 C 5 0

y = f ( x ) =

− Ax − C B

d) Ax 2 1 Cx 2 Dy 1 F 5 0 e) x 2 1 y2 5 r 2

y = f ( x ) = r

− x 2

2

8. Expresa cada uno de los siguientes ejercicios como una función de y. Respuestas a) Ax 2 By 2 C 5 0

x = f ( y) =

By + C A

b) x 2 2 y2 5 r 2 c) Ay2 2 Cx 1 Dy 1 F 5 0

d)

e)

x

2

2 x

+

y

−

y

2

4

x = ( y) =

Ay

2

+ Dy + F C

2

4

=1

2

9

=1

x = f ( y) = 2

 y 2   1+ 9   

9. En la casa de la familia X , las labores de mantenimiento y comida se distribuyen por la mañana de la siguiente manera: la preparación del desayuno, d , depende de la señora s; lavar trastos, t , del hijo h; limpiar los muebles, m, de la hija i; y barrer, b, del señor r . Expresa cada una de estas labores como una función y explícalas.

80

Capítulo 2

■

Lugares geométricos. Función y análisis de una ecuación 10. Enuncia cinco ejemplos de funciones, con base en aplicaciones prácticas que realices cotidianamente. 11. Dadas las funciones f ( x ) 5 x 3 1 3 x 2 2 10 x 2 24 y g( x ) 5 x 2 1 x 2 2, obtén lo siguiente: Respuestas a) b) c)

x 3 1 4 x 2 2 9 x 2 26

( f 1 g)( x ) ( f 2 g)( x ) ( f 4 g)( x )

x 5 1 4 x 4 2 9 x 3 2 40 x 2 2 24 x 1 48

d) ( f 4 g)( x ) e) Utiliza un software y grafica en un mismo plano: f ( x ), g( x ), ( f 1 g)( x ), ( f 2 g)( x ), ( f . g)( x ) ( f 4g)( x )

12. Traza la gráfica de las siguientes funciones: a) f (t ) 5 2t 3 2 t 1 12 b) g( x ) 5 4 x 2 2 3 x 2 4 c) h( x ) 5 x 4 2 x 3 2 7 x 2 1 x 1 6

13. Analiza las siguientes ecuaciones y traza su gráfico. (Utiliza una hoja electrónica para construir la tabla de valores y a lgún software para graficar.) a) b) c) d)

x 2 2 16 y 5 0 x 2( y2 2 4) 5 9 x 3 1 3 y2 5 6 ( x 2 5)2 1 ( y 2 4)2 5 4

14. Determina los puntos de intersección, cuando existan, entre cada par de ecuaciones dadas. Respuestas a) 6 x 1 2 y 5 6 y 3 x 2 5 y 5 b) x 2 3 y 5 18 y x 2 3 y 5 c) y2 2 2 x 1 3 y 5

22

 2   3 , 1 

23

2

21

y 3 x 2 6 y 5 6

d) x 4 2 3 y 14 5 0 y 2 x 2 2 3 y 5

(0, 21) y (6, 2)

24

e) 3( x 2 1)2 2 6 y2 5 4 y 3 x 2 2 6 y2 2 6 x 2 1 5 0 Una infinidad de puntos.

AUTOEVALUACIÓN Contesta y practica en tu cuaderno las siguientes preguntas y ejercicios:

1. Explica cuáles son los problemas fundamentales de la geometría analítica. 2. Si A =

bh

2

es la fórmula para calcular el área de un triángulo, discute y establece de quién

es función el área y por qué.

3. Determina el lugar geométrico del conglomerado de puntos que es equidistante a las rectas 2 x 2 5 y 1 10 5 0 y 7 x 2 5 y 2 15 5 0 4. Dadas las funciones f (t ) 5 3t 2 1 6t 2 24 y g(t ) 5 t 2 2, obtén:

Autoevaluación a) b) c) d)

suma resta producto división

5. Discute y traza la ecuación x 2 2 y2 5 9. 6. Determina el o los puntos de intersección entre las siguientes ecuaciones: ( x 2 2)2 1 ( y 1 3)2 5 8 x 2 1 y2 2 4 x 1 6 y 1 5 5 0

81

CAPÍTULO

3

Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos.)

A la inclinación de un cuerpo respecto de un plano de referencia se le denomina Pendiente . Torre de Pisa.

…Muy distinto es cuando nuestra veneración y cariño son ajenos a todo hábito y corresponden a una pura inclinación personal, cuando de todo corazón hemos sido el amigo o el discípulo. En estos casos es un instante amargo y terrible aquel en que vislumbramos, de súbito, que la corriente dominante en nosotros quiere apartarnos de la persona querida. Cada uno de los pensamientos que rechazan al amigo o al maestro se vuelve entonces, con aguijón envenenado, contra nuestro propio corazón y cada golpe asestado nos hiere, de retorno, en el rostro. A quien creía actuar según una moral válida, se le aparecen las palabras “infidelidad” e “ingratitud” como vergonzosos reproches y estigmas. El corazón aterrado huye, temeroso, a refugiarse en los amados valles de las virtudes infantiles… Hermann Hesse (Demián)

No soy un pesimista. Percibir el mal allí donde existe es, en mi opinión, una forma de optimismo. Roberto Rossellini

83

84

Capítulo 3

■

Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos)

DEFINICIÓN

3.1 PENDIENTE DE

La línea recta se define como el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de forma que al localizarlo en dos posiciones cualesquiera su pendiente m resulta ser la misma.

El concepto pendiente, m, de una línea recta se define como una razón de cambio entre ordenadas y abscisas. Considera la figura 3.1:

UNA LÍNEA RECTA

+ + + + + + + y + + + + + + +

+ + + + + + + l + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + • S +(x 1+,y 1)+ +

+ + + + + + + + + + + + (x +,y )+ P •

+ + + + + + + u + + + + + + + + + + +Dy + + +

+ + + + + + + u T + + + + •+ + + + + + + + + + u +Q + • + + + + + +(x + + + + + + 2,y 2) + + + + + + + Dx + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x + •R (x ,y ) + + + +1 +2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

Figura 3.1. Pendiente de una recta.

Por simple observación, se verifica que existe una cantidad infinita de puntos pertenecientes a la línea recta l. Además, es fácil comprobar que m = tan θ =

∆y , y con∆ x

cluir que la pendiente también se define como la tangente del ángulo de inclinación que posee esa recta con respecto de un plano de referencia.

La pendiente de una línea recta se define como una diferencia de ordenadas entre una diferencia de abscisas, es decir: m=

y2 − y1 x 2 − x 1

[1]

Si la letra griega D (delta) se utiliza para denotar cambios, entonces la pendiente también se expresa como: m=

cambio vertical cambio enn y desnivel ben eficio , etcétera = = = cambio horizontal cambio en x desplazamiento inversión

Atendiendo a la figura del triángulo SRQ, tan θ = pero: SR = y2 − y1 y RQ = x 2 − x 1 , por tanto: tan θ =

y2 − y1 x 2 − x 1

.

S R RQ

,

3.1.

■

Pendiente de una línea recta 85

Lo anterior permite verificar que: tan u 5 m

[2]

y además se deduce que: u 5 tan–1(m).1 Si se considera cualquier punto P, se generaliza la expresión de la pendiente como: m =

y − y1

x − x 1

.

Cuatro consideraciones acerca de la pendiente de una recta:

1. Cuando m es positiva: 0 , u , 90°, puesto que y2 2 y1 . 0 y x 2 2 x 1 . 0 2. Cuando m es negativa: 90° , u , 180°, puesto que y2 2 y1 . 0 y x 2 2 x 1 , 0 3. Si u 5 0° 5 180° 5 360°, se dice que esa recta no tiene pendiente, m 5 0, pues se trata de una recta horizontal. También se afirma que su pendiente es nula; matemáticamente: y2 2 y1 5 0 , ∴ m 5 0. 4. Si u 5 90° 5 270°, se dice que la pendiente está indeterminada (no existe), pues se está tratando con una recta vertical, ya que se tiene que x 2 2 x 1 5 0 y, por tanto, el cociente m =

y2 − y1

x 2 − x 1

está indeterminado (lo que puede verificarse por propiedades

de los números reales o en la calculadora).

Ejemplo 3.1 Obtén la pendiente de una línea recta que contiene los puntos ( 23,5) y (3,1) y traza su gráfica. Solución:

Por definición de pendiente m =

y2 − y1 x 2 − x 1

y

m=

6

•

4 2

• –6

–4

–2

2

x 4

6

1− 5 5 −1 4 2 = =− =− 3 − (−3) −3 − 3 6 3

Observa que no importa qué punto se tome como inicial o final, el resultado será el mismo. Para trazar la gráfica, utiliza un plano cartesiano y localiza las duplas de coordenadas de cada punto, después une esos puntos y prolonga la recta en ambos sentidos, como se muestra en la figura 3.2.

–2 –4 –6

Figura 3.2. Pendiente negativa.

1

tan-1 se lee: “arco tangente o ángulo cuya tangente es”.

86

Capítulo 3

■


Ejemplo 3.2 A partir de la siguiente tabla, traza el lugar geométrico denominado línea recta y obtén su pendiente. x

23

21

0

2

4

y

25

21

1

5

9

Solución:

Utilizando el plano rectangular para localizar los pares de coordenadas se tiene: y

10

•

8 6

•

4 2 –6

•

–4

–2 –2

•

x

• 2

4

6

8

–4 –6

Figura 3.3. Pendiente positiva.

Después, la pendiente se obtiene utilizando dos puntos cualesquiera dados, es decir: m=

9 − (−5) 9 + 5 = =2 4 − (−3) 7

Ejemplo 3.3 Determina el lugar geométrico del conjunto de puntos tales que cualquier dupla de ellos conserve una misma pendiente. Solución:

Sean P( x , y) y Q( x 1, y1) dos puntos cualesquiera de un conjunto de puntos y m la pendiente constante. Por definición de pendiente: m=

y − y1 x − x 1

Simplificando: m( x − x1 ) = y − y1 y − mx + x1 − y1 = 0

3.2.

Ecuaciones de una línea recta 87

■

O bien, si b5 y12 x 1: y 5 mx 1 b

que se reconoce como la ecuación de una línea recta en forma simplificada.

3.2 ECUACIONES DE UNA LÍNEA RECTA

Teorema

Toda ecuación de primer grado de una o dos variables representa una línea recta. No olvides que una ecuación es de primer grado porque su mayor exponente es 1. Ejemplos de ecuaciones de primer grado son: a) y 5 x ; b) x 5 23; c) 3 y 1 2 x 1 4 5 0; d ) 2 x 1 1 5 0; e) 3 y 1 2 5 0

3.2.1. Ecuación de la recta que pasa por un punto con pendiente m Considera la figura 3.4 l

y

A(x 1,y 1) 6 tan u = m 4

P (x ,y )

2 x

u

–4

–2

2

4

6

–2 –4

Figura 3.4. Recta que pasa por un punto.

Lo que se muestra en la figura es una recta l que pasa por un punto A( x 1, y1), con pendiente m. A continuación se determinará una ecuación que relacione al punto A con la pendiente m. Sea P( x ,y) un punto cualquiera que pertenece a la misma recta; su pendiente se obtiene como: m=

y − y1 x − x 1

Al despejar: O bien,

m( x 2 x 1) 5 ( y 2 y1)

( y 2 y1) 5 m( x 2 x 1) [3] A esta ecuación de la recta también se le llama forma punto-pendiente. Las coordenadas ( x 1, y1) son las de un punto cualquiera que pertenezca a esa recta ( el punto pendiente); la pendiente ya está dada.

88

Capítulo 3

■


Ejemplo 3.4 1 y A(22,24) la pendiente y un punto cualquiera de una recta. Determi5 na su ecuación en su forma punto pendiente y ordénala. Sean m =

Solución:

Sustituyendo los valores en

( y 2 y1) 5 m( x 2 x 1)

se obtiene: 1 ( x − (−2)) 5 1 2 y + 4 = x + 5 5

y − (−4) =

Al multiplicar por 5 y ordenar los términos: 5 y 2 x 1 18 5 0

Ejercítate

1. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto Q(23,9) y tiene pendiente m 5 22. 2. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4,23) y tiene pendiente m 5 4.

3.2.2. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Considera dos puntos conocidos, A y B, por los cuales pasa una recta, como se muestra en la figura:

y

•A(x ,y ) 1

6

4

B (x 2,y 2)

•P (x ,y )

2

•

x

–2

2

4

6

–2 –4

Figura 3.5. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

1

3.2.

A partir de la definición de pendiente, m =


■

y2 − y1

, y de la ecuación de la recta en for-

x 2 − x 1 ( y 2 y1) 5 m( x 2 x 1), se obtiene cualquiera

ma punto-pendiente, de las siguientes ecuaciones. Si se consideran las coordenadas del punto A como las del punto pendiente:

 y − y 

( y − y ) =  x − x  ( x − x )   2

1

2

1

1

[4]

1

 y − y   ( x − x )  x − x 

o si el punto pendiente es B: ( y − y ) =  1

2

1

2

1

1

[4]

Ambas son la ecuación de una recta que pasa por dos puntos, como se observa es indistinto el punto que se sustituya; el resultado será el mismo y representarán a la misma recta.

Ejemplo 3.5 Sean A(21,3) y B(3,24) dos puntos que pertenecen a una misma recta. Obtén su ecuación y corrobora que es indistinto el punto que se tome como punto pendiente, es decir, ( x 1 ,y1) o ( x 2 ,y2), y simplifica. Solución:

 y − y   ( x − x ).  x − x 

Considera la ecuación ( y − y ) =  1

2

1

2

1

1

Si A es el punto pendiente:

 −4 − 3   

( y − 3) =  3 − (−1)  ( x − (−1)) 7

( y − 3) = − 4 ( x + 1) Al multiplicar por 4 y simplificar: 4 y 1 7 x 2 5 5 0 Al sustituir el punto B se obtiene:

 3 − (−4) 

( y − (−4)) =  −1 − 3  ( x − 3)   y + 4 = −

7 ( x − 3) 4

Al multiplicar por 4 y ordenar: 4 y 1 7 x 2 5 5 0

Ejercítate

1. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos Q(26,3) y P(4,21). 2. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (5,3) y P(2,23).

90

Capítulo 3

■


3.2.3. Ecuación de la recta con pendiente dada y ordenada al origen2 Considera una recta que pase por dos puntos: A( x , y) y B(0,b), como se ilustra en la figura 3.6. l

y

• A(x,y ) • B (0,b ) x

Figura 3.6. Ecuación de la recta con pendiente dada y ordenada al origen.

Al calcular la pendiente: m=

b− y

0 − x

Al ordenar y despejar y: y 5 mx 1 b

[5]

donde b se define como la ordenada al origen y es el punto donde la recta corta al eje y. Esta ecuación también suele llamarse ecuación de la recta en forma simplificada.

Ejemplo 3.6 1 Dados b 5 5 y m = , determina la ecuación de la recta en la forma ordenada al ori2 gen con pendiente dada. Solución:

De la ecuación y 5 mx 1 b y sustituyendo los valores dados: 1 y = x + 5 2 2

Ecuación de la recta en su forma simplificada.

3.2.

■


Ejemplo 3.7 1 Las ecuaciones de oferta y demanda de un producto son p = q + 2 y q 5 2 p 1 2, 7 respectivamente. Traza el gráfico de cada una y encuentra el punto de equilibrio del producto. NOTA: Se define como punto de equilibrio aquel que iguala los ingresos totales con los costos totales, es decir, donde no hay pérdidas pero tampoco hay ganancias. Solución:

De la ecuación de demanda se despeja la oferta, p y se igualan las ecuaciones. q 5 2( p 1 1) 1 p = q − 1 2 que se iguala con la ecuación de la oferta: 1 p = q − 1 2 Ahora es posible determinar la demanda, q. Ordenando y simplificando:

 1 1  q=3  2 − 7   5 q=3 14 42 ⇒ q = = 8.4 5 Se sustituye el valor de q en cualquiera de las ecuaciones de oferta para determinar su valor 1  42  16 p =   + 2 = 3.2 p = 7  5  5 Por tanto, el punto de equilibrio del producto se logra cuando se tiene la dupla  42 16  y el gráfico correspondiente es:  5 , 5  

p

4 3 2 1

• •

Oferta

Figura 3.7. Punto de equilibrio.

Demanda oferta

Punto de equilibrio

•

• 8 9

q

92

Capítulo 3

Ejercítate

■


1. Determina la ecuación de la recta en forma simplificada, a partir de 2 x 2 6 y 2 4 5 0. 2. Si m 5 23 y b 5 22, ¿cuál es la ecuación en forma simplificada?

3.2.4. Ecuación de la recta en forma simétrica La siguiente figura ilustra una recta que pasa por los puntos A(a,0) y B(0,b).

y l

•

B (0,b )

•

A(a ,0)

x

Figura 3.8. Ecuación de la recta en forma simétrica.

Al calcular la pendiente, obtenemos m =

b−0

0−a

b

⇒ m = − , y al sustituir m en la ecuaa

ción de la recta en su forma simplificada y 5 mx 1 b: b y = − x + b a

Multiplicando por a: ay 5 2bx 1 ab

Al multiplicar por

1 ab

y ordenando los miembros de la expresión, se tiene: x y a

+ =1 b

[6]

que corresponde a la ecuación simétrica de la recta. Donde a se define como la abscisa al origen, y b la ordenada al origen, puntos donde la recta corta cada uno de los ejes coordenados.

3.2.

■


Ejemplo 3.8 Sean a 5 22 y b 5 3, la abscisa y la ordenada, respectivamente, de una recta. Determina la ecuación de la recta que las contiene en su forma simétrica. Solución:

A partir de la expresión

x y a

+ = 1 se determina fácilmente, sustituyendo los datos

conocidos, como se muestra:

b

x

y

− + =1 2 3

Ejercítate

1. Dada la ecuación y 5 23 x 1 2, obtén la ecuación de la recta en su forma simétrica. 2. Dada la ecuación y 5 23 x 1 2, di cuál es el valor de la ordenada y de la abscisa al origen.

3.2.5. Ecuación general de la recta La ecuación general de la recta tiene la siguiente forma: Ax 1 By 1 C 5 0

[7]

expresión que obtuvimos al simplificar las anteriores, donde A, B y C son números reales. A partir de la ecuación anterior, podemos hacer el proceso inverso: a) Ecuación simplificada de una recta

Si A Z 0, B Z 0 y C Z 0, se obtiene la ecuación de la recta en su forma pendiente dada y ordenada al origen y = −

Ax C B

− , donde B

A m=− B

y la ordenada al origen, b = −

B

que se representa como se muestra:

y

m =–A/B b =–C/B

0

C

x

Figura 3.9. Ecuación de la recta en forma simplificada, y = − A x − C . B

B

94

Capítulo 3

■

Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos) b) Recta paralela al eje x Definición. Una recta es paralela al eje x si, y sólo si, todos los puntos que la forman se encuentran a una misma distancia del eje x .

Si A 5 0, B Z 0 y C Z 0, la ecuación se reduce a: By 1 C 5 0, de la cual se obC

tiene y = − , que representa una recta paralela al eje x y se expresa en general como: B

y 5 a

[8]

Un gráfico representativo es:

y

y =a

o

x

Figura 3.10. Ecuación de la recta paralela el eje x .

c) Recta paralela al eje y Definición. Una recta es paralela al eje y si, y sólo si, todos los puntos que la forman se encuentran a una misma distancia del eje y.

Si A Z 0, B 5 0 y C Z 0, la ecuación se reduciría a: Ax 1 C 5 0, de la cual se obC

tiene x = − , que representa una recta paralela al eje y; en general se expresa como: A

x 5 a

[9]

Su gráfico tiene la forma:

y

x =a o

Figura 3.11. Ecuación de la recta paralela al eje y.

x

3.2.

■


d) Ecuación de una recta que pasa por el origen Caso 1

Si A 5 61, B 5 1 y C 5 0, la ecuación se simplifica en y 5 x o y 5 2 x o por propiedades del valor absoluto y 5 Z x Z

[10]

la cual representa una línea recta con pendiente de 45° que pasa por el origen, como lo muestra la figura 3.12.

y =–x

y y =x

tan(–45°)=m

tan(45°)=m x

Figura 3.12. Ecuación de la recta que pasa por el origen.

Ejemplo 3.9 A partir de la ecuación 3 x 1 2 y 24 5 0, di cuál es su pendiente, su ordenada y abscisa al origen y traza su gráfica. y

Solución:

3

Al despejar y se determina su pendiente, así como la ordenada al origen:

B (0,2)

2

•

1 x

A(4/3,0)

–2

–1

1

•

2

3

–1 –2 –3

Figura 3.13. Gráfica de 3 x 12 y2450.

3 2 y 5 23 x 1 4 ⇒ y = − x + 2, 2 3 se identifica que: m = − y b 5 2 2 Para determinar su abscisa al origen se iguala y 5 0, con lo que la ecuación adopta la forma: 3 3 − x + 2 = 0 ⇒ 2 = x 2 2 4 x = 3 Su gráfica se muestra a la izquierda.

Ejemplo 3.10 Un ingeniero civil desea saber la cantidad de material utilizado en la construcción de cierto puente y necesita tu ayuda. Determina la pendiente y la ecuación de cada una de las vigas que sostienen la estructura, así como la longitud total de las vigas verticales.

96

Capítulo 3

■

Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos) y

8 • 3

4

5

6

(12,0) x 7

(6,–5) • 2

1 (0,–8)

•

Figura 3.14. Diseño de un puente.

Solución:

Se determinan las pendientes de las vigas 1 y 2:

−5 + 8 3 1 = = , 6−0 6 2

m1 =

−5 + 8 3 1 =− =− 6 − 12 6 2

m2 =

Una vez calculadas, es necesario encontrar las coordenadas de los puntos medios de las vigas 1 y 2. Para la viga 1: Pm x 1 =

0+6 = 3, 2

Pm y1 =

De forma análoga, para la viga 2: Pm x 2 =

−5 − 8 2

12 + 6 =9 2

=−

13 2 Pm y 2 =

Las ecuaciones respectivas son: 1 ( y + 8 ) = 2 ( x + 0 ) ⇒ 2 y − x + 16 = 0 1 ( y + 8 ) = − 2 ( x − 12 ) ⇒ 2 y + x + 4 = 0 Ahora, se obtienen las longitudes: 2

2

V1 = V 2 =

(6 − 0 ) + ( −5 + 8) =

V3 = V 7 =

(0 − 0) + ( 0 + 8) = 8

V4 = V 6 =

13 (3 − 3) + ( 0 + 13 2 ) = 2

2

2

2

2

2

2

V 5 =

( 6 − 6 ) + ( 0 + 5) = 5

V 8 =

( 0 − 12) = 12

2

45

−5 − 8 2

=−

13 2

3.2.

■


Para determinar la cantidad de material usado en el puente, se suman todas las longitudes de las vigas: V T = 2

45 + 2 ⋅ 8 + 2 ⋅

13 + 5 + 12 = 59.41 m. 2

Ejemplo 3.11 3 Traza la gráfica de las siguientes ecuaciones: a) x 5 23; b) y 5 2; c) y = − . 2 Solución:

y

y

y

x = –3 y=2 x x

x y = –3/2

(a )

(b )

(c )

Figura 3.15. Gráficas de ecuaciones.

Ejercítate

1. Dada la ecuación y 5 4 x 2 1, obtén la ecuación de la recta en su forma general. 2. Traza la gráfica de la ecuación y 5 23 x 1 2. 3. Dada la ecuación 3 x 2 2 y 1 6 5 0: a) b)

si x 5 0, ¿cuál es su gráfica? si y 5 0, ¿qué gráfica se obtiene?

3.2.6. Ecuación normal de la recta Considera la figura 3.16: y l

P (x,y ) r

Q (x 1,y 1)

w

0

Figura 3.16. Ecuación de la recta en su forma normal.

x

98

Capítulo 3

■


La figura muestra una recta que es perpendicular al segmento de recta OP = r ; ambos se cortan en P( x , y). El segmento OP forma un ángulo w con respecto del eje x ; además, sobre la recta l existe un punto Q( x 1, y1). Por condición de perpendicularidad entre dos rectas, se cumple que: (I) mOP . mPQ 5 21 mOP =

Donde:

y

(II)

x

y además: mPQ =

y − y1

(III)

x − x 1

Por otro lado, sabemos que: y 5 r sen w x 5 r cos w r= x

2

+y

(i) (ii) (iii)

2

 y   x  

ϕ = tan−1 

(iv)

al sustituir (i) y (ii) en las ecuaciones (II) y (III), se tiene: sen ϕ = tan ϕ r cos ϕ cos ϕ r sen ϕ − y mPQ = r cos ϕ − x

mOP =

r sen ϕ

=

1

(IV) (V)

1

Al sustituir (IV) y (V) en (I) :

 sen ϕ  rsen ϕ − y  cos ϕ  ⋅  r cos ϕ − x  = −1     1

(VI)

1

Por simplificación (VI): r sen2 w2 y1 sen w 5 x 1 cos w 2 r cos2 w

Al ordenar los términos y utilizar la identidad trigonométrica sen 2 w 1 cos2 w 5 1, la ecuación se reduce a: r 5 x 1 cos w 1 y1 sen w, que al generalizar para cualquier punto coordenado da: r 5 x cos w 1 y sen w x cos w 1 y sen w2r 5 0

[11]

Esta última expresión es la ecuación normal de la recta.

Ejemplo 3.12 Si r 5 7 y w 5 30°, ¿cuál es la ecuación de la recta en su forma normal? Conviértela a la forma general.

3.3.

■

Ángulo entre dos rectas (utilizando sus pendientes) 99

Solución:

La ecuación en forma normal es: 7 5 x cos 30° 1 y sen 30° Por trigonometría se sabe que: cos30° =

1 1 , 3 sen 30 °= 2 2

Por tanto, la ecuación se transforma: 1 1 3 x + y = 7 2 2 3 x + y − 14 = 0.

Al multiplicar por 2:

3.3 ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS (UTILIZANDO SUS PENDIENTES)

A continuación mostramos el análisis trigonométrico para obtener el ángulo que se forma entre dos rectas cuando se localizan en un mismo plano; además, usamos el concepto de pendiente y ofrecemos otra solución. Considera la figura 3.17:

y l 2

l 1

δ

γ

α

β

γ

δ

α

x

O

Figura 3.17. Ángulo entre dos rectas.

A través de un análisis trigonométrico sabemos que la suma de los ángulos internos de un triángulo como el de la figura 3.17 es igual a 180°. a 1 b 1 g 5 180° d 1 a 5 180°

(i) (ii), que corresponde a un ángulo llano.

Al despejar de ( i) y (ii) a a a 5 180° 2 b 2 g a 5 180° 2 d

y al igualar ( iii) y (iv) y despejar a b

(iii) (iv)

100

Capítulo 3

■


180°2b2g5180°2d b5d2g

Si en ambos miembros se aplica la función tangente: tan b 5 tan (d 2 g) sen θ sen (δ − γ ) Al utilizar la identidad trigonométrica de tan θ = se tiene tan β = y cos θ cos( ) − δ γ por diferencia de senos y cosenos: sen δ cos γ − cos δ sen γ cos δ cos γ + sen δ δ sen γ

tan β =

1 Para reducir lo anterior se multiplican el numerador y denominador por cos δ cos γ y retomando tan θ = sen θ cos θ

tan β =

sen δ cos γ − cos δ sen γ cos δ cos γ + sen δ sen γ

La expresión se reduce a

tan β =

tan δ − tan γ 1 + tan γ ⋅ tan δ

 1   cos δ cos γ    1    cos δ cos γ   [12]

luego, la tangente es la pendiente de la recta, m 5 tan u, es decir: tan β =

m2 − m1

1+ m ⋅ m 1

[12] 2

Por lo tanto, el ángulo entre dos rectas estará dado por:

 m − m  * β = tan    1 + m ⋅ m  −1

2

1

1

2

Ejemplo 3.13 Dos rectas l1 y l2 contienen los puntos A(22,5), B(26,22) y C (24,4), D(21,22), respectivamente. Encuentra sus pendientes y determina el ángulo que forman al cortarse. Al determinar la pendiente de l1, m AB = −2 − 5 = −7 = 7 −6 − (−2) −4 4 De manera similar, para l2, mCD = −2 − 4 = −6 = −2 −1 − (−4) 3 Para determinar el ángulo formado por ambas rectas en su intersección, aplicamos en forma directa la fórmula β = tan −

1

m2 − m1

1+ m ⋅ m 1

*

. Sustituyendo valores, tenemos: 2

Antes de dar por terminado el problema analice si obtuvo el ángulo deseado o el suplementario, a1b5180°.

3.3.

■


β = tan

−1

−2 − 7

4 ⇒ β = tan −  3  = 56.3°.  2   1 + 7 ⋅−2 4 A C

1

•

• b

O

x

D •

• B

Figura 3.18. Ángulo entre las rectas l1 y l2.

Ejemplo 3.14 Se coloca un poste para la distribución de luz eléctrica que está sujeto por dos cables, como se muestra en la figura. Determina el ángulo u y la longitud total, en metros, del cable usado.

(0,12)

f

40°

b

(–10,0)

0

(43/3,0)

Figura 3.19. Poste sujeto por dos cables.

Solución:

Para determinar el ángulo f, mostrado en la figura, se parte del concepto de ángulo entre dos rectas dadas sus pendientes:

Capítulo 3

102

■


m1 =

12 − 0 6 m = 12 − 0 = − 36 = , 43 0 + 10 5 0 − 43 3 2

36 6 − − 43 5 = tan − (438) = 89.86 tan = φ 6 36 1 + ⋅− 5 43

−

1

1

Para determinar el ángulo b b 5 180° 2 89.86° 2 40° 5 50.14°

Para determinar la longitud total de los cables se utiliza la ecuación de distancia entre dos puntos: L =

L1 =

2

2

( 0 + 10 ) + (12 − 0 ) =

(

244 = 15.62

43 − 0 + ( 0 − 12 ) = 3145 = 1869 . 3 9 2

)

2

Por consiguiente, la longitud total del cable es L 1 L1 5 34.31 m.

Ejercítate

1. Si tan u 5 0.7 y m2 5 1.6, encuentra el valor de m1 y determina el ángulo u. 2. Halla el ángulo entre dos rectas cuyas pendientes son m1 5 5 y m2 5 7.

Teorema

Dos rectas son perpendiculares si, y sólo si,3 sus pendientes son recíprocas y de signo contrario.

3.3.1. Condición de perpendicularidad entre dos rectas

l 1

y

Podemos definir que dos rectas son perpendiculares si, y sólo si, el ángulo formado entre éstas es igual a 90°. Considera la figura 3.20. A partir de ella, se establece:

l 2

90°

φ

ϕ

De (i)

ψ

0

x

c 1 f 1 90° 5 180° c 1 90° 2 f c 5 180° 2 w

Al igualar (ii) y (iii) 180° 2 w 5 90° 2 f

Figura 3.20. Condición de

perpendicularidad. 3

La expresión “si, y sólo si,” también se identifica como “sys”.

(i) (ii) (iii)

3.3.

■


Al despejar w w 5 f 1 90°

Si en ambos miembros se aplica la función tangente: tan f 5 tan (f190°) por la identidad trigonométrica 2ctg f 5 tan (f190° se tiene: tan w 5 2ctg f.

1 , obtenemos: tan φ 1 tan ϕ = − tan

Además de la identidad trigonométrica ctg φ =

De la definición de pendiente: tan f 5 m2 tan f 5 m1 Por lo tanto, la condición de perpendicularidad entre dos rectas será: 1 , es decir, m =− 2

m1

.

m2 m1 5 21

[13]

Ejemplo 3.15 Una recta l1 tiene pendiente m = − 5 . Encuentra la pendiente de una recta que sea 3 perpendicular a aquélla. 1

Solución:

De la condición de perpendicularidad entre dos rectas m2m1 5 2 1, se sustituye la pendiente dada. 5 3

3 5

− ⋅ m = −1 ⇒ m = . 2

2

Teorema

Dos rectas son paralelas si, y sólo si, sus pendientes son iguales, m1 5 m2. O son colineales.4

3.3.2. Condición de paralelismo entre dos rectas De manera gráfica:

4

También suele decirse que son coincidentes.

104

Capítulo 3

■

Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos) y

l 1

f

l 2

u

x

0

ml1 5 ml2; tan f 5 tan u

[14]

Figura 3.21. Condición de paralelismo.

Teorema

Dos o más puntos son colineales si, y sólo si, pertenecen a una misma recta.

Ejemplo 3.16 4 Se tiene un segmento de recta l1 que contiene al punto A(0,2) con pendiente m = . 3 Comprueba que la recta l2 que contiene a los puntos B(0,23) y C (3,1) es paralela a l1. Solución:

Para comprobar si las rectas son paralelas, se debe cumplir la condición m1 5 m2. Para ello, calculamos la pendiente de la recta l2. m2 =

1 − (−3) 4 = 3− 0 3

como m1 5 m2, se comprueba que las rectas son paralelas.

Ejemplo 3.17 Dados tres puntos A(22,2), B(2,4) y C (4,5) comprueba si pertenecen a la recta 2 y 2 x 2 6 5 0 y si son colineales. Solución:

Bastará sustituir cada punto en la ecuación de la recta dada; si la satisfacen se cumple la igualdad. De acuerdo con el teorema establecido, al sustituir el punto A(22,2)

2(2)2(22)2650 050

Por lo tanto, pertenece a la recta. De manera análoga, para B(2,4) 2(4)2(2)2650 0 5 0 satisface la ecuación y pertenece a la recta.

3.4.

Ángulo entre dos rectas a partir de sus ecuaciones generales 105

■

Finalmente C (4,5):

2(5)2(4)2650 0 5 0 también pertenece a la recta.

Como los tres puntos pertenecen a la recta, concluimos que sí son colineales.

Ejercítate

3.4 ÁNGULO ENTRE

1. A partir de la condición de perpendicularidad entre dos rectas, determina el valor de la pendiente m2, si m1 5 0.25. 2. Si los puntos P(3,24) y Q(23, y2) son colineales y se encuentran en una recta cuya pendiente es m 5 22, encuentra el valor de la coordenada y2.

Sean Ax 1 By 5 C y Dx 1 Ey 5 F dos rectas que se cortan en un punto y forman un ángulo b, como lo muestra la figura 3.22.

DOS RECTAS A PARTIR DE SUS ECUACIONES GENERALES

Dx + Ey =F

y

Ax + By =C

b

C B

• a 1 = –

a

= b 1

a

•• •

b 2 =

F E

g

••

C

g

a 2 = –

A

F

x

D

Figura 3.22. Ángulo entre dos rectas.

Se debe determinar el ángulo b. Por trigonometría del triángulo rectángulo se obtiene:

cos α =

−

C A

2

A

=−

2

C

+

2

C B

B A

2

+B

2

y cos γ =

D

2

2

D

2

A

2

2

+

+

2

E

=−

F

D

2

+ E

2

2

E

F

B C

2

F

C

sen α =

F

−

C B

A

= A

2

+B

2

E

y sen γ =

2

2

F D

2

2

+

F

=

D D

2

+ E

2

E

Por diferencia de ángulos b 5 g 2 a, por lo cual es posible establecer: cos b 5 cos (g 2 a)

2

106

Capítulo 3

■


Por diferencia de cosenos: cos (g 2 a) 5 cos gcos a 1 sen g sen a al sustituir cos b 5 cos g cos a1 sen g sen a Con lo anterior y de las relaciones obtenidas: BE

cos β = A

2

+B

2

D

2

+ E

2

AD

+ A

2

+B

2

D

2

+ E

2

Al simplificar y ordenar, encontramos b: AD + BE

cos β = A

 

β = cos−1 

2

+B

2

D

2

+ E

2

AD + BE A

2

+B

2

D

2

+ E

2

  

[15]

Ejemplo 3.18 a) b) c)

Calcula el ángulo formado entre las rectas 2 x 2 3 y 1 4 5 0 y x 1 4 y 2 5 5 0. Determina el punto donde se intersecan dichas rectas. Traza un gráfico representativo.

Solución: a)

Al identificar coeficientes y aplicar directamente [10], se tiene:

 2 ⋅1 + (−3) ⋅ 4 β = cos   2 + (−3) 1 + 4 −1

2

2

2

2

   

b 5 132°

2 1  m − m  = = − m m Al corroborar con β = tan −  con y se obtiene: ,  3 4  1 + m ⋅ m  1

2

1

1

1

2

2

 − 1 − 2  4 3 β = tan−   1 + ( − 1 4 ) 2 3 1

( )

    

b 5 248° o 132°, por el cuadrante en el que se encuentra m2.* b)

El punto donde se cortan las rectas se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones que ambas forman: 2 x 2 3 y 5 24 (i) (ii) x 1 4 y 5 5 Por suma y resta: 2 x 2 3 y 5 24 (i) −2 x − 8 y = −10 (ii) 14 y = 11 *

a1b5180°.

3.5.

■

Distancia mínima de un punto a una recta 107

Al sustituir y en (ii): x =

55  14  1 −4 = − 11  11   11

  El punto buscado es:  − 1 , 14  .  11 11  c)

La gráfica es:

2 x – 3 y + 4 = 0

y 4

x + 4 y – 5 = 0

3

b =132 °

2 1

b = –48°

–4

–3

–2

••

(–0.09,1.27) x

–1

1

2

3

4

5

–1 –2

b = -48°

–3 –4 –5

Figura 3.23. Ángulo formado entre dos rectas.

Se observa la utilidad de ambas ecuaciones para calcular el ángulo entre dos rectas.

Ejercítate

3.5 DISTANCIA MÍNIMA DE UN PUNTO A UNA RECTA

1. Dada la ecuación y 5 23 x 1 2, obtén la ecuación de la recta en su forma normal. 2. a) Obtén los ángulos formados entre las rectas 4 x 1 8 y 2 6 5 0 y 23 x 1 y 1 2 5 0; b) traza la gráfica; c) determina el punto donde se intersecan. 3. Define el punto de intersección para cada par de rectas dadas. a) x 2 4 y 2 3 5 0 y 2 x 1 y 1 2 5 0 b) 3 y 2 9 x 2 5 5 0 y x 2 y 5 21

Considera un punto Q de coordenadas ( x 1, y1) localizado sobre una recta l9 y un punto P que pertenece a una recta l, como se ilustra en la figura 3.24.

108

Capítulo 3

■

Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos) l 9 l

L

y

d

Q (x 1,y 1)

P w

x

0

Figura 3.24. Distancia mínima de un punto a una recta.

A continuación se obtendrá la distancia entre el punto Q( x 1, y1) y la recta l. Se traza una recta perpendicular L a las rectas l y l9 que contenga a los puntos P y Q. Las ecuaciones generales de las rectas l, l9 y L son, respectivamente: Ax 1 By 1 C 5 0 Ax 1 By 1 C 9 5 0 Bx 2 Ay 5 0

(VII) (VIII) (IX)

Observa que las ecuaciones (VII) y (VIII) son muy semejantes y sólo se diferencian por el término independiente. Esto se debe a que son paralelas. La recta L, por ser perpendicular a las rectas l y l9, tiene coeficientes A y B contrarios a los de éstas. Será necesario conocer las coordenadas del punto P, para después calcular la distancia d entre P y Q, que es la que se está buscando. Al resolver simultáneamente por sustitución las ecuaciones (VII) y (IX) se tiene: (VII) (IX)

Ax 1 By 5 2C Bx 2 Ay 5 0

De (IX) despejamos x A x = y B

(X)

Sustituimos x en (VII)

 A  A  y  + By = −C  B  Resolviendo para y

 A  + B = −C y   B  − BC y = A + B 2

2

2

Sustituyendo en (X) x = −

AC A

2

+B

2

(XI)

3.5.


■

Por lo tanto, P tiene como dupla de coordenadas x = −

AC A

2

+B

2

, y = −

BC A

2

+B

2

De manera análoga se resuelven (VIII) y (IX) para conocer las coordenadas del punto Q en términos de las ecuaciones de las rectas dadas, como se hizo para P; al localizar la intersección de L y l9 , se obtiene: x 1 = −

AC ′ A

+B

2

(XII) y = − BC ′ 1

2

A

2

+B

(XIII)

2

Una vez conocidas las coordenadas de P y Q se aplica la fórmula de distancia entre dos puntos en su forma pitagórica c2 5 a2 1 b2, tomando las coordenadas de P como iniciales: 2

2

d

2

 AC ′  AC    BC ′  BC   = − − − −−   +  −    A + B  A + B    A + B  A + B   2

2

2

2

2

2

2

2

Al resolver la expresión y ordenar los términos: 2

2

d

2

d

 A(C − C ′ )  =    A + B   2

=

2

(C − C ′ )

( A

+B

2

2

 B (C − C ′ )  ( A + B )(C − C ′ ) +   =  A + B   ( A + B ) 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

)

Al obtener la raíz cuadrada en ambos miembros: d =

C − C ′

±

A

2

+B

(XIV) 2

De (VIII ) C ' 5 2 Ax 2 By

(XV)

Sustituyendo (XV) en (XIV): d =

C − ( − Ax − By ) Ax + By + C

±

A

2

+B

2

=

±

A

2

+B

[16]

2

Aunque es cierto que no existen las distancias negativas, la distancia obtenida se expresa como: d =

Ax + By + C A

2

+B

[16]

2

Ésta es la fórmula para calcular la distancia mínima de un punto a una recta, donde ( x ,y) son los valores de las coordenadas del punto dado y A, B y C , los coeficientes de la recta de la que se quiere calcular esa distancia. Al aplicar esta fórmula, es de suma importancia tener la ecuación de la recta en su forma general. Para calcular la distancia de un punto a una recta, existen dos criterios para la elección del signo del radical, que son los siguientes: Criterio 1

• Se toma el signo del radical positivo si al trazar la recta queda entre el origen y el punto dado.

110

Capítulo 3

■


• Se toma el signo del radical negativo si el origen y el punto dado están a un mismo lado de la recta. Criterio 2

• Si C 2 0, el radical será de signo contrario al de C. • Si C 5 0 y B 2 0, el radical y B tendrán el mismo signo. • Si C 5 B 5 0, el radical y A tendrán el mismo signo. Estos criterios nos ayudarán en análisis posteriores, como en el cálculo de las ecuaciones de las bisectrices entre dos rectas.

Ejemplo 3.19 Calcula la distancia mínima que existe entre el punto A(4,4) y la recta 3 x 1 2 y 26 5 0 Solución:

Ax + By + C

Al aplicar directamente la fórmula, d = ± A + B se tiene: 2

d =

2

3 ⋅ 4 + 2 ⋅ 4 − 6 14 = 13 + 9+ 4

Ejemplo 3.20 Determina la ecuación de la recta que contiene al punto R(4,4), sabiendo que existe una distancia mínima entre éste y el punto Q(1,1). Solución:

Primero se calcula la distancia entre R y Q: d QR =

(4 − 1) + (4 − 1) = 18 = 9 ⋅ 2 = 3 2 2

2

Después se determina la pendiente entre tales puntos, pues el segmento de recta QR y la recta buscada son perpendiculares. 4 −1 =1 4 −1 Por condición de perpendicularidad entre rectas m2 5 21, y utilizando la ecuación de la recta en su forma punto pendiente y el punto R, se tiene: m=

( y 2 4) 5 2( x 2 4) x 1 y 2 8 5 0 Esta última es la recta buscada, que podemos comprobar al determinar la distancia entre ésta y el punto Q. d =

1 ⋅ 1+ 1⋅ 1− 8 6 6 2 = = =3 2 1+ 1 2 2 2

3.6.

Ejercítate

3.6 DISTANCIA MÍNIMA DE UN PUNTO A UNA RECTA (OTRO ANÁLISIS)

1.


■

Halla la distancia entre cada recta y los puntos dados. a) 3 x 2 7 y 2 2 5 0 y (4,5) b) 7 y 2 2 x 1 4 5 0 y (22,27) y c) 22 x 2 y 5 0 y (3,22)

Otra forma de obtener la ecuación de distancia de un punto a una recta es a través de la observación de que el segmento de recta que resulta de unir el punto P con la recta l es perpendicular, como se muestra en la figura. Esto permite utilizar funciones trigonométricas para determinar la distancia mínima entre ellos. Considera la siguiente figura: P (x 1,y 1)

y

l: Ax + By + C = 0

•

b d 90°

b

•

• Q • R (x 1,y 2) •

b

•

T

x

S

Figura 3.25. Distancia de un punto a una recta.

Se observa fácilmente que la distancia buscada está dada por d = RP cos β

(i)

Para relacionar las coordenadas de P con l, partimos de que R( x 1, y2) satisface la ecuación dada por pertenecer a ésta, es decir, Ax 1 1 By2 1 C 5 0

− Ax − C

y2 =

de donde:

1

B

 − Ax − C  Ax + C = y +  B  B 

Pero, RP = y − y , por tanto, RP = y −  1

1

2

1

(ii)

1

1

De Ax 1 By1C 50 se determinan la ordenada y abscisa al origen, lo que permite estable B

A

cer que tan β = . Como es el cateto adyacente, entonces: cos β = B

Al sustituir (ii) y (iii) en (i)

 

d =  y1 +

Ax1 + C   B

    ±

B A

2

+B

2

  

±

A

2

+B

2

. ( iii).

112

Capítulo 3

■


Al simplificar: d =

Ax1 + By1 + C

±

A

2

+B

[16]

2

Por lo tanto, si P está por encima de la recta l, d es positiva y viceversa.

3.7 RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

Un triángulo contiene rectas y puntos notables. Para trazarlos, se emplean sus vértices y los puntos medios de cada lado. Estos elementos de la geometría son útiles en aplicaciones enfocadas al diseño de elementos de máquinas, así como en la física y la mecánica automotriz e industrial, entre otras. Las propiedades del triángulo ameritan estudiarse en detalle.

3.7.1. Mediana Esta recta es el segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Existen tres medianas, una para cada lado. El punto de intersección de las tres medianas se llama baricentro (gravicentro o centroide) y se le representa por medio de las literales B o G. Para la construcción analítica de las medianas, considera tres puntos: A( x 0 ,y0), B( x 1 ,y1) y C ( x 2 ,y2), que son los vértices de un triángulo cualquiera, como se muestra en la figura 3.26. F (x 5,y 5) y

A(x 0,y 0) l 2

l 3

(x 2,y 2)C

G

E (x 4,y 4)

l 1

D (x 3,y 3) x

O

B (x 1,y 1)

Figura 3.26. Medianas de un triángulo.

Para obtener las ecuaciones que describan a las medianas aplicamos su definición. Se calculan los puntos medios de cada lado, con las fórmulas de punto medio: Pm x =

x1 + x 2

Pm x =

2

x1 + x 2

2

Punto medio del segmento de recta AB, x 3 =

x 0 + x 1

2

y3 =

y0

+ y por tanto: , 1

2

D( x 3, y3)

3.7.

■

Rectas y puntos notables de un triángulo 113

Punto medio del segmento de recta BC , x 4 =

x1 + x 2

y4

2

=

y1 + y2

2

, por tanto:

E ( x 4, y4)

Finalmente, el punto medio del segmento de recta CA es: x 2 + x 0

y2 + y0

F ( x 5, y5) , por tanto: 2 2 Una vez conocidos los puntos medios, se traza cada una de las medianas, las cuales denominaremos l1, l2 y l3, respectivamente. Ahora se calculan cada una de sus ecuaciones. Para l1: x 5 =

y5 =

 y − y  donde  x − x  es la pendiente m1.  

y3 − y2

( y − y ) = x − x ( x − x ) , 3

3

3

2

3

2

3

2

Por tanto: ( y 2 y3) 5 m1( x 2 x 3) ⇒ m1 x 2 y2m1 x 31 y3, si hacemos b1 5 2m1 x 31 y3 se obtiene la ecuación de la recta en su forma ordenada al origen m1 x 2 y 1 b1 5 0. De igual manera conseguimos: l2, l3,

m2 x 2 y1b2 5 0 m3 x 2 y1b3 5 0

y

Para encontrar el punto de intersección de las medianas se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de ecuaciones simultáneas. m1 x 2 y1b1 5 0 m2 x 2 y1b2 5 0 m3 x 2 y1b3 5 0

(i) (ii) (iii)

O bien, usando el siguiente teorema: Teorema

Las tres medianas de un triángulo se intersecan en el punto cuya abscisa es un tercio de la suma de las abscisas de los vértices del triángulo y cuya ordenada es un tercio de la suma de las ordenadas de los vértices.

 x + x2 + x 3  x =  1  ; 

3



 y + y + y   3  

y = 

1

2

3

B( x,y).

3.7.2. Mediatriz Es la recta perpendicular trazada en el punto medio de cada lado; en consecuencia, existen tres mediatrices. Su punto de concurrencia se llama circuncentro y se representa con la literal K . Considera la figura 3.27, que ilustra la definición de mediatriz.

114

Capítulo 3

■

Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos) y A(x 0 ,y 0 )

l 2

l 3

F ( x 5 ,y 5 ) l 1

K

D ( x 3 ,y 3 )

C ( x 2 ,y 2 )

E ( x 4 ,y 4 )

x

O

B ( x 1 ,y 1 )

Figura 3.27. Mediatrices de un triángulo.

Ya sabes cómo calcular el punto medio de una recta. El problema ahora reside en obtener las pendientes de cada segmento que forma el triángulo; una vez que lo has conseguido sólo se aplicará la condición de perpendicularidad, m1m2 5 21, para encontrar cada mediatriz. Se determina cada pendiente: m AB =

y1 − y0 x1 − x 0

, m BC =

y2 − y1 x 2 − x 1

y mCA =

y0 − y2 x 0 − x 2

Una vez conocidas las pendientes y los puntos medios, aplicamos la condición de perpendicularidad, la cual se denota como ⊥, después empleamos la ecuación de la recta que pasa por un punto y una pendiente dada para encontrar las mediatrices. Para la recta l1 utilizamos el punto medio D y la pendiente inversa del segmento AB, con signo contrario, la cual se denota como m ⊥ AB. Obtenemos así una ecuación de la forma: y2 y3 5 m ⊥ AB( x 2 x 3)

(iv)

De manera similar, para la recta l2 y l3: y2 y4 5 m ⊥ BC ( x 2 x 4)

(v)

y2 y5 5 m ⊥CA( x 2 x 5)

(vi)

El circuncentro se encuentra por medio de ecuaciones simultáneas, y después trazamos la circunferencia circunscrita en el triángulo, de acuerdo con la figura 3.27.

3.7.3. Altura Es la recta perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. Existen tres alturas, una por cada lado. El punto donde se interceptan se llama ortocentro y se denota por medio de la literal O. Considera la siguiente figura:

3.7.

■


l 2

y

A(x 0 ,y 0 ) l 3

l 1 O

C ( x 2 ,y 2 )

x O B ( x 1 ,y 1 )

Figura 3.28. Alturas de un triángulo.

Para encontrar las ecuaciones de las alturas se procede a calcular las pendientes de cada uno de los segmentos de recta que conforman el triángulo. m AB =

y1 − y0 x1 − x 0

, m BC =

y0 − y2

y2 − y1

y mCA = x − x x − x 2

1

0

2

Una vez conocidas, utilizamos la definición de altura y las coordenadas de cada vértice y procedemos a encontrar las ecuaciones de l1, l2 y l3, utilizando la ecuación de la recta que pasa por un punto con pendiente dada. Si aplicamos el mismo criterio usado para las mediatrices, obtenemos: l1,

y2 y2 5 m⊥ AB( x 2 x 2)

(vii)

l2,

y2 y0 5 m⊥ BC ( x 2 x 0)

(viii)

l3,

y2 y1 5 m⊥CA( x 2 x 1)

(ix )

El ortocentro se determina por medio de ecuaciones simultáneas, utilizando (vii), (viii) y (ix ).

3.7.4. Bisectriz Es la recta que corta exactamente a la mitad un ángulo interior del triángulo. Así, hay tres bisectrices; una para cada ángulo interior. El punto donde concurren se llama incentro y se representa por la literal I . Considera la figura 3.29.

116

Capítulo 3

■

Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos) l 2

l y l 9 l 3 A(x 0 ,y 0 ) g

l 1 C ( x 2 ,y 2 )

I

u

x o w

B ( x 1 ,y 1 )

l 0

Figura 3.29. Bisectriz de un ángulo.

La figura muestra las tres rectas que conforman al triángulo l, l9 y l0, además las rectas de cada bisectriz l1, l2 y l3. Por definición de bisectriz y sabiendo que las distancias que existen del punto de intersección, incentro, cada una de las rectas que lo conforman son iguales, por ejemplo, l9 y l0, lo que se demuestra a partir de la ecuación de la distancia de un punto a una recta. Si las ecuaciones respectivas de las rectas que conforman el triángulo l, l9 y l0 están dadas por: Ax 1 By 1 C 5 0 A9 x 1 B9 y 1 C 5 0 A0 x 1 B0 y 1 C 5 0

(I) (II) (III)

éstas se utilizarán para determinar las ecuaciones de las rectas bisectrices y después el punto de intersección (incentro) de las rectas bisectrices. Por tanto, para determinar l2, que biseca al ángulo g, se utilizan l y l' Ax + By + C A ′x + B ′y + C

±

A

2

+B

2

=

±

A ′

2

+ B′

(i)

2

El resultado de esta expresión, será la ecuación de la recta l2.5

5

Si no se aplica correctamente el criterio para la elección del signo del radical, se obtiene la recta bisectriz del ángulo complementario, que sería perpendicular a l2, característica que también es útil para simplificar análisis y cálculos.

3.7.


■

En forma semejante, para l1 que corta u, se utilizan l0 y l9: A ′′x + B ′′y + C A ′x + B ′y + C

±

A ′′

2

+ B ′′

2

=

±

A′

2

+ B′

(ii)

2

Y finalmente para l3, la cual biseca w, a través de l y l0: Ax + By + C A ′′x + B ′′y + C

±

A

2

+B

2

=

±

A ′′

2

+ B ′′

(iii)

2

De las ecuaciones correspondientes a l1, l2 y l3, por medio de ecuaciones simultáneas se calculan las coordenadas del incentro I , con el cual, a su vez, se determina la ecuación de circunferencia inscrita, a través de la fórmula de distancia de un punto a una recta.

3.7.5. Recta de Euler 6 La recta de Euler se construye a partir de los puntos notables llamados ortocentro, gravicentro y circuncentro, que son colineales, y si nos apoyamos en sólo dos de ellos, es posible determinar su ecuación. Recta de Euler

K G O

Figura 3.30. Recta de Euler.

3.7.6. Circunferencia de Euler La circunferencia que pasa por los tres pies de las alturas, los tres puntos medios de los lados y los tres puntos medios de los trazos que unen a cada vértice con el ortocentro se conoce como circunferencia de los nueve puntos o circunferencia de Euler. Circunferencia de Euler

Figura 3.31. Circunferencia de Euler. 6

Leonhard Euler, 1707-1783.

118

Capítulo 3

■


Si alguno de los puntos citados en cada apartado anterior no está contenido en la recta o la circunferencia respectiva existe un error.

Ejemplo 3.21 NOTA: En las siguientes líneas se ejemplifican algunas de las semejanzas y cualidades que encontramos en el triángulo. El presente ejemplo es un caso general donde se observa que los resultados obtenidos se cumplen para todo triángulo. Se conocen los puntos medios de un triángulo que están dados por los puntos D(0,5 / 2), E (3,22) y F (6,3 / 2). Se desea conocer: a) los vértices, b) las longitudes y los ángulos de cada triángulo, c) las rectas y los puntos notables del triángulo primitivo, d ) la circunferencia inscrita y circunscrita, y e) la recta y circunferencia de Euler. Solución:

Se tomarán en cuenta todos los detalles posibles, a fin de ver las singularidades del triángulo. Se grafican los puntos medios y se unen entre sí, como se observa en la figura 3.32, para construir el triángulo de los puntos medios. y

D (0 , 5 / 2 ) F (6 , 3 / 2 ) O

x

E ( 3,–2)

Figura 3.32. Vértices de un triángulo.

a) Para determinar los

vértices del triángulo se utiliza el teorema de Vazgar.

Para el vértice: x 0 = ( x5 + x 3 − x 4 ) ⇒ ( 0 + 6 − 3) = 3

 5 3  + − ( −2 ) = 6  2 2 

y0 = ( y5 + y3 − y4 ) ⇒ 

Se tiene que la dupla de coordenadas es A(3,6).

3.7.

■


Análogamente, se aplica para encontrar el vértice B( x 1, y1) x1 = ( x 4 + x 3 − x 5 ) ⇒ ( 3 + 6 − 0 ) = 9

 

y1 = ( y4 + y3 − y5 ) ⇒  −2 +

3 5  − = −3 2 2  

es decir, la dupla de coordenadas es B(9,23). Por último, las coordenadas del vértice C : x 2 = ( x5 + x 4 − x 3 ) ⇒ ( 0 + 3 − 6 ) = −3

 5 3  − 2 −  = −1 2   2

y2 = ( y5 + y4 − y3 ) ⇒ 

C tendrá la dupla de coordenadas C (23,21).

Al trazar ambos triángulos:

y

A(3,6)

D (0 , 5 / 2 ) F (6 , 3 / 2 )

x

O C ( –3,–1) E ( 3,–2) B ( 9,–3)

Figura 3.33. Coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo.

b) Longitudes y ángulos de ambos triángulos

Al aplicar la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos, d = 2

+ ( y − y ) , se obtendrán las distancias de los segmentos de recta 2

1

triángulo ABC .

2

( x − x ) 2

AC, AB,CB

1

en el

120

Capítulo 3

■

Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos) 2

2

= ( −3 − 3) + ( −1 − 6 ) = 85 = 9.22 u.l.7 AC

d

2

2

d AB

= ( 9 − 3) + ( −3 − 6) = 117 = 10.8 u.l.

d CB

= ( 9 − ( −3)) + ( −3 − ( −1)) = 148 = 12.2 u.l.

2

2

En forma análoga, para el triángulo DEF 2

2

d EF =

(6 − 3) + (3 2 − ( −2)) =

d DE =

(3 − 0 ) + ( −2 − 5 2 ) =

2

2

2

d FD

85 4 = 4 .61 u.l. 117 4 = 5.40 u.l.

2

= ( 0 − 6 ) + (5 2 − 3 2 ) = 37 = 6.08 u.l.

Como se ve, las longitudes de los lados paralelos del triángulo DEF al triángulo ABC son exactamente la mitad de los mismos. Así, podemos denotar que: d AC = 2d EF , d AB = 2d DE y dCB = 2d FD Para el cálculo de los ángulos internos de ambos triángulos se utiliza la expresión de ángulo entre dos rectas. Por ello, primero se determinará cada una de las pendientes

−1 − 6 7 = , −3 − 3 6

m AC =

= EF

m

−3 − ( −1) 1 =− , 6 9 − ( −3)

m BC =

m AC =

−3 − 6 3 =− 9−3 2

3 2 − ( −2) 7 = , m DF = 3 2 − 5 2 = − 1 , m DE = −2 − 5 2 = − 3 6−3 6 3− 0 2 6−0 6

Como se mencionó, las pendientes de cada lado del triángulo DEF tienen una paralela en el triángulo ABC , es decir: m AC = mEF , m BC = mDF

y m AB = mDE

Los ángulos internos del triángulo ABC son:

 −3 −7  2 6 α = tan −   1+ 7 6 − 3 2 1

( )(

 7 − −1  6 β = tan  6  1+ − 16 7 6

(

−1

(

7

1

)

)

)( )

Unidades de longitud o unidades lineales.

  ⇒ α = tan −  322  = 74 .29 °  9       ⇒ β = tan −  

1

 48  = 58 .86 °  29  

3.7.

■


 −1 − −3  6 2 γ = tan   1+ − 3 2 − 16

( )  ⇒ γ = tan  ( )( ) 

−1

 16  = 46 .84 °  15  

−1

Y del triángulo DEF :

 −3 −7  2 6 α ′ = tan  7 3  1+ 6 − 2 −1

( )(

1

)

 7 − −1  6 β ′ = tan  6  1+ − 16 7 6

(

−1

)

(

  ⇒ α ′ = tan −  32  = 74 .29 °  9       ⇒ β ′ = tan −  

1

)( )

 −1 − −3  6 2 γ ′ = tan   1+ − 3 2 − 16

( )  ⇒ γ ′ = tan  ( )( ) 

−1

 48  = 58 .86 °  29  

−1

 16  = 46 .84 °  15  

los cuales se muestran en la siguiente figura:

y

A(3,6)

a

D (0,5 / 2) g9 b9

F (6,3 / 2)

b

x

O a9

C (–3,–1)

g

E (3,–2) B (9,–3)

Figura 3.34. Ángulos internos de un triángulo.

122

Capítulo 3

■


Otra forma de obtener los ángulos internos es por medio de las leyes de senos y cosenos que se estudiaron en trigonometría. Ley de senos: a

b

=

c

=

sen α sen β sen γ Ley de cosenos:

 bien, α = cos−  b + c − a  2bc 2

a2 b2 1 c2 2 2ac cos a, o

1

2

2

  

Aplicándolas al triángulo ABC , donde las distancias entre cada vértice son a = 148, b = 85 y = 117, 2

α = cos −1

2

( ) (

γ = sen−1 

) (

85 + 117 − 148

)

2

. ° = 7429

2 85 117

(sen 74.29 )( 148



85

)  = 46.84°  

b 5 180° 2 74.29° 2 55.13° 5 58.86°

En forma análoga, para el triángulo DEF :

α ' = cos −1

2

(

) (

117 4 +

2

) ( )

85 4 −

37

2

2 117 4 85 4

= 74.29°

 (sen 74.29 )( 117 4 )   = 5886 . ° β ' = sen   37   −1

g9 5 180° 2 74.29° 2 58.86° 5 46.84°

Como se observa, los ángulos internos de cada triángulo son iguales, como era de esperarse, ya que las rectas que los conforman son paralelas. c) Rectas y puntos notables

Ecuaciones de las medianas del triángulo ABC . Por definición, sabemos que las medianas parten desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Por tanto, los puntos que definen a las medianas se encuentran usando los vértices del triángulo y sus puntos medios, que son los vértices del triángulo de puntos medios. Al aplicar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos

 y − y 

( y − y ) =  x − x  ( x − x ).   2

1

2

1

2

2

3.7.

■


Para determinar la mediana AE :

 ( 3 − 3)   ( x − ( −2 )) ⇒  ( 6 − 2 ) 

l AE , ( y − 3) = 

(1)

y=3

Análogamente, para la mediana BF :

 3 2 − ( −3)   ( x − 3 2) ⇒  6 − ( −1) 

l BF , ( y − 6 ) = 

y−6=

9  3  , simplificando x − 14  2  

28 y218 x 2141 5 0

(2)

Finalmente, para CD: lCD, ( y − 5

 5 2 − ( −3)   ( x − 0 ) ⇒  0 − 9 

2) = 

5 11 = − x , al simplificar 2 18

y−

18 y211 x 245 5 0

(3)

Para hallar el baricentro se utilizan ecuaciones simultáneas o el teorema de intersección de las medianas, es decir, x =

( x + x + x ) (3 − 3 + 9) 1

2

3

3

=

3

= 3;

y =

( y + y + y ) ( 6 − 1 − 3) 1

2

3

3

=

3

=

2 3

 2  Por tanto, las coordenadas del gravicentro o baricentro son G  3,  .  3  La representación gráfica de las medianas y el baricentro se muestra en la figura 3.35. y

A

D F G o B

O

x C E

B

Figura 3.35. Medianas de un triángulo.

Ecuaciones de las alturas del triángulo ABC . Para determinar las ecuaciones de las rectas que representan las alturas del triángulo ABC , se utiliza la fórmula de la recta en su forma punto pendiente y2 y1 5 m( x 2 x 1).

124

Capítulo 3

■


Dado que las alturas son rectas perpendiculares, que van desde cada vértice hasta su respectivo lado opuesto, se procede a encontrar las pendientes, para después determinar su respectiva pendiente perpendicular. Las pendientes de cada lado son: 7 1 3 , mCB = − , m AB = − 6 6 2 Por tanto, las pendientes perpendiculares a cada lado serán: m AC =

2 6 m ⊥ = 6, m⊥ = , CB 3 7 Para determinar las correspondientes ecuaciones de las alturas: Una recta se obtendrá con el vértice A y la pendiente m⊥ AB 5 6 m ⊥ AC = −

AB

( y26)56( x 23), simplificando y26 x 112 5 0

(1)

De manera análoga, para el vértice C y la pendiente m ⊥ = AB

2 3

2

( y − ( −1)) = 3 ( x − ( −3)) , de donde se obtiene 3 y22 x 23 5 0 De igual forma, el vértice B y la pendiente m ⊥ AC = −

(2)

6 7

6

( y − ( −3)) = − 7 ( x − 9), simplificando 7 y16 x 175 5 0

(3)

Como ya se mencionó, el ortocentro es el punto donde se intersecan las alturas del triángulo. Así, al resolver las ecuaciones (1) y (2) en forma simultánea, se tiene: y26 x 112 5 0 3 y22 x 23 5 0

(1) (2)

Por suma y resta, se multiplica la ecuación (2) por 23 y reduciendo: 21 . = 2625 8 Al sustituir en la ecuación (1) se obtiene: y =

x = y

 117 21 Por tanto, la dupla de coordenadas del ortocentro es O  , .  48 8  

A

D

O

F x

O C

E

117 = 2.4375 48

B

Ecuaciones de las mediatrices del triángulo ABC . Por definición, las mediatrices son rectas perpendiculares que parten desde los puntos medios de los lados del triángulo. Se conocen ya cada una de las pendientes de los lados, así como las coordenadas de los puntos medios de las rectas l1, l2 y l3, que son:

 5  ,  2  

D  0, Figura 3.36. Alturas de un triángulo.

E (3,22),

 3  ;  2  

F  6,

ml1 =

7 6

ml 2 = −

1 6

ml 3 = −

3 2

3.7.


■

Las pendientes perpendiculares son: 6 m ⊥ = 6, , l 7 Para la mediatriz que parte del punto D, m ⊥ l1 = −

6 ( y − 5 2 ) = − 7 ( x − 0 ) ⇒

2

ml 3 =

2 3

35 = −6 x , es decir, 14 y112 x 135 5 0 2 De manera análoga, para la mediana del punto E , 7y −

( y − ( −2)) = 6( x − 3) ⇒ y + 2 = 6 x − 18. Al simplificar, y26 x 120 5 0

(1)

(2)

En forma semejante, la mediatriz del punto F es: 2 ( y − 3 2 ) = 3 ( x − 6 ) ⇒

3 y − 9 2 = 2 x − 12,y simplificando: 6 y24 x 115 5 0

(3)

Las coordenadas del circuncentro se obtienen resolviendo simultáneamente (2) y (3): y26 x 5 220 (2) 6 y24 x 5 215 (3) 105 10 = 3.2812 y y = − = −0.3125, por tanto, las coor32 32 denadas del circuncentro son: De donde se obtiene que x =

 105 10  ,−  32 32  

K 

De aquí podemos trazar, además de las mediatrices, la circunferencia circunscrita en el triángulo. Por ahora, no explicaremos cómo obtener su ecuación, sólo la expondremos y graficaremos (en el capítulo 5 se estudian diversos métodos para obtenerla). d ) La ecuación de la circunferencia circunscrita es: x

2

315 30 1395 =0 x+ y− 48 48 48

+y − 2

o bien, 2

 105   x − 32   La gráfica es:

2

 10  33205 +  y −  = 1024  32 

y A

D F K O

x

C E r

Figura 3.37. Circunferencia circunscrita al triángulo.

B

126

Capítulo 3

■


Ecuaciones de las bisectrices del triángulo ABC . De acuerdo con la convención para denominar los ángulos, en la figura 3.38 se observa que: y A a

l 1

l 3

C

x

O

b

g

l 2

B

Figura 3.38. Bisectrices de los ángulos.

a es opuesto al segmento de recta l2 (ángulo formado por las rectas l3, l1). b es opuesto al segmento de recta l3 (ángulo formado por las rectas l2, l1). g es opuesto al segmento de recta l1 (ángulo formado por las rectas l3, l2).

Para encontrar las coordenadas de los puntos que bisecan cada uno de los ángulos que dan origen a cada bisectriz y encontrar el punto de intersección de las tres bisectrices del triángulo, primero se procede a encontrar las ecuaciones de cada recta que conforman el triángulo, expresándolas en su forma general. Las ecuaciones son: 7

6 y27 x 5 15

(1)

) = − 6 ( x − 9),

1

6 y1 x 5 29

(2)

3 ( x − 3) , 2

2 y13 x 5 21

(3)

(

) = 6 ( x − ( −3)) ,

(

l1 , y − ( −1)

l2 , y − ( −3)

l3 , ( y − 6 ) = −

Una vez que las rectas se calcularon, se toman dos rectas y se calcula la distancia hacia un punto medio entre ellas aplicando la fórmula de distancia de un punto a una recta. Como la distancia debe ser la misma, para encontrar la bisectriz del ángulo a se utilizan las rectas l1, l3. 6 y − 7 x − 15 2 y + 3x − 21 = 85 13 Simplificando términos, se obtiene la ecuación de la recta bisectriz L1 que biseca al ángulo a

3.7.

■


17 73 3 =0 y − 5 x + 15 50 100 20 O bien, 34 y 2 573 x 1 1515 5 0

(1)

De forma similar, similar, para el ángulo ángulo b, la ecuación de la recta bisectriz bisectriz L2 tendrá la forma: 6 y − 7 x − 15 6 y + x + 9 = 85 − 37 Al simplificar se obtiene: 9

24 31 9 =0 y − 3 x − 25 50 10

O bien, 498 y 2 181 x 2 45 5 0

(29)

Por último, último, para el ángulo ángulo g, de recta recta bisectriz bisectriz L3, 6 y + x + 9 2 y + 3x − 21 = 13 − 37

Se simplifica:

5

27 59 69 =0 y + 3 x − 15 50 100 100

O bien, 554 y 1 359 x 2 1569 5 0

(39)

Una forma de comprobar rápidamente si la ecuación que obtuvimos es la correspondiente al ángulo bisecado es sustituyendo el valor de las coordenadas del vértice en la ecuación; si la satisface, entonces será correcta. correcta. Para encontrar las coordenadas del incentro incentro es necesario resolver, resolver, por medio de ecuaciones simultáneas, simultáneas, el sistema de las rectas L1, L2, L3 como se mostró antes. Al resolverlo, se obtiene que las coordenadas son: y

 7 3  ,1  10 50  

I  2

A

Finalmente, la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo es:

L3 D

r

2

 27   x − 10  

F I O

x

C E

L1

2

 53  +  y −  =  50 

(

18 3

50 37

)

2

La gráfica de cada una de las bisectrices, así como la circunferencia inscrita será:

B

Figura 3.39. Circunferencia circunscrita a un triángulo.

128

Capítulo 3

■

Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos) Recta de Euler

A partir de los tres puntos dados es fácil determinar la ecuación de la recta de Euler, que es una manera de comprobar que los resultados obtenidos son los correctos, en razón de que estos tres puntos deben ser colineales. Si no resultan de esta forma, los resultados serían erróneos. La ecuación de esta recta se obtiene a partir de que se conocen, por lo menos, dos puntos que pertenece pertenecenn a ésta; en su forma general, general, la ecuación ecuación es: 27 y194 x 2300 5 0 La recta tiene pendiente: m = −3

13 27

Otra forma de comprobar los resultados es calculando las pendientes entre los tres puntos que pertenecen a la recta; se espera que ésta sea la misma para las tres posibles combinaciones: 21 − 2 3 = −3 13 mGO = 8 117 − 3 27 48

− 10

−2 32 3 = −3 13 mGK = 105 − 3 27 32 mOK =

−10

− 21

8 = −3 13 105 − 117 27 32 48 32

Por los resultados obtenidos se confirma que la solución es la correcta. La gráfica es:

y

A

D

O F G

O

x

K

C E B

Figura 3.40. Recta de Euler.

3.7.

■


Circunferencia de Euler

A partir de la definición de la circunferencia de Euler se obtiene su s u ecuación por cualquier método o forma que se elija, ya que se conocen nueve nueve puntos. La ecuación es: x

2

+ y −5 2

Su gráfica es:

23 5 15 =0 x−2 y− 32 16 32

y

A

D

O F

O

x

C E B

Figura 3.41. Circunferencia de Euler.


 ∆y  x + b;  ∆ x  

Grafica las rectas: a) y = −  1 2

23 x 25, e) y = − x −

b) y =

3 4 x + 4, c) y = − x + 2 d ) y 5 2 3

5 y f ) y 5 2 x 2

Solución:

En todas se identifican m y b. Para ello se considera que la pendiente se define como ∆y sabiendo que su signo, positivo o negativ negativo, o, se debe a la naturaleza del cam, m=

∆ x

bio (corrimiento a derecha o izquierda) en las abscisas; es decir, decir, si m es negativa es porque D x es negativo, negativo, por lo cual D y siempre es positivo (el corrimiento es hacia arriba). Esto nos permite trazar la gráfica en cuatro sencillos pasos. Primer paso: se localiza a la ordenada al origen, b, y se obtiene obtiene el punto punto (0,b).

130

Capítulo 3


■

Segundo paso: se recorre a la derecha o izquierda la magnitud de D x , obt obteni eniénéndose el punto (D x ,b). Tercer paso: a partir del punto anterior se traza la magnitud de D y y el movimiento conduce al punto (D x ,D y). Cuarto paso: paso: al unir los puntos puntos (0,b) y (D x ,D y) se obtiene el gráfico buscado. y (Dx ,Dy ) Dy

3

y

4 2

(–Dx ,b )

3

y =

2

y x + 4 4

(0,b (0 ,b )

Dx

y =

1

x

−

3

x

a )) a

x

b )

c )

y

y

y = –3x – 5

1

y =

−

2

y

5

x −

y =

− x

2

x d )) d

x + 2

x e )) e

x f )

Figura 3.42. Gráficas de rectas.

2. En una práctica de laboratorio se quiere determinar la velocidad de un objeto que parte del reposo, reposo, para ello, un grupo de alumnos obtiene los siguientes datos: x(m)

0.000 0.007 0.032 0.051 0.098 0.194 0.234 0.324 0.374 0.485 0.609 0.676 0.821 0.900 0.981

t(s)

0.000 0.100 0.300 0.400 0.600 0.900 1.000 1.200 1.300 1.500 1.700 1.800 2.000 2.100 2.200

_ Si en la velocidad media, v , se define un cambio de posición, D x , en un interv intervalo alo de tiempo, Dt , en forma matemática matemática se expresa: v=

∆x x f − x i = ∆t t f − t i

m   s

la cual, cual, como se se ve, es positiv positiva, a, nega negativ tivaa o nula. En forma análoga, la aceleración media, a–, se define como como un cambio de de velocidad, Dv, en un intervalo intervalo de tiempo tiempo,, Dt , es dec decir: ir: a=

∆v v f − vi = ∆t t f − t i

m  2 s 

3.7.


■

Su comportamiento es análogo al de la velocidad. a) b) c)

Determina la velocidad Determina velocidad media del objeto objeto cuando t 5 0.300s. Determina la velocidad velocidad media del objeto durante todo su recorrido. Obtén un modelo lineal que permita estimar la posición del del objeto en cualcualquier tiempo de su recorrido. d ) Calcula la aceleración media del recorrido. velocidad media fuese fuese nula en en un intervalo intervalo de de tiempo, tiempo, ¿cómo sería sería la e) Si la velocidad gráfica? aceleración media media fuese negati negativa, va, ¿qué comentarías comentarías acerca acerca de la la velo f ) Si la aceleración cidad? Solución: a) v =

0.03 032 − 0.00 0 00 m . = 0107 0.30 300 − 0.00 000 s

b) v =

0.98 981 − 0.00 000 m . = 0446 2.20 200 − 0.00 000 s

c)

Utilizando la ecuación ecuación de la recta recta que pasa por un punto y pendiente pendiente dados, m ( y y P(2.200, y2 y1) 5 m( x x 2 x 1) y según los datos obtenidos m = v = 0446 . s 0.981), 0.981 ), se tiene tiene::

Se simplifica: x 5 0.446t

recorrido se utiliza el cambio de ved ) Para determinar la aceleración media del recorrido locidad desde el punto de partida hasta el último registro. Es decir, –v f 5 0.446 ms–1, t f 5 2. 2.20 200s 0s y –vi 5 0.000 ms–1, t i 5 0.000 s a=

0 00 ∆v 0 .4 4 6 − 0 .00 = = 0 .2 0 3 ms− 2 0 0 − 0 .00 0 00 ∆t 2 .20

2

e)

Si la velocidad velocidad fuese fuese nula, nula, su gráfica gráfica sería un un segmento segmento de recta recta paralelo paralelo al eje t (abscisas). aceleración media media fuese negati negativa, va, el objeto estaría estaría disminuyen disminuyendo do su ve f ) Si la aceleración locidad y tendría pendiente negativa. 3.

Una recta es tangente (toca en un solo punto) a una circunferencia, cuyo centro se localiza en (21,4). Si la ecuación de la recta es 6 x 28 y12 5 0, a) calcula el radio de la circunferencia y b) determina su área.

Solución: a)

El radio de la circunfere circunferencia ncia es la distancia distancia entre entre su centro y la recta, recta, por lo cual: cual: 6(−1) − 8(4) + 2 (6) + (−8)− 2

b)

2

=

36 unidades des liineales neales = 3 .6 unida 10

El área área se determi determina na con con A 5 p . r 2. Al sustituir: A 5 p

. (3.6)2 5 40.7 unidades cuadradas

132

Capítulo 3

■

Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos) 4.

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 22,3) y la intersección de las rectas y22 x 5 0 y 4 x 1 2 y21 5 0.

Solución:

Primero se determina la intersección de las rectas a través de un sistema de ecuaciones. 22 x 1 y 5 0 4 x 1 2 y 5 1

Al resolver, resolver, se encuentra encuentra que x 5 21 / 8 y y 5 1 / 4. Luego, mediante la ecuación de la recta que pasa por dos puntos se tiene:

( y − 3) =

3− 1

4 ( x + 2 ) −2 + 1 8

Al simplificar: 22 x 115 y21 5 0 5.

Halla la ecuación de la recta que contiene al punto (5,3) y es perpendicular a la recta 3 x 15 y 5 12.

Solución:

3 12 3 Se obtiene la pendiente de la recta dada y = − x + , es decir, m = − . 5 5 5 Luego, por condición de perpendicularidad perpendicularidad m1m2 5 21, se determina determina que la 5 pendiente de la recta buscada es: m = . 3 Finalmente, utilizando la ecuación de la recta que pasa por un punto y penpendiente dados: 5 y − 3 = ( x − 5) 3 Al simplificar, simplificar, se encuentra la ecuación: 3 y25 x 116 5 0 6.

Determina la distancia entre las rectas paralelas l: 6 x 24 y 5 5 y l9: 6 y29 x 5 2.

Solución:

Si en l9 se iguala x 5 0, ent entonc onces es y 5 1 / 3, y se obtiene un un punto de ellas ellas (0,1 / 3). Para determinar la distancia entre las rectas se aplica la ecuación de distancia de un punto a una recta.

( )

6(0) − 4 1 + 5 3 unidades des lineaales ales = 0.508 unida (6)2 + (−4)−2 7.

Es posible mostrar que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos también se expresa como un determinante; el arreglo utilizado para ello es: x

y

x1

y1

x 2

y2

1 1=0 1

3.7.

■


Es decir x ( y y12 y2)2 y( x x 12 x 2)1( x x 1 y22 x 2 y1)50

Si una recta pasa por los puntos (3, 22) y (22,25), encue encuentra ntra su ecuación utilizando utilizando dos métodos. Solución:

Método de solución 1: A través del determinante propuesto se tiene: 1 3 −2 1 = x (−2 + 5) − y(3 + 2 ) + (−15 − 4 ) = 0 −2 −5 1 x

y

Se simplif simplifica: ica: 3 x 25 y219 5 0. Método de solución 2: utilizando la ecuación ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

−2 + 5 ( x − 3) 3+ 2

y + 2 =

Al reducir, reducir, se obtiene: obtiene: 3 x 25 y219 5 0. 8.

Las ecuaciones y 5 yi 1 vi sen u.t 20.5gt 2 y x 5 x i1vi cos u.t describen la posición de un proyectil con movimiento parabólico. En ellas, vi es la velocidad inicial; u el ángulo de salida; g 5 9.8 m/s2 es la aceleración aceleración de la gravedad, y t es tiempo. Si un proyectil sale de ( yi, x i) 5 (0.0, 0.0)m con una velocidad inicial de 25 m/s y un ángulo de 45°: a) ¿Cuál será su posición vertical y horizontal, después de 3.0 s? b) Si se ignorara el valor de g, ¿cuál ¿cuáles es serían sus coordenadas coordenadas en el mismo tiempo? c) Traza un gráfico representativo y muestra ambos resultados.

Solución: a)

Sus posic posicion iones es son: son:

Vertical / ) (3 .0 s) y = 0 .0 m + (2 5 m/s)(sen4 5 °)(3 .0 s) − (0 .5)(9 .8 m /s y = 8 .9 m 2

Horizontal x = 0 .0

m + (2 5 m/s)( co s 4 5 °)(3 .0 s) x = 53 m b)

Si g 5 0.0 m/s2

Vertical y = 0 .0 m + (2 5 m/s)(sen4 5 °)(3 .0 s) y = 53 m Horizontal x = 0 .0 m + (2 5 m/s)( co s 4 5 °)(3 .0 s) x = 53 m

2

134

Capítulo 3

■

Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos) c)

Gráfico: y [m ] 60

50

(53,53)

40

30

d = = 44.1 m = 0.5 . g . . t 2

20

10

v i sen u

(53,8.9) 45

°

v i cos

u

10

20

30 30

40

50 50

60

70

x [m] [m]

Figura 3.43. Tiro parabólico.

9.

Un navegante utiliza un mapa polar para determinar la posición y dirección de su barco respecto del punto de partida. Si determina una distancia recorrida de 130 km en línea recta con direcció direcciónn 30° NE (noreste), (noreste), ¿qué ecuación ecuación cartesiana cartesiana describe el modelo de su trayectoria?

Solución:

Las coordenadas cartesianas de su ubicación son: x 5 r cos u x 5 150 cos 30° 5 130 km

y 5 r sen u x 5 150 sen 30° 5 75 km

Luego, la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos sirve como modelo para la trayectoria: y − 75 =

75 − 0.0 ( x − 130) 130 − 0.0

Al simplificar: 75 x 2130 y 5 0 15 x 226 y 5 0 10.

Dadas las ecuaciones de las rectas l: 3 x 22 y23 5 0 y l9: 2 x 23 y13 5 0, hall hallaa las las rectas bisectrices que bisecan cada uno de los ángulos que forman al intersecarse.

Solución:

Por definición de bisectriz, se sabe que uno de los puntos que pertenecen pertenecen a tales rectas es de intersección y el otro es equidistante a ambas rectas, por lo cual es necesa-

3.7.

■


rio utilizar la ecuación de distancia de un punto a una recta, así como los criterios de la aplicación de ésta. Sea un punto P( x ,y) que equidista de ambas rectas: 3 x − 2 y − 3 2 x − 3y + 3 = 13 − 13 El signo del radical se obtiene utilizando el criterio 2 de distancia de un punto a una recta. Se simplifica y se ordena: 3 x 22 y23 5 22 x 13 y13 5 x 25 y 5 0 O: x 2 y 5 0, llamada L.

Para obtener la bisectriz que pasa por Q, se puede aprovechar la condición de perpendicularidad entre dos rectas bisectrices generada por dos rectas que se cortan. La pendiente de L es m 5 1; por tanto, la pendiente de L9 será m 5 21. El punto de intersección de l y l9 se obtiene al resolver simultáneamente: 3 x 22 y 5 3 2 x 23 y 5 23 lo que da por resultado (3,3), aplicando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos y23 5 21( x 23)

O bien, x 1 y16 5 0

Su gráfica es: x –y = 0

x + y – 6= 0 y

P (x,y )

Q 90

°

l ' : 2 x – 3y + 3 = 0 O

x

l : 3x – 2 y – 3 = 0

Figura 3.44. Rectas bisectrices.

11.

Dados los vértices (21,4), (1,24) y (26,21) de cierto triángulo, determina los ángulos interiores del mismo. Utiliza sólo dos cifras significativas.

Solución:

Se procede a trazar un gráfico representativo y a determinar las pendientes de cada lado del triángulo, como se muestra en la figura 3.45.

136

Capítulo 3

■

Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos) y (–1,4)

m 1 = 1

a

m 2 = –4 x

b

(–6,–1)

m 3 = –3/7

g

(1,–4)

Figura 3.45. Ángulos interiores.

A continuación se determina el valor de cada ángulo: tanα =

m2 − m1

1+ m m 2

=

1

m3 − m2

−4 − 1 ⇒ α = tan− 1 + (−4)(1)

1

 −5  = 59°  −3   

− 3 +4

 25  7 ⇒ γ = tan−   = 53° 1 + m m 1 + (− 3 )(−4)  19  7 1+ 3 m −m 7 ⇒ β = tan−  5  = 68° tan β = =  2  1 + m m 1 + (1)(− 3 )  7 Para hacer la comprobación, basta recordar que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°, es decir: 59°153°168° 5 180°. tanγ =

3

1

1

2

3

1

12.

=

1

3

En una práctica de tiro se lanza un trozo de madera hacia arriba en línea recta, utilizando un pequeño cañón y un instante después se le dispara una bala con un rifle, también en línea recta. Si sus ecuaciones son 5 x 22 y 5 10 y 10 x 29 y 5 230 respectivamente, a) ¿cuál es el ángulo que forman ambas trayectorias al impactarse?, b) si después del impacto, la madera desciende 30° en trayectoria recta por un instante, ¿cuál es su ecuación después del impacto? NOTA: En ángulos, utiliza dos cifras significativas.

Solución: a)

El ángulo en el momento del impacto está determinado por:

y (6,10)

50

°

18

°

 (5)(10) + (−2)(−9)   ≈ 20°  29 181 

θ = cos−1  b)

20

°

Un gráfico ayuda a entender la situación:

Luego, utilizando la ecuación de la recta en su forma punto pendiente, se tiene: 48

°

y210 5 tan18°( x 26)

68

°

x

Figura 3.46. Ángulo de impacto.

Se simplifica: y20.33 x 28.0 5 0

Resumen 137 13.

Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,4) y forma un ángulo de 30° con el eje x .

Solución:

Como se ha visto, para trazar una recta son necesarios al menos dos puntos. Sea P( x , y) un punto que también pertenece a la recta. y−4 Por definición de pendiente, se tiene m = y además se sabe que tan u 5 m. x − 2 Utilizaremos el apéndice B para obtener la tan(30°); igualando las expresiones anteriores se tiene: y − 4 x − 2

=

3 3

Simplificando, se obtiene la ecuación buscada: 3 x − 3 y + 2(6 − 3 ) = 0

RESUMEN ✓

La pendiente de una recta es una razón de cambio (ordenadas entre abscisas) m=

y − y1 x − x 1

= tanθ

✓

Toda ecuación de primer grado representa una línea recta.

✓

Ecuación de la recta en su forma punto-pendiente

( y − y1 ) = m ( x − x 1 ) ✓

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

 y − y   2 1 

( y − y1 ) =  x2 − x 1  ( x − x 1 ) ✓

Ecuación de la recta con pendiente dada y ordenada al origen (ecuación de la recta en forma simplificada) y 5 mx 1b

✓

Ecuación de la recta en forma simétrica x y a

✓

+ =1 b

Ecuación general de la recta Ax 1 By1C 5 0

✓

Teorema. Una recta es paralela al eje x si, y sólo si, todos los puntos que la forman se encuentran a una misma distancia del eje x . y 5 a

✓

Teorema. Una recta es paralela al eje y si, y sólo si, todos los puntos que la forman se encuentran a una misma distancia del eje y.

138

Capítulo 3

■

Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos) ✓

Condición de perpendicularidad entre dos rectas m1 . m2 5 21

✓

Condición de paralelismo entre dos rectas m1 5 m2

✓

Dos o más puntos son colineales si, y sólo si, pertenecen a una misma recta.

✓

Ecuación de una recta que pasa por el origen y 5 mx , y 5  x , con pendiente de 45°.

✓

Ecuación normal de la recta r 5 x cos w1 y sen w

✓

Ángulo entre dos rectas

Dadas sus pendientes tan β =

m2 − m1

1+ m1 ⋅ m2

Conocidas sus ecuaciones

AD + BE

cos β = A ✓

2

+ B2

D

2

+ E 2

Distancia de un punto a una recta d =

Ax + By + C

±

A

2

+ B2

, o bien, d =

Ax + By + C A

2

+ B2

Criterio 1

• Se toma el signo del radical positivo si al trazar la recta queda entre el origen y el punto dado. • Se toma el signo del radical negativo si el origen y el punto dado están a un mismo lado de la recta. Criterio 2

• Si C ≠ 0, el radical será de signo contrario al de C. • Si C 5 0 y B ≠ 0, el radical y B tendrán el mismo signo. • Si C 5 B 5 0, el radical y A tendrán el mismo signo. ✓

Rectas y puntos notables del triángulo ❑

Se define como el segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Existen tres medianas, una correspondiente a cada lado. El punto de intersección de las tres medianas se llama baricentro y también se le conoce como gravicentro o centroide; se le representa por medio de las literales B o G. Mediana.

Teorema. Las tres medianas de un triángulo se intersecan en el punto cuya abscisa es un ter-

cio de la suma de las abscisas de los vértices y cuya ordenada es un tercio de la suma de las ordenadas de los vértices.

 x + x2 + x 3  x =  1  ; 

3



 y1 + y2 + y3    3 

y = 

Problemas 139 ❑

❑

❑

❑

❑

Mediatriz. Es la perpendicular trazada en el punto medio de cada lado; en consecuencia, hay tres mediatrices. El punto de concurrencia se llamacircuncentro y se representa con la literal K . Altura. La altura es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su

prolongación. Hay tres alturas, una por cada lado. El punto donde se interceptan se llama ortocentro y se denota por medio de la literal O. Bisectriz. Es una recta que corta exactamente a un ángulo interior del triángulo a la mitad. En consecuencia, hay tres bisectrices, una para cada ángulo interior. El punto donde concurren se llama incentro y se representa por la literal I . Recta de Euler. Se construye a partir de los puntos notables llamados ortocentro, gravicentro y circuncentro. Estos puntos son colineales y si nos apoyamos en sólo dos se puede determinar su ecuación. Circunferencia de Euler. Es la que pasa por los pies de las alturas, los puntos medios de los lados y los puntos medios de los trazos que unen a cada vértice con el ortocentro; también se le conoce como circunferencia de los nueve puntos.

PROBLEMAS Practica los siguientes ejercicios: 1.

Determina la ecuación de recta en su forma punto-pendiente y traza sus gráficas. Respuestas a) A(1,2) m 5 4 / 5

4

( y − 2) = 5 ( x − 1)

b) A(1,1) m 5 3 c) A(0,0) m 5 2

( y20)52( x 20)

d ) A(22,1) m 5 22 / 3 e) A(22,21) m 5 21

2.

( y11)521( x 12)

Dados dos puntos que pertenecen a una recta, indica su ecuación y traza su gráfica. Respuestas a) A(1,2) y B(22,3)

x 13 y27 5 0

b) A(3,4) y B(21,5) c) A(3,22) y B(7,28)

3 x 12 y25 5 0

d ) A (6,1) y B(7,9) e) A(1,4) y B(28,2)

3.

2 x 19 y134 5 0

Ecuación de la recta con pendiente dada y ordenada al origen. a)

A partir de las siguientes expresiones, reduce a la forma simplificada e identifica m y b. Respuestas

i.

4 y18 x 216 5 0

y52 x 14

ii. 10 y15 x 25 5 0 iii. 7 y23 x 11 5 0

y =

3 1 x − 7 7

m5 22, b54

m=

3 1 , b= − 7 7

140

Capítulo 3

■

Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos) b)

Dada la pendiente y la ordenada al origen, traza y determina la ecuación de la recta en su forma simplificada: Respuestas

i. m52, b51

y52 x 11

ii. m524, b50 iii. m = 6 , b522 5 4.

y =

6 x − 2 5

Dadas las siguientes ecuaciones de línea recta, exprésalas en su forma simétrica e identifica la ordenada y abscisa al origen. Respuestas a) 2 x 16 y 5 5

2 6 x + y = 1 5 5

b) 3 x 25 y 5 22

5 3 y − x = 1 2 2

c) x 27 y 5 4

5.

7 y = 1 4 4

x

−

a=

5 ;b= 5 2 6

a = 4; b = − 4

7

Dada la siguiente ecuación 3 x 28 y522, determina y traza las ecuaciones de la recta que se tendrían si: Respuestas a)

el término independiente fuese cero

b)

el coeficiente de x fuera igual a cero

c)

el coeficiente de y fuera igual a cero

y =

8 x 3

x = −

2 3

6.

Halla la ecuación de la línea recta que contiene al punto (21,3) y forma un ángulo de 135° con el eje x .

7.

En los siguientes ejercicios se dan los valores de r y w. Expresa las ecuaciones de la recta en su forma normal y general. Respuestas a) r 56, w515°

y sen 15°1 x cos 15°56,

y

(

6 + 2 + x 6 − 2 = 24

) (

)

y sen 75°1 x cos 75°59,

y

(

6 + 2 + x 6 − 2 = 36

) (

)

y sen 90°1 x cos 90°51,

y51

b) r 54, w545° c) r 59, w575° d ) r 50, w530° e) r 51, w590°

8.

En un puerto marítimo están por llegar tres barcos con las siguientes coordenadas: Stoa 120.41∠41.63°, Beck 101.98∠78.69° y Dante 56.56∠45°. Determina los ángulos internos del triángulo que se forma en esta posición. Sugerencia: Consulta en el capítulo ocho las coordenadas polares y redondea a cero los decimales. Respuesta: 54.60°, 55.61° y 69.77°

Problemas 141 9.

Di si los siguientes puntos son colineales. (Utiliza un método diferente de verificación para cada inciso.) Respuestas a) A(22,1), B(2,1), C (4,23)

No

b) A(2,4), B(1 / 2,21 / 2), C (3,26) c) A(0,0), B(3,3 / 2), C (22,21)

10.

Sí

Dos rectas l1 y l2 contienen los puntos (21,1) y (6,21) respectivamente. Si las rectas se intersecan en el punto (3,4), ¿qué ángulo se forma entre ellas? Respuesta: 84°

11.

Determina la distancia que existe entre los puntos y las rectas dadas. Respuestas a)

d =

(2,3) y 2 x 24 y12 5 0

b) (21,2) y x 13 y25 5

6 2 5

0

c)

(5,26) y 22 x 23 y12 5 0

d )

(4,7) y 24 x 15 y112 5 0

e)

(3,22) y 4 x 2 y27 5 0

d =

10 13

d =

7 17

12.

Dados los vértices de un triángulo (21,2), (3,3), (2,23), determina las ecuaciones de sus medianas y el gravicentro de éste.

13.

Dados los vértices de un triángulo A(1,3), B(21,23), C (23,2) determina las rectas y encuentra las coordenadas de los puntos notables, así como la recta de Euler. Elabora un gráfico señalando cada uno de ellos. Respuestas

Medianas:

x 11 5 0, 6 y27 x 211 5 0, 3 y12 x 13 5 0, G(21,2 / 3)

Mediatrices: 3 y1 x 5 0, 10 y24 x 23 5 0, 2 y18 x 13 5 0, K (29 / 22,3 / 22) Alturas:

5 y12 x 213 5 0, y14 x 17 5 0, 3 y1 x 23 5 0, O(224 / 11,19 / 11)

Bisectrices:

y

(

40 − 29 + x 250 + 261 + 1210 = 0,

y

(

17 + 160 − x 153 + 10 − 1210 = 0,

y

(

68 + 464 + x 425 − 29 + 2057 − 3509 = 0, I (21.118,1.038)

) (

)

) (

)

) (

)

Ecuación de la recta de Euler: 117 y1105 x 127 5 0 14.

Si los puntos A(1,1) y B(5,3) son dos vértices de un triángulo equilátero, determina las coordenadas del tercer vértice. Respuesta

Existen dos soluciones: C (4.732,21.464) y C (1.268,5.464)

142

Capítulo 3

■

Ecuaciones de la recta (escalemos el tercer peldaño). (Formas y casos) 15.

Determina la ecuación de la recta bisectriz que se forma entre los ejes coordenados.

16.

Un niño sujeta un papalote con una cuerda de un metro de altura. El papalote está a una distancia de 98 metros y a una altura de 50 metros; su hermano se localiza a una distancia de 15 metros del niño y cuando alza las manos alcanza una altura máxima de 1.5 metros. Considera recta la cuerda con la que se sujeta al papalote y di cuál es la distancia que existe entre las manos del hermano y la cuerda. Toma como punto de referencia los pies del niño que sujeta el papalote. Respuesta:

d =

14 metros 5

17.

Determina el área del triángulo formado por las rectas 2 x 23 y14 5 0, 2 x 1 y12 5 0 y el eje x .

18.

Determina la ecuación de la recta que pasa por el origen y el punto de intersección de las rectas 3 x 2 y526 y x 1 y52. (Verifica tus resultados con algún software y construye la gráfica respectiva.)

19.

Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de la rectas x 22 y 1550 y x 1 y2750 y que sea paralela al eje x .

20.

Determina la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta 2 x 1 y2950 y que pasa por el punto de intersección de las rectas x 2 y1250 y x 1 y50. (Verifica tus resultados con algún software y construye la gráfica respectiva.)

Actividad en equipo. (Utilicen algún software para corroborar tus respuestas.) 1.

Dado el triángulo cuyos vértices son los puntos A(8,24), B(21,5) y C (9,1): a) b) c) d ) e) f ) g) h) i) j) k ) l) m) n)

Calculen el perímetro del triángulo. Identifiquen el tipo de triángulo: rectángulo, isósceles, equilátero o escaleno. Calculen el área del triángulo. Calculen los ángulos internos del triángulo. Determinen las ecuaciones de las mediatrices. Calculen las coordenadas del circuncentro. Dibujen la circunferencia circunscrita al triángulo (opcional). Calculen las ecuaciones de las medianas. Hallen las coordenadas del baricentro. Determinen las ecuaciones de las alturas. Calculen las coordenadas del ortocentro. Verifiquen si el circuncentro, el baricentro y el ortocentro están alineados. Determinen las ecuaciones de las bisectrices. Calculen las coordenadas del incentro. o) Dibujen la circunferencia inscrita al triángulo (opcional).

AUTOEVALUACIÓN En tu cuaderno, contesta y practica las siguientes preguntas y ejercicios. Dados los puntos medios de un triángulo (2,3), (23,21) y (3,23), obtén la recta y circunferencia de Euler y construye la gráfica. 2. Obtén la mínima distancia que existe entre el punto (4,21) y la recta y53. 1.

3.

Halla los ángulos formados entre las rectas 4 x 15 y23 5 0 y y25 x 12 5 0.

Problemas 143 1 1 y m = son las pendientes de dos rectas, di cuál es el ángulo que forman 3 5 cuando se cortan.

4.

Si m = −

5.

¿Cuál es la condición necesaria para que dos rectas sean paralelas?

¿Cuál es la condición necesaria para que dos rectas sean perpendiculares? 7. Dos autos que se impactan seguían las trayectorias: y54 / 3 x 12 y y55 / 4 x . Un testigo se localiza en el punto T (7,3), ¿a qué distancia de éste fue el impacto?, ¿cuál es la ecuación de la recta que se podría trazar desde el impacto al testigo? 6.

CAPÍTULO

4

Traslación y rotación de ejes (dos pequeños movimientos) y una ecuación flexible Tu deleite llega con el fin, y ahora te revelas anticipadamente, mas este cuerpo sufre por la vida mientras vive. Esto es, Alma mía, el desconcierto. Presurosa, huyes hacia la Eternidad, mas este cuerpo fluye lento hacia el fin. Tú no lo esperas, y él no puede apresurarse. Esto es, Alma mía, la tristeza. Te elevas raudamente, por el mandato de los cielos, mas este cuerpo se desploma por la ley de la gravedad. No lo consuelas y él no te quiere. Esto es, Alma mía, la desdicha. Eres rica en sabiduría, mas este cuerpo es pobre en comprensión. Tú no te arriesgas y él no puede obedecer. Esto es, Alma mía, el límite de la desesperación. Khalil Gibrán ( Lágrimas y sonrisas, 1914) “Amor, Devoción, Sentimiento, Emoción.” Enigma

145

146

Capítulo 4

■

Traslación y rotación de ejes (dos pequeños movimientos) y una ecuación fl exible

4.1 TRASLACIÓN DE EJES

Dentro de la geometría analítica comúnmente se presentan problemas que requieren la construcción auxiliar de ejes de referencia dentro del plano cartesiano para facilitar su análisis. Estos ejes pueden aparecer trasladados o bien con cierto ángulo de rotación respecto de los ejes coordenados, a los cuales se les llamará ejes primitivos ( x , y). A continuación se presenta un desarrollo para la construcción de un sistema de ejes trasladados. Se define como ox y oy a los ejes primitivos y como o 'x ' y o 'y' a los nuevos ejes, paralelos a los anteriores, respectivamente. Por convención, se denomina (h,k ) a las coordenadas del nuevo origen o'. y y 9 P ( x ,y )

R P ( x 9,y 9 )

R 9

y 9

y o 9 (h , k )

Q 9

x 9

k

o x 9

h

Q

x

x

Figura 4.1. Traslación de ejes.

La figura 4.1 muestra un punto aleatorio P de coordenadas ( x , y) o ( x ' ,y'), según los ejes que se tomen de referencia. Para determinar las coordenadas ( x , y) en función de x ', y', h' y k ' se establecen las siguientes relaciones: x = RP = RR ' + R ' P ⇒ x = h + x ', o bien, x '5 x 2h

[1]

y = QP = QQ ' + Q ' P ⇒ y = k + y ', o bien, y'5 y2k

[2]

De esta forma se relacionan las coordenadas del nuevo sistema de ejes con las de los ejes primitivos. La traslación tendrá aplicación en varios casos que se presentarán posteriormente.

Ejemplo 4.1 Dados los puntos P(5,6), Q(22,24), R(23,7) y S (5,22) en el plano xy, encuentra sus nuevas coordenadas si el origen del plano x 9 y9 se localiza en ( 23,22).

4.1

■

Traslación de ejes

147

Solución:

Para determinar las duplas de coordenadas se hace uso de x '5 x 2h y y'5 y2k , identificando a h523 y k 522. Haciendo las sustituciones pertinentes: P'5(52(23),62(22))5(8,8) Q'5(222(23),242(22))5(1,22) R'5(232(23),72(22))5(0,9) S '5(52(23),22(22))5(8,0)

En forma gráfica: y ’ R (–3,7) R 9(0,9)

8 •

y

7 6

•

P (5,6) P 9(8,8)

5 4 3 2 1 –8 –7 –6 –5 –4

–3 –2 –1 –1

x 1

2

3

4

–2

(-3, -2)

5 •

–3 Q (–2,–4)

•

–4

6

7

8

S (5,–2)

x 9

S 9(8,0)

–5

Q 9(1,–2)

–6 –7 –8

Figura 4.2. Coordenadas de puntos en el plano xy y x 'y'.

Ejemplo 4.2 Dada la ecuación x 21 y2 5 9 del lugar geométrico llamado circunferencia, determina su nueva ecuación si el origen del sistema x 'y' se localiza en ( 22,21). Solución:

Utilizamos las ecuaciones de traslación x 5 x '1h y y5 y'1k . Se observa que h522 y k 521. Al sustituir éstas en la ecuación dada: ( x '22)2 1 ( y'21)2 5 9 Desarrollando los binomios cuadrados y simplificando: x '

− 4 x '+ 4 + y '2 − 2 y '+ 1= 9 2 2 x ' + y ' − 4 x '− 2 y ' = 4

2

148

Capítulo 4

■


y

y

4 3 2 1 x

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

–1 (–2,–1) –2

x'

–3 –4

Figura 4.3. Traslación de la circunferencia.

Ejemplo 4.3 y 9

Encuentra la nueva ecuación que se obtiene a partir de la traslación de la siguiente ecuación 7 x 229 y2 5 63, que corresponde al lugar geométrico llamado hipérbola, cuando el nuevo origen es el punto (21,2).

y 6 5 4 3 2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7

x 9 x 1 2 3 4 5 6 7

Solución:

Utilizando las ecuaciones de traslación x 5 x '1h, y5 y'1k , se observa que h521 y k 52. Sustituyéndolas en la ecuación dada: 7( x '21)229( y'12)2 5 63 Al desarrollar y reducir, 7 x '2 − 14 x '+ 7 − 9 y '2 − 36 y '− 36 = 63 7 x '2 − 9 y '2 − 14 x '− 36 y ' = 92

Figura 4.4. Traslación de la hipérbola.

Ejemplo 4.4 Dada la ecuación 2 x 218 x 15 y224 5 0, exprésala en términos de x ' y y' y traza un gráfico representativo. Solución:

Para expresarlas en términos de x ' y y' es necesario considerar las relaciones x '5 x 2h y y'5 y2k , para lo que será necesario factorizar: 2( x 214 x )15( y222 y) 5 4

4.2

■

Rotación de ejes

149

y completar cuadrados en ambas variables: 2 2 2 2  2  4    2  2    4   2  2  x + 4 x +    + 5  y − 2 y +    = 4 + 2   + 5     2    2    2   2    

Simplificando: 2

2

2

2

2 ( x + 2)

+ 5( y − 1) = 4 + 8 + 5 2 ( x + 2) + 5( y − 1) = 17 Se identifica que h522 y k 51 2 ( x − (−2) )

2

2

+ 5( y − (1)) = 17

Es decir, la ecuación en las variables x ' y y' es: 2 x '215 y'2 5 17 Su gráfico se presenta en la figura 4.5. y' y

3 2 (–2,1)

x '

1 x

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

–1 –2 –3 –4

Figura 4.5. Traslación de la elipse.

4.2 ROTACIÓN DE EJES

Un caso más acerca de la construcción de nuevos ejes es la rotación (en el caso de la traslación, el origen del nuevo plano se encuentra en cualquier cuadrante del plano cartesiano) para el cual el origen es el mismo en ambos ejes. Considera la figura 4.6. El eje x ' tiene una pendiente positiva m y su ecuación se puede escribir en la forma

y y'

P (x' ,y' ) x'

y'

y = −

1

x , o bien, x 52my. m

(ii)

x'

y

y5mx (i)

De manera análoga, la pendiente de y' es negativa (m.90°) y tiene por ecuación:

P (x ,y )

x

u

o

x

Figura 4.6. Construcción de nuevos ejes.

150

Capítulo 4

■


Lo que puede verificarse por condición de perpendicularidad, m1m2 5 21. Como en el caso de la traslación, las coordenadas ( x ' ,y') se escriben en función de ( x , y) para trabajar en los nuevos ejes. Para lo anterior se utiliza la ecuación de dis Ax + By + C tancia de un punto a una recta, d = ; en la figura se observa que el valor 2 2 A + B de la coordenada x ' será la distancia del punto P( x , y) al eje y'; de igual manera, el valor de la coordenada y' será la distancia que existe del punto P( x , y) al eje x '. Con la recta x 5 2my se calcula x ': x ' =

x + my

1+ m

(iii)

2

De manera semejante, para determinar a y9 se emplea y 5 mx y − mx

y ' =

1+ m

(iv)

2

Despejando x y y, de las expresiones (iii) y (iv), respectivamente, se tiene: x = x ' 1 + m y = y ' 1 + m

2

2

− my

(v)

+ mx

(vi)

Sustituimos (vi) en (v) y, para determinar x : x = x ' 1 + m

(

x 1 + m

2

2

)= x'

−m

( y'

1+ m2

1+ m

2

)

+ mx

− my' 1+ m2

Resolviendo para x , basta con factorizar en el segundo miembro: x =

1+ m2

( x '− my ') 1 + m 2 1+ m2

Simplificando: x =

x '− my '

1+ m2

[3]

En forma análoga, para y: y =

y '+ mx '

1 + m2

[4]

Se han determinado los valores de las nuevas coordenadas en función de las coordenadas primitivas y de su pendiente, conocidas como ecuaciones de rotación; sin embargo, existe una forma más para determinarlas, a través de un análisis trigonométrico o considerando que la pendiente se define como m 5 tan u.

Ecuaciones de rotación en forma trigonométrica Si sustituimos el valor de la pendiente en las ecuaciones [3] y [4], tenemos:

4.2

x =

x '− tan θ ⋅ y '

1 + tan

2

, y =

■

Rotación de ejes

151

y '+ tan θ ⋅ x '

θ

1 + tan2 θ

1 senθ Utilizando las identidades trigonométricas 1 + tan2 θ = y tanθ = ; las ex2 cos θ cosθ presiones anteriores toman la forma:

x =

 

sen θ 

 sen θ  x '−  y '⋅   cos θ  cos θ   = ⇒ x = x 'cos θ − y ' sen θ

x '−  y '⋅

1

1

2

cos

y =

 

y '+  x '⋅

cos θ

θ

sen θ 

 sen θ  y '+  x '⋅   cos θ  cos θ   = ⇒ y = y 'cos θ + x ' sen θ 1

1

2

cos

cos θ

θ

Por lo tanto: x = x 'cos θ − y ' sen θ

[5]

y = x ' sen θ + y ' cos θ

[6]

con lo que obtenemos las ecuaciones de rotación en su forma trigonométrica. También es posible hacer este último análisis a partir de la figura 4.7.

y

x

y'

•

x'

P (x,y ) P (x',y' )

u

y' y x' u

R'

Q 9

u

o

Figura 4.7. Rotación de ejes.

R

Q

x

152

Capítulo 4

■


La figura muestra ambos ejes ( x , y) y ( x ', y'). Se observa un triángulo rectángulo con un ángulo u que corresponde a la rotación. De la figura se deduce: x = OR = OQ − RQ y = RP = RR ' + R ' P

Por trigonometría del triángulo rectángulo, al prolongar cada uno de los segmentos hacia su correspondiente eje de rotación: x = x 'cos θ − y ' sen θ

[5]

y = x ' sen θ + y ' cos θ

[6]

De esta forma, también se encuentran las ecuaciones de rotación. Es muy importante saber que es indistinta la forma de las ecuaciones que se quiera usar, pues el resultado será el mismo. Es decir, las ecuaciones [3], [4], [5] y [6] son equivalentes. Los casos de traslación y rotación se pueden presentar al mismo tiempo en situaciones no muy comunes. Para desarrollarlas, primero se procede a realizar la traslación y después la rotación, a menos que se indique lo contrario.

4.3 ELIMINACIÓN DE LOS TÉRMINOS LINEALES

Cuando se trabaja con la traslación o rotación de ejes es posible eliminar o hacer cero los coeficientes de los términos lineales con el fin de facilitar la ecuación. Para ello se procede a hacer la sustitución x 5 x '1h y y5 y'1k ; después se desarrollan los expresiones indicadas. Al terminar este procedimiento se factorizan los términos comunes x ' y y', respectivamente, y se igualan a cero. Esta simplificación puede dar lugar a un planteamiento de ecuaciones simultáneas o a dos ecuaciones lineales con una sola variable que dará los valores de las variables h y k , los cuales se sustituyen en la ecuación previamente desarrollada. Después se hará la eliminación correspondiente.

Ejemplo 4.5 Dada la ecuación 2 x 215 y228 x 215 y589, elimina los términos lineales y determina la nueva ecuación. Solución:

Realizamos la sustitución x 5 x '1h y y5 y'1k : 2( x '+ h)2 + 5( y '+ k )2 − 8( x '+ h) − 15( y '+ k ) = 89

(i)

Desarrollamos los binomios, así como los productos indicados: 2 x '2 + 4 x ' h + 2h 2

+ 5 y '2 + 10 y ' k + 5k 2 − 8 x '− 8h − 15 y '− 15k = 89

(ii)

Factorizamos x ' y y' e igualamos a cero, para determinar los valores de h y k : x '(4 h − 8) = 0

⇒h= 2

y '(10k − 15) = 0

⇒ k = 3

Sustituimos h y k en la ecuación (ii) y obtenemos:

2

4.3

( 2)

2 x '2 + 5 y ' 2 + 4( 2) x '+ 2(2)2 + 10 3

Eliminación de los términos lineales

■

153

2

( 2 ) − 8x '− 8(2) − 15 y '− 15( 3 2 ) = 89

y '+ 5 3

Simplificando para obtener la nueva ecuación: 2 x '

2

+ 5 y '2 =

433 4

= 108.25

que corresponde a la ecuación de una elipse; sus gráficos se presentan en la figura 4.8.

2x 2 + 5y 2 – 8x – 15y = 89

2x 92 + 5y 92 = 108.25

8 y 7 6 5 4 3 2 1

8 y' 7 6 5 4 3 2 1

–5 –4 –3 –2 –1–1

x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

–8 –7 –6 –5 – 4 –3 – 2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

Ecuación original

x'

1 2 3 4 5 6 7 8

Ecuación sin términos lineales (trasladada a un plano x 9y 9)

Figura 4.8. Eliminación de términos lineales en la ecuación de la elipse.

Ejemplo 4.6 Dada la ecuación x 223 y224 x 25 y560, halla su nueva ecuación al eliminar los términos lineales y traza su gráfico. Solución:

Se sustituyen las igualdades x 5 x '1h y y5 y'1k en la ecuación dada: ( x '+ h)

2

− 3( y '+ k )2 − 4( x '+ h) − 5( y '+ k ) = 60

Al desarrollar binomios y productos se tiene: x '

2

+ 2 x ' h + h 2 − 3y '2 − 6 y ' k − 3k 2 − 4 x ' − 4h − 5 y '− 5k = 60

Se agrupan x ' y y' y se iguala a cero para determinar los valores de h y k : x '(2h − 4) = 0 ⇒ h = 2

− y '(6k + 5) = 0 ⇒ k = − 5

6

Se sustituye h y k en la ecuación desarrollada: x '

2

(

− 3y '2 + 2(2) x '+ (2)2 − 6 − 5

6

)

(

y '− 3

−5

2

6

) − 4 x '− 4(2) − 5 y '− 5(− 5 6 ) = 60

154

Capítulo 4

■


Se simplifica para hallar la nueva ecuación, que corresponde a una hipérbola: x '

2

− 3y '2 =

743 12

NOTA: Si al realizar el procedimiento indicado no se eliminan los términos lineales, el desarrollo fue incorrecto.

4.4 MÉTODO PARA ELIMINAR EL TÉRMINO XY

Una vez determinadas las ecuaciones de rotación es posible tratar con cualquier lugar geométrico que esté representado por la ecuación general de segundo grado: Ax

2

+ Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

[7]

Sólo hace falta determinar el ángulo u que deben girar los ejes con el fin de eliminar el término xy. Para lograrlo, se sustituye el valor de x y y o las ecuaciones de rotación conocidas, las cuales se suplen en la ecuación general, y al desarrollar y simplificar se consigue el resultado buscado, como se demuestra: Considera la ecuación: Ax

2

+ Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

y las expresiones: x = x ' cos θ − y ' sen θ y = x ' sen θ + y 'cos θ

Al sustituir en la ecuación general se tiene: A ( x 'cos θ − y ' senθ )

2

+ B ( x 'cos θ − y ' senθ )( x ' senθ + y ' cosθ ) + C ( x ' senθ + y ' cos θ ) + D ( x 'cos θ − y ' senθ ) + E ( x ' senθ + y 'cos θ ) + F = 0 (i )

2

Al desarrollar binomios y los productos indicados, la expresión se transforma en:

− 2 Ax ' y ' senθ cos θ + Ay'2 sen 2θ + Bx ' 2 senθ cosθ + Bx ' y 'cos 2 θ 2 2 2 2 2 2 Bx ' y ' sen θ − By ' senθ cos θ + Cx ' sen θ + 2Cx ' y ' senθ cos θ + Cy ' cos θ Dx 'cos θ − Dy y ' ssenθ + Ex ' senθ + Ey 'cos θ + F = 0 (ii ) 2

x ' cos

2

θ

Se agrupan términos semejantes:

 A cos 2 θ + Bsenθ cosθ + C sen 2θ  1 x ' y '  2 (C − A) senθ cosθ + B ( cos 2 θ − sen 2θ )   2 2 2 y '  Asen θ − Bsenθ cosθ + C ⋅ cos θ  1 x '  D cos θ + E senθ  1 y '  E cos θ − Dsenθ  x '

2

1 F 50

Al igualar: A ' =  A cos

2

θ

+ Bsenθ cosθ + C sen 2θ 

B ' =  2 (C − A ) senθ cos θ + B cos

( 2 θ − sen 2θ )  2 2 C ' =  Asen θ − Bsenθ cosθ + C ⋅ cos θ 

(iii) (iv) (v)

4.4

■

Método para eliminar el término

D ' =  D cos θ + E sen θ 

(vi)

E ' =  E cos θ − Dsenθ 

(vii)

F 5F 9

(viii)

155

se obtiene la nueva ecuación general de segundo grado: A ' x '

2

+ B ' x ' y '+ C ' y ' 2 + D ' x ' + E ' y '+ F ' = 0

[79]

De las igualaciones anteriores se obtiene nueva información de la ecuación general de segundo grado. Para eliminar el término xy se iguala B'50, lo que permite determinar el ángulo de rotación. De (iv) [2(C − A)senθ cosθ + B(cos

2

θ

− sen 2θ )] = 0

Por trigonometría, se sabe que sen2u 5 2senucosu y cos2u2sen2u5cos2u; al sustituir en la ecuación se tiene: C − A sen 2θ + B cos 2θ = 0

Se ordenan para senu y cosu, con el fin de obtener u:

(C − A)sen2θ = − B cos2θ sen2θ

=

B

cos 2θ A − C senθ

Pero de trigonométrica tanθ =

cosθ

tan 2θ =

, por lo cual:

B

; A − C

∀ A ≠ C

[8]

A partir de esta ecuación obtenemos el valor de u:

=

θ

 B   A − C  

tan−1 

[89]

2

En el caso de que A5C , la ecuación (C 2 A)sen2u1 Bcos2u50 es de la forma: Bcos2u 5 0

Al despejar el ángulo u: cos2u50 2u5cos–1(0) 2u590° u545°

156

Capítulo 4

■


Otro método para eliminar el término xy Existe una forma adicional para eliminar el término xy, haciendo la sustitución de las primeras ecuaciones de rotación x =

x '− my '

1+ m

2

, y =

y '+ mx '

1+ m

en la ecuación general

2

de segundo grado, de donde resulta: 2

2

 x '− my'   x '− my'   y '+ mx '   y '+ mx '  + A  B      + C   2 2 2  1 + m   1 + m   1 + m   1 + m 2   x '− my'   y '+ mx '  + D   + F = 0  + E   1 + m 2   1 + m 2 

Desarrollando los binomios y agrupando respecto de los ejes x ' y y' se tiene:

 A + Bm + Cm 2   B − Bm 2 + 2m(C − A )  2  Am 2 − Bm + C  + ' ' x y     + y '   2 1+ m  1 + m 2     1 + m 2   D + Em   E − Dm  + x '   + F = 0  + y '   1 + m 2   1 + m 2 

x '

2

Si se iguala:

 A + Bm + Cm 2   B − Bm 2 + 2m(C − A)  ' = B    1+ m2  1 + m 2     D + Em   E − Dm  '=  D = E ' =    y F ' = F  1 + m 2   1 + m 2 

 Am 2 − Bm + C    1 + m 2 

A ' = 

C ' = 

Nuevamente, A ' x '

2

+ B ' x ' y '+ C ' y ' 2 + D ' x ' + E ' y '+ F ' = 0

[79]

Para eliminar el término x 'y' se hace B'50, que da como resultado una ecuación de segundo grado en términos de m:

− Bm2 + m(2C − 2 A) + B = 0 Es decir, 2

2

−2(C − A) ± ( 2C − 2 A) − 4(− B)(B ) −2(C − A ) ± 2 (C − A) + B 2 = m= −2 B −2 B m=

C− A B

2

±

(C − A ) B

2

+1 =

C− A B

2

 C − A  ±  +1  B  

Como m siempre es positiva, se obtiene: m=

C− A B

2

 C − A  +  +1  B  

[9]

4.4

■


157

B Este último resultado se compara con el obtenido en el primer método tan 2θ = . A − C Para ello se parte de que m5tanu:

tanθ =

tanθ −

C− A B C− A B

2

 C − A  +  +1  B   2

 C − A  =  +1  B  

Se elevan al cuadrado y se simplifica: C− A B

=

tan2 θ − 1 2 tanθ

O bien, A − C tan

2

−

=

B

θ

2 tanθ

A − C 1 − tan

2

=

B

−1

θ

2 tanθ

Por trigonometría: tan 2θ =

2 tanθ 1 − tan2 θ

Es decir, A − C B

=

1 tan 2θ

Finalmente, tan 2θ =

B A − C

que resulta ser la misma expresión. Si se conoce la pendiente de uno de los ejes, la búsqueda de la nueva ecuación se ∆y simplifica. Es decir, si m = , para un punto ( x 1, y1) sobre el eje x ' y el origen, se tie∆ x y ne m = 1 , la cual se sustituye en A' y D' reduciéndose a: x 1 2

A ' =

 y  y A + B 1 + C  1  x 1  x 1  2

 y  1 +  1   x 1 

2

=

Ax1

2 + B x x 1 y1 + Cy1 2 2 x1 + y1

D ' =

y

y D + E 1 x 1 2

 y  1 +  1   x 1 

=

Dx1 + Ey1 2

x1

+ y12

158

Capítulo 4

■


Luego, por condición de perpendicularidad entre rectas, para un punto ( x 2, y2) sobre x 2 el eje y' y el origen se tiene m = − , que permite deducir los valores de C ' y E ': y2 2

C ' =

Ax2

+ Bx y + Cy x + y 2

2

2

2

2

2

2 2

y E ' =

Dx2 + Ey2 2

x 2

+ y22

Una vez eliminado el término xy, se podrá trabajar convencionalmente en los nuevos ejes, también conocidos como ejes oblicuos.

Ejemplo 4.7 Dada la ecuación x 213 xy14 y2513, exprésala en términos de x ' y y', si se giran los 2 ejes a una pendiente de m = . 3 Solución:

2 Como m1 = , entonces (3,2) es un punto que se localiza sobre x '; luego, por condi3 3 ción de perpendicularidad, m2 = − por lo cual el punto está sobre y'. Lo anterior 2 permite aplicar directamente: 2

A ' =

Ax1

+ Bx1y1 + Cy12 2 2 x1 + y1

2

y C ' =

Ax2

+ Bx2 y2 + Cy22 2 2 x 2 + y2

donde (3,2)5( x 1, y1) y (22,3)5( x 2, y2), por lo cual: A ' =

1(3)

2

+ 3(3)(2 ) + (4 )(2 )2 43 = 2 2 13 (3) + (2)

y C ' =

1(−2)2 + 3(−2)(3) + (4 )(3)2 (−2)2 + (3)2

=

22 13

La nueva ecuación es: 43 2 22 2 x ' + y ' = 13 13 13 O bien, 43 x 92122 y92 5 169

Ejemplo 4.8 Determina la nueva ecuación que se obtiene a partir de 3 x 223 xy13 y212 x 24 y1150, al girar los ejes en un ángulo de 45°. Solución:

Utilizando las ecuaciones de rotación x 5 x 'cosu2 y'senu, y5 x 'senu1 y'cosu y conside1 rando que cos 45 ° = sen45° = , las ecuaciones de rotación tomarán la forma: 2

4.4

x = x 'cos 45° − y ' sen45° =

x '− y '

2

■


y = x ' sen45°+ y 'cos 45°=

159

x '+ y '

2

Se sustituye en la ecuación dada: 2

2

 x '− y '   x '− y '   x '+ y '   x '+ y '   x '− y '   x '+ y '  3  − 3     + 3   + 2   − 4   + 1 = 0  2   2   2   2   2   2  Se desarrollan los binomios:

 x ' 3

− 2 x ' y '+ y '2   x '2 − y ' 2   x ' 2 + 2 x ' y '+ y '2   − 3  2  + 3   2 2      

+

2

2 2

x '−

2 2

y '−

4 2

x '−

4 2

y '+ 1= 0

Se racionalizan las raíces y se simplifica: 3 2 9 2 x ' + y ' − 2 x '− 3 2 y '+ 1 = 0 2 2 Se multiplica por 2: 3 x '2 + 9 y '2 − 2 2 x '− 6 2 y '+ 2 = 0 La ecuación anterior corresponde a una diminuta elipse, como se muestra en la figura 4.9. y

y 9 x 9 1

u

–1

= 45

x

°

1

Figura 4.9. Rotación de la elipse.

Ejemplo 4.9 Por medio de una traslación y rotación de ejes, expresa la siguiente ecuación 2 x 21 3 xy12 y22 x 1 y2150, en términos de x 2 y y2.

160

Capítulo 4


■

Solución:

Es necesario eliminar los términos lineales, para lo que se utilizan las ecuaciones de traslación x 5 x '1h y y5 y'1k , que al sustituirse en la ecuación dada: 2

2 ( x '+ h )

2

+ 3( x '+ h )( y '+ k ) + 2( y '+ k ) − ( x '+ h ) + ( y '+ k ) − 1 = 0

(i)

Se desarrollan los binomios y los productos indicados: 2 x '2 + 4 x ' h + 2h 2 + 3x ' y '+ 3x ' k + 3hy '+ 3hk + 2 y ' 2 (ii)

+4 y ' k + 2k 2 − x '− h + y '+ k − 1= 0 Se ordena: 2 x '2 + 3 x ' y '+ 2 y ' 2 + x ' ( 4h + 3k − 1) + y ' ( 3h + 4k + 1)

(iii)

+2h 2 + 2k 2 + 3hk − h + k − 1= 0

De acuerdo con el proceso que se expuso para la eliminación de términos lineales, los valores de h y k se calculan al resolver en forma simultánea las ecuaciones que los contienen: 4h13k 2150 3h14k 1150 Esto da como resultado que h51 y k 521. Al sustituir estos valores en la ecuación (iii) se reduce a: 2 x '213 x 'y'12 y'2 5 2

(iv)

Realizado lo anterior, eliminamos el término xy, pero se observa que A5C , por lo que se emplea la ecuación Bcos2u 5 0: 3cos2u 5 0 u 5 45° 2

y 9

Por tanto, las ecuaciones de rotación serán de la forma:

y

x = x ''cos 45 °− y '' sen45°=

x 9

1

x

–2

1

–1

2

3

x ''− y ''

2

y = x '' sen45 °+ y ''cos 45 °=

2

Se sustituye en la ecuación ( iv): 2

–1

x ''+ y ''

2

 x ''− y ''   x ''− y''   x ''+ y''   x ''+ y''  2  + 3    + 2   = 2  2   2   2   2 

45

°

(h,k ) –2

Se desarrollan los binomios cuadrados y se simplifica: –3

 x '' 2 Figura 4.10. Traslación y rotación de la elipse.



2

− 2 x '' y ''+ y'' 2   x '' 2 − y'' 2   x ''2 + 2 x '' y''+ y'' 2   + 3 2  + 2   = 2 2 2      7 x ''21 y''254

De nuevo, resulta ser la ecuación de una elipse. Observa que para resolver este ejercicio, primero trasladamos la ecuación y después giramos los ejes, como se recomendó.

Miscelánea de ejemplos 1. Dada la ecuación x 222 x 14 y 5 5, encuéntrala en términos de x ' y y' y traza su gráfico.

4.4

■


161

Solución:

Ordenamos y completamos cuadrados para x : 2

x

2

2

 2   2  − 2 x +   = 5 − 4 y +    2   2 

Al factorizar:





3 ( x − 1) = −4  y − 2    2

3 En la ecuación se identifica que h51 y k = , luego de x '5 x 2h y y'5 y2k , 2 x 92524 y9

Su gráfico se presenta en la figura 4.11.

3

y

2 1 –4 –3 –2 – 2 –1

x 1

2

3

4

5

–1 –2 –3 –4 –5 –6

Figura 4.11. Traslación de la parábola.

2. Un estudiante pretende eliminar los términos lineales de la siguiente ecuación 3 y224 x 2212 y18 x 5 5 5. ¿Qué resultado obtiene? Solución:

Con el fin de eliminarlos, recurre a las expresiones expresiones x 5 x '1h y y5 y'1k para sustituirlas en la ecuación: 3( y '+ k )

2

2

− 4 ( x '+ h ) − 12 ( y '+ k ) + 8( x '+ h ) − 5 = 0

(i)

Desarrolla los binomios y productos indicados: 3 y '2 + 6 y ' k + 3k 2 − 4 x ' 2 − 8 x ' h − 4 h 2 − 12 y '− 12 12k + 8 x '+ 8 h − 5 = 0

(ii)

Después ordena: 3 y '

2

− 4 x '2 + y '(6k − 12) − x '(8h − 8) + 3k 2 − 4h 2 − 12k + 8h − 5 = 0

(iii)

162

Capítulo 4

■


Luego determina los valores de h y k , a través del sistema sistema de ecuaciones simultáneas: simultáneas: 6k 212 5 0 8h28 5 0 y obtiene h51 y k 52; al sustituirlos en ( iii) obtiene la ecuación: 3 y9224 x 92 5 13 Otra posible respuesta respuesta es considerar considerar el ejemplo 4.4, donde se sabe que x '5 x 2h y 5 2 ' . Es decir decir, , primero se ordena la ecuación: y y k 3( y y224 y)24( x x 222 x )55 Después se completan cuadrados: 2 2 2 2  2  4    2  2    4   2  3  y − 4 y +    − 4  x − 2 x +    = 5 + 3   − 4     2    2    2   2    

Se factorizan los trinomios cuadrados perfectos: 3( y y22)224( x 21)513 donde se identifica que k 52 y h51, y finalmente se obtendrá la misma solución: 3 y9224 x 92513

3. Dada la ecuación 3 x 2218 xy127y258, elimin eliminaa el términ término o xy y obtén la nueva ecuación, traza el gráfico gráfico de esta esta última. Solución:

Primero se determina el ángulo necesario para eliminar elimi nar 26 xy, para lo lo que se se recurre recurre a: a: C− A

m=

B

2

 C − A  +  +1  B  

Es decir, m=

Entonces m1 =

27 − 3

−18

2

 27 − 3  4 5 1 +  + 1= − + =  3 3 3  −18 

1

, y el punto (3,1) se localiza sobre x '; '; luego, luego, por condición condición de per3 pendicularidad, m2523; por lo tanto el punto (21,3) está sobre y'. Lo anterior permite aplicar directamente: 2

A ' =

Ax1

+ Bx y + Cy x + y 1

1

2

1

2

2

1

1

2

y C ' =

Ax2

+ Bx y + Cy x + y 2

2

2

2

2

2

2 2

donde (3,1)5( x , y1) y (21,3)5( x 2 y , y2), por lo lo cual: cual: x 1 y A ' =

3(3)2 − 18(3)(1) + (27)(1)2 (3) 2 + (1)2

=

0 10

=0

C ' =

3(−1)2 − 18(−1)(3) + (27)(3)2 (−1)

2

+ (3)

2

=

300 10

= 30

4.4

■


163

Con lo anterior, anterior, la ecuación toma la forma: 30 y92 5 8 O bien, y = ±

2 15

Es decir, decir, un par de rectas, como se observa observa en la figura 4.12.

Antes

Después y

y 2

2

1

1

x –2

–1

1

x

??

–2

2

–1

1

–1

–1

–2

–2

2

Figura 4.12. Rotación de un par de rectas paralelas.

4. Dada la ecuación 3 x 2218 xy127 y228 x 232 y 5 8, elimin eliminaa el término término xy y expresa la nueva ecuación x 9 y y9. Solución:

Se trata de la ecuación del ejemplo 3, pero con términos lineales, por lo cual se toman los valores obtenidos para A'50 y C '530 y sólo faltan por determinar: D ' =

Dx1 + Ey1 2

x1

+ y12

E ' =

Dx2 + Ey2 2

x 2

+ y22

Como (3,1)5( x , y1) y (21,3)5( x 2 y , y2), ent entonc onces: es: x 1 y D ' =

−8(3) − 32(1) −56 = 10 (3)2 + (1)2

Al reducir la ecuación a:

y E ' =

−8(−1) − 32(3) −88 = 10 (−1) 2 + (3)2

164

Capítulo 4

■


30 y '2 −

88 10

y '−

56 10

x ' = 8

Simplificando: 2  22  28  271 10  ' − = ' + y x     1050   15 10  15 10  

que representa una parábola, como lo muestran las siguientes gráficas. gráficas.

3

y'

y 3

2

2

1

1 x'

x –3

–2

–1

1

2

3

–3

–2 –2

–1 –1

1

2

3

4

–1

–1

–2 –2 –3 –3

–4

Figura 4.13. Rotación de una parábola.

Los ejemplos anteriores muestran los cambios bruscos que se t ienen cuando se altera una ecuación o cuando, por error, no se consideran todos los términos de una ecuación.

5. Reduce la ecuación 10 x 2212 xy15 y2220 x 110 y 5 12 a través de una traslación y rotación de ejes. NOTA: Trabaja con cuatro cifras decimales y expresa el resultado con dos cifras significativas. Solución:

De x 5 x '1h y y5 y'1k 10( x '+ h)

2

− 12( x '+ h)( y '+ k ) + 5( y '+ k )2 − 20(x '+ h) + 10( y '+ k ) = 12

(i)

Desarrollando y ordenando: 10 x '2 − 12 x ' y '+ 5 y' 2 + x '( 20 h − 12k − 20) − y '(12h − 10k − 10) + 10 h 2 − 12hk

+5k − 20h + 10 k = 12 2

(ii)

Se resuelve el sistema de ecuaciones simultáneas: x '(20h − 12k − 20) = 0

− y '(12h − 10 k − 10) = 0

Resumen

165

y se obtiene: h51.4285 y k 50.7142

Se sustituye en (ii): 10 x 92212 x 9 y915 y92 5 40.4693

(iii)

Una vez eliminados los términos lineales, se procede a hacer lo mismo con el el término xy, para lo que se calcul calculan an senu y cosu: tan an2 2θ = =

B

=

A − C

−12 −12 = 10 − 5 5

de donde u5233.6901; es decir, decir, la rotación es en sentido contrario a las manecillas del reloj, reloj, por lo cual: cual: senu520.5547 cosu50.8320 Se sustituye en las ecuaciones de rotación: 950.8320 x 01 010.5547 y0 x 95 010.8320 y0 y520.5547 x 01

Por lo lo tanto, tanto, (iii) toma la forma: 10(0 .8320 x ' + 0.5547 y ') 2 − 12(0.8320 x ' + 0.5547 y ')(−0.5547 x ' + 0.8320 y ')

+5(−0.5547 x ' + 0.8320 y ') = 40.46 4693 Se simplifica y se redondea a dos cifras significativas:

+ 0.9999 y ' 2 = 40.4693 14 x 2 + 1.0 y 2 = 40

13.9987 x '

2

RESUMEN ✓

Traslación de ejes ' , o bien bien,, x '5 x 2h x 5h1 x ', 5 1 ', o bi bien en,, y'5 y2k y k y

✓

Rotación de ejes 'senu1 y'cosu y5 x 'sen 'cosu2 y'senu x 5 x 'cos

✓

Método para eliminar el término xy. Para determinar el ángulo u se deben girar los ejes con el fin de eliminar el término de la ecuación Ax 21 Bxy1Cy21 Dx 1 Ey1F 5 5 0 tan 2θ = =

B

; ∀ A ≠ C A − C

En el caso de que A5C , la ecuación ecuación es de la forma forma Bcos 2u50; por tanto: u5

45°

166

Capítulo 4

■

Traslación y rotación de ejes (dos pequeños movimientos) y una ecuación fl exible Otro método para eliminar el término xy

m=

x =

=

∆ y ; ∆ x

C− A B

x '− my '

1+ m

2

2

 C − A  +  +1  B  

,

y =

para ( x x 1 y ,y1) localizado sobre el eje x ', m1 =

y1 x 1

y '+ mx '

1+ m 2 , y2) sobre el eje y ' m2 x 2 y , y para ( x

x 2

=−

y2

lo que se prueba por perpendicularidad entre rectas. De lo anterior, 2

A ' =

Ax1

+ Bx1y1 + Cy12 , 2 2 x1 + y1

2

C ' =

Ax2

+ Bx2 y2 + Cy22 D ' = Dx1 + Ey1 , 2 2 2 2 x 2 + y2 x1 + y1

y E ' =

Dx2 + Ey2 2

x2

+ y22


1. Elimina los términos lineales e indica la nueva ecuación: Respuestas a) 3 y222 x 219 y18 x 224 5 0

3 y'222 x '2 5 22 3 / 4

b) x 213 x 225 x 112 y13 5 0 c) x 219 x 28 y121 5 0

x '2 5 8 y'9

d ) 2 x 223 x 23 y216 x 19 y21 5 0 e) x 225 xy1 y212 x 12 y27 5 0

x '225 x y 'y'1 y'2 5 52 / 3

f ) 7 x 222 xy17 y2224 x 224 5 0

2. En las siguientes ecuaciones elimina el término xy: Respuestas a) 4 x 2210 xy14 y2216 5 0

9 y22 x 2 5 16

b) 5 x 226 xy15 y2 5 0 5 4 c) 4 y223 xy28 x 5

11 y 2 − 8 2 x = 8

3. Por medio de una traslación y rotación de ejes, simplifica las siguientes ecuaciones: Respuestas a) 6 x 214 xy1 y2112 x 124 y232 5 0

x ''''212 y'v2 5 10

b) x 225 xy1 y2215 x 25 y24 5 0 c) x 215 xy1 y218 x 2 y 5 0 d ) 3 x 216 xy13 y226 x 15 y24 5 0

e) 6 x 214 xy1 y2112 x 124 y232 5 0

3 y''227 y''2 5 10 (Sugerencia: Primero hay que hacer la rotación.) 11 6 x ''2 = − y 2

,

Problemas

= 4. Compr Comprueba, ueba, a partir de tan2θ = obtienen las relaciones senθ =

B A − C

y con ayuda de un triáng triángulo ulo rectáng rectángulo, ulo, cómo se

1− cos 2θ 2

167

y cosθ =

1+ cos 2θ 2

.

AUTOEVALUACIÓN Contesta y practica en tu cuaderno las siguientes preguntas y ejercicios.

1. Dada la ecuación x 213 y252, determina la nueva nueva ecuación y si el origen se traslada al punto (2,3). 2. Dada la ecuación 4 x 219 y216 x 23 y112 5 0, elimin eliminaa los términos lineales lineales y di cuál es la nueva ecuación. 3. Identifica el ángulo de rotación respecto de x y si el nuevo eje corresponde a la recta 3 y29 x 5 5 0. 4. Simplifica la ecuación 4 x 212 xy14 y223 x 14 y23 5 0, a través de de una rotación rotación y traslación de ejes.

CAPÍTULO

5

La circunferencia (vamos a dar una vuelta)

Plaza de San Marcos,Venecia. El uso de figuras geométricas

en la arquitectura no ha sido sólo por vanidad, sino por su utilidad. ¿Cuántos medios círculos puedes contar?

Es la hora de reconocer que toda la historia de la humanidad es la historia del suicidio de la materia viva, a la que la casualidad cósmica le otorgó la capacidad de razonar; que no supo qué hacer con esta capacidad casual y fatal. Y no le halló mejor uso que la creación de los medios más eficaces para cometer el suicidio total… ¡Qué asombroso progreso! ¡El florecimiento de la razón!… Es la hora de admitir que fracasamos vergonzosamente, sin utilizar ni la centésima parte de lo que nos había dado la naturaleza. Y si en el cosmos existe la razón universal, ésta nos debe de mirar con repugnancia. ¡Macacos desaforados!, ¡eso es lo que somos!… Hoy quiero hablar con ustedes de muerto a muerto, es decir, con franqueza… Nuestro fatal y maravilloso destino consistió en que pretendimos alcanzar lo inalcanzable, en querer ser mejores de los que nos hizo la naturaleza… Hallábamos fuerzas para ser compasivos, contrariamente a las leyes de la subsistencia, para sentirnos dignos de nosotros mismos, si bien fuimos pisoteados; para crear obras de arte, conscientes de que eran inútiles y efímeras. Hallábamos fuerzas para amar. ¡Señor mío, lo que nos costó todo esto! Pues el tiempo implacable destruía cuerpos, ideas y sentimientos. ¡Pero el hombre continuaba amando! Y el amor creó el arte que plasmó nuestra nostalgia supraterrestre por un ideal, nuestra infinita desesperación y clamor de horror, un lamento de seres pensantes y solitarios, en ese gélido e indiferente desierto del cosmos… Cada uno tiene su propio salto de conciencia… Para mí todo habrá terminado y la muerte no es tan terrible cuando ya nada existe. Konstantin Lopushanski y Viacheslav Rybakov (Cartas de un hombre muerto, URSS, 1986)

169

170

Capítulo 5

■

5.1 CÓNICAS


Se llaman secciones cónicas a los diferentes lugares geométricos cuya relación de distancias entre un punto y una recta fijos es constante. El punto fijo se define como foco de la cónica ; la recta fija se llama recta directriz de la cónica , y la relación constante existente entre ellos se conoce como excentricidad, que de modo convencional se representa por la literal e. Formalmente existen tres tipos de secciones cónicas, según la forma de su lugar geométrico y propiedades intrínsecas, las cuales se establecen de acuerdo con los valores de la excentricidad e. Si e 5 1, la cónica se llama parábola. Si e , 1, la cónica se llama elipse. Si e . 1, la cónica se llama hipérbola Si e 5 0, la cónica se llama circunferencia. Las cónicas tienen su origen dentro de un cono circular, como se muestra a continuación: ❑

❑ ❑

❑

Parábola.

La parábola se obtiene cortando el cono con un plano paralelo a una recta que une el vértice con cualquier otro punto de ese cuerpo. Elipse. Esta cónica se obtiene cuando un plano corta el cono en forma oblicua. Hipérbola. Se obtiene cuando el plano corta al cono en forma vertical, es decir, a sus dos ramas. Circunferencia. También se considera una cónica y se obtiene cuando se corta el cono en forma paralela a sus tapas.

Elipse

Hipérbola Circunferencia

Parábola

Figura 5.1. Las secciones cónicas.

Se define como circunferencia el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro de la circunferencia; a la distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se le llama radio, r . La circunferencia.

5.2

En forma gráfica:

■

Ecuación de la circunferencia en su forma canónica 171

y

r

C x

O

Figura 5.2. La circunferencia.

Para el estudio de la circunferencia se consideran tres casos: 1. Ecuación de la circunferencia en su forma canónica (con centro en el origen). 2. Ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria (con centro fuera del

origen). 3. Ecuación general de la circunferencia (y sus casos).

Para empezar el estudio de la circunferencia se deben tener bien comprendidos los conceptos básicos expuestos en capítulos anteriores.

5.2 ECUACIÓN

Considera una circunferencia cuyo centro está en el origen C (0,0) y de radio r , como se muestra en la figura 5.3.

DE LA CIRCUNFERENCIA EN SU FORMA CANÓNICA (CON CENTRO EN EL ORIGEN)

y

P (x ,y ) r C (0,0)

x

Figura 5.3. Circunferencia con centro en el origen.

Por definición de la circunferencia se debe cumplir que la distancia de CP,su radio r , sea la misma desde cualquier punto P a su centro C. Aplicando la fórmula de distancia entre dos puntos d = se tiene: r=

2

2

(x − 0) + ( y − 0)

2

(x − x ) +(y − y ) 2

1

2

1

2

,

[1]

Al elevar al cuadrado ambos miembros: r 25 x 21 y2

que es la ecuación de la circunferencia con centro en el origen, también conocida como canónica.

172

Capítulo 5

■


Ejemplo 5.1 Determina la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio igual a 6. Traza su gráfico. Solución:

La ecuación es de la forma x 21 y25r 2, donde se identifica que r = 6. Al sustituir en ella, se obtiene: 2 2 2 x + y = ( 6 ) 2 2 x + y = 6 Gráfica: y

4 2

2

x + y = 6

3 2 1

–4

–3

–2

–1

r =

6

1

2

x

3

4

5

–1 –2 –3 –4 –5

Figura 5.4. Circunferencia con centro en el origen y radio

6.

Ejemplo 5.2 Determina la ecuación de la circunferencia que contiene al punto A(3,25) y tiene su centro en el origen. Solución:

Por la condición dada, primero se debe calcular la magnitud del radio a través de la ecuación de distancia entre dos puntos: dOA = r =

(3 − 0)2 + (−5 − 0)2

r =

9 + 25 = 34 Al sustituir en la ecuación canónica de la circunferencia x 21 y25r 2 : x

2

+ y = ( 34 ) 2

x 21 y2534

2

5.3

■

Ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria 173


6 5 4 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

1 2 3 4 5 6

7

–2 –3 –4 –5

A(3,–5)

–6 –7

Figura 5.5. Circunferencia con centro en el origen y radio

Ejercítate

5.3 ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN SU FORMA ORDINARIA

34.

Determina la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio igual a 4. 2. Si el radio de una circunferencia es r = 18, ¿cuál es su ecuación en forma canónica? 3. Traza la gráfica de la ecuación 3 x 213 y2524. 1.

Considera la siguiente figura: y

P (x,y ) r

°

k C (h,k )

h

Figura 5.6. Circunferencia con centro fuera del origen.

x

174

Capítulo 5

■


En ella se muestra una circunferencia con centro en C (h,k ), de radio CP = r . Con los temas estudiados anteriormente también se la puede estudiar con los ejes trasladados. Para obtener su ecuación, basta calcular r , utilizando la ecuación de distancia entre dos puntos, es decir, 2

2

( x − h) + ( y − k )

r=

Elevando al cuadrado ambos miembros para eliminar el radical, se obtiene: r 25( x 2h)21( y2k )2

[2]

que corresponde a la ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen, la cual recibe el nombre de ordinaria.

Ejemplo 5.3 y 1

x –4 –3

–2 –1

1

2

3

4

¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con centro en ( 21,23) y que además pasa por el punto (1, 22)?

–1

Solución:

–2

Es necesario conocer su radio:

–3 C (–1,–3) –4

r =

–5 –6

r =

–7

2

centro (21,-3) y r = 8.

2

4+4

8 r = 8

–8

Figura 5.7. Circunferencia con

2

(1 − (−1)) + (−1− (−3)) =

Después se identifica que h521 y k 523. Conocidos su radio y centro, se aplica la ecuación ordinaria de la circunferencia: 2

2

( x − h ) + ( y − k ) = r ( x − (−1) ) + ( y − (−3)) = 8 ( x + 1) + ( y + 3) = 8 2

2

2

2

2

La gráfica se presenta en la figura 5.7.

Ejemplo 5.4 Una partícula localizada en un plano coordenado tiene su origen en B( 23,22) y la longitud de su radio es de seis unidades. Determina la ecuación de la circunferencia que se genera cuando gira en círculo y da una vuelta completa en sentido horario, 1 a una velocidad angular de una revolución por minuto (rpm). Solución:

Se conocen las coordenadas del centro (origen) de la circunferencia y de su radio; además, las coordenadas del centro indican que se encuentra fuera del origen. Por lo anterior se recurre a: ( x 2h)21( y2k )25r 2 1

También suele decirse “en el sentido de las manecillas del reloj”.

5.3

■

Ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria 175

Se sustituyen los datos conocidos: [ x 2(23)]21[ y2(22)]25(6)2 Se simplifica: ( x 13)21( y12)2536 y

4 2

–10

–8

–6

v

–4

–2

x

2

4

C (–3,–2) –2 r =6

–4 –6 –8 –10

Figura 5.8. Circunferencia con centro (23,22) y r 56.

Ejemplo 5.4.1 Si ahora se gira el radio en sentido antihorario, 2 a una velocidad de 60 rpm, ¿cambiaría la ecuación de la circunferencia? Solución:

No, porque el radio estaría trazando los mismos puntos, además el número de vueltas que se den no afecta a la ecuación.

Ejercítate

Determina la ecuación de la circunferencia con centro en (3, 22) y radio igual a 16. 2. El radio de una circunferencia es r 51, si h52 y k 52h. ¿Cuál es su ecuación en forma ordinaria? 3. Traza la gráfica de la ecuación ( x 21)21 y2520. 4. Determina la ecuación de la circunferencia con centro en ( 24,23) y tangente al eje x . 1.

2

De igual modo suele decirse “en sentido contrario a las manecillas del reloj”.

176

Capítulo 5

■


5.4 ECUACIÓN

Para obtener la ecuación general de la circunferencia se parte de su ecuación ordinaria. 2

2

2

r 5( x 2h) 1( y2k ) GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA En ella se identifican dos binomios al cuadrado que, desarrollados, transforman la

ecuación en:

x

2

x

2

− 2 xh + h + y − 2 yk + k = r + y − 2 xh − 2 yk + h + k − r = 0 2

2

2

2

donde:

F=h

2

2

2

2

2

+k −r 2

2

(i)

D = −2h E = −2k

es decir,

x 21 y21 Dx 1 Ey1F 50

[3]

que corresponde a la ecuación general de la circunferencia. A partir de (i) se pueden analizar tres casos en relación al valor de r 22h22k 2, si escribimos la ecuación como x 21 y21 Dx 1 Ey5r 22h22k 2 Caso 1

Si r 2,h21k 2, se tiene que el radio al cuadrado es un valor negativo; por lo tanto, no existe el lugar geométrico llamado circunferencia, por ser un valor imaginario. En consecuencia, no se puede representar en un plano real, aunque sí en uno imaginario. r < 0 ⇒ r ∉ℜ

Si Caso 2

Si r 25h21k 2, lo que se tiene es una circunferencia de radio cero o se dice que se tiene un punto en el plano cartesiano. El único punto que cumple con la ecuación de la circunferencia es el centro. Caso 3

Si r 2.h21k 2, se tiene el lugar geométrico llamado circunferencia y es posible representarlo en un plano cartesiano. r > 0 ⇒ r ∈ℜ

Si la ecuación general de la circunferencia está sujeta a considerarse en los tres casos anteriores, es posible analizarla llevándola a su forma ordinaria y verificar los casos desde otro punto de vista. Es decir, de x 21 y21 Dx 1 Ey5F* se determinará su forma ordinaria, como se muestra a continuación. Primero se ordena y después se procede a completar cuadrados en ambas variables:

( x

2

+ Dx ) + ( y + Ey) = F 2

2

x

*

2

2

2

 D   E   D  + Dx +   + y + Ey +   = F +    2   2   2  2

Ésta es la forma de escribir la ecuación general de la circunferencia.

2

 E  +    2 

5.4

■

Ecuación general de la circunferencia 177

Simplificando en el primer miembro y resolviendo las operaciones indicadas en el segundo: 2

 D   x + 2  

2

 E  4 F + D + E +  y +  = 4  2  2

2

Se reduce a la ecuación ordinaria de la circunferencia, donde se identifica que el centro y el radio están dados respectivamente por:

 D E  ,− ,  2 2  

4 F + D + E 2 2

C  −

r =

2

lo que permite hacer el análisis anterior en relación con su radio. Caso 1

4 Si F + D + E < 0, no existe el lugar geométrico llamado circunferencia. 4 2

2

Caso 2

4 F + D + E = 0, es un punto en el plano. 4 2

Si

2

Caso 3

Por lo tanto, la ecuación anterior es la de una circunferencia si y sólo si 3 4 F + D + E >0 4 D E 4 + + Finalmente: h = − , k = − y r = F D E 2 2 4 2

2

2

2

2

Ejemplo 5.5 Dada la ecuación ( x 12)21( y22)259 de la circunferencia en forma ordinaria, a) obtén 2 2 su ecuación en forma general, b) comprueba que h = − D , k = − E y r 2 = 4 F + D + E 2 2 4 y c) traza su gráfico. Solución:

a)

Para obtener la ecuación general se desarrollan los binomios: x 214 x 141 y224 x 1459

Y se ordena:

x 21 y214 x 24 x 51

Para probar que h = − D , k = − E y r = 4 F + D + E primero se identifican en la 2 2 4 2 ecuación ordinaria, considerando que ( x 2h) 1( y2k )25r 2, entonces: 2

2

3

Recuerda que esta expresión también se identifica como “sys”.

2

178

Capítulo 5

■


4 4(1) + (4 ) + (−4) −4 = −2, k = − = 2 y r = =9 2 2 4 Se obtienen los mismos valores, que dan veracidad a la comprobación pedida. c) Para trazar el gráfico se considera la ecuación ordinaria, donde las coordenadas del centro y el radio son: 2

h=−

2

2

C (h,k )5(22,2) r 259⇒r 53

Después, en un plano cartesiano se localizan las coordenadas del centro y a partir de él se marcan cuatro puntos a una distancia igual a la magnitud del radio en cuatro direcciones; para finalizar, se unen estos últimos cuatro puntos en una trayectoria circular. y

y

5

5

4

4

r

3

3 r

2 C (–2,2)

r

C (–2,2)

1

–6 –5

–4

–3

–2

–1 –1

1

2

3

1

r

x

–6

–5

–4 –3

–2

2

x

–1 –1

–2

–2

–3

–3

Localiza el centro de la circunferencia en un punto cartesiano.

1

2

3

Marca cuatro puntos a partir del centro a una distancia igual a r .

Figura 5.9. Procedimiento para trazar la circunferencia. y

y

5

5

4

4

r

C (–2,2)

3

3

2

2

C (–2,2)

1

1

x

–6

–5

–4

–3

–2

–1 –1

1

2

3

x –6

–5

–4

–3 –2

–1 –1

–2

–2

–3

–3

Une los cuatro puntos con una trayectoria circular.

Figura 5.10. Circunferencia con centro en (22,2) y r 53.

1

2

3

Así obtendrás la gráfica de la circunferencia, sin necesidad de una tabla de valores.

5.4

■


El procedimiento anterior, aunque a primera vista parece laborioso, con la práctica se vuelve muy sencillo y eficaz para trazar circunferencias en forma rápida.

Ejemplo 5.6 Determina los elementos básicos de la circunferencia a partir de la ecuación 3 x 21 3 y2212 x 118 y527 y después determina la ecuación ordinaria correspondiente. Solución:

Al dividir toda la ecuación entre 3 se tiene: x 21 y224 x 16 y59

Sus elementos básicos son el centro y el radio, es decir,

 D E   −4 6  , − =  − , −  = ( 2, −3)  2 2    2 2 

C  −

4(9) + (−4) + (6) 88 2 22 = = = 22 r = 2 2 2 2

2

Su ecuación ordinaria es: ( x 22)21( y13)2522

Ejemplo 5.7 Un diseñador tiene que adecuar un engrane que dará transmisión a otros dos y que estará montado sobre un tensor. Para ello ha trazado un plano cartesiano; los puntos de contacto que pertenecen al diámetro primitivo son A(24,1) y B(1,6); la ecuación del tensor ha adoptado la forma y5 x , y la profundidad total debe ser 0.250 0 y el paso diametral es de 8. Determina la ecuación de la circunferencia que genera el diámetro primitivo, el exterior y el de fondo, también el adendum, dedendum, espesor de los dientes y el número de éstos que tendrá el engrane. Por último, traza la gráfica correspondiente. Solución:

Antes de resolver el ejercicio es necesario tener en cuenta las siguientes definiciones: • Diámetro primitivo (DP). Es el diámetro donde se producirá la fuerza mayor de transmisión; también es la distancia media entre el diámetro exterior y el diámetro de fondo. π • Paso diametral (PD). Se define mediante la relación . PC

• Paso circular (PC ). Es la distancia que existe entre un diente y otro. • Adendum ( A). Es inversamente proporcional al paso diametral (cabeza del diente). • Dedendum ( B). También conocido como base del diente, se determina a par1157 . tir de la relación . PD

180

Capítulo 5

■


• Espesor del diente ( E ). Distancia media del paso circular. • Número de dientes ( N ). Se determina a través del producto del diámetro de paso y el paso diametral. Definido lo anterior, se procede a determinar las coordenadas del centro. Para ello es necesario determinar el punto medio de la cuerda formada por los puntos A y B, y a partir de éste se debe encontrar y trazar la ecuación de una recta bisectriz y perpendicular a la cuerda, la cual se interseca con la línea generada por el tensor (el punto de intersección es el centro de la circunferencia). Las coordenadas del punto medio son: Pm x =

−4 + 1 2

3 2

=− ,

Pm y =

1+ 6 7 = 2 2

La pendiente entre los puntos A y B: m AB =

6 −1 = 1 ⇒⊥ m AB = −1 1 − (−4)

Con estos datos se puede determinar la ecuación de la recta bisectriz:

( y − 7 2 ) = − ( x − (− 3 2 )) Las coordenadas del centro se determinan resolviendo simultáneamente las ecuaciones: 2 y12 x 54

(i)

y2 x 50

(ii)

Multiplicando por 2 la ecuación ( ii) y utilizando el método de suma y resta: 2 y12 x 54

(i)

2 y22 x 50

(ii)

Se simplifica: 4 y54 ⇒ y51 Se sustituye el valor de y (ii): x 51

Las coordenadas del centro son: C (1,1)

Conocido el centro de la circunferencia, sólo hace falta determinar su radio que, en consecuencia, permitirá determinar el diámetro primitivo. Empleando la ecuación de distancia entre dos puntos, para el caso C y A: d AC = r =

2

2

(1 − (−4)) + (1 − 1) =

25 + 0 = 25 = 5

Ahora, a partir de la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria, ( x 21)21( y21)2525

5.4


■

se determinan: el diámetro primitivo o de paso: (DP) 5100

+

0250 . " = 10.125" 2

−

0250 . " . " = 9875 2

el diámetro exterior:

5 10 "

el diámetro de fondo:

5 10 "

π

π

el paso circular:

PC =

el adendum:

A =

1 PD 8

el dedendum o base:

B =

1.157 1.157 . " = = 0144 8 PD

PD

1

. " = = 0392 8

. " = = 0125

el espesor del diente: E =

PC

2

=

0392 . " . " = 0196 2

el número de dientes:

(

N = DP

) ⋅ ( PD) = 10 ⋅ 8 = 80

Y, finalmente, se construye su gráfica:

y

PC A

B (1,6)

B

A(–4,1)

Diámetro de fondo C (1,1)

x

Diámetro exterior Diámetro primitivo

Figura 5.11. Diseño de un engrane.

182

Capítulo 5

■


Ejercítate

5.5 ECUACIÓN

Determina la ecuación general de la circunferencia con centro en ( 21,23) y radio igual a 4. 2. Obtén r , h, k , a partir de x 21 y228 x 110 y57. 3. Grafica x 21 y226 y514. 1.

Considera una circunferencia que pasa por los puntos A( x 1, y1), B( x 2, y2), C ( x 3, y3) como se ilustra en la figura 5.11.

DE LA CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR TRES PUNTOS

y

A ( x 1 , y 1)

C ( x 3, y 3 ) r x B ( x 2 , y 2)

Figura 5.12. Circunferencia que pasa por tres puntos.

Para encontrar la ecuación de esta circunferencia se parte de su ecuación general. x 21 y21 Dx 1 Ey1F 50

Los puntos A, B y C deben satisfacerla ya que pertenecen a ella; por tanto, al sustituir el punto A la ecuación se transforma en: x 121 y121 Dx 11 Ey11F 50

De manera análoga, para B y C : x 221 y221 Dx 21 Ey21F 50 x 321 y321 Dx 31 Ey31F 50

De las ecuaciones anteriores podemos igualar los términos cuadráticos a variables, como se muestra a continuación: x 121 y125 b ⇒ b1 Dx 11 Ey11F 50 (I.4) x 221 y225 c ⇒ c1 Dx 21 Ey21F 50 (II.4) x 321 y325 d ⇒ d 1 Dx 31 Ey31F 50 (III.4)

5.5

■

Ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos 183

Una vez establecido lo anterior podemos resolver el sistema de ecuaciones, aplicando la regla de Cramer, combinada con el método de CHIO 4 y el de menores cofactores, para reducir los determinantes. Regla de Cramer

Las ecuaciones obtenidas finalmente serán: Dx 11 Ey11F 52b Dx 21 Ey21F 52c Dx 31 Ey31F 52d

Se procede algebraicamente para encontrar el valor de las variables D, E y F : x1

∆ = x

1 1 1

y1

2

y2

x 3

y3

Al aplicar CHIO para reducir el determinante y encontrar D:

∆=

1 x y − x y

1

x1 − x 2

x 1 x1 y3 − x1 y1

x1 − x 3

1

2

2

∆ = x ( y − y ) + x ( y − y ) + x ( y − y ) 1

2

3

2

3

1

3

1

2

Para determinar D D:

−b ∆ D = −c −d

1 1 ( − by + cy ) 1 ⇒ ∆ D = − b ( − by + dy ) 1

y1 y2 y3

2

1

3

1

( −b + c ) ( − b + d )

∆ D = b ( y − y ) + c ( y − y ) + d ( y − y ) 3

2

1

3

2

1

De forma análoga, para D E y DF :

∆ E = b ( x − x ) + c ( x − x ) + d ( x − x ) 2

∆F = b ( x

3

3

3

y2 − x 2 y3

1

1

2

) + c( x y − x y ) + d ( x y − x y ) 1

3

3

1

2

1

1

2

Finalmente, por regla de Cramer, los valores de D, E , F son: D =

∆D , ∆

E =

∆E , ∆

F =

∆F ∆

Otra forma de obtener la ecuación es plantear y resolver un determinante, como se muestra a continuación:

4

Véase el apéndice acerca del método de CHIO.

184

Capítulo 5

■


x

2

2

x1

2

x 2

2

x3

+y +y +y +y

2

x

y

2

x1

y1

x2

y2

x3

y3

1 2

2 2

3

1 1 =0 1 1

Como en el caso anterior, igualamos los términos cuadráticos a variables, como se indica: x 21 y25a x 121 y125b x 221 y225c x 321 y325d

El arreglo toma la forma: a

x

y

b

x1

y1

c

x2

y2

d

x3

y3

1 1 =0 1 1

Aplicando el método de CHIO para reducir el orden del determinante se tiene:

( ax − bx ) ( ay − by ) ( a − b) ( ax − cx ) ( ay − cy ) ( a − c ) = 0 ( ax − dx ) ( ay − dy ) ( a − d )

1 a

2

1

1

2

2

3

3

Se simplifica: a  x1 y2 − y3

) + x2 ( y3 − y1 ) + x3 ( y1 − y2 ) + x  y1 ( c − d ) + y2 ( d − b ) + y3 (b − c ) + y  x1 ( d − c ) + x2 ( b − d ) + x 3 (c − b )  + x1 (cy3 − dy2 ) + x 2 ( dy1 − by3 ) + x3 ( by2 − cy1 ) = 0 (

donde: A =  x1 y2 − y3

(

D =

) + x ( y − y ) + x ( y − y ) 2

3

1

3

1

2

 y (c − d ) + y ( d − b ) + y ( b − c ) 1

2

3

A

 x ( d − c ) + x ( b − d ) + x ( c − b ) E = 1

2

3

A

F =

Es decir,

 x ( cy − dy ) + x ( dy − by ) + x ( by − cy ) 1

3

2

2

1

3

A x 21 y21 Dx 1 Ey1F 50

3

2

1

5.5

■

Ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos 185

que corresponde a la ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos. Se han mostrado dos métodos para encontrar la ecuación de la circunferencia, pero se hace hincapié en que existen otras formas o métodos para hacerlo.

Ejemplo 5.8 Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(23,3), B(3,1) y C (24,23), utilizando los dos métodos anteriores. Método 1 b = 18, c = 10, d = 25

∆ = x ( y − y ) + x ( y − y ) + x ( y − y ) 1

2

3

2

3

1

3

1

2

∆ = −3(1 + 3) + 3( −3 − 3) − 4 (3 − 1) = −38 ∆ D = b ( y − y ) + c ( y − y ) + d ( y − y ) 3

2

1

3

2

1

∆ D = 18 ( −3 − 1) + 10 (3 + 3) + 25 (1 − 3) = −62

⇒ D =

31 19

⇒ E =

17 19

∆ E = b ( x − x ) + c ( x − x ) + d ( x − x ) 2

3

3

1

1

2

∆ E = 18 (3 + 4 ) + 10 ( −4 + 3) + 25 ( −3 − 3) = −34 ∆F = b ( x

3

) + c( x y − x y ) + d ( x y − x y )

y2 − x 2 y3

1

3

3

1

2

1

1

2

∆F = 18 ( −4 + 9 ) + 10 (9 + 12 ) + 25 (9 + 3) = 600 Se sustituyen los valores en la ecuación de la circunferencia: x

2

+y + 2

31 17 300 =0 x+ y− 19 19 19

Método 2 A =  x1 y2 − y3

) + x ( y − y ) + x ( y − y ) A = −3(1 + 3) + 3( −3 − 3) − 4 (3 − 1) = −38 (

D =

D =

E =

2

3

1

3

1

2

 y ( c − d ) + y ( d − b ) + y ( b − c ) 1

2

3

A

3(10 − 25) + 1( 25 − 18 ) − 3(18 − 10 ) 31 = 19 −38

 x ( d − c ) + x ( b − d ) + x ( c − b ) 1

2

3

A

⇒ F = −

300 19

186

Capítulo 5

■


−3( 25 − 10 ) + 3(18 − 25 ) − 4 (10 − 18 ) 17 = 19 −38

E =

F =

 x (cy − dy ) + x ( dy − by ) + x ( by − cy ) 1

3

2

2

1

3

3

2

1

A

−3( −30 − 25) + 3( 75 + 54 ) − 4 (18 − 30 ) 300 =− 19 −38

F =

Se sustituyen los valores en la ecuación general: x

2

+y + 2

31 17 300 =0 x+ y− 19 19 19

Como se observa, la ecuación que resulta es la misma por ambos métodos.

Ejemplo 5.9 Proponga un método utilizando la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria para obtener la ecuación de la circunferencia que pase por los puntos ( x 1, y1), ( x 2, y2) y ( x 3 ,y3). Solución:

La ecuación que se utilizará como modelo es ( x 2h)21( y2k )25r 2, en la cual se sustituirán las coordenadas de los puntos dados y se resolverá el sistema de ecuaciones simultáneas.

5.6 TANGENTE Y NORMAL A UNA CIRCUNFERENCIA

No es objetivo del presente texto profundizar acerca de las rectas tangentes y normales a una curva en general. Este tema se comprende y analiza mejor utilizando la definición de derivada pendiente de la recta tangente a la curva, que es primordial en el estudio del cálculo diferencial e integral. Sin embargo, el análisis de la tangente a una circunferencia resulta accesible y comprensible con los elementos que hemos analizado hasta ahora; no obstante, sólo se describirá el proceso para conseguir las ecuaciones de la recta tangente y normal a cierta circunferencia. Este análisis considera dos casos. Caso 1

Cuando se tiene la ecuación de una circunferencia en su forma x 21 y21 Dx 1 Ey1F 50 y un punto P( x 1, y1), que es donde se pide determinar si existe o no la tangente a la circunferencia. Este punto pertenece a una recta, cuya ecuación se determina con la forma y2 y15m( x 2 x 1), en la cual se calcula su pendiente. En la ecuación de la recta se despeja la variable y, luego se sustituye en la ecuación de la circunferencia; al reducirla se encuentran los valores de m, pues esta sustitución se reduce a una expresión de la forma Ax 21 Bx 1C 50, donde, aplicando la condición del discriminante B224 AC 50, resulta sencillo determinar si es o no tangente. Una vez obtenida la pendiente, se le sustituye en la ecuación de la recta tangente; con la condición de perpendicularidad de dos rectas se obtiene la pendiente de la recta normal. Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo.

5.6

■

Tangente y normal a una circunferencia 187

Ejemplo 5.10 Determina si existe o no una recta tangente a la circunferencia x 21 y214 x 22 y2450 en el punto P(1,1). En caso de que sí exista, ¿cuál es su ecuación? Solución:

Para determinar la posible tangencia en ese punto se parte de la ecuación de la recta en su forma punto pendiente y se sustituye el punto dado:

( y − 1) = m ( x − 1) ⇒ y = mx − m +1 Se sustituye en la ecuación de la circunferencia dada: x

2

2

+ ( mx − m + 1) + 4 x − 2 ( mx − m + 1) − 4 = 0

Se desarrolla: x

2

+m

2

x

2

+ m + 1 − 2m x + 2mx − 2m + 4 x − 2mx + 2m − 2 − 4 = 0 2

2

Se factoriza: x

2

(1 + m ) + x ( −2m 2

2

+ 4) + m − 5 = 0 2

La ecuación es la de un trinomio cuadrado de la forma ax 21bx 1 x 50; por lo tanto, para determinar la pendiente se emplea la condición b224ac50

( −2m

2

2

+ 4 ) − 4 (1 + m

2

)( m

2

− 5) = 0

4 m − 16m + 16 − 4 m + 20 − 4 m + 20 m = 0 4

2

2

4

2

Simplificando, se encuentra que no está determinada en este punto; es decir, m5tanu y u590°, pero sí existe una recta tangente. Lo que se tiene es una recta paralela al eje que pasa por el punto (1,1). Para visualizarlo se trazan ambos gráficos en uno solo. La ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria es ( x 12)21( y21)259 y se identifica que su centro está localizado en c(22,1) y que su radio es r 53.

y

r =3 T ( 1,1)

c ( –2,1) O

Figura 5.13. Recta tangente a la circunferencia.

x

188

Capítulo 5

■


Como se ve en la figura, la recta obtenida es tangente en el punto T (1,1) a la circunferencia dada. La ecuación de la recta es x 51. Caso 2

Se presenta cuando se conoce la ecuación de la circunferencia en su forma x 21 y21 Dx 1 Ey1F 50 y la pendiente m de una recta tangente a ella. Determina la ecuación de la recta tangente a la circunferencia. Para solucionarlo, consideramos las condiciones dadas; conviene tomar la ecuación de la recta en su forma y5mx 1b, donde la incógnita es la ordenada al origen b. El procedimiento para el análisis es semejante al del caso 1, sólo que de la ecuación ax 21bx 1c50 se obtendrán los posibles valores de b; es decir, habrá dos posibles soluciones.

Ejemplo 5.11 Determina las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia que tiene por ecuación x 21 y212 x 14 y21550, con la pendiente m52. Solución:

Como se conoce la pendiente, se usa la ecuación de la recta en su forma simplificada, y5mx 1b, la cual adopta la forma y52 x 1b. Al sustituir el valor de y en la ecuación de la circunferencia se tiene: x

2

2

+ ( 2 x + b ) + 2 x − 4 ( 2 x + b ) − 15 = 0

Se desarrolla el binomio y el producto indicado: x

2

+ 4 x + 4 xb + b + 2 x − 8 x − 4b − 15 = 0 2

2

Reduciendo para llevar la ecuación a la forma ax 21bx 1c50: 5 x + x ( 4 b − 6 ) + b − 4 b − 15 = 0 2

2

A partir de la relación b224ac50: 2

( 4b − 6) − 4 ⋅ 5( b − 4 b − 15) = 0 2

16b − 48b + 36 − 20 b + 80 b + 300 = 0 2

2

Se simplifica y se multiplican por −

1 4

b228b28450

donde obtenemos los posibles valores de b: (b214)(b16)50 Por lo tanto: b514, b 526

Al sustituir los valores de b en la ecuación de la recta obtenemos dos ecuaciones y52 x 114 y52 x 26

5.6

■


que son las ecuaciones de dos rectas tangentes a la circunferencia dada con pendiente m52.

y y =2 x +1 4

c( –1,2)

r = 4.47 y =2 x –6 T = (1,1) O

x

Figura 5.14. Rectas paralelas tangentes a la circunferencia.


El espejo primario del telescopio Hubble tiene un diámetro de 2.4 m. Si se considera su centro geométrico en el origen de un sistema coordenado, ¿cuál es la ecuación de la circunferencia que los describe?

Solución:

El radio del espejo es r 51.2 m, por lo cual su ecuación es: x 21 y251.44

Figura 5.15. Telescopio Hubbe.

190

Capítulo 5

■


2.

Según la teoría atómica de Bohr, basada en un átomo de hidrógeno, un electrón se mueve en una órbita circular de radio 52.9 ×10–12 m. Determina la ecuación de la órbita del electrón, si el núcleo del átomo es el origen del sistema de referencia.

Solución:

Por las condiciones dadas y utilizando la ecuación canónica de la circunferencia se tiene: − x + y = (52.9 × 10 ) − x + y = 2.80 × 10 2

2

2

2

12

2

21

Figura 5.16. Representación típica de un átomo.

3.

Un ama de casa tiene un jardín como el que se representa en la figura siguiente, el cual riega con un aspersor, cuyo alcance se indica. Si la toma de agua fuera el origen y el aspersor se coloca en el centro geométrico del jardín: a) halla la ecuación de la circunferencia que se cubre de agua, si es tangente en los dos puntos mostrados, b) ¿cuál es el área que no cubre el aspersor?, c) ¿qué porcentaje del total del terreno no alcanza a regarse? y d) escribe las ecuaciones de las rectas tangentes.

Solución: y

6.0 m

o r r s e p A s

•

8.0 m

Figura 5.17. Área del jardín.

x

5.6

a)


■

Por los datos mostrados en la figura y las condiciones, el aspersor cubre un radio r 53; por tanto, la ecuación de la circunferencia es: x 21 y259

b)

El área que cubre el aspersor está dada por: A5pr 2, A5p(3)259p m2

c)

El área total del jardín es de (6 m)(8 m)548 m2. El porcentaje del terreno que no se cubre es el área total menos la que moja el aspersor, entre el área total por cien por ciento, es decir: 48 m − 9π m × 100% = 41% 48 m 2

2

2

d)

Las ecuaciones de las rectas tangentes son: y563

4. a)

Halla los puntos de intersección en la circunferencia x 21 y223 x 18 y56 y la recta y22 x 1350 y b) traza un gráfico que muestre lo anterior. NOTA: Redondea a dos cifras significativas.

Solución: 2

(2,0,0.90)

1 5 –4 –3 –2 –1 –1

Se plantea y se resuelve por sustitución el sistema de ecuaciones.

y

x 21 y223 x 18 y56 y52 x 23

x

1

2

3

4

5

6

7

8

Es decir,

–2

x 21(2 x 23)223 x 18(2 x 23)56

–3

(–2.2,–7.3)

–4

Se simplifica:

–5

5 x 21 x 22150

–6

de donde x 151.9518 y x 2522.1518, al sustituir en (ii)

–7

y52(1.9518)2350.9036 y52(22.1518)23527.3036

–8 –9

Por tanto, los puntos donde se cortan las ecuaciones dadas son (2.0,0.90) y ( 22.2,27.3), como se observa en la figura 5.17.

–10 –11

5. Figura 5.18. Intersecciones de la recta con la circunferencia.

Las mediatrices de dos cuerdas no paralelas de un círculo se cortan en el centro. Si los puntos A(28,27), B(26,29), y C (2,27) son los extremos de dos cuerdas, determina su ecuación y traza un gráfico que muestre lo anterior.

Solución:

Se trazan los puntos en un plano y se unen:

192

Capítulo 5

■


y

2

x

–8

–6

–4

–2

2 –2 –4 –6 C

A

–8 B

–10

Figura 5.19. Dos cuerdas de una circunferencia.

Por definición de mediatriz, del segmento AB se obtiene su pendiente y su punto me1 dio m1521 y (27,28), respectivamente. Y, en forma análoga, para BC m = y 4 (22,28) Luego se obtienen sus ecuaciones, utilizando la de la recta que pasa por un punto y la pendiente dada. 2

Para AB , ⊥ m151: ( y18)5( x 17) x 2 y51

(i)

Para BC , ⊥ m2524: ( y18)524( x 12) 4 x 1 y5216

(ii)

Al resolver simultáneamente ( i) y (ii) se tiene x 523 y y524, que corresponden a las coordenadas del centro, es decir, ( 23,24). Por último, se determina su radio utilizando la ecuación de distancia entre dos puntos, con las coordenadas del punto C (2,27) y las del centro ( 23,24). r =

(−3 − 2) + (−4 + 7) = 34 2

2

r 2534

La ecuación en forma canónica es: 2

( x + 3) + ( y + 4) = 34 2

Y en forma general: x 21 y216 x 18 y59


5.6

■


4x +y =–16

x –y =1

2

y

x –8

–6

–4

–2

2

4

–2 (–3,–4)

–4 –6 C

A

–8 B

–10

Figura 5.20. Las mediatrices de las cuerdas.

6.

Determina y traza los puntos de intersección entre las siguientes circunferencias x 21 y216 x 24 y510 y x 21 y258. Expresa el resultado con dos cifras significativas.

Solución:

Se resuelve el sistema de ecuaciones simultáneas: x 21 y216 x 24 y510 x 21 y258

(i) (ii)

Se multiplica (ii) por (21) y luego se suman con ( i) y se obtiene la ecuación de una recta a la que se le denomina el eje radical. 6 x 24 y52 Despejando y: y =

3 1 x − 2 2

(iii)

Se sustituye (iii) en (ii): 2

x

2

 3 1  +  x −  = 8  2 2 

Se simplifica y se resuelve para x , se tiene x 151.7921 y x 2521.3306 Al sustituir en (iii):

 3  (1.7921) − 0.5 = 2.1881  2  

y1 = 

 3  (−1.3306) − 0.5 = −2.4959   2 

y2 = 

Es decir, en (1.8, 2.2) y (21.3,22.5) se intersecan las circunferencias, como se observa en la figura 5.20.

194

Capítulo 5

■


y

6 5 4 3 (1.8,2.2) 2 1 –8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

x

1

2

3

–1 (–1.3,–2.5)

–2 –3 –4

Figura 5.21. Intersecciones de las circunferencias.

7.

Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (4,6) (6,4) y (6,0).

Solución:

Se sustituyen los puntos en la ecuación x 21 y21 Dx 1 Ey1F 50, para después formar un sistema de ecuaciones: Para (4,6): (4) + (6) + D(4) + E (6) + F = 0 4 D + 6E + F = −52

(i)

(6) + (4) + D(6) + E (4 ) + F = 0 6 D + 4 E + F = −52

(ii)

(6) + (0) + D(6) + E (0 ) + F = 0 6 D + F = −36

(iii)

2

luego (6,4): Finalmente (6,0):

2

2

2

2

2

De (iii): F 523626 D

se sustituye F en (ii): 6 D + 4 E − 36 − 6 D = −52 4 E = −16 ⇒ E = −4 Por último, se sustituye F y E en (i): 4 D + 6(−4) + −36 − 6 D = −52 −2 D = 8 ⇒ D = −4

5.6

■


Por lo cual: F = −36 − 6(−4) F = −12

Es decir, la ecuación buscada es: x 21 y224 x 24 y21250

8. a)

Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (0,3), (2, 21), y (4,5) y b) traza el gráfico de la ecuación.

Solución: 6

Una forma alternativa de resolver este tipo de problemas es sustituyendo los puntos en la ecuación ( x 2h)21( y2k )25r 2, para después resolver el sistema de ecuaciones por igualación, como se muestra. Según los puntos dados:

y

(4,5) 5 4

(02h)21(32k )25r 2 (22h)21(212k )25r 2 (42h)21(52k )25r 2

3(0,3)

Se iguala (i) con (ii), pues r 2 es el mismo:

2

(02h)21(32k )25(22h)21(212k )2

1

Se simplifica:

x

1

1 –1

(i) (ii) (iii)

2

3

4

5

6

22h14k 52

7

(iv)

Luego, se igualan (i) y (iii):

(2,–1)

(02h)21(32k )25(42h)21(52k )2

–2

Figura 5.22. Circunferencia que pasa por tres puntos.

Se reduce a: 2h1k 58

(v)

Al resolver (iv) y (v), se obtienen las coordenadas del centro: h53 k 52

Para conocer el radio se sustituye ( h,k ) en cualquiera de las primeras tres ecuaciones y se obtiene: r 2510

Por lo que la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos dados es: ( x 23)21( y22)2510 Su gráfico se observa en la figura 5.21. 9.

Dadas las ecuaciones de las rectas 2 x 23 y1650, 5 x 22 y21050 y 3 x 12 y1650, a) halla la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo que se forma con los puntos donde éstas se intersecan y b) traza el gráfico de los cuatro lugares geométricos implicados.

196

Capítulo 5

■

La circunferencia (vamos a dar una vuelta) Solución:

a)

Para determinar la circunferencia inscrita, es necesario localizar el incentro del triángulo que la contiene utilizando el punto de concurrencia de las bisectrices. Para ello bastará con obtener las ecuaciones de dos rectas bisectrices. Considera la definición de bisectriz y un punto ( h,k ) equidistante a ambas rectas.

Utilizando 2 x 23 y1650 y 5 x 22 y21050: 2h − 3k + 6 5h − 2k − 10 = 29 − 13 Se simplifica con cuatro cifras significativas y se obtiene la primera recta bisectriz: 7.987h26.480k 51.038

(i)

Luego de 2 x 23 y1650 y 3 x 12 y1650: 2h − 3k + 6 3h + 2k + 6 = − 13 − 13 se reduce a : h15k 50

Para encontrar el punto de intersección, que corresponde al incentro del triángulo o al centro de la circunferencia buscada, se resuelven (i) y (ii) en forma simultánea y se obtiene:

6 y

h50.1118 k 520.0223

4

El radio de la circunferencia es:

2

x –4

–2

(ii)

2

4

6

2(0.1118) − 3(−0.0223) + 6 . = 1744 − 13 Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia inscrita es: r =

( x 20.1118)21( y10.0223)253.044

–2

b) –4

10.

Gráfica:

Obtén la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (2,22) y que es tangente a la recta 3 x 24 y54 en el punto (4,2).

Figura 5.23. Circunferencia inscrita en un triángulo. Solución:

Se tienen dos puntos de la circunferencia, con los cuales se puede trazar una cuerda y después obtener la ecuación de la recta mediatriz. El punto medio de la cuerda es (3,0) y su pendiente m52, es decir, la mediatriz tiene por ecuación: 1 ( x − 3) 2 x 12 y2350

y = −

(i)

5.6

■


Luego, se obtiene una recta normal (perpendicular) a la recta tangente 3 x 24 y54, para lo cual es necesario conocer su pendiente. Despejando y: 3 y = x − 1 4 La ecuación de la recta normal será: 4 ( x − 4) 3 4x13 y22250

y − 2 = −

(ii)

A partir de ( i) y (ii) se obtiene: x 57 y y522

que corresponden a las coordenadas del centro de la circunferencia buscada. Para obtener el radio, usamos estas coordenadas y cualquiera de los puntos dados. Si se utiliza (2,22): r = (7 − 2) + (−2 + 2) = 5 r = 25 2

2

2

La ecuación buscada es: ( x 27)21( y12)2525 De manera gráfica:

y

4 (4,2)

2

x

2 –2

4

(2,–2)

6

8

10

12

(7,–2) r=5

–4

–6

–8

Figura 5.24. Circunferencia que pasa por un punto y que es tangente a una recta.

11.

En r3, en un sistema rectangular tridimensional, se puede obtener un lugar geométrico análogo a la circunferencia llamado esfera, cuya ecuación es x 21 y21 z25r 2

198

Capítulo 5

■


si su centro se localiza en el origen y ( x 2h)21( y2k )21( z2l)25r 2, si el centro de la misma está fuera del origen. Una muestra es: x 21 y21 z259 y ( x 24)21( y23)2 2 1( z25) 54. 12.

Para los siguientes pares de ecuaciones de circunferencia, determina: a) el eje radical,5 b) los puntos de intersección y c) muestra en una gráfica todos los elementos implicados.

Primer par: x 21 y216 x 24 y52350 x 21 y222 x 14 y2450

(A) (B)

Segundo par: x 21 y214 x 18 y1250 x 21 y226 x 28 y11350

(C) (D)

Solución al primer par: a)

Para obtener el eje radical de (A) y (B), simplemente se resta A2 B: x 21 y216 x 24 y232( x 21 y222 x 14 y24)58 x 28 y1150, es decir, la ecuación

del eje radical en forma simplificada es: y = x + b)

1 8

Para obtener los puntos de intersección sustituimos la ecuación del eje radical en cualquiera de las dos ecuaciones. Si se elige x 21 y216 x 24 y2350, se tendrá:  1   1  x +  x +  + 6 x − 4  x +  − 3 = 0  8   8  2

2

Se simplifica: 9 223 2 x + x − =0 4 64 2

Se resuelve la ecuación para obtener los valores de x y se encuentra que: . x 1 = 0872 . x 2 = −1997 Se sustituye en y = x +

1 para hallar los valores de y: 8 . y1 = 0997 . y2 = −1872

5

Se le llama así a una recta real común a dos circunferencias (excepto si éstas son concéntricas). El eje puede ser una cuerda de ambas o una tangente común. Si C 1 y C 2 son las ecuaciones de las circunferencias, la ecuación del eje radical se obtiene a partir de C 12C 2.

5.6

■


Es decir, los puntos de intersección son: Q=

( 0.872, 0.997 )

R = c)

−1.997, −0.1.872

La gráfica es: x 2 + y 2 + 6x – 4y – 3 = 0

6

y

y = x +

4

1 8

(–3,2) 2 Q x

–6

–4

–2 R

2

4

–2 (1,–2) –4

x 2 + y 2 – 2x + 4y – 4 = 0

Figura 5.25. Ecuación del eje radical del primer par.

Solución al segundo par: a)

En forma análoga, el eje radical de (C) y (D) se obtiene al restar C 2 D: x

2

+ y + 4 x + 8 y + 2 − ( x + y − 6 x − 8 y + 13) = 10 x + 16 y − 11 = 0 2

2

2

Es decir, la ecuación del eje radical es: 5 11 y = − x + 8 16 b)

Los puntos de intersección se obtienen sustituyendo la ecuación del eje radical en cualquiera de las dos ecuaciones. A partir de x 21 y214 x 18 y1250 se obtiene: 2

x

2

 5 11   5 11  +  − x +  + 4 x + 8  − x +  + 2 = 0  8 16   8 16 

Se simplifica: 89 x − 119 x − 2

2041 =0 4

200

Capítulo 5

■


Al resolver la ecuación para x se encuentran valores imaginarios y, por tanto, se concluye que las circunferencias no se intersecan. c)

La gráfica es: x 2 + y 2 – 6x – 8y + 13 = 0 y 5

y = –

x + 8

11 16

6 4 2 x

–8

–6

–4

–2

2

4

6

8

–2 –4 –6 –8 2

2

x + y +4x + 8y + 2 = 0

Figura 5.26. Ecuación del eje radical del segundo par.

En ambos casos es posible comprobar que el eje radical y el segmento de recta que une los centros de cada circunferencia son perpendiculares.

RESUMEN ✓

Cónicas. Se definen como secciones cónicas los diferentes lugares geométricos, cuya rela-

ción de distancias entre punto y recta fijos es constante. El punto fijo se define como foco de la cónica, la recta fija se llama recta directriz de la cónica y la relación constante existente entre ellos se conoce como excentricidad, que convencionalmente se representa por la literal e. Existen tres tipos de secciones cónicas, según la forma de su lugar geométrico y propiedades intrínsecas, que se establecen de acuerdo con los valores de la excentricidade. Si e , 1, la cónica se llama elipse. Si e 5 1, la cónica se llama parábola. Si e . 1, la cónica se llama hipérbola. Si e 5 0, la cónica se llama circunferencia. ✓

La circunferencia. Se define así al lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de

un punto fijo llamado centro de la circunferencia; la distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se llama radio r . ✓

Los elementos básicos de una circunferencia son el radio y el centro. Conocer sus valo-

res permite trazarla o enunciar si se trata o no del lugar llamado circunferencia. ✓

Ecuación de la circunferencia en su forma canónica con centro en el origen r 25 x 21 y2

Resumen 201 ✓

Ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria con centro fuera del origen 2

r ✓

2

2

= ( x − h) + ( y − k )

Ecuación general de la circunferencia x

2

+ y2 + Dx + Ey+ F = 0 2

 D   x + 2  

2

 E  4 F + D2 + E 2 +  y +  = 4  2 

Elementos básicos: centro y radio

 D E  ,− ;  2 2  

C  −

r =

4 F + D2 + E 2 2

Si

4 F + D 2 + E 2 < 0 no existe el lugar geométrico llamado circunferencia. 4

Si

4 F + D + E = 0, es un punto en el plano. 4

Si

4 F + D2 + E 2 > 0, existe el lugar geométrico llamado circunferencia. 4

✓

Ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos dados P1( x1, y1), P2( x2, y2) y P3( x3, y3)

Existe más de un método para determinar la ecuación a la que pertenecen tales puntos; el que aquí se presenta es el que se obtuvo al desarrollar el determinante

+ y2 2 2 x1 + y1 2 2 x 2 + y2 2 2 x3 + y3 x

2

x

y

x1

y1

x2

y2

x3

y3

1 1 =0 1 1

Donde: x 21 y25a, x 121 y125b, x 221 y225c y x 321 y325d A =  x1 y2 − y3

(

D =

E =

F =

) + x2 ( y3 − y1 ) + x3 ( y1 − y2 ) 

 y1 ( c − d ) + y2 ( d − b) + y3 ( b − c)  A

 x1 ( d − c) + x2 ( b − d ) + x3 ( c − b)  A

 x1 ( cy3 − dy2 ) + x2 ( dy1 − by3 ) + x3 ( by2 − cy1 ) 

x 21 y21 Dx 1 Ey1F 50

A

202

Capítulo 5

■


PROBLEMAS Resuelve los siguientes problemas. 1.

El Sol, al igual que la Tierra, tiene diferentes capas en su atmósfera y cada una tiene sus propias características. Considera el centro geométrico del Sol como el origen y determina las ecuaciones de circunferencia para cada región mostrada. Estructura solar (los valores son aproximados) Región

Radio (km)

Temperatura (K)

Corazón Zona de radiación Zona de convección Fotosfera Cromosfera Zona de transición Corona solar

200 000 500 000 696 000 696 500 698 000 706 500 10 000 000

15 000 000 7 000 000 2 000 000 5 800 4 500 8 000 1 000 000

Viento solar

2 000 000 Tabla 5.1. Capas de la atmósfera solar.

2.

Grafica y obtén la ecuación de cada una de las circunferencias: Respuestas x 21 y251

a) C (0,0), r 51 b) C (26,28), r 54

3.

c) C (1,0), r =

5

d) C (4,2), r =

7

( x 21)21 y255

¿Cuál es la ecuación de la circunferencia si los puntos A(2,4) y B(4,8) son los extremos de un diámetro? Respuesta: ( x 23)21( y26)255

4.

Indica si las siguientes ecuaciones corresponden al lugar geométrico llamado circunferencia. Respuestas a) b) c) d) e) f)

5.

( x 210)21( y16)2520 ( x 22)21( y14)211650 ( x 13)21( y235)250 x 21 y215 y512 x 21 y226 x 12 y528 x 21 y2110 x 16 y13450

Sí

No, se trata de un punto Sí

Reduce las siguientes ecuaciones de circunferencia a su forma ordinaria: Respuestas a) x 21 y215 y512

x

2

(

+ y+ 5

2

) = 73 4

b) x 21 y225 x 15 y2550 c)

40 x 2140 y2150 x 2100 y13050

(

x+

5

2

8) (

+ y− 5

77 = ) 4 64 2

Problemas 203 d) x 21 y22 x 2 y1150 2 2 37 ( x + 4 ) + ( y + 1) = 2

e) 2 x 212 y2116 x 14 y2350 f) x 21 y2224 x 212 y14850

6.

Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos y traza el gráfico correspondiente. Sugerencia: Resuelve por diferentes métodos: Respuestas a) A(2,1), B(1,3), C (4,1)

5

x

2

+ y2 − 6 x −

11 25 =0 y+ 2 2

y

4

•

3 2

•

1

• x

1

2

3

4

5

6

+ y2 −

5 1 x +8y− = 0 2 2

–1

b) A(4,2), B(23,7), C (6,22) x

c) A(5,26), B(23,24), C (5,22)

2

y 2

x –6

–4

–2

2 –2

•

4

6

•

–4 –6

•

–8 –10

d) A(3,1), B(24,4), C (3,6) e) A(4,2), B(1,27), C (22,2)

x 21 y222 x 14 y22050

204

Capítulo 5

■


•

•

2

x –4

–2

2

4

6

8

+ y2 −

25 17 44 =0 x− y− 7 7 7

–2 –4 –6

• –8 –10

f) A(21,2), B(5,3), C (2,2)

g) A(5,2), B(21,3), C (1,22)

x

2

y 6 4

• •

2

x –4

–2

2

6

•

–2

7.

4

Halla la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y tangente a la recta 3 y25 x 1450 y traza su gráfico. Respuesta: x

2

+y = 2

8 17

8.

Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en C (5,2) y tangente a la recta 3 y22 x 21250 y traza su gráfico.

9.

Halla la ecuación de la circunferencia con centro en C (21,1) y tangente al eje x . ¿Será tangente también al eje y? Respuestas a) ( x 11)21( y21)251 b) Sí

10.

Describe la ecuación de la circunferencia circunscrita en un triángulo de vértices (22,3), (2,5) y (4,22); además determina el baricentro del triángulo.

Problemas 205

2 2 Respuesta: x + y −

47 34 25 = 0, B( 4 3 , 2) x− y− 16 16 2

11.

Si los vértices de un triángulo son A(1,3), B(21,23) y C (23,2), determina las ecuaciones de la circunferencia circunscrita e inscrita a éste.

12.

Una circunferencia tiene su radio en la recta y1 x 22; un punto genérico de ésta posee coordenadas (4,3). Determina la ecuación de la circunferencia. Si en sus intersecciones con la recta dada se encuentran los centros de dos circunferencias más de igual radio, ¿cuáles serán sus ecuaciones? Realiza una gráfica de las tres circunferencias. Respuestas

(

x −

3

2

2) (

+ y− 1

)2 = 252 2

25 ( x + 1) + ( y − 3) = 2 2

2

2 2 25 ( x − 4 ) + ( y + 2) = 2

13.

Comprueba que la recta 2 x 1 y525 y la circunferencia x 21 y228 x 52 no se cortan.

14.

Dadas las ecuaciones de circunferencia ( x 23)21( y22)2525 y ( x 11)21( y13)2512, determina: a) la ecuación del eje radical, b) los puntos de intersección, c) la distancia entre los puntos de intersección y d ) traza la gráfica de todos los elementos. Respuesta: a) 4 x 15 y1550 , b) (21.73,0.386) y (2.46,22.97, c) d 55.37 d)

la gráfica:

y

5 4

•

2

x

• –4

–2 –2

•

•

2

4

6

8

•

–4 –6

Figura 5.27. El eje radical.

15.

Los centros de un tren de engranes se localizan sobre una recta que pasa por el origen y tiene pendiente m51 /2. Si sus radios son r 1255, r 22545 / 4,y r 32520, respectivamente, y el primer engrane tiene centro en el origen, ¿cuáles son las ecuaciones que los representan, sabiendo que son tangentes entre sí?

206

Capítulo 5

■


Actividad en equipo Hallen las ecuaciones de las circunferencias que pasan por los puntos (2,3) y (3/5,16/5) y que son tangentes a la recta 3 x 2 4 y 1 1 5 0 (Verifiquen sus resultados con algún software y construyan la gráfica del problema.) 2. Un accidente en una planta nuclear provoca una radiación en forma de círculos concéntricos que se expande a una velocidad de 15.0 m/s. 1.

Obtengan la ecuación de la circunferencia del área de radiación a los 10 minutos y a los 30 minutos de haber ocurrido el accidente. b) Si se desea rescatar a unas personas que se encuentran a 25 km al norte del centro de la radiación desde un punto que se encuentra a 28 km al oeste de ese centro, ¿cruzarán la zona de peligro? (Verifiquen sus resultados con algún software y construyan la gráfica del problema.) a)

AUTOEVALUACIÓN Contesta y practica en tu cuaderno las siguientes preguntas y ejercicios. 1.

Define, con tus propias palabras, qué es una cónica.

2.

Explica qué es circunferencia y escribe su ecuación general.

3.

¿Cuáles son los elementos básicos de una circunferencia?

4.

Si los puntos (3,2) y (23,4) son los extremos de una cuerda diametral de cierta circunferencia, di cuál es su ecuación y en dónde se localiza su centro.

5.

Determina la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos (2,2), (23,0) y (0,24).

6.

Determina el valor de la coordenada x , si la magnitud de su diámetro es de 10 u.l. y su centro se localiza en el punto (2,23). Considera un punto ( x ,1) perteneciente a ella.

CAPÍTULO

6

Parábola (ahí, donde se concentran las cosas) Fuentes Bailarinas, Barcelona.

Catedral de Florencia. Por su

Las trayectorias que sigue el agua son parabólicas.

gran resistencia, los arcos parabólicos se han usado en la construcción de cúpulas enormes, como la que se muestra, diseñada por Brunelleschi.

La comprensión humana no es simple luz, sino que recibe infusión de la voluntad y los afectos; de ella proceden ciencias que pueden llamarse “a discreción”. El ho mbre cree con más disposición lo que preferiría que fuera cierto. Por ello rechaza cosas difíciles por impaciencia en la investigación; cosas silenciosas, porque reducen las esperanzas en lo más profundo de la naturaleza, por superstición; la luz de la experiencia, por arrogancia y orgullo; cosas no creídas comúnmente, por deferencia a la opinión del vulgo. Son, pues, innumerables los caminos, y a veces imperceptibles, en que los efectos colorean e infectan la comprensión. Francis Bacon ( Novum Organon, 1620)

207

208

Capítulo 6

■

Parábola (ahí, donde se concentran las cosas)

6.1 LA PARÁBOLA

Se define como parábola el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en un plano de forma que la distancia entre éste y una recta fija es igual a la distancia del mismo hacia un punto fijo. La recta fija se llama recta directriz y el punto fijo, foco de la parábola. En la figura 6.1 se ilustra una parábola.

R

•

F

V

•

Q •

•

L

•

RD

Figura 6.1. La parábola.

A partir de la figura 6.1 identificamos lo siguiente: • • • • • •

6.2 ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE X

F se define como foco de la parábola. V se define como el vértice de la parábola. — RD se define como recta directriz. — LR se define como lado recto (latus rectum). — QF se define como el eje focal de la parábola. –– — QV 5VF se define como la distancia focal.

Características de los componentes de una parábola: — 1. El segmentoQF , llamado eje focal, es perpendicular a la recta directriz (RD) y al — segmento LR, llamado lado recto. 2. El punto medio del eje de la parábola recibe el nombre de vértice. 3. El lado recto, además de ser una cuerda perpendicular al eje de la parábola, es un segmento que da la abertura de la misma, LR54 p.

6.2

■

Ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje focal paralelo al eje x 209

Considera la siguiente figura: y 2 = 4px y

RD , x = –p

A(x ,y )

p

y

p F (p ,0)

V (0,0)

x

LR x = 4p

p

x

p p

La distancia entre cualquier punto de la parábola y la recta fija RD es igual a la distancia entre el mismo punto y el foco F .

p

Figura 6.2. Parábola con vértice en el origen, de eje focal horizontal y que abre hacia la derecha.

Considera las coordenadas de un punto A( x , y) que pertenece a la parábola y las del foco F ( p,0).2 Por definición de parábola y considerando la ecuación para el cálculo de distancia entre dos puntos, se tiene: 2

2

( p − x ) + (0 − y)

AF =

Además, la distancia de la recta directriz x 1 p50 y el punto A( x , y) se puede calcular mediante la ecuación de distancia de un punto a una recta: Ax + By + C A

2

+ B2

Se sustituye: x + p

1

⇒ x + p = AF

— Lo anterior cumple con la definición de la parábola, pues al igualar los valores de AF : x + p =

2

2

( p − x ) + (0 − y)

Al elevar al cuadrado: 2

2

( x + p) = ( p − x ) + y 2

Si el valor de p es negativo, la parábola abre hacia la izquierda.

2

210

Capítulo 6

■


Se desarrollan los binomios y se reduce: x

2

+ 2 px + p2 = p2 − 2 px + x 2 + y 2 y254 px [1]

Esto corresponde a la ecuación de una parábola con vértice en el origen y eje focal paralelo al eje x , la cual abre hacia la derecha. Si fuese de la forma y2524 px , la parábola abriría hacia la izquierda. En forma semejante, se puede encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje focal paralelo al eje y, que tiene la forma: y254 py [2]

y

A(x ,y ) F (0,p )

p

V (0,0)

x

p y = –p

Figura 6.3. Parábola con vértice en el origen, de eje focal vertical y que abre hacia arriba.

Si la ecuación fuera x 2524 py, la parábola abriría hacia abajo, pues el valor de p sería negativo.

Ejemplo 6.1 Traza la parábola x 2516 y e indica sus elementos. Solución:

Se identifica que se trata de una parábola de la forma x 254 py, donde: 4 p516 p54

6.2

■


Su vértice se localiza en el origen: V (0,0)

El foco tiene por coordenadas F (0, p), es decir, F (0,4). La recta directriz tiene por ecuación y52 p, o bien, y524. El lado recto es la magnitud de 4 p, LR = 4 p , para el caso LR = 16 LR = 16

Trazando los elementos de la parábola se obtiene la gráfica de la figura 6.4.

y 12 10 8 6 4

F (0,4)

2 x

V –8

–6

–4

–2

2

4

6

8

10

–2 y = –4

–4 –6

Figura 6.4. Gráfica de la parábola x 2516 y.

Ejemplo 6.2 Una persona sube a lo más alto de una torre de 42 m de altura; desde ahí lanza una piedra hacia su derecha y otra hacia su izquierda, en un movimiento horizontal con una velocidad inicial de 12 m/s. Determina la ecuación de la trayectoria parabólica descrita por las piedras; considera los brazos de la persona como el origen. Solución:

La ecuación del movimiento corresponde a un modelo del tipo x 254 py, pues es una parábola con eje focal paralelo al eje y que abre hacia abajo. Por tanto, es necesario determinar x (el alcance) y y (el cambio de posición vertical, y5 y f 2 yi). Para determinar el alcance de la piedra, por cinemática. y f

= yi + viyt −

1 2

gt , v x = 2

x t

En un tiro horizontal la velocidad inicial de un cuerpo es vi5v x , la cual se mantiene constante durante toda la trayectoria. Por otro lado, viy50, es decir, la velocidad inicial vertical es cero. Además yi542 m, y f 50 y g59.8 m/s2.

212

Capítulo 6

■


Como no se conoce el tiempo que tardan en caer las piedras, a partir de 1 2 y f = yi + viyt − gt , se obtiene t . 2 0 = 42 + (0)t − t =

1 2

2

(9.8)t

2(42) 9.8

t = 2.927 s

De v x =

x t

: x = v x t = (12)(2.297) x = 35.13 m

Luego, y5 y f 2 yi: y = 0 − 42 9

y = −42

y y = 7.35

Ahora es posible determinar el valor de la distancia focal y del lado recto (latus rectum).

6 3 –15

–12 –9 –6 –3

(35.13)254 p(242) p527.346

x

3

6

9

12

15

Por lo que el lado recto será:

–3 –6

LR = 4 p

F (0,–7.35)

–9

= (4)(−7.346)

. LR = 2938

–12

La ecuación buscada es:

–15

x 2524 py x 25229.4 y

–18

cuyos elementos son:

–21 –24

Figura 6.5. Gráfica de la trayectoria parabólica.

Vértice (0,0) Foco F (0,2 p), o bien, F (0,27.35) Recta directriz y5 p, es decir, y57.35


Ejemplo 6.3 Halla la ecuación de la parábola que tiene su vértice en el origen y pasa por el punto (3,7), que abre hacia la derecha. Solución:

La ecuación buscada es de la forma y254 px . Sustituyendo las coordenadas del punto dado se tiene: (7)254 p(3) p54.08

6.2

■


El lado recto es: LR = 4 p

= 16.3

Por tanto, la ecuación buscada es: y2516.3 x

Su foco se localiza en: F 5(4.08,0) x 52 p x 524.08

La ecuación de su recta directriz:

El gráfico se observa en la figura 6.6.

x = –4.08 y

9 (3,7) 6

3

V

–3

x

F (4.08,0)

3

6

9

12

15

–3

–6

–9

Figura 6.6. Parábola con vértice en el origen, de eje focal horizontal y que pasa por el punto (3,7).

Ejemplo 6.4 Dada la ecuación y25212 x , halla el valor de a) p y b) las coordenadas del foco; c) traza una gráfica. Solución:

a) El valor de p se obtiene a partir de la igualación 4 p5212, es decir, p523. Por tanto, la parábola abre hacia la izquierda. b) El foco tiene coordenadas F ( p,0), o bien, F (23,0).

214

Capítulo 6

■


c) La gráfica es: 8 y 6 4 2 x

–10

–8

–6

–4

–2

2

4

6

–2 –4 –6 –8

Figura 6.7. Gráfica de la parábola y25212 x .

Ejemplo 6.5 Encuentra la ecuación de la parábola cuyo foco se localiza en el punto F (3,0) y su recta directriz es x 523; además di cuál es la longitud de su lado recto y traza su gráfica. Solución:

A partir de la definición de parábola y con los datos conocidos: 2

6

Elevando al cuadrado ambos miembros y desarrollando los binomios cuadrados:

4 2 V

x = –3

–4

2

( x − 3) + ( y − 0 ) = x + 3

8 y

–2

x

F (3,0)

2

4

6

8

10

–2 –4 –6 –8

Figura 6.8. Gráfica de la parábola y2512 x .

Ejercítate

x 226 x 191 y25 x 216 x 19

Al simplificar se obtiene la ecuación: y2512 x

Por tanto, la longitud de su lado recto es: LR = 4 p

= 12


1. Determina la ecuación de la parábola con vértice en el origen, el eje focal paralelo al eje x y que además contenga al punto(3,22). 2. Dibuja la gráfica de la parábola x 256 y. 3. Determina la ecuación de una parábola que tiene su vértice en el origen, una magnitud de lado recto igual a 4 y que abre hacia la izquierda. 4. La distancia focal de cierta parábola es de 3 / 2, su vértice se localiza en el origen del plano cartesiano y su foco sobre el eje y negativo, ¿cuál es su ecuación?

6.3

■

Ecuación de la parábola con eje focal paralelo al eje x y con vértice fuera del origen 215

6.3 ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE X Y CON VÉRTICE FUERA DEL ORIGEN

Considera la siguiente figura: y = y +k 9

y

RD , x = h –p

V (h ,k ) p

x = x +h 9

F (h +p ,k )

p

x

Figura 6.9. Parábola con vértice fuera del origen, de eje focal horizontal y que abre hacia la derecha.

En forma análoga a la demostración anterior, pero considerando una traslación de ejes (las abscisas representadas con h y las ordenadas con k ), se observa que el vértice tiene coordenadas V (h,k ) y el foco F (h1 p,k ); la recta directriz tendrá la ecuación x 5h2 p. Luego, por definición de parábola, si un punto A( x ,y) pertenece a la curva, la distancia de éste al foco será igual a la distancia que exista de ese punto a la recta directriz. — La distancia del punto al foco AF es: 2

( x − h + p ) + ( y − k )

AF =

2

(i)

Y la distancia entre el punto y la recta directriz: AF =

x + 0 + (− h + p)

1

⇒

(

AF = x − h + p

)

(ii)

Al igualar (i) y (ii): 2

2

( x − h − p) + ( y − k ) = ( x − h + p) Se eleva al cuadrado y se ordena: 2

2

( y − k ) = ( x − h + p) − ( x − h − p)

2

Se simplifica: 2

2

2

( y − k ) = ( x − h ) + 2 p( x − h ) + p − ( x − h) + 2 p( x − h ) − p 2

2

2

( y − k ) = 4 p( x − h )

[3]

216

Capítulo 6

■


Esta ecuación pertenece a una parábola con eje focal paralelo al eje x y vértice fuera del origen. Las coordenadas de cada elemento que la constituyen son:

( )

V h, k

LR = 4 p RD, x = h − p

(

)

F h + p, k

De manera semejante se obtiene la ecuación de la parábola con eje focal paralelo al eje y y vértice fuera del origen: 2

( x − h ) = 4 p( y − k )

[4]

Por definición de parábola se cumplen las siguientes relaciones:

y A

AB = AF C CD = CF F

Observa que A y C son dos puntos cualesquiera que pertenecen a la curva; B y D son dos puntos sobre la recta directriz.

p V x B

RD

D

Figura 6.10. Parábola con vértice fuera del origen, de eje focal vertical y que abre hacia arriba.

Sus elementos son:

(

)

V h, k

LR = 4 p RD, y = k − p

(

F k + p, h

)

Ejemplo 6.6 Dada la ecuación ( x 22)2 526( y13) que pertenece a cierta parábola, halla: a) sus elementos, b) traza su gráfico. Solución:

Al observar la ecuación se advierte que el vértice tiene coordenadas ( h,k ), es decir, V (2,23). El valor de p se obtiene al igualar

6.3

■


4 p526 p = −

3 2

Las coordenadas del foco son: F (k 1 p,h)

  9  3  F  −3 − , 2 ⇒ F  − , 2  2   2  La ecuación de la recta directriz es: y = k − p

 

y = −3 −  −

3 

3

= − 2   2

Finalmente, su lado recto es: LR = 4 p

= −6

LR = 6

Su gráfica se observa en la figura 6.11.

y

–6 –4 –2 y = –1.5

x

2 –2

4

6

8

10

V (2,–1.5)

–4 –6

F (2,–4.5)

–8 –10 –12 –14

Figura 6.11. Gráfica de la parábola ( x 22)2526( y13).

Ejemplo 6.7 Dos frentes de onda de forma parabólica chocan frontalmente; sus puntos de interferencia destructiva son A(4,6) y B(4,24), que a su vez limitan la longitud de sus latus rectum. Determina las ecuaciones de estas ondas. Solución:

Se calcula la longitud del lado recto mediante la ecuación de distancia entre dos puntos: LR =

2

2

( 4 − 4 ) + (−4 − 6) = 10

218

Capítulo 6

■


Por las coordenadas del latus rectum se trata de parábolas que abren hacia la derecha e izquierda, por tanto se trabajará con la ecuación de la parábola con eje focal paralelo al eje x : 2

( y − k ) = ±4a ( x − h ) Para determinar las dos duplas de coordenadas ( h,k )se sustituyen los valores ( x , y) conocidos, pues pertenecen a las curvas en la ecuación anterior, lo que plantea dos ecuaciones: 2

(6 − k ) = ±1( 4 − h )

y

2

( −4 − k ) = ±10 ( 4 − h )

Se resuelven simultáneamente: 36 − 12k + k 2 16 + 8k + k

2

= ±10 ( 4 − h )

(i)

= ±10 ( 4 − h )

(ii)

Se multiplica por (21) a (ii) y se reduce el sistema: 20220k 50⇒k 51 Es evidente que los valores de k son iguales, pues están sobre el mismo eje focal. Se sustituye el valor de k en la primera ecuación para encontrar el primer valor de h:

−10 h = −40 + 36 − 12 + 1 h=

3 2

De manera semejante, para el segundo valor de h: h=

13 2

Las duplas de coordenadas encontradas pertenecen a los vértices de cada onda: (y –1)2 = 10(x –3 2)

(y –1)2 = –10(x –13 2)

 3   2 ,1 

y 8

 13   2 ,1 

Sustituyendo en ( y2k )2564a( x 2h), se tiene que las ecuaciones son:

6 4

( y − 1) = 10 ( x − 3 2 ) 2

2

F (4,1) x

V (6.5,1)

(1.5,1)V –2

y

2

4

6

8

10

–2 –4 –6

Figura 6.12. Dos frentes de onda de forma parabólica.

12

y

( y − 1) = −10 ( x − 13 2 ) 2

El foco para ambas parábolas es F (4,1). En la figura 6.12 se presenta la gráfica de ambas ecuaciones.

6.3

■


Ejemplo 6.8 Una parábola, cuyo lado recto es igual a 8, tiene su vértice con coordenadas en V (4,0). Halla su ecuación y traza su gráfico señalando sus elementos. Si en el foco de esa parábola se encuentra la intersección de dos parábolas cuyo lado recto es la mitad de la del primero y cada una es tangente en un punto respecto de la primera, determina sus ecuaciones si uno de los focos tiene coordenadas F (6,2), además de que abren hacia arriba. Traza un gráfico donde se muestren las tres parábolas. Solución:

Por la descripción del enunciado se considera que las tres parábolas abren hacia arriba. Además, se sabe que: LR54 p, 854 p ⇒ p52

Se tienen las coordenadas del vértice V (h,k )5(4,0). El foco está determinado por las coordenadas F (h,k 1 p); por tanto: F (4,012)⇒(4,2)

La ecuación de la recta directriz está dada por: y5k 2 p, es decir, y522

Por tanto, la ecuación buscada es: ( x 24)258 y El gráfico de la primera parábola se presenta en la figura 6.13.

y

6 (x –4)2 = 8y

4

F (4,2)

2

x

2

4 V (4,0) 6

8

10

–2

Figura 6.13. Gráfica de la parábola ( x 24)2 5 8 y.

Si el lado recto de cada una de las parábolas es la mitad de la primera, o sea 4, el valor de p para éstas se obtiene de la siguiente relación: 4 p54 p51

220

Capítulo 6

■


También se conocen las coordenadas de uno de los focos, F (6,2), y se sabe de la condición de tangencia entre ellas. Para esta parábola a partir de F (h,k 1 p), se determina el valor de k : 2 = k + p⇒ k = 2 − p k = 2 − 1 k = 1

Con estos datos se encuentran las coordenadas de su vértice V (h,k )5(6,1). Para encontrar la ecuación de la recta directriz: y = k − p ⇒ y = 1− 1 y = 0

Es decir, el eje x es la recta directriz. Finalmente su ecuación es ( x 26)254( y21). Para la tercera parábola, al observar la figura y por la condición dada, se tiene que k 5422⇒k 52 y en consecuencia h52. El valor de la distancia focal será el mismo p51. El foco tendrá coordenadas F (h,k 1 p), es decir, F (2,2), y el vértice V (2,1). La recta directriz será la misma que la de la segunda parábola, o sea, y50. Con todos sus elementos definidos se puede determinar su ecuación ( x 22)254( y21). El gráfico de las tres parábolas se observa en la figura 6.14.

( x – 2 ) 2 = 4 ( y – 1)

( x – 6 ) 2 = 4 ( y – 1)

y 10

8

6

4 F ( 2,2 )

F (6,2 )

2 V (2,1) (6,1)V

–2

2

4

6

x 8

10

–2

Figura 6.14. Gráfica de las parábolas.

Ejercítate

1. Halla los elementos de la parábola ( x 26)252( y22). 2. Traza el gráfico de la parábola ( y24)256( x 22). 3. Las coordenadas del foco de cierta parábola son ( 23,2) y p522. Si la parábola abre hacia abajo, ¿cuál es su ecuación?

6.4

6.4 ECUACIÓN

■

Ecuación general de la parábola 221

Para su estudio se considera una ecuación de segundo grado con variables x , y donde el producto xy50.

GENERAL DE LA PARÁBOLA

Ax

2

+ Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

• Si A50, C Z 0, D Z 0, E ,F  R,se tiene la ecuación de la parábola con eje paralelo al eje x. Cy

2

+ Dx + Ey + F = 0

[5]

• Si A Z 0, C 50, E Z 0, D,F  R, se obtiene la ecuación de la parábola con eje paralelo al eje y. Ax

2

+ Dx + Ey + F = 0

[6]

A continuación se obtendrá la forma ordinaria de la ecuación de la parábola, a partir de [5]. Multiplicando por

1

1

Cy 2 + Dx + Ey + F = 0  C

: C y

2

+

Dx Ey C

+

C

F

+ =0

(i)

C

Se acomodan miembros y se completan cuadrados: 2

 E   E  E D F  C  2 C   y + y +  2  = − C x − C +  2  C    

2

2

 E  D E 2 − 4CF = − x +  y + 2C  2 C  4C Se simplifica: 2

 E  D  E 2 − 4CF  = −  x −   y + 2C  4CD  C   De esta ecuación se identifican las coordenadas del vértice y el foco (parábola con eje focal paralelo al eje x ):

 E 2 − 4CF − E  , ; V   4CD 2C  

 E 2 − 4CF ± 4 D 2 − E  , ; F  4CD 2C   

Además, la ecuación de la recta directriz está dada por: x =

− p + E 2 − 4CF 4C

4 p = −

D C

222

Capítulo 6

■


De manera análoga, para la ecuación [5] que representa una parábola con eje focal paralelo al eje y. Una vez dividida entre el coeficiente del término cuadrático: 2

x

+

D E F x + y + = 0 A A A

(ii)

Sus elementos son:

 − D D2 − 4 AF  , ; V   2 A 4 AE  

 − D D 2 − 4 AF ± 4 E 2  , ; F   4 AE  2 A 

4 p = −

E C

Recta directriz: y =

− p + D2 − 4 AF

4 A

Las ecuaciones [1], [2], [3], [4], [5] y [6] son posibles casos de la parábola con ejes simétricos a los coordenados; sin embargo, como se vio en el capítulo 4, existen casos donde el producto es xy Z 0, es decir, donde sus ejes son oblicuos. Un ejemplo se ilustra a continuación.

Ejemplo 6.9 Determina la ecuación de la parábola que tiene por foco el punto F (3,2) y cuya recta directriz está dada por: x 1 y1250. Solución:

Por definición de cónica y la condición de excentricidad de la parábola se establece que: 2

( x − 3) + ( y − 2) x + y + 2

2

=1

2 Se simplifica y se elevan al cuadrado ambos miembros:

(

2 ⋅ ( x − 3)2 + ( y − 2)2

( x + y + 2)

2

2

)

=1

Desarrollando: 2 ⋅ ( x − 3)

2

+ ( y − 2)2  = ( x + y + 2)

2

2 x 2 − 12 x + 18 + 2 y 2 − 8 y + 8 = x 2 + y 2 + 4 + 2xy + 4 x + 4 y Se reducen términos semejantes: x

2

− 2 xy + y 2 − 16x − 12 y + 22 = 0

6.4


■

Para comprobar que tal ecuación corresponde a la de una parábola basta con aplicar el discriminante B224 AC 50: (2)224(1)(1)50 Por tanto, se concluye que se trata de una parábola de ejes oblicuos. Para poder trazar su gráfica se aplica: m= R+ R

+ 1,

2

R =

C− A B

Pero como A5C ⇒ R50. Además, se sabe que la pendiente es la tangente del ángulo m5tan u

Sustituyendo valores y despejando el ángulo se obtiene: 1 = tanθ ⇒ θ = tan −1 (1) u545°

Los ejes de la parábola están girados o inclinados respecto de los coordenados o primitivos 45°. B

; ∀ A ≠ C A − C y como A5C , la ecuación es de la forma: Bcos2u50, despejando al ángulo u cos2u50 2u5cos–1(0) 2u590° u545° Otra manera de conseguir este resultado consiste en utilizar tan 2θ =

Como se observa, el resultado es el mismo. En la figura 6.15 se muestran las respectivas coordenadas de sus elementos, tanto en los ejes coordenados primitivos como en ejes primos.

14

y x

9

12

y

9

10 8 6 4 F (2.47,0) F (3,2) 9

2

x

V (0,0) V (1.25,0.25) 9

–4

–2 –2

2

4

6

8

10

12 14

–4 x = –2.47, y = –x –2 9

Figura 6.15. Parábola con vértice fuera del origen y de eje focal oblicuo.

224

Capítulo 6

■


Ejemplo 6.10 a) De x 222 xy1 y2216 x 212 y12250 elimina el término xy y traza la nueva gráfica, b) elimina los términos lineales y vuelve a graficar. Solución:

1 a) Se sabe que u545° y que m5tan45°51, es decir, m1 = ; por tanto (1,1) es 1 un punto localizado sobre x 9, luego por condición de perpendicularidad 1 m2 = − , y el punto (21,1) se localiza sobre y9. 1 Luego, de: A ' =

C ' =

2

+ Bx1y1 + Cy12 1(1) − 2(1) + 1(1) = =0 2 2 1+1 x1 + y1

2

+ Bx2 y2 + Cy22 1(−1) − 2(−1)(1) + 1(1) = =1 2 2 1+ 1 x 2 + y2

Ax1

Ax2

D ' =

Dx1 + Ey1

=

−16(1) − 12(1) −28 = = −14 1+ 1 2

+y Dx2 + Ey2 −16(−1) − 12(1) = = E ' = 2 2 1+ 1 x 2 + y2 2 1

x

2 1

4 2

=2

2

2

Se sustituye: y '

2

− 14

2x '+ 2 2y '+ 22 = 0

y

0

Después de la rotación 8

y

8

6

6

4

4

2

Después de la rotación y

2

x

x x

0

–4

–2

2

4

6

8

10

12 14

16

–4

–2

2

–2

–2

–4

–4

–6

–6

–8

–8

–10

–10 y '

2

−14

2 x '+ 2

2 y '+ 22 = 0

Figura 6.16. Parábola a la que se le aplicó una rotación y una traslación.

4

6

8

2

10

y ' ' = 14

12 14 16

2 x '

6.4

■


O bien,

(

y '+ 2

2

)

= 14



2  x '−

5 2 



7

 

b) La eliminación de los términos lineales se facilita, pues se sabe que el vértice

de la parábola ya girada se localiza en las coordenadas acuerdo con el capítulo 4, se tiene para este caso que:

 5 2  7 ,− 



2  , y de



x 05 x 92h y y05 y92k

Por lo cual, la ecuación se reduce a: y '

2

= 14

2 x '

Las gráficas respectivas se presentan en la figura 6.16.

Ejemplo 6.11 Un estudiante se ha propuesto determinar la ecuación que describe a una antena parabólica. Después de tomar como punto de referencia (origen) su base, determinó que la ecuación de su recta directriz es y22 x 2650 y que su foco se localiza en las coordenadas F (4,8) m. ¿Qué ecuación obtuvo y cómo podría comprobar que la ecuación obtenida represente una parábola y no otro lugar geométrico? NOTA: Considera un punto genérico con las mismas coordenadas Q(u,v). Solución:

Si Q(u,v) es un punto de la antena, aplicando la definición de parábola se tiene: FQ = Figura 6.17. Antena parabólica.

2

( 4 − u ) + (8 − v )

2

Además, por definición de parábola, la distancia que existe entre el punto Q y la recta directriz y22 x 2650 es también FQ; en caso contrario, existe un error. FQ =

v − 2u − 6

5

Se iguala: 2

2

( 4 − u ) + (8 − v ) =

v − 2u − 6

5

Se elevan al cuadrado ambos miembros: 2 2 2  ( v − 2u − 6)  4 − + 8 − = u v ( ) ( )   2  5

2

( )

Desarrollando: 5(16 − 8u + u

2

+ 64 − 16v + v2 ) = v2 + 4u2 + 36 − 4uv − 12v + 24u

226

Capítulo 6

■


Se simplifica: u

2

+ 4uv + 4v 2 − 64u − 68v + 364 = 0

Para comprobar que se trata de una parábola, aplicamos la condición del discriminante b224ac50. Se sustituyen valores: 4 2 − 4 ⋅1⋅ 4 = 0 16 − 16 = 0 Por el resultado obtenido se comprueba que se trata de una parábola.

Ejemplo 6.12 La recta directriz de cierta parábola está dada por la ecuación y12 x 1250 y su foco tiene por coordenadas F (4,0). Determina la ecuación de esa parábola y analiza el resultado. Solución:

De la definición de parábola, 2

( y + 2 x + 2) = ( 4 − x ) + ( 0 − y )

2

Se eleva al cuadrado para eliminar el radical del segundo miembro y se desarrollan sus binomios, así como el trinomio cuadrado que se forma en el primer miembro: y

2

+ 4 x 2 + 4 + 4 xy + 8 x + 4 y = 16 − 8 x + x 2 + y 2

Se simplifica: 3 x 2 + 4 xy + 16 x + 4 y − 12 = 0 Se aplica la relación b224ac50 a la ecuación encontrada: 42 − 4⋅ 3⋅ 0 ≠ 0 16 ≠ 0 La ecuación obtenida no corresponde a una parábola, sino a una hipérbola de ejes oblicuos.

Ejercítate

1. Dadas las siguientes ecuaciones de parábola, obtén su forma ordinaria y traza su gráfica mostrando todos sus elementos. a) x 225 x 13 y2750 c) x 223 y2150

b) y217 x 2250 d) y222 x 24 y2350

2. Determina la ecuación de la parábola para cada una de las condiciones dadas: a) V (4,6), p53 y eje focal paralelo al eje y. 3 y eje focal paralelo al eje x . b) F (23,2), p = 2 c) F (21,0) y recta directriz x 522. d) V (3,21), contiene al punto (5,7) y su eje focal es paralelo al eje y.

6.5

6.5 ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA QUE PASA POR TRES PUNTOS

■

Ecuación de la parábola que pasa por tres puntos 227

Es posible obtener la ecuación de una parábola que pasa por tres puntos apoyándose en las ecuaciones analizadas hasta el momento. Si P( x 1, y1), Q( x 2, y2) y R( x 3, y3) son tres puntos de una parábola con eje focal paralelo al eje x , se puede utilizar [5] para determinar su ecuación general por medio de un determinante, como se muestra a continuación: 2

x

y

1

2 1

x1

y1

1

2

y2

x2

y2

1

2

x3

y3

1

y y

y3

=0

Una posible solución es:

(

C = x1 y2 − y3

)+ x (y − y )+ x (y − y ) 2

3

1

3

1

2

(

2

− y32 ) + y2 ( y32 − y12 ) + y3 ( y12 − y22 )

E = x1 y3

(

2

− y22 ) + x2 ( y12 − y32 ) + x3 ( y22 − y12 )

(

2

D = y1 y2

F = x1 y2 y3 − y3 y2 2

)+ y (y y − y y )+ y ( y y 2

2

3

2

1

1

2

3

3

1

2

− y22 y1 )

Lo anterior permite obtener directamente la ecuación: Cy21 Dx 1 Ey1F 50

Si la parábola tiene eje focal paralelo al eje y, el arreglo del determinante es de la forma: 2

x

y

1

x1

2

x1

y1

1

x 2

2

x2

y2

1

2

x3

y3

1

x

x3

=0

De manera análoga,

(

A = x1 y2 − y3

)+ x (y − y )+ x (y − y ) 2

3

1

3

1

2

 y1 ( x22 − x32 ) + y2 ( x32 − x12 ) + y3 ( x12 − x 22 )   D = A

 x1 ( x32 − x22 ) + x2 ( x12 − x32 ) + x3 ( x22 − x 12 )   E = A

 x1 ( x22 y3 − x32 y2 ) + y2 ( x32 y1 − x12 y3 ) + y3 ( x12 y2 − x 22 y1 )   F = A

Y se obtiene directamente la ecuación: Ay21 Dx 1 Ey1F 50

Si el método anterior no te convence, puedes utilizar alguna de las ecuaciones de la parábola en forma ordinaria y de ahí determinar la ecuación que satisface las condiciones dadas. En el siguiente ejemplo se dan dos alternativas para resolver este tipo de problemas.

228

Capítulo 6

■


Ejemplo 6.13 a) Halla la ecuación de la parábola cuyo eje focal es paralelo al eje x , y pasa por los puntos A(0,0), B(8,24), C (3,1) y b) di cuál es su forma ordinaria e indica en una gráfica sus elementos. Solución 1:

a) Si se utilizan ecuaciones simultáneas, tomando como modelo a Cy21 Dx 1 Ey1F 50 (la parábola tiene su eje focal paralelo al eje x ):

Primero se despeja al término cuadrático: 2

+

2

+

y

D E F x + y + = 0 C C C

Se sustituyen los puntos dados: Para el punto A(0,0): (0 )

D

E F ( 0 ) + (0 ) + = 0 C C C

F

⇒ =0

(i)

C

Se sustituyen el punto B(8,24): (−4)2

+

D

E F (8) + (−4 ) + = 0 C C C

D E F 8 − 4 + = −16 C C C

(ii)

Por último, el punto C (3,1):

(1)

2

+

D

E F (3) + (1) + = 0 C C C

D E F 3 + + = −1 C C C

(iii)

Resolviendo por ecuaciones simultáneas el sistema formado por ( i), (ii) y (iii) se tiene que: F C

= 0,

D C

= −1,

E C

=2

Se sustituyen estos valores en la ecuación general:

+ (−1) x + 2 y + 0 = 0 2 y − x + 2 y = 0 y

2

Solución 2:

Se aplica el método propuesto del determinante (utilizando el método de CHIO y menores cofactores):

6.5

■


( −4 − 1) + 8 (1− 0 ) + 3( 0 + 4 ) = 20 D =  0 (16 − 1) − 4 (1 − 0 ) + 1( 0 − 16 )  = −20 E =  0 (1 − 16 ) + 8 ( 0 − 1) + 3(16 − 0 )  = 40 F =  0 (16 ⋅1 − 1⋅−4 ) + 8 (1⋅ 0 − 0 ⋅ 1) + 3( 0 ⋅−4 − 16 ⋅ 0 )  = 0 A = 0

La ecuación es: 20 y2220 x 140 y50 O bien, y22 x 12 y50

que es la misma ecuación obtenida con el primer método. b) Su ecuación en forma ordinaria es:

( y11)25 x 11 Su vértice y foco tendrán de coordenadas:

(

)

V −1, −1

4 p = 1 p =

1

4 F (− 3 , −1) 4

La ecuación de su recta directriz es: x = h − p ⇒−1 − 1

4

=− 5

4

LR = 1

La gráfica de la parábola se presenta en la figura 6.18.:

2

y (y +1)2 = x +1

• •

–2

• • –2

–4

Figura 6.18. Parábola que pasa por tres puntos.

x 2

4

230

Capítulo 6

■


Miscelánea de ejemplos 1. En el siguiente ejemplo se consideran la ecuación x 254 px y diferentes coordenadas del foco. Se muestran los respectivos valores de p y la ecuación de la parábola en cada caso; al final se muestran en una sola gráfica todas las ecuaciones. Analiza e identifica por observación los datos mostrados.

Coordenadas del foco

Distancia focal, p

 1  ,0  16    1  F  , 0  8   1  F  , 0  4   1  F  , 0   2   3  F  , 0  4 

p =

F (1, 0)

p = 1

F ( 2, 0 )

p=2

F

p= p =

1 16 1 8 1 4

p=

1

p =

3

2 4

y

Ecuación 2

y y y

2

2

= =

1 4 1 2

y 2 = 4x

8 6

y 2 = 2x

x 4

x

= x

2

2

= 2 x

1 x 2

y 2 =

1 x 4

x

–2

2

4

6

8

10

12

–2

y

y 2 =

14

16

18

–4 y 2 = x

–6

y

2

= 3x

= 4 x 2 y = 8 x

y

–8

y 2 = 3 x

2

Tabla 6.1. Datos de diferentes parábolas.

–10 y 2 = 8x

Figura 6.19. Gráfica de las parábolas.

2. Un cantante de trova se presenta a tocar en un escenario con forma parabólica, como el que se ilustra en la figura 6.20. Si sólo cuenta con una bocina, ¿dónde deberá colocarla para que el sonido llegue de manera uniforme al público?

•

(10,6) m

Figura 6.20. Escenario de forma parabólica.

6.5

■


Solución:

El escenario obedece a una ecuación de la parábola de la forma y254 px ; además, se conoce un punto (10,6). El lugar que se pide encontrar es el foco. Al sustituir el punto en la ecuación: (6)254 p(10) y se obtiene: p =

9 10

= 0.9

Si el foco se localiza en ( p,0), entonces la bocina debe colocarse en (0.9,0). Su ecuación es: y253.6 x

3. Un alpinista quiere llegar a la cima de una montaña, pero su ruta se encuentra bloqueada por una avalancha. Ahora tiene dos opciones. La primera consiste en descender y ascender más de 1 600 metros y la segunda es dar un salto horizontal de 6.0 metros y asegurarse en un risco, con un descenso de 8.0 metros. Si se decide por la segunda posibilidad, ¿cuál será la ecuación de su trayectoria? Solución:

Si se toma como origen el punto de partida, se tiene que el punto donde se impacta es (6,28). Luego, el modelo de la ecuación que describe la trayectoria es: x 254 py

Se sustituye el valor de las coordenadas: (6)254 p(28) de donde: p521.125

Por tanto, la ecuación buscada es: x 2524.5 y La figura 6.21 muestra una gráfica de la trayectoria.

y x

2

4

–2 –4 –6 –8

Figura 6.21. Trayectoria parabólica del alpinista.

6

8

232

Capítulo 6

■


4. En física, dentro del tema dinámica de fluidos, una demostración común consiste en estudiar un cilindro sin tapa con varios orificios con sello a diferentes alturas. El cilindro se llena con agua y se mantiene a una altura constante, con alimentación externa. Después, se quitan los sellos y el agua brota, describiendo medias parábolas, como se muestra en la figura siguiente. De acuerdo con los datos, determina: a) la velocidad de salida en cada orificio y b) la ecuación de cada trayectoria. NOTA: Utiliza el principio de Bernoulli, P1 +

1

2

ρ v1

+ ρ gh1 = P2 +

1

2

ρ v 2 + ρ gh2 . Igno-

2 2 ra las diferencias de presión que implican los pequeños cambios de altura y considera 90 cm 80 cm 70 cm 60 cm 50 cm

la velocidad inicial v150. En un tiro horizontal viy50, vix 5vi, y es constante, el tiem2y , g59.8 m/s2. po de caída libre es t = g Solución:

a) Para calcular la velocidad de salida, a partir de la ecuación que describe el principio de Bernoulli y de acuerdo con las condiciones dadas P15P2, v150, la densidad del fluido es constante; por lo tanto: v2 = 2g( y1 − y2 )

Para el primer orificio de arriba hacia abajo: vs1 = 2 g(0.9 − 0.8) = 1.40 m/s

Figura 6.22. Cilindro sin tapa y con nivel de agua constante.

Para el segundo:

vs2 = 2g(0.9 − 0.7) = 1.97 m/s

Para el tercero:

vs3 = 2 g(0.9 − 0.6) = 2.42 m/s

Para el cuarto:

vs2 = 2g(0.9 − 0.5) = 2.80 m/s

b) La ecuación de cada trayectoria será de la forma ( x 2h)2524 p( y2k ). El valor por determinar es el de 4 p, pero es necesario calcular primero el de x .

La velocidad horizontal es constante, de v =

x

⇒ x = vt , es decir, el alcance de cada t chorro será igual al producto de su velocidad de salida por el tiempo que tarde en to2y car la superficie, x = v g s

Superficie del agua

0.1

0.9 m 0.8 m 0.7 m 0.6 m 0.5 m

–0.1 –0.2 –0.3 –0.4 –0.5 –0.6

0.2

0.3

0.4

0.5

6.5


■

El alcance del primer chorro es:

x = 1.40

2(0.8)

El del segundo:

x = 1.97

2(0.7)

El del tercero:

x = 2.42

2(0.6)

Y finalmente, el del cuarto:

x = 2.80

2(0.5)

= 0.565 m

9.8

= 0.744 m

9.8

9.8

9.8

Ahora sólo falta calcular para cada caso: 4 p =

= 0.846 m = 0.894 m

( x − h)2

−( y − k )

Para el primer chorro de agua se tiene el vértice en (0, 20.1) 4 p =

(0.565 − 0)2

−(0.8 + 0.1)

= −0.354

x

2

= −0.354( y + 0.1)

La ecuación del segundo orificio tiene su vértice en (0,20.2) 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

4 p =

–0.1 –0.2

4 p =

–0.4

= −0.615

x

2

= −0.615( y + 0.2)

(0.846 − 0)2

−(0.6 + 0.3)

= −0.795

x

2

= −0.795( y + 0.3)

Y por último, para el cuarto orificio (0,20.4)

–0.6

Figura 6.23. Trayectorias de medias parábolas.

−(0.7 + 0.2)

En el tercer orificio, el vértice se localiza en (0,20.3)

–0.3

–0.5

(0.744 − 0) 2

4 p =

(0.894 − 0)

2

−(0.5 + 0.4)

= −0.888

x

2

= −0.888( y + 0.4)

La gráfica se observa en la figura 6.23.

5. En un partido de futbol, un jugador golpea la pelota y ésta describe una trayectoria parabólica que puede analizarse mediante la ecuación 2 x 22 88 x 1120 y50. Toma como origen el punto de partida, las unidades en metros y determina: a) el vértice de la parábola, b) el valor de p y c) la altura y alcance máximos. Solución:

a) Para determinar el vértice se lleva la ecuación de la parábola a la forma ordinaria:

2 x 2288 x 1120 y50

(i)

( x 2244 x )5260 y

(ii)

Se ordena:

234

Capítulo 6

■


Se completa al cuadrado y se factoriza: 2

2

 44   44  x − 44 x +   = −120 y +    2   2  2  121 ( x − 22) = −60  y − 15   2

De aquí se puede establecer que el vértice es:

 

V  22,

121 15

 

b) El valor de p se obtiene al considerar la ecuación ( x 2h)254 p( y2k ), es decir,

4 p = −60 p = −15 c) La altura máxima se localiza en la coordenada k del vértice: k =

121 15

≈ 8.0 m

Para obtener el alcance máximo, considera el sistema de referencia dado, es decir, donde tanto la posición inicial como final es cero. Por tanto, de (ii):

y 40 30

( x

2

( x

2

− 44 x ) = −60 y − 44 x ) = −60(0)

x = 44

20

V (22,8.0)

10

x 10

20

30

40

alcance

O por simetría de la parábola, si el vértice tiene coordenada en h522, el otro extremo se localiza al doble de esta distancia, es decir en x 544. La gráfica de la ecuación permite una mejor comprensión, como se muestra en la figura 6.24.

6. Determina los puntos de intersección de las parábolas y2510 x y y22 6 x 13 y2550. Después, traza la gráfica correspondiente.

Figura 6.24. Alcance máximo. Solución:

Se forma un sistema de ecuaciones con las ecuaciones dadas y2510 x y226 x 13 y2550

De (i) se despeja x y se sustituye en ( ii): y

2

 y 2  − 6   + 3 y − 5 = 0  10 

2 2 y + 3 y − 5 = 0 5 Se ordena para obtener: 2 y2115 y22550

(i) (ii)

6.5


■

cuyas soluciones son: y51.403 y528.903

Los valores de x son: x 50.196 x528.903

como se muestra en la figura 6.25.

3 y

• –3

x

3

6

9

–3

–6

–9

•

Figura 6.25. Intersecciones de parábolas.

7. Una de las aplicaciones comunes de la parábola se encuentra en la construcción de puentes. En la figura 6.26, determina la ecuación de la parábola que describe la catenaria o arco, de acuerdo con los datos mostrados.

400 m 100 m

Figura 6.26. Construcción de puentes.

Solución:

Para facilitar la obtención de la ecuación, el origen se coloca en el vértice del sistema de referencia.

236

Capítulo 6

■


De esta manera, la ecuación buscada es de la forma x 254 py. En estas condiciones la torre de la derecha en la parte más alta tendrá coordenadas (200,100). Sustituyendo en el modelo propuesto se tiene: (200)254 p(100) 4 p5400 Es decir, la ecuación que describe la catenaria es: x 25400 y

8. El radiotelescopio de Effelsberg tiene un diámetro de reflector de 100 metros y su distancia focal es de 30 metros (al foco primario). a) Con estos datos, determina su ancho focal y la ecuación que describe su forma parabólica. b) Si el radiotelescopio tiene un ángulo de elevación de 30°, ¿cuál será la ecuación que describe su posición? Aunque entró en funcionamiento en 1972, con 100 metros de diámetro, el telescopio de Effelsberg es uno de los mayores radiotelescopios móviles del mundo. Puede sintonizarse para recibir ondas de radio con longitudes desde 90 cm hasta 3.5 mm. Las observaciones a pequeñas longitudes son posibles y, gracias a su diseño especial, las deformaciones elásticas de la superficie de acero no se alejan de una superficie parabólica ideal en más de 0.5 mm. El desplazamiento de la posición del foco —por las deformaciones que provoca la inclinación variable de la superficie parabólica— se compensa electrónicamente.

Figura 6.27. El telescopio Effelsberg. (http://www.mpifr-bonn.mpg.)

Solución:

a) Conviene poner la antena de forma que el eje focal quede sobre el eje x y el vértice en el origen, como se aprecia en la figura 6.28.

y

60 40 20 x

–20 –20

20

40

60

80 100 120

–40 –60

Figura 6.28. Parábola con vértice en el origen y de eje focal horizontal.

6.5

■


El ancho focal es igual al lado recto. Luego se conoce la distancia focal, p530, por tanto, 4 p5120. Por lo que la ecuación buscada es y25120 x . b) Lo que se tiene que plantear es una rotación de la ecuación anterior; para ello es necesario recordar que: x 5 x 9cosu2 y9senu y5 x 9senu2 y9cosu

Además de que cos30° = x =

3 2

x '−

1 2

y ' y y =

1 2

1 y sen30°= , 2 2 3

x '+

3 2

es decir,

y '. Sustituyendo en la ecuación y25120 x se tiene:

 1  2 x '+ 

2

3 2

  3 1  y ' = 120  x − y  2    2

Se simplifica: x '

2

+ 3.464 x ' y '+ 3y '2 − 415.69 x '+ 240 y ' = 0

cuya gráfica es: y

150 120 90 60 30 –30 –30

x

30

60 90 120 150 180

–60

Figura 6.29. Parábola de eje focal oblicuo.

9. Determina los puntos de intersección entre la recta 3 x 24 y21650 y la parábola ( x 24)2510( y13). Después traza un gráfico. Solución:

Se plantea el siguiente sistema de ecuaciones: ( x − 4 )2 = 10( y + 3) y =

3 4

x − 4

Al sustituir (ii) en (i) se obtiene:

 3  x − 4 + 3  4  2 x 2 − 31x + 52 = 0 ,

( x − 4)2 = 10 

(i) (ii)

238

Capítulo 6

■


cuyas soluciones son: x = 13.586 x = 1.913

Al sustituir en (ii), se obtienen los puntos de intersección: (13.586, 6.189) (1.913, −2.565) como se indica en la figura 6.30.

y 12 9 6 3 x –3

3

6

9

12

15

–3 –6

Figura 6.30. Intersecciones de la recta y la parábola.

10. Se pretende diseñar un faro para automóvil de forma parabólica de 8 cm de profundidad y 20 cm de diámetro. ¿Dónde se debe colocar la fuente luminosa para generar un haz de rayos paralelos? Solución:

Para determinar el lugar exacto se puede utilizar la ecuación y254 px , y despejar p, pues corresponde a la distancia focal. De esta manera se podrá ubicar el foco de la parábola. Si se hace coincidir el vértice en el origen del sistema se puede localizar el punto (8,610). Al sustituir en la ecuación dada se obtiene: (10)2 = 4 p(8) p = 3.125

Por tanto, la fuente luminosa debe colocarse a 3.125 cm del vértice, como muestra la figura 6.31.

6.5

■


Figura 6.31. Diseño de un faro de automóvil.

11. Es posible demostrar que la ecuación de una línea recta tangente a una parábola está dada por cualquiera de las siguientes expresiones: y − y1 =

O bien,

y − y1 =

y1 − k

2( x1 − h) 2( y1 − k ) x1 − h

( x − x 1 ), cuando la parábola es horizontal

( x − x 1 ), si la parábola es vertical.

Pero antes de aplicar tales expresiones, verifica que el punto dado pertenezca a la parábola, sustituyéndolo en la ecuación. Si no se cumple la igualdad, no hagas caso de las expresiones anteriores y concluye. Determina la ecuación de la recta tangente a la parábola ( x 24)258( y13) en los puntos: a) (23,3) y b) (0,21). Solución:

a) Primero se comprueba que el punto dado pertenezca a la parábola, para lo que se sustituye en la ecuación:

(−3 − 4)2 = 8(3 + 3) 49 ≠ 48 Como no se satisface la igualdad, se concluye que no existe una línea recta tangente a la parábola en ese punto. Si aplicas la expresión dada para determinar la posible ecuación sin verificar, obtendrías: 12 x 17 y11550 Como se observa, aun cuando el punto dado no pertenece a la parábola, la expresión ofrece una ecuación de una recta, pero no es tangente a la parábola.

240

Capítulo 6

■


b) De nuevo, comprueba que el punto dado satisfaga a la ecuación de la parábola:

(0 − 4 )

2

= 8( −1+ 3)

16 = 16 Como la satisface, se procede a aplicar la expresión y − y1 =

2( y1 − k ) x1 − h

obtener la ecuación de la recta tangente; h54, k 523: y − (−1) =

2(−1 − (−3)) 0−4

( x − x 1 ) para

( x − 0)

y + 1 = − x x + y + 1 = 0

Lo anterior se ilustra en la figura 6.32.

y

y

•

4

x

12x + 7y + 15 = 0

–1

• No es tangente

3 Sí es tangente

1

2

–1 •

y

3 2 1

–3 –2 –1 –1 •

2

x

1

2

3

4

–2

–2

–3 x + y + 1 = 0 –3

1 x

–4

Figura 6.32. Tangente a la parábola.

RESUMEN ✓

Descripción o datos conocidos

Parábola. Se define como parábola el lugar geométrico que recorre un punto que se mueve en un plano, de forma que la distancia de este punto a una recta fija es igual a la distancia entre aquél y un punto fijo. La recta fija se llama recta directriz y el punto fijo se define como foco de la parábola.

Vértice

Foco

Recta directriz

Eje focal (de simetría) paralelo al eje x

V (0,0) V (h,k )

F (6 p,0) F (h6 p,k )

x 6 p50 x 6 p2h50

y2564 px ( y2k )2564 p( x 2h)

i) Si p.0, (1) abre hacia la derecha. ii) Si p,0, (2) abre hacia la izquierda.

Eje focal (de simetría) paralelo al eje y

V (0,0) V (h,k )

F (06 p) F (h,k 6 p)

y6 p50 y6 p2k 50

x 2564 py ( x 2h)2564 p( y2k )

i) Si p.0, (1) abre hacia arriba. ii) Si p,0, (2) abre hacia abajo.

Ecuación

El signo de p y la abertura de la parábola.

Problemas 241


Ecuación o definición

El valor de p

p, es la distancia que existe entre el vértice y el foco. La distancia focal.

El lado recto (latus rectum) o ancho focal

L1L2 = 4 p y

2

+ Dx + Ey + F = 0

k = − E

2

Cy

Ecuación general de la parábola

2

F − k

x

2

;h=

4 p

; p =

− D

+ Dx + Ey + F = 0; p =

4

− D 4C

Recta directriz x =

2

+ Dx + Ey + F = 0

h = −D

Ax

2

2

; k =

F−h

4 p

2

; p =

− E

+ Dx + Ey + F = 0; p =

4

− E 4 A

Recta directriz

− p + E 2 − 4CF

D

4C

C

, 4 p = −

y =

− p + D2 − 4 AF 4 A

E , 4 p = − C

 E 2 − 4CF − E E  Vértice V  ,  4CD 2C  

 D2 − 4 AF − D D  Vértice V  ,  4 AE 2 A  

 E 2 − 4CF ± 4 D 2 − E  Foco F  , 4CD 2C   

 − D D2 − 4 AF ± 4 E 2  Foco F  ,  4 AE  2 A 

PROBLEMAS Resuelve los siguientes problemas.

1. Traza en un mismo plano las gráficas de las siguientes parábolas: a) x 254 y

b) x 2524 y

c) y254 x

d ) y2524 x

2. Una antena parabólica con diámetro de 2.0 metros y 0.8 metros de profundidad tiene en su colector de señal el foco. ¿Cuáles son las coordenadas de éste? NOTA: Considera que la antena está en posición horizontal y que el vértice se localiza en el origen. Respuesta: F (0.3125,0) 3. Encuentra el vértice, el foco y la recta directriz de las parábolas definidas con las siguientes ecuaciones:

242

Capítulo 6

■


Respuestas

a) 5 x

2

+ 2 x + y + 50 = 0

b) 3 x

2

+ 6 x + 3 y + 12 = 0

V

V ( −1, −12 ) , F

) 2 x 2 + 4 x + y + 14 = 0 2

d ) 5 x

( −1,− 97 8 ), y = − 95 8

+ 40 x + 20 y + 101 = 0 5

+ 6 x − 36 y + 39 = 0 2 f ) 2 y − 8 y − 20 x + 28 = 0 e ) 3x

(− 15 ,− 249 5 ), F ( − 15 ,− 997 20 ), y = −199 4

2

V ( −1,1) , F ( −1, 4 ) , y = −2

4. Encuentra la intersección de la recta x 1 y2650 y la parábola x 258 y y traza sus gráficas.

y

•

18

Respuesta: (4,2) y (212,18)

15

5. Determina los puntos de intersección de la circunferencia x 21( y23)2512 y de la parábola y226 y1 5 x 1150 y muéstralos en una gráfica.

12

6. Para cada uno de los siguientes ejercicios, determina la ecuación de la parábola que satisfaga las condiciones dadas.

3

9 6

–12 –9 –6

–3 –3

3

•

x

6

9

Prob. 4.

Respuestas: a) Foco (4,0), Recta directriz x 1450 y2516 x b) Foco (26,24), Recta directriz y2850

( x 16)25224( y22)

7. Halla la ecuación de la parábola cuyos extremos de su lado recto son los puntos (22,4) y (22,24) y considera que su foco está a la izquierda del vértice. 8. En los siguientes ejercicios halla los puntos de intersección de las ecuaciones dadas. Se sugiere trazar sus gráficas primero. Respuestas:

− 12 y − 6 x + 24 = 0, 4 y 2 − 16 y + 8 x − 128 =0 2 2 b) 2 y − 16 y − x + 35 = 0, x − 22 x + 1 2 y + 145 = 0 2 2 c) x = y , x = 8 − y a) 3 y

2

(10, 6), (10, −2) ( 5, 5) , (11, 2), (18.58,6.79) ( 4, 2) , ( 4, −2)

9. Una antena está diseñada de manera que la sección transversal que pasa por su eje es una parábola con foco en el receptor de la señal. La antena mide 5 pies de ancho en la abertura y 0.8 pies de profundidad. Localiza su foco. 10. La sección vertical de un recipiente es una porción de parábola que tiene 6 metros de abertura y 3 metros de flecha (profundidad). Encuentra la ecuación de la curva. Respuesta:

x 253 y

Problemas 243

11. El tramo de un puente colgante está distribuido de manera uniforme entre dos torres gemelas separadas por 180 metros y tienen una altura de 45 metros sobre el viaducto. El cable que pende de ellas adopta una forma parabólica, cuyo punto más bajo está a 5 metros del camino. a) Obtén la ecuación de la parábola. b) Si para sostener el puente se utilizan nueve cables verticales igualmente separados y fijos al que une las torres, di cuál es la longitud total de los soportes.

12. Se coloca un reflector con forma parabólica a una altura de 10 metros, cuya abertura es de 30 cm y su profundidad es de 25 cm. Encuentra el foco y determina qué longitud aproximada iluminará a esa altura.

(

F 0, − 9

Respuesta:

4

), aproximadamente 1,89 m.

13. Al pie de una colina se dispara un cohete que sigue una trayectoria dada por 1 2 y = − ( x − 20 x ). Si la inclinación de la colina está descrita por la ecuación 10 1 y = x , encuentra el punto en el que caerá el cohete (punto de intersección), la 5 altura máxima que alcanzará y cuál será la distancia de su trayectoria. 14. A partir de las siguientes ecuaciones de parábola, encuentra su forma ordinaria y determina la dupla de coordenadas del centro. Respuestas 2 a) 2 y + 4 x + 10 y + 30 = 0

y

6

2 x

–6

–4

–2

2

4

6

–2 –4 –6

Figura 6.33. Intersecciones de parábolas. Prob. 15.

2

2

) = −2( x − 5),

− 4x + 4y + 5= 0 2 2 c) y − x − 4 y − 2 = 0 ( y − 2) = x + 6 2 d ) 3x + 18 x + 21y + 41= 0 2 2 e) x − 8 xx + 12 y + 17 = 0 ( x − 4 ) = −12 x + b) x

4

(

y+ 5

(

C 5, − 5

2

)

2

(

C ( 0, 2 )

) (

1 , C 4, − 1 12 12

)

15. Las ecuaciones de dos parábolas son y53 x 224 x 23 y y52 x 223 x 15. Calcula los puntos en los cuales se cortan. Traza su gráfica. 16. La recta directriz de una parábola es 2 y23 x 14 y su foco tiene la dupla de coordenadas (21,2). Determina la ecuación de la parábola. Respuesta:

5 x 2212 xy216 x 124 y2450

Actividad en equipo 1. Investiguen otras formas de construir una parábola. Sugerencia: Apóyense en libros de dibujo técnico o en Internet. 2. Hallen los puntos de intersección de las parábolas ( x 22)2528( y23) y ( x 21)25 16( y21) (Verifiquen sus resultados con algún software y construyan la gráfica del problema.)

244

Capítulo 6

■



1. ¿Cómo defines el concepto de parábola? 2. Di cuáles son los elementos de una parábola. 3. Cuánto vale la excentricidad de una parábola. 4. Si el vértice de una parábola se localiza en el punto (22,3) y p52, determina su ecuación, si abre hacia arriba. 5. ¿Qué condiciones debe presentar la ecuación Ax 21 Bxy1Cy21 Dx 1 Ey1F 50 para que corresponda a una parábola con eje focal paralelo al eje x ?

CAPÍTULO

7

La elipse (un instante lejos, otro cerca, pero siempre la misma distancia)

Florencia.

Una de las aplicaciones de la elipse la encontramos en la construcción de puentes.

París. Hermosa panorámica desde la

base de la torre Eiffel, construida con un arco semielíptico.

A saber, la forma de todo el universo es de lo más perfecto y, de hecho, diseñada por el creador más sabio. Nada ocurrirá en el mundo sin que destaque, de alguna manera, la presencia de alguna regla máxima o mínima. Euler ¡Avanzamos, avanzamos, avanzamos!… Vosotros vivís rodeados de calor, luz y molicie. Nosotros avanzamos a través de la helada, de la tormenta, de la nieve profunda… No conocemos el descanso ni la alegría… Llevamos sobre nuestros hombros el peso de la vida, la nuestra y la vuestra… Avanzamos, avanzamos, avanzamos… Anton Chéjov Si deseas encontrar la verdad, la pura verdad, no te preocupes por lo correcto o incorrecto. El conflicto entre lo uno y lo otro es una enfermedad de la mente. Yen-Men Cuando se tienen dos puntos colineales y otro moviéndose alrededor de ellos, el cual conserva una distancia mayor a la que existe entre los dos primeros, se describe una elipse. Uno de los grandes logros de Johannes Kepler y de Isaac Newton fue la descripción del movimiento de los planetas, pues por largo tiempo se pensó que giraban alrededor de la Tierra; incluso se pensaba que el Sol giraba en torno a ella. Posteriormente, se pensó que los planetas giraban en círculo alrededor del Sol. Finalmente, estos pensadores observaron, describieron y demostraron que los planetas giraban, pero en forma elíptica. Incluso, Halley describió de esta forma la órbita del cometa que hoy lleva su nombre. Logros como éste y otros más en la construcción y mecanismos, por citar algunos, son claras muestras de las aplicaciones de la elipse.

245

246

Capítulo 7

■


La elipse se define como el lugar geométrico formado por todos los puntos cuya suma de distancia a dos puntos fijos es constante. Estos puntos fijos se llaman focos de la elipse. Considera la figura 7.1:

7.1 DEFINICIÓN DE ELIPSE

•

P l'

P

l F

F'

•

•

F'

F

Figura 7.1. La elipse.

F y F 9 son los focos de la elipse, el segmento FF ' se llama eje focal, mientras que l y l9 son los radio vectores. 1

La suma de los segmentos PF ' y PF es igual a una constante que llamaremos 2a, es decir, PF ' + PF = 2a

(i)

l + l ' = 2a

La distancia focal se conoce como 2c: FF ' = 2c

(ii)

Puesto que PF ' + PF > F ' F : 2a.2c o bien, a.c

(iii)

En forma gráfica:

P (x,y )

•

a b

•

F (c,0) 9

c

•

F (c,0)

Figura 7.2. La relación entre a, b y c. 1

Este término comúnmente se utiliza en física para denotar un punto que se mueve en el plano.

7.2

■

Ecuación ordinaria de la elipse con eje focal paralelo al eje x 247

Por trigonometría: a25b21c2

(iv)

Esta relación es básica y de gran ayuda para determinar las ecuaciones de la elipse, hacer aplicaciones y resolver problemas en general.

7.2 ECUACIÓN

Considera la siguiente figura:

ORDINARIA DE LA ELIPSE CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE x

y

P (x,y ) a

B

b

V 9(–a,0)

V (a,0)

c O

F 9(–c,0)

x

F (c,0)

Figura 7.3. Elipse horizontal.

Se trata de una elipse localizada en un plano cartesiano. Para determinar su ecuación es necesario recurrir a su concepto, es decir, PF ' + PF = 2a

Al determinar la longitud de los segmentos con la ecuación de distancia entre dos puntos se tiene: 2

2

2

2

( x − ( −c )) + ( y − 0 ) + ( x − c) + ( y − 0 ) = 2a

(i)

Ordenando: 2

2

( x + c ) + y = 2a − ( x − c ) + y 2

2

(ii)

Al elevar al cuadrado ambos miembros y al desarrollar los binomios se transforma en: 2

     ( x + c ) + y  =  2a − ( x − c ) + y  2

x

2

+ 2 xc + c + y = 4a − 4a 2

2

2

2

2

2

2

( x − c) 2 + y 2 + x 2 − 2 xc+ c 2 + y 2

4 xc = 4 a 2 − 4a

2

( x − c) + y

2

248

Capítulo 7

■


Se simplifica: 2

( x − c ) + y = a − xc

a

2

2

(iii)

Se eleva al cuadrado una vez más para eliminar la raíz y al factorizar por términos semejantes se reduce a: 2

2

−x

c

2

+c =a =a −b 2

2

2

2

x a

2

+a

2

y

2

=a −a 4

2

c

2

(iv)

Utilizamos la relación: b c

2

2

Se sustituye el valor de c2 en la expresión ( iv): x a

2

2

2

2

x b

Multiplicando por

−x +a

1 2

a b

2

2

(a 2 − b 2 ) + a 2 y 2 = a 4 − a 2 ( a 2 − b 2 )

2

y

2

=a

2

b

2

, se reduce a: 2

x a

2

+

y

2

b

2

=1

[1]

que corresponde a la ecuación ordinaria (centro en el origen) de la elipse con eje focal paralelo al eje x . Observa que a es la distancia de cualquier vértice al centro (el semieje mayor) a = VC , c es la distancia entre el foco y el centro, c = FC y b es la distancia entre el

centro y los extremos (el semieje menor).

Características y elementos de la elipse con eje focal paralelo al eje x: 1. Es simétrica respecto de los ejes x y y. 2. Las coordenadas de sus focos son F (c,0) y F (2c,0). 3. Las coordenadas de sus vértices V (a,0) y V 9(2a,0) también se llaman extremos del eje mayor. 4. Las coordenadas de los extremos de su eje menor o semieje son B(0,b) y B9(0,b). 5. El punto medio del eje focal o del eje mayor se conoce como centro de la elipse. 6. La distancia VV ' se conoce como eje mayor de la elipse. La distancia BB ' se conoce como eje menor o semieje de la elipse, donde VV ' = 2a consecuencia a.b.

BB ' = 2b;* en

7.2.1. Excentricidad de la elipse Se define como excentricidad e de la elipse a la relación que hay entre la distancia del eje focal 2c y el eje focal 2 a, es decir, e=

*

2c 2a

⇒e=

c a

Nota: También se denota como EE ' = 2b, es decir, EE ' = BB '.

7.2

■

Ecuación ordinaria de la elipse con eje focal paralelo al eje x 249

O de acuerdo con la relación c25a22b2: a

e=

2

−b

2

a

2

 b  = 1 −    a 

Para la cual existen dos casos particulares:

Caso 1 Si c50⇒e50, los focos coinciden y la elipse se convierte en una circunferencia.

Caso 2 Si c5a, se tiene una línea recta. En consecuencia, la excentricidad de una elipse estará entre 0 y 1, es decir,. 0,e,1.

7.2.2. El lado recto de la elipse El lado recto o ancho focal ( latus rectum) es la cuerda perpendicular al eje mayor que pasa por cada foco (la elipse tiene dos latus rectum), y está dada por la relación: LR =

2b 2 a y P (x ,y ) o P (c ,y )

•

a b

•

c

•F 9(c,0)

o

F (c,0)

•

y

•

x

LR

Figura 7.4. Lado recto de la elipse.

Para obtener la expresión anterior del lado recto, se considera que x 5c, es decir, cuando el punto P pasa a la altura de un foco, F . De la ecuación canónica de la elipse: 2

x a

2

+

y

2

b

2

=1

se sustituyen las coordenadas de P: c

2

a

2

+

y

2

b

2

=1

250

Capítulo 7

■


Se despeja y: y =

b a

a

2

−c

2

+c −c =

2

Además, por la relación a25b21c2:

y =

b a

b

2

2

b a

b

2

⇒ y=

b

2

a

pero este valor de y corresponde a la magnitud del segmento de recta FP y el lado recto es dos veces esa magnitud, es decir, LR52 y. Si se sustituye el valor de y, se tiene que: LR =

2b 2 a

como se había denotado en primera instancia.

7.2.3. Recta directriz de la elipse Como la elipse tiene dos lados rectos, en consecuencia tendrá dos rectas directrices que se definen mediante la ecuación: x = ±

a e

=

a

2

c

, si el eje mayor es paralelo al eje x .

Esa relación se obtiene de manera sencilla cuando el punto P corta al eje x . De manera gráfica:

y

Recta directriz

R

a-c P (x ,y ) V 9(–a ,0)

O

F 9(–c ,0)

F (–c ,0) 5

V (a ,0) x-a

Figura 7.5. Recta directriz de la elipse.

Por definición de cónica se establece, a partir de la figura: e=

FP

=

a−c

PR x − a

, pero además, e =

c a

x

7.3

■

Ecuación ordinaria de la elipse con eje focal paralelo al eje y 251

Se iguala: c

a−c

=

⇒ cx − ac = a − ac 2

a x − a de donde al despejar x , por ser la distancia que se desconoce y de interés porque corresponde a la recta directriz: x =

a

2

c Se considera que son dos r ectas directrices y simétricas: x = ±

a

2

c Si el centro de la elipse se encuentra fuera del origen, como se vera más adelante, por traslación de ejes se tiene: a

x = ±

7.3 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE y

2

c

+ h,

o bien: y = ±

a

2

c

+ k

De manera análoga al caso anterior se obtiene la ecuación ordinaria de la elipse con eje focal paralelo al eje y, cuya ecuación es de la forma: 2

x b

2

+

y

2

a

2

=1

[2]

y su gráfica es:

y V (0,a )

F (0,c ) a c

P (x ,y ) b E' (–b ,0)

O

E (b ,0)

x

F' (0,–c )

V (0,–a )

Figura 7.6. Elipse vertical.

Características y elementos de la elipse con eje focal paralelo al eje y: 1. Es simétrica respecto de los ejes x y y. 2. Las coordenadas de sus focos son: F (0,c) y F 9(0,2c).

252

Capítulo 7

■


3. Las coordenadas de sus vértices V (0,a) y V 9(0,2a) también se conocen como extremos del eje mayor. 4. Las coordenadas de los extremos de su eje menor o semieje son E (b,0) y E 9(2b,0). Los demás datos son iguales a los estudiados en la sección 7.2: Excentricidad: e=

c a

Lado recto: LR =

2b 2 a

Rectas directrices: y = ±

a e

=±

a

2

c

Ejemplo 7.1 Halla la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos F (2,0) y F 9(22,0), y cuya 2 excentricidad es e = . 3 Solución:

Dado que la excentricidad se define mediante la relación e =

c a

, por medio de la re-

lación a25b21c2 se puede determinar el valor de b, es decir, c = 2⇒c

=4 a = 3⇒ a = 9 2

2

Por lo que:

= a2 − c2 2 b =9− 4= 5 b

2

Por las coordenadas de los focos se determina que el eje focal es paralelo al eje x , y su ecuación es de la forma: 2

x a

2

+

y

2

b

2

=1

Al sustituir los valores de a2 y b2, se tiene: x 2

9

+

y2

5

cuyo gráfico se presenta en la figura 7.7.

=1

7.3

■


3

y E

2

1 V' –3

F'

C

–2

F

–1

1

x

V 2

3

–1

–2

E'

–3

Figura 7.7. Gráfica de la elipse

x

2

9

+

y

2

25

= 1.

Observa los puntos necesarios para trazar una elipse, es decir, la ubicación de sus elementos.

Ejemplo 7.2 Traza la gráfica de la elipse representada por l a ecuación

x 2

4

+

y2

12

= 1.

Solución:

Se trata de una elipse con eje focal paralelo al eje y, donde se identifica que a2512 y b254, por tanto: a = 12 = 2 3 y b = 2

Luego de b21c25a2:

= a 2 − b2 2 c = 12 − 4 = 8 c= 8 =2 2 c

2

(

)

lo cual permite identificar sus focos F ( 0, ±c ) o F 0, ± 2 2 .

(

)

Las coordenadas de sus vértices V ( 0, ± a ) , es decir, V 0, ± 2 3 . Finalmente, buscamos las coordenadas de los extremos del semieje E ( ± b, 0 ) , que son E ( ±2, 0 ) :

254

Capítulo 7

■


LR =

La longitud de su lado recto es:

2b 2 a

=

2(4) 2 3

=

4 3

≈ 2.31.

Al localizar las coordenadas obtenidas y trazar la gráfica en el mismo plano se tiene

y 4 V 3 F

• •

2 1

–4

•

–3

–2

1

2

•

x 3

4

5

–1 –2

• • –4 –3

–5


x

2

4

+

y

2

12

= 1.

Ejemplo 7.3 Determina la ecuación de la elipse que tiene su centro en el origen, e50.5 y un foco en (5,0) y traza su gráfica. Solución:

Por las condiciones dadas, se sabe que se trata de una ecuación de la forma 2

x a

2

+

y

2

b

2

= 1.

La distancia del centro a uno de sus focos corresponde a c55.

Por definición de excentricidad e = 0.5 =

5

a a = 10

Utilizando la relación a25b21c2:

c a

, se establece que:

⇒a=

5 0.5

7.3

■


b

2

b

2

=a −c = 100 − 25 = 75 2

2

Por lo tanto, la ecuación de la elipse es: x

2

100

y

+

2

75

=1

Su gráfica es:

y 10 8 6 4 2

x

•

–10 –8 –6 –4 –2 –2

2

4

•6

8 10

12

–4 –6 –8 –10 –12


x

2

100

+

y

2

75

Ejercítate 1. Traza la gráfica de la ecuación

= 1.

x

2

16

+

y

2

9

= 1.

2. Si la excentricidad de cierta elipse es e50.1, tiene un foco en (3,0) y su centro en el origen, ¿cuál es su ecuación? 3. ¿Cuáles son las ecuaciones de las rectas directrices de la elipse 2 x 219 y2518? 4. Determina la excentricidad y ecuaciones de las rectas directrices de la elip2 2 x y se + =1 . 8 6

7.4 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE

7.4.1. Con eje focal paralelo al eje x Si el centro de la elipse se encuentra fuera del origen y su eje focal es paralelo al eje x , como muestra la figura 7.10, la ecuación de la elipse será:

256

Capítulo 7

■


2

( x − h ) ( y − k ) a

+

2

b

2

=1

2

[3]

Y el gráfico correspondiente:

y E (h, k+b )

P( x,y )

C (h, k )

V' (h-a, k )

V (h+a, k )

F (h+c, k )

F' (h-c, k )

O

x

E' (h, k-b )

Figura 7.10. Elipse horizontal con centro fuera del origen.

Sus elementos son: Excentricidad: e =

c a

Centro: C (h,k ) Vértices: V (h1a,k ), V 9(h2a,k ) Focos: F (h1c,k ), F 9(h2c,k ) Extremos: E (h,k 1b), E 9(h,k 2b) Lado recto: LR =

2b 2 a

Rectas directrices: x = ±

a e

=±

a

2

c

, o bien: x = ±

a e

=±

a

2

c

+h

7.4.2. Con eje focal paralelo al eje y Por otro lado, si el eje mayor es paralelo al eje y, su ecuación será: 2

( x − h ) ( y − k ) b

Y su gráfico es:

2

+

a

2

2

=1

[4]

7.4

Ecuación ordinaria de la elipse 257

■

y

V (h,k +a )

F (h,k +c ) )

a

y , x P (

c

b

E (h–b ,k )

E (h +b ,k )

c (h,k )

O

x F' (h,k –c )

V (h,k –a )

Figura 7.11. Elipse vertical con centro fuera del origen.

Sus elementos son: Excentricidad: e =

c a

Centro: C (h,k ) Vértices: V (h,k 1a), V 9(h,k 2a) Focos: F (h,k 1c), F 9(h,k 2c) Extremos: E (h1b,k ), E 9(h2b,k ) Lado recto: LR =

2b 2 a


a e

=±

a

2

c

, o bien: y = ±

a

2

c

+ k

Ejemplo 7.4 2

La ecuación de cierta elipse es

( x + 3) ( y + 2) 4

+

16

2

= 1.

Determina todos sus elemen-

tos y traza su gráfico. Solución:

A través de una simple observación se obtienen las coordenadas del centro C (h,k ), que son C (23,22), y se identifica que a2516 y b254, por lo que, c25a22b2512 ; en consecuencia: a=4 b=2 c=2 3

258

Capítulo 7

■


Las coordenadas de los focos son F (h,k 1c), F 9(h,k 2c), es decir, F

( −3, −2 + 2 3 ), y F '( −3, −2 − 2 3 ),

Los vértices se localizan en V (h,k 1a), V 9(h,k 2a) V ( −3, 2 ) , y V ' ( −3, −6) ,

Los extremos del semieje: E (h1b,k ), E 9(h2b,k ) E ( −1, −2 ) , E ' ( −5, −2)

Su lado recto: LR =

2b 2 a

=

2(4) 4

=2

Y sus respectivas rectas directrices, y = ±

a

2

c

16

y =

2 3

y = −

+ k − 2 ≈ 2.62

16 2 3

− 2 ≈ −6.62

Por último, su gráfico es:

RD , y =2.62 V

• •F –7

–6

–5

–4

–3

2 1 –2

–1

•

E –2

•

•

–3 –4 –5

F''

• •V'

–6

RD , y = –6.62 2


( x + 3) ( y + 2) 4

+

16

x 1

–1 C

E'

y

2

= 1.

2

7.4

■

Ecuación ordinaria de la elipse 259

Ejemplo 7.5 Encuentra las posibles ecuaciones de elipse que tienen por centro las coordenadas C (4,5) y cumplen la relación 21531c2. Además, determina su excentricidad y traza su gráfica. Solución:

Por los datos que se tienen, se sabe que se trata de elipses con centro fuera del origen; para ser más exactos, en el primer cuadrante, C (4,5). Luego, de 21531c2 se identifica que: a

2

b

2

c

2

= 21⇒ a = 21 = 3⇒ b = 3 = 18 ⇒ c = 18

Por tanto, las ecuaciones posibles son: 2

( x − 4 ) ( y − 5) +

21

2

3

2

( x − 4 ) ( y − 5) +

3

21

= 1,

con eje focal paralelo al eje x

= 1,

con eje focal paralelo al eje y

2

De los datos anteriores se obtiene su excentricidad: e =

c a

e=

18 21

≈ 0.925

Las gráficas son:

(x –4)2 3

y

+

(y –5)2 21

En este ejemplo se observa que: a ) Dos elipses pueden tener la misma excentricidad y el mismo centro; por alguna de estas similitudes pertenecen una misma familia. b ) La diferencia entre ellas es la posición de a 2 y b 2.

= 1

9 8

e =0.925

7 6 C (4,5)

•

5 4

(x –4)2

3

21

+

(y –5)2 3

= 1

2 1 –1

x 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

–1

Figura 7.13. Gráficas de dos elipses con el mismo centro y misma excentricidad.

260

Capítulo 7

■


Ejercítate 1. Traza la gráfica de la elipse que tiene por ecuación

x 2

9

+

( y + 4) 7

2

= 1.

2. Determina todos los elementos que constituyen la elipse representada por 2

la ecuación

( x − 2) ( y − 3) +

25

2

= 1.

16

3. Halla las posibles ecuaciones de la elipse que tiene su centro en (2, 22), excentricidad e50.3 y de la que uno de sus vértices es (8,2).

7.5 ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE

Considera la ecuación: Ax

2

+ Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 2

1. Para que la ecuación anterior corresponda a una elipse de ejes paralelos a las coordenadas ( x , y) es necesario que el producto sea cero: xy50

Entonces, la ecuación general es: Ax

2

+ Cy + Dx + Ey + F = 0 2

[5]

2. Los coeficientes A y C deben ser diferentes y del mismo signo. En el caso de que A5C , se tiene una circunferencia. De la ecuación Ax 21Cy21 Dx 1 Ey1F 50, al completar cuadrados:

  E    D   E   D       E  C    A  D C − F A   A  x + x +  + C  y + C x +  2   = A  2  + C  2    2 A                      2

2

2

2

2

2

2

2

2

 D   E  D E + C  y +  = + − F A  x +   2 A   2C  4 A 4C 2

2

Se simplifica:

 D   E  CD + AE − 4 ACF + C  y +  = A  x +  4 AC  2 A   2C  2

2

Resultan tres casos diferentes en relación con el lugar geométrico que representa:

Caso 1 Si

CD

2

+ AE − 4 ACF > 0, 2

4 AC

el lugar geométrico que representa es una elipse.

7.5

■

Ecuación general de la elipse 261

Caso 2 Si

CD

2

+ AE − 4 ACF = 0, 2

4 AC

se tendrá un punto (el centro).

Caso 3 Si

CD

2

+ AE 2 − 4 ACF < 0,

no representa el lugar geométrico llamado elipse. (A es4 AC te caso también se le conoce como elipse imaginaria o conjunto vacío.)

Ejemplo 7.6 A partir de la ecuación 9 x 2125 y2118 x 250 y219150, a) determina el lugar geométrico que representa, b) define los elementos que la componen y c) traza su gráfica. Solución:

a) Se ordenan los términos comunes:

(

9 x 2 + 2 x

) + 25( y

2

− 2 y ) = 191

Se completan cuadrados:

  2     2    2   2     9 x + 2 x +   + 25 y − 2 y +    = 191 + 9   + 25      2    2    2   2     2

2

2

2

2

2

Se simplifica:

(

) + 25( y

9 x 2 + 2 x + 1

2

− 2 y + 1) = 191+ 9 + 25

Se factoriza: 2

9 ( x + 1)

Se multiplica por

2

+ 25( y − 1) = 225 1

225

: 2

2

( x + 1) ( y − 1)

+ =1 25 9 La ecuación obtenida es de una elipse con eje mayor paralelo al eje x , puesto que el número mayor, a, se encuentra en el denominador del binomio que contiene a x . La elipse tiene su centro fuera del origen. b) Sus elementos son:

= 25 ⇒ a = 5 b = 9⇒ b= 3 c= a −b = a

2

2

2

e=

c a

2

4

= <1 5

25 − 9 = 4

262

Capítulo 7

■


Las coordenadas del centro, los vértices, los focos y sus extremos son: C ( h, k ) = ( −1, 1) V ( h + a, k ) = ( −1 + 5,1) = ( 4,1) V ' ( h − a, k ) = ( −1 − 5,1) = ( −6,1) F ( h + c, k ) = ( −1 + 4,1) = ( 3,1) F ′ ( h − c, k ) = ( −1 − 4,1) = ( −5,1) E ( h, k + b ) = ( −1,1 + 3) = ( −1, 4 ) E ′ ( h, k − b ) = ( −1,1 − 3) = ( −1, −2 )

La magnitud de cualquiera de sus lados rectos es: LR =

2b 2 a

=

2 ⋅ 32 5

=

18 5

Las rectas directrices son: x = ± x = ±

a

+ h=

e 25

4

a

2

c

+h

−1 x1 = 5.25 y x 2 = −7.25

Si se considera la traslación de ejes y se toma el centro de la elipse como el nuevo origen se tiene: x 9566.25 c) La gráfica del lugar geométrico que representa es:

y E ( –1,4) 1

2

D R

) 1 , 6 ( '

V

2

R L

1

R L

C ( –1,1)

F' (–5,1)

F ( 3,1)

) 1 , 4 (

D R

V

O

E' (–1,–2)

Figura 7.14. Gráfica de la elipse 9 x 2125 y2118 x 250 y219150.

x

7.5

■


Ejemplo 7.7 La trayectoria de una avioneta se muestra en la figura 7.15 y está descrita por la ecua2 2 x y ción + = 1 [km]. 16 8 a) Determina los dos puntos posibles de despegue (focos), b) la distancia entre ellos, c ) la excentricidad de la órbita elíptica que trazó y d ) su ecuación general. Solución: 2

a) La ecuación es de la forma

'

F

a

2

b

2

x

y

2

a

b

2

+ 2

= 1, por lo que se identifica:

= 16 ⇒ a = ±4 = 8 ⇒ b = ± 8 = ±2

2

de la relación c 2 = a 2 − b 2 ⇒ c = 16 − 8 = ± 8 = ±2 2 las coordenadas de los dos Figura 7.15. Trayectoria elíptica. puntos posibles de despegue o focos:

(

) ( −2

F 2 2 , 0 , F '

2,0

)

b) La distancia entre los focos es: d F ' F =

(

2 2 − (−2 2 )

2

) + (0 − 0 )

2

=

( 4 2 )2

=4

2

c) La excentricidad es: e=

c a

=

2 2 4

=

2 2

d ) Finalmente, para obtener la ecuación general bastará con multiplicarla por el producto de los denominadores:

 x y (16)(8)  +  16 8 2

2

 = 1 

8 x 2 + 16 y 2 = 128 Observa que no hay términos lineales, lo que indica la ausencia de traslación de ejes y, por ende, que su centro se localiza en el origen.

Ejemplo 7.8 Un carpintero desea trazar una pequeña mesa de centro cuya forma es elíptica. Cuenta con un pedazo de madera de dimensiones de 50 por 100 cm y quiere aprovechar al máximo el material, teniendo como condición que la excentricidad de la misma sea e50.8. a) ¿Cuáles serían las coordenadas de los focos y de los extremos?, ¿qué longitud tendría cada lado recto? Además, comprueba el valor de la excentricidad. b) Calcula el área que tendrá la mesa y di si aprovechó al máximo el material.

264

Capítulo 7

■


y

•

•

50 cm

•

F (10,25)

C (50,25)

O

x 100 cm

Figura 7.16. Esquema de trabajo del carpintero.

El carpintero comenzó por trazar dos rectas perpendiculares en el centro de la madera y colocó dos puntos de referencia, como se observa en la figura 7.16. Solución:

a) En la figura podemos identificar que uno de los puntos marcados es un foco y el otro un extremo. También se trata de una elipse fuera del origen, por lo que procedemos a determinar el valor de cada uno de sus elementos.

El centro ya lo ha trazado el carpintero y tiene la dupla de coordenadas: C (h,k )5(50,25)

Por otra parte, uno de sus focos tiene coordenadas F (h2c,k )5(10,25) y de aquí se puede determinar el valor de c: h − c = 10 ⇒ c = h − 10, pero h = 50

∴c = 50 − 10 = 40 Su otro foco tendrá coordenadas: E ( h, k − b ) = ( 50, 25 − 25) = ( 50, 0)

Como se ve en la figura, el carpintero trazó una línea recta del foco a uno de los extremos de la elipse, por tanto: E ( h, k + b ) = ( 50, 25 + b ) → b = 25 ⇒ E ( 50, 50 )

Y el otro extremo tendrá coordenadas: E ( h, k − b ) = ( 50, 25 − 25) = ( 50, 0)

Conocidos los valores de c y b se puede determinar el valor de a, con la relación:

7.5

= b 2 + c2 ⇒ a = a = ±5 89 ≈ 47.16 a

2

■


(25)2 + (40 )2

=±

2225

Por lo que sus vértices tendrán coordenadas: V ( h + a, k ) = ( 50 + 47.16,25) = ( 97.16, 25) V ' ( h − a, k ) = ( 50 − 47.16, 25) = ( 2.84, 25)

La magnitud de sus lados rectos es: LR =

2b 2 a

=

2(25) 2 2225

≈ 26.5 cm

Se verifica el valor de la excentricidad mediante: e=

c a

=

40 47.16

= 0.847

Y se comprueba que la condición de excentricidad es sólo aproximada. b) Por último, se procede a hacer el cálculo del área de la mesa. Por trigonometría plana se sabe que el área de la elipse se calcula con la fórmula A5pab. A = π ab = π (25)(47.16) = 3703.94 cm 2

Considerando las duplas de coordenadas de los vértices, se concluye que el material no se aprovecha al máximo.

Ejemplo 7.9 Determina la ecuación de la elipse que tiene por focos las coordenadas ( 22,1) y (2,2), cuya longitud de eje mayor es 7. Solución:

Aplicando directamente la definición tenemos: 2

2

2

2

( x + 2) + ( y − 1) + ( x − 2) + ( y − 2) = 7 Se acomodan los miembros para poder determinar su ecuación: 2

2

2

( x + 2) + ( y − 1) = 7 − ( x − 2) + ( y − 2)

2

Se elevan al cuadrado ambos miembros: x

2

2

2

+ 4 x + 4 + y − 2 y + 1= 49 − 14 ( x − 2) + ( y − 2) + x − 4 x + 4 + y − 4 y + 4 2

2

2

Se simplifica: 8 x + 2 y − 52 = − 14

2

( x − 2 ) + ( y − 2)

2

266

Capítulo 7

■


Se eleva una vez más al cuadrado y se desarrollan binomios: 16 x

2

+ y 2 + 676 + 4 xy − 208 x − 52 y = 49x 2 − 196x + 196 + 49 y 2 − 196 y + 196

Al ordenar: 33 x 2 − 4 xy + 48 y 2 + 12 x − 144 y − 284 = 0 se obtiene la ecuación de una elipse de ejes oblicuos con respecto a los ejes coordenados ( x , y) como se aprecia en la figura 7.17: y

4.0

2.0

x

–2.0

2.0

4.0

–2.0

Figura 7.17. Elipse de ejes oblicuos.

Miscelánea de ejemplos 1. Traza las gráficas de la familia de elipses con centro en el origen y un foco en (3,0) cuya excentricidad es: a) e50.1, b) e50.3, c) e50.5, d ) e50.7 y e) e50.9. Solución:

Se sabe que e =

c

y además, que a.c. Para facilitar el trazo de las gráficas se puea de echar mano de la relación a25b21c2, así como tener presente la ecuación x 2 y 2 + 2 = 1. 2 a b

a) 0.1 =

3 a

, por lo cual a = 30 ⇒ a 2 = 900, c = 3 ⇒ c 2 = 9, luego b 2 = 900 − 9 = 891,

esdecir ,

x

2

900

+

y

2

891

= 1.

7.5

■


3 2 2 2 b) 0 .3 = , por lo cual a = 10 ⇒ a = 100, c = 3⇒ c = 9, luego b = 100 − 9 = 9 a es decir,

c)

x

2

100

+

y

2

91

= 1.

3 0 .5 = , por lo cual a = 6 .0 ⇒ a 2 = 36, c = 3⇒ c 2 = 9, luego b 2 = 36 − 9 = 27, a es decir ,

x

2

36

+

y

2

27

= 1.

3 2 2 2 d ) 0 .7 = , por lo cual a = 4 .28 ⇒ a = 18 .3, c = 3⇒ c = 9, luego b = 18 .3 − 9 a

= 9 .3, es decir , e)

x

2

+

y

2

18 .3 9 .3

= 1.

3 0 .9 = , por lo cual a = 3 .33 ⇒ a 2 = 11 .1, c = 3 ⇒ c 2 = 9, luego b 2 = 11 .1 − 9 a 2

= 2 .11, es decir ,

x

+

yy

2

11 .1 2 .11

= 1.

El gráfico que muestra lo anterior es:

Observa cómo el valor de la excentricidad hace que se asemeje o diste de la forma de una circunferencia, es decir, si e se acerca a 0 o a 1.

y

9

e =0.5 e =0.7

3

10

e =0.9

•

–10

e =0.3

6

20

–20

y

x

x 10

20

30

–9

–6

•3

–3

–10

–3

–20

–6

–30

6

9

–9

Figura 7.18. Familias de elipses.

x

2

y

2

+ 2. Determina los puntos donde se intersecan las elipses 72 2 traza dos gráficas que muestren tales puntos.

=1 y

x

2

4

+

y

2

36

=1 y

268

Capítulo 7

■

La elipse (un instante lejos, otro cerca, pero siempre la misma distancia) Solución:

De

x

2

+

y

2

= 1, se obtiene x 2136 y2572 y de

x

2

+

y

2

72 2 4 36 las cuales se puede plantear un sistema de ecuaciones:

=1

se tiene 9 x 21 y2536, con

+ 36 y2 = 72 9 x 2 + y 2 = 36

x

2

Resolviendo para x , se obtiene que x 561.95, lo cual implica que y561.38. La gráfica se presenta en la figura 7.19.

y 8 6 4

• –8

–6

–4

2

–2

• –2

• 2

•

x 4

6

8

10

–4 –6 –8 –10

Figura 7.19. Intersecciones de dos elipses.

3. Una propiedad óptica de la elipse se observa en los lentes elípticos; si se proyecta un rayo de luz desde uno de sus f ocos con un ángulo b, se reflejará con un ángulo a en otro ángulo, pues los ángulos de incidencia y reflexión son iguales, b5a. Esta propiedad se puede demostrar en el salón de clase con un recipiente elíptico con agua; al golpear el recipiente en forma certera en uno de sus focos se producirán inmediatamente pequeñas ondas en el otro foco.

b

•

a

•

Figura 7.20. Propiedad óptica de la elipse.

•

7.5

( x − 1)

■


( y − 5)

2

2

+ = 1, a) realiza una traslación de 9 4 ejes y elimina los términos h y k ; b) obtén las coordenadas de los focos, vértices

4. Dada la ecuación de la elipse

y extremos en los dos sistemas de referencia; y c) traza una gráfica que muestre ambos sistemas de referencia. Solución:

a) La traslación de ejes es: x 95 x 21 y y95 y25

Con lo cual la ecuación se expresa: x '

2

9

+

y'

2

4

=1

b) Se identifica que: h51, k 55, a259⇒a53, b254⇒b52 y c

2

= 9− 4 = 5⇒ c =

5

Luego: F ' = (± 5 , 0)

V ' = ( ±3, 0)

E ' = ( 0, ±2)

F = (± 5 + 1, 5)

V = (±3 + 1, 5)

E = (1, 5 ± 2)

c) La gráfica correspondiente es:

y'

7

y

•

6 x'

• •

5

•

• •

4 3

•

2 1 x –3

–2

–1

1

2

Figura 7.21. Simplificación de la ecuación de la elipse.

3

4

270

Capítulo 7

■


5. Algunos cometas y asteroides, como el cometa Halley, tienen una trayectoria elíptica, cuyas dimensiones son 17.857619 U.A. de semieje mayor y una excentricidad de 0.967990. a) ¿Cuál es la longitud de su eje menor? Para determinar los valores anteriores se tomó al Sol en el origen de un sistema de referencia, como uno de los focos de la elipse que describe su órbita. b) ¿Cuáles son las coordenadas del otro foco?, y c) ¿qué ecuación lo describe? Solución:

a) Lo que se está buscando es 2b.

De acuerdo con los datos: a517.857619 U.A. e50.967990 c Luego, por la definición de excentricidad e = , se tiene a c 0.967990 = , por lo cual: 17.857619 c517.285996 U.A.

Utilizando la relación a25b21c2, se obtiene b = a (17.285996)2

= 4.482061,

2

−c = 2

(17.857619) 2 −

por lo que:

2b58.964123 U.A. b) La localización del otro foco corresponde a la distancia 2c, es decir,

2c52(17.285996) 2c534.571992 Y el foco tendrá coordenadas F 9(34.571992,0): c) Se sabe que la elipse tiene su centro fuera del origen, por lo que es necesario determinarlo, pero se facilita el cálculo, pues corresponde a la distancia c517.285996, es decir, C 5(17.285996,0). Y la ecuación buscada será:

y

12

( x − 17.285996) 2

9

318.895

6

+

y

2

20.0889

=1

expresada en U.A.

Cuya gráfica es:

3 C

Sol

••F

9

•18

x

Neptuno 27

•

F'

• 36

–3 –6 –9

Figura 7.22. Trayectoria elíptica del cometa Halley.

• Plutón

7.5

■


Observando las posiciones de Neptuno y Plutón, comprenderás por qué pasan largos intervalos de tiempo para observar un cometa. El próximo avistamiento de este cometa será en 2061. Su posición, en 2005, era cercana a la órbita de Neptuno. La Tierra es el punto que aparece cercano al Sol.

6. Si el lado recto de una elipse es igual a tres unidades y su eje mayor es paralelo al eje x , encuentra su ecuación general y la que describe sus rectas directrices, sabiendo que su ecuación ordinaria es: ( x − 2) 16

2

+

( y − 4)

2

2

= 1.

Solución:

Al tener su eje mayor paralelo al eje de las abscisas se identifica en la ecuación canónica que: a2516⇒a54. 2b 2 2b 2 Como el lado recto está dado por LR = ⇒ 3= ⇒ b2 = 6, se encuentra su 4 a ecuación canónica: ( x − 2) 2 16

+

( y − 4 )2 6

=1

Para obtener su ecuación general multiplicamos por 96: 6( x 22)2116( y24)2596 Se desarrollan los binomios cuadrados y se realizan los productos indicados: 6 x 2 − 24 x + 24 + 16 y 2 − 128 y + 256 = 96 6 x 2 + 16 y 2 − 24 x − 128 yy + 184 = 0 La elipse tiene rectas directrices de la forma x = ±

a

2

+ h, por lo que se procede a dec terminar c con la relación a25b21c2 y se identifica el valor de h: = 16 − 6 = 10 ⇒ c = h=2

c

2

10

Entonces, sus rectas directrices son: x = ±

16 10

+2

Su gráfica se observa en la figura 7.23.

y 8 7 6 5 4

•

3 2 1 –3 –2 –1 –1

x 1 2

3

4 5

6

7 8

–2


272

Capítulo 7

■


7. La Luna también describe una elipse en su órbita alrededor de la Tierra. Su excentricidad es de 0.055 y la longitud del eje mayor es de 768 000 km. ¿Cuál es la ecuación que describe su movimiento, si la Tierra es uno de sus focos? Solución:

Se sabe que el eje mayor es igual a 2 a, por lo cual, a5384 000 km. Conocida su excentricidad y el valor del semieje mayor, es posible determinar los valores de c y b, es decir, Si e =

c

, entonces 0.055 =

a se tiene que

b= a

2

c

de donde, c521 120. Después de a25b21c2,

384 000

− c2 =

(384 000)2 − (21 120)2

= 383 418

Por lo que la ecuación buscada es: ( x − 21120) 2 147.456 × 109

+

y

2

147.009 × 109

=1

Su gráfica:

y

15 12 9 6 3

–18

•

–9

x 9

18

–3 –6 –9 –12 –15

Figura 7.24. Gráfica de la elipse con excentricidad de 0.055.

Observa cómo esta elipse se asemeja a una circunferencia 2

8. De la ecuación de elipse

x a

2

+

y

2

b

2

2

= 1, obtén la expresión

x a

2

+

y

2

a 1− e 2

2

= 1.

Solución:

El problema consiste en reemplazar a b2. Para ello se puede partir de la relación a25b21c2, de donde: b25a22c2

7.5

Luego de e =

c a

■


, se tiene que c5ae⇒c25a2e2, si se reemplaza el valor de c2, se tiene: b

2

b

2

=a −a e = a (1 − e ) 2

2

2

2

2

Al sustituir esta expresión en la primera ecuación se obtiene la que se pide: 2

x a

2

+

y

2

2 2 a (1 − e )

=1

2 2 y 9. De acuerdo con la ecuación de la elipse en la forma x + = 1 del ejem2 2 2 a a (1 − e ) plo anterior, prueba que si e tiende a 1, ésta se asemeja a una recta, y si tiende a a 0, parecería una circunferencia.

Solución:

Por simple observación, cuando e se acerca al valor de 1, el término cuadrático de y tiende a desaparecer, es decir, a indeterminarse, por lo que la expresión queda sólo con 2 x una variable, x . Por lo tanto, se tiene una línea recta paralela al eje y, 2 = 1⇒ x = a. a 2 2 x y Luego, si e se acerca a 0, se tiene una expresión de la forma 2 + 2 = 1, es decir, de a a circunferencia de radio a, x 21 y25a2. Toma en cuenta que tiende a un valor, pero nunca lo toca; de lo contrario, sucedería lo que se muestra.

10. La elipse también tiene aplicaciones en la construcción de arcos para soportar puentes, juegos, etcétera. Si el ancho de un arco semielíptico es de 6.00 m con una altura de 1.50 m, a) ¿cuál es la ecuación que lo representa?, b) ¿qué excentricidad tiene?, c) ¿cuál es el valor de 2 c? Solución:

a) Por las condiciones dadas, se establece que 2a56.00⇒a53.00 y b51.50. Si se toma su centro en el origen, su ecuación es: x

2

9.00

+

y

2

2.25

=1

c b) Para obtener el valor de c es necesario conocer su excentricidad e = . Se utia liza la relación básica:

+c = a ⇒c= c = 2.60 b

Por tanto, e =

2.598 3

2

2

2

a

2

−b

= 0.866

c) El valor del eje focal 2c:

2c52(2.598)55.20 Su gráfica es la siguiente:

2

274

Capítulo 7

■

La elipse (un instante lejos, otro cerca, pero siempre la misma distancia) y

x

Figura 7.25. Arco elíptico.

11. Dada la ecuación de la elipse 3 x 21 y215 x 24 y2550, a) determina el valor de su lado recto, b) las ecuaciones de sus rectas dir ectrices y c) traza un gráfico. Solución: 2

2

 D   E  CD + AE − 4 ACF Partiendo de la expresión A  x + e identi+ C  y +  =  4 AC  2 A   2C  2

2

ficando las constantes de la ecuación dada A53, C51, D55, E 524, F 525, al sustituir se tiene: 2

2

  −4  (1)(5) + (3)(−4) − 4(3)(1)(−5) 5  3  x + + (1)  y + =  4(3)(1)  2(3)   2(1)    5  133 3  x +  + ( y − 2 ) = 12  6  2

2

2

2

Si se divide toda la ecuación entre

(

133 12

x + 5

6 133

)

2 2

+

( y − 2) 133

36

=1

12

Donde: a

2

=

133 12

⇒a =

133

, b

2

2 3

=

133 36

⇒ b=

133 6

y, en con nsecuencia, c

2

=

266 36

⇒c=

266 6

a) La magnitud de cada lado recto es:

LR =

2b a

2

=

2

133 36 133

=

133 3 9 133

=

133 3 9

=

399 9

≈ 2.219

2 3 b) Las ecuaciones de las rectas directrices son de la forma y = ±

a

2

c

+ k ,

por lo cual

Resumen 275

133 y = ± 12 266

6 y1 ≈ 6.077

+ 2= ±

133

+2

2 266

y2 ≈ −2.077

La gráfica es la siguiente: y 6

• 4

•2 x

–4

–2

•

2

4

–2


RESUMEN ✓


La elipse. Se define como el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de distancia a dos puntos fijos es constante. Tales puntos fijos se denominan focos de la elipse.

Centro

Vértices

Focos

Extremos

Recta directriz

C(0,0)

V (6a,0)

F (6c,0)

E (0,6b)

x = ±

Eje mayor o focal paralelo al eje x

a

2

Ecuación 2

c

x

y

2

a

b

2

+ 2

=1

2

C(h,k )

V (h6a,k )

F (h6c,k )

E (h,k 6b)

x = ±

a

C(0,0)

V (0,6a)

F (0,6c)

E (6b,0)

y = ±

a

y = ±

a

Eje mayor o focal paralelo al eje y C(h,k )

V (h,k 6a)

F (h,k 6c)

E (h6b,k )

2

c

±h

2

c

a

+

2

2

c

2

( x − h ) ( y − k )

x

y

2

b

a

2

+ 2

b

=1

( x − h ) ( y − k ) b

2

=1

2

2

± k

2

+

a

2

2

=1

276

Capítulo 7

■



Con eje focal paralelo al eje x

Con eje focal paralelo al eje y

Ax 21Cy21 Dx 1 Ey1F 50 Los coeficientes A y C deben ser diferentes y de signo positivo; A,C . a = C, b = h=−D

Ecuación general de la elipse

D

2

2b 2

Ax 21Cy21 Dx 1 Ey1F 50 Los coeficientes A y C deben ser diferentes y de signo positivo; A.C . a=

A

; k = − E 2 2a

h=−D

2

E

Relaciones o conceptos importantes

D

2

Si

+

2b 2

; k = − E 2 2a

2

E

− F > 0, el 4 A 4C lugar geométrico que representa es una elipse.

+ − F > 0, el 4 A 4C lugar geométrico que representa es una elipse. Si

A, b = C

Relación o igualdad a

Relación entre a, b, c

2

= b 2 + c2 ,∴ a > b

LR =

Lado recto (tiene dos) o ancho focal

2b 2 a

Eje mayor

V1V2

= 2a

Eje menor

E1E 2

= 2b

Distancia focal

F1 F2

= 2c

e=

Excentricidad

c

=

a 0 < e <1

a

2

− b2

a

,

y 10 8

PROBLEMAS

6 4 2

F' •

–10 –8 –6 –4 –2 –2

2c 2

4

F •

6

x 8

10 12

–4

Realiza los siguientes ejercicios.

1. Determina la distancia focal de cierta elipse, cuya longitud del eje mayor es 20 cm y la de su eje menor es 16 cm.

–6

Respuesta: 12 cm

–8 –10 –12

Figura 7.27. Elipse de eje mayor 20 cm y eje menor 16 cm.

2. A partir de las siguientes ecuaciones de elipse, traza sus gráficas e identifica sus focos.

a)

x

2

6

+

y

2

2

=1

Respuesta: F (62,0)

Problemas 277

y 2 1 x

•

–2

–1

•

1

2

3

–1 –2

b)

x

2

4

+

y

2

25

Figura 7.28. Elipse horizontal

x

2

6

+

y

2

2

= 1.

=1

5 4

y

•

3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 –1

x 1

2

3

4 5

6

–2 –3


–4

–5 •

x

–6

c)

x

2

16

+

y

2

2

4

=1

4

2

+

y

2

25

= 1.

Respuesta: F (± 14 , 0)

y

3 2 1

•

–4 –3 –2 –1 –1

x 1

2

•

3 4

5

–2 –3 –4 –5


x

2

16

+

y

2

2

= 1.

278

Capítulo 7

■

La elipse (un instante lejos, otro cerca, pero siempre la misma distancia) 2

d )

2

( x − 3) + ( y + 2) = 1 36

4

y 4 2 x –2

•

2

4

6

8

10

•

–2 –4


–6

2

–8

36

2

e)

2

( x − 3) + ( y + 2) = 1. 4

2

( x + 4 ) + ( y − 3) = 1 9

Respuesta: F (−4, ±4 + 3)

25

y 8

• 6 4 2 x –8

–6

–4

•

–2

2 –2

4

Figura 7.32. Gráfica de la elipse 2

9

3.

2

( x + 4 ) ( y − 3) +

= 1.

25

A partir de las siguientes ecuaciones de elipse, encuentra su forma ordinaria y determina la dupla de coordenadas del centro. Después, traza su gráfica.

Respuestas 2

a) 2 x

2

+ y + 4 x + 4 y− 2 = 0 2

2 2 b) 3 x + 5 y + 9 x + 30 y = 0

2

( x + 1) ( y + 2 ) 4

+

8

= 1,

C ( −1, −2 )

Problemas 279 Respuestas

y 4

2 2 c) 2 x + 3 y − 8 x − 12 y + 2 = 0

2

• 2

x 4

3( x − 3)

2 2 d ) x + 6 y − 6 x − 8 y − 4 = 0

47

6

2

+

(

18 y − 2

3

47

)

2

= 1,

(

C 3, 2

3

)

Respuestas –2 –4

e) x

2

y x

+ 4 y − 10 x − 40 y+ 109 = 0 2

–6

f ) 100 x

2

–4

–2

+ 16 y + 800 x + 80 y + 1600 = 0 2

2

( x + 4 ) +

(

y + 5

25

2

)

–2

•

2

= 1,

(

C −4, − 5

2

)

–4

4 –6

4. Halla la ecuación general de la elipse cuya recta directriz es x 50; uno de sus focos tiene 1 coordenadas F (23,22) y su excentricidad e = . Traza la gráfica de la ecuación mos3 trando focos, vértices y la otra recta directriz. Sugerencia: Aplica el concepto de cónica. Respuesta: 8 x 219 y2154 x 136 y111750

y

–7

–6

–5

–4

–2

–3

–1 –1

x =–6.75 V

•

9

F F (–3,–2) V (–2.25,–2) 9

• •C •

•

0.75

x

x =0.0

–2

2.25

0.75 1 e = = 3 2.25

–3

–4

–5

5. Determina la ecuación de la elipse sabiendo que tiene su centro en C (23,1); uno de sus focos tiene coordenadas F (23,23) y pasa por el punto (25,1).

280

Capítulo 7

■

La elipse (un instante lejos, otro cerca, pero siempre la misma distancia) 6. Determina la ecuación ordinaria de la elipse si su lado recto es 3 y sus vértices son: V (23,1) y V 9(5,1). 2

Respuesta:

( x − 1) ( y − 1) +

16

2

=1

6

7. Halla la ecuación ordinaria de la elipse que tiene excentricidad e50.2 y vértices en V (21,23) y V 9(21,2). 2

Respuesta:

2

( x + 1) + ( y − 2 ) = 1 24

25

8. Halla todos los elementos de la elipse generada por la ecuación 100 x 2116 y21800 x su gráfica. gráfica. 180 y1160050, y traza su Respuestas: C  −4, −



5  16 , F ( −4, −1) , F ' ( −4, −4 ) , V ( −4, 0 ) , V ' ( −4, −5) , LR = ,  2  5

 3 25 5 5  e = , RD = ± − , E  −4 ± 2, −  5 6 2 2   9. El latus rectum de cierta parábola es cuatro veces el radio de una circunferencia con centro en (2,4) y a su vez corresponde a la distancia focal de una elipse de eje paralelo al eje x . Una recta de ecuación y53 es tangente a la circunferencia, a la elipse y también es la recta directriz de la parábola. Determina la ecuación de la circunferencia, de la parábola y de la elipse. 10. Halla la ecuación ordinaria de la elipse cuyo centro tiene coordenadas C (2, (2,21); uno de sus vértices posee coordenadas V (2, (2,26) y uno de sus extremos está en E (4, (4,21). 2

Respuesta:

2

( y + 1) + ( x − 2 ) = 1 25

4

11. Cierta estación espacial ha tomado una fotografía de la Tierra, Tierra, sus coordenadas son 150 15 0 00 000 0 00 000 0∠60° [m] con respecto del Sol. En la imagen se se observa la trayectoria orbital de un satélite cuando se encuentra en su punto más lejano de la Tierra; el punto más cercano es de 1830 km. Nuestro planeta es un foco de la elíptica del satélite y su radio es de aproximadamente 6370 km. El semieje mayor de la elipse es de 18 000 km. Determina la ecuación de la trayectoria del satélite y la excentricidad de la trayectoria. ¿Cuál es la distancia más cercana del satélite a los polo s terrestres? Determina también la ecuación de la Tierra en esa posición, posición, tomando como referencia al Sol. Redondea a cero decimales. Respuestas: 2

2

000 0 ) ( y − 13 130 0 00 000 0) ( x − 85 00 5 + = 1 [ km]; e = ;

d 56.07 [km] de cualquiera de los dos

324 224 9 2 2 2 polos; ( x x 275 000) 1( y y2130 000) 5(6370) [km].

12. Determina la ecuación de la elipse, que tiene sus focos en las coordenadas (25,2) y (0,0) y la longitud de su eje mayor es de 8. Respuesta: 156 x 2 + 80 xy + 240 y2 + 700 x − 280 y − 1225 = 0 2 13. Encu Encuent entra ra la ec ecuac uació ión n de de la la cón cónica ica cu cuya ya ex exce centr ntrici icidad dad es e = uno un o de de sus sus fo focos cos se lo locaca3 liza en el punto (4,4) (4,4) y su recta directriz es y52 x .

Problemas 281 14. Investiga cómo se construye una elipse usando el método del jardinero. Sugerencia: Si no encuentras información bibliográfica, visita el Museo Universum de la UNAM.

15. Dadas las ecuaciones 6 x 214( y y12)2524 y x 222 y1450, determ determina ina los puntos puntos donde se intersecan.

y22)254 y 16 x 219 y5144 corresponden a una circunferencia y a 16. Las ecuaciones x 21( y una elipse, respectivamente. Calcula los puntos donde se cortan sus gráficas. gráficas. 17. Un balón de futbol americano es lanzado por un jugador y describe cierta trayectoria, que es grabada por un estudiante aficionado. Al llegar a casa, el estudiante reproduce la grabación y hace cálculos respecto de la longitud del campo y algunas conversiones de unidades para determinar los datos que se muestran a continua ción. Imagina que la trayectoria se aproxima a la descrita por una elipse. Determina las coordenadas de los focos, vértices (uno es el origen), excentricidad y las coordenadas de uno de sus extremos.

y

12 m F

F x

O 64 m

Figura 7.33. Trayectoria que se aproxima a una elipse.

Respuesta: (61.6,0) F (61.6,0) (2.33,0) F (2.33,0)

(0,0) V (0,0) ;

(64,0) V (64,0)

;

E 5(0,12); e50.92

Actividades en equipo 1. Investiguen otras formas de construir una elipse. Sugerencia: Consulten libros de dibujo técnico o fuentes de Internet. 2. Obtengan las intersecciones de las elipses 2 x 21 y214 x 14 y2250 y 3 x 215 y219 x 1 30 y50. Verifiquen los resultados con algún software y construyan la gráfica correspondiente. 3. Uno de los enigmas que más tardó en explicarse fue el movimiento de los planetas. En un principio se pensaba que éstos giraban en círculo alrededor de la Tierra (Ptolomeo); después, que giraban en círculo pero teniendo como centro al Sol (Copérnico). Finalmente, después de muchas horas de trabajo y utilizando las observaciones de Ticho, Ticho, Johannes Kepler estableció que se movían en forma elíptica alrededor del Sol y elaboró tres leyes en relación con tales movimientos. Más tarde, Isaac Newton comprobó estas reglas científicas a través de su ley de la gravitación universal universal y de su nueva herramienta, herramienta, el cálculo diferencial.2 Actualmente se sabe mucho más del movimiento de los planetas, conocimientos que ni siquiera Newton Newton sospechó. Baste citar algunos ejemplos: la actividad titánica o nula de algunos planetas, sus temperaturas, las dimensiones de sus diámetros y de

282

Capítulo 7

■

La elipse (un instante lejos, otro cerca, pero siempre la misma distancia) sus masas, así como las de sus satélites naturales. Si bien la actual tecnología permite conocer o calcular más información de cada astro del Sistema Solar y más allá de él, deben reconocerse los gigantescos pasos que se dieron en tiempos pasados, pues estos hombres empezaron a dar la pauta en el orden y explicación de cada fenómeno que acontece en el universo. Con base en los datos expuestos: a) Determinen la ecuación de las trayectorias de cada planeta de nuestro Sistema Solar, tomando al Sol como uno de sus focos y el origen del sistema de referencia; b) investiguen las leyes de Kepler e indiquen cuál sería el periodo de cada planeta; c) construyan un modelo a escala del Sistema Solar; d ) construyan una representación del Sistema Solar a través de un software, utilizando las ecuaciones obtenidas en el inciso a). La unidad astronómica (U.A.) se define define como la distancia media del Sol a la Tierra, cuyo 11 valor es 1 U.A.51.496310 m. Se utiliza para realizar mediciones entre los diferentes astros del universo, universo, lo que facilita facilita el manejo y cálculo de cantidades muy grandes.

Planeta

Semieje mayor en U.A.

Excentricidad de la órbita e

Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno Plutón

0.387 0.723 1.000 1.524 5.203 9.537 19.19 30.07 39.48

0.206 0.007 0.017 0.093 0.048 0.054 0.047 0.009 0.249

Fuente: Chaisson and McMillan, Astronomy Today (The Solar System), 5a. ed., Prentice Prenti ce Hall, Hall, New Jerse Jersey, y, EUA EUA,, 2005.

AUTOEVALUACIÓN Contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas y ejercicios. Define, e, con tus propias propias palabras, palabras, qué es una elipse. elipse. 1. Defin

2. ¿Cómo se obtiene la excentricidad de una elipse? 3. La relación c25a21b2, ¿es aplicable a la elipse? Fundamenta tu respuesta respuesta con un gráfico. 3 4. La ex exce cent ntri rici cida dad d de un unaa elip elipse se es e = , un uno o de de sus sus fo foco coss se se loc local aliz izaa en F (3,2) (3,2) y su eje 5 focal es paralelo al eje y. Determina su ecuación y traza una gráfica que muestre sus elementos.

5. Dada la ecuación general de una elipse 4 x 219 y218 x 218 y2550, obtén su ecuación ecuación orordinaria y todos sus elementos. Traza su gráfica.

2

No olvides que el el cálculo también lo desarrolló Leibniz, casi al mismo mismo tiempo que Newton, Newton, lo que provocó un problema entre ambos personajes y sus seguidores.

CAPÍTULO

8

La hipérbola (un último peldaño… y parece que estoy viéndome en un espejo)

La hipérbola tiene diversas aplicaciones aplicaciones interesantes, como en el sistema LORAN, en la construcción de edificios o estructuras y en la elaboración de lentes y espejos, entre otras. Esta cónica posee un par de elementos más que el resto de las cónicas: dos rectas asíntotas. asíntotas.

Cuando uno se sienta a mirar el interior de su irrisoria realidad; cuando las ideas se vuelven hacia uno y lo miran fijas a los ojos, la mirada tiembla, se estremece —uno sabe que no soportará su reclamo. reclamo. Cuando uno ha probado la amargura en las lágrimas y las ha visto caer noche tras noche, entiende que todo puede ser y terminar en un suspiro. Cuando uno se ha atrevido a tocar las puertas de su verdadero ser, el que conserva escondido en los rincones oscuros de los deseos reprimidos, entonces ha probado el verdadero sentido de la existencia misma, misma, se ha vuelto Caín. Cuando uno ya no puede seguir empeñado en vivir falsedades y se asfixia cada vez que pretende engañarse mirando sólo hacia un mismo polo, sabe que la oscura naturaleza de su existencia le hará regresar la mirada mirada a las penumbras, porque cuando se ha probado ese otro mundo, cuando la otra parte del universo se ha mostrado a los ojos de alguien, ya no se le puede ignorar, es imposible: imposible: sería como quitarse quitarse la vida. F. Rechy Carabeli (Inferno)

283

284

Capítulo 8

■


8.1 DEFINICIÓN DE HIPÉRBOLA

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es constante. Los puntos fijos se denominan focos de la hipérbola. Como te habrás dado cuenta, la definición de hipérbola es muy semejante a la de elipse, sólo que aquí se considera la diferencia y no la suma. Si esto no se comprende desde el principio, podría incurrirse en errores de análisis. análisis. Considera la siguiente figura: P

P

F 9

V 9

V

F

F 9

V 9

V

F

Figura 8.1. La hipérbola.

Por definición, la diferencia de las distancias PF 9 y PF (también llamadas radio vectores) es constante y está representada por 2 a. PF '

5

2a

El segmento F ' F

5

2

PF

2c

Por trigonometría se sabe que en todo triángulo, la diferencia de dos de sus lados es siempre menor que el lado restante. En el triángulo F 9PF , la di dife fere renc ncia ia de lo loss la lado doss PF ' y PF es me men nor qu quee el la la-do F ' F , es es decir, c . a. El segmento F ' F y el segmento V 'V

5

5

2c se denomina eje o distancia focal,

2a es la distancia entre entre los vértices de la hipérbola, y se cum-

ple que:

2c . 2a Debes observar que esta relación no se cumple en la elipse; de hecho, esta relación básica cambia a c 2 5 a 2 1 b 2, como se muestra en cada caso caso de la hipérbola.

8.2

8.2 ECUACIÓN

■

Ecuación canónica de la hipérbola con eje focal paralelo al eje x 285


CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA CON EJE FOCAL PARALELO1 AL EJE x

y P (x ,y ) c

b F 9(2c ,0) ,0)

,0) F (c ,0)

,0) V (2a ,0)

c

a

,0) x V (a ,0)

Figura 8.2. Hipérbola con centro en el origen y eje focal horizontal.

Se trata de una hipérbola con centro en el origen. Observa, Observa, además, el triángulo so2 2 2 brepuesto que indica la relación c 5 a 1 b . A continuación determinamos la ecuación que la describe a partir de la diferencia PF '

2

PF

5

2a. Pa Para ra ca calc lcul ular ar la lass ma magn gnit itud udes es de lo loss se segm gmen ento toss PF ' y PF ,

se emplea la fórmula de distancia entre dos puntos: 2 ( x + c ) + y 2

2

2 ( x + c ) + y 2

5

2a

Se ordenan los miembros y se elevan al cuadrado para eliminar los radicales:

  

2

( x + c ) + y

2

  

2

5

  2a + 

2

(x − c) + y

2

  

2

Al desarrollar los binomios se tiene: 2 ( x − c ) + y 2

x 2 1 2 xc 1 c 2 1 y 2 5 4a 2 1 4a

1

( x 2 c)2 1 y 2

Se simplifica: cx 2 a 2 5 a

2 ( x − c ) + y 2

Una vez más se elevan elevan al cuadrado los miembros de la ecuación, ecuación, para eliminar el radical: x 2c 2 2 x 2a 2 2 y 2a 2 5 a 2c 2 2 a 4

Luego, c 2 5 a 2 1 b 2, como se observ observaa en la figura, figura, al sustituir sustituir c: x 2b 2 2 a 2 y 2 5 a 2b 2 1

También se se podría decir: “que coincide con el eje x ”. ”.

286

Capítulo 8

■


Al multiplicar la ecuación por

1 2 2

a b

:

2

x a

2

2

y

2

b

2

5

1

[1]

se obtiene la ecuación de la hipérbola con eje focal paralelo al eje x , de form formaa cacanónica. De manera semejante se obtiene la ecuación de la hipérbola con eje focal paralelo al eje y, que se se reduce reduce a y

2

a

2

2

2

x b

2

5

1

[2]

y F (c ,0) ,0) V (a ,0) ,0)

P (x ,y )

c a

b c

x

V 9(2a ,0) ,0)

F 9(2c ,0) ,0)

Figura 8.3. Hipérbola con centro en el origen y eje focal vertical.

Ejemplo 8.1 Determina la ecuación de la hipérbola en forma canónica de eje focal paralelo al eje satisface la relación relación 100 5 64 1 b 2. Traza su gráfico. x , que satisface Solución:

De acuerdo con la expresión c 2 5 a 2 1 b 2, el valor valor de b 2 5 100 2 64 5 36, ade además más:: 2 2 2 c 5 100 1 c 5 10, a 5 64 1 a 5 8 y como b 5 36 1 b 5 6. La ecuación bus2

cada es de la forma

x a

2

2

y

2

b

2

5

1. Sustituyendo valores: 2

2

x 64

2

y 36

5

1

Y su gráfico es: y 8 4 (210,0.0) F 9 V 9(28.0,0.0) 212 28

24 24

2

x Figura 8.4. Gráfica de la hipérbola 64

2

y 2

36

28

5

1.

212

(8.0,0.0)V

4

F (10,0.0)

8

12

x

8.3

8.3 PROPIEDADES DE LA HIPÉRBOLA 2

x a

2

2

− y 2 = 1 b

Propiedades de la hipérbola 287

■

1. La curva es simétrica respecto de ambos ejes. 2. El punto medio del eje focal es el centro de simetría de la curva, curva, el cual se conoce como centro de la hipérbola, que también puede localizarse localizarse con el punto medio del segmento V 'V 5 2a. 3. Intersección con los ejes coordenados Con n el el eje eje x : a) Co 2

x

Sea y 5 0 1

a

2

5

1 [ x 5 6a

A partir de este resultado se observa que en el eje focal existen dos puntos, V 9(2a, 0) y V (a, 0), que se denominan denominan vértices vértices y equidistan equidistan a una distancia distancia a del centro. Con n el el eje eje y: b) Co

Sea x 5 0 1 2

y

2

b

2

5

1

[

y 5 6bj 2

La intersección con el eje y es imaginaria,3 por tanto, no hay una intersección real y la hipérbola no corta su otro eje de simetría, al cual se le conoce como eje conjugado o imaginario. 2 2 y x 2 5 1, medi 4. La ecuación mediante ante la figura figura mostrada mostrada,, se interpreta interpreta como como 2 2 b a RP a

2

2

2

QP b

2

2

5

1, siendo RP y QP las distancias del punto P a los ejes

de simetría.

 RP  2  a  

2

2

 QP   b   

5

1

y R

P

Q

Figura 8.5. Propiedades de la hipérbola.

2 3

Recuerda que j o i se utilizan para indicar los valores imaginarios. A este eje también se le llama eje conjugado.

x

288

Capítulo 8

■


8.4 INTERPRETACIÓN


GEOMÉTRICA DE “a, b y c ”

y

M

B

N c

b

V 9

V a

F 9 S

B 1

F

x

R

Figura 8.6. Interpretación geométrica de a, b y c.

En la figura se observa que c2 5 a2 1 b2, donde:

1. a, es la distancia media entre los dos vértices de la hipérbola, semieje transverso. 2. b, B ' B 5 2b se define como eje conjugado; por tanto, b es el semieje conjugado o la mitad de ese eje. 3. c, se define como la semidistancia focal OF y se considera la hipotenusa del triángulo rectángulo abc.

8.5 EXCENTRICIDAD DE LA HIPÉRBOLA

Se conoce como excentricidad de la hipérbola a la relación que existe entre la distancia focal y la distancia entre los vértices, la cual se obtiene por definición de cónica. e5

8.6 ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA

2c 2a

1

e5

c a

donde e . 1, de lo contrario acusa error.

Para una curva dada existe una recta que a medida que un punto de ella se aleja del origen, la distancia de ese punto a la recta decrece, es decir, tiende a cero. A esta recta se le denomina asíntota. y

P, alejándose del origen

M

N b

c

a

x

a S

Figura 8.7. Asíntotas de la hipérbola.

R

8.6

■

Asíntotas de la hipérbola 289

1. Por simple inspección de la figura es posible obtener las ecuaciones de las rectas diagonales del rectángulo MNRS : y 5 6

b x a

2. También pueden obtenerse a partir de la siguiente ecuación: 2

x a

2

2

y

2

b

2

5

1

Al despejar y se tiene: b a2 2  x  1 − a  x 2

y 5 6

  

Se simplifica: 2

b a y 5 6 x 1 − 2 a x

En esta última ecuación, para valores muy grandes de x , el de y se reduce a: y 5 6

puesto que

a

b x a

2 2

x

tiende a cero; sin embargo, el radicando

 a 2  siempre será  1 − x 2  

menor que 1, en consecuencia también la raíz cuadrada. De aquí que el valor 2

y

5 6

b a x 1 − 2 a x

de la curva siempre será menor que el valor de y

5 6

b x , a

que corresponde a la recta. De lo anterior se concluye que las diagonales MR y SN , con ecuaciones b y 5 6 x , son las asíntotas de la curva. a

3. Un método práctico para obtener las ecuaciones de las asíntotas consiste en igua2

lar a 0 la ecuación

x a

2

2

y

2

b

2

5

1, es decir, 2

x a

2

2

y

2

b

2

5

Al resolver para y: y 5 6

b x a

0

290

Capítulo 8

■


8.7 LADO RECTO O ANCHO FOCAL (latus rectum)

La longitud de la cuerda que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal se llama lado recto o ancho focal. Considera la figura 8.8: y

y 5 FL

F 9

F

a

FL 1 FR 5 LR

x

R

c

Figura 8.8. Lado recto de la hipérbola.

Observa que el semiancho focal o la mitad del lado recto es y 5 FL y que FL

5

FR .

También, observa que la distancia del origen a F es x 5 c. Por tanto, la ecuación 2

x

a2

2

y 2 b2

y 2

2

5

1 se transforma en

x

c2

2

y2 5 b2

b2

5

1. Al resolver para y se tiene:

 c2   2 − 1 a 

Simplificando el paréntesis y sacando la raíz cuadrada de ambos miembros: y 5

b 2 2 c −a a

Pero de la relación c2 5 a2 1 b2, al sustituir c2: y 5

pero y 5 FL , es decir gura que LR

5

FL

1

b2 a

5

b 2 2 2 b +a −a a

2

FL y además FL

FR por tanto:

 b 2   a  

LR 5 2 

O bien, LR 5

2b 2 a

y 5

1

5

b a

FR . Luego se observa en la fi-

8.8

8.8 RECTA

■

Recta directriz de la hipérbola 291

De manera análoga a la elipse, las correspondientes rectas directrices están dadas por: 2

DIRECTRIZ DE LA HIPÉRBOLA

a c

x 5 6

Es decir, son simétricas.

Ejemplo 8.2 2

2

y Dadas las ecuaciones de hipérbola 9

x 16

2

2

2

5

x 1 y 16

2

y 9

5

1, determina

para cada una: a) las ecuaciones de sus asíntotas, b) las coordenadas de sus focos, c) las coordenadas de sus vértices, d ) la longitud de cada lado recto y e) traza las gráficas de ambas ecuaciones. Solución:

Se observa que ambas ecuaciones pertenecen a hipérbolas con centro en el origen, pero la primera con eje focal paralelo al eje y, y la segunda al eje x . 2

a) Las ecuaciones asíntotas para 2

2

Y para

x 16

2

y 2

9

5

2

y 9

2

x 16

5

1 son:

2

y 9

2

x 2 16

2

x 16

5

0 1 y 5 6

3 x 4

5

0 1 y 5 6

3 x 4

1 y

2

9

Como se observa, son las mismas. b) Las coordenadas de los focos. Primero se establece la relación c2 decir, c2 5 25 1 c 5 2. Para la primera ecuación las coordenadas serán:

5

a2

1

b2, es

F (0, 6c) 1 F (0, 65)

En la segunda serán: F (6c, 0) 1 F (65, 0) c) Las coordenadas de los vértices. Aquí es necesario identificar a: En la primera ecuación a2 5 9 1 a 5 3 V (0, 6a) 1 V (0, 63)

Y para la segunda a2 5 16 1 a 5 4 V (64,0) 1 V (64,0) d ) Para calcular el lado recto, será necesario identificar el valor de b2, LR 5 decir: Primera ecuación b2 5 16, a 5 3 LR 5

2(16) 3

5

32 3

5

10.66

2b 2 , es a

292

Capítulo 8

■


En la segunda b2 5 9, a 5 4 2( 9) 4

LR 5

5

9 2

5

4.5

e) Finalmente, la gráfica de ambas es: 6 4

y F (0,5) V (0,3)

2 F (25,0) 26

V (24,0) 24

(4,0) V

22

2

(5,0)F

4

6

x

x 2 16

2

22

V (0,23) 24

F (0,25) 26

Figura 8.9. Gráficas de las hipérbolas

y 2

9

2

x 2 16

5

1 y

y 2

9

5

1.

Este ejercicio muestra la importancia de identificar los elementos c2, a 2 y b2, pues aunque el valor de c2 es el mismo, los otros dos no, y eso cambia totalmente el tipo de hipérbola con la que se trata. Además, es importante obtener el valor de la excentricidad y entender la variación de la abertura de las mismas. E n la primera ecuación 5 5 1.66 y para la segunda e 5 1.25, es decir, cuanto más grande sea e, e5 3 4 mayor es la abertura. <

8.9 ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE y

<

y 2

Si se hace un estudio análogo para la ecuación

a2

trico se representa en la figura 8.10,

2

x 2 b2

5

1, cuyo lugar geomé-

y F (c ,0) J V (a ,0) a

c

b c

P (x ,y )

H

x

V (2a ,0) F 9(2c ,0)

Figura 8.10. Hipérbola con centro en el origen y eje focal vertical.

8.9

■

Ecuación canónica de la hipérbola con centro en el origen y eje focal paralelo al eje y 293

se obtienen los siguientes elementos: Se cumple la relación c2 5 a2 1 b2 Focos: F (0,6c) Vértices: V (0,6a) Intersección con los ejes coordenados: y 5 6a y x 5 6bj La excentricidad y la magnitud del lado recto se obtienen de la misma forma: 2b 2 c y LR 5 , respectivamente. e5 a a Las ecuaciones de las asíntotas son y 5 6

a x . b 2

Las ecuaciones de las rectas directrices serían y 5 6

Es posible escribir esta ecuación como trada.

( PH ) 2 a

2

2

a . c

( PJ ) 2 b

2

5

1, según la figura mos-

Ejemplo 8.3 Dada la ecuación

y 2

4

2

x 2 16

5

1, obtén todos sus elementos y traza su gráfica.

Solución:

Se identifica por inspección que b2 c2 5 a2 1 b2, c2 5 20 1 c 5

5

16

1

b

5

4 y a2

5

4

1

a

5

2. Luego, de

20 .

Las coordenadas de los focos y vértices son F (0, 6 20 ) y V (0, 62), respectivamente. La intersección con los ejes es: y 5 62 y x 5 62 j. Su excentricidad y lado recto son: e

8

y

4

26

24

y 5 0.5x RD 1

22 22

5

16.

2

4

F 9

Por último, su gráfica se presenta en la figura 8.11.

LR 2

28

2

y Figura 8.11. Gráficas de la hipérbola 4

2

2

1 x . 2

Las rectas directrices tienen por ecuaciones y 5 6

6 8 RD 2

V 9

Las ecuaciones de sus asíntotas son: y 5 6

x

24 26

2(16) 2

LR 1

2 28

20 y la magnitud del lado recto es 2 LR 5

6

y 5 20.5x

5

x 16

5

1.

4 20

.

294

Capítulo 8

■


Ejercítate

1. Si los vértices de una hipérbola están en V (64,0) y sus focos F (66,0), ¿cuál es su ecuación? 2

2

2. Halla los vértices y focos de la hipérbola si su ecuación es x 9

2

y 11

5

1.

2

2

3. Traza la gráfica de la hipérbola cuya ecuación es

x 25

2

y 25

5

1.

4. Dada la ecuación y2 2 6 x 2 5 18 de hipérbola, determina: a) su excentricidad, b) su lado recto y c) la longitud de su eje transverso. y

2

2

8.10 ECUACIÓN

2

x 2

5 1, halla: a) las ecuaciones de las 14 asíntotas y b) las ecuaciones de sus r ectas directrices.

5. De la ecuación de hipérbola

Considera la figura 8.12:

ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE x

y

B c b a

F 9 V 9

V F

C (h,k ) B 9 x

Figura 8.12. Elipse con centro fuera del origen y eje focal horizontal.

Se trata de una hipérbola con centro fuera del origen y eje focal FF ' paralelo al eje x , cuya ecuación se expresa como: ( x − h ) 2 a2

2

( y − k ) 2 b2

5

1

la cual se demuestra por traslación de ejes, y de la que también se deducen sus elementos por el mismo principio. Es decir, Eje transverso VV '

5

2a, Eje conjugado 5 2b, Distancia focal FF '

5

2c

8.11

■

Ecuación ordinaria de la hipérbola con centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje y 295

V (h 1 a, k ) V 9(h 2 a, k )

c2 5 a2 1 b2

Vértices

Lado recto LR 5

c 2b 2 , Excentricidad e 5 a a

Focos

F (h 1 c, k ) F 9(h 2 c, k )

Ecuaciones de las asíntotas: a ( x 2 h) b

y 2 k 5 6

8.11 ECUACIÓN

Observa la figura 8.13:

ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE y

y

F V a

c

C (h,k )

B

b

B 9

V 9 F 9 x

Figura 8.13. Elipse con centro fuera del origen y eje focal vertical.

Corresponde al lugar geométrico cuyo eje focal FF ' es paralelo al eje y. Su ecuación es

( y − k ) 2 a

Eje transverso VV '

2

5

2

2a

( x − h ) 2 b

2

5

1 y sus elementos son:

Eje conjugado 5 2b

V (h, k 1 a) V 9(h, k 2 a)

c2 5 a2 1 b2

Vértices

Lado recto LR 5

c 2b 2 , Excentricidad e 5 a a

Focos

Ecuaciones de las asíntotas: y 2 k 5 6

Distancia focal FF '

a ( x 2 h) b

F (h, k 1 c) F 9(h, k 2 c)

5

2c

296

Capítulo 8

■


Ejercítate

( y − 1) 2 2 5 1, halla: a) las coordenadas de su centro 8 y b) las coordenadas de sus vértices y focos. 2. El centro de cierta hipérbola se localiza en C (2,23) y su lado recto es 3. Si la longitud de su eje transverso es de 8, ¿cuál es su ecuación? 2

x 1. De la ecuación 8

3. Traza la gráfica de la hipérbola cuya ecuación es

( y − 2) 2 36

2

( x + 1) 2 64

5

1

y muestra todos sus elementos.

8.12 ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPÉRBOLA

La ecuación general de toda hipérbola, cuyos ejes de simetría son paralelos a los ejes coordenados, está dada por cualquiera de las siguientes ecuaciones: Ax 2 2 Cy2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0

(i)

Cy2 2 Ax 2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0

(ii)

donde es condición necesaria que el producto xy 5 0, y que los coeficientes A y C de las variables x y y sean diferentes y de signos contrarios. 4 A partir de las ecuaciones ( i) o (ii), al completar cuadrados se tiene: 2

2

 D  − C  y − E  = D 2 − E 2 − F A  x +  2C   2 A    4 A 4C o bien, 2

2

 E  − A  x − D  − = E 2 − D 2 − F C y +  2 A   2C    4C 4 A En cualquiera de las dos ecuaciones, el valor del segundo miembro determina si el lugar geométrico que representan es una hipérbola o no.

Caso 1 2

2

2

2

2

2

2

2

D − E − F > 0 , o bien, E − D − F > 0 , el lugar geométrico que representa es 4 A 4C 4C 4 A

una hipérbola.

Caso 2 2

2

D − E − F = 0 , o bien, E − D − F = 0 , se tendrá un punto en el plano (un par 4 A 4C 4C 4 A

de rectas que se cortan).

Caso 3 2

2

D − E − F < 0 , o bien, E − D − F < 0 , no representa el lugar geométrico lla4 A 4C 4C 4 A

mado hipérbola. 4

Observa que si A o C son iguales a 0 se tiene la ecuación de una parábola.

8.12

■

Ecuación general de la hipérbola 297

Ejemplo 8.4 De la ecuación general 9 x 2 2 4 y2 1 90 x 1 189 5 0, determina la posición de su eje transversal y las coordenadas del centro. Solución:

Se ordenan y factorizan términos comunes:

9( x 2 1 10 x ) 2 4 y2 5 2189 Se completan cuadrados: 2  2  2   10  10  2  − 4 y = −189 + 9  9  x + 10 x +    2     2  

Se simplifica:

9( x 1 5)2 2 4 y2 5 36 Para terminar, se multiplica por

1 36 ( x + 5) 2 4

2

− y =1 9

Concluimos que su eje transversal es paralelo al eje x (el término positivo es el que contiene a x ). Las coordenadas del centro son C (25, 0). Por tanto, se encuentra fuera del origen. Su gráfico muestra lo anterior:

y 4

2

–10

–8

–6

•

–4

x

–2

–2

–4

–6

Figura 8.14. Gráfica de la hipérbola 9 x 2 2 4 y2 1 90 x 1 189 5 0.

Ejemplo 8.5 Se ha construido un salón de eventos sociales como el que se ilustra en la figura 8.15, en la cual se ha tomado como r eferencia una esquina y se ha deter minado que la curva más prolongada tiene una excentricidad e 5 3; además, el centro está colocado de acuerdo con las coordenadas descritas. Determina la ecuación ordinaria que obedece a la curva, muestra dónde se encuentran sus focos, cuál es el valor del eje conjugado y cuál es la longitud de cada uno de sus lados rectos.

298

Capítulo 8

■


y

0.5 m

4m

x

0 10 m

Figura 8.15. Salón de eventos sociales. Solución:

Se observa que se trata de una hipérbola de eje focal paralelo al eje y. También, que la distancia de 0.5 m equivale al semieje transverso; por tanto, a 5 0.5 1 2a 5 1. Su centro tiene coordenadas (h, k ) , es decir, (10, 4). c 53 Por otra parte, se sabe que la excentricidad está definida por la relación e 5 a 1 c 5 3(0.5) 1 c 5 1.5. Para obtener el valor de b se aprovecha la relación c2 5 a2 1 b2 1 b 5 (1.5 )2

− (0.5 ) =

2 ; por lo tanto, b2

2b. Su longitud es 2

2.

El lado recto es, LR =

2b 2 a

5

2, como el eje conjugado se define como

= 2(2) = 8.0. 0.5

Las coordenadas de los focos se encuentran en F (h, k 1 c) y F 9(h, k 2 c); F ( 10, 5.5) y F (10, 2.5). Los vértices están en V (10, 4.5), V (10, 3.5) y la ecuación de la curva es ( y − 4 ) 2 0.25

2

( x − 10 ) 2 2.0

5

1.

La figura 8.16 da una mejor idea de la hipérbola estudiada.

8.12


■

y

8

F

6

LR 1

V 4

C (10,4) V 9

2

F 9

LR 2 X

2

4

6

Figura 8.16. Gráfica de la hipérbola

8

10

( y − 4 ) 2 0.25

2

12

( x − 10 ) 2 2.0

14

5

16

1.

Ejemplo 8.6 Halla la ecuación ordinaria y los elementos de una hipérbola con centro en el origen y eje transverso en el eje y, que pasa por los puntos P(4,6) y P1(1,23). Solución:

Por los datos que se tienen, la ecuación tiene la forma

y

2

2

− x 2 = 1 . Para determinar2

a b la se sustituyen los puntos dados. Al sustituir el punto P(4,6) se obtiene:

62 a

2

− 4 2 = 1⇒ 362 − 162 = 1 2 b

a

(i)

b

Y al sustituir el punto P1(1,23): ( −3) 2 a

2

2

− 1 2 = 1⇒ b

9 a

2

−

1 b2

=1

(ii)

Al resolver simultáneamente las ecuaciones ( i) y (ii) por el método de reducción: 36 a

2

9 a

2

− 162 = 1 b

−

1 b

2

=1

300

Capítulo 8

■


Al multiplicar (ii) por 216: 36 a

2

− 162 = 1 b

− 144 − 162 = −16 2 a

b

Se suman ambas ecuaciones: 36 − 144

= −15 ⇒ a 2 = 108

2

a

15

108 15

a =

36 5

=

6 5

=

Se sustituye el valor de a en (ii), y se despeja b: 9 2

 

36  5  

−

b

2

1 b

= 1⇒

2

1 b

2

= 45 − 1= 36

9 36

= 36 = 4 ⇒ b = 2 9

Por tanto, la ecuación adopta la forma: 2

y 36

2

2

2

4

36

4

− x = 1, o bien, 5 y − x = 1

5

Identificamos los elementos que construyen la hipérbola: a

2

= 36 ⇒ a = 5

=6

6 5

5 5

, b 2 = 4 ⇒ b = 2, c 2 = a 2 + b 2 ⇒ c =

Vértices:

 

 

(

) =  0, 6 5 5  ,

(

) =  0,

V 0, a

(

V ' 0, − a

 

 



56  ; 5  

) =  0, − 6 5 5  ;

Focos: F 0, c



56  , F ' 0, − c 5  

(

) =  0, −

Extremos: B(b, 0) 5 (2, 0), B9(2b,0)

5 (22, 0);

Lado recto: LR =

2b2 a

= 2⋅2 = 2

6 5 5

40 6 5

=4

5 3

36 + 4= 5

56 5

8.12

■


Excentricidad:

e=

56 5

c = a 6 5 5

=

56 6

6 5 a x . Ecuaciones de las asíntotas: y = ± x = ± 10 b y

8

6

4

2

x 26

24

22

2

4

6

8

22

24

26

28

2


y 36

5

2

− x = 1 . 4

Ejemplo 8.7 Determina la ecuación general de la hipérbola, cuyos focos tienen las coordenadas (21, 21) y (4, 2), y la diferencia diferencia de sus sus distancias distancias a ellos ellos es igual igual a 4. Solución:

Por definición de hipérbola: 2 2 2 2 ( x + 1) + ( y + 1) − ( x − 4 ) + ( y − 2 ) = 4

Ordenando miembros: 2 2 2 2 ( x + 1) + ( y + 1) = 4 + ( x − 4 ) + ( y − 2 )

302

Capítulo 8

■


Se elevan al cuadrado ambos miembros y desarrollando binomios: x

2

+ 2 x + 1+ y 2 + 2 y + 1= 16 + 8

2 2 ( x − 4 ) + ( y − 2 ) + x 2 − 8 x + 16 + y 2 − 4 y + 4

Se simplifica: 10 x + 6 y − 34 34 = 8

2 2 ( x − 4) + ( y − 2)

Se eleva una vez más al cuadrado y se desarrollan los binomios:

100 x 2136 y2111561120 xy2680 x 2408 y564 x 22512 x 11024164 y22256 y1256 Ordenando:

9 x 2 1 30 xy 2 7 y2 2 42 x 2 38 y 2 31 5 0 que representa la ecuación de una hipérbola cuyos ejes están girados con respecto al plano xy, como se muestra muestra en la figura figura 8.18. y 6 4 2

x 26 24 22

2

4

6

8

22 24 26 28

Figura 8.18. Hipérbola de ejes oblicuos.

Ejercítate

2 ( x − 3) 2 ( y − 2) − = 1 , obtén la ecuación general de la 1. Dada la ecuación 6 8 hipérbola. 2. Si la ecuación 2 y2 2 4 x 2 1 2 x 2 8 5 0 pertenece a una hipérbola, determina: a) su excentricidad y b) sus vértices. 3. Encuentra: a) las coordenadas de los focos, f ocos, b) la intersección con el eje con jugado y c) las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es x 2 2 3 y2 2 2 x 1 6 y 1 2 5 0. 4. Obtén las ecuaciones de las rectas directrices y traza la gráfica de la hipérbola 2 x 2 2 y2 1 6 x 2 6 y 5 4.

Miscelánea de ejemplos 2 y 1. A partir de la siguiente ecuación de una hipérbola 16 mentos que la constituyen y traza su gráfica.

2

− x = 1 , determina los ele4

8.12

■


Solución:

Se observa observa que su centro se localiza en el origen; por tanto, sus coordenadas coordenadas son: (0,0). Luego, a2 5 16 1 a 5 4, b2 5 4 1 b 5 2; de la relación c2 5 a2 1 b2 1 C (0,0). c5

16 + 4 = 2 5 .

Las coordenadas de los vértices, focos y sus extremos extremos son: V (0, (0, a) 5 (0 (0,, 4) 4);; V 9(0, 2a) 5 (0, 24) F (0, (0, c) 5 (0, 2

5 ); F 9(0, 2c) 5 (0, 22

(2,, 0) 0);; B9(2b,0) B(b, 0) 5 (2 El lado recto LR =

2b 2 a

5 )

5 (22,0)

= 2 ⋅ 2 = 2 ; las ecuaciones de sus asíntotas son 2

4

4 a c 2 5 y = ± x = ± x = ± 2 x ; excentricidad e = = . 2 4 b a La gráfica de la ecuación se observa en la figura 8.19: 8

RD 2

y

RD 1

6

4

F 2 V

B 9 26

24

x

B

22

2 22

4

6

8

V 9 F 9

24

26

28


y 2

16

2

− x

4

5

1.

2. Determina las posibles ecuaciones canónicas de hipérbola que tienen una excentricidad e 5 1.5, con centro centro en el origen origen si: a) F (66, 0) y b) F (0, (0, 66). Solución:

a) Se sabe que se trata de una hipérbola de ecuación c 5 6 y e 5 1.5.

2

x 2 a

y − = 1 . Y ad em ás q u e 2 2 b

304

Capítulo 8

■


Por definición de excentricidad se calcula a: e=

1.5 =

c a

6 ⇒a= 4 a

Esto permite obtener las coordenadas de los vértices V (64, 0) 0).. 2 2 2 2 Luego, Lueg o, de la relación relación c 5 a 1 b 1 b 5 36 2 16 5 20. b5

20

Por tanto, las coordenadas de los ejes imaginarios son B(0, 6 La ecuación de la hipérbola buscada es: 2

x 16

20 ).

2

− y =1 20

y 6

4 c

2

26

24

22

2

b

a

4

6

x

22

24

26

2


2

− y =1 . 20

b) Se sabe que se trata de una hipérbola de ecuación

y a

2

2

− x 2 = 1 . En un proceso 2 b

2

y análogo al inciso anterior se tendría que la ecuación buscada es 16

2

− x = 1 . 20

3. Traza las gráficas de las hipérbolas canónicas que tienen sus vértices en V (63,0) y su excentricidad es: a) 1.1, b) 1.5, c) 2.0, d ) 2.5 y e) 3.0. Solución:

Para facilitar los cálculos, la ecuación e=

2

2

y − = 1 , a través de b2 5 c2 2 a2 y de que 2 2

x a

b

c ⇒ c = ae , ent entonc onces es c2 5 a2e2, es decir decir,, b2 5 a2e2 2 a2 1 b2 5 a2(e2 2 1). a

8.12


■

y 6

4

b

a 2

26

24

c

22

2

4

x

6

22

24

26

y


2

2

16

− x = 1 . 20

Al sustituir: 2

x a

e = 2.0 12

e = 2.5

a)

x 2 9

−

b)

x 2 9

−

c)

x 9

e = 3.0

6

e = 1.1

4 2 –4

–2 –2

2

a (e

2

− 1)

=1

y

2

2

9((1.1) 2 − 1) y2

= 1⇒ x − 9

2

9((1.5)2 − 1)

= 1⇒ x − 9

y

2

1.89

=1

y2

11.25

=1

x 2

–10 –8 –6

−

2

e = 1.5

y

10 8

2

y

2

4

6

8

10 12 10

y

−

2

9(( 2.0 ) 2 − 1)

2

2

9

27

= 1⇒ x − y = 1

–4 2

x d ) 9

–6 –8 –10

2

x e) 9

Figura 8.22. Familia de hipérbolas.

y

−

2

2

9(( 2.5) 2 − 1) y

= 1⇒ x −

2

9

2

− = 1⇒ x 2 9 9((3.0 ) − 1)

−

2

y =1 47.25 2

y =1 72

Se observa que mientras e crece, la hipérbola se asemeja asemeja a un par de rectas. 4. Analiza lo que sucedería en la ecuación anterior si: a) e 5 1 y b) e 5 0. Solución: 2

sustit tituir uir e 5 1 en a) Al sus

x

y

a

a (e

− 2

2

2

2

− 1)

=1

se tiene:

306

Capítulo 8

■


2

2

x

y

a

a ((1)

− 2

2

2

2

2

− 1)

= 1⇒ x 2 − y = 1 a

(0)

Es decir, una indeterminación en el segundo segundo término del primer miembro. 2

sustit tituir uir e 5 0 en b) Al sus

2

a

a

y

−

2

y

x

− 2

x

2 2 a (e − 1)

2

2

a (( 0 )

2

=1 . 2

2

2

− 1)

= 1⇒ x 2 + y 2 = 1⇒ x 2 + y 2 = a 2 a

a

Se tiene la ecuación de una circunferencia de radio a.

5. Dada la ecuación

( x + 3) 2 12

2

− ( y + 3) = 1

de hipérbola en su forma ordinaria,

8

a) halla la ecuación general, b) determina sus elementos y c) traza su gráfica. Solución:

multiplicarr por 96 se tiene: tiene: a) Al multiplica

8( x 1 3)2 2 12( y 1 3)2 5 96 Se desarrollan binomios y se ordena:

8 x 2 1 48 x 1 72 2 12 y2 2 72 y 2 108 5 96 8 x 2 2 12 y2 1 48 x 2 72 y 2 60 5 0 Al simplificar:

2 x 2 2 3 y2 1 12 x 2 18 y 2 15 5 0 coordenadass del centro son son (23,23); como el término que contiene a x es b) Las coordenada positivo, se sabe que la hipérbola tiene su eje eje focal paralelo al eje x . De la ecuación ordinaria se identifica que: a2 5 12, b2 5 8 y c2 5 20 a = 12 , b = 8 y c = 20

Con estos datos se obtienen los componentes restantes: Lado recto: LR =

2(8) 12

=

8 3

≈ 4.62

Excentricidad: e=

20 12

≈ 1.29

Focos: F ( ± 20 − 3,−3)

8.12

■


Vértices: V ( ± 12 − 3,−3)

Extremos con los ejes imaginarios: B ( −3, ± 8 − 3)

Ecuaciones de las asíntotas: y = ±

2 ( x + 3) − 3 3


12 20

− 3 ≈ ±2.68 − 3

RD2

As2

RD1

y As1

2

x –8

–6

–4

b

c

•

B –2

LR2

• •

F' V'

2 –2

C a

•B'

LR1

•V •F

•

a

4

–4

–6

–8 –10

Figura 8.23. Gráfica de la hipérbola 2 x 2 2 3 y2 1 12 x 2 18 y 2 15 5 0.

6. Existe un método para localizar barcos haciendo abstracción abstracción del clima, denominado LORAN ( Long signific ificaa navegaci navegación ón de largo alcance alcance), ), que Long range navigation n avigation , sign consiste en en que dos estaciones estaciones separadas separadas emiten, simultánea simultáneamente, mente, ondas de radio hacia la nave. Puesto que el barco suele encontrase más cerca de una estación que de otra, las ondas le llegarán con una pequeña diferencia diferencia de tiempo. Al conocerse conocerse esa diferencia y la velocidad velocidad de las ondas, la ubicación del barco resulta sencilla sencilla y precisa, ya que las estaciones estaciones están en los focos de una hipérbola. hipérbola. Si dos estaciones de navegación se encuentran a 600 km de distancia en línea recta sobre sobre la costa, A al norte de B, mientras que un barco barco se localiza a 200 km más alejado de la estación estación B que de la A y al oeste de ambas: a) determina la ecuación de la hipérbola hipérbola que que describe describe su posición, posición, b) suponiendo suponiendo que el barco no cambia su rumbo, rumbo, ¿en qué punto de la costa bajará bajará anclas?

308

Capítulo 8

■

La hipérbola (un último peldaño… y parece que estoy viéndome en un espejo) Solución:

P F = 2 a , es decir, F ' P − PF = 200 , lo que perPor definición de hipérbola F ' P − PF mite identificar

2a 5 200 a 5 100 1 a2 5 10 000

Si las estaciones están separadas 600 km, se toma el centro como el origen del sistema de referencia y se ubican las estaciones estaciones en los focos, es decir, F (0, (0, 630 300) 0),, po porr lo cual: c 5 300 1 c2 5 90 000

Luego, utiliz Luego, utilizando ando la relaci relación ón c2 5 a2 1 b2 1 b2 5 90 000 2 10 000 5 80 000 y utilizando como modelo la ecuación canónica de la hipérbola con eje focal paralelo al eje y, se tie tiene: ne: y

2

10 00 000

−

x 2 =1 80 00 000

La situación es como se indica en la figura 8.24: y

• F •

V

x

•V' • F' Figura 8.24. Sistema de navegación LORAN.

Si el rumbo del barco no cambia, se entiende que la diferencia en distancia tampoco, por lo cual llegará al vértice de la misma trayectoria.

7. En las plantas productoras de energía nuclear se utilizan torres de enfriamiento de forma hiperbólica hiperbólica (una hipérbola girada girada sobre uno de sus sus ejes, es decir, decir, hiperboloide), como la que se ilustra en la figura 8.25. Observa Observa que se trata de una hipérbola en tres dimensiones. dimensiones. Si en la parte más estrecha estrecha tiene una distancia de 50 m, y una excentricidad de 1.8: a) determina su ecuación y b) la longitud de su lado recto.

8.12

■


Solución:

Los puntos más cercanos en una hipérbola son los vértices; por lo tanto, la distancia de 50 m es 2 a 5 50. Así: a 5 25 1 a2 5 625

Luego, por definición de excentricidad: e= Figura 8.25. Torres de enfriamiento en forma hiperbólica.

c a

⇒ c = (1 .8 )(25 ) = 45 c2 5 2025

Por lo cual, b2 5 2025 2 625 5 1400.

Si se ubica el eje transverso sobre el eje x , la ecuación buscada es: x 2 625

−

x 2 1400

2b 2 a

= 2 (1400 ) ≈ 112

=1

El lado recto es: LR =

25

La gráfica de la situación es: y 6 4 2

x –8

–6

•

–4

•

–2

2

•

4

•

6

8

–2 –4 –6 –8

2


x 625

−

2

x 1400

=1.

8. Un ingeniero de procesos determina que el corte anatómico interno de un pañal es semejante a una hipérbola, cuyo lado recto es de 50 cm y la distancia entre sus vértices es de 10 cm. a) ¿Cuál es la ecuación de esa hipérbola, suponiendo que el diseño es visto en forma vertical? y b) ¿qué valor tiene su excentricidad?

310

Capítulo 8

■

La hipérbola (un último peldaño… y parece que estoy viéndome en un espejo) Solución:

a) La distancia entre vértices en una hipérbola es igual con 2a, es decir, 2a 5 10 2 1 a 5 5, por tanto a 5 25. La expresión que determina el lado recto es LR =

2b 2 a

= 50 , sustituyendo y resolviendo para b2: 2b2 5

= 50 ⇒ b 2 = 250 = 125 2

Si se toma el centro de la hipérbola en el origen su ecuación es: 2

x 25 b) La excentricidad e = a2 1 b2 1 c 5

−

2

y 125

=1

c , para calcular el valor de c se utiliza la relación c2 a

25 + 125

<

5

12.24. Entonces,

e =

12.24 5

≈ 2.45

y 6 4 2

x –8

–6

–4

–2

2

4

6

8

–2 –4 –6 –6

2


9. Dadas las ecuaciones

( x − 3) 2 4

x 25

−

y

2

125

=1.

2

− (y + 4) = 1 9

y

( x − 3)2 4

2

+ ( y + 4 ) = 1 , de dos 9

diferentes lugares geométricos, determina los puntos que se intersecan y traza su gráfico. Solución:

Aparentemente las ecuaciones son las mismas, pero se distinguen por un signo, por lo cual se plantea un sistema de ecuaciones y se resuelve por suma y resta:

8.12


■

2

( x − 3)2 4

− (y + 4) = 1

( x − 3)2 4

+ (y + 4) = 1

Al sumar (i) y (ii): 2

(i)

9

2

(ii)

9

( x − 3)2 4

=2

2( x 2 3)2 5 8 ( x 2 3)2 5 4 Se obtiene la raíz cuadrada de ambos miembros, considerando ambas soluciones: x 2 3 5 62

Por lo cual: x 1 5 2 1 3 5 5 x 2 5 22 1 3 5 1

Para determinar los posibles valores de y se sustituyen los que se encontraron en (ii): Para x 1 5 5 ( 5 − 3)2 4 1+

( y + 4 )2 + 9

( y + 4 )2 9

( y + 4 )2 9

=1

=1

=0

Al despejar y: y 5 24

y 2

4

6

La dupla de coordenadas es (5,24) Luego x 2 5 1 (1 − 3)2 4

–2

–4

1+

•

+ ( y + 4 ) = 1 9

( y + 4 )2 9

( y + 4 )2 9

–6

2

=1

=0

De nuevo, se obtiene que y 5 24, pero el punto encontrado tiene coordenadas (1,24). Su gráfica se muestra en la figura 8.28. Figura 8.28. Intersecciones de la hipérbola con la elipse.

312

Capítulo 8

■


10. Determina los puntos donde se intersecan las hipérbolas y

( x + 2 )

2

16

−

( y + 3) 9

( x + 2 ) 9

2

−

( y − 1) 16

2

=1

2

=1

y traza el gráfico de ambas.

Solución:

Con las ecuaciones dadas se plantea un sistema de ecuaciones:

( x + 2 )

2

−

16

( x + 2 ) 9

( y + 3)

2

9

2

( y − 1)

−

=1

(i)

=1

(ii)

2

16

Al despejar de (i) y (ii) el factor ( x 1 2)2: 2

( x + 2 ) = 16 + 2

( x + 2 ) = 9 +

16 ( y + 3 )

2

9 9 ( y − 1)

2

16

Se resuelve por suma y resta: 0 = 7+

16 ( y + 3 ) 9

2

−

9 ( y − 1)

2

16

Se simplifica: 175 2 y 144

+ 1698 y + 359 = 0 144

16

Al resolver la ecuación de segundo grado: y1 5 22.596 y2 5 27.112

Se sustituye en la ecuación (i) para obtener los valores de x : 2

( x + 2 ) = 16 +

16 ( −2.596 + 3 )

2

9

x 5 64.036 2 2

y 2

( x + 2 ) = 16 +

16 ( −7.112 + 3 )

2

9

x 5 66.786 2 2

lo que indica que se tienen cuatro puntos de intersección, como se observa en la figura 8.29.

Resumen 313

y

8 6 4 2 –12 –10 –8 –6 –4 (–6.03, –2.59 )B

x

–2

2 –2

•

•

4 6 8 10 A(2.03, –2.59)

–4 (–8.78, –7.11 )D

–6

•

• C (4.78, –7.11)

–8 –10 –12 –14

Figura 8.29. Intersecciones de las dos hipérbolas.

RESUMEN ✓


Centro

Hipérbola. La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es constante. Los puntos fijos se denominan focos de la hipérbola.

Vértices

Focos

Extremos imaginarios

Ecuaciones de las asíntotas b

2

C ( 0, 0)

V (6a, 0)

F (6c, 0)

C (h, k )

V (h 6 a,k )

F (h 6 c, k ) E (h, k 6 b) y 2 k 5 6

E (0, 6b)

Eje mayor o focal paralelo al eje x

y 5 6

a

a

x

C ( 0, 0)

V (0,6a)

C (h, k )

V (h, k 6 a) F (h, k 6 c) E (h 6 b, k ) y 2 k 5 6

Eje mayor o focal paralelo al eje y

F (0, 6c)

E (6b,0)

y 5 6

b

Ecuación

b a

( x 2 h)

b

y

2

a

b

2

− 2

( x − h) 2 a

x a

x

( x 2 h)

y

2

a

2

2

=1 −

( y − k ) 2 b

2

=1

2

−

x b

2

( y − k ) 2 a

2

=1 −

( x − h) 2 b

2

=1

314

Capítulo 8

■


Descripción o datos conocidos Ecuación general de la hipérbola

Con eje focal paralelo al eje x

Con eje focal paralelo al eje y

A x 2 2 Cy2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0

Cy2 2 Ax 2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0

Los coeficientes A y C deben ser diferentes y de signo contrario.

Los coeficientes A y C deben ser diferentes y de signo contrario.

Si

D

2

4 A

2

−

E

2

− F > 0 , el lugar geométrico que

4C

representa es una hipérbola. Si

Si

D

2

4 A D

E

−

E

2

4 A

2

−

Si

4 A

−

2

Si

− F < 0 , no representa el lugar

Si

2

E

geométrico llamado hipérbola.

2

− F > 0 , el lugar geométrico que

4C

4 A

−

D

−

D

2

4C

D

representa es una hipérbola.

− F = 0 , se tendrá un punto.

4C

E

E

4 A

2

− F = 0 , se tendrá un punto.

4C 2

− F < 0 , no representa el lugar

4C

geométrico llamado hipérbola.

Relaciones o conceptos importantes

Fórmula o igualdad

Relación entre a, b, c

c2 5 a2 1 b2, [ a , c

Lado recto (tiene dos) o ancho focal

LR 5

Eje transverso

V1V 2

Eje conjugado

E1E 2

5

2b

Distancia focal

F1F 2

5

2c

Excentricidad

e5

2b 2 a 5

c a

2a

5

a

2

− b2

a

, e . 1

Problemas 315

PROBLEMAS ✓

Realiza los siguientes ejercicios.

1. Dada la ecuación canónica

y

2

24

2

− x = 1 , halla las coordenadas de sus vértices y focos 6

y traza su gráfico. Respuesta:

(

) (

V 0 , ± 24 , F 0 , ± 30

)

y 6 4 2 8 –6

–4

x

–2

2

4

6

8

–2 –4 –6 –8


2. Dada la ecuación canónica

x 2 12

y

2

2

− x = 1 .

24

6

2

− y = 1 , halla las coordenadas de sus vértices y focos 16

y traza su gráfico. Respuesta: V

(±

) (±

12 , 0 , F

28 , 0

)

y 6 4 2

x 8

–6

–4

–2

2 –2 –4 –6 –8

2


−

y2

16

=1.

4

6

8

316

Capítulo 8

■

La hipérbola (un último peldaño… y parece que estoy viéndome en un espejo) 3. Dada la ecuación de hipérbola 2 x 2 2 y2 5 8, determina su ecuación en forma canónica y el valor de su lado recto. Respuesta: x 2 4

2

− y = 1 , LR 5 8 8

4. Dada la ecuación de hipérbola 3 y2 nica y la excentricidad. Respuesta:

2

2 x 5

12, determina su ecuación en forma canó-

5. Los vértices de una hipérbola se localizan en V (63,0) y su valor de b ecuación. Respuesta:

5

3. Halla su

6. El lado recto de una hipérbola es igual a 6 y sus focos se localizan en F (0, 61.5). Determina su excentricidad, su ecuación y dibuja su gráfica. NOTA: Utiliza la relación a2 1 b2 5 c2. Respuesta: e 5 2.41,

y2

0.386

−

2

x =1 1.863

y 4

2

• –4

• x

–2

•

2

4

•

–2

–4


y 2

0.386

−

2

x =1. 1.863

7. De la ecuación de la hipérbola 9 x 2 2 16 y2 5 144, determina sus vértices, focos, lado recto, ecuaciones de las asíntotas y excentricidad y también traza su gráfica. Respuestas:

8. Determina si la ecuación x 2 2 y2 2 x 2 y 1 1 5 0 pertenece a una hipérbola. De ser afirmativa tu respuesta, traza y encuentra sus elementos; en caso contrario, explica la razón. Respuesta: Si la ecuación en su forma ordinaria es

2

( y + 1 2 ) − ( x − 1 2 )

2

=1

Problemas 317

y 4

2

x –4

–2

2

4

6

–2

–4

–6

(

Figura 8.33. Gráfica de la hipérbola y + 1 2

2

) − ( x − 1 2 )

2

=1 .

9. Encuentra la ecuación de la hipérbola cuyos focos se localizan en las coordenadas (3,22) y (3, 10) y cuya excentricidad es igual a 2.

10. Encuentra los puntos de intersección entre la siguiente curva y la recta y traza su gráfico. 8 x 2 2 y2 1 8 y 1 8 5 0 3 x 2 2 y 1 1 5 0

Respuesta: No existen puntos de intersección entre ellos. Compruébalo. 11. Determina el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancia a los puntos fijos (24, 2) y (2, 2) es igual a 6. Respuesta: Hipérbola

80( x 1 1)2 2 64( y 2 2)2 5 772

2 12. Determina la ecuación de la hipérbola que tiene por asíntotas y = ± x + 1 . Un foco 3 tiene coordenadas (23, 1) y centro C ( 0, 1).

13. Se requiere construir para un juego mecánico una curva que tenga 18 metros de abertura. La curva estará sostenida por una estructura en forma de cruceta y asintótica a 1 la curva, la cual tiene una altura de 7 metros en el centro y pendiente de ± . Deter3 mina a qué ecuación ordinaria matemática responde esa curva y haz un esbozo de ella. Respuesta: 2

A una hipérbola,

2 ( y − 7 ) − x = 1

9

318

Capítulo 8

■


10

y

8 6 4 2

x –4

–2

Figura 8.34. Gráfica de la hipérbola ( y − 7 )

2

2

4

6

2

− x = 1 . 9

14. A partir de las siguientes ecuaciones de hipérbola, encuentra su forma ordinaria y determina la dupla de coordenadas de su centro. Respuestas 2

a) 9 y

2

2

4 x

1

16 x 1 54 y 1 29 5 0

b) 2 x 2 2 18 y2 2 8 x 1 72 y 2 81 5 0

2

c) 3 x

2

2

2 x

2

( y + 3 )

6 x 2 12 5 0

2

−

4

2 ( x − 2 )

=1 ,

9

(2,23)

,

( x + 1 )

2

−

5

5 y2 29

=1,

(21, 0)

d ) 2 x 2 2 3 y2 2 8 x 2 12 y 1 2 5 0

e) y

2

2

2

2 x

1

4 x 1 4 y 2 1 5 0

( y + 2 ) 3

2

−

3( x − 1 ) 2

2

=1,

(1, 22)

15. Determina la ecuación de la hipérbola, cuyos focos tienen coordenadas (24, 1) y (2, 21) si la diferencia de sus distancias entre ellos es de 5. Respuesta: 156 x 2 1 80 xy 1 240 y2 1 700 x 2 280 y 2 1225 5 0

16. Las ecuaciones de una hipérbola y una elipse son y2 2 x 2 5 1 y x 2 1 6 y2 5 6, respectivamente. Determina los puntos donde se cortan sus gráficas y trázalas.

Autoevaluación

319

Actividades en equipo 1. Investiguen otras formas de dibujar una hipérbola. Sugerencia: Consulten libros de dibujo técnico o fuentes de Internet. 2. Obtengan las intersecciones de la hipérbola y2 2 2 x 2 1 4 x 1 4 y 2 1 5 0 y la parábola 3 x 2 1 6 x 1 3 y 1 12 5 0. (Verifiquen sus resultados con algún software y construyan la gráfica del problema.)

AUTOEVALUACIÓN ✓

Contesta y practica en tu cuaderno las siguientes preguntas y ejercicios.

1. Define, con tus propias palabras, qué es una hipérbola. 2. Dada

( x − 1 ) 7

2

−

( y + 3)

2

9

3. A partir de la ecuación y2 y traza su gráfica.

= 1 , obtén su ecuación en forma general. 2

4 x 2

1

2 x 2 8 y

2

4

5

0, encuentra todos sus elementos

4. ¿Cuál es la condición de excentricidad de la hipérbola? 5. Si se colocan dos parábolas idénticas en características, excepto que una de ellas abre a la derecha y la otra a la izquierda, ¿podría confundirse con una hipérbola? Explica

CAPÍTULO

9

Análisis de la ecuación general de segundo grado y las cónicas como función (una ecuación flexible y relaciones peligrosas ) Cabe definir a la matemática como la ma teria en la que nunca sabemos de qué estamos hablando ni si lo que d ecimos es verdad. Bertrand Rusell

Casi al final de todo, puedo entender que tengo el saber triste. Argus

321

322

Capítulo 9

■

Análisis de la ecuación general de segundo grado y las cónicas como función...

9.1 RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN

Ax 21Cy 21Dx 1 Ey 1F 50

La resolución de la ecuación general de segundo grado para y permitirá trazar cualquier lugar geométrico que ésta represente. El procedimiento es como sigue: Considerando que Ax 21Cy21 Dx 1 Ey1F 50 es una ecuación cuadrática se utiliza el método de completar cuadrados, para ello se ordena como:

 D   E  + x + C  y + y = − F  A    C  2

2

A  x

Ahora se pueden completar cuadrados:

  E    E    D     D         D E A  x + x +  A   + C  y + y +  C   = − F + A  A  + C  C   2   2  A C  2    2                       2

2

2

2

2

2

Se simplifica: 2

2

 D   E   D   E  + + = − + A  x + C y F A   + C    2C   2 A     4 A   4C  2

2

2

2

2

2

 D   E  D E + C  y +  = − F + + A  x +  4 A 4C  2 A   2C  2

2

Luego, 2

2

 E   D  D E = − F + + − A  x +  C y+  4 A 4C  2C   2 A   E   2 Ax + D  D E = − + + − C y+ F A  2 A  4 A 4C  2C    2

2

2

2

2

2

Por tanto: 2

2

 E  − F D E A  2 Ax + D  = + + −  y + 2C   C 4 AC 4C C  2 A   2

2

2

2

 E  − F D E A  (2 Ax + D)  = + + −    y + 2C   C 4 AC 4C C  4 A  2

2

2

2

2

Resolviendo el segundo miembro: 2

 E  − F D E A  4 A = + + −   y + 2C   C 4 AC 4C C  2

2

2

2

 E  − F D E 4 A = + + −  y + 2C   C 4 AC 4C 2

2

2

2

x

2

2

x

2

+ 4 ADx + D   4 A  2

2

+ 4 ADx + D 4 A AC

2

9.1

■

Resolución de la ecuación Ax 21Cy 21Dx 1Ey 1F 50

2

323

 E  E 4 A x + 4 ADx F = − −  y + 2C  4 AC C  4C  E  E Ax + Dx F = − −  y + 2C  C C  4C 2

2

2

2

2

2

2

2

Es decir, 2

 E  E − 4 ACx − 4CDx − 4CF =  y + 2C  4C  2

2

2

2

 E  E − 4C( Ax + Dx) − 4CF =  y + 2C  4C  2

2

2

Se obtiene la raíz cuadrada en ambos miembros: 2

 E  =  y + 2C  

E

− 4C( Ax + Dx) − 4CF

2

2

4C 2

Se despeja y: y +

E

2C

y = −

=±

E

2C

±

1 2C 1 2C

E

2

− 4C( Ax + Dx) − 4CF

E

2

− 4C ( Ax + Dx) − 4CF

2

2

Por último, −E ± E y =

2

− 4C( Ax + Dx ) − 4CF 2

2C

Este resultado se puede comprobar por medio de Maple: > solve(A*x^2+C*y^2+D*x+E*y+F=0,y);

1 − E + E 2 − 4CAx 2 − 4CDx − 4CF 1 − E − E 2 − 4CAx 2 − 4CDx − 4CF , 2 2 C C Observa que en el radical se tiene una ecuación de segundo grado, la cual debe tener la forma ax 21bx 1c>0 para que exista dentro de los reales; de lo contrario, se obtendrían valores correspondientes a números imaginarios y, por tanto, no representaría ningún lugar geométrico.

9.1.1. Análisis de la ecuación general de segundo grado sin término xy Con lo visto hasta ahora generamos el siguiente cuadro:

324

Capítulo 9

■


Lugar geométrico

Ax 21Cy21 Dx 1 Ey1F 50

Observaciones Recta paralela al eje x Ey1F 50 Recta paralela al eje y Dx 1F 50

Recta, si A5C 50

Ecuación general Dx 1 Ey1F 50

Circunferencia Si A5C Z0 (signos iguales)

Ecuación general x 1 y21 Dx 1 Ey1F 50

Ecuación ordinaria, centro (h,k ) ( x 2h)21( y2k )25r 2 Ecuación canónica x 21 y25r 2

Parábola Si C 50 Si A50

Ecuación general Ax 21 Dx 1 Ey1F 50 Cy21 Dx 1 Ey1F 50

Ecuación ordinaria, vértice (h,k ) ( x 2h)2564 p( y2k ) ( y2k )2564 p( x 2h) Ecuación canónica x 2564 py y2564 px

Elipse Si AZC Z 0 (signos iguales )

Ecuación general Ax 1Cy21 Dx 1 Ey1F 50

Ecuación ordinaria, centro (h,k )

2

2

( x − h)2 a

2

+

( y − k )2

( y − k )2 b

2

=1

( x − h)2

+ 2 =1 2 a b Ecuación canónica 2

x

Hipérbola Si A y C Z 0 y con signos diferentes

Ecuación general Ax 21Cy21 Dx 1 Ey1F 50

a

2

y

2

a

2

2

+

y b

2

+

x

=1

2

b

2

=1

Ecuación ordinaria, centro (h,k ) ( x − h)2 a

2

( y − k )2

− −

( y − k )2 b

2

( x − h)2

=1

=1 2 2 a b Ecuación canónica 2

x

Tabla 9.1. Ecuación general de segundo grado.

a

2

y

2

a

2

y

2

−

b

2

−

x

=1

2

b

2

=1

9.2

9.2 LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO Y LAS CÓNICAS

■

La ecuación general de segundo grado y las cónicas 325

Una anotación más acerca de la ecuación general de segundo grado en su forma general Ax 21 Bxy21Cy21 Dx 1 Ey1F 50 es la demostración de que representa una sección cónica,1 excepto en algunos casos particulares donde se obtiene un punto o soluciones dentro del conjunto de los números imaginarios, como rectas. Algunas de sus características importantes se consiguen a partir de las ecuaciones estudiadas anteriormente: A ' =  A cos

2

θ

+ Bsenθ cosθ + C sen θ  2

B ' =  2 (C − A ) senθ cos θ + B cos

( θ − sen θ )  C ' =  Asen θ − Bsenθ cosθ + C ⋅ cos θ  2

2

2

2

Por ejemplo, al sumar A' y C ' se obtiene: A '+ C ' = A(sen

2

θ

+ cos

2

θ)

+ C (sen θ + cos 2

2

θ)

Pero sen2u1cos2u51, por tanto: A '+ C ' = A + C

Es decir, la suma de A1C no varía después de una rotación. 2 Si en las ecuaciones Ax 21 Bxy21Cy21 Dx 1 Ey1F 50 y A 'x '21 B 'x 'y' 1C 'y'21 D 'x '1 E 'y'1F '50, los términos lineales son nulos o son eliminados bajo una traslación, éstas tendrían la forma general: Ax 21 Bxy1Cy25F y A 'x '21 B 'x 'y'1C 'y'25F '

Al resolver el lado izquierdo de cada una para x : Ax 21 Bxy1Cy2 x =

− By ±

2

B y

2

2 A

− 4 ACy

2

=

− By ±

2

y (B

2

2 A

− 4 AC ) − By ± y =

B

2

− 4 AC

2 A

se tendría un discriminante3 en el radical igual a B224 AC o bien, B'224 A'C ', que es una relación que permanece constante bajo una traslación.4 Al estudiar el discriminante, para saber su intervalo de variación dentro de los reales se iguala a cero. También es posible escribirlo como 4 AC 2 B250 o bien, 4 A'C ' 2 2 B' 50, pero el punto medular es la igualdad B'254 A'C '

Si el producto es A'C '50, se tendrá un gráfico de tipo parabólico. Si A'C '.0, será un elíptico y, finalmente, si A'C ',0 será uno de tipo hiperbólico. En general: B224 AC ,0, la sección cónica representa una elipse,5 B224 AC 50, la sección cónica representa una parábola B224 AC .0, la sección cónica representa una hipérbola 1

Se definen como secciones cónicas los diferentes lugares geométricos de puntos, cuya relación de distancias entre un punto y una recta fijos son constantes. 2 También se dice que es invariante bajo la rotación de ejes. 3 Comúnmente se le llama “el radicando”. 4 También se dice que es invariante bajo la traslación de ejes. 5 Debes evitar confundir el producto A'C ' .0 con la relación B224 AC ,0. y de forma análoga, A'C ',0 y B224 AC .0. Verifica los signos.

326

Capítulo 9

■


En capítulos anteriores se estudiaron algunos lugares geométricos, en especial, las cónicas. Con todo esto ya eres capaz de observar una ecuación semejante y saber qué tipo de gráfico la describe. Al discriminante o radicando B224 AC también se le denomina indicador o identificador. Otras combinaciones de los coeficientes de la ecuación general son: Si A5 B5C 50, y D o E es diferente de cero, el lugar geométrico que se obtiene es una línea recta. Si AZ0, B50, C Z0, y D o E son diferentes o igual a cero, el lugar geométrico es una cónica simétrica o no a los ejes coordenados. En general, se deduce que si una ecuación tiene términos lineales es porque su centro o vértice está fuera del origen; también se deduce que al existir el término xy es porque su gráfico es oblicuo a ellos.

Ejemplo 9.1 Indica la sección cónica que representa la ecuación 2 x 22 xy23 y212 x 14 y2250, utilizando el identificador.

Solución: Al aplicar el discriminante B224 AC para determinar la sección cónica que representa: (1)224(2)(23)513 13.0, la ecuación representa una hipérbola. Lo anterior también se ilustra como sigue:

Discriminante

Condición

Cónica

(1)224(2)(23)513

B224 AC .0, 13.0

Hipérbola

Tabla 9.2. Ecuación 2 x 22 xy23 y212 x 14 y2250.

Construimos la gráfica por medio de Maple: >

with(plots):implicitplot(2*x^2-x*y-3*y^2+2*x+4*y-2=0,x=-5..5,

y=-5..5);

4

y

2

–4

–2

2 –2

–4

Figura 9.1. Hipérbola oblicua.

x

4

9.2

■


Ejemplo 9.2 Determina la sección cónica que representa la ecuación 5 x 213 xy1 y213 x 12 y1750.

Solución: Para determinar la sección cónica representada por la ecuación dada se hace uso del indicador B224 AC , al sustituir: (3)224(5)(1)5211 211,0, se trata de una elipse.

Discriminante

Condición

Cónica

(3)224(5)(1)5211

B224 AC ,0, 211,0

Elipse


Ejemplo 9.3 Di qué sección cónica representa 3 x 216 xy13 y219 x 218 y22250.

Solución: Haciendo uso del discriminante B224 AC : (6)224(3)(3)50 050, por tanto, la ecuación representa una parábola.

Discriminante

Condición

Cónica

(6)224(3)(3)50

B224 AC 50, 050

Parábola


Construimos la gráfica por medio de Maple: >

with(plots):implicitplot(3*x^2+6*x*y+3*y^2+9*x-18*y-22=0,

x=-10..10,y=-10..10);

10 8 6 y 4 2 –10

Figura 9.2. Parábola oblicua.

–8

–6 x –4

–2

2

328

Capítulo 9

■


Otro tipo de problemas relacionados con la ecuación general de segundo grado se presenta cuando sólo se dan ciertos puntos que pertenecen a un lugar geométrico que describe y se pide determinar la ecuación de este último. Con esta información, un análisis que permite resolver el problema es utilizando la ecuación general o alguno de sus casos particulares. De ser necesario, modificamos el planteamiento y empleamos uno o varios artificios matemáticos conocidos. Un ejemplo de ello se muestra a continuación.

Ejemplo 9.4 Determina la ecuación de la cónica a la que pertenecen los siguientes puntos: A(22,1), B(2,21), C (6,1), D(5,2) y E (2,3).

Solución: Se sabe que se trata de algunos puntos que pertenecen a una cónica, por lo que se utilizará la ecuación general de segundo grado, Ax 21 Bxy1Cy21 Dx 1 Ey1F 50. Además, se observa que ésta incluye seis variables (los coeficientes) y sólo se conocen cinco puntos de la curva. Si se modifica la ecuación de manera que tenga cinco variables —igual al número de puntos que se dan—, será posible plantear un sistema de ecuaciones y, a partir de ahí, encontrar sus coeficientes. Para tener cinco variables, bastará dividir toda la ecuación entre A, con lo que la ecuación se transforma en: 2

x

+

B C 2 D E F 2 2 xy + y + x + y + = 0, o bien, x + B ' xy + C ' y + D ' x + E ' y + F ' = 0 A A A A A

Después, se sustituyen los valores de los puntos dados: 2

A(22,1),

2

( −2) + B '( −2 ⋅1) + C '(1) + D '( −2) + E ' (1) + F ' = 0 ( 2) + B '( 2 ⋅−1) + C '( −1) + D '( 2) + E ' ( −1) + F ' = 0 (6) + B '(6 ⋅1) + C '(1) + D '(6) + E ' (1) + F ' = 0 (5) + B '(5 ⋅ 2) + C '( 2) + D '(5) + E ' ( 2) + F ' = 0 ( 2) + B '( 2 ⋅ 3) + C '(3) + D '( 2) + E ' (3) + F ' = 0 2

B(2,21),

2

C (6,1), D(5,2), E (2,13),

2

2

2

2

2

2

Al desarrollar se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

−2 B '+ C '− 2D '+ E '+ F ' = −4 −2 B '+ C '+ 2D '− E '+ F ' = −4 6 B '+ C '+ 6D '+ E '+ F ' = −36 10 B '+ 4C '+ 5D '+ 2E '+ F ' = −25 6 B '+ 9C '+ 2D '+ 3E '+ F ' = −4

9.2


■

Para resolverlo hacemos el arreglo matricial y el método de Gauss-Jordan:6 B

 −2   −2 6  10  6

R1 R2 R3 R4 R5

C

D

E

F

1

−2

1

1

1

2

−1

1

1

6

1

1

4

5

2

1

9

2

3

1

−4   −4  −36  −25 −4 

Se identifican los renglones y columnas y se aplican transformaciones elementales hasta obtener identidad del lado izquierdo de la matriz (en la diagonal principal), pero primero se invertirá el orden de las columnas, para facilitar su solución. F R1 R2 R3 R4 R5

E

D

 1 1 −2  1 −1 2  1 1 6 1 2 5   1 3 2

1 R 2 2

C

B

−2 −4  −2 −4  6 −36  10 −25 6 −4 

1 1 1 4 9

   ⇔    

1

1

0

1

0

0

0

−1 −2

0

   ⇔     1 R 8 3 1 − R5 8

−

6

   ⇔    

R1 − R2 R1 − R3 R1 − R4 R1 − R5

−2 −2 −8 −7 −4

   ⇔    

1

1

0

2

0

0

0

−1 −2

0

−2 −4   0 0 −8 32  −12 21 −8 0 

1 0 0

−3 −8

1

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

0

−2 −8 −9 −8

−3 −8

0

1

0

0

1

0

1

−2

0

0

0

1

0

0

0

−9

−3

0

0

1

1

−2 −4 −8 −7 −4

1 0 0

−3 −8

−2 −4   0 0 −8 32  −12 21 −8 0 

− R + R R + R 2 R + R 2

2

1

4

2

5

−2 −4   0 0 −8 32  −12 211 −8 0  −2 −4   0 0 1 −4   −12 21  1 0

2 R3 + R2 9 R3 + R4 R3 − R5

Es posible que este método de resolver sistemas de ecuaciones no lo conozcas aún; en tal caso, puedes omitirlo, no así los resultados que se obtengan. Si lo conoces, entonces aquí tienes una de sus valiosas aplicaciones.

330

Capítulo 9

■


1  0 ⇔ 0  0 0 

1 − R4 3

1  0 ⇔ 0  0  0

0

0

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

−3 −1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

−1

1  0 ⇔ 0  0 0 

−2 −4   2 −8  1 −4   −3 −15  0 −4 

−2 −4   2 −8  1 −4   1 5  0 −4 

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

− R + R R + R 4

4

5

5

−3 −9   2 −8  1 −4   1 5  1 1

Finalmente, F 3 R5 + R1

−2 R + R − R + R − R + R 5

2

5

3

5

4

1  0 ⇔ 0  0 0 

E D C B 0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

−6   0 −10  0 −5   0 4   1 1 

0

Como se invirtieron F y B, se tiene que B'51, C '54, D525, E '5210, F '526 y A'51 Al sustituir valores, la ecuación que contiene los puntos tiene la forma: x 21 xy14 y225 x 210 y2650

Por último, sólo falta saber el tipo de cónica que representa, a partir del discriminante B224 AC : (1)224(1)(210)541.0, por lo cual, la sección cónica es una hipérbola. La solución anterior se puede comprobar con MATLAB: EDU» B = [-2 1 -2 1 1 -4; -2 1 2 -1 1 -4; 6 1 6 1 1 -36; 10 4 5 2 1 -25; 6 9 2 3 1 -4] B = –2

1

–2

1

1

–2

1

2

–1

1

–4 –4

6

1

6

1

1

–36

10

4

5

2

1

–25

6

9

2

3

1

–4

9.3

■

Resolución de la ecuación general de segundo grado (Ax 21Bxy 1Cy 21Dx 1Ey 1F 50)

331

EDU» rref(B) ans = 1

0

0

0

0

1

0 0

1 0

0 1

0 0

0 0

4 –5

0

0

0

1

0

–10

0

0

0

0

1

–6

También con Maple: >

solve({-2*B+C-2*D+E+F=-4,-2*B+C+2*D-E+F=-4,6*B+C+6*D+E+

F=-36,10*B+4*C+5*D+2*E+F=-25,6*B+9*C+2*D+3*E+F=-4});

{ B = 1, E = −10, C = 4, D = −5, F = −6}

9.3 RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO ( Ax 21Bxy 1Cy 21 Dx 1Ey 1F 50)

Resolver esta ecuación es aún más interesante porque nos permite analizar en forma general cualquier posible lugar geométrico en el plano cartesiano. Se procederá de manera análoga al tema anterior, es decir, la solución se dará para y, y el resultado facilitará trazar la gráfica de cualquier lugar geométrico que represente. Sea la ecuación Ax 21 Bxy1Cy21 Dx 1 Ey1F 50. Antes de completar cuadrados se ordena como sigue:

 D   ( Bx + E )  + x  + C  y + y  = − F C   A   2

2

A  x

Ahora se completan cuadrados:

  Bx + E     D        ( Bx + E )  C   D A   A  x + x +  + C  y + y C +  2     2 A                 2

2

2

2

2

2

 D  = − F + A  A   2   

 Bx + E    + C  C   2    

Se simplifica: 2

2

 D  D   Bx + E  +C y+ = −F + A A  x +   2C   2 A    4 A 2

2

2

2

  ( Bx + E )   + C     4C 

 D   Bx + E  ( Bx + E D E ) + = − F + + A  x + C y+    2C  4 A 4C  2 A   2

2

2

2

Luego, 2

2

 Bx + E   D  ( Bx + E ) D = − F + + − A  x +  C y+  2C  4 A 4C   2 A   Bx + E   2 Ax ( Bx + E ) D A + D  = − F + + − A  C y+  2C  4 A 4C   2 A   2

2

2

2

2

2

332

Capítulo 9

■


Por tanto: 2

2

 Bx + E  − F D ( Bx + E ) A  2 Ax + D D  = + + −   y + 2C   C  2 A   C 4 AC 4C 2

2

2

2

 Bx + E  − F D ( Bx + E ) A  (2 Ax + D)  = + + −    y + 2C  C  4 A  C 4 AC 4C  2

2

2

2

2

Se resuelve la operación de la derecha: 2

 Bx + E  − F D B = + +  y + 2C   C 4 AC 2

2

 Bx + E  − F D B = + +  y + 2C   C 4 AC 2

2

 Bx + E  B =  y + 2C    Bx + E  B =  y + 2C   2

2

x

2

2

x

2

x

2

2

4C 2 2

x

2

+ 2 BEx + E 2

+ 2 BEx + E

2

+ 2 BEx + E

−

2

4C 2

A  4 A −  C 

2

4C

4C 2 2

+ 2 BEx + E

−

−

2

x

2

+ 4 ADx + D   4 A  2

4 A2 x 2 + 4 ADx + D 2 4 AC

4 A2 x 2 + 4 ADx F

−

4 A AC

C

4 Ax 2 + 4 Dx F 4C

−

C

Es decir, 2

 Bx + E  B x + 2 BEx + E − 4 ACx − 4CDx − 4CF =  y + 2C  4C  2

2

2

2

2

2

 Bx + E  ( B − 4 AC) x + (2 BE − 4CD)x + E − 4C F =  y + 2C  4C  2

2

2

2

Se obtiene la raíz cuadrada en ambos miembros: 2

 Bx + E  ( B − 4 AC) x + (2 BE − 4CD)x + E − 4C F =  y + 2C  4C  2

2

2

2

Por último, se despeja y:

y +

Bx + E

2C

y = −

=±

Bx + E

2C

±

1 2C 1 2C

( B

2

− 4 AC) x + (2 BE − 4CD)x + E − 4CF 2

2

( B 2 − 4 AC) x 2 + (2 BE − 4CD)x + E 2 − 4CF

O bien, y =

− Bx − E ±

( B 2 − 4 AC ) x 2 + (2 BE − 4CD )x + E 2 − 4CF 2C

Comprobación por medio de Maple: > solve(A*x^2+B*x*y+C*y^2+D*x+E*y+F=0,y);

2

9.3

■


333

1 − E − Bx + E 2 + 2EBx + B 2 x 2 − 4CAx 2 − 4CF − 4CDx 2

C

1 − E − Bx − ( E 2 + 2 EBx + B 2 x 2 − 4CAx 2 − 4CF − 4CDx 2

C

Observa que en el radical hay una ecuación de segundo grado aparentemente más compleja que la que se obtuvo anteriormente, y que tiene la forma ax 21bx 1c>0. Este resultado permite observar y analizar con sencillez el tipo de cónica que r epresenta; además, refuerza lo estudiado en el apartado anterior.

Ejemplo 9.5 Traza la gráfica de la ecuación 6 x 226 xy14 y2112 y2250. Sugerencia: Identifica y sustituye primero los valores de cada variable; después, construye una tabla para mostrar los resultados.

Solución: Se identifican las variables A56, B526, C 54, D50, E 512, F 522, después se sustituye en la expresión: y =

− Bx − E ±

( B 2 − 4 AC ) x 2 + (2 BE − 4CD) x + E 2 − 4CF 2C

Y se obtiene:

y =

y =

−(−6) x − 12 ±

((−6) 2 − 4 (6)(4 ))x 2 + (2 (−6)(12 )− 4 (4)(0)) x + (12)2 − 4 (4 )(−2 ) 2(4)

6 x − 12 ±

−60 x − 144 x + 176 2

8

Para conocer los posibles valores de x , primero será necesario resolver el radical como una ecuación de segundo grado. Por fórmula general, x 50.891 x 523.29

Una rápida inspección nos indica que res tiene la forma:

23.29, x ,0.891,

por lo cual la tabla de valo-

x

20.329

23.00

22.00

21.00

0.00

0.891

y

23.97

22.72

21.13

20.234

20.831

24.78

24.87

24.27

0.158 23.16

Puntos A(20.329, B(23.00, D(22.00, F(21.00, H(0.00, J(0.891, encon- 23.97) 0.158) 22.72) 21.13) 20.234) 20.831) trados (C23.00, E(22.00, G(21.00, I(0.00, 23.16) 24.78) 24.87) 24.27) Tabla 9.5. Tabla de valores para 6 x 226 xy14 y2112 y2250.

334

Capítulo 9

■


Al construir la gráfica se obtiene una elipse de ejes oblicuos, como se observa en la figura 9.3.

y 1 H –4

–3

–2

•

F –1

D

x

•

1

•J

–1

•

2

–2 B

A

•

–3

• •

•E

C

•G

•I

–4 –5

Figura 9.3. Elipse oblicua.

Comprobación por medio de Maple: Se resuelve la ecuación: 6 x 226 xy14 y2112 y2250. ➣ solve(6*x^2-6*x*y+4*y^2+12*y-2=0,y);

3 3 1 x − + 4 2 4

−15 x − 36 x + 44, 2

3 4

x−

3 2

−

1 4

−15 x − 36 x + 44 2

Se observa al radical como una ecuación de segundo grado: ➣ solve(-15*x^2-3 6*x+44=0);

6

2

5

15

− −

246,

6

2

5

15

− +

246

Resolviendo para y se obtiene el valor exacto de la primera solución: ➣ eval(y=3/4*x-3/2+1/4*sqrt(-15*x^2-36*x+44), x=-6/5-2/15*sqrt(246));

y = −

12 5

−

1 10

246 +

1 4

 6 2 −15  − −  5 15

2

 436 24 246  + +  5 5

246

Ahora se consigue el valor decimal: ➣ val.(%);

y523.968372570 De nuevo se resuelve para y se obtiene el valor exacto de la segunda solución:

9.3

■


335

➣ eval(y=3/4*x-3/2-1/4*sqrt(-15*x^2-36*x+44), x=-6/5+2/15*sqrt(246));

y = −

12 5

+

1 10

246 −

 6 2 −15  − +  5 15

1 4

2

 436 24 246  + −  5 5

246

Luego se calcula el valor decimal: ➣ val.(%);

y52.8316045873

Después se construye la gráfica: ➣ with(plots):implicitplot(6*x^2-6*x*y+4*y^2+12*y-2=0,x=-4..3, y=-5..5);

–3

–2

–1 0

–1

–2

–3

–4

–5

Figura 9.4. Gráfico obtenido con Maple de elipse oblicua.

Ejemplo 9.6 Di qué tipo de gráfico describe la ecuación x 222 xy1 y226 x 26 y12050 y traza su gráfico.

Solución: Para saber el tipo de gráfico que describe se utiliza B224 AC : (2)224(1)(1)50 Se trata de una parábola. Para graficarla se identifican las variables A51, B522, C 51, D526, E 526, F 520, y después se sustituyen en la expresión: y =

− Bx − E ±

(B

2

− 4 AC )x + (2 BE − 4CD)x + E − 4CF 2

2C

2

336

Capítulo 9

■


Es decir, y =

−(−2) x − (−6) ±

((−2)2 − 4 (1)(1))x 2 + (2 (− 2 )(− 6 )− 4(1)(−6)) x + (−6)2 − 4 (1)(20 ) 2(1)

Se simplifica: y = y =

2 x + 6 ± 48 x − 44 2 2 x + 6 ± 4(12 x − 11) 2

=

2 x + 6 ± 2 12 x − 11 2

y = x + 3 ± 12 x − 11

Luego se determinan los valores de x que hacen positivo el radical: 12 x − 11 = 0 x =

11 12

= 0.916

Por tanto, x $0.916. x

0.916

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

y

3.92

5.00 3.00

8.61 1.40

11.0 1.00

13.1 0.917

15.0 1.00

16.8 1.19

B(1.00, 5.00) C(1.00, 3.00)

D(2.00, 8.61) E(2.00, 1.40)

F(3.00, 11.0) G(3.00, 1.00)

H(4.00, 13.1) I(4.00, 0.917)

J(5.00, 15.0) K(5.00, 1.00)

L(6.00, 16.8) M(6.00, 1.19)

Puntos A(0.916, 3.92)

Tabla 9.6. Tabla de valores para x 222 xy1 y226 x 26 y12050.

La gráfica correspondiente es:

18

y

•

L

16

J

14

•

12 10

•

F

•

D

8 6 4 2 –4

–2 –2 –4

Figura 9.5. Parábola oblicua.

•

H

B

• •AC • GI K M E• • • • • 2

4

6

x 8 10 12 14 16 18

9.4

■

Análisis de las cónicas como funciones 337

Comprobación por medio de Maple: Se resuelve la ecuación x 222 xy1 y226 x 26 y12050. > solve(x^2-2*x*y+y^2-6*x-6*y+20=0,y);

3 + x +

−11 + 12 x , 3 + x − −11+ 12 x

Se resuelve el radical como una ecuación de segundo grado: > solve(-11+12*x=0);

11 12 Luego se resuelve para y y obtenemos el valor exacto de la solución: > eval(y=3+x+sqrt(-11+12*x),x=11/12);

y =

47 12

Ahora conseguimos el valor decimal: > evalf(%);

y53.916666667

Finalmente, se construye su gráfica: >

with(plots):implicitplot(x^2-2*x*y+y^2-6*x-6*y+20=0,x=-1..18,

y=-2..18);

18 16 14 12 y

10 8 6 4 2 2

4

6

8

10 x

12

14

16

18

Figura 9.6. Gráfica construida con Maple de x 222 xy1 y226 x 26 y12050.

9.4 ANÁLISIS DE LAS CÓNICAS COMO FUNCIONES

Las gráficas de las cónicas no siempre representan funciones. El concepto de función dice que no hay dos pares ordenados que tengan el mismo primer elemento; además, se sabe que únicamente las parábolas verticales, las rectas inclinadas y las horizontales representan funciones.

9.4.1. El criterio de la recta vertical Si al graficar una recta vertical se la intercepta en más de un punto, la gráfica no representa una función; si se intercepta siempre en un punto, entonces será una función.

338

Capítulo 9

■


Recta vertical

Recta vertical

4 y 2 –4

–2

2 x

0 –2

4

–4

–2

Recta vertical

4

4

y 2

y 2 2 x

0 –2

4

–4

–4

–4

–2

0 –2

2

4

–4

Figura 9.7. Gráficas de funciones, de acuerdo con el criterio de la recta vertical.

Las parábolas horizontales, circunferencias, elipses e hipérbolas, no representan funciones, ya que al dibujar una recta vertical, ésta intercepta en dos puntos a la gráfica.

Recta vertical

Recta vertical

Recta vertical

Recta vertical

–2

–1

1

x 2

y 2 3

–8 –6 x –4 –2 0

4

0 –0.5

–2

2

–1

6 4 y 2

4

1.5 y1 0.5

Recta vertical

x 4

6

–2 –4

–2

–1.5

–6

–2 –4

–8

Figura 9.8. Gráficas que no representan funciones, de acuerdo con el criterio de la recta vertical.

Sin embargo, existen secciones de las gráficas en donde las cónicas se comportan como funciones; es decir, si se considera la parte superior o inferior de una parábola horizontal, una circunferencia, una elipse o una hipérbola, se tiene una función. Es importante definir de manera correcta el dominio y el rango donde la cónica se comporta como función.

Ejemplo 9.7 Dada la ecuación y = x − 1, grafícala e indica el dominio y rango de la ecuación donde la cónica se comporta como función.

Solución: Si la ecuación y = x − 1, se eleva al cuadrado se transforma en y25 x 21, que representa una parábola horizontal con vértice en (1,0) y que se extiende hacia la derecha.

9.4

■


Recta

2 1.8 1.6 1.4 1.2 y 1 0.8 0.6 0.4 0.2 –1

–0.5

0

vertical

Recta

Recta

vertical

vertical

1

2

0.8

1.5

0.6 y 0.4

y 1

0.2 –1 0.5

1 x

1.5

–0.5

0.5

0

0.5 x

2

1

–2

–1

1 x

2

Figura 9.9. Secciones de las cónicas que representan funciones.

Al graficar la parte superior y la inferior de la parábola se facilita la determinación del dominio y el rango de la función, lo cual se muestra en la figura 9.10.

≥ 1} { R = {y ∈ R / y ≥ 0 } D = x ∈ R / x

1 y 0.5 0 –0.5

1.5

2 x

2.5

3

{ ≥ 1} R = {y ∈ R / y ≤ 0 } D = x ∈ R / x

–1

Figura 9.10. Secciones de la parábola donde se comporta como función.

Ejemplo 9.8 Dada la ecuación de la cónica 4 x 219 y2536, traza su gráfica e indica el dominio y rango de la sección donde la cónica se comporta como función. Analiza la parte superior e inferior.

Solución: x

2

+

y

2

= 1, que representa una elip9 4 se de eje focal horizontal y centro en el origen. La longitud del eje mayor es 6 y la del eje menor, 4. La gráfica de la parte superior e inferior de la elipse permite determinar el dominio y el rango de la función, como se observa en la figura 9.11. Al dividir entre 36 toda la ecuación se obtiene

340

Capítulo 9

■


2 1.5 y 1 0.5 –3

–2

–1

D = { x ∈ R / − 3 ≤ x ≤ 3 } R = { y ∈ R / − 2 ≤ x ≤ 0 }

0

1

2

3

–3

–2

–1

x

1

D = { x ∈ R / − 3 ≤ x ≤ 3 }

0 –0.5

R = { y ∈ R / 0 ≤ x ≤ 2 }

y –1

2

3

–1.5

Figura 9.11. Secciones de la elipse donde se comporta como función.

Ejemplo 9.9 x

2

−

y

2

= 1, traza su gráfica y muestra cuáles son su dominio y ran64 36 go donde la cónica se comporta como función. Dada la ecuación

Solución: x

2

−

y

2

= 1, representa una hipérbola con centro en el origen y de eje 64 36 focal horizontal. Las longitudes de los ejes son 2 a516 y 2b512. Al trazar la grafica de la parte superior y la inferior de la hipérbola se observan claramente el dominio y el rango de la función, como se aprecia en la figura 9.12. La ecuación

20

D = { x ∈ R / x ≤ − R = { y ∈ R / y ≥

8 o

x ≥

y 10

8}

0}

–30

–20

•

–10

0

•10

20

30

x –10

D = {x ∈

R /

x ≤ −

R = { y ∈

R /

y ≤

8 o

x ≥

0}

–20

Figura 9.12. Secciones de la hipérbola donde se comporta como función.

8}

9.4

■


Ejemplo 9.10 2

2

( x − 1) ( y − 1)

− = 1. Determina el dominio y el rango donde 16 9 la sección cónica se comporta como una función y traza su gráfica. Considera la ecuación

Solución: ( x − 7)

2

( y + 2)

2

+ = 1 representa una hipérbola con centro en (7,22) y 25 16 de eje focal horizontal. Las longitudes de sus ejes son 2 a510 y 2b58. Primero se traza la gráfica de la parte superior y la inferior de la hipérbola, lo cual permite determinar el dominio y el rango de la función según la figura 9.13. La ecuación

≤ x ≤ 12 } { R = {y ∈ R / − 2 ≤ y ≤ 2}} D = x ∈ R / 2

2 x 2

4

6

8

10

12

0

–2 y –4

≤ x ≤ 12} { R = {y ∈ R / − 6 ≤ y ≤ −2} D = x ∈ R / 2

–6

Figura 9.13. Secciones de la elipse donde se comporta como función.

Ejemplo 9.117 El siguiente ejemplo es un problema referente a una hipérbola y tiene como propósito mostrar al lector lo que se espera que domine de los temas estudiados hasta este punto. Dada la ecuación general: 4 x 2224 xy111 y2156 x 258 y19550, indica la naturaleza o tipo de sección cónica que representa y determina, según el caso: • Elipse: las coordenadas del centro, vértices, focos, extremos, LR y la excentricidad. • Hipérbola: las coordenadas del centro, vértices, focos, extremos del eje con jugado, las ecuaciones de las asíntotas, LR y su excentricidad. • Parábola: las coordenadas del vértice, foco, LR, coordenadas de los extremos del lado recto y la ecuación de la recta directriz. 7

Ejemplo propuesto por el Lic. Víctor Quintero Enríquez.

342

Capítulo 9

■


Para determinar la naturaleza o tipo de sección cónica se calcula el discriminante o indicador I 5 B224 AC , es decir, I 5(224)224(4)(11)557621765500.0, la ecuación representa una hipérbola. y

Ecuación original:

Hipérbola I=B–4AC >0

4x 2–24xy +11y 2+56x –58y +95=0

x –14

–13

–12

–11 –10 –9 –8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 Y'

11

12

13

14 15

Figura 9.14. Gráfica en el sistema coordenado xy.

Para determinar los elementos de la hipérbola, se debe transformar la ecuación dada a su forma canónica y de ahí obtener la ecuación estándar con centro en el origen. Primero se hace una traslación de ejes, para transformar la ecuación general en una que no contenga los términos x y y, a través de las relaciones x 5 x '1h y y'1k , donde h y k corresponden al origen del sistema coordenado x 9 y9, que al mismo tiempo es el centro de la hipérbola. Al sustituir las ecuaciones de traslación en la ecuación general se obtiene: 4( x '+ h) 2 − 24( x '+ h )( y '+ k ) + 11(y '+ k )2 + 56(x '+ h ) − 58( y '+ k ) + 95 = 0 Se efectúan las operaciones: 4( x '2 + 2hx + h 2 ) − 24(x ' y '+ kx '+ hy '+ hk ) + 11(y '2 + 2k yy '+ k 2 ) + 56 x '+ 56h

−58 y '− 58k + 95 = 0 Al ordenar se tiene: 4 x '2 + 8hx '+ 4h 2 − 24 x ' y '− 24kx '− 24hy '− 24hk + 11y ' 2 + 22ky '+ 11k 2 + 56 x '+ 56h

−58 y '− 58k + 95 = 0 4 x ' − 24 x ' y '+ 11y ' + x '(8h − 24k + 56) + y '(−24h + 22k − 58) + ( 4h − 24 hk + 11k +56h − 58k + 95) = 0 2

2

2

2

Los coeficientes de x ' y y' deben ser 0. Formamos entonces el sistema de ecuaciones: 8h − 24 k + 56 = 0

−24h + 22k − 58 = 0 Simplificándolas: h − 3k + 7 = 0

−12h + 11k − 29 = 0

9.4

La solución del sistema es h = −

2 5

■


y k =

11 5

. Por tanto, el centro de la hipérbola es

 2 11 C  − ,  , el cual corresponde al origen del sistema coordenado x ' y', y la ecua 5 5  ción general se transforma en: 4 x '2224 x 'y'111 y'212050

(ii)

Las gráficas en las figuras 9.15 y 9.16 muestran las ecuaciones generales en los sistemas coordenados xy y a la transformada en x ' y', respectivamente. Las ecuaciones de traslación son x = x '− 2

5

y y = y '+ 11 . El origen del sistema x ' y' es O'(0',0'). 5

y

8 Ecuación or iginal:

y '

7

4x –24xy +11y +56x –58y +95=0

6

Centro C (2/5,11/5)

5

Hipérbola I=B–4AC>0

4 3 Centro

2 1 x

–11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

–1 –2 –3 –4 –5 –6

Figura 9.15. Gráfica de la ecuación en el sistema xy.

6

7

8

9 x ' 10

11 12

344

Capítulo 9

■


y

6 Nuevo origen: C(–2/5, 11/5) corresponde al centro de la hipérbola

ecuación transformada 4x '2–24x 'y '+11y '2–20=0

5 4 3 2 1

12 –11 –10 –9

–8

–7 –6 –5

–4

–3 –2

–1 –1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

13

14

15

0'(0',0)

–2 –3 –4 –5

Figura 9.16. Gráfica de la ecuación en el sistema x ' y'.

Ahora se efectuará la rotación de ejes coordenados, a fin de eliminar al término x ' y ' de la nueva ecuación. Primero se determina el ángulo de rotación, que corresponde al giro que se le de B . Al be dar a los ejes coordenados x ' y'. Para ello, se utiliza la relación tan(2θ ) = A − C sustituir valores se obtiene:

tan(2θ ) =

B A − C

=

 24  −24 24 1 = , por lo cual θ = tan−1   = 36.8699° 4 − 11 7 2  7 

Utilizando las funciones trigonométricas para el ángulo doble:

cos(2θ ) =

senθ =

cosθ =

1 tan (2θ ) + 1 2

1 − cos(2θ ) 2

1 + cos( 2θ ) 2

=

=

1

=

2

 24  +1  7  

1

=

625

=

7 25

cos( 2θ ) =

7 25

49

7

1−

25 2

1+

=

9 25

=

3 5

cosθ =

7

25 2

senθ =

=

16 25

=

4 5

4 5

3 5

9.4


■

Ahora se procederá a calcular las ecuaciones de rotación:

x ' =

x ' = x ' cos θ − y ' senθ y ' = x ' senθ + y ' cos θ

y ' =

4 5 3 5

x '− x '+

3 5 4 5

y' y'

Sustituimos las ecuaciones de rotación en la ecuación (i): 2

2

 4 3   4 3   3 4   3 4  4  x ' − y '  − 24  x '− y '   x ' + y ' + 11 x ' + y '  + 20 = 0  5 5   5 5   5 5   5 5  Al desarrollar y simplificar:

 16 2 24  12 2 16 9 2  9 12 2  x ' − x ' y' + y '  − 24  x '' + x ' y ' − x ' y' − y '  25 25 25 25 25  25   25   9  24 16 +11 x ' 2 + x ' y ' + y ' 2  + 20 = 0 25 25  25  4

64

x '

2

25 264

+

25

−

96 25

x ' y' +

x ' y ' +

176 25

36 25

y '

2

y'

2

−

288 25

x '

2

−

168 25

x ' y ' +

288 25

y'

2

+

99 25

x '

2

+ 20 = 0 5 x ''2220 y''222050

De donde:

x ''224 y''22450

Por lo que la ecuación canónica de la hipérbola es: x '

y la ecuación ordinaria o estándar será:

2

4

−

y'

2

1

=1

De donde se obtiene:

=4 a=2 a

2

=1 b =1 b

2

= a 2 + b 2 = 4 + 1= 5 c= 5

c

2

Longitud del eje transverso 2a54 Unidades Eje conjugado 2b52 Unidades LR =

x ' =

2b 2 a

=1

Excentricidad e =

5

Las ecuaciones de las asíntotas son:

a

=

5 2

Distancia focal = 2c = 2 5 Unidades

Las ecuaciones de las rectas directrices: x ' = ±

4 5

c

a e

=

2 5 2

=

4 5

=

4 5 5

346

Capítulo 9

■


x '

2

y ' =

± y ' = 0

es decir

x '

2

y ' = −

x '

2

Las coordenadas de los focos, vértices y extremos del eje conjugado son: V (2 ', 0 ')

Vértices:

F ( 5 ', 0 ')

Focos:

V '(−2 ', 0 ')

Extremos del eje conjugado:

F '(− 5 ', 0 ')

B(0 ',1') B '(0 ', −1')

La gráfica de la ecuación estándar en el sistema x ' 'y'' se muestra en la figura 9.17. Y'' e=

Ecuación canónica: x ''2 – 4y ''2 – 4 = 0

5 2

Ecuación estándar: x ''2 /4 – y ''2 / 1 = 1

Directriz x = – 4/5( 5)1/2

Asíntota: y ''=x '' / 2

Directriz x = 4/5(5)1/2

Asíntota: y '' = – x ''/2

B(0,1) F((5)1/2,0)

F'(– (5)1/2,0) –9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

•

–2

–1 V'(–2 ,0)

1

B'(0,–1)

2

•

3

4

X'''

5

6

7

8

9

10

V(2 ,0)

Figura 9.17. Gráfica de la ecuación en el sistema x ' 'y''.

Para transformar estas coordenadas al sistema coordenado xy se sustituyen las ecuaciones de rotación en las de traslación: x = x '− y = y '+

2 5 11 5

x ' =

y y ' =

4 5 3 5

x '− x '+

3 5 4 5

x =

y'

por tanto: y'

4 5 3

x '−

3 5 4

y'−

2 5 11

y = x ' + y ' + 5 5 5

Con estas ecuaciones obtenemos las coordenadas en el sistema coordenado xy a partir de las coordenadas x '' y y''. Del sistema x '' y y'' se obtiene:

9.4

V(

Vértices:

■


 1 7  3 2 3 4 11 (2) − (0 ) − , (2) − (0 ) +  = V  ,  5 5 5 5 5 5   2 5 

4

 4 3 2 3 4 11 V '  (−2) − (0) − , (−2) − (0 ) +  = V '(−2,1) 5 5 5 5 5   5

De la misma forma, conseguimos los focos:

F (1.39, 3.54) F '(−2.19, 0.86)

extremos:

B(−1, 3) B '(0.5, 1.4)

Las ecuaciones de las asíntotas, aplicando las ecuaciones de transformación inversa: x ' = x − h

x ' = x 'cos θ + y ' senθ

y ' = y − k

y ' = − x ' senθ + y 'cos θ

Se tiene x ' = x + y ' = y −

2 5 , se sustituyen en las ecuaciones de rotación 11 5 4 2 3 11 x ' = ( x + ) + ( y − ) 5 5 5 5

x ' =

4 5

x '+

3 5

3

y'

4

y se obtiene

y ' = − x '+ y ' 5 5

3 2 4 11 y ' = − (x + ) + ( y − ) 5 5 5 5

Las ecuaciones de las asíntotas: y ' = 1 x ' y y ' = − 1 x ' se transforman en: 2 2

 3  2  4  11  1  4  2  3  11   − 5  x + 5  + 5  y − 5   = 2  5  x ´+ 5  + 5  y − 5                3  2  4  11  1  4  2  3  11   − 5  x + 5  + 5  yy − 5   = − 2  5  x + 5  + 5  y − 5               Al simplificar se obtiene:

 11  2  = 2 x +  y − 5    5  

 11 10  2  = x +  y − 5   55  5  

En el sistema coordenado xy.

348

Capítulo 9

■


Ecuación original: 4x –24xy +11y +56x –58y +95

Asíntota: y–11/5=2(x +2/5)

e =(5)1/2 /2 F (1.39,3.54) 9

B (–1,3)

V (1/2,7/5) 9

C (–2/5,11/5)

Asíntota: y–11/5=10/55(x +2/5)

F (–2/19,0.86) V (–2,1) 9

9

B (1/5,7/5)

–12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

Figura 9.18. Elementos de la hipérbola en el sistema coordenado xy.

RESUMEN ✓

Resolución de la ecuación cuadrática Ax 21Cy21 Dx 1 Ey1F 50: y =

✓

−E ±

E

2

− 4C( Ax + Dx ) − 4CF 2

2C

Ecuación general de segundo grado y las cónicas. A partir de la ecuación general de segundo grado en su forma general Ax 21 Bxy1Cy21 Dx 1 Ey1F 50, se determina qué sección cónica representa: B224 AC ,0, elipse B224 AC 50, parábola B224 AC .0, hipérbola

✓

Resolución de la ecuación cuadrática Ax 21 Bxy1Cy21 Dx 1 Ey1F 50: y =

− Bx − E ±

( B 2 − 4 AC) x 2 + ( 2 BE − 4CD) x + E 2 − 4CF 2C

PROBLEMAS

1. Determina el lugar geométrico que representan cada una de las siguientes ecuaciones: Respuestas a) 6 x 2 − 8 xy − 6 y2 + 12 x + 18 y − 45 = 0

− 4 xy + 6 y + 3 x + 42 y − 20 = 0 c) x − 2 xy + y − x + y + 1 = 0 d ) −2 x − 7 xy − 5 yy + 6 x − 10 y − 22 = 0 e) 7 x + 5 xy + 3 y + 21x − 12 y + 17 = 0 b) x

2

Hipérbola

2

2

2

2

2

Parábola

2

2

Elipse

Autoevaluación

349

2. Demuestra o explica por qué se usa el discriminante B224 AC para determinar el lugar geométrico de las cónicas. 3. Comprueba que la ecuación 6 x 2110 xy13y2236x230 y52111 no representa ningún lugar geométrico. Una posible respuesta es reducir a 9.72 x 213.79 y25257 4. Traza la gráfica que describe la ecuación 4 x 224 xy14 y212 x 2 y23650 Respuesta: 4x ^ 2 –4xy + 4y ^ 2 + 2yx – y – 36=0 4 3 2 1 –3

–4

–2 –1

x

1

2

3

4

5

–1 –2 –3 –4 –5

Actividad en equipo (uso de tecnología) 1. Grafiquen y proporcionen el dominio y el rango de la sección donde la cónica se comporta como función. (Comprueben la gráfica por medio de algún software.) a) y = b)

x

2

9

c) x

2

d) x

2

+

y

2

4

2

2

=1

− y =1 +y =9 2

= x − 4 ( x − 1) ( y − 1) − =1 f )

e) y

x

2

16

g) 16 x

2

4

+ 4 y + 96 x − 8 y + 84 = 0 2

2

AUTOEVALUACIÓN 1. Dada la ecuación 3 x 223 xy1 y222 x 1 y2250, determina qué tipo de cónica es y cuál es su ángulo de rotación. 2. Traza la gráfica de la ecuación 6 x 214 y13 x 26 x 1250. 3. Traza la gráfica de la ecuación x 224 xy14 y21 x 23 y1450. 4. Determina el dominio y rango de la cónica x 22 y259. 5. Determina el dominio y rango de la cónica ( x 24)21 y2516.

CAPÍTULO

10

Sistemas coordenados (que no es igual, pero se parece en casi todo)

Eje z Z A

3

A(X A,y A,Z A)

–6

–3

3

k

–3

0

y A

j

Eje y

X A i

–6 Z

Eje x

Z r

z

w

w=cte P

w

P

u=cte

r

y w=cte

X

z =cte r=cte

Y

u

r =cte

Y

Más allá está un mundo inmenso que existe al margen de nosotros, los seres humanos, y que se nos muestra como un grandioso y eterno enigma, aunque parcialmente accesible a nuestro análisis y especulación. La contemplación de este mundo nos llama como una liberación. El camino hasta este paraíso no es tan confortable ni tentador como el que conduce al edén religioso, aunque se nos ha mostrado seguro y digno de confianza. Por mi parte, no lamento en absoluto haberlo escogido. Albert Einstein, 1955

Tú, que me has hecho ver muchas angustias y males, volverás a darme vida, y de nuevo me levantarás de los abismos de la tierra. Aumentarás mi grandeza, y volverás a consolarme. Sal. 71:20-21

Alégrate, joven, en tu juventud y tome placer tu corazón en los días de tu adolescencia. Ec. 11:9

351

352

Capítulo 10

■


10.1 SISTEMAS COORDENADOS

El presente capítulo mostrará y explicará el uso de otros sistemas coordenados como el polar, el cilíndrico y el esférico. Se describirán las ecuaciones de las cónicas en términos de coordenadas polares; también se estudiará la transformación de coordenadas cartesianas (rectangulares) a polares, cilíndricas y esféricas, ya que en muchas ocasiones es más fácil plantear y resolver un problema cuando se traduce en función de variables diferentes a x y y, pues permiten un mejor estudio y comprensión.

10.1.1. Sistema coordenado polar En el plano cartesiano, un punto se localiza considerando su distancia a dos rectas fi jas, los ejes x y y; pero no siempre resulta fácil analizar todos los lugares geométricos. En ciertas ocasiones resulta más sencillo hacerlo si se hace en función de la distancia que existe entre ese punto y un punto fijo, además de considerar el ángulo que se forma entre el segmento de recta que une los puntos anteriores y una recta fija, como se observa en la figura 10.1. El punto fijo se llama polo y la recta fija se denomina eje polar. La representación de cualquier punto se denota como P(r ,u) y se le denomina como coordenadas polares.

r

P (r ,u)

u polo eje polar

Figura 10.1. Eje polar.

La distancia se representa convencionalmente con la literal r y el ángulo, con u. La convención para medir el ángulo es positiva, en sentido contrario a las manecillas del reloj, y negativa a la inversa. Si este plano polar o estas coordenadas polares se sobreponen en un plano cartesiano haciendo coincidir el polo con el origen (como muestra la figura 10.2), se obtienen las relaciones que se estudiaron en el capítulo 1.

y

x

P (x ,y ) P (r ,u)

r

y u

O

Figura 10.2. Relación entre los planos polar y cartesiano.

x

10.1

■

x = r cosθ

[1]

y = r sen θ

[2]

r= x

[3]

+ y2  y  θ = tan−1    x  2

Sistemas coordenados 353

[4 ]

Ejemplo 10.1 Determina las coordenadas rectangulares del punto P(4,30°). Solución:

3 1 De las relaciones x 5r cosu, y5r senu; y sabiendo que cos30° = y sen30°= , 2 2 los correspondientes valores para x y y son: x = 4 ⋅

(

3 2

=2

3; y = 4 ⋅

1 2

=2

)

P 2 3, 2 .

y los de las coordenadas son

Ejemplo 10.2 Obtén la ecuación general de la circunferencia en su forma polar, a partir de la ecuación x 21 y21 Dx 1 Ey1F 50. Solución:

Considerando que x 5r cosu, y5r senu, se sustituyen en la ecuación dada: 2 2 2 2 0 r cos θ + r sen θ + D ⋅ r cosθ + E ⋅ rsen θ + F =

Por identidades trigonométricas, cos2u1sen2u51 2 2 2 r (cos θ + sen θ ) + D ⋅ r cosθ + E ⋅ rsen θ + F = 0

r

2

+ r ( Dcosθθ + Esenθ ) + F = 0

Ejemplo 10.3 Determina la ecuación general de la recta en su forma polar, a partir de la ecuación Ax 1 By1C 50. Solución:

Al sustituir las relaciones x 5r cosu, y5r senu en la ecuación dada se obtiene: Ar cosu1 Br sen u1C 50

o bien, r(Acosu1 Bsen u1C 50,

354

Capítulo 10

■


que corresponde a la ecuación de la recta en su forma polar. Una manera de obtener un plano polar que contenga las coordenadas requeridas, para representar cualquier expresión, consiste en trazar un círculo de radio de valor igual a r y al mismo tiempo trazar un círculo cuyo radio sea un submúltiplo del radio mayor. Es decir, que dentro del círculo de radio r se tengan círculos con valores de

Plano polar r

45

°

1

30

°

3/4r

15

°

1 2

r,

3 4

r ; y luego, tomando el origen del mismo, dividirlo (segmentarlo) en una

π

Figura 10.3. Plano polar.

y

π

, si se 12 6 quiere representar en radianes. Considerar que u puede variar desde 0° hasta 360° (022p) ayudará a tener una mejor precisión para localizar las coordenadas en el trazo de la figura que genere la expresión en estudio. Una representación de lo anterior se ilustra en seguida (o utilizando papel polar). escala tal que tenga un incremento de entre 15° y 30°. De otra manera,

1/4r

1/2r

4

r,

10.1.2. Transformación de coordenadas polares a rectangulares Para transformar coordenadas polares a rectangulares se sigue un procedimiento inverso al que se mostró anteriormente.

Ejemplo 10.4 Obtén las correspondientes coordenadas rectangulares del punto P(4,45°) y traza su gráfico. Solución: y

Se sabe que x 5r cosu, y5r sen u, y se identifica que r 54 y u545°, además por trigoP (4,45 ) P (2.28,2.28) °

u

x

nometría cos 45°= sen 45°=

2 2

.

Al sustituir: x = y = 4 ⋅

Figura 10.4. Localización del punto.

2 2

=2

2

Por tanto, las coordenadas del punto son P (2 2 , 2 2 ) y su gráfico se presenta en la figura 10.4.

Ejemplo 10.5 Determina las correspondientes coordenadas rectangulares del punto P, si tanθ = 3 y r 2 = 2. Solución:

Como tanθ = 3, al despejar el ángulo se tiene θ = tan −1 ( 3 ) = 60° además, r = 2.

10.2

Luego, cos60° =

1 2

y sen60° =

■

Simetría en coordenadas polares 355

3 2

Sustituyendo en x 5r cosu: x = 2 ⋅

1 2

2

=

2

= 0.7071

Después en y5r senu: y = 2 ⋅

3 2

6

=

2

= 1.2247

Por tanto, los valores de las coordenadas buscados son P(0.7071,1.2247).

Ejemplo 10.6 Transforma la ecuación x 21 y25c2 a su forma polar. Solución:

Haciendo uso de x 5r cosu y y5r senu, se obtiene: (r cosθ )2 + (rsenθ )2 = c 2 r cos θ + r sen θ = c Luego, por identidades trigonométricas cos2 u1sen2 u51: 2

2

2

2

2

r (cos θ + sen θ ) = c 2

2

2

2

= c2 r = ±c r

2

Esto representa la ecuación de una circunferencia en su forma canónica.

Sean R y Q dos puntos en el plano polar, que son simétricos con respecto al polo, si sus coordenadas son ( r ,u) y (2r ,u) y , siendo el polo el centro de simetría. Luego, si la ecuación de una línea recta no se altera al reemplazar r por 2r , se dice que el polo es el centro de simetría de esa línea.

10.2 SIMETRÍA EN COORDENADAS POLARES

10.2.1. Distancia entre dos puntos en el plano polar

Q (r 1,b)

•

d

r 1

• P (r ,a) 2

b

••

Polo

u a

r 2 eje polar u= b– a

Figura 10.5. Distancia entre dos puntos en el plano polar.

Considera la figura 10.5. Lo que se pretende es determinar el valor de d en términos de r 1, r 2 y el ángulo u. Para ello se considera la figura formada por las variables, un triángulo oblicuo. Se recurre a la trigonometría, en particular a la ley de los cosenos c25a21b222ab cos f, la cual para este caso se expresa como: d

2

= r12 + r22 − 2r1r2 cos θ

356

Capítulo 10

■


O bien, d = r1

2

+ r22 − 2r1r2 cos θ

[5]

Con lo cual se obtiene la ecuación de distancia entre dos puntos en forma polar. Recuerda que cos( a2b)5cos(b2a).

Ejemplo 10.7 Dados los puntos P1(5,25.0°) y P2(7,60.0°), determina la distancia que existe en ambos y haz una representación gráfica. Solución:

Primero se determina el ángulo que se forma entre los puntos dados u560.0°225.0°

535.0°, luego se sustituyen los valores dados en la expresión d = r12 + r22 − 2r1r2 cos θ , con lo cual se obtiene la distancia buscada: d = (5)

2

+ (7)2 − 2(5)(7)cos35.0°

d = 4.08

10.3 ECUACIONES POLARES DE LA LÍNEA RECTA

La ecuación general de la línea recta Ax 1 By1C 50 se transforma a través de las relaciones x 5r cosu y y5r senu en la ecuación: Arcosθ + Br senθ + C = 0 r ( A cosθ + Bsenθ ) + C = 0

[6]

que no tendría una representación gráfica semejante a la cartesiana, pues u varía en forma trigonométrica. La ecuación de una línea recta que pasa por el origen en su forma, y5mx , tendrá por ecuación polar r senu5mr cosu, es decir, tanθ = m

θ = tan−1 m

[7]

Ejemplo 10.8 Transforma la ecuación 4 x 23 y1950 a su forma polar y traza su gráfica en ambos planos. Solución:

La ecuación tomaría la forma 4(r cosu)23(r senu)1950, de donde se obtiene r (4cos u23(r senu)1950. Para poder trazar la gráfica se despeja r y se hace variar u, como se muestra a continuación: r (4 cosθ − 3senθ ) = −9 r =

−9 (4 cosθ − 3senθ )

10.4

u r

0° 22.25

15.0° 22.92

■

30.0° 24.58

Ecuaciones polares de las cónicas 357

45.0° 212.7

60.0° 15.0

75.0° 4.83

90.0° 3.00

Tabla 10.1

Para trazar la gráfica en el plano cartesiano se expresa la ecuación como y =

4 3

x + 3:

12 9 6 3 –12 –9 –6 –3

3

6

9

12

–3 –6 –9 –12

Figura 10.6. Gráfica de y =

4 3

x + 3 en el plano polar.

Para obtener las ecuaciones polares de las cónicas de forma sencilla, incluida la circunferencia, se hace coincidir un punto fijo (comúnmente el foco) con el polo del sistema polar y, al mismo tiempo, se hace que el eje focal o de simetría sea paralelo con la recta o eje polar, aunque en algunas ocasiones éste puede ser perpendicular.

10.4 ECUACIONES POLARES DE LAS CÓNICAS

10.4.1. Ecuación polar de la circunferencia Ya se ha expuesto el procedimiento para cambiar las coordenadas r ectangulares a polares y viceversa. En cada uno de los gráficos de la figura 10.7 se muestran el plano cartesiano, el polar y una circunferencia. Plano rectangular y polar

Plano rectangular y polar

y u=90

y u=90

°

°

a centro

r origen • o polo

u

• a

• a a centro

(x ,y ) o (r ,u) °

x o eje polar

•

r

a

u=0

Polo origen

•

• (x ,y ) o (r ,u)

a

u

Figura 10.7. Ecuación polar de la circunferencia.

u=0

°

x o eje polar

358

Capítulo 10

■


El centro de la circunferencia se localiza sobre la recta polar, que coincide con el eje x , y sólo un punto coincide con el polo. Para conocer el radio utilizamos las funciones trigonométricas coseno y seno, así como el ángulo u. De las gráficas se obtienen las ecuaciones: r = 2a cosθ

[8]

r = 2asenθ

Otra ecuación que se consigue es r 5a, si el centro de la circunferencia coincide con el polo, donde r es constante para todo valor de u, es decir, desde 0° hasta 360°: Plano rectangular y polar y

u=90

°

r =a

• (x ,y ) o (r ,u)

u

• centro

x o eje polar

Figura 10.8. Ecuación polar de la circunferencia.

Ejemplo 10.9 Dada la ecuación de la circunferencia ( x 13)21 y259, obtén su forma polar y traza su gráfica. Solución:

Como primer paso se desarrolla el binomio indicado, x 216 x 191 y259, y luego se hacen las sustituciones x 5r cosu y y5r senu, además de ordenar la ecuación r cos θ + r sen θ + 6r cos θ = 0 2

2

2

2

Se simplifica: r

2

( cos θ + sen θ ) + 6r cosθ = 0 2

2

Luego, cos2u1sen2u51

+ 6r cosθ = 0 r ( r + 6cosθ ) = 0 r

2

de donde se obtienen dos valores de r . El primero es r 50, que representa al polo, y el segundo corresponde a la ecuación en su forma polar: r + 6 cosθ = 0 r = −6 cosθ

10.4

■


La gráfica se observa en la figura 10.9.

3

a =3 –6

–3

3

–3

–6

Figura 10.9. Gráfica de r 16cosu50.

La ecuación general de la circunferencia se puede obtener a partir de la figura 10.10, en la cual se muestra una circunferencia de radio a, cuyo centro se localiza en C , además de un punto P equidistante que se mueve en el plano.

P (r ,b) a r

C (r 1,a)

r 1

b u a

eje polar Polo

u5b2a

Figura 10.10. Ecuación general de la circunferencia en forma polar.

Para obtener la ecuación se considera la ley de los cosenos, es decir, a

2

= r12 + r 2 − 2r1r cos θ

De esta última expresión se logran las ecuaciones anteriores, con ciertas consideraciones que se deja exponer al lector.

360

Capítulo 10

■


10.4.2. Ecuaciones polares de las cónicas: parábola, elipse e hipérbola Como se explicó antes, para obtener las ecuaciones de las cónicas en su forma polar es necesario hacer coincidir un punto fijo. Para el caso, el foco con el polo, considera la figura 10.11.

Recta directriz l

r cosu

P (r ,u) o (x ,y )

r

p

p V

u F

x = r cosu

Figura 10.11. Ecuación de la parábola en forma polar.

Por definición de cónica (“la relación de distancia constante que existe entre un punto que se mueve en el plano a una recta fija, llamada excentricidad”), se establece lo siguiente: e=

FA DA

pero FA = r y DA = λ + r cos θ donde l es la distancia entre la recta focal a la directriz. Sustituyendo en la primera expresión: r e= λ + r cosθ Se despeja r : eλ + er cosθ = r eλ = r − er cos θ r (1− ecosθ) = eλ

10.4


■

Por lo tanto, r =

eλ

1 − e cosθ

En general, r =

eλ

[9]

1 ± e cosθ

La ecuación [9] representa a cualquier cónica en su forma polar.

Ecuación polar de la parábola La condición de excentricidad para que la ecuación anterior corresponda a una parábola es que e51, lo cual produce: r =

λ 1 ± cosθ

Otro razonamiento posible a partir de la figura es igualar distancias: FA

= DA

Se sustituyen los valores correspondientes: r

= λ + r cosθ

Luego, por propiedades del valor absoluto, obtenemos:

±r = λ + r cosθ Al despejar r para ambos casos se obtienen dos ecuaciones. Hacemos una última anotación que se observa en la gráfica l52 p: r =

λ 1 − cosθ

o r =

2p 1 − cosθ

, y tendrá su vértice en

 λ  y recta directriz r = − λ .  2 ,π  cosθ 

O bien, si la parábola abre a la izquierda: r =

λ 1 + cosθ

,o r =

2p 1 + cosθ

y tendrá su vértice en

 λ  y recta directriz r = λ .  2 , 0  cosθ 

Si el eje focal fuera perpendicular a la recta polar, se obtendrían las ecuaciones para la parábola que abre hacia arriba, r = triz r =

− λ

λ

, con vértice en

1− sen θ

 λ 3  y recta direc 2 , 2 π  

. senθ

Si abre hacia abajo, r =

λ

, vértice

1+ sen θ

 λ π  y recta directriz r = λ .  2 , 2  senθ 

362

Capítulo 10

■


Ejemplo 10.10 Dada la ecuación de la parábola r =

3 1 + cosθ

, traza su respectivo gráfico y obtén su

ecuación en forma rectangular. Solución:

Para trazar su gráfico damos valores a u, desde 0° hasta 360°, y así obtenemos el valor de r . Observemos que la ecuación es una función de u. u

30°

60°

90°

120°

150°

r

1.6

2

3

6

22.39

180°

210°

240°

270°

300°

330°

0° o 360°

22.39

6

3

2

1.6

1.5

Tabla 10.2

De la tabla se procede a graficar y se obtiene la figura 10.12.

5 4 3 2 1 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

1

2

3

–2 –3 –4 –5 –6

Figura 10.12. Gráfica de r =

3 1 + cosθ

.

Para conseguir su forma rectangular, de r =

3

, se ordena como r 1r cosu53; 1 + cosθ luego se sustituyen las relaciones entre coordenadas en r 532r cosu: x

2

+ y2 = 3 − x

Se elevan al cuadrado ambos miembros y se simplifica: x 21 y25926 x 1 x 2

10.4

■


Finalmente, la ecuación en forma rectangular es: y

2

 3  = −6  x −   2 

Ecuación polar de la elipse eλ

Para que la ecuación polar de las cónicas r =

corresponda a una elipse, es 1 ± e cosθ condición necesaria que e,1. A continuación, se obtendrán dos ecuaciones de la elipse en forma polar. Considera la figura 10.13.

y

•

F'

y l

A(x ,y ) o (r ,u)

r F'

•

•

• D

u F O r cosu V

•

•

F O r senu

•

x

Recta directriz

Recta directriz

V

r

•

u

•

x l

•D

A(x ,y ) o (r ,u)

Figura 10.13. Ecuación de la elipse en forma polar.

De la figura del lado izquierdo, y en forma análoga al caso anterior de parábola, se establece que: FA AD

=

r

λ − r cosθ

=e

Al despejar r se tiene: r =

o bien, r =

eλ

1 + e cosθ

eλ

si la recta directriz estuviera del lado izquierdo. Recuerda que 1 − e cosθ l es la distancia de la recta focal a la directriz. Por otro lado, al considerar la figura de la derecha, se establece: FA AD

=

r

λ − (− r cosθ )

=e

364

Capítulo 10

■


Se despeja r : r =

eλ

. 1− e senθ

Si la recta directriz estuviera por arriba: r =

eλ

1+ e senθ

Las rectas directrices tendrían ecuaciones x 56l, o bien, y56l.

Ejemplo 10.11 Dada la ecuación de la elipse r =

2

, traza su gráfico y obtén su ecuación en 5 + 4sen θ

forma rectangular. Solución:

Se observa que r es una función de u; por tanto, se evalúa r para valores de u desde 0° hasta 360°, en intervalos de 30°. u

0

30°

60°

90°

120°

150°

180°

210°

240°

270°

300°

330°

360°

r

0.4

0.28

0.23

0.22

0.23

0.28

0.4

0.66

1.3

2

1.3

0.66

0.4

Tabla 10.3

A partir de la ecuación dada y con los datos obtenidos se identifica que la elipse tiene su eje focal paralelo al eje y. La gráfica correspondiente aparece en la figura 10.14.

0.3 –1.2 –0.9 –0.6 –0.3 –0.3 –0.6 –0.9 –1.2 –1.5 –1.8 –2.1


2

. 5 + 4sen θ

0.3 0.6 0.9

10.4

La ecuación en forma rectangular de r = expresión a la forma r =


■

2 5 + 4senθ

se obtiene al llevar primero esa

eλ

. Para ello se dividen el numerador y el denomina1− e senθ

dor entre 5: 2 r =

5

1+ 4 senθ 5

Luego, 4 2 r + rsen θ = 5 5

2

4

5

5

⇒r = −

rsenθ

Se hacen las sustituciones correspondientes: x

2

2

4

5

5

+ y2 = −

y

Se elevan al cuadrado ambos miembros y se simplifica: x

2

+ y2 =

4 25

−

16

y+

25

16 25

y

2

Al multiplicar por 25 se obtiene la ecuación de la elipse en su forma rectangular: 25 x 219 y2116 y2450

Ecuación polar de la hipérbola Considerando la ecuación polar de las cónicas r =

eλ

, es condición necesaria 1 ± e cosθ que para que e.1 para que sea la de una hipérbola. Considera la figura 10.15 y el procedimiento utilizado en la parábola y la elipse. y

D •

r cos u

l

• A(x ,y ) o (r ,u)

• r

V '

•

V

•

•

u

F

Recta directriz

Figura 10.15. Ecuación de la hipérbola en forma polar.

x o eje polar

366

Capítulo 10

■


Por concepto de excentricidad: FA

=

AD

r

=e

λ + r cosθ

Se despeja r : r =

eλ

1 − e cosθ

O en el caso de que la recta directriz estuviera del lado derecho del polo: r =

eλ

1 + e cosθ

Si la recta directriz estuviera por debajo del polo: r =

eλ

1 − e senθ

Si la recta directriz estuviera por arriba del polo: r =

eλ

1+ e senθ

Las rectas directrices tendrían ecuaciones x 56l, o bien, y56l.

Ejemplo 10.12 3

Dada la ecuación de la hipérbola r =

, obtén su ecuación en forma rectan2 + 3cosθ gular ordinaria, a través de las coordenadas de su centro, focos y vértices. Traza su gráfica. Solución:

eλ La expresión anterior lleva a la forma r = . Para ello se dividen el numeraθ 1 + cos e dor y el denominador entre 2:

3 r=

2 1+ 3 cosθ 2

⇒r +

3 2

r cosθ =

3 2

Se sustituyen sus equivalentes rectangulares y se ordenan los términos: x

2

3

3

2

2

+ y2 = −

x

Se eleva al cuadrado y se simplifica: x

2

9

9

9

4

2

4

+ y2 = − +

2

x

10.4


■

Multiplicando por 4: 4 y225 x 2118 x 2950 se obtiene la ecuación de la hipérbola en su forma rectangular. La forma ordinaria es:

(

x − 9

5 1.44

)

2

−

y

2

1.8

=1

Sus elementos son:

(

)

Centro C 9 , 0 ; focos F ( 3.6, 0 ) y F '( 0, 0 ); vértices V ( 0.6, 0 ) y V '( 3, 0 ). 5 Para obtener su gráfico se considera la ecuación polar dada y se evalúa r para valores de u desde 0° hasta 360° en intervalos de 30°, como se muestra en la tabla 10.4. u

0

30°

60°

90°

120°

150°

180°

210°

240°

270°

300°

330°

360°

r

0.6

0.65

0.85

1.5

6

–5

–3

–5

6

1.5

0.85

0.65

0.6

Tabla 10.4

La gráfica de la ecuación se muestra en la figura 10.16 y se observa que la hipérbola tiene su eje focal paralelo al eje x .

4

2

–4

–2

2 –2

–4

–6


3 2 + 3cosθ

.

4

6

368

Capítulo 10

■


En el capítulo 1 se habló de los sistemas dimensionales y se describió brevemente su origen. A continuación se hablará del sistema coordenado tridimensional, también conocido como el plano R3 (se lee: r tres). Considera la figura 10.17 y trata de visualizarla en una de las esquinas del cuarto o salón de clases.

10.5 SISTEMA COORDENADO RECTANGULAR EN TRES DIMENSIONES

z III

II I

IV O

y x

VI

VII

VIII

V

Figura 10.17. Sistema coordenado rectangular tridimensional.

Este sistema se conforma por tres planos que se intersecan y forman ocho octantes, identificados por tres ejes, comúnmente denominados ( x , y, z). Para representar un punto en este sistema se necesita una terna de coordenadas, las cuales se denominan abscisas, ordenadas y cotas ( x , y, z), respectivamente. A continuación se describe un procedimiento que facilita la localización de un punto en R3: • Localiza las coordenadas x , y y z en su respectivo eje. • A partir de la coordenada x , traza un segmento de recta paralelo al eje y. • De la misma forma, a partir de la coordenada y, traza un segmento de recta paralelo al eje x . • Lo anterior origina un punto en la intersección de las rectas. A partir de éste traza una recta paralela al eje z, y restríngela al valor de la coordenada z.

z

En forma gráfica, se obtiene una figura semejante a la 10.18.

• (x ,y ,z) O 90

°

Ejemplo 10.13 Localiza la terna de coordenadas del punto P(3,4,6).

90

°

90

°

y

•

x

Figura 10.18. Localización de un punto en el espacio.

Solución:

De acuerdo con el procedimiento mostrado:

10.5

■

Sistema coordenado rectangular en tres dimensiones 369

z (3,4,6)

O y

x

Figura 10.19. Localización del punto P(3,4,6).

10.5.1. Distancia entre dos puntos en el sistema rectangular tridimensional Semejante al análisis para determinar la distancia entre dos puntos en 2 es el que se realiza para determinar la magnitud de un segmento de recta en el sistema tridimensional. En lenguaje matemático:

d d

2

2

= (x ) + (y ) + ( x ) 2

2

2

= ( x − x1 ) + ( y − y1 ) + ( z − z1 )

2

[10]

Demostración:

Considera la figura 10.20.

z T

(0,0,z )

P (x ,y ,z ) d S (0,y ,0)

O

y R

90 90

(x ,0,0)

°

°

Q (x ,y ,0)

x

Figura 10.20. Distancia entre dos puntos en el espacio.

370

Capítulo 10

■


En la figura se observan cuatro triángulos rectángulos, de los cuales se consideran los triángulos OPQ y OQR. A partir del triángulo OPQ y usando el teorema de Pitágoras, como se hizo para determinar la distancia entre dos puntos en el plano bidimensional, establecemos lo siguiente: OQ

2

2

2

+ QP = OP

(i)

y de manera semejante, con el triángulo OQR: OR

2

2

+ RQ = OQ

2

(ii)

2

De (ii) se sustituye OQ en (i) y se obtiene: OR

2

2

2

+ RQ + QP = OP

2

(iii)

En la figura se observa que cada punto i mplicado está referido al plano tridimensional con una terna de coordenadas. Al sustituirlas en la ecuación ( iii): 2

 ( x − 0) + (0 − 0) + (0 − 0) +  (x − x ) + ( y − 0 ) + (0 − 0 ) 2 + ( x − x ) + ( y − y) + (z − 0) = OP2

2

pero OP = d y es la distancia que se quiere obtener. Se simplifica: d

2

2

= (x ) + (y ) + ( x )

2

En forma general, para cualquier terna de coordenadas en este sistema se tiene: d

2

2

= ( x − x1 ) + ( y − y1 ) + ( z − z1 )

2

que corresponde a la distancia entre dos puntos en tres dimensiones, con lo cual queda hecha la demostración. Esta expresión también permite determinar la longitud de un segmento de recta en un sistema tridimensional. Por ello se plantea al lector la pregunta: ¿cuál es la distancia entre dos puntos en un sistema tetradimensional?, ¿cómo lo imaginas? La respuesta no es tan difícil como parece; la resolvió el físico Albert Einstein, quien decía: “La distancia entre dos puntos en el espacio es un instante de tiempo”. Recuerda que en este sistema, el tiempo es definido como la cuarta dimensión. Una lectura e ilustración de la Teoría de la relatividad ayudarán a entender esto.

10.5.2. Ángulos y cosenos directores Los cosenos directores permiten determinar el ángulo que existe entre un segmento de recta y los ejes coordenados positivos a los cuales está referido. Esto se ilustra en la figura 10.21. En la figura se observan los ángulos a, b y g que se forman entre el segmento de recta d y los ejes positivos x , y y z, respectivamente.

10.5

Sistema coordenado rectangular en tres dimensiones 371

■

z

P (x ,y ,z ) g

b

y

O a

x

Figura 10.21. Cosenos directores.

Por geometría se obtiene que x 5d cosa, y5d cosb y z5d cosg; luego, utilizando la fór2

2

( x ) + (y ) + (x )

mula de distancia entre dos puntos d =

2

:

x 21 y21 z25d 2

Se sustituye y se simplifica: (d cos α ) 2 + (d cos β )2 + (d cos γ )2 = d 2

d (cos α + cos β + cos γ ) = d 2

2

2

2

2

[11]

cos α + cos β + cos γ = 1 2

2

2

Es decir, los cosenos directores no son independientes. Luego, los ángulos directores son:

 x   y   z  , β = cos −1   , γ = cos −1     d   d   d 

α = cos −1 

[12]

Si de cada una de las expresiones anteriores se despeja la distancia d y se igualan entre sí, se obtiene: x

cos α

=

y

cos β

=

z

cos γ

, o bien,

cos α a

=

cos β b

=

cos γ c

[13]

Donde a, b y c se denominan números directores y son proporcionales a los cosenos directores, lo que facilita el análisis de puntos, rectas y otros cuerpos en el espacio tridimensional.

Ejemplo 10.14 El radar de un barco ha determinado las correspondientes ternas de coordenadas de un avión y un helicóptero, como se observa en la figura 10.22. Determina las distan-

372

Capítulo 10

■


cias entre cada uno de estos cuerpos y el barco; la distancia que existe entre ambos y los cosenos directores del avión y el helicóptero, y comprueba tus resultados.

(5,–3,10) z

(–3,3,2)

b

y

x

Figura 10.22. Distancia entre dos objetos.

Solución:

Empleando la ecuación d =

2

2

(x − x ) + ( y − y ) + (z − z ) 1

1

2

1

se determinan las distan-

cias pedidas. Para la distancia del avión y el barco: BA =

2

2

2

(5 − 0) + (−3 − 0 ) + (10 − 0) =

134 u.l.

En forma semejante, del helicóptero al barco: BH =

2

2

2

( −3 − 0 ) + ( 3 − 0 ) + ( 2 − 0 ) =

22 u.l.

Finalmente, entre el avión y el helicóptero: AH =

2

2

2

(−3 − 5) + (3 − (−3)) + ( 2 − 10 ) =

164 u.l.

Ahora se determinarán los cosenos directores correspondientes del avión y del helicóptero. Para el avión:

 

α = cos −1 

  −3   = 64.4°, β = cos −1  = 105.02°, γ = cos−1     134   134  5

 . °  = 3024 134 

10

Para comprobar los resultados, se tiene cos264.4°1cos2105.05°1cos230.24°51 En el caso del helicóptero:

 −3  −1  β = 129 . 76 ° , = cos   22  

α = cos −1 

 −1  γ = 50 . 23 ° , = cos   22 

3

 . °  = 6476 22 

2

10.6

■

Coordenadas cilíndricas 373

Se sustituyen los valores para comprobar cos 2129.76°1cos250.23°1cos264.76°51, con lo que corroboramos que las operaciones realizadas son correctas.

10.5.3. División de un segmento en una razón dada La división de un segmento en 3 se desarrolla de forma análoga a lo demostrado en plano cartesiano, es decir, x =

x1 + rx 2

1 + r

, y =

y1 + ry2

, z =

1 + r

z1 + rz 2

[14]

1 + r

Luego, el punto medio de un segmento es: x =

10.6 COORDENADAS

x1 + x 2

2

, y =

y1 + y2

, z =

2

z1 + z2

[15]

2

Otro tipo de sistemas coordenados es el cilíndrico que, como su nombre lo indica, tiene su origen en un cilindro. Su representación gráfica aparece en la figura 10.23.

CILÍNDRICAS z

P (x ,y ,z ) o P (r ,u,z ) P • O r u

y Q

x

Figura 10.23. Sistema de coordenadas cilíndricas.

A partir de la figura OQ = r y las coordenadas rectangulares del punto en función de las condiciones mostradas: x 5r cosu; y5r senu; z5 z

[16]

En algunas ocasiones se utiliza r(ro) para denotar el radio r , es decir, x 5rcosu, y5rsenu, z5 z

las cuales también expresan como: r =

x

cosθ

, r =

y

senθ

, θ = cos −

1

 x  1  y  , θ = sen −   y z = z  r    r 

374

Capítulo 10

■


donde: 0° ≤ θ ≤ 360°, o bien, 0 ≤ θ ≤ 2π z ∈ℜ r = ρ > 0

Entonces, para localizar un punto cualquiera deberán conocerse tres valores, los cuales se denotan como P(r ,u, z).

Ejemplo 10.15 Determina las coordenadas rectangulares del punto P(4,60°,6). Solución:

De las relaciones x 5r cosu, y5r senu y z5 z, además de saber que cos60° =

1 2

sen60° =

3

se obtienen los correspondientes valores para x , y y z, que son:

2

x = 4 ⋅

1 2

=2

; y = 4⋅

3 2

=2

3; z = 6

(

)

Por lo cual, la tercia de valores del punto dado tendrá coordenadas P 2, 2 3, 6 .

10.7 COORDENADAS

Un último sistema coordenado que se expondrá es el esférico, el cual, como su nombre lo indica, se obtiene de una esfera.

ESFÉRICAS z

z

T

T P (x ,y ,z ) P (r ,u,f)

f

r o R

u

r

S

l

P (x ,y ,z ) P (r ,u,f)

f

y R

u

Q x

u

S

l

y u

Q

x

Figura 10.24. Sistema de coordenadas esféricas.

En la figura se observan los triángulos rectángulos OQR, OQS , OPQ y OPT y dos ángulos u y f. A partir del triángulo OPQ se determina l: l5r senf

Resumen 375

Luego, por trigonometría, se obtienen las coordenadas en los ejes x , y, z: x 5l cos u, y5l senu, z5r cos f

Se sustituye l en las expresiones anteriores: x 5r senf cosu, y5r senf senu, z5r cosf

[17]

que son las coordenadas rectangulares en función de las variables esféricas. De igual manera que en las coordenadas cilíndricas, suele usarse r(ro) para denotar el radio r ; de esta forma, también se escriben como: x 5rsenfcosu, y5rsenfsenu, z5rcosf

Donde: 0°#u#360°, o bien, 0#u#2p 0°,f,180°, o bien, 0,f,p r .0, o bien, r.0 Por tanto, para localizar un punto en el sistema esférico deberán conocerse tres valores, que denotaremos como P(r ,u,f).

Ejemplo 10.16 Determina las coordenadas rectangulares del punto P(4,30°,60). Solución:

De las relaciones x 5rsenfcosu, y5rsenfsenu y z5rcosf, empleando el apéndice de trigonometría se tiene: 3

cos 30°=

2

; sen30°=

1 2

, cos 60°=

1 2

y sen 60° =

3 2

Los correspondientes valores para x , y y z son: x = 4 ⋅

3 2

⋅

3 2

3 1

= 3; y = 4 ⋅

2

⋅ = 2

3; z = 4 ⋅

1 2

(

=2

)

La tercia de valores del punto dado tendrá coordenadas P 3, 3, 2 . Existen algunos otros sistemas coordenados que ahora no estudiaremos. En los siguientes temas nos apoyaremos en las coordenadas polares, aunque también podrían aparecer problemas en coordenadas cilíndricas y esféricas; esto nos dará mayor visión en el análisis y comprensión para estudios posteriores de cálculo diferencial e integral así como de cálculo vectorial, ecuaciones diferenciales, electricidad y magnetismo y de teoría electromagnética, entre otros temas.

RESUMEN ✓

Coordenadas polares. La distancia se representa convencionalmente con la literal r y el ángulo con u. Si este plano polar o estas coordenadas polares se sobreponen en un plano cartesiano, se obtienen las siguientes relaciones: x = rcosθ ; y = rsenθ ; r =

x

2

 y  + y 2 ; θ = tan −1    x 

376

Capítulo 10

■

Sistemas coordenados (que no es igual, pero se parece en casi todo) ✓

Coordenadas cilíndricas. Las coordenadas cilíndricas tienen su origen en un cilindro. Si las coordenadas rectangulares se ponen en función de variables cilíndricas se obtiene: x 5r cosu; y5r senu, z5 z

donde, 0°#u#360°, o bien, 0#u#2p, z  R, r .0, o bien, r.0 ✓

Coordenadas esféricas. Las coordenadas esféricas tienen su origen en una esfera. Las coordenadas rectangulares en función de las variables esféricas son: x 5r sen ucos u, y5r sen fsen u; z5r cosf

donde, 0°#u#360°, o bien, 0#u#2p, 0°,f,180°, o bien, 0,f,p, r .0, o bien, r .0


1. Obtén la ecuación cartesiana de las siguientes ecuaciones polares y di cuál es su excentricidad. Respuestas 2

a) r

2 + 3senθ

b) r =

x

2

x

2

−

5 4

y

2

+ 3 y − 1 = 0, e =

3 2

4 + 3cosθ 1− senθ

d ) r =

2

2 3

c) r =

x

(

= 6 y− 3

2

), e = 1

5 1+ cosθ

2 2 2 e) r cos θ + r sen θ = 25 2

+ y2 = 25

f ) r cos θ + r senθ + 3r cosθ + 2 = 0 2

2

g) r = h) r =

3

25 x 2 + 21y 2 + 12 y − 9 = 0, e =

5 + 2 senθ

2 5

5 6 + 5 cosθ

i ) 2rcosθ = 3r senθ − 3

2 x − 3y + 3 = 0

j ) 3r sen θ + 2 = 3r cosθ + 3r senθ

2. Obtén la ecuación en forma polar de las siguientes ecuaciones cartesianas y di cuál es su excentricidad. Respuestas a)

3 4

b) x

x

2

2

−

+ y2 − 65 16

y

2

1 2

+

x−

18 4

1 4

=0

y −1= 0

r=

1 2 − cosθ

, e=

1 2

Problemas 377 c) x + y = 2

rcosθ + rsenθ = 2

d) 2x − 8 y + 3 = 0 e) y

2

− 3 x 2 + 12 x − 9 = 0

f ) x

2

− 2 y +1= 0

g) x

2

+

h) x

2

5 9

y

−

2

2

3

y −1= 0

r=

3 1+ 2cosθ

3

, e= 2

, e=

3 + 2 senθ

2 3

2

+ ( y − 2) = 4

i ) ( x + 3) + y j ) x

4

r=

+

3 4

y

2

2

+

=9 3 4

y−

r = 6 cos θ

9 16

=0

3. Traza las siguientes gráficas en un plano polar. Sugerencia: Usa papel polar. a) r = cosθ b) r = sen θ c) r = d ) r = e) r = f ) r =

2 1+ 2 cosϑ 2 3 − 2 cosϑ 3 1+ 2 senϑ 3 3 − 4 senϑ

4. Obtén las coordenadas rectangulares con los siguientes datos: Respuestas a) r = 2, θ = 45º , φ = 75º

x=

3 2

+

1 2

, y=

3 2

+

1 2

, z=

b) r = 6, θ = 30 º , φ = 90 º c) r = 8, θ = 15º , φ = 0 º

x = 0 , y = 0, z = 8

d ) r = 3, θ = 90 º , φ = 60 º e) r = 4, θ = 0 º , φ = 45º

x = 2 2 , y = 0, z = 2 2

5. Determina la coordenada o el ángulo faltante a partir de los datos. Respuestas a) 3 = 4 cos30 º senφ

φ = 60 º

y = 4 sen30 º senφ

y= 3

z = 4 cosφ

z = 2

6 2

−

2 2

378

Capítulo 10

■

Sistemas coordenados (que no es igual, pero se parece en casi todo) b) x = 5 cos θ ⋅ sen15º

1 = 5 senθ ⋅ sen15º z = 5 cos15º c) 3 = r cos 45º

r = 3 2

y = r sen 45º

y=3

z = 2 d)

1

y = r cos θ 3 y = 2sen θ z = 4

e) x =

5

x = 2.66

ycos θ 3 2 = r sen θ

θ = 36.86º

z = 2


1. ¿Cuáles son las coordenadas polares del punto (6,9)? 2. ¿Cuáles son las coordenadas cilíndricas del punto (22,4,4)? 3. ¿Cuáles son las coordenadas esféricas del punto (3,5,23)? 4. A partir de la ecuación r =

3 1+ cosθ

determina la ecuación de la parábola en forma rec-

tangular y traza su gráfico.

5. Dada la ecuación 16 x 219 y2116 y2250, obtén la ecuación en forma polar y gráfica. 4 y di qué lugar geométrico representa. 6. Grafica la ecuación r = 2 + 5cosθ

Apéndice A

MÉTODO DE CHIO: RESOLUCIÓN DE DETERMINANTES

El método de CHIO resulta útil para la resolución de determinantes de orden tres o mayor; para aplicarse se debe considerar lo siguiente: 1.

2.

3.

Al aplicar el método de CHIO el orden del determinante disminuirá en uno, es decir, si el determinante es de orden n 3 n, el nuevo determinante será de orden (n21) 3 (n21), o bien, de m 3 m. Es condición necesaria que el elemento a11 sea diferente de cero, si dicha condición no se cumple, intercambia filas o columnas de tal manera que se cumpla la condición y no altere el determinante. (Si cambia dos columnas o dos renglones, el determinante cambia de signo). 1 Al nuevo determinante m 3 m se le antepondrá como producto , n 2 ( a11 ) −

donde n será el orden del determinante al que se le está aplicando el método. Entiéndase que el determinante debe ser cuadrado n 3 n, es decir,

A

a11

a12

a1 3

...

a1n

a21

a22

a2 3

...

a 2n

a32

a33

....

a3n

.

.

.

.

.

an1

an 2

an 3

...

ann

=a

31

Los nuevos elementos del determinante m 3 m se obtendrán de la siguiente forma:

A

=

1 (a11 )n

−2

a11

a12

a11

a13

a21

a22

a21

a23

a11

a12

a11

a13

a31

a32

a31

a33

.

.

...

...

a11

a1n

a21

a2 n

a11

a1n

a21

a3n

.

a11

a12

a11

a13

an1

an 2

an1

an 3

.

. a11

a1n

an1

ann

380

Apéndice A

Ejemplos: Resuelve los siguiente ejercicios por el método de

CHIO:

a)

B =

= 1⋅

1

2

2

−4

2

−2

2

5

1

3

3

6

3

0

4

7

1

−6

=

1 4− 2

−6 −2

13

1

10

1

(1) −6 −2

19

=

−4 −73 ⋅ (1) ( −6) 0 −36 1

2

⋅

1

3− 2

⋅ (144 − 0 ) = −24

b)

C =

3

1

3

1

4

2

1

2

0

2

1

4

3

−2 1 = −2 −3 ( 3) 11 −2

2

4− 2

−9 −10 1 1 −18 −42 0 −11 = ⋅ ⋅ 111 96 6 −7 ( 3) ( 2) 2

3− 2

1 1

= ⋅ (1728 + 4662 ) = 163 9 2

NOTA: El método de CHIO admite la combinación con otros métodos, pero no hay que olvidar los productos que se le anteponen a éste.

Apéndice B

Hipotenusa c

Cateto opuesto a

u

Cateto adyacente b

Propiedades de los exponentes

⋅a = a a ⋅ b = ( ab) (a ) = a n

m

n

n

a

n

m

a

a a

a b

m

n

−1

0

n+ m

Trigonometría del triángulo rectángulo

n⋅m

=a

=

n

senθ =

n m

1

n n

−m

Productos y factores notables 2

( a ± b ) = a ± 2ab + b ( a − b ) = a − 3a b + 3ab − b ( a + b ) = a + 3a b + 3ab + b 2

3

3

2

c

, tan θ =

a

2

+b =c 2

2

3

2

2

3

3

2

2

3

senθ ⋅ csc θ = 1 cos θ ⋅ sec θ = 1 tanθ ⋅ ctgθ = 1

2

3

3

2

2

sen2θ + cos2 θ = 1

3

3

2

2

sec 2 θ − tan 2 θ = 1

2

2

2

2

csc 2 θ − cot 2 θ = 1

Ley de senos Propiedades de radicales a b = ab

b

=

a

senα

a

=

b

senβ

=

c

senγ

Ley de cosenos

b

a + b ≠ a+ b

Propiedades de logaritmos

a

2

b

2

c

ln a + ln b = ln(ab)

 a   b  

ln a − ln b = ln  k ln a = ln a

k

b

1

2

a

a

Relaciones de funciones trigonométricas

− b = (a − b)(a + b) a − b = ( a − b)(a + ab + b ) a + b = ( a + b)(a − ab + b ) ( a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc a

−

b

cos 2θ 2 2 1 1 cos 2 θ = + cos 2θ 2 2 c c b csc θ = , sec θ = , ctgθ = a b a

a

= a ⋅b

, cosθ =

c 1

sen2θ =

=1

m

a

2

= b + c − 2bc ⋅ cosα = a + c − 2ac ⋅ cos β = a + b − 2ab ⋅ cosγ 2

2

2

2

2

2

382

Apéndice B

Fórmulas del ángulo doble

Simbología matemática

sen 2θ = 2senθ cosθ

. mayor que , menor que

cos 2θ = cos 2 θ − sen 2θ = 1 − 2sen 2θ = 2 cos2 θ − 1 tan 2θ =

$ mayor o igual que # menor o igual que L aproximadamente Z diferente 1 implica ⇔ equivale ∴ por lo tanto E existe ∀ para todo H pertenece a x no pertenece a t conjunto de los reales ⊥ perpendicular // paralelo

2 tanθ 1 − tan2 θ

Fórmulas del ángulo mitad

 θ  1 − cosθ = ±  2  2   θ  1 + cosθ cos   = ± 2  2 

sen 

Potencias de funciones trigonométricas sen2θ =

1

−

1

cos 2θ 2 2 1 1 cos 2 θ = + cos 2θ 2 2

Alfabeto griego

Suma y resta de funciones trigonométricas sen(θ ± φ ) = senθ cos φ ± cosθ senφ cos(θ ± φ ) = cos θ cos φ senθ senφ tan(θ ± φ ) =

tan θ ± tan φ 1 tanθ tan φ

Valores de algunos ángulos Grados

Radianes

senu

cosu

tanu

0°

0

0

1

0

15°

pN

(

30°

45°

60°

75° 90°

12

3

2

6+ 2

) (

4 1

1

1

2

(

3

2

3

N3

3

2

2

p

2− 3

2

2

N4

)

3

2

p

N2

6+ 2 4

1

N6

p

) (

4

p

5p N12

6− 2

6− 2 4

0

)

2+ 3

Alfa Beta Gama Delta Epsilon Zeta Eta Teta Iota Kapa Lamda Mu Nu Xi Omicron Pi Rho Sigma Tau Upsilon Phi Chi Psi Omega

a b g d e z h u i k l m n j o p r s t y f,w x c v

A B

G D E Z H U I K L M N J O P R S T Y F X C V

Apéndice B

Notación científica y p refijos Múltiplo

Prefijo y símbolo

Múltiplo

Prefijo y símbolo

1024

yota (Y)

10224

yocto (y)

1021

zeta (Z)

10221

zepto (z)

1018

exa (E)

10218

atto (a)

1015

peta (P)

10215

femto (f)

1012

tera (T)

10212

pico (p)

109

giga (G)

1029

nano (n)

106

mega (M)

1026

micro ( , mu)

103

kilo (k)

1023

mili (m)

102

hecto (h)

1022

centi (c)

Cinemática de la partícula v=

v

2

1 d ∆x ,v = , v = vi + at, x = x i + vi t + at 2 2 t t

= vi2 + 2a( x − xi ), vix = vi cosθ , viy = visenθ

En caída libre a52g y x ≅ y.

383

Índice analítico

A

Abscisa, 5, 9 Altura, 114, 139 de un triangulo, 115, 124 Análisis de las cónicas como funciones, 337 de la ecuación, 50-9, 78 general de segundo grado, 321-48 Ángulo(s) de impacto, 136 entre dos rectas, 99-102, 138 interiores, 136 y cosenos directores, 370-72 Antecedente y consecuente, 17 Asintonía de la hiperbola, 288 horizontal, 61 vertical, 61 B

Baricentro, 112 Bisectriz(ces), 115, 126, 139 de un ángulo, 116 C

Centro de una circunferencia, 171, 178 Circuncentro, 112-114, 139 Circunferencia, 16, 47, 169, 170, 176-182, 200 circunscrita al triángulo, 125 de Euler, 117, 129, 139 ecuación(es) de la, 171, 200, 357 con centro en el origen, 171 en su forma canónica, 171, 200 en su forma ordinaria, 171, 173, 200 elementos básicos de la, 200 tangente y normal a una, 195 Cónicas, 170, 200 análisis de las, 337 definición, 170 ecuaciones, 292 polares de las, 357 excentricidad de una, 170

secciones, 170 Cota, 5 Contradominio, 50 Coordenadas, 1, 5 cilíndricas, 373, 376 esféricas, 374, 376 polares, 354, 375 rectangulares y esféricas, 3 Cosenos directores, 370 ley de los, 122 Cuadrantes, 6, 7 D

Descartes, 7 y Euler, 1 Directriz, 49 Distancia, 11 entre dos puntos, 11, 13 en el sistema rectangular tridimensional, 369 en un plano 13, 37, 355 mínima de un punto a una recta, 107-111 procedimiento para calcular la, 14 unidimensional, 37 División de un segmento, 15, 17, 37 Dominio, 50 E

Ecuación(es), 60 análisis de una, 60, 78 cuadráticas, 348 de la circunferencia, 171, 201 forma canónica, 171 forma general, 171, 176, 201 forma ordinaria, 171-73 que pasa por tres puntos, 182 de la hipérbola, 285-95 canónica de la, 292 general de la, 296-311 ordinaria de la, 294-311 de la parábola, 208, 221-26 con eje focal paralelo, 208, 215-20 con vértice en el origen, 208-15

que pasa por tres puntos, 227-40 de la recta, 83, 87-90, 137-38 en forma simétrica, 92, 137 en forma simplificada, 90, 93 que pasa por el origen, 95 general, 51, 93, 321, 325 normal, 55, 98 de las bisectrices del triángulo, 126 del lugar geométrico, 69 de primer grado, 137 de rotación en forma trigonométrica, 150 de segundo grado, 321-48 y las cónicas, 325 resolución de, 331 función y análisis de una, 50-9 general de la elipse, 260-81 de la parábola, 221-31 de la recta, 137 de segundo grado, 348 normal de la recta, 138 ordinaria de la elipse, 247, 255 con eje focal paralelo al eje y, 251-55, 256 pendiente dada y ordenada al origen, 48 forma simétrica, 50 forma simplificada, 48 polar(es) de la circunferencia, 357-59 de la elipse, 363 de la hipérbola, 365 de la línea recta, 356 de la parábola, 361-63, 365 de las cónicas, 357 Eje(s) intersección con los, 60 de una curva con los, 60 oblicuos, 158 polar, 7, 352 simetría con los, 61 Eliminación de términos lineales, 152-154 del término xy, 153

386

Índice analítico

Elipse, 16-17, 46, 49, 170 con eje focal paralelo x , 247-50 y, 251-55 definición de, 246, 275 ecuación(es), ordinaria de la, 247, 255-81 excentricidad de una, 248-49 general de la, 260-74 gráfica de la, 262 horizontal, 247 lado recto de la, 249 rectas directrices de la, 250 traslación y rotación de, 160 valor de la, 49 vértices de una, 248 Euler, 1 circunferencia de, 117, 129, 139 recta de, 117, 128, 139 Excentricidad de la elipse, 248 de la hipérbola, 288 F

Foco(s), 49 de la elipse, 247 de la hipérbola, 293 de la parábola, 208 Función(es), 49-50, 53, 57 de x , 51 gráfica de las, 55 operaciones con, 54 G

Geometría, 2 analítica, 44, 78 Gráfica(s) de hipérbolas, 76 de la circunferencia, 69 de la Lemniscata de Bernoulli, 74 de la parábola, 70, 211-12 de la(s) función(es), 55 de rectas, 130 de una elipse, 72, 264 diferencia, 56 intersección de una, 65 Gravicentro, 139 H

Hipérbola(s), 48, 170, 283, 313 asíntotas, 289-90 definición de, 284 ecuación(es) de, 297-311 canónicas de la, 285-286

ordinaria de la, 295 ejes de una, 285 excentricidad de una, 293 focos de una, 293 gráfica de la, 307 lado recto de la, 290 propiedades de la, 287-88 rectas directrices de la, 291-293 vértices de una, 295 I

Imagen, 50 Incentro, 115 Interpretación geométrica de “a, b y c”, 288 Intersección con los ejes, 60 de dos rectas, 66 de gráficas, 65 de una curva con los ejes, 61 de una elipse, 68 de una recta con circunferencia, 67 de una recta con una circunferencia, 67 Intervalo o campo de variación, 61 L

Lado recto de la hipérbola, 290 o acho focal, 290 Ley de cosenos, 122 de senos, 122 Línea, 10 recta, 37, 52 ecuaciones polares de la, 357 pendiente de una, 37 Longitud, 10 Lugar(es) geométrico(s), 43, 78 M

Magnitud, 11 de la longitud, 11 Mediana(s), 112 de un triángulo, 123 Mediatriz, 112, 113, 139 de un triángulo, 114 Método para eliminar el término XY , 154, 165 O

Operación de las funciones, 54 Ordenada(s), 5, 9 Origen, 7 Ortocentro, 114-115, 139

P

Parábola, 45, 170, 207-208, 240 definición, 209 ecuaciones de la, 208, 221-26 con eje focal paralelo, 208, 215-20 con vértice en el origen, 208-15 que pasa por tres puntos, 227-40 eje focal, 208 foco de una, 208 gráfica de la, 211-214 de la trayectoria de la, 212 que se intersecan, 77 vértices de una, 208 Paralelismo entre dos rectas, 103, 138 Perpendicular, 102, 138 Pendiente de recta, 26, 37, 137 positiva, 86 Plano cartesiano, 7 polar, 7 Polo, 7, 352 Producto cartesiano, 49 Proporción, 15 Punto(s) de división de un segmento, 18, 37 de equilibrio, 57 de intersección, 78 distancia entre dos, 11, 13, 14 medio(s), 20 de triángulo, 23 de un segmento, 20, 37 R

Radio de una circunferencia, 171-175 Recta(s) bisectrices, 135, 208 de Euler, 117, 139 directriz de la hiperbola, 291-94 paralelas, 45 al eje x o y, 94 vertical, 337 y puntos notables de un triángulo, 112 Regla de Cramer, 183-186 Relación, 50 Rotación de ejes, 149, 165 de un par de rectas paralelas, 163 de una parábola, 164

Índice analítico

unidimensional, 10 dimensionales, 2

S

Segmento(s) de recta, 10 pendiente de un, 26, 37, 137 división de un, 17-19, 37 paralelos, 32 punto medio de un, 20, 37 Senos ley de, 122 Sentido, 10 Simetría de los ejes, 61 en coordenadas polares, 355 Sistema(s) bidimensional, 7 coordenado(s), 1-41, 351 polar, 352-367 rectangular en tres dimensiones, 368-372 tetradimensional, 2 tridimensional o R3, 2

T

Tangente de una circunferencia, 186-200 Teorema, 113, 137 de Vazgar, 23-25, 37 Transformación de coordenadas esféricas-rectangulares, 374 cilíndricas-rectangulares, 373 polares a rectangulares, 354-55 Traslación de circunferencia, 148 de ejes, 146, 165 de hipérbola, 148 de la parábola, 161 y rotación de la elipse, 160 Triángulo, 112 altura de un, 115, 124 ángulos internos de un, 121

387

de puntos medios, 23, 27 ecuaciones de las bisectrices del, 126 medianas de un, 112,123 mediatrices de un, 114 rectas y puntos notables de un, 112 vértices de un, 118 Trigonometría, 122 V

Valor absoluto, 11 Variable dependiente, 51 independiente, 51 Vazgar

teorema de, 27, 67 Vértice(s) de un triángulo, 118 de una elipse, 248 de una hipérbola, 295 de una parábola, 208

Geometría Analítica - Agustín Vásquez S., Juan de Santiago Castillo

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